Mecanuque Des Sols [PDF]

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Bases de la mécanique des sols Chapter · February 2018

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Zoheir Benyelles

Abou Bakr Belkaid University of Tlemcen

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NISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

FACULTE DE TECHNOLOGIE

Bases de la Mécanique des Sols Pr Abdelmalek. BEKKOUCHE Z Benyelles

Version 2016

Charles Augustin De Coulomb 1736 – 1806 Grand Père de la mécanique des sols J’ai tâché autant qu’il m’a été possible de rendre les principes dont je me suis servi assez clairs pour qu’un Artiste un peu instruit pût les entendre & s’en servir Coulomb’s purpose in teaching soil mechanics

TA B L E D E S M A T I È R E S BASES DE LA MECANIQUE DES SOLS .................................................. 0 TABLE DES MATIÈRES ...................................................................................... I INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES SOLS ................................................. 1 COURS N°I : IDENTIFICATION ET PARAMETRES D’ETAT DES SOLS ............. 3 1 GENERALITES .......................................................................................... 4 I- GEOLOGIE, GEOTECHNIQUE ET MECANIQUE DES SOLS ............................ 4 II- PRINCIPALES CARACTERISTIQUES DU SOL ET DE LA ROCHE ........................ 5 III- FORMATION DES SOLS ................................................................................ 5 1. Constitution du globe terrestre .................................................................. 5 2. Formation des sols ..................................................................................... 6 IV- TERMES RENCONTRES EN GEOTECHNIQUE ................................................. 7 1. ROCHES : ................................................................................................. 7 2. Formations meubles ou sols ...................................................................... 8 2 STRUCTURE ET PROPRIETES DES SOLS ..................................................... 11 I- ELEMENTS CONSTITUTIFS D'UN SOL ................................................ 11 1. phase solide ............................................................................................. 12 2. phase liquide ............................................................................................ 12 3. phase gazeuse .......................................................................................... 13 II- INFLUENCE DE LA STRUCTURE DES SOLS SUR LEURS PROPRIETES ................................................................................................ 14 1. Sols grenus .............................................................................................. 14 2. Sols fins ................................................................................................... 14 a. Effet de surface ........................................................................................ 17 b. Structure et eau interstitielle .................................................................... 19 III- PARAMETRES DE DEFINITION .......................................................... 24 1. Notations ................................................................................................. 24 2. poids volumiques..................................................................................... 24 3. Relations entre les paramètres ................................................................. 27 3 IDENTIFICATION DES SOLS ........................................................................ 29 I- GENERALITES .............................................................................................. 29

I

II- DETERMINATION DES PARAMETRES INDEPENDANTS................................. 29 1. Teneur en eau .......................................................................................... 29 2. Poids volumiques. ................................................................................... 30 a. Poids volumique des grains solides ......................................................... 30 b. Le poids volumique humide : .................................................................. 32 c. Le poids volumique sec ........................................................................... 32 3. Mesure de la porosité .............................................................................. 33 III- GRANULOMETRIE ET COURBE GRANULOMETRIQUE D'UN SOL ................. 33 1. Granulométrie d'un sol ............................................................................ 33 2. Courbe granulométrique .......................................................................... 33 3. Opération de tamisage ............................................................................. 34 4. Sédimentométrie...................................................................................... 36 IV- DETERMINATION DES LIMITES D'ATTERBERG .......................................... 41 1. Limite de liquidité ................................................................................... 41 a. Méthode de Casagrande........................................................................... 41 b. Méthode du pénétromètre à cône ............................................................ 46 2. Limite de plasticité .................................................................................. 47 3. Limite de retrait ....................................................................................... 49 V- TENEUR EN MATIERE ORGANIQUE ............................................................. 50 4 CLASSIFICATION GEOTECHNIQUE DES SOLS ............................. 51 I-INTRODUCTION ............................................................................................ 51 II- CLASSIFICATION SELON LA GRANULOMETRIE ........................................... 51 III- CLASSIFICATION TRIANGULAIRE .............................................................. 52 IV- CLASSIFICATION H.R.B............................................................................ 53 V- CLASSIFICATION L.C.P.C: ......................................................................... 54 VI- CLASSIFICATION DE CASAGRANDE (1948): .............................................. 57 VII- CLASSIFICATION ALGERIENNE (PROVISOIRE) ......................................... 58 1. Classification des sols à gros grains et à grains moyens ......................... 59 2. Classification des sols à grains fins ......................................................... 60 3. Classification des sols organiques ........................................................... 60 EXERCICES D’APPLICATION ............................................................................ 62 1. Formations et propriétés des sols ............................................................ 62 2. Paramètres D’ETAT DES sols ................................................................ 65 3. Classification des sols ............................................................................. 69 COURS N°II COMPACTAGE DES SOLS ......................................................... 73 5 COMPACTAGE DES SOLS .................................................................... 74 I- DEFINITION DU COMPACTAGE..................................................................... 74 II- COURBE DE SATURATION........................................................................... 75

II

III- ETUDE DU PHENOMENE DE COMPACTAGE ................................................ 77 1. Teneur en eau .......................................................................................... 77 2. Energie de compactage............................................................................ 80 3. Nature du sol ........................................................................................... 80 IV- ESSAI DE COMPACTAGE AU LABORATOIRE .............................................. 82 1. Principe.................................................................................................... 82 2. Caractéristiques de l’essai ....................................................................... 84 V- EFFET DU COMPACTAGE SUR LES SOLS ..................................................... 85 1. Effet du compactage sur les sols grenus .................................................. 85 2. Effet du compactage sur les sols fins ...................................................... 85 VI- PORTANCE D’UN SOL ................................................................................ 86 1. - Essai C.B.R ........................................................................................... 86 2. Essai de plaque ........................................................................................ 87 VII- ETUDE PROCTOR-C.B.R....................................................................... 89 VIII- CONTROLE DU COMPACTAGE ................................................................ 90 1. Epaisseur de la couche ............................................................................ 91 2. Effet de surface........................................................................................ 91 3. Contrôle de la densité sèche et de la teneur en eau in situ....................... 91 4. Contrôle par l'essai de plaque .................................................................. 93 5. Contrôle par l'énergie de compactage ..................................................... 93 6. EFFET de l’écrétage des matériaux grains .............................................. 94 EXERCICES D’APPLICATION ............................................................................ 97 COURS N°III : FLUIDES INTERSTITIELS .................................................... 105 6 PERMEABILITE DES SOLS ................................................................ 106 I- INTRODUCTION .................................................................................... 106 II- EXPERIENCE DU PERMEAMETRE .............................................................. 107 III- NOTION DE CHARGE HYDRAULIQUE ....................................................... 109 IV- NOTION DE VITESSE REELLE ET VITESSE APPARENTE ............................ 110 V- INTERPRETATION DE LA LOI DE DARCY .................................................. 112 VI- PERMEABILITE RELATIVE ET PERMEABILITE INTRINSEQUE ................... 113 1. Loi de Newton ....................................................................................... 113 2. Analogie du tube de Poiseuille .............................................................. 114 3. VI.3- Formulation théorique de la loi de perméabilité .......................... 117 4. Modèles de perméabilité : ..................................................................... 119 VII- VALIDITE DE LA LOI DE DARCY ............................................................ 120 VIII- DETERMINATION DE LA PERMEABILITE AU LABORATOIRE ................. 122 1. Perméamètre à charge constante ........................................................... 122 2. Perméamètre à charge variable.............................................................. 124

III

IX- PRECAUTIONS A PRENDRE LORS DE LA MESURE DE K ............................ 125 7 LOIS D'ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX SATURE ... 127 I- GENERALISATION DE LA LOI DE DARCY ................................................... 127 II- EQUATION DE CONTINUITE ...................................................................... 131 III- EQUATION DE LA CHARGE HYDRAULIQUE ............................................. 133 IV- ECOULEMENT A DEUX DIMENSIONS ........................................... 134 1. Généralités ............................................................................................. 134 2. Equipotentielles et lignes de courant ..................................................... 135 3. Débit unitaire ......................................................................................... 138 4. Calcul du débit filtrant total................................................................... 139 5. Calcul de la pression interstitielle ......................................................... 140 6. Ecoulement à travers les sols anisotropes ............................................. 140 7. Ecoulement dans les sols stratifiés ........................................................ 143 8 RESOLUTION DES ECOULEMENTS PERMANENTS PLANS ..... 146 I- METHODE ANALYTIQUE ............................................................................ 146 II- METHODES NUMERIQUES ........................................................................ 147 1. Méthode des différences finies .............................................................. 148 2. II.2- Méthode des éléments finis ........................................................... 150 III- METHODE DE L'ANALOGIE ELECTRIQUE ................................................. 150 IV- METHODE GRAPHIQUE ........................................................................... 151 9 ECOULEMENT A TRAVERS LES BARRAGES EN REMBLAIS... 153 I- INTRODUCTION .................................................................................... 153 II- BARRAGE HOMOGENE SANS DRAIN ......................................................... 154 III- BARRAGE HOMOGENE AVEC DRAIN HORIZONTAL.................................. 156 10 ECOULEMENT DE REVOLUTION A TROIS DIMENSIONS ...... 163 I- INTRODUCTION ......................................................................................... 163 II- THEORIE DE DUPUIT ................................................................................ 163 1. Equation de la charge hydraulique ........................................................ 163 2. Surface libre dans un puits à écoulement unidirectionnel ..................... 166 3. Méridienne et rabattement ..................................................................... 168 4. Rayon d’action ...................................................................................... 170 5. Ecoulement vers un puits en charge ...................................................... 171 III- DETERMINATION IN SITU DE LA PERMEABILITE ..................................... 172 11 SUCCION ET CAPILLARITE DANS LES SOLS ............................. 174 I- GENERALITES ............................................................................................ 174 II- RELATION ENTRE LA PRESSION, LA COURBURE ET LA TENSION SUPERFICIELLE.............................................................................................. 175 III- REMONTEE CAPILLAIRE - LOI DE JURIN ................................................. 177

IV

IV- TUBE CAPILLAIRE DE RAYONS VARIABLES ............................................ 179 V- CAPILLARITE DANS LES SOLS .................................................................. 180 VI- POTENTIEL CAPILLAIRE .......................................................................... 181 VII- VITESSE DE REMONTEE CAPILLAIRE ..................................................... 181 VIII- NIVEAU PIEZOMETRIQUE ET SURFACE LIBRE ...................................... 185 12 ACTION DE L’EAU INTERSTITIELLE SUR LES MILIEUX POREUX ..................................................................................................... 187 I-HYPOTHESES DE BASE ............................................................................... 187 II DEFINITIONS.............................................................................................. 188 1. Pression interstitielle ............................................................................. 188 2. Contrainte effective ............................................................................... 188 3. Contrainte totale .................................................................................... 188 III- MODELE PHYSIQUE POUR LES SOLS SATURES ........................................ 189 1. Postulat de Terzaghi .............................................................................. 189 2. Modèle physique pour les sols partiellement saturés ............................ 193 III.3- Etat de contrainte dans un massif de sol homogène et à surface horizontale .................................................................................................... 193 IV- INFLUENCE DE L’INFILTRATION SUR LES CONTRAINTES EFFECTIVES .... 196 1. Analyse des forces ................................................................................. 196 2. Analyse des contraintes ......................................................................... 201 a. Pression de courant ................................................................................ 201 b. Contrainte EFFECTIVE : ...................................................................... 203 c. Contrainte verticale - cas de la nappe statique...................................... 204 d. Contrainte verticale - cas d’un écoulement descendant......................... 205 e. Contrainte verticale - cas d’un écoulement ascendant .......................... 205 V- CONDITION DE BOULANCE .............................................................. 206 3. V.1- Gradient hydraulique critique ....................................................... 206 4. REGLE Lane et Bligh ........................................................................... 207 5. Mesures préventives .............................................................................. 208 VI- REGLE DES FILTRES .......................................................................... 209 1. Propriétés............................................................................................... 209 2. regles empiriques................................................................................... 210 13 PHENOMENE DE CONSOLIDATION .................................................. 212 I-MODELE DE CONSOLODATION ................................................................... 212 1. Modélisation des sols ............................................................................ 212 2. Analogie mécanique de la consolidation ............................................... 213 3. Processus de consolidation .................................................................... 215 II- CONSOLIDATION UNIDIMENSIONNELLE ...................................... 218

V

1. Hypothèses ............................................................................................ 218 2. Modèle de consolidation unidimensionnelle ......................................... 219 3. Sols normalement consolidés et sols surconsolidés .............................. 221 4. Phénomène de consolidation : ............................................................... 222 III- THEORIE DE LA CONSOLIDATION UNIDIMENSIONNELLE ...... 224 1. Equation différentielle de la consolidation ............................................ 224 2. Forme adimensionnelle de l'équation différentielle de la consolidation 228 3. Solution de l'équation de la consolidation ............................................. 230 4. La courbe tassement fonction du temps ................................................ 231 5. Détermination du coefficient de consolidation Cv:................................ 233 a. Méthode de Taylor: ............................................................................... 233 b. Méthode de Casagrande : ...................................................................... 234 EXERCICES D’APPLICATION .......................................................................... 237 1. Généralités sur les écoulements ............................................................ 237 2. Notions de contraintes effectives .......................................................... 240 3. Perméabilité des sols ............................................................................. 244 4. Ecoulements dans les sols stratifiés....................................................... 245 5. Ecoulement à travers les ouvrages ........................................................ 246 6. Essais de pompage-DUPUIT................................................................. 249 7. Consolidation des sols ........................................................................... 251

VI

INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES SOLS La mécanique des sols consiste à étudier les propriétés des sols mises en jeu dans les réalisations de Génie Civil. Elle étudie les problèmes d’équilibre et de déformation des masses de terre meuble de différentes natures soumises à l’effet d’efforts intérieurs et extérieurs. Elle permet aussi aux constructeurs d’estimer la résistance d’un sol pour des besoins constructifs et aux besoins d’améliorer certaines caractéristiques. Dans la pratique l’ingénieur Génie Civil est conduit à se préoccuper du sol sous des aspects très différents : •

Le sol sert comme support de fondation des bâtiments, des

ouvrages d’arts, des remblais, etc. L’ingénieur devra choisir le type de fondation à adopter tenant compte de la nature et de l’intensité des charges à supporter, des propriétés des sols, du niveau de la nappe, de la nature des ouvrages, des ouvrages avoisinants, etc. En plus du problème de portance, il devra prévoir l’amplitude des tassements afin d’éviter tout dommage à la structure ou à son exploitation. •

Les travaux d’excavation (tranchées, travaux de déblais, talus, etc...)

exige la connaissance du profil qu’il faudrait donner au sol pour qu’il soit stable. L’ingénieur doit évaluer la hauteur pour que les parois des tranchées puissent rester verticales sans soutènement, les éventuelles sollicitations pouvant s’exercer sur des structures de soutènement et la

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pente donnée à un talus pour qu’il soit stable, tenant compte des propriétés des sols, des effets de l’eau interstitielle, des charges existantes ou prévues, des conditions géométriques, etc. • Le sol agit sur toutes les structures souterraines construites en dessous de sa surface libre (Tunnels, Conduites d’eau, Egouts, etc.). L’ingénieur doit évaluer toutes les forces s’exerçant par le terrain sur ces structures. Cette évaluation doit tenir compte de l’interaction entre le sol et les structures. Le dimensionnement de ces structures doit tenir compte des autres sollicitations telles que les vibrations, les explosions, les séismes et des agents atmosphériques (gel et dégel). • Le sol peut être utiliser comme matériaux de construction pour les routes, autoroutes, pistes d’aérodromes, digues en remblais, des barrages en remblais et/ou en enrochements, etc. L’ingénieur devra sélectionner le matériau à utiliser, le monde de construction, les techniques de contrôle d’exécution, etc.

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Cours N°I : Identification E t Pa r a m è t r e s D ’ é t a t D e s Sols Module 1 : Généralités Module 2 : Structure Et Propriétés Des Sols Module 3 : Identification Des Sols Module 4 : Classification Géotechnique Des Sols

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1

GENERALITES

I- GEOLOGIE, GEOTECHNIQUE ET MECANIQUE DES SOLS La prolifération des constructions sous toutes leurs formes ainsi que leurs extensions à des terrains de moins en moins favorables avaient montré que la géologie ne répondait plus aux besoins des techniciens de la construction. C'est pour parer à cette constatation d'insuffisance que s'est développée la discipline dite géotechnique. L'objectif de la géotechnique est d'évaluer les sollicitations auxquelles sera soumis le sol sous l'effet des charges provenant des constructions pour en dimensionner les éléments. Les méthodes de dimensionnement seront celles de la géotechnique. Celle-ci se divise en: • Mécanique des sols: C'est la science qui s'occupe d'appliquer les lois de la mécanique et de l'hydraulique aux sols considérés comme matériau d'ingénierie. • Mécanique des roches : C'est la science qui s'occupe d'appliquer les lois de la mécanique et de l'hydraulique aux roches considérées comme matériau d'ingénierie.

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II- PRINCIPALES CARA CTERISTIQUES DU SOL ET DE LA ROCHE Dans le langage courant, le mot sol désigne tous les matériaux se trouvant à la surface du globe terrestre. En géotechnique, on différencie entre les sols et les roches en se basant principalement sur le critère de cohésion. Les roches sont constituées d'éléments solides fortement cimentés entre eux. Par contre, les sols sont constitués d'éléments solides faiblement liés entre eux. Ces éléments peuvent être facilement dissociés par de faibles actions mécaniques, agitation dans l'eau par exemple. III- FORMATION DES SOLS 1. CONSTITUTION DU GLOBE TERRESTRE

On admet schématiquement que la terre est constituée de: • Un noyau solide de rayon approximatif de 1250Km et de densité très élevée, d'environ 16. • Un anneau visqueux de rayon approximatif de 5000km. La température et la densité de cet anneau augmentent avec la profondeur. La densité varie sensiblement de 2,7 à 11,8; ce qui donne un magma visqueux. • D'une couche superficielle dite croûte terrestre d'épaisseur maximum de 100km. Pour les travaux de géotechnique, les ingénieurs n'ont affaire qu'à cette couche.

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2. FORMATION DES SOLS

A cause des mouvements relatifs des continents (plaques tectoniques), des fissures peuvent apparaître dans la croûte terrestre et permettre au magma visqueux de remonter jusqu’à la surface. En se refroidissant, ce magma donne naissance aux roches magmatiques. Sous l'action d'agents mécaniques et/ou physiques, ces roches se désagrègent en éléments fins facilement transportables par les vents et l'eau. Ces éléments se déposent aux fonds des vallées ou des mers pour donner naissance aux roches sédimentaires. En géotechnique, le mot sol désigne ces roches-là.

Figure 1.1: Cycle de formation des sols et des roches.

Des phénomènes physiques ou chimiques peuvent conduire à une modification de la structure des roches sédimentaires ou magmatiques pour donner naissance aux roches métamorphiques. Il faut noter qu'il n'y a pas de stade final d’évolution pour les sols et les roches à l'échelle des âges géologiques.

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Figure 1.2 : Altération des roches

IV- TERMES RENCONTRE S EN GEOTECHNIQUE 1. ROCHES :

Les roches se présentent en masse ou en fragments de grandes tailles. Elles sont constituées par l'agglomération de minéraux qui peuvent être identiques ou de natures différentes. On distingue, d’après le mode de formation : • Les roches magmatiques : Elles proviennent directement de l’écorce terrestre ; • Les roches sédimentaires : Elles sont produites par érosion, puis par dépôts d’autres roches ou par dépôts d’autres résidus d’origine végétale ou animale •

Les roches métamorphiques : Il s’agit d’autres roches dont la

• Composition minéralogique et structures ont été modifiées par l’action combinée de forte pression et de fortes températures.

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2. FORMATIONS MEUBLES OU SOLS

• Cailloux: Ce sont en général des éléments qui proviennent des roches. Leurs formes peuvent être arrondies ou présentant des aspérités, selon leurs origines. • Enrochements: C'est un ensemble de blocs de roches liés ou non et utilisés pour la protection des parties immergées des ouvrages d'art. On les utilise aussi pour protéger les berges des barrages en terre ou en remblai. • Grave: Terrain alluvionnaire, possédant une granulométrie homogène, et est utilisé pour la constitution de la couche de base des chaussées. • Graviers: Ce sont des débris de pierre de grosseur intermédiaire entre les sables et les cailloux. Doués d'une forte perméabilité et de bonnes caractéristiques mécaniques, les sols graveleux constituent un bon sol de fondation. • Sable: C'est un matériau formé d'éléments quartzeux de grosseur entre 2mm et 20mm. On distingue, en fonction du diamètre moyen des grains, les sables grossiers, les sables moyens et les sables fins. Secs ou saturés, les sables n'ont pas de cohésion. Partiellement saturés, les eaux capillaires les douent d'une légère cohésion, dite cohésion apparente. •

Limon: C'est un matériau de grosseur entre les sables et les argiles.

Contenant une teneur en calcaire suffisante, ces sols deviennent fertiles. Ils seront dits limons organiques s'ils contiennent des matières organiques. Ces sols sont difficilement compactables et ont de faibles portances.

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• Argile: C'est un matériau constitué d'éléments fins allant au-delà de 0,002mm. Ces éléments sont constitués par un complexe de silicate d'hydroaluminium (Al2O3-nSiO2-H2O). La montmorillonite, l'illite et la kaolinite constituent les principaux groupes de familles des argiles. On peut rencontrer des argiles qui portent le nom de la région de leur provenance (ex: L'argile bleue de Chicago). Imbibées d'eau, les argiles deviennent malléables. • Calcaire: C'est le nom donné à un important groupe de roches sédimentaires formées principalement de carbonate de chaux. Les propriétés de ces roches varient des roches tendres aux roches dures. • Marnes: Ce sont des roches meubles formées principalement de deux constituants, les argiles et les calcaires. Leurs propriétés varient donc, en fonction du pourcentage de chaque constituant, des argiles franches jusqu'aux calcaires francs. La sensibilité à l'eau diminue quand la teneur en calcaire augmente.

%caco3

0

Buison

Argile

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Marnes

100 Calcaire

(Veritas) Argile marneuse

LCPC

Argile

Argile

Marne argileuse

Marnes

marneuse

Calcaire marneux

Tableau 1.1 Caractérisation des marnes

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Calcaire

• Tourbe: C'est une roche organique formée par le pourrissement de débris végétaux en site aquatique. Brûlées, ces roches constituent un mauvais combustible ; elles dégagent beaucoup de fumée. • Vase: C'est une boue qui se dépose aux fonds des eaux. Ce sont des particules de sols érodés par les crues et qui se déposent aux fonds des eaux quand la vitesse de l'écoulement est réduite. •

Agrégat: Quand ce terme est utilisé au singulier, il désigne les sols

en tant que matériau composite. Au pluriel, il désigne les éléments granulaires d'un matériau reconstitué En géotechnique routière, on préfère le terme granulat. • Alluvions: Dépôts de sédiments souvent riches (boues, sables, graviers) abandonnés par un cours d'eau quand la vitesse, ou le plus souvent, la pente devient insuffisante. •

Galets: C'est des cailloux polis et arrondis par l'action de l'eau ou

tout autre phénomène d'érosion.

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2

STRUCTURE ET

PROPRIETES DES SOLS I- ELEMENTS CONSTITUTIFS D'UN S OL En général, les ingénieurs du Génie Civil sont incapables d'identifier un sol au sens des géologues. Ceci est dû en premier lieu à la spécificité de leur formation, mais aussi au fait qu’une telle identification ne leur serait d'aucune utilité. C'est pourquoi, ces ingénieurs ont cherché à caractériser les sols par des grandeurs facilement mesurables et directement utilisables dans leurs calculs. Les sols, en tant que milieu naturel, associent généralement des grains solides dont la taille, la forme et l'arrangement n’obéissent à aucune règle. Ces éléments ménagent entre eux un espace vide qui peut être occupé par de l'air, par de l'eau, ou par un mélange air - eau - vapeur d'eau. Les sols organiques contiennent des gaz issus de la décomposition des débris végétaux ou animaux.

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1.

PHASE SOLIDE

Les propriétés physiques essentielles d'un sol pour les applications de Génie Civil se déduisent généralement de la taille des grains, de leurs formes, de leurs arrangements, de la qualité de leurs contacts, de leurs compositions minéralogiques, etc. Pour les sols grenus, les grains sont le résultat d'une désagrégation mécanique de la roche mère. Ils gardent par conséquent la même structure minéralogique. Ces éléments sont en général quartzeux, donc insensibles à l'eau. C'est le cas des sables et des graviers. Pour les argiles, les particules solides sont le résultat d'une désagrégation de la roche mère suite à des attaques chimiques combinées ou non avec des attaques mécaniques ou physiques. Ces éléments ont donc une structure minéralogique différente de celle de la roche mère. Cette famille de sol est très sensible à l'eau. 2.

PHASE LIQUIDE

Le liquide qui remplit les vides entre les grains du sol est en général l'eau. Elle se rencontre sous différentes formes : • L'eau libre, dite aussi gravifique parce qu'elle s'écoule sous l'effet de la gravité. C'est l'eau ordinaire rencontrée dans les lacs et les rivières. Elle s’élimine à 100°C et peut contenir des sels minéraux ou de l'air dissous. • L'eau capillaire, c'est une eau qui est maintenue à l'aide de force de tension superficielle entre les points de contact des grains chez les

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sols partiellement saturés. Elle ne s'écoule pas sous l'effet de la gravité mais s’élimine à 100°C. •

L'eau adsorbée, dite aussi eau hygroscopique. Elle forme une

mince couche autour des particules argileuses. Elle possède des propriétés plus proches des solides que des liquides. Elle ne s’élimine qu'à de très fortes températures. •

L'eau de composition: Elle est constituée de molécules d'eau qui

entrent dans la composition minéralogique de l'élément. Elle ne peut être libérée qu'en détruisant la structure élémentaire du matériau. 3.

PHASE GAZEUSE

Les sols renferment dans leurs interstices, soit de l'air s'ils sont secs, soit un complexe air- vapeur d'eau s'ils sont partiellement saturés. On peut rencontrer des gaz issus de la décomposition des matières organiques chez les sols organiques.

Figure 2.1: Les éléments constitutifs d’un sol. (a): Echantillon de sol grenu. (b): Particule de sol argileux.

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II- INFLUENCE DE LA STRUCTURE DES SOLS S UR LEURS PROPRIETES 1.

SOLS GRENUS

Les sols grenus sont constitués de matière inerte tel que le quartz. Leurs comportements dépendent uniquement de la taille des grains, de leurs formes, de leurs arrangements, etc...Chez ce type de sol, l'effet de surface est négligeable devant l'effet de volume. 2. SOLS FINS

• Structure des particules argileuses : Les minéraux argileux ont une structure en couche. Ils font partie du groupe des phyllosilicates. L'argile est constituée d'un empilement de feuillets, le feuillet est formé d'un empilement de couches octaédriques et/ou tétraédriques liées entres elles par des forces de nature ionique qui lui permettent d'être stables et d'exister indépendamment des autres. Une particule argileuse ou un grain est composé d'un ensemble de paquets de feuillets.

Figure 2.2: Feuillet, paquet de feuillets et particule argileuse.

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Les feuillets de base, qui sont des ensembles cristallins plans, se forment de la manière suivante: •

Dans le groupement SiO4, l'atome de silice occupe le centre et est

entouré de 4 atomes d'oxygène. Chaque atome d'oxygène possède une valence de libre qu'il peut mettre en commun avec un autre groupement SiO4. C'est le feuillet tétraédrique dont le symbole est donné en figure 2.3. • Dans le groupement Al(OH)3, l'atome d'aluminium occupe le centre et est entouré de 6 atomes d'oxygène ou de groupements hydroxyle. Il existe dans ce groupement, des atomes d'oxygène qui possèdent une valence de libre qu'ils mettent en commun avec un autre groupement tétraédrique ou octaédrique. C'est le feuillet octaédrique dont le symbole est donné en figure 2.3. Dans la brucite, l'atome d'aluminium est remplacé par l'atome de magnésium.

Figure 2.3: Groupements tétraédrique et octaédrique.

L'épaisseur et les propriétés des feuillets permettent de distinguer les principales familles d’argiles :

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• Famille de la kaolinite : Le feuillet élémentaire de la famille de la kaolinite résulte de l'assemblage d'un feuillet tétraédrique avec un feuillet octaédrique. Dans le feuillet octaédrique, l'atome d'aluminium est entouré de 2 atomes d'oxygène et de 4 groupements hydroxyles; ce qui donne un feuillet élémentaire électriquement neutre. La liaison entre le feuillet tétraédrique et le feuillet octaédrique est faible. •

Famille de l’illite : Le groupe de l'illite est formé d'un empilement

de feuillets élémentaires constitué d'un groupement tétraédrique entouré de deux groupements octaédriques. De l'aluminium peut remplacer, en proportions quelconques, le silicium des groupements tétraédriques. Ceci entraîne un déficit en charges négatives qui peuvent être comblées par des cations de potassium K+. Notons aussi que des cations tel que K+, Mg2+, Fe2+, Fe3+,... peuvent remplacer l'aluminium du groupement octaédrique. La fixation de ces cations change les propriétés de cette argile. • Famille de la montmorillonite : Le groupe de la montmorillonite présente un feuillet élémentaire analogue à celui de l'illite. Seulement, c'est des cations Na+ ou Ca+ moins énergiquement liés qui s’intercalent entre les feuillets élémentaires. Ces cations s'entourent facilement de molécules d'eau, ce qui donne en général une argile gonflante. Les différents symboles des feuillets élémentaires, des groupements et des empilements sont donnés par les figures 2.4 et 2.5.

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Figure 2.4: Symbole des groupements et feuillets élémentaires. (a): Groupement tétraédrique, (b): Groupement octaédrique,( c): Feuillet de Kaolonite, (d): Feuillet de l’Illite et de la Montmorillonite.

Figure 2.5: Empilement de feuillets élémentaires.

A. EFFET DE SURFACE

Les particules argileuses se présentent sous forme aplatie. C'est pourquoi l'effet de surface est beaucoup plus important chez cette famille de sol que chez les sols grenus. Ce phénomène est directement lié à ce qu'on appelle la surface spécifique. Celle-ci est définie comme étant le rapport de la surface totale des grains à leurs volumes, parfois à leurs poids, elle se chiffre en m2/m3 ou en m2/Kg. Elle est de l'ordre de 10 à 20 m2/g pour la kaolinite et de l'ordre de 500 m2/g pour la montmorillonite. Cette grandeur physique est très importante et joue un rôle primordial dans le développement des processus physico-chimiques propre à la famille

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d'argile, surtout la fixation de l'eau adsorbée. En effet, la molécule d'eau étant polaire (H+-OH-), elle se trouve orientée par la charge négative de la particule. Il se forme ainsi, une première couche d'eau si fortement liée à la particule qu'on la considère comme rigide. Le pôle négatif de cette couche d’eau peut fixer d'autres molécules d'eau et ainsi de suite. L'intensité des liaisons décroît avec la distance. On passe d'une eau presque rigide à une eau pratiquement libre. La présence de cette couche d'eau ainsi que les cations Na+, Ca+, ou K+ permet de parler de la double couche (Théorie de Gouy et Chapmann). Celle-ci est formée de la particule argileuse et de la couche d'eau adsorbée de charge négative d'un côté, et le reste de l'eau faiblement liée de charge positive de l'autre côté. En fonction de la répartition des charges, on peut avoir deux types extrêmes d'arrangements des particules argileuses. Quand les bords et les faces ont même charge, il va y avoir répulsion. Les particules vont donc se mettre en parallèle les unes des autres. Ceci donne une structure dite dispersée où les vides se trouvent réduits. Si les bords et les faces ont des charges opposées, ils vont s'attirer. Ce qui donne une structure dite floculée où les particules vont se placer sous la forme d'un château de cartes. Dans ce cas, l'espace vide est important même si la structure reste stable tant que la répartition des charges n'est pas modifiée. Ainsi, la résultante des forces interarticulaires dépend de la structure des minéraux argileux. La structure floculée est plus compressible et plus sensible au remaniement.

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Figure 2.6: Structure des argiles. (a): Structure dispersée, (b): Structure floculée.

B. STRUCTURE ET EAU INTERSTITIELLE

Nous distinguons deux grandes familles de sol : ▪

Sols pulvérulents : Les grains se détachent les uns des autres sous leurs poids. Le sol s’écoule à la main.

▪

Sols cohérents : Les grains sont collés les uns aux autres. Le sol se met en mottes lorsqu’il est trituré.

L'état de consistance d'une argile dépend de sa teneur en eau. La particule argileuse est entourée d’une pellicule d’eau dite « Eau Adsorbée » dont les propriétés sont très différentes d’une eau libre. Au contact des grains, l’attraction est telle que le comportement d’un solide. Plus, on s’éloigne du grain, plus le potentiel électrique dû à la présence des ions échangeables diminue et plus la viscosité apparente diminue. Au-delà d’une distance de 100A°, l’eau n’est pratiquement plus affectée et a un comportement d’eau libre. En effet, une argile sèche se comporte comme un solide; gorgée d'eau, elle réagit comme un liquide. L’ingénieur agronome suédois Atterberg (1911) a

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proposé et définit cinq limites séparant des domaines dans lesquels l’argile réagit différemment en fonction de sa teneur en eau : ▪

Limite de cohésion : C’est la teneur en eau à laquelle deux boules de sol collent entre elles.

▪

Limite de collage (Sticky limit) : C’est la teneur en eau à laquelle le sol colle à des surfaces métalliques. Elle a une très grande importance pour les agronomes. Elle définit l’état du sol pour lequel ce dernier se colle au matériel de labour.

▪

Limite de liquidité WL: C'est la teneur en eau qui sépare l'état liquide de l'état plastique.

▪

Limite de plasticité WP: C'est la teneur en eau qui sépare l'état plastique de l'état solide avec retrait.

▪

Limite de retrait (Shrinkage limit) WS: C'est la teneur en eau qui sépare l'état solide avec retrait de l'état solide sans retrait.

NB : En géotechnique, seules les trois dernières limites sont utilisées. L'état liquide se caractérise par une présence d'eau en quantité telle que les particules argileuses se trouvent nettement séparées les unes des autres et leurs mouvements deviennent très faciles. L'argile réagit comme un liquide visqueux, c'est à dire qu'elle tend à se niveler selon une surface horizontale. L'état plastique se caractérise par une présence d'eau en quantité suffisante pour permettre un mouvement relatif aisé des particules mais pas suffisamment pour annuler les forces de liaison qui les relient. Soumises à de faibles charges, les particules argileuses se déplacent les unes par rapport

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aux autres mais sans s’éloigner ; elles ont mis en commun leurs couches d'eau adsorbée. L'état solide avec retrait est caractérisé par le fait que l'argile réagit comme un solide. Mais si elle est soumise à la dessiccation, elle diminue de volume en libérant l'eau interstitielle et une partie de l'eau adsorbée. L'état solide sans retrait est caractérisé par le fait que l'argile devient difficilement déformable. Soumise à la dessiccation, son volume ne diminue plus; les particules argileuses et l'eau adsorbée peuvent venir en contact.

Figure 2.7: Différents états de l’argile en fonction de la teneur en eau.

Des limites d'Atterberg, on en déduit un certain nombre d'indices utiles pour caractériser l'état d'un sol argileux: • Indice de plasticité: Cette plage de la teneur en eau caractérise l'importance de la présence des particules argileuses dans un sol donné. Un sol est plus plastique qu'un autre si son indice de plasticité est plus élevé. Les faibles valeurs de IP ( 200 200 > >20 20 >  >2 2 > >0,2 0,2 >  >0,02 0,02>  >0,002  63 63 >  >2 2 >  >0,06 0,060 >  >0,002  20mm = Ws ms = Ws (1 - F) D Ainsi la masse totale contenue dans le matériau complet sera: W = Wm F + Ws (1 - F). D

La teneur en eau dans le matériau total est :  = W / (masse volumique sèche) = W / D = F w + (1 - F) s

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Si les grains > 20mm ne contiennent pas d’eau (ex: gravier de quartz) alors s = 0 et  = F m; Avec, m : teneur en eau de la matrice et.s : teneur en eau des grains > 20mm.

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EXERCICES D’APPLICAT ION Questions aux choix multiples (QCM) : Une seule bonne réponse 1.

Le moule CBR est utilisé pour : □ □ □ □

2.

Les matériaux suffisamment fins (Ø< 5mm) Les matériaux supérieurs à 5 mm et inférieurs à 20 mm Toutes les réponses ci-dessus Aucune des réponses ci-dessus

Pour les travaux de compactage routier, on utilise essentiellement : □ □ □ □

L’essai Proctor normal L’essai Proctor modifié Toutes les réponses ci-dessus Aucune des réponses ci-dessus

3. . Le type d’engins adapté pour le compactage d’argile est □ □ □ □ □

Les compacteurs à pneus lisses Les compacteurs cylindriques Les compacteurs à pieds de mouton Aucune des réponses ci-dessus Toutes les réponses ci-dessus

Exercice N°01: Un essai de compactage standard a été effectué sur un sol destiné à la réalisation d’un barrage en terre. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous. La densité des grains solides 2,7. Teneur en eau (%) 5 8 10 12 15 20 I-

Masse volumique (Kg/m3) 1890 2130 2200 2210 2160 2080

Tracer la courbe de Proctor 𝛾d = f(w) 1. Déterminer les caractéristiques de l’optimum

2. Déterminer l’indice des vides, la porosité et le degré de saturation de ce sol à l’optimum. II- Pendant la réalisation du barrage deux couches ont été contrôlées. Les résultats respectifs sont : • Couche 1 :(𝛾d) 1= 18,35 KN /m3, w = 17,5) • Couche 2 :( 𝛾d) 2 =15 KN / m3, w = 19, 23) 1. Ces résultats sont –ils acceptables ? Justifiez vos réponses 2. Si non, Quelles solutions sont adoptées, d’après vous, pour remédier à ces deux situations.

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Exercice N°02 : Deux échantillons 1 et 2 du même sol (sable limoneux) ont été compactés au même poids volumique sec  d  19.6KN / m 3 mais à des teneurs en eau respectives 1  4% et 2  12% . Le poids volumique des particules solides est  s  27 KN / m 3 . 1. Porter sur un graphique  d ,   la courbe de saturation du sol et les points correspondant aux échantillons compactés 1 et 2.

2. Déterminer pour chacun deux le degré de saturation S r et le poids volumique  . 3. L’échantillon 1 1  4% est amené à saturation sans changement de son volume, qui est de 243cm3. Déterminer le volume d’eau nécessaire. Exercice N°03 : Dans le but de définir les conditions de compactage d’une argile sableuse pour un chantier de remblai routier, des essais Proctor Normal ont été réalisés et ont permis de dresser la courbe  d en fonction de w .

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1- Quelle serait la teneur en eau optimale de compactage à adopter ? 3 2- Le matériau a un poids volumique   18.7 KN / m , et un poids 3 volumique sec  d  17 KN / m . Déterminer le volume d’eau à ajouter par mètre cube de matériau pour être à l’Optimum Proctor Normal.

Exercice N°04: L'essai Proctor modifié a donné pour une grave argileuse les résultats suivants :  (%)

3,00

4,45

5,85

6,95

8,05

9,46

9,9

γd /γw

1,94

2,01

2,06

2,09

2,08

2,06

2,05

1. Construire la courbe de compactage Proctor et déterminer les caractéristiques de l'optimum. 2. Calculer le degré de saturation correspondant à l'optimum Proctor. On prendra γs/γw =2,65. 3. Calculer le pourcentage d'air a que contient un sol de porosité n et de degré de saturation Sr. Dans le plan de Proctor, trouver l'équation des courbes lieu des points représentatifs des états du sol ayant le même pourcentage d'air. En déduire l'équation de la courbe de saturation. Caractériser cette courbe.

100

Exercice N°05 : On a demandé à un inspecteur de chantier d’effectuer un contrôle de compactage d’un remblai mis en place. La courbe de compactage du sol au laboratoire est représentée sur la figure ci-dessous, le devis exige que la densité sèche du matériau mis en place corresponde au moins à 95% de la valeur de référence et que la teneur en eau ait un écart maximal de plus au moins de 2% par rapport à l’optimum. Dans un essai au cône de sable le volume de sol excavé était de 1153cm3, la masse totale de sol 2209g et la masse de sol obtenue après séchage est de 1879g.

1- Quelle est la densité sèche et la teneur en eau du matériau mis en place ? 2- Quelle est la compacité relative ? 3- Les résultats de l’essai sont-ils conformes aux exigences du devis ?

101

Exercice N°06 : Un remblai de remplissage proposé nécessite 3500m3 de sol compacté. L’indice des vides du remblai compacté est exigé d’être 0.65. Quatre terrains d'emprunt sont disponibles, comme décrit dans le tableau ci-dessous, qui représente les indices des vides des sols et le coût par mètre cube de sol déplacé vers le site de construction proposé. Effectuer les calculs nécessaires pour sélectionner le site d’emprunt qui représente le coût le moins cher. Supposons que Gs soit la même pour tous les sols. Terrains d’emprunt A Indice des vides 0.85 Coût (Da/m3) 900

B 1.2 600

C 0.95 700

D 0.75 1000

Les résultats d’un essai de compactage Proctor modifié d’un remblai destiné à soutenir un pont routier sont représentés dans le tableau1. Utilisant ces données : 1. Tracer la courbe de compactage de ce matériau ; 2. Estimer la masse volumique sec maximale  d max et la teneur en eau optimale ; 3. Calculer le degré de saturation Sr à  d max ; 4. Tracer la ligne de saturation (Sr=100%) de la courbe de compactage (en utilisant 3 points).

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Exercice N°07 : I.

Les résultats d’un essai de compactage Proctor modifié d’un remblai destiné à soutenir un pont routier sont représentés dans le tableau1. Utilisant ces données : 1. Tracer la courbe de compactage de ce matériau ; 2. Estimer la masse volumique sec maximale  d max et la teneur en eau optimale ; 3. Calculer le degré de saturation Sr à  d max ; 4. Tracer la ligne de saturation (Sr=100%) de la courbe de compactage (en utilisant 3 points).

Tableau1 : Essai Proctor modifié (volume de moule 0.944 0.944  10 3 m 3 ) Echantillon 1 2 3 4 5

II.

Masse du sol humide Masse du sol sec (g) (g) 1753.1 1550.0 1843.3 1605.7 1925.7 1650.1 1952.3 1637.8 1909.9 1578.4

Le pont faudra 72000m3 de remblai compacté (en utilisant  d   d max et   opt de la partie 1 de l’exercice). Au banc d’emprunt du sol a un indice des vides e=0.8 er Sr=75%

103

1. Si le foisonnement pendant l’excavation provoque une augmentation de 10% du volume total, combien de camions (voyages) de 6m3 sont nécessaire pour transporter le matériau au site ? 2. Quelle quantité d’eau doit être soustraite où ajouter au matériau avant compactage ? Exercice N°8 : Les résultats suivant ont été obtenu à partir d’un essai Proctor Standard : Masse (g) Teneur

2010

2092

2114

2100

2055

en 12.8

14.5

15.6

16.8

19.2

eau (%) La densité des grains solides Gs est de 2,67. 1. Tracer la courbe de la densité sèche et déterminer la teneur en eau optimale ainsi que la densité sèche maximale correspondante. 2. Tracer aussi la courbe de saturation (0% d’air), celles à 5% et 10% de teneur en air et donner la valeur de la teneur en air correspondante à la densité sèche maximale. NB : Le volume du moule est de 1000cm3.

104

Cours N°III : Fluides interstitiels Module 1 : Perméabilité Des Sols Module 2 : Lois D'écoulement Dans Un Milieu Poreux Saturé Module 3 : Résolution Des Ecoulements Permanents Plans Module 4 : Ecoulement A Travers Les Barrages En Remblais Module 5 : Ecoulement De Révolution A Trois Dimensions Module 6 : Succion Et Capillarite Dans Les Sols Module 7 : Action De L’eau Interstitielle Sur Les Milieux Poreux Module 8 : Phénomène de Consolidation

6

PERMEABILITE DES

SOLS

I- INTRODUCTION Les sols, qui sont des milieux dont la structure est complexe, sont souvent considérés comme des espaces poreux à travers lesquels l'eau peut circuler. Dans les problèmes pratiques, on est toujours amené à estimer le débit de percolation, que le sol soit naturel ou compacté. Aussi, si les conditions aux limites hydrauliques restent constantes, un état d’écoulement permanent se développe et la pression interstitielle en un point donné reste inchangé dans le temps. Pour s’assurer de stabilité du massif de sol, il est indispensable de connaître la variation des pressions interstitielles si les conditions hydrauliques arrivent à changer. De plus, ces eaux d'infiltration peuvent entraîner les grains du sol à l'intérieur ou sur les limites géométriques du massif, menant l'ensemble à la ruine. Pour mener à bien notre étude, nous sommes contraints de parler des hypothèses d’homogénéité et d'isotropie. On dira d'un milieu qu'il est homogène s'il présente dans une direction donnée la même résistance à un

106

écoulement de filtration. Si cette résistance est la même quelle que soit la direction, on dira qu'il est isotrope. On remarquera que les sols sont plus ou moins homogènes dans le plan horizontal et présentent une résistance plus élevée et qui évolue avec la profondeur. Cette propriété s’explique par le processus de formation des sols. Il faut aussi être prudent dans l'utilisation de la notion de porosité pour caractériser un milieu poreux. En effet la porosité est la plus utilisée en pratique est celle dite porosité globale et qui est définie comme le rapport du volume des vides accessibles à l'air et à l'eau sur le volume total. La porosité qu'il faudrait utiliser est celle dite porosité effective et qui correspond au rapport des vides accessibles à l'eau rapporté au volume total. Cette définition concerne surtout les sols argileux où un certain volume des vides est occupé par de l’eau adsorbée. Ce type d'eau ne s'écoule pas sous l'effet d'un gradient hydraulique et ne s’élimine pas à 100°C. II- EXPERIENCE DU PE RMEAMETRE A la base de la théorie des écoulements d'infiltration, une expérience simple réalisée par Darcy en 1856. Un échantillon de sol (2) est placé à l'intérieur d'un tube. Ce dernier est relié par ses deux extrémités à deux réservoirs. Le liquide filtrant s'écoule du réservoir supérieur (1) au réservoir inférieur (3) à travers l'échantillon, le liquide remonte aussi dans les tubes manométriques (4) à des niveaux décroissants dans le sens de l'écoulement. Ces niveaux s'alignent pratiquement sur une droite reliant les hauteurs des deux réservoirs.

107

Si le sol utilisé est du sable fin, l'expérience montre que le débit est proportionnel à la pente de cette droite, à condition que celle-ci ne soit pas trop forte. On peut écrire pour le débit:

Q = a.

h1 - h 2 l

Où a est une constante, l la longueur de l’échantillon et h1 et h2 sont les hauteurs de l’eau dans les deux réservoirs par rapport à un plan de référence quelconque.

Figure 6.1 : Schéma du perméamètre.

L'inclinaison ou la forme de la section du tube ne change en rien la relation ci-dessous. Si l'expérience est répétée avec le même matériau mais avec des sections différentes, les débits correspondants à une même pente de la droite des niveaux piézométriques sont proportionnels à la section S de l’échantillon. On peut écrire:

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Q  bS

Où b est une constante.

En constatant que le débit est aussi proportionnel à une constante caractérisant le sol, Darcy a proposé la formule empirique suivante qui porte le nom de loi de Darcy: h -h Q k 1 2 S l

III- NOTION DE CHARGE HYDRAULIQUE La hauteur du liquide dans les tubes piézométriques, dite aussi charge hydraulique, correspond à l'énergie totale par unité de masse de fluide. Elle est donnée par la formule suivante de Bernoulli:

H

v2 u  z 2g  w

Où z est la côte du point considéré par rapport à un plan de référence, w le poids volumique de l'eau, g l’accélération de la pesanteur, v la vitesse apparente de filtration et u la pression du fluide. Cette pression est mesurée relativement à la pression atmosphérique. Dans le cas où le fluide serait parfait, c'est à dire sans viscosité, pesant et incompressible, la quantité H reste constante. Les vitesses de filtration réelles étant généralement faibles, le terme de l'énergie cinétique est négligeable. La charge hydraulique s'écrit donc: H

u z w

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Par ailleurs, la viscosité du fluide induit une dissipation interne de l'énergie. Ceci se traduit dans l'expérience du perméamètre par la décroissance de la hauteur du niveau de l'eau dans les tubes piézométriques dans le sens de l’écoulement: Elle est dite perte de charge. La pente de cette droite n'est autre que le gradient de la charge hydraulique i. C’est un paramètre sans dimension, il caractérise la perte de charge par rapport à la longueur parcourue du milieu poreux. Il s’écrit :

i

h1  h 2 H dh   l l dl

N.B: Une vitesse de 1 cm/s correspond à un écoulement souterrain rapide; or le terme v2/2g est égal à 5m. IV- NOTION DE VITESSE REELLE ET VITESSE APPARENTE Le terme Q/S de la relation de Darcy est le débit par unité de l'aire du perméamètre. Il a la dimension d'une vitesse: c'est la vitesse de filtration ou la vitesse apparente qu'il faut distinguer de la vitesse réelle des molécules d'eau. En effet, soit l'échantillon de sol dont la section totale est St, la vitesse apparente utilisée dans les formules suppose que l'eau ne rencontre pas les grains solides dans son écoulement. Imaginons qu'on puisse regrouper les grains solides à part et le volume des vides à part. Ceci nous donnera un tube dont une partie de la section est pleine et l’autre est complètement vide. La vitesse de l’écoulement utilisée dans la relation de Darcy s’écrit en fonction du débit et de la section totale sous la forme suivante:

110

Q St

v

Or l’écoulement ne s’effectue qu’à travers les vides, c’est à dire: V=

Q Sv

Or :

n

Vv L.Sv   Sv  n.St Vt L.St

De ces relations précédentes, on déduit: V=

v n

Il ne faut pas oublier que ces deux vitesses sont des vitesses moyennes: ▪

Pour la vitesse apparente v, il est fait abstraction des particules solides.

▪

Pour la vitesse réelle V, il est fait abstraction du trajet parcouru.

111

Figure 6.2: Vitesse réelle et vitesse fictive. (a): Coupe longitudinale. (b): Coupe transversale.

V- INTERPRETATION DE LA LOI DE DARCY La loi de Darcy est une loi de perte de charge des écoulements dans les milieux poreux saturés. Elle peut être écrite sous la forme suivante: v  k. i

Le facteur k, qui a la dimension d'une vitesse, correspond à la vitesse de filtration qui résulterait de l'imposition d'un gradient hydraulique unité. C'est la perméabilité relative (ou cinématique) d'un milieu poreux par rapport au liquide filtrant. Le signe (-) qui est introduit dans la relation de Darcy exprime le fait que l’écoulement s’effectue dans le sens des charges hydrauliques décroissantes.

112

VI- PERMEABILITE REL ATIVE ET PERMEABILIT E INTRINSEQUE 1. LOI DE NEWTON

Si l’on considère un volume élémentaire abcd d’un fluide visqueux en mouvement uniforme (Voir figure 6.3 ), on voit qu’il doit se déformer sous l’effet de la différence de vitesse. Au bout d’un temps unité, ce volume aura la forme abc’d’. y d

F

c‘

c

v+dv

d‘

 a

v

b x F Figure 6.3 : Schématisation d’un écoulement uniforme

La vitesse angulaire de déformation sera :

d dv  tg  dt dy L’expérience montre que les forces de frottement visqueux, qui tendent à s’opposer à la déformation du parallélépipède, sont proportionnelles à cette vitesse de déformation :

113

F  ds

dv dy

Dans cette formule, due à Newton, ds est l’élément de surface perpendiculaire au plan de la figure sur lequel agit F et  est la viscosité dynamique du fluide. 2.

ANALOGIE DU TUBE DE POISEUILLE

L'écoulement dans les sols s'effectue à travers les canaux laissés entre les grains. On peut penser assimiler ces canaux à des tubes très fins tel que les tubes capillaires de Poiseuille. Si, l’on considère l’écoulement dans un tube capillaire de section circulaire (figure6.4), les forces agissant sur un petit volume élémentaire doivent s’équilibrer.

F+d

u

u+d

dr

F

z

d

r



ds

114

R

Figure 6.4: Forces agissant sur un volume élémentaire dans un tube capillaire

La projection de ces forces sur l’axe du tube donne :

du d ( F . r. d . ds) ds. r. d . dr  dr   w sin  . r. d . dr. ds  0 ds dr Le premier terme de cette équation représente la résultante des forces de pression, le second la force de frottement et le troisième celle de la pesanteur. Les forces d’inertie sont nulles puisque l’écoulement est uniforme. En utilisant les relations suivantes :

F 

dv dy

et

sin   

L’équation précédente devient :

r

d (u   w z )  ds

dv ) dr  0 dr

d (r

En introduisant le gradient hydraulique : i

d (u   w z ) ds

On obtient :

115

dz ds

dv

 w 1 d ( r dr )  0  r dr Deux intégrations successives donnent :

v=

w 2 ir  C1 ln r  C2  0 4

La constante C1=0, car la vitesse ne saurait être infinie dans l’axe du tube (r=0). La vitesse sur la paroi du tube est nulle (le liquide adhère sans glisser). Cette condition physique permet de déterminer la constante C2. Finalement, on obtient :

v

 w. . i( R 2  r 2 ) 8

Si l’on considère une répartition parabolique des vitesses, le débit véhiculé par le tube sera : R

Q   2rvdr   0

 w. 4 .R 8

C’est la relation de Poiseuille. En introduisant la vitesse moyenne Q V , elle peut être écrite sous la forme suivante : R 2

V

 w.R2 g R2 .i   i 8  8

116

Où v, R, w, , et i sont respectivement la vitesse moyenne de l'écoulement, le rayon du tube, le poids volumique de l’eau, la viscosité dynamique de l’eau, la viscosité cinématique de l’eau et le gradient hydraulique de l’écoulement. 3. FORMULATION THEORIQUE DE LA LOI DE PERMEABILITE

Par définition, le rayon hydraulique RH est le rapport de la surface de la section au périmètre mouillé ou encore le rapport du volume à la surface latérale. Dans le cas d’un cylindre, il est égal à : RH 

R 2

La vitesse moyenne, dans le cas d’un tube capillaire, sera :

1  w.R H2 V .i 2  Dans le cas d’un sol, le rayon hydraulique moyen des conduits élémentaires est égal au rapport des vides à la surface latérale des grains ; il est égal à : RH 

e s S

Ou, S est la surface spécifique et s est la masse volumique des grains solides. Par définition, la surface spécifique est égale au rapport de la surface latérale des grains au volume de ces mêmes grains. Si les grains étaient tous sphériques et avaient le même diamètre d, le terme 1/s2 est proportionnel à d2.

117

La vitesse de décharge (moyenne) s’écrit alors :

1  w e2 V .i 2  s2 S 2 Comme la vitesse effective est donnée par v = nV =

e V . Pour un tube 1+ e

capillaire, elle s’écrira sous la forme suivante :

v

1 w 1 e3 .i 2  s2 S 2 1  e

Dans le cas d’un sol, elle s’écrit :

 w 1 e3 v  C f .i  s2 S 2 1  e Ou Cf est un coefficient de forme. Partant de la loi de Darcy, la perméabilité sera alors :

 w 1 e3 w 1 n3 k  C f .  C f .  s2 S 2 1  e  s2 S 2 (1  n ) 2 Il s’écrit souvent sous la forme :

k

w K 

Ou K est un coefficient qui dépend seulement du milieu poreux et indépendant du liquide. Sa dimension est celle d’une surface. Il est appelé coefficient de perméabilité intrinsèque (ou géométrique).

118

4.

MODELES DE PERMEABILITE :

Partant du modèle de perméabilité théorique, on peut dire que la perméabilité dépend du fluide, du matériau et de la forme des grains. Pour les sols, des formules empiriques ou semi-empiriques sont proposées : ▪

- Modèle de Kozeny-Carman:

C0 e3 1  w k= 2 CT 1  e S 2  Où C0 est un coefficient de forme des pores, il vaut 0,5 pour le cercle; 0,56 pour le carré et 0,59 pour le triangle équilatère. CT dépend de la tortuosité des canaux interstitiels. Il est difficile à évaluer; il vaut 1,4 pour un empilement de grains. ▪

- Modèle de Hazen (1895) : Ce modèle est principalement utilisé pour les sables à granulométrie trop serrée (Cu < 2). Ces derniers auront donc, une tendance homogène. k = C.d102 (en m/s)

Où d10 est le diamètre efficace (en mm), C dépend de la granulométrie du sol et varie entre 0,01 et 0,015. ▪

- Modèle de Casagrande:

k = 1,4 K 0,85 .e2 Où K0,85 est la perméabilité du sol quand son indice des vides vaut 0,85.

119

A noter que pour tous ces modèles (sauf pour celui de Hazen), la perméabilité est donnée en cm/s quand d10 est en cm et  en poises. On pourra remarquer que les modèles ne sont que des formulations simplifiées de la loi théorique. En conclusion, les paramètres influant sur la perméabilité sont : ▪

La viscosité et la densité du fluide ;

▪

La forme des conduits caractérisés par la granulométrie et l’assemblage du matériau, ainsi que de la forme et de la taille des grains ;

▪

Les paramètres de l’état initial ; Ce sont principalement la teneur en eau de mise en place et la densité sèche initiale ;

▪

La pression interstitielle ; Le sol étant non saturé initialement, les bulles d’air se trouvent piégées dans les pores et c’est la pression interstitielle qui les écrase, augmentant ainsi la perméabilité ;

▪

Et enfin, la turbulence de l’écoulement.

VII- VALIDITE DE LA L OI DE DARCY Par analogie avec l'écoulement de l'eau dans les conduites, on peut définir un nombre de Reynolds qui serait donc égal à:

Re 

v. d  / w

120

Où v, d, h et w sont respectivement la vitesse apparente de l'écoulement, le diamètre moyen des pores laissés entre les grains, le coefficient de viscosité dynamique et la masse volumique de l'eau. Le nombre de Reynolds R est le rapport des forces d'inertie aux forces de frottement dues surtout à la viscosité du liquide mais aussi à la finesse des pores qui influe sur le régime d'écoulement en faisant passer l'écoulement du laminaire au turbulent. L'expérience a montré que l'écoulement de l'eau peut parfois ne pas suivre la loi de Darcy. La linéarité observée entre la vitesse de l'écoulement et le gradient hydraulique reste vraie dans un domaine limité caractérisé par des bornes en nombre de Reynolds.

Figure 6.5: Domaine de validité de la loi de Darcy

Si en pratique, on adopte un domaine de validité de la loi de Darcy limité par les nombre de Reynolds 1 et 10. Ceci ne correspond pas forcement à un changement du régime de l'écoulement. L'expérience montre que la loi de Darcy n'est plus linéaire au-delà d'un certain nombre de Reynolds alors que l'écoulement était toujours laminaire. Il faut voir dans les nombres de Reynolds, la limite de validité de la loi de Darcy sans se soucier du régime de l'écoulement.

121

L'écart observé pour les valeurs élevées du nombre de Reynolds correspond à une prépondérance des forces d'inertie par rapport aux forces de viscosité, phénomène observé dans les milieux très perméables comme les graviers. Pour les faibles valeurs du nombre de Reynolds, il y' a prépondérance des forces de frottement dues principalement à la viscosité de l'eau, à la tortuosité des canaux interstitiels laissés entre les grains et aux forces de surfaces, propres aux sols argileux. Ce qu'il faut retenir de ce paragraphe est que la loi de Darcy est une bonne approximation de la loi de filtration de l'eau dans les sols poreux, car les vitesses observées en pratique restent faibles et le nombre de Reynolds reste souvent limité entre les valeurs 1 et 10. En plus de cela, l’hétérogénéité des sols, le changement de température, etc... induisent des erreurs, qui si elles sont calculées seront supérieures ou équivalentes aux erreurs introduites par la loi de Darcy. VIII- DETERMINATION DE LA PERMEABIL ITE AU LABORATOIRE 1.

PERMEAMETRE A CHARGE CONSTANTE

L'échantillon de sol à étudier est de forme cylindrique. Il a une section S et une hauteur l. Il est placé dans un moule cylindrique. Pour que les grains du sol ne puissent être transportés par le courant, deux pierres poreuses sont placées aux extrémités de l'échantillon. Le tout est relié à un bac rempli d'eau et donc la hauteur est maintenue constante. La perte de charge h est mesurée à l'aide d'un manomètre placé entre les extrémités de l'échantillon.

122

Le volume V écoulé pendant le temps t est recueilli dans un récipient gradué. Le coefficient de perméabilité k est obtenu en appliquant la loi de Darcy. Le débit de percolation est:

q

Q t

La vitesse de l'écoulement peut être obtenue par: v

q  k. i S

En remplaçant le gradient hydraulique par son expression, on obtient : Q h Q h  k. k= S.  t l S.  l  t

La précision avec laquelle on détermine k, est liée à la précision de détermination du volume Q. Ce qui montre que ce type de perméamètre est adapté pour les sols relativement perméables.

123

Figure 6.6: Perméamètre à charge constante.

2.

PERMEAMETRE A CHARGE VARIABLE

Figure 6.7: Perméamètre à charge variable.

Dans ce cas aussi, l'échantillon est placé dans un moule cylindrique entre deux pierres poreuses. L'eau s'écoule d'une hauteur h1 à une hauteur h2 pendant un temps t1. La quantité d'eau recueillie est notée Q. En prenant les mêmes notations qu'auparavant, on peut écrire: Q  adh  qdt

Avec a la section de la burette et q le débit d’infiltration. On a: q  vS   kiS

124

C'est à dire: Q   kiSdt

En supposant que la loi de Darcy est applicable pour des intervalles de temps dt., on peut écrire: h2

t

h dh S -a. dh = k.S. . dt  - a   k.  dt l h l h1 0 C'est à dire finalement:

k=

a l  h1  ln  S t  h2 

La précision, avec laquelle est déterminé le coefficient k, est liée à la précision des mesures des hauteurs h1 et h2 et du temps t. Ce qui fait que ce type de perméamètre est adapté pour les sols fins peu perméables. IX- PRECAUTIONS A PRENDRE LORS DE LA MESURE DE K Pour que le coefficient de perméabilité soit mesuré correctement au laboratoire, il faut prendre un certain nombre de précautions. En effet, il faut veiller premièrement à ce que l'échantillon soit bien saturé. Cette opération dure quelques minutes pour les sols perméables mais peut durer des heures pour les sols argileux. La circulation de l'eau le long des parois du moule, le bouchage des pierres poreuses, etc....peuvent fausser la mesure. Il faut ajouter à cela, la variation de la température qui peut agir sur la viscosité de l'eau.

125

La valeur de la perméabilité est souvent donnée pour la température normalisée de 20°C. En cas de variation de température, on utilise la relation suivante:

k 20  k t

t 20

 étant la viscosité dynamique du liquide. On a d’après Helmoltz: t 

0,0178 1  0,0337t  0,00022t 2

La viscosité t est exprimée en C.G.S. et la température t en degré Celsius.

126

7

LOIS D'ECOULEMENT

DA N S U N M I L I E U P O R E U X SATURE I- GENERALISATION DE LA LOI DE DARCY La loi de Darcy telle qu'elle a été formulée au départ est une relation empirique entre le module du gradient hydraulique et le module de la vitesse d’infiltration. La direction de l'écoulement ne jouait aucun rôle puisqu'elle était unique. En pratique, les écoulements à deux ou trois dimensions sont plus prépondérants et la généralisation de la loi de Darcy s'impose. 

Considérons une surface élémentaire dS traversée par un débit dQ. Soit n le vecteur normal à cette facette :

127

Figure 7.1: Elément tétraédrique. 

La vitesse normale Vn à la section est donnée par:  dQ Vn  dS 

La vitesse Vn est positive si l'écoulement se fait dans la direction de la  normale n . Si le liquide est incompressible, la somme des débits entrant à travers les surfaces OAB, OAC et OCB, est égale au débit sortant par la section dS (ABC). En notant Vx, Vy et Vz les composantes du vecteur vitesse sur les axes x, y et z. On peut écrire:

  Vn dS  (Vx dydz  Vy dxdz  Vy dxdy )

128

dx, dy et dz sont respectivement les dimensions du tétraèdre formé par les surfaces OCB, OBA et OCA suivant les axes x, y et z.

 Rappelons par ailleurs les cosinus directeurs du vecteur normal n respectivement sur les axes x, y et z:

1 dy.dz  2 dS

1 dx.dz  2 dS

1 dx.dy  2 dS

Il en résulte: Vn  V x  V y  V y

Ou simplement :

 Vn  Vn

De cette dernière relation, on déduit que toute surface contenant ou  parallèle au vecteur normal n n'est traversée par aucun débit. De telles surfaces sont dites surfaces de courant et portent les lignes de courant. Par analogie avec l'écoulement monodimensionnel, la charge hydraulique, qui correspond à l'énergie totale par unité de poids du fluide, dépend de la position de l'élément du fluide considéré. On peut donc écrire: h  h ( x, y , z )

En supposant l’écoulement tridimensionnel, on peut concevoir que les dérivées partielles de la fonction h(x,y,z) définissent les composantes du vecteur gradient hydraulique, c’est à dire:

129

ix 

h x

iy 

h y

iz 

h z

Ou simplement :   i  gradh

En appliquant la loi de Darcy à un sol homogène et isotrope, on obtient:

v x  -k.

h x

v y  -k.

h y

v z  -k.

h z

C'est à dire:    v  k.gr adh  gr ad(kh)

Ceci revient à postuler de l'existence d'un potentiel des vitesses  qui s’écrit: (x,y,z)= - k.h(x,y,z) Les surfaces sur lesquelles cette fonction potentielle est constante sont dites surfaces équipotentielles. En remarquant que la vitesse de filtration est colinéaire mais de sens opposé au gradient hydraulique, on conclue que les surfaces équipotentielles sont normales aux surfaces de courant.

130

II- EQUATION DE CONTINUITE Le principe de conservation de masse exprime le fait que, la masse d'eau M contenue dans un domaine D donné reste constante dans le temps. C'est à dire: La masse contenue dans le domaine D s'écrit:

M   n. w .dV D

Figure 7.2: Domaine D.

Avec n la porosité et  la masse volumique de l'eau. Cette masse doit rester constante au cours du temps, c'est à dire: dM 0 dt

En d'autre terme:

131

 dM     (n.  w )  div(n.  w .v).dD  0 D t dt  

ou:   (n.  )  div(n.  .v)  0 w w t

Sachant que la vitesse réelle v est reliée à la vitesse apparente v par:

V  nv On peut réécrire:   div(  w .V)   (n.  w ) t Ecoulement permanent Fluide incompressible Sol incompressible Fluide compressible Sol incompressible

 div(v)  0  div(v)  0

Ecoulement non permanent

 div(v)  0

  div(  w .v)   n. w t

Cette relation régit tout type d'écoulement permanent ou non avec compressibilité ou non du liquide et/ou du sol. La compressibilité du liquide est représentée par la variation de la masse volumique, celle du sol est représentée par la variation de la porosité.

132

III- EQUATION DE LA CHARGE HYDRAULIQUE Bien que l'inconnue du problème soit la détermination de la vitesse de l'écoulement, on lui préfère généralement la charge hydraulique ; cette dernière étant reliée à la vitesse par la loi de Darcy. En supposant que le liquide et le solide sont incompressibles, le système obtenu pour un tel problème s'écrit:  div(v)  0   v  gr ad(k.h) Pour un écoulement permanent, ce système se réduit à:  div.gr ad(k.h)  0 Le milieu étant homogène et isotrope, cette dernière équation se réduit à l'équation suivante, dite équation de Laplace :

 2h  2h  2h   0 x 2 y 2 z 2 Notée symboliquement  h = 0, avec  l’opérateur Laplacien. On déduit que le potentiel des vitesses (x,y,z) et la fonction charge hydraulique h(x,y,z) sont des fonctions harmoniques. Pour un écoulement bidimensionnel, l'équation précédente se réduit à:

2 h 2 h   0 ou x 2 y 2

133

2 2  0 x 2 y 2

IV- ECOULEMENT A DEUX DIMENSIONS 1.

GENERALITES

Les écoulements souterrains sont en général tridimensionnels, mais il existe en pratique un certain nombre de problèmes qui peuvent être ramenés à un écoulement plan. Ces derniers présentent plus de facilité en ce qui concerne leurs résolutions. Un des trois plans n'est traversé par aucun débit. Il en résulte que le potentiel des vitesses ou la charge hydraulique sont indépendants de la direction normale à ce plan. On peut donc écrire que  et h ne dépendent que de x et de y. C'est à dire:

 2  2  0 x 2 y 2 ou  2h  2h  0 x 2 y 2

On en déduit que:  h   k. x x  h vy    k. y y

vx 

Par intégration, on obtient:  (x,y) = - k.h(x,y) + c, c étant une constante d’intégration

134

2. EQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE COURANT

Le fait d'avoir postuler de l'existence du potentiel des vitesses et le fait que ce potentiel soit harmonique entraînent l'existence d'une fonction analytique complexe f(x,y) telle que: f(x,y) = (x,y) + i. (x,y) Où  (x,y) est une fonction harmonique conjuguée du potentiel (x,y). Les variables x et y sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la variable complexe z=x+i.y. Une fonction est dite analytique, holomorphe ou régulière, si la dérivée première existe dans un ouvert convexe de R. Les courbes vérifiant (x,y) = constante sont appelées lignes équipotentielles ou lignes d'égales charges. La fonction  =  (x,y) est dite fonction de courant ou fonction d'écoulement de laquelle dérivent les vitesses de filtration vx et vy. Les fonctions (x,y) et  (x,y) vérifient les conditions de Cauchy-Reimann, qui sont:    x y   vy   y x

vx 

135

Les conditions de Cauchy-Reimann sont nécessaires pour que la fonction complexe f soit régulière, et de là découle le fait que les fonctions  et  soient harmoniques et conjuguées. Deux fonctions u(x,y) et v(x,y) sont dites conjuguées, si en se donnant l'une d'entre elles, on peut déterminer l'autre à une constante prés de telle manière que la fonction complexe w(x,y)=u(x,y)+i.v(x,y) soit analytique. Soient les différentielles suivantes:

d 

    .dx  .dy  0 et d  .dx  .dy  0 De ces x y x y

relations, on peut déterminer la pente des tangentes en un point courant des familles de courbes (x,y) et  (x,y). On a:



v dy   x   x  dx vy y



et

dy x  v y   dx vx y

Le produit de ces pentes donne -1. Ceci montre que les familles de courbes des équipotentielles et des lignes de courant forment un réseau de courbes orthogonales. Les lignes de courant représentent la trajectoire des particules de l'eau dans leurs mouvements en faisant abstraction des tortuosités dues aux grains du sol. Considérons un écoulement régit par une famille d'équipotentielles  et une famille de courbes de courant  .

136

1+

1

Figure 7.3 : Lignes de courant et lignes équipotentielles.

Au point A, la vitesse en direction de s est vs. Les composantes de cette vitesse sur les axes x et y sont: v x  v s cos 

v y  v s sin 

L'angle α est l'angle d'inclinaison entre la direction s de l'écoulement et l'axe x. Dérivons respectivement les deux fonctions  et  par rapport à s et à n dans le système de coordonnées (x,y):

  x  y   s x s y s

  x  y   n x n y n C’est à dire :

137

  v s . cos 2   v s . sin 2   v s s

  v s . sin 2   v s . cos 2   v s n On obtient l'égalité suivante:

   s  n Cette dernière égalité montre que si, dans un plan (x,y), les lignes de courant  et les lignes équipotentielles  sont tracées à des intervalles  et  réguliers, elles forment des quadrilatères curvilignes semblables. On peut écrire approximativement que:    s n

s est la distance entre deux lignes équipotentielles voisines mesurée le long d'une ligne de courant, et n est la distance entre deux lignes de courant voisines, mesurée le long d'une équipotentielle. En choisissant  = , les quadrilatères formés deviennent des carrés curvilignes. 3.

DEBIT UNITAIRE

Considérons deux lignes de courant pour lesquelles les valeurs  sont connues (Figure7.4). Le débit unitaire q est donné par: 2

q   (-v y . dx v x . dy ) 1

138

Ce qui revient à écrire  2     q    dx  dy 1  x y 

On conclut donc que le débit unitaire entre deux lignes de courants est constant et est donné par l'équation.

q   2  1  

2

1

Figure 7.4: Débit unitaire entre deux lignes de courant.

4.

CALCUL DU DEBIT FILTRANT TOTAL

Dans un réseau d'écoulement, deux lignes de courant successives limitent un tube de courant. Dans ce dernier, transite le débit donné par:

q   2   1   Si Nf est le nombre de tube de courant, le débit total sera: Q= Nf . q Or sachant que:

139

    k.h

k et h sont respectivement la perméabilité et la perte de charge entre deux équipotentielles successives. Connaissant la perte de charge totale hT et le nombre d’intervalles Nq entre ces équipotentielles. On a le débit total filtrant:

Q  k. h T . 5.

Nf Nq

CALCUL DE LA PRESSION INTERSTITIELLE

L'inconnue principale dans les problèmes d’écoulement est la pression interstitielle. Elle peut être déterminée à partir de la relation de Bernoulli. Celle-ci s'écrit: h

6.

u

w

z

ECOULEMENT A TRAVERS LES SOLS ANISOTROPES

Les équations et les résultats écrits précédemment l'ont été pour des sols homogènes et isotropes. Ce qui n'est pas le cas de tous les sols où souvent la perméabilité verticale est supérieure à la perméabilité horizontale. On admettra en pratique que les sols sont homogènes mais anisotropes. Ceci s'explique un peu par le processus de formation des sols. Le tenseur de perméabilité dans le repère principale peut être écrit sous la forme:

140

k x 0

k  

0 k y 

N.B: En réalité, la perméabilité telle qu'elle est utilisée n'est pas une grandeur tensorielle puisqu'elle dépend du liquide filtrant. Mais puisque ce liquide est souvent de l'eau, on admet cet abus. La loi de Darcy généralisée pour un milieu anisotrope s'écrit:   v  grad ( k. h)

C'est à dire:

v x  -k x .

h x

v y  -k y .

h y

L'équation qui régit l'écoulement s'écrit donc:

 2h  2h kx  ky 2  0 x 2 y On constate que ce n'est plus une équation de Laplace et on ne peut plus prétendre à l'existence du potentiel des vitesses. On contourne cette difficulté en procédant au changement de variable suivant: X  x.

ky kx

et Y  y

Ce changement de variables nous conduit aux équations suivantes:

141

 2 h  X   2 h   x 2  x  X 2 2

et

 2h  2h  y 2 Y 2

Ces relations donnent l'équation suivante qui régit l'écoulement dans un milieu anisotrope:

kx.

ky  2h  2h  k . 0 y k x X 2 Y 2

C'est à dire:

 2h  2h  0 X 2 Y 2 Cette dernière équation est une équation de Laplace. Sa résolution ne pose plus de problème. Le réseau obtenu est relatif à un milieu fictif dont la perméabilité est donnée ci-après : v x  -grad(k x .h )  k x .

k y h h h X h  k x . .  k x .   k x .k y x X x k x X X

C'est à dire: k '  k x .k y

L'obtention du réseau réel s'effectuera en appliquant la transformation inverse. En pratique, il suffit d'allonger ou de raccourcir le réseau obtenu dans le sens horizontal selon le rapport

142

kx ky

Cette méthode de calcul est applicable si le sol est anisotrope. En pratique, les sols se présentent en couches superposées de perméabilités différentes. On peut, dans ce cas, chercher une perméabilité horizontale équivalente et une perméabilité verticale équivalente et appliquer cette proposition. Les résultats seront valables uniquement pour le débit, pour le reste, c’est plus compliqué. 7. ECOULEMENT DANS LES SOLS STRATIFIES

On peut approcher le comportement d’un sol stratifié par un sol anisotrope. Les perméabilités équivalentes horizontale et verticale se calculent de la manière suivante : Soit le cas de figure ci-dessous :

Figure 7.5: Ecoulement à travers un sol stratifié.

Pour un écoulement unidirectionnel horizontal, la vitesse dans chaque tranche est donnée par la loi de Darcy:

v1  -k 1 . i

v 2  -k 2 . i

v n  -k n . i

Le gradient hydraulique, étant le même à la traversée de chaque couche, le débit qui traverse une section de largeur unité est donné par: q = v(H1  H 2 ... H n )  v1 . H1  v 2 . H 2 ... v n . H n

143

q = (H1  H 2 ... H n ). k x .i  ( k 1 . H1  k 2 . H 2 ... k n . H n ). i Le coefficient de perméabilité kx s'écrit: k .H  k 2 .H 2  ...  k n .H n kx = 1 1  H 1  H 2  ...  H n

 k .H H i

i

i

i

i

Si l'écoulement est dans le sens vertical, le principe de continuité exige que la vitesse de décharge soit la même à la traversée des différentes couches, c’est à dire:

v  k1 .i1  k 2 .i 2  ...  k n .i n Le gradient hydraulique s'écrit:

i=

h  h2  ...  hn h  1 H H 1  H 2  ...  H n

Où h1, h2,..., hn sont les pertes de charges respectivement dans les couches 1, 2,...,n. En écrivant: v  -k y .i = -k y .

h1  h2  ...  hn h h h  -k 1 . 1  -k 2 . 2  ...  -k n . n H 1  H 2  ...  H n H1 H2 Hn

c'est à dire:

144

h h H h H  1  ...  n   i H H1 Hn ky i ki ky k1 kn Finalement, on aboutit à la relation suivante de ky: ky 

H H i k i i

145

8

RESOLUTION DES

ECOULEMENTS PERMANENTS PLANS I- METHODE ANALYTIQUE Cette méthode repose sur le fait que les équipotentielles et les lignes de courant peuvent être définies à partir du potentiel complexe. En prenant en compte les conditions aux limites correspondantes à l'écoulement et en utilisant la théorie des transformations conformes, on arrive à établir des relations mathématiques donnant le potentiel des vitesses et les lignes de courant. Ainsi, les conditions aux limites courantes sont: • Surfaces -imperméables : Les surfaces imperméables sont souvent des terrains rocheux imperméables ou des parois étanches tel que les corps des barrages en béton ou des palplanches. Cette condition traduit le fait qu'aucun débit ne traverse la surface de ces parois. La composante de la vitesse de l'écoulement par rapport à la normale à ces plans est nulle. C'est à dire:  h h v.n = v n  -k.  0  0 n n

146

Cette relation veut dire que les équipotentielles et les surfaces imperméables se coupent perpendiculairement. Une telle condition à la limite est dite condition de Newmann et un tel problème est dit problème de Newmann. Le problème de Newmann consiste en la recherche de la solution d'une fonction vérifiant l'équation de Laplace et dont la dérivée normale prend des valeurs données sur la frontière. • Surfaces libres : L'écoulement est en contact de surfaces d'eau dont le niveau piézométrique reste constant dans le temps. Cette condition se traduit par le fait que la charge hydraulique est constante. Ces surfaces s'identifient avec des lignes équipotentielles où la charge hydraulique reste constante. Une telle condition est dite condition de Dirichlet et un tel problème est dit problème de Dirichlet. Le problème de Dirichlet consiste en la recherche de la solution d'une fonction vérifiant l'équation de Laplace et qui prend des valeurs imposées sur la frontière. L’avantage principal de cette méthode, par qui de nombreux problèmes ont été résolus, est l’exactitude de la solution obtenue. Il reste qu’elle est difficile à appliquer surtout si les conditions aux limites ou le contour du problème deviennent complexes. II- METHODES NUMERIQUES Il existe principalement deux méthodes numériques utilisées pour la résolution des problèmes d'infiltration de l'eau à travers les sols.

147

1.

METHODE DES DIFFERENCES FINIES

Cette méthode consiste à discrétiser l'opérateur, qui est ici le laplacien, par des approximations des dérivées premières et secondes par le développement de Taylor. Cette méthode a l'avantage de la simplicité mais a l'inconvénient d'être difficilement applicable si la géométrie du problème est complexe.

Figure 8.1: Méthode des différences finies. (a): Nœud élémentaire. (b): Discrétisation du domaine.

Soit une fonction f(x,y). L’approximation de la dérivée première par rapport à x est donnée par les relations suivantes:

f i, j  f i -1, j  f     x  x  i , j f i +1, j  f i, j  f     x  x  i , j f i +1, j  f i -1, j  f     2x  x  i , j La première relation est dite approximation à gauche, la seconde est dite approximation à droite et la troisième est dite approximation centrée de la dérivée. Cette appellation est relative aux points utilisés dans le calcul de la

148

dérivée. Il va de soi que c’est l’approximation centrée qui donne la valeur la plus proche de la dérivée réelle de la fonction. Il n’empêche que parfois, on est obligé d’utiliser les autres approximations.

Figure 8.2: Illustration des dérivées à gauche, centrée et à droite.

La dérivée seconde est approchée par la relation suivante:  2 f  2  x

f - 2f i, j + f i-1, j    i +1, j x 2  i, j

On remplace par ces expressions discrètes les dérivées partielles dans l’équation continue. On aboutit à un système d’équations dont les inconnues sont les valeurs de la fonction recherchée aux nœuds. A l’aide des conditions aux limites, on peut résoudre le système, qui peut être linéaire ou non linéaire. Nous avons donné les expressions des dérivées discrètes uniquement pour la variable x, le même calcul s’applique pour la variable y.

149

2. II.2- METHODE DES ELEMENTS FINIS

Au lieu de discrétiser l'opérateur, cette méthode se base sur la discrétisation de l'espace en un nombre fini de sous domaine dit élément, d'où le nom. L'inconnue est recherchée en des points particuliers, dits les nœuds de ces sous-domaines. Cette méthode, qui s’est énormément développée, s'adapte très facilement aux problèmes non linéaires et/ou anisotropes. III- METHODE DE L'ANALOGIE ELECTRIQUE Cette méthode repose sur l'analogie existante entre l'écoulement de l'eau à travers les sols et l’écoulement de l'électricité dans une plaque métallique. En effet, le potentiel électrique pour un écoulement permanent vérifie l'équation de Laplace. Les correspondances entre les différentes variables sont: Ecoulement de l’eau Charge hydraulique Vitesse de l’écoulement Perméabilité Débit

h v k Q

Ecoulement de l’électricité Potentiel électrique V Densité de courant i Conductivité 1/r Intensité de courant I

Tableau 8.1: Tableau de correspondance des variables.

Le principe de la méthode de l’analogie électrique consiste à découper un papier conducteur selon les formes géométriques du milieu dans lequel s’effectue l’écoulement. La limite du papier correspond, soit à une surface imperméable, soit à une distance à partir de laquelle l’écoulement n’est plus

150

influencé. Là où la charge est connue, on colle une électrode (de la peinture argentée) et on applique la différence de potentiel voulue. On promène un stylo muni d’une tête électrique sur le papier conducteur pour noter les endroits où le potentiel garde une valeur constante: c’est les équipotentielles. Pour obtenir les lignes de courant, on inverse les données du problème. Les limites imperméables deviennent des équipotentielles et vis vers ça. On arrive ainsi à tracer le réseau d’écoulement en complet. Un tel procédé devient difficile à mettre en œuvre si le problème est tridimensionnel ou si le milieu est constitué de plusieurs couches de sols de perméabilités différentes.

Figure 8.3: Dispositif de la méthode de l’analogie électrique. (a): Problème à traiter. (b): Schéma du dispositif.

IV- METHODE GRAPHIQU E Cette méthode fait appel aux propriétés géométriques et aux conditions aux limites que doivent satisfaire les réseaux d'infiltration. La solution graphique

151

se ramène à tracer un réseau de lignes orthogonales vérifiant les conditions aux limites en s'inspirant de cas théoriques analogues. On doit savoir que les diagonales d'un carré curviligne se coupent perpendiculairement et en leurs milieux, et qu’il est possible d’inscrire un cercle dans un carré curviligne. Cette méthode n'est qu'approchée et la précision dépendra beaucoup de l'habileté du dessinateur. Actuellement, cette méthode n’est utilisée que dans un but pédagogique.

Figure 8.4: Réseau d'écoulement autour d’un rideau de palplanche.

152

9

ECOULEMENT A

T R AV E R S L E S B A R R A G E S EN REMBLAIS I- INTRODUCTION Un barrage forme avec ces assises une barrière qui crée entre le plan d’eau de la réserve et l’aval, une charge hydraulique. Dans le cas des barrages en remblais, formés de matériaux plus ou moins perméables, s’asseyant bien souvent sur des terrains également plus ou moins perméables, l’eau de la retenue aura tendance à s’infiltrer dans le massif et dans les terrains d’assise pour venir resurgir à l’aval. Ces infiltrations ne seront pas gênantes tant qu’elles n’affecteront pas : ▪

La stabilité de l’ouvrage par les pressions et forces de filtration ;

▪

L’économie de l’ouvrage ; les fuites ne doivent pas dépasser une valeur admissible par rapport au volume régularisé par la retenue.

Donc, pour que l’ouvrage puisse accomplir efficacement son rôle, l’objectif de l’ingénieur est double, d’une part réduire les fuites à des valeurs acceptables et d’autre part les contrôler.

153

Les cas de figure étudiés ci-après sont supposés être fondés sur un substratum imperméable. II- BARRAGE HOMOGENE SANS DRAIN Prenons l'écoulement représenté sur la figure ci-dessous. Les limites perméables submergées sont les parements AB et DE. Les conditions aux limites sont: • Les équipotentielles : Les limites AB et DE sont des équipotentielles. En effet, pour un point appartenant à ces limites, la fonction potentielle s'écrit:  = - k.h + C, C est une constante. Or, en ces points, la charge hydraulique est donnée par: h=

u

w

+z

Dans la relation précédente, z représente la côte du point considéré par rapport à un plan de référence prédéterminé et u la pression interstitielle. Cette dernière vaut respectivement pour le parement amont et le parement aval: u = w(H0 - z) u = w(h0 - z)

154

La charge hydraulique sur les parements amont et aval vaut respectivement:

h=

 ( H  z) u +z= w 0  z  H0 w w

h=

 ( h  z) u +z= w 0  z  h0 w w

Ce qui montre bien que les parements AB et DE sont des équipotentielles puisque les charges hydrauliques y sont constantes. Sur AB, l’équipotentielle s’écrit: =-k.H0+C Alors que sur DE, elle s’écrirait : =-k.h0+C

Figure 9.1: Ecoulement à travers un barrage homogène sans drain.

• Surface de suintement : La surface de suintement CD n'est ni une équipotentielle ni une ligne de courant. Le long de cette surface, la pression interstitielle est égale à la pression atmosphérique. La charge hydraulique est donc égale à la côte z. Ainsi, dans un réseau régulier où  est constant, cette ligne rencontre les équipotentielles à des intervalles réguliers égaux à z. En effet, on a:

155

 = - k. h = - k. z Les conditions d'émergence dépendent de l'angle de la limite du domaine d'écoulement avec le plan horizontal. • Ligne de saturation : La surface libre BC est un degré de liberté additionnel au problème car sa position n’est pas prédéterminée. D'autres conditions sont nécessaires pour pouvoir tracer le réseau. Ces conditions concernent : •

La pression interstitielle qui est nulle le long de cette surface.

•

Comme pour la surface de suintement, on peut écrire:  = - k. z

Comme c'est une surface libre, l'écoulement selon la normale à cette surface est nul. C'est donc une ligne de courant et par conséquent la fonction  est constante le long de cette ligne.

III- BARRAGE HOMOGENE AVEC DRAIN HORIZONTAL Soit l'écoulement de la figure ci-dessous:

156

Figure 9.2: Barrage en terre avec tapis drainant.

Les conditions aux limites sont: • Les équipotentielles : Les lignes AB et CD sont des équipotentielles. En effet, pour le parement AB, le calcul est analogue au cas sans drain, c’est à dire que la charge hydraulique vaut H 0 et l’équipotentielle correspondante vaut: =-k.H0 +C. Pour la ligne CD, la pression ainsi que la côte sont nulles. Ce qui fait que la charge hydraulique est nulle et l’équipotentielle correspondante vaut =C. • Les lignes de courant : Les lignes AD et BC sont des lignes de courant. En effet, les particules d’eau ne peuvent que suivre dans leurs parcours la limite imperméable ou la ligne de saturation. Sachant qu’elles sont les lignes de courant extrêmes et qu’elles font transiter le débit Q, on peut écrire: ▪

La valeur de la ligne AD:  = 0

▪

La valeur de la ligne BC:  = Q

Le tracé du réseau d'écoulement s'effectue par la méthode analytique moyennant quelques approximations.

157

Prenons la fonction complexe f de la variable complexe r, avec: f(r) =  + i. 

et

r = x + i.y

Considérons la fonction suivante:

r = f2 On a dans ce cas: (x + i. y) = (  i. ) 2  ( 2   2 + 2.i.. )

C’est à dire:

x = 2  2 y = 2.i. . Ces équations gouvernent la transformation des points entre les plans r et f. En effet, considérons la transformation ponctuelle suivante: = n, avec n=0,1,2,...,N On a alors:



z 2.n

et

x

z2  n2 4. n 2

Cette équation représente une famille de paraboles.

158

Figure 9.3: Correspondance entre les plans r et f.

En considérant la transformation = m, avec m=0,1,2,...,M; on a:



z 2. m

et:

x  m2 

z2 4. m 2

Cette équation représente une famille de paraboles conjuguées aux paraboles définies par les équations précédentes. N.B: Une transformation est dite conforme si elle transforme des figures en des figures semblables en respectant la grandeur et le sens des angles, ceci bien sûr pour des éléments infiniment petits.

159

Une telle transformation peut être utilisée pour résoudre le problème des infiltrations des eaux à travers les digues en terre. En effet, en utilisant la transformation conforme suivante:

r = C.f 2 avec C une constante. Ainsi, on a: x = C.( 2   2 ) y  2. C..

Figure 9.4: Obtention de la ligne de saturation.

L'équation de la ligne d'écoulement corresponds à la surface libre. On a donc:  = Q , et  = -k.z On peut ainsi écrire:

y = -2.C.k.y.Q  C = -

1 2.k.Q

et

160

x=-



1 k 2 . y2 - Q2 2.k.Q



ou

x=

1  Q k 2  - .y   2 k Q

Cette dernière relation porte le nom de la parabole de base de Kozeny. Quand : z = 0  x0 =

Q 2.k

x = 0  y0 =

Q = 2.x 0 k

La parabole de Kozeny peut se réécrire sous la forme suivante:

y2 x = x0 4.x 0 La parabole peut être représentée si on connaît un point qui lui appartient. N.B: La transformation conforme donne des paraboles pour les équipotentielles ; or la ligne équipotentielle à l'amont du barrage est le talus: c'est donc une droite. Casagrande, en procédant à des études par analogie électrique, recommande que le point initial de la parabole peut être pris au point G tel que: GB = 0,3 EB

161

Figure 9.5: Parabole de Kozeny.

Les coordonnées du point G sont injectées dans l'équation de la parabole pour déterminer x0. Ainsi la parabole peut être représentée. Une correction est nécessaire pour joindre la parabole au point B, ceci est réalisé par la jonction de ce point au point C par une courbe douce. Si la surface DC n'est pas horizontale, une correction (KD) est introduite (Voir figure 9.6). L'angle b définie la direction de la surface de décharge. La correction proposée par Casagrande est donnée en fonction du rapport (a/a; Voir figure). b (°) a/a

30 0,36

60 0,32

90 0,26

120 0,18

150 0,1

180 0

Figure 9.6: Correction de la parabole de Kozeny.

162

10

ECOULEMENT DE

R EVOLUTION A TROIS DIMENSIONS I- INTRODUCTION L'écoulement de révolution à trois dimensions est rencontré dans les problèmes de pompage en vue de l'alimentation en eau potable des populations ou dans les problèmes de rabattement de nappe. Dans tout ce qui suit, on admettra que le régime permanent s'établit rapidement, c'est à dire que le débit pompé sera égal au débit d'alimentation. II- THEORIE DE DUPUI T 1.

EQUATION DE LA CHARGE HYDRAULIQUE

La théorie de Dupuit a été publiée en 1863, soit sept ans après la formulation de la loi de Darcy. Pour résoudre ce problème, Dupuit a formulé deux hypothèses: • Les équipotentielles sont verticales, ce qui exige un écoulement horizontal et radial.

163

• Le gradient hydraulique (dh/l), où l est l’abscisse curviligne le long de la surface libre, est égal à la pente de cette dernière. Soit l’écoulement de la figure suivante :

Figure 10.1: Ecoulement radial.

Prenons la direction x, le débit entrant est égal à la vitesse de l’écoulement multiplié par la section traversée. Au point x=0, on a: v x0  -k.

h x

Ainsi, on a: Q 0  -k.

h h.dy x

Le débit sortant à la distance x =x est obtenu par développement en série de Taylor suivant:

164

Q x  -k.

h   h  h.dy + dx.  -k. h.dy ...  x x  x

En prenant le coefficient de perméabilité k constant, on aboutit à:

dx.dy   h 2  Q x  k.   2 x  x  Il en serait de même pour la direction y. On a:

dx.dy   h 2  Q y  k.   2 y  y  En supposant qu’il n’y a pas de mouvement dans le sens vertical et pour un écoulement permanent, on a:

k.

dx.dy   h 2  dx.dy   h 2    + k.   =0 2 x  x  2 y  y 

C’est à dire:

 2 h2   2 h2   2  + 2  = 0  x   y  où symboliquement: h 2 = 0

Partant des hypothèses de Dupuit, le laplacien est vérifié par le carré de la charge hydraulique.

165

Dans le cas où la nappe serait alimentée à partir d’une rivière par exemple, l’équation doit être ajustée. Si R est l’intensité de la recharge (de dimension LT-1), la recharge de l’élément rectangulaire considéré est: R.dx.dy. L’équation de continuité pour l’écoulement en question sera:

k.

dx.dy   2 h 2  2 h 2  +   + R.dx.dy = 0 2  x 2 y 2 

Ou simplement : h 2 + 2.

2 .R = 0 k

SURFACE LIBRE DANS UN PUITS A ECOULEMENT UNIDIRECTIONNEL

L’application de la théorie de Dupuit permet de retrouver l’équation de la surface libre dans un puits à écoulement unidirectionnel comme le montre la figure ci-dessous.

Figure 10.2: Ecoulement unidirectionnel à surface libre.

L’équation de la charge hydraulique se réduit à:

166

h 2 =

 2h 2 =0 x 2

Par intégration, on aboutit à:

h 2 = a.x + b Où a et b sont des constantes d’intégration. Elles sont déterminées à l’aide des conditions aux limites. Nous avons à x=0,

h 20 = b Par différentiation, on a: 2h.

dh =a dx

Par comparaison avec la relation de Darcy, on peut écrire:

Q = -k.h.

dh dh Q  h. = dx dx k

C’est à dire finalement: a = -

2Q k

L’équation de la surface libre, dite aussi surface de Dupuit s’écrit donc pour x=L et h=hL: h2 = -

2Q . x  h 02 k

167

Les surfaces de suintement sont souvent négligées. On peut ainsi écrire:

Q= 3.

k  h 02 - h 2L  2.L

MERIDIENNE ET RABATTEMENT

Si l’écoulement est radial comme nous l’avons supposé et comme le montre la figure ci-dessous, le débit vaut: Q = 2. .x.y.k.

dy dx

Avec 2xy, la surface du cylindre à travers lequel s’effectue l’écoulement.

Figure 10.3: Ecoulement radial avec puits de contrôle.

L’équation ci-dessus peut être transformée en:

Q

dx = 2. .k.y.dy x

c’est à dire après intégration: Q=

 .k.(h2 2 - h12 ) Ln r2   r1 

168

Avec comme bornes d’intégration: x=r

y=h

1

1

x=r

2

y=h

2

Ainsi, en négligeant la surface de suintement, on peut intégrer l’équation entre le rayon du puits rw et le rayon d’action R, on obtient:

h 20  h 2w 

 R Q Ln  .k  rw 

Avec ici comme bornes d’intégration le couple: pour x=R, y=h0 pour x=rw, y=hw La courbure étant faible, on peut linéariser cette expression par: h 20  h 2w  ( h 0  h w )( h 0  h w )  2sh

avec:

s  h0  hw h

h0  hw 2

Ce qui nous donne pour un rabattement s pour un rayon r:

s

Q x Ln 2. .k. h r

169

De même, en intégrant entre le rayon du puits et le point courant, on aboutit à l’équation de la méridienne:

y 2  h 2w 

Q x Ln .k rw

L’équation de la méridienne n’est qu’une approximation de la surface libre, spécialement à côté des parois du puits. Certains auteurs avancent que pour x>1,5h0, la méridienne réelle et la méridienne de Dupuit sont pratiquement confondues. 4. RAYON D’ACTION

L’application des formules retrouvées ci-dessus pour des cas pratiques pose des problèmes. En effet, les hypothèses adoptées sont difficilement vérifiables. On élimine cette difficulté en introduisant la notion du rayon d’action. Le rayon d’action est défini comme la distance à partir de laquelle le pompage cesse de se faire sentir. La détermination de ce rayon est difficile et les résultats obtenus par les expérimentateurs sont relativement dispersés pour qu’on puisse trouver un consensus. Il semble toutefois que ce rayon d’action soit compris entre 100r et 300r. On peut adopter la formule proposée par Sichardt: R=3000(H-h)k

où H, h et k sont respectivement la hauteur de la nappe, la hauteur et la perméabilité. Ils sont exprimés en unités S.I. On peut utiliser le tableau suivant:

170

Type de sol Gravier grossier Gravier moyen Gravier fin Sable grossier Sable moyen Sable fin Sable très fin

d10(mm) 10 10-2 2-1 1-0,5 0,5-0,25 0,25-0,1 0,1-0,05

R(m) 1500 1500-500 500-400 400-200 200-100 100-50 50-10

Tableau 10.1 : Rayon d’action en fonction du diamètre efficace du sol

5. ECOULEMENT VERS UN PUITS EN CHARGE

Soit un puits traversant complètement une nappe en charge d’épaisseur constante e. Cette nappe est enfermée entre deux couches de sols imperméables. Une fois le régime permanent établi, on peut considérer que seule la partie de la nappe en charge est en écoulement. Ceci donne (voir figure ci-dessous):

Figure 10.4: Ecoulement vers un puits en charge.

Q = 2. .x.e.k.

dh dx Q  2. .e.k.dh dx dx

171

C’est à dire après intégration: Q =

2. .e.k.(h 2  h 1 ) r Ln 2 r1

III- DETERMINATION I N SITU DE LA PERMEABILITE Les résultats issus de la théorie de Dupuit permettent de déterminer la perméabilité in situ des sols. En effet, il suffit d’appliquer les formules de l’écoulement de l’eau des nappes à surface libre ou des nappes en charge en prenant soin des mesures du débit pompé ainsi que du niveau d’eau dans les piézomètres de contrôle. Pour un débit de pompage Q fixé, les courbes s=f(Ln(r)) présentent une partie linéaire à partir de laquelle la perméabilité peut être déterminée. En effet, on trace les valeurs de H2-h2 ou de H-h en fonction de Ln(r). Ces derniers sont reliés par: •

Q  Ln( R)  Ln( r ) 1,36k Q nappe H  h   Ln( R)  Ln( r ) 2,72 k. e

Pour une nappe libre: H 2  h 2 

• Pour captive:

une

Ces courbes sont en grande partie des droites de pente: •

Pour une nappe libre:

•

Pour une nappe libre:

Q 1,36k Q a 2,72 k. e

a

172

A partir des pentes des tronçons de droites, on peut déterminer les coefficients de perméabilité et le rayon d’action. Ce dernier étant le point de concours du tronçon de droite avec l’axe des Ln(r). Bien sûr, il faut disposer d’un ou plusieurs piézomètres.

173

11

SUCCION ET

C A P I L L A R I T E DA N S L E S SOLS I- GENERALITES On peut regarder l’infiltration dans les sols comme une conséquence naturelle liée aux forces de gravités. On ne peut admettre que l’eau puisse se déplacer vers le haut défiant ainsi les forces de gravité. Or, si l’on introduit partiellement un bout de papier, ou un morceau de tissu, etc..., dans l’eau, l’objet en question devient humide et ceci dans la partie située au-dessus du niveau de l’eau. De la même manière, si l’on introduit partiellement un tube capillaire, de très petit diamètre, dans l’eau, on remarque que cette dernière monte dans le tube jusqu'à ce qu’elle atteigne une certaine hauteur au-dessus de la surface libre. De manière simplifiée, le même phénomène se produit quand une masse de sol fin est mise en contact partiel avec l’eau. Les forces qui font monter l’eau au-dessus de la surface libre, sont appelées forces capillaires. La hauteur de la colonne d’eau (hauteur d’ascension) est appelée hauteur ou charge capillaire.

174

Les enfants qui ont l'habitude de creuser des pièges ou de construire les châteaux de sables à la plage savent que ces jeux ne sont possibles que quand le sable est simplement humide. Si le sable est sec ou totalement saturé, le jeu n'est plus possible: Le phénomène qui permet ces jeux est le phénomène de capillarité. La capillarité des sols et les forces induites proviennent de l’interaction entre l’eau et les particules solides. La remontée de l’eau au-dessus de la surface libre est attribuée à la combinaison de la tension superficielle et de la tendance de l’eau à humidifier les particules solides. En conséquence, la capillarité dans les sols fins fait monter une tranche d’eau au-dessus du niveau de la surface libre augmentant ainsi la teneur en eau dans cette zone. Cette augmentation de la teneur en eau peut être dans certains cas un avantage et dans d’autres un inconvénient. A titre d’exemple, les forces capillaires développent un accroissement de la contrainte effective renforçant ainsi la stabilité en augmentant la résistance au cisaillement de certains sols fins. Par contre, dans les régions froides, la teneur en eau capillaire proche de la surface des chaussées, peut causer un soulèvement durant la période de gel et ceci par la déformation produite par les lentilles et les cristaux de glace. II- RELATION ENTRE L A PRESSION, LA COURBURE ET LA TENSI ON SUPERFICIELLE Quand un ou plusieurs fluides non miscibles coexistent dans espace poreux, il y' a des forces de tensions qui agissent sur l'interface liquide-liquide ou liquide-air dues aux actions moléculaires. Cette tension, qui se traduit par

175

l’existence d'une véritable membrane tendue, induit une différence de pression qui dépend de la courbure de cette membrane. La différence de pression capillaire est gouvernée par la formule de LAPLACE qui s'écrit: Pc  T (

1 1  ) r1 r2

O2

O1 Figure 11.1: Membrane capillaire.

Où Pc est la différence de pression de part et d'autre de la membrane et T, la tension superficielle dont l'unité est la pression par unité de longueur. Cette dernière dépend et caractérise l'affinité qu'ont les deux fluides entre eux à se raccorder. r1 et r2 sont les rayons de courbure principaux. On utilisera dans la formule le signe (+) si les centres de courbures 01 et 02 sont du même côté de la membrane. Sinon, on utilisera le signe (-). Si r1 est égal à r2 , alors : Pc  2

T T 4 r d

D’une manière générale, la formule ci-dessus se simplifie pour les sols pour s'écrire:

176

Pc  C

T d

Où C est un coefficient sans dimension qui tient compte de l'affinité du liquide pour le milieu poreux et d, le diamètre des grains du milieu poreux. Il existe des liquides qui tendent à minimiser leurs surfaces de contact avec le solide : ce sont les liquides non mouillant. Les liquides mouillant, au contraire, ont tendances à s'étendre au contact du solide (Figure 11.2).

Liquide mouillant

liquide non mouillant Figure 11.2: Membrane capillaire.

III- REMONTEE CAPILL AIRE - LOI DE JURIN Soit un capillaire ouvert des deux bouts ; On enfonce un bout dans le récipient d'eau. Celle-ci est tirée vers le haut par une force de tension superficielle T, qui agit uniquement au contact de l'eau avec la paroi du tube. La résultante s'écrit 2rT, avec r le rayon du tube (d=2r).

177

T

d

hc



T

Figure 11.3 : Expérience de Jurin

L'eau s’arrêtera de monter quand le poids de la colonne d'eau est équilibré par la tension capillaire. On a donc:

d 2 4

hc  w  dT cos 

Ce qui donne : hc 

4T cos  d w

Cette relation porte le nom de LOI DE JURIN. Elle exprime le fait que l’ascension capillaire soit inversement proportionnelle au diamètre du conduit. Pour l’eau à 15°C, Il a été montré expérimentalement, que cette loi s’écrit : hc 

0.31 cos  d

hc et d sont exprimés en cm.

178

IV- TUBE CAPILLAIRE DE RAYONS VARIABLES Si l’on enfonce deux tubes identiques de section variable dans le récipient d'eau. Quand c'est la section rétrécie qui se trouve au niveau de la surface libre, l'eau qui remonte dans le tube d'une hauteur hmax s’arrête au niveau d'une section rétrécie. Quand c'est la section élargie qui se trouve au niveau de la surface libre, l'eau qui remonte dans le tube d'une hauteur hmin s’arrête au niveau d'une section élargie. 2r 2R

hcm ax

hcmi n

Figure 3.4 : tube capillaire de rayons différents

Ces hauteurs sont données par : hc max 

2T cos  r w

et hc min 

179

2T cos  R w

V- CAPILLARITE DANS LES SOLS D’après les expériences précédentes, on peut déduire les deux remarques suivantes: •

La hauteur de remonté est d'autant plus grande que le sol est fin.

•

Cette hauteur n'est pas constante quand les grains de sol ne sont pas

uniformes. La remonté capillaire étant très importante pour les sols fins, on considère que ces derniers sont saturés au-dessus du niveau piézométrique. Pour les sols grenus, la remonté étant faible, le sol n'est que partiellement saturé. La hauteur d’ascension varie dans de très larges limites, avec la granularité des sols et de leurs indices des vides. Des ordres de grandeurs sont donnés dans le tableau 11.1. Nature des sols Sables Limons Argiles

Ordre de grandeur de hc 10 à 50 cm 5 à 20 m Dépasse 100m

Tableau 11.1 : Ordres de grandeur de la hauteur d’ascension capillaire en fonction de la nature des matériaux

On a sensiblement :

hc 

C ed10

Où, hc et d10, sont en cm et C, une constante variant de 0.1 à 0.5cm2.

180

Le paramètre ed10, représente le diamètre moyen des canaux d’un sol ayant un indice des vides e et formé de particules toutes identiques de taille d10. VI- POTENTIEL CAPILL AIRE La remontée capillaire varie d'un sol à un autre dans des proportions considérables, elle est négligeable pour les graviers, de l'ordre de 10m pour les sables fins et de l'ordre du Km pour les argiles. On adopte la variable pF, dite potentiel capillaire, pour caractériser la capillarité des sols. Celle-ci s'exprime comme le logarithme décimal de la hauteur de remonté hc: pF = log hc hc est exprimée en centimètre. La valeur de pF décroît quand la saturation augmente. A la saturation totale, pF est égal à moins l'infini. VII- VITESSE DE REMO NTEE CAPILLAIRE Un autre paramètre, plus rapide à déterminer, est utilisé pour caractériser le phénomène de capillarité dans les sols: c'est la vitesse de remonté capillaire ou le groupe de paramètre (kh). Le sol à étudier est compacté puis séché afin d’éliminer l’eau interstitielle. La mesure du produit kh, consiste à placer un échantillon de sol (15cm de diamètre et 27cm de hauteur) dans un moule cylindrique de telle sorte que sa base effleure la surface de l'eau (Figure ). On suivra l'évolution de la remontée capillaire par pesée de l'échantillon. Le temps de pesée est généralement pris égal à: 1h, 2h, 4h, 7h, 25h, 49h et 72h.

181

15cm

hc-z hc

27cm

z

Environ 1cm

Si l’on admet que la loi de Darcy est applicable lors de la remonté capillaire, alors la vitesse s’écrit : v  ki

Avec : i=

hc  z z

Le volume d'eau absorbé par unité de temps est égal à v.A, A étant la section de l'échantillon. Il sera égal au volume des vides remplis par l'eau dans sa remonté et vaut : nA

ou, n est la porosité.

182

dz dt

Pendant un temps dt, le niveau de l’eau s’élève d’une hauteur dz. La hauteur z atteinte au temps t vérifie donc : v=

k(h c  z ) dz n z dt

ou hc k dt  (  1)dz n hc  z

Et par conséquent : k z t   h c ln(h c - z) - z + h c lnh c   z  h c ln(1  ) n hc

Ceci peut s’écrire : kt  ln( nh c

1 1

z hc

)

z hc

Si z est petit devant hc, en développant en série de Fourrier la fonction logarithme et en négligeant les termes en ordre supérieur à 2, on peut écrire:

kt z2  nh c 2hc 2 D’où :

z

2kh c t n

183

Le volume d'eau absorbé est donc égal à:

V  nAz  A 2nkh c t On reporte sur un graphe le volume d'eau absorbée en fonction de la racine du temps. On remarque que c'est une droite sauf à proximité de l'origine. Ceci s'explique par le fait qu'au début de l'essai, le gradient hydraulique étant très élevé, la loi de Darcy n'est pas applicable.

V2

V0

Figure 11.9: Courbe volume d'eau absorbé en fonction du temps.

On corrige la formule précédente par:

V  V0  A 2nkh c t Ou : kh  (

V  V0 2 1 ) A 2nt

Il suffit d'appliquer la formule à une pesée et déterminer le produit kh. Ce produit qui s'exprime en cm /h permet de classer les sols en:

184

•

Sols à forte remonté capillaire:

kh>1

•

Sols à moyenne remonté capillaire:

0,1