Mecanique Analytique [PDF]

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Mécanique Générale 3 Mécanique Analytique

Cours et Exercices Troisième année L3 Faculté des Sciences et des Techniques de Nantes

Rabah BOUZIDI 11 septembre 2017

MG3-Mécanique Analytique

Rabah BOUZIDI

Faculté des Sciences et des Techniques de Nantes

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Table des matières

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Qu’est ce que c’est que la Mécanique 1.1 Ma section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Objet du cours de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Branches scientifiques de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Domaines d’application de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Unités et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Unités et leurs symboles dans le système international (SI) 1.5.2 Préfixes d’unités dans le Système International . . . . . . 1.5.3 Alphabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Applications antisymétriques. Torseurs 2.1 Produit scalaire et produit vectoriel . . . . . 2.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . 2.1.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . 2.2 Applications symetriques et antisymetriques 2.3 Champs vectoriels equiprojectifs . . . . . . 2.4 Champs antisymetriques . . . . . . . . . . 2.5 Résultante et moment d’un champ vectoriel 2.5.1 Cas de champs discrets . . . . . . . 2.5.2 Cas de champs continus . . . . . . 2.6 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Calcul vectoriel . . . . . . . . . . . 2.7.2 Calcul torsoriel . . . . . . . . . . .

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Forces et système de forces 3.1 Notion de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Moment d’un vecteur lié par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Notion de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Définition du vecteur moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Propriétés du vecteur moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Principe de transmissibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Moment d’un vecteur lié par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Exemple : calcul du moment par rapport aux axes d’un repère orthonormé 3.4 Relation de transport des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Système de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Résultante d’un système de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Moment résultant en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Torseur des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Système de forces nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Principe Fondamental de la Statique 4.1 Systèmes matériels, solides matériels . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Repères et référentiels d’observation . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Repère d’espace et de temps . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Référentiels, référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . 4.3 Équilibre d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Théorème de la force résultante . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Théorème du moment résultant . . . . . . . . . . . . 4.4 Mise en application du principe fondamental de la statique . . 4.5 Principe des Actions Mutuelles (Principe de l’action-réaction) 4.6 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Corps soumis à deux forces . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Calcul des réactions d’appuis . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Pendule dévié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Bloc sur plan incliné frottant . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Peintre sur une échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Disque en butée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.7 Problème de levier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.8 Deux plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.9 Disque sur une barre élastique (facultatif) . . . . . . . 4.6.10 Etude d’un empilement de cylindres . . . . . . . . . . 4.6.11 Échelle double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.12 Torseur d’une charge répartie linéïque . . . . . . . . . 4.6.13 Application 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.14 Application 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.15 Étagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.16 Retenue d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.17 Statique d’un portique isostatique . . . . . . . . . . . 4.6.18 suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.19 Équilibre d’une structure treillis . . . . . . . . . . . .

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Mouvements des repères - cinématique des solides 5.1 Solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Trajectoire, champs de vitesse et d’acceleration d’un solide . . 5.3.1 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Propriétés des champs de vitesses des solides rigides . 5.4.2 Dérivation d’un vecteur de longueur constante . . . . 5.4.3 Signification géométrique de la résultante cinématique 5.5 Champ d’accélération d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Relation de dérivation entre les repères . . . . . . . . . . . . . 5.7 Vitesse de glissement au point de contact de deux solides . . . 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Vitesse de rotation instantannée . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5.6 Equivalence des systèmes de forces Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Projection de forces . . . . . . . . . 3.6.2 Calcul de résultante . . . . . . . . . 3.6.3 Réduction d’un système de forces . 3.6.4 Orientation des moments . . . . . . 3.6.5 Point de réduction en résultante . . 3.6.6 Quadriréacteur en panne ! . . . . .

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MG3-Mécanique Analytique 5.8.3 5.8.4 5.8.5 5.8.6 5.8.7 6

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Roulement à billes . . . . . . . . Tige 3D . . . . . . . . . . . . . . Mécanisme d’un moulin . . . . . Roue de bicyclette . . . . . . . . calcul de la vitesse de glissement .

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Géométrie des masses 6.1 Systèmes matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Masse, masse spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Symétrie matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Théorème de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Effet des plans de symétrie matérielle sur les produits d’inertie 6.6.4 Cas des corps plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Théorème d’Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Théorème de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3 Tenseurs d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.4 Demi cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5 Opérateur d’inertie d’une toupie . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.6 Quart de cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.7 Opérateur central principal d’inertie . . . . . . . . . . . . . .

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Cinétique 7.1 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Cas d’un système de masses ponctuelles . . . . . . . 7.1.2 Cas d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Cas de masses ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Cas des systèmes matériels . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Torseur cinétique et dynamique pour un solide indéformable 7.3.1 Calcul du torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Calcul du torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . 7.4 Énergie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Théorèmes de Koënigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Théorème de Koënigs relatif au moment cinétique . 7.5.2 Théorème de Koënigs relatif au moment dynamique 7.5.3 Théorème de Koënigs relatif à l’énergie cinétique . . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Moment cinétique d’un pendule . . . . . . . . . . . 7.6.2 Chenille de tracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Rotation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Barre en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5 Pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.6 Mouvement pendulaire d’une plaque . . . . . . . . .

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Dynamique Newtoniènne 8.1 Loi fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Repères galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Théorème de la résultante dynamique : TRD . . . . . . . 8.3.2 Théorème moment dynamique : TMD . . . . . . . . . . . 8.3.3 Théorème de la conservation de la quantité de mouvement

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8.3.4 Cas particulier des mouvements commençants . . . . . . Puissance, travail et énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Définition du travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Définition de la puissance d’une force . . . . . . . . . . . 8.4.3 Définition de l’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . Théorèmes de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Théorème de la conservation de l’énergie mécanique . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Solide en glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Chute d’une Tige sur un sol . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3 Basculement d’un demi disque . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.4 Mouvement commençant d’une barre simplement appuyée 8.6.5 Mouvement en double rotation d’une plaque rectangulaire 8.6.6 Mouvement commençant d’un cube . . . . . . . . . . . . 8.6.7 Mouvement au freinage d’un chariot sur un rail . . . . . .

Dynamique des chocs 9.1 Définition des chocs et des percussions . . . . 9.1.1 Choc de deux solides . . . . . . . . . . 9.1.2 Notion de percussions . . . . . . . . . 9.1.3 Torseur d’une percussion . . . . . . . . 9.2 Théorèmes généraux sur les chocs . . . . . . . 9.2.1 Théorème de la résultante dynamique . 9.2.2 Théorème du moment dynamique . . . 9.3 Lois de contact du choc . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Loi de contact normal . . . . . . . . . 9.3.2 Loi de contact tangentielle . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Choc d’une barre sur un point fixe . . . 9.4.2 Choc d’un disque roulant sur une butée 9.4.3 Choc d’une disque sur un plan incliné . 9.4.4 Pendule balistique . . . . . . . . . . . 9.4.5 Choc d’une masse avec une table . . . 9.4.6 Choc du battant d’une cloche . . . . . . 9.4.7 Impact d’un disque sur un autre . . . .

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91 91 91 92 92 93 93 93 95 95 95 95 96 97 98 98

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101 101 101 101 102 102 102 103 103 104 104 104 104 105 106 108 110 113 114

10 Dynamique des systèmes ouverts 10.1 Définition et hypothèses . . . . . . . . . . . . . 10.2 Principe fondamental de la dynamique . . . . . . 10.2.1 Théorème de la résultante dynamique . . 10.2.2 Théorème du moment dynamique . . . . 10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Mouvement d’une fusée . . . . . . . . . 10.3.2 Mouvement d’un chariot que l’on remplit 10.3.3 Tourniquet d’arrosage . . . . . . . . . . 10.3.4 Mouvement d’une chaîne. . . . . . . . .

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117 117 117 118 118 119 119 119 120 120

11 Équilibre et stabilité - Formalisme lagrangien 11.1 Liaisons mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Définition d’une liaison mécanique . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Liaisons géométriques et liaisons cinématiques . . . . . . . 11.1.4 Système holonôme, non-holonôme, scléronôme et rhéonôme 11.1.5 Déplacements compatibles, déplacements virtuels . . . . . . 11.2 Équilibre des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Méthode des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11.2.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Conditions de stationnarité et de stabilité . . . . . . . . 11.2.4 Etude de la condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . 11.3 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Équilibre Pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Équilibre d’une échelle double . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Trépied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Chaise élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.5 Mécanisme à deux barres-ressort . . . . . . . . . . . . . 11.4.6 Équations de Lagrange - disque roulant . . . . . . . . . 11.4.7 Équations de Lagrange - Masse coulissant sur un cerceau 11.4.8 Équations de Lagrange - Régulateur de Watt . . . . . . . 11.4.9 Mouvement d’une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.10 Mouvement de deux barres . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.11 Petits mouvements d’un disque . . . . . . . . . . . . . 11.4.12 Entraînement d’un disque par un autre . . . . . . . . . .

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Chapitre

1

Qu’est ce que c’est que la Mécanique La mécanique s’intéresse à l’étude du mouvement des corps, leur déformation et leur résistance. Elle traite également des causes qui créent le mouvement. Poser un problème de mécanique nécessite la définition de l’objet de l’étude. Cet objet matériel peut être simple ou très complexe et on le désigne sous le nom de "système mécanique". Par le système mécanique, on entend une chose réelle telle qu’un atome, un ballon, une luge, une voiture, la moitié avant d’une voiture, un bâtiment, un pont, un navire, une planète, le couple Terre-Lune, le système solaire, une galaxie, un amas galactique, etc. Les questions auxquelles la mécanique permet de répondre sont du genre : à quelle force de vent le pont tiendra t-il ? à quelle pente maximale le frein à main d’une voiture tiendra t-il ? Si le frein lâche et pour une pente donnée, quelle serait la vitesse du véhicule après une distance parcourue de 10m ? Pourquoi le navire a t-il céder lors de la tempête. A quelle magnitude de tremblement de terre le bâtiment tiendra t-il ? Quelle est la vitesse de la navette spatiale en orbite basse s’apprêtant à rentrer dans l’atmosphère ? Quelle est la trajectoire optimale pour aller de la Terre vers Mars ? Prédire en juillet 1994, la collision d’une vingtaine de fragments de la comète Shoemaker-Levy avec Jupiter. Comment concevoir et dimensionner un sèche-cheveux ou la structure de l’Airbus A380 ? En mécanique, nous essayons de résoudre des cas spéciaux des problèmes généraux ci-dessus en idéalisant le système considéré. Pour cela, on utilise la géométrie euclidienne classique pour décrire la déformation et le mouvement. Les relations entre les forces et les mouvements sont décrites par les "lois de Newton". La mécanique newtonienne s’est imposée, avec des améliorations mineures, pendant plus de trois siècles. La conception des bâtiments, des avions, des bateaux, voitures, des objets utilisés couramment dans la vie, fait référence aux équations et principes de la mécanique newtonienne. Les lois de la mécanique classique sont attribuées à Isaac Newton (1642 – 1727). Sa théorie du monde, le Principia édité en 1689, contient les fondements des méthodes encore utilisées de nos jours. Newton utilisa sa théorie pour expliquer les mouvements des planètes, de la trajectoire d’une boule de canon, pourquoi y’a t-il des marées ?, et de beaucoup d’autres choses.

1.1

Ma section X

1.2

~ ~ /R0 ) F(ext → S ) = D(S

(1.1)

Objet du cours de mécanique

voir mon equation 1.1. Le cours de mécanique en Licence couvre trois grands chapitres de cette discipline : "La statique", "La dynamique" et "La résistance des matériaux". Ce découpage introduit une complexité croissante sur les questions traitées portant sur les systèmes mécaniques étudiés. La statique des solides rigides s’intéresse au cas particuliers des corps pour lesquels les effets d’inertie peuvent être négligé. Pour cela ils doivent être non accélérés par rapport à un repère particulier dit inertiel. Ce cours fournit une introduction complète à la statique. Les cas pratiques envisagés portent sur les corps qui ne se

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déplacent pas ou se déplacent très lentement. De plus, on suppose que les corps se déforment très peu de telle sorte que le changement de leur géométrie dans le temps reste faible et donc négligeable. On ne s’intéresse donc pas au comportement de la matière qui constitue l’objet et on considère les corps comme très rigides et indéformables. De rares problèmes incluent des éléments déformables simples tels que les ressorts. Dans ce cas, leur comportement est sommairement modélisé et est décrit par des lois très simple. Nous avons également besoin de caractériser le contact des corps entre eux pour décrire les forces d’interaction dues au contact direct. Le comportement au contact est décrit par les lois de frottement connues sous le nom des lois de Coulomb. Malgré toutes ces simplifications, la statique reste un outil d’analyse bien intéressant dans beaucoup de situations réelles. Ce cours est introduit au semestre 1, repris au semestre 3 sur des problèmes complexes et revus sous l’angle de la mécanique analytique au semestre 5.

La dynamique des solides rigides traite des mouvements des objets, pour lesquels l’accélération est nonnégligeable. Comme pour la statique, les lois constitutives gouvernant la déformabilité des matériaux tiennent un rôle mineur. Pour la plupart des cas, les mêmes propriétés élémentaires que celles de la statique sont utilisées en dynamique (inextensibilité des corps, élasticité linéaire pour les ressorts, et le frottement pour le contact). La dynamique couvre l’étude cinématique et cinétique des corps. Ces deux mots semblables sont à distinguer clairement : La cinématique étudie le mouvement (géométrie + temps) sans aucune mention aux causes qui le génèrent (les forces). La cinétique établit la relation entre les forces (les causes) et le mouvement (les effets). La dynamique est introduite au semestre 2 sur des problèmes simples concernant le point matériel. Elle est étendue au semestre 3 au cas des solides dont la masse ne peut être ramenée à un point matériel.

La résistance des matériaux (RDM) élargit la statique et la dynamique aux cas des systèmes matériels déformables. Pour cela, l’étude de la déformation des matériaux est traitée avec attention. L’analyse des forces internes et leur distribution est également abordée avec intérêt. La RDM étend la notion de pression au cas général de la contrainte. Elle établit la mesure de la déformation (changement de la forme géométrique) ainsi que la relation qui les lie : l’élasticité linéaire. Ce cours est utilisé pour prédire la déformation des systèmes mécaniques ainsi que la tenue des matériaux en termes de résistance à la rupture.

1.3

Branches scientifiques de la mécanique

La mécanique couvre un large domaine de la physique. De grands champs scientifiques sont apparus depuis les fondements érigés par Newton. On distingue :

La mécanique newtonnienne Elle englobe les branches scientifiques fondatrices de la discipline. Elle traite de l’étude des mouvements en relation avec leurs causes. Les sujets d’études sont la statique et la dynamique des systèmes ponctuels (mécanique du point) ou un système articulés complexe dont la matière indéformable est répartie dans l’espace (mécanique générale). Elle traite également des systèmes dont la matière change de forme au cours du temps tels que les fluides (mécanique des fluides) ou les solides (élasticité, résistance des matériaux) ;

la mécanique relativiste qui traite des systèmes se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière ;

la mécanique quantique qui traite du comportement des systèmes physiques à l’échelle des particules.

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1.4

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Domaines d’application de la mécanique

Figure 1.1 – Activités et domaines d’applications de la mécanique

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1.5 1.5.1

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Unités et symboles Unités et leurs symboles dans le système international (SI) Quantité Accélération Angle Accélération angulaire Vitesse angulaire Aire Densité Force Fréquence Impulsion Longueur Masse Moment d’une force Moment d’inertie Puissance Pression, contrainte Temps Vitesse Volume Travail, énergie Température thermodynamique

Unité Mètre par seconde au carré Radian Radian par seconde au carré Radian par seconde Mètre carré Kilogramme par mètre cube Newton Hertz Newton seconde Mètre Kilogramme Newton mètre kg mètre carré Watt Pascal Seconde Mètre par seconde Mètre cube Joule Kelvin

Symbole

Formule m/s2

rad

N Hz

rad/s2 rad/s m2 kg/m3 kg · m/s−2 s−1 N·s

m kg

W Pa s

J K

N ·m kg · m2 J/s N/m2 m/s m3 N ·m

Tableau 1.1 – Principale unités SI utilisées en mécanique

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1.5.2

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Préfixes d’unités dans le Système International Facteur multiplicateur 1 000 000 000 000. 1 000 000 000. 1 000 000. 1 000. 100. 10. 0.1 0.01 0.001 0.000 001 0.000 000 001 0.000 000 000 001

1012 109 106 103 102 10 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12

Préfixe tera giga méga kilo hecto déca déci centi milli micro nano pico

Symbole T G M k h da d c m µ n p

Tableau 1.2 – préfixes des unités dans le système international (SI)

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1.5.3

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Alphabet grec Lettre capitale A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

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Lettre minuscule α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

—

Français Alpha Bêta Gamma Delta Epsilon Dzêta Êta Thêta Iota Kappa Lambda Mu Nu Xi Omicron Pi Rhô Sigma Tau Upsilon Phi Khi Psi Oméga

Translittération a b g d e z ê th i k l m n x o p r s t u ph kh ps ô

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Chapitre

2

Applications antisymétriques. Torseurs On rappelle ci-après quelques résultats mathématiques qui serons utiles dans la suite du cours. En mécanique des solides indéformables, les champs observables, tels que le champ de vitesse ou le champ de moment, vérifient les propriétés d’un champ vectoriel équiprojectif. Nous donnons dans ce chapitre les principaux résultats relatifs aux applications antisymétriques régissant les propriétés de tels champs.

2.1 2.1.1

Produit scalaire et produit vectoriel Produit scalaire

Définition → − → − Soit deux vecteurs X = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 et Y = y1~e1 + y2~e2 + y3~e3 exprimés dans une base orthonormée (~e1 , ~e2 , ~e3 ). Leur produit scalaire est défini par : → −→ − X . Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

(2.1)

Si l’angle entre les deux vecteurs est noté θ, alors le produit scalaire s’interprète géométriquement par : → − → − → − → − X · Y = k X kk Y k cos(θ)

(2.2)

Propriétés — Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul (θ = 90◦ ). → − −e représente la longueur projetée — Le produit scalaire d’un vecteur quelconque X et d’un vecteur unitaire → → − → − de X suivant e . Norme d’un vecteur → − On définit la norme d’un vecteur par : k X k =

2.1.2

q → −→ − X.X

Produit vectoriel

→ − → − − − − − − − Soient deux vecteurs X = x1→ e1 + x2→ e2 + x3→ e3 et Y = y1→ e1 + y2→ e2 + y3→ e3 . Leur produit vectoriel est défini par le vecteur : → − → − − − − X ∧ Y = (x2 y3 − x3 y2 )→ e1 + (x3 y1 − x1 y3 )→ e2 + (x1 y2 − x2 y1 )→ e3 (2.3) Si l’on note θ l’angle entre les deux vecteurs, le produit vectoriel s’interprète géométriquement comme l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs. → − → − → − → − S = k X ∧ Y k = k X k.k Y k sin(θ)

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Propriétés → −→ − → − → − → −→ − → − → − On montre que le produit scalaire Z . X = 0 ⇔ Z ⊥ X , de même Z . Y = 0 ⇔ Z ⊥ Y . Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires (parallèles) est nul :

2.2

Applications symetriques et antisymetriques

Soit une application linéaire A définie par sa matrice A, dont les termes sont notés ai j sur un espace vectoriel n

R . L’application A est dite symétrique si et seulement si : ai j = a ji

∀ i, j

par exemple

  2 10  5  10 7 −2

par exemple

  0  −10  −7

7 −2 2

   

(2.4)

et antisymétrique si et seulement si ai j = −a ji

∀ i, j

 10 7   0 −2   +2 0

(2.5)

Remarque 1. Les termes diagonaux d’une application antisymétrique sont nuls. 2. Dans l’espace à 3 dimensions, une application antisymétrique peut être définie seulement par trois scalaires − {a , a , a }. On peut associer à toute application antisymétrique A un vecteur → ω = {ω , ω , ω } tel que : 12

13

23

1

→ − − → − AV = → ω∧V Par identification, on établit les relations suivantes :    ω = −a23       1  → − ω2 = +a13  ω= ⇔     ω = −a   3

12

   A =  

2

3

(2.6)

0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

   

(2.7)

− ω∧ Symboliquement, on écrit : A = →

2.3

Champs vectoriels equiprojectifs

→ − → − → − On considère un champ vectoriel V qui à tout point a associe le vecteur V (a). Le champ vectoriel V est n 2 équiprojectif sur une partie de l’espace R , si quels que soient les points a et b de R on a :  − → → − → − ab. V (b) − V (a) = 0 (2.8) Interprétation géométrique → −u est un vecteur unitaire de la droite − Si → ab on a alors :   − → − → − → − → − → − − − −u .→ kabk→ u . V (b) − V (a) = kabk. → u . V (b) − → V (a) = 0

(2.9)

On peut interpreter l’équiprojectivité d’un champ vectoriel par le fait que les projections du champ en deux points sur la droite qui les joint sont égales.

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2.4

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Champs antisymetriques

→ − Un champ vectoriel V est dit antisymétrique dans une partie de Rn si, quels que soient les points a et b : − → → − → − V (a) − V (b) = A.ba

(2.10)

A désigne une application antisymétrique. On peut aussi écrire : − → → − → − − V (a) − V (b) = → ω ∧ ba

(2.11)

→ − → − ω est le vecteur associé à l’application A appelé vecteur du champ antisymétrique V . On peut montrer que tout champ antisymétrique est équiprojectif et inversement tout champ équiprojectif est antisymétrique.

2.5 2.5.1

Résultante et moment d’un champ vectoriel Cas de champs discrets

→ − On considère un champ de vecteurs discret composé d’un ensemble de m vecteurs Vi liés à des points de → − l’espace ai . On appelle résultante du champ vectoriel le vecteur R défini par : m

→ − X→ − R= Vi

(2.12)

i=1

→ − Le moment d’un champ vectoriel discret Vi en un point O est défini par : m

−−→ X −−→ → − MO = Oai ∧ Vi

(2.13)

i=1

2.5.2

Cas de champs continus

→ − Soit un champ vectoriel V continu sur une partie de Rn . La résultante de ce champ limité au domaine D ayant pour frontière ∂D est défini par la somme : Z → − → − R= V dD (2.14) D

Le moment du champ continu, limité au domaine D, en un point O est défini par : Z −−→ − − → ∧→ Ma = am V dD

(2.15)

D

Remarque Le champ de moment d’un champ vectoriel, discret ou continu, satisfait les propriétés d’un champ antisymé→ − trique ayant pour vecteur la résultante R , en effet : Z Z −−−−−−→ −−−−→ −−−→ −−→ − →∧− Ma = am V(m)dD = ab + bm ∧ V(m)dD D D Z Z − → −→ −−−−→ −−−−→ = ab ∧ V(m)dD + bm ∧ V(m)dD D

−−→ Ma

D

− → → − −−→ = ab ∧ R + Mb

Finalement, on retrouve la relation sur les champs antisymétriques : → → −−→ −−→ − − Ma = Mb + ab ∧ R

(2.16)

Cette démonstration est aussi valable pour les champs discrets.

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—

page 17

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2.6

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Torseurs

→ − On appelle torseur d’un champ vectoriel, discret ou continu V , le couple de vecteurs définis par la résultante → − −−→ → − −−→ → − −−→ R et le moment résultant Ma au point a. On note le torseur au point a par Ta = [ R , Ma ]. R et Ma sont appelés éléments de réduction du torseur et a le point de réduction.

2.7 2.7.1

Exercices Calcul vectoriel

− − − Soit une base {→ e1 , → e2 , → e3 } de E3 . On considère trois vecteurs définis par : → − U → − V → − W

− − − = → e1 + 2→ e2 + 4→ e3 → − → − − = 2e + 3e + 2→ e 1

2

3

− = → e3

→ −→ − → −→ − → − → − → − → − → − → − → − 1. Calculer : U. V , V .U, U ∧ V , V ∧ U, W.(U ∧ V ) → − → − → − 2. Écrire les vecteurs U, V , W dans la base :

− → E1 − → E2 − → E3

2.7.2

− − = → e1 + → e2 → − → − = e −e 1

2

− = → e3

Calcul torsoriel

− − − On considère trois vecteurs définis dans une base {→ e1 , → e2 , → e3 } par leurs composantes : → − − − − U = 3→ e1 + 2→ e2 + 4→ e3 → − − − − V = 2→ e1 + 5→ e2 + 2→ e3 → − → − → − → W = 1e1 + 3e2 − 2− e3 Ces vecteurs ont pour origines respectivement les points : A, B et C tels que : −−→ − − − OA = 2→ e1 + 1→ e2 + 0→ e3 −−→ → − → − − OB = −1e1 + 0e2 + 2→ e3 −−→ → − → − → − OC = 1e1 + 1e2 − 1e3 1. Calculer les éléments de réduction des torseurs de chaque vecteur au point O(0, 0, 0). 2. Calculer les éléments de réduction des torseurs de chaque vecteur au point D(5, 3, 2). 3. Vérifier la relation de transport des moment pour les trois vecteurs : −−→ → − −−→ → − −−→ → − MD (U) = MO (U) + DO ∧ U −−→ → − −−→ → − −−→ → − MD ( V ) = MO ( V ) + DO ∧ V −−→ → − −−→ → − −−→ → − MD (W) = MO (W) + DO ∧ W 4. Calculer le torseur de l’ensemble des vecteurs au point O et au point D. 5. Vérifier la relation de transport des moments pour la résultante des trois vecteurs : −−→ → − → − → − −−→ → − → − → − −−→ → − → − → − MD (U + V + W) = MO (U + V + W) + DO ∧ (U + V + W)

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—

page 18

Chapitre

3

Forces et système de forces Dans ce chapitre, nous étudions la représentation des forces qui agissent sur des corps matériels. Cette étude nous permettra d’acquérir l’expérience et les notions nécessaires à la modélisation et la simplification des systèmes de forces afin de représenter correctement leurs actions.

3.1

Notion de force

La connaissance des forces est basée sur l’intuition et l’expérience qu’on acquière sur les études en mécanique et statique élémentaires. On arrive à concevoir la notion de la force à travers l’effet cinématique qu’elle produit sur l’objet de son application. La force est donc une action qui agit sur les corps et qui produit un changement de leur état cinématique. Ce changement peut être nul si les forces s’opposent entre elles (cas de la statique). La cinématique fait intervenir des grandeurs vectoriels (position, vitesse, accélération) ; c’est tout naturellement que l’action qui produit des changements sur les grandeurs cinématiques est représentée par des vecteurs. La chapitre ?? traite de la modélisation des actions mécanique et donne un aperçu sur les forces couramment rencontrées. Dans ce chapitre, on se limitera au cas particulier où l’action mécanique se réduit à une force ponctuelle et peut être représentée par un vecteur. À la différence des vecteurs unités ou des vecteurs de position, les vecteurs de forces sont généralement associés à un point d’application définissant le point d’action sur le corps matériel. Les vecteurs de force sont donc des vecteurs liés, tandis que les autres vecteurs sont des vecteurs libres. Intuitivement, si on définit une force comme une poussée ou une traction appliquée suivant une certaine direction en un point, alors celle-ci peut être représentée par un vecteur lié. La force a alors : — une magnitude, — une ligne d’action définissant sa ligne support, — un sens définissant orientation (poussée ou traction), — et un point d’application. Comme pour le vecteur de déplacement, ou de position, le vecteur de force peut être représenté dans une base −e ,→ − → − quelconque (→ x e y , e z ) à l’aide de ses composantes : → − −e + F → − → − F = F x→ x y e y + Fz e z L’unité de la force est le Newton en référence à Isaach Newton,i fondateur de la mécanique classique. Dans le Système International (SI), Le Newton est équivalent à 1 kg · m/s2 . Par exemple, le poids d’une masse de 1kg sur la surface de la Terre est d’environ 9, 8N. La même masse pèserai sur la surface de la Lune 1.67N. Le poids est la force qu’exerce la gravité sur les corps matériels.

3.2 3.2.1

Moment d’un vecteur lié par rapport à un point Notion de moment

Le moment est une grandeur qui caractérise la capacité d’une force à faire tourner un objet par rapport à un point donné appelé "pivot". L’exemple le plus commun, est celui de l’ouverture d’une porte. Pour l’ouvrir, on

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applique une force sur la poignée pour la faire pivoter autour de l’axe de ses charnières. Cette capacité de la force à faire tourner les objet dépend d’un certain nombre de paramètres que nous allons décrire d’abord de façon qualitative, ensuite de façon quantitative. → − Sur la figure suivante, on considère un objet plan tournant autour du pivot A et soumis à une force F dans son plan.

M

M


 F


 F

B

A

A B d

d =0

Figure (a)

Figure (b) Figure 3.1 – Notion de moment.

Il est intuitif de voir que le moment M, représentant la capacité de la force à faire tourner l’objet autour de l’axe perpendiculaire à l’objet et passant par A, dépendra de son module F et de son excentrement d. Une première définition consiste simplement à écrire que le moment sous la forme du produit du module de la force par l’excentrement d appelé bras de levier : M = Fd

(3.1)

Cette définition montre que le moment augmente lorsque l’on augmente le module de la force F où le bras de levier d.

3.2.2

Définition du vecteur moment

→ − → − → − Dans le cas général, le moment en un point A d’une force F appliquée en un point B est un vecteur noté M A ( F ) défini par : → − → − −−→ → − M A ( F ) = AB ∧ F

(3.2)

−−→ où AB est le vecteur position du point B relativement au point A, point d’application du vecteur F. Comme pour tout vecteur, celui du moment peut être projeté dans une base quelconque : → − → − −e + M → − → − M A ( F ) = M x→ x y e y + Mz e z En détaillant le produit vectoriel, les composantes du moment s’écrivent         Mx ABx Fx ABy Fz − ABz Fy         → − → −     M AB F AB MA( F ) =  = ∧ =    y y y z F x − AB x F z          M  AB  F  AB F − AB F z z z x y y x − −−→ −−→ → Les propriétés du produit vectoriel imposent au vecteur moment, MA ( F ), d’être à la fois perpendiculaire à AB → − et à F . Son module s’obtient par la relation suivante : → − → − → − −−→ k M A ( F )k = k F k · kABk. sin θ

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(3.3)

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On définit le bras de levier d par :

−−→ d = kABk. sin θ

(3.4) → − d = AA0 représente la distance orthogonale entre la droite support de F et A, le point de calcul du moment. On retrouve ici la première définition du moment.

( )




 MA F

A d B’

 ez

A’  ey

B’

 ex

B


 F

Figure 3.2 – Moment en un point A, d’un vecteur F lié en B.

3.2.3

Propriétés du vecteur moment

→ − → − → − → − 1. Le module k M A ( F )k du vecteur moment est égal à k F k · d, produit du module du vecteur F par le bras de levier. → − −−→ → − → − → − → − → − −−→ 2. Le vecteur moment est à la fois orthogonal à F et AB : M A ( F )⊥ F et M A ( F )⊥AB

3.2.4

Principe de transmissibilité

Lorsque l’on se restreint à la mécanique des solides indéformables, on ignore la déformation des corps et on ne prend en compte que les forces extérieures au corps considéré. Dans ce cas, l’expérience montre que l’on peut ne pas restreindre la force à son point d’application. → − Par exemple, sur la figure 3.3, si l’on déplace le point d’application du vecteur F du point B au point B0 → − appartenant à la ligne d’action de F , le moment calculé en A reste inchangé. Démonstration

Partant du point d’application B. Le moment en A s’écrit : − −−→ → − → − → M A ( F ) = AB ∧ F

−−→ −−→ −−→ → − Or on peut décomposer le vecteur AB en AB0 + B0 B. Le moment de F en A s’écrit alors : −−→ −−→ → − → − → − −−→ → − −−→ → − M A ( F ) = AB0 + B0 B ∧ F = AB0 ∧ F + B0 B ∧ F −−→ → − Or B0 B et F sont colinéaires ; leur produit vectoriel est nul. Il reste −−→ → − − → − → M A ( F ) = AB0 ∧ F → − Le dernier membre de cette égalité représente le moment en A de la force F appliquée en B0 . Ce qu’il fallait démontrer.

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Cette propriété est connue sous le nom du principe de transmissibilité des forces, qui établit qu’une force peut être appliquée en un point quelconque de sa ligne d’action sans que cela ne change son effet sur l’objet de son application. Dans ce cas, les vecteurs forces sont considérés comme des vecteurs glisseurs qui nécessitent la définition de leur magnitude, direction, et ligne d’action ; mais pas leur point d’application. Le principe de transmissibilité des forces est essentiel en mécanique du solide indéformable. Cependant il faut faire attention et ne pas généraliser son application au cas des solides déformables pour lesquels l’effet de la force dépend du point de son application sur sa ligne d’action.

3.3

Moment d’un vecteur lié par rapport à un axe

Reprenons la situation précédente du calcul du moment en un point A. Supposant qu’un axe de support ∆ et −n , passe par A. de direction →

( )

( )




 MA F

A

M∆

 n

 ez

 ey

A’

 ex

B


 F

Figure 3.3 – Moment en un point A, d’un vecteur F lié en B. → − −n s’obtient par la projection du moment calculé en A suivant la Le moment de la force F par rapport à l’axe → → − direction de n : → − → − M∆( F ) = = =

− → − −→ −n = (→ M∆→ M A ( F ) ·→ n )−n −−→ → − −→ (AB ∧ F ·→ n )−n   −−→ → − − → AB, F ,→ n −n

(3.5) (3.6) (3.7)

−−→ → − −n . D’un point de vue géoLa quantité entre crochets représente le produit mixte de trois vecteurs AB, F , et → → − → − → − métrique, Le moment par rapport à l’axe n , représente la valeur projetée du vecteur moment M ∆ ( F ) suivant la → − direction de n . → − D’un point de vue pratique, le calcul du moment d’une force F , appliquée en B, par rapport à un axe de support → − ∆ et de direction n , comprend les étapes suivantes : — Choisir un point quelconque A sur le support de ∆. → − → − → − −−→ → − — Calculer le moment de la force F par rapport à A : M A ( F ) = AB ∧ F − → − − −n du moment : M n = → −n est — Calculer la valeur projetée suivant → M A ( F ) ·→ n . La valeur du moment suivant → A → − → − −n est inférieur à 90◦ . Elle est nulle si l’angle est de 90◦ . Elle est négative positive si l’angle entre M ( F ) et → A

si l’angle est supérieur à 90◦ .

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La norme du moment par rapport à l’axe ∆ est :

M∆

= = =

−−→ → − − kAB ∧ F ·→ nk −−→ → − → kAB ∧ F kk−n kcos(α) −−→ → − kABk · k F k · sin θ · sin(β)

−−→ → − → − β est l’angle que fait la droite ∆ avec le plan formé par (AB, F ). On note le bras de levier de F par rapport à l’axe ∆ sous la forme suivante : −−→ d = kABk · sin θ · sin(β) On retrouve l’expression du moment

3.3.1

Cas particuliers

Cas où n est orthogonal au plan formé par F et AB (β = π/2) −−→ → − −−→ → − −n est On sait que le résultat du produit vectoriel AB ∧ F est à la fois orthogonal à AB et à F . Dans le cas où → → − −−→ − − → → − −n parallèle à AB ∧ F . orthogonal au plan formé par F et AB, on a alors → La relation 3.6 permet d’écrire : → − → − M∆( F ) = = =

−−→ → − −→ (AB ∧ F ·→ n )−n

−−→ → −

− n ±

AB ∧ F

→



−−→ → − − n ±

A0 A



F

→

(3.8) (3.9) (3.10)

De cette dernière expression, on établit que le moment d’une force par rapport à une droite, orthogonale au plan formé par la force et le point de calcul du moment, est égale au produit du module de la force par le bras de −→ → − − −n , si le trièdre (− levier. Sa direction est suivant le vecteur → AA0 , F ,→ n ) est direct. Sinon la direction du moment est → − → − → − suivant − n . D’un point de vue géométrique, il est facile de voir que la projection du vecteur moment M ∆ ( F ) sur la droite ∆ est égale à son module.

Cas où n est dans le plan formé par F et AB (β = 0) − −−→ −n est dans le plan formé par → Dans le cas → F et AB, la projection du moment suivant ∆ est nulle.

3.3.2

Exemple : calcul du moment par rapport aux axes d’un repère orthonormé

→ − Considérons une force F appliquée au point m. On note ces composantes (F x , Fy , Fz ). Le point m a pour coordonnées (x, y, z).

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Fz

y


 F

x

Fx

Fy

m

z

 ez

 ey

z  ex

O x

y Figure 3.4 – Résultante d’un ensemble de vecteurs. Analysons les moments produits par les composantes de la force au point origine du repère O : Composante Fx

Fy

Fz

Axe x y z x y z x y z

Bras de levier p y2 + z2 z y √ z x 2 + z2 x y p x x2 + y2

Moment 0 +F x z −F x y −Fy z 0 +Fy x +Fz y −Fz x 0

commentaire nul car la force est // à l’axe

nul car la force est // à l’axe

nul car la force est // à l’axe

→ − En additionnant les moments des trois composantes F x , Fy , Fz , on retrouve le moment de la force F :       F F y − Fy z      x → − → − −−→ → −   x  z  y F F M O ( F ) = Om ∧ F =  ∧ =   x z − Fz x y        F  F x−F y  z y x z

3.4

Relation de transport des moments

Le moment d’une force au différents points de l’espace possède une propriété intéressante dite d’antisymétrie. → − → − Cette propriété se manifeste par le fait que lorsqu’on connaît le moment, M A ( F ), en un point A d’une force appliquée au point O, il est possible de calculer son moment en n’importe quel autre point B de l’espace . Cette opération est souvent utilisée lorsqu’on établit l’équilibre des corps. → − → − MA( F ) = = = =

−−→ → − AO ∧ F −−→ −−→ → − (AB + BO) ∧ F −−→ → − −−→ → − AB ∧ F + BO ∧ F −−→ → − → − → − AB ∧ F + M B ( F )

On retient la relation importante suivante : → − → − → − → − −−→ → − M A ( F ) = M B ( F ) + AB ∧ F

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(3.11)

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3.5

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Système de forces

→ − Considérons un système matériel quelconque S sur lequel s’applique un ensemble [τ] de N forces F i dont les lignes d’action passent par les point Bi . La résolution des problèmes nécessite la simplification des systèmes de force en particulier ceux comportant un grand nombre de forces. En pratique, ces systèmes sont couramment caractérisés par deux vecteurs : la résultante et le moment par rapport à un point.

BN B2

B3


 F4


 F4

B1


 F1

B4
 FN


 FN

Figure 3.5 – Système de forces appliquées à un système matériel

3.5.1

Résultante d’un système de forces

→ − La résultante R d’un système de forces [τ] est définie comme la somme des forces : N

X→ → − − R (τ) = Fi

(3.12)

i=1


 F1


 F2


 R


 F3


 F4


 FN

Figure 3.6 – Somme d’un système de forces → − → − Contrairement aux forces F i qui sont des vecteurs liés, la résultante R est un vecteur libre et n’est associé à aucun point particulier du système S.

3.5.2

Moment résultant en un point

Le moment résultant d’un système de forces [τ] en un point A, est défini comme la somme des moments produits par chacune des forces : N N X X → − → − → − −−→ → − M A (τ) = MA( F i) = ABi ∧ F i (3.13) i=1

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i=1

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3.5.3

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Torseur des forces

→ − −−→ Soit un système de forces [τ] de résultante R et de moment en un point A, MA . Le système de forces est ainsi défini par six composantes, trois pour la résultante R x , Ry , Rz et trois pour le moment M x , My , Mz . Le système de forces peut être alors représenté par une entité à six composantes appelée torseur des forces :      X LA   R x MAx      [τA ] =  Y MA  [τA ] =  Ry MAy  parfois noté (3.14)     Rz MAz Z NA

3.5.4

Système de forces nul

Si un système de forces a un torseur nul, c-à-d des résultantes de force et de moment nulles, alors un tel système est qualifié de système de force nulle. On montre facilement que la résultante de moment est nulle en tout autre point.    0 0    [τA ] =  0 0  (3.15)   0 0

3.5.5

Couples

On considère un système de forces [τ] dont la résultante est nulle. Ce qui ne veut pas dire que les forces elles→ − mêmes soient nulles. Si le moment résultant M A (τ) en un point quelconque A est non nul, on à faire à ce qu’on appelle un couple.    0 M x    [τA ] =  0 My  (3.16)   0 Mz A l’aide de la relation de transport des moments, on peut montrer que la valeur du couple est indépendant du point considéré pour son calcul. en effet : → − → − −−→ → − M B (τ) = M A (τ) + BA ∧ R → − Comme la force résultante R du système est nulle, on obtient donc le même moment en A et B. et cela quelques soient les point A et B. → − → − M B (τ) = M A (τ) (3.17) → − Le moment d’un tel système de force est parfois noté C en rappel du couple du système de forces considéré. Cette appellation est due à un abus de langage en référence au moment produit par un couple de forces opposées. Néanmoins un tel couple peut être produit par un nombre de forces supérieur à deux. Sur la figure suivante on représente deux forces de mêmes modules mais opposées en direction.




 MB =C
 −F

A

B

A’


 F

Figure 3.7 – Couple produit par deux forces égales mais opposées Au point B, milieu des points d’application des deux forces sont caractérisées par une résultante et un moment tels que :

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→ − R → − → − C = MB

=

→ − → − → − F + (− F ) = 0 −−→ → − −−→ → − BA ∧ F + BA0 ∧ (− F ) −−→ → − −−→ → − BA ∧ F − BA0 ∧ F   − −−→ −−→0 → BA − BA ∧ F   −−→ −−→ → − BA + A0 B ∧ F

=

−−→ → − A0 A ∧ ( F )

= = = =

(3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) (3.24)

Si on calcul le moment des deux forces au point A ou A0 , on retrouvera la même valeur que celle calculée en B.

3.5.6

Equivalence des systèmes de forces

On dit que deux systèmes de forces S 1 et S 2 sont équivalents si leurs torseurs de forces τ(S 1 ) et τ(S 2 ), calculés au même point, sont identiques. Il faudra faire attention à restreindre cette équivalence au cas des systèmes indéformables. En effet deux systèmes de forces équivalents produiront, dans le cas général, des déformations différentes sur les systèmes déformables.

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page 27

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3.6 3.6.1

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Travaux dirigés Projection de forces

Deux forces sont appliquées au point O comme indiqué sur la figure suivante. On donne leurs valeurs respectives F1 = 250N et F2 = 400N. Leurs directions sont précisées sur la figure.

y 4 3

F

N

50 =2 1

x

O F2 =

30° 40 0N

Déterminer les composantes des deux forces en projection dans le repère R(O; x, y).

3.6.2

Calcul de résultante

Calcul de la résultante d’un système de forces. 1. Un corps est soumis à une force horizontale de 3N et une autre verticale de 4N. Déterminer le module et la direction de la résultante. 2. Deux forces, de 50N chacune, agissent sur un corps avec un angle de 60◦ l’une par rapport à l’autre. Déterminer la résultante des deux forces par construction graphique (triangle des forces) et par trigonométrie. → − → − → − − − − − − 3. Trois forces F = 4N→ e x − 12N→ ey , R = 20N(cos θ→ e x + sin θ→ ey ) et W = −20N→ e x , ont une somme nulle. Déterminer l’angle θ et dessiner les vecteurs forces.

3.6.3

Réduction d’un système de forces

On considère un solide soumis à quatre forces et un couple, appliqués comme indiqué sur la figure suivante :

y

N

45.0°

C= 50 N.m

F2=50 N

C

F3=30 N

1

B

3

0 =4 F1

3

4

A

E D

N 60 F 4=

30.0°

x

Déterminer la résultante du système de forces ainsi que le moment résultant, calculé au point origine du repère R(O; x, y) et en projection dans ce même repère.

3.6.4

Orientation des moments

− → − → − → On considère trois forces F1 , F2 , et F3 appliquées respectivement aux points A, B et C.

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z

z

z

B

 F2

C y

O

y

O



 F3 y

O



 F1

A

x

x

x

Pour chacune d’elles :

1. Calculer à l’aide du produit vectoriel le moment en O. 2. Calculer à l’aide du bras de levier le moment et préciser le sens par rapport à chacun des axes Ox, Oy, et Oz. 3. Comparer les résultats des questions 1 et 2.

3.6.5

Point de réduction en résultante

F1 =20 kN

Soit une poutre d’une longueur de 6m soumise à un système d’action formé de deux forces de 15kN et 20kN et d’un couple de −50kN · m.

O

M1=50 kN.m A

P

2m

B C

1m

3m

x

F2=15 kN

y

— Déterminer la résultante de force et de moment du système de force au point P de coordonnées (x, 0). — A quelle abscisse x du point P le moment résultant est-il nul ?

3.6.6

Quadriréacteur en panne !

Un quadriréacteur tombe en panne d’un de ses quatre moteurs. Sachant que la poussée d’un moteur est de 110kN, On se propose de calculer le désaxement de la résultante par rapport au centre de l’avion.

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D 7m

Moteur eteint

C 110 kN

FC

9m

y x 9m

G

B

FB

7m

110 kN

A

FA 110 kN

1. Déterminer la résultante de la poussée. 2. Déterminer le moment produit par les trois réacteurs par rapport au point milieu de l’appareil G. 3. Ce moment étant dû à l’excentricité de la résultante par rapport à l’axe de l’avion ; déterminer cette excentricité. 4. Quel serait l’effet d’une telle excentricité de l’effort ? que doit faire le pilote pour remédier à la situation ?

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—

page 30

Chapitre

4

Principe Fondamental de la Statique Dans ce chapitre, on s’intéresse au cas où les corps rigides ne sont pas accélérés par rapport à un repère d’observation. Ce repère, comme nous le verrons plus loin, doit être galiléen (ou inertiel) pour que les lois d’équilibre soient applicables. Cette situation particulière où les corps matériels ont une vitesses de translation constante, est qualifiée de situation d’équilibre. Dans ce chapitre, nous allons étudier précisément les relations que doivent vérifier les forces et les moments subis par un corps en équilibre à la fois en translation et en rotation. On s’intéressera également aux forces internes qui prennent place dans un corps rigide suite à un chargement externe.

4.1

Systèmes matériels, solides matériels

On appelle système matériel, tout ensemble de matière défini par son enveloppe limite. Cette enveloppe isole d’un point de vue matériel l’intérieur du système de son extérieur. Pour les problèmes envisagés dans ce cours, la masse du système est considéré comme invariante dans le temps. Pour désigner facilement un système matériel, on lui attribue une nomination propre : par exemple S, Σ, etc.

4.2 4.2.1

Repères et référentiels d’observation Repère d’espace et de temps

Dans l’espace physique à trois dimensions, l’étude des mouvements est faite par comparaison des positions des corps les uns par rapports aux autres. Les corps servant de référence sont appelés repères d’observation. Il n’est pas nécessaire que le repère soit matériel. En pratique, les repères d’espace sont formés par trois axes qui concourent en un point appelé origine du repère. En règle générale, on appelle repère un ensemble de points dont les distances mutuelles restent invariantes au cours du temps. On peut associer au même repère plusieurs bases différentes. Un repère muni d’une base permet d’identifier la position dans l’espace des événements qui s’y produisent. La position est ainsi définie par le vecteur joignant l’origine du repère à la position de l’événement. On se place dans le cadre newtonien pour lequel le temps est universel. Autrement dit, le temps qui sépare deux événements, relevé par plusieurs horloges liées à des repère différents, reste le même. l’échelle du temps est donc la même dans tous les repères et les secondes s’écoulent à la même cadence.

4.2.2

Référentiels, référentiel galiléen

Un référentiel est un repère d’espace muni d’un repère de temps. Dans l’espace physique, un événement est donc repéré par quatre scalaires : trois coordonnées d’espace et une de temps (x, y, z, t). Un référentiel qualifié de galiléen, ou d’inertiel, est un référentiel dans lequel un objet, isolé de toute force et moment extérieurs, a un mouvement de translation rectiligne uniforme et un mouvement de rotation uniforme par rapport à ce référentiel. La vitesse de translation et de rotation sont dans ce cas constantes et peuvent bien sûr prendre des valeurs nulles. Dans ce dernier cas l’objet est au repos par rapport au référentiel.

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4.3

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Équilibre d’un système matériel

−e ,→ − → − Un système noté S est en équilibre statique par rapport à un référentiel galiléen noté R(O;→ 1 e 2 , e 3 ), si son mouvement est une translation rectiligne uniforme. C’est à dire que la vitesse de son centre de masse est constante, nulle éventuellement, et sa vitesse de rotation est nulle. Pour simplifier la compréhension de la suite du cours, nous garderons en tête les systèmes en équilibre qui sont au repos. Cette simplification dans la représentation ne restreint en rien les résultats qui seront établis. Pour que l’équilibre ait lieu, les forces et moments appliqués au système matériel doivent vérifier les deux théorèmes du Principe Fondamental de la Statique (PFS). Ce principe s’énnonce de la façon suivante : Tout système en équilibre par rapport à un référentiel galiléen doit vérifier les deux théorèmes suivants :

4.3.1

Théorème de la force résultante

Un système matériel S est en équilibre de translation par rapport à un référentiel galiléen si la résultante de l’ensemble des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle. X→ → − − ext F S= 0 (4.1)

4.3.2

Théorème du moment résultant

Un système matériel S est en équilibre de rotation par rapport à un référentiel galiléen si la résultante de l’ensemble des moments extérieures qui lui sont appliqués, rapportée à un point quelconque A, est nulle. X→ → − − ext MA S= 0 (4.2)

4.4

Mise en application du principe fondamental de la statique

Pour la résolution du problème de l’équilibre statique d’un corps donné, il est nécessaire de modéliser proprement le problème en faisant abstraction des autres corps matériels qui agissent sur le corps considéré et de "les remplacer" par leurs actions mécaniques. Chacune de ces actions est représentée par un torseur de forces ayant une force résultante et un moment résultant. Le corps ainsi représenté est désigné par "corps isolé" ou "système matériel". Il est donc essentiel de définir très clairement le corps isolé et de définir les actions mécaniques qui agissent sur lui. Ces deux étapes d’identification du corps isolé et des actions mécaniques environnantes sont primordiales dans la résolution de tout problème de statique. L’application du principe fondamental de la statique se résume dans les étapes suivantes : — identifier un repère d’observation et s’assurer qu’il est galiléen ou du moins "suffisamment" galiléen pour le problème étudié, — définir le corps sur lequel on souhaite appliquer le Principe Fondamental de la Statique et l’isoler comme système mécanique, — identifier l’ensemble des forces extérieures s’exerçant sur le système mécanique, — écrire le Principe Fondamental de la Statique en translation et en rotation sur le système mécanique. Dans cette démarche de mise en application du PFS, le système mécanique peut être un corps solide simple ou composé de plusieurs corps solides. Il peut également être une partie que l’on découpe de façon imaginaire à partir d’un corps simple ou d’un système de corps simples. A partir de cette constatation, on voit bien que l’enveloppe qui délimite le système matériel peut suivre les limites naturelle des corps matériels mais elle peut également les traverser pour en isoler une partie. Dans le cas de problèmes tridimensionnels, les deux théorèmes du PFS conduisent chacun à trois équations scalaires et on obtient six équations en tout. Pour les problème plans, le théorème de la force résultante en donne deux équations significatives et celui du moment résultant en donne une équation significative pour en obtenir trois équations au total.

4.5

Principe des Actions Mutuelles (Principe de l’action-réaction)

La résolution d’un problème de statique nécessite souvent l’écriture des équations d’équilibre pour chacun des solides qui constituent le système. En isolant une partie du système, on fait apparaître les actions extérieures

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qu’elle subit à travers les liaisons avec les autres parties du système. Les forces de liaison qui s’établissent entre deux corps sont appelées les forces d’action et de réaction (Action d’une partie sur l’autre et la réaction de l’autre partie sur la première). Pour asseoir la réflexion, considérons le cas de deux corps en équilibre S1 et S2 liés, formant un système mécanique. On note S0 le milieu extérieur au système mécanique. Le système dans sa totalité est soumis à un ensemble de forces externes groupées en deux torseurs : [τ(S0 S1 ], l’action de S0 sur S1 et [τ(S0 S2 ], l’action de S0 sur S2 .

[τ (S0 → S1 )]

[τ ( S0 → S1 ⊕ S2 )] ( S0 ) ( S1 )

( S1 )

( S2 )

[τ ( S0 → S2 )]

[τ (S2 → S1 )] [τ (S1 → S2 )]

( S2 )

Figure 4.1 – Illustration des actions mutuelles entre deux corps Le principe fondamental de la statique appliqué à (S1 ⊕ S2 ) implique : [τ(S0

S1 ⊕ S2 )] = [τ(S0

S1 )] + [τ(S0

S2 )] = 0

(4.3)

Considérons maintenant chacun des deux sous systèmes S1 et S2 comme systèmes matériels sur lesquels nous appliquons à tour de rôle le PFS. Les forces extérieures à S1 sont les actions extérieures qui lui sont appliquées par S0 et S2 : [τ(S0 S1 ] et [τ(S2 S1 ]. Le principe fondamental de la statique s’écrit : [τ(S0

S1 )] + [τ(S2

S1 )] = 0

(4.4)

On procède de la même manière pour le sous système S2 en lui appliquant le PFS. Les actions extérieures à S2 sont [τ(S0 S2 ] et [τ(S1 S2 ]. Le PFS appliqué à S2 conduit à : [τ(S0

S2 )] + [τ(S1

S2 )] = 0

(4.5)

En combinant les équations précédentes (4.4+4.5-4.3), on obtient : [τ(S1

S2 )] + [τ(S2

S1 )] = 0

De cette dernière équation découle l’écriture du principe des actions mutuelles : [τ(S1

S2 )] = −[τ(S2

S1 )]

(4.6)

On retiendra ce résultat important : L’action de S1 sur S2 , [τ(S1 S2 )], est égale à moins la réaction de S2 sur S1 , [τ(S2 S1 )]. Si les torseurs des actions mutuelles sont réduits en un point A, on aura donc :      R x (S1 S2 ) MAx (S1 S2 )   −R x (S2 S1 )  S1 ) −MAx (S2     S2 ) MAy (S1 S2 )  =  −Ry (S2 S1 ) −MAy (S2 S1 )  (4.7)  Ry (S1    Rz (S1 S2 ) MAz (S1 S2 ) −Rz (S2 S1 ) −MAz (S2 S1 )

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4.6 4.6.1

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Travaux dirigés Corps soumis à deux forces

Démontrer qu’un corps en équilibre statique qui n’est soumis qu’à deux forces, celles-ci doivent être de même support de même module et de sens opposé. → − → − Solution: Considérons un corps quelconque S soumis à l’action de deux forces : F A appliquée en A et F B appliquée en B. On définit un repère galiléen R(O; x, y, z). L’application du principe fondamental de la statique au corps S se traduit par les deux théorèmes : — Théorème de la résultante des forces : → − S= 0

→ − Σ F ext

→ − → − FA + FB = 0

⇒

→ − → − ⇒ F A = −F B

Le théorème de la résultante des forces conduit donc à ce que les forces soient opposées. Cela ne veut pas dire que leurs supports sont confondus. — Théorème du moment résultant : On choisit comme point de calcul du moment le point A → − S= 0

→ − Σ M ext A

−−→ → − −−→ → − AA ∧ F A + AB ∧ F B = 0 |{z}

⇒

−−→ → − ⇒ AB ∧ F A = 0

=0

− −− −→ → → − → − Ce dernier résultat montre que AB et F B sont parallèles. Le support de F B passe par les point A et B. Il résulte alors que les deux forces sont opposées et leur support commun est défini par la droite passant pas A et B. Ce résultat peut être utilisé tel quel par la suite dès lors qu’un corps n’est soumis qu’à deux forces.

4.6.2

Calcul des réactions d’appuis

Calculer les réactions d’appuis des systèmes suivants : 2m

y

1m

1m



  F3 = −800 N e y



  F1 = −1000 N e y

C A

x

B

C

  F2 = 500 N e y


  C = 500 N ⋅ m e z

(a) Poutre Console

Solution: Remarque préliminaire : Pour les problèmes dits plans, les forces sont dans le plan d’étude du problème, (O ; x, y) par exemple. Les moments produits par ces forces en un point du plan de l’étude sont orientés suivant la direction orthogonale à ce dernier. Il résulte que les forces ont deux composantes : F x et Fy et les moments une seule composante Mz . La poutre ABCD, notée S par la suite, est soumise aux actions données sur la figure, mais également aux actions dues à la liaison d’encastrement en A. Le tableau suivant récapitule les actions, leur point d’application, et leurs composantes.

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Action mécanique → − Réaction d’appui R A

Point de réduction

Composantes → −A −e + RA→ − R = RAx→ x y ey → −A −e M = MzA→ z → − −e F 1 = −1000N→ y → − −e F 2 = 500N→ y → − −e F 3 = −800N→ y → − → − C = 500N · m e

A → −A Moment d’encastrement M A → − Force F 1 B → − Force F 2 C → − Force F 3 D → − Couple C D z On suppose que le repère (O, x, y, z) est galiléen. A l’équilibre, le principe fondamental de la statique, lorsqu’on réduit les torseur au point A, s’écrit :

(I) (II)

→ − Σ F ext → − Σ M ext A

→ − → −A → − → − → − R + F1 + F2 + F3 = 0 − − −−→ → − −−→ → − −−→ → − → − → → − −−→ → S = M A + |{z} AA ∧ R A + AB ∧ F 1 + AC ∧ F 2 + AD ∧ F 3 + C = 0

S =

→ − =0

Dans le détail, les équations (I) et (II) s’écrivent : ( A ( ( ( ( Rx 0 0 0 0 (I) ⇒ + + + = RyA −1000 500 −800 0                   0 2 0 3 0 4 0 0 0                            0 0 −1000 0 500 0 −800 0 0 (II) ⇒  + ∧ + ∧ + ∧ + =                            MA  0   0  0  0  0  500  0 0 z On trouve : (

        

y

( RAx 0 = RyA 1300N   0 0    0 = 0    3200N · m MA z

3m


  F = −1000 N e y

C
  C = 500 N ⋅ m e z

3m

B

A

x (b) Portique en Potence

Solution:

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Même rédaction ... On trouve : (

        

( RAx 0 = RyA 1000N   0 0    0 = 0    2500N · m MA z

y A 1,5 m

0,5m

2

m

30°

B O

45.0°

C 4 kN x

(c) Bras d’un élevateur

Solution: Même rédaction que la première structure. On trouve : ( ( A Rx 0 = RyA 4000N     0    0 0          0 0 0 = =    √ √         MO  12853N · m 4 2+3 3+2  4000N · m z 4

4.6.3

Pendule dévié

On considère un pendule pesant S oscillant autour du pivot O. Il est composé de deux solides : — une barre de section négligeable homogène B de masse m et de longueur 4a. Son mouvement est repéré par l’angle θ qu’elle fait avec l’axe Ox. Elle a pour extrémités les points O et C. — un disque homogène D de masse m de centre C et de rayon a. Son centre C est situé à l’extrémité de la barre B. O y

g B

D F

A C

x

x1

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−e ,→ − → − On définit le repère R0 (O, x, y, z) de base (→ x e y , e z ). −→ → − −e au point A. Ce dernier est tel que − −e . Sous l’effet de la force, le On applique une force F = F→ AC = a→ y y pendule est dévié de sa position verticale d’un angle θ. 1. Exprimer la force F en fonction de l’angle d’équilibre θ. Solution: Le pendule est soumis aux forces suivantes : → − −e , appliqué au centre de la barre G, — Le poids de la barre , P 1 = mg→ x → − → − — Le poids du disque , P 2 = mg e x , appliqué au centre du disque C, → − −e + R → − — L’action du pivot sur la barre R = R x→ x y e y , appliquée au point O, → − −e dont le support passe par le centre C. — La force F = F→ y

On supposera que le repère R(O; x, y, z) est galiléen. L’équilibre en rotation autour du point O permet → − → − → − d’obtenir une équation faisant intervenir les moments des forces P 1 , P 2 , et F ainsi que l’angle θ → − intervenant dans l’expression des bras des leviers. L’action du pivot R ne produit pas de moment en O et n’intervient donc pas dans cette equation. Cette equation reliera la force F et l’angle θ. On écrit : − −−→ → − −−→ → − −−→ → − −−→ → OO ∧ R + OG ∧ P 1 + OC ∧ P 2 + OC ∧ F = 0 |{z} =0

→ − Ici nous avons considéré la force F comme appliquée en C qui est un point appartenant au support de → − F . En détaillant cette équation, on a :               2a cos θ mg 4a cos θ mg 4a cos θ F 0                      2a sin θ 0 4a sin θ 0 4a sin θ 0 0 ∧ + ∧ + ∧ =                        0   0   0  0 0 0 0 On obtient :         0 0 0 0             0 0 0 0 + + =              −2mga sin θ  −4mga sin θ  4Fa cos θ  0 La dernière équation conduit à : F=

3 mg tan θ 2

→ − −e + F → − 2. Exprimer la réaction de l’appui O sur le pendule, notée R = F x→ x y e y. Solution: L’équilibre du pendule en translation dans le plans (O; x, y) fait intervenir la seule inconnue → − de force R : − → − → − → − → − → R + P1 + P2 + F = 0           R mg mg 0 0            x     R 0 0 F 0 + + + =      y            0  0  0  0  0 d’où :       −2mg R −2mg        x   3 R −F mg tan θ − = =    y        0  0  2 0

4.6.4

Bloc sur plan incliné frottant

On considère un bloc de masse m sur un plan incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale. On lui applique → − −e . Le contact entre le bloc et le plan incliné est frottant caractérisé par un coefficient une force horizontale F = F→ x de frottement f . On donne : f = 0.25, m = 200kg, θ = 25◦ , g = 9, 8m/s2 .

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Déterminer la plage de valeurs que peut prendre la force F pour que le bloc reste en place (ne glisse pas).

y

F

B g

O x

Solution: On défini un repère R1 (O; x1 , y1 , z1 ) tel que l’axe x1 soit orienté suivant le plan incliné. On applique le principe fondamental de la statique au bloc B en le considérant comme une masse de dimension très petites (point matériel). De plus, on suppose que R1 (O; x1 , y1 , z1 ) est galiléen. Les forces appliquées au bloc B sont : → − −e — le poids du bloc : P = −mg→ y → − −e + N→ −e — l’action du plan du plan incliné sur le bloc : R = T→ x1 y1 → − −e — la force F = F→ x L’application du principe fondamental de la statique dans le cas d’une masse ponctuelle se réduit au théorème de la résultante des forces. Le théorème de la résultante des moment donne une équation inutile → − → − ( 0 = 0 ). On écrit : − → − → − → − → P+R+F = 0 −e = cos θ→ −e − sin θ→ −e . En projection dans R , le théorème de la et → x x1 y1 1

−e = sin θ→ −e + cos θ→ −e On a → y x1 y1 résultante des force s’écrit : ( ( ( ( −mg sin θ T F cos θ 0 + + = −mg cos θ N −F sin θ 0 On déduit

(

T = N

(

mg sin θ + mg cos θ

(

−F cos θ F sin θ

Pour que le bloc reste en place, il faut avoir kT k < f N, c-à-d − f N < T < f N. d’où −fN < T T < fN

− f (mg cos θ + F sin θ) < (mg sin θ − F cos θ) ⇒ (mg sin θ − F cos θ) < f (mg cos θ + F sin θ) ⇒

On obtient : −fN < T

⇒

T < fN

⇒

(sin θ + f cos θ) mg cos θ − f sin θ sin θ − f cos θ (mg sin θ − F cos θ) < f (mg cos θ + F sin θ) ⇒ F > mg cos θ + f sin θ F (cos θ − f sin θ) < (mg sin θ + f mg cos θ) ⇒ F
0 — L’action du disque D2 , noté F D2/D1 = F I cos ψ◦→ x I y I → − ressort/D1 — L’action du ressort, noté F = F e x. L’application du PFS à D1 conduit à : (

0 + −mg

(

0 + FM

(

F I sin ψ + −F I cos ψ

(

F = 0

(

0 0

L’équation au moment n’est pas utile car les quatre forces passe par le centre du disque, leur moment est nul. 0n déduit de la seconde équation : F M = mg + F I cos ψ = 2mg 4. Donner l’équation que doit satisfaire l’angle ψ à l’équilibre du disque D1 . Solution: La première équation donne : F I sin ψ + F √  mg tan ψ + kR 2 − 2 sin ψ √ 2kR − 2kR sin ψ + mg tan ψ

= 0 = 0 = 0

5. Quelle est le domaine de validité de cette expression ? (On bornera sin ψ) Solution: sin ψ ≤ 1 ⇒ d’où

4.6.10

i 1 h√ 2kR + mg tan ψ ≤ 1 2kR

√ 2kR − 2kR tan ψ ≤ mg

Etude d’un empilement de cylindres

Soit le système représenté sur la figure ci-dessous. Il est composé de trois cylindres identiques en acier de masse m, de rayon R et de longueur L = 1m. Ces cylindres sont supportés de la façon suivante : en bas par le sol, à gauche par un mur et à droite par une paroi de hauteur h articulée à sa base et tenue par une corde C à l’autre extrémité. On fait l’hypothèse que les cylindres sont parfaitement lisses (contact sans frottement). Calculer la tension dans la corde C. Faites une application numérique pour m = 100kg, R = 0.2m , h = 0.4m et g = 9.8ms−2 .

h

C

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page 49

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4.6.11

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Échelle double

On considère une échelle double constituée de deux barres identiques de masse m et de longueur l. Elle est parfaitement articulée en O, liée par un appui double en A et simple en B. Une charge verticale P est appliquée au point C tel que AC = x. Les appuis A et B sont reliés par un fil inextensible. Déterminer la tension dans le fil.

L

O

x

C

P A

4.6.12

B

Torseur d’une charge répartie linéïque

y

y F

q(x) A

B

G

A

B

L Figure 4.2 – Equivalence d’une charge répartie à une charge concentrée. 1. Démontrez que les deux systèmes de charge de la figure 4.2 sont équivalents au sens statique du terme si et seulement si :

→ − F =

ZL

RL q(x) dx ~ey

et

0

−−→ x=0 AG = L R

x q(x) dx ~e x q(x) dx

0

Solution: Pour que les deux systèmes de forces précédents soient équivalents d’un point de vue statique, il faut que leurs torseurs, calculés au même point, soient égaux. Nous allons donc calculer les deux torseurs et préciser dans quelles conditions ils sont égaux. — Torseur de la charge concentrée F :     h i h i → − → − −−→ → − τA ( F ) = F ; AG ∧ F = F~ey ; xG~e x ∧ F~ey = F~ey ; xG F~ez (4.8)

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—

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x

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  — Torseur de la charge répartie q(x) : Considérons d’abord le torseur dτA (qdx) au point A, créé par la charge ~q(x) qui s’exerce sur un élément de longueur dx. Cette charge est assimilée à une charge ponctuelle de résultante d f~ = ~q(x)dx appliquée au point M(x, 0, 0). Son torseur est défini par :   h h i h i −→ −q dx)i = d f~; − dτA (d→ AM ∧ d f~ = q(x)~ey dx; x~e x ∧ q(x)~ey dx = q(x)dx~ey ; xq(x)dx~ez   Le torseur de la totalité de la charge répartie τA (q(x)) s’obtient en sommant les torseur élémen  taire dτA (qdx) sur toute la longueur de la charge répartie. "Z L # Z L Z L     τA (q(x)) = dτA (qdx) = q(x)dx~ey ; xq(x)dx~ez dx (4.9) x=0

x=0

x=0

Les torseurs obtenus en 4.8 et 4.9 sont équivalents si et seulement si leur composantes sont identiques. On doit donc avoir : F=

Z

RL

l

xG = x=0 RL

et

q(x)dx x=0

0

x q(x) dx q(x) dx

CQFD. → − 2. Quelle signification géométrique peut-on associer à la norme de F et au point G ?. Solution: Au vu des résultats précédents, F représente la résultante de la charge répartie et est égale à l’aire de la courbe q(x). xG est la barycentre de la charge répartie suivant l’axe x. Dans la suite, nous remplacerons systématiquement la charge linéique par sa résultante appliquée au barycentre de la charge répartie.

4.6.13

Application 1

On considère deux systèmes de charges linéiques réparties sur une poutre de longueur l. La première charge linéique est triangulaire, de valeur nulle à x = 0 et de valeur maximale fmax à x = l. La seconde est elliptique, nulle aux extrémités et de valeur maximale fmax à x = l/2. y

y

f max

f max x

x l

l

Figure 4.3 – Charges réparties triangulaire et elliptique. 1. On souhaite remplacer chacune des deux charges linéiques par une charge concentrée équivalente. Pour chacune des deux répartitions, préciser sans démonstration et sans effectuer le calcul d’intégrale, le vecteur de la charge concentrée ainsi que l’abscisse de son point d’application. → − Solution: La charge linéïque f (x) est remplacée par son torseur calculé en G. Ce point représente le centre géométrique suivant x de la charge répartie considérée comme "une surface". Le torseur de la charge répartie, calculé en G, se réduit à une résultante R sans moment. La figure suivante précise la résultante R et son emplacement pour les deux répartitions :

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2/3 l

l/2 l

4.6.14

l

Application 2

Calculer les réactions aux appuis des systèmes suivants :

f  200 N / me y

F  200 N e y y A

B 1m

C

D

1m

F  200 N e y f  200 N / me y y x

A

2m

(a) Charge linéique constante

1m

B

1m

C

2m

x

D

(b) Charge linéique triangulaire

y

y q

P = 6000 N M

A

A

B

B

b

L/2

x

a L

L=6m (c) Charge linéique triangulaire et rectangulaire

Solution: → − Structure 4.4(a) : La charge linéique f est remplacée par un torseur glisseur appliqué au barycentre de la charge répartie G, milieu de CD : → − — La résultante F de la charge répartie s’obtient par : Z xD → − → − → − − − F = f dx = f (xD − xC ) = −200N/m→ ey (4 − 2)m = −400N→ ey . xC

NB : La résultante représente la surface de la charge répartie.

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— Le moment calculé au point G, centre géométrique de la charge répartie, est nul. En appliquant le PFS à la structure, on trouve ( A ( Rx 0 = RyA 600N     0 0       0 0 =        MA  1400N · m z

Solution: → − Structure 4.4(b) : La charge linéique triangulaire f est remplacée par son torseur calculé au 2/3 de CD. Ce point, noté G, représente le centre géométrique suivant x de la charge répartie triangulaire. Le torseur de la charge répartie, calculé en G, se réduit à une résultante sans moment : → − — La résultante F de la charge répartie s’obtient par la surface de la charge répartie CD · 200N/m → − − F =− = −200N→ ey . 2 — Le moment calculé au point G, est nul. En appliquant le PFS, on trouve (   0    0     MA z

4.6.15

( RAx 0 = RyA 400N   0    0 =    2600/3N · m

Étagère

√ Un système, composé de deux barres rigides numérotées 1 et 2 de longueurs L et 2L articulées aux points A, → − → − B et C. Il est soumis a une charge linéique variant linéairement du point A (valeur f 1 ) au point B (Valeur f 2 ).

f1

f2

A 2

B 45°

1

C −−→ 1. Déterminer le torseur de la charge linéique en un point P de la poutre AB, tel que AP = (x p , 0, 0). 2. On voudrait remplacer la charge linéique par une force concentrée seule (sans moment). A quel endroit faut-il la placer ?

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3. Déterminer les réactions d’appuis en A et C et la force d’interaction des deux barres au point B (facultatif).

4.6.16

Retenue d’eau

Soit une retenue d’eau sous forme de triangle droit de côtés L, d’une épaisseur e = 1m et de masse volumique ρ. Elle est appuyée aux points A et B et est soumise à la pression de l’eau sur le côté AC. Calculer les réactions des appuis A et B.

C

eau B

A

Remarque : La pression de l’eau sur AC varie linéairement, nulle en C et égale à ρgL en A.

4.6.17

Statique d’un portique isostatique

On considère un portique plan constitué de trois poutres reliées en C et D par des liaisons rigides. L’appui A est → − → − −z est libre) et l’appui B est simple (déplacement double (déplacements bloqués suivant i et j , la rotation suivant → → − → − −z libre). Les dimensions du portique sont AC = BD = h et libre suivant i bloqué suivant j et la rotation suivant → CD = a. → − → − On charge la structure latéralement (sur AC) avec une force linéique q de résultante P = qh i . On néglige le poids propre de la structure et on fait l’hypothèse des petites déformations. includegraph[]portique1.eps 1. Déterminer les réactions des appuis A et B sur la structure. 2. Calculer les efforts agissant sur la barre CD (Actions des barres AC et BD sur CD) Réponses 1. Degré d’hyperstaticité = 0 2. RAx = −q h

2

RyA = − q2ah

RyB =

q h2 2a

       0  0             → − → − 2     0 ac/cd qh 3. torseur des action de AC sur CD τ/c =  R = ; M = −    /C    2a            0   − q h2 2         0        0       →  q h2    − −    →    0  torseur des action de BD sur CD τac/cd = ; M /C =  R =       /c 2a          0       0  

4.6.18

                  

suite

On considère le portique suivant constitué de quatre poutres reliées de façon rigide en D et E et articulées en A, B et C. Les caractéristiques géométriques sont définies sur la figure. On néglige le poids propre des poutres et → − → − on considère l’effet d’une charge P = P i appliquée en K sur CE.

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E

B

D

h

j

K

i A

a

C

P d

b

1. Déterminer les réactions des appuis A et C sur la structure. 2. On considère la partie BEC, Montrer que les trois forces agissant sur elle (l’action de l’appui C, l’action de P et l’action de ADB en B) concourent au même point.

4.6.19

Équilibre d’une structure treillis

On considère une structure treillis formée de cinq barres articulées en quatre nœuds O, A, B et C. On suppose que toutes les articulations sont parfaites (pas de frottement). Les dimensions géométriques et le chargement sont indiqués sur la figure. On néglige le poids propre des barres.

O 60°

l

C

30°

l

l

B

l

2F

F

A 1. Déterminer les réactions d’appuis en O et A. 2. Calculer l’effort normal encaissé par chacune des barres.

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Chapitre

5

Mouvements des repères - cinématique des solides Dans ce chapitre, on s’intéresse au mouvement des solides indéformables et ce que la propriété d’indéformabilité des solides considérés implique comme particularités sur le champ de vitesse.

5.1

Solide indéformable

Définition : (5.1) On appelle solide indéformable un ensemble de points discret ou continu dont les distances mutuelles restent invariantes au cours du temps .

Il n’est pas alors nécessaire à ce que ces points soit matérielle : par exemple le centre d’un anneau de matière indéformable et considéré comme faisant partie de l’anneau puisque il ne bouge pas par rapport à l’anneau. Il en est de même pour tout autre point dont la position reste fixe par rapport au solide considéré. On peut parler alors de solide imaginaire représenté par trièdre, ou représenter un solide réel par un repère qui lui est rattaché.

z

z0

O

S O0

y0

y

x

x0 Figure 5.1 – Repère d’observation, repère lié au solide en mouvement Le mouvement d’un solide est toujours rapporté à un référentiel d’observation. Sur la figure 5.1, le repère d’observation est noté R0 (O0 , x0 , y0 , z0 ) et le repère rattaché au solide est noté R(O, x, y, z). Les grandeurs vecto→ − rielles V définies en un point P du solide S observées dans R0 , telle que le vecteur vitesse par exemple, seront → − notées : V P (S/R0 ).

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5.2

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Angles d’Euler

Les paramètres les plus utilisés pour passer d’un à un   repère →  autre sont les angles d’Euler. Le passage du repère − → − → − → → − → − − absolu R0 O, i0 , j0 , k0 au repère lié au solide R3 O, i3 , j3 , k3 , on utilise les trois rotations successives de la figure 5.2 :

k0 ,k1

Ψ

k 2 ,k3

φ

j3 j2

j1

i3

i0

j0

i1 ,i2

θ Figure 5.2 – Angles d’Euler

  − − → − → − → → − → − → R0 O, i0 , j0 , k0 ⇒ R1 O, i1 , j1 , k1   − − → − → − → → − → − → R1 O, i1 , j1 , k1 ⇒ R2 O, i2 , j2 , k2   − − → − → − → → − → − → R2 O, i2 , j2 , k2 ⇒ R3 O, i3 , j3 , k3

rotation

→ − Ψk0

rotation

→ − θ i1

rotation

→ − φk2

Définition : Les paramètres (Ψ, θ, φ) sont appelés angles d’Euler. — Ψ angle de précession — θ angle de nutation — φ angle de rotation propre

(5.2)

Les vecteurs vitesse de rotation des différents repères sont : → − → − ω (R1 /R0 ) = ψ˙ k0

→ − → − ω (R3 /R2 ) = φ˙ k2

→ − → − ω (R2 /R1 ) = θ˙ i1

(5.3)

La combinaison de ces trois vecteurs de base permet de construire différents vecteurs de vitesse de rotation. Par exemple : → − − − − ω (R /R ) = → ω (R /R ) + → ω (R /R ) + → ω (R /R ) 3

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0

3

2

2

—

1

1

0

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5.3 5.3.1

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Trajectoire, champs de vitesse et d’acceleration d’un solide Trajectoire

Définition : Vecteur position. (5.4) Les positions sont repérés par le vecteur qui pointe de l’origine du repère, O supposée fixe, vers le lieu −−→ du point observé M. Le vecteur OM est appelé vecteur position.  − → − → − → Il est projeté dans une des bases du repère R O; i , j , k . On écrit : → − −−→ → − → − Om = x i + y j + z k

ou bien

   x    −−→     y Om =        z  R

l’indice bas droit, R, rappelle la base de projection. L’ensemble des positions occupées par le point m au cours du temps est appelé trajectoire. Les coordonnées du point m sont alors fonction du temps t et de la position initiale m0 occupée par le point à l’instant initial.

5.3.2

Vitesse

Définition : Vitesse. (5.5) La vitesse d’un point matériel m, relativement à un repère d’observation R0 , est définie comme la dérivée du vecteur position dans R0 par rapport au temps. La dérivée est effectuée dans R0 . dR0 −−→ − v→ Om m (/R0 ) = dt Lorsque la trajectoire est celle d’une particule situé au point m et appartenant à un solide S en mouvement, sa vitesse observée dans le repère R0 s’écrit :  R  −→ → −v (S/R ) = d 0 − Om m 0 dt Ici S rappelle le solide auquel appartient la particule m.

5.3.3

Accélération

Définition : Accélération. (5.6) L’accélération d’un point matériel m, relativement à un repère d’observation R0 , est définie comme la dérivée du vecteur vitesse de la même particule par rapport au temps. La dérivée est effectuée dans R0 . i d R0 h− − v→ γ→ m (/R0 ) = m (/R0 ) dt

y

R → −γ (S/R ) = d 0 h→ −v (S/R )i m 0 m 0 dt

V m (S / R ) m

V 0 (S / R ) O Figure 5.3 – Trajectoire et vecteur vitesse d’un point périphérique d’un disque

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La figure ci-dessus illustre la trajectoire d’un point périphérique d’un disque en roulement sur un plan.

5.4

Champ de vitesse d’un solide

 − → − → − → On considère un solide S en mouvement, observé dans un repère R0 O0 , i0 , j0 , k0 . On associe au solide un  − → − → − → repère qui lui est lié, noté R O, i , j , k . Une particule quelconque m du solide S est repérée dans par son vecteur −−→ position Om . Sa vitesse est définie par : dR0 −−→ −→ Om Vm (S/R0 ) = dt

5.4.1

Propriétés des champs de vitesses des solides rigides

Les points matériels d’un solide rigide indéformable gardent une distance invariante au cours du temps. Un couple de particules quelconques a et b, appartenant à un même solide S , a une distance constante :

− →

2 − → − →

ab

= ab · ab = constante Par dérivation par rapport au temps, on obtient : dR0 dt

" #

− dR0 − → 2 → − → dR0 − → − → − → dR0 − → ab · ab = ab · ab + ab · ab = 0

ab

= dt dt dt

Finalement :  − → dR0 − → − → − → − → ab · ab = ab · Vb (S/R0 ) − Va (S/R0 ) = 0 dt Cette dernière relation montre que le champ de vitesse d’un solide rigide est équiprojectif. Résultat : Equiprojectivité et antisymétrie du champ de vitesse d’un solide indéformable ~ m (S /R0 ) d’un solide indéformable est un champ équiprojectif : Le champ de vitesse V

(5.7)

− → − − → − → → ab · Vb (S/R0 ) = ab · Va (S/R0 )

− Il existe alors un vecteur → ω associé à une application antisymétrique Ω (voir équations 2.10 et 2.11) tel que : − → → − → − V b (R/R0 ) − V a (R/R0 ) = Ω (R/R0 ) · ab

Résultat : Relation de transport des vitesses On retiendra cette relation importante sur les vitesses entre deux particule a et b d’un solide S − → − → − → − V b (R/R0 ) = V a (R/R0 ) + ba ∧ → ω (R/R0 )

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Cette dernière relation montre que le champ de vitesse d’un solide rigide est un champ antisymétrique de − vecteur résultant → ω (R/R0 ). Le torseur cinématique au point est défini par le vecteur résultant et la vitesse de ce point. On écrit :  →    −  w (R/R0 )    [Ca ] =  (5.11) −    → (R/R ) Va 0 

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5.4.2

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Dérivation d’un vecteur de longueur constante

Considérons un vecteur de longueur constante évoluant dans un repère R0 . Désignons pour plus de clarté ses extrémités par a et b. Du fait que le vecteur soit de longueur constante, les point a et b forme un solide indéformable. de ce fait la relation 5.8 permet d’écrire : −  − dR0 − → dR0 −−→ −−→ → → → − → − − ab = O0 b − O0 a = V b (R/R0 ) − V a (R/R0 ) = → ω ab/R0 ∧ ab dt dt Résultat : dérivation par rapport au temps d’un vecteur de norme constante − → Si ab est de norme constante dans le temps, alors :  − dR0 − → − − → → ab = → ω ab/R0 ∧ ab dt

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Ce résultat est intéressant, notamment pour la dérivation des vecteurs de base. Si R1 (O;~i1 , ~j1 , ~k1 ) est une base mobile dans R0 , on a alors les relations suivantes : dR0 dt d R0 dt dR0 dt

5.4.3

  → − i1   → − j1 → − k1

→ − − = → ω (R1 /R0 ) ∧ i1

(5.15)

→ − − = → ω (R1 /R0 ) ∧ j1

(5.16)

→ − − = → ω (R1 /R0 ) ∧ k1

(5.17)

Signification géométrique de la résultante cinématique

Reprenons la relation 5.8 : dR0 − → dR0 −−→ −−→ → − → − − → − → − ab = O0 b − O0 a = V b (R/R0 ) − V a (R/R0 ) = Ω (R/R0 ) .ab = → ω (R/R0 ) ∧ ab (5.18) dt dt  −−−−−−→ − → − → − → − → Prenons comme vecteur ab les vecteurs de la base R O, i1 , j1 , k1 rattachée au solide et notons ω(R/R0 = → − → − → − ω1 i1 + ω2 j1 + ω3 k1 dR0 dt d R0 dt dR0 dt

  → − i1   → − j1 → − k1

→ − → − → − − = → ω (R/R0 ) ∧ i1 = −ω2 k1 + ω3 j1

(5.19)

→ − → − → − − = → ω (R/R0 ) ∧ j1 = ω1 k1 − ω3 i1

(5.20)

→ − → − → − − = → ω (R/R0 ) ∧ k1 = −ω1 j1 + ω2 i1

(5.21)

On montre que :     → − dR0 → − → − → − dR0 → − → − dR0 → − → − → − i1 ∧ i1 + j1 ∧ j1 + k1 ∧ k1 = i1 ∧ (−ω2 k1 + ω3 j1 ) + dt dt dt → − → − → − j1 ∧ (ω1 k1 − ω3 i1 ) + → − → − → − k1 ∧ (−ω1 j1 + ω2 i1 ) → − → − → − → − → − → − = (ω2 j1 + ω3 k1 ) + (ω1 i1 + ω3 k1 ) + (ω1 i1 + ω2 j1 ) − = 2→ w(R/R ) 0

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~ (R1 /R0 ) Définition : Vecteur vitesse de rotation ω (5.22) ~ (R1 /R0 ) du repère R1 (O1 ;~i1 , ~j1 , ~k1 ) par rapport R0 (O0 ;~i0 , ~j0 , ~k0 ) est définie par : La vitesse de rotation ω !     → 1 → − dR0 → − − dR0 → − → − dR0 → − → − i1 ∧ i1 + j1 ∧ j1 + k1 ∧ k1 w(R/R0 ) = (5.23) 2 dt dt dt

5.5

Champ d’accélération d’un solide

A partir de la relation 5.10 et par dérivation par rapport au temps, on établit la relation de transport de l’accélération entre deux points d’un solide indéformable.  dR0 −  dR0 → d R0 → → − − − V b (R/R0 ) = V a (R/R0 ) + ba ∧ → ω (R/R0 ) dt dt dt   − → dR0 → − → − − → −γ (R/R ) = → −γ (R/R ) + → → − (R/R ) (R/R ) ω (R/R0 ) V − V b 0 a 0 a 0 b 0 ∧ ω (R/R0 ) + ba ∧ dt  − → − − → dR0 → → −γ (R/R ) = → − −γ (R/R ) + −→ − ω (R/R0 ) ω (R/R0 ) ∧ ba ∧ → ω (R/R0 ) + ba ∧ b 0 a 0 dt Résultat : Relation de transport des accélérations (5.24) On établit la relation de transport des accélération entre deux particules a et b d’un solide indéformable S sous la forme suivante : − → − → dR0 → → −γ (R/R ) = → −γ (R/R ) + → − − − ω (R/R0 ) ∧ → ω (R/R0 ) ∧ ba + ba ∧ ω (R/R0 ) b 0 a 0 dt

5.6

(5.25)

Relation de dérivation entre les repères

  − − → − → − → → − → − → → − On considère un vecteur U de composantes hx0 , y0 , z0 i dans R0 O0 ; i0 , j0 , k0 et hx, y, zi dans R O, i , j , k . → − On se propose d’établir une relation entre les dérivées de U dans les deux repères :  dR0 → − U = dt = = = =

dR0  → → − − → − x i +y j +zk dt   dR0 → dR0 → dR0 → dR0 − − → − d R0   → − dR0 → − − [x] i + [z] k + x i +y j +z k y j + dt dt dt dt dt dt dR  → → − → − − → − → − → − − − − x i + y j + z k + x→ ω(R/R0 ) ∧ i + y→ ω(R/R0 ) ∧ j + z→ ω(R/R0 ) ∧ k dt dR  → → − → − − − → − → − − → − − x i + y j + z k +→ ω(R/R0 ) ∧ x i + → ω(R/R0 ) ∧ y j + → ω(R/R0 ) ∧ z k dt  dR → − → → − U +− ω(R/R0 ) ∧ U dt

Résultat : Relation de dérivation entre deux repères  dR   dR0 → − → − → → − U = U +− ω (R/R0 ) ∧ U dt dt

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(5.26) (5.27)

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5.7

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Vitesse de glissement au point de contact de deux solides

Considérons le cas ou deux solides S1 et S2 se touchent sur une surface supposée petite. On idéalise le contact en considérant que la surface de contact peut être ramenée à un point géométrique noté I. Cette hypothèse se justifie par le fait que les corps sont supposés indéformables. Au point de contact I, on peut distinguer trois points coïncidents, deux sont matériels et le troisième est imaginaire : → − — Le point matériel appartement au solide S1 dont la vitesse est notée VI (S1 /R0 ). → − — Le point matériel appartement au solide S2 dont la vitesse est notée VI (S2 /R0 ). — Le lieu géométrique où le contact se produit.

Trajectoire de I∈ à (S1)

Trajectoire de I : lieu géométrique de conttact

Trajectoire de I∈ à (S2)

Figure 5.4 – Point de contact, vitesse de glissement

Définition : La vitesse de glissement du corps S1 sur le corps S2 est définie par :

(5.28)

→ − → − → − VI (S1 /S2 ) = V I (S1 /R0 ) − V I (S2 /R0 ) Inversement, la vitesse de glissement du corps S2 sur le corps S1 est définie par : → − → − → − VI (S2 /S1 ) = V I (S2 /R0 ) − V I (S1 /R0 )

La vitesse de glissement des corps les uns par rapport aux autres sont opposées. On parle de roulement sans glissement entre deux corps si la vitesse de glissement à leur point de contact est nulle.

5.8 5.8.1

Exercices Vitesse de rotation instantannée

On donne les trois points suivants d’un solide S ? supposé indéformable définis par leurs coordonnées dans un repère orthonormé direct : A(0, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 1, 1). Les vecteurs vitesse à un instant donné t0 des points A, B, C ont respectivement pour composantes : (2, 1, −3), (0, 3, −1) et (−1, 2, −1). Déterminer le vecteur de rotation du solide à cet instant.

5.8.2

Pendule double

On s’intéresse à la vitesse d’un point P situé à l’extrémité d’une barre O1 P de longueur constante égale à r. Elle tourne autour de l’axe O1 z et sa position est repérée par l’angle θ, fonction du temps. Le point O1 est lui même

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placé à l’extrémité d’une barre O0 O1 de longueur constante égale à R. Cette dernière tourne autour de l’axe O0 zo , le point O0 étant fixe dans le repère R0 . Sa position est repérée par l’angle φ, fonction du temps également. −→ Calculer VP (O1 P/R0 ). Que pensez vous du cas où φ(t) = −θ(t)

y0

O0

y O1 x0 x 5.8.3

Roulement à billes

Soit le système de la figure ci-contre constitué de deux couronnes cylindriques intérieure et extérieure de diamètres respectifs d et D. Un disque est placée entre les deux couronnes, le contact en A et en B se fait sans glissement. Les rotations sont indiquées par rapport à l’espace fixe R0 , elles se font autour de l’axe Oz0 normal au plan de la figure.

y0

E2

u B

C

v

E3 A E1 D1 E4

x0

O0

— Espace E1 : couronne intérieure, diamètre d, vitesse angulaire ω1 . — Espace E2 : couronne extérieure, diamètre D, vitesse angulaire ω2 . — Espace E3 : disque, vitesse angulaire ω3 . — Espace E4 : lié à Ouv, vitesse angulaire ω4 . Déterminer ω3 et ω4 connaissant ω1 et ω2 .

5.8.4

Tige 3D


Soit R0 O, ~x0 , ~y0 , ~z0 un repère orthonormé direct. Une tige rectiligne AB de longueur l est mobile dans R0

de la façon suivante : A se déplace sur O; ~z0 et B se déplace dans le plan O; ~x0 , ~y0 . On suppose que B ne vient jamais en O et que le montage permet pour la hauteur de A de prendre des valeurs positives et négatives. On pose :

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−−→ OB −−→ ~ = ~v ∧ ~z. ~u =

−−→

, ~v = ~z0 ∧ ~u, AB = `~z, w

OB

La position de la tige dans R0 est repérée par les paramètres : α et β


On définit le repère R1 O; ~u, ~v, ~z0 . Toutes les quantités demandées sont à projeter dans R1 ~ A (AB/R0 ) etV ~ B (AB/R0 ). 1. Calculer V 2. Calculer ~γA (AB/R0 ) et~γB (AB/R0 ) ~ B (AB/R1 ) et ~γB (AB/R1 ) 3. Calculer V →

~ (P/R1 ) et V ~ (P/R0 ) 4. Soit P un point mobile sur la tige : AP = λ~z. Calculer V

5.8.5

Mécanisme d’un moulin

On considère le solide S formé d’un disque D de centre A et de rayon a, et d’une tige OA de longueur 2a −x ,→ −y ,→ −z ) ; Ox étant l’axe du disque. perpendiculaire en A au plan du disque. On lie à S un repère orthonormé R(O;→ → − → − → − Ce solide se déplace par rapport à un repère orthonormé fixe R0 (O0 ; x0 , y0 , z0 ) de telle sorte que : −−−→ −−−→ — O est un point fixe de O0 z0 tel que O0 O = a. — le disque roule sur le plan (O; x0 , y0 ), le point de contact étant appelé I. On repère la position du solide par rapport à R0 à l’aide des angles ψ autour de z0 et θ autour de x. On suppose que le mouvement observé dans R0 est uniforme, c’est-à-dire que ψ˙ et θ˙ sont constants. Tous les vecteurs demandés dans ce qui suit, seront projetés dans le repère orthonormé R2 (O; x2 ≡ x, y2 , z2 ≡ z0). 1. Par quelle transformation géométrique passe-t-on de R0 à R ? En déduire la vitesse de rotation de R par − rapport à R0 : → ω(R/R0 ). −→ 2. Soit P le point de coordonnées (2a, 0, a) par rapport à R. Par la méthode de votre choix, calculer VP (R/R0 ). 3. Calculer − γ→(R/R ). P

0

4. Calculer la vitesse de P lorsque ce point est confondu avec I. Que peut-on en conclure sur la vitesse de glissement de S par rapport au plan (O0 ; x0 , y0 ) ? Quelle est la condition de roulement sans glissement en I? 5. Dans l’hypothèse où S roule sans glisser sur le plan (O0 ; x0 , y0 ), Déterminer en fonction de ψ˙ les vecteurs −−−→ vitesse et accélération de P lorsqu’il se trouve au sommet de sa trajectoire ( à la cote 2a sur O0 z0.

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z0 y z

v

P

O A

O0

y0 x

x0

5.8.6

Roue de bicyclette

Une roue de centre O et de rayon R, tourne autour d’un axe horizontal à la vitesse angulaire constante ω1 . Cet axe tourne à son tour autour d’un axe vertical, passant par O, à la vitesse angulaire constante ω2 . Calculer la vitesse et l’accélération d’un point de la périphérie de la roue au moment où il passe par sa position la plus élevée.


k


v

ω1
u

ω2

5.8.7

calcul de la vitesse de glissement

On reprend le problème vu au chapitre de statique (Exercice ??) et on se propose d’étudier le mouvement des deux disques. Dans cette partie de l’étude, le ressort est retiré. Dans toute la suite, on supposera que les contacts → − − en M, I et N sont réalisés en permanence. On note → ω(D1 /R) = θ˙1 k , la vitesse de rotation du disque D1 observée → − − dans R et → ω(D2 /R) = θ˙2 k , la vitesse de rotation du disque D2 observée dans le même repère.

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y

2

P2

C2

N D2

I D1

C1 M

1

P1

x

1. Exprimer les quantités λ1 et λ2 en fonction de l’angle ψ pour une position courante. En déduire les relations sur les vitesses de ces paramètres. On considère le cas d’un contact en M et en I non glissant et celui en N glissant 2. Exprimer θ˙1 en fonction de λ˙ 1 ensuite en fonction de ψ˙ et de ψ. 3. Établir la vitesse de C2 , centre du disque D2 , de deux manières différentes (Par dérivation du vecteur position et par transport des vitesses). ˙ Exprimez alors θ˙2 en fonction de ψ. ˙ 4. En déduire une relation que doivent satisfaire θ˙1 , θ˙2 et ψ. 5. Déterminer la vitesse de glissement du disque D2 au point N, en fonction de ψ˙ et de R. On considère le cas d’un contact en M et en N non glissant et celui en I glissant ˙ 6. Établir la relation entre θ˙1 et λ˙ 1 , ainsi que la relation entre θ˙2 et λ˙ 2 . Exprimer θ˙1 et θ˙2 en fonction de ψ et ψ. ˙ ψ et de R. 7. Établir la vitesse de glissement de D1 par rapport à D2 en I en fonction de ψ,

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Chapitre

6

Géométrie des masses 6.1

Systèmes matériels

En mécanique newtonienne, un système matériel est défini comme un ensemble fini ou infini de points matériels. L’étude de son évolution dans le temps consiste à suivre chacun de ces points matériels. La définition ci-dessus nous permet de diviser à volonté tout système matériel en d’autres systèmes matériels. La représentation géométrique est faite à l’aide de frontières fermées linéiques pour les corps " bidimensionnels " ou surfaciques pour les corps tridimensionnels. Dans le cadre de ce cours, on s’arrangera toujours à subdiviser les systèmes matériels en sous-systèmes indéformables afin de pouvoir utiliser les outils d’analyse cinématique établis au chapitre précédent.

Définition : Système matériel (6.1) On appelle un système matériel un lot invariable de matière ne présentant aucun échange de matière avec le reste du monde.

6.2

Masse, masse spécifique

La masse d’un système matériel n’est pas facile à définir. On dira simplement que c’est la quatité de matière que contient le système. Elle est représenté par un scalaire positif et invariant au cours de l’évolution du système mécanique. Elle a la propriété d’additivité : la masse d’un système mécanique S est la somme des masses des n sous-systèmes S i qui le composent : m (S ) =

n X

m (S i )

i=1

Dans le cas des solides indéformables, la subdivision géométrique en sous-systèmes matériels peut être répétée indéfiniment. Les volumes des sous-systèmes ainsi obtenus deviennent des infiniment petits notés dv. Leurs masses dm sont aussi infiniment petites.

Définition : Masse spécifique On définit alors la notion de masse par unité de volume au point M où se situe le volume dv par : ρ (M) =

dm dv

ρ (M) est aussi appelée masse volumique ou masse spécifique.

(6.2)

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6.3

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Centre de masse

Définition : Centre de masse d’un système discret. (6.3) On appelle centre d’inertie ou centre de masse d’un système matériel composé de plusieurs points matériels Mi de masse mi le point G défini par son vecteur position : n

1 X −−−→ m (S i ) OMi m(S ) i=1

−−→ OG =

(6.4)

Il découle de cette définition la relation suivante n n  n    X −−→ −−−→ X −−−→ −−→ X mi (S ) OG = 0 m (S i ) OMi − m (S i ) OMi − m (S ) OG = i=1

i=1

i=1 n X

− −−−→ → m (S i ) GMi = 0

i=1

M1 Mn G M2

Mi

M O La définition du centre de masse donnée ci-dessus peut-être étendue au cas d’une distribution matériel continue. Définition : Centre de masse d’un système continu Pour un solide S le centre de masse est donne par la somme suivante sur son volume : Z Z 1 1 −−→ −−→ −−→ OG = OMdm = OMρ (M) dv m (S ) m (S ) S

(6.5)

(6.6)

S

On retrouve ici la notion de moyenne barycentrique pondérée par les éléments de masse dm. Résultat : La relation 7.2 peut être établie pour un solide quelconque de centre de masse G . elle s’écrit : Z → − −−→ GMdm = 0

(6.7)

(6.8)

S

6.4

Symétrie matérielle

(6.9) Définition : On dit qu’un système mécanique présente une symétrie matérielle par rapport à un point, une droite, ou un plan, si la masse volumique de tout point du système est égale à la masse volumique du point qui lui est symétrique.

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On peut facilement montrer que l’élément de symétrie (point, droite, plan) contient le centre de masse du système :

6.5

Théorème de Guldin

Le mathématicien Guldin a démontré deux théorèmes utiles pour le calcul du centre de masse de corps simples. Le premier théorème est relatif au calcul du centre de masse des corps surfaciques de révolution et le deuxième est relatif au calcul du centre de masse des corps volumiques de révolution. Ces deux théorèmes s’énoncent comme suit :

Théorème : Guldin (6.10) — L’aire de la surface engendrée par la rotation d’une courbe plane autour d’une droite, située dans le même plan que la courbe et ne la coupant pas, est égal au produit de la longueur de la courbe par le périmètre du cercle engendré par rotation de son centre géométrique. S = 2πrG l — Le volume du corps engendré par la rotation d’une surface plane autour d’une droite, située dans le même plan que la surface et ne la coupant pas, est égal au produit de l’aire de la surface par le périmètre du cercle engendré par rotation de son centre géométrique. V = 2πrG S

S

rG





S

V=2πrGS rG G : centre de masse de


G : centre de masse de S

6.6

Moment d’inertie

Dans un repère d’observation R(O, x, y, z), Considérons une masse ponctuelle m et une droite (∆) orientée par −n . na normale →

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   Définition : Moment d’inertie (6.11) On appelle moment d’inertie par rapport à une droite ∆ d’une masse ponctuelle m située au point M, la quantité scalaire définie par : I∆ (m) = m (HM)2 (6.12) H est le point de projection orthogonale du point M sur la droite ∆.

6.6.1

Opérateur d’inertie

A partir de la définition du moment d’inertie, équation 7.2, on peut mettre en évidence la notion d’opérateur d’inertie qui est très largement utilisée dans le cas des problèmes de corps rigides. La distance HM peut s’écrire en fonction des coordonnées du point M et du vecteur directeur de la droite ∆.

−−→

2  −n = x2 + y2 + z2  − (αx + βy + γz)2 kHMk2 = kOMk2 − kOHk2 = kOMk2 −

OM.→

      kHMk2 = 1 − α2 x2 + 1 − β2 y2 + 1 − γ2 z2 − 2αβxy − 2αγxz − 2βγxz α2 + β2 + γ2 = 1

1 − α2 = β2 + γ2 , 1 − β2 = α2 + γ2 , 1 − γ2 = α2 + β2

⇒

Finalement       kHMk2 = α2 y2 + z2 + β2 x2 + z2 + γ2 x2 + y2 − 2αβxy − 2αγxz − 2β Cette dernière expression peut se mettre sous une forme quadratique : kHMk2 =

n

α

β

 2 2 o  y + z  γ  −xy  −xz

−xy x 2 + z2 −yz

−xz −yz x2 + y2

    α         β        γ  

Résultat : (6.13) −n Finalement, le moment d’inertie d’une masse ponctuelle m par rapport à une droite ∆ de direction → s’écrit :  2   y + z2 −xy −xz    −n T [J (m)]→ −n x2 + z2 −yz  [JO (m)] = m  −xy I∆ (m) = → avec (6.14) O  2 2  −xz −yz x +y [JO ] représente l’opérateur d’inertie de la masse m par rapport au repère de projection RO (x, y, z). Cette notion d’opérateur d’inertie est étendue au cas de distribution continue de masse représentant un solide S :

Définition : tenseur d’inertie d’un solide Rabah BOUZIDI

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(6.15) Le tenseur d’inertie d’un solide S est défini par :  Z  y2 + z2  [JO (S )] =  −xy −xz S

6.6.2

−xy x2 + z2 −yz

−xz −yz x2 + y2

   dm

Axes principaux d’inertie

Il est possible de trouver un repère dans lequel l’opérateur d’inertie est diagonal. Un tel repère est appelé repère principal d’inertie. Si ce dernier est centré sur le centre de masse du corps considéré, il est dit repère principal central d’inertie. Sa forme est :    Iox 0 0    [IO (S )] =  0 Ioy 0  repère principal d’inertie   0 0 Ioz    IGx 0 0    [IG (S )] =  0 IGy 0  repère principal central d’inertie   0 0 IGz Le calcul pratique du repère principal d’inertie consiste à trouver les valeurs propres, appelées moment d’inertie principaux, et les vecteurs propres correspondant aux directions principales d’inertie.

6.6.3

Effet des plans de symétrie matérielle sur les produits d’inertie

Quand un corps présente un plan de symétrie dans le repère d’étude, cela a pour conséquence d’annuler certains produits d’inertie. L’objet de ce paragraphe est de préciser la règle qui permet d’identifier les termes nuls en cas de symétrie. Pour fixer les idées, considérons un corps S pour lequel on souhaite calculer le tenseur d’inertie dans un repère R(O; x, y, z). Cas où (O; x, y) est un plan de symétrie : Dans ce cas, pour toute particule de cote z, on peut trouver la particule qui lui est symétrique par rapport au plan (O; x, y), située à la cote −z. Si l’on décompose le solide S par le plan de symétrie en S 1 tel que z >= 0 et S 2 tel que z < 0, on peut écrire les produit d’inertie faisant intervenir z sous la forme :     Z Z Z Z  Z      IOxz = − xzdm = −  xzdm + xzdm = −  xzdm + x(−z)dm = 0     S

S1

S2

S1

S1

Il en est de même pour le produit d’inertie IOyz :     Z Z Z Z  Z      IOyz = − yzdm = −  yzdm + yzdm = −  yzdm + y(−z)dm = 0     S

S1

S2

Cas où (O; x, z) est un plan de symétrie : intervenir y sont nuls : IOxy = IOyz = 0 Cas où (O; y, z) est un plan de symétrie :

S1

S1

On montre de la même façon que les produits d’inertie faisant

Les produits d’inertie faisant intervenir x sont nuls : IOxy = IOxz = 0

Remarque : (6.16) On remarque que si le solide présente deux plans de symétrie, cela suffit à annuler tous les produits d’inertie (tenseur d’inertie diagonal). Le repère d’étude est dans ce cas le repère principal d’inertie.

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6.6.4

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Cas des corps plans

Quand un corps s’inscrit dans un des plan du repère d’étude, cela a pour conséquence d’annuler également certains termes dans le tenseur d’inertie. L’objet de ce paragraphe est de préciser la règle qui permet d’identifier les termes nuls dans le cas des corps plans. Considérons un corps S pour lequel on souhaite calculer le tenseur d’inertie dans un repère R(O; x, y, z). Cas d’un corps dans le plan (O; x, y) : Dans ce cas, toute particule du solide S a une sa coordonnée z nulle. Le tenseur d’inertie se simplifie en :  Z  y2 + z2   −xy [JO (S )] =  −xz S

−xy x2 + z2 −yz

−xz −yz x 2 + y2

 Z   = dm |{z} z=0

S

 2  y −xy  2  −xy x 0 0

0 0 x 2 + y2

   dm

( →

IOxz = IOyz = 0 IOzz = IOxx + IOyy

Cas d’un corps dans le plan (O; x, z) : Dans ce cas, toute particule du solide S a une sa coordonnée y nulle. Le tenseur d’inertie se simplifie en :  Z  y2 + z2   −xy [JO (S )] =  −xz S

−xy x2 + z2 −yz

−xz −yz x 2 + y2

 Z   = dm |{z} y=0

S

 2  z   0 −xz

0 x2 + z2 0

−xz 0 x2

   dm

( →

IOxy = IOyz = 0 IOyy = IOxx + IOzz

Cas d’un corps dans le plan (O; y, z) : Dans ce cas, toute particule du solide S a une sa coordonnée x nulle. Le tenseur d’inertie se simplifie en :  Z  y2 + z2   −xy [JO (S )] =  −xz S

6.7

−xy x2 + z2 −yz

−xz −yz x 2 + y2

 Z   = dm |{z} x=0

S

 2  y + z2  0  0

0 z2 −yz

0 −yz y2

   dm

( →

IOxy = IOxz = 0 IOxx = IOyy + IOzz

Théorème d’Huygens

Huygens a établi la relation entre l’opérateur d’inertie écrit dans le repère RO (x, y, z) et le repère qui lui est equipollent, centré sur le centre de masse du corps S - RG (x, y, z). La relation entre les coordonnées des deux repères sur les coordonnées d’un point M s’écrit :    ∗    x x x         ∗  g y y y + =    g        z  z∗  z g

z

G x

z

O

y

y

x

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L’opérateur d’inertie s’écrit :  R  2    2  R   − x∗ + xg y∗ + yg dm y∗ + yg + z∗ + zg dm  S 2    2  R  R S  ∗ ∗ x∗ + xg + z∗ + zg dm [IO (s)] =  − x + xg y + yg dm S S    R   − R  x∗ + x  z∗ + z  dm − y∗ + yg z∗ + zg dm g g S

S

  x∗ + xg z∗ + zg dm S   R  − y∗ + yg z∗ + zg dm 2  2  R  S x∗ + xg + y∗ + yg dm −

R 

       

S

En tenant compte de l’équation 7.4, il reste :   [IO (s)] = 

 R  y2g + z2g dm S R − xg yg dm SR − xg zg dm S

n

R − xg yg dm  R S xg2 + z2g dm S R − yg zg dm S

−

R SR

xg zg dm

− yg zg dm  R S xg2 + y2 g dm S

     +   

R 

 y∗ 2 + z∗2 dm

S − −

R SR

x∗ y∗ dm

R − x∗ y∗ dm  R  S x∗2 + z∗ 2 dm

−

S

x∗ z∗ dm

− y∗ z∗ dm  R  S x∗2 + y∗2 dm S

S x∗ z∗ dm

R SR

− y∗ z∗ dm S R

   

o

Les coordonnées xg , yg , zg sont invariantes par rapport à la sommation sur le volume du corps. Finalement on établit le théorème d’Huygens qui permet d’écrire le moment d’inertie entre le repère centré sur le centre de masse G et un repère quelconque sous la forme suivante :  2  yg + z2g  [IO (S )] = [IG (S )] + m (S )  −xg yg  −xg zg

−xg yg xg2 + z2g −yg zg

−xg zg −yg zg xg2 + y2g

   

(6.17)

Cette dernière relation est connue sous le nom du théorème d’Huygens. On l’écrit symboliquement : Théorème : Huygens (6.18) Le théorème d’huygens met en relation l’opérateur d’inertie central [IG (S )] et l’opérateur d’inertie dans un repère centré en O, [IO (S )] :   −−→ [IO (S )] = [IG (S )] + transport OG (6.19)

6.8 6.8.1

Exercices Centre de masse

Trouver le centre de masse des solides homogènes suivants : — demi-cercle de rayon R (réponse 2R/π) — demi-disque de rayon R (réponse 4R/3π) — demi-sphère vide de rayon R (réponse R/2) — demi-sphère pleine de rayon R (réponse 3R/8) — cone de rayon R et de hauteur h (réponse 3h/4)

6.8.2

Théorème de Guldin

Surfaces de révolution : Démontrer que l’aire engendrée par la rotation d’une courbe plane autour d’une droite, située dans le même plan que la courbe et ne la coupant pas, est égale au produit de la longueur de la courbe génératrice par le périmètre du cercle engendré par la rotation du son centre géométrique de la courbe génératrice. Volumes de révolution : Démontrer que le volume engendré par la rotation d’une surface plan autour d’une droite, située dans le même plan que la surface et ne la coupant pas, est égale au produit de la l’aire de la surface génératrice par le périmètre du cercle engendré par la rotation de son centre géométrique de la surface génératrice. Application : — Calculer l’aire latérale d’un cône et celle d’un tore ; — Déterminer le centre géométrique d’un demi-cercle ; — Calculer le volume d’un cône et celui d’un tore ; — Déterminer le centre géométrique d’un demi-disque.

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—

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6.8.3

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Tenseurs d’inertie

Déterminer les tenseurs d’inertie relativement au repère orthonormé R(O; x, y, z), pour les solides homogènes noté S et de Masse m — une barre AB, rectiligne, de longueur l de milieu O, l’axe Oz est porté par la barre. En déduire à l’aide du théorème d’Huygens celui d’une barre OA, rectiligne, de longueur l l’axe Oz est porté par la barre.

z

z

A

A

O

y

x B

x

y

O

— un cercle de centre O et de rayon R, Oz est l’axe du cercle. — un disque de centre O et de rayon R, Oz est l’axe du disque. — une plaque rectangulaire de centre de masse O. L’axe Oz est normal à la plaque et les axes Ox et Oy sont parallèles aux cotés de la plaque. — une sphère creuse de centre O et de rayon R. — une sphère pleine de centre O et de rayon R. — un cône de révolution plein de sommet O, de demi-angle au sommet α, de hauteur h, de rayon de base R. Oz est l’axe de révolution du cône. — une sphère creuse a l’intérieur de laquelle on a fixé un point matériel P de même masse que la sphère. L’axe Oz est porté par OP. — un disque plein de centre O et de rayon R et par une tige rectiligne OA, normale au plan du disque, de longueur l, et de même masse que le disque. L’axe Oz est porté par OA.

6.8.4

Demi cylindre

On considère un solide S sous forme d’un demi-cylindre de rayon R et de hauteur h. Il est supposé homogène de masse volumique ρ. On défini un repère R(O, x, y, z) centré sur la base rectangulaire de S et dont l’axe z est confondu avec l’axe "de révolution" du solide.

z

B

y

O x

A

(S)

1. Déterminer la position du centre de masse de S en projection dans R. 2. Déterminer, en projection dans le repère R, la matrice d’inertie [JO (S)].

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3. En prenant R = h déterminer le moment d’inertie du solide S par rapport à la diagonale passant les points A et B.

6.8.5

Opérateur d’inertie d’une toupie

Un solide S est constitué de deux parties S 1 et S 2 soudées l’une à l’autre. S 1 est un cône de révolution homogène, de hauteur 2a égale au diamètre de la base. S 2 est une demi sphère homogène de diamètre 2a. La masse volumique de S 1 est le double de celle de S 2 . On appelle m la masse totale de S . 1. Déterminer la position du centre de masse de S . 2. Déterminer la matrice de l’opérateur d’inertie de S en o en fonction de m et de a.

S2

z

S1

y x 6.8.6

Quart de cylindre

Soit R(O, x, y, z) un repère lié à un solide S ayant la forme d’un quart de cylindre de révolution défini par : √ 3 2 2 2 x +y 6a a x>0 y>0 |z| 6 2     √

On appelle A et B les points de coordonnées : 0, 0, −

3 2 a

√

et 0, 0,

3 2 a

1. Trouver la matrice d’inertie de S en O, exprimée en R 2. Trouver la matrice d’inertie de S en O, exprimée dans le repère R1 (o, x1 , y1 , z) qui se déduit de R par une rotation de π/4 autour de Oz. 3. Trouver la matrice d’inertie de S en A, exprimée dans le repère R01 (A, x1 , y1 , z)

6.8.7

Opérateur central principal d’inertie

Déterminer l’opérateur central principal d’inertie du solide plan suivant :

y 3a

a

a

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2a

—

x

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—

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Chapitre

7

Cinétique La cinétique s’intéresse à la définition et à l’étude des grandeurs faisant intervenir la cinématique et la masse des corps. Ce chapitre s’appuie fortement sur les deux chapitres précédents et nous allons y définir le torseur cinétique, le torseur dynamique et l’énergie cinétique.

7.1 7.1.1

Torseur cinétique Cas d’un système de masses ponctuelles

Définition : Torseur cinétique d’une masse ponctuelle

(7.1)  − → − → − → Considérons une masse ponctuelle m située au point M par rapport à un repère R O, i , j , k et ayant → − une vitesse V (M/R). A cette masse en mouvement, nous associons le torseur cinétique défini par sa résultante appelée quantité de mouvement ou résultante cinétique : − → −p (M/R) = m→ V (M/R)

(7.2)

et son Moment en un point A quelconque, appelé moment cinétique : −−→ − −−→ → − − σ→A (M/R) = AM ∧ → p (M/R) = mAM ∧ V (M/R)

(7.3)

Cette définition est généralisée au cas d’un système S de n masses ponctuelles situées aux points Mi en sommant les quantités de chaque masse : → −p (S /R) =

N X → − mi V (Mi /R) i=1

7.1.2

et

− σ→A (S /R) =

N X → − −−−→ AMi ∧ mi Vi (Mi /R)

(7.4)

i=1

Cas d’un système matériel

Définition : Torseur cinétique d’un système matériel (7.5) Le torseur cinétique pour un solide S est obtenu en sommant sur l’ensemble du domaine du solide, les torseurs cinétiquess élémentaires relatives aux masses élémentaires dm suffisamment petites et supposées ponctuelles. Z Z −−→ −−→ −−→ → −p (S /R) = − V M (S /R) dm et σ→A (S /R) = AM ∧ V M (S /R) dm (7.6) S

S

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Bien évidemment, la résultante cinétique et le moment cinétique satisfont la relation de transport des torseurs : −−→ − − σ→A (S /R) = − σ→B (S /R) + AB ∧ → p (S /R) (7.7)

7.2

Torseur dynamique

De la même façon que précédemment, on définit le torseur dynamique ou le torseur des quantités d’accélération pour un système matériel par sa résultante dynamique et son moment :

7.2.1

Cas de masses ponctuelles

Définition : Torseur dynamique d’une masse ponctuelle (7.8) La résultante dynamique et le moment dynamique calculés au point A sont définis respectivement par : → − −γ (M/R) d (M/R) = m→

→ − −−→ −γ (M/R) δA (S /R) = AM ∧ m→

et

(7.9)

Dans le cas d’un système formé de N masses ponctuelles, les quantités précédentes s’écrivent : N

X → − −γ (M /R) mi→ d (S /R) = i

N

X −−→ → − −γ (M /R) δA (S /R) = AM i ∧ mi→ i

et

i=1

7.2.2

Cas des systèmes matériels

Définition : Torseur dynamique d’un système matériel De la même manière, on définit pour un système matériel le torseur dynamique en A par : Z Z → − → − −−→ → → − d (S /R) = γ M (S /R) dm et δA (S /R) = AM ∧ −γ M (S /R) dm S

7.3

(7.10)

i=1

(7.11)

(7.12)

S

Torseur cinétique et dynamique pour un solide indéformable

Dans le cas d’un solide rigide, nous tirons profit de la relation de transport du champ de vitesse (éq.5.10) pour simplifier les expressions des torseurs cinétique et dynamique afin de pouvoir les évaluer avec efficacité.

7.3.1

Calcul du torseur cinétique

 − → − → − → La résultante cinétique d’un solide S observé dans un repère R O, i , j , k est par définition :

→ −p (S /R) =

Z S

−−→ V M (S /R) dm =

Z S

  Z   d  −−→  d  d −−→ −−→ −→  OMdm = OM dm = m (S ) OG = m (S ) VG (S /R)   dt dt dt S

Résultat : On obtient alors la résultante cinétique pour un solide : → → −p (S /R) = m (S ) − VG (S /R)

Rabah BOUZIDI

—

(7.13)

(7.14)

page 80

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→ − −→ Pour le calcul du moment cinétique, il est simple de le calculer en un point A fixe : VA (S /R) = 0 dans ce cas on montre : Z Z   −−→ −−→ −−→ −→ −−→ − − σ→A (S /R) = AM ∧ V M (S /R) dm = AM ∧ VA (S /R) + MA ∧ → ω (S /R) dm S

S

On a alors − σ→A (S /R) =

Z

  −−→ → −−→ AM ∧ − ω (S /R) ∧ AM dm

S

On montre facilement la relation suivante

Z

  −−→ → −−→ AM ∧ − ω (S /R) ∧ AM dm

=

S

= =

      x ω           1      y ω ∧ ∧     2        z  ω      3

       dm      ω1 (y2 + z2 ) − ω2 xy − ω3 xz   −ω1 xy + ω2 (x2 + z2 ) − ω3 yz  dm 2 2  −ω1 xz − ω2 yz + ω3 (x + y ) S − [JA (S )] .→ ω (S /R)

 Z         S  Z    

x y z

Résultat : Finalement, si A est un point fixe dans le mouvement de S par rapport à R, on a : − − σ→A (S /R) = [JA (S )] .→ ω (S /R)

7.3.2

(7.15)

(7.16)

Calcul du torseur dynamique

à partir de la définition du moment dynamique d’un corps (S), on montre que :   Z Z      d2 Z d → − − − → −−→ − − →  d2  −γ (M /R) dm = V M (S /R) dm = 2  OMdm = 2 m (S ) OG d (S /R) = → i  dt dt dt  S

S

S

Résultat : Le résultante dynamique d’un solide peut s’écrire sous la forme : → − d (S /R) = m (S ) − γ→ G (S /R)

(7.17)

(7.18)

Pour le moment dynamique en un point A, on a : Z Z   → − −−→ −→ −−→ d −−→ δA (S /R) = AM ∧ γ M (S /R) dm = AM ∧ V M (S /R) dm dt S

S

  Z  Z d  −−→ −−→ d −−→ −−→ → −  AM ∧ V M (S /R) dm − δA (S /R) = AM ∧ V M (S /R) dm  dt  dt S

S

  Z  Z d  −−→ −−→ d −−→ −−→ −−→ → −  AM ∧ V M (S /R) dm − δA (S /R) = OM − OA ∧ V M (S /R) dm  dt  dt S

S

  Z  Z   d  −−→ −−→ → − −−→ −→ −−→  AM ∧ V M (S /R) dm − δA (S /R) = V M (S /R) − VA ∧ V M (S /R) dm  dt  S

Rabah BOUZIDI

S

—

page 81

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Résultat : finalement, le moment dynamique d’un solide indéformable s’écrit :

(7.19)

i d h−→ → − −→ −→ δA (S /R) = σA (S /R) + mVA ∧ VG (S /R) dt

(7.20)

Ici le point A n’appartient pas forcément au solide considéré. Il convient donc de faire attention à la valeur de sa vitesse. Résultat :

(7.21) − −→ → Dans les cas particuliers ou le point A est fixe : VA = 0 ; où le point A est confondu avec le centre de masse du corps A ≡ G, on obtient une relation plus simple : i d h−→ → − δA (S /R) = σA (S /R) dt

7.4

(7.22)

Énergie cinetique

Définition :

(7.23)  − → − → − → L’énergie cinétique d’un système S en mouvement par rapport à un repère R O, i , j , k est définie par la quantité scalaire suivante : Z  Z 2 1 1 −−→ −−→ −−→ EC (S /R) = V M (S /R) . V M (S /R) dm V M (S /R) dm = (7.24) 2 2 S

S

  −→ − On montre que pour un solide ayant un torseur cinématique défini en un point A : C A = → ω (S /R) , VA (S /R) n− o et un torseur cinétique défini au même point :P = → p (S /R) , − σ→ (S /R) , on a : A

EC (S /R) =

1 2

Z

A

 −−→ −→ −−→ − V M (S /R) . VA (S /R) + → ω (S /R) ∧ AM dm 

S

1 −→ EC (S /R) = VA (S /R) . 2

Z

1− −−→ ω (S /R) . V M (S /R) dm + .→ 2

Z

−−→ −−→ AM ∧ V M (S /R) dm

S

S

Résultat : L’énergie cvinétque d’un solide rigide est le co-moment du torseur cinématique et cinétique :  1 − 1 −→ − EC (S /R) = C A ⊗ PA = → p (S /R) .VA (S /R) + → ω (S /R) .− σ→A (S /R) 2 2

(7.25)

De cette dernière équation montre que si A est un point fixe, l’énergie cinétique peut alors s’écrire : 1− EC (S /R) = → ω (S /R) .− σ→A (S /R) 2 De la même façon, si A est confondu avec le centre de masse G, l’énergie cinétique s’écrit : EC (S /R) =

Rabah BOUZIDI

1 1− −→ m (s) .VG 2 (S /R) + → ω (S /R) .− σ→ G (S /R) 2 2

—

(7.26)

(7.27)

page 82

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7.5

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Théorèmes de Koënigs

Considérons un solide S et deux repères parallèles :  − → − → − → R O, i , j , k : centré en O et  − → − → − → R∗ G, i , j , k : centré en G .

z

G

y

x

z y

O x

On dit que R∗ est équipollent à R . La relation de composition des vitesses pour un point M quelconque du −−→ −−→ −−→ solide s’écrit : V M (S /R) = V M (S /R∗ ) + V M (R∗ /R) Or R∗ est en translation par rapport à R. Le champ de vitesse des points de R∗ est constant. La vitesse d’un point quelconque M est égale à celle du centre de masse : −−→ ∗ −→ V M (R /R) = VG (R∗ /R) Les deux équations précédentes conduisent au résultat suivant : −−→ −−→ −→ V M (S /R) = V M (S /R∗ ) + VG (R∗ /R)

7.5.1

Théorème de Koënigs relatif au moment cinétique

Le moment cinétique calculé au centre de masse du corps S s’écrit : − σ→ G (S /R) =

Z S

  Z  Z   −−→ −−→ −→ ∗ −−→ −−→  −−→  −→ ∗ ∗ ∗ GM ∧ V M (S /R ) + VG (R /R) dm = GM ∧ V M (S /R ) dm +  GMdm ∧ VG (R /R)   S

S

Résultat : Théorème de Koënigs relatif au moment cinétique (7.28) On déduit que le moment cinétique dans un repère quelconque est égale au moment cinétique dans le repère central equipolent : Z −−→ −−→ − ∗ (S σ→ /R) = GM ∧ V M (S /R∗ ) dm = − σ→ G G (S /R ) S

Cette dernière relation montre que le moment calculé au point G est identique dans les deux repères d’observation R∗ et R. Cette constatation est intéressante car le point G est fixe pour l’observateur R∗ ; Cela permet d’écrire : − −→ → − → − ∗ ∗ σ→ G (S /R) = σG (S /R ) = [JG (S )] ω(S /R ) = [JG (S )] ω(S /R)

(7.29)

La relation de transport sur les torseurs permet d’écrire : −−→ → − − σ→A (S /R) = − σ→ G (S /R) + AG ∧ p (S /R) −−→ − − − σ→A (S /R) = [JG (S )]→ ω(S /R) + AG ∧ → p (S /R)

(7.30)

Cette relation constitue le théorème de Koënigs relatif au moment cinétique.

Rabah BOUZIDI

—

page 83

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7.5.2

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Théorème de Koënigs relatif au moment dynamique

En partant de la même remarque sur la composition des accélérations entre les deux repères équipollents, on établit la relation suivante : − γ→ (R∗ /R) (7.31) γ→ (S /R) = − γ→ (S /R∗ ) + − M

G

M

Résultat : Théorème de Koënigs relatif au moment dynamique Partant de la constatation que G est fixe dans R∗ , on a le résultat suivant : Z i d h−→ − → − → −−→ → σG (S /R) δG (S /R) = GM ∧ − γ M (S /R∗ ) dm = δG (S /R∗ ) = dt

(7.32)

S

Finalement le moment dynamique en un point quelconque o s’écrit : − −−→ → → − − → δo (S /R) = δG (S /R∗ ) + OG ∧ d (S /R)

i −−→ → d h−→ − → − δo (S /R) = σG (S /R) + OG ∧ d (S /R) dt

7.5.3

(7.33)

Théorème de Koënigs relatif à l’énergie cinétique

On peut établir pour l’énergie cinétique, une relation similaire à celle établie précédemment pour le moment cinétique et le moment dynamique : Ec (S /R) =

1 2

Z  2 −→ −−→ V M (S /R∗ ) + VG (R∗ /R) dm S

Ec (S /R) =

1 2

Z

1 −−→2 V M (S /R∗ ) dm + 2

S

Z

−→2 ∗ VG (R /R) dm +

S

Z

−−→ −→ V M (S /R∗ ) .VG (R∗ /R) dm

S

  R −−→ R −−→ R −−→  → ∗ −→ ∗ −→ ∗ d  ∗ − ∗ Or V M (S /R ) .VG (R /R) dm = VG (R /R) . V M (S /R ) dm = VG (R /R) . dt  GMdm = 0 S

−→ −→ Et VG (R∗ /R) = VG (S /R) Finalement, on obtient :

S

S

1 −→ Ec (S /R) = Ec (S /R∗ ) + m (s) VG 2 (S /R) 2

(7.34)

G étant fixe dans le mouvement de R∗ , on écrit : 1 1− −→ − Ec (S /R) = → ω(S /R∗ ) [JG (S )]→ ω(S /R∗ ) + m (s) VG 2 (S /R) 2 2 Résultat : Théorème de Koënigs relatif à l’énergie cinétique Le théorème de Koenigs relatif à l’énergie cinétique s’écrit : 1− 1 −→ − Ec (S /R) = → ω(S /R) [JG (S )]→ ω(S /R) + m (s) VG 2 (S /R) 2 2

(7.35)

(7.36)

(7.37)

Ce résultat a déjà été démontré différemment dans la relation 7.27.

Rabah BOUZIDI

—

page 84

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7.6 7.6.1

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Exercices Moment cinétique d’un pendule

On considère deux barres identiques homogènes, de longueur 2a , de masse m, formant un pendule sous forme d’un T, noté S . L’ensemble oscille dans un plan vertical. Le mouvement est repéré par l’angle de déviation θ. → (S /R) 1. Déterminer le moment cinétique en O : − σ o

2. Calculer l’énergie cinétique : Ec (S /R)

O

y

θ

x 7.6.2

Chenille de tracteur

Déterminer l’énergie cinétique d’une chenille d’un tracteur animé d’une vitesse v, si la masse de la chenille par unité de longueur est µ. Les roues sont supposées non pesantes et ont un rayon r, la distance de leurs axes est l.

7.6.3

Rotation plane

On considère un système matériel noté S , formé par : — une barre homogène OA de masse m et de longueur l, — d’une masse ponctuelle m située en P et glissant sur la barre OA L’ensemble barre et masse ponctuelle, autour de l’axe vertical Oz. Le mouvement est défini par les para tourne →  → − → − − mètres θ et λ. En projection dans R0 O, i0 , j0 , k0 , déterminer les quantités suivantes : −p (S /R ), 1. la résultante cinétique :→ 0 − → 2. le moment cinétique en O : σo (S /R0 ), → − 3. la résultante dynamique : d (S /R0 ), → − 4. le moment dynamique en O : δ0 (S /R0 ), 5. l’énergie cinétique :Ec (S /R0 )

z0

λ

O x0

Rabah BOUZIDI

θ

y0

P —

A

page 85

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7.6.4

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Barre en rotation

une barre OA homogène de masse m, de longueur l en mouvement dans un repère d’observation On considère − → − → − → R0 O, i0 , j0 , k0 . Les paramètres de repérage sont les angles θ et φ. Le point O de la barre étant fixe et on note G le centre de masse de la barre.  − → − → − → 1. Déterminer, en observation dans R0 et en projection dans R O, i , j , k , les quantités : — la résultante cinétique, — le moment cinétique en G et en O, — la résultante dynamique, — le moment dynamique en G et en O, — l’énergie cinétique de la barre de deux manières différentes. 2. Vérifier les relations de transport du moment cinétique et du moment dynamique entre les points O et G.

z A z0

θ

φ

O

y y0

φ

x0

θ x

7.6.5

Pendule double

On considère un pendule double constitué de deux barres identiques et homogènes OA et AB, de masse m de longueur l articulées en A. Le mouvement plan est repéré par les angles α et β. 1. Calculer la résultante cinétique et le moment cinétique en O du pendule. 2. Calculer l’énergie cinétique du pendule.

O

y

α A β

B

x 7.6.6

Mouvement pendulaire d’une plaque

Une plaque rectangulaire ABCD de masse m et de dimensions AB = CD = 2a et AC = BD = a. L’axe AB forme une liaison pivot parfaite avec une fourche tournant autour de l’axe vertical zo .

Rabah BOUZIDI

—

page 86

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˙ 0 est imposée constante par un couple non repréOn considère le cas où la vitesse de rotation de la fourche Ψ senté sur la figure. La plaque peut tourner librement autour de l’axe AB. Le mouvement est observé dans le repère R0 (O, x0 , y0 , z0 ). On associe à la plaque un repère R(O, x, y, z). Le mouvement est repéré par les angles ψ~k0 et θ~i.

z θ

z0 y B

O x0 x

θ

ψ

ψ A

y0

x0 D

θ C

Déterminer le moment cinétique de la plaque O.

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—

page 87

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—

page 88

Chapitre

8

Dynamique Newtoniènne Dans les chapitres précédents, nous avons défini quelques torseurs issus des différentes analyses des systèmes matériels : — L’analyse des forces appliquées à un système isolé a permis de définir le torseur d’une ou d’un ensemble n o → − −−→ de forces appliquées au système considéré (éq. ??) : Fext = R , MA A — L’analyse du champ de indéformable a conduit à la définition du torseur cinéma vitesse d’un solide rigide  −→ → − tique : {C (S /R)} = ω (S /R) , V (S /R) A

A

— Le chapitre de la cinétique, dans lequel des notions combinant la masse n − et la cinématique odes corps ont p (S /R) , − σ→A (S /R) et le torseur été introduites, a permis de définir le torseur cinétique {QA (S /R)} = → →  − → − dynamique : {DA (S /R)} = d (S /R) , δA (S /R) Ces torseurs sont définis par leurs éléments de réduction, résultante et moment, en un point quelconque A. Ils −−→ −−→ −−→ → − −−→ obéissent à la relation de transport du moment du torseur entre deux points A et B : MB = MA + BA ∧ R avec MA −−→ → − et MB les moments aux points A et B et R la résultante. Dans ce chapitre, nous introduisons une des lois les plus célèbres de la mécanique connue sous le nom de la loi de Newton. Elle trouve son origine dans le formalisme Newtonien de la mécanique céleste gouvernant les interactions des astres. Elle établit la relation entre le torseur des forces extérieures appliquées à un système et la cinétique de ce dernier.

8.1

Loi fondamentale de la dynamique

On considère un système matériel quelconque, occupant un ou plusieurs domaines, pas nécessairement rigide, en mouvement par rapport àn un repère particulier dit galiléen. Le corps est soumis à l’action des forces extérieures o représentées par le torseur Fext au point A. On note le torseur dynamique calculé au même point A, {DA }. Le A Principe fondamentale de la dynamique (PFD), ou la loi fondamentale de Newton, s’énonce comme suit : Principe : (8.1) Le principe fondamental de la dynamique postule l’existence un référentiel galiléen, doté d’un repère d’espace et d’un repère de temps, tel que le mouvement rapporté à un tel référentiel donne une égalité du torseur dynamique, {DA }, et celui des forces extérieures réduit au même point, {FA } : n o (8.2) {DA } = Fext A

Ici le point A n’est pas nécessairement fixe dans le mouvement du solide considéré. Dans le cas ou le point A n o ˙ A . Le Principe Fondamental de est fixe, le torseur dynamique est égale à la dérivé du torseur cinétique {DA } = Q la Dynamique est réécrit alors sous la forme suivante : Il existe un repère absolu dit repère galiléen, doté d’un temps absolu, tel que le mouvement rapporté à un tel

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référentiel donne une égalité de la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique écrit en un point A fixe dans le mouvement du solide ou confondu avec son centre de masse. On écrit : n o n o ˙ A = Fext Q A est fixe ou confondu avec le centre de masse. (8.3) A Cette deuxième écriture du Principe Fondamental de la Dynamique est valable seulement si le point A est fixe dans le mouvement du corps considéré ou confondu avec son centre de masse. Cet énoncé général du Principe Fondamental de la Dynamique ne peut être écrit que dans le cas particulier les accélérations sont finies. Nous verrons plus loin que cette forme d’écriture du PFD (éq.8.2 ou éq.8.3) n’est pas toujours possible. C’est le cas des systèmes en choc, pour lesquels les accélérations pendant le choc sont supposées infinies et les vitesses présentant des discontinuités. Nous verrons aussi le cas des systèmes dits ouverts qui présentent des discontinuités des vitesses de la matière échangée. Enfin, le principe des actions mutuelles ou d’action–réaction, vu au chapitre de la statique, reste valide dans le cas de la dynamique.

8.2

Repères galiléen

Définition : (8.4) On dit qu’un repère R est Galiléen ou absolu, si le principe fondamental de la dynamique s’applique dans ce repère. Les avis convergent pour dire que si l’univers est fini et n’est soumis à aucune force extérieure, et si G est sont centre de masse, le repère centré sur G et dont les axes sont choisis de telle sorte que le moment cinétique de l’univers soit nul, est dit galiléen ou absolu. En pratique, on utilise des repères moins abstraits et dont le choix dépend des phénomènes étudiés, plus précisément de leurs tailles. Ainsi pour les mouvements planétaires, on peut se contenter du repère de Copernic, dit repère héliocentrique : l’origine est centrée sur le centre de masse du système solaire et dont les axes pointent sur des étoiles éloignées. Ce repère est utilisé pour l’étude des mouvements à grande échelle de temps et de distance. Pour des mouvements beaucoup plus restreints, on définit un repère dit repère géocentrique pointant sur des étoiles lointaines et centré sur la terre. Le repère géocentrique est considéré comme galiléen pour des mouvements limités au voisinage de la terre : Satellites, avions, météorologie, . . . etc. Pour la plupart des problèmes dits de laboratoire, limités à des échelles beaucoup plus restreintes, on se contente du repère local terrestre rattaché à la surface de la terre. On montre que si R0 est un repère galiléen et si R1 est en translation uniforme par rapport à R0 , alors R1 est aussi galiléen. En effet la composition des mouvements conduit à : −−→ −−→ −−→ V M (S /R0 ) = V M (S /R1 ) + cste

⇒

− −→ γ→ M (S /R0 ) = γ M (S /R1 )

(8.5)

On a alors égalité des torseurs dynamiques, calculés au même point, observés dans les deux repères. Il en découle que si le principe fondamental est applicable dans R0 , il l’est aussi dans R1 . Il en est de même pour tout autre repère en translation uniforme par rapport à R0 .

8.3

Théorèmes généraux

L’écriture détaillée du PFD donne lieu à deux théorèmes connus sous le nom des théorèmes généraux de la mécanique : Le théorème de la résultante dynamique et le théorème du moment dynamique.

8.3.1

Théorème de la résultante dynamique : TRD

Ce théorème traduit l’égalité des résultantes du torseur dynamique, observé dans un repère galiléen R, et du torseur des forces extérieures : Théorème : Théorème de la résultante dynamique → − X −−→ R= F ext (

Rabah BOUZIDI

—

(8.6) → − S ) = d (S /R)

(8.7)

page 90

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Sa mise en œuvre dans le cas général conduit à l’écriture de trois équations scalaires. Pour les problèmes plans, ce théorème donne lieu à deux équations scalaires, issues de la projection sur les axes du repère plan. L’intégration de ces équations par rapport au temps donne ce qu’on appelle une intégrale première du mouvement.

8.3.2

Théorème moment dynamique : TMD

A l’instar du théorème précédent, ce théorème traduit l’égalité des moments du torseur dynamique, observé dans un repère galiléen R, et du torseur des forces extérieures : Théorème : Théorème moment dynamique

(8.8)

X −−−→ → − MAext (→ S ) = δA (S /R)

(8.9)

On obtient trois équations scalaires dans le cas général et une seule équation dans le cas des problèmes plans.

8.3.3

Théorème de la conservation de la quantité de mouvement

→ − −n : Dans le cas ou la résultante R des forces extérieures appliquées au système est nulle suivant une direction → → − → − → −n constante : R . −n = 0 , on obtient une résultante cinétique projetée suivant → Théorème : Conservation de la quantité de mouvement − → − → R = d (S /R) Z

⇒

(8.10)

→ − → − → −n = 0 R . −n = d (S /R) .→

→ − −n dt = → −p (S /R) .→ −n = constante d (S /R) .→

t

8.3.4

Cas particulier des mouvements commençants

L’application du principe fondamental de la dynamique au cas des systèmes initialement au repos, et pour lesquels on ne s’intéresse qu’au début du mouvement, donne lieu à des équations simplifiées. En effet, à l’instant initial de repos, la position du système est définie par les paramètres initiaux et les vitesses de translation et de rotation sont nulles. L’écriture des équations du principe fondamental de la dynamique à l’instant t0+ , en prenant en compte ces simplifications, permet d’obtenir des équations différentielles de mouvement simplifiées et intéressantes dans la détermination des états dynamiques des systèmes au début de leurs mouvements.

8.4 8.4.1

Puissance, travail et énergie potentielle Définition du travail d’une force

Considérons un solide S soumis à un ensemble de forces ponctuelles 1 ou réparties. Définition : Travail élémentaire d’une force (8.11) → − → − On définit la travail élémentaire dW( F ) d’une force ponctuelle F appliqué en un point P par le scalaire : → − → − −−→ dW( F ) = F .dOP

(8.12)

1. Les forces dites ponctuelles sont en réalité de fortes pressions appliquées sur de petites surfaces

Rabah BOUZIDI

—

page 91

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−−→ dOP est le déplacement effectué par le point P pendant le temps dt. On suppose que pendant ce temps très court, la force reste constante. Cette définition est étendue aux cas de distribution surfacique ou volumique de forces : Z Z → − → − → − → − −−→ −−→ dW( f ) = f ds. dOP et dW( f ) = f dv. dOP (8.13) S

V

Le travail effectué entre les instants t0 et t1 est obtenu en sommant les travaux élémentaires effectués sur les temps élémentaires dt : W|tt10 =

8.4.2

Z

t1

dW

(8.14)

t0

Définition de la puissance d’une force

Définition : Puissance d’une force → − On appelle puissance d’une force F , le travail qu’elle développe par unité de temps. → − dW( F ) → − P( F ) = dt

(8.15)

(8.16)

Cette définition montre que la puissance d’une force concentrée s’écrit comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur vitesse de son point d’application : → − −−→ −−→ F . dOP → → − − dOP → − −→ P( F ) = = F. = F .VP (S /R) dt dt

(8.17)

Cette définition est étendue au cas d’une force surfacique sous la forme suivante : → − P( f ) =

Z → − −−→ Z f ds. dOP → − −→ = f ds.VP (S /R) dt S S

(8.18)

Il en est de même pour les forces volumiques → − P( f ) =

Z

→ − −→ f dv.VP (S /R)

(8.19)

V

8.4.3

Définition de l’énergie potentielle

Le travail d’une force sur le trajet de son point d’application, allant d’un point P1 à l’instant t1 , au point P2 à l’instant t2 , est défini par : Z → − t2 W( F ) = t1

t2

→ − −→ F .VP (S /R) dt

(8.20)

t1

Ce travail dépend en général du parcours suivi par le point P pour aller de P1 à P2 . Définition : Énergie potentielle d’une force

(8.21) → − Dans le cas où ce travail ne dépend pas du chemin suivi, on dit alors que la force F dérive d’un potentielle Ep :  dE p      dx   −−−→ → −  dE p F = −gradE p = −  x, y et z étant les axes du repère d’observation (8.22)  dy     d Ep   dz

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→ − L’énergie potentielle des forces appliquées à S est définie par la fonction E p ( F → − Ep( F

S /R) = −W + cste

⇒

S /R), telle que :

∆E p = −∆W

(8.23)

On écrit : → − dE p ( F

→ − → − S /R) = −dW( F ) = −P( F ) dt

(8.24)

Lorsque une force dérive d’un potentiel, elle est dite conservative.

8.5 8.5.1

Théorèmes de l’énergie Théorème de l’énergie cinétique

Dans le cas d’une masse ponctuelle constante m, le principe fondamental de la dynamique s’écrit : → − d V (m/R) → − F =m ⇒ dt La puissance de cette force s’écrit :

→ −→ − → − → − F . V (m/R) dt = m V (m/R). d V (m/R) = dEc (m/R)

dEc (m/r) → − P( F ) = dt C’est le théorème de l’énergie cinétique qui découle du principe fondamental de la dynamique. Ce théorème définit dans le cas d’une masse ponctuelle est étendu au cas des systèmes à plusieurs masses ponctuelles ou à des systèmes à masse répartie. La puissance développée par l’ensemble des forces appliquées au système intègre à la fois la puissance des forces intérieures et celles des forces extérieures. Dans le cas d’un seul solide indéformable, et en vertu du principe des actions mutuelles, on montre facilement que la puissance des forces intérieures est nulle. Ce n’est pas le cas d’un système présentant plusieurs solides en interaction et des points de contacts entre ses différentes parties en glissement. Théorème : Théorème de l’énergie cinétique Pour un système quelconque S , le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : ! X −−→  dE (S /R) X −−→ c int P F →S +P F ext → S = dt

(8.25)

Bien sûr l’équation donnée par ce théorème est redondante avec celles obtenues par le PFD. L’intégration de cette équation par rapport au temps donne : ∆Ec =

Ec (S /R)|tt21

Zt2   = Pint + Pext dt = ∆Wint + ∆Wext t1

8.5.2

Théorème de la conservation de l’énergie mécanique

Ce théorème est un cas particulier du théorème de l’énergie cinétique. Si toutes les forces appliquées au système considéré dérivent d’un potentiel et que l’énergie potentielle du système est notée E p , on peut écrire le théorème de la conservation de l’énergie mécanique, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, sous la forme : Théorème : Théorème de la conservation de l’énergie mécanique (8.26) Lorsque le système de force est conservatif, l’énergie mécanique du système est constante au cours du temps. ∆Em = ∆Ec + ∆E p = 0 ⇔ Em = Ec + E p = cte

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Cette relation est connue sous le nom de l’intégrale première de l’énergie. Il ne s’agit pas d’un équation supplémentaire qui s’ajoute à celles du PFD, mais elle en découle.

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8.6 8.6.1

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Exercices Solide en glissement

On considère un solide S en mouvement de translation par rapport à un référentiel. Il est en contact avec le sol −g appliqué au point A avec un coefficient de frottement f et au point B sans frottement. Il est soumis à son poids m→ −→ → − en G. Le système est lancé avec une vitesse initiale VG (S /R) = v0 i et on suppose que pendant le mouvement le contact en A et B est maintenu. 1. Quelles équations obtient-on par l’application des théorèmes généraux au point G ? 2. Quelles équations qu’induisent les natures des contacts aux points A et B ? 3. Quelle est la distance parcourue par le corps avant de s’immobiliser ?

a

y

b

G

x A

8.6.2

B

Chute d’une Tige sur un sol

On considère une tige de longueur 2a poser verticalement sur un sol parfaitement lisse. On note sa masse m et son centre de masse G. L’équilibre à cette position est instable, un léger déséquilibre la fait basculer et tomber sur le sol. On note θ l’angle d’inclinaison de la tige, λ l’abscisse du point A, AB = 2a. 1. Déterminer la position du centre de masse, sa vitesse et son accélération. 2. Quelle équation obtient-on par l’application du théorème de la résultante dynamique en projection suivant x? 3. Quelle équation obtient-on par l’application du théorème du moment dynamique en G ? 4. Montrer que θ satisfait une équation différentielle de la forme θ˙ 2 = f (θ) 5. Quelle est la vitesse du point G lorsque la tige touche le sol ?

B y

G

A

θ x

O

λ 8.6.3

Basculement d’un demi disque

On considère un demi-disque homogène, de masse m, de rayon a et de centre de masse G. Le disque est posé sur un plan horizontal et son mouvement est observé dans le repère R (O, x, y, z) supposé galiléen. On note C

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son centre, I le point de contact et G son centre de masse. On suppose que le contact en I se fait sans frottement. −→ → − 4a et ICz (D) = 21 m a2 , OI = λ i On donne CG = b = 3π 1. En appliquant le théorème de la conservation de la quantité de mouvement, établir une relation entre λ˙ et ˙ θ. 2. Calculer l’énergie cinétique du disque, l’énergie potentielle due au poids, et écrire une intégrale première du mouvement. 3. En déduire une équation différentielle du second ordre en θ. 4. Que devient cette équation en petites oscillations ? En déduire, dans ce cas, la période des oscillations.

y C G

θ x I 8.6.4

Mouvement commençant d’une barre simplement appuyée

On considère une barre AB, homogène, de masse m, de longueur 2a, qui est initialement tenue par deux câbles inextensibles et de masses négligeables. L’ensemble se trouve dans le plan O0 , x0 , y0 d’un repère galiléen R0 . Cet ensemble est au repos sous l’action de la pesanteur, O0 ABC formant un carré (voir figure de gauche)

O0

C

C

O0

y0

α

A A

B θ

G B

x0 On suppose que la liaison en B est rompue à t = 0, et on se propose d’étudier le mouvement commençant de la barre AB. Le mouvement se fait dans le plan O0 , x0 , y0 et est repéré par les angles α et θ (voir figure de droite). Au cours du mouvement, on admet que le câble O0 A reste rectiligne et que des liaisons pivot parfaites se forment en O0 et A. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir les accélérations angulaires au commencement du mouvement α¨ et θ¨ ainsi que la tension dans le câble O0 A.

Mouvement commençant d’une plaque carrée. On considère les repères : R0 galiléen, R1 lié à C, R lié à S. Le solide S est assimilable à une plaque carrée homogène, de masse m et de côté 2a. Le contact entre S et C se fait avec un coefficient de frottement f . À l’instant

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t = 0, C démarre avec une accélération γ (constante) suivant l’axe O0 x0 . Le mouvement de glissement et de rotation autour de Ax0 est un des mouvements possibles de S par rapport à C et on s’intéresse aux conditions dans lesquelles ce mouvement commence.

y0 g

y0

(S) O1

(C)

(t)

(t)

x0 x0

O0 [ −−−→ −−→ −→ → − → − → − — On pose : O1 A = λ(t)~i0 , Ox0 , Ox = θ(t) et pour l’action de S en A : F = T i0 + N j0 − − → → − −−→ − dAO − — On rappelle la relation pour un solide : → γ0 = − γ→A + d ω ∧ AO + → ω∧ dt dt

− 1. Pour le mouvement commençant, déterminer à partir de la relation précédente l’expression de → γ0 (S/R0 )en → − 2 fonction de λ et de θ. Que vaut δ0 (S/R0 ) ? (On rappelle que IOz0 = 2ma /3). 2. En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, déterminer trois équations du mouvement. 3. Quelle quatrième équation est-il raisonnable de prendre pour la condition de contact ? 4. En déduire les valeurs de : N, T, λ et aθ , en fonction de f et de γ. 5. Quelles relations doivent vérifier f et γ/g pour que ce mouvement commençant soit possible ? Ces conditions vous paraissent-elles plausibles ?

8.6.5

Mouvement en double rotation d’une plaque rectangulaire

Une plaque rectangulaire ABCD de dimensions AB = CD = 2a et AC = BD = a. l’axe AB forme une liaison pivot parfaite avec une fourche tournant autour de l’axe vertical z0 .

z θ

z0 y B θ

O x0 x

ψ

y0

ψ A x0 D

θ C

On considère le cas ou la vitesse de rotation de la fourche ψ˙ 0 est imposée constante par un couple non représenté sur la figure. La plaque peut tourner librement autour de l’axe AB. Le mouvement est observé dans le repère R0 (O, x0 , y0 , z0 ) supposé galiléen.

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On associe à la plaque un repère R(O, x, y, z). Le mouvement est repéré par les angles ψk~0 et θ~i. Les conditions ˙ = θ˙0 . ˙ cinématiques à t = 0 de la plaque sont : ψ(0) = ψ˙ 0 , θ(0) = 0 et θ(0) 1. Déterminer le moment dynamique de la plaque au point O. 2. Déterminer l’énergie cinétique de la plaque. 3. Établir l’équation de mouvement de la plaque, sous la forme θ˙ 2 = f (θ), en utilisant le principe fondamental de la dynamique 4. On se place dans le cas particulier ou la fourche est fixe et la plaque oscille faiblement autour de la position verticale. Déterminer alors la période des oscillations.

8.6.6

Mouvement commençant d’un cube

Soit un cube homogène de masse m et de côté 2a. Montrer que la matrice du tenseur central d’inertie est de la forme :    1 0 0  2 ma2   0 1 0  [IG ] = 3  0 0 1  Le cube précédent repose par une de ses faces sur le plan (O, x1 , y1 ) qui fait un angle α avec le plan horizontal (O, x0 , y0 ). (x0 est confondu avec x1 ).

z0

z1

y1 α

Ο

α y

x0, x1 Un côté du cube coïncide avec une horizontale du plan incliné. On désigne par f le coefficient de frottement de glissement qui se développe au contact du cube et du plan (O, x1 , y1 ). Le cube étant abandonné sans vitesse initiale. On demande de préciser en fonction de f et tan α, les conditions pour que les mouvements commençants suivants aient lieu : 1. Équilibre du cube. 2. Glissement pur sans basculement. 3. Basculement sans glissement. 4. Basculement avec glissement. 5. Récapituler vos résultats en présentant les domaines d’existence des différents cas dans le plan ( f, tan α).

8.6.7

Mouvement au freinage d’un chariot sur un rail

On considère un chariot Σ, système bidimensionnel, constitué de : — La partie S qui représente le corps du chariot, sa charge et le galet en A. La masse totale vaut 3m appliquée en G, et le moment d’inertie IGz0 est estimé à 6ma2 .

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— La roue D, homogène, de centre O, de masse m et de rayon a. La liaison en O entre D et S est une liaison pivot parfaite. (t) y0 g

a

(D) A

x0

(t) a

O0

G (S)

2a

2a

Le chariot Σ se déplace sur un rail horizontal par l’intermédiaire de la roue D (liaison unilatérale rugueuse de coefficient de frottement f ), et d’un galet en A de dimension et de masse négligeables (liaison unilatérale sans → − → − → − → − → − frottement). Les actions du rail sur Σ sont : une force R = T i 0 + N j 0 appliquée en I sur D, et une force F = F j 0 appliquée en A sur S. → − Pour t < 0 , le chariot est en mouvement uniforme de vitesse de translation v0 i0 avec v0 > 0, le contact en I étant sans glissement. Un système de freinage lié à S, de masse négligeable, non représenté sur la figure, permet à → − → − S d’exercer sur D un couple Γ = µmga k 0 , avec µ une constante positive sans dimension. Pour t > 0, on déclenche le système de freinage et on s’intéresse au mouvement ainsi obtenu. Plusieurs cas sont possibles suivant que le contact en I se fait sans ou avec glissement, et qu’il y a ou non contact en A. Premier mouvement : roulement sans glissement en I et contact en A. Le repère R0 étant galiléen, pour t > 0, le mouvement de Σ par rapport à R0 est repéré par l’abscisse λ(t) du ¨ aθ, ¨ F, T , et N. point O et par l’angle de rotation θ(t) de D. On s’intéresse uniquement aux inconnues : λ, 1. En appliquant à D le Principe Fondamental de la Dynamique, déterminer une équation du mouvement. 2. En appliquant à Σ le Principe Fondamental de la Dynamique, déterminer trois équations du mouvement. (on sera particulièrement vigilant pour l’équation en moment qui pourra être prise au point O ou au point G) 3. Quelle est la condition de roulement sans glissement en I ? 4. En déduire les valeurs des cinq inconnues considérées. 5. Quelles inequations doivent vérifier µ et f pour que le mouvement considéré soit possible. Deuxième mouvement : roulement sans glissement en I et rupture de contact en A. → − On suppose maintenant que µ = 29, et que pour cette valeur il y a rupture du contact en A, la force F n’existant plus. Lors du freinage, il va y avoir alors un mouvement de rotation de S autour de Oz0 repéré par un angle ψ(t) (nul au départ). Les autres paramètres du mouvement sont encore λ(t) et θ(t). On s’intéresse uniquement ¨ aθ, ¨ aψ, ¨ T et N au mouvement commençant et on cherche à calculer les inconnues λ, 1. Pour ce mouvement commençant, déterminer quatre équations dues au Principe Fondamental de la Dynamique ? ¨ aψ, T et N.Pour quelles 2. Écrire la condition de roulement sans glissement en I, puis calculer les quantités λ, valeurs de f ce mouvement est-il possible ? Ces valeurs vous paraissent-elle réalistes ?

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Chapitre

9

Dynamique des chocs Dans ce chapitre, on s’intéresse à l’étude de l’interaction des systèmes mécaniques dans le cas particulier ou ces derniers sont en collision. Il s’agit plus particulièrement d’adapter l’écriture des théorèmes généraux de la dynamique pour dégager les relations qui régissent le phénomène du choc. Avant tout, commençons par définir ce qu’est un choc ou une collision.

9.1 9.1.1

Définition des chocs et des percussions Choc de deux solides

On parle de choc entre deux corps à un instant donné, s’ils entrent en contact sur une surface très petite, pendant un instant très court, impliquant une modification brutale de leurs torseurs cinématiques. Théoriquement, on parle de choc instantané entre deux corps se produisant au point P à un instant donné t. Les quantités avant le choc sont repérées à l’aide de l’exposant (− ), et celles après le choc à l’aide de l’exposant (+ ).

9.1.2

Notion de percussions

En réalité, le choc entre deux corps n’est ni ponctuel, ni instantané. En effet, d’un point de vue physique, le choc correspond aux forces de contact développées par les deux corps sur leur surface de contact. Ces forces peuvent atteindre des valeurs très élevées donnant lieu à des accélérations du même ordre. Les vitesses subissent alors une forte variation pendant le temps très court du choc. L’application des théorèmes généraux de la mécanique pendant le temps du choc n’est pas aisée, puisqu’on travaille sur des grandeurs théoriquement infinies. Considérons le cas d’une balle qui vient percuter le sol (Fig. 11.4.12). Au cours du choc, la force de contact croît tant que la balle continue de "descendre" en se déformant. La force décroît lorsque la balle amorce sa remontée alors qu’elle reste toujours en contact. Le choc aura duré un temps ∆t = t2 − t1 . Définition : Percussion On associe à cette force, une quantité vectorielle appelée percussion de choc et définie par : → − H=

Zt2

→ − F dt

(9.1)

(9.2)

t1

Cette quantité est finie même si la force est théoriquement supposée infinie au sommet de sa courbe. Pour le cas des forces finies, leur percussion sur le temps du choc est négligeable. C’est le cas de la percussion du poids propre des corps.

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Force de contact

Temps du choc ∆t

t

∆t Figure 9.1 – Evolution de la force d’impact pendant le choc.

Définition : Choc mécanique (9.3) On dit qu’un système mécanique subit un choc lorsqu’il est soumis à des forces de grande intensité, considérées comme infinies, engendrant des accélération du même ordre et donc un changement brutal des champs de vitesses.

9.1.3

Torseur d’une percussion

Définition :

(9.4) → − Le torseur en un point A, d’une percussion H appliquée au point B, est calculé de la même façon que celui → − −→ d’une force ponctuelle. Sa résultante est définie par le vecteur H et son moment, noté NA , par le moment de → − H en A.     → − → − −−→ → − TA H = H, AB ∧ H

9.2

Théorèmes généraux sur les chocs

L’écriture du principe fondamental de la dynamique dans le cas des chocs donne lieu à 6 équations scalaires issues des théorèmes de la résultante dynamique (§8.3.1) et du moment dynamique (§8.3.2). Dans ce qui suit nous présentons l’écriture de ces deux théorèmes étendue au cas des chocs.

9.2.1

Théorème de la résultante dynamique

Le théorème de la résultante dynamique s’écrit : d h→ → − X −−→ −p (S /R)i R= F ext (→ S ) = dt R est bien évidemment un repère galiléen. En multipliant les deux membres de cette équation par dt et en l’intégrant sur le temps du choc t2 − t1 , on établit une nouvelle équation : Zt2 X

−−→ F ext (→ S ) dt =

t1

Zt2

−p (S /R) d→

t1

Théorème : Théorème de la résultante dynamique étendu aux chocs Rabah BOUZIDI

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(9.5) Le théorème de la résultante dynamique peut donc s’écrire dans le cas des chocs : X −−−→ − → − → −p (S /R) H ext (→ S ) = p+ (S /R) − p− (S /R) = ∆→

(9.6)

Remarque : Percussion des forces finies (9.7) Les percussions des forces finies ne sont pas prises en compte dans le bilan des percussions extérieures. Elles sont négligeables par rapport aux forces de contact induites par les chocs.

9.2.2

Théorème du moment dynamique

Reprenons le théorème du moment dynamique appliqué à un système S . X −−−→ i d h−→ −→ −→ σA (S /R) + m VA (S /R) ∧ VG (S /R) MAext (→ S ) = dt

(9.8)

En multipliant par dt et en intégrant sur le temps du choc, on obtient une relation similaire à celle établie pour le théorème de la résultante dynamique. Théorème : Théorème du moment dynamique étendu au chocs (9.9)   −→ −→ Le moment de percussion du terme fini m VA (S /R) ∧ VG (S /R) est négligé devant les moments des percussions de choc. On obtient alors : X −−−→ −→ −→ NAext (→ S ) = σ+A (S /R) − σ−A (S /R) = ∆− σ→A (S /R)

(9.10)

R doit être un repère galiléen. On obtient trois équations scalaires dans le cas général et une seule équation dans le cas des mouvements plans.

9.3

Lois de contact du choc

On suppose que le contact entre deux solides pendant le choc est réalisé sur une surface très petite assimilée à un point noté I. Définition : Vitesse relative au point de choc On note la vitesse relative de (S 1 ) par rapport à (S 2 ) au point de contact I :

(9.11)

→ − → − → − − − VI (S 1 /S 2 ) = VI (S 1 /R) − VI (S 2 /R) = Vt→ et + Vn→ en

et la percussion appliquée par le corps S 2 sur le corps S 1 au point de contact I : → − − − H (S 2 → S 1 ) = Ht→ et + Hn→ en − la percussion appliquée par le corps S 2 sur le corps S 1 au point de contact I. → en , le vecteur normal pointant de → − S 2 vers S 1 et t , le vecteur tangent au point de contact.

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(S )

(S )

1

2

en

I

et

R

9.3.1

Loi de contact normal

Théorème : (9.12) La loi normale de contact, connue sous le nom de la loi de restitution du choc établit une relation de proportionnalité entre la vitesse relative normale après le choc Vn+ et la vitesse normale relative avant le choc Vn− . Vn+ = −r Vn−

(9.13)

r est le coefficient de restitution du choc. Sa valeur variant de 0 à 1 et caractérise la nature du choc : − r = 0 donne Vn+ = 0 : Les deux corps en choc ont la même vitesse au point de choc, suivant la direction → en . → − Les deux corps reste “ collés suivant en ” après le choc au point d’impact. Ce type de choc est qualifié de choc mou. − r = 1 donne Vn+ = −Vn− : Les deux corps s’éloignent suivant la direction → en , après le choc, avec la même vitesse que celle de leur rapprochement avant le choc. On parle alors d’un choc élastique parfait. Ce type de choc est théorique, en réalité les coefficients de restitution n’atteignent jamais la valeur unité.

9.3.2

Loi de contact tangentielle

La loi de contact tangentielle est formulée selon la loi de coulomb régissant les frottements secs des corps. On distingue les cas suivants : — contact lisse : Ht = 0 — Contact rugueux non glissant : Vt+ = 0 et |Ht | < f Hn — Contact rugueux glissant : |Ht | = f Hn

9.4 9.4.1

Exercices Choc d’une barre sur un point fixe

AB est une barre homogène de masse m et de longueur 2a. Pour t < 0, la barre AB est lancée, dans une position horizontale, de telle sorte qu’elle se déplace librement parallèlement à elle-même. Pour t = 0, elle vient −−−→ → − buter contre un point P fixe dans le repère galiléen R0 , tel que : O0 P = a/2 i0 . On suppose que le choc est élastique (r = 1) et que le contact se fait sans frottement.

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y0 G

A

B B

A

O0

B x0

P

G A

−−−→ → − → − de la barre est repéré par le vecteur position : O0G = x0 i0 + y0 j0 et par l’angle de rotation  Le mouvement  −−→ −−→ Gx0 , GB = θ (t). Juste avant le choc, on suppose que : x0− = y−0 = 0 et x˙0− = −˙y−0 = v. Dans ce problème, on cherche à préciser les quantités juste après le choc : x˙+ , y˙ + et θ˙ + 0

1.

2. 3. 4.

9.4.2

0

− → −→ Déterminer les quantités juste avant le choc : p− , σG− et Ec− . Déterminer les quantités juste après le choc : − → −→ p+ , σG+ et Ec+ en fonction de x˙0+ , y˙ +0 et θ˙ + . → − → − On pose H = H j0 la résultante de percussion appliquée par P sur AB à l’instant t = 0. Écrire trois équations 2. liant les inconnues du problème. (On rappelle que IGz0 = ma 3) La quatrième équation est due à la restitution du choc. Quelle est cette équation ? Calculer les différentes quantités : x˙0+ , y˙ +0 et θ˙ + . Vérifier que la variation de l’énergie cinétique est bien nulle. Comment est changée la mise en équations, si on suppose maintenant que le contact entre P et AB se fait avec un très grand coefficient de frottement.

Choc d’un disque roulant sur une butée

−g , ce On considère un disque C homogène, de masse m et de rayon a. Sous l’action du champ gravitationnel → ◦ disque roule sans glisser sur un plan B incliné à 45 auquel on associe le repère R0 (x0 , y0 , z0 ). Il vient percuter une paroi perpendiculaire à la pente de descente.

θ

g O O Ι

(B)

(C) O J Ι 45° x0

On note IOz le moment d’inertie du disque et les quantités cinématiques suivantes :

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−→ → − → − − Avant le choc vitesse de translation VO − (C/R0 ) = u− i0 , vitesse de rotation → ω − (C/R0 ) = ω− j0 . Ces quantités sont supposées connues. → − −→ → − → − − Après le choc vitesse de translation VO + (C/R0 ) = u+ i0 + v+ k0 , vitesse de rotation → ω + (C/R0 ) = ω+ j0 . On fait l’hypothèse d’un choc parfaitement élastique et rugueux au point J annulant ainsi la vitesse de glisse→ − → − → − ment après le choc. On note la percussion de choc qui lui est associée H = HN i0 + HT k0 1. Écrire la loi de restitution du choc au point J traduisant le choc parfaitement élastique. Quelle est l’équation que donne l’hypothèse du choc rugueux en J ? 2. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué au choc sur le disque. 3. Déterminer alors les quantités cinématiques après le choc u+ , v+ , ω+ ainsi que les inconnues de percussion HN et HT . 4. Déterminer la variation de l’énergie cinétique disque entre l’état avant le choc et celui d’après. Commenter le résultat.

9.4.3

Choc d’une disque sur un plan incliné

Soit un disque homogène noté D, de masse m et de rayon a, en chute libre par rapport à un repère galiléen R0 . A l’instant t0 , D vient percuter un plan fixe P, incliné d’un angle π/6 par rapport à l’horizontale. On suppose que le −→ mouvement est restreint au plan (O0 , x0 , y0 ). Le torseur cinématique du disque avant le choc étant : w− (D/R0 ) = − → − → → − 0 , v−0 (D/R0 ) = −v j0 (v est une constante positive).

y0 y1

t0

t=0

D

α

O

x0

π

I

6

−→ − → − → → − → − Après le choc, le torseur cinématique est noté w+ (D/R0 ) = w+ k0 et v+0 (D/R0 ) = u+ i0 + v+ j0 . La percussion → − → − → − appliquée par le plan P sur le disque D pendant le choc est notée H (P → D) = HT i1 + HN j1 . Suivant la normale, le choc est supposé parfaitement élastique avec un coefficient de restitution (r = 1) ; suivant la tangente, il est supposé très rugueux (vitesse de glissement tangentielle nulle après le choc). On cherche à déterminer les valeurs juste après le choc du torseur cinétique et des composantes de la percussion. → − → − 1. Déterminer en projection dans R1 les vecteurs juste avant et juste après lechoc v−0 (D/R0 ) et v+0 (D/R0 ). 2. En appliquant le théorème de la résultante dynamique étendu aux chocs, en déduire deux équations qu’on notera (1) et (2). 3. En déduire une troisième (3) à partir du théorème du moment dynamique étendu aux chocs. → − → − 4. Déterminer en projection dans R1 , le vecteur v−I (D/R0 ) avant le choc et v+I (D/R0 ) après le choc. 5. Ecrire l’équation (4) correspondant à restitution de la vitesse normale relative.

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6. Ecrire l’équationcinématique (5) sur le glissement après le choc en I. 7. Résoudre les système formé par les 5 équations précédentes pour obtenir les 5 inconnue du problème. 8. Que vaut tan α ? Pour quelles valeurs de f cette solution est-elle valable ?

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9.4.4

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Pendule balistique

On considère un pendule pesant dans sa position d’équilibre. Il a une longueur l, une masse M et son axe de rotation passe par O. Une masse ponctuelle m vient l’impacter avec une vitesse v− à une distance h du point de rotation O. On se propose d’étudier l’impact des deux corps dans le cas d’un choc parfaitement mou et d’un choc parfaitement élastique. Dans les deux cas, on demande :

O

h l m vM

1. De déterminer la vitesse de la masse ponctuelle après choc v+ , la vitesse de rotation de la barre après le ~ I = H~e x et de liaison en O, H ~ o = Hox~e x + Hoy~ey . choc θ˙ + , les percussions de choc H Solution: Mise en équation (a) Application du PFD au pendule seul, noté S 1 — Théorème de la résultante dynamique : Mlθ˙ + 2 Hoy =0

Hox + H =

(9.14) (9.15)

— Théorème du moment dynamique hH =

Ml2 ˙ + θ 3

(9.16)

(b) Application du PFD à la masse ponctuelle seule, noté S 2

(c) Loi de restitution du choc

Variable +

Résoltion

Rabah BOUZIDI

v θ˙ + H Hox Hoy

Solution générale (3h2 m−Mrl2 ) − v 3mh2 +Ml2 3hm(r+1) − v 2 2 3mh +Ml Ml2 m(r+1) − v 3mh2 +Ml2 Mlm(r+1)(3h−2l) v− 2 6mh +2Ml2 0

− H = m(v+ − v− )

(9.17)

v+ − hθ˙ = −rv−

(9.18)

Choc élastique r = 1 (3h2 m−Ml2 ) − v 3mh2 +Ml2 6hm − v 2 2 3mh +Ml 2Ml2 m v− 3mh2 +Ml2 Mlm(3h−2l) v− 3mh2 +Ml2 0

—

Choc mou r = 0 3h2 m v− 3mh2 +Ml2 3hm v− 3mh2 +Ml2 2 Ml m v− 3mh2 +Ml2 Mlm(3h−2l) v− 6mh2 +2Ml2

0

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2. D’établir le bilan énergétique du système formé par la masse et le pendule entre les instants avant et après le choc.

Solution: ∆Ec (S /R0 ) =Ec+ (S /R0 ) − Ec− (S /R0 ) " # " # 1 Ml2 ˙ + 1 1 + 2 − 2 = θ m(v ) − m(v ) 2 3 2 2   2 2 Ml m 1−r 2 =−
v− 2 3 m h2 + M l2

3. De déterminer l’angle maximal de déviation du pendule après le choc

Solution: — Cas d’un choc élastique : On écrit la conservation de l’énergie mécanique du pendule seul entre l’état juste après le choc (+) et l’état de la déviation maximale (max) : Em+ (S 1 /R0 ) =Ec+ (S 1 /R0 ) + E +p (S 1 /R0 ) 1 Ml2 ˙ + −−→ θ − M~g · OG 2 3 6 M h2 l2 m2 Mgl − 2 =
2 (v ) − 2 2 2 3mh + Ml −−→ max Em (S 1 /R0 ) = −M~g · OG l = −Mg cos θmax 2 =

L’égalité de ces deux énergie permet de calculer la déviation maximale θmax en fonction de la vitesse initial du projectile v− . La relation inverse permet d’établir v− connaissant la déviation maximale. 12 h2 l m2 − 2 cos θmax = 1 −
2 (v ) 2 2 g 3mh + Ml — Cas d’un choc mou : On écrit la conservation de l’énergie mécanique du système entier (pendule + masse) entre l’état juste après le choc (+) et l’état de la déviation maximale (max). En effet dans ce cas, on suppose que la masse ponctuelle reste figée dans le prendule : Em+ (S /R0 ) =Ec+ (S /R0 ) + E +p (S /R0 ) 1 Ml2 ˙ + 1 −−→ −→ θ + m(v+ )2 − M~g · OG − m~g · OI 2 3 2 6 M h2 l2 m2 l − 2 =
(v ) − 2 (Ml + mh) 3 m h2 + M l2 2 −−→ −→ Emmax (S /R0 ) = −M~g · OG − m~g · OI 1 = − (Ml + 2mh) g cos θmax 2 =

L’égalité de ces deux énergie permet de calculer la déviation maximale θmax en fonction de la vitesse initial du projectile v− . La relation inverse permet d’établir v− connaissant la déviation maximale. 12 M h2 l2 m2 cos θmax = 1 − (v− )2
3 m h2 + M l2 2 (Ml + mh)

Rabah BOUZIDI

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9.4.5

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Choc d’une masse avec une table

On considère une table T représentée dans le plan (O, x, y) par une barre horizontale de longueur 3a et deux pieds de longueur identique a. Son mouvement est astreint à rester dans ce plan. On note M sa masse, G le lieu de son centre de masse et IGz son moment d’inertie par rapport à l’axe Gz0 . → − A l’instant initial t = 0, un corps supposé ponctuel de masse m arrive avec une vitesse vertical −v0 j et percute la table à son extrémité A. On se propose d’étudier le choc de ce système dans le cadre des hypothèses suivantes : — Le contact au point de chute A et en bas de pied B est sans frottement. — Le choc est de nature parfaitement élastique (coefficient de restitution r = 1) en A. On suppose qu’en B, la table ne décolle pas après le choc. — Le choc ne génère pas de percussion au point C (pas de contact entre la table et le sol).

y m A

C

x

B

O Sol

Les paramètres cinématiques de l’étude sont notés comme suit : Avant le choc Table (T ) Masse (m)

Au repos − → −v (m/R ) = −v → 0 0 j0

Après le choc − − − + → + → v→ G (T /R0 ) = vGx i0 + vGy j0 − − → −v (m/R ) = v+ → +→ 0 mx i0 + vmy i0

;

→ − → − ω (T /R0 ) = ω+ k0

1. Que peut-on dire des percussions aux points de contact A et B ? 2. Écrire le principe fondamental de la dynamique dans le cas des chocs sur le système matériel formé par la masse seule ensuite sur la table seule. Faites un bilan du nombre d’équations et d’inconnues ainsi obtenues. 3. Déterminer en fonction des paramètres du problème la vitesse du point A dans le mouvement de la table → − après le choc, v+A (τ/R). → − 4. En déduire la vitesse relative de la masse par rapport à la table après le choc, v+A (m/τ). Que vaut la vitesse + relative normale au plan de contact en A, vN (m/T). Quelle équation peut-on écrire en A ? 5. Écrire la condition de non-décollement en B après le choc. Faite à nouveau le bilan des équations et des inconnus. 6. Que deviennent ces équations lorsque le contact est sans glissement en B ?

Etude du choc d’un projectile sur une pièce mécanique On considère un solide indéformable S constitué d’une poutre AB, homogène √ de masse m et de coté 2l, et de deux barres O0 A et O0 B de masses négligeables, de longueurs respectives l et 5l. L’ensemble O0 AB se trouve dans le plan O0 x0 y0 d’un repère galiléen R0 et peut pivoter librement autour de l’axe O0 z0 (liaison pivot parfaite).

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B

y0

Au moment du choc (t=0)

G Q

Q

2l

VQ

Avant le choc (t=0)

(S)

x0 O0

A l

À l’instant t = 0 , le solide S est immobile et est impacté au milieu G de AB par un projectile assimilable à − −v − = −v→ i 0 avec v > 0. Les positions de S et Q juste un point matériel Q, de masse m/3, dont la vitesse vaut : → Q −−−→ → − → − avant le choc sont représentées sur la figure ci-dessus. On note : O0 Q = x0 (t) i 0 + y0 (t) j 0 , θ(t) l’angle de rotation → − → − → − → − de S par rapport à R0 , H = Hn i 0 + Ht j 0 la résultante de percussion de S sur Q, et R la résultante de percussion en O0 du milieu extérieur sur S Le choc est supposé parfaitement élastique (r = 1) et le contact entre Q et S est très rugueux (grande valeur du coefficient de frottement f ). On cherche à déterminer les valeurs juste après le choc de x0+ , y+0 , θ+ , Hn et Ht (on → − ne s’intéresse pas aux composantes de R ).

−p (Q/R ), E Q/R ), → − 1. (a) De façon générale, déterminer en fonction de x0 , y0 et θ les quantités : → 0 ( 0 σ O0 (S/R0 ) et Ec (S/R0 ). −v (Q/S) la vitesse en G de Q par rapport à S ? (b) Que vaut → G 2. (a) Déterminer deux équations en considérant Q seul, puis une équation en considérant S seul. (b) Écrire l’équation de restitution de la vitesse normale. (c) Quelle cinquième équation indépendante de f est-il raisonnable de prendre ? 3. (a) Résoudre le système d’équations pour déterminer les valeurs des inconnues. Pour quelles valeurs de f cette solution est-elle valable ? (b) Calculer la variation d’énergie cinétique de l’ensemble (Q

L

S) due au choc.

(c) Retrouver le résultat précédent par des considérations énergétiques.

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Choc d’une boule sur une butée.

z0

v0

g

(C) t>0

u0 a u0 (C) t=0

(C) t 0. 0 0 0

0

0

0

0

À l’instant t = 0, elle vient percuter la paroi verticale d’une butée B. Le mouvement de la boule est repéré par la → − → − − → − −v = u→ vitesse de O : → i 0 + w k 0 , et par la vitesse de rotation Ω = Ω j 0 . 0 → − Sur la figure, on fera attention à la vitesse de rotation Ω qui est positive dans le sens indiqué. Dans un premier temps, on suppose que la butée est fixe par rapport au repère galiléen R0 (O0 , x0 , y0 , z0 ). On admet que les contacts de C avec B et O0 x0 y0 sont très rugueux (coefficient de frottement : f ). −p − (C/R ), → − 1. (a) Déterminer les quantités juste avant choc : → σ − (C/R ) et E − (C/R ) en fonction de u . 0

0

0

c

0

0

−p + (C/R ), → −+ + + + (b) Déterminer les quantités juste après choc, : → 0 σ 0 (C/R0 ) et E c (C/R0 ), en fonction de u , w + et Ω . 2. On suppose que le choc a pour effet de rompre le contact en J, et qu’en I il y a annulation de la vitesse de → − → − → − la glissement. Soit H = Hn i 0 + Ht k 0 la résultante de percussion appliquée par B sur C à l’instant t = 0. (a) En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique étendu aux chocs, écrire trois équations liant les inconnues u+ , w+ , Ω+ , Hn et Ht . (b) Le choc étant supposé élastique (r = 1), quelle autre équation obtient-on ? (c) Écrire l’équation correspondant à l’annulation de la vitesse de glissement en I. 3. (a) Déterminer les cinq quantités u+ , w+ , Ω+ , Hn et Ht en fonction de u0 . (b) L’hypothèse de rupture du contact en J après le choc est-elle vérifiée ? (c) Quelle est la valeur minimale de f pour qu’il y ait annulation de la vitesse de glissement ? (d) Calculer la variation d’énergie cinétique due au choc. 4. (a) Décrire le mouvement de C après le premier choc. (b) Préciser la position du nouveau point de contact au deuxième choc entre C et O0 x0 . (c) Déterminer cette position dans le cas où : u0 = 3, 5ms−1 , g = 10ms−2 . 5. On suppose maintenant que la butée B a une masse égale à 3m, qu’elle n’est plus fixe et que son seul mouvement possible est un glissement sans frottement d’axe O0 x0 (liaison glissière bilatérale parfaite). À → − l’instant t = 0, la butée est immobile, son mouvement après choc ayant pour vitesse u0 i 0 . Avec les hypothèses du choc élastique et de l’annulation de la vitesse de glissement, quelles équations vérifient alors les six inconnues : u+ , w+ , Ω+ , u0+ , Hn et Ht ?

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9.4.6

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Choc du battant d’une cloche

Une cloche S est mobile dans un plan vertical galiléen O0 x0 y0 autour de l’axe de rotation O0 z0 (liaison pivot parfaite) et on appelle J son moment d’inertie par rapport à O0 z0 . On repère sa position par l’angle θ(t). Le battant AP est assimilable à une tige de longueur l, sa masse m étant concentrée au point P. Il est mobile dans le plan O0 x0 y0 , autour de A extrémité de la tige O0 A, sans masse, de longueur l et liée à S. La position du battant par rapport à S est définie par l’angle ϕ. Pour l’écart maximal ϕ M , le battant heurte la cloche, dont la forme est telle que le choc est normal. On appelle r le coefficient de restitution lors du choc. Juste avant le choc de P sur S pour ϕ > 0, les vitesses de rotation θ˙ − et → − → − ϕ˙ − sont connues. Juste après le choc, on les note : θ˙ + et ϕ˙ + . On appelle H = H j la résultante de la percussion de S sur P.

y0

O0 P

g A O0 P x0

x

x1

1. Dans le cas général, calculer en fonction des paramètres :

→ − (a) le vecteur V P (AP/R1 ) en projection dans R1 . → − (b) le vecteur V P (AP/R0 ) en projection dans R1 .

2. (a) Avec la loi de restitution, déterminer la valeur de ϕ+ . (b) En remarquant que ∆σO0 est nul pour le système, déterminer la valeur de θ+ . (on sera amené à poser 2 k = (1 + cos ϕ M ) mlJ ) (c) Déterminer la variation d’énergie cinétique du système ∆Ec (S + P/R0 ). 3. (a) En considérant le battant seul, déterminer la résultante de percussion H. (b) Vérifier que l’on a bien : ∆Ec (S + P/R0 ) = Hl(ϕ− + ϕ+ )/2.

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9.4.7

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Impact d’un disque sur un autre

y0

(D) O0

O

v0+

(C) t>0 −

v0

O (C) t=0

O (C) t