Mécanique Du Solide Indéformable: Université Chouaib Doukkali Faculté Des Sciences Département de Physique El Jadida [PDF]

Zitiervorschau

Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Physique

- El Jadida –

Mécanique du Solide Indéformable

A. EL AFIF

Filière : Sciences de la Matière Physique – S3

Année Universitaire : 2015-2016

(Deuxième Edition)

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Ch. I

TORSEURS I.

Champ de vecteurs antisymétrique •

•

 toute application qui associe à chaque point A de l’espace un On appelle champ de vecteurs,
=
 . vecteur M

 est équiprojectif si et seulement si : On dit qu’un champ de vecteurs
 .
 =   .
 ∀   

A M

L’équiprojectivité traduit le fait que les champs en deux points

A

quelconques A et B ont même

B

∥

H B M

projection sur la droite (AB) :

 =    •

K

∥

 est antisymétrique si : On dit qu’un champ de vecteurs



 =
 + R  ∧   ∀   ∃! R

Ou encore s’il existe une matrice  antisymétrique ( = -  ) tel que :  est la matrice transposée de .

 =
 + .   ∀  


Théorème de Delassus : Tout champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement. Antisymétrie

II.

⇔ Equiprojectivité

Torseurs  et de son vecteur On appelle torseur un ensemble constitué d’un champ de vecteurs antisymétrique 


 appelé résultante du torseur, vérifiant la relation de transport: associé 

 =
 + R  ∧   ∀ , 


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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

On note le torseur en un point A sous la forme : [T(A)]=

#

 ! , M A] $ ou encore [R # "

 A est appelé moment résultant en A du torseur. Les vecteurs R  et
 A s’appellent les éléments de


réduction du torseur au point A. En termes des composantes des deux vecteurs dans une même base, on écrit: () %& = '(, (-

*)+ *,+ . *-+

III. Invariant scalaire d’un torseur  et de son moment L’invariant scalaire d’un torseur [T], noté, I[ T ] est le produit scalaire de sa résultante 

A en un point A quelconque. Cette quantité est indépendante de ce point.
 . 
A =   . 
B I [ T] = 

∀  

IV. Algèbre élémentaire des torseurs 0 ] et [/1 (A)] = [ 1 ]  0 , 
 1 , 
Soient deux torseurs : [/0 (A)] = [ Egalité : Addition: (∀  )

/0  = /1 

⇔ (∀  )

/ = /0  + /1 

est un torseur tel que :

/# = /0 # + /1 #

Multiplication par un scalaire 4: / = 4 /0 

(∀  )

Comoment :

 0 =   1 23 " 0# = " 1# ) (

/# = 4 /0 #

⇔

! 0 + ! 1 et " 0# + " 1#  = ! # = "

est un torseur tel que : ⇔

 = 4 ! 0 (!

0 . " 1# + ! 1 . " 0# /0 #. /1 # = !

et

# = 4" 0# ) "

Le comoment est un invariant scalaire qui ne dépend pas du point A. (∀   ) Preuve :

/0 #. /1 # = /0 6. /1 6

 0 .
1 +   1 .
0 =   0 . 
1 +   1 ∧   1 . 
0 +   0 ∧  /0 #. /1 # =  6# +  6#)

 0 .
1 +   1 .
0 +   0 .   1 ∧   1 .   0 ∧   0 .
1 +   1 .
0 = /0 6. /1 6 = 6# +  6# = 

 0 .   1 ∧   1 .   0 ∧  Car :  6# = − 6#

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

 .
 = 1 I[T] [T(A)] . [T(A)] = 2 

Automoment :

V. Axe central d’un torseur 1.

Point central

 est colinéaire à sa résultante  : Le point central A d’un torseur est un point où le moment résultant
Ou encore que :

2. Axe central

 = 9  
,

, # ∧ !  = 8 "

où k est un scalaire.

L’axe central ∆ d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points centraux :  ≠ 8. L’axe central n’existe que si 

= # ∧ !  = 8 ∆= ;# / "

Equation de l’axe central

, M @ A un torseur dont les éléments de réduction en un point O sont donnés. Soit ∆ l’axe Soit [T(O)] = ?R central de [T] et soit A ∈∆ alors :  A ∧   = 8


O M

Ou encore :

 ) ∧   O +   ∧ B = 8 (


Ce qui donne en développant :

O ∧  
 + R2   .   = 8 B − (  B) 

 ≠ 8, on obtient: Comme 

  . B  ∧
B     + B = C D  1 1

A

 = 8 alors : Soit B ∈∆ tel que  B . 

B

Le point B est la projection orthogonale de O sur l’axe central ∆. Donc :

 = F !  +  E# E6

B M

O

 ∧
B   = B 1

A M

Axe central (∆ ∆)

 R

F scalaire

 qui passe par le point B et de vecteur directeur  . Par conséquent, l’axe central est la droite, ∆6, 

3.

Moment central

A d’un torseur est le moment résultant en un point A de son axe central (A ∈ (∆)). Le moment central 


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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Le moment central a la même direction que l’axe central du torseur. Remarque Le moment d’un torseur est constant le long de : B =
A


• l’axe central : ∀ A et B ∈ (∆) : • toute parallèle à l’axe central.

 Par conséquent : 
 ∧   = 8 B = 
A +   ∧   =
A Preuve : Soit A et B ∈ (∆) alors   // (AB) donc 

VI. Torseurs à invariant scalaire nul : Glisseurs et Couples ,
AA un torseur. L’invariant scalaire du torseur : I[ T ] =   . 
A = 8 est nul, dans les cas Soit [T(A)] = ?R suivants : 1. Torseur nul 2. Glisseur 3. Couple

1.

Torseur nul [0]:

(∀  )

2. Glisseur :

I[ T ] = 8

Le moment central d’un glisseur est nul :

 et
  = 8 A = 8 

∀C∈∆

et

 C = 8


  ≠ 8 

  C ⊥ R  C // R  C = 0  (car I[T] = 8) et M  (car C ∈(∆) ) Donc : M En effet : M

Un glisseur est un torseur pour lequel il existe au moins un point central dont le moment est nul. Axe central : Il faut distinguer deux cas : . 1er Cas : 
 = 8

  = 8 Donc : 
 ∧ 

d’où A ∈∆

(l’axe central passe par le point A)

 passant par le point central A et de vecteur L’axe central du glisseur est la droite ∆#,  . directeur 

 .  ≠ 8 2eme Cas :


 passant par le point B et de vecteur directeur   tel que : L’axe du glisseur est la droite ∆6, 

3. Couple :

I[ T ] = 8,

Un couple est un champ uniforme:

  = 8 

 =
 .


 = 

et

 ∧
  1

 A ≠ 8


Par construction, un couple ne possède pas d’axe central.

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Exercice 1

) orthonormé direct, on considère le champ de vecteurs M 
défini par : Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k

  + −1N − OP + O − 0Q + O RT + N + O P − O Q + 0 − OR9 M 
= N + 0 − O P + OQ − O R S Où x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère (R ), a et b sont deux constantes réelles. 1. ‘Anti-symétriser’ ce champ. 2. Déterminer alors les éléments de réduction au point O du torseur associé. 3. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : a = 0 et U ≠ 0

Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ,  k) orthonormé et direct, on considère deux torseurs dont les éléments de réduction 1, V1M] et [R 2, V 2M]. On définit le champ de vecteur W 
en un point M quelconque sont respectivement [R par : Exercice 2

0 ∧ W 1 ∧ 
=  1
−  0
W ∧ W 1. Montrer que ce champ est équiprojectif ? 2. Déterminer alors la résultante associée à ce champ. ) orthonormé et direct, on considère les torseurs [T1] et [T2] dont les éléments de Dans un repère ℛ (O; ı, ȷ, k 1O] et [R 2O’] définis par : 1, M 2, M réduction au point O et point O’ (0, 1, 1) sont respectivement [R Exercice 3

Z[\ ] – N + 0\_` ] Z[\ ] – N \_` ] ′ 0 B = ' \_` ] N Z[\ ] . 1 B  = a– \_` ] – N + 0Z[\ ] b 8 8 8 Z[\ ] Où a et α sont des constantes réelles. 1. Préciser la nature des deux torseurs. 1P en un point P de cet axe. 2. Déterminer l’équation de l’axe central de [T1] et en déduire le moment M 3. Déterminer les valeurs de α pour lesquelles le torseur [T] = [T1] + [T2] est un glisseur. 4. Calculer le co-moment des deux torseurs [T1] et [T2]. 5. Trouver l’axe central de [T].

Exercice 4 Soit un parallélépipède ABCD A’B’C’D’ ; de cotés a, b et c. ) comme repère orthonormé direct. On choisit R(C; ı, ȷ, k 1. Déterminer les éléments de réduction au point C du  ′ d . En torseur [T] constitué des vecteurs :  #6 ,   ′ c ′ et d déduire l’axe central  O du torseur au centre O du 2. Calculer le moment M

C’

B’ A’

D’ c C

parallélépipède

D

b

B

a A

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Ch. II

CINEMATIQUE DU SOLIDE I. Généralités et définitions D’une manière générale, la cinématique est l’étude d’un mouvement indépendamment des causes (forces) qui le produisent.

1. Solide indéformable Un solide indéformable ou rigide, (S), est un ensemble

P

de points telle que, la distance entre deux points quelconques parmi tous ses points, reste constante au

B

A

cours du temps, et ceci quel que soit le mouvement du

(S)

  f = c\ ∀ #, 6 ∈ e, ∀ 3 f

solide:

Remarques

• Tout vecteur joignant deux points d’un solide rigide (S) est un vecteur de (S) :    ∈ e ∀ #, 6 ∈ e, ∀ 3 

• Un point P est dit rigidement lié à (S) s’il est immobile par rapport à tout point de (S) :  g = c\ ∀ # ∈ e, ∀ 3 gh

2. Référentiel, Repère

Un repère d’espace ℛ(O; ℬ), est un ensemble de points rigidement liés, défini par la donnée d’une

origine O (Observateur) et d’une base ℬ. Le repère est dit orthonormé direct si sa base associée ℬ l’est aussi.

L’adjonction du temps (Horloge) à un repère définit un référentiel. Tout repère d’espace ou référentiel est un « solide rigide» fictif.

En mécanique classique (c’est-à-dire non relativiste), l’espace physique est euclidien, de dimension 3, homogène (indépendant de la position), isotrope (indépendant de la direction) et est caractérisé par un temps absolu (indépendant de l’observateur). A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

3. Point d’un solide La position d’un point matériel M quelconque

(j)

z

Z

d’un solide (S) dans un référentiel (ℛ), à l’instant t, est le point géométrique de l’espace, noté M(t),

M

occupé par M à l’instant t. Au cours du  k i

dans (ℛ ) une courbe (j) appelée trajectoire du point M dans (ℛ). Le vecteur position d’un point M du solide (S), x

par rapport au repère (ℛ) d’origine O, à l’instant t,

j

O

Y

OS X

(})

mouvement du solide, le point matériel M décrit

}S 

(S)

y

 joignant l’origine O du repère et est le vecteur B
la position M(t). On définit : Vecteur vitesse (m/s) : Vecteur accélération: (m/s2) :

"⁄(  = m k

 nE" n3

o

 n1 E"

γ" /ℛ = m

n3 1

ℛ

o =m ℛ

o

 " /ℛ n k n3

ℛ

4. Paramétrage de la position d’un solide

s peut, en général, être décomposé en: Le mouvement d’un solide (S) dans un référentiel ℛpO; ı, ȷ, k •

un mouvement de translation suite aux changements de sa position

•

un mouvement de rotation suite aux changements de son orientation

Pour étudier le mouvement de (S), on lui lie rigidement un référentiel orthonormé direct arbitraire,

 ayant pour origine un point quelconque, Ot lié à (S) (généralement son centre de gravité). Le ℛt (Ot ; I, J, K

mouvement de (S) dans (ℛ) est alors complètement déterminé par le mouvement de (ℛt  dans (ℛ). Par

 de (ℛt ) par conséquent, il suffit de paramétrer la position de l’origine Ot et l’orientation de la base I, J, K rapport à (ℛ). •

Paramétrage de la position de l’origine Ot : comme l’origine Ot est un point matériel, sa position est habituellement paramétrée par :

- les coordonnées cartésiennes : x, y, z - les coordonnées cylindriques : (ρ, θ, z) - les coordonnées sphériques : (r, θ, ϕ).

•

: L’orientation de la base (I, J, K de (ℛt ) par Paramétrage de l’orientation de la base (I, J, K

s de ( ℛ ) est paramétrée, par les trois angles d’Euler: ψ, θ et ϕ. rapport à la base pı, ȷ, k ϕ Le

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

mouvement de rotation (S) peut être décomposé en trois rotations planes successives autour de

trois axes de rotation. Fixons l’origine Ot de (ℛt ) avec l’origine O de (ℛ) afin d’éliminer la translation.

 → „    avec l’angle ψ tel que :  €, , ‚ • La première rotation s’effectue autour de l’axe Ot  , …, ‚

 s’appelle première base intermédiaire La base „ , …, ‚  ψ‰ k

 k

S

ψ

 M

u 

ψ

j

ψ

j

 k

 k

ψ

 k

i

) par rapport à (ℛ) autour de l’axe de rotation (O k) avec Le vecteur rotation instantané de ℛ) (Ot ; u, v , k s la vitesse angulaire ψ‰ est :

  ℛ) /ℛ = Š‰  Ω

  → ‹   , …,  , Œ • La deuxième rotation s’effectue autour de l’axe Ot „  avec l’angle θ: ‹ ,    s’appelle deuxième base intermédiaire , Œ La base ‹ , 

K

 k

Ž 

θ

 k

 ‘ θ

θ

v 

 M

u 

w  θ

v 

 ‰‹ A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Le vecteur rotation instantané de ℛ, (Ot ; u, w , K ) par rapport à ℛ) (Ot ; u, v ,  k ) autour de l’axe de rotation (Os u) avec la vitesse angulaire ’‰ est :

  ℛ, /ℛ)  = ‰  Ω

 avec l’angle ϕ tel que : ‹   → “, ”, ‘  , Œ • La troisième rotation s’effectue autour de l’axe Ot K ,  –‰K

K

 k

š w 

ϕ ϕ u 

I

J

w  ϕ  K

I ϕ

u 

Ligne des nœuds  par rapport à ℛ, (Ot ; u, w  ) autour de l’axe de Le vecteur rotation instantané de ℛt (Ot ; I, J, K , K

rotation Ot K avec la vitesse angulaire φ‰ est :

ℛt /ℛ,  = –‰   Ω

L’appellation des angles d’Euler est d’origine astronomique : ψ : s’appelle angle de précession qui est le mouvement de rotation lent autour de la verticale. θ: s’appelle angle de nutation qui est le mouvement d’oscillation de l’axe de rotation propre du solide. ϕ : s’appelle angle de rotation propre qui est le mouvement de rotation autour de l’axe du solide. La droite D(OS, „ ) s’appelle axe nodal ou ligne des nœuds.

En conclusion, le paramétrage d’un solide non rectiligne libre est donné par — = ˜ + ˜ = ™ coordonnées

généralisées (3 pour la translation et 3 pour la rotation) qui doivent être des variables indépendantes et qu’on appelle paramètres primitifs.

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Exemples :

1. Un point matériel libre dans l’espace (peut être considéré comme un solide ponctuel) est décrit par — = ˜ paramètres primitifs: les trois coordonnées de sa position.

2. Un solide rectiligne (AB) non ponctuel libre dans l’espace (par

exemple une barre rigide) possède — = › coordonnées

z

B

généralisées


3 degrés de translation : trois coordonnées de & x+ , y+ , z+ 

θ


2 degrés de rotation : 2 angles d’Euler : ψ (précession) et

A

θ (nutation).

y

ψ x

3. La position d’un système matériel, constitué de —0 solides non rectilignes libres, de —1 solides rectilignes non ponctuels libres et de —˜ points matériels libres, dépend de — coordonnées généralisées tel que: — = ™ —0 + › —1 + ˜ —˜

II.

Champ des vecteurs vitesse des points d’un solide

Dérivation vectorielle. Formule de Varignon.

 un vecteur Soient ℛ et ℛ′ deux référentiels tel que ℛ′ soit en mouvement par rapport à ℛ. Soit U

quelconque alors la formule dite de Varignon s’écrit:

Remarque

  nž nž  ℛ′⁄ℛ ∧ ž  C D = C D + Ω n3 ℛ n3 ℛŸ  ( ℛ'⁄ℛ ) ( ℛ'⁄ℛ ) dΩ dΩ C D = C D dt dt ℛ ℛ '

Formule fondamentale de la cinématique du solide (F.F.C.S). Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (ℛ) et (ℛ  ) un référentiel lié à (S). D’après la formule de Varignon, ∀ A et B ∈(S) :

  dAB dAB  ( ℛ¢ ⁄ℛ )∧ AB C D = C D +Ω dt ℛ dt ℛ ¡

dAB  AB est un vecteur constant dans le référentiel (ℛ  ) lié au solide (S), donc : m dt o

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ℛ¡

=  0 Page 10

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

   dAB dOB dOA C D = C D ⎯C D =v B /ℛ − v  A⁄ℛ  dt ℛ dt ℛ dt ℛ ℛe ⁄ℛ  = Ω  e⁄ℛ  Comme (S) et (ℛ  ) sont rigidement liés: Ω

De plus :

Par conséquent:

  e⁄ℛ  ∧ #6   6⁄ℛ  = k   #⁄ℛ  + Ω ∀ #, 6 ∈ e k

C’est la Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide (F.F.C.S.) ou de Varignon.

III. Torseur cinématique  est antisymétrique et par  de vecteur associé Ω D’après la F.F.C.S., le champ des vecteurs vitesse k

conséquent c’est un torseur. On l’appelle torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses noté: ¦e/ℛ# =

#

 e⁄ℛ  Ω

 #⁄ℛ  k

e⁄ℛ , k #⁄ℛ  $ ou  Ω

Ses éléments de réduction en un point A de S (A ∈S) sont :

§⁄ℛ  : résultante du torseur cinématique = vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (ℛ) Ω

#⁄ℛ  : moment en A du torseur cinématique = vecteur vitesse de A ∈S par rapport à (ℛ) k

REMARQUES §⁄ℛ  ≠ 8  , alors l’axe central (∆) du torseur cinématique existe et on l’appelle axe instantané de 1. Si Ω rotation et de glissement ou encore axe de viration

2. Le champ de vitesses est équiprojectif :

 . k  . k 6⁄ℛ  = &¨   #⁄ℛ  ∀ #, 6 ∈ e &¨

IV. Mouvements de Translation et de rotation 1. Mouvement de translation - Couple Le mouvement d’un solide (S) par rapport à (ℛ) est un mouvement de translation si tout vecteur de (S) reste équipollent à lui-même au cours du mouvement :

 3 = ª32  ∀ #, 6 ∊ e ∀ 3 #6

Dans un mouvement de translation d’un solide, le torseur cinématique est un couple : • •

Le champ des vitesses est uniforme

  e⁄ℛ  = 8 . le vecteur rotation instantané est nul : Ω

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Preuve :

, 1. Comme  3 = Z

Ce qui donne :

alors : m

o = 0

 « ¬­ «®

…¨/ℛ = …&/ℛ = …¯

ℛ

∀t

Par conséquent, à un instant t donné, tous les vecteurs vitesse des points du solide ont une même direction. Le champ des vitesses est uniforme. Instant t’ > t

A’

B’ v (B’ / ℛ)

Instant t

A

v (A’ / ℛ)

v (A / ℛ) (B / ℛ) B v

  AB = A′B′

Instant t :

Instant ¯’ = ¯ + ±¯ : Remarque

…¨/ℛ = …&/ℛ = …¯

…¨′/ℛ = …&′/ℛ = …¯′

Dans un mouvement de translation du solide (S) par rapport à ℛ (O; ı , ȷ ,  k ), les vecteurs de base du

), lié au solide (S) gardent des directions fixes dans (ℛ). référentiel ℛt (Ot ;I,J,K

2. D’après la F.F.C.S. on a:

 dI dJ dK C D = C D = C D =  0 dt ℛ dt ℛ dt ℛ

²/ℛ ∧ #6  ∀ &, ¨ ∊ ² …¨/ℛ = …&/ℛ + Ω

…¨/ℛ = …&/ℛ ⟹

  e⁄ℛ  = 8  Ω

  e⁄ℛ  = 8 et Ω   e⁄ℛ  = 8    #⁄ℛ . Ω Comme “¦  = k

Alors le torseur cinématique du mouvement du solide (S) par rapport au repère (ℛ) est un couple: ¦e/ℛ# = ´

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#

 8 µ #⁄ℛ  ≠ 8 k

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Mouvement de translation rectiligne

k

Le mouvement de translation de (S) par

rapport à ( ℛ ) est dit rectiligne si la

i

trajectoire d’un point quelconque de (S) dans (ℛ) est une droite.

O

j

Trajectoire

Mouvement de translation circulaire Le mouvement de translation de (S) par

rapport à ( ℛ ) est dit circulaire si la

 k

i O

 K OS I

 K

v(OS ⁄ℛ)

OS

J

 vOS ⁄ℛ I J

 K

j

OS

trajectoire d’un point quelconque de (S)

I

dans (ℛ) est un cercle.

v (( OS⁄ℛ )

J

2. Solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe. z Soit (S) un solide en rotation autour d’un axe (∆) fixe dans un référentiel (ℛ). Soit O ∊ (∆) :

y

   E⁄ℛ  = 8 k

O

La distance du point O à tout point du solide (S) est constante au cours du temps. Donc O est lié au solide (S) :

ϕ x

Δ

  e⁄ℛ  ∧ E"  = Ω   e⁄ℛ  ∧ E"   "⁄ℛ  = k   E⁄ℛ  + Ω " ∈ e k   e⁄ℛ  = 8   "⁄ℛ . Ω Donc: “¦  = k

Le torseur cinématique est un glisseur dont l’axe central est l’axe instantané de rotation (∆). A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Si tous les points du solide (S) sont en mouvement sur des trajectoires circulaires centrées sur l’axe (∆) de

, à la même vitesse angulaire,φ‰, alors : vecteur unitaire k

 S/ℛ = φ‰ k Ω

V.

Champ des vecteurs accélération des points d’un solide

Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère (ℛ). La formule de transport : ∀ A et B ∈ (S)

  e⁄ℛ ∧ #6   6⁄ℛ  = k   #⁄ℛ  + Ω k

En dérivant par rapport au temps, dans (ℛ), on obtient : ⁄ℛ  = · ⁄ℛ  + ¸ · Sachant que :

On arrive à :

 ¹ ¹  §/ℛ ∧ ¼ º§⁄ℛ » ∧   + º ½ ¹

¹ ℛ ℛ

 dAB S⁄ℛ  ∧  ¼ ½ =v B⁄ℛ  − v A⁄ℛ  = Ω AB dt ℛ ⁄ℛ  = · ⁄ℛ  + ¸ ·

¹  §/ℛ ∧ ?º §/ℛ ∧  A º§⁄ℛ » ∧   + º ¹

ℛ

§/ℛ ∧ ?º §/ℛ ∧  A est en général non nul. Par suite, le champ des vecteurs Le dernier terme º accélération des points d’un solide n’est pas représentable par un torseur.

VI. Composition de mouvements Soit (S) un solide en mouvement par rapport

à deux référentiels (ℛ) et ℛ´. Le référentiel

z

ℛ (O; ı, ȷ,  k) est choisi comme étant absolu et

(S)

, k′   est choisi le référentiel ℛ´O´;  ı′, ȷ′

A

comme étant un référentiel relatif en

mouvement relatif par rapport à (ℛ). Soit A un point du solide (S). D’après la relation de Chasles :

(ℛ)

  ′ + À′& À& = ÀÀ

x A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

 k i O j

′ k

ℛ'  O’

i′

j '

y

Page 14

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

1. Composition des vecteurs rotation

 ( e⁄ℛ ) = Ω  ( e⁄ℛ' ) + Ω  (ℛ′/ℛ ) Ω (e⁄ℛ' = − Ω  Ω(ℛ'⁄§ Ω

Généralisation :

ÄÆÂÇ)

(ℛ) /ℛÂ ) = Ã Ω (ℛÄ /ℛÄÅ) ) Ω

 K

ÄÆ)

Exemple : Rotation autour d’un point fixe

Soit ℛ (O; i, j,  k) un repère fixe et ℛ S(OS ≡ O; I, J, K) un

 

 φ ‰ K

repère lié à un solide (S) qui est en rotation autour du point

θ

fixe OS ≡ O (mouvement de rotation d’une toupie par

O

exemple). Le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à

i

(ℛ) :

(²/ℛ  = Ω (ℛ  /ℛ Ω

(ℛ  /ℛ,  + Ω (ℛ, /ℛ)  + Ω (ℛ) /ℛ = Ω ℛ(Ot ; i, j , k)

(9,ψ

È⎯⎯⎯É

 u

,– 

, Ê , 9) È⎯⎯⎯⎯É ℛ) (Ot ; M

En fonction des angles d’Euler :

ψ

j

) È⎯⎯⎯⎯É ℛt (Ot ; Ë , š,  , Ž ,  ℛ, (Ot ; M 

M ,

 + Í ‰„ Ω  ²/ℛ  = ̉    + Î ‰

2. Composition des vecteurs vitesse

) est la somme de sa vitesse relative par La vitesse absolue du point A du solide (S) par rapport à ℛ(O; ı, ȷ, k , k′   et de sa vitesse d’entrainement : rapport à ℛ´O´;  ı′, ȷ′

Ï # = k Ð # + k  # k 2  ÒÓ+

Vecteur vitesse absolue :

…Ñ & = …&⁄ℛ  = m

Vecteur vitesse relative :

…Õ & = …&⁄ℛ′ = m

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ÒÔ

o

 Òӟ+ ÒÔ

ℛ

o

ℛŸ

Page 15

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

 (ℛ′/ℛ) ∧ À′& …Ö (&) = …(À′⁄ℛ) + Ω 

Vecteur vitesse d’entraînement :

La vitesse d’entraînement est la vitesse absolue d’un point coïncidant &′ fixe dans le repère relatif

Ð (#′) =  (ℛ′) (k 0) et qui coïncide, à l’instant t, avec le point A dans son mouvement par rapport à (ℛ). Les

points A et &′ occupent la même position à l’instant t. On utilisera dans la suite la notation  ∈ ℛ′ pour désigner le point coïncidant &′:

&′ ≡  ∈ ℛ′

Ð (#′) = v k (A′⁄ℛ ′) = v ( ∈ ℛ′⁄ℛ ′) =  0 Par conséquent, la vitesse d’entrainement s’écrit :

…Ö (&) = …Ñ (&∈ℛ′) = …(&∈ℛ′⁄ℛ ) 

Finalement on peut écrire: Ÿ (#⁄ℛ ) = k p#⁄ℛ s + k (#∈ℛ′⁄ℛ ) k

Remarque :

(#∈ℛ′⁄ℛ ) = − k (#∈ℛ ⁄ℛ′) k ÚÆÙÇ)

(#∈ℛ) /ℛÙ ) = à … … (#∈ℛÚ /ℛÚÅ) ) ÚÆ)

On obtient également l’égalité des torseurs : (²/ℛ) Ω …(&⁄ℛ )

$=

(²/ℛ’) Ω

…(&⁄ℛ ′)

$+

(ℛ’/ℛ) Ω $ …(&∈ℛ′⁄ℛ )

D’où la relation de composition des torseurs cinématiques : [¦(§/ℛ)] = [¦(§/ℛ’)] + [¦(ℛ’/ℛ)]

3. Composition des vecteurs accélération L’accélération absolue d’un point A de (S) par rapport à (ℛ) est la somme de son accélération relative par rapport à (ℛ’), de son accélération d’entrainement et de son accélération de Coriolis : Ï (# ) = Û Ð (# ) + Û ª (# ) + Û 2 (# ) Û

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Page 16

Cours de Mécanique du Solide Indéformable Ý + ÒÜ

o =m

n 1  E#

Þ + ÒÜ

o

=à

d 2  O'A

Accélération absolue :

ÛÏ #  = Û # /ℛ = m

Accélération relative :

Ð #  = Û # /ℛ′ = m Û

Accélération de Coriolis ou Complémentaire :

ÒÔ

ÒÔ

ℛ

ℛß

n31

dt2

o

ℛ

á

ℛ'

(ℛ′⁄ℛ  ∧ kÐ (# ª (#  = 1 â Û

L’accélération de Coriolis n’est non nulle que dans le cas d’un mouvement relatif par rapport à un repère en rotation ! Accélération d’entraînement :

 ¹º  ∧ mº  ∧   (  = · (B′⁄ℛ  + m o ∧  · BŸ  + º B′o ¹ ℛ

L’accélération d’entraînement est l’accélération absolue d’un point coïncidant A ∈ R′ fixe dans le repère γ ä (A  = γ(A ∈ ℛ′⁄ℛ 

relatif (ℛ′) et qui coïncide, à l’instant t, avec le point A dans son mouvement par rapport à (ℛ) :

et A ∈ ℛ′ sont deux points du même référentiel solide (ℛ’).

On retrouve la relation de transfert obtenue dans le cas d’un champ d’accélération du fait que les points O’

Finalement :

Remarque

(ℛ′⁄ℛ  ∧ k(#⁄ℛ′ (#⁄ℛ Ÿ  + Û (# ∈ ℛ Ÿ ⁄ℛ  + 1 â (#⁄ℛ  = Û Û

åÖ (&  ≠ C

n…Ö (&  D n3 ℛ

VII. Cinématique de contact entre deux solides 1. Définitions On dit que deux solides (S1) et (S2) sont en contact, à un instant t, s’ils ont un ensemble commun de points matériels qui coïncident. Le contact entre deux solides est soit ponctuel (un seul point de contact) soit multi-ponctuel (linéique ou surfacique).

Liaison •

Le contact entre deux solides se traduit par une contrainte appelée liaison qui limite le mouvement relatif d’un solide par rapport à l’autre. La liaison est exprimée mathématiquement par une relation

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Page 17

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

ou équation algébrique entre les paramètres primitifs, æÚ ≡ x, y, z, Ì, Í, Î des solides en contact et/ou de leurs dérivées par rapport au temps æ‰ Ú (≡ x‰ ,y‰ , z‰ , ̉ , ͉,Ή ) :

•

Par

ç3, èé , è‰ é  = 8

La liaison est dite holonome si cette relation ne dépend pas des dérivées de ces paramètres :

exemple,

la

rigidité

d’un

solide

ç3, èé  = 8

indéformable

(S)

est

une

liaison

holonome :

  f = êP  − P  1 + Q − Q 1 + R − R 1 = c\ ∀ #, 6 ∈ e, ∀ 3 f Dans le cas contraire, la liaison est dite non-holonome :

ç3, èé , è‰ é  = 8

La liaison est dite bilatérale si tout mouvement de (S1) et (S2) exclut la rupture du contact entre les deux

solides (ç = 8. La liaison est dite unilatérale s’il y a possibilité de rupture du contact (ç ≥ 0 ì„ ≤ 0

Degrés de liberté Si un solide est soumis à des liaisons, certains de ses paramètres primitifs deviennent des variables dépendantes. Par conséquent pour paramétrer la position d’un solide soumis à des liaisons, il ne faut choisir parmi le nombre de ces paramètres primitifs, n, qu’un nombre réduit de paramètres indépendants, N qui s’appelle nombre de degrés de liberté, et qui représente le nombre de mouvements indépendants de rotation et de translation. Le nombre de degrés de liberté N est généralement inférieur au nombre de paramètres primitifs, n :

î = — − îï

où îï est le nombre de liaisons. Si le système est libre sans liaisons (îï = 8) alors: î = —

2. Contact ponctuel Considérons deux solides (S1) et (S2) en mouvement

dans un référentiel ℛ(O; ı, ȷ,  k). Soit I le point géométrique

(S1) I1

de l’espace de contact entre (S1) et (S2) à l’instant t.

A chaque instant t, il est nécessaire de distinguer trois

I

points confondus qui se trouvent au contact de (S1) et de (S2) :

• Le point matériel I1 lié à S1 (I1≡ I ∊ S1)

• Le point matériel I2 lié à S2 (I2 ≡ I ∊ S2)

O

(ℛ)

I2

(S2)

• Le point de l’espace I n’appartenant ni à (S1) ni à (S2), qui au cours du mouvement se déplace sur (S1) et sur (S2). Les vitesses et accélérations de ces trois points sont en général différentes au cours du temps. A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

Page 18

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

2.1. Vitesse de glissement

On appelle vecteur vitesse de glissement au point I, …ð “; ²) ⁄²,, du solide (S1) par rapport au solide

(S2), la vitesse d’entraînement du point I du solide (S1) par rapport au solide (S2). 2 ñ …ð “; ²)⁄²,  = …“ ∈ ²) ⁄²,  = k

D’après la composition des vitesses:

Ce qui donne:

…“ ∈ ²)⁄²,  = …“ ⁄²,  − …“ ⁄²) 

k ò ñ; e0 ⁄e1  = k ñ ∊ e0 ⁄ℛ  − k ñ ∊ e1 ⁄ℛ  ∀ ℛ

Le vecteur vitesse de glissement est indépendant du repère par rapport auquel les solides (S1) et (S2) sont en mouvement.

ò ñ; e0 ⁄e1  = − k ò ñ; e1 ⁄e0  k

Remarque :

Proposition : Le vecteur vitesse de glissement est parallèle au plan tangent commun à (S1) et à (S2) en I.

Pivotement

π

â t

 Ω

Roulement Définition Le solide (S1) roule sans glisser sur le solide (S2) si : A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

â n

(S1)

 n

ò e0 ⁄e1  k

I

(S2)  ò ñ; e0 ⁄e1  = 8 k Page 19

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

2.2. Roulement et pivotement au point de contact. On peut décomposer le vecteur rotation instantané du solide (S1) par rapport au solide (S2) en une composante normale et une composante tangentielle au plan (π) : e0 ⁄e1  = Ω — + Ω 3 Ω

Ω Ù = ?Ω ²) ⁄², . ô A ô : Vecteur rotation instantané de pivotement qui correspond à une rotation autour

•

Ù  normal (perpendiculaire) au plan tangent (π). ΩÂ = f Ω Ù f est la vitesse angulaire de de l’axe (I;Ω

pivotement.

Ô = ô ∧ ?Ω ²)⁄²,  ∧ ôA : Vecteur rotation instantané de roulement qui correspond à une rotation Ω

•

Ô  tangent (parallèle) au plan tangent (π). Ω® = f Ω Ô f est la vitesse angulaire de autour de l’axe (I;Ω roulement.

²) ⁄²,  ∧  "/²,  = k I ∊ ²) /²,  + Ω * ∊ ²)  k “*

Ce qui peut s’écrire encore :

"/²,  = k

õ ò k

ké32öö2 n2 òïéöö2÷2—3

—ùúù 3ùúù  + Ω  + Ω ∧ ñ" ∧ ñ" øù ùû øù ùû ké32öö2 n2 üéký32÷2—3

ké32öö2 n2 Ðý‹ï2÷2—3

3. Contact multi-ponctuel. Quelques types de liaisons 3.1.

Liaison rotoïde (pivot)  k

Un solide (S1) est soumis à une liaison rotoïde d’axe

) par rapport au solide (S2), si et seulement si, le (A, k

seul mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est le

 Ω

S2 (Cylindre)

). mouvement de rotation d’axe (A, k

Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a qu’un seul

degré de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe

). (A, k

S1 (piston)

 ²)⁄²,  = φ ‰k Ω

A ∊ ²) /²,  =  k 0

A

& ∈ l’axe fixe de rotation

) Le torseur cinématique de la liaison pivot d’axe (A, k

est un glisseur:

0 0 ¦²) /²,  = ' 0 0. φ ‰ 0 +

, ,
,  þ

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et

 ∧  " ∊ ²) /²,  = φ‰ k k AM Page 20

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

3.2.

Liaison glissière

Un solide (S1) est soumis à une liaison glissière d’axe ) par rapport au solide (S2), si et seulement si, le seul (A, k

S1

mouvement possible de (S1) par rapport à (S2) est un ). mouvement de translation d’axe (A, k

Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a qu’un seul degré de liberté : une translation (de paramètre λ) selon

). l’axe (A, k

²)⁄²,  =  Ω 0

 # ∊ ²) /²,  = ‰ k k

A

 k

S2

A est un point de (S1)

), est un couple: Le torseur cinématique de la liaison glissière d’axe (A, k 0 0 ¦²) /²,  = '0 0 . 0 ‰  þ,
, +  k" ∊ ²) /²,  = ‰ k 3.3. Liaison verrou (ou pivot-glissant)

) Un solide (S1) est soumis à une liaison verrou d’axe (A, k

par rapport au solide (S2), si et seulement si, les seuls

S2 (Cylindre)

 k

 Ω

mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont des ) et de translation d’axe mouvements de rotation d’axe (A, k ). (A, k

Par rapport au solide (S2), le solide (S1) n’a que deux degrés ) et de liberté : une rotation (d’angle ϕ) autour de l’axe (A, k

S1 (piston)

A

). une translation (de paramètre λ) selon l’axe (A, k

 ²)⁄²,  = φ ‰k Ω

 # ∊ ²) /²,  = ‰ k k

A est un point de (S1)

), dans la base ( ı, ȷ,  Le torseur cinématique de la liaison pivot glissant d’axe (A, k k), est: 0 0 ¦²) /²,  = ' 0 0 . φ ‰ ‰  þ,
,

 + Ή   ∧  " ∊ ²) /²,  = ‰ k k &*

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+

Page 21

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

3.4. Liaison sphérique (ou rotule) Un solide (S1) est soumis à une liaison sphérique au point A par rapport au solide (S2), si et seulement si, les seuls mouvements possibles de (S1) par rapport à (S2) sont des mouvements de rotation autour du point fixe A. Par rapport au solide (S2), le solide (S1) a trois degrés de liberté : les trois rotations correspondant aux angles d’Euler: ψ, θ, ϕ.

 ²)⁄²,  = Ή   + ‰ „ Ω  + ̉ # ∊ ²) /²,  =  k 0

S1 A

Le torseur cinématique de la liaison rotule de centre A

est un glisseur: ¦²) /²,  =

¬

S2

  + ‰ „ Ή   + ̉ $  0

  ∧   + ͉„ " ∊ ²) /²,  = Ή  k  + ̉ &*

IV. Mouvement plan sur plan 1. Définition et propriétés

9 8

On considère un disque (S) qui roule sur une table (S0).

Soit ℛ 0(O0, ı0, ȷ0,  k0) un référentiel lié à (S0) et

soit Π0(O0, ı , ȷ ) le plan de référence

0 . perpendiculaire à k

 ≡ k 0) un référentiel lié à (S). Soit ℛ (O,ı,ȷ,k

j 0



j O

O0

i

i0

Si chaque point de (S) se déplace dans un plan (Π) de (ℛ) parallèle au plan de référence (Π0), alors on dit que le mouvement de (S) par rapport à (S0) est un mouvement plan sur plan. Dans ce cas : •

Les vecteurs vitesse de tous les points de (S) restent dans des plans (Π) parallèles à (Π Π 0).

Soit A ∊(S) et évoluant dans (Π). Le mouvement est plan sur plan alors :

 = 0 …(A/ ℛ 0) . k

car …(A/ ℛ 0) ∊ (Π)

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Page 22

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

 Ω

(∆ ∆) A I

∏

Ê(A/ } 0)

∏0  ‚ •

Le vecteur rotation instantané du solide (S) par rapport à (ℛ 0) est perpendiculaire  S⁄ℛ  ∧  Ω 9 = 8

au plan du mouvement Π:  S⁄ℛ  =  Ω

Pour A et B ∈(S) et évoluant dans (Π) on a :

  v B/ℛ  − v A/ℛ  øù ùùùùù ùùùùùû ùúùù   = Ω(S/ ℛ 0) ∧ AB ∈ ∏

∈ ∏

(S/ ℛ 0) ∧  ⟹ Ω AB ∊ Π

(S/ ℛ 0) ⊥ Π ⟹ Ω

2. Centre Instantané de Rotation (CIR) Dans un mouvement plan sur plan, l’invariant scalaire du torseur cinématique est nul :

²⁄ℛ  = 0 “  = …&/ℛ  . Ω

car

 =   S⁄ℛ  ∧  v A/ ℛ  . k 0 et Ω 9 = 8

S⁄ℛ  ≠  Comme Ω 0, le torseur cinématique est un glisseur dont l’axe central (l’axe instantané de rotation)  s de vecteur directeur   et passant par le point central I de moment central nul : est la droite ∆p“,  v  I∈ℛ/ℛ  =  0.

Le point I est unique

Définition On appelle centre instantané de rotation (CIR), à l’instant t, du mouvement plan sur plan de (S) par rapport à (ℛ 0), le point I, intersection entre le plan (Π) et l’axe instantané de rotation (∆): “ ∈ ∩ ∆ …“∈ ℛ ⁄ℛ  =  0

Au cours du mouvement, le point I change de position dans (Π) et (Π0). A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

Page 23

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

3. Base et roulante 1. La trajectoire du CIR dans le plan (Π0) est appelée base du mouvement plan sur plan de (Π) par rapport à

(Π0). 2. La trajectoire du CIR dans le plan (Π) est appelée roulante du mouvement plan sur plan de (Π) par

rapport à (Π0). La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre. Les deux courbes sont tangentes au point I (CIR) 4. Recherche géométrique du CIR Soit I, le centre instantané de rotation. Soit M un point quelconque lié au plan (Π) du solide (S). ²/ℛ  ∧  …*/ℛ  = …“/ℛ  + Ω “*

Ê (A/ ℛ 0)

Ê (C/ ℛ 0)

Ê (B/ ℛ 0) C

B

²/ℛ  ∧  =Ω “* Donc

 "/ℛ8  ⊥ ñ" k

I

A

Le CIR se trouve à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesse du solide. 5.

Champ des vecteurs. Méthode des triangles :  ′⁄ℛ8  k

Connaissant la position du CIR et un vecteur vitesse, on peut déterminer géométriquement tous les vecteurs vitesses d'un solide. f ‖k "/ℛ8 ‖ = ñ"f Ω

∀ " ∊ (Π) lié à (S) on a :

²/ℛ  ⊥ ñ"  car Ω

‖k "/ℛ8 ‖ = ª32 ñ"

#⁄ℛ8  k

A

B

C

C’ I

‖k #⁄ℛ8 ‖ ‖k 6⁄ℛ8 ‖ ‖k  ⁄ℛ8 ‖ = = ñ# ñ6 ñ

Pour les points quelconques A, B, C, on a :

 ⁄!8 ‖ = ‖k  ′⁄!8 ‖ même trajectoire circulaire de centre I: IC’ = IC. Donc : ‖k

- Les vecteurs situés sur une même trajectoire circulaire ont donc même module. C et C’appartiennent à une

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Page 24

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Exercice 1 Soit une barre (AB) rigide et homogène de longueur L, en mouvement dans le plan vertical xOy du référentiel ℛ (O, ı , ȷ ,  k ). L’extrémité A

y B

glisse sur l’axe Ox, alors que l’extrémité B glisse ) le référentiel lié à sur l’axe Oy. Soit ℛ 1(A, I,J,k

la barre (AB). La barre (AB) est repérée dans (ℛ par l’angle α.

) de (ℛ dans la base (i,j,9

NB : Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

J

j

I

i x Paramétrage de (S) Déterminer le torseur cinématique au A O point A ¦ (AB/ℛ )]A. Préciser sa nature. Déterminer le moment central et l’axe central du torseur cinématique ⁄ℛ  et W B ∈ /ℛ. Calculer de deux manières différentes les vecteurs vitesses : W ⁄ℛ  et · B ∈ /ℛ Calculer de deux manières différentes les vecteurs accélérations : · Trouver géométriquement et par calcul, la position du centre instantané de rotation I du mouvement plan sur plan de la barre (AB) dans (ℛ Déterminer la base (b) et la roulante (r) du mouvement plan sur plan de la barre (AB) par rapport à (ℛ). Tracer la base et la roulante. Ë/O et W Ë/. Conclure Calculer les vecteurs vitesses du centre instantané de rotation: W α

Exercice 2 : Variateur à plateau

ℛ (O; ı , ȷ ,  k ) un repère fixe. Un disque (S1) de centre C1 et de rayon R1, tourne autour de l’axe (O ı) . Le centre C1 est sur (O ı) et le plan de (S1) est perpendiculaire à (O €). Un plateau circulaire ). Le (S2) de centre C2 tourne autour de l’axe (O k  ) et le plan de (S2) est centre C2 est sur (O k  ). Le plateau circulaire perpendiculaire à (O k roule sans glisser sur le disque (S1) en un point I tel que :  C, I = (,ı. (, > 0 S) / ℛ = ω)ı Ω

C2

I

S2

O C1

S1

S, / ℛ = ω,ı Ω

1. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire ω, du plateau (S2) et la vitesse angulaire ω) du disque

(S1). 2. Déterminer le vecteur rotation de roulement et le vecteur rotation de pivotement du mouvement de (S2) par rapport à (S1) en fonction de ω) , R1 et R2. A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

Page 25

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Ch. III

GEOMETRIE DES MASSES Un système matériel (S) désigne un ensemble de points matériels ou de solides disjoints (e = ⋃ e ). Un

mouvement quelconque d’un système peut se décomposer en une translation et une rotation. Le système matériel oppose à son mouvement une résistance due à sa masse ou à la répartition de cette masse : c’est ce qu’on appelle l’inertie. La résistance à la translation est due à la masse elle-même. La résistance à la rotation est due à la répartition de la masse dans le système. Cette dernière est mesurée par les moments d’inertie.

I.

Masse

1. Définition En mécanique classique, la masse d’un système matériel (S) est une grandeur physique qui est: • • •

strictement positive : m (S) > 0 additive (extensive) invariante : même valeur dans tous les référentiels

•

conservée pour un système fermé (solide par exemple) :

dm dt

= 0

Si le système (S) est constitué d’un ensemble de N points matériels de masse mi (é = 0, … , î), alors d’après 2. Système discret

la propriété d’additivité, la masse totale m du système est : î

÷ = à ÷é éÆ0

3. Système continu

Si le système (S) est continu (par exemple un solide), alors la masse totale du système est : ÷ =  n÷ e

Où dm est la masse élémentaire d’un élément de matière de (S) Distribution Volumique de masse volumique ρ

Si le système est homogène : ρ = Cte :

÷ =   nk 

÷ =  

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Page 26

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Distribution Surfacique de masse surfacique σ:

Si le système est homogène : σ = Cte.

÷ =   nö ö

m = σ s

Distribution Linéique de masse linéique λ :

Si le système est homogène : 4 = ö32

÷ =  4 n

÷ = 4 



II. Centre d’inertie 1. Définition Système discret matériels Mi, de masse mi (é = 0, … , î), est le point géométrique G tel que :

Le centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système matériel (S), constitué d’un ensemble de N points î

i = 8  à ÷é " éÆ0

Il s’agit du barycentre des points matériels Mi pondérés par leur masse mi. Si A est un point quelconque de l’espace, alors :

Système Continu

î

0  # = à ÷é  #"i ÷ éÆ0

Dans ce cas, on a :

   " n÷ = 8 e

Si A est un point quelconque de l’espace, alors :

 # =

0   #" n÷ ÷ e

2. Méthodes de détermination du centre d’inertie 2.1 Calcul direct

) un repère orthonormé direct. Soit G le centre d’inertie d’un système matériel (S). Soit ℛ(O; ,,‚  =   + E

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  +

 ! ‚

Page 27

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Considérons le cas d’un système matériel (S) constitué de N points matériels Mi ( _ = 0, … , " ), Système discret

respectivement, de masse mi et de vecteur position,  E"é dans (ℛ) tel que: é  + !é ‚



  + E"é = é 

Les coordonnées du centre d’inertie, G sont données par : î

0  = à ÷é é ÷ éÆ0

î

0 à ÷é  = ÷

î

0 à ÷é !é é ! = ÷

éÆ0

éÆ0

Système continu

Soit M un point matériel quelconque du système matériel (S), de vecteur position,  B
, dans (ℛ) tel que:   =    +  + ! ‚ E"

Les coordonnées du centre d’inertie, G, sont données par :  =

0    nk ÷ 

=



0 0   nk ! =   ! nk ÷  ÷ 

Les cas bidimensionnel et unidimensionnel peuvent s’en déduire de manière similaire.

Exemple : Demi-disque homogène de rayon R

y

Le demi-disque est dans le plan (xOy) : z = 0 donc zG = 0

Coordonnées polaires Ð, :

 = Ъýö  = Ðö闏

G

Surface élémentaire : nö = ÐnÐn

r O

La surface du demi-disque de rayon R est :

e=

! $ #8 #8 ÐnÐn

=

1

Système homogène : σ = Cte donc ÷ = e Coordonnées du centre d’inertie, G : 

dr

$!1

Masse élémentaire : n÷ =  nö =  ÐnÐn 0 =  ÷ e

x

θ

 n÷ =  ÷ e

0 nö =  e e

et

 = $!1 1÷

! $

1 1 И %! $ 1 −ªýö nö = à 1 á   Ð ö闏nÐn = ¼ ½ = 8 $! $!1 ˜ 8 ˜$

! $

!

8 8



0 0 1 1 И  =  n÷ =  nö = à 1 á   Ð1 ªýönÐn = ¼ ½ \_`’&8 = 8 ÷ e e e $! $1 ˜ 8 8 8

Donc le centre de masse G a pour coordonnées dans (ℛ): A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

 m8, ˜$ , 8o %!

Page 28

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

3.2 Utilisation de la symétrie Le centre d’inertie, G d’un système (S) est un point invariant des opérations de symétrie et par conséquent, il appartient aux éléments de symétrie de (S). Symétrie par rotation :

G appartient à l’axe de rotation

Symétrie plane (miroir) :

G appartient au plan de symétrie.

Exemple : Demi-disque homogène de rayon R conséquent : xG = 0

Le plan (yOz) est un plan de symétrie (miroir). Donc le centre d’inertie G appartient au plan (yOz). Par

3.3

Utilisation des théorèmes de Guldin

∆

Premier théorème de Guldin Soit une courbe plane (C ) homogène, de longueur L et de centre de masse G. La rotation de cette courbe, autour d’un axe de rotation (∆), ne la coupant pas, engendre une surface d’aire S. La distance de G à (∆) est :

d

e n= 1$

G C

Exemple: Quart de cerceau de rayon R

y

La longueur du quart de cerceau de rayon R est:  = $!/1

Rotation autour de l’axe (Oy) : Cette rotation engendre une demi-sphère creuse de surface : S = 2πR2 La distance de G à l’axe (Oy) est donc :

e 1$!1 1!  = = = 1$ 1$$!⁄1 $

yG

G O

x xG

Rotation autour de l’axe (Ox) : Cette rotation engendre une demi-sphère creuse de surface : S =2πR2 La distance de G à l’axe (Ox) est donc : 

=

e 1$!1 1! = = 1$ 1$$!⁄1 $

Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (ℛ):

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Gm π ,

2R 2R π

,0o o Page 29

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

Second théorème de Guldin

∆ Soit une surface plane (S ) homogène, d’aire S, et de centre de masse G. La rotation de cette surface autour d’un axe (∆), ne la coupant pas, engendre un volume V. La distance de G à ∆ est : n=

d

S G

 1$e

Exemple : Quart de disque de rayon R La surface du quart de disque est : S = πR2/4

y

Rotation autour de l’axe (Oy) : Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :  = 1$!˜ /˜

G

yG

La distance de G à l’axe (Oy) est donc :

 1$!˜ ⁄˜ %!  = = = 1$e 1$($!1 ⁄%) ˜$

x

O xG

Rotation autour de l’axe (Ox) :

Cette rotation engendre une demi-sphère pleine de volume :

 = 1$!˜ /˜

La distance de G à l’axe (Ox) est donc : 

=

 1$!˜ ⁄˜ %! = = 1 1$e 1$($! ⁄%) ˜$

Donc le centre d’inertie, G a pour coordonnées dans (ℛ):

 m˜$ , ˜$ , 8o %! %!

III. Le référentiel barycentrique ) . Soit (S) un système matériel de centre d’inertie, G, en mouvement dans un référentiel ℛ(O; ,,‚

1. Définition

) du système (S) est le référentiel d’origine G, en translation par Le référentiel barycentrique, ℛ ('; , , ‚ rapport au référentiel (ℛ) :

(ℛ ⁄ℛ ) =  â 8 A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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2. Vecteurs vitesse et accélération Vecteur vitesse et accélération de G dans ℛ

Le vecteur- vitesse du centre d’inertie, G par rapport à ℛ est : ⁄(  = k

0 "⁄ℛ  n÷  k ÷ " ∈e

'⁄ℛ  = ·

0 "⁄ℛ  ¹(  · (
∈§

Le vecteur- accélération du centre d’inertie, G par rapport à ℛ est : Vecteurs vitesse et accélération dans ℛ  Le centre d’inertie G est fixe dans ℛ  :

Ou encore:

 …⁄ℛ  = 8  å⁄ℛ  = 8




∈§




∈§

 Ê"⁄ℛ' ¹( = 8  å"⁄ℛ' ¹( = 8

On aurait pu trouver ces résultats par différentiation de l’intégrale exprimant que G est le centre d’inertie de (S), donc:



  '"¹( = 8


∈§

3. Composition des mouvements

Composition des vecteurs rotation instantané On a :

 e⁄ℛ  + â ℛ ⁄ℛ  âe⁄ℛ  = â

  car ℛ  est en translation par rapport à ℛ âℛ ⁄ℛ  = 8  e⁄ℛ  âe⁄ℛ  = â Composition des vecteurs vitesse et accélération

ℛ  est choisi comme référentiel relatif par rapport à ℛ. M ∊ (S):

…"⁄ℛ  = …"⁄ℛ  + …⁄ℛ  å"⁄ℛ  = å"⁄ℛ  + å⁄ℛ 

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IV. Moments d’inertie, opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide 1. Moment d’inertie par rapport à un axe Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe (∆) est le scalaire positif défini par:

∆

H

Ë) § =   1 ¹( h∈§

(S)

r

où Ð = *+ = n*, ∆  est la distance du point P du solide (S) à l’axe (∆). H étant la projection

A

u 

P dm

orthogonale du point P sur l’axe (∆).

2. Opérateur d’inertie

En utilisant le triangle AHP rectangle en H, la distance r du point P du solide (S) à l’axe ∆(Α,M ) passant

par le point A et de vecteur directeur unitaire M  est :

s, = ,M Ð = #* ,öé—pM , h  ∧  h,

Donc :

Par conséquent :

 ∧ p‹  ∧   ∧  . ?#*  ∧  Ð1 = p‹ #*s. p‹ #*s = ‹ #*sA ñ- e = 

*∈e

.  Ð1 n÷ = ‹

*.e

 ∧ p‹  ∧   .   ?#* #*sAn÷ = ‹ /#  e, ‹

Cette expression fait apparaitre un opérateur linéaire qu’on appelle opérateur d’inertie du solide (S) au point A :  =  / #  e, ‹

*.e

Comme : Alors :

 ∧ p ‹  s A n÷  ∧ #* ?#*

 1 s ‹ . ‹   ∧   − p#* s #* #* ∧ p‹ #*s = p#*

3. Matrice d’inertie

 1 n÷1 − # . ‹  n÷  = ‹  0#*.e #* s #* /#  e, ‹ p#* *.e

• L’opérateur d’inertie š  est symétrique et linéaire. Donc on peut lui associer une matrice symétrique IIA(S), appelée matrice d’inertie ou tenseur d’inertie du solide (S) au point A.   = ññ# e. ‹  /#  e, ‹

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• Le moment d’inertie par rapport à un axe ∆(Α,M ) est donc :



 e  e,  .   = 3 ‹  . ññ# e. ‹  ñ= ‹ /# ‹

M  est le transposé du vecteur unitaire M .

Eléments de la matrice d’inertie ËËB §

) orthonormé direct. La matrice d’inertie de Soit (S) un solide en mouvement dans un référentiel ℛ (O; ,,‚ ) peut s’écrire comme: (S) au point O dans la base ,,‚ ñ ññE e = 2ñ ñ!

ñ ñ ñ !

ñ! ñ !3 ñ!!

 ,,‚

Les éléments diagonaux : ËPP , ËQQ ËRR s’appellent les moments d’inertie

Les éléments non-diagonaux : ËPQ , ËPR ËQR s’appellent les produits d’inertie ñ = 3 . ññE e. , = 3 . ññE e. ,

ñ Etc…

ñ = 3 . ññE e. 

Moments d’inertie : ËPP , ËQQ , ËRR Calculons par exemple ËPP : ñ = 3 . ññE e.  =  . / E  e,   /E  e,  =  

*.e

ñ = . / E  e, 

=

*.e

1 n÷ −  E*

*.e

  =    +  + ! ‚ E* ñ =  

1

1 +

*.e

. s E*  n÷ pE*

P

*.e

1 n÷ −  E* 1

(S)

z

x

. s n÷ pE* 1

+ !1  n÷ − 

1 n÷ = 

*.e



*.e

+ !1  est le carré de la distance du point P à l’axe (Ox)

1

O y

+ !1  n÷

Produits d’inertie : ËPQ , ËPR , ËQR Calculons par exemple ËPQ :

. / ñ = 3 . ññE e .  =  E  e, 

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 /E  e,  =  

*.e

1 n÷ −  E*

ñ = . / E  e,  = − 

*.e

*.e

. s E*  n÷ pE*

. s pE* . s n÷ = −  pE*

 n÷

*.e

On peut de façon similaire définir les deux autres moments et produits d’inertie.

En résumé :

# = ñ = #e

•

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Ox) :

•

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oy) :

•

Moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) :

•

Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy) :

•

Produit d’inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oz) :

•

Produit d’inertie par rapport aux axes (Oy) et (Oz) :

1

+ !1 n÷

= #e1 + !1 n÷

6=ñ

= ñ!! = #e1 +

4 = −ñ = #e  n÷ 5 = −ñ! = #e !n÷ d = −ñ

!

 ), s’écrit : La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base (S,T,9 # −4 e ññE = 6−4 6 −5 −d

1 n÷

= #e !n÷

−5 −d7

,,‚

Moment d’inertie par rapport à un point Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un point A est défini par: ñ# e = 

*∈e

Ð1 n÷

où Ð* = #* = n*, #  est la distance du point P du solide (S) au point A. Moment d’inertie du solide (S) par rapport au point O origine du référentiel ℛ : ñE =  1 + e

1

+ !1 n÷

 1 = P 1 + Q 1 + R 1 est le carré de la distance du point P au point O. A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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Relations entre les moments d’inertie

ñE =

0 # + 6 +  1

# + 6 = + 1  !1 n÷ e

Exemple : Quart de cerceau homogène de rayon R Solide bidimensionnel dans le plan (xOy) : z = 0.

y

Donc, les intégrales impliquant z sont nulles dL

On utilise les coordonnées polaires :  = !ªýö  = !öé—  n÷ = 4n = 4!n

dθ θ R

Cerceau homogène : 4 = 32. Donc : ÷ = 4

 = ËPP = 

§

Q 1

+R

1 ¹(

1 &8 1

§

8

(1 1

˜

&

1

c = ËRR =  P 1 + Q 1 ¹( =  +  = ÷!1 ñ

§

x

θ

1(1 ’ \_`1’ 81 (1 =  Q ¹( = 4  ! öé—  ¹’ = ¸ − » = $ 1 % 8 1 § 1

 = ËQQ =  P 1 + R 1 ¹( =  P 1 ¹( = §

$!

$8 1

$

1÷!1 ªýö1 81 ÷!1 ˜ = −   n÷ = −4  ! öé— ªýö  n = − ¸− » =− $ % 8 $ e 8

 ), s’écrit : La matrice d’inertie du quart de cerceau au point O, relativement à la base (S,T,9 ; 0 ÷!1 : ññE e = 1 1 :− : $ 9 8

−

1 $

0

8

8> = 8== 1 = = 8 = = ÷!1 = 1 0

donc :

/ < 0

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 < 0 v i . /

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Il y aura glissement donc :

f = ç fî f f/

Cette égalité dynamique permet de résoudre le problème !

f = |/| = −/ = ç î = ç÷òªýöF f/

Alors :

Et donc : Le PFD donne: D’où : Conditions initiales : Intégration

–` =

› /

1 ÷Ð

=−

/ = −ç÷òªýöF

› çòªýöF 1

Ð

÷`  = ÷òöé—F + / = ÷òöé—F − ç÷òªýöF `  = òöé—F − çªýöF

‰  3 = 8 = 8 et –‰3 = 8 = 8

‰  = ò3öé—F − çªýöF

Il y a roulement et glissement dans ce cas.

› çòªýöF –‰ = − à á 3 1 Ð

 < 0 v i . /

La condition de roulement avec glissement impose : Ou encore : Soit :

(car immobilité initiale)

‰  + Ж‰ = ò3ªýöF m3òF − ço > 0 1 I

3òF >

I ç 1

Si l’angle F devient trop petit, le glissement cesse et le RSG a lieu

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Ch. VI

ENERGETIQUE DU SOLIDE I.

Puissance

1. Point matériel

"⁄ℛ  La puissance développée par une force ponctuelle 4 appliquée à un point matériel M de vitesse k dans un repère ℛ s’écrit :

  ⁄ "⁄ℛ  s p4 ℛ s = 4 . k

L’unité de la puissance et le watt (W)

2. Système matériel (S)

La puissance développée, à l’instant t, par le torseur d’action mécanique be sur un système matériel (S), dans son mouvement par rapport à un référentiel ℛest :

". k "é ⁄ℛ +  n4 "⁄ℛ sb ⟶ e⁄ℛ  = Ã 4é "é . k é



".e

i ) et Où la résultante générale du torseur d’action mécanique est représentée par des forces ponctuelles (Mi, 4

". des forces réparties n4

3. Solide unique (S)

La puissance développée, à l’instant t, par le torseur d’action mécanique be sur un solide unique (S), dans son mouvement par rapport à un référentiel (ℛ), est le co-moment du torseur d’action mécanique sur (S), et du torseur cinématique du mouvement de (S) par rapport à (R): sb ⟶ e⁄ℛ  = be . ¦e⁄ℛ  Ou en termes des éléments de réduction au point A du solide (S) sb ⟶ e⁄ℛ  =

#

 ! $. " #

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#

e⁄ℛ  º   . k  #⁄ℛ  + " $=! # . ºe⁄ℛ  #⁄ℛ  k

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Démonstration : La puissance pour un système continu est :

". k "⁄ℛ sb ⟶ e⁄ℛ  = #e n4

Le champ des vecteurs vitesse est un torseur. La relation de transfert de Varignon donne:

§⁄ℛ  ∧  "⁄ℛ  = k #⁄ℛ  + º #, " ∊ e k 


En remplaçant dans l’expression de la puissance

e⁄ℛ  = ! e⁄ℛ . " "1 . k "1 . º . k  #⁄ℛ  + 0#e  #⁄ℛ  + º sb ⟶ e⁄ℛ  = 0#e n4 
∧ n4 # e) Conséquences • Si deux torseurs de forces appliquées à un solide sont égaux, les puissances qu’ils développent sont égales   sb ⟶ e⁄ℛ  = " # e . ºe⁄ℛ 

• Puissance d’un couple :

 . k # ∈ e⁄ℛ  sb ⟶ e⁄ℛ  = !

• Puissance d’un glisseur:

• La puissance des forces intérieures à un solide est nulle. Comme bé—3 e = 8 Alors Par conséquent:

sbé—3 ⟶ e⁄ℛ  = 8

sb ⟶ e⁄ℛ  = sb23 ⟶ e⁄ℛ

4. Changement de référentiels

La puissance développée sur un système matériel (S), par rapport à un référentiel ℛ, est égale à la puissance sur (S) par rapport à un référentiel ℛ′ augmentée par le co-moment du torseur d’action

mécanique be sur (S) et du torseur cinématique d’entrainement de ℛ′ par rapport à ℛ, ¦2 e = ¦ℛ′⁄ℛ

sb ⟶ e⁄ℛ  = sb ⟶ e⁄ℛ′ + be. ¦ℛ′⁄ℛ

Démonstration : Soit ℛ′ le repère d’origine O’, qui est en mouvement relatif par rapport à un repère ℛ. Ÿ ". k ". ?v "⁄ℛ =  n4 sb ⟶ e⁄ℛ  =  n4 pM⁄ℛ s + v M ∈ ℛ′⁄ℛ A e

". k "⁄ℛ′ = sb ⟶ e⁄ℛ′  n4

e

e

Et comme le co-moment du torseur cinématique et celui d’action mécanique est : ℛ′⁄ℛ  ∧  ". k " . k ". mº " ∈ ℛ′⁄ℛ  =  n4 E′⁄ℛ  +  n4  n4 E′"o

e

e

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e

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ℛ′⁄ℛ .   ℛ′⁄ℛ . " " + º " = k  + º EŸ E′⁄ℛ .  n4 E′⁄ℛ . ! =k E′" ∧ n4 e

=be. ¦ℛ′⁄ℛ

e

5. Actions mutuelles entre deux systèmes matériels La puissance développée, à l’instant t, par les actions mutuelles entres deux systèmes matériels (S1) et (S2), dans leurs mouvements par rapport à ℛ est :

Propriété

se1 ↔ e0 ⁄ℛ  = se1 → e0 ⁄ℛ  + se0 → e1 ⁄ℛ 

La puissance développée par les actions mutuelles entre (S2) et (S1), est indépendante du repère ℛ, on la

note simplement par :

se1 ↔ e0 

6. Actions de contact entre deux solides La puissance développée, à l’instant t, par les actions mutuelles entre deux systèmes matériels (S1) et (S2), dans leur mouvement par rapport à ℛ, est négative ou nulle:

se1 ↔ e0  = be1 → e0 . ¦S) ⁄S,  ≤ 8

Démonstration :

e1 → e0 . v Soit I le point de contact entre (S1) et (S2) : se1 ↔ e0  = ! i I; S)⁄S,  e1 → e0 . v . v Lois d’ Amontons-Coulomb: ! i I; S) ⁄S,  = / i ≤ 0 Remarques

• se1 ↔ e0  ≤ 8 : On dit qu’il y a dissipation de l’énergie

• En l’absence de frottements entre les solides:

7. Liaison parfaite entre deux solides

se1 ↔ e0  = 8

La puissance développée par les actions mutuelles entre (S2) et (S1), qui ont une liaison parfaite est nulle : se1 ↔ e0  = 8

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II.

Travail (en joule (J))

1. Point matériel

Le travail élémentaire que reçoit un point matériel M dans un référentiel ℛ, de la part d’une force ponctuelle 4 est donné par

⁄ℛ s = sp4 ⁄ℛ s n3 Kvp4

 = k "⁄ℛ n3, on écrit que : En utilisant, le déplacement élémentaire du point matériel M: nE"

Remarque

     "⁄ℛ n3 = 4 . nE" Kvp4⁄ℛ s = 4. k

Le travail n’est pas en général une différentielle totale exacte, il dépend du chemin suivi.

2. Système matériel (S)

Le travail élémentaire du torseur d’action mécanique be sur un système matériel (S), dans son

mouvement par rapport à un référentiel ℛ est:

Kvb ⟶ e⁄ℛ  = sb ⟶ e⁄ℛ  n3

Si on écrit que : Alors :

b = b23  + bé—3 

sb ⟶ e⁄ℛ  = sb23 ⟶ e⁄ℛ  + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ 

Le travail élémentaire peut se décomposer en :

3. Solide unique (S)

Kv = Kv23 + Kvé—3

Pour un solide indéformable unique (S), la distance, rij entre deux points Mi et Mj quelconques de (S) est

constante. Par conséquent, le déplacement élémentaire est nul nÐé = 8 et le travail des actions mécaniques

intérieures est nul.

Par conséquent :

Kvé—3 = 8

Kvb ⟶ e⁄ℛ  = Kv23 = sb23 ⟶ e⁄ℛ  n3

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Remarques

e⁄ℛ  . d n3 Kvb ⟶ e⁄ℛ  = º

• Couple de moment résultant d :

 . k #⁄ℛ  n3 Kvb ⟶ e⁄ℛ  = !

: • Glisseur de résultante générale !

III. Energie potentielle 1. Point matériel Les forces appliquées à un point matériel M peuvent être décomposées en la somme de forces conservatives ª et de forces non conservatives : 4 —ª . 4

4 = 4ª + 4—ª

Force conservative 4ª : Une force 4ª est dite conservative si elle dérive d’une fonction différentiable Ep,

appelée énergie potentielle :

ª est conservative si: Une force, 4 Le travail élémentaire est :

La puissance est :

 5ü ª = −òÐÏn 4

 ª = 8 !ý3 4

ª ⁄ℛ s = −n5ü Kvp4 ª ⁄ℛ  = − n 5ü *4 n3

Exemple Le poids d’un point matériel M de masse m :

*  = ÷ò  = − ÷ò 2 !

est une force conservative, car il dérive d’une énergie potentielle Ep :

 = − ÷ò n! = −n5ü ⁄ℛ s = ÷ò . nE" Kvp*

L’énergie potentielle est : 5ü! = ÷ò! + ö32 (Cste : Constante d’intégration)

Force non conservative 4—ª : Une force est dite non conservative si elle ne dérive pas d’une énergie

potentielle.

Exemple : forces de frottement.

2. Système matériel (S)

D’une manière similaire, le torseur d’action mécanique besur un système matériel (S), peut s’écrire comme la somme :

be = bª e + b—ª e A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

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bª e :

[b—ª (e)]:

Torseur d’action mécanique des forces conservatives Torseur d’action mécanique des forces non conservatives

La puissance développée sur un système matériel (S), dans son mouvement par rapport à un référentiel (ℛ),

par le torseur d’action mécanique [b(e)] :

s(b ⟶ e⁄ℛ ) = s(bª ⟶ e⁄ℛ ) + s(b—ª ⟶ e⁄ℛ ) Comme les forces conservatives dérivent d’une grandeur scalaire Ep appelée énergie potentielle, on a : Kv(bª ⟶ e⁄ℛ ) = −n5ü (bª ⟶ e⁄ℛ )

Et la puissance développée est :

s(bª ⟶ e⁄ℛ ) = −

n 5 (b ⟶ e⁄ℛ ) n3 ü ª

IV. Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen 1. Système matériel (S) La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système matériel (S), dans un repère galiléen

(ℛ), est égale à la puissance des actions mécaniques [b(e)] intérieures et extérieures à (S) dans (ℛ) ¹?Z (e⁄ℛ) = s(b23 ⟶ e⁄ℛ ) + s(bé—3 ⟶ e⁄ℛ ) ¹

Ou encore

Preuve :

¹?Z (e⁄ℛ) = Kv(b23 ⟶ e⁄ℛ ) + Kv(bé—3 ⟶ e⁄ℛ )

Soit (S) un système matériel de masse m et soit dm la masse élémentaire d’un élément de (S) centré autour du

point M auquel est appliquée la résultante des forces : 4("). Ces forces englobent des forces extérieures et intérieures à (S).

(") ("⁄!)n÷ = n4 Û

Multiplions scalairement par le vecteur vitesse de M :

("). k ("⁄!). k ("⁄ℛ )n÷ = n4 ("⁄ℛ ) Û

Le terme de gauche peut se réécrire comme :

("⁄ℛ )1 ) n n÷(k ("). k ("⁄ℛ ) ¼ ½ = n4 1 n3

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¹?Z e⁄ℛ = sb ⟶ e⁄ℛ  = sb23 ⟶ e⁄ℛ  + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ  ¹

En étendant la somme à tous les points de (S), on aura :

2. Cas d’un solide unique (S) Pour un solide unique on a :

sbé—3 ⟶ e⁄ℛ  = 8

¹?Z e⁄ℛ = sb23 ⟶ e⁄ℛ  ¹



Alors :

et :

∆5ª e⁄ℛ = v423 ⟶ e⁄ℛ 

V. Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen ℛ′ 1. Système matériel (S) La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système matériel (S), dans un repère non galiléen

ℛ’, est égale à la puissance des actions mécaniques intérieures et extérieures à (S) dans ℛ’ augmentée de la puissance du torseur de l’action mécanique des forces d’inertie :

où

Ou encore

Preuve :

Avec :

¹?Z e⁄ℛ′ = sb23 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé2 ⟶ e ¹

bé2 e, ℛ′⁄ℛ  = −dé2 e

∆5ª e⁄ℛ′ = vb23 ⟶ e⁄ℛ′ + vbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ + vbé2 ⟶ e " = Û "⁄ℛ n÷ = n4 "⁄ℛ ′n÷ + Ûª " n÷ + Û2 " n÷ Û " + ¹4 é2 " + ¹4 éª " 
⁄ℛ ′n÷ = ¹4 · é2 " = − Û 2 " n÷ n4 éª " = − Û ª " n÷ n4

". k é2 ". k "⁄ℛ ′. k "⁄ℛ′n÷ = n4 "⁄ℛ ′ + n4 "⁄ℛ′ Û

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La force d’inertie de Coriolis ne travaille pas dans (ℛ′ :

ℛ′⁄ℛ  ∧ k"⁄ℛ ′. k éª ". k "⁄ℛ′ = Û ª " . k "⁄ℛ′n÷ = 1 â "⁄ℛ′n÷ = 8 n4 "⁄ℛ ′1  n n÷k ". k é2 ". k "⁄ℛ ′ + n4 "⁄ℛ′ ¼ ½ = n4 n3 1

En étendant la somme à tous les points de (S), on obtient le résultat.

2.

sbé—3 ⟶ e⁄ℛ′ = 8

Solide unique (S)

Pour un solide unique on a : Alors :

Ou encore :

¹?Z e⁄ℛ′ = sb23 ⟶ e⁄ℛ′ + sbé2 ⟶ e ¹



¹?Z e⁄ℛ′ = b23 e. ¦e⁄ℛ ′ + bé2 e, ℛ′⁄ℛ . ¦e⁄ℛ ′ ¹



VI. Théorème de l’énergie mécanique L’énergie mécanique de (S) dans ℛ est donnée par :

?( e⁄ℛ = ?Z e⁄ℛ + ?w bª ⟶ e⁄ℛ 

La variation de l’énergie mécanique est :

¹?( e⁄ℛ = sb—ª ⟶ e⁄ℛ  ≤ 8 ¹

L’énergie mécanique diminue dans le temps. On dit que les forces non conservatives (de frottement) dissipent l’énergie. Si la puissance du torseur des forces non conservatives est nulle, alors l’énergie mécanique est constante:

?( e⁄ℛ = ?Z e⁄ℛ + ?w e = ö32

Qui exprime l’existence d’est une intégrale première du mouvement appelée intégrale première de l’énergie cinétique et qui traduit la conservation de l’énergie mécanique.

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REFERENCES 1. MECANIQUE DU SOLIDE. COURS, EXERCICES ET PROBLEMES CORRIGES. A. THIONNET, E. COQUET ET P. LAPAGE. ELLIPSES 2. MECANIQUE DU SOLIDE. APPLICATIONS INDUSTRIELLES. P. AGATI, Y. BREMONT ET G. DELVILLE, DUNOD

3. TOUTE LA MECANIQUE. C OURS ET EXERCICES CORRIGES. L. BOCQUET, J P FAROUX ET J. RENAULT. DUNOD

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Vecteurs

Annexe: 1.

Vecteur glissant ou glisseur

Introduction

C’est un vecteur dont le support est fixe mais non le point Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormée directe B = (e,e ) , e , ), - dans laquelle

un vecteur u

de E se décompose en terme de ses

support. On le note ( ,u ).

u 

(∆ ∆)

composantes u1, u2, u3 comme suit:

N.B.

d’application. Il est défini à un glissement près sur son

+ M  = u1 + 0 u2 ˜ 1 u3 

u 

Exemple : Force appliquée à un solide indéformable

Dans la suite, on ne considèrera que les bases orthonormées directes.

Suivant une même direction, une force, aura le même effet, si elle est appliquée à un solide indéformable. Selon la direction de la force, le solide peut subir soit une translation,

Soit E

l’espace affine euclidien de dimension 3 qui est

associé à E. On associe à tout vecteur u de E, un bipoint (A,

Vecteur libre

• Sens :

sont pas fixes.

 , défini par : B) de E , tel que M  = 2

de A vers B

soit une rotation ou les deux.

C’est un vecteur dont le support et le point d’application ne

u 

• Module :

f = êP  − P  1 + Q − Q 1 + R − R 1 ‹ = f 

Où A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB)

• Origine ou point d’application : c’est le point A de E • Direction : droite ∆ (A, „  ) passant par A et admettant M  =   pour vecteur directeur. On l’appelle support du vecteur.

(∆ ∆)

A

u 

B

 V A

B C

D

 W

sont des représentants du vecteur u.  et z Les vecteurs y

Remarque

Contrairement aux grandeurs scalaires (température, masse, etc.), toutes les grandeurs vectorielles (vitesse, accélération etc.) dépendent du repère d’observation.

2. Opérations sur les vecteurs

Vecteur lié ou pointeur C’est un vecteur

(A, „  ) dont l’origine A (ou le point

d’application) et le support sont fixes.

(∆ ∆)

A

u 

Exemple : Force appliquée à un solide déformable.

Soient u , v  {¯ w  ∈ ∈ E . Dans une même base de E :  =(v1, v2, v3)t ; w  =(w1, w2, w3t u =(u1, u2, u3t; v

2.1. Produit scalaire Expression géométrique : Le produit scalaire de deux

vecteurs u et v  de E, est le scalaire défini par :

Selon le point d’application ou la direction de la force, le solide peut se déformer différemment. L’effet de la force change si on change son point d’application ou sa direction.

A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

|v avec α = pu  , s

u  α

M  . Ê = M Ê Z[\ α α

v 

Cours de Mécanique du Solide Indéformable

 . Ê = 0 ⇔ M

M  et Ê sont non nuls et orthogonaux ou M  = 8 ou Ê = 8

2.4. Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs : u, v , et w  de E est le

Expression analytique : M  . Ê = u1 v1+ u2 v2 + u3 v3 •

•

Mi = M  . e i

i = 1,2,3

scalaire :

M0 (M , Ê, Ž ) =  M . (Ê ∧ Ž ) = M1 M˜

Le module de u est :

. ‹  = €‹10 + ‹11 + ‹1˜ u = ‖ M ‖ = √‹

u) v, w- − v- w,  = ‚−v) u, w- − u- w, Q w) u, v- − u- v, 

2.2. Produit vectoriel Expression géométrique : Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v  est le vecteur noté, M ∧ ∧ Ê , tels que :

construit sur ces trois vecteurs.

(M  , Ê, M  ∧ Ê) est un trièdre direct

• sens :

• direction : M  ∧ Ê est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs u et v 

u∧ ∧ v

• Le produit mixte est invariant par une permutation circulaire entre les trois vecteurs :

) = (Ž , M , Ê) = (Ê, Ž , M ) (M , Ê, Ž

• Le produit mixte change de signe par une permutation

α

v 

‖u ∧ v‖

deux à deux (non circulaire) :

(M , Ê, Ž ) = ⎯ (M , Ž , Ê) = ⎯ ( Ê, M , Ž )

•

u ‖M  ∧ ∧ Ê‖ : est l’aire du parallélogramme construit sur u et v .

Expression analytique : u) v) u, v- − u- v, Q Q u v M  ∧ Ê =  , ∧  , = u- v) − u) v- Q uvu) v, − u, v)  • M  ∧ M  = 8

 ⇔ • M  ∧ Ê = 8

• M  ∧ Ê = − anticommutatif.

u et v  sont linéairement dépendants (colinéaires ou parallèles) Ê ∧ M  : le produit vectoriel est

2.3. Double produit vectoriel

Le produit vectoriel de trois vecteurs : u, v  et w  de E est le

vecteur :

Ž0 Ž1  Ž˜

Géométriquement, c’est le volume du parallélépipède

‖M  ∧ ∧ Ê‖ = u v |\_` α α|

• module :

Ê0 Ê1 ʘ

M  ∧ ( Ê ∧ Ž ) = (M  .Ž ) Ê − (M  . Ê) Ž 

C’est un vecteur qui appartient au plan formé par vecteurs Ê et Ž .

A. EL AFIF – Département de Physique – FS-UCD

les

(M , Ê, Ž ) = 8

si :

o

l’un des vecteurs est nul

o

ou deux des vecteurs sont colinéaires.