Polynomes de Bernstein [PDF]

Zitiervorschau

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POLYNOMES DE BERNSTEIN ET APPLICATIONS Document proposé par Daniel Agier ([email protected])

I PRESENTATION DU PROBLEME Soit x un nombre fixé dans l’intervalle ]0 ; 1[. On choisit au hasard n points dans [0 ; 1]. On admet que pour chaque point choisi la probabilité que ce point appartienne à l’intervalle [0 ; x] est x et que les points sont choisis indépendamment les uns des autres. On désigne par X la variable aléatoire qui mesure le nombre de points, parmi les n, appartenant à l’intervalle [0 ; x]. 1. Quelle est la loi suivie par X ? 2. Soit f une fonction définie sur [0 ; 1], dérivable sur [0 ; 1], dont la dérivée f ’ est elle même continue sur X [0 ; 1] et vérifie [∀ x ∈ [0 ; 1] f ’(x) < M]. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = f( ). n Donner la loi de probabilité de Y. k=n k ⎛n ⎞ 3. Montrer que E(Y) = f( ) ⎜⎝ k ⎟⎠ xk ( 1 – x ) n – k. n

∑

k=0 4. On réalise N fois l’expérience qui conduit à mesurer X. On obtient ainsi N valeurs pour X : x1, …, xN (on désignera par x leur moyenne arithmétique) et les N x x x valeurs correspondantes pour Y : f( 1 ) , f( 2 ) , …, f( N ). n n n a. Expliquer pourquoi x est proche de n x. x(1–x) X b. Quel est l’écart type de X ? En déduire que l’écart type de est . n n x x x X est faible, les valeurs 1, 2, ..., n sont donc très peu Si n est grand, puisque l’écart type de n n n n x dispersées autour de leur valeur moyenne . Donc si les variations de f sont faibles, les valeurs n x x x f ( 1 ) , …, f ( n) sont très peu dispersées autour de f ( ) et on peut donc admettre que la moyenne des n n n x x x valeurs de f ( 1 ) , …, f ( n) est proche de f ( ) donc proche de f(x). On obtient donc que E(Y), qui est n n n x proche de la moyenne des valeurs de f( 1 ), …, f (xn), est aussi proche de f(x). n n

II DEFINITIONS ET QUELQUES PROPRIETES

Soit n un entier fixé, n > 2, on définit alors les polynômes de Bernstein d’ordre n par : ⎛n⎞ Pour k ∈ [0 ; n] ∩ N, Bk(x) = ⎜ ⎟ xk ( 1 – x )n – k . ⎝k ⎠ B

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1. Montrer que

∑

Bk(x) = 1.

k=0

⎛n⎞ ⎛ n − 1⎞ 2. Montrer que k ⎜ ⎟ = n ⎜ ⎟ pour 1 < k < n. ⎝k ⎠ ⎝ k − 1⎠ k=n

3. En déduire que

∑

k Bk(x) = n x.

k=0

⎛n⎞ ⎛ n − 2⎞ 4. Montrer que k ( k – 1 ) ⎜ ⎟ = n ( n – 1 ) ⎜ ⎟ pour 2 < k < n. ⎝ k − 2⎠ ⎝k ⎠ k=n

5. En déduire que

∑

k ( k – 1 ) Bk(x) = n ( n – 1 ) x².

k=0 k=n

6. En déduire que

∑

( k – n x )² Bk(x) = n x ( 1 – x ).

k=0

III APPROXIMATION D’UNE FONCTION SUR [0 ; 1] Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1], dont la dérivée f ’ est elle même continue sur [0 ; 1] et vérifie [∀ x ∈ [0 ; 1] f ’(x) < M]. On sait que sous ces hypothèses on a : ∀ x ∈ [0 ; 1] ∀ y ∈ [0 ; 1]

f(x) – f(y) < M x – y .

k=n

On pose alors Pn (x) =

∑

k f( ) Bk (x). On dit que Pn est le polynôme de Bernstein d’ordre n associé à f. n

k=0

Soit m un entier naturel non nul. k=n

1. Montrer que [∀ x ∈ [0 ; 1] f(x) – Pn (x)
10 – m}. n

k f(x) – f( ) Bk(x) < M 10 – m. n

PAGE 3 SUR 3 3. On admet que f admet, sous les hypothèses fixées, un maximum sur [0 ; 1] et on le désigne par K. nx–k⎞2 > 1. En déduire, en utilisant II-6, que Si k ∈ B(x), on peut remarquer que ⎛⎜ – m⎟ n ⎝ 10 ⎠

∑

f(x) – f(

2K k 2K ) Bk(x) < 2 K ∑ Bk(x) < . – 2 m n x (1 – x) < n² 10 n n 10 – 2 m k ∈ B(x)

k ∈ B(x)

4. En déduire que f(x) – Pn (x) < M 10 – m +

2K . n 10 – 2 m

5. En déduire que l’on peut choisir n suffisamment grand pour que : ∀ x ∈ [0 ; 1]

f(x) – Pn (x) < 2 M 10 – m.

On peut donc approcher la fonction f d’aussi près que l’on veut par le polynôme Pn pourvu que l’on choisisse n suffisamment grand.

IV UN EXEMPLE Voici un exemple obtenu par Maple : > with(plots):f:=x->sin(Pi*x); Warning, the name changecoords has been redefined

> s:=NULL:for i from 2 to 30 by 5 do p:=plot(bernstein(i,f,x),x=-0.20..1.2): s:=s,p:end do :s:=s,plot(f(x),x=0..1,color=black):display(s);