TD 01 - Structures Algébriques [PDF]

Zitiervorschau

CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

TD 01 Structures algébriques Exercice 1: (Axiomes faibles d’un groupe) Soient E un ensemble non vide muni d’une loi associative et e ∈ E tel que ∀x ∈ E, xe = x (E admet un élément neutre à droite) et ∀x ∈ E, ∃x0 ∈ E, xx0 = e (tout élément de E admet un inverse à droite). 1: Soit x ∈ E et x0 ∈ E tel que xx0 = e. On pose y = x0 x, calculer y 2 et en déduire que y = e. 2: Montrer que e est l’élément neutre de E. En déduire que E est un groupe. Exercice 2: Soit G un ensemble muni d’une loi associative et qui admet un élément neutre e. 1: On suppose que ∀x ∈ G, x2 = e. Montrer que G est un groupe abélien. 2: On suppose que G est fini et tous les éléments de G sont réguliers. Montrer que G est un groupe. Exercice 3: Montrer que R∗ × R muni de la loi (a, b)(c, d) = (ac, ad + b) est un groupe. Exercice 4: Montrer que R2 muni de la loi (a, b)(c, d) = (a + c, bec + de−a ) est un groupe. a+b est un groupe. Exercice 5: Montrer que ] − 1, 1[ muni de la loi a ? b = 1+ab Exercice 6: (Transport de structure) Soit (G, .) un groupe et E un ensemble tel qu’il existe une bijection f : G → E. Montrer que E muni de la loi x ? y = f (f −1 (x).f −1 (y)) est un groupe isomorphe à (G, .). Exercice 7: (Centre d’un groupe) Soit G un groupe. Montrer que Z(G) = {x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx} est un sous groupe de G. Exercice 8: (Normalisateur d’une partie, centralisateur d’une partie) Soit G un groupe et A ⊂ G. 1: Montrer que N (A) = {x ∈ G/xAx−1 = A} (normalisateur de A) est un sous-groupe de G. 2: Montrer que C(A) = {x ∈ G/∀a ∈ A, ax = xa} (centralisateur de A) est un sous-groupe de G. Exercice 9: Soit G un groupe fini et H ⊂ G non vide. Montrer que H est un sous-groupe de G si et seulement si ∀a, b ∈ H, ab ∈ H. Le résultat reste-t-il vrai si G n’est pas supposé fini ? Exercice 10: (Produit de deux sous-groupes) Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH. Exercice 11: (Théorème de Lagrange) Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. 1: Montrer que x ∼ y ⇐⇒ x−1 y ∈ H est une relation d’équivalence sur G. 2: Montrer que x ¯ = xH = {xh/h ∈ H}. 3: Montrer que ∀x, y ∈ G, xH et yH sont équipotents. 4: En déduire que l’ordre de H divise l’ordre de G (Théorème de Lagrange). 5: Application : Soit G un groupe d’ordre fini. Montrer que ord(x)|ord(G). Exercice 12: Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n = ab avec a ∧ b = 1 et d’élément neutre e. On pose A = {x ∈ G/xa = e} et B = {x ∈ G/xb = e}. 1: Montrer que A et B sont des sous-groupes de G. 2: Montrer que A ∩ B = {e} et G = AB. Exercice 13: Montrer que tout groupe fini d’ordre premier est cyclique. Exercice 14: Montrer qu’un groupe n’admet pas de sous-groupes propres si et seulement si il est cyclique d’ordre premier ou réduit à l’élément neutre. Exercice 15: Le groupe (Q, +) est-t-il monogène ? Exercice 16: Montrer que tout sous-groupe d’un groupe monogène (resp. cyclique) est monogène (resp. cyclique). Exercice 17: Montrer qu’un groupe est fini si et seulement si l’ensemble de ses sous-groupes est fini. Exercice 18: Soit A = {r1 , . . . , rn } une partie finie de Q. Montrer que le sous-groupe G de (Q, +) engendré par A est monogène infini. Exercice 19: Soit G un groupe et x, y ∈ G. Montrer que xy et yx ont le même ordre. Exercice 20: Soient G un groupe. Montrer que si H et K sont deux sous-groupes de G d’ordres finis premiers entre eux alors H ∩ K = {e}. ord(a) Exercice 21: Soient G un groupe et a ∈ G d’ordre fini. Montrer que ∀n ∈ N, ord(an ) = ord(a)∧n . Exercice 22: Soient G un groupe d’élément neutre e et a, b ∈ G d’ordres finis tels que ab = ba. 1: Montrer que si ord(a) ∧ ord(b) = 1 alors ord(ab) = ord(a)ord(b). 2: Montrer que si < a > ∩ < b >= {e} alors ord(ab) = ord(a) ∨ ord(b). Exercice 23: Soient G un groupe groupe cyclique d’ordre n et a ∈ G tel que G =< a >. Montrer que ∀k ∈ {1, . . . , n}, < ak >=< ad > où d = k ∧ n. Exercice 24: (sous-groupe de torsion) Soit G un groupe abélien. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordres finis de G est un sous-groupe de G. Exercice 25: (Théorème de Cayley) Soit G un goupe fini d’ordre n. On note (Bij, ◦) le groupe des bijection sur G, ∀g ∈ G, fg : x ∈ G 7→ gx et f : g ∈ G 7→ fg . Montrer que f est un morphisme injectif de G dans Bij. En déduire que G est isomorphe à un sous-groupe de Sn . Exercice 26: Soit n ≥ 2. 1: Montrer que {(1, i)/2 ≤ i ≤ n} est un système générateur minimal de Sn . 2: Montrer que {(i, i + 1)/1 ≤ i ≤ n − 1} est un système générateur minimal de Sn . www.mathlaayoune.webs.com

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3: On considère la transposition τ = (1, 2) et le cycle σ = (1, 2, . . . , n) de Sn . Calculer σ k τ σ −k pour k ∈ {0, . . . , n − 2} et en déduire que τ et σ engendrent Sn . Exercice 27: Soit E un ensemble non vide. Montrer que (B(E), ∆, ∩) est un anneau. Exercice 28: Montrer que (C, +, ?) avec z ? z 0 = zz 0 + =mz=mz 0 est un anneau. Exercice 29: Soit (A, +, ×) un anneau tel que ∀x, y ∈ A, (xy)2 = x2 y 2 . Montrer que ∀x, y ∈ A, xyx = x2 y = yx2 et en déduire que A est commutatif. Exercice 30: Soit (A, +, ×) un anneau et x, y ∈ A tel que 1 − xy soit inversible. Montrer que (1 − xy)y(1 − xy)−1 x = yx et (1 − yx)y(1 − y(1 − xy)−1 x = 1 et en déduire que 1 − yx est inversible. Exercice 31: Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. Exercice 32: On pose ∀x, y ∈ R, x ? y = x + y − 1 et x.y = x + y − xy. Montrer que (R, ?, .) est un corps. Exercice 33: On pose ∀(a, b), (c, d) ∈ Q2 , (a, b) ? (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b).(c, d) = (ac + 2bd, ad + bc). Montrer que (Q2 , ?, .) est un corps. Exercice 34: (Le nilradical) Soit A un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble N (A) des éléments nilpotents de A est un idéal. Exercice 35: (L’annulateur d’un idéal, le conducteur d’une partie) Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A. 1: Montrer que J = {a ∈ A/∀i ∈ I, ai = 0} est un idéal de A (l’annulateur de I). 2: Soit S une partie de A. Montrer que K = {a ∈ A/∀s ∈ S, as ∈ I} est un idéal de A (le conducteur de S dans I). Exercice 36: Soient A un anneau commutatif, B un sous-anneau de A et I un idéal de A. Montrer que B + I est un sous-anneau de A. Exercice 37: Soit A un anneau principal tel que tout suite décroissante d’idéaux est stationnaire. Montrer que A est un corps. Exercice 38: Soient A un anneau commutatif. 1: Montrer que l’union d’une suite croissante (In ) d’idéaux de A est un idéal de A. 2: En déduire que, si A est principal, toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire. Exercice 39: Montrer qu’un anneau intègre qui possède un nombre fini d’idéaux est un corps. Exercice 40: (Radical d’un idéal) A un anneau commutatif et I, J deux idéaux de A. √ ∗ n On appelle radical √ d’un idéal K de A l’ensemble√ K = {x ∈ A/∃n ∈ N , x ∈ K}. 1: Montrer que I est un idéal de A et que I ⊂ I. √ √ 2: Montrer que p si J un idéal de A tel que I ⊂ J alors I ⊂ J.p √ √ √ √ √ √ √ √ I = I, I ∩ J = I ∩ J et I + J = I + J. 3: Montrer que Exercice 41: (Idéal premier, idéal maximal) Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A. On dit que I est un idéal premier si I 6= A et ∀x, y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I. On dit que I est un idéal maximal si I 6= A et pour tout idéal J de A telque I ⊂ J alors J = I ou J = A. 1: Soient I, J et K trois idéaux de A avec I premier. Montrer que si J ∩ K = I alors J = I ou K = I. 2: Montrer qu’un idéal maximal est premier. 3: On suppose que A est principal. Montrer que tout idéal non nul premier est maximal. 4: Montrer que si A admet un nombre fini d’idéaux alors tout idéal premier de A est maximal. 5: Montrer que dans un anneau fini tout idéal premier est maximal. 6: On suppose que tout idéal de A est premier. Montrer que A est un corps. Exercice 42: Montrer que l’ensemble des nombres décimaux D = {x ∈ Q/∃n ∈ Z; 10n x ∈ Z} est un anneau principal. Exercice 43: Soit n ∈ N∗ . Montrer que les idéaux de Z/nZ sont principaux. Z/nZ est-il principal ? Exercice 44: Montrer que tout idéal de l’anneau Z2 est principal. Z2 est-il principal ? Exercice 45: (L’anneau des entiers de Gauss) On pose Z[i] = {m + in/m, n ∈ Z}. 1: Montrer que (Z[i], +, ×) est un anneau (L’anneau des entiers de Gauss). 2: Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe n ∈ Z tel que | x − n |≤ 21 . 3: Soit z ∈ C. Montrer qu’il existe u ∈ Z[i] tel que | z − u |< 1. 4: Montrer que ∀a ∈ Z[i], ∀b ∈ Z[i] \ {0}, ∃q ∈ Z[i], ∃r ∈ Z[i] tels que a = bq + r et |r| < |b|. 5: Montrer que Z[i] est principal. Exercice 46: On veut montrer que l’ensemble des nombres premiers est infni. Supposons par l’absurde qu’il est fini d’éléments p1 , . . . , pk et soit n = p1 · · · pk . Montrer que ϕ(n) = 1 et conclure. Exercice 47: Trouver tous les entiers naturels tel que : 1)ϕ(n) = ϕ(2n) 2)ϕ(n) = n2 3)ϕ(n) = n3 4)ϕ(n) = 25 5)ϕ(n) = 12 Exercice 48: Soient m, n ∈ N∗ . Montrer que ϕ(mn) = (m ∧ n)ϕ(m ∨ n). n X nϕ(n) Exercice 49: Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Montrer que k= . 2 k=1

k∧n=1

Exercice 50: Une minoration de ϕ(n) : Soit n ∈ N tel que n ≥ 2 et on pose ω(n) le nombre des facteurs premiers de n. n 1: Montrer que ω(n) ≤ ln ln 2 . n 2: Montrer que ω(n)+1 ≤ ϕ(n). ln 2 3: En déduire que lnnn+ln 2 ≤ ϕ(n). √ Exercice 51: Soit n ∈ N composé tel que n ≥ 2. Montrer que ϕ(n) ≤ n − n.

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