Nacrtna geometrija za II razred tehničkih škola [PDF]

Zitiervorschau

s-

NACRTNA

GEOMETRIJA ZA II RAZRED TEHNICKIH SKOLA

)r

dr JURAJ JUSTINlJANOVIC ~------------;

~Vj Sesto

!Zdanje

" SKOLSKA KNJIGA

f

ZAGREB 1975

Urednik

ZLATKO

~PORER

SADRZAJI Strucni re< r U~7-----t-" A'

i

.

p,~ M'

~c'i

Y Sf. 5.

U torn je zadatku bokocrt kvadrata duzina. zato je bokocrt po, probodiSta P u presjeciStu bokocrta pravca i bokocrta kvadrata. Iz bokocrta , pm dobije se zatim naert p"J a iz nacrta tloert p' probodiSt~ P. Objasnite vidljivost pravca u tloertu, nacrtu i bokocrtu! F. - 1z tih zadataka izvodimo ova p r a viI 0: Kad je mvan lik. okomit na jednoj ravnini projekcija l njegoV(l je projekcija na toj ravnini duzina, a u presjecistu te duzine i projekeije

nekoga pravea na toj ravnini jest projekcija probodiSta ravnog lika s tim pravcem. Iz jedne projekcije probodista lako je zatim odrediti ostale njegove ·projekcije. 2. Probodiste ravnog lika s pravcem kad je Uk U opeem polozaju. Zadane' su projekcije pravca p i projekcije trapeza ABeD kojemu su osnovice usporedne s ravninom Ill; odredite projekcije prooodista P A.

~

t,.apeza s pravcem!

~=----A'

p'

Sl. 6.

B'

" Sl. 7.

Pravcem p poloiili smo ravninu P koja je okomita na ITI • ali isto tako mogli smo pravcem p poloziti ravninu ~ koja je okomita na II 2 , ili koju god ravninu E, pa bismo opet dosE do istoga probodista P. Na slici '7. nacrtane su projekcije pravca p i trapeza ABeD. Karl pravcem p polozimo ravninu P koja je okomita na II1J njezin prvi trag 1'1> kojl se poklapa s p', sijece tlocrt A'B'C'D' trapeza u duzini 1'2'. Duzina 1'2 ' je tiocrt duzine 1 2 u kojoj ravnina P presijeca trapez, a duiina 1"2" je nacrt duzine 1 2. Pravae p" i duzina 1"2" sijeku se u nacrtu PI' traienog probodista P, ~. njegov je tloert p' u presjecistu pravea p' i ordinale povucenE' iz tocke P". Objasnite vidljivost pravea u tlocrtu i nacrtu!

7

6

Tim postupkom mozemo odrediti probodiste ravnog lika k.oji je okomit na ravnini IT3 s pravcem (cl. 1. E), a bez upotrebe bokocrta.

B. _ Odredtte projekcije probodiSta P pravokutnika ABeD s pruvcern p aka su dvije slranice pravakutnika usparedne s os; :r (sl. 8)! Taj je zadatak rijesen na dva nacina: P r v ina c i n. Pravcem p polozimo ravninu P.l III (Tl = p'). Ona sijece pravokutnik u duZini 1 2 kOjoj je tloert l' 2' up', a nacrt duzina 1"2". Pravae pU i duzina 1"2" sijeku se n p", a P' je u presjecistu ordinale povucene Ii tocke P" i pravca p'. p'

P" 2

" D"Mt---?---9 C'

A'

, i , D'I L~,

2'

3. Vjeibe. 1 1. Odredite probodls~ pravokutnlka CqEF [C (20, 30, 40), D (20, 30, 10), E (40, 10, 10), F] s pravcem AB [A (10, 10, 20), B (50, 30, 30)J 2. Odredite probodiste pravokutnikn CDEF' (C (20, 40, 25), D (40, 01.0, 10), E (40, 10,10), F] s pravcem AB (A (10, 20, 10), B (50, 30, 30)]! 3. Odredite probodiste pravo!;:utnika CDEF' [C (l0, 40, 10), D (40, 40, 10), E (40, 20, 40). F] s pravcem AB (A (5, 5, 10), B (45, 60, 40)]! 4. Odredite probodlste paralelograma CDEF [C (10, 30, 10), J) (40, 30, 15), E (50, lD, 30), F] s pravcem AB [A (5, 40, :iO), B (45, 5, 5)J! 5. Odredite probodiSte trokuta CDE [C (10, 30, 20), D (40, 40, 10), E (50, 10, 40)J s pravcem AB [A (30, 30, 0), B (30, 30, 50)]! 6. Odredite probodiste trokuta CDE [C (10, 30, 20), D (40, 40, 10), E (50, 10, 40)J s p,'avcem AB [A (30, 0, 20), B (30, 40, 20)]!

2. 'Probodista prizme s pravcem

,8"

s,

,

x

r,

!e'

A' !--h--""--! J' B' P' st, 8.

Nacrtamo duzinu C'l' koja ide tockom p'. Ta je duzina tlocrt poprecnice Cl trapeza, na kojoj je probodiste P. Nacrt, e"J" te poprecnice sijece pravac p" u nacrtu P" probodiSta P. Hi nacrtaino duZinu 2'3' koja ide totkom P', a usporedna je s A'B'. 'fa je dufuna tloer! poprelnice ~ ~ trapeza, na kojo) je probodiste P. Nacrt 2"3" te poprecnice sijece pravac p" u nacrtu P" probodista P.

SL 9.

Dr u gin a c i n. Pravcem p polozimo ravninu L.l II2 (S2 ~ p"). Ona sijece pravokutnik u duzini 3 4 kojoj je nacrt 3"4" up", a tloert duzina 3'4'. Pravac p' i duzina 3'4' sijeku se uP', a P" je u presjecistu ordinale povucene iz tocke P' i pravca p". C. _ Odredite projekcije probodista P istokracnog trapeza kojemv. su osnovice usporedne S osi x, s pravcem p koji je okomit na ravnini III

(sl. 9)! Tlocrt pravca p, koji je okomit na III. jest tocka p'. U tu tocku pt;lQa i tlocrt P' probodista P, a njegov nacrt p" mozemo odrediti ovako:

4. Probodista uspravne prizme s pravcern. Zadane su projekcije uspravne cetverostrane prizme kojoj je osnovka u ravnini HI> i projekcije triju. medu sobom usporednih pravaca a, b, i c; neka se odrede projekcije probodista prizme s tim pravdma (51. 10)! Pobocke te prizme su pravakutnici koji su okamiti na UH zato cerno probodiSta pobocaka prizme s tim pravcima odrediti na isti nacin kao na slid 2. Tocke ~ i F", u kojima tlocrt a' pravca a' sijece tlocrt pobocke A B B A i pobocke Bee B, tlocrti su tocaka E i F 'u kojima pravac a probada prizmu. Nacrti Erf i Fit tih probodiSta je5u u presjecistirpa pravca a" i ordinala povucenih iz toeaka E' i F'. , U tlocrtu se oct pravca a ne vidi sarno onaj dio'koji je izmedu probodista E i F, jer se taj dio nalazi u prizmi. U nacrtu se pravac a opet ne vidi sarno od E do F, jeT su aba ta probodista na pobockama koje se u naertu vide. Onaj dio pravca koji je u prizmi nacrta se u svakoj projelcciji tock a s tom crtom. Na isti se naein odreduju tlocrti G' i H', kao i n~c.rti G" j H" probodiSta G i H prizme s pra\"cem b. Od toga se pravca n~ vidi u tlocrtu opet sarno onaj dio koji je i7.medu probodista G i H, dok se u nacrtu ne vidi Jos i onaj dio pravea, nadesno ad probodiSta H, sto ga zaklanja prednja pobocka Bee B, zato je taj dio pravea nacrtan u nac:rtu i 5 pre kid a-

-

no m !

crtom.

U ovoj knjizi su koordinate tocaka i ravl1ina zadane u mllinlE'trima.

9

8

Tlocrt c' pravca c sijece tlocrt pobocke ADD A u tocki .r' a tlocrt pobocke CD D C u toeki K'. Kad odredimo nacrt 1" toeke I i nacrt K" tocke K, tada iz nacrta zakljucujerno da _je tocka K probodiSt~ prizme s pravcem c, dok je tocka I iZllad prizme, a ti njoj bi pravac c probadao produzenu pobocku A D i5 A. Izmedu toeaka I i K nalazi se totka J u' kojoj pravac c probada gornju osnovku ABeD te prizme. Projekcije tocke J nadu se na' ish naCin kao na sliei 3. Prvo se odredi nacrt Jr~ te tacke, a zatim lljezin tlocrt J', Od toga se pravca ne vidi u tlocrtu sarno onai dio koji je izmedu probodista J i K, dok .se u nacrtu ne vidi _joE: i onaj -dio pravca nadesno od K sto ga zaklanja prednja pobocka Bee B, zato je taj ~io pravca nacrtan u nacrtu is pre kid an 0 m edam. C" f'

6'

,B'

A' G~ " ,

.

Q'

,

,,

C'

[r

j'

,

'-),

K-

I ',>:

,

' ,,,

I

-

"J

E',

('-, I

,

H"

"-, ,

;,;~ B'

A"

\ '1

0

"

C'

Aka 81..1. pobocke prizme okomite na ravnini projekcija, onda projekcija praven sijece stranice projekcije osnovke prizme u tockama. kaje S'U projekcije probodista pobocaka prizme s pravcem. 5.* Presjek uspravne prizme s trokutom. Zadane 5V. projekcije tLspravne cetverostrane prizme koja; je osnovka u ravnini TIl i projekcije trokuta kojemu je jedna stranica usporedna S osi x; odredite projekcije presjeka prizme s trokutom (s1. 11)! BuduCi da je tlocrt G' vrha G u tlocrtu prizme, a njegov nacrt G" u nacrtu pIIizme, zakljucujemo da je taj vrh - trokuta u prizmi. pa ce zbog toga stranice trokuta EC i FC probadati prizmu. Projekcije probodishl H stranicorn EG, kao i projekcije probodista L stranicom FG, odreduju se na isti naNn kao u proslom zadatku. Tioert E'F' stranice EF ne sijece tlocrt prizme, zata straniea EF ne probada prizmu, Stranica EF vidi se citava u tlocrtu i nacrtu. dok se ad stranica EG i FG vide u tIocrtu i naertu sarno ani dijelovl koji su izvan prizme. Tloert pobocnoga brida prizme BB jest u tlocrtu trokuta EFG, a kako je vrh trokuta G u prizmi, to pobocni brid prizme BE probada trokut u tocki K. Tlocrt K' te tocke pada skupa s tockom B' .... B', a njezin nacrt K" mozemo odrediti, kao na slid 9, pomocu duiine Gl iIi porp.ocu duzine 23. Trazeni presjek prizme trokutom sastoji se ad duzina HK i KL. 6. ProbodiSta kose prizme s pr.avcem. - A. - 0 pee nit 0 r j e s en j e. Na slid 12. predocena je kosa trostrana prizma kojoj je osnovka u

X

C e,ll

~

A'

W 'C'

b' G'

C'

a'

st. 10.

S1. 11.

1z toga zadatka izvodimo ovo p r a v i I 0:

Kad je prizma 'uspravna, tndo projekcija proven na ravnini osnovke pTtzme sijece stranic;e osno'vke u toe kama kaje StL projekcije probodistd

pobocaka prizme s pravcem. IIi:

Sf. 12.

ravnini JIll pravac p koji probada ITt u t-oeki Pt. Kojom god to~kom T p.ravca p povucen je pravac 8, koji je usporedan s pobocnim bridovima prizme, a probada at u tocki 8 1 , Pravci pis odreduju ravninu E koja je

)0

11

iz

usporedna s pobocnim bridovima prizme, a njezin prvi trag .je pravac e 1 ,... PIS t • Ta ravnina presijeca priimu u paralelogramu 1234, kojemu su dvije stranice 1 4 i 2 3 usporedne s pobocnim bridovima pri?me, dok

su U, pre~jeciStima pravca p" i ordinal a povucenih. toeaka G i H'. Toeke G' i H" mogu se odrediti i tako da se pravac p" presijece duZinama 1" 4" i 2" 3".

su njegove druge dvije stranice 1 2 i 34 na osnovkama prizme. Pravae

Tocka G je na pobocki prizme A B koja se u tloertu i nacrtu vidi zato se on~j dio pravca p koj!).:: nalijevo od G vidi U obim projekcijama: Tocka H Je na pobocki Bee B koja se vidi u nacrtu, a u tJocrtu Be ne vidi, zbog toga je onaj diD pravca p koji je nadesno od Ii u nacrtu vidljiv, dok je u tlocrtu djelomicno zaklonjeri prizmom.

p sijece stranice toga paralelograma u totkama G i H, koje su trazena

probodista kose prizme s pravcem p. Na temelju toga razmatranja rijesit cerno sada ovaj z a d a t a k. B. - Zadane su projekcije kose trostrane prizme kojoj je osnovka u ravnini III i projekcije pravca p; neko, se odrede projekcije probodiSta prizme s tim pravcem (51. 13)!

t

,

B11

1. Vjez-be. ~ 1. Odredite probodista trostrane uspravne prizme kojoj je osnovka ABC [A (10, 10, 0), B (25. 30. 0), C (50, to, O)J u ravnini 111, S pravcem n1N [M (5, 30, 30), N (60, 10, 10)]! 2. Odredite probodista trostrane USpravne prizme kojoj je osnovka ABC (A (10, 0, 10), B (35, 0, 30), C (50, 0, 10)] u ravnini n~; s pravcem MN [M (5

T'

IV {50, 30, 30}]!

15

'

15)

,

,

3. OdredHe presjek trostrane us~r u prostoru je takav da je u .tlocrtu vidljiva jedna, a u nacrtu dn,lga njegova strana. Kad bismo ispitali koja je' od tih strana osvijetljena l doz,nali bismo da je to ana" koja se u nacrtu vidi, pa je prema tome u samosjeni ana strana koja se u tlocrtu vidL -Ispitivanje

12. Odredlte bacenu sjenu pri eentralnoj rasvjeti paralelograma ABeD [A (20, 45, 50), B (10, 15, 30), C (35. la, 20), D] aka je i'zvor svjetlosti 1 (-20, 85, 95)1 13. Nadite bac-enu sjenu paralelograma ABeD [A (-30, 30, 10), B (0, 50, 10), , C {20, 3D, 50), D] pri eentralnoj rasvjeti ako je izvor svjetlosti I (-60, 90, 90)!

8. Sjena tocke i sjena duzine na ravnom liku i na geometrijskom tijelu

osvijet~jenosti lik'a pri centra In oj rasvjeti vrSi se na isti nacin kao u (:1. 28.

'4.zimajuci

U

obzir da zrake svjetlosti idu ad izvora I.

31. Sjena tocke na raVllom 1iku. N a slici 60. a. prikazane su u kosoj projekciji ravnine projekcija ITt i n~!I pravokutnika koji je okomit na n l , tocka A u prostoru i njihove projekcije. Zraka svjetlosti s, koja je polozena tockom A, probada ravninu pravokutnika u tocki An i to prije nego ona dopre do jedne od ravnina projekcija. Tocka Abaca, dakle, svoju sjenu na ravninu pravokutnika, a ne na jednu od ravnina p!'ojekcija. Odatle izvodimo:

30. '-Vjeibe. -- 1. .C?dredite bacenu sjenu duzine: a) AB fA (lO, 3D, 10), B (1,' pa odredite sve sjene!

47

46

2. Nacrtajte trokut ABC [A (10, 30, 10). B (3S, 60, 10), C (50, 15, 60)] i duzinu DE [D (0, 30, 25), E (45, 75, 25)] pa odredite ave sjene! 3, Nacrtajte sve sjene du~ine AB [A (-40, 80,30), B (O. 80, 50)] i trokuta CDE

[C (-20, 60, 20), D (20, 70, 10), E (-10, 10, 50)]! 4. Nacrtajte pravokutnlk ABCD [A (10, 40, 10), B (40, 40, 10), C (40, 20, 40) DJ t duiinu EF [E (0, 40, 30), F (40, 50, 70)], pa konstruirajte sve sjene! 5. Nacrtajte paralelogram ABeD fA (10, 25, 15), B (25, 40, 15), C (35, 25, 40), D] i duiinu EF [E (0, 20, 0), F (20, 55, 50», pa odredite sve sjene! 6. Nacrtajte pravilni sesterokut, koji je usporedan s I110 aka je njegovo sredi~ ste S (60, 40, 30), dvije su njegove stranice usporedne s osi x, a polumjer kruznice opisane aka njega je T = 40, zatim nacrtajte duiinu MN [M W. 40, 40), N (80, 100, 50)), pa odredite Bve sjene. 7. Zadan je trokut ABC fA (40. 5, 40, B (15, 35, 15), C (60, 55, 5)] i duZina MN [M (O, 25, 30), N (30, 60, 3D». Odredite sve sjene prt paralelnoj rasvjeti ako je smjer zrake svjetlosti zadan baCenGffi sjenom M, (45, 10, 0) tocka M (rasvjeta nije dljagonalna)!

9. Sjene geometrijskih tijela 39. Sjene pravilne sesterostrane piramide. Zadana je pravilna §esterostrana piramida kojoj je osnovka u II t ; neka se odrede sve njezine sjene!

SL G8. a

St. 68. b

s i njezin tlocrt s'. Vrh V te piramide baca svoju sjehu na II!! u tocku V ll , a toeka VI je geometrijska, sjena vrha na III' Kako je osnovka p-iramide u II}) to se bacena sjena osnovke na TIl poklapa S osnovkom. Ako zamislimo cia je ravnina II2 odstranjena, pa iz toeke VI povucemo duzine VI C i VI F} kOje dodiruju osnovku piramide, dobit cerno bacenu sjenu na II, pobocnih bridova V C i V F. Poligon VI C B A F VI je med. bacone sjene te piramide na lIlt jer hi svi ostali njezini pobocni, bridovi bacHi svoju sjenu na ITt u unutrasnjost toga poligona. Pobocni bridovi C V i F V, kao i osnovni bridovi C B, B A i A F, stranice su prostranog peterokuta V C B 'A F V, koji je r a s t a v n i c a te piramide. Pobocke V C B, V B A i V A F, koje su okrenute prema izvoru svjetlosti, rastavljene su, a ostale su pobocke u samosjenL Odatle izvodimo ovo p r a viI 0 za odredivanje onih pobocnih bridova piramide koji su dio njezine rastavnice:

lz bacene sjene vrha piramide na ravninu osnovke povuku se JYravci koji dodiruju osnovku; oni pobocni bridovi piramide koji idu dirnim vrhovima pripadaju rastavnici. Buduci da je bacena sjena vrha piramide na il2 bacena se sjena piramide lomi preko osi x na duZini M N i penje na IT z do ,tocke V it . Na sHei 68, b nacrtane su projekcije te pirarnide, .i odredcne ,SU n)ez.ine sjene. Vrhom V povucena je zraka svjetlosti s i odredena njegova bacena sjena V" i geometrijska sjena VI. Buduci da je osn~vka piramide u II t • povucene su duzine VI C' i VI F', koje dodiruju tlocrt oS,(lovke. Duiine V' C' i V' F' su tlocrti pobocnih bridova V C i V P, koji pripadaju rastavnrcl piramide. Bacene sjene tih bridova cine mequ bacene sjene piramide. U samosjeni nalaze se njezine pobocke V C D, V~D E i V E P, kao i njezina osnovka. U tlocrtu se vide sve tri pobotke, kOJ~ su u 'Sa...mosjeni, a u nacrtu 5e od njih vidi sarno pobocka V C D, , Bacena sjena piramide na 11, vidi se u tlocrtu citava, dok Se jedan diD njezine bacene sjene na IT! ne vidi u nacrtu, jer ga zaklanja piramida. 40. Sjene rotadonog stosca. Odredite sve sjen~ rotacionog stosca kojemu je osnovka u ITI! Slika 69. a prikazuje u kosoj projekciji rotacioni' stozac, kojemu je osnovka u TIl i sve njegove sjene. Zraka svjetlosti s, poloiena vrhom stosca, probada II! u bacenoj sjeni VII, a III u geometrijskoj sjeni VI vrha V, Tangente. povucene iz tocke VI na osnovku stosca dodiruju je u toekama C i D. Duzina C V, j~ bacena sjena na ill izvodnice C V. a duzina D VI je bacena .jena n. ill

Slika 68. a prikazuje u kosoj projekciji pravilnu sesterostranu pjramidu kojoj je osnovka u i l l l ravnine projekcija III i II!I zraku syjetlosti

izvodnice D V. Izvodnice C V i D V prJpadaju

r a s t a v n i c i toga stosca jer hi sve ostale izvodnice stosca bacile svoju sjenu na ITI izmedu bacenih sjena' tih dviju izvodnica. Ravnine odredene

48

49

tockarna V C VI i V D V ( su dime ravn,in~ stosca, koje su uspor€dne sa zrakama svjetla, a njihove dirne izvodnice su V C i V D.

Iz toga izvodim') ovo p r a v i I 0 za odre.tUvanje onih izvodnica

stos~a

koje pripadaju rastavnici:

1:.ju- sjenu na tu tangentu. Izvodniee E FiG H

Sl, 71. b

42. Sjene kvadra kojemu je osnovka u II2 • SItka 71. a prikazuje

U

kosoj projekciji: kvadar, kojemu je osnovka ABC D u II!, tri njego ve projekcije i njegove sjene.

pripadaju, dakle. r a. s t a v n i c

i

valjka.

Odatle izvodimo ovo p r a v i 1 0 za odredivanje onih ,izvodnica rotacionoga vaIjka koje pripadaju rastavnici:

53

52 Ako se na osnovku rotacionoga valjka. 'povuku tangente k?je su u,~po~, redne s normal nom projekcijom zrake svjetlosti na ravnini osnovke, orida' one izvodnice valjka koje idu diralistima tih tangenata pripadaju ra-I

stavnici. Ravnina koja je odredena izvodnicom E F i njezinom sjen'om bacenom na IT I , kao i izvodnicom G H i njezinom sjenom, jest" dirna ravnina valjka koja je usporedna sa zrakorn svjetlosti. Gornja osnovka valjka, kao i onaj dio pla.sta koji je okrenut prema

izvoru svjetlosti, rasvijetlj€ni

SU,

dok u samosjeni ostaju donja osnovka i

Na obodnicu tlocrta valjka postavimo tangente koje su usporedne s tocrtom s' zrake svjetlosti s. Odredimo diralista E' !!e!: F' i G' .S'ii H' tih , tangenata pomoeu okomica spustenih iz toeke 0' EE S' na te tangente. Ta ce diraliSta biti tlocrti izvodnica EF i GF, koje pripadaju rastavnici valjka. Iz tlocrta tih izvodnica nacrtajrno njihove nacrte E" F i G" fr', a zatim odredimo bacene sjene E' N Fa i G'M Hu tih izvodnica. Na kraju cerno istaci projekcije tocaka J, liD, koje dijele polukrufnicu H J I D F na cetiri jednaka dijela i odrediti njihove bacene sjene JIll [u i Dill pomocu kojih mozemo nacrtati bacenu sjenu Hn Jlllu Dll Fu te polukru.znice. Bacena sjena te polukruznice je polovina elipse kojoj je tocka SlI srediSte, a duzina FlI Hfi promjer. Tangenta polukruzruce u rocki J usporedna je s osi x, zbog toga je i tangenta te polovine elipse u tacki J II usporedna S osi x, U

H' SL 74. a

Sl.. 72. b

onaj dio plasta koji je akrenut prema bacenoj sjeni valjka. R a s t a v n i c a valjka sastoji se ad polukruznice H J D F, ad izvodnica F ~ i. G H i od pol1Jkruznice E A G. Bacena sjena te rastavnice je meda bacene sjene valjka. Bacena sjena izvodnice E F lomi se preko osi x i penje na II2 do tocke F lI , dok se baeena· sjena iivodnice G H penje na liz do toCke H II · Duzina FlJ Hll je ~acena sjeua promjera F H gornje osnovke, zato je na toj duzini i baeens. sjena S" sredista S te osnovke. Bacenu sjenu valjka na IT2 zatvara polovina eHpse HJl J lI Dl1 Fl/, koja je bacena sjena polu~ kruznice H J D F. Na slici 72. b nacrtane su projekdje rotacionog valjka kojemu je osncvka u 111 , odredene su sve njegove sjene na nacin koji je objasnjen na slici 72. a. .j

Ii' SI.. 73.

81. 74.

ona je, dakle, najviSa tacka bacene sjene valjka. Tangenta polukruznice u tocki I usporedna je s promjerom F H, zbog toga je i tangenta te polovine elipse u tacki II1 usporedna s FlJ H u, pa iz toga izlazi da je duzina SII III polovina onoga promjera elipse koji je konjugiran s promjerom F/1 RH. U tiocrtu vidimo onaj dio bacene sjene valjka koji pada na Ill. a u nacrtu se jedan dio bacene sjene koji pada na II~, ne vidi jer ga zaklanja valjak. Od onoga dijela plasta valjka koji je u samosjeni vidimo u nacrtu sattlo ono sto je izmedu izvodnica E Fie D. 44. Sjene valjkaste ploce. Na slid 73. nacrtane su projekdje polovine valjkaste ploce koja strsi ispred vertikalnoga zida, i konstruirane su fiVe

54

55

njezine sjene. Pomocu tangente obodnice tlocrta valjkaste pIoee, koja je usporedna sa s', i njeiinog diraHsta moiemo odrediti tlocrt E' ~ F' i nacrt E"F" izvodnice E F. koja pripada rastavnici valjkaste place. Toj r a s t av n i c i pripada jos od gornje osnovke luk F D, a od donje luk E G H A. Bacena sjena te rastavnice je meda bacene sjene valjkaste place na ver_ tikalni zid. Dna pocinje lZ! tocke A. a zavdava u tocki D, jer su te tacite na zidu. Meda bacene sjene sastoji se od luka A" HJf Gil Ell elipse, verti_ kalne duzine Ell FJI i luka F JJ D" druge elipse. 45.* Sjene rotacionog valjka kojemu su osnovke okomite na osi x. Na sUei 74, nacrtane su projekcije rotacionog valjka kojemu gU osnovke okomite na osi x, a on dodiruje ill U i7.vodnici E F. Buduci da je as Voga valjka okomita na II!!, to ce se pomocu bokocrta odrediti one njegove izvodnice koje pripadaju njegovoj r a s t a v n i c i. Postavimo na obadnicu bokocrta valjka tangente usporedne s balt:Ocrtorn s'" zrake svjetlosti. Njihova diralista Am "'" B'N i em .... D'" su bokocrti izvodnica A B i CD, koje pripadaju rastavnici. Iz bokocrta tih izvodnica odredit cerna njihove tlocrte i nacrte. Rastavnici toga valjka pdpada jos od desne osnovke polukruznica BIG CI a ad lijeve polukruzniea A F L D. Pomocu tloerta i nacrta zrake svjetlosti mozemo naci bacene sjene istaknutih tocaka te rastavnice. Njezina sjena je meda bacene sjene toga valjka, koja pada Citava na Ill' Jedan se dio te bacene sjene ne vidi jer ga valjak zaklanja. Od polovine plasta valjka, koja je u samosjeni, vidimo u tlocrtu sarno onaj dio koji je izmedu izvodnica CD i K L, a u nacrtu sarno onaj dio koji je izmedu izvodnica A B i E F. 46. Sjene Imgle ako je zrakn svjet.1osti usporedna :sa II z . Na slici 75, naertane su projekcije kugle. i odredena je njezina rastavnica, kao i nje* zilla bacena sjena, karl su zrake svjetlosti usporedne s il2> a Cine s ITl kut od 45°. Sve zrake svjetlosti koje dodiruju kuglu cine rotacioni valjak kojemu os ide srediStern kugle usporedo s IT 2 , acini s III kut od 45°. Taj valjak dodiruje kuglu u kruinici k, kojoj ravnina E ide sredistern kugle, a okomita je na smjer zrake svjetlosti. Drugi trag te ravnine je pravac et okomit na s", a prvi trag pravac e 1 okomit na osi x. Kruznica k je meda izmedu rasvijetljenoga i osjenjenoga dijela kugline plohe; ona je r a s t av n i c a kugle za tu paralelnu rasvjetu.

Odatle izvodimo ova p r a viI 0 za odredivanje rastavnice kugle:

Ravnina polozena sredistem kugle okomito na smjer zrake svjetlosti sijece kuglu. u njezinoj rGstavnici. Nacrt k" rastavnice k je duzina A" B n koja se nalazi u et jer je ravnina E okomita na il2' kad- je zraka svjetlosti 5 usporedna s lIz. Tlocrt k' te rastavnice je eUpsa kojoj je duzina A' B' mala os, a duiina C' D' velika

, OS.

Promjer A B rastavnice k je u ravnini glavnoga meridijana. a promjer

CD u ravnini ekvatora kugle. Velika os C'D' elipse k' ide tockom 0', okomlta je na s' i jednaka promjeru kugle, dok je mala os A' B' te elipse . usporedna sa S'1 a njezina se ,velicina dobije pomoc:u nacrta A" i .8" krajnjih tocaka promjera A B. Kad je odredena velika i mala os elipse k', tad je mozemo konstruiraU -pomocu kruznica zakrivljenosti njezinih tjemena. Aka rotacioni valjak koji dodiruje kuglu, a izvodnice su mu usporedne sa zrakom svjetlosti, presijecemo s III> dobit cerno meau bacene

S1. 75.

sjene kugle na ITt> Taj presjek, koji je u isto vrijeme i bacena sjena rastavniee, jest eJipsa Al C, BI D/. Buduci da su duzine A B i CD konjugirani promjeri rastavnice k, a: njihove su bacene sjene Al BI i C J D J medu soborn okomite, to je duzina AI BI velika os, a duzina C, D, mala os one elipse ki;s;' Al c, B, D/ koja je bacena sjena rastavnice k ili meda bacene sjene

kugle. Tu eFpsu mozemo nacrtati .tjemena.

POffioeU

kruznica zakrivljenosti njezinih

Od one polovine kugline plohe koja je u samosjeni vidimo u tlocrtu samo onaj diQ koji je na gornjoj polovini kugle, a u nacrtu sarno dio na

prednjoj polovini kugle. Od bacene sjene kllgJe u tlocrtu ne vidirno sarno o~aj

,

diD sto ga zaklanja kugla.

57

56

47. Sjene ku~le kod dijagonalne rasvjete. Z~da~e SU projekicije' kugi~j odredite njezinu rastavnicu i bacenu sjenu ~od dijagonaJ:r~e ,rasvjete

(s!. 76)! ; Raslavnica k kugle

ie, prema pravilu iz proslog clanka, ona ) da ide srediStem kugle i da u njoj leE zraka svjetlosti koja prolazi sredistem kugle. Os tX4, U kojoj se sijeku ravnine II! i IT", poklapa se s tlocrtom Sf zrake svjetIosti s, koja je polozena sredistem kugle. Novi stranocrt srediSta kugle je tocka 0[>' ako je 0' a i>' = L 0", a novi stranocrt one zrake svjetlosti koja je polozena sredistem kugle jest pravac SIV = (OH!, Ot), dok je kruinica pll' no vi stranocrt kugle. Cetvrti trag ravnine E rastavnice k je pravae e4: koji ide tockom OIY okomito na SIV, a na njemu je novi stranocrt klr """ E/V F'v rastavnice k. Pomocu toga stranocrta odredi se tIoert Ie' j bacena sjena k[ rastavnice k na ill na isti nacin kao i na sJiei 75. Bacena sjena rastavnice na III sijece se s bacenom sjenom rastavnice na fIt u tockama MiN, koje su na osi x. Bacena sje~a kugle lomi set dakle, na osi x u duzini M N. Od bacene sjene kugle na II,. kao i na Ii!, ne vidimo onaj dio sto ga zaklanja kugla.

Od one polovine kugline plohe koja.je u samosjeni vidimo u tlocrtu sarno onaj dio koji je na gornjoj polovini kugIe, a u nacrtu sarno onaj dio koji je na prednjoj polovini kugle. 48. Konstrukcija rastavnice kugle. Iz slike 76. mozemo izvesti skraceni postupak za konstrukciju projekcija k' i k" rastavnice kugle koji je prikazan slikom 77. Nacdat cerno projekcije s' i s" zrake svjetlosti s koja ide sredistem

kugle. Promjer elf D", koji je okomit Da s", jest velika os elipse k a promjer G' H', koji je okomit na s', jest velika os elipse k'. Da bismo nasH male osi tih elipsa, istaknimo na osi x koju god toeku N, i njom povllcimo zraku svjetlosti s, kOjoj su projekcije s' i s". Pomocu koje god tocke M te zrake odredimo zatim prvi stranoert s'" i drugi stranoert SlY te zrake svjetlosti U

,

Sl. 76.

Sredistem 0 kugle polozit cerno zraku svjetlosti s i od~editi njezina

probodista 0/ i 011

S

III i II z. Postavimo zatim stranocrtnu ravninu IIa

taka da je ana okomita na IT 2 • cia ide sredistem kugle i da u njoj lezi zraka svjetlosti koja prolazi sredistem kugle. OS 2X3. u kojoj se sijeku ravnine ll2 i ITa. poklapa se s nacrtom s" zrake svjetlosti $, koja je polo~ zena srediStem kugle. Stranocrt sredista kugle je to~ka 0'" ako je 0" 0"'= = 0' L, a stranocrt one zrake svjetlosti koja je polozena sredistem kugl e jest pravac s'" = (Om, 'Olf). Stranocrt kugle je krui-nica n'" kojoj je tocka

aka uzrnemo da je eX:; """ s" a lX~

"""

s' (M" M

If '

= L M ' , a M' MlV ""~ L M").

Ako se sada IT" posta vi tako da se prvi stranocrt 001 srediSta kugle poklopi s nacrtom 0" srediSta kugle l onda se i stranocrt n'" kugle poklopi s nacrtom mit kugle, pa je promjer A'" B''', koji je okomlt na sn,. stranocrt k'" rastavnice k, a duzina A" B" je mala os one elipse kif koja je. nacrt rastavnice k.

59

58

Na isti se nacin uzme 114 taka da s~ drugi str~n'OCrt OIV . ~~e d'lS.ta kugle poklopi s tlocrtom 0' sredi~a kugle, 1 da se drugl stranocrt p kugle poklopi 5 tlocrtom e' kugle, pa je promjer ElY Fli', koji je okomit ?a SiP; drugi stranocrt klY rastavnice k, a duzina E' F' je mala os one ehpse k koja je tloert rastavnice k. Y

Kad se na taj naCin odrede velike i male Qsi elipsa k' i, k", one se zatim konstruiraju pomGcu kruznica zakrivljenosti njihovih t]emena.

6. Nacrtajte sve sjene kvadrati~ne prizme, kojoj je osnovka ABeD u ill aim je diiagonala osnovke AC [A (10, 40, 0), C (45, 15, 0)], a visina 60 mm! 7. Odredite sve sjene pravilne sestcrostrane ptizme, kojoj je asnavka ABCDEF u ITt aka je dljagonala osnovke AD [A (10, 15, 0) D (40, 45, 0)] a vlsina 60 mm! 8. Nacrtajte sve sjene uspravne cetverostrane prizme kojoj je osnoYka paraIelogram ABeD usporedan s III [A (20, 30, 10), B (45, 40, HI), C (55, 20, 10), D], a visina 50 mm 1 9. Odredite pomocu nacrta i bokocrta zrake svjetlosti sve sjene kvadra kojemu je osnovka ABeD u 1\, [A (20,0, 60), B (20, 0, 40), C (50, 0, 40), D], a visina 30 mm! 10.- Nacrtajte sve sjene rotadonog val)ka, kojemu je osnovka u TI 2, aka je polumjel' njegove osnovke T = 25 mm visina 60 rum, a srediste osnovke S (30, 0, 35)!

11. Odredite sve sjene rotacionog valjka kojemu je os SI [SJ (10, 60, 25), S2 (40, 60, 25)], a polumjer r = 15 mm!

S2

llsporedna 5 05i

X

12. Nacrtajte samosjenu i bacenu sjenu kugle, kojoj je srediste S (40, 30, 30), IA po!umjer r"'" 25 mm, ako je zraka svjetIosti usporedna 5 n l , acini s IT!! kut od 45 dobit cerna kosu projekciju zrake svjMlosti 8, a spojimo Ii V' s V" imat cerna kosu projekciju tJocrta s' te zrake svjetlosti. Pomoc:u zrake svjetlosti 5, povncene 'vrhom niramide V i tlocrta s' te zrake, na zbog toga ona pripa.da meai bacene sjene toga paralelograma, a ta je poligon E' F' N Gfl!:I n M. Ta istustranica E F je prvi trag e t -ravnine E toga paralelograma. BuduCi da e j sijece ~tranice trokuta AI B, C, u toe-kama K i J, to ce se iz tih toeaka pe~ njati bacena sjena trok~ta po paralelogramu, i to prerna sjeni C" sto je

mocu stranoerta kao probodiilte polukugle sa zrakom svjetlosti polozenom toekom L. Ako uzmemo da se stranoert 0'" sredista kugle poklapa s na-

vrh C trokuta baca na paralelogram. Toeku C odredimo kilo probodiSte paralelograma sa zrakom s~jet1osti polozenom vrhom C ((,:1. 31. B). Prva

crtorn ON srediSta kugle, 'onda se stranocrt polukugle poklopio s polukruznicom L"C"E", a L"'.L". Pravae L'" L/", polozen toekom LUI usporedo s pravcem s"', sijeee stranocrt kugle u toeki Lr"', kOja je stranoert bacene sjene toCke L. Iz stranocrta te toCke nademo njezin nacrt L/' i tloert L/

ravnina prometaliea polozena tom zrakom sijece paralelogram u duzini 1 2, a ta duzina presijeea tu zraku u tocki C z .

Duzina J C, sijeee stran'jeu F G pa.ralelograma u tocki L" koja je jedan vrh onog cetverokuta KFLxC z koji omeduju bacenu sjenu trokuia na para-

72

73

lelogram. Tocku Lz mozemo odrediti jos ~ pomOCll tocke Lb ,u kojoj se sijeku medasnje stranice bacene sjene trokuta i paralelograma. Povw2enio Ii tockom L J zraku svjetlosti unatrag, ona ce presjeci stranicu F G paralelograma u tock! L, (Cl. 34.).

Stranica A C trokuta je u Il" a paralelogramu su dvije stranice D E i F G usporedne Sil" Da bismo naSli presjeenicu HI zadanih likova, odredit cemo najprije taeku H, u kojoj stranica Be trokuta probada para-

Sl. 90.

lelogram, a zatim cerno naci tocku I, u kojoj stranica DE paralelograma SL 89,

BuduCi da se u tlocrtu i nacrtu vidi osvijetljena straniea paralelograma, io se u tlocrtu i nacrtu vidi onaj dio bacene sjene trokuta koji pada na taj paralelogram.

Ar. 64. Sjcne trokuta i paralelogl"ama koji 5e sijekl,l. Odredite sve sjene 'roku'a ABC [A (l0, 35, 0), B (35, 50, 60), C (60,35, 0)] i paralelograma. DE F G [D (10, 25, 10), E (60, 45, 10), F (75, 25, 40), G] (s1. 90)!

probada trokut. Tocka H nadena je pomocu druge ravnine prometalice, polozene stranicom Be trokuta, koji sijece paralelogram u duzini 12,

a tocka I odredena je pomoeu prve ravnine prometalice, polozene stranicom DE paralelograma, koja sijece trokut u duZini 34. Bacena sjena trokuta na III je trokut A'G'B" a bacena sjena paralelograma na Il t ina II z omedena je poligonom D/ E, N FlI Gil M. Buduci da se medasnje stranice tih sjena sijeku u tockama KI i J 1, to pomoeu zraka svjetlosti povucenih iz -tih toeaka unatrag nademo na stranici A B trokuta tocku K, koja baca svoju sjenu' K;;c na stranicu DE paralelograma, a ha

75

74 stranici DE paralelograma toCku J, koja baca svoju sjenu Be

J~

na.stranicu

trokuta (el. 34.).

F'V/

svjet~osti polozenu ~

bridom, kojoj je prvi trag Tu r~vn~u svjetJQ.sti probada brid K K u toCki R~, kOJu nademo pomocu presJecmce 1 2 te

Odredimo zatim sjenu Bz koju vrh B trokuta baca na paralelogram

kao probodiste paralelograma sa zrakom svjetlosti po!ozenom vrhom B (eL 31. B), i to pomoCu prve ravnine prometalice polozene tom zrakom

koja sijece taj paralelogram u duzini 5 6. Sjena trokuta na paralelogramu, koja je omedena cetveroku.tom K I H B,z:, vidi se potpuno u tlocrtu, a s'amo djelomice u nacrtu, a od sjene paralelograma na trokutu, koja je omedena trokutom HI J Xl vidi se sarno

jedan diD u nacrtu. Od trokuta ABC vidimo u tlocrtu cnu njegovu stranu koja je u rnosjeni, dok u naertu vidimo njegovu osvijetljenu stranu (el. 28).

sa~

AT. 65. Sjenc piramide i prizme. Nacrtajte pravilnu sesterostranu pira~ midtt kojo; je osnovka ABC D E F U TIl ako je dijagonala njezine osnovke A D fA (10, 65, 0), D (50, 65, O)J, a visina piramide je 70 mm, zatim u8pravnu peterostranu prizmu kojaj je prednja osnovka G H J K L okomita na II, [G (70, 60, 0), H (90, 30, 0), J (85, y, 20), K (80, y, 25), L (75, Y. 20)], a visina prizme je 50 mm) pa odredite sve sjene t.ih tijela (s!. 91)! Najprije nacrlajmo medu bacene sjene piramide j prizme na II t i na illj:. te .utvrdimo koje su njihove plohe u samosjeni. Buduci da meda bacene sjene piramide sijece brid G G prizme koji je u TIl u toekarna MiN, to ce se iz tocke M penjati bacena sjena piramide po prizmi prema toeki Ox, a iz toeke N prema tocki P x. Toeke Or. P;r, kao i toeke R:u S;r, T,. i U... koje pripadaju medi- bacene sjene piramide po prizmi. mogu se odrediti na tri naNna.. Duzina L J LI> kOja je bacena sjena brida L L prizme na II l • sijece medu bacene sjene piramide na lIt u tockama Of i P,. Povucemo Ii tim tot-kama zrake svjetlosti una trag, one ce nam presjeci brid prizme L L u toCkama Or i P z . Isto tako povucemo Ii unatrag zrake svjetlosti iz tocaka T[ i U/, ~ kojima se sijeku meda _bacene sjene pirami.de i bacena sjena brida J J, dobit cemo na bridu J J toeke T.r. i U,r-. Z.amislimo kroz bridove L L i J J prizme horizontalnu ravninu 1:. Njezin drugi trag $2. usporedan je 5 05i x. Tu ravninu probada brid F V piramide u toeki F, a brid C V u tocki C. Bacena sjena vrha piramide na tu ravninu hila hi toCk~ Vs, a_bacena sjena piramide po toj ,Iavnini bila bi omedena duzinama F Vs i C V 1 • Te duiine sijeku brid L L u toc~ kama Or. i Pz. a brid J J u toekama T;r i Un koje pripadaju medi bacene sjene piramide n-a pdzmi. Treci naNn objasnit cerno pri odredivanju tocaka R z i S~. koje su na bridu K K. Sve zrake polozene tockama brida F V piramide cil'e ravninu

SL 91.

ravnine i prve ravnine prometalice polozene bridom K K. Drugu ravninu svjetlos~ polozenu bridom C 'V piramide kojoj je prvi ,trag C' V I probada

76

77

brid K K prizme u'tockl S:t;. Tu tocku nademo pomoeu presjecnice 23 te raVlune i prve ravnine prometalice polozene bridom KK. Bacena sjena piramide, koja pad a na prizmu, vidi se u tlocrtu citava a u a.crtu ,:!dljiv je onaj njezin dio koji j~ !1a poboeki L K Ki": i no pobocki G L L G ukoliko ga piramida ne zaklanja.

piramidu kojoj je ..,9sEovka u rIll aka je srediSte njezine osnovke u sredistu pobocke A B B A prizme, njezini StL osnovni bridovi dugi 30 mm, a dva StL od njih usporedna s pobocnim bridovima prizme, dok je njezina j

v~sina

70 m7n, pa odredite prodor i sue sjene tih tijela (51. 92)! Najprije cerno odrediti prodorni poligon tih tijela, Da bismo naSli tocke 1 i 2, u kojima pobocni brid C C prizme probada piramidu, poloZit cerno tim bridom i vrhom piramide pomocnu ravninu E. Ta ravnina, koja je prva ravnina prometalica, sijece pil'aIl!!du u trokutu J V I, a stranice I V i J V toga trokuta presijecaju brid C C u trazenim toekama 1 i 2. Da bismo zatim odrediH tocku 3~ u kojoj pobocni brid G V piramide probada poboeku ACe A prizme. polozimo tim bridom prvu rnvninu promelalicu. Ta ravnina sijece tu pobocku u duzini K L J koja nam presijeca brid G V u trazenoj tocki 3. Tocku 3 mozemo odrediti jos i tako da nademo pre-

sjeenicu pobocke G V F piramide s poboekom ACe .Ii prizme. Ako toeku M, u kojoj 5e sijeku prvi tragovi ravnina tih pobocaka, spojimo s tockom 2. dobit cerno presjecnicu tih pobocaka na kojoj mora biti tocks 3. Primjenom toga drugog nacina nacene su na 51. 92. tocke 4, 5 i 6? u kojirna preostala tri pobocna brida piramide probadaju prizmu. Prodorni poligon 1 5 6 2 3 4 vidi se u tlocrtu citav, a u nacrtu vidljive 5U sarno njegove stranice 3 4 i 4 1. Sada su nadene mecte bacene sjene prizme i piramide na TIl i Il t · Buduci da se bacena sjena brida D V pinimide sijece s bacenom sjenom brida CC prizme u tocki PI, to brid D V, koji je ispred bride C C, baca na nj sjenu u toeku P r, koju dobijemo taka da lz tocke P, povucemo zraku svietlosti unatrag. 15to se tako bacena sjena brida F V piramide sijece 5 ba~enom sjenom brida C C prizme u tocki R I , pa brid C C, koji je ispred brida F V, baca na nj 5vOjU sjenu u tocku R z , koju dobijemo pomocu zrake svjetIosti povucene una trag iz toeke R , . Ba~ena sjena piramide po prizmi. koja je omecena trokutom 1 4 p;,:, vidi se u tlocrtu i nacrtu, dok se bacena sjena prizme po piramidi koja je omedena trokutom 2 6 R;t vidi sarno u tlocrtu,·

SL 92.

AT. 66. Sjene piramide i prizme koje se prodiru. Nacrtajte uspravnu tro. strantL prizmu. kojo; je prednja osnovka ABC okomita na III [A (66, 70, 0),

B (80,25, OJ. C (73, y, 30)], a visina 60 mm, zatim pravilnu ce,tverostranu.

Ar. 67. Sjenc prizrnaticne ploce i valjka. Uz vertikalan zid prislonjena je polovina kruznog valjka nad kojim je prizmaticna plo~a; odredite sve sjeno (sl. 93)! Najprije ooredimo projekcije one izvodnice A B valjka koja pripada njegovoj rastavnici, kao na s1. 72. b, a po pravilu iz cl. 43. Bacena sjena te izvodnice, koja pocinje u tocki A, pada na TIl do tocke C, a zatim se penje vertikalno po zidu do toeke LIl. Rastavnici prizmaticne ploce pripadaju, prema s1. 71. b, bridovi D E. E F. F GiG H. Buduci da je brid DE okomit na II•• nacrt je njegove ba---\X ,"

"'

ar

polovina pravHne sesterostrane, b) odredite sve sjene (sL 95. i 96)!

13. Prakticne primjene konstrukc:!e siena Ar. 70. Sjene glavice prizmaticnog stupa. Na slici 100. nacrtane su u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije glavice prizmaticnog stupa koji je prislonjen na vertikalan zid. U tlocrtu je nacrtan horizontalni pr~rez zida i pogled odozdo na glavicu stupa. Glavica se stupa sastoji od cetverostrane krnje piramide i dviju cetverostranih prizmaticnih ploca, a nad njom je horizontalni prizmaticni nosae. Sve horizontalne donje plohe, kao i vertikalne desne plohe, na tom su objektu u samosjeni. Donji prednji horizontalni brid A B prizmaticnog nosaca pripada rastavnici. N acrt bacene sjene brida A B na vertikalan zid naci cerno tako da odredimo bacenu sjenu Bli koje god njegove tocke B na vertikalni zid, pa tockom BIl povucemo usporednicu s nacrtom toga brida, jer je brid A B usporedan sa zidom. Bokocrt bacene sjene toga brida po lijevim vertikalnim plohama glavice stupa poCinje u tocki A"', a usporedan je s bokocrtom s'" zrake svjetlosti jer je brid okomit na II" (el. 37). Rastavnici gornje prizmaticne ploce glavice pripada prostorni poligon CD E F G. Bacena sjena brida eDna lijevu poboeku donje prizmaticne ploee usporedna je s bridom, a poeinje u tocki P. Ona se preko lijevoga prednjeg pobocnog brida te prizmaticne ploce lomi, prelazi na prednju pobocku i dopire do tocke Dx. koja je bacena sjena tocke D na tu pobocku. Od toeke D~ nastavlja se bacena sjena brida DE usporedo s tim bridom do to~ke H:z:, koja je na desnom prednjero pobocnom bridu dortje prizmaHene place. Dio HE brida DE baca sjenu H/f Elf na zid. koja je jednaka i usporedna sHE. Isto tako je baeena sjena Ell Fll vertikalnog brida E F jednaka i usporedna s tim bridom. dok je bacena sjena FJI A" brida F G na zid usporedna s drugom projekcijom s" zraka svjetlostL -6 Nacrtna geometrlja

83

·82 Rastavnici donje prizmaticne ploee glavice pripada prostorni poligon I J K L. Bacena sjena brida I J pada na zid, i to oct tocke I do toeke NJ

zatim na Jijevu poboeku stupa od tocke N

it

qo tocke J,z. koja je bacena sjena

Ar. 71. Sjene dimnjaka. Na slid 101. nacrtane su u mjerilu 1: 30 sve tri projekcije qimnjaka koji izlazi iz krovne ravnine okomite na IT3 · On se sastoji od kvadraticne prizme i kvadraticne prizmaticne place, nad

Iwjom je niska kvadraticna krnja piramida. Od krovne ravnine nacrtan je sarno pravokutnik ABC D.

Sl. 100.

SL. 101.

vrha J, a koja pada na prednji lijevi pobocni brid stupa. Od tocke Jz nastavlja se bacena sjena brida J K usporedo s bridom do tocke M;I, koja je na desnom prednjem pobocnom bridu stupa. Dio M K brida J K baea sjenu MlJ K/[ na zid) koja je jednaka i usporedna s M K. Od Ku nastavlja se bacena sjena desnoga pobocnog brida K L do tocke HII-

Nn kraju desni prednji. pobocni brid stupa baca svoju sjenu na zid, koja je s bridom usporedna. a zavrsava u tocki Mlf.

Desne i straznje vertikalne plohe dimnjaka su u samosjeni. Hastavnici prizmaticne ploce pripada prostorni poligon E F G H 1 J K Sjena vrha E pada na lijevi prednji pobocni brid kvadraticne priz~e u tocku Ex. U toj tocki pocinje bacena sjena brida E F na prednjoj pobocki prizrne. kao i bacena sjena brida E J na lijevoj poboUn prizme. Bacena ~Jena svakoga toga brida usporedna je s bridom.

84

85

Bacenu sjenu Ex P", G x H~ Ix J:t: spomenutog prostornog p~ligona' na krovnu ravninu mozemo odrediti pomocu tlocrta i nacrta Hi pomocu nacrta i bokocrta, kako je to objasnjeno na slid 62 (c1. 31. B). Na slici 101. odredena je bacena sjena toga poligona pomocu" nacrta i bokocrta. Povucimo, Ila primjer kroz H'" bokocrt s'" zrake· svjetlosti do sjecista H:;;''' s bokocrtom krovne ravnine. Ordinalna, koja ide tockom Hz'" okomito na as Z, sijece se s nacrtom s" zrake svjetlosti polozenom tockom H u -toeki H/'; a ordinalna polozena tockom H::' okomito na os x sijece se s tlocrtorn S' zrake....svjetlosti poiozenom tockom Ii u tockl Hz'. Na jednak 'se nacin . mqgu odrediti projekcije bacenih sjena ostalih vrhova spomem~tog prostornog .poligona, pa se one medu scbom spoje duzinama. Pri spajanju treba paziti da paralelne stranice toga prostornog poligona imaju i paralelne bacene sjene.

zrake svjetlosti (c1. 37), a zavrSB.va se u tocki K~, k'Oja je bacena sjena vrha K na vanjskoj ravnini vrata. Od tocke Kz nastavlja se bacena sjena brida K M, koja pada: na vrata, na desni vertikalni prag i na zid kuce.

Rastavnici kvadraticne prizme pripada njezin prednji desni i straznji lijevi pobo~ni brid. Bacena sjena prednjega desnog pobocnog brida pocinje u tocki Ai, u kojoj taj brid probada krovnu ravninu, Tloert njegove bacene sjene ide tockom M' u$poredno sa s' do toeke K/, a nacrt njegove bacene sjene odreden je toe kama M" i K/'. Ako duzinu M'K/ produzimo do tocaka l' i 2', pa odredimo tocke 1" i 2", onda duzina M"K;e" mora biti na duzini 1" 2". Bacena sjena straznjega lijevog pobocnog brida prlzme poeinje u tocki N J U kojojo taj' brid probada krovnu ravninu, a Msporedna je s bacenom sjenom predrijega desnog pobocnog brida, Ar. 72. Sjene na vratima. Na slid 102. nacrtane su u mjerUu 1: 40 projekcije vrata nad kojima stsi horizontalna betonska ploca. U tlucrtu je nacrtan horizontalni presjek zida i vrata I J gledan odozdo. Kako su betonska ploca i gornji hodzont.alni prag vrata iznad toga prereza, njihov je tlocrt ogranicen isprekidanim duzinama.

Da nema betonske ploce, bacali bi na vrata svoju sjenu brid A B lijevoga vertikalnog ptaga i brid B C gornjega horizontalnog praga. Sjena brida A B, koja pocinje u tocki A, pada nu ITl u smjeru tloctta s' zrake svjetlusti do tocke' F, a zatim se penje vertikalno po vratima. Brid Bene baca sjenu jer se nalazi u bacenoj sjeni betonske ploce. Isto tako sjena brida DE desnoga vertikalnog praga, koja poeinje u tocki D, pada na TIt

U smjeru tlocrta s' zrake svjetlosti do tocke G, a zatim se penje vertikalno po zidu do tocke H,

U koj'Oj

se opet nastavlja u smjeru s' do tocke 1, a

onda se opet penje'vertikalno pO zidu do oocke Su, koja je na medi baeene sjene betonske ploee. Rastavniei betonske ploce pripada poligon L K M N O. Bacena sjena brida L K, koja poeinje u to~ki L, pada na zid kuce, na Ujevi ·vertikalni prag i na sarna vrata. Nacrt te bacene sjene usporedan je' s nacrtom 5"

K'

-It--it-- - - -- -- - - - ---

M'N'

st. 102.

Bacena sjena toga bl'ida na vratima, odnosno na zidu, usporedna je s bridom, a ide tockom Kl" odnosno tockom MJ/. Tocke P r , R;t i S;r., u kojima se bacena sjena brida K M lomi preko bridova desnoga vertikalnog praga-,

87

86

mozemo odrediti pomoeu tlocrta tih toe-aka, koji se poklapaju s. tl'Ocrtom tih bridova. Tockom, na primjer P x' .,. C' povucimo tloert s' zrake svjet~ losti unatrag do tocke pt. k()ja je na duzini K'M'. Odredimo zatim toCku P" na duzini K" M" i tom tockom povucimo naert sit zrake svjetlostiJ kOji se presijece s duZinom C" Tn u tacki P z". Na jednak se nacin nadu tocke R/" i S:r". Bacena sjena brida M N na zid kuce je duzina MIl N u , koja je jednaka i usporedna sa M N, a bacena sjena brida NO je duzina Nll O"J koja je usporedna s nacrtom s" zrake svjetlostL

..1r. 73. Sjene na ulazu sko1e. Na slici 103. nacrtane su u mjerilu 1 : 100 projekcij.= ulaza u skolu. Tri stepenice vode do predvorja, koje je natkrito horizontalnom betonskom plocom, a u njemu su dva kvadraticna stupa. U tIoertu je nacrtan horizontalni presjek I J zida i vrata gledan odozgo.

prve stepenice na horizontalno tlo i dopire u smjeru s' do tocke B f • U B/ nastavlja se bacena sjena horizontalnog brida B C prve stepenice usporedo' 5 bridom do tocke D, u kojoj ta sjena prelazi na zid zgrade i penje se do tocke C. N. jednak se naCin nade bacena sjena druge i trete stepenice. Lijevi zid predvorja, kao i desne i str~nje pobocke p:rizl11aticnih stupova, u samosjeni SU, zato baeaju sjenu bridovi E F, G H, I.T, K L i M N. Baceua sjena svakoga brida na no predvorja poCinje iz nje-govog noziSta i ide u smjeru tlocrta s' zrake svjetlosti do zida iIi do vrata, a zatim se vertika1no penje po zidu ili, vratima do sjecista s bacenom sjenom horizontalne betonske ploce. Tako se bacene sjene bridova E P, K LiM N penju po zidu l do~ se bacene sjene bridova G H i 1 J 'penju po vratima. Rastavniei betonske ploce pripada poUgon 0 P RS T. Bacene sjene bridova 0 PiS T na zidu zgrade usporedne su s naertom s" zrake svjetIosti, a batena sjena brida R S jednaka je i usporedna s tim bridorn.

Brid P R baea sjenu na zid zgrade, na prizmaticne stupove, na desne zidne ravnine predvorja i na vrata. Njegova bacena sjena na zidu zgrade i na prednjim pobockama stupova usporedna je s P RI a pad a na isH pravae PJI R fI , jer se te pobocke nalaze u produzenju ravnine zida zgrade. Bacena sjena tog brida na straznjem zidu predvorja pocinje u iocki U II, i . ide usporedo s P R do tocke V, u koj'Oj prelazi na desni zid predvorja i peuje Be po njeJ)1u do tocke Z,p Tocku Z.., mozemo odrediti na isti nacin kako smo u zadnjem primjeru odredili to~ku P z . Kroz tocku Z:r' povuccm'O tlocrt 8' zrake svjetlosti unatrag do tocke Z', koja je na cIuzini P' R'. Odreditno zatim tocku Z" na duZini P" R" i kroz Z" povucemo hacrt s" zrake svjetlosti, koji presijece s naertom bridal na kojemu je t()cka. Zx, U tocki Z:r". Bacenu sjenu brida P R na desni zid predvorja mozemo odrediti jo.5 i taka da odredimo tocku Z, u !cojoj brid P R probada taj zid. Produzeni tioert desnoga zida predvorja sijece dui:inu P'R' u tocki ,?', k()ja je tloert tocke Z, a naert 2" te tocke lezi na duzini pH R", Na duzlni V Z je dio fix Z.t bacene sjene brida P R na desni zid predvorja. Na kraju cerno odrediti bacenu sjenu Dtt adn,osna ell tocke f) odnosno C na sarna vrata, pa je na pravcu DJI ell bacena sjena brida P R na ta vr~ta.

se

Na gornjem dijelu slik~ 104. nacrtan je u mjerilu 1 : 40 u kosoj projekciji (a = 45", n = l) horizontalni presjek ugla lcuce s ulaznim Vratima- i stepenicama pred njima. Prednja i desua vertikalna ploha svake stepenice ne sijeku se u vertikalnom bridu, vee su medu sohorn spojene cetvrtinom rotacione valjkaste plohe. S lijeve strane stepenica je niski ogradni zidic. AT. 74. Sjcne nn stepenicama.

st.

103.

Desne vertikalne plohe stepenica su u samosjeni, zato rastavnici svake stepenice pripada njezin desni prednji vertikalni brid i njezin desni gornji

horizontalni brid. U tocki A poCinje bacen. sjena vertikalnog brida A B

D:a bismo mogli naci sve sjene na tom objektu. rn9rarno

rediti smjer zrake svjetla. Na ugaonom bridu

kuc~

najprije

od-

istaknimo 2ato koju

god tocku T. U nohstu toga brida je tloeM T' te tacke. Kakav god pravac

88

89 polozen tockom T smatrajmo zrakom svjetlosti, a koja god tocka T, na

'.

neka je bacena sjena tocke T na horizontalnom tIu. Pravac

Tl = s') je bacena sjena ugaonog brida po horiz-ontalnom tIu .t tioert s' zrake svjetlosti. Smjer zrake svjetlosti potpuno je odreden pravoima sis' za rasvjetu koja nije dijagonalna. Pri takvom izboru smjera zrake svjetlosti u samosjeni su na tom objektu desne vertikalne pIche stepenica i ona vertikalna pIcha ogradnog zidica koja je okrenuta prerna stepenicama. Izvodnicu A B valjkaste pIche prve stepenice odredit cemo, kao na slici 72. a (101. 43), pomocu tangente koju povllcemo usporedo sa s; na osnovnu kruznicu valjkaste plohe. DiraliEite te tangente je tocka A. Rastavnici prve stepenice pdpadaju izvodnica A B, luk kruznice Be i brid CD. Bacena sjena izvodnice A B je duzina A B ba.cena sjena luka Be je luk BI C 1 koji je jednak i usporedan. s " B C, a bacena sjena brida CD usporedna je s tim bridom do tocke lukom E, u kojoj ena prelazi na zid kuce i penje se do tocke D. Na jednak se nacin nadu sjene druge i trece stepenice.

Rastavnici ogradnog zidica pripadaju bridovi F G, G H i HI. Bacena sjena vertikalnoga brida F G pocinje u tocki F, pa dopire po horizontalnom tIu u smjeru s' do tocke 1. u kojoj 5e vertikalno penje po prednjoj pobocki prve stepenice do toeke 2. zatim se nastavlja po gornjoj horizon. taln'dj' plohi prve stepenice u smjeru s' do tocke 3. u kojoj 5e opel vertlkalno penje do sjecista G z sa zrakom svjetlosti s polozenom tockom G.

/:1.0 .

St, 104.

Sad se nastavlja bacena sjena brida G H, od tocke G z do tocke H:l. koja je na gornjoj horizontainoj plohi trece stepenice. Toeka Hz je bacena sjena tocke HJ koju dobijemo kao sjeciSte zrake s, polozene tockom H i zrake s. polozene tockom H'. Bacenu sjenu brida G H na gornju horizontalnu plohu trece stepenice odredimo tako da nademo tocku L, u kojoj ta ploha sijece produzeni brid G H) pa tu tocku spojimo s H:t. Od tocke 6 spu§ta se bacena sjena brida G H po prednjoj pobocki treee stepenice do tocke 5. Duzinu 6 5 dobit cerna tako da tocku 6 spojimo s toekom H, U kojoj brid G Ii probada prednju poboeku treee stepenice. Od tocke 5 nastavlja 5e bacena sjena toga brida do tocke 4) i ro tako da je duiina 54 usporedna s duZinom Hz 6, jer isti brid baca na usporedne ravnine usporedne sjene. Na kraju se duzinom 4 G~, koja mora biti usporedna s duzinom 65, dokoncava bacena sjena brida G H. Duzina 4 G", mora produzena· prolaziti kroz tocku K, u kojoj ravnina prednje poboeke druge stepenice sijece brid G H. ad tocke Hm nastavlja se hac-ena sjena brida HI usporedo· s tim brl. dom do rocke 7, ix koje se penje po zldu kuce prema tocki 1. Na tome se ,.putu ona lomi u to~ki 8, pa ide po gornjoj horizontalnoj ravnini donjega l.praga, i to usporedo s bridom H I do toeke 9, a iz te tocke penje se taO

91

90

sjena po vratirna usporedo s duzinom 7 I do tocke J,r, u kojoj -se zraka svjetlosti povucena !oekom J. U tocki J;r. nastavlja se zatim tika]nom smjeru bacena sjena prednjega brida lijevoga praga do L:lI

a du:Hna Lx K je bacena sjena brida L K.

Na donjem dijelu slike 104. prikazan je taj isti objekt svojim projek_ cijama. U tlocrtu je nacrtan njegov horizontalni presj~k M N gleda'n odozgo, a u lijevom bokocrtu njegov vertikalni presjek P R gledan s desne

strane. Konstrukcija njegovih sjena izvedena je u projekcijama na nacin koji je objasnjen u kosoj projekciji. Potrazite projekcije svih rastavnica toga objekta i njihovih ba to tlocrt C' C' pobocnog brida C C trostrane prizme sijece stranice tlocrta kvadratiene prizme u toe-kama l' i 2', koje su tlocrti probodista kv!:,!-draticne prizme s bridom C C. Nacrti 1" i 2" tih probodiSta nalaze se na duzini C" C'. Pobocni bridovi -F' if i G G prednje pobocke kvadraticne prizme pro~ badaju poboeku B Bee trostrane prizme u probodiStima 3 i 4. Tlocrti 3' l 4' tih probodista poklapaju se.3l1ocrtima tih bridova, a njihove nacrte 3" i 4" odredimo pomocu duzine 3 4. Na isti se naCin nadu pomocu duzlne 56 nacrti probodista 5 i 6 pobocke A ACe tro,strane prizme s bridovima E E i H H kvadraticne prizme. Projekcije tih probodista mogu se odrediti jos i na ova) nacin: ako ravninu pobocke E F FE produzimo do sjecista 5 bridovima A A i B B trostr-ane prizme, dobit cema toeke I i j, Tlocrti r i J' tih tocaka su pre~ sjecista pI"odu:lenj.a duzine E' F' s duz.inama A' A' i B' B', a niihovi nacrti

x:

I" i In su .n~ ?si Kad tocke I i J spojimo s tockom 1, dobit cerno duzinu J 1, na kala) )e locka 3, i duZinu 11 na kojoj je locka 5, Duzina_,!) je presjecnica pobocke E FiFE kvadraticne prizme s pobockom B Bee trostrane prizme '" "k E F F-- -' a isto tako'Je d UZlna I I preS)ecnlCa po b oc e E s poboclrom A A C C, v

V'

F't

t;n

H'I

6'1

:W H

C'

6 r- - - - i-----'1'H

I I I

C-

1--...

I

\-~~_f---+~f_,,~,~-4

4 ." d---..},;!-5---I

-;hi:+''T.~!:f_:::+fJ''-·-i':_:::_**',,-_i+_=,x~ :

A"j

;8" '

i

[

. •. ... .• K

I

F

1 3 ,-f--------tF I j

I I

At'

G

t- -;