TD de Microéconomie II-2019-2020 [PDF]

Zitiervorschau

Université de Douala

Faculté des Sciences Economiques et de Gestion Appliquée

TRAVAUX DIRIGES DE MICROECONOMIE II 1, 2 et 3ieme séance Questions de cours 1) Montrer algébriquement que la courbe de la productivité marginale coupe celle de la productivité moyenne en son maximum. 2) Identité d’Euler et rendements d’échelle. Définition et interprétation. 3) L’hypothèse selon laquelle un input nul entraîne un output nul, autrement dit : f(xi, 0)=0, est-elle compatible avec la possibilité d’un « optimum en coin » ou « optimum frontière » 4) Définissons l’élasticité de l’output par rapport au facteur i comme suit :

a) Quelle est l’élasticité de l’output par rapport à chaque facteur : Si f(x) = Si f(x) = ( x1  x2 )

1

b) On considère la fonction de production CES : f(x1, x2) = Montrer qu’on peut toujours mettre cette fonction sous la forme : f(x1, x2) = 5) Une entreprise a une fonction de type Cobb-Douglas : y =

. On

appelle p le prix de l’output (mesuré par y) et pi, celui de l’input i (mesuré par xi, i =1,2). Quelles conditions doivent vérifier a et b pour qu’il y ait une production donnant un profit maximum ?

6) Quelles sont les hypothèses qu’il convient de faire sur la fonction d’utilité U, pour lorsque le consommateur maximise sa satisfaction, le rapport des utilités marginales soit égal au rapport des prix. 7) Démontrer à l’aide d’un graphique que deux courbes d’indifférence ne peuvent se couper. Exercice 1 : Le producteur KOUTIMINA a fait appel à des statisticiens afin d’obtenir l’équation de sa production. Ces derniers ont mis en évidence la relation suivante : Q ( L, K )  6.L1 2 .K 2 3 où L et K représentent les quantités de facteurs utilisées pour la production. Les facteurs L et K sont achetés au fournisseur BOKANDE respectivement au prix pL et pK . a) Calculer les élasticités de production. En déduire le pourcentage d’augmentation de la production induite par une hausse de 3% des quantités de facteur K utilisé. b) A l’aide de la question précédente, déterminer le TMST. c) Q est-elle homogène ? Si oui, en déduire la nature des rendements d’échelle. d) Représenter graphiquement les isoquantes telles que Q=20, Q=40 et Q=60. e) A l’aide du graphique, vérifier le bien fondé des résultats de la question c). Exercice 2 : Soit la fonction de production :

Où y, k et l désignent respectivement les volumes de la production et des facteurs capital et travail. On raisonna à long terme : capital et travail sont deux facteurs variables. 1) Représentez dans un graphique l’isoquant correspondant à y = 1. Commentez. 2) Soit r le prix unitaire du capital et w le prix unitaire du travail (taux de salaire). Quelles quantités de facteurs minimisent le coût d’une production y = 1 dans les cas suivants : r = 1, w = 1 et r = 2, w = 3 ? raisonnez en s’appuyant sur le graphique de la question 1) et donnez l’interprétation économique des résultats obtenus.

Exercice 3 : Maximisation du profit dans le court terme Pour produire y unités d’un certain bien, une entreprise supporte dans le court terme des coûts variables CV (y) et des coûts fixes CF, avec : CV(y) = 1/2y3 – y²+4y

et

CF = 4

Et son coût total CT (y) est défini par : CT(y) = CV(y) + CF. L’objectif de l’entreprise est de maximiser le profit. Questions : 1- Quelles sont les équations des fonctions de : - Coût moyen CM (Y) - Coût marginal Cm(y) - Coût variable moyen CVM(y) - Coût fixe moyen CFM(y). 2- Représentez les fonctions CM(y), Cm(y) et CVM(y) sur un même graphique en déterminant explicitement les niveaux de production où elles atteignent un minimum. Définir le seuil de fermeture et le seuil de rentabilité. (Remarque : pour déterminer le minimum de la fonction Cm(y), on pourra utiliser le fait que l’équation (y3 – y² - 4 = 0 admet comme unique solution positive y = 2). On égalise SF = cm = CVM SR = cm = CM 3- L’entreprise vend sa production sur un marché de concurrence parfaite à un prix unitaire égal à P. déterminez la production choisie lorsque p = 3, p = 4 et p = 6. Calculez dans chaque cas le profit réalisé et commentez les résultats obtenus.

Exercice 4 : Maximisation du profit et demande de facteurs On envisage une entreprise en concurrence parfaite dont la fonction de production s’écrit :

y, z1 et z2 désignent respectivement le volume de la production et les quantités utilisées de deux facteurs 1 et 2. Les prix unitaires des facteurs

sont égaux à l’unité et on note le p le prix du bien produit. On raisonne à long terme : les deux acteurs sont variables. Questions : 1- Déterminer la fonction de coût total. En déduire la fonction d’offre de l’entreprise et la demande pour chaque facteur en fonction de p. 2- Retrouvez les résultats de la question 1 par un calcul direct, c'est-à-dire sans passer par le calcul de la fonction de coût total

Exercice 5 : Une entreprise produit un output y à partir de deux inputs X1 et X2. Ces derniers n’étant pas parfaitement élastiques, leurs prix est fonction de la qualité demandée par la firme. Soit P1(x1) le prix de l’input X1 et P2(x2) le prix de l’input X2. On suppose que P1(x1) et P2(x2) ont pour expression : P1(x1) = 4 + x1 et P2(x2) = 4 + x2. 1) Ecrire la fonction de coût C(x1, x2) de l’entreprise. 2) Montrer que C (x1, x2) est convexe. 3) On suppose que la fonction de production de l’entreprise a pour expression : y  x11 2 x21 2 . Quelles sont les propriétés remarquables de cette 4) 5) 6) 7)

fonction de production ? Déterminer la fonction de coût total minimum de l’entreprise. Déterminer la fonction de coût marginal La fonction de demande du produit fabriqué par l’entreprise s’écrit : y = 116 – 2py. Calculer l’élasticité de la demande par rapport au prix py. Calculer le niveau de production optima y.

Exercice 6 : Soit une usine dont la fonction de production est du type Cobb Douglas : Q ( K , L)  2.K 0,5 .L0,5 K et L représente les quantités de facteurs. Le prix du facteur capital est égal à pK et le prix du facteur travail est égal à pL . a) Déterminer la fonction de coût total de courte période. b) En déduire la fonction de coût moyen de courte période. En effectuer l’étude succincte et la représentation graphique, lorsque les prix des facteurs sont égaux à pL  8 et pK  2 .

c) En déduire les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût marginal lorsque la quantité de facteur K est égale à 10. d) Déterminer la fonction de coût total de longue période. e) Quelle est la nature des rendements d’échelle ? Tracer la courbe du coût moyen de longue période sur le graphique précédent. f) Déterminer le profit maximum réalisé par le producteur en fonction du prix du marché. Exercice 7 : La fonction d’utilité d’un consommateur a la forme suivante: U ( x1 , x1 , L)  x11 6 x21 6 (24  L)2 3 où x1 est la quantité de bien i et L la quantité du travail qu’il offre par jour (quantité mesurée en heures). Son revenu est uniquement salarial avec w comme taux de salaire horaire. p1 et p2 sont les prix respectifs des deux biens. 1. Montrer qu’il va travailler un nombre fixe d’heures par jour indépendamment de son salaire. Quel est ce nombre ? 2. Montrer que les demandes pour les deux biens sont homogènes de degré zéro par rapport à p1 , p2 et w. 3. Faire une représentation graphique de la fonction d’utilité du consommateur compte tenues des contraintes budgétaire et de temps et en donner une interprétation économique.

Exercice 8 : Soit U(x1, x2) = x1 x2 la fonction d’utilité d’un consommateur. Ce dernier dispose d’un revenu R = 4 qu’il doit intégralement dépenser. X1 et x2 mesurent les quantités de biens 1 et 2 tandis que P1 = 1 et P2 = 2 correspondent à leurs prix unitaires respectifs. On suppose que la quantité disponible du bien est limitée à x1. 1- Déterminer de manière générale tant algébrique que graphiquement l’équilibre du consommateur. Préciser et interpréter économiquement la valeur du multiplicateur de Lagrange. 2- Déterminer la consommation optimale lorsque x1 = 1. Présenter une analyse économique complète des résultats obtenus et des mécanismes sous-jacents. 3- En déduire le prix implicite du bien 1 associé à cette contrainte ( x1 – 1), le niveau d’utilité du consommateur étant celui déterminé à la 1ère question (pour x < 2).

Exercice 9 La fonction d’utilité d’un consommateur a la forme suivante : U(x1, x2, L) = Où xi est la quantité de bien i et L la quantité du travail qu’il offre par jour (quantité mesurée en heures). Son revenu est uniquement salarial avec w comme taux de salaire horaire. P1 et P2 sont les prix respectifs des deux biens. 1- Montrer qu’il va travailler un nombre fixe d’heures indépendamment de son salaire. Quel est ce nombre ?

par

jour

2- Montrer que les demandes pour les deux biens sont homogènes de degré zéro par rapport à P1, P2 et w. 3- Faire une représentation graphique de la fonction d’utilité du consommateur compte tenues des contraintes budgétaire et de temps et en donner une interprétation économique. Exercice 10 : Soit un consommateur dont la fonction d’utilité dépend des quantités consommées d’un bien X à deux dates 1 et 2. Ce bien ne peut être stocké pendant la période qui un sépare les deux dates. La fonction d’utilité s’écrit : U (x1, x2) = x1 x2 ou x1 est la quantité consommé du bien X à la date i. le consommateur dispose à la date 1 d’un actif égal à 300, avec lequel il peut soit acheter du bien X au prix P1=1. Soit effectuer un placement dans une entreprise. S’il place dans une entreprise un montant Q1 à la date 1, il reçoit la date 2 un montant Q2 égal à 20 . Il ne dispose d’aucun autre revenu à la date 2. Nous supposons le prix du bien X à la date 2 égal à son prix courant. 1) Si le consommateur ne dispose d’aucune autre possibilité de placement. Ecrire contraintes de revenu à chacune des dates 1 et 2. Déterminer ses demandes x1 et x2. Quel est son taux marginal de substitution intertemporel (le rapport dx1/dx2, où dx2 est la quantité de bien X qu’il faut lui fournir à la date compenser la perte d’une quantité dx1 de bien X à la date 1). Calculer le rendement marginal de son placement et comparer ce résultat au taux précédent. Expliquer le résultat. 2) On suppose maintenant que le consommateur à accès à une seconde possibilité de placement, il peut prêter ou emprunter sans limitation à un taux d’intérêt de cinq pour cent, sur un marché financier parfait. Quelles sont les décisions de consommation et d’épargne ?

Exercice 11 : Un consommateur dispose pour seule ressource le revenu de son travail, payé au salaire s, et consomme un seul bien, dont la quantité est mesurée par x. on suppose qu’il ne peut travailler que 10 heures au maximum pendant la période considérée. Sa fonction d’utilité est donnée par : lnU = (1/2) ln x+ (1/2) ln (10-w) où w est le nombre d’heures pendant lesquelles il travaille. a) Tracer la courbe d’indifférence pour U(x, w) constante b) Déterminer sa demande du bien et son offre du travail.

Exercice 12 : Soit U(x1, x2) = 4 x1  3 x2 , la fonction d’utilité d’un consommateur. Ce dernier dispose d’un revenu R = 7 qu’il ne dépense pas intégralement. x1 et x2 mesurent les quantités de biens 1 et 2 tandis que P1 = 1 et P2 = 2 correspondent à leurs prix unitaires respectifs. On suppose que la quantité disponible des deux biens est telle que 2 x1  5 x2  8 . Travail à faire : Déterminer l’équilibre de ce consommateur.