Série Corrigés Sur Les Couples Continues Étudiants [PDF]

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Exercices Corrigés sur les Couples de Variables Aléatoires Continues Exercice 1: Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦)1[0,1]×[0,2] (𝑥, 𝑦). 4 1- Calculer 𝑃(𝑌 ≤ 1), 𝑃 (𝑋 ≤

1 2

, 𝑌 ≤ 1) 𝑒𝑡 𝑃(𝑋 + 𝑌 ≤ 1).

2- Calculer E(X), E(Y), E(X+Y), E(X.Y). 3- 𝑋 et 𝑌 sont-elles indépendantes ? Solution : 11 1 𝑥 𝑦 3 𝑃(𝑌 ≤ 1) = ∫ ∫ ( + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 4 8 0 0 2 1

1 2 𝑥 1 𝑦 1 𝑃 (𝑋 ≤ , 𝑌 ≤ 1) = ∫ ∫ ( + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 4 8 0 0 2 1

1−𝑥

𝑃(𝑋 + 𝑌 ≤ 1) = 𝑃(𝑌 ≤ 1 − 𝑋) = ∫ ∫ 0

0

𝑥 𝑦 1 ( + ) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2 4 8

22

1

7 12 0 0 1 2 7 𝐸(𝑌) = ∫ ∫ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 6 0 0 1 1 𝑥 𝑦 2 𝐸(𝑋. 𝑌) = ∫ ∫ 𝑥. 𝑦 ( + ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 4 3 0 0 21 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) = 12 3- 𝐸(𝑋. 𝑌) ≠ 𝐸(𝑋). 𝐸(𝑌) ⟹ 𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐸(𝑋) = ∫ ∫ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =

Exercice 2 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐾𝑥𝑦𝑒 −(𝑥

2 +𝑦 2 )

𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ∈ ]0, +∞[ × ]0, +∞[

1- Calculer 𝐾 . 2- Trouver les lois marginales de X et Y. Etudier l’indépendance des deux variables. K.ZERFAOUI

Page 1

3- Calculer les densités conditionnelles de X sachant Y=y et de Y sachant X=x. 4- Calculer E(X), E(Y), V(X) et V(Y). Solution : +∞

𝐾∫

𝑥𝑦𝑒

+∞

−(𝑥 2 +𝑦 2 )

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ⟺ 𝐾 (∫

0

𝑦𝑒

−𝑦 2

+∞

𝑑𝑦) (∫

0

2

𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥) = 1

0

On pose 𝑥² = 𝑡 +∞

∫ 0

1 +∞ 1 𝑥𝑒 −𝑥² 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −𝑡² 𝑑𝑡 = 2 0 2

+∞

𝑑𝑜𝑛𝑐: 𝐾 ∫

𝑥𝑦𝑒 −(𝑥

2 +𝑦 2 )

0 +∞

2 − 𝑓𝑋 (𝑥) = 4𝑥𝑒 −𝑥² ∫0

+∞

𝑓𝑌 (𝑦) = 4𝑦𝑒 −𝑦² ∫0

1 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐾. . = 1 ⟺ 𝐾 = 4 2 2

𝑦𝑒 −𝑦² 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑒 −𝑥² , 𝑥 > 0

𝑥𝑒 −𝑥² 𝑑𝑥 = 2𝑦𝑒 −𝑦² , 𝑦 > 0

𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) 3 − 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥) =

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) = = 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑓𝑌 (𝑦) 𝑓(𝑦)

De même pour 𝑓𝑌⁄𝑋=𝑥 (𝑥) =

𝑓(𝑥,𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥)

=

𝑓(𝑥).𝑓(𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥)

= 𝑓𝑌 (𝑦)

Exercice 3 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité

1 −(2𝑥²−2𝑥𝑦+𝑦² ) 2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝜋

;

+∞

a- Quelle est la valeur de l’intégrale ∫−∞ 𝑒 −(𝑥−𝑎)² 𝑑𝑥

( 𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑎 ∈ ℝ.

b- Donner la loi de X. c- Donner la loi de Y. d- X et Y son-elles indépendantes ? Solution : 1

a- En utilisant la densité de la loi 𝑁 (𝑎, 2): 2

𝟏 (𝑥−𝑎)² +∞ −𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝑒 −∞

K.ZERFAOUI

+∞

𝑑𝑥 = ∫ −∞

𝟏 𝑥−𝑎 − ( 𝟏 ) 𝟐 √𝟐 𝑒

𝑑𝑥 =

1 √2

√2 √𝜋 = √𝜋 Page 2

2ème Méthode : +∞

𝑒 −(𝑥−𝑎)² 𝑑𝑥

∫ −∞

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑥 − 𝑎 = 𝑡 , 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 +∞ √𝜋 ∫ 𝑒 −𝑡² = 2 ∫ 𝑒 −𝑡² 𝑑𝑡 = 2. = √𝜋 2 0 b- Loi de 𝑿 : +∞

1 −(2𝑥²−2𝑥𝑦+𝑦² ) 2 𝑒 𝑑𝑦 2𝜋 1 −𝑥² +∞ −1(𝑦²−2𝑥𝑦) 1 −𝑥² +∞ −1((𝑦−𝑥)2 −𝑥²) = 𝑒 ∫ 𝑒 2 𝑑𝑦 = 𝑒 ∫ 𝑒 2 𝑑𝑦 = 2𝜋 2𝜋 −∞ −∞

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫ −∞

=

1 −𝑥² +∞ −1(𝑦−𝑥)2 1 −𝑥 2 𝑒 2∫ 𝑒 2 𝑑𝑦 = 𝑒 2 2𝜋 √2𝜋 −∞ Donc : 𝑋 ↝ 𝑁(0,1).

c- Loi de 𝒀 : +∞

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ −∞

1 1 −(2𝑥²−2𝑥𝑦+𝑦² 1 −𝑦 2 1 −𝑦 2 ) − [2𝑥²−2𝑥𝑦] 2 2 2 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 2 ∫ 𝑒 −[𝑥²−𝑥𝑦] 𝑑𝑥 = 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2

2

𝑦 2 𝑦 1 −𝑦 2 1 −[(𝑥− ) − ] 2 4 𝑑𝑥 = = 𝑒 2 ∫𝑒 2𝜋 2𝜋

=

1 2√2𝜋

𝑒

−

𝑦2 2

𝑦 1 𝑥− 2 − [ ] 2 1 𝑦2 − √2 𝑒 4 ∫𝑒

,

𝑑𝑥 =

1 −𝑦 2 1 𝑒 2 √2𝜋 = 2𝜋 √2

𝑌 ↝ 𝑁(0,4)

𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

Exercice 4 : La densité conjointe de (X,Y) est donnée par : 1

𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑦 𝑒

−

0

𝑥 𝑦

𝑒 −𝑦

𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

1- Déterminer 𝑓𝑋/𝑌 (x). 2- Trouver P(X 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0

𝑓(𝑥,𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦)

𝑥 +∞ 1 −𝑥 −𝑦 1 −𝑦 +∞ −𝑥 1 −𝑦 1 − 𝑦 𝑦 𝑦 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 [−𝑦𝑒 ] = 𝑒 −𝑦 . 𝑦 = 𝑒 −𝑦 , 𝑦 > 0 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 0 0

𝑑𝑜𝑛𝑐 ∶ 𝑌 ↝ 𝐸𝑥𝑝(1) 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥) =

1 −𝑥 𝑒 𝑦 , 𝑥>0 𝑦

2- 𝑃(𝑋 < 1/𝑌 = 𝑦) =

1 ∫0 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥)𝑑𝑥

=

𝑥

1 − ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 1

1

= 𝑦 [−𝑦𝑒

−

1 𝑦

1

1

] = 𝑦 [𝑦 − 𝑦𝑒 −1/𝑦 ] = 0

= 1 − 𝑒 −1/𝑦 . +∞

3- 𝐸(𝑋 3 ⁄𝑌 = 𝑦) = ∫0

1

+∞

𝑥 3 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑦 ∫0 +∞

4- 𝐸(𝑋 3 ) = 𝐸[𝐸(𝑋 3 ⁄𝑌 = 𝑦)] = ∫0

𝑥3 𝑒

−

𝑥 𝑦

1 Γ(4)

𝑑𝑥 = 𝑦 [ +∞

𝑦 3 . 3! 𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 = 3! ∫0

1 4 𝑦

] = 𝑦 3 . 3!

( )

𝑦 3 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 3! Γ(4) = 3! .3!

2ème Méthode : +∞

𝐸(𝑋

3)

=∫ 0

+∞

+∞

+∞

1 −𝑥 𝑥 3 𝑒 𝑦 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 0 0 0 +∞ +∞ +∞ +∞ 𝑥 1 −𝑦 1 −𝑦 4 − =∫ 𝑒 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 [𝑦 Γ(4)] 𝑑𝑦 = Γ(4) ∫ 𝑦 3 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 0 0 0 0 = 3! .3! = 36 ∫

3

𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫

∫

Exercice 5 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité : 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑘𝑒 0

−𝜃𝑦

𝑠𝑖

0≤𝑥≤𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

1- Déterminer la valeur de la constante 𝑘. 2- Déterminer les lois marginales de X et Y. ces deux variables sont-elles indépendantes ? 3- Calculer 𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1)𝑒𝑡 𝑃(𝑋 ≤ 1⁄𝑌 ≤ 1). 4- Calculer la densité de probabilité du vecteur (𝑋, 𝑌 − 𝑋) et montrer que 𝑋 𝑒𝑡 𝑌 − 𝑋 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. Solution : 1𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑒 −𝜃𝑦 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 +∞

K.ZERFAOUI

+∞

+∞

k∫

∫

𝑒 −𝜃𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ⟺ 𝑘 ∫

0

0

0

𝑦

𝑒 −𝜃𝑦 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = 1 0

Page 4

+∞

𝑦 𝑒 −𝜃𝑦 𝑑𝑦 = 𝑘

k∫ 0

Γ(2) = 1 ⟺ 𝑘 = 𝜃² 𝜃²

2+∞

1 −𝜃𝑦 +∞ 𝑒 𝑑𝑦 = 𝜃² [− 𝑒 ] = 𝜃𝑒 −𝜃𝑥 , 𝑥 > 0 𝜃 𝑥 𝑋 ↝ 𝐸𝑥𝑝(𝜃) = 𝛾(1, 𝜃) −𝜃𝑦

𝑓𝑋 (𝑥) = 𝜃² ∫ 𝑥

𝑦

𝑓𝑌 (𝑦) = 𝜃²𝑒

−𝜃𝑦

∫ 𝑑𝑥 = 𝜃²𝑦𝑒 −𝜃𝑦 , 𝑦 > 0 0

𝑌 ↝ 𝛾(2, 𝜃) 𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 31

𝑦

𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) = ∫ ∫ 𝜃²𝑒 0

1 −𝜃𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝜃²𝑦𝑒 −𝜃𝑦 𝑑𝑦 = 1 − 𝑒 −𝜃 − 𝜃𝑒 −𝜃

0

0

𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) 𝑃(𝑋 ≤ 1⁄𝑌 ≤ 1). = =1 𝑃(𝑌 ≤ 1) Car : 1

1

𝑃(𝑌 ≤ 1) = ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝜃² ∫ 𝑦𝑒 −𝜃𝑦 𝑑𝑦 = 𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) 0

0

4la loi de (𝑋, 𝑌 − 𝑋) : 1- 𝑈 = 𝑋, 𝑉 = 𝑌 − 𝑋 𝑋=𝑈 ⟺ 𝜑 −1 = { 𝑌 =𝑉+𝑈 1 0 𝐽𝜑−1 = | |=1 1 1 𝑓𝑈,𝑉 (𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑋,𝑌) (𝜑 −1 (𝑢, 𝑣)). |𝐽𝜑−1 |

𝑈=𝑋 𝜑: { 𝑉 =𝑌−𝑋

𝑓𝑈,𝑉 (𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑋,𝑌) (𝑢, 𝑣 + 𝑢) = 𝜃²𝑒 −𝜃(𝑣+𝑢) , 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 + 𝑢 𝑓𝑈,𝑉 (𝑢, 𝑣) = 𝜃²𝑒 −𝜃𝑢 𝑒 −𝜃𝑣 , 𝑢 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑣 ≥ 0 𝑓𝑈 (𝑢) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑢 , 𝑢≥0 −𝜃𝑣 𝑓𝑉 (𝑣) = 𝜃𝑒 , 𝑣≥0 𝑑𝑜𝑛𝑐: 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 Exercice 6 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité :

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Page 5

𝑒 −𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0 123456-

𝑠𝑖

0≤𝑥≤𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Calculer 𝑃(𝑌 ≤ 2) 𝑒𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 ( 𝑋, 𝑌). Déterminer les lois marginales de 𝑋 𝑒𝑡 𝑌. s’agit-il de lois usuelles ? Calculer la covariance du couple ( 𝑋, 𝑌). 𝑋 𝑒𝑡 𝑌sont-elles indépendantes ? Déterminer la densité conditionnelle de X sachant Y=y. S’agit-il d’une loi usuelle ? Déterminer 𝐸(𝑋⁄𝑌).

Solution : 12

𝑦

2

𝑃(𝑌 ≤ 2) = ∫ [∫ 𝑒 0

−𝑦

2

𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦𝑒

0

−𝑦

𝑑𝑦 =

[−𝑦𝑒 −𝑦 ]20

+ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1 − 3𝑒 −2

0

0

2+∞

𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑥 , 𝑥 ≥ 0

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑋 ↝ 𝐸𝑥𝑝(1)

𝑥 𝑦

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦𝑒 −𝑦 , 𝑦 ≥ 0

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑌 ↝ 𝛾(2, 1)

0

3-𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋). 𝐸(𝑌) 𝐸(𝑋) = 1 , ∞

∞

𝑦

+∞

𝐸(𝑋𝑌) = ∫ 𝑦 [∫ 𝑥 𝑒 0

𝐸(𝑌) = 2

−𝑦

𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = ∫

0

𝑦𝑒

−𝑦

0

+∞ 3 𝑥2 𝑦 −𝑦 1 [ ] 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑑𝑦 = Γ(4) = 3 2 0 2 2 0

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 3 − 2 = 1 4−

𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟 : 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) ≠ 0 𝑜𝑢𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑜𝑛 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

5- 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥) =

𝑓(𝑥,𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦)

=

𝑒 −𝑦 𝑦𝑒 −𝑦

1

=𝑦

, 0≤𝑥≤𝑦

6- 𝐸(𝑋⁄𝑌 = 𝑦) ↝ 𝑈[0,𝑦] ⟹ 𝐸[𝑋⁄𝑌 = 𝑦] =

𝑦 2

, 𝑦>0

⟹ 𝐸(𝑋⁄𝑌) =

𝑌 2

Exercice 7 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité :

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Page 6

𝑒 −𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0

𝑠𝑖

0≤𝑥≤𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

7- Calculer 𝑃(𝑌 ≤ 2) 𝑒𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 ( 𝑋, 𝑌). 8- Déterminer les lois marginales de 𝑋 𝑒𝑡 𝑌. s’agit-il de lois usuelles ? 9- Calculer la covariance du couple ( 𝑋, 𝑌). 10𝑋 𝑒𝑡 𝑌sont-elles indépendantes ? 11- Déterminer la densité conditionnelle de X sachant Y=y. S’agit-il d’une loi usuelle ? 12Déterminer 𝐸(𝑋⁄𝑌). Solution : 12

𝑦

2

𝑃(𝑌 ≤ 2) = ∫ [∫ 𝑒 0

−𝑦

2

𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦𝑒

0

−𝑦

𝑑𝑦 =

[−𝑦𝑒 −𝑦 ]20

+ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1 − 3𝑒 −2

0

0

2+∞

𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑥 , 𝑥 ≥ 0

𝑓𝑋 (𝑥) = ∫

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑋 ↝ 𝐸𝑥𝑝(1)

𝑥 𝑦

𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦𝑒 −𝑦 , 𝑦 ≥ 0

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑌 ↝ 𝛾(2, 1)

0

3-𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋). 𝐸(𝑌) 𝐸(𝑋) = 1 , ∞

∞

𝑦

+∞

𝐸(𝑋𝑌) = ∫ 𝑦 [∫ 𝑥 𝑒 0

𝐸(𝑌) = 2

−𝑦

𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = ∫

0

𝑦𝑒

−𝑦

0

+∞ 3 𝑥2 𝑦 −𝑦 1 [ ] 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑑𝑦 = Γ(4) = 3 2 0 2 2 0

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 3 − 2 = 1 4−

𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟 : 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) ≠ 0 𝑜𝑢𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑜𝑛 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)

7- 𝑓𝑋⁄𝑌=𝑦 (𝑥) =

𝑓(𝑥,𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦)

=

𝑒 −𝑦 𝑦𝑒 −𝑦

1

=𝑦

, 0≤𝑥≤𝑦

8- 𝐸(𝑋⁄𝑌 = 𝑦) ↝ 𝑈[0,𝑦] ⟹ 𝐸[𝑋⁄𝑌 = 𝑦] =

𝑦 2

, 𝑦>0

⟹ 𝐸(𝑋⁄𝑌) =

𝑌 2

Exercice 8 : Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité :

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(𝑥+𝑦) K.ZERFAOUI

, 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑦 ≥ 0. Page 7

1- Déterminer les densités marginales de X et Y. 2- X et Y sont-elles indépendantes ? 3- Soit X une v.a. suivant une loi Normale 𝑁(𝑚, 𝜎).On suppose que 𝑃(𝑋 < −1) = 0.488 𝑒𝑡 𝑃(𝑋 < 3) = 0.998. Déterminer 𝑚 et 𝜎. Solution : 1-

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(𝑥+𝑦)

, 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑦 ≥ 0

Les lois marginales : +∞

𝑓𝑋 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 ∫

𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑥 ,

𝑥≥0

0 +∞

𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑒 −𝑦 ∫

𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑦 , 𝑦 ≥ 0

0

𝐷𝑜𝑛𝑐 ∶

𝑋 𝑒𝑡 𝑌 ↝ 𝐸𝑥𝑝(1)

2- 𝑋 𝑒𝑡 𝑌 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) 3- 𝑋 ↝ 𝑁(𝑚, 𝜎²) −1 − 𝑚 𝑚+1 𝑃(𝑋 < −1) = 0.488 ⟺ Φ ( ) = 0.488 ⟺ Φ ( ) = 1 − 0.488 = 0.512 … … . (1) 𝜎 𝜎 3−𝑚 𝑃(𝑋 < 3) = 0.998 ⟺ Φ ( ) = 0.998 … … … … (2) 𝜎 𝑚+1 = 0.03 … … … (1) 𝜎 3−𝑚 = 2.89 … … … (2) 𝜎 (1) + (2) ⟹

4 = 2.92 ⟹ 𝝈 = 𝟏. 𝟑𝟔 𝜎

𝑚 = 1,36 . 0,03 − 1 = −0.959 ⟹ 𝒎 = −𝟎. 𝟗𝟓𝟗 Exercice 9 : Soit X une v.a.r de densité 𝑓(𝑥) = 𝜃(1 − 𝑥)𝜃−1 1]0 ,1[ (𝑥) ;

𝜃 ∈ ℝ∗+

1- Montrer que la v.a. 𝑌 = −𝐿𝑛(1 − 𝑋) suit une loi usuelle connue. Déduire E(Y) et Var(Y). 2- Si 𝑋1 𝑒𝑡 𝑋2 sont 2 v.a.r. indépendantes de même loi que X a) Donner la loi de 𝑍 = − ∑2𝑖=1 𝐿𝑛(1 − 𝑋𝑖 ) b) Déterminer la loi de 𝑇 = 2𝜃𝑍.

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Solution : 1- 𝑌 = −𝐿𝑛(1 − 𝑋) 𝐹𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(−𝐿𝑛(1 − 𝑋) ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 1 − 𝑒 −𝑦 ) = 𝐹𝑋 (𝑦) Après dérivation de la fonction de répartition on trouve le résultat : 𝑓𝑌 (𝑦) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑦 , 𝑦 ≥ 0 1 1 𝑌 ↝ 𝐸𝑥𝑝(𝜃) , 𝐸(𝑌) = 𝑒𝑡 𝑉(𝑌) = 2 𝜃 𝜃 2a- 𝑍 = − ∑2𝑖=1 𝐿𝑛(1 − 𝑋𝑖 ) ⟹ 𝑍 ↝ 𝛾(2, 𝜃) b- Loi de 𝑇 = 2𝜃𝑍 𝐹𝑇 (𝑡) = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) = 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑓𝑇 (𝑡) =

𝑡 𝑡 ) = 𝐹𝑍 ( ) 2𝜃 2𝜃

𝑡 1 𝑡 1 −𝑡 𝑡 1 𝑓𝑍 ( ) = 𝑒 2 . 𝜃² = 𝑡𝑒 −2 , 𝑡 ≥ 0 2𝜃 2𝜃 2𝜃 2𝜃 4

𝟏 4 1 𝟐𝜽𝒁 ↝ 𝜸 (𝟐, ) = 𝛾 ( , ) = 𝜒42 𝟐 2 2

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