Etude Des Oscillations Rotationnelles Amorties Libres Et Forcées-Pendule de Pohl [PDF]

Zitiervorschau

Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences Ben M’Sik Department de Physique

Zakaria El fatouaki Nom & Prénom . Groupe Filière / Module

Groupe 2 SMP/ Mécanique Analytique & Vibrations

Date

03 février 2021

Code Apogée

18507526

N.B. Tous les résultats de mesure doivent figurer avec leurs unités.

1. Présentation de de la manipulation Le pendule de torsion de Pohl est un système mécanique oscillant constitué d'un ressort spiral, d'un frein à courant de Foucault et d'un moteur pour entretenir les oscillations. Le pendule de Pohl permet d’étudier expérimentalement des oscillations libres et forcées (voir le polycopié). 2.

Objectifs de la manipulation

 Déterminer le coefficient d’amortissement des oscillations amorties libres.  Etudier les trois régimes : a) régime périodique amorti, b) régime apériodique et c) régime critique.  Etudier la variation de l’amplitude des oscillations en fonction de la fréquence.  Etudier la résonance pour les trois régimes Déterminer le coefficient d’amortissement I Partie théorique : Exercice 1 : 1) Donner les expressions de: l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U. En déduire le lagrangien L de l’oscillateur.  L’énergie cinétique T T=J : 𝒆𝒔𝒕 𝒍 ′ é𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒆 𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒐𝒖e

  

L’énergie potentielle U : U = D 2(t) + (t)F(t) 𝒆𝒔𝒕 𝒍 ′ é𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒆 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆 totale le lagrangien L de l’oscillateur : L= T – U Le lagrangien L s’écrit donc : L = J - D 2(t) - (t)F(t) 2) Ecrire l’expression de la fonction de dissipation G. On a : G=- k 3) En utilisant l’équation d’Euler-Lagrange, montrer que l’équation qui régit les oscillations amorties et forcées de l’oscillateur est donné par : On sait que : L = J D 2(t) - (t)F(t) Et :

G=- k

L’équation d’Euler-Lagrange :

)–

-

=J ̇ ⇔

=J

D ̇

4)

=0

+ k ̇

D’où: 𝑱 ̈ (𝒕) + 𝒌 ̇ (𝒕) + D (𝒕) = (𝒕) on posant : ,= 0

On a: +

Et f(t) = ̈ (𝒕)

̇ (𝒕 )

(� )=

�

+

Donc: ̈ (𝒕) + ̇ (𝒕) + 0(𝒕) = Exercice 2 : L’équation des oscillations amorties libres s’obtient de (3) en prenant f(t)=0, soit : + + 2 (𝒕) =

0

1) Moyennant la méthode basée sur l’équation caractéristique (Résolvante), résoudre l’équation différentielle du second ordre homogène (4) en traitant les trois régimes : Résolvons l’équation homogène : ̈ (𝒕) + ̇ (𝒕) + 0 2(𝒕) = Les solutions représentent les différents régimes de vibration selon que l’amortissement est faible, fort ou critique. L’équation caractéristique associée à (1à) est obtenue en cherchant une solution de type : 𝝋 𝒕 = 𝑨𝒆 𝒑 𝒕, 𝑨 = 𝑪𝒕𝒆, 𝒑 ∈ 𝑪 𝒐𝒖 𝒑 ∈ R L’équation caractéristique : 𝒑𝟐 + 𝟐 𝒑 + 𝝎 𝟐�= 0 Qui a2 deux racines p1 et p2 selon le signe de�son discriminant , donné par : ∆ = b - 4ac = (𝟐 2 – 4 𝝎 𝟐= 4( 𝝎 )( - 𝝎 ) 𝟎

𝟎

𝟎

Trois cas sont à distingués : ∆ < 𝟎 (Cas d’un amortissement faible, régime pseudopériodique) La solution de l’équation s’écrit: ( ) = 𝑨𝟏𝒆 𝒑𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆 𝒑𝟐 𝒕 Avec A1 et A2 sont des constantes d’intégration déterminées par les conditions initiales.

a) Régime périodique amorti (amortissement faible) : 0 Donc : ∆ > 0 Les deux solutions du polynôme caractéristique sont complexes conjuguées : données par : 𝒑𝟏 ,𝟐 = −𝒓 ± 𝒊 Avec : =√ Est la pulsation des vibrations amorties appelée pseudo-pulsation.

La solution de l’équation est :

𝝋(𝒕) = 𝒄𝟏𝒆 𝒑𝟏𝒕 + 𝒄𝟐𝒆 𝒑𝟐 𝒕

Avec c3 et c4 sont des constantes d’intégration que l’on détermine par les conditions initiales : 0 et ̇ 0 b) Régime apériodique (amortissement fort) : Donc : ∆ < 0 √ ( 𝒕) = √ sin( ) t) + a (a1cos( 2 c) Régime apériodique critique (amortissement critique) : Donc : ∆ = 0, d’où la solution du polynôme caractéristique est : p 0 = =La solution de l’équation est : 𝝋(𝒕) = ( =

2) Montrer que les solutions dans les cas a), b) et c) 𝝋 (𝒕) = 𝒄𝟏𝒆 𝒑𝟏𝒕 + 𝒄𝟐𝒆 𝒑𝟐 𝒕 s’écrivent : a) On a : Alors : 𝝋 (𝒕) = a1 sin( Avec : =√ A1 des constante1s d’intégration qu’on détermine par les conditions initiales : ̇ (t=0) = ̇ 0 et (t=0) = 0 b) √

On a: (𝒕) = (a cos( t)1+ a

√

sin( )

(𝒕) = (a1ch( t) + a2 sh( ) A2 et a3 des constantes d’intégrations qu’on détermine par les conditions initiales : ̇ (t=0) = ̇ 0 et (t=0) = 0 c)

On a: 𝝋(𝒕) = ( = Donc: 𝝋 (𝒕) =(a4

a4 et a5 des constantes d’intégrations qu’on détermine par les conditions initiales : ̇ (t=0) = ̇ 0 et (t=0) = 0 

3) Tracer l’allure de chaque solution et la commenter Pour : 𝝋 (𝒕) = a1 sin(

Commentaire : La réponse présente un mouvement vibratoire exponentiellement amorti : pseudo périodique de pseudo-période :

T=



Pour : (𝒕) =

=

√

(a1ch( t) + a2 sh( )

Pour : 𝝋 (𝒕) =(a4 𝒂 𝒆 𝒕

Exercice 3 : Montrer que l’amplitude A et la phase  sont données par : La représentation complexe est un outil très pratique lorsqu'il s'agit de rechercher le régime forcé d'un système linéaire soumis à une excitation sinusoïdale. Illustrons son emploi dans l'étude de l'oscillateur harmonique en régime forcé dont l'équation du mouvement s'écrit : ̈ (𝒕) +0 ̇ (𝒕 ) + 2 (𝒕 ) = Associons à cette équation, l'équation similaire : ̈ (𝒕) +

̇ (𝒕) +

2

0

(𝒕) =

La variable complexe vérifie donc l'équation différentielle : ̈ (𝒕 ) + ̇ (𝒕) + 2 (𝒕) = 0

Ainsi, pour obtenir (t), une méthode consiste à résoudre l'équation complexe puis à prendre a partie réelle de x––x_. Cette méthode facilite grandement les calculs lorsqu'il s'agit de rechercher le régime forcé. En effet, la solution particulière est de la forme =Aeiωt. Or, ̇ =iAeiωt = i ̈ = 2Aeiωt = -2 On voit ici tout l'intérêt de la notation complexe : la dérivation se ramène à une multiplication par iω Par substitution dans l'équation différentielle on obtient : A [ ( 2 - 2 ) + ]= 0

D’où : A =

() 

Le nombre complexe =Aeiφ est appelé amplitude complexe et contient les deux informations que nous recherchons : l'amplitude A (son module) et le déphasage φ (son argument) :

A=

√(



)

=

√(

)

tan( ) =

 =

√(





)





Exercice 4 : 1) Montrer qu’il y a résonance si :

  R = √ , ou R est la « pulsation de résonance » La puissance fournie obéit également à un phénomène de résonance. En effet, en remplaçant A par son expression, on trouve* P=

A2 2 =

2



(



)

En divisant le numérateur et le dénominateur par (2

P= 



avec :

=

 = 

)2et en remplaçant α par 2m

, on obtient :

Cette puissance évolue suivant une courbe en cloche .On observe un phénomène de résonance lorsque

√ et le maximum est d'autant plus important que l'amortissement est faible. 2) Montrer que Amax est donnée par : Pour :   R = √ On a: (  )



=(√)

= ( ) + 4 () =4 4+4 -84 =4 -4 4 =4 ( ) Donc :

A=

= √

√

II Partie expérimentale : II1) Étude des oscillations libres non amorties (  = 0 : absence d’amortissement) et mesures.

On place l’aiguille de la roue en cuivre en correspondance de la position zéro de l’échelle graduée en tournant la roue d’entrainement à excentrique et on mesurer le temps de 10 oscillations (voir la photo 1). Les valeurs de et sont reportés dans le tableau suivant:



=

Mesurer le temps de 10 oscillations. Remplir le tableau de mesure suivant :

(s) 19.92

19.89

(s) 16.90

(s ) 10.90

(s

⁄

⁄

) 0.01

1.09

10-3

5.76

5,28.10-3

On sait que : = T0 Donc : = Et =

C.-à-d.: = 2

Commentaire : 4.2 Étude des oscillations amorties libres ( : amortissement non nul) 4.2.1 Étude du régime périodique amorti (Amortissement faible ) Pour un courant d’intensité . On régler le courant de l’électroaimant à et l’amplitude initiale à..................On met l’oscillateur en mouvement en bougeant l’aiguille du pendule vers une position donnée et on releve les ampitude aux plusieurs passages en lisant les déviations du pendule tournant sur la graduation (Voir la phOTO2 ci-dessous). Les données sont reportées dans le tableau ci-dessous.

0

15

1

14

2

13.5

3

12.5

4

12

5

11.2

a) Déterminer la valeur du décrément logarithmique :  ̂ On sait que : = ln ( ) ̆

i

0

15

1

14

0.0689

2

13.5

0.0363

3

12.5

0.0769

4

12

0.0408

5

11.2

0.0425

Alors : la valeur déterminée est = 0.0530 = sup| – | = 0.0239 Conclusion : b) Mesurer la pseudo-période T avec un chronomètre. (Prendre 10 oscillations en faisant 3 mesures). Calculer : . Pour cela : = T0 = 1.09s Pour la durée d’oscillation T du pendule, t = n.T. = = = 10-3s = 0

( T..................1.09 0.001) s c)Calculer la valeur de la constante d’amortissement : On sait que : = = = 0.0278s-1 Et on a : = Ln( = ln( ) = ln( ) – ln (T) =

-

=

+

Application Numérique : = ( + ) = 0,01256 Conclusion : = 0,0278 0,01256

d) En déduire la pseudo-pulsation : On a: =√ = √ = 5.7599 rad/s D’une autre part: 2 = -

Donc : ln ( 2) = ln( - ) ⇔ 2ln ( ) = ln( - )

Alors :

=

D’où : Application numérique : 5.7599 Conclusion :

5,33.10

= ( 5,7599 5,34.10-3) rad/s

Pour un courant d’intensité

=

-3

rad/s

0

15

1

14.4

2

13.8

3

13

4

12.3

5

11.9

Refaire le même travail pour un courant d’intensité . b) Déterminer la valeur dû décrément logarithmique :  On sait que : = ln ( ) ̆ i

0

15

1

14.4

0.0408

2

13.8

0.0425

3

13

0.0597

4

12.3

0.0392

5

11.9

0.0330

Alors : la valeur déterminée est = 0.04304 = sup| – | = 0.01666 Conclusion : b) Mesurer la pseudo-période T avec un chronomètre. (Prendre 10 oscillations en faisant 3 mesures). Calculer : Pour la durée d’oscillation T du pendule, t = n.T Pour cela : = T0 = 1.09s Pour la durée d’oscillation T du pendule, t = n.T = = = 10-3s = 0 ( T.....................1.09

0.001 s

c) Calculer la valeur de la constante d’amortissement : On sait que : = = = 0.0394s-1

Et on a : = Ln( = ln(

) = ln( ) – ln (T)

= Application Numérique :

Conclusion : = 0,0394 0,01528

=

–

=

+ (

= ( + ) = 0,01528

+

)

e) En déduire la pseudo-pulsation : =√ = √ = 5,7598 rad/s D’une autre part: 2 = Donc : ln ( 2) = ln( - ) ⇔ 2ln ( ) = ln( - ) Alors :

=

D’où : Application numérique : 5.7598

=

-3

rad/s

5,37.10 Conclusion:

= (5, 7598 5, 37.10-3) rad/s

4.3 Étude des oscillations amorties forcées – Résonance 4.3.1 Détermination de l’amplitude en fonction de la pulsation de l’exciateur. Dans cette partie on se propose de déterminer la variation de l’amplitude des oscillations en fonction de la pulsation et d’observer le phénomène de résonnance. Le moteur électrique est utilisé comme un excitateur du pendule. Il tend et détend en une succession périodique le ressort spiral par l’intermédiaire d’une bielle et d’un bras. Les oscillations du bras sont transmises à la roue (voir la vidéo 2). On met le moteur en marche sous des tensions excitatrices variant de à Pour Chaque valeur de , nous avons relevé sur l’échelle l’amplitude maximale du système excité et on détermine la péroide de rotation du moteur en mesurant le temps de 10 oscillations de la roue de transmission. Les données à savoir ⁄ et sont reportées dans le tableau suivant :

On fixe le courant de freinage à une valeur de ⁄ 5

1.59

1

7

2.61

1.8

9

3.79

2.2

11

4.62

1

13

5.57

0.7

15

6.62

0.4

On fixe le courant de freinage à une valeur de ⁄ 5

1.59

0.9

7

2.61

1.5

9

3.79

1.6

11

4.62

0.8

13

5.57

0.6

15

6.62

0.4

On fixe le courant de freinage à une valeur de .

⁄ 5

1.59

1

7

2.62

1.4

9

3.79

3.4

11

4.62

1.6

13

5.57

0.8

15

6.62

0.6

a) Tracer sur un même papier millimétré les 3 courbes de résonance valeurs de courant de freinage.

pour les 3

b) En déduire la pulsation de résonance Le graphe de la fonction présente un pic de résonance. o le courant de freinage à une valeur de o le courant de freinage à une valeur de o le courant de freinage à une valeur de : Conclusion : la pulsation de résonance est 3.79 rad/s c) Calculer le coefficient d’amortissement avec celui mesuré de la section 4.2.1. On sait que :

  R = √

Alors :

√

, et faire une comparaison de ces résultats

=√

= 3.06

Et on a :

2

2

⇔ ln (2

=

2

⇔ 2ln (

 

) = ln ( = ln(



⇔ Ln( = ⇔ Alors :

=



= = 8.20.10



-3

 Conclusion :------------------------------------------- 3

) )