Paradigme universale [PDF]

Zitiervorschau

'::olecţie coordonată de Mircea Martin

Editor: Călin Vlasie

Redactori: Cristi Dinu, Daniel Mitran Tehnoredactare şi prepress: ART CREATIV Coperta colecţiei: Ionuţ Broştianu

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României MARCUS, SOLOMON Paradigme universale / Solomon Marcus. - Piteşti Paralela 45, 20 1 1 Bibliogr. Index ISBN

978-973-47- 1 165-9

5

Copyright © Editura Paralela

45, 20 1 1

PREFATĂ ,

Iniţiativa Editurii Paralela 45 de a reuni într-un singur volum cele cinci cărţi pe care mi le- a publicat este un cadou pe care sper să-I merit. Sub titlul generic de PARADIGME UNIVERSALE se află, în noua alcătuire, cele cinci cărţi anterioare, după cum urmează: PARADIGME UNIVERSALE 1 reia Paradigme universale din 2005; PARADIGME U NIVERSALE II reia Paradigme universale II. Pornind de la un zâmbet din 2006; PARA­ DIGME UNIVERSALE III reia Paradigme universale III. Jocul din 2007; PARADIGME U NIVERSALE IV reia Paradigme universale IV. Timpul din 2010; PARADIGME U NIVERSALE V reia Întâlnirea extremelor din 2005, la care s-au adăugat capitole noi, provenind din Arta şi Ştiinţa (Ed . Eminescu , 1986) , dar şi unele texte inedi­ te . Paradigmele universale nenumite aici explicit, dar vizibile pe tot parcursul, sunt Arta şi Ştiinţa sau , mai restrictiv, Literatura şi Matematica; ele sunt cele două extreme la care se referă titlul din 2005. Numitorul comun al acestor scrieri este indicat de aşezarea lor sub sloganul Paradigmelor Universale, pe care l-am explicat în Cuvântul-înainte la primul dintre aceste cinci volume. Făcând inventarul paradigmelor universale discutate, obţinem o listă de stul de lungă, din care selectăm aici: înţelegerea, modernitatea, globa­ lizarea, teatralitatea, hârtia, viteza, informaţia, comunicarea, calculatorul, invenţia şi descoperirea, natura şi _:cultura, identitatea şi alteritatea, discretul şi continuul, ştiinţa şi religia, modelul şi metafora, ordinea şi hao­ -sul , liricul şi narativul , energia şi entropia, centrul şi periferia, stânga şi dreapta (în primul volum) ; zâmbe­ tul, simbolul , limbajul, indicatorii, binaritatea, ternaritatea, imprecizia, aproximaţia, haosul (determinist) , fractalul, axioma, teorema, neeuc1idianul, viitorul, istoria, narativitatea, scientometria (în al doilea volum); 'jocul, strategia, hazardul, paradoxul, competiţia, matematica, gre şe ala, ludicul, cognitivul, utilitarul, internetul (în al treilea volum) ; timpul, relativitatea, simetria şi asimetria, cauzalitatea, sistemul, memoria, durata, 'evoluţia, logaritmi cuI şi exponenţialul, logica, complexitatea, semnul, infinitul, liniaritatea şi circularitatea, : structurile disipative , transdisciplinaritatea, structurile autopoietice , euclidianul şi noneuclidianul (în volu­ !,mul al patrulea); literatura, arta, ştiinţa, parodia, traducerea, personajul, explicabilul şi inefabilul, ;autoreferinţa, realitatea şi ficţiunea , perechile conjugate , holografia, combinatoricul şi generativul, vizibilul şi inteligibilul, macroscopicul, cosmicul şi cuanticul, obiectivul şi subiectivul, luciditatea şi vraja, raţionalul şi ;emoţionalul, generalul şi singularul, universalul şi localul, naturalul şi artificialul, rutina şi creaţia, transpa­ ,renţa şi opacitatea, tranzitivul şi reflexivul, paradigmaticul şi sintagmaticul, conceptualul şi contextualul, ,:omonimia şi sinonimia, denotaţia şi conotaţia, ambiguitatea, stereotipia, indexicalitatea şi iconicitatea (în :volumul al cincilea) . Această segmentare a cunoaşterii după criteriul paradigmelor universale este propusă nu pentru a o "înlocui pe aceea în discipline, cu care suntem obişnuiţi, ci pentru a o suplimenta pe aceasta din urmă, pen­ ;tru a ne apropia de o înţelegere a unităţii lumii şi cunoaşterii, pentru a descoperi numitorul comun al unor fapte şi fenomene care altfel pot să pară copleşite de specificitatea lor şi , de aceea, aproape imposibil de cu­ prins. Lumea e ste complicată la prima vedere , dar ea are ordinea ei ascunsă, care ne provoacă s-o descope­ rim, acesta fiind jocul cel mare, căruia îi sunt dedicate deopotrivă arta şi ştiinţa. Dar atenţie: pe de o parte , orice problemă intră sub umbrela mai multor paradigme universale, iar, pe de altă parte, paradigmele universale enumerate şi altele, ne specificate , se intersectează în toate felurile, tocmai ca urmare a universalităţii lor. Indicând în care dintre cele cinci volume am discutat diferitele paradigme, este clar că aceasta nu le împie dică să apară şi în celelalte volume . Viitorul şi istoria au secţiunile lor în vo­ lumul 1, dar evident ele apar tot timpul şi în volumul IV, dedicat timpului; i ar timpul, protagonistul volumu­ lui IV, evident că revine în oricare dintre celelalte volume . Natura apare în volumul 1 asociată culturii , dar n aturalul revine în volumul V, asociat cu artificialul. Neeuclidianul apare atât în volumul II , cât şi în volumul IV şi exemplele de acest fel sunt nenumărate. Unii termeni desemnând paradigme universale, ca informaţia, comunicarea, logica, fractalul sau siste­ mul, pot de semna şi discipline, motiv pentru care avem departamente de comunicare , manuale de comuni­ care sau de teoria informaţiei, cărţi de logică şi departamente de logică, manuale de geometrie fractală etc . _

Dar de cele mai multe ori aceste lucrări nu dau seam a despre potenţialul paradigmatic universal al ter meni­ lor respectivi. Astfel, tratatele de teoria comunicării nu abordează mai niciodată toat e aspect ele comunicării; unele insistă pe aspectele matematice şi inginereşti, altele pe cele lingvistice şi semiotic e, o a treia categorie

sunt orientate pe o direcţie sociologică, altele se referă la comunicarea diplom atică şi internaţională, altele se ocupă de comunicarea literar-artistic ă, mai sunt şi unele care se orientează spre comunicarea la animale etc. Niciuna nu cuprinde toate aceste aspecte, pentru a da seama de vocaţia universală a comunicării. La fel se întâmplă şi cu celelalte exemple considerate mai sus. Ne aflăm în prezenţa unui spectacol de idei, care ne dezvăluie aspecte pe care cunoaşterea disciplinară le ascunde. Cititorul este invitat să-I contemple, în întreaga sa complexitate şi frumuseţe. Va fi. necesar, în acest scop, un efort, dar va urma şi recompensa binemeritată. Mulţumesc Editurii Paralela

45

pentru "complicitate" la realizarea acestui proiect.

SOLOMON MARCUS

1 PARADIGME UNIVERSALE

Cuv ÂNT-ÎNAINTE Segmentarea cunoaşterii în discipline, aşa cum s-a impus ea în ultimele două secole şi a marcat întrea­ ga organizare a învăţământului şi a celorlalte instituţii de cultură, şi-a arătat cu prisosinţă avantajele. Pe baza ei, s-a format o anumită reprezentare a competenţelor şi a profesiunilor. Dar, începând cu mijlocul se­ colului al XX-lea, viziunea disciplinară, în esenţă aceea pe care Auguste Comte o propunea în prima jumăta­ te a secolului al XIX-lea, s-a dovedit insuficientă, ea n':l a mai putut face faţă provocărilor unei societăţi aflate în prefacere rapidă, sub acţiunea noutăţilor apărute în domeniul infonnaţiei şi comunicării. Se simţea nevoia unor segmentări alternative ale cunoaşterii, a unor segmentări care să oblige disciplinele tradiţionale să-şi îmbunătăţească metabolismul şi să interacţioneze din ce în ce mai puternic. Reprezentările fragmenta­ re, unilaterale îşi trădau insuficienţa şi caracterul lor artificial. Atmosfera de indiferenţă, dacă nu de adversi­ tate şi chiar de ostilitate care domina (şi domină încă) relaţiile dintre disciplinele "exacte" şi cele socio-umane apare tot mai anacronică. Una dintre reacţiile la această stare de lucruri, destinată nu să înlăture disciplinele existente (matemati­ că, fizică, chimie, biologie, geologie, geografie etc. ), ci să stimuleze colaborarea lor, să le oblige să comunice între ele cât mai eficient, este reprezentarea cunoaşterii şi comportamentului uman cu ajutorul unor idei foarte cuprinzătoare, care au capacitatea de a traversa toate disciplinele existente; acestor idei le putem da numele de paradigme, în acord cu semnificaţia lor la vechii greci, care le considerau ca arhetipuri (Platon). in măsura în care aceste paradigme îşi manifestă prezenţa peste tot, putem vorbi de paradigme universale. Segmentarea cunoaşterii şi comportamentului uman în raport cu aceste paradigme traversează segmentarea în discipline, aşa cum dreptele verticale le traversează pe cele orizontale. Din combinarea lor rezultă o înţele­ gere mai bogată, mai nuanţată a lumii şi a propriului nostru comportament. Prezentăm unele dintre aceste paradigme, cu care ne-am întâlnit, într-un mod cât de cât semnificativ; este de aceea şi o carte autobiografică. Cărţile noastre anterioare au fost dedicate limbajului (Algebraic linguistics, Academic Press, New York, 1967; Introduction mathematique a la linguistique structurale, Dunod, Paris, 1967, "Language, logic, cognition and communication", Repart 9/1996, Universitat Rovira I Virgili, Tarragona, 1996), paradoxului (Paradoxul, Editura Albatros, Bucureşti, 1984), timpului (Timpul, Editura Albatros, Bucureşti, 1985), artei şi ştiinţei (Arta şi ştiinţa, Editura Eminescu, Bucureşti,1986) şi jocului (Jo­ cul ca libertate, Editura Scripta, Bucureşti, 2003). Lucrările noastre de matematică au urmărit paradigma infinitului, sub forma proceselor cu o infinitate de etape specifice analizei matematice. Acum nu reluăm de­ cât într-o mică măsură paradigme le de mai sus, pentru a ne îndrepta atenţia asupra altora, care au format obiectul preocupărilor noastre în ultimii 20 de ani. Le vom organiza în mai multe grupe. O primă grupă se referă la învăţare, şcoală şi moralitate şi include: înţelegerea, didacticul, manualele, intelectualul, spiritul critic, proprietatea intelectuală şi universitatea. O a doua grupă cuprinde paradigmele de actualitate ale ra­ portării la lume: provincialismul, modernitatea, globalizarea şi teatralitatea. O a treia grupă se referă la câte­ va culturi care au o semnificaţie universală, constituind un reper pentru toate celelalte culturi: Europa (cu atenţie specială acordată Cercului din Viena şi lumii britanice), SUA, Japonia şi Brazilia. O a patra grupă are în vedere paradigme ale civilizaţiei marcate de emergenţa informaţiei şi comunicării: hârtia, viteza, informa­ ţia, comunicarea şi calculatorul. O a cincea grupă, cea mai bogată, se referă la paradigme care merg în pe­ rechi: invenţie şi descoperire, natură şi cultură, identitate şi alteritate, discret şi continuu, ştiinţă şi religie, model şi metaforă, ordine şi haos, liric şi narativ, energie şi entropie, centru şi periferie. Alte paradigme, ca semnul, numărul, complexitatea, euclidianul etc. vor face obiectul unei alte sinteze. Cititorul se va convinge uşor că toate aceste paradigme (mai sunt multe altele, practic lista lor este infinită) comunică între ele, fiecare dintre ele le influenţează pe celelalte. De exemplu, temporalitatea este prezentă, 9

într-o formă sau alta, în cadrul fiecărei paradigme; la fel, fiecare paradigmă este gravată de paradoxuri; fieca­ re poate profita, într-un fel sau altul, de gândirea matematică; fiecare se află într-o relaţie, care se cere lămu­ rită, cu informaţia şi cu comunicarea; fiecare se află sub semnul unor perechi conjugate, adică perechi de cerinţe care par perfect compatibile, dar de fapt se sabotează reciproc. Un alt aspect interesant este capacita­ tea autoreferenţia1ă a multora dintre paradigmele considerate: putem vorbi despre viteza vitezei, despre infor­ maţia asupra informaţiei, despre comunicarea care se referă la comunicare, despre limbajul folosit în cercetarea propriei sale structuri (ne folosim de limba română pentru a studia limba română), despre indica­ tori ai indicatorilor ( de unde provin circularităţi1e cu care este confundată teoria bazelor de date). Ne aflăm în faţa unui adevărat caleidoscop, pe care încercăm, pe cât posibil, să-I ordonăm, pentru a ne bucura de frumuseţea sa ameţitoare, dar în primul rând pentru a ne ameliora modul în care ne apropiem de lume, de semenii noştri şi de noi înşine. Ne place să ne Iăudam cu competenţa noastră profesională, dobân­ dită după mulţi ani de învăţătură şi de practică a profesiei, în sensul specializării în una sau alta dintre dis­ ciplinele propuse de programa şcolară saul şi universitară. Dar pe neaşteptate ne putem trezi prizonieri ai acestei discipline, realizând că suntem ca o pasăre închisă în colivia ei; putem însă ieşi din acest domiciliu forţat, pentru a ne lua zborul, în libertate, spre văzduhul nemărginit al cunoaşterii; cu condiţia de a avea curajul să aruncăm o privire proaspătă asupra celor învăţate şi de a dobândi nu numai noi cunoştinţe, ci şi noi deprinderi de gândire şi de comportament. Parcursurile la care ne invită paradigmele universale sunt un astfel de remediu impotriva rutinei şi anchilozării intelectuale. Unele părţi au fost elaborate în ultimii ani şi publicate in Secolul 20, România literară, Tribuna Învăţă­ măntului sau alte periodice; altele provin din lucrări mai vechi, actualizate într-o anumită măsură. Unele se bazează pe o experienţă personală, altele au în vedere mai cu seamă experienţa altora. Unele au un caracter pronunţat de eseu, altele sunt mai tehnice şi bazate pe o bibliografie bogată. Întreaga concepţie însă este rezultatul unei reflecţii de o viaţă, care ne-a condus la convingerea că fără unitatea cunoaşterii nu putem obţine eficacitatea ei.

10

1 PARADIGME ALE ÎNVĂŢĂRII, ŞCOLII ŞI PROPRIETĂŢII INTELECTUALE

ÎNTELEGEREA I

D ISTINCŢIA EMPIRIC-REFLEXIV

CUBUl COGNITIV Varietatea extraordinară de moduri de înţelege­

Să explicăm mai bine cele trei distincţii binare

re a lumii, existente în cunoaşterea contemporană,

alese ca reper. Ele sunt rezultatul unei reflecţii care

dă impresia că am intrat într-un fel de anarhie inte­

a marcat întreaga istorie a culturii, sub diferite for­

lectuală. Efortul de a introduce o oarecare ordine în

me ale ei: filozofie, ştiinţă, artă, tehnică, religie. Să

această privinţă a existat din cele mai vechi timpuri.

discutăm mai întâi opoziţia empiric-reflexiv. Ea mai

Ne vom opri la o sistematizare care-şi are originea la R.S. Brumbaugh ("Metaphysical presuppositions and the study of time" , in

The Study of TIme III,

eds.

J.T. Fraser, N. Lawrence, D. Park, Springer Verlag,

1978), fiind preluată şi prelucrată ulterior de Carlos A. Mallmann şi Qscar Nudler (Conceptual aspects of the introduction of human tirne in so­ cial systems modelling, UNESCQ's Socio-Economic

Berlin,

Analysis Division, Fundacion Bariloche, Argentina, November,

1979). Aceşti autori preiau metoda car­

teziană a sistemului de coordonate, introducând un spaţiu tridimensional, la care este raportat orice mod de a înţelege lumea. Însă coordonatele nu sunt aici de natură numerică (aşa cum se întâmplă la Descartes), ci pur calitative, sub forma unor opoziţii polare (sau dihotomii): abscisa este dată de poziţia faţă de distincţia empiric-reflexiv, ordonata este apreciată în raport cu distincţia intuitiv-raţional, iar cota priveşte situaţia faţă de poziţia dintre conştient

poate fi prezentată sub forma extern-intern, deoare­ ce empiricul exprimă relaţia cu ceea ce se află în afara noastră, deci în lumea exterioară, în timp ce reflexivul

caracterizează

intelectuală,

activitatea

deci modul

de

elaborare

de prelucrare internă a

datelor empirice. Uneori, reflexivul este asimilat cu teoreticul,

dar desigur sfera reflexivului este mai

vastă decât aceea a teoreticului. Unde se află sursa principală a cunoaşterii, în activitatea empirică sau în cea reflexivă? Această problemă i-a împărţit pe filozofii Greciei antice în două

tabere,

dar

şi-a

păstrat

actualitatea până

în zilele noastre, schimbându-şi mereu veşminte­ le, limbajul.

În cea de-a doua parte a secolului

al XX-lea, Noam Chomsky a lansat o provocare la adresa celor care pun accentul pe latura empirică. Terenul de luptă

a

fost oferit de modul în care sunt

reprezentate procesele de învăţare. Empiriştii pun

putea

accentul pe învăţarea care rezultă din ceea ce do­

numi cubul cognitiv, o structură tridimensională care poate găzdui orice mod de a inţelege lumea.

reflexivii se orientează în primul rând spre mecanis-

şi inconştient. Ia naştere astfel ceea ce

am

bândim prin interacţiunea cu exteriorul, in timp ce

11

mele înnăscute ale creierului. Dintre cei dintâi, putem menţiona pe J. Locke şi pe D. Hume, dintre cei de al doilea tip, pe R. Descartes şi pe G. Leibniz. Până la Chomsky, studiul proceselor de învăţare era preponderent bazat pe reprezentarea lor ca inter­ acţiuni de tipul stimul-răspuns, iar modelele mate­ matice ale învăţării preluau aceeaşi filozofie, materializată în procese Markov sau extensiuni ale lor, cum ar fi lanţurile cu legături complete introdu­ se în 1935 de O. Onicescu şi G. Mihoc şi duse mai departe de Marius Iosifescu şi Radu Theodorescu (R. R. Bush-F. Mosteller, Stochastic models for leaming, Wiley, N.Y., 1 955; M. Iosifescu-R. Theodo­ rescu, Random processes and leaming, Springer, Berlin, 1969). Dar încă în 1959 Chomsky publică ("Review of 'Verbal behavior' by B.F. Skinner", Language 35, 1959, pp. 26-58) o recenzie devasta­ toare a unei cărţi care exprimă punctul de vedere empiric asupra modului de a înţelege învăţarea. De fapt, pe Chomsky il preocupa învăţarea limbajului, dar aceasta era văzută ca învăţarea de bază, la care trebuie raportat orice alt proces de învăţare la om. În 1979 are loc la Abbaye de Royaumont, lângă Paris, o dezbatere internaţională ale cărei lucrări au fost editate de Massimo Piatelly-Palmarini: Lan­ guage and leaming. The de bate between Jean Piaget and Noam Chomsky (The Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass., 1 980). Dezbaterea nu s-a soldat cu un câştigător. Învăţarea umană articulează o componentă empirică, de tipul stimul-răspuns, şi o componentă reflexivă, de tipul înnăscut-dobândit. Amândouă sunt la fel de importante. Modelarea matematică a acestei combinări a fost realizată de cercetători japonezi (Y. Uesaka, T. Aizawa, T. Ebara, K. Ozeki, "A theory of learnability", in Kybemetik 13, 1973, pp. 123-131) şi se prevalează de o repre­ zentare a unui obiect de învăţat printr-un şir infinit de perechi ordonate O are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice n u ­ măr a cuprins între zero şi suma seriei există o sub serie a cărei sumă este egală cu a; a se vedea articolul nostru "On the Darboux property for ato­ mic measures and for series with positive term s" , Revue roumaine de mathematiques pures et appli­ quees, voI. 1 1 , 1 966, nr. 6, pp. 64 1 - 646) . "

",

MEREOLOGIA C A GENERALIZARE A GEOMETRIEI Mereologia poate fi considerată drept partea cea mai generală a geometriei (G. Kiing, "Lesniewski's systems ", in W. M arciszewski ed. , Dictionary of Lo­ gic, M. Nij hoff Publishers, 1 98 1 , pp . 1 68- 1 77), aşa cum se p oate vedea la autori ca Alfre d Tarski (" Le s fondements de la geometrie de s corps", in Logic, Semantics, Meta mathematics, Clarendon, Oxford , 1 956) şi T.F. Sullivan ("Affine geometry having a solid as primitive", Notre Dame Joumal of Formal Logic, 1 2 , 197 1 , pp . 1 - 6 1 ; "The name solid as primi­ tive in projective geometry" , Notre Dame Joumal of Formal Logic, 1 3 , 1 9 7 2 , pp. 95-97; "The geometry of solids in Hilbert spaces Notre Dame Joumal of Formal Logic, 1 4 , 1 9 7 3 , pp. 573- 580 ; "Tarski's definition of point in Banach spaces", Joumal of ",

1 39

Geometry, 3 , 1 9 7 3 , pp. 1 79- 1 89) care au folo sit mereologia pentru fundamentarea teoriei corpurilor solide . Această includere a geometriei într-o viziune mereologică, deci de tipul relaţiilor parte-întreg, vi­ ziune atât de diferită de aceea a relaţiilor element­ mulţime, poate fi corelată cu concepţia lui Rene Thom, după care geometria elementară oferă, mai mult decât alte discipline matematice şcolare , po si­ bilitatea de a forma gândirea elevilor, de a le stimula iniţiativa şi imaginaţia. Rene Thom invocă natura rutinieră a celor mai multe probleme de algebră şi trigonometrie propuse în manualele şcolare , pro­ bleme care revin de obicei la manipulări de formule pe care elevii le preiau fără a le cunoaşte provenien­ ţa. Geometria sintetică intuitivă (atât cea plană, cât şi cea în spaţiu) ne pune , cu aproape fiecare pro­ blemă, în faţa unei situaţii care pretinde o veritabilă căutare , un act de imaginaţie , o idee cum ar fi aceea de a recurge la o anumită con strucţie auxiliară. În rezolvarea unei probleme de geometrie există mai totdeauna o tatonare , un şir de încercări eşuate, urmate uneori de o încercare reuşită. Nu vom discuta aici, sub toate aspectele ei, concepţia lui Rene Thom privind matematica şcola­ ră. Vom reţine numai legătura ei cu problema dis­ cretului şi continuului , care ne preocupă acum . În primul rând, geometria stimulează capacitatea de ob servare a universului înconjurător sub aspe ctul său cel mai pregnant, care este cel vizual . Se spune chiar că geometria presupune capacitatea de a ve­ dea în spaţiu, fără de care ne-am orienta mai greu în imaginarea acelor construcţii auxiliare adecvate care intervin în rezolvarea unei probleme de geome­ trie . Am putea spune deci că prin locul important pe care-l acordă intuitivului şi, în particular, vizua­ lului, geometria soli cită într-o măsură mai mare decât algebra contribuţia emisferei cerebrale drepte . Dar acest fapt se află în directă legătură cu percep­ ţia relaţiilor parte-întreg, care prevalează în geome­ trie faţă de percepţia relaţiilor element-mulţime. Cu alte cuvinte , fără a ne ga po sibilitatea de a considera un cilindru sau o piramidă ca o mulţime de puncte având drept submulţime un con, re spectiv un trunchi de piramidă, nu aceste relaţii de tip ansam­ blist şi analitic sunt cele care ne ghidează în intui­ ţiile şi iniţiativele noastre, în tentativa de a rezolva o problemă de geometrie, ci cele de tip mereologic, holistic . Atribuindu-i lui Rene Thom ace st mod de a vedea, ne bazăm şi pe o altă idee a sa, asupra căreia a in sistat în numeroase ocazii. În contrast cu mulţi autori care consideră că modelele discrete au o ca­ pacitate explicativă superioară celor continue , Rene Thom pledează pentru superioritatea modelelor continue, condiţionând succe sul modelelor matema­ tice , în discipline ca biologia sau lingvistica, de uti­ lizarea matematicii continue. În această idee a sa se află, în bună măsură, legitimarea folosirii topologiei diferenţiale în ştiinţele vieţii şi în cele social-uma­ niste . Teoria catastrofelor se încadrează tocmai în 1 40

această ordine de idei, în care intuiţia fizică are un rol hotărâtor, conceptele de bază fiind cele întâlnite în mecanica clasică: varietăţi diferenţiabile, câmpuri de vectori, sisteme dinamice . Spaţiul-timp cu patru dimensiuni este direct implicat. Pentru a înţelege însemnătatea şi noutatea punctului de vedere al lui Rene Thom trebuie să amintim faptul că în lingvistică şi, în bună măsură după exemplul ei, în celelalte discipline umaniste şi sociale au fo st folosite aproape exclusiv modele dis­ crete . Aşezarea disciplinelor social-umaniste în raza de acţiune a modelelor discrete nu a fo st numai o chestiune de comoditate , ci şi una de principiu. L-am menţionat, în această privinţă, pe Ferdinand de Saus sure , după care ştiinţa începe prin desprin­ derea de continuul percep tiv şi intuitiv şi tranziţia spre discret. Tendinţa de a baza explorarea unei discipline pe o reprezentare sub formă de limbaj nu face decât să dezvolte mai departe ideea lui F. de Saussure . Intră aici studiul eredităţii ca limbaj în care acizii nucleici sunt cuvinte pe alfabetul celor patru tipuri de nuc1eotizi . Tot aici intră studiul ac­ ţiunilor umane ca secvenţe finite pe un anumit al­ fabet de acţiuni elementare (Maria Nowakowska, Language of motivation and language of actions, Mouton, Haga, 1 973) . Exemplele pot continua inde­ finit (a se vedea articolul nostru "Learning, as a ge­ nerative process" , Revue roumaine de linguistique Cahiers de linguistique theonque et appliquee, voI. 1 6 , 1979 , nr. 2, pp. 1 1 7- 1 30) . În toate ace ste cazuri se pleacă de la ipoteza posibilităţii de a cuantifica anumite acţiuni, fenomene , procese, cu aj utorul unui alfabet. În acest fel se instaurează nu numai o viziune ansamblistă, ci şi, în cadrul ace stei viziuni ansambli ste, a unei reprezentări liniare, secvenţiale, care condiţionează orice structură de limbaj . Faţă de o atare viziune, reprezentarea întreg-parte este de cu totul altă natură. Putem deci spune că distincţia intuitivă cuanti­ ficabil-necuantificabil, aşa cum se reflectă ea în me­ reologia lui Lesniewski, opune relaţia întreg-parte tuturor relaţiilor de tip ansamblist. În acest fel, până şi mulţimea numerelor reale, prin simplul fapt că are statut de mulţime alcătuită din elemente legate de mulţime prin relaţia de apartenenţă, se situează în zona cuantificabilului, deci într-un anume sens a discretului. Întorcându-ne acum la discuţia de spre geome­ trie, putem înţelege scrupulele unor autori la care nevoia de rigoare se asociază cu viziunea ansam­ blistă. Faptul acesta se re flectă şi în terminologie . Cazurile de egalitate a triunghiurilor devin cazurile de congruenţă a triunghiurilor, deoarece triunghiu­ rile sunt asimilate cu mulţimi de puncte , iar egalita­ tea a două mulţimi înseamnă faptul că ele conţin exact aceleaşi elemente . Fără a nega avantaj ele unor disocieri de acest fel, rămâne totuşi de văzut dacă ele compensează minusul de intuitivitate pe care-l înregistrează geometria plasată într-o atare perspectivă.

DIS CRETUL ŞTIINŢIFIC ŞI CONTINUUL POETIC Continuând şi dezvoltând ideile lui Pius Servien , am argumentat în Poetica matematică fap­ tul că semnificaţia ştiinţifică este discretă, iar sem­ nificaţia poetică este continuă, în sensul că prima se prezintă ca un şir de puncte răzleţe , iar a doua ca o linie neîntreruptă. ° singură secvenţă poetică are mai multe semnificaţii (anum e , o mulţime de puterea continuului de semnificaţii) decât toate secvenţele ştiinţifice la un loc (mulţimea tuturor semnificaţiilor ştiinţifice este numărabiIă) . Legitima­ rea acestor aserţiuni se sprij ină pe următoarea ipo­ teză formulată de Pius Servien (Le langage des sciences, "Actualites scientifiques et industrielle s" , Paris, 1 938; o versiune românească a Esteticii lui Servien, care dezvoltă de asemenea ideile pe care le avem în vedere aici, a apărut la Editura Ştiinţifică în 1975) . Limbajul ştiinţific (în forma sa ideală) este lipsit de omonimie , având în schimb o sinonimie infinită. Prin contrast, limbajul poetic (în forma sa supremă) este lipsit de sinonimie, fiind însă înze s­ trat cu o omonimie infinită. Să încercăm să expli­ căm despre ce este vorba. În limbajul ştiinţific, prin intermediul compo­ nenţei artificiale , căutăm să eliminăm orice ambigu­ itate , tinzând deci către absenţa totală a omonimiei. Pe de altă parte , orice enunţ ştiinţific poate fi refor­ mulat într-o infinitate de feluri, fără a i se modifica semnificaţia. (De exemplu, o teoremă se poate enunţa într-o infinitate de feluri, iar o demonstraţie se bazează de multe ori pe diferite parafrazări ale ipotezelor sau ale conc1uziei. Adunarea şi scăderea unui acelaşi termen, pentru a pune în evidenţă o anumită expre sie , sau scrierea unei inegalităţi în care apare un modul sub forma a două inegalităţi fără modul sunt tocmai astfel de inlocuiri ale unui enunţ cu un altul, echivalent cu primul) . Rezultă astfel că, notând cu S mulţimea semnificaţiilor şti­ inţifice şi cu F mulţimea frazelor din limbajul ştiinţi­ fic, există o funcţie f care aplică F pe S, deci care asociază fiecărei fraze x din F o semnificatie unică s(x) din S, fiecare element din S fiind core � ponden­ tul unor elemente din F. Cu alte cuvinte , există o corespondenţă bijectivă între S şi o parte a lui F. Însă elementele din F sunt secvenţe finite pe un acelaşi alfabet A, de asemenea finit, deci F este o mulţime numărabi1ă; cu atât mai mult orice parte a lui F este cel mult numărabilă. De aici rezultă că mulţimea S este numărabilă. Ce se întâmplă în limbajul poetic? Aici, fiecare frază este se sizată cu o semnificaţie care depinde de timp . Într-o situaţie-limită ideală putem accepta că la fiecare moment semnificaţia unei fraze poetice este un unicat, deci diferită de toate semnificaţiile aceleiaşi fraze la diferite momente anterioare. Însă orice interval temporal (fie el finit sau infinit) conţi­ ne o infinitate nenumărabilă (mai precis, de puterea continuului) de momente distincte . Rezultă astfel că

o singură frază este sesizată, chiar numai de o sin­ gură persoan ă, cu un continuum de semnificatii. În Poetica matematică am arătat că a�eastă distincţie de cardinalitate între limbajul ştiinţific şi cel poetic (distincţie care ia forma numărabil-con­ tinuu) se prelungeşte cu o distincţie de natură topo­ logică. Aceste cercetări au fost continuate de mai mulţi cercetători; am prezentat rezultatele lor în cartea Din gândirea matematică românească (Editu­ ra Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1975, pp . 194-206) . Dintre ele, vom reţine aici pe aceea efectuată de L I . Revzin ("On the continuous nature o f poetic se­ mantics" , Poetics, voI . 1 0 , 1974, pp. 2 1 -26) . Punctul de plecare al lui Revzin îl con stituie faptul că de­ monstraţia de mai sus a naturii continue a seman­ ticii poetice se sprijină nu pe structura internă a limbajului poetic, ci pe modul în care ace st limbaj este sesizat. Cu alte cuvinte , natura continuă a se­ manticii poetice este de fapt un atribut al lecturii limbajului poetic . Revzin şi-a pus problema dacă nu se poate identifica acest atribut al continuitătii ca o proprietate imanentă (nu derivată) a semanti�ii poe­ tice , independent de relaţia textului cu cititorul. Să nu pierdem din vedere faptul că în demonstraţia de mai sus continuitatea semanticii poetice a fost o consecinţă a continuităţii parametrului timp. Însă nenumărabilitatea mulţimii de semnificaţii poetice poate fi explicată pornind de la structura internă a discursului poetic. Să presupunem, într-adevăr, că elementele acestui discurs (de exemplu cuvintele sale) sunt reprezentate în raport cu un număr de n mărci semantice , care pot fi combinate în diferite moduri. Numărul combinaţiilor posibile cu aceste mărci este , după cum se ştie , egal cu 2 la puterea a n- a. Rezultă că aceeaşi putere a lui 2 constituie numărul semnificaţiilor teoretice posibile ale dis­ cursului p oetic con siderat. Mărcile semantice sunt distribuite pe diferite niveluri de generalitate . Astfel, un prim nivel ar putea conţine două mărci, abstract şi concret, al doilea nivel ar conţine patru mărci (conceptual şi neconceptual ca varietăţi ale lui ab­ stract şi terestru şi non-terestru ca varietăţi ale lui concret) , un al treilea nivel ar putea conţine opt mărci (printre care senzoriaC nesenzorial, animat, inanimat) , un al patrulea nivel ar avea 24 1 6 mărci (printre care uman, non-uman, uniregn, pluriregn) , al cincilea nivel ar avea 2s 3 2 mărci (printre care vegetal şi mineran etc. Numărul nivelurilor este prac­ tic nelimitat, deci mulţimea mărcilor semantice este infinită, dar numărabilă. Însă mulţimea părţilor unei mulţimi numărabile nu este numărabilă; dacă admitem ipoteza con tinuului (care afirmă că cel mai mic număr cardinal nenumărabil este cel al conti­ nuului) rezultă că numărul cardinal al multimii de ' combinaţii posibile de mărci semantice este, într-un discurs poetic, de puterea continuului. Însă, datori­ tă structurii conotative a discursului poetic , orice combinaţie posibilă de mărci semantice corespunde unei posibile semnificaţii a discursului poetic; deci mulţimea acestor semnificaţii este continuă. =

=

141

După cum vedem, continuitatea devine astfel o consecinţă a organizării interne a discursului poe­ tic. Pornind de aici, putem regăsi şi structura topo­ logică a limbajului poetic (a se vedea pp . 202-204 din cartea noastră Din gândirea matematică româ­ nească) . Să observăm, împreună cu 1 . 1 . Revzin, că asoci­ erea distincţiei ştiinţific-poetic cu distincţia discret­ continuu a fost intuită şi postulată de matematicieni ca A. N. Kolmogorov (a se vedea cartea lui LI. Revzin, Struktumo tipologiceskie issledo vanie, Moscova, 1962, p. 296) şi de poeţi ca O. Mandelstam. Este însă clar faptul că, independent de calea folosită, atributul continuităţii se referă la o ipostază-limită ideală limbajului poetic, la o ipoteză explicativă pri­ vind organizarea şi funcţionarea acestui limbaj şi nu la o realizare efectivă a sa.

MATEMATICA DISCRETĂ O DETRONEAZĂ PE CEA CONTINUĂ? În culegerea de eseuri editată de Lynn Arthur Steen, intitulată sugestiv Matematica mâine (Mathe­ matics Tomorrow, Springer Verlag, New York, 198 1 ) , atrage atenţia, î n le gătură c u problema discretului şi continuului, care ne preocupă acum , articolul lui Anthony Ralston, profesor de informatică matemati­ că la Universitatea de stat din Buffalo - New York, autor şi editor al mai multor cărţi de specialitate. Titlul partizan al eseului lui Ralston, "Declinul Cal­ culului diferenţial şi integral, creşterea Matematicii discrete" ("The Dec1ine of Calculus - The Rise of Discrete Mathematics" , pp . 2 1 3 - 220 în culegerea menţionată) ne provoacă la o replică. Mai întâi, ob servăm asimilarea Analizei mate­ matice cu matematica continuă, eludându-se faptul că întreaga teorie a şirurilor şi a seriilor, fundamen­ tală în Analiză, este un capitol de matematică dis­ cretă. Ralston precizează că include în matematica discretă acele ramuri ale matematicii care se bazea­ ză în întregime sau în primul rând pe obiecte dis­ crete: Combinatorică, Teoria grafurilor, Algebra abstractă, Algebra liniară, Teoria numerelor şi Pro­ babilităţi discrete . Desigur, Ral ston nu a intenţionat să dea o listă exhaustivă a domeniilor matematicii discrete . Argumentul său principal, în favoarea ma­ tematicii discre te , este dezvoltarea tot mai mare a calculatoarelor electronice şi, implicit, a acelei ma­ tematici care intervine , direct sau indirect, în elabo­ rarea şi analiza algoritmilor a căror implementare sunt programele de calculator. Din ace st punct de vedere , într-adevăr, matematica cea mai importantă tinde să fie nu Calculul diferenţial şi integral care figurează în mod tradiţional în programele de învă­ ţământ ale multor institute de învăţământ superior, ci diferite domenii de matematică discretă. Această ultimă constatare core spunde realităţii şi îşi are o explicaţie istorică. Secolul al XIX-lea şi 142

secolul trecut au cunoscut o dezvoltare vertiginoasă a Analizei matematice, situaţie care l-a condus pe marele matematician John von Neumann (creatorul teoriei matematice a jocurilor şi unul dintre pionierii con struirii calculatoarelor electronice moderne) să constate , în 1 9 5 1 , că Analiza matematică este, din­ tre toate ramurile matematicii, cea mai elaborată din punct de vedere tehnic şi cea care a repurtat cele mai mari succese. Consecinţele acestei situaţii sunt încă vizibile în revistele internaţionale de refe­ rate în domeniul matematicii, reviste care şi acum se văd obligate să consacre mai multe pagini Anali­ zei şi ramurilor adiacente decât domeniilor discrete ale matematicii. Este important să ob servăm că dezvoltarea calculului diferenţial şi integral, a teoriei ecuaţiilor diferenţiale şi integrale , a teoriei funcţiilor de varia­ bilă complexă şi a analizei funcţionale, toate ramuri ale Analizei, a fo st în mare măsură stimulată de dezvoltarea fizicii, chimiei şi ingineriilor energetice care au dominat dezvoltarea ştiinţei şi tehnicii în secolele anterioare . Această situaţie a creat o puter­ nică tradiţie a învăţământului de Analiză matemati­ că în universităţi şi politehnici, în institute de învăţământ superior în general. Aceasta era situaţia în momentul în care, în urmă cu câteva decenii, au început să se dezvolte ingineriile informaţionale (la baza cărora se află informatica, adică ştiinţa calcu­ latoarelor, şi teoria informaţiei, iniţiată de Claude Shannon) . Învăţământul, cu binecunoscuta-i inerţie (un singur exemplu: analiza ep silon, iniţiată de Cauchy în prima j umătate a secolului al XIX-lea, a avut nevoie de pe ste o sută de ani pentru a putea pătrunde în programele matematice şcolare şi uni­ versitare) nu a fost capabil nicăieri în lume să reac­ ţioneze cu promptitudine la noua situaţie . Dar orice întârziere în această privinţă este profund dăună­ toare . Tocmai ace sta este avertismentul principal pe care ni-l adre sează Anthony Ralston; el ne atrage atenţia că apariţia şi dezvoltarea calculatoarelor digitale nu este un eveniment ştiinţific oarecare, ci probabil cel mai important eveniment în domeniul ştiinţei şi tehnologiei, de la apariţia tiparului. Consecinţele sociale ale acestui eveniment sunt atât de mari, încât este o iluzie să credem că învă­ ţământul îşi poate permite mult timp să nu înregis­ treze , cu amploarea corespunzătoare, mutaţia care s-a produs. Ingineriile informaţionale au devenit acum la fel de importante (dup ă unii, mai impor­ tante) ca şi ingineriile energetice şi, spre deosebire de acestea din urmă, care se sprijineau exclusiv pe ştiin ţele naturii, se bazează atât pe ştiinţele naturii cât şi pe unele discipline social-umaniste ca lingvis­ tica şi semiotica (am dezvoltat ace st aspect în arti­ colul A primordial domain of the revolution in science and technology: The humanistic engineering, în vo · lumul colectiv The revolution in science and techno­ logy and contemporary social development, Editura Academiei RSR, 1 974, pp. 207-2 1 9 ) . Ralston invocă pe Wallace Givens ( 1 966) : "Există un fapt simplu şi

fundamental privind calculatoarele , un fapt care , în deceniile şi secolele următoare, va afecta profund nu atât ceea ce matematica a acumulat, cât ceea ce este considerat important în matematică. Ace st fapt este finitudinea. " Din acest citat şi din ansamblul exemplelor date, înţelegem că Ralston are tendinţa de a asimila discretul cu finitul, estompând întinsele zone ale discretului nefinit. Adevărul este că nici finitul nu este , în toate accepţiunile, discret; astfel, o mulţime A înzestrată cu topologia în care A şi partea vidă sunt singurele mulţimi de schise , nu conţine nici un punct izolat. Excluzând însă o atare situaţie artifici­ ală, finitul este forma cea mai manifestă, mai preg­ nantă, a discretului, dar în acelaşi timp discretul nefinit (de exemplu, sub forma şirurilor infinite) este forma cea mai profundă a sa. Ralston recunoaşte că Analiza matematică va continua să se dezvolte şi să repurteze multe succe­ se, provocată fiind numai poziţia ei dominatoare în matematică şi în aplicaţiile ei. Matematica discretă detronează Analiza, pare să fie ideea sa principală. Vom continua să ne ocupăm de ea în paragraful următor.

DISCRETUL ALGORITMIC, DUrĂ D .E. KNUTH

Este răspândit obiceiul de a pune titluri şocan­ te pentru a obţine un efect de ordin retoric. Aşa a procedat şi A. Ralston când a ales pentru articolul său (la care ne-am referit anterior) un titlu despre declinul calculului diferenţial şi integral. De fapt, în articol el afirmă chiar contrariul, când accentuează că întreaga Analiză matematică clasică va continua să se bucure de mult succes. Dar, pretinde Ralston, succesul matematicii discrete va fi , în următoarele decenii, mai mare decât cel al matematicii continue ; poziţia dominantă pe care aceasta din urmă a avut-o în matematică şi în aplicaţiile ei va înceta, pe locul întâi al atenţiei trecând matematica discretă. Desigur, în dezvoltarea unei ştiinţe diferitele ei compartimente se dezvoltă inegal. De exemplu, des­ pre secolul al XIX-lea s-a afirmat uneori că a fost, pentru Analiza matematică, secolul teoriei funcţiilor de o varIabilă complexă. Este cert, de asemenea, că apariţia şi dezvoltarea calculatoarelor constituie un extraordinar stimulent al dezvoltării, în secolul nos­ tru, a matematicilor discrete . (Continuul este, într-o abordare raţională, o stare-limită a discretului, deci are o existenţă doar potenţială, virtuală, care con­ trastează cu natura efectivă şi constructivă a proce­ selor la care se referă un program de calculator) . Însă de aici până la a elabora şi reelabora mereu ierarhii ale diferitelor compartimente ale unei ştiinţe este o cale lungă. Ace ste ierarhii au fost mereu con­ trazise şi răsturnate. Cu atât mai mult este oţioasă încercarea de a departaja după importanţă discretul

şi continuul, entităţi care nu pot fi concepute decât împreună, într-o tensiune antinomică. Să luăm una dintre noţiunile cele mai tipice pentru matematica continuă, noţiunea de integrală, pe care o învaţă azi elevii ultimei clase de liceu. Ce este de fapt o funcţie integrabilă? La ce altceva revine această proprietate decât la un anumit comportament al unor sume finite asociate funcţiei considerate? Invers, cât de profund am putea pătrunde în studiul matematicii discrete dacă ne-am refuza posibilitatea de a ne prevala de diferite proce se de trecere la limită? Cum ar fi arătat studiul numerelor prime fără sprijinul Analizei? Cum am putea înţelege numărul raţional fără ipostaza sa de număr real şi cum l-am putea înţelege pe acesta din urmă fără aproximările sale raţionale? Dincolo de ace ste argumente care vizează mo­ dul organic în care reprezentarea discretă şi cea continuă sunt inculcate percepţiei umane a reali­ tăţii , numeroase alte argumente sprijină aceeaşi idee a echilibrului dintre discret şi continuu. Ambele tipuri de matematică sunt în atenţia unui număr imens de cercetători; în multe cazuri, un acelaşi articol aparţine în mod egal topologiei şi algebrei, analizei şi combinatoricii. Însă, de fapt, obiectul principal al articolului lui Ralston este altul. El constată că, aşa cum am ob­ servat în paragraful anterior, învăţământul mate­ matic nu a înregistrat încă mutaţia produsă de calculator şi nu acordă matematicii discrete (cerute de informatica matematică) suficientă atenţie, nu o aşază încă în programele de învăţământ pe un loc la fel de important ca cel ocupat de Analiză. In mod explicit, Ralston are în vedere în primul rând stu­ diul procedeelor cu caracter algoritmic. Prin aceas­ ta, Ralston surprinde o anomalie pe care n-avem voie s-o sube stimăm . Este adevărat că el are în ve­ dere programele de învăţământ din Statele Unite ale Americii, dar anomalia este generală. Gândirea al­ goritmică este , fără îndoială, o parte esenţială a matematicii discrete , care-şi face loc tot mai mult în toate domeniile de activitate (a se vedea şi lucrarea noastră Gândirea algoritmică, Editura Tehnică, 1 9 8 1 ) . Dar în ce constă specificul acestei gândiri în raport cu gândirea matematică în general? Un expe­ riment interesant a fost efectuat, în acest sens, de Donald E. Knuth, unul dintre cei mai importanţi cercetători în informatica matematică (a se vedea articolul său "Algorithms in Modern Mathematics and Computer Science" în volumul colectiv cu ace­ laşi titlu editat de A.P. Ershov şi D.E. Knuth în seria "Lecture Notes in Computer Science" , nr. 1 2 2 , Springer Verlag, Berlin , 1 9 8 1 , pp. 82-99) . Knuth a ales nouă cărţi importante de matematică dintre cele mai variate (autorii lor: Thomas, Lavrentiev, Kelley, Euler, Zariski, Kleene, Knuth, Polya, Bishop) şi a analizat ce anume se întâmplă la pagina 1 00 a fiecăreia dintre aceste cărţi. Rezultatele au fost în­ registrate în raport cu următoarele aspecte : mani­ pulări de formule , reprezentări ale realităţii, 143

comportament al valorilor unei funcţii, reducerea la unele probleme mai simple, studiul unei forme de infinitate , generalizare, raţionament abstract, struc­ turi ale unor informaţii, algoritmi. Considerând un tablou în care fiecărei coloane îi asociem (în ordinea indicată) pe unul dintre cei 9 autori specificaţi şi fiecărei linii câte unul dintre aspectele specificate (în ordinea indicată) , Knuth a notat cu xx prezenţa masivă a unui aspect şi cu x prezenţa sa moderată. 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xx

xx

2

xx

x

xx

x x

xx

xx xx

x

3

xx

xx

xx

x

xx

x

5

4

xx

xx

x x

xx

x

xx

xx

xx

xx

6

7

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xx xx

xx

xx

8

xx

9

x

x

x

xx

Linia a zecea a tabloului este consacrată gândi­ rii algoritmice. Knuth observă că din cele 9 cărţi considerate sunt absente două tipuri de gândire esenţială în informatică (poate, deci, că ele dau dife­ renţa specifică dintre informatică şi matematică) : gândirea complexităţii unei operaţii (matematica lui Bishop e constructivă, dar nu conţine toate ingredi­ entele unui algoritm, deoarece ignoră "costul" con­ strucţiilor sale) şi ideea de operaţie de atribuire (assignment operation): care schimbă valorile can­ tităţilor (cu alte cuvinte , lipseşte noţiunea dinamică de stare a unui proces: Cum am ajuns aici? Ce se întâmplă acum? Ce urmează să se întâmple? Struc­ turile de date, atât de importante în informatică, implică esenţial capacitatea de a raţiona asupra stărilor unui proces, fără de care nu putem înţelege nici interacţiunea unor procese diferite . Cel mai simplu exemplu de operaţie de atribuire este de tipul n : = n + 1. Ea apare timid la Euler, dar, pretin­ de Knuth, J. von Neumann nu era încă în pose sia acestei operaţii în primele sale scrieri privind pro­ gramarea calculatoarelor. =,

OFENSIVA DISCRETULUI

Există azi în ştiinţă o ofensivă a discretului şi a [mitului, determinată în mare măsură de dezvoltarea calculatoarelor electronice. În faţa acestei ofensive, matematica a fost surprinsă numai pe jumătate pregătită. Aşa se face că în multe ţări departamen­ tele de matematică n-au reuşit să ofere o primire corespunzătoare noului-venit. Rezultatul? Crearea unor departamente de informatică separate de cele de matematică. Desigur, această separare are şi alte cauze, pe care nu le discutăm aici. Multe iniţiative 1 44

privind intensificarea preocupărilor de matematică discretă vin din partea informaticienilor. Calculatorul electronic, cu vitezele sale în con­ tinuă creştere, creează matematicii o perspectivă nouă, deoarece o serie de calcule care înainte nu puteau fi decât concepute, dar nu efectuate, devin astăzi posibile. Cel mai mare număr prim cunoscut înainte de apariţia calculatoarelor era un număr de 39 de cifre: p = 170. 14 1 . 1 83.460.469 . 2 3 1 .73 1 .687 303 . 7 1 5 . 884. 1 0 5 . 72 7 Însă factorialul lui �2 nu a fost evaluat de nici un calculator. Numai pentru a-l scrie ar fi nevoie de mai multă hârtie decât în toate cărţile lumii. Între aceste limite , calculatorul penni­ te totuşi să se cunoască numere prime din ce în ce mai mari. Aici trebuie să ţinem seamă şi de faptul unnător: caracterul prim sau neprim al unui nu­ măr nu este totdeauna efectiv, constructiv. Astfel, H . Steinhaus a semnalat că dacă se scade o unitate din puterea de exponent 257 a lui 2 , atunci se obţi­ ne un număr neprim de 78 de cifre; dar divizorii acestui număr încă nu sunt cunoscuţi (cel puţin aceasta era situaţia până prin 1 978 ) . Este lesne de înţeles că probleme de acest fel, numeroase în do­ menii ca teoria numerelor, teoria grupurilor finite , teoria grafurilor, profită tot mai mult de ajutorul calculatorului. Diferite ipoteze privind proprietăţi care depind de numărul natural n pot fi testate pen­ tru valori din ce în ce mai mari ale lui n, fie pentru a se mări plauzibilitatea lor, fie pentru a le infirma. În această privinţă însă trebuie manifestată multă prudenţă. Milioanele de cazuri în care ipoteza lui Riemann a fost verificată cu ajutorul calculatorului nu au condus la validarea acestei ipoteze. Un alt exemplu: în 1 9 1 4 , J.E. Littlewood a arătat că o anumită ecua­ ţie este verificată pentru toate numerele inferioare unei valori numite azi constanta lui Littlewood, dar există o infinitate de numere superioare acestei constante, pentru care ecuaţia nu mai este verifica­ tă; numai că această constantă a lui Littlewood este mai mare decât puterea de exponent 100 a lui 1 0, putere care întrece numărul tuturor atomilor din universul vizibil. Cât timp va mai trebui să treacă pentru ca un rezultat de acest fel să poată fi obţinut cu ajutorul calculatorului? Un ultim exemplu din teoria numerelor se va referi la o conjectură datând încă din antichitate: există o infinitate de perechi de numere prime gemene , adică de numere prime care diferă prin 2 (cum ar fi 17 şi 1 9 , sau 29 şi 3 1 , sau 4 1 şi 43) . Relativ recent, matematicianul chinez Jing-Run Chen a demonstrat că există o infinitate de perechi de numere consecutive impare p, p + 2, unde p este prim, iar p + 2 are cel mult doi factori primi. Demonstraţia lui Chen este foarte lungă şi foloseşte mai tot ce se ştie mai important în teoria numerelor. Dacă însă ipoteza privind infinitatea mulţimii de numere prime gemene este falsă, atunci calculatorul oferă o şansă de producere a contra­ exemplului mult aşteptat.

DISCRET, CONTINUU ŞI IAR DISCRET

Deosebit de spectaculoasă este influenta calcu­ latorului asupra Analizei matematice . An �liza nu­ merică a intrat astfel într-o nouă etapă, în care calculul aproximativ se plasează în centrul atentiei. Într-adevăr, aproximarea continuului prin discret , a discretului prin finit devine din ce în ce mai eficace prin creşterea considerabilă a capacităţilor de cal � . locul tradiţionalelor formule analitice în re­ cuI. In zolvarea ecuaţiilor diferenţiale sau integrale , în locul evaluării integralelor cu ajutorul funcţiilor primitive, atenţia se îndreaptă tot mai mult spre ecuatiile cu diferenţe ca aproximare a unor ecuatii difer� ntiale spre sume finite ca aproximaţii ale � nor inte ir ale : Prevalarea aspectului numeric a determinat o abor­ dare directă, care nu mai trece prin arsenalul aşa­ numite lor funcţii speciale, atât de importante în tradiţia fizicii matematice . Apar astfel domenii noi, cum ar fi Metoda elementului finit, folosită mult în inginerie , de exemplu în construcţiile de clădiri, poduri sau baraje. In locul problemelor la limită, în spiritul tradiţional al Analizei matematice , inginerii preferă metodele directe de minimizare sau rezolva­ rea apro�imativă, prin interpolare , a ecuaţii lor dife­ renţiale . In ansamblu, putem spune că dezvoltarea calculatoarelor digitale a modificat profund însuşi modul de formulare (şi cu atât mai mult de solutio­ nare) a problemelor matematice care apar în ingi� e­ rie. Dar nu cumva ne învârtim într-un cerc vicios? După ce am definit derivata pornind de la diferenţe şi integrala pornind de la sume, acum facem calea întoarsă de la derivate la diferenţe şi de la integrale la sume. Am definit continuul ca limită a discretului şi acum punem problema discretizării continuului. Cu alte cuvinte, drumul de la discret la discret trece prin. . . continuu. Nu este aceasta o complicare a lucrurilor? Nu, nu este . Modelarea prin funcţii con­ tinue a unor fenomene discrete foarte complicate este în primul rând o necesitate conceptual-teore­ tică. Viteza la un anumit moment nu e doar calcula­ tă, ci şi definită prin derivată, tot aşa cum integrala ne învaţă să dăm un sens noţiunii de arie a unui domeniu de un anume tip. Expresiile finite prin care discretizăm o derivată sau o 'integrală sunt incomparabil mai simple decât fenomenele discrete care au fost modelate cu ajutorul derivatei sau inte­ gralei. În principiu, am putea, desigur, să modelăm fenomenele discrete cu aparatul matematicilor dis­ crete, dar calculele implicate de o atare modelare ar fi atât de complicate , încât nu am putea să le facem faţă nici cu cele mai puternice calculatoare actual­ mente disponibile . Anthony Ralston este de părere că nu putem încă anticipa data la care se va putea stabili o conexiune directă între realitatea fizică şi practica de calcul. Nu este însă exclus ca între dis­ cretul realităţii şi cel rezultat din aproximarea discre­ tă a modelelor continue ale acestei realităţi să se menţină mereu un decalaj în favoarea celui din ur-

mă, un decalaj care să justifice mereu importanţa conceptual-teoretică , gnoseologică şi practică a ma­ tematicii continue. Unul dintre fenomenele cele mai importante legate de dezvoltarea matematicii discrete este fap­ tul că de la calculul numeric s-a trecut la calculul simbolic. Era aceasta o consecinţă inevitabilă a pro­ greselor logicii matematice şi informaticii. Prin această metamorfoză, obiectele supuse calculului nu mai sunt deci obligatoriu numere , ci entităti' de cea mai variată natură. Noţiunea de algoritm din logica matematică modernă conferă calculului o generalitate şi o rigoare care-l impregnează de idee. Crearea unui algoritm pentru un anumit proces presupune pătrunderea în toate articulaţiile acestu­ ia, procedarea la o adevărată analiză moleculară a sa. Pentru a fi algoritmizat, un proces trebuie înteles în modul său intim de functionare. Acest mo� ent creator care conduce la naşterea unui algoritm con­ trastează cu momentul utilizării algoritmului ; are loc transferul de la idee la rutină. Este răsplata pe care omul o primeşte pentru faptul de a fi creat un algoritm. Gândirea capătă un răgaz care o eliberează de servituţile unor activităţi intelectuale inferioare , pentru a se putea dedica altor probleme, de exem­ plu creării altor algoritmi. La vechea deviză a lui Dirichlet: Să înlocuim calculul prin idei, se adaugă o deviză nouă: Să transfonnăm ideile în calcul. Faptul că etapa de maturitate a unei discipline este calcu­ lul a fost de mult observat; dar atâta vreme cât cal­ culul se limita la numere , raza de acţiune a acestui fenomen era limitată. Acum se poate spune că, în principiu, nici un domeniu nu mai rămâne în afara calculului. Simptomatică pentru noua situaţie este publicarea, începând cu anul 1 985, a revistei inter­ naţionale Joumal of Symbolic Computation (la editura Academic Press) , un adevărat forum al cercetărilor privind tratarea algoritmică a tuturor tipurilor de obiecte simbolice: obiecte în limbaje formale (ter­ meni, formule, programe) , obiecte algebrice (numere , polinoame, clase de re sturi) , obiecte geometrice etc. Un exemplu deosebit de profund privind capaci­ tatea explicativă a continuului în raport cu discretul (şi chiar cu finitul) vine din Analiza nonstandard . Într-o economie de schimb, voinţa participanţilor de a vinde şi cumpăra la preţuri competitive are un efect neglijabil asupra preţurilor care se stabilesc pe piaţă. Acest fapt intuit de mult nu a putut fi stabilit în mod riguros şi explicat în mod profund decât prin considerarea cazului în care numărul participanţi­ lor tinde la infinit, iar mulţimea participanţilor este "scufundată" în continuul ne standard obtinut ca ' prelungire a continuului real. În acest univers nestandard se constată că efectul neglijabil despre care am vorbit mai sus trebuie înţeles în sensul că el este un infinit mic în accepţiunea riguroasă pe care o capătă această idee în Analiza nonstandard.

1 45

STIINTĂ SI RELIGIE ,

"

DE LA CONFLICT LA LEGĂ TURA DINTRE ŞTIINŢĂ ŞI RELIGIE

Legătura dintre ştiinţă şi religie a devenit o problemă din ce in ce mai interesantă in ultimele decenii, după o lungă perioadă în care a fost la mo­ dă conflictul dintre ele. Problema are sens in măsu­ ra în care ştiinţa şi religia au un statut clar. Se pare că această condiţie a fost satisfăcută mai bine în trecut decât astăzi. Statutul ştiinţei galileo-newto­ niene era foarte clar, fiind bazat pe un scenariu de tip ob servaţie - ipoteză - experiment - generalizare legi - teorie - testare sau pe baza unor variante în­ rudite, presupunând existenţa unei separări clare intre subiect şi obiect (fără nici o interferenţă sem­ nificativă a celui din tâi asupra celui din urmă) , a determinismului universal şi a capacităţii de predic­ ţie . Cu toate acestea, ştiinţa este acum departe de această imagine, care persistă în educaţie şi invă­ tământ. Astăzi nu mai este posibilă definirea ştiinţei �u claritatea definiţiei ştiinţei clasice , nici măcar în cazul matematicii, fizicii sau chimiei, despre care unii dintre marii lor savanţi afirmă că au un statut mixt, care combină, de exemplu, ştiinţa şi arta. Oa­ re o evoluţie similară a avut loc şi în cazul religiei? Nu avem competenţa să răspundem la această in­ trebare atât de delicată. Punctul nostru de vedere este însă acela că, indiferent de modul în care ne reprezentăm astăzi ştiinţa şi religia, nu putem nega rolul primordial al metaforei în ambele cazuri. După cum vom vedea în continuare, în ciuda numeroase­ lor puncte de vedere existente, în ştiinţă şi religie există ca un numitor comun, o mediere ce implică un p ;oces metaforic şi numai înăuntrul acestui proces putem distinge o tipologie a cunoaşterii şi creativităţii. METAFORA: DE LA ORNAMENTAL LA COGNITIV

Poate da seama metafora despre Divinitate? Este metafora esenţială pentru ştiinţă? Răspunsul pare să fie negativ, atâta timp cât statutul metaforei 146

rămâne cel din retorica clasică. Metafora ornamen­ tală, metafora care rămâne la suprafaţa obiectelor şi se referă la modul in care ne exprimăm şi nu la ceea ce spunem şi ceea ce înţelegem, metafora care nu are ca scop crearea unui nou sens, rămâne numai expresivă, nereuşind să devină cognitivă şi creativă; această metaforă nu ar putea niciodată să ofere o perspectivă interesantă, nici in ştiinţă şi nici în reli­ gie. Există totuşi un alt itinerar al metaforei, înce­ pând cu Aristotel şi Quintilian, trecând prin Vico şi culminând, în ultimii 70 de ani, cu Richads ( 1 936) , Black ( 1 962) , Mac Cormac ( 1 97 6) , Kuhn ( 1 979 ) , Ortony ( 1 979) , pentru a ajunge la metafora conside­ rată in Inteligenţa Artificială (Carbonell, 1 980) şi in ştiinţele cognitive (Cornell Way, 1 9 9 1 ) . Există o difi­ cultate in acceptarea acestui itinerar, deoarece am fost învăţati că metafora îşi are rostul în poezie, în vreme ce p�ezenţa sa în ştiinţă poate fi în conflict cu necesitatea rigorii şi a preciziei. Textele teologice se referă rar la metaforă, considerată probabil derizorie in relaţia cu Dumnezeu. Dar această rezervă dispa­ re de îndată ce ne referim la funcţia cognitivă şi creativă a metaforei. o TIPOLOGIE A METAFOREI

Să luăm metafora el este un leu. Prin tradiţie , ea este o modalitate de a face mai expresiv sensul de a fi curajos. La un nivel superior putem susţine că îmbogăţim sensul pe care îl are el prin contami­ narea sa cu acela al leului. La un al treilea nivel, şi aici contributia lui Richards ( 1 93 6) a fost esenţială, descoperind 'că sfera semantică a cuvântului leu este de asemenea lărgită, deoarece există o interac­ ţiune între el şi leu în ambele direcţii, nu numai dinspre leu către el. În mod similar, în o grăd�nă �e . cărti termenii grădină şi cărţi se contammeaza reCl­ ' pro'c in mod semantic şi conduc la o metaforă a bibliotecii. Aceeaşi analiză este valabilă pentru me­ tafora lui Aristotel bătrâneţea este seara vieţii. Se spune că termenii el, biblioteca şi bătrâneţe sunt tenorul (Richards, 1 936: tenor) , cadrul (Black, 1 9 62: frame) sau forul (Perelman, 1 988: phore) , în vreme

ce termenii leu, grădină de cărţi şi seara vieţii sunt vehiculul (Richards, 1 9 3 6 : vehicle) , focarul (Black, 1 962: focus) sau tema (Perelman 1 988: theme) . În ceea ce priveşte exemplele de mai sus, se pot distinge trei puncte de vedere : 1 ) punctul de vedere al comparaţiei, referitor la nivelul de suprafaţă al metaforei, la tipul transferu­ lui . Aristotel considera că metafora este o formă de comparaţie, prin intermediul căreia dăm unui obiect numele altui obiect; transferul se face de la animal la om în primul caz, de la vegetal la inert în al doilea caz şi de la cosmic la biologic în al treilea caz; 2) punctul de vedere al substituţiei , referitor la tipologia termenilor implicaţi în substituire. Quintilian observa că uneori o metaforă fie substi­ tuie o expresie literală, fie e substituită de aceasta. În toate exemplele de mai sus, o expresie literală este substituită printr-una metaforică; 3) punctul de vedere interactiv, referitor la in­ teracţiunea termenilor implicaţi într-o metaforă; acesta era considerat de Richards ( 1 93 6) şi numit de Black ( 1 962) proiecţia reciprocă. Un exemplu nestandard este : căsătoria este un joc de sumă zero, unde se poate vedea că metafora poate implica nu numai analogia, dar şi contiguitatea. Faţa metoni­ mică a metaforei nu ar trebui să fie deloc neglijată. Din altă perspectivă, putem face distincţia între: a) punctul de vedere semantic: metafora este o deviere de la sensul literal (Mattews 1 97 1 , Levin 1 977, Cohen 1 979) şi devine o analogie pre scurtată; natura procesului algoritmic, care conduce de la sensul literal la sensul metaforic, este o problemă fundamentală in AI , dar, din nefericire , nu există o definiţie satisfăcătoare sau general-acceptată a sen­ sului literal, care rămâne rezultatul convenţiei. b) punctul de vedere pragmatic: ia în considera­ ţie contextul pragmatic, vezi exemple cum ar fi: Mă simt doborât astăzi,

Bursa merge-n sus astăzi

(Lakoff-Johnson, 1980, Ortony (ed.) 1 9 79) . Acest punct de vedere recunoaşte imposibilitatea de a da o condiţie necesară şi suficientă unei expresii pentru a fi o metaforă. METAFORELE CREATIVE ÎN ŞTlINŢĂ

Exemplele analizate în secţiunea anterioară au o trăsătură comună: o entitate dată, de exemplu el, este pusă în relaţie cu o entitate deja existentă, leul. Cele mai interesante metafore din ştiinţă şi religie nu sunt de acest tip; ele nu sunt legate de o entitate deja existentă, ci de o entitate care apare chiar sub acţiunea procesului metaforic . Acesta este cognitiv şi creativ, deoarece ajută la crearea unui sens nou , fiind şi circular, pentru că sensul apare chiar sub acţiunea procesului metaforic. În ştiinţă, această situaţie este ilustrată de mo­ dul în care sunt create noile concepte . Să luăm, de exemplu, conceptul adunării unei infinităţi de ter-

meni, de semnaţi prin a + b + C + ( 1 ) . Cum putem da un sens acestei imagini? Această problemă a apărut încă din antichitatea greacă. Unde se găseş­ te aici metafora? Expresia luată în consideraţie este construită în analogie cu sume finite , pentru care + are sens. Problema ia forma unei provocări, a unui pariu: putem asocia lui ( 1 ) o valoare care se află faţă de a, b , c, într-o relaţie Uucând rolul cadrului, forului , te norului) similară cu aceea in care suma finită a lui a, b, c, d, , p este faţă de termeni săi (această a doua relaţie jucând rolul focarului, temei, vehiculului) . A fost nevoie de aproximativ două mii de ani pentru a se rezolva această problemă; faptul s-a întâmplat în secolele XVII şi XVIII , atunci când a fost creat conceptul de serie convergentă. Vă rog să observaţi însă că notarea unei serii infinite cu a + b + + c + a fost folosită timp de două mii de ani nu­ mai ca o metaforă, ea fiind asociată cu un concept clar abia cu Leibniz, Lagrange şi alţii. De fapt, notarea corectă a unei serii ar trebui să indice termenul generic (de ordinul nI , dar, de dragul simplificării, noi am evitat indicii. Marea diferenţă dintre acest proces metaforic şi cele discutate în secţiunea anterioară este prezenţa unei componente necunoscute drept cadru; mai exact, această componentă este stimulată să apară chiar sub acţiunea procesului metaforic. Alt exemplu faimos este descoperirea de către Pitagora a faptului că nu există nici un număr raţi­ onal al cărui pătrat să fie egal cu 2, cu alte cuvinte, diagonala unui pătrat nu este comensurabilă cu latura sa. Imaginea pe care o numim rădăcina pă­ trată a lui 2 a avut un statut metaforic până în se­ colul al XIX-lea, când conceptul de număr real a fost clarificat şi toate operaţiile asociate au fost clar definite . Aspectul metaforic al acestei cercetări a luat următoarea formă: găsirea unei entităţi care se află faţă de întregul pozitiv p diferit de un pătrat, într-o relaţie similară cu aceea în care se află un întreg pozitiv n faţă de pătratul său n2 . Prima relaţie binară (între entitatea necunoscută şi numărul p) este cadrul (forul, tenorul) , în vreme ce a doua rela­ ţie binară (între n şi pătratul său) este focarul (te­ ma, vehiculul) . Dar, spre deosebire de exemplele din secţiunea precedentă, unde atât cadrul, cât şi foca­ rul erau cunoscute , aici componenta necunoscută a cadrului este stimulată să apară sub acţiunea ana­ logiei cu focarul cunoscut. De fapt, calea de la me­ taforă la concept este graduală şi putem vorbi de grade de metaforicitate şi de grade de conceptualiza­ re, dar nu vom insista acum asupra acestei direcţii. METAFORE DIAFORICE, EPIFORICE ŞI TEORETIC-CONSTITUTIVE

Un al treilea exemplu al metaforei creative este infinitul mic al lui Leibniz. A fost nevoie de 300 de ani pentru a transforma această metaforă într-un 147

concept, infinitul mic al analizei nonstandard create de Abraham Robinson. Aici scenariul cadru-focar este foarte ascuns. Cum poate o cantitate să fie în acelaşi timp non-zero, dar mai mică decât orice număr l i n (n 1 , 2, 3 )? Cauchy a găsit un compromis, prin transformarea acestei cantităti într-o funcţie ce are zero ca limită a sa, dar ace � t fapt nu se încadra în direcţia gândirii lui Leibniz, pentru care infinitul mic reprezenta o constantă. În anii '30 ai secolului al XX-lea fundamentarea axiomatică de către Kolmogorov a teoriei probabili­ tăţilor a creat o situaţie foarte clară, legată de ideea lui Leibniz: divorţul dintre evenimentele posibile, dar de probabilitate zero (de exemplu, probabilitatea ca un număr cuprins între O şi 1 să fie raţional) şi evenimentele imposibile . Potenţial, Robinson asocia­ ză probabilitatea zero acestora din urmă, iar proba­ bilitatea infinitului mic celor dintâi; însă acest fapt nu mai are loc în universul numerelor reale, ci într-unul mult mai cuprinzător, unde axioma lui Arhimede eşuează. Astfel, metafora creativă a lui Leibniz despre infinitul mic a generat conceptul corespunzător al lui Ro binson , a cărui naştere în­ seamnă moartea metaforei creative a lui Leibniz. Alte exemple: tahionii , ca particule ce se depla­ sează mai repede decât lumina, au totuşi o existen­ ţă metaforică; "calculatorul ADN" este o metaforă creată în 1 9 9 4 , ce are ca scop evoluţia către un concept asociat; metafora calculului cuantic era deja un vis al faimosului fizician R. Feynman, în vreme ce metafora traducerii automate este activă de multă vreme . Exemplele analizate în secţiunea de faţă şi în cea precedentă au o trăsătură specifică: misterul nu mai este localizat în focar, ci în cadru. Focarul este conceptual, raţional (litera1! ) , în vreme ce cadrul este enigmatic , în contrast cu ceea ce se întâmplă când spunem că biblioteca este o grădină de cărti. , unde atenţia este captată de focar. Metaforele de tipul analizat în sectiunea de fată şi în cea anterioară sunt printre cele n�mite de M �c Cormac diaforice, în vreme ce statutul lor, atunci când devin concepte , este numit epiforic. Procesul de generalizare, atât de important în matematică, conduce la o alternanţă a statutelor diaforic şi epi­ foric, cum se întâmplă, de exemplu, cu operaţia + (de adunare) , când ne mişcăm succesiv de la nume­ re naturale la numere întregi, de la acestea la cele raţionale, de la numere rationale la numere reale etc. În schimb, multe alte � etafore par să fie etern diaforice : metafore vizuale şi spaţiale pentru timp; metafore lingvistice în biologia moleculară, metafore fluide în ingineria electrică şi în teoria comunicării, metafore computaţionale în ştiinţele neuronale. Ştiinţa cunoaşte, de asemenea, teoria metafore­ lor teoretic-constitutive , care se află în însuşi actul de naştere al unor domenii noi: metafora pungii pentru teoria mulţimilor; metafora săgeţii pentru teoria categoriilor; metafora cutiei negre pentru cibernetică; metafora animală şi metafora maşinii =

1 48

pentru inteligenţa artificială; metafora big-bang-ului şi metafora superstringurilor pentru originea şi evo­ luţia universului. Lăsăm la latitudinea cititorului considerarea statutului acestor metafore în raport cu distincţiile diaforic-epiforic , cadru, focar etc. ABORDAREA DIVINITĂŢII DE CĂTRE PIT AGORA

În centrul metaforei religioase se află abordarea metaforică a lui Dumnezeu. Pentru Pitagora, nume­ rele alcătuiesc întregul cer, Dumnezeu şi întreaga lume fiind văzute prin metafora numărului. Esenta tuturor lucrurilor poate fi explicată în termenii l�i arithmos, cu alte cuvinte, prin numere întregi şi rapoartele lor. Metafora numărului este în acelaşi timp o sinecdocă, pars pro toto, un semn indexical şi, aşa cum vom vedea, maj oritatea metaforelor des­ pre Dumnezeu au acest statut semiotic dublu, atât iconic , cât şi indexical şi , câteodată, şi simbolic. De fapt, era de aşteptat ca semioza Divinitătii să epuizeze toate posibilităţile semiozei umane. D � să ne amintim un aspect mai puţin cunoscut al abordării lui Pitagora: există divinitate în numere impare (Boyer, 1 9 8 5 : 57) . Astfel, faimoasa reflectie a lui Kronecker ( 1 88 6 ; vezi, de exemplu, Radb �ch, 1 989 : 69) : Dumnezeu a creat numerele naturale restul este opera omului ar putea fi reformulată c

�

ajutorul punctului de vedere al lui Pitagora conform căruia divinitatea este localizată în primul rând în numerele impare . Într-adevăr, orice număr par este o sumă a două numere impare, în vreme ce nici un număr impar mai mare decât 1 nu poate fi o sumă de numere pare . Din punct de vedere metaforic , numerele impare sunt cărămizile universului nume­ ric. În acelaşi timp, Pitagora îl priveşte pe Dumnezeu prin metafora monadei , metafora bunătăţii , opusul răului, exprimat prin diviziune infinită. Divinitatea implică pentru el o limitare. Poate aici se află influ­ enţa descoperirii de către Pitagora a incomensurabi­ lităţii diagonalei şi a laturii unui pătrat. Termenul iraţional folosit mult mai târziu pentru a desemna numere care nu sunt rapoarte ale numerelor întregi este simptomatic pentru teama pe care o provocau asemenea numere . METAFORELE LUI DUMNEZEU ÎN ANTICHITATE ŞI EVUL MEDIU

Platon şi Aristotel credeau că logica poate duce la o anumită cunoaştere a existenţei şi naturii lui Dumnezeu. Prima dovadă despre existenţa lui Dumnezeu apare în Nomoi a lui Platon. Platon îl vede pe Dumnezeu prin metafora limi­ tei, prin metafora perfecţiunii. La Plotin, situatia este in�ersă şi avem tranziţia către Dumnezeul � reştin , prm metafora infinităţii. Tradiţia lui Platon este

urmată de Augustin (354-430) , care şi-a dezvoltat metafora aritmetică şi argumentaţia de spre existen­ ţa lui Dumnezeu in Cartea a doua din De libero arbitrio, in dialogul purtat cu Euodius. El constru­ ieşte cinci argumente a posteriori (cu alte cuvinte, rezultând dintr-o experienţă finită) , bazate pe fapte­ le mişcării, cauzalităţii , contingenţei, perfecţiunii relative şi planului. Prima, a doua şi a treia dintre aceste tipuri de dovezi sunt fonne diferite ale Argu­ mentului Cosmologic, conform căruia lumea, în toate aspectele sale, îşi arată dependenţa faţă de Fiinţa auto-existentă. Anselmo d'Aosta ( 1 033- 1 109) , unul dintre fon­ datorii scolasticii, foloseşte metafora perfecţiunii, dovedind în următorul mod existenţa lui Dumne­ zeu: "Avem ideea despre o fiinţă perfectă. Dar per­ fecţiunea implică existenţa. Prin urmare, fiinţa perfectă există". O altă variantă: Dumnezeu este o fiinţă faţă de care nu poate fi închipuit nimic mai mare. O fiinţă care există este m ai mare decât o fiinţă care nu există; prin unnare , Dumnezeu există (argumentul ontologic) . Toma d'Aquino ( 1 225- 1 274) propune pentru prima oară o metaforă logică şi un argument pentru existenţa lui Dumnezeu, în tradiţia lui Aristotel, bazate pe distincţii binare, cum ar fi formă-substan­ ţă şi posibilitate-realitate. D'Aquino consideră că, în afară de cunoaşterea naturală a lui Dumnezeu, există o cunoaştere supranaturală, revelată de Hristos şi primită prin credinţă; deşi logica poate duce la faptul că Dumnezeu este Creatorul, ea nu poate descoperi că el este Trei-în-Unul. Această idee a fost examinată de Locke în lucrarea sa Eseu des­ pre înţelegerea umană (Cartea 4, cap. 1 8) . Astfel, logica, revelaţia şi experienţa religioasă merg câteo­ dată mână in mână. Un exemplu de abordare a lui Dumnezeu prin folosirea celei mai avansate matematici a timpului său este Duns Scotus ( 1 266- 1 308) , care dezvoltă câteva argumente ale lui Platon, Aristotel, Augustin, Avicenna, Anselmus şi d'Aquino şi motivează unele idei , dezvoltate mult mai târziu de către Leibniz şi Godel (vezi SobeI 1987). Într-un articol comun (Calude-MarcusŞtefănescu, 1 999) , am discutat dovezile lui Scotus despre infinitate a lui Dumnezeu din punct de ve­ dere computaţional şi teoretic. Abordarea de către Scotus a lui Dumnezeu se face prin intermediul metaforei Primei Fiinţe, iar el concepe infinitate a sa nu ca pe una potenţială, ci ca pe o infinitate reală, ca pe o idee ce nu şi-a găsit statutul matematic riguros înainte de teoria lui Georg Cantor despre mulţimile şi numerele transfinite, în a doua jumăta­ te a secolului al XIX-lea. Sistemul axiomatic con­ ceput de Scotus include şase axiome şi dezvoltă argumente apropiate de teoria modernă a mulţimi­ lor ordonate şi de teoria naivă a mulţimilor. Filozofia teologică a lui Scotus, ca şi aceea a altor savanţi din Evul Mediu, poate fi interpretată acum ca un ajutor important dat dezvoltării matematicii. Scrise cu

câteva secole înainte de crearea a ceea ce numim astăzi limbaj matematic, demonstraţiile in cuvinte ale acestor savanţi au stimulat în mod considerabil dezvoltarea matematicii. Metaforele lui Scotus, ce merg de la infinitul actual (într-adevăr o metaforă la acea vreme) până la Prima Fiinţă, construite pe logica intuitivă cu mulţimi ordonate, sunt toate metafore diaforice creative , ce au ajutat apariţia, după câteva secole , a unor concepte matematice riguroase , din teoria mulţimilor ordonate, atunci când re spectivele metafore au devenit epiforice. Să mai menţionăm numele lui Nicholas de Cusa ( 1 40 1 - 1 464) (sau Cusanus) , la frontiera dintre timpurile medievale şi cele moderne, in spiritul tra­ diţiei lui Pitagora şi Platon . El distinge trei lumi: lumea reală, lumea spiritului (cărora le aparţin ştiin­ ţa şi în special matematica) şi lumea lui Dumnezeu; astfel, matematica este o punte între Dumnezeu şi lumea reală. Pentru Cusanus, Dumnezeu există şi nu există (coincidentia oppositorum) , un exemplu remarcabil al gândirii antinomice, cu mult timp înainte de Kant. DUMNEZEU ŞI METAFORA AUTOREFERINŢEI

În teism, Dumnezeu este luat în consideraţie în principal prin intermediul metaforei existenţei, a existenţei ca atare , în absenţa oricărui determinism de tip, gen sau specie . Cu alte cuvinte, Dumnezeu este propriul său gen, este autoexistent şi nu-şi da­ torează existenţa nici unei surse. Dumnezeu este singurul care există prin propria sa putere intrinse­ că. Metafora autoreferinţei devine în acest fel cheia inţelegerii unui aspect esenţial al Divinităţii . Autoreferinţa apare astăzi într-o mulţime de situaţii, în logică, în psihologie, în limbaj , în domeni­ ul comunicării, al informaţiei, al calculului, în litera­ tură, artă şi filozofie . Este la fel de prezent în mulţimile lui Russell ce se conţin pe sine ca elemen­ te , în Alice în Ţara minunilor a lui Lewis Carroll şi în automatele celulare ce modelează viaţa, ale lui von Neumann . Suntem confruntaţi cu o provocare cog­ nitivă majoră. Datorită universalităţii autoreferinţei, trebuie să-i înţelegem tipologia, diversitatea şi să identificăm tipul de autoreferinţă care deosebeşte Divinitatea de alte fenomene de auto referinţă. Spre deosebire de tipurile ştiinţifice sau artisti­ ce de autoreferinţă, bazate pe diferite mecanisme care pot fi analizate în detaliu, aşa cum s-a făcut în mod eficient pentru multe dintre tipurile de autore­ ferinţă ce apar în ştiinţă, artă şi literatură, auto­ referinţa Divinităţii nu poate fi analizată de către inteligenţa umană; ea rămâne un mister originar, datorită aspaţialităţii şi atemporalităţii sale. Wiener ( 1 964) a analizat analogia cibernetică a metaforei omnipotenţei lui Dumnezeu, care este o consecinţă a autoreferinţei sale şi a nonexistenţei altei surse de putere care ar putea limita puterea Creatorului. Poate Creatorul să se afle în competiţie cu propriile 149

sale creaturi? Metafora cibernetică a Divinităţii dă un răspuns afirmativ, dar acest răspuns se referă la ipostaza creativă a fiinţei umane şi nu la creativita­ tea lui Dumnezeu. Comportamentul unei maşini destul de complexe devine , la un moment dat, im­ previzibil pentru însuşi creatorul maşinii. Ce capa­ citate cognitivă putem asocia cu această metaforă cibernetică despre creativitatea lui Dumnezeu? Wiener observa că infinitatea lui Dumnezeu nu re­ prezintă în mod obligatoriu omnipotenţa sa, după cum infinita sa bunătate nu este în mod obligatoriu bunătatea sa totală. Bunătatea supremă poate fi extrasă din răul suprem, aşa cum o arată figura lui Hristos, propusă de creştinism. Această situaţie ne aminteşte de metafora structurilor disipative propu­ se de 1. Prigogine, metaforă a cărei filozofie este ace­ ea că dobândim o stare superioară, in măsura în care trebuie să ne confruntăm cu forţe opuse. METAFORELE LUI DUMNEZEU ÎN TIMPURILE MODERNE

Descartes ( 1 596- 1 6 50) dovede şte existenţa lui Dumnezeu intr-un mod similar cu cel al lui Cusanus, cu privire la metafora perfecţiunii. Deoa­ rece existenţa este o perfecţiune , Dumnezeu există. Dar perfecţiunea poate decurge numai dintr-o fiinţă in finită, deci Dumnezeu este infinit. Spinoza ( 1 632- 1 677) adoptă metafora infinită­ ţii, a naturii infinite, şi urmează modelul de gândire al geometriei lui Euclid in scrierea Eticii sale , dând in acest cadru cea mai riguroasă formă de panteism. Dumnezeu este singura substanţă, singura fiinţă. El are infinit de multe atribute, dar noi cunoaştem numai două dintre ele: extensia şi gândirea. Newton ( 1 642- 1 727) l-a reprezentat pe Dumne­ zeu cu ajutorul metaforei mecanicii deterministe. Leibniz ( 1 646- 1 7 1 6) : existenţa lui Dumnezeu decurge din posibilitatea sa. Kant respinge toate dovezile despre existenţa lui Dumnezeu, bazate pe folosirea "raţiunii specula­ tive" , dar susţine că "raţiunea practică" ne obligă să postulăm atât pe Dumnezeu, cât şi imortalitatea. Hegel: Dumnezeu este Spiritul Absolut. Einstein: Dumnezeu este revelat in legile naturii şi in coeren­ ţa lor. Kurt G6del : x este asemenea lui Dumnezeu dacă el posedă toate proprietăţile pozitive (aceste proprietăţi alcătuiesc un ultrafiltru) . Pentru aborda­ rea lui Dumnezeu de către G6del, vezi de asemenea SobeI ( 1 987) . În ultimii douăzeci de ani, mulţi autori au pro­ pus diferite modalităţi de a lega ştiinţa cu religia, în principal prin intermediul recentelor dezvoltări şti­ inţifice. Astfel, Odifreddi ( 1 994) leagă existenţa lui Dumnezeu de ultimele descoperiri din logică şi din informatica teoretică, în vreme ce alţi autori, cum ar fi cei citaţi de Staune ( 1 998) fac referire la fizica cuantică, biologie, cosmologie şi filozofie . Astfel, spre 1 50

deosebire de Einstein, care îl vede pe Dumnezeu in spatele inteligibilităţii lumii, Bernard d'Espagnat îl vede pe Dumnezeu în spatele imposibilităţii unei inteligibilităţi totale a lumii. Jean Kovalevsky argu­ mentează că revelaţia este, pentru religie, ceea ce modelele cognitive sunt in ştiinţă. Dacă luăm in consideraţie puternica relaţie dintre modelele cogni­ tive şi metaforele cognitive (Marcus, 1 997) , conside­ raţii de simetrie ar trebui să motiveze o legătură naturală între revelaţie şi metaforă. Aceasta se şi întâmplă de fapt. Trinh Xuan Thuan îl vede pe Dumnezeu, prin ochelarii briciului lui Occam, ca un principiu al economiei, in virtutea căruia el respinge ipoteza universurilor paralele multiple şi îl raportea­ ză pe Dumnezeu la libertate, in vreme ce Thierry Magnin, acţionând prin intermediul logicii lui Lupasco a terţului inclus şi al transdisciplinarităţii lui Basarab Nicolescu ( 1 996) , raportează perechea (Iisus-Dumnezeu, Iisus-fiinţă umană) la metafora complementarităţii cuantice. Michael Heller îi uneş­ te pe Thuan şi d'Espagnat, referindu-se la metafora Dumnezeului lacunar, interpretându-l pe Dumnezeu ca pe un nume dat lucrurilor pe care nu le cunoaş­ tem şi contrastându-l cu opusul său, interpretarea lui Dumnezeu ca un nume dat lucrurilor pe care le cunoaştem. Jean Fran 1 / 2 Altă po sibilitate: f(A) L (1 mA (x) ­ mC(x)12) 1 / 2 ; x E X) . O clasă mai largă de măsuri ale gradualităţii este propusă de S . G . Loo ( 1 977) . R.R. Yager ( 1 979) este de părere că gradualitatea se exprimă cel mai natural prin absenţa distincţi ei dintre o mulţime şi complementara ei. Complemen­ tara mulţimii graduale A este dată de o aplicaţie c: [O, 1] � [O, 1] care asociază fiecărei valori mArx) o valoare c(mA(x)) reprezentând gradul de apartenenţă a lui x la complementara lui A. Aplicaţiei c i se c ere să fie descres cătoare şi să ia valoarea 1 în origine şi valoarea zero în 1 (cu altţ cuvinte, dacă A este o mulţime precisă, c degenerează în complementara obişnuită) ; uneori se mai cere ca aplicaţia c să fie continuă şi involutivă (c(c(a)) a pentru orice a între O şi 1 ) . Pentru toate ace stea, o privire de sinteză este efectuată de G.J. Klir ("Where do we stand o n measures of uncertainty, ambiguity, fuzziness , and the like" , Fuzzy Sets and Systems, 24, 1 987 , 1 4 0 1 60) . =

.

=

-

==

Există distincţii care nu sunt încă operate. Nu tip de gr adualitate marchează o imprecizie in ce prive şte distincţia dintre o proprietate şi ei . Astfel, proprietatea apei de a fi lichidă nu (fuzzy) în sensul lui Zadeh, deoarece tre ­ lichid la non-lichid este bruscă (la 0 0 şi deci distincţia lichid / non -lichid este preci� To tuş i, proc esul de trecere de la lichid la gazos gradual, apa aflată la 70 , de exemplu, f nd _ apa aflata la ai ap ropi ata� de starea gazoasa decat Prin contr ast, o explozie a unui avion în zbor, rii cu un vârf de munte , marchează o �n urm a cio cni de la starea de funcţionare la aceea scă bru e r e r trecere care nu e pregătită de nici o de dezagre gare, graduală. re rece t alt ă .

ooce cee�ţia nse! vagă e a de l a e �er1000), ::�e �Oo.

�

�

� ec

MATEMATICA AMBIGUITĂŢII în contextul ideilor prezentate anterior au fost intro duse şi unele măsuri ale ambiguităţii. Cea mai este atribuită lui Hartley ( 1 9 28) şi se referă la ate ca nespecificitate. Ea este dată de ex­ guit ambi k 10gbN, unde N este numărul total de presia I(N) variante implicate într-un sistem, iar k este o con­ stantă strict pozitivă. Pentru k = 1 şi b 2, măsura I(N) a nespecificităţii este evaluată în biţi. Alfred Renyi a arătat că funcţia I(N) care măsoară ambi­ guitatea implicată în selecţia unui element dintr-o mulţime poate fi caracterizată structural prin trei proprietăţi: I(N x M) I(N) + I(M) (aditivitate) (N, M 1 , 2, . . ) , I(N) S; I(N + 1 ) (monotonie) şi 1(2) 1 (nor­ malizare) . Alte măsuri ale nespecificităţii au fost propuse de M. Higashi şi G .J. Klir ( 1 982 , 1 983 , ). Fiind dată o distribuţie p (P(x); X E X) normalizată (adică max (P(x); x E X) = 1) de posibilităţi pe X, mă­ sura de ne specificitate este dată de integrala de la O la l din logaritmul in baza 2 din numărul cardinal al secţiunii c(p, x) asociate lui x. Măsura clasică a ambiguităţii ca disonanţă sau confuzie este entropia lui Shannon relativă la o distribuţie de probabilităţi. Ambiguitatea ca pierdere de informaţie a fost inves­ tigată de J . L. Dolby ( 1 977) . Detalii pot fi găsite in articolul de sinteză al lui Klir .

veche

=

=

=

=

=

.

=

. . .

=

AMBIGUITATEA CONTEXTUALĂ Acestei ambiguităţi i-au fost consacrate nume­ roase cercetări sub formă de articole şi o monografie în două volume: Contexiual ambiguities in natural and in artificial languages (coordonator Solomon Marcus) (Communication and Cognition, Ghent, Belgium, 1 9 8 1- 1 983) . Fiind dat un alfabet finit A nevid, monoidul liber generat de A este limbajul universal pe A, iar orice parte a limbajului universal e �te un limbaj pe A. Fiind date două cuvinte (adică şIruri finite) pe A, fie ele x şi y, spunem că x domină

pe y în raport cu limbajul L pe A şi scriem x ---+ y(L) dacă pentru oricare două cuvin te u şi v pe A astfel încât uxv aparţine lui L rezultă că uyv aparţine lui L. Numeroase exemple arată că interpretarea relaţiei de dominare contextuală definite mai sus (x poate fi inlocuit cu y în orice context , astfel încât apartenenţa la L să rămână invariantă prin substi­ tuirea lui x cu y) este următoarea: ambiguitatea contextuală a lui x nu întrece ambiguitatea contex­ tuală a lui y. În cazul particular în care x şi y sunt chiar elemente ale alfabetului A, interpretarea devi­ ne: omonimia morfologică a lui x nu o întrece pe aceea a lui y. Astfel, în limba română, frumos îl do­ mină pe dulce, deoarece în orice secvenţă corect formată care conţine pe frumos înlocuirea lui frumos cu dulce conduce tot la o secvenţă corectă (chiar dacă semantic ar putea fi inacceptabilă) . Reciproca nu este însă adevărată: dulce nu domină pe frumos, deoarece deşi secvenţa "cafea dulce" este sintactic corectă, secvenţa "cafea frumos" nu este sintactic corectă. Tot aşa dulce domină pe cumsecade, fără ca reciproca să aibă loc. Două cuvinte care se domină reciproc, de exemplu frumos şi urât, aparţin acele­ iaşi clase de distribuţie. Putem asocia relaţiei de dominare un graf în care nodurile sunt clase de distribuţie , iar un arc de la nodul a la nodul b înseamnă că a domină pe b. Numărul de drumuri care duc la un acelaşi nod a constituie indicele de ambiguitate contextuaZâ al lui a. În monografia men­ ţionată, asupra ambiguităţii contextuale, se anali­ zează dominarea con textuală in română, engleză, franceză, maghiară şi în limbajele de programare FORTRAN, ASIRIS şi PASCAL. Între altele , se con­ stată că în engleză, în raport cu un nivel de gramaticalitate ceva mai larg decât cel al grupurilor nominale sau verbale, clasele de distribuţie ale cu­ vintelor se repartizează, după valoarea indicelui de ambiguitate contextuală, în 14 tipuri. Cuvinte ca recei ve, isolate, often, death, rain, see, cry, iron, hang, round, fly, run, wash şi call au indicele de ambiguitate egal, respectiv , cu 1 , 2, 3, . . . , 1 3 , 1 4 . În ceea ce priveşte limbajele de programare studiate , ambiguitatea lor contextuală este aproape absentă. Alte interpretări pot să apară ca urmare a dife­ ritelor alegeri posibile ale elementelor alfabetului A. Dac ă aceste elemente sunt simptome, cuvintele pe A pot defini un diagnostic sau o parte a unui diag­ nostic al unei boli . În general însă, o secvenţă de simptome poate să fie prelungită în mai multe feluri la un diagnostic al unei boli . Ambiguitatea contex­ tuală devine aici ambiguitate a unui examen clinic. Relaţia de dominare contextuală permite să se com­ pare, din punctul de vedere al ambiguităţii, două examene clinice, să se stabilească măsura ambigui­ tăţii unui diagnostic şi să se mărească şirul de simptome observate în vederea reducerii şi, eventu­ al, eliminării ambiguităţii. Se obţin astfel o precizare a simptomelor şi sindroamelor patognomonice şi o evaluare a indicelui de patognomonicitate a unui

259

diagnostic (a se vedea Eugen Celan şi Solomon Marcus, "Le diagnostic comme langage", Cahiers de Linguistique Theorique et Appliquee, voI . 10, 1 973, no . 2, pp . 1 63- 173).

ABSENŢA COEZIUNII ŞI INCOERENŢA În cadrul unui grup social , legătura dintre două părţi A şi B ale grupului poate fi evaluată prin pro­ dusul dintre numărul cardinal al părţii comune lui A şi B şi numărul cardinal al diferenţei lor simetrice (Mario Bunge, 197 1 ) ; primul factor se referă aici la participarea comună, iar al doilea, la eterogenitate. Pe o altă filieră, de natură lingvistică, J.M. Lipski ( 1 974) , Z. Saloni - A. Trybule c ( 1 974) şi B. Brainerd ( 1 977) propun, pentru modelarea matematică a coeziunii unui enunţ, conexitatea grafului asociat structurii de dependenţă şi de subordonare a enun­ ţului. În aceste condiţii, abaterea de la coeziune este măsurată prin cel mai mic număr natural n cu pro­ prietatea că există în graful de mai sus n arce , care, îndepărtate , provoacă conexitatea grafului rămas . În mod vizibil, coeziunea se referă cu precădere la aspectul sintactic al enunţului, în timp ce coerenţa are în vedere mai cu seamă aspectul său semantic. Pentru evaluarea incoerenţei, ne putem prevala de o idee a Irenei Bellert ( 1 970) , care ne pennite să aso­ ciem unui enunt nu numai un graf sintactic (pre­ cum cel amintit anterior) , ci şi unul semantic. Acesta se obţine prin definirea unei relaţii de de­ pendenţă semantică: în enunţul al a2 . . . an, termenul ai depinde semantic de tennenul aj dacă interpre�a­ rea semantică a lui w depinde de aceea a lui aj. In­ chiderea reflexivă şi tranzitivă a relaţiei de depen­ dentă ' semantică furnizează relatia de subordonare sem antică, iar graful asociat est� graful semantic al enunţului. Dacă acest graf este conex, atunci con­ siderăm că enunţul este coerent ; în cazul contrar, o măsură a incoerenţei poate fi cel mai mic număr natural p cu proprietatea că există p arce în graf a căror suprimare conduce la un graf conex. Pentru graful asociat unei relaţii de dependen­ ţă, a se vedea capitolul VI din lucrarea noastră Algebraic Linguistics; Analytical Models (Academic Press, New York, 19 67) . Pentru o privire de ansam­ blu asupra modelului matematic al coeziunii şi al coerenţei unui text se poate consulta S . Marcus, Textual cohesion and textual coherence", Reuue oumaine de Linguistique, voI. 2 5 , 1 9 80, nr. 2, pp. 10 1 - 1 12. N u cunoaştem nici o investigare sistematică (nu doar ilustrativă) , pe texte concrete , a acestor parametri, fie în limbi naturale , fie în limbaj e de programare sau în alte limbaje artificiale .

R

260

UNDE SE AFLĂ ABATEREA MAXIMĂ DE LA SIMETRIE? Simetria se află în centrul atenţiei, deoarece a devenit o paradigmă unificatoare a culturii c on tem_ porane. Acest fapt a determinat o coordon�re inter­ naţională a cercetărilor asupra simetriei. In 1 98 6 , revista Computers & Mathematics with App licatio ns a dedicat un volum de multe sute de pagini pro ble­ melor simetriei, de la matematică la biologie şi psi­ hologie şi de la fizică şi chimie la literatură, muzic ă şi arte vizuale . Un alt volum de acest fel, publicat in două părţi care au totalizat peste o mie de pagini, a fost publicat de aceeaşi revistă engleză în 1 9 89 . În 19 89 a avut loc la Budapesta primul simpozion internaţional pe tema " Simetria structurilor" , publi­ cându-se şi două volume cuprinzând comunicările prezentate. Să mai amintim că, anterior, fuseseră publicate unele monografii relative la simetrie, di n ­ tre care trebuie s-o menţionăm în primul rând pe aceea a lui Hermann Weyl. Recent s-a constituit şi Asociatia ' Internatională de Simetrie . A devenit î� să clar de mai multă vreme că semnificaţia simetriei este potenţată de fenomenele de asimetrie, de "ruperile de simetrie" Fiind dată o multime reală A, punctul x al dreptei este de sime­ ' trie pentru A dacă, oricare ar fi y în A, simetricul său fată ' de x se află în A; x este punct de simetrie locală pentru A dacă există un interval 1 centrat in x, astfel încât pentru orice y din partea comună a lui A şi 1 simetricul 2x - y se află în A. Să observăm acum că dincolo de negaţia acestor proprietăţi, ne simetria, respectiv nesimetria locală, putem defini opusul lor polar: antisimetria (pentru orice y din A, ' 2x - y lipseşte din A) şi antisimetria locală (aceeaşi proprietate, restrânsă la un interval centrat în x) . O multime A este simetrică, local simetrică, nesimetri­ că, i ocal ne simetrică, antisimetrică, local antisime­ trică dacă are proprietatea respectivă în raport cu orice punct al ei. Acum putem enunţa paradoxul simetriei şi al antisimetriei: ele , deşi polar opuse, conduc la aceeaşi structură metrică şi topologic ă , exprimată prin următoarele două propoziţii: Orice multime A local simetrică şi care nu conţine nici un inte�al este de măsură interioară egală cu zero , iar mulţimile cu proprietatea lui Baire conţinute in A sunt obligatoriu de prima categorie Baire ; Orice multime B local antisimetrică este de măsură interi­ oar ă nulă, iar mulţimile cu proprietatea lui Baire conţinute în B sunt de prima categorie Baire (a se vedea S. Marcus , " Symmetry in the simplest case: the real line" , Computers & Mathematics with Applications, voI . 1 7 , 1 9 89 , no. 1-3 , pp. 1 03- 1 15) . Simetria şi antisimetria se dovedesc astfel a fi la fel de restrictive. Unde atunci trebuie căutată dez or­ dinea maximă? Probabil într-un amestec echili brat de simetrie şi antisimetrie , pe care nu ştim încă să-I definim, deoarece următoarea problemă este dep ar­ te de a fi rezolvată: fiind date două mulţimi reale

şi B, care e ste condiţia nece sară şi sufici­ disj un cte stenţă a unei mulţimi reale X pentru care exi ă de t en e ste mulţimea punctelor în care X este local sime ­

A

trică, iar B este mulţimea punctelor în care local antisimetrică?

X

este

ALTE MATEMATICI ALE IMPRECIZIEI

Măsura

de

încredere

şi

măsura

de

plauzibilitate

g(A) 1 f(X - A). Ignoranţa totală este exprimată prin m(X) 1 şi m(A) O, pen­ tru orice A diferit de X, deci f(X) 1 , f(A) = O, pentru orice A diferit de X şi g(8) O, g(A) 1 , pentru orice A nevidă. Ca un caz particular al măsurii de plauzi­ bilitate se defmeşte măsura de posibilitate. Pentru sunt legate prin relaţia

=

-

=

=

=

=

=

detalii şi referinţe bibliografice, a se vedea articolul

de sinteză, dej a menţionat, al lui

G.J.

Klir.

Alte tipuri de imprecizie, ca paradoxul, antino­ mia, independenţa, incompletitudinea, indecida­ bilitatea, axioma alegerii, metoda diagonalei lui cantor, fractalele lui Mandelbrot, au făcut, fiecare

in parte , obiectul unor cercetări matematice dintre cele mai sofisticate, pe care însă nu le mai putem

prezenta aici. Pentru paradox şi antinomie îl trimi­ tem pe cititor la cartea noastră Paradoxul (Editura Albatros, Bucureşti, 1 984) . Incompletitudine a şi

indecidabilitatea au fost discutate pe larg în primul capitol al cărţii noastre Provocarea Ştiinţei (Editura Politică, Bucureşti, 1 988) . Independenţa, axioma alegerii şi metoda diagonalei lui Cantor sunt prezen­

tate în orice expunere mai dezvoltată a teoriei mul­

ţimilor. Principalele monografii dedicate fractalelor

sunt cele ale lui B . Mandelbrot ( The Fractal Geo­ metry of Nature, Freeman & Co . , San Francisco,

1982)

şi

K.J.

(The Geometry of Fractal Sets, Pre ss, 1985) . Există cercetări logi­

Falconer

Cambridge Univ. co-matematice

interesante

asupra

plauzibilităţii,

încrederii, posibilităţii, ignoranţei. Pomindu-se de la o probabilitate de bază m care asociază fiecărei părţi

A a lui

X un număr m(A) cuprins m(O) = O şi 'L(m(A); A c X)

O şi 1 , astfel încât 1 , m(A) defineşte gradul de încredere că un element specific din X aparţine lui A. Măsura de Încredere core spunzătoare este dată de o aplicaţie f care asociază fiecărei părţi A a lui X un număr f(A) cuprins între O şi 1 , astfel încât f(A) 'L (m(B); B e A)). Aici, f(A) exprimă gradul între

=

=

total de încredere că elementul considerat aparţine

A sau unei submulţimi oarecare a lui A. Măsura de plauzibilitate este dată de o aplicaţie 9 care aso­ ciază fiecărei părţi A a lui X un număr g(A) cuprins între O şi 1 , astfel încât g(A) I (m(B); B fi A;r O) .

lui

CONCLUZII o problemă im portantă este interferenţa diferi­

telor tipuri de imprecizie. Un exemplu semnificativ

este modul în care aleatorul interferează cu neglij a­

bilul (legea numerelor mari a lui Borel) . Fractalul, haoticul

şi ne glijabilul

sunt de

asemenea

strâns

legate . De fapt, foarte rar se întâmplă ca un tip de

imprecizie să apară singur. Deocamdată, foarte pu­ ţine dintre aceste int erferenţe au fost studiate (prin­

tre acestea, distingem interferenţele aleatorului cu gradualul, ale gradualului cu ambiguitatea contex­

tuală) . Diferitele imprecizii se acumulează şi dau

naştere unui proces de escaladare a impreciziei, cu efecte greu de prevăzut. Metafora efectului de fluture,

la care se recurge pentru a se sugera consecinţele depărtate ale dependenţei fo arte sensibile de condi­ ţiile iniţiale ale soluţiilor ecuaţii10r şi sistemelor de

ecuaţii diferenţiale neliniare, este semnificativă în acest sens. Năzuim spre un calcul al impreciziei ,

pentru care vor trebui mobilizate multe forţe. În prefaţa la

Enciclopedie,

D'Alembert observa

că, pe măsură ce ne apropiem de proprietăţile sen­

sibile ale

obiectelor,

o bscuritatea ne

acaparează.

Tensiunea dintre rigoare şi sens, dintre formalizare şi explicare ne obligă la un echilibru care face ine­ rentă o anumită doză de umbră, sursă organică de

imprecizie. Dar ultimul metalimbaj la care recurgem

în ştiinţă are nevoie de precizia logicii aristotelice

şi

poate că aici se află o deo sebire esenţială între ştiin­ ţă şi celelalte demersuri ale inteligenţei umane.

=

261

UN ALT NUME AL IMPRECIZIEI: RESTUL

CUNOAŞTERE CU SAU FĂRĂ REST În Omul recent (ed. a treia, Editura Humanitas, Bucureşti, 2004) , H . R. Patapievici scrie (p . 289) : "Există două feluri de cunoaştere. Există o cunoaş­ tere care se epuizează în rezultat şi care are aplicaţii tehnice, disciplinele care oferă răspunsuri închise, fără rest, la întrebări neinterpretabile (cunoaşterea 1 ) , şi există o altă cunoaştere, care nu poate fi epui­ zată printr-un rezultat (cunoaşterea 2 ) : filozofia, în sensul cel mai larg" Metafora restului este probabil de provenienţă aritmetică: o împărţire se poate efectua cu sau fără re st. Terminologia trădează acest fapt. Împărţind pe 4 la 2, obţinem câtul 2, iar restul este egal cu zero, deci avem o împărţire fără re st. Împărţind pe 3 la 2 , obţinem câtul 1 şi restul 0 , 5 , deci avem o împărţire cu re st. (Restul este înţeles aici altfel decât în ma­ nualul şcolar) . Să observă că restul apare ca simp­ tom al faptului că mulţimea numerelor întregi nu este închisă faţă de operaţia de împărţire. Dacă însă extindem cadrul la mulţimea numerelor raţionale, care este închisă faţă de operaţia de împărţire (cu excepţia împărţirii la zero , operaţie imposibilă) , atunci , raportându-ne la reprezentarea zecimală a numerelor raţionale şi convenind să numim rest tot ceea ce se află după partea întreagă, vom constata că există trei feluri de numere raţionale: fără rest (numerele întregi) , cu rest constănd într-un şir finit (de exemplu, 1 , 5) şi cu rest constând într-un şir esenţial infinit, care, de la un anumit termen mai departe, este periodic (de exemplu, 1 / 3 0 , 33333 . . . ) O situaţie mai delicată o prezintă operaţia de extra­ gere a rădăcinii pătrate . A fost marea uimire a lui Pitagora când a constatat că nu există un număr care să exprime lungimea diagonalei cu latura egală cu unitatea (pe vremea aceea, noţiunea de număr se reducea la ceea ce numim azi numere raţionale , deci exprimabile ca raporturi de două numere în­ tregi, al doilea fiind diferit de zero) . Referindu-ne din nou la reprezentarea zecimală, putem spune că restul, în extragerea rădăcinii pătrate a lui 2, se exprimă printr-un şir infinit, din care , la orice mo­ ment, cunoaştem numai o parte finită, chiar dacă această parte poate fi oricând mărită. Nu putem niciodată epuiza expre sia restului. =

2 62

.

O altă împrejurare în care matematica se pre­ valează de terminologia restului este aceea a teo re­ melor de aproximare a unei funcţii prin funcţii mai simple. Tipic în acest sens este restul din formula lui Taylor, prin care o funcţie care admite derivate până la un anumit ordin este aproximată de un polinom. Şi aici, restul ascunde o imprecizie , deoa­ rece, comparând formula lui Taylor cu seria infinită Taylor în care se poate dezvolta o funcţie analitic ă (serie care arată ca un "polinom de grad infinit"), constatăm că restul ascunde tocmai partea cu o infinitate de termeni, deci , prin folosirea restului, dezvoltarea Taylor nu mai este infinită, ci finită.

REST EPUIZABIL ŞI REST INEPUIZABIL Constatăm astfel că în chiar partea ei elemen­ tară matematica furnizează atât exemple de cun oaş­ tere fără re st, cât şi exemple de cunoaştere cu rest, iar în al doilea caz distingem între posibilitatea şi imposibilitatea epuizării restului într-un număr finit de etape ; imposibilitatea este inevitabilă la toate numerele iraţionale, fapt care motivează intuitiv denumirea lor. De exemplu , în momentul de faţă cunoaştem un număr de zecimale ale lui TI (amintim că TI este constanta universală a circularităţii: ra­ portul dintre lungimea unui cerc oarecare ş i diame­ trul său) egal cu produsul dintre 1 24 1 şi puterea de exponent 9 a lui 1 0 . În ciuda acestui fapt şi a faptu­ lui că vom descoperi mereu noi zecimale ale l u i TI , cunoaşterea lui rămâne una cu rest, iar acest rest este inepuizabil. ÎNTREBĂRI CU SA U FĂRĂ REST Să mai rămânem puţin în domeniul matema­ ticii şi să discutăm situaţia întrebărilor. H . R . Patapievici se referă la "întrebări interpretabile", p e care noi le vom numi întrebări cu rest şi le vom opune întrebărilor fără rest, adică având un înţeles precis, ne susceptibil de mai multe interpretări. "Care este câtul împărţirii lui 4 la 2?" este o întreba­ re de al doilea tip . "Care este rădăcina pătrată a lui

2?"

e ste o întrebare de primul tip , deoarece o putem reta într-o infinitate de feluri, în funcţie de erp int ul de mărime al erorii cu care ni se cere să ordin aproxi măm rădă.cina pătrată re spectivă printr-un număr raţional. Intrebarea dacă un anumit număr intreg este _ sau nu prim aparţine şi ea întrebărilor fără re st . In schimb, întrebarea care se referă la comportamentul, unei funcţii sau al soluţiilor unui siste m de ecuaţii diferenţiale este una cu re st, deoa­ rece prin comportament putem înţelege, în prin­ cipiu, o infinitate de lucruri.

PATRU TIPURI DE CUPLURI "ÎNTREBARE-RĂSPUNS// Dacă atât întrebările, cât şi răspunsurile pot fi cU sau fără rest, atunci apar, combinatorial vor­ bind, patru situaţii posibile: a) răspun suri fără rest la întrebări fără rest; b) răspunsuri cu rest la între­ bări fără rest; c) răspunsuri fără rest la întrebări cu re st; d) răspunsuri cu rest la întrebări cu rest. Exemplu de tipul a: "Este 3 un număr prim? Da". Tipul b: "Care este numărul p(x) al numerelor prime mai mici decât numărul pozitiv x?' Un răs­ puns fără rest nu se cunoaşte . Dispunem însă de un răspuns cu re st: "p(x) tinde la infinit la fel ca raportul dintre x şi logaritmul natural al lui x, când x tinde la infinit" (teorema lui Hadamard şi De la Vallee Poussin, obţinută cu mijloacele analizei com­ plexe; regăsită, pe cale directă, de Erd6s şi Selberg) , Ignorăm deci valoarea exactă a lui p(x) , dar aflăm comportamentul său asimptotic, rapiditatea cu care tinde e l la infinit. Tipul c pare o imposibilitate, dar am putea eventual să încadrăm aici o situaţie de felul: "Care este comportamentul funcţiei f(x) ?" Răs­ puns: f(x) este crescătoare" . Cu alte cuvinte , la o intrebare evident cu rest dăm un răspuns fără rest, dar care se referă numai la o parte a întrebării. Să observăm că foarte multe situaţii practice sunt de tipul c. De exemplu, diferite teoreme matematice privind anumite situaţii dintr-o limbă naturală sunt răspunsuri fără rest la întrebări cu rest, deoarece nu se referă la ansamblul limbii naturale (noţiune care nu are un statut formal, susceptibil de o trata­ :e matematică directă) , ci la o porţiune formală a ei. In ceea ce priveşte tipul d, aici intră cele mai multe situaţii întâlnite în viaţă, în cercetare şi în creaţie. Este filozofia exclusiv cantonată la acest tip? Păre­ rea multora înclină spre un răspuns afirmativ, dar Mario Bunge se referă la domeniul "filozofiei exacte", Richard Montague se referă la "filozofia formală" iar în ultimii ani au apărut preocupări de "filozofie computaţională" şi de "filozofie matematică1' (a nu se confunda cu filozofia matematicii) . Nici matema­ tica nu duce lipsă de situaţii de tipul d, situaţii ine­ vitabile în etapa de tatonare a unei probleme.

ABSENŢA RESTULUI POATE FI NUMAI APARENTĂ La o examinare mai atentă, lucrurile se compli­ că. Să revenim la întrebarea "Cât fac 4 împărţit la 2?" şi răspunsul ,,4 împărţit la 2 fac 2", amândouă fără rest . Dar sunt ele într-adevăr fără rest? Nu cumva se ascund aici unele presupoziţii, asumate atât de către cel care întreabă, cât şi de cel care răspunde? Una dintre aceste presupoziţii este faptul că se subînţelege că se lucrează în baza 1 0 . O altă presupoziţie, mai profundă, este chiar faptul că cel care întreabă şi cel care răspunde au acelaşi mod de înţelegere a noţiunii de număr natural . Dacă este vorba de persoane cu un nivel mai ridicat, se poate presupune că amândouă au în vedere axiomatica lui Peano a numerelor naturale, axiomatică din care (ca din orice axiomatică) nu lipsesc anumiţi termeni primitivi (deci care nu se definesc) şi anumite axio­ me sau principii (deci care nu se demonstrează) . Alegerea termenilor primitivi şi a axiomelor este o operaţie interpretabilă, comportând practic o infini­ tate de variante, deci este cu rest. Mai intervine şi aspectul de cardinalitate al numerelor naturale, aspect care şi el trimite la o anumită axiomatică, aceea a teoriei mulţimilor (în contrast cu ceea ce se numeşte teoria naivă a mulţimilor) , cu restul inevi­ tabil al oricărei axiomatici. Se conturează astfel ideea că restul nu lipseşte niciodată în matematică, dar că uneori el este expli­ cit, direct observabil; alteori aparent lipseşte, dar are o existenţă implicită, indirectă, ascunzându-se după anumite presupoziţii cu care ne-am obişnuit atât de mult încât nu le mai observăm. Dar dacă în matematică se întâmplă aşa, ne putem aştepta la altceva în afara ei?

PREZENŢA RESTULUI ÎN AXIOMATICA EUCLIDIANĂ "Elementele" lui Euclid încep cu trei tipuri de entităţi "interpretabilell , deci cu rest: 23 de definiţii, 5 postulate şi 9 noţiuni comune (numite de Proclus axiome, denumire preluată de istorie) . Definiţiile sunt de fapt descrieri de genul "Punctul este lucrul care nu are părţi" sau "Linia este o lungime fără lăţime" . Din punctul de vedere al exigenţelor de azi, aceste descrieri sunt departe de a fi considerate definiţii . Entităţile la care ele se referă corespund la ceea ce astăzi numim noţiuni primitive (deci pe care le acceptăm fără definiţie) . Modul în care Euclid a izolat cele trei tipuri de entităţi cu rest s-a transmis de-a lungul secolelor, cu mici modificări (de exem­ plu, diferenţa dintre postulate şi axiome nu a rezis­ tat, cele dintâi fiind asimilate celor din urmă) . Ambiţia axiomatizării a contaminat nu numai ştiin­ ţele naturii, ci şi pe cele socio-umane. Dacă ţinem seama şi de impactul exercitat de modelul euclidian 263

intermediul geometriilor neeuclidie ne , pu tem spune că paradigma euclidiană a deve nit una uni­ versală. La Euclid ne raportăm nu numai în axio­ matizările din interiorul matematicii, ci şi în cele din mecanică, din fizică, din biolo gie, din lingvistică sau din etică (Spinoza) : iar p rin geometriile neeuclidie­ ne, paradigma euclidiană pătrunde până şi în artele vizuale (a se vedea cubismul) . Tipul de transgresare a euclidianului realizat de geometria fractală a na­ turii a pătruns până şi în economie şi finanţe , în artele vizuale şi în muzică. Î n această geometrie, restul apare sub forma infinităţii numărului de eta­ pe care conduc la obiectele fractale, infinitate din care nu putem actualiza decât un număr finit de etape. prin

RESTUL LA SOCRATE ŞI PLATON În ale sale Dialoguri. despre matematică (traduse în limba română la Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1 9 64) , Alfred Renyi îi atribuie lui Socrate (op. cit. p. 22) observaţia (adresată lui Hipocrate) conform căreia preţul obţinerii certitudinii matematice con­ stă în înlocuirea obiectelor reale cu altele, ideale , de pură ficţiune. Această metamorfoză este vizibilă chiar în primele rânduri din Elementele lui Euclid, pe care tocmai le-am evocat: punctul şi linia sunt, evident, obiecte ideale, nu reale. Cu alte cuvinte, în măsura în care matematica furnizează o cunoaştere fără rest, obiectele ei nu aparţin lumii reale, ci unui univers de ficţiune. În aceeaşi lucrare (p. 25), Socrate pune în contrast sentimentul de certitudine pe care-l avem în ceea ce priveşte vinovăţia Clitemnestrei, care l-a omorât pe Agamemnon, în cunoscuta tra­ gedie a lui Eschil, şi starea de îndoială pe care ne-o poate produce o acuzaţie similară adusă unei femei din universul contingent, presupusă asasină a soţu­ lui ei, un bărbat din universul contingent. Faptul se explică tocmai prin caracterul ficţional al faptelor petrecute in tragedia lui Eschil, în contrast cu ca­ racterul real al celuilalt fapt. Rezultă că, cel puţin uneori, matematica şi literatura procedează în mod similar pentru a conduce la o cunoaştere fără rest: în locul universului contingent ni se propune un altul, de ficţiune. La Platon se întâmplă un lucru similar, numai că în viziunea acestuia realitatea nu mai este repre­ zentată de universul sensibil, ci de lumea ideală a Ideilor, entităţi fixe, eterne şi imuabile, invizibile, dar inteligibile; această lume este singura total cog­ noscibilă, deci cognoscibilă fără rest. Ţinând seamă de faptul că şi entităţile matematice contrastează cu cele ale universului sensibil , am fi tentaţi să le iden­ tificăm pe cele dintâi cu cele ale universului ideal platonian. Î n comentariul său la Elementele lui Euclid, Proclus atrage atenţia asupra faptului că entităţile matematice nu aparţin nici Ideilor plato­ niene, nici lucrurile sensibile, ci ocupă faţă de aces­ tea o poziţie intermediară.

2 64

Să mai observăm că elementul iraţional ascun s în lucrurile sensibile, element la care se refe ră Platon, reapare ulterior în diferite alte filozofri . Î n prefaţa la Enciclopedia franceză, D'Alembert obse rvă că, de îndată ce ne apropiem de lumea sensibilă suntem copleşiţi de obscuritate (o altă formă a re s� tului) , iar mai aproape de zilele noastre , Ein stein consideră că, în măsura în care cunoştinţele noas ­ tre sunt sigure (deci fără rest) , ele nu se refe ră la lumea reală, iar în măsura în care ele se referă la realitate , ele nu mai sunt sigure (deci restul devi­ ne inevitabil) . Paradoxal deci, contrar aparenţelor, universul tehnologic este produsul unei cunoaşteri cu rest.

UN NOU TIP DE REST: INCERTITUDINEA Dar certitudinea la care se referă Socrate (in relatarea lui Renyi) nu a rezistat provocărilor seco­ lului al XX-lea. Formalizarea matematică aparent cea mai riguroasă, aceea propusă de Hilbert în de­ ceniile al doilea şi al treilea ale secolului trecut, sub forma unei teorii a demonstraţiei, s-a dovedit a fi o cunoaştere prin esenţă cu rest: preţul pe care tre­ buie să-I plătim pentru a evita fenomenul de con­ tradicţie, în sistemele formale suficient de complexe pentru a include aritmetica numerelor naturale, este acceptarea existenţei unor enunţuri indeci­ dabile, deci pentru care nu există un algoritm de stabilire , într-un număr finit de paşi, a adevărului sau falsităţii lor; dar indecidabilitatea este o fonnă clară a restului, ea se asociază cu incompletitu­ dinea sistemului formal, in completitudine care şi ea este o formă de imprecizie, de rest; nici Bertrand Russell, nici David Hilbert nu au bănuit posibilita­ tea celei de-a treia stări: un enunţ cu înţeles poate fi fals, adevărat sau . . . indecidabil (teorema de incom­ pletitudine a lui Godel) . Un alt mod în care se ma­ nifestă aici restul este existenţa unor enunţuri adevărate , dar nedemonstrabile , fapt pe care îl pu­ tem considera un analog, în ştiinţă, al inefabilului artistic. Dezvoltarea fIzicii a sabotat şi ea sentimen­ tul certitudinii. Două cărţi celebre fixează acest mo­ ment al istoriei secolului al XX-lea: Mathematics the loss of certainty a lui R. Wilder şi La fin des certitudes a lui Y. Prigogine.

o ALTĂ SURSĂ DE REST: FOLOSIREA CALCULATORULUI ÎN DEMONSTRAŢII Să mai amintim faptul că în deceniul al optulea al secolului trecut lua naştere o nouă formă de cu­ noaştere cu rest, aceea care provine din apariţia unor demonstraţii matematice care fac apel la pro­ grame de calculator, devenind astfel dependente de anumite elemente de natură empiric-experimentală {cum ar fi diverşi parametri ai calculatorului la care

��

, �rtt executate program ele utilizate) şi de anumite ri în ceea ce priveşte po sibilitatea verificării :l ită ; re ctitudinii unor programe . Aşa se face că , la 30 o de an i de la demonstrarea pe această cale a teoriei

Paris,

1 940)

se întreabă ş i e l

(op. cit.

p.

9) :

"La

fjţl e

perfection e st- elle au debut ou â la fin?"şi, în aceas­

culori, restul existent în demonstraţia cel or patru .respe ctivă (între timp, mult simplificată) nu a putut fi'incă eliminat şi nici nu există garanţia că ar putea

rest, ar fi de origine divină, transmisă primilor oa­

.ni l ui

meni; recuperarea ei se află în atenţia generaţiilor succesive, iar mijloacele folosite în acest scop sunt

clasice , cum ar fi demonstrarea conjectu­

matematicii, să fie o are produsul acelei perfecţiuni

Kepler privind aranj area optimă, într-un reci­ a unor sfere de aceeaşi dimensiune . t, en pi Unele demonstraţii matematice rămân marcate

de un puternic rest, pur şi simplu ca urmare a lun­ gimii lor excesive şi a faptului că la ele au colaborat un număr imens de autori; aici se plasează demon­ strarea teoremei de clasificare a grupurilor simple , finite .

A EXISTAT OARE O CUNOAŞTERE INIŢIALĂ FĂRĂ REST? Răspunsul afirmativ la această întrebare a do­

minat perioadele mai vechi ale istoriei, prelungin­

du-se până în urmă cu vreo două secole . Sfântul

Augu stin era convins că începuturile s-au caracteri­ zat prin perfecţiunea cunoaşterii. Primii oameni

s�au

pe urmele semnificaţiei

Cunoaşterea perfectă, fără

dintre cele mai diverse . Cartea naturii, la care se

şi în jurul altor răspunsuri recente date unor

probleme

idei , merge

O situaţie similară de incertitudine pla­

,fi. eliminat. ilează

tă ordine de

postulatelor, la Euc1id.

aflat în posesia cunoaşterii perfecte , fără rest,

apoi această cunoaştere s-a pierdut şi nu ne rămâ­

n.e decât să încercăm s-o recuperăm. De aici, inte­

n�sul deosebit pentru înţel egerea înţelepciunii celor vechi. Aram M. Frenkian

(Le postulat chez Euclide et chez les modemes} Librairie philosophique J. Vri n ,

referă Galile o Galilei şi care ar fi scrisă în limbajul iniţiale , ulterior pierdute? În a doua jumătate a se­

colului al XX-lea, Paul Erd6 s , figură legendară a matematicii

acelei

perioade,

se

referea mereu

la

demonstraţiile perfecte existente în Carte (cu C ma­

re) şi pe care muritorii încearcă să le regăsească;

este oare această Carte o expresie a înţelepciunii

iniţiale, pierdute? Este ea Cartea la care se referea Galileo Galilei? Sau cumva această Carte se scrie şi se rescrie mereu, de către generaţiile succe sive, prin

efortul celor mai luminate minţi? Este deci cunoaş­

terea fără rest paradisul pierdut sau mirajul unui viitor prea îndepărtat pentru a-l putea desluşi?

Metafo ra restului ne furnizează un termen ge­

neric pentru diferitele forme de imprecizie. Un simp­

tom clar al inevitabilităţii restului este caracterul circular al dicţionarelor diferitelor limbi naturale.

Modul în care este explicat un cuvânt nu constituie

o definiţie în sensul preconizat în logică - pen tru

aceasta ar trebui admi se anumite cuvinte care nu

se definesc ; altfel, tautologia şi, odată cu ea, restul

devin inevitabile . D ar acceptarea unor cuvinte care

nu se definesc este şi ea o formă de rest, deci nu există scăpare .

265

IMPRECIZIA ÎN LITERATURĂ SI ÎN MET ALITERATURĂ ,

SURSE DE POSIBILĂ NEÎNŢELEGERE Prin metaliteratură înţelegem ansamblul disci­ plinelor care au ca obiect literatura. Î n ce relaţie se află metaliteratura cu disciplinele umaniste în gene­ re? Î n engleză, avem termenul generic de "huma­ nities" , care acoperă alte discipline decât cele etichetate "social sciences" (unde intră, de exemplu, sociologia, ştiinţele juridice şi cele economice) . Să înţelegem că sintagma "discipline umaniste" le in­ clude şi pe acestea din urmă? Distincţia este foarte importantă, aşa cum rezultă, între altele, din faptul că întreprinderea "Science Citation Index", care monitorizează creaţia culturală a lumii, este organi­ zată pe trei direcţii: A) matematică, informatică, ştiinţe ale naturii şi diferite feluri de inginerii; B) ştiinţe sociale; C) umanistică (in sensul de "huma­ nities"). Desigur, nici aceste distincţii nu sunt ca­ sante; mă intreb: unde ar putea fi încadrată sociologia literaturii , în B sau în C? Probabil că în amândouă.

LOCUL TEORIEI LITERARE ÎN CADRUL METALITERATURII Indiferent însă de interpretarea pe care o dăm disciplinelor umaniste, vom fi, cred, de acord că ele includ metaliteratura de orice fel: cronica literară, critica literară, istoria literară, analiza literară, lite­ ratura comparată, teoria literară, ceea ce s-a numit şi încă se mai numeşte în anumite locuri ştiinţa literaturii etc . Ne putem întreba care sunt locul şi rolul teoriei literare în cadrul disciplinelor meta­ literare. Unele aspecte ale acestei teme , cum ar fi relaţia dintre critica literară şi istoria literară, au fost deseori discutate; altele, cum ar fi relaţia dintre teoria literară şi analiza literară, pe de o parte, şi critica literară, pe de altă parte, modul şi măsura în care fiecare dintre ele ar putea avea nevoie de cele­ lalte, au fost mai degrabă trecute sub tăcere sau expediate prin şabloane, idei primite, cum ar fi "cri-

266

tica evaluează, teoria analizează" . Nu cumva analiza şi teoria literară participă şi ele cel puţin la reevalu­ ările inevitabile care se impun periodic? În ce măsură şi în ce fel au nevoie criticul şi istoricul de un ori­ zont de teoria literaturii? Dar teoreticianul de un orizont istoric şi critic? Atenţia acordată în România - şi poate şi în alte părţi - acestor probleme mi s-a părut insuficientă. Să ob servăm că nici englezescul "criticism" nu este echivalent cu substantivul ro­ mânesc "critică" . Relaţia teoriei literare cu domeniile umaniste altele decât cele din cadrul metaliteraturii este azi mai puternică decât în urmă cu 10 - 20 de ani, aşa cum se poate vedea parcurgând revistele şi cărţile de specialitate Avem în vedere acele studii de teorie şi analiza literară care se prevalează de idei , fapte şi ! sau metode din lingvistică, semiotică, filo z ofie, istorie, antropologie, sociologie , ştiinţe politice, psi­ hologie, psihanaliză, arte vizuale, muzică etc .

RE LA ŢIA LITERA TURII ŞI METALITERATURII CU FIZICA, BIOLOGIA ŞI INFORMATICA Dar oare metabolismul literaturii şi al metali­ teraturii se opreşte la disciplinele umaniste? Cum am putea ignora interacţiunea teoriei literare cu biologia? Nu de la biologie a pornit Paul Valery atunci când a introdus conceptul de poietică, în contrast cu poetica? Nu de la structurile autopo­ ietice din biologie, ale lui Humberto Maturana şi Francisco Varela, a pornit Siegfried J. Schmidt în elaborarea ştiinţei sale empirice a literaturii , în ca­ drul căreia realitatea este un construct în termeni de sisteme autopoietice? Nu din biologie s-a inspir at rizomul lui Gilles Deleuze şi Felix Guattari? Arta, in general, a fost mereu solidară cu biologia. Itinerarul de la D'Arcy Thompson ( On growth and form) la Matila C. Ghyka (Le nombre d 'or) şi de la ace s ta la Rene Huyghe (Formes et forces) nu face decât s ă puncteze solidaritatea formelor artistice cu cele bio­ logice. Genetica a devenit şi ea o sursă bogată de

' n sp iraţie pentru umanistică; să ne gândim la fai­ de o carte ca aceea a lui Richard wk From genes to memes. La fel de puternice D a in s, sunt relaţiile cu fizica: cum am putea ignora studiul al lui Robert de Beaugrande, Quan­ atât de inspirat tum aspects of artistic perception (Spiel 7, 1 980, pp . 1 - 37) , in care universul literaturii, al artei in ge n eral , este raportat la universul contingent prin an alogie cu relaţia in care se află lumea cuantică fată de universul macro scopic? Didactica literaturii s-M putea prevala de situaţia fericită a elevului care învaţă concomitent mai multe discipline; imi aduc aminte de un elev din Timişoara care a pus in legă­ tură ora de română cu cea de fizică, stabilind o ana10 gie intre ceremonialul nunţii la Eminescu (in Călin) şi la Coşbuc (in Nunta Zamfirel) , pe de o par­ te, şi distincţia laminar-turbulent (turbionar) , apli­ cată fluidelor, pe de altă parte. De la denotaţie la metaforă nu-i decât un pas . Dacă trecem la informatică şi la derivatele ei, ca teli in genţa artificială şi disciplinele cognitive , atunci relatiile cu literatura şi cu teoria literară devin fără sfâr it . Să ne gândim la capacitatea de sinteză, de adu cere sub aceeaşi umbrelă, pe care o are hiper­ textul in raport cu diversele derivate textuale, de la intertextul lui Bachtin şi Kristeva la paratextul lui Genette, la intertextualitate a generalizată a lui Virgil Nemoianu şi la alte derivate textuale , analizate atât de bine de Paul Cornea in a sa Introducere în teoria lecturii. Să ne gândim la lumea virtuală, pe care Ion Manolescu ne-o aduce mereu in atenţie . De mate­ matică nu mai vorbesc, deoarece am făcut-o in alte ocazii.

�a dobândită

ş

DouĂ FELURI DE UMANISTICĂ; ŞTIINŢA ÎN CHESTIUNE Folosind cuvântul "umanistică" drept termen generic pentru disciplinele socio-umane, deci inclu­ zându-Ie atât pe cele sociale, cât şi pe cele asociate cu englezescul "humanite s" , ne vom referi la dis­ tincţia "umanistică ştiinţifică/ umanistică literară" . O analiză pătrunzătoare a ei a fost intreprinsă de Jerzy Pele, la Congresul Asociaţiei Internaţionale de Semiotică din anul 200 0 , de la Guadalaj ara, M exic ("Language of the present-day scientific hu­ manities: clear or vague?" CD -ROM) . Ironia face ca dorinţa de a da un caracter mai ştiinţific unor cer­ cetări de umanistică a apărut exact intr-o perioadă în care reprezentarea tradiţională a ştiinţei, de o claritate exemplară, a fost supusă unor revizuiri tot mai insistente, impuse de evoluţia surprinzătoare a cunoaşterii în ultima sută de ani; atributul de "şti­ inţific" a devenit tot mai imprecis , mai controversat. A slăbit relevanţa unor criterii altădată decisive, ca forţa de previziune, rezistenţa la testarea experi­ mentală, determinismul cauză-efect; teoria şi legile pierd şi ele terenul şi sunt depăşite de modelarea cognitivă. Î n mod regretabil, din cauza unui sistem

educaţional depăşit, mulţi intelectuali nu află la timp sau nu află deloc de aceste schimbări şi se raportează şi in mileniul al treilea la reprezentări din secolul al XVIII-lea. Aceste evoluţii nu au micşo­ rat cu nimic importanţa socială a ştiinţei, dar i-au schimbat statutul. Accentuez acest fapt într-un moment in care cultura ştiinţifică este marginalizată şi chiar pone ­ grită pe toate căile. Astfel, pentru a mă referi numai la evenimente recente , am putut citi că ştiinţa nu se ocupă decât de lumea materială, că este lipsită de spiritualitate, că numai umanioarele au valoare formativă in educaţie , că ştiinţa reduce cunoaşterea la raţiune şi, prin aceasta, ea devine o formă de barbarie (idee preluată de la M. Henry) , că interne­ tul se plasează in afara culturii. Toate acestea sunt prezentate în publicaţii altfel respectabile şi pe ca­ nale de televiziune care se numără printre puţinele refugii în faţa prostului gust şi trivialităţii. Problema statutului ştiinţei e ste centrală în ordinea de idei care ne preocupă aici, de ea depinde modul în care este inţeleasă literatura in cadrul poststructuralis­ mului şi al postmodernismului. Ceea ce filozofia deconstrucţionistă pune in chestiune este , in ultimă instanţă, cunoaşterea ştiinţifică; acesteia i se identi­ fică unele contradicţii care de fapt intervin in natura conflictuală naturală a oricărui proces de cunoaşte­ re , fie el al modelului cognitiv sau al metaforei cog­ nitive.

UMANISTICA ŞTIINŢIFICĂ, ÎNTRE SNOBISM ŞI UTILITATE Revenind la oile noastre, care ar fi semnele umanisticii ştiinţifice? Un anumit aparat conceptual nu poate lipsi, o anumită structură inferenţială, argumentativă, este şi ea necesară, nu neapărat in sensul pitagorean şi euclidian al demonstraţiei silo­ gistice, dar măcar in sensul preconizat de tradiţia retoricii clasice, aşa cum a fost ea prezentată, de exemplu, in tratatul lui Ch . Pelerman de teoria ar­ gumentării. Teoria şi analiza literară s-ar putea cu greu sustrage acestor cerinţe, în contrast cu critica literară, bazată pe procedee mai degrabă ale litera­ turii decât ale ştiinţei. Dar istoria literară? Probabil că ea ar trebui să fie cu un picior in umanistică ştiinţifică şi cu celălalt in cea literară. Dacă nu se intâmplă aşa, cauza s-ar putea afla in precaritatea pregătirii teoretice a autorilor de istorii. G. Călinescu a inventat pentru istoria literară sintagma aparent oximoronică "ştiinţă inefabilă" , dar in perspectiva anilor scurşi de atunci pariul său a fost câştigat, deoarece ştiinţa şi-a dezvăluit intr-adevăr un anu­ mit inefabil, ilustrat de exemplu de existenţa ade­ vărurilor nedemonstrabile. Dar, atenţie! Teoreticul este de multe ori numai simulat, nu şi folosit efec­ tiv. Î mi aduc aminte de moda folosirii fără acoperire a terminologiei de teoria informaţiei. Te poţi prevala

2 67

: pe r: tru tic, de conc epte , din diferite m otive de teore . med Icaunor enea asem a face lmpre sl' e ' pentru că c uttle; d vedes se ca ntru pe ? ază; dăune nu mente , _ varIanta a patra . pentru că sunt inevitab Ile. Daca e ste poate prea exigentă, varianta a treia este obli­ gatorie. ,

'

_

.

CAUZE ISTORICE ALE APROPIERII DINTRE CELE DOUĂ TIPURI DE UMANISTICĂ Linia de demarcaţie intr e cele două tipuri de umanistică este delicată, mai degrabă graduală decât casantă. Una dintre cauze este de ordin isto­ ric. La origine, literatura a fost tributară miturilor, de la care a preluat plasarea intr-o lume de ficţiune, funcţia de simbolizare, interacţiunea localului cu globalul (in mituri, sub forma anthropos-cosmos) , importanţa dimensiunii ludice şi a diferitelor forme de imprecizie. Dar aceeaşi moştenire mitică este preluată şi de matematica greacă, la câteva secole după Homer. Grecescul "techne" se referă la inde­ mânarea de orice fel , fie ea artistică sau meşteşu­ gărească. Mai târziu, expresia de "arte liberale" include toate indeletnicirile care nu pun accent pe forţa fizică a muşchilor; aici intrau in egală măsură gramaticienii, logicienii, poeţii, muzicienii şi astro­ nomii. Aşa se explică, in parte, faptul că ulterior umanistica avea să includă nu numai artele şi lite­ ratura, ci şi domenii cu caracter pronunţat ştiin­ ţific . La un moment dat, germanii propun opoziţia Naturwissenschaft-Geisteswissenschaft (ştiinţe ale naturii-ştiinţe ale spiritului) , dar, contrar mentalită­ ţii dominante de azi, Kant plasa matematica printre disciplinele spiritului, in acord cu ideile mai vechi ale lui Platon şi in convergenţă cu ideile lui Goethe .

DUBLA FAŢĂ A IMPRECIZIEI Nu dispunem de o definiţie precisă a preciziei, deci inevitabil ne vom mulţumi cu o prezentare im­ precisă a impreciziei. Folosim cuvântul "imprecis" ca termen generic pentru atribute de genul "vag" , "ambiguu" , "probabil", "posibil" , "aproximativ" , "ob­ scur" , "incert" , "echivoc" , "nedeterminat" , "implicit" , "enigmatic" , "misterios" , "inefabil" , "haotic", "intâm­ pIător", "incoerent" etc . , dar tot aici intră şi atribute ca "simbolic" , "metaforic" şi "paradoxal" , deoarece in mecanismul lor de funcţionare intervine o anumită nedeterminare . Un numitor comun al diferitelor tipuri de imprecizie ar fi faptul că toate sunt, intr-un mod sau altul, fenomene de o complexitate prea inaltă pentru a o putea stăpâni în intregime. Ce legătură are imprecizia cu metaliteratura? Ca şi literatura, metaliteratura este confruntată cu o problemă de comunicare. Wittgenstein credea că numai structura poate fi comunicată, nu şi conţinu­ tul (a se vedea manifestul Cercului din Viena) . În comunicare, imprecizia intră in componenta de

268

zgomot, deci ea sabotează comunicarea. Pe de ale parte, imprecizia e considerată o condiţie de POSibi litate a literaturii. Iată câteva opinii in aceast ă pri­ vinţă. Mallarme: "A numi direct un lucru ins earnn' a răpi trei sferturi din plăcerea unui poem, care e făcută din ghicire treptată; să-I sugere zi acesta este visul!" Simone de Beauvoir {in se întreabă de ce este poetică o fantomă; răSPu n sUl se află in nedeterminarea locului ei in spaţiu. J ean Cohen (in Le haut langage, Flammarion, Paris 1 97 9 , p . 254) extinde această explicaţie la to at fiinţele supranaturale , cum ar fi spectrul, zâna demonul ş . a.m.d. Stările tranzitorii, ca şi zorile, sunt mai poetice decât cele st abile. Montaigne, in capitolul 1 1 din a treia carte a Eseuri. lor, declară că iubeşte cuvintele care înmoaie ş i mo­ derează temeritatea propoziţiilor şi indică drept mijloc de realizare a acestui deziderat folosirea uno r cuvinte ca "â l'aventure" , "quelque" , "on dit" , pense" Când nu e un factor favorizant, impre cizia poate fi inevitabilă, chiar dacă neplăcută. Î n prefata la Enciclopedia franceză D'Alembert ob servă că, măsură ce ne apropiem de aspectele sensibile ale lumii , ob scuritatea se instaurează tot mai ferm ; şi ce poate fi mai sensibil decât universul uman, fără de care literatura este de neconceput?

�

PIăcer: L'Invitei

� amurgui

,j e

,

pe

IMPRECIZIA ÎN ANSAMBLUL CUNOAŞTERII Dar aşa cum nu putem inţelege imprecizia în metaliteratură fără a o inţelege în prealabil in litera­ tură, nu o putem inţelege nici pe aceasta din urmă fără a o inţelege in prealabil in viaţa de fiecare zi şi in dom eniile neliterare; fără o atare inţelegere gene­ rală a fenomenelor de imprecizie , riscăm să alu­ necăm în ideea simpli stă, dar frecventă, conform căreia ficţiunea, ambiguitatea şi inefabilul ar fi atri­ butele definitorii ale literarităţii. Care sunt sursele şi manifestările fizice , biologice , logice, combina­ toriale, psihologice, lingvistice , sociale şi filozofice ale diferitelor tipuri de imprecizie? Cum distingem imprecizia benignă de cea malignă? Pe cea inevit abi­ lă de cea pe care o putem ocoli? Pe cea nece sară de cea întâmplătoare? Pe cea controlabilă de cea care ne scapă de sub control? Cum articulăm diferitele tipuri de imprecizie, ţinând seama de faptul că de cele mai multe ori avem de-a face concomitent cu mai multe tipuri de imprecizie? O inţelepciune atri­ buită lui Socrate afirmă existenţa unei tensi uni intre realitate şi rigoare , preţul obţinerii rigorii fiind inlocuirea lumii reale cu una de ficţiune. Einst ein ob servă o tensiune similară intre exactitate şi ad ec­ varea la realitate . Un proverb francez ca "Presque et quasiment empechent de mentir" pune în evidenţă tensiunea dintre exactitate şi adevăr. Impre cizia este prezentă şi atotputernică peste tot. De fapt, asistăm la o punere in chestiune a multor opoziţii altă dată casante. Adevărul şi fal sul sunt provocate de indecidabil, oximoroanele de ieri,

rmi?-ist sau cristalele lichide, devin �'j� haosulteadete de azI (haosul nu putea fi decât proba­ r' ! �rmalita " bili5t, i� crist�el� n� puteau � �ec.ât . solid.e)� iar

ea de len, dm matematica ŞI dm fizIca, de ,,'ertitudm dovedit a fi fost o himeră. Frontiera xemplu, s-a intre inert şi viu răI?âne încă o provocare căreia a ;iju-i putem face �aţă. In genera: , are loc o p �nere în una dmtre cele maI specta­ �hestiune a frontierelor, subiect şi obiect. Putem dintre aceea ind fi e tuloas de naivi încât să credem că toate acestea tât a fi e ar b tiu afectează literatura şi metaliteratura?

'�

IM PRECIZIA ÎN METALITERATURĂ A venit momentul să ne întrebăm ce se întâm­ cu plă imprecizia atunci când trecem de la literatu­ ră la metaliteratură? Aşa cum am văzut, literatura se afl ă în situaţia dublei legături ( the double bind) analizate în psihoterapie (Şcoala de la Palo Alto,

california) - să facă în acelaşi timp două lucruri care se bat cap în cap : pe de o parte , ca literatură, ea se hrăneşte din imprecizie (dar nu orice impreci­ iie este hrană pentru literatură) , pe de altă parte, ca act de comunicare, o consideră zgomot şi caută s-o

micşoreze. Metaliteratura se vede obligată să preia acest statut schizofrenie al literaturii, deoarece ea trebu ie să favorizeze ambele tendinţe la care ne-am referit. Dar ea mai poate face două lucruri foarte importante: să aj ute la reducerea impreciziei para­ zite , deci care nu îndeplineşte o funcţie literară (de eliminarea ei completă nu poate fi vorba, deoarece, într-o bună măsură, ea este inerentă naturii uma­

ne) ; să pună în relaţie fenomenele de imprecizie care nu pot sau nu trebuie să fie înlăturate. În această privinţă, interacţiunea cu domeniile din afara litera­

turii, oricât de depărtate ar putea ele să pară, este esenţială.

Imprecizia parazită e ste o buruian ă frecventă,

care uneori se deghizează în complexitate, în mister

sau chiar în inefabil . Această buruiană găseşte te­ ren prielnic atât în literatură, cât şi în metalite­ ratură, în critică, dar şi in analiza şi teoria literară,

ea măreşte artificial lungimea multor cărţi de litera­

tură, a multor articole şi studii literare. Metalitera­

orice lectură un act prin care cititorul se citeşte pe sine, iar Roland Barthes se referă la circularitatea temporală a recitirii. Matei Călinescu argumentează o serie de atribute de imprecizie ale recitirii: deschi­ derea, indeterminare a, pluralitatea ireductibilă A

citi. A reciti, Editura Polirom, 2005, p. 126). Cititorul textual al lui Matei Călinescu poate încetini lectura prin ob scurităţi şi ambiguităţi premeditate (p. 99 ) . Wolfgang I ser

The Act of Reading; A Theory of Aesthetic Response,The John Hopkins Univ. Pre ss, Baltimore , 1 978, p. 1 1 2) discută lectura în termeni de "incomplet" şi "hoinar" , cu referire la ezitarea permanentă între amintire şi aşteptare. În altă parte (The implied reader, The John Hopkins Univ. Press, Baltimore , 1 974) , implicitul este atributul principal al cititorului . Dar cea mai importantă idee care apa­ re la Is er este aceea conform căreia actul lecturii

conduce la un text potenţial infinit, mai bogat decât

oricare dintre realizările sale individuale. Această trecere de la finitudinea textului iniţial la infinitatea sa potenţială, ca rezultat al lecturii, mi se pare cea mai puternieă sursă de imprecizie pe care o furni­

zează lectura, o ambiguitate esenţială din punct de vedere estetic , întrevăzută încă de Eco in Opera

aperta.

În studiul m eu din

Stanca Fotino

1973 ,

in colaborare cu

(" Gramatica basmului" ,

Revista de etnografie şi folclor 1 8 , 1 973, no. 4-5; reluat şi ex­ tins in cartea Semiotique formelle du folklore, pe care am coordo nat-o la Ed . Klincksieck, Paris, 1 978) , am dezvoltat ideea lecturii generative, care transformă un text finit într-unul potenţial infinit, cu aj utorul

unei gramatici de tip Chom sky .

Să observăm că

această infinitate potenţială, sursă genuină de liber­

tate, deschidere şi ne determinare , apare încă în semiotica lui Charles S. Peirce , unde fiecare semn

declanşează o semioză infinită şi are în spatele său

o semioză infinită. La fel , in filozofia lui Jacques Derrida avem o regresie infinită de legături contras­

tive de la semnificant la semnificant

differance,

Editions du Seuil, Paris,

(L 'ecriture et la 1 9 67) .

DE CE OARE ESTE ANALIZA LITERARĂ IGNORATĂ DE CRITICA LITERARĂ?

turii îi revine şi menirea de a opera, atunci când e cazul, distincţia dintre imprecizia ca formă de com­

tura românească. Am pus această întrebare la o

Mallarme sau Rimbaud, iată o activitate pentru care metaliteratura s-a arătat eficientă.

literatura ca pretext pentru a studia probleme de interes lin gvi stic, folclori stic , antropologic , filozofic

plexitate şi ininteligibilul deghizat în complexitate . A analiza ermetismul poeziei lui Ion Barbu, al lui

LECTU RA CA SURSĂ DE IMPRECIZIE

Întrebarea se referă la situaţia existentă în cul­

întâlnire de scriitori şi critici şi am primit următorul răspuns: deoarece autorii acestor analize folosesc

etc. , in timp ce pentru critici important este aspec­

tul estetic, deci valoarea artistică. Altcineva mi- a răspuns că analiza literară a fost compromisă de

şcoală, deci de didactica literaturii. De sigur, in orice domeniu există şi produse de calitate inferioară,

Orice formă de metaliteratură provine dintr-o le ctură şi dintr-o interpretare, dar tocmai aceste

analiza literară se supune şi ea acestui adevăr gene­

precizie. În

nă, de exemplu, fără a lua in con siderare analizele

etape ale activităţii metaliterare sunt surse de im­

TImpul regăsit,

Marcel Proust vede în

ral. Dar cum am putea evalua azi opera eminescia­

269

propuse de Gh. Tohăneanu sau de Mihai Dinu? Cine ar putea nega faptul că analize de acest fel participă în mod esenţial la o mai profundă înţele­ gere a creaţiei emine sciene şi deci la o reevaluare a ei din punctul de vedere al stadiului actual al cultu­ rii? Faptul că aceste analize au şi o altă relevanţă decât cea literară (de exemplu, lingvistică) nu este în dauna valorii lor literare. Şi totuşi persistă o asi­

metrie: dacă autorii de analize literare fac uneori referire (chiar dacă insuficientă) la punctul de vede­ re al criticilor literari,. foarte rar, dacă nu deloc, am văzut articole de critică literară şi lucrări de istorie literară care să se prevaleze în mod efectiv de con­

tribuţia autorilor de analize literare . În acest fel, ,judecata estetică" a criticului nu mai este făcută în deplină cunoştinţă de cauză. Braque observa că artisticul este exact ceea ce nu poate

fi explicat. În

aceste condiţii, asaltul inefabilului artistic are loc

indirect, prin referire la tot ceea ce este explicabil.

La acest proces participă toţi cei care se ocupă de

literatură, deci toate domeniile metaliteraturii (şi nu numai ele) . Critica de întâmpinare este , cronologic,

prima care se pronunţă; dar toate reevaluările ulte­

rioare, dacă sunt on este, nu pot ignora rezultatele

ansamblului

disciplinelor literare

şi metaliterare.

Cei care nu ţin seamă de acest fapt, limitându-se numai la o parte a metaliteraturii, îşi sărăcesc inevi­

tabil demersul.

270

MET ABOLISMUL TEORIEI LITERARE ESTE MAI SLAB ÎN INTERIORUL METALITERATURII DECÂT ÎN AFARA EI Să recapitulăm. Sub semnul metabolismului tot mai accentuat al di sciplinelor de tot felul, în cadrul general al globalizării cunoaşterii, metabolismul teo­

riei şi analizei literare cu celelalte discipline me tali­ terare, cu ansamblul disciplinelor umaniste şi cu tot ceea ce se află dincolo de acestea a crescut semnifi­

cativ şi nu-i putem anticipa evoluţia în condiţiile complexităţii crescânde a unor distincţii ca literar / neliterar sau umanist-neumanist. Paradoxul pe ca­

re-l constatăm, cel puţin în cadrul culturii româneşti, este faptul că metabolismul teoriei literare este, con­

trar aşteptărilor, mai slab în interiorul metaliteraturii

decât în afara ei. Avem în vedere în mod special in­ teracţiunea foarte slabă a teoriei literare cu critica literară şi cu istoria literară. Complexitatea căreia nu-i putem face faţă ia

forma diferitelor tipuri de imprecizie, care ne asaltea­

ză din toate direcţiile şi pe care trebuie să încercăm

să le înţelegem în tipologia lor şi să le controlăm, să distingem imprecizia inevitabilă de aceea pe care o

putem manipula, imprecizia utilă de cea parazită, imprecizia care îndeplineşte o funcţie literar-artis­

tică de cea nesemnificativă etc. Altfel, riscăm să fim

copleşiţi de arbitrar şi chiar de anarhie.

APROXIMATIA ,

DACĂ NU PLOUĂ ... "Dacă nu plouă, ne întâlnim mâine, în jurul orei 1 7 ,00, în colţ lângă Universitate! " Iată o frază dintre cele mai comune, desprinsă dintr-un dialog ca atâtea altele, care se pot auzi la tot pasul. Aceştia sunt termenii în care oamenii comunică şi, de cele mai multe ori, se înţeleg; de cele mai multe ori , dar nu totdeauna. Chiar în cazul de mai sus se putea produce o încurcătură, şi aceasta din multiple mo­ tive. Să le examinăm . Mai întâi suntem confruntaţi cu probabilitatea ploii. Dar ploaia poate avea diferite intensităţi, de la câteva picături până la ploaia torenţială. În cazul unei ploi slabe, se poate întâmpla ca numai unul dintre cei care şi-au dat întâlnire să se prezinte la locul şi ora stabilită. Neînţelegerea provine din ca­ racterul gradual al ploii şi din faptul că o ploaie foarte slabă poate fi percepută ca absenţă a ploii. O situaţie oarecum asemănătoare se produce în legătură cu expresia lângă Universitate. Până la ce distanţă de un anumit loc ne aflăm lângă acel loc? Nimeni nu poate da un răspuns precis. Dacă, de exemplu, unul a interpretat pe lângă drept o distan­ ţă de 1 sau 2 metri, iar celălalt i-a dat o interpretare mai largă, de 1 0 - 1 2 metri, şi dacă, în plus, zona respectivă era, în acel moment, foarte aglomerată, întâlnire a lor putea fi ratată. Dar cu aceasta nu am epuizat sursele posibile de încurcătură, de neînţelegere. Ce înseamnă în jurul orei 1 7, OO? Unul poate înţelege prin aceasta perioada de 10 de minute care începe cu 5 minute inaintea orei 1 7 ,00; celălalt poate lua această apro­ ximaţie într-un sens mai larg şi , so sind la un sfert de oră după ora fixată, să constate că nu-l aşteaptă nimeni. Aproximaţia comportă o eroare, iar eroarea poate avea diferite ordini de mărime. Dar poate că principala sursă de încurcătură o con stituie expresia în colţ. O clădire cum este aceea a Universităţii din Bucureşti, în care se află facultă­ ţile de matematică, filologie, geologie-geografie şi istorie, are patru colţuri. Ambiguitatea care apare prin neprecizarea colţului despre care este vorba �evine foarte periculoasă, deoarece colţurile respec­ tive se află la distanţe apreciabile şi, în plus, circu­ laţia pietonilor este acolo intensă.

FEŢELE IMPRECIZIEI Să recapitulăm. O frază dintre cele mai banale, un act de comunicare dintre cele mai simple s-au dovedit a fi subminate de cel puţin patru surse de imprecizie: probabilitatea, gradualitatea, aproximaţia şi ambiguitatea. Sunt oare acestea singurele posibi­ le? Nu este greu să constatăm existenţa multor altor tipuri de imprecizie: generalitatea, variabilitatea, paradoxul, in coerenţa, globalitatea, complexitatea, haosul, inefabilul, misterul, ignoranţa, iar dacă trecem la situaţii mai speciale care apar în logică şi , în general, în ştiinţă, trebuie să ne referim la diferi­ tele dificultăţi generate de necesitatea trecerii la logici neclasice, în care principiile de identitate, de necontradicţie saul şi al terţului exclus sunt încăl­ cate într-un fel sau altul. Ajungem astfel la propo­ ziţii independente (de tipul axiomei alegerii sau ipotezei continuului) , la probleme indecidabile (deci la care răspunsul nu poate fi dat pe baza unui algo­ ritm) , la enunţuri adevărate, dar nedemonstrabile (de felul celor care apar în teorema de incompletitudine a lui G6del) , la "mulţimile urâte" din teoria fractali­ lor (iniţiată de B. Mandelbrot) , mulţimi considerate până nu demult patologice, inutile , dar care intervin în înţelegerea lumii fizice (mişcarea browniană, une­ le fenomene privind particulele elementare etc . ) , la existenţele cu un grad redus de efectivitate , de exemplu de tipul celor neacceptate în logica intuiţi­ onistă, la infinitul potenţial, la mulţimile neglij abile sau excepţionale care nu pot fi concretizate, la ab­ senţa simetriei, a coeziunii etc.

MATEMATICA, O CALE SPRE FINEŢE Iată o lume întreagă de fenomene care generea­ ză o stare de ezitare, o atitudine circumspectă. Ne aflăm în imperiul nuanţei pe care cunoaşterea umană, ştiinţifică sau artistică, filozofică sau prac­ tică, se străduieşte s-o surprindă în aspectele ei cele mai fine . Sunt câteva sute de ani de când Blaise Pascal teoretiza distincţia dintre spiritul geometric şi spiri­ tul de fineţe . Mulţi au văzut în această dihotomie 27 1

p ascaliană procl amare a unei opoziţii ireconciliabile între două moduri de înţelegere a lumii şi de abor­ dare a problemelor. Nu s-a obse rvat în să că tocmai Pascal, care formula această distinctie îi dădea şi replica necesară, care arăta în ce s�n trebuie ea

presa franceză, şi contexte în care aproximaţia apa­ re într-o lumină defavorabilă: "în acest moment în care domnesc impo stura şi aproximaţia . . . " ; "să pri­ vim realitatea şi să nu ne mulţumim cu aproxima­

părinţii şi - pionierii studiului matematic al hazardu­ lui, deci al uneia dintre principalele forme de mani­ festare a fineţii. Mesaj ul lui Pa scal devenea astfel

p . 67) , D om Quentin consideră că " . . . trebuie elabo­ rat un instrument de precizie: acesta va fi util in măsura în care este exact, dar va fi primej dios în măsura în care este fal s. Critica are un duşman

interpretată.

�

Într-adevăr, Pascal este unul dintre

clar: folosiţi-vă de gândirea matematică pentru a inţelege mai bine spiritul de fineţel În cele câteva sute de ani care s-au scurs de la moartea lui Blaise Pascal, tipurile de fineţe pe care oamenii le- au putut conştientiza şi explicita au de­ venit tot mai numero ase , iar sursele lor tot mai complicate. Imprecizia este prezentă peste tot, con­

vieţuind permanent cu opusul ei. Cum s-o stăpâ­ nim? Cum să realizăm întreaga tipologie a acestei diversităţi? Care sunt modelele matematice ale dife­ ritelor tipuri de imprecizie? Cum se articulează ele?

Iată întrebări care , dincolo de interesul lor general, filozofic, devin astăzi presante in discipline ca teoria sistemelor, in studiul unor sisteme particulare, din

domeniul fizic, biologic, uman sau social, şi, mai ale s, in discipline recent promovate în cercetările de

inteligenţă artificială, cum ar fi reprezentarea şi dobândirea cunoştinţelor. Iată un întreg arsenal de chestiuni de care vom înc e rca să ne apropiem.

Una dintre cele mai răspândite forme de impre­

cizie este aproximaţia. D eopotrivă elogiată şi con­

damnată, aproximaţia este inevitabilă. Un vechi proverb francez spune: "Presque et quasiment empechent de mentir" . ("Aproape şi ca şi cum te

1 1 din

Eseurilor, dedară că iubeşte cuvin­

tele care înmoaie şi moderează temeritatea propozi­

ţiilor sale şi exemplifică prin ei l'aventure, quelque (vreun) , an dit (se spune) , je pense (cred) . Pentru ei

l 'aventure, foarte frecvent la Montaigne, unii comen­ tatori ai săi au propus drept echivalent pe peut-etre (poate) , acesta din urmă însă apare rar în Eseuri. În ale sale Pensees, Blaise Pascal consideră că "drepta­ tea şi adevărul sunt două ţinte atât de subtile, încât instrumentele noastre sunt prea tocite pentru a le repera cu exactitate". Parcă pentru a-l continua,

Jacques Lacan declara, într-o emisiune din 1974 la televiziunea franceză: " Spun totdeauna adevărul ; nu tot adevărul, deoarece nu ajungem niciodată să-I spunem în întregime . . . ne lipsesc cuvintele. Dar tocmai datorită acestei impo sibilităţi adevărul apar­ ţine realului". Am desprins aceste câteva ob servaţii dintr-o carte pe care G.

Th. Guilbaud o consacră (Leyons d'ei-peu-pres, Christian Bourgois editeur, Paris, 1 985) . Acelaşi autor reproduce, din

aproximaţiei

272

APROXIMAŢIA, ÎN LIMBAJUL COTIDIAN Este interesant de observat că această dublă faţă a aproximaţiei apare chiar în definiţia ei de dicţionar. În Dicţionarul explicativ al limbii române

(Editura Academiei Române , Bucureşti, 1975), apro ­ ximaţia este descrisă ca o "evaluare aproximativă a unei mărimi, a unei situaţii" , dar calificativul apro­

ximativ este explicat atât prin "care este aproape de o mărime dată, aproape adevărat" , cât şi prin sen­ sul ironic

"vag, imprecis" (cu exemplificare a are cunoştinţe ap roximative), în timp ce adverbul apro­ ximativ este echivalent cu injur de. . . , cam, aproape, vreo, circa. Un exemplu interesant de referire la cele

două accepţiuni opuse ale aproximaţiei este furnizat de Jean Dieudonne, în prefaţa cărţii sale Calcul

infinitesimal

ŞI CONDAMNARE

cartea a treia a

teribil : aproximaţia . . . "

(Hermann, Paris,

1 968) . La pagina 9,

autorul observă: " . . . cine spune calcul numeric spu­

APROXIMAŢIA, ÎNTRE ELOGIU

împiedică să minţi") . Montaigne, in capitolul

ţii . . . " ; "erori, minciuni şi aproximaţii", iar in ale sale Essais de critique textuelle (Picard, Paris , 19 26,

ne aproximaţie, un număr real neputând fi cunos­ cut decât atunci când s-a dat un procedeu de calcul cu o aproximaţie pe care matematicianul o doreşte

arbitrar de mică , în timp ce utilizatorul se mulţu­

meşte cu mult mai puţin . . . " , dar numai o pagină după aceasta (p. 1 0) , Dieudonne îi denunţă cu vi­

goare pe profesorii care "permit (sau chiar încura­ j ează) vagul, pe merge şi-aşa şi pe aproape". Exemple de tipul celor anterioare găsim în toate limbile şi in toate culturile . Să luăm la întâmplare

un articol de ziar, de exemplu "Acţiuni eficiente pentru reducerea consumurilor energetice" nia liberă, nr. 13729, din 27 dec. 1 988, p. care

extragem

expresii

ca

"numeroase

(Româ­ 3), din

unităţi",

" . . . dificultăţile sunt - acolo unde apar - într-o bună măsură invers proporţionale cu acţiunile, iniţiative­

le . . . " , "câteva noutăţi economice", "cu mult înainte

de termen", "circa 30 milioane lei" , "o depăşire me­

die de circa 7 la sută" , "considerabile beneficii", "circa 3 0 0MWh", "circa 2 ,5 milioane mc" , "circa 80 la sută" , "o mare eficienţă", "limita superioară a optimului", "circa 1 0 milioane kWh", "numeroase

măsuri", "efectul lor deplin este in mare măsură anihilat de oscilaţiile presiunii. . . ", "a raţionaliza cât mai eficient consumurile" etc.

D ar e ste posibilă absenţa aproximaţiei ş i pe

APROXIMATIA, ÎN TEXTE STIINTIFICE ,

"

ŞI DE CRITICĂ LITERARĂ Poate că unii îşi închipuie că frecvenţa aproxi­ maţi ilor este prezentă numai în limbaj ul cotidian

mai puţin supravegheat. Iată câteva exemple din primele pagini ale unui tratat universitar de Antene (Editura Didactică şi Pedagogică, Bucure şti , 1 9 82) : "extrem de numeroase" , "nume­ şi

propagare

ro as e tipuri de antene" , "unele rudimentare" , "unele tipuri de antene" , "antena se reduce adeseori la o bucată de conductor . . . ", "se constată cu uşurintă" � "variet ate foarte mare" , "radiază aproximativ u"ni form în toate direcţiile" , "impedanţa de intrare ră­ m âne practic constantă" , "în domeniul undelor foarte scurte", "foarte multe reflectoare parabolice" . Observăm marea varietate lingvistică a evaluărilor

aproximative şi inte rferenţa lor cu alte tipuri de imprecizie, în primul rând cu imprecizia de natură graduală

(fuzziness, în terminologia lui Zadeh) . Da­

că trecem la textele beletristice , de critică literară ne aflăm, aşa cum este şi de aşteptat, în imperiu

i

aproximaţiei : "rarele inflexiuni . . . ", " . . . teribilă derută

a unei întregi mase de cititori . . . ", " . . . mai mult sau ,,0 câtime din obser­

mai puţin neaderenţi la frumos" ,

vaţiile sale . . . ", "numeroase alte tipuri mai ambigue" , "participarea

cititorului

(de

regulă

a

criticului) " ,

"aproape întreaga poezie tânără" , iată numai câteva exemple extrase din cuprinsul a numai două pagini (273 şi 274) ale cunoscutei cărţi

(Editura

Cartea

Românească,

Critici români de azi Bucureşti ,

1 98 1 ) .

Uneori, precauţia la care se refereau Montaigne şi Pascal şi pe care o explicitează atât de bine prover­

bul francez cu care am deschis discutia de fată este luată chiar din titlu: "Aproximaţii d espre p�ostie"

este titlul unui eseu care abordează o problematică

foarte delicată (Desenul din co vor, Editura Cartea Rom ânească, Bucureşti, 1 9 8 7 ) .

parcursul unui text mai puţin simplu? Este această absenţă ap anaj ul exclusiv al unor texte de mate­ matică? Iată întrebări inevitabile .

APROXIMATIA, ÎNTRE RIGOARE SI ETAPE ,

,

"Mie să nu-mi umbli cu aproximaţii : vreau un răspuns exact! " Iată numai unul dintre contextele fre cvente în care aproximaţia apare ca un fenomen

indezirabil . "Sigur, medicina a făcut paşi uriaşi îna­ inte , pe calea cuno aşterii, stabilind multe certitu­

dini, acolo unde mai domnea aproximativul" , se spune in preliminariile unei discuţii cu profesorul Vlad Voiculescu pe tema cercetărilor actuale relative la creier, în

Magazin, ianuarie 1 9 8 9 . Opusă când

exactităţii, când certitudinii, când altor calităti către

ţ

care năzuieşte gândirea ştiinţifică, aproxima ia este de multe ori condamnată, dar rareori poate fi evitată .

Unii cred că matematica este ştiinţa prin excelentă

a exactităţii; au dreptate, dar tot atâta dreptate

�u

cei care susţin că matematica este o ştiinţă a apro­ ximaţiei. Cum pot fi conciliate aceste două puncte

de vedere aparent incompatibile? Răspunsul este foarte simplu: matematica este o ştiinţă a aproxima­

ţiilor exacte (în contrast cu atât de frecventele exac­ tităţi. . . aproximative ) . Aceasta înseamnă că se urmăreşte şi de multe ori se reuşeşte - să se evalu­

eze calitatea proce sului de aproximare . Includem aici valoarea ordinului de mărire a erorii, timpul

necesar pentru obţinerea aproximaţiei respective şi

mijloacele implicate în procesul de aproximare (de

exemplu, un calculator electronic cu parametrii săi specifici) . Pentru a da

o

idee despre semnificaţia culturală

şi orizontul ştiinţific al proceselor de aproximare , ne vom referi la faptul, dej a semnalat, că cele mai multe numere reale nu pot fi cunoscute efectiv decât aproximativ, deoarece sunt iraţionale. Putem ameli­

ABSENŢA APROXIMAŢIEI, O RARITATE

�

Varietatea exemplelor prezentate pune în evi­ �nţă însă şi eterogenitatea structurală a aproxima­

ţl1lor, motivaţiilor şi finalităţii foarte diferite care se află la baza lor. Despre aceasta urmează să discu­

tăm. De la aproximaţia inevitabilă la aceea adusă deliberat în prim-plan există un şir de nuante care le diferenţiază. Deocamdată să observăm că' există texte din care aproximaţia este absentă: "Vom spu­ ne că această operaţie este comutativă dac ă ea este sime trică in raport cu perechea de elemente căreia i se aplică, adică dacă avem

a

b

=

b

a oricare ar fi

�er� chea (a, b) din M. "Vom numi aplicaţie a mul­ . ţI.mn pe ea însăşi orice lege de corespondenţă potri­ Vlt căreia unui element din această mulţime îi core spun de un element şi unul singur din aceeaşi mulţime . " Sunt fragmente dintr-un tratat de analiză mat ematică, publicat la Editura Tehnică, în 1 9 5 7 .

ora această aproximaţie, dar nu o putem transfor­

ma în exactitate , deoarece procesul de aproximare

comportă o infinitate de etape. Însă orice problemă se mulţumeşte cu un anumit grad de aproximare , deci practic faptul că nu avem acces la exactitate

nu are

aici consecinţe

grave .

Vom

prezenta,

ca

exemplificare , în cele ce urmează, istoria cercetări­

lor privind aproximarea celebrului număr 1(. După cum vom vede a, aceste cercetări au o semnificatie maj oră din mai multe puncte de vedere, unele foarte depărtate de semnificaţia iniţială a numărului carte apărută în urmă cu aproximativ

Povestea numârului

1(,

40

1(.

O

de ani

r

de Florica T. Câmpan , relata

istoria mai veche a acestui număr. Însă întâmplările cele mai p asionante relative la

1(

aparţin istoriei mai

recente, a ultimelor decenii. Merită, de aceea, să ne oprim asupra ei.

273

PORNIND DE LA ARHIMEDE Încă din antichitate se cunoaşte teorema după care raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul său este acelaşi la orice cerc. În tratatul său Măsura cercului, Arhimede arată că acest raport este egal cu cel dintre aria cercului şi p ătratul razei sale. În acest scop, Arhimede aproximează cercul (propus a avea diametrul egal cu unitatea) cu poligoane regu­ late cu un număr din ce în ce mai mare de laturi, obţinând astfel aproximări din ce în ce mai bune, prin lipsă (cu poligoane înscrise) şi prin adaos (cu poligoane circumscrise) , ale lungimii 7r a cercului (egală cu a .raportului menţionat) . Cu ajutorul hexa­ gonului , el stabileşte că 7r este superior lui 3, dar inferior produsului dintre 2 şi radical din 3 . Mai important este faptul că Arhimede reuşise să evalu­ eze modul în care se îmbunătăţeşte aproximarea atunci când numărul laturilor poligoanelor înscrise şi circumscrise se dublează. Desigur, astăzi orice elev învaţă să facă aceste evaluări cu ajutorul func­ ţiilor trigonometrice; însă pe vremea lui Arhimede aceste funcţii nu aveau încă un statut suficient de clar, astfel încât se utilizau con strucţii geometrice destul de greoaie. Pornind de la hexagoane şi du­ blând de patru ori consecutiv numărul laturilor, se obţine o aproximare a lungimii cercului cu ajuto­ rul unor poligoane regulate de câte 96 de laturi, situându-l astfel pe 7r între 3 şi 1 0 / 7 1 şi 3 şi 1 / 7, ceea ce conduce la reprezentarea lui 7r cu două ze­ cimale exacte, pe care o învaţă mai orice elev de gimnaziu: 3 , 1 4 . Tot lui Arhimede i se atribuie şi găsirea următoarelor două zecimale: 1 6 . o SUTĂ DE MILIOANE DE ZECIMALE ALE LUI

1r

Metoda lui Arhimede prezenta două dezavanta­ j e : cerea efectuarea unor extrageri de rădăcină (care să suplinească insuficien ta cunoaştere a funcţiilor trigonometrice) foarte laborioase şi implica un pro­ ces de convergenţă (a lungimii poligoanelor către lungimea cercului) foarte lent. Desigur, această viziune critică asupra metod ei sale a devenit posibi­ lă mult mai târziu, aproape de zilele noastre . Timp de 2000 de ani (şi aici , evident, lucrăm tot cu o apro­ ximaţie) , până spre mijlocul secolului al XVII-lea, metoda lui Arhimede nu a putut fi depăşită, iar manualele şcolare continuă şi azi să-I prezinte pe Tr în varianta Arhimede . Ce s-a întâmplat în ultimii 350 de ani? Mai întâi trebuie să spunem că notarea cu litera grecească Tr a raportului dintre lungimea cercului şi diametrul său a fost introdusă abia în anul 1 70 6 , fiind apoi preluată şi făcută celebră de către marele matematician elveţian Leonhard Euler. Faptul că acest număr este iraţional a fost stabilit abia în secolul al XVIII-lea, iar transcendenţa sa a fost descoperită abia în secolul al XIX- lea. Cu mult 274

timp

în urmă s-a aj uns la cunoaşterea a pes te o sută de milioane de zecimale exacte ale lui Tr. Luc rul acesta s-a întâmplat în 1987, când lumea m ate ­ matică marca centenarul naşterii lui Sriniv a sa Ramanujan, un matematician indian de geniu , c are a avut o contribuţie decisivă în ameliorarea ap ro xi ­ maţiei lui 7r. Dar de ce oare este nevoie să se det er­ mine atât de multe zecimale, când - după cum se ştie azi - 39 de zecimale ale lui 7r sunt suficie n te pentru evaluarea, cu o eroare inferioară razei unui atom de hidrogen, a circumferinţei unui cerc atât de mare cam cât cuprinde întregul univers cunos cut? Este greu de imaginat o situaţie mai pretenţioasă, o exigenţă mai mare care ar putea veni din partea fizicii. Faptul are mai multe explicaţii, pe care le vom dezvolta în etapa următoare.

SECRETUL CELEBRITĂŢII NUMĂRULUI

1r

Cum se explică uriaşul interes acordat de oa­ menii de ştiinţă numărului Tr? Există cel puţin patru răspunsuri la această întrebare . Mai întâi, numărul 7r este una dintre cele mai importante constante universale, deoarece el caracterizează cercurile şi sferele, atât de răspândite în natură şi în cultură, în al doilea rând , aproximarea lui 7r, despre care, aşa cum am arătat, se ştie că este un număr iraţional transcendent, a devenit un termen de referinţă, un test pentru capacitatea programelor de calculator şi a calculatoarelor ca atare; în al treilea rând, struc­ tura numărului 7r constituie o provocare pentru teoria numerelor, neştiindu- se încă dacă acest nu­ măr este aleator (aici, în sensul că fiecare cifră de la zero la 9 are ac eeaşi frecvenţă de apariţie în dezvol­ tarea sa zecimală) . În al patrulea rând, numărul J[ intervine în numeroase situaţii care n-au nici o le­ gătură cu cercurile sau sferele ; astfel, probabilitatea ca un număr întreg ales la întâmplare să nu aibă nici un divizor prim repetat este egală cu raportul dintre 6 şi pătratul lui 7r (numărul 9 are ca divizor prim repetat pe 3 , deci nu intră la socoteală; nici 4 nu intră la soc oteală, deoarece este pătratul lui 2; nici 1 2 , deoarece admite pe 2 ca divizor repetat; in schimb , numere ca 1 0 , 13 sau 15 intră la socoteală, deoarece nu admit divizori primi repetaţi) .

FORMULA LUI MACHIN Din sec olul al XVII -lea datează dezvoltarea în serie a lui Tr/ 4, sub forma seriei alternante a in­ verse lor numerelor impare . Această dezvoltare este reprodusă în toate cărţile de analiză matematică, dar din punct de vedere practic rămâne inutilizabi­ lă. S-a apreciat că dacă s-ar folosi această expresie a lui 7r, nici o sută de ani de calcul pe un supercal­ culator n-ar ajunge pentru evaluarea a 1 00 de ze­ cimale ale lui Tr. Un progres substanţial s-a realizat

la înce putul secolului al XVIII-lea, când John Machin a descoperit reprezentarea lui 1[/ 4 sub for­ ma 4 arc tg ( 1 / 5) - arc tg ( 1 / 239) , unde arc tg x se ex.primă ca sumă a seriei formate cu puterile de ex.pone nt impar ale lui x divizate cu valoarea expo­ ne n tului, semnul termenilor alternând . Această serie are proprietatea de a converge cu atât mai repede către arc tg x cu cât x este mai aproape de zero. Până la începutul deceniului al optulea al se­ colului trecut, formula lui Machin s-a aflat la baza tuturor evaluărilor aproximative ale lui 1[. Machin a reuşit să calculeze, în 1 706, o sută de zecimale ale lui 1[. În 1 844 , Johann Dase a calculat în câteva luni 205 cifre ale lui 1[, folosindu- se de formula lui Ma chin . Dase poate fi considerat un precursor al calculatoarelor de mai târziu , deoarece putea în­ mulţi pe cap numere de câte o sută de cifre. A ur­ mat, în 1 853 , evaluarea de către W. Shanke a 607 zecimale ale lui 1[, dar cifrele începând cu locul de rang 527 s-au dovedit a fi greşite atunci când, 9 2 de ani mai târziu, D . F. Ferguson a recurs la un calcu­ lator mecanic. in 1 949 a început o eră nouă în eva­ luarea lui 1[. John von Neumann şi colegii săi au evaluat , cu calculatorul ENIAC, 2 037 de zecimale în 70 de ore. În 1 9 5 7 , G.E. Felton a evaluat 7 480 de zecimale. Un an mai târziu, F. Genuys aj unge la zece mii de zecimale , folosindu- se de un calculator IBM 704 . În 1 9 6 1 , D. Shanks şi J.W. Wrench Jr. calculează, în mai puţin de 9 ore , o sută de mii de zecimale ale lui Tr, pe un calculator IBM 7 09 0 . O zi de calcule, pe un calculator CDC 7600, le-a permis lui J. Guilloud şi M. Bonyer să evalueze , în 1 973, un milion de zecimale. Toate evaluările menţionate până aici s-au prevalat de formula lui Machin. DE LA VITEZA CALCULATORULUI LA INTELIGENŢA ALGORITMULUI Programul de calculator al lui Guilloud şi Bonyer a marcat punctul final al eforturilor bazate în primul rând pe viteza crescândă a calculatoare­ lor. Explicaţia? În ciuda superiorităţii sale faţă de toate procedeele anterioare, s-a evaluat că dacă ar apărea calculatoare de o sută de ori mai rapide, programul lui Guilloud şi Bonyer ar avea nevoie de cel puţin un sfert de secol pentru evaluarea a un miliard de zecimale ale lui 1[. Aceasta era situaţia la începutul deceniului al optulea. Devenea clar că numai descoperirea unei metode mai eficiente de multiplicare a numerelor mari la calculator putea ameliora, radical , situaţia. in 1 97 1 , A. Shonhage şi V. Strassen au arătat că, teoretic , multiplicarea a două numere poate avea o complexitate numai cu PUţin superioară adunării. Faptul este remarcabil dacă ţinem seama că înmulţirea uzuală creşte , în Complexitate, ca pătratul lui n, în timp ce adunarea creşte, în complexitate , ca n, multiplicare a fiind deci mult mai mare consumatoare de timp decât aduna-

rea. Dezvoltarea informaticii teoretice arată că multi algoritmi familiari, cum ar fi modul în care copi ii învaţă să înmulţească două numere , sunt departe de a fi optimali. Descoperirea unor noi algoritmi de înmulţire are consecinţe importante şi asupra altor operaţii, bazate pe înmulţire, cum ar fi împărţirea şi extragerea de rădăcină; aceste ' din urmă operaţii îşi reduc astfel complexitatea, timpul de calculator reclamat fiind numai cu puţin superior timpului adunării. Toate aceste fapte au condus la o nouă abordare a determinării zecimalelor lui 1[, numită metoda transformărilor Fourier rapide (TFR) , care reia o veche formulă cunoscută de Gauss. La mijlo­ cul deceniului al VIII -lea, R P. Brent şi E. Salamin observă că această formulă conduce la un algoritm care converge pătratic la Tr, în sensul că la fiecare iterare a sa numărul de zecimale determinate se dublează. Recentele recorduri în aproximarea lui 1[, despre care am �elatat anterior, au fost obţinute tocmai pe baza acestui algoritm, după 1 983 , şi în special în ultimii ani, de Yasumasa Kanada şi cole­ gii săi de la Universitatea din Tokyo. Şi, mai recent, plecând de la o teorie schiţată de K.G.J. Jacobi în 1 829, J.M. Borwein şi P.B. Borwein (al căror iti­ nerar din Ramanujan and Pi, Scientific American, Febr. 1 98 8 , pp. 66- 73, ne-a ghidat în unele conside ­ raţii de faţă) au observat că metoda Gauss- Brent­ Salamin este un caz particular al unei tehnici mult mai generale, care se prevalează de aproximarea integralelor eliptice (numite astfel deoarece servesc la evaluarea perimetrului elipsei) prin proceduri iterative realizate cu aj utorul unor ecuaţii modulare de ordin superior. Prin iterarea de 1 2 ori a unui algoritm de acest tip (capabil să multiplice cu 4, la fiecare etapă, numărul de zecimale determinate) s-au determinat, în 1 986, 29 360 000 de zecimale ale lui 1[ (pe un supercalculator) , iar în 1 987 (printr-o nouă ameliorare a algoritmului) , Kanada şi colegii săi de la Tokyo au determinat (pe un supercal­ culator NEC SX- 2) 1 34 2 1 7 000 zecimale ale lui Tr. În 19 87 se considera că prin dublarea numărului de iterări ale acestui algoritm (fapt realizabil prin mo ­ nopolizarea unui supercalculator pe o perioadă de câteva săptâmâni) s-ar putea determina pe ste două miliarde de zecimale ale lui Tr. Confirmarea nu a întârziat să vină: la 6 decembrie 2002, Kanada a cal­ culat 1 . 24 1 . 1 00 . 00 0 . 000 de zecimale ale lui Tr, prin folosirea a două formule de tip Machin (performanţă semnalată de Boris Gourevitch în Gaz. Math. Soc . Math. Fr, 102, 2004) .

SIMBOLUL CERCULUI În multe tradiţii culturale, simbolul cercului, al circularităţii , ocupă un loc important. 1 se atribuie o origine bizantină, dar este fundamental atât în cul­ turile extrem-orientale, cât şi în cele europene . Simbol al timpului şi al perfecţiunii, al legăturii 275

dintre anthropos şi cosmos, cercul se asociază orga­ nic cu un alt simbol, cel al numărului care a gene­ rat o hermeneutică pe care Platon o aprecia în cel mai înalt grad. În tradiţia chineză, numărul repre­ zintă cheia armoniei dintre univers şi umanitate. Tocmai la întâlnirea acestor două simboluri cultura­ le primordiale, cercul şi numărul, se situează nu­ mărul 7r. Datorită acestei constante universale a circularităţii, orice cerc individual este capabil să reprezinte toate cercurile . Dar numărul 7r, fUnd ira­ ţional (chiar transcendent) , este inaccesibil unei evaluări exacte, într-un număr finit de etape. Ră­ mâne o singură perspectivă: aceea a unei aproxi­ mări din ce în ce mai bune. Am prezentat anterior progresele realizate în această privinţă de-a lungul vremii, şi îndeosebi marile succese recente, în care programele de calculator au j ucat un rol esenţial. Este interesant faptul că ideea aproximării lungimii unui cerc prin linii poligonale înscrise , idee care poate fi urmărită până în antichitatea greacă şi chiar mai departe în trecut, îşi are un corespondent în simbolismul unor vechi culturi. Trecerea de la pă­ trat la cerc , de exemplu în mandala (simbol tradiţio­ nal hindus) , este trecerea de la cristalizarea spaţială la dezvoltarea într-o fiinţă generică, superioară ( nir­ vana) . Dar infinitatea numărului de etape prin care trecem de la pătrat la cerc sugerează o infinitate corespunzătoare a simbolului cultural menţionat: cu alte cuvinte, trecerea rămâne o aspiraţie, o ten­ dinţă, o manifestare asimptotică, niciodată încheia­ tă, completată. Dorinţa este perpetuată, împlinirea rămâne numai potenţială, neactualizată. Într- o altă tradiţie culturală, pătratul înscris în cerc reprezintă fiinţa umană în context co smic; şi aici infinitate a procesului de aproximare capătă semnificaţia pro­ fundă a decalajului dintre acţiunea umană şi con­ textul ei cosmic. Acest decalaj poate fi micşorat, dar nu poate fi suprimat.

RAMANUJAN, HARDY ŞI LITTLEWO OD Prezentarea anterioară ar fi lacunară în unul dintre aspectele ei esenţiale dacă nu ne-am referi şi la acel geniu matematic ale cărui contribuţii au stat la baza recentelor programe . Am văzut că în ultime­ le decenii s-a realizat o nouă înţelegere, mult mai profundă, a structurii operaţiilor aritmetice funda­ mentale. A venit momentul să spunem că acest spor de înţelegere îl datorăm în bună măsură mate­ maticianului indian aproape autodidact Srinivasa Ramanujan ( 1 887 - 1 9 20) ; de la acesta au rămas o serie de caiete de notiţe care s-au dovedit o ade­ vărată mină de aur. Editarea lor, începută în 1 926, este acum pe punctul de a fi încheiată, dar descifra­ rea şi interpretarea lor nu au fost realizate decât în mică măsură. Aproape fiecare rând din aceste caiete reclamă un studiu special, deoarece multe ecuaţii, formule, evaluări sunt date fără argumente şi dez276

voltări detaliate. Un singur rând din aceste caiete necesită comentarii de câteva pagini. Cititorul este pus în situaţia de a reconstitui şirul ideilor l ui Ramanuj an. De pe acum se ştie că rezultatele sal e au nu numai o deosebită semnificaţie teoretică, ci şi una aplicativă, de exemplu în mecanica statistică. Unele teoreme din aceste caiete au fost descifrate şi vom vorbi imediat despre ele; altele, cele mai multe aşteaptă încă să fie făcute inteligibile, adică tradus � din notaţia personală a lui Ramanujan în limb ajul matematic modern şi însoţite de demonstraţia pe care autorul nu a explicitat-o , mulţumindu-se cu convingerea sa intuitivă in adevărul lor. Totul a început de la o scrisoare pe care matematicianul englez G. H . Hardy a primit- o, in ianuarie 19 1 3 , de la Ramanujan. Era pe punctul de a o arunca la coş, împreună cu multe scrisori de la tot felul de dile­ tanţi , când, deodată, examinând-o împreună cu bunul său prieten J . E . Littlewood, a realizat că in lista anexată de 1 20 de formule şi teoreme se află lucruri care dau de gândit. După câteva ore , ver­ dictul lor era ferm : scrierea respectivă nu provenea de la un diletant, ,ci de la un geniu. Ulterior, Hardy propunea o ierarhizare a matematicienilor timpului său , acordând lui Ramanuj an 1 00 de puncte, lui David Hilbert, cel mai influent matematician al tim­ pului, 80 de puncte , lui Littlewood 30, iar sie însuşi 25 de puncte. Probabil că dacă n-ar fi murit atât de tânăr Ramanujan ar fi realizat performanţa de a-l întrece pe Hilbert. Dar valorile de această mărime sunt mai degrabă necomparabile. DE LA ECUAŢIILE M ODULARE LA ACTUALII ALGORITMI ITERATIVI o temă preferată în caietele lui Ramanujan o constituie ecuaţiile modulare. În aceste ecuaţii, o aceeaşi funcţie apare având ca argument uneori pe XJ alteori diferite puteri de exponent intreg ale lui x. Cea mai ridicată valoare a exponentului reprezintă ordinul ecuaţiei. Ramanuj an pune în evidenţă unele surprinzătoare proprietăţi de simetrie pe care le au funcţiile modulare, adică funcţiile care satisfac ecu­ aţii modulare. Ramanuj an s-a dovedit neîntrecut in a rezolva ecuaţii modulare suplimentate şi cu alte condiţii. Soluţiile respective se numesc valori singu­ lare. Legătura lor cu aproximarea lui 7r este remar­ cabilă: în anumite cazuri , aceste valori singulare conduc la numere al căror logaritm natural aproxi­ mează pe 7r (înmulţit cu o constantă) . Chiar in scrisoarea către Hardy, Ramanuj an a inserat o aproximaţie de acest fel care conduce la 20 de zeci­ �ale exacte şi alta care conduce la peste un milion de zecimale exacte ale lui 7r. Ramanuj an obţine di­ ferite serii care converg către 7r cu o rapiditate in­ comparabil superioară aproximărilor cunoscute anterior. În manuscrisele lui Ramanuj an din dece­ niul al doilea al secolului trecut se află şi ideea

algori tmilor iterativi recent dezvoltaţi (exprimaţi ca progr ame d � ca�cula�or car: ef� ct ,:ează . repetat �ce­ leaşi operaţii antmetIce, luand IeşIrea dmtr-un cIclu drept intrare în ciclul următor) . Într-un fel, desco­ pe ririle lui Ramanuj an apăruseră prea devreme; abia de zvoltarea recentă a informaticii şi calculatoa­ relor a făcut posibilă valorificarea ideilor şi rezulta­ telor sale, prin efectuarea algoritmilor iterativi pe care i-a preconizat. Performanţa la care ne-am re­ ferit anterior se află în germene în caietele lui Ram anujan. Dar calculatorul foloseşte acum nu numai la valorificarea ideilor sale, ci şi la descifrarea şi interpretarea unor evaluări pe care Ramanujan le- a propus, fără a le însoţi însă cu prea multe ex­ plicaţii. Ne aflăm în faţa unui exemplu deosebit de sem­ nificativ de interacţiune a ştiinţei şi calculatoarelor. PROVOCAREA NELINIARULUI Îţi place să formulezi matematic un fenomen fi­ zic , să găseşti ecuaţia diferenţială care-l descrie şi să rezolve această ecuaţie, pentru a confrunta apoi soluţia cu datele experimentale? Îţi place să testezi capacitatea matematicii de a anticipa evoluţia unui fenomen natural , a unui experiment? Nu ne îndoim că mulţi cititori dau un răspuns afirmativ acestor întrebări. D ar cei care s-au implicat efectiv într-o aventură de acest fel cunosc şi capcanele care-i pândesc. Începând cu secolul al XVII-lea, matematica a făurit un instrument de mare rafinament în studiul diferitelor forme de mişcare a materiei , calculul dife­ renţia! şi integral. Prima revoluţie industrială a sti­ mulat considerabil studiul ecuaţiilor diferenţiale, fără de care nu putem concepe nici fizica, nici chi­ mia, nici ingineria. Ecuaţiile algebrice au o istorie şi mai veche, care începe cu evul mediu şi cu Renaşte­ rea. Datorită progreselor realizate, suntem astăzi în măsură să obţinem modele matematice ale unor fenomene naturale sau sociale dintre cele mai com­ plexe. Dar calea de la modelul unui fenomen la stăpânirea şi controlul efectiv al acestuia, la înţele­ gerea şi anticiparea evoluţiei sale ulterioare este lungă. De unde provin aceste dificultăţi? Chiar în eta­ pa de modelare nu facem decât să aproximăm fe­ nomenul, deoarece eludăm unele aspecte ale sale, pentru a evita o complexitate prea mare . Să presu­ punem că studiul unui fenomen ne conduce la o ecuaţie algebrică. Această ecuaţie are , de cele mai multe ori, rădăcini iraţionale, care deci nu admit decât evaluări aproximative. Dacă este nevoie de o aproximare mai fină, problema poate fi destul de dificilă, iar discuţia anterioară, relativă la aproxima­ re a numărului 1[, a fost elocventă în această pri­ vinţă. Şi mai complicată este problema rezolvării ecuaţiilor diferenţiale . Acestea sunt ecuaţii în care funcţia necunoscută intervine şi prin derivatele ei

de diferite ordine. D acă ecuaţia este liniară, adică de cel mult gradul intâi în raport cu funcţia necu­ noscută şi derivatele ei până la un anume ordin , atunci dispunem de o metodă generală de rezolvare a ei. La fel, pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare. Însă cele mai multe procese de o oarecare complexitate care au loc în natură nu au un carac­ ter liniar, de aceea ele conduc la ecuaţii sau sisteme de ecuaţii diferenţiate care nu sunt liniare. În faţa lor, matematicienii s-au recunoscut multă vreme învinşi, în sensul că nu erau în stare să le rezolve printr-o metodă generală, aşa cum reuşeau în cazul sistemelor liniare. D ar chiar dacă am fi dispus de forma explicită a soluţiei, este puţin probabil că funcţia sau funcţiile respective să fi putut fi efectiv controlate, adică efectiv şi practic evaluate. Este foarte probabil că ace ste funcţii ar fi fost atât de complicate încât nu ar fi spus mai mult decât sis­ temul de ecuaţii ca atare. Rămânea calea aproximă­ rii fenomenelor neliniare cu aj utorul unui model liniar.

CALCULATORUL SE APROPIE DE NELINIAR Mentalitatea descrisă mai sus, multă vreme dominantă în ştiinţă şi inginerie, a început a fi -pă­ răsită ca urmare a posibilităţilor de calcul create prin dezvoltarea informaticii şi construirea unor calculatoare din ce în ce mai perfecţionate . Ceea ce înainte era practic inacce sibil se află acum la înde­ mâna tuturor cercetătorilor: aproximarea numerică a soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale neliniare sau cu diferenţe şi vizualizarea lor prin desfăşurarea grafi­ că a rezultatelor. Ca în anecdota cu cel care caută cheia nu acolo unde o pierduse, ci acolo unde un felinar lumina locul, modelarea matematică a feno­ menelor se crampona de reprezentări liniare numai pentru că pe acestea le putea studia până la capăt . Acum, această restricţie a dispărut . A apărut un nou felinar, care inundă cu lumină aspectele neli­ niare ale fenomenelor. Calculatorul a devenit un instrument de vizualizare a celor mai complicate procese; el promite de pe acum, tuturor cercetători­ lor, mult mai mult decât a putut să dea micro scopul unui biolog sau tele scopul unui astronom. De sigur, ideea aproximării numerice a soluţiei unei ecuaţii, algebrice sau diferenţiale, există de multă vreme ; dar metodele numerice preconizate până nu de mult, aplicate manual, erau ineficiente , comportau o aritmetică laborioasă la capătul căreia rezultatul obţinut era foarte mode st; uneori, lucru­ rile se petreceau ca în gluma cu tunul folosit pentru uciderea unei muşte . Inginerii evitau, în general , formulările teoretice şi adoptau simplificări anali­ tice care-i îndepărtau de datele problemei avute în vedere.

277

APROXIMAREA CA ARTĂ Schimbarea de perspectivă a început încă din deceniul al V -lea al secolului trecut. Progresele energiei atomice şi ale aviaţiei cereau experimente care nu mai erau nici simple , nici ieftine, nici rapi­ de. Nu mai era admisibilă improvizaţia. Investigaţia ţ eoretică devenise brusc o nece sitate pentru inginer. In 1 950 apare calculatorul lui J. von Neumann, care pune punctul pe i în această privinţă. Metodele numerice de aproximare sunt incluse în programele de învăţământ politehnic şi încep discuţii despre modul optim în care acest lucru se poate realiza. În cele mai multe cazuri, aceste metode sunt încorpo­ rate ca un capitol al cursurilor de calcul diferenţial şi integral. Însă specialiştii sunt de părere că aproximarea numerică a soluţiei unei ecuaţii este , în bună mă­ sură, o artă; ea nu se poate însuşi fără a o practica efectiv. Dacă rezolvarea analitică practicată în urmă cu câteva decenii se baza pe o metodă generală (ca­ re însă se aplica unei clase foarte restrânse de pro­ bleme) , aproximarea numerică se aplică aproape pe ste tot, dar comportă subtile variaţii de la caz la caz. Ştim , de exemplu, să rezolvăm analitic ecuatiile diferenţiale liniare şi cu coeficienţi constanţi. D �că însă coeficienţii devin variabili, nu mai suntem atât de siguri pe noi; iar dacă mai apare şi un fenomen de neliniaritate, suntem pierduţi. Suntem însă sal­ vaţi dacă adoptăm strategia aproximării numerice a soluţiei (cu condiţia ca aceasta să existe) , această strategie fiind aplicabilă oricăruia dintre cele trei tipuri de ecuaţii la care ne-am referit. Această gene­ ralitate a noii strategii se cere compensată de o va­ riaţie practic infinită în aplicarea ei, şi de aceea este o artă. Arta se manifestă atât în alegerea, în fiecare caz particular, a metodei adecvate, cât şi în depăşi­ rea dificultăţilor care se ivesc pe parcurs. Aproximaţia numerică nu se învaţă prin simplă conversaţie, ci prin lucru personal şi prin "greşeli personale" , ne avertizează Forman S. Acton în pre­ faţa cărţii sale intitulate ironic Numerical methods that work (Metode numerice care sunt operante) , Harper & Row, New York, 1 97 2 . APROXIMAREA, ÎNTRE ESTETIC ŞI PRAGMATIC Există două atitudini posibile faţă de învăţarea ştiinţei. Una îşi caută motivaţiile în interiorul aces­ teia, alta le urmăreşte în afara ei, adică în lumea reală. Sunt două atitudini extreme , desigur. De obi­ cei , intervine un amalgam al lor; totuşi, una dintre ele este preponderentă. Această polarizare se mani­ fe stă şi in învăţarea metodelor de aproximare . Unii, mai teoretici, mai speculativi, sunt interesaţi în pri­ mul rând de natura - convergentă sau divergentă - a proceselor de aproximare, urmăresc cu precădere 278

teoria generală, contemplă mai degrabă priveliş tile de pe p a:c�r� şi de multe ori uită de scopul practic . al aproximarn. Am fi nedrepţi să nu recuno aşte m avantaj ele acestei atitudini , de care matem atic a a . benefiCIat de-a lungul multor secole , aj ungând ast­ fel la generalitatea, rigoarea şi perspectiva de azi Unii ar spune că această atitudine este predomi � nant estetică. Un tratat ca acela al lui Bourbaki realizează în mod strălucit acest deziderat. Dar un­ de ar fi dus această orientare dacă n-ar fi fost echi­ librată, de-a lungul istoriei, de cealaltă orientare pragmatică, obsedată de motivaţiile care vin di� universul observabil, Jizic, de exemple specifice şi de probleme concrete? Intreaga istorie a ştiinţei este rezultatul menţinerii unui echilibru rezonabil între cele două atitudini, al unei alternări judicioase între rezolvări de probleme şi dezvoltări de teorii. Nicio da­ tă vreuna dintre cele două strategii nu este eclipsa­ tă complet, ci numai trecută eventual pe un plan secund. Există în să compromisuri fericite; în loc de a prezenta o metodă în generalitatea ei maximă, cu toată armătura conceptuală implicată, o putem in­ troduce prin cOJ)siderente geometrice, euristice, pe anumite cazuri particulare. Simpla constatare a faptului că metoda funcţionează şi conduce efectiv la rezolvarea unei probleme îti dă încredere în ea capeţi un sens al puterii. Pe �rmă treci să foloseşti aceeaşi metodă într-o altă problemă şi s-ar putea să constaţi că nu mai merge ; apare o singularitate, dispare un anumit suport intuitiv. Abia acum simţi nevoia reală de a asimila metoda respectivă în toată adâncimea şi generalitatea ei ; abia acum înţelegi că fără un anumit orizont teoretic nu se poate progre­ sa. Ştiinţa este o luptă nu numai cu observabilul, cu perceptibilul, ci şi (poate chiar în primul rând) cu ceea ce transgresează intuiţia, rămânând totuşi inteligibil.

DEDUCTIV ŞI INDUCTIV Desigur, discutând de spre învăţarea ştiinţei implicăm, vrând - nevrând, şi predarea ei , şi activi­ tatea de cercetare ştiinţifică. Există o artă a eludării cel puţin temporare a unor detalii, pentru a scoate în evidenţă ideea maj oră, punctele cruciale. Exem­ ple semnificative în această privinţă sunt teorema lui Lagrange a creşterilor finite şi formula lui Taylor, amândouă atât de importante în teoria aproximării numerice. Există două itinerare posibile aici: unul deductiv, altul inductiv. Primul îşi ia de la început toate precauţiile necesare şi constă în verificarea unui enunţ desăvârşit ca acurateţe: fiind dată o funcţie reală f definită şi continuă pe intervalul compact 1 şi derivabilă pe intervalul deschis obtin ut prin eliminarea extremităţilor lui I, există un p�nct c în acest interval deschis, astfel încât valoarea deri­ vatei lui fîn c este egală cu raportul dintre diferenţa valorilor funcţiei la extremităţile dreaptă şi stân gă ale lui I şi lungimea lui 1. După verificarea core cti-

tudini i enunţului, se fac anumite aplicaţii la situaţii p articulare . Al doilea itinerar pleacă de la o figură ge ometrică, o curbă trasată la întâmplare şi o coar­ d ă care uneşte două puncte ale ei. Observarea aces­ tui de sen sugerează existenţa, pe arcul subîntins de coarda considerată, a unui punct în care tangenta este p aralelă cu coarda. Mai putem imagina şi un al treile a itinerar , în care plecăm chiar de la o proble­ mă de aproximare a variaţiei unei funcţii într-un punct printr-o funcţie polinomială de variaţia argu­ mentului, impunând erorii condiţia de a tinde la zero mai repede decât puterea, de exponent egal cu gradul polinomului, a variaţiei argumentului. Reali­ zăm astfel că formula creşterilor finite este un caz particular al formulei lui Taylor. PARADOXUL APROXIMĂRII NUMERICE Abia după o bază sigură de analiză matematică şi un antrenament în scrierea programelor de calcu­ lator în limbaj e ca FORTRAN, PL/ 1 , putem trece la o abordare a problemelor de aproximare numerică p rin folosirea calculatorului electronic. Forman S . Acton, l a care ne-am mai referit , este d e părere că învăţarea programării la calculator trebuie să fie clar separată de învăţarea metodelor de aproximare numerică, cel puţin atâta vreme cât ne aflăm la un nivel elementar. Altfel, riscăm suprapunerea a două tipuri de dificultăţi, care, în loc să fie învinse conse­ cutiv, trebuie depăşite concomitent; o grea încerca­ re, care pentru mulţi poate fi descuraj antă. Ulterior, pe măsură ce se acumulează experienţă, interacţiu­ nea celor două domenii poate deveni profitabilă. Paradoxul aproximării numerice constă în fap­ tul că tocmai la procesele numerice eficiente este dificil să se demonstreze convergenţa, în timp ce procesele a căror convergenţă poate fi stabilită rigu­ ros sunt de multe ori ineficiente. Istoria numărului 7l este şi ea o confirmare a acestei observaţii. DIFERENŢE DE ACCENT, DE METODĂ ŞI DE MENTALITATE Aproximarea numerică este o activitate esenţia­ lă în inginerie şi în economie, în matematică şi în fizică, în chimie şi în biologie , în toate domeniile în care intervin evaluări numerice , dependenţe funcţi­ onale de natură numerică, modele matematice ex­ primate prin ecuaţii algebrice sau transcendente, diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale. Există d iferenţe de accent, de metodă, de mentalitate între ingineri şi matematicieni , între fizicieni, informatici­ eni şi economişti, în ceea ce priveşte modul de abor­ dar e a aproximărilor numerice. Din ace st motiv, şi literatura de specialitate este diferenţiată după inte­ res e. Vom mentiona în acest sens monografii, tratate şi manuale ca G . E. Forsythe - W . R Wasow, Finite -

differenee methods for partial differential equations, Wiley, New York, 1 9 6 0 ; C . H . Graffe , Die AuJlosung der hohere numerisehen Gleiehungen, F. Schilthess, Zurich, 1837; D.R Hartree, Nu meriea1 Analysis, Oxford Univ. Press, 1 9 58 ; RW. Hamming, Nu me­ rieai methods for engineers and seientists, Mc Graw­ Hill , New York , 1 962 ; C. Gastings , Aproximation fo r digital eomputers, Princeton Univ. Press, 1955; E . Isaac son, H . B . Keller, AnaIysis of numerical me­ thods, Wiley, New York, 1 9 66; D.E. Knuth , Funda­ mental algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass . , 1 968; G . N . Lance, Numerieal methods for high speed eomputers, Iliffe and Sons, London, 1 960; C . Lanczos, Applied analysis, Van Nostrand, Princeton , 1 9 56 ; W.E. MiIne, Numerieal ealcuIus, Princeton Univ. Press, 1 949; W . E. Miine , Numericai solution of differential equations, Wiley, New York, 1 9 53 ; A. Ralston, A first eourse in numerieal analysis, Mc Graw- Hill , New York, 1 9 6 5 ; A. Ralston - H . F. Wilf, editors: Mathematical methods for digital eomputers, Wiley, New York, 1960. La aceste cărţi vom adăuga monografia fundamentală a lui Forman S. Acton care ne-a ghidat în di scuţia de faţă, şi numeroasele reviste care publică articole privind aproximarea numerică: Numerisehe Mathematik, Computer Jour­ nal, Communications of the Assoeiation of Computing Maehines, Joumal of the AssoCÎation of Co mputing Maehines, Siam Joumal of Numerieal AnaIysis, Joumai of Computationai Mathematics etc .

ROLUL SUB RUTINELOR ÎN PROCESUL DE APROXIMARE Specificul şi puterea evaluărilor aproximative actuale constau în împletire a unor metode numeri­ ce din ce în ce mai sofisticate . Această situaţie ex­ plică de ce , în orice domeniu ai lucra, în ştiinţă, inginerie sau economie , în organizare sau adminis­ traţie, pentru a folosi calculatorul în scopul un or evaluări aproximative - atât de frecvente în oricare dintre domeniile menţionate - este nevoie de o pre­ gătire prealabilă în calculul diferenţial şi integral, matrici şi ecuaţii diferenţiale. Pe de o parte, în teoria algoritmilor şi programării la calculator, inclusiv cunoaşterea detaliată a unor limbaje de programa­ re , care pot diferi de la o perioadă la alta (in anii '70 era necesară cunoaşterea "dialectului local" al FO RTRAN-ului) , pe de altă parte. Desigur, este ne­ cesar şi acce sul la un calculator corespunzător. Cei mai mulţi ingineri, cercetători, economişti nu au nici timpul, nici răbdarea de a urmări litera­ tura curentă în domeniul analizei numerice. Ghidaţi cu precădere de interese practice , ei preiau metode­ le găsite în cărţile care le sunt accesibile. Este, de aceea, necesar să li se pună la dispoziţie subrutine (de exemplu în FORTRAN) core spunzătoare unor calcule standard foarte frecvente. Aceste subrutine sunt de obicei foarte complexe şi ingenioase. Pentru 279

a explica în detaliu modul în care au fo st ele alcătu­ ite este nevoie de dezvoltări destul de laborioase, pe care puţini ar avea răgazul să le urmărească. De aceea, ele sunt tratate, în cea mai mare parte a lor, ca nişte cutii negre, cu alte cuvinte, urmărim numai intrările şi ieşirile, nu şi ce anume se întâmplă în interiorul cutiei. Chiar subrutinele care erau la baza celor mai simple operaţii, ca adunarea sau înmulţi­ rea sunt luate de-a gata de către cei mai mulţi pro­ gramatori; puţini sunt cei care înţeleg modul în care ele operează. Tot cutii negre sunt considerate şi subrutinele corespunzătoare sinusului şi co sinusu­ lui; puţini programatori le cunosc în mod efectiv. Procesul de acumulare a unor sub rutine exclusiv sub forma unor cutii negre trebuie extins . Aceste subrutine funcţionează ca un fel de alfabet al eva­ luărilor aproximative; ele sunt axiome ale calculului modern , exprimând elementele primitive ale acestui calcul. Subrutinele reprezintă inteligenţă algorit­ mică, sub formă conservată, ele alcătuiesc o biblio­ tecă prin intermediul căreia ne putem prevala de inteligenţa algoritmică anterioară şi o putem utiliza în mod iterativ. De aceea, tendinţa este de a trans­ fera în rafturile acestei biblioteci cât mai multe sub­ rutine, din ce in ce mai complexe, ca de exemplu, cele care se referă la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, a ecuaţiilor diferenţiale şi multe altele . CAPCANE ALE CALCULULUI NUMERIC

. lectură şi utilizare. O carte bună de metode nu m eri_ ce computaţionale nu se mulţumeşte să p re zinte subrutinele disponibile de cea mai bună calitate , ci îl stimulează pe cititor să caute să obţină subruti n e şi mai bune, pe care să le recunoască şi să le apre ­ cieze de indată ce sunt puse la lucru. Un exemplu de carte reuşită, din acest punct de vedere , e ste aceea publicată în 1 977 de G.E. Forsythe, M .A . Malcolm şi C .V. Moler (Computer Methods for Mathe_ matical Computations, Prentice Hali, Inc . , Englewood C1iffs , New Jersey) . După un capitol dedicat apro­ ximării numerelor reale prin reprezentări computa_ ţionale finite, capitolele următoare sunt de dic ate sistemelor de ecuaţii lin iare , interpolării, integrării numerice, problemelor de valori iniţiale la ecuaţii diferenţiale ordinare, rezolvării ecuaţiilor nelini are optimizării, metodei celei mai mici pătrate şi generă� rii numerelor aleatoare cu ajutorul metodei Mon te Carlo.

ALTE REFERINŢE BIBLIOGRAFICE Din bogata bibliografie a problemei, vom reţine aICI câteva titluri: G. Dahlquist, A. Bj orck (Nume­ rical Methods, Englewood Cliffs, N.J . , Prentice HalI, 1 974) ; P. Henrici (Elements of Numerical Analysis, New York, Wiley, 1 9 64) ; J . Todd, editor ( Survey of Numerical A nalysis, New York, McGraw-Hill) ; M. Abramowith I . Stegun , editors (Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical TabIes, New York, Dover, 1 964) ; L. Collatz ( The Numerical Treatment of Differential Equations, Berlin, Springer, 1 9 6 6) ; C.W. Gear (Nu­ merical Initial Value Problems in Ordinary Differen­ tiaI Equations, Englewood Cliffs, N.J. Prentice Han, 1 97 1 ) ; D . E. Knuth (The Art of Computer Program­ ming, voI. 2 , Seminumencal algorithms, Reading, Mass. , Addison-Wessley, 1 969) ; J . H . Wilkinson (The Algebraic Eigenvalue Problem, New York, Oxford Univ. Pre ss, 1 965) . Să mai adăugăm la revistele specificate anterior: ACM Transactions, Mathemati­ cal Software, BIT, Intemational Joumal for Numerical Methods in Engineerings, Joumal of Computational Physics, Joumal of the Institute for Mathematics and its Applications. -

Desigur, in toate aceste operaţii, lucrăm in ipo­ teza că subrutinele folo site sunt bune , că re alizează într-adevăr algoritmii preconizaţi. Însă calculul nu­ meric abundă în tot felul de capcane asupra cărora trebuie să fim avertizaţi. Trebuie să cunoaştem dife­ ritele simptome ale unor situaţii "maladive" şi să formulăm un diagnostic corect. În situaţii de acest fel, nu ne mai putem descurca fără cunoaşterea structurii subrutinelor, fapt care, la rândul său , re­ clamă o cultură mai profundă de analiză numerică şi calcul algoritmic. Numai inzestrat cu o atare inţe­ legere va putea programatorul să modifice in mod convenabil o subrutină inoperantă într-un anumit context sau pur şi simplu să folosească intr- o vari­ antă diferită o anumită metodă de aproximare nu­ merică. Pentru a face faţă unor dificultăţi de acest fel, nu mai este deci suficient să lucrăm cu subruti­ ne gata făcute, trebuie să pătrundem in intimitatea lor , dar numai atât cât este necesar pentru a face subrutinele "să meargă" Este ca şi cum subrutinele ar deveni, din cutii negre , cutii de culoare cenuşie. Însă, in ciuda capcanelor semnalate, este mai uşor să elaborezi două subrutine valide decât să decizi care dintre ele este mai bună (în ipoteza că amândouă fac, în esenţă, acelaşi serviciu) în rezol­ varea unei anumite probleme . Dacă mai multe sub­ rutine prezintă aceeaşi acurateţe , aceeaşi siguranţă, aceeaşi eficienţă, atunci alegerea se îndreaptă către acea subrutină care oferă cea mai mare facilitate la 280

PROCENTAJELE, CA FORMĂ DE APROXIMARE Un domeniu prin excelenţă al aproximaţiei e ste cel al procentajelor, fonnă foarte frecventă a statisti­ cilor. S-ar părea că prezentarea unei repartiţii sta­ tistice , cu ajutorul procentajelor, nu ridică probl e­ me. Un exemplu va arăta că lucrurile sunt mai delicate. Sociologul Emile Durkheim publică in 1 89 7 un studiu asupra sinuciderilor. La un mome nt dat, trei coloane de cifre poartă titlul "Numărul de sinucideri pe fiecare lună, în raport cu mia de sinu-

-sH deri pe an". Cele trei coloane corespund ţărilor '�Jin�iz ate: Franţa (perioada 1 86 6-'70) , Italia ( 1 884:J[S8), Prusia ( 1 8 85-'89) , iar cele 1 2 linii corespund ,'ţiurtIl,()r anului. Vom reproduce câteva: ianuarie: 68, �;69-C 6 1 ; martie : 86, 8 1 , 78; mai: 1 05 , 1 03 , 1 04 ': ,;�fi1>i�m brie: 66, 63 , 70; decembrie : 6 1 , 6 1 , 6 1 i_�Durl41 eim consideră că "situaţia lunii decembrie ;-'t'ste " deo se bit de semnificativă, partea ei în totalul :",�Jfţla1 al sinuciderilor fiind riguros aceeaşi pentru :te ly : trei societăţi comparate" . Iată însă că un speci­ }�list fr ancez în domeniul statisticii matematice, G. ' Th;: Guilbaud, în cartea sa la care ne-am referit (op. , 911. , p. 52) , a avut curiozitatea de a verifica rigoarea ia care se referă Durkheim şi a făcut suma celor dou ăsprezece numere de pe fiecare coloană. S-ar părea că suma nu putea fi decât 1 000 pentru fie­ care coloană, în conformitate cu titlul celor trei co'toa,ne,- dar aceasta nu s-a întâmplat pentru nici una dintre coloane. Totalul s-a dovedit a fi 1 00 1 , 993 şi, respectiv, 955 . Ce s-a întâmplat? Să rezumăm: au fost supuse observaţiei n numere (în cazul conside­ rat, n = 1 2) . S-a calculat totalul şi s-a decis trans­ formarea acestui total în 1 00 sau 1 000. Chestiune ban ală, practicată tot timpul şi, tocmai de aceea, niciodată contestată. Dar, ob servă Guilbaud, sunt atâtea de spus în legătură cu regula de trei sau lege a proporţionalităţii. Dacă unele observaţii conduc la o anumită listă de date numerice a, b, c, . . . , m, n, semnificatia date­ , lor are multe şanse de a se păstra atunci câ�d aces­ -tea sunt toate multiplicate cu un acelaşi factor, obţinându-se ha, hb, hc, . . . , hm, hn. Dar în cele mai multe cazuri valorile exacte ha, hb, hc, trebuie înlocuite prin anumite valori rotunjite , pe care le vom nota (ha), (hb), (hc), Să exemplificăm. Adre­ săm o aceeaşi întrebare la 1 047 de persoane, dintre care 382 răspund afirmativ, 534 negativ, iar 1 3 1 se �bţin. Cum exprimăm aceste rezultate în procenta­ je, adică în fracţii zecimale? Problema este de nivel şcolar, dar până şi un şcolar realizează că chestiu­ nea comportă o aproximaţie, deci o eroare ; 382 / 1 047 = 0,3648 . . . dar rotunjim şi obţinem 3 6 , 5%; la fel pentru 534/ 1 047 0 , 5 1 00 . . . obţinem prin ro­ tunjire 5 1 ,0%, iar pentru 1 3 1 / 1 047 0, 1 2 5 1 . . . obţinem 1 2 ,5%. Rotunjirea a funcţionat bine aici, aşa cum rezultă din faptul că suma celor trei pro­ centaje este exact 1 00 . Dar dacă dorim să lucrăm cu numere întregi, apare o ezitare, rotunjirea _ putandu-se efectua fie prin adaus, fie prin lipsă. Este natural să rotunjim prin lipsă numărul mai mare şi prin adaus pe cel mai mic, deci obtinem 3 6 5 1 şi 1 3 la sută. Totalul a rămas 1 00. D�r nimeni nu poate da o reţetă generală de rotunj ire, deoarece numerele sunt capricioase . =

=

ROTUNJIREA ŞI ERORILE PE CARE LE IMPLICĂ

Guilbaud se miră că o operaţie atât de frecven­ tă ca rotunj irea nu este consemnată printre sensu­ rile posibile ale verbului a rotunji nici în dicţionarul Littre, nici în vechiul Larousse din 1 8 68 ; abia Le Grand Larousse de la Langue Fram;aise ( 1 97 1 ) il consemnează, dar o face cu stângăcie: a rotunji o sumă - se spune - înseamnă a adăuga, sau uneori a suprima, unele zecimale pentru a obţine o cifră mai simplă. Evident, în loc de o cifră trebuia un număr, iar în loc de mai simplă, trebuia mai rotund. a prezentare mai bună, deşi nici ea ireproşabilă, apare în Mic Dicţionar Enciclopedic (Editura Ştiintifi­ că şi Enciclopedică, Bucureşti, 1 978) : )lA întregi, a modifica rezultatul numeric al unui calcul până la cel mai apropiat număr întreg, până la cea mai apropiată valoare standardizată etc . , când este permis calculul aproximativ sau când sunt obli­ gatorii anumite valori ale mărimilor fizice din punct de vedere economic, tehnic etc.". De scrierea acoperă un mar � număr de cazuri de rotunjire , fără însă a le epuiza. In orice caz, prezentarea este net superioară aceleia din Dicţionarul explicativ al limbii române (Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1975), unde se spune : "A elimina subdiviziunile unui număr ale unei sume etc . , a face întreg" . Principala greşeaiă în ultima formulare constă în eludarea faptului că rotunjirea se poate face nu numai prin lipsă, ci şi prin adaus. Apoi, rotunjirea nu trebuie neapărat să conducă la un număr întreg. Expresia "subdiviziu­ nile unui număr" este improprie . a formulare mai precisă ar fi aceea după care a rotunji un număr în­ seamnă a-l înlocui cu unul cât mai apropiat (inferi­ or sau superior) , dar exprimat cu mai puţine cifre decât cel dintâi. Este însă clar că, oricât am amelio­ ra formularea, rotunjirea se poate face în mai multe feluri, între care nu se poate da un criteriu general de alegere . Gauss propunea ca în cazuri mai delica­ te să se tragă la sorţi, însă acum, transferând calcu­ lele unei maşini , aceasta trebuie să dispună de instrucţiuni precise de rotunjire. Chiar din exemple­ le date se înţelege că operaţia de rotunjire devine delicată nu atât atunci când se practică izolat cu un număr individual, ci concomitent cu o întreagă co­ lecţie de numere care sunt asociate printr-o anumită condiţie globală. De exemplu, dacă rotunjim fiecare termen al unei sume flxe de valori, trebuie să con­ trolăm ca prin rotunjirile efectuate să nu alterăm suma; suma rotunj irilor termenilor nu este , în gene­ ral, egală cu rotunjirea sumei. Una dintre cele mai simple şi mai populare rotunjiri, la care am văzut că se referă şi unele dicţionare, este trecerea de la un număr x la întregul cel mai mare (x) care nu întrece pe x. Este un operator de trunchiere , constând în suprimarea cifrelor de după virgulă. Capcanele sale sunt multe . De exemplu, (x + y) nu este totdeauna egal cu (x) + (y) . Inversiunea rezervă mari surprize . 28 1

În contrast cu egalitatea dintre x şi inversul inver­ sului său, inversul rotunjirii lui x nu este egal cu rotunjirea inversului lui x ( 1 / 8 , 73 = 0 , 1 1 4 547 . . p e care-l rotunjim în 0, 1 1 5 , însă 1 / 0 , 1 1 5 8 , 69565 . . rotunjit în 8, 70: deci nu se revine la numărul de la care s-a plecat). Dar iată faptul uimitor asupra că­ ruia atrage atenţia Guilbaud: inversul rotunjirii inversului lui x nu mai coincide în general cu x (aşa cum am văzut pe un exemplu) , dar o repetiţie în plus permite să se recupereze stabilitatea. Inversul rotunjirii inversului rotunjirii lui x coincide cu in­ versul lui x ( 1 / 8 ,70 = 0, 1 1 4943 . care dă 0 , 1 1 5 1 / 8, 734 0, 1 1 449 5 1 . . . care dă 0, 1 145, în timp ce 1 / 8 ,736 = 0, 1 1 4468 . . . rotunjit în 0 , 1 1 4 5 şi 1 / 0, 1 1 4 5 8 ,733624 rotunjit în 8,734) . Însă, în general, controlul erorilor de rotunjire rămâne o chestiune spinoasă. Modul în care se pro­ pagă aceste erori nu este încă îndeajuns de cunos­ cut. .

=

.

.

.

=

=

MATEMATICĂ ELECTORALĂ

Filozof, matematician şi om politic implicat în Revoluţia Franceză, Condorcet a inventat sintagma matematică socială pentru a denumi o activitate confruntată de la început şi în continuare , chiar şi astăzi, cu multe dificultăţi. Desigur, modelarea ma­ tematică a pătruns în ultima vreme în mai toate ştiinţele social-umaniste, dar există câteva proble­ me tradiţionale, care au marcat istoria matematicii sociale. Una dintre acestea este aşa-numita mate­ matică electorală, în care funcţionează o intuiţie a ceea ce este just, un sentiment al dreptăţii, asociat de obicei cu reprezentarea proporţională. Să vedem însă cum s-au petrecut lucrurile . În 1 78 8 , în Fran­ ţa, în vederea convocării Statelor Generale , consiliul regelui decretă că deputaţii vor fi aleşi în număr de o mie, formându- se , în acelaşi timp, dezideratul ca, pe cât posibil, să fie reprezentate toate categoriile de cetăţeni. În ianuarie 1 789 însă, ordonanţa regală re cunoştea viitoarei Adunări "grija de a remedia inegalităţile care nu au putut fi evitate" Câţiva ani mai târziu, în 1 79 2 , preşedintele George Washin­ gton al Statelor Unite ale Americii trece printr-o încurcătură asemănătoare atunci când trebuie să semneze decretul care repartizează la 1 5 state cele 120 de locuri din Congres, în conformitate cu Con­ stituţia americană, adică proporţipnal cu populaţia statelor respective. Aceeaşi situaţie revine mereu, în diferite ţări, de-a lungul secolului al XIX-lea. Dar conci1ierea punctului de vedere al legislatorului cu rigoarea impusă de aspectul matematic al problemei şi cu accesibilitatea rec1amată de masele de cetăţeni care doresc să înţeleagă intenţiile legislatorului s-a dovedit a fi nu tocmai uşoară. Matematicianul şi legislatorul au datoria de a lua în considerare între­ gul univers de posibilităţi. 282

REPARTIZAREA LOCURILOR DE DEPUTAŢI

Un exemplu se impune . În urma unor alegeri, s-a constatat că din 20 3 3 1 440 sufragii exprimate, 3 30 1 980 au optat pentru lista lui X, 4 1 53 7 10 pentru lista lui Y, 4 763 026 pentru lista lui Z şi 5 666 984 pentru lista lui W. Alte cinci liste obţinu­ seră sub 5% din total şi nu au mai avut dreptul la nici un reprezentant. Publicarea rezultatelor a fo st însoţită de procentaje: X cu 1 6 ,24%, Y cu 20,42%, Z cu 23 ,42%, W cu 27,87%. Însă în timp ce tot al ul voturilor corespunde numărului de sufragii expri­ mate, anume 20 33 1 440, totalul procentaj elor nu este decât 99,94 (în loc de 1 00) . Este deci clar că s-a lucrat cu aproximaţii. De exemplu, divizând numă­ rul voturilor acordate listei Y la numărul tuturor voturilor, se obţine 0, 2042998 . . . şi, conform obice­ iului, un atare rezultat a fost rotunjit la 20 ,43% . Însă dacă procedăm în acest fel, suma procentajel or nu va mai fi 1 00 , ci 1 00 , 0 1 . De sigur, rotunjirile efectuate nu denaturează aspectul global al situ aţi­ ei, starea forţelor politice este reflectată cu destulă fidelitate şi prin aproximările efectuate. Dacă însă este vorba de reprezentarea locurilor de deputaţi, situaţia se schimbă, deoarece rezultatele trebuie să fie exprimate în numere întregi. APROXIMARE ŞI JUSTIŢIE

După ce a examinat bogata literatură dedicată reprezentării proporţionale, C. Th . Guilbaud consi­ deră că nu este totdeauna evident că acest tip de reprezentare ar fi o expresie optimă a justiţiei. Cel puţin din punct de vedere matematic , nici o teoremă nu ne vine în sprijin aici. Nici din punct de vedere juridic nu poate fi susţinută reprezentarea proporţi­ onală, deoarece o lege care ar cere ca numărul de locuri de deputaţi atribuite unei anumite grupări să fie proporţional cu numărul de sufragii exprimate pentru gruparea respectivă ar fi pur şi simplu ina­ plicabilă. Dar dacă legea s-ar modifica, renunţând la regula proporţională, legislatorul ar fi considerat ne serios, lipsit de rigoare . Şi totuşi, matematica a putut inventa reguli de cvasiproporţionalitate , în ceea ce priveşte numărul de reprezentanţi ai ' unei circumscripţii şi numărul de locuri de deputaţi atribuite unei grupări. În pri­ mul caz, o provincie are dreptul la un număr de reprezentanţi proporţional cu populaţia provinciei sau, mai general, în funcţie de populaţia provinciei. În al doilea caz, numărul de aleşi de pe o listă este în funcţie de numărul de sufragii întrunite de lis ta re spectivă. Din punct de vedere aritmetic , cele două probleme sunt asemănătoare , dar există o multipli­ citate de soluţii şi nu este deloc sigur că e indicat să alegem aceeaşi soluţie în ambele cazuri. Matematic, lucrurile se prezintă în felul următor: avem o listă de n numere a, b, c, (provenite dintr-un recensă-

mânt sau din numărătoarea unor bule tine de vot) care trebuie să servească pentru determinarea unei alte liste, x, y, z, . . . , de n numere întregi de sumă S fIxă. Numerele din a doua listă nu depind decât de prop orţiile dintre numerele din prima listă, aceasta însemnând că le putem înlocui pe acestea din urmă prin altele, proporţionale cu ele , în aşa fel încât su­ ma lor să fie egală cu unitatea. Să presupunem că S ( numărul total de locuri de deputaţi în Parlament) e ste egal cu 8 1 . O repartizare cu adevărat proporţi­ onal ă, în cazul concret considerat anterior, ar con­ duce la numere raţionale nu neapărat întregi: 25 ,6 64 . . . , 2 1 , 570 . . . , 1 8 , 8 1 1 . . . , 1 4 ,953 . . . şi, printr-o rotunjire colectivă, se obţin numerele întregi 2 6 , 2 1 , 1 9 şi 1 5 , dar n-ar fi neplauzibilă nici varianta 25, 2 2, 19, 1 5 . Întreaga situaţie devine sugestivă dacă se adoptă o interpretare geometrică: avem spa­ ţiul punctelor de coordonate raţionale din plan sau spaţiul tuturor punctelor din plan şi încercăm să aproximăm aceste puncte prin acelea ale căror co­ ordonate sunt numere întregi. Punctele "întregi" sunt distribuite cu o anumită regularitate , aşa cum sunt aşezaţi atomii într-un cristal. Fiecărui punct de coordonate reale (sau raţionale) i se asociază un domeniu de atracţie format din acele puncte "în­ tregi" care ar putea reprezenta punctul considerat, deci care l-ar putea aproxima mai bine pe acesta din urmă. Spaţiul este astfel decupat în celule, fie­ care celulă conţinând un punct al reţelei de puncte întregi. Unele celule au o frontieră comună (cazul scrierii zecimale care se termină cu 5) şi comportă un tratament special . Orice procedură de rotunjire multiplă (colectivă) poate fi considerată ca o com­ partimentare a spaţiului şi, reciproc, orice compar­ timentare implică o rotunj ire . Consideraţiile lui G. Th . Guilbaud sunt edifica­ toare pentru complexitatea fenomenului de rotunjire , pentru capcanele pe care ni le întind reprezentările de date numerice cu ajutorul procentelor. =

MATEMATICA APROXIMĂRII ŞI LOCUL EI ÎN ÎNVĂ ŢĂMÂNT

O veche prejudecată reduce domeniul matema­ ticii la cel al exactităţii, însă aproximaţia intră şi ea în raza de intere s a matematicii, cu o condiţie: să fie e�ecţuată cu rigoare . Am putea chiar spune că stu­ diul aproximaţiei este, în matematică, una dintre preocupările cele mai importante . Faptul acesta nu este însă suficient înţeles, iar învăţământul mate­ matic nu prea a contribuit la înlăturarea prejude­ căţii semnalate mai sus. G. Th. Guilbaud ( op. cit.) este chiar de părere că învăţământul matematic (cel puţin cel francez) nu face decât să întărească, de un secol sau două încoace, această imagine de opoziţie între exact şi aproximativ. Cum trebuie să interpre­ tăm această apreciere? Este ea conformă realităţii? O sumară privire asupra programelor, manualelor

şi , mai ale s, manierei de abordare şi predare a ma­ tematicii arată că, într-adevăr, proceşul de aproxi­ mare nu ocupă locul central pe care-l merită. Nu vom merge până la a pretinde că predarea actuală a matematicii trece sub tăcere ideea aproximaţiei, cu toate problemele aferente, dar orice observator atent va constata că, începând cu aproximarea cu diferite grade de eroare a numerelor iraţionale cu ajutorul celor raţionale, trecând prin rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor algebrice şi până la studiul aproximativ al unor funcţii, inclusiv derivarea şi integrarea aproximativă, semnificaţia majoră a matematicii ca ştiinţă a aproximaţiilor riguroase nu se conturează cu suficientă pregnanţă, rămâne chiar margina­ lizată. Se întâmplă foarte rar ca probleme de acest fel să fie propuse candidaţilor la concursurile de treaptă sau de admitere în învăţământul superior. Nici la olimpiade le de matematică nu prea se acordă atenţie matematicii aproximării. Acum, când posibi­ lităţile de aproximare numerică sunt considerabil amplificate datorită folosirii calculatoarelor, suba­ precierea importanţei matematicii aproximării poate avea urmări dintre cele mai grave . Să nu uităm că cele mai multe aplicaţii practice ale matematicii şi calculatoarelor au in vedere proce se de aproxima­ re. Dacă le neglij ăm, ratăm una dintre marile şanse ale matematicii de a se constitui într-un fapt de cul­ tură şi progres în domeniul economic şi social. o IMAGINE DEFORMATĂ A MATEMATICII

La cel de-al treilea Congres Internaţional pri­ vind învăţământul matematic (Karlsruhe, august 1 976) , Guilbaud a consacrat conferinţa sa în şedin­ ţă plenară tocmai legăturii dintre aproximaţie şi matematică. Şi-a imaginat un interlocutor care gân­ deşte cam aşa: "Voi, matematicienii, vă hrăniţi din certitudine şi siguranţă. Pentru voi, doi şi cu doi fac totdeauna patru. Toate calculele trebuie să fie exac­ te. Dar în viaţă lucrurile sunt altfel. Totul este vari­ abil şi nesigur. Formele pe care voi le creaţi sunt frumoase de contemplat, dar prea rigide pentru lucrurile omeneşti, dominate de vag" . Recunoaştem aici portretul-robot pe care, din păcate, mulţi oa­ meni de cultură îl iau drept imagine a matematicii. Unii cred că şi Goethe a căzut victimă acestei ima­ gini false atunci când scria: "Die Mathematiker sindjeine Art Franzosen: j Redet man zu ihnen, j So ubersetzen sie esjin ihre Sprache ,jund dann ist alsobaldj ganz anders" ("Matematicienii sunt ca francezii : le vorbeşti, ei îţi traduc spusele în limba lor şi totul devine cu totul altceva") . Este ca şi cum limbajul matematic ar genera un proces de alienare , de îndepărtare de omenesc. Nu puţini au fost scrii­ torii şi fllozofii care au promovat o atare reprezentare a limbajului ştiinţific. Ne-am referit, cu alte prile­ juri, la George Steiner ( Şocul matematicii, Editura Albatros, 1 9 87; Provocarea ştiinţei, Editura Politică, 1988) . O carte din 1 987 a unui filozof francez, 2 83

M. Henry, intitulată La barbarie, vede de asemenea în dezvoltarea ştiinţei şi, implicit, a limbajului ştiin­ ţific simptomele unei noi barbarii care ameninţă omenirea. O atare viziune pre supune mai totdeauna o reprezentare a ştiinţei aflată într-o opoziţie polară cu omenescul: şi ce poate fi mai opus nuanţei şi fineţii implicate în activităţile umane decât distinc­ ţia rigidă de tipul da-nu sub semnul căreia mulţi umanişti aşază matematica?

ISTORIA MA TEMA TICII CA ISTORIE A APROXIMĂRII

Tocmai o atare reprezentare are nevoie astăzi de o replică, deoarece ştiinţa actuală a reuşit să realizeze, mai mult decât oricând în trecut, o con­ ciliere a aproximativului cu exactul, a nuanţei cu precizia. În urmă cu aproape 40 de ani, publicam un articol care chiar prin ti tIul său ("Exact appro­ ximations or approximative exactness?" , Founda­ tions of Language, Dordrecht - Holland, voI. 3 , 1 9 67, no. 3 , pp. 285-288) se dorea o replică în sen­ sul specificat. La congresul menţionat din 1 976, Guilbaud reia problema în faţa unui public format din profe sori de matematică, specialişti în psiholo­ gia şi pedagogia matematicii şi filozofi ai matemati­ cii, atrăgându-Ie atenţia asupra reorientării de care are nevoie învăţământul matematic. Argumentele principale ale lui Guilbaud sunt căutate - şi găsite în istoria matematicii, începând cu Eudox, cu Ele­ mentele lui Euclid şi cu Pitagora. Nu poţi înţelege nimic din construcţia gamelor muzicale dacă nu realizezi că aici este vorba de căutarea unor soluţii numerice apropiate (adică aproximative) ale unei ecuaţii exponenţiale. Vin apoi Leibniz, Newton, Euler şi atâţia alţii. Ce reprezintă aproximaţia în cultura actuală? Guilbaud distinge mai multe nive­ luri. Primul nivel, poate cel mai important, este cel al vieţii cotidiene . Un experiment pe care l-am pre­ zentat chiar in primul episod al acestui ciclu a ară­ tat că o relatare luată la întâmplare, despre o activitate umană, abundă in aproximaţii . Mereu trebuie să evaluăm o populaţie, o producţie indus­ trială, o distanţă, o durată, o temperatură, o viteză, un procentaj , iar o atare evaluare este mai totdeau­ na aproximativă. Aproximaţia devine necesară, ine­ vitabilă. Dar cronometrările in competiţiile sportive? Dar domeniile specializate , ca geodezia, demografia, economia, finanţele, care abundă în evaluări? Peste tot, aproximaţia este la ea acasă. Ştiinţa însăşi, prin ceea ce are ea mai valoros, activitatea de cercetare, recurge mereu la aproximaţii. Dar de spre aceasta vom discuta într-o etapă ulterioară.

284

EXPRESIA LINGVISTICĂ A APROXIMATIVULUI

Cuvântarea pe care G. Th. Guilbaud a rostit -o la Congresul Internaţional al Învăţământului M ate­ matic (Karlsruhe , 1 9 76) rămâne una dintre cele mai calde şi convingătoare pledoarii în favoarea ope rati ei de aproximare . O primă idee este , aşa cum am �ai observat, aceea a caracterului nece sar, inevitabil al aproximării . Simptomele acestei situaţii se manife s­ tă şi pe plan lingvistic, aşa cum am putut vede a din numeroase exemple , dar o analiză mai sistematică a mijloacelor lingvistice, semiotice şi stilistice de ex­ primare a modalităţii aproximative rămâne abia să fie făcută. Acola' unde alte limbi folosesc cuvinte de lipul presque, almost, fast, environ, ungefahr, ziem­

lich, quasi, nearly, d-peu-p res, about, en gros, etwa, roughly, limba română se prevalează de aproape, în jurul, aproximativ, cam, de particula cvasÎ şi de mul­

te altele . Ar fi interesant de făcut inventarul lor, de observat contextele in care sunt ele folosite şi nuan­ ţele care le deosebesc sau le apropie . Dinspre lin­ gvistic spre logic, iată un itinerar care se poate dovedi uneori mai util decât itinerarul invers, din­ spre logic spre lingvistic. Din considerente care azi ne apar mai degrabă de ordin retoric decât de substanţă, exactitatea a fost mereu contrapusă aproximaţiei, nuanţei, gân­ direa matematică a fost opusă gândirii cotidiene, care abundă în imprecizii. Platon aşeza la intrarea Academiei sale interdicţia de acces pentru cei care nu sunt geometri, iar aproape o mie de ani mai târ­ ziu, Blaise Pascal opunea spiritul geometric spiritu­ lui de fineţe . Există însă şi o altă modalitate , mai îngăduitoare , pe care de fapt şi Platon, şi Pascal au practicat-o: aceea preconizată de Augustin - să nu ţipaţi, să nu vă lamentaţi, să căutaţi mai degrabă să înţelegeţi. Să înţelegi ce? Să înţelegi ce anume vrea să spună interlocutorul. Chiar în circulara lansată de congresul la care ne-am referit se spune : "Drumul de la gara centrală din Karlsruhe până la Universitate durează în jurul a douăzeci de minute" Iată deci că, chiar reuniţi în congre s, matematicienii sunt obligaţi să se exprime ca toată lumea. În jurul a, sau aproape, sau aproxi­ mativ, iată un prim nivel de aproximare, destul d e superficial, dar foarte răspândit, datorită comodită­ ţii lui . El poate da naştere însă la neînţelegeri şi ambiguităţi costisitoare : aproximativ 20 poate să insemne tot atât de bine 1 7 , 1 9 sau 22 . De aceea se recurge uneori la un al doilea nivel de aproximare, care nu se mai mulţume şte ,cu indicarea unei valori, ci indică un întreg interval în care valoarea se poate afla. În loc să spunem cam 20 sau aproximativ 20, putem spune între 18 şi 22 de minute sau între 1 5 şi 25 de minute. Francezii ar exprima aceasta prin vingt minutes d cinq minutes pres, ceea ce înseam nă uneori, în limbaj cifric, 20 (±5) minute . Trecerea de la primul la al doilea nivel are o întreagă istorie,

dare poate fi ilustrată prin exemple celebre. Să ne :r�fe rim mai întâi la baterea monedelor de aur. Pen­ .t'rU ace stea, guvernele prevedeau o anumită greuta­ fe , dar fireşte că, practic, era imposibi� ca toate illonedele să aibă exact aceeaşi greutate . Intr-o ata­ te� situaţie, primul nivel de aproximare era cu totul Jî$uficient. O prevedere de tipul fiecare monedă

treagă perspectivă se deschide aici, a aproximaţiilor succesive şi a dezvoltărilor în serie , atât de familiare studenţilor ingineri, economişti, informaticieni sau matematicieni.

biiă; trebuia prevăzut un prag inferior şi un altul �uperior lui cinci, un interval centrat în 5 pe care

Auzim de multe ori critici la adresa folosirii cal­ culatorului în şcoli. "Din cauza calculatorului, elevii nu mai ştiu să calculeze" , pretind unii. Adevărul este că tocmai folosirea calculatorului a scos la iveală precaritatea unor procedee tradiţionale de calcul, cum ar fi evaluarea rădăcinii pătrate a unui număr prin gruparea două câte două a cifrelor care alcătuiesc numărul re spectiv. În manualele şcolari­ tăţii mele , această metodă era foarte populară. De­ sigur, te poţi sau nu întreba ce se întâmplă când apeşi pe butonul rădăcinii pătrate , dar tot atât de bine te poţi sau nu întreba care este legitimitatea unui procedeu de calcul efectuat manual . De multe ori, când vrem să spunem că un elev este nul la matematică, recurgem la expresia "nu ştie nici tabla înmulţirii" ; dar, de fapt, cunoaşterea mecanică a tablei înmulţirii este cu totul nesemnificativă in ceea ce priveşte capacitatea de gândire matematică. Aici, ca şi în atâtea alte situaţii, este instructiv să-i evocăm pe vechii greci . În scrierile sale, Heron din Alexandria expune procesul de extragere a ră­ dăcinii pătrate a lui 7 2 0 , metoda având valabilitate generală. Deoarece 720 nu este un pătrat, se con­ sideră (prin tatonări) cel mai apropiat pătrat, 729 (pătratul lui 27) . Nu se mulţumeşte cu această primă aproximaţie; el îl împarte pe 720 la 27 şi ob­ ţine 26 + 2 / 3 . Deoarece 27 este prea mare , iar 26 + 2 / 3 este prea mic , se consideră media lor aritmetică: 26 + 1 / 2 + 1 / 3 ; pătratul ei este 720 + + 1 / 3 6 . Pentru a diminua eroarea (deocamdată ega­ lă cu 1 / 36) , o luăm de la început, înlocuind însă pe 27 cu 2 6 + 1 / 2 + 1 / 3 . Din nou o împărţire urmată de o luare a mediei aritmetice . Obţinem 26 + 1 / 2 + + 1 / 3 - 1 / 1 932 . Pătratul acestui număr nu-l depă­ şeşte pe 720 decât cu câteva zeci de milionimi. Şi aşa mai departe .

-

trebuie să aibă în jurul a cinci grame era in accepta­

greutatea monedei nu avea voie să-I părăsească. Această practică s-a extins la cele mai multe produ­ S� industriale. De exemplu, un articol de o sută de grame poate avea o greutate între 95 şi 105 grame s'au între 98 şi 1 02 grame, după caz; după natura sa, intervalul de toleranţă poate fi mai mic sau mai mare. Un alt exemplu celebru îl constituie calculele astronomice. Aristarc din Samos, în căutarea di­ �en siunilor sistemului solar, plasa sinusul unghiu­ lUi de trei grade în intervalul de la 1 / 20 la 1 / 1 8 . Această reprezentare a unui număr printr-un inter­ val s-a transmis până în zilele noastre . AL TREILEA NIVEL: CONVERGENŢA, CA

APROXIMA ŢIE

Dar nu este greu de văzut că nici acest al doilea nivel de aproximare nu rămâne invulnerabil; dacă o valoare nu poate fi indicată cu exactitate , ci numai printr-un interval în care ea se află, atunci acest interval la rândul lui va avea nevoie de o aproxima­ re, deoarece extremităţile sale sunt numere care nici ele nu pot fi indicate cu exactitate . Să ne amin­ tim de discuţia despre numărul Jr. Arhimede a par­ curs drumul de la primul la al doilea nivel de aproximare, indicând intervalul de la 3 + 1 0 / 7 1 la 3 + 1 / 7, iar întreaga istorie, de la Arhimede până în zilele noastre , nu a făcut decât să înlocuiască acest interval cu noi şi noi intervale, din ce în ce mai mici, cu extremităţi exprimate prin numere raţionale . Am ajuns astfel să aproximăm numărul Jr cu o eroare inferioară lui 0,00 . . . 00 1 , unde numărul zerourilor de după virgulă este de câteva mii de milioane; dar, în principiu, putem să-I aproximăm pe Jr cu o eroare oricât de mică dorim, cu condiţia de a dispune de timp suficient. Ne aflăm astfel la cel de-al treilea nivel· al aproximării, care presupune un adevărat scenariu, cu două personaje: unul propune un anumit ordin de mărime al aproximării, celălalt în cear că să-I satisfacă. Cei cu o oarecare cultură matematică, dar o cultură nu superioară aceleia pe care o dobândeşte un elev de liceu, recunosc aici ideea de convergenţă a unui şir de numere a(n) că­ tre o valoare a. Unul dintre personaje propune un ordin de mărime sub forma unei valori pozitive e, iar celălalt furnizează un număr natural N, astfel încât pentru orice n superior lui N, expresia a(n) - a rămâne, în valoare absolută, inferioară lui e. O în-

DE CE NU MAI ŞTIU ELEVII SĂ CALCULEZE?

PREOCUPAREA PRINCIPALĂ: COSTUL OPERAŢIILOR

De fapt, alegerea punctului de plecare , în abor­ darea anterioară, nu are prea mare importanţă, deoarece ea este neutralizată pe parcurs. Dacă ne interesează rădăcina pătrată a lui A, alegem două numere a şi b al căror produs este A şi împărţim pe A la media aritmetică c a lui a şi b. Dacă rezultatul împărţirii este d, considerăm media aritmetică e a lui c şi d. De sigur, dacă această medie este un nu­ măr iraţional, o vom rotunji printr-o aproximaţie raţională; tocmai în aceasta constă valoarea proce 285

deului lui Heron; putem rotunj i fără teamă. Con­ tinuăm împărţind pe A la e şi notând rezultatul (rotunjit) cu J, şi ne oprim, considerând că f este o aproximare destul de bună a rădăcinii pătrate, sau continuăm, luând media aritmetică (rotunjită) 9 a lui e şi f ş. a.m. d . De exemplu, în cazul rădăcinii pătrate a lui 720, şapte etape de tipul celor de mai sus sunt suficiente pentru a obţine o aproximaţie de ordinul zecimilor de miimi. Un exemplu celebru este cel al rădăcinii pătrate a lui 2 , de spre care se ştie încă din antichitate că nu e ste raţional. Plecănd de la valorile 1 şi 2 , între care se află cuprinsă valoarea căutată, se constată că metoda lui Heron conduce, în cinci sau şase eta­ pe, la o aproximaţie cu zece zecimale exacte a rădă­ cinii pătrate a lui 2 . G . Th. Guilbaud (op. cit.) ne atrage atenţia că, în diferite nuanţe , metoda prezentată a străbătut istoria, fiind găsită şi re găsită nu numai de civiliza­ ţia greacă, ci şi de cea bizantină, apoi în evul mediu latin şi de renaşterea italiană, pentru ca în secolul al XIX-lea să mai fie regăsită de vreo trei-patru ori. Cea mai veche mărturie de spre evaluarea rădăcinii pătrate provine de la babilonieni ; cele mai recente sunt mereu înlocuite cu altele , care caută să le amelioreze pe cele precedente. Niciodată nu au fost mai insistente ca acum preocupările pentru costul operaţiilor aritmetice fundamentale.

NOI ALGORITMI PENTRU RĂDĂCINA PĂTRATĂ Guilbaud se referă la două articole publicate în numărul din noiembrie 1 983 al faimoasei reviste IBM Joumal of Research. În aceste articole se pro­ pun noi algoritmi de extragere a rădăcinii pătrate , dar referinţa la procedeul lui Heron nu poate fi evi­ tată. Vom prezenta ideea de bază pentru a se vedea legătura cu tradiţia. A găsi rădăcina p ătrată a lui N înseamnă a găsi două numere (aproape) egale, al căror produs este N. Fie aceste numere p şi q. Căutăm să le înlocuim prin altele , r şi s, şi mai apropiate . Deci p va fi su­ perior lui r = pu, iar acesta va fi superior lui s = q/u, acesta din urmă fiind superior lui q (coeficientul u fiind ales mai mic decât unitatea) . Procedeul lui Heron corespunde alegerii me diei aritmetice: r = (p + + q) j 2 , deci u = (p + q) j (2p) . Ni se cere să avem pq = = N, iar evaluarea lui u să nu fie prea costisitoare . În aceste condiţii, sunt posibile şi alte alegeri, de exemplu w = ( 3 q + p) j (3p + q); această din urmă alegere asigură o convergenţă mult mai rapidă decât în procedeul lui Heron . Articolele menţionate propun alte alegeri, pen­ tru care evaluează durata şi precizia calculelor. Punctul delicat al demersului constă în faptul că dintre cele două condiţii considerate: 1) pq = N şi 2) P şi q sunt aproape egale, condiţia 2) este, evi­ dent, de natură aproximativă; dar, prin rotunjirile

286

necesare, condiţia 1) devine şi ea aproxim ativă. Principiul constă deci în a căuta două num e re aproape egale, al căror produs este aproape egal cu un număr dat. Adevărul este însă că în evaluări acest fel manifestăm de multe ori, fără un control core spunzător, optimism, speranţa că, datorită cOn­ vergenţei rapide a procesului de aproximare, erorile de rotunjire nu se vor acumula, compromiţând sco­ pul urmărit. Aproximarea ascunde multe capcane ce recla­ mă din partea noastră o atenţie continuă. Rădăcin a pătrată a luC2 a produs o criză în matematica grea­ că. Această criză a iraţionalelor s-a permanentizat, luând mereu alte forme , şi asta în ciuda faptului că mărturii de spre rădăcina pătrată datează de aproa­ pe patruzeci de mii de ani. O mărturie mai vec he despre proce sul de aproximare nu pare să existe.

de

DE LA CERC LA CURBE ARBITRARE Una dintre aproximaţii1e de mare însemnătate ştiinţifică şi deosebită semnificaţie culturală a con­ stituit-o înţelegerea conceptului de lungime a unei curbe cu ajutorul ideii elementare de lungime a unei linii poligonale. În cazul cercului, procedeul este cunoscut din antichitate şi a devenit, în zilele noastre, o componentă a invăţământului matematic gimnazial. Trebuie însă să observăm că, în ciuda popularităţii relaţiei care se stabileşte între lungi­ mea unui cerc , diametrul său şi numărul Jr (p rima fiind produsul celorlalte două) , mulţi sunt cei care nu-i înţeleg semnificaţia. Există impresia că nu­ mărul 7r ar fi fost definit independent de problema lungimii unui cerc , după care această lungime s-a exprimat cu ajutorul lui 7r (de spre care elevii se gră­ besc să spună că este egal cu 3 , 14). Realitatea este alta: o teoremă afirmă că raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul său este acelaşi la orice cerc, iar valoarea acestui raport este de semnată cu litera greacă 7r (am discutat de spre aceasta cu prilej ul prezentării proce sului de aproximare a lui 7r p ri n numere raţionale) . Să vedem însă acum în ce fel putem generaJ,iza procedeul folosit la cerc, pentru a obţine posibilitatea de a defini lungimea unei curbe arbitrare . Un atare procedeu a fost indicat, spre sfârşitul secolului al XIX-lea, de matematicianul francez Camille Jordan. Nu vom intra în detalii teh­ nice (pe care cititorul le poate găsi în cartea noastră Noţiuni de analiză matematică, Editura Ştiinţifică, 1 967) . Vom reţine aici ideea de bază: curba este aproximată cu linii poligonale înscrise , se consideră lungimile acestor linii poligonale, se constată ten­ dinţa lor de creştere atunci când numărul vârfurilo r liniei poligonale creşte, iar lungimea laturilor ei se micşorează. Valoarea (unic detenninată) de care se apropie numerele astfel obţinute capătă statutul de lungime a curbei considerate . Nu este exclusă posibilitatea ca această lungime să fie infinită.

TRANSFERUL DE LA CURBE LA SUPRAFEŢE: O AŞTEPTARE FRUSTRATĂ Era de aşteptat ca această metodă să poată fi tran spusă de la curbe la suprafeţe. Aşa cum lungi­ me a unei curbe este aproximată prin lungimile linii­ lor poligonale înscrise în curbă, nu este natural ca aria unei suprafeţe să fie aproximată cu ariile su­ prafeţelor poliedrale înscrise în suprafaţă? Aşa s-a crezu t şi s-a sperat. . . până când s-a constatat, printr-o tentativă celebră, eşecul ace stei întreprin­ deri. Este vorba de faimosul paradox al lui H .A. Schwarz, care a încercat să regăsească, prin metoda lui Jordan, aria laterală a unei cutii cilindrice (pe care o învaţă orice elev de clasa a VIII-a) . Dacă dia­ metrul bazei este de opt centimetri, iar înălţimea cutiei este de cinci centimetri, atunci aria laterală este de 40 7r centimetri pătraţi. Am ales anume di­ mensiunile obişnuite sau apropiate de cele ale unei cutii de conserve . Iată însă că, evaluată cu metoda lui Jordan, aria laterală de mai sus devine obiectul unei adevărate vrăjitorii; în loc să se regăsească valoarea 40 7r, se constată că aria laterală în che sti­ une poate fi manipulată după voie , putând chiar deveni infinită. Fericitul cumpărător al unei banale cutii de conserve află astfel că obiectul pe care l-a achiziţionat este un adevărat trofeu câştigător.

DE CE ARIA SUPRAFEŢEI NU U RMEAZĂ CALEA LUNGIMII CURBELOR? Care este explicaţia acestui rezultat neaşteptat? Cum este posibil ca o metodă încununată de succe s in cazul curbelor să eşueze în cazul suprafeţelor? Răspunsul avea să fie dat de matematicianul fran­ cez Henri Lebesgue la începutul secolului xx. El a pornit de la observarea atentă a procedeului practic folosit în măsurarea drumurilor. Un anumit seg­ ment-etalon este purtat de atâtea ori cât este nece­ sar, până ce drumul este epuizat. Are loc deci o aproximare a liniei - de obicei sinuoase - a drumu­ lui printr-o linie poligonală. Deosebirea faţă de pro-

cedeul lui Jordan (inclusiv procedeul elementar de determinare a lungimii cercului) se· află în primul rând în faptul că această linie poligonală obţinută ad-hoc nu este neapărat înscrisă în drumul sinuos, cu alte cuvinte, vârfurile ei nu se află neapărat pe curba a cărei lungime vrem s-o aproximăm. Mai există în să o de osebire , mai ascunsă, care nu a scăpat ochiului atent al lui Lebesgue : linia poligona­ Iă pe care o realizează măsurătoarea practică se menţine în apropierea drumului de măsurat nu numai din punctul de vedere al distanţei, ci şi sub aspectul direcţiei pe care o urmează. Aceasta în­ seamnă că diferitele segmente ale liniei poligonale vor face cu partea core spunzătoare a drumului de măsurat un unghi c ât mai aproape posibil de zero . Iată deci două elemente noi, de care procedeul lui Jordan nu ţine seama. Lebesgue încorporează în noul procedeu pe care -l propune amândouă aceste elemente . Arată cum se pot exprima matematic apropierea în distanţă şi apropierea în direcţie a două curbe cu tangentă şi a două suprafeţe cu plan tangent. Selecţionează numai acele şiruri de linii po­ ligonale (re spe ctiv de suprafeţe polie drale) care con­ verg atât în distanţă, cât şi în direcţie către curba (respectiv sup rafaţa) considerată. Arată că pentru două şiruri diferite de acest fel, şirurile asociate de lungimi (respectiv de arii) au aceeaşi limită, iar va­ loarea acestei limite (finită sau infinită) primeşte numele de lungime (respectiv arie) a curbei (respec­ tiv, a suprafeţei) . Procedând în acest fel, paradoxul lui Schwarz este evitat. a întrebare se impune în mod natural: de ce nu a apărut un paradox de tip Schwarz în cazul curbe­ lor? Răspunsul a fost dat tot de Lebesgue, care a arătat că dacă un şir de linii poligon ale înscrise într-o curbă cu tangentă tinde în distanţa către această curbă, atunci de la sine acest şir tinde către curbă şi în direcţie . Însă o teoremă de acest fel nu mai are loc la suprafeţe : din faptul că un şir de su­ prafeţe poliedrale înscrise într-o suprafaţă cu plan tangent tinde în distanţă către această suprafaţă nu rezultă că şirul tinde şi în direcţie către suprafaţa respectivă. Este exact ceea ce se întâmplă în exem­ plul discutat de Schwarz.

287

HAO SUL (DETERMINIST)

CUM SE COMPORTĂ UN FLUID? o problemă deosebit de dificilă, aflată de multă vreme în atenţia cercetătorilor, dar pentru care nu s-a găsit încă o soluţie satisfăcătoare , este aceea a comportamentului unui fluid incompresibil aflat Într-o anumită regiune a spaţiului. De scrierea miş­ cării acestui fluid se prevalează de valorile vitezelor fluidului în diferite puncte şi la diferite momente . Să notăm cu u(x, t) vectorul viteză în punctul x, la mo­ mentul t. Fiecare element al fluidului se supune ecuaţiei fundamentale a lui Newton: acceleraţia este egală cu raportul dintre forţa care acţionează asu­ pra elementului fluid şi masa respe ctivului element. Putem scrie de asemenea o ecuatIe de continuitate care exprimă faptul că nici o p �te a fluidului n � este anihilată şi nu este creat nici un element nou de fluid. Cu anumite ipoteze acceptabile relative la frecarea în interiorul fluidului (adică vâscozitate) se obţine un sistem de patru ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, pus în evidenţă de C.L.M . H . Navier (Memoire sur les lois du mouvement des jluides, Mem. Acad. Sci. Pari s, 6 ( 1 827) , şi G.G. Stokes (On the theories of internal friction offluid in motion and of the eqilibrium and motion of elastic solids, Tans. Cambridge Phil. Soc. 8 [ 1 84 5]) . Nu putem transcrie aici aceste ecuaţii, deoarece sunt destul de compli­ cate . Vom spune doar că fiecare componentă scala­ ră a funcţiei vectoriale u(x, t) intervine atât ca atare, cât şi prin derivatele ei parţiale în raport cu timpul şi cu coordonatele punctului x: mai intervin vâscozi­ tatea cinematică, forţa exterioară, operatorul lui Laplace (egal cu suma derivatelor parţiale de ordi­ nul al doilea în raport cu coordonatele spaţiale) şi pre siunea (prin derivatele ei parţiale în raport cu coordonatele spaţiale) .

Cu LERAY, ÎNTR-UN SPAŢIU INFINIT-DIMENSIONAL Complexitatea ecuaţiilor Navier-Stokes explică de ce timp de o sută de ani matematicienii le-au contemplat neputincioşi. Abia în deceniul al patru­ lea al secolului trecut Jean Leray propune o idee 288

care avea să se dovedească benefică. El introduce anumite spaţii funcţionale cu o infinitate de dimen­ siuni (adică în care fiecare punct are o infmitate de coordonate) , în care ecuaţiile Navier- Stokes iau for­ ma: (du/ dt) + un termen liniar în u + un termen pătratic în u = un termen independent de u. Acum parcă nu ne mai speriem, lucrurile seamănă cu ecuaţii diferenţiale clasice dintre cele mai simple. În acest fel, soluţiile sistemului Navier-Stokes, văzute ca soluţii ale ecuaţiei lui Leray, reprezintă pur şi simplu puncte în mişcare, dar nu în spaţiul nostru familiar, tridimensional, ci intr-un spaţiu imaginar adecvat, cu o infinitate de dimensiuni. Un atare procedeu este frecvent în matematică. El permite păstrarea unui puternic suport intuitiv în observa­ rea unor entităţi complicate. Dar meritul lui Leray este dublu, deoarece, pe lângă ecuaţia menţionată, el a inventat metode matematice adecvate de abor­ darea acestei ecuaţii. Alte momente importante în această problemă au fost marcate în deceniul al şaselea de E. Hopf, de la Universitatea Indiana din Bloomington (SUA) , unde, ulterior, s-au adus şi alte contribuţii de seamă relative la ecuaţiile Navier­ Stoke s. Ultimii patruzeci de ani au cunoscut multe rezultate importante în această chestiune, unele dintre aceste rezultate fiind datorate unor cerce­ tători români, în primul rând profesorului Ciprian Foiaş. Totuşi, multe probleme precise rămân încă nerezolvate. Cea mai cunoscută dintre aceste pro­ bleme s-ar foqnula în modul următor: în spaţiul infinit-dimensional la care se referă ecuatia lui Leray, punctele u cu disipare constantă de �nergie se află pe o sferă centrată în origine, în timp ce punctele u cu energie constantă se află pe un elip­ soid foarte alungit. După cum a arătat Leray, orice soluţie a ecuaţiilor Navier- Stokes este conţinută într-un elipsoid de acest fel, dar nu se ştie încă da­ că o atare soluţie se află cuprinsă într-o sferă de tipul aceleia despre care a fost vorba mai sus. Exis­ tă o parte comună unui elipsoid şi unei sfere , dar există puncte ale sferei care nu se află în elipsoid, după cum există puncte ale elipsoidului care nu se află in sferă. Un răspuns negativ la această chesti­ une ar putea fi relevant într-o problemă majoră a fizicii teoretice, aceea a turbulenţei.

TURBULENŢĂ - DEZORDINE - HAOS Ce este turbulenţa? O definiţie riguroasă nu ave m , aşa cum nu avem nici pentru aleator. Intui­ tiv, starea turbulentă este asociată cu dezordinea, cu h aosul. Dar în spatele acestei dezordini cercetă­ torii încearcă să de scopere o ordine ascunsă. În absenţa unei teorii generale, studiul turbulenţei fluidelor se bazează pe experimente fizice în labora­ tor şi pe simulare numerică pe calculator. Dar la calculator, fluxul vectorial u este aproximat prin mijloace discrete, cu ajutorul unui număr finit de coordonate. Aj ungem astfel la o nouă faţă a aproxi­ maţiei. Putem, de exemplu, considera valorile lui u in punctele de intersecţie ale unei grile formate din plane p aralele echidistante la planele de coordonate . Reţinând valorile lui u in vârfurile cuburilor care iau astfel naştere, este clar că aproximaţia va fi cu atât mai bună cu cât grila este mai fină, cu alte cuvinte , cu cât distanţa dintre două plane paralele con secu­ tive este mai mică. Cu cât fluidul este mai turbu­ lent, cu atât grila considerată va trebui să fie mai fină.

IDEILE LUI KOLMOGOROV În această ordine de idei, un moment important a fost marcat de ideile lui A . N . Kolmogorov, în dece­ niul al cincilea. În funcţie de coeficientul de vâsco­ zi tate v şi disiparea medie e de energie, în raport cu masa şi cu timpul, se poate determina un prag arv, e) cu proprietatea că sub distanţa de a(u, e) turbulenţa este anulată de frecarea de vâscozitate. Notând cu w viteza medie a mişcării, în conformita­ te cu cele de mai sus, e este raportul dintre pătratul lui w şi 2t, unde w = a(u, e)l t. Rezultă că e este echivalent cu raportul dintre cubul lui w şi a(u, el. Pe de altă parte, un calcul algebric cu dimensiunile fizice ale lui e şi ale lui u conduce la concluzia: a(v, e) este echivalent cu puterea de exponent 1 / 4 a raportului dintre cubul lui v şi e. Considerând acum un cub de dimensiune b şi cunoscând valorile lui u în punctele de intersecţie ale unei grile cu dis­ tanţa a (v, e) între planele paralele consecutive , ne putem aştepta la o imagine aproximativă oarecum convenabilă a mişcării fluidului. Luând drept coor­ donate valorile lui u în punctele de intersecţie ale grilei, numărul N al punctelor de intersecţie ale acestei grile este echivalent cu puterea de exponent 3 a raportului bl a (v, e), deci cu puterea de exponent 9 /4 a raportului dintre wb şi u. Raportul R=(wb)l v este adimensional şi a rămas cunoscut sub numele de nu mărul lui Reynolds. Relaţia pe care tocmai am pus-o în evidentă este datorată lui L. Landau. Pro­ ble ma care s-a us este d acă această relaţie, datând din deceniul al cincilea, poate fi articulată cu ecua­ ţiile Navier- Stoke s şi cu ecuaţia lui Leray. Un răs­ puns afirmativ la această che stiune a venit abia in

p

1 9 8 3 , într-un articol publicat în revista Comm. in Math. Phys. (autori: C. Foiaş şi R. Temam) . Dificultatea cercetărilor de mai sus este legată, între altele , de faptul că relaţia lui Landau are doar o validitate statistică. Rezultă că evaluarea număru­ lui N de coordonate relevante pentru o mişcare indi­ viduală poate fi destul de diferită de valoarea statistică a lui N. La aceasta se mai adaugă posibili­ tatea ca ecuaţia lui Leray să admită şi soluţii "rele" , care nu-s conţinute în nici o sferă de tipul celor de care am vorbit. Dificultăţi de acest fel sunt evitate dacă se presupune că mişcarea fluidului are anumi­ te proprietăţi geometrice , de exemplu pe aceea de a lăsa invariant orice plan orizontal. Estimările cât de cât satisfăcătoare ale lui N se referă deocamdată tocmai la această situaţie .

TURBULENT ŞI LAMINAR De la aproximaţie la haos, iată un itinerar pe care ştiinţa l-a parcurs în ultimele decenii, in bună măsură datorită revoluţiei informatice . Un aspect al ace stui itinerar a fost de scris într-o etapă anterioa­ ră. Haosul s-a asociat cu starea de turbulenţă. Acestei probleme îi este consacrat un întreg capitol în cartea Adelinei Georgescu Sinergetica - o nouă sinteză a ştiinţei (Editura Tehnică, Bucureşti, 1 987) . Autoarea observă că, deşi de cele mai multe ori tur­ bulenţa este nedorită, fiind mare consumatoare de energie , uneori este utilă, fiind chiar provocată deli­ berat. O situaţie similară apare în legătură cu fieca­ re formă de imprecizie ; de exemplu, ambiguitatea poate fi dăunătoare în unele procese de comunicare, dar poate fi dorită şi provocată în altele. Am văzut însă că nu dispunem (încă?) de o definiţie satisfăcă­ toare a turbulenţei . Ştim de spre ea unele lucruri, de exemplu că se asociază cu numere Reynolds mari, deci cu viteze u mari cu coeficient v redus de vâsco­ zitate cinematică (numărul lui Reynolds este lui v, unde 1 este o lungime caracteristică) . A. Georgescu ne aminteşte că "în mecanica fluid elor, prin turbu­ lenţă se înţelege un regim de mişcare caracterizat la nivel macroscopic de mărimi care variază aleator în timp, particulele (fluide) descriind, în spaţiul fizic cu trei dimensiuni, traiectorii atât de sinuoase încât par a nu mai fi deduse din legi deterministe" (loc. cit., p. 83) . O definiţie? Numai o delimitare, o apro­ ximare, o descriere în termeni mai degrabă negativi. Într-un regim turbule nt, "aceeaşi experienţă, efec­ tuată în aceleaşi condiţii macroscopice , dar la mo­ mente diferite , conduce la rezultate diferite" (loc. cit. , p. 83) ; o pagină mai departe, autoarea constată: "Cu alte cuvinte, nu se ştie ce este turbulenţa flui­ delor; dacă acest lucru ar fi cunoscut, atunci ar exista un singur model matematic, şi nu un număr impresionant de modele de turbulenţă" (loc. cit. , p. 84) . Iar mai departe: "De aceea, natura (originea) turbulenţei este cunoscută ca marea problemă a mecanicii fluidelor" (loc. cit. , p. 85). În opoziţie cu 289

regimul turbulent se află regim':l l lan:in ar , asociat . cu numere Reynolds mici, cu trmectorll regulate ale particulelor fluide şi conducând la un model mate­ matic cu soluţie unică şi stabilă. Nu există o valoare determinată a numărului lui Reynolds la care se face tranziţia de la regimul laminar la cel turbulent. Acest punct ipotetic de tranziţie este de fapt aproxi­ mat cu un întreg interval, în care regimul Iamin ar interferează şi coexistă cu cel turbulent.

LORENZ ŞI DIFICULTATEA PROGNOZELOR METEOROLOGICE Dar dacă turbulenta se asociază cu haosul, problema turbulenţei �ste transferată întrucâtva asupra haosului. Istoria acestui transfer a marcat un moment important prin de scoperirea de către Edward Lorenz ("Deterministic nonperiodic flow", Joumal of Atmospheric Science, voI. 2 0 , 1 9 6 3 , no. 1 2 0) a unui model matematic simplificat al convec­ tiei atmosferice sub forma unui sistem de trei ecua­ ii diferenţiale dt = -Sx + Sy , dy/ dt = rx - y - xz, dt= = bx + xz, unde b, r şi s sunt parametri reali, iar (x, y, z) este vectorul (funcţie de t) necunoscut. Pentru fiecare valoare a lui t, (x(t), y(t), z(t)) este un punct în spaţiul euclidian tridimensional al fazelor. Studiind acest sistem pe calculator, Lorenz a con­ statat dinamica foarte complicată a traiectoriilor de fază, dependenţa foarte sensibilă de condiţiile iniţia­ le. Cu alte cuvinte, două traiectorii care pleacă de la condiţii iniţiale foarte apropiate pot ulterior diverge considerabil. S-au reliefat pe această cale comporta­ mentul haotic al evoluţiei vremii şi implicit dificulta­ tea maj oră neaşteptată a prognozelor meteorologice. Eram astfel departe de aşteptările lui J. von Neumann, pionier al calculatoarelor electronice, care preconiza ca prin folosirea calculatorului să putem nu numai prevedea vremea, dar s-o şi modi­ ficăm în mod convenabil. Optimismul se baza pe folosirea conjugată a calculatorului şi a sateliţilor spaţiali . De sigur, aceste instrumente s-au dovedit utile, dar nu încă pe măsura aşteptărilor. Von Neumann nu ignora faptul că un sistem dinamic complicat ar putea avea puncte de in stabilitate, în care modificări minore atrag con secinţe maj ore , dar el credea totuşi că cercetătorii vor putea, pe baza găsirii ecuaţiilor de mişcare a fluidului , să determine evoluţia ulterioară a vremii.

ţ dz/

dx/

EFECTUL DE FLUTURE ŞI HAOSUL DETERMINIST Desigur, calculatorul şi sateliţii spaţiali au transformat prognoza meteorologică dintr-o artă într-o ştiinţă, cum se exprimă James Gleick (Chaos. Making a new science, Viking Penguin Inc . , New York, 1 987, p. 20) . Dar prognozele pe perioade mai 2 90

lungi de 2-3 zile rămâneau mai degrabă specul ative, iar pentru perioade mai mari de o săptămân ă nici nu meritau osteneala. Cauza? Răspunsul avea să fie dat de Lorenz şi a rămas cunoscut sub den umi­ rea metaforică efectul de fluture. Pentru porţ iuni mici ale climei, cum ar fi o furtună sau un vis col, orice predicţie riscă să se deterioreze în mod rapid. Erorile şi ipcertitudini1e se multiplică printr-o înl ăn­ ţuire de fenomene turbulente, uneori de o amp lo are pe care numai sateliţii o pot sesiza. Dacă von Neumann era încrezător în controlul vremii, în sen­ sul că prin modificări mici am putea obţine schim­ bări de amploare într-un sen s pe care-l dorim , Lorenz, rămânând de acord cu posibilitatea modifi­ cării vremii, crede că nu putem determina în ce măsură această modificare ne-ar avantaja. Însă meritul principal al lui Lorenz constă în faptul de a fi înţeles că există o legătură între "în că­ păţânarea" vremii de a nu se repeta şi incapacitatea meteorologilor de a prevedea o le gătură între nepe­ riodicitate şi imprevizibilitate . După mai multe tentative testate la calculator, Lorenz a reuşit să exprime matematic (prin ecuaţiile semnalate mai sus) fenomenele discutate, în primul rând aperio­ dicitatea şi efectul de fluture , ca expresie metaforică a dependenţei deosebit de sensibile de condiţiile iniţiale . Gleick (op. cit. , p. 23) observă că această dependenţă marcată de puncte critice şi-a găsit de multă vreme o expresie în folclor: din cauza unui cui lipsă, s-a pierdut o potcoavă; lipsind potcoava, a murit calul; pierzându-se calul, s-a pierdut şi călă­ reţul; pierzându-se călăreţul, bătălia a fo st şi ea pierdută, din care cauză s-a pierdut întregul regat. Sistemul dinamic al lui Lorenz i-a pus pe cerce­ tători în fata unui fenomen nou, un aşa-numit haos determinis t . Sursa surprizei se află în neliniaritatea sistemului, în faptul că acesta exprimă relaţii ne­ proporţionale . Relaţiile liniare pot fi reprezentate prin linii drepte , ele se pot aduna, conducând tot la relaţii liniare . Sistemele liniare se pot rezolva, în contrast cu cele neliniare , pentru care nu dispunem de o teorie generală.

POLEMICI ÎN JURUL REVOLUŢIEI HAOSULUI "Acolo unde apare haosul, ştiinţa clasică devine neputincioasă" , ob servă James Gleick (op. cit. , p. 3) . Dezordinea din atmosferă, turbulenţa apelor mării, fluctuaţiile populaţiilor sălbatice, oscilaţiile imprevi­ zibile ale inimii sau ale creierului, iată numai câteva dintre manifestările haotice ale naturii . Dar, desi­ gur, a înţelege aceste mani festări înseamnă tocmai a trece dincolo de dezordinea lor aparentă, pentru a descoperi ordinea lor ascunsă. Haosul este unul dintre multiplele nume ale ignoranţei noastre , un mod comod, indirect, eufemistic de a afirma incapa­ citatea noastră de a descifra unele secrete ale natu­ rii. Când vorbim de spre neregularitate , avem în vedere abaterea de la anumite reguli, mai simple (pe

care le cunoaştem şi reuşim să le controlăm şi să le stăpânim) , şi nu absenţa oricărei reguli. O atare ab senţă s-ar situa dincolo de posibilităţile noastre de concepere şi exprimare ; un atare haos absolut n-ar putea fi decât aproximat. Asaltul neregularităţii, al dezordinii, al comple­ Xit ăţii are o istorie îndelungată, dar ultimele două dece nii au cunoscut o intensificare deosebită a acestei preocupări. Fiziologii au identificat o ordine 'surprinzătoare în aparentul haos al inimii omului, h ao s care duce uneori la moarte subită, căreia până nU demult nu i se putea găsi o explicaţie mai precisă. Ec olo giştii au putut explica unele creşteri şi căderi de pro porţii în rândul anumitor tipuri de populaţii. Economiştii şi-au renovat metodele de analiză. For­ ma norilor, traiectoria fulgerului, fenomenele micro­ scopice din arterele sanguine , aglomerările galactice ale stelelor, iată numai câteva dintre preocupările relative la investigarea haosului. Au loc reuniuni ştiinţifice dedicate haosului şi îi sunt dedicate revis­ te speciale. Are loc o nouă revoluţie ştiinţifică, revoluţia haosului? Aşa ar sugera cartea lui Gleick. Un recenzent al acestei cărţi, John Franks (în The Mathematical Intelligencer, voI . 1 1 , 1 989 , no. 1 , pp. 65-69) , este însă de părere că intensificarea preocu­ p ărilor privind haosul este o consecinţă a noilor posibilităţi oferite de informatică şi calculatoare. Revoluţia nu este deci a haosului, ci a calculatoare­ lor. Această revoluţie se află abia în stadiul ei inci­ pient; totuşi, a reuşit de pe acum să pună în evidenţă faptul că, pentru sisteme dinamice nelinia­ re, dependenţa sensibilă de condiţiile iniţiale poate fi tot atât de bine apropiată de regulă ca şi de ex­ cepţie . Acest fapt surprinzător, pe care cartea lui Gleick îl detaliază şi îl explică, a putut însă deveni vizibil abia datorită calculatoarelor.

asociază fie cărui x cuprins între zero şi unu partea fracţionară a lui 2x, adică diferenţa dintre 2x şi cel mai mare număr întreg care nu întrece pe 2x. Chiar această funcţie defineşte un sistem dinamic dintre cele mai simple; urmărind funcţionarea sa, ne vom apropia de înţelegerea "paradoxului aleatorului de­ terminist" . Să reprezentăm pe x în baza doi, deci folosind numai cifrele zero şi unu. Este uşor de vă­ zut că f(x) 2x dacă x este strict inferior lui 1/2, 1/2, f(x) = 2x- 1 dacă x este strict f(x) ° dac ă x cuprins între 1 / 2 şi 1 şi f(1) O. Rezultă astfel că, de exemplu, f(0, 1 1) = 0, 1 , f(O, 1 1 1) = 1 , 1 1 - 1 0, 1 1 şi , prin inducţie, dacă x 0, 1 1 . . . 1 , unde 1 apare de n + 1 ori după virgulă , atunci f(x) 0, 1 1 . . . 1 , unde 1 apare de n ori după virgulă. Cu alte cuvinte, aplica­ ţia f deplasează cu o cifră la dreapta poziţia virgulei şi înlocuieşte cu zero prima apariţie a lui 1 . Siste­ mul dinamic pe care-l avem în vedere constă în aplicarea iterată a aplicaţiei f Această iterare este posibilă datorită faptului că valorile funcţiei f se află în acelaşi interval în care ea este definită. Sistemul are intrări şi ieşiri: unei intrări x cuprinse între zero şi unu îi corespunde o ie şire de forma f(f(. . .f(x) . . ), unde numărul parantezelor stângi (ca şi cel al pa­ rantezelor drepte) este egal cu numărul de aplicări ale funcţiei f Să presupunem că are loc intrarea x 0, 1 1 . . . 1 , unde cifra 1 apare de treizeci de ori după virgulă. După o primă aplicare a lui f, vom obţine valoarea f(x), sub forma lui zero urmat de 29 de apariţii ale lui unu. După încă o aplicare, obţinem valoarea f(f{x)), egală cu zero urmat de 28 de apariţii ale lui unu . Continuând în acest fel, după 30 de aplicări ale lui f, "condiţia iniţială", sub forma intră­ rii x, va fi complet neutralizată. Cu alte cuvinte , după un număr suficient de mare de aplicări ale lui f, rezultatul devine independent de valoarea de ple­ care , căpătând astfel un aspect aleator. Acesta este în esenţă mecanismul care se află la baza comporta­ mentului celor mai multe sisteme dinamice haotice . =

=

=

=

=

=

=

.

=

=

POTCOA VA LUI SMALE Un alt aspect important al problemei se referă la problemele matematice ale haosului, probleme oarecum eludate în cartea lui Gleick, deşi ele pu­ teau fi explicate fără a se recurge la o tehnicitate matematică exagerată. În această ordine de idei, trebuie menţionat faptul că aproape orice sistem cu comportament haotic conţine ca o parte a sa un anumit sistem dinamic (sau varianta sa continuă) a fost descoperit de Stephen Smale şi rămâne cunos­ cut sub numele de potcoava lui Smale (Smale horseshoe) . Acest sistem a fo st unul dintre primele exemple de sisteme dinamice în care dependenţa sensibilă de condiţiile iniţiale a putut fi înţeleasă într-o manieră completă şi riguroasă. Denumirea de potcoavă este poate în legătură cu exemplul folcloric evocat într-o etapă anterioară. Sistemul lui Smale Se află într-o le gătură strânsă cu o funcţie relativ simplă, aşa-numita aplicaţie care dublează interva­ lul . E a este definită pe intervalul de la zero la unu şi

HAOS ŞI INTERDISCIPLINARITATE Haosul s-a dovedit a fi atât de eterogen, împre­ jurările în care apare s-au înfăţişat atât de variate , încât abordarea sa a trebuit să se desfăşoare pe mai multe fronturi. Chiar terminologia folosită este simptomatică în această privinţă: fractali şi bifurca­ ţii, intermitenţe şi periodicităţi, difeomorfisme şi aplicaţii netede. Haosul s-a dovedit a fi prezent pes­ te tot. Priviţi evoluţia fumului de ţigară, picăturile care se scurg dintr-un robinet, comportamentul unui avion în zbor, pentru a nu mai vorbi despre fenomenele social-umane. Consecinţele practice ale cercetărilor asupra haosului s-au văzut imediat. Companiile de asigurări încep să-şi revizuiască de­ ciziile, astronomii examinează altfel sistemul solar, politologii îşi revizuiesc modul de analiză a căilor care duc la conflicte armate.

29 1

Problemele haosului au dat un nou stimul ten­ dintelor spre interdisciplinaritate. Matematicieni, bioiogi, fizicieni, medici, sociologi s-au văzut uniţi în faţa aceleiaşi probleme dramatice a înţelegerii naturii haosului şi comportamentului haotic, a înţelegerii complexităţii în sisteme naturale sau sociale. Crizei de hiperspecializare pe care ştiinţa a cunoscut-o până în urmă cu vreo 40 de ani i-a urmat reacţia inversă, de transgresare a frontierelor disciplinare, şi aceasta în bună măsură în urma problemelor ridicate de haos, crede Gleick.

MATEMATICĂ - INFORMATICĂ - HAOS Studiul modern al haosului a început în dece­ niul al şaptelea al secolului XX , de îndată ce s-a constatat deosebita sen sibilitate a dependenţei de condiţiile iniţiale pe care o manifestă soluţiile unor sisteme de ecuaţii diferenţiale care modelează pro­ cese reale. Foarte mici modificări ale condiţiilor ini­ ţiale, cum ar fi poziţia şi viteza unui mobil la momentul iniţial, pot produce foarte mari deosebiri în evoluţia traiectoriei mobilului. Metafora efectului de fluture trebuie înţeleasă în sensul că un fluture care zboară azi într-o vale din Australia ar putea produce, pe ste un timp , să spunem o lună, o furtu­ nă în Brazilia. Am arătat că unii autori vorbesc despre o revo­ luţie a haosului, alţii consideră că este vorba numai despre una dintre consecinţele revoluţiei produse de calculatoarele electronice . Informatica reprezintă, de sigur, o componentă e senţială a cercetărilor re­ cente asupra comportamentului haosului, dar ar fi greu să reducem numai la atât semnificaţia acestor cercetări. Chiar varietatea fenomenelor le gate de haos ne pune în gardă asupra importanţei lor şi ne dă de bănuit că substratul lor este mai profund. De la mişcările imprevizibile în evoluţia unor populaţii la unele procese economice care nu mai pot fi con­ trolate şi de la surprizele prognozelor meteorologice până la diferite alte forme ale turbulenţei, haosul îmbracă forme dintre cele mai neaşteptate şi produ­ ce celor care-l studiază un puternic sentiment de frustrare . Dar chiar menţinându-ne în perspectiva corelaţiei informatică-haos, ne vedem obligaţi să reliefăm un alt aspect esenţial al problemei , cel al considerabilului efort matematic pe care s-au bazat multe dintre rezultatele obţinute în studiul haosu­ lui. Sunt implicate în ace st efort domenii mate­ matice dintre cele mai delicate , cum ar fi teoria sistemelor dinamice şi topologia diferenţială.

conturează ca una dintre marile provocări ale l umii contemporane. Din punct de vedere matematic evoluţia în timp a unei populaţii este descri să de anumită funcţie aplicată în mod iterativ unor date iniţiale , constând în structura populaţiei la Un anumit moment iniţial. O primă aplicare a funcţie i ne va conduce, de exemplu, la rezultatul ev ol uti e i după un an a populaţiei iniţiale. Aplicând ace e�ş i ., funcţie la rezultatul astfel obţinut, obţinem pop ula­ ţia după doi ani ş.a.m . d . Suntem în prezenţa unei maşini cu intrări şi ieşiri , populaţia după n ani fiin d intrarea care va conduce , prin aplicarea operatoru­ lui funcţional, la ieşirea constând în populaţia după n+ 1 ani . Această conexiune inversă poate să scape de sub control. J. Gleick (op. cit. , p. 6 1 şi continua­ rea) face analogia cu un vorbitor care strigă într-o sală, strigătul său este ampli-ficat de un microfon, rezultatul amplificării este din nou amplificat de acelaşi microfon ş.a.m . d . Alteori însă, aceeaşi cone­ xiune inversă poate produce stabilitate , aşa cum se întâmplă cu un termostat care regularizează tempe­ ratura dintr-o încăpere. Dar cum alegem funcţia în discuţia de mai sus? Admiţând că populaţia creşte cu un anumit procen­ taj , acelaşi în fiecare an , suntem conduşi la o func­ ţie liniară, adică de forma f(x) = ax, unde a este o constantă caracterizând rata de creştere. Dacă, de exemplu, populaţia este x 1 000, iar rata a este egală cu 1 , 1 , atunci după un an populaţia va fi de 1 1 00; după încă un an , ea va deveni 1 2 1 0 ş.a.m.d. Acesta este scenariul propus de Thomas Robert Malthus în ceea ce priveşte creşterea populaţiei; în acest scenariu simplist nu este loc pentru parametri de ordin economic (de exemplu, în legătură cu posi­ bilitatea de obţinere a hranei necesare unei popula­ ţii tot mai mari) sau moral. Încă în prima parte a secolului trecut, matematicianul italian Vito Volterra a studiat, cu aj utorul teoriei ecuaţiilor diferenţiale, evoluţia unor specii, punând în evidenţă, între alte­ le , fenomenul de histere sis la peştii din Adriatica; aceste cercetări au fost continuate la noi în ţară de profesorul Adolf Haimovici de la Universitatea din Iaşi. Aceste abordări se remarcau prin complexita­ tea lor, în contrast cu simplismul concepţiei mal­ thusiene. În momentul de faţă, cercetătorii sunt de acord că funcţia f trebuie aleasă în aşa fel încât să crească rapid în cazul unei populaţii mici , să-şi reducă creşterea până la valori apropiate de zero in cazul unor populaţii de mărime intermediară şi să descrească în cazul unor populaţii foarte mari. O primă idee ar consta în adoptarea unei modificări simple a versiunii malthusiene, prin considerarea unei funcţii de forma f(x) ax(1 x), unde factorul 1 x impune creşterii să nu depăşească anumite limite ( 1 x descreşte atunci când x creşte) ; desigur, prin adoptarea unei funcţii de acest fel, populaţia este exprimată printr-un număr cuprins între zero şi unu, zero corespunzând dispariţiei populaţiei considerate , iar unu fiind asociat cu maximumul posibil al populaţiei respective .

�

=

=.

-

EVOLUŢIA POPULAŢIILOR Să ne referim la unul dintre exemplele evocate mai sus, cel al evoluţiei populaţiilor la diferite specii de vieţuitoare. Este uşor de înţeles importanţa aces­ tei probleme într-un moment în care ecologia se 292

-

-

LORENZ - SMALE - YORKE Funcţiei de mai sus i se asociază natural o ecuaţie cu diferenţe , numită ecuaţia 10gistică. Încă pe la mijlocul secolului trecut au fost con siderate diferite modificări ale acestei ecuaţii în studiul evo­ iulie i unor populaţii. Mai toţi autorii erau de acord tă', după o anumită creştere şi o anumită os cilaţie a populaţiei, ea tinde să se stabilizeze în jurul unei vru ori de echilibru. Ideea este ferm exprimată de J Maynard Smith (Mathematical ideas in biology, 1968), după care populaţiile se stabilizează sau oscilează "cu o periodicitate destul de re gulată" în jurul unui punct de echilibru. Comentând acest punct de vedere , J. Gleick (op. cit. , p. 64) consideră ca. Maynard Smith nu era atât de naiv încât să nu.cşi imagineze că o populaţie nu ar putea evolua haotic; dar un atare comportament nu era conside ­ rat compatibil cu modelele matematice avute în vedere. Au survenit însă unele evenimente care au in­ trodus o schimpare de perspectivă. James Yorke studia, în urmă cu vreo 40 de ani, modul în care se propagă gonoreea, apoi sistemul de vânzare a ben­ zinei în timpul crizei petrolului. Tatona pe aceste exemple comportamentul haotic . În acea perioadă a aflat despre lucrarea din 1 963 a lui Lorenz (la care ne-am referit anterior) . A fost un adevărat şoc, deoarece era vorba despre un sistem haotic incom­ patibil cu ideile matematice iniţiale ale lui Steve Smale. De la Yorke , Smale află despre lucrarea lui Lorenz. Dacă Smale în faza sa initială era contrazis de Lorenz, nu este mai puţin adevărat că într-un comportament haotic de tipul aceluia pus în eviden­ ţă de Lorenz în domeniul meteorologiei acţionează funcţii ca aceea care asociază fiecărui x cuprins între O şi 1 partea neîntreagă a lui 2X; despre aceas­ tă funcţie , care multora le părea fără semnificaţie extramatematică, Smale şi-a dat seama că este im­ plicată în comportamentul multor sisteme fizice . Yorke era de părere că mulţi fizicieni şi biologi au primit o formaţie care-i împiedică să vadă haosul, în ciuda faptului că el era prezent la fiecare pas în viaţa cotidiană. ...

HAOSUL NU POATE FI DECÂT APROXIMAT James Yorke atrage atenţia asupra unui para­ dox al teoriei ecuaţiilor diferenţiale , teorie care , timp de două secole, a acumulat dezvoltări de mare pro­ funzime şi subtilitate , dar în acelaşi timp a scos în e�idenţă faptul că pentru cele mai multe ecuaţii d1ferenţiale (fie ele ordinare, fie cu derivate parţiale) nu putem furniza soluţiile. Paradoxul constă în f�p�ul că, în cazurile rare în care o soluţie poate fi gaSltă şi explicitată, chiar prin aceasta compor­ tamentul soluţiei nu poate fi haotic, deoarece însăşi scrierea ei este condiţionată de identificarea unor

invariaţii, cum ar fi momentul unghiular, de o anumită re gularitate deci, care, prin ea însăşi , se opune haosului. Recunoaştem aici aceeaşi dificulta­ te pe care o întâlnim şi în studiul altor tipuri de imprecizie. Haosul nu poate fi decât aproximat, aşa cum se întâmplă şi cu aleatorul, cu vagul, cu asi­ metricul , cu nimicul, cu neantul. Dar aproximarea poate fi oricând îmbunătăţită, de aceea problema rămâne mereu actuală. Rămâne mereu o distanţă între ceea ce concepem şi ceea ce putem exprima cu o relativă simplitate. Anticipând unele idei pe care avem intenţia să le dezvoltăm ulterior, vom observa că, de şi s-a putut arăta, încă cu pe ste 70 de ani în urmă, că, într-un anume sens, cele mai multe func­ ţii continue nu sunt derivabile , totuşi aproape toate funcţiile continue pe care le folosim în practica şti­ inţifică sunt derivabile , se scriu relativ uşor şi se reprezintă grafic fără dificultăţi; în acelaşi timp, funcţiile continue , dar care admit în orice interval puncte de nederivabilitate , comportă dificultăţi de expresie şi de reprezentare grafică. Manualele cu­ rente îşi îndreaptă reflectorul spre fenomenele de regularitate ale funcţiilor şi ecuatiilor. În ceea ce ' priveşte sistemele neliniare , sunt tratate numai rarele cazuri în care devine posibil un acce s pe "uşa din spate" , cum ar fi aproximarea cu aj utorul unui sistem liniar. În acest fel, s-a pierdut din vedere faptul că situaţiile normale , frecvente , autentice, sunt tocmai fenomenele neliniare , cazul aberant fiind tocmai atât de familiara liniaritate . Este exact ceea ce s-a întâmplat şi cu impresia de patologic pe care au provocat-o multă vreme functiile continue care nu sunt derivabile în nici un pu� ct. A trebuit să treacă multă vreme pentru a se realiza faptul că multe fenomene naturale sunt aproximate cU fineţe tocmai de aceste funcţii aparent patologic e. Dar minţi lucide , care au intuit importanţa neliniarului, nu au lipsit. Enrico Fermi se exprima ironic: " Nu scrie în Biblie că toate legile naturii sunt reprezen­ tabile liniar" , iar matematicianul Stanislav Ulam era de părere că a identifica studiul haosului cu ştiinţa neliniarităţii este ca şi cum am defini zoologia ca ştiinţă a vieţuitoarelor care nu sunt elefanţi. Atât de înrădăcinată devenise prejudecata liniarului, încât atunci când un experiment fizic, chimic sau biologic punea în evidenţă un comportament neliniar, această neliniaritate era pusă nu atât pe seama fenomenului ca atare , cât atribuită conditiilor ne­ prielnice de efectuare a experimentului, �numitor greşeli, zgomotului etc . o IMAGINARĂ POPULAŢIE DE PEŞTI Faţă de starea de lucruri descrisă, mesajele venite din partea unor cercetători ca Lorenz, Smale sau Yorke începuseră să schimbe mentalitatea înce ­ tăţenită în ştiinţă. La ace ste mesaje s-au adăugat mereu altele. Biologul Robert May (la origine fizician teoretician) şi-a propus să studieze o imaginară 293

populaţie de peşti, cu ajutorul aceleiaşi ecuaţii 10gistice la care ne-am mai referit. Programul lui May era in esenţă cel al lui Smale , dar ecuaţia pe care o studia May era mult mai simplă decât ceea ce stu­ dia Smale. Ca şi in cazul lui Smale , pe May îl inte­ resa comportamentul global pe care îl exprima ecuaţia. Ce se putea obţine nou faţă de ceea ce pu­ sese în evidenţă Smale în cazuri mai complicate, în ceea ce priveşte alternarea ordinii şi dezordinii? Şi totuşi, studiul numeric al ecuaţiei logistice a revelat aspecte neaşteptate. Era abia un început. May a inve stigat comportamentul acestei ecuaţii pentru sute de valori diferite ale parametrului, concentrân­ du-se asupra frontierei critice dintre stabilitate şi oscilaţie. La valoarea a = 2, 7, populaţia s-a dovedit a fi egală cu 0 , 62 9 2 . Mărind succesiv, puţin câte puţin, valoarea parametrului a, populaţia creşte şi ea uşor. Însă de îndată ce parametrul a traversa valoarea 3, imaginara populaţie de peşti a lui May începea să oscileze, uneori cu o perioadă de doi, alteori cu o perioadă de patru ani. Dar dincolo de un anumit punct, această periodicitate se transfor­ mă în haos. James Yorke a studiat matematic acest comportament într-un articol cu semnificativul titlu "Period three implies chaos" ("Perioada trei implică haosul") , demonstrând că în orice sistem de dimen­ siune unu, dacă apare un ciclu de perioadă egală cu trei, atunci acelaşi siste m va prezenta cicluri regulate de orice altă lungime şi cicluri complet haotice. Acest rezultat, publicat în revista American Mathematical Monthly, a produs un adevărat şoc. Era, într-adevăr, cu totul contrară intuiţiei imposi­ bilitatea (pusă în evidenţă de Yorke) unui sistem dinamic ce se repetă cu o oscilaţie de perioadă egală cu trei, fără a produce vreodată haos.

NELINIARITATE ŞI EDUCAŢIE Cercetările lui Lorenz, Smale , May şi Yorke erau în convergenţă cu cele desfăşurate în Estul Europei, începând cu A. N . Kolmogorov, în deceniul al şaselea, şi continuând cu Y. Sinai, A . N . Sarkovski şi alţii. A devenit de-a lungul anilor tot mai clar că, fără ajutorul unor calculatoare din ce în ce mai pu­ ternice, nu se poate aprofunda comportamentul haotic al sistemelor neliniare. Frank Hoppensteadt, de la Institutul Courant al Universităţii din New York, a studiat ecuaţia 10gistică neliniară pentru mii de valori diferite ale parametrului , urmărind pe ecran imaginile respective. Bifurcaţiile au fost de fiecare dată urmate de haos, iar în interiorul haosu­ lui, mici insule de ordine , efemere în instabilitatea lor. May a colectat toate aceste date , articulându-Ie cu date similare provenind din genetică, economie şi dinamica fluidelor. Totul pleda în favoarea noii vizi­ uni, care asociază neliniaritatea cu haosul. De la studiul epidemiilor până la modul de răspândire a zvonurilor, o întreagă varietate de fenomene se or­ donau din această nouă perspectivă. Într-un articol 294

de sinteză publicat în 1 976 în revista Nature, M ay argumentează necesitate a unei educaţii generale a studenţilor în domeniul comportamentului neliniar' preconizează ca fie care student să se convingă per� sonal, cu aj utorul unui calculator de buzun ar, de comportamentul ecuaţiei logistice cu diferenţe . În acest fel s-ar putea contracara efectele nocive ale prejudecăţilor adânc înrădăcinate despre o pre tinsă liniaritate a fenomenelor din natură şi societate.

STUDIUL ANALITIC AL HAOSULUI Simptomatică pentru amploarea cercetărilor asupra haosului asociat neliniarităţii este prolifera­ re a literaturii care i se consacră. Vom relata despre o mică parte a ei. Leon Glass şi Michael C. Mackey publică volumul From clocks to chaos. The Rhythms of life (Princeton Univ. Press, 1 9 88) , în care se dis­ cută modul de generare , declanşare şi oprire ale ritmurilor, perturbaţiile ritmurilor şi efectele acestor perturbaţii, modul de organizare spaţială a oscila­ ţiilor. Cartea este considerată de către specialişti drept o etapă maj oră în aplicarea inteligentă a dina­ micii moderne la înţelegerea ritmurilor biologice. La editura World Scientific (Singapore) a apărut în decembrie 1 9 89 cartea A chaotic hierarchy, edita­ tă de G. Baier şi M. Klein de la Universitatea din Tiibingen. Este introdusă aici ideea unei ierarhii în sisteme haotice şi fenomene naturale. Neliniarul cere o perspectivă multidisciplinară, cum de altfel s-a văzut şi din discuţia anterioară. Diferitele artico­ le din această carte prezintă experienţe din fizică, chimie şi biologie , progre sele matematice , tehnicile numerice şi modelele grafice mai importante în co­ rectarea neliniarităţii. Sunt de asemenea abordate aspectele filozofice relative la haos şi co smos, hao s şi mecanica cuantică. Un aspect mai puţin cunoscut este modul in care a proliferat studiul analitic al haosului, văzut ca un anumit tip de transformare . Pornind de la un interval compact 1 de numere reale, să considerăm o aplicaţie continuă f a lui 1 în 1. Pentru un număr a strict pozitiv, aplicaţia f este considerată a-haotică dacă există o pru:te perfectă (adică identică mulţimii punctelor ei de acumulare) S a lui 1 cu proprietatea că pentru orice două puncte distincte x şi y din S şi pentru orice punct periodic p al lui f, diferenţa iteratelor de ordin n ale lui fîn punctele x şi y are in valoare ab solută, limita inferioară (pentru n tinzând la infinit) egală cu zero , dar limita superioară nu mai mică decât a; în plus, diferenţa iteratelor de ordin n ale lui f în punctele x şi p are, în valo are absolută, limita superioară (pentru n tinzând la infinit) nu mai mică decât a. Acest concept a fo st introdus de Li şi Yorke în 1 9 7 5 , în legătură cu o problemă de biologie, într-o formă diferită, dar, du­ pă cum au arătat K. Jankova şi J. Smital ("A characterization of chaos" , Bull. Austral. Math. Soc. , no. 34, 1 986, pp. 283-292) , echivalentă cu cea de

mai sus. Menţionăm că, în cele de m ai sus, punctul p .este periodic dacă există numărul n natural strict pozitiv astfel încât iterata de ordinul n a lui f în punctul p este egală cu p: cel mai mic n cu această prqprietate este perioada lui p, iar ea generează un ciclu de perioadă n. .Să comentăm semnificaţia proprietăţii aplicaţiei f de a fi a-haotică. Ea rezultă mai bine din conside­ rarea aplicaţiilor continue care nu sunt haotice. Aşa cum a arătat J. Smital ("Chaotic functions with zero top ological entropy", Trans. Amer. Math. Soc. , no. 2 9 7 , - 1986, pp. 2 69-282 ) , orice funcţie f continuă care nu este haotică pentru nici un număr pozitiv a�e următoarea proprietate : pentru orice x din in­ te.rvalul 1 şi pentru orice număr strict pozitiv a, exis­ tă un punct periodic p, astfel încât diferenţa ite ratelor de ordinul n ale lui fîn punctele x şi p are , în valoare absolută, limita superioară (pentru n tin4ând la infinit) strict inferioară lui a. Cu alte cu­ vinte, o aplicaţie continuă f a lui 1 in 1 care nu este hao tică are orice traiectorie aproximabilă prin ci­ cluri. Practic, acest tip de comportament nu poate fi distins de periodicitatea asimptotică a traiectoriilor. Aplicaţiile continue nehaotice pot servi ca modele matematice deterministe ale unor procese reale . Pentru alte rezultate în această ordine de idei, trimitem pe cititorul interesat la articolul lui J. Smital ("Stability of chaotic and non- chaotic maps of the interval" , Real Analysis Exchange, voI. 13, 1 9 87-88, no. 1 , pp. 1 1 2- 1 1 5) şi la bibliografia indicată acolo .

FEIGENBAUM ŞI HENON Alte exemple semnificative , care ocupă un loc important in istoria cercetărilor asupra haosului, sunt cele legate de numele lui M. Feigenbaum şi M . Henon. Ele sunt expuse pe larg i n cartea citată a lui Gleick. O prezentare succintă a lor poate fi găsită şi in cartea citată a Adelinei George scu. Vom da aici o prezentare telegrafică a lor. Feigenbaum a urmărit la calculator un sistem discret in care funcţia de­ pinde de un parametru a cu valori între zero şi unu. Aplicaţia 10gistică asociată este f(x) = 4ax{l - x). Un punct fix z este stabil dacă, pornind din apropierea sa, schema iterativă converge la z. Dacă schema iterativâ diverge , atunci x este instabil. Pentru apli­ caţia 10gistică, există două puncte fixe , O şi 1- 1 j (4a) . Bazinu l de atracţie al unui punct fix z este reprezentat de totalitatea punctelor care , în proce­ sul iterativ , sunt duse în z. Se constată că, pe mă­ sură ce parametrul a cre şte , se produce o cascadă de bifurcaţii, în urma cărora iau naştere atractori care captează punctele procesului iterativ. În apro­ pierea unui atractor, iteratele succesive se apropie alternativ de unul sau altul dintre elementele atractorului, dar, pe măsură ce creşte numărul de elemente ale atractorului , apropierea capătă un caracter haotic. De la ace st exemplu, care indică

un drum specific spre turbulenţă, să trecem la cel al lui M. Henon, c are apare in astronomie. Este vorba de un sistem discret definit in spaţiul euclidi­ an cu două dimensiuni şi cu valori în acelaşi spaţiu: f(n + 1) = 1 - af(n)f(n) + g(n), g(n + 1) = bf(n), unde a şi b sunt constante re ale , cu semnificaţie fizică. Pen­ tru a 1, 4 şi b 0, 5, şirul de puncte iterate prin f fie diverge la infinit, fie converge spre un atractor care poate fi imaginat ca o suprafaţă cu o infinitate de foi (in funcţie de valorile iniţiale ale lui fşi g) . Este esenţial să subliniem importanţa unor teoreme matematice fără de care unele observaţii empirice nu ar fi primit o explicaţie satisfâcâtoare. Astfel, aşa cum am văzut, E. Lorenz a observat un fenomen natural important, dar explicarea acestui fenomen şi înţelegerea aşa-numiţilor atractori stra­ nii (cum apar şi la Henon) le datorăm matematicie­ nilor J. Guckenheimer şi R.F. Williams ("Structural stability of Lorenz attractors" , Publ. Math. INES, no. 50, 1 9 79 , pp. 59 -72) . =

=

HAOS ŞI CATASTROFE O problemă interesantă, care a dat naştere unei vii polemici , este ace ea a asemănărilor şi deosebiri­ lor pe care le prezintă studiul haosului şi teoria catastrofelor. Amândouă au apărut într-un context interdisciplinar (sursele teoriei catastrofelor se află în biologie şi în lingvistică) şi au atras atenţia publi­ cului general. Amândouă au pretins o nouă per­ spectivă în ştiinţă şi au la bază o matematică modernă de mare fineţe (teoria sistemelor dinamice şi , respectiv, teoria singularităţi1or) . John Franks ( op. cit. , p. 69 ) este de părere că, deşi studiul haosu­ lui se află abia la inceput, impactul său este de pe acum superior celui pe care l-a avut teoria catastro­ felor. Dar Franks recunoaşte că, personal, s-a simţit mai legat, în evoluţia preocupărilor sale ştiinţifice , de studiul sistemelor neliniare , cu care s-a familia­ rizat încă din perioada studenţiei. Pentru o evaluare mai obiectivă, ar trebui să se urmărească în publi­ caţiile de specialitate amploarea impactului fiecăreia dintre cele două orientări. Problema prezintă şi un interes de ordin mai general: cum comparăm două teorii, două preocupări? Pe baza căror parametri putem stabili o ierarhie a lor sau, eventual, necom­ parabilitatea lor? Poate că, aşa cum conclude Franks, în cazul unor teorii precum cele discutate aici, care pretind să furnizeze modele explicative pentru diferite ştiinţe ale naturii sau ale societăţii, tocmai spe cialiştii din ace ste ştiinţe, potenţiali be­ neficiari ai teoriei haosului şi ai teoriei catastrofelor, ar trebui să aibă cuvântul decisiv. Dar nu putem eluda nici aspe ctul teoretic al acestor preocupări; matematicienii au şi ei un cuvânt greu de spus în această privinţă, ca şi informaticienii, de altfel.

295

MATEMATICA: MAI MUL T DECÂT DEMONSTRAREA UNOR TEOREME Cercetările asupra comportamentului haotic şi, mai cu seamă rezonanta lor interdisciplinară şi modul în care � le sunt p �ezentate publicului cititor au determinat o aprigă controversă , în special în legătură cu lucrarea lui James Gleick, la care ne-am referit anterior. Ne oprim asupra acestei con­ troverse deoarece semnificatia ei este considerabilă; în discutie se află natura, s � opul şi modul de func­ ţionare �le ştiinţei şi ale relaţiilor ei cu publicul. Totul a pornit de la recenzia făcută cărţii lui Gleick de către matematicianul John Franks; lui Gleick i se reproşa că eludează sau minimalizează componenta matematică a cercetărilor asupra hao­ sului, că nu evidenţiază rolul primordial al unor teoreme. Keith Devlin, matematician , ii ia apărarea lui Gleick, arătând că matematica este mai mult decât demonstraţia unor teoreme : ea trebuie să pornească de la fenomenele naturale pe care vrea să le modeleze . Cu respect faţă de capacitatea demon­ strativă a matematicianului , nematematicianul este mai puţin interesat de această rigoare , fiin d n: ai degrabă reţinut de relevanţa modelelor matematIce care i se propun. Este exact situaţia profanului care îl admiră pe mecanicul ce-i repară maşina, dar nu e interesat de cunoaşterea detaliilor tehnice ale activi­ tătii acestuia ci de utilitatea rezultatului acestei activităţi. To �mai aceasta este şi atitudinea lui Gleick. Ronald Douglas, matematician, compara mvă­ tarea matematicii cu învătarea unei limbi străine. Aceasta din urmă te poat� intere sa ca un scop în sine din considerente de ordin turistic, pentru a o folo �i în profesie sau pentru că urmează să trăieşti într-un loc unde se vorbeşte limba respectivă şi aşa mai departe. Pe profan , matematica îl interesează nu atât prin laboratorul ei interior, adică prin teo­ remele pe care le stabileşte, cât prin ide i le generale pe care le vehiculează şi pe care eventual le-ar pu­ tea folosi. Desigur, este nevoie şi de cărţi care pun accentul pe aparatul demonstrativ al matematicii, după cum este nevoie de altele care se ocupă de problemele ei filozofice şi a ş a mai departe . Fiecare carte trebuie apreciată în raport cu ceea ce şi-a pro­ pus să fie. RAZA DE ACŢIUNE A DEMO NSTRAŢIEI MATEMATICE De altă părere este matematicianul Morris W. Hirsch, care consideră că orice prezentare a siste­ melor dinamice neliniare este datoare să acorde un loc important rolului matematicii demon strative în studiul acestor sisteme. Aceasta nu pentru a da satisfacţie matematicienilor, ci pentru a nu fal sifica starea de fapt a lucrurilor. Într-adevăr, multe siste296

m e haotice importante, inclusiv primele studiate în ordine cronologică şi cele cu cea mai mare influ en­ tă au fost identificate şi explorate pentru prima � �ră nu prin simulare pe calculator, nici prin expe­ riment fizic, ci prin demonstraţie matematiC ă. Exemple? Sunt atâtea teoreme datorate unor mari matematicieni ca Henri Poincare, George D. Birkho ff, A.N. Kolmogorov, S. Smale, Anosov, V.I. Amold, L. Moser şi alţii, printre care, adăugăm noi, se numără şi M.W. Hirsch. Este greu de imaginat că rezultat ele fundamen tale pe care aceştia le-au obţinut în legă­ tură cu ceea ce azi numim haos să fi apărut ca urmare a unor experimente. D ar, observă în conti­ nuare Hirsch, eludând aceste teoreme, nu facem decât să întreţinem perpetuarea ignoranţei publicu­ lui în ceea ce priveşte rolul şi natura matematicii. În acelaşi timp, falsificăm un capitol important din istoria ştiinţei. Hirsch nu rămâne la afirmaţii generale. Birkhoff a demonstrat conj ectura lui Poincare , după care exi stă în problema plană a celor trei corpuri o infin i­ tate de orbite periodice. Pentru a- şi argumenta idei­ le, se referă în mod specific la aşa-numita potcoavă a lui Smale. Desigur, Gleick nu o eludează, dar se mulţumeşte să descrie numai aspectul intuitiv al lucruril or, arătând că această potcoavă a permis vizualizarea, pe un nou model, a comportamentului global al unui sistem neliniar şi că a creat un ana­ log vizual al dependenţei foarte sensibile de condiţii­ le iniţiale , dependenţă pe care Lorenz o va identifica ulterior în fenome nele atmosferice. De fapt, impor­ tanţa aplicaţiei numite potcoavă rezultă în primul rând din ceea ce Smale a demonstrat despre ea: că este haotică (oricât de aproape de orice punct există puncte periodice cu perioade oricât de mari şi există un punct a cărui orbită se apropie oricât de mult de orice alt punct; recunoaştem aici o formă extremă, foarte precisă, a dependenţei sen sibile de condiţiile iniţiale, într-un comportament de lungă durată) ; că e ste structural stabilă (fapt care nu poate fi desco­ perit sau măcar verificat prin simple calcule sau prin simulare pe �alculator) ; că orice sistem care admite o "orbită h omoclinică transversală" (concept datorat lui Poincare) conţine, ca un subsistem, o potcoavă, deci este haotic (profunzimea acestui �e­ zultat p oate fi sesizată de faptul că "orbIte homoclinice transversale" există în multe sisteme care apar în fizică, în biologie şi în alte domenii, dec! haoticul are o arie foarte largă de răspândire); ca există potcoave în toate dimensiunile superioare lui unu ' deci există, în aceste dimensiuni, sisteme hao ­ ti ce structural stabile (exemplele mai vechi de sis­ teme haotice, cum ar fi cele ale lui Birkhoff, erau toate in trei dimensiuni) . Rezultate de acest fel şi altele care au urmat au dus la înţelegerea faptului că haosul este u� fenomen comun , nu este singular. Identificarea une I potcoave a devenit o metodă riguroasă şi comodă de diagnosticare a caracterului haotic al unui sistem dinamic. Descoperirile realizate în această ordine de

idei se articulează în teorii cu o rază de acţiune care include multe domenii ale ştiinţei . Ele au permis să se inţeleagă mai bine şi sistemele nehaotice . Prin contrast, simulări computaţionale ca aceea a lui Lorenz, care îşi au, de sigur, importanţa lor, au o slabă capacitate de a-şi extinde semnificaţia la alte sisteme decât cele pe care le-au simulat. Sistemul lui Lorenz se lasă greu analizat pe o cale mai rigu­ roasă; abia recent s-a demonstrat că admite orbite periodice de perioade oricât de mari . În raport cu natura sălbatică a sistemului lui Lorenz, potcoava lui Smale poate fi considerată un sistem domesticit . Hirsch atrage atenţia asupra faptului că simpla denumire de sistem haotic nu spune mai mult decât că el este neliniar şi complicat. Nu există nici o teo­ rie a haosului. În acelaşi sens se exprimase anterior şi Rene Thom, după care termenul haos are o slabă capacitate explicativă. Hirsch pune în contrast ine­ xi stenţa unei teorii a haosului cu puternica origina­ lit ate a teoriei catastrofelor a lui Rene Th om .

CUM RECONSTRUIM ISTORIA ŞTIINŢEI? Faţă de perspectiva prezentată anterior şi dato­ rată unui matematician , să vedem acum care este replica unuia care, fără a fi un matematician cerce­ tător, s-a insinuat în universul matematicii ca un iubitor al ei, ca un om care , apropiindu-se de ideile matematicii, încearcă să faciliteze comunicarea din­ tre savanţi şi profani. Este vorba de James Gleick, autorul cărţii Chaos, la care ne-am referit de mai multe ori. Acesta consideră că unii matematicieni au o reprezentare foarte specială a lumii cunoaşte­ rii, a cărei privelişte o văd populată exclusiv de demonstraţii, teoreme, rezultate matematice . Cu simpatie faţă de aceştia, G leick consideră totuşi că pentru a reconstrui un fragment din istoria ştiinţei este necesar să cuprinzi o privelişte mult mai com­ plexă, în care , pe lângă rezultate, apar şi oameni , reviste, congrese , idei, conversaţii etc. Un matema­ tician ca S. Smale este important nu numai prin ceea ce a demonstrat, ci şi pentru că într-un anumit moment istoric a ales o anumită orientare in cerce­ tare şi pentru că a avut forţa de a organiza şi in­ druma o întreagă şcoală de cercetare. Smale a venit in întâmpinarea unor probleme importante ale fizi­ cienilor. Potcoava lui Smale este importantă nu numai prin ce Smale a demonstrat de spre ea, ci şi prin ceea ce ea a semnificat pentru fizicieni; iar fap­ tul că Smale a atras atenţia asupra unui articol obscur al lui Lorenz şi a sugerat problema de cerce­ tare unor fizicieni ca Mitchell Feigenbaum se adau­ gă şi el �a acele lucruri de obicei neinregistrate , aproape invizibile, dar care creează o atmosferă şi o personalitate şi sunt parte inte grantă a istoriei inte­ lectuale . Un punct important în argumentaţia lui Gleick îl constituie faptul că, după părerea sa, există perioa­ de în care demonstraţia matematică, deşi esenţială,

capătă un caracter a posteriori; astfel, contribuţia lui Lorenz şi-a exercitat considerabila ei influenţă inainte de a se şti cu siguranţă că atractorul său era haotic. Demonstraţia propusă era ingenioasă, dar a contribuit puţin la validarea străpungerii rea­ lizate de Feigenbaum - validare obţinută pe cale experimentală. Gleick aduce în prim-plan exemplul matematicianului Benoit Mandelbrot, creatorul unui nou capitol in ştiinţă, cel al fractalilor; acesta, fără a fi demonstrat teoreme răsunătoare, a schimbat via­ ţa câtorva mii de cercetători. De sigur, matematica poate fi considerată ca o disciplină ermetică, fără a te interesa de interacţiu­ nea ei cu alte domenii, te poţi ocupa de noduri fără să te intereseze acizii dezoxiribonucleici sau fizica particulelor, poţi studia potcoava lui Smale fără legă­ tură cu modul in care fizicienii au schimbat gândi­ rea relativă la comportamentul sistemelor dinamice . În acest fel , poţi ave a impresia că nu a apărut nici o nouă ştiinţă, a haosului. D ar dacă urmăreşti lucru­ rile ceva mai departe , se configurează un cu totul alt tablou.

D IN NOU ÎN APĂRAREA DEMONSTRAŢIEI MATEMATICE Această replică şi-a primit la rândul ei replica. John Franks (elev al lui Smale) consideră că nu se poate despărţi descoperirea matematică de demon­ straţie . in cele mai multe cazuri , prima se suprapu­ ne cu a doua sau este organic legată de ea. Foarte rar are demonstraţia un caracter a posteriori, de simplă confirmare . Cunoaşterea matematică este aproape totdeauna rezultatul unui proces de demon­ strare . Care matematician s-ar declara satisfăcut dacă nu ştiu ce Dumnezeu ar declara adevărată ipo­ teza lui Riemann (pe care am prezentat-o, de exem­ plu, în Provocarea ştiinţei, Editura Politică, 1 988, p . 1 4 3) , fără a ne furniza şi demonstraţia corespun­ zătoare? Pentru Franks , demonstraţia este compo­ nenta principală a activităţii unui matematician creator şi, orice am pune pe locul al doilea, acest loc se află departe în urmă. Fără a-i denigra pe cei care aplică în mod creator matematica, dar nu demon­ strează teoreme , Franks vede deosebirea dintre ma­ tematicianul creator de teoreme şi cel aplicativ ca aceea dintre compozitor şi muzicianul interpret. Teorema supravieţuieşte aplicaţiilor ei aşa cum o partitură supravieţuieşte diferitelor ei interpretări . Este într-adevăr foarte dificil să explici toate aceste a profanilor, să-i faci pe aceştia să înţeleagă momen­ tul de iluminare prin care trece un matematician când, după multe tatonări, ajunge la liman cu o demon straţie, dar şi dezamăgirea şi suferinţa pe care le trăieşte atunci când o bănuială, o speranţă se năruie . Este foarte dificil să explici unor nemate­ maticieni în ce constă perspectiva matematică asu­ pra lumii, în ce fel conduce creativitatea matematică 297

la un spor de cunoaştere . Aşa cum Gleick afirmă că nu a fo st nevoie de demonstraţia lui Lanford pen­ tru a se valida descoperirile lui Feigenbraum, am putea spune că nici pentru validarea teoremelor relative la noduri nu a fost nevoie de aplicaţiile acestor teoreme la acizii dezoxiribonucleici. Franks recunoaşte că este ceva extraordinar să constaţi că o ramură a matematicii devine relevantă într-un domeniu extramatematic ; prin aceasta, matematica însăşi realizează un profit important. Dar, crede Franks, multe (probabil cele mai multe) ramuri ale matematicii nu vor avea niciodată acest noroc, fără ca prin aceasta importanţa lor să scadă. Matemati­ cianul care nu- şi vede nici o aplicaţie a teoremelor sale în alte domenii trăieşte totuşi satisfacţia ade­ vărului şi frumuseţii acestor teoreme şi împărtă­ şeşte cu alţi matematicieni această satisfacţie . O teoremă poate fi şi un scop în sine, aşa cum este cunoaşterea particulelor subatomice sau a planetei Marte.

SEMNIFICAŢIA IDEILOR MATEMATICE Citindu-l pe Franks , ne -am amintit de reflecţiile celebrului matematician englez G. H . Hardy (A Mathe­ matician 's Apology, Cambridge Univ. Press, 1967; versiune românească Crezul meu ? Matematica!, Editura Enciclopedică Română, Bucure şti, 1 970) : »Foarte puţin din ceea ce cuprinde matematica este util din punct de vedere practic, iar acest puţin este, comparativ, insipid. ( Seriozitatea)) unei teore­ me matematice nu constă în consecinţele ei practi­ ce, care sunt de obicei neglij abile , ci în semnificaţia ideilor matematice pe care le leagă între ele" (op. cit., p . 92) . Hardy precizează (op. cit. , p. 1 3 1 ) că prin »cunoştinţe utile" înţelege "acele cunoştinţe care sunt susceptibile să contribuie, acum sau într-un viitor relativ apropiat, la bunăstarea materială a omenirii" . La timpul respectiv, opiniile lui Hardy au stâr­ nit multe controverse, aşa cum s-a întâmplat acum şi cu recenzia lui Franks . Chiar Hardy îl citează pe A . N . Whitehead, care vorbeşte de "efectele zgudui­ toare ale cunoaşterii matematice asupra vieţii oa­ menilor, asupra vieţii de toate zilele şi asupra organizării societăţii". Matematica poate fi privită şi trăită în foarte multe feluri. Hardy a lucrat cu pre­ cădere în teoria numerelor, o ramură 3. matematicii care abia recent, deci după moartea lui Hardy, a început să-şi dezvăluie virtuţile aplicative. Este de ajuns să amintim rolul ei în criptografie (a se vedea, de exemplu, paginile 1 30- 1 32 din cartea noastră Controverse în ştiinţă şi inginerie, Ed. Tehnică, 1 990). Dar de la criptografie până la "bunăstarea materială a omenirii" la care se referă Hardy este desigur o distanţă. I mpactul matematicii este , de cele mai multe ori , indirect. Cu un anumit efort, putem descoperi acele verigi intermediare care pun 298

în legătură criptografia cu bunăstarea mate rială omenirii.

a

ETEROGENIT ATEA PUNCTELOR DE VEDERE Disputa privind natura matematicii şi locu l p e care demonstr:aţia îl are în matematică scoate în evidenţă diferenţa posibilă de optică pentru cei c ar e privesc lucrurile din unghiuri diferite, dar şi ete ro­ genitatea matematicii. Desigur, este natural ca ma­ tematica să apară altfel pentru matematicieni decât pentru cei care o privesc din afară. Dar chiar în rândul matematicienilor s-a manifestat totdeauna o diversitate de puncte de vedere asupra naturii ma­ tematicii, fapt care a dat naştere la curente ca logi­ cismul, formalismul, intuiţionismul, diferite alte tipuri de constructivism etc . Sub alte forme , lum e a matematicienilor continuă şi azi să fie divizată. Unii cred că matematica se dezvoltă autonom, alţii o văd condiţionată fundamental de problemele care vin din celelalte ştiinţe; după unii, calculatorul schimbă în mod esenţial problematica matematicii; după alţii , impactul informaticii asupra matematicii este de ordin secundar; unii reduc cre ativitatea matema­ tică la teoreme şi demon straţii, pentru alţii matema­ tica este dominată de intuiţii, bănuieli, observaţii, probleme, ipoteze , motivaţii, conjecturi, tatonări, exemple, în timp ce itinerarul definiţii-axiome-teore­ mă-demonstraţie-corolar nu este decât faţada ma­ tematicii, haina în care ea iese în lume . Unii, ca Jean Dieudonne , preaslăvesc rigoarea matematică, alţii , ca Rene Thom, o marginalizează, accentuând în schimb mersul ideilor; unii glorifică aspectul es­ tetic şi interesul în sine pe care-l prezintă matema­ tica, alţii sunt dispuşi să admire în primul rând potenţialul ei interdisciplinar. Aceste atitudini dife­ rite sunt explicabile dacă ţinem se amă că fiecare matematician are propria lui biografie ştiinţifică, în cadrul căreia anumite aspe cte ale matematicii l-au solicitat într-o măsură mai mare decât altele. Foarte rar se întâmplă ca un matematician să trăiască în mod intens toate aspectele disciplinei sale , mate­ matica este o lume incomparabil mai bogată decât acea parte a ei pe care o trăieşte un anumit mate­ matician , fie el oricât de important. Mărturiile mate ­ maticienilor sunt interesante prin caracterul lor autentic, prin modul dire ct, necontrafăcut, în care dau seamă despre o felie sau alta a matematicii, dar o imagine de ansamblu nu poate rezulta decât din alăturarea tuturor ace stor mărturii.

UN ADVERSAR APRIG AL BOURBAKISMULUI Cu aceste observaţii de ordin general , să reve­ nim la disputa asupra naturii matematicii, aşa cum a rezultat ea din controversele în jurul "noii ştiinţe a haosului" . Ne vom referi la intervenţia în discuţie

a/lui Benoit B. Mandelbrot (pentru aceasta, ca şi pentru intervenţiile lui Devlin, D ouglas, Hirsch , ,Gleick şi Franks , prezentate anterior, a se vedea The :Mathematical Intelligencer, voI . 1 1 , 1 989 , no. 3) , ' r c ea torul noului domeniu al fractalilor, domeniu ale �ătui conexiuni cu problemele haosului au atras âte n ţia cercetătorilor. Amintim că un fractal este o �ulţime care prezintă o anumită neregularitate (� ste de dimensiune Hausdorff diferită de un număr fhtreg) , deci e asociată fire sc cu un comportament A'eregulat, haotic, pe care Mandelbrot îl ilustrează Convingător. Mandelbrot se referă la două abordări 'C plet diferite în ştiinţă, una care procedează de �us în j os iar alta, inversă (deci de jos în sus, cu o Gapacitate de autoorganizare) . Prima tinde să se con stituie în jurul unui principiu sau structuri-cheie şi să excludă tot ceea ce nu intră în această struc­ tură. Cealaltă tinde spre o organizare în jurul unei clase de probleme. Î ntre aceste două abordări se creează o tensiune fecundă, dar nu trebuie să jude­ căm pe una dintre ele cu criteriile celeilalte. Aborda­ rea de sus în jos devine tipică pentru cele mai multe ramuri ale matematicii în stadiul lor de maturitate şi de relativă autonomie . Forma ei supremă de ma­ nifestare o reprezintă tratatul Bourbaki. Mandelbrot mărturiseşte că a părăsit Franţa din cauza influen­ ţei mari pe care o exercita grupul Bourbaki. Franks reproşează acestui grup un stil pedagogic inadecvat, Iăudîndu-1 în schimb pentru noul standard de ri­ ' goare pe care l-a realizat; Mandelbrot este mult mai aspru cu Bourbaki, nu îi acordă nici măcar meritul rigorii şi consideră că rolul grupului Bourbaki tre­ buie raportat la o anumită strategie intelectuală şi la puterea politică. O manifestare evidentă de stra­ tegie intelectuală se referă la "gust" . Domeniile pe care Bourbaki le -a încuraj at sunt mai puţine decât acelea pe care le-a descuraj at. Bourbaki a mers atât de departe încât a exclus (nu de drept, dar de fapt) din câmpul atenţiei cea mai mare parte a analizei matematice clasice de grad superior de dificultate, ca şi alte chestiuni incluzând aproape tot ceea ce avea să se dovedească relevant în probleme relative ia haos şi la fractali. Pentru Bourbaki, Poincare era o încarnare a diavolului. Se manifestă astfel o anu­ mită consecvenţă în raport cu ceea ce, în 1 880, Hermite îi scria lui Mittag-Leffler în legătură cu in­ capacitatea tânărului Poincare de a duce la capăt o demonstraţie . Dar pentru cercetătorii în problemele hac'sului şi fractalilor, Poincare este un adevărat Dumnezeu. Mandelbrot aminteşte ceea ce a spus Poincare la cel de al patrulea congres internaţional al matematicienilor (Roma, 1 9 08) . După ce observă că secolul al XIX-lea a însemnat pentru matematică orientarea spre abstracţie şi rigoare crescândă (Poincare spunea absolută) , Poincare continuă: "Ma­ tematica trebuie să se întoarcă asupra ei însăşi. . . şi procedând în acest fel ea se întoarce mai degrabă la studiul minţii umane care a creat-o decât la acele creaţii care împrumută foarte puţin din lumea exte­ rioară. . . Tocmai asupra părţii opuse , unde se află

�In

natura, trebuie să ne îndreptăm toate armele" . Stu­ diile recente asupra haosului se prevalează atât de ideile lui Poincare din prima parte a activităţii sale, cât şi de cele din a doua parte. În orice caz, cerceta­ rea haosului nu a dobândit încă statutul unei disci­ pline care procedează de sus în j os . Nici studiul fractalilor nu a dobândit încă ace st statut, motiv pentru care unele noţiuni folosite aici nu au încă o organizare axiomatică riguroasă. Dar este oare pro­ cedarea de sus în j o s (adică de la general la parti­ cular) o condiţie preliminară pentru o viaţă fericită şi utilă a unui anumit domeniu? se întreabă Mandelbrot. Aşa cum teoria probabilităţilor, în ciu­ da axiomatizării lui Kolmogorov, procedează încă de jos în sus şi repurtează succe se prin folosirea com­ binată a combinatoricii, teoriei măsurii şi analizei matematice de modă veche , foarte dificilă, geometria fractală de azi prosperă prin articularea unor capi­ tole diverse ca studiul mulţimilor şi măsurilor auto­ similare , al mulţimilor auto-afine (foarte dificil şi bogat in probleme de schise) , al transformării de la z la suma dintre o constantă şi pătratul lui z, al mul­ ţimilor auto-inverse etc.

MATEMATICA, ÎNTRE TEOREME ŞI MO DELE Discuţia privind rolul teoremei în matematică a pus în evidenţă unele schimbări profunde în evolu­ ţia recentă a matematicii. Statutul teoremei depinde de statutul demonstraţiei, iar acesta din unnă a fost pus în chestiune de mai multe ori în secolul trecut, de exemplu în legătură cu caracterul mai mult sau mai puţin constructiv al raţionamentului folosit şi , mai recent, în legătură cu implicarea unor elemente de natură empirică, prin folosirea unui calculator cu parametri specifici . Astfel, pentru Rene Thom, teorema celor patru culori nu este încă demonstra­ tă, deoarece s-a prevalat de folosirea unui calculator electronic. Fenomenul are o amploare deosebită. În matematică în general, în studiul haosului şi al fractalilor în mod special, are loc o interacţiune a raţionamentului deductiv cu simularea pe calcula­ tor. Noile tehnologii îşi exercită impactul asupra modului de a face matematică. Sintagma "matema­ tică experimentală" devine tot mai frecventă. Mode­ larea matematică şi construcţia algoritmică trec uneori, ca importanţă, înaintea teoremei. Se trans­ formă şi limbajul folosit iar o examinare atentă a lucrurilor ar arăta că multe teoreme se ascund in anumite modele matematice şi în anumite construcţii algoritmice ; prezenţa lor nu este observată pentru simplul fapt că nu mai sunt degaj ate şi denumite ca atare. O mărturie interesantă in ordinea de idei de mai sus e ste adusă de unul dintre participanţii la controversa stârnită de cartea lui Gleick asupra haosului. Este vorba de Keith Devlin ("Mathematics without theorems?", Notices of the A merican Mathe­ matical Society, voI . 3 5 , 1 988 , no. 1 0 , pp. 1 480299

1 482) , care pune în discuţie atât aspectul pedago­ gic, cât şi pe cel ştiinţific. Cu privire la primul aspect, Devlin relatează ce a învăţat din elaborarea unei cărţi care i-a apărut în urmă cu câţiva ani (Mathematics: The New Golden Age, Penguin Books , 1 986) . Scopul urmărit era de a prezenta cele mai importante rezultate obţinute în matematică între 1 9 60 şi 1 9 8 5 . Au fost selectate unsprezece teme, fiecăreia urmând să-i revină vreo 25 de pagini. Dar deoarece cartea urma să se adreseze unui public cititor mai larg, problema accesibilităţii prezentării devenea stringentă. Dintre cele unsprezece teme, una aparţinea logicii matematicii, specialitatea lui Devlin; alte două teme se aflau în apropierea logicii matematice , iar altele trei, deşi departe de logica matematică, îi erau cunoscute dinainte. Mai rămâ­ neau cinci teme care-i erau complet străin e . Devlin a trecut la studierea lor şi a constatat cu surprinde­ re existenţa unei similarităţi esenţiale a tuturor ce­ lor unsprezece teme abordate . Diferitele cărţi şi articole pe care le consultase îl conduceau la unul şi acelaşi procedeu : lectura secţiunilor introductive, cu privire asupra principalelor teme şi teoreme , formarea unei anumite idei privind modul în care sunt organizate demonstraţiile . Temele luate în con­ siderare aveau genealogii dintre cele mai diferite . Unele îşi aveau originea în ve chi încercări de navi­ gaţie, altele rezultau din construirea clădirilor, altele porneau din activităţi comerciale, din fizică, meca­ nică sau economie , din probleme de comunicare sau din informatică. Dincolo însă de această diver­ sitate de sursă şi de istorie , natura întreprinderii matematice implicate era aceeaşi la fiecare temă şi ea s-ar putea formula în felul următor: ca studiu al unei structuri, matematica îşi fixează un anumit aspect particular al lumii, pentru care elaborează o reprezentare abstractă, adică un model, şi trece la examinarea logică riguroasă a acestui model . De si­ gur, văzute în detaliu, lucrurile sunt mai complica­ te . Unele ramuri ale matematicii descind din altele (de exemplu, topologia mulţimilor de puncte descinde din analiza reală, prin intermediul spaţiilor metrice). Dar, in cele din urmă, orice ramură a matematicii, oricât de abstractă ar fi, provine, mai mult sau mai puţin indirect, din tentativa de a reprezenta un anumit aspect al lumii. Cu alte cuvinte, întreaga matematică provine, în ultimă instanţă, dintr-un proces de aproximare prin modelare a lumii încon­ jurătoare. Devlin se exprimă într-un mod sugestiv, spunând că sângele care dă viaţă pe termen lung matematicii este procesul de modelare , deci un sti­ mulent care vine din afara matematicii, din viaţă, ca atare . Ni se sugerează aici că inventarea unor mode­ le adecvate şi relevante pentru lumea reală este o componentă esenţială a matematicii. De sigur, în cadrul acestor modele, teoremele îşi au un loc esen­ ţial, fără de care ieşirile n-ar diferi într-un mod netrivial de intrările modelului; dar, dincolo de teo­ reme , a căror legitimitate se rezolvă în cadrul dis­ tincţiei adevărat/ fals, modelele sunt confruntate cu 300

delicata problemă a relevanţei lor în raport cu pro­ blema în discuţie. Mai întâi se pune problema alege­ rii domeniului în termenii căruia urmează să fie con struit modelul; chiar acest fapt este corelat cu alegerea acelor aspecte ale fenomenului studiat care vor fi considerate mai semnificative pentru a fi re ti­ nute în procesul de modelare; apoi trebuie stabilită forma conceptelor şi relaţiilor care explică intrările modelului, după care , pe baza unei cunoaşteri pro­ funde atât a fenomenului modelat , cât şi a dome­ niului matematic în termenii căruia este elaborat modelul , trebuie decis în ce direcţie vor fi prelucrate deductiv intrările modelului şi pe baza căror rezul­ tate din domeniul matematic adoptat; teoremele astfel obţinute vor putea fi validate nu doar în ra­ port cu corectitudinea lor logică, ci şi în raport cu relevanţa pe care o conferă ieşirilor modelului. În cazul în care ie şirile nu sunt suficient de semnific a­ tive, prelucrarea va continua, pentru a se ajunge la straturi mai profunde. Iată deci o întreagă proble­ matică, în care teorema intră ca una dintre multe alte componente .

PARTEA CARE REVINE MATEMATICIANULUI Veridicitatea tabloului de mai sus nu este con­ testată de nimeni. Controversa începe din momentul în care trebuie clarificat care es te partea matemati­ cianului în această întreprindere. Unii se restrâng la stabilirea teoremelor, alţii, ca Devlin şi ca autorul rândurilor de faţă, o extind la întregul proces de modelare. Desigur, toată această întreprindere poa­ te fi realizată şi pe baza unei colaborări interdisci­ plinare, dar experienţa arată că cele mai interesante şi mai profunde modele sunt obţinute de acei ma­ tematicieni care se iniţiază personal în problemele fizicii, biologiei sau economiei, pentru a elabora modele cât mai relevante . Nu este aici o dihotomie, ci un continuum care face trecerea de la matemati­ că la celelalte discipline . Să mai ob servăm că de multe ori un acelllşi model este construit prin arti­ cularea mai multor domenii matematice (care pot fi dintre cele mai disparate) , ceea ce complică şi mai mult problema. Pentru a arăta cât de mult diferă matematica orientată spre ea însăşi de matematica modelării, Devlin relatează modul în care a descoperit inadec­ varea logicii standard (apărută în studiul raţiona­ mentului şi al demon straţiei, deci bazată pe valorile de adevăr) la problemele de programare logică, pro­ bleme care i-au cerut inventarea unei logici noi, capabile să controleze noţiunea de conţinut al unei informaţii. I-au trebuit doi ani de efort pentru a aj unge la cristalizare a unui model adecvat, deşi în cadrul modelului nu există nimic apt să primească numele de teoremă; strădania sa a fost acaparat ă exclusiv de construirea modelului. Devlin se întrea­ bă retoric dacă aceasta este matematică; răspunsul său, deşi neformulat explicit, este evident afirmativ,

de şi îşi dă seama că în acest fel vine în conflict cu o mentalitate foarte răspândită încă.

rilor

Dar, se vor întreba unii , dacă maj oritatea tine­ nu

va beneficia

de

o

educatie

�

peste tot în lume , se face în

RENE THOM SPUNE: NU!

matematică

modernă, cum vor mai putea ei fa e fată selectiei ' pentru învăţământul superior selectie care ' ai

;rimul

�

�ând

pe baza

pre gătirii matematice ? Thom consideră că principiul

Pentru că de mai multe ori în conside raţiile

selecţiei pe baza matematicii e ste o profundă eroare ,

anterioare a fost adus în discuţie numele lui Rene Thom , vom acorda acum atenţie prezen tării ideilor

un act de laşitate intele ctuală, deoarece nu există

l.:a acordat lui Guy Sorman

creează iluzia obie ctivităţii .

acestuia, aşa cum rezultă dintr-un interviu pe care

februarie

1 989) ,

(Figaro Magazine, 1 8

din discuţiile directe p e care le-am

avut cu prilejul colocviului internaţional "Matema­

tica

şi

1987 )

ştiin ţele

umane"

(Marseille -Luminy,

şi din alte intervenţii ale sale .

iunie

nici o nece sitate în acest sens. Este vorba de un

fe nomen socio-politic, selecţia pe baza matematicii De fapt, crede Thom,

învăţământul umanist (literatură, artă) , dacă este

bine organizat, dezvoltă mai bine decât matematica

înţelegerea raporturilor umane care constituie fun­

damentul celor mai multe profesii moderne . Thom consideră cu totul paradoxal faptul că matematicile

Thom se arată foarte nemulţumit de învătă­ ' mântuI matematic actual, pe care-l consideră, în

au fost preferate umanisticii în numele

ce , priveşte

Dar, d e fapt, continuă Thom, matematicile î i avan­

forma în care el se practică, aproape inutil în ceea înţelegerea

altor

discipline

ştiinţifice .

Ceea ce se numeşte azi "matematizarea celor mai

multe ştiinţe" e ste un fenomen cu totul artificial , ce

rezultă din moda cuantificării şi din existenta calcu­

egalitătii

�

sociale , pe ntru a nu-i avantaj a pe copiii burghezi i .

taj e ază pe băieţi, de o arece foarte puţine fete se pri­ cep la matematică.

Unele aparenţe contrazic punctul de vedere de

nu

mai sus . La unele facultăţi de matematică, fetele

şi celelalte ştiin ţe ; chiar opera lui s-a născut în bu­

ţilor (de exemplu, la Bucureşti) . Dar un atare argu­

latoarelor, crede Thom. Să obse rvăm că

Thom

neagă legătura strânsă, organică, dintre matematică

reprezintă

nă măsură pe baza ideilor venite din biologie şi din

ment este discutabil , deoarece selecţia se face pe o

(Stabilite structurelle et morp hogenese, 1 972) . El neagă numai forma

tică nu rămâne decât foarte puţin. De sigur, Thom

lingvistică

Benj amin , New York,

în care

învăţământul

matematic

actual

prezintă

legătura menţionată. Probabil are în vedere faptul

60%

sau chiar

70%

bază competiţională în care din matematica auten­

exprimă ideile sale într-o formă extremistă, probabil din considerente de ordin retoric' ele vizează însă

că învăţământul accentuează modelele matematice

în mod cert, probleme sociale

tru Thom, sunt mult mai relevante . Lui" Thom, na­

pe care o face între cei

discrete , neglijându-Ie pe cele continue , care , pen­

tura îi apare nu discretă, ci continuă, şi îl aduce în sprijinul său pe Aristotel. Singura structură discre­

tă pe care o recunoaşte este aritmetica.

O bună

parte din teoria programării ar trebui să fie văzută ca o aproximare a continuului, crede Thom .

O parte

în semnată a structurilor biologice discrete o ve de

asociată cu traditii cvasiculturale . Actiunea umană

aru'l

străbate itiner

t

de la haos, prin en ropie, la stra­

tificarea determinismului.

din totalul studen­

�ave

ale educatie

�

i

ştiinţifice a tineretului. Deo sebirea atât de radic Iă şi restul de

99%

1%

care înţeleg matematica

este foarte discutabilă. Atâta vreme

cât, aşa cum recunoaşte Thom, învăţământul ma­

tematic e ste , în multe părţi ale lumii , greşit orientat,

nu putem şti dacă e ş e cul educatiei matematice n-ar

t

putea fi evitat printr- o altă orien are a învătământu­ ' lui. Franţa , pe care , de sigur, Rene Thom o are în vedere cu precădere (prezentarea punctului său de vedere se află în lucrarea noastră

ţei,

Editura Politică,

1988) ,

Provocarea Ştiin­

a trăit în ultimele două

decenii e şe cul unei reforme care urmărea să aşeze

învăţământul matematic pe o bază structuralistă; la ea se referă Thom când vorb e şte despre "snobi smul

ESTE BUNĂ SELECŢIA PE BAZA

matematicii moderne"

MATEMATICII? Thom vede în matematică o ştiinţă foarte aris­

tocratică, inaccesibilă maj oritătii tinerilor. De aceea el preconizează

d

stoparea pre ării

matematicii

indată ce s-a aj un s la vârsta de aproximativ

15

d

�

ani,

urmând ca matematicile ulterio are , mai complexe ,

să fie studiate numai de o mică parte a elevilor, care se

dovedesc

apţi

s-o

Acum se renuntă la această

�

reformă, dar nimeni nu ştie exact ce a ume trebuie

înţeleagă.

Thom

consideră

zadarnică ambiţia de a inculca matematicile moder­

ne unor spirite care le sunt refractare . Există un snobism al matematicilor moderne care trebuie des­ curaj at.

pus in loc. În această atmosferă de derută, putem înţelege radicalismul lui Th om , care nu poate fi se­ parat de concepţiile sale ştiinţifice şi filozofice , pe

care le vom discuta în continuare.

Î NTRE DEMIURGIC ŞI HERMENEUTIC Rene Thom distinge între două atitudini fun­

damentale în ştiinţă: cea demiurgică şi cea herme­

neutică. Prima provine de la Galilei şi este preocu­

pată de

descoperirea legilor care

se

află la baza

Universului. Thom consideră că filozofia subiacentă

30 1

acestei atitudini este aceea a creaţiei demiurgice a lumii, ştiinţei revenindu-i sarcina de a o reconstrui. Cea de-a doua, asociată cu Platon şi Aristotel, se mulţumeşte cu un scop mai modest: acela de a stabi­ li cauza diferitelor fenomene . Thom adoptă atitudinea hermeneutică, pe care o consideră în contracurent cu tendinţele dominante ale secolului XX. "Sunt un determinist arhaic. Cre d că fenomenele pot fi des­ crise şi înţele se, că lumea este inteligibilă şi că dacă nu înţelegem o anumită teorie înseamnă că ea este insuficientă" , mărturise şte Thom, în polemică faţă de apologeţii hazardului, zgomotului şi haosului de tipul lui Prigogine . Faptul că nu putem preciza pe care parte va cădea o monedă lansată în aer nu este rezultatul unei imposibilităţi de principiu, ci al fap­ tului că experimentul în discuţie este foarte compli­ cat. Previziune a rămâne teoretic posibilă pentru un observator care ar controla într-o manieră suficient de precisă condiţiile iniţiale ale experimentului. Pentru Prigogine, dimpotrivă, imposibilitatea previ­ ziunii este una de principiu, fiind vorba nu de un determinism propriu-zis, ci de unul statistic. Thom nu recunoaşte nici o ştiinţă a hazardului sau a hao­ sului, opunându-Ie convingerile sale deterministe . Pătrunderea în ştiinţă a absurdului ca substi­ tut al logicii şi probabilităţii ca substitut al nece sităţii este explicată de Thom prin influenţa filozofiei ger­ mane (Nietzsche şi Heidegger) . Teoriile lui Prigogine n-ar fi decât transferul în ştiinţă al acestor opţiuni filozofice. Thom condamnă mecanica cuantică pen­ tru ideea că materia ar fi produsul hazardului şi respinge teoria neutrali stă în biologie , conform căre­ ia viaţa ar fi produsul hazardului. Pentru Thom, a atribui hazardului fenomene ca dezvoltarea materiei şi a vieţii înseamnă a considera că lumea nu este in teligibi1ă. În spatele hazardului cuantic se află cauze de­ terministe , pe care nu le cunoaştem încă, susţine Thom. Partizanii unei ştiinţe a haosului sunt şi ei consideraţi victime ale unei atitudini defetiste în efortul de înţelegere a lumii. Un model cr'toxacrnx este , pentru Thom, bun numai dacă i se poate aso­ cia o viziune deterministă subiacentă. Este propusă o tipologie a modurilor de explicare a realului: enti­ tăţi globale tratate global (teologie şi metafizică) , entităţi locale tratate global (teoria generală a siste­ melor; dinamica, prin trei ipostaze : cantitativă, cali­ tativă, stabilitate structurală) , entităţi locale tratate local (analiza limbajului , teoria catastrofelor) , entităţi globale tratate local (universul obiectelor analitice, prelungirea analitică) . Este necesară reconstrucţia entităţilor globale invizibile, cu ajutorul entităţi10r locale vizibile. Thom se prevalează de ceea ce se numeşte axioma lui Aristotel: infinitul există numai potenţial, nu şi în act.

ASISTĂM LA O EPUIZARE A TEORIILOR? Discuţia este plasată într-un context m ai lar g. Thom vorbeşte de spre o stagnare a progresului şti­ intei care de vreo treizeci de ani s-ar afla într-o criz rezultată din decalaj ul dintre teorie, pe de o parte, observaţie şi experiment, pe de altă parte. Asistăm la o epuizare a teoriilor. După Thom, de la mecanica cuantică a anilor '20 nu s-a mai realiza t în fizică nici un progres teoretic major. Big-Bang-ul nu rămâne decât o ipoteză. Biologia teoretică se află în impas. De scrierile abundă, explicaţiile lipsesc. În această ordine de idei, să menţionăm şi ceea ce scrie Thom ' în ediţia din 1 985 din Encyclopaedia Universalis: "Ne convingem de marea superficialitate a ştiinţelor noastre exacte prin următorul exemplu: cu un efort mode st (să spunem, 48 de ore de studiu al unui manual universitar) , de stinat în primul rând dobândirii unui vocabular ezoteric, orice persoană cultivată poate înţelege conţinutul unui articol de biologie contemporană. Îi va fi suficient pentru aceasta să omită unele detalii de procedură experi­ mentală; de obicei, cel mai greu este să înţelegi mo­ tivaţiile care-l ghidează pe autor. Situaţia este deci foarte diferită de aceea din matematică" . Să obser­ văm că şi Franks reproşa geometriei fractalilor de calaj ul dintre de scriere şi explicaţie, la care Mandelbrot replica arătând că acest reproş poate fi luat ca un compliment, deoarece geometria fractală descrie multe fenomene aparţinând unor domenii în care explicaţia este deocamdată un vis foarte depăr­ tat. Thom îi ironizează pe biologi, pe care-i vede fascinaţi, ca şi copiii , de instrumentele lor de obser­ vaţie . Biologia nu mai progresează deoarece nu mai beneficiază de reflecţia teoretică. Să amintim, în această ordine de idei, că, în prefaţa la cartea lui Thom Stabilite structurelle et morphogenese, biologul Waddington aprecia că, prin lucrarea sa, Thom marchează începutul biologiei teoretice. Să înţele­ gem că Thom este nemulţumit de modul în care biologii i-au preluat ştafeta? Thom ne aminteşte că, începând din secolul al XVII-lea, ştiinţa a progresat numai în măsura în care teoria a precedat experimentul. Progresul s-a realizat nu prin de scoperirea de fapte noi, ci prin­ tr-un nou mod de gândire şi de interpretare a fapte­ lor cunoscute. Astăzi situaţia s-a inversat: cei care comercializează informatica împing lumea cerce tării spre noi şi noi experienţe şi colecţionări de fapt e, spre o ob servaţie neasociată cu o reflecţie teoretică pe măsură. Ştiinţa modernă se sufocă deoare ce succe sul tehnic e ste luat drept adevăr.

ă

GALILEI: O GRANIŢĂ ÎNTRE DOUĂ MENTALITĂ ŢI Nu vom mai avea aici aprecierea relativă la in­ formatică, deoarece am consacrat o lungă discuţie

302

rel aţiei critice dintre informatica teoretică şi cea aplic ată. Să urmărim în continuare modul în care Thom apreciază teoria catastrofelor, la 20 de ani de ,,0 tentativă de a exorciza insta­ la lansarea ei bilitatea şi de a regăsi legile cauzale". Catastrofa este descrisă de Thom ca frontieră spaţială sau temporală care separă o stare de o alta, frontiera dintre interiorul şi exteriorul unui obiect, dintre două naţiuni duşmane, dintre mânie şi râs etc. Teo­ ria catastrofelor ii apare ca un catalog al situaţiilor de trecere de la instabilitate la stabilitate . "M odelele mele permit descrierea unor tendinţe , dar nu permit să se facă previziuni. Sunt modele lipsite de eficaci­ tate şi ţin la acest fapt" , precizează Thom. Dificulta­ tea previziunii este legată, pentru Thom, şi de un alt aspect: "Pentru a face previziuni, trebuie să fii şi filozof, deoarece iţi trebuie o ontologie" . Dar care este şansa unui om de ştiinţă de a fi şi filozof? Iată ce spune Thom în ediţia 1 9 85 a Encyclapaediei Universalis: "Este însă aproape timpul când pro­ blemele filozofice vor putea fi atacate prin metode ştiinţifice. Ele nu vor mai fi lăsate pe seama intuiţiei foarte subiective a filozofului, ci vor putea fi într-o anumită măsură « formalizate )), devenind obiect al unei abordări structurale ; cu atât mai mult cu cât se observă că unele che stiuni aparent pur ştiinţifice nu pot fi formulate corect decât într-un cadru de presupoziţii filozofice (de ex. , formarea ideii de spa­ ţiu la copil)". Este interesant modul în care Galilei reprezintă pentru Thom o graniţă între cele două mentalităţi. Cea moştenită de la Platon şi Aristotel era pre o­ cupată de înţelegerea schimbărilor calitative . Prin Galilei, câştigăm formalismul matematic cantitativ care se află la baza tuturor tehnicilor moderne, dar pierdem înţelegerea transformărilor calitative . Mo­ mentul Galilei marchează deci şi o deteriorare. Să observăm că numai cu doi ani în urmă filozoful Michel Henry publica La Barbarie (Grasset, Paris, 1 987) , în acelaşi moment în care Galilei marca in­ trarea ştiinţei în faza pe care Henry o numea barba­ ria modernă (divorţul dintre ştiinţă şi umanitate) . Nici o echivalare nu se poate face însă intre Thom şi Henry. Thom caută, prin teoria catastrofelor, să realizeze o conciliere intre Galilei şi Aristotel, între cantitativ şi calitativ, între sensibil şi inteligibil. Spiritul uman îşi revine greu din ruptura provocată de Galilei. De la Aristotel la Galilei se întinde o imensă perioadă în care adevărul şi inteligibilul se află în concordanţă, iar înţelegerea fenomene­ lor naturale coincide cu sensibilitatea curentă. Cu Galilei apare divorţul dintre sensibil şi inteligibil. Înainte de Galilei, matematica se folosea în rezolva­ rea problemelor de arhitectură. De la Galilei încoace totul devine cuantificabil, iar capacităţile noastre sensibile de percepţie nu ne mai aj ută în înţelegerea universului. Proiectul filozofic al lui Rene Thom vizează o reconciliere a omului cu natura, a ştiinţei cu conşti­ inţa, a fizicii cu metafizica. În ediţia din 1 985 a -

Encyclopaediei Universalis, Thom consideră că o omenire conştientă de ea însăşi va 'căuta să atingă cât mai repede regimul staţionar (creştere zero) , în care populaţia menţinută constantă numeric va găsi în producţia de bunuri de stule energii recic1abile pe baza cărora să-şi satisfacă nevoile. Omenirea ar reveni în acest fel (la scară globală) la principiul multor societăţi primitive care , datorită unui sistem matrimonial constrângător, au putut să trăiască în echilibru cu resursele ecologice ale teritoriului lor (societăţile "reci" ale lui Levi-Strauss) . Orice inova­ ţie , în măsura în care are un impact social, este destabilizatoare. Progresul echivalează, în acest caz, cu dezechilibrul. Într-o societate în creştere , un atare dezechilibru poate fi uşor compensat printr-o inovaţie care o depăşeşte pe ce a anterioară.

" SUPERSTIŢIA LITERARĂ" Nu putem discuta acum toate aspectele proiec­ tului social-filozofic al lui Rene Thom, dar, in legă­ tură cu afirmaţia sa după care numai 1% dintre elevi sunt apţi să înveţe matematicile mai complexe, vom aminti aşa-numita "superstiţie literară" la care se referea A.N. Whitehead (coautor, cu B. Russell, al operei Principia Mathematica) şi conform căreia dra­ gostea de matematică şi aprecierea ei estetică ar fi "o monomanie limitată la câţiva excentrici din fieca­ re generaţie". G.H. H ardy (ap. cit. , §. 1 0) combate şi el această concepţie ; el consideră că "ar fi greu să găsim în prezent un om cult care să fie cu totul insensibil la seducţia estetică a matematicii" Hardy merge mai departe, afirmând că "probabil însă că oamenii pe care -i interesează cu adevărat matema­ tica sunt m ai numeroşi de cât cei pe care-i intere­ sează muzica". Faptul că aparenţele sugerează contrariul se explică, pentru Hardy, prin aceea că muzica poate servi la stimularea emoţiei in masă, pe când matematica nu. Pentru a demasca absurdi­ tatea "superstiţiei literare" , Hardy se referă la faptul că orice jucător de şah poate recunoaşte şi aprecia o partidă sau o problemă frumoasă, o situaţie simila­ ră având loc în cee a ce priveşte j ocul de bridge şi problemele de enigmistică din almanahuri. O pro­ blemă de şah , de bridge sau de enigmistică este însă un exerciţiu de matematică. Popularitatea aces­ tor j ocuri este deci, în ultimă instanţă, un simptom al popularităţii matematicii. Desigur, Hardy ne su­ gerează prin argumentul său ludic faptul că mate­ matica are un potenţial de popularitate care se poate actualiza de îndată ce o prezentăm într-o for­ mă adecvată. Jocul e ste o atare formă.

ESTE VARIANTA LUD ICĂ O SOLUŢIE? Chestiunea este însă în ce măsură poate bene­ ficia de această variantă ludică sau de alta la fel de 303

accesibilă şi plăcută o matematică mai complexă decât aceea care se poate învăţa până la 15 ani , pentru a ne referi la pragul fIxat de Thom. Există in momentul de faţă multe cărţ i care ne încurajează să credem în posibilitatea prezentării matematicii su­ perioare într-o manieră accesibilă şi plăcută, chiar seducătoare. R. Smullyan ne-a convins că teorema de incompletitudine a lui G6del (inclusiv demon­ straţia ei) se află în această situaţie . R. Peter a reali­ zat o expunere de ace st fel pentru matematica transfinită. A.I. Hincin a realizat un proiect similar pentru analiza matematică, cărţile lui Kemeny şi asociaţilor săi au dat un exemplu de tratare de acest fel pentru o bună parte din matematica finită ş.a.m.d. Este adevărat că niciunul dintre exemplele date nu are statut de manual (şcolar sau uni­ versitar) , dar tocmai acest fapt naşte bănuiala că printr-o schimbare adecvată a strategiei didactice s-ar putea obţine cu totul alte rezultate în învăţă-

304

mânt. Sunt oare teoremele şi problemele de geome­ trie elementară inferioare, ca grad de dificultate, multor teoreme elementare de aritmetică, combina­ torică, grafuri , probabilităţi finite, teoria j ocurilor? Răspunsul este categoric negativ; şi totuşi multe fapte de geometrie elementară se învaţă înainte de vârsta de 1 5 ani, şi nu sunt puţini acei intelectuali nematematicieni care-şi amintesc cu plăcere de ele. Hardy ne semnalează faptul că ftlozoful Herbert Spencer a republicat în autobiografia sa o teoremă asupra cercurilor pe care o demonstrase la 20 de ani (fără să ştie că ea fusese stabilită încă de Platon) , iar fizicianul şi chimistul Frederik S oddy este au­ torul unei teoreme de geometrie necunoscute ante­ rior. Radicalismul lui Thom trebuie desigur tempe­ rat; dar până unde anume se extinde dreptatea lui, rămâne o che stiune care mai pretinde încă multă reflecţie .

FRACTALUL

o CURBĂ INVIZIB ILĂ

PORNIND DE LA ETIMOLOGIE Obiceiul de a stabili semnificaţia unui cuvânt pe baza etimologiei sale este de multe ori Inşelător, deoarece între sensul iniţial şi cel actual, dacă ele sunt separate de un interval lung de timp, deosebi­ rea poate fi mare . Riscul ace sta nu există în cazul cuvântului FRACTAL, care datează numai de 30 de ani. El a fo st introdus în 1 9 75, de către Benoit Mandelbrot; iată propria sa mărturie : "Am format cuvântul FRACTAL după adj ectivul latin FRACTU S . Verbul latin core spunzător, FRANGERE, în seamnă a strica, a crea fragmente neregulate [ ]. Deci, pe lângă sensul de fragmentat (ca în fracţie sau refrac­ ţie) , FRACTUS semnifică şi neregulat". Iniţial numai adjectiv, cuvântul fractal a deve­ nit repede şi substantiv. American de origine fran­ ceză, Mandelbrot a scris despre fractali atât în franceză, cât şi în engleză, folo sind acelaşi cuvânt in ambele limbi; în aceeaşi formă acest cuvânt a pătruns şi în limba română (dar se pare că există o ezitare în ceea ce priveşte genul său gramatical, ca substantiv; unii îl consideră masculin şi formează pluralul fractali, alţii îl consideră de genul neutru şi formează pluralul fractale) . Ce este geometria fractală a naturii? Mandelbrot se ' referă la faptul că geometria tradiţională, in for­ ma iniţiată de Euclid, pune accentul pe structurile geometrice simple, cu o regularitate pronunţată, ca linia dreaptă, triunghiul, cercul, cubul, sfera, diferi­ te poligoane regulate şi poliedre regulate şi altele înrudite cu ace stea, în timp ce munţii, norii , vulca­ nii, liniile care separă continentele de oceane , clă­ bucii de săpun şi atâtea alte privelişti ale naturii ne pun în faţa unor forme incomparabil mai complica­ te, mai neregulate ; tocmai de spre acestea din urmă îşi propune să se ocupe geometria fractală. Să fi fost o simplă neglijenţă faptul că de-a lun­ gul a mii de ani geometria nu a acordat atenţie for­ melor foarte neregulate din natură? Nu, aceste form e nu au trecut neobservate, dar fiecărei pro­ bleme îi vine rândul numai atunci când se dezvoltă mijloacele de a o aborda. După cum vom vedea, ace ste mijloace s- au dezvoltat, în ceea ce priveşte lumea fractală, abia în secolul al XX-lea şi în mare măsură abia în a doua parte a secolului trecut. . . .

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea au început să apară în analiza matematică tot felul de obiecte care se depărtau tot mai mult de intuiţia comună. Noţiunea de curbă are un suport intuitiv , geometric, sub forma unei linii care şerpuieşte in plan sau în spaţiu. Dar studiul analitic al curbelor a condus la un decalaj tot mai mare intre expresia lor analitică şi reprezentarea lor geometrică, ajun­ gându- se astfel la curbe care sunt inteligibile fără a fi vizibile . Primul şoc a venit atunci când K. Weierstras s a dat un exemplu de funcţie continuă pe ste tot, dar nediferenţiabilă nicăieri, fapt care implică existenţa unor curbe care nu au tangentă în nici un punct. O atare curbă nu poate fi reprezenta­ tă geometric, deoarece , prin modul în care oamenii sunt alcătuiţi, ei nu pot trasa pe o foaie de hârtie decât curbe cu tangentă in fiecare punct (cu excep­ ţia eventuală a unui număr finit de puncte) , iar această tangentă trebuie să varieze în mod continuu (cu excepţia eventuală a unui număr finit de puncte) . Reacţia la exemplul lui Weierstrass şi la altele similare a fo st foarte violentă, re spectivele obiecte fiind considerate adevăraţi monştri. Matematicianul Charles Hermite declara în 1 8 9 3 că- şi întoarce pri­ virea cu oroare de la ele . D ar exemplele de acest fel continuau să sfideze lumea matematică. G. Peano (cunoscut şi ca autor al unui proiect de limbă inter­ naţională bazat pe o limbă latină fără flexiune) dă un exemplu de curbă care umple un pătrat, răstur­ nând astfel imaginea de linie pe care o asociem in­ tuitiv ideii de curbă. Cantor define şte o mulţime cuprinsă într-un interval de pe o dreaptă, dar care , deşi are peste tot găuri, este la fel de bogată in puncte ca şi întreaga dreaptă. Însă nici unul dintre autorii unor exemple de acest fel nu reuşea să arate că ele ar putea aj uta la înţelegerea unor forme existente în natură. Totul părea un exerciţiu intelectual foarte ingenios, dar fără o funcţie cognitivă. Totuşi , unele semnale nu au lipsit. În deceniul al doile a, Arnaud Denj oy atrage atenţia că structura discontinuă a materiei, care tocmai fuse se pusă în evidenţă, pretinde o înlocuire a noţiunilor clasice ale 305

analizei matematice cu altele , care ţin seama de noile stări de lucruri din fizică. Denj oy introduce în acest scop continuitatea şi derivata aproximativă, iar A . I . Hincin le introduce şi el, concomitent, dar independent, sub o altă denumire . Cercetări de acest fel au continuat şi continuă şi acum. Este de neîn­ ţeles faptul că ele i-au rămas necunoscute lui Mandelbrot, altfel ar fi trebuit să se refere la ele atunci când, în cartea sa The fractal geometry of nature (pp. 6-9 din ediţia 1 983) , reproduce un lung citat, datând din 1 9 1 3 , al lui Jean Perrin (fizician laureat al Premiului Nobel pentru cercetările sale privind mişcarea browniană, mişcare care intră şi ea sub incidenţa geometriei fractale) privind infinita granularitate a materiei, granularitate care limitea­ ză aplicabilitatea conceptului clasic de continuitate . Să mai observăm că această granularitate constitu­ ie , începând din anii '80, obiectul de cercetare al teoriei mulţimilor granulare , iniţiate de Z. Pawlak (importante în inteligenţa artificială) , teorie cu care geometria fractală ar trebui acum să interacţioneze .

SUNT OARE UN FRACTALIST

A VANT LA LETTRE?

În anii '50 , când mă aflam la începutul carierei mele de matematician, m-am simţit atras de studiul acestor monştri, care de altfel fuse seră în atenţia unor maeştri ai matematicii româneşti ca Dimitrie Pompeiu, Simion Stoilow , Miron Nicolescu şi Alexandru Froda. Am publicat mai multe articole pe această temă. Poate că ar trebui să mă consider, alături de maeştrii evocaţi şi de o serie de matema­ ticieni străini care au cultivat aşa-numitul domeniu al patologiei mulţimilor şi funcţiilor, un fel de frac­ talist avant la lettre. Câteva dintre lucrările mele fuse seră citate într-o carte a lui L. Carleson intitulată Exceptional Sets, carte la care Mandelbrot se referă (p . 8 din cartea sa menţionată mai sus) cu observaţia că mulţimile pe care Carleson le nume şte excepţionale ar tre bui să devină regulă. Poate să pară curios faptul că aceste obiecte antiintuitive (datorită complexităţii lor ridicate) au fo st acceptate atât de târziu. Începutul secolului al XX-lea s-a arătat, în multe privinţe, foarte receptiv faţă de trecerea de la vizibil la invizibil (atât în ştiin­ ţă, cât şi în artă) . Idealul estetic al Greciei antice şi al Renaşterii, cu un accent atât de puternic pe sim­ plitate şi simetrie în conceperea frumosului, era supus unor şocuri puternice. Prin B audelaire , poe­ zia îşi extinsese raza de acţiune asupra unor zone considerate anterior nepoetice, urâtul pătrundea în poezie, cum de altfel pătrunse se şi în pictură; o metamorfoză similară s-a produs şi la noi, prin Fundoianu ( Ca un paing urâtul se rupe dintre aţel , dar mai ales prin Arghezi, cu ale sale Flori de muci­ gai. Geometria nu ar fi putut şi ea să manifeste o 306

deschidere similară faţă de obiectele urâte puse în evidenţă prin dezvoltarea naturală a matematicii? Explicaţia este aceea pe care am dat-o mai sus: cu rare excepţii, autorii acelor monştri nu au ştiut să arate că ei intervin în studiul naturii, că au legătură cu fenomenele de turbulenţă, cu unele procese fizi­ ce sau biologice, cu unele forme geografice. Primul care a făcut demonstraţia sistematică a acestui fapt a fost Mandelbrot.

FENOMENUL DE AUTO-SIMILARITATE Mai este însă şi un alt aspect. Instrumentele necesare pentru cristalizarea riguroasă a ideii de mulţime fractală s-au creat încet, pe parcursul unui lung interval de timp . Un rol esenţial l-a avut înţele­ gerea noţiunii de dimensiune şi a faptului (pus în evidenţă de Felix Hausdorff) că dimensiunea, în cazul obiectelor urâte , se poate exprima şi fracţio­ nar, deci nu neapărat printr-un număr intreg. Ob­ servarea atentă a formelor naturale a arătat că acestea se supun (cu aproximaţie , desigur) unui principiu de invarianţă, în sensul că rămân ne­ schimbate faţă de anumite transformări de scală. În particular, se manife stă frecvent fenomenul de au­ to- similaritate, con stând în invarianţa faţă de trans­ formarea elementară de asemănare. Obiectele fractale prezintă, local, aceeaşi structurare pe care o manife stă global. Ele evocă, prin aceasta, principiul holografic. Mai important e faptul că întreaga struc­ tură fractală este rezultatul aplicării iterative a unor reguli, cu alte cuvinte , fractalii se obţin ca limită a unor construcţii recursive . Însă logica recursivă s-a perfecţionat abia spre mijlocul secolului trecut. Ea a schimbat esenţial şi înţelegerea creaţiei artistice, cum s-a putut vedea cu precădere în domeniul vi­ zual, în lucrările lui Escher, la care Mandelbrot se referă pe larg, accen tuând rolul creator al colaboră­ rii cu geometrul Coxeter, în special în ciclul "Circle Limits". De fapt, Mandelbrot şi Escher au nişte stră­ moşi comuni: Henri Poincare , R. Fricke şi Felix Klein, care au folosit încă în secolul al XIX-lea obiecte recunoscute mai târziu ca fractali. Dar procedarea recursivă în artă este mai veche dacă avem în vede­ re structura recursivă a şirurilor lui Fibonacc i , aso­ ciate ulterior cu proporţia de aur.

FULGII DE zĂrADĂ Este însă momentul să trecem la un exemplu efectiv. Ne vom referi la fulgii de zăpadă. Modelul lor matematic s-a dovedit a fi o familie de curbe int ro­ duse încă la începutul secolului trecut: curbele lui Koch. Mandelbrot arată că ace stea sunt fractali. Să schiţăm deci procesul recursiv care aproximează fulgii de zăpadă. Considerăm un segment de dreap-

t ă în poziţie orizontală şi îl împărţim în r părţi egale; raţia r poate lua diferite valori naturale; vom alege r = 3. Înlocuim segmentul de la mijloc cu alte două segmente, aşezate deasupra, in aşa fel încât să for­ meze cu segmentul înlocuit un triunghi echilateral. Obţinem o linie poligonală formată din N = 4 seg­ mente egale. Dimensiunea D a ace stei linii poligon a­ le este dată de formula D ( log N) / ( log r) = (log 4) / 1 , 26 . . . (motivaţia acestei evaluări nu pre­ / (log 3) zintă dificultate) . Repetăm acum acelaşi proce deu cu fiecare din­ tre cele patru segmente ale liniei poligonale ; vom obţine o nouă linie poligonală, formată din 16 seg­ mente şi aplicăm iar noilor segmente acelaşi proce­ deu , repetând aceasta in mod indefinit. Curba lui Koch se obţine ca limită a ace stei recursivităţi infi­ nite. Dar, spre deo sebire de curbele obişnuite, nefractale, care au o ecuaţie , această curbă fractală tiu are nici o ecuaţie, ci se defineşte prin proce sul recursiv menţionat. Curba lui Koch ca atare este invizibilă, vizibile sunt numai primele ei aproximări recursive . Deşi ocupă o porţiune mărginită a planu­ lui, această curbă are o lungime infinită. Principiul de auto- similaritate este vizibil chiar în natura re­ cursivităţii, iar dimensiunea curbei lui Koch , cu parametrii pe care i-am selecţionat, r = 3, N 4, este fracţionară, cum am văzut mai sus. Dar, desigur, puteam alege şi alţi parametri, numai că nu am mai fi aproximat fulgii de zăpadă. Mande1brot arată că, la o alegere convenabilă a pa­ rametrilor, curba lui Koch aproximează linia foarte neregulată care desparte, de exemplu, Bretania de Oceanul Atlantic. Rolul decisiv al recursivităţii, de spre care se ştie că este echivalentă cu calculabilitate a Turing şi cu descrierea algoritmică, explică de ce studiul obiec­ telor fractale nu se putea întreprinde cu eficienţă înainte de a doua jumătate a secolului trecut; logica recursivă şi computaţională nu era încă elaborată, iar mijloacele de calcul permise de calculatoarele moderne şi de programele de calculator foarte avan­ sate nu existau încă nici ele. =

=

=

GEOMETRIA FRACTALĂ, REPLICĂ LA GEOMETRIA CLASICĂ Mandelbrot şi colegii săi pretind că geometria clasică nu se referă la natură, ci la obiectele create de oameni (a se vedea p. 26 din cartea editată de H . O . Peitgen şi D. Saupe , carte la care Mandelbrot este coautor: The science offractal images, Springer, 1 9 88) . Este , desigur, o exagerare , efect al retoricii propagării geometriei fractale . Traiectoriile planete­ lor, ale corpurilor în cădere , cristalele sunt fenome­ ne ale naturii, fără a fi obiecte fractale . Procesele din lumea vie , urrnărite in cărţi celebre precum cele ale lui D'Arcy Thompson ( On Growth and Form) , Matila Ghyka (Le nombre d 'or) Hermann Weyl

(Symmetry) şi Rene Huyghe (Formes et forces) , se referă în mare măsură la obiecte şi "forme euclidiene ale naturii vii şi pun în evidenţă legătura lor intimă cu formele artistice şi cu evoluţia lor. De sigur, geo­ metria clasică nu e ste suficientă pentru modelarea unor forme şi mişcări mai complicate ale naturii , cum ar fi spuma mării sau configuraţia norilor; dar, în acelaşi timp , obiectele fractale nu ar putea fi con­ cepute în absenţa obiectelor euclidiene , ace stea din urmă făcând parte integrantă din proce sul recursiv şi de auto- similaritate. De exemplu, în definirea curbei lui Koch un rol esenţial l-au avut dreapta, triunghiul echilateral şi liniile poligonale, toate obiec­ te euclidiene. Oricărei mulţimi din spaţiul euclidian n-dimen­ sional i se asociază o dimensiune, sub forma unui număr întreg, care nu poate fi nici negativ (decât în cazul mulţimii vide) , nici superior lui n; este exact ceea ce ne spune şi intuiţia curentă. Hausdorff a considerat un concept mai fin de dimensiune , care să-i permită acesteia să ia şi valori neîntregi. Obiec­ tele euclidiene nu au nevoie de dimensiuni neîn­ tregi; pentru ele , dimen siunea Hausdorff coincide cu dimensiunea obişnuită. De îndată însă ce pără­ sim lumea euc1idiană, dimensiunea Hausdorff (precizată ulterior de Be sicovitch) poate deveni frac­ ţionară. Mandelbrot propune ca definiţie precisă a mulţimilor fractale condiţia ca dimensiunea lui Hausdorff- Besicovitch (HB) să fie superioară dimen­ siunii obişnuite. Curba lui Koch are dimensiunea HB egală cu ( log N) / (log r), deci în cazul particular al fulgilor de zăpadă obţinem ( log 4) / ( log 3) 1 , 26 număr superior lui 1 , care este dimensiunea obiş­ nuită a acestei curbe . Ne aflăm deci în prezenţa unui fractal. în cazul mulţimii lui Cantor, la care ne-am referit mai su s, se procedează pornind tot de la un segment de dreaptă; acesta este descompus în trei segmente egale, se elimină segmentul din mij loc şi se continuă în mod asemănător cu cele două segmente rămase etc . Se constată că raţia r este egală cu 3, iar numărul N care arată în ce proporţie se înmulţe sc intervalele considerate , prin trecerea de la o etapă la cea următoare, este egal cu 2; deci dimensiunea HB a mulţimii lui Cantor este (log 2) / / (log 3) , număr superior lui zero , care este dimen­ siunea obişnuită a mulţimii lui Cantor (datorită faptului că are găuri pe ste tot) ; rezultă că şi mulţi­ mea lui Cantor este un fractal. Există şi fractali de dimensiune HB întreagă; de exemplu, traseul miş­ cării browniene este un fractal de dimensiune HB egală cu 2. Diferenţa dintre dimensiunea HB şi di­ mensiunea obişnuită a unui fractal ar putea fi con­ siderată o măsură a fractalităţii; rezultă că mişcarea browniană prezintă o fractalitate mai mare decât aceea a fulgilor de zăpadă. =

,

307

DIMENSIUNEA FRACT ALILOR Dar este dimensiunea un criteriu decisiv în identificarea obiectelor [ractale? Chiar Mandelbrot, în partea finală a cărţii sale din 1983 ( op. cit., p. 361 ) , revine asupra acestei chestiuni, exprimând posibilitatea ca unele obiecte [ractale să prezinte aspecte specifice mai importante decât dimen­ siunea; se întreabă dacă nu cumva ar trebui să lăsăm deocamdată ace ste obie cte fără o definiţie riguroasă, aşa cum a procedat în versiunea franceză a cărţii sale (din 19 75) . Î n continuare , Mandelbrot crede că invarianţa faţă de o clasă adecvată de transformări ar putea fi un criteriu mai semnificativ decât dimensiunea. Toate ace ste a fac parte din pro­ cesul firesc de tatonare inerent cerce tării ştiinţifice . Pe de altă parte , în cartea editată de Peitgen şi Saupe (pp. 25-26) , criteriul dimensiunii este pur şi simplu abandonat (fără nici o explicaţie) , obiectele fractale fiind identificate exclusiv pe baza recursivi­ tăţii şi auto- similarităţii. Este deci clar că fracta­ litatea se află încă în căutarea unui statut. Poate că va trebui să abandonăm ideea că ar exista o trecere abruptă de la euclidian la fractal. Nu cumva există şi obiecte mixte , parţial euclidiene şi parţial fractale? Ce sunt structurile pe care Douglas Hofstadter le analizează în Godel, Escher, Bach ( 1 979)? Sunt acolo aduse într-o albie comună logica recursivă a lui G6del, gravurile lui Escher şi fugile lui Bach , deci recursivitatea lor comună este un simptom de fractalitate ; nu ştiu cum se prezintă dimensiunea lor, poate că le putem considera, cel puţin pe unele dintre ele , obie cte mixte . Trecerea spre fractalitate nu este cumva mai degrabă gra­ duală decât abruptă? Un alt aspect esenţial, pe care nu-l putem aprofunda aici, este legătura dintre fractalitate şi haos; ea se manifestă în cadrul sistemelor dinamice (adică al proceselor care se desfăşoară în timp) . Un sistem dinamic este haotic dacă la modifi­ cări mici ale condiţiilor sale iniţiale corespund mo­ dificări mari ale comportamentului sistemului. Dar sistemul este definit printr-o funcţie f(t) care poate avea un comportament haotic pentru anumite valori ale lui t (timpul) şi un comportament nehaotic pen­ tru alte valori ale lui t. Descoperirea faptului că de foarte multe ori mulţimea mom entelor t in care se produce haosul este un fractaI conferă ştiinţei frac­ talilor o importanţă mărită in ceea ce prive şte posi­ bilele aplicaţii în umanistică, în literatură şi artă.

o MUZICĂ FĂCUTĂ DIN ZGOMOT Surprinzătoare este descoperirea legăturii pro­ funde dintre muzică şi fractalitate (R. F. Voss, J. Clarke, " l / f noise in music and speech" , Nature, no. 258 ( 1 975) , pp. 3 1 7-3 1 8 ; " l / f noise in music; music from 1/ f noise" , Jou mal of the Acoustic

308

Society of America, no. 63 ( 1 978) , pp. 258-263). Î n fizică, schimbările imprevizibile ale unei cantităţi V variind în timp sunt considerate zgomot. Densitatea spectrală S(V, f) dă o estimare a mediei pătratice a fluctuaţiilor la frecvenţa f şi , în consecinţă, o esti­ mare a variaţiilor pe o scal ă de timp de ordin 1 /f Traseul produs de fiecare dintre aceste zgomote este o curbă fractală şi există o relaţie directă între di­ mensiunea fractală şi densitatea spectrală. Terme­ nul 1 /f zgomot e ste aplicat oricărei cantităţi v(t) pentru care S(V, f) variază ca l / (f la puterea b) , un­ de b este cuprins între 0 , 5 şi 1 , 5 . Atât zgomotul alb, cât şi zgomotul 1 / (f la pătrat) sunt întelese în sen­ sul matematicii şi fizicii. Voss şi Clarke au pus în evidenţă faptul surprinzător că aproape toate struc­ turile melodice din muzică se supun zgomotului 1 //, care , de altfel, constituie cel mai obişnuit tip de zgomot existent în natură (chiar dacă originea sa : ămâne, după 70 de ani de investigaţie, un mister) . Intâmplarea şi previzibilitate a se asociază în muzică după aceleaşi reguli ca în zgomotul 1 //, dar nu la fel ca în limba vorbită. Cu excepţia unor compozitori foarte moderni ca Stockhausen, Jolet şi Carter (la care fluctuaţiile melodice se apropie de zgomotul alb la frecvenţe j oase) , toate tipurile de muzică acceptă baza comună a zgomotului 1 /f Vo ss, pe care-l urmăm în consideratiile relative ' la muzică şi fractali, face o digresiune , evocându-l pe Platon, care observa că, atunci când nu există cuvinte care să acompanieze muzica, este foarte dificil să recunoaştem semnificaţia armoniei şi a ritmului, să recunoaştem ce obiect anume imită ele . Filozofii greci erau în general de acord că artele imi­ tă natura. Dar dacă acest fapt le apărea evident pentru pictură, sculptură şi teatru, rămânea între­ barea: ce anume imită muzica? Măsurătorile suge­ rează că muzica imită modul caracteristic în care lumea se schimbă în timp. Şi muzica, şi zgomotul 1 /f se află undeva între întâmplare şi previzibilitate. Ca şi în formele fractale , chiar cea mai mică frază refle ctă întregul. Recunoaştem , în aceste reflectii ale lui Voss, principiul holografic: localul este c�pabil să dea seamă de spre global, instantaneul răspunde de eternitate. Voss conchide că e ste posibil să se utilize ze fractali în muzică, în acest caz, ca zgomot 1 / ([ la puterea b) . Următoarea observaţie a lui Voss ni se pare esenţială şi ne vom opri puţin asupra ei: dacă fractalii matematici comportă o infinitate de trepte, fractalii naturali au totdeauna o limită. Dar geome­ tria fractală rămâne limbajul cel mai accesibil pen­ tru cele mai multe forme naturale. Ca în ori ce disciplină, investigarea frontierelor lumii fractale (frontiere care adesea sunt ele însele fractali) promi­ te noi revelaţii . -

o GEOMETRIE A URÂTULUI TRANSFORMAT ÎN ARTĂ În lumina acestei ultime reflecţii a lui Voss, să ne în trebăm cum se explică faptul că, prin motiva­ tiile sale iniţiale , lumea fractală urma să fie popula­ tă de tot felul de monştri, deci o lume a urâtului şi a groazei, pentru ca ulterior fractalii să fie prezentaţ , dimpotrivă, ca o sursă de frumuseţe . Cum se explI­ c ă faptul că, pe de o parte, fractalii se plasează dincolo de frontierele vizibilului (să ne amintim de curba lui Koch şi de mulţimea lui Cantor) , pentru ca, pe de altă parte, să existe o adev ată între cere _ ne in a produce fractali tot mai frumoş1, care sa ncânte privirea? Răspunsul e dat de distincţia ope­ î rată de Koch. Fractalii, ca obiecte matematice , sunt numai inteligibili, nu şi vizibili; dar primele aproxi­ matii ale lor în procesul recursiv care le defineşte sUI�.t vizibile şi frumoase . Să ne mai amintim că obiectele din natură pe care le asimilăm cu fractali sunt numai cu aproximaţie reprezentate de procesul

�

�

recursiv, acesta din urmă fiind mult mai structurat şi ordonat decât cele dintâi. În sfârşit, şi poate că acest lucru este cel mai important, rolul teoriei frac­ tale este de a arăta că dincolo de iregularitatea apa­ rentă a naturii se află, uneori foarte ascunse, o ordine şi o simplitate care cer un efort pentru a fi descoperite ; şi acestea sunt exprimate prin structura exemplară a procesului recursiv şi a auto-simila­ rităţii. În acest fel, urâtul devine frumos, complexi­ tatea devine simplitate ; cum spune poetul: "Din mucigaiuri, bube şi noroi / I scat-am frumuseţi şi preţuri noi" . Da, intr-adevăr! Funcţia lui Weierstrass, pe care Hermite o considera un adevărat monstru , a devenit intre timp, prin spectrul ei de frecvenţe , un mijloc de clarificare a unor fenomene atât de diferite cum sunt mişcarea browniană şi creaţia muzicală (la aceasta se referă Mandelbrot, op. cit. , p. 374) , deci şi un obiect estetic, deoarece permite, prin me­ taforă, să se aducă in aceeaşi albie fenomene apa­ rent total eterogene.

309

IV

PARADIGME ALE FUNDAMENTELOR

AXIOMA

DE LA EUCLID LA SPINOZA

Importanţa gândirii axiomatice rezultă nu nu­ mai din rolul ei esenţial în matematica modernă, în învăţământul matematic şcolar şi universitar, ci şi din răspândire a ei în domenii tot mai variate ale cunoaşterii. Istoria exactă a metodei axiomatice nu e ste cunoscută. O ipoteză plauzibilă este aceea după care, ca urmare a crizei apărute in legătură cu de s­ coperirea numerelor iraţionale şi a paradoxurilor lui Zenon, în matematica greacă s-a simţit nevoia unei fundări mai riguroase a geometriei, nevoie care ar fi putut să culmineze cu metoda axiomatică elaborată de Euc1id şi concretizată în Elementele sale , scrise cu vreo 300 de ani înainte de Hristos. Această me­ todă a fost folosită de Arhimede (287-2 1 2 î . Hr.) în fundarea mecanicii te ore tice . În Cartea 1 a tratatului său, Arhimede pleacă de la 7 po stulate şi demon­ strează 15 propoziţii. Aproape 2000 de ani mai târ­ ziu, în secolul al XVII-lea, înre gistrăm , în ordine cronologică, două utilizări, devenite celebre , ale metodei axiomatice: Etica demonstrată în mod geo­ metric , de unul dintre marii initiatori ai filozofiei moderne , Baruch Spinoza, şi Phil�sophiae natur alis principia mathematica, de Isaac Newton . Este cu­ noscut faptul că această operă a descoperitorului legii gravitaţiei universale e ste organizată ca un sis tem axiomatic-deductiv, în c are legile mişcării apar ca postulate iniţiale . Opera menţionată a lui

Spinoza e ste şi ea organizată după modelul euclidi­ an , aşa cum de altfel sugerează chiar titlul ei. in lucrarea La Philosophie coordonată de Franc;ois Châtelet (Marabout, Verviers, 1979) se face următo­ rul comentariu pe marginea folosirii de către Spinoza a metodei axiomatice (voI. 2 , p. 1 4 1): "Adevărul ma­ tematic se constituie ca un model al adevărului general: progresia din idei clare in idei clare, deduse din axiome evidente şi din definiţii univoce ; ea înde ­ părtează în mod nece sar orice preocupare străină conţinutului introdus anterior, exclude orice noţiu­ ne care nu este direct cerută de premise . Prin aceasta, ea este singura metodă capabilă să degaje­ ze ordinea lucrurilor. Pentru a te feri de prejudecăţi, tre buie să raţionezi în maniera geometrilor: plecând de la definiţii valabile , nu de la idei generale". GÂND IREA AXIOMATICĂ ÎN OFENSIVĂ

De sigur, am putea urmări în continuare utiliză­ rile celebre ale metodei axiomatice . Am putea evoca tratarea axiomatic-deductivă, de către Lagrange, a mecanicii analitice , spre sfârşitul secolului al XVIII­ lea, pentru ca apoi, din exemplu in exemplu, să ajungem la celebra lucrare a lui L. Bloomfield (" A set of postulate s for the science of language", Language, voI. 2 , 1926, pp. 26- 3 1 ) privind axiomati­ zarea lingvisticii şi la faimoasa tentativă de axioma­ tizare a biologiei, întreprinsă de J .H. Woodger (The 311

Axiomatic Method in Biology, Cambridge Univ. Press. 1937), după care am putea trece la relatarea modu­ lui în care metoda axiomatică a proliferat în ultimii 50 de ani, necruţând aproape nici unul dintre do­ meniile cunoaşterii. Un exemplu semnificativ, care ne-a preocupat în câteva lucrări, este cel al axioma­ tizării fonologiei (ramură a lingvisticii care se ocupă de funcţia lingvistică a sunetelor vorbirii), axiomati­ zare iniţiată de B. Bloch ("A set of postulates for phonemic analysis", Language, voI. 24, 1948, no. 1). Nu au lipsit nici tentativele de axiomatizare a muzi­ cii (P. Barbaud, La musique, discipline scientijique, Dunod, Paris, 1968; o tentativă mai elaborată este aceea întreprinsă de Anatol Vieru, Cartea modurilor, Editura Muzicală, 1980, şi Dan Vuza, într-un ciclu de articole publicate între 1984 şi 1986 în Reuue Roumaine des Mathematiques Pures et Appliquees, cu referire la teoria modurilor muzicale). O tentativă de axiomatizare a poeticii se află în cartea noastră Poetica matematică (Editura Academiei, 1970). În ciuda acestei diversităţi privind exemplele de folosire a metodei axiomatice, trebuie totuşi să ob­ servăm că până în urmă cu vreo 60 de ani domeniul predilect de folosire a metodei axiomatice l-a consti­ tuit geometria. În nici un alt domeniu al cunoaşterii nu a fost gândirea axiomatică mai mult aprofunda­ tă, testată în toate variantele posibile, ca în geome­ trie. Aceasta, probabil datorită modului atât de echilibrat în care geometria solicită observaţia şi raţionamentul, intuiţia şi logica, desenul şi silogis­ mul, activitatea empirică şi cea teoretică. S-a discu­ tat mult despre ceea ce reprezintă geometria din punctul de vedere al formării gândirii, al înţelegerii a ceea ce constituie o teoremă şi o demonstraţie. În această privinţă, probabil că ideile cele mai profun­ de sunt cele care aparţin lui Rene Thom şi pe care le prezentăm în alte părţi ale acestei cărţi.

AXIOMATICA, ÎNTRE FIZI CĂ ŞI LOGICĂ Se poate spune fără exagerare că înţelegerea modernă a axiomelor şi postulatelor, a metodei axi­ omatic-deductive a devenit posibilă în primul rând datorită cercetărilor din domeniul geometriei; şi pentru că geometria a fost concepută ca o încercare de descriere a spaţiului fizic în care trăim, s-a atri­ buit axiomelor şi postulatelor geometriei un caracter de necesitate logică. De exemplu, postulatul al cin­ cilea al lui Euclid ("postulatul paralelelorU) este enunţat, în forma sa autentică, în modul următor: "Dacă o dreaptă intersectând două alte drepte de­ termină unghiuri interioare de aceeaşi parte de mă­ sură totală mai mică decât două unghiuri drepte, atunci cele două drepte, prelungite la infinit, se întâlnesc în acea parte în care măsura unghiurilor menţionate este mai mică decât două unghiuri drepte" Proclus (410-485) cerea eliminarea acestui enunţ doar plauzibil, nu şi motivat raţional. În tim-

312

pul Renaşterii şi ulterior s-au făcut încercări de obţinere a postulatului paralelelor din alte principii, negeometrice, pur logice. Abia în secolul al XIX-lea, odată cu apariţia geometriilor neeuc1idiene, s-a înţe­ les că postulatul paralelelor nu poate fi obţinut pe cale pur logică din celelalte axiome şi postulate ale geometriei euclidiene. Printr-o substituire adecvată a postulatului paralelelor, cu păstrarea intactă a celorlalte axiome şi postulate, se obţine geometria neeuclidiană - la fel de' consistentă ca şi cea eucli­ diană - descoperită de Lobacevski, Bolyai şi Gauss. În această nouă ge,ometrie, suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât suma a două unghiuri drepte, iar printr-un punct exterior unei drepte se pot duce o infinitate de paralele la dreapta respecti­ vă. În 1854, Riemann a elaborat o altă geometrie neeuclidiană, la fel de consistentă logic, în care toa­ te dreptele sunt de lungime -finită, iar suma unghiu­ rilor unui triunghi este -mai mare decat suma a două unghiuri drepte. În această geometrie, printr-un punct exterior unei drepte nu se poate duce nici o paralelă la dreapta considerată. A devenit astfel clar că, dincolo de geometria ca ştiinţă a spaţiului fizic în care trăim sau a unor extensiuni ale acestuia, se pot concepe şi geometrii formale, construite pur logic. Dar ce relaţie există între cele două tipuri de geometrie? Într-o lucrare din 1844, autorul, Grassmann, spune că încearcă o fundare abstractă a doctrinei spaţiului, indepen­ dentă de orice intuiţie spaţială, ca o disciplină pur matematică, a cărei aplicare la spaţiu conduce la ştiinţa spaţiului; însă această din urmă ştiinţă, referindu-se la ceva existent în natură, nu este o ramură a matematicii, ci o aplicare a matematicii la natură. Grassmann lansează astfel conceptul de ştiinţă formală, caracterizată prin faptul că toate principiile ei sunt de natură logică, iar teoremele nu se referă direct la lumea reală, ci la postulatele şi regulile logice adoptate.

o DISTINCŢIE CARE NU A REZISTAT: AXIOMĂ-POSTULAT Nu trebuie să confundăm OrIginea unei disci­ pline sau teorii cu forma la care ea evoluează. Fără îndoială că, la origine, geometria era o ştiinţă a spa­ ţiului fizic; dar aceasta nu înseamnă că orice teorie ulterioară elaborată în cadrul geometriei îşi păstrea­ ză acest caracter. Pe de altă parte, între logic şi fizic nu se rup legăturile, chiar dacă ele devin uneori foarte indirecte. Trebuie să distingem între matema­ tică şi aplicaţiile ei. Ca urmare a acestei optici, s-a impus o reexa­ minare a naturii propoziţiilor iniţiale, nedemon­ strate, dintr-o teorie matematică. La Euc1id, aceste _propoziţii iniţiale sunt grupate în axiome (= adevă­ ruri evidente) şi postulate ( fapte geometrice atât de simple şi intuitive încât validitatea lor poate fi =

acceptată). Spre deosebire de postulate, axiomele transcend geometria. O axiomă euclidiană, de exemplu, este enunţul "Întregul este mai mare decât orice parte a sa", în timp ce ,,0 dreaptă poate fi pre­ lungită indefinit" este un postulat. O atare distincţie îşi are originea la Aristotel (secolul al IV-lea LHr.), care arată că orice ştiinţă demonstrativă trebuie să plec e de la principii nedemonstrabile (altfel, numă­ rul etapelor unei demonstraţii ar fi nelimitat), care pot fi de două feluri: comune tuturor ştiinţelor (axi­ ome); specifice unei ştiinţe particulare (postulate). Însă evoluţia ştiinţelor - mai cu seamă evoluţia lor recentă - a pus în evidenţă faptul că unele propozi­ ţii care puteau da impresia unor adevăruri absolute, universale, de exemplu, axioma euclidiană "Întregul este mai mare decât partea", sunt mai degrabă con­ tingente decât necesare. Axioma în discuţie depinde de sensul pe care-l atribuim lui "mai mare decât". Astăzi ştim ceea ce nu se ştia pe vremea lui Euclid, anume că, în ceea ce priveşte mulţimile infinite, dacă interpretăm pe "mai mare decât" în sensul inegalităţii dintre numere cardinale, atunci partea poate fi egală cu întregul (mulţimea numerelor pare are acelaşi număr cardinal ca şi mulţimea numere­ lor întregi). lată deci că propoziţii care aveau odată statut de axiomă sunt transferate în rândul postu­ latelor, cu alte cuvinte, unele propoziţii presupuse necesar adevărate se dovedesc a fi numai contin­ gent adevărate. Propoziţii ca "Partea este mai mică decât intregul" şi postulatul paralelelor, in ciuda diferenţei lor de natură, au cunoscut o evoluţie de statut care, în cele din urmă, a pledat pentru re­ nunţarea la distincţia axiomă-postulat.

o NOUĂ ETAPĂ A GÂNDIRII AXIOMATICE Această etapă este marcată de publicarea de către David Hilbert, in 1899, a lucrării Grundlagen der Geometrie (Teubner, Leipzig), reluată apoi, de-a lungul anilor, în numeroase ediţii noi. Hilbert re­ nunţă la termenul de postulat, acordând statut de axiomă oricărei propoziţii iniţiale pe care o adoptă în cadrul convenţiei propuse. Unii termeni de bază, ca punct şi dreaptă, sunt adoptaţi fără definiţie. Hilbert clasificăaxiomele sale în cinci grupe, dar această clasificare este pur tehnică, neangaj ând cu nimic statutul lor relativ privind adevărul şi proprie­ tatea de a fi mai mult sau mai puţin comune. Un "precursor" al lui Hilbert, în ceea ce priveşte axiomatizarea geometriei, este M. Pasch (Vorle­ sungen ilber neuere Geometrie, Teubner, Leipzig, 1882), care porneşte de la un număr redus de con­ cepte şi propoziţii "nucleare", ce pot fi înţelese şi acceptate' pe baza experienţei. Din aceste concepte nedefinite şi propoziţii nedemonstrate se deduc alte propoziţii (teoreme). Baza intuitivă a conceptelor şi propoziţiilor nucleare nu intervine în demonstraţii, acestea din urmă fiind complet independente de semnificaţia conceptelor geometrice şi de eventuale

desene. Nu pot fi luate în considerare decât relaţiile specificate în propoziţiile şi definiţiile folosite. În contradicţie numai aparentă cu cele de mai sus, Pasch observă că în procesul de deducţie este folosi­ tor şi legitim, dar nu şi necesar, să te gândeşti la semnificaţiile termenilor; dacă însă această condiţie devine necesară pentru succesul demonstraţiei, atunci chiar prin aceasta se dovedeşte slăbiciunea ei. Pasch observă, în continuare, că dacă o teore­ mă este dedusă riguros dintr-o colecţie de propoziţii iniţiale (axiome), atunci deducţia respectivă prezintă o semnificaţie care depăşeşte teorema stabilită. Într-adevăr, inlocuind, in mulţimea de axiome, ter­ menii geometrici prin alţi termeni,axiomele îşi păs­ trează valoarea, iar deducţia conduce la o nouă teoremă, care diferă de prima prin natura terme­ nilor. Rezultă că printr-o singură demonstraţie ob­ ţinem o infinitate de teoreme, deoarece natura termenilor poate fi modificată într-o infinitate de feluri. O orientare apropiată o are opera lui G. Peano (1 Principii di Geometria, Logicamenta Esposti, Bocca, Turin, 1889), influenţată de aceea a lui Pasch. Prin Peano se confirmă ideea după care, pe baza unui număr relativ mic de termeni nedefiniţi, pot fi defi­ niţi toţi ceilalţi termeni care intervin in geometrie. Mai precis, Peano consideră o entitate nedefinită, punctul, şi o relaţie ne definită numită "intre" ("betweenness"). Această ultimă relaţie s-a dovedit a fi fundamentală în multe dintre organizările reuşite ale geometriei, propuse în ultima parte a secolului al XIX-lea (apare atât la Pasch, cât şi la Hilbert); ulterior, O. Veblen ("A system ofaxioms for geo­ metry", Transactions of the American Mathematical Society, voI. 5, 1904, pp. 343-384) înlocuieşte "în­ tre" printr-o relaţie de ordine; J.W.A. Young (Monographs on Modem Mathematics, Longmans, Green, New York, 1915) ameliorează axiomatica propusă de Veblen, iar Gilbert de B. Robinson (The Foundations of Geometry, Univ. of Toronto Press, 1940) a realizat o combinare interesantă a sisteme­ lor axiomatice propuse de Hilbert şi Veblen.

UN POPA S LA GEOMETRIA LUI RIEMANN Acest tip de geometrie neeuclidiană, menţionat într-un paragraf anterior, prezintă o importanţă deosebită, fiind folosit în teoria relativităţii. Pentru a da o idee cât mai sugestivă despre geometria lui Riemann, să ne imaginăm nişte fiinţe plate care locuiesc pe o sferă de dimensiunea planetei noastre. O fiinţă de acest fel consideră, de-a lungul Ecuato­ rului, o lungime AB de un metru. Apoi, la extremită­ ţile acestei linii, ridică două perpendiculare AC şi BD, de asemenea de lungime egală cu un metru. Presupunând că fiinţele ipotetice considerate au oarecare cunoştinţe de geometrie, ele vor interpreta liniile AC şi BD ca drepte paralele, cu alte cuvinte, echidistante, oricât ar fi prelungite. Dacă însă vor 313

încerca să testeze experimental această impresie, vor constata că, după zece milioane de prelungiri cu câte un metru ale liniilor AC şi BD, se ajunge la un punct de intersecţie care este polul nord al sferei. Cu alte cuvinte, interpretând cercurile mari ale sfe­ rei ca drepte ale ei, geometria sferică obţinută este lipsită de drepte paralele. Să observăm că această asimilare a cercurilor mari cu dreptele este motivată de faptul că drumul cel mai scurt dintre două puncte ale sferei se măsoară pe cercul mare care le uneşte; valorificarea practică a acestei observaţii a devenit de mult curentă. Imaginea de mai sus, oricât ar putea să pară de extravagantă, are o acoperire ştiinţifică de o impor­ tanţă considerabilă. Într-adevăr, în cadrul teoriei generale a relativităţii, propusă de Albert Einstein în 1912, s-a demonstrat că oamenii sunt, în Univers, comparabili cu aceste fiinţe plate, aceste furnici imaginare de pe sfera considerată mai sus. Numai că Universul este pentru noi mult mai puţin curbat decât sfera de mai sus pentru "furnicile" de pe ea, într-atât încât geometria euclidiană continuă să convină, fără o eroare importantă, spaţiului uzual. (De exemplu, valoarea numărului 1t încetează de a fi exactă. La suprafaţa Pământului, primele zece cifre zecimale rămân valabile. Pe Soare însă, a şaptea cifră zecimală ar fi deja falsă. În toate cazurile, va­ loarea teoretică este diminuată. )

LEGĂTURĂ TOT MAI STRÂNSĂ ÎNTRE GEOMETRIE ŞI EXPERIMENT Din cele de mai sus rezultă că universalitatea şi imuabilitatea adevărurilor matematice sunt uneori numai aparente. Nici un spaţiu nu exprimă de o manieră universală percepţia umană. Marcel BolI (Histoire des Mathematiques, Presses Universitaires de France, Paris, 1974, pp. 111-1 16), de la care împrumutăm aceste consideraţii, vede in geometria lui Riemann ultimul cui la sicriul spaţiului absolut şi primul cui la sicriul pretinselor entităţi absolute ale fizicii secolului al XIX-lea (a se vedea şi Eric­ Temple BeU, Les grands mathematiciens, Payot, Paris, 1939). După apariţia teoriei generale a relativităţii, era de ales între următoarele două posibilităţi: 1) Din respect pentru tradiţie, păstrăm geometria eudidiană, dar suntem obligaţi să admitem, ca principiu suplimentar, legea gravitaţiei univer­ sale a lui Newton ( 1687); 2 ) Recunoaştem c ă spaţiul nostru este riemanni­ an. De aici rezultă întreaga geometrie elementa­ ră. În plus, deducem inerţia materiei, atracţia universală şi toate excepţiile în raport cu teoria newtoniană. Paul Couderc (La relativite, Presses Universitaires de France, Paris, 1940) observă că gravitaţia împiedică spaţiul nostru de a fi euclidian. Într-un câmp gravitaţional, nu numai 314

că nu mai există paralele, dar însăşi noţiunea de linie dreaptă îşi pierde semnificaţia. Evident, nu există nici o îndoială asupra alegerii celei de-a doua variante. După cum observă Leon Brunschvigg (La physique du vingtieme siecle et la philosophie, Hermann, 1936), Einstein nu a des chis, ci a închis o criză. Geometria cu trei dimensiuni a devenit prima şi cea mai simplă dintre teoriile fizice (Ferdinand Gonseth, Les mathematiques et la rea­ IiM, Presses Universitaires de France, Paris, 1936). Secolul al XX-lea a marcat deci o legătură din ce în ce mai stt;ânsă între geometrie şi ştiinţele expe­ rimentale. Dacă secole de-a rândul, de la Descartes încoace, matematica a adus mari servicii mecanicii şi fizicii, acestea din urmă şi-au plătit la rândul lor datoria, acţionând asupra fundamentelor matemati­ cii, sugerându-i concepte (ca vector, tensor, spinor, matrice) care au generat domenii noi, în timp ce ramuri importante ale fizicii (ca electricitatea sau termodinamica) au căpătat o structură deductivă, luând ca punct de plecare unele principii experi­ mentale foarte generale.

COPIII ŞI AXIOMATICA Faptul că la baza oricărei discipline trebuie să se afle anumite propoziţii care nu se demonstrează este inevitabil. Într-adevăr, dacă am cere fiecărui enunţ să fie demonstrat, atunci, tot mergând îna­ poi, la enunţurile pe care se bazează demonstraţiile, vom obţine un şir infinit de paşi deductivi anteriori, nici o oprire nefiind posibilă. Singura posibilitate de a fixa o limită acestui proces, deci de a-l reduce la un număr finit de paşi, este de a selecta fără de­ monstraţie, nu neapărat pentru că prin natura lor ar fi evidente, ci pentru că prin convenţie le consi­ derăm ca propoziţii de plecare (eventual datorită experienţei intuţtive pe care ele o cumulează). Meto­ da axiomatic-deductivă este, din acest punct de vedere, comparabilă cu un joc, unde este absolut necesar să fixăm unele reguli de desfăşurare. O disciplină nu ajunge la faza axiomatic-de­ ductivă decât într-o etapă de maturitate a ei. La fel, individul uman ajunge la înţelegerea necesităţii unei abordări axiomatic-deductive numai pe măsură ce se maturizează. Copiii acceptă greu un enunţ pe o bază pur convenţională şi au tendinţa de a pune întrebări la nesfârşit, sub forma unui (potenţial) infinit de de ce-uri. Spre exemplu, un băieţel de patru ani îl întreabă pe tatăl său de ce trebuie să se ducă să se culce. Tatăl ii răspunde că are nevoie să se odihnească. Băieţelul întreabă atunci de ce are nevoie să se odihnească. "Pentru ca mâine să fii din nou în stare să te joci cu prietenii tăi", îi răspunde tatăl. "Şi de ce trebuie să mă joc mâine cu prietenii mei?" întreabă băieţelul. "Pentru că eşti copil", îi replică tatăl. "Şi de ce sunt copil?" "Asta este, ter­ mină cu întrebările şi du-te la culcare", răspunde, la limita răbdării, tatăl. Observăm, în acest dialog,

tendinţa tatălui de a-şi impune "axioma lui", faptul că un copil trebuie să se joace cu prietenii săi. Desi­ gur, jocul dialogului putea continua sau lua o altă turnură. Tatăl putea răspunde "Pentru că eşti copil, şi un copil trebuie să facă multă mişcare". Dar atunci copilul putea întreba "De ce să fac mişcare cu prietenii mei?" - "Ca să te oboseşti într-un mod plăcut", putea răspunde tatăl. "Şi de ce să mă obo­ sesC într-un mod plăcut?" - "Ca să te poţi duce du­ pă aceea să te culci." Dar aici ar fi putut urma exact ebarea iniţială a copilului, intrându-se astfel -în tr intr- un cerc vicios, deci în riscul de a reface secven­ ţa i niţială de întrebări şi răspunsuri. Copilul ţrebuie s ă se culce pentru că. . . trebuie să se culce. In car­ tea Timpul (Editura Albatros, 1 9 85, p. 2 53) am rela­ tat un alt dialog de acest fel, care pune în evidenţă risc ul caracterului circular al realizării potenţialului uman. Nu este bună deci calea aceasta? Poate nu e nici cea mai educativă. La întrebarea copilului "De ce să mă joc măine cu prietenii mei?" poate că ar fi trebuit să se răspundă "Pentru că jucându-te îţi păstrezi sănătatea şi îţi ascuţi inteligenţa într-un mod plăcut" etc., etc. Alte alegeri, alte axiome, a căror evitare totală nu este posibilă decât cu preţul unor cercuri vicioase. Sunt oare însă aceste cercuri chiar atât de vicioase? Nu cumva sunt ele, cel puţin uneori, de preferat căii axiomatice?

POSIBILITATEA DICŢIONARELOR AXIOMATICE Greu de dat un răspuns general valabil la aces­ te întrebări. Logica sistemică, atât de importantă în viziunea modernă in ştiinţă, este una a circula­ rităţii, dar a unei circularităţi nevicioase. Dar nu cumva alegem, şi în unele probleme practice, solu­ ţia circulară, nu cea axiomatică? Să ne gândim la modul în care sunt alcătuite dicţionarele. Iată, des­ chid la întâmplare Mic dicţionar enciclopedic, ediţia a doua ( 1 978) , la pagina 2 9 1 şi găsesc cuvântul detaliu, explicat prin amănunt. Deschid la acesta din urmă şi găsesc "element neesenţial al unui o­ biect, al unui fenomen, al unui eveniment; detaliu" Circularitatea a şi apărut, dar nu ne deranjează. Cuvintele se explică unele prin altele, fără a lăsa unele dintre ele neexplicate, deoarece limba formea­ ză un sistem cu o puternică bază empirică, un sis­ tem care se dezvoltă în cadrul unei experienţe sociale la care participăm. Există, în această ordine de idei, o extraordinară capacitate explicativă pe care o creează contextul. Am studiat această pro­ blemă în articolul, "Semnificaţie de dicţionar şi semnifica'ţie de context" (în volumul colectiv Educa­ ţie şi limbaj, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucu­ reşti, 1 972, pp. 63-70) . O contribuţie interesantă în acest sens aparţine matematicianului şi profeso­ rului Miron Nicolescu ("Probleme du dictionnaire axiomatique", în Cahiers de Linguistique Theorique

et Appliquee, voI. 5 , 1 9 68, pp. 173-176), după care am publicat un articol pe aceiaşi temă ("Definitions logiques et definitions linguistiques", in revista Langages, nr. 1 9 , Paris, 1 970, pp. 87-9 1 ) . Explicaţi­ ile date în dicţionare nu sunt definiţii în sensul logic al cuvântului, de exemplu, ele nu respectă exigenţa elementară de a nu se utiliza într-o definiţie chiar termenul de definit. Este adevărat că, de cele mai multe ori, acest caracter circular se manifestă indi­ rect; folosim pe b în definirea lui a, pe c în definirea lui b şi pe a în definirea lui c. Această natură indi­ rectă a circularităţii variază, ca grad, de la un cu­ vânt la altul şi de la un dicţionar la altul. Se poate introduce un indice de circularitate n asociat unui cuvânt a şi definit ca fiind cel mai mic număr întreg n cu proprietatea că există un şir Xo ,Xl 'X2'''''XI! , de n + 1 termeni, astfel încât xo a; Xi este folosit în definirea lui Xi-1 (pentru orice i mai mare decât zero =

şi mai mic sau egal cu n) ; există un număr întreg j nenegativ şi inferior sau egal cu n, astfel încât X) este folosit în definirea lui Xn. Dacă nu există nici un număr n cu această proprietate, convenim să spu­ nem că indicele de circularitate al cuvântului a este infinit. Ne putem însă întreba dacă este posibil ca in­ dicele de circularitate să fie infinit. Răspunsul este negativ. Într-adevăr, să admitem, prin absurd, exis­ tenţa unui cuvânt a al cărui indice de circularitate este infinit. Aceasta ar însemna ca, fiind dat un şir finit de cuvinte xo, Xl' X2' X , unde xo = a şi un' ' ''

de fiecare termen

Xi

n

este folosit în definirea lui

Xi_l

(pentru orice i strict cuprins între zero şi n + 1 ) , să nu existe nici un număr întreg j nenegativ şi inferior sau egal cu n, astfel încât Xj să fie folosit în definirea lui XIl. în particular, aceasta înseamnă că pentru i strict inferior lui k (unde i şi k sunt întregi nenega­ tivi care nu întrec pe n) , X este diferit de Xk, deoarece altfel Xi ar fi folosit în definirea cuvântului Xk-1' în ciuda faptului că i nu întrece pe k - 1 , în contradic­ ţie cu ipoteza. Ţinând seama de faptul că vocabula­ rul unei limbi este finit - fie m numărul cuvintelor din vocabular -, putem alege un n superior lui m şi, în aceste condiţii, şirul xo, XI , x2 , ... , X nu va putea n

evita circularitatea. Ajungem în acest fel la o conclu­ zie mai precisă decât simplul fapt al finitudinii indice­ lui de circularitate al oricărui cuvânt; acest indice nu este numai finit, ci şi mărginit, deoarece nu poate întrece numărul cuvintelor din vocabular.

Î N ABSENŢA AXIOMELOR, APARE CIRCULARITATEA Cazul cel mai scandalos este cel al cuvintelor cu indice de circularitate egal cu zero, prezent atât în dicţionare ale limbii române, cât şi în dicţionare ale altor limbi. Astfel, în Mic dicţionar enciclopedic

315

(ediţia 19 78) gasIm în dreptul conjuncţiei de expli­ caţia "exprimă raporturi de subordonare", care con­ ţine chiar cuvântul de, însă cu funcţie de prepoziţie. Pe de altă parte, în dreptul prepoziţiei de găsim, în acelaşi dicţionar, explicaţia: "Introduce un atribut care exprimă natura obiectului determinat, mate­ ria sau elementele constitutive . . . , raportul de filiaţie, conţinutul .. . , apartenenţa ... , indică autorul .. . , subiectul acţiunii . . . , sau obiectul ei relaţia . . . , locul . . . ; timpul . . . , provenienţa . . . , destinaţia " După cum constatăm, explicaţia prepoziţi­ ei de se prevalează ea însăşi de această prepoziţie. Nu intrăm în analiza acestor situaţii delicate, pri­ vind relaţia dintre limbajul-obiect şi metalirnbaj într-un dicţionar. Această formă extremă de circula­ ritate se confundă cu tautologia, deoarece revine la definirea unui cuvânt chiar prin cuvântul respectiv. Poate vreun erou al lui Caragiale s-o fi practicat. Sunt destul de frecvente cuvintele de indice de circularitate egal cu unitatea. Un exemplu a fost dat mai sus ( amănunt-detaliu) . Un alt exemplu este dat de Miron Nicolescu (op. cit.) şi se referă la Petit Larousse ilustre, unde de e explicat prin preposition, iar preposition prin "mot invariable qui joint deux autres mots, en etablissant un rap port de depen­ dance entre eux" ("cuvânt invariabil care leagă două alte cuvinte, stabilind un raport de dependenţă în­ tre ele"). Intuiţia imposibilităţii definiţiilor logice în dicţio­ nare există la unii autori, cum ar fi Alain Rey, coor­ donatorul celebrului dicţionar Robert al limbii franceze. Acesta scrie (in "A propos de la definition lexicographique", Cahiers de Lexicologie, voI. 6 , 1 9 65 , no. 1 , pp. 67-80): . . . se pare deci că trebuie să tragem concluzia imposibilităţii practice a unei definiţii logice, capabile să grupeze elementele nece­ sare şi suficiente pentru elaborarea unui concept care să poată fi izolat şi asociat de o manieră biuni­ vocă unei anumite unităţi lexicale" (loc. cit., p. 80) . Putem construi un dicţionar prin analogie cu teo­ riile axiomatic-deductive, unde anumiţi termeni sunt adoptaţi fără definiţie (de exemplu, cuvântul mulţime în teoria mulţimilor)? Putem atribui anumi­ tor cuvinte un statut de cuvinte-axiomă? Un răs­ puns afirmativ la aceste întrebări conduce la ceea ce Miron Nicolescu a numit "dicţionar axiomatic". Miron Nicolescu demonstrează că într-un dicţionar fără circularitate prezenţa unei mulţimi nevide de cuvinte-axiomă este obligatorie. Cum însă dicţio­ narele lingvistice obişnuite au ambiţia de a defini toate cuvintele, circularitatea devine inevitabilă. Plecând de la o mulţime Ao de cuvinte-axiomă, se obţin, cu ajutorul cuvintelor din Ao, definiţii ale cuvintelor formând o mulţime Al. Apoi, folosind cuvintele din reuniunea lui Ao cu Al, definim noi cuvinte, alcătuind o mulţime A2. Fie n cel mai mare număr natural astfel încât mulţimea An a cuvintelor definite cu ajutorul cuvintelor din reuniunea mul­ ţimilor Ao, Al, . , An-l este nevidă. Putem considera că mulţimea Ao a cuvintelor-axiomă a fost bine "

.

316

.

aleasă dacă reuniunea mulţimilor Ai, pentru i mer­ gând de la zero la n, epuizează cuvintele limbii. În cazul contrar, mulţimea Ao nu este bine aleasă, deoarece rămân cuvinte care nu pot fi definite pe baza exclusivă a cuvintelor anterioare. Cu cât nu­ mărul cuvintelor rămase nedefinite este mai mare, cu atât este mai inadecvată mulţimea Ao în rolul de mulţime a cuvintelor-axiomă. Să ne plasăm însă în cazul în care mulţimea Ao a fost bine aleasă. Calita­ tea mulţimii Ao poate fi şi ea apreciată după anumiţi parametri. Pe de o parte, este de dorit ca ea să fie cât mai redusă, pe de altă parte, este de dorit ca numărul n al etapelor prin care, pornind de la Ao, epuizăm vocabularul limbii să fie cât mai mic. Dar aceste deziderate sunt relativ incompatibile, deoare­ ce este clar că amplificarea mulţimii Ao măreşte posibilitatea reducerii lui n, iar reducerea lui Ao micşorează această posibilitate. Unele experimente in acest sens ar fi utile. Cuvintele pot fi clasificate, în raport cu Ao, după gradul lor de complexitate; cuvintele din Ai au gradul de complexitate i (este clar că mulţimile A sunt disjuncte două câte două).

AXIOME LOGICE ŞI AXIOME LINGVISTICE Aici trebuie să facem o observaţie. Din punct de vedere strict logic, mulţimile A2, A3, ... , An sunt vide, vocabularul fiind epuizat de reuniunea lui Ao cu AI. Într-adevăr, dacă a aparţine lui A2, atunci a poate fi definit cu ajutorul unor cuvinte din reuniunea lui Ao cu AI. Însă cuvintele din Al pot fi definite cu aju­ torul unor cuvinte din Ao; înlocuindu-Ie in definiţia lui a, prin definiţiile formulate exclusiv pe baza cu­ vintelor din Ao, vom obţine o definiţie a lui a care foloseşte exclusiv cuvinte din Ao; dar, in aceste con­ diţii, cuvântul a aparţine lui AI, in contradicţie cu ipoteza apartenenţei sale la A2. Deci presupunerea că A2 ar fi nevidă ne-a dus la o contradicţie. Din punct de vedere lingvistic şi practic însă, situaţia se prezintă într-un mod cu totul diferit. Înlocuirea, in definiţia lui a, a cuvintelor din Al prin definiţiile lor cu ajutorul cuvintelor-axiomă poate conduce - şi aceasta frecvent - la o frază mult prea lungă, pe care n-o mai putem stăpâni şi inţelege, o frază care are multe şanse să fie agramaticală saul şi ambiguă, dacă nu chiar lipsită de sens. Fra­ za astfel obţinută, chiar dacă, in cel mai bun caz, este acceptabilă ca structură, deci din punctul de vedere al competenţei lingvistice, devine incomodă, dacă nu chiar imposibilă sub aspectul performanţei . lingvistice. Ierarhia de mulţimi Ao, Al, ... , An are un sens riguros dacă este considerată în raport cu un dicţi­ onar axiomatic de tipul celui preconizat de Miron Nicolescu. Numai că un atare dictionar nu există ' încă pentru nici o -limbă naturală. Pentru a ne da seama de diferenţa dintre punctul de vedere logic şi cel lingvistic, să considerăm următoarea mulţime Ao de cuvinte ale limbii franceze: Ao {vegetal, bois, =

taille, grande, dur, tres, a, de}. Avem deci opt cuvin­ te-axiomă. Cuvântul arbre are atributele definitorii "vegetal, de grande taille" , deci aparţine lui A]. În Le Plus Petit Larousse, cuvântul chene este definit prin "arbre â bois tres dur", deci chene aparţine lui A2. Dacă înlocuim, în această formulare, pe arbre prin "vegetal, de grande taille" obţinem o formulare care-l aduce pe chene în Al, dar cu preţul unei definiţii mai complicate: "vegetal, de grande taille, â bois tres dur". În alte cazuri intervin complicaţii mai mari: fie {tout, organise, mulţimea de cuvinte-axiomă Ao verle bre, doue, aquatique, mouvement, sensibilite, ce, de, et, qui, est}. Cuvântul etre este definit prin "tout ce qui est", deci se află în Al. Cuvântul animal se defineşte prin "tout ce qui est organise, doue de mouvement et de sensibilite", deci se află şi el în Al. poisson este definit prin "animal vertebre aqua­ tique", deci se află în A2. Îl putem aduce în Al dacă Inlocuim animal prin definiţia sa, dar atunci obţi­ nem "tout ce qui est organise, doue et de mouve­ ment et de sensibilite, vertebre aquatique", expresie ambiguă, cam agramaticală şi cam incomodă din punctul de vedere al performanţei lingvistice. Deci este preferabil să-I păstrăm pe poisson în A2. =

UN MOMENT ESENŢIAL: ALEGEREA AXIOME LOR Lingviştii au fost atraşi de această problemati­ că. Autori ca Mario Alinei, Angela Bidu Vrănceanu, Narcisa Forăscu au examinat detaliat semnificaţiile posibile ale unui dicţionar axiomatic şi ale unor eventuale elemente lingvistice cu caracter de rudo­ mă. S-a pus problema dacă axiomele trebuie să fie, în mod obligatoriu, elemente ale lexicului sau ele ar putea fi elemente de o natură specială, situate într-un alt plan decât cuvintele; de exemplu'; s-a discutat dacă elementele-axiomă n-ar putea fi anu­ mite trăsături distinctive (eventual cu caracter bi­ nar) sau anumite categorii semantice, sintactice, morfologice saul şi fonologice. Dar contribuţia cea mai interesantă pare să fie aceea datorată Giovannei Massariello Merzagora (La Lessicograjia, Nicola Zanichelli, Bologna, 1 982-1983) . Această autoare fi­ efectuat un experiment privind circularitatea totală a definiţiilor lexicografice ale substantivelor italie­ neşti, aşa cum apar ele în Dizionario Macchina dell' Italiano. Pentru fiecare substantiv s-a format lanţul corespunzător de definiţii succesive (aşa cum s-a procedat în definirea indicelui de circularitate), lan­ ţul oprindu-se în momentul închiderii cercului. S-a calculat de fiecare dată indicele de circularitate, obţinându-se informaţii interesante privind interacţi­ unea dintre diferite niveluri lingvistice şi consecinţe­ le fenomenelor de circularitate. Întreaga investigaţie a beneficiat de asistenţa unui calculator electronic, asistenţă asigurată de un informatician.

Este clar că, în toate consideratiile de mai sus alegerea axiome lor constituie unul dintre momente � le cele mai delicate ale demersului. Nici o retetă nu se poate recomanda în această privinţă. Aiegerea este în acelaşi timp foarte liberă, pentru că este practic infinită, dar şi foarte restrictivă, deoarece trebuie să satisfacă o serie de deziderate intuitive şi logice, satisfacere niciodată deplină, asupra căreia revenim mereu în procesul înaintării dinspre axio­ me spre teoreme. Axiomele sunt testate în diferite feluri şi ameliorate mereu, pe măsură ce înaintăm în domeniul care face obiectul axiomatizării. Carac­ terul experimental al întregului demers nu poate fi eludat.

CUM SE NAŞTE UN SISTEM DE AXIOME Aşa cum am văzut într-o etapă anterioară, dez­ voltarea matematicii în ultima sută de ani a cunos­ cut o orientare nouă a gândirii axiomatice, în sensul alegerii axiomelor exclusiv după anumite criterii combinatoriale şi logice, fără referire la eventuala lor semnificaţie fizică, psihologică, socială sau de altă natură. Această atitudine este tipică pentru matematicianul pur. Ea poate conduce şi la exerciţii intelectuale gratuite, sub forma unor jocuri ezoteri­ ce. Dar de obicei acest caracter gratuit este numai o aparenţă. Să considerăm, de exemplu, un sistem de axiome cum este acela care defineşte noţiunea alge­ brică de grup. Acest sistem este rezultatul observă­ rii multor formaţiuni algebrice particulare şi a modului în care ele se comportă faţă de anumite operaţii: mulţimea numerelor întregi în raport cu operaţia de adunare; mulţimea numerelor raţionale în raport cu operaţia de adunare; mulţimea nume­ relor reale şi mulţimea numerelor complexe în ra­ port cu operaţia de adunare; mulţimea translaţiilor din plan; mulţimea deplasărilor în spaţiul euclidian cu trei dimensiuni; mulţimea rotaţiilor în jurul unei axe (acestea trei din urmă, toate, în raport cu ope­ raţia de compunere); mulţimea polinoamelor peste corpul numerelor reale în raport cu operaţia de adunare; mulţimea permutărilor unei mulţimi de n elemente în raport cu operaţia de compunere şi multe altele. Examinarea unor situaţii atât de varia­ te conduce la observaţia că, dincolo de eterogenita­ tea lor, exemplele de mai sus prezintă un numitor comun foarte important, în sensul că toate intră drept cazuri particulare într-un comportament mai general. Într-adevăr, în fiecare exemplu de mai sus este vorba de o mulţime G nevidă înzestrată cu o lege de compoziţie (operaţie) care asociază oricărei perechi ordonate (x, y) de elemente din G un ele­ ment unic x x y din G, astfel încât să fie' satisfăcute condiţia de asociativitate ((x x y) x Z x x (y x z ) pen=

tru orice x, y, z din G), condiţia de existenţă în G a unui element neutru e (e x x x x e = x pentru =

orice x din G) şi condiţia de existenţă a elementului

317

simetric (pentru orice x din G există x' în G astfel încât x/xx = xx x'= e ) .

rezolvabile prin radicali, în timp ce de la Galo is nu numai că aflăm din nou acest fapt, pe o cale mai elegantă, dar înţelegem raţiunea profundă a com­ portamentului dezvăluit de Abel.

GRUPUL LUI GALOIS Există, pentru noţiunea de grup, şi alte sisteme de axiome, echivalente cu cel de mai sus. Găsirea acestor sisteme echivalente şi stabilirea teoremelor care decurg din ele au constituit multă vreme obiec­ tul unor cercetări importante. Astfel, se demon­ strează că elementul neutru e, a cărui existenţă este afirmată de axioma a doua, este unic determinat în G; de asemenea, elementul simetric x' al lui x, a cărui existenţă este afirmată de axioma a treia, este şi el unic determinat. Construcţia axiomatic-deduc­ tivă a teoriei grupurilor este de o deosebită amploa­ re şi profunzime. Ca fost student al profesorului Dan Barbilian, am beneficiat de cursul de teoria grupurilor al acestuia, curs în care sistemul de axi­ ome ale grupului era studiat sub toate aspectele posibile (economicitate, necontradicţie, echivalenţă etc.), iar consecinţele acestui sistem de axiome erau şi ele duse foarte departe. Este deci clar că a fost nevoie ca experienţa matematică să fie confruntată cu foarte multe situa­ ţii particulare "izomorfe", privind comportamentul unei mulţimi în raport cu o operaţie internă, pentru ca să se poată degaja noţiunea de grup. Cel care a degajat conceptul de grup şi a realizat semnificaţia sa fundamentală în studiul ecuaţiilor algebrice este Evariste Galois, născut în 1 8 1 1 şi decedat în urma unui duel la numai 2 1 de ani. Galois a asociat fie­ cărei ecuaţii algebrice (adică de forma P(x) = 0, unde P(x) este un polinom de grad n, cu coeficienţi reali) un anumit grup de transformări, care ulterior a primit numele de grupul lui Galois al ecuaţiei. Teo­ rema lui Galois afirmă, in mod precis, că o ecuaţie algebrică este rezolvabilă prin radicali dacă şi nu­ mai dacă grupul asociat este rezolubil (proprietate pe care nu o mai definim aici). Important este faptul că acest grup al lui Galois nu este format din nume­ re, ci din anumite tipuri de transformări. De fapt, anumite grupuri finite, cu elemente numerice, fuse­ seră studiate anterior lui Galois de către Augustin­ Louis Cauchy ( 1 789-1 837), care considerase gru­ puri ale căror elemente erau aplicaţii. Dacă imposibilitatea rezolvării generale, prin radicali, a ecuaţiilor de grad superior lui 4, adică imposibilitatea exprimării soluţiei generale a unei astfel de ecuaţii prin folosirea unui număr finit de operaţii raţionale şi extrageri de rădăcină aplicate coeficienţilor ecuaţiei, fusese stabilită încă în 182 6 de Niels Henrik Abel, rezultatul obţinut de acesta este regăsit, pe o cale mai elegantă, de către Galois care, în plus, caracterizează cu ajutorul noţiunii de grup ecuaţiile algebrice rezolvabile prin radicali. Putem spune că de la Abel aflăm că ecuaţiile alge­ brice de grad superior lui 4 nu sunt, in general,

318

Î NTRE AXIOMĂ ŞI INTERPRETAREA EI Pentru a înţelege mai bine metamorfoza car e s-a produs cu 'sistemele axiomatice in timpuri le moderne, să ne referim la ameliorările moderne ale sistemului de axiome al geometriei lui Euclid. Ter­ meni ca punct şi dreaptă rămân aici nedefiniţi. Să presupunem că includem, printre axiome, postu­ latul lui Euclid după care există o dreaptă şi numai una care conţine două puncte date. Deşi punct şi dreaptă sunt aici folosite independent de semni­ ficaţia lor obişnuită, este greu să facem abstractie de această semnificaţie. Mai judicios ar fi să sp� ­ nem x şi y. În acest caz, este imposibil să mai atri­ buim un sens intuitiv enunţului; "Există un y şi numai unul care conţine doi x daţi" Să presupu­ nem că persoana căreia i se propune acest enunţ are trei copii, Ion, Ana şi Radu, care au format un club cu trei comitete de câte doi: {Ion, Ana}, {Ion, Radu}, {Ana, Radu}. Cu această imagine în minte, el adoptă următoarea interpretare: x este unul oareca­ re dintre copiii săi, iar y este unul oarecare dintre cele trei comitete ale lor. Atunci, postulatul de mai sus devine: "Există un comitet şi numai unul care conţine doi anumiţi copii dintre cei trei" În această interpretare particulară, el poate spune că postu­ latul este adevărat. Să presupunem acum că mama celor trei copii, care tocmai se pregăteşte să se ducă la cumpără­ turi, imaginează un anumit sistem alcătuit din dife ­ rite tipuri de monede şi diferite tipuri de pungi, unele mai mari, altele mai mici, adecvate pentru păstrarea monedelor. Interpretând pe x ca monedă şi pe y ca pungă, ea va fi tentată să interpreteze pos­ tulatul de mai sus în felul următor: "Există o pungă şi numai una care poate păstra două anumite mo­ nede". Însă, în această interpretare, postulatul poa­ te deveni fals, deoarece o pungă mică (în care se află, să spunem, monede de câte 25 de bani) se poate afla închisă într-o pungă mai mare (in care se află, de exemplu, monede de câte 3 lei). În acest fel, nu mai este adevărat că pentru două monede de câte 25 de bani există o singură pungă care le con­ ţine. Mai e posibil ca două monede să se afle pe masă; pentru ele nu va exista nici o pungă care să le conţină. Toată această discuţie este de natură să arate că, pentru un postulat abstract, care conţine ter­ meni nedefiniţi, problema adevărului nu are sens decât în raport cu diferite interpretări posibile ale postulatului respectiv, nu şi în raport cu postulatul ca atare. Axiomele, într-o ştiinţă abstractă, sunt ca regulile într-un joc. Nu are sens să te întrebi dacă,

de exem plu, regula de folosire a pionului, la j ocul de ,şah, este adevărată sau falsă. Această nouă etapă în conceperea sistemelor axiomatice este organic legată de numele marelui matematician german David Hilbert (prima parte a secolului trecut).

ADEVĂRUL AXIOMELOR SAU AL INTERPRETĂRILOR LOR? Am văzut în discuţia anterioară că, într-un sis­ te m axiomatic abstract, problema adevărului unei axi�me nu are sens, deoarece termenii rămân aici nedeterminaţi, având statutul unor variabile. Numai In tr-o anumită interpretare a sistemului de axiome problema adevărului capătă sens. Utilizarea variabi­ lelor conferă sistemelor axiomatice moderne o mare generalitate, iar prin aceasta se realizează o mare economie de gândire, care, în acelaşi timp, pune în evidenţă izomorfismul unor situaţii în aparenţă foarte eterogene. Dincolo de varietatea lor, aceste sisteme axiomatic-deductive au aceeaşi structură, constând din patru componente: termeni nedefiniţi; axiome privind termenii nedefiniţi; definiţii în care intervin termenii nedefiniţi; teoreme deduse din axiome pe baza unor reguli explicit formulate. Faţă de avantajul de a evita problema spinoasă a adevărului, pe care o transferă diferitelor interpre­ tări posibile, sistemele axiomatic-deductive moderne ar putea să dea impresia că nu mai sunt confrunta­ te cu dificultăţi majore. Dificultăţile însă rămân, numai că-şi schimbă natura. Pe primul plan trece acum structura logică a sistemului axiomatic-de­ ductiv. Principala cerinţă devine aceea a consisten­ ţei, adică a lipsei de contradicţie; aceasta înseamnă că un sistem de axiome nu poate fi acceptat dacă din ele se pot deduce două teoreme contradictorii, adică două enunţuri de forma A şi non A. Dar cum se poate controla aceasta? În general, dintr-un sis­ tem de axiome se pot deduce o infinitate de teore­ me, deci niciodată nu avem o listă completă a lor, pentru a verifica, prin confruntare directă, consis­ tenţa. Numai pentru faptul că, din această infinitate, cunoaştem o mie de teoreme şi că printre acestea nu se află nici o pereche de forma (A, non A) nu putem deduce consistenţa sistemului respectiv de axiome. În faţa acestei dificultăţi, matematicienii au recurs la următorul criteriu practic de consistenţă:' existenţa unei interpretări a termenilor ne definiţi (adică a variabilelor) pentru care toate axiomele sistemului se transformă în enunţuri adevărate. O interpretare de acest fel constituie, prin definiţie, un model al sistemului axiomatic-deductiv considerat. Importanţa modelului constă in faptul că, odată cu transformarea axiomelor in enunţuri adevărate, toate teoremele sistemului devin, în cadrul modelu­ lui, enunţuri adevărate. Putem spune că, prin in-

terpretare, o teorie abstractă (reprezentată de sis­ temul axiomatic deductiv) devine o teorie concretă. Dar cum explorăm posibilele interpretări ale unui sistem de axiome? Dacă axiomele sunt desprinse dintr-o situaţie empirică, chiar această situaţie va furniza o interpretare posibilă, prin parcurgerea drumului invers, de la axiome la situaţia empirică sau experimentală. Însă un model empiric nu oferă garanţie pentru generalitatea unui adevăr; el poate constitui numai o ipotezâ, ce rămâne să fie confrrma­ tă printr-un raţionament care-i conferă generalitate.

NECONTRADICŢIA RELATIVĂ Dar dacă modelele empirice nu pot fi acceptate ca demonstraţii de consistenţă a unui sistem de axiome, nu rămâne decât o singură ieşire: modelul să fie căutat într-un domeniu bine constituit al ma­ tematicii, un domeniu care eventual a reprezentat chiar sursa ce a sugerat unele dintre axiome. Un exemplu clasic în acest sens este maniera în care s-a căutat să se stabilească lipsa de contradicţie a unor geometrii neeuc1idiene, prin interpretări ale lor în termenii unor părţi adecvate ale geometriei eucli­ diene, geometrie bine constituită din punct de vede­ re logic, ca urmare a unei dezvoltări milenare. Un exemplu, poate şi mai simplu, este folosirea mulţi­ mii numerelor reale ca model al geometriei unidi­ mensionale, prin interpretarea punctelor nedefinite ale dreptei ca numere reale; în acest fel, consistenţa mulţimii numerelor reale devine un test al lipsei de contradicţie a geometriei punctelor dreptei. Postula­ tele geometriei sunt convertite aici în postulate ac­ ceptate şi teoreme valide privind numerele reale. În aceeaşi ordine de idei, geometria analitică a lui Descartes devine un model prin care se stabileşte consistenţa geometriei euclidiene în plan. În toate exemplele de mai sus este vorba de una şi aceeaşi strategie: problema lipsei de contradicţie este transferată de la sistemul axiomatic-deductiv considerat la un alt sistem axiomatic-deductiv, care ni se pare mai sigur şi care ne este mai familiar. Este vorba de ceea ce se numeşte o demonstraţie de necontradicţie relativă. Cu alte cuvinte, consistenţa unui sistem axiomatic-deductiv S este condiţionată de consistenţa teoriei din care s-a extras modelul pentru interpretarea sistemului S. Dar această din urmă consistenţă, cum a fost ea obţinută? Este ea mai sigură decât aceea a sistemului S? Nu cumva şi aici trebuie să acceptăm fără demonstraţie consis­ tenta câtorva teorii sau măcar a uneia, exact aşa cu� într-un dictionar axiomatic era necesar să ac­ ceptăm ca unii termeni să rămână nedefiniţi? Sau suntem în stare să producem o demonstraţie de consistenţă absolută a unor sisteme axiomatic-de­ ductive? Ne vom ocupa în mod special de această ultimă întrebare, dar deocamdată este necesar să discutăm şi alte cerinţe privitoare la sistemele axio­ matic-deductive.

319

INDEPENDENŢA UNUI SISTEM DE AXIOME Este natural (chiar dacă nu totdeauna imperios necesar) să cerem unui sistem axiomatic-deductiv să fie independent, în sensul ca niciuna dintre axi­ ome să nu fie o consecinţă (pe baza regulilor siste­ mului) a celorlalte axiome. Dacă nu controlăm independenţa, atunci riscăm ca printre axiome să se afle unele teoreme. Edna Kramer ( The Nature and Growth of Modem Mathematics, volumele 1 şi 2 , Fawcett Publications, Greenwich, Conn. , 1 974) , pe care o urmăm de mai multe ori în acest itinerar, dă un exemplu din Lewis Carroll, celebrul autor al căr­ ţii Alice în Ţara Minunilor, autor care nu este altul decât matematicianul, bine cunoscut în epoca sa, Charles Dodgson ( 1 832- 1 898) . Fie sistemul format din axiomele: ( 1 ) Toţi copiii sunt ilogici, (2) Fiinţelor ilogice nu li se pot încredinţa crocodili, (3) Copiilor nu li se pot încredinţa crocodili. Este vizibil că pro­ prietatea de independenţă nu este satisfăcută, (3 ) fiind o consecinţă a lui ( 1 ) şi (2) , deci fiind de fapt o teoremă. Multe exemple pot fi găsite în ma­ tematică. Astfel, dacă pentru o relaţie de ordine totală r în mulţimea A adoptăm sistemul de axiome: (a) r este reflexivă; (b) r este antisimetrică (dacă arb şi bra, atunci a = b, pentru orice a şi b din A) ; (c) r este tranzitivă; (d) r este totală (adică pentru orice a şi b din A avem arb sau bra) , atunci constatăm că sistemul nu este independent, deoarece (a) este o consecinţă a lui (d). Însă sistemul obţinut prin eli­ minarea lui (a) (care s-a dovedit a fi o teoremă) este independent, cum se poate vedea producând exem­ ple în care avem: (b) şi (c) fără (d); (c) şi (d) fără (b); (b) şi (d) fără (c). Astfel, luând în rolul lui A mulţi­ mea părţilor intervalului (O , 1 ) şi interpretând pe r drept relaţia de incluziune între mulţimi, constatăm că r este antisimetrică şi tranzitivă, dar nu este to­ tală, deoarece există părţi ale lui (O , 1 ) pentru care niciuna dintre ele nu este inclusă în cealaltă, de exemplu, intervalele

şi

(0,%) (�,1)

Să păstrăm aceeaşi interpretare pentru A şi să definim relaţia binară r prin condiţia: B r e, oricare ar fi B şi C incluse în A. Relaţia r astfel defmită este evident tranzitivă şi totală, dar nu este antisimetrică; într-adevăr, luând B

=

O,

( �)

Şi C =

�

, I . ave

(� )

B r e şi C r B, fără ca B şi C să coincidă. Pentru a arăta că tranzitivitatea nu este o consecinţă a anti­ simetriei şi totalităţii, fie A { a , b, c} şi r definită ast=

fel încât să avem a r a, a r b, b r b, b r c, c r a, .c r c, acestea fiind singurele perechi ordonate care apar­ ţin lui r. Relaţia r este antisimetrică în mod banal, deoarece am avut grij ă să definim pe r astfel încât dacă avem x r y şi x este diferit de y, atunci nu mai avem y r x. Relaţia r este totală, deoarece am avut grijă ca x r x pentru orice x din A, iar dacă nu avem x r y pentru x diferit de y, atunci obligatoriu avem y

320

r x. Însă relaţia r nu este tranzitivă, cum rezultă di n faptul că deşi avem a r b şi b r c, nu are loc a r c. Î n acest fel, independenţa sistemului format din cele trei axiome este complet demonstrată.

CÂTEV A CAZURI MAI DIFICILE Există însă situaţii în care problema indepen ­ denţei unui sistem de axiome s-a dovedit foarte dificilă. Astfel, în raport cu diferite sisteme de axio­ me ale teoriei mulţimilor (sistem pentru care nici problema necontradicţiei nu a putut fi tranşată), a fost necesar un lung efort pentru a se stabili că axioma alegerii (care afmnă că, pentru orice colecţie de mulţimi disjuncte nevide, există o mulţime con­ ţinând exact câte un element din fiecare mulţime a colecţiei) nu este consecinţă a celorlalte axiome, dar nici negaţia ei nu este o astfel de consecinţă. A apă­ rut astfel un nou tip de propoziţii matematice, nu­ mite propoziţii independente. O situaţie similară o are ipoteza continuului (care afirmă că nu există nici un număr cardinal strict cuprins între puterea numărabilului şi puterea continuului) . După cum bine se ştie, postulatul paralelelor, al lui EUclid, s-a dovedit a avea un statut asemănător. Avem astfel, concomitent cu geometria euclidiană, diferite geo­ metrii neeuclidiene, după cum, concomitent cu o matematică în care se foloseşte axioma alegerii, avem şi o matematică în care este interzisă folosirea acestei axiome: După cum se poate vedea chiar din exemplele de mai sus, stabilirea independenţei unui sistem de axiome este, chiar în cazurile simple, destul de la­ borioasă, deoarece necesită producerea unor exem­ ple adecvate. De aceea, uneori este preferabil să lucrăm cu un sistem în care unele axiome sunt con­ secinţe ale celorlalte, pentru a nu complica prea mult consideraţiile. Astfel, în manualul de geometrie de clasa a VI-a, cazurile de congruenţă a triun­ ghiurilor sunt date sub forma unor postulate (cu o puternică bază empirică), deşi statutul lor real, în cadrul geometriei lui Euclid, este acela.de teoremă; ' dar demonstraţiile respective sunt prea complicate pentru a fi adoptate în manualele şcolare. De multe ori, de exemplu- în cazul axiomaticii lui Hilbert a geometriei, din 1 89 9 , neindependenţa a fost pusă în evidenţă abia ulterior.

COMPLETITUDINE ŞI CATEGORICITA TE Dacă exigenţa independenţei sistemelor de axi­ ome are la bază nevoia de economie şi de simpli cita­ te, necesitatea de a nu încărca în mod inutil aceste sisteme, există însă, simetrică faţă de cerinţa inde­ pendenţei, cerinţa de a nu se lucra cu un sistem de aXiome prea sărac, prea restrâns, faţă de amploarea şi complexitatea domeniului avut în vedere. De

exemplu, un sistem de axiome pentru geometria elementară, care n-ar permite să se obtină teorema lui Pitagora, ar fi, desigur, un sistem' insuficient, incomplet. Există o "demonstraţie" prin care se sta­ bile şte, în geometria elementară, propoziţia "Orice triunghi este isoscel" "Demonstraţia" implică trasa­ rea unor drepte auxiliare, dar este invalidată deoa­ rece desenul este neglijent executat, iar poziţiile unor puncte şi drepte sunt incorecte. Însă, dacă aici apar unele deficienţe, ele trebuie atribuite şi lui Eu c1id, deoarece nu există în sistemul său nici un postulat care să impună punctelor şi dreptelor să aibă poziţiile corecte prevăzute, cu alte cuvinte, să înlăture posibilitatea unui desen "greşit". Se arată că nu se poate deduce din sistemul axiomatic al lui Euc1id nici unul dintre următoarele enunţuri contradictorii: ( 1 ) Orice triunghi este isos­ cel; (2) Nu orice triunghi este isoscel. Aşadar, siste­ mul' de axiome al lui Euclid este incomplet. Situatia sugerează o posibilă definiţie a completitudinii: �n sistem de axiome este complet dacă este posibil să se deducă din el, pentru oricare propoziţie p relativă la elemente ale sistemului, fie o demonstraţie a lui p, fie o demonstraţie a negaţiei acestei propoziţii. Dar, a priori, cum observă Raymond 1. Wilder ( The Foundations of Mathematics, J. Wiley, New York, 1967), nu există nici un motiv să credem că ar fi posibil, de exemplu, să se găsească un sistem de axiome care să implice toate teoremele geometriei plane. Desigur, avem aici în vedere teoremele corec­ te şi exc1udem situaţia trivială în care sistemul de axiome ar conţine două enunţuri de tipul A şi non A, care, prin natura lor contradictorie, ar implica orice enunţ posibil. Problema completitudinii este interesantă numai în cazul sistemelor lipsite de contradicţie. Un sistem de axiome este complet dacă (păs­ trând fixă mulţimea termenilor sistemului) este im­ posibil să i se adauge o axiomă nouă, independentă. Insă dacă ar trebui să testăm, succesiv, fiecare pro­ poziţie posibilă, ar fi imposibil de demonstrat com­ pletitudinea unui sistem de axiome, chiar dacă ea �e l?c; o situaţie similară se întâmplă cu definiţia lipseI de contradicţie, care nici ea nu poate fi testată i� sensul explicitării tuturor consecinţelor unui SIstem de axiome pentru a vedea dacă printre ele se află două enunţuri de tipul A şi non A. Tocmai de aceea am recurs la un compromis în testarea lipsei e contradicţie, mulţumindu-ne cu existenţa unei Ihterpretări a sistemului de axiome, deci a unui � odel al său. ° soluţie asemănătoare se adoptă şi In ceea ce priveşte completitudinea, recurgându-se la o proprietate de izomorfism între toate modelele posibile ale unui sistem axiomatic-deductiv.

�

CATEGORICITATEA UNUI SISTEM DE AXIOME Ajungem astfel la un alt atribut posibil al unui sistem de axiome: categoricitatea. Aceasta constă în faptul că, în oricare două modele ale sistemului elementele se află în corespondenţă bijectivă şi toat relaţiile dintre elemente se păstrează. Un exemplu de sistem categoric de axiome este cel propus de Peano pentru mulţimea numerelor naturale: exis­ tenţa în N a unei relaţii de ordine totală faţă de care orice parte nevidă are un prim element; orice ele­ ment (exceptându-l pe primul) are un predecesor iI?-ediat şi nu există un ultim element. Categori­ citatea se manifestă aici în modul următor: fiind date două mulţimi M şi P, total ordonate şi satisfă­ când cele trei proprietăţi de mai sus, există o aplica­ ţie bijectivă f a lui M pe P care păstrează ordinea (adică, dacă x precede pe y în M, atunci fix) precede numerelor pe f(y) în .r, . Cu alte cuvinte, multimea ' naturale este complet determinată de sistemul de axiome al lui Peano, abstracţie făcând de un izo­ morfism de ordine. Categoricitatea unui sistem de axiome implică proprietatea de completitudine a sistemului. Într-ade­ văr, să presupunem că sistemul S este categoric. Dacă, prin absurd, n-ar fi complet, atunci ar exista un enunţ A exprimat în termenii din S, astfel încât, adăugând pe A ca nouă axiomă, atât sistemul S + A, cât şi sistemul S + non A admit câte o inter­ pretare, fie ele 1 şi J. Însă deoarece S este categoric, există o bijecţie B între enunţurile din 1 şi cele din J care păstrează proprietatea de a fi adevărată. Însă în acest fel am ajuns la o contradicţie, deoarece enunţul A este corect in interpretarea 1, dar fals în interpretarea J. Deci S este complet. Din cele de mai sus rezultă că sistemul de axi­ ome al lui Giuseppe Peano (1 858- 1 932) pentru mul­ ţimea numerelor naturale este complet. Am discutat acest sistem cu un alt prilej . Să-I amintim aici într-o altă formă. Termenii nedefiniti sunt aici număr na­ tural şi succesiv. Axiomele su� t: ( 1 ) 1 este un număr natural ; (2) Pentru orice număr natural există un succesor număr natural, unic determinat; (3) Nu există două numere naturale, distincte, dar cu ace­ laşi succesor; (4) 1 nu este succesorul niciunui nu­ măr natural; (5) Principiul inducţiei finite: orice proprietate care aparţine lui 1 şi succesorului unui număr natural, de îndată ce aparţine acestuia din urmă, aparţine oricărui număr natural. ° interpretare posibilă a sistemului lui Peano este aceea în care numerele naturale sunt 1 ' 2 3 4, . . . , cunoscute din aritmetica elementară. Pe n lasă însă liber sistemul său oricărei alte interpre­ tări, dar două interpretări diferite vor fi totdeauna izomorfe. După cum se vede, axioma a cincea a lui Peano este faimosul principiu al inducţiei complete, care, într-o altă variantă, avea statut de teoremă. În schimb, în acea variantă se adopta axioma după

�

� �

32 1

care orice mulţime nevidă de numere naturale ad­ mite un cel mai mic element, axiomă care, in noua versiune, devine o teoremă, după cum uşor se poate vedea. Apare aici clar faptul că, în sistemul axioma­ tic al unei discipline, axiomele fundamentale sunt de natură ipotetică.

o AXIOMATIZARE A UNEI PĂRŢI A GEOMETRIEI PLANE Vom introduce un sistem axiomatic a constând din doi termeni nedefiniţi: punct şi dreaptă şi cinci axiome: ( 1 ) Orice dreaptă e o mulţime de puncte; (2) Există cel puţin două puncte; (3) Dacă p şi q sunt puncte distincte, atunci există o dreaptă şi numai una care le conţine; (4) Dacă D este o dreap­ tă, atunci există un punct care nu aparţine lui D; (5) Dacă D este o dreaptă, iar q este un punct care nu aparţine lui D, atunci există o dreaptă şi numai una care conţine punctul p şi care nu are nici un punct comun cu D (se spune în acest caz că dreapta este paralelă cu D) . Vom încerca acum să discutăm sistemul a şi eventualele modificări ale sale , în lumina tuturor ideilor anterioare . De sigur, chiar denumirile de punct şi dreaptă sugerează interpretarea cea mai naturală a termeni­ lor nedefiniţi. Dar nu putem refuza încercarea altor interpretări, de exemplu punct să însemne carte, iar dreaptă să însemne bibliotecă. Axioma 1 este verifi­ cată. Să ne imaginăm că trăim într-un orăşel care are exact două biblioteci, orice carte af1ându-se exact în una dintre ele. Axioma 2 este şi ea verifica­ tă, la fel sunt verificate axiomele 4 şi 5. Numai axi­ oma 3 este încălcată. Să încercăm acum o altă interpretare a lui O. Fie o comunitate formată din trei persoane, a, b şi c. Să presupunem că oricare două dintre ele deţin un secret despre a treia per­ soană (deci a şi b deţin un secret relativ la c; b şi c deţin un secret privind u -1 pe a, iar a şi c cunosc un secret relativ la b) . În aceste condiţii, fiecare pereche de persoane se constituie într-un club. Să inter­ pretăm punct prin persoană, iar dreaptă prin club. Constatăm că primele 4 axiome din a sunt verifica­ te , a cincea nu. (Fiind dată o persoană p care nu aparţine unui club r, nu există nici un club din care să facă parte p şi care să fie disjunct cu r. ) Să imaginăm acum o colectivitate formată din patru persoane, a, b, c şi d. Să presupunem că fie­ care pereche de persoane se constituie într-un club . Vom avea şase asemenea cluburi. Să menţinem interpretarea precedentă a termenilor nedefiniţi: punct = persoană, dreaptă = club. Se verifică uşor că toate cele cinci axiome din a sunt satisfăcute. Abia acum am obţinut o interpretare corectă a lui O. Folosind primele patru axiome din a, se poate demonstra teorema 1 : orice punct aparţine la cel puţin două drepte distincte. În raport cu colec-

322

tivi tate a de trei persoane organizate în trei clu buri de mai sus, teorema devine: orice persoană ap arţin la cel puţin două cluburi. Cu alte cuvinte, o teoremă intr-un sistem axiomatic condensează o in finitate potenţială de teoreme, câte una pentru fiecare in� terpretare posibilă a sistemului. Un corolar al teoremei 1 este următorul : o rice dreaptă conţine cel puţin un punct. Înţelegem a stfel de ce nu trebuia introdus printre axiome acest fapt esenţial, care a şi fost utilizat mai sus, fără a Spe� cifica aceasta. Putem întări corolarul enunţat, cu condiţia de a folosi toate cele cinci axiome din G. obţinem astfel teorema 2: orice dreaptă conţine cel puţin două puncte. De aici, ţinându-se seama de axioma 3 , rezultă următorul corolar la teorema 2: Orice dreaptă este complet determinată de orice dOUă puncte distincte ale ei. Alte două teoreme deduse din cele cinci axiome din a şi, prin intermediul acesto� ra, din teorema 2, sunt teorema 3: există cel PUţin patru puncte distincte şi teorema 4: există cel puţin şase drepte distincte.

�

MAI ÎNTÂI CONCEPTE, APOI AXIOME În toate demonstraţiile de mai sus, simţim ne­ voia de a recurge la suportul intuitiv al figurilor geometrice. Este însă esenţial să ne asigurăm că raţionamentul rămâne corect în general, de exem­ plu folosind monede în loc de puncte şi perechi de monede în loc de drepte . În particular, faţă de in­ terpretarea mai sus adoptată, raţionamentul trebuie să fie validat pentru orice colecţie de patru obiecte, unde obiectul corespunde unui punct, iar o pereche de obiecte corespunde unei drepte. Cele câteva teoreme stabilite mai sus sunt de­ parte de a fi toate teoremele posibile în sistemul G. Se poate, de exemplu, arăta că, dacă numărul punc­ telor este finit" atunci, interpretând un punct ca un obiect şi o dreaptă ca o pereche de obiecte, numărul obiectelor nu poate fi orice număr natural mai mare sau egal cu 4 (de exemplu, nu poate fi 5) , iar între numărul punctelor şi numărul dreptelor există O anumită relaţie. Să observăm că, în afară de termenii tehnici nedefiniţi, cum au fost, în sistemul a, punct şi dreaptă, se mai folose sc in formularea axiomelor numeroase alte cuvinte ca şi, sau, nu, mulţime, dis­ tincte, orice, există, aparţine etc. Este vorba aici de termeni universali. Unii dintre ei, cum ar fi conecti­ vele logice şi, sau, nu au fo st discutate mult de logi­ cieni. Situaţia lui există a fost şi ea discutată, dar rămâne foarte delicată şi complexă. După cum s-a putut vedea şi din exemplul pri­ vitor la sistemul a, axiomele sunt enunţuri relative la concepte care au intervenit într-un fel sau altul în experienţei noastră anterioară. În mod similar, în mă­ sura în care suntem familiarizaţi cu domenii ca fizi­ ca, chimia, biologia, economia, lingvistica, filozofia sau muzica, putem încerca să formulăm unele

"� p me pentru ele sau pentru părţi ale lor. O axiomă :'�afi, în acest caz, un enunţ care pare să fie satisfă­

ciu t de conceptul pe care

îl

avem în vedere, iar o colec­

;iti�' de enunţuri de acest fel va putea candida la rolul 'd� sistem axiomatic pentru domeniul respectiv. Prac­ 'hc , dec i, conceptele preced axiomele, deşi, din

4

� I'l� t d� vedere teoretic � acest l� cru nu este �ece­ 'sar. De sIgur, ne putem Juca, luand ca termem ne­ ' defipiţi secvenţele abra şi cadabra şi formulând, cu utQrul unor ter�eni logici universali, unele axio­ me relative la ele . Insă fără nici un concept în min­ ,t�,'- fără un anume sens asociat cu cele două �ecvenţe , nu avem nici o orientare în alegerea axio­ ' �lor . Riscăm chiar să formulăm axiome contradic­ torii.

ă}

iP

DE LA CONCEPŢIA TRADI ŢIONALĂ LA CEA MODERNĂ Dintre diferitele enunţuri pe care experienţa ni le recomandă relativ la un anumit concept, alegem de obicei ca axiome pe cele care ne dau impresia a avea un rol-cheie . E. L. Wilder compară această ope­ r.aţie cu aceea a preparării culorilor. Fiind date o colecţie T de culori şi anumite reguli de amestecare a lor în vederea obţinerii unor culori noi, se selecţi­ onează o colecţie A de culori din T care are putea fi 'suficiente ca, prin combinare după regulile date, să producă toate culorile din T. Analogia cu sistemele �iomatice apare de îndată ce asociem culorile cu �nunţurile şi amestecarea culorilor cu implicaţia logică (deducţia) . O situaţie asemănătoare apare în selectarea termenilor (care, cum am văzut, sunt de două feluri: tehnici şi universali) . În raport cu totalitatea T a termenilor tehnici şi cu aj utorul unor reguli de defi­ nire a termenilor, urmărim să selectăm din T o par­ te din A de termeni (care vor rămâne nedefiniţi) pe baza cărora pot fi definiţi toţi ceilalţi termeni din T. Desigur, în formularea acestor definiţii ne vom pre­ vala şi de termeni universali. Care este deci geneza unui sistem axiomatic? Se aleg mai întâi conceptele . Se ale g apoi termenii care urmează să rămână n edefiniţi şi enunţurile care vor constitui axiomele sistemului. Se trece apoi la demonstrarea teoremelor, activitate care ar putea �ă ne'cesite introducerea unor noi termeni. Însă toate aceste operaţii au caracterul unor tatonări repetate , cu reveniri şi ameliorări succesive. Nu tre buie să confundăm procesul cu rezultatul. Prin ce diferă această strategie de cea clasică? Acolo, axiomele erau privite ca adevăruri absolute şi aveau un caracter de necesitate. Înainte de secolul aI XIX-lea era de neconceput să se formuleze o axi­ omă ca: "Dacă D este o dreaptă, iar p un punct care n u aparţine lui D, atunci există cel puţin două drep­ te distincte care conţin pe p şi sunt paralele cu D' . A avea concomitent, în matematică, două sisteme

axiomatice G şi H cu axiome în G care se află în contradicţie cu unele axiome din H, cum se întâm­ plă începând cu ge ometriile neeuclidiene valabile concomitent cu geometria euclidiană, era ceva de neconceput înainte de secolul al XIX-lea. În repre­ zentarea actuală, un sistem de axiome este un sis­ tem conceptual ipotetic asupra funcţionării unui anumit domeniu de cercetare. Problemele funda­ mentale devin aici, aşa cum am văzut, cele relative la lipsa de contradicţie, la completitudine, catego­ ricitate şi independenţă. Acesta este punctul de la care începe o nouă etapă a rigorii matematice şi a filozofiei matematice. Dezideratele pe care le-am formulat se dovedesc a nu putea fi îndeplinite totdeauna simultan. Lui Kurt G6del îi datorăm ace st rezultat major al ştiinţei con­ temporane, despre care am scris mai detaliat în Paradoxul (Editura Albatro s, 1 984) şi care a conta­ minat întreaga gândire ştiinţifică, artistică şi filozo­ fică a secolului nostru .

PROVOCAREA LUI GODEL Născută odată cu geometriile neeuclidiene , gândire a axiomatică modernă a repurtat numeroase succe se . Astfel, în secolul trecut, Cauchy şi Weier­ strass au reuşit să introducă mai multă rigoare în analiza matematică. Locul intuiţiei geometrice era tot mai mult luat de raţionament şi de un aparat conceptual neechivoc . Spre sfârşitul secolului tre­ cut, Peano a axiomatizat construcţia mulţimii nu­ merelor naturale, dân d astfel un statut mai clar raţionamentului prin inducţie completă. Teoria nu­ merelor reale a fo st şi ea axiomatizată în diferite versiuni (Cauchy, Cantor, Dedekind, Weierstrass) , elucidându-se astfel statutul iraţionalelor care pro­ vocaseră nelinişte şcolii pitagoreice din Grecia antică. Teoria mulţimilor, iniţiată de Cantor şi confrun­ tată la început cu unele dificultăţi (paradoxuri şi antinomii) a fost şi ea aşezată, în special în prima parte a secolului nostru, pe un teren mai ferm, prin teoria tipurilor a lui Whitehead şi Russell şi, ulteri­ or, prin axiomatizările propuse de Zermelo , Frânkel, von Neumann, Bernays şi alţii. Astăzi se vorbeşte chiar de o teorie axiomatică a mulţimilor, opusă "teoriei naive" propuse de Cantor. Hilbert a ridicat la un nou standard de rigoare axiomatica geometriei. Toate aceste triumfuri ale gândirii axiomatice creaseră impre sia că printr-o alegere adecvată a propoziţiilor de bază ale unei teorii orice dificultate poate fi evitată, orice paradox poate fi îndepărtat. Îi revine lui Kurt G6del meritul istoric de a fi. contrazis aceste aşteptări. Printr-o teoremă stabilită în 1 93 1 , acest logician şi matematician a lansat lumii ştiinţi­ fice cea mai revoluţionară provocare a fllo zofiei ma­ tematicii moderne.

323

TEOREMA DE INCOMPLETITUDINE

METAMATEMATICA După descoperirea geometriilor neeuclidiene , metoda axiomatică a cunoscut, aşa cum am văzut, o perioadă de deosebită inflorire , atingând forma su­ premă de abstracţie şi formalizare prin Hilbert, pen­ tru care aspectul ludic al matematicii devenea esenţial: "Matematica e ste un j oc desfăşurat după reguli simple aplicate unor piese a căror semnifica­ ţie nu ne interesează". Într-un sistem formal de tip hilbertian avem a face cu o colecţie de simboluri şi o colecţie de reguli prin care se stabilesc secvenţele corect formate cu aceste simboluri. Unele dintre aceste secvenţe (sau formule) capătă statut de axi­ ome, altele, deduse din axiome prin regulile siste ­ mului, capătă statut de teoreme . Regulile dau deci naştere demonstraţiilor. Deoarece simbolurile sunt lipsite de semnificaţie, manipularea lor capătă o libertate care , necontrolată, ar putea genera unele contradicţii, in afară de cazul in care putem stabili de la început consistenţa (lipsa de contradicţie) în­ tregului sistem formal considerat. În legătură cu demonstraţiile de consistenţă, Hilbert a introdus ideea de metamatematică; este vorba de o preocupare având ca obiect studiul siste­ melor axiomatice formale pe care tot Hilbert le-a definit. După cum am putut vedea în etape ante­ rioare ale expunerii, au fost considerate demonstra­ ţii de consistenţă relativă, în sensul că lipsa de contradicţie a unei teorii este condiţionată de lipsa de contradicţie a altei teorii, fără ca aceasta din urmă să poată fi stabilită. Metamatematica este deci o matematică de ordinul al doilea, o matematică despre matematică. S pre deosebire de enunţurile din-tr-un sistem formal , care au un caracter pur sintactic, enunţurile metamatematice sunt dotate cu sens şi au ca obiect natura relaţiilor dintre sim­ bolurile, axiomele , teoremele , regulile de deducţie ale unui sistem formal. De exemplu, într-un sistem formal al aritmeticii pot să apară formule de tipul 1 + 1 2, 1 + 1 3, Y este superior lui 2, 3 este mai mare decât 2. Metamatematica relativă la acest sis­ tem formal al aritmeticii va cuprinde enunţuri de tipul: y este o variabilă; 2 este numeral; formula ,,3 este mai mare decât 2" se obţine din formula " y este mai mare decât 2" prin substituirea variabilei y cu numeralul 3; formula " 1 + 1 3" nu este o teoremă a sistemului formal considerat. Principala preocupare a metamatematicii este aceea de a stabili dacă un sistem formal considerat este sau nu lipsit de contradicţie. Prin metoda mo­ delelor, a interpretării unui sistem formal, s-a putut obţine în unele cazuri o demon straţie de necontra­ dicţie relativă. Însă problema principală formulată de Hilbert este aceea a găsirii unor demonstraţii de necontradicţie absolută. ==

=

==

324

Hilbert, Bemays şi alţi cercetători au putut furniza demonstraţii de necontradicţie absolută pentru unele sisteme formale mai re strân se , de exemplu, sistemul formal al aritmeticii aditive (dar nu şi multiplicative) a numerelor întregi. Ceva simi­ lar s-a realizat pentru sistemul formal al calc ulului propoziţional cu un număr finit de variabil e . În aceste condiţii, părea legitim să se spere că se va obţine şi o demon straţie de ne contradicţie absolută pentru întregul sistem formal al aritmeticii (atât aditive, cât şi multiplicative) . Hilbert a încercat chiar mai mult, şi anume obţinerea unui sistem formal complet şi lipsit de contradicţie pentru întreaga matematică clasică (inclusiv, fire şte , aritmetica) . Toate celelalte încercări în acest sens au eşuat. Şi iată că în 193 1 un tânăr de 25 de ani , Kurt Gădel , demonstrează că orice sistem formal lipsit de con­ tradicţie , echivalent cu sistemul formal propus de Russell şi Whitehead în Principia Mathematica, este , în mod necesar, incomplet; mai preci s, acest sistem nu este capabil să includă intreaga aritmetică; une­ le teoreme de aritmetică vor rămâne în afara siste­ mului formal considerat. Vor exista deci enunţuri aritmetice adevărate, dar nedemon strabile în cadrul sistemului formal adoptat. În mod concret, Gădel arată că în raport cu orice si stem formal al aritmeticii există propoziţii nedecidabile, adică propoziţii care , pe baza regulilor de deducţie din cadrul sistemului, nu pot fi nici demonstrate, nici infirmate; printre aceste propoziţii bizare se află şi propoziţia: "Si stemul formal consi­ derat este lipsit de contradicţie" Cu alte cuvinte, chestiunea lipsei de contradicţie a unui sistem for­ mal nu poate fi decisă decât ie şind din acel sistem. Această temerară şi neaşteptată "teoremă de incom­ pletitudine" (cum i se mai spune) a lui Gădel venea să pună capăt şi să invalideze proiectul lui Hilbert de formalizare necontradictorie şi completă a mate­ maticii . Putem spune că Hilbert a fost aici "victima" propriei sale ideologii formaliste. Dacă adoptăm un j oc în care intră şi obligaţia de a întreprinde o exa­ minare exhaustivă a relaţiilor dintre formulele j ocu­ lui, pentru identificarea eventualelor contradicţii, va trebui să ne limităm la formule finite şi la mulţimi finite de proprietăţi sau relaţii (în afară de cazul în care ne permitem o inducţie prin procedee "con­ structive") . Prin tehnici "finitiste" evităm tipul de criză care a apărut în raţionamentele cu mulţimi infinite. Dacă însă suntem mai curaj oşi, putem pro­ ceda ca Gerhard Gentzen, care în 1 9 3 6 a arătat că prin folosirea unor raţionamente mai puţin con­ structive , cum este aşa- numita inducţie transfinită (generalizare a inducţiei complete obişnuite prin trecerea de la numere ordinale finite la numere or­ dinale transfinite) , se poate obţine un sistem formal al aritmeticii în acelaşi timp complet şi lipsit de con­ tradicţie . Dar procedând astfel, Gentzen se situa în

;tfara a ceea ce este admis într-o demonstraţie fini­ tistă în cadrul formal al aritmeticii.

PARADOXUL LUI RICHARD Rezultatul lui G6del este revoluţionar în sensul negativ, al stabilirii unei limite a gândirii matemati­ ce: De o natură asemănătoare este teorema lui Galois privind imposibilitatea rezolvării prin mijloa­ ce finite a ecuaţiilor algebrice de grad superior lui 4. irisă în timp ce rezultatul lui Galois se referă la un domeniu limitat al matematicii, cel al lui G6del vi­ ze�ază chiar fundamentul gândirii matematice. Este deci interesant să-I examinăm mai îndeaproape. Demonstraţia lui G6del este revoluţionară nu numai prin rezultat, ci şi prin metodă. Ideea de­ monstraţiei se sprijină pe un faimos paradox logic, de tipul celui formulat de Jules Richard în 1 903. I&tă în ce constă acest paradox. Să presupunem că dorim să facem o listă a proprietăţilor numerelor întregi, de tipul: număr prim, număr impar, pătrat perfect, multiplu de 7 etc. Ne trebuie un criteriu de ordonare a acestor proprietăţi. Deoarece fiecare definiţie a unei proprietăţi de acest fel are o lungime reprezentată de numărul de cuvinte folo site (fiecare cuvânt fiind numărat de atâtea ori de câte ori apare) şi fiecare cuvânt este alcătuit dintr-un număr finit de" litere, putem asocia fiecărei definiţii numărul de litere folosite. Vom ordona defmiţiile în ordinea crescândă a numărului de litere asociat, având grij ă ca, pentru definiţii care folose sc acelaşi număr de litere, să adoptăm ordonarea lor lexicografică. În lista astfel alcătuită, fiecare proprietate P va primi un număr de ordine n(P). Dacă n(P) nu are proprie­ tatea P, vom spune că n(P) este un număr richardian; în caz contrar, el este nerichardian. De exemplu, dacă se va întâmpla ca numărul 87 să fie asociat proprietăţii de a fi prim, vom considera că numărul 87 este richardian (el este , cum uşor se vede, divizibil prin 3) . Să observăm însă că, procedând astfel , am de­ finit o nouă posibilă proprietate a unui număr în­ treg, aceea de a fi richardian; cum am promis că fiecărei proprietăţi îi asociem un număr natural, urmează � să asociem un atare număr, fie el n, şi proprietăţii de a fi richardian. Deoarece numerele naturale au fost repartizate în două clase, richar­ diene şi nerichardiene, este legitimă întrebarea: este sau nu este n un număr richardian? Dacă răs­ punsul ar fi afirmativ, atunci n ar fi richardian, deci lipsit de proprietatea căreia i s-a asociat; însă această proprietate con stă tocmai în a fi richardian, deci n nu este richardian. Dacă, dimpotrivă, răs­ punsul este negativ, deci n nu este richardian, atunci el posedă proprietatea căreia îi corespunde, aceea de a fi richardian. Cu alte cuvinte , dacă n este richardian atunci el nu este richardian şi reciproc. Este astfel încălcat un principiu de bază al logicii,

principiul necontradicţiei. Suntem în faţa unei anti­ nomii . Să încercăm să înţelegem ce anume s-a întâm­ plat. Ob servăm că proprietatea de a fi richardian capătă sens numai după ce s-a considerat lista tu­ turor proprietăţilor posibile de numere întregi; prin aceasta, ea este nu o proprietate în cadrul aritmeti­ cii numerelor întregi, ci o proprietate metamatema­ tică, relativă la ansamblul aritmeticii numerelor întregi . De altfel, în definirea ei au intervenit şi alte elemente metamatematice, cum ar fi numărul de litere într-o definiţie . Tocmai în această eludare a naturii speciale a proprietăţii de a fi richardian, în această identificare a limbajului obiect constituit de aritmetica numerelor întregi cu metalimbajul folosit în cercetarea limbaj ului obiect îşi are originea anti­ nomia lui Richard. Vom regăsi o situaţie similară în demonstraţia lui G6del.

NUMĂRĂTOAREA LUI GODEL În tentativa sa de investigare a sistemului for­ mal al aritmeticii, G6del se afla într-o situaţie simi­ lară aceleia din paradoxul lui Richard, deci pândit de aceleaşi primejdii . Aceasta ar fi însemnat să- şi aritmetizeze enunţurile sale metamatematice , tra­ ducându-le în formule aritmetice care de fapt apar­ ţin limbaj ului obiect studiat, cel al aritmeticii. Pentru a evita această situaţie paradoxală, G6del construieşte un sistem formal pentru teoria elemen­ tară a numerelor, adică pentru aritmetica superioară a numerelor întregi. Apoi imaginează un procedeu (altul decât cel lexicografic, utilizat în paradoxul lui Richard) prin care re alizează o corespondenţă bijec­ tivă între mulţimea entităţilor care apar în sistemul formal al aritmeticii şi o anumită mulţime de nume­ re naturale . Această corespondenţă a devenit cele ­ bră în logică sub numele de numărătoarea Gădel, iar numărul asociat, prin această numărătoare , unei anumite entităţi se numeşte numărul Gc5del al entităţii respective. Astfel, fiecărui simbol din siste­ mul formal , fiecărei axiome, teoreme sau demon­ straţii , în general fiecărei secvenţe corect alcătuite de simboluri i se asociază un număr Gădel. Este uşor de înţeles că mulţimea numerelor Gă del este infinită. Am de scris numărătoarea lui Gă del în lucrarea noastră Paradoxul (Editura Alba­ tros, 1 984, pp. 74-75) , dar o vom relua aici pentru a o compara cu numărătoarea propusă de Richard. Simbolurile logice de bază primesc cifre de la 2 la 8 , anume lui zero i s e asociază 2 , funcţiei succesor (care asociază lui x pe x + + 1) i se asociază 3, nega­ ţiei îi corespunde 4, implicaţiei 5, parantezei stângi 6, parantezei drepte 7, iar egalităţii 8. De aici mai departe se folosesc numerele prime rămase disponi­ bile . Diferitele puteri întregi pozitive ale lui 1 1 codi­ fică variabilele individuale . Puterile succesive ale lui 1 3 codifică predicatele de ordinul întâi, iar puterile succe sive ale lui 17 codifică predicatele de ordinul

325

al doilea ş . a.m.d. Pe baza acestei codificări, orice formulă relativă la numere intregi se poate repre­ zenta sub forma unui şir de numere , asociind fiecă­ rui simbol din formulă numărul care-i corespunde. Astfel, de exemplu, formulei (x) F(x) , unde prin x s-a notat prima variabilă numerică, iar prin F, primul predicat de ordinul intâi, ii corespunde şirul 6, 1 1 , 7, 13, 6, 1 1 , 7. Putem simplifica această corespon­ denţă asociind fiecărei formule nu un şir de nume­ re, ci un singur număr. În acest scop, considerăm mai întâi şirul numerelor prime 2, 3, 5, 7, 1 1 , 1 3 , 1 7, Atribuim lui 2 u n exponent egal cu primul termen al şirului asociat formulei considerate; lui 3, un exponent egal cu al doilea termen din acelaşi şir; lui 5, un exponent egal cu al treilea termen ş. a.m.d. Facem apoi produsul numerelor astfel obţinute. Rezultă că formulei (x) F(x) i se asociază numărul 26 . 3 1 1 57 7 1 3 1 1 6 1 3 1 1 1 77, care primeşte numele de numărul lui Gc5del al formulei.

Ş I TOTUŞI, PARADOXUL NU POATE FI EVITAT Am indicat astfel un algoritm care asociază fiecărei formule numărul ei Gădel. Mai mult decât atât, considerând un număr natural la întâmplare, putem determina tot algoritmic dacă el este un nu­ măr Gădel şi, în cazul afirmativ, putem găsi această formulă unic determinată. Într-adevăr, orice număr natural admite o descompunere unică în factori primi; în funcţie de valorile exponenţilor cu care apar aceşti factori, decidem răspunsurile la întrebă­ rile care se pun. De exemplu, deoarece o paranteză care se de schide trebuie să se şi închidă, prezenţa, la unul dintre factorii primi, a exponentului 6 aso­ ciată cu absenţa exponentului 7 la toţi factorii primi următori ne arată că numărul considerat nu este un număr G6del. Numărul G6del al unui şir de formule va fi ob­ ţinut acum din numerele G6del ale termenilor şiru­ lui prin acelaşi procedeu prin care numărul Godel al unei formule a fost obţinut din numerele asociate simbolurilor care alcătuiesc formula. Deoarece o demonstraţie într-un sistem formal este un şir de formule , rezultă că oricărei demonstraţii îi va cores­ punde un număr. În acest fel, diferitele enunţuri relative la formalizarea aritmeticii devin enunţuri relative la numere naturale, deci enunţuri care aparţin aritmeticii. Şi astfel, metalimbajul aritmeti­ cii se vede constrâns să se suprapună pe limbajul ei obiect. Numărătoarea lui G6del aplică sistemul formal al aritmeticii (şi, implicit, o parte din sistemul con­ struit in Principia Mathematica a lui Russell şi Whitehead) pe o parte strictă a mulţimii numerelor naturale. Enunţurile metamatematice relative la acest sistem sunt "oglindite" în enunţuri aritmetice. Apare astfel şi deosebirea dintre procedeul lui G6del şi cel al lui Richard , dintre numărătoarea G6del şi

326

numărătoarea Richard. La G6del, asociem num ere naturale unor simboluri şi enunţuri matem atic e, mai precis aritmetice , unor formule sau secvenţ e de formule aritmetice care numai prin conţinutul lor intuitiv sau prin interpretare devin enunţuri meta­ matematice; in schimb, la Richard, asociem, nemijlo­ cit numere naturale unor enunţuri metamatematice. Aşa cum am văzut, important în numărăto are a G6del nu este numai faptul că orice şir de formule devine co dificat printr-un număr natural, ci şi fap­ tul că acest număr individualizează şirul respectiv de formule. Un rol esenţial din punct de vedere teh­ nic îl are aici, aşa cum am arătat, ideea folo sirii numerelor prime. Noţiunea de număr prim se dove­ deşte a fi şi din acest punct de vedere una dintre cărămizile gândirii umane. Este greu să ne imagi­ năm o civilizaţie existentă in univers care să nu fi intrat în posesia ideii de număr prim . Numerele lui Richard individualizează şi ele secvenţele cu care se asociază, in sensul că unui număr natural îi cores­ punde cel mult un şir de simboluri. Dar, spre deo se­ bire de procedeul lui Godel , care permite regăsir ea secvenţei de formule exclusiv prin analiza proprietă­ ţilor aritmetice ale numărului considerat şi a unui cod foarte simplu, în orice caz finit, procedeul lui Richard face nerelevantă structura aritmetică a acestui număr, obligându-ne la folosirea unui cod practic in fini t. În ciuda superiorităţii ei, codificarea lui Godei nu poate evita j oncţiunea dintre metalimbaj şi lim­ bajul obiect. Metamatematica devine inevitabil ma­ tematică.

o FORMALIZARE NECONTRADICTORIE ESTE INCOMPLETĂ De aici mai departe, cititorul care se simte apt de a urmări 'o demonstraţie mai tehnică poate con­ sulta lucrarea citată, Paradoxul, p. 76. Vom prefera aici o alternativă la această cale, o discuţie informa­ Iă care urmăreşte ideile lui G6del, aşa cum sunt ele prezentate în lucrarea sa originală, din 193 1 . La un moment dat, în partea introductivă a lucrării sale, G6del afirmă că metoda sa este aplicabilă oricărui sistem formal In care se define şte noţiunea de "for­ mulă demon strabilă" şi în care orice formulă demonstrabilă este adevărată. Distinctia dintre de­ monstrabil şi adevărat trebuie înţele �să în sensul unnător. Prima dintre aceste proprietăţi se referă la ceea ce se poate deduce in interiorul sistemului formal, pe baza regulilor din sistem; a doua proprie­ tate are în vedere relaţia cu exteriorul sistemului, fiind asociată cu o anumită interpretare, cu un anumit mod 1 / 2 . Calculele arată că avem k = 24, valoare identificată şi de Cavalerul de Mere . Deci jucătorul căruia i se propune acest joc este avantajat de inda­ tă ce numărul de aruncări este mai mare decât 24. De Mere l-a provocat cu probleme de acest fel pe matematicianul Blaise Pascal , care, la rândul său, l-a antrenat şi pe Pierre Fermat. De fapt, din dialogul acestora s-a născut ceea ce azi numim teo­ ria probabilităţilor. Imediat s-au contaminat de 397

aceste probleme şi alţi savanţi. Nicolas Bernoulli ( 1 687 - 1 759) este unul dintre cei opt matematicieni cu numele Bernoulli, a căror activitate se extinde pe parcursul unui secol, de la sfârşitul secolului al XVII-lea până spre sfârşitul se colului al XVIII-lea. Nicolas s-a ocupat de următoarea problemă: A oferă lui B un franc dacă acesta obţine un 6 în prima aruncare a zarului: doi franci dacă obţine un 6 abia la a doua aruncare, şi în mod general, îi oferă lui B n franci dacă apare 6 abia la a n-a aruncare a zaru­ lui. Probabilitatea p (n) ca 6 să apară abia la a n-a aruncare se obţine multiplicând pe 1 / 6 cu a (n - 1 ) -a putere a lui 5 / 6. Aşteptarea matematică a acestui joc (un fel de valoare medie a câştigului) se obţine făcând suma produselor dintre p (n) şi n franci, pentru n mergând de la 1 la infinit. Se obţine o serie a cărei sumă este egală cu 6. Aceasta înseamnă că valoarea medie a câştigului la care se poate aştepta 8 este de 6 franci.

DE LA AŞTEPTARE LA SURPRIZĂ NU-I DECÂT UN PAS Luându-se ca model jocul de mai sus, s-a in­ trodus un alt joc, privind aruncarea unei monede: A oferă lui B doi dolari dacă la prima aruncare a mo­ nedei apare stema; îi oferă 4 dolari dacă stema apa­ re abia la a doua aruncare; îi oferă 8 (deci a treia putere a lui 2) dolari dacă stema apare abia la a treia aruncare . În general, îi oferă 2n dolari dacă stema îşi face apariţia abia la a n-a aruncare (n = = 1 ,2 , 3 , . . ) . Care este aşteptarea matematică a aces­ tui joc? Procedând c a şi la jocul anterior, constatăm mai întâi că probabilitatea ca stema să apară abia la a n-a aruncare este egală cu 1 / 2n, deci A ar tre­ bui să-i ofere lui 8 (1 /2n) 2n dolari , deci un dolar. Ar rezulta astfel că recompensa nu depinde de n, iar aşteptarea matematică a jocului este infinită (suma unei serii în care toţi termenii sunt egali cu 1 ) . Co­ rectă matematic, această soluţie apare totuşi ab­ surdă. Explicaţia se află în faptul că aici este vorba de modelarea unei situaţii in care sunt implicaţi oameni, iar ipoteza (neexplicită, dar clară) că A are o cantitate infinită de bani nu este realistă. Modelul trebuie refăcut pentru a-l adapta la situaţia în care A dispune de o sumă prealabil fixată. .

PLAUZIBIL, DAR FALS; CORECT, DAR STRANIU Ştiind că în primele opt aruncări ale unei mo­ nede a ieşit stema, care este probabilitatea p ca la o nouă aruncare să apară tot stema? Răspunsul pla­ uzibil la prima vedere este: p < 1 / 2 . Răspunsul co­ rect: p = 1 / 2 . O situaţie asemănătoare apare în următoarea problemă: aruncând două monede, care

398

este şan sa să apară cel puţin o stemă? LUi D'Alembert i s-a păru t a fi 2 / 3 , pe baza unui "raţio­ nament" de tipul următor: există trei posibilităţi: a) două steme, b) o stemă şi o marcă, c) două mărci. Dintre acestea, două asigură prezenţa unei ste me , deci dintre trei cazuri posibile două sunt favorabile. A fost o pripeală din partea eminentului coautor la Enciclopedia Franceză (sfârşitul secolului al XVIII-lea) , deoarece cele trei cazuri nu sunt egal probabile; cazul b are probabilitatea 1 / 2 , în timp ce a şi c au, fiecare în parte, probabilitatea 1 / 4 . Sunt 4 cazuri, b se desface în două: stemă la prima mone­ dă, marcă la a doua; m arcă la prima, stemă la a dou a . Dintre cele patru cazuri echiprobabile , trei sunt favorabile , răspunsul corect este deci 3 / 4 . Galileo Galilei a fost întrebat d e c e aruncare a a trei zaruri conduce mai des la suma 1 0 decât la suma 9. Răspunsul este azi la indemâna unui elev. Există 63, deci 2 1 6 posibilităţi de combinare a rezul­ tatelor celor trei zaruri şi ele sunt egal probabile. Dintre acestea 27 conduc la suma 10 şi numai 25 dau suma 9. Cu ajutorul unui calculator, operaţii de acest fel pot fi efectuate azi fără bătaia de cap nece sară în astfel de situaţii pe vremea lui Galilei.

DE LA BERNOULLI LA POINCARE Jacques Bemoulli a propus următoarea pro­ blemă, reluată de Christian Huygens ( 1 629- 1 695) : A şi B au fiecare câte 1 2 monede jucate in combina­ ţie cu trei zaruri. Dacă aruncarea zarurilor conduce la suma I l , A dă o monedă lui B. Dacă suma este 1 4 , B dă o monedă lui A. Persoana care adună pri­ ma toate monedele este declarată câştigătoarea jo­ cului. Huygens a numărat şansele celor doi jucători găsind că A câştigă in 244. 1 40 . 625 de cazuri , în timp ce B câştigă în 2 8 2 . 4 2 9 . 536.48 1 de cazuri. Evident, cazurile se referă la diferite sume posibile între rezultatele a 1 2 zaruri şi la numărul de cazuri în care această sumă este 1 1 , respectiv 1 4 . Cu po­ sibilităţile de calcul de acum, efortul de calcul este mult mai mic. O generalizare a acestui joc a fost realizată de Jacques Bernoulli. Vom discuta acum un j oc provenind din secolul al XVlII ea. Trei bilete identice sunt colorate; pri­ mul , pe fmbele părţi cu roşu; al doilea, cu roşu pe o parte şi cu negru pe cealaltă parte; al treilea, cu negru pe ambele părţi. După ce le-am amestecat, alegem la întâmplare un bilet şi îl punem pe masă, putând deci observa culoarea sa de pe faţa supe­ rioară, fie ea culoarea roşie. Care este probabilitatea ca respectivul bilet să fie . roşu pe ambele părţi? S-ar părea că este 1 / 2 , deoarece este exclusă posibilit a­ tea negru-negru . A propune acest pariu lui B, care susţine că probabilitatea lui roşu-roşu este mai mare decât a lui roşu-negru. Cine câştigă? Câştigă B; într-adevăr, există, în ansamblul celor trei bile te , trei feţe colorate cu roşu, fiecare dintre ele având aceeaşi probabilitate de apariţie. Dintre acestea trei ,

f

două conduc la culoarea roşu pe verso, deci proba­ bilitatea culorii roşu pe verso este 2 / 3 . Din nou, :rţzultatul corect îl contrazice pe cel care apare la prima vedere , aşa cum i s-a întâmplat lui A. Deruta âce stuia s-ar putea explica prin faptul că în mod spontan nu se observă că anumite cazuri nu sunt eogal probabile; numai la o examinare mai atentă se �pot discerne cazurile cu aceeaşi şan să de apariţie. Toate problemele discutate mai sus, asociate cu primii paşi ai ştiinţei hazardului, au desigur o sem­ nificaţie istorică şi, în acelaşi timp, pot fi azi abor­ date de elevii care au parcurs unele elemente de 'combinatorică. Însă perioada de pionierat a teoriei probabilităţilor a depăşit această fază elementară. Astfel, un alt membru al familiei Bernoulli, Daniel, s,:a ocupat de j ocul următor, ceva mai complicat: ' Fie >o urnă care conţine n bile albe , o a doua urnă care conţine n bile negre şi o a treia urnă, care contine n bile roşii. Se extrage la întâmplare câte o bilă din fiecare urnă. Bila extrasă din prima urnă se intro duce în urna a doua, bila extrasă din urna a doua se introduce în urna a treia, iar bila extrasă din urna a treia se introduce în prima urnă. Se re­ petă această operaţie de x ori. Care sunt numerele aşteptate (deci care merită să fie jucate) de bile de diferite culori în fiecare dintre cele trei urne? Pro­ blema a fost rezolvată de Daniel Bernoulli , dar solu­ ţia este prea complicată pentru a o prezenta aici. Warren Weaver, autorul cărţii Doamna Şansă (tra­ dusă din engleză) , care ne-a ghidat în capitolul de }âţă', vede în acest joc o expre sie a complexităţii proceselor în care intervine întâmplarea. � ::: . Consideraţiile de mai sus au scos, sperăm, în eVidenţă faptul că dincolo de aspectul ludic al pro­ &ăbilităţii se află rolul important al acestei noţiuni jil toate sectoarele vieţii şi ale cercetării. " Calculul probabilităţilor nu este numai o recreaţie sau o că­ J�uză pentru jucătorii de baccara, el merită să-i ,�profundăm principiile" , scrie Henri Poincare în �In.troducere la Science et hypothese, traducerea ro­ :mânească la Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1 986. o

" FIZICIANUL E UN JUCĂTOR CARE ÎŞI EVALUEAZĂ ŞANSELE " Citatul din subtitlul de mai sus este tot din �Boincare (Ştiinţă şi ipoteză, capitolul XI) . Poincare (1854- 1 9 12) a trăit într-o perioadă în care funcţia pre dictivă a ştiinţei era încă la mare cinste. Şi to­ JlJşi, el şi-a dat seama de relativitatea ei. "Oricât de '�traini c fundamentată ni s-ar părea o previziune, nu )I:;\ltem fi siguri că experienţa nu o va dezminţi. Dar Jipobabilitatea este de obicei destul de mare, pentru ',9�� practic, să ne putem mulţumi cu ea. Poincare ne , ��trage atenţia asupra capcanelor filozofice ale pro­ �'abilităţii definite ca raportul dintre numărul cazu­ ;filQI' favorabile şi numărul cazurilor posibile într-o

anumită experienţă, cu condiţia ca acestea din ur­ mă să fie egal probabile . Definim deci probabilul prin probabil. Cum vom şti că două cazuri posibile sunt la fel de probabile? se întreabă Poincare şi adaugă: Printr-o convenţie? Dar atunci, de îndată ce vom face o aplicaţie va trebui să probăm legitimi­ tatea convenţiei în cazul particular considerat, găsindu-ne astfel din nou în faţa dificultăţii pe care am crezut că am eludat-o. Aj uns aici, Poincare se întreabă dacă nu cumva bunul- simţ este suficient pentru a decide ce convenţie anume trebuie să adoptăm. Dar şi această cale se dovedeşte uneori insuficientă. Poincare dă exemplul lui J. Bertrand, care şi-a propus să evalueze probabilitatea ca, într-un cerc, o coardă să fie mai lungă decât latura triunghiului echilateral înscris. Adoptând, succesiv, două convenţii pe care bunul-simţ părea să le im­ pună cu aceeaşi forţă, prima dintre ace ste convenţii conduce la probabilitatea 1 / 2 , iar cealaltă la 1 / 3 . S ă deducem de aici c ă trebuie să renunţăm l a intui­ ţie şi, implicit, la o ştiinţă a întâmplării? Poincare dă un răspuns categoric negativ. În cei aproape o sută de ani care s-au scurs de atunci, discuţiile asupra ideii de probabilitate au cunoscut o intensi­ tate crescândă, dar reflecţiile lui Poincare asupra acestei teme continuă să fie actuale. Nici Poincare nu poate eluda rolul deosebit de instructiv al jocuri­ lor de noroc, de exemplu j ocul la ruletă, pe care-l găseşte de acelaşi tip cu unele situaţii din fizică. Un cadran este împărţit în subdiviziuni egale, colorate alternativ roşu şi negru . Se lansează cu forţă un ac indicator care la un moment dat se opreşte în faţa uneia dintre subdiviziuni, a cărei probabilitate de a fi colorată în roşu este evident 1 / 2 . Toţi jucătorii îşi dau seama de acest lucru, dar de aici ei cad de cele mai multe ori în următoarea eroare, pe care am mai semnalat-o într-un alt context. Dacă de mai multe ori consecutiv acul se opreşte la roşu, ei deduc că e puţin probabil ca la tragerea unnătoare să se opreas­ că iar la roşu şi mizează cu siguranţă pe negru, în ideea că este o raritate ca, de exemplu, să iasă roşu de şapte ori consecutiv. Dar nu îşi dau seama că şi combinaţia "şase de roşu urmate de un negru" este la fel de rară, deci puţin probabilă, ca şi combinaţia a şapte de roşu . Din nou se ignoră condiţia echipro­ babilităţii evenimentelor la care raportăm cazurile favorabile. Dar faptul cel mai semnificativ, în gândirea lui Poincare, este cel pe care l-am evidenţiat în subtitlui acestei secţiuni. Poincare ne atrage atenţia că ştiinţa îl plasează pe cercetător în situaţia ludică a unui ju­ cător, situaţie în care regăsim atributele esenţiale ale jocului.

MATEMATICA LA LOTO Să presupunem că trebuie aleasă o combinaţie de p numere dintre primele n numere naturale (evi­ dent, p este mai mic decât n). S-a observat că foarte

399

mulţi jucători ţin să se asigure într-un fel oarecare că numerele pe care le aleg sunt cât mai "la întâm­ plare " . Dar regulamentul jocului de loto prevede că dacă mai multe persoane au ales o aceeaşi combi­ naţie câştigătoare, atunci câştigul se împarte la numărul persoanelor respective. Calculul probabili­ tăţilor nu te poate învăţa cum să câştigi la loterie, dar te ajută să evaluezi şansele de câştig. Însă ală­ turi de partea logică există şi o parte psihologică, aceste două părţi putându-se combina. Într-adevăr, mai sus am făcut două constatări . Una logică: atunci când numărul celor care aleg o aceeaşi com­ binaţie creşte, câştigul posibil pentru fiecare dintre jucătorii care au ales această combinaţie descreşte. Apoi, o constatare psihologică: cei mai mulţi se orien­ tează spre combinaţii care li se par cât mai întâm­ plătoare, în sensul că nu prezintă nicio regularitate aparentă. (Unii aleg combinaţii legate de anumite date personale, dar regularitatea care ar putea apă­ rea aici este sesizată numai de jucătorul în cauză) . Ce rezultă de aici? Că o combinaţie de o regularitate frapantă, ca 1 ,2,3, a cărei probabilitate de a fi câşti­ gătoare este exact aceeaşi cu a oricărei alte combi­ naţii de trei numere, oferă totuşi avantajul că, în cazul câştigător, există şi probabilitatea mare de împărţire a câştigului la un număr relativ mai mic de persoane decât în cazul altor combinaţii. Discuţia nu se încheie aici. Este natural să ne întrebăm cât de mulţi ar putea fi cei care raţionează ca mai sus , combinând logicul cu psihologicul. Dacă aceştia sunt foarte numeroşi, atunci întregul raţio­ nament este dat peste cap, deoarece el a fost efec­ tuat în ipoteza tacită că aproape niciunul dintre jucători nu mai face o evaluare de acest fel. Ajun­ gem astfel la aspectul sociologic al problemei şi nu ştim să se fi întreprins anchete sociologice printre jucătorii la loterie. S-ar putea întâmpla şi un alt fapt: dacă avem impresia că foarte mulţi jucători cred că numeroşi jucători realizează avantajul unor combinaţii de tipul 1 , 2 , 3 , deci că în ultimă instanţă evită combinaţii de acest tip , tocmai acest fapt ne-ar putea determina să alegem o combinaţie de acest tip. Supoziţiile pot continua astfel la ne sfârşit, fieca­ re oprindu-se acolo unde intuiţia sa logică, psiholo­ gică şi sociologică îl conduce. Dar nimeni nu poate merge la sigur în chestiuni atât de delicate . F A SCINAŢIA LOTERIEI La 9 iunie 2002, am organizat, în cadrul Insti­ tutului Internaţional de studii structurale şi semi­ otice de la Imatra (Finlanda) , un Seminar cu titlul " Semiotics of game and play" , la care au participat Jouko Seppănen (Finlanda) , Dobrila Djukich de Nery (Venezuela) , Alexander Mosquera (Venezuela) şi au­ torul cărţii de faţă. O privire istorică a fost propusă de profesorul Jouko Seppănen, de la Universitatea de Tehnologie din Helsinki, iar contribuţia sa este prezentată în

400

această carte, la capitolul XV: Game, play, and t heir hislory. Contribuţia noastră la acel Seminar face obiectul capitolului XVI (ultimul) al acestei cărţi, capitol care poate fi considerat şi ca un rezum at al unei bune părţi a cărţii . Unele aspecte din The cOs­ mological ritu al of lottery: Venezuelan study aparti­ ' nând celor doi participanţi din Venezuela, vor 11 luate în considerare în secţiunea de faţă. Loteria fascinează întregi mase de oameni. În momentul în care redactăm aceste rânduri , o bună parte a publicului românesc îşi încearcă norocul la 6 din 49 . Câteva săptămâni la rând nu apăruse niciun câştigător. Nu cumva şansa de câştig este prea mică? Dintr-o carte a lui Bart K. Holland: What are the chances? (The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 2002 , p. 86-90) , aflăm că loteria din statul Virginia are un joc constând în alegerea a şase numere din primele 44 de numere naturale. Numărul total de combinaţii de şase nu­ mere din cele inferioare lui 45 este dat de 44! / (6!38!), care are ca valoare 7.059. 052 . Rezultă că orice combinaţie de şase numere are o probabilitate de câştig de aproximativ unu la şapte milioane. Dar dacă, aşa cum se întămplă la noi, loteria îţi cere să alegi nu 6 din 44, ci 6 din 49, şansa de câştig este mult mai mică. Este interesant şi faptul că, teoretic, în condiţiile loteriei din statul Virginia (S.U.A.) este posibil ca, prin jucarea tuturor combinaţiil or posibi­ le , cineva să- şi asigure şi combinaţia câştigătoare. Există însă riscuri în această privinţă. În primul rând, s-ar putea ca şi alţii să nimerească exact combinaţia câştigătoare, caz în care câştigul ar tre­ bui împărţit la toţi câştigătorii, iar partea care ar reveni fiecăruia ar fi mult inferioară preţului total al lozurilor cumpărate . O altă sursă de risc este de natură pur pragmatică: s-ar putea ca cel care şi-a propus să cumpere atâtea lozuri câte combinaţii de şase numere sunt posibile să nu poată realiza acest lucru în timpul scurt alocat acestei operaţii . Dar s-ar mai putea ca loteria să refuze pur şi simplu vânzare a către un singur cetăţean a unui număr atât de mare de lozuri, pentru simplul motiv că acest fapt ar încălca principiul de bază al loteriei, care este acela al unui joc de şansă, deci bazat pe hazard . pă Djukich şi Mosquera, " game" ar fi echiva­ lent s aniolului ,juego" , provenind din latines cul "locu ' şi semnificând "un exerciţiu de natură re­ creaţională, supus unor reguli ŞI m care se poate pierde sau câştiga". Egiptenii, reluându-l pe Platon, pretindeau că jocul este o invenţie a diavolului Zeud; după alţii, un alt diavol, Zabulon , ar fi la originea jocului. După un alt autor , jocurile bazate pe extra­ geri de numere erau practicate în Imperiul Roman. Dar, în forma ei actuală, loteria a fost introdusă la 1 670, de Papa Inocenţiu al II-lea, pentru a fi abo­ lită la 1 727 de Benedict al XIII-lea şi din nou admi­ să la 173 1 de Clement al XII-lea, cu condiţia măririi câştigului. Ceva asemănător loteriei exista sub domnia lui Augustus şi sub aceea a lui Nero. Statul

�hl

Vaticanului a preluat loteria romană, care a funcţio­ nat cu regularitate până la 2 septembrie 1 870, când a fo st abolită de statul italian.

re jucătorul nu poate interveni în niciun fel , nimic

ideal

tor, de forţa şi/ sau inteligenţa sa: boxul şi şahul

Jocurile de acest fe l au devenit un domeniu pentru dezvoltarea a tot felul de superstiţii,

con stând, în esenţă, într-un simbolism numeric de care nu a scăpat aproape nicio zonă a existenţei umane şi a universului înconjurător. În Spania, loteria are o lungă tradiţie, un exem­

plU semnificativ fiind Loteria de Crăciun, practicată l a 2 2 decembrie , asociată cu un ceremonial de câte­ va bre , transmis la radio şi televiziune . În decembrie

20 0 1 , 92%

din populaţie a oprit lucrul, pentru a

privi acest ceremonial. În Venezuela, aproape toţi guvem atorii din aproximativ ultimii patru sute de

ani au fost j ucători la loterie. Cu toate acestea, în 1974, printr -o decizie guvernamentală, loteriile au

fo st interzi se , cu excepţia celor din Caracas, Oriente, Tac hira şi Zulia.

În America Latin ă , ca şi în multe ţări occidenta­

le , trebuie distins între j o curile legale şi cele ilegale. Sunt legale, între altele , cursele de cai, loteriile,

tirul, jocurile de cărţi şi cele din iarmaroace; sunt interzise , între altele, luptele de cocoşi şi ruleta.

Loteria fac e parte din j ocurile hazardului, in ca­

nu depinde de el. La polul opus se află acele jocuri

competitive în care (aproape) totul depinde de jucă­ sunt numai două exemple de acest fel.

Între ele , se află jocurile de risc maxim, ca due­

lul , alpinismul, cascadoria şi paraşutismul şi jocuri­

le de schimbare a identităţii, cum sunt spectacolele

de teatru şi cele de deghizare, de adoptare a unei măşti. În jocurile hazardului, jucătorul poate pierde

bani, bunuri materiale, dar nu şi viaţa, cum se în­ tâmplă in cele de risc maxim. În jocurile de schim­

bare a identităţii, c are includ şi multe jocuri ale copilăriei, de exemplu j ocurile de vertij , ca datul în

scrânciob, nu există de regulă nici riscul pierderii banilor, nici cel al pierderii vieţii, dar este uneori

posibil insuccesul (faţă de un anumit public) şi chiar eşecul clar (cum se întâmplă uneori cu artiştii de

circ, atunci când ratează o anumită probă) . Dar faţă de cele patru tipuri de j ocuri mai trebuie considera­ te şi altele .

De exemplu, jocurile de performanţă

scenică interferează cu cele de schimbare a identită­ ţii . Acestea din urmă pot face obiectul unui specta­

col , ca cel oferit de un mim sau de o pie să de teatru,

dar pot fi practicate şi fără a avea în vedere un pu­

blic şi o scenă, ci numai dorinţa de amuzament în

PUBLICITATEA, CA METAJOC

familie sau într-un cerc de prieteni. Pe de altă parte,

Dj ukich şi Mosquera acordă o atenţie specială

jocului prilejuit de publicitatea d e care beneficiază loteriile ; este vorba deci de un joc de al doilea ordin,

de

un metaj oc,

acesta dovedindu-se , în cazul de

faJă, mai complex decât însuşi j ocul care l- a gene­

rat. Acest metaj oc antrenează toate canalele

din

mass-media şi speculează toate aspectele şi slăbici­

unile psihicului uman . Internetul este şi el folo sit

din

plin in acest scop . Mij loace verbal e , muzicale şi

vizuale dintre cele mai variate se prevalează de date

există spectacole în care interpretul nu numai că

nu-şi schimbă identitatea, dar caută să-şi ducă la desăvârşire tocmai identitatea sa autentică: un vio­

lonist,

un pianist,

exemple .

Nicolae Manolescu

astrologice, de simbolismul viselor şi al numerelor,

de superstiţii pentru a stimula j o cul la loterie .

hazardului .

Se ţine seama de faptul că o mare parte a po­

pulaţiei din Venezuela este analfabetă . Aflăm c ă în

Venezuela femeile între 13 şi 19 ani şi cele pe ste

de

30

ani îşi încearcă norocul la loterie mai mult decât

bărbaţii; situaţia este inversă pentru vârstele între

20 şi 30 de ani. Dj ukich şi M o squera ob servă, în concluzie, că fascinaţia mulţimilor pentru jocurile cu miză ale hazardului este esential asociată cu fa!şcinaţia spectacolului pe care ac ste mulţimi de oameni îl oferă.

�

Dar oare numai loteriile generează ace st meta­ jo c formidabil? Nu este la fel de interesant metaj o­

cuI generat de jocurile sportive (în primul rând fotbalul) sau de spectacolele de circ, de teatru sau de televiziune ? De îndată ce acceptăm trecerea de la jo c la metaj o c , devine inevitabil şi j ocul de al trei­ le a ordin, adică cel generat de metaj oc şi putem merge în această direcţie oricât de depart e .

câteva

RELA ŢIA DINTRE JOC ŞI MUNCĂ

strămătuşa mea, 1 984, pp. 52-55)

de ritualurile religioase , de horoscoape şi de tot felul

un dirij or sunt numai

(Despre joc,

Cartea

în

Julien Green şi

Românească,

Bucureşti,

e ste de părere că singurele j ocuri

care rămân absolut străine animalelor sunt cele ale Aici

sunt

conţinute

două

afirmaţii:

a) animalele practică jocuri de competiţie , de simu­

lare şi de risc maxim; b) animalele nu practică j o ­

curi de p u r hazard. În legătură cu fiecare dintre aceste afirmaţii, există două posibilităţi, după cum

avem în vedere j ocuri în care j ucătorul intră ca ur­

mare a propriei decizii sau j ocuri în care jucătorul

este implicat datorită unor factori pe care nu-i poate influenţa, deci care nu depind de el. În acest din urmă caz, există iarăşi două posibilităţi, după cum

jucătorul devine sau nu conştient de implicarea sa în j o cul respectiv. Chiar din momentul în care se naşte , o fiinţă vie se află implicată într-un joc stra­

tegic al vieţii, al supravieţuirii, fără a fi conştientă de acest lucru, fără a-l înţelege. La o anumită vâr­

stă, fiinţele umane în cep să-I înţeleagă, dar celelalte

vieţuitoare nu par a deveni conştiente vreodată de

el, chiar dacă instinctual se comportă uneori ca şi

cum l-ar inţelege. Jocul vieţii are elemente de j oc

40 1

strategic, dar şi elemente de competiţie; din el nu lipseşte nici factorul hazard, chiar dacă nici compe­ tiţia, nici hazardul nu sunt con ştientizate de jucăto­ rul animal. Pătrundem astfel in domeniul jocurilor pe care nu le practicăm de bunăvoie, ci împinşi de forţele oarbe ale instinctelor. La fel, j ocul interacţi­ unii cu natura al oricărei fiinţe vii începe înain te ca el să fie asumat de către jucătorul uman şi rămâne pur instinctual la jucătorul animal. Nicolae Manolescu se referă şi la faptul că Roger Caillois (in cartea sa citată în primul capitol) îl critică pe Huizinga pentru faptul de a considera gratuitatea o trăsătură esenţială a j ocului; ar urma ca jocurile de noroc practicate tocmai cu scopul unui câştig să nu mai fie considerate jocuri. Dându-i dreptate lui Huizinga, Manolescu are in vedere destinaţia de bază a jocurilor de noroc, aceea de a fi practicate de dragul jocului. Bine observă Manolescu: " . . . nu e cu adevărat jucător cel care, având o dată noroc, renunţă să mai j oace şi rămâne cu banii . . . " Cum rămâne atunci cu aparenta con­ tradicţie dintre gratuitate şi câştig? Răspunsul a fost dat în primul capitol şi îl reluăm aici într-o altă formă. Jocul, în realizările sale efective, nu prea există in stare pură, el este mereu contaminat cu elemente străine ludicului. Toate jocurile ajung să încalce virtutea gratuităţii , de exemplu, prin simplul fapt că sunt atrase în competiţii răsplătite cu câşti­ guri. Este suficient să privim situaţia din fotbal, un joc sportiv distorsionat grav de latura sa financiară. Ce au ajuns jocurile olimpice, iniţial exclusiv o expresie a dorinţei omului de autodepăşire? Relaţiile joc-muncă, gratuitate-utilitate au pre­ ocupat şi ele pe mulţi autori. Manole scu observă că "se joacă indivizii, munceşte specia" Adevărul pro­ fund al acestei observaţii rezultă din faptul că pere­ chea ,j oc- muncă" nu este ceea ce se cheamă uneori o pereche conjugată, adică o pereche de termeni în care fiecare tennen se dezvoltă în dauna celuilalt. Dimpotrivă, ea este o pereche în care fiecare termen este cerut de celălalt. Ceea ce la nivel social şi isto­ ric este perceput ca muncă şi ca utilitate nu ar fi posibil fără libertatea ludică acordată indivizilor în măsura în care munca e ste creatoare, ea este rezul­ tatul practicării libertăţii j ocului, libertate care in­ clude dreptul la greşeală şi la eşec.

Î N CĂUTAREA NOROCULUI Rândurile anterioare au fost scrise în 2002 şi 2003; cele care urmează, în 2007. Între timp, au intervenit unele clarificări. in fiecare săptămână, câteva milioane de ro­ mâni (suntem anunţaţi că vin mulţi şi din ţări veci­ ne) participă la loteria ,,6 din 49 " Televiziunile, " radioul şi presa transformă în " ştiri ceea ce de fapt este publicitate pur şi simplu. În fiecare dimineaţă de duminică suntem avertizaţi că mai dispunem doar de câteva ore pentru a ne putea procura un loz 402

care s-ar putea să fie "potul cel mare" Horoscopul şi zodiacul (acesta din urmă, culmea ironiei, prezent la oră de vârf pe Canalul Cultural al TVR) apar cu o perseverenţă diabolică pe toate canalele de televizi­ une şi în toată pre sa, contribuind şi ele sub stanţial la intreţinerea unei mentalităţi favorabile jocului la 10terie.Vine apoi seara de duminică, în care milioa­ nele de cumpărători de lozuri urmăresc cu sufletul la gură rezultatul extragerii numerelor câştigătoare şi apoi, ca un blestem, aflăm că nici în săptămâna respectivă premiul cel mare nu a putut fi acordat. Parcă-I văd pe Grigore Vasiliu- Birlic interpretând pe bine -cunoscutul personaj al lui Caragiale , aflat sub vraja îmbogăţirii peste noapte la loterie.

DE UNDE A PORNIT SCANDALUL Scriu aceste rânduri luni dimineaţa, încă de ieri- seară se ştie că potul cel mare de peste opt mi­ lioane de euro, valoare fără precedent la ,,6 din 49", a fost reportat pentru săptămâna viitoare, când el va deveni de aproximativ 10 milioane de euro. Creş­ te potul cel mare, creşte şi numărul jucătorilor, cre sc şi veniturile Loteriei, care nu ezită să ne de­ monstreze c ât de patriotică şi de umanitară este acţiunea ei, prin sponsorizări ale unor instituţii şi initiaţive dintre cele mai onorabile. De multe săp­ tămâni, in ciuda numărului mare de combinaţii jucate, nimeni nu nimereşte combinaţia câştigătoa­ re. Pe un anumit canal de televiziune, seri în şir au fost organizate dezbateri pe marginea acestui "scan­ " dai . De ce nu câştigă nimeni premiul cel mare? "Ghinion sau înşelăciune? Nu cumva sunt măsluite extragerile?" În presă citim despre "tunuri la loteria română" Nu de multă vreme, conducerea Loteriei a fost destituită, descoperindu-se mari fraude , care au fost urmate de trimiteri în judecată, dar, că în atâtea alte situaţii asemănătoare, nu ştim să se fi ajuns la un verdict. Dar şi acum, sub noua condu­ cere, aflăm din presă că Agenţia Naţională de Admi­ nistraţie Fiscală (ANAF) a găsit, după 1 iulie 2006, nereguli in modul de comercializare a lozurilor, bu­ getul de stat fiind astfel serios păgubit cu sute de miliarde de lei vechi, reprezentând TVA datorată de către prestatorul serviciilor. Care o fi adevărul?

CINE ESTE JUCĂTORUL LA 6 DIN 49? Să încercăm să facem portretul-robot al jucăto­ rului român. Cu excepţiile de rigoare, el se recru­ tează din pături relativ înapoiate cultural şi cu o stare economică precară, cel mult modestă . îI vezi venind cu traista de la piaţă şi aşezându-se la co a­ dă, pentru completarea unui loz. El nu are ni cio idee despre şan sa reală de câştig, el crede că dacă a nimerit rândul trecut 4 sau 5 din cele 6 num ere câştigătoare a fost la un pas de victorie şi at unci

merită să mai încerce . El mai crede că unele nume­ re şi unele combinaţii au şan se mai mari decât alte­ le . Această mentalitate este întreţinută pe diverse căi, unele aşa-zise culturale şi ştiinţifice. Nimeni nu va alege combinaţia 1 , 2, 3 , 4 , 5, 6 sau 44, 45, 46, 47 , 48, 49; acestea nu miros a hazard. Se pare că există consilieri plătiţi pentru a te orienta spre com­ binaţiile cu şanse mai mari. Impozitul pe prostie sau pe ignoranţă a existat totdeauna. Unii s-au apucat să facă statistici ale cifrelor din numerele câştigătoare sau ale combinaţiilor câştigătoare la extragerile anterioare , cu intenţia de a anticipa pe a ceastă bază combinaţiile cu şanse mai mari de câştig la extragerile viitoare. Circulă şi o glumă, în legătură cu o bătrână care şi-a uitat ochelarii acasă şi a rugat pe cineva să-i completeze buletinul cu nişte numere la întâmplare şi, culmea, a câştigat potul cel mare; ca şi cum o combinaţie aleasă la in tâmplare ar avea o şansă mai mică decât "una bine chibzuită"

SĂ NE AMINTIM CE-AM ÎNVĂŢAT LA ŞCOALĂ De fapt, înţelegerea corectă a şanselor de câştig la loto 6 din 49 este posibilă pen tru oricine a trecut prin şcoală nu ca gâsca prin apă, ci asimilând real­ inente cunoştinţele predate . În clasa a zecea (poate că între timp lecţia respectivă a fost mutată la o altă clasă) , la algebră, capitolul de spre permutări, aran­ ente şi combinări a n obiecte în grupe de câte k obiecte, se arată că numărul combinaţiilor care se pot face cu n obiecte în grupe de câte k obiecte , k e'vident mai mic decât n , se obţine împărţind facto­ rialul lui n la produsul dintre factorialul lui k şi factorialul lui n k. Amin tim că prin factorialul -'\,lpui număr natural p se înţelege produsul tuturor ,Qllmerelor de la 1 la p. De exemplu, factorialul lui 3 e.ste produsul dintre 1 , 2 şi 3 . Revenind acum la problema loteriei, observăm că ,,6 din 49" se plasea­ zţL în cazul particular n 49, k 6, deci j ocul com­ P9rtă un număr de variante egal cu numărul tuturor combinaţiilor de câte 6 obiecte care se pot f'!l:ce cu 49 de obiecte. În cazul no stru , cele 49 de obiecte sunt numerele de la 1 la 49. Rezultă că nu­ �ărul combinaţiilor posibile la "loto 6 din 49" se ,obţine împărţind factorialul lui 49 la produsul din­ trţ, factorialul lui 6 şi factorialul lui 49 6 43 . Un · c�1cul simplu conduce la rezultatul de 1 3 . 9 83 . 8 1 6, dec i aproape 14 milioane .

Jam

=

=

PRAGUL DE 49 TREBUIE COB ORÂ T "

JUCĂTORII LA ,, 6 DIN 49 " AU NEVOIE DE PROTECŢIA STATULUI

=

-

Aceasta este şansa reală de câştig la 6 din 49: Cu alte cuvinte, într-o medie că sunt jucate 13 milioane de �yariante , e normal să ne aşteptăm ca una dintre

��ri.u la 1 4 milioane. �;;�!'âtistică, in ipoteza

variante să fie câştigătoare , dar desigur nu se poate garanta ace st lucru , după cum este posibil să fie nimerită varianta câştigătoare atunci când numărul de variante jucate e ste mult mai mic decât 14 mi­ lioane . Aceasta este diferenţa dintre adevărul stati s­ tic şi cel determinist. Dar câte variante sunt jucate la o extragere 6 din 49? Până acum , numărul variantelor j ucate a fost de aproximativ o treime din totalul de 14 mi­ lioane al variantelor posibile. La ultima extragere s-au înregistrat peste cinci milioane de variante jucate , deci mai mylt de o treime, dar mult mai pu­ ţin de j umătat�- ---di n numărul variantelor posibile. Nu este clar dacă statisticile comunicate se referă la suma variantelor de pe toate buletinele jucătorilor, independent de faptul că unele variante se pot repe­ ta pe mai multe buletine, sau s-a ţinut seama de repetiţii şi fiecare variantă a fost numărată numai la prima ei apariţie . În aceste condiţii, apare perfect natural faptul că la cele mai multe extrageri nu este nimerită combinaţia câştigătoare . Fenomenul nu este scandalos, cum li s-a părut celor de la un anu­ mit post de televiziune, ci perfect previzibil; am pu­ tea spune că fenomenul a fost planificat prin modul de organizare a acestei loterii. Aşa cum am specifi­ cat într-un paragraf anterior, în statul Virginia din S. U .A. cetăţeanul are de ales nu 6 din cele 49 de numere de la 1 la 4 9 , ci 6 din numerele de la 1 la 44. Calculul arată că americanul are o şansă de câştig de 1 la 7 milioane; românul, numai una de 1 la 1 4 milioane. Cred că se impune o reconsiderare a pragului de 49 , el ar trebui coborât, pentru a apro­ pia numărul de variante jucate de numărul de vari­ ante posibile. Am avea astfel aproape în fiecare saptămână un câştigător al premiului cel mare. Nu cred că numărul jucătorilor ar scădea in acest fel, dar şi în această privinţă o anumită educaţie a pu­ blicului este necesară.

La alcool şi la tutun s-a introdus de multă vre ­ me semnalizarea riscului pe care ele le comportă. Recent, apare mereu semnalizarea caracterului nociv al abuzului de sare, zahăr şi grăsimi. Jocul la ,,6 din 49" intră şi el în această categorie. Aparţinem lui "homo ludens" , plăcerea j ocului este profund uma­ nă, dar este nedrept să se profite de ignoranţa jucă­ torilor, ascunzându-le şansele reale de câştig. De aceea cred că pe orice buletin de j oc şi pe orice anunţ publicitar privind " loto 6 din 49" ar trebui ca jucătorul să fie avertizat că toate combinaţiile au aceeaşi şansă de câştig şi că această şansă este de 1 la 1 4 milioane. Acelaşi avertisment ar trebui să apară pe ecranul televizorului la orice informaţie sau anunţ publicitar privind "loto 6 din 49" , după cum pre sa şi radioul ar trebui şi ele să se supună acestor cerinţe .

403

in România, ideea posibilităţii de a dobândi o stare mai bună prin propriul tău efort, prin inteli­ genţa profesională şi prin competiţie onestă este încă departe de a fi populară; în schimb , este popu­ lară credinţa că dobândirea unei stări superioare ar fi o chestiune de noroc şi, deci, că trebuie să ne încercăm norocul pe toate căile . Jocul superior, pe care-l comportă orice activitate creatoare, este , din păcate , privilegiul unei minorităţi. Ş coala încă eşu­ ează in a se prevala de dimensiunea ludică într-un mod esenţial, transfonnând astfel învăţarea în plă­ cere . Î n aceste condiţii, prin compensare, mulţi oameni îşi satisfac nevoile ludice în moduri elemen­ tare, aculturale , aici intrând multe dintre " distrac­ ţiile " întâlnite la tot pasul. Loteria se plasează în acest cadru. Dar aşa cum îi protej ăm pe copii , pen ­ tru a nu deveni victime ale naivităţii lor, nu este cazul să-i protej ăm şi pe adulţi, în măsura în care ei, din diverse motive, cad victime ale propriei lor igno­ ranţe? Ce caută în România, o ţară în care fenome­ nul sărăciei este încă unul de masă, un câştig la "loto 6 din 49" de milioane de euro? Nu este inde­ cent? Nu ar fi mai bine ca el să fie înlocuit cu mai multe câştiguri de cel mult ordinul a două, trei sute de mii? Ştim de ce s-a ales varianta cu milioane: un premiu de milioane de euro atrage un număr mult mai mare de jucători, deci un profit mai mare pen­ tru organizatorii loteriei. Sponsorizăm cu ei acţiuni umanitare şi culturale , spun ei; dar nu cumva pre­ ţul plătit pentru aceste sponsorizări este stimularea îndobitocirii unor mase de oameni, în locul educării lor? Nu cumva pierderea, la nivel naţional, este in­ comparabil mai mare decât câştigul realizat (chiar dacă din el se fac şi sponsorizări)?

SIMPTOME DE INCULTURĂ MATEMATICĂ ŞI NU NUMAI Notă adăugată la 24 august 2007 Textul de mai sus a fost scris la o zi după participarea la emi­ siunea lui Mihai Tatulici " Potul cel mare " de apro­ ximativ zece milioane şi s-a specificat că "potrivit conducerii Loteriei Române , şansa de câştig este de 1 la 14 milioane " Să fim mulţumiţi că măcar una dintre cererile noastre a fost satisfacută? Da şi nu. Anunţul de la " Realitatea TV" îmi aduce aminte de acel caporal care îi informează pe soldaţi că în ziua cutare la ora cutare va avea loc o eclipsă de soare şi

404

că "în caz de ploaie, e clipsa va avea loc în magazie " Corect era să se spună, fără nicio legătură cu con­ ducerea Loteriei Române : "Aşa cum rezultă dintr-un calcul elementar, şansa de câştig la "6 din 49" este de 1 la 14 milioane " La Jurnalul de la orele 1 4 , din aceeaşi zi , de la postul "TVR 1" s-a anunţat de ase­ menea premiul de aproximativ zece milioane de la ,,6 din 49" de la 26 august 2007 , nu s-a folosit ex­ " presia nefericită de la " Realitatea TV , dar specifica­ rea " şansa de câştig este de 1 la 14 milioane " a fost făcută (ca şi la " Realitatea TV ") pe marginea unei declaraţii a conducerii Loteriei Române, dându- se impresia că de la această conducere află publicul care este şansa de câştig, ea, conducerea, are com­ petenţa de a ne lumina în această privinţă şi nu manualul şcolar, cu lecţia re spectivă despre combi­ nări de obiecte. Notă adăugată la 25 august 2007. La " Realita­ " tea TV , in cadrul Ştirilor de la orele 6:00 a.m. , s - a afirmat că, " potrivit specialiştilor, şansele de câştig sunt de 1 la 1 4 milioane" Iarăşi o neînţelegere; tre­ buie să fii specialist pentru a-ţi aminti ce-ai învăţat la liceu? Loteria scoate la iveală, în felul ei, eşecul învăţământului românesc. Iarăşi publicitate în ca­ drul Ştirilor: " Milioane de români sunt atraşi de " miraj ul celor 10 milioane de euro Acelaşi accent şi la Ştirile de la orele 1 2 de pe canalul " N 24" , unde se mai atrage atenţia că suma de 1 0 milioane de euro nu e totuşi prea mare dacă o comparăm cu câştigul posibil la loterie în Statele Unite. Toate tele­ viziunile speculează efectul psihologic al sumei de 1 0 milioane, pentru a-i determina pe oameni s ă j oace la ,,6 din 49" Este aceasta o simplă ştire? De la o altă emisiune , aflăm că Loteria Naţională a cheltuit în anii 200 1 -2006 suma de 46 de miliarde de lei vechi pentru contracte de publicitate secrete . O explicaţie , poate, a zelului mass-mediei în mobili­ zarea publicului pentru loterie . La I stanbul, se joacă ,, 6 din 44", în oraşul ca­ nadian Victoria se j oacă ,,6 din 49", dar primesc premii substanţiale şi cei care au nimerit 5 sau 4 din numerele câştigătoare, iar celor care au ghicit trei dintre ele li se restituie costul lozului. La Roma se j oacă ,,6 din 90", dar, ca şi în Canada, primesc premii consistente şi cei care au jucat cinci sau patru dintre numerele câştigătoare. in toate locurile menţionate, costul unui loz este mai mic decât în România: jumătate de euro l a Roma, un euro la Istanbul etc.

CAPITOLUL III JOCURI, RAŢIONALITATE, STRATEGIE

MIZA CULTURALĂ A JOCURILOR DE STRATEGIE Teoria jocurilor de strategie este fructul colabo­ rării dintre un matematician de geniu, John von Neumann, şi un economist excepţional, Oskar Morgenstern. Cartea lor din 1 944 apare la cinci ani după prima lor întâlnire şi la patru ani după ce au început să colaboreze. Dar mult timp înainte de aceasta, fiecare dintre ei a reflectat îndelung asupra problemelor care aveau să-i aducă alături , după cum şi alţi gă.nditori au tatonat problemele de gân­ dire strategică în j ocuri. Despre toată această istorie ne propunem să discutăm în cele ce urmează. Teo­ ria matematică a j ocurilor a făcut obiectul multor prezentări, s-a acumulat în acest domeniu o litera­ tură vastă. În particular, în limba română s-au pu­ blicat mai multe sinteze, dintre care menţionăm: O. Onicescu, Strategia jocurilor, cu aplicaţii la progra­ marea liniară, Bucureşti: Ed. Academiei, 1 9 6 1 , 197 1 ; G . Ciucu, M . Iosifescu, Teoria jo cu rilor, Bucu­ I:yşti: Ed. Tehnică, 1 965; S. Guiaşu, M . Maliţa, Triade, Bucureşti: Ed . Ştiinţifică, 1 973 . Din limba engleză, s-a tradus cartea din 1 9 68 a lui G. Owen , Game theory, la Ed . Tehnică, în 1 974 . Nu mai menţionăm pe cele mai recente . Devenind obiect de predare în universităţi, teoria j ocurilor a intrat inevitabil în pro­ cesul de standardizare didactică, mai cu seamă că această disciplină nu se predă numai la facultăţile qe matematică, ci şi la cele economice sau ingine­ reşti. Dar, cum se întâmplă în astfel de situaţii, procesul didactic reţine aproape exclusiv partea s"intactică, formalismul de rigoare şi procedeele de " hâză, uneori cu o rigoare şi la un nivel de generalit�te şi de abstracţie care nu mai lasă să se vadă c;ideile şi motivaţiile , contextul istoric şi cultural care , explică dezvoltarea teoriei respective. Tocmai aceas­ �tă lacună dorim s-o înlăturăm în cele ce urmează. Născută din studiul problemelor de strategie economică şi militară, dar şi din curiozitatea de a '",';înţelege mai bine diferite tipuri de j ocuri, de la şah ;' !a poker, teoria jocurilor de strategie şi-a demon-

,.'

strat relevanţa în c ele mai variate domenii, de la biologie la literatură şi de la lingvistică şi teatru la studiul Vechiului Testament. Pariul pe care ea l-a lansat întrece în îndrăzneală intenţia iniţială a crea­ torilor ei. Anvergura culturală a acestei teorii cu greu poate fi supraestimată. Iată motive destule pentru a-i acorda atenţie . Dar nu ne-am fi putut aţ1gaj a intr-un itinerar atât de pretenţios, geneza şi evoluţia ideilor care au condu s la dezvoltarea teoriei jocurilor de strategie , dacă nu am fi beneficiat de o apariţie recentă dedicată acestei întreprinderi. Istoria teoriei j ocurilor este în bună măsură is­ toria promovării raţionalităţii într-un domeniu care părea să se sustragă puterilor raţiunii, fiind mai degrabă dominat de factori empirici, psihologici şi aleatori. Eliberarea de variabile empirice şi mentale a caracterizat, în secolul al XX-lea, nu numai dez­ voltarea economiei, ci şi dezvoltarea altor discipline , cum ar fi lingvistica. De fapt, în ambele cazuri, pro­ cesul a început încă din secolul al XIX-lea, când studiul economiei a beneficiat considerabil de me­ tabolismul ei cu mecanica şi cu fizica, de exemplu; dar nu vom insista aici asupra perioadei mai vechi, ci vom porni de la o perioadă mai recentă.

DE LA ECONOMIA INTERBELICĂ LA TEORIA MODERNĂ A JOCURILOR Prezentarea din acest capţtol va urma îndea­ proape studiul lui Nicola Giocoli, "Modelling rational agents. From interwar economics to early modern game theory " (Edward Elgar, Cheltenham, UK; Northampton, MA, USA, 2003) , pe care am primit-o în urmă cu doi ani pentru recenzare în revista "Zentralblatt fur Mathematik" O lectură critică a acestei lucrări mi se pare deosebit de instructivă. Cartea discută evoluţia noţiunii de raţionalitate în economia neoclasică din secolul al XX-lea, compa­ rând-o cu formularea aceleiaşi noţiuni de către principalii autori ai teoriei moderne a jocurilor, John von Neumann, Oskar Morgenstern şi John 405

Nash, acesta din urmă laureat Nobel pentru ştiinţe economice. Una dintre principalele idei ale lui Giocoli , în această carte , este aceea ca atât aborda­ rea economică a raţionalităţii, cât şi abordarea ei prin teoria j ocurilor îşi au sursa în profundele ino­ vaţii metodologice apărute la inceputul secolului al XX-lea prin noua versiune a formalismului, pro­ pusă de David Hilbert (bănuim că Giocoli are in vedere atât formalismul din geometrie cât şi cel din logică; Hilbert a produs o mutaţie atât în înţelegerea ideii de axiomatizare cât şi în înţelegerea ideii de demonstraţie) şi apoi prin pozitivismul logic al Cer­ cului din Viena. Dar cele două abordări menţionate au eşuat multă vreme în a face joncţiunea, care se produce abia în deceniul al optulea al secolului tre­ cut. Până atunci, economia era dominată de repre­ zentarea ei ca un sistem de forţe; principalul scop era analiza proceselor economice generate de forţe ale pieţei şi de forţe din afara pieţei, incluzându-se aici şi procesele care conduc sistemul la o stare de echilibru. În anii '70 ai secolului trecut se produce o schimbare majoră; tendinţa dominantă devine aceea a reprezentării economiei ca un sistem de relaţii; principalul ei obiect este investigarea existenţei şi proprietăţilor echilibrelor economice, în termeni de validare şi consistenţă mutuală a unor condiţii date de natura formală, dar prea puţin relevante în ceea ce priveşte semnificaţia acestor echilibre pentru analiza unor sisteme economice reale . Această trecere de la forţe la relaţii este discutată pentru prima oară de M. Dardi (Piero Sraffa ( 1 898- 1 983) , Quaderni di Storia dell'Economia Politica 3 , 1983, 3- 1 4) . Pentru cei care cunosc istoria culturii în seco­ lul al XX-lea, mutaţi a pe care Giocoli o 10calizează în deceniul al VII I-lea al secolului trecut nu este străi­ nă de evoluţia structuralism ului, care a cunoscut perioada sa de glorie în anii '60, cu con secinţe şi în anii '70; atât în ştiinţele umane (lingvistica, prin Ferdinand de Saussure ; psihologia, prin teoria Ges­ taltistă; antropologia, prin Claude Levi-Strauss) , cât şi în matematică (şcoala germană de algebră din primele decenii ale secolului trecut, apariţia topolo­ giei, grupul Bourbaki) , cuvântul-cheie devine "rela­ ţia" Era greu ca ştiinţele economice să se sustragă acestui curent.

DouĂ MODURI DE A VEDEA ŞTIINŢELE ECONOMICE Economia a întreţinut un puternic metabolism cu matematica şi cu fizica încă în secolul al XIX-lea, dar acest metabolism privea cu precădere aspectele cantitative ale matematicii şi fizicii, mai puţin pe cele structurale, calitative. Din distincţia sistem de forţe (SDF)-sistem de relaţii (SDR) rezultă alte distincţii importante. Care sunt problemele cele mai urgente ale economiei?

406

În viziunea SDF, ar fi: să se explice cum şi de ce -se obţine un anumit echilibru ; în viziunea SDR, problema este de a se demonstra existenţa unui echilibru, chiar dacă nu este vorba de un echilibru în sensul empiric al cuvântului, ci de unul posibil, necontradictoriu logi co-matematic (T. W . Hutchison , On the methodology of economics and the forma­ list revolution. Edward Eigar, Cheltenham, UK; Northampton, MA, USA, 2000, p. 19). În ce constă relevanţa unui argument? În viziunea SDF, orice explicaţie a unui fenomen economic trebuie să se raporteze explicit la influenţa exercitată de forţele pieţei şi la cele din afara pieţei; în viziunea SDR, exigenţa de bază se referă la rigoarea logică a argu­ mentului şi la economia ipotezelor. Care este cea mai eficientă tehnică în rezolvarea unei probleme economice? În viziunea SDF, accentul cade pe ma­ tematica folosită în mecanică şi în fizică, bazată aproape exclusiv pe cantitate şi pe calcule, pe anali­ ză şi pe ecuaţii diferenţiale; in viziunea SDR, accen­ tul cade pe matematici calitative, de la topologie la consistenţa logică. Cum ar trebui să arate un curri ­ culum universitar pentru economişti? În viziunea SDF, orientarea ar fi dată de fizi ca teoretică, în timp ce în viziunea SDR rolul principal ar reveni mate­ mat-i cii. La acest ultim punct, răspunsul lui Giocoli pare , cel puţin la prima vedere, mai puţin convingă­ tor; fizica teoretică este atât de bogată în matematică, încât este nefericită ideea de a o opune matematicii. Dar lucrurile se clarifică pe parcurs , atunci când se explică o diferenţă de strategie între cele două do­ menii. Atitudinea tipică a matematicianului este aceea de a descompune domeniul său de investiga­ ţie în subdomenii, fiecare cercetător având repartizat unul sau două subdomenii , dar niciunul neavând acces la toate. În fizica toretică are loc o situaţie duală, obiectul investigat fiind foarte concentrat, ca urmare a naturii obiective a problemelor sale des­ chise . O diferenţă similară poate fi observată in economie . Viziunea SDF favorizează concentrarea eforturilor de cercetare asupra câtorva che stiuni esenţiale, cum ar fi valoarea, distribuţia, producţia, consumul - care compun forţele economice. În con­ cepţia SDR, cercetătorul are o libertate mai mare de a-şi aplica uneltele la o serie de probleme dintre cele mai eterogene. Giocoli propune ca exemplu de abor­ dare SDF în economie pe John von Neumann (cu a sa teorie a j ocurilor) , "membru al şcolii formaliste de matematică de la Gottingen" , iar ca exemplu de abor­ dare SDR în economie , pe Gerard Debreu (laureat Nobel in economie) , de orientare bourbakistă. S ă amintim că Debreu a contribuit esential la dezvolta­ rea aşa-numitei " non standard exch�nge economy" , economia de schimb văzută cu ochelarii analizei non standard a lui Abraham Robin son . Ideea de bază este aici aceea de a se studia comportamentul economiei de piaţă atunci când numărul participan­ ţilor la economia re spectivă creşte la infinit.

ELIBERAREA ŞTIINŢELOR ECONOMICE DE FACTORII PSIHOLOGICI

ŞI DE ILUZIA PREDICŢIEI În cadrul astfel creat, Giocoli formulează ideile sa­ le de bază: istoria noţiunii neoclasice de raţionalitate în secolul al XX-lea este aceea a unei înlocuiri pro­ gre sive a viziunii tradiţionale a maximizării cu o viziune in care problema principală este acea a con­ sistenţei (adică a necontradicţiei) ; acest proces a culminat cu teoria modernă a deciziei, deci cu re­ prezentarea agenţilor economici ca factori perfecţi de decizie în sensul lui Bayes , care încă domină micro economia contemporană. Se prepară astfel ca­ lea spre o situaţie în care economi ştii neoclasici sunt pregăţi să accepte echilibrul Nash ca realizare a unui comportament raţional. Istoria raţionalităţii în secolul al XX-lea începe cu eforturile de eliberare de două subordonări : sub­ ordonarea faţă de psihologie (aşa- numitele variabile mentale, de tipul dorinţelor, şi proce sele psihice cum ar fi introspecţia) şi subordonarea faţă de iluzia unei posibilităţi perfecte de previziune . La eliberarea economiei de implicarea factorilor psihologici au contribuit cercetători ca 1 . Fisher, V. Pareto, L.J. Savage şi G. Debreu. Dezbaterea în j urul previziunii a beneficiat de contribuţiile unor F.A. Hayek, E . Lindahl, G. Myrdal, O. Morgenstern şi J . R. Hicks şi a avut drept rezultat defmirea echilibrului ca o situa­ ţie de consistenţă mutuală a planurilor intertempo­ rale ale agenţilor şi ideea că partea pozitivă a teoriei economice ar putea fi obţinută numai prin studiul procesului care conduce la starea de echilibru. Trecând la discutarea teoriei matematice a jocurilor, Giocoli constată eşecul ei, în primă fa­ ză (cartea din 1 944 a lui Von Neumann şi Morgenstern, pe care o vom abrevia prin vN / M) , în ceea ce priveşte acceptarea ei de către comunitatea economică. Mai precis , eşecul se referă la încercarea autorilor de a acredita ideea că scopul principal al noii teorii a jocurilor este acela de a se studia com­ portamentul raţional în condiţii de interdependenţă strategică. Cei mai mulţi autori nu au văzut în noua teorie decât un ansamblu de unelte analitice, cum ar fi analiza convexă, hiperplanurile , teoremele de punct fix etc. care-şi pot găsi aplicaţii în anumite probleme economice, dar altele decât cele de strate­ gie. În acest fel, abordarea vN / M a contribuit la emergenţa SDR, dar numai sub aspect tehnic, nu şi conceptual, crede Giocoli, care , cum am văzut, îl pl aseaza pe von Neumann sub umbrela SDF. În ��iza cărţii din 1 944 a lui von Neumann şi Mbrgenstern, accentul cade pe reprezentarea ratio­ nalităţii prin strategia minimax. Un comportam �nt :aţional al jucătorilor îi conduce pe aceştia la alegeri � ndependente de starea psihică în care ei se află şi tnde pendente de modul în care ei îşi reprezintă sta­ re a p sihică a partenerilor. Trecând apoi la teoria lui Nash, accentul este pus pe interpretarea echilibru-

lui Nash ca expresie a unui comportament rational în orice joc necoope rativ. Nash a oferit două inter­ pretări ale ideii de echilibru , dar ulterior a optat pentru definiţia statică, de punct fix, a echilibrului, definiţie care totuşi nu explică în ce fel şi de ce sunt alese strategiile de ec hilibru.

PUNCTUL DE VEDERE AL LUI VON N EUMANN ŞI MORGENSTERN Giocoli începe discuţia acestui punct de vedere cu un citat semnific ativ din ltalo Calvino (în tradu­ cere englezească, "If on a winter's night, a traveller" New York: Harcourt Brace, 1 982 , ch. 1 ) : "Lucrul cel mai bun pe care-l poţi aştepta este să-I eviţi pe cel mai rău" Aproape că a fost prinsă în această reflec­ ţie esenţa strategiei în jo curi , preconizată în "Theory of games and economic behavior" (TGEB) . Compor­ tamentul raţional este aici rezultatul, nu premisa analizei lui vN / M . Într-o situaţie de interdependenţă strategică, rezultatul acţiunii unui agent nu depinde numai de acţiunea respectivă şi de unul sau mai multe evenimente externe independente de vointa agentului , ci şi de acţiunile prealabile ale altui s �u altor factori de decizie . Teoria jocurilor urmăreşte reprezentarea matematică a acestor situatii tinând ' seama de motivaţiile agenţilor, de alegerile ( ;tr�tegii­ le) în faţa cărora ei se află şi de informatia de care ei disp'!n atunci când trebuie să facă o al � gere. In economia neoclasică, rationalitatea revenea ' la maximizarea impusă. În contr ast cu ea, raţionali­ tatea strategică din TG EB , condiţionată de relatia de interdependenţă dintre j ucători, face imposibilă identificarea unei mulţimi determinate de constrân­ geri care să asigure maximizarea câştigurilor jucă­ torilor. Ne aflăm în faţa unei regresii potenţial infinite de procese de intenţie, de conjecturi de tipul " Cred că el crede că eu cred că . . . ", inevitabile în situaţiile de j oc strategic. Depăşirea acestui impas psihologic se realizează în TGEB prin principiul minimax, care include nu numai jocurile de sumă nulă cu doi parteneri, ci şi jocurile mai generale, cu n parteneri . Pe această cale, ceea ce decide unul dintre jucători nu mai depinde de deciziile celorlalţi j ucători. Are astfel loc o reconciliere între eliberarea de psihologie şi abandonarea ideii unei posibile pre­ dicţii perfecte ; se obţine, în acelaşi timp, o explicaţie a naturii echilibrului economic obtinut. TGEB îi apare lui Giocoli ca o combinaţie de �iziune S DF, în ceea ce priveşte caracterizarea raţionalităţii strategi­ ce, şi de înţelegere SDR, în ceea ce priveşte descrie­ rea formală a structurii de j oc. Această posibilitate de caracterizare normativă a comportamentului strategic raţional este rezultatul extinderii la domeniul social a unor schimbări ma­ jore care s-au produs în ştiinţă în prima parte a secolului trecut. Să încercăm să mergem pe urmele lor. 407

DE LA ZERMELO LA VON NEUMANN În 1 9 1 3 , Ernst Zermelo publică (în "Proceedings of the Fifth International Congre ss of Mathema­ ticians", Cambridge Univ. Press, II, 50 1 -504) o teo­ remă din care rezultă că orice joc finit cu informaţie perfectă, cum este , de exemplu , şahul, admite o soluţie unică. Zermelo arată că orice poziţie în joc poate fi evaluată, cel puţin în principiu, drept una câştigătoare , perdantă sau neutră şi, dacă este posi­ bil, în termeni de număr de mişcări necesare pentru a forţa câştigul sau remiza . Era un pas important spre eliminarea factorului psihologic dintr-un joc cum este şahul. Nu este întâmplător că acest rezul­ tat venea de la un matematician format la şcoala formalismului preconizat de David Hilbert; Zermelo a predat timp de 1 1 ani la G6ttingen, dominat de personalitatea lui Hilbert, pentru care matematica era un joc combinatoriu cu simboluri eliberate de orice semnificaţie . John von Neumann s-a încadrat şi el în curentul formalist hilbertian. Dacă Zermelo poate fi considerat drept iniţiatorul introducerii gândirii formale în ştiinţele sociale , von Neumann este cel care inaugurează teoria modernă a j ocuri­ lor, printr-un articol din anul 1928, republicat în 1 959 : "On the theory of games of strategy" , în D. Luce, A.W. Tucker (eds . ) , Contributions to the theo­ ry of game s, voI. IV, Princeton Univ . press, 1 3-42 . În acest articol, impregnat de gândire formalistă hil­ bertiană, se propune prima demonstraţie a teoremei minimax şi, implicit, se elimină variabilele mentale din analiza unui comportament strategic. ° situaţie este considerată strategică atunci când implică pre­ zenţa a doi sau mai mulţi factori de decizie auto­ nomi, deci în care rţzultatul, pentru oricare agent participant, depinde nu numai de propriile sale ac­ ţiuni, ci şi de acţiunile celorlalţi agenţi . Fiecare agent caută să obţină un rezultat cât mai avantajos posibil. În această privinţă, ideea de strategie apare ca un plan de acţiune în care fiecare agent poate determina de la început cum anume va răspunde la diferitele situaţii care pot să apară de- a lungul j ocu­ lui . Analiza este limitată la jocuri de sumă nulă, deci la situaţii strategice în care există un conflict total de interese între agenţii participanţi: ceea ce câştigă unii dintre ei este exact ceea ce pierd cei­ lalţi.

ANUL 1937: UN MOMENT DE COTITURĂ PENTRU JOCURILE DE STRATEGIE În 1 932 , von Neumann conduce un seminar la Princeton Univ. ; ideile prezentate acolo sunt publi­ cate în germană în 1 937 şi republicate în engleză în " " A model of general economic equilibrium , în W.J. Baumot, S.M. Goldfild (eds.) Precursors in Mathe­ matical Economics: an Anthology, LSE, London, 1 945-46 , then in 1 9 68, 2 9 6-306. E . R. Weintraub 408

(General Equilibrium Analysis, Cambridge Univ. Press, 1 985, 74) consideră acest articol drept cel mai important care s-a scris vreodată în economia matematică. Pentru prima oară sunt aplicate aici în economie ideile de dualitate, de convexitate şi de punct fix; pentru prima oară se prezintă un model formal de producţie şi de creştere echilibrată; tot aici se prezintă una dintre primele demonstraţii de existenţă a unui echilibru economic general. Având de demonstrat existenţa soluţiei unui sistem de ecuaţii economice , von Neumann se orien­ tează spre o cale pe care sistemul economic se extin­ de fără a- şi modifica structura, ceea ce corespunde la ceea ce mai târziu se va numi " a balanced growth equilibrium" şi în cadrul căruia trebuie rezolvat un sistem de inegalităţi liniare. Într-o primă etapă, problema este tran sformată într-una de minimax, pentru ca într-o a doua etapă să se treacă la o pro­ blemă de punct f1X . Este mai întâi generalizată teo­ rema de punct f1X a lui L.E.J . Brouwer: ° funcţie continuă care aplică o mulţime compactă şi convexă în ea însăşi admite cel puţin un punct fix; van Neumann o extinde la funcţii superior semi-con­ tinue şi cu aj utorul ei obţine existenţa unui punct fix pentru o aplicaţie formal echivalentă cu sistemul de inegalităţi care de scriu starea de echilibru gene­ ral. Întregul demers este pur formal şi se prevalează de două ori de demonstraţii neconstructive (prin reducere la absurd) . Articolul din 1 937 apare într-un moment în ca­ re , sub presiunea prestigiului lui Hilbert, metoda axiomatică îşi făcea loc în domeniul economiei. În acest sens pleda şi Colocviul de matematică organi­ zat de Karl Menger în acei ani şi cartea acestuia din 1 934, "Moral , Will und Weltgestaltung". Logica şi topologia se impuneau tot mai mult. Modelele eco­ nomice nu mai puteau fi concepute ca simple in­ strumente de calcul al valorilor unor necunoscute, ele aspirau acum să fie structuri formale asupra cărora se puteau formula întrebări de natură calita­ tivă. ° atare structură formală era pentru economie modelul echilibrului general; demonstrarea existen­ ţei acestui echilibru era principala problemă. Artico­ lul din 1 937 este exemplar din acest punct de vedere, el înlocuieşte soluţia algebrică standard, constând în aplicarea procedeului iterativ al lui L.Walras, cu o abordare topologică. Dar în acelaşi timp aici se manifestă şi limita gândirii lui van Neumann din 1 93 7 : modelul preconizat nu produ­ cea şi un algoritm de obţinere a soluţiei de echili­ bru. Unui model economic i se cerea să descrie un sistem economic real şi să explice cum şi de ce sis­ temul ajunge într-o stare de echilibru. Econo mia interbelică nu a putut răspunde la aceste exigenţe . Articolul din 1 9 37 indică distanţa care separa atunci mentalitatea SDR de cerinţele manifestate faţă de un model economic. Dar tot von Neumann avea să fie ulterior cel care obţinea o soluţie con­ structivă pentru comportamentul strategic raţional,

[n mod specific , pentru criteriul minim ax şi, impli­ dt, pentru imaginea SDF a economiei .

dovedit şi ele măcinate de conflicte (Solomon Marcus , The conflictual aspect of Grice's cooperati­ ve principle, în "Paul Grice's Heritage " , ed. Giovanna Cosenza, Brepols, 23 5- 246) .

TRAIECTORIA LUI OSKAR MORGENSTERN Venind din direcţie economică, Morgenstern s-a aflat în polemică activă cu economia neoclasică a lui J . R. Hicks, F.A. Hayek, J.M. Keynes şi P.A. Samuelson . Din păcate , el nu dispunea de instru­ mentele analitice care să-i permită să treacă de la critică la construcţie, de aceea s-a plasat mereu în raza de influenţă a câte unui matematician care s-a numit mai întâi Karl Menger, apoi John von Neumann. Cartea din 1934 a lui Menger , prima încercare de aplicare a logicii formale la construirea unei teorii sociale, l-a influenţat profund pe Morgenstern , care plănuia să dezvolte , în colaborare cu maestrul său , o axiomatizare a teoriei economi­ ce. o expresie a influenţei logicii lui Menger este articolul din 1936 al lui Morgenstern "Logistics and Ultimul articol scris de the social sciences" ry10rgenstern înainte de apariţia cărţii TGEB este unul rămas în manuscris "Implicaţii cantitative ale maximelor comportamentului " ( 1 94 1 ) . Influenţa lui von Neumann (pe care-l cunoscuse în 1 9 3 9 şi cu care începuse să colaboreze în 1 940) este aici vizibi­ Iii. Sunt introduse două feluri de maxime : nerestric­ tive (a căror aplicare nu depinde de acţiunea altor agenţi) şi restrictive (care se aplică în măsura în care şi alţi agenţi le aplică) . Fiecare agent trebuie să decidă ce maxime va aplica. Se presupune că gradul de raţionalitate al agenţilor este variabil. Problema principală este pentru Morgenstern compatibilitatea planurilor diferiţilor agenţi; la ea se adaugă proble­ ma coexistenţei diferitelor maxime . Este vizibilă şi aici influenţa gândirii lui Menger, care considera şi el, în cartea sa din 1 9 34, diferite maxime ale com­ portamentului şi se referea explicit la maximele nerestrictive . O reconsiderare a acestor maxime ar fi oportună, în condiţiile în care azi se ştie ceea ce se ştia mai puţin la acel moment , că de multe ori condiţii care, luate fiecare în parte, sunt perfe ct acceptabile, devin imposibile atunci când trebuie satisfăcute simultan. Să nu uităm că chiar în do­ ţheniul socio-economic cunoaştem teorema de im­ posibilitate a agregării unor opţiuni individuale jntr-o opţiune colectivă , a lui K. Arrow ( Social " c�hoice and individual values " second edition, New c York, Wiley, 1 9 63; a se vedea şi cartea noastră, "Pa­ radoxul" , Ed. Albatros, Bucureşti , 1 984 , pp . 39-44 , Ehde prezentarea ideilor lui Arrow este urmată de â:ceea a unor cercetări ulterioare , privind modul în ' C:Sire paradoxul lui Arrow dispare atunci când logica cg'inară este înlocuită cu o anumită logică ne clasică) . -lJlterior, maximele lui Paul Grice privind un princi­ �iu de cooperare care guvernează conversaţiile (H . P. GIice, "Logic and conversation " , în P. Cole & J. M.0rgan (eds. ) , Syntax and Semantics, vol.3 , Indirect Speech Acts, New York: Academic Pre ss, 1 975) s-au

CARACTERUL CIRCULAR AL PREDICŢIEI ECON OMICE În 1 9 3 4 , Morgenstern publică în limba germană o carte republicată în engleză în 1937: "The limits of economics " (London: Hodge) . Adresată unei audiente mai largi, cartea este o pledoarie pentru folosir � a matematicii în economie . În ceea ce ne priveşte, ne-a reţinut atenţia în mod special modul în care Morgenstern sesizează caracterul circular al previ­ ziunii economice. Preocupat de relaţia dintre teorie şi politică în economie , el acordă un rol deosebit planurilor şi aşteptărilor, accentuând faptul că des­ făşurarea ulterioară a evenimentelor economice este în bună măsură rezultatul aşteptărilor agenţilor economici. Pe de altă parte, anticipările individuale sunt mutual interdependente . Câteva decenii mai târziu , observaţii de acest fel aveau să devină frec­ vente ; vom menţiona în această ordine de idei pe D . N . McCloskey ("An economic uncertainty princi­ ple" , Scientific American, 1 994, p. 1 07) , care argu­ mentează că nu putem înţelege un fapt social şi, în acelaşi timp, să facem bani din el, căci dacă am putea, atunci piaţa se va modifica în aşa fel încât să invalideze înţelegerea iniţială; McCloskey se referă la statistica economică, altădată folosită pentru a prezice o rece siune , de exemplu, azi folosită pentru a prevedea momentul în care guvernul va opera modificări în politica sa, cu scopul de a evita o rece­ siune . Morgenstern îl critică pe Keynes pentru mo­ dul vag in care abordează problemele de acest fel; pe ce bază au loc aşteptările şi anticipările, în ce constă interdependenţa lor şi care sunt factorii de care ele depind. Keynes nu propune nicio analiză a acestora. În 1 94 1 , Morgen stern publică o recenzie devas­ tatoare a cărţii lui John Hicks , Value and Capital, apărută chiar în ac el an (Joumal of Political Eco­ nomy, 49 , pp. 3 6 1-393) . Este contestat chiar punc ­ tul central al cărţii, modul în care Hicks pretinde că demonstrează, prin simpla numărare a unor ecuaţii şi necunos cute , existenţa unui echilibru economic general. Prevalându- se de lucrări recente ale lui von Neumann şi Abraham Wald, în care se arată că egalitatea dintre numărul ecuaţiilor şi cel al necu­ noscutelor nu este suficientă pentru a asigura de­ terminarea sistemului economic, Morgenstern îi dă ca exemplu pe cei doi mari matematicieni pentru modul în care economia ar trebui să- şi stabilească noi standarde de rigoare . Dar chiar pe baza ideilor lor existenţa echilibrului econ omic nu este stabilită decât în anumite cazuri particulare, deci problema rămâne deschisă în cazul general. 409

NOUTA TEA METODOLOGICĂ A TEORIEI

DE LA ROBINSON CRUSOE

JOCURILOR DE STRATEGIE

LA ECONOMIA SOCIALĂ

Primul capitol al cărţii TGEB din 1 944 este o sinteză a intregii teorii propuse de vN / M . Aici se prezintă teoria utilităţii aşteptate (theory of expected utility) , contribuţie de mare succes a TGEB la eco­ nomia contemporană; într-un Apendice la ediţia din 1 948 a TGEB se află şi derivarea axiomatică a utili­ tăţii numerice. Se află aici rezultatul final al reflecţi­ ei critice a lui Morgenstern asupra " economiei ortodoxe" , după ce a beneficiat de schimbul de idei cu von Neumann. Nu este vorba numai de un tri­ umf al matematicii formaliste a lui Hilbert-von Neumann şi al celei structuraliste a lui Bourbaki, este şi o manifestare a ascen siunii ferme, încă din prima jumătate a secolului trecut , a matematicii calitative, fără de care cantitativul şi numericul rămân nesemnificative , şi a ascensiunii, pe atunci încă anemice, dar ulterior categorice, a matematicii discrete , care până atunci era dominată de cea con­ tinuă. Matematica aplicată anterior în economie a fost bogată cantitativ, dar nefericită în alegerea in­ strumentelor folosite , de aceea fără prea mare suc­ ces. Probabil că situaţia aceasta a existat şi în alte discipline socio-umane şi pe această bază s-au grăbit unii să pretindă inadecvarea matematicii la disci­ plinele respective. vN/ M răstoarnă această preten­ ţie , iar argumentul lor trebuie luat în considerare şi dincolo de ştiinţele economice. Obiectivul teoretic al TGEB este de a găsi principiile matematice care definesc un comportament raţional al participanţi­ lor la un sistem economic . Optica este redirecţiona­ tă de la comportamentul unui agent individual izolat (ca până atunci) la cel al unei intregi societăţi de indivizi interdependenţi. Apare aici o altă trăsă­ tură esenţială a matematicii , a ştiintei în general, atenţia acordată în primul rând globalului şi nu individualului. Încă grecii antici au afinnat că ştiinţa este a generalului , nu a individualului . În matema­ tică se poate observa uşor că mai toate rezultatele profunde privesc aspecte globale, nu locale, fapt cu deosebire vizibil în domeniul numerelor . De exem­ plu, ştim că aproape toate numerele reale sunt normale în sensul lui Emile Borel (un număr este normal dacă pentru fiecare , in dezvoltarea sa zeci­ mală esenţial infinită fiecare bloc de lungime n are aceeaşi probabilitate de apariţie) , dar despre nume­ re aparent foarte familiare, ca radical din 2, sau pi , sau log 3, nu ştim dacă sunt normale sau nu. Tre­ când acum la economie, în teoria standard raţiona­ litatea este privită la nivelul unui agent individual şi constă în urmărirea realizării unui beneficiu maxim. Dar un agent intră inevitabil în relaţii de schimb cu alţi agenti, deci fiecare agent maximizează o funcţie obiectivă, ale cărei variabile sunt parţial dincolo de controlul agenţilor participanţi .

410

vN / M disting două tipuri de variabile: vii sau moarte . Cele moarte sunt determinate de natur ă, cele vii sunt determinate de interacţiunea altor vari ­ abile şi a voinţei umane (de exemplu, preţurile la piaţă) . Robinson Crusoe , prin faptul că e singur, şi nu într-o economie socială , se află în faţa unor vari­ abile moarte. Dimpotrivă, un participant la o eco­ nomie socială are a face cu variabile vii, acţiunile sale sunt influenţate de aşteptările sale din partea acţiunilor celorlalţi participanţi, după cum aceleaşi acţiuni afectează, la rândul lor , aşteptările celorlalţi. Deci problema lui Robinson Crusoe este prea puţin relevantă pentru o economie socială. vN / M refuză să modeleze variabilele vii aflate sub controlul altor agenţi printr-o mulţime de distribuţii de probabili­ tăţi subiective . Abordarea lor este incompatibilă cu tendinţa de a aduce teoria j ocurilor înapoi în cadrul teoriei Bayesiene a deciziei. Situaţia este pentru ei oarecum opusă: teoria de ciziei este un caz particu­ lar (cazul în care nu avem decât variabile moarte) al teoriei j ocurilor. O altă diferenţă între Robinson Crusoe şi un agent al unei economii sociale apare de îndată ce numărul variabilelor cre şte . O creştere a numărului de date fizice complică doar sub aspect tehnic pro­ blema lui Crusoe. Cre şterea numărului de partici­ panţi într-o economie socială schimbă radical structura interacţiunilor, de aceea TGEB studiază separat cazul j ocurilor cu 2 jucători, cu 3 şi cu mai mult de trei jucători . Se constată că atunci când numărul agenţilor creşte , complexitatea strategică a j ocurilor creşte exponenţial. Noutatea mare apare chiar în trecerea de la 2 la 3 , cu apariţia posibilităţii de formare a coaliţiilor. În continuare, se introduce noţiunea de soluţie, ca mod de a caracteriza comportamentul raţional şi, mai specific, lista principiilor matematice care defi­ nesc comportamentul raţional al unui individ impli­ cat într-un anumit joc (de obicei , soluţia ia forma unor reguli care arată fiecărui participant cum să se comporte în diferite situaţii po sibile . În ultimă in­ stanţă, o soluţie este o strategie . "in diferite situaţii posibile " ; aceasta înseamnă că în strategia unui jucător raţional nu se omite cazul în care alţi jucă­ tori ar putea avea un comportament iraţional. De exemplu, în " Othello" de Shakespeare , rago are, cel puţin uneori , un comportament iraţional, de ca re Othello ar trebui să ţină seama (Pia Teodorescu­ Brînzeu, "A system approach to the theater " , Poeti cs 6 , 1 977, 35 1-374) . Atunci când toţi jucătorii se com­ portă raţional, soluţia se exprimă cu aj utorul no ţiU­ nii de imputare (atribuire) , sub forma unui vec tor ale cărui componente sunt beneficiile individuale , care arată în ce fel a fo st distribuit beneficiul total între j ucători. Atunci când partea care revine fiecă­ rui membru al societăţii va fi perfect determinată,

vom avea o stare absolută de echilibru. În general însă, imputarea nu există totdeauna. O clasă de jocuri la care ea există şi este unic determinată este ac eea a jocurilor de sumă nulă, cu doi parteneri (2P ZSG) . Soluţia este dată în acest caz de strategia minimax, în care fiecare jucător raţional are un be neficiu cel puţin egal cu cel specificat de imputare şi exact egal cu imputarea dacă şi celălalt jucător se comportă raţional. IMPUTĂRI, COALIŢII, STABILITATEA SOLUŢIILOR

Giocoli face aici două observaţii importante : imputarea, pentru 2P ZSG nu rezultă dintr-o pro­ bl emă standard de maximizare sau dintr-o noţiune formală de consistenţă. Ca echilibru social , imputa­ rea este independentă de modul tradiţional de ca­ rac terizare a raţionalităţii economice . Pe de altă parte , ideea de imputare o încorporează pe aceea (propusă de vN / M) de caracterizare a comportamen­ tului raţional în termeni de beneficiu obiectiv, în dauna unei strategii subiective . Un jucător indivi­ dual este raţional dacă- şi asigură cel puţin benefi­ ciul minimax; un sistem social este raţional dacă fiecare jucător primeşte cel puţin beneficiul mini­ max. Cea de a doua parte a cărţii TGEB îşi propune să extindă o atare caracterizare obiectivă a echili­ brului social la toate clasele de j ocuri. Dar lucrurile se dovedesc surprinzător de complicate, chiar dacă âvem a face numai cu trei jucători, caz în care doi dintre ei pot coopera, formând o coaliţie împotriva celui de al treilea. Apare problema: cum se distribu­ ie între membrii coaliţiei extracâştigul obţinut din actul de complicitate? Analiza trebuie să ia în con­ siderare faptul că fiecare j ucător are de ales între diverse posibile coaliţii, deci o soluţie rezonabilă in jocuri cu mai mult de doi parteneri va fi un sistem de imputări; de exemplu, în cazul a trei j ucători, vom avea un sistem de trei imputări, corespunză­ toare la cele trei coaliţii posibile. Cât de puternic este contrastul faţă de economia clasică, în care soluţia era un număr sau o mulţime de numere! Văzută ca un sistem de imputări, soluţia se remarcă prin stabilitatea ei. Nu se mai face nicio referire la noţiunile standard de echilibru economic . Mai mult, stabilitatea este o proprietate a sistemu­ lui, nu a componentelor sal e . Caracterizarea comportamentului raţional are în vedere structura globală a interacţiunilor strategice ale jocului, structură obiectivată prin reducerea la un sistem de relaţii intre vectori de beneficii. Reali­ zăm din nou contrastul faţă de economia clasică, �nd e echilibrul revenea la o mecanică a unor forţe sau la o stare de planuri mutual consistente . În vederea unei precizări a ideilor de mai sus , vN/ M introduc o relaţie de dominare între imputări: i!Uputarea x domină imputarea y dacă un număr

suficient de mare de jucători preferă pe x lui y şi sunt convinşi că pot obţine pe x pe baza regulilor jocului. În ideea că dominarea ar fi o relaţie de ordi­ ne, soluţia cerută trebuie să fie primul element (cel maxim) . Numai că uneori tranzitivitatea dominării este încălcată, dominarea dă naştere unor cicluri, foarte frecvente în viaţa socială. Formal, o mulţime S de imputări este o soluţie în sensul lui vN/ M dacă niciun y din S nu e ste dominat de orice x din S şi dacă orice y din afara lui S este dominat de un anume x din S. Cu alte cuvinte, soluţia este o mul­ ţime S ale cărei elemente sunt exact acelea care nu sunt dominate de elemente din S. Caracterul circu­ lar al ace stei definiţii este evident: elementele din S sunt caracterizate printr- o relaţie care depinde de S. În plus, nu avem siguranţa existenţei şi unicităţii soluţiei; putem numai decide dacă o mulţime dată de imputări este sau nu o soluţie. PROB LEME RIDICATE DE IDEEA DE MULŢIME STAB ILĂ

vN j M consideră că orice mulţime de imputări corespunde unui standard de comportament sau unei ordini sociale , astfel încât mulţimea stabilă poate fi interpretată ca un standard acceptat de comportamen t sau ca o o rdine socială prestabilită. Fiinţele umane tind să se adapteze la mediu nu printr-un sistem rigid de alocări, deci printr-o singu­ ră imputare, ci mai degrabă printr-o varietate de sisteme alternative de alocări; dar nu orice sistem este posibil , există şi sisteme nestabile, deci de fapt imposibile . Stabilitatea unei mulţimi este condiţio­ nată de două cerinţe: una de consistenţă internă, care revine la faptul că ordinea socială este lipsită de contradicţii interne ; alta de protecţie externă, care permite ordinii stabilite să fie folosită pentru a discredita orice comportament greşit. Totuşi, ideea de mulţime stabilă este criticabilă din anumite puncte de vedere , observă Giocoli. Mai întâi, ea vine în conflict cu cerinţa faţă de orice so­ luţie de a furniza o caracterizare completă a compor­ tamentului capabil să-I orienteze pe un agent în orice situaţie imaginabilă. Totuşi, vNj M precizează că cerinţa respectivă e valabilă numai pentru 2P ZSG, putând fi extin să la jocurile în care coaliţiile şi compensaţiile sunt imposibile. Dar într-o economie de schimb tocmai coaliţiile şi compensaţiile au un rol important. În a doua parte a TGEB , autorii re­ nunţă la caracterizarea comportamentului raţional printr-o soluţie care implică prescripţii individual e. În cadrul unei mulţimi stabile, intregul sistem de comportamente trebuie să fie raţional, raţionalitatea fiind definită în termenii stabilităţii sistemului însuşi. Problema este delicată. La întrebarea lui Robert Aumann (p. 34-35 în "What is game theory trying to accomplish?" în K.J. Arrow et al (eds) , " Frontiers of Economics" , Oxford: Basic Blackwell, 41 1

de soluţie? Un răs­ stabile , este : acest concept ne dă o caracterizare obiectivă a raţionalită­ ţii sociale . O altă latură criticabilă a multimii stabile este faptul că prin asocierea ei cu difer ite ordini sociale se trece la o abordare mai degrabă pozitivă decât normativă a conceptului de soluţie; vN jM declară clar că scopul lor nu este de a construi o teorie so­ cială bazată pe principii etice, ci de a identifica unde anume , într-o societate, se află echilibrul forţelor. Teoria mulţimii stabile este bazată pe noţiunea de funcţie caracteristică; aceasta, la rândul ei , se spri­ jină pe caracterizarea minimax a raţionalităţii rezul­ tate din analiza 2P ZSG. Dispunem astfel de un instrument descriptiv, mulţimea stabilă, ale cărui rădăcini se află în noţiuna prescriptivă de raţionali­ tate, minimax-ul . O a treia latură criticabilă a mulţimii stabile es­ te identificată de Giocoli în dificultatea de a reconci­ lia eliminarea elementului subiectiv din definiţia acestei mulţimi cu cerinţa generală de investigare a raţionalităţii strategice . 28-76) : La ce serveşte conceptul puns parţial, în cazul mulţimii

PE URMELE ELIMINĂRII VARIABILELOR MENTALE

Capitolul al doilea din TGEB are în primul rând o importanţă teoretică; el a direcţionat dezvoltarea teoriei jocurilor şi a întregii economii matematice . Strategia este definită ca u n plan complet de acţiu­ ne şi permite o simplificare a descrierii unui joc, dar impune o ipoteză privind capacitatea intelectuală a agenţilor . Pentru a- şi determina propria strategie , fiecare jucător trebuie să dispună de un tablou total al situaţiilor posibile şi să- şi formuleze re guli de comportament faţă de fiecare dintre aceste situaţii . În capitolul al treilea din TGEB se află partea care a devenit cea mai cunoscută în practica didac­ tică a teoriei jocurilor: 2P ZSG şi principiul mini­ max. Sunt explicate cu atenţie pedagogică tehnicile matematice necesare : elemente de analiză funcţi o­ nală, de algebră liniară şi mulţimi convexe . Analiza 2P ZSG este efectuată de un jucător în trei etape: planificarea acţiunilor; determinarea informaţiei accesibile fie cărui jucător; stabilirea a ce anume se întâmplă atunci când un jucător cunoaşte strategia rivalului sau. Mai întâi se defineşte "punctul-şa" (a, b) al unei funcţii reale f(x, y) de două variabile reale, prin proprietăţile: f(x, b) are un maxim local în x a, iar f(a, y) are un minim local în y = b. Se arată că maxxminy f(x, y) < sau minymaxx f(x, y) iar egalita­ tea are loc aici dacă şi numai dacă (a, b) este un punct-şa pentru f(x, y) . Apoi se consideră următorul joc G de tipul 2P ZSG: j ucătorul 1 alege un număr tI 1 , 2, 3, . , S I , iar jucătorul 2 alege un număr 12 = = 1 , 2 , 3 , . . , S2, unde fiecare număr reprezintă una dintre posibilele strategii ale jucătorului re spectiv. =

=

=

.

.

412

.

Alegerile sunt efectuate simultan, deci fiecare jUcă­ tor ignoră alegerea adversarului. În baza condiţ ie i ZSG, dacă beneficiul jucătorului 1 este H(t l , bl , atunci beneficiul j ucătorului 2 este - H (tl , 12) . Ca urmare a cerinţei unei minime raţionalităţi , fiecare j ucător doreşte să obţină cel mai mare bene­ ficiu posibil. Drept consecinţă, jucătorul 1 caută să maximizeze ceea ce jucătorul 2 caută să minimize­ ze . Dar o atare cerinţă minimală nu este suficientă pentru a indica jucătorilor cum anume trebuie să se comporte . Caracterul strategic al situaţiei constă in combinarea celor două fapte. Niciunul dintre jucă­ tori nu are un control total asupra funcţiei H(t l , 12) , deoarece această funcţie depinde de alegerile ambi­ lor jucători. JOC MINO RANT ŞI JOC MAJORANT; CE ÎNSEAMNĂ A JUCA BINE?

În esenţă, ideile de mai sus apar încă în artico­ lul lui von Neumann din 1 9 3 8 , la care ne-am referit într-o secţiune anterioară. În TGEB apar în plus două variante ale jocului de mai sus, j ocul minorant şi j ocul maj orant. În cel minorant G l , jucătorul 1 face prima mutare, iar când vine rândul j ucătorului 2, acesta cunoaşte mutarea tI a lui 1 . În varianta majorantă G2, j ucătorul 2 este cel care face prima mutare, iar jucătorul 1 alege cunoscând mutarea b a lui 2. În aceste două variante , comportamentul raţional are următoarea semnificaţie: jucătorul care mută al doilea îşi maximizează beneficiul în funcţie de alegerea efectuată de adversar; acest adversar îşi alege la rândul său strategia, cunoscând ceea ce va face rivalul său şi exploatează această informaţie pentru a- şi maximiza propriul beneficiu. Rezultă că în varianta minorantă şi în cea maj orantă "calea optimă" poate fi uşor identificată. Dar în acest raţi ­ onament se admite că jucătorul care face prima mutare se bazează pe raţionalitate a rivalului său. Acest lucru nu mai este valabil în cazul în care cei doi jucători fac mutările simultan, caz în care sunt posibile greşeli care implică o deviere de la raţionali­ tate . În continuare , analiza este orientată spre defi­ nirea noţiunii de valoare a unui joc . Valoarea v a lui G este mai mare decât sau egală cu valoarea VI a lui G 1 şi mai mică decât sau egală cu valoarea V2 a lui G2. . Giocoli argumentează însă că s-ar putea susţine şi ideea că G are o valoare inferioară celor­ lalte două. Nu putem urmări aici raţionamentul său. Notând cu D diferenţa nenegativă V2 - V I , D reprezintă beneficiul realizat de un jucător care-l surprinde pe rivalul său, în loc să fie el surprin s de acesta. Dacă D 0, atunci jocul se consideră stri ct determinat (SD) . În această situaţie , surprinderea rivalului nu aduce niciun avantaj . Ce înseamnă "a juca bine '? Teorema punctu­ lui-şa afinnă că un j oc este SD şi deci are o valo are bine determinată v, dacă şi numai dacă funcţia de =

beneficiu H(t l , t2) are un punct- şa. Se arată ca In jocurile la care funcţia de beneficiu satisface aceas­ tă cerinţă se poate construi un argument direct, c are să conducă la caracterizarea completă a com­ portamentului strategic raţional. Pentru j ocurile non-SD nu există nicio şansă de a se putea determina în mod unic valoarea lor şi de a se obţine, în acest fel, o caracterizare obiectivă '(deci neimplicând factori psihologiei în legătură CU "cine îl surprinde pe cine") a comportamentului nal. r - aţio În vederea construirii unui argument direct, �N/ M pleacă de la ipoteza că jocul G este strict de­ ferminat, deci că există un punct- şa pentru funcţia de beneficiu H(t l , t2) . Ei admit, în continuare, că este posibil să se interpreteze numărul v Vl V2 �a valoare a unui joc G (pentru jucătorul 1 ) . Apoi se refac etapele parcurse cu ajutorul j ocurilor auxiliare eh şi G2 . Mai întâi, se folosesc proprietăţile matricii de beneficii, v este identificat cu beneficiul pe care jucătorul 1 şi-l poate asigura independent de com­ portamentul adversarului . Caracterizarea lui v ca valoare a jocului se obţine în aceiaşi termeni ca în căzuI jocurilor auxiliare Gl şi G2, deci drept partea pe care fiecare jucător şi-o asigură, independent de Jlegerea efectuată de adversar. Defmind " calea bună de a juca" drept aceea care asigură fiecărui jucător cel puţin cantitatea v, independent de comporta­ înentul adversarului, putem caracteriza ,j ocul bun" �xact ca în cazul jocurilor auxiliare, deci ca selecţie � strategiei minimax. Rezultă de aici că dacă ambii jucători ,joacă bine " , atunci beneficiul lor este toc­ inai valoarea jocului, adică valoarea punctului- şa al m�tricii de beneficii. Ideile de mai sus au făcut obiectul unor pole­ mici interesante, pe care însă nu le mai putem ur­ mări aici. =

=

CONSTRUCTIV ŞI NECONSTRUCTIV, ÎN MATEMATICĂ ŞI ÎN ECONOMIE

Prima jumătate a secolului al XX-le a a fost ocupată în bună măsură, în domeniul logicii şi fun­ damentelor, de relaţia dintre existenţă şi construc­ ţie. De fapt , preocuparea vine încă din secolul al XIX-lea. Să ne amintim de modul total necon­ structiv în care Cantor a arătat că numerele trans­ �endente formează o mulţime nenumărabilă, în contrast cu cele algebrice , care formează numai o - mulţime numărabilă; faptul scandaliza prin dificultatea de a construi exemple individuale de numere ttanscendente (exemple produse încă înainte de :Cantor, de către Joseph Liouville , care în 1 844 ară­ tase că seria care are ca termen general pe 1 / 1 0nl , adică unu supra zece la puterea factorial de n , are ca sumă un număr transcendent) . Dar studiul nu­ merelor transfinite , iniţiat de Cantor, s-a bazat sis­ tematic pe raţionamente prin reducere la absurd (a

se vede a celebra diagonală a lui Cantor, prin care se arăta că numerele reale formează o mulţime nenumărabilă) , raţionamente contestate de L.E.J. Brouwer, iniţiatorul intuiţionismului, care respingea unele forme brutale de neconstructivitate , cum ar fi legea dublei negaţii sau axioma alegerii. Această nevoie de constructivitate avea să ducă la apariţia noţiunii riguroase de algoritm, care se află la baza informaticii, noţiune ale cărei tradiţii merg până la grecii antici (a se vedea algoritmul lui Euc1id) . Dar gândire a algoritmică nu elimină formele neconstruc­ tive de raţionament, deoarece se constată că de multe ori o putem controla pe cea dintâi numai prin cele de al doilea tip . Constructivul şi neconstructi­ vul au nevoie unul de altul şi de aceea acordăm atenţie atât logicismului lui Russell şi formalismului hilbertian, cât şi in tuiţionismului lui Brouwer şi funcţiilor recursive ale lui S . C . Kleene şi Kurt G6del. În particular, în TGEB găsim ambele forme de gândi­ re , cum de altfel le găsim în întreaga istorie a gân­ dirii economice. Astfel, demonstraţiile de existenţă ale echilibrului Walrasian nu sunt constructive , nu se arată cum anume se poate obţine echilibrul ne­ cuno scutelor, ci numai că un atare echilibru trebuie să existe, în virtutea axiomelor şi a principiului necontradicţiei. La von Neumann, ambele tipuri de raţionament sunt prezente . Dacă, aşa cum am ară­ tat, în articolul său din 1 93 7 se demonstrează ne­ constructiv teorema minimax (la acel moment se punea numai problema posibilităţii logice a echili­ brului de cre ştere a unui sistem economic) , ulterior, pentru a se putea explica cum şi de ce agenţii tre­ buie să se comporte într-un anume fel , se recurge la calea constructivă şi, în particular, se produce o demonstraţie directă a criteriului minimax. UN EXEMPLU DE STRATEGIE MINIMAX

Pentru o ilustrare intuitivă a alegerii minimax, vom considera următoarea situaţie: doi jucători A şi B se află în faţa unei matrice cu m linii şi n coloane în care la intersecţia unei linii cu o coloană se află un număr, deci în total se află mn numere , cunos­ cute de ambii jucători . A alege o anumită linie, pe care B nu o află, dar trebuie să aleagă la rândul său o coloană şi să plătească lui A o sumă egală cu nu­ mărul înscris la intersecţia liniei alese de A cu co­ loana aleasă de B , dacă acest număr este pozitiv. Dacă numărul respectiv este negativ, atunei îi revi­ ne lui A să-i plătească lui B suma respectivă. Dacă numărul este zero , atunci nimeni nu are de plătit nimic. La prima vedere , suntem tentaţi să speculăm asupra psihologiei jucătorilor, fiecare făcând diferite pre supuneri asupra intenţiilor adversarului. Strate­ gia minimax ignoră aspectul psihologic şi asigură lui A o margine inferioară a câştigului, iar lui B o margine superioară a pierderii . În acest scop , jucă­ torul A reţine mai întâi din fiecare linie numărul cel mai mic , iar apoi, dintre cele m numere astfel 413

obţinute, îl reţine pe cel mai mare şi alege linia pe care acesta se află. Vine acum rândul jucătorului B, care reţine din fiecare coloană numărul cel mai ma­ re, iar apoi, dintre cele n numere astfel obţinute, îl reţine pe cel mai mic şi alege coloana pe care acesta se află. Notând cu aij numărul de la întrunirea liniei i cu coloana j, se arată că minj (maxi aij) > sau maxi (minj aij). Dacă inegalitatea de mai sus este chiar o egali­ tate, atunci valoarea comună se numeşte valoarea jocului şi se spune că jocul are un "punct de echili­ bru" sau "punct-şa" Pot exista mai multe puncte de echilibru, unul sau niciunul. Dacă există măcar un punct de echilibru, atunci valoarea jocului este unică. Recunoaştem un punct de echilibru după faptul că numărul din poziţia respectivă este cel mai mic din linia sa şi cel mai mare din coloana sa. Dacă, aşa cum am procedat mai sus, se alege o linie sau o coloană, se spune că s-a folosit o strategie pură. Atunci când exis­ tă un punct de echilibru, linia sau coloana acelui punct constituie o strategie pură optimă pentru A sau pentru B. Pentru concretizare, fie matricea cu 4 linii şi 3 coloane

că la modul general proprietăţile discutate depăşesc cadrul acestor consideraţii.

LINIARITATE, CONVEXIT ATE ŞI JOCURI DE SUMĂ NULĂ

=

1 5 -1 2

2 7

-

O

4

-3 4 1 5

Numerele cele mai mici din cele patru linii sunt respectiv -3, -7, -1,2, cel mai mare dintre ele este 2, care se află pe linia a patra, deci jucătorul A va ale­ ge linia a patra. Numerele cele mai mari din cele trei coloane sunt respectiv 5, 4 şi 5, cel mai mic dintre ele este 4, care se află pe coloana a doua, deci jucă­ torul B va alege coloana a doua. Nu există în acest joc niciun punct de echilibru (sau punct-şa). În schimb, în jocul matricial

1 3 1

O

2

1

1 4 1

există un punct de echilibru în centrul matricii, elementul 2 (punct-şa). Putem defini o strategie mixtă, prin alegerea unor ponderări ale elementelor liniilor (pentru A) cu numere nenegative de sumă egală cu 1 sau a unor ponderări similare ale elementelor coloanelor (pen­ tru B). Noţiunea de valoare se extinde la jocuri cu strategie mixtă. Toate aceste idei introduse aici pe cale intuitivă vor fi reconsiderate în cele ce urmează. Discuţia de faţă îi poate ajuta pe cei care nu au cunoştinţe prealabile de teoria jocurilor de strategie să urmă­ rească cele ce urmează. Demonstraţiile care justifi-

414

Instrumentele matematice necesare teoriei jocu­ rilor se referă la geometria spaţiilor n-dimensionale, operaţiile cu vectori, hiperplane, semispaţii şi spaţii convexe. Teorema alternativei pentru matrici con­ duce la rezultatele de dualitate pentru sisteme de inegalităţi liniare, care intervin în demonstraţia din TGEB a teoremei minimax şi în dezvoltarea ulterioa­ ră a tehnicilor de programare liniară (PL). Relatia dintre PL şi teoria jocurilor se dovedeşte a fi foa�te strânsă: fiecărei probleme din PL i se asociază un joc 2P ZSG, astfel încât cele două domenii devin aproape izomorfe, teorema de dualitate din prima şi teorema minimax din a doua fiind fiecare consecin­ ţa celeilalte. Se conturează astfel o nouă abordare globală a problemei optimizării, în care un rol cen­ tral îl are noţiunea de convexitate şi în care funcţiile obiective şi constrângerile pot fi caracterizate global. Analiza locală, în termeni de derivate parţiale, analiză care devenise un standard în problemele de optimi­ zare, se dovedeşte astfel inutilă. Probleme practice ca alocarea optimă a resurselor au beneficiat de noile metode. În perspectiva astfel deschisă, sunt prezentate argumente riguroase de rezolvare a 2P ZSG. Se in­ troduce noţiunea de strategie mixtă, recomandabilă sub aspect defensiv, deoarece protejează pe jucător de riscul de a suferi o pierdere; o strategie mixtă asigură un beneficiu zero, independent de mutarea adversarului. Metoda demonstraţiei indirecte (MOI) este înru­ dită cu tehnicile punctului fix, deoarece se caută un punct fix al acelor transformări ale teoriei care sunt induse de propriile ei implicaţii. Atunci când impli­ caţiile transformă teoria în ea însăşi, avem un punct fix şi teoria a fost "descoperită" Logica punctului fix caracterizează toate cercetările de economie mate­ matică în care se foloseşte MDI, deci, în particular, şi TGEB. Chiar dacă tehnicile de punct fix au fost temporar abandonate în favoarea analizei convexe şi a tehnicilor liniare, atâta vreme cât s-a folosit MDI logica a fost mereu aceea a unor argumente necon­ structive, care conduc la rezultate nedescriptive. Afirmaţia este valabilă şi pentru teoria propusă de vN/M pentru 2P ZSG, teorie lipsită de o valoar e descriptivă, fără pretenţia de a explica felul în care jucătorii se comportă în situaţii strategice reale. Acest fapt este consistent cu scopul normativ al TGEB: pentru a avea o valoare prescriptivă, caracte­ rizarea comportamentului raţional trebuie să satis­ facă cerinţa de consistenţă logică, dar nu şi pe aceea de realism descriptiv.

ARMONIZAREA JOCULUI MINORANT CU CEL MAJORANT Să revenim acum la cele două jocuri auxiliare di scutate într-o secţiune anterioară, jocul minorant şi cel majorant. Numai dacă aceste două cazu:i . extreme pot fi armonizate putem vorb I de o teone convingătoare. în ce anume ar consta armonizarea? În faptul că nu există niciun avantaj în a-l surprin­ de pe adversar. Numai în acest caz prescripţiile teo­ riei sunt bine determinate şi unice; altfel, ar fi nevoie de ipoteze suplimentare, de forma " cine îl surprinde pe cine " , iar teoria n-ar mai fi o adevărată teorie. Instrumentul analitic permiţând să se obţină armonizare a la care ne-am referit este teorema minimax. Se arată că necesar şi suficient pentru a se obţine armonizarea este ca funcţia de beneficiu ajocului să admită un punct-şa. Pe de altă parte , ceea ce vN /M numesc teorema principală a teoriei jocurilor afirmă că toate jocurile 2P ZSG în care se fol osesc strategii mixte admit un punct- şa (ca ur­ mare a faptului că funcţia de beneficiu în strategii mixte este o formă biliniară care , în virtutea unui rezultat din 1928 al lui von Neumann , admite tot­ deauna un punct-şa) . Armonizarea este astfel obţi­ nută pentru toate 2P ZSG. În această perspectivă a unei strategii mixte , jucătorii selectează vectorii de strategii pure ale căror c omponente sunt tI şi b , ponderate cu _probabilităţile p(tI) , re spectiv r( b) . Valoarea scontată a bene ficiului e ste K(p, r) E (t I) E ( b) H (tI, t2) p(tl)p( b) . S e consideră apoi j ocurile auxiliare Gl ş i G2 , ale căror valori, în strategii mixte, sunt rnin(r)max(p)K(p , r) VI = max( p)min ( r) K(p , r) şi V2 cxu VI < sau V2 Jocul este considerat strict detenninat la modul general (GSD) dacă VI V2. Se demonstrează că toate jocurile 2P ZSG sunt GSD . Se arată că SD implică GSD, dar nu şi reciproc. Însă MDI produce numai conditii ' necesare' chiar atunci când metoda reuşeş­ te să reducă teo�ii1e posibile la una anume dintre ele ' rămâne de demon strat că o astfel de teorie indu­ ce realmente comportamentul dorit. Teoria obţinu­ tă prin MDI trebuie să fie confirmată independent printr-un argument direct. =

=

=

=

REZOLVARE DIRECTĂ/JOCUL DE POKER ŞI STRATEGIE SHERLOCK HOLMES Plecăm de la rezultatul anterior: Orice joc 2P ZSG este GSD. Rezultă că funcţia de beneficiu ad­ lJI,it e un punct-şa, iar j ocul are o valoare , fie ea v" În. continuare, se defineşte drept " c ale bună de joc " acel comportament care asigură fiecărui jucător, independent de comportamentul adversarului, un câştig nu mai mic decat v " Acesta este nivelul de " securitate al beneficiului "

Apoi se arată că o pereche de strategii mixte determină un punct-şa al funcţiei ·de beneficiu K(p , r) dacă şi numai dacă strategiile core spund " " căii bune de joc pentru ambii jucători. Generali­ zând, există d ouă mulţimi de strategii mixte care includ toate " căile bune de j oc " , fiecare cu acelaşi beneficiu şi cu valoarea sc ontată. Rezultă că strate­ gia minimax e ste " calea bună de j oc " pentru ambii jucători, iar " c alea bună" nu poate fi decât minimax. Prin MDI am obtinut caracterizarea comporta­ mentului raţional, i � valoarea v' determinată de condiţia de punct- şa se confirmă obiectiv ca valoare a j ocului. Dar vN/ M accentuează superioritatea argumentului direct faţă de cel indirect. Acesta din urmă s-a prevalat de ideea ambiguă a unor jucători mai mult sau mai puţin " inţelepţi " , care folosesc o teorie mai mult sau mai puţin " convingătoare" Prin contrast, nimic euristic sau problematic nu există în argumentul direct, nicio ipoteză relativ la inteli­ genţa jucătorilor sau la "cine îl surprinde pe cine" , nu mai este nevoie să condiţionăm rezultatele unui jucător de raţionalitate a comportamentului celuilalt jucător. Modul direct, con structiv, de procedare, mai poate avea şi un alt avantaj: el răspunde une­ ori, de exemplu, în cazul 2P ZSG, prin chiar paşii pe care-i urmează, la întrebări de tipul " cum?" şi " de ce? " în legătură cu ceea ce numim comportamentul strategic raţional. Ce rămâne de făcut în continuare? In primul rând, caracterizarea raţionalităţii a fost deocamdată obţinută numai pentru 2P ZSG, caz important dar foarte particular. Ap oi, " calea bună de j oc" este to­ tuşi o strategie prin excelenţă defensivă. O atitudine ofensivă ar trebui să implice o sancţiune maximă a greşelilor adversarului. (Dar vN / M ne previn asupra unor atitudini numai aparent ofensive, cum ar fi cacealmaua la poker. Acest j oc cu informaţie in­ completă şi cu soluţie SD beneficiază de o atenţie specială (peste 30 de p agini) în TGEB). Tocmai în această direcţie s-au îndreptat analizele critice ale continuatorilor lui vN/M, încă în anii '50 ai secolu­ lui trecut. Un exemplu semnificativ de soluţie minimax la un joc cu strategie mixtă interdependentă este (în capitolul al IV-lea din TGEB) modul în care Sh�rlo�k Holmes îl unnăreşte pe Moriarty. Pe baza uneI dlS­ tributii arbitrare de beneficii, se construieşte un j o c 2x2 de sumă nulă, î n care strategiile sunt aceleaşi pentru ambii jucători: a aj unge la Dover sau a pă­ răsi Canterbury. Soluţia minimax corespunde cazu­ lui în care Moriarty adoptă strategia ( 3 / 5, 2 / 5) , unde primul număr se referă la alegerea lui Dover, iar al doilea la al egerea lui Canterbury. Holmes adoptă strategia (2 / 5 , 3 / 5) şi, în acest fel, prob�bi1i­ tatea ca el să fie ucis este egală cu suma dm tre produsul lui 3/5 cu 2 / 5 şi produsul lui 2/5 cu 3 / 5 � adică 0 . 4 8 , în timp ce şansa de a se salva este mm mare: 52 la sută. Pentru aspectul semiotic al strategiilor lui Holme s, a se vedea Umberto Eco, Thomas A. Sebeok _

415

(e ds. ) "The sign of three. Dupin, Holmes, Peirce " Bloomington and Indianapolis: Indiana University Press, 1988.

UN JOC SEMNIFICATIV DE SUMĂ NULĂ, CU TREI PERSOANE Acest joc, numit ,jocul maj oritar " , este prezen­ tat în capitolul al V-lea din TGEB. Fiecare jucător trebuie să aleagă un număr care corespunde unuia dintre ceilalţi doi jucători. Este esenţial faptul că aceste alegeri se efectuează simultan, fiecare jucător ignorând alegerile celorlalţi doi. Dacă doi dintre jucători se înţele g ca fiecare dintre ei să aleagă nu­ mărul asociat celuilalt, atunci ei îşi vor împărţi un beneficiu pozitiv, care va deveni o pierdere de ace­ eaşi mărime pentru al treilea jucător. Nicio colabo­ rare nu este posibilă în timpul jocului; o eventuală coaliţie trebuie încheiată înainte de începerea jocu­ lui şi presupune încrederea reciprocă a doi dintre jucători. Intră această problemă în preocupările autorilor TGEB? vN / M dau un răspuns negativ, motivând că înţelegerea dintre cei doi jucători nu se referă la regulile j ocului . Sunt plasate în afara TGEB j ocurile non-co­ operative. Pentru vN / M , un j oc este o " cutie neagră" , care include anumite beneficii, anumite strategii pentru a le obţine, anumite reguli care guvernează aceste strategii şi transformarea lor în beneficii . vN / M nu şi-au propus niciodată să de schidă această cutie neagră, pentru a extinde spaţiul de strategii, în aşa fel încât să cuprindă în negocieri şi faza anterioară coaliţiei sau formarea şi revizuirea credinţelor jucă­ torilor. vN/ M consideră că TGEB nu oferă încă o sufi­ cientă bază pentru abordarea raţională generală a jocurilor de strategie , o abordare care să se elibereze de orice factor subiectiv şi să reducă problemele de strategie la o analiză comparativă a beneficiilor, analiză care să depăşească substanţial restricţiile rigide de tipul minimax; de aceea, vN / M consideră proiectul lor neterminat, iar Giocoli se întreabă dacă itinerarul matematic va fi în această privinţă con­ vergent cu cel din direcţie economică, în ceea ce priveşte atingerea unei obiectivităţi maxime . În ace­ laşi timp , Giocoli pretinde că în ciuda aspiraţiei spre obiectivitate, sau poate tocmai de aceea, vN / M, mai mult decât cei mai mulţi economişti neoclasici contemporani cu ei, au dus la extrem abordarea individualistică a analizei interacţiunii sociale. Ca argument în acest sens, Giocoli menţionează ceea ce vN /M afirmă în capitolul al treilea din TGEB. În legătură cu contrastul dintre posibilitatea formală de dezvoltare a unei teorii complete a jocu­ lui de şah şi limitările intelectului uman, limitări care fac necesară folosirea unor metode parţial eu­ ristice pentru definirea j ocului "bun" sau " curat" 416

intr-un j oc cum este şahul, se constată că acesta, fiind cu informaţie completă, este şi SD şi, deci, conform rezultatului din 1913 al lui Zermelo , este susceptibil de o caracterizare completă in termeni de strategii de câştig optimale. Din nefericire, implementarea efectivă a pro­ gramului lui vN /M nu ar putea fi realizată mult dincolo de regula minimax. Giocoli observă că TG EB este dominată, în cea mai mare parte , de condiţia (cel puţin implicită) de simetrie între jucători, con di­ ţie care reduce substanţial individualitatea lor. Această restricţie afectează în primul rând jocurile cu mai mult de două persoane.

CE FEL DE FIINŢE SUNT JUCĂTORII? În continuarea argumentării din secţiunea precedentă se plasează critica întreprinsă de Phil Mirowski ("What were von Neumann and Morgenstern trying to accomplish?" în E . R. Weintraub (ed.), Towards a History of Game Theory. Durham, NC: Duke University Press, 1992 , 113 -147; " Machine dreams: economic agents as cyborgs", în J. Davis (ed.), New Economics and its History, Durham, NC: Duke University Press, 19 97, pp. 13 -40 ; "Machine Dreams. Economics Becomes a Cyborg" , Cambridge, MA: University Press, 2002) la adresa TGEB. Mirowski este de p ărere că jucătorii din TG EB nu sunt fiinţe umane autentice, ci mai degrabă nişte agenţi-maşină. Peste tot în TGEB regulile jocului sunt fixate de la început, nemaiputând fi schimbate pe parcurs de niciunul dintre jucători. Pe această presupoziţie se bazează raţionalitatea minimax. Dar aceasta înseamnă că jucătorii sunt asimilaţi cu nişte maşini, deoarece numai maşinile, nu şi oame­ nii, acţionează fără a încerca să schimbe regulile lor iniţiale . Cre ativitatea umană se manifestă tocmai prin încercarea de a schimba situaţia strategică în care se află omul faţă de natură sau faţă de alţi oameni. Această rigiditate este inevitabilă în j ocuri ca go-ul sau şahul, tenisul sau fotbalul, unde regu ­ lile fixate iniţial nu mai pot fi schimbate; dar nu mai poate fi acceptată în interacţiunile socio-economice, unde nu există reguli prestabilite şi clare, ci numai principii vagi, care pot fi mereu interpretate şi rein­ terpretate . În j ocurile vieţii reale , abilitatea de nego­ ciere şi unele acorduri implicite preliminare au de multe ori un rol important; nu este loc pentru ele în j ocurile din TGEB. Giocoli are rezerve faţă de critica lui Mirowski, argumentând că jucătorii din TGEB pot modifica spaţiul strategic, recurgând la strategii mixte; dar, de fapt, acestea sunt tributare în mare măsură strategiei iniţiale, sunt con struite pomin­ du-se de la ea. Libertatea de mişcare este foarte limitată. Giocoli mai observă că rigiditatea strategi­ că este cerută de nevoia de obiectivare . Are loc aici un fenomen pe care l-am discutat cu alte ocazii (Solomon Marcus, " No system can be improved in all respects " , în Systems. New Paradigms for the

Human Sciences (eds. G. Altmann and W.A. Koch), Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1998, 143-164) ; ne aflăm în prezenţa unei perechi conj ugate de cerinţe , flexibilitatea strategică şi nevoia de obiecti­ vare , fiecare dintre ele perfe ct legitimă, dar simulta­ neitatea lor este imposibilă.

CE TREBUIE SĂ ÎNŢELEGEM PRIN " REGULILE JOCULUI " ? Giocoli îi mai reproşează lui Mirowski că, dacă ar gumentul său ar fi valabil, atunci chiar cele mai multe modele neoclasice timpurii ar părea nişte age nţi-maşină, în contradicţie cu modul în care Mirowski relatează revoluţia cyborg în economie după cel de al Doilea Război Mondial. Într-adevăr cU excepţia lui F.Y. Edgeworth, niciun economis � neoclasic din trecut nu a reprezentat pe agentul ec onomic ca fiind capabil de a modifica restricţiile privind alegerile pe care le efectuează. În viziunea lui Mirowski, agenţii care apar în modelul neoclasic funcţionează ca maşini, intrările fiind anumite pre­ ferinţe şi con strângerile bugetare , iar ieşirea, o ale­ gere care optimizează beneficiul. Giocoli propune în schimb interpretarea agenţilor economici tradiţio­ nali ca reguli de reacţie standardizată. Nu se vede de ce această propunere ar fi incompatibilă cu pro­ punerea lui Mirowski. De altfel, chiar Giocoli acceptă că argumentul lui Mirowski ar putea găsi un fel de confirmare în ceea ce von Neumann afirma, intr-un articol de teoria jocurilor ulterior anului 1944 (o intervenţie la o conferinţă din 1955, de la Princeton; a se vedea relatarea ei în H .W . Kuhn, A.W. Tucker, "John von Neumann's work in the theory of games and mathematical economics " , Bulletin of the Ameri­ can Mathematical Society 64, 1958 , 100-122). Este vorba de părerea lui von Neumann despre ceea ce trebuie să înţelegem prin " regulile j o cului" şi despre p osibilitatea ca aceste reguli să fie endogene mode­ lului strategic. Ideea care apare aici se referă la po­ sibilitatea extinderii formale a spaţiului de strategii ale jocurilor cooperative. Plecând de la regulile unui joc non-cooperativ, se defineşte o exten sie admisibi­ Iă a unor astfel de reguli drept una care face posibi­ le fenomene noi, ca negocierea, comunicarea între jucători şi plăţile parţiale, lucruri excluse din reguli­ le originale prezentate în TGEB şi care nu au apărut în teoria cooperativă standard . Un joc este mai coo­ perativ atunci când extensia regulilor este mai seve­ ră, adică atunci când creşte numărul de fenomene ac operite de extensia considerată. Această abordare ar trebui să aibă drept scop extensia admisi bilă maximală a regulilor, adică mulţimea regulilor ca­ pabile să dea seamă de toate fenomenele nemodela­ te de teoria cooperativă standard şi astfel încât soluţiile non-cooperative ale jocului (adică echilibre­ l� Nash) , s ă fie invariante chiar în raport cu o mul­ ţIme mai restrictivă de reguli. ° extensie maximă de

acest fel reprezintă calea ideală de rezolvare a unui joc cooperativ. Este deci momentul să trecem la prezentarea ideilor lui Nash.

FENOMENUL NASH Se întâmplă une ori ca un articol de două sau trei pagini să schimbe faţa unei întregi discipline şi să marcheze dezvoltarea ei pentru o bună bucată de vreme. Aşa s-a întâmplat cu articolul din Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Paris, de la începutul secolului al XX-lea, prin care Henri Lebe sgue anunţă noţiunea de integrală care avea să-i poarte numele , noţiune care a pătruns în pro­ grama universitară a oricărui curs de teoria integra­ lei; aşa s-a întâmplat cu articolul lui J . D. Watson şi F.C. Crick, din 1953, care anunta structura de du­ blă elice a ADN-ului, de scoperi ;e răsplătită cu un premiu Nobel în biologie. Domeniul ştiinţelor eco­ nomice avea şi el s ă fie marcat de un astfel de eve­ niment. Dacă von N eumann şi Morgenstern au avut nevoie de o întreagă carte pentru a produce o muta­ ţie în înţelegerea jocurilor de strategie, la numai şase ani de la apariţia acestei cărţi un articol de nici două pagini al lui J . F. Nash Jr. (Equilibrium points in n-person game s , Proceedings of the National Academy of Sciences, 3 6 , 1950, 48-49) avea să dea o nouă viaţă teoriei matematice a j ocurilor de strate­ gie şi să fie (împreună cu încă vreo două-trei articole ale ace stuia) răsplătit cu un premiu Nobel în ştiinţe economice. Cine era Nash în 1950? Un tânăr de 21 de ani student la doctorat în matematică al Universităti i din Princeton. Ce propunea articolul său? Un n �u concept de soluţie , numit punct de echilibru, pentru jocuri nec ooperative cu n jucători ' fără restrictia de sumă zero" Ulterior, soluţia prec onizată de N as h a primit numele de " echilibru Nash" Acesta preia ştafeta de la vN / M , exact de acolo unde TGEB şi -a arătat limitele : incapacitatea de a elabora o aborda­ re raţională a j ocurilor care nu sunt de tipul 2P ZSG. Compromisul la care recurg vN / M , încercând să reducă toate jocurile la cele de tipul 2P ZSG, practicate între două coaliţii de jucători, îi obligă pe autori să se re strângă la cazul cooperativ, in care se admite posibilitatea formării şi păstrării coaliţiilor şi se re spectă condiţia de simetrie între participanţii la joc, condiţie care-i impiedică să adopte un compor­ tament de natură a-i diferenţia pe jucători în vreun fel oarecare . Deci, in incercarea de a obtine o carac­ terizare generală a unei strategii raţi � nale, v N / M eşuează. Cel care preia această ştafetă dificilă, spe­ rând că va izbândi acolo unde vN / M au eşuat, este John Nash. Reuşita acestuia consta in a propune o nouă noţiune de soluţie şi o metodă generală de reducere a oricărui joc la un joc non- cooperativ.

417

ECHILIBRUL NASH Ce este un echilibru Nash (EN)? Este o colecţie de strategii pentru n jucători, astfel încât niciun jucător nu-şi poate ameliora rezultatul prin simpla schimbare a strategiei proprii. Într-un limbaj forma­ lizat, notând cu s ( SI, S2, . . . , S n) un anumit profil strategic pentru ansamblul celor n jucători, s este un EN dacă, notând cu Si mulţimea strategiilor ju­ cătorului i şi cu Ui funcţia de utilitate a lui i, avem, pentru orice ti din Si, Ui ( S ) > sau Ui ( SI, ... , Si-I, ti, Si+ l , .. . , Sn ) . Varianta formală pune în evidenţă faptul că EN este un profil strategic în care strategia fiecărui jucător este o replică la strategiile celorlalţi jucători, cel puţin la fel de bună ca orice altă strategie dispo­ nibilă. Ideea aparent atât de simplă a echilibrului Nash a generat o literatură imensă, ecoul atingând momentul culminant în 1994, când Nash a primit premiul Nobel în ştiinţe economice . Toţi comentato­ rii au accentuat aparentul paradox al unui premiu Nobel în economie primit de cineva care nu era eco­ nomist, ci matematician; mai mult, nu avea cultură economică de niciun fel. Nici von Neumann nu avea statut de economist, ci de matematician; treptat însă, el dobândise o anumită cultură economică, chiar înainte de a intra în relaţie cu Morgenstern. Nash însă era prea tânăr ca să fi apucat să se in­ formeze măcar în rudimentele ştiinţelor economice. Privind acum retro spectiv, constatăm că multe premii Nobel în economie au fost acordate unor cercetători cu o bază solidă atât în economie cât şi în matematică (un singur exemplu: Gerard D ebreu) . Toate acestea arată cât de precară a devenit împăr­ ţirea cunoaşterii pe parcele, împărţire care încă dictează pregătirea profesională a noilor generaţii! Un alt matematician , Benoit Mandelbrot, autor al geometriei fractale, a reuşit să demonstreze impac­ tul acesteia asupra înţelegerii fenomenelor financia­ re şi să nu ne mirăm dacă şi această ispravă va fi răsplătită cu un Nobel. În prefaţa la ediţia a treia a TGEB, apărută în 1953 la Princeton University Press, se face o referin­ ţă explicită la punctul de vedere al lui Nash; dar rivalitatea dintre tânăruI Nash şi figura dominantă a lui von Neumann, amândoi la Departamentul de Matematică de la Universitatea din Princeton, nu poate fi eludată; a se vedea, pentru detalii, S . Nasar, A Beautiful Mind. New York: Simon & Schuster, 1998, capitolele 3-10) . Totuşi, în perspectivă istori­ că, rămâne continuitatea perfectă a celor doi , de fapt trei (pentru că este şi Morgenstern) în ceea ce priveşte înţelegerea raţionalităţii agenţilor econo­ mici: în cazul particular 2P ZSG, de către vN / M ; în cazul general, de către N ash. În articolul menţionat din 1950, echilibrul Nash apare ca un răspuns ma­ tematic la o problemă de matematică; o tehnică de punct fix, căreia autorul îi găseşte o aplicaţie ime=

=

418

diată nu în economie, ci . . . la jocul de poker. Cât de spre semnificaţia pentru economie a echilibrul ui Nash, a trebuit să se aştepte câteva decenii pentru înţelegerea sa. Ignorat în anii '50, '60 şi chiar '70 de către cei mai mulţi economişti neoclasici, echilibr ul Nash a pătrun s târziu în manualele standard de economie; de fapt, adevărata lansare s-a produs abia în 1990, prin D . Kreps, "A Course in Macro­ economic The ory " , New York: Harvester-Wheat­ sheaf, 1990. În perioada 1966-1983, articolul din 1950 al lui Nash a fost citat numai de 63 de ori, iar cel al lui von Neumann din 1928 numai de 50 de ori . Una dintre cele mai utilizate cărţi de teoria j o­ curilor, cea a lui G. Owen (tradusă şi în româneşte, după cum am semnalat) nu menţionează decât de două ori, în ediţiile din 1970 şi 1982, numele lui Nash, pretinde Giocoli; totuşi, încă în ediţia din 1968, folo sită la traducerea în limba română, îl gă­ sim pe Nash citat cu patru articole , unul, cu L.S. Shapley (privind j ocul de poker cu trei persoane) , în capitolul 1, altele trei în capitolul 7 Dar nu e mai puţin adevărat că Owen, ca atâţia alţii, nu a realizat adevărata dimensiune a contribuţiei lui Nash. Ca la toate ideile mari, a trebuit ca timpul să aibă răbdar e.

RAŢIONALITATE A NASH ŞI ECONOMIA POSTBELICĂ Deşi produsul unei minţi exclusiv matematice, echilibrul Nash a fost recunoscut ca fiind încorpora­ rea celei mai importante idei economice, expresia mult căutată a raţionalităţii din perioada postbelică a acestei discipline. Dar de ce a venit această recu­ noaştere atât de târziu? De ce nu i-au sesizat sem­ nificaţia economişti care cunoşteau bine teoria jocurilor, ca Oskar Morgenstern sau Martin Shubik? Faptul pare cu atât mai surprinzător cu cât EN are un rol central în demonstraţia existenţei unui echi­ libru economic general (G. Debreu, "A social equi­ librium existence theorem " , Prac. of the National Academy of Sciences, 38, 1952, pp . 866-893; K.J. Arrow, G. Debreu, " Existence of an equilibrium for a competitive economy", Econometrica 20, 1954, pp. 265-290) . Giocoli explică această situaţie prin faptul că EN nu reprezenta tipul de raţionalitate pe care economiştii po stbelici s ă-I poată recunoaşte a fi consistent cu abordarea neoclasică standard a ace­ lei perioade. E N era perceput ca o nouă noţiune de echilibru, dar " cum"-ul şi " de ce" -ul său scăpau celor mai mulţi economişti. Se pare în să că miza noului punct de vedere se referă chiar la obiectul ştiinţelor economice . Mai este economia numai o ştiinţă socială care se ocupă cu producţia şi alocarea bunurilor materiale? Sau accentul se deplasează acum asupra motivaţiilor instituţiilor sociale? Înainte de Nash, teoria preţuri­ lor urma o metodologie analitică generală folosită în economie .

Perspectiva analitică tot mai cuprinzătoare a te oriei jocurilor necooperative a eliberat analiza econ omică practică de această restricţie metodo­ lo gic ă. Teoria jocurilor necooperative, în formularea lui N ash, ar trebui să fie văzută drept unul dintre marile momente de cotitură în lunga evoluţie a şti­ inţelor socio-economice. Dar este greu de reconciliat accentul pe noutatea metodologică a echilibrului Nash cu opinia standard potrivit căreia conceptul creat de Nash nu era decât formularea mult aştep­ tată a conceptului de comportament raţional, o con­ stant ă a economiei neoclasice. În domeniul teoriei j ocurilor, Nash a publicat nu m ai câteva articole, totalizând 87 de pagini. Într-un articol din Econometrica, din 1950, "The bargaining problem ", propune un tratament axio­ matic al problemei clasice a schimbului. În alt arti­ col, din Annals of Mathematics (1951), reproduce , cu unele modificări, teza sa de doctorat d e numai zece pagini, despre jocurile necooperative. Într-un al doilea articol din Econometrica (1953), de spre j ocu­ rile cooperative cu două persoane, extinde rezultate­ le din primul articol din Econometrica, ţinând seamă de rezultatele din articolul publicat în Annals of Mathematics. La ace stea se mai adaugă trei arti­ cole in colaborare cu colegi de la Universitatea din Princeton şi de la Rand Corporation.

VON NEUMANN ŞI NASH FAŢĂ-N FAŢĂ Punctul de echilibru a fo st gândit de Nash ca o extensiune a teoremei minimax relative la 2 P ZSG. Nash se simţea ghidat de obiceiul tipic unui mate­ matician de a încerca să slăb ească ipotezele folosite într-o teoremă. Aceste ipoteze nu puteau fi altele decât cea privind numărul j ucătorilor şi cea relativă la beneficii. Era deci natural pentru Nash să se orien­ teze spre înlocuirea lui 2 cu n şi la înlocuirea be­ ne ficiului fix cu unul variabil. Teorema lui von Neumann urma să devină un caz particular al teo­ remei lui Nash, cum chiar acesta din urmă remarca in primul său articol din 1950. Dar, de fapt, rezulta­ tul lui Nash nu era propriu-zis o teoremă nouă sub aspect matematic, ci o simplă aplicare a teoremelor de punct fix ale lui L. E.J. Brouwer şi S. Kakutani, fapt care explică reacţia de moment, mai degrabă minimalizatoare, a lui von Neumann, rezistenţa sa la încercările tânărului Nash de a-i câştiga atenţia. Mai multe detalii în această privinţă se găse sc în cartea lui Nasar , menţionată mai sus . Dar până la urmă von Neumann a găsit calea corectă de a se referi la Nash, în prefaţa ediţiei din 1953 a TGEB . În ceea ce-l priveşte pe Nash , atitudinea sa iro­ nică, de discreditare a TGEB, este vizibilă chiar în primul său articol din 1950, la sfârşitul căruia se aminteşte că numai în cazul 2P ZSG se întâmplă ca două echilibre diferite să conducă la aceleaşi bene­ ficii scontate . Pentru Nash, cazul 2P ZSG este , prin c aracterul său prea particular, inadecvat pentru o

discuţie teoretică generală privind j ocurile de strate­ gie. Iată cum von Neumann, altădată ironic la adresa economiştilor care-şi puneau problema jocurilor cu un singur j ucător, devenise la rândul său obiectul ironiei altui cercetător (mult mai tânăr decât el) .

DEMONSTRAŢIA REZULTATULUI LUI NASH Ne aflăm în prezenţa unui joc cu n persoane, în care fiecare j ucător dispune de o mulţime finită de strategii pure, dar poate recurge şi la strategii mixte . Orice n-tuplu de strategii (SI, S2, Sn) este un x Sn , unde punct în spaţiul produs Sn SI x S2 x fiecare Si este un simplex cu un număr finit de di­ mensiuni. Spunem că un n-tuplu de strategii con­ trează un alt n-tuplu dacă strategia fiecărui jucător în primul n-tuplu conduce la cea mai bună aştepta­ re posibilă pentru jucătorul respectiv, împotriva celor n-l strategii ale cel orlalţi jucători din al doi­ lea n-tuplu. Nash numeşte punct de echilibru un n-tuplu care se autocontrează. Pentru a evita com­ plicaţii tehnice, nu mai dăm analogul formal (în simboluri) al acestor consideraţii. În demonstraţia existenţei unui n-tuplu de echilibru, Nash se preva­ lează de faptul următor: corespondenţa dintre fieca­ re n-tuplu şi mulţimea asociată de n-tupluri care contrează revine la o aplicaţie a spaţiului produs S n în el însuşi. Graful acestei aplicaţii este închis, ca urmare a continuităţii funcţiilor de beneficii. Pe de altă parte, mulţimea n-tuplurilor de con­ trare asociate unui anumit n-tuplu este convexă, ca urmare a liniarităţii funcţiei scontate de beneficii (în sensul lui vN j M) . Ne aflăm în prezenţa unui graf închis, cu imagini convexe, şi se poate aplica te ore ­ ma de punct fix a lui Kakutani, pentru a se demon­ stra că aplicaţia are un punct fix, care este tocmai punctul de echilibru dorit . Rezultă că orice joc finit cu n jucători şi cu strategii mixte admite un punct de echilibru. Cu argumentul lui Nash, noţiunea de echilibru capătă o legitimitate deplină în teoria j ocurilor, du­ pă ce cuvântul respectiv fusese îndelung folosit în TG EB. Pen tru prima oară, legătura dintre noţiunea de echilibru şi aceea de punct fix apare în mod ex­ plicit. Cea mai obişnuită definiţie a echilibrului Nash este aceea bazată pe noţiunea de " cea mai bună replică" ; definiţia bazată pe ideea de contrare este mai puţin frecventă. Un EN este definit ca un n-tuplu de strategii, astfel încât fiecare dintre aceste strategii este o cea mai bună replică la cele mai bune replici la strategia respectivă. Încă în articolul său cu Lloyd Shapley, "A simple three-person poker game " (1950), Nash propusese o definiţie mai tradi­ ţională: "Un punct de echilibru (PE) este o mulţime de alegeri strategice , pure sau mixte, ale celor n jucători, astfel încât niciun jucător nu-şi poate ame­ liora şansa prin simplă modificare a propriei sale alegeri, alegerile cel orlalţi râmânând fixe. Aceeaşi =

419

definiţie se regăseşte în articolul său din " Annals of Mathematies" şi in articolul care l-a continuat pe acesta. Dar Nash nu a propus niciodată o interpreta­ re a noţiunii sale de echilibru şi nici nu a făcut vreo legătură între această noţiune şi ideea generală a raţionalităţii strate gice .

NASH DESPRE NEGOCIERI Articolul lui Nash pe această temă ( "The bar­ gaining problem" (195 0) se ocupă de problema schimbului între doi agenţi. Există printre econo­ mişti un acord mutual în baza căruia, atunci când orice schimb este mai bun decât niciun schimb, părţile vor aj unge la o înţelegere . A rămas însă fără răspuns chestiunea naturii acestei înţelegeri: cum anume îşi vor repartiza agenţii participanţi la nego­ ciere câştigurile rezultate? Niei vN /M nu au dat un răspuns la această întrebare . Nash este primul care a arătat că această problemă poate fi abordată fără referiri la factori sociologiei sau psihologici. El formulează câteva condiţii, sub formă de axiome, pe care orice soluţie plauzibilă a unei nego­ cieri ar trebui să le satisfacă. Nicio referinţă nu există în aceste axiome la factori psihologiei sau sociologici. Soluţia ia forma unei mulţimi de numere care exprimă beneficiile scontate pentru fiecare agent; această mulţime este numită " valoarea" j ocu­ lui . În continuare, se defineşte " anticipaţia agentu­ lui " , privită ca o stare a rezultatelor urmărite de agenţi, stare care implică certitudinea anumitor situ­ aţii contingente şi probabilitatea altora. De exemplu, o anticipaţie cu două persoane (2PA) este o combi­ naţie a două anticipaţii cu câte o singură persoan ă, adică un vector ale cărui componente sunt rezulta­ tele scontate de participanţii la schimb . O soluţie a unei probleme aflate în negociere ar trebui să se exprime ca un cuplu de evaluări raţionale ale câşti­ gurilor celor doi agenţi; calificativul de " raţional " revine la posibilitatea de validare printr-un acord. Cu alte cuvinte , dacă realizarea unui acord este trăsătura definitorie a unor evaluări raţionale, atunci existenţa unei soluţii impune existenţa unei 2PA accesibile , care să asigure fiecărui jucător câş­ tigul scontat, deci a unei 2 PA care se confirmă pe sine. Această caracterizare a soluţiei un or negocieri printr-o 2PA care se auto-confirmă anunţă punctul de echilibru pe care Nash urma să-I dezvolte câteva luni mai târziu şi , mai cu seamă, în teza sa publica­ tă în Annals of Mathematics. Nash adoptă ca o pre ­ supoziţie ideea că, drept urmare a raţionalităţii lor, agenţii vor recunoaşte într-un deplin acord capacita­ tea 2PA de a se auto-confirma. Aceasta înseamnă că, în condiţiile existenţei unui cuplu de anticipaţii care se auto-confirmă, negociatorii vor ajunge la acordul asociat cuplului re spectiv. Dar nu se de­ monstrează că acordul obţinut ar fi un punct fix al 420

evaluărilor agenţilor, nici nu se explică "cum şi de ce " apare cuplul adecvat de anticipări.

Î NTRE BROUWER ŞI KAKUTANI Ne vom referi acum la articolul despre joc uri necooperative din Annals of Mathematics (195 1 ) . Nash îşi i a d e l a început distanţă faţă de TGEB, unde obiectul de studiu îl constituie jocurile Coope­ rative; pe Nash îl interesează situaţia în care fiecare jucător acţionează independent, deci fără a comunica sau colabora cu alţi jucători. Prezentată din nou ca o extensiune a soluţiei lui von Neumann pentru 2P ZSG, noţiunea de punct de echilibru este prezentată aici ca un n-tuplu s (SI, S n ) , unde, pentru orice max pi (s, n) în raport cu rl , iar pi (.) este i, pi(S) pi (SI, . . . , Si-l, rl, beneficiul j ucătorului i şi pi (s, n) Si+l, . . . , S n ) . Un punct de echilibru este deci un n­ tuplu s astfel încât orice strategie mixtă a vreun ui jucător maximizează beneficiul său , în condiţiile în care strategiile celorlalţi jucători rămân neschimba­ te . Astfel, orice strategie a unui jucător este optimă în raport cu strategiile celorlalţi j ucători. De această dată, în contrast cu primul său articol, unde se prevala de te orema de punct fix a lui Kakutani, N ash face apel la teorema de punct flx a lui Brouwer (dar va reveni la teorema lui Kakutani într-un arti­ col ulterior al său , din 1953) . Demonstraţia se ba­ zează acum pe con struirea unei transformări continue pe spaţiul n-tuplelor strategii mixte, astfel încât punctele fixe ale transformării, puncte a căror existenţă rezultă din aplicarea teoremei lui Brouwer, sunt tocmai punctele de echilibru ale jocului. Această demonstraţie avea să devină un moment de importanţă istorică, deoarece s-a aflat ulterior la baza celui mai simplu argument în favoarea existe n­ ţei unui echilibru economic general; avem în vedere rezultatul care foloseşte o aplicaţie a lui Gale şi Nikaido (J. B. Shoven, J. Whalley, " Applying General E quilibrium " , Cambridge , MA: Cambridge University Pre ss, 1 992 , pp . 1 4-16). Nash consideră această demon straţie drept o ameliorare substanţială a celei anterioare, bazată pe teorema lui Kakutani, lucru straniu , deoarece Kakutani nu face decât să genera­ lizeze rezultatul lui Brouwer. Ce se ascunde aici? R.D. Luce şi H. Raiffa (" Games and Decisions" New York: John Wiley and Son s, 1 957, p. 390) şi R. Leonard (" Reading Cournot, reading Nash: the cre­ ation and stabilisation of the Nash equilibrium" Economic Joumal, 10 4, 1994, pp. 492- 5 1 1 ; în mod special p. 500) explică faptul prin superioritate a intuitivă a teoremei lui Brouwer fată ' de acee a a lui Kakutani. Demonstraţia bazată pe cea dintâi poate dezlănţui o dinamică narativă tinzând spre echi­ libru, în termenii unei secvenţe de aplicaţii continue ale căror puncte fixe au ca limită punctul de echili­ bru dorit. Desigur, în articolul lui Nash nu exis tă nicio referinţă explicită la aşa ceva, dar în teza sa =

=

=

,

e xis tă şi porţiuni eliminate în varianta din Annals şi una dintre ele ar putea sugera interpretarea de mai sus. În primul articol din 1 95 0 se menţionează că David Gale e ste acela care i-a sugerat lui Nash folo­ �irea teoremei lui Kakutani. Dar ideea iniţială a lui Nash pare să fi fost asociată cu povestea pseudo­ din amică (the pseudo-dynamic story) asociată cu demonstraţia bazată pe teorema lui Brouwer. O altă explicaţie a preferinţei pentru Brouwer c:l arţine lui K. C. Border ("Fixed Points Theorems with Aplications to Economics and Game The ory" , Cambridge: University Pre ss, 1985 , pp. 53-54) şi se referă la faptul că principala m enire a corespon­ _ci"enţelor în economie este de a pune în legătură situaţiile cu mai mulţi agenţi cu cele cu un singur �gent. Jocul neco operativ este o situaţie de primul ţip, unde găsirea unui echilibru cere o soluţie si­ multană a mai multor probleme individuale inter­ dep endente de maximizare. Fără a mai intra in detalii, vom spune că se ajunge la folosirea unei leme a lui von Neumann din 1 937, care extinde 'tţorema lui Brouwer (O funcţie con tinuă pe E cu val ori in E, unde E este convexă şi compactă, admi­ te cel puţin un punct fIx) la corespondenţe superior semicontinue; cu această lemă, teoremele asupra �orespondenţelor menţionate devin inutile, deoarece toate rezultatele pot fi obţinute folosind teoreme asupra funcţiilor; în particular, în loc de teorema lui J{akutani se poate folosi teorema lui Brouwer. Se : are că Nash era conştient de valoarea lemei lui von P Neumann.

p

CE ÎNSEAMNĂ A REZOLV A UN JOC? După Nash, un joc admite o rezolvare dacă mulţimea S a punctelor sale de ec hilibru satisface următoarea condiţie: dacă (t, n ) se află în S şi s este în S, atunci (s, n) se află în S (pentru orice i între 1 şi nI. În cuvinte: un joc admite o rezolvare dacă este posibil să se înlocuiască strategia folosită de jucătorul i in n-tuplul s de echilibru cu strategia folosită de i în n-tuplul t de echilibru, astfel încât să se obţină tot un n-tuplu de echilibru (i fiind cuprins între 1 şi nI. În acest caz, soluţia j ocului este mulţi­ mea S a punctelor sale de echilibru. Un j oc necoopexativ nu admite totdeauna o soluţie; dar atunci -când există o soluţie, aceasta e ste unică. Nash in­ troduce şi noţiunea de rezolvare tare ; aceasta în·:seamnă că j ocul are o soluţie S cu următoarea , proprietate: oricare ar fi i între 1 şi n, dacă s este în S şi dacă pi (s, fi ) pi (s) , atunci (s, fi) se află în S . Aceasta înseamnă c ă orice deviere unilaterală de l a Un n-tuplu de echilibru, care las ă ne schimbat bene­ ficiul, determină tot un n-tuplu de echilibru. În con­ tinuare, Nash defineşte valoarea unui j oc. Mai întâi şe consideră supremum-ul şi infimum-ul lui pi (s) c ând s parcurge pe S; primul, numit valoarea su­ perioară a jocului, este mai mare decât sau egal cu al doilea, numit valoarea inferioară a jocului. În =

cazul egalităţii, valoarea comună se numeşte valoa­ rea j ocului. Această valoare există ori de câte ori punctul de echilibru este unic. Definiţiile de mai sus arată că ceea ce Nash în­ ţelege prin " soluţie " , cu referire la un joc necoopera­ tiv, nu este un punct de echilibru al j ocului, ci mai degrabă o mulţime de puncte de echilibru cu pro­ prietatea că strategiile de echilibru ale jucătorilor sunt intervertibile. Faptul se explică prin scopul urmărit: o confIguraţie obiectivă a beneficiilor, care ar putea exprima valoarea j ocului, adică partea pe care fiecare agent scontează s-o obţină din j ocul respectiv. Soluţia, simplă sau tare, ascunde ideea protejării distribuţiei de beneficii de po sibile devieri ale vreunui jucător. Un j oc este rezolvabil dacă, pentru a ne exprima mai liber, un jucător poate ignora strategia " corectă" de echilibru, pentru a alege în schimb un echilibru "fals " , fără a împiedica, prin aceasta, posibilitatea, pe ntru toţi participanţii ( " societatea') de a obţine un echilibru şi , în cazul rezolvabilităţii tari, o valoare a jocului. Pe de altă parte , Nash a recunoscut că, spre deosebire de criteriul minimax al lui vNjM , punctul său de echilibru nu este complet obiectiv, adică total independent de procesele mentale ale jucători­ lor. Una dintre interpretările posibile ale echilibrului Nash pretinde din partea flecărui jucător o anticipare corectă a mutărilor de echilibru ale adversarilor. Noţiunea de soluţie reduce această dependenţă de capacitatea anticipativă a agenţilor, deoarece îi cere fiecărui jucător să folo sească cel puţin una dintre strategiile sale de echilibru, chiar dacă ea nu core s­ punde strategiilor de echilibru alese de ceilalţi jucă­ tori.

PROGRAMUL NON-COOPERATIV AL LUI NASH Nash indică unele direcţii de cercetare , în pri­ mul rând analiza tuturor jocurilor cu n persoane pentru care etica fairplay-ului impune un joc neco­ operativ (este dat ca exemplu jocul de poker). În ceea ce priveşte jocurile cooperative, Nash le vede ca situaţii strategice în care jucătorii pot şi vor să cola­ boreze , deci pot comunica şi forma coaliţii. Dar spre deosebire de vN IM , pentru care beneficiile erau liber transferabile, iar compensaţiile şi înţelegerile aveau loc în afara j ocului (sub forma negocierilor care pre ced jocul) , Nash con sideră această atitudine inutil de restrictivă, deoarece orice transfer dorit poate fi inclus ca o componentă a jocului, în loc de a-l plasa in afara sa. Nash preconizează un model al negocierilor preliminare jocului, în care aceste ne­ gocieri devin mutări într-un j oc non-cooperativ mai larg, cu o infinitate de strategii pure . În acest fel, studiul j ocurilor cooperative îşi transferă obiectul unui model non-cooperativ al fazei de negocieri. Jo­ cui lărgit astfel obţinut poate fi abordat cu echilibrul 42 1

Nash, convenabil extins la cazul infinit. Dacă există o valoare a jocului lărgit, atunci ea devine şi valoare a jocului cooperativ iniţial. Un exemplu de lărgire de acest fel este dat de N ash în articolul său despre jocurile cooperative , . dm Econometrica (1953). Un joc este cooperativ da­ că agenţii au libertatea de a discuta şi eventual cădea de acord asupra unui plan raţion l de acţiu � ne; într-un joc necooperativ, nu există posibilitatea comunicării şi colaborării între jucători. Faţă de acest r::od de a înţelege cooperarea şi absenţa ei , în . defimţllie moderne ale acestor notiuni s-a introdus o rr: odificare: chiar şi într-un j oc n 'ecooperativ, jucă­ . torn pot comunica între ei , cu condiţia de a nu fi obligaţi să încheie o înţelegere de un fel oarecare; a se vedea R.J. Aumann , "Game Theory" , în J . Eatwell, M. Milgate, P. Newman (ed s.) The New Pol­ grave: A Dictionary of Economics. London: Macmillan, 1987,460-482 (în particular p. 463). Pentru vN / M, jocul este o reprezentare formală a realităţii, capabilă de a sesiza toate trăsăturile relevante ale unei situaţii; realitatea nu este ca un j oc , ea este pur şi simplu un joc ; orice aspect stra­ tegic poate fi încorporat în structura obiectivă a jocului, deci modelele preconizate de vN/ M pretind a fi o reprezentare completă a interdependenţei stra­ tegice. Pentru Nash , lucrurile sunt total diferite. Do­ rinţa sa de a reduce tipurile de comportament care preced jocul la mutări într-un joc non-c ooperativ se împiedică de numărul infinit al acestor tipuri. Drept urmare, Nash constată imposibilitatea practică de a da o reprezentare non-cooperativă completă a situa­ ţiei şi se mulţumeşte cu o soluţie parţială, în care acele trăsături ale procesului de negociere care au f�st convertite în mutări non-cooperative sunt capa­ bIle de a înregistra restricţiile esenţiale ale negocie­ rii. Tocmai în direcţia identificării acestor " restricţii esenţiale" şi a convertirii lor în mutări ale jocului este îndreptat interesul lui Nash, care admite că aceeaşi situaţie strategică poate primi mai multe reprezentări ca joc. În contrast cu vN / M , Nash nu identifică realitatea cu jocul , ci vede în acesta din urmă o unealtă pentru investigarea celei dintâi. Nash nu se ambiţionează să delimiteze într-un mod casant situaţiile de joc şi tocmai prin aceasta a dat teoriei jocurilor o flexibilitate remarcabilă. Dar această libertate în înţelegerea ideii de joc contras­ tează cu severitatea atitudinii fată de statutul de jucător. Faptul este vizibil în arti �olul lui Nash din 1953, din Econometrica, unde este identificată o trăsătura specifică a procesului de negociere, în cadrul căruia jucătorii pot face ameninţări. Dar prin aceasta, spaţiul strategic al jucătorilor se reduce în mod drastic la o listă de ameninţări pe care ei le au la dispozitie.

�

422

DE LA PUNCTE DE ECHILIBRU LA FENOMENE OBSERVABILE Vom trece acum la interpretările posibile ale punctelor şi soluţiilor de echilibru, urmându-l , prin Giocoli, pe Nash cel din cartea sa Essays in Game Theory, Cheltenham, UK and Brookfield' VT USA­ Edward Elgar, 1996. Prima interpretare, ca ,mass � action" , a punctelor de echilibru, cere ca acelaşi joc să fie jucat în mod repetat, dinamică în care nu este nevoie să se postuleze ca jucătorii să dispună de o cunoaştere completă a structurii jocului, nici să po­ sede capacităţi speciale de raţionament. În schimb li se cere jucătorilor capacitatea de a folosi experien� ţa dobândită în practicile anterioare ale jocului res­ pectiv, cu scopul de a acumula informaţie privind avantajele relative ale posibilelor strategii care pot fi folosite. Accentul cade aici pe capacitatea jucătorilor de a învăţa din experienţă. Pentru a arăta că pe această cale se ajunge la un punct de echilibru, Nash face trei ipoteze: există o populaţie statistică de jucători pentru fiecare pozi­ ţie po sibilă a jocului; o rundă medie a jocului impli­ că n jucători selectaţi la întâmplare din cele n populaţii; fiecare strategie pură este folosită de către ,jucătorul mediu" al unei populaţii în conformitate cu o frecvenţă medie stabilă. Jocul fiind non-coope­ :ativ � n � exist �ol �borare între agenţii aflaţi în joc m dIferIte pozIţa. In continuare, Nash analizează procesul de învăţare relativ la experienţa anterioară a jucătorilor. Jucătorul mediu este capabil de a în­ văţa un comportament de echilibru, prin care tinde să se apropie de folosirea strategiilor mixte de echi­ libru. Există situaţii în economie şi în politica inter­ naţională în care un grup de interese se află implicat într-un joc non-cooperativ, fără însă a fi con ştient de acest fapt, situaţie care nu face decât să întăre ască ab senţa cooperării. În realitate , nu putem decât să aproximăm situaţia de echilibru.

:

�

PUTEM FI DE ACORD SĂ NU FIM DE ACORD? Cea de-a doua interpretare propusă de Nash se referă la jocuri practicate o singură dată. Noţiunea de soluţie are aici un rol esenţial. În ce ar consta o predicţie "raţională" a comportamentului asociat unui j oc raţional? Dacă jocul este rezolvabil, iar SI, S2, , Sn sunt mulţimile sale de strategii de echili­ bru, atunci o predicţie raţională a jocului ar trebui să indice faptul că un jucător raţional care ocupă poziţia i va alege, în medie, strategia mixtă Si din Si. Este ceea ce s-ar întâmpla dacă s-ar face un experiment, pe care Nash l-a şi făcut la Rand Corporation. Nu ne mai putem opri aici la numeroase alte aspecte, dar merită atenţie o teoremă a lui Robert J. Aumann asupra impo sibilităţii de a cădea de aco rd de a nu fi de acord (" Agreeing to disagree" , Annals of

Statistics 4, 1 976, 1 2 3 6 - 1 239) . Teorema afirmă că dacă doi agenţi pornesc cu un precedent comun, iar probabilităţile lor posterioare relative la un eveni­ men t dat sunt cunoscute , atunci ace ste probabili­ tăţi posterioare trebuie să fie egale, independent de o eventuală diferenţă de informaţie. Acest rezultat are implicaţii neaşteptate în economie şi contrazice in tuiţia standard conform căreia comerţul şi specu­ la există din cauză că informaţia de care dispun agenţii asupra evenimentelor este asimetrică. În să în virtutea teoremei de mai sus, a lui Aumann, dacă acţiunile agenţilor sunt cunoscute , atunci rezultatul comun al interacţiunii lor nu va depinde de vreo posibilă diferenţă în ceea ce priveşte informaţia de care aceşti agenţi dispun . Deci, jucătorii care por­ nesc cu anumite precedente comune şi cunosc ceea ce fiecare dintre ei urmează să facă nu vor dori nicio­ dată să parieze unul împotriva altuia. De fapt, nici măcar nu este nevoie să- şi cunoască unul altuia acţiunea următoare, sunt suficiente raţionalitatea jucătorilor şi voinţa lor de optimizare. Aceste din urmă condiţii sunt tocmai cerinţele pentru un echi­ libru Nash Baye sian , deci agenţii nu vor fi niciodată de acord. . . să nu fie de acord. Aşadar, diferenţele în informaţie nu pot fi o cale de a distinge între agenţi economici diferiţi. Specificăm că explicaţia bayesiană a EN nu este în esenţă diferită de interpretarea standard, de punct fix, a EN, amândouă repre­ zentând o abordare statică a echilibrului. o EVALUARE A TEORIEI LUI NASH Ca istoric al ştiinţelor economice în secolul al XX-lea, Giocoli propune o evaluare de ansamblu a teoriei lui Nash. Mai întâi, el constată ca EN este piatra de temelie a întregului edificiu teoretic al economiei neoc1asice contemporane , deoarece în ­ truchipează cea mai importantă idee a acestei eco­ nomii, aceea de comportament strategic raţional. bar acest fapt nu-l împiedică să vadă că încă nu dispunem de o explicaţie a resorturilor care-i de­ termină pe participanţii la un j oc non-cooperativ să aleagă strategiile lor de echilibru. Diferite propuneri in acest sens, ca aşa-zi sa abordare epi stemică sau aşa-zisa abordare evoluţionară, i se par lui Giocoli nesatisfăcătoare. Pe de altă parte, Giocoli constată că, în ciuda interesului lumii ştiinţifice pentru teori­ ile lui vN / M şi Nash , aceste teorii au fo st aproape neglijate de valul principal al economiei , situaţie drre ar putea fi explicată prin presiunea pe care a exercitat-o moştenirea economiei interbelice . Giocoli vede în teoria lui Nash un suport pe ntru vfiiunea SDF, de exemplu prin interpretarea " mass­ actlon " a EN şi a soluţiei unui joc. Acest fapt se află În aceeaşi tendinţă căreia îi aparţine şi criteriul minimax al lui vN / M , cu tipul de raţionalitate aso­ ciat, caracterizat de un comportament prude nt . Dar un alt fapt, mai interesant, reţine atenţia lui Giocoli : din teza lui Nash , numai o parte a fost re ţinută de

Annals of Mathematics,

pentru publicare, dar partea lăsată deoparte era tocmai cea mai semnificativă din punctul de vedere al ştiinţelor economice; a se vede a, pentru mai mult, E . R. Weintraub, " Review of Silvia Nasar, ��A Beautiful Mind)) " , Joumal of the History of Economic Th ought 2 1 , 1 9 9 9 , 20 9-2 1 1 ; E.R. Weintraub, How Economics Became a Mathema­ tical Science. Durham, NC: Duke University Press, 2002. ° atare situaţie a dăunat receptării ideilor lui Nash de către economişti şi a întârziat înţelegerea lor.

o REFLECŢIE A LUI GEORGESCU-ROEGEN În cartea sa Analytical Economics (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1 9 66, pp. 10 4 şi 1 29) , N. Georgescu-Roegen observă: "Omul nu poa­ te fi exclus dintr-o ştiinţă considerată a fi a omului. Totuşi, economia standard îşi face un titlu de mân­ drie din această exc1udere . . . Numai printr-o enigmă, se potrivesc anumite mijloace cu anumite scopuri, însă ace asta se poate obţine cu aj utorul calculato­ rului, nu este nevoie de un agent uman . . . Dar poate că într-o zi vom realiza că fiinţa umană nu-i nici ea altceva decât un instrument, singurul cu care se pot studia propriile sale înclinaţii " Cu ace st citat din cel care a fost un mentor al câtorva economi şti de vârf ai Americii (dintre care n-au lipsit laureaţi Nobel) , îşi începe Giocoli capito­ lul de concluzii, în care pune în contrast teoria mo­ dernă a jocurilor cu Imperiul Roman, în sen sul că, dacă cel de-al doilea a cunoscut mai întâi o perioa­ dă de creştere , după care a urmat o alta, de cădere , cu teoria lui vN/M şi Nash s-a întâmplat invers: a fost mai întâi o cădere, după care a urmat, şi conti­ nuă şi azi, o perioadă de creştere .

EŞEC ÎN ANII '50 ŞI '60, SUCCES ÎN ANII TÂRZII '70; DAR DE CE? Rezumând , Giocoli desprinde două trăsături maj ore ale istoriei raţionalităţii economice în secolul al XX-lea: pe de o parte , contrastul dintre reprezen­ tarea raţionalităţii ca absenţă a contradicţiei şi pro­ blema învăţării, care a cauzat un impas în curentul principal al economiei dinainte şi de după cel de-al Doilea Război Mondial; pe de altă parte, prevalenţa interpretării EN ca punct fix, deci caracterizarea raţionalităţii strategice ca o situaţie lipsită de con­ tradicţie. Dat fiind că EN este o componentă esenţială a imaginii neoc1asice actuale a comportamentului raţional, rezultă că teoria jocurilor non-cooperative a avut un rol decisiv în depăşirea contrastului din­ tre învăţare şi consistenţă logică. Într-adevăr, dat fiind că principala noţiune de soluţie exprimă cu rigoare acea idee de raţionalitate care a existat 423

totdeauna În economie, pare natural ca formularea ei să fi fost un factor decisiv în favoarea punctului de vedere formal al acţiunii neoclasice. Dar această reconstrucţie a relaţiei dintre teoria j ocurilor şi economiile neoclasice este defectuoasă sub aspect istoric. Modul non-cooperativ de a vedea compor­ tamentul raţional nu a fost totdeauna echivalent cu cel neoclasic . Giocoli pretinde că, de fapt, în a doua jumătate a secolului trecut, timp de vreo trei decenii, teoria jocurilor a dispărut de pe agenda cercetării economice. În ultimul capitol al cărţii sale, Giocoli îşi propune să arate că mai aproape de adevăr este a afirma că transformarea economiei neoclasice în direcţia unei reprezentări a raţionalităţii ca o situa­ ţie de consistenţă logică, deci o imagine SDR a ei, a făcut posibilă emergenţa teoriei j ocurilor non-coope­ rative şi a EN până la rolul lor determinant actual. Dar pentru a j ustifica ace st enunţ trebuie să se explice de ce , apărută la sfârşitul celui de-al Doilea Război Mondial, teoria j ocurilor nu a reuşit să atra­ gă interesul economi ştilor neoclasici din perioada imediat următoare războiului şi de ce, aceeaşi teorie a cunoscut o perioadă de prosperitate la sfârşitul anilor '70 şi inceputul anilor '80 . Din acest program pretenţios , Giocoli nu realizează decât o parte mo­ de stă: nici vN / M , nici Nash , cu te oriile lor, nu ar fi putut avea vreun rol în transformarea economiei neoclasice, pentru simplul motiv că niciuna dintre aceste teorii nu se potrivea cu imaginea prevalentă a ştiinţei economice în anii '50 şi '60; apoi, este de observat că situaţia s-a schimbat, în ceea ce priveş­ te abordarea Nash, abia în anii târzii '70. Teoria jocurilor a fost multă vreme incapabilă de a aduce o clarificare în probleme teoretice presante ale eco­ nomiei neoclasice , cum ar fi cele relative la echilibru şi raţionalitate , aşa cum apăreau ele în contrastul dintre viziunea SDF încă prevalentă şi noua viziune SDR. În ceea ce priveşte succesul recent al teoriei j ocurilor, el ar putea fi parţial explicat prin abilita­ tea sa de a explica noile aspecte ale echilibrului şi raţionalităţii , aşa cum apar ele din perspectiva SDR asupra economiei neoclasice actuale.

că această interpretare nu era cunoscută în perioada respectivă. Ceea ce se ştia atunci era abordarea de punct fix şi, în cel mai rău caz, un argument raţionalistic de natură să impună cerinţe epi stemice prea înalte pentru a se putea potrivi cu modul prevalent pe atunci de modelare a agenţilor economici. Se mai întâmplă să existe prea multe echilibre Nash şi niciun criteriu de a alege unul anume dintre ele . Iată dificultăţile situaţiei în care, pentru prima oară, o teorie matematică era construită cu scopul declarat de a servi ştiinţele sociale; dar, după cum s-a văzut, drumul matematicii şi drumul economiei au continuat să rămână paralele timp de aproxima­ tiv trei decenii , în care mingea s-a aflat în mâinil e matematicienilor. Joncţiunea avea totuşi să se facă . În ansamblul de factori care explică insuccesul iniţial al teoriei jocurilor, distingem nivelul matema­ tic scăzut al economişti1or, absenţa unor aplicaţii imediate (În contrast cu aşteptările) , accentul pus în primul rând pe instrumentarul folosit în TGEB, nu pe noutatea ideilor; neconcordanţa dintre momentul în care problema raţionalităţii este considerată de vN / M şi Nash şi momentul în care ea se pune pen­ tru economiştii neoclasici; modul diferit în care această problemă apare la unii şi la ceilalţi. Astfel, Daniel Ellsberg, Leonid Hurwicz şi Martin Shubik critică atât strategia minimax cât şi EN. Drept ur­ mare, atunci când , mulţi ani mai târziu, Shubik publică Strategy and Market Structure (New York: John Wiley and Sons, 1 9 59) , unde se propunea prima aplicare (care s-a dovedit totuşi nereuşită) a teoriei jocurilor în economia industrială, în lumea departamentelor economice universitare din USA interesul pentru teoria jocurilor aproape dispăruse între timp. John von Neumann trecuse, în anii '50, la preocupări de teoria automatelor (faimoasele sale automate celulare, care modelează lumea vie) , dar moare în 1 957, iar Nash cade repede pradă unei boli nervoase. Teoria j ocurilor de strategie devenise aproape exclusiv o ramură (de mare succes) a ma­ tematicii, dar economiştii o priveau ca pe o simplă curiozitate . ,

LA RĂDĂCINILE EŞECULUI Abordarea vN/ M venea în întâmpinarea menta­ lităţii economistului neoclasic mediu de după al Doilea Război Mondial, prin absenţa vreunei referiri la factori psihologici sau epistemici ; dar succe sul cărţii TGEB era limitat de caracterul static al anali­ zei, care limita problema învăţării la aplicarea regulii minimax, şi de dificultatea obiectivă de a argumenta matematic În faţa unui public de economişti în cea mai mare parte lipsiţi de o pregătire matematică. Să mai adăugăm la această distanţă care separă teoria lui Nash de economiştii neoclasici ai anilor '50 inte­ resul acestora pentru EN care ar fi putut fi explicat eventual prin interpretarea mass-action a EN, numai 424

CUM S-A REABILITAT TEORIA JOCURILOR ÎN OCHII ECONOMIŞTILOR Schimbarea s-a produs în cea de a doua jumă­ tate a anilor '70. Drumurile până atunci paralele ale matematicienilor şi economiştilor începuseră să se apropie, pentru a se contopi, în jurul anului 1980, într-unul singur; în acea perioadă, curentul princi­ pal al micro-economiei se orientase spre EN drept criteriu de comportament raţional . La 36 de ani după publicarea TG EB se putea în sfârşit afirma că revoluţia iniţiată de vN /M şi Nash îşi manifestă im­ pactul şi asupra ştiinţelor economice . De la analiza

pieţei şi a preţurilor, obiectul economiei se deplasa spre studiul general al factorilor care determină com portamentul în diferite situaţii de interacţiune socială (a se vedea şi R.B. Myerson, " Nash equili­ brium and the history of economic theory", Journal of Economic Literature, 37, 1 99 9 , pp. 1 0 67- 1 082). O producţie editorială prodigioasă ilustrează ascensi­ unea domeniului: John Harsany publica încă în anii '60 " Games with incomplete information played by !!Baye sianll players " (Management Science 1 4 , 1 967-68, pp. 1 59- 1 82 , 320-334 , 486-502) , Reinhard Selten ("Re-examination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games " , Interna­ tional Joumal of Game Theory, 4, 1 9 75, pp. 2 5-55) se concentrează pe analiza rafinamentelor posibile ale ideii de echilibru (atât Harsany, cât şi Selten aveau să primească în 1 994 , alături de Nash, pre­ miul Nobel pentru ştiinţe economice) . La aproape 2 0 de ani după încercarea nereuşită a lui Shubik, l a care ne-am referit mai sus, James Friedman (Oligopoly and the Theory of Games, Amsterdam, North Holland, 1 977) realizează prima aplicare de succes a analizei strategice . Primul manual de mi­ cro-economie bazat explicit pe teoria j ocurilor de strategie aparţine lui David Kreps (A Course in Microeconomic Theory, New York, Harvester­ Wheatsheaf, 1 9 90) . Dar .Giocoli consideră că niciuna dintre lucrări­ le de mai sus sau altele, pe care nu le mai menţio­ nează, nu explică rădăcinile revirimentului pe care l-a cunoscut teoria j ocurilor în anii '70 - '80. Proble­ ma rămâne deschi să, crede Giocoli , dar el este con­ vins că fenomenul nu e străin de trecerea ştiinţelor �conomice de la o viziune S DF la o viziune SDR. Aceasta din urmă a condus la triumful punctului de vedere al consistenţei logice în modul de a vedea raţionalitate a şi la abandonarea problemei învăţării, amândouă având ca efect modelarea interacţiunilor economice pe baza ideilor lui Nash . Revoluţia produsă de teoria jocurilor a fost fa­ vorizată de ideile economice al lui P. A. Samuelson (a se vedea articolele sale din revistele Economica şi Eco­ nometrica şi cartea sa din 1 947, reluată în 1 9 83, Foundations of Economic A nalysis, Cambridge MA: Harvard University Press) şi de ascensiunea para­ digmei neo-Walrasiene a teoriei echilibrului general (TEG) ; a se vedea L. Walras , Elements of Pure Economics (London , George Allen and Unwin, 1 874, 1926, 1 954) . Samuelson este răspunzător de înl o­ cuirea analizei dezechilibrului cu teoria stabilităţii, reuşind prin aceasta să elimine de pe agenda eco­ nomişti1or chestiunile de tipul cum şi de ce " " Walras şi continuatorii săi sunt cei care au ajutat la Co nsolidarea viziunii SDR. Tipul de TEG care a pre­ ycDat a fost stilul Bourbakist al lui Gerard Debreu, �are a descuraj at încercările de analiză con structivă

sau computaţională, în favoarea abordării formale , existenţiale , de non- contradicţie logică.

JOCURI DE STRATEGIE, DINCOLO DE DOMENIUL ECONOMIC Ideile de bază ale teoriei j ocurilor au pătruns în domenii dintre cele mai variate, de la diplomaţie la literatură, de la biologie la teatru şi de la sociologie la arta militară. Metafora minimax şi aceea a jocuri­ lor de sumă nulă au proliferat în viaţa cotidiană şi în mass-media. Steven J. Brams a propus o lectură de j oc strategic a Vechiului Testament (Biblical Games, Cambridge, MA, MIT Prss, 1 980) , în cadrul căreia diferite episoade sunt interpretate în cheie strategică, unul dintre jucători fiind mereu o zeitate presupusă a fi omniscientă. Dar specialitatea lui Brams sunt ştiinţele politice, în care a făcut aplicaţii interesante ale teoriei j ocurilor, publicând următoa­ rele cărţi: Game Theory and Politics ( 1 975) , Para­ doxes în Politics ( 1 9 7 8) şi The Presidential Election Game ( 1 97 8) . A publicat şi o sinteză a aplicării teo­ riei j ocurilor în literatură. În două numere duble din revista Poetics, voI . 6, 1 97 7 , no. 3 / 4 (Mouton , The Hague) şi voI . 1 3 , 1 9 84 , no. 1 / 2 (North-H olland, Amsterdam) pe care le-am editat pe tema " Studiul formal al dramei " , am inserat câteva articole care folosesc j ocurile de stra­ tegie in cercetarea conflictelor teatrale; printre au­ tori, Pia Brînzeu (care a propus o lectură strategică a pie sei Othello de Shakespeare) şi Lynda A. Davey, care s-a ocupat de strategiile autor-cititor în piese ca Doctor Faustus de Marlowe, Don Juan şi Vicleniile lui Scapin de Moliere şi Şase personaje în căutarea unui autor de Pirandello, identificând în ele j ocuri cooperative , de sumă nulă şi cu strategii mixte. Reperul Lyndei Davey l-a constituit articolul Elizabethei Bruss: "The game of literature and some literary game s", New Literary History, 9, 1 977, pp . 1 53- 1 7 2 . O lucrare foarte semnificativă pentru relevanţa teoriei j ocurilor în domeniul social este cartea lui Anatol Rapoport, Fights, Games, and Debates, Ann Arbor, University of Michigan Press, 1 960. Jocurile de strategie apar la acest autor ca ocupând o poziţie intermediară între lupte (războaie) şi dezbateri. În viziunea actuală, suntem tentaţi să plasăm j ocurile de strategie pe o poziţie de universalitate; în spatele oricărui război şi al oricărei dezbateri se află şi un joc strategic, acesta din urmă devenind o paradigmă universală. Să mai semnalăm: Mircea Maliţa, Jocuri pe sce­ na lumii. Co nfli cte negocieri, diplomaţie, Bucureşti, Editura C. H . Beck, 2007, unde negocierile bilaterale sunt ilustrate prin exemple istorice, ca cele dintre ,

425

domnul Munteniei Şerban Cantacuzino şi principele Apafi al Transilvaniei, dar şi prin exemple relative la perioada celui de -al Doilea Război Mondial: conflic­ tul dintre americani şi japonezi. În aceeaşi carte se studiază şi negocierile multilaterale , care dau naşte­ re la coaliţii. Sunt prezentate atât ideile lui von

426

Neumann- Morgenstern, bazate pe noţiunile de im­ putaţie, mulţimi de stabilitate şi soluţii dominante, cât şi ideile şcolii Aumann-Maschler, unde ap ar conceptele de configuraţie, obiecţie şi contraobiecţie. Alte aplicaţii la relaţii internaţionale în Milenium III, Vara, 2007.

CAPITOLUL IV JOCURI DE CUVINTE

Un exemplu tipic al acestora sunt cuvintele incrucişate. Ele presupun o bună cunoaştere a vo­ cabularului, solicită o gândire combinatorie (arti­ cularea orizontal ului cu verticalul) , dar şi o gândire inductivă şi strate gică.

TUDOR ARGHEZI ŞI ÎNCRUCIŞAREA CUVINTELOR Dar poate că punctul de atracţie al acestui j oc constituie gândirea semiotică, orientată spre ex­ plicarea modului în care ceva trimite la altceva. Atunci când N. Gh. Popescu- Rebus i-a propus lui Tudor Arghezi un careu de cuvinte care-şi aşteptau definiţiile (un joc se face în ordinea inversă faţă de aceea în care el se rezolvă) , el a avut în vedere tocmai gândirea semiotică pe care poezia o stimu­ lează. Să amintim o reflecţie a lui Mallarme: "A numi un obiect înseamnă a suprima trei sferturi din plăcerea de a-l ghici puţin câte puţin ; a-l sugera, iată visul " Nu se întâlneşte aici rebusul cu poezia? Gândirea semiotică se dezvoltă, în esenţă, în două direcţii, după cum predomină analogia sau contigu­ itatea. Prima dă naştere metaforei, a doua meto­ nimiei. Să deschidem volumul Cu vinte potrivite şi incrucişate (Tudor Arghezi, Scrieri, Bucureşti , Editu­ " ra Minerva 1 97 6) . Explicaţii ca " mătură de crăci pentru târn " , "făină care se topeşte la Iaşi" pentru " "nea" , " ortografia emfatică şi maJusculară a cuvân­ tului ţăr " pentru ţar", "influenţa literară a p oetului " " A. Toma pentru atomică" stau toate sub semnul " analogiei, al metaforei sau, cum se spune cu un tennen mai pretenţios în semiotică, al semnelor ic�mice . Alte explicaţii ca "umple lucrurile şi este gol" pentru eter " , născut odată cu ciocanul" pen­ " " tru cui" , vine cu s omn şi cu abdomen " pentru " " "lene", o putere cu tobă" pentru fisc " au în vedere " " relaţii de contiguitate, de tipul a ceea ce se înţelege in se miotică prin semne indiciale, iar în poetică prin figtlri metonimice. M ai e apoi o a treia categorie de explic aţii, în care se stabileşte un echilibru între il

iconic şi indicial, între metaforă şi metonimie: " " " scoală ca să şed pentru " opoziţie , " fabulă în carne şi oase " pentru " menaJerie" J ocul este inerent oricărei activităţi de căutare . Cine caută are nevoie de mai multe încercări decât de găsiri, cu alte cuvinte încercările trebuie să-şi permită, în anumite limite, luxul eşecului. Această tensiune a spiritului trebuie compensată prin fac­ tori agreabili, pentru a o face suportabilă şi produc­ tivă. Aşa se naşte jocul , inerent creaţiei aşa cum valul este inerent înotului. Gândirea înaintează, prin j o c , de la cunoscut la necunoscut, de la previ­ zibil la imprevizibil, de la sigur la problematic, de la nimereală la strategie . Jocul nu se asociază facilului şi neseriosului, ci creaţiei şi sensibilităţii.

PUTEREA COMBINATORIE A LITERELOR Jocul de cuvinte încrucişate este , după toate aparenţele , j ocul cel mai răspândit. În tren, în avi­ on, în autobuz şi în metrou întâlnim mereu persoa­ ne cufundate în rezolvarea unui joc de acest fel. Puterea combinatorie a literelor, articulată cu as­ pectele culturale implicate în ghicirea cuvântului avut în vedere , pornind de la o informaţie incomple­ tă, aflată într-o relaţie de contiguitate sau de analogie cu respectivul cuvânt, generează o stare de bună­ dispoziţie, care ne incită să ne încercăm puterile în completarea pătratelor albe cu litere corespunzătoa­ re . Jocul ace sta comportă un compromis: unele pătrate rămân parazite , ele nu pot fi ocupate de nicio literă şi marchează limita, iniţială sau finală, a cuvintelor avute in vedere . Desigur, dacă suprafaţa de încrucişare nu este prea mare, există po sibilita­ tea unor încrucişări fără pătrate parazite: limita, iniţială sau finală, a fiecărui cuvânt este dată de limita suprafeţei de încrucişare . Astfel , pentru limba română, s-a putut identifica un pătrat de dimensi­ une egală cu 9, în care fiecare linie şi fiecare coloa­ nă sunt ocupate de cuvinte existente în limba română, deci pătratele parazite sunt complet evitate. Exemplul care urmează este datorat lui Nicolae Andrei 427

şi a apărut în revista Rebus din iulie 1 968 . Cuvinte­ le, aceleaşi pe orizontală şi pe verticală, sunt, în ordine, următoarele: rabatabil, anisobari, bivinilic, asimilati , tonificat, abilitata, balacarit, iritativi, lici­ taţie. Ulterior, au fost date şi alte exemple de acest fel . Se observă că toate cuvintele alternează vocalele cu consoane , deci nu există consoane consecutive, nici (cu o singură excepţie) vocale consecutive . După cunoştinţa noastră, nu se cunoaşte niciun careu de dimensiune egală cu 1 0, în care pătratele parazite să fie total absente. S-a putut însă construi un atare careu cu numai trei pătrate parazite. Dacă pentru cel care rezolvă un careu rebusist itinerarul parcurs este de la explicaţii la cuvinte, pentru cel care con struieşte un atare careu itine­ rarul este invers: de la cuvinte care ocupă, orizontal şi vertical, pătrate albe ale careului la explicaţii cât mai ingenioase şi mai surprinzătoare. Adrian Atanasiu a colecţionat, din publicaţii rebusiste , un număr mare de explicaţii de acest fel, pe care le-a publicat într-un volum intitulat: Poezia definiţiilor rebusiste. Vom vedea mai târziu exemple similare în engleză sau latină. Desigur, forma unui j oc de cuvinte încrucişate nu este obligatoriu un careu, ea poate fi dreptun­ ghiulară sau altfel. Cele mai multe jocuri sunt te­ matice. Calitatea unui j oc de acest fel poate fi apreciată după mai mulţi parametri : proporţie cât mai mică de pătrate parazite (de obicei, pătrate ne­ gre) , caracterul neforţat al cuvintelor folosite, înca­ drarea lor într-o anumită temă şi o relaţie cât mai sugestivă între explicaţii şi cuvintele la care ele se referă. Tudor Arghezi poate constitui în această privin ţă un reper.

TREI TIPURI DE JOCURI DE CUVINTE Cuvintele încrucişate sunt unul dintre cele mai celebre j ocuri de cuvinte , dar varietatea acestor jo­ curi este imensă. Ce poate fi mai natural, mai ten­ tant, decât să încerci să te joci cu elementele unui alfabet, pe cele două axe posibile: axa alegerii şi axa corn binării. Există ideea conform căreia orice act de creaţie este o alternare de alegeri şi combinări. Du­ pă ce am ales anumite obiecte, ca un punct de pleca­ re , studiem diferite combinări ale lor, care conduc la alegerea unor noi obie cte ş.a.m. d . Jocurile de cuvin­ te nu fac decât să prefigureze acest proce s , în una dintre situaţiile cele mai familiare: aceea în care obiectele iniţiale sunt literele alfabetului. Orice exerciţiu de acest fel constituie un antrenament pentru alte po sibile întreprinderi similare, dar cu finalitate semnificativă într-un domeniu de interes social. Dar chiar rămânând la cuvinte, avem în faţă un câmp infinit de posibilităţi, unde imaginaţia şi cultura noastră sunt puse la încercare şi stimulate să se îmbogăţească. În aceste condiţii, este explica­ bil faptul că jocurile de cuvinte sunt în atenţia mul­ tor canale de televiziune din lume . Dar şi aici, ca şi 428

în şah , s-ar putea ca posibilităţile oferite de mijloac e­ le electronice să aducă modificări substanţiale. Fiecare dintre noi poate imagina şi propune un nou joc de cuvinte. Un scriitor francez a publicat un roman în care toate cuvintele incep cu lite ra P. Umberto Eco a propus problema găsirii unui enunţ în care fiecare literă a alfabetului apare o singură dată. El pretinde că a rezolvat problema în cazul limbii italiene. Problema pare dificilă, trebuie testate multe po sibilităţi, calculatorul ne-ar putea veni în aj utor. O altă problemă apare în mod natu­ ral: Care este cel mai lung enunţ posibil în care nicio literă nu apare de mai multe ori? Sau apare de un număr fixat de ori . Î n urmă c u mulţi ani , a fost dedicat u n volum j ocurilor de cuvinte ( Gheorghe Sanda, Enigmistica de la A la Z) . Aici însă, ne vom adresa unei alte Sur­ se, în care, mai mult decât în cartea lui Sanda, jo­ curile de cuvinte sunt discutate nu numai în perspectivă ludică, ci şi în perspectivă lingvistică şi poetică: Pierre Guiraud, Les jeux de mots} Collection " " Que sais-je? , Presses Universitaires de France , Paris, 1 976. Într-adevăr, jocurile de cuvinte consti­ tuie un puternic factor stilistic, pe care nu-l putem ignora decât sărăcind po tenţialul lor cultural. Pierre Guiraud a identificat peste o sută de fe­ luri de j o curi de cuvinte, pe care le-a repartizat în trei tipuri: jocuri de substituţie , jocuri de înlănţuire şi jocuri de incluziune .

JOCURI DE SUBSTITUŢIE Ace stea vizează în primul rând axa alegerii (axa paradigmatică, după terminologia din lingvisti­ ca structurală sau axa metaforică, după Roman Jakobson) . De exemplu, se exploatează echivocul care rezultă dintr-o asemănare fonetică asociată cu un contrast semantic. Tipic în această privinţă este calamburul. Iată unul creat spontan de Şerban Cio cule scu . Aflat la restaurantul Uniunii Scriitori­ lor, a comandat o porţie de caşcaval, dar i s-a răs­ puns că s-a terminat. Replica lui Şerban : " Ce e caş ca valul trece l " Calamburul se poate baza pe feno­ menul de polisemie (existenţa mai multor sen suri ale aceluiaşi cuvânt) . Când matematicianul Gr. C . Moisil a fo st întrebat dacă e specialist în materie de vin sau numai un amator, el a răspuns: "Nu sunt deloc specialist, sunt un simplu amator, dar foarte amator" Această reluare a unui cuvânt într-o frază, dar cu un alt sens decât cel iniţial , constituie pro­ cedeul stilistic numit antanaclază, după grecescul anaklasis, care înseamnă " repercusiune " Un alt exemplu de acest fel este faimoasa reflecţie a lui Blaise Pascal: " Inima are raţiunile ei, pe care raţiu­ nea le ignoră" Există calam bururi care provin din segmen tări diferite ale aceleiaşi expresii: titlul sadovenian Ve­ nea o moară pe Siret a fo st citit de un elev şugubăţ: Venea omoară pe Siret. În această ordine de idei , să

semnalăm holorimele, o extensiune a fe nome nului de rimă de la cuvinte la întregi expresii sau versuri. Eminescu a rimat "Tisa" cu "plânsu-mi-s-a" În lim­ ba franceză, po sibilitatea holorimelor este mai mare decât în română, putem menţiona exemplul cele­ bru: Galamment de l 'arene â la tourmagne â Nîmes. Gal, amant de la reine , alIa, tour magnanime. Un maestru al holorimelor în limba română este poetul timişorean Şerban Foarţă. Un calambur bine cunoscut, bazat pe omonimia franceză dintre "mots" (cuvinte) şi maux" (substantivul rele") aparţine lui " " Paul Valery: Entre deux mots jmaux il faut ·c hoisir " le moindre " Şarada, rebusul, cuvintele încrucişate intră în clasa j ocurilor de substituţie. Un tip frecvent de şaradă este acela în care se operează de scompu­ nerea unui cuvânt în componentele sale (de exem­ plu, în silabe), dându-se apoi un echivalent analogic sau contiguu al fiecărei componente . De exemplu, carton" se de scompune în car" şi ton" , dar cele " " " două silabe sunt la rândul lor cuvinte şi oferă po si­ bilitatea unei reprezentări pictografice pentru " car" şi a alteia muzicale pentru "ton"

JOCURI ALE ÎNLĂNŢUIRII Avem în vedere jocuri care operează pe axa sin ­ tagmatică a combinării , numită de Jakobson axa contiguităţii sau metonimiei. Procedeul înlănţuirii cunoaşte în retorică diferite aspecte : acumulare ("Francezi, englezi, italieni, spanioli, germani, autori de toate naţionalităţile îşi încearcă puterile, se afirmă în cultură, se întrec în creativitate , intră în competi­ ţie pentru a câştiga anumite priorităţi. " ) ; progresie ( Din cauza unui cui , s-a pierdut o potcoavă, din " cauza unei potcoave a murit un cal, din cauza pier­ derii calului a murit călăreţul , din cauza pierderii călăreţului s-a pierdut un război, din cauza pierde­ rii războiului s-a pierdut un regat " ) ; enumerare (" Elementele acestei mulţimi sunt O, 1 , 2, 3, 4 şi 5) ; concatenare ( Lumea politică este un cerc vicio s , un " cerc în care anarhia generează tirania; tirania dă naştere revoltei, iar revolta duce din nou la anarhie " etc.); apoi, falsa co ordonare ("are febră şi bani" ) . Un abil mânuitor al fal sei coordonări este în literatura română dramaturgul şi prozatorul Teodor Mazilu. După cum se poate vedea, există aspecte para­ digmatice şi în j ocuri de înlănţuire . Operează aici principiul proiectării axei paradigmatice pe axa sin­ tagmatică, teoretizat de Roman Jakobson ca sursă de efecte stilistice. El dădea şi exemplul 1 Iike lke, slogan în care Ike nu este altcineva decât fostul preşedinte al Statelor Unite, Dwight Eisenhower. Recunoaştem aici procedeul aliteraţiei, constând în existenţa unor legături de similaritate între termenii legaţi prin contiguitate sintactică. Generaţia mea era fermecată de versul co şbucian, " Prin vulturi vântul viu vuia" , iar opera lui Eminescu abundă în situaţii de acest

fel, pe care teoreticienii le includ la capitolul "înIăn­ ţuiri prin omofonie " De un deosebit efect în genera­ rea absurdului este înlănţuirea prin automatism: Da, într-adevăr, apa nu fierbe la 90 de grade , ci la " 1 00 de grade; la 90 de grade fierbe unghiul drept" Să mai menţionăm înlănţuirea aleatorie, întâlnită la suprarealişti (scriitura automată) şi la partizanii lite­ raturii potenţiale preconizate de Raymond Queneau. O prezentare mai detaliată a un or jocuri de cuvinte, accesibilă în limba română, cu accent pe aspectul lingvistic şi stilistic , se găseşte în Dicţionar general de ştiinţe. Ştiinţe ale limbii, de Angela Bidu-Vrănceanu, Cristina CăIăraşu, Liliana 10nescu-Ruxăndoiu, Mihaela Mancaş şi Gabriela Pană-Dindelegan (Bu­ cureşti, Editura Ştiinţifică, 1 997) . Este interesant faptul că unele dintre j ocurile de cuvinte folo site pentru efectul lor stilistic au dat naştere şi unor jo curi de societate, a căror de scriere poate fi găsită la Pierre Guiraud (op. cit. , pp. 36- 38) .

JOCURI ALE INCLUZIUNII Este vorba de acele j ocuri de cuvinte în care un mesaj mai mult sau mai puţin secret este înscris în interiorul unui text dat. Se disting trei grupe de j ocuri de acest fel , după cum procedeul folo sit este de permutare, de încorporare sau de interpolare . Permutarea este fol o sită în anagramare şi în logogrife, în antistrofe, metaboluri şi palindroame; incorporarea apare în acrostihuri şi cronograme , iar interpolarea intervine în coduri argotice şi în cuvin­ te-valiză, inventate de Lewis Carroll (în Alice în Ţara Minunilor) şi care apar şi la Jame s Joyce. Un cu­ vânt-valiză (varianta engleză este : portmanteau word) este , de exemplu, la Carroll , verbul to galumph, combinaţie între to gallop " şi to triumph şi care " semnifică " a galopa triumfător" Metafora valizei şi aceea a portmantoului s-ar justifica deci prin faptul că două unităţi semantice diferite sunt împachetate , adăpostite într-un singur cuvânt. Cuvântul franglais inventat în Franţa pentru a de semna o corcitură de franceză şi engleză ar putea intra în această catego ­ rie . Nu cumva şi cuvântul iff' , inventat de matema­ " ticieni pentru a desemna pe if an only if ar putea intra în aceeaşi categorie? Să dăm şi un exemplu din logică. Nelson Goodman, în analiza inducţiei, a atras atenţia asupra unui paradox al culorii. Să presupunem că toate smaraldele pe care le-am întâlnit până în mo­ mentul de faţă au fost verzi şi să definim o nouă cu­ loare, verdastru" (în engleză: g111 e) , egală cu verde " pentru smaraldele dej a întâlnite şi egală cu albastru pentru acelea pe care le voi întâlni în viitor. Ar rezul­ ta prin inducţie că smaraldele viitoare vor fi . . . albas­ tre. Cuvântul verdastru " este un cuvânt-valiză în " care am împachetat pe verde şi pe albastru (în engle­ ză: g111 e green + blue) . Permutarea constă în schimbarea lo cului unor sunete (sau litere) într-un cuvânt sau într-o frază. Încorporarea revine la înscrierea unui mesaj ludic =

429

într-un text

iniţial. Interpolarea constă in introduce­ corpul unui cuvânt sau al unei fraze a unor elemente parazite convenţionale, cu efect de disimu­ Iare şi perturbare. Răufăcătorii recurg la coduri argo­ tice bazate pe interpolare , pentru a păstra secretul mesaj ului lor. Pare însă curioasă includerea cuvin­ telor-valiză în categoria jocurilor de interpolare; nu prea se vede despre ce interpolare e ste vorba. Arti­ cularea primei părţi a unui cuvânt cu a doua parte a altui cuvânt e ste folosită de multă vreme în limba­ jul ştiinţific. De exemplu, cuvântul englezesc bit pro­ vine din binary digit; cuvântul clopen, folosit în matematică pentru a de semna mulţimile care sunt în acelaşi timp închise şi deschise, provine din combinarea cuvintelor closed (închis) şi open (des­ chis) La ele se adaugă şi exemplul lui grue discutat mai su s . Probabil că fenomenul apare şi în limbajul cotidian, după modelul lui frangleză. Mai sunt apoi j ocurile pictografice, unde literele, silabele şi cuvintele sunt reprezentate prin imagini vizuale. Aici intră multe tipuri de rebus, caligramele devenite celebre cu Apollinaire şi cuvintele încruci­ şate pe care le-am c omentat mai sus şi care, în ciu­ da popularităţii lor, au o istorie care nu urcă mai departe de prima treime a secolului al XX-lea, chiar dacă latinii ne-au lăsat celebrul pătrat magic în care fraza "Sator arepo tenet opera rotas" îşi poate dis­ pune cele cinci cuvinte alcătuitoare atât pe orizon­ tală, căt şi pe verticală, într-un acelaşi pătrat de dimensiune 5. La francezi, se cunoaşte un careu de aceeaşi dimensiune, ocupat, pe orizontală şi pe verti­ cală, de aceleaşi cuvinte: orange , ragout, agonie , nonidi , guidon, eteint, dar concatenarea lor nu ge­ nerează un enunţ c oerent, aşa cum se întâmplă cu careul pe care ni l-au transmis latinii. De la aceste careuri de dimensiune 5 până la cel de dimensiune 9, posibil în limba română, fără pătrate parazite, este o cale lungă. Poate că între timp s-au putut da şi în limba franceză exemple de careuri de dimensiune superioară lui 5, fără pătrate rea in

.

parazite .

AMBIGUITATE ŞI LAPSUS Poeticul şi ludicul interferează puternic în j ocu­ de cuvinte. Cum ar putea fi altfel, dacă ţinem seama de faptul că amândouă au la bază acelaşi material, limbajul natural, şi amândouă îşi propun să se constituie într-o evadare în raport cu cotidia­ nul, o evadare exprimată prin gratuitatea atât a ludicului, căt şi a poeticului? În această ordine de idei, sunt importante " accidentele" limbajului pro­ venite din ambiguitate, contra cărora limbajul se protejează prin diverse mijloace . Aici intră în scenă şi o altă ştiinţă, teoria informaţiei, care include şi teoria codurilor. Orice mesaj este alcătuit din două părţi: o parte propriu-zisă, de informaţie, şi o a do­ ua parte de control. Această a doua parte are sco­ pul de a face în aşa fel încât mesajul să poată fi

rile

,

430

înţeles de către de stinatar, chiar dacă el a suferit, în pro cesul de transmitere, unele deteriorări. în limbaj ştiinţific se spune că limbajul, deci codul folosit, trebuie să poată detecta şi corecta erorile. De exem­ plu, în expresia " c opii cuminte " detectarea erorii este po sibilă, datorită dezacordului gramatical, dar nu e ste posibilă şi corectarea erorii, deoarece nu putem şti dacă sintagma corectă este "copil cumin­ te " sau " copii cuminţi " Un accident frecvent de limbaj este lapsus-ul (în latină, lapsus înseamnă alunecare) . El este fie Un accident de vorbire (lapsus linguae) , fie un accide nt de scriere (lap su s calami) şi constă în a spune ( scrie) un cuvânt pentru un altul. Lapsusul fonetic poate consta în sub stituirea sau intervertirea de sunete sau litere . Guiraud citează exemplul unei doamne care d orea să felicite pe autorul unui trata t de tactică militară şi s-a adresat astfel: " Felicită ri pentru tic-tac-ul dv. ! " Un alt exemplu de lapsus este citirea titlului piesei cunoscute a lui Eugen I onescu " Regele moare " sub forma " Megele ro are" sau sub forma " Le meurt se roi " o SINTEZĂ A JOCURILOR DE CUVINTE Guiraud (op. cit. , p. 9) propune următoarea sin­ teză a jocurilor de cuvinte. Ace ste j ocuri pot fi de trei tipuri: de substituţie , de înlănţuire şi de incluziune. Ele se pot situa la trei niveluri: fonetic, lexical şi pictografic. Jocurile de substituţie au loc pe axa paradigmatică a similarităţii şi metaforei. Jocurile de înlănţuire au loc pe axa sintagmatică a contiguităţii şi metonimiei. J ocurile de incluziune au loc pe axa sintagmatică a deplasării şi metatezei. Jocuri de sub stituţie la nivel fonetic: omonimia, echivocul, calamburul, h ol orimele; la nivel lexical: sinonimia, calamburul, şarada; la nivel pictografic: rebusul. Jocuri de înlănţuire la nivel fonetic: concatenare; rime înlănţuite ; la nivel lexical: concatenare; scriere automată; la nivel pictografic: rebusul. Jocuri de incluziune la nivel fonetic: anagrama, logogriful, palindromul; la nivel lexical: acrostihul, cronogra­ ma; la nivel pictografic: caligramele. Multe sunt de spus pe marginea acestei sistema­ tizări. Pentru a da numai un exemplu, nu am discu­ tat de spre palindromuri, acele expresii care se citesc la fel de la stânga la dreapta ca şi de la dreapta la stânga. Se cunoaşte exemplul enunţului Epuraşul " uşa rupe " , care e ste palindromic. Se cunosc mult e cuvinte p alindromice, de lungimi până la nouă lite­ re . Până unde merge palindromia enunţurilor coe­ rente sintactic? Dar a celor coerente şi sintactic , şi semantic? Vom reveni asupra lor. După cum s-a putut vedea, un acelaşi joc se poate încadra la tipuri diferite , datorită compl exit ă­ ţii sale şi varietăţii sale de structură.

ASPECTUL INFORMAŢIONAL AL CUVINTELOR-VALIZĂ În A lice in Wonderland, Lewis Carroll inventea­ verbul nto galumphn , o combinaţie de fragmente ale unor verbe preexistente în limba engleză, to " gallop" şi " to triumph" Semnificaţia noului verb " este clară: "to gallop triumphantly Procedeul (folo­ sit şi de James Joyce) constă deci în articularea unui fragment iniţial (gan al primului verb cu un fragment final (umph) al celui de al doilea. Unii au­ tori, ca Iorgu Iordan ( Stilistica limbii române, Ed. ştiinţifică, Bucureşti, 1 975, p. 3 8) se referă la fe­ nomene de acest fel cu termenul generic de conta­ minare , care include însă o diversitate de procedee, printre care figurează şi cel folosit de Carroll. În epgleză, cuvintele-valiză au primit numele de " port­ mante au words " Îi lăsăm pe cititori să motiveze me taforele care apar în aceste denumiri. Cuvinte­ le-valiză rezultă dintr-o comprimare a două semnifi­ caţii într-una singură. Cuvântul englezesc n smog" este şi el un exemplu de acest fel: " smoke" şi fog" " sunt împachetate într-un singur cuvânt, dar nu prin compunere, prin concatenare, ci pe o cale mai eco­ n9mică, prin folo sirea principiului minimului efort, care, prin scurtare , asigură şi un plus de expresivi­ tate. Se ştie de multă vreme şi se confirmă prin mijloacele teoriei informaţiei faptul că morfemele lexicale poartă mai multă informaţie decât cele gra­ maticale, numărul celor dintăi fiind mult mai mare decât al celor din urmă. Ţinând seama de faptul că morfemele lexicale sunt de obicei in poziţie iniţială, tn timp ce cele gramaticale alcătuiesc partea finală a · cuvintelor, rezultă că partea iniţială a cuvintelor este mai bogată în informaţie decât cea finală. Un simplu experiment confirmă această situaţie : Dacă inţr-un text oarecare suprimăm morfemele finale ale cuvintelor, ceea ce rămâne este în mare parte inteli­ gibil şi permite recuperarea textului intreg; dacă însă suprimăm morfemele iniţiale, posibilitatea de recuperare a textului iniţial este exclusă. Înţelegem astfel de ce multe cuvinte noi se obţin prin compune­ rea părţilor iniţiale ale unor cuvinte preexistente, dar .1)idodată prin compunerea părţilor finale. Situaţia intermediară, a compunerii părţii iniţiale a unui cu­ vânt cu partea finală a altuia, este exact aceea care .c,qrespunde cuvintelor-valiză. De multe ori, inferiori­ tatea infonnatională a celei de-a doua componente �ste compens �tă de lungimea ei superioară lungimii primei componente sau cel puţin egală cu ea. Astfel , în, .primul exemplu de mai sus componenta a doua .esţe de lungime 4, pe când prima este de lungime 3; m al doilea exemplu ambele componente sunt de lUngime 2. ză

PROPRIET ATEA ŞI AMBIGUITATEA UNOR CUVINTE-VALIZĂ Rodica Duţescu- Sturdza (Jules Laforgue, Etude de semiotique litteraire, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de limbi străine, 1 9 80, capitolul IV) ana­ lizează modul în care Laforgue creează cuvinte-va­ liză cu o clară funcţie ironică. Două semnificaţii fuzionează cu scopul de a degrada una dintre ele: eternullite " are ca efect de gradarea lui "etenrite" , " " violupte " degradează pe "volupte" Alte exemple sunt " crucifiger" şi " sexiproque " Astfel. Laforgue distruge, prin cuvinte-valiză, o serie de cuvinte de prestigiu necontestat. O carte devenită celebră în Franţa, Parlez-vous franglais?, urmărea ca, prin cuvântul-valiză fran­ " glais" , să atragă atenţia francezilor asupra invaziei de cuvinte englezeşti în limba franceză, invazie nu totdeauna justificată. Azi putem spune că simţul realist al francezilor a invins. Grij a faţă de apărarea limbii fran ceze este concomitentă cu recunoaşterea importanţei practice a englezei. În revista Comptes rendus de ['Academie des Sciences, care apare la Paris, se observă un echilibru între articolele în en­ gleză cu rezumat amplu în franceză şi cele în fran­ ceză cu rezumat amplu în engleză. Printre exemplele de contaminare pe care Iorgu Iordan le dă în cartea sa menţionată mai sus, se află şi următoarele (identificate la povestitorul Ion Creangă) : "Dumnezeu să-I iepure", " He! He! Bine-ai venit nepurcelule! " , "mai fiecare tovarăş al meu furi uase ca te ceva" , "furgăsi". Con taminările la care se referă Iordan sunt aici: iepute = ierte+iepure, nepurcel = nepot+purcel, furlua = fura+lua, furgăsi= = fura+găsi. Analizand exemplele folosite de Laforgue şi de Creangă, vom con stata că nu toate sunt de tipul englezescului " smog" , unde sunt concatenate două fragmente proprii ale unor cuvinte preexistente. "Viol " nu este o parte proprie a lui "viol " , "nullite" nu este o parte proprie a lui "nullite", iar la Creangă lua" nu este o parte proprie a lui "lua" , nici "găsi" a " lui "găsi " Putem deci spune că în aceste situaţii avem de-a face cu cuvinte-valiză improprii . în con­ trast cu " smog", unde avem de-a face cu un cuvânt­ valiză propriu. Dar nici în aceste cazuri lucrurile nu sunt simple. Să ne referim, de exemplu, la fran­ " glais" Dacă este gândit ca fr+anglais, atunci obţi­ nem un cuvânt-valiză impropriu; dacă însă il privim ca fran+glais - şi aceasta este intenţia celui care l-a creat - atunci obţinem un cuvânt-valiză propriu. Există deci o ambiguitate care trebuie rezolvată şi tocmai ea ne conduce şi la posibilele segmentări violupte = vio+lupte, etemullite etem+ullite (la Laforgue) , pe care le atribuim intenţiilor autorului, după cum lui Iorgu Iordan îi atribuim intenţia seg­ mentării iepure = ie +pure, statutul de cuvânt-valiză propriu fiind astfel restabilit. Tot aşa, pe nepurcel il putem segmenta nep+urcel sau ne+purcel. numai =

431

prima core spunzând unui cuvânt-valiză propriu. O situaţie diferită apare la furlua, cu unica segmentare posibilă fur+lua, şi la furgăsi, cu unica segmentare po sibilă fur+găsi. Le putem numi cvasicuvinte-va­ liză. Avem deci trei situaţii posibile: 1 ) cuvinte-valiză proprii şi neambigue (smog, galumph) ; 2) cuvinte-va­ liză opţional proprii (etemullite, franglais) ; 3) cva­ sicuvinte-valiză (furlua, furgăsz) . De fapt, în cazul 3 componenta fur este şi cuvânt (prezentul indicativ, pers. 1 a verbului "a fura" ) , dar în contextul respec­ tiv el este gândit drept componenta formei de infini­ tiv . Să mai observăm că fragmentele care intervin în structura de cuvânt-valiză nu sunt totdeauna uni­ tăţi lingvistice cuno scute (foneme , silabe , morferne) , putând fi secvenţe arbitrare de foneme (litere) . Un exemplu de deo sebit efect stilistic de cvasicuvânt-valiză este în limba română cuvântul patrihoţi (patri+hoţi) din cunoscuta sintagmă patri­ " oţi şi patrihoţi "

CUVINTELE-VALIZĂ ÎNTRE DEGRADARE ŞI POTENŢARE O altă posibilă clasificare a cuvintelor-valiză se obţine în raport cu tipul de degradare pe care ele îl implică: 1) absenţa degradării (neutralitate) : smog; 2) degradarea primului cuvânt: etemullite; 3) degra­ darea celui de al doilea cuvânt: violupte, furlua, furgăsi; 4) degradarea ambelor cuvinte: franglais (chiar dacă iniţial a fost gândit ca degradare a fran­ cezei, nu putem ignora po sibile consecinţe negative asupra englezei; dar chestiunea reclamă o discuţie specială, pe care nu o putem dezvolta aici) . Combi­ nând această clasificare cu cea din secţiunea prece­ dentă, rezultă o tipologie de 12 po sibile feluri de cuvinte-valiză. Totuşi, unele cuvinte-valiză nu- şi găsesc locul în cele 1 2 tipuri menţionate. De exemplu, galumph (propus de Carroll) pare a fi un cuvânt-valiză pro­ priu şi neutru sub aspectul degradării. Dar, de fapt, el implică o argumentare, o potenţare a verbului t o gallop, contaminarea sa cu to triumph conduce la o potenţare a sa. Această situaţie sugerează po sibilita­ tea de a considera o nouă clasificare, care ar condu­ ce la patru clase noi, obţinute din cele patru de mai sus prin simpla înlocuire a lui degradare " cu po­ " " tenţare " Mai precis, am putea considera că uneori potenţarea (degradarea) unuia dintre cei doi termeni se produce pe seama degradării (potenţării) celuilalt termen. De exemplu, putem accepta că "viol" e ste potenţat prin contaminare cu volupte " , dar pare " inacceptabil de a considera că hoţi " este potenţat " prin contaminare cu patrioţi " în cuvântul-valiză " " patrihoţi , după cum tot inacceptabilă pare consi­ " derarea lui a fura" ca o potenţare prin contamina­ " rea cu "a lua" în " a furlua" , sau prin contaminarea cu "a găsi" în " a furgăsi" 432

o altă posibilă clasificare a cuvintelor-valiză ar putea fi operată în raport cu partea de vorbire căre­ ia componentele îi aparţin . Am identificat mai sus trei po sibilităţi : substantive, adje ctive calificative şi verbe . Combinându-Ie cu cele 1 2 tipuri stabilit e anterio r, rezultă 36 de variante de cuvinte-valiză dar rămâne de văzut dacă fiecare dintre ele se rea1 i� zează efectiv.

CUVINTE-VALIZĂ DE AL DOILEA ORDIN ÎN TEXTE ŞTIINŢIFICE Dacă în literatură finalitatea cuvintelor-valiză este predominant ironică, în textele ştiinţifice rolul lor este cu totul altul. Nu mai este vorba aici nici de degradare sau de potenţare a unor semnificaţii pre­ existente . Două tipuri de situaţii atrag atenţia. Primul tip se referă la nevoia de a comprima două semnificaţii într-una singură, în modul cel mai economic posibil. Un exemplu foarte cunoscut este cuvântul englezesc " bit " , obţinut prin compri­ marea expresiei binary digit" , care desemnează " unitatea de măsură a informaţiei (egală cu informa­ ţia furnizată de precizarea unei variante dintre două variante egal po sibile) . Să observăm ambiguitatea acestui cuvânt-valiză, constând în faptul că "bit" poate fi segmentat în două feluri: bi+t sau b+it, du­ pă cum reţinem din "binary" fragmentul iniţial "bi" sau numai fragmentul iniţial " b " Dar, spre deosebire de ambiguitatea din exem­ plele anterioare , în care una dintre variante condu­ ce la un cvasicuvânt-valiză, în cazul de fată ambele variante conduc la un cuvânt-valiză propri� . Pornindu-se de la bit " , s-a inventat în engleză " un nou cuvânt-valiză, "qubit " , rezultând din "qu+bit", " unde qu este gândit drept fragment iniţial al cu­ " vântului " quantum" ; este vorba de unitatea de in­ formaţie din teoria cuantică a informatiei domeniu care articulează teoria matematică c:. i�formatiei ' fizica cuantică şi infonnatica (a se vedea p. 23 di� Artur Ekert - Chiara Macchiavello, "An overview of quantum computing", in Unconventional Models of Computation (C.S. Calude, J. Casti, M.J. Dinnen, ed s . , Singapore, Springer, 1 998, 1 9 -44) . Ne aflăm în prezenţa unui cvasicuvânt-valiză de al doilea ordin, deoarece una dintre componentele sale este la rân ­ dul ei un cuvânt-valiză. Ştiinţa are capacitatea de a forma cuvinte-valiză de ordin superior, dar şi în afara ştiinţei acest lucru este po sibil. Până acum ne-am referit la comprimarea a do­ uă semnificaţii într-una singură. Putem comprima mai mult de două cuvinte? Răspunsul este afir­ mativ. În engleza folosită în matematică, expre sia "if and only if' este comprimată în iff' , iar corespon­ " dentul în limba română este folosirea lui "d dacă" drept abreviere pentru " dacă şi numai dacă" . Spre deo sebire de cuvintele-valiză din lite ratU' ră, care exprimă personalitatea unui singur autor,

cuvintele-valiză din textele ştiinţifice rezistă numai în măsura în care sunt acceptate de comunitatea pr ofesională internaţională, deci putem spune că ele fa c obiectul unui contract. Dar şi în limbajul cotidi­ an există cuvinte-valiză care fac obiectul unui con­ tract social, un exemplu în această privinţă fiind cuvântul dej a discutat "smog"

CUVINTE-VALIZĂ CA EXPRESIE A TERŢULUI În secolul al XX-lea, multe distincţii binare au fo st transgresate, sub forma unei terţe po sibilităţi, exprimate printr-un cuvânt-valiză special fabricat în acest scop. Astfel, î n topologie se definesc mulţimile deschise şi cele închise . Din cuvintele englezeşti " re spective, " open şi "closed " , s-a format cuvântul­ " valiză "clopen (=closed+ open} , pentru a se desemna Irtulţimile care sunt în acelaşi timp închise şi des­ �his e. În logică, Nelson Goodman a format cuvântul "grue " (==green+blue), pentru a prezenta faimosul său paradox al inducţiei. În mod similar, am putea for­ ma în limba română adj ectivul "verdastru" (ver­ de+albastru) , definit în modul următor: verde , dacă este vorba de smarald ele dej a văzute; albastru, dacă ne referim la smaraldele pe care le vom vedea de aici înainte . Avem a face cu un cuvânt-valiză care exprimă faptul paradoxal conform căruia smaralde ­ le pe care urmează să l e vedem î n viitor n u v o r mai fi. verzi, ci albastre . Un alt exemplu aparţine lui Sungchul Ji ( "The Bhopalator; an information / energy dual model of the living ceH" , Pre-Proceedings of the Wo rkshop of Mem­ �rane Computing, Curtea de Arge ş, August, pp . 20-25, 20 0 1 , "Report 1 7 / 0 1 of Research Group in Mathematical Linguistics " , University Rovira i Virgili, Eds. Carlos Martin-Vide and Ghe orghe Păun, Tarragona, Spain , 2 00 1 , pp. 123- 1 4 1 ) , care la pagina 1 3 6 (loc.cit.) afirmă: " Cea de-a treia entitate fliţă de care informaţia şi energia/ materia exprimă ��pecte complementare a fost numită I!Gnergyll , un ţ�rmen format din combinarea lui gn- din rădăcina &teacă gnosis, semnificând cunoaştere, şi ergy, din ri�,dăcina greacă ergon, semnificând muncă. " (A se v�dea şi Sungchul Ji, "Complementarism: A biology­ based philosophical framework to integrate Western scţence and Eastern Tao " , în Psychoterapy East and -West, Integration of Psychotherapics, Korean Acade­ nîy of Psychotherapist, pp . 1 7 8-23 , Songbuk-dong, ,Ş()ngbuk-ku, Seoul 1 3 6- 0 2 0 , Korea, 2 00 0) . Gnergy" " este , în engleză, un cuvânt-valiză propriu care com­ primă într-un singur termen cunoaşterea şi energia ş�u informaţia şi energia; rezultă o entitate care nu mai este nici informaţie , nici energie, sau este şi Una, şi alta.

ENUNŢURI-VALIZĂ CA AŞTEPTĂRI FRUSTRATE Principiul cuvintelor-valiză poate fi extins la unităţi textuale mai ample. Iată câteva exemple din folclorul epocii de aur " a totalitarismului comunist. " " Frunză verde de dudău / E din ce în ce mai bi­ " ne , expresie -valiză obţinută din prima parte a lui " Frunză verde de dudău / E din ce în ce mai rău" şi ultima parte din "Foaie albă de sulfine / E din ce în ce mai bine " Un alt exemplu face apel la două bine cunoscute proverbe: Cine se scoală de dimineaţă, " departe aj unge " şi Cine sapă groapa altuia/Cade el " singur în ea" Combinând prima parte a celui de-al doilea proverb cu a doua parte a celui dintâi, obţi­ nem enunţul-valiză " Cine sapă groapa altuia, depar­ te ajunge" În ambele cazuri, funcţia ironică este evidentă. Asimetria informaţională pe care am constatat-o la cuvintele-valiză nu mai funcţionează la enunţurile­ valiză. Să mai observăm că o mare parte din umorul practicat azi în presa românească şi , în particular, în revistele de umor, exploatează resursele unor pote nţiale enunţuri-valiză.

PALINDROMURI: ETIMOLOGIE ŞI ISTORIE Cuvântul "palindrom" vine din greacă, unde " "palin " înseamnă din nou , iar "dromos " înseamnă " " " cale Apărut în Ş coala din Alexandria, avându-l drept ipotetic autor pe poetul grec Sotades din Keroneea (Tracia, sec olul al III-lea î.Hr.) , palindro­ mul este introdus ca un enunţ care arată la fel de la stânga la dreapta ca şi de la dreapta la stânga. Termenul folo sit de Sotades pare să fi fost cel de anaclitic " ( " ana" = înapoi, " kyklos " = cerc) . Palin­ " dromul poate funcţiona la diferite niveluri : al litere­ lor, al silabelor, al cuvintelor etc . Un palindrom la nivelul literelor este publicat de Anatole France la 1 89 1 , în L 'Univers mustre: ROMA TIBI SUBITO MOTIBUS IBIT AMOR. Poetul Pophirius este autorul următorului palindrom la nivelul cuvintelor: BLADITIAS FERA MORS VENERIS PERSUASIT AMAN DO PERMISIT SOLTAE STY­ GANEC TRISTIAE STYGANEC SOLTAE PERMISIT AMANDO PERSUASIT VENERIS MORS FERA BLA­ DITIAS , unde cuvântul TRISTIAE funcţionează ca o oglindă, un centru de simetrie al întregului enunţ. Un palindrom la nivelul literelor este cel al lui Ioan Lasco (în Istoria scrisă a Ducelui Charles Sudennan­ land) : ASPICE'NAM RARO MITTIT TI MOR ARMA NEC IPSA, unde centrul de simetrie este ultimul I din MITTIT. în SI SE MENTE REGET NON TEGE­ RET N EMESIS, centrul de simetrie este litera o . Poetul latin Sidoniu Apollinaire (430-489) este auto­ rul palindromului I N GIRUM IMUS NOCTE, ECCE ET CONSUMI MUR IGNI , unde centrul de simetrie se

433

află la m ij l ocul cuvântului palindromic ECCE . În

ET ANGIS, centrul de simetrie este con stituit de apariţia lui R. Să mai menţionăm că din latină a rămas ce­ lebrul enunţ palindromic SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS. SIGNA TE, SIGNA TEMERE ME TANGIS

o PRECIZARE TERMINOLOGICĂ În Nouveau Larousse Universel în două volume (sub direcţia lui Paul Auge) , Paris, 1 94 9 , se spune despre palindrom : se dit du vers que l'on peut lire " indifferemment de gauche ci droite et de droite â gauche " şi se dă ca exemplu versul L'âme des uns " j amais n'use de mal" (se identifică i şi j ) . Cum am văzut însă, tradiţia a con sacrat atât palindromuri în versuri cât şi palindromuri în proză, deci era natu­ ral să se renunţe la condiţia ca palindromul să fie versificat. În DEX, se propune o definiţie mai largă a palindromului: grup de cuvinte sau cuvânt care " poate fi citit de la stânga la dreapta şi de la dreapta la stânga, fără să- şi piardă sensul; prin extensiune, joc distractiv constând în găsirea unui cuvânt care , citit şi normal, şi invers , să aibă fie acelaşi inţeles, fie, în al doilea caz, să dea un alt cuvănt" În conformi­ tate cu această prezentare, gard" este palindrom, " deoarece răstumatul său, " drag" , este şi el un cuvânt al limbii române; la fel, sunt palindromuri cuvinte ca tropar" , crap " , araIl1ă" , amar" , acru" , "trec " To­ " " " " " tuşi, în matematică, în literatură, în informatică şi, după cum vom vedea, în muzică definiţia palindro­ mului este aceea restrictivă, anunţată la început . Pe ea o adoptăm în cele ce urmează. Deci, nu urmăm nici Larousse, nici DEX.

ANI PALINDROMICI Anul palindromic 2 0 02 a atras atenţia asupra faptului că fiecare secol din cel de al doilea mileniu al erei noastre a inclus exact un an palindromic: 1 00 1 , 1 1 1 1 , 1 22 1 , 1 3 3 1 , 1 44 1 , 1 55 1 , 1 66 1 , 1 77 1 , 1 88 1 , 199 1 . O situaţie similară apare şi în mileniul al treilea: 2 002, 2 1 1 2 , 2 2 2 2 , 2332, 2 442 , 2 552 , 2 662 , 2772, 2 882 , 2 9 9 2 . În schimb , in primul mile­ niu după Hristos anii palindromici sunt mult mai frecvenţi, deoarece se scriu cu mai puţine cifre . Avem 9 ani palindromici (în sens trivial) c u o singură cifră, alţi 9 ani palindromici între 1 0 şi 1 00 , 1 0 ani palindromici între 1 00 şi 2 0 0 etc . Să obser­ văm că există po sibilitatea ca un om să trăiască 1 00 de ani şi să nu treacă prin niciun an palindromic : de exemplu, dacă s-a născut la 1 ianuarie 1 88 2 şi a murit la 3 1 de cembrie 1 9 9 0 . În schimb, un copil care s-a născut la 3 1 decembrie 999 şi a murit la 1 ianuarie 1 00 1 , deci a trăit numai un an şi două zile, a parcurs totuşi doi ani palindromici. Nu este greu de observat că po sibilitatea de a parcurge doi ani

434

palindromici aparţine celor care au trăit la răspân­ tia a două milenii; autorul şi o bună parte dintre cititorii acestor rânduri au beneficiat de această şansă (anii 1 9 9 1 şi 2002). Putem î n continuare să n e punem diferite în­ trebări. Cum se comportă asimptotic diferenţele şi raporturile dintre anii palindromici consecutivi? Ce se întâmplă cu şirul numerelor palindromice prime? Ce se întâmplă cu datele palindromice de tipu l zi-lună-an? Mi-am pus această ultimă intrebare în ziua de 20 februarie 2 0 0 2 : 2 0 . 0 2 . 2002 . Ce se poate spune despre şirul datelor palindromice de tipul zi-Iună-an? Putem merge mai de parte , pentru a ne întreba ce se întâmplă cu datele palindromice de tipul ore-minute -zi-lună-an. Atrage atenţia din acest punct de vedere un moment care a avut loc la orele 1 0 şi un minut, în ziua de 1 0 ianuarie 1 00 l , mo ­ ment pe care-l abreviem prin 1 0 : 0 1 , 1 0 / 0 1 , 1 00 1 . S-a mai repetat un astfel de moment fast la orele 20 şi 2 minute, în ziua de 2 0 februarie 2002 , moment pe care -l reprezentăm abreviat prin: 20:02 , 2 0 / 0 2 , 2 002 . S e v a mai repeta oare u n asemenea moment? S-a repetat, de exemplu, la 2 0 : 0 2 , 30 / 03, 2002. Lăsăm cititorului plăcerea de a identifica şi even­ tuale alte momente de acest fel.

PALINDROMURI ÎN CÂTEVA LIMBI În limba română se cunosc multe cuvinte cu structură palindromică: potop, reper, cazac, cojoc, capac , monom , radar, rotor, etate, rotitor, elevele, aerisirea. Să observăm că în toate aceste exemple avem cuvinte de lungime impară (sunt multe cuvin­ te palindromice de lungime trei) . Dificultatea de a întâlni cuvinte palindromice de lungime pară se explică prin faptul că în acest caz ar trebui să avem la mijloc o literă repetată, fenomen rar în limba ro­ mână. Enunţuri palindromice mai lungi apar rar în limba română. Exemplul cuno scut : " Epuraşul uşa rupe " este forţat, de oarece se prevalează de o scriere greşită a substantivului "iepuraş " La nivelul silabe­ lor, avem palindromuri netriviale de lungime egală cu 3: ca-Ieaş-că, ma-ra-mă, tor-că-tor, ra-mu-fă. S-a putut înţelege din cele de mai sus că am adop­ tat convenţia conform căreia nu se face distincţie între a, â şi ă, între s şi ş, între t şi ţ, între i şi î etc . De asemenea, se face abstracţie de semnele de punc­ tuaţie (punct, virgulă, punct şi virgulă, două puncte etc) . Convenţii de un tip asemănător sunt adoptate şi pentru exemplele din alte limbi, care urmează. În franceză, cu convenţia i=j , exemplul deja menţionat: " L'âme des un s jamais n'use de mal " În engleză: Able was 1 saw Elba" în germană: "Ein " EseI Iese nie " În spaniolă: Debale arroz a la zorrael " abed" În italiană: Ebro e otel , ma amleto, e orbe e " " madona anod'a me În maghiară: " Kar a kan papnak a rak" şi " Indul a pap aludni "

PALINDROMURI, OGLINZI, SIMETRIE, PERIODICITATE Pornind de la un enunţ oarecare x, este suficient să-I imaginăm aşezat în faţa unei oglinzi pentru a constata că, împreună cu imaginea sa în oglindă, x generează un palindrom. De exemplu, enunţul aababbbaba are ca imagine în oglindă pe ababbb­ abaa, deci concatenarea lor este aababbbabaa­ babbbabaa, un palindrom de lungime dublă faţă de enunţul iniţial. Această lungime este deci totdeauna un număr par, în contrast cu palindromurile din limba română, cele mai multe de lungime impară. Reciproc, orice palindrom x de lungime pară 2n, poate fi conceput ca rezultat al concatenării prefixu­ lui sau de lungime n cu imaginea prin oglindă a ace stui prefix. Dacă palindromul x este de lungime imp ară 2n+ 1 , atunci , notând cu y prefIxul de lun­ gime n al lui x, avem x = ycy" , unde y" este imaginea în oglindă a lui y, iar c este termenul de rang n+ 1 al lui x. Rezultă că există o legătură organică între structura palindromică şi operaţia de imagine în oglindă; numitorul lor comun este ideea de simetrie. O altă legătură naturală se observă între palin­ dromuri şi periodicitate şi are ca domeniu de mani­ festare optimă cuvintele infinite . Să ne referim, de exemplu, la cuvinte infinite recurente , adică în care orice factor (=subcuvânt finit) apare de o infinitate de ori. Se poate arăta că dacă un cuvânt infinit x este recurent şi dacă admite numai un număr finit de factori palindromici, atunci există un cuvânt infinit şi periodic y, astfel încât y are exact aceiaşi factori palindromici pe care-i are x . Această situaţie şi altele au condus la ideea de a se introduce noţiu­ nea de complexitate palindromică a unui cuvânt infinit, definită prin numărul de factori palindromici ai cuvântului respectiv. Există cuvinte infinite x pe un alfabet finit A, care au complexitate palindromică maximă, în sen­ sul că orice palindrom pe alfabetul A este un factor al lui x. Cuvintele infinite ale atoare au toate această proprietate . Dar cu aceste constatări, care necesită un intreg aparat de definiţii şi de demonstraţii, in­ trăm in zona activă a cerce tării de specialitate , în care nu ne putem lan sa aici. Vom reveni totuşi într-o secţiune ulterioară.

1 3 3 1 , pentru n = 4 , palindromul 1 4 6 4 1 , pentru n = 5, palindromul 1 5 1 0 1 0 5 1 , pentru n = 6, pa­ lindromul 1 6 1 5 20 1 5 6 1 ş . a. m . d . Proprietatea de comutativitate a adunării se exprimă prin palindromul a+b=b+a. Este interesant faptul că pătratele multor nu­ mere palindromice sunt la rândul lor numere palindromice . Un exemplu în acest sens, cunoscut încă din secolul al XIII-lea, îl constituie numerele formate exclusiv cu cifra 1 . Pătratul lui 1 e ste 1 ; al lui 1 1 este 1 2 1 ; al lui 1 1 1 e ste 1232 1 ; al lui 1 1 1 1 este 123432 1 ; al lui 1 1 1 1 1 este 1 2345432 1 ; al lui 1 1 1 1 1 1 este 1 234 5 6543 2 1 ; al lui 1 1 1 1 1 1 1 este 1234567 65432 1 ; al lui 1 1 1 1 1 1 1 1 este 12345678765432 1 , iar al lui 1 1 1 1 1 1 1 1 1 este 12 3456789876543 2 1 . Progresia aritmetică 1 1 , 22, 3 3 , 44, 55, 66, 77 , 8 8 , 99 are drept raţie tot un număr palindromic: 1 1 . Produsul fiecărui termen al acestei progresii cu numărul palindromic 1 0 1 conduce la o nouă pro­ gresie aritmetică având ca termeni exclusiv numere palindromice : 1 1 1 1 , 2222, 3 3 3 3 , 4444 , 5555, 6666, 777 7 , 8888 , 9999. Numărul 37037 este palindromic dacă privim pe 37 ca o expre sie unică. Prin multiplicare cu multipli ai lui 3, de la 3 p ână la 27, se obţin, re s­ pectiv, următoarele numere palindromice : 1 1 1 1 1 1 , 2222 2 2 , 333333, 444444, 555555, 666666, 77777 7 , 888888 , 999999 .

SILABE PALINDROMICE Un studiu recent privind structura silabică a limbii române (Liviu P. Dinu , de la Universitatea din Bucureşti) a stabilit un inventar de 6496 de silabe, dintre care 96 sunt palindromice (avem în vedere echivalentul lor grafic) . Foarte puţine sunt de lun­ gime 1 sau 2, cele mai multe sunt de lungime 3 , niciuna n u este d e lungime superioară lui 3 . Iată-le pe cele de lungime 3: tat, rar, tit, şi ş, nan, sus, nun, nen , nin , coc, non, cic, luI, pep, gog, mem, tot, rur, tet, laI, so s, sis, tut, şeş, ror, mum, bob , pop , sas, did , tât, bab, cac, leI, mam, se s, ici , mim, pap, rer, şuş, ţiţ, cuc , dud , gag, 101 , mom, pup , viv, şaş, beb , fif, gig, hah, imi , iui , ivi, îţi , şoş, ţuţ, ţâţ. Pentru fiecare in parte , s-a stabilit frecvenţa pe prima pozi­ ţie, pe o poziţie mediană şi pe ultima poziţie , în Dic tionarul limbii române. Este interesant de observat �ă rămân palindromuri de trei litere care nu apar ca silabe ale limbii române; dintre acestea, menţionăm pe bib , dad , ded, dod, faf, fef, fof, fuf. Dacă ţinem seamă de faptul că puţinele silabe palindromice de lungime doi sunt cu precădere interjecţii, le putem omite şi aj ungem la următoarea structură generală a silabelor palindromice din limba română: ele sunt sau de lungime unu şi de natură vocalică, sau de lungime trei şi de formă: consoană-vocală-con­ soană. ­

P ALINDROMURI ARITMETICE Din anii de şcoală ne amintim de formula lui Newton a dezvoltării puterilor unui binom: a+b , (a+b)2 = a2 +2ab + b2 , (a+b)3 a3 +3a2 b+ 3ab2 + b3, . . . CoefIcienţii puterilor succe sive ale lui a+b se înca­ drează într-o structură palindromică. Astfel, con­ siderând puterea a n-a a binomului respectiv, obţinem, pentru n = 1 , palindromul 1 1 , pentru n = 2, palindromul 1 2 1 , pentru n = 3, p alindromul =

435

GRAMATICA CUVINTELOR PALINDROMICE Să ne re strângem la un alfabet fonnat din d ouă elemente A = {a, b}. Pen tru a genera toate cuvintele palindr omice pe alfabetul A şi numai p e ace stea, vom folo si o gramatică G alcătuită dintr-un simbol de start S şi următoarele şase re guli generative: ( 1 ) S -+ aSa, (2) S -+ bSb, (3) S -+ a , (4) S -+ b , (5) S -+ aa, (6) S -+ bb. Pentru a genera cuvintele palindromice de lungime pară pe alfabetul A folosim, cu alternări adecvate, regulile ( 1 ) şi (2) , uneori aplicate iterativ, şi vom încheia procesul de generare prin aplicarea regulii (5) sau (6) . Pentru generarea cuvintelor palindromice de lungime impară, vom proceda în mod similar, cu singura deosebire că vom incheia procesul generativ prin aplicarea regulii (3) sau (4) . Lăsăm pe seama cititorului să arate că gramatica G nu generează niciun cuvânt nepalindromic şi că acest proces generativ nu se poate realiza cu o gra­ matică mai simplă, de exemplu cu una regulată. Pentru a da două exemple , dacă dorim să gene­ răm pe abba, pornim de la S, aplicăm regula ( 1 ) şi obtinem aSa, apoi aplicăm regula (6) şi obţinem abba; dacă dorim să generăm pe ababa, atunci por­ nim de la S, aplicăm regula ( 1 ) şi obţinem aSa, apoi aplicăm regula (2 ) şi obtinem abSba, după care aplicăm regula (3) şi obţinem ababa.

context-sensitive (Solomon Marcus , ed. , La semzo­ tique formelle du folklore, Klincksieck, Paris, 1978) . Să mai observăm că structura de bază a proce­ selor de comunicare se apropie şi ea de un pa­ lindrom: sursă-transmiţător-receptor-destinaţie, dar sursa devine de stinaţie , destinaţia devine sursă, transmiţătorul devine receptor, iar receptorul devine transmiţător atunci când mesajul este trimis în sens invers, cum se întâmplă alternativ într-un dialog.

P ALINDROMURI MUZICALE (DUPĂ ANATOL VIERU) Reproducem unele fragmente din eseul lui Anatol Vieru De la moduri la timp. Dacă sita lui Eratosthene face relevante în axa timpului numerele prime (le face, aşa-zicând, să cânte) , produsul numerelor prime între ele este de natură a genera palindromuri, numite de Me ssiaen blocuri nonretrogradabile " (= agregate ritmice care " se citesc la fel prin retrogradare) . Exemplul muzical dat de Messiaen are reprezentarea cifrică 5 , 3 , 2 , 7 , 2 , 3,5. Să considerăm produsul dintre 5 ş i 7 E l poate fi exprimat cu aj utorul unui dreptunghi de dimen ­ siuni 5 şi 7 : a

PALINDROMURI ÎN ŞAH, ÎN BASMUL POPULAR ŞI ÎN COMUNICARE

b

c

d

e

f

g

1 2

În jocul de şah, poziţia iniţială a pieselor ascul­ tă de o structură palindromică de lungime 8, în cazul pionilor, şi de o alta, aproape palindromică, tot de lungime 8, de forma TCNRRNCT, unde T sim­ bolizează turnurile , C caii, N ne bunii, iar R repre­ zintă regele sau regina. Să observăm că la aceste palindromuri pe orizontală se adaugă opt palindro­ muri pe verticală: două de forma TPO O O O PT, două de forma CPO O O O PC , două de forma NPOOOOPN şi două de forma RPO O OOPR, unde prin O am expri­ mat orice spaţiu neocupat . i n basmul fantastic, puternic reprezentat în folclorul românesc, apare o structură palindromică de forma (abc) (a'b'c') (a'b 'c') (abc) , unde a este un prim test (punere la incercare) , b un al doilea, iar c un al treilea te st la c are un personaj dominator îl supune pe un altul, subordonat, in timp ce a " , b" şi c" exprimă teste (punere la incercare) succesive intre personaje aflate într-o confruntare echilibrată. Î n căutarea gramaticii generative a unor structuri narative de ace st fel, apar alte palindromuri, mai generale: (abc)n (a 'b'c ') (a'b'c') (abc)n , (abc)n (a'b 'c ') 2n (abc)n (n= l , 2 , 3, . . . ) şi se arată cu mijloacele gramaticilor formale că aces­ te structuri palindromice nu pot fi generate cu gra­ matici context-free, dar pot fi generate cu gramatici 436

3 4 5 Datorită faptului că 5 şi 7 sunt prime intre ele , pornind în diagonale succesive dintr-un colţ al dreptunghiului, dacă ricoşăm la fiecare întâlnire cu o latură, toate căsuţele dreptunghiului pot fi par­ curse dintr-o singură trăsătură. Pornind, de exem­ plu, din a5 , succe siunea va fi (a5,b4 , c3 , d2,e 1 ) , (fl , g2) , (g3 , f4 , a5) , (d5, c4 , b3 , a2) , (a l ) , (b 1 , c2, d3, e4 , f5) , (g5) , (g4 , f3 , e2, d 1) , (c I , b2 , a3) , (a4 , b5), (cS , d4 , e3 , f2 , g l ) şi observăm că şirul lungimilor aces­ tor cicluri este palindromul 5234 1 5 1 432 5 . ltinera­ rul început din a5 se termină cu g l . Sunt parcurse toate cele 35 de căsuţe , iar expresia în cifre a acestei secvenţe este tocmai palindromul obţinut, în care suma termenilor este 3 5 . Se constată că structura acestui palindrom include structu ril e (5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5) şi (7 , 7 , 7 , 7 ,7) . Vieru trece apoi la an a ­ liza palindromului obţinut din multiplicarea num e­ relor 5, 7 şi 4 şi aj unge la concluzia că mai bine

decât hârtia milimetrică ne ajută în acest caz nota­ ţia muzicală tradiţională. Structura poate fi înţelea­ să şi ca o politempie . Orice produs de n factori primi între ei va putea fi reprezentat într-un spaţiu cu n dimensiuni . Intui­ tiv va fi dificil să operăm cu aceste reprezentări gra­ fice ; mijlocul cel mai comod în aceste operaţii rămâne notaţia muzicală tradiţională. Piesa muzica­ lă " Soroc" ( 1 9 84) este formată din segmente compu­ se cu aceste palindromuri. Segmentele sunt solouri pentru instrumente. Solourile cu sunete determina­ te (pentru suflători) parcurg suprafeţe în care fieca­ re căsuţă cuprinde înălţimea unui sunet. Solourile pentru percuţie sunt palindromuri ritmice în felul celor arătate mai sus . Î n segmentele pentru suflători, structura palin­ dromică nu este vizibilă; ea rămâne în plan secund ; aici, valorile temporale (durată şi ritm) sunt libere . Segmentele pentru percuţie sunt "complementare " celor pentru suflători, în sensul că ele se de sfăşoară pe o dimensiune pur ritmică. Aici, înălţimea sunete­ lor nu are importanţă, ea este încremenită. Toate aceste segmente sunt formanţii piesei ; " Soroc" poate avea tot felul de variante obţinute prin concatenarea şi/ sau suprapunerea segmentelor (în funcţie de intenţii care transcend fiecare segment în parte) . Mai departe, Vieru analizează o piesă pentru flaut care foloseşte o matrice de dimensiuni 7 şi 1 1 , pe care o parcurge pornind din a 1 . Cele 77 de ele­ mente constituie o buclă A l . ° altă buclă porneşte din k1 şi altele vor porni din celelalte colţuri ale dreptunghiului. Acestea sunt rezervorul de sunete pentru soloul de flaut; punerea lor în timp (durate , registre) rămâne liberă faţă de procedeele descrise mai sus. Articulaţiile formei nu au nimic a face cu începutul şi sfârşitul buclelor. Nu trebuie căutat un palindrom de sunete în interiorul buclei, el nu exis­ tă; există însă citiri în recurenţă ale buclei, căci traseul care porneşte din al şi se termină în k 1 va fi orânduit invers faţă de cel care începe din k 1 şi se termină în a l . Duratele şi registrele acestor sunete vor fi însă altele . Vieru mai discută piesa pentru toace (siman­ tre) , aşezată pe un foarte întins palindrom de 1 1 1 măsuri. Partea toacei mari nu e departe de studiile de timp din "Oda Tăcerii " , cu opoziţiile dintre durate lungi şi durate foarte scurte . Aici, ideea este reluată pornind de la sita lui Eratosthene; este urmărită evoluţia în timp a două numere prime gemene , 4 1 şi 43. Experienţa are ceva comun cu muzicile minimale repetitive . În cazul de faţă, nu este vizată " călcarea pe nervi" ; pauzele sunt populate de mici palindro­ muri, produse de trei factori primi între ei . Oprim aici prezentarea fragmentară - şi poate de aceea puţin inteligibilă - a ideilor lui Anatol Vieru în privinţa palindromurilor muzicale; trimitem pe cititor (dacă e interesat să afle mai mult) la lectu­ ra studiului lui Vieru şi a celor pe care Vieru îi ci­ tează, în primul rând matematicianul Dan Vuza.

OGLINDIRI REPETATE Plecând de la un cuvânt finit x şi concate­ nându-l cu imaginea sa în oglindă x" , obţinem pa­ lindromul xx" , care la rândul său are o imagine în oglindă (xx')" Obţinem astfel un cuvânt periodic a cărui perioadă primitivă este palindromul xx" De exemplu, dacă x=abc, avem x'=cba, xx'=abccba şi (xx') '=abccbaabccba. Continuând să aplicăm operato­ rul imaginii în oglindă, obţinem un cuvânt periodic tot mai lung, a cărui perioadă palindromică primiti­ vă este abccba . Putem deci afirma că, prin oglindire repetată, un cuvânt finit x generează un cuvânt periodic, a cărui perioadă primitivă este palindro­ mul xx" Pe un alfabet binar {a, b}, există 8 cuvinte de lungime 3 : aaa, aab , aba, abb , baa, bab, bba, bbb . Se observă că orice cuvânt de lungime 3 care nu este palindromic admite un factor palindromic de lungime 2 . Rezultă că orice cuvânt de lungime mai mare decât 3 sau egală cu 3 admite cel puţin un factor palindromic netrivial. Pe un alfabet ternar {a , b, c}, situaţia este diferită; astfel, cuvântul periodic infinit de perioadă abc: abcabcabcabc . . . nu admite niciun factor palindromic netrivial (singurii factori palindromici sunt cei de lungime 1 ) . Deci în cazul unui alfabet ternar periodicitatea poate avea loc în absenţa palindroamelor netriviale .

COMPLEXITATE PALINDROMICĂ LA CUVINTE INFINITE Palindromurile sunt cărămizi ale unei comple­ xităţi scăzute şi le putem lua ca termen de referinţă în definirea complexităţii unui cuvânt infinit. Să considerăm un alfabet finit A şi o mulţime finită P de cuvinte palindromice pe A. S-a putut demon­ stra (S . Brlek, S. HameI, M . Nivat, C . Reutenauer, International Journal of Foundations of Computer Science 2, 2004, 293-306) că limbajul cuvintelor cu factori palindromici exclusiv în P este regulat (deci de cea mai redusă complexitate în ierarhia lui Chomsky) . Este n atural să ne întrebăm ce relaţie există în­ tre palindromicitate şi periodicitate . Se poate de­ monstra că un cuvânt periodic infinit x cu perioadă primitivă u are o infinitate de factori palindromici dacă şi numai dacă u este produsul a două palindro­ muri. ° altă legătură este indicată de următoarea teoremă: Fie P o mulţime infinită de palindromuri . Există un cuvânt infinit şi recurent (adică fiecare factor apare de o infinitate de ori) ai cărui factori palindromici sunt exact cei din P dacă şi numai dacă există un cuvânt periodic infinit ai cărui fac­ tori palindromici sunt exact cei din P. În absenţa recurenţei, această teoremă nu mai este adevăra­ tă, după cum arată următorul exemplu. Fie x bab(abbaab)8 > C. 4. Comparăm pe B cu E. 5. Dacă E este mai greu decât B, atunci compa­ răm pe E cu D . Dacă E este mai uşor decât B, atunci comparăm pe E cu A. În fiecare caz obţinem ierarhia a patru obiecte; să presupu­ nem că avem D > B > E > > A. Cunoaştem (de la punctul 2) situaţia obiectului C în raport cu D. Rămâne numai să găsim locul lui C în ra­ port cu celelalte trei obiecte . Acest scop poate fi atins prin două cântăriri: 6. Comparăm pe C cu E . 7 Dacă C este mai greu decât E, atunci il com­ parăm cu B; dacă C este mai uşor decât E, atunci il comparăm cu A. Problema generală a ierarhizării a n obiecte de greutăţi diferite printr-un număr minim de cântăriri comparative este echivalentă cu problema ierarhiză­ rii a n competitori într-o anumită probă sportivă (şah, tenis etc.) sau de alt tip, printr-un număr mi­ nim de competiţii între doi competitori. Primul care a propus-o şi a analizat-o a fost Hugo Steinhaus, în 482

ediţia din 1950 a cărţii sale Mathematical Snap­ shots, apoi sub forma Problemei 52 (pentru n=5) din lucrarea sa One hundred problems in elementary mathematics (New York, Basic Books, 1964) . În edi­ ţia din 1968 (New York: Oxford U niversity Press) a cărţii sale Mathematical Snapshots, Steinhaus obti­ ' ne o formulă care furnizează răspunsul pentru toa te valorile lui n de la 1 la 11, numărul minim de cân­ tăriri fiind respectiv egal cu: O, 1,3,5, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 26. Conform acestei formule, pentru n = 1 2 ar fi necesare 29 de cântăriri, dar s-a demonstrat ulterior că răspunsul corect este 30. O altă discuţie a problemei, în toată genera­ litatea ei, apare la Lester R. Ford şi Selmer M. Johnson, de la Rand C orporation, în articolul lor " " A tournament problem din A me rican Mathematical Monthly, mai 1969. U lterior, problema a intrat în raza de interes a informaticii teoretice; a se vedea secţiunea 5-3-1 din lucrarea lui Donald Knuth, Sorting and Searching, Reading, MA: Addison Wesley, 1971.

IDENTIFICAREA MONEDELOR FALSE Ne aflăm în prezenţa a zece grupe de câte zece monede de 50 de bani. U na dintre grupe , dar nu ştim care anume, este formată din monede false. Ştim care este greutatea unei monede autentice de 50 de bani şi mai ştim că orice monedă falsă cân tâ­ reşte cu un gram mai mult decât una autentică. Care este numărul minim de cântăriri pe baza căro­ ra identificăm grupa cu monede false? Răspuns: Identificarea grupei de monede false poate fi obţ.inută printr-o singură operaţie de cântă­ rire, în fe următor: Luăm o monedă din prima grupă, do ă din a doua, trei din a treia şi aşa mai departe, pâ ă ajungem la a zecea grupă, din care le luăm pe toate zece. C ântărim toată această colectie de monede; excesul, în număr de grame, corespu;" ­ de numărului de ordine al grupei de monede fal sifi­ cate . De exemplu, dacă excesul în greutate este de 7 grame faţă de cât ar fi trebuit să fie dacă toate mo­ ne deIe erau corecte, atunci grupa a şaptea de mo­ nede (în ordinea in care am extras din ele monedele) este cea cu monede false; într-adevăr, din ea s-au extras 7 monede, fiecare având un gram în plus faţă de o monedă autentică.

�

o PĂCĂLEALĂ ŞI UN CALCUL Un chimist constată ca o anumită reactie chi­ mică durează 80 de minute când poartă un ulover, iar când nu poartă puloverul reacţia durează o oră şi 20 de minute. Care este explicaţia? Răspuns: Chimistul era distrat; 80 de minute sunt totuna cu o oră şi 20 de minute.

p

U n şofer călătoreşte cu automobilul 5000 de ki­ lometri, cu un singur pneu de rezervă. El roteşte pneurile la anumite intervale, astfel încât până la sfârşitul călătoriei fiecare pneu a fost folosit acelaşi număr de kilometri. Care este acest număr? Răspuns: Fiecare pneu a fost folosit pe o dis­ tanţ ă de 4/5 din lungimea totală de 5000 de kilo­ metri, deci pe o distanţă de 4000 de kilometri.

A MĂSURA

ÎNĂLŢIMEA UNEI CLĂDIRI

Indicaţi cel puţin trei moduri de a măsura înăl­ ţimea unei clădiri înalte, cu aj utorul unui barome­ tru. Răspuns: Iată cinci moduri (glumeţe) de rezol­ vare a problemei: 1. Urcaţi-vă pe acoperiş, legaţi barometrul la capătul unui lanţ pe care-l coborâţi până-n stradă şi măsuraţi lungimea lanţului. 2. La fel ca la punctul 1, dar cu deosebirea că în loc să tragem barometrul în sus, il lăsăm să oscileze ca un pendul şi măsurăm lungimea lanţului cu ajutorul frecvenţei pendulului. 3. Lăsaţi barometrul să cadă de pe acoperiş, no­ taţi timpul de cădere şi calculaţi distanţa pe baza formulei privind căderea corpurilor. A. Într-o zi însorită, determinaţi raportul dintre înălţimea barometrului şi lungimea umbrei lui şi aplicaţi acest raport la lungimea umbrei clădirii. 5. Căutaţi-1 pe intendentul clădirii şi promiteţi-i barometrul drept cadou dacă vă spune ce înălţime are clădirea. Soluţia 1 este veche, Gardner o ştie de la tatăl său. O discuţie completă a acestei probleme (cu excepţia punctului 2) se găseşte la Alexander Calandra, The Teaching of Elementary Science and Mathematics (Ballwin, MO: ACC E Reporter, 1968).

CUM SĂ-I MULŢUMEŞTI PE TOŢI? Este bine cunoscut procedeul de a împărţi un tort în mod echitabil la două persoane: una imparte, iar cealaltă alege. Dar dacă tortul trebuie împărţit la mai multe persoane? Răspuns: S-au propus diferite metode de îm­ părţire a unui tort la n persoane, în aşa fel încât fiecare să aibă impresia că a primit nu mai puţin decât l/n din întregul tort. Iată unul dintre proce­ deele propuse. Să presupunem că este vorba de cinci persoane A,B, C, D şi E. Persoana A taie din tort o bucată presupusă a fi a cincea parte din tort şi pe care ar dori-o a lui. Dacă are impresia că bucata decupată de A este mai mare decât 1/5 din tort, B are privile­ giul de a o reduce în mod corespunzător; dacă însă crede că nu are mai mult decât 1/5 din tort, atunci

B nu se atinge de tort . În mod succesiv, C, D şi E beneficiază de acelaşi privilegiu. Ultima persoană care nu modifică partea decupată intră în posesia porţiunii respective. Oricine crede că persoanei res­ pective i-a revenit mai puţin decât 1/5 din tort va fi mulţumit, deoarece va considera că ceea ce a rămas din tort este mai mult decât 4/5. Acum, ceea ce a rămas din tort se supune exact aceluiaşi procedeu ca cel aplicat iniţial tortului întreg, dar cu participa­ rea a patru persoane. În pasul al treilea, procedeul se repetă cu trei persoane; în pasul al patrulea, procedeul se aplică la două persoane, adică una taie, iar cealaltă alege. O discuţie amplă a acestei probleme se află în secţiunea "Games of fair division" din cartea Games and Decisions de R. Duncan Luce şi Howard Raiffa (John Wiley and S ons, Inc.,1957).

A

MINIMIZA DISTANŢELE

Ion trebuie să-şi aleagă o locuinţă pe durata studiilor, in aşa fel încât să reducă la minimum distanţele faţă de cele unsprezece locuri la care va trebui să se deplaseze sistematic (rude,universitate, prieteni, magazine etc.), toate situate pe un acelaşi drum, aşa cum se vede în fig. 8. A •

B •

C •

D •

F

E

•

•

Fig.

G •

H •

1

•

J

•

K •

8

Locul L ales pentru închiriere va trebui deci să minimizeze suma distanţelor la locurile A,B, C, D, E, F,G, H, 1, J, K, notate în ac ord cu ordinea lor, de la stânga la dreapta, în fig. 8. Care este alegerea optimă a luiL? Răspuns: Oriunde ar fi L între locurile cele mai depărtate, A şi K, L va avea aceeaşi sumă a distan­ ţelor la A şi la K. Această sumă este mai mică decât aceea obţinută în cazul în care L nu este situat între A şi K. Să considerăm acum punctele B şi J. Pentru a minimiza suma distanţelor lui L la B şi la J, L va trebui să se afle între B şi J, caz în care de la sine L se află şi între A şi K. Se va minimiza astfel suma distanţelor lui L la A,K, B şi J. C ontinuând în acest fel, ajungem la ultima pereche de puncte, E şi G, între care se află punctul F. Orice loc situat intre E şi G va minimiza suma distanţelor la toate celelalte locuri considerate, cu excepţia lui F. Dacă vrem să minimizăm şi distanţa la F, locul L va trebui să co­ incidă cu F. Remarcabil în această abordare este abordarea pur calitativă, absenţa oricărui calcul sau a referirii la vreo formulă preexistentă. Pentru a generaliza, vom constata că pentru orice număr par n de locuri situate pe o linie dreap­ tă, orice loc situat intre punctele mijlocii va minimi­ za suma distanţelor sale la celelalte puncte. Dacă n 483

unci locul central este cel care furni­ sumei distanţelor la celelalte puncte. Problema a apărut în articolul lui JH. . Butchart şi Leo Moser, cu titlul semnificativ " No calculus " please , in revista Scripta Mathematica 18 , 1 95 2 ,

este impar,

at

zează minimul

3 / 4 , 22 1 -236.

Într-un comentariu pe care Gardner l-a primit din partea lui Thomas Szirtes, se observă că soluţia propusă la problema de mai sus este în conflict cu intuiţia; locul care minimizează suma distanţelor este independent de distanţele relative şi chiar abso­ lute dintre puncte. Ne-am aştepta, de exemplu, ca dacă locul K, situat cel mai la dreapta, se îndepăr­ tează cu 10 kilometri, atunci şi locul care minimi­ zează suma distanţelor se deplasează spre dreapta. Dar lucrul acesta nu se întâmplă. Chiar dacă toate locurile de la dreapta lui F s-ar deplasa spre dreap­ ta şi toate locurile de la stânga lui F s-ar apropia sensibil de F, tot F ar fi locul de unde suma distan­ ţelor la celelalte locuri ar lua valoarea minimă posi­ bilă.

A IDENTIFICA UN OBIECT PRIN ÎNTREBĂRI BINARE Un joc de societate cu doi parteneri A şi B: A se găndeşte la un obiect, iar B îi adresează întrebări succesive, care pretind din partea lui A răspunsuri de tipul "da" sau "nu" Strategia recomandată în astfel de situaţii este aceea a întrebărilor care des­ fac mulţimea obiectelor posibile în două submulţimi aproximativ egale ca bogăţie. De exemplu, dacă A alege ca obiect un număr de la 1 la 1 6 , atunci B poate identifica obiectul respectiv prin cel mult pa­ tru (puterea la care trebuie să ridicăm pe 2 pentru a-l obţine pe 1 6) întrebări binare, la care trebuie adăugate întrebările preliminare necesare pentru a identifica natura numerică a obiectului ales. Să presupunem că fiecare obiect posibil pri­ meşte o valoare desemnând probabilitatea ca el să fie obiectul avut în vedere . De exemplu, să admitem că un pachet de cărţi de joc constă dintr-un as, doi de doi, trei de trei, ... , nouă de nouă, totalizând 4 5 de cărţi de joc. Pachetul este amestecat şi cineva alege o carte , care trebuie apoi identificată printr-un număr minim de întrebări binare adresate celui care deţine cartea aleasă. Care este strategia de a minimiza numărul întrebărilor? Răspuns: Mai întâi ordonăm cărţile de joc după probabilitatea lor de apariţie: 1 / 45 , 2 / 45 , 3 / 45, .. Cele două valori minime din acest şir, adică primele două, sunt combinate prin adunare şi dau 3 / 45, care este probabilitatea cărţii alese de a fi un a s sau un "doi" Şirul de 9 valori s-a redus astfel la un şir de 8 valori. Acestui şir mai scurt îi aplicăm aceeaşi operaţie de scurtare , prin adunarea primelor două valori, obţinând 6 / 45 , care va fi probabilitatea cărţii " alese de a fi un as, un "doi " sau un "trei . .

484

Din nou combinăm cele mai mici valori, relative la "patru" şi "cinci" , şi obţinem 9 / 45 . Repetând ope­ raţia, la fiecare pas şirul se scurtează cu o unitate, până ajungem la un singur element, cu probabilita­ tea 4 5 / 45 = 1 . Strategia de minimizare a numărului de întrebări va parcurge în sens invers şirul operaţi­ ilor de mai sus. Prima întrebare ar putea fi: Este cartea aleasă un 4, un 5 sau un 9? Dacă se obţine răspunsul negativ, atunci se întreabă: Este cumva un 7 sau un 8? şi se continuă până la identificarea cărţii. Dacă această carte este un as sau un 2 , vor fi necesare cinci întrebări pentru a o identifica. Dar dacă întrebările sunt alese în aşa fel încât la fiecare etapă să desfacem mulţimea obiectelor posibile în submulţimi egale, atunci ne putem descurca şi cu patru întrebări, uneori chiar cu trei, despre care se poate arăta că este valoarea minimă căutată. I ată detaliile: Cinci întrebări sunt necesare atunci când " cartea aleasă este un as sau un "doi Dar există doi de "doi", deci în total 1 0 întrebări. Cei trei de "trei" impun de 3 ori 4 = 1 2 întrebări. Numărul total de întrebări pentru cele 45 de cărţi este 1 35, deci o medie de trei întrebări pentru o carte. Strategia de mai sus a fo st propusă de David A. Huffman şi este explicată în articolul său "A method for the construction of minimum-redundancy codes " (Proceedings of the Institute of Radio Engi­ neers 40, 1 9 q2 , 1098- 1 1 0 1 ) şi redescoperită de Seth Zimmerman rr "An optimal search procedure" (Ame­ rican Mathemâţical Monthly

6 6 , 1 9 59, 690-693.

Stanislaw U lam (Adventures of a Mathemati­ dan, New York: Scribner's, 1 976, p. 28 1 ) a propus adăugarea unei reguli noi la chestionarul de mai sus: persoana care răspunde are dreptul să mintă, dar o singură dată. În aceste condiţii, care este nu­ mărul minim de întrebări prin care se poate identi­ fica un număr cuprins între 1 şi un milion? Dar dacă se permit două minciuni? Dacă nu se minte niciodată, numărul minim de întrebări este 2 0 . Andrzej Pelc a demonstrat că, dacă se admite o singură minciună, atunci numărul minim de întrebări creşte de la 20 la 2 5 (" Solution of U lam's problem on searching with a lie ", in Joumal of Combinatorial Theory, Series A, 44, 198 7, pp. 1 29 - 1 40) . Tot Pelc a indicat în articolul său un algoritm de găsire a numărului minim de întrebări prin care se poate identifica un număr de la 1 la n. Dacă se admit două minciuni , atunci numărul minim de întrebări binare creşte la 29 , după cum au arătat Jurek Czyzowicz, Andrzej Pelc şi Daniel Mundici în Joumal of Combinatorial Theory, Series A, 4 9 , 1 988,pp. 384-388. În aceeaşi revistă (52 , 1 989, pp. 62-76) , aceiaşi autori au rezolvat problema mai generală în care se admit două minciuni, iar numărul care trebui e identificat se află între 1 şi puterea de exponent n a lui 2 . Wojciech Guziki (Joumal of Combinatorial Theory 54, 1 99 0 , pp. 1 - 1 9) a rezolvat cazul în care se admit două minciuni în identificarea unui număr cuprins între 1 şi n.

Pentru numere cuprinse între 1 şi un milion, Alberto Negro şi Matteo Sereno (în aceeaşi revistă, 59 , 199 2) au arătat că numărul minim de întrebări, în cazul în care se admit trei minciuni, este de 3 3 . Problema lui Ulam este strâns legată d e teoria co durilor corectoare de erori. O sinteză în această privinţă este dată de lan Stewart în " How to play twenty questions with a liar" (New Scientist, October 17 , 1 992); o altă sinteză aparţine lui Barry Cipra: "AlI theoremsgreat and small" , SIAM News, iulie 1 9 92, p. 28) .

Nu vĂ LĂSAŢI PĂCĂLIŢI! Dacă dintr-un coş cu 1 3 mere iau 3 mere , câte mere am? Răspuns: trei mere . Câţi ani a trăit cineva care s-a născut în a şap­ tea zi a anului 40 înainte de Hristos şi a murit în a şaptea zi a anului 40 după Hristos? Răspuns: A trăit 79 de ani, deoarece nu există anul zero. Găsiţi trei numere întregi pozitive a căror sumă este egală cu produsul lor. Răspuns: Numerele 1, 2 şi 3 îndeplinesc con­ diţia cerută. G.J. Simmons şi D . E. Rawlinson (American Mathematical Monthly, noiembrie 1 97 1, pp. 1 02 1 - 1023) au generalizat această problemă, ' întrebând în ce condiţii o mulţime de k numere în ­ tregi pozitive este astfel încât suma celor k numere este egală cu produsul lor. Ei au arătat că pentru orice k există măcar o mulţime de k numere cu pro­ prietatea cerută, dar în puţine cazuri soluţia este unică. Pentru k 2, soluţia (unică) este 2 + 2 2 înmulţit cu 2 . Soluţia găsită pentru k 3 este uni­ că. Pentru k 4, avem numerele 2, 4, 1, 1. Cititori ai revistei Amer. Math. Monthly au arătat că, dintre valorilţ lui k inferioare lui 1000, singurele care con­ duc la o soluţie unică sunt 2, 3, 4 , 6, 24, 1 14 , 174 şi 444 . Un fermier are 2 0 de porci, 40 de vaci şi 60 de cai. Câţi cai are fermierul dacă numim vacile cai? Răspuns: Fermierul are 60 de cai; vacile nu de­ vin cai prin simplul fapt că le-am numit cai . Gluma aceasta îi este atribuită unui preşedinte al Statelor Unite, Abraham Lincoln, care , în replică la pretenţia cuiva că sclavia nu e sclavie, ci o formă de protecţie , a spus: " Câte picioare are un câine dacă numim picior şi coada câinelui? Evident, tot patru picioare are, faptul de a numi coada picior nu transformă coada în picior. " =

=

=

=

Găsiţi două numere întregi pozitive , x şi y, cu proprietatea că produsul dintre cel mai mare divizor comun al lor şi cel mai mic multiplu comun al lor este xy. Răspuns : proprietatea respectivă este valabilă pentru orice pereche de numere întregi x, y.

" "Aveam n a m m anul n2 , declară Ion în anul 197 1 . Când s-a născut Ion? Răspuns: Ion s-a născut în anul 1 892 şi avea 44 de ani în anul 442 1 936. =

PĂCĂLIT DE FERMAT Î n ziarul rime din 7 martie 19 3 8 s-a anunţat că un anume Samuel Isaac Krieger a pretins a fi găsit un contraexemplu la marea teoremă a lui Fermat (la acea dată încă nedemonstrată) : pentru un anume n superior lui 2 , pe care Krieger nu-l divulgă, avem, pretindea Krieger, 1324n + 7 3 1n = 19 6 1 n . Aflăm tot din rime că un reporter de la New York rimes i-a găsit greşeala. Cum anume? Răspuns: Orice putere a lui 1324 are pe poziţia finală una dintre cifrele 6 sau 4. Orice putere a ori­ căruia dintre numerele 73 1 şi 19 6 1 are pe poziţia finală cifra 1. Pe de altă parte, prin adunarea unui număr care se termină cu 6 sau 4 cu un număr care se termină cu 1 nu se poate obţine un număr care se termină cu cifra 1 ; deci ecuaţia propusă de Krieger nu are soluţie .

COLERIDGE SE ÎNTÂLNEŞTE CU MATEMATICA Poetul Samuel Taylor Coleridge, în primul vo­ lum al Jurnalului său (publicat în 1957 de "Pan­ theon Books") propune următoarea şaradă: Alegeţi (în gând) un număr, dublaţi-l, adăugaţi la rezultatul obţinut pe 1 2 , împărţiţi rezultatul la 2 , scădeţi apoi numărul la care v- aţi gândit iniţial şi veţi constata că rezultatul este numărul 6. Mulţi ani mai târziu , într-un articol dintr-un ziar, Coleridge a argumentat valoarea acestui truc foarte simplu în educarea ce­ lor începători în ale matematicii. Î n acelaşi Jurnal, Coleridge ne invită într-o gră­ dină în care se află trei porţi prin care trebuie să trecem. Suntem apoi poftiţi să luăm un anumit număr de mere . Omului întâlnit lângă prima poartă îi oferim j umătate din numărul merelor plus j umă­ tate dintr-un măr; omului întâlnit lângă a doua poartă îi oferim jumătate din ce ne-a mai rămas plus jumătate dintr-un măr, iar omului întâlnit lângă a treia poartă îi oferim jumătate din numărul merelor care ne-au mai rămas plus jumătate dintr-un măr. Coleridge pretinde că putem face aceste operaţii fără a tăia niciun măr. Care este numărul minim de mere cu care trebuie să pornim pentru a putea îndeplini toate condiţiile pe care Coleridge le-a specificat? Răspuns: Numărul minim de mere este şapte (exc1udem " mere negative") .

485

CÂT DE VECHI ESTE ORAŞUL ROŞU-TRANDAFIRIU? o discuţie între profesorul A de engleză şi pro­ fesorul B de matematică. A se miră de faptul că un poet mediocru ca John William Burgon a lăsat to­ tuşi unul dintre versurile cele mai frumoase din literatura engleză: "A rose -red city half as old as Time " (Un oraş roşu-trandafiriu, cu o vechime ju­ mătate din vechimea Timpului) . B i-a replicat cu următoarea improvizaţie : U n oraş roşu-trandafiriu, c u o vechime jumătate din vechimea Timpului. Cu un miliard de ani în urmă, vârsta oraşului era două cincimi din aceea pe care Timpul o va avea peste un miliard de ani. Puteţi deduce vârsta de azi a oraşului? Răspuns: Vârsta oraşului roşu-trandafiriu este de 7 miliarde de ani. De ce? Să notăm cu x vârsta oraşului şi cu y vârsta Timpului (adică timpul scurs de la Big-Bang, marea explozie iniţială; adoptăm această ipoteză, chiar dacă unii o contestă) . Rezultă că în urmă cu un miliard de ani vârsta oraşului era x - 1, iar peste un miliard de ani vârsta Timpului va fi y + 1. Obţinem ecuaţiile 2x = y şi x - 1 = (2 / 5) (y + 14 miliarde de ani. + 1) , deci x = 7 şi y =

mărul total al cerceilor este egal cu numărul femei­ lor din sat, deci 800.

ZBORUL ŞI VÂNTUL Un avion zboară în linie dreaptă de la aeropor­ tul A la aeroportul B, apoi tot în linie dreaptă de la B la A. Ambele zboruri se fac cu o viteză constantă şi pe o vreme fără vânt. Va fi timpul total de zbor de la A la B şi de la B la A mai mare , mai mic sau ace­ laşi, în ipoteza că pe parcursul ambelor zboruri un vânt de viteză constantă bate dinspre A spre B? Răspuns: Deoarece vântul măreşte viteza zbo­ rului dinspre A spre B şi mic şorează viteza zborului dinspre B spre A, am fi tentaţi să credem că cele două acţiuni ale vântului se neutralizează reciproc şi, deci, ca durată totală a zborului rămâne aceeaşi. Dar acest lucru nu se întâmplă, deoarece durata de timp în care viteza avionului creşte este mai mică decât durata de timp în care viteza se micşorează. Efectul total este deci unul de întârziere . Timpul total de zbor, î:ţ1 condiţiile unui vânt de viteză con­ stan tă şi mert1,U în aceeaşi d irecţie, este totdeauna mai mare decâr în condiţiile absenţei vântului. \

UN CASIER DE BANCĂ DISTRAT PUNCTUL FIX AL URCUŞULUI ŞI COBORÂŞULUI Persoana A urcă un munte pe un drum foarte îngust, care duce la o mănăstire din vârful mun te­ lui. Î ncepe urcuşul în momentul în care soarele răsare şi ajunge sus la apusul soarelui. După câte­ va zile, tot la răsăritul soarelui, începe coborârea. Arătaţi că există un loc în acest drum pe unde A va trece exact la aceeaşi oră din zi atât la urcare , cât şi la coborâre. Răspuns: Lucrurile se clarifică dacă în loc de un singur om care urcă într-o zi şi coboară în altă zi considerăm doi oameni, unul începând să urce la răsăritul soarelui, altul începând să coboare la ace­ laşi răsărit de soare . Evident, ei se vor întâlni.

NUMĂRÂND CERCEII Î ntr-un sat locuiesc 800 de femei. Trei la sută dintre ele poartă un cerceI . Dintre celelalte 97%, jumătate poartă câte doi cercei, iar cealaltă jumăta­ te niciun cerceI. Fără a face niciun calcul, ci numai observând aspectul logic al datelor, puteţi stabili cât totalizează cerceii femeilor din sat? Răspuns: Ipoteza privind cele 9 7% din femei es­ te numeric echivalentă cu ipoteza că fiecare dintre aceste femei poartă câte un singur cerceI. Cum res­ tul de 3% se află în aceeaşi situaţie , rezultă că nu48 6

Un astfel de casier, în momentul în care a tre­ buit să plătească unui client un anumit cec, a în­ curcat lucrurile , confundând leii cu banii şi banii cu leii. După ce a dat unui copil cinci bani, clientul a constatat că a p ierdut o sumă dublă faţă de valoa­ rea cecului său. Care era această valoare? Răspun s: Să notăm cu x numărul de lei şi cu y numărul de bani din suma de pe cec. Din datele problemei rezultă că 1 00y + x - 5 = 2 ( 1 00x + y), adică 9 8y - 1 9 9x = 5, unde x şi y ne interesează prin valorile lor posibile ca numere întregi. Dar ecu­ aţia la care am ajuns are o infinitate de soluţii în numere întregi. Prin metoda standard a fracţiilor continue rezultă că cele m ai mici soluţii ale ecuaţiei sunt x 3 1 şi y = 63 , deci suma de pe cecul în cau­ ză era de 3 1 de lei şi 63 de bani. Orice alte posibile soluţii cad , deoarece conduc la sume în care numă­ rul banilor este mai mare decât o sută. O soluţie mai simplă, care nu face apel la rezol­ varea prin fracţii continue , este următoarea: Dup ă ce a dat 5 bani unui copil , clientul a rămas fără suma de 2x + 2y. Ştim că y este mai mic decât 100, dar nu ştim dacă este mai mic decât 50; dacă este mai mic decât 50, avem ecuaţiile 2x = y, 2y x - 5 , dar î n acest caz s e obţine pentru x o valoare negati­ vă care trebuie respinsă. D acă y este egal cu 50 de bani sau mai mare , atunci clientul va rămâne cu o cantitate de bani (2y) cel puţin egală cu un leu. Va trebui deci să modificăm ecuaţiile de mai sus, retră­ gând 1 00 din 2y şi adăugând pe 1 la 2x. Obţinem =

=

deci 2x + 1 y, 2y - 1 00 = x - 5, iar soluţiile acestui sistem de ecuaţii sunt cele corecte . =

DE LA 1 LA 100 Considerând şirul cifrelor de la 1 la 9, în ordine cre scătoare deci, ce semne trebuie să introducem între termenii consecutivi în aşa fel încât să obti' nem numărul I OD? Răspuns: Cel mai simplu răspun s pare a fi ur­ mătorul: introducem de şase ori semnul + între cifrele de la 1 la 7, apoi plasăm semnul înmulţirii între 8 şi 9, iar produsul dintre 8 şi 9 îl punem între paranteze . Suma cifrelor de la 1 la 7 este 28, produ­ sul lui 8 cu 9 este 72 , iar suma dintre 28 şi 72 este 1 00 . Problema devine mai interesantă ş i mai grea dacă limităm semnele pe care le introducem la plus şi minus. Iată câteva posibilităţi: 1 + 2 + 34 - 5 + 1 0 0 , 1 2 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 + 67 - 8 + 9 100, 1 2 3 + 4 - 5 + 67 - 89 = 1 0 0 , 1 2 3 - 45 - 67 + + 89 = 100. Apare natural problema: Luând cifrele în ordine inversă, deci de la 9 la 1 , care-i cel mai simplu mod de a obţine rezultatul 1 0 0 prin introducerea unor semne între cifre consecutive? Gardner propune 98 - 76 + 54 + 3 + 2 1 = 1 00 . S-au folosit numai patru semne, o soluţie mai simplă nu există, pretinde Gardner. =

=

=

NUMERE ATÂT DE MARI, ÎNCÂT NU LE PUTEM SCRIE

Î n 1 9 7 1 , Aristid W. Grosse (chimist devenit ce­ lebru încă din anii '40 ai secolului trecut) a iniţiat investigarea exponenţilor în scară ai aceluiaşi nu­ măr, consideraţi fie de jos în sus, fie de sus în jos . A introdus pentru ei denumirea de " polypowers " poliputeri ai numărului x, x putând fi raţional sau iraţional, algebric s au transcendent, real sau com­ plex; x la x este un "dipower" - o biputere, x la x la x este un " tripower" - o triputere ş . a.m.d. Î n cele mai multe cazuri, poliputerile sunt funcţii uniforme, continue şi diferenţiabile. Deoarece orice poliputere a lui 1 este tot 1 , grafurile acestor funcţii şi ale deri­ vatelor lor se intersectează pentru x 1 , iar valorile lor in punctul zero se obţin ca limită, pentru x tin­ zând către zero. Biputerile ascendente coincid cu cele descen­ dente , dar poliputerile de ordin superior lui 2 con­ duc la numere diferite , după cum sunt ascendente sau descendente. De exemplu, 9 la puterea 9 la puterea 9 calculat ascendent este un număr de 77 de cifre , în timp ce calculat descendent are peste 300 de milioane de cifre . =

Ecu AŢII

CU SCĂRI

Ce se întâmplă când scarI, ascendente sau de scedente , de lungimi diferite conduc la valori ega­ le? Dacă un triplet suitor al lui x este egal cu unul coborâtor al lui x, atunci avem x 2 . Cazul x = 1 este exclus, fiind trivial. Orice x adiţional într-o sca­ ră ascendentă măre şte cu 1 valoarea lui x. Dacă o triputere descendentă a lui x este egală cu o 4-putere ascendentă a lui x, atunci x = 3. Dacă o triputere descendentă a lui x este egală cu o 5- putere ascendentă a lui x, atunci x 4 ş.a.m.d. Apar astfel ecuaţii de un tip nou, iar Gardner pro­ pune spre rezolvare pe unnătoarele: pentru care valori ale lui x: o 4-putere ascendentă este egală cu o 4-putere descendentă; o 5-putere desc. este egală cu o 4-putere asc . ; o triputere desc . este egală cu o 4-putere asc . Răspuns: Cheia simplificării celor trei ecuaţii în poliputeri este faptul că puterea c a lui a la puterea b este egală cu a la o putere de exponent egal cu pro­ dusul dintre b şi c. Aplicând repetat acest procedeu la a doua ecuaţie, se obţine xx(x la puterea x) = 2 , ceea ce d ă pentru x valoarea 1 , 5596 1 + . . . Î n cazul primei ecuaţii se obţine x la x egal 3 şi x 1 , 82545 + . . , iar în cazul celei de-a treia ecuaţii se obţine x la x egal 4, deci x = 2 . U n alt aspect interesant se referă l a faptul c ă în scara de exponenţi putem introduce paranteze, deci grupări ale exponenţilor, într-o mare varietate de procedee ; dar nu totdeauna două moduri diferite de a introduce paranteze conduc la rezultate diferite; un rezultat general în această privinţă nu a apărut încă . Scările de exponenţi pot fi prelungite la infinit . Ce se întâmplă cu x la puterea x la puterea x =

=

De cinci ori cifra 2: doi la puterea doi la puterea doi la puterea doi la puterea doi, sub forma unor exponenţi sucesivi, ne plasează în faţa unui număr întreg pentru care avem nevoie de aproape 20 de mii de cifre pentru a-l scrie; mai precis, numărul obţinut este un cuvânt de lungime egală cu 1 9 . 729 pe alfabetul cifrelor de la O la 9 şi începe cu 20035, i ar sub forma exponenţială este egal cu doi la pute­ rea 6553 6. Dacă la cei patru exponenţi egali cu 2 îl adăugăm pe al cincilea, atunci se obţine un număr pe care nu-l vom putea niciodată calcula, deoarece timpul computaţional necesar în acest scop ar de­ păşi vârsta Universului, iar spaţiul oferit de acesta ar fi insuficient pentru a permite printare a număru­ lui respectiv. Acesta este mesajul pe care Gardner l-a primit de la Geoffrey W . Hoffmann din Germania. Î n 1 9 3 3 , S. Skewes a arătat că dacă p(x) este numărul numerelor prime mai mici decăt x, iar i(x) este funcţia integrală logaritmică, atunci p(x) - i(x) este pozitivă p entru un anume x inferior lui 1 0 la puterea 1 0 la puterea 1 0 la puterea 34, acest din urmă număr fiind considerat cel mai mare număr întreg cu un rol într-o teoremă netrivială.

=

.

4 87

ş.a.m.d. până la infinit? Gardner ne atrage atenţia că privită descendent, această scară nu diverge pen­ tru x > 1 , cum ne -am fi aşteptat. D acă x este un număr întreg, atunci divergenţa se produce în cazul în care x este superior lui e la puterea l / e ( 1 , 4446 . . . ) . Pentru x real, convergenţa are loc pen­ tru x mai mare decât sau egal cu e la puterea -e (= 0 , 0659 . . . ) şi pentru x egal cu sau mai mic de­ cât e la puterea l / e . =

mulţimile lui Bertrand Russell, care se conţin pe ele ca element.

J AMES J OYCE ŞI NUMERELE MARI

=

UN PARADOX CARE ASCUNDE O GREŞEALĂ Î n legătură cu rezultatul de mai sus, apare ur­ mătorul paradox. Să admitem că o anumită scară infinită a lui x converge la 2. Care este valoarea lui x? Dar toţi x-ii situaţi deasupra celui mai de jos x formează şi ei o scară infinită de x, deci care con­ verge la 2. Obţinem astfel x2 2, deci x este rădăci­ na pătrată a lui 2. Dacă acum aplicăm aceeaşi procedură unei scări infinite care converge la 4, obţinem x4 = 4, deci din nou x este rădăcina pătrată a lui 2. Cum este posibil ca o scară infinită să con­ veargă şi către 2 şi către 4? Fapt este că ipoteza convergenţei către 4 nu se realizează, deci dintr-o ipoteză falsă putem trage orice concluzie, inclusiv cea de mai sus. Pentru detalii, Gardner ne trimite la M . C . Mitchelmore, "A matter of definition" , American =

Math. Monthly 8 1 , 1 97 4 , 643 - 647

Să observam că paradoxul de mai sus aminteş­ te de dezvoltarea în fracţie continuă a numărului de aur, unde nu apare decât cifra 1 , fapt pe baza căru­ ia deducem x = 1 + ( l / x) , unde x este numărul de aur. O situaţie asemănătoare apare în teoria hiper­ mulţimilor (hypersets) a lui Jon Barwise şi Lawrence S . Moss (" Hypersets " , Mathematical Intelligencer 1 3 , 1 9 9 1 , 3 1 -4 1 ) . O hipermulţime este o mulţime A pentru care există un şir infinit A n de mulţimi astfel încât A = Ao şi An este un element din An- l pentru orice n mai mare sau egal cu 1 . Se observă că în cazul in care termenii şirului coincid cu A, obţinem

488

Cel mai mare număr care se poate scrie folo­ sind numai trei cifre şi niciun alt simbol, 999 (9 la puterea 9 9) a atras interesul celebrului dramaturg irlandez James Joyce, care l-a introdus în penulti­ mul capitol din al său mysses. Joyce ne dezvăluie că Leopold Bloom era odată fascinat de acest nu­ măr. Î ntr-un întreg paragraf se explică mărimea colosală a lui 9 la puterea 9 9 . Numărul 10 la pute­ rea 1 0 la puterea 1 0 la puterea 3 4 , care poartă nu­ mele lui Skewes, a fost considerat de acesta drept cel mai mare număr care intervine într-o teoremă netrivială; dar acest lucru este valabil în cazul in care ipoteza lui Riemann este adevarată, chestiune încă nelămurită. Ce se întâmplă dacă ipoteza lui Rieman nu e adevărată? Skewes demonstrează că, în aces\ L caz, cel mai mare număr semnificativ este 1 0 la p \l t � rea 10 la puterea 1 0 la puterea 1 0 la pu­ terea 3.\ Intreaga aventură a acestor numere este relatată de Isaac Asimov în Fantasy and Science Fiction, noiembrie 1 9 74. Î n ceea ce-l priveşte pe Skewes, el a fost stimulat în acţiunea sa de cererile venite din partea lui J.E. Littlewood; a se vedea ca­ pitolul " Large numbers " din cartea acestuia A Mathematician's Miscellany (Methuen, 1 9 5 3 ) . Dar, între timp, diferite teoreme matematice au avut nevoie de numere superioare celor la care se referă Skewes. După cum ne informează Gardner, în lucrarea sa devenită clasică, The Colossal Book of Mathematics, recordul il deţine Ronald L. Graham, cu o teoremă din teoria Ramsey (un capitol al teoriei grafurilor) . Numărul lui Graham poate fi exprimat într-un mod compact numai dacă se foloseşte o notaţie specială, inventată de Donald E. Knuth. Este însă foarte probabil ca, între timp, şi recordul lui Graham să fii căzut.

r

CAPITOLUL VII GOOOOOOOOOL! FOTBALUL, SPORTUL-REGE

METAFORA FOTBALISTICĂ Marcarea unui gol este un moment culminant, de adevărat vertij , prin care fotbalul se detaşează de orice alt sport de echipă, de orice alt tip de competi­ ţie sportivă, într-o anumită arie geografică a plane­ tei noastre. Momentul de gol rezumă esenţa j ocului de fotbal şi in acelaşi timp explică formidabila sa capacitate metaforică. Fotbalul este o intreagă lume, iar lumea este, în anumite privinţe , un meci de fot­ baL Desigur, goluri se marchează şi în alte jocuri sportive, dar numai în fotbal conduc ele la acea ameţeală generală a jucătorilor şi a spectatorilor, un adevărat climax care dezlănţuie imen se energii. " Ministrul şi-a marcat astfel un punct în pro­ pria-i poartă" , " . . . se pune şi întrebarea dacă Protoco­ lul din 5 februarie constituie sau nu un punct marcat de PD în poarta Convenţiei" , " Meciul dintre Convenţie şi PD a continuat şi în această săptămâ­ nă, " Senatorul s-a aflat astfel in poziţie de ofsaid" , "Mingea se află acum la partea adversă" , " Cu FMI-ul am dat-o în bară" Situaţiile critice ale j ocului de fotbal constituie o sursă metaforică inepuizabilă ' pentru cele mai diverse situaţii de viaţă, iar exem­ plele menţionate, toate de dată relativ recentă, pri­ vind scena politică românească, sunt numai o palidă ilustrare . Prin acestea, fotbalul nu face decât 'să restituie vieţii ceea ce el a luat din viaţă, prin chiar modul în care a fost conceput, structurat şi ·practicat. Este mai mare capacitatea de a genera transfe­ 'ruri metaforice în cazul fotbalului decât în cazul 'aJtor sporturi, cum ar fi boxul ("lovitura sub centu­ :r�" a devenit una dintre cele mai celebre metafore 'sportive) sau şahul (a se vedea universalitatea situiiţii10r de mat sau de pat, a manevrei de rocadă şi a ipi eselor numite pioni)? Pentru a răspunde la aceas­ ,ta întrebare , ar fi nevoie de o cercetare specială; a " fo st ea cumva întreprinsă? Ceea ce îi conferă fotbalului o superioritate cla­ ră este productivitatea metaforică spontană a publi-

cului de fotbal. Îmi aduc aminte că în anii '70 un italian, Paolo Dona, venise la Bucureşti pentru a studia ace st fenomen in de sfăşurarea sa naturală, în tribunele meciurilor de fotbal , rezultatele urmând să fie folosite într-o teză de doctorat despre limbajul fotbalistic . Îmi arătase liste nesfârşite de porecle pe care spectatorii le dădeau jucătorilor, arbitrilor, antrenorilor sau altor spectatori (în special suporte­ rilor echipei adverse) . Freamătul unui stadion aflat sub atracţia mag­ netică a unui meci în plină desfăşurare, a cărui miză nu este neglij abilă, oferă un spectacol unic. Omul din tribună are nevoie de întreaga tribună pentru a dobândi inventivitate de limbaj şi un simţ dilatat al umorului , el are nevoie de întreaga masă de spectatori pentru a-şi dezlănţui verva metaforică, tot aşa cum albatroşii lui Baudelaire au nevoie de întregul văzduh pentru a-şi demonstra eleganţa zborului. Fotbalul a fost recunoscut drept sportul-rege. Copilăria, adolescenţa şi tinereţea mi-au stat sub vraj a sa, iar acum, după un şir de ore petrecute printre cărţi şi hârtii sau la pupitrul calculatorului, nu cunosc destindere mai plăcută decât urmărirea unui meci de fotbal de calitate, chiar dacă acest lucru se întâmplă în faţa ecranului de televizor şi nu la locul de desfăşurare. Aflându-mă, in ultimii ani, de mai multe ori în Brazilia, unde anumite ca­ nale de televiziune transmit fotbal 24 de ore din 24, am înţeles modul în care atitudinea publicului faţă de fotbal poate fi cheia inţelegerii temperamentului unui popor. Creativitatea metaforică a crainicului care transmite un meci, capacitatea sa de a se en­ tuziasma sau de a fi dezamăgit, de a fi trup şi suflet cu stadionul sunt cele ale unui mare actor. Momen­ tul brazilian al marcării unui gol este prelungit de crainic printr-o exclamaţie de cel puţin 30 de se­ cunde , în contextul unui adevărat vacarm al tribu­ nelor; titlul reflecţiilor de faţă încearcă să sugereze intensitatea acestui moment.

489

DE LA FOOT-BALL LA FOTBAL Faţă de atâtea răsturnări care m-au marcat (democraţie, fascism, război, holocaust, comunism, gulag, căderea comunismului) , printre puţinele ati­ tudini constante, care au rezistat tuturor intemperi­ ilor istoriei, s-a aflat şi nevoia de fotbal . Copil, urmăream evoluţia unor echipe ca Ripensia, Venus , Juventus şi CAO Oradea. Zeii mei erau Bodola, Dobai, Baratki, Bindea şi alţii ca ei. Î n anii treizeci se scria încă "foot-ban", ca in engleză, dar, evident, cei mai mulţi ignorau pronunţia corectă şi citeau aşa cum se scrie acum : fotbal . Evoluţia spre actuala scriere a fo st lentă, nu mai ţin minte acum fazele ei intermediare , dar acest exemplu este elocvent pen­ tru modul în care , in limbă, gre şelile de ieri pot de­ veni regulile de azi, ceea ce ne face să băn uim că multe greşeli de azi vor deveni cândva reguli. Î n legătură cu acelaşi cuvânt fotbal", apare acum şi " un fenomen de hipercorectitudine; unii se ambiţio­ nează să-I pronunţe şi azi ca în engleză (aşa cum s-a întâmplat cu unul dintre participanţii la o dis­ cuţie despre sport, in cadrul unei emisiuni de tele­ viziune la PRO TV, într-o seară din februarie 1 998) . O situaţie interesantă o prezintă şi substantivul gol " , provenit din englezul goal", care se pronunţă " " aproximativ "gouI " , cu un u" abia perceput şi care în " româneşte a devenit, cum era de aşteptat, cuvântul atât de popular pe care il cunoaştem. Î n ace ste con­ diţii, noua funcţie, de substantiv, a cuvântului pe care toată lumea il cunoaşte ca adj ectiv antonim al cuvântului "plin" avea să conducă aproape inevita­ bil la etimologia populară care explică substantivul prin adjectivul omonim; l-am auzit pe un spectator la un meci, explicând odraslei sale : a marcat un gol, adică a găsit în poartă un gol, nepăzit de portar. Etimologia corectă a cuvântului " gol " este însă plină de tâlc şi ne duce la esenţa j ocului de fotbal. "Goal" înseamnă în engleză " scop" , " ţintă" şi exprimă faptul că fotbalul simobilizează acele acţiuni umane care au o finalitate clară şi precisă, a cărei eficacitate se poate determina fără ambiguitate . Î n orice caz, in contrast cu "fotbal" , a cărui pronunţare e sensibil diferită de aceea a cuvântului englezesc din care pro­ vine, cuvinte ca " gol " şi " ofsaid" (in engleză: off- side) sunt mai apropiate de pronunţia din engleză. Şi-au spus cuvântul atât tendinţa limbii române de a se citi aşa cum se scrie , cât şi faimo sul principiu al minimului efort, care impune , în general, expresiile cele mai scurte pentru cuvintele cele mai frecvente. Î n anii treizeci, unul dintre cuvintele cele mai populare, impuse de jocul de fotbal, era verbul a " dribla" (provenit din " to dribble " ) , preluat repede de limbajul cotidian, în care devenise o metaforă a situaţiilor în care A îl păcăleşte pe B, îl întrece în dibăcie. Unul dintre marile puncte de atracţie ale fotbalului este situaţia in care un jucător marchea­ ză un gol după ce a driblat doi sau trei j ucători ai echipei adverse . De aceea, golul simbolizează efica­ citatea acţiunii umane cu scop bine determinat şi în 490

,rt;

este exact acesta dezide­ condiţii de competiţie ; ratul major al lumii act ale?

\

FOTBALUL ÎN REGIMUL TOT ALIT AR Î n regimul totalitar, fotbalul devenise o adevă­ rată oază. Stadioanele de fotbal , rubricile de fotbal din ziare erau aproape singurele insule de relativă libertate unde comportamentul nostru se apropia de normalitate. Î n aceste condiţii, era aproape inevita­ bil ca tot ceea ce nu era permis în viaţa cotidiană să- şi caute o compensaţie pe stadionul de fotbal, situaţie care stimula şi favoriza transferurile meta­ forice cele mai îndrăzneţe . Meciul de fotbal era aproape silit să funcţioneze ca o metaforă a meciu­ lui pe care dictatura îl purta cu cea mai mare parte a populaţiei. Cu cât erau mai in suportabile restricţi­ ile impuse in viaţa socială, cu atât erau mai exploa­ tate libertăţile comentariului sportiv; în aceste condiţii, tot mai mulţi scriitori s-au simţit atraşi de cronica fotbalistică pentru a- şi transfera acolo liber­ tatea de gândire; iar acum , când nu mai e nevoie de acest refugiu, observaţi cum s- a micşorat sensibil numărul scriitorilor atraşi de această activitate. Î n plan sin cronic, fotbalul era intr-adevăr un refugiu asemănător aceluia reprezentat în plan diacronic de trecutul îndepărtat (istoria devenise pentru mulţi scriitori o metaforă a prezentului) . Exista însă în regimul totalitar şi o altă faţă a medaliei. Ca profesor de universitate , mi s-a întâm­ plat de mai multe ori să am ca studenţi sportivi de performanţă, de la Lia Manoliu, studentă la Energetică la începutul anilor cincizeci, până la campioana de şah Pogorevici, studentă la matema­ tică în anii optzeci. Este un lucru obişnuit la noi ca în preajma unui examen unele persoane să se inte­ reseze de situaţia unor studenţi care urmează a fi examinaţi . Acest fenomen rămâne însă in limitele unei normalităţi, dacă se poate spune aşa. La un moment dat mi-a devenit studentă soţia unuia din­ tre cei mai buni portari de fotbal ai ţării, chiar cel care, în acea perioadă, era şi portarul echipei naţio­ nale . În preajma sesiunii de examene începusem să simt că deveneam o persoană din ce în ce mai im­ portantă, căutată de rectorul Universităţii, de con­ ducerea Federaţiei Române de Fotbal şi de persoane din conducerea Comitetului Naţional de Cultură Fizică şi Sport, cum , dacă nu mă înşeală memoria, se numea pe atunci organul suprem de specialitate; nu lipseau, fireşte , telefoanele din partea unor fo ­ ruri de partid (lucrurile se întâmplau prin anii "60) ; toţi se in tere sau de examenul la care urma să se prezinte soţia celebrului fotbalist. Mi-am dat seama că fotbalul pune în mişcare nu numai mase imense de " microbişti" , ci şi întreaga birocraţie de partid şi de stat; iar cum într-un viitor apropiat echipa Româ­ niei urma să susţină un meci cu miză foarte impor­ tantă în compania Iugoslaviei, poarta României urmând să fie apărată chiar de soţul studentei care

se afla în centrul atenţiei , mă simţeam aproape răs­ punzător de soarta acelui mec şi , implic t, de p res: . . _ ca tigiul României în lume . Nu banulsem nlc10data activitatea mea ca profesor de matematică ar putea avea un asemenea impact.

�

�

CAZUL LUI HARALD BOHR Cum s-a putut ajunge la această situaţie? Fot­ balul nu este totuşi decât un joc . Plăcerea j ocului pare străină de orice finalitate practică şi de oricare dintre problemele grave ale umanităţii şi ale ţării. Dacă acesta este jocul in punctul său de plecare , ştim acum că, în anumite c�uri, iar fotbalul se afl . prin excelenţă în această sltuaţ1e, J. ocul evolu �a� spre contrariul său , implicând im � nse � rgolll ŞI mari sume de bani. Gravele acte de vlOlenţa care au avut loc de mai multe ori in ultimii ani pe diferite stadioane occidentale şi povestea echipei Olympique Marseille sunt semnificative in această privinţă; iar cine doreşte să se edifice asupra dimensiunii româ­ neşti a acestei probleme , să urmărească "Proce sul etapei" la PRO TV. . com­ În ciuda acestor denaturări ale fotbaluluI, ponenta sa de j oc şi de intelig: nţ ră�âne p :.epon­ . derentă. Impresia, destul de raspandlta, dupa care fotbalul ar fi o activitate potrivită persoanelor pu­ ternice fizic, dar slabe intelectual (s-a speculat con­ trastul dintre cap şi picior, primul simbolizând i.nteligenţa, iar cel de-al doilea forţa fizică) trebuie amendată. Este adevărat că fotbalul, ca sport de JIlasă, este practicat de multă lume certată cu invă­ î.ătura şi cultura, dar marii jucători de fotbal au uns la perfonnanţă printr-o fericită articulare a forţei şi inteligenţei. Dintre numeroasele exemple de mari intelectuali care au practicat şi iubit fotbalul, fie-mi ingăduit, ca matematician, să-I amintesc pe Harald Bohr (fratele celebrului fizician Niel s Bohr) , un mare matematician danez, creatorul teoriei func­ tUlor aproape periodice . El a j ucat in echipa Dane­ �arcei la Jocurile Olimpice din 1 9 2 8 ; această echipă obţinuse medalia de argint şi este n:enţiona­ tă în cartea lui Bill Malton , The Olymplc Record Book (Garland Publ . , New York, p. 1 72) pentru cel mai mare scor realizat intr-un singur j oc, cel impo" thva Franţei, pe care o invinsese cu 17 la �a noi in tară matematicieni ca Octav Onicescu ŞI NIcolae Te�dorescu s-au interesat de mişcarea fotbalistică, ','�� sprijinit-o şi se pare că au şi practicat fotbalul.

�

�

�

�.

PRELIMINARII TEORETICE Este acum momentul să trecem la întrebări mai " substantiale. Care este statutul fotbalului? În ce constau ' structura sa, natura sa conflictuală? Cum se explică faptul că el se menţine c � sport-rege � e � . imensă întindere a planetei, în cIuda competIţIeI

aprige în care se afl ă cu alte sporturi devenite foarte populare? Căutând in cărţi celebre un răspu � s l � . aceste întrebări, vom rămâne destul de dezamaglţI. La o reflecţie directă asupra fotbalului inainte de secolul al XX-lea nici nu ne-am fi putut aştepta; dar nici măcar jocurile sportive in genere nu au benefi­ ciat de atentia cuvenită din partea celor care au fost preocupaţi de natura j ocului. Pentru a ne referi la un studiu devenit celebru (existent şi în versiune românească) , în Homo ludens al lui Johan Huizinga nu lip sesc paginile consacrate j ocurilor fizice , dar sportul nu beneficiază de o analiză profundă, pe măsura nivelului general, foarte ridicat, al acestei lucrări. Va trebui să di stingem intre două aspecte fun­ damentale ale jocului, greu exprimabile în limba română (ca şi în limba franceză de altfel) , unde �u­ vântul ,j oc" trebuie să acopere (pentru a ne refen la limba engleză) atât semnificaţia de "game", cât şi pe cea de "play" Să amintim că patru trăsături par esenţiale în activităţile pe care le avem în vedere sub denumirea de ,jocuri": caracterul agreabil, na­ tura imprevizibilă, aspectul problematic şi cel de strategie . Desigur, p onderea cu care participă fieca­ re dintre aceste trăsături diferă de la un j oc la altul. Dacă agreabilul rămâne deocamdată o categorie mai degrabă psihologică, pe care nu ştim încă s-o de s­ criem într-un mod mai riguros, imprevizibilul, pro­ blematicul şi strategicul fac obiectul unor discipline ştiinţifice prestigioase, ca teoria infonnaţiei (vizând imprevizibilul) , inteligenţa artificia ă (v zând � ro­ . blematicul) şi teoria matematică a J ocunlor (vlzan strategicul) . Am detaliat această idee în alte I � CU�1 din cartea de faţă. Pe de altă parte, Roger CrullOls (Les jeux et Ies hommes, Gallimard, Paris, .1 9581 � e referă la jocurile copiilor, pe care le repartIzeaza m patru categorii, după cum sunt domin �� e d � �om� e­ . tiţie, de şansă, de simulare sau de vertIJ . DI � tmcţllle operate de Caillois sunt relevante nu nu �ru pentru jocurile copiilor, ci şi pentru cele ale adulţIlor, aceş­ tia din urmă având nevoie , ca şi copiii, de şansă şi de vertij şi simţindu-se atraşi de competiţie şi de simulare. Putem corela clasificarea lui Caillois cu cele patru trăsături ale j ocurilor prezentate mai sus; competiţia este dominată de strategie, şansa se aso­ . _ ciază cu imprevizibilul, simularea se aSOCiaza cu problematicul şi cu agreabilul, iar vertiju este for � ma supremă a agreabilului. Jocul este In acelaşI timp o articulare a elementului " p aidia" (libertate, improvizaţi e, sprinteneală, vacarm, râs ne �ontro a� şi a elementului ludus" uoc cu gustul dlficultaţn " practice) .

�

�

�

�

� �

COMPLEXIT ATE ŞI FINEŢE Unde se plasează, în raport cu toate aceste dis­ tinctii, fotbalul? El este, evident, agreabil atât pentru jucători, cât şi pentru spectatori. Are un �ru:acter imprevizibil , poate cu cea mai mare entrople mfor49 1

maţională (in raport cu alte j ocuri sportive de echi­ pă) , rezultând atât din mărimea terenului şi din numârul mare de jucători, cât şi din traiectoria pli­ nă de surprize a balon ului; într-adevăr, fotbalul este singurul joc sportiv de echipă în care mingea este jucată exclusiv cu piciorul (cu excepţia portaru­ lui şi a aruncărilor de la margine) , iar traiectoria mingii trimise cu piciorul este mai puţin precisă decât a celeia trimise cu mâna, ca în volei, baschet şi, parţial, în rugby. În aceste condiţii s-ar putea ca entropia j ocului de fotbal să fie superioară entropiei altor jocuri sportive de echipă, fapt care ar explica gradul ridicat de spectaculozitate al fotbalului. Sun­ tem în să, în această privinţă, în domeniul ipoteze­ lor, numai o cercetare ulterioară ar putea aduce lumină (sau cumva această cercetare a fost făcută şi nu avem cunoştinţă de ea) . Caracterul problema­ tic al fotbalului provine din mai multe direcţii. Îmi aduc aminte , din anii ,, 60, de o teză de doctorat în sport, având ca temă situaţiile de ofsaid, şi de o alta, despre lovitura de la 1 1 metri. Diagnosticarea acestor situaţii pune probleme delicate de arbitraj şi generează multe conflicte. Mutarea jocului de pe o parte pe alta a terenului şi schimbarea bruscă a direcţiei de joc sunt numai două dintre situaţiile de maximă imprevizibilitate . Caracterul problematic are şi o importantă latură psihologică. Jucătorul trebu­ ie mereu să evalueze aşteptările adversarului, pen­ tru a le înşela; forţa şutului, stăpânirea balonului şi viteza în deplasare trebuie mereu asociate cu fine ­ ţea observaţiei psihologice, imaginaţia şi gradul de colaborare cu coechipierii. Componenta strategică este şi ea esenţială; fotbalul se încadrează în clasa aşa-numitelor j ocuri de sumă nulă, orice avantaj sau câştig al unei echipe con stituie un dezavantaj sau o pierdere de mărime similară pentru cealaltă echipă; s-ar putea totuşi ca această afirmaţie să necesite unele nuanţări, dar probabil că ele nu ating caracterul predominant de sumă nulă al fot­ balului. Caracterul competitiv al fotbalului îl stimu­ lează pe jucător să se autodepăşească, dar în acelaşi timp se află la baza marilor ambiţii şi sume de bani pe care fotbalul le pune în mişcare , de mul­ te ori in conflict cu aspectul său ludic . Competiţia fotbalistică, mai mult decât orice altă competiţie sportivă, a fost de multe ori aşezată la remorca unor politici extremiste şi a fost exploatată în acest sens de tot felul de mişcări antidemocratice , mergând până la alimentarea urii dintre diferite provincii ale aceleiaşi ţări. Violen ţa pe stadioane a mers mână în mână cu agresivitatea discursului politic.

FOTBALUL, ÎNTRE ORDINE ŞI HAZARD Aj ungem astfel la unele dintre punctele cele mai delicate: poate fotbalul de performanţă să- şi menţină caracterul său competitiv fără a-l compro­ mite ca spectacol şi fără a-i atinge gratuitate a sa ludică? Este clar că ne aflăm în faţa unor cerinţe 492

care , într-o anumită măsură, se sabotează reciproc. Diferite cerinţe formulate la adresa fotbalului se află într-o situaţie parţial cooperativă, sinergetică, dar parţial conflictuală. Acest caracter sistemic al j ocu­ lui de fotbal a fost el oare studiat in reala sa com­ plexitate? Să mai observăm că fotbalul se detaşează de alte j ocuri sportive prin starea de ameţeală, de vertij de tipul scrânciobului de copii şi al spectaco­ lelor de circ , la aceasta contribuind interacţiunea (fără egal în alte sporturi) j ocului propriu-zis cu spectatorii săi. Fotbalul este o adevărată beţie , în sensul cel mai uman al acestui cuvânt, o stare veci­ nă cu uşoara nebunie pe care o încearcă un creator în procesul căutărilor sale; formulăm această apre­ ciere cel puţin ca o ipoteză. Caillois dispune j ocurile în ordinea descrescă­ toare a elementului "paidia" şi în ordinea crescătoare a elementului "ludus" În cadrul j ocurilor de com­ petiţie, fotbalul este plasat de Caillois cam pe locul al şaselea, după alergări şi lupte, atletism , box şi scrimă. Este curios faptul că acelaşi autor eludează dimensiunea de vertij a fotbalului, aşezând aici doar scrânciobul, balansoarul, căIăria, schiul şi alpinismul. Cele mai importante întrebări sunt, din neferi­ cire, şi cele mai grele . Care este logica internă a jocului de fotbal? Care este relaţia acestui joc cu lumea? De ce regulile j ocului de fotbal sunt cele pe care le cunoaştem şi nu altele (aici putem învăţa multe , urmărind evoluţia j ocului de fotbal de-a lun­ gul timpului) ? De ce terenul de fotbal, porţile, min­ gea au forma şi dimensiunile pe care le cunoaştem şi nu altele? De ce 1 1 jucători? etc . Întrebări simila­ re pentru jocul de şah şi- au primit numai parţial răspunsul. Discutăm această che stiune în capitolul dedicat şahului. Fotbalul prezintă o situaţie mai dificilă datorită acţiunii puternice a elementului hazard. in orice caz , constatăm modul remarcabil în care fotbalul respectă regula clasică a unităţii de timp , loc şi de acţiune . Orice răspuns l a întrebările formulate v a trebui să se refere la parametrii biologici şi psihologici ai fiinţei umane atât în ipostaza de jucător, cât şi in cea de spectator, iar cunoaşterea acestor parametri a progresat esenţial în ultimele decenii datorită, in bună măsură, noilor ştiinţe ale informaţiei ; va tre­ bui să se refere la gradul optim de imprevizibilitate al unui joc care trebuie să evite atât haosul (impre­ vizibilitatea exagerată) , cât şi determinismul pur (imprevizibilitatea prea redusă) , iar în această pri­ vinţă din nou trebuie să fie convocate ştiinţele mo­ derne ale informaţiei; va trebui să se refere la nevoia fiinţei umane de spectacol, rezultând atât din carac­ terul conflictual al j ocului, cât şi din natura sa agreabilă, mergând până la o plăcută ameţeală; va trebui să se refere la nevoia de libertate şi de împle­ tire echilibrată a forţei fizice cu dibăcia minţii , a strategiei şi tacticii prestabilite cu improvizaţia care dă frâu liber imaginaţiei şi fanteziei personale (soci o­ metria lui Moreno este aici direct vizată) . Toate aceste

cerinţe se armonizează până la un punct, dincolo de care natura lor conflictuală nu poate fi eludată. Fotbalul-industrie şi fotbalul-câştig de bani vor fi mereu în tensiune cu plăcerea jocului, caracterul său competiţional va stimula, dar va şi sabota ca­ racterul său ludic. Este firesc să fie aşa, deoarece fotbalul reproduce metaforic şi metonimic societatea actuală, care şi ea are o natură conflictuală, pe care numai parţial o desluşim deocamdată, din cauză că multe dintre conflicte sunt foarte ascunse şi se lasă greu descoperite.

VIOLENŢĂ ŞI STRATEGIE Pentru a inţelege intregul potenţial cognitiv (metaforic sau modelator) al fotbalului, trebuie să ţinem seamă de variatele sale ipostaze : energetică, sistemică, informaţională, strategică şi scenică. Se ştie că şahul a funcţionat (şi funcţionează) ca model cognitiv pentru ştiinţele economice şi ca metaforă cognitivă pentru limbaj , aşa cum este el conceput in lingvistica structurală a lui Ferdinand de Saussure. Însă şahul este un j oc aproape exclusiv de gândire, în timp ce fotbalul are o structură mult mai etero­ genă; de aceea funcţia sa de model cognitiv şi de metaforă cognitivă se lasă mai greu investigată. Să încercăm să schiţăm câteva idei care ar putea fi valorificate în înţelegerea fotbalului ca generator de conflict. Un specialist în proxemică (ştiinţa proprietăţilor culturale ale spaţiului) , Edward HalI , observă (în cele bra sa carte The Hidden Dimension) că distan ţa de interacţiune a două persoane descreşte pe măsu­ ră ce raporturile lor afective devin mai intense . Pierre Parlebas (Elements de sociologie du sport, Presses Universitaires de France , Paris, 1 9 86, p. 27) constată că în sporturile colective de tipul fotbalu­ lui, cu cât distanţele între jucători se micşorează, cu atât riscul unor acţiuni violente creşte . Vom adăuga că această stare de lucruri se extinde de pe teren în tribune; cu cât distanţa dintre suporterii celor două echipe este mai mică, cu atât riscul unor confruntări violente între ei cre şte . Leibniz, într-o scrisoare din 1 704 către Jacques Bernoulli, propune o clasificare a j ocurilor în trei categorii, în funcţie de modul în care se combină abilitatea şi hazardul: j ocuri de raţiune (ca şahul) , jocuri de hazard (ca aruncarea zarurilor) şi jocuri semi-hazard; pe acestea din unnă le ilustra cu un tip special de j oc de cărţi, însă este evident că fotba­ lul intră şi el aici (exista pe vremea lui Leibniz?) , fiind o combinaţie de abilitate şi hazard. De la Leibniz vom sări tocmai în anul 1 944, când John von Neumann (matematician) şi Oskar Morgenstern (economist) publică Game Theory and Economic Behavior. Cu această carte , al cărei titlu exprimă un imens potenţial metaforic , ia naştere ştiinţa j ocuri­ lor de strategie , atât de importantă pentru inţelege­ rea conflictelor sociale contemporane; mai mult,

înţelegerea psihicului uman a beneficiat esenţial de această ştiinţă, după cum rezultă din cerce tările lui P. Levine (Introduction d un modele mathematique de l'inconscient, in "Mathematiques et Science s Hu­ maines " , 71 ( 1 980) , p. 77-98 ) .

ORFANI DE ARBITRU, DE TERAPEUT, NE REFUGIEM ÎN FOTBAL Intră fotbalul în ordinea de idei a j ocurilor de strategie? Răspunsul este numai parţial afirmativ , situaţia fiind mai complicată. În 1 960 , Anatol Rapoport, un specialist în aplicarea teoriei jocurilor în ştiinţele sociale, publică o carte în care distinge trei tipuri de conflicte umane: lupte, jocuri şi dezba­ teri. Acestea au fo st adoptate şi de teoria relaţiilor internaţionale. Într-o luptă, autocontrolul şi contro­ lul mutual al actorilor descreşte rapid . Într-un j oc predomină strategia şi controlul raţional pe care actorii îl menţin asupra mişcărilor pe care le efectu­ ează, chiar dacă nu şi asupra rezultatelor acestor mişcări. Dezbaterea pune accentul pe schimbul de motive, valori şi imagini cognitive ale realităţii. A devenit un loc comun să se considere că jocul este preferabil luptei, iar dezbaterea este preferabilă j o­ cului. Cum se regăsesc ace ste distincţii în fotbal? Răspunsul trebuie raportat la observaţiile lui Hali, Parlebas şi Rapoport, menţionate mai sus. Atâta vreme cât un jucător se află la o distanţă suficient de mare de jucătorii echipei adverse, acţiunea sa este determinată de factori strategici şi tactici aso­ ciate cu aptitudini fizice (de exemplu, o viteză cât mai mare de deplasare). De îndată ce distanţa faţă de adversar se micşorează, apare alternativa: a ac­ cepta lupta directă (driblarea adversarului) sau a pasa mingea unui coechipier. În aceste condiţii , riscul pierderii auto controlului şi al controlului mu­ tual al jucătorilor angajaţi în luptă creşte foarte mult. Intervenţia arbitri lor devine decisivă şi apar cartonaşele galbene sau chiar roşii, care şi ele au proliferat metaforic în toate domeniile de activitate şi mai ales în presă şi în viaţa politică . Dezbaterea la care se referă Rapoport constă aici în eventuala con­ sultare a arbitrilor de margine de către arbitrul prin­ cipal şi la luarea unei decizii; dar abia după meci mass-media şi "microbiştii " supun jocul şi arbitraj ul unui examen necruţător. Re găsim deci în fotbal toate componentele teo­ riei conflictelor. Principala deosebire faţă de conflic­ tele internaţionale se referă la criza de arbitraj pe care o resimt de multe ori acestea din urmă, dar care este de neconceput în fotbal (actele de contes­ tare a deciziilor arbitrului sunt sancţionate fără ezitare) în timpul desfăşurării meciului. Cu alte cuvinte , în fotbal, ca în orice sport, se menţine o distincţie netă între j ocul propriu-zis pe de o parte, şi observarea şi diagnosticarea acestuia pe de altă parte (tot aşa cum convenţia artistică menţine o 493

separaţie casantă între planul ficţiunii artistice şi planul realităţii) . În viaţa internaţională (şi , de mul­ te ori, şi în viaţa unor grupuri sociale mai restrân­ se) , dimpotrivă, această funcţie terapeutică este de multe ori în criză şi am putut constata (alături de unele succese) eşecul repetat al unor organizaţii internaţionale de tipul O . N . U . în încercarea de a pune capăt unor conflicte foarte grave . În psihote­ rapie, însănătoşirea bolnavului este obţinută prin colaborarea acestuia cu "medicul; acesta din urmă se menţine în afara universului patologic al bolna­ vului, dar, într-o anumită măsură, se insinuează în acest univers pentru a-l aj uta pe bolnav să trans­ gre seze frontiera bolii. În multe conflicte ale lumii contemporane , cel care trebuie să asigure această funcţie terapeutică nu poate fi găsit şi atunci bolna­ vul care suntem trebuie să devină propriul său tera­ peut; autoreferinţa, autoorganizarea rămân singura soluţie. Trăim o criză de încredere, instituţiile care ar trebui să arbitreze situaţiile delicate nu mai sunt întotdeauna în stare s-o facă. Orfani de arbitru, de terapeut, ,ne refugiem în teritorii aparent mai sigure ; fotbalul este unul dintre acestea.

PARADOXUL CLASAMENTE LOR Fotbalul a dat naştere unei bogate literaturi şti­ inţifice . Un aspect important se referă la diferite clasificări posibile ale performanţelor unor echipe implicate într-o activitate competiţională (evident, problema se pune nu numai în fotbal) . Vom cita în această privinţă articolele lui M . E . Glickman şi H . S . Stern, " A state-space model for National Football League scores" , J. Amer. Statist. Assoc. 93, 44 1 (1998) , pp. 25-3 5; B. Kopocinski, "Components of the game re suit in a football le ague" , Appl. Math. , 28, 1 (2002) , pp. 1 - 18; B. Kopocinski, "Unfinished league season of football", în Demonstratio Mathematica, 34, 2, (200 1 ) , pp . 4 6 1 - 468 (în ace st din urmă articol se studiază posibilele evoluţii ulterioare ale campiona­ tului de fotbal al Poloniei din 1 9 39, campionat în­ trerupt ca urmare a situaţiei critice create atunci sub aspect politic şi militar) . Clasamentele în sport (ca şi în alte domenii) ri­ dică probleme delicate, de natură logică şi combinatorială. Am atras atenţia asupra lor în car­ tea Paradoxul, Editura Abatros, Bucureşti, 1 9 84 (în special pp . 39-45) . O carte instructivă în acest sens este : Gheorghe Păun, Paradoxurile clasamente lor (Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1 987) ; la paginile 62-67 ale ace stei cărţi, autorul discută o problemă de agregare a mai multor cla­ samente provenite de la diferite categorii de public . Despre ce este vorba? Revista Flacăra, nr. 5 ( 1 28 6) din 3 1 ianuarie 1 9 80 a organizat o anchetă cu tema "Care este cel mai bun fotbalist al anului 1 97 9?" Întrebarea a fost adresată în mod diferenţiat cititori-

494

lor, tehnicieni10r (arbitri, antrenori, reprezentanţi ai federaţiilor de profil) şi cronicarilor sportivi. Fiecare cititor, tehnician şi cronicar anchetat a propus un nume de fotbalist. S-au obţinut astfel trei ierarhii, după cum unnează. Cititorii: 1 . Dobrin, 2. Ştefănescu, 3. Răducanu, 4. Sameş, 5. Dinu. Tehnicienii: 1 . Sa­ meş, 2. Răducanu , 3. Dobrin, 4. Ştefănescu, 5. Dinu. Cronicarii: 1 . Dobrin, 2. Răducanu, 3. Sameş, 4. Dinu, 5. Ştefănescu. Cum agregăm aceste ierarhii într-o ierarhie de sinteză? Problema generală a agregării unor clasamente într-un clasament unic , de sinteză, comportă dificultăţi şi a primit soluţii dintre cele mai variate, despre care cartea menţio­ nată a lui Gh . Păun dă o informaţie bogată, mai cu seamă că autorul are în această privinţă şi contri­ buţii importante. Însă primul rezultat care trebuie menţionat in această privinţă este unul mai degrabă negativ; nu vom da aici formularea sa exactă, dar vom reţine următorul aspect: nicio agregare a unor clasamente parţiale într-unul total nu satisface toa­ te cerinţele intuitive ale unei operaţii de acest fel. Limitându-ne la ancheta menţionată mai sus, vom observa că o metodă frecvent folosită este aceea a lui Borda, care , într-o variantă puţin modificată, constă în a se face, pentu fiec are jucător, suma rangurilor poziţiilor pe care acesta le ocupă în res­ pectivele ierarhii , ordonându-se apoi jucătorii în ordinea crescândă a rezultatelor astfel obţinute. Obţinem: Dobrin 1 +3+ 1 = 5 , Răducanu 3+2+2=7, Sameş 4+ 1 +3=8, Ştefănescu 2 +4+5= 1 1 , Dinu 5+5+4= 1 4 . Acesta este clasamentul total al jucători­ lor, deci cel mai bun jucător al anului fotbalistic 1 979 a fost decretat Dobrin .

DIN NOU, AMINTIRI Aşa cum am arătat, pasiunea pentru fotbal m-a urmărit din copilărie şi nu m-a părăsit niciodată. L-am practicat pe stradă şi pe maidan, l-am urmărit pe un stadion modest şi cu echipe modeste (Bacăul, Moldova în ansamblul ei nu avea in anii '30 ai seco­ lului trecut nicio echipă în primul eşalon) . Visam să văd la lucru echipa Ripensia din Timişoara, dar trebuia să mă mulţumesc cu relatările de la radio şi din pre să. Mi-am luat revanşa in anii postbelici, când am devenit bucureştean şi mergeam frecvent la stadion pentru a urmări pe viu partidele din divi­ zia A. Când n-am mai putut merge la stadion, am profitat de apariţia televiziunii şi am devenit specta­ tor din fotoliu, cum sunt şi acum. Scriu aceste rân ­ duri la câteva ore după încheierea campionatului mondial din Germania şi am pe retină multe ima­ gini ale unor faze de mare frumuseţe , care arată că marii jucători, ca Totti, Vieira, Klose, Figo, Ronaldo, oricât ar fi preocupaţi de latura financiară a fotbalu­ lui, nu pot rezista tentaţiei ludice şi transform ă fotbalul în artă.

MINGEA, PERSONAJUL CENTRAL Ca multe alte j ocuri sportive de echipă, fotbalul are ca personaj central o minge . Acest obiect sferic şi elastic are un comportament duplicitar; pe de o parte îţi dă impresia că faci cu el ce vrei, pe de altă parte, în orice moment îţi poate înşela aşteptările. Mingea îţi este un partener capricios care trece uşor de la fidelitate la trădare şi invers . Imprevizibilita­ tea, surpriza sunt chiar mai mari decât la handbal sau la volei, deoarece terenul este mult mai mare şi, în plus, manipularea mingii cu piciorul este mai puţin precisă decât cu mâinile . Putem deci conside­ ra că la fotbal teatralitatea mingii este maximă. Simbolismul mingii este în mare măsură cel al sferei, c;are din cele mai vechi timpuri a exprimat perfecţiunea. Nu există pe suprafaţa sferei locuri privilegiate sau defavorizate; simetria şi omogenita­ tea sunt totale . Mingea se oferă fiecărui jucător cu aceeaşi dărnicie, se lasă posedată de oricine, fără discriminare. Ca şi viaţa, ea parcă spune fiecăruia: Sunt a ta, exist pentru plăcerea ta, tu decizi ce vrei să faci cu mine (un antrenor recomandă echipei sale să savureze jocul, să j oace de plăcere) , dar sunt şi a hazardului, iar rolul tău este de a reduce acţiunea acestuia. La fel se întâmplă în creaţia culturală, unde gratuitate a este un factor important al reuşi­ tei, Mingea oferă o şansă egală pentru toţi , ea face din fotbal un simbol al unei societăţi echitabile, în care succesul este obţinut prin merite personale , prin luptă şi competiţie onestă. Scopul luptei este simbolizat cu toată claritatea şi precizia: a marca cât mai multe goluri în poarta adversă (cuvântul goal înseamnă în engleză scop) . Metafora golului a pătruns în viaţa cotidiană, dar semnificatia sa ma­ joră este azi exprimată de capacitatea de � con strui proiecte credibile, cu finalitate precisă; să nu uităm că România a ratat şi ratează surse importante de finanţare , tocmai din cauză că nu propune proiecte de acest fel. Oricâtă dexteritate ar arăta o echipă la mijlocul terenului , în absenţa eficacităţii în acţiunile spre poarta adversă succesul este imposibil. Aţi observat că uneori câştigă echipa care a fost în infe­ rioritate în ceea ce priveşte durata de posesie a balonului? Neclaritatea scopului este vizibilă în probl�mele privind invăţământul, unde planurile pe termen lung, programele şi manualele nu se inscriu într-o viziune care ţine seama de marile schimbări de paradigmă intervenite în ultimele decenii. Miza socială şi culturală a fotbalului este cu strălucire pusă în evidenţă prin eseurile pe care le publică de câţiva ani Traian R. Ungureanu în Revista 22.

DUBLA TEATRALITATE A FOTBALULUI În fotbal, aspectele conflictuale , încărcate de dramatism , sunt de două feluri: pe lângă cele care

privesc relaţia jucătorilor cu mingea, mai avem pe acelea care rezultă din ciocnirea de interese dintre cele două echipe . in termenii teoriei j ocurilor de strategie, fotbalul se apropie de ceea ce se numeşte un joc de sumă nulă: orice câştig pentru una dintre echipe este o pierdere pentru cealaltă. Am spus "se " apropie" şi nu "este , deoarece există situatii care dezavantajează ambele echipe, cum ar fi c �itatea proastă a terenului , căldura excesivă etc . Avem deci în vedere numai c âştigurile care rezultă din joc, nu şi pe cele care rezultă din contextul fizic , climatic sau de altă natură. Totuşi, dacă ne oprim aici, ceva esenţial rămâne ne spus. Mai trebuie adăugat faptul că relaţia de conflict dintre cele două echipe coexis­ tă cu o relaţie sinergetică, în sensul că fiecare dintre echipe o poate aj uta pe cealaltă să dea un randa­ ment cât mai bun . O echipă nu- şi poate demonstra valoarea decât în prezenţa unui adversar cel puţin la fel de valoros. Pentru a dobândi o calitate supe­ rioară trebuie să accepţi lupta cu cei care sunt mai buni decât tine ; este şi filozofia care se desprinde din comportamentul structurilor disipative ale lui Prigogine . Aţi observat că, atunci când un jucător primeşte cartonaşul roşu, creşte ambiţia de luptă a echipei rămase în inferioritate numerică?

OFSAID, DE LA FOTBAL LA CULTURĂ Una dintre situaţiile cele mai subtile şi mai semnificative ale fotbalului este aceea de ofsaid. Mergând la cuvântul englezesc core spunzător, înţe­ legem că, în contextul pe care îl avem în vedere, a fi în ofsaid înseamnă a te situa în afara jocului. Diag­ nosticarea situaţiei de ofsaid nu e totdeauna simplă. La meciul dintre Brazilia şi Ghana din cadrul grupe­ lor la campionatul mondial din Germania, un jucă­ tor brazilian ţâşnise cu mingea pe extremă şi se îndrepta spre poarta adversă. Comentatorul televi­ ziunii observa: " Nici vorbă de ofsaid!", dar brazilia­ nul, în loc de a trage direct la poartă, a pasat mingea lui Adriano , care venea de pe partea cealal­ tă, iar ace sta din urmă a marcat golul, care însă abia la reluare a dezvăluit situatia de ofsaid în care se afla. Şi totuşi, golul fusese v �idat. În schimb, în finala Italia-Franţa, un gol marcat de italieni din poziţie de ofsaid a fo st invalidat. Nu cumva scenariul de mai sus ne este foarte familiar? Toată zarva legată de aderarea la Uniunea Europeană, condiţiile care trebuie satisfăcute pen­ " tru a deveni "europeni se învârt în jurul faptului că, din diferite puncte de vedere, ne aflăm încă în afara ,j ocului european", nu ne încadrăm în regulile sale : ne aflăm în ofsaid . Iată un exemplu din dome­ niul vieţii ştiinţifice şi universitare. În ultimele luni au apărut în diferite reviste de cultură şi în unele ziare o serie de articole privind standardele de pro­ movare universitară; vom menţiona, dintre cele mai recente , articolul lui Gh . Ceauşescu din România Literară (nr. 2 5 , 2 3 iunie 2006, p. 3) , în care se

495

pune punctul pe i. Referindu- se la domeniul său, al

propusă d e d I . Ceauşescu "în l o c să n e elibereze de

studiilor clasice, autorul menţionează numele unor

conştiinţa colectivă a marginalităţii, mai degrabă ne

reviste internaţionale de profil, în care ar fi de dorit

subliniază acest statut, postulând faptul că autenti­

să se vadă şi contribuţii ale unor autori români.

A

evita sistematic aceste reviste înseamnă a te plasa

cuI este

a priori

in altă parte şi că singura sursă de

legitimare este extrin secă propriei noastre vieţi aca­

în afara razei de ob servaţie a comunităţii ştiinţifice

demice"

internaţionale din domeniul considerat, deci implicit înseamnă a te sustrage j udecăţii ei critic e , a te situa

j ocul internaţional al competiţiei culturale , la postu­

Numai că realitatea este alta. Intrând în

ra noastră iniţială de jucători se adaugă aceea de

în afara j ocului pe care îl reprezintă cercetarea şti­

arbitru; ni se recunoaşte dreptul şi competenţa unei

inţifică, j oc de natură esenţial globală; o situaţie

judecăţi critice privind valoarea rezultatelor altor

clară de ofsaid, care nu a beneficiat până acum de

autori. Distincţia margine-centru se atenuează şi în

suficientă atenţie şi a proliferat la noi în mai toate

cele din urmă dispare. Chiar publicaţiile româneşti la

domeniile de cercetare .

care se referă dI. Baumgarten contribuie la acest pro­ ces, ne aflăm deci pe aceeaşi lungime de undă. Pu­ tem da multe exemple în care specialişti români

A NU TE

SITUA ÎN AFARA JOCULUI!

care au acceptat re gulile j ocului global au fost nu­ miţi în comitete editoriale ale unor reviste internaţi­

Într-un articol din

2006,

p.

50),

Al.

Idei in dialog

(nr.

7,

iulie

Baumgarten aprobă punctul de

onale, în comitete

de program ale unor întâlniri

ştiinţifice internaţionale, în comisii de doctorat sau

vedere al lui Gh. Ceauş escu, dar con sideră că prio­

de promovare universitară în diferite ţări; au fost

ritară este formarea în ţară a "unui mediu academic

invitaţi să prezinte rapoarte la întâlniri internaţio­ nale şi au fost numiţi recenzenţi la reviste internaţi ­

sever, cu criterii de competitivitate şi cu exerciţiul public al polemicii şi al stabilirii unui standard de

onale de referate . Problema nu se pune în termeni

calitate ştiinţifică în care să putem forma specialiştii

de

doriţi"

Dar fără ieşirea în lume pentru care pledea­

substituie uneia p arohiale . Mediul academic româ­

noi

şi

ei,

ci în raport cu o viziune globală care se

ză dI. Ceauşescu nu văd cum am putea forma me­

nesc îşi poate dovedi vitalitatea numai în interacţi­

diul academic dorit de dI . Baumgarten . Cele două

une cu cel global; primul trebuie să devină o parte

acţiuni nu sunt consecutive, ci conc omitente , ele Se

organică a celui de-al doilea.

sprij in ă reciproc. D1. Baumgarten se teme că soluţia

496

CAPITOLUL VIII ÎN LUMEA SAHULUI ,

Cel mai recent exemplu în această privinţă îl

ESTE Ş AHUL MATEMATICĂ?

con stituie Paul R. H almos (în cartea sa

S-a spus de multe ori că şahul este matemati­

că. Elementul cel mai izbitor în această analogie îl constituie caracterul deductiv şi condiţionarea rigu­

roasă a fiecărei etape de etapele anterioare. De aici ideea de

calcul,

tematicii.

subiacentă atât şahului, cât şi ma­

În sprij inul acestei analogii pledează şi

mathematician,

Springer,

New

York,

I try to be a 1 985) : "Am

avut totdeauna impresia că logica deductivă este

numai faţada şi igiena matemati cii , nu şi subtanţa

ei." Nu cumva un fe nomen asemănător se întâmplă cu şahul? Răspunsul este probabil afirmativ. Nell Chamess, care în

1 974

susţinuse o teză de doctorat

pasiunea pentru şah a multor matematicieni. Unii

privind psihologia j ocului de şah , a aj uns la conclu­

domenii.

şah ,

lize deductive, cât pe capacitatea sa de memorie şi

Lasker, care a devenit bine cunoscut atât ca şahist,

plauzibile de piese, mişcări posibile şi conse cinţe ale

dintre ei au la ac tivul lor performanţe în ambele După primul campion

mondial

de

Steinitz, a urmat un important algebrist, Emmanuel

fiind

într-o

( 1 894- 1 92 1 ) ,

anumită

perioadă

campion

mondial

cât şi ca matematician. Să menţionăm

in primul rând celebrul său memoriu

Zur Theone der Moduln und Ideale (publicat în revista Mathe­ matische Annalen, voI. 60 , 1 905, p. 2 0- 1 1 6) , prin care Lasker se manifestă ca un important conti­ nuator

al

marelui aritmetician şi algebrist Richard

zia că un j ucător de şah se bazează nu atât pe ana­ pe organizarea informaţiei în termeni de configuraţii lor .

Recunoaşterea

configuraţiilor

face

parte

din

preocupările unui domeniu în plină dezvoltare,

Re­ cunoaşterea fonnelor (Pattem Recognition). De ase ­ menea, după cum arăta Peter W. Frey (Chess skill in man and machine, Springer, New York, 1 977) , alege­

rea unei mutări pare să fie condiţionată în primul

rând de calitatea percepţiei şi, in mod special, de

Dedekind (în ceea ce priveşte aritmetica întregilor

capacitatea de a recunoaşte un imens număr de

Max Noether, de

logate de experienţa şahistă anterioară. Şahul s-a

algebrici)

şi ca un precursor al celebrei algebriste

Emmy Noether (al cărei părinte,

asemenea matematician, l-a inspirat pe Lasker, prin importanta

Q

sa

lucrare

privind

curbele

algebrice

" ber einen Satz aus der Theorie der algebraischen Funktionen" , Mathematische Annalen, voI . 6,

p. 35 1 -359) .

Cel de-al cincilea campion mondial de

şah, olandezul

tică şi director

Max Euwe, era profesor de matema­ al unui institut de electronică.

proc edee de joc disponibile, deci acumulate şi cata­ dovedit a fi nu atât un j o c implicând un calcul foar­

te lung cât unul de ob servaţie, de intuiţie a situaţiei de pe tabla de j o c. Unui maestru îi este suficientă o privire sumară pentru a sesiza o mutare bună, in

timp ce un începător este în stare ca, chiar după o lungă reflecţie ,

să facă o mutare dezavantaj o asă.

Ceea ce-i deosebeşte nu es te neapărat profunzimea gândirii. Arborele de posibilităţi care mereu se rami­ fică în fun cţie de răspunsul ipotetic

DEDUCŢIA NU PRIMEAZĂ NICI ÎN ŞAH, NICI ÎN MATEMATICĂ

al

partenerului

este de obicei examinat până la un nivel care este acelaşi şi la un simplu amator şi la un specialist.

Ace st nivel pare a fi determinat nu de gradul de pregătire şahistă, ci de restricţiile generale care gu­

Totuşi, afinitatea dintre şah şi matematică a

vernează atenţia, memoria şi raţiunea. Însă în timp

fo st de multe ori conte stată. Este mai întâi intere­

ce profanul analizează aceste posibilităţi la întâm­

ideea că matematica ar

tan, dând prioritate anumitor varian te.

sant faptul că o serie de matematicieni au contestat

fi

în primul rând deducţie.

plare,

cun oscătorul le ierarhizează aproape spon­

497

ÎNTRE HERMANN HESSE

ŞI GR. C. MOISIL

într-o convorbire cu studenta Irin a Gorun (mai _1 973) , Gr. C. Moisil e ste provoc at de interlocutoare In ceea ce priveşte o posibilă asociere a matema­ ticii cu faimosul j o c cu mărge1ele de sticlă al lui H ermann Hesse. Răspunsul lui Moisil: " Problema aşa nu ştiu să se fi pus, dar nu este mult diferită de problema c are s-a pus sau, mai repede, afirmaţia care s-a făcut: «matematica - joc de Şahll . Evident, deosebirea dintre afirmaţia gravă « matematica - joc de şahll şi afirmaţia zglobie, « matematica - joc de mărgele Il este sensibilă pentru oricine , dar asemă­ narea lor este mai accentuată decât deosebirea. Cel puţin la prima vedere. Adică privitor la « gratuitatea» matematicilor, fiindcă afirmati a umatematica este un j oc de şah» implică existe �ţa unor reguli foarte rigide / . . . / Sunt regulile raţionamentului deductiv" Să amintim că ,jocul cu mărgelele de sticlă" nu este niciodată explicitat în romanul lui He sse, el trebuie construit prin imaginaţie de fiecare cititor , ca o for­ mă supremă a interferentei matematicii cu muzica � dominând întreaga activit�te creatoare (fie ea ştiinţi fică sau artistică) a unei societăţi utopice . Tocmai în această opoziţie între caracterul implicit al regulilor j ocului lui Hesse şi caracterul explicit al regulilor j ocului de şah se află explicaţia preferinţei lui Moisil pentru analogia matematică - şah faţă de analogia matematică - jocul cu mărgele de sticlă. Însă, după ce a văzut în regulile raţionamentului deductiv sub­ stratul comun al şahului şi matematicii, Moisil re­ vine la analogia dintre matematică şi jocul lui Hesse: "E probabil că unii matematicieni au impre­ sia că joacă un joc cu mărgelele de sticlă. Am im­ presia, din amintirile mele , că această atitudine este caracteristică pentru o anumită vârstă. Nu face rău nimănui, fiindcă j ocul matematic poate să apară celui care îl j oac ă un j oc gratuit (cuvântul gratuit se întrebuinţa adesea pe vremea mea) . Nu înseamnă � ă ceea ce i se pare cuiva că e gratuit chiar e gratu­ It. Nu e exclus ca cel care j uca j ocul cu mărgelele de sticlă să fi fo st un muncitor care organiza re­ fracţii şi reflecţii multicolore în mărgelele de sticlă ce serveau, fără ca el să ştie, unei industrii foarte folositoare societăţii în care se petrece romanul ( . . . ). Altora poate li se pare că facem un j oc cu teo­ reme care nu servesc nimănui, cu demonstratii inutile. Văzută din afara lumii şi a timpului , m � ­ tematica poate să pară un j o c . "

SAHUL SI INTELIGENTA ARTIFICIALĂ "

,

o întrebare se pune. Oare bănuiala lui Moisil că j ocul cu mărgelele de sticlă ar fi putut avea şi o fu � cţie utilitară nu este la fel de legitimă, în ceea ce pnveşte şahul? Ce altceva este lucrarea fostului campion mondial M. Botvinnik pe care am cunos­ cut-o în traducere în engleză (Chess and long-range

498

S pringer, New York, 1 970) , în care se în­ valorificarea strategiilor şahiste în metodolo­ gia planificării economice pe termen lung? Ce este cercetarea întreprinsă de A. Newell, J. Shaw şi H. Simon (Chessplaying programs and the problem of complexity, IBM, J. Res . Develop . 1 9 58, no . 2 , p . 320-335) şi mai c u seamă aceea efectuată de A. Ne �ell şi H. Simon (Human problem solving, Prentlce HaU, Englewood Cliffs, N . S . ) pentru care lămurirea naturii gândirii şahiste poate avea conse­ cinţe importante în ceea ce priveşte înţelegerea gân­ dirii algoritmice şi a inteligenţei artificiale, dacă se ia în considerare şi laboratorul experimental pe care-l constituie şahul computaţional? Exemplele nu se opresc aici. Şahul constituie un model episte­ mologic pentru numeroase discipline ştiinţifice , de la lingvistică şi semiotică până la etnologie şi mate­ matică. Spre deo sebire de j ocul cu mărgelele de sti­ clă, a cărui funcţie utilitară este pur ipotetică, j ocul de şah şi-a şi dovedit capacitatea explicativă în ra­ port cu fenomene culturale dintre cele mai variate.

pla nning, ce arcă

DE LA SHANNON LA BOTVINNIK Claude E. Shannon (Programming a computer for playing chess, " Philosophical Magazine " , 1 9 50 , voI . 4 1 , p . 2 56-275) este primul care şi-a pus pro­ blema realizării unui program de calculator pentru şah . Se ştie că activităţile care fac obiectul unui sistem de conducere şi control comportă două tipuri de situaţii, după cum sistemul este sau nu capabil să prelucreze întreaga informatie ' care i se furnizea­ ză. În primul caz avem o pro blemă exactă, în cel de-al doilea una inexactă. Însă o aceeaşi sarcină de conducere şi control poate conduce la o problemă exactă sau la una inexactă, în funcţie de posibilită­ ţile sistemului considerat. Elaborarea unui program de calculator pentru j ocul de şah constituie o pro ­ blemă inexactă, dar ar putea deveni o problemă exactă într-un stadiu mai avansat de dezvoltare a calculatoarelor şi a teoriei programării. Putem formula problema şi altfel. În activitatea algoritmică a unui sistem de conducere şi control distingem doi parametri: numărul variantelor anali­ zate şi adâncimea de analiză. Este clar că o creştere a unuia dintre aceşti doi parametri ne obligă la o micşorare a celuilalt parametru. Avem astfel două strategii şahiste, după cum decidem să analizăm un număr mai mare, eventual cel mai mare posibil , de variante de mutări, însă admitând o adâncime rela­ tiv redusă de analiză (cu alte � uvinte , arborele vari­ antelor va avea un numâr foarte mare, eventual maxim, de ramuri, toate ramurile având aceeaşi lun­ gime, relativ redusă) sau un număr relativ mai mic de variante , însă cu o adâncime mai mare decât în prima strategie . Shannon şi-a dat seama că cea de-a doua strategie este mai bună, Într-adevăr, printre diferitele variante de mutări care se înfăţişează unui jucător există multe care se exclud aproape instan-

taneu prin neoportunitatea lor; ce rost ar avea să încărcăm un program de calculator cu analiza deta­ liată a unor mutări de acest fel? În schimb, fUnd foar­ te selectivi cu variantele pe care le reţinem, avem posibilitatea să desfăşurăm analiza lor până la o adâncime mult mai mare. Se ştie că investigaţia lui Shannon a fost conti­ nuată, între alţii, şi de Mihai Botvinnik (op. cit. ) , iar apoi au urmat, până în zilele noastre, numeroase alte cercetări. La o teorie matematică a jocului de şah încă nu s-a aj uns, nu avem încă pentru şah o carte de tipul aceleia pe care marele matematician francez Emile BoreI a scris-o pentru bridge . Natura preponderent probabilistă a jocului de bridge este evidentă, după cum este clară natura combina­ torial-topologică a jocului GO. Dar şahul în ce în­ crengătură a matematicii s-ar situa? Faptul că fondatorul teoriei matematice a informaţiei, Claude Shannon, s-a ocupat cel dintâi de programarea şa­ hului la calculator ne dă de bănuit că în şah aspec­ tele informaţionale au un rol important. Entropiile informaţionale de diverse ranguri (a se vedea, pen­ tru această chestiune , capitolul al VIII-lea din lucra­ rea noastră în colaborare Introducere în lingvistica matematică, Editura Ştiinţifică, 1 9 66) ne-ar putea ajuta să distingem mai riguros între valoarea intrin­ secă a unei piese şi valoarea ei poziţională (aceasta din urmă corespunzând unei entropii de ordin su­ perior) . Poate că şi energia infonnaţională Onicescu (a se vedea, pentru o prezentare elementară, capi­ tolul al VI-lea din lucrarea noastră Poetica matema­ tică, Editura Academiei, 1 970) ar fi relevantă aici. Te oria matematică a j ocurilor şi teoria matematică a deciziei nu pot fi ignorate de niciun cercetător al strategiei şahiste, deoarece în şah jucătorii trebuie să ia, alternativ, decizii în vederea cărora elaborează strategii. Nu mai puţin important este aspectul combinatorial, care dă posibilitatea să se reprezinte structura diferitelor noi configuraţii ulterioare posi­ bile. La fel de important este aspectul logic.

ŞAHUL CA SISTEM FORMAL În orice moment al desfăşurării unei partide de şah, configuraţia pieselor împreună cu regulile care guvernează folosirea lor core spund unui adevărat sistem formal, în sensul logicii matematice. Să amintim, după David Hilbert, definiţia noţiunii de sistem formal. Se consideră mai întâi o mulţime finită V numită vocabular. Elementele din V sunt cuvinte. Fie un limbaj L pe V, adică o colecţie (finită sau infinită) de şiruri finite de cuvinte. Un şir de acest fel constituie o frază şi are forma a l a2 an, unde fiecare termen (i variabil de la 1 la n) este un cuvânt, iar n se numeşte lungimea frazei. Despăr­ ţim pe L în două părţi LI şi L2 fără fraze comune. Frazele din L I se numesc termeni} iar cele din L2 se

numesc relaţii. În L2 distingem o anumită parte formată din teoreme. De obicei teoremele unui sis­ tem formal sunt introduse cu aj utorul a două noţi­ uni auxiliare: noţiunea de axiomă şi noţiunea de text demonstrativ. Axiomele sunt cazuri particulare de relaţii, deci ele alcătuiesc o mulţime A conţinută în L2 . Un text demonstrativ este definit de un şir de relaţii (adică de fraze din L2) , astfel încât orice rela­ ţie din şir este o axiomă, sau poate fi dedusă din relaţiile precedente din şir, prin folosirea unui sis­ tem K determinat de reguli. O teoremă poate fi defini­ tă ca o relaţie conţinută într-un text demon strativ. Să încercăm să vedem cum s-ar încadra şahul în ideea de sistem formal. O teoremă ar fi orice con­ figuraţie posibilă a pie selor pe tabla de şah; cu alte cuvinte, este o teoremă orice configuraţie la care se poate ajunge, cel puţin în principiu, prin plecarea din poziţia iniţială prevăzută de regulamentul j ocu­ lui de şah şi printr-o de sfăşurare a j ocului conformă cu regulile jocului. Unica axiomă ar fi configuraţia iniţială a pieselor. Şirul de configuraţii prin care se trece de la configuraţia iniţială, adică de la axiomă, la configuraţia existentă la un anumit moment pe tabla de şah , într-o desfăşurare regulamentară a jocului, constituie un text demonstrativ. Este deci clar că, prin convenţiile adoptate, teoremele şahului sunt configuraţiile care pot fi inserate în texte demonstrative. Sistemul K de reguli este constituit, în cazul şahului, de regulile de folosire a celor şase tipuri de piese. Să observăm aici că o piesă de şah este defi­ nită exclusiv prin regimul ei sintactic şi prin poziţia ei iniţială. De exemplu, piesa numită nebun este complet definită de faptul că se află iniţial pe una dintre poziţiile C I , FI (nebunii albi) , C8, Fa (nebunii negri) şi se poate deplasa în diagonală în toate di­ recţiile şi pe orice distanţă liberă, putând ataca şi înlătura din j oc prima pie să de culoare diferită în­ tâlnită pe parcurs, prin ocuparea poziţiei respective . Faptul că piesa nebun are o anumită formă şi mă­ rime este neesenţial , servind numai la identificarea şi recunoaşterea ei imediată. Nimic nu s-ar schimba în j ocul de şah dacă am conveni ca pionii să aibă forma şi mărimea pe care le aveau până acum ne­ bunii şi, invers, nebunii să fie material reprezentaţi de piese având forma şi mărimea pe care le aveau până acum pionii. Ar fi poate o oarecare dificultate psihologică de adaptare la noua convenţie, dar de­ păşirea ei ar constitui numai o chestiune de timp . Nici culorile alb şi negru nu sunt esenţiale. Am pu­ tea folosi în locul lor galben şi albastru sau portoca­ liu şi verde . Mai mult, am putea renunţa la distincţia pe ba­ ză de culoare dintre piesele celor doi parteneri, folo­ sind o distincţie de alt tip, exprimată prin orice trăsătură pe care piesele unuia dintre parteneri ar avea-o, iar ale celuilalt nu.

499

face în studiul altor acţiuni uman e , între competen­

E STE GÂNDIREA ŞAHISTĂ S E CVENŢIALĂ

ţă şi performanţă.

SAU BID IMENSI ONALĂ? Ajungem la o chestiune delicată privind struc­ Am văzut că teoremele

tura unui sistem fonual.

Competenţa

şahistă este dată

exclusiv de ansamblul regulilor de folosire a piese­

sunt cazuri particulare de relaţii, care , la rândul lor,

sunt fraze pe un vocabular finit .

Cum asigurăm

în

acest caracter secvenţial, liniar, al teoremelor,

condiţiile în care, după cum se ştie , configuraţiile pe

lor. Tot ceea ce se adaugă la aceste reguli , circum­

stanţele exterioare de de sfăşurare , specificul de loc şi moment ţin de performanţa (în sens psihologic,

nu competiţional) şahistă. Desigur, şi competenţa şahistă îşi are istoria ei, dar modificările sale au fost incomparabil mai lente .

care le obţinem pe tabla de şah sunt bidimensiona­

le? Există două căi de depăşire a acestei dificultăţi.

O

cale ar consta într-o modificare a definiţiei unui

sistem formal, care să permită tran sgresarea re s­

Î n matematica modernă

tricţiei de secvenţialitate .

există sisteme formale de ac est tip mai general, un exemplu în

sen s fiind

acest

gramaticile picturale

(de spre care cititorul român poate afla unele lucruri

din volumul colectiv pe care l-am coordonat la Edi­ tura Ştiinţifică şi Enciclopedică în

matematică a artelor vizuale). O

1 982, Semiotica

tentativă în acest

LIMBĂ ŞI ŞAH Faptul că pentru lămurirea structurii de limbaj

autori dintre cei mai importanţi , ca Ferdinand de Saussure

şi L.

Wittgen stein ,

au simţit nevoia să

recurgă la analogia cu j ocul de şah , are o semnifica­

ţie deo sebită, care nu putea să nu reţină atenţia cercetătorilor. Un prestigios lingvist contemporan,

J oseph Greenberg ("Is language like a chess game"?

sens, în ceea ce priveşte şahul , ar fi necesară. Exis­

în volumul

ar , secvenţial , al sistemelor formale clasic e , aşa cum

Stanford University Press)

lea al secolului trecut. Într-adevăr, deşi configuraţii­

con statând că ele rezistă tuturor testelor constituite

tă însă şi o altă cale, care se situează în cadrul lini­

au fo st ele concepute de Hilbert în deceniul al trei­

le de piese pe tabla de şah sunt bidimensional e ,

Language, Culture and Communication, OiI, 1 97 1 , p p . 3 30-352 , la editura

editat de A . S .

a supus unui examen

amănunţit analogiile propuse de F. de Saussure, de dezvoltarea contemporană a lingvisticii, în cei

de ani care-l de spărţeau de data publicării

jocul d e şah ca atare are o de sfăşurare secvenţială,

peste

care poate fi de scrisă şi înregistrată sub formă linia­ ră, cum se şi întâmplă când relatăm în scris o par­

gvist genovez. Şahul este exemplul ideal prin care

alegerea vocabularului. Nu este greu de văzut că

gvistică, de tipul sincronie- diacronie sau limbă-vor­

cu aj utorul unui vocabular format din opt elemente ,

un lucru mai complicat prin unul mai simplu, ci şi

tidă de şah . Este nece sară o anumită precauţie în mutare

orice

în

şah

fi descrisă

poate

secvenţial

asociate cu deplasări în cele opt poziţii po sibile în

jurul unei anumite

a

poziţii:

=

sus, c = la stânga mij loc , d

=

în faţă, b = la stânga la stânga jos, e

=

în

50

Cursului de Lingvistică Generală al celebrului lin­

explicăm esenţa unor opoziţii fundamentale în lin­ bire . Nu este vorba aici numai de faptul de a explica de încă cel puţin două asp ecte esenţiale. Limbajul,

în ciuda componentei sale ludic e , este dominat de

nece sitate şi finalitate, în timp ce şahul se înscrie în

la dreapta mij loc, h = la

întregime sub semnul ludicului; apoi, în bună mă­

bularul cu elemente care fixează poziţiile iniţiale şi

semnalat-o , regulile şahului sunt explicite, în timp

spate, f = la dreapta jos, g

=

dreapta sus . Mai este nevoie să suplimentăm voca­ poziţiile ulterior posibile (în limitele celor

64

de pă­

trate albe şi negre) . Dacă, de exemplu, poziţia iniţia­ lă

02

a unui pion alb ar

atunci mutarea sa în

D4

fi

exprimată prin litera m,

ar fi exprimată prin maa.

Nu insistăm aici într-o direcţie care ne-ar duce

sură, ca o con secinţă a situaţiei pe care tocmai am ce regulile limbii sunt, în cea mai mare parte, impli­

cite, operaţia de identificare a lor fiind anevoioasă şi

cu rezultate care variază în timp şi spaţiu.

Este însă legitim să ne întrebăm dacă rolul şa­

hului nu poate fi preluat, în cele de mai sus, de

la prea multe complicaţii tehnice . Să ob servăm nu­

orice alt j o c . Nu este greu de văzut că, în raport cu

numai ceea ce este permi s în j ocul de şah, neadu­

varietăţii pieselor sale , în con sonanţă cu varietatea

mai că sistemul formal schiţat mai sus înregistrează când nicio indicaţie în ceea ce priveşte găsirea unei strategii de câştig. D ar înţelegerea riguroasă a per­

misiunii ne

ajută la înţelegerea po sibilităţilor

de

câştig. Alte instrumente şi viziuni matematice intră acum în scenă.

O

observaţie finală se impune. Caracterul cal­

culator, analitic-deductiv al şahului este diminuat de restricţiile de durată impuse de regulamentul

j ocului de şah. Aceste restricţii îi obligă pe j ucători să suplinească, în anumite momente , analiza unei situaţii

printr-o

percepţie

intuitiv-holistică.

Poate

însă că ar trebui să distingem şi la şah , aşa cum se

500

alte j ocuri fo arte răspândite , şahul oferă: avantajul

elementelor

lingvistice ;

avantaj ul

gradului

relativ

sofisticat al regulilor care guvernează mişcarea pie­

selor şi al caracterului lipsit de orice ambiguitate al acestor reguli. Astfel, jocuri ca

Go

sau

table prezintă

piese sub forma unui alfabet format dintr-un singur element. Şahul prezintă o dublă varietate , de ordin

material şi structural, întocmai ca şi limba. Interesul pentru analogia limbă-şah a crescut în ultimele decenii , datorită faptului că structuri de tipul celor lingvistice au fo st identificate şi în alte domenii , cum ar fi etnologia (Claude Levi-Straus s) , psihanaliza (J . Lacan) , genetica ( Roman Jakobson)

şi multe altele . A apărut astfel po sibilitatea de a

modern, în sensul că se poate deplasa numai orizon­

extinde considerabil câmpul de manifestare al meta­ forei şahiste . În acelaşi timp, ace ste tentative au

tal sau vertical. Tot aşa, în fiecare dintre cele

condus la o reconsiderare mai riguroasă a însăşi

lor în diagonală. Dincolo în să de aceste fapte , apar

20

de

variante există o piesă dedicată exclusiv deplasări­

structurii j ocului de şah . Acest j oc a cunoscut, de-a

deosebiri de detaliu. Astfel, într-o variantă europea­

lungul vremii, numeroase variante , aşa cum rezultă din lucrarea lui Harold J. Murray (A History of Chess, Clarendon Pre ss, Oxford , 1 9 1 3 ) sau din lu­

nă medievală, în una islamică şi într-una j aponeză,

crarea lui John Gollon

(Chess Vanations: Ancient,

Regional and Modem, E.

Tittle, Rutlan d , Vt. , 1 9 68) .

Aflăm astfel că au existat

27

de variante ale j ocului

piesa dedicată deplasărilor orizontale sau verticale se poate muta numai într-un pătrat vecin , orizontal sau vertical. Într-o variantă islamică, această pie să nu se poate muta mai mult de două pătrate, pe orizontală sau pe verticală, iar într-o variantă spa­

de şah, fapt care ne sugerează o modalitate simplă

niolă medievală ea nu se poate muta decât pe dis­

de

acestui

tanţa a trei pătrate ; orizontal sau vertical. Î n ceea ce

27 de

priveşte piesele care se deplasează exclusiv în dia­

identificare

a

struc turii

de

bază

a

joc: identificarea elementelor comune celor variante.

gonală, este interesant faptul că numai în opt vari­ ante există o piesă echivalentă cu nebunul modern .

ORIZONTAL-VERTICAL ŞI DIAGONAL TRANSGRESAREA OPOZIŢIEI PERPENDICULAR-DIAGONAL

Să începem cu configuraţia tablei de şah . Din­ tre cele 27 de variante , numai şase prezintă confi­ guraţia 8x8 , însă la aproape toate variantele tabla de joc este dreptunghiulară (nu neapărat pătrată) şi prezintă două familii de drepte parale le , cele dintr-o

Orice opoziţie e ste p ână la urmă transgresată. Era firesc să fie transgresată şi opoziţia perpendicu­

familie fiind perpendiculare celor din cealaltă fami­

lar- diagonal.

lie. Excepţie de la această structură fac şahul bizan­

mediază între cei doi termeni , fiind orientate în ace­

tin, j ucat pe o suprafaţă rotundă,

Cum?

Prin crearea unor piese care

şi o variantă

eaşi măsură spre mi şcări perpendiculare, ca şi spre

a şahului chineze sc , la care suprafaţa de j oc este

mişcări în diagonală. După cum se ştie , în şahul

hexagonală.

modern aceste piese sunt regele şi regina; în să în

În cele mai bune variante bazate pe intersecţii

timp

ce

regele

realizează dezideratul formulat la

de drepte echidistante, piesele ocupă pătratele for­

modul minimal, regina îl realizează la modul maxi­

mate de dreptele re spective, în aşa fel încât fiecare

mal. Care este, din acest punct de vedere, situaţia

dintre pătrate este accesibil cel puţin unei piese .

calului? În cărţile de şah pentru începători publica­

(Există j ocuri care se desfăşoară pe o suprafaţă de

te la noi, mişcările calului sunt descrise cu aj utorul

tipul aceleia de la şah , dar în care j umătate dintre

literei L: două pătrate orizontal sau vertical, urmate

pătrate

de un pătrat pe direcţia perpendiculară primeia. Să

nu

sunt

acce sibile

niciunei

piese .

Într-o

varian tă chinezească, suprafaţa de j oc este în formă

observăm însă că o descriere perfect echivalentă

45

este aceea care prevede pentru cal o mutare con­

stelată, cu intersecţii formând unghiuri de câte

d e gr.ade. Piesele ocupă chiar punctele d e intersec­

stând în deplasarea cu un pătrat pe orizontală sau

ţie) . O atare structură impune o serie de restricţii de

verticală, urmată de deplasarea, tot cu un pătrat,

la care nu se va sustrage niciun j o c care i se supu­

înainte, pe diagonală. Apare astfel echilibrul pe care

ne. Într-adevăr, orice mutare a unei piese dintr-un

calul îl realizează, în felul său speci fic, între orienta­

loc în altul vecin trebuie, în condiţiile date, să fie

rea pe perpendiculară şi orientarea pe diagonală,

sau perpendiculară (pe una dintre laturile suprafe ­

deci , din acest pun ct de vedere , calul intră în ac e ­

ţei dreptunghiulare de j oc) sau în diagonală (for­

eaşi categorie ca ş i regele ş i regina. Deosebirea din­

mând un unghi de

45

tre cal, pe de o p arte , rege şi regină, pe de altă

de grade cu baza) .

Faţă de opoziţia perpendicular- diagonal,

este

parte , constă în faptul că, în timp ce calul realizează

natural să se creeze câte o piesă pentru fiecare din­

concomitent (deci printr-o singură mutare) echili­

tre cele două posibilităţi. După cum se ştie , aceste

brul dintre perpendicular şi diagonal, regele şi regi­

piese sunt turnul şi nebunul. Există aceste piese în

na

toate variantele j ocului de şah (cu excepţia celor

Folosind terminologia lingvisticii moderne, am putea

realizează

acest

echilibru

în

mod

alternativ.

menţionate)? Pentru a răspunde la această întreba­

spune că perpendicularul şi diagonalul se află în

re, trebuie mai întâi să precizăm în ce condiţii două

relaţie

variante ale jocului de şah sunt efectiv distincte;

sintagmatică în cazul calului şi radigmatică în cazul regelui şi reginei.

pa­

în relaţie

Dar poate că

aceasta se întâmplă atunci când în fiecare dintre

mai adecvat putem exprima distincţia dintre cal, p e

cele două variante există o piesă ale cărei mişcări

d e o parte ,

sunt diferite de ale oricărei piese din cealaltă vari­

referindu-ne la faptul că la cal echilibrul menţionat

antă. Aplicând acest criteriu, cele iniţiale se reduc la

20.

27

de variante

În fiecare dintre aceste

20

de

variante esenţiale există o piesă echivalentă cu turnul

se

ş i rege

realizează

ş i regină, p e d e altă parte,

individual,

prin fiecare mişcare ,

în

timp ce la rege şi regină acest echilibru se realizează numai

global,

prin ansamblul mişcărilor p o sibile .

50 1

Dar acest echilibru global

este

numai de natură

putea fi realizată cu piese care fie că, in general, se

potenţială; ceea ce se actualizează pe tabla de j oc

deplasează orizontal sau vertical, dar posedă şi o

nat.

in general, se deplasează în diagonală, dar dispun şi de o oarecare p o sibilitate de deplasare orizontală

poate constitui o derogare de la echilibrul menţio­

Ar fi interesant de urmărit acest aspect al

pragmaticii şahiste. Cum

se

prezintă lucrurile în variantele

mai

vechi ale şahului? Este interesant faptul că în şase

dintre aceste variante regelui i se permite, la prima sa mutare, comportamentul unui cal, în timp ce în

capacitate limitată de deplasare in diagonală, fie că,

sau verticală.

Prima situaţie este, evident, realizată

de pionii şahului modem, care se deplasează în ge­

neral pe verticală, dar nu pot captura o piesă adver­ să decât mişcându-se în diagonală. Dintre cele

18

nicio variantă nu i se permite comportamentul unei

de variante de şah ,

cal şi rege este deci recuno scută.

o atare piesă au o piesă

piese alta decât calul. Apropierea structurală dintre

20

posedă o piesă de tipul pio­

nului. Dar chiar cele două variante în care nu există oarecum

asemănătoare

pionului . Astfel, în varianta j aponeză Shogi există o piesă echivalentă turnului modern , care , dacă reu­

CALUL - O PROBLEMĂ DE FINEŢE

şe şte să aj ungă în teritoriul

advers

(ultimele trei

rânduri opuse) , capătă dreptul suplimentar de a se Unnează acum o problemă de fineţe . Neutrali­ " tatea" calului în raport cu c ele două posibile orien­ tări, perpendiculară şi în diagonală, ar pretinde să nu

existe

o

ordine

preferenţială

în

succesiunea

acestor două orientări, cu alte cuvinte , dacă admi­ tem ordinea:

deplasare

cu

un pătrat pe perpen­

diculară, urmată de o deplasare cu un pătrat pe diagonală,

atunci trebuie

să

admitem

şi

ordinea

inversă: deplasare cu u n pătrat pe diagonală, urma­

deplasa câte un pătrat, în diagonală, în orice direc­

ţi e . Ce se întâmplă însă cu posibilitatea unui com­ promis între miş carea in diagonală şi cea din prima mediere? Şahul modern nu o mai cunoaşte, dar ea a existat in unele variante mai vechi . Astfel, în vari­

anta j aponeză Shogi există o piesă de tipul nebunu­ lui

modern ,

vertical

care ,

în

plus,

se

poate

deplasa

şi

sau orizontal, dar numai câte un pătrat;

într-o altă variantă veche există aşa-numitul ele­

tă de o deplasare cu un p ătrat pe perpendiculară.

fant, care se poate deplasa câte un pătrat, în diago­

mediere "nepărtinitoare" între

pătrat înainte.

Numai în acest fel calul realizează într-adevăr o cele două orientări.

nală, în oric are dintre cele patru direcţii sau un

Nu este însă greu de văzut că ac est deziderat poate

fi realizat numai dacă p ennitem calului să treacă

peste pătratele ocupate de alte piese . Tocmai acest privilegiu explică denumirea de cal; este vorba de o piesă care sare pe ste orice fel de pătrate, libere sau ocupate. Nu mai puţin de

variante ale şahului

17

o TENTATIV Ă DE AXIOMATIZARE Să încercăm acum să sintetizăm discuţia de mai sus . Regulile j o cului de şah se înfăţişează sub

conţin câte o piesă de tipul calului modern . În timp

forma unui sistem axiomatic . Admitem trei axiome

ce una dintre variante recurge la o p iesă care cumu­

iniţiale privind structura suprafeţei de joc şi relaţia

Michael

stă într-o f�ilie de pătrate obţinute prin două fa­

lează mişcările calului şi reginei din şahul modern. P.

CaroU

Semiotica, voI .

(A

structuralist look of chess, 3 1 1 9 80, no 3-4, pp . 2 7 3-287) , care

ei cu piesele de j oc.

1 : Suprafaţa de j oc con­

milii de drepte paralele, fiecare dreaptă din prima

ne ghidează în itinerarul de faţă, reprezintă miş­

familie

cularităţii şi diagonalei, opusă structurii sincronice

deplasează în

carea calului ca o structură diacronică a perpendi­

Axioma

fiind

perpendiculară fiecărei drepte din a

doua familie .

Axioma

2: Piesele de j oc ocupă şi se

pătratele

introduse

prin

Axioma

1.

a aceloraşi elemente , la rege şi regină. Însă structu­

Axioma 3:

nici regina nu realizează concomitent

două

me pune în evidenţă două orientări privilegiate in

structură diacronică, realizată însă la niveluri diferi­

pendiculară (orizontală sau verticală) şi orientarea

ra sincronică este aici iluzorie, deoarece nici regele, cele

tipuri de orientări; în ambele cazuri e ste vorba de o te: la nivelul fiecărei mutări în parte , în cazul calu­ lui ;

la

nivelul

ansamblului

mutărilor,

regelui şi reginei.

în

cazul

PIONII - UN COMPROMIS ÎNTRE TURN ŞI REGINĂ Este natural acum să ne întrebăm dacă nu se poate realiza o a doua mediere între pie sele cu mi ş­

Fiecare pătrat de pe suprafaţa de joc este

accesibil cel puţin unei pie se . Acest sistem de axio­

ceea ce priveşte direcţia de mişcare : orientarea per­

în diagonală. Piesele şi regulile de j oc sunt, în mare măsură, conse cinţa firească a acestor două orien­ tări fundamentale. O primă categorie de piese li se asociază în mod exclusiv; piesele de ordinul întâi

sunt cele cu mişcări exclusiv perpendiculare şi cele cu mişcări exclusiv în diagonală. Considerente de simetrie

conduc

la

alegerea

a

câte

două

pie se

de fiecare dintre ace ste două tipuri, deci două tur­ nuri şi doi nebuni . O a doua categorie de piese rea­

lizează un echilibru între perpendicular şi diagonal.

cări perpendiculare şi piesele din prima mediere sau

Aceste piese de al doilea ordin sunt la rândul lor de

ma mediere. Această mediere de ordinul al doilea ar

realizează de fiecare

între piesele cu mişcări în diagonală şi cele din pri­

502

"două

tipuri,

după

cum

echilibrul

menţionat

se

mutare în parte sau numai

global, de ansamblul potenţial al deplasărilor pie sei considerate. Primul tip este reprezentat de cai (din

considerente de simetrie, în număr de doi) ; al doilea

tip este, la rândul său,

capturarea regelui advers se obţine victoria?

de două subtipuri, după

cum posibilitatea deplasării perpendi culare sau în

diagonală este minimală, fiind redusă la un singur pătrat (regele din

regulile combinatoriale ale regelui de faptul că prin

şahul modern)

sau maximală,

limitată doar de dimensiunile sup rafeţei de j oc (re­ gina din şahul modern) . Deoarece primul tip este

reprezentat de două pie se , tot două piese vor fi afec­ tate şi celui de al doilea tip , deci câte o piesă de fiecare subtip (un rege şi o regină) . Totalizăm astfel opt pie se, număr care sugerează dimensiunea de 8 x 8 a suprafeţei de j oc . O a treia categorie de piese se referă la un echilibru; un compromis între piesele

de prima categorie şi cele de a doua categori e . Piese­

le de al treilea ordin astfel obţinute sunt, la rândul lor, de două feluri, după cum prima categorie este reprezentată prin turnuri

(perpendicularitate)

sau

prin nebuni (diagonală) , dar numai primul fel (pionii)

este reprezentat în şahul modern . Numărul pionilor

este sugerat de dimensiunea 8x8 , câte un pion în

faţa fiecărei piese din prima sau a doua categorie.

GÂNDIRE MATEMATICĂ ŞI ŞAH Un procedeu fr ecvent în matematică este utili­

zarea a două enunţuri care , dovedindu-se echiva­ lente într-un anumit cadru , încetează de a fi echi­

valente într-un alt c adru . S - ar părea că aceasta se întâmplă cu poziţia de de schidere la j ocul de şah . Putem

d e fi n i

ace astă

poziţie

în

două

feluri :

a) p o ziţia în care se află p i e sele înainte de a se fi

efectuat vreo mutare ; b) poziţia în care fiecare pie­ să se află pe locul iniţial .

Datorită p o sibilităţilor

oferite de cal, aceste două definiţii sunt neechiva­

lente . Să introducem acum următoarea modificare

în regulamentul jocului de şah : la deschiderea j ocu­

lui, atât albul cât şi negrul efectuează două mutări

consecutive (urmân d ca după aceasta să se intre în

normal) . În aceste condiţii afirmăm că negrul nu are o strategie de câştig, cu alte cuvinte, nu există o strategie

care

să asigure

negrului victoria ,

inde­

pendent de modul în care j oacă albul .

DINCOLO DE LOGIC ŞI COMBINATORIAL

Subtilitatea ace stei

probleme

este

de

natură

psihologică . Cei mai mulţi nu observă neechivalenţa versiunilor a şi b ale definiţiei poziţiei de deschidere.

Procedarea de mai sus a căutat să aducă în

Impos ibilitatea unei strategii de câştig pentru negru

jocului de şah , măsura in care aceste reguli se im­

prin reducere l a ab surd , că jucătorul cu piesele ne­

prim plan aspectul logic şi combinatorial al regulilor

pun aproape de la sine, de îndată ce admitem un minim de premise, dintre cele mai simple . D ar chiar

din această prezentare s-a desprins şi ideea că as­

pectul logic nu poate fi sesizat fără luarea in con­ siderare a aspectului istoric. De ase menea, rămân

numeroase aspecte care nu pot fi inţelese şi explica­

te fără referire la fenomene de ordin psihologic , so­

se bazează esenţial pe versiunea b. Să presupunem,

gre are o strategie de câştig. Putem arăta că această presupunere conduce la o contradicţie. Într-adevăr, albul poate alege în aşa fel primele două mutări încât ele să se neutralizeze reciproc . Anume, el mu­

tă mai întâi un cal , apoi îl readuce în poziţia sa ini­ ţială; în acest fel , negrul se află în situaţia iniţială a albului , deoare ce, conform variantei b a definiţiei

cial şi cultural . De ce sunt pătratele în alb-negru?

poziţiei de de schidere, albul se află, şi la mutarea de

ce ne oprim la piese de a treia categorie (pionii) şi

deschidere , deci poate efectua din nou două mutări

Care este funcţia psihologică a ace stui contrast? De

răspuns faţă de ac eea a negrului, tot în poziţia de

nu procedăm, în continuare, la introducerea unor

conse cutive . Rezultă că, dacă negrul ar avea o stra­

categoriile imediat anterioare? Cum se explică dis­

Dar ne grul şi albul nu pot avea amândoi o strategie

piese de a patra categorie, care să medieze între punerea iniţială a pie selor pe tabla de joc, inclusiv dimensiunea 8x8? Este evident că în aceste alegeri intervin

şi

considerente

de

ordin

entropic-infor­

maţional, privind capacitatea creierului uman de a

tegie de câştig, aceeaşi strategie ar avea-o şi albul .

de câştig,

deoarece

mentul j ocului de

aceasta ar contrazice regula­

şah .

Aşadar,

presupunerea că

negrul ar avea o strategie de câştig se dovedeşte a fi falsă.

prelucra informaţia, gradul de complexitate pe care o

putem stăpâni şi controla. Însă aceste restricţii de

ordin informaţional care pun frâu tendinţei combi­ natoriale practic nelimitate nu ştim să fi fost explici­ tate , în cazul j ocului de şah .

Î ntr-un moment în

care teoria matematică a informaţiei cunoaşte mari

progrese , cercetări de acest fel nu se vor putea lăsa

ŞAHUL COMPUTAŢIONAL Oricâte de o sebiri ar p utea fi identificate între

şah şi matematică, cert este că numitorul lor co­

mun rămâne foarte important. Să fie oare o simplă

mult aşteptate. Mai sunt apoi aspectele legate de

întâmplare faptul că al doilea campion mondial de

pectele

gândirea matematică, gândirea şahistă este puter­

denumirile pieselor de şah, denumiri a căror evoluţie pun inerent in discuţie originea j ocului de şah . As­ combinatoriale ,

strategice

logi ce intră toate în interacţiun e .

şi

psiho- socio ­

Putem despărţi

şah , Laske r , a fost un matematician creator al cărui nume s-a înscris în istoria algebrei moderne? Ca şi nic marcată de capacitatea deductivă.

Este foarte 503

interesant, din acest punct de vedere, chiar limbajul

pe care-l folosesc come ntatorii j ocului de şah . Ei vorbesc deseori despre puterea de calcul şi explică

uneori victoria unui şahist prin puterea sa supe­

rioară de calcul faţă de aceea a adversarului . Dar despre ce calcul este vorba aici? Fireşte, nu de cal­

culul

numeric,

ci

combinatorială.

de

un

calcul logic,

Dar tocmai

de natură

acest calcul logic

s- a

situat pe primul plan al atenţiei matematicienilor

tot mai mare a gândirii şahiste, ceea ce era un sim­ plu j oc devine şi o problemă de cercetare ştiinţific ă,

o problemă care nu interesează numai pe şahişti, ci

pe toţi" specialiştii în inteligenţa artificală. computaţional devine

un

Şahul

adevărat laborator în care

se plămădesc probabil idei care ar putea fertiliza

gândirea economică, de planificare , strategia unor activităţi de conducere sau de altă natură.

începând cu deceniul al patrulea al secolului trecut.

Matematicianul englez A . M . Turing a fondat un cal­

DouĂ EVENIMENTE IMPORTANTE

cul pur simbolic, faţă de care calculul numeric tra­

diţional este un caz particular. Acelaşi calcul cu simboluri de natură nespecificată a apărut şi în alte

variante, cum ar fi funcţiile recursive studiate de S . C . Kleene , Kurt G6del şi alţii, şi algoritmii nor­ mali,

introduşi

de

A.A.

Markov.

Aceste

teorii au

constituit fundamentele p e care s-au dezvoltat ulte­

rior utilizarea calculatoarelor electronice . Un calcu­

lator electronic efectuează calcule logico-simbolice

şi numai prin intermediul lor realizează şi calcule

numerice . În aceste condiţii era firesc să se încerce programarea la calculator a j ocului de şah . A luat astfel fiinţă şi s-a dezvoltat tot mai mult şahul com­ putaţional, despre care vom vorbi în cele ce unnează.

In teresul tot mai mare pe care pasionaţii şahu­ lui îl manifestă faţă de şahul de calculator se expli­ că prin două evenimente care au marcat ultimele decenii: dezvoltarea programelor de şah competitive cu j ucători umani de valoare şi producerea şi co­ mercializarea jocurilor portabile de şah computaţio­ nal. Acestor jucării" , care nici prea scumpe nu sunt,

cu greu le rezistă p asionaţii de nivel mijlociu

Am

în

faţă

circulara

lansată

de

Organizaţia

jo­

şah şi calculator pare să fie aceea publicată de Da­

vid Levy

(Chess and Computers,

Press, Potomac, Maryland ,

Computer Science

1 976) . Au urmat multe

alte le , dintre care se detaşează ca importanţă aceea a lui D. Levy şi M. Newborn

ŞAHUL LA CONGRESELE INTERNAŢIONALE DE CIBERNETICĂ

ai

cului d e şah. Prima carte dedicată legăturilor dintre

puters,

(More Chess and

Com­

Computer Science Press, Potomac, Maryland,

1 9 8 0 ) . Mai important este însă faptul că revistele de inteligenţă artificială, cibemetică, informatică publi­

că tot mai frecve nt articole de cercetare, privind şahul computaţional . Prin aceasta , şahul se de schi­

Mondială de Sisteme Generale şi Cibernetică, în le­

de spre lumea ştiinţei. În is toria culturii este frec­

ei , care a avut loc între 9 şi

legătură cu o anumită problemă se dovedeşte ulte­

gătură cu cel de al şaptelea congres internaţional al

13

septembrie 1 9 87 , la

Londra. Lista temelor care au fost dezbătute începe

cu Inteligenţa Artificială, incluse

aici

şi

specificându-se că sunt

sistemele-expert

şi

şahul

com­

putaţional. Acest fapt este prin el însuşi semnifica­ tiv in ceea ce priveşte amploarea pe care au căpă­ tat-o

preocupările

privind

şahul

computaţional.

ventă

situaţia

în

care

o

preocupare

apărută

în

rior relevantă într-o altă problemă, cu totul diferită. Nu cumva s-ar putea încadra în acest domeniu şi

evoluţia şahului? Metamorfoza ludicului în ştiinţă

nu ar

fi

la prima sa manifestare . Să reamintim că

teoria probabilităţilor s-a născut din .preocuparea pentru j ocurile de noroc.

Dincolo de interesul manifes tat de cerce tătorii în

domeniul

inteligenţei

artificiale,

există

un

imens

PARIUL CU INTELIGENŢA MAŞINII

interes popular pentru şahul de calculator. În 1 97 7

a luat fiinţă Asociaţia Internaţională d e Ş a h Com­

putaţional, reprezentând Organizaţia Internaţională

Tocmai ace sta pare să constituie pariul lui Da­

de Şah Computaţional aflată în strân să legătură cu

vid Levy, despre care am vorbit mai sus. El şi-a

Federation

genţă Artificială şi se pare că a reuşit. Jocul de şah

Association of Computing Machinery şi International of

Information

Processing,

cât

şi

cu

Federaţia Internaţională de Ş ah . Asociaţia Interna­ ţională

de

Şah

Computaţional

publică

o

revistă

trimestrială, organizează o dată la trei ani un cam­

pionat mondial de şah cu calculatorul şi stimulează cercetarea în acest domeniu. Chiar din aceste in­

formaţii sumare se desprinde uşor ideea unei trans­

formări de anvergură care s-a produs prin trecerea

de la şahul uman la şahul de calculator. Atâta timp

propus să câştige interesul specialiştilor în Inteli­

om-calculator este legat de numele său . Într-o carte

a sa, el relatează că în august 1 9 68 participa la o

consfătuire de I nteligenţă Artificală la Universitatea din

Edinburgh.

La un

cocteil,

s-a angaj at într-o

partidă de şah cu John McCarthy, profe sor de Inte­ ligenţă Artificială la Universitatea din Stanford şi una dintre autorităţile mondiale în materie. Levy

a

câştigat partida, dar McCarthy i-a spus (prezis) că

cât şahul nu utiliza nicio "proteză" , el nu depăşea

în aproximativ ze ce ani va fi învins de un program

unor programe care tran sferă calculatorului o parte

de

statutul său de joc de divertisment. Prin real izarea

504

de calculator. Levy s-a simţit aproape j ignit. Campion şah al

Scoţiei,

în acel moment,

el vedea un

adevărat afront într-o declaraţie atât de c ategorică, făcută de cineva care nici măcar nu era un expert în jocul de şah . Levy i-a propus lui Mc Carthy un pariu a cărui valoare a crescut până la 1 2 5 0 de lire engle­ zeşti , după ce la opinia lui Levy, de neîncredere într-o dezvoltare atât de rapidă a şahului de calcu­ lator, se raliaseră câţiva profesori de informatică de renume, ca Donald Michie , Seymour Papert şi Ed. Kozdrowicki. Mulţi ani, pariul părea pierdut pentru McCarthy. Nu se configura la orizont un program care să poată rivaliza cu un maestru internaţional cum era încă atunci D avid Levy. Însă în 1 97 6 a apă­ rut aşa-numitul program Şah 4 , 5 , elaborat de doi cercetători de la Universitatea Northwe stern, David Slate şi Larry Atkin , un program de şah care, fără a fi invincibil, constituia totuşi un progres esenţial faţă de programele anterioare. Levy credea însă că per­ formanţele programului Şah 4 , 5 erau datorate nu atât calităţilor propriu-zis şahiste, cât reacţiilor emoţionale pe care le determina la oponenţii săi umani. Pariul lui Levy cu McCarthy era că, înce­ pând cu 1 9 68 , timp de zece ani nu va fi învins de niciun program de calculator. in august 1 97 8 , când se apropia termenul pariului, a avut loc la Toronto întâlnirea decisivă a lui Levy cu programul Şah 4 , 7 , un succesor al lui Şah 4 , 5 ; întâlnire a con sta din 6 partide. Pentru a câştiga pariul, Levy trebuia să acumuleze măcar trei puncte (adică j umătate din punctele posibile) . intâlnirea a avut o de sfăşurare dramatică. Prima partidă s-a încheiat cu un rezultat egal, ceea ce constituia deja o performanţă, deoare­ ce era prima oară când un program de calculator reuşea să facă faţă unui mae stru internaţional, însă în următoarele două partide Levy a repurtat victo­ ria. Îl mai despărţea jumătate de punct de câştiga­ rea pariului; în aceste condiţii Levy a considerat că are un avantaj suficient pentru a- şi permite să ex­ perimenteze noi strategii. Dar a eşuat, pierzând partida a patra. În partida a cincea, Levy, prudent, revine la stilul său defensiv anterior şi obţine victo­ ria, câştigând astfel întâlnirea cu 3 şi 1 / 2 la 1 şi 1 / 2 şi, totodată, pariul contra lui McCarthy. Ace sta din urmă, împreună cu cecul câştigător, îi trimite lui Levy o scrisoare în care îşi exprimă impresia că da­ că Levy ar fi pierdut partida cu "forţa brută" a unui program de calculator, el, Mc Carthy, n-ar fi văzut în aceasta un merit ştiinţific al Inteligenţei Artificiale. Levy a propus un nou pariu, de zece mii de dolari, având ca termen anul 1 9 84 , dar a declarat că nu îndrăzneşte să propună un termen mai îndepărtat decât acesta. Fundaţia Fredkin a oferit un premiu de 1 00 . 0 00 de dolari primului program de calcula­ tor care va învinge pe campionul lumii la şah .

PRIMA STRATEGIE A LUI SHANNON Nu este lipsit de interes să urmărim strategiile Care se află la baza şahului computaţional. Creatorul teoriei informaţiei, Claude Shannon (Programming a

computer ta play chess, Philosophy Magazine, seria 7, voI . 4 1 , 1 9 5 0 , p. 2 5 0 - 2 7 5) , a identificat trei posibile strategii de con struire a unui program de calculator pentru jocul de şah . Prima strategie constă în cău­ tarea tuturor mişcărilor posibile, până la o adânci­ me prestabilită, şi evaluarea poziţiilor rezultante . A doua strategie elimină din arborele de mişcări pe acelea care intuitiv apar a nu merita să fie luate în considerare. A treia strategie este orientată asupra obiectivului urmărit, dar Shannon nu dă indicaţii în această privinţă. Cele mai multe programe de şah , printre care şi programul Şah 4 , 7 , contra căruia Levy a obţinut victoria, adoptă prima strategie. Ace ste programe combină două procedee, pentru a decide mişcarea ale asă. Primul procedeu este o cău ­ tare de tipul "minimax" în arborele tuturor şirurilor de mişcări posibile până la o anumită adâncime. Al doilea procedeu constă într-o evaluare statică a întregii situaţii de pe tabla de şah . Nece sitatea de a opri analiza la o adâncime prestabilită este deter­ minată de faptul că arborele tuturor alegerilor posi­ bile este , la şah , considerabil mai mare decât numărul electroni1or din univers. in programul Şah 4 , 7 se examinează uneori un milion şi jumătate de poziţii terminale înainte de a se alege o mişcare . Adâncimea până la care se analizează situaţia este egală cu 8 în faza de mijloc a unei partide şi cu 1 2 în faza finală, când numărul d e ramificaţii ale arbo­ relui de căutare este mai mic. Evaluarea statică preconizată mai sus acordă de multe ori o pondere principală avantajului mate­ rial (cine are pe tabla de j oc piese mai multe şi mai bune) . Se con sideră însă şi mobilitatea pieselor, organizarea pionilor şi controlul pătratelor de pe tabla de j oc. Funcţia de evaluare statică trebuie apreciată rapid , deci e bine să fie exprimată cât mai simplu, de exemplu printr-un număr care estimează cât de favorabilă este o anumită poziţie particulară.

PERFORMANŢE COMPUTAŢIONALE ÎN JOCUL DE MIJLOC În ceea ce priveşte cea de-a doua strategie, care nu ia în considerare toate mişcările posibile în fieca­ re poziţie, ci selectează unele mutări "mai bune" , urmărindu-Ie în consecinţele lor, ea poate fi pro­ gramată pe calculator, însă nu a fost încă testată cu succes din cauza timpului nece sar pentru selecta­ rea mutărilor şi riscului reprezentat de omiterea unei mutări aparent neinteresante, dar de fapt promiţătoare . Într-o variantă ulterioară cum ar fi Şah _ 4 , 9 , programul de calculator poate examina milioane de poziţii pentru a decide care piesă să fie jucată. Cercetările de psihologia şahului au arătat că chiar marii maeştri internaţionali iau în considerare nu mai mult de circa o sută de poziţii la fiecare mu­ tare. Un mare şahist intuieşte selecţia preconizată 505

de calculator. Nici cea de-a treia strategie discutată de Shannon nu a putut fi (încă) valorificată compu­ taţional. Un mare maestru se comportă ca şi cum , după c e a aj uns l a modul terminal a l consecinţelor unei mişcări, experienţa itinerarului re spectiv este comunicată tuturor căutărilor ulterioare ; tocmai o atare abilitate nu a putut încă să fie încorporată maşinii, printr-un algoritm adecvat. Din acest punct de vedere , până în 1 9 8 1 p erformanţa algoritmică maximă era aceea a programului PARADISE al lui David Wilken; denumirea programului este o pre s­ curtare a lui Pattern Recognition Applied to Direc­ ting Search (" U sing patterns and plans in che ss " , Artificial Intelligence, 1 4 , pp. 1 65-203) . Un fapt remarcabil în acest nou program îl constituie rezolva­ rea, în proporţie de 9 7%, a dificultăţilor de repre­ zentare algoritmică a strategiei şi tacticii de mijloc la şah (aşa cum au fost ele prezentate de F. Reinfeld în Win a Chess, Dover Books, New York, 1 9 58) , prin reducerea la câteva zeci de variante a sutelor sau miilor de poziţii care trebuiau altfel inspectate. Se ştie că teoria şahistă, foarte elaborată în materie de deschideri şi finaluri, este mai puţin dezvoltată în ceea ce priveşte j ocul de mijloc. Este de aşteptat ca dezvoltarea şahului computaţional să fie din ce în ce mai profitabilă pentru teoria generală a şahului.

CÂND V A DEVENI CALCULATORUL UN MARE MAESTRU? Î n cartea sa cu Newborn, Levy este încă cir­ cumspect în ceea ce priveşte această problemă. Atâta vreme cât Inteligenţa Artificală nu va realiza un progres uriaş, în simularea algoritmică a proce­ sului de formare a conceptelor va fi imposibil pentru un program de şah măcar să-I înţeleagă, dacă nu să-I învingă pe Fischer, crede Levy. Ne aflăm într-un moment în care (este vorba de anul 1 980) , rulând pe cele mai rapide calculatoare , cel mai bun pro­ gram de şah rămâne totuşi în urma subtilităţilor unui campion mondial . Î nsă Robert E. Filman (Com­ puters and Chess, The Mathematical Intelligencer, voI. 3, 1 98 1 , nr. 2, p. 7 1 - 75) este de p ărere că Levy manifestă o anumită lipsă de înţelegere . Poate că niciodată un calculator nu va avea abilitatea de dez­ voltare conceptuală nece sară pentru a juca la nive­ lul lui Fischer. Dar atunci, nici Levy nu o va avea. Levy pare a spune : " dacă un calculator poate face asta, atunci asta nu mai e inteligenţă" De îndată ce un lucru devine programabil, el nu ne mai impresio­ nează. Există o teoremă glumeaţă a lui Tessler, du­ pă care Inteligenţa Artificială este tot ceea ce încă nu s-a realizat. Simplul fapt că tehnicile brute de explorare conferă maşinii o abilitate şahistă superi­ oară marii maj orităţi a oamenilor care j oacă şah nu este o re alizare considerabilă? Un alt cercetător în domeniul şahului computa­ ţional, Hans Berliner (A Chronology of Computer 506

Chess and its Literature, Artificial Intelligence , 1 0 , 1 978, p. 20 1 -2 14), fost campion mondial al şa­ hului prin corespondenţă, îşi exprimă părerea după care şahul n-ar fi atât un j oc conceptual, cât unul de căutare exhaustivă. Polemica este în curs de desfăşurare. În legătură cu ideea exprimată mai sus, con­ form căreia şahul computaţional poate contribui la dezvoltarea teoriei şahi ste , să menţionăm o inovaţie în deschidere datorată programului Şah 4,6. Se mai semnalează unele idei privind ameliorări ale reguli­ lor de j oc. În şah, dacă o aceeaşi poziţie se repetă de trei ori, se declară remiză. Programatorii, capabili să distingă pie sele pe cale nesemantică, şi-au pus pro­ blema: dacă cele d ouă turnuri şi-au schimbat locu­ rile în mod repetat, este vorba de o remiză? O altă problemă: dacă niciun pion nu avansează şi , după 50 de mişcări, nicio piesă nu este capturată, este permi s să se ceară remiză? Programele de calculator au pus în discuţie legitimitatea numărului 50 care apare aici. Şahul şi Inteligenţa Artificială se provoacă reci­ proc! I storia schiţată mai sus este departe de a fi la zi, iar urmărirea ei va fi profitabilă şi ludic , şi cognitiv. Deocamdată, ştim că în anii ultimului deceniu al secolului al XX- lea, un program de calculator l-a putut învinge pe campionul mondial la şah. Î n mo­ mentul în care şahul computaţional este în situaţia de a d obândi întâietate a, întregul sistem competiţio­ nal în şah se află sub semnul întrebării. Vom relata, în cele ce unnează, episodul care a surprins atât lumea şahistă, cât şi lumea cercetătorilor în dome­ niul Inteligenţei Artificiale.

ZIUA DE DUMINICĂ 11 MAI 1997 Ace astă zi marchează o dată atât în istoria şti­ inţei, cât şi în istoria jocului de şah . Calculato­ rul Deep Blue, construit în Laboratoarele IBM din Yorktown (USA) , a învins , într-o serie de şase parti­ de , pe campionul lumii la şah, Gari Kasparov. Acest eveniment istoric s-a de sfăşurat sub auspiciile ACM (Association of Computing Machinery) şi ale ICCA (International Computer Chess Association) şi con­ stituie un deosebit succe s al Inteligenţei Artificiale. Printre cei care l-au pregătit, direct, dar mai cu seamă indirect, îi vom menţiona pe K. von Janisch: TraiM des applications de l 'analyse mathematique au jeu des echecs ( 1 8 63) ; Ernst Zermelo: »An application of set theory to the theory of chess" , Proceedings of the Sth International Congress of Mathematicians, Cambridge , 1 9 1 2 ; Claude Shannon: " Programming a computer for playing che ss", Philo­ sophical Magazine 4 1 ( 1 9 50) , pp . 256-27 5; A. M . Turing: »Digital computers applied t o games" în B. Bowden (ed .) " Faster than Thought: a Sympo­ » sium on Digital Computing Machine s , New York:

Pitman, 1 9 53; L. Larson: "A theorem about primes proved on a che ssboard " , Mathematical Magazine, 50: 2 ( 1 977) , pp. 69-74; M. Curzio : " Le jeu d'echecs et les mathematiques" , A rchimede, Le Mounier, 78: 1 ( 1 98 1 ) , pp. 1 - 1 3 ; J . Gik: Schach + Mathematik Mir, Moscova, 1 986; G. Atkinson: Chess and Machine " , " Abdex, 1993, la care trebuie să adăugăm şi unele dintre referinţele anterioare. În acelaşi an 1997, în care s-a produs eveni­ mentul discutat aici, apare în Anglia cartea lui M. Petkovic, Mathematics and Chess, Dover, 1 997 În directă legătură cu evenimentul în cauză este arti­ colul lui F. Hsu: "The chips of Deep Blue" , IEEE, March-April, 1 999. Un articol edificator pentru în­ treaga problemă a legăturii dintre şah şi matemati­ că este cel al lui Paolo Ciancarini: "Gli sgacchi e i matematici", Bolletino del Unione Matematica Italia­ na, Agosto 1 99 9 , Serie Vm, voI . II-A, pp. 203-236, din care am selectat unele dintre informaţiile de mai sus. Şahul a intrat în viaţa noastră de fiecare zi, de cele mai multe ori fără să ne dăm seama. Avem în vedere proliferarea metaforelor şahiste. Un poet din Oneşti, Alexandru Dumitru, a publicat un volum de poezii cu titlul Şah la metaforă (Editura Aristarc, Oneşti, 2000). Dar titlul acestui volum este parado­ xal, în sensul că se prevalează de o metaforă, aceea a şahului (în sensul de atac la adversar) , pentru a ataca chiar procedeul folosit în titlu: metafora. Şa­ hul reproduce , la scară, prin metaforă şi prin meto­ nimie, lumea în care trăim.

gândirii şahiste şi a gândirii strategice în economie. Dar nu este vorba numai de economie. De exemplu, chimistul AJ . Buschov consideră că laureatul pre­ miului Nobel în chimie Robert Woodeard s-a folosit de " logica şahului" în surprinzătoarele sale sinteze chimice. Sunt 40 de ani (scriem aceste rânduri în aprilie 2007) de când Paul Voiculescu se preocupă de na­ tura gândirii şahiste şi relevanţa ei dincolo de şah . În 1 969 a publicat o carte pe această temă, iar în 1 986 a publicat un articol "Şahul şi eficienţa gândi­ rii" în revista Automatică, management, calculatoare, no. 53 , pp . 225-245 la Editura Tehnică, Bucureşti. Este plauzibilă ipoteza că procesarea informaţi­ ei în şah reflectă în bună măsură modul în care lucrează creierul uman; de aici, ideea de a se studia partidele de şah cu ochii unui maestru al şahului. S-a constatat că m aeştrii şahului se remarcă prin eficienţa cu care prelucrează informaţia. De exemplu, programul de şah elaborat in 1 9 67 de Bernstein şi colaboratorii săi poate examina 2 8000 de poziţii in numai opt minute . Programul american "Belle " a primit in 1 983 titlul de maestru naţional; el are o memorie de 350,000 de poziţii şi evaluează 23 de milioane de poziţii in numai trei minute. Ţinând seama de capacităţile programelor şi memoriei şi de viteza de procesare a informaţiei, rezultă că gândi­ rea unui maestru al şahului este de 2 2 ,000 de ori mai rapidă, şi deci mai eficientă decât aceea a unui începător.

CERCETĂRI EMPIRICE Ş I FORMALIZARE INFORMAŢIE Ş I CUNOA Ş TERE, PORNIND DE LA ŞAH În domeniul inteligenţei artificiale, şahul este un domeniu privilegiat, în ceea ce priveşte observa­ rea, analiza şi testarea procedeelor pe care creierul uman le foloseşte în procesarea informaţiei şi in do­ bândirea cunoaşterii. Dacă admitem că inteligenţa umană procedează prin alegeri şi combinări, atunci şahul este remarcabil prin echilibrul dintre simplitate şi complexitate şi prin puritatea, precizia şi claritatea regulilor sale (ceea ce nu se poate spune despre jocul de go, foarte interesant din multe puncte de vedere, dar, aşa cum se poate constata din prezentarea sa într-o altă secţiune a acestei cărţi, însoţit şi de unele imprecizii şi dileme în ceea ce priveşte diagnosticul final). În cele ce urmează, vom urma consideraţiile lui Paul Voiculescu ( "A chess-based processing of knowledge", Noesis, XVII, 1 992, pp. 3 1 -3 9 ) . Fost campion de şah, de profesie inginer chimist, Paul Voiculescu este autorul unor studii în care gândirea şahistă a fost valorificată în domeniul economiei şi planificării. în această ordine de idei trebuie însă menţionat în primul rând numele acad. Emilian Dobrescu, pentru preocupările sale la interferenţa

Numărul poziţiilor teoretic posibile în şah este egal cu 1 00 la puterea 1 40; dar în alegerea pe care o facem trebuie să ţinem seama de mai multe crite­ rii, cum ar fi valoarea materială a pieselor , numărul câmpurilor lor de desfăşurare, necesitatea de a-l protej a pe rege etc. Să notam cu X l , X2 , . . . , Xn aceste criterii şi cu ai ponderea pe care o acordăm criteriu­ lui Xi (i ia valori de la 1 la n) . Să notăm cu x vectorul de componente Xi (i luând valori de la 1 la n) şi cu ax vectorul de componente aiXi (i luând valori de la 1 la n) ; putem spune că lui x i se asociază mutarea ax. Dacă însă rămânem numai la această viziune, re­ zultatele se dovedesc modeste, deoarece ponderea reală a unui criteriu variază sensibil in raport cu poziţia pie selor. Pentru a mări eficienţa, s-a luat in considerare şi poziţia şi s-a ţinut seama de conse­ cinţele diferitelor mutări posibile. În acest fel s-a obţinut o eficienţă echivalentă cu aceea a unui ma­ estru naţional. Dar nici această abordare nu oferă un progres substanţial, deoarece numărul poziţiilor care trebuie analizate creşte în progresie geometri­ că, raţia fiind aproximativ egală cu o mie. A apărut astfel problema reducerii volumului de calcule. Difi­ cultăţile se multiplicau şi în legătură cu faptul că valoarea unui criteriu era apreciată prin referire la pioni , în timp ce in practică se dovedesc foarte 507

importante uneori aşa-numitele " combinaţii " care pornesc cu sacrificii materiale, uneori sacrificân­ du- se chiar regina, deşi ea este considerată a fi echivalentă cu nouă pioni. Analiza literaturii şahiste arată că maeştrii se prevalează de criterii strategice de evaluare a conse­ cintelor diferitelor alegeri posibile. Modul în care ei ' pro ce sează datele se bazează pe un " plan" , noţiune pe care o putem raporta la programele din domeniul " inteligenţei artificiale. Aceste " planuri sunt elabora­ te prin referire la o anumită poziţie critică (permi­ ţând să se aprecieze rezultatul jocului) şi/ sau, într-un mod mai special, prin referire la anumite pozitii semi-critice" (în care rezultatul jocului prac­ ticat d; jucători puternici este cunoscut) . Deşi scopul în şah este clar, capturarea regelui advers, totuşi, în practică se întâmplă foarte rar să se poată face o evaluare directă a mutărilor care ar putea duce la realizarea ace stui scop. Se consideră că orice câştig material ar favoriza apropierea de victorie şi, în această privinţă, mijlocul cel mai efi­ cace este performanţa unui pion de a ajunge pe ultima linie orizontală din faţa sa, deoarece prin aceasta el e schimbat cu o regină, deci cu o piesă de nouă ori mai puternică. Un fir logic spre acest scop ar comporta paşii următori: capturarea unui număr cât mai mare de pioni din partea dreaptă a reginei; capturarea unui pion liber; înlăturarea acelor piese adverse care împiedică promovarea unui pion liber; promovarea pionului liber până la transformarea sa în regină. Un atare fir logic ar fi un "plan " . Numai că el pretinde o supraveghere continuă, care să deter­ mine eventuale modificări. În anul 1 9 52, într-un j oc de antrenament, T. Chiriţescu, ulterior mare maes­ tru, a reuşit în realizarea unui plan de acest fel, dar a neglijat să-şi protejeze regele şi a fost făcut mat. Nu trebuie deci absolutizate astfel de scopuri inter­ mediare, este necesar să se menţină tot timpul o supraveghere globală a jocului. O indicatie a matematicianului G. Polya poate fi utilă şi în ş� : dacă două teoreme seamănă, este probabil că ele sunt consecinţe ale unei a treia, mai generală. Analiza unor programe de inteligenţă artifi­ cială pentru şah arată că ele ar putea rezolva anumi­ te probleme complexe, cu eficienţă maximă; elementul care asigură eficienţa depinde de fericita alegere a criteriilor unui j oc bun . Se scontează chiar existenţa unei funcţii optimale de evaluare a eficienţei diferi­ telor mutări, cu ajutorul probabilităţilor relative la poziţia standard semicritică. Un rol maj or în modul în care maeştrii şahului procesează informaţia îl au asemănările dintre dife­ rite poziţii, asemănarea putând funcţiona la diferite niveluri de generalitate . Într-adevăr, dat fiind că numărul poziţiilor posibile este enorm, singura po­ sibilitate de a le stăpâni este de a le organiza în clase de echivalentă, numărul acestor clase fiind incomparabil mai �ic decât al poziţiilor ca atare. 508

SURPRIZE POSIBILE ALE UNEI MUTĂRI NEPREVĂZUTE În numărul 303 din 30 decembrie 2006, ziarul german Frankfurter Allgemeine Zeitung reproduce la pagina 39 în mărime neobişnuită diagrama unei partide de şah; ea înregistrează poziţia fatală în care s-a aflat actualul campion mondial de şah Vladimir Kramnik, în partida sa cu calculatorul Deep Fritz. O examinare a situaţiei de pe tabla de j oc arată că la mutarea 35 campionul mondial urma să fie făcut mat. Împrumutăm această informaţie ca şi alte con­ sideraţii din foarte interesantul articol publicat recent de S. Damian ("Mutarea De4-h7 n-a fost prevăzută", Idei în Dialog, 2 (29) , februarie 2007, pp. 13- 1 5) . Ne grăbim însă să precizăm că nu este vorba aici de o confruntare "intre inteligenţa umană şi cea neani­ mată" , cum afirmă S. Damian, ci de o confruntare intre două fonne ale inteligenţei umane, una auto­ nomă şi directă, cealaltă asociată cu o proteză, calcu­ latorul, şi intermediată de programe de calculator, programe avându-i ca autori pe oameni şi rulate pe o maşină pe care tot oamenii au construit-o. Kramnik mutase dama albă în poziţia a7 şi era si­ gur că se apropie de victorie. Dar se inşelase şi pierduse în faţa partenerului său nevăzut. Articolul din ziarul german este intitulat "Die Patzer de s Jahres " , iar de la S. Damian aflăm că substantivul " Die Patzer" este folosit pentru desem­ narea ratărilor din j ocul de şah . În româneşte, titlul ar suna deci "Ratarea anului" Aici apare însă forţa analogică a situaţiilor din şah, capabile să prefigureze situaţii esenţiale din viată. ' Tocmai aici se află ideea centrală a articolului din ziarul german. " Die Patzer " - ratarea, gafa - este urmărită în evenimente culturale recente . Primul asupra căruia se fixează atenţia este cazul Gunter Grass, laureat Nobel în literatură, care a surprins lumea prin mărturisirea sa privind înscrierea în brigăzile Waffen SS spre sfârşitul celui de-al Doilea Război M ondial. A crezut că opinia publică va apre­ cia sinceritatea gestului său, dar a pierdut din vede­ re faptul că, venind cu o întârziere de 60 de ani, după ce între timp el se arătase necruţător faţă de alţii care colaboraseră cu nazismul, el se va discre­ dita moral. Din nou, o "mutare neprevăzută", de tipul celeia care pe campionul mondial de şah l-a costat eşecul în faţa unui calculator ultaperformant, s-a dovedit a fi imprevizibilă în consecinţe. De aceas­ tă dată, victima era unul dintre cei mai cunoscuţi scriitori ai Germaniei postbelice, Gunter Grass. Şirul exemplelor din Frankfurter Allgemeine Zeitung nu se opreşte aici. Este discutat în conti­ nuare cazul scriitorului Peter Handke, căruia i s-a decernat premiul "Heinrich Heine " , pentru ca, pe baza unor dezvăluiri ulterioare , premiul să fie re­ tras. "Atât Heine, cât şi Handke au fost victimele unei feste" , conclude ziarul german.

La exemplele de mai sus, S. Damian adaugă şi altele. Esteticianul german Walter Jens, necruţător in atitudinile sale publice faţă de căderile morale ale altora, se inscrisese în adolescenţă in formaţiile naziste ; dar acest lucru a ieşit la iveală foarte târ­ ziu. Martin Walser " s-a plâns că publicul este prea mult bombardat cu imaginea gazaţilor de la Auschwitz [ . ]", dar "a omis să notifice că dacă ar fi nevoie de o comprimare a stăruinţei în arătarea .

.

culpei, mISIunea ar trebui să revină mai curând urmaşilor victimelor decât ale făptaşilor " Desigur, am putea continua şirul exemplelor unor "mutări neprevăzute " cu exemple din istoria recentă a României. Cazul Monei Muscă este noto­ riu. A evaluat corect natura angaj amentului ei cu securitatea, dar nu şi gravitatea tăinuirii faptului respectiv.

509

CAPITOLUL IX JOCUL DE G O, MODUL JAPONEZ DE A ÎNTELEGE COMPETITIA ,

o CĂLĂTORIE FRUCTUOASĂ În 1 9 8 2 mă întorceam dintr-o călătorie în Japonia, unde primisem un cadou interesant ; un joc Go, j oc naţional de veche tradiţie al japonezilor, j oc prin excelenţă de inteligenţă şi de strategie . Jo­ cul era însoţit de o întreagă documentaţie, iar invi­ taţia (şi rugămintea) pe care mi-o adresau prietenii j aponezi era de a ajuta la introducerea şi propaga­ rea acestui joc în România şi în zona limitrofă ei. Ştiam prea puţin despre acest joc, până la venirea în Japonia, dar la Tokio am fost plimbat prin câteva cluburi de Go, şi am înţeles că mai cu seamă bărba­ ţii (nu prea am văzut femei în aceste cluburi) practi­ că acest joc cu regularitate . Mi s-a explicat ideea principală a jocului; folosind o metaforă militară am putea spune că avem două armate, reprezentat � prin piese de formă lenticulară, identice ca mărime, substanţă şi dimensiuni, dar unele albe, în număr de 1 80 , ale unuia dintre jucători, celelalte negre , în număr de 1 8 1 , ale celuilalt jucător. Jucătorii se află de o parte şi de cealaltă a unei table de joc, împărţi­ te în pătrate omogene , cu ajutorul a 1 9 drepte ori­ zontale şi a 19 drepte verticale, care dau naştere la 3 6 1 de puncte de intersecţie. De obicei, tabla are 45 de centimetri pe verticală şi 42 de centimetri pe orizontală, dar dimensiunile sunt uneori mai mici. Liniile verticale se notează cu litere mari, de la A la T, cu omiterea literei 1 , ca urmare a asemănării sale cu cifra unu roman; liniile orizontale se notează cu numere de la 1 la 1 9 . Ordinea notării se face în aşa fel încât colţul din stânga, jos, să aibă litera A şi numărul 1 . Punctele D4, D I 0 , D 1 6, K4 , K I 0 , K 1 6 şi Q4 , Q I 0 , Q 1 6, alese din considerente de simetrie (formează vârfurile a patru pătrate de dimensiuni 6 pe 6) sunt, într-o reprezentare grafică, îngroşate, ca urmare a rolului special pe care-l au în joc, după cum vom vedea. Le vom numi "puncte handicap "

510

,

GHEORGHE PĂUN INTRODUCE JOCUL DE Ca ÎN ROMÂNIA inainte de a trece la prezentarea mutărilor efec­ tuate de jucători, vom spune care este ideea princi­ pală: j ucătorii plasează alternativ câte o piesă - pe care la Go o numim piatră - în câte un punct de intersecţie de pe tabla de joc, fiecare căutând să încercuiască pietrele partenerului. În caz de reuşită, pietrele înconjurate, considerate ca nişte soldati care au căzut prizonieri, sunt eliminate de pe tabl ă . Ne aşteptăm desigur ca cel care capturează mai mulţi prizonieri să fie declarat învingător. Această prezentare informală pretinde anumite precizări pe care le vom face în secţiunea următoare. Deocam­ dată însă vom spune că j ocul de Go primit de la j aponezi l-am oferit la rândul meu unui împătimit al jocurilor, matematicianul şi informaticianul Gheorghe Păun (actualmente, membru al Academiei Române, autor al unei opere impresionante în teoria limbajelor formale şi a calculului molecular) , care a îndeplinit cu prisosinţă dorinţa prietenilor japonezi : a învăţat bine jocul, studiind cu atenţie întreaga documentaţie, a înfiinţat o federaţie de Go la nivel naţional, a publicat vreo trei cărţi despre jocul de Go (una dintre ele are titlul Iniţiere în Go şi a fost publicată în 1 9 8 5 la RECO OP- CENTROCOP, Bucu­ reşti) , a organizat primele competiţii de Go în Ro­ mânia şi a ţinut ani de-a rândul rubrici de Go în diferite reviste. După scrierile sale ne-am orientat în cele ce urmează. Posibilitatea de a-i transmite ştafeta primită de la japonezi a fost o împrejurare fericită, nu m-aş fi simţit în stare, nu aveam nici disponibilitatea, nici energia, nici interesul, nici talentul necesare unei întreprinderi de acest fel. Gheorghe Păun a fo st răsplătit de Federaţia japone­ ză de Go pentru acţiunea sa în favoarea Go-ului, a fost invitat în Japonia în legătură cu acest fapt (dar la numeroasele invitaţii pe care le tot primeşte din

toată lumea, de câteva de cenii, în legătură cu per­ fo rmanţele sale profesionale - are şi o carte tradusă în japoneză - ce mai conta' una în plu s?) . În momentul de faţă, mişcarea de Go este foar­ te vie în România, iar actorii ei sunt beneficiarii direcţi sau indirecţi ai mişcării declanşate de Gheorghe Paun in anii '80 şi '9 0.

MUTĂRILE ÎN JOCUL DE Go Jucătorii plasează alternativ câte o piatră pe tabla de j oc , la intersecţia unei linii orizontale cu una verticală, nefiind excluse punctele de intersec­ ţie de pe frontiera dreptunghiului mare. Orice pla­ sare de acest fel constituie o mutare sau o mişcare . Prima mutare aparţine jucătorului cu pietre negre , fapt care-i conferă un avantaj de aproximativ 5 puncte, care uneori sunt scăzute din punct�jul său final; pentru evitarea unui rezultat de egalItate se scad eventual 4, 5 puncte sau 5 , 5 . Dacă între cei doi jucători este o diferenţă valorică mare, atunci cel mai slab poate primi de la 2 până la 9 pietre handicap, care sunt plasate pe tabla de joc după cum urmează: 2 pietre în poziţiile D4 şi Q 1 6, 3 pie­ tre în D4, Q 1 6 şi Q4, 4 pietre în D 4 , Q4, D 1 6 şi Q 1 6, 5 pietre în cele patru poziţii anterioare plus una în K I 0 , 6 pietre în cele patru poziţii de la 4 pietre plus 2 în D I 0 şi Q I 0 , 7 pietre în cele 6 poziţii anterioare plus una în K I 0, 8 pietre în D4, Q4, D I 0 , Q I 0, D 1 6, Q 1 6, K4 , K 1 6, 9 pietre î n cele 8 anterioa­ re plus una în K I 0 . După cum se vede, sunt folosite cele 9 poziţii indicate anterior drept poziţii de han­ dicap. Deşi , cum s-a specificat, negrul mută primul, într-o partidă cu handicap prima mutare efectivă revine albului. Spre deosebire de j ocul de şah , în jocul de Go piesele nu pot fi mutate dintr-un loc . în altul; după ce o piatră a fost aşezată pe o anuml­ tă poziţie, ea rămâne acolo. Tot în contrast cu şa­ hul, regulamentul de Go nu permite remiza, unul dintre jucători este declarat învingător, celălalt în­ vins. Punctele adiacente unei pietre se numesc li­ bertăţi. O piatră izolată are 4, 3 sau 2 libertăţi, după cum ea se află în centrul tablei, pe o linie de margine sau la un colţ al tablei. Mai multe pietre care au fost plasate pe poziţii vecine se vor compor­ ta solidar; dacă sunt încercuite , vor cădea toate prizoniere, adică vor fi eliminate din j oc. Unul dintre jucători realizează astfel o captură. Există însă şi poziţii interzise pentru o mutare: este vorba de acele poziţii care sunt încercuite de adversar. Un grup de pietre (grupul se poate reduce şi la o singură piatră) încercuit aproape total, în sensul că nu mai dispune decât de o singură libertate, se află în situaţie de "atari". Un grup de pietre total incercuit este cap­ " turat" , iar pietrele respective se elimină de pe tablă.

MUTĂRI INTERZISE. Ko. VIAŢĂ ŞI MOARTE. SEKI. TERITORIU " "Sinuciderea e ste interzisă , în sensul că, aşa cum s-a specificat mai sus, o piatră nu poate fi pla­ sată intr-un punct dej a încercuit sau care, prin această plasare , elimină ultima libertate a unui grup de pietre proprii. Excepţie face cazul in care prin această mutare se capturează pietre adverse , producându- se astfel noi libertăţi grupului propriu. Regulamentul j ocului de Go caută să prevină situaţii ciclice în care s-ar perpetua aceleaşi mutări. În această ordine de idei , să menţionăm poziţia de "ko " , în care jucătorii pot captura şi recaptura, al­ ternativ, câte o piatră. Pentru a o evita, regulamen­ tul prevede că recaptura nu este permisă decât după ce s-a efectuat cel puţin o mutare in altă parte a tablei. O poziţie în care mutarea nu este posibilă, ca urmare a interdictiilor de mai sus, se numeşte ' "ochi". Un grup de pietre care are sau îşi poate for­ ma cel puţin doi ochi se numeşte "grup viu" şi nu mai poate fi capturat, ca urmare a interdicţiilor spe­ cificate mai sus. Un grup de pietre care , prin j oc alternativ, nu-şi poate forma doi ochi, se numeşte " "grup mort şi în final este îndepărtat de pe tablă, având statut de prizonier. O situaţie in care există două grupuri opuse de pietre fără ochi sau numai cu câte un singur ochi şi în care niciun grup nu-l poate captura pe celălalt poartă numele de "seki'; tot aici intră şi situaţia in care primul care mută în poziţia respectivă pierde sau poziţia ciclează. Cele două grupuri sunt considerate "vii " , prin derogare de la cele afirmate anterior. O porţiune a tablei în­ cercuită de piese vii ale unui acelaşi j ucător, folosindu-se eventual şi marginea tablei, şi la care adversarul nu are acces cu piese vii se numeşte "teri­ toriu " Poziţiile la care se poate aj unge , urmând tra­ seele caroiajului , de la pie sele vii ale fie căruia dintre jucători, se numesc poziţii neutre" _ şi nu aparţin " " teritoriului niciunuia dintre jucători. In "seki nu se iau în considerare poziţiile "încercuite" de pietrele participante la seki , chiar dacă adversarul nu are acces la ele .

SFÂRŞITUL JOCULUI După cum s-a putut vedea, fiecare jucător cau­ tă să captureze cât mai multe pietre ale celuilalt, să-şi mărească teritoriile în dauna celor ale adver­ sarului. Dar se poate aj unge la un moment în care un j ucător con stată că nu prea mai are c � captura sau ce teritoriu nou să mai dobândească. In aceste condiţii, în momentul în care este la mutare, el poa� te propune adversarului incheierea partidei. Daca adversarul nu acceptă propunerea, atunci el poate continua lăsându-1 pe adversar să joace mai multe mutări onsecutiv, Statutul diferitelor grupuri de

�

51 1

pietre de pe tablă se decide în procesul jocului. La un moment dat, j ucătorii cad de acord că partida trebuie încheiată. Se face bilanţul. Sunt îndepărtate pietrele moarte, se ocupă toate poziţiile neutre cu pietre de orice culoare , pietrele capturate de fiecare jucător sunt plasate în teritoriul advers, fapt care il diminuează pe adversar. Urmează rearanjarea teri­ toriilor, printr-o translaţie aplicată pietrelor (de obi­ cei se formează noi dreptunghiuri) . Este declarat câştigător jucătorul cu un număr mai mare de puncte . Dacă numărul prizonierilor depaşeşte pe cel al punctelor din teritoriul adversarului, atunci sur­ plusul de prizonieri se adaugă la punctajul asociat propriului teritoriu . În sfârşit, un alt mod de înche­ iere a unei partide poate fi abandonul unuia dintre jucători. Există şi situaţii în c are o partidă este anulată. " Astfel, dacă pe tablă se află mai multe "ko -uri sau pozişii similare care se pot repeta la infinit, chiar dacă s-au respectat regulile, şi dacă o atare poziţie se repetă indefinit, niciunul dintre jucători neres­ pectând regulile , partida e ste anulată. Se observă că, în ceea ce priveşte încheierea unei partide de Go , situaţia este mai complexă şi mai problematică decât la şah, unde nu rămâne niciun loc pentru imprecizie şi relativizare, ca la Go. Putem rezuma esenţialul j ocului de Go prin ur­ mătoarele patru afirmaţii: Jocul se de sfăşoară pe o suprafaţă pătrată de latură egală cu 1 9 unităţi, cu aj utorul căreia, prin drepte orizontale şi verticale , se obţin 1 9 la pătrat = = 3 6 1 de pătrate egale . Piesele de j oc, numite pietre, constau în 1 8 1 de piese negre şi 1 80 de piese albe , plasate alternativ în punctele de intersecţie . Unul dintre ju cători are pietrele albe, celălalt pe cele negre , scopul fiecăruia fiin d acela de a controla cât mai multe puncte de intersecţie vacante. Prin încercuirea punctelor de intersecţie adiacen­ te cu pietrele oponentului, acestea din urmă pot fi capturate.

COMPLEXITATEA JOCULUI DE Go La cel de al 9-lea Congres internaţional de in­ formatică, din septembrie 1 9 8 3 , de la Paris, J.M. Robson (Canberra, Australia) a prezentat o comu­ nicare în care se stabilea complexitatea jocului de Go: el este complet în timp exponenţial. Iată deci că, în raport cu cele trei tipuri de complexitate care intervin în viaţa practică (mai este şi complexitatea logaritmică, inferioară celei liniare) , Go-ul se plasea­ ză la nivelul cel mai ridicat de complexitate. Mai precis, pornind de la o tablă de dimensiuni nxn, un algoritm care ar putea decide învingătorul într-o partidă de Go pe această tablă, atunci când se cu­ noaşte configuraţia pietrelor la un anumit moment al jocului, ar avea o durată de lucru care ar depinde exponenţial de numărul n.

512

Prin "complet în timp exponenţial" se înţelege faptul că orice altă problemă de complexitate expo­ nenţială (deci, pentru care algoritmul de rezolvare lucrează în timp exponenţial) poate fi redusă cu ajutorul unui algoritm de complexitate polinomială, la problema de ciderii învingătorului într-o partidă de Go . Complexitatea complet exponenţială are deci o anumită universalitate, deoarece ea recuperează orice algoritm de complexitate exponenţială. Această forţă a complexităţii exponenţiale complete este o manifestare a principiului holografic, în virtutea căruia, în anumite condiţii, individualul dă seama de spre totalitate, primul luând asupra sa pe cea de-a doua. Din acest punct de vedere , Go-ul se aseamănă cu şahul, de spre care de asemenea s-a arătat că este de complexitate exponenţială comple­ tă . Totuşi, la o rafinare a evaluării complexităţii (să ne amintim că numărul de poziţii posibile la Go este net superior celuia de la şah) , complexitatea Go-ului pare a fi superioară; drept urmare, să nu ne mire că pentru şah există programe de calculator la nivelul campionului mondial , în timp ce, pentru Go, pro­ gramele de calculator existente nu pot încă rivaliza cu performanţele marilor campioni. La începutul anilor '70 , existau programe de calculator pentru Go, la nivelul unui j ucător începător. Celor care vor să pătrundă mai adânc în subti­ lităţile jocului de Go , le recomandăm să consulte cartea menţionată a lui Gheorghe Păun; la ediţia din 1 985 a acestei cărţi s-au adăugat încă trei ediţii, din 1 98 6 , 1 988 şi 2000. Acelaşi autor a mai publi­ cat: 250 de probleme de Go, Recoop , Bucureşti, 1987, ediţia a doua în 1989. Go-ul revine şi în alte cărţi ale lui Gheorghe Paun, cum ar fi Între matema­ tică şi jocuri, Editura Albatros, Bucureşti, 1 9 86, capitolul 7 Din aceleaşi surse se pot obţine infor­ maţii bibliografice de spre apariţiile relative la Go în lume .

PUŢINĂ ISTORIE Câteva informaţii despre istoria j ocului de Go sunt nece sare. Apărut cu vreo două milenii înainte de Hristos, inventat, se pare , în China, după unele surse , de împăratul Shun, pentru a stimula intelec­ tul fiului său ; după alte surse , de un vasal al împă­ ratului Kieh Kwei, pe nume Wu, căruia i se atribuie şi inventarea cărţilor de joc. Foarte răspândit în China, în primele secole ale primului mileniu de după Hristos, jocul de Go devine cunoscut şi în Japonia, începând cu secolul al optulea al erei noastre; aici, jocul cunoaşte o nouă viaţă, care-i permite să se perfe cţioneze. A fost totdeauna apre­ ciat pentru rolul său în dezvoltarea inteligenţei , memoriei, stăpânirii de sine, dar şi pentru calităţile sale estetice . Cu piese mai simple decât cele ale şahului, dar de o complexitate mai mare decât aces­ ta în ceea ce priveşte problemele de strategie, jocul de Go s-a dezvoltat în strânsă legătură cu arta

războiului , care a funcţionat totdeauna ca o sursă de metafore ale Go-ului. După unii autori, o partidă de şah simulează o luptă medievală intre două ar­ mate cu o structură de tip medieval, în timp ce j ocul de Go sugerează o campanie militară modernă între două armate , omogene fiecare în parte (deci fără ierarhie de grade " militare " , ca la şah) , care se anga­ jează în lupte cu caracter local, dar cu repercusiuni posibile la nivel global. Analogia cu operaţiunile militare in timp de război devine deosebit de semni­ ficativă atunci cân d ne referim la aspectele tactice şi strategice ale j ocului de Go. Este poate interesant de observat aici că şi teoria matematică a j ocurilor de strategie, de care ne ocupăm în altă p arte în această carte , a fost marcată de contextul militar al războiului , data lansării ei , spre sfârşitul celui de-al Doilea Război Mondial ( 1 944) , fiind semnificativă în acest sens. Apare astfel natural întrebarea dacă studiul Go-ului nu ar pute a profita de ideile , meto­ dele şi rezultatele teoriei lui John von Neumann, Oskar Morgenstern şi John Nash . Poate că încercări de acest fel au şi fost făcute, dar nu avem cunoştin­ ţă de ele .

UN ASPECT TOPOLOGIC Al JOCULUI DE Go Sub aspect matematic, j ocul de Go trimite şi la o altă disciplină, topologia; avem în vedere noţiunile de conexiune şi conexiune simplă sau multiplă. Intuitiv, o mulţime este conexă dacă se prezintă ca fiind "dintr-o singură bucată" Dacă este făcută din n bucăţi, se spune că are ordinul de multiplicitate egal cu n, iar cele n bucăţi conexe se numesc com­ ponentele conexe ale mulţimii. Problema este aici de a se preciza ce ar putea să insemne " o bucată" Dincolo de cazurile simple , cum ar fi două discuri aflate la distanţă unul de altul, care formează evident o mulţime dublu cone­ xă, există situaţii în care intuiţia ne poate înşela sau ne poate pune în dilemă. De exemplu, două discuri tangente exterior formează o mulţime simplu conexă sau dublu conexă? Jucătorul de Go caută să detaşeze componente conexe ale teritoriului adver­ sarului, deoarece în ace st fel " soldaţii " aflaţi acolo cad prizonieri. Acest procedeu core spunde operaţi­ unilor de incercuire a unor p ărţi cât mai mari ale armatei adverse, procedeu care, de exemplu, aplicat de armata sovietică la Stalingrad şi în alte părţi ale frontului, în cel de-al Doilea Război Mondial, a mar­ cat o cotitură în desfăşurarea războiului. Potenţial deci , ne-am putea aştepta la unele legături mai pro­ funde între topologia spaţiilor conexe şi j ocul de Go. În ciuda metaforelor militare şi războinice pe care le evocă j ocul de Go, cei care-l practică sunt de obicei animaţi de o mentalitate preponderent ludică, in care nu-şi au locul sentimente de duşmănie. Ju­ cătorul de Go se luptă mai întâi cu propriile sale slăbiciuni şi greşeli şi numai după aceea cu cele ale adversarului, chiar dacă este vorba de partide de

natură competiţională. Aşa cum s-a văzut mai sus, regulamentul acestui joc este relativ simplu şi se învaţă în 2 0 de minute . Î n schimb, tactica şi strate­ gia cer ani pentru a fi deprinse, deoarece presupun un exerciţiu îndelungat al j ocului, cu parteneri cât mai variaţi şi mai valoroşi. Dar, dincolo de subtilităţile sale strategice şi tactice , j ocul de Go are şi o remarcabilă dimensiune estetică, de aceea i s-au dedicat opere de artă. Mai are şi o valoare pedagogică, poate fi introdus în ac­ tivităţile grădiniţelor de copii şi ale şcolilor primare . Am avut ocazia de a vizita o şcoală în care elevii practicau cu plăcere ace st joc, desigur, cu tactici şi strategii mai simple de cât cele ale maeştrilor. Regretăm că, din motive tehnice, nu putem ilus­ tra prin imagini şi exemple adecvate consideraţiile de mai sus.

JOCUL DE Go ŞI SUCCESUL STRATEGIEI JAPONEZE ÎN AFACERI " Poate fi explicat succ esul strategiei japoneze în afaceri prin vechiul j oc asiatic Go?" este intrebarea pe care o citim pe coperta din spate a cărţii lui Miura Yasuyuki, An Asian Paradigm for Business Strategy: Go, The Ishi Press, lnc . , Tokyo, Japan, 1 995. Autorul, care ocupă o poziţie înaltă în execu­ tivul j aponez şi este un jucător de Go de categoria 3-dan, dă un răspuns afirmativ la întrebarea de mai sus. Go este, pentru extremul asiatic, ceea ce este şahul pentru lumea occidentală. Î n şah, obiectivul este de a distruge piesele adversarului şi a-l elimina pe rege, pe scurt, distrugera oponentului. Î n Go, coexişti cu oponentul tău şi încerci să controlezi un teritoriu cât mai mare - ceea ce se poate interpreta ca o luptă pentru o piaţă cât mai mare . Acesta este modul de a vedea al lui Miura Yasuyuki, pe care-l vom urmări în continuare ; dar de pe acum observăm mo dul său personal de inter­ pretare , în ceea ce priveşte deosebire a dintre Go şi şah. Î n definitiv, in ambele cazuri căutăm să scoa­ tem de pe "câmpul de luptă" cât mai multe piese ale adversarului. Î n Japonia, Go este considerat ca o paradigmă pentru luarea deciziilor. De aceea este j ucat de poli­ ticieni , de birocraţi, de oameni de afaceri. A parcur­ ge lista membrilor Asociaţiei Japoneze de Go este o oportunitate de a afla despre cei mai mulţi oameni de afaceri şi politicieni j aponezi. Practica Go-ului te face mai puternic in lumea competitivă a afacerilor.

DE CE NU SE ÎNŢELEG ÎNTRE EI AMERICANII ŞI JAPONEZII? Răspunsul lui Miura este simplu şi categoric: pentru că americanii persistă în a se orienta in relaţiile internaţionale cu o mentalitate militară; ei 513

j oacă şah , în timp ce j aponezii îşi bazează strategiile pe Go. Dar care e ste deosebirea dintre cele două j o­ curi? Şahul este un j oc de război şi de pustiire, pe când Go se orientează spre folosirea în comun a pieţii şi spre relaţii armonioase . Î n şah cauţi să-I anihilezi pe adversar şi să-i " capturezi " regele , în timp ce în Go competiţia se referă la împărţirea " sce­ nei" ; câştigă jucătorul care dobândeşte o parte mai mare . Ambii jucători obţin câte ceva, iar piesele lor coexistă paşnic pe câmpul de joc. Miura chiar crede că pe omul de afaceri j aponez îl înţelegi studiind Go-ul, iar strategiile celui occidental se reflectă în jocul de şah. Să nu pierdem însă din vedere că Miura şi-a scris şi publicat cartea cu şase ani înaintea unui eveniment care avea să schimbe radical cursul isto­ riei contemporane: atacul terorist asupra Statelor Unite, de la 1 1 septembrie 200 1 . Acest fapt a de­ terminat o cotitură în politica Statelor Unite şi, de fapt, a schimbat modul de a vedea lumea, relaţiile internaţionale şi alcătuirea diferitelor alianţe , lupta împotriva terorismului devenind o prioritate pentru întreaga civilizaţie , o condiţie a supravieţuirii ei. Faţă de această nouă stare a lucrurilor, mai are jocul de Go o relevanţă? Care anume? Poate că, între timp , Miura a şi răspuns la această întrebare, dar nu ne aflăm în pose sia eventualului răspuns.

o INCURSIUNE ÎN ISTORIA RECENTĂ După înfrângerea din al Doilea Război Mondial, Japonia s-a văzut silită să-şi deplaseze atenţia de la război la economie, fapt care s-a reflectat imediat în plan ludic , prin deplasarea atenţiei de la şahul ja­ ponez numit Shogi la Go. Î n această deplasare de la militărie la economie se află cheia succesului j apo­ nez din a doua jumătate a secolului trecut. Acum, după încheierea războiului rece , prin dispariţia Uniunii Sovietice , ar fi fost rândul americanilor să facă o schimbare de paradigmă asemănătoare celeia pe care japonezii au făcut-o după 1 94 5 , deci să treacă de la şah la Go. Miura crede că dacă America ratează această oportunitate, atunci ea îşi pericli­ tează starea de prosperitate în secolul XXI . Prin aceiaşi ochelari ludici vede Miura prăbuşirea a două imperii: imperiul japonez în Manciuria şi di­ nastia Pahlavi în Iran. În ambele cazuri, eşecul se explică, după Miura, prin folosirea unei strategii şahis­ te, şahul japonez Shogi şi, respectiv, şahul persan Shaht-Randesh. Trecerea la noua paradigmă a Go-ului ar permite naţiunilor să coopereze pentru un viitor prosper. Miura a investit, timp de opt ani , pe ste 800 de milioane de dolari pe cele două coaste ale Statelor Unite , a construit şase h oteluri pentru compania Japan Airlines, creând astfel 3000 de locuri de muncă. El pretinde că şi în această activitate s-a bazat pe cunoaşterea strategiilor din Go. Scopul 5 14

său, în cartea menţionată, este de a pune experien­ ţa sa în afaceri în contextul filozofiei jocului de Go şi de a arăta că Go constituie o paradigmă care poate orienta azi atât lumea afacerilor, cât şi starea globa­ lă a omenirii.

ZECE REGULI ALE JOCULUI DE Go Vom relua, într-o altă variantă, prezentarea j o­ cului de Go. Un debutant începe o partidă de Go plasând nouă pietre negre în cele nouă puncte stea. Handicapul este redus pas cu pas la o singură pia­ tră, pe măsură ce se câştigă în experienţă. Structu­ ra cărţii lui Miura reproduce procesul de învăţare a jocului de Go. Cartea are nouă capitole, mergând de la " Star IX" şi încheindu- se cu " Star 1" Î n capitolul " " Star IX ni se prezintă zece reguli ale jocului de Go, pe care le reproducem luându-ne libertatea unor precizări suplimentare; aceste reguli au fost elabo­ rate de autorul cărţii în colaborare cu irlandezul David Lloyd şi se nume sc Regulile Miura-Lloyd ale Go-ului: 1 . Go se j oacă pe o suprafaţă cu 19 drepte ori­ zontale şi 19 drepte verticale pe care, din con­ siderente de simetrie , le luăm paralele şi echi­ di stante, în aşa fel încât se formează o reţea de 3 6 1 de pătrate egale . 2 . Piesele de joc sunt 1 8 1 de pietre negre şi 1 80 de pietre albe. 3. Există doi jucători, unul jucând cu pietrele negre , celălalt cu pietrele albe. 4 . Pietrele negre şi cele albe sunt plasate în mod alternativ în punctele de intersecţie ale drep­ telor orizontale cu cele verticale , deci în colţu­ rile pătratelor; jucătorul cu pietrele negre este cel care începe. 5. Obiectivul fiecărui jucător este de a dobândi controlul asupra c âtor mai multe puncte de intersecţie neocupate (aşa-numitul teritoriu) . 6. Dacă toate punctele de intersecţie vecine cu o anumită piatră sunt ocupate, atunci piatra re spectivă este con siderată capturată. 7 La sfârşitul j ocului, pietrele pe care le-ai capturat revin în intersecţiile controlate de oponent, reducându-se astfel mărimea terito­ riului său. 8. Nu este permis să se plaseze o piatră în aşa fel încât să se aj ungă la reconstituirea unei poziţii anterioare. 9. Sinuciderea nu este pennisă; aceasta înseam­ nă că nu poti . plasa o piatră într-o pozitie în care ea nu dispune de nicio libertate. 1 0 .Un jucător poate refuza să facă o mişcare, permiţându-i astfel oponentului să facă două mişcări consecutive . Dar refuzul este şi el considerat o mi şcare . Două refuzuri consecu­ tive pun capăt jocului.

LUPTA PENTRU TERITORIU Dintre aceste reguli, cea mai importantă este 5, care stipulează că scopul j ocului de Go este de a asigura mai mult teritoriu; în mod corespunzător, în afaceri se urmăreşte obţinerea unei părţi cât mai mari a pieţii, decât să încerci să-I elimini pe adver­ sar. Un profit pe termen scurt, obţinut prin captu­ rarea câtorva pietre ale celuilalt, poate fi un lucru tactic important, dar care să ducă la pierderea j ocu­ lui, sub aspect strategic. Este interesantă etimologia cuvântului j aponez ji (teritoriu) . Literal, el înseamnă " pământ" , " temelie " sau "proprietate funciară" Strămoşii japonezilor erau fermieri pe plantaţii de orez. Î n perioada feuda­ lă, ji nushi (proprietar de terenuri) era echivalent cu englezescul landed gentry. Orice samurai care po­ seda terenuri depăşind 1 0 . 0 0 0 de koku (o măsurare similară cu cea englezească, de cântărire a pietrelor) de orez era recunoscută ca daimyo, lordul fiefurilor (feudelor) . Aceşti daimyos distribuiau vasalilor sa­ murai stipendiul pentru terenul lor, sub forma de koku, care reprezintă bogăţia teritoriului lor, sau ji. De aceea este în natura japonezilor de a intra în competiţie pentru teritoriu UI) în jocul de Go şi pen­ tru mărirea părţii de piaţă acce sibilă, în afaceri . Pentru a ne face o idee despre durata unei par­ tide de Go, Miura ne informează că j ocul complet pe o suprafaţă de dimensiune 1 9 , între profesionişti , a avut 1 42 de mişcări (între Maeda şi Kaj i , în 1 9 66) , iar cea mai lungă partidă a numărat 4 1 1 mişcări (fiind jucată între Yamabe şi Hoshino, în 1 9 53) . Există un Guiness Book of Go Records, unde se pot găsi informaţii de acest fel. Poate să pară curioasă po sibilitatea de a juca 4 1 1 mişcări ale pietrelor, deci mai mult decât 3 6 1 de mişcări, deoarece 3 6 1 este numărul total de puncte de pe tabla de j oc în care se pot aşeza pietre­ le. Posibilitatea există totuşi , din cauza situaţiilor de ko şi de nakade, care permit plasări repetate în ace­ laşi punct. Regulile Miura-Lloyd sunt de stinate începători­ lor în Go. Pentru cei avansaţi, care participă la competiţii internaţionale , există reglementări mult mai detaliate , care au fo st revizuite în aprilie 1 9 89, când s-a constatat internaţionalizarea acestui j oc, faptul că interesul pentru Go depăşise net lumea extrem-orientală, iar activitatea competiţională se extinsese în întreaga lume . Cele 70 de capitole am­ bigue ale versiunii vechi a regulilor j ocului de Go au fost recuperate sub forma a 1 4 reguli clare şi conci­ se, care prive sc: 1) definiţia j ocului, 2) mişcările, 3) puncte ale jocului, 4) existenţa unei pietre pe tabla de joc, 5) captura, 6) Ko , 7) viaţă şi moarte , 8) teritoriu, 9) sfârşitul j ocului, 1 0) determinarea rezultatului, 1 1 ) renunţare , 1 2) niciun rezultat, 1 3 ) ambii jucători pierd, 1 4) gaj . Chiar denumirile fol osite arată potenţialul lor metaforic, semnificativ pentru modul în care ace st j oc este o expresie con­ centrată a culturii japoneze şi a istoriei ei.

VICTORIE ŞI ÎNFRÂNGERE ÎN Go ŞI ÎN ŞAH Î n Go, a fi învingător este echivalent cu a avea succes în afaceri ; în şah , a fi învingător revine la a fi victorios într-un război. Atunci când Nissan s-a înţeles cu Toyota ca Nissan să primească 30% la clasa economică de automobile, iar Toyota să pri­ mească 40%, afacerea a permis ca j ocul să conti­ nue , fără ca vreuna din părţi s-o facă şah-mat pe cealaltă. Nissan a putut supravieţui cu partea de 30% a pieţii, în speranţa inversării situaţiei în viitor. Dar jocul s-a desfăşurat numai într-un colţ al pieţei de automobile. Rămâneau celelalte trei colţuri ale diferitelor tipuri de automobile: de lux, de sport, de tip marfă etc . Competiţia se relua mereu. Atunci când piaţa japoneză a devenit saturată, atenţia s-a îndreptat spre pieţe de pe ste ocean . A existat mereu po sibilitatea de a se încerca o iniţiativă într-o altă zonă a pieţii de automobile. Toyota şi Nissan au rămas competitori prieteni, care au nevoie unul de altul pentru a-şi îmbunătăţi strategiile. Miura dă şi alte exemple care au urmat strategia de Go, cum ar fi activitatea diferitelor companii aeriene.

VIAŢĂ ŞI- MOARTE Să ne referim la regula 6 din cele zece reguli ale lui Miura şi Lloyd: " o piatră este capturată atunci când toate punctele de intersecţie vecine cu ea sunt ocupate de adversar " Jocul Go este pentru gen ­ tlemen , pretinde Miura; nimeni nu se năpusteşte asupra ta (ca la şah!) , ci caută numai să-ţi încercu­ iască pietrele , pentru a le trata ca " prizonieri onora­ bili " Mulţi cred că originea Go-ului se află în strategiile folosite la vânătoare, în lumea antică. La şah , dacă dai şah la rege, ace sta trebuie să se de­ plaseze , altfel este capturat şi j ocul ia sfârşit. Prin contrast, la Go, când o piatră este ameninţată, ad­ versarul poate s-o apere sau nu. Pierderea de pietre nu înseamnă sfârşitul j ocului; obiectivul principal este acela de a controla mai mult teritoriu decât con­ trolează adversarul. Jucătorii de şah anunţă en garde atunci când atacă regina adversarului; în Go, spui Atari! Viaţa şi moartea nu sunt, în Go, o alegere între a ucide şi a fi ucis, ci ceea ce , pentru o întreprinde­ re , sunt prosperitatea şi falimentul . Viaţa revine la lupta pentru teritoriu.

SINUCIDERE ŞI SACRIFICIU Este vorba de regula 9: " Nu ai dreptul să te si­ nucizi; cu alte cuvinte , nu poţi aşeza o piatră într-un loc în care ea nu beneficiază de nicio liberta­ te " Continuând pe calea metaforică, există oare atacuri Kamikaze în Go? Da, răspunde Miura, dar 515

numai dacă sacrificiul se justifică sută la sută. Ce spune în această privinţă Buddhismul? Spune că trebuie urmate cinci pre cepte : să nu ucizi nicio vie­ tate; să nu vorbeşti fără să te gândeşti; să nu furi; să nu comiţi un adulter; să nu bei vin . Dar , în con­ trast cu rigoarea celor ze ce porunci din Biblie , Buddhismul admite că trebuie uneori să ucizi pen­ tru a-ţi procura hrana şi pentru a trăi. Este trist acest lucru , dar inevitabil. Nu va fi pedepsit cel care ucide un bob de orez, un embrion. Miura evocă războiul ruso-j aponez, de pe urma căruia a luat naştere Compania de căi ferate Man­ ciuria de Sud, unde lucrase tatăl său. După înfrân­ gerea Japoniei, in al Doilea Război Mondial, familia sa a fost repatriată din Manciuria în Japonia. Copi­ lăria i-a fost marcată de grele sacrificii şi privaţiuni . "Tind s ă cred c ă chiar ş i i n afaceri unii trebuie să facă un sacrificiu"

Ko În discuţie este regula 8: Nu poţi plasa o piatră într-un fel în care o fostă poziţie este recreată. Rolul acestei reguli este de a face imposibile capturări şi recapturări fără sfâr şit. Cuvântul " ko" e ste traducerea din sanscrită a termenului buddhist kalpa, care înseamnă o pe­ rioadă foarte lungă; uneori este chiar precizată can­ titativ ca 1 . 2 8 milioane de ani. La scară umană, regula ko este menită să evite situaţia în care o par­ tidă de Go n-ar mai avea sfârşit. Cheia succe sului în rezolvarea situaţiilor de ko este , la Go, răbdarea. Buddhiştii indie ni explică situaţia ko prin refe­ rire la Sattva Karman, Forţa Vitală care a declanşat Lumea. Atunci când s-a format atmosfera naturală, au ţâşnit din Sattva fiinţe celeste care au trăit în Ceruri, apoi au venit fiinţele umane şi animalele, ca locuitori ai pământului, după care , ultimele, au venit fantomele, strigoii, locuitori ai Iadului. Forma­ rea atmosferei naturale a durat un Antara Kalpa (un ko mijlociu) . Pentru completare a naşterii lui Sattva (lumea vie) , alţi 1 9 A ntara Kalpa au fost ne­ cesari. Nu există siguranţă în ceea ce priveşte durata unui Antara Kalpa, dar el este evaluat aproximativ la 1 5 . 998.000 ani. Procesul total al formării Lumii a mai luat încă 3 1 9 . 9 60 de milenii. Lumea va conti­ nua să existe pentru încă 20 de Antara Kalpa, după care va avea loc procesul invers , de deteriorare şi dispariţie a naturii şi lumii vii, într-o a treia perioa­ dă de 20 de Antara Kalpa. Dar va urma o a patra perioadă de 20 de Antara Kalpa, în care Sattva Kalman va relua intregul ciclu cu 4 faze . Durata de 1 . 279 . 840 de milenii se obţine mutiplicând Antara Kalpa cu 20; este Marele Ko : Maha Kalpa. Regula ko conferă j ocului de Go o dimensiune extra strategică. Cartea Strategy a căpitanului en­ glez B . H . Liddell Hart a fost tradusă în j aponeză în anul 1 97 1 şi citită de toţi cei care , ca Miura, erau interesaţi de noile strategii în afaceri. Hart consideră

516

că defensiva este superioară ofensivei şi preconizează o abordare indirectă, bazată pe mobilitate, îndrăz­ neală şi dibăcie, manifestate prin atacuri pe flancuri şi asupra ariergardei . Ace ste idei îi evocă lui Miura o veche înţelepciune j aponeză Isogaba maware, care înseamnă: " Când eşti grăbit, procedează prin ocoli­ şuri" . Dar Miura atrage atenţia că "a proceda prin ocolişuri " se poate dovedi prea simplistic pentru a avea succe s în afaceri, ace stea sunt uneori mai complicate decât o luptă militară. Dar chiar în con­ flicte militare această strategie se poate dovedi neferi­ cită, cum s-a întâmplat cu diviziile panzer germane, când au aplicat planul Schliefen cu atacuri pe flan­ curi şi asupra trupelor din spate ale adversarului. Strategiile j ocului de Go preconizează manevre mai complicate . Oricând poate să apară într-un joc şi chiar în viaţă o situaţie de tip ko, iar cu o atare si­ tuaţie strategia trebuie să fie şi ea de tip ko : o abor­ dare prin deviere . Aceasta înseamnă crearea unor ameninţări de tip ko pe care să le propunem în schimbul situaţiei ko . O atare manevră poate forţa pe adversar să admită situaţia de ko , pentru a evita preţul prea mare care ar trebui plătit ca ur­ mare a ameninţării ko . După ce dă şi un alt exem­ plu, privind zborurile liniilor aeriene scandinave din Alaska până în Japonia, pe la Polul Nord , Miura conchide că pentru el, ca om de afaceri şi ca j ucător Go de nivel me diu , este natural să rezolve problemele de tipul ko printr-o abordare indirectă, adică prin deviere (dive rsiune) . În Asia, ko este pe ste tot şi etern !

FINALUL JOCULUI Ce rămâne pe tabla de joc, la sfârşitul unei par­ tide de şah? Un rege făcut mat şi o armată umilită. Prin contrast, sfârşitul unei partide de Go ne arată coexistenţa paşnică şi un nou echilibru intre două puteri opuse , simbolizate prin alb şi negru. Există un moment în care unul dintre jucători pronunţă cuvintele ,,Arimasen Ne " ? (Nu mai rămâne nimic de făcut, nu-i aşa?) . Dacă ar fi fost un indian american în timpul in­ vaziei albilor, Miura ar fi preferat să fie un copac ; copacii sunt şi ei în competiţie , dar fiecare îşi are până la urmă ni şa sa ecologică. lmanishi Kinji, pro­ fe sorul său la Universitatea din Kyoto, a dezvoltat o teorie a coexistenţei diferitelor forme de viaţă şi a folosirii sistemelor ecologice . El a propus o teorie a evoluţiei ( 1 0 volume totalizând 50. 000 de pagini) care să înlocuiască pe aceea a lui Darwin. Nu su­ pravieţuirea celui care se adaptează mai bine, ci existenţa şi vieţuirea în condiţile unei repartizări armonioase a spaţiului ecologic. Tot aşa, în termi­ nologia j ocului de Go, pietrele negre şi cele albe se află în competiţie numai pentru a coexista în folosi­ rea echilibrată a spaţiului disponibil. O altă carte semnificativă este aceea a lui William S . Dietrich, In the Shadow of the Rising Sun,

unde se compară victoriile militare contra Japoniei, în al Doilea Război Mondial, cu victoriile obţinute in plan economic de j aponezi în ultima treime a seco­ lului al XX-lea: oţel, automobile, ele ctronică, semi­ conductori. Concluzia lui Dietrich: adoptarea unei politici industriale şi crearea unui stat modern este singura soluţie logică şi practică. În locul j ocului de sumă nulă, binecunoscut din teoria jocurilor de strategie , Miura se referă la jocul plus al afacerilor şi la jocul minus al războiului. Dacă ar fi ca ameri­ canii să joace şah cu j aponezii , atunci i-ar acuza pe aceştia de a fi necin stiţi şi conspirativi în acest răz­ boi al comerţului. După victoria deci sivă în războiul re ce, americanii şi-au întărit încrederea în gândirea şahistă pe care o practicau de multă vreme. Miura rezumă cele două tipuri de gândire . Şahul dezvoltă o gândire pe termen scurt, Go, una pe termen lung. Şahul vede victoria în matul la rege , Go o vede în relaţia cu teritoriul. Japonezii au refuzat, după 1 945, să participe la războiul din Coreea şi la cel din Golf, în care vedeau o întoarcere la mentalitatea şahistâ. Doctrina lui Imanishi a avut şi ea un rol în această privinţă.

SHUDAN, NUMELE POPULAR AL JOCULUI DE Go Numele cel mai popular al jocului de Go este shudan, care înseamnă, literal, în engleză, hand talk. Pentru un asiatic, este natural să conducă o afacere mai întâi prin scris, hitsudan (brush talk) , apoi să joace Go, shudan. Forma actuală a Go-ului îşi are originea în China, de unde provine cea mai mare parte a moş­ tenirii culturale asiatice. În secolul al XI -lea, intere ­ sul pentru Go a scăzut în China şi în Coreea, unde se extinsese intre timp, dar a urmat un curs ascen­ dent în Japonia, unde actualmente deţine pe cei mai buni j ucători. Dar Go nu mai este un monopol al Asiei , Miura con sacră, de exemplu , secţiuni spe­ ciale preocupărilor de Go la New York şi la Lo s Angeles. O discuţie amplă este dedicată istoriei suprafe­ ţei de joc. În 1953, s-a descoperit o tablă de jucat Go, făcută din piatră, înmormântată undeva in China; avea 1 7 linii şi 1 7 coloane. Tibetanii au inte­ grat în conceptul lor despre Go şi Zodiacul. Pe su­ prafaţa lor de joc s-au găsit scri se numele diferitelor zodii: Aries, Taurus, Gemini, Cancer, Leo, Virgo, Libra, Scorpio, Sagittarius, Capricorn, Aquarius şi Pisces. Când se plasează 12 pietre pe o suprafaţă pătrată de dimensiune 1 7 , împărţită în conformitate cu semnele zodiacale, apare câte un interval de trei puncte între pietre. În societăţile agricole vechi ca Is rael, Babilon şi Tibet, numărul trei era considerat sfânt. Intervalul de trei puncte contrastează cu cel de cinci puncte, folosit pe suprafeţele de j oc de di-

mensiune 1 9 . Lao Tze a exprimat caracterul sfânt al lui 3: "Tao l-a produs pe Unu/ Unu l-a produs pe Doi / Cei Doi l-au produs pe Trei / Iar Trei a produs cele zece mii de lucruri/ Cele zece mii de lucruri poartă pe Vin (negativul) şi îmbrăţişează pe Yang (pozitivul) , iar prin amestecul cu Ch'i (forţa materia­ lă) ele dobândesc armonia"

YIN-YANG ŞI SISTEMUL CELOR CINCI ELEMENTE Dar este oare zodiacul de dimensiune 17 unul autentic? Lao Tze a complicat problema, prin intro ­ ducerea lui Vin şi Yang. Doctrina Yin-Yang e ste inseparabilă de sistemul Wu Hsing al celor cinci elemente : Lemn , Foc, Pământ, Metal şi Apă . Cinci devine astfel un număr sfânt. Acceptând conceptul de Yin-Yang, numărul 5 devine sacru. Dublul său este 1 0, dar pe suprafaţa j ocului de Go avem numai 9 puncte-stea. După logica chineză, o stea trebuie să fie rezervată unui împărat şi numai unuia . Drept urmare, un interval sacru de cinci puncte este men­ ţinut printre cele nouă puncte- stea pe o suprafaţă de dimnsiune 19 cu 36 1 de puncte . Compararea celor două tipuri de suprafeţe , cea de dimensiune 17 şi cea de dimensiune 19, se pre ­ valează de bazele 1 2 şi 1 0, de astronomie şi de arhi­ tectură. Vechile societăţi agricole , care j ucau Go pe o suprafaţă de dimensiune 1 7 , foloseau pentru măsuratori un sistem duo-zecimal. Mai toate activi­ tăţile erau planificate prin raportare la schimbarea anotimpurilor şi erau puse în j oc atât astronomia, cât şi astrologia, pe baza cărora se alcătuiau hărti cele ste şi calendare . Pentru măsurarea timpului c� un calendar celest circular, se impunea o soluţie duo-zecimală, soluţie folo sită şi azi: o oră are 60 de minute, un minut are 60 de secunde , o zi are 24 de ore , iar un an are 12 luni. Era deci de aşteptat ca tabla de Go de dimensiune 1 7 să adere la sistemu l duo-zecimal şi să fie configurată cu cele 1 2 stele ale Zodiacului sau cele 12 puncte- stea. Dar pentru chinezi nu era deloc confortabil să j oace pe o supra­ faţă de dimensiune 1 7 , deoarece cele 1 2 punc­ te- stea cu intervale de trei spaţii nu înzestrau suprafaţa de j oc cu un punct central ( tengen) . Împă­ ratului Chinei, această situaţie i se părea prea ofen­ sivă pentru a putea fi tolerată, de aceea s-a trecut la suprafaţa de dimensiune 1 9 , care permitea o mul­ ţime de nouă puncte stea, cu al nouălea punct pla­ sat central. Se pare deci că tibetanii au invăţat Go pe o su­ prafaţă de dimensiune 1 7 , iar ulterior au trecut la sistemul duo-zecimal . Pe de altă parte, în China, din primul secol al mileniului al doilea, s-a adoptat doctrina Yin-Yang şi sistemul zecimal de notare, mai practic.

517

JOCUL DE Go ÎNTR-O VIZIUNE METAFORICĂ " Cerul este o cupolă, iar Pământul este un pă­ trat", era credinţa naivă a j apone zilor din urmă cu mai multe secole. În prima istorie amplă a Chinei, scrisă de Ssume Ch'ien, se vorbe şte despre înţelep­ tul rege Yu , de pe la începutul primului mileniu, care a dotat China cu diguri , canale şi alte con­ strucţii remarcabile . În particular, a pus bazele a nouă state noi, a de schis nouă şosele principale , a construit nouă diguri imense şi nouă poduri foar­ te lungi. Ace ste realizări pe Pământul în formă de pătrat sunt ca cele nouă puncte -stea de la j ocul de Go . Cu peste un mileniu mai târziu, sub dinastia Chin (secolul al 1 2-lea) , Cerul era văzut ca o boltă­ umbrelă, iar Pământul era perceput ca un pătrat asemânător celui pe care se joacă Go. Marco Polo descoperea că oraşul Lin-an, imperiul reconstruit al lui Sung, era construit pe baza unui plan magistral, constând într-un pătrat de latură egală cu 9, împăr­ ţit în 9 bulevarde orizontale şi 9 verticale , în analo­ gie cu diviziunile de pe tabla de Go. Desigur, 9 nu este 1 9 , dar Marco Polo nu greşea structural. Semnificaţii filozofice intere sante ale Go-ului sunt propuse de Cho Chikun în The Magic of Go (Ishi Press, 1 988) , carte care , la rândul ei, începe cu un citat din Count Daniele Pecorini şi Tong Shu, autori ai cărţii The Game de We - Ch'I ( 1 9 2 9 ) : "Jocul de Go este simbolic pentru ocuparea graduală a planetei noastre de către rasa umană. Părţile sale sunt coastele, spălate de oceane şi mări. Colţurile pot fi comparate cu insule şi peninsule . Părţile cu o frontieră mai mare pot fi mai uşor apărate . Partea centrală a suprafeţei de j oc corespunde centrului continentelor, unde locuitorii nu au acces la mare " Din aceiaşi autori: " La început, oamenii erau foarte puţini, iar familiile şi triburile dispuneau de tot teri­ toriul dorit, fără nevoia de vreo activitate ofensivă sau defensivă. Trăiau într-o stare naturală. Dar cu multiplicare a fiin ţelor umane au început primele lupte pentru obţinerea celor mai bune locuri pe lângă râuri şi pe lângă coastele oceanelor. Dar p e măsură ce jocul înainta şi se stabileau unele baze, se avansa şi spre interior. Cân d j o cul se ter­ mină, se încheie tratate de pace. Sunt ocupate toate teritoriile de pe hartă. Într-un loc găsim mase de oameni care au câştigat respectivul teritoriu, in alt loc ei trăiesc in respect faţă de drepturile vecinilor, pe care ştiu că nu au dreptul să-i îndepărteze de la locul lor. Dar nu am ajuns încă, în această lume, la stadiul realizat la sfârşitul unei partide de GOli Rândurile de mai sus au fost scrise puţin inain­ te de marea depresiune din anii treizeci ai secolului trecut, care avea să duca la al Doilea Război Mondial.

COLŢUL Copiii japonezi învaţă din Go principiile produc­ tivităţii, care li se pare la fel de naturală ca legea gravitaţiei. Go e ste in primul rând un joc de produc­ tivitate . Înainte de a lua o de cizie majoră în afaceri , este bine să ne referim la următoarea ecuaţie de bază a productivităţii: REZULTAT/ MU NCĂ (REZULTAT / CAPITAL) (CAPITAL/ MUNCĂ) Pentru a mări productivitatea muncii, trebuie mai întâi să facem inve stiţii înţelepte în maşini efi­ ciente (REZULTAT/ CAPITAL) , iar forţa de muncă trebuie să aibă abilitatea de a folosi cu inteligenţă maşinile. (CAPITAL/ MUNCĂ) . Ecuaţia arată clar că investiţiile şi educaţia sunt factori-cheie ai succesu­ lui. Trebuie să învăţăm fuseki sau ctUn să desfăşu­ răm pietrele cât mai efectiv, mai cu seamă in faza de de schidere a unui joc; pe măsură ce j ocul progre­ sează, productivitatea scade. Atunci când producti­ vitatea nu mai po ate fi îmbunătăţită, jocul se apropie de sfârşit . Pietrele Go sunt, toate, la fel de capabile. Dar în afaceri , oamenii au nevoie de edu­ caţie şi antrenament, pentru a-şi dezvolta abilităţi multiple. În loc de competitivitate, să vorbim despre productivitate. Miura continuă discuţia, analizând, în capitolul V, semnificaţiile altor aspecte ale Go-ului: împrej ­ muirea colţurilor, expansiunea, de sfăşurarea pietre­ lor, primul lor plasament, pătratul uniunii; o serie de paragrafe sunt dedicate activităţii sale în U . S .A. În următorul capitol sunt discutate mişcările eficien­ te , logice şi consistente , punctul 3-3, sunt analizate partide celebre . Di scuţia ajunge şi la teatrul Noh şi teatrul Kabuki, iar compararea cu teatrul Greciei an­ tice devine inevitabilă. Aşa cum a observat Aristotel, grecii considerau că o pie să de teatru trebuie să aibă un început, un mijloc şi un sfârşit. Dar teatrul Noh transformă totul în " sfârşit " , chiar dacă are loc o segmentare în părţi cu diferite tempo-uri muzica­ le . Pe de altă parte , Zeami (secolul al XIV -lea) , fon­ datorul teatrului Noh, spusese odată că " orice lucru are jo, ha, kyu", adică ceea ce in muzica occidentală sunt adagio, moderato şi presto. Numai că Zeami nu a avut în vedere numai tempoul muzical, ci şi ordi­ nea dramatică. Dacă Aristotel ar mai trăi şi ar vedea un spectacol cu Noh, el ar recunoaşte în jo ha kyu uvertura, ruptura în cre scendo şi urgenţa catastro­ fei . Recomandările lui Zeami converg cu cerinţele j ocului de Go, cu înţelepciunea lui Confucius şi cu arhitectura ascunsă a ideogramelor chinezeşti. =

=

SIMPLITATEA PIETRELOR Go ESTE NUMAl APARENTĂ Regula a doua, privind pietrele, este atât de simplă, că aproape că nu mai simţi nevoia s-o co­ mentezi: " Pie sele de joc sunt 1 8 1 de pietre negre

5 18

şi 180 de pietre albe " Dar Miura le consacră un întreg capitol. Pietrele , ca şi oamenii , sunt egale în drepturi inalienabile privind viaţa (ikl) , libertatea (me) şi căutarea teritoriului Ul) , în condiţiile unei activităţi comune, în cooperare armonioasă. Destinul lo r este de a trăi, lucra şi prospera nu ca specialişti inde pendenţi, organizaţi în societăţi profesionale, ci ca " generalişti " cooperativi, care împărtăşesc ace­ leaşi valori şi acelaşi de stin. În locul unei declaraţii de independenţă, se propune o declaraţie de interdependenţă. Dar, tocmai pentru ca pietrele Go să pară iden­ tice ca formă, există mici deosebiri în ceea ce priveş­ te dimensiunea. Pietrele negre au diametrul de 2 2 , 2 mm, iar cele albe îl au d e numai 2 1 , 9 m m . Cele negre sunt cu 0 , 6 mm mai groase decât cele albe. Aceste discriminări sunt nece sare pentru a com­ pensa faptul că modul uman de percepţie a culorilor dezavantajează culoarea neagră în raport cu cea albă. Dacă două pietre , una albă şi cealaltă neagră, ar fi de aceeaşi mărime , grosime şi greutate , atunci piatra neagră ar fi percepută mai mică, mai subţire şi mai uşoară. Dar am greşi dacă ne-am închipui că pietrele albe sunt mai ieftine decât cele negre ; dim­ potrivă, sunt de zece ori mai scumpe din cauza ma­ terialului din care sunt făcute. În aceeaşi viziune a unei radicale opoziţii între mentalitatea japoneză şi cea americană, Miura asi­ milează piesele de la j ocul de şah cu specialiştii repartizaţi în profesii, iar pietrele din Go cu " genera­ lişti naţionali " (national generalists) . După ce au fost capturate, aceste a din urmă sunt totdeauna repatriate la sfârşitul j ocului, " în onoarea patriei­ mamă" Ca peste tot, Miura trece repede de la joc la viaţă, de la Go la societatea j aponeză : după pensio­ nare , salariaţii japonezi se înscriu în asociaţia vete­ ranilor, iar numele lor sunt înregistrate în cartea istorică a asociaţiei, tot aşa cum partidele lor de Go rămân în înregistrările Asociaţiei Japoneze de Go, care dispune de un Club al veteranilor. Consideraţiile se prelunge sc şi în domeniul sportului. Fotbalul american este foarte specializat, în ofensivă şi în defen sivă. În schimb , in baseball numai defensiva îşi are specialiştii ei, în timp ce ofensiva trebuie să fie cunoscută de toţi jucătorii. in basketbal se folose şte un sistem în două părţi: jucă­ tor la jucător şi defensivă: Este de dorit să se poată trece cât mai uşor de la j ocul individual, de specia­ list, la cel de generalist. Salariatul j aponez este asimilat cu un samurai. Atât şahul european, cât şi j aponezul Shogi erau populare în perioada feudală. Şahul era jucat de cavaleri, iar Shogi era jucat de samurai, care de-a lungul mai multor secole au dus până la megalo­ manie jocul Shogi. Sunt samurai doar 1 2 , 5%, constată Miura, pe baza părerilor audienţei căreia i se adresa. Sunt o piatră Go crescută dintr-o piesă ex- Shogi: un gene­ ralist birocrat, nemilitar. Pe generaliştii samurai civili îi găsim la conducerea companiilor şi la diferite

ministere . Avem mulţi specialişti în Japonia. i neraţia fiului meu, om de afaceri în calculatoar mai observ nicio urmă de samurai. Temperam lor este unul de specialist artizan, mai degrab cât unul de specialist profesional , ca în USA. Miura devine acum stăpânit de îndoială: va I să-I aj ute strategia Go să îmbunătăţească mal mentul resurselor umane?

DE LA DECLARAŢIA DE INDEPENDENŢĂ LA CELE PATRU REGULI DE AUR Urmează o discuţie privind interpretarea O raţiei de Independenţă - rezumată de Thc Jefferson în trei puncte - prin raportare la joc Go ; şi aici , superioritatea faţă de şah este IT subliniată. Dacă primele două puncte ale Deda sunt considerate în perfect acord cu princ Go-ului, punctul al treilea este privit critic amintim că punctul al treilea prevede sepa: puterilor guvernamentale în trei părţi : execu legislativul şi justiţia, care trebuie să prevină C narea uneia dintre părţi de către cealaltă. Miu întreabă ce ar spune Jefferson, dacă ar mai trf vadă tensiunile dintre o administraţie republi şi un congre s democratic , în continuă ceartă i gătură cu diferite numiri în justiţie. Cât de de] s-a gândit Jefferson să ducă separarea pute] Nu cumva un renăscut Jefferson ar fi pre coni totală rescriere a Constituţiei, care să readuc fel de integrare a puterilor: un Cabinet Parlame în stil englezesc? Miura precizează că a aj Ul aceste reflecţii în iarna 1 99 1 , după ce Clinton c gase alegerile. Japonezii au altă diviziune a pl. lor. Înainte de război exista aparentul etern tri\... al puterii: armata, birocraţia şi zaibatsu (clic nanciară) . După război, în urma înfrângerii arIT a apărut un alt triunghi, şi el cu aparenţă et. birocraţia, zaikai (comunitatea financiară) şi f deIe politice (care au luat locul populismul\... altădată al ofiţerilor de rang inferior din arrr Relaţia dintre aceste trei componente este guV( tă de cicluri de favoruri reciproce , în condiţii care niciuna dintre componente nu este domin. Echivalentul ei, în Go, este eterna situaţie de Ko" ; mai găsim un echivalent al ei în j ocul CO l "Piatra, Fo arfecele şi Hârtia" . Birocraţii au nevo politicieni pentru a putea fi numiţi în poziţii su oare şi pentru aprobarea revendicărilor lor. Pol enii au nevoie de bani din partea comunităţii fi ciare pentru campaniile lor electorale; al comunităţi au nevoie , la rândul lor, de accc administraţiei, pentru dezvoltarea afacerilor Birocraţia japoneză este organizată orizontal diferite tipuri de industrii. Comunitatea finan, este organizată vertical, pe diferite companii în ţii reciproce ( keiretsu) . Împreună alcătuiesc col vertebrală a sistemului j aponez, în care politic

prezintă o faţadă de democraţie sau populism. Ele sunt mutual interdependente , ca pietrele la Go. Prin contrast, cele trei ramuri americane ale guvernului sunt independente , dar într-o relaţie de adversitate, ca pie sele luptătoare la şah. Concluzia lui Miura: în America să facem ca americanii. Avem nevoie de o Constituţie scrisă, în stil american, pentru a forma baza valorii noastre corporatiste: armonia. Îl citează pe un prieten al său, Jon Minike s, cu următoarele Patru Reguli de Aur: 1 . Încearcă să-ţi înţelegi partenerul; 2 . Respec­ tă-ţi partenerul; 3 . Fii răbdător cu partenerul tău; 4. Caută să ai destui bani. Miura ar înlocui regula 4 cu: Menţine creşterea (Keep growing) , lucru care la Go revine la creşterea teritoriului .

CUM ESTE EVALUAT UN JAPONEZ? Anual, japonezii sunt evaluaţi, acolo unde lu­ crează, după următoarele zece criterii: 1) pricepere profesională; 2) capacitate de comunicare; 3) folosi­ rea limbilor străine; 4) productivitate; 5) creativitate; 6) atitudine pozitivă; 7) capacitate de conducere; 8) armonie ; 9) contribuţii la grupul de care aparţine ; 1 0) autodepăşire. Miura atrage atenţia asupra fap­ tului că numai unul dintre criterii se referă la spe­ cializarea profesională, toate celelalte nouă vizează aspecte comunitare generale . Prima evaluare o face supervizorul imediat, a doua o face managerul sec­ ţiei, iar a treia este privilegiul directorului departa­ mentului. De la perioada de inten să creştere economică de la mijlocul anilor '60 ai secolului tre­ cut până la prima criză a petrolului, acest sistem de evaluare a funcţionat bine. Fiecare s-a simţit ca o piatră Go . Dar atunci c ând cre şterea numărului de po sturi accesibile pentru promovare a încetinit, a fost nevoie să se introducă un nou criteriu, pentru ,job competence salary" (salariu pentru competenţă) . Aşa cum se întâmplă cu jucătorii de baseball , poţi fi compensat chiar dacă nu lucrezi, cu condiţia de a fi recunoscut ca fiind competent şi calificat pentru poziţia pentru care eşti angaj at. Aici, Miura face o nouă analogie ludică: te simţi ca o piesă Shogi a cărei "împietrire Go " ( " Go stoneness " ) este păstrată intactă. În 1 9 66, cu noul si stem de salarii, s-a căutat realizarea unei me dii între sistemul american şi cel j aponez, un joc bazat pe un amestec de pie se Shogi cu pietre Go . Miura alternează mereu interesul său ca Japonia să profite de experienţa americană, iar America să profite de experienţa j aponeză axată pe gândirea Go.

INTRĂ ÎN SCENĂ FUKUYAMA După atât accent pe contrastul dintre şah şi Go , apare totuşi legitimă întrebarea de spre o posibi520

Iă întâlnire între ace ste două jocuri care au marcat istoria. Întrebarea ne obligă să reflectăm asupra propriei noastre condiţii , ca fiinţe umane. Miura ne pune în faţa unei alternative : cum ne simţim? ca nişte pie se de şah sau ca pietre Go? În perioada războiului rece , alternativa era între libertate indivi­ duală şi utopie obligatorie, aflate într-o relaţie d e respingere reciprocă. Acum, toţi au descoperit liber­ tatea de a alege şi întrebarea asupra naturii fiinţei umane este actuală pentru toţi. În acest context apare cartea lui Francis Fukuyama, The End Of History and the Last Man (Free Pre ss, New York, 1 992) , bine cunoscută şi în România, unde s-a scris mult despre ea. Miura îi evocă pe Platon, cu Repu­ blica, şi pe Aristotel cu Politica, amândoi dezvoltând o viziune ciclică asupra istoriei; orice regim politic ajunge să-i nemu1ţumească pe oameni după un anumit timp. Apoi a venit creştinismul, care a in­ trodus conceptul de egalitate a oamenilor în faţa lui Dumnezeu, iar în locul mitologiei ciclice a promovat ideea progresului istoric. Istoria pământească urma să se încheie cu o zi a judecăţii. În 1 784, Kant pro­ pune O idee pentru o istorie universală dintr-un punct de vedere cosmopolit, apoi Hegel defineşte istoria ca progres al conştiinţei de libertate , Marx lansează ideea luptei de clasă ca motor al istoriei, dar întreaga dezvoltare ulterioară îl dezminte. Fukuyama pune în discuţie adevârurile evidente proclamate de Thomas Jefferson, privind dreptul omului la viaţă, libertate şi căutarea fericirii; dar se întreabă dacă sunt ele suficiente pentru a satisface fiintele umane. Miura observă că Declaraţia de in­ de endenţă a fost concepută în termeni de dobândi­ re a proprietăţii. Aici intră în scenă opoziţia dintre şah şi Go . În Repub lica, Platon ne spune că Socrate definea prin­ cipala caracteristică a războinicilor care apărau Atena drept thymos: ardoare şi mândrie. Dar thy­ mos, dus la extrem , poate deveni ambiţia tiranică a unui Caesar sau Stalin. Thymos este un j ucător de şah, exclamă Miura, dar o piatră de Go este capabi­ lă de a păzi familia până la sacrificiu, tot ca urmare a mândriei personale. Miura discută în continuare şi alte idei ale lui Fukuyama, acceptă elogiul pe care i-l aduc un George F. Will şi un Alan Bloom, dar respinge meta­ fora războinică a vagoanelor în flăcări, pe care o folose şte Fukuyama, şi respinge ideea acestuia că liberalismul a învins total fanatismul religios. Este de acord cu Fukuyama că fundamentalismul isla­ mic este cea mai gravă provocare de după al Doilea Război Mondial, dar sugerează că între Primul Om şi Ultimul Om ar fi mai avantajos să acordăm aten ­ ţie unor autori ca Doi Takeo , care au introdus con­ ceptul de amae (interdependenţă) pentru a înţelege mintea j aponeză. Ca buddhist, Miura este de acord să se extindă egalitatea în drepturi şi la mnţe non­ umane şi preferă viziunea ciclică a istoriei în locul viziunii iudeo-creştine a unei istorii universale pro­ gre sive, care se încheie cu o Zi a Judecăţii. Miura

p

crede că Fukuyama va scrie o nouă carte, in care va face j oncţiunea cu Go.

ÎN Go PRIMEAZĂ GÂNDIREA ABDUCTIVĂ Încheiem aici discuţia de spre Go , cu regretul că nu o putem continua. Poate că Miura ar fi trebuit să ia în considerare şi schimbarea de paradigmă care a avut loc in a doua j umătate a secolului al XX-lea, când informaţia a devenit protagonistă, în dauna energiei. Din această perspectivă, alţi autori j apo­ nezi, ca Hyakudai Sakamoto (a se vedea articolul său din Studia Semiotica 1 4 , 1 994, pp. 2 2 4-230) , sunt de părere că în perioada postmodernă (deci aceea a emergenţei paradigmei informaţionale) s-a produs o apropiere a mentalităţii extrem-orientale de cea occidentală. Am dezvoltat pe larg această idee în Paradigme universale, Editura Paralela 45, Piteşti, 2005 , pp. 1 1 3- 1 1 8 . Dincolo de interesul in­ contestabil al viziuni promovate de Miura Yasuyuki, îl suspectăm totuşi de o anumită exagerare în mo­ dul său de interpretare a celor două jocuri care au marcat cultura umană. Multe alte aspecte cultural-ştiinţifice ale Go-ului rămân nediscutate. Pentru a da un singur exemplu, ne vom referi la articolul lui Woosuk Park (de la

Korea Advanced In stitute of Science and Techno­ logy) : Abduction and thought experiment in Baduk prezentat la Cel de-al Nouălea Congres Internaţional de Semiotică (Helsinki, iunie 2007) . Autorul precizea­ za că Baduk este un alt nume pentru Go . Problema pe care o discută este aceea a tipului de gândire folosit de j ucători. Logica tradiţională ne-a familiari­ zat cu inducţia şi cu deducţia, drept tipuri de bază ale unei inferenţe. Logicianul şi semioticianul ameri­ can din a doua parte a secolului al XIX-lea, Charles Sanders Peirce , a introdus un al treilea tip de infe­ renţă, abducţia, care, în esenţă, este acel tip de in­ ferenţă pe care-l folosim in construirea unor ipoteze . Dacă deducţia se remarcă prin rigoare, iar inducţia solicită ob servaţia şi intuiţia, abducţia este prin excelenţă modul de procedare al gândirii imaginati­ ve , creative. Woosuk Park îşi propune să arate , in articolul său, că în j ocul de Go primează abducţia. Din referinţele bibliografice , rezultă că autorul a luat în con siderare o bogată literatură de specialita­ te , inclusiv un articol al lui R.S. Robin "Metaphysical reflections on Peirce on che ss " din volumul editat de E . C . Moore şi R. S. Robin, From Time and Chance in Consciousness (Oxford: Berg, pp. 247-2 60) , ceea ce arată că relaţia Go-şah este o constantă a cercetări­ lor în materie de Go .

52 1

CAPITOLUL X GRAMATICA JOCULUI DE TENIS

L a sfârşitul anilor '70 a i secolului trecut, am propus Gabrielei Sfarti, ca temă a lucrării sale de diplomă, să studieze gramatica j ocului de tenis, după modelul gramaticii narative din capitolul al cincilea al cărţii pe care am coordonat- o, în 1 978, la Editura Klincksieck, Paris, La semiotique formelle du folklore. Rezultatul ace stei investigaţii a constituit substanţa articolului "The tennis game as a lan­ guage " , publicat de Gabriela Sfarti în Revue Rou­ mai ne de Linguistique, voI. 2 5 , 1 9 80, no. 3, p. 2432 60 . După el n e ghidăm in cele c e urmează.

COMPETENŢĂ ŞI PERFORMANŢĂ ÎN TENIS Distincţia competenţă-performanţă trebuie în­ ţeleasă aici nu în sensul obişnuit al ace stor cuvinte , ci în accepţiunea pe care a adus-o în centrul atenţi­ ei Noam Chomsky în anii '50 ai secolului trecut. În orice activitate umană putem distinge două planuri: unul, al tipului de competenţă care-i stă la bază, altul, al realizării ei efective . Tipul de competenţă este dat de anumite reguli care trebuie urmate, re­ guli care vizează anumite mecanisme cerebrale, ansamblul ace stor reguli definind, pentru Chomsky, o gramatică a activităţii respective . Spre deosebire de gramatica tradiţională, de natură de scriptivă, gramatica lui Chom sky este de natură generativă, ea generează toate variantele posibile ale activităţii considerate, indiferent de posibilitatea lor de reali­ zare efectivă. De exemplu, dacă este vorba de j ocul de tenis , gramatica sa va genera toate desfăşurările posibile ale unei partide de tenis, indiferent de du­ rata pe care ea ar putea-o avea, deci indiferent de rezistenţa fizică şi psihică a jucătorilor. Să nu uităm că j ocul de teni s nu are o durată prestabilită. Dacă însă reţinem, din toate partidele po sibile, numai pe acelea efectiv realizabile, in raport cu parametrii psiho- somatici şi de altă natură, atunci ne situăm în planul performanţei jocului de teni s. Cuvântul perfonnanţă nu are deci aici conotaţia superlativă obişnuită, ci numai pe aceea de realizare efectivă. 522

Ocupându-ne de gramatica j ocului de tenis, es­ te deci clar că avem în vedere exclusiv tipul de com­ petenţă care se află la baza acestui joc; vom ignora diferitele limitări impu se de circumstanţele de reali­ zare . Una dintre conse cinţe va fi faptul că j o cul de tenis va apărea ca o activitate potenţial infinită.

ALFABETUL TENISULUI Ideea de gramatică se asociază în mod natural cu ideea de limbaj , care , la rândul ei, se asociază cu ideea de cuvânt pe un anumit alfabet. Limbajul , indiferent de natura sa, se prezintă ca o colecţie de secvenţe finite formate cu elementele unui alfabet [mit. Să ne amintim că secvenţialitatea este trăsătura specifică a structurilor controlate cu precădere de emisfera cerebrală stângă, motiv pentru care limba­ jul şi logica sunt privilegiul acestei emisfere cerebra­ le. Să încercăm deci să identificăm un posibil alfabet al jocului de tenis. Nu este vorba de noţi­ unile de bază ale tenisului, ci de anumite acţiuni sau evenimente elementare , cu ajutorul cărora pu­ tem reprezenta orice evoluţie posibilă într-un joc de teni s, aşa cum , cu ajutorul literelor alfabetului la­ tin , putem exprima în scris orice enunţ în limba română. Iată un posibil alfabet al j ocului de tenis: a = serviciu, b = trecerea mingii deasupra fileului; c = mingea este stopată de fileu; d serviciu corect; e = serviciu gre şit; f minge a servită trece în tere­ nul advers după ce a atins fileul (se ştie că în ace ste condiţii serviciul trebuie repetaţ) ; 9 = retur; h = min­ ge corectă (mingea cade în terenul advers) ; i = minge greşită (mingea cade în afara terenului advers) ; j = ratarea returului (mingea nu este interceptată la timp de unul dintre juc'ători) ; k la momentul de impact, mingea este lovită de două ori de către unul dintre jucători) . La acest alfabet de un sprezece acţiuni (eveni­ mente) elementare, câteva comentarii sunt necesare. Caracterul elementar, primitiv al acestor 1 1 acţiuni (evenimente) nu se referă la faptul că ele nu ar putea fi descompuse la rândul lor în acţiuni (evenimente) =

=

=

mai simple, ci este rezultatul unei convenţii motiva­ te prin comoditatea ei. De exemplu, acţiunea a (ser­ viciu) ar putea fi descompusă în evenimente mai simple , cum ar fi ocuparea unei poziţii convenabile, mişcarea adecvată a picioarelor, aruncarea în sus a mingii, lovirea ei etc. tot aşa cum literele de tipar ale alfabetului latin ar putea fi de scompuse în elemente mai simple, cum ar fi anumite segmente de dreaptă orizontale, verticale sau oblice , anumite curbe etc. Nu este deci vorba de o ireductibilitate propriu-zisă, ci de o alegere comodă în raport cu ceea ce ne pro­ punem. Un alfabet trebuie să includă suficiente elemente pentru a face faţă varietăţii de structuri secvenţiale pe care urmează să le generăm, dar numărul lor nu trebuie să fie prea mare , pentru a nu complica inutil gramatica obţinută.

LIMBAJUL INFINIT AL JOCULUI DE TENIS Acest limbaj urmează să cuprindă totalitatea acelor cuvinte pe alfabetul considerat care descriu evoluţiile posibile într-un j o c de tenis. Deoarece tenisul este un j oc necooperativ, de sumă nulă (ori­ ce câştig al unui jucător este o pierdere corespunză­ toare pentru jucătorul advers şi orice pierdere pentru unul este un câştig pentru celălalt) , vom considera separat limbaj ul M al evoluţiilor care duc la câştig pe ntru jucătorul de la serviciu şi limbajul N al evoluţiilor câştigătoare pentru jucă­ torul care primeşte serviciul. Reuniunea lor L va fi limbajul tenisului. Să notăm cu x unul dintre următoarele patru cuvinte : gbi, ge, j şi k. Fie n un număr par strict pozitiv. Fie u numărul de servicii consecutive care preced primul serviciu core ct sau greşit şi în care mingea trece în terenul advers după ce a atins fileul; fie v numărul de servicii conse cutive care preced cel de-al doilea serviciu (corect sau greşit) în care min­ gea trece în terenul advers după ce a atins fileul. Fie t un parametru care ia valorile 1 (pentru mingi care ating solul) şi O (pentru mingi care nu ating solul) . Câştigarea unui punct de către jucătorul care serveşte poate fi obţinută în trei moduri: 1) (afr abd(gbht)n x (după u servicii af care sunt repetate deoarece mingea trece fileul atingându-l, are loc un serviciu corect exprimat prin abd, după care urmează fie n schimburi corecte de mingi care ating solul advers, deci de fonna gbh (adică t = 1 ) , fie n schimburi de voleuri (mingi care n u ating solul: gb, deci t = O) şi, în sfârşit, una dintre cele patru forme ale lui x: gbi (jucătorul de la primire trimite mingea în afara terenului) , gc (mingea sa este oprită de fileu) , j (mingea nu este interceptată de către jucă­ torul de la primire) sau k (mingea este lovită de două ori de către jucătorul de la primire) (ge). 2) (af)uac(af)v abd(gbht)nx; 3) (aflU abe(afluabd(gbh)nx (lăsăm cititorului să interpreteze, după modelul lui 1 , po sibilităţile 2 şi 3). Deoarece fiecare dintre cele trei tipuri comportă

patru variante de evoluţii avantaj oase pentru jucă­ torul de la serviciu (în funcţie de expresia lui x), rezultă că limbajul M include 1 2 tipuri de cuvinte , fiecare tip - incluzând, la rândul său, o infinitate de cuvinte individuale, ca urmare a prezenţei parame­ trilor u, v şi n, care iau, fiecare în parte, o infinitate de valori (parametrul t ia numai valorile O şi 1 ) . Din analiza d e mai sus s e înţelege clar unde se află sursele infinităţii limbajului M. O primă sur să este posibilitatea de principiu ca următoarea situa­ ţie să se repete indefinit: mingea servită trece în terenul advers, deşi ea atinge în prealabil fileul (de aici rezultă valori posibile oricât de mari pentru u şi v) . O a doua sursă este posibilitatea unui schimb oricât de lung de mingi corecte între cei doi jucători (deci valori oricât de mari pentru n) . Trecând acum la evoluţiile posibile de câştig pentru jucătorul care primeşte serviciul, vom detec­ ta următoarele şapte tipuri posibile (convenţiile pen­ tru x, u, V şi t sunt aceleaşi ca în cazul anterior; de această dată însă parametrul n nu mai ia valori pare, ci valori impare) : 1) (af)uac(af)vac; 2) (af)uabe (af)vabe ; 3) (af)uac(af)vabe; 4) (af)uabe(af)vac; 5) (af)uabe(af)vabd(gbht)x; 6) (af)uac(af)vabd(gbht) x; 7) (af)uabd(bht)x. Rezultă că limbajul N include 16 tipuri de cu­ vinte (patru tipuri care nu conţin pe x şi 12 tipuri care provin din cele trei tipuri care-l conţin pe x), dar fiecare dintre cele 1 6 tipuri conţine o infinitate de cuvinte individuale , ca urmare a prezenţei para­ metrilor u, v şi n, care iau, fiecare in parte , o infi­ nitate de valori. Limbajul L ai tenisului este deci reuniunea lim­ baj elor M şi N. Este poate interesant de observat în ce raport se află limbaj ele M şi N. Con statăm că N se obţine din M prin adăugarea cuvintelor de tipurile 1 , 2, 3 şi 4 corespunzătoare primelor patru evoluţii posibile de câştig pentru jucătorul de la primire , cu condiţia de a face abstracţie de faptul că în cazul lui M parametrul n ia valori pare , în timp ce în cazul lui N parametrul n ia valori impare . Sfarti comentează ace st fapt în felul următor: dacă j ucătorul de la serviciu nu comite nicio dublă eroare, atunci şanse­ le de câştig sunt aproximativ egale pentru cei doi j ucători. Pe de altă parte , cuvintele corespunzătoare lui n O aparţin lui M (deoarece O este număr par) , ceea ce înseamnă că un bun serviciu poate fi deci­ siv. =

GRAMATICI ŞI AUTOMATE ALE JOCULUI DE TENIS O gramatică generativă este alcătuită dintr-un alfabet terminal, care în cazul de faţă va fi {a, b, e, d,

523

e, f, g, 11., i, j, k}, un alfabet auxiliar, care aici va fi {S, X, Y, Z, W}, unde S este simbolul de start, şi o mulţime finită R de reguli de forma p --+ q, unde p şi q sunt cuvinte pe alfabetul total (reuniune a alfabe­ tului terminal cu cel auxiliar) , p neavând voie să fie cuvântul nul. Semnificaţia regulii p--+ q este : p se înlocuieşte cu q. Ple cându-se de la simbolul de start S şi aplicâdu-se succesiv diferite reguli din R, se obţin diferite cuvinte pe alfabetul terminal; ace ste cuvinte formează limbajul generat de gramatica generativă considerată. Pentru generarea limbajului M, se poate arăta că următoarele reguli conduc la rezultat: S --+ afS , S--+acZ, S-tabeZ, S--+abdY, Z--+atZ, Z--+abdY, Y--+gbhX, Y--+gbX, X--+gbhgbhX, X-tgbgbX, X--+gbgbhX, X--+ gbhgbX, X--+gbhW, X--+gbW, W--+gbi, W--+ge, W--+j , W--+k. Este ceea ce se numeşte o gramatică liniară la dreapta. În mod si­ milar, putem genera pe N folosind o gramatică având acelaşi alfabet terminal ca mai su s, dar alt alfabet auxiliar: (S, X, Y, Z} , unde S e ste simbolul de start. Vom folosi următoarele reguli de generare : S--+abeZ, S--+abdY, Z--+atZ, 2----t ac, Z--+abe , Z--+abdY, Y--+gbhX, S--+afS , S--+acZ, Y--+gbX, X--+gbgbX, X--+gbhgbhX, X--+gbhgbX, X--+gbgbhX, X--+gbi, X--+gc, X--+j , X--+k. Gramaticile astfel obţinute pentru limbaj ele M şi N intră în clasa limbajelor independente de con­ text, caracterizate prin proprietatea de a putea fi generate cu reguli U-t V în care U se reduce la un element din alfabetul auxiliar, iar v este de lungime nenulă. Se poate în să arăta că limbajele M şi N sunt regulate; este vorba de un caz particular al gra­ maticilor independente de context, în care regulile sunt de forma A--+Ba, C--+ b, unde a şi b sunt ele­ mente ale alfabetului terminal, iar A, B şi C sunt elemente ale alfabetului auxiliar. În ultimă instanţă, regularitatea limbajelor M şi N rezultă din faptul că în expresia cuvintelor din cele două limbaje nu apa­ re nicio legătură între exponenţii u, v şi n, fiecare dintre ei luând valori care nu depind de valorile luate de ceilalţi doi exponenţi . Regularitatea limbajului L, reuniune a limbajelor M şi N, rezultă acum din proprietatea mai generală care afirmă că reuniunea a două limbaj e regulate este un limbaj regulat; cititorul poate verifica aceas­ ta ca un simplu exerciţiu. Elementele alfabetului auxiliar au o semnifica­ ţie categorială, in contrast cu cele ale alfabetului terminal, care au o semnificaţie lexicală, asociată, în cazul nostru, cu diferitele tipuri de acţiuni (eveni­ mente) elementare în jocul de teni s. Urmărind com­ portamentul elementelor din alfabetul auxiliar în procesul generativ, desprindem pentru ele următoa-

524

rele semnificaţii categoriale : S simbolizează schimbul de mingi, începând cu serviciul şi încheindu-se cu obţinerea unui punct de către unul dintre jucători. Simbolul Z din regulile cu autoincluziune (adică în care Z apare atât la stânga, cât şi la dreapta) , repre­ zintă o infinitate de cuvinte , anume cele de forma af repetat de v ori urmat de ac, af repetat de v ori ur­ mat de abe sau af repetat de v ori urmat de abd urmat de n apariţii consecutive ale lui gbh (unde t ia valorile O şi 1 ) urmat de x (care poate fi gbi, gc, j sau k) ; putem spune că Z reprezintă acea parte a jocului care începe cu serviciul celei de-a doua mingi şi se sfârşeşte cu câştigul punctului . Simbolul Y repre­ zintă cuvintele de forma (gbh'y x, unde n este un număr natural, " este egal cu O sau 1 iar x are una dintre cele patru forme dej a jndicate . Y corespunde acelei părţi a jocului care începe cu primul retur şi se incheie cu câştigarea punctului. Simbolul X corespunde evoluţiei mingii de la primul serviciu până la prima greşeală comisă. Simbolul W exprimă sfârşitul unui schimb de mingi, sub una dintre formele lui x: gbi, gc, j sau k. Observam mai sus că, formal, o mare parte din limbajul N e ste limbaj ul M. Dar, de fapt, M şi N nu au niciun cuvânt comun , deoarece în cuvintele din M exponentul n este par, în timp ce , in cuvintele din N, n este impar. În articolul menţionat al Gabrielei Sfarti , anali­ za j ocului de tenis este aprofundată prin luarea în considerare a locului din care mingea este lovită de unul dintre jucători şi a locul_ui din care mingea este returnată de celălalt jucător. Aceasta înseamnă o complicare a alfabetului terminal, deoarece tre­ buie împărţit terenul în careuri codificate în mod adecvat. Se arată că şi în aceste condiţii tenisul rămâne un limbaj regulat, gramatica sa se complică în detalii, dar nu şi în structură. Sunt puse în miş­ care noi mijloace, de tipul automatelor finite nonde­ terministe, al maşinilor secvenţiale generalizate şi al automatelor Mealy. Întreaga dinamică a jocului de tenis, incluzând situaţiile de deuce, advantage, tie break, evoluţia scorului etc . Pe această bază, urmă­ rindu- se dinamica j ocului de tenis, se definesc în mod riguros noţiuni ca joc defensiv şi joc ofensiv. Este confirmată bine cunoscuta observaţie conform căreia poziţiile iniţiale ale jucătorilor şi loviturile de începere sunt factori determinanţi pentru evoluţia ulterioară a j ocului. În întreaga analiză s-a folosit, în ceea ce priveş­ te definirea şi regulamentul j ocului de tenis, cartea lui Eugen Cristea şi Ilie Năstase, Manual de tenis, Editura Sport-Turi sm, Bucureşti, 1 9 75.

CAPITOLUL XI o VECINĂ ŞI SORĂ A JOCULUI: GREŞEALA

TREI FELURI DE GRE Ş ELI Încercarea de folosire a dicţionarului , pentru a ne lămuri ce este greşeala, se dovedeşte insuficien­ tă. Ca în multe alte cazuri (,jocul " este şi el un exemplu elocvent în această privinţă) , noţiunea de greşeală nu poate fi epuizată printr-o definiţie. Să încercăm să recurgem şi la un alt procedeu, întrebându-ne care este opusul epitetului "greşit " Vom constata imediat că ne aflăm în faţa unui re­ pertoriu bogat de variante, din care reproducem aici câteva: corect, adevărat, just, drept, real, normal (ne orientăm şi după Dicţionarul explicativ al limbii ro­ mâne). Observăm imediat că prima variantă este de natură predominant sintactică, şi vizează respecta­ rea unei reguli. A doua variantă este de natură se­ mantică, se referă la corespondenţa cu realitatea. A treia nu are o localizare clară, dar ezită între sintaxă şi semantică. A patra este de natură pragmatică, se referă la relaţia noastră cu faptele, rezultând din­ tr-un contract social. A cincea este semantică, iar a şasea mai degrabă pragmatică. Distincţia sintaxă-semantică-pragmatică este fundamentală în semiotică, ea ne poate ghida şi în materie de greşeală. Tipic sintactice sunt greşelile în ca)cule. Arhimede a greşit la calculul celei de-a pa­ tra zecimale a lui pi, greşeala fiind corectată mult mai târziu, iar W. Shanke a evaluat, în 1 85 3 , 607 zecimale ale lui pi, dar abia în 1 94 5 D. Ferguson a observat că, începând cu poziţia 527 , toate aceste evaluări erau greşite; în cele ce unnează, cititorul va afla şi despre multe alte greşeli sintactice celebre . Exemple de greşeli semantice care au marcat istoria ştiinţei sunt cele referitoare la definirea lungimii unei curbe (în secţiunea "Este curba un concept geometric?") şi la definirea tangentei (în secţiunea Capcanele tangentei). ,Alte greşeli semantice s-au referit la defmirea numărului cardinal drept clasă de- echipotenţă, deci de mulţimi aflate în corespon­ denţă bijectivă două câte două (abia în teoria axio­ matică a mulţimilor această greşeală este corectată, prin definirea cardinalelor cu ajutorul ordinalelor)

şi , mai recent, la modul în care N, Chomsky a stabi­ lit în 1 9 56 că limba engleză nu este un limbaj inde­ pendent de context. O gre şeală semantică celebră este aceea de a ex­ tinde la calculul ariei unei suprafeţe modul în care C . Jordan evaluase lungimea unei curbe. Faimosul pa­ radox al lui Schwartz, care punea în evidenţă faptul că, pe această cale, aria laterală a unei cutii de con­ serve ar putea fi . . in finită, a pus capăt acestei ano­ malii. Defmiţia de tip Jordan a fost înlocuită cu o alta, pe linia gândirii lui H . Lebesgue şi M. Frechet. Cititorul poate găsi detaliile în cartea noastră Noţiuni de analiză matematică (Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1967). Cât de spre greşelile pragmatice, ele sunt pro­ babil cele mai numeroase şi mai importante, dar şi cele mai controversate, Este o greşeală pragmatică să califici ca evident un rezultat care cere o înde­ lungă reflecţie (greşeală atribuită marelui matemati­ cian englez G . H . Hardy) şi, în general, aici intră greşelile de natură pedagogică. Folosirea, în apro­ ximarea unei funcţii, a unui şir care converge prea încet către acea funcţie este o greşeală pragmatică dacă există un alt şir care converge mai repede că­ tre funcţia respectivă. Folosirea unui algoritm care lucrează în timp exponenţial într-o problemă pentru care dispunem de un algoritm polinomial, este şi ea o greşeală pragmatică. Cititorul va putea găsi exem­ ple de cele trei tipuri de greşeli în viaţa de fiecare zi. Dar nu trebuie să pierdem din vedere că graniţele dintre cele trei niveluri nu sunt totdeauna precise . Faptul regretabil este că şcoala se ocupă aproape exclusiv de greşelile sintactice , toate asimilate cu păcate care trebuie sancţionate , .

GREŞEALĂ ŞI EROARE Multe limbi fac diferenţa de tipul pe care limba română îl operează între greşeală şi eroare. În fran­ ceză avem faute şi erreur, în engleză mistake şi error. Greşeală este de origine slavă, eroare are o

525

etimologie latină. O sugestie despre diferenţa dintre ele este dată de faptul că putem vorbi despre o eroare de aproximaţie, dar nu şi despre o greşeală de aproximaţie, atunci când ne referim la diferenţa dintre numărul pi şi valoarea 3 , 1 4 . Spunem în acest caz că am comis o eroare de aproximaţie de ordinul miimilor, dar nu putem spune că am comis o gre­ şeală de aproximaţie . Cu alte cuvinte, cel puţin în contexte de acest fel , eroarea se referă la o situaţie inevitabilă (numărul pi nu poate fi decât aproximat, nu şi determinat cu exactitate) , o situaţie datorată nu unei in suficienţe de natură umană, ci unei stări obiective. Dar nu putem generaliza această observa­ ţie, problema rămâne deschisă. Este interesant însă să observăm aspectul ludic al acestei probleme. Ver­ bul latin errare, ca şi verbul francez errer, se referă la umblatul la întâmplare , fără un scop precis , situaţie tipică stării de libertate , care îţi permite să te rătă­ ceşti , să vagabondezi după bunul plac. Verbul a greşi se contaminează şi el de acest statut şi se află implicat în mai toate actele de creaţie. Un exemplu elocvent de modul în care o greşeală poate deveni o sursă de creativitate este greşeala lui Lebesgue , pe care o prezentăm într-o secţiune din acest capitol şi care se află la originea unui întreg capitol al topolo­ giei, teoria mulţimilor analitice şi proiective. Alte exemple abundă în secţiunile care urmează. Dar nu este vorba numai de matematică. Să ne amintim de La grammaire des fautes a lui H . Frei. Multe dintre regulile gramaticale de azi sunt greşelile de ieri .

CUM MĂSURĂM GRAVITATEA UNEI ERORI? Viaţa socială este guvernată de reguli de funcţi­ onare, de imperative morale şi de norme j uridice, încălcarea lor este de obicei sancţionată, dar natura şi gravitatea sancţiunii sunt dintre cele mai variate în raport cu natura şi gravitatea încălcării . În ştiinţă, mai cu seamă în ştiinţele aşa-zise exacte , distincţia dintre corectitudine şi greşeală este de cele mai multe ori riguroasă. Nu acelaşi lucru se poate spu­ ne despre posibilitatea de a compara şi ierarhiza greşelile matematice după gravitatea lor . Aici râmăne încă loc pentru multă subiectivitate. Acesta este şi motivul pentru care la concursurile de mate­ matică se procedează ca şi la concursurile de alte specialităţi, elaborându- se în prealabil un barem pe baza căruia se asigură o relativă concordanţă între criteriile de apreciere folosite de diferitele cadre di­ dactice angajate în lectura şi notarea lucrărilor scri­ se. Elaborarea baremului comportă mai totdeauna discuţii aprinse între cei implicaţi, iar pe parcursul lecturii lucrărilor baremul este uneori reconsiderat, pentru a- l adapta mai bine la realitatea lucrărilor candidaţilor. În materie de greşeală, imaginaţia candidaţilor este prodigioasă, oferind deseori situa­ ţii neprevăzute de baremul stabilit iniţial. Mulţi candidaţi au o imagine fals ă despre corectitudinea tratării unei probleme , find convinşi că esenţială 526

e ste obţinerea rezultatului . Este corectitudinea re­ zultatului o garanţie a corectitudinii tratării pro­ blemei? Răspunsul este categoric negativ. Ceea ce interesează în primul rând este gândirea care se află la baza tratării. Redactarea trebuie să fie suficient de coerentă şi de explicită pentru a-l convinge pe cititor că autorul redactării a gândit problema în mod autentic şi cu o înţelegere globală a ei , în sen­ sul că fiecare parte a tratării este raportată la firul conducător al soluţiei. Din păcate, multe redactări sunt discontinue , lipsite de motivaţii şi justificări, iar rezultatul aşezat la sfârşit, chiar dacă este co­ rect, rămâne neconvingător. O lucrare de matemati­ că, întocmai ca orice altă lucrare, este apreciată nu numai după partea ei finală, ci şi după modul de ansamblu în care ea se prezintă.

OPERAŢII INCORECTE CU REZULTATE CORECTE Ce- aţi spune dacă în fracţia 1 6 / 64 un elev ar dori să " simplifice " pe 6 de la numărător cu 6 de la numitor? O enormitate de nota 2 , nu? Şi totuşi, rezultatul acestei ridicole operaţii de simplificare este corect , deoare ce împărţind pe 1 6 la 64 obţinem într-adevăr 1 / 4 . Este prin aceasta atenuată gravi­ tatea greşelii comise? Nicidecum! Nu totdeauna o gândire greşită se soldează cu un rezultat greşit, cel puţin imediat. Desigur, dacă cel în cauză va repeta greşeala, aplicând de exemplu acelaşi tratament fracţiei 1 2 / 2 4 şi " simplificând " pe 2 de la numărător cu 2 de la numitor, atunci el va obţine rezultatul greşit 1 / 4 . Nu trebuie să ne mire acest lucru: Un comportament greşit nu are totdeauna acelaşi re­ zultat. Un rezultat greşit este simptomatic pentru un tratament greşit, ne avertizează că nu am raţio­ nat corect, aşa cum durerea este simptomatică pentru starea de boală. Bolile fără dureri sunt peri­ culoase tocmai prin absenţa semnalului care trebu­ ie să ne atragă atenţia asupra necesităţii de a ne supune examenului medical şi tratamentului cores­ punzător (care poate include şi o schimbare de comportament) . La fel de periculoasă este şi gândi­ rea vicioasă care nu afectează rezultatul; ea ne poa­ te păcăli cu iluzia corectitudinii. Dar să revenim asupra simplificării lui 6 în fracţia 1 6 / 64 pentru a- l obţine pe 1 / 4 . Observăm că o simplificare ilicită similară, aplicată fracţiei 2 6 / 65 , conduce la rezultatul corect 2 / 5 . O simplifi­ care la fel de ilicită, de astă dată a lui 9 , conduce la egalităţile corecte 1 9 / 9 5 = 1 / 5 şi 4 9 / 9 8 :: 4/8. Această repetare a unui fenomen care părea să fie produsul unei întâmplări foarte puţin probabile ne dă de bănuit că aici s-ar ascunde un fapt matematic interesant. Să pornim în căutarea lui.

GREŞELI CARE SUGEREAZĂ TEOREME

GREŞELI CELEBRE

Să nu uităm că în scrierea obişnuită a numere­ lor se utilizează reprezentarea zecimală, 1 6 înseam­ nă 1 0 . 1 + 6, iar 64 înseamnă ( 1 0 . 6 + 4) . Avem deci ( 1 0. 1 + 6) / ( 1 0 . 6+4) = 1 / 4 . Tot aşa ( 1 0 . 2 + 6) / ( 1 0 . 6 + 5) ::: 2 / 5 , ( 1 0 . 1+ 9) / ( 1 0 . 9+5)=1/ 5 şi ( 1 0 .4+9) / ( 1 0 .9 +8)==4 / 8 . Să încercăm să generalizăm aceste exemple . Se obţine următoarea problemă: Pentru care valori întregi pozitive ale lui a, b şi c are loc egalitatea ( 1 0 a+b)I(1 0 b +c)=al c sau, ceea ce este echivalent, 9ac = b( 1 0a c) . O soluţie trivială este a ::: b ::: c. Exemplele de mai sus nu intră însă aici , ci se referă la cazul în care a este diferit de c, iar b este egal cu 6 sau cu 9 . Obţinem ecuaţia (1 0. a + + 6) / ( 1 0 . 6 + c) al c, având cele două soluţii sem­ nalate mai sus şi ecuaţia ( 1 0 . a + 9 ) / ( 1 0 . 9 + c) ::: = alc, având celelalte două soluţii semnalate mai sus (C . Stanley Ogilvy , John T. Anderson, Excur­ sions in Nu mber Theory, Oxford U niv. Press, New York, 1 9 66, p. 86) . Robert A. Carman (Mathematical Mistakes, The Mathematics Teacher, voi 64 , no. 2 , 1 97 1 , p. 1 091 1 5) propune şi alte exemple, mai complicate, de simplificări frauduloase care conduc la rezultate corecte. Astfel, în următoarele fracţii , "simplificarea" cifrei mediane a zecilor, aceeaşi la numărător şi la numitor, conduce la un rezultat corect 1 65 / 660 1 5 / 60, 385/ 880 ::: 3 5 / 80, 4 9 5 / 99 0 = 4 5 / 9 0 , 332/ 830 ::: 32 / 80, 275/ 770 ::: 2 5 / 70 . Ar fi intere­ sant de construit problema generală care se ascun­ de aici şi de urmărit modul în care ea ar putea fi soluţionată; în această privinţă se poate folosi mo­ delul tratat la începutul acestui paragraf. Alte exemple: "simplificarea" lui 7, pentru a se obţine egalitatea 1 27 / 762 = 1 2 / 62 ; simplificarea lui 5 pen­ tru a ajunge la egalitatea 3 544 / 7 5 3 1 ::: 344 / 73 1 . Dacă cifra zecilor este nulă atât la numărător, cât şi la numitor, ea se supune următorului com­ portament: aO bl cO d = abicd dacă 2a = c, c�8 şi 2b=d, d�8. De exemplu, 1 03/ 2 0 6 ::: 1 3 / 2 6 , 403 / 806= = 43 / 86. A.P. Darmoryad (Mathematical Games and Pastimes, Macmillan , New York, 1 9 64 , p. 35) obser­ vă că simplificarea frauduloasă cu 1 8 în fracţia 1 43 1 8 5/ 1 70 1 856 conduce la rezultatul corect 1 435/ 1 7056. Însă R.A. Carman (loc. cit.) opinează că, de îndată ce trecem la numere de ordinul miilor sau mai mari, fenomene ca cele de mai sus sunt tot mai rare. Are oare dreptate? Până la clarificarea situaţiei , să contemplăm următorul exemplu în care trei " simplificări " succesive ale lui 6 (prima pe pozi­ ţia sutelor, a doua pe poziţia zecilor, iar a treia la unităţi şi zeci) conduc la tot atâtea rezultate corecte: 2 666/ 6665 = 266/ 665 = 2 6 / 65 = 2 / 5 . Ar fi intere­ sant de discutat problema generală care se ascunde aici . :::

==

:::

De la greşeli ca cele de mai sus, care, în ciuda enormităţii lor, nu afectează rezultatul, putem trece la altele care, dimpotrivă, invalidează rezultatul , uneori fără speranţă de recuperare. Exemplele de acest fel abundă. Pentru toate problemele celebre ale Antichităţii (cuadratura cercului, duplicarea cubului, trisecţiune a unghiului cu aj utorul riglei şi compasului, demonstrarea postulatului paral�lelor etc.) s-au propus de-a lungul timpului nenumărate " " soluţii în care greşeala era uneori aparentă, alteori foarte ascunsă. Abia în secolul al XIX-lea s-a stabilit statutul lor, bine cunoscut astăzi. Leonhard Euler a propus în 1 749 o demonstraţie pentru teorema fun­ damentală a algebrei . Gauss a criticat această demonstraţie, invalidând-o, dar în acelaşi timp a folosit o idee ingenioasă a ei, care a constituit baza celei de-a doua de mon straţii date de Gauss teore­ mei fundamentale a algebrei. Thomas Stieltjes, au­ torul integralei care-i poartă numele , a crezut că a demonstrat celebra ipoteză a lui Riemann , conform căreia, cu unele excepţii cunoscute , zerourile func­ ţiei care se obţine ca sumă S(z) a seriei de termen general l / nz (unde z = x + iy este o variabilă comple­ xă) , sunt toate aşezate pe dreapta de ecuaţie x = 1 / 2 . Importanţa acestei ipoteze este imensă, î n primul rând pentru impactul ei asupra teoriei numerelor prime. Încă Euler arătase că dacă y ::: O şi x > 1 , atunci S(z) este egal cu produsul infinit, după toate numerele prime p, din puterea de exponent - 1 a binomului 1 l / pz. Deşi ipoteza lui Riemann nu a fost demonstrată nici până azi, impactul ideilor lui Stieltjes în această ordine de idei nu poate fi negat . Astfel, J acques Hadamard se referă la Stieltj es în cercetările sale privind funcţia S(z) . O altă greşeală celebră este aceea comisă de Paul Appell în 1 92 6 , cân d publică în Comptes Ren­ dus de l 'Academie des Sciences, Paris, rezultatul care afirmă iraţionalitatea constantei lui Euler (egală cu limita, când n creşte , din 1 + 1 / 2 + + l in log n) ; la câteva săptămâni după publicare, Appell a trebuit să publice o retractare a rezultatului, în ciuda faptului, unanim recunoscut, că demon straţia sa conţine o idee interesantă, care a reţinut atenţia matematicienilor. De la Appell încoace , alţi matema­ ticieni s-au înşelat , la rândul lor, crezând că au stabilit iraţionalitatea constantei lui Euler; însă natura acestei constante rămâne în continuare ne­ cunoscută. Lista greşelilor de acest fel este imensă. Poate că n-ar fi exagerat să se spună că istoria matematicii poate fi privită ca o istorie a greşelilor; într-adevăr, tatonările, bănuielile nu pot evita greşelile, iar ideile valoroase trebuie să plătească tributul unei insufici­ ente rigori . Drumul spre cristalizarea conceptului de convergenţă uniformă trece prin greşeala lui A. Cauchy, care a crezut că orice şir convergent de funcţii continue pe (a, b) are ca limită o funcţie con­ tinuă pe (a, b). -

527

o TEORIE NĂSCUTĂ DIN OBSERVAREA UNEI GREŞELI Este vorba de teoria mulţimilor analitice, care a luat naştere în 1 9 1 7 , în condiţii puţin obişnuite. Iniţiatorul acestei teorii este un student, Mihail Suslin , din Moscova, care a primit de la profesorul său , N . Luzin , indicaţia de a studia celebrul memo­ riu al lui Henri Lebesgue (creatorul integralei care-i poartă azi numele) , " Sur les fonctions represen­ tables analytiquement" (Joumal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1 905) . În acest memoriu, Suslin a identificat o greşeală. Pentru a o explica, trebuie mai întâi să introducem unele definitii rţi ale Fie X o mulţime. O familie S nevidă de . IUl X formează un corp dacă operaţiile de reuniune cel mult numărabilă şi de diferenţă, aplicate mulţi­ milor din S, conduc tot la mulţimi din S. Intersectia unei familii de corpuri e ste tot un corp. Fie acu� o familie A de părţi ale lui X. Există cel puţin un corp care conţine pe A; acesta este format din toate părţi­ le IUl. X. Intersecţia tuturor corpurilor care conţin pe A este , prin definiţie, corpul generat de A, notat cu S(A). Să presupunem acum că X este spaţiul euclidi­ an cu n dimensiuni. Fie A familia tuturor intervale­ lor deschise n-dimen sionale ; A nu formează un corp, dar generează corpul S(A), numit corpul mul­ ţimilor boreliene din spaţiul euclidian n-dimensio­ nal. Mulţimile din S(A) se numesc boreliene. O funcţie reală f se numeşte boretiană dacă multimile de forma (x;f(x) > a) sunt boreliene pentru o;ice a real. Să reproducem acum, din memoriul lui Lebesgue , pasajul incriminat de Sustin, unde se caută a se demonstra că dacă x = I(t) este o funcţie boreliană şi inversabilă, atunci funcţia inversă t = g(x) este de asemenea boreliană. " D atorită ipote­ zei , se poate arăta că mulţimea punctelor din planul coordonatelor t, x în care x -f(t) = O este o mulţime boreliană, E. Deci , oricare ar fi a > b, partea B a lui E pentru care a2) de mulţimi infinite ordonate ciclic, .- astfel încât An+l = A l . Să admitem că, pentru fiecare ( = 1 , 2, . . . , n, există o bijecţie ti intre Ai şi o parte a ==

FRECVENŢA GREŞELILOR ŞI LUPT A ÎMPOTRIVA LOR Cât de des greşesc matematicienii? Unii sunt de părere că greşeala apare la tot pasul. Unul dintre cei mai importanţi specialişti în teoria probabili­ tăţilor, J . L. Doob, a pretins că, dacă deschizi la în­ tâmplare o lucrare de matematică, este foarte probabil să existe acolo cel puţin o gre şeală. Desi­ gur, intră aici gre şeli de toate calibrele , cele mai numeroase fiind probabil inadvertenţele locale, lip­ site de gravitate şi fără consecinţe serioase asupra ansamblului lucrării. Totuşi, pe măsură ce matema­ tica s-a complicat şi lungimea medie a demon straţii­ lor a cre scut, probabilitatea greşelii a crescut şi ea, devenind tot mai important controlul demonstraţii­ lor matematice . Greşesc matematicienii mai mult decât alţi spe­ cialişti? Este matematica marcată de spectrul erorii, mai mult decât fizica, chimia, biologia sau geologia? Probabil că nu . Am fi chiar tentaţi să credem că, datorită scrupulului lor deosebit pentru rigoare, matematicienii greşesc mai puţin decât colegii lor din alte domenii de cercetare . Însă in matematică, mai mult decât în alte domenii, graniţa dintre corec­ titudine şi greşeală este , de cele mai multe ori, precisă, indiscutabilă. Aceasta nu înseamnă că gre­ şelile sunt foarte vizibile. Modul în care se poate ascunde greşeala in matematică a fost ilustrat ante ­ rior prin exemple dintre cele mai variate . Aşa cum observam mai sus , complexitatea crescândă a de­ monstraţiilor matematice măreşte probabilitatea greşelii . Apar azi demonstraţii uriaşe ca lungime şi complexitate . După evaluări aproximative, teorema (recentă) de clasificare a grupurilor finite simple a cerut zeci de ani de eforturi ale unei întregi armate de matematicieni, 4500 de pagini de teorie matema­ tică şi, în plus, câteva mii de ore de calculator. Teo­ rema celor patru culori, demonstrată in 1 976, a cerut şi ea un efort teoretic şi computaţional con­ siderabil (chiar dacă net inferior celui reclamat de teorema de clasificare a grupurilor simple finite) . Demonstrarea unui rezultat apropiat de conjectura lui Goldbach ocupă o carte întreagă şi se prevalează de mai tot ce este important in teoria numerelor. Amintim că ipoteza lui Goldbach afirmă că orice număr par superior lui 2 este suma a două numere 529

prime. Rezultatul demon strat afirmă că orice număr par superior lui 2 este suma dintre un număr prim şi produsul a cel mult două numere prime . Conj ec­ tura lui Bie berbach, demonstrată în urmă cu vreo 17 ani, afirmă că dac ă funcţia de variabilă complexă fiz) este suma, în cercul cu centrul în origine şi de rază egală cu unitatea, a unei serii convergente de forma unui polinom infinit" fără termen liber şi " având drept coeficient al lui z pe 1 , iar f e ste o apli­ caţie injectivă în cercul unitate, atunci coeficientul puterii de exponent n a lui z nu poate întrece valoa­ rea n (oricare ar fi numărul natural n) .

DEVINE MATEMATICA O ŞTIINŢĂ EXPERIMENTALĂ? Demonstraţia iniţială a conjecturii lui Bieberbach conţinea multe greşeli, dar niciuna nu s-a dovedit a fi esenţială. De altfel, în procesul de testare a demon straţiei s-au obţinut simplificări considerabile şi au fost eliminate multe erori . Este insă semnificativ faptul că aceasta s-a realizat nu prin efortul exclusiv al autorului demonstraţiei, ci prin eforturile conjugate ale mai multor matematici­ eni, din diverse ţări (U . S . A. , U . R . S . S . , şi R. F.G) . S-a dovedit astfel încă o dată importanţa cooperării in­ ternaţionale în dezvoltarea ştiinţei . O situaţie mai complicată s-a ivit în legătură cu demonstraţia teoremei celor patru culori (enunţul aproximativ al acestei teoreme este : Patru culori sunt necesare şi suficiente pentru a colora orice hartă, reală sau imaginară, în aşa fel încât două "ţări" vecine să nu primească niciodată aceeaşi cu­ loare) . Era pentru prima oară cân d , în demonstraţia unei teoreme, se folosea calculatorul electronic. Unul dintre autorii demon straţiei, Wolfgang Haken, fiind întrebat dacă apreciază că demonstraţia teo­ remei celor patru culori este o demonstraţie ca toate celelalte, a dat următorul răspuns: dacă privim o demonstraţie ca un lanţ finit de deducţii logice for­ male, atunci demonstraţia teoremei celor patru cu­ lori nu prezintă nimic deosebit. Dacă însă cerem în plus ca o demonstraţie să poată fi supravegheată, controlată şi verificată in toate detaliile de către un matematician individual, fără niciun fel de aj utor fizic (de exemplu, prin folosirea unui calculator) şi aceasta într-un timp rezonabil, în orice caz finit, atunci demonstraţia în discuţie nu mai este de tipul celor obişnuite. Consideraţiile de mai sus atrag atenţia asupra unei situaţii noi apărute în matematică şi care, pro­ babil, va lua o amploare tot mai mare în deceniile următoare. Începând cu dezvoltarea geometriilor neeuclidiene, devenise tot mai clar că sistemele de axiome cu care se lucrează în matematică nu sunt numai rezultatul unui exerciţiu logic şi combinator, ci manife stă şi o relativă dependenţă de proprietăţile fizice ale entităţilor pe care le avem în vedere . În 530

particular, geometria depinde, în bună măsură, de fizică; axiomele ei au şi o latură experimentală. Acum, prin teorema celor patru culori şi prin teo­ rema de clasificare a grupurilor simple finite, însuşi procesul demonstrativ, pe care-l credeam de neatins în puritatea sa logică, intră într-o dependenţă tot mai accentuată de fizică, de experiment. Acest ca­ racter experimental al matematicii se manifestă în forme tot mai variate. Modelarea matematică a sis­ temelor este acum tot mai frecvent secondată de diferite tehnici de simulare a comportamentului sistemic, activitate de natură pronunţat experimen ­ tală. Unele ipoteze şi conjecturi sunt testate, pentru cazuri particulare , cu aj utorul calculatorului elec ­ tronic, în vederea obţinerii unor informaţii de plau­ zibilitate a diferitelor răspunsuri posibile. A apărut chiar o carte cu titlul Experiments in Mathematics (de Ulf Grenander) dedicată acestei chestiuni. Nu­ meroase conjecturi din domeniul teoriei numerelor sunt supuse actualmente unor testări de acest fel. Dar folosirea calculatorului în chiar procesul demon­ strativ al unei teoreme constituie o etapă superioară, în orientarea spre fizic şi experiment a activităţii ma­ tematice. Numai că, în acest fel, controlul corectitu­ dinii demonstraţiei devine mai dificil , uneori poate chiar imposibil. O teoremă generală din informatica teoretică afirmă că un program de calculator nu poate fi totdeauna controlat cu aj utorul unui pro­ gram de calculator; mai general, gândirea algoritmi­ că nu poate fi totdeauna controlată tot pe cale algoritmică.

PARIUL LUI J.L. DOOB Schema generală a strategiei folosite in demon­ strarea teoremei celor patru culori şi a altora de acest fel este următoarea: (a) Se arată că teorema este adevărată de îndată ce o anumită proprietate P este verificată într-un număr finit de cazuri specia­ le; (b) Se inventariază în mod explicit cazurile speci­ ale care trebuie testate; (c) Se trece la testarea proprietăţii P în fiecare caz special în parte. Se ob­ servă că nu este vorba de demonstraţii bazate ex­ clusiv pe calculator, ci de o strategie mixtă, în care primele două etape (a) şi (b) angajează puterile min­ ţii umane , iar etapa a treia, (c) , recurge la folosirea colaborării dintre om şi calculator. Etapa (a) constă in a reduce problema de la un număr infinit la un număr finit de parametri; în cazul teoremei celor patru culori, această etapă a parcurs mari dificul­ tăţi , necesitând un efort de peste un secol al unor matematicieni aparţinând câtorva generaţii. Demonstraţia din 1976 valorifică, într-adevăr, numeroase idei şi rezultate ale unor predecesori care , dacă au eşuat in demonstrarea completă a teoremei celor patru culori, au pus totuşi cărămizi preţioase la edificiul acestei demonstraţii . În ceea ce priveşte cazurile speciale care trebuiau testate, ele erau, pentru teorema în discuţie, în număr de vreo

1 500. Este lesne de înţeles că migala şi complexita­ tea unor atare operaţii depăşeau posibilităţile unei abordări manuale; Demonstraţia din 1 9 7 6 a teoremei celor patru culori ocupa 1 3 6 de pagini tipărite. Unele simplifi­ cări datorate fie autorilor iniţiali, fie unor contribuţii ale altor matematicieni, au reuşit să reducă numă­ rul orelor de calculator nece sare în etapa (c) . Era clar de la început că programele de calculator de­ pindeau e senţial de calitatea limbaj ului de progra­ mare folosit. Desigur, se poate admite , în principiu, că simplificări ulterioare ale demonstraţiei ar putea face inutilă folosirea calculatorului. Deocamdată însă nu am aj uns în acest stadiu , iar acest fapt face dificilă verificarea demonstraţiei. În 1 98 2 , o lucrare de diplomă a fost consacrată exclusiv acestei verifi­ cări (U . Schmidt, Uberpriifung des Beweises fUr den vierfarben Satz. Diplomarbeit, Technische Hoch­ schulle, Aachen), prilej cu care au fost identificate unele erori în demonstraţie ; s-a răspândit atunci zvonul că demonstraţia teoremei celor patru culori nu este bună, că nu poate fi acceptată. J . L. Doob îi provocase pe Appel, Haken şi Koch , autorii demon­ straţiei din 1 976, pretinzând că după cel mult cinci luni de investigaţii va găsi neîndoielnic o greşeală în demonstraţie. Appel , Haken şi Koch au răspuns că acceptă pariul, cu condiţia de a li se rezerva o pe­ rioadă de două săptămâni începând cu data sem­ nalării greşelii, perioadă în care ei, în mod cert, vor putea înlătura greşeala şi repara demonstraţia. J . L . Doob a aceptat, dar pariul a fo st câştigat de Appel, Haken şi Koch. Ulterior, Haken a publicat un articol cu titlul semnificativ: "D emon straţia teoremei celor patru culori este bună" , în care explică detaliat şi convingător ideea de ansamblu a demonstraţiei şi motivul pentru care eventuale noi greşeli sau lacune care ar mai putea fi descoperite nu pot contamina ansamblul procedării.

TERAPIA GREŞELII Discuţia de mai sus ne atrage atenţia asupra statutului foarte eterogen, variabil şi nuanţat al greşelii în matematică şi, în general , în cunoaşterea umană. Există o infinitate de grade de gravitate ale greşelii. Din punct de vedere psihologic, greşelile sunt inevitabile . Multe dintre ele îndeplinesc o ade­ vărată funcţie terapeutică. Unele greşeli se află la baza unor mari descoperiri (a se vedea greşeala lui Lebesgue din care s-a născut teoria mulţimilor ana­ litice a lui S uslin şi Luzin) , altele au generat mari eşecuri (a se vedea şirul de matematicieni care au crezut a fi rezolvat unele probleme cele bre , de la natura constantei lui Euler până la ipoteza lui Riemann) . În practica matematică obişnuită, gre­ şeala se poate ivi in împrej urări dintre cele mai di­ verse: folosirea unei teoreme fără îndeplinirea tuturor condiţiilor care pennit aplicarea ei; omitere a unui caz dintre mai multe cazuri posibile într-o

anumită situaţie; încălcarea unei reguli logice de inferenţă; efectuarea necore ctă a unor calcule; folo sirea într-o formă necorectă a unui rezultat anterio etc . Există mijloace de a evita greşeala? De a o evit, cu de săvârşire este cam greu, dar putem redUCI frecvenţa ei prin luarea unor măsuri de precauţie După ce redactăm un text, trebuie să-I revedem Cl atenţie. P.R. Halmos preconiza ca du-pă redactare, paginii a n - a să revedem primele n pagini. în aces fel , într-un text de zece pagini, prima este revăzuti de 1 0 ori, a doua de 9 ori , a treia de 8 ori, şi aş, mai departe , a opta de 3 ori, a noua de 2 ori , ia pagina a zecea este revăzută o singură dată. Idee. care ni se sugerează aici este aceea că, pe măsuri ce înaintăm cu redactarea, paginile deja redactatl ne pot apărea intr-o lumin ă nouă. Se creează însă e asimetrie, o neconcordanţă între controlul repetat a primelor pagini şi controlul superficial al celor dir urmă. Această neconcordanţă poate fi atenuată priI lectura repetată a textului in forma sa integrală Dar nu este suficientă recitirea repetată a textului mai este nevoie şi de un control riguros al surselo folosite. Folosirea unei teoreme pe baza modului ÎI care ne-o amintim este riscantă; prudenţa reclam. verificarea la sursă a folosirii corecte a teoreme respective (desigur, aceasta nu este posibil la UI examen sau concurs la care consultarea diferitelo surse nu e ste permisă) . Calculele trebuie şi ele veri ficate etapă cu etapă; dacă amânăm verificarea pâ nă la încheierea tuturor calculelor, s-ar putea Si intrăm în criză de timp , in eventualitatea necesităţi refacerii lor (desigur, această chestiune priveşte Cl deo sebire situaţia in care, aşa cum se întâmplă 1; un examen , avem la dispoziţie o durată precisă destul de limitată, pentru rezolvarea unor pro bleme) . Există apoi o anumită terapeutică a redac tării unui text matematic. Graba este o surs; potenţială de greşeli. Apoi, matematica pretinde u] antrenament îndelungat, în ceea ce priveşte capaci tatea de concentrare a atenţiei, pe o durată mai ma re , asupra unei dezvoltări de raţionamente şi calcul, in care fiecare etapă depinde esenţial de etapeI, anterioare. Un insuficient antrenament de acest ti] se află la originea multor greşeli comise de începă tori. Nu trebuie neglij ate nici aparente amănunte cum ar fi caligrafia redactării. Dacă grafia nu dis tinge bine între o şi a, între cifra 1 şi litera l, între şi n există posibilitatea substituirii pe parcurs unor simboluri prin altele. Să mai ob servăm că m de puţine ori, la examene de matematică, enunţu propus candidaţilor este interpretat greşit, din cau za unei lecturi insuficient de atente sau / şi datorit unei cunoaşteri superficiale a materiei; de aici , orientare a răspunsului într-o direcţie diferită d aceea avută în vedere de cei care au propus enunţt. respectiv. Uneori se întâmplă ca, din neglijenţE enunţul să prezinte totuşi o anumită ambiguitatf datorită unei formulări nefericite; în acest caz, can didatul, dacă nu poate cere lămuriri, va specific diferitele interpretări ale enunţului şi va preciz

53

interpretarea pe care o adoptă (in este posibil să se ocupe de fiecare

terpretări) .

cazul în care nu dintre aceste in­

DouĂ ZONE DE MANIFESTARE A GREŞELII Distingem deci două zone distincte de manifes­ tare a gre şelii. Prima zonă priveşte activitatea de cercetare ; aici, fiind vorba de explorarea necunoscu­ tului, este firesc să ne aflăm mereu sub ameninţa­ rea erorii. N-au fost cruţaţi de eroare nici cei mai mari matematicieni . Aceasta nu înseamnă, fireşte , că eroarea n- are importanţă, că nu trebuie luptat îm­ potriva ei ; dar experienţa a arătat că nu eroarea este păcatul cel mai mare pe care-l poate comite un om de ştiinţă, ci lipsa de idei sau pur şi simplu de sens. Decât o lucrare corectă, dar anodină, fără idei noi , interesante , mai bine o lucrare cu greşeli, dar care conţine unele sugestii interesante. A doua zonă de manifestare a gre şelii este aceea a proce selor de învăţare . Cunoştinţele dej a acumulate sunt siste­ matizate în cursuri , manuale, monografii şi tratate, unde probabilitatea erorii este evident mai mică decât în articole proaspete din revistele de cerceta­ re . Să nu uităm însă că cei care învaţă după cursuri şi manuale sunt, în mare parte, începători mult mai supuşi erorii decât cei avan saţi şi profesionalizaţi. Chiar dacă în cursuri şi manuale greşelile sunt rela­ tiv puţine, greşelile şi confuziile care apar în proce­ sul de învăţare a cursurilor şi manualelor sunt numeroase. Am putea chiar spune că dacă un înce­ pător nu comite greşeli şi nu manifestă nedumeriri în învăţarea unei discipline dificile, cum ar fi, de exemplu, Analiza matematică, atunci există o pro­ babilitate mare ca apropierea sa de această materie delicată să fie superficială. Să observăm, totuşi, că, dacă un cercetător profesionist este capabil, de multe ori, să identifice singur greşelile pe care le- a comis şi, eventual, să le corecteze, un începător este mai rar capabil de ace st autocontrol; pentru acesta din urmă, dialogul cu o persoană mai bine pregătită capătă o importanţă deosebită şi poate accelera substanţial procesul de înţelegere. Poate că unul dintre cele mai utile exer­ ciţii propuse unui începător e ste de tipul: Unde este greşeala? Un începător poate beneficia în două fe­ luri de acest tip de exerciţiu: fie controlând corecti­ tudinea unor texte ale colegilor săi şi dezvoltându-şi în acest fel spiritul critic; fie fiind controlat de colegi ai săi, de la care poate primi observaţii critice. Dar, fireşte , acest lucru nu e ste suficient; mai e ste nevoie şi de controlul efectuat de profesor, deoarece unele greşeli mai subtile vor rămâne probabil neobservate. Dar nici cercetătorii formaţi nu-şi pot detecta sin­ guri toate inadvertenţele; revistele ştiinţifice dau la referat unor specialişti articolele primite pentru publicare (de regulă, tot de la specialişti) şi rar se întâmplă ca textul să nu fie trimis autorului pentru

532

revizuiri. Există probabil o lege psihologică genera­ lă, conform căreia nicio persoană nu se poate obie c­ tiva suficient pentru a- şi putea examina critic propriile sale texte ; este totdeauna nevoie de acel " " cap limpede care, citind textul cu un ochi proas­ păt, vede şi ceea ce autorului i-a scăpat. Exerciţiile de tipul Unde este greşeala? prezintă totuşi un in­ convenient important. Interlocutorul este avertizat asupra prezenţei unei gre şeli, deci atenţia sa e mo­ bilizată în acest sens; însă intr-un proces normal de învăţare şi / sau cercetare, vigilenţa faţă de eventuale erori trebuie să funcţioneze tot timpul, deci şi în absenţa unui avertisment. Este de aceea important ca interlocutorul să fie prevenit că printre textele care i se propun pentru inspecţie se pot afla şi une­ le în care nu există nicio eroare. Experienţa mi-a arătat că, în astfel de situaţii, fenomenul cel mai caracteristic este identificarea unor erori imaginare, a unor false erori; începătorii devin, în condiţiile unui atare experiment, foarte bănuitori, ei nu mai au încredere aproape în niciuna dintre cunoştinţele lor anterioare . Este ca şi cum , supuşi unui proces de intimidare, ei sunt gata să retracteze aproape tot ceea ce au învăţat. Faptul este deosebit de semnifi­ cativ pentru ceea ce poate însemna o însuşire su­ perficială a materiei.

GREŞELI DE TIPAR BENIGNE Şi acum, pentru a ne descreţi puţin frunţile, să relatăm unele greşeli de tipar care au devenit cele­ bre datorită corectitudinii involuntare prin care ele se finalizează. Cea mai cunoscută este aceea sem­ nalată de H . E . Dudeny (Amusements in Mathema­ tatics, Thomas Nelson & Sons, New York, 1 9 1 7 , p . 20 ) : Produsul dintre 2 la puterea 5 şi 9 la puterea 2 este 2592 , cu alte cuvinte prezenţa lui 5 şi a lui 2 la exponent a fost confundată cu prezenţa lor, la parter, dar această confuzie nu s-a soldat (din feri­ cire?) cu un rezultat gre şit, deoarece un mic calcul arată că produsul celor două puteri este într-adevăr 2592. Această situaţie a generat, în mod natural, următoarea problemă: Care sunt soluţiile ecuaţiei (x la puterea y) (z la puterea x) = xyzx? În " American Mathematical Monthly" , voI . 4 1 , 1 934, p. 332 , s-a arătat că unica soluţie a acestei ecuaţii este cea semnalată mai sus (x = 2, y = 5 , z 9). Numeroase alte "greşeli de tipar" de acest fel ilustrează fenomene similare , în care îşi fac efectul unele teoreme ascunse, care ne provoacă să le des­ coperim . De exemplu: produsul dintre 3 la puterea 4 şi 425 este egal cu . . . 34 .425; produsul dintre 3 la puterea 4 şi 4 . 2 50 este egal cu . . . 344 .250; produsul dintre 3 1 la puterea 2 şi 325 este tocmai. . . 3 1 2 . 325; produsul dintre 3 1 la puterea 2 şi 3 . 250 este egal cu . . . 3 . 1 2 3 . 2 5 0 ; produsul numerelor 73,9 şi 42 este egal cu produsul dintre 7 şi 3 . 942 , iar cel dintre 73,9 şi 420 este egal cu produsul dintre 7 şi 39.420. Observăm că în primele patru egalităţi lucrurile =

s-au petrecut ca şi cum cifra care figura ca expo­ nent era coborâtă la "parter" , iar în ultimele două egalităţi ordinea cifrelor era păstrată, dar poziţia unor operaţii de multiplicare era modificată. Dar, de fiecare dată, această alterare a expresiei iniţiale rămânea fără efect asupra rezultatului. Iată şi alte exemple de acest fel : diferenţa dintre 9 la puterea a 2-a şi 1 la puterea a 2-a este egală cu 92- 1 2 = 80 , tot aşa cum diferenţa dintre 8 la puterea a 2-a şi 2 la puterea a 2-a este egala cu 82-2 2 . În general, diferenţa dintre p ătratul lui a şi cel al lui b, pentru a + b = 10 şi a superior lui b, este egală cu a2 b2 (în cazurile de mai sus am avut a = 9 şi b = 1, in primul exemplu, şi a = 8 şi b 2 în al doilea exem­ plu) . Frecvente sunt situaţiile în care tipografii pla­ sează greşit semnul de extragere a rădăcinii pătrate sau al unui radical de ordin superior. Dar nu tot­ deauna se simt efectele unei greşeli de acest fel; ca în cele ce urmează: rădăcina pătrată aritmetică din 2 şi 2 / 3 este egală cu produsul dintre 2 şi rădăcina pătrată a lui 2 / 3; rădăcina pătrată din 3 şi 3 / 8 este egală cu produsul dintre 3 şi rădăcina pătrată a lui 3 / 8 . Mai general, rădăcina de ordinul n din suma a + al (an 1) este egală cu produsul dintre a şi rădăcina de ordinul n din al(a- 1) pentru orice a superior lui 1 . Alte " greşeli de tipar" se referă la omiterea, din fericire fără consecinţe, a simbolului factorial. Ast­ fel, avem 1! 1 , 2! 2 , 1 ! +4 ! + 5 ! = 1 45 şi 4! + O! + + 5! + 8! + 5! 4 0 . 5 8 5 . In sfârşit, să mai menţionăm unele înmulţiri în care anumite permutări ale cifre­ lor rămân fără consecinţe asupra rezultatului în­ mulţirii: 1 02 x 402 = 2 0 1 x 204 ,2 1 3 x 9 3 6 312 x x 639 , 2 1 3 x 624 = 3 1 2 x x 426, 1 2 x 42 2 1 x 24, 1 3 x 62 = 31 x 2 6 . În alte cazuri, rezultatul înmulţi­ rii a două numere este format chiar cu cifrele celor două numere, într-o ordine adecvată: 2 1 x 87 = = 1 827, 2 7 x 81 2 . 1 8 7 , 35 x 4 1 1 .435, 86 x 2 5 1 = = 2 1 . 586. Egalităţi interesante apar în folosirea unor nu­ mere mixte. Astfel, în egalitatea 1 1 2. (9 + 1 / 3) = = 1 . 1 29 + 1 / 3 , totul se petrece ca şi cum coborârea lui 2 de la exponent la " parter" şi suprimarea paran­ tezelor rămân fără influenţă asupra rezultatului. Situaţii similare apar în următoCţrele egalităţi : 1 1 2(93 + 1 / 3) = 1 l .293 + 1 / 3 , 1 1 2(9 3 3 + 1 / 3) 1 1 2 .933 + 1 / 3, 2 1 2(4 + 9/ 1 1 ) = == 2 . 1 2 4 + 9 / 1 1 , 1 32 (7 + 6 / 7 ) 1 . 327 + 677 ; 1 32(7 . 857 . 1 42 + 6 / 7) 1 . 327.857. 1 4 2 + 6 / 7 . Alte exemple d e " greşeli d e tipar " benigne sunt indicate de Dudeny ( " Amusements in Mathematics " , Scripta Mathematica, voI. 8, 1 9 42 , p. 78) şi Joseph Madachy (Math. on Vaca ntion, Charles Scribner's Sons, New York, 1 9 67) . În toate exemplele de mai sus , caracterul benign al unor greşeli de tipar este rezultatul func­ ţionării unor teoreme care în unele cazuri au fost puse în evidenţă, în altele au fost lăsate în seama cititorilor. =

=

==

=

CUM ADUNĂM DOUĂ FRACŢII? Se ştie că unii elevi, în loc să adune fracţiile du­ pă regula a l b + ci d = (ad + bc)1 bd, procedează "mai simplu " , adunând numărătorii între ei şi numitorii între ei . Prima regulă este considerată corectă, a două greşită; atât de gre şită, încât, pe lângă nota 2 , poate atrage şi ilaritatea generală. Totuşi, atâta vreme cât a, b, e şi d sunt simboluri abstracte , fap­ tul de a considera una dintre reguli corectă şi cea­ laltă greşită este de natură pur convenţională. Numai în funcţie de o anumită utilizare pe care o avem în vedere problema capătă sens. Dacă, de exemplu, cumpărăm întâi al b kilograme de orez şi apoi el d kilograme de orez, atunci cantitatea totală de orez cumpărată este: al b + el d = (ad + bc)1 bd. Dacă însă un jucător de tenis a jucat într-o lună b partide, dintre care a câştigat a partide (fapt pe care-l reprezentăm prin al b, iar în luna următoare a jucat d partide, dintre care a câştigat c partide ; (fapt pe care-l exprimăm prin el d), atunci , în total , el a jucat b + d partide, dintre care a câştigat a + c partide, deci, cu convenţia adoptată, alb + el d (a + c)1 (b + d). Aceeaşi regulă funcţionează în ca­ zul în care prin al b înţelegem o pereche ordonată de numere , unde a este partea reală, iar b partea imaginară a unui număr complex; avem şi aici al b + el d (a + c)1 (b + d). Este deci clar că o regulă de operare nu este, în sine, nici corectă, nici greşită, ea este corectă sau greşită în funcţie de interpretarea şi utilizarea pe care le dăm simbolurilor. ::=

=

=

==

=

=

=

==

=

=

==

UNDE ESTE GREŞEALA? al Este un loc comun faptul că populaţia plane­ tei noastre era mult mai redusă în timpurile vechi decât în perioada recentă. Nu cumva s-ar putea demonstra contrariul? Fie n numărul oamenilor care se află în viaţă azi, 30 noiembrie 20 0 1 . Fiecare dintre aceşti oameni are 2 părinţi, 4 bunici , 8 străbunici ş.a.m.d. La a m-a generaţie, inapoi, numărul strămoşilor săi este puterea a m-a a lui 2 . Considerând că o generaţie corespunde l a vreo 30 de ani, va rezulta că, in urmă cu 30 m ani, numărul strămoşilor săi este dat de puterea de exponent m a lui 2 . Pentru n persoane obţinem produsul dintre n şi puterea de exponent m a lui 2 . Ţinând seama de faptul că puterea de exponent 1 0 a lui 2 este apro­ ximativ egală cu 1 0 0 0 , ar rezulta că în urmă cu vreo 300 de ani trăiau cam de 1 000 de ori mai mulţi oameni de cât azi, iar în urmă cu 600 de ani cam de un milion de ori mai mulţi decât azi. b) Ecuaţia (5 - 3 x) (7 - 2x) ( 1 1 - 6x) · (3 - x) a fost transcrisă gre şit de un elev, sub forma (5 - 3x) + (7 - 2x) = ( 1 1 - 6x) + (3 - x), obţinând astfel 1 2 - 5x 1 4 - 7x, deci 2x = 2 şi x 1 . Şi totuşi , so­ luţia obţinută satisface şi ecuaţia iniţială! Încă un exemplu care arată că din corectitudinea rezultatului •

==

=

==

533

nu rezultă corectitudinea rezolvării. Un alt elev "no­ rocos " a simplificat exponentul 2 în raportul dintre pătratul lui 1 + x şi diferenţa dintre 1 şi pătratul lui x. Rezultatul este iarăşi corect : ( 1 + x)1 (1 - x), dar rezolvarea este de o notă egală cu exponentul sim­ plificat. c) 2 kilograme 2 . 000 grame, 3 kilograme = = 3 . 000 grame; multiplicând membru cu membru cele două egalităţi, un elev obţine, " egalitatea" 6 kilograme 6 . 0 0 0 . 000 grame, ceea ce . . . întrece măsura. Un alt elev are ideea năstruşnică de a îm­ părţi membru cu membru cele două egalităţi şi ob­ ţine nici mai mult, nici mai puţin că două treimi dintr-un kilogram sunt egale cu două treimi din­ tr-un gram. Un al treilea elev bate recordul demon­ strând că o pisică are . . . şapte picioare . Cum a obţinut acest rezultat? A scris mai întâi ceea ce oricine ştie : 1 pisică are 4 picioare. Apoi a adăugat dedesubt: Nicio pisică nu are 3 picioare . După aceasta, a înlocuit ultimul enunţ prin altul " echiva­ lent" : Zero pisici au 3 picioare . Nu i-a rămas decât să adune membru cu membru cele două relaţii pen­ tru a obţine cele şapte picioare ale unei singure pisici. De observat că tot atât de bine ar fi putut demonstra că o pisică are n picioare, n fiind un nu­ măr natural arbitrar. =

=

JONGLERII ALGEBRICE a) Orice număr este egal cu dublul său, pretiilde un elev teribil. Într-adevăr, să scriem egalitatea bana­ lă: pătratul lui a minus pătratul lui a egal pătratul lui a minus pătratul lui a. Să scriem primul mem­ bru al egalităţii sub forma a (a - a) (deci am dat factor comun pe a), iar al doile a membru ca produs al sumei prin diferenţă: (a + a) (a - a). " Simplifi­ când" prin a - a se obţine a = 2a. Iată la ce poate duce împărţirea cu zero! Tot aşa se poate " demon stra" că 1 = - l . Pornind de la x = 1 , ridicăm la pătrat şi obţinem (x + 1) (x 1) = O. " Simplificăm" cu x - 1 şi obţinem x = -1 . b) Pentru a " demonstra" că i 1 (unde i este simbolul imaginar exprimând rădăcina pătrată a lui - 1 ) pornim de la produsul rădăcinii de ordinul 4 din 2 cu rădăcina pătrată din - 1 , produs care este egal cu produsul dintre rădăcina de ordinul 4 din 2 şi rădăcina de ordinul 4 din pătratul lui -1, produs la rândul său " egal " cu rădăcina de ordinul 4 din 2. c) Logaritmul unui număr negativ este egal cu logaritmul valorii absolute a aceluiaşi număr, pre­ tinde un elev. De ce? Pornim de la expresia 2 log a egală cu logaritmul pătratului lui a, la rân­ dul său egal cu logaritmul pătratului lui -a, deci cu. . . 2 19(a) = -a. Din 2 19a = 2 19(-a) " deducem" a= -a (prin "lg" am notat logaritmul într-o bază oa­ recare) . Tot aşa putem " demonstra" că 19(-l) = O. d) La o clasă gimnazială, un elev a " rezolvat" în următorul fel ecuaţia (a-x) j (l-ax) = (l-bx) j (b-x) . Din •

•

-

-

=

534

(a-x) (b-x)= (l-ax) ( l-bx) se obţine printr-un calcul elementar şi după simplificarea cu diferenţa dintre pătratul lui x şi 1 , egalitatea 1 ab. Însă simplifica­ rea este permisă numai pentru x diferit de 1 şi de -1 , aceste din urmă valori fiind chiar soluţiile ecuaţiilor. e) Ecuaţia (x + l ) (x + l)-(x + 2)(x + 3) = (x + 4)(x + + 5)-(x + 6)(x + 6) conduce, după de sfacerea paran­ tezelor, la egalitatea . . . 5 = 1 6, simptom al faptului că ecuaţia nu admite nicio rădăcină finită. Tot la o egalitate imposibilă (6 4) conduce, prin operaţii ((x­ nelegitime, şi ecuaţia (6(x-2)-9 (x-3)) / (x-2) (x-3) - 1 )-4(x-4) ) / (x-4) (x-I) ; soluţia corectă este x = 5. f) Să notăm cu v rădăcina pătrată a lui x şi cu z rădăcina pătrată a lui x + 1 ; apoi să considerăm ecuaţia (y + 4)1 (z + 7) = (y - 4)1 (z - 5). După calcule elementare se ajunge la soluţiile O şi 1 2 / 5 , dintre care numai a doua este valabilă (prima s-a introdus pe parcurs ca o rădăcină străină, printr-o operaţie de ridicare la pătrat, după cum arată o verificare directă) . Interesant este aici faptul că aparenta ră­ dăcină O putea fi ratată la un anumit moment, prin împărţirea cu x, ceea ce arată iarăşi că nu orice gre­ şeală se repercutează asupra rezultatului. =

==

=

DE LA GREŞELILE ŞCOLARILOR LA CELE ALE MAEŞTRILOR În 1 93 5 a apărut cartea lui M. Lecat, Erreurs de mathematiciens des origines â no sjours (Castaigne, Bruxelles) , în care se semnalează vreo 500 de gre­ şeli comi se de vreo 330 de matematicieni, în încer­ carea de a rezolva unele probleme celebre, de la statutul postulatului paralelelor al lui Euc1id, dupli­ carea cubului, trisecţiunea unghiului şi cuadratura cercului până la demonstrarea marii teoreme a lui Fermat. Mai toţi marii matematicieni au căzut vic­ timă măcar o dată câte unei greşeli de neatenţie sau de logică sau unei gafe rezultând din absenţa unei informaţii adecvate. Printre aceşti mari matematici­ eni se numără Abel , D 'Alembert, Jakob şi Johann Bernoulli, Cauchy, Descartes, Euler, Fermat, Galilei, Gauss, Lagrange, Laplace, Legendre, Leibniz, Monge , Newton, Poincare şi Steiner. Despre unele dintre ele am relatat anterior. Dintre lucrările care tratează acest subiect, vom mai menţiona cartea lui E.A. Maxwell (Fallacies in Mathematics, Cambridge, 1 9 63) şi pe cea a lui J . S . Dubnow (Fehler in geome­ trischen Beweisen, M . S . B . nr. 1 7 , ediţia a treia, Berlin , 1 9 67 ; traducere din limba rusă) . Dar cartea care ne serveşte drept ghid în rândurile de faţă este aceea a lui W. Lietzmann (Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlilsse unde Wamzeichen, ediţia a cincea, prelucrată şi completată de W. Oberlănder şi E. Ludwig, Teubner, Leipzig, 1 9 69). O greşeală intere santă a apărut în legătură cu încercarea de a se rezolva o problemă bine cunoscu­ tă privind numerele prime. Două numere :::, rime se numesc gemene dacă diferă prin 2. Numerele 5 şi 7

11

se află în această situaţie; la fel

19.

şi

13

17

sau

şi

Problema pe care o avem în vedere se referă la

faptul dacă există o infinitate de perechi de numere

prime gemene. Nu se cunoaşte însă răspunsul la această între bare. Cineva a crezut că i- a găsit răs­

punsul afirmativ, propunând următoarea demon­ " straţie " Se ştie că Euclid a demon strat că mulţimea numerelor prime este infinită. Idee a demon straţiei constă în a considera produsul numerelor prime:

mai mici sau egale cu produs pe

1 : (2

•

3

p

5

•

•

prim şi a adăuga acestui

7

•

P + 1).

11

Dacă nu­

mărul astfel obţinut nu este prim, atunci el admite

un divizor prin

a

mai mare decât

p.

Am demon strat

(2

astfel că cel puţin unul dintre numerele a şi

·5

7

•

11 ·

•

P + 1)

este prim şi superior lui

alte cuvinte , fiind dat un număr prim

p,

•

p,

3

•

cu

există tot­

deauna un număr prim mai mare decât

p.

Există

deci o infinitate de numere prime. Cineva a crezut că

(2

dacă

3 (2

•

atunci şi

•

•

5 3

•

•

7 5

•

•

11 p) + 1 este număr prim, 7 11 p) - l este număr prim •

şi ia astfel naştere o pereche de numere prime ge­

mene.

(W.

Lietzman n , op. cit . , pp.

1 4- 1 5) .

variate

cercuri:

funcţionari

de

bancă,

avocaţi de

provincie, învăţători, doctori fără clientelă, profesori

de liceu neinformaţi se cheltuieşte zadarnic în a căuta să rezolve probleme pentru c are nu au nicio

pregătire , şi anume în sen sul pozitiv al întrebării,

dovedit matematiceşte de mult ca imposibil. Toţi

visează s ă tri- secteze unghiul, să cuadreze cercul sau să dubleze altarul lui Apollon din Delos .

Academiile sunt inundate periodic d e ((soluţiile

lapidare)),

reduse

la câteva

rânduri

de

mizerabile

silogisme, ale unor maniaci. Această tenace gintă formează un fel de inter­

naţională,

în felul filateliştilor, întreţine o bogată

core spondenţă în care se plânge de neînţelegerea ştiinţei oficiale şi se mângâie cu justiţia posterităţii.

Cunoştinţele lor in matematică nu trec în cele mai

bune cazuri de nivelul şcolii secundare . Ceea ce îi

uneşte mai ales este oroarea de a se informa şi un anume arsenal de argumente iluministe.

Drept că nu argumentele teoriei lui Galois sunt

cele mai potrivite p entru a de scuraj a trisectorii şi duplicatorii. Dar nici alte argumente mai elementa­

re nu au putere asupra lor. Felix Klein, pentru a combate această formă a semidoctismului, printre

profesorii de liceu, a ţinut câteva veri la G6ttingen o

o SATIRĂ LA ADRESA DILETANŢILOR Nu trebuie

confundate

gre şelile

serie de conferinţe , tipărite mai apoi sub titlul

inerente

ale

maeştrilor în procesul de tatonare a necunoscutului

cu cele ridicule

ale

diletanţilor,

care ,

în absenţa

unei minime culturi matematice şi a simţului ele­ mentar al rigorii matematice, revendică paternitatea unor rezultate epocale . În această ordine de idei , este interesant să- I evocăm pe marele nostru mate­ matician Dan Barbilian .

oară în anul universitar

L-am avut profesor prima 1 9 45- 1 9 46 şi imi este vie şi

acum satira pe care a lansat-o atun ci la adre sa dile­

tanţilor. A inclus însă această satiră într-o ordine de

Ele­ mentar-mathematik von-einem h6heren Standspunkt aus. E o carte admirabilă, în care problemele istori­

ce sunt re spinse prin argumente elementare, foarte

ingenioase . Dar e o carte tot pentru m atem aticie ni şi foarte puţin pentru diletanţi. Zelul cuadratorilor, al euclidienilor sau al tri­

sectorilor n-a scăzut, nici n-a crescut, cu apariţia acestor volume "

ASPECTE ANECDOTICE

idei mai amplă. Acest text a văzut lumina tiparului

(Dan

Barbilian,

gică, Bucure şti,

Algebră, Editura Didactică şi 1 985, p p . 2 1 5-2 1 6) şi ni

Pedago­ se pare

instructivă reproducerea unor fragmente aici . Refe­ rindu-se la unele "probleme care au agitat antichi­ tate a ori vremurile mai noi, probleme sterile, rău puse , dar despre care s-au scris zeci de tomuri uita­

te",

Dan

Barbilian scrie: " Dacă ne ocupăm totuşi în

acest curs de câteva din ele, o facem din două moti­

Vom prezenta acum, în acţiune , un "trisector al

unghiului " ; către

W.

este vorba de

o

scrisoare

primită de

Lietzmann de la un cititor după apariţia

primei ediţii a cărţii sale menţionate mai sus . Fie un

unghi cu vârful în punctul O. Corespondentul lui Lietzmann pretinde că-I împarte în trei părţi egale,

cu rigla şi compasul, în modul următor. Pe una dintre laturile unghiului con sideră un segment OA,

ve . Mai întâi, demonstrarea imposibilităţii lor con­

pornind din vârf şi încă două puncte, B şi C, pe

domeniu, e drept, mai mult negativ.

= AB

stituie

o

ilustraţie

a

teoriei

lui

Galois

într-un

Al doilea motiv atinge o problemă de cultură generală şi, ca să zicem astfel, de ordine publică. Celebritatea enunţurilor de care vorbim ( cum ar fi aceea a cuadraturii cercului) le dă o circulaţie nedo­ rită. Ele au căzut de mult în dome niul comun . Sen­

aceeaşi latură şi în acelaşi sen s , astfel încât OA = =

B C . Trasează apoi cercul cu centrul în O şi

de rază OB şi notează cu B I punctul de intersecţie

al acestui cerc cu cealaltă latură a unghiului cu vârful în O. Fie M mij locul arcului de cerc BB l cu­ prins între laturile unghiului considerat. Se trasea­ ză cercul cu centrul în O şi de rază OC şi se notează

sul în care însă au fo st, de mult, hotărâte aceste

cu CI intersecţia sa cu cealaltă latură a unghiului

sau, mai degrabă, publicul nu vrea să ţină seama

C C I , din C până într-un punct pe care îl notăm cu

Astfel, o întreagă categorie de diletanţi aparţi­

creadă că unghiul CON e ste a treia parte din un­

întrebări nu a aj uns la cunoştinţa marelui public de el.

nând mai tuturor naţiunilor şi recrutaţi din cele mai

cu vârful în

O.

Se poartă apoi arcul BM pe arcul

N. Corespondentul lui Lietzmann are naivitatea să

ghiul COC I ; în să arcele BM şi CN nu sunt egale;

53 5

numru m cercuri egale la coarde egale corespund arce egale. Să încheiem acest paragraf cu unele exemple anecdotice. Primul se referă: la " demonstraţia" dată de un elev teoremei lui Pitagora. Dacă pătratul ipo­ tenuzei este egal cu 2, iar pătratul fiecărei catete a unui triunghi este egal cu 1 , atunci avem evident 2 = 1 + 1 , deci teorema lui Pitagora se verifică: 2 = 1 + 1 . Să înlocuim acum pe 2 cu a2, pe 1 cu b2 şi pe 1 cu c2. Obţinem tocmai teorema lui Pitagora . A doua anecdotă ne "învaţă" că logaritmul unui număr x este egal cu logaritmul opusului -x. Într-a­ devăr, primitiva funcţiei 1/ x este In x + c. Înlocuind în relaţia " Integrală din (dx) / x = In x + c pe x cu -x' , obţinem relaţia " integrală din (d(-x) / (-x)=ln(-x)+c " ; deci prin simplificarea cu - 1 , obţinem " integrală, din (dx)x = ln(-x) + cu; însă două cantităţi egale cu a treia sunt egale între ele , deci ln(-x) = In x. Iată ce se întâmplă când nu suntem atenţi la modul şi terito­ riul de definiţie a funcţiilor cu care lucrăm şi uităm că dx sub semnul integralei nu înseamnă diferenţia­ la lui x. O a treia anecdotă se va referi la funcţiile pare şi la cele impare. Vom " demon stra " că orice număr par este egal cu zero şi orice număr impar este egal cu 1 . Pornim de la egalitatea care afirmă că puterea de exponent 2n a lui -1 este egală cu 1 şi, logarit­ mând în ambii membri, obţinem 2n 19(-l) 19 l = O , deci 2n O sau 1 9 (- 1 ) = O . Însă puterea de exponent 2n + 1 a lui 1 este egală cu -1 şi , logaritmând în am­ bii me mbri , se obţine (2n+l) 19 (- 1 ) = 19(-l) , deci 2n+l== = 1 şi 2n O. Iată efectele dezastruoase ale calculu­ lui formal, care nu se m ai sinchiseşte de legitimita­ tea operaţiilor şi de teritoriul pe care o anumită funcţie este definită. =

=

Un elev a propus unnătoarea abordare . Amplificând prima fracţie cu 2 şi a doua fracţie cu 3 ; se obţine (4 exp 19 x) / (6 exp 19 x) + (9 exp 19 x) / (6 exp 19 x) = 1 3 / 6 , de unde rezultă 19 x = 1 , deci x = 1 0 . U n al doilea elev a procedat după cum urmează: 19 x 19 (2 / 3) + 19 x (3 / 2) = 19 ( 1 3 / 6) , deci 19 x (lg (2 /3) + + 19 (3 / 2) 19 1 3 / 6, aşadar 19 x 19 ( 1 6 / 6) = 19 ( 1 3 / 6) , de unde rezultă 19 x = 1 şi x 1 0 . U n al treilea elev a pornit de l a relaţia 1 9 a + 1 9 b == = 19 (a b), deducănd 19 x (lg(2 / 3) + 19 (3 /2) = = 19 ((2 / 3 ) (3 / 2) exp 19 x. Însă 19 (2 / 3) + 19 (3 / 2) 19 ((2 / 3 ) (3 /2)) , deci 19 x 19 1 + 19 1 , de unde re­ zultă 19x = 1 şi x = 1 0 . Nu este greu de văzut că toţi cei trei elevi au gre şit. Primul nu a respectat regulile de calcul cu puteri , al doilea nu a respectat regulile de calcul cu logaritmi, iar al treilea a comis mai multe erori, printre care şi împărţirea cu zero. S-a găsit însă un al patrulea elev, care a indicat o solu­ ţie corectă, notând cu v pe (2 / 3 ) exp 19 x, de unde (3/ 2) exp 19 x = l/ y, deci y + l/ y = 3 / 6 şi y2 - ( 1 3/ 6)y + + l = O, deci se obţin soluţiile 3 / 2 şi 2 / 3 . De aici deducem (2 / 3) exp 19 x = 2 / 3 , de unde rezultă 19 x = = 1 şi x = la şi (2 /3) exp 19 x+ 3 / 2 , de unde rezultă că 19 x - l, deci x = 1 / 1 0. Cele două rădăcini ale ecua­ ţiei iniţiale, în x, sunt deci l a şi 1 / 1 0 . =

=

==

=

•

•

=

=

•

INEGALITĂŢI CU SAU FĂRĂ MODULE

=

=

CAPCANE ALE EXPONENŢIALELOR ŞI LOGARITMILOR Cum rezolvăm ecuaţia ((3 / 4) la puterea x) = = (4 / 3) la puterea 7)? Un elev a rescris această ecuaţie sub forma egalităţii dintre puterea de expo­ nent (x + 7) a lui 3 şi puterea de exponent (x + 7) a lui 4, de unde 3 = 4 , deoarece dacă două puteri de acelaşi exponent sunt egale , atunci şi bazele celor două puteri sunt egale . Însă această regulă este valabilă numai dacă exponentul este nenul ; altfel, ţinând seamă că puterea de exponent zero a orică­ rui număr diferit de zero este egală cu 1 , ar rezulta că toate numerele diferite de zero sunt egale între ele . Tocmai valoarea x = -7, care anulează exponen­ tul comun celor doi membri , este rădăcina corectă a ecuaţiei, cum se poate vedea uşor şi printr-o verifi­ care directă. Pentru a evita parafrazele de mai sus, să con­ venim a nota cu u exp v puterea de exponent v a lui u: Fie ecuaţia ( 2 / 3) exp 19 x + (3 / 2 exp 19 x = = 1 3 / 6 , unde logaritmul este con siderat în baza 1 0 . 536

1 ) Fie a şi b două numere strict pozitive. Este adevărat că l a + b l > l a - b l ? Un elev pretinde că răspunsul este aft.rmativ, argumentând în modul următor. Avem I a + b I = l a i + 1 b 1 > 1 a 1 - 1 b 1 = = 1 a-b \ , deci, prin tranzitivitate , 1 a+b 1 > 1 a-b I Însă aici s-a comis un abuz: egalitatea l a i - I b 1 = I a-b 1 nu este adevărată totdeauna, mai precis, este falsă dacă b este superior lui a. O abordare corectă este următoarea: deoarece a şi b sunt strict pozitive, a + b este strict superior lui a, care la rân­ dul său este strict superior lui a - b. Prin tranzitivi­ tate, rezultă că a + b este strict superior lui a- b. Din pozitivitatea lui a+b rezultă 1 a+b I > I a-b 1 · 2) Este adevărat că din ab > cd şi ae > cf rezul­ tă bf> eă? (a, b, c, d, e şi f desemnează, toate, nu­ merele strict pozitive) . Un elev împarte primele două inegalităţi membru cu membru şi obţine b/ e > d/I, de unde obţine imediat, prin înmulţire cu ef, inega­ litatea dorită, deci răspunsul afirmativ la întrebarea de mai sus. Însă raţionamentul său este abuziv, deoarece prin împărţire membru cu membru două inegalităţi de acelaşi sens nu conduc neapărat la o inegalitate de acelaşi sens. De exemplu, 1 este infe­ rior lui 2 , iar 2 este inferior lui 1 0 , însă 1 / 2 nu este inferior lui 2 / 1 0 = 1 / 5. Nu este greu de văzut că, în general, în condiţiile inegalităţilor ab > cd şi ae > cI, nu se poate spune nimic de spre relaţia dintre bf şi ed. 3) Pentru care valori ale lui a şi b are loc inega­ litatea a/ b + b/ a > 2? Un elev a propus următorul răspuns: eliminând numitoru, obţinem a2 + b2 > =

> 2 ab, deci a2-ab > ab-b2 cu alte cuvinte, a (a-b > > b (a-b) şi prin simplificare ca a-b, rezultă a > b; deci inegalitatea propusă este corectă pentru a > b. Însă elevul nostru a ignorat faptul că ceea ce se află la numitor nu are nevoie să se anuleze, iar împărţi­ rea cu zero nu este permisă. Este clar că trebuie ca a şi b să fie diferiţi de zero . Se mai observă că a şi b trebuie să fie de acelaşi semn ; altfel, cei doi termeni din primul membru sunt amândoi negativi, deci suma lor poate întrece pe 2. Inegalitatea care se obţine după eliminarea numitorilor conduce la a2-2ab + b2 > O, deci (a-b» O, cu alte cuvinte inega­ litatea din enunţ este satisfăcută ori de câte ori a şi b sunt diferite intre ele, amândouă strict pozitive sau amândouă strict negative. ,

GÂNDIREA LUI EUCLID În cartea a IX-a a Elementelor sale , Euc1id (32 0275 î . Hr.) se ocupă, între altele, de teoria numerelor prime, stabilind două teoreme care se află şi azi la baza acestei teorii. Astfel, propoziţia 1 4 revine la ceea ce azi numim teorema de unicitate a de scom­ punerii unui număr natural in factori primi . Practic , Euclid consideră cazul particular al unui număr A care este produsul a doi factori primi, B şi C, şi ara­ tă că presupunerea existenţei unui număr prim O , distinct de B şi d e C, prin care s-ar divide exact A, duce la o contradicţie . Tot pe un caz particular pro­ cedează şi în ceea ce priveşte demonstrarea propozi­ ţiei 20 , care afirmă că mulţimea numerelor prime este infinită. Este interesant aici să reproducem chiar modul de exprimare folosit de Euclid: " Nume­ rele prime există în număr mai mare de cât orice cantitate de numere prime dată înainte " Şi aici, Euclid raţionează prin reducere la absurd: Să admi­ tem că A, B şi C sunt numere prime; în ace st caz, produsul lor mărit cu o unitate ABC + 1 sau este prim, obligatoriu diferit de A, B şi C, sau nu este prim, dar se împarte exact la un număr prim D. Însă D nu poate coincide cu niciunul dintre nume­ rele A, B, C, deoarece dacă ar coincide, de exemplu, cu A, atunci fiind divizor şi pentru numărul ABC + 1, ar trebui să fie divizor al unităţii, ceea ce este ab­ surd. Prin urmare , există un număr prim diferit de A, B şi C' Am folosit, în cele de mai sus , Istoria matemati­ cii în antichitate, de E. Kolman (Editura Ştiinţifică, 1 963, pp. 14 1 - 1 42) . Există însă versiunea româ­ nească a Elementelor lui Euclid, realizată de Victor Marian şi publicată în anii 1939- 1 94 1 . După cum se poate vedea uşor, raţionamentul lui Euclid , deşi efectuat pe un caz particular, este în e senţă valabil în cazul general. Ne vom opri în mod special la teo­ rema a doua. Euclid a fost frapat de faptul că, pe măsură ce înaintăm în şirul numerelor n aturale , numerele prime se întâlnesc tot mai rar, ceea ce creează bănuiala că de la un anumit număr mai departe ele ar putea să nu mai apară de loc . Iată

deci o întrebare firească: există un cel mai mare număr prim? Euclid obţine răspunsul negativ, de­ monstrând ceea ce azi s-ar putea enunţa în modul următor: oricare ar fi numărul natural n, dacă exis­ tă n numere prime , atunci există şi un al (n + I)-lea număr prim.

COMENTARIUL LUI DAN BARBILIAN Un elev de gimnaziu mi-a pus, la o întâlnire re­ centă, o întrebare fe rmecătoare prin naivitatea ei: cine a inventat matematica? Deoarece nu a existat un asemenea inventator, putem înlocui întrebarea de mai sus cu altele, mai adecvate, de exemplu cu intrebare a: cine a dat prima con strucţie axioma­ tic-deductivă de amploare în matematică? Dacă au fost mai mulţi (unele civilizaţii neeuropene revendi­ că şi ele înfăptuiri similare) , Euclid s-a numărat în orice caz printre ei. Demonstraţia sa privind infini­ tatea mulţimii numerelor prime se detaşează ca una dintre cele mai frumoase din întreaga sa operă. Prin simplitatea ei profundă, această demonstraţie a creat un tip de raţionament care nu şi-a pierdut nici astăzi importanţa. Vom invoca, în această privinţă , pe matematicianul român Dan Barbilian, care a publicat un amplu studiu privind importanţa pe care demonstraţia lui Euclid o prezintă pentru alge­ bra modernă (a se vedea articolul său "Argumentul lui Euclid asupra infinităţii numerelor prime" , in revista Studii şi cercetări matematice, 1 957 , nr. 1 - 2 , pp. 7-72) . N u vom intra aici în substanţa acestui studiu de matematică superioară, dar vom menţio­ na comentariul introductiv, al lui Dan Barbilian, de natură să atragă atenţia şi începătorilor asupra razei de acţiune pe care o poate avea un raţiona­ ment matematic profund , care merge la originea fenomenelor: "Modul lui Euclid de a conchide la infinitatea numerelor prime, îndelung banalizat de învăţămân­ tul în clase, apare totuşi (re gândit, restituit momen­ tului său originar) ca una din cele mai înaripate încorporări ale geniului elinesc. Esenţial , concis şi fecund, acest raţionament aritmetic - altfel de cât raţionamentele geometrilor vechi: succe sive, greoaie, prin detalierea tuturor cazurilor de figură; la fel, poate , cu unele apoftegme ale filozofilor sau unele versuri ale aezilor - închide pentru noi, într-o fracţiune de durată, întreg mira­ colul grec . Puterea lui demon strativă e departe de a fi isto­ vită. Teoreme însemnate de aritmetică, a căror în­ temeiere în ipoteze cât mai generale reclamă şi astăzi resursele analizei , se lasă stabilite algebric, câteodată chiar elementar, prin acţiunea acelui ar­ gument perenic, abia modernizat. În Nota de faţă dezvoltăm câteva observaţii fă­ cute cu ocazia unui curs introductiv de Teoria nu­ merelor şi având argumentul lui Euclid drept comună măsură. Nota conţine: 1 . Tran spunerea in 537

necomutativ a te oremei relative la descompunerile în produse de elemente ireductibile din inelele cu element unitate ( . . . ); 2. Izolarea nucleului algebric al teoremei analitice asupra infinităţii idealelor prime de grad 1 din corpurile de numere algebrice ; 3 . O demonstraţie elementară, cu schematismul lui Euclid, a cazului spe cial p = nr + 1 al teoremei lui Dirichlet asupra progresiei aritmetice ( . . . ) ; 4. ( . . . ) Schema demonstraţiei elementare, a cazului special p = nr + 1, al progresiei aritmetice, o datorăm unei comunicări orale a d. A. Châtelet ( . . . ) Domnia-sa afirmă că demonstraţia ar aparţine lui Hilbert ( . . . ). E vorba, cred, mai degrabă de o variantă (foarte inte­ resantă, în care argumentul lui Euclid apare într-un vestmânt neaşteptat) a demonstraţiei algebrice a lui E. Wendt ( . . ) .

"

DEFORMAREA ARGUMENTULUI LUI Eucuo Cititorul se poate întreba de ce discutăm des­ pre toate acestea la un capitol dedicat greşelii. A venit momentul să explicăm ace st lucru. În unele cărţi, teorema lui Euc1id privind infinitate a mulţimii numerelor prime este demonstrată pe o cale modifi­ cată faţă de aceea indicată de Euclid . Faptul n-ar trebui să mire. în principiu, orice teoremă poate fi demonstrată în mai multe feluri şi, de obicei, nu demonstraţia iniţială este cea mai simplă. Numai că în cazul teoremei lui Euc1id două fapte atrag aten­ ţia. În primul rând, nicio demonstraţie ulterioară lui Euclid nu întrece ca simplitate şi eleganţă demon­ straţia dată de Euclid. În al doile a rând, calea modi­ ficată despre care am vorbit mai" sus nu pare să fie rezultatul unei opţiuni, ci mai degrabă efectul unei scăpări de atenţie . lată despre ce este vorba: în loc să se considere , ca la Euc1id , produsul primelor n numere prime , se lucrează pur şi simplu cu factori­ alul lui n, unde n este presupus (prin reducere la absurd) că ar fi cel mai mare număr prim. Suma dintre acest factorial şi unu sau este un număr prim, sau admite un divizor prim superior lui n; în ambele situaţii ne aflăm în prezenţa unui număr prim superior lui n, deci se obţine o contradicţie care demonstrează teorema lui Euclid. Se constată deci că înlocuirea produsului numerelor prime până la n prin factorialul acestuia din urmă, adică pro­ dusul tuturor numerelor naturale până la n, nu invalidează demon straţia teoremei lui Euc1id, redu­ cându-i însă din simplitate şi eleganţă, deoarece pe măsură ce n creşte factorialul lui n este de un ordin de mărime superior produsului numerelor prime până la n. Am putea spune că demonstraţia modifi­ cată introduce o anume redundanţă. Explicaţia apari­ ţiei acestei modificări pare a fi următoarea: de obicei, produsul numerelor prime până la n (n prim) este scris sub forma 2-3 . . . n, confuzia c � factorialul 1 .2 . 3 . 4 . . n devenind foarte plauzibilă. Modificarea nu a fost intenţionată, autorii respectivi nu au avut probabil conştiinţa faptului de a fi trădat gândire a .

538

lui Euclid. Au trădat-o într-adevăr? Ideea de bază nu rămâne aceeaşi? N umai într-o anumită măsură. Ampla discuţie pe care o dezvoltă Dan Barbilian arată că în algebra modernă argumentul lui Euclid privind infinitatea numerelor prime este recuperat esenţial în forma sa originară. Primalitatea factorilor se dovedeşte a fi fundamentală. Iată deci că, măcar uneori , întoarcerea la texte­ le maeştrilor este revelatoare şi în ştiin ţă, unde de obicei îi citim pe clasici prin intermediul expunerilor moderne .

ESTE CURBA UN CONCEPT GEOMETRIC? Suntem înclinaţi să dăm un răspuns afirmativ acestei întrebări. Acest răspuns este însă numai parţial corect, deoarece curba se defineşte ca un cuplu format dintr-o aplicaţie continuă f a unui interval compact [ a, b] în spaţiul euclidian cu două sau cu trei dimensiuni (după cum e ste vorba de o curbă plană sau o curbă în spaţiu) şi imaginea acestei aplicaţii, adică mulţimea punctelor din plan (sau din spaţiu) care se obţin ca valori ale acestei aplicaţii. Constatăm deci că o curbă are două com­ ponente , una analitică, alta geometrică. Deoarece direct vizibilă nu poate fi decât cea de a doua com­ ponentă, riscul de a greşi este mare; cu atât mai mult cu cât chiar a doua componentă nu este tot­ deauna vizibilă, datorită faptului că imaginea unei aplicaţii continue nu poate fi trasată efectiv decât dacă aplicaţia are derivată continuă (cu excepţia eventuală a unui număr finit de puncte) . Un exem­ plu va fi edificator. Se ştie că există funcţii reale continue pe [a, b], care nu sunt derivabile în niciun punct din [ a, b] . Fie g şi h două astfel de funcţii. Să definim cu aj utorul lor o aplicaţie continuă a lui [a, b] în spaţiul euclidian cu două dimensiuni (adică în plan) . Putem figura unele puncte (f, t) , dar nu putem reprezenta vizual întreaga imagine a curbei considerate, din cauza limitelor existente în posibili­ tăţile nOqstre de a reprezenta geometric o mulţime infinită de puncte. Această posibilitate se realizează atunci când putem trasa în mod continuu mulţimea respectivă, imprimând inevitabil creion ului nostru o direcţie in fiecare punct (cu excepţia eventuală a unui număr finit de puncte , în care putem schimba brusc direcţia) . Putem deci trasa graficul unei curbe cu tangentă continuă, dar nu şi pe acela al unei curbe fără tangentă. Aj ungem acum la problema lungimii unei curbe. Modul natural de a proceda este acela al aproximă­ rii prin linii poligonale înscrise . Ca şi în studiul in­ tegralei, considerăm o diviziune d a intervalului [a, b] , căreia îi asociem o linie poligonală L(d) înscrisă în imaginea curbei, după cum urmează. Dacă t este o valoare în [a, b], atunci punctul f(t) de coordonate g(t), h(t) va fi situat pe imaginea curbei definite de L(d) . Atribuim rolul lui t fiecărui punct al diviziunii d. Pentru două puncte s şi t ale diviziunii considerăm

segmentul de dreaptă care uneşte pe I(s) cu I(t) şi calculăm lungimea acestui segment (după regulile învăţate la geometria analitică) . Procedăm astfel pentru toate perechile consecutive de puncte ale diviziunii d şi facem suma l(d) a lungimilor şi seg­ mentelor astfel obţinute . Marginea superioară a mulţimii de numere l(d) creşte sau stă pe loc. Este deci firesc să ne îndreptăm atenţia asupra tendinţei de creştere a valorilor l(d), fapt realizat prin conside­ rarea marginii superioare . Să considerăm acum o curbă f definită pe [O, 1 ] , cu valori în plan , după cum urmează: abscisa g(t) a punctului I(t) este egală cu ordonata sa h(t) oricare ar fi t în intervalul [O, 1 ] . Să luăm mai întâi g(t) h(t)=t. Obţinem o curbă a cărei imagine este diagonala pătratului unitate din primul cadran, diagonală situată pe prima bisectoare a axelor de coordonate. Lungimea acestei curbe este evident rădăcina pătrată aritmetică a lui 2 . Dacă acum luăm g(t) h(t) = o funcţie continuă pe [O , 1 ] , care nu este derivabilă în niciun punct din [O , 1 ] , curba obţinută va avea aceeaşi imagine ca şi curba prece­ dentă. Vom fi astfel tentaţi să-i atribuim aceeaşi lungime; însă procedând la evaluarea acestei lun­ gimi după metoda prezentată mai sus, care se pre­ valează de comportamentul lungimilor l(d) ale liniilor poligonale asociate diferitelor diviziuni d ale lui [O, 1 ] , vom constata că marginea superioară a mulţimii de numere l(d) este infinită, deci cu aceeaşi imagine geometrică pe care o are curba precedentă, nu mai are lungimea egală cu radical din 2, ci cu infinit. Explicaţia acestui paradox se află tocmai în imposibilitatea de a reduce curba la suportul ei geometric. Noţiunea matematică de curbă nu se reduce la aceea de mulţime de puncte de un anume tip, ci urmăreşte şi modul în care această mulţime este parcursă. i n cazul nostru, trebuie să ne imagi­ năm un fir infinit de lung, dar fără grosime (deci un fir ideal), pe care-l desfăşurăm de-a lungul primei bisectoare a axelor, între punctele (O , O) şi ( 1 , 1 ) , răsucindu-1 şi întorcându-l din drum, d e fiecare dată când aj ungem la una dintre extremităţi. Aceas­ ta este situaţia dacă g(t) = h(t) = o funcţie continuă, care nu este derivabilă în niciun punct din [O , 1 ] , =

=

ESTE GEOMETRIA O ŞTIINŢĂ? Această întrebare bizară a fost formulată de Saunders MacLane (Mathematics. Fonn and Func­ tion, Springer Verlag, New York, 1 9 86, p. 9 1 ) , iar discuţia ei se plasează oarecum natural în ordinea de idei a paragrafului precedent. În special în ulti­ mele rânduri ale acestui paragraf am fost confrun­ taţi cu o experienţă relativ primitivă in care spaţiul şi mişcarea sunt deopotrivă implicate. Suntem ten­ taţi să considerăm sistemul axiomatic-deductiv al geometriei euc1idiene drept un compartiment al unei ştiinţe a spaţiului, exact aşa cum mecanica

este ştiinţa mişcării, iar biologia este ştiinţa forme ­ lor vii. Dar dacă ar fi aşa, con sideră MacLane, ar trebui ca această ştiinţă să fie unică , ceea ce nu este cazul (a se vedea geometriile neeuclidiene) . Geometria este " extrasă" din experienţă, dar noi nu testăm experimental teoremele de geometrie , aşa cum testăm propoziţiile fizicii. Chiar dacă măsură­ torile ar contrazice, pentru un triunghi dreptunghic particular, teorema lui Pitagora, noi nu am pune sub semnul îndoielii această teoremă. Mai degrabă vom mod ifica proc edeele de măsurare a lungimilor şi unghiurilor, unităţile de măsură utilizate sau cumva vom considera că aceste măsurători aparţin unei alte teorii geometrice . Un cunoscut filozof al ştiinţei, Karl Popper (tradus şi in româneşte prin una dintre operele lui principale) , a propus drept criteriu de recunoaştere a caracterului de ştiinţă pe care-l are sau nu o anumită disciplină capacitatea enunţurilor ei de a putea fi falsificate ; or, după cum observă MacLane , enunţurile geometrice nu au această proprietate . Ce este atunci geometria? Este o structură inte­ lectuală foarte complexă, eterogenă, având rădăcini în întrebări relative la experienţa umană a mişcării, a construcţiei şi a formelor. Propoziţiile geometriei intervin în orice ştiinţă a mişcării, în toate practicile inginereşti ale construcţiei, însă structura geometri­ că nu este unic determinată. Axiomele ei pot fi ma­ nipulate în diferite feluri , care merg de la tradiţia euc1idiană la versiunea propusă de Hilbert sau la aceea în spiritul teoriei grupurilor. Geometriile ne­ euc1idiene sunt la fel de posibile şi de utile ca şi geometria euc1idiană, deoarece şi primele , şi a doua au originea în experienţa noastră cu spaţiul şi cu mişcarea. Însă ace st studiu conduce şi la alte struc­ turi, mai puţin geometrice , ca distanţa şi unghiul, la manipularea lor algebrică, la numere reale şi func­ ţii . Î n aceeaşi ordine de idei, a unor structuri com­ pozite, în care geometricul şi negeometricul intră deopotrivă, în diferite proporţii, variabile de la o situaţie la alta, intră şi problema lungimii curbelor, a statutului însuşi al conceptului de curbă. Un alt aspect este cel al structurii algebrice de grup impli­ cate organic în problema transformărilor geometri­ ce. Logica îşi are şi ea partea ei. Nu este geometria euc1idiană primul exemplu, în ordine istorică, de structură deductivă de amploare? Conceptul delicat de continuitate, care aparţine nu geometriei, ci analizei matematice, este , după cum am văzut, esenţial în definirea ideii de curbă (pentru a păstra o minimă legătură cu suportul ei vizual) . Axiomatizarea geometriei s-a prevalat de idei ca dreaptă, plan, unghi, triunghi. Dezvoltări ulterioare au implicat şi idei mai rafinate, ca orientarea şi com­ punerea transIormărilor (mişcărilor). Geometria este un conglomerat foarte elaborat de percepţii, deduc­ ţii , figuri şi idei. Credem că nu trădăm gândirea lui MacLane (unul dintre creatorii teoriei categoriilor, care a schimbat radical imaginea de ansamblu a matematicii, începând cu deceniul al cincilea al 539

secolului trecut) , dacă spunem că geometria, în structura ei atât de eterogenă, are o componentă ştiinţifică, dar nu se reduce la această componentă, deoarece implică o experienţă umană mai complexă.

CAPCANELE TANGENTEI Riscurile reducerii chestiunilor de Analiză ma­ tematică la aspectul lor vizual apar şi în activitatea practică cea mai elementară. Ce este o tangentă la o curbă? " O dreaptă care are în comun cu ea un singur punct" , se grăbesc unii să răspundă. Totuşi, dreptele de forma x = = con stant au în comun cu parabola y = x2 câte un singur punct; dar nu sunt tangente la parabolă, după cum se vede imediat pe o reprezentare grafică. "Tangenta este o dreaptă care atinge curba într-un singur punct " , încearcă un elev să repare răspunsul anterior, distingând astfel un punct de intersecţie de unul de atingere . Î nsă dreapta y = 1 (ca şi dreap­ ta y = - 1 ) atinge curba sinusoidală, y = sin x într-o infinitate de puncte şi totuşi este tangentă la aceas­ tă curbă. Tangenta la o curbă c într-un punct p " este o dreaptă care are în comun cu c punctul p, în aşa fel încât există o vecinătate V a lui p pentru care intersecţia lui V cu imaginea curbei c se află de o singură parte a dreptei considerate " , precizează un alt elev, pentru a obţine astfel explicaţia celor două exemple de mai sus. Î ntr-adevăr, după noua defini­ ţie dreapta x = 3 nu mai este tangentă la parabola y = x2, în timp ce dreapta y = 1 este tangentă la curba y = sin x într-o infinitate de puncte . Ne aflăm deci în progres faţă de "definiţiile" precedente . Dar ce ne facem, la aceeaşi curbă sinusoidală, cu dreap­ ta y = x, care , după ultima tentativă de definire a tangentei, n-ar fi tangentă în origine la y = sin x; ce ne facem cu situaţia în origine a axei absciselor faţă de parabola cubică y = x3? O simplă privire a repre­ zentărilor grafice respective arată că a exclude cazu­ rile de acest fel din situaţiile de tangenţă ar fi inacceptabil. Totuşi, după ultima " definiţie " , nu avem niciun fenomen de tangenţă , deoarece nu există nicio vecinătate a punctului de contact în care ima­ ginea curbei să rămână de o singură parte a tan­ gentei. Deci, deşi în progres faţă de " definiţiile " anterioare, nici a treia versiune nu este acceptabilă. Cum ieşim din această încurcătură? Cum pu­ tem prinde , într-o singură formulare riguroasă, toa­ te variantele posibile ale fenomenului de tangenţă a unei drepte la o curbă? Pentru curbele plane de forma x = t, Y = Irt), unde f este continuă pe [ a, b] , fenomenul de tangenţă se define şte ri guros făcân­ du-se apel la mijloacele Analizei matematice . Avem nevoie de noţiunea de derivată a unei funcţii într-un punct. Curba definită de f are tangentă în punctul de abscisă u dacă funcţia f are derivată în u. Valoa­ rea acestei derivate este coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul de abscisă u, deci 540

individualizează această tangentă (de oarece i se cu­ noaşte şi punctul de tangenţă, de coordonate u, fiu) . Rezultă deci că existenţa tangentei la curbă în punctul de abscisă u este echivalentă cu existenta derivatei (finite sau infinite) funcţiei f în u. Derivat a infinită revine la o tangentă p aralelă cu axa ordona­ telor. În exemplele de mai sus, derivata în origine a sinusului este egală cu 1 , prima bisectoare a axelor este tangentă în origine la sinusoida y = sin x; deri­ vata în origine a parabolei cubice este egală cu zero, deci tangenta în origine la parabola cubică este axa absciselor. Derivata în origine a funcţiei egale cu - 1 pentru x negativ, c u + 1 pentru x pozitiv şi c u zero în origine admite în origine derivata egală cu plus infinit, deci tangenta în origine este chiar axa ordo­ natelor. Î nsă funcţia în discuţie este discontinuă în origine, deci nu mai define şte o curbă. Acest fapt explică situaţia stranie, din punct de vedere grafic, a tangentei în origine .

o PROBLEMĂ CU O PÂINE Am propus unei clase gimnaziale următoarea problemă: am o pâine . M ănânc astăzi jumătate din ea, mâine mănânc j umătate din ceea ce mi-a rămas azi, poimâine j umătate din ceea ce îmi rămâne mâi­ ne şi aşa mai departe . După câte zile termin de mâncat pâinea? Răspunsurile au fost diferite . Unii au afirmat că pâinea nu se termină niciodată, deoarece în fiecare zi îmi mai rămâne ceva. Alţii au pretins că nu se poate da răspunsul atâta vreme cât nu se precizea­ ză mărimea pâinii; nu este natural ca durata de mâncare a pâinii să depin dă de mărimea ei? Ambele răspunsuri sunt plauzibile, pline de bun- simţ, dar corect este numai primul răspuns. Î ntr-adevăr, can­ tităţile de pâine măncate formează termenii unei progresii geometrice infinite , în care primul termen este egal cu 1 / 2 , iar raţia este de asemenea egală cu 1 / 2 . Suma acestei progre sii este egală cu 1 , deci pentru con sumarea întregii pâini este nevoie de o infinitate de zile , ceea ce ar pretinde ca fiinţa care o mănâncă să fie . . . nemuritoare . De ce , totuşi, răs­ punsul al doilea este şi el plauzibil? Deoarece, în conformitate cu experienţa comună, durata de mân­ care a unei pâini de pinde de mărimea pâinii. Numai că această experienţă este de natură finită, ea are în vedere procese de durată finită. Î n problema noastră este vorba de un proces de durată infinită, în care parametrul "mărimea pâinii" este , ca să spunem aşa, neutralizat. Răspunsul nu depinde de mărimea pâinii.

o PROBLEMĂ CU CINCI PÂINI Este vorba de faimoasa problemă care apare în pove stea Cinci pâini a marelui povestitor moldovean

Ion Creangă. Datele problemei sunt următoarele : O persoană A are 3 pâini, o altă persoană, B, are 2 pâini. Cele cinci pâini sunt împărţite în mod egal la trei persoane: A, B şi o a treia persoană, C. Aceasta din urmă oferă 5 lei , în semn de mulţumire , lui A şi B. Cum trebuie repartizaţi cei cinci lei? Părerile sunt împărţite . A crede că i se cuvin 3 lei , deoarece a contribuit cu 3 pâini, iar lui B i se cuvin numai 2 lei, deoarece a contribuit numai cu 2 pâini . B crede că i se cuvin 2 ,50 lei , tot atâta cât şi lui A, deoarece C nu a plătit pâinea, ci pur şi simplu a mulţumit în mod egal lui A şi B. Î n sfârşit, un arbitru al situaţi­ ei, să-i spunem D, consideră că lui A i se cuvin 4 lei, iar lui B numai 1 leu. Argumentul său este următo­ rul: fiecare pâine a fost împărţită în trei bucăţi ega­ le. Din cele 15 bucăţi, fiecare a mâncat câte cinci. Dar A a contribuit cu 9 bucăţi, din care 4 au fost dăruite lui C, iar B a contribuit cu 6 bucăţi, dintre care numai una a fost dăruită lui C. Deci din pâinea mâncată de C patru părţi proveneau de la A şi nu­ mai o parte de 'la B. Aşadar lui B i se cuvine o sumă de patru ori mai mică decât suma care i se cuvine lui A. Cine are dreptate? Creangă pare a fi de partea lui D şi tot aşa manualul de matematică pentru clasa a patra. Î nsă aici nu este vorba de o greşeală de raţionament sau de calcul comisă de cineva. Diferenta de rezultat în evaluările celor trei este datorat ă unei deosebiri de punct de vedere . Proble­ ma nu mai este de natură matematică, ci moral-filo­ zofică.

UNDE SE ASCUNDE INFINITUL? La un concurs de detectare a elevilor talentaţi la matematică, la clasa a patra primară, s-a propus următoarea problemă. Un tren şi o rândunică plea­ că simultan din Bucureşti spre Ploieşti. Trenul are o viteză de 60 ion/ oră iar rândunica 90 krn/ oră. Fireş­ te , rândunica aj unge la Ploieşti înaintea trenului. Imediat se întoarce până întâlneşte trenul şi iar schimbă direcţia spre Ploieşti, repetând mereu acest itinerar. Ştiind că trenul şi rândunica ajung la un anumit moment împreună la Ploieşti, să se deter­ mine distanţa totală parcursă de rândunică. În intenţia propunătorilor, problema face parte dintre acele păcăleli în care unele date sunt intro­ duse pentru distragerea atenţiei, răspunsul putând fi obţinut aproape fără niciun efort. Î n cazul de faţă, necontenitul du-te-vino al rândunicii nu este luat în considerare . Distanţa totală parcursă de rândunică este de 90 krn, deoarece , ajungând la Ploieşti odată cu trenul, sosirea comună nu poate avea loc decât după o oră (distanţa de la Bucureşti la Ploieşti fiind de 60 krn) . Însă enunţul problemei conţine o presu­ poziţie peste care nu se poate trece uşor; este vorba de acceptarea tacită a existenţei unui moment în care trenul şi rândunica ajung împreună la Ploieşti. La a n-a întâlnire cu trenul, rândunica se întoarce

spre Ploie şti, unde ajunge , fireşte , înaintea trenului , deoarece are o viteză superioară trenului. Rezultă că urmează inevitabil a n + l-a întâlnire a rându­ nicii cu trenul. Dar faptul că procesul are o infinitate de etape nu înseamnă neapărat că durata sa este infinită. Notând cu tn durata care se scurge între a n - a şi a n + l -a întâlnire , durata totală a procesului va fi suma t a seriei de termen general tn. Nu intrăm în detalii, dar analogia cu situaţia din paradoxul lui Zenon, privind pe Ahile şi broasca ţestoasă, este evidentă. Î n cazul nostru, trenul este pe post de Ahile , iar rândunica preia rolul broaştei ţestoase .

POATE FI 2 EGAL 4? Din cos2 x 1-sinx2 se obţine , prin ridicare la puterea de exponent 3 / 2 , (cos2 xj31 2 ( 1 - sin2xj31 2 deci: cos3x + 3 = ( 1 -si n2xj312 + 3 Prin ridicare la pătrat, se obţine : (cos3 x + 3 ) 2 [ ( 1-sin 2 xj312 + 3)2 Pentru x 7n / 2 radiani, obţinem cos x = O şi sin x 1 , deci 32 = 32, aşa cum era de aşteptat. Însă pentru x 7n radiani, avem cos x -1 şi sin x = O, deci 22 42, de unde rezultă 2 4 Unde este greşeala? =

=

=

=

=

=

=

=

=

.

" ORICE TRIUNGHI ESTE ECHILATERAL

"

Fie un triunghi ABC, fie b latura AC şi c latura AB. Să prelungim latura BA cu segmentul AD de lungime b. Să prelungim de asemenea latura CA cu segmentul AE de lungime c. Aplicând teorema sinu­ sului în triunghiurile BCE şi BCD, avem sin (B + + A1 2) / (b+c)1 a) sin (AI2) şi sin (C + A12) ((b + + ci a)) sin (AI2), de unde sin (B + A12) = sin (C + + AI 2), deci 5 = C. Î n mod similar se arată că C = A. După cum se vede , cele trei laturi ale triunghiului ABC au fost notate chiar cu a, b, c, iar cele trei un­ ghiuri au fost notate chiar cu A, B, C. Din egalitatea unghiurilor rezultă egalitatea laturilor, deci triun­ ghiul ABC, iniţial arbitrar, se dovedeşte a fi echilate­ raI. Aşa să fie oare? =

=

" ORICE TRIUNGHI ESTE DREPTUNGHIC

"

În triunhiul arbitrar ABC cu înălţimea CD egală cu h şi în care punem p = AD şi q BD, avem sin(A + B) sinA cosB + sinB casA, deci sin(A + B) (hlb)(ql a) + (pl b)(hl a) = hcl ab h sinCI I (2r sinA casB). Î nsă h 2r sinA sinE, sinA hl b, b 2r sinB. Avem sin (A + B) sinC, A + B + C = ni 2, deci triunghiul ABC este dreptunghic în C. Aşa să fie oare? =

=

=

=

=

=

=

=

=

54 1

Trecând la limită pentru x

o PERECHE DE DREPTE ESTE ... O HIPERBOLĂ? Fie dreptele x

=

4 şi

Y

=

dy dx

8, pe care le mai putem

scrie x - 4 = 0, y - 8 = O. Ecuaţia comună a celor

două drepte este (x - 4}(y - 8) = 0 , adică xy - 4y - 8x + + 32 O. Î nsă, prin multiplicare membru cu mem­ bru, primele două ecuaţii conduc la hiperbola echilateră xy 3 2 . Operându -se această înlocuire în ecuaţia anterioară, obţinem: 4y - 8x + 32 = O, deci y -2x + 16. Pe de altă parte , împărţind membru cu membru primele două ecuaţii , se obţine dreapta y = = 2.x. Ce s-a întâmplat de fapt? =

=

=

INDUqlE ABUZIVĂ Exemplul care urmează aparţine lui Kummer, algebrist căruia îi datorăm noţiunea matematică de ideal . 60 este divizibil prin 2; acelaşi număr 60 este divizibil prin 3, prin 4 , prin 5 , prin 6; deci 60 este divizibil. . . prin orice număr natural. Putem chiar face proba luând n = 1 2 . Un exemplu similar s e referă l a numerele de forma p = 1 + puterea de exponent 2" a lui 2 . Pentru n = O obţinem p = 3, pentru n = 1 obţinem p = 5 ; pentru n = 2 obţinem p = 1 7 i ar pentru n 3 obţinem

obţinem p = 65537, de asemenea prim. Însă pentru n = 5 se obţine p = 1 + 2 la puterea 32, despre care Euler a arătat că este divizibil prin 64 1 .

2x = 2 SINX?

Din bine cuno scuta relaţie lim(sinx) / x = 1 pen­

tru x � O rezultă lim(sin2x) / x = lim(2 sin x) / * = 2 pentru x � O (deoarece sin 2x= 2 sin x cos x) , deci sin 2x 2 sin x. Din bine cunoscuta relaţie lim (sinx) / t = 1 pen­ tru x � O rezultă lim(sin2x)lx = iim (2 sin x)l x = 2 pentru x � O (deoarece sin 2x 2 sin x cos xl , deci sin 2x 2 sin x. Numai că. . . din Iim ([(x)1 h(x) = = Iim (g(x)jh(x)) pentru x � a nu se poate deduce că f(x) g(x). De altfel, este suficient să luăm x = n/4, pentru a constata fal sitatea identităţii din titlul acestui paragraf. =

=

=

=

2=3

=

000

=

Se ştie că numărul e se obţine ca:

( �)n

lim 1 + n n �oo

542

Un elev a demonstrat în modul următor că e = 1 . Trecem la limită in expresia 1 + l i n , care con­ stituie baza puterii în discuţie, şi obţinem ca limită pe 1 . Trecem apoi la limită expresia 1 n pentru 00. Î nsă In = 1 , deci limită lui In este egală 1 . n U n alt elev i-a replicat in modul următor: baza 1 + + l / n este egală cu (n + l) / n , deci este strict mai mare decât 1 . Î nsă se ştie că o limită de forma:

--

lim a

n � oo

n

unde a este supraunitar, este egală cu + 00, deci limita căutată este +00. Ambii elevi greşesc, deoarece acelaşi n figurea­ ză atât la exponent, cât şi la numitorul din expresia bazei. Nu putem ţine fix pe unul din aceşti n in timp ce studiem limita expresiei conţinând pe celălalt n. Procesul de trecere la limită angajează concomitent toate componentele funcţiei.

N?

S ă considerăm funcţia y = xn . Formând expre­ sia din defmiţia derivatei într-un punct a, obţinem:

x-a

na n-1

NUMĂRUL e ÎNTRE 1 ŞI co

Pentru n = 4

SIN

=

-

De fiecare dată, p a fost un număr prim.

257.

x�a

- an x-a

xn

a, obţinem:

Însă avem (x2 - l) / (x 1) = x + 1 , (x3 - l) / (x - 1) = x2 + x + 1 şi, în general, (xn - 1 ) / (x - 1) = xn- 1 + xn-2 + + . . . + x + 1 , unde n este un număr natural. Un elev a încercat să vadă ce se întâmplă cu ultimele egali­ tăţi atunci când x = 1 . Con statând că de fiecare dată primul membru capătă forma O / O , a aplicat principiul: Două cantităţi egale cu a treia sunt egale între ele şi a dedus că expresiile din membrul al doi­ lea sunt la rândul lor egale între ele, pentru x = 1 , obţinând astfel 2 = 3= . . . = n. însă O / O nu este un nu­ măr, iar funcţia (x2 - 1) (x - 1) nu este aceeaşi cu funcţia x + 1 , de oarece, de exemplu, prima funcţie nu are sens pentru x = 1 , în timp ce a doua are sens şi este egală cu 2 . Situaţii de acest tip au fost detec­ tate şi discutate încă în secolul XVIII -lea, de filozo­ ful Berkeley.

=

=

lim

=

,

p

=

�

o APARENTĂ ANOMALIE PRIVIND LUNGIMEA CURBELOR Să considerăm un triunghi ABC, unde A are coordonatele (O, O) , B are coordonatele (1 , O), iar C are coordonatele ( 1 / 2 , 1) . Este evident vorba de un triunghi isoscel. Linia poligonală ACB este imaginea

unei curbe el reprezentate parametric prin x = t, Y =f1 (t), t cuprins între O şi 1 , unde fJ (t) este ordona­ ta acelui punct al liniei ACB a cărui abcisă este t. Funcţia f1 este , evident, continuă. Fie acum o curbă C2 având ca imagine linia poligonală ADEFB, unde D are coordonatele ( 1 / 4 , 1 / 2 ) , E are coordonatele ( 1 / 2 , O) , iar F are coordonatele (3 / 4 , 1 / 2 ) . Curba C2 este reprezentată parametric prin x = t, Y =f2 (t), t cuprins între O şi 1 , iar f2 t este ordonata acelui punct de pe linia poligonală, ADEFB, a cărui abscisă este t. Evident, f2 este continuă, iar lungimea lui C2 este egală cu lungimea lui Cl (datorită faptului că DE este egal cu CF, iar segmentul EF este egal cu DC) . Continuând în acest fel , vom defini o curbă Cn pe a cărei imagine punctul cel mai de sus va avea ordonata 1 / 2n, iar lungimea lui Cn va fi egală cu lungimea curbelor Cp cu p inferior lui n. Evident, lungimea comună a curbelor Cn (n număr arbitrar) este superioară lui 1 , deoarece în orice triunghi lungimea unei laturi este depăşită de suma lungimi­ lor celorlalte două laturi. Notând cu C curba dată parametric de x = t, O, t cuprins între O şi 1 , constatăm că imaginea Y lui C este segmentul de dreaptă AB. Putem introdu­ ce o distanţă între C şi Cn, măsurată prin diferenţa maximă între ordonatele a două puncte A şi An si­ tuate respectiv pe C şi Cn şi având aceeaşi abscisă. Este uşor de văzut că distanţa dintre C şi Cn este egală cu 1/ 2n• Rezultă de aici că şirul ( Cn) tinde că­ tre curba C, în sensul că distanţa dintre Cn şi C tinde la zero când n tinde la infinit. (Se verifică uşor că distanţa introdusă are proprietăţile cerute unei distanţe: se anulează numai pentru curbe care co­ incid, este simetrică, nenegativă şi satisface inegali­ tatea triunghiuluL ) Ne-am aştepta acum ca, din faptul că şirul ( Cn) tinde la C, să rezulte că şirul format cu lungimile curbelor Cn să tindă la lungimea lui C. Î nsă aceasta nu se întâmplă; lungimile curbelor Cn formează un şir staţionar în care valoarea comună a termenilor este superioară lui 1 , în timp ce lungimea lui C este lungimea segmentului AB, deci egală cu 1 . De unde provine această înşelare a aşteptării noastre? Din faptul că, obişnuiţi ca funcţiile cu care lucrăm să fie continue şi obişnuiţi cu faptul că la modificări mici ale unei curbe core spund de obicei modificări mici ale lungimii ei, ne aşteptăm ca lungimea unei curbe să fie o funcţie continuă de curbă. Totuşi, aceasta nu se întâmplă. După cum a arătat încă la începutul secolului al XX-lea Maurice Frechet, lungimea unei curbe este o funcţie infe­ rior-semicontinuă, deci posedă, în general, numai jumătate din proprietatea de continuitate . În ce constă proprietatea de semicontinuitate? O vom defini aici în cazul particular al unei funcţii reale f de variabilă reală, Fie f (a, b) --+ R. Vom spune că f este inferior semicontinuă în punctul Xo € ( a, b) dacă pentru orice E > O există 5 > O astfel încât de îndată de I x Xo I < 5 avem f(x) - f{Xo) > -E. Vom spune că este superior semicon=

-

tinuă în xo dacă pentru orice E >0 există o > O , astfel încât, de îndată ce I x - Xo I < E, avem f(x} - f(Xo} < E. Este uşor de văzut că o funcţie este continuă în Xo dacă şi numai dacă este atât inferior semicontinuă, cât şi superior semicontinuă în Xo .

PENTRU DESCREŢIREA FRUNŢILOR Operaţiile cu exponenţi sunt bogate în capcane. Unele simplificări abuzive , ridicole , care sfidează cele mai elementare reguli de igienă matematică rămân totuşi fără efect asupra rezultatului. În revis­ ta Scripta Mathematica (voI. 2 0 , 1 954, p. 50) se menţionează următoarea situaţie: 2+3 13 5

şi , în general ,

În aceeaşi ordine de idei ave m: 3 7

ţilor:

4 4

+ 25 4 + 38 4 4 4 + 20 + 39

3 + 25

+

38

7 + 20 + 3 9

Iată acum ş i " simplificări parţiale" ale exponen­ 5 5 + 1 7 6 + 1 07 5 5 3 9 + 92 + 1 00

49

3

5

6

10

49 + 1 7 5

5

6

+ 19

6

+ 15

6

+ 22 +

6

23

6

39 + 92 3

2

10

2

+

19

2

+ 15

2

+ +

1 07 1 00

+ 22

2

+ 23

2

sau Î n aceeaşi ordine de idei avem: 2 2 2 2 27 4 + 2 4 + 4 4 + 2 1 4 27 + 2 + 4 + 2 1 2 2 2 4 4 2 4 4 28 + 1 + 9 + 1 8 28 + 1 + 9 + 1 8 x 2 x 4x 21 27 28 x 1 x 9 x 1 8

unde , după " simplificarea" cu 2 a exponenţilor, s-a înlocuit pur şi simplu suma prin produs. Şi pen­ tru ca totul să devină o adevărată orgie, să înlocuim, 543

în ultima expresie , primul x de la numărător şi de la numitor prin + iar unnătoarele x prin -. Obţinem expresia, egală ca valoare , (27 + 2 - 4 - 2 1) / (28 + 1 - 9 1 8) . Alteori, simpla scădere a unităţii din fiecare ex­ ponent rămâne fără efect asupra rezultatului :

Prima relaţie care unnează este un caz particu­ lar al celei de a d oua:

-

-

2 3 + 3 3 + 1 0 3 + 1 13 13 + 5 3 + 8 3 + 1 2 3

2 2 + 3 2 + 1 0 2 + 1 12 12 + 5 2 + 8 2 + 1 2 2 2 + 3 + 10 + 1 1 1 + 5 + 8 + 12

544

373 + 1 3 3 37 3 + 2 4 3

==

37 + 1 3 a3 + b3 3 7 + 24 ' a 3 +(a b )3 _

=

a+b ' a + (ab)

De spre ace stea şi altele asemănătoare se discu­ tă în Scripta Mathematica, voI. 6, p. 1 80; voI. 1 9 , 1 9 53, p . 2 8 2 . A s e vedea, d e asemenea, Jerome S . Mayer, Fun with Mathematics (Fawcett Publishing Co . , New York, 1 9 67 , p . 59) şi M. Kraitchik, Mathematical Recreations (Dover Publications, New York, 1 9 53) .

CAPITOLUL XII LATURA SPORTIVĂ A MATEMA TICII ELEMENTARE

Nu DUCEM LIPSĂ DE TALENTE Este o bucurie , pentru cei care fac educaţia matematică a tineretului, să constate cât de multe talente apar , elevi şi studenţi care se îndreaptă aproape spontan spre matematică, investesc în ea pasiune şi inteligenţă. Cum îi recunoaştem? Cum le întreţinem şi le dezvoltăm interesul pentru matema­ tică? Spre ce fel de matematică îi orientăm? Ce fa­ cem pentru ca ei să nu se plictisească în timp ce colegii lor fac efortul de a înţelege ceea ce ei de mult au înţele s? În primele decenii ale secolului al XX-lea, ten­ dinţa dominantă printre elevii talentaţi la matemati­ că era preocuparea de geometrie elementară. Paginile Gazetei matematice stau mărturie pentru aceasta. Nu întâmplător Gheorghe Ţiţeica şi Traian Lalescu au publicat lucrări dedicate geometriei ele­ mentare, deşi cercetările ştiinţifice pe care ei le-au efectuat şi pentru care şi-au căpătat un loc de onoare în istoria matematicii se refereau la domenii de matematică superioară (în special, geometria diferenţială pentru Ţiţeica şi teoria ecuaţiilor inte­ grale pentru Lalescu) . În ceea ce-l priveşte pe Dan Barbilian (poetul Ion Barbu) , pasiunea sa pentru geometria elementară a rămas statornică de-a lun­ gul întregii vieţi, cum se poate vedea şi din cele do­ uă volume de Pagini inedite publicate postum la Editura Albatros. Însă orizontul cultural şi răspunderea socială a matematicii erau în urmă cu 70 de ani incomparabil mai restrânse decât azi. Aşa se şi explică faptul că interesul, în întreaga lume, pentru orientarea celor talentaţi la matematică este mult mai mare decât în trecut. Cercurile de matematică, sesiunile de comu­ nicări, olimpiadele, concursurile profesional- ştiin­ ţifice de matematică ale studenţilor converg toate spre unul şi acelaşi scop : stimularea şi cultivarea talentelor. Literatura de specialitate publicată la noi in­ " clude destule lucrări adresate " vârfurilor În 1 9 78 a fost publicată la Editura Tehnică versiunea în lim­ ba română a lucrării Olimpiade le internaţionale de

matematică, de E.A. Morozova, I . S . Petrakov şi V.A. Skvorţov. În această lucrare sunt prezentate proble­ mele propuse la primele 12 olimpiade internaţionale de matematică, începând cu anul 1 959, când a avut loc prima olimpiadă de acest fel (în România) . Alte zece olimpiade internaţionale de matematică (înce­ pând cu anul 1973) sunt prezentate de profesorul Ion Cuculescu în lucrarea Olimpiadele internaţionale de matematică ale elevilor (Editura Tehnică, 1 9 84) . Am dori să insistăm asupra acestei cărţi de excep­ ţie , deoarece, în inflaţia de culegeri de probleme care pretind că-i ajută pe candidaţii la tot felul de concursuri şi examene, uneori se creează o confuzie a valorilor şi nu totdeauna câştigă cele mai bune.

STILUL CUCULESCU Departe de a fi o compilaţie, cum atâtea cule­ geri sunt, cartea profesorului Cuculescu este , cum se spune , o lucrare de autor, una dintre rarele lu­ crări care ne introduc în gândire a matematică pro­ priu-zisă, cu ezitările şi căutările ei, cu alegerile şi renunţările inerente în faţa necunoscutului. Mate­ matica nu apare aici ca un produs finit, gata ela­ borat, ci împreună cu procesul intelectual care i se asociază. Spre deosebire de cartea anterioară, men­ ţionată mai sus , dedicată aceleiaşi teme, unde pro­ blemele cu soluţiile lor au fost pur şi simplu colecţionate de la conducătorii delegaţiilor ţărilor participante , cartea de faţă poartă marca autorului , are un stil inconfundabil, pe care- 1 putem numi stilul Cuculescu. Semnificativă este , în această pri­ vinţă, mărturia, pe care chiar autorul o face în pre ­ faţa cărţii sale: " Soluţiile ce le prezentăm nu sunt totdeauna cele ale propunătorilor, ci , de regulă, cele găsite de autorul cărţii în cursul lucrărilor juriului " De fapt, autorul procedează mult mai democratic, prezentând de multe ori , la o aceeaşi problemă, mai multe soluţii (inclusiv cele venind de la propunători, de la alţi membri ai juriului, de la concurenţi) şi însoţindu-Ie de comentariile de rigoare. Dar Ion

545

Cuculescu merge şi mai departe , introducându-ne în laboratorul de lucru al juriului fiecărei olimpiade internaţionale de matematică şi făcându-ne partici­ panţi la geneza unor probleme , atunci când varian­ ta propusă juriului trebuie modificată. Un caz tipic este cel al problemei: "Fie A suma cifrelor număru­ lui 1 6 la puterea 1 6 şi fie B suma cifrelor lui A. Să se afle suma cifrelor lui B, fără a se calcula 1 6 la puterea 1 6 . Se lucrează numai cu sistemul zecimal de scriere " S-a obiectat că " fără a calcula pe 1 6 la puterea 1 6" este o condiţie ce poate deruta pe con­ curenţi. Şeful uneia dintre delegaţii a atras atenţia că pentru concurenţii din ţara sa calculul lui 1 6 la puterea 1 6 n-ar dura decât un sfert de oră, ceea ce ar fi contrar spiritului Olimpiadei. Trebuia deci înlo­ cuit acest număr cu altul. Ion Cuculescu ne prezin­ tă (la p. 1 04 a cărţii sale) considerentele care au condus juriul la înlocuirea lui 1 6 la puterea 1 6 cu 4444 la puterea 4444 . În legătură cu participarea la olimpiade sunt valabile, în esenţă, aceleaşi principii ca şi la diferite­ le examene şi concursuri de matematică de-a lungul anilor de şcolarizare şi studenţie . Dacă însă, la examenele şi concursurile obişnuite , destinate ma­ sei de elevi sau studenţi, problemele propuse au un caracter oarecum standard , care permite rezolvarea lor pe baza cunoaşterii temeinice a materiei şi a unui antrenament corespunzător, alta este situaţia olimpiadelor de matematică şi cu atât mai mult a celor internaţionale. Aici, partea de rutină este re­ dusă la minimum. Accentul nu cade pe cunoştinţe (deşi bogăţia lor este extrem de binevenită) , ci pe iniţiativa personală, pe o asociaţie fericită de idei, care trebuie să te viziteze pe parcursul celor câteva ore care constituie durata unei probe. S-a discutat mult dacă o atare situaţie este compatibilă cu natu­ ra activităţii matematice, a activităţii de cercetare în general. Matematica nu se face în stare de urgen­ " ţă" , ne previne şi Ion Cucule scu.

MATEMATICA LA CRONOMETRU? Nu sunt puţini tinerii talentaţi la matematică, dar care nu dau randament la olimpiade şi concur­ suri. Unul dintre ei, un valoros student al Facultăţii de Matematică, autor de pe acum al unor rezultate originale, mi-a declarat fără ocol: Nu-mi place ma­ " tematica pusă la cronometru!" În sprijinul acestei atitudini se situează mărturiile unor matematicieni de seamă, ca Henri Poincare şi Jacques Hadamard, care accentuează caracterul imprevizibil al invenţiei matematice. Ore întregi de reflecţie în faţa foii de hârtie se pot dovedi sterile, pentru ca ideea mult aşteptată să ţâşnească ulterior, într-o împrejurare fără nicio legătură cu problema care ne frământă. În această privinţă, este de multe ori menţionată cele­ bra descoperire a funcţiilor fuchsiene de către Henri Poincare, care voia să le găsească o expresie sub forma raportului a două serii , pe baza unei analogii

546

cu funcţiile eliptice , dar căutările se dovedeau in­ fructuoase. Şi iată cum a venit soluţia, chiar în rela­ tarea lui Poincare: "Plecam din oraşul Caen, unde locuiam , pentru a participa la o excursie geologică. Întâmplările călătoriei m-au făcut să uit cu totul de preocupările mele matematice. Tocmai sosisem la Coutances, unde urma să ne suim într-un omnibus. În momentul în care am pus piciorul pe scara omnibusului am avut brusc revelaţia faptului că transformările pe care le utilizasem pentru a defini funcţiile fuchsiene erau identice cu cele ale geome­ triei neeuclidiene. Nu puteam verifica în acel mo­ ment dacă lucrurile stau într-adevăr aşa, însă imediat după întoarcerea la Caen m-am convins că totul este corect". Tot Poincare relatează o altă împre­ jurare, asemănătoare: " Mă preocupau unele chesti­ uni de natură aritmetică, dar nu reuşeam deloc să le lămuresc. Dezgustat de insucces, m-am dus pen­ tru câteva zile la mare , preocupat de cu totul alte lucruri; într-o dimineaţă însă, plimbându-mă pe faleză, m-a fulgerat ideea că transformările aritme­ tice ale formelor pătratice ternare nedefinite sunt identice cu cele ale geometriei neeuc1idiene" Ce putem spune pe marginea acestor mărturii ale unuia dintre cei mai mari matematicieni din ultima sută de ani? Desigur, şi unui concurent la olimpiadă i se poate întâmpla să găsească soluţia problemei abia a doua zi, de exemplu chiar în clipa în care se treze şte . Jacques Hadamard, un alt mare matematician francez (din prima jumătate a secolu­ lui al XX-lea) , relatează că, trezit odată brusc din somn de un zgomot extern, i-a apărut soluţia unei probleme care-l preocupa de multă vreme. Proble­ mele de olimpiadă sunt de obicei inedite şi îl aduc pe can didat în imediata apropiere a activităţii de cercetare. După părerea lui Ion Cuculescu, o pro­ blemă de olimpiadă generează reacţii de tipul ur­ mător: a) nu ştiu , b) să mă gândesc, c) am găsit ideea, d) să redactez corect şi complet. Însă după d) poate urma c1 m -am înşelat! c" ) să perfecţionez sau chiar b ') să caut altă cale. in mod special atrage atenţia următoarea observaţie a lui Ion Cuculescu: Dacă în loc de b) apare b") să-mi aduc aminte, atunci am ieşit din spiritul Olimpiadei de Matematică.

ÎN ABSENŢA IMAGINAŢIEI, ESTE SUPRASOLICITATĂ MEMORIA Să încercăm să desprindem semnificaţia acestei ultime observaţii. Psihologia celor care se prezintă la un examen este dominată de grija de a-şi aminti ceea ce au învăţat. Mai toţi cei care eşuează la un examen invocă o carenţă a memoriei, mai nimeni nu recunoaşte că n-a înţeles o anumită idee , un raţionament, un concept, o metodă. De fapt, rolul memoriei în procesul de învăţare a matematicii este mult mai mic decât se crede. Faţă de cele vreo 50 de teoreme care trebuie învăţate pentru un examen,

demon straţiile respective se repartizează la mai pu­ ţin de vreo zece tipuri. Conceptele şi teoremele se clasifică şi ele pe baza unor analogii . Raţionamentul analogic este unul dintre cele mai puternice in­ strumente ale gândirii matematice . Din păcate, el este folosit în învăţământ într-o măsură prea mică, însă orice economie de analogii trebuie compensată printr-un efort suplimentar de memorie . Dacă, de exemplu , nu ne-am prevalat de faptul că teorema lui Rolle şi proprietatea lui Darboux a derivatei se stabilesc pe o cale foarte asemănătoare , atunci va trebui să învăţăm demonstraţiile acestor două fapte matematice ca două demon straţii di stincte, deci efortul de memorie pe care -l vom depune va fi aproape dublu. Cel care nu este antrenat în desfă­ şurarea unui efort de imaginaţie caută să compen­ seze aceasta printr-un efort de memorie. Tocmai această situaţie caută s-o evite olimpiadele de ma­ tematică. Cunoştinţele cerute concurenţilor sunt minime, deoarece trebuie să existe certitudinea că ele au fost parcurse de toţi concurenţii, indiferent de şcoala de la care provin. Însă acest caracter rela­ tiv elementar al problemelor se asociază cu un grad de dificultate ridicat, care se manifestă prin faptul că problemele nu seamănă prea mult cu niciuna dintre problemele cunoscute din cărţile standard. Concuren­ tul la olimpiadă trebuie să se bazeze în primul rând pe iniţiativa şi imaginaţia sa şi numai în al doilea rând pe cunoştinţele sale.

ŞTIINŢA ŞI ARTA DE A ÎNTREBA Faţă de aceste exigenţe, alegerea problemelor propuse concurenţilor trebuie făcută cu deosebită grij ă. Ion Cuculescu nu se mulţumeşte (în cartea sa menţionată mai sus) să prezinte problemele propuse efectiv concurenţilor, ci ia în discuţie ansamblul problemelor propuse juriului şi explică detaliat con­ siderentele care au condus la alegerea anumitor probleme şi nu a altora, în funcţie de gradul lor de dificultate , cunoştinţele presupuse, eventuale ambi­ guităţi în formulare, varietatea tematică a probleme­ lor, varietatea tipurilor de raţionament cerute pentru rezolvare etc. Ne aflăm astfel pentru prima oară în faţa unei cărţi de matematică din care se poate învăţa nu numai cum se rezolvă o problemă, ci şi cum se alcătuieşte o problemă. Nu este oare întrebarea la fel de importantă ca şi răspunsul? Ştiinţa şi arta de a întreba sunt chiar mai dificile decât ştiinţa şi arta de a răspunde, deoarece răs­ punsul este în mare măsură ghidat de modul de form ulare a întrebării. Iscusinţa lui Socrate de a-l conduce pe interlocutor la descoperirea adevărului, printr-un şir de întrebări adecvate , a rămas un mo­ del de atitudine creatoare în învăţare. Interlocutorul este astfel provocat la un efort fără de care descope­ rirea nu este posibilă, iar învăţarea fără descoperire nu este eficientă, pentru a nu mai vorbi de faptul că descoperirea prin propriile forţe este şi recompensa _

(intelectuală) care răsplăteşte efortul şi care lează depunerea unor noi eforturi . Este de important să ne învăţăm să formulăm nedur noastre, să le explicităm sub formă de în precise. Întrebarea este forma elementară a vităţii , cu ea începe orice act de inteligenţ: regretabil faptul că unii elevi îşi cenzurează în1 le, de teamă că acestea ar putea fi considerate de indisciplină. Din păcate, unii profesori stirr această atitudine, prin reacţia nervoasă la întrebări şi prin faptul că nu acordă acestor; ţia cuvenită. Alteori, elevii se abţin să într teama de a nu se face de râs . Mi s-a înt de multe ori să constat că profesorul folose: vinte pe care mulţi elevi nu le înţeleg, dar n dintre aceştia nu cere explicaţia de rigoare. Îl rea nu e lucru de ruşine! Iată un adevăr ( trebui repetat mereu , deoarece fără capacitati intreba, fără ştiinţa şi arta întrebării, oml condamnat la ignoranţă şi lene. Progresul CUl rii nu atrage cu sine o reducere a număn întrebări, ci o creştere vertiginoasă a acestui, te întrebări rămân vreme îndelungată fără ră iar altele comportă o infinitate de răspl niciunul definitiv. Există un adevărat snob abţinerii de la întrebare, un snobism pract multe întâlniri de societate de către cei care să rămână toată viaţa ignoranţi decât să- : publică necunoaşterea unui anumit fapt. Se astfel la un fenomen paradoxal: cei care îr sunt, de cele mai multe ori, exact cei mai inst mai inteligenţi. La orele de consultaţii vin activi cu precădere studenţii foarte buni, iar cuţiile de societate cei care nu se sfiesc să c explicaţie privind semnificaţia unui cuvânt, de plu, sunt cei care şi- au însuşit o cultură v. practică un exerciţiu continuu al inteligenţei .

CUM ARATĂ O PROBLEMĂ DE INTELIG Problemele propuse la olimpiadele intern; le sunt din domeniul aritmeticii, algebrei şi 1 triei. Analiza nu este luată în considerare, dE ea nu constituie materie de învăţământ li< toate ţările participante. Iată câteva mostre ( bleme : 1) Să se demonstreze că există o infini numere naturale a pentru care n4 +a nu est pentru niciun n natural. 2) Să se demonstrez orice tetraedru există un vârf, astfel încât ( trei muchii ce pleacă din el să se poată cons1 triunghi ce le are ca laturi. 3) Fie P(x) un polir coeficienţi întregi, al cărui grad, notat deg mai mare sau egal cu 1. Fie n(P) numărul t întregilor k pentru care (P(k))2:::::: 1 . Să se demOl că diferenţa n(P)- deg P nu întrece pe 2. 4) determine cel mai mare număr care este pr unor numere intregi pozitive, a căror sum 1 976 . 5) Este adevărat că orice poligon regul, cu un număr par de laturi se poate desco:

într-un număr finit de romburi? 6) Să se determine dacă există sisteme de logaritmi în care se poate întâmpla ca un număr real pozitiv să fie egal cu logaritmul său . Această selecţie este suficientă, cre­ dem, pentru a da o idee despre natura nestandard şi gradul de dificultate pe care le prezintă chestiuni­ le propuse la o olimpiadă internaţională de matema­ tică. La cele mai multe probleme de acest fel, prima reacţie este de nedumerire în faţa unui lucru nou. Ele se constituie ca o provocare adresată inteligenţei noastre, ne stimulează ambiţia de a ne încerca pu­ terile minţii. De cele mai multe ori , chiar punctul de plecare este misterios, problema se prezintă ca un mosor de aţă, căruia nu i se vede capătul. Spre deo­ sebire de problemele de rutină adresate masei de elevi, probleme care (cu excepţia eventuală a celor de geometrie) comportă de obicei unele calcule şi relativ puţin raţionament exprimat în cuvinte, pro­ blemele de tipul celor ilustrate mai sus sunt domi­ nate de aspecte calitative . Tratarea lor impune o argumentare bogată, în care calculele nu depăşesc de obicei 50% din text. Nu vom prezenta aici o atare soluţie, deoarece toate problemele sunt discutate pe larg de către Ion Cuculescu , în cartea sa. Autorul nu se mulţumeşte să prezinte sec soluţiile, ci îşi motivează alegerile şi strategia , compară diferite soluţii posibile , discută avantajele şi dezavantajele fiecăreia. Totul decurge într-o atmosferă deschisă, în care rămâne loc, din când in când, şi pentru o glumă; în acest fel, raţionamentul matematic se umanizează, iar ceea ce părea iniţial inaccesibil unei inteligenţe mij locii devine normal şi chiar familiar.

PUTEM MĂSURA PERFORMANŢA MATEMATICĂ? o latură deosebit de interesantă a cărţii lui Ion Cuculescu o constituie discutarea punctajului pe baza căruia au fost notate soluţiile problemelor. Ca şi la concursurile de admitere în învăţământul su­ perior , şi aici se alcătuiesc baremuri care prevăd câte puncte se acordă pentru fiecare parte a pro­ blemei. Cu privire la alcătuirea acestor baremuri au loc de multe ori discuţii aprinse, deoarece ele pro­ pun o cuantificare a diferitelor părţi ale soluţiei unei probleme, cu aprecierea ponderii pe care o prezintă fiecare parte în ansamblul soluţiei. Aici însă intervin mai multe dificultăţi. În primul rând, o aceeaşi pro­ blemă comportă diferite soluţii şi de multe ori unii candidaţi prezintă soluţii diferite de cele avute în vedere de comisia Uuriul) de concurs. În al doilea rând - şi acesta este impedimentul principal - bare­ mul este stabilit în ipoteza că o componentă sau alta a soluţiei este ireproşabilă, în timp ce soluţia efecti­ vă propusă de un concurent prezintă deficienţe de o mare varietate , care depăşesc de departe previziuni­ le comisiei Uuriului) : calcule incomplete , raţiona­ mente inutil complicate, motivări insuficiente ale

548

unor paşi, greşeli mai mult sau mai puţin minore de calcul, redactarea neglijentă etc. O chestiune care creează de multe ori discuţii contradictorii între membrii comisiei este modul de apreciere a afirma­ ţiilor greşite sau fără sens. Unii consideră că o lu­ crare de concurs trebuie apreciată exclusiv în raport cu ceea ce conţine corect, alţii sunt de părere că greşelile şi nonsensurile trebuie penalizate , indife­ rent de faptul dacă, concomitent, concurentul a propus şi o abordare corectă. Dar greşelile de gra­ matică sau de ortografie , anacoluturile , frazele fără şir, trebuie penalizate şi în ce măsură? Profanii sunt de multe ori miraţi aflând că sta­ bilirea punctajului în cazul unor probleme de ma­ tematică poate fi o operaţie atât de controversată; însă pentru stabilirea gradului de gravitate a unei greşeli de calcul, a unei lacune într-un raţionament, a unei complicări inutile, nu s-a elaborat (încă?) o metodologie riguroasă şi poate că nu se va elabora niciodată. Abaterile de la o tratare ireproşabilă a unei probleme de matematică admit o infinitate de variante, pe care nimeni nu le poate evalua şi ierarhiza.

ESTE MATEMATICA DE NATURĂ COMPETITIV Ă? Dificultăţi similare apar în ceea ce priveşte ie­ rarhizarea celor mai bune soluţii, ierarhizare impu­ să de necesitatea (?) de a se acorda premiul întâi, premiul al doilea, premiul al treilea etc. Ion Cuculescu prezintă, nu fără umor, discuţiile prileju­ ite de acest ritual al olimpiadelor. Termenul de olim­ piadă are o rezonanţă sportivă şi, fără îndoială, vizează o anumită analogie cu olimpiadele sportive. De la acestea din urmă, olimpiadele de matematică împrumută elemente esenţiale, ca durata fixă a unor competiţii, notarea rezultatelor pe baza unui punctaj riguros, ierarhizarea concurenţilor etc . În această strategie se ţine seamă, fără îndoială, de tinereţea p.articipanţilor la olimpiade, tinereţe setoa­ să de competiţie. Nu ar fi corect să subestimăm valoarea stimulativă a unor intreceri de acest fel , fapt confirmat ş i d e evoluţia ulterioară a multora dintre câştigătorii olimpiadelor internaţionale de ma­ tematică, deveniţi matematicieni redutabili, cu re­ zultate deosebit de apreciate în lumea specialiştilor. Autorul cărţii discutate mai sus, Ion Cuculescu, a fost şi el , în urmă cu câteva decenii, o vedetă a olimpiadelor naţionale de matematică (pe atunci nu existau încă olimpiadele internaţionale) , iar as­ tăzi este unul dintre matematicienii noştri de frunte în domeniul teoriei probabilităţilor. Dar, imprimând olimpiadelor de matematică acest caracter sportiv, devin inevitabile anumite concesii , tot atâtea compromisuri faţă de natura reală a ştiinţei în general, a matematicii în special. În primul rând , chiar necesitatea de a se putea

ierarhiza concurenţii impune selectarea unor pro­ bleme de un anumit tip , ale căror soluţii se pretează la o apreciere cât mai cuantificată. Predomină pro­ blemele de natură combinatorie, iar enunţurile sunt mai de grabă de tipul să se arate că . decât de tipul este adevărat că ?, pentru a nu mai vorbi de faptul că problemele de modelare matematică a unor fe ­ nomene, de construire a analogului, într-un anumit cadru, al unei situaţii dintr-un alt cadru (un singur exemplu, o problemă pe care am propus-o studenţi­ lor din anul întâi: Cum ar arăta un analog pentru funcţii reale al lemei lui Cesaro de la şiruri?) , posi­ bile generalizări sau ameliorări ale unor teoreme sunt cu totul absente. Această sacrificare a unor probleme foarte apropiate de tipul celor care inter­ vin efectiv în cercetare, dacă nu sunt chiar ele ase­ menea probleme, este impusă de încadrarea în normele de competiţie: durata fixă prestabilită (se pare că de patru ore) acordată concurenţilor pentru rezolvarea a trei probleme şi posibilitatea măsurării cât mai riguroase a calităţi soluţiilor. ..

. . .

DE LA PROB LEME DE CONCURS LA PROBLEME PUR ŞI SIMPLU Este adevărat că durata de rezolvare a unei probleme nu e deloc o chestiune neglijabilă; dar durata este importantă în ceea ce priveşte pro­ blemele dintr-o anumită clasă, de exemplu privind timpul de calculator pe care îl comportă un anumit algoritm . Problemele la care trebuie " să-ţi dea prin gând ceva" nu au fo st niciodată rezolvate prin în­ chiderea pe câteva ore a unor matematicieni într-o anumită încăpere. Desigur, exerciţiul de gândire prilejuit de olimpiade sau de celelalte concursuri cu durată fixă este un bun antrenament şi un elocvent test de capacitate, de concentrare a atenţiei şi efor­ tului, de mobilizare a tuturor resurselor în vederea unui anumit scop. Dar această mentalitate competi­ ţională poate deveni nocivă dacă ea nu este echili­ brată de o orientare a preocupărilor spre problemele de fond şi de perspectivă ale ştiinţei. Din păcate , se observă de mai mulţi ani că structura diferitelor concursuri este determinantă pentru preocupările matematice ale celor mai mulţi tineri . Anumite capi­ tole din manuale, deşi fac parte din programa licea­ Iă de matematică, nu se află în atenţia elevilor (şi, într-o anumită măsură, nici a profesorilor) , pentru simplul motiv că ele nu figurează în programa de bacalaureat şi nici în aceea a concursurilor de ad­ mitere în învăţământul superior. O privire generală asupra problemelor propuse la diferitele tipuri de concursuri, în diferite ţări ale lumii, este suficientă pentru a se observa că orizon­ tul ştiinţific şi cultural al matematicii de concurs este destul de limitat, dacă nu derizoriu. Educaţia matematică a tineretului are astăzi o miză mult mai importantă, pe care trebuie să o onorezi . Pariul ei

social are în vedere nevoia de matematică re simţită azi de aproape toate disciplinele. Simptomele acestei comenzi sociale sunt nenumărate, iar multe dintre ele sunt resimţite de matematicieni în relaţiile lor directe cu profesioniştii altor discipline. Chiar în timp ce scriam aceste rânduri, am fost întrebat la telefon , de către un cunoscut critic şi teoretician al filmului, ce sunt reţelele lui Petri şi unde poate citi despre ele, deoarece a aflat că acestea se aplică în studiul scenariilor de film . Oare pregătirea matema­ tică a tineretului, în general, matematica de perfor­ manţă în special, n-ar trebui să înregistreze aceste mutaţii? Infuzia de gândire matematică devine o tendinţă tot mai accentuată în toate domeniile de activitate , iar antrenamentul în acest sens nu se poate baza numai pe exerciţii de virtuozitate mate­ matică în sine. În afară de problemele de matematică pe care le rezolvăm pentru a ne pregăti în vederea unui concurs există şi probleme de matematică pe care le ridică dezvoltarea ştiinţei. Nu ar trebui asi ­ gurată o legătură şi un echilibru între cele două tipuri de probleme? Nu ar trebui explicată această legătură?

OLIMPIADELE În domeniul matematicii, există la noi o fru­ moasă tradiţie a concursurilor şcolare. Concursurile " Gazetei Matematice " au stimulat preocupările ştiin­ ţifice ale tineretului timp de peste patruzeci de ani , lansând numeroase talente , din care s-au recrutat ulterior mulţi dintre matematicienii şi inginerii noştri de seamă. Olimpiadele de matematică organi­ zate în ultimele decenii continuă, mai ales prin eta­ pa lor finală, pe ţară, tocmai aceste concursuri care au animat viaţa noastră ştiinţifică în prima jumăta­ te a secolului al XX-lea. Dar, evident, cei care au conceput aceste întreceri în domeniul ştiinţei sau literaturii, prin analogie cu întrecerile sportivilor, nu au intenţionat să adauge , pur şi simplu, la şirul lung de controale la care oricum trebuie să se su­ pună orice e lev pentru a putea fi prom ovat, încă un examen . In tenţia nu a fost de a mări cu încă o uni­ tate numărul şi aşa destul de mare de teze, extem­ porale şi examene orale ale elevilor. Întorcându -ne la semnificaţia originară a acestui cuvânt - OLIM­ PIADĂ - şi la adj ectivul olimpic pe care l-a generat, intrăm ime diat într-o atmosferă de sărbătoare şi fast, de maiestuos şi impunător, pe care în mod tradiţional olimpiadele sportive au creat-o. Aceste întreceri nu au fost gândite ca o activitate standard , de testare rutinară a unor capacităţi minimale ale concurenţilor. Nu controlul unui bagaj minimal de cunoştinţe şi deprinderi, ci o întrecere a talentelor şi a pasiuni­ lor , pentru a se crea în acest fel o emulaţie generală, de natură să ambiţioneze pe cât mai mulţi elevi să lucreze la randamentul lor maxim ; aceasta îşi pro­ pun olim piadele .

549

Să ne referim la problemele propuse, de la în­ ceputul secolului până azi, la diferite concursuri şi olimpiade şcolare; multe dintre aceste probleme au fost strânse în două volume, unul aparţinând lui T. Roman, O. Sacter şi G. D. Simionescu (perioada 1 900- 1 967) , iar al doilea lui L. Panaitopol şi C. Ottescu ( 1 968- 1 974) ; alte cărţi, mai recente, au colectat problemele de olimpiadă din perioada ur­ mătoare; sunt printre ele multe frumoase , elegante , formulate lapidar, pline de ingeniozitate, vizând calităţile intelectuale ale tinerilor, spirit de observa­ ţie, îndemânare combinatorie, capacitate de deduc­ ţie logică, putere de abstracţie şi anal ogie. Dar nu mai puţin adevărat este şi faptul că un mare număr de probleme sunt lipsite de o motivaţie convingătoa­ re, fapt care le conferă un simplu caracter de j oc, în genul problemelor de şah. Să se fi interpretat în acest fel analogia cu olimpiadele dedicate jocurilor sportive? În cei peste o sută de ani care ne despart de primele concursuri şcolare, matematica a par­ curs o evoluţie impresionantă, dar ea se reflectă foarte palid în problemele date la olimpiade şi alte concursuri. Cu greu ar recunoaşte cineva în aceste probleme mutaţiile aduse de viziunea structurală şi de cea algoritmică, rolul crescând al matematicii, aplicabilitatea ei universală. Mai e însă şi un alt aspect. Problemele de olim­ piadă nu s-au diferenţiat suficient, ca factură, de problemele curente. Nu avem în vedere aici diferen­ ţa în ceea ce priveşte gradul de dificultate (această diferenţă a fost, în general, ob servată) , cât diferenţa în gradul de atractivitate . Unele probleme propuse la olimpiade sunt aride şi nu-şi dezvăluie nicio semnificaţie cognitivă. Le propunem elevilor să re­ zolve nenumărate tipuri de ecuaţii, dar destul de rar sunt ei invitaţi să stabilească modul în care aceste ecuaţii iau naştere dintr-o problemă reală. Şi totuşi, elevii sunt cei care vor trebui să construiască mode­ le matematice pentru problemele energetice, de ma­ terii prime, ecologice, de hrană sau informaţionale cu care omenirea este confruntată.

MATEMATICĂ ŞI SPORT La sport - sau măcar la ideea de sport - ne în­ toarcem mereu, sub diferite forme şi cu motivaţii diferite. În copilărie , sportul este în primul rând plăcerea jocului şi pentru că, în mod spontan, ener­ gia copilăriei se cere cheltuită prin mişcare , sportul se constituie într-o preocupare maj oră a copilului. De altfel, în această primă etapă a vieţii , orice acti­ vitate îşi cere o motivaţie ludică, fără de care ar deveni ceva impus, împotriva naturii. Pregătirea fizică intervine esenţial până şi la şah . Dacă pentru sportivul de performanţă pregătirea fizică este un mijloc de a-şi menţine un randament sportiv satisfăcător, pentru noi ceilalţi raportul se inversează: sportul devine un mijloc - singurul exis­ tent - de a ne menţine o bună condiţie fizică. Nu

550

este vorba aici numai de grij a pentru sănătate, ci şi de faptul că sportul este cea mai fericită alternativă a activităţii intelectuale, cea mai bună replică ce i se poate da. Într-un veac în care mai toate profesiile se intelectualizează, pretinzând eforturi fizice din ce în ce mai reduse, această alternativă tinde să preo­ cupe pe toţi membrii societăţii . I deea că a te odihni înseamnă a face altceva (" O mul are dreptul la con­ cediu după ce şi-a făcut datoria să muncească. Cu totul altul e conceptul de ((vacanţă)) , despre care nu se mai vorbeşte ; în vacanţă, omul continuă să mun­ cească, dar munce şte cum vrea" , spunea Gr. C . Moisil; Ştiinţă ş i umanism, p . 1 24) nu trebuie înţe­ leasă numai în sen sul recuperării forţelor, dar şi sub aspectul măririi randamentului profesional. Tocmai prin distanţa pe care şi-o ia faţă de acti­ vitatea profesional ă, sportul capătă o considerabilă funcţie igienică, prin care creierul şterge toate rezi­ duurile şi se creează disponibilitatea şi pofta pentru un nou efort intelectual. Dar nu cumva această distanţare este în ace­ laşi timp o apropiere? Nu cumva, în semnificaţiile ei mai profunde, activitatea sportivă ne solicită şi ne dezvoltă unele aptitudini în egală măsură necesare în activitatea de cercetare şi de descoperire de orice fel? Gândirea strategică, spiritul de luptă şi de echi­ pă, rezistenţa la eşecuri şi capacitatea de a le depăşi şi de a o lua, dacă e nevoie , de la capăt intervin în egală măsură într-un meci de fotbal sau de volei , într-o cercetare de laborator şi în pregătirea unui spectacol teatral sau a unui concert. Dacă în sport adversarul este o altă echip ă sau se concretizează, pur şi simplu, în limitele de până ieri ale performan­ ţelor corpului uman , în ştiinţă adversarul este natura care îşi ascunde cu viclenie secretele: sculptorul se luptă cu materia, iar poetul cu limbajul. Iată de ce înţeleg foarte bine de ce mulţi dintre colegii mei matematicieni au îndrăgit alpinismul. Alţii au practicat fotbalul, înotul, rugbiul, voleiul, tenisul, şahul, despre ultimele două susţinându-se la Facultatea de Matematică din Bucureşti lucrări de diplomă foarte interesante. De seori s-a întâmplat ca, întors de pe munte , un matematician să con­ state că a găsit soluţia unei probleme la care se gândea de mult. Dar desigur, cu vârsta, practica sportului se restrânge, mulţi dintre noi mulţumindu-ne cu dru­ meţia şi cu unele exerciţii de gimnastică, însă inte­ resul pentru sport rămâne viu. Dacă nu mai păşim pe terenul de fotbal , mergem cel puţin la stadion; iar când nu ne putem duce la stadion deschidem televizorul. Sportul - mai ales cel de echipă - este în foarte mare măsură şi un spectacol , pentru că are o mare doză de neprevăzut. Din acest punct de vede­ re , fotbalul mi se pare a fi sportul rege. El are, pen­ tru a mă exprima în termenii teoriei informaţiei, cea mai mare entropie, deoarece în niciun alt sport nu este atât de greu de prevăzut, ca în fotbal , ce anume se va întâmpla în faza următoare a j ocului. Poate că aici se şi află unul din secretele popularităţii acestui

sport; într-o vreme în care, tot mai mult, rutina şi stereotipia se instalează în numeroase comparti­ mente ale vieţii sociale , oamenii tânj esc după o miş­ care rapidă şi imprevizibilă, pe care fotbalul, mai mult poate decât alte sporturi, o realizează. Dacă din imaginea copilăriei mele nu pot elimi­ na pasiunea pe care o puneam ca mijlocaş stânga al echipei de fotbal a străzii, mai târziu, ca matemati­ cian, am constatat că sportul îmi pune la dispoziţie metafore dintre cele mai fericite ale unor procese delicate din analiza matematică. Când, în urmă cu vreo 50 de ani, conduceam o grupă de seminar de matematici superioare la Facultatea de Energetică a Institutului Politehnic Bucureşti, prezenţa, în gru­ pă, a studentei Lia Manoliu mi-a sugerat următoa­ rea ilustrare a ideii de şir crescător, dar mărginit: fiecare aruncare a discului , deci şi recordurile Liei

Manoliu, vor fi dep ăşite de alte aruncări şi alte re­ corduri , acest proces fiind practic nelimitat. Dar există un prag, determinat de limitele imanente ale organismului uman , dar necunoscut, care nu va putea fi depăşit . (Orice şir monoton şi mărginit este convergent) . Distincţia dintre existenţă şi construc­ ţie apărea astfel accesibilă chiar şi începătorilor în ale analizei matematice. Momentul de tensiune pe care sportivul îl tră­ ieşte în clipele de maximă concentrare îşi are un frate bun în momentul de inspiraţie al savantului şi al artistului. Pe toţi îi uneşte ambiţia autodepăşirii . Iar diplomaţii care , adunaţi în jurul meselor rotun­ de, discută marile probleme ale omenirii, pot primi şi ei sugestii utile din d omeniul comportamentului sportiv.

55 1

CAPITOLUL XIII MATEMATICA SCOLARĂ ,

ÎNTRE LUDIC, COGNITIV SI UTILITAR ,

CUM A FOST CONTESTAT EUCUD Anii şaizeci au marcat, în multe ţări ale lumii, un punct de cotitură în predarea matematicii, în învăţământul ştiinţelor în general. Vechi tradiţii erau puse sub semnul întrebării. Deosebit de preg­ nant s-a manifestat acest fenomen în Franţa. Mo­ mentul merită să fie evocat, deoarece matematica românească şi învăţământul nostru matematic s-au aflat într-o strânsă le gătură cu matematica france­ ză. (Începând din secolul al XIX-lea, cu Spiru Haret, mulţi dintre matematicienii noştri de seamă au sus­ ţinut teze de doctorat la Paris şi au adus la noi ideile, preocupările, mentalitatea matematicienilor francezi . ) În perioada menţionată, matematica franceză era dominată de grupul de matematicieni cunoscuti sub pseudonimul colectiv de Nicolas Bourbaki. Înc ă din anii treizeci, ace st grup (care se primeneşte me­ reu, pentru a nu cuprinde decât matematicieni sub vârsta de 50 de ani) s-a angaj at într-un proiect de amploare privind aşezarea matematicii moderne pe baze structurale. Proiectul s-a concretizat de-a lun­ gul anilor într-un număr mare de volum e, a căror influenţă asupra dezvoltării matematicii a fost deo­ sebit de importantă; în mod special, învăţământul matematic universitar din ţara noastră s-a resimţit puternic de această influenţă, încă din deceniul al cincilea. De fapt, procesul de structuralizare se dez­ voltă în matematică încă din primele decenii ale secolului al XX-lea, simptomatică fiind în această privinţă constituirea ca discipline autonome a Topo­ logiei , Analizei funcţionale şi Algebrei moderne de tipul celei prezentate într-o carte celebră a lui Van der Waerden. Dar prin Bourbaki matematica struc­ turală capătă pentru prima oară o expunere siste­ matică şi unitară, care marchează, în matematică, un nou standard de rigoare. Era inevitabil ca această orientare să influenţeze decisiv discuţiile angajate în anii şaizeci privind învăţământul matematic. O co552

misie ministerială, prezidată de Andre Lichnerowicz, membru al Academiei de Ştiinţe din Paris şi profe­ sor la Co1li�ge de France, a lucrat timp de trei ani la elaborarea unor noi programe pentru învăţământul matematic francez, programe a căror aplicare a în­ ceput în 1 969 . Un element şocant în noile programe îl constituia introducerea unor elemente de teoria mulţimilor şi a limbajului corespunzător. Unele elemente de logică matematică îşi găseau astfel şi ele loc . Sunt puse în evidenţă noi perspective de aplicare a matematicii, prin introducerea în pro­ grame a elementelor de calcul matricial , atât de important pentru înţelegerea fizicii moderne , şi prin studiul numerelor în alte baze decât zece, strâns legat de funcţionarea calculatoarelor electronice. Un alt element şocant îl constituia, în noile programe , restrângerea chestiunilor de geometrie elementară. Numeroşi fizicieni erau de părere că vechile pro­ grame consacrau un loc prea mare unor chestiuni de geometrie lipsite de aplicaţii semnificative . Dar o atitudine negativă ş i mai fermă faţă de elementele de geometrie euc1idiană prezente în mod tradiţional în programele de matematică a fost ma­ nifestată de către reprezentanţii grupului Bourbaki. Profesorul Jean Dieudonne , membru al Academiei de Ştiinţe din Paris, nu s-a sfiit să proclame cu vehemenţă caducitatea geometriei euclidiene, in­ compatibilă cu spiritul integrativ şi structural al matematicii moderne. Dieudonne argumenta că teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene (în orice număr de dimensiuni) sunt simple conse­ cinţe ale conceptului de spaţiu vectorial în care se consideră o formă pătratică definită pozitiv; prin urmare, aceste din urmă elemente trebuie introduse în programa şcolară, evitându- se astfel complicaţiile cu triunghiuri şi cercuri. În schimb, se acordă aten­ ţie transformărilor geometrice, începând cu transla­ ţiile şi simetriile, transformări marginalizate în programele anterioare .

În ansamblu, noile programe propuse de comi­ sia Lichnerowicz şi puternic marcate de gândirea lui Bourbaki pun accentul pe structurile care se află la baza matematicii, în special structurile algebrice (grup, inel, corp etc.) şi structurile de ordine . Prin aceasta, matematica încetează de a fi o aglomerare de noţiuni şi rezultate eterogene, devenind în schimb un ansamblu organizat, în care componen­ tele se articulează pe baza unei concepţii globale. O simplitate profundă este astfel revelată, întregul edificiu capătă o structură uşor inteligibilă. Avantaj ele matematicii structurale greu pot fi contestate , iar fascinaţia pe care tratatul lui Bourbaki a stârnit-o în special în rândul tinerilor matematicieni de la noi şi de aiurea este pe deplin explicabilă. Desigur, se poate pune problema dacă această viziune structurală asupra matematicii este adec­ vată din punct de vedere ped agogic. Comisia Lichnerowicz nu a neglijat acest aspect, dimpotrivă, i-a acordat întreaga atenţie, colaborând cu doi din­ tre cei mai mari specialişti în ceea ce priveşte psiho­ logia învăţării matematicii, Jean Piaget şi Z . P. Dienes. Piaget a studiat modul în care copilul şi tânărul asimilează structurile algebrice, topologice şi de ordine, elaborând o întreagă periodizare în acest sen s . Z.P. Dienes a elaborat tipuri de jocuri privind învăţarea matematicii la diferite vârste. Jocul, desenul şi manipularea îşi capătă fiecare locul adecvat, în conformitate cu un vechi proverb chinez , care spune că ceea ce numai se aude, se uită uşor, ceea ce se vede rămâne în amintire; înţelegi cu ade­ vărat numai ceea ce faci tu însuţi . Programele elaborate de comisia Lichnerowicz păstrează o bună parte din programele anterioare, dar caută să realizeze o unificare între elementele tradiţionale şi cele moderne, mai cu seamă cu aju­ torul limbaj ului . Prin acest fapt, matematica şcolară atinge un nou nivel de ri goare . Cei care cunosc istoria programelor şcolare de matematică din ultimele decenii , în ţara noastră, ştiu că şi învăţământul nostru a parcurs o evoluţie importantă în sensul modernizării. De altfel , aceas­ ta a fost evoluţia predării matematicii în multe ţări ale lumii .

SPRE O ŞTIINŢĂ ACCESIBILĂ CELOR MULŢI În campania de convingere a opiniei publice franceze de oportunitatea noilor programe de ma­ tematică puse în aplicare începând cu anul 1 969 , autorii acestor programe se prevalau în primul rând de situaţia nesatis-făcătoare în care ajunsese învă­ ţământul matematic. Rezultatele acestui învăţă­ mânt erau din ce în ce mai slabe, lecţiile de matematică erau urmărite şi asimilate de tot mai puţini elevi şi, ceea ce era mai grav, mulţi profesori de matematică se complăceau în această situaţie. Astfel s-a creat mentalitatea, atât de răspândită,

conform căreia matematica este o disciplină aristo­ cratică, destinată unui număr restrâns de el evi dotaţi . Ceilalţi elevi urmau să se resemneze cu învă­ ţarea pe dinafară a unor procedee de rutină, care însă nu aveau nimic comun cu adevărata gândire matematică. Cum s-a putut aj unge la această situaţie? Prin prezentarea tot mai artificială a matematicii ca o aglomerare de trucuri, de probleme " scoase din bu­ zunar" , prin absenţa motivaţiilor în ceea ce priveşte semnificaţia conceptelor şi teoremelor prezentate. Toate acestea erau de natură să intimideze pe elevul de rând , care se vedea tot mai mult obligat la un efort neînsoţit de nicio satisfacţie. Prin reforma promovată de noile programe se spera să se pună capăt acestei situaţii. Se sconta că logica de ansam­ blu care apare într-o abordare structurală, posibili­ tatea de a raporta toate detaliile la câteva relaţii fundamentale şi , deci, de a ierarhiza faptele după importanţa lor vor oferi elevilor motivaţiile necesare pentru a le face matematica nu numai inteligibilă, ci şi atractivă, prin legătura permanentă cu aspectele operaţionale şi utilitare. "Vrem să înannăm pe copii pentru lumea anilor 1 990" , declara in 1 9 7 1 Andre Lichnerowicz, preşedintele comisiei de reformă a învăţământului matematic francez. " Pentru aceasta continua el - nu ne putem mulţumi să le dăm viito­ rilor fizicieni şi chimişti reţete de bucătărie; trebuie să le dăm tuturor elevilor o metodologie de gândire care să le permită să nu se afle niciodată sub dicta­ tura unui pumn de oameni atoateştiutori" Accen­ tuând ideea exigenţei crescute pe care trebuie s-o avem faţă de educaţia matematică a noilor generaţii, Jean Leray, membru al Academiei de Ştiinţe din Paris şi profesor la College de France, atrăgea aten­ ţia că azi nu mai e suficient ca un copil să înveţe să numere şi să efectueze operaţii cu numere; la zece ani , el trebuie să şi înţeleagă ceea ce face. Practica mulţimilor în învăţământul elementar poate să ajute în ace st sens, crede Jean Leray. O formulare răspicată a dilemei în faţa căreia se află învăţămăntul matematic venea din partea lui Georges Th . Guilbaud , director de studii la "Ecole Pratique des Hautes Etudes", care într-o emisiune la televiziunea franceză, la 1 O ianuarie 1972, consi­ dera că fondul problemei este a alege între un învă­ ţământ ştiinţific apt să dea tuturor elevilor o cultură ştiinţifică adaptată timpului nostru şi un învăţă­ mânt elitar, care-i are în vedere numai pe cei ce vor continua studiile la universitate sau alte institute echivalente. Opţiunea era categoric pentru prima variantă. Atitudini similare erau exprimate şi de repre­ zentanţii ştiinţelor fizice. Andre Lagarrigue, director al Laboratorului de acceleratori lineari de la Univer ­ sitatea Pari s-Sud (Orsay) şi preşedinte al Comisiei ministeriale de reformă a învăţământului ştiinţelor fizice şi al tehnologiei, declara: "Trebuie să conce­ pem un învăţământ ştiinţific pentru masa elevilor, nu pentru o elită restrănsă" De acord în linii mari

553

cu reforma programelor de matematică, comisia condusă de A. Lagarrigue preconiza un învăţământ al fizicii bazat în mare parte pe ob servaţie şi măsu­ ră, pe activitate practică, pe latura experimentală a fizicii, pe lucrări practice simple de mecanică, elec­ tronică şi electricitate, pe folosirea curbelor şi a reprezentărilor grafice, pe studiul pluridisciplinar al unor mari ansambluri tehnologice (de exemplu, automobilul , aviaţia, televiziunea, petrolul, teleco­ municaţiile) . Este lesne de înţeles că într-o problemă atât de complexă erau inevitabile unele dezacoduri atât între matematicieni cât şi între ei , pe de o parte, şi fizicieni, chimişti, naturalişti , pe de altă parte . Exis­ tă totuşi un numitor comun care merită să fie su­ bliniat, anume necesitatea unui echilibru între disciplinele abstracte, pe de o parte, şi ştiinţele de observaţie şi de experiment, pe de altă parte. Rămânea de văzut cum se va implementa noua reformă. Un prim semnal de alarmă, venit atât din partea matematicienilor, cât şi din partea fizicieni­ lor, se referă la faptul că noile programe păreau prea încărcate; ceea ce ele adăugau nu era suficient compensat de ceea ce se scote a. A doua problemă se referea la necesitatea reciclării profesorilor de matematică, în sen sul noilor programe, ţinându-se seamă de faptul că masa acestor profesori , mai cu seamă la clasele mici, este foarte eterogenă ca grad de pregătire. Departe de a fi o improvizaţie, noua reformă, experimentată timp de vreo zece ani in unele clase speciale , nu avea cum să realizeze peste noapte reciclarea masei de profesori. Operaţia era cu atât mai delicată cu cât nu era vorba numai - şi nici măcar îri primul rând - de predarea unor cu­ noştinţe noi, ci şi de o nouă mentalitate în înţelege­ rea matematicii ca disciplină formativă. Dar poate că dificultatea cea mai mare , în im­ plementarea noilor programe, consta în realizarea unor manuale corespunzătoare. Aici s-au concen­ trat de altfel cele mai multe critici, unele venite chiar din partea partizanilor noii reforme . Însuşi Lichnerowicz a reacţionat ne gativ faţă de modul în care gândirea axiomatică era reflectată în noile ma­ nuale: "Axiomele sunt deseori paraşutate, în timp ce noi preconizăm, dimpotrivă, o abord are concretă, care să conducă natural la aceste axiome " . Jean Leray observă că este o mare greşeală elaborarea în grabă a manualelor şcolare. Orice improvizaţie in această privinţă este plătită scump , deoarece mulţi profesori, insuficient acomodaţi cu noua materie şi cu noul spirit, manifestă o incredere oarbă în ma­ nualele după care predau . Alte critici se refereau la unele exagerări de limbaj . Este potrivit să ceri unui copil de 7 ani să înveţe . cuvinte ca echipotente sau disjuncte? Este nece sară această terminologie pen­ tru înţelegerea noţiunilor respective? Probleme ca cele de mai sus au fost mult discu­ tate şi la noi şi sunt in continuare discutate şi acum. Experienţele altora sunt, de aceea, foarte instructive. Le vom urmări în continuare.

554

CEARTA " MATEMATICILOR MODERNE " Ceea ce părea iniţial o simplă critică a unor stângăcii şi greşeli tehnice ale manualelor a luat rapid forma unei reacţii de mari proporţii la reforma învătământului matematic. La această reacţie au participat atât mari matematicieni, ca Jean Leray şi Rene Thom, cât şi mari fizicieni, laureaţi ai premiu­ lui Nobel, ca Alfred Kastler şi Louis Neel, ingineri (ca Marc Pelegrin, director al Şcolii Normale Superioare de Aeronautică şi Spaţiu) şi părinţi ai elevilor. Aceş­ tia din urmă se trezeau dezarmaţi în faţa unor ma­ nuale pe care nu le mai înţelegeau, fiind astfel în imposibilitatea de a-şi mai aj uta odraslele. Fizicienii se arătau îngrij oraţi de natura preponderent ab­ stractă pe care o imprimau noile programe. "Inven­ ţia, reuşita, descoperirea nu sunt decât punctul final al unui drum complicat care pleacă de la ob­ servarea faptelor, un drum in care logica îşi are şi ea locul ei, dar tot atât loc au şi intuiţia, tatonările, aproximaţiile succesive . Nu e oare primej dios să plecăm sistematic de la abstract? se întreba Andre Lagarrigue . Marc Pelegrin (Ne pas abandonner l a regle de trois, "Le Monde " , 20 ianuarie 1 9 7 2 , p. 7) exprima punctul de vedere al inginerilor. El arăta că ingine­ rul este hărţuit de un mare număr de probleme, luate individual nu prea complicate , dar în ansam­ blul lor reclamând utilizarea unui arsenal matema­ tic bine adaptat şi într-o viziune sistematică. Avionul este un exemplu în acest sens. Calculele de rezistenţa materialelor implică manipularea unor matrice pătrate de dimensiuni uriaşe ; este vorba aici nu de calcule ocazionale, ci de calcule efectuate zilnic pentru realizarea platformelor de foraj sau a aripilor de avion. Fără calcul matricial, nici avionul Concorde nici podul de la Tancarville nu ar fi fost posibile. Matematicile sunt deci indispensabile ingi­ nerului, o reformă în ac est sens a predării mate­ maticii fiind vitală, deoarece matematicile predate până în 1 9 50 erau cu totul insuficiente. Pelegrin se arăta totuşi neliniştit de o anumită evoluţie posibilă, întrebându-se ce se va întâmpla când, progresiv, problemele cu robinete şi cu trenuri şi rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea vor face loc studiului sistemelor de numeraţie in baza 5 sau 1 2 . Pentru acei elevi care nu vor face studii superioare este oare cunoaşterea altor sisteme de numeraţie prefe­ rabilă posibilităţii de a rezolva o problemă cu tre­ nuri care pleacă în sensuri opuse? Pelegrin se arată însă satisfăcut de introducerea in noile programe a notiunilor relative la calculul matricial, a chestiuni­ ' lor de logică (anterior predate numai studenţilor în filosofie) şi a tuturor chestiunilor relative la struc­ turi, chestiuni fără de care nu pot fi înţelese siste­ mele complexe cu care este confruntat un inginer. Pelegrin mai subliniază importanţa pe care o prezin­ tă, în formaţia unui inginer, noţiunile de calculul probabilităţilor (lumea industrială este de natură probabilistă) , de analiză numerică (pentru a şti să

transferi calculele unui calculator) şi de logică forma­ lă (importantă în automatică) . Dar toate aceste lu­ cruri noi nu au dreptul să elimine " chestiuni care rămân de o manieră intrinsecă ale inginerului: calcu­ lul diferenţial şi integral, seriile convergente sau . . . regula de trei " O critică directă şi detaliată a noilor manuale a venit din partea lui Jean Leray (Les mathematiques modemes, " Gazette des Mathematiciens " , no . 64, octombrie 1 97 1 , p. 5 1 1 ) , care mărturiseşte că arti­ colul său, iniţial o improvizaţie orală la o discuţie care a avut loc la Institutul Henri Poincare la 25 februarie 1 97 1 ) , s-a născut dintr-o întâmplare . Un elev a venit la el pentru a-i cere explicaţii în legătură cu următorul text aflat în manualul şcolar: " O mul­ ţime finită (nevidă) E este prin definiţie imaginea bijectivă a unui segment [ 1 , al al mulţimii N a între­ gilor naturali. Două mulţimi finite au, prin definiţie , acelaşi cardinal dacă şi numai dacă ele pot fi puse în bij ecţie. Se demonstrează tranzitivitatea relaţiei cârd (E) = cârd (F) . Definiţie: Numărul a este cardi­ nalul segmentului [ 1 , al al lui N" Leray observă că ultimul enunţ trebuie să aib ă form a: " aplicaţia care asociază lui a pe card [ 1 , al este bije ctivă; nu este vorba de o definiţie, ci de o consecinţă a axiomei (absentă din manual) : o mulţime finită nu poate fi pusă în bijecţie cu nicio parte strictă a ei. Dar această omisiune făcea parte dintr-una mai genera­ lă: întregul text dedicat în manual mulţimilor finite nu se sprijină pe nicio proprietate caracteristică a întregilor sau a mulţimilor finite , putându-se deci aplica şi segmentelor din R şi mulţimilor infinite. Se "demonstrează" astfel că nu se pot pune în bijecţie două segmente de dreaptă decât dacă au aceeaşi lungime, ceea ce ar însemna, observă mucalit Leray, că orice hartă a Franţei este obligată de a avea di­ mensiunile Franţei. " Acestea sunt matematicile mo­ derne " , exclamă sarcastic Leray. Aşa cum am arătat anterior, Leray nu s-a opus noilor programe; recunoaşte şi în articolul pe care-l discutăm acum că Lichnerowicz are idei sănătoase şi clare, că vrea să se postuleze ceea ce elevului îi apare evident iar fizicienii, chimiştii şi biologii să folosească în mod oportun şi corect termenii mate ­ matici. Dar cei care trebuiau să pună în practică aceste idei s-au descurcat mai greu. Astfel, observă Leray, este cu totul nefericit ca primul exemplu de mulţime să fie o mulţime de . . . mulţimi (se cunosc dificultăţile logice asociate cu acest concept) , iar al doilea exemplu să fie " mulţimea proprietăţilor unui obiect" Care este mulţimea proprietăţilor unui punct? se întreabă batjocoritor Leray. Postulatul lui Euclid nu este "un enunţ pe care nu ştim să-I de­ monstrăm " , cum se spune în manualul incriminat, ci definiţia însăşi a geometriei euclidiene , observă Leray. Concluzia lui Leray: în concepţia noilor ma­ nuale' matematicile moderne sunt o acumulare de definiţii ale unor noţiuni ale căror proprietăţi carac­ teristice (adică axiome) nu sunt enunţate şi de spre

care nu se stabileşte nICIO proprietate importantă; astfel de noţiuni nu prezintă intere s şi nu se poate raţiona logic cu ele . A le învăţa este un exerciţiu de memorie nociv inteligenţei . Nu aceasta au vrut au­ torii programelor, ei au cerut profesorilor de mate­ matică să utilizeze cu bun-simţ, atunci când împre­ jurarea o cere , termenii corecţi ai limbajului ştiinţific contemporan, chiar înainte ca sensul lor ştiinţific să poată fi riguros definit elevilor, printr-un sistem de axiome. Este necesar să modernizăm învăţământul ma­ tematic, dar predarea "matematici1or moderne" este o iluzie, crede Leray, care constată că învăţământul superior va trebui în continuare să recomande mul­ tor studenţi : "U itaţi ceea ce aţi învăţat la liceu"

MATEMATICIENII PROVOACĂ PE FIZICIENI Alfred Kastler, laureat al Premiului Nobel pen­ tru fizică, a fo st unul dintre criticii cei mai acerbi ai reformei învăţământului matematic francez. Preşe­ dintele comisiei de reformă, matematicianul Andre Lichnerowicz, i-a răspuns printr-o scrisoare publică inserată în ziarul "Le Figaro " , nr. 8 5 1 3 , 27 ianuarie 1 9 72 , p. 2 6) , pe care o vom relata şi comenta în cele ce urmează. Lichnerowicz îşi manifestă de la început adeziu­ nea la ideea lui Kastler de a dezvolta la elevi obser­ vaţia concretului şi un anumit tip de imaginaţie, dar îi atrage atenţia lui Kastler că, în timp ce mate­ maticienii lucrează de mai mulţi ani la o reformă a învăţământului matematic, nicio concepţie globală şi nici măcar sugestii nu au venit din partea fizicie­ nilor, în vederea unei reforme corespunzătoare a învăţământului fizicii. O comisie în acest sens , pen­ tru fizică, a luat naştere cu mare întârziere, crearea ei fiind susţinută şi aprobată cu sprijinul puternic al matematicienilor. Fizicienii care făceau parte din această comisie au constatat, în 1 9 7 1 , că, în conţi­ nutul său , învăţământul fizicii rămăsese substanţial acelaşi de 70 de ani , în contrast cu înnoirea pe care a cunoscut-o , în această perioadă, învăţământul chimiei şi al biolo giei. În continuare, Lichnerowicz reproşează fizicienilor universitari francezi că, spre deo sebire de colegii lor din alte ţări , s-au dezin­ teresat de problemele puse de învăţământul fizicii în licee. Gravitatea acestei situaţii este accentuată de faptul că învăţământul secundar a devenit , cel pu­ ţin în primul său ciclu, un învăţământ pentru toţi, pretinde Lichnerowicz, un învăţământ care se adre­ sează unor copii care trăiesc într-o lume profund diferită de aceea din urmă cu 50 de ani. Electrici­ tatea, de exemplu, face parte din viaţa cotidiană. Adolescentul de 1 6 ani pe care vrei să-I iniţiezi în " " misterele curentului continuu şi ale celui alterna­ tiv poate avea impresia Că-ţi râzi de el; ar fi trebuit să-I iniţiezi mult mai devreme. Lichnerowicz il invocă în continuare pe fizicia­ nul Pauli (laureat al Premiului Nobel) care, referin555

du-se la învăţământ, observa că o idee ştiinţifică realmente nouă implică o reformă, care se constitu­ ie într-un nou pariu , un pariu reînnoit şi într-un viitor care urmează să fie con stituit. Ştiinţa, observă Lichnerowicz, nu este o acumulare de straturi geo­ logice disparate, provenind din epoci diferite; în procesul de iniţiere ştiinţifică, abordarea istorică (foarte des fals-istorică) este contraindicată, deoare­ ce iniţierea în ştiinţă este altceva decât istoria ştiin­ ţelor, învăţământul fizicii îi apare lui Lichnerowicz (ca şi lui Kastler de altfel) învechit, de seori " livresc " şi insuficient de atent cu latura experimentală, cum de altfel şi Kastler o recunoaşte . Faţă de o atare situaţie dezechilibrată a învă­ ţământului ştiinţelor, Lichnerowicz accentuează responsabilitatea morală a savanţilor de a oferi tine­ rilor cheile lumii de azi şi de mâine . Referindu-se la reforma învăţământului mate­ matic francez, Lichnerowicz ob servă că in elaborarea noilor programe un rol determinant l-au avut profe­ sorii de liceu. Aceste programe nu exagerează as­ pectele abstracte, cum au afirmat unii fizicieni şi ingineri, ci pun accentul pe calculul numeric şi al­ gebric, neglijat anterior. M ulte critici la adre sa noi­ lor programe se datorează necunoaşterii naturii matematicii şi a rolului mo delelor matematice în reprezentarea realului, crede Lichnerowicz, care îl invită pe Kastler să consulte, în acest sens, faimoasa carte a lui Albert Einstein Geometria şi experienţa. Ca orice ştiinţă, matematica include două discursuri: un discurs de creaţie, puţin vag, cuprinzând moti­ vaţii şi observaţii, dominat de intuiţie şi de ima­ ginaţie şi un discurs de comunicare, care-ţi permite să te faci înţeles de un altul în mod adecvat, fără denaturări sau ambiguităţi. Această din urmă idee , pe care din păcate Lichnerowicz n-o dezvoltă mai mult, ni se pare de o considerabilă importanţă. Multe nemulţumiri la adresa noilor manuale au fo st generate tocmai de un insuficient echilibru între cele două discursuri, discursul de comunicare tinzând să acapareze con­ sideraţiile, în dauna discursului de creaţie . De sigur, Lichnerowicz are dreptate în a afirma că iniţierea în ştiinţă, trebuind să procedeze de la simplu la com­ plex, se abate de multe ori de la ordinea istorică a lucrurilor; dar de aici până la eludarea ordinii isto­ rice, cum se întâmplă de multe ori, este o distanţă mare. Nu este greu de văzut că între marginalizarea discursului de creaţie şi eludarea aspectului istoric este o legătură strânsă. Lichnerowicz este conştient de aceste lucruri; el observă că matematica nu-i o simplă colecţie de axiome , ci gândirea imaginativă şi creatoare de metode şi tehnici care se exprimă prin simboluri şi formule . Tocmai această gândire trebu­ ie să încercăm s-o inoculăm copiilor, învăţându-i desigur să manipuleze şi tehnicile asociate. Experi­ enţa arată - observă Lichnerowicz - că în măsura îp care punem accentul pe tipul de gândire subiacent matematicii, tinerii arată şi ei mai mult interes pen­ tru matematică. Matematicile sunt considerate ab-

556

stracte pentru că sunt policoncrete , aplicându-se fără specificitate unor activităţi dintre cele mai vari­ ate , care cuprind o bună parte din civilizaţia noas­ tră tehnică. În încheiere , Lichnerowicz îl întreabă pe Kastler: poţi fi de acord cu acel învăţământ mate­ matic tradiţional (pe care şi tu l-ai primit) care lasă impresia că matematicienii sunt doar oameni care judecă şi nu creatori, în ciuda faptului că ei au con­ tribuit atât la inteligenţa umană, în particular, la înţelegerea lumii fizic e? În replică, M . Marck, preşe­ dintele Uniunii Fizicienilor Francezi, consideră că pro blema reformei se pune altfel pentru fizică decât pentru matematică. Matematica şi- a restructurat înseşi bazele ei, ceea ce reclama, fireşte, o reconsi­ derare completă a programelor. După demolarea clădirii vechi , s-a construit alta nouă; lucru posibil , deoarece modificările erau pur conceptuale. Cu fizi­ ca şi chimia, lucrurile s-au petrecut altfel. În elabo­ rarea programelor corespunzătoare, trebuie să se ţină seamă de realitatea fenomenelor naturale . Nu ne putem deci lipsi de fizica clasică, fie ea şi din seco lul al XIX-lea, deoarece ea realizase dej a o cu­ no aştere foarte elaborată a unei mari părţi a feno­ menelor fizic e . În încheiere, să-i dăm cuvântul, pentru arbitraj , ilustrului savant Paul Germain, fost preşedinte al Oficiului naţional francez pentru cer­ cetări aerospaţiale. Acesta consideră că trebuie creat de la începutul studiilor secundare (gimnaziul) un învăţământ general al ştiinţelor (matematică, fizică, chimie) şi adaugă: " Un atare învăţământ nu po ate fi realizat de cât dacă fizicienii se arată des­ chişi şi gata de a- şi revizui eventual unele metode de gândire . . . Matematicienii noştri s-au arătat poate prea novatori în concepţiile lor despre învăţământ, nu le rămâne fizicienilor decât a nu se arăta prea conservatori ! "

UTILITATEA GRATUITULUI Una dintre cele mai substanţiale contribuţii la dezbaterile privind modernizarea predării matemati­ cii în şcoală aparţine lui Rene Thom, mare mate ­ matician francez, laureat al medaliei Fields (un fel de premiu Nobel pentru matematică) , autor al teori­ ei matematice a catastrofelor, cu aplicaţii în biolo­ gie, lingvistică, economie şi numeroase alte domenii . Avem în vedere , în cele ce urmează, articolul publi­ " cat de Rene Thom în " L'Age de la Science , voI . 3 , 1 970, no . 3 , pp . 22 5-242 sub titlul foarte semnifica­ tiv: Les mathematiques " modemes": une erreur peda­ gogique et philosophique? A se vedea însă şi alte intervenţii ale aceluiaşi autor (cum ar fi : Modem mathematics: Does it exist? în " Developments in M athematical Education " , editor A.G. Howson, Cambridge Univ. Press, Cambridge , 1 9 73 ) . Rene Thom compară mai întâi noile programe cu cele vechi şi constată că s-a creat un dezechili­ bru în sensul că algebra a căpătat o mare extindere , in dauna geometriei euclidiene tradiţionale . Două

au fost în primul rând argumentele care au dus la eliminarea geometriei tradiţionale din programele franceze de matematică. Primul argument este teo­ retic : aşa cum rezultă din cercetările iniţiate de Hilbert, in legătură cu bazele geometriei, pretinsa rigoare a Elementelor lui Euc1id este compromisă prin apelul frecvent la intuiţie . Al doilea argument este de natură practică: o mare parte din considera­ ţiile de geometrie plană, relative la triunghiuri şi la cercuri, este lipsită de utilitate . Cine are nevoie de dreapta lui Simpson sau de cercul celor nouă punc­ te al lui Euler? Să urmărim pledoaria lui Thom pentru geome­ trie . În ceea ce priveşte lipsa de utilitate in viaţa de fiecare zi, Thom este de părere că nici algebra nu se află într-o poziţie mai favorabilă. Cine - se întreabă Thom - a avut nevoie, in viaţa curentă, să rezolve o ecuaţie de gradul al doilea sau să folosească explicit noţiunea de modul peste un inel? Desigur, s-ar pu­ tea replica aici că utilitatea trebuie apreciată în sensul perspectivei ştiinţifice oferite . Întrebarea legitimă ar fi nu de câte ori in viaţa practică am avut nevoie de dreapta lui Simp son sau de ecuaţia de gradul al doilea, ci in ce măsură aceste chestiuni intervin în viaţa internă a ştiinţei, a matematicii în primul rând. Va trebui atunci să recunoaştem că matematicienii care au avut nevoie, in profesia lor, de dreapta lui Simpson sunt incomparabil mai pu­ ţini (dacă nu cumva inexistenţi) d ecât cei care s-au întâlnit cu ecuaţiile algebrice şi cu noţiunea de mo­ dul peste un inel. Lipsa de perspectivă a multor che stiuni de geometrie plană nu poate fi contestată; dar nu toate noţiunile şi rezultatele geometriei plane se află în această situaţie. Nimeni nu poate contesta importanţa teoremei lui Pitagora, a formulelor care dau ariile şi perimetrele diferitelor figuri sau a diferi­ telor tipuri de transformări geometrice . Noile pro­ grame n-au preconizat eliminarea intregii geometrii; numai că partea care n-a fost eliminată a devenit, in bună măsură, un capitol de algebră liniară. Dar nu pe temeiul utilităţii ia Rene Thom apărarea geo­ metriei euclidiene. Mai general, el consideră că nu utilitatea este criteriul principal pe baza căruia tre­ buie selectate chestiunile care urmează să fie preda­ te elevilor. Elementul decisiv în învăţămăntul şcolar este formarea găndirii, a aptitudinilor intelectuale şi morale. Aici, Rene Thom lansează o idee profundă şi subtilă, în jurul căreia va merita să intârziem. El consideră că este imposibil să formezi găndirea şi să dezvolţi iniţiativa elevului în cadrul unei discipline care nu include şi unele aspecte gratuite. Pentru a-i dezvolta personalitatea şi pentru a-l evalua corect, trebuie să-I plasezi intr-un rol activ, in care să poa­ tă arăta care este spiritul iui de iniţiativă, cât de întreprinzător este. Toate acestea nu sunt po sibile în cadrul unor elemente strict utilitare, deoarece utilitarul se asociază cu formula, cu reţeta, cu ruti­ na, iar şcolarul excelează aici prin memorarea exactă şi rapidă a unui anume material. Valoare educaţio­ nală au acele chestiuni in care rămâne loc şi pentru

joc, iar dintre toate jocurile geometria euclidiană i se pare lui Thom cel mai puţin gratuit şi cel mai bogat in semnificaţii, deoarece manifestă un remar­ cabil echilibru între aspectul logic şi cel intuitiv. Problemele de geometrie cer o combinaţie de timp, concentrare şi putere de asociere şi nu pot fi înlocu­ ite cu structuri algebrice; pentru acestea din urmă nici nu există, la vârsta şcolară, o motivaţie adecva­ tă, crede Thom. În continuare şi, în consecinţă, Thom consideră profund dăunătoare tendinţa actu­ ală de a inlocui geometria cu algebra. La nivel de şcoală, probleme adevărate sunt numai cele de ge ­ ometrie . Cele de algebră sunt simple exerciţii recla­ mând aplicarea oarbă a unor reguli şi proceduri prestabilite. Cu rare excepţii - continuă Thom - nu poţi cere unui elev să demonstreze o teoremă de algebră; d acă răspunsul nu este aproape evident, obţinându- se prin directa substituire a definiţiilor, atunci sunt mari şanse ca problema să depăşească, ca grad de dificultate, chiar posibilităţile elevului celui mai dotat. Singura matematică din care elevul învaţă într-adevăr ce este o teoremă şi ce este o demonstraţie rămâne geometria euclidiană tradiţio­ nală, conchide Thom. Desigur, ştiinţa utilă tinde spre procedee algo­ ritmice , deoarece numai in acest fel se poate folosi comod in mod repetat. Tot spre procedee algoritmice tinde şi procesul de predare a ştiinţei, pentru ca în acest fel să se poată obţine uşor un randament oa­ recare chiar din partea elevului mijlociu sau slab şi să se poată uşor cuantifica şi ierarhiza, pentru a fi notate, răspunsurile elevilor la diferite teste şi exa­ minări. Este geometria euclidiană singura disciplină şcolară care se poate sustrage de la această situaţie? Pe vremuri, matematica şcolară punea mult accent pe aritmetică, ale cărei virtuţi formative nu par infe­ rioare geometriei. Există multe probleme privind numerele prime (începănd cu teorema lui Euclid, care afirmă infinitate a lor) , foarte echilibrate ca grad de dificultate şi care parcă oferă o perspectivă mai interesantă decât dreapta lui Simpson şi cercul celor nouă puncte . Nici din algebra şcolară nu lip­ sesc problemele nici triviale nici prea grele (de exem­ plu, punerea în ecuaţie a unei situaţii practice) . Mai sunt apoi combinatorica, grafurile , probabilităţile şi multe altele. Rene Thom are dreptate dacă ne rapor­ tăm la ceea ce se întâmplă de fapt, nu şi în princi­ piu. Posibilităţile formative ale matematicii şcolare sunt departe de a fi folosite în mod corespunzător .

GEOMETRIE, N U PLECA! Rene Thom explică succesul istoric al Elemen­ telor lui Euclid prin faptul că geometria euclidiană este primul exemplu de transcriere a unei proceduri spaţiale bi- sau tridimensionale in limbajul scris uni­ dimensional. Geometria euc1idiană se aplică, prin aceasta, unei situaţii precise , prezentă în limbajul de fiecare zi. Funcţia de bază a limbajului ordinar 557

este, în ultimă instanţă, de a de scrie procesele spa­ ţio-temporale care ne înconjoară şi a căror topologie este transparentă în sintaxa propoziţiilor care le de­ scriu (Rene Thom, Topologie et linguistique, in "Essay on Topology and Related Topics", Andre Haefliger and Raghavan N erasimham eds. ; Memoires dedies d Georges de Rham, Springer Verlag. , New York, 1 970, pp. 226-248) . în geometria euclidiană avem de-a face cu aceeaşi funcţie a limbajului , dar de această dată grupul de echivalenţe care operează asupra formelor este un grup Lie , grupul metric, în contrast cu gru­ purile care descriu invarianţa topologică a reprezen­ tării, permiţând recunoaşterea unor obiecte ale lumii exterioare , aşa cum sunt ele de scrise de de­ numirile lor in limba naturală. Pentru Rene Thom, geometria este un interme­ diar natural, probabil de neînlocuit, între limbajul ordinar şi formalismul matematic, unde fiecare obiect este redus la un simbol iar grupul de echivalenţe se reduce la identitatea simbolului scris cu el însuşi. Din acest punct de vedere, stadiul marcat de gândi­ rea geometrică nu po ate fi omis în nicio dezvoltare normală a activităţii umane raţionale. În ultimii 60 de ani s-a pus un accent deosebit pe reconstrucţia conţinutului geometric, pomindu- se de la numerele naturale şi folo sindu-se teoria tăieturilor lui Dedekind sau completarea corpului de numere raţi­ onale. Thom vede în conţinutul geometric o entitate primordială, atât din punct de vedere psihologic cât şi din punct de vedere ontologic. Dacă reuşim să conştientizăm anumite lucruri, atunci acestea sunt în primul rân d spaţiul şi timpul; dar percepţia con­ tinuităţii geometrice este, într-un anumit sens, ine­ rentă oricărui proces de con ştientizare , cre de Thom . Treptat însă, conţinutul geometric, iniţial omo­ gen şi amorf, se structurează, instrumentul cel mai important în acest sens constituindu-l grupul geo­ metric, care permite introducerea discontinuităţii şi a operaţiilor discrete . Procedura, ca atare , este însă foarte sofisticată. Abia in timpurile mo derne a reuşit matematica să se întoarcă la sursele ei continue , întemeind astfel topologia, prin care s-a eliberat de dominaţia grupului metric. Nefiind nici metrică, nici cantitativă, topologia este fundamental calitativă şi nu se poate sprij ini decât pe simbolismul discret al unui limbaj semiformalizat. Invarianţii topologiei , cu rădăcini mai adânci, sunt mai greu accesibili, din punct de vedere conceptual , decât invarianţii me­ trici. Ne dăm astfel seama că trecerea de la gândirea de fiecare zi la gândirea formalizată are ca interme­ diar natural gândirea geometrică. Ace sta a fo st , de-a lungul istoriei, itinerarul gândirii umane şi, dacă acordăm credit legii lui Haeckel , după care ontoge­ nia repetă filogenia, cu alte cuvinte dezvoltarea in­ dividului repetă evoluţia speciei, trecând, în esenţă, prin aceleaşi stadii, atunci trebuie să admitem că dezvoltarea gândirii umane raţionale parcurge itine­ rarul gândire ordinară - gândire geometrică - gândi­ re formalizată. 558

o abordare în sens invers , de la individ la spe­ cie , prin descifrarea filogeniei cu ajutorul ontoge­ niei , se află la S .T. Parker şi KR. Gibson (A developmental model of the evolution of language and intelligence in early hominids, " B ehavioral and Brain Science s", vol . 2 , 1 9 7 9 , pp. 3 67-38 1 ) . Aceştia au studiat modalitatea prin care copiii dobândesc diferite tipuri de îndemânări , culminând cu gândi­ rea conceptuală; pe baza ei intenţionau să stabi­ lească, în virtutea legii lui Haeckel, procesul prin care hominoizii şi omul primitiv au evoluat spre gândirea conceptuală. Ar fi intere sant de confruntat ipoteza lui Thom (privind rolul gândirii geometrice în ac eastă evoluţie) cu rezultatele sau sugestiile cercetărilor întreprinse de Parker şi Gibson. Să ob­ servăm totuşi, împreună cu Mario Bunge (Philoso­ phical problems in linguistics, Erkenntnis, voI. 2 1 , 1 9 84 , pp. 1 07- 1 73 , în special p . 1 44) , că legea lui Haekel trebuie luată cu aproximaţie ; nou-născuţii nu au un sistem nervos matur şi nu trebuie să-şi apere existenţa în luptă cu animalele sălbatice şi cu alte adversităţi ale mediului, aşa cum era cazul cu omul primitiv. Geometria euclidiană a fost sacrificată nu nu­ mai in Franţa, ei şi în alte ţări, de exemplu în An­ glia, fapt care a provocat reacţia unui alt mare geometru, Michae1 Atiyah (la Conferinţa Internaţio­ nală de Educaţie M atematică din 1 9 76) . Mai recent, un matematician de la Polytechnic of the South Bank, din Londra, Ramesk Kapadia, a susţinut o teză de doctorat privind importanţa pedagogică a geometriei euc1idiene şi a publicat un articol în acest sens (Bring back geometry, "The Mathematical Intelligencer, voI . 7, 1 9 85, no. 2 , pp. 53 , 54 , 65) . Kapadia susţine că nu există dom eniu mai adecvat decât geometri a euc1idiană pentru a le explica elevi­ lor în ce constă gândirea de ductivă, gândire care s-ar afla în inima matematicii şi ar separa matema­ tica de orice altă disciplină. Nu avem gândire de­ ductivă şi în aritmetică sau în combinatorică? Da, recunoaşte Kapadia, dar geometria are avantajul de a face apel la desene şi figuri care facilitează sesiza­ rea unei probleme ca un între g. Acest suport vizual este fo arte important în educaţia matematică a co­ pilului . Kapadia invocă faptul că, atât din punct de vedere matematic cât şi istoric , geometria euclidia­ nă îşi merită un loc în programele şcolare . Influenţa ei se exercită mult dincolo de graniţele matematicii, fiind primul şi cel mai important exemplu de sistem deductiv. Geometria euclidiană este o parte esenţia­ lă a mo ştenirii culturale. Axiomele ei sunt accepta­ bile intuitiv; chiar în ceea ce priveşte po stulatul paralelelor, cei mai mulţi se arată surprinşi la ideea că el ar putea s ă nu fie satisfăcut. Problemele de geometrie sunt de o mare varietate şi de grade de dificultate, mergând de la banale la foarte grele, ceea ce permite antrenarea totalităţii elevilor. Desi­ gur, nu e nici po sibil niei de dorit să se predea toate cărţile lui Euc1id . Kapadia este de părere că rezulta­ tele din primul volum al Elementelor, privitoare la

triunghiuri, pot fi studiate experimental . Volumul al treilea, dedicat cercului , se pretează cel mai bine unui tratament deductiv. De fapt, esenţa pledoariei lui Kapadia are în vedere importanţa figurilor şi desenelor în educaţia matematică a copiilo r, în ciuda faptului că multe rezultate din ultima sută de ani, mai cu seamă in Analiza matematică, s-au dovedit a fi in contradicţie cu intuiţia vizuală comună. Totuşi , crede Kapadia, in cele mai multe cazuri figurile şi desenele ne ori­ entează în direcţia cea bună. Prin inlocuirea geome­ triei cu algebra, suportul vizual al matematicii şcolare a slăbit considerabil. Îl putem recupera şi altfel decât aducând înapoi geometria?

RENE THOM DESPRE RIGOARE Una dintre obiecţiile majore aduse geometriei eu­ clidiene, pentru a se justifica scoaterea ei din progra­ ma şcolară de matematică, se referă la insuficienta rigoare pe care ea ar prezenta-o în raport cu exigenţele matematicii actuale . Desigur, cel puţin în ultima sută de ani, geometria euclidiană a fost predată în şcoală în versiuni mai riguroase decât aceea din cărţile lui Eu­ clid. După cum s-a mai remarcat, textul lui Euclid nici nu are calităţi didactice deosebite. În adaptarea pentru învăţământ a Elementelor lui Euclid, un rol important l-au avut Clairaut în Franţa şi Felix Klein în Germania. Dar chiar şi cu aceste adaptări, nu este atins nivelul de rigoare preconizat ulterior de David Hilbert, care a impus o nouă concepţie pri­ vind axiomatizarea ge ometriei . Experimente privind introducerea în şcoală a unor axiomatici mo derne ale geometriei nu au lipsit nici la noi în ţară, dar nu despre aceasta vrem să discutăm acum . Ne propunem ca, pornind de la ideile lui Rene Thom, să examinăm problema delicată a rigorii în matematică şi în ştiinţă in general. Rene Thom constată mai întâi că încercarea de a înlocui geometria euclidiană şcolară cu o versiune acceptabilă a axiomaticii propuse de Hilbert a eşuat din cauza complexităţii acesteia din urmă. Punând, de o manieră mai generală, problema rigorii mate­ matice , Thom distinge trei atitudini po sibile. Prima atitudine este identificarea rigorii cu ideea de forma­ lizare , aşa cum a fost ea elaborată de Hilbert în de­ ceniile al doilea şi al treilea ale secolului trecut. Din acest punct de vedere , un raţionament este riguros dacă procedează în cadrul unui sistem formal S definit cu ajutorul unei colecţii de termeni, al unei colecţii de relaţii şi al unei mulţimi R de reguli de deducţie. O parte din relaţii constituie axiomele sistemului S. O relaţie este o teoremă în S dacă se poate obţine pornindu-se de la o axiomă, prin apli­ carea de un număr finit de ori a unor reguli din R. Acesta este tipul de rigoare acceptat azi de cei mai mulţi matematicieni. Ceea ce interesează în­ tr-un sistem formal este corectitudinea deducţiei, deci aspectul pur sintactic. Aici se potriveşte fai-

moasa vorbă de spirit a lui Bertrand Russell: "Ma­ tematica este domeniul in care nu ştim niciodată de spre ce este vorba, nici dacă ceea ce spunem este adevărat" , într-adevăr, într-un sistem formal "nu ştim de spre ce este vorba" ; în sensul că nu este nece sar să se precizeze natura termenilor şi a relaţi­ ilor, ci numai regulile lor de concatenare. În axiomatizarea pe care o propune pentru ge­ ometrie , Hilbert pleacă la drum cu trei mulţimi; elementele celei dintâi le numeşte puncte, ale celei de a doua drepte, iar pe ale celei de a treia plane. Dar, după aceasta, Hilbert adaugă: "Trebuie să fim în stare in orice moment să spunem mese în loc de puncte, scaune în loc de drepte şi halbe de bere in loc de plane" Desigur, prin aceasta Hilbert ne atra­ ge atenţia că în axiom atizarea sa punctele, dreptele şi planele sunt introduse pe cale pur sintactică; nu natura lor intervine , ci modul în care ele intră in relaţie. Dar pentru a înţelege acest regim relaţional, si­ tuaţional al punctelor, dreptelor şi planelor, deci pentru a înţelege modul în care au fo st de scoperite axiomele care le guvernează, este bine ca atunci când Hilbert se referă la puncte, drepte şi plane să ne gândim chiar la puncte, drepte şi plane. Situaţia este deci diferită de aceea a pieselor de şah. Denu­ mirile acestora sunt lipsite de o bază intuitivă sau, cel mult, dacă o astfel de bază există, ea este slabă. Ceea ce individualizează o piesă de şah este exclusiv modul în care se operează cu ea; materialul din care este ea făcută, fo rma, mărimea şi denumirea ei sunt pur convenţionale, iar mo dul în care se operează cu ea nu este motivat de o experienţă intuitivă ante­ rioară. De ducţiile pot fi corecte sau nu în raport cu convenţiile din S, dar adevărul unei teoreme, în măsura in care presupune o confruntare cu situaţii din afara sistemului S, nu coincide cu corectitudi­ nea ei. De exemplu, dacă luăm ca axiomă relaţia " "Trei este mai