Pendule de Pohl (Réparé) .Docx Version 1 [PDF]

Zitiervorschau

Université Abou Bekr Belkaid-Tlemcen

Faculté de technologie Département génie mécanique

 Compte rendu :

Pendule de Pohl

 Réalisé par :

Mehiaoui Soumicha  Groupe :

 G31

I. Introduction : Le pendule tournant de Pohl est un pendule de torsion qui décrit des mouvements oscillatoires d’enroulement et de déroulement et de déroulement d’un ressort en spirale autour de son axe. Ce système est muni d’un frein à courant de Foucault (amortissement réglable), et d’un moteur pour entretenir les oscillations.

II. Matériels Utilisés : Un pendule de Pohl - du nom de son inventeur, le physicien allemand Robert Wichard Pohl - est constitué de : 1. un disque en rotation autour de son centre. 2. un ressort spiral, qui exerce un couple mécanique qui tend à ramener le disque vers sa position d'équilibre. 3. un pointeur placé sur le disque qui permet de repérer les écarts angulaires. 4. un moteur, relié au ressort spiral, qui forcer les oscillations à une fréquence ajustable par l'utilisateur. 5. un frein électromagnétique, permettant de régler l'effet d'amortissement (par courants de Foucault).

2

III. Objectif : Etudier les oscillations libres amorties et forcées, puis l’influence de l’amortissement sur l’amplitude maximale en fonction de la fréquence (phénomène de résonnance) du pendule de Pohl.

 Déterminer la période d'oscillation et la fréquence caractéristique dans le cas d'oscillations non amorties.  Déterminer la période d'oscillation et la fréquence caractéristique correspondante pour différentes valeurs d'amortissement. Les amplitudes maximales successives et unidirectionnelles seront représentées graphiquementen fonction du temps. Le coefficient d'atténuation, la constante d'amortissement et le décrément logarithmique correspondants seront calculés.  Réaliser le cas apériodique et le cas limite apériodique.  Déterminer et représenter graphiquement les courbes de résonance à l'aide des valeurs d'amortissement de A.  Déterminer les fréquences de résonance et les comparer avec les valeurs de la fréquence de résonance déjà calculées.  Observer le déphasage entre le pendule de torsion et le couple extérieur de stimulation pour une faible valeur d'amortissement, pour autant que, dans un premier cas, la fréquence de stimulation soit largement inférieure à la fréquence de résonance et que, dans un autre cas, elle soit largement supérieure.

3

IV. Etude théorique : L’équation différentielle générale qui régit l’amplitude a(t) du mouvement oscillatoire amortie et excité du pendule tournant est donnée par :

 C = Constante de torsion du pendule.  J = moment d’inertie du pendule.  β = constante d’amortissement dépendant du courant de freinage.

V. Manipulations : 4

A. Oscillations Libres : A=0 ( pas d’excitation ) et ϒ=0 ( pas d’amortissement )

 On écarte le pendule d’une amplitude a initiale par rapport à sa position d’équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.  On Mesure le temps « t » de « n » oscillations (n=5) avec un chronomètre. La période propre du pendule est alors : T0=t/n On fera 3 mesures a=3,a=4,a=5, puis on prend la moyenne de ces trois mesures d’où : f0=1/T0 -les résultats sont donnés par le tableau ci-dessous : a

3

4

5

t (s)

8.59

8.61

8.76

T0 (s)

1.718

1.722

1.752

la moyenne T0 (s) la fréquence propre f0(s-1)

B. Oscillations libres amorties :

5

1.730 0.578

Les solutions de cette équation dépendent du signe du discriminent ∆’ de son équation caractéristique. L’expérience est réalisée avec des faibles amortissements, c’est à dire dans le cas : (régime oscillatoire amortie)

Figure 1 Mouvement oscillatoire faiblement amortie

-Pour différents courants de freinage I du générateur de courant branché aux bornes des bobines, on écarte le pendule d’une amplitude amax=10 (à t=0) et on lâche. 6

- On relève les amplitudes maximales des demis oscillations se succédant sur le même cotés, puis on mesure le temps t de n oscillations (n=5) correspondant d’où la pseudo période T0=t/n. -les résultats sont donnés par le tableau ci-dessous :

amax(t=0) amax(t=T) amax(t=2T) amax(t=3T) T=t/n I=0.3 10 1.776 10.8 9.8 9 A

I=0.7 A

10

-8.2 9.6 -7.2

-7.2 7.2 -4.8

-6.8 5.2 -3.4

1.710

I=1 A

10

8.6

4.4

2.2

1.666

-6

-3.2

-1.2

Les valeurs négatifs représentent les amplitudes maximales dans le coté opposé avec un décalage de T/2.

1) On trace les courbes : a(t) Premier partie : quad on a

I1=0.3 A

-les valeurs sont données dans le tableau ci-dessous : 7

10 10.8

amax T(s)

0

-8.2

9.8

1.776

-7.2

3.552

9

-6.8 5.328

On obtient la courbe ci-dessous : 15 10

l'amplitude

5 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

l'amplitude en fonction du temps

-5 -10 -15

temps(s)

a. On déduit le décrément logarithmique :  Le terme décrément logarithmique désigne la mesure logarithmique de la décroissance périodique d'une grandeur pseudo-oscillatoire, Elle est définie comme le logarithme du rapport d'une grandeur à une date t sur la même 8

grandeur à la date (t + T), T représentant la pseudo-période de la grandeur. Soit une grandeur x(t) quelconque dont l'évolution au cours du temps est donnée par :

Où T est la pseudo période du système. Si on appelle D le décrément logarithmique de x on a par définition :

Notamment si le régime est pseudo-oscillatoire, alors f(t) peut se mettre sous la forme : Et on a :

Où τ est généralement appelé temps de relaxation ou constante de temps du système δ 1=ln

10.8 =0.097 9.8

( )

b. le coefficient d’amortissement : 

λ 1=

9

δ 1 0.01 = =0.054 T 1.776

deuxième partie : quad on a

I2=0.7 A

-les valeurs sont données dans le tableau ci-dessous :

amax T(s)

10 9.6 0

-7.2

7.2

1.710

-4.8

3.420

5.2

-3.4

5.130

On obtient la courbe ci-dessous : 15 10

l'ampiltude

5 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-5 -10 -15

le temps (s)

C. On déduit le décrément logarithmique :  δ 2=ln

=0.287 ( 9.6 7.2 )

d. le coefficient d’amortissement :  λ 2=

δ 2 0.287 = =0.167 T 1.710

10

4.5

5

5.5

Valeur des Y

Troisième partie : quad on a

I3 = 1 A

-les valeurs sont données dans le tableau ci-dessous :

10 8.6

amax T(s)

0

-6

4.4

1.666

-3.2

3.332

2.2

-1.2

4.998

On obtient la courbe ci-dessous : 15 10

l'amplitude

5 0 0

1

2

3

4

5

6

-5 -10 -15

le temps(s)

e. On déduit le décrément logarithmique :  δ 3=ln

=0.670 ( 8.6 4.4 )

f. le coefficient d’amortissement :  λ 3=

δ 3 0.670 = =0.402 T 1.666

Remarque :

I1 < I 2 < I 3

et

λ 1 < λ 2 < λ3

C. Oscillations forcées non amorties : 11

l'amplitude en fonction du temps

Pour entretenir les oscillations libres(I=0), on utilise un moteur à courant continu. Un voltmètre raccordé aux bornes du moteur permet de mesurer la tension d’excitation Uex qui est proportionnelle à la fréquence d’excitation fex. -On mesure le temps t de n tours (t=5Tex) . -On déduit les valeurs d’étalonnage fex=f(Uex).  les résultats sont donnés par le tableau ci-dessous : Uex(volt)

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

t

14.98

13.72

12.07

11.01

10.11

9.56

8.84

Tex

2.996

2.744

2.414

2.202

2.022

1.912

1.768

T=5Tex

14.98

13.72

12.07

11.01

10.11

9.56

8.84

Fex=1/Tex

0.333

0.364

0.414

0.454

0.494

0.523

0.565

Fex/f0 I=0 ,amax/A

0.576 0.629 0.716 0.785 0.854 0.904 0.977

1.2

1.6

2

2.4

amax= amplitude maximale du pendule 12

3.2

6.8

23.6

A = amplitude maximale de l’excitateur (Pour le réglage de la tension d’excitation, on utilisera les potentiomètres gros réglage et réglage fin) Remarque : En prenant pour Uex les valeurs allant de 4 à 8 volts, on localisera exactement la tension pour laquelle il y a résonnance (amax très grand).  On trace les courbes : amax/A=f (Fex/f0) 25

20

amax/A

15

amax/A=f (Fex/f0)

10

5

0 0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

Fex/f0

13

0.85

0.9

0.95

1

D. Oscillations forcées amorties (équation générale) Pour différents courants de freinage I du générateur de courant aux bornes des bobines, on mesure pour chaque tension les amplitudes max du pendule. -les valeurs sont données dans le tableau ci-dessous : Uex(volts)

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

fex/f0

0.576

0.629

0.716

0.785

0.854

0.904

0.977

I=0.3amax/A

1.2

1.6

2

2.4

4

8

14

I=0.7amax/A

1.4

1.6

2

2.4

3.2

4.8

6.4

I=1 amax/A

1.4

1.6

1.8

2

2.4

3.2

3.6

On trace les courbes : amax/A=f(fex/f0) A partir de ces mesures, on peut représenter les courbes de résonance sous forme graphique en reportant les amplitudes en fonction de fex/f0 7 6 5 4

amax/A (I=0,3A) amax/A (I=0,7A) amax/A (I=1A)

3 2 1 0 0

2

14

4

6

8

10

12

14

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18

VI. Conclusion : Si on laisse un système oscillant osciller librement, on observe que la diminution des amplitudes maximales successives est fortement dépendante de l'amortissement. Si le système oscillant est excité par un couple extérieur périodique, on observe qu'à l'état d'équilibre l'amplitude dépend de la fréquence et de l'amplitude, du couple extérieur périodique et de l'amortissement. La fréquence caractéristique des oscillations libres ainsi que la courbe de résonance des oscillations forcées pour différentes valeurs d'amortissement seront déterminées.

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Merci pour votre aimable attention

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