Meccanica Dei Fluidi Esercizi Prof Pezzinga [PDF]

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA

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Giuseppe Pezzinga

ESERCIZI DI MECCANICA DEI FLUIDI

Catania 2005

III

INDICE Prefazione

V

1. Statica dei fluidi 1.1 Spinte su superfici piane 1.2 Spinte su superfici curve 1.3 Spinte su corpi immersi

1 9 22

2. Dinamica dei fluidi ideali 2.1 Teorema di Bernoulli 2.2 Spinte dinamiche 2.3 Macchine idrauliche

24 27 40

3. Correnti in pressione 3.1 Impianti a gravità 3.2 Impianti idroelettrici 3.3 Impianti di pompaggio

47 53 56

4. Argomenti complementari 4.1 Sistemi di lunghe condotte 4.2 Fluidi comprimibili 4.3 Strato limite 4.4 Moto vario 4.5 Correnti a superficie libera

71 77 81 83 89

V

PREFAZIONE Sono qui raccolti e svolti esercizi assegnati alla prova scritta degli esami di profitto dell’insegnamento di “Meccanica dei fluidi” tenuto dall’anno accademico 1992-93 nell’ambito del Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Catania. La suddivisione in capitoli rispecchia quella classica della disciplina. Si incontrano quindi i capitoli sulla Statica dei fluidi, sulla Dinamica dei fluidi ideali, sulla dinamica dei fluidi reali, nell’ambito della quale si considerano in special modo i problemi relativi alle Correnti in pressione. Altri argomenti sono qui definiti come complementari e riguardano in particolare: i sistemi di lunghe condotte, i fluidi comprimibili, lo strato limite, il moto vario delle correnti in pressione e le correnti a superficie libera in moto permanente. Questi ultimi argomenti hanno tradizionalmente trovato spazio nell’insegnamento di “Meccanica dei fluidi” svolto nell’ambito della laurea di cinque anni, mentre non sono trattati nel corso svolto nell’ambito della laurea di tre anni. Comunque, si è ritenuto utile includere nella raccolta anche gli esercizi ad essi relativi, per fornire almeno un’idea dell’ampiezza dei possibili campi di applicazione dei principi della disciplina. Le suddivisioni interne ai capitoli sono puramente indicative, in quanto naturalmente gli argomenti fondamentali, come per esempio il teorema di Bernoulli, vengono richiamati ripetutamente. Inoltre qualche ripetizione è causata dalla volontà di mantenere i testi degli esercizi così come sono stati formulati nelle prove d’esame. È consigliabile cercare di risolvere autonomamente gli esercizi, prima di consultare la soluzione. Questa richiama le principali necessarie nozioni teoriche e si conclude con i risultati numerici, che sono importanti per capire e prendere confidenza con l’entità delle grandezze fisiche in gioco. Giuseppe Pezzinga

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

1

1. STATICA DEI FLUIDI Spinte su superfici piane Esercizio 1.1 1. Determinare l’indicazione del manometro differenziale in Figura 1.1. 2. Calcolare la spinta complessivamente esercitata sulla paratoia rettangolare di traccia A-B e di larghezza L. 3. Valutare il modulo della forza F da applicare in A per tenere in equilibrio la paratoia. Soluzione 1. Il dislivello h1 – h2 tra le superfici libere nelle due parti del recipiente è pari al dislivello tra i piani dei carichi idrostatici. L’indicazione del manometro differenziale si può quindi ricavare per mezzo della relazione Δ=

γ(h1 - h 2 ) = 0,0793 m γm - γ

2. Il modulo della spinta S sulla superficie A-B è pari alla differenza dei moduli della spinta di sinistra S1 e della spinta di destra S 2, essendo le due spinte di verso opposto γh12 L γh22 L S = S1 − S2 = = 101,9 kN 2senα 2senα 3. La distanza del centro di spinta dalla retta di sponda si può esprimere in generale come ξ=

I M

con I e M momento d’inerzia e momento statico rispetto alla retta di sponda. In questo caso si ha ξ1 =

2h1 3senα

ξ2 =

2h 2 3senα

2

G. Pezzinga

A

F

γ

γm = 133400 N/m γ b

h1

3

γ = 9806 N/m

3

h1 = 5 m h2

h2 = 4 m L=2m

α

α = 60°

B Δ

b = 6.5 m γm

Figura 1.1 La forza F si ricava quindi dall’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera B   h  1  h F =  S1  1 - ξ1  − S 2  2 - ξ 2  = 40,9 kN b   senα   senα 

Esercizio 1.2 1. Determinare la quota rispetto all’interfaccia tra i due liquidi del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 (Figura 1.2). 2. Calcolare la spinta sulla superficie quadrata di traccia A-B. 3. Valutare la forza da applicare in A per tenere in equilibrio la paratoia A-B. Soluzione 1. La pressione all’interfaccia vale p1 = γ1h1 = 8000 Pa

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

h1

γ1

h2

γ2

3

γ 1 = 8000 N/m 3 γ 2 = 9806 N/m3 F

A

h1 = 1 m

L

h2 = 2 m L=3m B Figura 1.2

Quindi la distanza del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 dall’interfaccia risulta h=

p1 = 0,816 m γ2

2. Detto hG l’affondamento del baricentro della superficie quadrata A-B, la spinta sulla superficie si può calcolare come  L S = γ 2 hG A = γ 2 h + h2 +  L2 = 381 kN  2 3. La distanza del centro di spinta dal baricentro di A-B si può esprimere come ξ0 =

I0 M

con I0 momento d’inerzia rispetto a un asse baricentrico parallelo alla retta di sponda, che in questo caso vale L4 I0 = 12 e M momento statico rispetto alla retta di sponda, pari a

4

G. Pezzinga

 L M = AxG = L2  h + h 2 +   2 Risulta quindi ξ0 = 0,174 m. La forza F si ricava quindi dall’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera B F=

 SL  − ξ 0  = 168 kN L2 

Esercizio 1.3 1. Determinare la quota del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 rispetto all’interfaccia tra i due liquidi (Figura 1.3). 2. Calcolare la spinta complessivamente esercitata dai due fluidi sulla superficie rettangolare di traccia A-B e di larghezza L. 3. Valutare il modulo della forza orizzontale F da applicare in A per tenere in equilibrio la paratoia incernierata in B. F

A

γ1 = 8500 N/m h1

γ1

γ2 = 9806 N/m 3 h1 = 1 m

h2

3

b

γ2

h2 = 2 m L=4m

B

b=5m

Figura 1.3 Soluzione 1. La distanza del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 dall’interfaccia è

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

h=

5

γ1 h1 = 0,867 m γ2

2. Per calcolare la spinta complessiva sulla superficie rettangolare di traccia AB, bisogna considerare separatamente l’azione dei due fluidi  γ 1h12 L h  S = S1 + S 2 = γ1 hG1 A1 + γ 2 hG 2 A2 = + γ 2 h + 2 h 2 L = 163 kN 2  2 È da mettere in evidenza che è sbagliato calcolare la spinta considerando la pressione nel baricentro geometrico dell’intera superficie, in quanto in questo caso la pressione nel baricentro differisce dalla pressione media sulla superficie. 3. Le distanze dei centri di spinta dai rispettivi baricentri si possono esprimere come ξ 01 =

I 01 M1

ξ 02 =

I0 2 M2

Nel caso in esame si ha Lh13 I 01 = 12

Lh12 M1 = 2

I 02

Lh23 = 12

 h  M 2 = Lh2 h + 2   2

Il modulo della forza F si ricava dall’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera B  h  1  h F =  S1 h 2 + 1 − ξ 01  + S 2  2 − ξ 0 2  = 32 kN b  2  2 

Esercizio 1.4 1. Calcolare il dislivello tra le superfici libere nelle due parti del recipiente della Figura 1.4. 2. Valutare il modulo della spinta sulla paratoia quadrata A-A. 3. Determinare il momento necessario per tenere in equilibrio la paratoia A-A, incernierata attorno a un asse orizzontale baricentrico.

6

G. Pezzinga

h γ

Δ = 0.2 m

A γ

γ = 9806 N/m 3

L

γm = 133400 N/m 3

A

L=2m

Δ

γm

Figura 1.4 Soluzione 1. Il dislivello h tra le superfici libere nelle due parti del recipiente è pari al dislivello tra i piani dei carichi idrostatici, che si può ricavare dall’indicazione del manometro differenziale per mezzo della relazione h =Δ

γm − γ = 2,52 m γ

2. Il modulo della spinta S sulla superficie A-A è pari alla differenza dei moduli della spinta di sinistra SS e della spinta di destra SD, essendo le due spinte di verso opposto S = S S − S D = γ(hG S − hG D )A = γhL2 = 98,9 kN 3. Il momento esercitato dal liquido di sinistra rispetto alla cerniera è CS = SSξ0S = γI 0 ed è antiorario. Il momento esercitato dal liquido di destra rispetto alla cerniera è CD = SDξ0D = γI 0 ed è orario. Essendo i momenti uguali e di verso opposto la paratoia è in equilibrio e non serve nessun momento esterno applicato.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

7

Esercizio 1.5 1. Con riferimento alla Figura 1.5, noti i pesi specifici γ e γ m e l’indicazione del manometro rovescio Δ, valutare la differenza di quota h tra le due parti del recipiente contenente liquido γ. 2. Calcolare la spinta complessivamente esercitata sulla paratoia quadrata AB di lato L. 3. Determinare la reazione dell’appoggio B. γm Δ h γ

γ = 9806 N/m γ

A

3

γm = 7350 N/m 3 Δ=1m

L B

L=2m

Figura 1.5 Soluzione 1. Il dislivello h tra le superfici libere si può ricavare dall’indicazione del manometro differenziale rovescio per mezzo della relazione h =Δ

γ − γm = 0,250 m γ

2. La spinta complessivamente esercitata sulla paratoia A-B è pari alla differenza dei moduli della spinta di sinistra e della spinta di destra S = S S − S D = γ(hG S − hG D )A = γhL2 = 9824 N 3. Il momento esercitato dal liquido di sinistra rispetto alla cerniera, antiorario, è

8

G. Pezzinga

L  L C S = S S  + ξ 0S  = S S + γI 0 sin α 2  2 dove α è l’angolo formato dalla paratoia con l’orizzontale. Il momento esercitato dal liquido di destra rispetto alla cerniera è analogamente € L  L C D = S D  + ξ 0D  = S D + γI 0 sin α 2  2 ed è orario. La reazione dell’appoggio B si determina quindi dall’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera A e risulta: € S R B = = 4912 N 2

Esercizio 1.6 1. Con riferimento alla Figura 1.6, noti i pesi specifici γ e γm e i dislivelli h e Δ, valutare il sovralzo x del liquido γ. 2. Calcolare la spinta esercitata dal liquido γ e dall’aria sulla paratoia AB di larghezza L. 3. Determinare la coppia esterna C necessaria per l’equilibrio della paratoia AB. A C aria

γ = 9806 N/m a x

3

3

γ = 12360 N/m m

h γ

h = 0.5 m

B

Δ=4m

Δ

a = 0.5 m γm

L=2m

Figura 1.6

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

9

Soluzione 1. L’espressione della pressione sulla superficie orizzontale isobarica passante per l’interfaccia tra il liquido γ e il liquido manometrico γm consente di scrivere la relazione −γx + γ m Δ = γ(h + Δ ) da cui si ricava il sovralzo x pari a 0,542 m. 2. La spinta al di sotto della superficie libera è equilibrata. La spinta esercitata dall’esterno è nulla, essendo dovuta alla pressione atmosferica. Il modulo della spinta interna si può calcolare come somma di due contributi: quello del liquido, in cui la pressione varia idrostaticamente, e quello dell’aria, in cui la pressione è costante x2 S=γ L + γxaL = - 8192 N 2 La spinta va da destra verso sinistra. 3. La coppia esterna, antioraria, deve equilibrare il momento rispetto alla cerniera, orario, dovuto anch’esso alla somma del contributo dovuto al liquido e di quello dovuto all’aria. Il modulo della coppia esterna vale quindi  x2  x a2 C=γ L + a  + γx L = 3287 Nm 2 3  2

Spinte su superfici curve Esercizio 1.7 1. Con riferimento al serbatoio della Figura 1.7 determinare la differenza h tra la superficie libera e il livello del liquido manometrico. 2. Calcolare il modulo della spinta per unità di larghezza sulla paratoia A-B. 3. Calcolare il peso P necessario per tenere in equilibrio la paratoia. Soluzione 1. L’equilibrio delle pressioni alla quota dell’interfaccia tra γ e γm consente di scrivere γ mΔ = γ(h + Δ), da cui si ricava

10

G. Pezzinga

R γ = 9806 N/m

B h γ

P

R

3

γm = 12360 N/m R=2m

A

Δ

3

Δ =2m

γ

m

Figura 1.7

h =Δ

γm − γ = 0,521 m γ

2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume del quarto di cilindro, si ha la relazione vettoriale S = -Π0 = G + Π1. Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è R2 S x = Π1 = γhG A = γ = 19,6 kN/m 2 e la componente verticale è πR 2 Sz = −G = −γW = −γ = -30,8 kN/m. 4 Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 36,5 kN/m 3. La retta d’azione della spinta per simmetria è passante per la traccia dell’asse del cilindro. Il momento rispetto alla cerniera, orario, è C = Sx R. Dall’equilibrio dei momenti si ricava il peso P

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

P=

11

C = S x = 19,6 kN/m R

Esercizio 1.8 1. Determinare la quota del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 rispetto alla superficie di separazione tra γ 1 e γ2 (Figura 1.8). 2. Calcolare il modulo della spinta sulla semisfera AB. 3. Calcolare il momento della spinta rispetto alla cerniera B.

n aria γ1

n = 1 bar h1

h1 = 0.5 m

γ2

h2 = 2 m

h2 A

γ = 7500 N/m 3 1

γ = 9806 N/m 3

D

2

B

D=1m

Figura 1.8 Soluzione 1. La pressione all’interfaccia vale p 1 = 105n + γ1h1 = 103750 Pa. Quindi la distanza del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2 dall’interfaccia è h=

p1 = 10,58 m γ2

2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume della semisfera, si ha la relazione vettoriale S = -Π 0 = G + Π1. Scelto un sistema di

12

G. Pezzinga

riferimento con assi con verso positivo rispettivamente verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è  D  πD 2 S x = Π1 = γ 2 hG A = γ 2  h + h 2 +  = 100,7 kN  2 4 e la componente verticale è πD 3 Sz = −G = −γ 2W = −γ 2 = -2,57 kN 12 Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 100,8 kN 3. La retta d’azione della spinta per simmetria passa per il centro della sfera. Il momento rispetto alla cerniera vale C=

Sx D = 50,35 kNm 2

ed è orario.

Esercizio 1.9 1. Con riferimento alla Figura 1.9, noto il peso P agente sul cilindro di diametro d, determinare la quota h del piano dei carichi idrostatici del liquido γ, riferita all’interfaccia aria-liquido. 2. Calcolare la spinta esercitata sul quarto di cilindro di traccia AB e di larghezza L. 3. Calcolare la reazione dell’appoggio B. Soluzione 1. La pressione alla quota dell’interfaccia aria-liquido si può ricavare come pi =

P + γa d2 π 4

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

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P d

a

P = 25000 N

aria B γ

d = 1.5 m R

A

R

γ = 9806 N/m

3

a=1m R=2m L=2m

Figura 1.9

da cui h =

pi = 2,44 m. γ

2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume del quarto di cilindro, si ha la relazione vettoriale S = -Π0 = G + Π 1 + Π 2. Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è  R S x = Π1 = γhG A = γh +  RL = 135,0 kN/m  2 e la componente verticale è πR 2 Sz = −G − Π 2 = −γW − pG 2 A2 = −γ L − pi RL = -157,3 kN/m. 4 Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 207,3 kN/m 3. La retta d’azione della spinta per simmetria è passante per la traccia dell’asse del cilindro. Il momento rispetto alla cerniera, orario, è C = Sx R. Dall’equilibrio dei momenti si ricava la reazione dell’appoggio B

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G. Pezzinga

RB =

Esercizio 1.10

C = S x = 135,0 kN/m R

€

1. Con riferimento alla Figura 1.10, nota l’indicazione n del manometro metallico, valutare la distanza del piano dei carichi idrostatici del liquido dall’interfaccia tra aria e liquido. 2. Determinare la spinta sulla superficie curva di larghezza L. 3. Determinare la reazione dell’appoggio B. n n = 0.5 bar aria B γ

R

γ = 9806 N/m

3

R=2m

A

L=2m R

Figura 1.10 Soluzione 1. La distanza del piano dei carichi idrostatici del liquido dall’interfaccia si calcola come

10 5 n h= = 5,10 m γ 2. Detto O il punto traccia dell’asse del cilindro di raggio R, e applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume fluido fittizio contenuto nel quarto di € cilindro di traccia AOB, si ha S = Π0 = - G - Π 1 - Π2, dove Π1 è la spinta della superficie di traccia AO sul volume fluido e Π 2 è la spinta della superficie di traccia BO sullo stesso volume. I moduli delle tre forze si esprimono rispettivamente

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

πR 2 G=γ L 4

€

15

(

)

Π 1 = 10 5 n + γR RL

 γR  Π 2 = 10 5 n +  RL  2

Quindi, in un sistema di riferimento con assi positivi rispettivamente verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è pari a S x = Π 2 = 239 kN e € quella verticale è S z = G − Π 1 = -217 kN. Il€modulo della spinta vale quindi S = S x2 + S z2 = 323 kN € 3. La retta€d’azione della spinta per simmetria passa per il punto O. L’equilibrio dei momenti per la paratoia AB si scrive quindi RB R = S z R . Di conseguenza la reazione dell’appoggio B è pari alla componente verticale. €

Esercizio 1.11

1. Determinare l’indicazione Δ del manometro differenziale in Figura 1.11. 2. Calcolare il modulo della spinta sulla semisfera AB. 3. Calcolare il momento della spinta rispetto alla cerniera A. n1

n2

γ

γ

n1 = 2 bar n2 = 1 bar

A

γ = 9806 N/m

D

3

γm = 133400 N/m

B

D=1m

Δ γm

Figura 1.11

3

16

G. Pezzinga

Soluzione 1. Il dislivello tra i piani dei carichi idrostatici a sinistra e a destra è pari a 10 5 (n1 − n2 ) δ= γ Per mezzo della relazione del manometro differenziale si può ricavare l’indicazione Δ 10 5 (n1 − n2 ) γ Δ=δ = = 0,809 m γm − γ γm − γ 2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume della semisfera, si ha per l’azione del liquido a sinistra SS = Π0S = - G S - Π 1S e per quello a destra SD = - Π 0D = G D + Π 1D. La spinta totale è uguale a S = SS + S D = - Π 1S + Π1D. Quindi la spinta è orizzontale di modulo S = Π 1S − Π1 D

πD 2 =10 (n1 − n 2 ) = 78,5 kN 4 5

3. La retta d’azione della spinta per simmetria passa per il centro della sfera. Il momento rispetto alla cerniera è C=S

D = 39,3 kNm 2

ed è orario.

Esercizio 1.12 1. Determinare l’indicazione del manometro differenziale in Figura 1.12. 2. Calcolare la spinta esercitata sulla superficie di traccia AB e di larghezza L. 3. Valutare la spinta esercitata sul cilindro di diametro D che chiude l’apertura rettangolare di altezza a e larghezza L. Soluzione 1. Il dislivello tra i peli liberi è pari al dislivello tra i piani dei carichi idrostatici. Quindi applicando la relazione del manometro differenziale rovescio si può ricavare l’indicazione

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

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Δ=h

γ = 3,99 m γ − γm

2. La spinta sulla superficie di traccia AB vale SAB = ( pGS − pGD ) A = γhbL = 49,0 kN 3. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume della semisfera, si ha per l’azione del liquido a sinistra SS = Π0S = - G S - Π 1S e per quello a destra SD = Π 0D = - GD - Π 1D. La spinta totale è uguale a S = SS + SD = - G S - G D - Π 1S - Π 1D. Quindi la componente orizzontale è γ = 9806 N/m

γm Δ h γ

γm = 7350 N/m h=1m b = 2.5 m

γ D

a L=2m A D=2m b a = 1.5 m

B

Figura 1.12 S x = Π1 S − Π 1D = γhaL = 29,4 kN e la componente verticale Sz = G S + G D = γ

πD 2 L = 61,6 kN 4

Il modulo della risultante è quindi pari a

3

3

18

G. Pezzinga

S = S x2 + S z2 = 68,3 kN

Esercizio 1.13 1. Con riferimento alla Figura 1.13, noti i pesi specifici γ 1 e γ 2, valutare l’indicazione h del piezometro contenente liquido di peso specifico γ2. 2. Calcolare la spinta complessivamente esercitata sulla superficie curva AB di larghezza L. 3. Determinare la reazione dell’appoggio B.

h

γ1

Y

γ2

Y γ2 A

γ1 = 8000 N/m 3 γ2 = 9806 N/m3

D D=2m D B

Y=2m L=2m

Figura 1.13 Soluzione 1. L’indicazione del piezometro si ricava dall’uguaglianza delle pressioni alla quota dell’interfaccia tra γ1 e γ2 h=

γ 1Y = 1,63 m γ2

2. Detto O il punto sulla superficie AB in cui cambia la curvatura, si può applicare separatamente il metodo dell’equazione globale di equilibrio ai volumi dei due semicilindri.€Per il cilindro superiore, si ha per l’azione del liquido a

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

19

sinistra SS = - Π 0S = GS + Π1S e per quello a destra SD = Π 0D = - GD - Π 1D. La spinta totale è uguale a S = SS + S D = + Π 1S - Π1D. La spinta è orizzontale di modulo

S = (γ 1Y + γ 2Y ) DL = 142,45 kN Procedendo in maniera analoga per il cilindro inferiore, si conclude che anche su di esso la spinta ha lo stesso modulo. La spinta complessiva è quindi pari a ST = 2S = 284,90 kN. €

€

3. Le rette d’azione delle due spinte per simmetria sono passanti per le rispettive traccie degli assi dei due cilindri. Essendo uguali in modulo, la loro risultante passerà per il punto medio O. Il momento rispetto alla cerniera, antiorario, è C = SD. Dall’equilibrio dei momenti si ricava la reazione dell’appoggio B RB = S = 142,45 kN

Esercizio 1.14

€

1. Con riferimento alla Figura 1.14, noti i dislivelli h e Δ, valutare il peso specifico del liquido manometrico γm. 2. Calcolare la spinta esercitata sul semicilindro incernierato in A di larghezza L. 3. Determinare la forza F necessaria per l’equilibrio. Soluzione 1. L’equilibrio delle pressioni alla quota dell’interfaccia tra γ2 e γ m consente di ottenere γ m come γm =

γ 1 R + γ 2 (h + Δ − R) = 12494 N/m3 Δ

2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume del semicilindro, si ha la relazione vettoriale S = Π 0 = - G - Π 1. Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è S x = Π1 = γ1 hG1 A1 + γ 2 hG 2 A2 = γ 1 e la componente verticale è

 R2 R L +  γ 1 R + γ 2  RL = 141,2 kN 2  2

20

G. Pezzinga

h = 1.5 m

F h

γ1

R

γ2

R

Δ

Δ = 4.5 m γ1 = 8500 N/m 3

A γ2 = 9806 N/m 3 R=2m

γm

L=2m

Figura 1.14 πR 2 πR 2 Sz = G1 + G2 = γ 1W1 + γ 2 W2 = γ 1 L + γ2 L = 115,0 kN 4 4 Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 182,1 kN 3. La retta d’azione della spinta per simmetria è passante per la traccia dell’asse del cilindro. Il momento rispetto alla cerniera, orario, è C = Sx R. Dall’equilibrio dei momenti si ricava il modulo della forza F F=

Esercizio 1.15

C Sx = = 70,6 kN 2R 2

€

1. Calcolare il modulo della spinta sulla superficie di fondo quadrata A-B del recipiente della Figura 1.15. 2. Calcolare il modulo della spinta sulla superficie del semicilindro E-F, di larghezza L. 3. Calcolare la reazione dell’appoggio F.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

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n

aria

n = 0.5 bar γ = 9806 N/m

E R

3

R=2m

R a=4m

γ

F a

A

L=5m

L

B Figura 1.15

Soluzione 1. La spinta sulla superficie A-B vale S = pA AB = [(105n + γ(R + a)] L2 = 2721 kN 2. Applicando il metodo dell’equazione globale di equilibrio al volume della semisfera, si ha la relazione vettoriale S = -Π 0 = G + Π1. Scelto un sistema di riferimento con assi con verso positivo rispettivamente verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è  R S x = −Π 1 = − pG a Aa − pG γ Aγ = −10 5 nRL − 10 5 n + γ RL = -1098 kN  2 e la componente verticale è €

πR 2 Sz = −G = −γW = −γ L = -154,0 kN 4 Il modulo è quindi pari a

22

G. Pezzinga

S = S x2 + S z2 = 1109 kN 3. La retta d’azione della spinta per simmetria passa per la traccia dell’asse del cilindro. Il momento rispetto alla cerniera è C = S x R = 2196 kNm ed è orario. La reazione dell’appoggio F si ottiene dall’equilibrio dei momenti rispetto a E ed è pari a RF =

Sx = 549 kN 2

Spinte su corpi immersi Esercizio 1.16 1. Calcolare il modulo della spinta S sul fondo quadrato del recipiente schematizzato nella Figura 1.16. 2. Valutare il modulo della forza F necessaria per tenere in equilibrio la parete di fondo incernierata sul lato A e libera sugli altri. 3. Determinare il peso del cilindro parzialmente immerso. Soluzione 1. La spinta sul fondo vale S = pA = (γ 1h1 + γ2h2)L 2 = 865 kN 2. Essendo la parete di fondo orizzontale, la pressione è distribuita uniformemente e quindi il centro di spinta coincide con il baricentro. Per l’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera il modulo della forza necessaria per tenere in equilibrio la parete di fondo è allora pari a F=

S = 432 kN 2

3. Il peso del cilindro parzialmente immerso deve essere in equilibrio con la spinta esercitata dai due liquidi, che si può ottenere dal principio di Archimede come peso del liquido spostato S = -G. Quindi il peso del cilindro risulta pari a

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

23

γ

γ = 9806 N/m 3 h1

1

1

γ = 12390 N/m 3 2

d

h1 = 1 m D

γ

2

h2

h2 = 2 m D = 1.5 m L=5m

F L

Figura 1.16 πD2 P = S = G = (γ1 h1 + γ 2 d ) = 28,3 kN 4

d = 0.5 m

24

G. Pezzinga

2. DINAMICA DEI FLUIDI IDEALI Teorema di Bernoulli Esercizio 2.1 1. Con riferimento alla Figura 2.1, noto il dislivello Y tra la superficie libera del serbatoio e il baricentro della sezione di sbocco, calcolare la portata defluente. 2. Determinare la quota massima hM raggiunta dal getto.

Y α = 30° hM d α

d = 0.1 m Y = 2.5 m

Figura 2.1 Soluzione 1. In questo caso, data la conformazione dell’ugello terminale, non c’è contrazione della vena effluente. Si assume inoltre che la velocità in corrispondenza al baricentro sia quella media. L’applicazione del teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione di sbocco, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione di sbocco, consente di scrivere

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

25

Q2 Y= 2gA 2 con A =

πd 2 . La portata risulta pari a 4 € Q = 0,055 m3/s

€ 2. La quota massima raggiunta dal getto si può ottenere con l’applicazione del teorema di Bernoulli tra la sezione di sbocco e la quota massima, tenendo conto che la componente orizzontale della velocità si mantiene costante per l’assenza di accelerazione in quella direzione. Sempre con riferimento alla quota del baricentro della sezione di sbocco si può scrivere

V2 V 2 cos 2 α = hM + 2g 2g Essendo V =

€

Esercizio 2.2

Q = 7 m/s, si ha quindi A € V 2 sen 2 α = 0,625 m hM = 2g

€

1. Calcolare la portata effluente dalla condotta schematizzata nella Figura 2.2. 2. Determinare la quota massima raggiunta dal getto. Soluzione 1. Anche in questo caso non c’è contrazione della vena effluente. Nelle stesse ipotesi dell’esercizio precedente, l’applicazione del teorema di Bernoulli tra la sezione in cui è inserito il manometro metallico e la sezione di sbocco, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione di sbocco, consente di scrivere 10 5 n Q2 Q2 a+ + = γ 2gA12 2gA 22

26

G. Pezzinga

3

γ = 9806 N/m

n a

D2

a = 0.4 m n = 1 bar D1 = 0.2 m

D1

D2 = 0.15 m

α

α = 45° Figura 2.2 πD12 πD22 con A1 = e A2 = . La portata risulta pari a 4 4 Q = 0,308 m3/s 2. La quota massima raggiunta dal getto si può ottenere con l’applicazione del teorema di Bernoulli tra la sezione di sbocco e la quota massima, tenendo conto che la componente orizzontale della velocità si mantiene costante per l’assenza di accelerazione in quella direzione. Sempre con riferimento alla quota del baricentro della sezione di sbocco si può scrivere V22 V22 cos2 α =h+ 2g 2g Essendo V2 =

Q = 17,4 m/s, si ha quindi A2 V22 sen 2 α h= = 7,75 m 2g

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

27

Spinte dinamiche Esercizio 2.3 1. Con riferimento alla Figura 2.3, nota l’indicazione del piezometro posto contro corrente all’uscita della condotta, calcolare la portata defluente. 2. Determinare la spinta sul convergente di lunghezza L. a = 0.2 m

A

a

B

D

d = 0.1 m 3

d

γ = 9806 N/m

B

A

D = 0.2 m

L

L = 0.5 m

Figura 2.3 Soluzione 1. Il piezometro posto contro corrente all’uscita della condotta ha una presa dinamica. L’applicazione del teorema di Bernoulli alla traiettoria assiale, tra un generico punto nella sezione con diametro d e il punto di ristagno consente di scrivere Q2 =a 2gAd2 da cui si ricava la portata Q = 15,6 l/s. 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume del tronco di cono, la relazione vettoriale che fornisce la spinta è S = - Π0 = G + Π 1 + M1 - M 2. La spinta Π2 non compare perché la pressione sul baricentro della sezione con diametro d è nulla. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a G = γW

Π1 = pG1 A1

M1 =

ρQ 2 A1

M2 =

ρQ 2 A2

28

G. Pezzinga

La pressione nel baricentro della sezione con diametro D si calcola applicando il teorema di Bernoulli e risulta pG1

 Q2 Q2   = 1839 Pa = γ −  2gAd2 2gA D2 

Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è Sx = Π 1 + M 1 - M2 = 34,7 N, quella verticale è Sz = -G = -89,9 N. Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 96,4 N

Esercizio 2.4 1. Calcolare la portata che scorre nella condotta schematizzata in Figura 2.4. 2. Determinare il modulo della spinta sul convergente. γ = 8000 N/m 3 z 1 = 0.4 m

n1

n2 z 2 = 0.3 m

z1

z2 n 1 = 1 bar D2

D1

n 2 = 0.5 bar L

D1 = 0.5 m D2 = 0.25 m L = 0.4 m

Figura 2.4

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

29

Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra le sezioni in cui sono inseriti i manometri metallici, scegliendo come piano di riferimento quello passante per l’asse della condotta, si ha 10 5 n1 Q2 10 5 n2 Q2 z1 + + = z2 + + γ γ 2gA12 2gA22 πD12 πD22 con A1 = e A2 = . La portata risulta pari a 4 4 Q = 0,566 m3/s 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume del tronco di cono, si ottiene la relazione vettoriale che fornisce la spinta S = - Π 0 = G + Π 1 + Π 2 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a G = γW = γ

π(D12 + D1 D2 + D22 ) L

πD12 Π1 = pG1 A1 = (10 n1 + γz 1 ) 4 5

M1 =

ρQ 2 A1

12 πD22 Π 2 = pG 2 A 2 = (10 n2 + γz 2 ) 4 5

M2 =

ρQ 2 A2

Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è Sx = Π 1 + M 1 - Π 2 - M 2 = 13701 N, quella verticale è Sz = -G = -366 N. Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 13706 N

Esercizio 2.5 1. Calcolare la portata effluente sotto la paratoia di larghezza B schematizzata in Figura 2.5. 2. Valutare la spinta sulla paratoia.

30

G. Pezzinga

h = 0.8 m

h

a = 0.2 m

γ

γ = 9806 N/m

3

a B=2m Figura 2.5 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra una sezione a monte della paratoia e la sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento il fondo del canale, si può scrivere Q2 Q2 h+ = cc a + 2gA 2 2gA c2 con cc = 0,61, A = Bh e Ac = Bcc a. La portata risulta quindi pari a Q = 0,900 m3/s 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra le stesse sezioni, considerando che la paratoia è verticale e che la spinta è orizzontale si può scrivere S = - Π 0 = Π1 + Π2 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a Bh 2 Π1 = pG A = γ 2

B (c c a) Π 2 = pG c Ac = γ 2

2

ρQ 2 M1 = A

ρQ 2 M2 = Ac

Il modulo è quindi pari a S = Π1 - Π 2 + M 1 - M 2 = 3316 N

Esercizio 2.6 1. Calcolare la portata effluente dal foro circolare di diametro d praticato nella parete verticale AB del serbatoio schematizzato in Figura 2.6.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

31

2. Determinare la spinta sulla superficie rettangolare AB, di larghezza L.

A h=1m

γ

h

a=1m γ = 9806 N/m

3

d d = 0.05 m

a

L=4m

B Figura 2.6 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra una sezione a monte della paratoia e la sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione contratta, si può scrivere Q2 Q2 h+ = 2gA 2 2gAc2 πd 2 con cc = 0,61, A = L(h + a) e A c = cc . La portata risulta quindi pari a 4 Q = 5,3 l/s Dal risultato del calcolo si vede che in questo caso il contributo dell’altezza cinetica a monte è trascurabile. 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra le stesse sezioni, considerando che la paratoia è verticale e che la spinta è orizzontale si può scrivere S = - Π0x = Π1 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a

32

G. Pezzinga

L( h + a ) Π1 = pG A = γ 2

2

ρQ 2 M1 = A

ρQ 2 M2 = Ac

Il modulo è quindi pari a S = Π1 + M 1 - M 2 = 76,1 kN

Esercizio 2.7 1. Nell’ipotesi di liquido perfetto, calcolare la portata defluente nella condotta schematizzata in Figura 2.7. 2. Valutare l’indicazione n del manometro metallico. 3. Determinare la spinta agente sulla corona circolare dell’ugello terminale.

γ

d = 0.1 m

Y n

3

a D

γ = 9806 N/m d

Y = 2.5 m D = 0.2 m a=1m

Figura 2.7 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento quello passante per l’asse della condotta, si può scrivere

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

33

Q2 Y= 2gAc2 con cc = 0,61 e A c = cc

πd 2 . La portata risulta quindi pari a 4 Q = 33,5 l/s

2. Per ricavare l’indicazione del manometro metallico, si scrive il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione a diametro D: n ⋅10 5 Q2 Y =a+ + γ 2gA 2 da cui si ricava n = 0,132 bar. 3. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra la se€ zione a diametro D e la sezione contratta, considerando che la corona circolare è verticale e che quindi la spinta è orizzontale si può scrivere S = - Π0x = Π1 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a  Q 2  πD 2  Π1 = pG A = γY − 2gA 2  4 

ρQ 2 M1 = A

ρQ 2 M2 = Ac

Il modulo è quindi pari a S = Π1 + M 1 - M 2 = 523 N

Esercizio 2.8 1. Calcolare la portata Q effluente dal foro circolare praticato sulla parete del recipiente in Figura 2.8. 2. Calcolare la componente orizzontale della forza necessaria per tenere in equilibrio la piastra. Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra un punto all’interfaccia aria-liquido e il baricentro della sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione contratta, trascurando il contributo dell’altezza cinetica nel recipiente, si può scrivere

34

G. Pezzinga

n aria

D = 0.1 m

γ

h h=2m

D

F n = 0.5 bar γ = 9806 N/m

3

Figura 2.8

h+

10 5 n Q2 = γ 2gAc2

πD 2 con cc = 0,61 e A c = cc . La portata risulta quindi pari a 4 Q = 56,5 l/s 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra la sezione contratta e la piastra, considerando che la piastra e verticale e che la spinta è orizzontale, si può scrivere S = - Π0 = M1. Il modulo di M1 è ρQ 2 M1 = Ac Quindi la spinta ha modulo S = M1 = 667 N

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

35

Esercizio 2.9 1. Calcolare, nell’ipotesi di liquido perfetto, la portata uscente dalla condotta inserita nel canale pensile schematizzato in Figura 2.9. 2. Calcolare la componente orizzontale F della forza necessaria per tenere in equilibrio la piastra. γ V

V = 1 m/s d

a d = 0.1 m γ = 9806 N/m 3 F

a=2m

Figura 2.9 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra un punto all’interfaccia aria-liquido e il baricentro della sezione di sbocco, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro di questa sezione, considerando il contributo dell’altezza cinetica nel canale, si può scrivere V2 Q2 a+ = 2g 2gA 2 La portata risulta quindi pari a Q = 49,8 l/s 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra la sezione contratta e la piastra, considerando che la piastra e verticale e che la spinta è orizzontale, si può scrivere S = - Π0 = M1. Il modulo di M1 è ρQ 2 M1 = A

36

G. Pezzinga

Quindi la spinta ha modulo S = M1 = 316 N

Esercizio 2.10 1. Calcolare la portata effluente dal foro circolare del recipiente cilindrico in Figura 2.10. 2. Calcolare la spinta sul fondo del recipiente. n gas γ = 9806 N/m

3

γ n = 0.5 bar h=2m

h

d = 0.1 m D=1m

d

D

Figura 2.10 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra un punto all’interfaccia aria-liquido e il baricentro della sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione contratta, trascurando il contributo dell’altezza cinetica nel recipiente e la distanza tra sezione contratta e foro, si può scrivere

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

37

10 5 n Q2 h+ = γ 2gAc2 con cc = 0,61 e A c = cc

πd 2 . La portata risulta quindi pari a 4 Q = 56,5 l/s

2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume compreso tra l’interfaccia liquido-gas e la sezione contratta, si può scrivere S = - Π0 = G + Π1 M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a πD2 G = γW = γh 4

πD 2 Π1 = pG1 A1 = 10 n 4 5

ρQ 2 M2 = Ac

Quindi la spinta ha modulo S = G + Π1 - M 2 = 54 kN

Esercizio 2.11 1. Calcolare la portata che scorre nella condotta schematizzata nella Figura 2.11. 2. Determinare la spinta sulla curva compresa tra le sezioni A e B. Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra le sezioni in cui sono inseriti i manometri metallici, scegliendo come piano di riferimento quello passante per la sezione A, considerando che il primo manometro ha una presa statica e il secondo una presa dinamica, si ha 10 5 n1 Q2 10 5 n2 + =a+ γ γ 2gA 2 πD 2 con A = . La portata risulta pari a 4 Q = 0,193 m3/s

38

G. Pezzinga

n2

D = 0.2 m a = 0.9 m

D B

R = 0.7 m

a R

γ = 9806 N/m

3

n 1 = 1 bar n1

A n 2 = 1.1 bar

R

Figura 2.11 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume della curva (un quarto di toro circolare), si ottiene la relazione vettoriale che fornisce la spinta S = - Π0 = G + Π1 + Π2 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a π 2 D2 R G = γW = γ 8

πD 2 Π1 = pG1 A = 10 n1 4

πD 2 Π 2 = pG 2 A = (10 n1 − γR ) 4 5

5

Q2 M1 = M 2 = ρ A

Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è Sx = - Π2 - M 2 = -4112 N, quella verticale è Sz = Π1 + M 1 - G = 3989 N. Il modulo risulta S = Sx2 + Sz2 = 5728 N

Esercizio 2.12

€

1. Nell’ipotesi di liquido perfetto, calcolare la portata defluente nella condotta schematizzata in Figura 2.12 per n = 0. 2. Determinare la componente orizzontale della spinta sul convergente. 3. Calcolare la portata effluente per n ≠ 0.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

39

n aria 3

γ = 9806 N/m γ

Y Y = 2.5 m

D

d

D

D = 0.2 m d = 0.15 m n = 1 bar

Figura 2.12 Soluzione 1. L’applicazione del teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione di sbocco consente di scrivere Q2 Y= 2gAD2 da cui si ricava Q = 219,9 l/s. 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume del tronco di cono, la relazione vettoriale che fornisce la componente orizzontale della spinta è Sx = - Π0x = Π2 + M1 - M 2. La spinta Π1 non compare perché la pressione sul baricentro della sezione con diametro D è nulla. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a Π 2 = pG 2 A2

ρQ 2 M1 = A1

ρQ 2 M2 = A2

40

G. Pezzinga

Il valore assoluto è dovuto al fatto che la pressione nel baricentro della sezione con diametro d è negativa e si calcola applicando il teorema di Bernoulli  Q2 Q2   = - 52964 Pa pG 2 = γ −  2gA D2 2gA d2  Scelto l’asse orizzontale positivo verso destra, la componente risulta Sx = Π 2 + M 1 - M 2 = - 261,2 N. Il segno positivo della componente Π2 è dovuto al valore negativo di pG 2 . 3. Per n ≠ 0, applicando il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione di sbocco si ha n ⋅10 5 Q2 Y+ = γ 2gA D2 da cui si ricava Q = 495,6 l/s. Tuttavia per questo valore la pressione assoluta nel punto più alto del tratto a diametro d è negativa, come risulta dall’equazione n ⋅10 5 pa* d pd* Q2 Y+ + = + + γ γ 2 γ 2gAd2 Quindi questo valore non è compatibile con l’impianto. La successiva applicazione dell’equazione del moto imponendo che la pressione assoluta nel punto più € alto della sezione a diametro d sia nulla n ⋅10 5 pa* d Q2 Y+ + = + γ γ 2 2gAd2 consente di determinare l’effettivo valore della portata, pari a Q = 374,8 l/s. € Macchine idrauliche Esercizio 2.13 1. Nell’ipotesi di perdita nel diffusore trascurabile, calcolare la potenza della turbina schematizzata nella Figura 2.13. 2. Valutare la spinta S sul diffusore.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

41

D1 = 1 m D2 = 2 m n

a=4m

a D1

b

T

D2 c

γ

b=3m γ = 9806 N/m

3

n = 20 bar 3

Q = 1 m /s η = 0.9 c=5m

Figura 2.13 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione in cui è inserito il manometro metallico e la sezione di sbocco nel serbatoio, scegliendo come piano di riferimento quello passante per l’asse della condotta, per l’assenza di perdite nel diffusore, si può determinare il salto utile della turbina come 10 5 n Q2 Q2 ΔH = a + + −b− = 205,03 m γ 2gA12 2gA 22 con A1 = πD12 /4 e A 2 = πD22 /4 . Si può notare come il contributo delle altezze cinetiche (in particolare di quella a valle) sia minimo. La potenza risulta P = ηγQΔH = 1810 kW. 2. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume del tronco di cono, si ottiene la relazione vettoriale che fornisce la spinta S = - Π 0 = G + Π 1 + Π 2 + M1 - M2. I moduli delle singole forze sono

42

G. Pezzinga

G = γW = γ

π(D12 + D1 D2 + D22 )c 12

 Q2 Q 2  πD12   Π1 = pG1 A1 = γb + − 2 2 2gA 2gA  2 1 4 Q2 M1 = ρ A1

πD22 Π 2 = pG 2 A 2 = γb 4

Q2 M2 =ρ A2

Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è Sx = Π 1 + M 1 - Π2 - M 2 = -69,0 kN, quella verticale è Sz = -G = -89,9 kN. Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 113 kN

Esercizio 2.14 1. Con riferimento alla Figura 2.14, noto il dislivello Y tra la superficie libera del serbatoio e il baricentro della sezione di sbocco, calcolare la portata defluente. 2. Determinare la potenza della turbina Pelton. 3. Valutare l’indicazione n del manometro metallico. Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione di sbocco si ha

Vd2 . Y= 2g La portata risulta pari a

€ πd 2 Q = Vd = 0,055 m3/s. 4 2. Trattandosi di una turbina Pelton il salto utile è pari a

Vd2 = 2,5 m ΔH = 2g

€

€

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

43

d = 0.1 m γ

Y

3

γ = 9806 N/m

n a D

Y = 2.5 m d D = 0.2 m a = 0.8 m η = 0.7

Figura 2.14 e la potenza è P = ηγQΔH = 944 W. 3. Applicando il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione del manometro si ottiene € 10 5 n VD2 Y =a+ + γ 2g con VD =

4Q , da cui si ricava n = 0,151 bar. πD 2 €

Esercizio 2.15 1. Calcolare la portata uscente dalla condotta in Figura 2.15 affinché il getto raggiunga una quota massima pari a hM. 2. Determinare la potenza della pompa nell’ipotesi di liquido perfetto. 3. Determinare l’indicazione del manometro n.

44

G. Pezzinga

hM = 1 m hM

n

d

a

α = 45° d = 0.15 m

z

D

P

γ = 9806 N/m 3 z=4m

η = 0.7

γ

D = 0.3 m

α

a=1m

Figura 2.15 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione di sbocco e il punto a quota massima si ha V2 V 2 cos 2 α = hM + 2g 2g La portata risulta pari a Q=V

πd 2 = 0,111 m3/s 4

2. La prevalenza si calcola come V2 ΔH = z + = 6,01 m 2g e la potenza è P =

γQΔH = 9350 W. η

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

45

3. Applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione del manometro e quella di sbocco si ha 10 5 n VD2 V2 + =a+ γ 2g 2g con VD =

4Q , da cui si ricava n = 0,294 bar. πD 2

Esercizio 2.16 1. Con riferimento alla Figura 2.16, nota la forza F che assicura l’equilibrio orizzontale della piastra, determinare la portata effluente dalla condotta. 2. Nell’ipotesi di liquido perfetto, calcolare la potenza della pompa necessaria per convogliare la portata determinata. 3. Determinare la componente orizzontale della spinta sul convergente.

F = 300 N γ

d = 0.1 m

Y

Y=1m

P

d

D

F 3

γ = 9806 N/m

L η = 0.7 D = 0.2 m

L = 0.5 m

Figura 2.16

46

G. Pezzinga

Soluzione 1. Applicando l’equazione globale dell’equilibrio dinamico al volume compreso tra la sezione di sbocco e la piastra, si ottiene per l’equilibrio orizzontale ρQ 2 F = M1 = Ad da cui si può ricavare la portata Q = 48,5 l/s. 2. La prevalenza si valuta per mezzo della relazione Vd2 ΔH = −Y = 0,946 m 2g e la potenza risulta P =

γQΔH = 642 W. η

3. Applicando l’equazione globale della dinamica al volume del tronco di cono, la relazione vettoriale che fornisce la spinta è S = - Π0 = G + Π 1 + M1 - M 2. La spinta Π2 non compare perché la pressione sul baricentro della sezione con diametro d è nulla. I moduli delle singole forze sono ripettivamente pari a G = γW

Π1 = pG1 AD

M1 =

ρQ 2 AD

M2 =

ρQ 2 Ad

La pressione nel baricentro della sezione con diametro D si calcola applicando il teorema di Bernoulli e risulta  Q2 Q2   = 17886 Pa pG1 = γ −  2gAd2 2gA D2  Scelto un sistema di riferimento con assi verso destra e verso l’alto, la componente orizzontale è Sx = Π 1 + M 1 - M 2 = 337,2 N, quella verticale è Sz = -G = -89,9 N. Il modulo è quindi pari a S = S x2 + S z2 = 349,0 N

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

47

3. CORRENTI IN PRESSIONE Impianti a gravità Esercizio 3.1 1. Determinare il dislivello Y necessario per convogliare la portata Q di liquido con viscosità cinematica ν1 nella condotta della Figura 3.1. 2. Determinare il dislivello Y se la viscosità cinematica del liquido è ν2. Y

D = 0.1 m L = 80 m Q = 8 l/s

D

-4

2

ν = 11.2·10 m /s 1

-6

2

ν = 10 m /s 2

ε = 0.0001 m L

Figura 3.1 Soluzione 1. L’applicazione dell’estensione del teorema di Bernoulli al fluido reale consente di scrivere che il dislivello Y tra i serbatoi è pari alla somma delle perdite distribuite e concentrate Y = 0,5 con

V2 V2 + JL + 2g 2g

48

G. Pezzinga

V2 J=λ 2gD

Q V= A

πD 2 A= 4

L’indice di resistenza λ è da calcolare con la formula λ=

64 Re

Re =

VD ν

con

perché il regime è laminare, infatti Re = 90,9 < 2000. λ risulta 0,704 e il dislivello risulta quindi Y = 29,86 m. 2. Nel secondo caso il regime è turbolento, infatti Re = 1,02·10 5 > 2000. L’indice di resistenza si può allora valutare con l’abaco di Moody, con la formula di Colebrook-White  2,51 1 ε  = −2 log +   Re λ 3,71D  λ o con un’espressione approssimata della formula di Colebrook-White, ad esempio  5,8 1 ε  = −2 log 0,9 +   Re 3,71D  λ λ risulta 0,0223 e il dislivello risulta pari in questo caso a Y = 1,02 m.

Esercizio 3.2 1. Con riferimento all’impianto schematizzato in Figura 3.2, noto il dislivello Y tra i due serbatoi, calcolare la portata defluente. 2. Valutare l’indicazione n del manometro metallico alla fine del primo tratto di condotta. 3. Calcolare l’indicazione Δ del manometro differenziale.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

49

D1 = 0.1 m D2 = 0.2 m Y L 1 = 50 m

a

L 2 = 50 m

n D1

Y=2m D2 -6

2

ν = 10 m /s

Δ γm

γ = 9806 N/m 3 ε = 0.0001 m

L1

L2 a=5m γm = 133400 N/m 3

Figura 3.2 Soluzione 1. L’applicazione dell’estensione del teorema di Bernoulli al fluido reale consente di scrivere che il dislivello Y tra i serbatoi è pari alla somma delle perdite distribuite e concentrate 2

(V1 − V2 ) V12 V22 Y = 0,5 + J 1 L1 + + J2 L2 + 2g 2g 2g Supponendo il regime turbolento, essendo la portata incognita, l’indice di resistenza è da calcolare al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per € tubi scabri e successivamente iterativamente con la formula di Colebrook-White. La portata risulta Q = 14,2 l/s. 2. L’indicazione del manometro metallico si trova scrivendo l’equazione del moto tra il serbatoio di monte e la sezione in cui è inserito il manometro stesso. Prendendo come quota di riferimento quella del manometro, si ha

50

G. Pezzinga

V12 10 5 n V12 a= + + 0,5 + J 1 L1 γ 2g 2g Risulta n = 0,291 bar. 3. L’indicazione € del manometro differenziale si trova a partire dall’equazione del moto tra le sezioni a monte e a valle del brusco allargamento p1 V12 p2 V22 (V1 − V2 ) z1 + + = z2 + + + γ 2g γ 2g 2g

2

e ricordando che  p2   p1  γm − γ z + − z +  2   1 =Δ γ  γ γ 

€

Risulta Δ = 0,0625 m. € Esercizio 3.3 1. Calcolare la portata defluente nell’impianto schematizzato in Figura 3.3 quando la pressione dell’aria nel serbatoio è uguale all’atmosferica (n = 0). 2. Ricavare il valore di n tale che la portata si incrementi del 50%. Soluzione 1. L’equazione del moto per n = 0 si scrive 2

(V1 −V2 ) V12 V s2 Y =1,16 + J1 L1 + + J2 L 2 + 2g 2g 2g L’indice di resistenza è da calcolare al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri e successivamente iterativamente con la formula di Colebrook-White. La portata risulta Q = 104 l/s. 2. Posto Q’ = 1,5 Q, l’equazione del moto diventa

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

51

n D1 = 0.2 m

aria

D2 = 0.4 m ν

Y

Ds = 0.1 m L1 = 300 m Ds L 1 D1 ε

L2 = 400 m

L 2 D2 ε Y = 25 m -6

2

ν = 10 m /s ε = 0.0001 m

Figura 3.3 2

(V '1 −V '2 ) n ⋅10 5 V ' 21 V ' 2s Y+ = 1,16 + J' 1 L1 + + J' 2 L 2 + γ 2g 2g 2g In questo caso sono noti i numeri di Reynolds, oltre alle scabrezze relative, e la valutazione degli indici di resistenza si può effettuare con uno dei metodi già visti. Si ricava n = 3,06 bar.

Esercizio 3.4 1. Nell’impianto schematizzato in Figura 3.4 la pressione dell’aria nel serbatoio di valle può variare. Ricavare il valore di n tale che la portata defluente sia nulla. 2. Ricavare la portata massima che può defluire al variare di n. 3. Ricavare il valore di n al di sotto del quale defluisce la portata massima.

52

G. Pezzinga

D = 0.1 m L 1 = 50 m

a n

L 2 = 50 m

Y aria

Y = 30 m

D

a=2m -6

2

ν = 10 m /s γ = 9806 N/m 3 ε = 0.0001 m L1

L2

p*v = 2340 Pa

Figura 3.4 Soluzione 1. Il valore di n per cui la portata defluente è nulla è quello tale che la quota piezometrica del serbatoio di valle è uguale a quella del serbatoio di monte

Y=

10 5 n γ

e risulta n = 2,94 bar. 2. La portata massima si € ricava imponendo che nel punto più depresso la pressione assoluta sia pari alla tensione di vapore pv

pa* pv* V 2 V2 a+ = + + 0,5 + JL1 γ γ 2g 2g Calcolando inizialmente l’indice di resistenza nell’ipotesi di moto puramente turbolento risulta λ = 0,0196. Si ricava un primo valore di velocità pari a V = 4,58 m/s. Si€ricava quindi dalla formula di Colebrook e White un nuovo valore λ = 0,0204, che sostituito nell’equazione fornisce una velocità pari a V = 4,50 m/s. La successiva iterazione conferma questo valore, corrispondente a una portata Qmax = 0,0353 m3/s.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

53

3. Il valore di n in corrispondenza al quale si ottiene la portata Q max si ottiene dall’equazione del moto

10 5 n V2 V2 Y= + 0,5 + J ( L1 + L 2 ) + γ 2g 2g dalla quale si ottiene n = 0,693 bar.

€ Impianti idroelettrici Esercizio 3.5 1. Nota l’indicazione del manometro differenziale, calcolare la portata che scorre nella condotta schematizzata in Figura 3.5. 2. Trascurando la perdita nel diffusore, calcolare il salto utile e la potenza della turbina. Soluzione 1. Il teorema di Bernoulli applicato tra il serbatoio di monte e la sezione d’imbocco della condotta consente di scrivere:  p1   p2  V22  z1 +  −  z 2 +  = γ   γ  2g  da cui, detta δ la differenza delle quote piezometriche, che si può ricavare dall’indicazione del manometro differenziale come δ=Δ

γm − γ γ

si ricava la velocità come V2 = 2gδ . La portata risulta Q = VA = 0,436 m3/s. 2. La potenza della turbina si calcola dalla formula P = ηγQΔH. Il salto utile risulta pari a V s2 ΔH = Y − JL − 2g dove la velocità V s è da calcolare con riferimento al diametro della sezione di sbocco Ds. Il calcolo dell’indice di resistenza λ non presenta difficoltà.

54

G. Pezzinga

γ = 9806 N/m

3

γm = 133400 N/m γ ν

3

Δ = 0.02 m Y

D = 0.5 m Ds = 0.8 m L = 400 m

Δ γm

D

T

Ds

Y = 50 m

L ε -6

2

ν = 10 m /s ε = 0.0001 m η = 0.9

Figura 3.5 Infatti è noto il numero di Reynolds. Risulta λ = 0.0147, ΔH = 47,0 m e P = 181,0 kW.

Esercizio 3.6 1. Calcolare la portata defluente nell’impianto schematizzato in Figura 3.6. 2. Valutare la potenza ricavabile dalla turbina Pelton. 3. Verificare l’applicabilità della formula di Strickler, valutando la scabrezza equivalente e il numero di Reynolds d’attrito. Soluzione 1. L’equazione del moto si può scrivere Vd2 Y = JL + 2g con la cadente J da calcolare con la formula di Strickler

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

55

D = 0.6 m d = 0.2 m

γ ν

Y

Y = 50 m L = 250 m 1/3

k = 85 m /s D

d

γ = 9806 N/m3

L, k

η = 0.9 -6

2

ν = 10 m /s

Figura 3.6 VD2 J = 2 4 /3 k R dove R = D/4 è il raggio idraulico. Esprimendo le velocità come rapporto tra portata e rispettive aree, si ottiene l’equazione Q2 L Q2 Y = 2 2 4/3 + k AD R 2gA d2 da cui si ricava la portata, che risulta Q = 0,936 m3/s. 2. La potenza della turbina Pelton si calcola dalla formula P = ηγQΔH e considerando che il salto utile in questo caso è pari al termine cinetico allo sbocco Vd2 ΔH = = 45,2 m 2g risulta P = 374 kW. 3. Uguagliando le formule delle cadenti di Strickler e di Darcy-Weissbach si ottiene l’indice di resistenza equivalente

56

G. Pezzinga

λ=

8g = 0,0204 k 2 R 1/3

È da notare che per il calcolo dell’indice di resistenza si deve adottare la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri (moto puramente turbolento), in quanto solo per questo regime si può parlare di equivalenza tra coefficiente di Strickler k e scabrezza assoluta ε. Quindi ε si ottiene dall’espressione −

ε = 3, 71D ⋅ 10

1 2 λ

= 0,7 mm

Il numero di Reynolds d’attrito risulta gRJε u* ε λ VD ε Re = = = = 118 ν ν 8 ν *

e quindi la formula di Strickler è applicabile, essendo Re* > 70.

Impianti di pompaggio Esercizio 3.7 1. Calcolare la portata che scorre nell’impianto della Figura 3.7 in assenza di pompa. 2. Determinare la potenza della pompa per convogliare una portata maggiore del 50% rispetto a quella convogliata in assenza di pompa. 3. Valutare per la stessa condotta il coefficiente di scabrezza della formula di Strickler equivalente alla scabrezza assegnata. Soluzione 1. L’equazione del moto in assenza di pompa si può scrivere Y = 0,5

V2 V2 + JL + 2g 2g

con V2 J=λ 2gD

Q V= A

πD 2 A= 4

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

57

Y

D = 0.1 m L = 60 m Y=1m

D

P

-6

2

ν = 10 m /s γ = 9806 N/m 3 ε = 0.0001 m η = 0.7

L

Figura 3.7 Nell’ipotesi di regime turbolento, l’indice di resistenza λ è da calcolare al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri  ε  1 = −2 log   3, 71D  λ Con questo valore si determina dall’equazione del moto una portata approssimata e un numero di Reynolds Re =

VD ν

Successivamente si utilizza iterativamente la formula di Colebrook-White, inserendo nell’argomento del logaritmo i valori di λ e Re dell’iterazione precedente, fino a convergenza avvenuta. La portata risulta Q = 9,34 l/s. 2. Posto Q’ = 1,5 Q, la prevalenza della pompa si calcola a partire dalla definizione V '2  V '2  V '2 V '2 ΔH = H v − H m = J' L + − Y − 0,5 + J' L +  = −Y + 0,5 2g  2g  2g 2g

€

58

G. Pezzinga

In questo caso si può calcolare il numero di Reynolds, da cui valutare l’indice di resistenza λ. La prevalenza risulta ΔH = 1,32 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 259 W. η

3. Uguagliando le cadenti si può scrivere k=

8g λR 1/ 3

Calcolando l’indice di resistenza λ con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri. si ricava k = 117 m1/3/s.

Esercizio 3.8 1. Calcolare la portata uscente, in assenza della pompa, dalla condotta schematizzata in Figura 3.8. 2. Determinare la potenza della pompa necessaria per aumentare la portata del 25%. Soluzione 1. L’equazione del moto in assenza di pompa si può scrivere 2

(V1 −V2 ) V12 V s2 Y = 0,5 + J1 L1 + + J2 L 2 + 2g 2g 2g L’indice di resistenza è da calcolare al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri e successivamente iterativamente con la formula di Colebrook-White. La portata risulta Q = 285 l/s. 2. Posto Q’ = 1,25 Q = 356 l/s, la prevalenza della pompa si calcola come 2

(V '1 −V '2 ) V ' 21 V ' 2s ΔH = −Y + 0,5 + J' 1 L1 + + J' 2 L2 + 2g 2g 2g

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

59

γ = 9806 N/m 3 D1 = 0.25 m D2 = 0.5 m γ ν

Y

Ds = 0.15 m L1 = 300 m

Ds

P

L 1 D1 ε

L 2 D2 ε

L2 = 400 m Y = 50 m -6

2

ν = 10 m /s ε = 0.0001 m η = 0.7

Figura 3.8 e risulta pari a ΔH = 28,1 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 140 kW η

Esercizio 3.9 1. Con riferimento all’impianto schematizzato in Figura 3.9, calcolare la portata defluente in assenza di pompa nell’ipotesi che la pressione dell’aria nel serbatoio di valle sia quella atmosferica (n = 0). 2. Valutare la prevalenza e la potenza della pompa necessaria per convogliare la portata quando l’indicazione del manometro metallico è n. Soluzione 1. L’equazione del moto in assenza di pompa, per n = 0, si può scrivere

60

G. Pezzinga

D1 = 0.1 m n Y

D2 = 0.2 m aria

L 1 = 30 m L 2 = 50 m Y=5m

P

D1

D2

-6

2

ν = 10 m /s γ = 9806 N/m

3

ε = 0.0001 m L1

L2

η = 0.7 n = 1 bar

Figura 3.9 2

(V1 −V2 ) V12 V 22 Y = 0,5 + J1 L1 + + J2 L 2 + 2g 2g 2g L’indice di resistenza è da calcolare al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri e successivamente iterativamente con la formula di Colebrook-White. La portata risulta Q = 28,3 l/s. 2. Per n ≠ 0, la prevalenza della pompa è uguale a n ⋅10 5 ΔH = = 10,2 m γ Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 4,04 kW η

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

61

Esercizio 3.10 1. Valutare l’indice di resistenza λ per ogni tratto della condotta in Figura 3.10. 2. Calcolare la potenza da assegnare alla pompa. 3. Determinare la portata massima che può essere convogliata dalla pompa, imponendo che la minima altezza piezometrica assoluta nella sezione di aspirazione sia ha*.

Q = 60 l/s

Y P

a

Y = 15 m L 2 D2 -6

2

ν = 10 m /s

L 1 D1

γ = 9806 N/m 3 L 1 = 30 m

ε = 0.0001 m

L 2 = 50 m

η = 0.75

D1 = 0.2 m

a=2m

D2 = 0.3 m

h *a = 3 m

Figura 3.10 Soluzione 1. Note le scabrezze relative e i numeri di Reynolds dei due tratti gli indici di resistenza λ 1 e λ 2 si possono valutare facilmente. Risulta λ 1 = 0,0180 e λ2 = 0,0176. 2. La prevalenza della pompa si calcola come V22 V12 ΔH = H v − H m = Y + + J 2 L 2 + 0,5 + J 1 L1 2g 2g Utilizzando i valori degli indici di resistenza calcolati prima, la prevalenza risulta pari a ΔH = 15,74 m. Quindi la potenza risulta

62

G. Pezzinga

P=

γQΔH = 12,35 kW η

3. La portata massima sollevabile si calcola scrivendo l’equazione del moto tra il serbatoio di monte e la sezione di aspirazione facendo riferimento alle pressioni assolute e imponendo l’altezza piezometrica di aspirazione V12m V12m p*a * = a + ha + + 0,5 + J 1m L1 γ 2g 2g L’indice di resistenza si può valutare con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri verificando successivamente l’ipotesi. Si ricava Q m = 0,161 m3/s. Dato che il numero di Reynolds d’attrito risulta Re* = 23,3 < 70, si ricalcola λ con la formula di Colebrook-White. Risulta quindi Qm = 0,159 m3/s.

Esercizio 3.11 1. Valutare la portata che scorre nella condotta schematizzata in Figura 3.11, sapendo che il getto deve raggiungere una quota h rispetto allo sbocco. 2. Calcolare la potenza da assegnare alla pompa. 3. Determinare la quota del punto M della sezione di aspirazione affinché l’altezza piezometrica assoluta non sia inferiore a h*. Soluzione 1. L’applicazione del teorema di Bernoulli tra sezione di sbocco e quota massima del getto consente di scrivere Vs2 h= 2g πd 2 da cui Q = Vs A = V s = 49,2 l/s. 4 2. La prevalenza della pompa si calcola come ΔH = H v − H m = a + h + J (L1 + L2 ) + 1,16

V2 2g

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

63

h=2m h

a = 10 m

d

D = 0.2 m d = 0.1 m

L1

a

L2 M P

L 1 = 50 m

zM

L 2 = 150 m ε = 0.0001 m

D ν = 0.000001 m2/s

η = 0.7

γ = 9806 N/m 3

h* = 3 m

Figura 3.11 L’indice di resistenza si può calcolare in funzione del numero di Reynolds Re e della scabrezza relativa e risulta λ = 0,0183. La prevalenza risulta pari a ΔH = 14,43 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 9,95 kW η

3. La quota massima del punto M si determina imponendo che l’altezza piezometrica assoluta sia uguale a h* p*a V2 V2 * = zM + h + +1,16 + J1 L1 γ 2g 2g da cui si ricava zM = 6,49 m.

64

G. Pezzinga

Esercizio 3.12 1. Con riferimento all’impianto schematizzato in Figura 3.12, nota l’indicazione n del manometro metallico, calcolare la portata defluente. 2. Valutare la prevalenza e la potenza della pompa necessaria per convogliare la portata. a = 0.2 m n a Ds Y

n = 0.1 bar D = 0.2 m Ds = 0.1 m L = 100 m

P

Y=1m D Lε

-6

2

ν = 10 m /s γ = 9806 N/m 3 ε = 0.001 m η = 0.7

Figura 3.12 Soluzione 1. L’ugello di sbocco ha una forma tale che la contrazione è assente. Applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione in cui è inserito il manometro metallico e la sezione di sbocco, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione di sbocco, si può scrivere 10 5 n Q2 Q2 a+ + = γ 2gA 2 2gAs2

€

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

65

πDs2 πD 2 con A = e As = . La portata risulta pari a 4 4 Q = 0,0397 m3/s della pompa si calcola come € 2. La prevalenza €

V 2 Vs2  λL ΔH = H v − H m = Y + + + 1,16  2g 2g  D L’indice di resistenza si può calcolare in funzione del numero di Reynolds Re e della scabrezza relativa e risulta λ = 0,0309. La prevalenza risulta pari a ΔH = 3,66 € m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 1,42 kW η

Esercizio 3.13 1. Valutare gli indici di resistenza per le condotte di diametro D 1 e D 2 dell’impianto schematizzato in Figura 3.13. 2. Determinare la potenza della pompa. 3. Valutare la massima quota a alla quale è possibile disporre la sezione di aspirazione della pompa affinché l’altezza piezometrica assoluta non sia inferiore a ha*. Soluzione 1. Note le scabrezze relative e i numeri di Reynolds, si possono valutare gli indici di resistenza che risultano rispettivamente λ 1 = 0,0184 e λ 2 = 0,0191. 2. La prevalenza della pompa si calcola come V12 V22 V22 ΔH = H v − H m = Y + 0,5 + J 1 ( L1 ' +L1 ") + 0,5 + J 2 L2 + 2g 2g 2g Utilizzando i valori degli indici di resistenza calcolati prima, la prevalenza risulta pari a ΔH = 11,31 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 6,34 kW η

66

G. Pezzinga

Q = 40 l/s L'1 = 50 m L"1 = 25 m D1 L"1

Y M

D2 L 2

L 2 = 25 m

P

Y = 10 m

a -6

2

ν = 10 m /s D1 L'1

γ = 9806 N/m

3

ε = 0.0001 m D1 = 0.3 m

η = 0.7

D2= 0.15 m

h *a = 3 m

Figura 3.13 3. La quota massima del punto M si determina imponendo che l’altezza piezometrica assoluta sia uguale a ha*. p*a V12 V12 * = zM + h a + + 0,5 + J1 L1 ' γ 2g 2g da cui si ricava zM = 7,26 m.

Esercizio 3.14 1. Determinare la portata circolante nell’impianto di pompaggio schematizzato in Figura 3.14, nota la legge ΔH = kQ2 del dispositivo e l’indicazione del manometro differenziale. 2. Calcolare la potenza della pompa. 3. Determinare la massima portata che la pompa può sollevare, imponendo che la minima altezza piezometrica assoluta nella sezione di aspirazione sia ha*.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

67

L2 D

M P

γ = 9806 N/m

a

3

2

3

L1

∆H = k·Q

5

k = 8000 s /m -6

2

γm = 133400 N/m

ν = 10 m /s

D = 0.2 m

ε = 0.0001 m

∆ = 0.3 m

η = 0.7

L1 = 20 m

h *a = 3 m

L2 = 80 m

a=2m

2

Δ

γm

Figura 3.14 Soluzione 1. Essendo nel caso in esame uguali i termini cinetici a monte e a valle del dispositivo, la perdita di carico coincide con la differenza delle quote piezometriche e la portata si può determinare imponendo l’uguaglianza ΔH = δ = Δ

γm − γ = kQ 2 γ

da cui si ricava Q = 21,7 l/s. 2. La prevalenza della pompa si calcola come V2 V2 2 Hv − Hm = + J ( L1 + L 2 ) + kQ + 0,5 2g 2g Calcolato l’indice di resistenza in base al numero di Reynolds e alla scabrezza relativa (λ = 0,0197), la prevalenza risulta pari a ΔH = 4,06 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 1,23 kW η

3. La portata massima sollevabile si calcola scrivendo l’equazione del moto tra il serbatoio di monte e la sezione di aspirazione facendo riferimento alle pres-

68

G. Pezzinga

sioni assolute e imponendo l’altezza piezometrica di aspirazione (l’indice di resistenza si può valutare con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri verificando successivamente l’ipotesi) p*a Vm2 Vm2 Vm2 Vm2 Vm2 * * = a + ha + + 0,5 + J m L1 = a + h a + + 0,5 + λm L γ 2g 2g 2g 2g 2gD 1 da cui si ricava Qm = 0,180 m3/s. Dato che il numero di Reynolds d’attrito risulta Re* = 26,2 < 70, si ricalcola λ con la formula di Colebrook-White. Risulta quindi Qm = 0,179 m3/s.

Esercizio 3.15 1. Determinare gli indici di resistenza per le condotte di diametro D e d dell’impianto schematizzato in Figura 3.15. 2. Trascurando le perdite dovute alle curve, determinare la prevalenza e la potenza della pompa. 3. Determinare la quota massima a del baricentro della sezione di aspirazione affinché l’altezza piezometrica assoluta non sia inferiore a h*. Soluzione 1. Noti i numeri di Reynolds e le scabrezze relative, si possono valutare gli indici di resistenza che risultano rispettivamente λ D = 0,0179 e λ d = 0,0183. 2. La prevalenza della pompa si calcola come  λ(L1 + L3 ) VD2 γ m − γ  λL 2  V d2 ΔH = H v − H m = Y + 0,5 + +Δ + 1+   D γ  d  2g   2g e risulta pari a ΔH = 7,22 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 5,06 kW η

3. La quota massima del baricentro della sezione di aspirazione si calcola scrivendo l’equazione del moto imponendo l’altezza piezometrica di aspirazione  p*a λ D L1  VD2 * = a + ha + 1,5 +  γ  D  2g

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

69

γ = 9806 N/m 3 γm = 133400 N/m 3 D = 0.3 m d = 0.2 m

Y

L3

L2 M

P

Q = 50 l/s

D

d Δ

a

L 1 = 100 m

γm γ ν

L 2 = 50 m L1 L 3 = 50 m

D Δ = 0.1 m

Y=5m

η = 0.7

ν = 10 m /s

h *a = 3 m

ε = 0.0001 m

-6

2

Figura 3.15 da cui si ricava a = 7,14 m. Esercizio 3.16 1. Calcolare l’indice di resistenza per l’impianto di pompaggio schematizzato nella Figura 3.16. 2. Determinare la potenza della pompa. Soluzione 1. Nota la scabrezza relativa e il numero di Reynolds, si può valutare l’indice di resistenza che risulta λ = 0,0169. 2. La prevalenza della pompa si calcola come

70

G. Pezzinga

L = 100 m D = 0.25 m Y Q = 120 l/s

P D

Y=2m -6

2

ν = 10 m /s γ = 9806 N/m

L

3

ε = 0.0001 m η = 0.7

Figura 3.16 V2 V2 ΔH = H v − H m = + JL −Y + 0,5 2g 2g Utilizzando il valore dell’indice di resistenza calcolato prima, la prevalenza risulta pari a ΔH = 0,518 m. Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 870 W η

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

71

4. ARGOMENTI COMPLEMENTARI Sistemi di lunghe condotte Esercizio 4.1 1. Per il sistema di lunghe condotte schematizzato in Figura 4.1, noti diametri, lunghezze e il coefficiente di Strickler k, determinare la portata complessivamente convogliata dal serbatoio A al serbatoio B. 2. Calcolare le portate defluenti nelle due condotte in parallelo.

zA L 1 D1 L 2 D2

L 3 D3

L 4 D4

zB

1/3

D1 = 0.30 m

L 1 = 750 m

k = 70 m /s

D2 = 0.25 m

L 2 = 1200 m

z A= 100 m

D3 = 0.15 m

L 3 = 1300 m

z B = 50 m

D4 = 0.30 m

L 4 = 1000 m Figura 4.1

72

G. Pezzinga

Soluzione 1. Esprimendo le perdite di carico per il generico lato con la formula di Strickler ΔH i = βi Qi2

Qi2 Li = 2 2 4/3 k i Ai Ri

si può calcolare βeq per le due condotte in parallelo con l’espressione 1 1 1 = + βeq β2 β3 e β tot per le condotte in serie con l’espressione βtot = β1 + βeq + β4 per cui la portata complessivamente convogliata dal serbatoio A al serbatoio B si può ricavare come Q=

H A − HB = 101,0 l/s β tot

2. Le portate nelle condotte in parallelo si possono calcolare rispettivamente come Q2 = Q

βeq β2

Q3 = Q

βeq β3

e risultano Q2 = 81,1 l/s e Q3 = 19,9 l/s.

Esercizio 4.2 1. Calcolare gli indici di resistenza per i due tratti della condotta schematizzata nella Figura 4.2. 2. Determinare la potenza della pompa. Soluzione 1. Nota la scabrezza relativa e i numeri di Reynolds dei due tratti, si possono valutare gli indici di resistenza, che risultano rispettivamente λ1 = 0,0168 e λ 2 = 0,0179.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

73

Y

P L1

Q1 q L2

D = 0.30 m 3

L1 = 1000 m

ε = 0.0001 m

Q1 = 0.1 m /s

L2 = 800 m

γ = 9806 N/m 3

q = 0.05 m /s

Y=5m

ν = 10 m /s

-6

2

3

η = 0.7

Figura 4.2 2. La prevalenza della pompa si può calcolare dall’equazione ΔH = - Y + J1L1 + J2L2 e risulta ΔH = 1,95 m. La potenza della pompa è quindi pari a P=

γQΔH = 2,73 kW η

Esercizio 4.3 1. Calcolare l’indice di resistenza λ3 della condotta NC e il carico al nodo N per l’impianto in Figura 4.3. 2. Determinare le portate Q2 e Q1 nei tratti NB e AN. 3. Calcolare la potenza P della pompa. Soluzione 1. Nota la scabrezza relativa e il numero di Reynolds del tratto 3, si può valutare l’indice di resistenza che risulta λ 3 = 0,0183. Il carico al nodo N si determina dall’equazione HN = zC + J3L3 = 71,79 m.

74

G. Pezzinga

D1 = 0.40 m D2 = 0.25 m

zB

D3 = 0.20 m L2 D2

L1 = 1500 m L3 D3

zA

P

zC L2 = 800 m L3 = 1000 m

L 1 D1 3

Q3= 0.05 m /s

zA = 50 m

ε = 0.0001 m

zB = 70 m 3

γ = 9806 N/m -6

2

ν = 10 m /s

zC = 60 m η = 0.7

Figura 4.3 2. La portata Q2 si calcola dall’equazione HN – zB = J2L2. L’indice di resistenza si può ricavare dalla formula di Colebrook-White  2,51 1 ε  = −2 log +   Re λ 3,71D  λ tenendo conto che il prodotto Re λ =

D 2gDJ ν

non dipende dalla portata, ma solo dalla cadente. λ2 risulta 0,0183 e la portata è Q 2 = 38,0 l/s. Dall’equazione di continuità al nodo N si determina poi la portata Q1 = Q2 + Q3 = 88,0 l/s. 3. Determinato l’indice di resistenza del tratto 1 in base ai rispettivi valori del numero di Reynolds e della scabrezza relativa (λ 1 = 0,0168), la prevalenza della pompa si determina dall’equazione

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

75

ΔH = Hv – Hm = HN + J1L1 – zA = 23,50 m Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 29,0 kW η

Esercizio 4.4 1. Determinare i valori delle portate nelle condotte 2 e 3 dell’impianto rappresentato nella Figura 4.4. 2. Calcolare la potenza P della pompa. 3. Valutare l’energia necessaria in un anno nell’ipotesi di funzionamento continuo dell’impianto. zB

zC

D1 = 0.30 m D2 = 0.25 m

L2 D2

D3 = 0.20 m

L 3 D3

L 1 = 1500 m

zA

P

L1 D1

L 2 = 800 m

Q1= 0.1 m3/s 1/3

L 3 = 1000 m

k = 70 m /s

z A= 50 m

γ = 9806 N/m3

z B = 100 m

η = 0.75

z C = 100 m

Figura 4.4 Soluzione 1. Essendo i serbatoi B e C allo stesso livello, entrambe le portate Q 2 e Q 3 saranno dirette dal nodo N al rispettivo serbatoio e si determinano dal sistema di due equazioni

76

G. Pezzinga

Q1 = Q2 + Q3   J 2 L2 = J 3 L3 dove J=

Q2 k 2 A 2 R4 / 3

Estraendo membro a membro la radice nella seconda equazione il sistema è lineare in Q2 e Q3, che risultano rispettivamente 67,0 l/s e 33,0 l/s. Il carico al nodo N risulta HN = zB + J2L2 = zC + J3L3 = 112,2 m. 2. La prevalenza della pompa si determina dall’equazione ΔH = Hv – Hm = HN + J1L1 – zA = 66,4 m Quindi la potenza risulta P=

γQΔH = 86,8 kW η

3. L’energia consumata in un anno è E = PT = 86,8·365·24 = 7,6·108 kWh.

Esercizio 4.5 1. Per l’impianto schematizzato in Figura 4.5, indicare la suddivisione della portata Q1 tra i due rami in parallelo e gli indici di resistenza per le condotte di diametro D1 = D4 e D2 = D3. 2. Determinare la prevalenza e la potenza della pompa. 3. Valutare i coefficienti di Strickler k1 = k4 e k2 = k3 equivalenti alla scabrezza assoluta ε assegnata. Soluzione 1. Essendo le condotte 2 e 3 esattamente uguali, lo sono anche le portate Q 2 e Q3, e pari alla metà della portata Q 1. Quindi, essendo noti i numeri di Reynolds e le scabrezze relative, gli indici di resistenza si determinano facilmente e risultano λ1 = λ4 = 0,0176 e λ 2 = λ3 = 0,0190. 2. La prevalenza della pompa si può calcolare come ΔH = Hv – Hm = zB + J1L1 + J2L2 + J4L4 – zA = 59,2 m

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

77

zB -6

L 2 D2

L 3 D3

L 1 D1

zA P

2

ν = 10 m /s

L 4 D4 D1 = 0.30 m

L 1 = 800 m

D2 = 0.20 m

L 2 = 1200 m

D 3 = 0.20 m

L 3 = 1200 m

D 4 = 0.30 m

L 4 = 1000 m

Q1= 60 l/s

z A= 50 m

ε = 0.0001 m

z B= 100 m

γ = 9806 N/m3

η = 0.7

Figura 4.5 La potenza risulta P=

γQΔH = 49,7 kW η

Fluidi comprimibili Esercizio 4.6 1. Calcolare la portata di massa di aria effluente nell’atmosfera dal recipiente schematizzato nella Figura 4.6. 2. Determinare il valore della pressione esterna per cui l’efflusso è supersonico e il corrispondente valore della portata di massa. Soluzione 1. La portata di massa del gas si può calcolare come Qm = ρVA con riferimento alle grandezze nella sezione di sbocco. Considerando il processo adiabatico, la densità si può determinare come

78

G. Pezzinga

n

ρr0 D = 0.25 m n = 0.15 bar

D

3

ρr0 = 1.5 kg/m

Figura 4.6 1

 p k  ρ = ρ r0   pr 0 

con k = 1,4. Bisogna tener presente che le pressioni che compaiono in questa relazione sono quelle assolute e quindi pr0 = 105n + p a e p = p a. Risulta ρ = 1,36 kg/m 3. La velocità si può calcolare dall’equazione di Saint Vénant e Wantzel k −1     2k pr 0  p k    V2 = 1 − k −1 ρr 0   pr0    

e risulta pari a V = 145 m/s. Quindi la portata di massa risulta Q m = ρ VA = 9,67 kg/s. 2. Il valore della pressione p per cui l’efflusso diventa supersonico si può determinare come k

 k −1 p  2   = pr0  2 + (k −1)Ma 2 

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

79

ponendo Ma = 1. La portata massima risulta quindi Qm = 14,04 kg/s.

Esercizio 4.7 1. Per la condotta schematizzata in Figura 4.7, note le pressioni relative n 1 e n2 indicate dai manometri e la temperatura t1 in gradi Celsius, determinare le densità ρ1 e ρ2 dell’aria nelle due sezioni di diametro D1 e D2. 2. Calcolare la portata di massa di aria defluente. D1 = 0.25 m

n1

D1

D2 = 0.15 m t1

n2

n1 = 0.30 bar D2

n 2 = 0.27 bar t 1 = 20 °C R = 288 m2/s2/°K k = 1.4

Figura 4.7 Soluzione 1. La densità ρ1 si può calcolare dall’equazione di stato del gas ρ1 =

p1 RT1

Naturalmente sia la pressione che la temperatura sono quelle assolute e quindi p1 = 105n + pa, T1 = t1 + 273,16 e risulta ρ = 1,56 kg/m3. Considerando il processo adiabatico, la densità ρ2 è uguale a

80

G. Pezzinga

1

 p k ρ2 = ρ1  2  = 1,53 kg/m3  p1  2. L’estensione del teorema di Bernoulli al fluido comprimibile nell’ipotesi di processo adiabatico fornisce V22

− V12 2

k−1     k p1  p2 k    = 1− k −1 ρ1   p1    

Sfruttando l’equazione di continuità Qm = ρ1V1 A1 = ρ2 V2 A 2 e l’equazione di stato, si può ottenere la portata massima, che risulta Q m = 1,80 kg/s.

Esercizio 4.8 1. Nell’ipotesi di processo isotermo, determinare la portata di massa di aria defluente nella condotta schematizzata in Figura 4.8. Soluzione 1. L’equazione del moto isotermo di un gas in una condotta con resistenze si scrive  p 2 2 1 −    p2  2 λL  p1  = + ln  D kMa12  p1  Essendo incognita la portata, il numero di Reynolds non è noto, e l’indice di resistenza va valutato al primo tentativo con la formula di Prandtl-Von Karman per tubi scabri. Calcolato il numero di Mach Ma1, si può calcolare la velocità V 1 e portata di massa, che al primo tentativo risulta Qm = 0,639 kg/s. I valori di λ nelle iterazioni successive possono essere calcolati con la formula di Colebrook-White. Al terzo tentativo si ottiene Qm = 0,532 kg/s.

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

n1

81

n2

t Qm L, D, ε

-5

2

L = 10000 m

n1 = 0.30 bar

µ = 1.8·10 Ns/m

D = 0.25 m

n2 = 0.25 bar

R = 288 m2/s2/°K

ε = 0.0001 m

t = 20 °C

k = 1.4

Figura 4.8 Strato limite Esercizio 4.9 1. Determinare la forza esercitata sul cartellone pubblicitario schematizzato nella Figura 4.9 da un vento che soffia in direzione parallela al lato lungo. 2. Determinare la forza esercitata quando il vento soffia in direzione ortogonale al cartellone. Soluzione 1. Il numero di Reynolds è pari a ReL =

VL = 2,67·107 > 107 ν

Quindi il coefficiente di resistenza si può calcolare con la relazione CR =

0,455

[log( ReL )]

2,58

−

1700 ReL

e risulta CR = 2,52·10-3. La forza esercitata su un lato risulta

82

G. Pezzinga

L L = 20 m H=4m

H

V = 20 m/s -5

2

µ = 1.8·10 Ns/m 3

ρ = 1.2 kg/m

Figura 4.9 ρV 2 R = CR LH = 48 N 2 2. Se il vento è in direzione ortogonale, il coefficiente di resistenza è pari a CR = 1,2, essendo il rapporto tra i lati pari a 1/5. Quindi la forza esercitata su un lato è ρV 2 R = CR LH = 23040 N 2

Esercizio 4.10 1. Calcolare la velocità di caduta di una particella in un liquido con le proprietà indicate in Figura 4.10. Soluzione 1. Il numero di Reynolds è dato dall’espressione Red =

Vd ν

e quindi non è noto a priori. Supponendo di poter calcolare il coefficiente di resistenza con la formula di Stokes, valida per Re d < 1, CR =

24 Red

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

83

γ ν d

d = 0.0001 m

γs

γ = 9806 N/m3 ν = 0.000001 m2/s γs = 24500 N/m3

Figura 4.10 e facendo l’equilibrio della forza peso P = γ sW, della spinta idrostatica S = γW e della resistenza ρV 2 πd 2 R = CR 2 4 si ottiene la velocità V=

( γ s − γ) d 2 18µ

= 0,0082 m/s

La verifica del numero di Reynolds Red = 0,82 conferma l’ipotesi fatta.

Moto vario Esercizio 4.11 1. Calcolare la durata di fase per la condotta riportata in Figura 4.11. 2. Determinare il massimo sovraccarico nella sezione di sbocco quando il tempo di chiusura è di 1 s.

84

G. Pezzinga

D = 0.5 m L = 600 m L

V0 = 3.5 m/s

D

ρ = 1000 kg/m3 9

2

ε = 2.14·10 N/m 11

2

E = 2.06·10 N/m s = 6.3 mm

Figura 4.11 Soluzione 1. La durata della fase di colpo diretto è pari a τ 0=

2L c

La celerità si calcola con la formula

ε ρ c= Dε 1+ s E e risulta c = 1083 m/s. Quindi risulta τ0 = 1,11 s. 2. Essendo il tempo di chiusura tc = 1 s, risulta tc < τ0. Quindi il massimo sovraccarico si calcola con la formula di Joukowsky

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

85

ΔH =

cV0 = 386,5 m g

Esercizio 4.12 1. Nell’ipotesi di liquido perfetto, valutare il periodo e la velocità massima per le oscillazioni nel tubo a U in Figura 4.12. 2. Nell’ipotesi di liquido reale e di moto laminare, dire se si ha un moto aperiodico oppure un moto oscillatorio smorzato.

D

Δ0

Δ0 = 1 m -4

2

ν = 11.2·10 m /s L=5m D = 0.01 m L

Figura 4.12 Soluzione 1. Nell’ipotesi di liquido perfetto il fenomeno è retto dall’equazione Δ = Δ 0cos(ωt), con

86

G. Pezzinga

ω=

2g L

Il periodo è T=

2π = 3,17 s ω

La velocità massima risulta Vm =

Δ 0ω = 0,99 m/s 2

2. Il parametro adimensionale dell’equazione del moto oscillatorio smorzato gD 4 ε= 128ν 2 L risulta 1,22·10-4 < 1. Quindi il moto è aperiodico.

Esercizio 4.13 1. Valutare il sovraccarico nella condotta forzata dell’impianto idroelettrico della Figura 4.13 conseguente ad una chiusura in un tempo Tc . 2. Nell’ipotesi di perdite di carico trascurabili, determinare il diametro del pozzo piezometrico necessario per limitare l’oscillazione massima del carico in galleria al valore Z0. Soluzione 1. La durata della fase di colpo diretto per la condotta forzata è pari a τ 0=

2Lc = 1,2 s cc

Essendo il tempo di chiusura è Tc = 6 s, risulta T c > τ0. Quindi il massimo sovraccarico si calcola con la formula di Allievi-Michaud ΔH =

2LV0 = 51,9 m gTc

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

87

3

Q = 2 m /s L c = 600 m Dc = 1 m Dp

c c = 1000 m/s Tc = 6 s

Lg

3

ρ = 1000 kg/m Dg

Lc Dc

L g = 2000 m Dg = 2 m Z0 = 5 m

Figura 4.13 2. Nell’ipotesi di perdite di carico trascurabili, la massima oscillazione è data dalla relazione Z 0 = V0

LA gΣ

con πD 2p Σ= 4 area della sezione trasversale. Si può quindi ricavare il diametro del pozzo che risulta Dp = 3,64 m. Esercizio 4.14 1. Valutare la variazione di carico conseguente ad un’interruzione dell’alimentazione elettrica nell’ipotesi di arresto brusco per l’impianto di sollevamento schematizzato nella Figura 4.14. 2. Determinare il volume della cassa d’aria in condizioni statiche necessario, in assenza di strozzatura, per limitare l’oscillazione massima del carico a Zm.

88

G. Pezzinga

Hs = 100 m

Y0

D = 0.2 m Y0 = 15 m

Hs

L = 1000 m L D Q = 50 l/s

Q

P

s = 0.005 m 11

2

9

2

E = 2 10 N/m ε = 2 10 N/m

3

ρ = 1000 kg/m

Zm = 30 m

Figura 4.14 Soluzione 1. La celerità risulta c = 1195 m/s. Se l’arresto è brusco, la variazione di carico si calcola con la formula di Joukowsky ΔH = −

cV0 = - 194 m g

Questa depressione è solo teorica, perché la pressione raggiunge la tensione di vapore. 2. Il carico statico assoluto è Hs* = 110,33 m. Valutando i parametri adimensionali zM =

ZM = 0,272 H *s

h0 =

J0 L = 0,136 H *s

dai grafici per strozzatura nulla e n = 1,4 si ricava un valore del parametro adimensionale

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

89

V 02 AL σ= 2gH *s Ws pari a circa 0,062. Si può quindi ricavare il volume d’aria in condizioni statiche che risulta Ws = 0,593 m3.

Correnti a superficie libera Esercizio 4.15 1. Valutare la portata Q effluente dalla luce rettangolare di larghezza a schematizzato nella Figura 4.15. 2. Per la portata Q, determinare l’altezza del moto uniforme, l’altezza critica e dire quale tipo di profilo si instaura nel canale.

h = 0.4 m a = 0.1 m

h a p

B=2m p = 0.5 m i = 0.002 1/3

c = 70 m /s Figura 4.15 Soluzione 1. Applicando il teorema di Bernoulli tra una sezione a monte della paratoia e la sezione contratta, scegliendo come piano di riferimento quello passante per il baricentro della sezione contratta, si può scrivere Q2 Q2 h+ = 2gA 2 2gAc2

90

G. Pezzinga

con cc = 0,61, A = B(h + p) e A c = cc Ba. La portata risulta quindi pari a Q = 0,342 m3/s 2. L’altezza di moto uniforme si calcola con la formula di Strickler, che, esplicitando l’area e il raggio idraulico, si scrive Q=c

(Bh0 )

5/ 3

(B + 2h0 ) 2/ 3

i

e risolta per tentativi fornisce il valore h0 = 0,187 m. L’altezza critica si ottiene dalla relazione 2 Q k=3 gB 2

e risulta pari a k = 0,144 m. Quindi l’alveo è a debole pendenza e il profilo è di tipo D1.

Esercizio 4.16 1. Determinare se i due tratti dell’alveo rettangolare di larghezza B della Figura 4.16 sono a debole o a forte pendenza. 2. Indicare qualitativamente il tipo di profilo che si instaura. 3

Q = 3 m /s B=2m i 1 = 0.002 i1

i2

i 2 = 0.001 1/3

c = 70 m /s Figura 4.16

Esercizi di Meccanica dei Fluidi

91

Soluzione 1. Le altezze di moto uniforme si calcolano per tentativi dalla formula Q=c

(Bh0 )

5/ 3

(B + 2h0 ) 2/ 3

i

che fornisce rispettivamente h01 = 0,817 m e h02 = 1,056 m. L’altezza critica si ottiene dalla relazione Q2 k= gB 2 3

che fornisce il valore k = 0,612 m. 2. Essendo entrambi i tratti a debole pendenza, partendo da valle si ha un profilo di moto uniforme nel tratto 2 e un profilo D1 nel tratto 1.