Suites Arithmetiques Et Geometriques Exercices Corriges PDF [PDF]

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Cours et exercices de mathématiques

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SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique ? 2364510 ; 3475621 ; 4586732 Exercice n°2. Parmi ces suites, lesquelles sont arithmétiques ? :

u0 = 1  un +1 + un = 1

u0 = 3  un − un +1 = 4

Exercice n°3. ( un ) est une suite arithmétique de raison r. 1) On sait que u0 = 2 et r = −3 . Calculer u10 , u20 , u100 . 2) On sait que u0 = 2 et u1 = 5 . Calculer r et u2 et u5 3) On sait que u0 = 2 et u2 = 10 . Calculer r et u1 , u5 4) On sait que u1 = 10 et u10 = 28 . Calculer r et u0 , u5 5) On sait que u5 = 17 et u10 = 12 . Calculer r et u0 , u1 6) Sachant que u20 = −52 et u51 = −145 , explicitez un

3 , explicitez un 4 8) Sachant que u0 = 3 et que u20 = u10 + 25 , explicitez un 9) Une suite arithmétique u est telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20 .Calculez u0

7) Sachant que u22 = 15 et r =

Exercice n°4. Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés). On note Cn le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros. 1) Montrer que, pour tout entier n, Cn +1 = Cn + 180 . Qu’en déduit-on? 2) Pour tout entier n, exprimer Cn en fonction de n. 3) De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans? 4) Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé? 5) Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ? Exercice n°5. Montrer que la suite ( un ) des aires définies par la figure ci-dessus est arithmétique. Exercice n°6. Combien y a-t-il de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres pairs? Exercice n°7. 1) En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer S1 =

1 3

+1+

5 3

+ .... +

19 3

+7

2) Calculer S2 = 5+2-1-4-7…-34 3) Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que 1000. 4) Exprimer la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n en fonction de n. Exercice n°8. i =n

Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et, n étant un nombre entier,

∑u i =3

i

= 6456 . Calculez n.

Exercice n°9. Une horloge sonne toutes les heures, de 1 coup à 1 heure du matin à 24 coups à minuit. Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ? Page 1/11

Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°10. 1) Les nombres – 5, 8, 21 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? 2) Les nombres –5, 10, –20 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? Exercice n°11. Les nombres suivants sont-ils en progression géométrique ? 346834 ; 3434 ; 34 Exercice n°12. Parmi ces suites, lesquelles sont géométriques :

u0 = 7  2 un +1 = un

u0 = 100   6 un +1 = un + 100 un

Exercice n°13. ( un ) est une suite géométrique de raison r. 1) On sait que u0 = 32 et r =

1 . Calculer u2 , u3 , u5 , u8 . 4

1 et r = 5 . Calculer u0 , u5 , u7 , u20 . 125 1 3) On sait que u0 = 1 et u1 = . Calculer r, u2 et u5 3 4) On sait que u0 = 3 et u2 = 12 . Calculer r , u1 et u5 5) On sait que u1 = −1 et u10 = 1 . Calculer r , u0 et u5 2) On sait que u1 =

Exercice n°14. Montrer que ces suites sont géométriques, et préciser leur raison et leur premier terme.

un = ( −4 )

2 n +1

vn = 2n ×

1 3n +1

wn = ( −1) × 23n +1 n

Exercice n°15. En reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique, calculer :

1 1 1 1 − + + ...... − 8 16 32 1048576

1) 18 + 54 + 162 + ..... + 39366

2)

2 − 2 + 2 2.... − 64 + 64 2 − 128 4) 2 + 28 + 29 + .... + 221

5) − x + x 2 − x 3 + x 4 .... − x17

3)

7

Exercice n°16. On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l'année 2000, la production a été de 25000 unités. On note P0 = 25000 et Pn la production prévue au cours de l'année 2000 + n. a) Montrer que Pn est une suite géométrique dont on donnera la raison. b) Calculer P5. c) Si la production descend au dessous de 15000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela risque-t-il d’arriver si la baisse de 4% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la calculatrice. Exercice n°17. La location annuelle initiale d'une maison se monte à 7000 €. Le locataire s'engage à louer durant 7 années complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats : 1) Contrat n°1 Le locataire accepte chaque année une augmentation de 5 % du loyer de l'année précédente a) Si u1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer un de la nième année en fonction de n b) Calculer le loyer de la 7ème année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 2) Contrat n°2 Le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 400 € a) Si v1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer vn de la nième année en fonction de n b) Calculer le loyer de la 7ème année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 3) Conclure : quel contrat est le plus avantageux ? Page 2/11

Cours et exercices de mathématiques Exercice n°18. Nous avons tous 2 parents, 4 grands parents, 8 arrières grands-parents, etc… En supposant que nous appartenons à la génération 1, que nos parents appartiennent à la génération 2, nos grands parents à la génération 3, etc… : 1) Combien d’ancêtres figurent à la génération 10 ? 2) Si on pouvait remonter jusqu’en l’an 1000 (soit environ à la 40ème génération), combien y aurait-il d’individus au total sur l’arbre généalogique (de la 1ère génération c’est à dire nous, jusqu’à la 40ème génération comprise) ? Que penser de ce résultat ? Exercice n°19. Un roi de Perse voulut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs. Celui-ci demanda au roi de déposer un grain de blé sur la première case, 2 grains sur la seconde, 4 grains sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains jusqu'à la 64ème case. 1) Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier ? 2) En admettant que 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, calculer la masse de ces grains de blé. 3) En 1989, la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, combien d'années de production faudrait-il pour remplir l'échiquier ? 4) Sachant que le roi pose un grain à la seconde, et qu'il commença lors du big-bang, a-t-il aujourd'hui terminé ? Exercice n°20. On déchire en deux une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur. On superpose les deux morceaux que l’on déchire de nouveau en deux. Quelle épaisseur de papier obtiendrait-on si on pouvait répéter l’opération au total trente fois (c’est à dire répéter 29 fois ce que l’on vient de faire) ? Exercice n°21. (bac) On considère la suite (un ) de réels strictement positifs, définie par : u0 = 2 , et pour tout n ∈ ` , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) . 1) Exprimer un +1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un ) . 2) Déterminer la monotonie de la suite (un ) , et préciser sa limite. n

3) Exprimer la somme

∑u k =0

k

en fonction de n.

n

4) Exprimer la somme

∑ ln(u ) en fonction de n. En déduire le calcul de u × u k =1

k

1

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2

× ... × un en fonction de n.

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SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES CORRECTION Exercice n°1 Puisque 3475621-2364510=111111 et 4586732-3475621,=111111, ces nombres sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 111111 Exercice n°2

u0 = 1 n’est pas arithmétique car si on calcule u1 = 1 − u0 = 0 , u2 = 1 − u1 = 1 , un +1 + un = 1

La suite définie par 

u3 = 1 − u2 = 0 , etc…, on s’aperçoit que la différence entre deux termes consécutifs n’est pas toujours la même. La suite est alternée, un terme sur deux valant 0, l’autre valant 1

u0 = 3 est arithmétique car elle se redéfinit par un − un +1 = 4

La suite définie par 

u0 = 3 , qui est caractéristique d’une  un +1 = un − 4

suite arithmétique de raison –4. Exercice n°3 1) Si u0 = 2 et r = −3 , alors pour tout n ∈ ` , un = u0 + n × r = 2 − 3n , ce qui nous permet de calculer u10 = −28 ,

u20 = −58 et u100 = −298 . 2) On calcule r = u1 − u0 = 5 − 2 = 3 , donc pour tout entier n ∈ ` , un = u0 + n × r = 2 + 3n ce qui nous permet de calculer u2 = 8 et u5 = 17 1

( u 2 − u0 ) = 4 , 2 un = u0 + n × r = 2 + 4n ce qui nous permet de calculer u1 = 6 et u5 = 22 u2 = u0 + 2 × r , on en déduit que

pour

tout

entier

n∈`,

( u10 − u1 ) = 2 , et ainsi pour 9 un = u1 + ( n − 1) × r = 10 + 2 ( n − 1) = 2n + 8 ce qui nous permet de calculer u0 = 8 et u5 = 18

tout

entier

n∈`,

3)

4)

Puisque

Puisque

r=

u10 = u1 + 9 × r , on en déduit que

r=

1

et

ainsi

1 ( u10 − u5 ) = −1 , et ainsi pour tout entier 5 un = u5 + ( n − 5 ) × r = 17 − ( n − 5 ) = 22 − n ce qui nous permet de calculer u0 = 22 et u1 = 21

5) Puisque

u10 = u5 + 5 × r , on en déduit que

r=

n∈`,

1 1 ( u51 − u20 ) = ( −145 + 52 ) = −3 , et ainsi pour tout entier 31 31 n ∈ ` , un = u20 + ( n − 20 ) × r = −52 + ( −3)( n − 20 ) = −3n + 8

6) Puisque u51 = u20 + ( 51 − 20 ) × r , on en déduit que r =

3 3 3 ( n − 22 ) = n − 4 4 2 8) Puisque u20 = u10 + ( 20 − 10 ) × r , on en déduit que 10r = 25 ⇔ r = 2,5 , et ainsi pour tout entier n ∈ ` , 7) Pour tout entier n ∈ ` , un = u22 + ( n − 22 ) × r = 15 +

un = u0 + n × r = 3 + 2,5n 9) Puisque la suite u est arithmétique de raison r, u2 + u3 + u4 = u2 + u2 + r + u2 + 2r = 3u2 + 3r , et u6 = u2 + 4r . Le

15  u2 = 0 u2 + u3 + u4 = 15 ⇔ u2 + r = = 5 système  a pour solution  . Puisque pour tout entier n ∈ ` , 3 r = 5 u6 = 60 ⇔ u2 + 4r = 20 un = u0 + ( n − 2 ) × r = 0 + 5 ( n − 2 ) = 5n − 10 , on en déduit u0 − 10 Exercice n°4 1) Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année Cn est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à

6 = 180 € . Ainsi Cn +1 = Cn + 180 . La suite ( Cn ) est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier 100 terme C0 = 3000 3000 ×

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Cours et exercices de mathématiques 2) Pour tout n ∈ ` , Cn = C0 + n × r = 3000 + 180n 3) Au bout de 10 ans, Albert disposera de C10 = 3000 + 180 × 10 = 4800 € 4) On résout Cn ≥ 2C0 ⇔ 3000 + 180n ≥ 6000 ⇔ n ≥

3000 . Comme n ∈ ` , n ≥ 17 . Le capital d’Albert aura donc 180

doublé au bout de 17 ans 5) On résout Cn ≥ 10000 ⇔ 3000 + 180n ≥ 10000 ⇔ n ≥

7000 . Comme n ∈ ` , n ≥ 39 . Le capital d’Albert aura 180

donc atteint 10000 € au bout de 39 ans Exercice n°5 Notons ( rn ) la suite des rayons des cercles. ( rn ) est une suite arithmétique de raison

1 et de premier terme égal à 2

1 ( n − 1) . Les aires des demi disques sont donc égales à : 2 2 2 1  1 1  1 1 = π 1 + ( n − 1)  = π  n +  2  2 2 2 2 

r1 = 1 . Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , rn = 1 + 1 2 An = π ( rn ) 2

2

1 1 1 1 1 1 Pour tout entier n ≥ 1 , un = An − An −1 = π  n +  − π  ( n − 1) +  2 2 2 2 2 2 1 1 1  1   1 1  1  1  1 = π  n + −  n   n + +  n  = π  n +  2 2 2  2   2 2  2  4  2 Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , un =

2

1  1 π n+  4  2

Pour montrer que la suite ( un ) des aires est arithmétique, on calcule la différence enter deux termes consécutifs : Pour tout entier n ≥ 1 , un +1 − un =

1 1  1 1  1 1 π  n + 1 +  − π  n +  = π . La suite ( un ) est donc arithmétique de raison π 4 4  2 4  2 4

Exercice n°6 Les nombres impairs sont les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier u0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme

un = 2n + 1 . On cherche à dénombrer les nombres impairs tels que 179 ≤ un ≤ 1243 ⇔ 179 ≤ 2n + 1 ≤ 1243 , 179 − 1 1243 − 1 , c’est-à-dire correspondant à 89 ≤ n ≤ 621 . Il y a 621 − 89 + 1 = 533 entiers n tels que ⇔ ≤n≤ 2 2 89 ≤ n ≤ 621 , donc il y a 533 nombres impairs entre 179 et 1243 Les nombres pairs étant les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier v0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme 179 1243 . Comme n ∈ ` , 90 ≤ n ≤ 621 . Il y vn = 2n . On cherche donc les entiers tels que 179 ≤ 2n ≤ 1243 ⇔ ≤n≤ 2 2 a 621-90+1=532 nombres impairs entre 179 et 1243. Exercice n°7 1) Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison

2 3

et de premier terme

à premier terme

3

, on a, pour tout n ∈ ` , un =

1 2 + n. 3 3

1 2 1 5 19 + n = 7 ⇔ n = 10 . Ainsi 7 correspond à u10 , et la somme S1 = + 1 + + .... + + 7 3 3 3 3 3 la somme S1 = u0 + u1 + .... + u10 des 11 premiers termes de ( un ) . Ainsi

Résolvons un = 7 ⇔ correspond

1

dernier

1 P terme P +7 u0 + u10 121 3 = 11× = S1 = 11 N × 2 2 3 nombre de termes

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Cours et exercices de mathématiques , 2) Si on note

( un )

la suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5, on a, pour tout n ∈ ` , un = 5 − 3n .

Résolvons un = −34 ⇔ 5 − 3n = −34 ⇔ n = 13 . Ainsi -34 correspond à u13 , et la somme S2 = 5+2-1-4-7…-34 correspond

à

la

premier terme

S 2 = u0 + u1 + .... + u13

somme

des

14

premiers

termes

( un ) .

de

Ainsi

dernier

P terme P u0 + u10 5 − 34 = 14 × = −203 S 2 = 14 N × 2 2 nombre de termes

3) Les multiples de 7 sont les termes de la suite arithmétique de raison 7, et de premier u0 = 0 . Ainsi ils sont de la forme

un = 7n . On cherche à dénombrer les termes de la suite tels que 100 ≤ un ≤ 1000 ⇔ 15 ≤ n ≤ 142 . Il y a 142-15+1=128 multiples de 7 entre 100 et 1000. premier terme

100 1000 ≤n≤ ,. Comme n ∈ ` , 7 7

dernier

P terme P u15 + u142 105 + 994 = 128 × = 70336 La somme de ces 128 multiples est donc égale à 128 N × 2 2 nombre de termes

Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, on a, pour tout n ∈ ` , un = 1 + ( n − 1) = n , et ainsi la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n est celle des n premiers termes de la suite ( un ) premier terme

dernier

terme P P n ( n + 1) 1 + n Ainsi pour tout n ∈ ` , S n = nN × = 2 2 nombre de termes

Exercice n°8 Si ( un ) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u0 = 2 , la somme

u3 = u0 + 3r = 2 + 3 × 5 = 17 premier terme

à

un = u0 + nr = 2 + 5n

s’exprime

en

i =n

∑u i =3

i

fonction

des n-3+1 termes de de

n

par :

dernier terme

P P 17 + 2 + 5n ( n − 2 )(19 + 5n ) − 2) × . = (n

2 2 nombre de termes

i =n

∑u

= 6456 équivaut alors à

( n − 2 )(19 + 5n )

= 6456 ⇔ 5n 2 + 9n − 38 = 12912 , c’est-à dire à 5n 2 + 9n − 12950 = 0 . 2 i =3 On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant, et on obtient deux solutions distinctes, dont la seule entière positive est n = 50 i

Exercice n°9 Notons ( un ) la suite correspondant au nombre de coups d’horloge, de u1 = 1 , à 1 heure du matin, à u24 = 24 , à minuit. Le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures est égal à la somme u1 + u2 + ...u24 des 24 premiers termes de cette premier terme

dernier

terme P P 1 + 24 suite arithmétique de raison 1. Celle somme vaut 24 = 300 N × 2 nombre de termes

Remarque : On pouvait appliquer la formule 1 + 2 + ...n =

n ( n + 1) 2

, démontrée dans l’exercice n°7, en remplaçant n par 24

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Cours et exercices de mathématiques Exercice n°10 1) Les différences 8-(-5)=13 et 21-8=13 étant égales, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 3

8 21 et sont différents, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite géométrique. −5 8

Comme les quotients

2) Les différences 10-(-5)=15 et -20-10=-30 n’étant pas égales, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique En revanche, les quotients

10 −20 = −2 étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite = −2 et −5 10

géométrique de raison -2 Exercice n°11

3434 1 34 1 = = et étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite 346834 101 3434 101 1 géométrique de raison 101 Les quotients

Exercice n°12

u0 = 7 n’est pas géométrique, car le calcul de u1 = u02 = 7 2 = 49 et de u2 = u12 = 492 = 2401 2 un +1 = un

La suite définie par  montrent que

u2 u1 ≠ u1 u0

u0 = 100 u0 = 100  La suite définie par  se réécrit  , donc est une suite géométrique de raison 1,06 et de 6 u 1, 06 u = = + u u u 1 + n n  + n n n 1  100 premier terme 100 Exercice n°13 1)

Si

u0 = 32

et

r=

1 , 4

2

on

2

calcule

1 u2 = u0 × r 2 = 32 ×   = 2 , 4

puis

u3 = u2 × r = 2 ×

1 1 = , 4 2

3

1 1 1 1 1 1 u5 = u3 × r = ×   = ×  = et u8 = u5 × r 3 = 2  4  32 32  4  2048 1 1 5n u 2) Puisque u1 = u0 × r , on déduit u0 = 1 = 125 = , et à partir de la formule un = u0 × r n = , on déduit 625 5 625 r 520 520 u5 = 5 , u7 = 125 et u20 = = 4 = 516 725 5 n 1 1 u1 1 n 3 3) Puisque u1 = u0 × r , on déduit r = = = , et à partir de la formule un = u0 × r =   , on déduit u0 1 3 3 1 1 successivement u2 = et u5 = 9 243 u 12 = 4 , ce qui nous fournit deux solutions : r = 2 ou r = -2. Si r = 2 , à 4) Puisque u2 = u0 × r 2 , on déduit r 2 = 2 = u0 3 2

partir de la formule un = u0 × r n = 3 × 2n , on déduit successivement u1 = 6 et u5 = 96 . Si r = −2 , à partir de la formule un = u0 × r n = 3 × ( −2 ) , on déduit successivement u1 = −6 et u5 = −96 n

5) Puisque u10 = u1 × r 9 , on déduit r 9 =

un = u1 × r n −1 = ( −1) × ( −1)

n −1

u10 1 = = −1 , ce qui nous fournit : r = -1. Ainsi, pour tout n ∈ ` , u1 −1

= ( −1) . On en déduit successivement u0 = 1 et u5 = −1 n

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Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°14

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2( n +1) +1

( −4 ) ( −4 ) = −4 2 n+3−( 2 n+1) = −4 2 = 16 , ce qui prouve que la suite u = 1) On calcule n +1 = ( ) ( ) 2 n +1 2 n +1 un ( −4 ) ( −4 ) 2 n+3

géométrique de raison 16, et de premier terme u0 = ( −4 )

v 2) On calcule n +1 = vn

2n +1 ×

1 ( n +1) +1

3

=

2×0 +1

( un )

est

= −4

2n +1 3n +1 2 2 × n = , ce qui prouve que la suite ( vn ) est géométrique de raison , et n+2 3 2 3 3

1 3n +1 1 1 de premier terme v0 = 20 × 0+1 = 3 3 n +1 n +1 3( n +1) +1 −1) × 23n + 4 ( wn +1 ( −1) × 2 n +1− n 3 n + 4 −( 3 n +1) = = = ( −1) ×2 = −23 = −8 , ce qui prouve que la 3) On calcule : n n 3 n +1 3 n +1 wn ( −1) × 2 ( −1) × 2 2n ×

suite ( wn ) est géométrique de raison -8, et de premier terme w0 = ( −1) × 23×0+1 = 2 0

Exercice n°15 1) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0 = 18 , on a, pour tout n ∈ ` , un = 18 × 3n .

un = 39366 ⇔ 18 × 3n = 39366 ⇔ n = 7 .

Résolvons

Ainsi

39366

correspond

u7 ,

à

et

18 + 54 + 162 + ..... + 39366 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u7 des 8 premiers termes de

la

somme

( un ) .

Ainsi

nombre

P de termes  raison 1−  q    1 − 38   u0 × = 18 × = 59040 N 1 1 3 q − − premier N terme

raison

2) Si on note

( un )

la suite géométrique de raison q = −

n

1 1 et de premier terme u0 = , on a, pour tout n ∈ ` , 2 8

n

1  1 1 1  1 1 1 correspond à un = ×  −  . Résolvons un = − ⇔ ×−  = − ⇔ n = 17 . Ainsi − 8  2 1048576 1048576 8  2 1048576 1 1 1 1 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u17 des 18 premiers termes de u17 , et la somme − + + ...... − 8 16 32 1048576 nombre

P de termes 18  raison  1 1−  q  1 − − 18     1 1  1  2 = ×  = 1 − ( un ) . Ainsi uN0 ×    1 − qN 8  1  12  2  premier 1 − −   terme raison  2 3) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q = − 2 et de premier terme u0 = 2 , on a, pour tout n ∈ ` ,

(

)

n

un = 2 × − 2 . Résolvons

(

un = −128 ⇔ 2 × − 2

)

n

= −128 ⇔ n = 13 .

Ainsi

-128

correspond

à

u13 ,

et

la

somme

2 − 2 + 2 2 − 4 + 4 2.... − 64 + 64 2 − 128 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u13 des 14 premiers termes de nombre

P de termes  raison 14 1−  q    1 2 − − 127 2 = 2× =− ( un ) . Ainsi uN0 ×   1 − qN 2 +1 1− − 2 premier terme

raison

( ) ( )

Page 8/11

Cours et exercices de mathématiques , 4) Si on note

( un )

la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 1 , on a, pour tout n ∈ ` ,

un = 1× ( 2 ) = 2 n . n

La somme 27 + 28 + 29 + .... + 221 correspond donc à u7 + u8 + .... + u21 de 21-7+1=15 termes consécutifs de ( un ) . nombre

P de termes  raison 1−  q  15     7 1 − ( 2) Ainsi u7 × =2 × = 27 ( 215 − 1) N 1 − qN 1 − ( 2) premier terme

raison

5) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q = − x et de premier terme, la somme − x + x 2 − x 3 + x 4 .... − x17 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u16 des 17 premiers termes de ( un ) . nombre

P de termes  raison 1−  q  17   1− (−x) 1 + x17   Ainsi u0 × = (−x) × = (−x)× N 1 − qN 1− (−x) 1+ x premier terme

raison

Exercice n°16 a) Une diminution de 4% se traduisant par une multiplication par 1 −

( Pn ) b)

4 = 0,96 , on a donc Pn +1 = 0,96 Pn . La suite 100

est donc une suite géométrique de raison 0,96. On

en

déduit

ainsi

que

pour

tout

Pn = 25000 × 0,96n ,

n∈`,

ce

qui

permet

de

calculer

P5 = 25000 × 0,96 ≈ 20384,32 5

c) On cherche pour quelle valeur de n on aura

Pn = 25000 × 0,96n ≤ 15000 ⇔ 0,96n ≤ Grâce à la calculatrice, on trouve n ≥ 13 Remarque : On peut aussi écrire :

3 . 5

( )

ln 3 3 3 5 ≈ 12,51 ⇔ n ln ( 0,96 ) ≤ ln   ⇔ n ≥ 5 ln ( 0,96 ) 5 Comme n ∈ ` , on retrouve bien n ≥ 13 0,96n ≤

Exercice n°17 1) a) Le loyer annuel du contrat n°1 peut être modélisé par une suite ( un ) géométrique de raison 1,05 (une augmentation de 5 % du loyer de l'année précédente se traduit par une multiplication par 1 +

5 = 1, 05 ), et de premier terme 100

u1 = 7000 . Pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut un = 7000 ×1, 05n −1 , b) Le loyer de la 7ème année vaut u7 = 7000 × 1, 056 ≈ 9380, 67 € à 0,01 € près c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 ×

1 − 1, 056 1 − 1, 05

≈ 47613, 39 €

2) a) Le loyer annuel du contrat n°2 peut être modélisé par une suite ( vn ) arithmétique de raison 400 € et de premier terme v1 = 7000 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut vn = 7000 + 400 ( n − 1) . b) Le loyer de la 7ème année vaut v7 = 7000 + 400 × 6 = 9400 € c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 + u2 + ....u6 = 6 × 3) Le contrat le plus avantageux pour le locataire est le contrat n°1

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u1 + u6 = 49200 € 2

Cours et exercices de mathématiques , Exercice n°18 1) En notant ( un ) la suite représentant le nombre d’individus à la génération n , on a u1 = 1 , et pour tout n ≥ 1 ,

un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , un = u1 × 2n −1 = 2n −1 Le nombre d’ancêtres figurent à la génération 10 vaut alors u10 = 29 = 512 2) Le nombre d’invidus figurant sur l’arbre généalogique de la 1ère à la 40ème génération comprise serait égal à

1 − 240 u1 + ....u40 = u1 × = 240 − 1 ≈ 1,1× 1012 individus, soit plus de 1100 milliards d’individus ! Ce chiffre est bien sûr 1− 2 impossible et s’explique par le fait que l’on ne tient pas compte des mariages entre cousins Exercice n°19 1) En notant ( un ) la suite représentant le nombre de grains de blé sur la nième case. On a u1 = 1 , et pour tout n ≥ 1 ,

un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , un = u1 × 2n −1 = 2n −1 Le nombre de grains de blé posés sur l’échiquier vaudra alors :

u1 + ....u64 = u1 ×

1 − 264 = 264 − 1 ≈ 1,8 × 1019 . 1− 2

2) Une règle de trois nous permet de conclure que si 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, 1,8 ×1019 grains de blé pèseront 100 grammes,

1,8 × 1019 ×100 ≈ 1,8 ×1018 grammes, soit environ 1,8 ×1012 tonnes 1024

3) Une règle de trois nous permet de conclure que si la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra

1,8 × 1012 ≈ 60048 ans pour produire la quantité de blé nécessaire ! 3 ×107 4) Si on pose un grain par seconde, il faudra la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra environ 1,8 ×1019 secondes pour remplir l’échiquier, soit environ 5,8 × 1011 années pour remplir l’échiquier, soit environ 580 000 000 000 années (580 milliards d’années !) Exercice n°20 En notant ( un ) l’épaisseur en dixièmes de mm obtenu après n superpositions de morceaux de feuille. On a donc u1 = 2 , et pour tout n ≥ 1 , un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 2 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , un = 2 × 2n −1 = 2n dixièmes de mm. Au bout de 29 répétitions (c’est-à-dire à la 30ème étape), l’épaisseur de papier atteindrait u30 = 230 = 1073741824 dixièmes de millimètres, soit environ 107 kilomètres ! Exercice n°21 1) Puisque pour tout n ∈ ` , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) = ln(e) + ln(un ) = ln(eun ) , on en déduit que pour tout n ∈ ` ,

un +1 = eun . La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 2) Puisque la raison de cette suite est e > 1 et que u0 > 0 , on en déduit que la suite (un ) est strictement croissante et que

lim un = +∞

n →+∞

3) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , la somme

n

∑u k =0

k

vaut donc

nombre de termes

P n +1

1− e u0 × N 1 − eN premier terme

1 − e n +1 2 − 2e n +1 = 2× = 1− e 1− e

raison

4) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , on établit que pour tout

n ∈ ` , un = u0 × e n = 2e n .

( )

( )

Ainsi, pour tout n ∈ ` , ln ( un ) = ln 2e n = ln 2 + ln e n = ln 2 + n ln(e) = ln 2 + n . Page 10/11

Cours et exercices de mathématiques n

La somme

∑ ln(u ) vaut donc : k =1

k

n

n

n

n

n ( n + 1)

k =1

k =1

k =1

k =1

2

∑ ln(uk ) = ∑ ( ln 2 + k ) = ∑ ln 2 + ∑ k = n ln 2 + En

utilisant

les n

propriétés

ln ( u1 × u2 × ... × un ) = ∑ ln(uk ) = k =1

de

n ( n + 1) + 2n ln 2 2

la

=

n ( n + 1) + 2n ln 2 2 fonction

logarithme

on déduit que u1 × u2 × ... × un = e

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népérien,

n( n +1) + 2 n ln 2 2

puisque