Osnove elektrotehnike [2, 6th ed.] 9531720053, 953172005X, 96370591790 [PDF]

Zitiervorschau

Znale 9405 Sv

Izdanje: Prof. inž. Viktor Pinter OSNOVE ELEKTROTEHNIKE, knjiga druga Vl. izdanje Stručna recenzija: Prof. dr. inž. Radenko Wolf Izdavač: Izdavačko trgovačko poduzeće TEHNIČK A KNJIGA, dioničko društvo Zagreb, Jurišićeva 10 Za izdavača: Franjo Nemeček

Urednik izdanja: Slavko Vlahov Tisak: "Tiskara" d.d:, Nova Gradiška Tiskano u 1000 primjeraka

Tisak dovršen: U prosincu 1994.

© V. Pinter, 1970.

ISBN 953-172-005-3 ISBN 953,-172-007-X Ranije objavljeno kao: ISBN 963-7059-179-0

I VIKTOR PINTER I

redovni profesor Elektrotehničkog fakulteta, Sveučilišta u Zagrebu

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE KNJIGA DRUGA

ITP "TEHNIČKA KNJIGA" D.D. 1 994.

-

ZAGREB

Odobreno rješenjem KOljIisije za udžbenike i skripta Sveučilišta u Zagrebu broj 08-1337/2 - 1975

od 20. listopada 1975.

S A D R Ž AJ Strana 12.

Osnovna razmatranja o promjenljivim strujama 12.1.

12.2.

12.3.

Op�enito o promjenljivim veličinama 12.1.1. Značenje referentnog smjera 12.1.2. Označivanje dvostrukim indeksom 12.1.3. Količina protjecanog elektriciteta 12.1.4. Primjena referentnih smjerova pri analizi mreža Periodički promjenljive struje 12.2.1. Izmjenične struje 12.2.2. Sinusoidalne promjenljive struje 12.2.3. Fazni kut i fazni pomak izmjeničnih veličina Učinci (osnovni) izmjenične struje . . . . . . 12.3.1. Mjerenje promjenljiyih električnih yeličina 12.3.2. Srednja vrijednost 12.3.3. Efektivna. vrijednost 12.3.4. E1ektrolitska sredn j a vrijednost 12.3.5. Omjerni faktori

12.4. Princip generatora izmjeničnog napona

13. Strujni i naponski odnosi u krugovima izmjenične struje 13.1.

1:1.2.

14.

Utjecaj promjenljivog elektromagnetskog polja na prilike u linearnim mrdam a izmjenične struje . . . . . . . . 13.1.1. Priključak om skog otpora 13.1.2. Priključak induktivnog svitka 13.1.3. Priključak kondenzatora

Snaga i energija izmjenične struje 13.2.1. O kutu faznog pomaka struje i napona 1.1.2.2. Snaga izmjenične struje i faktor snage 1 3.2.3. Grafički prikaz snage izmjenične struje 13.2.4. Trokut snaga. Prividna snaga 1.1.2.5. Grafič'ki prikaz energije u vremenskoj domeni

Vektorsko predočavanje sinusoidalnih veličina 14.1.

Matcmatičkc osnove vektol'skog predočavanja Konstrukcija sinusoide pomoću rotirajućeg radijus-vektora i primjena . na sinusoidalne električne veličine . . . . . . . . 14.1.2. Mirujući ycktorski dijagram i rotiraju ća vremenska os 14.1.3. Zbrajanje Ci odbijanje) izmjeničnih veličina 14.1.1.

11

11 II

13 15

16 16 17 IX 20 21 28 28 30 32 33 34

40

40 41

43

46 49 49

50 53

59 61

63

03

63 65 67 7.

�trana

14.2. Složeniji strujni krugovi i izmjenične struje

73

14.2.1. Serijski spojevi

74

14.2.2. Paralelni spojevi

82

14.3. Ekvivalentni serijski i paralelni spojevi 14.3.1. Djelatna i jalova komponenta napona

85

i struje

88

14.3.2. Više impedancija u paralelnom, odnosno serijskom spoju 14.4. Realni svici i kondenzatori

95

15. Simbolički način rješavanja mreža izmjenične struje

100

15.1. Matematičke osnove kompleksnog računa

101

15.2. Primjena kompleksnog računa na izmjenične struje i napone

105

15.3. Analiza izmjeničnih mreža primjenom kompleksnog računa

112

L, C. Kompleksna' impedancija Paralelni spoj R, L, C. Kompleksna vodljivost

IS.3.J. Serijski spoj R, 15.3.2.

113 .

.

15.3.3. Ohmovi i Kirchhoffovi zakoni u kompleksnom obliku 15.4. Primjeri simboličkog računa u mrežama izmjenične struje. 15.5. Snaga predočena u kompleksnom području .

15.5.1. Proračunavanje snage

.

.

•

•

•

•

•

.

.

15.5.2. Teorem maksimalne korisne snage u mrežama izmjenične struje 15.6. Rezonancija u strujnim krugovima izmjenične struje

116 118 120 130 131 134 \36

15.6.1. Općenita razmatranja o rezonanciji

136

15.6.2. Serijska rezonancija

136 143

15.6.3. Paralelna rezonancija 15.6.4. Paralelna rezonancija realnog svitka

i kondenzatora

16. Mjesni dijagrami u elektrotehnici 16.1.1. J ednadžba pravca

.

,

146

148 148

16.1. Jednadžbe mjesnih krivulja

149

.

16.1.2. Jednadžba kružnice

149

16.1.3. Pravac kao mjesni dijagram promjenljive impedancije

152

16.1.4. Inverzija. Jedinična kružnica

154

.

16.1.5. Invertiranje mjesnih dijagrama

157

16.1.6. Kružnica kao inverzija pravca

158

16.1.7. Kružnica u općenitom položaju

160

17. Višefazne struje

162 162

17.1. Trofazna struja

8

90

17.1.1.

Općeniti prikaz trofazne struje (ili napona)

162

17.1.2.

Princip konstrukcije trofaznog generatom

164

17.1.3.

Nevezani trofazni sustav

168

17.1.4.

Simetrični trofazni susta\, u spoju zvijezda

169

17.1.5.

Odnos faznih i linijskih vrijednosti

172

17.1.6.

Trokutni spoj

175

17.1.7 .

Općenite jednadžbe 3-faznog zvijezda spoja

179

17.1.8.

Redosljed faza 3-faznog sustava

181

17.1.9.

Umjetna nultočka

182

.

.

.

.

. .

17.1.10. Rotaciono magnetsko-polje trofazne struje

183

17.1.11. Simetrične komponente nesimetričnog trofaznog sustava

187

17.2. O pćenit,) 17,2: l.

Strana

o višdaznim susta\'ima

190

Dvofazni i čt,;t\,crnfazni sustav

190

191

17.3. S nag a višd'aznih sustava 17.3.1. Snaga trofaznc struje

, \,

18.

19.

20.

17.3.2. Općenitu

o halansir ani m

191

193

sustavima

Međuinduktivitet u mrežana izmjenične struje

195

I �.l. Općenita razmatranja () smjel'Oyima induciranih napona uz primjenu koeficijenata 1, i .II

195

I �.2. Primjen a magnetsKih tOK",'a na proračun napona 1 �.3. Rczultantni induKti\'itet serijsKi yezanih s\'itaKa 1 gA. ,'\nalizu mreže i zmjeni čnc s truj e pri rajad meduindukti\'iteta . . . . . . . . . . 1 H.S. Proračun pr imjenom Konturnih struja I ?l.!,. Zr ačn i translixmator. Op ćenita jcdnadžba i nadomjesna shema IK. 7. Reduciranj e seKundarnih \'eličina transformatora . .

lOS

206 20; 211 215

Nesinusoidalne izmjenične struje

19, I. P roračun mreža primjenom

Fourien)\'a reda

19.2. El'ektime vrijednosti struje i 19.3. Srdnja sna ga nesinusoidalne

215

219

napona

221

struje

223

Svitak sa željeznom jezgrom 20.1. Oblik

struje

kod priključ'ka s v itka na sinusoidalni na"on

22.


t

+ (Ju)

.

dt == •

Umax ' ejrot j o>

Ista pravila za diferenciranje i integriranje vrijede i onda ako je harmonička funkcija zadana kao kosinusoidalna funkcija vremena .

15.3. ANALIZA IZMJENIČNIH MREŽA PRIMJENOM KOMPLEKSNOG RAČUNA

Pri simboličkom rješavanju izmjeničnih mreža kompleksnim brojevima treba imati na umu slijedeće : I ovdje vrijedi općenito matematičko pravilo da se zbrajati (i odbijati) mogu samo istovrsne veličine, na primjer naponi ako su oni svi prikazani u efektivnim vrijednostima kao mirujući radijus-vektori, pa će i suma (odnosno diferencija) biti efektivna vrijednost napona predočenog mirujućim radijus-vektorom. Me­ đusobno mogu se zbrajati i odbijati i amplitude koje predočuju rotirajuće radijus­ -vektore istovrsnih električnih veličina, ali se ne mogu zbrajati efektivne vrijed­ nosti (mirujući radijus-vektori) s amplitudama (rotirajući vektor).

Množiti i dijeliti mogu se i veličine različitih dimenzija, no onda se dobivaju, d akako, veličine novih dimenzija. Tako nam dijeljenje napona sa strujom daje otpor, a kvocijent struje i napona vodlj ivost. Pri tom opet oba broja koja dijelimo ili množimo moraju predočavati ili samo mirujuće ili pak samo rotirajuće radijus­ -vektore. Množenje struje i napona daje snagu, a sam postupak proračuna snage sim­ boličkim načinom bit će još detaljnije prikazan .

1 12

1 5.3.1

•.

Serijski spoj R, L, C. Kompleksna i mpedancU a

Prelazeći ovdje na rješavanje električnih mreža izmjenične struje simboli­ čkim kompleksnim načinom uzet ćemo kao prvi primjer : serijski spoj R, L, C, priključen na izvor sinusoidalnog napona, slika 1 5 . 1 0. Pri tom opet razmatramo stacionarno stanje, koje se ustaljuje nakon kraćeg prolaznog stanja.

Sl. 1 5. 10. Serijski spoj R, L, e priklju­ čen na izvor sinusoidalnog napona

Za serijski spoj znamo da se u svakom trenutku zadani sinusoida1ni napon izvora :

p

troši za savladavanje svih uključenih ot ora. Prema tome je napon u otporima potrošenih napona.

u

jednak sumi

Pojedine komponente napona ovise prema prije izvedenim jednadžbama o jakosti struje i, koja je zajednička svim elementima strujnog kruga. UL

=

di L -­ dt

Ue

=

�Ji

.

dt

pa se i ukupni napon izvora može predočiti kao funkcija j akosti struj e : u =i

.

R+

L � + 2-. dt

C

J

i

.

dt .

Rješavanjem ove diferencijalno-integralne j ednadžbe dobivamo jednadžbu struje i, a ona je za stacionarno stanje također harmonička, sinusoida1na funkcija iste frekvencije kao i napon, samo u općenitom slučaju drugačijeg faznog stanja nego napon. . Možemo, dakle, za struju napisati jednadžbu :

. što se u kompleksnom području predočuje kompleksnim brojem : ':l m

..

8

d""

pri čemu je

v. Pinter: Osnove elektrotehnike

113

Pri prijelazu iz realnog područja u kompleksno moramo svaki član gornje osnovne jednadžbe zamijeniti prema prije izvedenim pravilima odgovarajućim kompleksnim brojem, pa dobivamo :

U max ejro'

_ 1"l

-

" max

1 1 ,., ' jro' ejWl R + L,7' 0> 'J max ejrot + "max e e J o> -,--

Struja i napon predočeni su u gornjoj jednadžbi u svojim maksimalnim vrijed­ nostima, što se odnosi na rotirajuće radijus-vektore. Budući da ćemo normalno računati s efektivnim vrijednostima koje predočujemo u mirujućem vektorskom dijagramu, podijelit ćemo tu jednadžbu sa V i i sa ejrot pa dobivamo :

Primijenimo li otprije poznatu relaciju da je zati napon izvora kao umnožak :

u = ;; U a struju kao kvocijent :

=

o>

L

-

l/o> e =

X,

mo�emo prika­

[R + j (X� - Xc)] . ;; (R + j X) = ;; . � ,

gdje j e : � = R + j X kompleksna impedancija.

Ako je u strujnom krugu (sl. 15. 1 1) uključeno serijski više omskih, indukt­ tivnih i kapacitivnih otpora, bit će rezultantna impedancija :

a uz supstituciju :

konačno je : Kompleksni broj impedancije � možemo i grafički predočiti u komplek­ snoj ravnini, kao što su simbolički predočeni i struja i napon. No ipak postoji bitna razlika u tretiranju vektora, koji nam pokazuje u kompleksnoj ravnini otpore 2u odnosu na vektore napona i struje. Kao vremenski sinusoidalno promjenljive veličine, napon i struja predočuju se rotirajućim radijus-vektorima, a tek kad se crtaju vektorski dijagrami s efek­ tivnim vrijednostima onda S1,l to mirujući vektori, dok je vektor otpora Z uvijek 1 14

mirujući vektor . To izlazi iz činjenice da je impedancija definirana kao kvoci� jent napona i struje, pa se faktol' ejw1, koj! je vršio rotaciju vektora, skraćuje u brojniku i nazivniku razlomka. Impedancija

i6

i6

jednaka je, dakle : V:l . U . ej�u . ej"'l = I 2 . 1 . ej/J, . e i""

Sl. 1 5 . 1 1 . SerijsKi spoj više omskih, indUktivnih i kapacitivnih otpora

U .

ei(P,,-P,) = Z . ej,!,

R,

Pri tome je modul Z jednak omjeru efektivnih vrijednosti napona je argument cp jednak razlici kutova napona i struje : Z=

struje, dok

U 1

Primjer u kojem se vidi prije istaknuta konstantnost kompleksnog broja im­ pedancije i6 neovisno o trenutnom položaju rotirajućih radijus-vektora napona i struje prikazuje slika 1 5 . 1 2 (a i b) . Na slici a) su nacrtani vektori struje i napona : U = j 250 V

'J = (3 + j 4) A

250 v Z=50 Sl.

250 V

MO SI.

SA

X = 30 Sl.

bl

R=I,OSl.

SI. 1 5. 1 2. a) i b) Vektorski dijagrami napona i struje impedancije i6 = 4 0 + j 30 vremenskim trenucima

u

različitim

dok su na slici b), nakon nekog vremena nešto pomaknuti, ti isti vektori predočeni kompleksnim brojevima : u

=

( - 1 50 + j 200) V

'J = j 5 A 115

' 'Ii ' /250 . 2 = 'J = j 4 = 40 + J 30 3 + a

u drugom slučaju :

- 150 + 200 U = 40 + j 30 = 2 = 'J

Na obje slike ucrtan je, uz vektore struje cij e : 2.

15.3.2.

napona, i kompleksni broj impedan­

Paralelni spoj R, L, C. Kompleksna vodljivost

Na slici 1 5 . 1 3 prikazana je spojna shema paralelnog spoja omskog, induk­ tivnog i kapacitivnog otpora, priključenih na izvor sinusoidalnog napona U .

U slijedećim izvodima razmatrat će se strujne i naponske prilike, uz pret­ postavku da j e kraće vrijeme nakon priključka na izvor nastupilo već nakon pri­ jelaznog, stacionarno stanje. e +j

u

S l . 1 5. 1 3 . Paralelni spoj R, L, e ključen na izvor napona U

pri­

S l . t 5 . 1 4. Trokut vodljivosti

Zbog paralelnog spoja svaki će otpor imati lSti napon, to napon izvora, a kako struju svakom otporu dobavlja izvor bit će prema prvom Kirchhoffovu zakonu struja izvora jednaka sumi struja svih triju otpora. Naponska i strujna jednadžba ovog spoja - pisane za trenutne vrijednosti - glase, dakle :

116

Ako 'se za ' pojedine struje uvrste otprije dobiveni izrazi: iL =

-l- J u

.

du ic = e . dt

dt

dobiva strujna jednadžba oblik :

Ova jednadžba potpuno je analogna integralno-diferencijalnoj jednadžbi koja je bila prije izvedena za napone u serijskom. spoju R, L, e, pa se prema istim pravi­ lima može prevesti u kompleksno područje. Pri tome ćemo odmah struje i napon predočiti u efektivnim vrijednostima, što odgovara mirujućim vektorima u vek­ tarskom dijagramu. Dakle j e '

'J = G · U + � L

U + e · jw ' U w

Zamijeni li se l /jwL sa (-j lJwL) može se jednadžba za struju napisati u obliku : 'J = U

.

[

(

G +j we -

�L )]

= U

.

[

( � w e) ]

G -j w

-

Uvođenjem vodljivosti : l/wL .= B L i w e = Bc jednadžba glasi :

'J = U

.

[G - j (BL

-

B c)}

Bc = B ukupna reaktivna vodljivost, pa je pri čemu (prema definiciji) je B L konačni oblik jednadžbe : 'J = U (G jB) -

.

Predznak pred imaginarnim dijelom u zagradi gornje jednadžbe ' bit će ne­ gativan ako prevladava induktivna vodljivost, jer je onda B > 0, a ako prevladava kapacitivna vodljivost (pa je B < ?) bit će predznak imaginarnog dijela pozitivan.

Kvocijent struje i napona, koji su predočeni kompleksnim brojevima, daje kompleksnu vodljivost 'lJ. : ifi '!J- = .2 = I e j = !-.. ei(f!, -f!u) = y e-j(f!u- f!, ) U U U . .

.

'!J- = y . e-h Nadalje j e : 'lJ. = y . (cos p - J sin p) pri čemu j e : Y cos p = G

Y sin p = B

'lJ. = G - j B 117

pn

je : _ 'J = U ' �

'J U ='lJ.

I za vodljivost može se nacrtati pripadni pravokutni trokut, sl. 1 5 . 14, pri čemu su aktivna i reaktivna vodljivost katete, a ukupna vodljivost hipotenuza. Ako je na izvor priključeno u paralelnom spoju više omskih, induktivnih i kapacitivnih otpora, rezultantna se vodljivost dobije algebarskim zbrajanjem svih pojedinih vodljivosti :

što uz supstituciju :

� B ekl

k�

=

B

daje kompleksnu vodljivost :

15.3.3.

Ohmovi i Kirchhoffovi zakoni u kompleksnom obliku

S imboličkim kompleksnim načinom p redočavanja izmjeničnih veličina do­ bivene su za se, ijski i paralelni spoj otpora jednadžbe potpuno slične onima pri proračunu strujnih krugova istosmjerne struje sa serijski, odnosno paralelno ukop­ čanim otporima. Tako se u izmjeničnim strujnim krugovima rezultantni otpor serijski ukopčanih otpora predočuje kompleksnim brojem kao algebarska suma pojedinih otpora, pri čemu je realni dio jednak omskom otporu R, a imaginarni dio reaktivnom otporu X. U paralelnom spoju je ukupna vodljivost jednaka algebarskoj sumi pojedi­ nih vodljivosti, pri čemu je realni dio omska vodljivost G, a imaginarni dio reak­ tivna vodljivost B.

Također i jednadžbe Ohmova zakona, pisane kompleksnim brojevima za strujne krugove izmjenične struje, jednakog su oblika kao one istosmjerne struje : U 'J = ­ S

'J U=-

'If

Analiza složenijih linearnih mreža izmjemcne struje za stacionarno stanje vrši se u kompleksnom području primjenom Kirchhotfovih zakona ili pomoću metoda (teorema) kako je bilo prikazano pri rješavanju mreža istosmjerne struje, samo se u upotrijebljenim jednadžbama moraju sve električne veličine predočiti simbolički kompleksnim brojevima.

118

Prvi ' Kirchhbffov zakon, koji kaže da je algebarska suma struja j ednog čvora jednaka nuli, predočuje se jednadžbom :

Prema drugom Kirchhoffovu zakonu sumi:! aktivnih napona Uk svih izvora jednog zatvorenog strujnog kruga jednaka je sumi potrošenih napona u otporima tog strujnog kruga. Osim potrošenih napona na aktivnim omskim otporima ovdje treba uzeti u račun i reaktivne potrošene napone na induktivnim i kapacitivnim otporima, odnosno na ukupnoj impedanciji 2 . Općenito je, dakle, drugi Kirch­ hoffov zakon predočen jednadžbom :

Da bi se ispravno postavile jednadžbe Kirchhoffovih zakona, odnosno pri­ mijenjenih teorema, potrebno je uzeti u obzir referentne smjerove svih električ­ nih veličina. Pri analizi mreža redovno su zadani izvori i otpori, a traže se nepoznate struje u granama.

Sl. 1 5.,1 5. Povezanost referentnih smjerova struja i napona na prikazanim otporima

Naponski izvori potpuno su defi nirani ako je uz kompleksni broj (odnosno njegov vektor) koji predočuje iznos napona ili elektromotorne sile zadan i pripadni referentni smjer. Isto tako će i strujni izvori biti potpuno zadani ako je uz zadani iznos jakosti struje ucrtan i zadani referentni smjer struje. Nepoznatim strujama u pojedinim granama, koje treba tek izračunati, pri­ dodat će se po volji odabrani referentni smjerovi. Proračunom dobiveni komplek­ sni broj koji predočuje pojedinu struju vezan je uz prije odabrani referentni smjer za tu struju. Potrošeni naponi koji dolaze na desnoj strani jednadžbe drugog Kirchhoffovog zakona računaju se kao umnošci struje i otpora, a uz odabrani smjer struje imaju ti naponi referentne smjerove prikazane na slici 15. 15. Ovi međusobno povezani smjerovi napona sa smjerom struje u skladu su s prije objašnjenim fizikalnim zbi­ vanjima u promatranim otporima. 119

15.4 .. PRIMJERI SIMBOLIĆKOG RAĆUNA U MREŽAMA IZ.(\iJENIĆNE STRUJE � 1. Rezultantni otpor serijsko-paralelne kombinacije, odnosno paralelno-se­ rijske kombinacije otpora, računa se isto kao i s omskim otporima pri istosmjer­ noj struji, tako da se cijeli spoj reducira na serijski, odnosno na paraldni spoj .

:?

II I

R=2D.

I .l

.....- - _

11 = -j IO v

aj

I I I I l I l ,. - .... � I I -1\ ""'v,'r - - - ....11 "'--"

bl

Sl. 1 5. 1 6. a) Primjer serijsko-paralelne kombinacije otpora ; b) Rezultantna impedancija spoja

U primjeru na slici 1 5 .16a nadomjestit će se najprije paralelni spoj vodlji­ vosti G i BL impedancijom 2p, pa će ekvivalentni spoj prvotne sheme biti sasta­ vljen od serijskog spoja otpora R, 2p, Xc, čiji je rezultantni otpor 2 jednak :

=

l

Vodljivost zadanog paralelnog spoja G = 1 i it3 L = -j jednaka je - j, a ekvivalentna impedancija :

'lJp =

pa je : 2 =2 Struja izvora je : 'J

=

+� + j ..!2 2

-

j3 = � (1

- j lO U - = 2 "2 = --:----'-j l .? ) 2- C

2

-

-

j)

j2 A

Kao što se pri rješavanju mreža istosmjerne struje mogu kompliciranije po­ vezani omski otpori nadomjestiti samo jednim, rezultantnim otporom, tako j e i u . ovom primjeru prikazani sklop četiriju različitih otpora predočen samo jed­ nom impedancijom 2, koja ima samo dvije priključnice, slika 1 5. 1 6b. Zato se općenito i naziva pasivnim dvopolom bilo kakav sklop otpora koji se samo sa dvije vanjske stezaljke priključuje na izvor ili na ostali dio električne mreže. 120

Pasivnim dvopolom naziva se ovakav sklop otpora ako u njemu nema elek­ tričnih izvora, dok će se aktivnim dvopolom nazivati onaj sklop sa dvije vanjske priključnice u kojem, osim otpora, ima uključenih izvora električne energije. Najjednostavniji pasivni dvopol je bilo kakav otpor sam, a najjednostavniji 'jaktivni dvopol je bilo naponski bilo strujni izvor.

R = 1 si.

-j 215 S

'1( =jZ .Q

+j

71 . 7,

liS S

1[ = -j5.Q

'lt

7

-j

'J

U=SV rv

+

U=5 V

aj

U=5 V

o

"

j liS S

7,

7, = +jA

-j2

: 7= I -JA , ,

J2 = I -j2A

ej

b)

Sl. 1 5. 1 7. a ) Paralelno-se�ij�a kombinacija otpora; b ) Rezultantna vodljivost spoja; e) Vek­ torski dijagram

2. U slijedećem primjeru, na slici 1 5 . 1 7a prikazan je sklop sa dvije paralelne grane priključen na izvor. Budući da je jedna grana sastavljena od serijski pove­ zanih otpora R i XL nadomjestit će se ona ekvivalentnom vodljivošću, a onda se rezultantna vodljivost cijelog sklopa određuje kao suma svih vodljivosti (sl. 15. 17b). Za prvu granu u kojoj je otpor Xc

0. U rezonanciji je Z = R rp = O i u tom tre­

nutku, dolazi, dakle, do promjene predznaka faznog kuta rp. Ekstremne vrijednosti su : za Xc = oo XL = O lP = - 900 w=0 za

a

w =

oo

XL =

oo

Xc = O

lP = + 900

Krivulje koje predočuju promjene tih veličina u ovisnosti o frekvenciji na­ zivaju se frekventne karakteristike i prikazane su na slikama 1 5 . 40 i 1 5 .41, uz pret­ postavku da je omski otpor R konstantan i neovisan o frekvenciji. Cf, !, R,l

+X

O �-�------� w

w

-x

Sl. 1 5.40. Frekventne karakteristike serijskog spoja

Sl. 1 5.41 . Frekventne karakteristike struje II zavisnosti od w

I frekventne karakteristike za struju I i napone UL i Uc uz konstantnu vri­ jednost U napona izvora i konstantne parametre strujnog kruga R = konst., L'= � konst. i C = konst. određuju se također na osnovi jednadžbi kojima su te ve­ ličine definirane :

I (w) =

(

U

R2 + W L

Udw) = ICw) . w L

l

)

2

- wc

1 Uc Cw) = I Cw) . wC 1 39

·

Pri,.to!:1J. .će . kako se.iz ovih jednadžbi. vidi - .te karakteristike ovisiti j oš i torne kakve vrijednosti imaju konstantni parametri R, L, e.

o

Budući da u rezonanciji impedancija ima najmanju vrijednost, imat će struja za W = (1) 0 najveću vrijednost 10 a za frekvencije veće i manje od Wo. jakost struje oo postigne vrijednost nula. Na slici 1 5.41 j e će se smanjivati da za U) = O i «J y = l/lo

1,0

0,8

d=2

r- 0,6

Sl. 1 5.42. Frekventne karakteristike re­ ducirane struje Illo u zavisnosti od re­ ducirane frekvencije wJw o

d = 0, 5 d = O, 1 o

!

1,6

l

x = w/"'o

prikazana frekventna karakteristika za struju 1 u ovL�nosti od vrijednosti R, L, e.

w,

a uz konstantne

Da bi se dobio što bolji uvid o torne kako na frekventnu karakteristiku struje utječu parametri R, L, e, prikazane su na sl. 15.42 ordinate y te karakteristike u reduciranim vrijednostima 1/1o, a kao variabla uzete su vrijednosti x = wlo)o . Dakle j e :

R

Impedanciju Z = JI R2 + ( w L - l /wey preoblikovat ćemo prImjenom veličine !2 = Wo L = l/wo e u oblik Z = JI R2 + 122 (w/wo - wolw) 2 a dalje je uvo­ đenjem dobrote Q = e/R impedancija jednaka :

Z = R · 1 / 1 + Q2 ( X V Time dobivamo za y

= l/lo

j ednadžbu :

Struja, dakle, bitno ovisi o dobroti l/lo za nekoliko raznih d = l / Q :

140

l )2 x

Q

i na slici su prikazane karakteristike

Pri većim . . Vrijedllostima Q (što odgovara manjim prigušenjima d = l / Q) imaju ove karakteristike zvonast oblik, te su to uže, što je Q veće.

Povećanje jakosti struje na rezonantnoj frekvenciji pokazuje da strujni krug može iz skupa raznih frekvencija naročito istaknuti i time odvojiti struju određene frekvencije. To svojstvo selekcije iskorišćuj e se u uređajima visoke frekvencije.

Nadalje se iz gornje j ednadžbe vidi da istu vrijednost y dobivamo za neku vrijednost apscise x kao i za njenu recipročnu vrijednost l/x. Prema tome nam razmak x - llx označuje širinu između dvije grane zvonaste karakteristike za pripadnu vrijednost y = l/lo. Ta širina D = x - l/x može se izračunati za bilo koju zadanu vrijednost y ako poznamo dobrotu strujnog kruga Q.

Tako npr. za j akost struje I koja odgovara n-tom dijelu maksimalne vrijed­ nosti lo jednadžba glasi :

odakle slijedi :

D =

1

-

Q

V n2 1 1 = d ,;--_.

-

v n2

-

-

I obrnuto, ako je zadana krivulja frekventne karakteristike struje : y = f(x) može se iz dijagrama odrediti prigušenje (ili dobrota) strujnog kruga. Iz j ednadžbe D = d I/� slijedi da će d biti upravo jednako širini D ako je Vn2 - 1 = 1, dakle z a n = 2 . To znači : ako odaberemo y = Illo = l /y"2 = 0,707 pripadna širina jednaka je prigušenju d, slika 1 5. 42.

V

Selektivno svojstvo strujnog kruga bit će to veće. što j e širina D manja, dakle što je dobrota veća ili što je prigušenje manje.

Frekventne karakteristike napona UR' UL i Uc• Uz pretpostavku da je konst. i neovisno o frekvenciji, mij enjat će se napon UR = IR pri promjeni frekvencije isto kao i struja I, pa je frekventna karakteristika UR slična frekventnoj . karakteristici I, slika 1 5. 4 3 . R

=�

Naponi na induktivitetu i kondenzatoru pri frekvencijama različitim od Wo dobiju se množenjem struje I s pripadnim otporom :

UL = I · w L

1

i

Uc = I ­ wC

Zbog toga što su struja i otpori ovisni o frekvenciji, dobit će se z a o v e napone preglednije j ednadžbe ako se ti naponi uz uvođenje dobrote Q, odnosno p rig�šenja strujnog kruga d, predoče opet kao funkcije reducirane frekvencij e : oo

x = ­

Wo

Struju

1 = U/V R2 + (wL - l /wC)2 možemo, nai.rn(!? prikazati u obliku : . U

pa za napone

Ul i Uc dobivamo slijedeće jednadžb e :

UL = 1wL = 1 · x W o L = If] . x

1 1 1 l Uc = 1 - = 1 -- - = I f] w C · woC x x

Uvođenjem gornjeg izraza za struju slijedi da j e :

If] =

U

Vd2 + (x ! r -

za a > llfJ

la

/) < 1 1/2

lj

o

w

Sl. 1 5.43. Frekventne karakteristike za struju i za napone UL i Uc

o

0,4

X

0,8 I 0,8

0,1, fiX

O

Sl. 1 5.44. Frekventne karakteristike za napone UL i Uc, uz pretpostavku d a je Q < lfV:r

Kut faznog pomaka među strujom i naponom za variablu x dan j e jednadžbom 1

X(} - - f] wL - x wC == arc t g = arc tg Q cp = arc tg R R

( !) x

-

Na osnovi ovih jednadžbi mogu se na slici 15.43 nacrtati uz frekventnu karak­ teristiku struje i frekventne kara! -:= V2

Pri tome će realne vrijednosti XL biti nešto veće o d X = l , što znači da UL postizava maksimalnu vrijednost UL max > U za frekvencije nešto veće o d rezonante frekvencije. Naprotiv će Ue postići maksimum Ue max > U za frekvenciju X e nešto manju od rezonantne. Pri tome je ULmax = Ue m'"

Ako je pak Q < l /VI naponi UL i Ue nemaju istaknutih maksimuma, nego će UL monotono od O rasti do vrijednosti U, a Ue će monotono padati od U do nule, slika 15.44.

15.6.3.

Paralelna rezonancija

Pri paralelnom spoju O, L, e (slika 15.45) smatramo također rezonancijom ono pogonsko stanje u kojem je kut faznog pomaka između struje i napona na priključnicama spoja jednak nuli. Iz općenitih jednadžbi kojima su za taj spoj definirani vodljivost Y i kut arc tg rp slijedi d a će d o rezonancije doći ako j e BL _1_

wL

= o) e

ili

rp :

BL - B e

= ---0 --

B e, dakle ako j e :

0)2 L e

=

1 143

Prema tome i ovdje za paralelnu rezonanciju mora biti ispunjen jedan od, trij u uvjeta kojim su povezane frekvencija, induktivitet i kapacitet :

l Wo = VLC

Lo = w21 C

iIi

--

-­

o

e u Sl. 15.45. Paralelni spoj

I

CO = w2 L

ili

"""=U,,, U__ 6=-_-,-

-jU � R. L, e

Sl. 1 5 .46. Vektorski dijagram pri rezo­ nanciji spoja sa slike 1 5.45

L, C

U ovom idealiziranom paralelnom spoju G, (jer nisu uzeti u obzir omski otpori induktivne i kapacitivne grane) bit će u slučaju rezonancije ukupna reaktivna vodljivost B BL - Bc jednaka nuli, pa će ukupna vodljivost biti najmanja i j ednaka samo omskoj vodljivosti : Y = G.

=

U vektorskom dijagramu (sl. 1 5 . 46) prikazane su uz zadani napon izvora U struje u pojedinim granama :

'J L

=

-j UBL

Budući da induktivna i kapacitivna struja imaju u odnosu na napon fazne 'J e i U ukupnoj se pomake + 90� i - 90° one su međusobno suprotne, rh struji izvora pri rezonanciji poništavaju, pa je : r:; o c_� IR + r:; L + r:; e : �.O

10 =

-

p.G

Zbog kompenzacije reaktivnih struja naziva se paralelna rezonancija također strujnom rezonancijom. Struja izvora postizava u rezonanciji svoju minimalnu vrijednost Ia i ona j e jednaka samo struji koja prolazi kroz omsku vodljivost.

Ipak, pod utjecajem zajedničkog napona U struje h i Ic postoje i one ozna­ čavaju struju koja kruži u zatvorenom krugu što ga tvore svitak i kondenzator (slika 1 5.45), a da se ta struja na priključnicama izvora i ne opaža.

Uz određenu vrijednost napona U bit će za male vrijednosti omske vodlji­ vosti struja 10 mala, no ako su vodljivosti BL i B e veće od G, bit će i struje I L Ic već od 10 '

=

144

-

Pri rezonanciji bit će, dakle, reaktivna struja veća od ukupne struje ako j e : Wo e =

1

--

wo L

=

V

C

_

L

= y.

>G

Veličina y ima dimenziju vodljivosti, pa bi se mogla nazvati valnom vodlji­ vošću prikazanog spoja. Kao dobrota Q ovdje je definiran omjer reaktivne struje pri rezonanciji u odnosu na ukupnu struju Jo, pa imamo :

a prigušenje kao recipročna vrijednost dobrote j ednako j e :

1

G

d = -- = Y

Q

Frekventne karakteristike (u ovisnosti o frekvenciji w) za ovaj spoj prika­ zane su na slici 1 5 . 47. Pravac paralelan s apscisnom osi predočuje konstantnu omsku vodljivost G. Kapacitivna vodljivost Bc= W e predočena je pravcem 2 iz isho­ dišta, dok je induktivna vodljivost BL = l/wL grana hiberbole 3. Pri konstantnoj efektivnoj vrijednosti U to su i karakteristike pripadnih struja.

. Sl. 1 5 . 47. Frekventne karakteristike za spoj na slici 1 5.45

w

Ukupna vodljivost Y prikazana je krivuljom 4 i ona uz U = konst. p redočuje i karakteristiku ukupne struje : l. Ukupna reaktivna vodljivost B ima u području frekvencija od O do Wo induk­ tivan karakter, a za frekvencije veće od Wo kapacitivan karakter. Pri rezonantna; frekvenciji Wo mijenja se, dakle, predznak kuta faznog pomaka i tu je rp = O.

Za w = Wo je B jednako nuli, a ukupna vodljivost Y ima minimalnu vrijed­ nost j ednaku omskoj vodljivosti G, pa je tu i struja l minimalna.

10

V . Pinter : Osnove elektrotehnike

145

Paralelna rezonancija realnog svitka i kondenzatora

1 5 .6.4.

Prikazani spoj G, L, e (sl. 1 5. 45) ima dakako samo teoretsko značenje, jer se u zbilji n e može normalno izraditi svitak bez omskog otpora. Zato će u daljnjem biti razmatran u rezonanciji paralelan spoj realnog svitka s kondenzatorom, pri čemu se uzima da je R omski otpor svitka koji je u spojnoj shemi (slika 15. 48a) serijski spojen s induktivitetom svitka L. Za kondenzator može se odabrati zrak kao izolator, pa se mogu zanemariti dielektrični gubici i zato u kondenzatorskoj grani ne računamo s omskim otporom.

R J/

Je

J

lj

e U

rv

Ic

a)

I I I

_ _ _ _

I I

I

..J '

b)

Sl. 1 5.48. a) Paralelni spoj realnog svitka i kondenzatora bez gubitka; b ) Vektorski dijagram spoja

Vektorski dijagram tog spoja prikazan je za općeniti slučaj na slici 1 4 . 4 8b. U je napon izvora, h struja svitka, Ie struja kondenzatora, a I je ukupna struja . izvora.

B

=,

Da se postigne rezonancija u paralelnom spoju mora biti ispunjen uvjet da j e BL - B c = 0, odakle :

i tada će se u promatranom spoju kompenzirati jalova komponenta struje I L i struja Ic.

Za kapacitivnu granu j e j alova vodljivost Bc = (j) C, a za induktivnu granu se B L zbog prisustva omskog otpora računa prema j ednadžbi :

wL

Pri rezonantnoj frekvenciji

odakle slijedi dalje :

146

I

�o

bit će BL.

=

Bc. ili :

pa j e :

i konačno :

Ovdje su za zatvorenu konturu što je tvore svitak i kondenzator upotrijebljene prije izvedene veličine :

li = d. e

Vidi se da u ovom spoju rezonantnu frekvenciju, osim L i b ježan omski otpor svitka

R.

e, određuje i neiz­

Prikazani paralelni spoj svitka i kondenzatora označuje za izvor struje impe­ danciju koja je jednaka : 1 CR + jwL) . _ w_ e R + jwL + wIe

Pri rezonanciji je struja iz izvora u fazi s naponom, što znači da ova impedan­ cija za rezonantnu frekvenciju ima karakter čistog omskog otpora :

Wo

Ro = Zoo

Uvrštenjem vrijednosti :

dobiva se za

Ro

jednadžba :

L e2 RO = ]F" = J[ e

Ro

Taj takozvani rezonantni otpor paralelnog spoja svitka i kondenzatora je u r�alnim izvedbama vrlo velik, jer je otpor svitka redovno vrlo malen u odnosu na Zato se kaže da taj spoj predočava za struju rezonantne frekvencije zaporni krug.

Lie.

R

R = O,

Ro =

U teoretski idealnom slučaju, ako je bit će oo, što znači da će pri rezonanciji struja izvora biti j ednaka nuli, a to slijedi i iz razmatranja prijašnjeg spoja G, C. Odbacimo li treću granu, tj . G, imamo isti paralelni spoj idealnog svitka s idealnim kondenzatorom, a za taj slučaj pokazuje izvedena jednadžba da j e ili oo .

YO = O

L,

Ro =

147

16.

16.1.

MJESNI DIJAGRAM! U ELEKTROTEHNICI

JEDNADŽBE MJESNIH KRIVULJA

U prijašnjim izvodima su objašnjeni načini kako se mogu odrediti nepoznate struje u granama neke mreže čiji je sastav zadan konstantnim vrijednostima para­ metara svih izvora i otpora. Poznavajući, dakle, i sve struje, lako će se odrediti još ostale tražene veličine : padovi napona, snage i dr. Poznato j e, nadalje, da se najrazličitiji električni uređaji u pogledu njihova djelovanja mogu prikazati sklopom različitih otpora i izvora, a ta se mreža naziva nadomjesnom shemom tog uređaja. U praksi, međutim, mnogi od tih uređaja ne rade uvijek u istim okolnostima pogona, nego im se tijekom vremena pogonske prilike mijenjaju. To će se u nado­ mjesnoj shemi odraziti time da će se u shemi' mijenjati onaj element (redovno jedna impedancija), o kojem ovisi karakter promjene pogona. Zbog promjenljivosti samo ove jedne impedancije, iako su parametri svih ostalih električnih veličina nepromijenjeni, mijenjat će se strujne i naponske prilike u granama sheme. Budući da se sinusoidalne struje i naponi simbolički predočuju kompleksnim brojevima, mijenjat će se u kompleksnoj ravnini i vektor one veličine koja nas konkretno zanima. Ako je to, na primjer, struja 'J u nekoj grani, moći će se sve promjene vektora te struje zorno prikazati tako, da se u kompleksnoj ravnini nacrta krivulja koja p re;;d očuje geometrijsko mjesto niza krajnjih točaka vektora struje. Te krivulje geometrijskih mjesta zovu se i mjesni dijagrami (Locus diagi'am). Najjednostavniji mjesni dijagram j e pravac, ali moguće su - posve općenito - i bilo kakve krivulj e. Posebno su pak važni u elektrotehnici kružni dijagrami. Da b i s e prilike u promjenljivim okolnostima pogona električnih uređaja mogle pobliže i matematički analizirati uz primjenu mjesnih dijagrama, potrebno je znati kako u kompleksnom području glase j ednadžbe tih krivulja koje predočuju mjesne dijagrame. 148

Jednadžba pravca

16.1.1.

Otprije je poznato da je kompleksnim brojem vf = a + j b predočen planarni vektor povučen iz ishodišta kompleksne ravnine, a nj egove komponente a i b mogu se smatrati ujedno i koordinatama s kojima je određen položaj točke M u kompleks­ noj ravnini, slika 1 6 . 1 . +j

+j

. -f' ,

,/

/' 0

pa

/

I jpb !

J

!�

+T

SI. 1 6 . 1 . Točka i pravac koji prolazi ishodištem II kompleksnoj ravnini

/

--;7f-

/

I ./ / ",/

/

)/1l>

1-/

/

----

SI. 1 6.2. Općeniti položaj pravca snoj ravnini

+r

II

komplek-

Pomnože li se te ,koordinate istim parametrom p dobivaju se koordinate a p i b p· neke nove točke N, slika 1 6 . 1 . Budući da su ove koordinate proporcionalne s koor­ dinatama a i b točke M, to točke M i N leže na istom pravcu koji prolazi kroz isho­ dište.

Mijenjanjem vrijednosti parametra p od niz točaka, pa tako kompleksni broj đ3 : ili

-

oo

do

+ oo dobiva se beskonačan

đ3 = p a + j p b = P ea + j b) d3 = p · vf

predočava uz oo < p < + oo jednadžbu pravca kompleksne ravnine, slika 1 6 . 1 . -

đ3 koji prolazi kroz ishodište

D a s e dobije pravac koji u kompleksnoj ravnini prolazi bilo kako, a n e baš kroz ishodište, dovoljno le prvotni pravac d3 pomaknuti, a to se može jednostavno postići tako da se svakoj točki pravca đ3 doda još npr. konstantni kompleksni broj a njegova recipračna vrijednost je k2l = N2/Nl • Gornja jednadžba može se napisati i u obliku :

Prema tome se transformatori upotrebljavaju u električnim uređajima iz­ mjenične struje zato da se primarni napon izvora promijeni pri nepromijenjenoj frekvenciji na viši ili niži napon, prema tome kakay je omjer zavoja odabran. Želimo li, dakle, dobiti na sekundaru viši napon, sekundarni svitak treba da ima više zavoja nego primarni svitak, a obrnuto, da se sekundarno dobije niži napon, mora sekundarni svitak imati manje zavoja nego primarni. U našem primjeru, slika 2 1 . 1, odabran je omjer zavoja NdN2 = 4/3, pa j e sekundarni napon tri četvrtine broja volta primarnog napona . . 234

21.3. VEKTORSKI DIJAGRAM IDEALNOG TRANSFORMATORA U PRAZNOM HODU

Međusobni odnos navedenih veličina prikazuje na slici 2 1 .2 vektorski di­ j agram, gdje počev od vektora napona Uj ) koji je od izvora priveden p rimarnom svitku, crtamo vektor struje praznog hoda Jo za 90° pomaknut iza vektora napona Ul . U idealnom transformatoru je, dakle, struja Jo samo čista struja magneti­ ziranja Jo = J�. Vektor magnetskog toka CP, uz pretpostavku idealne željezne jezgre, u fazi j e s vektorom struje Jo, a za 90° iza vektora toka zaostaje vektor primarno induci­ rane elektromotorne sile Ej) kao i vektor sekundarne elektromotorne sile Ez.

U,

U, = Ul I u,= uN,

•

'Jo

---....... cp

t, t,

Sl. 2 1 .2. Vektorski dija­ gram idealnog transfor­ matora u praznom hodu

cp

)

•

UN,

Ski.

�J

•

70

, ... ��

�

cp

t,= U'll = U, t, = u l I

Sl. 2 1 . 3 . Referentni smjerovi induciranih Sl. 2 1 .4. Vektorski dija­ napona pretpostavljeni su suprotno nego gram idealnog transfor­ na slici 2 1 . 1 matora u praznom hodu p rikazanog na slici 2 1 . 3

Naponi ULI i U�I2 (koji na priključnicama svitaka reprezentiraju elektro­ motorne sile) inducirani su, dakle, od istog toka CP, pa zato i njihovi vektori padajU zajedno, a kako se iz naponskih jednadžbi vidi, ti se vektori poklapaju po smjeru zajedno s vektorom napona Ul .

U idealnom transformatoru gdje nema otpora, pa nema ni gubitaka napona, bit će ovi inducirani naponi jednaki po iznosu svojim elektromotornim silama, samo su za naš primjer smjerovi njihovih vektora suprotni zbog svojevoljno oda­ branih referentnih smjerova napona, koji su prikazani na slici 2 1 . 1 . Ako bismo referentne smjerove napona ULI i UM2 pretpostavili kao na slici 2 1 .3, dakle protivno nego na slici 2 1 . 1 , dobili bismo novi vektorski dijagram, sl. 2 1 . 4, u kojem vektori induciranih napona UL l i UM2 padaju zajedno s vektorima odgovarajućih elektromotornih sila, dakle suprotno vektoru napona Ul . U daljnjim analizama transformatora uz pomoć vektorskih dijagrama zadržati ćemo prvotno odabrane referentne smjerove za inducirane napone, prema slici 2 1 . 1 . 235

21.4.

IDEALNI TRANSFORMATOR POD OPTEREĆENJEM

Kad · se sklopkom zatvori sekundarni strujni krug poteći će pod djelovanjem napona U2 kroz priključeni otpor Zt" slika 2 1 .5, struja Iz. Njena efektivna vri­ jednost j ednaka j e 12 = UZ/Ztr, a u općenitom slučaju ona j e prema naponu U2 fazno pomaknuta za neki kut fP 2 '

I 1.. _ _

__

_ __

-'

Sl. 2 1 .5; Idealni transformator sa željeznom jezgrom pri opterećenju

SL 2 1 .6. Vektorski dijagram idealnog transformatora pri opterećenju

U vektorskom dijagramu, slika 2 1 . 6, pretpostavili smo da trošilo ima induk­ tivni karakter, pa zato vektor struje 12 zaostaje za kut fP2 iza vektora napona U2•

Struja trošila 12 ne prolazi, međutim, samo kroz trošilo, nego i kroz zavoje sekundarnog svitka N2, pa s e tako u opterećenom transformatoru osim amper­ zavoja struje praznog hoda 10 Nl pojavljuju i amperzavoji sekundarne struje op­ terećenja 12 N2• Zbog toga bi s e promijenili prvotna magnetska uzbuda i magnet­ ski tok , što bi prouzročilo i promjenu inducirane elektromotorne sile El, odnosno napona U L l > koji mora držati ravnotežu napona primarnog strujnog kruga prema drugom Kirchhoffovom zakonu. No budući da se ta ravnoteža ne može narušiti, ravnoteža će se ponovno uspostaviti onako kako je to ovdje jedino moguće, naime, sada će iz izvora u primarni svitak osim struje 10 poteći zbog op­ terećenja još i struja lp' takvog iznosa, da se stvore dodatni amperzavoji u primaru lp Nl koji će poništiti magnetsko djelovanje sekundarnih amperzavoja 12 N2• Struju

lp

možemo, dakle, nazvati primarnom strujom opterećenja.

Vidimo da ravnoteža napona primarne strane zahtijeva u transformatoru tzv. magnetsku ravnotežu, što znači da i pri opterećenom idealnom transformatoru ostaju magnetska uzbuda i magnetski tok j ednaki onima u praznom hodu. Upravo se tim mehanizmom magnetske ravnoteže sekundarni teret prenosi na primarnu stranu i tako opterećuje izvor. Jednakost amperzavoja pri opterećenju s onima u praznom hodu izražava se matematički jednadžbom :

236

odakle slijedi da mora biti :

To znači da struja 'Jp mora magnetski suprotno djelovati nego što djeluje struja 'J 2 , a da je pri tom efektivna vrijednost struje 'Jp jednaka:

Vektorski dijagram opterećenog idealnog transformatora prikazan j e na slici 2 1 .6. Tu se polazi od vektorskog dijagrama idealnog transformatora u praznom hodu, gdje treba još dodatno ucrtati i struje koje se pojavljuju zbog opterećenja . Prije toga potrebno je još jedno objašnjenje o naponu što ga inducira tok u primarnom svitku.

1>

U praznom hodu stvorila je tok 1> samo struja primarnog svitka, pa smo tada taj napon, kao napon samoindukcije, označili sa U Ll '

Pri opterećenom transformatoru isti tok 1> nastaje od zajedničke uzbude pri­ marne i sekundarne struje, pa od njega induciranim naponima pripisujemo među­ induktivni karakter. Zato sada pri opterećenom transformatoru od istog toka 1> inducirani napon u primarnom svitku nazivamo naponom međuindukcije i ozna­ čujemo sa UM l '

Struju 12 crtamo fazno pomaknutu pod kutom rp 2 iza napona Uz , a u spoj­ noj shemi odabran je pri tome referentni smjer struje 12 kao za struju trošila, koja kao pozitivna ulazi na referentno pozitivnu priključnicu trošila.

Ta struja 12 prolazeći strujnim krugom ulazit će u sekundarni svitak na neo­ značenoj priključnici svitka. Struja 0pterećenja na primarnoj strani je lp = 12 Nz/Nj ) a kako ona mora magnetski djelovati suprotno sekundarnoj struji 1 2 , moramo njen referentni smjer u spojnoj shemi odabrati tako da lp ulazi u primarni svitak na točkom označenoj priključnici svitka. Prema prvom Kirchhoffovom zakonu bit će, dakle, ukupna primarna struja što je transformator pri opterećenju uzima iz izvora jednaka :

pa j e možemo u vektorskom dijagramu i nacrtati, uzeVSl u obzir da j e u našem primjeru N2 /Nl = 3/4 i prema tome modul vektora lp je tri četvrtine modula 1 2 , Iz vektorskog se dijagrama vidi da j e vektor primarne struje Il fazno pomaknut prema vektoru napona Ul za kut rpl koji je u našem primjeru veći od rp 2 ) čemu je uzrok struja magnetiziranja lo koja, gledano na primarnoj strani, svojim indUk­ tivnim djelovaniem povećava induktivni karakter trošila. 237

Osobito nepovoljno opaža se loš utjecaj struje praznog hoda kad je transfor­ mator na sekundarnoj strani opterećen omskim otporom, jer će tada zbog komp o­ nente 10 i pri čisto djelatnoj snazi trošila primarna struja imati induktivni fazni pomak prema svom naponu i time lošiji faktor snage, slika 2 1 .7. Dakako da smo pri crtanju vektorskog dijagrama struju praznog hoda ideal­ nog transformatora predočili pretjerano velikim vektorom u odnosu na struje op­ terećenja, da bismo uopće mogli postići neku predodžbu o međusobnim odnosima sviju struja. Pa i u realno izrađenim transformatorima nastoji se konstrukcija iz­ vesti tako da struja praznog hoda bude što manja. To je moguće učiniti, jer se prema jednadžbi 10 = UllwL1 može struja praznog hoda odabrati po volji ma­ lom ako se samo izvede konstrukcija primarnog svitka s odgovarajuće velikim induktivitetom L l ' Pri tom se, međutim, neće ići do ekstremno malih jakosti struje 10' jer bi to zahtijevalo i u upotrebi željezne j ezgre pretjerano mnogo zavoja pri­ marnog svitka, što bi bilo neekonomično. Zato je npr. za energetske transfor­ matore uobičajeno da j e jakost struje praznog hoda oko 4 do 6% od struje pri­ mara u nominalnom opterećenju. U,

'10

---

-;;-

Sl. 2 1 . 7. Vektorski dijagram idealnog transformatora pri čistom djelatnom (omskom) opterećenju

SI. 2 1 . 8 . Obratni priključak razmatranog trans­ formatora

Za transformator (kao i općenito za električne strojeve) vrijedi zakon obrat­ nosti, tj . transformator može obavljati transformaciju napona u jednom i u dru­ gom smjeru. Prema tome, ako je naš transformator, prikazan na slici 2 1 .5, konstruiran da napon izvora od npr. 1 2 V transformira na sekundarni napon od 9 V, on će se isto tako moći iskoristiti da transformira napon od 9 V na 1 2 V, sl. 2 1 .8. Pri tome se izvor od 9 V mora priključiti na svitak predviđen za 9 V, a to je onaj na koji je u priiašnjoj slici bilo priključeno trošilo, dok će se sada trošilo konstrui� rano za 1 2 V priključiti na svitak predviđen za 1 2 V. Vidi se da su sada strane transformatora, tj . njegovi svici, promijenili funk­ ciju, pa se prema tome o nazivu primar i sekundar može govoriti tek onda kad se zna kako su na transformator priključeni izvor i trošilo. Dok to još nije poznato radije se svici transformatora označuju prema veličini napona i zovu svitak vi­ šeg, odnosno svitak nižeg napona. U prijašnjim je izvodima kao glavna karakteristika rada transformatora bila istaknuta mo­ gućnost promjene napona od jednog broja volta na viši ili niži napon. Ima, međutim, transformatora u kojima su primarni i sekundarni napon istog broja volta, a nazivamo ih izolacionim trans/orma­ torima. Oni se, naime, upotrebljavaju ako je nazivni napon trošila jednak naponu izvora, ali se stru­ jni krug trošila želi izolirano odvojiti od i·lvora. 238

21.5.

ENERGETSKI ODNOSI U IDE,A,J..NOM TR,AN�FORMATORU

U transformatoru se energija ne stvara, nego se njime samo mijenjaju faktori o kojima ovisi snaga, a to su napon i struja. Budući da u idealnom transformatoru nema u procesu transformacije gu­ bitka energije, bit će u sekundarno priključenom otporu potrošena snaga j ednaka snazi koja je iz izvora dovedena primarnom svitku. Za idealni transformator vrijedi, dakle, j ednadžba : Pl = P2 ili : Ul Il cos ({JI = U2 12 cos CfJ2

Uzmemo li sada u obzir da je ne samo u idealnom transformatoru, nego i u realno izvedenom transformatoru, struja lo doista vrlo mala, možemo je (iako ona svakako postoji) računski zanemariti i postaviti lo = O. U tom slučaju, kako se vidi iz vektorskog dijagrama, bit će Tl = T 2' pa možemo cosinuse. kratiti i dobivamo da j e : Odavde slijedi odnos struja :

Ul Il = U2 12

II : 12 = U2 : Ul što primjenom prve glavne jednadžbe pišemo u obliku : Il : 12 = N2 : N

Ova se jednadžba naziva druga glavna jednadžba transformatora. Isti rezultat dobivamo i iz strujne jednadžbe ako postavimo lo onda Il = 1 2 Nz/Nl' odakle opet slijedi razmjer : .

Il ; 12

=

=

O, jer j e

N2 : N l

Jednadžba II : 12 = U 2 ; Ul kazuje, nadalje, da se u radu transformatora istovremeno s promjenom napona zbiva i transformacija struje. Ta spoznaja omo­ gućuje da se iskoristi transformator ne samo kao naponski, nego i kao strujni tran­ sformator, pa tako za naponski imamo prvu glavnu jednadžbu, a za strujni vrijedi druga glavna jednadžba. U,

Sl. 2 1 .9. Vektorski dij agram opterećenog idealnog transformatora uz odabrane re­ ferentne smj erove napona prema slici 2 1 . 3 t2= Uil2 = Ul .

t, = UN,

Spomenimo na kraju j oš i to da se vektorski dijagram prikazan na sl. 2 1 .9 ' dobiva ako su referentni smjerovi napona odabrani kao na slici 2 1 . 3 . 239

21.6. REDUCIRANI VEKTORSKI DIJAGRAM IDEALNOG TRANSFORMATORA POD OPTEREĆENJEM ..

U teoretskim razmatranjima, a i za crtanje vektorskih dijagrama transfor­ matora sa željeznom jezgrom, upotrebljavaju se umjesto stvarnih sekundarnih veličina reducirane sekundarne veličine, kako je to bilo već uvedeno i pri analizi rada zračnog transformatora. Opravdanost za to je u činjenici da iako se transfor­ matori izrađuju za sve moguće omjere prenošenja, moguće je sve te naoko različite transformatore razmatrati j edinstveno ako se općenito analizira rad transformatora s omjerom prenošenja jednakim jedinici. Takav transformator ima, dakle, sekun­ darni svitak s isto toliko zavoja kao i primarni. Sekundarni napon i ostale veličine tako . zamišljenog transformatora bit će dakako, različite od onih što ih u stvarnosti doista ima transformator čiji je omjer broja zavoja kl2 = Nl/Nz. Sekundarne veličine transformatora s pretpostavljenim omjerom prenošenja jednakim jedinici nazivamo reduciranim sekundarnim veličinama na primal'rii broj zavoja i označujemo ih dodatnom crticom. Međusobni odnos stvarnih i reduciranih sekundarnih veličina dobiva se jed­ nostavno primjenom prve i druge glavne j ednadžbe. Ako Uz označuje stvarni napon pri broju zavoja Nz, a U� reducirani napon pri broju zavoja Nl> onda vri­ jedi relacija : a iz nje slijedi d a j e :

Analogno označimo s a 12 stvarnu sekundarnu struju pri ranu sekundarnu struju pri Nl zavoja, pa imamo :

N2 zavoja, a s a 1; reduci­

ili :

Iz gornjih se izvoda vidi da je za naš »jedinstveni stvoren zajedničkom uzbudom primarnih i sekundarnih amperzavoja. TABLICA S e k u n d a r n e v el i č i n e Stvarne

U2 Ei 12 Rz

X,

Reducirane

U; = U2 (N.!Nz)

E; = E2 (NdN2) I�

=

Reducirane

Stvarne

U�

U2 = U� (Nz/N,)

Ei

Ez

=

E� (N2/N,)

Iz (N2/N ,)

lj

Iz

=

I{ (NJINz)

Xz (N,/N2)'

X�

R� = Rz (N,/Nz)"

X;

Sekundarne veličine

Rf

R2 = R� (Nz/N,)'

X,

X� (Nz/N,)'

Na osnovi međusobnih odnos.a , kako su oni prikazani u vektorskom dijagramu (sl. 2 1 . 1 0), može · se nacrtati i mreža, koju nazivamo nadomjesnom shemom ideal­ nog transformatora, slika 2 1 . 1 1 . Vidi se da je ta shema veoma jednostavna zahva­ ljujući baš uvođenju reduciranih sekundarnih veličina u analizu transformatora. 16

V . Pinter : Osnove elektrotehnike

241

21 .7.

REALNI TRANSFORMATOR POD OPTEREĆENJEM

Prelazeći na razmatranje realnog transformatora moramo uzeti u račun pro­ mjene koje prouzročuju omski otpori svitaka, te realno vladanje željeza j ezgre pri izmjeničnom magnetiziranju. Označimo li sa R l omski otpor primarnog svitka, sa R2 omski otpor sekun­ darnog svitka, a sa R; njegovu reduciranu vrijednost, imamo pri opterećenju real­ nog transformatora u primarnom svitku pad napona U Rl = II Rl, a u sekundar­ nom svitku pad napona UR2 = 12 R2, čija je vrijednost reducirana na primarnu stranu jednaka U�2 = l; . R;. Vektori tih padova napona bit će u vektorskom ,dijagramu paralelni s vekto­ rima odgovarajućih struja .

Nadalje se zbog otpora u svicima pri prolazu struje gubi u primaru snaga = If Rl' a u sekundaru snaga Pcu 2 = li R2• Budući da su svici transfor­ matora redovno namotani bakrenom žicom, ukupni gubitak snage zbog Jouleove topline označuje se kao gubitak u bakru i on je Pcu = Ir Rl + I� R2• PCU l

Kod realno izrađenih transformatora moramo još računati i s gubicima u željezu zbog histereze i vrtložnih struja. Znamo da će zato vektor struje magneti­ ziranja 10 biti prema vektoru glavnog magnetskog toka (/> fazno pomaknut za kut gubitaka ag. Gubitke snage izmjenično magnetizirane željezne jezgre označujemo sa PF., 9. računamo ih kao što je već . objašnjeno kod svitka s a željeznom j ezgrom ,

Osim glavnog toka (/> u željezu, stvorit će amperzavoji primal'a i sekundara u realnom transformatoru još svaki za se oko svojeg svitka magnetski tok, koji se za­ tvara u okolišnom zraku. Ovi tokovi ne sudjeluju u procesu transformacije, pa ih zato nazivamo rasipnim magnetskim tokovima. Budući, da u zraku nema pojave his­ tereze i vrtložnih struja, bit će vektori tih rasipnih tokova u fazi s vektorima svojih struja. Rasipni tok (/>01 u fazi je s a strujom lo a od toga toka inducirani napon prethodi pred strujom za T/4, što odgovara faznom kutu + 90°.

Uo l

Isto je tako na sekundarnoj strani rasipni tok (/>0 2 u fazi s a sekundarnom stru­ jom 12, a od toga toka inducirani napon Ua2 prethodi za 90° pred strujom. Kao što j e istaknuto, rasipni magnetski tokovi obavijaju samo zavoje vlasti­ tog svitka, a ne obuhvaćaj u oba svitka, pa svaki rasipni tok smatramo tokom samo­ indukcije, a od njih inducirani })rasipnia l

Za razliku od idealnog transformatora imamo u spojnoj shemi (slika 2Ll�) op­ terećenog realnog transformatora nacrtane još omske otpore Rl i R 2 svitaka, koji 242

su serijski povezani s pripadnim svicima, a osim g lavnog toka rp u željeznoj jezgri po­ javili su se .i rasipni tokO\'j rpa l i 1)02 '

Referentne smjerove struja, tokova i napona odabrali smo'prema prije dogo­ vorenom načinu (strana 235), pa se tako mogu za primarni i za sekundarni strujni krug napisati naponske jednadžbe :

Ul = U;;l 1 Uz = UMZ

+-

-

URI + UR 2

-

Ual

U crl

BuJući da će izvor i u realnom transformatoru sa željeznom jezgrom primar­ nom syitku dobavljati ne samo struju magnetiziranja lo, nego i struju opterećenja lp, to i za realni transformator sa željeznom jezgrom strujna jednadžba glasi : 'J 1 = 'J O + 'J P

Vektorski dijagram opterećenog realnog transformatora sa željeznom jezgrom dobivamo tako da počev od jednog nanižemo ostale vektore prema podacima gor­ njih jednadžoi. Koji ćemo vektor pri crtanju dijagrama uzeti kao početni ovisit će o tome što je zadano, II što se traži. 1{ ,

7,= 70+7p

R,

•

-u;;;- :iHII Ha' l

�

\

0 2, .I

' Nd � N2 I /4>01 \ ..... __

,

,

I

I

I

,

_. _ ._ - /

•

rlH' hio,

R,

UR2

'],

.'

;; ), R,

Ski.

U2l

2tr

Sl. 2 1 . 1 2. Spojna shema opterećenog realnog transformatora sa željeznom jezgrom

Sl. 21 . 1 3. Vektorski dija­ gram realnog opterećenog transformatora sa željez­ nom jezgrom

Ako, na primjer, na slici 2 1 . 1 3 polazimo od zadanog magnetskog toka rp u željeznoj jezgri, bit će vektor struje lo pred vektorom toka pomaknut za kut Clg zbog gubitaka PF• u željezu, dok će za 90° pred tokom biti vektori od toka rp induciranih napona UM1 i UM2 • Poznavajući sve otpore transformatora može se dalje za za­ danu struju tereta 12 odrediti prema naponskoj jednadžbi sekundarnog strujnog kruga napon sekundarnih stezaljki U2 na koji je priključeno trošilo Zlr' Strujnom jednadžbom odredi se vektor primarne struje kao suma 'J l = 'J o + + 'J 2 . N2/Nj) pa se dalje prema naponskoj j ednadžbi primarne strane može odrediti koliki mora biti primarni napon Ul da se trošilu doista dobavi iz izvora preko transformatora struja 12 s naponom U2 (slika 2 1 . 1 3). 243

2.1.8. TRANSFORMATORA VEKTORSKI DIJAGRAM REALNOG . .... .. REDUCIRA.NI . . , .. ' POD OPTEREĆENJEM

Kao što je već bilo objašnjeno, reduciranjem sekundarnih veličina dobit ćemo vektorski dijagram koji vrijedi za sve transformatore, pa ćemo na osnovi tog dija­ grama izvoditi daljnja razmatranja. Pri tome reduciranju sekundarnih veličina ostaje tok ({J nepromijenjen, pa će napon U� 2 biti jednak U�!J) a oba ta napona već smo prije zajednički označili sa UM i njegov vektor crtamo za 90° pred vektorom toka ({J, slika 21 . 1 4 .

:l "

Sl. 2 1 . 1 4. Vektorski Llija­ gram realnog opterećenog transformatora sa željeznom jezgrom i rcduciranim sekundarnim veličinama

Sl. 2 1 . 1 5 . Nadomjesna shema za ')reducirani" realni transfor mator sa željeznom j ezgrom, prema slici 2 1 . 1 2

Reducirana sekundarna struja 12 ujedno je jednaka primarnoj struji opterećenja lp, a Ukupnu primarnu struju daje zbroj : 'Jj = 'Jo + 'J; pri čemu u realnom transformatoru struja 'J o ima komponente 'J lJ. i 'J g' U reduciranom vektorskom dijagramu ostaje primarna strana nepromijenjna kao na slici 2 1 . 1 3, a da bi se na sekundarnoj strani dobio sekundarni reducirani napon U;, treba prema naponskoj jednadžbi : U;

=

UM - U�2 -- UR 2

od induciranog napona međuindukcije odbiti reducirane padove napona zbog rasipanja i omskog otpora. Iz dobivenog dijagrama (slika 2 1 . 1 4) vidi se da će pri realnim transformato­ rima reducirani sekundarni napon U; biti različit od primarnog napona Ul> dok su pri idealnom transformatoru (slika 2 1 . 1 0) ta dva napona bila jednaka. Uzrok toj razlici su padovi napona nastali zbog unutarnjih otpora u transformatoru : R l R 2, Xa! i Xa2•

Na temelju vektorskog dijagrama prikazanog na slici 2 1 . 1 4 može se sastaviti za reducirani realni transformator sa željeznom jezgrom nadomjesna shema prema . slici 2 1 . 1 5 . 244

Omski i induktivni otpori rasipanja uključeni su u nadomjesnoj ,shemi serijski, dok se u paralelnoj grani osim induktivnog otpora međuindukcije XM nalazi još omski otpor RFc koji reprezentira gubitke histereze i vrt10žnih struja zbog izmjenič­ nog magnetiziranja željezne jezgre.

Struja magnetiziranja transformatora koji se upotrebljavaju u praksi, kao što. je spomenuto, vrlo je mala u usporedbi s jakošću struje nominalnog opterećenja, pa zato se može u daljnjim izvodima pretpostaviti da je računski struja magnetizi­ ranja jednaka nuli : 10 '''' 0, a time postaje : II

=

I;

Ovom pretpostavkom znatno se pojednostavnjuje reducirani vektorski dija­ jagram, jer u primaru i sekundaru računamo samo s j ednom zajedničkom strujom i nju označujemo kao struju opterećenja I :

21.9.

KAPPOV TROKUT

U novonastalom vektorskom dijagramu, slika 2 1 . 1 6 , vidi se da vektori omskih' padova napona 'J R I i 'JR; padaju sada zajedno sa smjerom vektora struje 'J, dok su vektori obaju induktivnih padova napona 'JXOI i 'J X� 2 okomiti na vektor za­ jedničke struje 'J . A

Sl. 2 1 . 1 6. Reducirani pojednostavnjeni vektorski dijagram realnt)g transformatora ( uz zane.marenje struje magnetiziranja )

Trokuti padova napona primarne i sekundarne strane transformatora mogu se sada združiti u zaj ednički trokut pada napona obiju strana : ABC. U tom je pravokutnom trokutu svih padova napona j edna kateta ukupni omski pad napona :

dok jc druga kateta ukupni induktivni pad napona zbog rasipanja silnica :

245

Ukupni unutarnji pad napona u reduciranom transformatoru, predočen hi­ potenuzom toga trokuta, jednak je: