Quantenmechanische Paradoxa [free web version, lecture notes ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Prof. Dieter Suter

Quantenmechanische Paradoxa

WS 98/99

1 Einleitung 1 Einleitung

1

1.1

2

Allgemeines und Organisation

1.1.1 Inhalt 1.1.2 Publikum 1.1.3 Ziele

1.2

Mögliche Inhalte

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Geschichtliches Phasen Nichtlokalität Schrödinger's Katze Der quantenmechanische Messprozess Quantencomputer

2 2 2

4 2 4 6 7 7 8

- 2 -

1.1 Allgemeines 1.1.1 Inhalt Steht noch nicht fest! Allgemein: Voraussagen der Quantenmechanik, die - nicht intuitiv erscheinen - mit unserer Anschauung im Widerspruch stehen - sich von der klassischen Physik unterscheiden - experimentell überprüfbar sind und auch schon überprüft wurden, resp. werden. Wünsche möglich: aktuelle Themen, ...; deshalb wichtig: Beteiligung der “Zuhörer”. Literatur: nur für einzelne Themen möglich, jeweils Original- oder Übersichtsartikel; zusätzlich: Standard-Lehrbücher der Quantenmechanik. Ein interessantes, wenn auch z.T. sehr spekulatives und teilweise sehr anspruchsvolles Buch ist Hans Primas: Chemistry, Quantum Mechanics and Reductionism (Springer). 1.1.2 Publikum Doktoranden, Diplomanden, Studenten; wer gehört wozu? 815 - 945 ohne Pause ?

Zeiten:

830 - 1000 ohne Pause ? 1.1.3 Ziele Die Widersprüche zwischen klassischer Physik und der Quantenmechanik sollen aufgedeckt und der Weg zu einem besseren Verständnis geebnet werden. Es soll keine reine Vorlesung werden. Möglichst auch Diskussion / Seminarstil. Vor allem sollten Unklarheiten möglichst sofort beseitigt werden. Die Teilnehmer sollen die Fähigkeit erwerben, die Literatur lesen und verstehen zu können. Da keine separaten Übungen stattfinden werden “Übungen” in die Vorlesung integriert werden. Fakultativ in der Form von Gruppenarbeiten. 1.1.4 Geschichtliches 1900

Max Planck: Schwarzkörper-Strahlung

1905

Albert Einstein: photoelektrischer Effekt

1) Einleitung

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1913

Niels Bohr: Atommodell

1924

Louis de Broglie: Wellennatur der Materie

1927

Clinton Davisson und Lester Germer: experimentelle Bestätigung

1925

Werner Heisenberg: Matrixformalismus

1926

Erwin Schrödinger: Wellengleichung

1927

Werner Heisenberg: Unschärfeprinzip

1928

Paul A.M. Dirac: Vereinheitlichung des Formalismus

Damit waren die formalen Grundlagen der Quantenmechanik gelegt. Heutige Grundvorlesungen gehen selten über diesen Stoff hinaus. Natürlich wurde der Formalismus später modifiziert und weiterentwickelt, aber im Vergleich zu den Arbeiten der 20er Jahre handelt es sich dabei lediglich um kosmetische Änderungen oder Ausarbeitungen. Die Interpretation des damit geschaffenen Formalismus hingegen begann damit erst und läuft auch heute noch weiter. Dieser Kampf um die Interpretation hat zu ernsthaften Auseinandersetzungen zwischen Physikern geführt. In den ersten Jahrzehnten fanden diese Auseinandersetzungen weitgehend auf theoretischer Ebene statt, vor allem über die Entwicklung von Gedankenexperimenten. Darunter versteht man Vorschläge für Experimente, die zunächst aber nicht realisiert werden können oder nicht realisiert werden. Während viele dieser Gedankenexperimente zunächst als nicht realisierbar konstruiert worden waren hat die Experimentiertechnik inzwischen derartige Fortschritte gemacht dass sie doch realisiert wurden. Während einig der Gedankenexperimente konstruiert worden waren um zu zeigen, dass die Quantenmechanik absurd war und noch korrigiert werden mußte zeigten die experimentellen Realisierungen jedesmal an, dass die Voraussagen der Quantenmechanik richtig sind.

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1.2 Mögliche Inhalte 1.2.1 Phasen von Zustandsfunktionen; Aharonov-Bohm Effekt Eine quantenmechanische Zustandsfunktion Ψ ist bekanntlich immer nur bis auf eine Phase φ definiert, d.h. der gleiche Zustand kann auch durch die Funktion Ψ' = Ψ eiφ beschrieben werden. Dies sieht man z.B. daraus, daß der Erwartungswert AΨ = = ∫ Ψ* A Ψ = ∫ Ψ* e-iφ A Ψ eiφ = ∫ Ψ' * A Ψ' = = A Ψ' für beide Funktionen der gleiche ist. Andererseits ist für eine Zustandsfunktion, die Eigenfunktion eines Hamiltonoperators ist, die Phase eine Art Uhr, welche die Zeitentwicklung darstellt: Ψ(t) = Ψ(0) e -iHt . Es ist also gerade die Phase, welche die Zeitentwicklung enthält. Eine Multiplikation mit einem beliebigen Phasenfaktor eiφ entspricht somit einer Verschiebung des Ursprungs der Zeit- oder Energieachse. Ein berühmter Fall in dem die Phasen eines Zustandes sich anders verhalten als man vielleicht intuitiv erwarten würde, ist das Aharonov-Bohm Effekt. Dabei wird ein Elektronenstrahl um eine Magnetfeldlinie geführt ohne selber mit dem Magnetfeld in Berührung zu kommen. Ausgehend von der klassischen Betrachtung würde man vermuten, daß das Magnetfeld keinen Einfluss auf die Bewegung des Elektronenstrahls haben kann, da sie räumlich getrennten sind. Die Quantenmechanik sagt aber, daß die Phase des Elektronenstrahls beim zweiten Strahlteiler vom magnetischen Fluss innerhalb des Parallelogramms abhängt. Diese Voraussagen konnten experimentell bestätigt werden. Man kann dies auf zwei Arten interpretieren: entweder als eine Fernwirkung des Magnetfeldes oder so dass in der Quantenmechanik nicht den elektromagnetischen Feldern E, D, H, B die wesentli→

che physikalische Bedeutung zukommt, sondern den Potentialen A und Φ. In diesem Beispiel ist das Vektorpotential nicht null und die Phasenverschiebung kann gemäß dem Stokes'schen Theorem nicht nur über das Integral des magnetischen Flusses berechnet werden, sondern auch als das Schleifenintegral des Vektorpotentials.

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1.2.2 Berry's Phase Ein verwandter Effekt ist Berry's Phase. Wie eingangs erwähnt ist die Wahl der Phase grundsätzlich beliebig. Michael Berry hat 1983 die Frage diskutiert wie die Phase eines quantenmechanischen Zustandes sich verändert wenn die Parameter des Systems adiabatisch verändert werden. Aufgrund der prinzipiell beliebig wählbaren Phase ist eine Beantwortung dieser Frage primär dann sinnvoll wenn der Zustand im Parameterraum über einen geschlossenen Weg geführt wird. Das klassische Beispiel für die Beschreibung dieses Problems ist ein Spin, also ein magnetisches Moment, welches sich in einem Magnetfeld befindet. Wenn der Spin parallel zum Magnetfeld orientiert ist befindet er sich in einem stationären Zustand. Die Phase dieses Zustandes kann Z: Spin auf Kugel, Phasenzeiger durch einen zusätzlichen Zeiger markiert werden, der am Spin befestigt ist. Bei geeigneter Wahl der Parameter ist dieser Zeiger in einem konstanten Magnetfeld zeitunabhängig. Berry betrachtete nun den Fall daß der Betrag des Magnetfeldes konstant bleibt, die Richtung jedoch langsam variiert wird. Bereits vorher war bekannt daß der Spin dann der Richtung des Magnetfeldes folgt. Die Frage war jetzt, wie die Phase sich dabei verhält. Berry konnte zeigen, daß sie bei einer infinitesimalen Bewegung parallel verschoben wird. Die Konsequenzen davon kann man an folgendem einfachen Beispiel erkennen: Wir betrachten einen Spin, der zunächst Z: Trajektorie auf der Kugel am Nordpol ist und dessen Phase in Richtung des 0-Grad Meridians nach Süden zeigt. Wir führen jetzt eine Verschiebung durch entlang dem 0-Grad Meridian, wobei die Richtung der Phase konstant gehalten wird. Wenn wir am Äquator eintreffen zeigt der Phasenzeiger immer noch nach Süden. Wir ändern jetzt die Richtung und bewegen uns entlang dem Äquator nach Osten, wobei der Phasenzeiger weiterhin nach Süden zeigt. Wenn wir die Erde zu einem viertel umrundet haben bewegen wir uns wieder nach Norden. Der Phasenzeiger zeigt dabei immer noch nach Süden. Bei der Ankunft am Nordpol zeigt er somit entlang dem 90-Grad Meridian nach Süden; gegenüber der anfänglichen Orientierung hat er sich um 90 Grad gedreht, obwohl der Transport lokal immer parallel war. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass diese Phasenänderung weder von der Stärke des Magnetfeldes abhängt, noch von der zeitlichen Abfolge mit der die Strecke durchlaufen wird. Die resultierende Phasendifferenz ist nichts anderes als ein Maß für die Krümmung der Oberfläche auf der der Spin bewegt wurde und wird als Berry-Phase bezeichnet. Dieser Effekt hat eine fast unbegrenzte Zahl von verwandten Effekten. Dazu gehört das Foucault-Pendel, aber auch die Schwimmbewegung von Amöben. Viele dieser Beispiele waren schon vor der Arbeit von Berry bekannt, so z.B. Änderungen der Polarisation in der Optik oder merkwürdige Effekte im Schwingungsspektren von Molekülen. Berry's Ansatz hat jedoch dazu geführt, dass diese Beispiele durch einen gemeinsamen Formalismus erklärt werden konnten.

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1.2.3 Nichtlokalität In den Jahren 1925 und 1926 entwickelten bekanntlich Heisenberg und Schrödinger ihre Quantenmechanik, welche 1928 von Dirac vereinheitlicht wurde. Damit waren die wichtigsten formalen Grundlagen vorhanden. Die Interpretation hingegen wurde dadurch noch keineswegs festgelegt, und auch die Gültigkeit der Grundlagen war noch nicht gesichert. Ein wesentlicher Angriff kam 1935 von Einstein. Zusammen mit Podolsky und Rosen (EPR) stellte er die Frage, ob die Quantenmechanik überhaupt eine vollständige Theorie sein könne. (A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, 'Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete ?', Phys. Rev. 47, 777 (1935).).

Ausgangspunkt der Überlegungen waren zwei Forderungen an die Theorie: Zum einen sollte sie mit der speziellen Relativitätstheorie im Einklang sein, d.h. sie sollte lokal sein. Die andere Annahme war folgende: Wenn von einem physikalischen System bekannt ist, was eine Messung einer physikalischen Größe ergeben muss, so kann diese Eigenschaft als physikalische Realität bezeichnet werden. EPR stellten nun die Forderung auf, daß eine physikalische Theorie über diese "Elemente der Realität" Aussagen machen sollte, und zwar sollte sie eine Aussage zu jedem derartigen Element machen, sonst müßte sie als unvollständig bezeichnet werden. Sie betrachteten nur zwei Teilchen, die von einem gemeinsamen Ausgangszustand auseinanderfliegen. Durch Messungen an einem dieser Teilchen kann man dazu kommen, sichere Aussagen über die Resultate von Messungen zu machen, welche ein weiterer Experimentator zum gegebenen Zeitpunkt am anderen Teilchen durchführen kann. Wenn die beiden Teilchen räumlich getrennt sind und die Messungen gleichzeitig durchgeführt werden müssen die beiden Messungen unabhängig voneinander sein wenn die Relativitätstheorie gilt. Man kann nun zeigen, dass es Kombinationen von Messungen gibt, bei denen die Quantenmechanik Voraussagen über die Resultate der Messungen macht, die zu den genannten beiden Voraussetzungen im Widerspruch stehen. Daraus schlossen EPR dass die Quantenmechanik keine vollständige Theorie sei. Als einen möglichen Ausweg nahmen sie "verborgene Variablen" an, d.h. sie schlugen vor, dass bisher noch nicht gefundene Variablen (eine Art unsichtbare Farbe) den Ausgang der Messungen bestimmen. Das Ziel der weiteren Arbeiten wäre es dann gewesen, diese Variablen zu finden und damit eine vollständige Theorie zu erhalten. Etwas später konnte Bell das Gedankenexperiment noch etwas verfeinern und gelangte zu einem Modell, welches erlaubte, quantitative Voraussagen über Messungen zu machen, unabhängig von der Art solcher "verborgenen Variablen". Er konnte zeigen, dass geeignete Kombinationen von Messungen existieren, bei denen die Quantenmechanik Voraussagen macht, welche nicht mit "lokalen realistischen Theorien" in Übereinstimmung gebracht werden konnten, unabhängig von der Art der verwendeten "verborgenen Variablen". Diese Bedingungen werden als Bell'sche Ungleichungen bezeichnet. Allerdings konnten diese Bedingungen nur durch Messungen an einzelnen Teilchen getestet werden. Zur damaligen Zeit konnte man sich solche Messungen noch nicht vorstellen. Erst in den 80er Jahren wurden solche Messungen möglich. Die Resultate dieser Messungen waren im Einklang mit der Quantenmechanik und belegten damit, dass die Natur nicht sowohl lokal als auch realistisch im Sinne von EPR sein kann. 1) Einleitung

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Inzwischen gibt es eine große Zahl von Experimenten, welche dies belegen. Man muß also davon ausgehen, daß der Formalismus der Quantenmechanik korrekt ist, dass aber die Interpretation nicht so erfolgen kann wie EPR sie sich vorgestellt hatten. Es gibt eine Reihe von Ansätzen, wie man zu einer Interpretation kommen kann, welche sowohl mit dem Formalismus der QM, wie auch mit der Relativitätstheorie im Einklang ist und gleichzeitig unsere Vorstellungen von Realität so weit als möglich beibehält. So stellte David Bohm eine Theorie auf, welche eine Art quantenmechanisches Kraftfeld enthält, welches sich im Raum schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ändern kann. Die experimentell beobachtbaren Ereignisse bleiben aber konsistent mit der Quantenmechanik und der speziellen Relativitätstheorie. Experimente dieser Art werden jetzt auch durchgeführt, bei denen scheinbar ein Elementarteilchen an einem Ort vernichtet und an einem anderen in identischer Form wieder erzeugt werden. Diese Art von Experimenten wird in Anlehnung an gewisse Science-Fiction Filme als Quanten-Teleportation bezeichnet. 1.2.4 Schrödinger's Katze Eine der bekanntesten Paradoxa der Z / F: Schrödinger's Katze Quantenmechanik ist sicher Schrödinger's Katze. In seinem Gedankenexperiment wird eine Katze mit 50%iger Wahrscheinlichkeit durch ein Giftgas getötet. Nach der Standardversion der Quantenmechanik befindet sich die Katze dann in einem Superpositionszustand zwischen "tote Katze" und "lebende Katze" bis eine Messung durchgeführt wird die zwischen den beiden Zuständen unterscheidet. Diese Interpretation ist sehr unbefriedigend, da damit überhaupt nicht klar ist, wie eine Messung aussehen muss um den Tod der Katze herbeizubringen: Kann dies durch ein einfaches Messinstrument geschehen, muss es ein Computer oder gar ein Mensch sein? Experimente dieser Art können heute durchgeführt werden, wobei man nicht Katzen verwendet, sondern atomare Systeme oder Photonen. Man kann aus diesen Quantensystemen Superpositionen zwischen makroskopisch unterscheidbaren Zuständen erzeugen und beobachten wie sie in einen der Zustände zerfallen. 1.2.5 Der quantenmechanische Messprozess Eng damit verwandt sind Fragen zum quantenmechanischen Messprozess. Die dabei auftretenden Fragen sind zwar weniger spektakulär als Schrödinger's Katze, sie haben aber direkte praktische Bedeutung. Ein Aspekt der hier diskutiert werden könnte, ist die Frage der Rückwirkung von Messungen auf das System. Bekanntlich stört ja eine Z: Messung des Ortes den Impuls eines quantenmechanischen Systems.

Beugung; Orts / Impulsunschärfe

Umgekehrt beeinflußt der Impuls den Ort des Teilchens zu einem späteren Zeitpunkt. Somit

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Z: wiederholte Messung

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kann eine Ortsmessung eines freien Teilchens nicht mit beliebiger Genauigkeit mehrfach wiederholt werden. Solche widerholte Messungen sind aber bei bestimmten quantenmechanischen Variablen möglich, z.B. beim Impuls. Für kontinuierliche Messungen mit hoher Präzision ist es deshalb wichtig, solche Variablen zu messen. Ein Beispiel dafür ist hochpräzise Interferometrie, wie sie z.B. beim Nachweis von Gravitationswellen gemacht wird. Solche Messungen werden als QND-Messungen bezeichnet, für Qauntum-NonDemolition oder auf deutsch "rückwirkungsfreie Messungen". Sowohl "QuantumDemolition" wie auch QND Messungen können verwendet werden in der Datenübertragung oder in bestimmten Präzisionsmessungen. Damit verwandt sind auch sogenannte wechselwirkungsfreie Messungen. Dies sollte nicht ganz wörtlich genommen werden. Es handelt sich dabei um Vorschläge wie die Wechselwirkung mit dem System möglichst gering gehalten werden. Dabei wird die Präzision der Messung notwendigerweise auch abnehmen. Es ist aber möglich, die Wechselwirkung stärker zu reduzieren als die Präzision. Damit wird es möglich, durch Wiederholung der Messungen die Präzision aufrechtzuerhalten aber die gesamte Wechselwirkung praktisch beliebig zu reduzieren. Auch damit verwandt sind Systeme bei denen die Unschärfe eines Zustandes bezüglich einer bestimmten Messung geringer sind als die Quantenmechanische Standard- Grenze, welche durch die Heisenberg'sche Unschärfenrelation gegeben ist. Solche Systeme werden als "gequetschte Zustände" bezeichnet, weil das Rauschen für die konjugierte Variable größer ist als die "Standard-Quantenlimite".

Z: Unschärfe-Ellipse

1.2.6 Quantencomputer Die Quantenmechanik ist bekanntlich eine linear Theorie, d.h. sie erlaubt beliebige Superpositionszustände. Daraus entstand die Idee, einen Computer zu bauen, der sehr viel schneller sein könnte als ein klassischer Computer, indem er alle möglichen Eingabewerte gleichzeitig verarbeitet: Man "füttert" ihn mit einem Superpositions- Z: Superpositionszustand zustand und führt die Rechenoperation auf diesem Superpositionszustand durch, d.h. an allen Zahlen gleichzeitig. Neben einer umfangreichen theoretischen Literatur zu diesem Thema existieren auch eine Reihe von experimentellen Implementationen, welche allerdings bisher nicht zu einem funktionsfähigen Quantencomputer geführt haben.

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Quantenmechanische Paradoxa

WS 98/99

2. Phasen 2.1

Phasen von Zustandsfunktionen

2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5.

2.2

Der Aharonov-Bohm Effekt

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.2.7. 2.2.8.

2.3

Allgemein Erwartungswert von Spinoperatoren Spinorverhalten Impuls Atominterferometer Kräfte, Felder, Potentiale Skalares Potential Interferometrischer Nachweis Vektorpotential Experimentelle Verifikation Interpretation Aharonov - Casher Effekt Varianten des AC Effekts

Der 'molekulare' Aharonov-Bohm Effekt

2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5. 2.3.6.

Der Jahn-Teller Effekt Modell Energien Pseudorotation Eindeutigkeit Diskussion

2 2 3 4 5 5

7 7 8 8 9 11 12 12 14

16 16 17 18 19 20 21

- 2 -

2.1

Phasen von Zustandsfunktionen

2.1.1. Allgemein Eine quantenmechanische Zustandsfunktion Ψ ist bekanntlich immer nur bis auf eine Phase φ definiert, d.h. der gleiche Zustand kann auch durch die Funktion Ψ' = Ψ eiφ beschrieben werden. Dies sieht man z.B. daraus, dass der Erwartungswert Ψ = = ∫ Ψ* A Ψ Ψ' = = ∫ Ψ* e-iφ A Ψ eiφ = Ψ für beide Funktionen der gleiche ist. Dies ist die wesentlichste Eichinvarianz der Quantenmechanik. Andererseits ist für eine Zustandsfunktion, die Eigenfunktion eines Hamiltonoperators ist, die Phase eine Art Uhr, welche die Zeitentwicklung darstellt. Für eine Eigenfunktion Ψ eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators H gilt bekanntlich Ψ(t) = Ψ(0) e -iHt . Es ist also gerade die Phase, welche die Zeitentwicklung enthält. Eine Multiplikation mit einem beliebigen Phasenfaktor eiφ entspricht somit einer Verschiebung des Ursprungs der Zeitachse. Während die Phase einer Zustandsfunktion keine Bedeutung hat wenn sie "isoliert" ist, wird sie von entscheidender Bedeutung wenn eine Superposition von zwei Zustandsfunktionen erzeugt wird: Ψ1 = c a Ψa + c b Ψb . Wird hier eine der beiden Basisfunktionen mit einem Phasenfaktor multipliziert, Ψ2 = c a Ψa eiφ + c b Ψb , so unterscheiden sich die Erwartungswerte von Operatoren, die in der Basis (Ψa,Ψb) nicht diagonal sind: Ψ 1 = = =|ca|2 Ψ a + |cb|2 Ψ b + c a*cb + c b*ca Ψ 2 = |ca|2 Ψ a + |cb|2 Ψ b + c a*cb e-iφ + c b*ca eiφ . Da der nichtdiagonale Teil zwei Terme enthält, die zueinander konjugiert-komplex sind, kann er auch geschrieben werden als And = 2 Re{ca*cb e-iφ } = 2) Phasen, AB Effekt

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= 2 Re{c a*cb } cosφ + 2 Im{ca*cb } sinφ Damit wird offensichtlich, dass die relative Phase der beiden Komponenten eine wesentliche Rolle spielt. Es ist auch nützlich, für diese Unterscheidung den Dichteoperator des Systems zu betrachten. Dieser ist gegeben als ρΨ = |Ψ>, |2>, … |i> ist der Dichteoperator, der zu einem Zustand Ψ = c 1 |1> + c2 |2> + … + ci |i> gehört somit der Dichteoperator  c1 2  * c c ρ =  1 2 M  *  c1 c i

c1c *2 c2 2 M c*2 c i

L c1c *i   L c 2c *i   . O  ci 2 

Hier ist offensichtlich, dass die Diagonalelemente unabhängig von der Wahl der Phasen der einzelnen Koeffizienten sind. Die Außerdiagonalelemente sind bilinear und werden damit ebenfalls nicht verändert wenn die Phase aller Koeffizienten um den gleichen Betrag verändert wird. Im Gegensatz dazu führt eine Änderung der Phase eines einzelnen Koeffizienten oder unterschiedliche Änderungen der Phasen von mehreren Koeffizienten bei allen Außerdiagonalelementen, welche diese enthalten, zu einer Änderung. Dies sind deshalb die Änderungen welche zu einem messbaren Effekt führen. 2.1.2. Erwartungswert von Spinoperatoren Als Beispiel betrachten wir den Erwartungswert der Spinoperatoren Ix,y,z für den Superpositionszustand Ψ=

1 1  e iϕ  (e iφ|α> + |β>) =   . 2 2 1 

Hier stellt somit φ die relative Phase der beiden Zustände dar. Die Erwartungswerte sind dann  1  1 1 −iϕ 1  1  e iϕ  1 −iϕ = e 1  = e 1 cosφ .    iϕ  = 2 2 1   1  4 e  2

(

2) Phasen, AB Effekt

)

(

)

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(

)

1 −iϕ 1 = e 1  2 2 i

−i   e iϕ  1 −iϕ  −i  1 e 1  iϕ  = - sinφ .   = 2  1  4  ie 

(

)

 e iϕ    e iϕ  1 −iϕ 1 −iϕ 1 1 = e 1  e 1   =0.   = 2 2 −1  1  4  −1 

(

)

(

)

Der Erwartungswert von Iz, der in dieser Basis diagonal ist, wird somit nicht beeinflußt, während die transversalen Komponenten, welche vollständig nichtdiagonal sind, maximal beeinflußt werden. 2.1.3. Spinorverhalten An dieser Stelle soll kurz das Verhalten eines Spins unter einer 2π Rotation repetiert werden. Eine Rotation um einen Winkel φ und eine Achse α wird allgemein durch den Operator Rφα = e iφIα dargestellt. Für φ = 2π und α = z erhalten wir für einen Spin I =  iπ

e R2πz = e i2πIz =  

1 2

 1  = -1  .   1 e −iπ 

Offenbar kehrt also der Spin unter einer 2π Rotation zwar wie erwartet in den Ausgangszustand zurück, allerdings nur modulo eines Phasenfaktors -1. Dies wird als Spinorverhalten bezeichnet. Wie oben betont sind solche Phasenänderungen an isolierten Zuständen nicht messbar. Es gibt jedoch die Möglichkeit, sie interferometrisch zu Z: Interferometer messen. Auf diese Weise wurde dieses Spinorverhalten erstmals experimentell in einem Neutronen-Interferometer gemessen (H. Rauch, A. Zeilinger, G. Badurek, A. Wilfing, W. Bauspiess, and U. Bonse, 'Verification of coherent spinor rotation of fermions', Phys.Lett. 54a, 425-427 (1975).).

Auch die magnetische Resonanz bietet eine Reihe von Möglichkeiten für die Messung von solchen Phasenfaktoren, auf die später noch eingegangen wird. Arbeiten, in denen dieses Verhalten untersucht wurde, umfassen M.E. Stoll, E.K. Wolff, and M. Mehring, 'Demonstration of 4π and 2π rotational symmetry in a spin-1 system (deuterons)', Phys. Rev. A 17, 1561-1567 (1978). E.K. Wolff and M. Mehring, 'Spinor behaviour of a double quantum transition in three level systems', Phys. Lett. 70a, 125-126 (1979). M. Mehring, E.K. Wolff, and M.E. Stoll, 'Exploration of the eight-dimensional spin space of a spin-1 particle by NMR', J.Magn.Reson. 37, 475-495 (1980); 2) Phasen, AB Effekt

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- 5 M. Mehring, P. Hoefer, and A. Grupp, 'Bloch-Siegert shift, Rabi oscillation, and spinor behaviour in pulsed electron-nuclear double resonance experiments', Phys. Rev. A 33, 3523-3526 (1986). D. Suter, A. Pines, and M. Mehring, 'Indirect phase detection of NMR spinor transitions', Phys. Rev. Lett. 57, 242-244 (1986). H.J. Bernstein, 'Spin precession during interferometry of fermions and the phase factor associated with rotations through 2π radians', Phys. Rev. Lett. 18, 1102-1103 (1967); Y. Aharonov and L. Susskind, 'Obersvability of sign change of spinors under 2π rotations', Phys. Rev. 158, 1237-1238 (1967).).

2.1.4. Impuls Bekanntlich ist die Zustandsfunktion eines freien Teilchens abhängig von seinem Impuls. In einer Dimension gilt für eine ebene Welle Ψ(x) = Ψ0 eikx , wobei der Impuls p=hk beträgt. Im allgemeinen verändert eine Phasentransformation Ψ' (x) = Ψ0(x) e iφ den physikalischen Zustand nicht. Ist die Transformation aber ortsabhängig Ψ' ' (x) = Ψ0(x) e iφ(x) , so ist der Impuls jetzt offenbar um h δk = -i h dφ /dx verändert. Dies ist natürlich eine direkte Konsequenz davon dass der Impuls im Ortsraum nicht diagonal ist. 2.1.5. Atominterferometer Bekanntlich haben auch schwere Teilchen wie z.B. Atome Welleneigenschaften. Atome können deshalb in Experimenten eingesetzt werden, in denen Beugung und Interferenz beobachtet werden. Dazu gehören Experimente an Interferometern, in diesem Fall also Atominterferometern. Die wichtigsten Bestandteile eines solchen Ge- Z: Atominterferometer rätes sind Strahlteiler und Spiegel. Diese können entweder mit materiellen Mitteln realisiert werden, oder mit optischen Instrumenten, d.h. mit Laserstrahlen. D. Keith, C.R. Ekstrom, Q.A. Turchette, and D.E. Pritchard, 'An interferometer for atoms', Phys. Rev. Lett. 66, 2693-2696 (1991). 2) Phasen, AB Effekt

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- 6 C.J. Bordé, 'Atomic interferometry with internal state labelling', Phys. Lett. A 140, 10-12 (1989). C.S. Adams, M. Sigel, and J. Mlynek, 'Atom optics', Phys. Rep. 240, 143-210 (1994).

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2.2

Der Aharonov-Bohm Effekt

2.2.1. Kräfte, Felder, Potentiale Der Ausdruck Aharonov - Bohm Effekt bezieht sich auf eine Arbeit von Aharonov und Bohm aus dem Jahr 1959 (Y. Aharonov and D. Bohm, 'Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory', Phys. Rev. 115, 485 (1959)). Der Effekt wurde eigentlich schon 11 Jahre vorher gefunden (W. Ehrenberg and R.E. Siday, 'The refractive index in

F: PR(L) Arbeiten

electron optics and the principle of dynamics', Proc. Roy. Soc. London B62, 8-21 (1949). ), aller-

dings blieb diese Arbeit offenbar lange unbeachtet. Ausgangspunkt war die Frage nach der Bedeutung von elektromagnetischen Feldern, resp. Potentialen. In der klassischen Mechanik wurden ursprünglich die Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Kräften, resp. Feldern aufgestellt. So werden die Newton'schen Bewegungsgleichungen für die Schwerkraft z.B. geschrieben als m d 2/dz2 = - FG = - m g . Die Felder (z.B. E, H, B, Gravitationsfeld) wurden als Verallgemeinerung der Kräfte eingeführt. →

Als nächste Stufe im Abstraktionsprozess wurden Potentiale φ und A eingeführt. Sie stellten primär ein nützliches Hilfsmittel für die Berechnung der Kräfte, resp. Felder dar: →

→

E=-∇φ

→

→

→

B=∇×A

Bei der kanonischen Beschreibung der Quantenmechanik verwendet man aber die Potentiale. H=

→ 1 → [p - q A]2 + q Φ . 2m

Allerdings ändert sich die Bewegung nicht wenn geeignete Eichtransformationen der Potentiale durchgeführt werden. Damit ist auch hier die Bedeutung der Potentiale nicht automatisch klar wird. Ehrenberg und Siday, resp. Aharonov und Bohm haben deshalb eine Reihe von Gedankenexperimenten diskutiert, um diese Frage zu verdeutlichen. Einige dieser Gedankenexperimente wurden später auch im Labor durchgeführt. Damit konnte gezeigt werden, dass die Potentiale tatsächlich eine physikalische Bedeutung haben, d.h. dass sie zu beobachtbaren Konsequenzen führen können, auch wenn die Felder verschwinden.

2) Phasen, AB Effekt

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2.2.2. Skalares Potential Wir betrachten zunächst ein geladenes Teilchen mit La- Z: Faraday-Käfig dung q, das sich im Innern eines Faraday-Käfigs befindet, an dem ein Spannungsgenerator angeschlossen ist. Der Käfig wird dadurch auf ein →

Potential Φ(t) gebracht, im Innern verschwindet jedoch das Feld E. In der üblichen Formulierung der Quantenmechanik enthält der Hamiltonoperator H = H 0 + V(t) einen Term V(t) = q Φ(t) . Damit entwickelt sich die Zustandsfunktion des Teilchens nach Ψ(t) = Ψ0(t) e-iS

mit

S = ∫ V(t) dt

und Ψ0(t) als Lösung des Hamiltonoperators H 0. Dass dies eine Lösung ist kann leicht durch Einsetzen in die Schrödingergleichung überprüft werden: dΨ(t)/dt = e-iS dΨ0(t)/dt - i Ψ(t) V(t) = - i H 0 Ψ(t) - i V(t) Ψ(t) . Offenbar verändert also das Potential die Phase des Zustandes. Experimentell könnte man dies realisieren indem man das Teilchen durch einen Faraday-Käfig fliegen lässt und an diesen, während das Teilchen sich darin befindet, einen Spannungspuls anlegt. Da das Feld im Inneren verschwindet wirkt keine klassische Kraft auf das Teilchen. Die Schrödingergleichung sagt aber voraus, dass sich der Zustand des Systems anders entwickelt als ohne Spannungspuls. 2.2.3. Interferometrischer Nachweis Für einen isolierten Zustand hat dies keine Bedeutung in dem Sinn, dass die experimentell beobachtbaren Größen sich nicht ändern würden. Es gibt aber durchaus die Möglichkeit, ein Experiment zu konstruieren, in dem die Phasenänderung durch eine Variation des Potentials zu einem experimentell beobachtbaren Resultat führen würde. Dazu werden Elektronen oder andere geladene Teilchen Z: Interferometer als Strahl auf einen Strahlteiler geschickt, welcher zwei Teilstrahlen erzeugt, die eine feste Phasenbeziehung haben. Der Strahl wird gepulst, d.h. es ist jeweils nur ein Wellenpaket unterwegs, dessen räumliche Ausdehnung klein ist im Vergleich zur Länge des Faraday-Käfigs. Das Potential am Faraday-Käfig ist für die beiden Teilstrahlen unabhängig einstellbar und wird nur eingeschaltet wenn sich die Elektronen im Innern des Käfigs befinden, so dass sie zu keiner Zeit ein Feld spüren.

2) Phasen, AB Effekt

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Hinter den beiden Käfigen werden die beiden Teilstrahlen Ψ1 und Ψ2 wieder zusammengeführt und zur Interferenz gebracht. Die Zustandsfunktion der Überlagerung ist dann gegeben als mit Si = ∫ Vi(t) dt .

Ψ = Ψ10 e-iS1 /h + Ψ20 e-iS2 /h

Die Indizes 1 und 2 beziehen sich auf die beiden unterschiedlichen Wege. Offensichtlich enthält die resultierende Aufenthaltswahrscheinlichkeit |Ψ|2 einen Term Ψ10 Ψ20* e -i(S1 -S2 )/h, der von der Phasendifferenz der beiden Teilstrahlen und damit von der Differenz der zeitlich gemittelten Potentiale abhängt. Man findet somit einen physikalischen Effekt obwohl kein Elektron je einem elektrischen Feld ausgesetzt war. Dies ist ein erster Hinweis darauf, dass das Potential eine wirkliche physikalische Bedeutung hat. Der Ausdruck S1-S2 kann auch als Schleifenintegral S1-S2/h = q

∫ V (t) dt

geschrieben werden, wobei der Pfad beide Teilstrahlen umfaßt und das Potential jeweils am Ort des Wellenpakets genommen wird. Offenbar ist es dieses Schleifenintegral, welches die Änderung der beobachtbaren Größe ausmacht. 2.2.4. Vektorpotential Damit dieses Resultat relativistisch invariant ist muß ein entsprechender Ausdruck auch für das Vektorpotential existieren. Bekanntlich gilt für die LorentzTransformation der Potentiale zwischen zwei Bezugssystemen, die sich mit der relativen Geschwindigkeit u in x-Richtung gegeneinander bewegen A1x = γ[A2x + u(Φ2/c2)]

A1y = A 2y

A1z = A 2z

φ 1/c2 = γ[(Φ2/c2) + u/c2 A2x] Der verallgemeinerte Ausdruck muß lauten q

→

→

∫ (V(t) dt - A . dx) ,

(SI-Einheiten)

wobei der Pfad einen beliebigen geschlossenen Weg in Raum und Zeit umfassen kann. Wir betrachten als einen weiteren Spezialfall einen geschlossenen Pfad bei fester Zeit t. Die Phasenverschiebung der Zustandsfunktion sollte dann ∆S/h = -q

∫

→

Z: geschlossener Pfad

→

A . dx

betragen. Dabei gilt bekanntlich 2) Phasen, AB Effekt

12. November 1998

- 10 →

→

→

→

→

→

→

∫ A . ds = ∫∫ ∇×A . dn = ∫∫ B . dn = Φ , d.h. das Schleifenintegral entspricht gerade dem eingeschlossenen magnetischen Fluß. Dies entspricht einer experimentellen Situation, die häufig als Aharonov-Bohm Experiment bezeichnet wird. Ein geladenes Teilchen, z.B. ein Elektron fliegt an einem Gebiet vorbei, das ein magnetisches Feld enthält. Das Gebiet des Elektronenstrahls selber ist jedoch feldfrei. Klassisch erwartet man somit, dass das Magnetfeld keinen Einfluß auf die Bewegung des Elektronenstrahls hat. Der Hamiltonoperator für den Elektronenstrahl (ohne Spin) hat hierbei die Form 2 2 1 1 H= p − qA = p + eA . 2m 2m

[

]

[

]

→

→

In Regionen wo das Magnetfeld verschwindet (∇×A = 0) wirkt keine klassische Kraft auf die Elektronen, so dass ihre Bahn durch die Gegenwart des Vektorpotentials nicht beeinflusst wird. Sein Effekt beschränkt sich dann auf einen Phasenfaktor, den wir als Ψ = Ψ0 e-iS/h →

schreiben können, wobei Ψ0 die Lösung für A = 0 darstellt. Ableiten ergibt →

→

∇S = e A . Eine solche Zustandsfunktion ist im allgemeinen natürlich nicht einwertig; sie kann somit keine gültige Lösung für den gesamten Bereich darstellen. Allerdings können wir die Lösung auf beide Teilstrahlen einzeln anwenden und sehen dann, daß Ψ1 = Ψ10 e-iS1 /h

→

→

mit Si = e ∫ A. dx .

Ψ2 = Ψ20 e-iS2 /h

Das Integral erfolgt entlang dem Pfad der beiden Teilstrahlen. Damit erwarten wir in der Region in der sich die beiden Strahlen überlagern ein Interferenzmuster, welches von der Phasendifferenz S1 - S 2 = e

→

→

∫ A. dx = e Φ0

abhängt. Φ0 stellt hier den magnetischen Fluss dar, der von den beiden Teilstrahlen eingeschlossen wird.

2) Phasen, AB Effekt

12. November 1998

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2.2.5. Experimentelle Verifikation Eine experimentelle Bestätigung dieses Effekts wurde durch Chambers 1960 publiziert (R.G. Chambers, 'Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux', Phys. Rev. Lett. 5, 3-5 (1960).). Er modifizierte dafür ein Elektronenmikroskop. Ein Elektronenstrahl wurde durch ein Z: Experimenteller Aufbau elektrostatisches Biprisma in zwei Teilstrahlen aufgetrennt und auf einem Schirm zur Interferenz gebracht. Der magnetische Fluß wurde im Schattenbereich des Biprismas durch eine dünne Eisennadel erzeugt. Diese enthält ca. 400 Flußquanten, welche im Eisen lokalisiert sind, so dass das Feld außerhalb klein blieb. Ein kritischer Punkt bei diesem Experiment ist der Test Z: Rückkehrfeld ob der beobachtete Effekt aufgrund einer Wechselwirkung der Elektronen mit dem Magnetfeld zustande kommt oder über das Vektorpotential des eingeschlossenen Flusses. Da die Flußlinien geschlossen sein müssen ist das Feld in der Region des Elektronenstrahls nicht Null. Eine direkte Wechselwirkung mit dem Magnetfeld hat aber andere Konsequenzen. Die Lorentzkraft im Magnetfeld führt wie im klas- Z: gebogene Bahnen sischen Fall zu einer Krümmung der Bahn der Elektronen. Der Punkt, an dem der Elektronenstrahl auf dem Schirm auftrifft ändert sich dadurch. Außerdem wird die Bahn der Elektronen dadurch länger, so dass sie mit einer anderen Phase auf dem Schirm auftreffen. Eine detailliertere Rechnung (F.G. Werner Z: Muster mit Einhüllender and D.R. Brill, 'Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory in the interpretation of electron interferometer fringe observations', Phys. Rev. Lett. 4, 344-347 (1960).), wie auch entsprechende Experimente, zeigen, dass dies dazu führt, dass das Interferenzmuster verschoben wird, das Muster bezüglich der Einhüllenden aber dasselbe bleibt. Chambers hat deshalb zunächst F: Chambers Exp. den Effekt eines Magnetfeldes untersucht und tatsächlich diese Verschiebung gefunden.

mit Magnetfeld

Im Gegensatz dazu erzeugt die AB-Phase F: Chambers AB Resultate eine Verschiebung des Interferenzmusters gegenüber der Einhüllenden, da der klassische Weg der Elektronen nicht beeinflusst wird. Die Stärke des Flusses variiert über die Länge der Nadel, so dass die Verschiebung des Interferenzmusters an verschiedenen Stellen auf dem Schirm unterschiedlich ausfällt. Die Streifen erscheinen deshalb schräg. Da der Fluß in der Eisennadel nicht quantitativ gemessen werden konnte war allerdings nur ein qualitativer Test möglich. Weitere Experimente: S. Wahsburn, H. Schmid, D. Kern, and R.A. Webb, 'Normal-metal Aharonov-Bohm effect in the presence of a transverse electric field', Phys. Rev. Lett. 59, 1791-1794 (1987).

2) Phasen, AB Effekt

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2.2.6. Interpretation Zunächst handelt es sich beim AB-Effekt lediglich um ein Interferenzphänomen. Allerdings hatten wir bei der Diskussion des Neutro- Z: Interferometer neninterferometers gesehen, daß die Interferenz zwischen den beiden Teilstrahlen dazu führen kann, dass die Intensität der beiden Strahlen am Ausgang zu-, resp. abnimmt. Somit werden auch klassisch leicht messbare Größen vom AB-Effekt beeinflusst.

Z: Intensität (Φ)

Dass das Potential einen Effekt auf die Teilchen besitzt ist unter anderem deshalb unerwartet, weil es durch eine Eichtransformation in ein anderes Potential überführt werden kann. Allerdings ist die physikalisch bedeutsamen Größen nicht das Potential selber, sondern ein Schleifenintegral über das Potential. Dieses ist aber im Gegensatz zum Potential selber eichinvariant. Somit bleibt auch die Messgröße selber eichinvariant. Allerdings ist bei dieser Sichtweise eine Wirkung des magnetischen Flusses (der eichinvarianten Größe) vorhanden obwohl die geladenen Teilchen dieses Feld nie gespürt haben. In dieser Sichtweise ist die Wirkung des Feldes somit nichtlokal. Prinzipiell ist es natürlich auch möglich, Z: getrennte Phasenmessung die Phase der beiden Teilstrahlen separat zu messen. Dabei müssen jedoch zwei getrennte Referenzen verwendet werden. Ein echter Vergleich der beiden Phasenmessungen ist erst möglich wenn auch die beiden Referenzen verglichen werden. Damit erhält man wieder eine geschlossene Kurve. Die Invarianz unter Eichtransformationen des Vektorpotentials bleibt erhalten, da bei jeder Transformation auch die Zustände angepasst werden müssen (W.E. Lamb, R.R. Schlicher, and M.O. Scully, 'Matter-field interaction in atomic physics and quantum optics', Phys. Rev. A 36, 2763-2772 (1987).).

Die entscheidende Bedeutung des Schleifenintegrals ist hier übrigens ähnlich wie beim Zwillingsparadox, wo der Altersunterschied durch das Schleifenintegral ∆t = o∫ ds/c gegeben ist ( R. Chiao, 'Berry's phase in optics; Aharonov-Bohm-like effects and gauge structures in surprising contexts', preprint , 1 (1988).). 2.2.7. Aharonov - Casher Effekt In vielen physikalischen Systemen besteht eine Symmetrie zwischen elektrischen und magnetischen Effekten. Dies gilt auch für den Aharonov-Bohm Effekt. Bisher hatten wir den Fall diskutiert wo Z: Ruhesystem Magnetfeld ein elektrischer Monopol eine Region mit einem Magnetfeld umkreist. Wenn wir uns auf ein zweidimensionales System beschränken entspricht dies der Bewegung eines elektrischen Monopols um einen magnetischen Dipol. 2) Phasen, AB Effekt

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Wenn wir den gleichen Z. Ruhesystem elektrischer Monopol Vorgang im Ruhesystem des elektrischen Monopols betrachten so finden wir, dass ein magnetischer Dipol sich um eine elektrische Ladung bewegt. In drei Dimensionen würde dies der Umkreisung eines elektrisch geladenen Drahts entsprechen. Wiederum würde man klassisch keine Wechselwirkung zwischen dem magnetischen Dipol und dem elektrisch geladenen Draht erwarten. Allerdings sieht dies etwas anders aus wenn wir die Bewegung mit berücksichtigen. →

Wir diskutieren zunächst den Fall, dass der Dipol µ mit sich mit der Geschwindig→

keit v um die linienförmige Ladungsverteilung bewegt. Aufgrund der Bewegung des Teilchens besitzt das Z: Bewegung, Felder elektromagnetische Feld der Linienladung im Ruhesystem des Teilchens eine magnetische Komponente. Allgemein gilt für die Transformation der Felder mit →

→

β = v/c, →

→

γ=

1 1 −β

→ →

2

.

→ →→

E' = γ(E + c β× B) - γ2/(γ+1) β(β. E) . →

→ → → → →→ B' = γ(B - 1/c β× E) - γ2/(γ+1) β(β. B) .

Wir beschränken uns auf den Grenzfall niedriger Geschwindigkeiten (β + |β> . 2 Dies entspricht einem Dipol, der gerade parallel zum E-Feld orientiert ist. Da der Zustand |α> einem Dipol in z-Richtung entspricht führt eine Bewegung in y-Richtung zu einer AC-Phase → → 1 φ α AC = ∫a,b µ×E . ds = µ E l , 2

wobei µ die Kopplungskonstante des magnetischen Dipols beschreibt, E die elektrische Feldstärke (welche als homogen angenommen wird) und l die Länge der Strecke 1 a-b. Der Faktor steht für den Spin, skaliert also die Stärke der Wechselwirkung. 2 Für den Zustand |β> erhält man die inverse Phase, so dass der Zustand nach der Strecke l die Form α α 1 Ψ(l) = |α> eiφ AC + |β> e-iφ AC 2 erhält. Dieser Zustand ist gegenüber dem Ausgangszustand um den Winkel 2φ α AC in Ausbreitungsrichtung gedreht. Diese Präzession ist eine Möglichkeit, den AC-Effekt F: Exp. Resultate experimentell zu untersuchen. Es muß dabei allerdings beachtet werden, dass das elektrische Feld auch über den Stark-Effekt zu einer Verschiebung der Energieniveaus führt und damit zu einer Präzessionsbewegung des Spins. Die beiden Effekte können aber aufgrund ihrer unterschiedlichen Abhängigkeit von der Stärke des E-Feldes separiert werden: Der Stark-Effekt variiert quadratisch mit dem E-Feld; eine Inversion ändert somit daran nichts. Der AC-Effekt dagegen ist linear und ändert damit sein Vorzeichen. Wird die Differenz der Phasenverschiebung zwischen Experimenten mit umgekehrtem Vorzeichen des E-Feldes gemessen wird somit die Abhängigkeit vom Stark-Effekt eliminiert. Anstelle dieses einfachen Spin-Rotationsexperimentes ist es auch möglich, Atominterferometer zu bauen, in denen die Phase interferometrisch bestimmt wird. (K. Zeiske, G. Zinner, F. Riehle, and J. Helmcke, 'Aharonov-Casher-Phase im Atominterferomter gemessen', Phys. Bl. 51, 1188-1189 (1995); Zeiske et al, Appl. Phys. B, 60, 205 (1995).).

2) Phasen, AB Effekt

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2.3

Der 'molekulare' Aharonov-Bohm Effekt

2.3.1. Der Jahn-Teller Effekt Ähnliche Effekte wie der Aharonov-Bohm Effekt treten auch in Molekülen auf; man spricht dann vom "molekularen Aharonov-Bohm Effekt". Voraussetzung ist, dass die Moleküle eine Jahn-Teller Verzerrung zeigen. Jahn und Teller zeigten 1937, dass Mole- Z: entartete Grundzustände küle mit mehr als 2 Atomen keinen entarteten Grundzustand haben können. Ist der Grundzustand aus Symmetriegründen entartet, so erreicht das Molekül einen nicht entarteten Grundzustand indem es sich verzerrt und einen Zustand mit geringerer Symmetrie annimmt. Als Beispiel betrachten wir ein Molekül aus drei identi- Z: C3-Symmetrie schen Atomen (z.B. H3, Na3). Die Gruppentheorie sagt, dass in diesem Fall das niedrigste Einelektronen Orbital A-Symmetrie aufweist und damit nicht entartet ist, während das zweite und dritte E-Symmetrie aufweisen und damit entartet sind. Wenn jedes dieser drei Atome ein Valenzelektron besitzt, müssen Z: Orbitale insgesamt drei Spinorbitale besetzt werden. Falls die ElektronElektron Wechselwirkung klein ist werden somit zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin das niedrigste Orbital besetzten, während das dritte in eines der beiden höher liegende Orbital gehen kann, wobei die beiden Möglichkeiten energetisch äquivalent sind. Offensichtlich kann die Energie für das dritte Elektron er- Z: Aufspaltung niedrigt werden wenn eine Wechselwirkung die beiden EZustände koppelt. Wie aus der Störungstheorie bekannt führt dies in erster Ordnung dazu dass ein Orbital erniedrigt, das andere angehoben wird. Da nur eines von beiden besetzt wird führt dies zu einer Absenkung der Gesamtenergie. Aus der Gruppentheorie ist klar, dass eine Wechselwirkung mit C3 Symmetrie die beiden E-Zustände nicht koppelt. Somit muss das Molekül eine Geometrie niedrigerer Symmetrie einnehmen um diese Aufspaltung zu bewirken. Das gleiche gilt natürlich auch für Moleküle in einem sehr allgemeinen Sinn, also z.B. auch für die Struktur von Festkörpern, oder für Streuexperimente wie z.B. die Reaktion H + H2 → H2 + H. Als ein Beispiel für ein solches Molekül betrachten wir das Z: Na 3 Molekül Na3 Molekül. Die drei Na-Atome definieren eine Ebene. Der symmetrische Zustand mit drei identischen Bindungslängen ist gemäß Jahn-Teller Theorem nicht stabil. Eine Abweichung von Z: Strukturvariation / Energievariation dieser Struktur in beliebiger Richtung führt zu einer Aufspaltung der Energien der Grundzustände. Bei einem stabilen Molekül muß die Energie als Funktion der Verzerrung ein Minimum besitzen. Aufgrund der Symmetrie des Moleküls ist außerdem klar, dass eine Konfigurati2) Phasen, AB Effekt

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on mit identischer Energie auch dann erreicht wird, wenn das Molekül um 120 Grad gedreht ist. Ein Schnitt durch die Energiefläche zeigt demnach, dass die Energie eines Zustandes in etwa einer Parabel entspricht, wobei das Minimum vom Nullpunkt weg verschoben wurde. Im Ursprung schneiden sich die beiden Energieflächen in einem sogenannten "diabolischen" Punkt oder einer konischen Schnitt. Der energetisch günstigste Punkt liegt nicht beim Punkt mit der höchsten Symmetrie. Dadurch gibt es nicht nur einen Punkt niedrigster Energie, sondern drei (aufgrund der C3 Symmetrie) 2.3.2. Modell Ohne auf Details einzugehen kann man ein relativ einfaches Modell dieses molekularen Systems machen. C.A. Mead and D.G. Truhlar, 'On the determination of Born-Oppenheimer nuclear motion wave functions including complications due to canonical intersections and identical nuclei', J. Chem. Phys. 70, 2284-2296 (1979).

Um das System in der Nähe des entarteten Punktes zu beschreiben betrachten wir zunächst einen Hamiltonoperator für ein System ohne Jahn-Teller Verzerrung. In der Born-Oppenheimer Näherung können wir für die Bewegung der Kerne den Hamiltonoperator 1 HN = (p x2 + py2) + M/2 ω 2 (x 2 + y2) 2M schreiben. Hier sind x und y reduzierte Ortsvariablen, welche die Kernpositionen beschreiben, wobei der Ursprung des Koordinatensystems bei der symmetrischen Konfiguration liegt. Da wir ein planares Molekül diskutieren genügen zwei Variablen für die Beschreibung des Systems. px und p y sind die entsprechenden Impulse und M die reduzierte Masse der Kerne. Das System stellt offenbar einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator dar, was für jedes System mit zwei Freiheitsgraden in der Nähe des Minimums eine korrekte Beschreibung ist. Bei den beiden Koordinaten x, y handelt es sich nicht um F: Pseudorotation Koordinaten eines einzelnen Kerns oder um Schwerpunktskoordinaten des Moleküls, sondern um effektive oder verallgemeinerte Koordinaten. Die Jahn-Teller Verzerrung wird erzeugt durch einen Operator, welcher die Freitheitsgrade der Kerne und der Elektronen koppelt. Wir betrachten hier nur die beiden elektronischen Zustände mit E Symmetrie, welche ohne Jahn-Teller Verzerrung entartet sind. Da die Details dieser Zustandsfunktionen hier nicht interessieren

2) Phasen, AB Effekt

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können wir sie hier als ein generisches Zweiniveausystem behandeln. Solche Systeme werden allgemein mit Hilfe von Pauli-Matrizen σx, σy, σz beschrieben. Da die Kopplung, welche die Jahn-Teller Verzerrung erzeugt, im Zentrum des Koordinatensystems aus Symmetriegründen verschwindet können wir sie in der unmittelbaren Umgebung linearisieren. Im einfachsten Fall erhält der Kopplungsoperator dann die Form H e(x, y) = κ (x σx + y σy) , wobei κ die Stärke der Kopplung parametrisiert. Der gesamte Hamiltonoperator ist damit H = H N + H e(x, y) . 2.3.3. Energien Wir verwenden zur Lösung die Born-Oppenheimer Näherung, d.h. wir vernachlässigen die kinetische Energie der Kerne. Der Hamiltonoperator wird dann H = M/2 ω 2 (x 2 + y2) + κ (x σx + y σy) . Dieser Ausdruck ist offenbar schon diagonal in den Kernpositionen. Da wir die elektronischen Freiheitsgrade lediglich als ein generisches Zweiniveausystem behandelt haben ist es außerdem relativ leicht, für jede Kernposition die elektronischen Eigenfunktionen zu bestimmen. Der formale Hamiltonoperator entspricht einem Spin 1/2, der an Magnetfelder der Stärke κx/2γ, resp. κy/2γ gekoppelt ist (γ = gyromagnetisches Verhältnis). Dies entspricht einem effektiven Feld der Stärke κq/2γ

mit

→

q = (x, y) ,

→

q = |q| =

x2 + y 2

in der xy Ebene. Die Eigenzustände sind demnach die beiden Spinzustände parallel, resp. antiparallel zum effektiven Feld.  e −iϕ /2  ξ±(φ ) =  iϕ /2  ,  ±e 

φ = tan-1(y/x) .

Wie leicht durch Diagonalisieren des Hamiltonoperators nachgeprüft werden kann sind die entsprechenden Energien

2) Phasen, AB Effekt

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E± = ±κq/2 + M/2 ω 2 q 2 . Da die Energie der beiden Zustände linear mit dem Abstand vom Ursprung wächst wird dieser Schnitt zwischen den beiden Energieflächen als konischer Schnitt bezeichnet. Genau genommen handelt es sich aber nur um eine (rotationssymmetrische) Fläche, welche sich mit sich selber schneidet. Während wir in diesem Fall davon ausgehen, dass ei- Z: Herzberg Fig. 2 ne Fläche sich mit sich selber schneidet sind auch Fälle möglich wo zwei unterschiedliche Flächen sich schneiden (G. Herzberg and H.C. LonguetHiggins, 'Intersection of potential energy surfaces in polyatomic molecules', Discuss. Faraday Soc. 35, 77 (1963).). Dieses Beispiel stammt vom HNO Molekül.

2.3.4. Pseudorotation Wir betrachten nun eine Bewegung des Moleküls, welche im Parameterraum einer Rotation um die Entartung entspricht. Diese Bewegung wird als Pseudorotation bezeichnet, da F: Pseudorotation sie einerseits einer Rotation im Koordinatensystem entspricht, das Molekül aber nicht wirklich rotiert, d.h. sein Drehimpuls verschwindet. Wir führen zusätzlich zu den bereits verwendeten Z: Koordinatensystem Koordinaten x und y eine z-Koordinate ein. Diese hat keine physikalische Bedeutung, sondern wird uns als mathematisches Hilfsmittel dienen. Wir bezeichnen die Eigenzustände an einer Stelle (x, y) des Parameterraums als α(x, y) und β(x, y). Aufgrund der Symmetrie des Problems ist es offensichtlich, dass eine Rotation um die z-Achse daraus neue Eigenzustände erzeugen muß. Der Hamiltonoperator wird durch den Operator Uz = e iφσz/2 um die z-Achse gedreht. Die Zustände werden demnach mit dem gleichen Operator gedreht und wir erhalten die gedrehten Eigenzustände α(x', y') und β(x', y') aus den ursprünglichen Zuständen durch Multiplikation mit einem Phasenfaktor α(x', y') = e iφ/2 α(x, y) und β(x', y') = e -iφ/2 β(x, y) . Eine beliebige Zustandsfunktion, die um die z-Achse rotiert wird, hat somit in der Basis der Eigenzustände von σz die oben diskutierte Form

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 e −iϕ /2  ξ±(φ ) =  iϕ /2   ±e 

.

Man kann jetzt die Frage stellen, was passiert wenn die Kernkoordinaten zeitabhängig sind (z.B. bei einer Molekülschwingung), so dass das Molekül sich einmal um den Koordinatenursprung dreht. Die Born-Oppenheimer Näherung geht davon aus, dass in einem solchen Fall der elektronische Zustand sich adiabatisch den geänderten Kernkoordinaten anpaßt. Eine direkte Auswertung der quantenmechanischen Bewegungsgleichungen mit der Normierung E = 0 erfordert dass die Änderung des Zustandes der Bedingung = 0 gehorcht, wobei die Änderung dΨ entlang des Pfades erfolgen soll, der durch die adiabatische Änderung der Eigenzustände erzwungen wird. Dies bedeutet dass die Änderung der Zustandsfunktion aufgrund der Bewegung senkrecht zur aktuellen Zustandsfunktion steht. Wir können leicht überprüfen, ob die obige Zustandsfunktion diese Bedingung erfüllt:  −i /2 e −iϕ /2  dΨ/dφ =   .  i/ 2 e iϕ / 2  Offenbar ist  e −iϕ /2   −i / 2 e −iϕ /2  <  iϕ /2  |   > = -i/2 + i/2 = 0 ,  e   i/ 2 e iϕ/ 2  d.h. die verwendete Basis ist geeignet für die Beschreibung des adiabatischen Transports. 2.3.5. Eindeutigkeit Wertet man dieses Resultate für eine vollständige Drehung aus (φ = 2π), so findet man aber, dass die Zustandsfunktion nicht wieder den Anfangswert einnimmt, da für einen Drehwinkel von φ = 2π der Zustand noch mit eiπ = -1 multipliziert wird. Offenbar ist die Funktion somit zweiwertig, was für die Lösung eines quantemechanischen Problems natürlich nicht zulässig ist. Allerdings haben wir an dieser Stelle nur den elektronischen Teil der Zustandsfunktion diskutiert. Die Bedingung an die Einwertigkeit kann trotzdem erfüllt werden wenn der Kernanteil ebenfalls das Vorzeichen ändert. Dies bedeutet aber letztlich dass die Born-Oppenheimer Näherung nicht mehr gültig ist, da ja die Kerne von der Entartung der elektronischen Zustände nicht betroffen sein sollten. Prinzipiell ist es möglich, eine andere Wahl für die Basiszustände zu treffen, so dass die Basiszustände einwertig werden. Im obigen Beispiel entspricht das z.B. den beiden Möglichkeiten 2) Phasen, AB Effekt

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 e −iϕ /2  ξ(φ ) =  iϕ /2   e 

 1  oder  iϕ  . e 

Offensichtlich unterscheiden sich die beiden Funktionen lediglich durch einen Phasenfaktor. Somit sind sie an jedem Ort Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert. Allerdings ist dieser Phasenfaktor abhängig vom Rotationswinkel - somit handelt es sich beim Übergang um eine nichtlokale Eichtransformation. Anders ausgedrückt entspricht der Übergang von der einen zur anderen Basis der Addition eines Vektorpotentials.  1  Eine genauere Betrachtung zeigt aber, dass die Form  iϕ  die Anforderung an eie  nen adiabatischen Transport nicht erfüllt. Sie stellt somit zwar eine Basis dar, aber keine Lösung für die Zeitabhängigkeit des quantenmechanischen Zustandes. Es entspricht statt dessen der Lösung für ein hypothetisches geladenes System, das sich um eine einzelne magnetische Flusslinie bewegt, welche durch den Ursprung läuft. Der Effekt wird deshalb als molekularer Aharonov-Bohm Effekt bezeichnet. Um dies zu untersuchen und das System formell auf eine bekanntes zurückzuführen erweitern wir es zunächst auf drei Dimensionen: Der Hamiltonoperator für das elektronische System hat dann die Form H e(x, y, z) = κ (x σx + y σy + z σz) erhalten. Hier stellt z einen Parameter dar, welcher eine Aufspaltung durch ein äußeres Feld beschreibt. Die Eigenzustände dieses Problems lassen sich schreiben als →

→

|σ(R)> = U(R) |σ> mit →

U(R) = e -i(φ/2)σz e-i(α/2)σy ei(φ/2)σz →

R = (x, y, z), q = (x, y) ,

φ = tan-1(y/x) ,

α = tan-1(q/z) .

Der zweidimensionale Fall ergibt sich als Spezialfall mit z=0. 2.3.6. Diskussion Die Bewegung von Molekülen in der Nähe von konischen Schnittpunkten zeigt dass die Born-Oppenheimer Näherung für die Trennung der Kern- und Elektronenkoordinaten nicht allgemein möglich ist. Gleichzeitig zeigt sie eine Analogie zum Aharonov-Bohm Effekt indem es sich dabei um eine globale Eigenschaft handelt: Die BornOppenheimer Näherung kann lokal für jedes Gebiet gemacht werden, mit Ausnahme der unmittelbaren Umgebung des konischen Schnittpunktes. Auch wenn diese Region vom Molekül nie abgetastet wird führt dies doch dazu dass für eine Konsistente Beschreibung der Moleküldynamik dieser Schnittpunkt in Betracht gezogen werden 2) Phasen, AB Effekt

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muss. Wie im Falle des Aharonov-Bohm Effektes ist die quantenmechanische Zustandsfunktion abhängig vom globalen Verhalten des Wechselwirkungsoperators.

2) Phasen, AB Effekt

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Quantenmechanische Paradoxa

Prof. Dieter Suter

WS 98/99

3 . Berry's Phase 3. 3.1

Berry's Phase Die Adiabatische Geometrische Phase

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5.

3.2

Messung der Phase

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5.

3.3

Interferometrische Messung Optische Interferometrie Interferometrie mit internen Zuständen Rechenbeispiel: zwei gekoppelte Spins Differentielle Messungen

Einige Beispiele

3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 3.3.6.

3.4

Das adiabatische Theorem Beweis Geschlossene Trajektorie Vektorfeld Anwendung auf Spinsysteme

Spinsysteme Der molekulare Aharonov-Bohm Effekt Beispiele aus der Festkörperphysik Pancharatnam's Phase Abbildung auf die Poincaré Kugel Phasendifferenzen für geschlossene Kurven

Paralleler Transport

3.4.1. Nützliches aus der Differentialgeometrie 3.4.2. Paralleler Transport und geometrische Phasen 3.4.3. Faserbündel

3.5

Verallgemeinerungen

3.5.1. 3.5.2. 3.5.3. 3.5.4.

Zyklische Evolution Nicht-Abelsche Berry Phasen Rotation eines Pendels Weitere klassische Analoga

1 2 2 2 5 6 7

9 9 10 11 12 13

15 15 15 18 19 20 21

23 23 24 24

26 26 26 27 28

- 2 -

3 . 1 Die Adiabatische Geometrische Phase 3 . 1 . 1 . Das adiabatische Theorem Im Rahmen der Einführungsvorlesung Quantenmechanik werden primär Systeme behandelt, die durch einen zeitlich konstanten Hamiltonoperator beschrieben werden können. In vielen Fällen weist der Hamiltonoperator jedoch eine Zeitabhängigkeit auf. Die wichtigste ist wahrscheinlich der Fall der harmonischen Änderung. Ist diese resonant so werden dadurch Übergänge zwischen Z: Übergänge stationären Zuständen induziert. Dies ist z.B. eine gute Näherung für spektroskopische Experimente, wo ein oszillatorisches Feld angelegt wird, also z.B. ein magnetisches Wechselfeld oder ein optisches Feld. Ein weiterer wichtiger Fall, der noch analytisch behandelt werden kann, und der den Gegenpol der resonanten Anregung behandelt, ist der einer langsamen Zeitabhängigkeit. Wenn der Hamilto- Z: Änderung Hamiltonoperator, Zustände noperator H(t) eines Systems eine langsame Zeitabhängigkeit aufweist stellt sich die Frage, wie sich ein Zustand Ψ(t) verhält, der zu einem gegebenen Zeitpunkt t0 ein Eigenzustand Ψi des Hamiltonoperators H(t0) ist. Das adiabatische Theorem der Quantenmechanik sagt dazu, dass sich dieser Zustand in einen Zustand Ψi(t0+δt) entwickelt, der wiederum ein Eigenzustand des Hamiltonoperators H(t0+δt) ist. Adiabatisch bedeutet dass das System keine Übergänge in einen anderen Zustand durchführt. Mathematisch lässt sich diese Aussage elegant mit Hilfe von Projektionsoperatoren Pj und Evolutionsoperatoren U(t) schreiben. Pj(t) projiziert einen beliebigen Zustand auf den j-ten Eigenzustand des Hamiltonoperators H(t). Der Evolutionsoperator U(t) beschreibt die Zeitentwicklung aus einem Anfangszustand Ψ(0) zum Endzustand Ψ(t) = U(t) Ψ(0) . Das adiabatische Theorem sagt dann, dass für langsame Änderungen U(t) Pj(0) = Pj(t) U(t) , d.h. dass eine Projektion auf den j-ten Eigenzustand nach der zeitlichen Änderung das gleiche Resultat ergibt wie die umgekehrte Reihenfolge. 3 . 1 . 2 . Beweis Der Beweis des adiabatischen Theorems ist einfach sofern die Änderung des Hamiltonoperators die Eigenzustände nicht ändert. Dann bleibt der Hamiltonoperator zu allen Zeiten in der Ausgangsbasis diagonal. Damit vertauscht er zu allen Zeiten mit

3) Berry's Phase

4. Dezember 1998

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den Projektionsoperatoren Pj und damit mit sich selber und mit dem Evolutionsoperator U. Im allgemeinen ändert sich der Hamiltonoperator jedoch in einer Weise dass auch die Eigenzustände ändern. Dies lässt sich am einfachsten bei ei- Z: Variation des Magnetfeldes nem Spin in einem Magnetfeld zeigen: Der oben behandelte Fall entspricht der Änderung der Stärke des Magnetfeldes ohne dass die Richtung verändert wird. Der allgemeinere Fall entspricht einer Z: Rotation des Magnetfeldes Richtungsänderung des Magnetfeldes (ev. mit gleichzeitiger Änderung der Stärke). In diesem Fall unterscheiden sich die Eigenzustände von H(t+δt) und H(t). Wenn wir z.B. das Magnetfeld von der z- in die xRichtung rotieren so wird sind die Eigenzustände eines Spin-1/2 zunächst |+1/2> und |-1/2> und zum Schluss |1/2> + |-1/2> und |1/2> - |-1/2>. Dies bedeutet, dass der Eigenzustand Ψi(t) zu einer wenig späteren Zeit in der Basis der aktuellen Eigenzustände die Form

Z: "Missweisung"

Ψ(t+dt) = Ψi(t+δt) eiEiδt/h + Σj≠i εj Ψj(t+δt) . Im Beispiel des Spins im Magnetfeld zeigt der Spin somit nicht exakt parallel zur Magnetfeldrichtung. Die Aussage des adiabatischen Theorems ist es, dass die Abweichungen εj beliebig klein gemacht werden können wenn die Änderung nur langsam genug geschieht. Es soll an dieser Stelle kein mathematisch strenger Beweis geführt werden, sondern eher heuristisch argumentiert werden. Einen ausführlichen Beweis findet man z.B. in (Messiah, Quantum Mechanis, C. XVII, § 10-14). Ein relativ einfacher Ansatz ist wiederum der Spin im magnetischen Feld. Hier führt eine Rotation des Magnetfeldes dazu, dass der Spin eine Komponente senkrecht zum Magnetfeld erhält. Es ist in diesem Fall sinnvoll, die Dynamik in einem System zu betrachten, in dem das Magnetfeld zeitunabhängig ist. Wie man leicht zeigen kann zeigt in diesem Koordinatensystem das Magnetfeld in eine etwas andere Richtung, wobei der Unterschied →

Z: Effektives Feld

→

δB = 1/γ ω →

in der Orientierung proportional ist zur Winkelgeschwindigkeit ω mit der die Richtung des Magnetfeldes ändert. Die Komponente des Spins, welche in Richtung dieses effektiven Feldes zeigt, ist zeitunabhängig. Da die beiden Richtungen im Grenzfall 3) Berry's Phase

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langsamer Variation zusammenfallen bleibt der Spin somit beliebig nahe beim Eigenzustand, der aus dem Anfangszustand hervorgeht. Ist das quantenmechanische System kein Spin, so können ähnliche Bedingungen aufgestellt werden. Die Bedingung für adiabatischen Transport lautet dann dass die Richtung der Eigenvektoren im Vergleich mit der Bohr-Frequenz nur langsam variieren darf: |Max. radiale Geschwindigkeit von |i>| -|j>| | . Die Änderung der Phase In der obigen Form macht das Theorem keine Aussage über die Phase des resultierenden Zustandes. Dies ist der Punkt, den Berry untersuchte. Prinzipiell muß die Phase des Zustandes zu jedem Zeitpunkt die zeitabhängige Schrödingergleichung ∂ Ψ(t) = - i H(t) Ψ(t) ∂t erfüllen. Da wir angenommen haben dass der Zustand Ψi(t) ein Eigenzustand des Hamiltonoperators ist folgt für den Fall eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators Ψ(t) = Ψ(0) exp(- i φ) mit φ = E i t / h, d.h. die Phase ist zu jedem Zeitpunkt durch das Integral der Energie des entsprechenden Zustandes gegeben. Für zeitabhängige Hamiltonoperatoren würde die einfachste Verallgemeinerung die Form φ(t) = 1/h ∫0,t E i(t') dt' = ∫0,t / |e> zustand und einem angeregten Zustand. Diese beiden Zustände können z.B. dadurch unterschieden werden dass man einen Laser ankoppelt, oder über die unterschiedlichen g-Faktoren. Damit wird es möglich, an einem der beiden "Kopien" Manipulationen durchzuführen wie z.B. den Spin durch eine Trajektorie im Parameterraum zu führen, während die andere Kopie nicht beeinflusst wird und deshalb als Referenz dienen kann. Die differentielle Phasenänderung kann Z: Interne Interferometrie dann wiederum über die Interferenz bestimmt werden indem man eine Überlagerung zwischen Grund- und angeregtem Zustand erzeugt. Einer der wichtigsten Arten von solchen internen Interferometern ist eigentlich ein Hybrid ( C.J. Bordé, 'Atomic interferometry with internal state labeling', Phys. Lett. A 140, 10-12 (1989).): Wenn man bei einem Atom eine Z: Internes Atominterferometer Superposition zwischen Grund- und angeregtem Zustand erzeugt muss dafür ein Photon teilweise absorbiert werden. Der resultierende Superpositionszustand 1 Ψ= (|g> + |e>) 2 besteht aus zwei Komponenten, welche unterschiedliche Energie und unterschiedlichen Impuls haben: |g> : E = 0, p = 0, x = 0 . |e> : E = ω 0, p = hk, x = hk t/M , wobei ω 0 und hk Energie und Impuls des Photons darstellen und M die Masse des Atoms. Da der angeregte Zustand den Photonenimpuls erhalten hat entfernen sich die beiden Komponenten voneinander, d.h. nach einer gewissen Zeit sind sie nicht nur intern, sondern auch extern getrennt. Es ist experimentell möglich, auf diese Weise atomare Wellenpakete zu erzeugen, die um mehrere cm getrennt sind.

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3 . 2 . 4 . Rechenbeispiel: zwei gekoppelte Spins Wir betrachten als Beispiel den Zustand 1 Ψ(0) = (|α1α2> + |β1α2>) . 2 Er stellt zwei gekoppelte Spins dar, wobei der erste Spin in einem Superpositionszustand ist, der zweite im |α> Zustand. Eine 2π Rotation des zweiten Spins wird nun so durchgeführt, dass nur derjenige Teil, der an den α Zustand des ersten Spins gekoppelt ist, beeinflusst wird. Dies ist in geeigneten Systemen möglich wenn die Kopplung Z: zwischen den beiden Spins genügend stark ist, dass die Übergangsfrequenzen in einem NMR-Spektrum getrennt sind.

AX Spektrum

Die 2π Rotation führt bekanntlich bei einem Spin 1/2 zu einer Inversion des Vorzeichens 1 Ψ(1) = (-|α1α2> + |β1α2>) . 2 In diesem Fall führt die 2π Rotation zu beobachtbaren Änderungen, wie man leicht ersehen kann. Wir berechnen z.B. den Erwartungswert für die x-Komponente des Spins 1, Ix(1) : 1 1 (|β1α2> + |α1α2>)(|α1α2> + |β1α2>) = . 4 2 1 1 (1) = (-|β1α2> + |α1α2>)(-|α1α2> + |β1α2>) = - . 4 2 (0) =

Die selektive Rotation einer der beiden Komponenten des Spins 2 führt somit zu einer Inversion des Spins 1. Wie man leicht sieht spielt dabei der Zustand |ββ> F: 3-Niveausystem keine Rolle. Es ist somit ohne weiteres möglich, sich auf drei Zustände zu beschränken. Zwischen den Zuständen |1> und |2> wird zu Beginn des Experimentes eine kohärente Superposition erzeugt, so dass eine feste Phasenbeziehung als Referenz zur Verfügung steht. Das Zweiniveausystem |2>-|3> wird dann über die gewählte Trajektorie geschickt und die resultierende Phasenänderung im Spin-Echo detektiert. Der π-Puls dient dazu, dynamische Anteile der Phase zu refokussieren, so dass nur die interessierenden Anteile gemessen werden, welche aus der Trajektorie C stammen. Wir können in diesem Fall z.B. die beiden Zustände |2> und |3> verwenden und wie einen Spin 1/2 durch einen 2π Zyklus bringen. Das Spinorverhalten sollte dazu führen, dass aus einem Zustand Ψ23(0) = b|2> + c|3> 3) Berry's Phase

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ein Zustand Ψ23(2π) = - b|2> - c|3> wird. Aufgrund der Linearität der Quantenmechanik folgt damit aber auch, dass ein Zustand Ψ123(0) = a|1> + b|2> + c|3> nach einem 2π Zyklus der beiden Zustände |2> und |3> ein Zustand Ψ123(2π) = a|1> - b|2> - c|3> entsteht. Man kann ein solches System z.B. dazu verwenden, das F: Messresultate Spinorverhalten eines Spin-1/2 (resp. eines Pseudo-Spin 1/2) zu testen (D. Suter and A. Pines, 'Indirect phase detection of NMR spinor transitions', Phys. Rev. Lett. 57, 242-244 (1986).). In diesem Beispiel wurde auch der Übergang |2>-|3> beobachtet, um eine Kontrolle über die angelegte Trajektorie zu haben. So wurde z.B. nach einer Drehung des Systems |2>-|3> die Kohärenz in diesem Zustand in den Ausgangszustand zurückgebracht. Dass dies aber nur modulo einer GesamtPhasendifferenz von π für das System |2>-|3> geschieht zeigt das Signal, welches im Übergang |1>-|2> beobachtet wurde: Es wechselt das Vorzeichen und gelangt erst nach einer Drehung um 4π wieder in den Ausgangszustand zurück. 3 . 2 . 5 . Differentielle Messungen Dieses Konzept kann noch weiter vereinfacht werden: Anstelle einer Überlagerung von 2x2 Zuständen können wir auch eine Überlagerung von 1x1 Zuständen verwenden. So können wir im Falle des Spin-1/2 Systems auch direkt die Überlagerung zwischen einem |↑> und |↓> Zustand verwenden. Eine Trajektorie durch den Parameterraum, d.h. eine Variation des Hamiltonoperators über eine Variation des Magnetfeldes wird in diesem Fall immer beide Zustände berühren. Allgemein erwartet man, dass eine beliebige Trajektorie, welche einen Raumwinkel Ω auf der Einheitskugel einschließt eine Phasenverschiebung um eimΩ erzeugt. Eine Superposition Ψ(0) =

1 (|α> + |β>) 2

wird dadurch in den Zustand Ψ(1) = 3) Berry's Phase

1 (|α> eiΩ/2 + |β> e-iΩ/2) 2 4. Dezember 1998

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überführt. Die relative Phase ist, wie bereits ge- Z: Orientierung zeigt, als die Orientierung des Spinvektors messbar. Sie wurde in diesem Fall um

des Spinvektors

eiΩ gedreht. Diese Möglichkeit wurde z.B. von Bitter und Dubbers für eine Messung von Berry's Phase mit Hilfe von spin-polarisierten Neutronen verwendet (T. Bitter and D. Dubbers, 'Manifestation of Berry's topological phase in neutron spin rotation', Phys. Rev. Lett. 59, 251254 (1987).).

Sie wählten eine konische F: Trajektorie des B-Feldes; Resultate Trajektorie des Be Feldes im Ruhesystem des Neutrons. Dies kann durch ein statisches, räumlich variables Magnetfeld implementiert werden. Dazu wurden Drähte auf ein Rohr aufgewickelt, welches den Neutronenstrahl umschloss. Die gemessene Phasenverschiebung als Funktion des umschlossenen Raumwinkels ist unten aufgetragen. Noch wesentlich einfacher als mit spin-polarisierten Neutronen kann diese Phase in einem NMR-Spektrometer beobachtet werden (D. Suter, G. Chingas, R.A. Harris, and A. Pines, 'Berry's phase in magnetic resonance', Mol.Phys. 61, 1327 (1987).). Die am einfachsten zu realisierende Trajektorie ist Z: Kegel Trajektorie kegelförmig: Das Magnetfeld dreht sich in einem konstanten Winkel zur z-Achse um die z-Achse. Dies kann experimentell im rotierenden Koordinatensystem durch off-resonante Einstrahlung realisiert werden. Bei einer solchen Trajektorie ist der Raumwinkel gegeben als 2π(1-cosθ).

Z: Raumwinkel

Die experimentell gemessenen Phasen stimmen gut mit der er- F: Resultate warteten Proportionalität zum Raumwinkel der Trajektorie überein. Durch eine geeignete Kombination von zeitabhängigen Magnetfeldern ist es F: Trajektorie, Exp. Resultate hier möglich, praktisch beliebige Trajektorien zu durchlaufen (D. Suter, K.T. Mueller, and A. Pines, 'Study of the Aharonov-Anandan Phase by NMR Interferometry', Phys. Rev. Lett. 60, 1218-1220 (1988).). Hier wurden drei Arten von Trajektorien gewählt, welche auf der

Einheitskugel einem Kreis, einem "Zweieck" und einem "Dreieck" entsprechen. Für jeden Typ wurden unterschiedliche Flächen durchlaufen. Die Resultate zeigen, dass die resultierende Phase nur von der eingeschlossenen Fläche abhängt.

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3 . 3 Einige Beispiele 3 . 3 . 1 . Spinsysteme Anstatt den Spin über das Magnetfeld durch eine zyklische Trajektorie zu bewegen kann man dafür auch den elektrischen Feldgradienten-Tensor verwenden: Kerne mit Qua- Z: Orientierung im lokalen elektrischen Feld drupolkopplung richten sich in der Abwesenheit eines Magnetfeldes nach dem elektrischen Feldgradienten aus. Dies kann z.B. durch Drehen eines Kristalls in eine Berry-Phase umgesetzt werden.

F: Kristall in Rotator und Spule

Wenn dieser über eine Bewegung des Materials ge- F: Spektren, Shifts dreht wird so führt der Spin entsprechende zyklische Bewegungen durch, welche als Frequenzverschiebung beobachtet werden können ( R. Tycko, 'Adiabatic rotational splittings and Berry's phase in nuclear quadrupole resonance', Phys. Rev. Lett. 58, 2281-2284 (1987).). J.A. Cina, 'Classical adiabatic angle and geometrical phase in spin precession', Chem.Phys.Lett. 132, 393-95 (1986).J. Moody, A. Shapere, and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 56, 893 (1986). This letter demonstrates the classical origin of the geometrical phase factor for a spin eigenstate which accompanies adiabatic traversal of a closed path, by the external magnetic field.

Eine direkte Analogie lässt sich auch zu optischen Phänomenen ziehen, da die optische Polarisation auch als Orientierung des Spins der Photonen interpretiert werden kann. R.Y. Chiao and Y.S. Wu, 'Manifestation of Berry's topological phase for the photon', Phys. Rev. Lett. 57, 933-936 (1986). Tomita and R.Y. Chiao, 'Observation of Berry's topological phase by use of an optical fiber', Phys. Rev. Lett. 57, 937-940 (1986). R.Y. Chiao, A. Antaramian, K.M. Ganga, H. Jiao, and S.R. Wilkinson, 'Observation of a topological phase by means of a nonplanar Mach-Zehnder interferometer', Phys. Rev. Lett. 60, 1214-1217 (1988). H. Jiao, S.R. Wilkinson, and R.Y. Chiao, 'Two topological phases in optics by means of a nonplanar Mach-Zehnder interferometer', Phys. Rev. A 39, 3475-3486 (1989).

3 . 3 . 2 . Der molekulare Aharonov-Bohm Effekt Systeme mit Jahn-Teller Verzerrung wurden schon im Kapitel 2 unter dem Titel "molekularer Aharonov-Bohm Effekt" vorgestellt. C.A. Mead and D.G. Truhlar, 'On the determination of Born-Oppenheimer nuclear motion wave functions including complications due to canonical intersections and identical nuclei', J. Chem. Phys. 70, 2284-2296 (1979). G. Herzberg and H.C. Longuet-Higgins, 'Intersection of potential energy surfaces in polyatomic molecules', Discuss. Faraday Soc. 35, 77 (1963). 3) Berry's Phase

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Es wurde gezeigt, dass die Zustandsfunktion der Kerne zweiwertig ist wenn ein sogenannter "diabolischer Schnittpunkt" existiert. Dies erinnert natürlich stark an einen gebrochenen Spin. Entsprechend ordnen die Spektroskopiker solchen Molekülen gebrochene Drehimpuls Quantenzahlen zu. Ein bekanntes Beispiel dafür ist Na3 (G. Delacretaz, E.R. Grant, R.L. Whetten, L. Woeste, and J.W. Zwanziger, 'Fractional Quantization of Molecular Pseudorotation in Na3', Phys. Rev. Lett. 56, 2598-2601 (1986).).

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses System zu analysieren. Die gebrochene Quantenzahl in der elektronischen Funktion entspricht einer Zweiwertigkeit: die Funktion hängt vom Winkel φ wie eiφ/2 ab, d.h. die elektronische Zustandsfunktion ändert das Vorzeichen bei einer einmaligen Umrundung des entarteten Punktes. So kann man sich auf die BO-Energie-Hyperfläche beschränken, die überall flach ist, allerdings ist sie nicht einfach zusammenhängend. Der Phasenfaktor ist in diesem Fall topologischer Natur.

Z: Spirale

Die andere Möglichkeit besteht darin, Z: Spitze / gerundete die Fläche in der Nähe so zu krümmen dass die Entartung verschwindet. Dadurch wird die Phase wieder geometrisch.

Spitze

Neue Messungen / Rechnungen ( H.v. Busch, V. Dev, H.-A. Eckel, S . Kasahara, J. Wang, W. Demtröder, P . Sebald, and W. Meyer, 'Unambiguous Proof for Berry’s Phase in the Sodium Trimer:Analysis of the Transition A2 E ' ' ¨ X2 E'', Phys. Rev. Lett. 81, 45844587 (1998).):

Die Figur zeigt die dreizählige Symmetrie der Na3 Hyperfläche. Mit dem symmetrischen Zustand in der Mitte. Die gestrichelte Trajektorie entspricht der Umrundung dieses diabolischen Punktes und sollte zu einem Vorzeichenwechsel in der elektronischen und in der KernZustandsfunktion führen. Diese Pseudorotation kann im Vibrationsspektrum über die Zuordnung der Quantenzahlen detektiert werden.

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Die Zuordnung der Vibrations- / Rotationsspektren ist deshalb eine geeignete Methode weil die Energie der Übergänge vom Drehimpuls abhängt. Die Pseudorotation führt aber zu gebrochenen Quantenzahlen und damit zu Verschiebungen der Übergangsfrequenzen, wie diese Spektren zeigen. Ist diese Bewegung nicht einmalig, sondern z.B. stochastisch, so ändert sich die Phase des schnellen Systems ebenfalls stochastisch. Dies wird experimentell als Variation der Übergangsfrequenz gemessen werden, d.h. als Verschiebung und Verbreiterung von Resonanzlinien ( F. Gaitan, 'Berry’s phase in the presence of a stochastically evolving environment: A geometric mechanism for energy-level broadening', Phys. Rev. A 58, 16651677 (1998).).

3 . 3 . 3 . Beispiele aus der Festkörperphysik Berry's Phase kann auch die Leitfähigkeit von Festkörpern beeinflussen.

Z: Superposition von konstantem und radialem B-Feld Wir betrachten dazu eine Magnetfeld, dessen Orientierung sich entlang eines Rings ändert (A. Stern, 'Berry's phase, motive forces, and mesoscopic conductivity', Phys. Rev. Lett. 68, 1022-1025 (1992).). Entlang eines Ringes bleibt die Vektorsumme der beiden Magnetfeldkomponenten betragsmäßig konstant, ändert aber die Richtung. Ein Elektron, das sich entlang dieses Ringes bewegt, erfährt deshalb ein adiabatisch variierendes Magnetfeld, dessen Richtung einen Kegel mit Öffnungswinkel α beschreibt. Dementsprechend folgt erhält das Elektron einen zusätzlichen Phasenfaktor Ωg = π(1±cosα) , wobei das Vorzeichen davon abhängt ob der Spin des Elektrons parallel oder antiparallel zum Feld steht. Die stationäre Zustandsfunktion erhält damit einen geometrischen Teil, welcher über die Randbedingung, dass die Funktion einwertig sei, auch die Bedingung für das Fließen eines Stroms beeinflußt - ähnlich wie beim Josephson Effekt. Ist der Fluß zeitabhängig so kann auch eine Kraft auftreten, welche direkt das Fließen des Stroms beeinflußt. Die Beschreibung des gebrochenen Z: Teilchen und Flusslinien Quanten-Hall Effektes verwendet auch ähnliche Ansätze wie Berry's Phase oder den Aharonov-Bohm Effekt (G.W. Semenoff and P. Sodano, 'Non-abelian adiabatic phase and the fractional quantum Hall effect', Phys. Rev. Lett. 57, 1195-1198 (1986).): Man betrachtet Quasiteilchen aus Elektronen und Flussquanten in

einem zweidimensionale System. Wenn man zwei Teilchen austauscht, indem man sie langsam aneinander vorbei schiebt entspricht dies in einem geeigneten System einer Bewegung eines geladenen Teilchens um ein Flussquant, so dass ein das System lediglich modulo eines Phasenfaktors in den Ausgangszustand zurückkehrt. Je nachdem ob dieser Phasenfaktor 0 ist gehorchen die Teilchen einer Bose-Einstein Statistik oder bei φ = π einer Fermi-Dirac Statistik. Sind beliebige Faktoren möglich werden die Teilchen gemäß Frank Wilczek als "Anyons" bezeichnet. 3) Berry's Phase

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3 . 3 . 4 . Pancharatnam's Phase Eine der am längsten bekannten und experimentell am leichtesten zugänglichen Systeme, die einen Berry's Phase Effekt zeigen, sind optische Systeme. Eine Reihe von solchen Effekten wurde schon in den 50er Jahren vom indischen Physiker Pancharatnam untersucht. Optische Felder können natürlich im allgemeinen auch klassisch, d.h. mit Hilfe der Maxwell Gleichungen beschrieben werden. Allerdings gelten die Resultate auch quantenmechanisch und in diesem Fall sind sie auch direkt auf andere Vektorfelder übertragbar. Referenzen: S. Pancharatnam, 'Generalized theory of interference and its applications', Proc. Ind. Acad. Sci. 44, 247-262 (1956); M.V. Berry, 'The adiabatic phase and Pancharatnam's phase for polarized light', J. Mod. Optics 34, 1401-1407 (1987); R. Bhandari and J. Samuel, 'Observation of topological phase by use of a laser interferometer', Phys. Rev. Lett. 60, 1211-1213 (1988).).

Er stellte die Frage, wie man die Phase zweier optischer Felder vergleichen kann wenn sie unterschiedliche Polarisationen aufweisen. Bei gleicher Polarisation ist es natürlich einfach, da man die entsprechenden Felder überlagern kann. E2 = E1 |a| eiφ . Die relative Phase manifestiert sich dann direkt über die Interferenz. Bei unterschiedlichen Polarisationen müssen die Felder aber als Vektoren geschrieben werden, welche durch Multiplikation mit einer Matrix ineinander übergeführt werden:  a b → E2 =   E1 .  c d →

Um etwas spezifischer zu werden betrachten wir eine ebene optische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet. Das elektrische Feld liegt demnach in der xy-Ebene: →

E = (Ex, Ey) ;

Normierung: |Ex|2 +|Ey|2 = 1.

In sphärischen Koordinaten kann dies geschrieben werden als → 1  E x + iE y   E+  E =  =   .  E−  2  E x − iE y  Die Basis wird hier durch die zirkular polarisierten Wellen gebildet und die Vektorkomponenten E± = Ex ± i Ey sind die komplexen Amplituden der Welle.

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3 . 3 . 5 . Abbildung auf die Poincaré Kugel Um eine Beziehung zu Berry’s Phase herzustellen schreiben wir diesen Feldvektor als eine zweikomponentige Wellenfunktion, d.h. als einem Spinor  a + ib Ψ=  .  c + id Diese Zustandsfunktion ist ein Eigenvektor mit Eigenwert +1/2 eines Operators der Form → →→ x − iy 1  cos θ 1  z H(r) = r . σ =  = − z  2  sin θ e iϕ 2  x + iy →

sin θ e − iϕ  , − cos θ 

→

wobei σ den Vektor der Pauli-Matrizen darstellt und r einen Einheitsvektor mit den Polarkoordinaten θ, φ. →

Die Poincaré Kugel ist die Einheitskugel mit den Koordinaten θ, φ. Jede Position →

→

rA auf dieser Kugel definiert einen Operator H(rA ), dessen Eigenvektor |Ψ(rA )> = |A> eine bestimmte Polarisation darstellt. Diese Definition bedeutet, dass → 1 H(rA) |A> = + |A> . 2

Die Pole der Kugel (θ=0) und (θ=π) entsprechen den Zu- Z: Poincaré Kugel ständen mit E - = 0, resp. E + = 0, und stellen zirkulare Polarisationen dar. Punkte auf dem Äquator (d.h. θ = /2) entsprechen Polarisationen bei denen die beiden zirkularen Komponenten den gleichen Absolutbetrag aufweisen, |Ψ+| = |Ψ -|, wobei φ die Richtung der Polarisation bestimmt. Gegenüberliegende Punkte entsprechen orthogonalen Polarisationen. Die oberer Hälfte der Kugel entspricht rechtshändiger Polarisation, die untere linkshändiger. Mit Ausnahme der Pole und des Äquators entsprechen alle Punkte elliptischer Polarisation. Die relative Phase zweier Zustände Ψ1 und Ψ2 ist aus dieser Definition nicht bestimmt und kann nach Belieben festgelegt werden. Pancharatnam’s Ansatz war, die Phase über die Interferenz zwischen zwei Zuständen zu definieren: die relative Phasendifferenz ist nach dieser Definition dann Null wenn die Interferenz maximal wird. Die Intensität eines Überlagerungszustandes |A> + |B> ist () = 2 + 2 || cos(ph) , sofern die beiden Amplituden |A| und |B| gleich eins sind. Somit ist die relative Phase zweier Zustände unterschiedlicher Polarisation gleich der Phase des Skalarproduktes. Diese verschwindet genau dann wenn reell und positiv ist. Diese Referenzbedingung wird als "Pancharatnam’s Verbindung" bezeichnet. Auf der Poincaré Kugel entspricht sie einer parallelen Verschiebung entlang einem Großkreis. 3) Berry's Phase

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Ein interessanter Aspekt dieser natürlichen Definition ist, dass sie nicht transitiv ist. Dies bedeutet, dass A~B, B~C

→ /

A~C ,

wobei A~B dafür steht, dass die relative Phase verschwindet. 3 . 3 . 6 . Phasendifferenzen für geschlossene Kurven Wenn wir einen Zustand |A'> definieren, welcher der gleichen Position auf der Poincaré Kugel entspricht wie |A> und mit |C> in Phase ist, so ist die relative Phase von |A> und |A'> = U |A>

mit

→→

U = exp(-i φAB n .σ) ,

Z: Transport A->B

wobei φAB den Winkel zwischen A und B darstellt und →

n die Richtung der Rotationsachse. Als Beispiel wählen wir eine Drehung der Polarisation von der +z zur +x Achse. Die Rotationsachse ist dann die y-Achse und der entsprechende Operator lautet Uzx = exp(-i φAB σy) . Der Operator U kann für einen Spin 1/2 auch geschrieben werden als →→

U = cos(φAB/2) - i sin(φAB/2) n .σ . Somit wird der Überlapp zwischen A und B →→

= cos(φAB/2) - i sin(φAB/2) . →

Der zweite Term verschwindet weil n senkrecht zur Richtung steht, welche die Polarisation von A beschreibt. Damit wird = cos(φAB/2) .

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Damit ist gezeigt, dass für diese Transformation das Skalarprodukt reell und positiv wird, sofern φAB/2 < π, d.h. solange die Verbindungslinie entlang dem kürzesten Weg gewählt wird. Die Verbindung zwischen den beiden Zuständen kann aber auch durch eine Projektion geschehen: wir projizieren den Zustand A auf den Zustand B. Dies entspricht z.B. der Verwendung eines idealen Polarisators, welches das Licht transmittiert, welches eine bestimmte lineare Polarisation aufweist und alles andere absorbiert (oder ablenkt). Wird z.B. zirkular polarisiertes Licht auf einen Polarisator geschickt, der in x-Richtung orientiert ist, so projiziert dieser den Zustand des Lichtes auf den linear in x-Richtung polarisierten Anteil. Die Phase des transmittierten Lichtfeldes ist gegeben durch die Phase des ursprünglichen zirkular polarisierten Feldes. Dies war die Methode, welche Pancha- Z: AB-Polarisationsmessung ratnam in seiner ursprünglichen Arbeit verwendete. Man kann die optischen Phasen z.B. mit Hilfe eines Interferometers messen, welches einen Laserstrahl in zwei Arme aufteilt. In den beiden Armen wird mit Hilfe von Polarisatoren und Verzögerungsplatten die Polarisation auf unterschiedliche Weise gedreht. Die Phasenverschiebung am Ende ist proportional zum Raumwinkel den die entsprechende Trajektorie auf der Poincaré Kugel einschließt.

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3 . 4 Paralleler Transport 3 . 4 . 1 . Nützliches aus der Differentialgeometrie Es stellt sich heraus, dass eine der nützlichsten Beschreibungen für solche Phasen auf einem geometrischen Konzept basiert, demjenigen des parallelen Transports. Es geht dabei um die Abbildung einer gekrümmten Fläche auf ein Vektorfeld oder, anders ausgedrückt, um die Frage, wie zwei Vektoren an benachbarten Punkten einer gekrümmten Fläche orientiert sein müssen damit man sie als parallel bezeichnen kann. Paralleler Transport ist in der euklidischen Ebene Z: Tangentialebene sehr einfach zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche beschreibt man parallelen Transport so, dass man an jedem Punkt der Fläche eine Tangentialebene ansetzt und der Transport in dieser Ebene parallel erfolgen muß. Diese Definition ergibt auf jeder differenzierbaren Fläche eine klare Vorschrift. Es muß aber beachtet werden, dass die Definition lokal ist, d.h. sie sagt nur etwas aus über Punkte, die nur um infinitesimale Distanzen getrennt sind. Bei endlichen Abständen kann damit keine Aussage gemacht werden. Es ist natürlich möglich, zwischen zwei Punkten eine Kurve zu definieren und für einen Transport entlang dieser Kurve die Bedingung immer zwischen zwei benachbarten Punkten zu erfüllen. Dies wird als paralleler Transport bezeichnet. Wir betrachten als Beispiel parallelen Transport auf einer Kugel. Wie nehmen an, dass sich ein Experimentalphysiker am Äquator auf Null Grad geographischer Breite befindet und einen Vektor in Richtung Norden orientiert. Bewegt er sich auf dem Null-Meridian nach Norden so bedingt paralleler Transport, dass der Vektor immer nach Norden zeigt. Wenn er den Nordpol erreicht soll er sich dem 90-Grad Meridian entlang nach Süden bewegen. Paralleler Transport bedeutet nun, dass sein Referenzvektor immer nach Osten zeigt. Wenn er am Äquator anlangt soll er dem Äquator folgen bis er wieder am Ausgangspunkt anlangt. Hat er die ganze Reise mit parallelem Transport überstanden, so ist am Endpunkt der Referenzvektor immer noch nach Osten ausgerichtet, nicht mehr wie zu Beginn nach Norden. Dieser Befund ist ein direkter Beweis für die Krümmung der Erde. Die Drehung des Referenzvektors ist ein direktes Maß für die integrierte Krümmung der Fläche, die durch den Pfad eingeschlossen wird. Bei der Erde ist das Integral der Krümmung gerade gleich dem Raumwinkel den die Bahn einschließt, da die Krümmung einer Kugel konstant 1/r2 beträgt. 3) Berry's Phase

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3 . 4 . 2 . Paralleler Transport und geometrische Phasen Für die geometrischen Phasen wie Berry's Phase ist paralleler Transport eine geeignete Darstellung. Der Integrand der geometrischen Phase d γη(C) = i ∫ ds ds verschwindet wenn der Transport entlang dem Pfad C durch parallelen Transport definiert ist. Dies ist aber für eine einwertige Basis nicht möglich, wie oben für parallelen Transport auf der Kugel gezeigt. Die einwertige Basis muss offenbar einen zusätzlichen Phasenfaktor enthalten, der gerade die Berry-Phase ergibt. Wie die Phase für die Basisfunktionen als Funktion der Pfadvariablen s variiert ist beliebig, der wert des Schleifenintegrals ist unabhängig davon. Da die Basis eindeutig sein muß erhält man für das Integral immer den gleichen Wert. Im Fall der Kugel gesehen hatten dass die resultierende Phase durch die von der Trajektorie eingeschlossene Fläche gegeben ist. Allgemein wird der Winkel, den man Z: Trajektorie / Krümmung durch parallelen Transport entlang einer geschlossenen Kurve erhält in der Differentialgeometrie als die integrierte Krümmung der eingeschlossenen Fläche definiert. Somit stellt Berry’s Phase einfach die Krümmung der entsprechenden Fläche im Parameterraum des Hamiltonoperators dar.

Z: Krümmung / paralleler Transport in Ebene / auf Kugel Die lokale Krümmung verschwindet für eine Ebene und ist auf einer Kugel gegeben durch 1/R2. 3 . 4 . 3 . Faserbündel Eine weitere mathematische Beschreibungsweise verwendet das Konzept eines Faserbündels. Hier wird auf der gekrümmten Ebene zu jedem Punkt eine Z: Faserbündel Faser errichtet. Die gekrümmte Fläche stellt den relevanten Teil des Parameterraums dar, in der sich der Pfad C befindet. Die Faser entspricht der Phase des Zustandes an dieser Stelle. Dem Pfad C in der Fläche M entspricht offenbar ein Pfad im Faserbündel, der durch den aktuellen Wert der Phase an der jeweiligen Stelle bestimmt wird. Die mathematische Funktion, welche die beiden Pfade verbindet, wird als Verbindung bezeichnet. Je nach Wahl der Phase der Basiszustände wird dieser Pfad unterschiedlich ausfallen. Aufgrund der Krümmung ist er aber nicht geschlossen, und die Differenz zwischen dem Anfangs- und Endwert auf der gleichen Faser entspricht der Holonomie, d.h. der geometrischen Phase γ(C). H.J. Bernstein and A.V. Phillips, 'Fiber bundles and quantum theory', Sci. Am. July 1981, 122(1981). 3) Berry's Phase

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- 25 B. Simon, 'Holonomy, the quantum adiabatic theorem, and Berry's phase', Phys. Rev. Lett. 51, 2167-2170 (1983).

3) Berry's Phase

4. Dezember 1998

- 26 -

3 . 5 Verallgemeinerungen 3 . 5 . 1 . Zyklische Evolution Geometrische Phasen treten nicht nur bei adiabatischer Evolution auf, sondern allgemein bei zyklischer Evolution (Y. Aharonov and J. Anandan, 'Phase Change during a cyclic quantum evolution', Phys. Rev. Lett. 58, 1593-1596 (1987).). Darunter versteht man eine Evolution, bei der der quantenmechanische Zustand nach einer Zeit τ bis auf einen Phasenfaktor wieder identisch ist mit dem Anfangszustand, Ψ(τ) = Ψ(0) eiφ . Im Gegensatz zum adiabatischen Fall ist hier somit nicht die Voraussetzung dass der Hamiltonoperator im Parameterraum wieder den Ausgangswert erreicht, sondern der Zustand im Hilbertraum auf den gleichen Strahl zurückkehrt. Man spricht vom projektiven Hilbertraum, der auch dem Raum der möglichen Dichteoperatoren entspricht: Zustände, dies sich nur durch ihre Phase unterscheiden besitzen den gleichen Dichteoperator. Auch hier kann die Phase φ = φ dyn + φ geom . in einen dynamischen Teil φ dyn und einen geometrischen Teil φgeom getrennt werden. Der dynamische Teil ist gegeben durch den Erwartungswert der Energie φdyn = -i ∫dt (t) = -i

∫ dt ,

und der geometrische Teil als φgeom = i ∫dt . dt

Genau wie im Fall der adiabatischen Phase ist auch hier der geometrische Anteil gegeben durch das Integral aufgrund des parallelen Transports, d.h. durch die integrierte Krümmung der entsprechenden Hyperfläche. Experiment: NMR (D. Suter, K.T. Mueller, and A. Pines, 'Study of the Aharonov-Anandan Phase by NMR Interferometry', Phys. Rev. Lett. 60, 1218-1220 (1988).). 3 . 5 . 2 . Nicht-Abelsche Berry Phasen Die bisher diskutierten Phasen bezogen sich immer auf einen einzelnen Zustand. Dass es möglich ist, die Zustände eines Systems einzeln zu behandeln, folgt aus der Herleitung über das adiabatische Theorem: es besagt, dass jeder Eigenzustand in einen entsprechenden Eigenzustand des veränderten Hamiltonoperators übergeht. Somit spielen die anderen Zustände keine Rolle.

3) Berry's Phase

4. Dezember 1998

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Dies ändert sich wenn Entartungen vorliegen ( F. Wilczek and A. Zee, 'Appearance of gauge structure in simple dynamical systems', Phys. Rev. Lett. 52, 2111-2114 (1984).). In diesem Fall ist eine adiabatische Änderung des Hamiltonoperators nicht mehr möglich, auch beliebig langsame Änderungen führen - je nach der gewählten Eigenbasis - zu Übergängen. In diesem Fall muss also der entartete Unterraum gesamthaft behandelt werden. In diesem Fall wird die "Phase" γ(C) zu einem Operator, d.h. zu einer n×n Matrix, wobei n den Entartungsgrad darstellt. Dieser Operator stellt den geometrischen Teil des Evolutionsoperators dar. Man bezeichnet dies als nicht-abelsche geometrische Phase. Eine interessante Anwendung davon ist der Ansatz, dass die Zustände eines zweidimensionalen Elektronengases, welche den gebrochenen Quanten-Hall Effekt zeigen, eine nicht-Abelsche Berry-Phase zeigen (G.W. Semenoff and P. Sodano, 'Non-abelian adiabatic phase and the fractional quantum Hall effect', Phys. Rev. Lett. 57, 1195-1198 (1986).). 3 . 5 . 3 . Rotation eines Pendels Auch bei klassischen mechanischen Systemen findet man einen sehr vergleichbaren Effekt (J.H. Hannay, J.Phys.A 18, 221 (1985); M.V. Berry, 'Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase', J.Phys.A 18, 15-27 (1985).). Man betrachtet hier wiederum ein System, das von einem oder mehreren Parametern abhängt, die sich als Funktion der Zeit verändern. Die klassische Mechanik kann auch in Form von Winkeln geschrieben werden. Diese Winkel weisen eine Zeitabhängigkeit auf, die wiederum in einen dynamischen und einen geometrischen Teil aufgetrennt werden kann. Der dynamische Teil entspricht dem Anteil, den man erhält, wenn man die Zeitabhängigkeit der Parameter vernachlässigt. Das Beispiel, das Hannay diskutiert, ist die reibungsfreie Rotation einer Perle auf einer Drahtschleife. Der geometrische Teil der Winkeländerung hängt von der Form der Drahtschleife ab. Ein gutes Beispiel, das sehr ähnlich ist wie das quantenmechanische Spinsystem ist ein Rotationspendel. Ein Rotationspendel entspricht einer Schwingung um eine bevorzugte Achse, die im Allgemeinen durch die Richtung des Schwerefeldes bestimmt wird. Der Rotationswinkel ist in einem Inertialsystem durch die Schwingungsfrequenz des Pendels bestimmt, die wiederum einfach durch die Länge des Pendels und die Schwerebeschleunigung bestimmt wird ω=

g/l .

Wird ein solches Pendel auf der Erde befestigt, so dreht sich die Richtung des Schwerefeldes langsam aufgrund der Erdrotation. Dadurch entsteht ein geometrischer zusätzlicher Beitrag von δω = ω rot sinφ

mit φ = geographische Breite ,

wobei das Vorzeichen von der relativen Orientierung der Rotation des Pendels und der Erdrotation abhängt.

3) Berry's Phase

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Eine sinnvolle Möglichkeit, diese zusätzliche Rotation sichtbar zu machen ist der Vergleich von zwei Pendeln, die in entgegengesetzter Richtung rotieren. Damit deren Frequenz wirklich die gleiche ist, wählt man am besten das gleiche Pendel dafür. Dies ist möglich wenn man eine lineare Oszillation wählt, die ja als Superposition von zwei entgegengesetzten Drehbewegungen betrachtet werden kann. Da die geometrischen Teile der Winkelvariablen für die beiden entgegengesetzten Rotationsrichtungen entgegengesetztes Vorzeichen haben ändert sich im Laufe der Drehung die Schwingungsrichtung der linearen Schwingung. Dies entspricht offensichtlich gerade dem Foucault-Pendel. Dieses Experiment wurde erstmals 1661 von V. Viviani durchgeführt und von Foucault (1819-1868) 1851 als Demonstrationsexperiment im Pariser Panthéon aufgebaut.

z

y x

= +

Dieses Experiment kann man sich auch wieder als parallelen Z: Erdrehung Transport vorstellen: Die Schwingungsebene des Pendels wird immer parallel zu der Ebene sein, die sie einen infinitesimalen Zeitpunkt vorher eingenommen hat. Eine 2π Rotation um die Erdachse muß somit eine Drehung ergeben, die durch den Raumwinkel der Bahn bestimmt wird und damit durch die geographische Breite des Experimentes. 3 . 5 . 4 . Weitere klassische Analoga Ein weiteres klassisches System, das ähnlich funktioniert sind Amöben. Dies sind kleine einzellige Organismen, die in flüssigen Medien leben. Die Hydrodynamik wird weitgehend bestimmt durch die Reynolds-Zahl R = d v ρ/η d = typische Dimension v = Geschwindigkeit

ρ = Dichte

η = Viskosität

Aufgrund der geringen Größe ist sie somit für einen solchen Organismus sehr klein. Verglichen mit einem großen Organismus wirkt deshalb Wasser für einen kleinen Organismus sehr viskos. Dadurch kann er nicht wie wir schwimmen. Menschliche Schwimmer nutzen unter Wasser die Trägheit des Wassers in dem sie Bewegungen durchführen, die in unterschiedliche Richtungen unterschiedlich schnell sind. Dies funktioniert aber nur weil die Viskosität des Mediums dabei keine wesentliche Rolle spielt. Eine Amöbe würde mit solchen Schwimmbewegungen nicht vorwärts kommen. Sie hat aber die Möglichkeit, ihre Form zu ändern. Eine Abfolge von geeigneten Formänderungen kann dazu führen, dass der Organismus wieder seine Ausgangsform annimmt, aber sich dabei an einem anderen Ort befindet. (A. Shapere and F . Wilczek, 'Self propulsion at low Reynolds numbers', Phys. Rev. Lett. 58, 2051-2054 (1987).). Ein ähnliches Problem ist die Rotation eines Objekts, das keine Möglichkeit hat, sich festzuhalten, wie z.B. ein Astronaut im Weltraum. Eine Translation oder Rotati3) Berry's Phase

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- 29 -

on aufgrund von Formveränderungen ist möglich wenn der Raum der Formen, die der Organismus durchlaufen kann gekrümmt ist. Eine effiziente Schwimmbewegung muß zyklisch sein und findet dann in einem Bereich mit hoher Krümmung stark.

3) Berry's Phase

4. Dezember 1998

Prof. Dieter Suter

Quantenmechanische Paradoxa

WS 98/99

4 . Quantenmechanische Messungen 4. 4.1 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4. 4.1.5.

4.2 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.2.5. 4.2.6. 4.2.7. 4.2.8.

4.3 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. 4.3.6.

4.4 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5. 4.4.6. 4.4.7. 4.4.8.

4.5 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.5.4. 4.5.5.

4.6

Quantenmechanische Messungen Kollaps der Wellenfunktion Projektion eines Zustandes Biographisches Die Kopenhagener Interpretation Kritik der Kopenhagener Interpretation von Neumann's Modell des Messprozesses

Schrödinger’s Katze Zitat Interpretation Wann kollabiert die Wellenfunktion? Spinmodell Zeitumkehr Kopplung an die Umgebung Grenzen des Superpositionsprinzips Superauswahlregeln

1 3 3 4 6 6 7

10 10 10 12 13 14 15 16 17

Verschränkte Zustände in Modellsystemen

19

Freie Atome Gebundene Systeme Optische Modellsysteme Dekohärenz Dekohärenz in räumlich getrennten Systemen Experimentelle Beobachtung der Dekohärenz

19 19 21 22 23 23

Weitere Interpretationen und Modelle

26

Statistische Interpretation Statistische Beschreibung des Messprozesses Vergleich und Bewertung Experimente an Einzelsystemen Pilotwelle / Quantenpotential Herleitung der Bewegungsgleichung Diskussion Die Interpretation von Everett

26 26 27 28 29 30 31 32

Der Quantenmechanische Zeno Effekt

35

Zeno's Paradoxa Wiederholte QM Messungen Experimente Diskussion Literatur

Rückwirkungsfreie (QND) Messungen

35 35 37 38 38

40

- 2 -

4.6.1. 4.6.2. 4.6.3. 4.6.4. 4.6.5.

4.7 4.7.1. 4.7.2. 4.7.3. 4.7.4. 4.7.5.

Wiederholte Positionsmessungen an freien Teilchen QND Variablen Beispiel: QND Messung von optischen Intensitäten Diskussion Literatur:

Wechselwirkungsfreie Messungen Das Konzept Diskussion Wiederholte Messungen Experiment Literatur:

4) Quantenmechanische Messungen

40 41 42 44 46

47 47 47 48 49 50

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- 3 -

4 . 1 Kollaps der Wellenfunktion 4.1.1.

Projektion eines Zustandes

Die Heisenberg - Schrödinger Quantenmechanik kennt zwei grundsätzlich unterschiedliche Arten auf die sich ein quantenmechanischer Zustand ändern kann: Einerseits die Schrödingergleichung d Ψ=-iHΨ, dt welche eine unitäre und damit reversible, kausale und kontinuierliche Zeitentwicklung definiert. Ganz im Gegensatz dazu die Zeitentwicklung bei einer "Messung der ersten Art": Aus einem Zustand Ψ = ca Ψ a + cb Ψ b , welcher eine Superposition von zwei (oder mehr) Eigenzuständen Ψa,b eines Operators A darstellt, wird bei einer Messung einer der beiden Zustände Ψa oder Ψb. Die Quantenmechanik macht keine deterministische Aussage darüber, welcher der beiden Zustände realisiert wird, sie gibt lediglich Wahrscheinlichkeiten für die beiden Möglichkeiten. Der Messprozess ist damit irreversibel und im Einzelfall stochastisch. Dieser Übergang von einem Superpositionszustand zu einem Eigenzustand der Observablen gehört zu den merkwürdigsten Besonderheiten der Quantenmechanik. E r wird als Projektion oder Reduktion des Wellenpaketes bezeichnet. Wenn wir die technischen Details zunächst beiseite lassen stellen sich an dieser Stelle zwei Interpretationsprobleme: A. Befindet sich das System nach einer Messung in einem definierten Zustand (z.B. Ψa oder Ψb)? Die Schrödingergleichung sagt nein, das Reduktionspostulat ja. B. Ist es reiner Zufall, welcher der beiden möglichen Messresultate realisiert wird? Hier zunächst zwei Aussagen über das Messproblem: Eugene Wigner (amerikanischer Physiker ungarischer Herkunft, * 1902, † 1995) sagt: The orthodox interpretation of QM describes two different types of evolution: the Schrödinger equation and the measurement. The two are not compatible, but there is no alternative to the orthodox view. ( E.P. Wigner, 'The problem of measurement', Am. J. Phys. 31, 6 (1963).)

Anthony Leggett beschreibt dieses Problem folgendermaßen: The quantum measurement paradox is about the question whether the system IS in a definitive state at a given time. The Schrödinger equation says no, but the result of the measurement says yes. Accordingly, one may ask, whether the act of the measurement is indeed compatible with the quantum mechanical predictions. The statistical interpretation, which maintains that QM predicts only probabilities, i.e. averages over long sequences of identical experiments is irrefutable, but not satisfactory. (Aus A.J. Leggett, 'Reflections 4) Quantenmechanische Messungen

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- 4 on the quantum measurement paradox', in Quantum implications, Editor: B.J. Hiley and F. D. Peat, Routledge & Kegan Paul, London (1987).).

Die Diskontinuität und scheinbare (?) Unvorhersagbarkeit dieses Prozesses gehört zu den wichtigsten unverstandenen Aspekten der Quantenmechanik. Es wurden viele Möglichkeiten vorgeschlagen, aber keine kann wirklich befriedigen. Im folgenden sollen einige dieser Vorschläge diskutiert werden. 4.1.2.

Biographisches

Niels Bohr (7.10.1885 – 18.11.1962); Ausbildung an der Universität Kopenhagen; Dissertation über die Theorie von Elektronen in Metallen. Forschungsaufenthalte in Cambridge und Manchester bei Ernest Rutherford, der 1911 seine Theorie der Struktur der Atome (Kern plus Elektronenhülle) publiziert hatte. 1913, nach seiner Rückkehr nach Kopenhagen, publizierte er seine Theorie der Struktur von Atomen. 1916 wurde er Professor für theoretische Physik an der Uni Kopenhagen und 1922 erhielt er den Nobelpreis. 1943 Flucht vor den Nazis in die USA, Mitarbeit am Manhattan Projekt. Nach dem Krieg Rückkehr nach Kopenhagen. Werner Karl Heisenberg (5.12.1901 – 1.2.1976). Studium in München, bei Arnold Sommerfeld; Arbeit bei Bohr in Kopenhagen, dann in Göttingen, wo er 1925 den Matrixformalismus der Quantenmechanik entwickelte. 1927 formulierte er das Unschärfenprinzip und wechselte an die Uni Leipzig. 1932 erhielt er den Nobelpreis. Während dem 2. Weltkrieg arbeitete er am deutschen Atomwaffenprogramm. Nach dem Krieg wurde er Direktor des MaxPlanck-Instituts für Physik und Astrophysik. Heisenberg wurde am 5. Dezember 1901 in Würzburg als Sohn des Gymnasiallehrers August Heisenberg geboren. 1910 erhielt der Vater einen Ruf an die Universität München; er wurde Ordinarius für mittel- und neugriechische Philosophie. Die Familie zog in die bayerische Landeshauptstadt, der sich Werner Heisenberg sein Leben lang eng verbunden fühlte. Nach dem Besuch des Maximilian Gymnasiums studierte er in München theoretische Physik bei Arnold Sommerfeld,

4) Quantenmechanische Messungen

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- 5 mit ihm Wolfgang Pauli. 1922 lernt er in Göttingen Niels Bohr kennen, 1923 promoviert er in München, 1924 habilitiert er sich an der Universität Göttingen; im Winter 1924/25 schließt sich sein Studienaufenthalt bei Bohr in Kopenhagen an. Hier beginnen die ersten Denkansätze zur Quantenmechanik. 1927 wird er zum Ordinarius für theoretische Physik an der Universität Leipzig ernannt. Hier entsteht die berühmte Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation, welche die Wissenschaft grundlegend erweitert. 1933 wird Heisenberg die Max-Planck-Medaille verliehen; im selben Jahr wird ihm der Nobelpreis für Physik des Jahres 1932 zugesprochen. Am 29. April 1937 heiratet er Elisabeth Schumacher; um die gleiche Zeit beginnen auch die Angriffe der Nazi gegen ihn, die ihn als weißen Juden verunglimpfen, weil er das Gedankengut Einsteins verbreite und nicht deutsche Wissenschaft betreibe. Seine Berufung nach München als Nachfolger Sommerfelds wird kategorisch abgelehnt. 1939 entschließt er sich endgültig, nicht zu emigrieren, was bei einigen emigrierten Wissenschaftlern auf Unverständnis stößt. Er wird zum Heereswaffenamt nach Berlin einberufen. Otto Hahn und Fritz Straßmann hatten Ende 1938 die Spaltung des Uranatoms entdeckt; die technische Nutzung der Kernenergie rückte aus dem Bereich des Utopischen in den des Möglichen. Physiker waren rar geworden in Deutschland; man brauchte Heisenberg. Im KaiserWilhelm-Institut in Berlin Dahlem begann das Uran-Projekt. 1943 wurde das Institut nach Hechingen in Württemberg ausgelagert, und in Haigerloch in einem Felsenkeller ein Atomreaktor aufgebaut. Der sog. Atommeiler erreichte aber nicht die kritische Phase, in der die Kettenreaktion sich selbst unterhält. Nach dem Krieg wurden Heisenberg und neun Kollegen in England interniert; im Februar 1946 kehrten sie nach Deutschland zurück. Die folgenden Jahre in Göttingen sind dem Wiederaufbau gewidmet; 1949 wird Heisenberg Präsident des Deutschen Forschungsrates, 1953 der Alexander-von-HumboldtStiftung. Am 13. April unterschreibt er mit achtzehn Physikern das Göttinger Manifest gegen die Rüstungspolitik Adenauers und die Ausrüstung der Bundeswehr mit taktischen Atomwaffen. 1958 zieht Heisenberg mit seinem Max-PlanckInstitut für Physik und Astrophysik nach München um. Im gleichen Jahr publiziert er seine Einheitliche Theorie der Elementarteilchen, die als Weltformel ungeheure Publizität findet. Die Hoffnungen erfüllen sich aber (jedenfalls nach der Meinung der führenden Physiker) nicht; Heisenberg selbst bleibt optimistisch. 1969 erreichen seine philosophischen Publikationen in der Herausgabe seines Werkes Der Teil und das Ganze seinen Höhepunkt. Im Dezember 1970 erfolgt die Emeritierung; am 1. Februar 1976 ist er in München gestorben.

Albert Einstein (14.3.1879 – 18.4.1955). Jugend in Ulm, München und Mailand; Studium an der ETH Zürich (Diplom 1900); Arbeit am Schweizer Patentbüro in Bern (1902-09). 1905 Arbeiten zum photoelektrischen Effekt, zur speziellen Relativitätstheorie, zur Äquivalenz von Energie und Masse und zur Brown’schen Bewegung. Promotion an der Uni Zürich 1905. 1907 Grundlagen zur allgemeine Relativitätstheorie; endgültige Form 1915. 1908 Habilitation an der Uni Bern. 1909 Professor an der Uni Zürich, danach Uni Prag und ETH Zürich. 1914 bei der KaiserWilhelm Gesellschaft in Berlin. 1921 Nobelpreis zum photoelektrischen Effekt. 1933 Emigration und Arbeit am Institute for Advanced Study in Princeton, N.J. Dieses wurde 1930 mit einer Spende von Louis Bamberger gegründet und der „Usefulness of useless knowledge“ gewidmet. Johann von Neumann (28.12.1903 – 8.2.1957). 1925 Diplom in Chemietechnik (ETH); 1926 Promotion in Mathematik an der Universität Budapest. 1932: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 1931 Professor in Princeton, 1933 Institute of Advanced Study in Princeton. In den 40er und 50er Jahren Arbeiten zur Theorie der Computer.

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4.1.3.

Die Kopenhagener I nterpretation

Die wohl am weitesten verbreitete Interpretation der Quantenmechanik, und insbesondere des Messprozesses, ist eine Sichtweise, die sich über mehrere Jahrzehnte entwickelt hat. Die wichtigsten Exponenten waren Bohr und Heisenberg. Ihre ersten Publikationen zu diesem Thema erschienen 1927 und 1928, die endgültige Version 1958. Allerdings sind sich Bohr und Heisenberg keineswegs in allen Punkten einig. So sagt Bohr „es gibt keine Quantenwelt“. Damit meint er, dass es eigentlich keinen Sinn macht, über quantenmechanische Systeme zu sprechen; nur die klassisch beobachtbaren Resultate von Messungen an quantenmechanischen Systemen stellen Realität dar. W. Heisenberg, 'Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik', Z. Phys. 43, 172-198 (1927). N. Bohr, 'The quantum postulate and the recent development in atomic theory', Nature 121, 580590 (1928). W. Heisenberg, 'Physik und Philosophie', Hirzel, Stuttgart (1958). N. Bohr, 'Erkenntnisfragen der Quantenphysik', Naturwissenschaftliche Rundschau 13, 252-255 (1960).

Die wichtigsten Postulate der Kopenhagener Interpretation sind • Die Quantenmechanik behandelt Einzelsysteme. • Die Wahrscheinlichkeiten der Quantenmechanik sind primär, d.h. sie können nicht wie bei der statistischen Mechanik auf eine deterministische Theorie zurückgeführt werden. • Die Welt wird in zwei Teile geteilt. Der eine Teil ist das beobachtete Objekt, welches quantenmechanisch beschrieben wird, der andere Teil die Messapparatur, welche klassisch beschrieben werden muss. Der Schnitt zwischen dem Objekt und dem Messapparat kann an beliebiger Stelle gemacht werden. • Der Beobachtungsprozess ist irreversibel. • Komplementäre Eigenschaften können nicht gleichzeitig beobachtet werden. 4.1.4.

Kritik der Kopenhagener Inter pretation

Vielleicht der größte Vorteil der Kopenhagener Interpretation ist, dass sie intern konsistent ist. Einstein formulierte dies in einem Brief an Schrödinger so: "Die Heisenberg-Bohr'sche Beruhigungsphilosophie – oder Religion? – ist so fein ausgeheckt, dass sie dem Gläubigen ein sanftes Ruhekissen liefert, von dem er sich nicht so leicht aufscheuchen lässt." Damit sind zwei Punkte angesprochen: zum einen anerkennt Einstein, dass die Kopenhagener Interpretation intern konsistent ist (deshalb kann sie als Ruhekissen dienen), zum anderen macht er klar dass ihn die Situation nicht befriedigt. Der Grund dafür ist im wesentlichen dass für die interne Konsistenz ein hoher Preis bezahlt 4) Quantenmechanische Messungen

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wird: Sie wird nur dadurch erreicht, dass man die Quantenmechanik im wesentlichen auf einen Satz von Algorithmen reduziert; ein eigentliches Verständnis für die Eigenschaften der Materie ist auf dieser Basis nicht möglich. Durch die strikte Trennung in einen quantenmechanischen und einen klassischen Bereich wird die Möglichkeit verneint, klassische Aspekte von Quantensystemen als Grenzfälle einer mikroskopischen Theorie herzuleiten. Der Zustandsvektor entspricht laut Kopenhagener Interpretation dem Wissen über das quantenmechanische System. Unterschiedliche Beobachter, welche unterschiedliches Wissen haben, werden deshalb unterschiedliche Zustandsvektoren verwenden. Damit ist aber nicht klar, weshalb die Schrödingergleichung in beiden Fällen Gültigkeit haben sollte. Zu den wichtigsten Kritikern der Kopenhagener Interpretation gehörte Einstein. So hat er darauf bestanden, dass die Zustandsvektoren eines quantenmechanischen Systems nur Ensembles korrekt beschreiben. Diese statistische Interpretation wird im folgenden noch getrennt diskutiert. Ein weiterer wichtiger Kritiker war Johann von Neumann. Er war der Ansicht, dass die Quantenmechanik prinzipiell alle Naturphänomene korrekt beschreibt, also z.B. auch den Messapparat. Dieser Ansatz macht die Quantenmechanik zu einer universell gültigen Theorie, von der die klassische Mechanik als Grenzfall abgeleitet werden kann. In dieser Hinsicht ist sie sehr viel befriedigender als die Kopenhagener Interpretation. Allerdings erhält man aus dieser Annahme das Messproblem der Quantenmechanik: es erfolgt keine Reduktion des Zustandsvektors. Auch Schrödinger hat sich an der Kritik beteiligt, allerdings eher aus ästhetischen Überlegungen. Er sagte: "Wenn diese Quantenspringerei nicht aufhört tut es mir leid, mich jemals damit befasst zu haben" 4.1.5.

von Neumann's Modell des Messprozesses

Einen alternativen Ansatz machte Johann von Neumann indem er versuchte, die Trennung in ein quantenmechanisches Objekt und einen klassischen Messapparat aufzuheben. Zu diesem Zweck entwickelte er ein rein quantenmechanisches Modell für den Messprozess. Darin wird ein System S durch einen Wechselwirkungsoperator an Z: Modell eine Messapparatur A gekoppelt. Das System soll die beiden Basiszustände Ψa und Ψb besitzen, welche Eigenzustände einer Systemobservablen Os seien. Es soll nun mit Hilfe einer Messung bestimmt werden, ob sich das System im Zustand Ψa oder Ψb befindet. Um eine quantenmechanische Beschreibung des Messvorgangs zu erhalten muss auch die Messapparatur quantenmechanisch beschrieben werden. Wir verwenden die einfachste mögliche Beschreibung: Die Messapparatur soll nur zwei mögliche Zustän4) Quantenmechanische Messungen

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de haben, von denen der eine anzeigt, dass sich das System im Zustand Ψa befindet, der andere Zustand zeigt an, dass sich das System im Zustand Ψb befindet. Wir schreiben für diese beiden Zustände der Messapparatur ξa und ξb. Die entsprechende Observable soll mit Oa bezeichnet werden. Die Annahme von Neumanns ist, dass das System sich zu Beginn des Messprozesses in einem Zustand befindet, der keine Korrelationen zwischen Objekt und Messapparatur besitzt. Objekt und Apparat seinen jeweils in einem reinen Zustand Ψ, resp. ξ, welche nicht bekannt sind. Das Gesamtsystem ist dann im Produktzustand Ψ ⊗ ξ. Wenn wir den Ausgangszustand des Objekts in der Basis der beiden Eigenzustände der Observablen A schreiben lautet der Produktzustand Ψ(0) = (ca Ψa + cb Ψb) ⊗ ξ . Das System muss nun so an den Messapparat gekoppelt werden, dass der Systemzustand Ψa auf den Zustand ξa des Messapparates abgebildet wird: Ψ a ⊗ ξ → Ψ a ⊗ ξa . Ψ b ⊗ ξ → Ψ b ⊗ ξb . Wenn wir einen Superpositionszustand an diesen Apparat ankoppeln wird aufgrund der Linearität der Schrödingergleichung daraus der Gesamtzustand Ψ(t) = (da Ψa ⊗ ξa + db Ψb ⊗ ξb) entstehen. Der Messprozess führt somit nicht zu einer Zustandsreduktion, sondern zu einem verschränkten Zustand. Über das System und über die Messapparatur weiß man somit weniger als vorher. Erst wenn der Zeiger der Messapparatur abgelesen und dadurch der Zustand auf eines der beiden möglichen Messresultate Ψa ⊗ ξa oder Ψb ⊗ ξa reduziert wird erhalten wir wieder einen einfachen Zustand. Allerdings ist dann der Messapparat seinerseits zu einem System geworden an dem eine Messung durchgeführt wird. Damit erhält man eine Art unendlichen Regress: solange der Messprozess quantenmechanisch beschrieben wird findet keine Zustandsreduktion statt. Von Neumanns Modell, welches später von London und Bauer expliziter gemacht und von Wigner übernommen wurde, geht davon aus, dass die Reduktion des Zustandsvektors durch das Bewusstsein des Beobachters zustand kommt. Somit ist die Quantenmechanik auch hier nicht allgemein gültig, nämlich nicht für das Bewusstsein des Beobachters. Als Hinweis darauf, weshalb dies gerechtfertigt sein soll führen London und Bauer an, dass der Beobachter als einziges Objekt im Universum die Möglichkeit zur Selbstbeobachtung habe. Trotzdem stellt sich natürlich die Frage, ob die physiologischen Prozesse im Gehirn noch quantenmechanisch beschrieben werden dürfen.

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Man sollte sich allerdings der Grenzen dieser Beschreibung bewusst sein: Wir haben hier für jedes mögliche Messresultat einen einzelnen Quantenzustand für den Messapparat geschrieben. Dabei kann es sich aber nicht um einen Eigenzustand des Hamiltonoperators handeln. Dies sieht man wenn man abschätzt, dass ein makroskopischer Messapparat rund 1050 (D. Bohm, 'Quantum Theory', Prentice-Hall, New York (1951).) Energie-Eigenzustände besitzt. Dadurch liegen diese so dicht dass kein Experiment in der Lage ist, das System in einen einzelnen Eigenzustand zu bringen. Damit ist der resultierende Zustand immer auch zeitabhängig.

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4 . 2 Schrödinger’s Katze 4.2.1.

Zitat

Im Jahre 1935 beschrieb Schrödinger folgendes Gedankenexperiment: (Bilder aus B. d'Espagnat, 'The quantum theory and reality', Scientific American November '79, 128-140 (1979).)

Eine Katze wird in eine Stahlkammer gesperrt, zusammen mit folgender Höllenmaschine (die man gegen den direkten Zugriff der Katze sichern muss): in einem Geigerschen Zählrohr befindet sich eine winzige Menge radioaktiver Substanz, so wenig, dass im Laufe einer Stunde vielleicht ein Atom zerfällt, ebenso wahrscheinlich aber auch keines; geschieht es, so spricht das Zählrohr an und betätigt über ein Relais ein Hämmerchen, das ein Kölbchen mit Blausäure zertrümmert. Hat man dieses System eine Stunde lang sich selber überlassen, so wird man sich sagen, dass die Katze noch lebt, wenn inzwischen kein Atom zerfallen ist. Der erste Atomzerfall würde sie vergiftet haben. Die Ψ Funktion des ganzen Systems würde das so zum Ausdruck bringen, dass in ihr die lebende und die tote Katze zu gleichen Teilen gemischt oder verschmiert sind. Literatur: E. Schrödinger, 'Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik', Die Naturwissenschaften 23, 807-812, 823-828, 844-849 (1935). A. Peres, 'The classic paradoxes of quantum theory', Found.Phys. 14, 1131-1145 (1984). B. d'Espagnat, 'The quantum theory and reality', Scientific American November '79, 128-140 (1979).

4.2.2.

Interpretation

Die beiden klassisch möglichen Endzustände würden quantenmechanisch jeweils als eine Wellenfunktion geschrieben: Ψl ξ 0

und

Ψ t ξ1 .

Hier beschreiben Ψl und Ψt die lebende und die tote Katze und ξ 0,1 die Anzahl Zerfälle des radioaktiven Isotops.

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Wenn wir die übliche Interpretation der Quantenmechanik verwenden befindet sich das System vor einer Messung im Zustand 1 Ψ- = ( Ψl ξ 0 + Ψ t ξ 1 ) . 2 Solche Zustände sind in der Quantenmechanik als "verschränkte Zustände" bekannt und spielen eine wichtige Rolle z.B. in der Quantenkryptographie oder bei einem Quantencomputer. Hier stellt der Zustand aber eine Superposition einer lebenden Katze mit einer toten Katze dar, was natürlich mit unserer täglichen Erfahrung nicht vereinbar ist. Durch die Messung (d.h. die Öffnung der Stahlkammer) wird das System in einen der beiden Zustände Ψl oder Ψt projiziert: Ψ + = Ψl ξ 0

oder

Ψ + = Ψt ξ 1 .

Offensichtlich ist die oben beschriebene Zustandsfunktion aber nicht die einzige, die mit den erwarteten Messresultaten in Übereinstimmung ist. Die Projektion ist nicht empfindlich auf die relative Phase im Superpositionszustand. Die Funktion 1 Ψ -,φ = ( Ψl ξ0 + eiφ Ψt ξ1) 2 führt zu den gleichen Messresultaten. Allgemein hängt das Messresultat bei Messungen dieser Art nicht von der relativen Phase der beteiligten Zustände ab. Schrödinger's Gedankenexperiment wurde auch immer wieder graphisch wiedergegeben.

F: Katze aus Baumann / Sexl

Offensichtlich ist diese Beschreibung im Widerspruch zu unserer alltäglichen Erfahrung: Wir kennen lebende Katzen und tote Katzen, aber ein Superpositionszustand zwischen beiden ist nicht vorstellbar. Es scheint also dass das Superpositionsprinzip der Quantenmechanik nicht allgemein anwendbar ist. Auch klassisch ist die Unterscheidung zwischen einer lebenden und einer toten Katze nicht exakt, sondern muss definiert werden. Die heute juristisch und medizinisch akzeptierte Definition beinhaltet eine Reihe von Kriterien, wie z.B. Herzschlag und Gehirnaktivität. Sie ist aber mit Sicherheit abhängig von den Möglichkeiten der Medizin.

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4.2.3.

Wann kollabiert die Wellenfunktion?

In rein quantenmechanischen Fällen kommt es nie zu einem Kollaps. Hier ist jede Evolution prinzipiell auch umkehrbar, da zu jedem Zeitentwicklungsoperator auch der inverse existiert. Wenn die Zeitevolution, welche die Katze in der Stahlkammer durchmacht, durch den Operator U beschrieben wird, so ist es prinzipiell möglich, diese rückgängig zu machen indem man den Evolutionsoperator U-1 anwendet. Wir betrachten zunächst als einfaches Z: Stern-Gerlach Experiment Modell eines Messprozesses, eine Erweiterung des Stern-Gerlach Versuchs bei dem nicht nur eine Spinkomponente gemessen wird. Da die Komponenten eines Drehimpulses nicht miteinander vertauschen können sie nicht gleichzeitig gemessen werden. Wenn bei einem Spin-1/2 Teilchen z.B. die vertikale Komponente gemessen wird, und anschließend von allen Teilchen, welche Spin up hatten, die horizontale Komponente gemessen wird, so erhält man beide möglichen Resultate mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Wird anschließend nochmals bei allen Teilchen mit Spin nach rechts die vertikale Komponente gemessen, so findet man wieder beide Möglichkeiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Ein interessantes Gedankenexperiment erhält man aus diesem durch eine kleine Erweiterung: bringt man nicht nur die Spin-up Teilchen in die Messung der horizontalen Komponente, sondern die up- und downTeilchen und erzeugt daraus eine Superposition mit geeigneter relativer Phase, 1 Ψ= (|a> + |b>) , 2 so findet man vollständig deterministisch nur die eine horizontale Komponente (z.B. rechts). Dies kann als Beispiel eines „Quantum Eraser“s, d.h. eines „Quanten-Radiergummis“ betrachtet werden: Durch das Erzeugen der Superposition wird die Information über die Orientierung des Spins bei der ersten Messung gelöscht und dadurch die Möglichkeit wieder hergestellt, ein deterministisches Resultat für die Messung der horizontalen Komponente zu erhalten. Anders ausgedrückt wurde in diesem Experiment die vertikale Komponente nie gemessen, so dass keine Änderung der horizontalen Komponente erzwungen wird.

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Wenn das Experiment jetzt modifiziert wird indem einer der beiden Teilstrahlen unterbrochen wird, so erhält man wieder die ursprüngliche 50 / 50 Verteilung. Dies ist ein Beweis dafür, dass quantenmechanische Systeme nicht einfach als klassische Ensembles betrachtet werden dürfen: dann könnte eine Vorselektion einer Verteilung nicht zu einer größeren Streuung führen.

4.2.4.

Spinmodell

Um ein physikalisch etwas präziseres und einfa- Z: Spin, Messapparat cheres Beispiel zu verwenden gehen wir über zu einem Spin 1/2, von dem wir bestimmen möchten, ob sein Spin nach oben oder unten zeigt. Die entsprechenden Zustände bezeichnen wir mit |u> und |d>. Wir verwenden als Messinstrument einen Eisenmagneten mit 1020 Spins, welche alle gleich ausgerichtet sein sollen. Dies stellt eine gute Näherung für ein klassisches Messinstrument dar, ist aber doch noch quantenmechanisch beschreibbar. Sind alle Spins nach oben gerichtet so bezeichnen wir den entsprechenden Zustand mit |U>, alle nach unten mit |D>. Wir führen die Messung so durch dass der Eisenmagnet sich zunächst im |U> Zustand befindet. Danach werden der Spin und der Magnet für eine Zeit T gekoppelt. Die Kopplung soll so konstruiert werden dass der Magnet sich anschließend im |D> Zustand befindet fall der Spin zu Beginn im |d> Zustand war, dass er aber im |U> Zustand bleibt falls der Spin zu Beginn im |u> Zustand war. Als Kopplungsoperator können wir dann den Hamiltonoperator H = P (1-σz) verwenden. Hier stellt P den Projektionsoperator P=

1  1 −1 1 (|U> - |D>) (, |d, U>, |d, D>) die Darstellung  1  1 −1  0 0  H=   ⊗  = 2  −1 1   0 2    4) Quantenmechanische Messungen

   . 1 −1  −1 1  29. Januar 1999

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Die Dauer der Kopplung wird π/2 gewählt. Damit wird der resultierende Transformationsoperator 1   1  U = exp(i τ H) = exp(i π/2 H) =   . 1      1  Somit wird für den Fall dass der Spin im Zustand u ist der Z: Messprozess Eisenmagnet nicht beeinflusst, seine Polarisation wird aber invertiert wenn der Spin zu Beginn im d Zustand ist. Falls der Magnet zu Beginn der Operation im U Zustand ist wird somit das gewünschte Messresultat ermittelt. Befindet sich der Spin zu Beginn in einem Superpositionszustand |u> + |d> so endet auch der Eisenmagnet in einem Superpositionszustand U (|u> + |d>) = |u,U> + |d,D> , welcher der Superposition zwischen der lebenden und der toten Katze entspricht. 4.2.5.

Zeitumkehr

Das Schöne an diesem Beispiel ist, dass sich leicht zeigen lässt, dass die Zeitentwicklung hier umkehrbar ist: offensichtlich ist U2 = 1 , d.h. eine zweite Anwendung des gleichen Zeitentwicklungsoperators bringt das System wieder in den Ausgangszustand zurück – die Katze lebt wieder. Das Beispiel kann auch eine Idee geben weshalb dies mit einer echten Katze so schwierig ist. Voraussetzung für die Zeitumkehr ist, dass die Phasenbeziehung zwischen den beiden Basiszuständen fest ist. Im vorliegenden Beispiel wird ein Zustand |u,U> + eiφ |d,D> , der die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung für die beiden möglichen Messresultate ↑ und ↓ aufweist, durch Multiplikation mit der Matrix U in den Zustand (|u,U> + eiφ |d,U> ) = (|u> + eiφ |d>) ⊗ |U> übergehen. Offenbar steht dieser Zustand für φ = π gerade orthogonal zum Ausgangszustand. Liegt eine statistische Mischung von Einzelsystemen vor, welche jeweils unterschiedliche Phasen aufweisen, so merken wie dies bei einer Messung der zKomponente des Spins nicht. Wenn wir hingegen versuchen, die Zeitentwicklung umzudrehen indem wir nochmals den Zeitentwicklungsoperator U anwenden, so erhalten wir eine Mischung, die keine Kohärenz mehr aufweist zwischen den beiden Basiszuständen. Nach der versuchten Zeitumkehr finden wir ein Ensemble von Spins, die mit der Zustandsfunktion 4) Quantenmechanische Messungen

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|u> + eiφi |d> beschrieben werden können, wobei φ i eine Zufallsvariable darstellt. Offenbar entspricht jeder dieser Zustände einem Spin, der in der xy-Richtung orientiert ist; die Verteilung ist jedoch in dieser Ebene isotrop, so dass der Mittelwert verschwindet. Diese Betrachtung kann eine Idee geben weshalb die Zeitumkehr im Fall der Schrödingerkatze nicht funktioniert, d.h. weshalb Superpositionszustände zwischen makroskopisch unterscheidbaren Zuständen so extrem fragil sind. Voraussetzung für eine effektive Zeitumkehr wäre offenbar dass die Phasen der beteiligten Zustände exakt dem mathematischen Wert entsprechen. Dass dies praktisch nicht möglich ist kann man leicht am Beispiel des Eisenmagneten zeigen: die Energie der beiden entgegengesetzten Spinzustände hängt stark von einem äußeren Magnetfeld ab: ∆E = N 6.1010 Hz/T . In einem typischen Labor findet man Felder in der Größenordnung von 10-4 T, aber wir wollen optimistischerweise annehmen dass wir sie bis auf 10-10 T reduzieren können. Für die angenommene Zahl von N = 1020 Spins erhält man dann eine Verschiebung von ∆E = 6.1020 Hz . Dies bedeutet, dass schon nach 10-20 Sekunden die Phase des experimentellen Superpositionszustandes sich völlig von derjenigen des theoretischen Zustandes unterscheidet. Dies bedeutet, dass die zweite Anwendung des Operators U das System in einen anderen Zustand bringt als den Ausgangszustand. Diese extreme Empfindlichkeit auf externe Störungen ist eine allgemeine Eigenschaft von makroskopischen Systemen. Sie führt dazu, dass eine wirkliche Zeitumkehr in solchen Systemen ausgeschlossen ist. 4.2.6.

Kopplung an die Umgebung

Die Quantenmechanik geht immer davon aus, dass das betrachtete System vom Rest des Universums unabhängig ist. Es ist aber tatsächlich nicht möglich, ein System vollständig von der Umgebung zu isolieren. Im obigen Beispiel kam diese Kopplung durch magnetische Streufelder zustande. Es gibt aber noch sehr viele weitere Kopplungen die nicht nur in der Praxis, sondern auch fundamental nicht zu eliminieren sind. So koppelt jedes System ans Strahlungsfeld und Gravitationseffekte können nicht abgeschirmt werden. Da es nicht möglich ist, den Einfluss der Umgebung exakt zu beschreiben soll an dieser Stelle nur wiederum anhand eines einfachen Modells gezeigt werden, wie sich diese Wechselwirkung auf die diskutierten Zustände auswirkt. Man kann sich aber trotzdem einmal überlegen, was passieren würde, wenn es möglich wäre, ein quantenmechanisches System vollständig von der Umgebung zu isolieren, abgesehen von der Kopplung an den Messapparat. Von dieser nehmen wir

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an, dass sie durch den Formalismus von von Neumann beschrieben werden kann, also durch einen Wechselwirkungsoperator, der einen verschränkten Zustand |u,U> + |d,D> zwischen System und Messapparat erzeugt. Dieser Messapparat ist nun notwendigerweise an die Umgebung gekoppelt. Wir gehen davon aus, dass die Umgebung in der gleichen Weise koppelt wie ein weiterer Messapparat und beschreiben sie wiederum durch ein Zweiniveausystem mit den Zuständen |α>, |β>. Befindet sie sich zunächst im Zustand |α>, d.h. das Gesamtsystem ist im Zustand (|u,U> + |d,D>) ⊗ |α> so erzeugt die Wechselwirkung daraus einen Zustand (|u,U,α> + |d,D,β>) , bei dem der Spin nicht nur mit dem Messapparat, sondern auch mit der Umgebung verschränkt ist. Da diese Umgebungsvariable nicht kontrollierbar ist und auch nicht beobachtet wird macht allerdings diese Zustandsfunktion letztlich keinen Sinn. Man ist deshalb gezwungen, die Badvariablen |α>, |β> zu eliminieren. Dies ist im Formalismus der Zustandsvektoren allerdings nicht möglich, man benötigt dafür den Dichteoperatorformalismus. Wir können an dieser Stelle lediglich qualitativ beschreiben dass dies grob einem System entspricht, in dem eine Reihe von Einzelsystemen sich durch die relative Phase zwischen den beiden Basiszuständen unterscheiden: Ψi = |u,U> + eiφi |d,D> . φ i ist hier eine Zufallsvariable, die von Einzelatom zu Einzelatom variiert. Die Resultate der Messung werden somit durch die Kopplung ans Bad nicht verändert; wie oben gezeigt funktioniert allerdings die Zeitumkehr nicht mehr. In der Basis |u>, |d> des zu messenden Spins betrachtet ist somit die relative Phase zwischen den beiden Zuständen verloren gegangen, obwohl wir hier angenommen haben, dass der Spin nur auf eine deterministische, exakte Weise an den Messapparat gekoppelt wurde uns sonst vollständig von der Umgebung abgekoppelt war. Es ist aber letztlich die unvermeidbare Kopplung des Messapparates an die Umgebung, welche aufgrund der Tatsache dass es sich um einen verschränkten Zustand handelt, auch die Spin-Variablen beeinflusst. 4.2.7.

Grenzen des Superpositionsprinzips

Offenbar gilt das Superpositionsprinzip der Quantenmechanik nicht uneingeschränkt. Prinzipiell scheinen Zustände verboten zu sein, welche Superpositionen von makroskopisch unterscheidbaren Zuständen darstellen.

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Um besser zu verstehen, warum solche Zustände verboten sind versucht man sie spezifisch zu erzeugen. Sie werden dann entweder als "Schrödinger-Katze Zustände" oder, vielleicht etwas sachlicher, als makroskopische Quantenkohärenz (macroscopic quantum coherence, MQC) bezeichnet. Im folgenden Kapitel werden einige experimentelle Beispiele diskutiert. Man kann sich jetzt natürlich auch die Frage stellen, was denn passieren würde wenn wir am angenommenen Superpositionszustand nicht die Messung (tot / lebendig) durchführen würden, sondern gerade auf einen Superpositionszustand getestet hätten. Formal ausgedrückt kann die Messung (tot / lebendig) in seiner Eigenbasis mit dem Operator σz beschrieben werden, wobei der Eigenwert +1 z.B. dem Resultat lebendig, tot dem Eigenwert -1 zugeordnet werden kann. Rein formal wäre es dann auch möglich, einen Operator σx zu verwenden. Das Resultat einer Messung mit diesem Operator wäre ein Eigenwert +1 zum Superpositionszustand Ψl + Ψt, resp. –1 zum Zustand Ψl - Ψt. Eine Reihe von solchen Messungen würden immer wieder bestätigen dass die Katze sich in einem Superpositionszustand befindet, sie würde also immer in diesem Zustand verharren. Man kann eigentlich noch weiter gehen: für makroskopische Systeme sind nicht nur Superpositionszustände nicht erlaubt, sie können streng genommen nicht mit einer Wellenfunktion beschrieben werden. Dies liegt im wesentlichen am geringen Energieunterschied zwischen den Eigenzuständen, welcher dazu führt, dass jede Wechselwirkung mit der Umgebung größer ist als der Abstand zwischen zwei Energieniveaus. Somit ist Störungsrechnung nicht mehr anwendbar, und auch von Neumanns Theorie des Messprozesses ist nicht anwendbar. 4.2.8.

Superauswahlregeln

Dass es nicht möglich ist, eine Messung des Zustandes Ψl + Ψt durchzuführen liegt daran, dass keine Messapparatur konstruiert werden kann, die diesem Operator entspricht. Diese Tatsache, welche festlegt, welche Größen klassisch beobachtbar sind (σz, nicht σx) wird z.T. als "Superauswahlregel" bezeichnet. Es gibt allerdings vorläufig nur einzelne Modelle, die versuchen aufzuzeigen, weshalb gerade die eine oder die andere Variable von der Natur "gewählt" wird. Ausgangspunkt dieser Überlegungen ist die Vorstellung, dass Messungen nicht nur von einem dafür hergestellten Apparat, sondern auch durch die "natürliche" Umgebung durchgeführt werden: jede Kopplung an die Umgebung hat eine Form die grundsätzlich ähnlich aussieht wie der von Neumann'sche Messprozess. Umgebungsvariablen, die hierbei eine Rolle spielen, sind insbesondere diejenigen des Strahlungsfeldes. Offenbar sind es gerade diejenigen Variablen, die wir aus der klassischen Physik kennen, welche diese Superauswahlregeln erfüllen. Eine solche klassische Variable, die wir mit einem experimentellen Aufbau messen können, muss bestimmte Bedingungen erfüllen. So muss offenbar der Apparat robust sein gegen die Kopplung an die Umgebung (das "Bad"). Das kann man leicht im quantenmechanischen Formalis4) Quantenmechanische Messungen

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mus festhalten wenn man für den Operator der Kopplung zwischen Messapparat und Bad Hint schreibt. Dann muss gelten [A, Hint] = 0 damit die Kopplung ans Bad nicht das Resultat der Messung stört. Literatur: W.H. Zurek, 'Pointer basis of quantum apparatus: into what mixture does the wave packet collapse?', Phys. Rev. D 24, 1516-1525 (1981); W.H. Zurek, 'Environment-induced superselection rules', Phys. Rev. D 26, 1862-1880 (1982). Dieses scheinbare Paradox kann auch leicht an Molekülen diskutiert werden: Da der Hamiltonoperator eines Moleküls in guter Näherung gerade Parität aufweist würde man erwarten dass die Grundzustände der Moleküle ebenfalls gerade Parität aufweisen. Dies ist aber in vielen Fällen nicht der Fall, so z.B. bei fast allen Biomolekülen (Proteine, DNS etc.). Dies kann vereinfacht darauf zurückgeführt werden, dass die Wechselwirkung mit der Umgebung, insbesondere dem Strahlungsfeld, eine bevorzugt Basis festlegt, nämlich diejenige mit lokalisierten Kernkoordinaten (E. Joos and H.D. Zeh, 'The emergence of classical properties through interaction with the environment', Z. Phys. B 59, 223-243 (1985).). Man kann sich dies in grober Analogie zu einem klassi-

schen System vorstellen, bei dem die Wechselwirkung mit der Umgebung zur Brown'schen Bewegung führt; hier führen die Stöße mit den Photonen zu einer Lokalisierung (A.O. Caldeira and A.J. Leggett, 'Path integral approach to quantum Brownian motion', Physica 121 A, 587-616 (1983).). Die Tatsache dass die Positionsvariable in der klassischen Physik eine herausragende Rolle spielt kann letztlich darauf zurückgeführt werden, dass die Wechselwirkungen mit der Distanz abnehmen (W.H. Zurek and J.P. Paz, 'Decoherence, Chaos, and the Second Law', Phys. Rev. Lett. 72, 2508-2511 (1994); J.P. Paz, S. Habib, and W.H. Zurek, 'Reduction of the wave packet: Preferred observable and decoherence time scale', Phys. Rev. D 47, 488-500 (1993).).

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4 . 3 Verschränkte Zustände in Modellsystemen 4.3.1.

Freie Atome

In den letzten Jahren gab es viele Arbeiten, welche zum Ziel hatten, Superpositionszustände zu erzeugen und zu beobachten, welche die Eigenschaften von Schrödinger's Katze annähern. Dies stellt experimentell sehr hohe Anforderungen, da wie bereits erwähnt diese Zustände sehr empfindlich sind. Es gibt im wesentlichen zwei Ansätze die zu Erfolgen geführt haben: zum einen einzelne Atome oder Ionen, zum anderen Photonen. Wenn bei Atomen die Welleneigenschaften ausgenutzt wer- Z: Strahlteiler den ist es möglich, sie wie Photonen in zwei Teilstrahlen zu teilen, die räumlich getrennt sind. Der Superpositionszustand zwischen den beiden Teilstrahlen kann zu einer Art "Schrödinger-Katze" werden wenn er mit einer inneren Variablen verschränkt wird. Dies ist z.B. dann der Fall wenn ein Atom mit Z: Puls als Strahlteiler einem Laserpuls angeregt wird und der Puls so gewählt wird, dass das Atom gerade 50% Wahrscheinlichkeit aufweist, in den angeregten Zustand überzugehen. Ausgehend von einem Grundzustandsatom |g> erzeugt der Laserpuls dann einen Zustand 1 (|g;0> + |e;hk> , 2 d.h. einen verschränkten Zustand von eines Atoms im Grundzustand in Ruhe und eines angeregten Zustandes mit Impuls hk. Der unterschiedliche Impuls führt dazu, dass der Zustand zu einem späteren Zeitpunkt einem verschränkten Zustand aus einem Grundzustandsatom im Ursprung und einem angeregten Atom am Ort hkt/M entspricht (M = Masse des Atoms). 4.3.2.

Gebundene Systeme

Da es sich hier um einen freien Zustand handelt erhält man i.a. eine Dispersion, d.h. ein Zerfließen des Wellenpaketes. Dies kann man vermeiden indem man entsprechende Zustände in gebundenen Systemen erzeugt. (C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King, and D.J. Wineland, 'A "Schrödinger Cat" superposition state of an atom', Science 272, 1131-1136 (1996). ). Monroe und Mitarbeiter verwendeten dafür ein 9Be+ Ion, das in einer Ra-

diofrequenz-Falle gespeichert war. Die angelegten RF Felder erzeugen ein Z: Harmonischer Oszillator effektives Potential, welches in guter Näherung dem eines harmonischen Oszillators entspricht. In einem harmonischen Oszillator kann man Superpositionen der Eigenzustände erzeugen, welche in guter Näherung einem klassischen lokalisierten Wellenpaket entsprechen. Sie waren in diesem Fall verschränkt mit einer internen Zustandsvariablen: es handelte sich um unterschiedliche Hyperfeinzustände. 4) Quantenmechanische Messungen

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Mit einer geeigneten Sequenz von Laserpulsen erzeugten Z: Wellenpakete Sie eine Superposition von zwei solchen Wellenpaketen, welche räumlich um etwa 80 nm getrennt waren, während die einzelnen Wellenpakete eine Ausdehnung von etwa 7 nm hatten. Sie waren somit räumlich klar getrennt, nicht nur im Vergleich zum Atomdurchmesser von etwa 0.1 nm. Superpositionszustände dieser Art können wieder in einen lokalisierten Zustand gebracht werden, z.B. über Zeitumkehr in den Ausgangszustand. (Wie dies experimentell realisiert werden kann soll hier nicht diskutiert werden.) Dies ist möglich solange es sich um eine vollständig kohärente Superposition zwischen den beiden Basiszuständen handelt, d.h. solange die Phasenbeziehung für alle Atome identisch erhalten bleibt. Wenn diese zerfällt, d.h. wenn es sich nicht mehr um eine kohärente Superposition, sondern um eine statistische Mischung handelt, so verschwinden diese Interferenzterme. Wie können somit überprüfen, ob es sich (noch) um einen kohärenten Überlagerungszustand handelt, d.h. ob die Zeitentwicklung noch umkehrbar ist, wenn wir die Interferenzterme suchen. Um die Interferenz zu beobachten muss man die beiden Wellenpakete Z: Amplitude α und Phase ±φ überlagern. Zu diesem Zweck wurden jeweils ein Zustand mit Amplitude α und Phase ±φ überlagert und die resultierende Aufenthaltswahrscheinlichkeit gemessen. Der resultierende Superpositionszustand 1 ( |α eiφ/2> - | α e-iφ/2> ) 2 zeigt für verschwindende Phase φ negative Interferenz, d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Ion in diesem Zustand zu finden verschwindet. Aufgetragen ist die Wahrscheinlichkeit, das Atom zu finden F: Interferenz als Funktion der Phase φ, welche als eine Abstandskoordinate der beiden Teile im Phasenraum verstanden werden kann. Die Resultate wurden so skaliert dass 0.5 einer statistischen Mischung der beiden getrennten Aufenthaltswahrscheinlichkeiten entspricht; eine Abweichung nach oben zeigt konstruktive Interferenz, eine Abweichung nach unten negative Interferenz, d.h. Auslöschung. Offenbar findet man für φ=0 immer Interferenz. In den hier gezeigten Resultate ist sie negativ, was auf die relative Phase zwischen den beiden Teilzuständen zurückzuführen ist. Für größere Phasenwinkel nimmt die Interferenz ab. Nimmt auch die Amplitude α des harmonischen Oszillators zu, so findet man eine oszillatorische Abhängigkeit der Interferenz von der Phase φ. Je größer die Amplitude α desto kürzer wird die Periode dieser Oszillation. Bei einem makroskopischen Zustand wie einer Katze wäre die Oszillationsperiode so kurz dass sie nicht mehr beobachtbar wäre. In diesem experimentellen Beispiel nimmt die Sichtbarkeit der Interferenz bereits bei einer Anregung von α = 2.97 deutlich ab.

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4.3.3.

Optische Modellsysteme

Abgesehen von einzelnen Atomen oder Ionen eignen sich optische Systeme gut als Modellsysteme: Photonen sind einerseits relativ gut von der Umgebung isoliert und können damit gegen Wechselwirkungen geschützt werden, welche zum Kollaps der Wellenfunktion führen. Außerdem sind sie leicht zu erzeugen und nachzuweisen. Optische Zustände, die klassisch unterscheidbar Z: Zustand in xy-Ebene sind, sind z.B. Zustände mit gleicher Amplitude aber entgegengesetzter Phase. Man kann dies gut in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen, in dem die Amplitude des Feldes durch den Radius r gegeben ist, die Phase durch den Winkel φ. Aufgrund der quantenmechanischen Unschärfe ist ein Feldzustand in dieser Darstellung nie durch einen Punkt, sondern typischerweise durch einen Kreis dargestellt, welcher die Unschärfe des Zustandes darstellt. Ein Laserfeld z.B. wird durch einen kohärenten Zustand beschrieben, welcher die minimal erlaubte Unschärfe besitzt. Einen Superpositionszustand zwischen zwei Zuständen mit (annähernd) gleicher Amplitude und entgegengesetzter Phase kann man erzeugen indem man einen solchen Zustand durch ein optisch nichtlineares Medium schickt, welches eine Phasenverschiebung erzeugt, die proportional zur Amplitude des Lichtes ist. Man kann somit prinzipiell die Länge des Kristalls so wählen, dass die Phase der Zustände mit ungerader Photonenzahl gerade um 180 Grad ändert, während die Phase der Zustände mit gerader Photonenzahl sich um 360 Grad ändert (B. Yurke and D. Stoler, 'Generating quantum mechanical superpositions of macroscopically distinguishable states via amplitude dispersion', Phys. Rev. Lett. 57, 13-16 (1986)). Ist die Zahl der beteiligten Zustände genügend groß,

so erhält man somit eine kohärente Superposition von zwei Zuständen die sich im wesentlichen durch ihre Phase unterscheiden. Eine Möglichkeit, diese Interferenzterme darzu- F: Wigner Verteilung stellen ist die Wigner-Verteilung, die eine QuasiWahrscheinlichkeitsverteilung der Zustandsfunktion in Abhängigkeit von Ort und Impuls darstellt. Für eine Superposition von räumlich getrennten Zuständen findet man zwischen den beiden eine oszillatorische Abhängigkeit, bei der negative Pseudowahrscheinlichkeiten auftreten. Man kann solche Zustände mit einem sogenannten Homodyn Detektor messen. Dies ist im wesentlichen ein phasenempfindlicher optischer Detektor (im Gegensatz zu einem einfachen Detektor, welcher nur die Intensität misst). Je nach Wahl der Phase erwartet man entweder zwei getrennte Peaks oder ein Interferenzmuster zwischen den beiden. Diese Zustände weisen charakteristische Interferenzmuster auf.

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4.3.4.

Dekohärenz

Allerdings sind diese Interferenzen extrem empfindlich auf Rauschen oder Verluste, d.h. sie zerfallen sehr rasch (W.H. Zurek, 'Decoherence and the transition from quantum to classical', Physics Today October 1991, 36-44 (1991).). Dies ist letztlich ein Teil der Lösung (der einfache Teil) für das Messproblem der Quantenmechanik. Dies ist letztlich der Grund dafür dass sie so schwer zu beobachten sind. Für einen Superpositionszustand mit einer mittleren Photonenzahl n = 5 verschwinden die Interferenzmuster schon wenn mehr als 5% Verluste (z.B. durch einen nicht perfekten Detektor) vorhanden sind. Jede Art von Rauschen oder Verlusten führt zu einer raschen Zerstörung der Kohärenz. Der Grund dafür dass solche Zustände normalerweise nicht auftreten ist die sogenannte Dekohärenz. Sie führt dazu, dass Zustände, die eine Superposition von klassisch unterscheidbaren Zuständen darstellen, rasch zerfallen, dass also die makroskopische Quantenkohärenz verloren geht. Wesentlich für die Geschwindigkeit dieses Zerfalls ist der "klassische Abstand", welcher bestimmt wie gut die beiden Zustände klassisch unterscheidbar sind. Als Beispiel können wir einen Zustand betrachten, der durch die Superposition zwischen zwei kohärenten Zuständen gegeben ist, welche 180 Grad außer Phase sind: 1 Ψ= (|α> + |-α>) 2 Diese Kohärenz zerfällt mit der normalen Dämpfungsrate γ des Feldes, multipliziert mit dem Quadrat des Abstandes 4|α|2, d.h. 2 1 Ψ(t) = (|α> + |-α>) e-γ(4|α| ) . 2 Sind die beiden Zustände nicht um 180 Grad im Phasenraum getrennt, so kann man den entsprechenden Zustand schreiben als |α eiφ>. Wenn man ein solches Feld verwendet um eine Messung an einem Zweiniveauatom durchzuführen (oder umgekehrt), so erhält man nach von Neumann einen verschränkten Zustand

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|Ψ> =

1 ( |e, α eiφ> + |g, α e-iφ> ) 2

Wenn die "Distanz" D = 2 n sinφ zwischen den beiden Zuständen groß genug ist kann man diesen Zustand als Schrödinger-Katze Zustand bezeichnen. Für genügend großen Abstand D ist die Zerfallsrate ist proportional zu D: τSK = τ/D2, wobei τ die "normale" Zerfallsrate darstellt. Für makroskopische Abstände ist die Dämpfungszeit deshalb so kurz dass sie nicht mehr beobachtet werden können. 4.3.5.

Dekohärenz in räumlich getrennten Systemen

Sehr analog verhält sich ein Z: Superpositionszustand, Kopplung eine Superposition von zwei räumlich getrennten Zuständen. Man kann z.B. ein Modell diskutieren, welches eine einfache Kopplung ans Strahlungsfeld beinhaltet. Man findet eine Lebensdauer für die Außerdiagonalelemente von τd ≈ τr

h2

 λT  = τ r  ∆x  2mk BT( ∆x)2

2

τr ist die Relaxationszeit und λT =

h 2mk BT

die thermische de Broglie Wellenlänge. Bei T = Raumtemperatur und m = Elektronenmasse besitzt diese den Wert λT =

10 −34 2 ⋅ 10

−30

⋅ 4 ⋅ 10

−21

=

10 −34 10

−25

= 10-9 m

Für makroskopische Abstände zerfällt somit die Superposition sehr schnell. Die charakteristische Länge λT hängt ab von der Temperatur und dem Verhältnis h2/m: Für kleines h und große Massen, also im klassischen Grenzfall, sind nur sehr kleine Abstände erlaubt. Superpositionszustände dieser Art entstehen u.a. im Rahmen des Jaynes-Cummings Modells zwischen zwei "Revivals" (V. Buzek, H. Moya-Cessa, P.L. Knight, and S.J.D. Phoenix, 'Schrödinger-cat states in the resonant Jaynes-Cummings model: Collapse and revival of oscillations of the photon-number distribution', Phys. Rev. A 45, 8190-8203 (1992). ).

4.3.6.

Experimentelle Beobachtung der Dekohärenz

Die Dekohärenz, d.h. der Zerfall der Phasenbeziehung zwischen klassisch unterschiedlichen Zuständen kann als ein Schritt im Übergang vom Bereich der Quantenmechanik zur klassischen Physik betrachtet werden (W.H. Zurek, 'Decoherence and the transition from quantum to classical', Physics Today October 1991, 36-44 (1991).). Es ist deshalb 4) Quantenmechanische Messungen

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interessant, ihn auch experimentell zu beobachten. Dies hat eine Gruppe von der ENS getan indem sie ein elektromagnetischen Feld mit Hilfe von Atomen "gemessen" hat (M. Brune, E. Hagley, J. Dreyer, X. Maître, A. Maali, C. Wunderlich, J.M. Raimond, and S. Haroche, 'Observing the Progressive Decoherence of the “Meter” in a Quantum Measurement', Phys. Rev. Lett. 77, 4887-4881 (1996). ).

Um ein beobachtbares System zu erhalten Z: Fabry-Perot Resonator wurde das Experiment in einem supraleitenden Mikrowellenresonator durchgeführt, der als Fabry-Perot Resonator ausgelegt war. Die beiden Spiegel sind mit Niob beschichtet, das mit flüssigem Helium gekühlt war um sie supraleitend zu machen und damit eine hohe Reflektivität zu erreichen. Damit kann die Güte des Resonators bis auf Q = 5.107 gesteigert und eine Lebensdauer der Photonen von 150 µs erreicht werden. Das Experiment wurde durchgeführt indem ein Strahl von Rubidiumatomen durch eine Anordnung von Resonatoren geschickt wurde, welche auf etwa 0.6 K gekühlt waren um thermische Photonen zu eliminieren. Die atomaren Zustände sind hochangeregte Rydbergzustände und die Übergangsfrequenz liegt im Bereich von 40 GHz. In B werden die Atome in einen Rydbergzustand gebracht. In R1 wird ein Superpositionszustand aus zwei Rydbergzuständen erzeugt. Im Resonator C befindet sich ein Mikrowellenfeld, welches nur wenige Photonen enthält. Das Atom wird durch den Resonator R1 in einen Superpositionszustand zwischen zwei Rydbergzuständen gebracht. Da die beiden Zustände unterschiedlich an das Resonatorfeld koppeln führt die Wechselwirkung zwischen Atom und Feld im Resonator C zu einem verschränkten Zustand. Eine Messung des Zustands des Atoms erlaubt somit den Rückschluss auf die Stärke des Feldes. Bei diesem Experiment sollte jetzt aber nicht die Stärke des Feld im Resonator bestimmt werden, sondern die Kohärenz des resultierenden Superpositionszustandes, also die relative Phase bestimmt werden. Dafür wurde ein zweiter Mikrowellenpuls angelegt, welcher die Kohärenz in eine Population überführt, die mit dem Zähler De, resp. Dg gemessen werden kann.

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Die resultierende Population des Grundzustandes wurde als Funktion der Mikrowellenfrequenz gemessen. Aufgrund der Flugzeit der Atome durch die Anlage erhält man eine oszillatorische Abhängigkeit des Signals von der Frequenz, wobei die Amplitude der Oszillation angibt wie groß die Kohärenz ist. Man beobachtet, dass die Kohärenz geringer wird wenn der Abstand zwischen den beiden klassisch unterscheidbaren Komponenten größer wird.

Im vorliegenden Experiment konnte die Sichtbarkeit der Interferenz auch als Funktion der Flugzeit gemessen werden, so dass direkt der Zerfall beobachtet werden konnte. Es zeigte sich, dass die geringere Amplitude der Interferenzmuster bei großen Abständen auf einen schnelleren Zerfall zurückgeführt werden kann, wie theoretisch vorausgesagt.

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4 . 4 Weitere Interpretationen und Modelle 4.4.1.

Statistische Interpretation

Offenbar kann also der Messprozess im üblichen Sinn, d.h. die Projektion auf einen Eigenzustand der Observablen nicht quantenmechanisch beschrieben werden. Daran hat sich auch bis heute nichts grundsätzliches geändert. Lediglich wenn man sich auf eine statistische Interpretation beschränkt kann der Vorgang an einer ganzen Reihe von Modellen realistisch diskutiert werden. Statistische Interpretation bedeutet hier, dass man den Anspruch der Kopenhagener Interpretation aufgibt, dass die Quantenmechanik Aussagen über Einzelsysteme liefert, sondern im Gegensatz dazu davon ausgeht, dass nur die Verhältnisse der möglichen Messresultate für ein unendlich großes Ensemble von Einzelmessungen vorausgesagt werden. Literatur: L.E. Ballentine, 'The statistical interpretation of quantum mechanics', Rev. Mod. Phys. 42, 358-381 (1970).

Ausgangspunkt für die statistische Interpretation ist die Annahme dass die Zustandsfunktion (oder genauer der Dichteoperator) nicht ein Einzelsystem beschreibt, sondern ein Ensemble von Systemen (z.B. Elektronen), welche möglichst identisch präpariert wurden. Der Zustandsvektor gilt dann als eine Art Abkürzung für die Präparation des Zustandes. Voraussetzung für die Gültigkeit dieses Ansatzes ist, dass die Einzelsysteme nicht miteinander wechselwirken. Als Prototyp kann man z.B. einen Atomstrahl betrachten, sofern die Dichte so gering ist, dass sich zu einem bestimmten Zeitpunkt jeweils nur ein Atom im Apparat befindet. Die statistische Interpretation der Quantenmechanik sollte auch nicht mit der statistischen Mechanik verwechselt werden. In beiden Fällen betrachtet man zwar ein Ensemble das aus vielen identischen Teilchen besteht. Im Fall der Quantenmechanik erfolgen die Aussagen aber über eine Reihe von Messungen an einzelnen Elektronen, während die statistische Mechanik Aussagen über einzelne Messungen am gesamten Ensemble macht. 4.4.2.

Statistische Beschreibung des Messprozesses

Beim von Neumann'schen Modell des Messprozesses hatten wir als Resultat der Messung einer binären Variablen den verschränkten Zustand Ψ(t) = (da Ψa ⊗ ξa + db Ψb ⊗ ξb) erhalten. Verallgemeinert auf eine Variable mit beliebiger Anzahl von Eigenwerten lautet der entsprechende Ausdruck Ψ(t) = Σn dn Ψn⊗ξn . Dieser Zustand entspricht einer Summe über alle möglichen Zustände Ψn des quantenmechanischen Systems, welche jeweils zu den entsprechenden Zuständen ξn des Messapparates korreliert sind.

4) Quantenmechanische Messungen

29. Januar 1999

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Eine sinnvolle Anwendung der statistischen Interpretation erhält man erst über den statistischen Operator, d.h. den Dichteoperator. Dieser lautet für den betrachteten Zustand nach der Kopplungsphase des Messprozesses ρ(t) = Σnm dn dm* |Ψn⊗ξn>