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Italian Pages 158 Year 1982
J. W. R. DEDEKIND
SCRITTI SUI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA a cura di Francesco Gana
BIBLIOPOLIS
Titoli originali:
Stetigkeit und irrationale Zah/en. Was sind und was sol/en die Zahlen.
Traduzione di Francesco Gana
Proprietà letteraria riservata
ISBN 88-7088-068- ex; il numero ex stesso può essere assegnato a piacere alla prima o alla seconda classe; esso sarà allora, rispettivamente, il numero massim� dt;lla prima classe o il numero minimo della seconda. In ogni caso la suddivisione del sistema 9t nelle due classi �t, �2 è tale che ogni numero della prima classe �I è minore di ogni numero della seconda classe �2 ; diremo che la suddivisione è determinata dal numero ex. Per essere breve, e per non stancare il lettore, ometto la dimostrazione dei teoremi, che seguono immediatamente dalle definizioni del paragrafo precedente. Oltre a queste tre proprietà, il dominio 9t possiede anche la continuità, vale cioè il teorema seguente:. IV. Se il sistema 9t di tutti i numeri reali si suddivide in due classi �t, �2 tali che ogni numero exl della classe �l è minore di ogni numero ex2 dalla classe �2 , allora esiste uno e un solo numero ex dal quale questa suddivisione è determinata. Dimostrazione. Con la suddivisione, o sezione, di 9t in �I e �2 è data al tempo stesso una sezione (A I , A 2) del sistema R di tutti i numeri razionali, definita così: A I contiene tutti i numeri razionali della classe �I e A 2 tutti i rimanenti, cioè tutti i numeri razionali di �2 . Sia ex quel ben determinato numero che determina la sezione (A l, A 2). Sia � un numero qualsiasi diverso da ex; allora esistono infiniti numeri razionali c che giacciono tra ex e �. Se � < ex, allora c < ex, quindi c appartiene alla classe A I, e di conseguenza anche alla classe �l; ma dato che � < c, anche � appartiene alla classe �l perché ogni numero di �2 è maggiore di ogni numero c di �I . Se invece � > ex, allora c > ex, quindi c appartiene alla classe A 2 e di conseguenza anche alla classe �2 ; ma dato che � > c, anche � appartiene alla classe �2 , perché ogni numeri di �l è minore di ogni numero c di �2 . Pertanto ogni numero � diverso da ex appartiene alla classe �l o alla classe �2 , a seconda che � < ex o � > ex; quindi ex stesso è il numero massimo di �I o il numero minimo di �2 , cioè ex è un numero, ed evidentemente l'unico, che determina la suddivisione di 9t nelle classi �t, �2 , come volevasi dimostrare.
CONTINUITÀ E NUMERI IRRAZIONALI
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§ 6. Il calcolo con i numeri reali Per ricondurre qualsiasi calcolo con due numeri reali ex e � ai calcoli con numeri razionali basta definire, a partire dalle sezioni (A h A 2) e (BI, B2) determinate nel sistema R dai numeri ex e �, la sezione (CI, C2) corrispondente al risultato "( del calcolo. Mi limito qui a trattare l'esempio più semplice, quello dell'addizione. Sia c un numero razionale qualsiasi. Assegniamo c alla classe Cl se esistono un numero al in A l e un numero bi in BI tali che la loro somma al + bi � c; tutti gli altri numeri razionali c li assegniamo alla classe C2 . Questa partizione di tutti i numeri razionali nelle due classi CI, C2 è evidentemente una sezione, essendo ogni numero Cl di Cl minore di ogni numero C2 di C2 . Se ex e � sono entrambi razionali, allora ogni numero Cl di Cl è s ex + �, perché al S ex e bi S �, e quindi al + bi S ex + �; inoltre se C2 contenesse un numero C2 < ex + �, allora ex + � C2 +p, dove p è un numero razionale positivo, quindi si avrebbe 1 1 C2 (ex - - p) + (� - - p), 2 2 che sarebbe in contraddizione con la definizione del numero C2 , dato che ex - 1/2 P appartiene ad A l e � - 112 P a BI. Di conseguenza nel caso in cui ex e � siano numeri razionali, la sezione (CI, C2) è determinata dalla somma ex + �. Pertanto se per somma ex + � di due numeri reali qualsiasi ex e � intendiamo sempre quel numero "( che determina la sezione (CI, C2) non contravveniamo alle definizioni che valgono nell'aritmetica dei numeri razionali. Se poi uno soltanto dei due numeri, per esempio ex, è razionale, si mostra facilmente che assegnare ex ad A l o ad A 2 non ha alcun effetto sulla somma "( = ex + �. Analogamente all'addizione si possono definire tutte le altre operazioni della cosiddetta aritmetica elementare, e cioè la forma zione di differenze, prodotti, quozienti, potenze, radici, logaritmi, e in questo modo si ottengono vere e proprie dimostrazioni di teoremi (per esempio ..fi . Y3 '16) che, a quanto mi consta, finora non sono mai stati dimostrati. L'eccessiva lunghezza che si può temere nella definizione di operazioni più complicate in parte dipende dalla natura stessa dell'oggetto, ma in gran parte si può eliminare. Sotto questo aspetto è molto utile il concetto di intervallo, cioè di un sistema A di numeri razionali caratterizzato dalla proprietà seguente: se a e a ' sono due numeri del sistema A tutti i numeri razionali che giacciono tra a e a ' sono contenuti in A . Il sistema R di tutti i numeri =
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razionali è un intervallo, come pure sono intervalli le due classi di ogni sezione. Se esistono un"numero razionale al e un numero razio nale a2 rispettivamente minore e maggiore di ogni numero dell'in tervallo A, A è detto intervallo finito; in tal caso evidentemente esi stono infiniti numeri che hanno la stessa proprietà di al e infiniti che hanno la proprietà di a2 ; tutto il sistema R si scompone allora in tre parti A I , A, A 2 , e restano completamente determinati due numeri razionali o irrazionali � - t, ma x non diventerà mai definitivamente < cx - t né > � + t. Ora, due casi sono possibili. Se cx è diverso da �, allora necessaria mente cx > �, perché si ha sempre CX2 � �I; la variabile x oscilla e, per quanto si porti avanti il processo, subisce sempre variazioni di ampiezza superiore ad (cx - �) - 2t, dove t indica una grandezza positiva piccola a piacere. Ma questa conclusione contraddice l'ipo tesi originaria su x ; quindi rimane soltanto il secondo caso cx = �, e siccome si è già dimostrato che, per piccola che sia la grandezza t, da un certo momento in poi x sarà definitivamente < cx + t e > � - t, segue che x tende al limite cx, come dovevasi dimostrare. Saranno sufficienti questi esempi per mostrare la connessione che sussiste tra il principio di continuità e l'analisi infinitesimale.
Che cosa sono e a che cosa servono i numeri?
A mia sorella JULIE e a mio fratello AOOLF Dottore in Legge Consigliere di Corte d'Appello a Braunschweig con affetto
Prefazione alla prima edizione Nella scienza non si deve credere senza dimostrazione a ciò che è dimostrabile. A dispetto della sua ovvietà, mi sembra che questo requisito non sia stato soddisfatto, anche tenendo conto dei lavori più recenti 6, nemmeno nei fondamenti della scienza più semplice e cioè di quella parte della logica che tratta della teoria dei numeri. Già il fatto che io parli dell'aritmetica (algebra, analisi) solo come di una parte della logica mostra che considero il concetto di numero del 6 Fra i lavori a me noti cito il pregevole Lehrbuch der Arithmetik und Algebra di E. Schroder ([Teubner,] Lipsia 1 873), in cui si trova anche una bibliografia, e le ricerche di Kronecker [« Uber den Zahlbegriff» (1 886), in Werke, voI. 3 1 , Teubner, Lipsia 1 899, pp. 249-274] e di Helmholtz [" Zahlen und Messen, erkenntnisstheoreti sch betrachtet », in Wissenschaftliche A bhandlungen, lA. Barth, Lipsia 1882-1 895, voI. 3°, pp. 356-391] sul concetto di numero e sul computo e la misura (nella raccolta di saggi filosofici in onore di E. Zeller, [Fues' Verlag,] Lipsia, 1887). La pubblicazione di questi lavori mi ha spinto a render noto il mio punto di vista, che, sebbene per molti aspetti simile al loro, ha una fondazione essenzialmente diversa. Queste idee sono sorte in me già da molti anni, senza alcuna influenza da qualsiasi parte.
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tutto indipendente dalle rappresentazioni o intuizioni dello spazio e del tempo, e che lo ritengo piuttosto un' emanazione diretta delle pure leggi del pensiero. Alla domanda formulata nel titolo di questo scritto io rispondo fondamentalmente così: i numeri sono libere creazioni dello spirito umano, e servono per cogliere più facilmente e più precisamente la diversità delle cose. Con la costruzione pura mente logica della scienza dei numeri, e con il dominio numerico continuo così acquisito, siamo per la prima volta in condizione di studiare correttamente le nostre rappresentazioni dello spazio e del tempo ponendole in rapporto col dominio numerico creato nel nostro spirito 7 . Se osserviamo attentamente cosa facciamo quando contiamo un insieme o una quantità determinata di cose siamo condotti a considerare una capacità dello spirito senza la quale è impossibile ogni pensiero, la capacità di mettere in rapporto cose con cose, di far corrispondere una cosa a un'altra ovvero di rappresentare una cosa mediante un'altra cosa. Secondo me, come ho già anticipato altrove 8 , è su questo unico e peraltro assolutamente necessario fondamento che deve essere costruita tutta la scienza dei numeri. Già prima che fosse pubblicato il mio lavoro sulla continuità avevo in progetto una tale presentazione, ma solo dopo allora, e con molte interruzioni, causate dalle crescenti incombenze professionali e da altri lavori necessari, ho abbozzato su pochi fogli nel periodo 1 872-1878 una prima stesura di cui parecchi matematici hanno preso visione, discutendone parzialmente con me il contenuto. Essa recava lo stesso titolo e conteneva, in sostanza, se pur non perfettamente òrdinate, tutte le idee fondamentali del presente scritto, che qui sono solo esposte più accuratamente. Tali idee sono: la distinzione precisa del finito dall'infinito (64), la nozione di quantità numerica di oggetti ( 161 ) , la dimostrazione che il noto metodo dimostrativo che va sotto il nome di induzione completa (o inferenza da n a n + 1) è davvero conclusivo (59, 60, 80), e che anche la definizione per induzione (o per ricursione) è determinata e coerente (126). Chiunque possegga il così detto buon senso può comprendere questo scritto; esso non richiede affatto particolari cognizioni mate matiche o filosofiche. Ma so benissimo che più di un lettore avrà difficoltà a riconoscere nelle figure indistinte che gli propongo quei 7 Cfr. il § 3 del mio scritto Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunschweig, 1 872) n pp. 63-78 D 8 P.G. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen uber Zablentheorie, terza edizione, [Vie ·weg & Sohn, Braunschweig] 1 879, § 163, nota a p. 470. •
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numeri che lo hanno accompagnato per tutta la vita come amici fedeli e familiari; egli sarà spaventato dalla lunga serie di inferenze semplici corrispondente alla natura graduale della nostra compren sione, dalla lucida dissezione dei ragionamenti sui quali poggiano le leggi dei numeri e mal sopporterà di dover seguire delle dimostra zioni di verità che alla sua presunta intuizione interna appaiono certe ed evidenti. Invece, proprio nella possibilità di ricondurre quelle verità ad altre più semplici, indipendentemente dalla lunghezza e dalla apparente artificiosità della serie di inferenze, io vedo una dimostrazione convincente del fatto che il possesso o la persuasione delle verità in questione non sono mai stati dati immediatamente tramite l'intuizione interna, ma sono acquisiti sempre attraverso una ripetizione più o meno completa delle singole inferenze. lo parago nerei questa attività del pensiero, difficile a seguirsi per la rapidità con cui si svolge, con quella di buon lettore mentre legge: anche questa lettura consiste sempre in una ripetizione più o meno completa dei singoli passi che il principiante compie sillabando a fatica. Però al lettore esperto basta una parte molto piccola di questi passi, e di conseguenza uno sforzo intellettuale minimo, per poter riconoscere correttamente una parola, sia pure con una probabilità molto alta; è noto infatti che anche al correttore più esperto capita a volte di lasciarsi sfuggire un errore di stampa, cioè di leggere erroneamente, il che sarebbe impossibile se fosse ripetuta integral mente tutta la catena di processi mentali corrispondenti alla sillaba zione. Cosl, a partire dalla nascita, sempre più siamo indotti a mettere costantemente in rapporto oggetti con oggetti, cioè a esercitare quella facoltà dello spirito su cui si basa anche la creazione dei numeri. Grazie a questo esercizio cosl precoce e costante, sebbene involontario, e alla relativa formazione di giudizi e di serie di inferenze, noi acquisiamo una ricca messe di verità propriamente aritmetiche alle quali i nosti primi maestri fanno in seguito appello come a qualcosa di semplice, evidente e dato nell'intuizione interna, e cosl avviene che alcuni concetti in realtà molto complessi (per esempio, quello di quantità numerica di oggetti) vengono a torto ritenuti semplici. In questo senso, che ben si esprime nella parafrasi di un celebre aforisma: &e.ì o &v9p m). Pertanto la condizione m :S n è equiva=
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lente a no 3 mo. Inoltre da 22, 27, 75 segue che la condizione no 3mo è a sua volta equivalente a n� 3 m� , cioè (per fA. in 90) a m < n ' , c. v.d. 94. Teorema. Le condizioni m ' S n, m ' < n ' , m < n sono tutte equivalenti tra loro. La dimostrazione segue immediatamente da 93 sostituendo m con m ' , e da fA. in 90. 95. Teorema. Se l < m e m < n, o se l s m e m < n, allora I < n. Se però I s m e m S n allora l s n. Dimostrazione. Difatti, dalle rispettive condizioni (per 89, 93) mo 3 l� e no 3 mo segue (per 7) no 3 I� , e altrettanto segue dalle condizioni mo 3 lo e no 3 m� dato che, in base alla prima, m� 3 I� . Infine da mo 3 /0, no 3 mo segue no 3 lo, c.v.d. 96. Teorema. In ogni parte T di N esiste uno e soltanto un numero minimo k, cioè un numero k che è minore di ogni altro numero contenuto in T. Se T consta di un unico numero, allora questo numero è anche il numero minimo in T. Dimostrazione. Essendo To una catena (44) esiste, per 87, un numero k la cui catena ko = To. Ne segue (per 45, 77) che T3 ID1 (k , k�), e dunque innanzitutto k deve essere contenuto in T (perché altrimenti T3 k� , quindi, per 47, To 3 k� , cioè ko 3 k� , ciò che, per 83, è impossibile), e in secondo luogo ogni numero del sistema T di verso da k deve essere contenuto in k� , cioè deve essere > k (89); con temporaneamente, per 90, da ciò segue in T esiste un solo numero minimo, c. v.d. 97. Teorema. Il minimo numero della catena no è n, e il numero fondamentale 1 è il minore di tutti i numeri. Dimostrazione. Infatti, per 74, 93, la condizione m 3 no è equiva lente a m � n. Il nostro teorema si può anche derivare immediata mente dalla dimostrazione del teorema precedente, perché se si prende T = no, evidentemente sarà k = n (51). 98. Definizione. Dato un numero qualsiasi n indichiamo con Zn il sistema di tutti i numeri non maggiori di n, cioè non contenuti in � . Ovviamente, per 92 , 93, la condizione m 3 Zn è equivalente a ciascuna delle condizioni seguenti: m S n, m < n ' , no 3 mo 99. Teorema. 1 3 Zn e n 3 Zn. La dimostrazione segue da 98 o anche da 71 e 82. 100. Teorema. Ognuna delle condizioni
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m 3 Zn , m S n, m < n ' , no 3 mo, equivalenti tra loro (per 98), è anche equivalente alla condizione Zm 3 Zn Dimostrazione. Se m 3 Zn, cioè m S n, e 1 3 Zm, cioè 1 S m, allo ra, per 95, anche 1 S n, cioè 1 3 Zn; dunque, se m 3 Zn, allora ogni elemento del sistema Zm è anche un elemento di Zn, cioè si ha Zm 3 Zn. Inversamente, se Zm 3 Zn allora, per 7, deve essere m 3 Zn, dato che (per 99) m 3 Zm, c.v.d. 101. Teorema. Le condizioni dei casi À, IL, \/, in 90 si possono esprimere anche nel modo seguente: À. m = n, n = m, Zm =; Zn IL. m < n, n > m, Zm' 3 Zn, \/. m > n, n < m, Zn' 3 Zm. La dimostrazione segue immediatamente da 90 se si tiene presen te che, per 100, le condizioni no 3 mo e Zm 3 Zn sono equivalenti. 102. Teorema, ZI = 1 . Dimostrazione. Difatti, per 99, il numero fondamentale 1 è contenuto in ZI e, per 78, ogni numero diverso da 1 è contenuto in 1� , e dunque, per 98, non è contenuto in ZI, c.v.d. 103. Teorema. In base a 98, N = m (Zn , n� ) . 104. Teorema. n = ® (Zn, no) , ossia n è l'unico numero comune ai sistemi Zn e no. Dimostrazione. Da 99 e 74 segue che n è contenuto in Zn e in no; ma ogni numero della catena no diverso da n è contenuto, per 77, in n� e quindi, per 98, non è contenuto in Zn, c.v.d. 105. Teorema. In base a 91, 98, il numero n ' non è contenuto in Zn. 106. Teorema. Se m < n, allora Zm è una parte propria di Zn, e VIceversa. Dimostrazione. Se m < n, allora (per 100) Zm 3 Zn , e siccome il numero n, contenuto, per 99, in Zn, non può essere contenuto, per 98, in Zm dato che n > m, Zm è una parte propria di Zn. Inversamente, se Zm è una parte propria di Zn, allora (per 100) m S n, e dato che non può essere m = n, perché allora si avrebbe Zm = Zn, deve aversi m < n, c.v.d. 107. Teorema. Zn è parte propria di Zn'. La dimostrazione segue da 106, dato che, per 91, n < n ' . 108. Teorema. Zn' = m (Zn, n ' ) . Dimostrazione. Infatti, ogni numero contenuto in Zn' è (per 98) S n cioè è = n ' oppure < n e quindi, per 98, elemento di Zn; pertanto certamente Zn' 3 m (Zn, n ' l. Inversamente da Zn 3 Zn' (per 107) e n ' 3 Zn' (per 99), segue (per 10) "
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9R (ln , n ') 3 ln ', da cui, per 5, segue il nostro teorema. 109. Teorema. L'immagine l� del sistema ln è parte propria del sistema ln'. Dimostrazione. Infatti, ogni numero contenuto in l� è l'imma gine m di un numero m contenuto in ln, e siccome m S n, e dunque (per 94) m ' S n , si ha, per 98, l� 3 ln '. Inoltre, dato che il numero 1 , per 99, è contenuto in ln', ma non, per 71, nell'immagine l�, l� è parte propria di ln', c.v.d. 1 10. Teorema. ln' = 9R (1, l�). Dimostrazione. Ogni numero del sistema ln' diverso da 1 è, per 78, l'immagine m di un numero m, il quale deve essere S n e quindi, per 98, contenuto in ln (altrimenti sarebbe m > n, cioè, per 94, m ' > n : e allora m: per 98, non sarebbe contenuto in ln'); ma da m 3 ln segue m ' 3 l� e quindi certamente ln/ 3 9R (1, l�). Inversamente, dato che, per 99, 1 3 ln' e, per 109, l� 3 ln', segue, per 102, 9R (1, l�) 3 ln ', da cui si deduce, con 5, il nostro teorema. 1 1 1. Definizione. Se in un sistema E di numeri esiste un elemento g maggiore di ogni altro numero contenuto in E, allora g si dice il numero massimo del sistema E; è evidente, per 90, che in E può esserci un solo numero massimo. Se un sistema consta di un solo numero, tale numero è il numero massimo del sistema. 1 12. Teorema. In base a 98, n è il numero massimo del sistema ln . 1 13. Teorema. Se in E esiste un numero massimo g allora E 3 19. Dimostrazione. Infatti, ogni numero contenuto in E è S g, ç quindi, per 98, è contenuto in 19, c.v.d. 1 14. Teorema. Se E è parte di un sistema ln, o, in altre parole, se esiste un numero n tale che tutti i numeri di E siano S n, allora E possiede un numero massimo g. Dimostrazione. Il sistema di tutti i numeri p che soddisfano la con dizione E 3 lp - e per la nostra ipotesi tali numeri esistono - è una catena (37), perché, per 107, 7, si ha anche E 3 lp', ed è, per 87, = go, dove g indica il minimo di questi numeri p (96,97). Pertanto si ha an che E 3 19, e quindi (98) ogni numero di E s g, e ci resta solo da mo strare che il numero g è esso stesso contenuto in E. Ciò è immediata mente evidente se g = 1, perché allora (102) 19, e quindi anche E, con sta dell'unico numero 1 . Se invece g è diverso da 1, e quindi, per 78, è l'immagine f' di un numero f, allora (per 108) E 3 9R (li, g); ora se g non fosse contenuto in E, allora dovrebbe essere E 3 li, e di conse guenza esisterebbe fra i numeri p un numero f che (per 91) è < g, ciò 1
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che è in contraddizione con quanto precede; quindi g è contenuto in E, c.v.d. 1 15. Definizione. Se l < m e m < n, diciamo che il numero m giace tra l e n (o tra n e I). 1 16. Teorema. Non esiste alcun numero che giace tra n e n ' . Dimostrazione. Difatti, qualora sia m < n ' , si ha subito (per 93) m S n, e quindi, per 90, n non può essere < m, c. v.d. 1 17. Teorema. Se t è un numero di T, ma non il numero minimo (96), allora in T esiste uno e un solo numero s immediatamente minore di t, cioè un numero s tale che s < t e non esiste in T alcun numero che giace tra s e t. Analogamente se t non è neanche il numero massimo di T (1 1 1), allora in T esiste sempre uno e un solo numero u immediatamente maggiore di t, cioè un numero u tale che t > u e non esiste in T alcun numero cha giace tra t e u . t è al tempo stesso immediatamente maggiore di s e immediatamente minore di u. Dimostrazione. Supponiamo che t non sia il minimo numero di T e sia E il sistema di tutti i numeri di T che sono < t; allora, per 98, E 3 2t; pertanto (1 14) esiste in E un numero massimo s, che eviden temente possiede le proprietà indicate nel teorema ed è anche unico. Se, inoltre, t non è il numero massimo di T, allora, per 96, tra i numeri di T che sono > t esiste certamente un minimo u che possiede le proprietà richieste nel teorema ed è anche unico. Altrettanto evi dente è la correttezza dell'ultima osservazione del teorema. 1 18. Teorema. In N, n ' è immediatamente maggiore di n e n immediatamente minore di n ' . La dimostrazione segue da 1 16 e 1 17.
§
8.
Parti finite e infinite della sene numenca
1 19. Teorema. Ogni sistema 2n (98) è finito. Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti p. il teorema è vero per n = 1 in base a 65 e 102. o. Se 2n è finito, allora da 108 e 70 segue che anche 2n' è finito, c.v.d. 120. Teorema. Siano m, n numeri diversi, allora i sistemi 2m e 2n non sono simili. Dimostrazione. In virtù della simmetria è lecito assumere, per 90, m < n; allora 2m è, per 106, parte propria di 2n e poiché 2n è finito ( 1 19), 2m e 2n non possono, per 64, essere simili, c.v.d.
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121. Teorema. Ogni parte E della serie numerica N che possiede un numero massimo (1 1 1) è finita. La dimostrazione segue da 1 13, 1 19 e 68. 122. Teorema. Ogni parte V della serie numerica N priva di un numero massimo è semplicemente infinita (71). Dimostrazione. Sia U un numero qualunque di V, allora esiste in V, per 1 17, uno e un solo numero immediatamente maggiore di u, che indicheremo con cP(u) e che considereremo come immagine di u. In tal modo è completamente determinata una rappresentazione cP del sistema V che ovviamente ha la proprietà et . cP( U) 3 V, cioè cP rappresenta V in se stesso. Inoltre, se U e v sono numeri diversi di V, in virtù della simmetria è lecito assumere, per 90, U < Vj allora dalla definizione stessa di cP segue, per 1 17, cP(u) :s v e v < cP(v), quindi (per 95) cP(u) < cP(v)j le immagini cP(u) e cP(v) sono dunque, per 90, diverse, cioè 8. la rappresentazione cP è simile. Sia ora Ul il numero minimo (96) del sistema Vj allora ogni numero U contenuto in V è � U . . e poiché ogni u è < cP(u), per 95 Ul < cP(u)j dunque, per 90, Ul è diverso da cP(u), cioè y. l'elemento Ul di V non è contenuto in cP(u). Pertanto cP( U) è una parte propria di V e quindi, per 64, V è un sistema infinito. Infine vogliamo ancora dimostrare che �. V = cPo(Ul), dove, in conformità con 44 indichiamo con cPo( V) la catena di una parte qualsiasi V di V corrispondente !Ùla rappresentazione cP' Infatti dato che ogni catena cPo( V) è per definizione (44) parte del sistema V rappresentato in se stesso mediante cP, evidentemente �o(Ul) 3 Vj inversamente, da 45 risulta immediatamente che l'elemento Ul contenuto in V è certamente contenuto in cPo(Ul)j assumiamo ora che esistano elementi di V non contenuti in cPo(Ul): tra questi ci sarà, per 96, un numero minimo w che, per quello che si è detto sopra, è diverso dal numero minimo Ul del sistema Vj dunque, per 1 17, esiste in V un numero v immediatamente minore di w, per cui si ha subito w = cP(v)j ora, essendo v < w, segue, per la definizione di w, che v dev'essere certamente contenuto in cPo(Ul), ma allora, per 55, anche cP(v), ossia w dev'essere contenuto in cPo(Ul), e poiché questo contraddice la definizione di w, la nostra ipotesi non è ammissibilej dunque si ha V 3 cPo(Ul) e quindi V = cPo(U l), come è stato affermato. Da et , �, y, l) segue, per 7 1, che V è un sistema semplicemente infinito e ordinato da cP, c.v.d.
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123. Teorema. In base a 121 e 122, qualsiasi parte T della serie numerica N è finita o semplicemente infinita, secondo che esista o non esista in T un numero massimo.
§ 9. Definizione per induzione di una rappresentazione della serie numerica 124. Indicheremo anche in seguito i numeri con lettere latine minuscole e conserveremo generalmente tutte le notazioni dei pre cedenti §§ 6-8. il indica un sistema qualsiasi, i cui elementi non ne cessariamente sono contenuti in N. 125. Teorema. Sia 9 una rappresentazione qualunque (simile o no) del sistema il in se stesso, e sia dato inoltre un determinato elemento w di il; allora a ogni numero n corrisponde una e una sola rappresentazione ePn del sistema numerico Zn, definito in 98, che soddisfa le condizioni seguenti 27 : I. ePn(Zn) 3 il II. ePn(l) = w III. ePn(t ' ) = 9ePn(t), se t < n, dove il simbolo 9ePn ha il significto fissato in 25. Dimostrazione per induzione completa ( 80) . Infatti, p. Il teorema è vero per n = 1. In questo caso, per 102, il sistema Zn consta dell'unico numero 1 e la rappresentazione ePl è perciò completamente definita da II, e in modo tale che risulta soddisfatta I, mentre III cade completamente. G. Se il teorema è vero per un numero n, mostriamo che vale anche per il numero successivo p = n ' . Per questo scopo mostriamo anzitutto che se esiste una rappresentazione corrispondente del si stema Zp, essa è unica. Difatti, supponiamo che una rappresenta zione ePP soddisfi le condizioni l ' : ePp(Zp) 3 il II ' . ePp(l) w III ' . ePp( m ' ) 9ePp(m), se m n e quindi esiste un numero k che soddisfa la condizione 1= k + n; siccome tale numero, per 138, è diverso da 1 (altrimenti sarebbe l= n ' ) esso è, per 78, l'immagine m ' di un numero m, e quindi 1 = m ' + n, ossia, per 136, l = m + n ' , c.v.d.
§ 12. Moltiplicazione dei numen 147. Definizione. Dopo aver trovato nel precedente § 1 1 un sistema infinito di nuove rappresentazioni della serie numerica N in se stessa, per 126 possiamo utilizzare ciascuna di esse per generare ancora nuove rappresentazioni � di N. Ponendo Q = N e 9(n) = m + n = n + m, dove m è un numero fissato, si ha ancora. I. �(N) 3 N; per determinare completamente � resta da scegliere a piacere l'ele mento (ù da N. Il caso più semplice si ha quando si accorda in un
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certo modo questa scelta alla scelta di 9 ponendo w = m. Poiché la rappresentazione �, ora completamente determinata, dipende da tale numero m, designiamo l'immagine corrispondente �(n) di un nu mero qualunque n col simbolo m X n o m . n, o mn, e chiamiamo tale numero il prodotto che risulta dal numero m per moltiplicazione con il numero n, o brevemente il prodotto dei numeri m, n. TI prodotto dunque (per 126) è completamente determinato dalle condizioni II. m . 1 = m, In. mn ' = mn + m. 148. Teorema. m ' n = mn + n. Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti, p. per n in 147 e n in 135, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora m ' n + m ' = (mn + n) + m ' , da cui (per ID in 147, 141, 140, 136, 141, ID in 147) m ' n ' = mn + (n + m ' ) = mn + (m ' + n) = mn + ( m+ n ') = (mn + m) + n ' = mn ' + n ' ; quindi il teorema vale anche per il numero successivo n ' , c.v.d. 149. Teorema. 1 . n = n. Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti, p. per n in 147, il teorema è vero per n = 1. a . Se il teorema vale per un numero n, allora 1 n+ 1 = n+ 1, cioè (per ID in 147 e n in 135) 1 . n ' = n ' , quindi il teorema vale anche per il numero successivo n ' , c.v.d. 1 50. Teorema. mn = nm. Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti, p. per n in 147 e 149, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora mn + m = nm + m, cioè (per ID in 147 e 148) mn ' = n ' m, quindi il teorema vale anche per il numero successivo n ' , c.v.d. 1 5 1 . Teorema. l(m + n) = lm + ln. Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti, p. per n in 135, ID in 147 e n in 147, il teorema è vero per n = 1 . a. Se il teorema vale per un numero n, allora l(m + n) + l = (1m + In) + 1; ma per ID in 147 e ID in 135, l(m + n) + l = l(m + n) ' = l(m + n ' ), e per 141 e ID in 147, (lm + ln) + l = lm + (ln + l) = lm + ln ' , .
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SCRITTI SUI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA
pertanto l(m + n ' ) = 1m + In I , cioè il teorema vale anche per il numero successivo n I , c.v.d. . 152. Teorema. (m + n)l = ml+ nl. La dimostrazione segue da 151 e 150. 153. Teorema. (lm)n = l(mn). Dimostrazione per induzione completa (80) . Infatti, p. per II in 147, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora (lm)n + lm = l(mn) + 1m, cioè (per III in 147, 1 5 1 e III in 147) (lm)n ' = l(mn + m) = l(mn ' ), quindi il teorema vale anche per il numero successivo n I , c. v.d. 1 54. Osservazione. Se in 147 non avessimo correlato in alcun modo w e O, ma avessimo posto w = k, O(n) = m + n, ne sarebbe risultata, mediante 126, una rappresentazione � meno semplice; per il numero 1 si avrebbe � ( 1 ) = k, e per tutti gli altri numeri, essendo della forma n I , si avrebbe �(n ' ) = mn + k; infatti così risulta soddisfatta la condizione �(n ' ) = O�(n), ossia �(n ') = m + �(n), per ogni numero n, come è facile convincersi in base ai teoremi precedenti.
§ 13. Elevamento dei numen a potenza 155. Definizione. Se si pone di nuovo nel teorema 126 Q = N, e inoltre w = a, O(n) = an = na, ne risulta una rappresentazione � di N che soddisfa ancora la condzione I. �(N) 3 N. Indichiamo col simbolo an l'immagine corrispondente �(n) di un numero qualunque n e chiamiamo an una potenza della base a, mentre n è detto l'esponente di tale potenza di a. Questo concetto dunque è completamente determinato dalle condizioni: II. a1 = a III. an I = a . an = an . a. 156. Teorema. am + n = � . an o Dimostrazione per induzione completa ( 80) . Infatti, p. per II in 135, III in 155 e II in 155, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora am + n . a = (am • an)a, ma per III in 155 e III in 135, si ha am + n . a = im + n) I = am + n I , e per
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1 53 e III in 155, (am . an)a = am(an . a) = am . an I ; pertanto am + n I = am an I , cioè il teorema vale anche per il numero successivo n I , c.v.d. 157. Teorema. (amt = am n . Dimostrazione per induzione completa (80). Infatti, p. per II in 155 e II in 147, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora (amt . � = am n . am; ma per III in 155, (amt . am = (amt I , e per 156 e III in 147 am n .am = amn + m = amn ; pertanto (amt I = amn , cioè il teorema vale anche per il numero successivo n I , c. v.d. 158. Teorema. (abt = an . �. Dimostrazione per induzione completa ( 80) . Infatti, p. per II in 155, il teorema è vero per n = 1 . a . Se il teorema vale per un numero n, allora da 150, 1 5 3 e III in 155 sepue (abt . a = a(an . � = (a . a� � = an I . �, da cui ((abt . a)b = (an . �)b; ma per 153 e III in 155, ((abt . a)b = (ab) n . (ab) = (ab) n I , e similmente (an I . �)b = an I . (� . b) = an I . � / ; pertanto si ha (ab) n I = an I . bn I , cioè il teorema vale anche per il numero successivo n I , c.v.d. •
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§ 14. Il numero di elementi di un sistema finito 1 59. Teorema. Se 1:: è un sistema infinito, allora ciascuno dei sistemi numerici Zn definiti in 98 è rappresentabile con similitudine in 1:: (cioè, è simile a una parte di 1:: ) e inversamente. Dimostrazione. Se I: è un sistema infinito, allora, per 72, esiste certamente una parte T di 1:: semplicemente infinita, e quindi, per 132, simile alla serie numerica N, pertanto, per 35, ogni sistema Zn , essendo parte di N, è simile a una parte di T e quindi anche a una parte di 1:: , c.v.d. La dimostrazione del teorema inverso, per ovvio che possa appa rire, è più complessa. Se ogni sistema Zn è rappresentabile in 1:: , a ogni numero n corrisponde una rappresentazione simile Otn di Zn tale che Otn(Zn) 3 1:: . Dall'esistenza di una tale serie di rappresentazioni Otn , che consideriamo come data, ma sulla quale non facciamo altre assunzioni, anzitutto deduciamo, con l'ausilio del teorema 126, l'esi stenza di una nuova serie di rappresentazioni analoghe �n dotate
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della speciale proprietà che ogni qual volta si abbia m :S n, e quindi anche (per 100) Zm 3 Zn, la rappresentazione