Nacrtna geometrija : za I. razred građevinskih škola [PDF]

Zitiervorschau

-'Ie..., ~

JEVlcA PRAN~Ic!

N'ACRTNA GEOMET.RIJA ZA I RAZRED GRADEVINSKIH SKOLA

Napisao

dr JURAJ JUSTINIJANOVIC sveucilisni profesor

SKOLSKA KNJIGA ZAGREB 1965

Urednik JOSIP BRECEVIC strucni recenzenti dr VILKO NICE, sveueilisrii profesor VLADIMIR JIRASEK, profesor P. A. ALFRED ZEPIC, profesor

UVOD Odobr~o sekretarijat"·za skolstvo i 6brazovanje SRH rjesenjenl

br.

10-1021/'1

ad

16.

m

1965.

TISAK GRAFICKOG ZAVODA HRVATSKE -

ZAGREB

UPUTE NASTAVNIKU

Slike u ovoj knjizi nacrtane u kosoj projekciji, a koje sluze za objasnjavanje novih pojmova, poucaka i konstrukcija, neka nastavnik sarno skicira na pIoe;, a ucenici neka ih ne crtaju u skoli, jer bi se time utrosilo mnogo vremena, vee neka ill l . - "uce precrtaju iz knjige u. svoje biljeznice, i to tamo gdje one spadaju. _ ;-"dine Clanke u knjizi u kojima se obraduje takvo nastavno gradivo koje je slieno prije obradenome, a koje se ipak u tim Clancima detaIjno tumaci, moze nasta'.rnik, da bi dobio na vremenu, zadati ucenicima kao domaci rad. Medu zadacima ima takvih koji zahtijevaju mnogo crtanja. Takve zadatke nastavnik ce upotrijebiti kao zadatke za crteze ueenika, iIi ce neke od njih zadati boljim ucenicima kao posebne zadatke (seminarske radnje).

1. Zadatak nacrine iIi deskriptivne geometrije. Kad tehnicar crta neki postojeei tehnicki predmet, npr. stolicu, stol, ormar, kueu, most itd., kazemo da on vrsi s n i man j e toga predmeta, a kad crta neki tehnicki predmet koji ne postoji, vee ga je on zamislio, kazemo da vrsi 0 s n i v an j e toga predmeta iIi da ga projektira. Bilo da tehnicar snima, ili pak osniva neki predmet, on ga ne opisuje rijecima, vee ga prikazuje crtezima. Pomoeu tih crteza tehnicari se lako mogu sporazumjeti i onda kad jedan . ne razumije jezik drugoga. Nauka koja je dala tehnicarima sredstvo za medusobno sporazumijevanje·zove se nacrtna geometrija. Ona je iznikla u tehnickom svijetu i dugo je sluzila tehnickim potrebama iako kao nauka nije ni postojala. Tek je pri kraju 18. st. uspio Gaspard Monge [Gaspar Mom] izluciti Ciste geometrijske elemente iz njihovih raznolikih aplikatornih podrucja i stopiti ih u novu nauku. U svojem prvom udZbeniku nacrtne geometrije iz god. 1789. Monge je postavio ove zadatke nacrtnoj geometriji. »Prvo, ona ima da dade metode po kojima se na crtaeem papiru, koji ima sarno dvije dimenzije (duljinu i sirinu), mogu prikazati sve prostorne tvorevine, koje imaju tri dimenzije (duljinu, sirinu i visinu), a uz pretpostavku da se te tvorevine mogu tacno definirati. Drugo, ona ima da dade postupak po kojemu se iz tacnog crteza neke prostorne tvorevine moze upoznati nj ezin oblik, te mogu izvesti svi zakoni koji izlaze iz oblika i medusobnog polozaja njezinih dijelova«. Ima vise nacina po kojima se prostorni predmeti mogu tacno prikazati crtezima, a od tih nacina bit ee u ovom udzbeniku obradeni sarno oni koji se u gradevinarstvu i drugim tehnickim naUkama primjenjuju.

2. Centralno projicrranje. Na s1. 1. prikazan je izvor svjetla S i ravnina 'It. 1z izvora svjetla rasprostiru se zrake svjetla pravocrtno na sve strane i osvjetljavaju ravninu 'It. Ako izmedu izvora svjetla S i ravnine 'It zamislimo materijalnu tacku T koja je neprozirna, ona ee zaustaviti onu zraku svjetla koja na nju udari, pa ee se na ravnini 'It pojaviti tamna tack a Tc, koja se zove bacena sjena tacke T. Tacka Tc je ona tacka u kojoj 3

bi zraka ST koja je zaustavljena tackom T probola ravninu 11: kad bismo je produzili do te ravnine. Postavimo li izmedu izvora svjetla S i ravnine 11: trokut ABC od neprozirnog kartona, on ce zaustaviti sve one zrake koje na nj udare, pa ce se na ravnini 11: pojaviti tamni trokut AcBeCe, koji je bacena sjena toga trokuta. Tacke Ac, Be i Ce su one tacke u Kojima bi zrake SA, SB i SC koje su zaustavljene od tacaka A, B i C probole ravninu 11: kad bismo ih produzili do te tavnine.

5

3. Normalno proJIClranje. Na s1. 2. prikazana je ravnina 11: na koju padaju suncane zrake s pod pravim kutom. Buduci da suncane zrake dolaze iz udaljenosti od 150 mil. km, mozemo uzeti da su one medu sobom usporedne. Postavimo Ii izmedu Sunca i ravnine 11: materijainu tacku T i neprozirni trokut ABC, oni ce bacati svoje sjene na ravninu 11:, a te ce sjene biti tacka T' i trokut A'B'C'. Izlucimo sad a cisto geometrijske elemente iz toga promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC pri suncanoj rasvjeti kad zrake svjetia padaju na ravninu 11: pod pravim kutom. Tackorn T postavili smo okomicu na ravninu 11: i odredili smo njezino noziste T', a isto tako smo s vrhova trokuta ABC spustHi okomice na ravninu 11: i odredili njihova nozista A', B' i C', pa smo dobili vi-hove trokuta A'B'C'. C

n

A

Is

c' / Sl. 1.

Izdvojimo sada cisto geometrijske elemente iz toga promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC. Nepomicnu tacku S spojili smo s tackom T zrakom ST i tom zrakom proboli ravninu 11: u tacki Tc, a isto tako smo spojili tacku S s vrhovima trokuta ABC zrakama SA, SB i SC i tim zrakama proboli ravninu 11: u tackama AC, Be iCc, pa smo dobiIi vrhove trokuta AcBeCc. Kad zamislimo da smo cvrstu tacku S spojili zrakom s nekom tackom T, pa odredimo probodiste te zrake s nekom ravninom 11:, onda kazemo da smo tacku T projicirali iz tacke S na ravninu 11:. Tacka S zove se sre~ diste iIi centar projiciranja, zraka ST je zraka projiciranja, tacka Tc je centralna pTOjekcija iIi perspektivna slika tacke T, a ravnina 11: je ravnina centralne projekcije iIi perspektivne slike. Tako je trokut AcBeCe centralna projekcija ili perspektivna slika trokuta ABC iz tacke S na ravnini 11:, a zrake projiciranja vrhova toga trokuta su zrake SA, SB i SC. Takav nacin odredivanja sIike nekog predmeta zovemo centralnim projiciranjenn, jer sve tacke predmeta projiciramo iz jednog sredista ili centruma na neku ravninu 11:.

/

rr

A: T'

S'

/

81.2.

Kad s neke tacke T spustimo okomicu na neku ravninu 11:, pa odredimo noziste T' te okomice, onda kazemo da smo tacku T normalno iIi ortogonalno iIi okomito projicirali na ravninu 11:. Zraka TT; je normalna ili ortogonalnazraka projiciranja, tacka T' je normalna iIi ortogonalna projekcija tacke T,a ravnina 11: je ravnina normalnih ili ortogonalnih projekcija. Tako je trokut A'B'C' normalna iIi ortogonalna projekcija trokuta ABC na ravnini 11:. Takav nacin odredivanja slike nekog predmeta zovemo normalnim iIi ortogonalnim projiciranjem, jer sve tacke predmeta nor mal n 0 projiciramo i1a neku ravninu 11:. 4. Koso projiciranje. Na s1. 3. prikazana je ravnina 11: na koju padaju suncane zrake s koso i cine's tom ravninomostar kut (L. Postavimo li izmedu Sunca i ravnine 11: opet materijalnu tacku ~ i .t;rokut ~~~, oni ce bacati svoje sjene na ravninu 'It, koje ce biti tacka T i trokut ABC. 5

'Istaknimo i sada cisto geometrijske elemente iz tog promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC pri suncanoj rasvjeti kad zrake svjetla padaju koso na ravninu 11;. Tackom T povukli smo zraku s koso prema ravnini .'It j odredili tacku T u kojoj je ta zraka probola tu ravninu, a is to tako smo vrhovima tro-· kuta ABC povukli paralelne zrake koso prema 'It i odredili tacke A, 13 i C u koj~m~ ~u te zrake pro bole tu ravninu, pa smo dobili vrhove trokuta AB C.

2. malim latinskim kurzivnim slovima oznacivat cemo pravce i krivuIJe u prostoru, npr. a, b, c .... , 3. velikim grckim normalnimslovima oznacivat cemo ravnine i krive plohe, npr. A, B, r .... , 4. malim grckim normalnim slovima oznacivat cemo kutove, npr. IX, (3, 'Y • ••.. Kratice koje cemo upotrebljavati u ovom udZbeniku jesu: II = usporedan, =If = usporedan i j ednak, J. = okomit, b. = pravi kut, istovetan, identican, jer jedna zaklanja drugu kad ih gledamo u smjeru koji je okomit na TC l . Ako tloerti krajnjih tacaka duzine AB padaju u istu tacku, to ce i tlocrti svih ostalih tacaka te duzine pasti u tu tacku, pa ce tloert duzine AB biti tacka A' == B'. Iz pravokutnika ABB" An zakljucujemo da je A"B" =»= AB, a iz toga izlazi da je nacrt A"B" duzine AB okomit na osi x i jednak dmEni u prostoru.

eMu" C'~Dn

.....

U

B

~

N

TI,

B'

!L' i N,

\"1"'•

1

x

l[

81. 44. i 45.

Kad je duzina okomita na ravnini tlocrta, njezin je tlocrt tacka, a nacrt je okomit na osi x i jednak duzini u prostoru. Tacka C je ispred tacke D, zbog toga padaju njihovi naerti skupa, tj. C" ==D". Tacke C i D su tacke zakloniee s obzirom na TC 2 , jer jedna zaklanja drugu kad ih gledamo u smjeru koji je okomit na TC 2 • U tacku C" == D" pali bi i nacrti ostalih tacaka duzine CD, pa ce nacrt te duzine biti tacka C"==D". 1z pravokutnika CDD'C' izlazi da je tloert C'D' duzine CD okomit na osi x i jednak duzini u prostoru.

Kad je duzina okomita na ravnini nacrta, njezin je naert tacka, a Hoert je ok omit na osi x i jednak duzini u pro;;toru. 31

Na s1. 45. naertane su: A. - projekeije duzine AB koja je okomita na 'ltv a duga je 1,5 em, ako je njezina donja krajnja tacka B udaIjena 0,5 em od 'lt 1 , a 2 em .od 'lt2, B. - projekcije duzine CD koja je okomita na 'lt 2 , a duga je 1,5 em, ako je njezina straznja krajnja tacka D udaIjena 2 em od 'ltl, a 0,5 em od 'lt 2 ·

Kad je duzina usporedna' s ravninom tloerta, a kosa prema ravmm naerta, njezin je tloerf usporedan s tom duzinom i jednak njoj, a njez'in je naert usporedan s osi x i kraci od te duzine. . Na s1. 49. naertane su projekcije dliZine AB koja je duga 2,5 em, a usporedna je s 'lt 1 , ako je njezina lijeva krajnja tacka A udaljena 1,5 em

6. Duzina u jednoj ravnini projekcija. Na s1. 46. prikazana je duzina AB koja je u 'ltl i duzina CD koja je u 'lt2' Tloert A'B' duzine AB poklapa se s duzinom, a njezin je naert A"B" U osi x. Naert C"D" duzine CD poklapa se s duzinom, a njezin je tloert C'D' u osi x.

od

'ltl'

a 2 em od

'lt2'

te ta duzina cini s

'lt2

kut od 30·. A"

8"

V~,...----

a"

1>-------

10

~-

0"

u

.,/

""'~/'/ 8~B'

C'

0'

v1 i:

i:

! C'

O·

all

A'

A ~

i

l! ~

J1.

S'

SI. 46. i 41:

Kad je duzina u ravnini tloerta, njezin je tloert u samoj duzini, a njezin je nacrt u osi x. Kad je duzina u ravnininaerta, njezin je naert u samoj duzini, a njezin je tlocrt u osi x. Na s1. 47. naertane su projekcije: A. - dliZine AB koja je u 'lt 1l B. - duzine CD koja je u 'lt 2 . 7. Duzina usporedna s ravninom tlocrta. Na s1. 48. prikazana je duo. zina AB koja je usporedna s 'lt 1 , a koso stoji prema 'lt 2 • NaCinite model za taj slucaj.

1z pravokutnika ABB'A' izlazi da je tloert A'B' dliZine AB usporedan s dliZinom j jednak duzini u prostoru, a kako su krajnje tacke A i B te duzine jednako udaljene od 'lt 1 , to su naerti tih tacaka jednako udaljeni od osi x, pa je zbog toga naert A"B" duzine AB usporedan s osi x.

32

SI. 48. i 49.

.. X

Na toj slici najprije su naertane projekcije A' i A" tacke A, pa je tackom A' povucena zraka koja s osi x cini kut od 30°, a zatim je na tu zraku nanesena duiina A'B'=2,5 em. Naert A"B" te duzine naertan je taka da je iz tacke A" naertana zraka usporedo s osi x, a zatim je ta zraka presjecena u tacki B" ordinalom povucenom iz tacke B'. 8. DuZina usporedna s ravninom nacrta. Na s1. 50. prikazana je duzina AB koja je usporedna s 'lt 2 , a koso stoji prema 'lt 1 • Nacinite model za taj slucaj.

BuduCi da su krajnje tacke A i B te duzine jednako udaljene od 'lt 2 , to su njihovi tloerti A' i B' jednako udaljeni od osi x, pa je zbog toga tlocrt A'B' duzine AB usporedan s osi x. 1z pravokutnika ABB" A~' zakljucujemo da je naert A"B" te duzine usporedan s njom i jed,nak duzini u prostoru.

Kad je duzina usporedna s ravninom nacrta, a kosa prema ravntm trocrta, njezin je tlocrt usporedan s osi x i kraci je od nje, a njezin je nacrt usporedan s njom i njoj jednak. Na s1. 51. naertane su projekeije duzine AB koja je duga 3 em, a usporedna je s 'lt 2 , ako je njezina lijeva krajnja tacka A udaljena 2,5 em od 'lt 1, a 1,5 em od 'lt 2 , te ta duZina cini s 'ltl kut od 30·. Na toj sliei najprije su naertane projekeije tacke A, pa je tackom An povucena zraka koja s osi x Cini kut od 30·. Na tu zraku je zatim nanesena 3

Nacrina geometrija I

33

na jedan od nacina prikazanih u c1. 2. BuduCi da su donje krajnje tacke B '1t l , upotrijebit cemo metodu odredivanja prave velicine duzine pomocu diferencionog trokuta. U tacki V' postavimo okomieu na B'V' i na tu okomieu nanesimo I1'Vo=V",V", pa ce duzina B'Vo biti prava velicina duzine BV. Buduci da je duzina B'1To duga 4,5 em, to je greda BV duga 450 em iIi 4,5 m. Na isti naNn nade se duljina grede CV. U tacki V' postavi se okomiea na C'V' i na tu se okomieu nanese V'VO = V",V", pa je duzina C'Vo prava velicina duzine CV. Kako je duzina C'Vo duga 4,2 em, to je greda CV duga 420 em ili 4,2 m. i C tih greda u

x

Ll______-6

n,

A'

B'

Sl. 50. i 51.

Vjezbe

duzina A"B"=3 em. TIoert te duzine naertan je tako da je iz tacke A' naertana zraka usporedo s osi x, pa je zatim presjecena u tacki B' ordinalom povucenom iz tacke B".

v"

B"

An 1

e

:

v«-;

.

«~~l-

c·

......

A &---------~~ . //

M 1:100

s"

,l"

/

j':~ Vo 81. 52.

x

9. OdreUivanje prave velicine greda tronoga. Zadan je tIocrt i naert tronoga ABCV u mjeriIu 1 : 100; treba odrediti prave velicine njegovih greda AV, BV, CV (s1. 52). Kad je predmet naertan u mjerilu 1 : 100, znaci da duzina od 1 mm na erteZu predocava duzinu od 100 mm u naravi, ili duzina od 1 em na ertezu predo cava duzinu od 100 em = 1 m u naravi itd. Buduci da je tIoert A'V' grede AV usporedan s osi x, greda je usporedna s '1t2 (c1. 8). Njezina je prava velicina jednaka prema tome velicini njezinog naerta. Kako je naert A"V" dug 4,2 em, to je greda AV duga 4,2 em X 100 = 420 em ili 4,2 m. Grede BV i CV su u opcenitom poIozaju prema ravninarna projekcija, pa se njihove prave velicine moraju odrediti

1. U kojoj projekeiji imate pravu velicinu duzine, ako je duzina: . a) usporedna s '" i "2' b) okomita na "" c) okomita na "2, d) u f) usporedna s "" 15) usporedna s "2?

r

M 1'5

A"

S"

c"

e) u "2'

E"

~I Oil

;0

11

N ,:

7. 1,

Ii)

:;l-:

x

e'Jl

:

A~ ,:l~ a kad ga gLedamo u smjeru projiciranja na 11: 2 , vidimo njegovu donju stranu. Buduci da se svaki ravan viSekut moze podijeliti dijagonalama na dva iIi vise trokuta, ta pravila vrijede i za odredivanje vidljivosti visekuta. Na s1. 73. rijesen je i ovaj zadatak: Zadan je tLoeTt T' tacke T koja je u trokutu ABC; treba naci njezin nacTt. Tackom T i jednim vrhom trokuta, npr. vrhom B, povucimo pomocnu duzinu BD toga trokuta. Njezin tlocrt B'D' mora prolaziti tackom T' i tackom B', a njezin je nacrt B"D". Na nacrtu B"D" te poprecnice mora biti trazeni nacrt T" facke T. Na s1. 74. rijesen je i ovaj zadatak: Zadan je nacTt T" tacke T kOj(l je u tTokutu ABC; tTeba naci njezin tIoen. Mjesto da taj zadatak rijesimo pomocu poprecl1lce trokuta koja bi isla tackom T i jednirn vrhom trokuta, povucirno sada poprecnicu koja ide tackorn T, a usporedna je s jednom njegovorn stranicom, npr. stranicom AB. Njezin je nacrt D"E" usporedan s A"B" i ide tackom T", a 46

Buduci da su nacrti vrhova trokuta ABC u osi x, zakljucujemo da su ti vrhovi u ravnini Tel (§ 7, c1. 5). Trokut a. ABC je prerna tome u ravnini Tel' On se poklapa sa svoAll Btl e" 1 1 jim tlocrtom, a njegov je ---------~~ nacrt u osi x. F"

A

~E" !

A'~C'

F'

D'

B' 81. 75.

E'

Vrhovi trokuta DEF imaju svoje tlocrte u osi x, a to zna~i da su oni, kao i trokut, u ravnini Te2 • Trokut DEF koji je u ravnini Te 2 poklapa se dakle sa svojim nacrtom, a njegov je tlocrt u osi x.

B. - T r 0 k u t us p 0 red a n s jed nom r a v n i nom p r oj e k c i j a. Na s1. 76. nacrtane su projekcije trokuta ABC i DEF.

Nacrti vrhova trokuta ABC jednako su udaljeni od osi x, pa su prema tome ti vrhovi jednako udaljeni od ravnine Tel' Trokut ABC usporedan je dakle s ravninom Tel, pa je njegov tlocrt njemu sukladan trokut (§ 5, c1. C), a njegov nacrt je duzina usporedna s osi x. Buduci da su tlocrti vrhova trolmta DEF jedna'ko udaljeni od osi x, zakljucujemo da su ti vrhovi jed·· nako udaljeni od ravnine Te 2 • Trokut DEF usporedan je prema tome s ravninom Te 2, pa je njegov nacrt njemu sukladan trokut (§ 5, c1. C), a njegov tlocrt je duzina usporedna s osi x. C. ~ T ro k u t 0 k omit na ravnini Tel.Na s1. 77. prikazan je. trokut

F"

~

0'

F'

£'

81. 76.

47

ABC cija je ravnina A okomita na ravnini 71: 1 , Pravac d 1 u kojemu ravnina A sijece ravninu 71:1 zove se prvi trag te ravnine, a pravac d 2 u kojemu ona sijece ravninu 71:2 je njezin drugi trag. Izrezite od ertaceg papira kvadrat (10 em X 10 em) i na njemu nacrtajte trokut 1t, modela ravnina projekeija kao na sl. 77. Kako stoji prema osi x drugi trag koje god ravnine okomite na 1t,? ABC, pa ga postavite okomito na

Ravnina koja je okomitp. na 71: 1 , a kosa prema 71: 2 , zove se prva ravnina projiciranja iIi prva ravnina prometalica. Njezin prvi trag cini s osi x onaj kut ~ sto ga ta ravnina zatvara s' ravninom 71: 2 , a njezin je drugi trag ok omit na osi x. BuduCi da jeprva zraka projiciranja AA' neke tacke A ravnine A okomita na 71:11 ona je u ravnirti A, pa zbog toga mora tlocrt A' tacke A biti u prvom tragu d 1 te ravnine. To vdjedi i za svaku drugu tacku B iIi C te ravnine, kao i za svaki ravan lik (npr. trokut ABC) koji je u toj ravnini. Iz toga razmatranja izvodimo ovaj poucak: li

Svaki ravan Uk koji je u prvoj ravnini projiciranja ima svoj tlocrt prvom tragu te ravnine.

e"

i

Nakon tih objasnjenja mozemo sada rijesiti ovaj zadatak: Zadana je duzina AB [A (2; 1; 1), B (4; 2,5; 1,5)]; treba nacrtati projekcije istostranicnog trokuta kojemu je duzina AB stranica, ako je njegova ravnina okomita na ravnini 71: 1 , Pomocu zadanih koordinata tacaka A i B nacrtajmo najpdje projekcije A'B' i A"B" duzine AB (s1. 78). Prvi trag d 1 ravnine A toga trokuta odreden je tlocrtom A'B' te duzine, a njezin drugi trag d 2 okomit je na osi x. Da bismo nasli projekcije C' i C" treceg vrha C, moramo odrediti pravu velicinu trokuta ABC i utvrditi njegov polozaj u prostoru. Nadimo zbog toga pravu velicinu AoBo duzine AB tako da preklopimo na 71:1 oko prvog traga d 1 njezin prvi trapez projiciranja AA'B'B (§ 8, c1. 2. A), pa konstruirajmo istostranicni trokut AoBoCo. Ako sada okretanjem za kut od 90° oko prvog traga d 1 dovedemo u vertikalni polozaj onaj dio crtaceg papira na kojemu je nacrtan troku't AoBoC o, dobit cemo polozaj u prostoru trokuta ABC s obzirom na ravninu 71:1' Spustimo Ii sada iz tacke C u okomicu na prvi trag d i , dobit cemo tlocrt C' tre6eg vrha C. Duzinom CoC' odredena je udaljenost vrha C od 71: 1 , pa pomocu nje nademo nacrt C" treceg vrha jer mora biti CxC" =CoC', a time je nacrt trokuta odreden. D. -- T r 0 k u t 0 k 0 mit n a r a v n i n i 71:2' Trokut ABC cija je ravnina 1: okomita na 71:2 prikazan je na s1. 79. Prvi trag Sl te ravnine okomit je na osi x, a njezin drugi trag S2 cini s osi x onaj kut a 1 sto ga ta ravnina zatvara s ravninom 71:1' Postavite kvadrat od ertaceg papira na kojemu je naertan trokut ABC, a koji je posluzio kao model za zadnji zadatak, okomito na 1t2 modela ravnina projekcija kao na s1. 79.

j

ex

i

K

~--~~r-~--~¢------+!----

i

TI,

Sl. 77. i 78.

48

Ravnina koja je okomita na 71: 2 , a kosa prema 71:1' zove se druga ravnina projiciranja iIi druga ravnina prometalica. Buduci da je druga zraka projiciranja 'svake tacke ravnine 1: u toj ravnini, mora njezin nacrt biti u drugom tragu S2 te ravnine. Nacrt A"B"C" trokuta ABC, kao i svakoga drugog visekuta ravnine 1:, bit ce prema tome u drugom tragu S2 te ravnine. 1z toga razmatranja izvodimo ovaj poucak: Svaki ravan lik cija je ravnina okomita na ravnini nacrta ima svoj nacrt u drugom tragu svoje ravnine. Na s1. 80. rijesen je ovaj zadatak: Treba nacrtati projekcije istokracnog troicuta, ako je njegova ravnina okomita na ravnini 71: 2 , osnovica mu je duzina AB[A (D,S; 0,5; 2,5), B (2,5; 1; 1)], a svaki je njegov krak dug 2 cm. Nacrtajmo najpdje projekcije A'B' i A"B" duzine AB pomocu zadanih koordinata tacaka A i B. Drugi trag S2 ravnine1: toga trokuta odreden je nacrtom A"B" duzine AB, a njezin prvi trag S1 okomit je na osi x. Da bismo naSh projekcije C' i C" treceg vrha C, moramo odrediti pravu 4

Nacrtna geomettija I

49

3. Naertajte projekeije trokuta ciji su vrhovi A (1; 3; 2), B (4; 4; 4) i C (2,5; 1,5; 1), zatim na posebnom papiru konstruirajte njemu sukladan trokut, pa ga izrezite i postavite iznad tlocrta trokuta ABC taka da dobijete pravi polozaj u prostoru trokuta ABC. 4. Odredite koja se strana vidi u tloertu, a koja u nacrtu trokuta iz vjezbe 1,2. i 3.

CO

.~1\

:«../. \ AO

A"!

[

': v ,

A'

;z-~;

'~'----p\ B C",

.

, • ,

c'

O

,/

)( '

!

5. Nacrtajte projekcije trokuta Ciji su vrhovi A (1; 1; 1), B (4; 2; 2) i C, aka je vrh C 4 em iznad 'TC a C' je u polovistu duzine A'B'. Nadite pravu velicinu toga tro" kuta i odredite njegov polozaj u prostoru. 6. Nacrtajte projekcije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1; 1), B (4; 2; 3) i C, aka je~ C 3 em ispred 'TC 2 , a C" dijeli duzina A"B" u omjeru A"C": B"C" = 1 : 2. Nadite pravu velicinu toga trokuta i odredite njegov polozaj u prostoru. 7. Nacrtajte projekcije istostranicnog trokuta kojemu je stranica dliZina AB

• S'

[A (0,5; 2,5; 1), B (3; 1; 1,5)], a njegova je ravnina okomita na ravnini tlocrta.

,

s,

8. Nacrtajte projekcije istokracnog trokuta, aka je njegova ravnina okomita na ravnini nacrta, osnovica mu je duzina AB [A (1; 1,5; 1), B (4; 1; 2)], a svaki je njegov krak dug 3·cm.

§ 11. PROJICIRANJE VISEKUTA

81. 79. i 80.

veliCinu trokuta ABC i utvrditi njegov polozaj u prostoru. Nadimo zbog toga pravu velicinu AOBo duzine AB tako da preklopimo na Ti:2 oko drugog traga d 2 njezin drugi trapez projicil'anja (§ 8, CL 2. A), pa konstruirajmo trokut AOBoco na kojemu je Aoco=Boco=2 ern. Ako sad a okretanjem za kut od 90° oko drugog traga d 2 dovedemo u vertikalari palozaj onaj dio crtaceg papira na kojemu je nacrtan trokut AOBoco, dobit cemo polozaj u prostoru trokuta ABC s obzirom na ravninu 11: 2 , Spustimo Ii sada iz tacke Co okomicu na drugi trag'd 2 , dobit cemo naert C" treceg wha C. Duzinom COC" odredena je udaljenost vrha C od '1t 2 , pa pomocu nje nademo Hoert C' treceg vrha jer mora bHi CxC' =coC", a time je tlocrt trokuta odreden. Dosad smo konstruirali projekcije trokuta koji je bio u osobitom polozaju prema ravninama projekcija, a kako se konstruiraju pl'ojekcije nekog tl'okuta kojemu su z a dan e duljine stranica, a on je u 0 pee m polo Z a j u prema ravninama projekcija, to cema vidjeti kasnije.

1. KOllstrukdje pravHnog viSe1mta u. zadanoj kruznici. A. - 1st os t ran i c 11 i t r 0 k u t. Nacrtajte istostranicni tl'okv.t u kruzniei kojoj je poLumjeT r = 2 ern (s1. 81). .

B 81. 81. i82.

Vjezbe 1. Nacrtajte projekcije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1,5; 1), B (4; 3; 3,5) i C (5;

1,5; 2), pa konstruirajte trokut koji je njemu sukladan. Up uta: Nadite prave ve1icine stranica trokuta, pa pohlocu njih konstruirajte trazeni trokut. 2. Nacrtajte projekeije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1; 2), B (3; 3; 1) i C (5; 2; 3), zatim konstruirajte njemu sukladan trokut, pa ga postavite iznad tlocrta trokuta ABC tako kako to odrequje njegov nacrt.

50

Nacl'tajie kl'uznicu s polumjeroHl 1'=2 em, pa povucite koji god njezin promjer DC. OpiSete Ii zatim ako tacke D kruini luk s polumjerom kl'uznice, on ce presjeCi kruznicu u tackama A i B koje s tackom C daju vrhove trazenog istostl'anicnog trokuta.

B. -

K v a d rat. Nacrtajte kvadrat u k1'uzniei kajoj je poLumjer

r=2 ern (s1. 82).

51

Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koja god dva njezina meau sobom okomita promjera AC i BD. Tacke A, B, C i D su vrhovi trazenog kvadrata.

zina LI iIi LJ priblizno je jednaka stranici pravilnog sedmerokuta. Uzmete li sada duZinu LI u sestar i prenesete je na kruznieu kao tetivu .desno i lijevo od tacke A, dobit eete vrhove pravilnog sedmerokuta.

C. - P r a viI nip e t e r 0 k uti des e t e r 0 k u t. Nae1'tajtep1'avilni pete1'okut u kruzniei kojoj je polumje1' 1'=2 em (s1. 83). Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koji god njezin promjer GH. Odredite zatim polQviste P polumjera SG i naertajte polumjer SA koji je okomit na promjeru GH. Sada oko tacke P opisite kruZni Iuk tackom A i presijeeite njime promjer GH u tacki I. DuZina AI jednaka je stranici pravilnog peterokuta. Ako sada uzmete u sestar duzinu AI pa je prenesete na kruzniCu kao tetivu pet puta, dobit eete vrhove pravilnog peterokuta.

F. - P rib Ii z n a k 0 n s t r uk e i j apr a viI n 0 g vis e k uta. Naertajte pravilnin-terokut u kruzniei kojoj je polumjer 1'=2 em, aka je n=9 (s1. 86). A

A

K

c

H

A

o

SI. 83. i 84.

Duzina SI jednaka je stranici pravilnog deseterokuta koji je upisan u toj kruzniei. D. - P r a viI n i s est e r 0 k u t. Naertajte pravilni seste1'okut n krt.znici kojoj je polumje1' 1'=2 em (s1. 84). Naertajte kruznieu s poIumjerom 1'=2 em, pa povucite koji god njezin promjer AD. Ako sada oko jedne i druge krajnje tacke toga promjera opisete kruzne. lukove s polumjerom kruzniee, oni ee presjeCi kruZnieu u tackama B, F i C, E koje s tackama AiD daju vrhove pravilnog sesterokuta.

11,

E. - P ra viI n i sed mer 0 k u t. N ae1'taj te pravilni sedmerokut kruzniei kojoj je polumjer 1'=1,7 em (s1. 85).

N aertajte kruZnieu s polumjerom r= 1,7 em, pa povucite koji god njezin promjer AH. Opisite zatim oko· tacke H kruzni luk s polumjerom kruznice i presijecite kruznieu u tackama I i J. Polovina tetive IJ, tj. du52

SI. 85. i 86.

Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koji god njezin promjer AJ i razdijelite ga na toliko jednakih dijelova koliko visekut. ima straniea. OpiSite kruzni Iuk s promjerom kruzniCe oko tacke A, a zatim oko tacke J. Neka se ti kruzni lukovi sijeku u tackama K i L. Ako sad a spojite tacke K i L sa svakim drugim djelistem promjera AJ (s 2, 4, 6 i 8) i te spojniee produzite preko tih djelista do sjecista s kruznieom, dobit eete vrhove B, C, D, E, F, G, H i I pravilnog deveterokuta. Ta konstrukcija nije tacna, vee samo pribIiZna. 2. Konstrukcije pravilnog viSekuta kojemu je zadana stranica. A. s t ran i c n i t r 0 k u t. Naertajte istostranicni trokut kojemu je straniea AB = 3,5 em (s1. 87). Naertajmo duZinu AB=3,5 em, pa opisimo oko tacaka A i B kruZne lukove s polumjerom r=AB=3,5 em. Ti se Iukovi sijeku u treeem vrhu C istostranicnog trokuta ABC.

,I s t

0

B. - K v a d rat. Naertajte kvad1'at kojemu je straniea AB=3 em (s1. 88). Naertajmo pravi kut kojemu je vrh A, pa na jednom kraku kutu istaknimo duzinu AB=3 em, a na·drugom duzinu AC=3 em. Povucemo Ii zutim tackom B usporednieu sa stranieom AC, a tackom C usporednieu sa stranieom AB, one ce se sjeCi u cetvrtom vrhu kvadrata ABCD. 53

Naertamo Ii dijagonale kvadrata, one ee se sjeei u tacki S koja je srediste u kvadratu upisalne kruzniee, kao i srediSte oko kvadrata opisane kruznice. C

1//-

T7 I( /

"- , / 1"-

/

I

------

/

,-

A

3,5

/

/

\

\ \

\

~

8

\

\

/

"- S /

,

/

/

'

\

\

\

A

/

\

~ /~

/

IX '"

I", '--

"-

,

\

\

/

,I

)(

\

I

", 0

"/ y ,

/

"-

I

,,

,

-',

',

",II \ \

...... ,

.

""- "-

-'

/

3 ___ ,

/

"-

/

/

/

/

/"-- "-

D. - P r a viI n i 15 est e r 0 k u t. Nacrtajte pravilni sesterokut kojemu je stranica AB = s = 2 em (s1. 90). Nacrtajmo duZinu AB=2 em, pa odredimo kao na s1. 87. treei vrh S istostranicnog trokuta ABS koji je sestina trazenog sesterokuta. Tacka S je srediSte one kruzniee koja se oko trazenog pravilnog sesterokuta moze opisatL Opisimo stoga oko tacke S kruznicu polumjerom r=s=2 em. Ta se kruznica sijece s kruznim lukovima naertanim oko tacaka A. i B u tackama C i F koje su vrhovi pravilnog sesterokuta. Nacrtamo Ii na kraju oko tacaka F i C kruzne lukove s polumjerom r=s=2 em, oni ee se sjeCi s kruznieom u tackama E i'D koje su takoder vrhovi pravilnog sesterokuta.

/

I

CC1 . i DD j rneau soborn su usporedrii i svi su okorniti na razrnotanirn osnovnirn bridovirna. Mreza kvadra sastoji se od dva pravokutnika s dirnenzijarna 2 em X 2,5 em, zatim od dva pravokutnika dirnenzija 1,5' em X 2,5 em te od dva pravokutnika s dirnenzijarna 2 em X 1,5 em.

t.1 0"

0'"

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje kvadar koji ce vam kasnije trebati.

4. Projekcije pravilne trostrane prizme i njezina mreza. Naertajtc projekcije i rnrezu praviIne trostrane prizrne kojoj je osnovni brid dug 2 em, a pobocni 2,5 em, ako je jedna njezina pobocka u ravnini 'lt l , a njezirLi su pobocni bridovi okorniti na ravnini 'lt2 (s1. 140).

y Sl. 138.

Prornatrarno Ii zatirn taj kvadar u srnjeru norrnalnog projiciranja na ravninu 'lt 2, vidjet cerna sarno njegovu prednju pobocku ABB1 A l , pa ce zbog toga naert A"B"B/' A/' te pobocke biti i nacrt citavoga kvadra. Na kraju, kada prornatrarno kvadar u srnjeru norrnalnog projiciranja na ravninu 'lti, vidirno sarno njegovu desnu pobocku BCC1B v pa Se zbog toga s bokoertorn B"'C"'C/"B/" te pobocke poklapa i bokoert citavoga kvadra.

z En>

Y.

A"

E" F"

F'"

C'"

B'"

om

S"

A"

ic'

0';

A,

Bf

F'

'",.: B.

Af

C,

"'N

A,

O.

"

"

"'--"--

III

N

2

1,5

B

2

c

B

>-,

81. 139.

88

1,5

~l

~

A

'l" AI Iy

E' 2

IS'

81. 140.

Pobocka ABCD te prizrne koja je u 'ltl poklapa se sa svojorn prvorn projekcijorn A'B'C'D'. Njezin naert je duzina A"B" == C"D" koja je u osi x, a njezin bokocrt je duzina B"'C'" == A"'D'" koja je u osi y. Prednja osnovka ABE- i straZnja osnovka CDF projiciraju se na 'ltt kao dliZine usporedne s osi x, na 'lt2 u pravoj velicini, a na 'lta kao duzine usporedne s 89

F

o

F

c

F

~------+-------~----~--r

I

~I

I

2

2

~------~-------+------~ .--L

E

B

A

E

E;

osi z, jer su te osnovke okomite na 1CI i na 1Ca, a usporedne su s 7t2' Pobocni pravo-' kutnici AEFD i BCFE okomiti -su na 7t2,· a kosi prema 1C 1 i 1C 3 , pa se oni projiciraju na 7t2 kao duZine, na 7tl kao pravokutnici A' E' F' D' i B'C'F'E', a njihovi se bokocrh poklapaju. Granica t10crta te prizme je pravokutnik A'B'C'D', granica nacrla je istostranicni trokut A"B"E", a granica bokocrta je pravoku tnik B'"C"'F'"Em.

pobocke ABBIAI i ACClAl , a kad je promatramo odsprijeda u smjeru normalnog projiciranja. na ravninu 1C 2 , vidimo njezine prednje pobocke ABBIAl i BCCIB l , a osnovke nam. se projiciraju kao duzine. Promatramo Ii tu kosu prizmu s desne strane u smjeru normalnog projiciranja na ravnInu 1Ca, vidimo sarno njezinu pobocku BCC1Bl> a osnovke se opet projiciraju kao duzine..

Kad sve pobocke i obje osnovke te prizme razmotamo na ravninu crtnje, dobijemo mrezu te prizme (st 141). Dna se sastoji od tri sukladna pravokutnika (2 cm X 2,5 cm) i od dva istostranicna trokuta kojima su stranice duge 2 cm. 81. 141.

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje pravilnu trostranu prizmu koja ce yam kasnije trebati. 5. Projekcije kose trostrane prizme. Nacrtajte sve tri projekcije kose trostrane prizme kojoj je donja osnovka ABC fA (0,5; 1,5; 0), B (1,5; 3; 0), C (3; 1; OJ}, a vrh gornje osnovke Al (4,5; 2,5; 4) (s1. 142). Najprije se nacrtaju sve tri projekcije zadanih odredbenih elemenata, tj. trokuta ABC i vrha Ai' Zatim se nacrtaju projekcije A'At', A"At" i A'" A/" pobocnog brida AAl te prizme. Buduci da su svi pobocni bridovi kose prizme usporedni i jednaki, oni moraju imati usporedne i jednake istoimene projekcije, pa su prema tome duzine B'B/ i C'Cl ' usporedne i jednake s duzinom A' A/, zatim duzine B"B/' i c"ct usporedne i jednake s .duzinom A"A/', a duzine B"'B/" i CIIIC/" usporedne i jednake s duzinom A"'A/". Na kraju se nacrtaju projekcije A/B/C/, Al"B/,C/' i A/"B/"C/" gornje osnovke AIBICI • Ako su projekcije ispravno crtane moraju se u tacki C/' sjeci ordinala iz tlocrtaC/, pravac iz C" usporedan s A"At i pravac iz At usporedan s osi x. ViSekut A'B'B/C/C' je granica tlocrta te prizme, a granica njezinog nacrta, odnosno bokocrta je paralelogram A"C"Ct A./, , odnosno BIIIC"IC/"B/". Kad promatramo tu kosu prizmu odozgo u smjeru normalnog pro.jiciranja na ravninu 1C I , vidimo njezinu gornju osnovku A I B I C1 i njezine

: c~

t··--~-Sl. 142.

Na s1. 142. rijesen je jos i ovaj zadatak: Zadan je tlocrt M' tacke M koja je na pobocki ABB1Al:; treba odrediti njezin nacrt M". Ako su krajnje tacke izvodnice koja icle tackom M tacke D i D l , onda njezin tlocrt D'Dt' mora ici tackom M' usporedo s duzinom A'Al '. Odredimo Ii zatim nacrte D" i D/' njezinih krajnjih tacaka, bit ce duZina D"D/, nacrt te izvodnice na koj~j se mora nalaziti trazeni nacrt M" tacke M, i to 11 sjeciStu duzine DODt i ordinale povucene tackom M'. S tlocrtom M' tacke M poklapa se tlocrt N' tacke N koja je na pobocki BCC1B I . Da bismo odredili nacrt N" te tacke, moramo najprije nacrtati tlocrt E'Er', a pomocu njega nacrt -ENE/, one izvodnice EEl koja ide tom tackom. Na njezinom nacrtu E"E/' nalazi se trazeni nacrt N" tacke N. Tacke MiN su tacke zaklonice s obzirom na ravninu 7t 1.

"..

!

90

91

Ako na nacrtu E"Et izvodnice EEl oznaCimo nacrt S" neke tacke S koja je na toj izvodnici, onda tlocrt S' te tacke mora biti na tlocrtu E'E/ te izvodnice. Ali u tacki S" nalazi se jos i nacrt T" tacke T koja je na pobocki ACC1A 1 . Da bismo nasH tlocrt T' te tacke, moramo najprije nacrtati tlocrt F'F/ one izvodnice FFI koja ide tackom T, pa ce na njoj biti trazeni Hoert T' tacke T. Tacke SiT su tacke zaklonice s obzirom na ravninu 11:2 , Bokoerti tacaka M, N, SiT naneni su na s1. 142. na najkraci nacin, ito prenosenjem nalijevo od osi z pa ordinalekoje idu nacrtima tih tacaka okomito na os z u udaljenosti tloerta tih tacaka od osi x. 6. Projekcije prizme-koja nije u frontalriom polozaju. Kad je osnovka uspravne prizme u jednoj ravnini projekcija iIi je s njom usporedna, a barem je jedna njezina pobocka u drugoj ravnini projekcija ili. je s njom usporedna, onda za takvu ptizmu kazemo da je u frontalnom poLoz-aju. Prizme koje smo do sad ertali bile su u frontalnom polozaju. Tehnicar postavi predmet koji hoce da naerta. obicno u frontalni polozaj, jer je tada konstrukcija tloerta i naerta predmeta mnogo laksa. Mi cemoi ubuduce frontalnom polozaju predmeta davati prednost, ali radi sto boljeg razvijanja sposobnosti za prostorne predodzbe vjezbat cemo se kadikad i u ertanju predmeta koji nisu u frontalnom polozaju. A. - K v a dar (cl. 3) kojemu je mreza nacrtana na s1. 139. postavite na model ravnina projekcija tako da njegove dvije pobocke budu okomite na 11: 1 , a da s 1'2 cine kut od 30". Kakve ce biti njegove projekcije'r

Tlocrt tako polozimog kvadra je u samoj osnovci ABCD. Nacrti osnovaka i u ovom su slucaju duzine od kojih je jedna u osi x, a druga je usporedna s osi x. Dvije prednje pobocke ABB1Al i ADDIAI u nacrtu se vide, a ne vide se dvije straznje pobocke BCCIBI i CDDICI , kao ni njihov zajednicki brid CC1 . U bokocrtu toga kvadra vide se pobocke ABBIAI i BCCI B 1 , a ne vide se pobocke ADDIAI i CDDICI , kao ni njihov zajednicki brid DD 1 • Koja je granica naerta te prizme, a koja bokoerta? B. - P r a viI nut r 0 s t ran u p r i z m u (el. 4) postavite na model ravnina projekcija tako da joj je jedna pobocka u 7t" a njezine osnovke da su okomite na. 7t, i cine s 7t2 kut od 60°. Projekcije tako polozene prizme nacrtane su na s1. 144.

z

'/60· ,,

.... _---\

\ \

, , .- ----.----- .___~~~t \

C' Z

A'~

B~

D~l

:I

C~I

D~

------- -------------.

A'~

[ I I I

I I I

I I I

I y"

/1."

Sill

io"'

B:

C~

81. 144.

f

C"'

0"

A"

,

jc" i :

B" 30,}-/

_______ ~_I:///

-t'

i

B'

Sl. 143.

{92, l.",,_.~

x

Njezin tloert je pravokutnik A'B'C'D' sa srednjicom E'F', kojemu dvije stranice Cine s osi x kut od 60°. Naert one pobocke koja je u 1'1 je u osi x. Na'ert A"B"E" prednje osnovke ABE koja je okomita na 1'1 odredi se kao u § 10, c1. 2. C pomocu preklopa ABEo te osnovke oko stranice AB na 1'1' Naerta se istostranicni trokut A'B'Eo, pa je udaljenost tacke En od A'B' jednaka udaljenosti naerta En od osi x, tj. EoE' = ExE". Tackom E" ide paralelno s osi x do tacke F" naert gornjega pobocnog brida EF. Nacrt D"C"F" straznje osnovke sUkladan je s naertom A"B"E" prednje osnovke. U naertu se vide prednja osnovka ABE i prednja pobocka BCFE, a ne vide se straznja osnovka CDF i straznja pobocka DAEF.

r-::, \ 93 \ '-- .... '

, t

U bokocrtu se vide osnovka CDF i pobocka BCFE, a ne vide se osnovka ABE i pobocka ADFE. Koje su granice tlocrta, nacrta i bokocrta te prizme?

0,

I 20

~o

60

10

20

J-"T I

oi

'" j Vjezbe

(3,5; 3; z).

.

5. Nacrtajte sve tri projekeije: a) peterostrane, b) sesterostrane pravilne prizme kojoj je.osnovni brid AB [A (5; 5,5; 0), B (6; 4; 0)], a visina v = 5 em, ako su njezine osnovke okomite na ravnini ~I' 6. Naertajte sve tri projekeije pravilne sesterostrane prizme kOjoj je osnovka ABCDEF okomita na ravnini ~" ako je dijagona1a njezine prednje osnovke AD [A (1; 4; 2,5), D (3; 6,5; 2,5)), a visina prizme v = 5,5 em. 7. Nacrtajte u mjerilu 1: 1 sve tri" projekeije prizmaticnog tije1a kojemu je osnovka u ravnini ~I' a njegov tloert i naert zadani su u mjerilu 1 ; 2 a) na s1. 145, b) na s1. 146, c) na s1. 147. 2,S

I

r

I

D"

,

. on]I

c"

iI

L

L---4----I~

M 1:30

,

1 1 1

I I I I

..

1 I

L..J_

LJ

I' I 0 I I I

,

t

01

Ifl,

I

-----L

~

120

I 81. 148. 149. i 150.

S. Nacrtajte u mjeril.u 1 : 15 sve tri projekeije betonske klupe koja je zadana na s1. 148. u mjerilu 1 : 30. 9. Nacrtajt'e u mjerilu 1 : 15 Bye projekcije betonske klupe koja je zadana na s1. 148, ako njezini uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 30°. 10. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve projekcije konzole s kvadratienom plocom koja je zadana na s1. 149. u mjerilu 1 : 20. 11. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 . sve tri projekcije konzole s kvadratienom ploeom koja je zadana na s1. 149, ako njezini uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 60". 12. Naertajte u mjerilu 1: 2,5 sve tri projekcije prizmaticnog tijela koje je zadano na 81. 150. u mjerilu 1 : 5. 13. Naertajte u mjerilu 1; 2,5 sve tri projekcije prizmatieuog tijela koje je zadano na s1. 150, ako njegovi uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 30°.

8,,1,51'

I E"

I

'-

1. Naertajte sve tri projekcije pravilne sesterosttane prizme kojoj je osnovni brid dug 2 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~" a jedna je dijagonala te osnovke uporedna s osi x. 2. Naertajte sve tri projekcije pravilne peterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 2 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~2' a jedna je straniea te osnovke usporedna s osi x. 3. Naertajte svetri projekcije pravilne trostrane prizme kOjoj je osnovni brid dug 2,5 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~3' a jedna je stranica te osnovke usporedna s osi z. 4. Naertajte sve tri projekcije kose eetverostrane prizme kojoj je donja osnovka para1e1ogram ABCD [A (4,5; 2,5; 0), B (5,5; 4; 0), C (7; 2; 0), D], a vrh gornje osnovke Al (0,5; 1,5; 4), zatim odredite naerte tacaka MiN, ako je njihov tloert M' == N'

11

-ri C>

A"

B"

1

~

I

D" )

",I

E"

i

I I

C'

I

L

B"

A" 40

I

!

IF" I

1

A"

I

I

B' C'

A' F'

EO>

l;I I I C" I BOO 4

M

I

OJ] [][IT A' E'

D'

B' C'

A' E'

0'

E' 0'

B'

c'

M 1:2

!!II. 145, 146. i 147.

Sl. 151, 152, i 153.

.95 .

Piramida je uspravna kad su njezini pobocni bridovi jednaki, .a kad su oni razliCiti, ona je kosa. Uspravna piramida kojoj je osnovka praviini visekut zove se krace pravilna, njezine su pobocke sukladni istokracni trokuti. Pravilna cetverostrana piramida zove se krace kvadraticna piramida.

14. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve tri projekcije ogradnog stupa koji je :;;adan na s1. 151. u mjerilu 1 : 20 a) ako je on u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njegovih prizama cine s ravninom 1t, kut od 30°. 15. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve tri projekcije drvenog stalka koji je zadan na s1. 152. u mjerilu 1 : 15 a) ako je on u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njegovih prizama cine s ravninom 1t2 kut od 30°. 16. Nacrtajte u mjerilu 1: 20 sve tri projekcije drvene konstrukcije kdja je zadana na s1. 153. u mjerilu 1 : 40 a) ako je ona u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njezinih prizama cine s ravninom 1t, kut od 30°.

§ 18. PROJICIRANJE PIRAMIDE 1. 0 piramidi. Ako pravac p (s1. 154) koji nije u ravnini visekuta ABCDE .. '. klize po stranicama toga visekuta, a pri tome prolazi cvrstom

tackom V, on ce opisati piramidasttL plohu. Dio prostora sto ga omeduje ta ploha zove se piramidasti prostor. Pojedini polozaji pravea p zovu se izvodniee, visekut ABCDEF je provodnica, a tacka V je vrh piramidaste plohe. Ravnine od kojih se sastoji piramidasta ploha iovu s'e pobocke iIi strane te plohe. Svake dvije susjedne pobocke sijeku se u pobocnom bridn piramidaste plohe.

Svaka ravnina koja ide vrhom V i presijeea visekut ABCDEF sijece piramidastu plohu u izvodnieama, a mecitL sobom paralelne ravnine sijekn tu plohu u sHcnim visekutima, jer su homologne straniee tih visekuta meau sobom usporedne, a omjeri njihovih homolognih straniea su jednaki. Piramidasti prostor koji je s jedne strane omeden vrhom V, a sdruge strane nekom ravninom koja ne prolazi tim vrhom zove se piramida. Ta ravnina sijece pobocke piramidaste plohe u visekutu koji se zove osnovka ili baza piramide. Stranicetoga visekuta su osnovni bridovi piramide, a vrhovi toga visekuta su vrhovi osnovke piramide. Pobocke piramide su trokuti, a sve pobocke piramide zajedno cine njezino pobocje. Vrh piramide V razlikuje se od nekog vrha ,osnovke piramide time sto iz vrha piramide izlazi toliko' bridova koliko osnovka piramide ima straniea, a iz nekog vrha osnovke izlaze samo tri brida piramide. Udaijenost od vrha piramide do njezine osnovke zove se visina piramide.

8L 154.

Po broju straniea sto ih ima osnovka piramida moze biti trostrana, cetverostrana, ... n-terostrana.

14

f

1

2. Projekcije pravilne trostl'ane piramide i mreza njezinog pobocja. A. -,- Naertajte projekcije pravHne trostrtine piramide kojoj je osnovni brid dug 3 em, a visinav = 3,5 em, aka je njezina osnavka ABC. u 'ravnini 7t 1, a njezin asnovni brid AC usparedan je s asi x (s1. 155). Tioert osnovke te piramide pov' klapa se s osnovkom jer je ona u 7tH pa zbog toga tioert osnovke piramide je istostranican trokut A'B'C' kojemu je straniea A'C' usporedna s osi :X:, a svaka je nje~ gova straniea duga 3 em. Buduci da su poboeni bridovi praviine trostrane piramide medu sobom jedfl.' c naki i prema 7t1 jednako nagnuti, moraju duljine tlocrta tih bridova' biti medu sobom jednake. Tioert V' ' k " " - - - - - - - , 9 ' c' vrha V mora zbog toga biti jednako udaljen od vrhova trokuta A'B'C', tj. V' se Ila1azi u sjecistu simetrala straniea toga trokuta, a siuzine NV', B'V' i C'V' su tiocrti pobocnih bridova te piramide. Nacrt A"B"C" njezine osnovke 81. 155. je u osi x jer je osnovka u 7th a nacrt V"vrha V je na ordinali povucenoj tackom V' i udaijen je od osi x 3,5 em jer je visina piramide v = 3,5 em. Graniea naerta te piramide je prema tome istokracni trokut A"C"V". U tome trokutu uertan je jos i naert B"V" pobocnog brida BV. Kad se ta piramida promatra u smjeru normalnog projiciranja na ravninu 7t 1 , vide se sve tri ,njezine pobocke, a ne vidi se osnovka, a kad se ana promatra u smjeru normalnog projiciranja na ravninu 7t 2, vide se samo njezine prednje pobocke ABV i BCV, a ne vide se straznja pobocka ACV i osnovka ABC. B. - Na Jstoj slici rijesen je jail i ovaj zadatak: Zadan je traert D' tacke D koja je na pobocki ABC; treba konstruimti naert te tacke. M ,

7

Nacrtna geometriJ' a I

97)

c

v

ITu

Povueimo tackom D izvodnieu koja sijece osnovni brid AB u tacki E. Tloert te izvodnice je pravae (V', D'), au presjecistu toga pravea i duzine A'B' je tloert E' tacke E. Sada se odredi naert E" tacke E koji je na osi x, pa je V"E" naert te izvodnice VE na kojoj je tacka D. Povuce Ii se zatim tackom D' ordinala, ona ce sjeei naert te izvodniee u trazenom naertu D" tacke D.

1-

U tloertu se vide sve cetiri pobocke piramide, a ne vidi se osnovka, dok u naertu se vide njezine prednje pobocke ABV i BCV, a ne vide se straznje pobocke CDV i DAV, kao ni njezina osnovka. B. -

Nil istoj slici" rijesena su i ova dva zadatka:

1. Zadan je tLoert E' tacke E koja je na pobocki BCV; treba konstruirati nacrt te tacke. V"

C. - M r e zap 0 b 0 c j apr aviine trostrane piramide B (s1. 156) sastoji se od tri istokracna trokuta. Buduci da kraci tih istokracnih trokuta moraju biti jednaki pobocnim bridovima piramide, treba odrediti pravu velicinu jednog pobocnog brida piramide. Na s1. 155. nadena je ptava veli81. 156. cina B'Vo brida BV pomocudiferencio-c nog trokuta (V'Vo-.lB'V', V'Vo=V",V"=; = 3,5 em), a zatim je mreza piramide konstruirana' ovako: Oko tacke V opisan je Iuk kruzniee s polumjerom r = VoB',pa je na taj-Iuk prenesena duzina A'B' tri puta kao tetiva. Kad se krajnje tacke A, B, C. i A tih tetiva spoje s tackom V, dobije se mreza pobocja te pravilne trostrane piramide.

~

=

A. - Tloert osnovke te piramide je pravokutnik A'B'C'v' (3 em X 2 em) cija straniea A'D' zatvara s osi x kut od 30 (s1. 157). Tloerti A'V', B'V', C'V' i D'V' njezinih pobocnih bridova cine dijagonale toga pravokutnika. 0

Naert A"B"C"D" njezine osnovke je u osi x, a naert V" vrha V je na ordinali povucenoj tackom V' i udaljen je 3,5 em od osi x. Graniea naerta te piramide' je trokut A"C"V". U tome trokutu nalaze se jos i naerti bridov~ BV i DV. BuduCi cia je brid BV na prednjem dijelu piramide, on je u naertu vidljiv, dok je brid DVu nacrtu nevidljiv jer je na straznjem dijelu te piramide. 98

~c

'------,.. !

//

/

i,/

~(j

~V

AV

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje pravilnu trostranu piramidu.

3. Projekcije uspravne cetverostrane piramide i mreza njezinog pobocja. Treba nacrtati projekcije uspravne cetverostrane piramide kojoj je osnovka pravokutnik sa stranicama dugim 2 em i 3 em, a visina je v 3,5 em, ako je njezina osnovka u ravnini '1t 1 a duzi osnovni bridovi cine s osi x kut ad 30·.

________________

V

81.151. i 158.

Taj bi se zadatak mogao rijesiti na nacin koji je prikazan u c1. 2, ali na sl. 157. on je rijesen tako da je tackom povucena pomocna duzina usporedna s bridom BC. Njezin tloert ide tackom E' usporedo s B'C' i sijece C:V' u tacki F', a njezin nacrt ide tackom F" koja je na C"V", i to usporedo s B"C". Naert E" tacke E mora biti nanacrtu te pomocne duzine. n

"" I" tacaka H i I ad kojih je jedna na pobocki ABV, a druga na pobocki ADV;tTeba odrediti tLoeTte tih tacaka. Povucimo svakom tom tackom po jednu pomocnu duzinu paralelnu s osnovnim bridom pobocke na kojoj se tacka nalazi. Naerti tih pomocnih duzina, koji se poklapaju idu tackom H" "'" 1" paralelno s osi x j sijeku duZinu A"V" u tacki G". Tacka G" je nacrt one tacke G ukojoj se te pomocne duzine u prostoru sijeku na pobocnom bridu AV.-Ako sada odredimo tloert G' tacke G, to ce tackom G ici tloert jedne pomocne duzine

2. Zadani su nacrti H

f

9lt

usporedo s A'B' i tlocrt druge usporedo s A'D', a na tlocrtima tih pomocnih duzina bit ce trazeni tlocrti tacaka H i 1. C. M r e zap 0 b 0 c j a us p r a v nee e t v e r 0 s t ran e p iram ide. Za konstrukciju mreze potrebna je prava velicina jednog pobotnog brida te piramide. Zbog toga se konstruira pravokutni trokut D'V'Vo (s1. 157) u kojem je kateta V'Vo = VxV" = 3,5 cm, pa je njegova hipotenuza D'Vo prava velicina brida DV. Mreza pobocja te piramide(sl. 158) konstruira se ovako: Oko tacke V opise se luk kruznice s polumjerom r = D'Vo. Na taj se luk redom prenesu osnovni bridovi piramide, pa se dobiju tacke A, B, C, D i A koje se spoje s tackom V. 4. Projekcije kose cetverostrane piramide i mreza njezinog pobocja. Nacrtajte projekcije kose cetverostrane piramide kojoj je osnovka paralelogram ABCD [A (2; 1; 0), B (0; 2,5; 0), C (1; 3,5; 0), D], a vrh V (5; 2,5; 4) Jsl. 159). A.

-

."I~ \ ,,~ .

I I .

\~ '.

"",

\.", \ "", '\ '\..,,'" tEl' '\. " X

c'

\ SI. 159.

Tlocrt osnovke j€ paralelogram A'B'C'D', a njezin nacrt je duzina B"D" koja je u osi x. Ako vrhove toga paralelograma spojimo s tlocrtom V' vrha V, dobijemo duzine V' A', V'B', V'C' i V'D' koje su tlocrH pobocnih bridova te piramide od kojih dva, i to V' A' i V'C' pripadaju granici A'B'C'V' tlocrta te piramide. U tlocrtu piramide nalaze se tlocrti poboc-

100

B. - Na istoj slici rijesena su i ova dva zadatka: 1. Zadani su tlocrti E' "'" F' tacaka E i F od kojih je jedna na pobocki BCV, adruga na pobocki CDV; treba odrediti nacrte tih tac.aka. Povucimo svakom tom tackom po jednu izvodnicu. Tlocrti tih izvodnica djelomicno Sf! poklapaju i padaju na pravac koji je odreden tackama V' i E' "'" F'. Ako taj pravac sijece paralelogram A'B'C'D' u tackama G' i H', onda je tlocrt jedne od tih izvodnica duzina V'G' , a druge duzina h V'H'. Konstruiramo Ii sada nacrte V"G i V"H" tih izvodnica, onda ce na jednom od njih biti trazeni nacrt E" tacke E, a na drugom trazeni nacrt F" tacke F. 2. Zadani su na:crti 1" "'" r tacaka Ii) od kojih je jedna na pobocki BCV, a d1'Uga na pobocki ABV; odredite tlocrt tih tacaka. Povucimo svakom tom tackom po jednu izvodriicu. Nacrti tih izvodnica poklapaju se i padaju na pravac koji je odreden tackama V" i 1" "'" Ako taj pravac sijece nacrt osnovke u tacki H" "'" K", onda jenacrt jedne od tih izvodnica duzina V"H", a druge duzina V"K". Na V tlocrtu V'H' jedne od tih izvodnica nalazi se trazeni t10.crt l' tacke I, a na tlocrtu V'K' druge izvodnice je trazeni tlocrt J' tacke J.

r.

C"o

B"

nih bridova BV i DV te osnovnih bridova AD i CD. BuduCi da je brid BV na gornjem dijelu piramide, on je u tlocrtu vidljiv, dok su bridovi AD, CD i DV u tlocrtu nevidljivi jer se nalaze na donjemdijelu piramide. Ako krajnje tacke B" i D" nacrta osnovke piramide spojimo s nacrtom V" vrha V, zatvorili smo trokut B"D"V" koji je granica nacrta te piramide. U tom trokutu nalaze se nacrti pobocnih bridova CV i AV. Brid CV je u nacrtu vidljiv jer je na prednjem dijelu piramide, kako je to iz t10crta ocigledno, dok je brid AV u nacrtu nevidljiv jer se nalazi na njezinom straznjem dijelu.

C. - M r e zap 0 b 0 cj ace t v e r 0 s t ran e k oS e pi ram ide (s1. 160). Za konstrukciju mreze te piramide potrebne su nam prave velicine njezinih pobocnih bridova. Prava velicina brida , BV jednaka je njegovom nacrtu B"V" jer je taj brid usporedan s ravninom '1t 2 , a

A

8l. 160.

101

prave veUcine ostalih pobocnih bridova odrede se (s1. 159)pomocu okretanja tih bridova oko vertikalne osi VN dok ne postanu usporedne i s ravninom 'lt2, jerce se tada oni projicirati na 'lt2 u pravoj velicini. Ako npr. brid V A treba da okretanjem oko vertikalne osi VN postane usporedan s 1t2, onda mora tioert V' Ao' njegovog novog poIozaja V Ao biti usporedan s osi x. Tioert kruznog Iuka r sto ga pri tome okretanju opise tacka A je kruz.ni luk A' An' sa sredistem u V', a njegov naert je duzina A" Ao" koja je u . osi x. Duzina V" Ao" je naert toga novog polozaja brida .vA i ujedno njegova prava velicina. Na isti se nacin nade da je duzina V"C o" prava veliCina brida VC, a duzina V"Do" prava velicina brida VD. Mreza pobocja te piramide konstruira se zatim ovako: Naerta se trokut ABV (V A = = V" Ao",AB = A'B', VB = V"B"), do njega trokut BCV (BC = B'C', VC = V"C o"), ovome se doda trokut CDV (CD = C'D', VD = V"Do"), pa se mreza zavrsi trokutom DAV (DA = D' A', VA = V" Ao"). 5. Projekcije kvadraticne krnje piramide i mreze njezinog pobocja. A. 0 k r n j 0 j pi ram i d i. Kad piramidu presijecemo nekom ravninom koja je usporedna s njezinom osnovkom, dobijemo dva dijela te piramide. Onaj dio koji je izmedu osnovke i te ravnine zove se krnja piramida, a onaj dio koji je izmedu te ravnine i vrha zove se dopunjak krnje piramide. Krnja' piramida omedena je dvjema osnovkama i pobockama. Osnovke ~i su usporedni i slicni visekuti, a poI bocke su trapezi. Udaljenost izmeole" ~~.----~~~~--~~~ du osnovaka krnje piramide je njezina visina.

Krnja piramida moze biti uspravna iIi kosa, prema tome da Ii je dio uspravne ili kose piramide. Uspravna krnja piramida koja ima pravilne osnovke, a pobocke su joj sukladni istokracni trapezi, zove se pravilna krnjapiramida.

c'

S1. 161.

102

B. - Naertajte projekcije kvadraticne krnje piramide kojoj je brid vece osnovke dug 3 em, manje 1,2 em, a visina je v = 2,5 em, ako

je njezina veca osnovka ABCD U 'ltj' te je jedan njezin vrh A (5,3,5, 0), a osnovni brid AB cini s osi x kut ad 60" (s1. 161).

Najprije'se naertaju projekcije A' i A" tacke A, a zatim kvadrat A.'B'C'D' (3 em X 3 em) koji je tloert vece osnovke krnje piramide, a kojemu straniea A'B' cini s osi x kut od 60". Njegove se dijagonale sijeku u tloertu V' vrha V citave piramide. U tome kvadratu uerta se koneentricni manji kvadrat A/B/C/D/ (1,2 em X 1,2 em) Cije su stranice usporedne s njegovim stranieama, a kojije tloert manje osnovke te krnje piramide. Svaka duz.ina koja spaja vrh jednog kvadrata sa susjednim vrhom drugog kvadrata je tloert jednog pobocnog brida te krnje piramide. Time je tioert te krnje piramide naertan. Naert A"B"C"D" njezine vece osnovke je u osi x jer je ta osnovka u ravnini 'lt1, a naert A/'B/'C/'D/' njezine manje osnovke je duzina koja je usporedna s osi x i od nje udaijena 2,5 em, jer je ta osnovka usporedna s 'lt j • Visina te krnje piramide je v = 2,5 em. Naerti pobocnih bridova AAj i CC j cine s naertima osnovaka granieu naerta te krnje piramide. U toj granici naerta nalaze se naerti poA bocnih bridova BB j i DD j • Brid DD1 je u naertu vidijiv jer je na prednjem dijelu krnje piramide, kako je to iz tioerta ocevidno, dok je brid BBl u naertu nevidljiv jer se nalazi na njezinom straznjem dijelu. Ako se na s1. 161. produz.e naerti svih pobocnih bridova te krnje piramide, oni se moraju sjeci u tacki V" koja je naert vrha citave piramide. Od te krnje piramide u tIoertu se vide sve njezine p6bocke i manja osnovka, a u naertu sarno dvije prednje pobocke AA1 D j D i CC j D1D. Na s1. 161. jos je odredena prava velicina V" Ao" pobocnog brida V A. citave piramide, kao i prava velicina A j ." Ao" pobocnog brida AlA krnje piramide, i to njihovim okretanjem aka vertikalne osi VN dok nisu postali usporedni s ravninom 'lt 2 •

-»-'-c_,_ _ _ _ _-----1 C

: "

81. 162.

103

Na istoj slici rijesen je jos i ovaj zadatak: C. - Zadani su nacrti E" == Gil tacaka E i God kojih je jedna na pobocki AA1DID, a druga na pobocki AAIBIB; treba odrediti tlocrte tih tacaka. Taj je zadatak rijesen na nacin prikazan u c1. 3, B. 2, pomocu pomocnih duzina koje se povuku tim tackama usporedo s osnovnim bridovima te krnje piramide. Naerti tih pomocnih duzina koji se poklapaju idu tackom E" ,,;, -G" usporedo s osi x i sijeku duzinu A" A/' u tacki -F" koja je nacrt one tacke F u kojoj se te pomocne duzine sijeku u pobocnom bridll AA1 • Ako sada odredimo tlocrt F' tacke F, to ce iz F' ici tloert jedne pomocne duzine usporedo s A'D' i> tloert druge usporedo s A'B', a na t10ertima tili pomocnih -duzina bit ce trazeni tloerti E' i G' tacaka E i G. D. - M r e z ~ po b 0 c j a k v a d rat iC n ek r n j e pi ram ide. Ta se mreza sastoji od cetiri sukladna istokracna trapeza koje cemo nacrtati ovako: Oko tacke V (s1. 162) opisat cemo dva kruzna luka, jedan r =. Au"V", a dru0" gi s polumjerom r 1 = A 7"V". Zatim cemo povuci polumjer AV, pa iz tacke A prenijeti na c" veci luk cetiri puta duzinu A'B' kao tetivu, a na manji luk iz tacke At cetiri puta duzinu A/B/ kao tetivu. Kada menu sobom spojimo krajo nje tacke istoimenih tetiva, dobit cemo cetiri sukladna istokracna trapeza koji cine trazenu mrezu. Ako sv\= konstrukcije tacno izvedemo, moraju se svi kraci tih trapeza menu sobom sjeci u tacki V.

6. Projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka okomita na ravnini tlocrta. d,

Vi

81. 163.

Treba naertati projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD okomita na ravnini tloerta, ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 2,5; 1,5), B (3,5; 4; 0,5)J, a visina v = 5 em (s1. 163).

Pomocu projekcija A'B' i A"B" osnovnog brida AB najprije se naertaju projekcije osnovke na nacin izlozen u § 11, c1. 4. D. Zatim se odrede projekcije S' i S" sredista S osnovke, pa se u to srediste postavi okomica o (0', 0") na ravninu'osnovke A. Buduci da je ravnina A okomita na ravnini 'ltl, ta ce okomiea biti usporedna s 'lt1, .pa je 0' .1 d 1, a 0" II x. Vrh V piramide je na toj okomici i udaljen je od sredista S osnovke 5 em, a kako je okomiea 0 usporedna s 'lt1, mora biti S'V' = 5 em. NaertV" vrha V je u sjecistu naerta 0" te okomiee i ordinale povucene tlocrtom V'. Zatim se nacrtaju projekcije pomocnih bridova, pri cemu se pazi da Ii se oni vide u tloertu, odnosno naertu. U tlocrtu se vide bridovi V A i VC jer pripadaju granici tlocrta piramide, i brid VD jer je vrh D od svih vrhova osnovke najvise udaljen od 'lt 1 . U nacrtu se vide bridovi VB i VD jer pripadaju konturi nacrta piramide, i brid VC jer je vrh C od svih vrhovaosnovke najvise udaljen od 'lt 2. Vjezbe 1. Nacrtajte projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD u ravnini 7t ako je dijagonala osnovke AC [A (3; 2; 0), C (5; 6; 0)], a visina piramide " v=5cm.

2. NilCrtajte

projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka ako je dijagonala osnovke AC [A (3; 2; 0), C (5; 6; O)J, a visina piramide v = 6 cm. " ABCDEF u ravnini 7t

~

0

N

~

0 M

0

"' !!2 M 1:25

1 11 D

,/

/

L ____

;< 0 N

D

~

~

81. 164, 165>. i 166.

105

3. Nacrtajte projekeije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD usporedna s ravninom 11:" ako je dijagonala te osnovke AC [A (3; 1; 4), C (7; 1; 2)], a visina piramidev = 5 em. 4. Naertajte projekcijE; pravilne peterostrane piramide kojoj je osnovka usporedna s ravninom 'It,, ako je jedan vrh te osnovke A (2; 5; 1), a njezino srediste S (4; 4; 1), dok je visina piramide v = 5,5 em. ' 5. Nacrtajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je' osnovka uspol'edna s ravninom 'lto, ako je srediste osnovke S (4; 1,5; 3), jedan vrh osnovke A (2; 1,5; 3,5), a visina piramide v = 6 em.

-

6. Naertajte projekcije kose sesterostrane piramide kojoj je osnovka pravilan sesterokut usporedan s ravninom 'It,, ako je srediSte osnovke S (4; 3; 1), jedan vrh osnovke A (2; 3,5; 1), a vrh piramide V (9; 5; 6). 7. Naertajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj osnovni brid ima 2,5 cm, a vis ina 5 em, ako je njezina osnovka u ravnini 11:" te su dva njezina osnovna brida usporedna s osi x. Konstruirajte mrefu te piramide. 8. Naertajte projekcije cetverostrane kose piramide kOjoj je osnovka paralelogram ABCD [A (1; 3; 0), B (3; 7; 0), C (5; 5; 0), DJ, a vrh V (9; 4; 6). Konstruirajte njezinu mrezu.

~T ~I

-I

I I

-m=i I

I

i i

§ 19. PROJICIRANJE VALJKA

I

0'60

M 1:20

o ....

0100

81. 167, 168. i 169.

1()6.

9. Naertajte projekcije pravilne sesterostrane krnje piramide kojoj veei osnovni brid ima 2,5 em, manji 1,5 em, a visina 4 em, ako je njezina manja osnovka u 'It,, i to ispod vece osnovke, a dva su njezina osnovna brida okomita na 11:0 , Konstruirajte mrezu te krnje piramide. 10. Naertajte projekcije kvadraticne suplje piramide kojoj je osnovka ABCD okomita na 11:" ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 3,5; 1,5), B (3,5; 5; 0,5)], visina v= 5,5 em, te se vI'h piramide nalazi iza I'avnine osnovke. - Up uta: Preklop osnovke naertajte kao na s1. 97, jer ce tlocrt piramide biti izmedu pravea d, = (A', B') i osi x. 11. Naertajte pI'ojekcije pravilne peterostrane suplje piramide kojoj je osnovka ABCDE okomita na 'lt o, ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 1; 5),B (3,5; 1; 6,5)], visina v == 5 em, te se vrhpiramide nalazi ispod ravnine osnovke. 12. Nacrtajte u mjerilu' 1 : 15 tlocrt i naert stecka koji je zadan na's1. 164. u mjerilu 1 : 25, ako dva njegova osnovna brida cine s osi x kut od 60·. 13. Nacrtajte u mjerilu 1 : 15 projekcije predmeta koji je zadan na s1. 165. u mjerilu 1 : 25, ako dvije pobocke njegove srednje kvadraticne prizme Cine s ravninom 11:, kut od 60·, 14. Nacrtajte u mjerilu 1: 15 tloert i naert podnozja osmerostranog stupa koji je zadan na s1. 166. u mjerilu 1: 25, aka jedna njegova ravnina simetrije cini s ravninom 11:. kut od 60·. 15. Naertajte u mjerilu 1 : 15 tlocrt i naert ogradnog stupa koji je zadan na s1167. u mjerilu ,I : 20, ako dva njegova osnovna brida cine s' osi x kut od 60°. 16. Nacrtajte u mjerilu 1 : 30 tloert inaert nadgrobnog spomenika koji je zadan na s1. 168. u mjerilu 1 : 40, ako dva njegova osnovna brida cine S osi x kut od, 60·. n. Nacrtajte u mjerilu 1 : 30 tloert i nacrt obeliska koji je zadan na sl. 169. u mjerilu 1 : 40, ako dva njegova osnovna brida cine s osi x kut od 60°.

1. 0 valjku. Ako se pravac p (s1. 170) giba u prostoru tako da sijece zadanu krivulju k samo u jednoj tacki, a da pri tome ostaje neprestano uspon~dan sa svojim pocetnim polozajem, on opisuje oblu plohu koja se zove valjkasta ili cilindricna ploha. Dio prostora sto ga omeauje ta ploha zove se valjkasti prostor. Krivulja k zove se provo dna krivulja, a pojedini polozaji pravca p zovu se izvodnice iIi stranice valjkaste plohe. Isto valjkastu plohu moze opisati i krivuIja k ako ~e giba tako da ostaje neprestano usporedna sa svojim pocetnim polozajem, a da jedna njezina tacka A opisuje pravac p. Svaka tacka krivuIje k opisuje tada po jednu izvodnicu valjkaste plohe. Svaka ravnina koja sijece krivulju k, a usporedna je s pravcem p, sijece valjkastu plohu u izvodnicama. Svaka ravnina koja nije usporedna s izvodnicama vaIjkaste plohe sijece tu plohu u nekoj krivulji. Dvije usporedne ravnine 'koje nisu usporedne s izvodnicama valjkaste plohe sijeku tu plohu u sukladnim krivuljama. Valjkastaploha zove se kruzna kad je krivulja k kruznica.

107

Dio valjkastog prostora koji se nalazi izmedu dviju usp,orednih 'ravnina, a koje nisu usporedne s izvodnicama valjkaste plohe, zove se valjak. Sukladne krivuIje u kojima usporedne ravnine sijeku valjkastu plohu omeduju osnovke iIi baze vaIjka, a dio valjkaste plohe koji se nalazi izmedu dviju osnovaka zove se prast valjka. Izvodnice valjka su medu sobom usporedne i jednake. Udaljenost od jedne do druge osnovke valjka zove se'visina vaIjka. .

0;' E7 F,m

10'"

~~' B~

Z

H~1t G~'C:

11.~ H~t

I I

53

I I I. I I I

I

I ~ElU

s·'

!

/UI A'u\B'st H'": G" , \., ~

2. Projekcije rotacionog. valjka i njegova mreza. A. - Pro j e k c i j e rot a c ion 0 g val j k a. Na s1. 171. nacrtane su sve tri projekcije rotacionog valjka kojemu je promjer osnovke 2 r = 3 em, srediste osnovke S (2,5; 2,5; 0), os okomita na ravnini 1t1 , a visina v = 3 em. Gornja i donja osnovka toga vaIjka projiciraju se na 1tl zajedno, i to u pravoj velicini kao krug kojemu je promjer 2 r = 3 cm, a srediste S', jer su te osnovke jedna iznad druge i usporedne su s '1t 1 • Kruznica koja omeduje taj krug je tlocrt plasta vaIjka, a svaka tacka te kniznice je tlocrt jedne izvodnice valjka, jer 5U izvodnice toga rotacionog valjka okomite na '1t 1· Srediste toga kruga ujedno je i tloert 0' osi 0 valjka. Ravnina I koja je polozena osi vaIjka usporedo s ravninom '1t 2 , i ima tragove Sl (Sl II x) i S:l (s311 z), sijece plast vaIjka u izvodnicama AA1 i BB te dijeli valjak na prednji i straznji dio. Na prednjem dijelu toga valjk~ su izvodnice EEl, DD1 i FFj , a na stmzhjem CCl , GG1 i HH1 . 108

d. I I

I \C~

1

t\l} lH'iE'

0

j

"-

!

Valjak je uspravan kada su njegove izvodnice okomite na njegovim osnovkarna, a kad su one kose prema osnovkama, valjak je koso Uspravni kruzni valjak moze SI. 170. nastati i rotacijom pravokutnika oko jedne njegove stranice, zbog toga se on zove i rotacioni valjak. Kad je visina rotacionog vaIjka jednaka promjeru njegove osnovke, valjak je istostranican. Duzina koja spaja sredista osnovaka valjka je os toga valjka. Svaki presjek valjka ravninom koja je polozena njegovom osi zove se osni presjek valjka. Osni presjeci rotacionog valjka su pravokutnici, a kosog valjka stl paralelogrami. Onaj osni presjek kosog valjka koji je okomit na osnovkama zove se karakt~risticni paralelogram valjka. Visina toga paralelograma jednaka je visini valjka, a njegovi siljasti kutovi jednaki su priklonom kutu osi prema osnovci, kao i priklonom kutu svake izvodnice prema osnovci.

e:

I

I I I I

I

D11I~

G: F,lI

I I

u, I

u, r

IG' C~· O~

T

:I

Y.

E:·

1 ........

s· C'W l clie:

1F',

GtI~

,

j

/B'

A'

.D'o~ 3

y

SI. 171.

Nacrt donje osnovke je dliZina A"B" koja je u osi x, a naert gornje osnovke je duzina A/'Bt koja je usporedna s osi x. Obje te duzine jednake su promjeru osnovke valjka. Naerti izvodnica su duzine koje su okomite na osi x i jednake izvcidnicama u prostoru. Nacrt valjka jepravokutnik A"B"Bt At koji je omeden s donje i gornje strane nacrtima osnovaka, s desne strane nacrtom B"B/' izvodnice BBl> a s lijeve strane nacrtom A" A/, izvodniee AA1. Buduci da su nacrti izvodnica AAl i BB 1 dio granice ili konture nacrta valjka, to se te izvodnice zovu granicne iIi lwnturne izvodnice nacrta valjka., . Kad promatramo taj valjak u smjeru normalnog projiciranja na ravninu '1t2J vidimo sarno prednji dio njegovog plasta, pa se u nacrtu vide sarno one izvodnice koje su na tome dijelu plasta, a ne 'vide se one koje su na straznjem dijelu plasta valjka. Ravnina 1:.. koja je polozena osi toga vaIjka usporedo s ravninom '1t 3 , , i ima tragove d 1 i d 2 (d1 .l X, i d 2 .l x), sijece plast valjka u izvodnicama CC1 i DD1 te dijele valjak na, desni i lijevi dio. Na desnom dijelu toga 'valjka su izvodniee FF1 , BB1 i GG1 , a na lijevom EEl> AA1 i HH1 . Bokocrt toga vaIjka je pravokutnik D"'C"'Ct'''Dt''' koji je omeden s donje i gornje strane bokocrtima osnovaka, a s desne i lijeve strane bokocrtima C'''C/'' i D"'D/" izvodnica CCl i DD 1. Izvodnice CCl i DDl 109

1, zovu se granicne iIi konturne izvodniee bokoerta valjka, jer bokoerti tih izvodniea pripadaju granici iIi konturi bokoerta valjka. Kad promatramo vaIjak u smjeru normalnog projieiranja na 'It;l' vidimo samo desni dio njegovog plasta, pa se u bokoertu vide sarno one izvodniee koje su na tom dijelu plasta, a ne vide se one koje su na Iijevom dijelu plasta valjka. Na s1. 171. prikazano je i to ,kako se pomocu kota u 1 i u 2 i tragova Sl ravnine :E mogu odrediti bokoerti E"'E1'" i G"'G/" izvodniea EEl i GG1, a da se ne upotrijebe osi y i z.

i

S3

B. - M r e z a rot a e ion 0 g val j k a (s1. 172) sastoji se od dva sukladna kruga (dvije osnovke) i pravokutnika koji je jednak plastu valjka. Osnoviea toga pravokutnika jednaka -je opsegu osnovke valjka, a njegova visina jednaka je visini valjka v = 3 em. Buduci da je polumjer osnovke r = 1,5 em, to je njezin opseg 0 = 2 r'lt = 2· 1,5 . 3,14 = = 9,42 em, pa je osnovica pravokutnika DDDlDl duga 9,42 em.

Kada se ne zeIi racunati, opseg kruznice moze se priblizno konstruirati ovako: Sredistem S1 kruzniee kl povuce se polumjer SlE koji je usporedan s tangentom D1D! te kruznieeu tacki C 1 • Zatim se tackom E povuce pravae koji s tom tangentom cini kut EB 1C 1 60°. Taj se pravae moze naertati pomocu raznostranicnog ertaceg trokuta na kojemu se nalazi kut

=

od 60° iIi pomocu tacke F koja s tackama Sl i E odreduje istostranicni trokut SlEF. DliZina ClB! koja se na taj nacin dobije pribliZno je jednaka cetvrtini opsega krtiZn.ieek1 , jer se duljina te duzine i cetvrtina opsega kruzniee podudar~ju u prve dvije decimalne znamenke: r ·-27t = 4o =

r· 3,14159 157079,o)e d k' C1B 1 2 = r·,

= r· 157735 , .

3. Projekcije kosog kruznog valjka. Nacrtajte tri projekcije kdsog kruznog valjka ko.1emu je os SSl [S (2; 2; 0), S1 (5,5; 3,5; 3,5)], donja osnovka u ravnini 7. 1, a promjer osnovke 2 r = 3 em (s1. 173). Najprije se naertaju tri projekcije osi toga valjka pomocu zadanih koordinata sredista njegovih oSrlovaka. Tloerti osnovaka su dva kruga, jedan sa srediStem uS', a drugi u St', kojima su promjeri 2 r = 3 em. Budub da su sve izvodnice toga valjka jednake i usporedne s osi valjka, bit ce i njihove istoimene projekcijejednake i usporedne s projekcijama osi valjka. Izvodnice CCl i DDl kojih tlocrti C'Ct' i D'D/ dodiruju tlocrte osnovaka su konturne izvodnice tLocrta toga valjka~ Osnipresjek CC 1 D1D dijeli plast valjka na gornji i donji dio. Sve izvodnice koje su na gornjem dijelu plaita, npr. AAl i FF 1, bit ce u tlocrtu vidljive, a one iz donjeg dijela, npr. B13l i EEj) bit ce nevidljive. B'~

D

A

.c I

o

I

sf Sl. 172. 81. 173.

110

111

Nacrt donjeosnovke je duzina A"B" koja je u osi x, anaert gornje osnovke je duzina A/,B/' koja je usporedna s osi x. Naerti A" A/' i B"Bt izvodniea AAI i BBI zatvaraju naert valjka, zbog toga su izvodniee AAI i BBI konturne izvodniee naerta toga valjka. Osni presjek ,AAl B 1B dijeli plast valjka na prednji i straznji dio. Sve izvodniee koje su na prednjem dijelu plasta, npr. CCl i EEl, bit ce u naertu vidljive, a one iz straznjeg dijela, npr. DD 1, bit ce nevidljive. Bokoert donje osnovke je duzina EmF'" koja je u osi Yo, a b~koert gornje osnovke je duzina E/"F/" koja je usporedna s osi Yo.' Bokoerti E"'E/" i F/" izvodnica EEl i FFI zatvaraju bokoert toga valjka, pa su zbog toga izvodniee EEl i FFI konturne izvodnice bokocrta toga valjka. Osni presjek EEIFIF dijeli plast valjka na desni i lijevi dio. Sve izvodnice koje su na desnom dijelu plasta, npr. BBI i DD~, bit ce u bokoertu vidljive, a sve iz lijevog dijela, npr. CCl> bit ce nevidljive. ' Svaka ravnina koja je usporedna s osnovkom kosog kruznog valjka sijece njegov plast u krliZnici koja je sukladna s osnovkama, ima srediste na osi valjka, a zove se usporednik. Na s1. 173. nacrtane su tri projekcije jednog usporednika toga valjka, koji je oznacen slovom u.

/

I

________~________________________~

~o

4. Projekcije rotacionog valjka kojemu su osnovke oko~ite na ravnini 'lt 2 • N aertajte tloert i naert rotacionog valjka kojemu je os SSl [S (1; 2,5; 2), S1 (5; 2,5; 4)7, a promjer osnovke 2 r = 2,6 em (s1. 174). Najprije se naertaju projekcije S'S/ i S"S/, osi toga valjka, a zatim projek-, cije njegovih osnovaka. Te su osnovke okomite na ravnini 'lt2' pa ce njihovi nacrti biti duzine C"D" = 2,6' em 1 C/,D/, 2,6 em, koje su okomite na naertu S"S/' osi valjka, a tloerti tih osnovaka bit ce elipse A'C'B'D' i A/C/B/D/, koje se naertaju na nacin prikazan u § 12, - cl. 5. Gornja osnovka A 1CI B 1D 1 u tlocrtu je vidljiva, a donja ACBD nevidljiva.

=

A'

Si. 174.

112

Naert toga valjka je pravokutnik C"C/'D"Dt, a granici njegovog tloerta pripadaju tloerti izvodniea AAI i BBl' Na s1. 174. rijesen je jos i ovaj zadatak: Zadani su nacrti E"E/' "'"

== F"F/' dviju izvodnica od kojih je jedna na prednjem, a druga na straznjem dijeIu pLasta toga valjka; treba odrediti tIocrte tih izvodnica. Ako tackom E/' == F/' povucemo ordinalu, ona ce sJeel elipsu A/C/B/D/ u tackama EI' i FI'. Tackom EI', odnosno F/ici ce traZeni tloert izvodnice EIE, odnosno FIF usporedo s duzinom S/S'. Ta konstrukcija tloerta izvodnica EEl i FFI nije sasvim tacna jer dotacaka E/ i F/ dolazimo sijecenjem elipse A/C/B/DI ' ordinalom polozenom tackom E/' "'" F I ", a za tu elipsu ne mozemo tvrditi da je sasvim tacno nacrtana. Tlocrti tih izvodniea mogu se tacno odrediti ovako: Povucemo k:roz os valjka ravninu A paralelnu s ravninom naerta. U toj ravnini nalazi se promjer ClD I gornje osnovke valjka. Ako sada rotiramo za 90 tu osnovku skupa s tackama El i F1 oko promjera C 1D l na ravninu A, postat ce ta osnovka usporedna s 7t 2 , pa ce njezin naert biti kruzniea kO, a naerti rotiranih tacaka El i FI bit ce-tacke Elo i FlO. Buduci da su tacke Ell) i FlO udaljene od duzine C/'D/' za duljinuu = E{'EIO = = FtF l °, moraju tacke E/ i F l ' biti na ordinali polozenoj tackom E/' == == Ft, i to udaljene od duzine Ct'Dt' za duljinu u. 0

Vjezbe

1. Naertajte sve tri projekeije istostranicnog valjka kojemu je promjer osnovke 1> = 3 em, a osnovka mu je a) u ravnini 1t" b) u ravnini 1t" e) u ravnini 1t o. Nap omen a: Promjer kruzniee oznacuje se tl'l{?:ehnickim crtezima malim slovom 1> (fi) iz grckog alfabeta.

2. Nacrtajte sve tri projekcije usptavne valjkaste cijevi kojoj je vanjski promjer osnovke 1>, = 4 em, unutrasnji promjer 1>2 = 3 em, a visina v = 5 cm, ako je njezina osnovka:" a) u ravnini 1t" b) u ravnini 1t" e) u ravnini 1t •• 3. Naertajte sve tri projekeije rotacionog valjka kojemu je os SS, [S (2,5; 5,5; 2), S, (6; 1,5; 2)], a promjer osnovke 1> = 3 em, 4. Naertajte sve tri projekcije rotacionog valjka kojemu je os SS, [S (6; 3; 2), S, (2; 3; 5)], a promjer osnovke 1> = 3 em, 5, Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije kamenog zlijeba koji je zadan na sL 175. u mjerilu 1: 15, ako dvije njegove uzdu.zne pobocke cine s ravninom 1t, kut od 60 6, Naertajte u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije betimskog stoIa koji je zadan na sL 176, u mjerilu 1: 25, ako njegova dva osnovna brida cine s ravninom 1t2 kut od 60 7. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 sve triprojekcije konzole s kvadraticnom plocom koja je zadana na s1. 177. u mjerilu 1 : 15, ako njezini uzduzni bridovi cine s ravninom 1t, kut od 60 0

•

0

•

0

•

8

Nacrtna geometrija I

113

8. Naertajte u mjerilu 1: 50. sve tri projekcije svodova koji su zadani,na s1. 178. u mjerilu 1 : 10.0. 9. Naertajte u mjerilu 1: 50. tlocrt i nacrt svodova koji su zadani na s1. 178, ako uzduzni bridovi cine s ravninom '" kut od 30.°. 10.. Nacrtajte u mjerilu 1: 25 sve tri projekcije postolja sa stepenicama koje je zadano na s1. 179. li mjerilu 1 : 50.. 1. Naertajte u mjerilu 1 : 25 tloert i nacrt postolja sa stepenicama koje je zadano na s1. 179, ako njegovi u:i:duzni bridovi cine s ravninom "2 kut od 30.°.

40

~ 1

M 1'15 r---------~~!---

r '0')'

--,---r-,-, I

I

-+----'f-

1·1

'.1 I __ -,I ___ L-,_J ---I--+-

I I

'00

I

I

"'j

I

I

I

II

!

300

M 1:50

L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _~, ___

11 .J

81. 175, 176. i 177. ,460

40

40

180

' / • . 160

40

1

60

160

/

lao

:~r Lr-_r_-~r_-_-_- _-_-_-_'_-_-_'_-_-_-_-_-_-_-_':_:-_':--.J---L!2

f551 : :: -';"j-f-_ : of-rL_.I._ - - -_--- _-' ___L

. Sl. 179.

.1

M 1:100

740

...

I

_______ L-1

g

81. 178.

§ 20. PROJICIRANJE STOSCA

...

o

N

1. 0 stoscu. Ako se pravac p (s1. 180) giba u prostoru tako da stalno prolazi istom tackom V i sijece zadanu krivulju k samo u jednoj tacki, on opisuje oblu plohu koja se zove stozasta ili konicna ploha. Krivulja k zove se provodna krivulja, pojedini polozaji pravca p zovu se izvodnice iIi stranice stozasteplohe, a tacka V je vrh stozaste plohe. Svaka ravnina koja ide vrhom Vi sijece provodnu krivulju presijeca stozastu plohu u izvodnicama, a paralelne ravnine sijeku tu plohu u slicnim krivuljama. 115

Stozasta ploha je kruzna ako je kri- , vuIja k kruzniea. Dio stozastog prostora koji je s jedne strane omeden vrhom V, a s druge strane nekom ravninom koja ne prolazi tim vrhom, zove se stozae, cunj ili konus. Ta ravnina sijece stozastu plohu u krivuIji koja omeduje osnovku ili bazu, stosea, a dio stozaste plohe koji se nalazi izmedu vrha i osnovke zove se plast stosea. UdaIjenost od vrha do osnovke stosea zove se visina stosea. Duzina koja spaja vrh stosea sa sredistem osnovke zove se os stosea. Stozae je uspravan, odnosno kos, prema tome da Ii je njegova os okomita na osnovci, odnosno kosa prema njoj. Uspravni kruzni stozae moze nastati i rotaeijom pravokutnog trokuta oko jedne njegove ka81. 180. tete, zbog toga se on zove i rotacioni stozac. Kad su izvodnice rotacionog stosea jednake promjeru njegoveosnovke, stozae je istostranican. Svaka ravnina koja je usporedna s osnovkom uspravnog iIi kosog kruznog stosea, a, nalazi se izmedu osnovke i vrha, sijece plast stosea u kruznici koja se zove usporednik stoSca. Presjek stosea ravninom koja j.e polozena njegovom osi zove se osni presjek stosca. Osni presjeci rotacionog stosca .sukladni su istokracni trokuti, a osni presjeci kosog kruznog stosca raznostranicni su trokuti. Onal osni presjek kosog kruznog stosca koji je okomit na ravnini osnovke zove se karakteristicni trokut kosog krtiZnog stosca. U ravnini karakteristicnog trokuta kosog kruznog stosea nalaze se os i visina stosea. Straniee karakteristicnog trokuta kosog krtiZnog stosea su promjer njegove osnovke, te najduza i najkraca njegova izvodniea. Medu svima osnim presjecima kosog kruznog stosea jedan je i8tOkracni trokut. Ravnina toga trokuta mora biti okomita na ravnini karakteristicnog trokuta jer ona treba da sijece osnovku u onom promjeru koji je okomit na normalnoj projekciji osi stosca na ravnini osnovke. 2. Projek~ije rotacionog stoscai njegova mreza. A. - Pro j eke i j e rota ei 0 n 0 g s t 0 sea. Na s1. 181. naertane su tri projekcije rotaei':' onog stosea kojemu je promjer osnovke 1> = 3 em, srediste osnovke S (2,5; 2,5; 0), os 0 okomita na ravnini 'it 1, a visina v = 3,5 em.

116

Tloert osnovke toga stog~a je krug kojemu je promjer 1> = 3 em, a srediSte S'. U taj krug pada i tloert plasta stosca, a u sredistu kruga nalazi se tloert V' vrha V, kao i tloert 0' osi 0 toga stosea. Polumjeri toga kruga su tlocrti izvodniea. Sve izvodniee stosea vide se u tloertu. z

y

81. 181.

Granica naerta toga stosea je istokracan trokut A"B"V". Taj je trokut nacrt onoga osnog presjeka stosea koji je usporedan s ravninom 'it2 i dijeli stozae na dva jednaka dijeIa: prednji i straznji. Izvodnice EV, CV i FV su na prednjem dijelu stosca, pa se zbog togau naertu vide, dok se izvodnice HV, DV i GV u naertu ne vide jer se nalaze na straznjem dijelu stosca. Izvodniee A V i BV su granicne ili konturne izvodnice nacrta stosca. Granica bokocrta toga stosca je istokracan trokut C"'D"'V"'. Taj je trokut bokocrt onoga osnog presjeka stosea koji je usporedan s ravninom rca i dijeli stozac na desni i lijevi dio. Izvodnice BV, FV i GV su na desnom dijelu stosea, pa se zbog toga u bokocrtu vide, dok se ne vide izvodnice AV, EV i HV koje se nalaze na lijevom dijelu stosca. Izvodnice CV i DV su granicne ili Iwnturne izvodnice bokocrta stosca. B. R e k t i f i k a c i j a k r u z n 0 g I u k a. Pod rektifikacijom luka AB (s1. 182) kruznice k s polumjerom r podrazumijeva se konstrukcija neke duzine pomocu sestara i ravnala kojoj bi duljina bila jednaka 117

duijini toga luka. Ta se rektifikaeija ne moze izvesti tacno, vee sarno pribliZno: U jednoj krajnjoj tacki Iuka AB koji zelimo rektificirati postavi se tangenta t na kruzniCu k, a zatim se produzi promjer AC preko tacke C za poIumjer r do tacke D. Povuce Ii se tackama D i B pravac (D, B) koji sijece tangentu t u tacki E, onda je duzina AE priblizno jednaka luku AB. Ukoliko je sredisnji kut (J., toga Iuka manji, utoliko je rektifikacija tacnija. Za kut (J., = 30° Iuk AB jednak je dvanaestini opsega kruzniee, tj. AB = r' 0,523598 ... , dok je AE r' 0,52336 . " Vidimo da se te dvije veliCine podudaraju u prve tri decimaine znamenke. Za.kut rx = 45° te se dvije velicine podudaraju sarno u,prve dvije decimalne znamenke.

=

=

't

k,

F

5, r,

r,

81. 182.

Kada treba rektifieirati neki Iuk kojemu je sredisnji kut veei od 30°, onda se moze primijeniti ovaj postupak: Sredisnji se kut razdijeli na 2 iIi 4 jednaka dijela tako da svaki dio bude manji od 30°. Zatim se rektificira kruzni Iuk koji je nad jednim dijelom toga srediSnjeg kuta, pa se dobivena duzina podvostruCi iIi pocetverostruci, ,prema tome da Ii je srediSnji kutbio razdijeIj.en na 2 iIi 4 jednaka dijela. C. - Pre nos e n j e 1 u k a j ed n e k r u zn ice n a d rug u. Ako treba cia IUk AB kruznice k (s1. 182)kojoj je poIumjer r prenesemo na kruznieu k1 kojoj je polumjer r 1 tako da Iuk AG bude jednak Iuku AB, onda radimo ovako: Naertamo te kruzniee tako da se one dodiruju u tacki A, pa konstruiramo njihovu zajednicku tangentu t u toj tacki. Na pravcu (SS1) oznacimo tacke D iF, ito tako da bude AD = 3 r, aAF = 3r1. Sada projiciramo tacku B iz tacke D ,na tangentu t u tacku E, a zatim projiciramo tacku E iz tacke F nakruznicu k1' pa dobijemo tacku G. Buduci da je AB = AlE = AG, iziazi da je AB = AG.

D. - M r e z a rot a c ion 0 g s t 0 s c a sastoji se od kruga (osnovke) i mreze plasta koja je kruzni isjecak kome jepoIumjer jednak izvodnici stosca, a duljina .luka jednaka opsegu osnovke stosca. Mreza rotacionog stosca -iz s1. 181. naertana je na s1. 183. ovako: Uz kruznicu kojoj je polu118

A mjer r = 1,5 em naertana je veca kruzniea' koja tu kruznieu dodiruje, akojoj je polumjer R prava velicina izvodniee stosea, dakle je R = A"V". Zatim se manja kruzniea razdijeli na 12 jednakih dijelova, pa A se luk te kruZniee kojemu pripada sredisni kut od 30 prenese na vecu kruznieu na nacin prikazan na s1.' 182, a zatim se nanese po vecoj krliZnici jos 11 puta. Luk ACBDA koji se na taj nacin konstruira i koji je pribliZno jednak opsegu A osnovke omeduje s poluSl. 183. mjerima AV kruzni isjecak V ACBDA koji je priblizno mreza plasta stosea. Za potrebeu obrtu i industriji razvijanjeplasta rotacionog stosea na ovaj naGin potpuno zadovoljava. Za kontrolu te konstrukeije moze posluziti kut (J., toga kruznog isjecka, koji mozemo izracunati ovako: Ako u razmjer L : 2 R1t = (J., : 360 stavimo da je l = 2 n:, dobit cemo cia je 0

3. Odredivanje projekcija tacaka stosca. A.~.o d red i van j e p r oj eke i j a t a c a k a s t os e a p om oe u i z v'o d.n i e a. Na s1. 184. rijesena su ova dva zadatka: 1. Zadan je tIOCTt E' tacke E koja je na pLastu rotacionog stosea; tTeba konstruirati naeTt tE' tacke. Tackom E povucimo izvodnicu stosca FV. Tloert te izvodnice bit ce polumjer F'V' koji ide tackom E'. Na naertu F"V" te izvodniee bit ee trazeni nacrt tacke E. 2. Zadani su nacTti G" "" H" tacaka G i H od kojih je jedna na prednjem dijelu, a druga na straznjem dijeLu plasta rotacionog stosca; odTedite tlocrte tih tacaka. Svakom tom tackom ide po jedna izvodnica stosca. Naerti tih izvodnica poklapaju se i padaju na pravae koji je odreden tackom G" "" HI' lUI

i tackom V". Ako taj pravac sijece nacrt osnovke u tacki I" == J", onda je jedna od tih izvodnica IV, a druga JV. Na tlocrtu tv' izvodnice IV bit. ce trazeni tlocrt G' tacke G, a na tlocrtu J'V' izvodnice JV bit ce trazeni tlocrt H' tacke H.

JI-_ _-=+-'U"-"_ _-l,2'·

!' 8

,15 !o'

u" usporednika v koji prolazi tim tackama je duzina 3"4" koja ide tackom F" == G" usporedo s osi x. Pomocu polumjera r toga usporednika nacrtan je njegov tlocrt v', a na njemu su traZeni tlocrti F' i G' tacaka FiG. 4. Projekcije kosog kruznog stosca i mreza nje~ovog plasta. A. Nacrtajte projekcije kosog kruznog stosca kojemu je os SV [S (2, 2,5, 0), V (5,5,2,5,'3)], osnovka u ravnini 1t 1 , a promjer osnovke '" = 3 em (s1. 186a). (};>omocu zadanih koordinata srediSta S osnovke i vrhaV najprije se nacrtaju projekcijp' osi o toga kosog stosca koja je usporednas ravninom h2' a zatim projekcije njegove osnovke. Izvodnice AV i BV, kojih tlocrti A'V' i B'V' dodiruju tlocrt osnovke, konturne su izvodniee tlocrta toga kosog stosca. One dijele njegov plast na gornji. i donji dio. (Kako cete kons±ruirati tangente' iz tacke V' na kruznicu k'?) Sve izvodnice koje suo na

11

11

v" a

1

0

F:

1--"'':::;:?''::-'-'--::::'?'':::-:::bH'-=----"-'j~-~----:;;-'i;>--;,---~---:c--=-:E:'I>-~

H' C'

81. 184. i 185.

B. Odredivanje projekcija tacaka stosca porn 0 c u us p 0 red n i k a. Kad se tlocrt E' tacke E (s1. 185) koja je na plastu stosca nalazi ispod V', tj. na promjeru CD', ne moze se odrediti nacrt E" tacke E pomocu izvodnice CV, jer se ordinal a koja se polqzi tackom E' poklapa, a ne sijece se s nacrtom C"V" te izvodnice. U tom se sJucaju konstruira nacrt E" tacke E ovako: Tackom E povuce se jedan usporednik u stosca. Njegov tlocrt bit ce kruznica u' kojoj je srediste V', a koja prolazi tackom E'. Taj usporednik u sijece izvodnicu AV u tacki 1, a izvodnicu BV u tacki 2, kojima su tlocrti tacke l' i 2', a nacrti 1" i 2". Na duzini 1"2" koja je nacrt u" usporednika u bit ce trazeni nacrt E" tacke E. Na istoj slici odredeni su pomocu usporednika v tlocrti F' i G' tacaka FiG plasta rotacionog stosca kojima se nacrti poklapaju (F" == G"). Nacrt

120

i

~

J \-.-------------

-----H-b _________ ~___ _

81. 186.

121

gornjem dije1u plasta, npr. CV, FV, EV, vid1jive S11 u t1ocrtu, a nevid1jive one iz donjeg dije1a, npr. IV, DV, JV. Nacrt toga kosog stosca je trokut C"D"V", a izv6dnice- CV i DV su konturne izvodnice njegovog nacrta. Osni presjek CDV dijeli plast na prednji i straznji dio. Sve izvodnice koje su na prednjem dijelu p1asta, npr. EV, GV, AV, vidljive su u nacrtu, a nevidljive su one iz straznjeg dijeIa, npr. FV, HV, BV. Na s1. 186.a nacrtane su jos i projekcije jednog usporednika u toga kosog stosea. Njegovo je srediste Si na osi stosca, a polumjer mu je r. Tlocrti konturnth izvodnica stosca dodiruju i tlocrt u' _toga. usporednika. 8U

- B. - Mrezaplasta kosog kruznog stosca. Ako pravac(S', V') sijecetlocrtk' _osnovne kruznice u tackamaC' i D', onda je duzina C'V' tlocrt najdliZe izvodnice toga stosca, a duzina D'V' tlocrt njegove najkrace izvodnice. Trokut CVD je karakteristicni trokut toga stosca, a ravnina toga trokuta je ravnina simetrije kosog stosca. Da bismo mogli konstruirati mrezu plasta toga stosca, treba da razdijelimo tlocrt k' osnovne kruznice na sto veci broj jednakih dije1ova, a tacke C' i D' treba cia budu u skupu djelisnih tacaka. Na s1. 186.a kruznica k razdijeljena je na 8 jednakih dijelova i nacrtane su projekcije .izvodnica stosca koje idu djelisnim tackama C, E, G, I, D, J, H i F. Za koristrukciju mreze plasta toga stosca potrebne su nam prave velicine fih izvodnica. Nacrti izvodnica CV i DV su njihove prave velicine jer su te izvodnice usporedne s 7t 2 , a prave velicine ostalih izvodnica konstruiraju se pomocu okretanja tih izvodnica oko vertikalne osi VN dok ne postanu usporedne s ravninom Ti: 2 (§ 18, Cl. 4). Izvodnice EV i FV iste su velicine jer su one simetricne s obzirom na ravninu karakteristicnog trokuta stosca. Isto tako su iste velicine izvodnice GV i HV, kao i IV i JV. Prave velicine tih izvodnica su duzine .Eo"V" == Fo"V", Go"V" == Ho"V" i Io"V" == Jo"V". Pored toga potrebna nam je prava velicina 1uka C'F' = C'E' = F'H' = E'G' = ... , pa se ona konstruira kao na s1. 182. Na duzini C'V'oznaci se tacka K tako da bude C'K = 3 r, pa seiz tacke K projicira tackaF' u tacku L na tangentu krliZnice k' u tacki C'. Duzina C'L priblizno je jednaka 1uku C'F'. Konstrukcija mreze plasta stosca ko]i je prerezan uzduz izvodnice CV i razmotan na ravninu slike izvede se ovako: Nacrta se duzina VD (s1. 186. b) ko]a je jednaka pravoj veliCini D"V" najkrace izvodnice DV. Da bi se dobile razmotane izvodnice IV i JV kaje su jednaka duge, apise se oko V kruzni 1uk Ii s po1umjerom Io"V" == Jo"V". Na tome 1uku moraju biti tacke I i J, ito uda1jene od tacke D za du1jinu Iuka D'I' = D'J' = = C'F' = C'L. Ako se, dakle, oko tacke D opise kruznica s poIumjerom r = C'L, ana ce sjeci opisani 1uk Ii u tackama I i J koje spojene s tackom V daju razmotane izvodnice IV i lV. Na slican nacin konstruirat cemo 122

razmotane izvodnice GV i HV. Oko vrha V opisat cemo kruzni luk I2 s polumjerom Go"V" :='. Ho"V", pa cemo taj 1uk presjecikruznicom s po1umjerom r = C'L, opisanom oko tacke I, odnosno J, i dobit cemo tacke G i H koje spojene s tackom V daju razmotane izvodnice GV i HV. Na slican nacin naCi cemo razmotane izvodnice EV i FV, kao i raz-motanu najduzu izvodnicu CV. Krivu1ja kojom spojimo tacke C, F, H, J, D, I, G, E i C je priblizno razmotanaosnovna kruznica k, a lik om eden tOI:D- krivu1jom i izvodnicama CV je priblizna mreza plasta toga stosc.a. Ako toj mrezi dodamo jos i osnovi;:u, dobit cemo pribliznu mrezu toga kosog stosca. 5. Projekcije krnjega rotacionog stosca i njegova mreZa. A. - Na sl. 187. nacrtane su projekcije krnjega rotacionog stosca kojemu je polumjer vece osnovke r = 23 mm, manje r 1 = 12 mm, visina v = 22mm, a veca osnovka u 'ravnini Ti: i . Naravnini Ti:l projiciraju se osnovke krnjega stosca kao koncentricni krugovi u pravoj velicini, a U onaj krliZni vijenac sto ga omeduju tlocrti

v· l.f,

I

f II I

II

/1,

,

I ' _

\

o

,

I '

\

IE~

\

A,

F~' \ B~

I I

I

I I

D.

I

I I

A"

8

ft

X

I

-1-~---'-- a S'Sa' = v). Naert njegove prednje vece osnovke je elipsa A"C"B"D", naert njegove manje osnovke je elipsa A/,Ct"B/'D/', a te se elipse naertaju na naein prikazan u § 12, c1. 4. Zajednieke tangente tih elipsa pripadaju konturi njegovog nacrta, a da bi taj nacrt postao plastiean u njemu su nacrtani jos naerti nekoliko njegovih unutrasnjih i vanjskih izvodnica. Vjezbe 1. Nacrtajte sve tri projekcije rotacionog stosca kojemu je polumjer osnovke

6. Projekcije supljeg rotacionog krnjega stosca kojemu je os usporedna s ravninom it 1• Na 81. .189. naertane su projekeije supljeg rotaeionog k1'njega stosca. kojemu je os SSlusporedna 8 ravninom it 1, aCini 8 ravninom it2 kutod 60 ako su polumjeri njegovih Qsnovaka r = 2 em i 1'1 = 1,3 em, visina v = 3 em, a s1'ediste vece osnovke je S (2; 3,5; 3). Osnovke toga supljeg rotacionog krnjega stosca okomite su na ravnini it 1 , pa je zbog toga njegov tlocrt istokraenl trapez C'D'D/C/ (C'D' = 0

,

124

,. = 1,5

cm, a visina v

=4

cm, ako je njegova osnovka u ravnini

'11: 2 '

2. Nacrtajte projekcije rotacionog stosca (r = 1,5 cm, v = 4 cm), ako je njegova os: a) usporedna s ravninom '11: a s ravninom '11: 2 cini kut od 30 0, b) usporedna s ravninom '11: 2 , a s ravninom '11:, Cini" kut od 30 3. Nacrtajte mrezu rotacionog krnjega stosca kojemu su polumjeri osnovaka T = 2,5 cm i T, = 1 cm, a visina v = 3 cm. 4. Nacrtajte projekcije supljeg rotacionog krnjega stosca kojemu Sli polumjeri osnovaka T = 2,5 cm i T, = 1,5 cm, a visina v = 3 cm, ako je: 0

•

125

,I

j'

a) njegova manja osnovka u rav-

nini 'Iti, b) njegova manja osnovka u rav-

o

c) njegova os usporedna s ravninom '!t2, a s ravninom '!t, cini kut od60°, te ako mu je veea osnovka iznad manje.

._:-L._.

to

M 1:20

L-....--.j--_-4

I~

$80 f....--.-~----1

81. 190.

5. Na s1. 190. nacrtan je nacrt s t 0 1 a ·u mjerilu 1 : 20. Buduci da je taj predmet sastavljen sarno od oblih geometrijskih tijela, on jepotpuno odreden samim svojim nacrtom. Grcko slovo

z..

Y !

l'

t

!

i

1

tiA.

A

x=xkx"

, r

I

+

! y=y'

81. 218. i 219.

Ako uzmemo da nam je koordinatna ravnina 'lt2 = (x, z) ravnina slike, onda se kose projekeije osi x i z (s1. 219) poklapaju stirn osima, a kosa projekeija y o~ y_mora s produzenjem osi zatvarati kut a ~". Jedinice na osima x i y nanose se u pravoj velicini, a jedinice na osi y nanose . 1 se u polovini prave velicine, jer je n 2' Prema tome mora biti: OAx

=

150

1

-- -

= 3 em. 2 = 1,5 em, A'A II z i

--

A'A

= 3 em. Tacka

=

A'

je k 0 sap r 0 j e k c i j a t 1 0 crt a tacke A na ravnini 'lt1 (x, y), a tacka A je k 0 sap r 0 j eke i j a tacke A. Na s1. 219. rijesen je jos i ovaj zadatak:

B. - Nacrtajte kosu projekciju trokuta kojemu su vrhovi B (3; 1; 1), C (5; 4;· 3,5) i D (6; 2; 1,5). Ako pretpostavimo da se trokut BCD nalazi u istompravokutnom koordinatnom sustavu u kojemu je bila i tacka A., onda se konstrukcija kosih projekcija vrh9va toga trokuta izvodi jednako kao sto je konstruirana kosa projekeija tacke A. Opisite tu konstrukciju za svaki vrh trokuta. Trokut B'C'D' je k 0 sap r 0 j e k ci j a t 1 0 crt a trokuta na ravnini 'Itt = (x, y), atrokut BCD je trazena k 0 sap r 0 j eke i j a trokuta BCD. Promatrajuci s1. 219, dolazimo do ovog zakljucka: Kosa projekcija nekoga trokuta, odnosno visekuta koji je u prostoru naae se tako da se konstruira kosa projekcija njegovog'tLocrta, a zati!!1 se u svakom vrhu te kose projekcije tlocrta uzdigne usporednica s osi z, pa se na nju nanese apLikata toga vrha. Tako su dobivene tacke kose projekcije vrhova toga trokuta; odnosno visekuta, To je pravilo veoma vazno jer se pomocu njega moze - kako cemo to kasnije vidjeti - lako konstruirati kosa projekcija svakoga predmeta kad je zadan njegov tloert i naert.

=

ri

x

---

6. Kosa projekcija ravnog lika koji je u jednoj koordinatnoj ravnini. A. - Nacrtajte kosu projekciju istostranicnog trokuta koji je u ravnini 'lt1 (x, y), ako su dva njegova vrha A (1; 1; 0) i C (3; 1; 0), a a 45" 1 i n=2'

A,

0,

--

= 2 em, AxA' II y, AxA'

=

=

=

Na s1. 220. naertani su tloert i naert toga trokuta, ito. tako da su pomoeu zadanih koordinata nadene projekcije straniee AC, a zatim su konstrukeijom (A'B' = C'B' = A'C') nadene projekcije B' i B" treceg vrha B. Zatim je tackom B' pOVllcena usporedniea s osi y i oznaceno je njezino sjeciSte D sa stranieom A'B', Ta ce nam slika posluziti pri konstrukciji kose projekcije trokuta ABC na s1. 221. Naertajmo osi kose projekcije x, y i z kao na s1. 219, pa konstruirajmo kosu projekciju AC stranice AC pomocu koordinata tacaka -!. i C. Da bismo nasH kosu projekciju treceg vrha. B, moramo polovistem D du~. -1 zine AC povuCi usporednicu s osi y i naciniti DB = 2 DB', jer je visina DB .

toga trokuta usporedna s osi y,

~

1

n = 2'

151

D. - Treba naertati kose projekcije kvadrata PRTri i kruzniee k koji su u ravnini "lt2 = (X, Z), ako su dva vrha kvadrata P (3, 0, 1), i R (5, D, 1), a kruzriiea k ima srediste S (1,5; 0; 2) i polumjer r = 1 em, te je

z

IX

o .•

'

= 45° i n

1

=2 (s1. 221).

Buduci da su kvadrat i kruzniea u ravnini "lt2' dakle u ravnini slike, to se njihove kose projekcije poklapaju s tim likovima, pa ih konstruiramo pomocu zadanih koordinata vrhova P i R, odnosno sredista S i polumjera r u njihovoj pravoj velicini . 7. Kosa projekcija kruznice koja je u ravnini "lt 1• Naertajte kosu pro, jekeiju kruzniee 7wja je u ravnini "lt 1 = (x, y), a~o je njezino srediste S (3; 2,5; 0), a polumjer r 1,5 em, te je a 45° i n = 1. Pomocu sredista S i radijusa r nacrtajmo na s1. 222. posebno tlocrt i nacrt te kruznice. Istaknimo zatim promjer AB te kruznice koji je usporedan s osi x i promjer CD koji je usporedan s osi y. Ako u tackama A, B, C i D postavimo tangente na krtiZnicu, dobit cemo dodirni kvadrat 1-2-3-4. Dijagonale toga kvadra:ta sijeku krtiZnicu u tackama E, F, G i H. Tangente kruznice u tim tackama zatvaraju drugi dodirni kvadrat 5-6-7-8 jer su dijagonale EF i GH meau sobom okomite. Tako smo na kruznici istaknuli 8 tacaka i 8 njezinih tangenata. Ako sada nacrtamo kosu projekciju tih dvaju kvadrata, dobit cem~ 8 tacaka i 8 tangenata kose projekcije te kruznice, pa se ona pomocu njih moze nacrtati prostom rukom; samo veee elipse trebat ce konstruirati. Nacrtajmo najprije osi kose p:mjekcije X, y i i kosu projekciju S sredista kruznice S za a = 45° i n = 1 (s1. 223). Zatim povucimo tackom S

=

Sl. 220. i 221.

B. - Treba naertati kosu p1"ojekciju istostranienog trokuta EFG koji je u ravnini "lt3 = (y, z), ako su dva njegova vrha E (0, 3, 2) i F (0, 1, 2'), 1

a

ex.

~

= 45" i n =2(sl. 221).

Kosu projekciju EF strairiee EF nacrtat cemo pomocu koordinata taTrokut EFG sukladan je s trokutom ABC iz gornjeg zadatka, Jer je EF = AC = 2 em, pa ce i njihove visine biti jednake. Kako je visina trokuta EFG nad stranieom EF usporedna s osi z, dobit cemo kosu projekciju treceg vrha G tako_~~ polovistem H duzine EF povucemo usporednieu s osi Z i nacinimo HG DB'. ~aka E iF.

=

z

=

C. - Nacrtajte kosu projekciju pravilnog sesterokuta 1JKLMN koji je u' ravnini "lt 1 = (x, y), ako su dva njegova vrha 1(4, 3, 0) i J (6, 3, 0), I a a = 45 t n = 2 (s1. 221). 0

•

Ako na~r:!am~ !~osu proj ekciju Ij stranice 1J toga sesterokuta, opazit cemo da je IJ =If AC. Zadani sesterokut prema tome mozemo rastaviti na sest jednakih istostranicnih trokuta koji su sukladni s trokutom ABC. Povuc~~o Ii zato polovistem 1 duzine usporednicu s osi y i nacinimo 1S DB, dobit cemo kosu projekciju S sredista S one kruznice koja se oko zadimog sesterokuta moze opisati. Pomocu tacke S lako naaemo kose pr0ekci~~stal!~ vrhova sesterokuta: SN = SK = 2 cm, a NKII:;' = = SI, a SM = SJ.

=

1i

sf

Na s1. 221. rijesen je jos i ovaj zadatak:

152

y

Sf. 222. i 223.

153

=

usp...?~edni~~ s osi x i y i oznaCimo na njima tacke A, 13, C i 15 (SA SB = 1,~ ~-'-- ier je sada n = 1). Pomoeu tih tacaka naertajmo = SC = SD kosu projekciju 1 2 3 4 prv~a--'?odirnog kvadrata i povueimo njegove dijagonale. Zatim na praveu (A, B) oznacimo tacke 5 i 7 (85 S'5 87 = S'7), a n~~~~ (C, D) tacke "6 i "8 (S 6 = S'6, S 8 = S'8). Strani~e kose projekcije 5 6 7 8 drugoga d~d~n~g kvadrata sijeku dijagonale prvoga dodirnog kvadrata u tackama E, F; H i G. Sada se moze naertati kosa projekcija zadane kruzniee, koja je eli p s a. Kad je (L = 45° i n = _lc._..oE~ je promjer EF okomit na promjeru GH, jer su dijag£l}ale romba 1 23 4 menu sobom okomite. Zbog toga je GH velika os, a EF mala os te elipse, pa se ona moze konstruirati pomoeu kruzniea zakrivljenosti njezinih tjemena (§ 12, c1. 3. C). To ne vrijedi ako (L nije 45° i n nije l. Pri ertanju kose projekcije krliZnice na gore opisani naCin ne moramo ertati s1. 222. ako uocimo da je na kruznici SA SB SC = SD = r, a S 5 =S 6 =S 7 S 8 1,414' r (iz pravokutnog istokracnog trokuta SE 5 kojemu su katete SE = E 5 r izlazi da je njegova hipotenuza S 5 = = r' r' 1,414). Kose projekcije tih dliZina mogu se dakle ertati i bez s1. 222.

=

=

=

V2 =

=

=

=

=

=

8. Konstrukcija kose projekcije kruznice pomocu para konjugiranih promjera. A. - Promjeri A'B' i C'D' kruzniee na s1. 222. koji su menu sobom If okomitiimaju to svojstvo da su tangente K krliZnice u krajnjim tackama jednoga promjera usporedne s drugim promjerom. Ta su dva promjera zdruzeni iIi konjugirani promjeri kruzniee (§ 12, Cl. 3. F). Isto taka su promjeri EF i GH konjugirani promjeri kruznice. Svaka dva promjera krliZniee koji su menu soborn okomiti cine par konjugiranih promjera krliZniee, a tangente kruzniee u p njihovim krajnjim tackama cine dodirni x kvadrat krliZniee. --J>-=.....,----'-'-

SI. 224.

154

BuduCi da se usporedni pravci u kosoj projekeiji projiciraju kao usporedni pravci, to se dodirni kvadrat projieira' kao dodirni piralelogram (s1. 223), a svaki par konjugiranih promjera kruzniee projicira se kao par konjugiranih promjera elipse.

Tako na s1. 223. promjeri ,AB i CD cine jedan par, a EF i par konjugiranih promjera elipse.

Naertajte za

B. -

'u ravnini (s1. 224).

7':3

(L

= 45° i n

=;

CH

drucri b

kosu projekeiju kruzniee'koja je

= (y, z), ako je njezino srediste S (0; 3; 3), a polumjer r = 2 em

Naertajmo osi kose projekcije i kosu projekciju S sredista S (OS' = -" 2 em, as'S = 3 em). Kosa projekcija promjera MN koji je uspo-

= 3'32 =

redan s osi z jednaka je promjeru krliZniee dakle je MN = 2 r == 4 em, a kosa projekcija promjera PR koji je usporedan s osi y bit ee PR = 2 r X 2 2 8 --x 3" = 4 x 3" = 3= 2,66 em iIi SF' = SR = 1,33 em. Promjeri MN i PR su konjugirani promjeri krliZniee, a njihove kose projekcije MN i PR su konjugirani promjeri o!!:e elipse koja je kosa projekcija te kruznice. Pomoeu promjera MNi PR konstruiramo zatim dodirni paralelogram GHKL, pa izvedemo konstrukciju elipse na nacin koji je objasnjen u § 12, c1. 3. G. Na taj nacin moze se naertati i kosa projekcija svake kruzniee koja je u ravnini 7':1 (x, y). Naerta se par konjugiranih promjera liB i CD trazene elipse (s1. 223), pa- se ona pomoeu njih konstruira.

=

Kad se odredi kosa projekcija jednog para konjugiranih promjera neke krliZniee, onda se kosa projekeija te krliZniee moze konstruirati i tako da se nadu velika i mala os elipse (s1. 109), a onda se ta elipsa konstruira pomoeu kruzniea zakrivljenosti njezinih tjemena (s1. 104). C. - Dosad smo velicinu kose projekcije neke dliZine koja je usporedna s osi y izraeunavali pomocu velicine te duzine i prikrate n, ali ona se moze odrediti konstruktivnim postupkom. Tako velicine dliZina SP i SR (s1. 224) koje su kose projekcije onih polumjera krliZnice koji su usporedni ~ osi y mozemo odrediti ovako: Tackom 0 naertamo os y okomito na os x i na njoj oznacimo t~ku A tako da bude OA 3 i, gdje je i koja god velicina, a zatim na osi y oznacimo tacku A tako da bude DA = 2 i, 2 - jer je prikrata n=3"' Kad spojimo tacke A i A, dobijemo trokut OAA

=

--

u kojem je stranica OA da bude

OB

= r = 2 em

= 32OA,

Zatim oznacimo na osi y tacku B tako

i nacrtamo

BE II AX.

Buduei da je trokut

=~

sliean trokutu OAA, to je njegova straniea DB -- -pa duzine SP i SR moraju biti jednake duzini

OB, dakle je

OBB

DB = ~

r,

DB. 155

U tom zadatku bila je prikrata n

=-}, a kad bi ona bila npr. n = !'

onda bismo morali naciniti OA = 4 i, a aX = 3 i, jer bi tada bila straniea -3 - OA =4 OA, pa bismo dobili trokut OAA za taj slucaj. Trokut OAA zove

§ 25. KOSA PROJEKCIJA GEOMETRIJSKIH TIJELA 1. Kosa projekcija pravilne sesterostrane prizme. Nacrtajte za a =

= 45° i n = 11:1

=

+

= 45°

i n

2. Nacrtajte za ex,

= 45°

i n

=~

kosu projekciju trokuta kojemu su vrhovi

3. Nacrtajte za ex,

= 45°

i n

= ~2

kosu projekciju paralelograma ABCD,ako je

1. Nacrtajte za ex,

kosu projekciju duzine AB, ako je A (2; 3; 2)

i B (5; 4; 4). 3 A (2; 3; 3), B (5; 4,5; 4) i C (3,5; 1,5; 5).

kosu projekciju pravilne sesterostrane prizme kojoj je osno-

=

vni brid dug 1,5 em, a visina v 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini (x, y), srediste osnovke je 8 (3; 3; 0), a dva su njezina osnovna brida usporedna s osi x.

se odredbeni trokut za kosu projekciju. Vjezbe

1

2

A (3; 6; 4), B (6; 2; 6) i C (5; 8; 4). 4. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 za a = 45~ i n = ~ kosu projekeiju horizontamog 3 prereza he ton s k 0 g stu p a koji je zadan na s1. 225. u mjerilu 1 : 15, ako je taj prerez u ravnini 'It, = (x, y). 160

=

Najprije se naerta osnovka prizme u pravoj velicini kao na s1. 227. Sredistem te osnovke 8 povuku se dijagonala AD koja je usporedna s osi x i simetrala 1-2 stranice BC koja ide sredistem 8 okomito na dijagonalu AD. Pomocu koordinata sredista osnovke naerta se zatim (s1. 228) njegova kosa projekcija S, te kosa projekcija dijagonale AD (AD II X; -SA

--

= 8D =

--

1,5 em) i simetrale 1-2 (S8",

-

II y,

-81

=

-1 S 2 =2S 1). Kosa

projekcija brida BC nade se pomocu tacke 1, a brida EF pomocu tacke.2. Iz vrhova kose proje~cije osnovke idu kose projekcije pobocnih bridova prizme usporedo s osi z i jednakesu bridovima u prostoru, a gomje krajnje tacke tih bridova odreduju kosu projekciju AIBlClDlEiFl gomje osnovke prizme. ad osnovnih bridova ne vide se bridovi DE, EF i FA, a od pobocnih sarno EEl i FF1 .

::;,'.•. ",/.