Polynomes, etude algebrique [web draft ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Polynômes Étude algébrique par

Bernard RANDÉ Ancien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis

1. 1.1

1.2

1.3

Propriétés formelles................................................................................ Polynômes à plusieurs indéterminées....................................................... 1.1.1 Présentation de A [ X 1, …, X n ] ........................................................... 1.1.2 Polynômes homogènes ..................................................................... 1.1.3 Fonctions polynomiales ..................................................................... 1.1.4 Dérivations partielles.......................................................................... Propriétés algébriques ................................................................................ 1.2.1 Propriétés lorsque A [ X ] est un anneau quelconque...................... 1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre .............. 1.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens...................... Propriétés arithmétiques............................................................................. 1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans A [ X ] .............................. 1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes ............................... 1.3.3 Arithmétique dans A [ X ] ...................................................................

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2 3 3 4 5

— — — —

5 5 6 6

— —

6 7

—

8

1.4

Polynômes symétriques, antisymétriques de A [ X 1, …, X n ] ...................

—

12

2. 2.1

Polynômes irréductibles ........................................................................ Racines d’un élément de K [ X ] .................................................................. 2.1.1 Corps algébriquement clos................................................................ 2.1.2 Multiplicité des racines ...................................................................... 2.1.3 Résolution par radicaux ..................................................................... Cas des polynômes à coefficients réels..................................................... 2.2.1 Polynômes irréductibles de R [ X ] .................................................... 2.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels....................................... Factorisation dans Q [ X ] ............................................................................

—

13

— — — — —

13 13 14 15 15

— —

15 16

—

16

2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de Q [ X ] ....................................

—

16

2.3.2 Critères d’irréductibilité dans Q [ X ] .................................................

—

17

2.2

2.3

es polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite. Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie

L

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algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe. En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article. L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.

le 1 étant à la i ème place. La définition même du produit conduit aisément à l’égalité :

1. Propriétés formelles

α

Xi

1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées

1.1.1 Présentation de A [ X 1, …, X n ] Soit n un entier naturel. Un élément α de N n est un n-uplet ( α 1, …, α n ) . On utilisera la somme de deux tels n-uplets :

α + β = ( α 1, …, α n ) + ( β 1, …, β n ) = ( α 1 + β 1, …, α n + β n ) . On notera aussi :

α

X 1 1…X n

Les symboles X1, …, Xn sont appelés indéterminées. Les expressions ainsi construites sont appelées polynômes en les n indéterminées X1, …, Xn. On vérifie que, munie des lois précédentes, A [ X 1, …, Xn ] est une A -algèbre commutative : l’algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A . Lorsque n = 0, il n’y a pas d’indéterminée. On peut identifier l’algèbre en 0 indéterminée à A elle-même.

α

Soit X un symbole. On considère la famille ( X α ) α ∈ N n de symboles ; Xα n’est pas une puissance, mais un nouveau symbole. Considérons l’ensemble de toutes les expressions :

∑ ′ λα X 1

où (λα ) est une famille presque nulle d’éléments de A (que l’on désignera aussi sous le nom de scalaires). Cela signifie que tous les λα sont nuls, sauf un nombre fini d’entre eux.

( ∑ ′ λα X α ) ⋅ ( ∑ ′ µβ X β ) =

=

∑ ′ ( λα + µα ) X α

∑ ′   ∑

α+β = γ

α

… Xn

n

.

Le scalaire λα est appelé coefficient de X α.

■ Identifications canoniques Soient σ une permutation de [1, n] et P ∈ A [ X 1, …, Xn ] ; P peut aussi s’écrire, de façon unique :

rappelle qu’il s’agit donc d’une somme finie.

On définit, sur l’ensemble de toutes ces expressions, deux lois, par les égalités :

∑ ′ λα X α + ∑ ′ µα X α

1

Puisque A [ X 1, …, Xn ] est une A -algèbre, c’est aussi un A module. Ce qui précède exprime exactement que, en fait, A [ X 1, …, Xn ] est un A -module libre, admettant la base ( X α ) α ∈ N n .

∑ ′ λα X α ,

∑

= X α lorsque α = ( α 1, …, α n ) .

On utilisera tantôt l’une, tantôt l’autre notation.

Bien sûr, si n = 1, on a : α = α .

Le symbole

n

Par définition, un élément de A [ X 1, …, Xn ] peut donc s’écrire, de manière unique, sous la forme :

α = α1 + … + αn .

′

= X ( 0, … , α i , … , 0 ) ,

puis : α

Dans tout ce paragraphe 1.1, on désigne par ( A, +, . ) un anneau commutatif. Le neutre pour l’addition est noté « 0 », le neutre pour la multiplication est noté « 1 ». Le produit de deux éléments x et y de A sera, le plus souvent, noté xy.

i

;

λ α µ β  X γ  .

P =

∑ ′ λα

o

σ

α

Xσ

σ (1)

(1)

s’identifiant ainsi à un élément de A [ X σ

α

… Xσ ( 1 ),

σ (n)

(n)

,

…, X σ

(n) ]

.

Soit, d’autre part, m < n . Tout l’élément P de A [ X 1, …, Xn ] peut également s’écrire : βm + 1

βn

∑ ′ Lβ ( X1, …, Xm ) Xm + 1 … Xn

Les lois sont donc internes. On définit aussi une loi externe :

a ∑ ′ λα X α = ∑ ′ ( a λα ) X α . Tout particulièrement, notons :

X i = X ( 0, …, 1, …, 0 ) ,

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où β = ( β m + 1, …, β n ) et où, pour tout β, L β ( X 1, …, X m ) désigne un élément de A [ X 1, …, X m ] . Cette écriture, obtenue par regroupement de termes, est unique. Cela permet d’identifier les A -algèbres A [ X 1, …, Xn ] et A [ X 1, …, X m ] [ X m + 1, …, X n ] .

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

Exemple : pour n = 2, les quatre A -algèbres. A [ X 1, X 2 ] ; A [ X 2, X 1 ] ; A [ X 1 ] [ X 2 ] ; A [ X 2 ] [ X 1 ] peuvent être identifiées les unes aux autres. Voici les quatre écritures du même polynôme P :

P = X 13 X 2 + 2 X 12 X 22 + X 1 X 2 + X 12 ( dans A [ X 1, X 2 ] )

module ; une base de Hd est formée des monômes X α, avec |α| = d. Le nombre de ces monômes est égal à :

n ( n + 1 )… ( n + d Ð 1 ) card { ( α 1, …, α n ) ∈ N n | α 1 + … + α n = d } = ------------------------------------------------------- . d! Il en résulte que Hd est un A -module libre, de dimension égale à :

P = X 2 X 13 + 2 X 22 X 12 + X 2 X 1 + X 12 ( dans A [ X 2, X 1 ] )

n ( n + 1 )… ( n + d Ð 1 ) ------------------------------------------------------- . d!

P = ( 2 X 12) X 22 + ( X 13 + X 1 ) X 2 + X 12 ( dans A [ X 1 ] [ X 2 ] )

Un polynôme P de A [ X 1, …, Xn ] peut s’écrire, de façon unique :

P=

X 2 X 13 +

( 2 X 22 +

1)

X 12 +

X 2 X 1 ( dans A [ X 2 ] [ X 1 ] )

■ Identification de A à un sous-anneau de A [ X 1, …, X n ] L’élément X 0 (c’est-à-dire X 10… X n0 ) est le neutre multiplicatif de A [ X 1, …, Xn ] . On le note bien sûr « 1 ».

P =

où Pt est homogène de degré t ; le polynôme Pt est appelé partie homogène de degré t du polynôme P. En d’autres termes : A [ X 1, …, Xn ] =

Dans ces conditions, l’application : A → A [ X 1, …, Xn ] λ ° λ⋅1 est un isomorphisme de A sur un sous-anneau de A [ X 1, …, Xn ] . Cet isomorphisme nous permet d’identifier le scalaire λ avec le polynôme λ ⋅ 1 , que l’on notera donc λ. L’ensemble des λ ⋅ 1 est appelé aussi anneau des polynômes constants. ■ Exemples de calculs dans A [X1,…, Xn] Puisque A [ X 1, …, Xn ] est un anneau commutatif, on dispose des moyens de calcul les plus habituels : kÐ1

∑

a ∀k ∈ N X 1k Ð X 2k = ( X 1 Ð X 2 )

X 1j X 2k Ð 1 Ð j

b ( X1 + X2 ) k =

∑ Ck j

kÐj

X 1j X 2

Exemple : P = X 12 X 2 X 3 + X 22 X 32 Ð X 2 + X 3 + 1 Ainsi :

P 5 = 0 ; P 4 = X 12X 2 X 3 + X 22X 32 ; P 3 = 0 ; P 2 = 0

1.1.3 Fonctions polynomiales ■ Soit B une A -algèbre, commutative. Étant donné un polynôme

P, égal à

∑ ′ λα X α , et un n-uplet (x1, …, xn) de B n , on peut considé-

(formule du binôme).

k! c Notons, pour α ∈ N n, C kα l’entier ----------------------- lorsque α = k . α 1!… α n! Alors :

∑

α

Ck X

α

;

P1 = Ð X2 + X3 ; P0 = 1 .

P÷ ( x 1, …, x n ) =

j=0

( X1 + … + Xn ) k =

⊕ Ht . t>0

rer l’élément P÷ ( x 1, …, x n ) de B , défini par l’égalité :

j=0 k

∑ ′ Pt ,

∑ ′ λα x1α … xnα 1

n

.

On dit que l’on a donc substitué xi à Xi ou, encore, que l’on a évalué le polynôme P en le n-uplet (x1, …, xn). Le résultat de cette évaluation est parfois tout simplement noté P (x1, …, xn). Proposition 1.

(formule du multinôme).

α =k

Soient B une A -algèbre commutative et L’application : A [ X 1, …, X n ] → B P ° P÷ ( x 1, …, x n )

1.1.2 Polynômes homogènes Les polynômes tels que λα X α, qui jouent un rôle particulier, sont appelés monômes. Le degré du monôme X α est l’entier |α |. Plus généralement, on a la définition suivante. Définition 1. Soit P ∈ A [ X 1, …, Xn ] . On appelle degré total de P, et on note deg P, l’entier naturel : max { α | λ α ≠ 0 } lorsque P n’est pas nul et s’écrit : P = Si P = 0, on pose : deg P = – ∞.

( x 1, …, x n ) ∈ B n .

∑ ′λ α X α .

Exemple : P = X 13 X 22 Ð 5 X 14 + 2 X 22 X 33 est de degré total égal à 5. Appelons Hd l’ensemble des polynômes de A [ X 1, …, Xn ] qui sont combinaison linéaire des monômes X α, avec |α| = d. Un élément de Hd est appelé polynôme homogène de degré (total) égal à d. Bien sûr, Hd est stable par combinaison linéaire : c’est donc un A -

est un morphisme d’algèbres. Cette proposition, qui résulte immédiatement des définitions, permet d’effectuer simplement des calculs sur des expressions polynomiales en un n-uplet donné : ces calculs s’effectuent tout simplement comme s’il s’agissait de polynômes. La commutativité de B , essentielle, peut être remplacée par la condition plus faible suivante : les xi commutent deux à deux. Exemples : a B = A ,n = 1. d

Soient x ∈ A et P ∈ A [ X 1 ] . Si P =

∑

α λ α X 1 , on a :

α=0

d

P÷ ( x ) =

∑

λα x α .

α=0

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POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

b B = A , n quelconque . Soient ( x 1, …, x n ) ∈ A n et P ∈ A [ X 1, …, X n ] . Si P = on a :

∑

P÷ ( x 1, …, x n ) =

α 1 . Donc :

d

ad be Ð m Ð 1 + ad Ð 1 be Ð m + … = 0 Multiplions cette égalité par a dm + 1 . On a, grâce à l’hypothèse de récurrence :

be Ð m = 0 ;

be Ð m + 1 =

Donc : a dm + 2 b e Ð m Ð 1 = 0 .

◊

Preuve. ◊ Supposons d’abord P et Q non nuls, de degrés d et e.

i+j = d+eÐmÐ1

a dm + 1

ak bi = 0

Dans ce paragraphe 1.2.2, on suppose que A est un anneau commutatif intègre.

En particulier : ad be = 0.

∑

Ainsi, on a : ∀k a k Q = 0 et, en particulier, puisque Q est non nul et qu’il existe i tel que b i ≠ 0 :

1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre

a i b j X k = 1 .

Plaçons-nous dans le cas où d > 1 .

a dm + 1

ai bj = 0

i+j = d+eÐmÐ1

a d ⋅ a dm

b e Ð m + 1 = 0 ; etc.

P =

∑ ak X k, Q

e

=

0

∑ bk X k , 0

on a : d+e

PQ =

∑  ∑ 0

i+j = k

a i b j X k .

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Le coefficient de X d + e dans PQ est ad be , non nul comme produit d’éléments non nuls. Donc : deg PQ = d + e .

de degré n, auxquels on ajoute 0. Il est facile de voir que dn (I ) est un idéal de A . D’autre part, la suite ( d k (I ) ) k > 0 est croissante, car, si

P appartient à I, XP appartient aussi à I.

■ Si P ou Q est nul, chacun des deux membres est égal à – ∞. En particulier, si P et Q sont non nuls, PQ est non nul. Donc A [X ] est intègre. ◊

■ Considérons, à présent, une suite croissante ( I n ) n > 0 d’idéaux de A [X ] . La suite ( d n ( I n ) ) n > 0 est alors croissante. En effet, on a :

Corollaire 1. A [ X 1, …, X n ] est intègre. Preuve. ◊ Cela résulte de l’identification de A [ X 1, …, X n ] à A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] et du fait que, par récurrence, A [ X 1, …, X n Ð 1 ] ◊ est intègre. Corollaire 2. Si P et Q sont dans A [ X 1, …, X n ] , alors : ∀i ∈ [ 1, n ] deg Xi PQ = deg Xi P + deg Xi Q .

deg PQ = deg P + deg Q . d

Écrivons P =

∑

Soit alors n > q . Montrons que, pour tout k :

e

P t et Q =

∑

Q t , où d, e sont les

degrés totaux de P, Q et où Pt , Qt sont des polynômes homogènes de degré t. Alors :

PQ =

∑  ∑

t = 0 i+j = t

dk ( I q ) = dk ( I n ) .

t=0

t=0

d+e

Il est clair que d p ( I p ) contient tous les d k ( I n ) , puisque, en posant r = max (k, n, p), on a :

■ Considérons, par ailleurs, les suites ( d 0 ( I n ) ) n > 0 , …, ( d p Ð 1 ( I n ) ) n > 0 . Elles sont toutes stationnaires, à partir d’un indice q que l’on peut supposer supérieur ou égal à p.

Si P et Q sont dans A [ X 1, …, X n ] , alors :

◊

La suite ( d n ( I n ) ) n > 0 est donc stationnaire, égale à d p ( I p ) .

dk ( I n ) ⊂ dr ( I n ) ⊂ dr ( I r ) = dp ( I p ) .

Proposition 5.

Preuve.

d n ( I n ) ⊂ d n ( I n + 1 ) car I n ⊂ I n + 1 , et d n ( I n + 1 ) ⊂ d n + 1 ( I n + 1 ) .

Premier cas : k > p . On a :

dk ( I q ) ⊂ dk ( I n ) ⊂ dp ( I p ) ⊂ dk ( I p ) ⊂ dk ( I q ) ,

P i Q d . d’où l’égalité.

Puisque A [ X 1, …, X n ] est intègre, P d Q e ≠ 0 . Donc : deg PQ = d + e. ◊

Deuxième cas : k < p Ð 1 . On a alors :

Proposition 6.

Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] . Il y a équivalence entre : a P est inversible dans A [ X 1, …, X n ] ; b P est un élément de A , inversible dans A . Preuve. ◊ Bien que ce résultat soit une conséquence de la proposition 3, le cadre usuel dans lequel nous nous plaçons mérite une démonstration directe. b ⇒ a est clair. a ⇒ b Soit Q l’inverse de P. On a :

dk ( I n ) = dk ( I q ) grâce à la constance de ( d k ( I n ) ) n > q . ■ Montrons , finalement, que I n = I q . On a I q ⊂ I n . Montrons par récurrence sur e = deg P que, si P ∈ I n , alors : P ∈ I q . Le résultat est supposé vrai pour les polynômes de degré < e Ð 1 . Soit P de degré e, appartenant à In. Puisque d e ( I n ) = d e ( I q ) , il existe Q ∈ I q tel que Q = a e X e + … lorsque ae est le coefficient dominant de P. Dans ces conditions :

deg (PQ) = 0

deg ( P Ð Q ) < e Ð 1

car 1 est de degré 0. Donc deg P = deg Q = 0. A.

En particulier, P ∈ A ; comme Q ∈ A , P est bien inversible dans

1.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens Rappelons qu’un anneau A est dit noethérien lorsque toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire. Un cas particulier d’anneau noethérien est celui d’un anneau principal. La plupart des anneaux usuels en algèbre élémentaire sont noethériens. Le théorème suivant montre que les anneaux de polynômes sur un anneau noethérien sont encore noethériens. Théorème 1 (Hilbert). Si A est un anneau noethérien, A [ X 1, …, X n ] est un anneau noethérien. Preuve. ◊ Grâce à l’identification de A [ X 1, …, X n ] avec A [ X 1, …, X n Ð 1 ] [ X n ] et un raisonnement par récurrence, on peut supposer n = 1. On appelle X l’unique indéterminée. Soit I un idéal quelconque de A [X ] . On note dn (I ) l’ensemble des coefficients dominants des éléments de I qui sont exactement

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et P Ð Q ∈ I n . Donc :

P Ð Q ∈ I q et P ∈ I q .

◊

Ainsi, la suite (In) est stationnaire à partir du rang q.

1.3 Propriétés arithmétiques 1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans A [X ] Théorème 2. Soient A un anneau commutatif et N et D deux éléments de A [X ] . On suppose que D est non nul, et que son coefficient dominant est inversible dans A . 2 Il existe alors un unique couple ( Q, R ) ∈ A [X ] tel que :

N = DQ + R et

deg R < ( deg D ) Ð 1 .

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◊

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Preuve. ◊ Dire que X – α divise P, c’est affirmer l’existence d’un polynôme Q tel que P = (X – α)Q.

Preuve. ◊ a Unicité

ii ) ⇒ i ) est immédiat.

Si (Q, R) et (Q1, R1) sont solutions du problème, on a :

i ) ⇒ ii ) Effectuons la division euclidienne de P par X – α (c’est possible car 1 est inversible). On peut écrire :

D ( Q Ð Q 1 ) = R 1 Ð Rú .

P = (X Ð α)Q + R

Or deg ( R 1 Ð R ) < ( deg D ) Ð 1 et , si Q ≠ Q 1 , on a : deg D ( Q Ð Q 1 ) = deg D + deg ( Q Ð Q 1 )

où deg R < 0 , ce qui signifie que R ∈ A . Évaluant en α, on obtient R = 0. ◊

car le coefficient dominant de D est inversible. Donc :

Dans la suite de ce paragraphe, et jusqu’à la fin de l’article, on suppose que A est un anneau intègre.

deg D ( Q Ð Q 1 ) > deg D .

Proposition 8.

Soit A un anneau intègre. Si P ∈ A [X ] Ð { 0 } et si deg P < d , P admet au plus d racines. Preuve. ◊ Soit α1 une racine de P. On peut écrire :

Il y a contradiction. Il est donc nécessaire que Q = Q1, puis que R = R1. b Existence. Lorsque deg N < ( deg D ) Ð 1 , il suffit de prendre Q = 0, R = N. Raisonnons ensuite par récurrence sur deg N. On pose :

N = ak Xk + … D = b < X < + … avec b < inversible dans A. On construit deux suites ( Q i ) i ∈ [ < Ð 1, k ] et ( R i ) i ∈ [ < Ð 1, k ] de polynômes tels que :

P = ( X Ð α 1 ) Q avec deg Q < d Ð 1 . Une racine α de P, différente de α1, est nécessairement une racine ÷ ( α ) = 0 et α Ð α ≠ 0 . Comme, par récurrence, Q de Q car ( α Ð α 1 ) Q 1 (qui est non nul) admet au plus d – 1 racines, P admet bien au plus d racines. ◊ Ainsi, pour montrer que deux polynômes P et Q sont égaux, il suffit de montrer qu’ils prennent les mêmes valeurs en (d + 1) points distincts, où d > deg ( P Ð Q ) . En effet, dans ce cas, P – Q ne pourra appartenir à A [X ] Ð { 0 } , donc sera nul.

Supposons construits Qi et Ri . Posant Ri = λ X i + …, on définit :

Corollaire 1. Soit D un sous-ensemble infini de l’anneau intègre A . L’application P ° P÷ qui, au polynôme P de A [X ] , associe l’application polynomiale correspondante sur D, est injective. Ce corollaire 1, qui se prouve en remarquant que, si P÷ = 0 , P

R i Ð 1 = R i Ð λ b Ð1

P = SV 1 T = VT .

Exemple : Soit :

V =

1 X1

1 X2

… …

1 Xn

…

X nn Ð 1

:

X n1 Ð 1

X n2 Ð 1

De plus :

V σ T σ = P σ = Ð P ⇒ VT σ = VT ⇒ T σ = T . ∈ A [ X 1, …, X n ]

Les propriétés du déterminant prouvent que V est antisymétrique. Ce polynôme est appelé polynôme de Vandermonde. On peut l’expliciter :

V =

∏

n>i>j>1

( Xi Ð Xj ) .

(n Ð 1)n C’est un polynôme homogène, de degré --------------------- . On a aussi : 2 deg Xi V = n Ð 1 .

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Donc T est nécessairement symétrique.

◊

Grâce à la proposition 11, l’étude des polynômes antisymétriques se ramène, lorsque la caractéristique de A est différente de 2, à l’étude des polynômes symétriques. Lorsque A est de caractéristique 2, on a – P = P, donc les polynômes antisymétriques et symétriques sont les mêmes. Nous introduisons les polynômes symétriques élémentaires S1, …, Sn suivants : n

S1 = X1 + … + Xn =

∑ Xi i=1

S2 = X1 X2 + … + X1 Xn + X2 X3 + … + X2 Xn + … + Xn Ð 1 Xn

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE

∑

soit S 2 =

1 < i1 < i2 < n

Il est certain que α 1 > α 2 > … > α n . En effet, on a, pour toute permutation σ ∈ S n :

X i1 X i2

( α σ ( 1 ) , …, α σ ( n ) ) < ( α 1, …, α n ) ,

et, plus généralement :

∑

Sk =

1 < i1 < i2 < … < ik < n

X i1 X i2 … X ik

α

α

puisque λ X σ 1( 1 ) … X σ (nn ) figure aussi dans l’expression de P. On peut alors déterminer des entiers naturels β1, …, βn tels que :

Ainsi :

Sn Ð 1 = X1 X2 … Xn Ð 1 + X1 X2 … Xn Ð 2 Xn + … + X2 X3 … Xn Sn = X1 X2 … Xn .

β1 + … + βn = α1 ; … ; βn = αn .

;

Proposition 12.

β

β

Le polynôme R Ð λ S 1 1… S n n est encore symétrique, et son monôme maximal est strictement inférieur à (α1, …, αn).

On a, dans A [ X 1, …, X n ] [T ] : ( T Ð X 1 ) ( T Ð X 2 )… ( T Ð X n ) = T n Ð S 1 T n Ð 1 + S 2 T n Ð 2 + … + ( Ð1 ) k Sk T n Ð k + … + ( Ð1 ) n Sn . Cette proposition résulte d’un simple calcul. Évaluée en un nuplet (x1,…, xn) de A , l’égalité précédente permet d’exprimer les coefficients Ð s 1, s 2, …, ( Ð 1 ) k s k, …, ( Ð 1 ) n s n d’un polynôme de A [T ] , connaissant la liste (x1,…, xn) de ses racines. Pour cette raison, on parle souvent de fonctions symétriques élémentaires des racines. Il est clair que S1,…, Sn sont des polynômes symétriques de A [ X 1, …, X n ] : il suffit de substituer ( X σ ( 1 ), …, X σ ( n ) ) à (X1, …, Xn) dans le membre de gauche de l’égalité qui précède. De plus, Sk est un polynôme homogène de degré k, qui est de degré 1 par rapport à chacun des Xi . Soit U un polynôme en n indéterminées, à coefficients dans A . Le polynôme U (S1, …, Sn) est manifestement un polynôme symétrique de A [ X 1, …, X n ] . Le théorème ci-dessous affirme que la réciproque est vraie. Théorème 5. Soit P ∈ A [ X 1, …, X n ] , symétrique. Il existe un unique polynôme U, à n indéterminées et à coefficients dans A , tel que P = U (S1, …, Sn). α

α

Preuve. ◊ Sur les monômes X 1 1… X n n , on met l’ordre lexicographique ( α 1, …, α n ) > ( β 1, …, β n ) défini par :

On conclut alors par une hypothèse de récurrence (qui utilise le fait que l’ordre lexicographique est un bon ordre sur N n ). ◊ La démonstration précédente est constructive.

P = X 31 + X 32 + X 33Ð X 21 X 2 Ð X 12 X 3 Ð X 22 X 3 Ð X 1 X 22 Ð X 1 X 32 Ð X 2 X 23 . 3

Le monôme maximal est X 1 . On a :

S 31 = X 31 + X 32 + X 33 2

2

2

2

2

2

+ 3 ( X 1 X2 + X 1 X3 + X 2 X3 + X1 X 2 + X1 X 3 + X2 X 3) + 6 X1 X2 X3 Donc :

P Ð S 13 = Ð 4 ( X 12X 2 + X 21 X 3 + X 22 X 3 + X 1 X 22 + X 1 X 32 + X 2 X 23) Ð 6 X 1 X 2 X 3 2

Le plus grand monôme est ensuite Ð 4 X 1 X 2 . On calcule :

S1 S2 = ( X1 + X2 + X3 ) ( X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 ) Donc :

P Ð S 31 + 4 S 1 S 2 = 6 X 1 X 2 X 3 . Enfin, X1 X2 X3 = S3. D’où :

P = S 31 Ð 4 S 1 S 2 + 6 S 3 .

α 1 > β 1 ou ( ( α 1 = β 1 et α 2 > β 2 )… ou ( α n > β n )… ) . Pour cet ordre, cherchons le plus grand monôme de Sk : c’est manifestement X1 … Xk. β

2. Polynômes irréductibles

β

β

Le plus grand monôme de S 1 1 S 2 2 … S n n est donc : β

β

β

X 1 1+ … + βn X 2 2+ … + βn … X n n . ■ Unicité Par différence, il s’agit de montrer que si :

P ( X 1, …, X n ) = Q ( S 1, …, S n ) = 0 dans A [ X 1, …, X n ] , Q est le polynôme nul. Supposons le contraire, β

β

et soit λ le coefficient non nul de S 1 1… S n n , où (β1, …, βn) est choisi de telle façon que ( β 1 + … + β n , β 2 + … + β n , …, β n ) soit maximal pour l’ordre lexicographique introduit ci-dessus. Il faut seulement remarquer qu’il existe un unique tel monôme, car la donnée de ( β 1 + … + β n , …, β n ) détermine celle de ( β 1, …, β n) . On voit alors que λ est le coefficient du plus grand monôme de P, donc est nul : d’où la contradiction. ■ Existence

α

α

Puisque, lorsque l’anneau A est factoriel, l’étude de la divisibilité se ramène à la décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles, il est essentiel de pouvoir déterminer les polynômes irréductibles d’un anneau de polynômes. Cette question ne peut pas être abordée sans une connaissance préalable de A . Très souvent, A sera d’ailleurs un corps. Nous discuterons donc des polynômes irréductibles en relation étroite avec l’anneau A .

Soit λ X 1 1 … X n n le plus grand monôme de P ∈ A [ X 1, …, X n ] , avec λ ≠ 0 .

2.1 Racines d’un élément de K [X ] Dans ce paragraphe 2.1, K désigne un corps.

2.1.1 Corps algébriquement clos Dans K [X ] , un polynôme de degré 1 est toujours irréductible, car un diviseur non constant est aussi de degré 1, donc est associé au polynôme initial.

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AF 37 − 13

POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________

Lorsque m ( α ) > 2 , on dit que α est racine multiple de P : double lorsque m (α) = 2, triple lorsque m (α) = 3, etc.

Définition 5. On dit qu’un corps est algébriquement clos lorsque les polynômes irréductibles sont ceux de degré un. Autrement dit, il n’y a pas d’autre polynôme irréductible que ceux qui sont de degré 1.

De façon générale, m(α) est appelé ordre de multiplicité de α dans P. Proposition 14.

Soit P ∈ K [X ] Ð { 0 } . Il y a équivalence entre :

Proposition 13.

a m(α) > 2 ; b P ( α ) = P ′( α ) = 0 .

Soit K un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a K est algébriquement clos ;

Preuve. ◊

b tout polynôme P de K [X ] , non constant, admet au moins une racine ; c tout polynôme P de K [X ] , non nul, peut s’écrire :

λ

∏ ′ ( X Ð α )m(α)

a ⇒ b Si P = ( X Ð α ) 2 Q , on a :

P ′ = 2 ( X Ð α ) Q + ( X Ð α )2 Q ′ .

où m ( α ) ∈ N et λ ∈ K Ð { 0 } .

Donc : P ( α ) = P ′ ( α ) = 0 .

α∈K

b ⇒ b . Si P (α) = 0, on peut écrire :

Preuve. ◊ a ⇒ c : P admet une décomposition en facteurs irréductibles unitaires, de la forme X – α, α ∈ K . Le nombre m (α) n’est rien d’autre que la valuation (X – α) – adique de P. c ⇒ b est clair, car deg P =

∑ ′ m ( α ) , donc au moins un des

α∈K

m (α) est supérieur ou égal à 1. b ⇒ a : si P est irréductible (donc non constant), il admet une racine α, donc est associé à X – α. Il est par conséquent de degré 1.

P = (X Ð α)R avec P ′ = ( X Ð α ) R ′ + R , donc R ( α ) = 0 . Ainsi, R est divisible par X – α. ◊ Pour déterminer m (α) de façon générale, remarquons que la famille ( ( X Ð α ) i ) i ∈ N est une base de K [X ] , car la matrice de cette famille dans la base canonique ( X i ) i ∈ N est triangulaire supérieure, avec des 1 sur la diagonale. Un polynôme P de K [X ] peut donc s’écrire, de façon unique :

P =

◊

Un exemple fondamental est donné par le théorème suivant.

Soit j = min { ( i ∈ N )

Théorème 6. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.

P =

z → +∞

Si, par l’absurde, P ne s’annule pas dans C , l’application 1 z ° ------------- , continue et tendant vers 0 à l’infini, est bornée sur C . P (z) Comme elle est holomorphe, elle est constante sur C , ce qui est une ◊ contradiction.

λ i ≠ 0 } , lorsque P ≠ 0 . Alors :

∑ λi ( X Ð α ) i

et λ j ≠ 0 .

i>j

Clairement, (X – α ) j divise P et le quotient

Preuve. ◊ Soit P ∈ C [X ] , non constant. On a :

P (z) → + ∞

∑ ′ λi ( X Ð α ) i .

i∈N

∑ λi ( X Ð α ) i Ð j

ne

i>j

s’annule pas en α (puisque λ j ≠ 0 ). Donc ce quotient n’est pas divisible par X – α, et finalement :

m (α) = j . λi.

◊

Pour déterminer m (α), il suffit donc de déterminer les coefficients Cas particulier : α = 0.

Ce théorème explique l’usage fréquent que l’on fait du corps des complexes pour des calculs qui, a priori, sont destinés à des polynômes à coefficients réels.

La valuation X – adique de P est appelée valuation (tout court) de P.

Abstraitement, on peut plonger un corps quelconque dans un corps algébriquement clos.

Soient K un corps de caractéristique nulle et P ∈ K [X ] . Alors :

Proposition 15 (formule de Taylor).

P (Y + Z ) = Théorème 7. Soit K un corps. Il existe un sur-corps L de K qui est algébriquement clos.

Preuve. ◊ Par linéarité, il suffit de le vérifier sur les monômes Xk. Dans ce cas :

P (i ) = k ( k Ð 1 ) … ( k Ð i + 1 ) X k Ð i si k > i , P (i ) = 0 sinon. Donc :

P

Soit α ∈ K . On note m (α) la valuation (X – α) – adique du polynôme P de K [X ] , supposé non nul. Ainsi, m (α) est la plus grande puissance de X – α qui divise P. Bien entendu, en général, α n’est pas racine de P, ce qui signifie que m (α) = 0. Lorsque m (α) = 1, on dit que α est racine simple de P.

AF 37 − 14

Zi .

i∈N

La construction générale de ce corps L n’est pas effective bien que, dans certains cas particuliers, un tel corps L puisse être explicité : par exemple, lorsque K = R et L = C .

2.1.2 Multiplicité des racines

P (i )( Y )

∑ ---------------i!

(i )(Y )

∑ -----------------i!

Zi =

i∈N

k ( k Ð 1 )… ( k Ð i + 1 )

∑ ----------------------------------------------------i!

Y k Ð i Zi

i 0 (cela résulte de l’étude de l’équation de degré 2, paragraphe 2.1.3). Les polynômes irréductibles de R [ X ] qui ne sont pas de degré 1 sont donc ceux de la forme X2 + pX + q , avec p 2 – 4q < 0. Exemple : P = X 4 + 1 n’est pas irréductible dans R [X ] . Pour le décomposer en facteurs irréductibles, on peut procéder comme précédemment. Les racines complexes de P sont : e i π ⁄ 4, e Ð iπ ⁄ 4 , e 3 i π ⁄ 4, e Ð3i

π⁄4

.

a Entre deux racines de P, il existe une racine de P ’. b Si P est scindé dans R [ X ] , alors P ‘ est scindé dans R [ X ] . Preuve. ◊ a C’est une application du théorème de Rolle. k

b Soit P = λ ∏ ( X Ð α i) m ( α i ), avec α 1 < α 2 < … < α k , et m ( α i ) > 1 , i=1

pour tout i ∈ [ 1, k ] . k

π 3π Donc : X + 1 =  X 2 Ð 2 cos ---- X + 1  X 2 Ð 2 cos -------- X + 1    4 4 4

= ( X 2 Ð 2 X + 1 ) ( X 2+ 2 X + 1 ) On peut aussi procéder directement :

Alors P ’ est divisible par

∏ ( X Ð α i) m ( α

i

)Ð 1

, d’après le para-

i=1

graphe 2.1.2. De plus, il existe β i ∈ ] α i , α i + 1 [ (pour i = 1, …, k – 1) tel que k

X 4 + 1 = ( X 2+ 1 ) 2 Ð 2 X 2 = ( X 2 Ð 2 X + 1 ) ( X 2+ 2 X + 1 ) , et remarquer que X 2 Ð 2 X + 1 et X 2+ 2 X + 1 sont irréductibles,

P ′( β i ) = 0 . Donc P ‘ est divisible par

∏ ( X Ð α i) m ( α i=1

i

)Ð 1

kÐ1

∏ ( X Ð β i)

i=1

et, compte tenu des degrés, est associé à ce dernier polynôme.

◊

car ils n’ont pas de racine réelle ( X 4 + 1 n’en a déjà pas). Bien entendu, il n’est pas possible en général de mener de tels calculs explicitement, puisque les racines complexes d’un polynôme quelconque ne peuvent être exprimées exactement.

2.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels Les outils de l’analyse réelle permettent d’étudier les racines réelles d’un élément de R [ X ] . Citons les plus élémentaires.

2.3 Factorisation dans Q [X ] 2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de Q [X ] Proposition 18.

Soit P ∈ Z [X ] . On pose : d

∑ pi X i , où

P =

Proposition 16.

Soit P ∈ R [ X ] Ð { 0 } . a Soient a et b tels que a < b et P ( a ) P ( b ) ≠ 0 , et : k =

∑

m(α) .

a 1 et deg Q 2 > 1 . Alors :

Après une division euclidienne, on obtient finalement : 1 Q = ( X Ð 2 )  X Ð --- ( X 3+ X + 1 ) , 2

Q = Q1 Q2 .

où X 3 + X + 1 n’a pas de racine rationnelle. Il en résulte que

X3

+ X + 1 est irréductible dans Q [X ] , puisque, s’il

existe un diviseur D de X 3 + X + 1 non associé à X 3 + X + 1 et non inversible, il est de degré 1 ou 2. Par conséquent, l’un des polynômes

X 3+ X + 1 D et --------------------------- est de degré 1, ce qui entraîne que X 3 + X + 1 admet D une racine rationnelle. On a ainsi obtenu la décomposition de Q en facteurs irréductibles dans Q [X ] . Corollaire. Soit P ∈ Z [X ] , unitaire. Une racine rationnelle de P est nécessairement entière. Preuve. ◊ Avec les notations de la proposition 18, b divise 1. Donc

a --- ∈ Z . b

◊

deg Q = deg Q 1 + deg Q 2 et deg Q = deg Q

Mais qd ≠ 0 .

puisque

Donc, comme deg Q 1 < deg Q 1 et deg Q 2 < deg Q 2 , on a : deg Q 1 = deg Q 1 > 1 et deg Q 2 = deg Q 2 > 1 . Donc Q est réductible dans Z ⁄ p Z [X ] , ce qui est contraire à l’hypothèse. ◊ La mise en œuvre de ce test nécessite l’étude des polynômes irréductibles de Z ⁄ p Z [X ] . Proposition 20 (critère d’Eisenstein).

Soient Q ∈ Z [ X ] , primitif et p un nombre premier divisant tous les coefficients de Q sauf le coefficient dominant, tel que p2 ne divise pas le terme constant. Le polynôme Q est alors irréductible dans Z[X] . d

Preuve. ◊ Posons Q =

2.3.2 Critères d’irréductibilité dans Q [X ]

i=0

Une idée très élémentaire pour étudier l’irréductibilité d’un polynôme de Q [X ] consiste à réduire un polynôme convenable modulo un nombre premier p bien choisi. On utilisera alors le fait que, p étant premier, Z ⁄ p Z est un corps. On se ramène tout d’abord à un polynôme à coefficients entiers en multipliant le polynôme donné par un dénominateur commun. On supposera donc dans la suite que Q ∈ Z [X ] , et que c (Q) = 1, ce qui n’est pas restrictif. D’après la proposition 10, on sait que Q est irréductible dans Q [X ] si, et seulement si, il est irréductible dans Z [X ] . Proposition 19.

d

◊

Q désigne

∑ qi X i i=0

d = deg Q).

Supposons que Q = Q 1 Q 2 avec

Q 1 = α X d1 + … + α ′ , d 1 > 1 et Q 2 = β X d2 + … + β ′ , d 2 > 1 .

Dans Z ⁄ p Z [X ] , il vient :

Q = Q1 Q 2 . d

Or Q =

∑ qi Xi

= q d X d et q d ≠ 0 , sinon p divise tous les qi,

i=0

donc c (Q ). Il en résulte que Q 1 et Q 2 divisent X d, donc sont de la

Soient Q ∈ Z [X ] , primitif, et p un nombre premier ne divisant pas le coefficient dominant de Q. Si Q ∈ Z ⁄ p Z [X ] est irréductible, alors Q est irréductible dans Z [X ] . Preuve.

∑ qi Xi .

forme α X d1 et β X d 2 . Par conséquent p α ′ et p β ′ , donc p 2 α ′ β ′ . Or α ’β ’ est le terme constant de Q. C’est une contradiction. ◊

d

lorsque

Q =

∑ qi Xi i=0

(avec

Exemple : X 5 + 2X + 2 est irréductible dans Z [X ] (donc dans Q [X ] ), car le nombre premier p = 2 satisfait aux conditions de la proposition 20.

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________________________________________________________________________________________________________ POLYNÔMES. ÉTUD

Polynôme irréductible § 2.2 Rolle § 2.2.1 Irréductibilité § 2.3.2 Eisenstein § 2.3.2

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