Osnove elektrotehnike 2. dio [PDF]

Zitiervorschau

SVEUCILISTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RACUNARSTVA

A. Pavic - I. Felja OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

Primjeri i zadaci za vjezbu

2. dio

Zagreb, 2014.

Predgovor lskustvo s ispitima pokazuje da studenti i kada razumiju zadatake na ispitu, tijekom 1 trajanja ispita ' najCeS6e ne stignu obraditi i taCna rijeSiti sve zadatke koje razumiju. Osnovni razlog tome jest nedstatak rutine u rjeSavanju, tj. nedovoljan broj samostalno rijeSenih zadataka. Namjena ave zbirke je dati Siri izbor zadataka, grupiranih po tjednima nastave (a unuta~ njih po temama nastavnog programa) koji 6e omoguCiti samostalno pripremanje meduispita i zavrSnog is pita, kao i kontinuirano samostalno vjei:banje, koje najdjelotvornije otkriva praznine i slabosti u razumijevanju nastavnog gradiva. Obraden~ problemi, karakteristiCni za pojedine nastavne cjeline, predstavljeni su kao rijeSeni primjeri te kao zadaci za samostalr:'o rjeSavanje. Nakon analiza danih postupaka rjeSavanja primjera te samostalnog rjeSavanja zadataka pojedine teme, studentima se preporuC:uje odgovarati na pitanja za provjeru znanja, koja su dana u obliku test pitanja s ponudenim odgovorima na kraju svake teme (oblik pitanja kao n13 ispitima). Za studente koji ho6e viSe, mogu se na6i i neki sloZ:eniji zadaci (oznaC:eni zvjezdicom). Autori

SadrZaj

Stranica VIII.

IX.1

IX.2

X.

XI.

Xll.1

Xll.2

XIII.

Snaga u krugovima izmjeniCne struje . . . . . . . ............ Vlll-1 Primjeri. .............................. .................. Vlll-1 Zadaci .............................. ................... Vlll-7 Test pitanja .............................. ............... Vlll-10 Topografski i mjesni dijagram ............................ IX-1 Primjeri. .............................. .................. IX-1 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX-6 Osnovne veliCine elektriCnih krugova ....................... IX-8 Primjeri. .............................. .................. IX-9 Zadaci .............................. ................... IX-13 Test pitanja .............................. ............... JX-15 Postupci rjeSavanja elektriCnih mre.Za . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X-1 Primjeri. .............................. .................. X-2 Zadaci .............................. ................... X-9 Test pitanja .............................. ............... X-16 Polifazni sustavi .............................. .......... Xl-1 Primjeri .............................. ................... Xl-2 Zadaci .............................. ................... Xl-11 Test pitanja .............................. ............... Xl-15 Prijelazne pojave .............................. .......... Xll-1 Primjeri. .... ·.............................. .............. Xll-2 Zadaci ............................... ................... Xll-5 Test pitanja..... . . .............................. ..... Xll-7 Nesinusoidne elektriCne periodiCke veliCine . . . . . . . . . . . . . . . Xll-9 Primjeri .............................. ................... Xll-10 Zadaci .............................. ................... Xll-12 Test pitanja .............................. ............... Xll-13 HarmoniCki slo.Zeni valni oblici ............................ Xlll-1 Primjeri. ............................... .................. Xlll-2 Zadaci .............................. ................... Xlll-6 Test pitanja .............................. ............... Xlll-9

Vlli.

I

Stranica Vlll-1

Tema VIII. Snaga u krugovima izmjeniCne struje

SNAGA U KRUGOVIMA IZMJENICNE STRUJE

OSNOVNI POJMOVI I ZAKONITOSTI Trenutna snaga p(t) predstavlja vremensku funkciju snage, a jednaka je umnoSku trenutnih vrijednosti napona u(t) i struje i(t) na nekom elementu iii spoju. p(t) = u(t) · i(t) Trenutna snaga na spoju s naponom u(t)=~2Usin(wt+a,) i strujom p(t) = Ul cos 'I'- Ul cos(2rot- '!') i(t)=~21sin(wt+a,) (a,-a,=rp) mote se izraziti kao zbroj jedne stalne i jedne sinusoidno promjenjive komponente (dvostruke frekvencije). Prividna snaga S jednaka je umnoSku efektivnih vrijednosti napona i struje (elementa iii spqja) a maZe se izraCunati kao snaga na prividnom otporu Z, kroz koji teC:e U2 2 struja I, odnosno na kojemje napon U. Jedinicaje voftamper(VA). S=U·f=f Z=-z

Radna snaga P predstavlja srednju brzinu kojom se el. energija nepovratno troSi (srednja vrijednost trenutne snage) a jednaka je umnoSku efektivnih U' vrijednosti napona i struje te faktora snag·e. Radna snaga je snaga P=Ulcos1 + 1/(R2 +X,))- !112 ·1/(R,+X,) = !NR1

Cvor2

- !11 1 ·1/(R,+X,) + !112· (1/R3 + 1/R, + 1/(R2+X,)) = Jd2/R,

RjeSavanjem ovog sustava jednad:Zbi dobijemo fazore potencijala !Q1 i !(!2: !111 =14,48-8,89j V; !Q2=15,18+2,63j V.

Pomo6u njih izratunamo struje kroz pojedine elements npr.[R3=!Q2/R3 . Za granu u kojoj je naponski izvor, struju raC:unamo ovako: ucrtamo referentni smjer te struje npr. neka to za struju kroz R4 bude smjer "udesno". Referentni plus za napon na R4 je na lijevoj prikljuCnici. Sada je !Q2=+Jd.+fR,·R, pa je '"'=(!112-fd2)!R,. Tako dobivamo (efektivne vrijednosti struja): /R1=3,58 A; '"'=/x2=1 ,73 A; '"'=1 ,38 A; /" 3=2,57 A; /X1=3,4 A. ~...

lzraCunajte snage na pojedinim elementima mre.Ze iz prethodnog zadatka, a zatim ukupnu radnu i reaktivnu Qalovu) snagu.

RjeSenje : lzraCunamo snage na pasivnim elementima i zbrojimo ih. Dobivmo ukupnu radnu snagu P,,=117,2 W i reaktivnu snagu 0,,=66,76 VAR ind. Kod reaktivne snage vodimo raCuna da je induktivna pozitivna , a kapacitivna negativna. Za kontrolu "balansa" snaga potrebno je izraCunati snage izvora. Dobiva se da prvi izvor daje 93,1 W a drugi 24,1 W . Reaktivnu snagu izvori "pokrivaju" ovako: prvi izvor ima 53,3 VAr kap. a drugi 13,4 VAr kap. Algebarski zbroj snaga je nula. U algebarski zbroj snage koju daju izvori ulaze sa negativnim predznakom. X-P~c U spoju prema slici iz primjera P6 otpornik R 2 je promjenjiv. Treba odrediti iznos otpora R2 uz koji 6e snaga na R2 biti maksimalna kao i iznos te snage.

RjeSenje: Ovakvi problemi rjeSavaju se primjenom Theveninavog (Nortonovog) teorema. MreZa se podijeli u dva dijela. Otpornik R 2 se "izvadi" a preostali die mreZe se zamijeni sa naponskim (Thevenenovim) i1i strujnim (Nortonovim) izvorom. Za postizanje maksimuma mora biti R=IZ1hl. Dobiva se: R,=7,366 Q Pm,=9,54 W

Napomena Aka umjesto radnog otpora imamo kao troSilo prikljuCenu promjenjivu impedanciju tad a mora biti Ztro~na =Zth * (konjugirano kompleksno). Postupak izraCunavanja parametara nadomjesnog Theveninovod (Nortonovog) spoja je u nacelu jednak kao onaj koji sma primjenjivali ked istosmjernih mreZa, ali se sve raCuna u kompleksnom podruCju.

Stranica X-8

Tema X. Postupci rjeSavanja elektriCnih mreZa

X~zraCunajte koriste6i meiodu napona Cvorova snagu na otporniku R u mre:Zi prema slici. Rezultat provjerite a) postupkom superpozicije b) Thevenenovo m metodom Zadano: i =10~2sin(wt) A, u=50~2sin(wt) V R1=5 Q, X1=5 Q, X,=4 Q, R,=2 Q i R=3 Q.

X1

R1

2

R

R,

"' u

x,

+

Rjei!enje: Kod primjene metode Cvorova moramo napisati odgovaraju6i sustav jednad:Zbi u kojemu su nepoznanice potencijali (naponi) Cvorova prema referentnom Cvoru. Painja: element u seriji sa strujnim izvorom kao i onaj paralelan naponskom izvoru ne ulazi u jednadzbe. U prikazanoj mrezi je potencijal cvora 2 zapravo poznat !112=-1! (pogledajte sliku). Jednadzba za cvor 1 bila bi: !1!1 · (1/~ 1 + 1/(R+~)- !112 ·1/~ 1 = +] Nakon izracunavanja '1'1 dobivamo da je struja fR= g!,I(R+t{,)= 3,33+6,66] A (smjer "dolje"). lz poznate struje racuna se snaga PFFI'R=166,6 6 W

~ Odredite

para metre Theveninovog nadomjesnog izvora sa stezaljki A i 8 za spoj prikazan na slici a (istosmjerna mreZa) i b (izmjeniCna mre:Za).

'" ' [} L "R a)

5

40

A

B

10

5

~~

b)

Rjeilen]e:

Mreze na slikama a) i b) jednako su gradene tj. imaju istu topolosku strukturu. Razlika je u

pobudi (izvorima). Budu6i da su ostali elementi u granama jednaki bit Ce Theveninov otpor 5,55 n u istosmjernoj mre:Zi jednak kao Theveninova impedancija u izmjeniCnoj 5,55LQ n. a)lzraCunamo struje u konturama, a zatim napone na "okomitim" otpornicima. Pazimo na smjer struja. 11=5/15 A (smjer kazaljke na satu) 1,=5/9 A (smjer kazaljke na satu) UAs=+5·1 2 + 10·1 1= 6,11 V (+ na A) b)ovdjesustr uje j 1=5/30/151Q A; ),=5/Q/9/Q A Napon JJ.As=), 5/Q + !1 10 iQ =5,9/16 4° V

r Tema X. Postupci rjeSavanja elektriCnih mrei:a

Stranica X-9

ZADACIX X-1. lzraCunajte potencijale Cvorova 1 i 2 u spoju na slici desno. Koristite metodu napona Cvorova. Koliki je napon U,2 te kolika struja prolazi kroz R3? Zadano R1 = 2fl R2 = 6fl R3 = 12fl /1 = 4A /2 = 2A Rezultat: cp,=6V, a cp,~-6 V 13=1A (smjer od cvora 1) X-2. Odredite struje u granama prikazane mreze a)'izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona b) pomo6u Millmanova teorema. Zadano je: Rt=3 0; R2=3 0; R3=6 0; Ut=24 V; U2=12 V.

Rezultat: It =3,2 A; /2 = -0,8 A; 1,=2.4 A. Uputa (Millman): Prvo izracunamo UAa=14,4 V. Pitanje: Koji vam je postupak jednostavniji?

X-3. Na prikljuCnice a i b spojen je (ulazni) napon U. lzraCunajte (izlazni) napon na prikljucnicama trosila, tj. napon izmedu tocaka c i d. Koji je odnos tih napona U"IU,,=? Zadatak pokuSajte rijeSiti na tri naCina: 1. Kao mjeSoviti spoj otpornika 2. Pomo6u Theveninova teorema. 3. Pomo6u Nortonova teorema. a c Zadano U= 12 V, R1=100 n, R=57.735 n R R Rezultat: Odnos napona je 0.268 R u~ Sarno 26,8 % ulaznog napona se pojavi na izlazu.

[

b

d

X-4. Odredite struje grana na ave nacine a) izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona. GednadZ.be treba napisati u skladu s oznaCenim smjerom obilaZ.enja kontura) b) metodom napona cvorova (Millman) c) superpozicijom. Zadano: Rt = 16n

R2 = 4n

R3 = 24n

u1 = 72V u2 = 8V u3 = 48V Rezultat:

IR1 = 3A

IR2 = 4A

u,

u,

IR3 = 1 A R,

X-5. U prikazanom mosriom spoju izraCunajte struju kroz otpor R u dijagonali mosta. Kolika bi bila struja kroz dijagonalu mosta kada bi taj otpor bio jednak nuli? Koliki treba biti R1 da bi struja kroz otpor R bila jednaka nuli? Primijenite Theveninovu iii Nortonovu metodu. Zadano: U = 72V R = 5fl R1 = 6fl R2 = 3fl R3 = 12n

R4 = 4n

Rezultat: /"=0,6A , /0 =1 ,2A R1=9(l

R,·

Stranica X-10

Tema X. Postupci rjeSavanja elektriCnih mrei.a

X-6. U prikazanom spoju elemenata odredite struju koju mjeri ampermetar a)Thevenenovom metodom taka da spoj podijelite po presjeku aa' i bb'. b) Millmanovo m metodom. Koliki je potencijallij eve i desne stezaljke ampermetra (pretpostavite Ra=O)?

2A

Rezultat: /A=1, 176A , (aka je R, jednak nuli (ideal an ampermeta r) potencijal obje locke (a i b) je 6,353 V)

X~7.

Koliki je napon izvora u spoju na slici,

aka voltmeter pokazuje Uv=15 Voznaceno g

polariteta? Rezultat: 40 V

X-8. Odredite napon na otporniku 2R u prikazanom spoju. Zadano je R=5 D 1=2 A U=20V.

Koliki je taj napon aka se promijeni smjer struje strujnog izvora?

Rezu/tat: 20 V, 8.57 V

u

X-9. Odredite maksimalnu snagu na otporniku Rv. Zadano je: R,=20 D. R,=10D ,U,=U,=20 V, U, = 30 V, /1=1,=1 A. Rezu/tat: 30 W

Tema X. Postupci rjeSavanja elektriCnih mrei:a

Stranica X-11

X-10. Prikazani spoj elemenata nadomjestiti pfema a) Thevenenovom b) Nortonovom teoremu sa toCaka a i c kao i izmedu toCaka b i c. U=1 V R==1 n /=1 A.

('I' je Napome na: Kod spoja u slucaju a) kut izmedu napona i struje cos(90°±rp)=U1 J, sinrp·=Q,,I~3. Is kut impedan cije trosila) pa vatmeta r pokazuje iznos Pw=URT se ovaj spoj mo:Ze koristiti' za da taka Ouk• troSila snage jalove ukupne ad koji je ..J3 puta nianji odrediva nje jalove snage simetriCnog troSila. stezaljki R i S , a zatim izmedu Xl-9. Konden zator kapaciteta C prikljuCuje se prvo izmedu Aka je u drugom slucaju iznos Hz). (1=50 ora generat nog) (simetric g trofazno 0 i R stezaljki linijski napon mrei:e. Zadano: jte izraCuna prvom u struje kroz kondenz ator manja za 6./ nego A. !'.1=7.59 ~F; C=150 Rezulta t: 381 V

l~Na trofazni simetricni generator linijskog

nap ana U1=1 00 V prikljuceno je trosilo prema

anje voltmetr a prije i poslije slici. Odredit e ukupnu radnu i reaktivnu snagu te pokaziv

zatvaranja sklopke S. Zadano je: R 1=R2=R,=X,= Xc=10

n S

R

R3

s

T

Rezulta t: prije P=1000 W, Q=O; Uv=70.7 V poslije P=2000 W, Q=O; Uv=70.7 V a aka R2 i Xc zamijen e mjesta? Pitanje: HoCe li se i kako promijeniti pokazivanje voltmetr Odgovor. Da, 36.6 V.

prikljuce na su cetverovodno Xl-11. Tri grijaca snage P, 2P i 3P (cos