Notes Introductives À Matlab PDF [PDF]

Zitiervorschau

République Tunisienne Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

‫اﶺﻬﻮرﯾﺔ اﻟﺘﻮﺴﯿﺔ‬ ‫وزارة اﻟﺘﻌﻠﲓ اﻟﻌﺎﱄ واﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫ﻮﻟﻮﺟ!ﺔ ﺑﺼﻔﺎﻗﺲ‬#‫اﳌﻌﻬﺪ اﻟﻌﺎﱄ ﻟ'راﺳﺎت اﻟﺘﻜ‬ ‫ﻼﻣ!ﺔ‬,- ‫ﻗﺴﻢ‬

TRAVAUX PRATIQUE DE :

ATELIER DE MATHEMATIQUE

Etudiants cibles : Technologie de l’Informatique Tronc commun Niveau 1 Etablit par :

Slim HACHICHA Technologue à L’ISET de Sfax

2017/2018

Table des matières TRAVAUX PRATIQUES N°1 .................................................................................. 4 Lancement de MATLAB ....................................................................................................................... 4 1.

Introduction à MATLAB ........................................................................................................... 5

2.

Présentation de l’environnement Matlab ............................................................................... 5

3.

Aperçu sur le Help ................................................................................................................... 7

TRAVAUX PRATIQUES N°2 ................................................................................ 10 Les variables sous MATLAB ............................................................................................................... 10 1.

Introduction........................................................................................................................... 11

2.

Les variables réelles............................................................................................................... 11

3.

Les chaines de caractères ...................................................................................................... 13

4.

Les variables complexes ........................................................................................................ 14

5.

Les matrices et les vecteurs .................................................................................................. 15

TRAVAUX PRATIQUES N°3 ................................................................................ 22 Les opérations arithmétiques et logiques ......................................................................................... 22 1.

Introduction........................................................................................................................... 23

2.

L’addition ............................................................................................................................... 23

3.

La soustraction ...................................................................................................................... 23

4.

La multiplication .................................................................................................................... 23

5.

les opérations logiques.......................................................................................................... 27

6.

Syntaxe de branchement ...................................................................................................... 28

7.

Exercice.................................................................................................................................. 29

TRAVAUX PRATIQUES N°4 ................................................................................ 31 Calcul sur les polynômes ................................................................................................................... 31 1.

Racines d’un polynôme ......................................................................................................... 32

2.

Calcul d’un polynôme à partir de ses racines ........................................................................ 34

3.

Produit des polynômes.......................................................................................................... 35

4.

Décomposition en éléments simples .................................................................................... 36

5.

Exemples ............................................................................................................................... 36

TRAVAUX PRATIQUES N°5 ................................................................................ 39 Représentation graphique................................................................................................................. 39

1.

Représentation graphique d’une fonction ............................................................................ 40

2.

Représentation graphique de la dérivée d’une fonction ...................................................... 46

3.

Racine d’une fonction non linéaire ....................................................................................... 48

4.

Calcul d’intégral ..................................................................................................................... 50

Evaluation N°1.................................................................................................. 53 Evaluation N°2.................................................................................................. 55 Evaluation N°3.................................................................................................. 57

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la recherche scientifique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

TRAVAUX PRATIQUES N°1

Lancement de MATLAB OBJECTIFS • • • •

Avoir un aperçu général sur MATLAB Maitriser l’environnement de MATLAB et ses différentes fenêtres Recherche de fonction MATLAB à partir du moteur de recherche du « help » Exploiter le moteur de recherche du « help » pour apprendre à exécuter des fonctions

CRITERES D'EVALUATION • • •

saisie correct. Méthode de travail de l'étudiant. Exactitude des résultats.

MOYENS •

•

Micro-ordinateur Logiciel MATLAB version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 février 2009.

Durée •

3 heures

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1. Introduction à MATLAB Le langage MATLAB a été conçu par Cleve Moler à la fin des années 1970 à partir des bibliothèques Fortran, LINPACK et EISPACK2. Alors professeur de mathématiques à l'université du Nouveau-Mexique, il souhaitait permettre à ses étudiants de pouvoir utiliser ces deux bibliothèques sans connaitre le Fortran. MATLAB « matrix laboratory » est un langage de programmation de quatrième génération émulé par un environnement de développement du même nom ; il est utilisé à des fins de calcul numérique. Développé par la société The MathWorks, MATLAB permet de manipuler des matrices, d'afficher des courbes et des données, de mettre en œuvre des algorithmes, de créer des interfaces utilisateurs, et peut s’interfacer avec d’autres langages comme le C, C++, Java, et Fortran. Les utilisateurs de MATLAB (environ un million en 2004) sont de milieux très différents comme l’ingénierie, les sciences et l’économie dans un contexte aussi bien industriel que pour la recherche. Le logiciel Matlab est un langage interprété qui s'exécute dans une fenêtre dite d'exécution. L'intérêt de Matlab tient, d'une part, à sa simplicité d'utilisation : pas de compilation, déclaration directe des variables utilisées et, d'autre part, à sa richesse fonctionnelle : arithmétique matriciel et nombreuses fonctions de haut niveau dans de nombreux domaines (analyse numérique, graphique, ...). La programmation sous Matlab consiste à écrire des scripts de commandes Matlab, exécutables dans la fenêtre d'exécution. Et grâce aux diverses Toolboxes spécialisés (ensemble de fonctions Matlab), Matlab s'enrichit au fur et à mesure.

2. Présentation de l’environnement Matlab Le langage MATLAB haute performance pour l'informatique technique intègre le calcul, la visualisation et la programmation dans un environnement facile à utiliser où les problèmes et les solutions sont exprimées dans une notation mathématique familière. Les utilisations typiques incluent : -

Mathématiques et calculs Développement d'algorithmes L'acquisition des données Modélisation, simulation et prototypage Analyse, exploration et visualisation des données Graphiques scientifiques et techniques Développement d'applications, y compris la construction d'interfaces utilisateur graphiques

MATLAB est un système interactif dont l'élément de données de base est un tableau qui ne nécessite pas de dimensionnement. Il vous permet de résoudre de nombreux problèmes informatiques techniques, en particulier ceux qui ont des formulations matricielle et vectorielle, dans une fraction du temps qu'il faudrait pour écrire un programme dans un langage scalaire non interactif tel que C ou Fortran. Lors de son lancement, Matlab apparait sous forme d’un environnement avec plusieurs fenêtres et ceci suivant la version. Dans ce fascicule de travaux pratique nous utilisons la version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 fevrier 2009. La configuration principale par défaut du menu de Matlab est la suivante :

TP N°1 : Lancement de MATLAB

Page 5

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Barre des menus Barre des Boutons

Etat des variables en mémoire Repertoire courant

Fenêtre des commandes

Historique des commandes

Sous sa forme standard (par défaut), l’environnement Matlab est constitué par 4 fenêtres et qui sont les suivantes : « command window » : c’est la fenêtre principale ou sont exécutées toutes les commandes et là où tous les résultats sont affichés  Taper dans cette fenêtre a=1 et appuyer sur entrer Nous venons d’associer à la variable a la valeur 1. « work space » : c’est la fenêtre dans laquelle on affiche toutes les variables qui sont en mémoire tout en indiquant leur caractéristiques (type, dimension, valeur etc….)

Chaque variable possède plusieurs caractéristiques et chaque utilisateur peut modifier l’affichage des caractéristiques en fonction de son besoin. Parmi les caractéristiques des variables on distingue :

TP N°1 : Lancement de MATLAB

Page 6

ISET DE SFAX

-

-

Atelier de Mathématique

« name » : c’est le mon de la variable tel qu’il est définie dans la mémoire. Il est intéressant que clarifier que Matlab différencie entre le caractère en majuscule et celles en minuscule. Exemple a et A sont deus variables complètement différentes « value » : c’est la valeur de la variable « size » : dimension de la variable. Exemple la dimension de la variable « a » qui parait sur la figure est 1x1 c’est à dire une matrice qui possède une ligne et une colonne. « bytes » : c’est l’espace mémoire en octet occupé par la variable « classe » : c’est la classe ou simplement le type de la variable. Exemple : complexe, chaine de caractère, matrice etc… « min » et « max » c’est la valeur minimale et maximale de la variable.

« current directory » : c’est le répertoire courant, ou le répertoire de travaille. Toute fonction ou programme enregistré ne peut être exécuté que s’il est placé dans ce répertoire. « command history » : dans cette fenêtre on retrouve un historique de toutes les commandes exécutées. L’utilisateur peut ré-éxécuter une commande à partir de l’historique simplement en cliquant dessus.

3. Aperçu sur le Help Le « help » de MATLAB peut être consulté de deux façons différentes, soit en exécutant la commande « help » dans « commande window » ou en appuyant sur le boutons « f1 » du clavier pour faire appel au navigateur de MATLAB.  Exécuter la commande « help » dans la fenêtre « command window »

TP N°1 : Lancement de MATLAB

Page 7

ISET DE SFAX

-

Atelier de Mathématique

Le « help » de Matlab est constitué de plusieurs rubriques. Chaque rubrique contient plusieurs fonctions prédéfinies. Compte tenu du nombre important de fonctions existantes, ces dernières sont réparties suivant des familles correspondant à des domaines différents. A titre d’exemple, nous consulterons la rubrique des fonctions mathématique élémentaire baptisée « elfun ».

En cliquant sur le lien « matlab\elfun » nous retrouvons les fonctions mathématiques élémentaires réparties par les familles suivantes : -

Les fonctions trigonométriques Les fonctions exponentielles Les fonctions complexes Etc….

Le « help » de Matlab est doté d’un navigateur très puissant qui nous permet une recherche facile des fonctions mathématiques tout en décrivant leur mode d’utilisation. Exemple :  appuyer sur le bouton « f1»  cliquer sur le lien « open help browser » (en bas et à gauche de la fenêtre) Le navigateur d’aide s’ouvre en mode navigation et le curseur clignote dans le champ de recherche.

TP N°1 : Lancement de MATLAB

Page 8

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

On se propose de demander de l’aide sur la fonction sinus et son mode d’utilisation  écrire « sin » dans le champ de recherche Le résultat obtenu est la fenêtre suivante :

Mot clé à chercher

Résultat de la recherche

Description du résultat

 Reprendre l’exemple décrit dans le « help » pour la représentation graphique de la fonction sinus.  copier les deux lignes représentant la commande qui permet de représenter la fonction sinus entre –π et π  coller dans « command window » et vérifier que nous obtenons la même courbe.  exécuter de nouveau cette même commande pour représenter la fonction sinus sur l’intervalle 0 et 4π  Refaire le même travail en effectuant une recherche sur la fonction cosinus.

TP N°1 : Lancement de MATLAB

Page 9

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la recherche scientifique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

TRAVAUX PRATIQUES N°2

Les variables sous MATLAB OBJECTIFS • • •

Définir les types usuels des variables Maitriser les caractéristiques des variables sous « work space » Apprendre à introduire différents types de variables

CRITERES D'EVALUATION • • •

saisie correct. Méthode de travail de l'étudiant. Exactitude des résultats.

MOYENS •

•

Micro-ordinateur Logiciel MATLAB version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 février 2009.

Durée •

3 heures

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1. Introduction Matlab gère d’une façon automatique les nombres entiers, réels, complexes etc… de façon indifférente. Aucune déclaration au préalable n’est nécessaire (contrairement à PASCAL). Toutes les variables numériques sont considèrées comme étant des matrices. Durant ce TP nous nous intéresserons à apprendre comment introduire sur MATLAB des variables, numériques, des chaines de caractères, les matrices, les vecteurs etc….

2. Les variables réelles  Exécuter les commandes suivantes dans la fenêtre des commandes et vérifier le résultat obtenu :

Nous vérifions bien la création d’une variable dans « work space »

Par défaut MATLAB affiche les nombres décimaux à quatre chiffres après la virgule

Si on veut afficher le résultat avec plus de nombre de chiffre après la virgule, nous exécutons alors la commande « format long »  Taper dans la fenêtre des commandes « format long » ensuite exécuter les commandes suivantes :

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 11

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Pour revenir au mode d’affichage standard à 4 chiffres après la virgule, on exécute la commande suivante :

On vérifie que « a » est une variable existante dans la mémoire de MATLAB et disponible dans la fenêtre « work space » et ayant la valeur 1

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 12

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

« A » est une variable non identifié par MATLAB Conclusion : MATLAB différencie bien entre les caractères en majuscule et celle en minuscule En consultant « work space » nous constatons qu’il n’y a pas de variable intitulé pi. pi est une constante prédéfinie sur MATLAB  Modifier la valeur de « a » à partir de « work space » (a=5)

 supprimer « a » à partir du « work space »

Conclusion : La variable « a » n’est plus en mémoire

C’est équivalent à 3,78 .105

3. Les chaines de caractères  Introduire une variable sous forme d’une chaine de caractère intitulé « nom » contenant un nom et prénom.

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 13

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Consulter « Works pace » pour voire les nouvelles caractéristiques de la variable « nom »

4. Les variables complexes  Introduire une variable complexe z tel que z=3-2i

 Consulter « work space » pour identifier le type de la variable z i est l’opérateur complexe qui est identifié par MATLAB et prédéfini sans aucune déclaration préalable. Pour confirmer ça, nous exécutons les commandes suivantes :

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 14

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

5. Les matrices et les vecteurs D’une façon générale les matrices, les vecteurs ou les variables réels ou même complexes appartiennent à un même type de variables « double » ils se différentient uniquement par leur dimensions « size ».  Introduire les variables suivantes :  1    u =  3  ; v = (4  −1  

−1

2)

 1  et A =  − 1  4 

2  3 0 

Pour introduire un vecteur colonne, nous séparons les coefficients par des points virgules

Pour introduire un vecteur ligne, nous séparons les coefficients par des virgules ou par des blancs.

Un coefficient d’une matrice est identifié par sa position dans la matrice. C'est-à-dire par son numéro de ligne et son numéro de colonne Exemple :  Exécuter sur MATLAB les commandes qui permettent d’identifier les coefficients suivants :

1  1 2     u =  3  ; v = ( 4 −1 2) et A =  −1 3   −1  4 0     u (2)

v (3)

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

A (1, 2)

A (2,1)

Page 15

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

u est un vecteur comportant 3 coefficients. Nous essayons de demander à Matlab le coefficient N°4. On en demandera aussi pour A un coefficient hors de ses dimensions  Exécuter les commandes suivantes :

Il est évident qu’un message d’erreur apparait vu que nous avons demandé à MATLAB des coefficients qui dépassent les dimensions de leurs variables.  Ajouter sur « work space » u(4)= 5 et A(3,3) = 26 et vérifier de nouveau leurs valeurs

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 16

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

 Introduire un vecteur u1 (1 2

3 4 5)

 Autre méthode plus simple

 Créer le vecteur u2 contenant les nombres compris entre 1 et 100

 Introduire le vecteur u3 contenant les nombres impaires compris entre 1 et 100

2 est le pas d’incrémentation >> u3=1 :2 :100  Créer le vecteur u4 contenant les nombres paires compris entre 1 et 100 >> u4=0 :2 :100 >> u5=0 :0.1 :100 >> u6=0 :0.01 :100 >> u7=0 :0.001 :1000 ;

le « ; » est utilisé pour ne pas afficher le résultat de la commande

 Créer la matrice d’identité d’ordre 2 >> Id2=[1 0 ;0 1] Id2 = TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 17

ISET DE SFAX

1

0

0

1

Atelier de Mathématique

>> Id3=eye(3) Id3 = 1

0

0

0

1

0

0

0

1

>> Id5=eye(5) Id5 = 1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

 Créer une matrice UN de dimension 4x4 contenant des 1 >> UN=ones(4) UN = 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 Créer une matrice UN36 de dimension 3x6 contenant des 1 >> UN36=ones(3,6) UN36 = 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 Créer une matrice Z58 de dimension 5x8 contenant des 0 TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 18

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

>> Z58=zeros(5,8) Z58 = 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

 11 12 13     Définir la matrice suivante A =  21 22 23   31 32 33    >> A=[11 12 13 ;21 22 23 ;31 32 33] A= 11

12

13

21

22

23

31

32

33

 Extraire le vecteur B de la 1ere colonne de la matrice A

>> B=A( :,1) B= 11 21 31  Extraire le vecteur C de la 2eme ligne de la matrice A

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 19

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

>> C=A(2,:)  Extraire la matrice D constituée par les deux colonnes 2 et 3 de la matrice A

 11 12 13    A =  21 22 23   31 32 33    >> D=A( :,2:3) D= 12

13

22

23

32

33

 Extraire la matrice E constituée par les lignes 2 et 3 et les colonnes 1 et 2 de la matrice A

>> E=A(2 :3,1 :2) E= 21

22

31

32

 Extraire la matrice G représentant la diagonale de la matrice A

>> E=diag(A) E= TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 20

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

11 22 33

TP N°2 : Les variables sous MATLAB

Page 21

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la recherche scientifique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

TRAVAUX PRATIQUES N°3

Les opérations arithmétiques et logiques OBJECTIFS • • • •

Maitriser le calcul arithmétique et logique Savoir transformer un système d’équations en écriture matricielle Maitriser les dimensions des variables Ecrire un programme sur l’éditeur réalisant un ensemble d’opération arithmétique

CRITERES D'EVALUATION • • •

saisie correct. Méthode de travail de l'étudiant. Exactitude des résultats.

MOYENS •

•

Micro-ordinateur Logiciel MATLAB version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 février 2009.

Durée •

3 heures

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1. Introduction Dans cette partie, nous nous intéressons à faire du calcul arithmétiques et logiques sur les variables sous MATLAB. Nous traiterons particulièrement l’addition, la soustraction, la multiplication la division et quelques fonctions logiques usuelles

2. L’addition 1   Introduire les deux vecteurs suivants : u  2  , et  3  

 −1    v 5   2  

>> u = [1 ;2 ;3] >> v = [-1 ;5 ;2]

>> w = u + v

L’addition élément par élément sous condition que les deux vecteurs soient de la même dimension

3. La soustraction

>> w = u - v

La soustraction élément par élément sous condition que les deux vecteurs soient de la même dimension

4. La multiplication >>w1 = u * v Error Le produit des vecteurs ou des matrices ne peut se faire que si les deux vecteurs ou matrices soient en accords. (il faut que le nombre de colonne de la 1ere matrice soit égale au nombre de colonne de la 2eme matrice).

>> w1=u .* v >> ut = u’

La multiplication élément par élément sous condition que les deux vecteurs soient de la même dimension u’ est le transposé du vecteur u

1x3 ut (1 2 3) >> M = v * ut

 −1 −1 −2 −3 v  5  5 10 15 2 2 4 6   3x1

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 23

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

3x1

>> L = ut * v

 −1   v 5  2   ut (1 2 3) 15 1x3

1x1

Soient les matrices suivantes :

1 2 5 6  2 4 M = ; N =   et Q   3 4 7 8 6 8 >> M = [1 2 ;3 4] >> N = [5 6 ;7 8] >> Q = [2 4 ;6 8] On souhaite calculer P = M . N − 1

P = M . N-1

>> P = M * inv(N) >> P = M * inv(N)

>> P = M/N

>> P = M/N −1

On souhaite calculer P1 = M .N >> P1 = inv(M) * N

>> P = inv(M) * N

>> P1 = M\N

>> R = M./Q

P1 = M-1 . N >> P = M\N

C’est la division des éléments de M sur les éléments de Q

R= 0.5 0.5 0.5 0.5

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 24

ISET DE SFAX

>> R1 = M.\Q

>> R1 = Q./M

Atelier de Mathématique

C’est la division des éléments de Q sur les éléments de M

Conclusion :

M.\Q = Q./M

Exercice 1 Résoudre le système d’équations suivant :

 2 x + 3 y = −5   3x = 8 Solution Ce système peut être écrit sous la forme matricielle suivante :

 2 3   x   −5    .  =    4 0  y   8  Sous le forme :

A.X = B Avec :

 2 3  x  −5  A=  ; X =   et B =    4 0  y 8 Sachant que X est l’inconnu, et on multipliant les deux termes de l’équation par A-1, on obtient : A − 1 . A. X = A − 1 B ce qui donne

X = A −1 B

Pour résoudre ça sous MATLAB, on exécute alors les commandes suivantes : >>A = [2 3 ; 4 0]

A= 2 3 4 0 >>B = [-5 ; 8]

B= −5 8

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 25

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

>>X = A\B

X = 2 −3 Exercice N°2 Résoudre le système d’équations suivant :

2 x − 3 y + 4 z = 8   2y − z =1  5 x + 3z = 14  Solution : Ce système peut être écrit sous la forme matricielle suivante :  2 −3 4   x   8         0 2 −1 .  y  =  1   5 3 14   z   14  1 44 2 4 43  { { X

A

B

Sous MATLAB, on exécute alors les commandes suivantes : >> A = [2 -3 4 ; 0 2 -1 ; 5 3 14]

A= 2 −3 4 0 2 −1 5

3

14

>> B = [8 ; 1 ; 14]

B= 8 1 14 >> X = A\B

X= 1.000 2.000 3.000

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 26

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

5. les opérations logiques Fonction

syntaxe

symbole

a

b

a+b

a.b

a⊕b

OU

or

|

0

0

0

0

0

ET

and

&

0

1

1

0

1

NON

not

~

1

0

1

0

1

Ou exclusif

xor

1

1

1

1

0

>> or(0,0) >> or(0,1) >> or(1,0) >> or(1,1) On vérifie la table de vérité de la fonction OU en appliquant le symbole approprié >>0|0 >> 0|1 >> 1|0 >> 1|1 Vérification de la fonction ET >> and(0 , 0) >> and(0 , 1) >> and(1 , 0) >> and(1 , 1) Ou en utilisant le symbole de la fonction ET >> 0&0 >> 0&1 >> 1&0 >> 1&1 De la même façon on vérifie la fonction NON TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 27

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

>> not(0) >> not(1) En utilisant le symbole >> ~0 >> ~1 La vérification de la fonction « Ou exclusif » est la suivante : >> xor(0,0) >> xor(0,1) >> xor(1,0) >> xor(1,1)

6. Syntaxe de branchement if

…….. elseif …….. eslse ……… end

Exemple Nous souhaitons écrire une routine sous MATLAB pour comparer deux variable a et b, le résultat sera sur la variable c Algorithme Si a > b

alors c = 10

Sinon si a = b alors c = 100 Sinon c = 1000  Tester sur MATLAB cet algorithme avec les 3 cas possibles: 1er cas a=1, b=0 >> a=1;b=0 >> if a > b c=10 elseif a == b c=100 eslse c=1000 TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 28

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

end  reprendre la même routine en introduisant ( a= 1, b=1) ensuite (a=0, b=1)

7. Exercice Ecrire sous l’éditeur de MATLAB un programme .m permettant de résoudre une équation de second degré de la forme ax 2 + bx + c = 0 Solution

-

Algorithme Effacer l’écran et la mémoire Introduire les valeurs de a, b et c Calculer D = b 2 − 4 ac

-

 −b − D  x1 =  2a Si D > 0 alors afficher « 2 racines réelles » et calculer   x = −b + D  2 2a

-

Si non si D = 0 alors afficher « 1 seule racine double » et calculer x =

-

-

−b 2a

 −b − i D  x1 = 2a Si non afficher « 2 racines complexes conjuguées » et calculer  −b + i D   x2 = 2a  Fin

Sur l’éditeur de MATLAB on écrit ce qui suit :

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Page 29

ISET DE SFAX

TP N°3 : Les opérations arithmétiques et logiques

Atelier de Mathématique

Page 30

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la recherche scientifique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

TRAVAUX PRATIQUES N°4

Calcul sur les polynômes OBJECTIFS • • •

calculer le produit des polynômes Trouver les racines d’un polynôme Décomposition en éléments simples

CRITERES D'EVALUATION • • •

saisie correct. Méthode de travail de l'étudiant. Exactitude des résultats.

MOYENS • •

Micro-ordinateur Logiciel MATLAB version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 février 2009.

Durée •

3 heures

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1. Racines d’un polynôme Soit P(x) un polynôme d’ordre n qui s’écrit sous la forme de :

p(x) = an .xn + an−1.xn−1 + ..... + a1.x + a0 P(x) admet n racines et peut s’écrire sous la forme suivante :

p( x) = ( x − r1 ).( x − r2 )....( x − rn ) Sur MATLAB la fonction « roots » nous permet de déterminer les racines du polynôme P (x) d’ordre n par simples connaissance des n+1 coefficients. La méthode consiste à introduire un vecteur p contenant les n+1 coefficients de P(x) par ordre décroissant en degré de x tel que :

p = [ an , an−1,...., a1, a0 ] Exemple 1 Chercher les racines du polynôme

p1 ( x) = 2x2 − 5x + 3

Exemple 2 Chercher les racines du polynôme

p2 (x) = x2 − 4x + 4

Exemple 3 Chercher les racines du polynôme TP N°5 : Calcul sur les polynômes

p3 (x) = x2 − 4x + 5 Page 32

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Exemple 4 Chercher les racines du polynôme

p4 (x) = x5 + x4 − 9x3 −13x2 + 8x +12

Exemple 5 Chercher les racines du polynôme

p5 ( x) = x5 + 3x3 + 4x2 − 2x +1

Il est à remarquer que p5(x) est un polynôme d’ordre 5. Il a alors 6 coefficients et admet 5 racines. Il est à remarquer aussi que le coefficient de x4 est nul. Lors de la saisie du vecteur p5 on ne doit pas oublier le « 0 » comme étant le coefficient de x4

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 33

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

2. Calcul d’un polynôme à partir de ses racines La fonction « poly » nous permet de déterminer un vecteur contenant les coefficients d’un polynôme à partir de la connaissance de ses racines. Sur MATLAB on commence par introduire un vecteur contenant les racines de ce polynôme. Exemple 1 Retrouver un polynôme

C'est-à-dire

p1(x) ayant pour racines r1 = [1,2]

p1 ( x) = x2 − 3x + 2

Exemple 2

[

Retrouver un polynôme p2 ( x) ayant pour racines r2 = 2, 2,3, −5

C'est-à-dire

]

p2 (x) = x4 − 2x3 −19x2 + 68x − 60

Exemple 3

[

]

Retrouver un polynôme p3 (x) ayant pour racines r3 = 2 + i, 2 − 3i,5

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 34

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

3. Produit des polynômes On considère deux polynômes p1(x) et p2(x) tel que :

p1 ( x ) = a1 x 2 + b1 x + c1 et p 2 ( x ) = a 2 x 2 + b2 x + c 2 Calculons p ( x ) le produit des deux polynômes p1 ( x) par p2 ( x)

p ( x ) = p1 ( x ). p 2 ( x )

= ( a1 x 2 + b1 x + c1b ) . ( a 2 x 2 + b2 x + c 2 ) = a1 a 2 x 4 + ( a1b2 + b1 a 2 ) x 3 + ( a1c 2 + b1b2 + c1a 2 ) x 2 + ( b1c 2 + c1b2 ) x + c1c 2

Sur MATLAB, nous introduisons les deux vecteurs p1 et p2 qui contiennent les coefficients de p1 ( x) et p2 ( x) . Pour obtenir les coefficients de p ( x ) on effectue le produit de convolution des deux vecteurs p1 et p2. Le résultat obtenu est un vecteur p qui contient les coefficients de p ( x ) . Exemple1 Soient : p1 ( x) = x − 2 et  Calculer

p2 ( x) = x −1

p(x) = p1(x). p2 (x)

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 35

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

C'est-à-dire p( x) = ( x − 2) . ( x − 1) = x − 3x + 2 2

Exemple 2

(

)(

Calculer 3 x 2 − 5 x + 2 . x 2 + 3 x + 8

(

)

)(

)

C'est-à-dire 3 x 2 − 5 x + 2 . x 2 + 3 x + 8 = 3 x 4 + 4 x 3 + 11x 2 − 34 x + 16

4. Décomposition en éléments simples Soient les deux polynômes suivant N(x) et D(x) :

N ( x ) = a n x n + an −1 x n −1 + .... + a1 x + a0

D ( x ) = bm x n + bm −1 x m −1 + .... + b1 x + b0 Décomposer en élément simples N ( x ) c’est l’écrire sous forme de sommes de plusieurs fractions D ( x) rationnelles tel que :

N ( x ) am x m + am −1 x m −1 + .... + a1 x + a0 = D( x) bn x n + bn −1 x n −1 + .... + b1 x + b0 =

r r1 r + 2 + .... + n + k ( x ) x − p1 x − p2 x − pn

p1 , p2 ,....., pn représentent les pôles (racines) du polynôme D(x)

k ( x ) est le polynôme résiduel de la division de N(x) par D(x)

5. Exemples Exemple 1 On considère la fraction rationnelle suivante :

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 36

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

N1 ( x) −2 x3 − 22 x 2 − 60 x − 84 = D1 ( x) x 4 + 13x3 + 49 x 2 + 27 x − 90 1- Sans faire de calcul quel est le nombre de pôles obtenu lors de la décomposition de

N 2 ( x) D2 ( x)

en éléments simples. Evaluer aussi le polynôme résiduel k(x). 2- décomposer

N 2 ( x) en éléments simples D2 ( x)

Exemple : 2 On considère la fraction rationnelle suivante :

N 2 ( x) 5 x 4 + x3 − 63 x 2 + 68 x − 41 = D2 ( x) x 3 − 13x + 12 1- sans faire de calcul, quel est le nombre de pôles obtenu lors de la décomposition de

N 2 ( x) D2 ( x)

en éléments simples et quel est le 1er coefficient du polynôme résiduel k(x). 2- décomposer

N 2 ( x) en éléments simples D2 ( x)

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 37

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Exemple : 3 On considère la fraction rationnelle suivante :

N 3 ( x ) 2 x 4 + 9 x 3 − 36 x 2 − 167 x + 150 = D3 ( x ) x 4 + 4 x 3 − 17 x 2 − 24 x + 36 1- Sans faire de calcul quel est le nombre de pôles obtenu lors de la décomposition de

N 2 ( x) D2 ( x)

en éléments simples. Evaluer aussi le polynôme résiduel k(x). 2- décomposer

N 2 ( x) en éléments simples D2 ( x)

TP N°5 : Calcul sur les polynômes

Page 38

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la recherche scientifique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

TRAVAUX PRATIQUES N°5

Représentation graphique OBJECTIFS • • • •

Représenter graphiquement une fonction mathématique Représenter la dérivée d’une fonction sans faire de calcul de sa dérivée Trouver les racines d’une fonction non linéaire à partir de son graphe Calcul d’intégrale d’une fonction

CRITERES D'EVALUATION • • •

saisie correct. Méthode de travail de l'étudiant. Exactitude des résultats.

MOYENS • •

Micro-ordinateur Logiciel MATLAB version 8.8.0.347 (R2009a) du 12 février 2009.

Durée •

3 heures

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1. Représentation graphique d’une fonction 1.1. utilisation de la fonction « plot » La fonction « plot » nous permet de représenter graphiquement une fonction à partir de la connaissance de son tableau de valeur Exemple On désire représenter la fonction

f ( x) = 2x2 − 5x + 3 entre l’intervalle [-1 , 4 ]

1- compléter les tableaux de valeur suivant

x y=f(x)

-1

0

1

2

3

4

2- construire un vecteur x qui contient les abscisses 3- construire un vecteur y qui contient les ordonnées 4- utiliser la fonction « plot » pour représenter y en fonction de x Solution : 1- Sachant que f(x) est un polynôme on commence sur MATLAB à définir un vecteur p contenant les coefficients de de f(x) Pour chercher y = f(x) en un point nous utilisons la fonction « polyval » qui consiste à calculer la valeur d’un polynôme en un point x.

TP N°5 : représentation graphique

Page 40

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

2- construction du vecteur x

3- construction du vecteur y

4- représentation de y en fonction de x en utilisant la fonction « plot »

TP N°5 : représentation graphique

Page 41

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Nous remarquons que la courbe n’est pas suffisamment lisse, et pour l’améliorer nous devrons augmenter le nombre de points utilisés pour la représenter.  Représenter graphiquement la fonction

TP N°5 : représentation graphique

Page 42

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

1.2. utilisation de la fonction « fplot » la fonction « fplot » nous permet de représenter une fonction mathématique définie sur un intervalle sans faire recours aux couple de coordonnées (x,y) Exemple :2 2 Représenter graphiquement la fonction f 2 ( x ) = 2 x − 5 x + 3 sur l’intervalle [ 0 2 ]

Nous allons créer sur MATLAB une fonction intitulée f2.m tel que :

La fonction « fplot » est utilisée de la façon suivante :

TP N°5 : représentation graphique

Page 43

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

6 5 4 3 2 1 0 -1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2eme Méthode La fonction « fplot » peut être exécuté directement sur la fenêtre de commande sans avoir besoin de créer une fonction f2.m

6 5 4 3 2 1 0 -1

0

0.5

1

TP N°5 : représentation graphique

1.5

2

2.5

3

Page 44

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Exemple 2 Représenter la courbe de la fonction f 3 ( x ) = sin( x ) +

cos( x ) sin(5 x ) sur l’intervalle [ 0 2π ] − 2 5

On commence alors par créer une fonction sur MATLAB intitulée f3.m

2

1

0

-1

-2

0

1

2

3

4

5

6

Exemple 3 Représenter la courbe de la fonction f 4 ( x ) =

4 sur l’intervalle [ 0 x +1 2

1]

On commence par définir une fonction f4.m sous MATLAB

TP N°5 : représentation graphique

Page 45

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2. Représentation graphique de la dérivée d’une fonction MATLAB nous permet de représenter la courbe de la dérivée d’une fonction sans avoir besoin de calculé la fonction dérivée. La méthode consiste à calculer dans une première étape les

yi

tel que :

yi = f (xi ) Ensuite f’(xi) est calculée tel que : f '( x i ) = f ( x i + 1 ) − f ( x i ) x i +1 − x i

D’une façon générale pour représenter la courbe de la dérivée d’une fonction, il suffit de remplir le tableau de valeur suivant : x

x1

x2

x3

..

xn−1

xn

y

f (x1)

f (x2)

f (x3)

..

f (xn+1)

f (xn)

f '( x )

f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

f ( x3 ) − f ( x 2 ) x3 − x 2

f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

..

f ( x n ) − f ( x n −1 ) x n − x n −1

X

Exemple : On considère la fonction suivante : f 3 ( x ) = sin( x ) +

cos( x ) sin(5 x ) − 2 5

'

Représenter la courbe de f3 ( x) entre l’intervalle [0,2π]. TP N°5 : représentation graphique

Page 46

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Nous remarquons bien qu’un message d’erreur a été affiché pour signaler que les deux vecteurs x et dy n’ont pas la même longueur. Ceci est confirmé par « work space ». La longueur du vecteur x est de 629 alors que y est de longueur 628 en effet la dernière valeur du vecteur dy ne peut pas être calculé comme c’est bien indiqué sur le tableau de valeur précédent. Pour cela il suffit de représenter

f3' (x)

avec 628 points.

TP N°5 : représentation graphique

Page 47

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Pour pouvoir observer les courbes simultanément on exécute la commande suivante :

3. Racine d’une fonction non linéaire La détermination des zéros d'une fonction f(x) revient à résoudre l’équation f(x)=0. Dans cette partie nous présentons une fonction sur MATLAB qui nous permet de trouver avec une approximation qui peut atteindre les 10-10 . Exemple : Résoudre l’équation suivante :

f (x) = −6 + 2x + sin(x2 ) Dans une première étape nous représentons la courbe de la fonction

TP N°5 : représentation graphique

f ( x) entre [0 5].

Page 48

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Nous remarquons que la fonction f(x) coupe l’axe Ox en 3 points différents. La fonction f(x) admet alors 3 zeros.  Cliquer sur le boutons « data cursor » et placer la sourie sur les 3 intersections de la courbe de f(x) avec l’axe des x. les valeurs de x obtenues représentent les zeros de f(x). Nous utilisons la fonction « fzero » pour chercher le zero de f(x) à proximité d’une valeur de x. D’après la courbe f(x) s’annule à proximité de x1 = 2.5 On écrit alors :

On cherchera de même l’annulation de f(x) à proximité de x2=3 et x3= 3.5

TP N°5 : représentation graphique

Page 49

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

4. Calcul d’intégrale L’intégrale d’une fonction est un résultat mathématique représentant l'aire située entre une fonction et l’axe des abscisses. Il est possible de calculer des intégrales de manière numérique à l'aide de formules de quadrature telles que la méthode de Simpson Matlab dispose d’une fonction permettant de calculer l’intégrale avec une approximation de 10-6 par la méthode de quadrature de SIMPSON. Cette fonction est intitulée « quad » Exemple : Soit la fonction suivante :

f4 ( x) =

4 x +1 2

[

1- représenter la courbe de f4 (x) sur l’intervalle 0 2- estimer graphiquement I = 3- Calculer I =



1

0



1

0

1]

f4 ( x).dx par la méthode de calcul d’aire.

f4 ( x).dx sur MATLAB en utilisant la fonction « quad »

4- Comparer I et π en calculant I- π. Conclure sur la précision de I 5- Calculer I avec une précision de 10-10. Calculer de nouveau I- π. conclure Solution

[

1- Représentation de la courbe de f4 (x) sur l’intervalle 0

TP N°5 : représentation graphique

1]

Page 50

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2- En estimant la surface formée par la courbe de F4 et l’axe des abscisses On trouve que cette surface est légèrement supérieure à 3 comme c’est illustré sur la figure suivante : 4 3.5 3 S1= (4-2)*1/2=1

2.5 2 1.5 1

S2=2*1=2

0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3- La fonction quad est utilisée de la façon suivante :

TP N°5 : représentation graphique

Page 51

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

4- Calculons I- π

Nous remarquons que I est calculé avec une précision qui atteint 10-8 5- Pour augmenter la précision de calcul de l’intégrale on exécute la fonction « quad » de la manière suivante

Nous remarquons que la précision de I a remonté jusqu’à 10-16

TP N°5 : représentation graphique

Page 52

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique

Evaluation N°1

Atelier Mathématique Classe: Durée: Enseignant :

Informatique 30mn Slim HACHICHA

Exercice 1 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soit le système d’équations suivants à 4 inconnus :

 −9 x + y + z + 2t = −5  x    8 x − 5 y + 3t = 6 y  de la forme : A. X = B Avec X =    z  4 x − y − 5 z − 2t = −4    9 y − 3t = 6 t C

1/ Résoudre ce système d’équations en déterminant X 2/ Extraire la matrice C qui représente les 3 premières lignes et les 3 dernières colonnes de la matrice A 3/ Calculer la matrice D = C − 3.I 3 sachant que I3 est la matrice identité d’ordre 3 4/ calculer le déterminant de D Exercice 2 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soient les fonctions suivantes :

f ( x) = x3 − 2 x 2 − 5x + 6 et g ( x) = x + 1 1- Déterminer P1 et P2 les vecteurs qui contiennent respectivement les coefficients des polynômes f ( x) et g ( x) 2- Sachant que h( x) = f ( x).g ( x) Calculer P le vecteur qui contient les coefficients du polynôme h( x) 3- Déterminer R le vecteur qui contient les racines de h( x) 4- Décomposer en éléments simples

g ( x) f ( x)

5- Représenter sur un même graphe et avec différentes couleurs 10] avec un pas de 0,01 6- Calculer I =



4

2

f ( x).dx

Page 53

f ( x) et f '( x) sur l’intervalle [-10

ISET DE SFAX

Evaluation N°1- Correction Exercice N°1 >> A=[-9 1 1 2;8 -5 0 3;4 -1 -5 2;0 9 0 -3]

Atelier de Mathématique

P1 =

800 600

1 -2 -5

400

6

200 0 -200

>> P2=[1 1]

-400

A=

-600

P2 = -9 1 1 2 8 -5 0 3 4 -1 -5 -2 0 9 0 -3 >> B=[-5;6;-4;6]

-1200 -10

1

>> X=A\B X= 1 1 1 1 >> C=A(1:3,2:4)

1

I=

P=

4.6667

1 -1 -7

1

6

>> R=roots(P) R= 3.0000 1.0000 -2.0000 -1.0000 >> [r,p,k]=residue(P2,P1) r= 0.4000 -0.0667 -0.3333

C= 1 1 2 -5 0 3 -1 -5 -2 >> D=C-3*eye(3)

p= 3.0000 -2.0000 1.0000

D= k= -2 1 2 -5 -3 3 -1 -5 -5 >> det(D) ans =

-8

-6

-4

-2

>> I=quad('f',2,4)

>> P=conv(P1,P2)

B= -5 6 -4 6

-800 -1000

[] >> x=-10:0.1:10; >> y=f(x); >> plot(x,y,'r',x(1:length(x)1),dy,'b');grid

-44 Exercice N°2 >> P1=[1 -2 -5 6] Page 54

0

2

4

6

8

10

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Evaluation N°2

Atelier Mathématique Classe: Durée: Enseignant :

Informatique 30mn Slim HACHICHA

Exercice 1 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soient :

A = ( −1 4 3 7 ) et B = ( 5 −6 3 −1) 1- Calculer C le transposé de B 2- Calculer D = C. A 3- Calculer E = D − 3.I 4 sachant que I 4 est la matrice identité d’ordre 4

 x  −126      y 164    et F = . Résoudre E. X = F 4- Sachant que X = z  −66      t  42  Exercice 2 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soient les fonctions suivantes :

f1 ( x) = x 2 − x − 2 f 2 ( x) = x 2 + 4 x 1- Définir P1 et P2 les vecteurs qui contiennent les coefficients des polynômes f1 ( x) et f 2 ( x) 2- Calculer P le vecteur qui contient les coefficients f ( x) = f1 ( x). f 2 ( x) 3- Calculer R le vecteur qui contient les racines du polynôme f ( x) 4- Décomposer en élément simple

1 f ( x)

5- Représenter graphiquement f ( x) entre l’intervalle [-3 3] 6- Calculer I =



3

−3

f ( x).dx Page 55

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Evaluation N°2 -correction Ecercice N°1 >> A=[-1 4 -3 7] A= -1

4 -3

-1.0000 -2.0000 -3.0000 -4.0000 Exercice N°2 >> P1=[1 -1 -2]

>> x=-3:0.01:3; >> y=polyval(P,x); >> plot(x,y);grid

100

7

80

P1 =

60

>> B=[5 -6 3 -1]

40

1 -1 -2

20

B=

0

>> P2=[1 4 0] 5 -6

3 -1

-20

P2 =

-40 -3

-2

-1

0

>> C=B' 1

4

0

C=

>> I=quad('x.^4+3*x.^36*x.^2-8*x',-3,3)

>> P=conv(P1,P2) 5 -6 3 -1

P= 1

I= 3 -6 -8

>> D=C*A

>> R=roots(P)

D=

R=

-5 6 -3 1

20 -24 12 -4

-15 35 18 -42 -9 21 3 -7

0

0 -4.0000 2.0000 -1.0000

>> E=D-4*eye(4)

>> [r,p,k]=residue([1],P)

E=

r=

-9 6 -3 1

20 -28 12 -4

-15 35 18 -42 -13 21 3 -11

-0.0139 0.0278 0.1111 -0.1250

>> F=[ -126;164;-66;42] p= F= -126 164 -66 42 >> X=E\F X=

-4.0000 2.0000 -1.0000 0

k= [] Page 56

-10.8000

1

2

3

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Sfax Département Informatique

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Evaluation N°3

Atelier Mathématique Classe: Durée: Enseignant :

Informatique 30mn Slim HACHICHA

Exercice 1 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soient

 2 3 −4  A = ( 2 −1 8) et B =  −1 1 8  7 5 6   1/ Calculer C = A.B 2/ Calculer D le transposé de A. 3/ Calculer E = B.D et F = A.E Exercice 2 Répondre sur l’interface « command window » aux questions suivantes : Soit le système d’équations suivantes à 3 inconnus :

2 x − 3 y + 4 z = 8   2y − z =1  5 x + 3 z = 14  Ce système d’équation peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :

A. X = B  x   Avec X =  y  z   1/ déterminer la matrice A et le vecteur B 2/ résoudre ce système d’équation en déterminant le vecteur X

Page 57

ISET DE SFAX

Evaluation N°3 - Correction Exercice N°1 >> A=[2 -1 8]

Atelier de Mathématique

D=

2 -3 4 0 2 -1 5 0 3

2 -1 8

>> X=[1;2;3]; >> B=A*X

A= >> E=B*D 2 -1

8

B= E=

>> B=[2 3 -4;-1 1 8;7 5 6] -31 61 57

B= 2 -1 7

8 1 14

3 -4 1 8 5 6

>> Y=A\B >> F=A*E Y= F=

>> C=A*B

1.0000 2.0000 3.0000

333 C= 61 45 32 >> D=A'

Exercice N°2 >> A=[2 -3 4;0 2 -1;5 0 3] A=

Page 58

>>

ISET DE SFAX

Atelier de Mathématique

Page 59