Livre Du Maitre Litchi [PDF]
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h i c t i L
CM 1
Mathématiques Guide pédagogique
Catherine VILARO Conseillère pédagogique Didier FRITZ Inspecteur de l’Éducation nationale
Responsable de projet : Delphine DEVEAUX Maquette de couverture : Estelle CHANDELIER et TYPO-VIRGULE Illustration de couverture : DAWID Mise en pages : TYPO-VIRGULE Illustrations techniques : Gilles POING
0 g éq. CO2 ISBN : 978-2-01-117653-0 © Hachette Livre 2014, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple ou d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.
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Présentation de la méthode À l’entrée du CM1, les élèves ont acquis les bases mathématiques indispensables à la compréhension du système décimal de position, du sens et de la technique de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les premiers rudiments de la division. Ils ont déjà analysé les figures géométriques et ont acquis des éléments de la méthode de résolution de problème. Ce manuel de mathématiques CM1 se donne pour objectif d’enrichir ces connaissances initiales et d’acquérir de nouveaux outils dans le strict respect des Instructions officielles. La conception de l’ouvrage vise à développer les attitudes attachées aux mathématiques : – chaque leçon commence par une phase de recherche permettant à l’élève de construire et de développer son raisonnement ; – l’élève construit sa capacité à l’abstraction par une approche progressive fondée sur des situations proches de son vécu ou qu’il est capable de s’approprier par on imagination ; – l’acquisition d’attitudes de rigueur et de précision est omniprésente, notamment dans le travail de géométrie, mais aussi dans la structuration du raisonnement et de la communication des résultats.
– le groupe des élèves en difficulté qui travaillent sur le Parcours A avec l’aide directe de l’enseignant ; – le groupe des élèves aux connaissances instables qui travaillent de manière autonome sur le Parcours A, ou sur un parcours précisé par l’enseignant ; – le groupe des élèves avancés qui travaillent en autonomie sur le Parcours B.
Les domaines d’apprentissage Chaque domaine d’apprentissage fait l’objet d’un travail méthodique et progressif, amenant les élèves à la compréhension des situations et des mécanismes mathématiques. La numération En numération, les élèves sont conduits à une compréhension explicite de la numération décimale de position et de sa structuration. Le CM1 va permettre d’approfondir la maîtrise des nombres d’usage courant, puis de prolonger la maîtrise de la lecture et de l’écriture des grands nombres. Le manuel insiste ainsi sur la mise en lien de la numération orale et de la numération écrite, condition indispensable à la lecture et à l’écriture de ces nombres. L’élève est ainsi amené à structurer leur lecture et leur écriture par la construction explicite de la notion de « classes » : classe des millions, classe des mille et classe des unités simples. C’est à partir de cette base que viennent les notions totalement nouvelles : les fractions, les fractions décimales et les nombres décimaux à virgule. Le manuel CM1 se donne pour objectif la mise en œuvre rigoureuse des notions, dans un contexte le plus explicite possible. Il convient de noter que ces notions seront largement reprises, tant en CM2 qu’en 6e.
La différenciation Au cours de leur scolarité, les élèves ont atteint des degrés divers de connaissances, certains d’entre eux révélant une plus grande fragilité ou des connaissances moins stables, d’où la nécessité fondamentale de la différenciation. Ce manuel s’inscrit pleinement dans cette logique. Pour cela, chaque leçon se construit sur deux séances : – la Séance 1 s’appuie sur une trame collective à partir d’une situation de recherche (« Découvrir ») suivie d’un ou plusieurs exercices d’application (« Appliquer ») ; – la Séance 2 est constituée d’exercices et de problèmes organisés en deux parcours-types pour deux niveaux ; • le Parcours A est plus particulièrement destiné aux élèves les plus fragiles et à ceux dont les connaissances manquent de stabilité. La mise en application de la notion étudiée est mise en œuvre de manière plus progressive et permet de construire plus lentement le passage du concret à l’abstrait ; • le parcours B se donne pour objectif d’installer l’apprentissage, de le mettre en œuvre et de l’approfondir. En fonction de chaque leçon et des difficultés observées, l’enseignant peut aussi adapter et choisir d’autres parcours en favorisant un cheminement dans les exercices de l’un et l’autre niveau. Ces parcours complémentaires sont proposés dans ce guide pédagogique. Cette conception doit favoriser le travail de différenciation et permettre à l’enseignant de gérer sa classe en plusieurs groupes, avec, par exemple :
Le calcul Le travail se poursuit sur l’addition, la soustraction et la multiplication des nombres entiers. La division posée a déjà été abordée, mais elle fait l’objet en CM1 d’un travail om chaque étape de l’apprentissage est strictement décomposé. Ainsi, l’élève est amené à comprendre le sens de chaque étape de la technique opératoire, et pas seulement à appliquer cette technique sans la comprendre. L’élève ayant découvert les nombres à virgule, il est maintenant en mesure de leur appliquer l’addition, la soustraction et la multiplication. Conformément aux programmes, une première approche du quotient à virgule de deux nombres entiers est engagée. Le calcul mental Le calcul mental fait l’objet d’un travail quotidien et systématique au début de chaque séance. La table des matières du calcul mental témoigne de sa progression tout au long de l’année. Il est en effet important que les
3
vailler des points précis : gérer un problème à plusieurs étapes de calcul, repérer les informations utiles… ; – des leçons particulières de « Problèmes de la vie courante », pour aborder les différentes typologies de problèmes (sur les distances, les masses…). Cette idée de « typologies de problèmes » suggère qu’il existe un nombre limité de structures de résolution pour chaque domaine (monnaie, distance, masse, quantités d’objets…) de résolution de problème. Ce manuel se donne donc pour objectif d’apprendre aux élèves à repérer le domaine de la situation étudiée en s’appuyant sur les mots inducteurs de l’énoncé, puis à identifier la structure-type de résolution. Les élèves vont ainsi prendre conscience du fait que tout problème de même type se résoudra de la même manière, sur des nombres de plus en plus complexes (grands nombres, nombres décimaux) ou sur des situations nécessitant des calculs intermédiaires.
élèves acquièrent des procédures de calcul rapide et qu’ils aient automatisé le répertoire multiplicatif. Pour ce dernier, une procédure d’apprentissage et de révision est développée dans ce guide pédagogique. Avec ce travail régulier, les élèves sont amenés aux automatismes qui les libèrent des tâches de calcul au profit de l’élaboration du raisonnement. La géométrie En géométrie, les élèves seront amenés à la rigueur de la description et de la construction des figures. Ils sont conduits à les décrire en utilisant des critères précis de mesure de côtés et de repérage de l’angle droit. Dans sa conception, ce manuel amène les élèves à constater l’imbrication entre les figures particulières, comme la carré qui possède à la fois les propriétés du rectangle et du losange. La résolution de problème La résolution de problème constitue un élément fondamental de la méthode, du fait notamment de son rôle dans la mise en œuvre concrète des notions mathématiques acquises. Elle est présente dans l’ouvrage à 3 niveaux : – dans chaque leçon : d’abord travaillée de manière isolée dans les exercices, la notion de résolution de problème est mise en œuvre à la fin de la Séance 2 (« Résoudre des problèmes »), dans un contexte proche de la vie de l’élève ou dont il peut facilement s’approprier le contexte ; – à la fin de chaque demi-période, une page de « Méthodologie » de résolution de problème permet de tra-
Ce guide pédagogique décrit avec précision les objectifs de chaque séance et leur place au regard des Instructions officielles et du Socle commun de connaissances et de compétences. Le déroulé de chaque séance est décrit dans chacune de ses phases : – le calcul mental ; – les phases de travail préparatoire et manipulatoire ; – la mise en place des groupes d’élèves en fonction des parcours proposés ; – le commentaire des exercices et des problèmes du manuel ; – des propositions de remédiation.
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Organisation des séances Verbaliser le nouvel apprentissage
Par leçon, on compte généralement deux séances portant sur un même objectif d’apprentissage.
En fin de séance, en oral collectif, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. Un exemple de réponse possible est proposé dans ce guide. Les élèves lisent ensuite la rubrique « Retenir » du manuel.
Déroulement de la Séance 1 Calcul mental Chaque séance débute par un temps de calcul mental (automatisé ou réfléchi) en deux étapes : à l’oral, puis à l’écrit sur l’ardoise et le cahier de mathématiques. À l’oral, les exercices de calcul automatisé devront être conduits sur un rythme soutenu. Pour ce genre d’exercices, nous recommandons d’utiliser le procédé « La Martinière » dont le principe est le suivant : – énoncer deux fois la consigne ; – donner aux élèves un très court temps de réflexion ; – énoncer ensuite les consignes : « Écrivez, levez l’ardoise ». Il convient de rester strict sur le rythme : on écrit au signal, puis on lève l’ardoise au signal. La correction collective est immédiate. En ce qui concerne le calcul réfléchi, demander aux élèves de proposer leurs solutions et d’expliquer leurs stratégies. Il est important de favoriser les échanges entre les élèves et de leur faire prendre conscience des procédures les plus économes (en temps par exemple) et sources de moins d’erreurs. Ces procédures peuvent être proposées par l’enseignant.
Déroulement de la Séance 2 Calcul mental Chaque seconde séance débute par un temps de calcul mental (automatisé ou réfléchi) dont l’objectif est de rappeler les stratégies et procédures découvertes lors de la séance précédente et de s’entraîner. Il se déroule en deux étapes : à l’oral, puis à l’écrit sur l’ardoise et le cahier de mathématiques.
Rappel sur l’apprentissage de la séance précédente L’enseignant demande aux élèves ce qu’ils ont appris lors de la précédente leçon en mathématiques. Un exemple de réponse attendue est proposé qui reprend l’objectif d’apprentissage.
Donner du sens aux activités proposées aux élèves Expliquer aux élèves que cette séance est consacrée principalement à s’exercer pour renforcer ce qu’ils ont appris lors de la séance précédente.
Donner du sens aux apprentissages pour les élèves
S’entraîner individuellement
Expliquer rapidement aux élèves ce qu’ils vont apprendre et en quoi cet apprentissage va leur être utile.
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Les élèves peuvent s’aider de la rubrique « Retenir » et du matériel de manipulation que l’enseignant mettra à leur disposition. L’enseignant peut prendre en soutien un petit groupe d’élèves en difficulté. Sur le manuel de l’élève, deux parcours différents sont proposés : le « parcours A », plus simple que le « parcours B ». En fonction des difficultés des élèves repérées lors de la séance précédente, il est possible de diversifier les parcours. Pour chaque leçon, des parcours différenciés sont proposés dans ce guide pédagogique en fonction des besoins des élèves. • « Parcours A » complet uniquement pour les élèves en difficulté. • « Parcours B » complet uniquement pour les élèves performants. • Autres parcours pour les élèves qui besoin de travailler plus particulièrement certaines compétences ciblées par l’enseignant. La correction collective s’ensuite. Elle n’est pas systématique.
Découvrir Après le temps de calcul mental, une phase de découverte sur des situations représentées est proposée aux élèves en lien avec la compétence visée. Dans le manuel de l’élève, la situation de découverte est étudiée par écrit en binôme ou individuellement. Projeter la situation de découverte (TNI, vidéoprojecteur) ou demander aux élèves d’ouvrir leur manuel à la page indiquée. Cacher la rubrique « Retenir » en bas de page pour n’observer que la situation de découverte. L’enseignant ou un élève lit la situation. L’enseignant s’assure que tous les élèves la comprennent. Les questions sont traitées en individuel écrit ou en binôme. La mise en commun orale collective se déroule après chaque étape de la découverte.
Appliquer ce que l’on vient de découvrir Sur le cahier de mathématiques, les élèves s’exercent sur la notion découverte précédemment.
5
Sommaire N° fiche
Titre
Pages du guide Pages du manuel
Première période 1
Les nombres jusqu’à 999
16-19
10-11
2
Les outils de la géométrie
20-22
12-13
3
Addition et soustraction de nombres entiers
23-26
14-15
4
Les mesures de longueur
27-29
16-17
5
Les droites parallèles
30-31
18-19
6
Les nombres jusqu’à 9 999
32-34
20-21
7
La multiplication par un nombre à un chiffre
35-36
22-23
8
Méthodologie : les étapes de la résolution d’un problème
37-38
24
9
Bilan (1)
39-40
25
10
Les nombres jusqu’à 99 999
41-43
26-27
11
La multiplication par un nombre à deux chiffres
44-47
28-29
12
Les mesures de masse
48-50
30-31
13
Les nombres jusqu’à 999 999
51-53
32-33
14
Le carré et le rectangle
54-56
34-35
15
Problèmes de la vie courante : les mesures de longueur
57-59
36-37
16
Valeurs approchées
60-62
38-39
17
Méthodologie : les problèmes sous différentes formes
63-64
40
18
Bilan (2)
65-66
41
Deuxième période 19
Les nombres jusqu’à 999 999 999 (1)
68-70
42-43
20
Le cercle
71-72
44-45
21
Les mesures de capacité
73-75
46-47
6
N° fiche
Titre
Pages du guide Pages du manuel
22
Approche de la division : les partages
76-78
48-49
23
La calculatrice
79-81
50-51
24
Les multiples
82-84
52-53
25
Problèmes de la vie courante : les masses (1)
85-87
54-55
26
La division par un nombre à un chiffre
88-90
56-57
27
Méthodologie : le tri des informations
91-92
58
28
Bilan (3)
93-94
59
29
Les nombres jusqu’à 999 999 999 (2)
95-96
60-61
30
Les axes de symétrie des figures simples (1)
97-99
62-63
31
La division par un nombre à deux chiffres (1)
100-102
64-65
32
Les périmètres du carré et du rectangle
103-105
66-67
33
Tableaux et graphiques
106-109
68-69
34
Les durées
110-112
70-71
35
Problèmes de la vie courante : les capacités
113-115
72-73
36
La division par un nombre à deux chiffres (2)
116-118
74-75
37
Méthodologie : organiser les informations
119-120
76
38
Bilan (4)
121-122
77
Troisième période 39
Les fractions : demi, quart, tiers
124-126
78-79
40
La division par un nombre à deux chiffres (3)
127-129
80-81
41
Aire d’une figure sur un quadrillage
130-132
82-83
42
Le losange
133-134
84-85
43
Problèmes de la vie courante : les périmètres
135-137
86-87
44
Les fractions simples
138-141
88-89
45
Les graphiques
142-144
90-91
7
N° fiche
Titre
Pages du guide Pages du manuel
46
Méthodologie : les étapes de calcul
145-146
92
47
Bilan (5)
147-148
93
48
Les nombres jusqu’à 999 999 999 (3)
149-151
94-95
49
Description et reproduction de figures (1)
152-154
96-97
50
Les fractions décimales : les dixièmes
155-157
98-99
51
La division par un nombre à deux chiffres (4)
158-161
100-101
52
Classement et rangement de surfaces selon leur aire
162-164
102-103
53
Problèmes de la vie courante : les durées
165-167
104-105
54
Découverte des nombres à virgule
168-170
106-107
55
Méthodologie : réduire un énoncé
171-172
108
56
Bilan (6)
173-174
109
Quatrième période 57
Les fractions décimales : les centièmes
176-178
110-111
58
Reproduction de figures : le programme de construction
179-181
112-113
59
Les fractions décimales et les nombres décimaux (1)
182-185
114-115
60
Problèmes de la vie courante : les partages
186-188
116-117
61
Les nombres décimaux
189-191
118-119
62
Repérage de cases dans un quadrillage
192-194
120-121
63
L’addition de nombres décimaux
195-197
122-123
64
Méthodologie : identifier un problème à étapes
198-199
124
65
Bilan (7)
200-201
125
66
Comparaison de nombres décimaux (1)
202-204
126-127
67
Angles droits, aigus ou obtus
205-207
128-129
68
La soustraction de nombres décimaux
208-210
130-131
69
Description et reproduction de figures (2)
211-213
132-133
8
N° fiche
Titre
Pages du guide Pages du manuel
70
Les axes de symétrie des figures simples (2)
214-215
134-135
71
La multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (1)
216-218
136-137
72
La monnaie
219-221
138-139
73
La symétrie axiale
222-224
140-141
74
Méthodologie : regrouper les informations
225-226
142
75
Bilan (8)
227-228
143
Cinquième période 76
Les fractions décimales et les nombres décimaux (2)
230-232
144-145
77
Comparaison des angles
233-235
146-147
78
Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (2)
236-238
148-149
79
Problèmes de la vie courante : la monnaie
239-241
150-151
80
La division décimale de deux nombres entiers (1)
242-244
152-153
81
Les prismes droits
245-246
154-155
82
Les coordonnées d’un point
247-249
156-157
83
Méthodologie : le vocabulaire et les énoncés de problèmes
250-251
158
84
Bilan (9)
252-253
159
85
Comparaison des nombres décimaux (2)
254-256
160-161
86
La proportionnalité (1)
257-260
162-163
87
Les patrons du cube et du pavé droit
261-263
164-165
88
La division décimale de deux nombres entiers (2)
264-266
166-167
89
La proportionnalité (2)
267-269
168-169
90
Problèmes de la vie courante : les masses (2)
270-272
170-171
91
La règle de trois
273-275
172-173
92
Méthodologie : les problèmes à étapes
276-277
174
93
Bilan (10)
278-279
175
Évaluations : tableaux de compétences et photofiches
9
281
Progression par domaines mathématiques 11 La multiplication par un nombre à deux chiffres
Nombres
1 Les nombres jusqu’à 999
16 Valeurs approchées
6 Les nombres jusqu’à 9 999 10 Les nombres jusqu’à 99 999
22 Approche de la division : les partages
13 Les nombres jusqu’à 999 999
23 La calculatrice
19 Les nombres jusqu’à 999 999 999 (1)
26 La division par un nombre à un chiffre
24 Les multiples
31 La division par un nombre à deux chiffres (1)
29 Les nombres jusqu’à 999 999 999 (2)
36 La division par un nombre à deux chiffres (2)
39 Les fractions : demi, quart, tiers
40 La division par un nombre à deux chiffres (3)
44 Les fractions simples 48 Les nombres jusqu’à 999 999 999 (3)
51 La division par un nombre à deux chiffres (4)
50 Les fractions décimales : les dixièmes
63 L’addition de nombres décimaux
54 Découverte des nombres à virgule
68 La soustraction de nombres décimaux
57 Les fractions décimales : les centièmes
71 Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (1)
59 Les fractions décimales et les nombres décimaux (1)
78 Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (2)
61 Les nombres décimaux
80 La division décimale de deux nombres entiers (1)
66 Comparaison de nombres décimaux (1)
88 La division décimale de deux nombres entiers (2)
76 Les fractions décimales et les nombres décimaux (2)
Géométrie
85 Comparaison de nombres décimaux (2)
2 Les outils de la géométrie 5 Les droites parallèles
Calcul
14 Le carré et le rectangle
3 Addition et soustraction de nombres entiers
20 Le cercle
7 La multiplication par un nombre à un chiffre
30 Les axes de symétrie des figures simples (1)
10
42 Le losange
89 La proportionnalité (2)
49 Description et reproduction de figures (1)
91 La règle de trois
58 Reproduction de figures : le programme de construction
Problèmes
69 Description et reproduction de figures (2)
8 Méthodologie : les étapes de la résolution de problème
70 Les axes de symétrie des figures simples (2)
15 Problèmes de la vie courante : les mesures de longueur
73 La symétrie axiale
17 Méthodologie : les problèmes sous différentes formes
81 Les prismes droits
25 Problèmes de la vie courante : les masses (1)
87 Les patrons du cube et du pavé droit
27 Méthodologie : le tri des informations Grandeurs et mesures
35 Problèmes de la vie courante : les capacités
4 Les mesures de longueur
37 Méthodologie : organiser les informations
12 Les mesures de masse 21 Les mesures de capacité
43 Problèmes de la vie courante : les périmètres
32 Les périmètres du carré et du rectangle
46 Méthodologie : les étapes de calcul
34 Les durées
53 Problèmes de la vie courante : les durées
41 Aire d’une figure sur un quadrillage
55 Méthodologie : réduire un énoncé
52 Classement et rangement de surfaces selon leur aire
60 Problèmes de la vie courante : les partages
67 Angles droits, aigus ou obtus
64 Méthodologie : identifier un problème à étapes
72 La monnaie 77 Comparaison des angles
74 Méthodologie : regrouper les informations
Organisation et gestion des données
79 Problèmes de la vie courante : la monnaie
33 Tableaux et graphiques
83 Méthodologie : le vocabulaire et les énoncés de problème
45 Les graphiques 62 Repérage de cases dans un quadrillage
90 Problèmes de la vie courante : les masses (2)
82 Les coordonnées d’un point
92 Méthodologie : les problèmes à étapes
86 La proportionnalité (1)
11
Progression et activités en calcul mental N° leçon 1
2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45
Objectifs
Pages des activités
Connaître et utiliser les tables d’addition de 2 à 5. Connaître et utiliser les tables d’addition de 6 à 9. Ajouter ou retrancher des dizaines et des centaines entières. Ajouter ou retrancher 9, 19, 29…11, 21, 31… Trouver les compléments à 10 et à la dizaine supérieure. Trouver les compléments à 100 d’un nombre à 2 chiffres. Connaître les tables de multiplication de 2 à 5. Connaître les tables de multiplication de 6 et 7. Connaître les tables de multiplication de 8 et 9. Restituer les résultats des tables de multiplication en résolution de problème simple. Multiplier un nombre par 10, 20, 30… Dire, écrire et décomposer des nombres ≤ 99 999. Comparer, ranger et encadrer des nombres ≤ 99 999. Différencier « chiffre » et « nombre » pour les nombres ≤ 99 999. Trouver et utiliser des stratégies de calcul pour additionner 2 nombres. Résoudre des problèmes simples énoncés oralement. Organiser ses calculs pour additionner plusieurs nombres. Estimer mentalement l’ordre de grandeur du résultat d’une somme ou d’une différence. S’entraîner sur les tables de multiplication de 2 à 9. Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, etc. Multiplier un nombre par 20, 30… 200, 300… Trouver le nombre pensé. Compter et décompter de 10 en 10, de 100 en 100… Diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. S’entraîner sur les multiples des nombres d’usage courant. Écrire, nommer, comparer et encadrer des nombres < au milliard. Calculer avec des parenthèses. Doubles et moitiés de nombres simples. S’entraîner sur la relation entre les nombres 15, 30 et 60. Lire l’heure sur une pendule à aiguilles. S’entraîner sur les mesures de capacité et les relations qui les lient. S’entraîner à diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. Calculer le double, le triple, le quadruple d’un nombre. Calculer la moitié, le quart, le tiers d’un nombre. Rechercher les valeurs approchées d’un nombre à 3 chiffres à la dizaine, à la centaine. S’entraîner sur les fractions : un demi, un tiers, un quart. Trouver le nombre pensé. Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’un produit. S’entraîner sur les mesures de longueur et les relations qui les lient. Diviser un nombre par 2, 3 ou 4. Encadrer un nombre entre 2 multiples d’une même table de multiplication.
16-17 20-21 23-24 27-28 30-31 32-33 35-36 37 41-42 44-45 48-49 51-52 54-55 57-58 60-61 63 68-69 71-72 73-74 76-77 79-80 82-83 85-86 88-89 91 95-96 97-98 100-101 103-104 106-107 110-111 113-114 116-117 119 124-125 127-128 130-131 133-134 135-136 138-140 142-143
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N° leçon
46 48 49 50 51 52 53 54 55 57 58 59 60 61 62 63 64 66 67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 86 87 88 89 90 91 92
Objectifs Trouver combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Lire et écrire des fractions simples. Multiplier un nombre à 2 chiffres par 10, 100, 1 000. Représenter par le dessin des fractions simples. Lire et représenter les fractions décimales en dixièmes. Trouver le nombre pensé. S’entraîner sur les mesures de durée et les relations qui les lient. Compter et décompter à partir d’un nombre donné. Lire, écrire et représenter les dixièmes (fractions). Lire, écrire, comparer et encadrer des nombres ≤ 999 999 999. Lire et écrire les centièmes (fractions) et les placer sur une droite numérique. Calculer mentalement des quotients avec reste. Écrire une fraction décimale sous forme d’un nombre décimal. Reconnaître les multiples et les utiliser. Lire et écrire des nombres décimaux. Identifier la position de chaque chiffre dans un nombre décimal. Calculer avec des parenthèses. Lire et écrire des nombres décimaux en lien avec des fractions décimales. Comparer des nombres décimaux. Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant. Encadrer des nombres décimaux entre 2 entiers. Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une addition de 2 nombres décimaux. Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une soustraction de 2 nombres décimaux. Trouver le nombre pensé. Résoudre des problèmes oraux. Ajouter un nombre entier à un nombre décimal. Soustraire un nombre entier à un nombre décimal. Trouver le complément d’un nombre décimal au nombre entier supérieur. Écrire des nombres décimaux sous forme de fractions. Encadrer un nombre décimal entre 2 entiers. Écrire des fractions sous forme de nombres décimaux. Multiplier un nombre décimal par 10. Encadrer un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Ajouter un nombre décimal à un nombre entier. Soustraire des nombres décimaux < 10. Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000. Intercaler un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Trouver le nombre pensé. Comparer des nombres décimaux. Lire et écrire des nombres décimaux. Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Résoudre des problèmes simples donnés oralement.
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Pages des activités
145 149-150 152-153 155-156 158-159 162-163 165-166 168-169 171 176-177 179-180 182-184 186-187 189-191 192-193 195-196 198 202-203 205-206 208-209 211-212 214-215 216-217 219-220 222-223 225 230-231 233-234 236-237 239-240 242-243 245-246 247-248 250 254-255 257-259 261-262 264-265 267-268 270-271 273-274 276
Première période
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Les nombres jusqu’à 999 Manuel de l’élève pages 10 et 11
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. »
Les grands nombres sont composés de plusieurs classes (classe des millions, classe des mille, classe des unités simples). Chaque classe est composée d’un nombre à 3 chiffres (la classe la plus à gauche peut avoir moins de 3 chiffres). Les classes sont séparées : – à l’écrit, par un espace pour une parfaite lisibilité de chacune ; – à l’oral, par leur nom, sauf pour les unités simples. Sur un plan mécanique, la lecture et l’écriture des grands nombres peuvent donc se comprendre comme une « succession » de lectures et d’écritures de nombres à 3 chiffres. Mais la lecture et l’écriture des grands nombres sont plus que cela. Elles sont un exercice complexe sollicitant la mémoire immédiate de manière intense. Il faut donc que le mécanisme de lecture et d’écriture des nombres à 3 chiffres soit parfaitement automatisé. C’est à cette condition que l’élève pourra concentrer plus tard dans l’année son attention sur la structure des grands nombres.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition. » – « Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. » ■ Objectifs des séances : Lire, écrire, nommer et décomposer les nombres ≤ 999. ■ Matériel à prévoir : – pour l’enseignant : le matériel de numération téléchargeable sur le site Istra : plaques centaines, barres dizaines et carrés unités ; – pour la classe : le matériel de numération (en fond de classe, à utiliser librement si besoin) ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 • Consigne 1 : « Je vais vous montrer un nombre avec mon matériel. Vous devrez l’écrire dans votre tableau de numération, puis le nommer. » Montrer successivement : – 1 plaque centaine (100) ; – 4 plaques centaines (400) ; – 6 plaques centaines et 3 barres dizaines (630) ; – 2 plaques centaines, 5 barres dizaines et 3 carrés unités (253). Les élèves nomment les nombres.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Connaître et utiliser les tables d’addition de 2 à 5. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Explication : « Vous avez appris les tables d’addition depuis le CP. Cette année, vous allez vous entraîner régulièrement à les restituer rapidement car vous devez les connaître par cœur. Cela vous sera très utile notamment lors des techniques opératoires. » • Consigne : « Voici des additions des tables de 2 à 5. Vous me donnez oralement le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle ou privilégier le procédé La Martinière avec l’ardoise. Énoncer : 6 + 2 ; 9 + 5 ; 7 + 6 ; 4 + 2 ; 5 + 3… La correction est faite après chaque addition. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : 2 + 6 ; 4 + 3 ; 3 + 4 ; 3 + 3 ; 8 + 4… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit. ‹ Remarque : Donner aux élèves les tables d’addition à revoir petit à petit. Voir la table de Pythagore à la fin du manuel.
• Faire de même en ne respectant pas l’ordre c/d/u. Montrer successivement : – 3 carrés unités, 2 plaques centaines et 4 barres dizaines (243) ; – 8 barres dizaines et 9 plaques centaines (980) ; – 9 barres dizaines, 5 carrés unités et 3 plaques centaines (395) ; – 3 carrés unités et 5 plaques centaines (503). Les élèves écrivent les nombres dans leur tableau de numération. La correction collective est immédiate avec verbalisation de la procédure pour écrire les nombres dans le tableau (position) puis les nommer. Insister sur la position de chaque chiffre dans le nombre. • Consigne 2 : « Sur votre ardoise, vous allez écrire en chiffres le nombre 603. » Lors de la correction orale collective, il sera intéressant de s’appuyer sur l’erreur récurrente : l’oubli du 0 au rang des dizaines. Montrer deux ardoises. L’une sur laquelle est écrit 63 et l’autre 603. Amener les élèves à comparer et justifier la bonne écriture. Un élève représente le nombre 603 avec le matériel de numération (plaques centaines, barres dizaines et carrés unités).
u Temps 2 : Lire et écrire des nombres jusqu’à 999 – Différencier « chiffre des » et « nombre de » Travail oral collectif et individuel écrit Durée : 20 min Sur l’ardoise, les élèves tracent un tableau de numération c/d/u. • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir la numération des nombres jusqu’à 999. »
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Tracer un tableau de numération, outil d’aide important. Un élève vient écrire 603 et verbalise : « 6 est le chiffre des centaines. 0 est le chiffre des dizaines et 3 le chiffre des unités. » centaines
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• D. L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant des nombres ≤ 999. Réponses : 208 < 570 < 574 < 930 ‹ Remarques : • Faire rappeler aux élèves la démarche de comparaison et de rangement des nombres à 3 chiffres : « Pour comparer deux nombres, on regarde d’abord leur nombre de chiffres. Celui qui a le plus de chiffres est le plus grand. S’ils en ont autant, on compare les chiffres des centaines. Si le chiffre des centaines est identique, on compare les chiffres des dizaines. Si le chiffre des dizaines est identique, on compare les chiffres des unités. » • Les signes de comparaison sont : et =. Afficher un référent didactique sur le mur de la classe.
• Consigne 3 : « Dans le nombre 579, quel est le chiffre des dizaines ? Quel est le nombre de dizaines ? » S’appuyer sur le tableau de numération et le matériel de numération de la classe. chiffre des dizaines c
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u
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Les signes pour comparer des nombres < : plus petit que 603 < 630 > : plus grand que 437 > 337 = : égale 800 + 40 + 2 = 842
nombre de dizaines Écrire des nombres de 3 chiffres au tableau : 561 / 983 / 390 / 604. Les élèves viennent entourer : – le chiffre des dizaines ; – le chiffre des centaines ; – le chiffre des unités ; – le nombre de dizaines.
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre sur leur cahier : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire en chiffres et en lettres des nombres ≤ 999 en insistant sur le rôle du 0 dans la numération de position. Réponses : six cent soixante-dix-huit ; deux cent quatre-vingtsix ; sept cent quatre ; trois cent quatre-vingt-dix ; 809 ; 740 ; 290 • Exercice 2 : L’objectif est de trouver le nombre décomposé sous forme additive décimale. Réponses : 835 ; 291 ; 504 ; 950 • Exercice 3 : L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant des nombres ≤ 999. 123 < 231 < 321 ; 649 < 895 < 903 ; 739 < 745 < 791 ; 840 < 841 < 843 ‹ Remarque : Réviser l’orthographe de « vingt » et « cent ». Afficher un référent didactique au mur de la classe.
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail individuel écrit (ou en binômes) et collectif oral Durée : 20 min Les élèves ouvrent leur manuel page 10. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Lire la situation et s’assurer de sa compréhension par tous. Les élèves recherchent individuellement ou en binômes au choix de l’enseignant. La mise en commun suit chaque question. • A. L’objectif est de lire des nombres donnés en lettres et de les écrire en chiffres. Réponses : M. Berlian : 832 ; M. Catiot : 592 ; M. Toufiq : 677 ; M. Sylvestre : 481. • B. L’objectif est de travailler le rôle et la place du 0 dans un nombre à 3 chiffres. Réponse : 508 Réponses : 930 ; 208 ; 570 • C. L’objectif est de travailler la décomposition additive d’un nombre à 3 chiffres. Réponse : 574
Les accords de « vingt » et « cent » 20 : vingt 80 : quatre-vingts 83 : quatre-vingt-trois 100 : cent 500 : cinq cents 401 : quatre cent un En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris ou retenu. Leur réponse peut être : « Nous avons appris à lire, écrire, décomposer, comparer et ranger des nombres à 3 chiffres et à différencier « le chiffre des » et « le nombre de » dans un nombre ≤ 999. » Lire la rubrique « Retenir » dans le manuel.
Séance 2 Interroger les élèves à tour de rôle ou privilégier le procédé La Martinière avec l’ardoise. Énoncer : 3 + 5 ; 5 + 8 ; 4 + 9 ; 8 + 5 ; 5 + 3 ; 9 + 4… La correction est faite après chaque addition.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Connaître et utiliser les tables d’additions de 2 à 5. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral Consigne : « J’énonce des additions des tables de 2 à 5. Vous me donnez oralement le résultat. »
‹ Remarque : Faire prendre conscience aux élèves de la commutativité de l’addition. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : 2 + 6 ; 4 + 3 ; 6 + 2 ; 3 + 9 ; 9 + 4…
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Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler le rôle du 0 dans un nombre écrit en chiffres, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler la comparaison des nombres à 3 chiffres, proposer de commencer par les exercices A5, B5, A7 et B7, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 15 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à lire, écrire, décomposer, comparer et ranger des nombres à 3 chiffres et à différencier « le chiffre des… » et « le nombre de… » dans un nombre ≤ 999. »
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 435 ; 649 ; 863 ; 513 • A2. deux cent cinquante-quatre ; quatre cent quarante-trois ; six cent vingt-huit • A3. 603 ; 402 ; 730 ; 820 • A4. 800 + 50 + 9 = 859 200 + 30 + 4 = 234 300 + 70 + 6 = 376 500 + 90 + 2 = 592 • A5. 654 < 943 ; 745 > 499 ; 563 < 571 ; 848 = 800 + 40 + 8 ; 945 > 941 ; 238 < 200 + 30 + 9 • A6. Flora a lancé 5 anneaux sur la barre 100, 2 sur la barre 10 et 3 sur la barre 1. Elle a obtenu 523 points. • A7. 243 < 256 Brest est plus proche de Rennes que La Rochelle. Parcours B • B1. 493 ; 869 ; 992 ; 609 • B2. six cent soixante-quinze ; deux cent quatre-vingt-dixsept ; cinq cent quatre-vingt-huit ; quatre cent dix-neuf • B3. 708 ; neuf cent cinq ; 970 ; six cent quatre-vingt-dix • B4. 487 = 400 + 80 + 7 873 = 800 + 70 + 3 664 = 600 + 60 + 4 387 = 300 + 80 + 7 • B5. 598 < 745 < 823 799 < 903 < 927 745 < 754 < 781 • B6. Théo a réalisé 400 points dans la zone 100 et 7 points dans la zone 1. Son score est de 407 points. • B7. 907 > 830 > 803 > 709 Emma est le vainqueur.
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous exercer pour renforcer ce que vous avez appris hier. Nous allons commencer par travailler tous ensemble, puis vous vous entraînerez seuls. » • Les élèves sortent leur ardoise. • 1re étape : Lire des nombres écrits en chiffres Écrire au tableau des nombres écrits en chiffres (ou montrer des fiches préparées au préalable). Insister sur les nombres ayant 0 pour chiffre des dizaines ou des unités. Interroger les élèves à tour de rôle oralement. Énoncer : 395 ; 702 ; 880 ; 308 ; 663… • 2e étape : Écrire des nombres de 3 chiffres en chiffres ou en lettres Dire des nombres : les élèves doivent les écrire en chiffres ou en lettres sur leur ardoise. Énoncer : 407 ; 590 ; 280 ; 161… à écrire en chiffres. Énoncer : 125 ; 246 ; 387 ; 612… à écrire en lettres. • 3e étape : Différencier « le chiffre des » et « le nombre de » Écrire des nombres au tableau : 567 ; 908 ; 463 ; 650… Les élèves nomment le chiffre des centaines ou le chiffre des dizaines ou celui des unités ou le nombre de dizaines. • 4e étape : Comparer et ranger des nombres à 3 chiffres • Écrire au tableau : 468 … 764 ; 700 + 3 … 703 ; 400 + 30 … 300 + 40 ; etc. Les élèves verbalisent la comparaison et écrivent le signe qui convient : ou =. • Écrire au tableau : 597 / 759 / 975 Un élève vient au tableau les ranger dans l’ordre décroissant. Il verbalise la démarche de comparaison. Faire de même avec : 683 / 249 / 679 / 208
Travail dans le manuel
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 35 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Difficultés à différencier « le chiffre des … » et « le nombre de … » dans un nombre à 3 chiffres • Utiliser divers matériels de manipulation (sachets de haricots secs, boîtes de craies, bûchettes, matériel de numération de l’élève…) et le tableau de numération. Faire verbaliser à chaque fois « le chiffre des … est » et « le nombre de … est ». Exemple :
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler l’écriture en chiffres ou en lettres des nombres de 3 chiffres, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1 ,B2, B3 et A6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler la recomposition d’un nombre de 3 chiffres, proposer de commencer par
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Difficultés à lire des nombres ayant 0 pour chiffre des dizaines • Écrire un nombre ayant 0 comme chiffre des dizaines et le faire représenter avec du matériel de manipulation. Exemple : 804. L’élève place ce nombre dans le tableau de numération, puis le représente avec du matériel. Il verbalise : « J’ai 8 plaques centaines et 4 carrés seuls. Je n’ai pas de barres dizaines, donc il y a 0 dizaine. Ce nombre se lit huit cent quatre. »
C’est le nombre 235. Le chiffre des centaines est 2, le chiffre des dizaines est 3 et celui des unités est 5 ; le nombre de dizaines est 23. Faire de même avec d’autres nombres. • Utiliser le matériel de numération des élèves (plaques centaines, barres dizaines et carrés unités). Nommer un nombre. L’élève le représente avec son matériel. Quand l’enseignant demande le nombre de dizaines, l’élève regroupe les plaques et les barres puis répond. Ce regroupement lui permet de visualiser le nombre total de dizaines. Exemple : 100
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Difficultés à écrire des nombres ayant 0 pour chiffre des dizaines • Placer une quantité d’objets sans dizaine. Faire verbaliser l’élève, puis écrire dans un tableau de numération cette quantité. Exemple : Placer sur la table 3 sachets de 100 haricots et 7 haricots isolés. L’élève verbalise : « Il y a 3 sachets de 100 haricots et 7 haricots seuls. Il n’y a pas de sachet de 10 haricots, il n’y a donc pas de dizaine de haricots. » Il complète un tableau de numération en verbalisant : « Je place 3 dans la colonne des centaines et 7 dans la colonne des unités. Il n’y a pas de dizaine donc je complète par un zéro. » c
Écrire ce nombre dans un tableau de numération, puis demander le chiffre des centaines, des dizaines et des unités ou le nombre de dizaines, d’unités, de centaines.
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L’élève écrit 307 hors du tableau.
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Les outils de la géométrie Manuel de l’élève pages 12 et 13
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Restituer les tables d’addition. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. »
Les trois outils de la géométrie, la règle graduée, l’équerre et le compas permettent à eux seuls de couvrir toutes les activités de géométrie de l’école élémentaire. Au cours de l’année scolaire, les élèves auront à décrire et reproduire des figures géométriques simples et devront : – mesurer des côtés ; – vérifier qu’un angle est droit, puis dire si un angle est plus grand ou plus petit que l’angle droit ; – tracer des cercles ; – mesurer un écart avec le compas (et la règle graduée). La séance doit donc permettre de « remettre en main » ces trois outils en veillant à leur utilisation rigoureuse : – par une lecture précise des graduations de la règle graduée, à partir du 0 et non du bord de la règle ; – par une position précise de l’équerre sur l’un des segments de l’angle, le coin de l’équerre coïncidant avec le sommet de cet angle (et non le 0 de la graduation en cm) ; – par la rigueur de mesure de l’écartement des branches du compas sur la règle graduée, la pointe du compas sur le 0 de la règle graduée et l’extrémité traçante sur la mesure demandée.
■ Programmes 2008 : – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droite, droites perpendiculaires, segment, milieu, centre d’un cercle, rayon, diamètre. » – « Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. » ■ Objectif des séances : – Utiliser les outils et le vocabulaire de la géométrie. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe et l’enseignant : la règle du tableau ; le compas du tableau ; – pour l’élève : le manuel, le cahier de mathématiques, un compas, une règle graduée, une équerre, un crayon à papier bien taillé.
Séance 1 Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre « Recherche ». Les élèves découvrent la situation puis recherchent individuellement. La mise en commun se fait après chaque étape.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
• A. L’objectif est de revoir le rôle de la règle ainsi que le vocabulaire « points, segment, droite ». Réponses : – la droite (d) ; – Jade place des tirets sur la droite pour marquer les limites du segment AB ; – la règle.
Objectifs : Connaître et utiliser les tables d’addition de 6 à 9. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral Consigne : « J’énonce des additions des tables de 6 à 9. Vous me donnez oralement le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle ou utiliser le procédé La Martinière avec l’ardoise. Énoncer : 6 + 4 ; 7 + 3 ; 9 + 5 ; 8 + 6 ; 6 + 8… La correction est faite après chaque addition. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : 9 + 3 ; 8 + 4 ; 7 + 5 ; 6 + 6 ; 5 + 9… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier de mathématiques. La correction collective s’ensuit.
‹ Remarque : Rappeler que le crayon à papier est aussi un instrument de géométrie et qu’il doit toujours être parfaitement bien taillé. • B. L’objectif est de mesurer un segment, d’en trouver son milieu et de le noter sur le segment. Réponse : Jade mesure avec une règle graduée le segment AB. Elle partage cette mesure en 2 parties identiques car le milieu d’un segment est exactement à la moitié de celui-ci. Elle trace un tiret sur le segment et écrit M (le point milieu de AB).
u Temps 2 : Rappel sur les outils de la géométrie Travail oral collectif Durée : 5 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez utiliser les outils de la géométrie et revoir le vocabulaire précis que l’on emploie. » • Consigne : « Quels outils utilise-t-on en géométrie ? » Laisser les élèves citer les outils connus : règle graduée, équerre, compas.
• C. Les objectifs sont : – tracer une droite perpendiculaire à une autre droite et passant par un point donné en utilisant l’angle droit de l’équerre ; – revoir le vocabulaire « milieu d’un segment, angle droit » ; – apprendre l’expression « droite perpendiculaire ». Réponse : l’équerre • D. L’objectif est de retrouver les étapes de tracés pour obtenir le dessin de la figure. Réponses : Jade a mesuré 4 cm sur la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par M. Elle a noté le point O. Avec sa règle, elle a tracé les segments OA et OB.
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail individuel écrit et collectif oral Les élèves ouvrent leur manuel à la page 12.
Durée : 30 min
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• Exercice 1 : L’objectif est de tracer un segment de 10 cm et de placer un point M milieu du segment.
• E. L’objectif est d’utiliser le compas pour tracer un cercle de rayon donné et de revoir le vocabulaire « centre du cercle, rayon ». Réponses : – O est le centre du cercle. – L’écartement du compas doit être exactement de 3 cm. Pour cela, il faut utiliser la règle graduée. On place la pointe du compas sur le 0 de la règle graduée et on s’assure qu’elle ne bouge pas ; on écarte l’autre branche du compas jusqu’à la graduation 3 de la règle.
• Exercice 2 : L’objectif est de tracer un cercle de centre M. Le rayon de ce cercle est à mesurer sur le dessin du manuel (1 cm et 3 mm). • Exercice 3 : L’objectif est de tracer une droite perpendiculaire au segment AB passant par M, de nommer E son intersection avec le cercle, puis d’utiliser la règle pour tracer les segments EA et EB. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. Leur réponse peut être : « Nous avons revu le vocabulaire précis que l’on utilise en géométrie et le rôle des outils de géométrie dans les tracés. »
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont particulièrement besoin de mesurer précisément avec une règle graduée, proposer de commencer par les exercices A1, B1, B2, B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont particulièrement besoin de tracer des cercles, proposer de commencer par les exercices A3 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont particulièrement besoin de tracer des perpendiculaires, proposer de commencer par les exercices A2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Connaître et utiliser les tables d’addition de 6 à 9. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral Consigne : « J’énonce des additions des tables de 6 à 9. Vous me donnez oralement le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle ou utiliser le procédé La Martinière avec l’ardoise. Énoncer : 8 + 3 ; 7 + 9 ; 9 + 5 ; 6 + 4 ; 3 + 7… La correction est faite après chaque addition. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : 8 + 2 ; 7 + 7 ; 9 + 5 ; 3 + 6 ; 4 + 7 ; 9 + 9… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier de mathématiques. La correction collective s’ensuit.
Correction des exercices : Parcours A • A3. OA = OB = OC = 3 cm Tous les rayons d’un cercle ont la même mesure. Parcours B • B1. Il faut utiliser la règle graduée. Les côtés mesurent : 5 cm / 5 cm / 3 cm • B2. Vérifier la qualité des tracés réalisés par les élèves. • B3. EC = 5 cm et 2 mm ; ED = 5 cm et 2 mm ; EC = ED
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous retenu de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu le vocabulaire précis que l’on utilise en géométrie et le rôle des outils de géométrie dans les tracés. » Interroger : « Avec quels outils tracez-vous des droites ou des segments ? Avec quel outil mesurez-vous un segment ? Comment obtenir un rayon d’une mesure donnée ? Qu’est-ce que le milieu d’un segment ? Comment délimite-t-on un segment ? etc. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous exercer pour renforcer ce que vous avez revu en géométrie hier. »
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner correctement la règle graduée pour mesurer un segment • Mesurer avec précision des objets, des bandes de différentes tailles, des segments en positionnant correctement le 0 au début de l’objet ou de la bande ou du segment à mesurer. Les mesures pourront être en unités entières de cm ou dans un encadrement de 2 nombres entiers. Il est possible de placer un morceau de ruban adhésif de couleur sur la règle avant le 0.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
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Difficultés à lire la mesure • Mesurer des bandes en unités entières de cm à l’aide d’une règle graduée uniquement en cm. • Mesurer des bandes tracées horizontalement (en cm). • Mesurer des bandes tracées dans tous les sens (en cm). • Faire de même ensuite avec des mesures en cm et mm.
• Identifier les angles droits d’une figure plane en positionnant l’angle droit de l’équerre comme précédemment et en verbalisant. Difficultés à tracer un angle droit • Tracer un angle droit à l’aide de l’équerre devant l’élève tout en verbalisant. Exemple : « Je positionne mon équerre et je la maintiens. Je repère l’angle droit de mon équerre et je trace le long des 2 côtés. » • À partir d’un segment, tracer devant l’élève plusieurs angles droits en verbalisant. L’élève réalise la même tâche en verbalisant à son tour. Exemple : « Je trace un segment. Je place un côté de l’angle droit de mon équerre sur le segment. Je trace le long de l’autre côté de l’angle droit de mon équerre. J’obtiens un angle droit. »
Difficultés à trouver le milieu d’un segment • Prendre une bande de papier et la plier en 2 bord à bord. Tracer en rouge le pli et verbaliser : « Le trait est au milieu de la bande. »
• Tracer un segment sur papier calque. Plier en 2 de façon à obtenir 2 segments identiques. Ouvrir le papier, placer un trait rouge sur le milieu du segment. L’élève verbalise : « Le trait rouge est au milieu du segment ; de chaque côté du trait, il y a 2 segments identiques. »
Difficultés à positionner l’angle droit de l’équerre sur un angle • Coller une gommette sur l’angle droit de l’équerre (sur les 2 faces).
Difficultés à tracer une droite perpendiculaire • Tracer une droite perpendiculaire devant l’élève en verbalisant. Partir comme précédemment pour tracer un angle droit et expliquer que la droite perpendiculaire s’obtient en prolongeant le tracé. Difficultés à utiliser le compas ‹ Remarque : Il est impératif que les élèves possèdent du bon matériel. Tracer des cercles avec un compas de mauvaise qualité ne permet pas une bonne manipulation et augmente les difficultés de traçage. • Manipulation du compas par les élèves en traçant de grands cercles sur papier uni, l’outil étant alors plus facile à utiliser. • Faire de même avec des cercles plus petits. • Tracer des cercles à partir d’un point donné (centre du cercle) et un rayon donné assez grand (ex : 5 cm de rayon). • Faire de même avec des cercles au rayon plus petit.
recto verso Multiplier la manipulation sur des objets concrets (cahiers, classeurs, livres, feuilles, tableau…) en cherchant les angles droits. Utiliser l’angle droit des 2 faces de l’équerre. Verbaliser, puis faire verbaliser l’élève : « Je place un côté de l’angle droit de mon équerre sur un côté de l’angle de mon objet et j’observe l’autre côté de l’angle. S’il se superpose parfaitement avec le 2nd côté de l’angle droit de mon équerre, alors l’angle est droit. »
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Addition et soustraction de nombres entiers Manuel de l’élève pages 14 et 15
Commentaires pédagogiques À ce stade de la scolarité, la plupart des élèves devraient maîtriser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction. On rappellera pour mémoire les principes généraux. • Dans une addition, lorsque le total des chiffres d’une colonne est égal ou supérieur à 10, on échange 10 (ou 20, 30…) avec 1 unité d’ordre immédiatement supérieur (ou 2, 3…). C’est le principe de la retenue. • Dans la soustraction, il existe 2 méthodes : – casser une unité d’ordre supérieur pour la transformer en 10 unités d’ordre immédiatement inférieur ; – ajouter le même nombre aux deux termes de la soustraction, le résultat restant le même (ex. : ajouter 10 au nombre du haut et 1 dizaine au nombre du bas). La 1re méthode a pour avantage d’être plus compréhensible et de logique plus évidente ; elle a l’inconvénient d’occasionner de nombreuses ratures dans les additions posées. La 2nde méthode est d’un principe mathématique plus complexe, mais de présentation plus claire. C’est aussi celle qui est la plus couramment pratiquée.
Le manuel permet le choix entre les deux méthodes. Les élèves les plus fragiles se retrouveront plus facilement dans la 1re. On encouragera l’utilisation de la 2nde pour les élèves les plus à l’aise. ■ Socle commun (palier 2) : – « Restituer les tables d’addition. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » ■ Programmes 2008 : – « Effectuer un calcul posé. » ■ Objectif des séances : – Revoir le sens et les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction de nombres entiers. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel, le cahier de mathématiques.
Séance 1
u Temps 1 : Calcul mental
‹ Remarque : Rappeler aux élèves de laisser un espace quand ils ne connaissent pas la réponse afin que tous les résultats ne soient pas décalés.
Objectifs : Ajouter ou retrancher des dizaines et des centaines entières.
Énoncer : 358 + 20 ; 684 – 30 ; 306 + 200… La correction collective s’ensuit.
Travail préparatoire
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Travail dans le manuel
À l’oral • Consigne 1 : « Comment ajouter ou soustraire des dizaines entières ? » Les élèves ou l’enseignant rappellent la stratégie étudiée au CE2 : « On ajoute ou on soustrait les dizaines au rang des dizaines du nombre donné. » Exemple : 352 + 40 = ? Dans 352, le chiffre des dizaines est 5. 40 c’est 4 dizaines. 5d+4d=9d 352 + 40 = 392
u Temps 1 : Découvrir Travail individuel écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction avec et sans retenue. » • Consigne 1 : « Qu’est-ce qu’il est important de respecter lorsque l’on additionne ou soustrait en colonnes ? » Réponse : Il faut bien placer les u sous les u, les d sous les d, les c sous les c.
• Consigne 2 : « J’énonce des additions ou des soustractions de dizaines entières. Vous donnerez oralement le résultat. »
• Consigne 2 : « Quelles connaissances devez-vous avoir pour calculer des additions et des soustractions en colonnes ? » Réponses : Il faut connaître ses tables d’addition ; il faut savoir échanger 10 contre 1 ou 1 contre 10 en fonction des besoins de l’opération ; il faut savoir utiliser les retenues à bon escient.
• Consigne 3 : « Comment ajouter ou soustraire des centaines entières ? » Les élèves ou l’enseignant rappellent la stratégie étudiée au CE2 : « On ajoute ou on soustrait les centaines au rang des centaines du nombre donné. »
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 14. Ils écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation, puis recherchent individuellement. La mise en commun suit chaque étape.
• Consigne 4 : « J’énonce des additions ou des soustractions de centaines entières. Vous donnerez oralement le résultat. » ‹ Remarque : Les élèves pourront réaliser le même travail sur l’ardoise avec le procédé La Martinière. La démarche est laissée au choix de l’enseignant.
• A. L’objectif est de calculer en colonnes des additions de 3 nombres à 3 chiffres données en ligne ou en colonnes. Verbaliser la démarche de technique opératoire. Réponses : 988 + 902= 1 890 (Clément Ader invente le 1er avion en 1890.) 596 + 894 + 363 = 1 853 (George Cayley invente le 1er planeur en 1853.)
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des additions et des soustractions de dizaines ou de centaines entières. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. »
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u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
978 + 388 + 544 = 1 910 (Henri Fabre invente le 1er hydravion en 1910.) • B. L’objectif est de calculer des soustractions en colonnes données en ligne. Verbaliser la démarche de technique opératoire. Réponses : 751 – 147 = 604 (Maryse Bastié a réalisé la 1re traversée féminine de l’Atlantique en 1936.) 873 – 292 = 581(Jacqueline Auriol est la 1re femme pilote d’essai.) 932 – 349 = 583 (Hélène Boucher a établi le record de vitesse sur 100 km en 1934.) ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, revoir les 2 méthodes possibles de soustraction afin que chaque élève s’empare de celle qui lui convient le mieux. Afficher un référent didactique au mur de la classe. Méthode 1 J’échange 1 dizaine J’échange 1 centaine contre 10 unités contre 10 dizaines 8 9 12 7 15 3 – 3 6 9 – 2 8 2 5 2 3 4 7 1
Travail individuel écrit
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». ‹ Remarque : Les 8 opérations ne sont pas à calculer par tous les élèves. L’enseignant pourra réduire le nombre d’opérations en fonction des élèves ; néanmoins, il veillera à ce que tous calculent des additions et des soustractions. Exercice : L’objectif est de poser en colonnes des additions de 2 nombres à 3 chiffres, des additions de 3 nombres à 3 chiffres et des soustractions de 2 nombres à 3 chiffres, puis de les calculer et de vérifier les résultats à l’aide de la calculatrice. Réponses : 169 + 327 = 496 ; 289 + 538 = 827 ; 129 + 347 + 418 = 894 ; 356 + 159 + 287 = 802 ; 653 – 239 = 414 ; 829 – 154 = 675 ; 912 – 235 = 677 ; 743 – 198 = 545 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. Leur réponse peut être : « Nous avons revu les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction. Nous avons revu comment poser et calculer en colonnes des additions de nombres de 3 chiffres avec retenue. Nous avons revu 2 méthodes pour calculer des soustractions de nombres à 3 chiffres avec retenue. »
Méthode 2 J’ajoute 10 dizaines J’ajoute 10 unités aux deux nombres aux deux nombres 8 9 12 7 15 3 + 10 unités
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+ 1 dizaine
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+ 10 dizaines
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Durée : 20 min
+ 1 centaine
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • Dans 70, il y a 7 d. Dans 259, il y a 25 d. Il faut enlever 7 d à 25 d. Je cherche ce qui manque à 7 pour arriver à 25 : 18. 259 – 70 = 189 • Faire de même avec : 455 + 60 ; 903 – 40 ; 682 + 50… Énoncer à chaque opération la démarche de résolution.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Ajouter ou retrancher des dizaines et des centaines entières. Travail collectif oral et individuel écrit
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des additions et des soustractions de dizaines ou de centaines entières. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 795 + 40 ; 837 – 70… La correction collective s’ensuit.
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment faire pour ajouter ou soustraire des dizaines et des centaines entières. » Les élèves rappellent la stratégie étudiée lors de la précédente séance.
‹ Remarque : Rappeler de laisser un espace dans le cas où ils ne connaîtraient pas le résultat afin que tout ne soit pas décalé.
• Consigne 2 : « J’énonce des additions ou des soustractions. Vous donnerez oralement le résultat. » ‹ Remarque : Énoncer des additions ou des soustractions de dizaines et de centaines entières qui permettront de travailler le passage entre dizaines et centaines ou l’inverse.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Énoncer : 259 – 70 Les élèves exposent leur stratégie de calcul. L’enseignant écrit les stratégies découvertes afin que chacun puisse s’approprier celle qui lui convient. Réponses possibles : • 259 – 70 = ? 259 – 70 → 259 – (50 + 20) → 209 – 20 → 189 • Dans 70, il y a 7 d. Dans 259, il y a 25 d. Il faut enlever 7 d à 25 d → 25 d – 5 d = 20 d 20 d – 2 d = 18 d 18 d et 9 u = 189
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction. Nous avons revu comment poser et calculer en colonnes des additions de nombres de 3 chiffres avec retenue. Nous avons revu 2 méthodes pour calculer des soustractions de nombres à 3 chiffres avec retenue. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction. »
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les unités au-dessus de l’addition qu’il doit poser en colonnes. L’élève calcule oralement l’addition. • Donner des additions en ligne. L’élève les pose en colonnes sans repères, puis les calcule.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Difficultés liées au sens de la retenue • Proposer d’abord une addition de 2 nombres à 2 chiffres. L’élève utilise différents objets concrets (cubes, bûchettes, haricots secs, monnaie factice, carrés unités et barres dizaines). Il est amené à faire l’échange « 10 unités contre 1 dizaine » pour calculer son addition (10 bûchettes contre 1 fagot ; 10 carrés unités contre 1 barre dizaine…). Exemple de situation concrète : Luna a 78 € dans sa tirelire. Sa mamie lui donne 45 € pour son anniversaire. Quelle somme d’argent Luna a-t-elle maintenant ? • Lorsque c’est acquis pour l’addition de 2 nombres à 2 chiffres, faire de même avec l’addition de 2 nombres à 3 chiffres.
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur la technique opératoire de l’addition, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A3, B3 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur la technique opératoire de la soustraction, proposer de commencer par les exercices A2, A4, B2, A6, B4 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Difficultés à poser une soustraction en colonnes • Utiliser d’abord des nombres à 2 chiffres, puis à 3 chiffres. Donner 36 jetons à l’élève et lui demander de compter le nombre total de jetons qu’il possède. Lui demander d’en retirer 29. Il écrit la soustraction en ligne qui correspond (36 – 29), puis complète le tableau de numération.
Correction des exercices : Parcours A • A1. 349 + 236 = 585 ; 272 + 459 = 731 • A2. 658 – 219 = 439 ; 716 – 374 = 342 • A3. 439 + 269 = 708 ; 798 + 346 = 1 144 ; 293 + 638 = 931 • A4. 517 – 246 = 271 ; 846 – 198 = 648 ; 732 – 459 = 273 • A5. 538 + 106 = 644 Il y a 644 places dans l’Airbus A380. • A6. 651 – 438 = 213 213 places sont encore disponibles.
dizaines
unités
L’élève calcule la soustraction dans le tableau tout en verbalisant sa démarche : – Je commence par écrire le nombre total de jetons que j’avais : 36. 36 c’est 3 dizaines que j’écris note dans la colonne des dizaines et 6 unités que j’écris dans la colonne des unités. – J’ai enlevé 24 jetons. Comme j’ai enlevé une quantité, j’écris le signe « – ». 24 c’est 2 dizaines que j’écris dans la colonne des dizaines et 4 unités que j’écris dans la colonne des unités. – Je calcule ma soustraction en commençant par soustraire les unités. 6 – 4 = 2. J’écris 2 dans la colonne des unités. 3 – 2 = 1. J’écris 1 dans la colonne des dizaines. Il me reste 1 dizaine et 2 unités. • Faire de même avec les barres dizaines et les carrés unités, puis avec les plaques centaines, les barres dizaines et les carrés unités. Faire verbaliser la démarche à chaque fois.
Parcours B • B1. 548 + 135 + 219 = 902 493 + 312 + 285 = 1 090 • B2. 742 – 225 = 517 816 – 354 = 462 • B3. 149 + 288 + 136 = 573 397 + 199 + 598 = 1 194 537 + 191 + 289 = 1 017 • B4. 811 – 299 = 512 622 – 178 = 444 801 – 387 = 414 402 – 127 = 275 • B5. 560 – 386 = 174 174 places ne sont pas abritées sur le bateau-mouche. • B6. 459 + 366 = 825 Le total de l’achat sera de 825 €. 900 – 825 = 75 Il leur restera 75 € après cet achat.
Difficultés à commencer par la soustraction des unités • Entraîner l’élève à verbaliser à chaque fois qu’il va effectuer une soustraction en énonçant : « Je commence toujours par soustraire les unités… maintenant je soustrais les dizaines. » Difficultés liées au sens de la retenue • Utiliser différents objets concrets (cubes, bûchettes, haricots secs, carrés unités et barres dizaines) et reprendre la soustraction de 2 nombres à 2 chiffres. Par la manipulation, les élèves vont pouvoir construire concrètement le passage « 1 dizaine contre 10 unités », ces 10 unités qui sont ensuite ajoutées aux unités seules initiales. Verbaliser toutes les étapes.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner l’addition en colonnes • Donner une addition en ligne. Faire noter les 2 nombres dans un tableau de numération. Effectuer les calculs en verbalisant la démarche. • Donner une addition en ligne. Faire noter les 2 nombres sous les initiales c / d / u. • Donner une addition en ligne. Demander à l’élève de placer « c » pour les centaines, « d » pour les dizaines et « u » pour
Difficultés liées au nombre d’unités plus petit dans le 1er nombre de la soustraction Erreur récurrente : L’élève commence par le chiffre des unités mais choisit celui qui « l’arrange », c’est-à-dire le plus grand. Exemple : dans 43 – 18, il ôte 3 de 8. • Lors du calcul de l’opération, faire verbaliser systématiquement l’élève : « Je commence par soustraire les unités. Je regarde le chiffre du 1er nombre, celui « du haut » : j’ai 3 uni-
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tés. Je veux enlever 8 unités, ce n’est pas possible. Je dois donc échanger 1 dizaine contre 10 unités que j’ajoute aux 3 unités que j’avais déjà. J’ai maintenant 13 unités – 8 unités, je peux les soustraire. 8 pour aller à 13, il manque 5, donc 13 – 8 = 5. J’écris 5 dans la colonne des unités. Je soustrais maintenant les dizaines. J’avais 4 dizaines mais j’en ai utilisé 1, il en reste 3. 3 d – 1 d = 2 d, que j’écris dans la colonne des dizaines. Le résultat de la soustraction 43 – 18 est 25.
son matériel. Donner un autre nombre à soustraire (avec retenue aux centaines). Faire manipuler l’élève pour qu’il prenne conscience qu’il doit impérativement échanger 1 c contre 10 d pour effectuer la soustraction. Lui faire verbaliser la démarche. Difficultés à effectuer une soustraction avec retenue aux dizaines et aux centaines • Utiliser la même démarche que précédemment. L’élève effectue la soustraction avec du matériel afin de voir concrètement qu’il doit parfois obligatoirement faire des échanges pour effectuer une soustraction. Exemple : 827 – 539.
Difficultés à effectuer une soustraction avec retenue au rang des centaines • Utiliser les plaques centaines, les barres dizaines et les carrés unités. Donner un nombre et l’élève le représente avec
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Les mesures de longueur Manuel de l’élève pages 16 et 17
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; effectuer des conversions. »
Le mètre est l’unité légale de mesure de longueur. C’est une unité que les élèves connaissent, mais moins que le centimètre qui leur est d’utilisation familière. La seule référence qu’ils en aient vraiment est la règle du tableau (généralement jaune). Les « mètres » utilisés par les parents bricoleurs sont le plus souvent des doubles, voire des triples mètres. Le millimètre, s’il n’a été que peu utilisé jusqu’à présent, est visible sur la règle graduée de l’élève. Il en a donc une connaissance intuitive et devrait pouvoir s’en accommoder assez rapidement. Le décimètre est une unité rarement utilisée : elle n’apparaît que sur la grande règle graduée du tableau de la classe, sous forme de traits un peu plus marqués que la graduation du cm., mais graduée sous un nombre de cm : 10, 20, 30… Cette sousunité du mètre existe, l’élève en aura un besoin absolu pour le tableau de conversions, mais cette sous-unité n’est quasiment jamais utilisée.
■ Programmes 2008 : – « Consolider les connaissances et les capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure : les unités du système métrique pour les longueurs et leurs relations. » ■ Objectifs des séances : – Connaître et utiliser les unités de longueur et les relations qui les lient. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le mètre du tableau. – pour l’élève : l’ardoise, le manuel, le cahier de mathématiques.
Séance 1 – ajouter 21 revient à ajouter 20 et 1 soit 2 d et 1 u ; – retrancher 21 revient à retrancher 20 et 1 soit 2 d et 1 u ; – ajouter 31 revient à ajouter 30 et 1 soit 3 d et 1 u.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
‹ Remarque : Les élèves pourront réaliser le même travail sur l’ardoise avec le procédé La Martinière. La démarche est laissée au choix de l’enseignant.
Objectifs : Ajouter ou retrancher 9, 19, 29… 11, 21 ; 31… Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment calculer 85 + 9. » Les élèves ou l’enseignant rappellent la stratégie étudiée au CE2 : ajouter 9 revient à ajouter 10 et enlever 1.
Travail dans le manuel
• Consigne 2 : « Calculez : 78 + 9. » Les élèves répondent à tour de rôle en verbalisant la procédure. Faire de même avec : 524 + 9 ; 958 + 9 ; 363 + 9.
u Temps 1 : Découvrir
• Consigne 3 : « Rappelez-moi comment retrancher 9. » Les élèves ou l’enseignant rappellent la stratégie étudiée au CE2 : retrancher 9 revient à retrancher 10 et ajouter 1.
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre les unités de mesures de longueur et les conversions, c’est-à-dire comment on passe d’une unité de longueur à une autre. »
• Consigne 4 : « Calculez : 85 – 9. » Faire de même avec : 24 – 9 ; 366 – 9.
• Consigne : « Quelles unités de mesure de longueur connaissez-vous ? » Les élèves citeront celles étudiées en CE2 et principalement celles qui leur sont familières : le cm, le mm, le m, le km.
Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral
• Consigne 5 : « Rappelez-moi comment on ajoute 19. Comment on retranche 19. » Les élèves ou l’enseignant rappellent les stratégies étudiées au CE2 : – ajouter 19 revient à ajouter 20 et enlever 1 ; – retrancher 19 revient à retrancher 20 et ajouter 1.
Durée : 40 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez découvrir d’autres unités de mesure de longueur et les relations qui les lient. » Demander aux élèves d’ouvrir leur manuel page 16. Ils écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils recherchent individuellement ou en binômes, au choix de l’enseignant. La mise en commun suit chaque étape.
• Consigne 6 : « Calculez : 267 + 19 ; 641 – 19. » Faire de même avec : 624 – 19 ; 756 + 19. • Consigne 7 : « Comment faire pour ajouter ou retrancher 29 ? » Réponse attendue : « On ajoute 30 donc 3 dizaines et on retire 1 unité. » Même démarche pour : ajouter 11, ajouter 21, 31… Rappels des démarches : – ajouter 11 revient à ajouter 10 et 1 soit 1 d et 1 u ; – retrancher 11 revient à retrancher 10 et 1 soit 1 d et 1 u ;
• A. L’objectif est de découvrir le lien entre m et dm, m et mm, dm et cm, dm et mm. Réponses : – Longueur totale de la voiture : 4 000 mm / 4 m égalité : 4 m = 4 000 mm conclusion : 1 m = 1 000 mm
27
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
– hauteur de la voiture : 18 dm / 1 m et 8 dm égalité : 18 dm = 1 m et 8 dm conclusion : 1 m = 10 dm – Longueur entre l’avant de la voiture et la roue avant : 700 mm / 7 dm égalité : 700 mm = 7 dm conclusion : 1 dm = 100 mm – 1 dm = 10 cm
Travail individuel écrit
• Exercice 1 : L’objectif est de placer des longueurs dans le tableau des mesures de longueur. Réponses : m dm cm mm
• B. L’objectif est de découvrir le tableau des mesures de longueur et son utilisation pour effectuer des conversions. m
dm
Longueur totale
4
Hauteur
1
8
Longueur entre les roues
2
4
Longueur entre l’avant de la voiture et la roue avant Longueur entre l’arrière de la voiture et la roue arrière
cm
20 dm 400 cm 500 mm 3m 8 m et 4 dm
mm
2 4 3 8
0 0 5
0 0
0
4
• Exercice 2 : L’objectif est de convertir des mesures de longueur dans une autre unité. Les élèves peuvent utiliser le tableau des mesures de longueur. Réponses : 20 dm = 2 m ; 400 cm = 40 dm ; 500 mm = 5 dm ; 8m et 4 dm = 840 cm
7
7 8
Durée : 15 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
3
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris les unités de mesures de longueurs et les relations qui les lient. Nous avons découvert le tableau des mesures de longueur. »
Questions possibles : – Quelle est la hauteur de la voiture en cm ? – Quelle est la longueur entre les roues en mm ? – Quelle est la longueur totale en dm ?
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des mesures au bon endroit dans le tableau des mesures de longueur, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les conversions des mesures de longueur, proposer de commencer par les exercices A2, A3, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’addition de mesures de longueur données sous des unités différentes (à convertir avant d’effectuer l’addition), proposer de commencer par les exercices A4, B4, A6 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les comparaisons de mesures de longueur données dans des unités différentes, proposer de commencer par les exercices A2, B2, B3, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Ajouter ou retrancher 9, 19, 29… 11, 21, 31… Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Rappelez-moi comment on ajoute ou retranche 9, 19, 29… 11, 21, 31… ? » Les élèves rappellent les stratégies vues lors de la séance précédente. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une addition ou une soustraction. Vous écrivez le résultat sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 57 + 11 ; 75 – 9 ; 346 + 31 ; 85 – 29…
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris les unités de mesure de longueur et les relations qui les lient. Nous avons découvert le tableau des mesures de longueur. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous exercer. »
Correction des exercices : Parcours A • A1.
Travail dans le manuel
5m 83 cm 18 dm 417 mm 628 cm 76 mm
u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
28
m 5 1 6
dm
cm
8 8 4 2
3 1 8 7
mm
7 6
• A2. 5 m = 500 cm 2 m = 2 000 mm 3 m = 30 dm 8 cm = 80 mm • A3. 2 000 mm = 2 m 600 cm = 60 dm 30 dm = 3 m 800 mm = 8 dm • A4. 9 m + 8 dm = 98 dm 3 dm + 400 mm = 700 mm 63 mm + 41 cm = 473 mm 80 cm + 4 dm = 12 dm • A5. 9 dm < 8 m 34 dm < 4 m 457 mm < 8 dm 45 cm = 450 mm • A6. 25 dm = 250 cm 250 + 228 + 40 = 518 Elle doit acheter 518 cm de longueur de nappe pour les deux tables. Parcours B • B1. m dm cm mm 3 1 5 3 m et 15 cm 2 8 2 dm et 8 cm 7 1 2 71 cm et 2 mm 4 0 6 4 m et 6 cm
10 m < 10 m et 17 cm Il ne sera pas possible de garer les 3 voitures.
• B2. 3 m et 28 cm = 328 cm 6 m et 3 cm = 603 cm 9 cm et 4 mm = 94 mm 4 m et 7 mm = 4 007 mm • B3. 830 cm = 8 m et 3 dm 950 cm = 9 m et 50 cm 753 mm = 75 cm et 3 mm 632 mm = 63 cm et 2 mm • B4. 6 m et 21 cm + 5 dm = 671 cm 5 dm et 8 cm + 123 cm = 181 cm 8 dm et 3 cm + 90 mm = 92 cm • B5. 6 dm et 8 cm = 680 mm 2 m et 456 mm < 3 m 63 dm et 9 cm > 6 m 673 mm < 7 dm • B6. 3 m et 15 cm = 315 cm 29 dm et 70 mm = 297 cm 315 + 405 + 297 = 1 017 Les 3 voitures à la suite ont une longueur totale de 1 017 cm soit 10 m et 17 cm. La longueur du bâtiment est de 10 m.
Difficultés à lire les mesures dans le tableau Écrire un nombre dans le tableau de mesures de longueur. Verbaliser toutes les lectures en suivant les colonnes avec le doigt. Exemples :
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à placer les mesures dans le tableau de mesures de longueur • Faire observer le nombre et l’unité. Faire écrire d’abord le chiffre le plus à droite en expliquant à l’élève que ce chiffre correspond à l’unité donnée (cm, mm…). Les autres chiffres du nombre s’écrivent ensuite de droite à gauche en ne mettant qu’un chiffre par colonne, comme pour le tableau de numération connu de l’élève. Exemple : 45 cm Je place le 5 dans la colonne des cm, puis le 4 dans la colonne juste à gauche, c’est-à-dire la colonne des dm. • Faire de même avec d’autres mesures.
m
dm 7 2
cm 4 9
mm 5
745 mm c’est 7 dm et 4 cm et 5 mm. 29 cm c’est 2 dm et 9 cm. Difficultés à convertir des mesures dans une autre mesure Utiliser le tableau de mesures de longueur. Faire compléter par un ou des 0 si besoin. Verbaliser à chaque fois. Exemples : 75 dm = … cm 4 m et 6 mm = … mm m 7 4
29
dm 5 0
cm 0 0
mm 6
5
Les droites parallèles Manuel de l’élève pages 18 et 19
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. »
Le parallélisme est une notion nouvelle au CM1. Les élèves en ont une connaissance intuitive, par exemple au travers des lignes du cahier. Mais cette vision reste extrêmement limitée du fait de la position prototypique des lignes, elles-mêmes parallèles au bord du cahier. La notion de « parallélisme » apporte un élément supplémentaire de description aux figures géométriques déjà connues (carré, rectangle, losange) et permet d’aborder le parallélogramme. Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais. Leur écartement est constant. On mesure cet écartement sur tout segment perpendiculaire aux droites parallèles.
■ Programmes 2008 : – « Reconnaître que des droites sont parallèles. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites parallèles, droite… » ■ Objectifs des séances : – Reconnaître et tracer des droites parallèles. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : la règle du tableau, l’équerre ; – pour l’élève : l’ardoise, la règle graduée (double décimètre), le crayon à papier bien taillé, l’équerre, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Verbaliser : « Quel est le complément de 85 à la dizaine supérieure ? Quel est le complément de 37 à la dizaine supérieure ? Combien manque-t-il à 58 pour arriver à 60 ? etc. » Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Trouver les compléments à 10 et à la dizaine supérieure. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Travail dans le manuel
À l’oral • Consigne 1 : « Que manque-t-il à 3 pour arriver à 10 ? » Les élèves verbalisent la réponse. • Faire de même avec tous les compléments à 10. Un référent didactique sera construit et affiché au mur de la classe.
u Temps 1 : Découvrir Travail individuel écrit (ou en binômes) et collectif oral Durée : 20 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ce que sont les droites parallèles. Vous allez apprendre à les reconnaître. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 18. Ils écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Recherche ». Lire la situation et s’assurer de sa compréhension par tous. Les élèves recherchent individuellement ou par binômes au choix de l’enseignant. La mise en commun suit chaque étape. • A. L’objectif est de découvrir ce que sont deux droites parallèles : deux droites qui ont toujours le même écartement entre elles et qui ne se croisent jamais. Réponse : Il faut que l’écartement entre les deux barres soit toujours le même. • B. L’objectif est de prendre conscience que la mesure de l’écartement entre deux droites parallèles se fait perpendiculairement à ces deux droites parallèles. Réponse : Situation 3 : l’écartement est identique partout (≠ Situation 1) et la mesure entre les deux droites parallèles se fait perpendiculairement (≠ Situation 2). • C. L’objectif est de prendre conscience que deux portions de droites peuvent être parallèles même si elles sont décalées. Réponses : Les barres ne commencent pas au même endroit ; elles sont décalées. Les barres sont parallèles car leur écartement est toujours le même.
Les compléments à 10 1 + 9 = 10 9 + 1 = 10 2 + 8 = 10 8 + 2 = 10 3 + 7 = 10 7 + 3 = 10 4 + 6 = 10 6 + 4 = 10 5 + 5 = 10 • Consigne 2 : « Comment trouver le complément à 34 pour arriver à 40 ? » Réponse attendue : « On regarde les chiffres des unités pour trouver le complément comme nous l’avons appris pour les compléments à 10 : de 4 pour arriver à 10, il manque 6. De 34 pour arriver à la dizaine supérieure, c’est-à-dire 40, il manque 6. Donc 34 + 6 = 40. » • Consigne 3 : « Combien manque-t-il à 42 pour arriver à 60 ? Combien manque-t-il à 94 pour arriver à 100 ? Quel est le complément de 22 à la dizaine supérieure ? Quel est le complément de 41 à la dizaine supérieure ? » Les élèves nomment la dizaine supérieure et le complément. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Écrire au tableau : 9 + ? = 10 ; 5 + ? = 10 ; 2 + ? = 10 ; ? + 1 = 10 ; ? + 3 = 10
30
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
• Exercice 2 : L’objectif est d’identifier les droites parallèles deux à deux. Réponses : (d5) et (d7) ; (d6) et (d8) ; (d9) et (d10)
Durée : 15 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à reconnaître des droites parallèles. »
• Exercice 1 : L’objectif est de trouver une droite parallèle à une autre droite. Réponse : (d2)
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Correction des exercices : Parcours A : • A1. Les droites (d3) et (d5) sont parallèles à (d1). • A2. L’écartement à choisir est 5 cm car la mesure doit se faire perpendiculairement aux droites parallèles. • A3. Le point D est sur la droite parallèle à (d8) passant par A. Parcours B : • B1. (d1) est parallèle à (d2) car l’écartement mesuré perpendiculairement en deux endroits reste le même. (d3) n’est pas parallèle à (d4) car si l’un des écartements de 3 cm est bien mesuré perpendiculairement, l’autre ne l’est pas. Les deux droites n’ont pas toujours le même écartement : elles ne sont donc pas parallèles. • B2. Les points B et E sont sur la droite parallèle à (d5) passant par A. • B3. Vérifier le tracé sur le cahier de l’élève.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Trouver les compléments à 10 et à la dizaine supérieure. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Vous allez vous entraîner sur les compléments à 10 et à la dizaine supérieure. » Énoncer : « Quel est le complément à 8 pour arriver à 10 ? Que manque-t-il à 5 pour arriver à 10 ? Que manque-t-il à 17 pour arriver à 20 ? etc. » ‹ Remarque : Les élèves pourront réaliser le même travail sur l’ardoise avec le procédé La Martinière. La démarche est laissée au choix de l’enseignant. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : Quel est le complément à 3 pour arriver à 10 ? Que manque-t-il à 65 pour arriver à 70 ? Que manque-t-il à 94 pour arriver à 100 ?
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 10 min Difficultés à reconnaître si des droites sont parallèles • Tracer 2 droites et faire mesurer l’écartement à plusieurs endroits perpendiculairement. • Complexifier petit à petit en traçant 3, 4… droites et faire identifier les droites parallèles. Exemples :
• Consigne 1 : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à reconnaître des droites parallèles. » • Consigne 2 : « Dans la classe, où y a-t-il des droites parallèles ? » Les élèves proposent des droites parallèles (côtés du tableau, haut et bas de la porte, du livre…) en justifiant leur propos. • Expliquer : « Aujourd’hui vous allez vous entraîner à identifier des droites parallèles et vous allez en tracer. »
1)
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
3)
31
2)
6
Les nombres jusqu’à 9 999 Manuel de l’élève pages 20 et 21
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. »
Connaître notre système de numération, c’est connaître : – la correspondance entre numération orale et numération écrite, la numération écrite étant de construction décimale régulière, la numération orale ayant plusieurs ruptures de régularité (de 11 à 16, de 70 à 99). Pour atteindre cette maîtrise, il est nécessaire de passer par l’écriture en lettres du nombre, qui est la transcription écrite précise du nombre oralisé ; – la valeur positionnelle décimale de chaque chiffre, chacun exprimant le nombre d’unités d’ordre qu’il représente (nombre de centaines, de dizaines, d’unités). Connaître notre système de numération, c’est donc comprendre que c’est une numération décimale de position. En travaillant les nombres jusqu’à 9 999, les élèves aborderont ici la classe des mille. Il faudra faire attention de bien positionner un espace entre la classe des mille et celle des unités simples.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. » – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » ■ Objectifs des séances : – Écrire, nommer, décomposer et comparer des nombres ≤ 9 999. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le matériel de numération (cubes mille, plaques centaines, barres dizaines et carrés unités) ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques, un tableau de numération photocopié et plastifié ou inséré dans une pochette plastique.
Séance 1 Les élèves recherchent individuellement. La mise en commun suit chaque étape.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
• A. L’objectif est d’associer l’écriture littérale et l’écriture chiffrée de nombres à 4 chiffres. Réponses : Julien Talon : La Roche Juliette Boiteux : Longerive Thomas Poussin : Villeneuve Séraphin Perdin : Montvert
Objectif : Trouver les compléments à 100 d’un nombre à 2 chiffres. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « Comment calculer mentalement : 47 + ? = 100 ? » Les élèves exposent leurs stratégies. Leur proposer la procédure : 47 + 3 = 50 ; 50 + 50 = 100 ; 3 + 50 = 53 donc 47 + 53 = 100
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, tracer le tableau de numération et écrire les nombres. Un travail sur la numération de position ainsi que sur « chiffre des » et « nombre de » pourra être mené. Exemple :
• Faire de même pour : 83 + ? = 100 ; 45 + ? = 100 ; ? + 60 = 100 ; etc. Les élèves nomment ou écrivent le complément sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal de l’enseignant.
Classe des mille u 7
À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : « 24 + ? = 100 ; 58 + ? = 100 ; 31 + ? = 100 ; 73 + ? = 100 ; 62 + ? = 100 » Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier de mathématiques. La correction collective s’ensuit.
c 5
d 7
u 3
« Quel est le chiffre des dizaines simples ? Quel est le chiffre des unités de mille ? Quel est le nombre de dizaines simples ? Que représente le chiffre 5 ? etc. » • B. Les objectifs sont : – identifier des nombres de 4 chiffres décomposés sous forme additive ou sous forme additive et multiplicative ; – travailler sur la numération de position en identifiant un nombre de 4 chiffres écrit sous la forme x unités de mille, y centaines simples… Réponses : St-Paul-Trois-Châteaux : 8 344 Cesson : 7 246 Lanton : 6 528 St-Cyr-sur-Mer : 1 453
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail écrit individuel ou par binômes et collectif oral
Classe des unités simples
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 20. Ils écrivent sur le cahier de mathématiques le titre : « Recherche ». Lire la situation et s’assurer de sa compréhension par tous.
32
• Exercice 2 : L’objectif est d’écrire en lettres des nombres à 4 chiffres. Réponses : trois mille huit cent quarante-sept mille deux cent quatre-vingt-quatorze six mille cinq cent soixante-dix-huit • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire en chiffres un nombre ≤ 9 999 donné sous la forme : x unités de mille, y centaines simples… Réponse : 6 274 • Exercice 4 : L’objectif est de comparer des nombres à 4 chiffres avec les signes < et >. Réponses : 4 856 < 7 129 ; 3 973 > 3 699 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à lire, écrire, décomposer, comparer des nombres à 4 chiffres. » Lire la rubrique « Retenir ».
• C. L’objectif est de comparer des nombres à 4 chiffres en utilisant les signes < et >. Réponses : St-Paul-Trois-Châteaux < Longerive La Roche > Cesson
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres ≤ 9 999 donnés en lettres, ou de les écrire sous forme de décomposition additive ou sous forme de décomposition additive et multiplicative. Réponses : 3 686 ; 6 972 ; 5 738
Séance 2 • Consigne 3 : « Écrivez d’un côté de votre ardoise le signe > et de l’autre côté le signe 5 927 8 765 > 4 999 9 323 > 9 123 • A7. 2 539 + 1 532 = 4 071 Il y a 4 071 truites au total. Parcours B : • B1. 9 375 ; 1 893 ; 4 279 • B2. huit mille sept cent quatre-vingt-onze cinq mille trois cent quatre-vingt-quatre trois mille six cent soixante-quinze • B3. 6 401 ; 9 058 ; 5 807 • B4. 8 048 ; 9 509 ; 3 094 • B5. 3 854 ; 7 692 • B6. 7 826 > 6 000 + 500 + 40 + 3 (1 000 × 9) + (100 × 7) + (10 × 5) + 6 = 9 756 8 000 + 600 + 20 + 8 > 4 000 + 100 + 70 + 9 2 034 > 1 035 • B7. 6 000 < 7 830 < 9 000 Elle peut avoir la montre à 6 000 points ou un sac de voyage à 4 000 points. Si elle choisit le sac de voyage, il lui restera : 7 830 – 4 000 = 3 830 points. Si elle choisit la montre, il lui restera : 7 830 – 6 000 = 1 830 points. Lucie n’a pas assez de points pour avoir une tablette numérique à 9 000 points. 9 000 – 7 830 = 1 170 Il lui manque 1 170 points pour avoir la tablette numérique.
tableau de numération pour mieux lire le nombre, qu’il écrit ensuite en chiffres et en lettres. ‹ Remarque : Commencer par positionner le matériel de numération dans l’ordre (mille / centaines / dizaines / unités), puis mélanger les classes afin de bien faire travailler la numération positionnelle. Exemple :
Verbalisation de l’élève : « Il y a 4 cubes mille, 2 plaques centaines, 3 barres dizaines et 2 carrés unités. mille 4
dizaines 0
unités 2
Même démarche que précédemment. • Pour aider l’élève à lire des nombres ≤ 9 999 écrits en chiffres, montrer que l’on nomme d’abord le chiffre des milliers, puis le nombre à 3 chiffres qui suit et qu’il connaît. Exemple : 6 789 ; on lit d’abord « six mille » puis « sept cent quatre-vingt-neuf ». • Nommer un nombre à 4 chiffres. L’élève doit le représenter avec son matériel de numération, l’écrire en chiffres, puis en lettres.
Difficultés à lire, à écrire et à représenter des nombres jusqu’à 9 999 1) Revoir les nombres jusqu’à 999 Nommer des nombres jusqu’à 999 et demander à l’élève de les représenter avec son matériel de numération. Faire écrire ces nombres en chiffres et en lettres. 2) Reconstruire le nombre 1 000 à l’aide des plaques centaines et faire l’échange 10 plaques centaines contre 1 cube mille. 3) Travailler la décomposition du nombre mille à l’aide du tableau de numération. centaines 0
dizaines 3
J’écris 4 dans la colonne des mille, 2 dans celle des centaines, 3 dans celle des dizaines et 2 dans celle des unités. Je lis le nombre : quatre mille deux cent trente-deux. Je l’écris en chiffres hors du tableau en n’oubliant pas l’espace entre le 4 des mille et 232 : 4 232. Je l’écris en lettres en ne mettant pas de « s » à mille car c’est un mot invariable. • Faire de même avec d’autres nombres (dans l’ordre, puis dans le désordre). Exemple :
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
mille 1
centaines 2
5) Lire des nombres à 4 chiffres Écrire un nombre à 4 chiffres. Cacher les milliers, les centaines et les dizaines, puis découvrir petit à petit les chiffres et lire le nombre correspondant. Exemple : 5 879. L’élève ne voit que le 9 ; il le lit. Découvrir les 7 d ; l’élève lit 79. Découvrir 8 c ; lire 879. Découvrir le 5 des unités de mille ; l’élève lit le nouveau nombre 5 879. Ce nombre pourra être écrit dans un tableau de numération, une aide pour l’élève qui s’appuie sur les repères m/d/c/u. Supprimer petit à petit cette aide. Rappeler que le nombre écrit hors du tableau doit présenter un espace entre les mille et le chiffre des centaines. Faire remarquer que l’on entend les « mille » et les « centaines » lorsque l’on prononce un nombre à 4 chiffres. Exemple : 8 659 : « 8 mille » → « six cents » → « cinquante-neuf » (nombre à 2 chiffres bien connu).
unités 0
Dans 1 000, il y a 100 dizaines. Dans 1 000, il y a 10 centaines. Dans 1 000, il y a 1 000 unités. 4) Identifier, représenter, lire et écrire des nombres de 4 chiffres en utilisant du matériel de numération. • Poser sur la table un nombre représenté avec le matériel de numération. L’élève verbalise ce qu’il voit, puis complète un
34
7
La multiplication par un nombre à un chiffre Manuel de l’élève pages 22 et 23
Commentaires pédagogiques La « multiplication par un nombre à un chiffre » est une notion que les élèves exploitent depuis le CE1. Il s’agit donc ici de raviver le mécanisme de base. • Il convient d’abord de rappeler l’importance de la connaissance des tables de multiplication. Il faudra donner une part importante à leur révision, en veillant à ne faire apprendre à l’élève que les produits qu’il ne connaît pas ; en les repérant d’abord, puis en composant de petites listes de 3 à 5 produits à mémoriser sur une période donnée, par jour ou sur une semaine suivant les élèves. • Sur le plan de la technique, la multiplication d’un nombre à 2 ou 3 chiffres par un nombre à un chiffre se conçoit comme une suite de multiplications où l’on multiplie d’abord les unités, puis les dizaines, puis éventuellement les centaines. Il y a une retenue lorsque le nombre obtenu par multiplication est égal ou supérieur à 10 ; il s’agit alors de l’échange sur l’unité d’ordre immédiatement supérieure. Contrairement à l’addition, cette retenue ne devra pas être positionnée au-dessus du chiffre du multiplicande. En effet, si
c’était le cas, l’élève pourrait être tenté d’additionner la retenue à ce chiffre avant de multiplier, alors que la retenue ne s’ajoute qu’une fois le calcul multiplicatif effectué. Dans le manuel, nous avons choisi de prévoir un petit cadre sur le côté pour cela. ■ Socle commun (palier 2) : – « Restituer les tables de multiplication. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Effectuer un calcul posé : la multiplication. » ■ Objectif des séances : Revoir le sens et la technique opératoire de la multiplication par un nombre à un chiffre. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 ‹ Remarque : Donner petit à petit les tables de multiplication à apprendre par cœur. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Consigne : « J’énonce une multiplication des tables de 2 à 5. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 7 × 4 ; 9 × 2 ; 6 × 3… La correction collective s’ensuit.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Connaître les tables de multiplication de 2 à 5. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Vous avez appris les tables de multiplication au CE2. Nous allons les revoir. »
Travail dans le manuel
• Expliquer : « Vous devez connaître les tables de multiplication car vous en aurez besoin lorsque vous apprendrez les techniques opératoires de la multiplication et de la division. Aujourd’hui, nous allons travailler sur les tables de multiplication de 2 à 5. »
u Temps 1 : Découvrir Travail écrit individuel ou par binômes et collectif oral Durée : 35 min • Consigne : « Quel est l’intérêt de la multiplication ? » Réponse attendue : « Elle permet d’éviter de faire des additions très longues et sources d’erreurs. » • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 1 chiffre. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 22. Ils écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Recherche ». L’objectif est de redécouvrir la technique opératoire de la multiplication posée d’un nombre entier par un nombre entier à un chiffre, technique travaillée depuis le CE1. Lors de cette phase, l’élève est guidé pas à pas pour reconstruire la démarche. La recherche s’effectue individuellement ou en binômes. L’enseignant passe auprès des élèves pour les aider. La mise en commun suit avec verbalisation de la démarche. • A. L’objectif est de revoir pas à pas le sens et la technique opératoire de la multiplication d’un nombre entier de 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre. Réponse : 47 × 6 = 282 Emma a 282 cartes postales.
• Consigne 2 : « Quelle est la particularité des résultats de la table de 5 ? » Réponse attendue : « Ils se terminent par 5 ou 0. » • Consigne 3 : « Quelle est la particularité des résultats de la table de 2 ? » Réponses attendues : « Ce sont les doubles (le même nombre ajouté deux fois) : ils sont tous des nombres pairs. » ‹ Remarque : Insister sur la commutativité de la multiplication. Les élèves retiennent en effet parfois mieux le résultat d’un produit dans un sens que dans l’autre. Exemple : 4 × 7 est souvent mieux retenu que 7 × 4. • Consigne 4 : « J’énonce des multiplications des tables de 2 à 5. Vous donnez le résultat. » Énoncer : 5 × 3 ; 4 × 2 ; 6 × 2… Les élèves donnent le résultat oralement. Ce travail peut se faire par écrit individuellement sur l’ardoise. Les élèves écrivent le résultat et lèvent leur ardoise au signal de l’enseignant.
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• B. L’objectif est de revoir la technique opératoire de la multiplication d’un nombre entier de 3 chiffres par un nombre à 1 chiffre. Réponse : 148 × 4 = 592 Sasha a 592 cartes postales.
• Exercice : L’objectif est de s’entraîner sur la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 1 chiffre. Réponses : 18 × 4 = 72 ; 39 × 5 = 195 ; 114 × 6 = 684 ; 281 × 8 = 2 248 ; 476 × 7 = 3 332 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 1 chiffre. Pour réussir, il faut connaître nos tables de multiplication et ne pas oublier les retenues. »
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre sur leur cahier : « Exercices d’application ».
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Correction des exercices : Parcours A • A1. 36 × 4 = 144 ; 43 × 5 = 215 • A2. 117 × 8 = 936 ; 216 × 7 = 1 512 • A3. 248 × 3 = 744 ; 287 × 5 = 1 435 • A4. 144 × 6 = 864 Les joueurs disposeront de 864 balles. • A5. 46 × 5 = 230 La course cycliste fait 230 km. 230 – 85 = 145 km Il lui reste 145 km à parcourir. Parcours B • B1. 87 × 9 = 783 ; 98 × 7 = 686 • B2. 185 × 6 = 1 110 ; 396 × 8 = 3 168 • B3. 409 × 8 = 3 272 ; 680 × 6 = 4 080 ; 144 × 5 = 720 • B4. 385 × 6 = 2 310 Les ordinateurs valent 2 310 € au total. 2 310 + 75 = 2 385 Le montant total de l’achat de matériel est de 2 385 €. • B5. 28 × 3 = 84 Il y a 84 packs. 84 × 6 = 504 Il y a 504 bouteilles.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Connaître les tables de multiplication de 2 à 5. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Nous allons faire un jeu. Au début, vous êtes tous debout. J’énonce des multiplications des tables de 2 à 5 à chacun d’entre vous individuellement, au hasard et rapidement. Chacun doit me répondre tout de suite. Si vous mettez plus de 2 secondes pour répondre ou si vous faites erreur, vous avez perdu et vous vous asseyez. Le dernier debout a gagné. » Énoncer : 7 × 4 ; 9 × 2… sur un rythme soutenu. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des multiplications des tables de 2 à 5. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 6 × 5 ; 3 × 3 ; 8 × 2… La correction collective s’ensuit. ‹ Remarque : Rappeler aux élèves de laisser un espace en cas de non-réponse.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous revu lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 1 chiffre. Pour réussir, il faut connaître nos tables de multiplications et ne pas oublier les retenues. »
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 1 chiffre. »
Difficultés à mémoriser les tables de multiplication • Construire un jeu de type « questions/réponses » afin que l’élève automatise les tables. • Jeu de cartes. Ce jeu peut être réalisé seul ou à plusieurs. Donner à l’élève des tables de multiplication : au recto, les 2 multiplications (commutativité) écrites en noir, au verso, le résultat écrit en rouge. Si l’élève joue seul, il peut comptabiliser ses bonnes réponses. Si les élèves jouent en binômes ou par petits groupes, chacun comptabilise le nombre de bonnes réponses. Celui qui a le plus de points gagne la partie.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». ‹ Remarque : Distribuer la table de Pythagore ou les tables de multiplication de 2 à 9 écrites en colonnes. Les élèves pourront s’y référer lors de la réalisation des exercices, l’objectif de cette leçon étant davantage axé sur l’acquisition de la technique opératoire que sur l’apprentissage des tables.
Difficultés à effectuer des multiplications posées • Verbaliser toute la démarche sur plusieurs opérations. Puis, laisser l’élève le faire en l’aidant au besoin lorsqu’il commet une erreur ou un oubli. Donner les tables de multiplication pour ne pas gêner l’apprentissage de la démarche et apporter un obstacle supplémentaire.
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
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Méthodologie: les étapes de la résolution d’un problème Manuel de l’élève page 24
Commentaires pédagogiques – ne pas oublier de communiquer la réponse en y incluant la nature de l’unité (des euros dans la situation à travailler aujourd’hui).
Résoudre un problème demande de la méthode. Cette leçon va faire émerger l’ensemble des étapes d’appropriation et de résolution. Chaque étape fera, par la suite, l’objet d’une séance méthodologique ciblée. Pour qu’un élève soit capable de résoudre un problème, il doit : – comprendre la situation. Pour cela, il doit être capable de la raconter avec ses propres mots ; – savoir ce qu’il faut chercher. Pour cela, il doit identifier la question posée (le plus souvent placée en fin d’énoncé avec un point d’interrogation, mais aussi en début d’énoncé, sous la forme d’une interrogation directe ou indirecte sans point d’interrogation) ; – repérer les informations qui correspondent à la question. Ces informations peuvent être « noyées » au milieu d’autres informations inutiles pour la résolution, même si elles illustrent le contexte ; – structurer le calcul et choisir les opérations nécessaires à la résolution ;
■ Socle commun (palier 2) : – « Savoir organiser les informations numériques. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » ■ Programmes 2008 : – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » ■ Objectif de la séance : – Découvrir les étapes de la résolution de problème. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : un affichage didactique (« Retenir » de la leçon) ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Où se situe l’histoire ? Que font les personnages ? Racontezmoi l’histoire de ce problème. » • Consigne 2 : « Quelle est la question du problème ? » • Consigne 3 : « Allez-vous chercher la somme totale dépensée ? Pourquoi ? » • Consigne 4 : « Est-il nécessaire de connaître le nom du restaurant pour répondre à la question ? Quelles sont les autres informations inutiles dans l’énoncé ? » • Consigne 5 : « Quelles sont les informations utiles ? » • Consigne 6 : « Quelle opération allez-vous calculer pour répondre à la question ? » • Consigne 7 : « Calculez cette opération mentalement et verbalisez la phrase-réponse en reprenant les mots de la question. » • Conclusion : Pour résoudre un problème, on lit attentivement l’énoncé et on se raconte l’histoire pour vérifier qu’on l’a comprise. On repère la question, puis on cherche les informations utiles dans l’énoncé. On choisit la bonne opération, on la calcule. On répond par une phrase à la question posée en reprenant les mots de la question.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Connaître les tables de multiplication de 6 et 7. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « J’énonce des multiplications des tables de 6 et 7. Vous donnez le résultat. » Énoncer : 4 × 6 ; 6 × 7 ; 5 × 7… Les élèves donnent le résultat oralement. • Consigne 2 : « Nous allons refaire le jeu sur les tables de multiplication. Au début, vous êtes tous debout. J’énonce des multiplications des tables de 6 et 7 à chacun d’entre vous individuellement, au hasard et rapidement. Chacun doit me répondre tout de suite. Si vous mettez plus de 2 secondes pour répondre ou si vous faites erreur, vous avez perdu et vous vous asseyez. Le dernier debout a gagné. » Énoncer : 7 × 7 ; 9 × 6… sur un rythme soutenu. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des multiplications des tables de 6 et 7. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 7 × 7 ; 9 × 6 ; 6 × 6… La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir
u Temps 2 : Identifier les étapes de la résolution d’un problème Travail collectif oral
Travail écrit individuel ou par binômes et collectif oral Durée : 20 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 24. Ils écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Recherche ». Lire la situation et s’assurer de sa compréhension par tous. Les élèves recherchent individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). Les élèves effectuent la totalité de la recherche. La mise en commun se fait à l’issue de celle-ci. L’objectif est de retrouver les étapes de la résolution d’un problème. Les élèves vont prendre conscience du fait que
Durée : 15 min
Écrire l’énoncé suivant au tableau : « C’est l’anniversaire de Nicole. Elle fête ses 78 ans. Elle invite sa petite-fille Lucie au restaurant Les Gourmandises. Nicole choisit une entrée à 5 €, un plat à 15 € et un dessert à 8 €. Lucie a choisi le menu à 28 €. Combien coûte le repas de Nicole ? » Les élèves lisent silencieusement. • Consigne 1 : « Quels sont les personnages de cette histoire ?
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ce que l’on demande de chercher n’est pas toujours formulé sous forme d’une phrase interrogative directe placée après l’énoncé ; ce peut être une phrase déclarative. ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, interroger les élèves qui ne prennent jamais la parole ou qui ne la sollicitent que rarement afin que chacun puisse s’exprimer à son tour. Réponses : • 1re étape : C’est l’histoire d’une femme qui fait un aller-retour jusqu’à Marseille en TGV et qui souhaite connaître le montant de sa dépense pour son voyage. Un voyage aller-retour est un voyage qui va d’un point A à un point B, puis revient du même point B au même point A. Faire un schéma :
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à comprendre un énoncé de problème • Donner oralement des énoncés de problèmes. L’élève écoute, puis raconte l’histoire. L’interroger au besoin sur les personnages, le lieu, ce qui se passe… • Faire de même avec de courts énoncés écrits. Commencer par faire lire silencieusement et lire l’énoncé dans un 2nd temps à voix haute. Puis, laisser l’élève lire seul l’énoncé qui devient plus complexe (ajout de données inutiles) et raconter l’histoire. • Vivre la situation de l’énoncé (ex : jeu de la marchande…). • Manipuler des objets concrets ou symboliques pour aider à la compréhension. Dessiner la situation en verbalisant.
Aller A
B Retour
Difficultés à identifier les informations utiles pour répondre à la question du problème • Prendre chaque information d’un problème simple et faire le lien avec la question pour voir si elle est utile ou non pour résoudre le problème. • Donner des problèmes simples avec une seule information inutile, puis plusieurs. Même démarche que précédemment.
e
• 2 étape : Ce problème ne comporte pas de question sous forme de phrase interrogative. Quel sera le prix du voyage aller-retour Paris-Marseille de Mme Boucani ? • 3e étape : Voyage aller : 76 € ; 110 € ; le moins cher Voyage retour : 90 € • 4e étape : 76 + 90 = 166 • 5e étape : Le prix du voyage aller-retour de Mme Boucani s’élève à 166 €.
Difficultés à trouver la bonne opération • Proposer oralement plusieurs situations-problèmes liées au vécu de l’élève (ou situations connues des élèves). Il reformule « l’histoire » avec ses mots et indique s’il faut additionner ou soustraire pour résoudre le problème (et donc répondre à la question posée). ‹ Remarque : L’opération ne sera pas obligatoirement calculée. Il sera intéressant de faire travailler l’élève sur la plausibilité du résultat. Exemples : – Tu as 45 images. Luna t’en donne 7 pendant la récréation. Combien en as-tu après la récréation ? – Lili a 62 timbres de fleurs. Son amie lui en donne 15. Combien Lili en a-t-elle maintenant ? – Dans sa collection, Nathan a déjà 38 voitures. Son papi lui en donne. Maintenant, Nathan en a 56. Combien son papi lui a-t-il donné de voitures ? – Sur le gâteau d’anniversaire de Rémi, j’ai placé 25 bougies vertes. J’ai placé ensuite des bougies rouges. En tout, j’ai mis 36 bougies. Combien y a-t-il de bougies rouges ? ‹ Remarque : La manipulation à partir d’objets concrets est recommandée pour représenter de façon concrète la situation et ainsi aider l’élève à trouver l’opération à effectuer.
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre sur leur cahier : « Exercices d’application ». • Problème : L’objectif est de résoudre un problème en suivant bien les étapes de résolution. Réponse : 69 × 5 = 345 Le montant de la dépense pour les rouleaux de papier peint est de 345 €. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes en repérant bien les étapes à suivre. » Lire la rubrique « Retenir ».
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Bilan (1) Manuel de l’élève page 25
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’aide personnalisée, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura ainsi une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe-classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés (durant la classe ou lors de l’aide personnalisée) pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées.
– « Utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, encadrer et ranger ces nombres. » – « Calculer mentalement des sommes et des différences. » – « Mémoriser et mobiliser les tables d’addition. » – « Effectuer un calcul posé : addition, soustraction, multiplication. » – « Reconnaître que des droites sont parallèles. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites parallèles, droite… » – « Connaître les unités de mesure et les relations qui les lient. » – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. »
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Restituer les tables d’addition. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour construire avec soin et précision. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques, les outils de la géométrie (la règle graduée, l’équerre, le compas, le crayon à papier bien taillé).
• Exercice 1 : L’objectif est de lire des nombres ≤ 9 999 écrits en lettres, décomposés en c/d/u ou sous forme de décomposition multiplicative et additive, et de les écrire en chiffres. Réponses : 978 ; 810 ; 2 321 ; 7 105 ; 9 806 ; 8 437 ; 9 628.
Travail préparatoire u Temps 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral
Durée : 5 min
• Exercice 2 : L’objectif est d’écrire en lettres des nombres ≤ 9 999 présentés sous forme de décomposition additive, en chiffres ou sous la forme c/d/u. Réponses : sept cent cinquante-quatre ; neuf cent trente ; deux cent sept ; deux mille huit cent deux ; six mille quatre cent trente-deux ; sept mille trois cent quatre-vingt-un ; cinq mille cent quatre ; neuf mille cent soixante-cinq.
Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u Temps 2 : Calcul mental
Durée : 15 min
Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé.
• Exercice 3 : L’objectif est de comparer des nombres écrits sous diverses formes à l’aide des signes ou =. Réponses : 678 < 712 ; 1 845 > 1 839 ; 9 643 > 500 + 90 + 8 ; 956 = 900 + 50 + 6
• Consignes : – Écrivez le résultat de : 5 + 2 ; 4 + 6 ; 7 + 8 ; 5 + 5 ; 9 + 7. – Écrivez le résultat de : 465 + 20 ; 742 – 30 ; 892 – 60 ; 236 + 50 ; 507 + 70. – Écrivez le résultat de : 35 + 9 ; 96 – 9 ; 258 + 19 ; 432 – 29 ; 305 + 49. – Trouvez le complément : à 6 pour aller à 10 ; à 7 pour arriver à 10 ; à 34 pour arriver à 40 ; à 81 pour arriver à 90 ; à 73 pour aller à 80. – Trouvez le complément à 100 de : 65 ; 28 ; 43 ; 84 ; 51. – Écrivez le résultat de : 6 × 9 ; 5 × 7 ; 4 × 3 ; 8 × 9 ; 7 × 6 ; 2 × 7 ; 6 × 5 ; 9 × 7 ; 3 × 2 ; 8 × 8.
• Exercices 4 et 5 : L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant et décroissant des nombres à 3 et 4 chiffres. Réponse exercice 4 : 199 < 901 < 1 564 < 3 631 < 6 459 Réponse exercice 5 : 8 765 > 7 954 > 1 007 > 840 > 259 • Exercice 6 : L’objectif est de calculer des additions et des soustractions en colonnes en utilisant les techniques opératoires étudiées. Réponses : 638 + 249 = 887 ; 159 + 348 + 277 = 784 ; 627 – 219 = 408 ; 943 – 258 = 685
Travail dans le manuel Travail individuel écrit
• Exercice 7 : L’objectif est d’effectuer des conversions de mesures de longueur. Réponses : 8 m = 80 dm ; 7 m et 6 dm = 760 cm ; 4 m et 15 cm = 415 cm ; 790 mm = 79 cm ; 79 mm = 7 cm et 9 mm.
Durée : 45 min
Lire les consignes et s’assurer qu’elles sont comprises par tous les élèves.
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• Exercice 8 : L’objectif est de calculer des multiplications d’un nombre par un nombre à 1 chiffre en utilisant la technique opératoire étudiée. Réponses : 43 × 4 = 172 ; 236 × 5 = 1 180 ; 174 × 8 = 1 392.
• Exercice 10 : L’objectif est de connaître le vocabulaire géométrique, les outils de la géométrie et leur rôle respectif. Réponses : J’ai besoin d’une règle graduée (pour tracer les segments et mesurer AB pour trouver le milieu O), du compas (pour tracer le cercle de centre O) et de l’équerre (pour vérifier l’angle droit). Le point O est le milieu du segment AB. C’est aussi le centre du demi-cercle.
• Exercice 9 : L’objectif est de résoudre un problème en appliquant la démarche apprise dans la leçon « Méthodologie ». Réponses : 19 + 18 = 37 Chaque enfant reçoit 37 € de livres. 37 × 7 = 259 Papi dépense 259 € pour faire ces cadeaux.
• Exercice 11 : L’objectif est de reconnaître des droites parallèles entre elles. Réponses : Les droites (d3) et (d4) sont parallèles à la droite (d).
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Les nombres jusqu’à 99999 Manuel de l’élève pages 26 et 27
Commentaires pédagogiques – s’ils ont le même chiffre des dizaines de mille, le plus grand est celui qui a le chiffre des unités de mille le plus grand… Et ainsi de suite.
Au cours de cette leçon, les élèves devront être attentifs à l’espace de séparation entre la classe des mille et celle des unités simples, condition indispensable pour lire le nombre. Chaque classe se lit comme un nombre à trois chiffres suivi du nom de la classe. Le tableau de numération constitue ici un outil important pour comprendre le rôle du ou des zéros intercalés. Il fera aussi prendre conscience de la dénomination de chaque unité d’ordre, étant donné que les mêmes termes (« unités », « dizaines », « centaines ») sont utilisés au sein de chaque classe. Il convient donc désormais de préciser : « unités simples », « unités de mille »… Pour la comparaison des nombres, la conclusion prendra une forme provisoire (pour les nombres jusqu’à 99 999) : – le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres ; – s’ils ont le même nombre de chiffres, le plus grand est celui qui à le plus de dizaines de mille ;
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. » ■ Objectifs des séances : – Lire, écrire et nommer les nombres jusqu’à 99 999. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 La mise en commun suit chaque question.
Travail préparatoire
‹ Remarque : Donner toujours un temps de recherche individuelle avant le travail en binômes.
u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Connaître les tables de multiplication de 8 et 9. Travail collectif oral et individuel écrit
• A. L’objectif est de lire des nombres à 5 chiffres écrits en lettres et de les écrire en chiffres. Réponses : Modèle A : 77 825 € / Modèle B : 69 431 € / Modèle C : 86 754 € / Modèle D : 45 349 €
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Je vous donne des multiplications des tables de 8 et 9. Vous donnez le résultat. » Énoncer : 6 × 9 ; 4 × 8 ; 5 × 9… Les élèves donnent le résultat oralement. Ce travail peut se faire par écrit individuellement sur l’ardoise. Les élèves écrivent le résultat et lèvent leur ardoise au signal de l’enseignant.
• B. L’objectif est de lire des nombres à 5 chiffres écrits en lettres et de les écrire en chiffres. Réponses : Modèle A : 30 546 km / Modèle B : 82 803 km / Modèle C : 68 350 km / Modèle D : 47 036 km • C. L’objectif est de comparer et ranger des nombres à 5 chiffres. Réponses : – 45 349 < 69 431 < 77 825 < 86 754 – 30 546 < 47 036 < 68 350 < 82 803 – Modèle D
‹ Remarque : Donner à revoir régulièrement les tables de multiplication. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je donne une multiplication des tables de 8 et 9. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 7 × 9 ; 9 × 9 ; 6 × 8… La correction collective s’ensuit.
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Travail dans le manuel Travail individuel (ou par binôme) écrit et collectif oral
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire des nombres à 5 chiffres en chiffres ou en lettres. Réponses : – 32 854 : trente-deux mille huit cent cinquante-quatre – 52 674 : cinquante-deux mille six cent soixante-quatorze – 87 122 : quatre-vingt-sept mille cent vingt-deux – quatre-vingt-cinq mille deux cent vingt-sept : 85 227 – soixante-deux mille huit cent quatre-vingt-douze : 62 892
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir l’écriture des nombres à 5 chiffres en lettres et en chiffres, leur comparaison et leur rangement dans l’ordre croissant. » • Les élèves ouvrent leur manuel à la page 26. Ils écrivent en titre sur leur cahier : « Recherche ». Lire la situation et s’assurer de sa compréhension par tous. Les élèves recherchent individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant).
• Exercice 2 : L’objectif est de comparer des nombres à 5 chiffres avec les signes < et >.
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Réponses : 75 561 < 84 769 ; 24 948 > 9 789 ; 65 436 > 62 454 ; 34 878 > 29 999 ; 98 899 < 99 000 ; 59 142 < 59 200
appris à écrire, nommer, comparer et ranger des nombres à 5 chiffres. »
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 rement la comparaison des nombres à 5 chiffres, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 63 548 ; 24 863 ; 35 432 ; 85 327 • A2. soixante-deux mille six cent vingt-huit ; trente huit mille six cent quarante-deux • A3. 50 827 ; 45 904 ; 38 630 ; 65 048 • A4. 8 798 < 17 243 ; 63 694 > 51 328 ; 54 918 > 51 919 ; 38 693 > 38 597 • A5. Le code est 42 135. • A6. 15 327 + 12 415 = 27 742 Le compteur indique 27 742 km. Parcours B : • B1. 73 421 ; 59 284 ; 93 368 ; 80 367 • B2. soixante-quinze mille trois cent soixante-quatorze ; quatre-vingt-cinq mille cent quatre-vingt-quinze ; trente-deux mille vingt • B3. 40 570 ; 60 042 ; 70 600 ; 80 090 • B4. 49 693 > 49 603 ; 68 137 > 68 135 ; 98 931 < 99 128 ; 11 111 > 9 999 • B5. La ville d’Auxerre a 37 820 habitants. • B6. 38 500 + 45 000 = 83 500 Le projet a un coût total de 83 500 €.
Objectif : Connaître les tables de multiplication de 8 et 9. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Je vous donne des multiplications des tables de 8 et 9. Vous donnez le résultat. » Énoncer : 2 × 9 ; 7 × 8 ; 8 × 8… Les élèves donnent le résultat oralement. • Consigne 2 : « Nous allons jouer comme nous l’avons déjà fait. Au début, vous êtes tous debout. J’énonce des multiplications des tables de 8 et 9 à chacun d’entre vous individuellement, au hasard et rapidement. Chacun doit me répondre tout de suite. Si vous mettez plus de 2 secondes pour répondre ou si vous faites erreur, vous avez perdu et vous vous asseyez. Le dernier debout a gagné. » Énoncer : 7 × 9 ; 4 × 8… sur un rythme soutenu. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je donne une multiplication des tables de 8 et 9. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 3 × 8 ; 9 × 8 ; 6 × 8… La correction collective s’ensuit.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire, nommer, comparer et ranger des nombres de 5 chiffres. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur l’écriture des nombres de 5 chiffres, leur comparaison et leur rangement dans l’ordre croissant et décroissant. »
Difficultés à lire et à écrire des nombres à 5 chiffres • Écrire un nombre à 5 chiffres. Cacher les dizaines de mille, les centaines et les dizaines ; puis découvrir petit à petit les chiffres et lire le nombre correspondant. Exemple : 65 879. Cacher les chiffres pour que l’élève ne voie que le 9 des unités simples. Il le lit. Découvrir les 7 d. L’élève lit ce nouveau nombre 79. Découvrir 8 c et faire lire le nouveau nombre 879. Découvrir les 5 unités de mille et faire lire 5 879. Découvrir les 6 dizaines de mille et faire lire le nombre. Ce nombre pourra être écrit dans un tableau de numération. • Rappeler à l’élève que le nombre écrit hors du tableau doit présenter un espace entre la classe des mille et le chiffre des centaines. • Faire remarquer que l’on entend les noms des classes (« les mille » et les « centaines ») lorsque l’on prononce un nombre à 5 chiffres. Exemple : 98 659 : « 98 mille » → « six cents » → « cinquanteneuf » (nombre à 2 chiffres bien connu des élèves). • Donner un nombre sous la forme : « … dizaines de mille, … unités de mille, … centaines, … dizaines et … unités » L’élève complète le tableau de numération, écrit le nombre hors du tableau et le lit.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 40 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des nombres à 5 chiffres en chiffres et en lettres, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1, B2, B3 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particuliè-
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• Nommer un nombre à 5 chiffres. L’élève le place sur des abaques papier.
c
d Classe des mille
u
chaque fois : « J’ai 48 357, tu as 32 248. 48 357 > 32 248 donc je prends les 2 cartes. » Celui qui gagne est celui qui a le plus de cartes en fin de jeu. Difficultés à ranger des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant • Proposer des exercices progressifs en verbalisant la démarche pas à pas. Exemple de progression : – ordonner 3 nombres qui ont un nombre de chiffres différent : 54 378 / 796 / 3 987 ; – ordonner 3 nombres dont 2 ont le même nombre de chiffres : 47 456 / 799 / 19 321 ; – ordonner 3 nombres qui ont tous le même nombre de chiffres : 37 467 / 12 987 / 45 296 ; – ordonner 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres et dont 2 ont le même chiffre des dizaines de mille : 66 453 / 4 987 / 63 253 ; – ordonner 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres, qui ont le même chiffre des dizaines de mille et le même chiffre des unités de mille : 57 432 / 57 961 / 57 268 ; – etc.
c d u Classe des unités simples
Difficultés à comparer des nombres à 5 chiffres • Faire comparer 2 nombres terme à terme. Commencer par 2 nombres ayant un nombre différent de dizaines de mille. • Continuer en comparant 2 nombres qui ont autant de dizaines de mille mais un chiffre des unités de mille différent, etc. • Jeu de bataille. Écrire des nombres à 5 chiffres sur des cartes. Jouer à la bataille. L’élève qui remporte les 2 cartes justifie à
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La multiplication par un nombre à deux chiffres Manuel de l’élève pages 28 et 29
Commentaires pédagogiques • La technique opératoire de la multiplication par un nombre à 2 chiffres repose sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : 46 × 37 = 46 × (30 + 7) = (46 × 30) + (46 × 7) = (46 × 7) + (46 × 30) Les lignes de calcul intermédiaire correspondent aux éléments de cette égalité : – 46 × 7 sur la 1re ligne de calcul ; – 46 × 30 sur la 2e ligne de calcul ; – et le total de ces deux calculs intermédiaires. • Sur la 2e ligne de calcul, multiplier par 30 revient d’abord à multiplier par 10, donc mettre un zéro à droite du résultat, puis à multiplier par 3. Dans la conception traditionnelle ancienne, on décalait la 2e ligne de calcul et l’on mettait un point (opération n° 1). Si cette procédure du point avait une certaine efficacité mécanique, elle ne permettait pas la compréhension du sens du mécanisme opératoire. Remplacer ce point traditionnel par le 0 indique que l’on multiplie d’abord par 10 (opération n° 2).
Opération n° 1 4 6 × 3 7
Opération n° 2 4 6 × 3 7
3 2 2 1 3 8 .
3 2 2 1 3 8 0
1 7 0 2
1 7 0 2
Le 0 correspond à 46 × 10 et 138 correspond à 46 × 3.
■ Socle commun (palier 2) : – « Restituer les tables de multiplication de 2 à 9. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations. » ■ Programmes 2008 : – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Effectuer un calcul posé. » ■ Objectif des séances : – Revoir le sens et la technique opératoire de la multiplication par un nombre à deux chiffres. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 8 assiettes et elle place 3 crêpes dans chaque assiette. Combien a-t-elle fait de crêpes ? (3 × 8 = 24. Elle a fait 24 crêpes.) – Problème 3 : Pour le ramassage scolaire, le car fait 5 km par voyage et 4 voyages dans la journée. Quelle distance parcourtil chaque jour ? (5 × 4 = 20. Le car parcourt 20 km par jour.)
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Restituer les résultats des tables de multiplication en résolution de problème simple. Travail individuel écrit Durée : 10 min Sur l’ardoise • Consigne : « Je vous lis un problème simple. Vous écrivez l’opération en ligne sur votre ardoise ainsi que la réponse. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : – Problème 1 : Sasha a confectionné 4 colliers de 8 perles chacun. Combien a-t-elle utilisé de perles ? (8 × 4 = 32 ; Elle a utilisé 32 perles.) – Problème 2 : Pendant la récréation, Gabin donne 3 bonbons à chacun de ses 4 amis. Combien a-t-il donné de bonbons ? (3 × 4 = 12. Il a donné 12 bonbons.) – Problème 3 : Maman a planté 9 bulbes de tulipes dans chacun de ses 6 pots. Combien de bulbes a-t-elle plantés ? (9 × 6 = 54. Elle a planté 54 bulbes.) La correction collective orale suit chaque problème. À l’écrit • Consigne : « Je vous lis un problème simple ; vous écrivez l’opération en ligne sur votre ardoise ainsi que la réponse. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : – Problème 1 : Luna possède 7 billets de 5 € dans sa tirelire. Quelle somme d’argent a-t-elle ? (5 × 7 = 35. Luna a 35 €.) – Problème 2 : Lilou fait des crêpes pour le goûter. Elle a
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail oral collectif et individuel écrit
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir le sens et la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 2 chiffres. » • Les élèves ouvrent leur manuel à la page 28. Sur leur cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Cette situation est travaillée en oral collectif. L’enseignant lit la situation et s’assure de sa compréhension par tous les élèves. • A. L’objectif est de comprendre le sens de la technique opératoire de la multiplication et de la revoir (étudiée au CE2). L’enseignant verbalise toute la démarche. Les élèves feront de nouveau cette étape A sur leur cahier de mathématiques après l’explication de l’enseignant. – Consigne 1 : « Que cherche-t-on ? » Réponse attendue : Le nombre total d’appartements dans l’immeuble.
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– Consigne 2 : « Quelle opération va nous permettre de calculer le nombre total d’appartements ? » Réponse attendue : 25 × 35 – Consigne 3 : « Observez le schéma. Que remarquez-vous ? » Réponse attendue : Il y a 2 couleurs. Les 25 étages ont été partagés en 20 étages rouges et 5 étages bleus. – Consigne 4 : « Comment calculer le nombre d’appartements dans les 5 étages bleus ? » Réponse attendue : Il faut multiplier 35 × 5. – Consigne 5 : « Comment faire pour calculer le nombre d’appartements dans les 20 étages restants ? » Réponse attendue : Il faut multiplier 35 × 20. – Consigne 6 : « Si l’on a trouvé le nombre d’appartements dans les étages bleus et le nombre d’appartement dans les autres étages, comment calculer le nombre total d’appartements ? » Réponse attendue : En additionnant les 2 résultats.
Réponse : × 35 × … ➝ 1 25 × … ➝ 7 8
3 2 7 0 7
5 5 5 0 5
• B et C. L’objectif est de calculer des multiplications d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 2 chiffres. Les élèves ont le support d’un schéma, puis calculent la multiplication posée sans repère. Réponses : – 46 × 18 = 828 ; 27 × 48 = 1 296 – 28 × 54 = 1 512
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de calculer des multiplications par un nombre à 2 chiffres. Réponses : 124 × 6 = 744 ; 124 × 30 = 3 720 ; 124 × 36 = 4 464 ; 268 × 24 = 6 432 ; 36 × 42 = 1 512 ; 78 × 65 = 5 070 ; 428 × 36 = 15 408 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu le sens et la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 2 chiffres. » Lire la rubrique « Retenir ».
L’enseignant s’appuie maintenant sur la multiplication posée de l’étape A. Expliquer que l’on commence toujours par multiplier les unités. Montrer et verbaliser en même temps. Effacer l’opération écrite au tableau. Les élèves calculent de nouveau individuellement la multiplication : 35 × 25. La mise en commun suit avec verbalisation par un élève de la démarche de calcul.
Séance 2 – Problème 2 : Pour créer une mosaïque en carrelage, Stella a collé 8 rangs de 5 carreaux chacun. Combien de carreaux a-telle collés ? (5 × 8 = 40. Elle a collé 40 carreaux.) – Problème 3 : L’album photo de la naissance de Luna contient 9 pages de 5 photos par page. Combien y a-t-il de photos dans l’album ? (9 × 5 = 45. Il y a 45 photos dans l’album.)
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Restituer les résultats des tables de multiplication en résolution de problème simple. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
Sur l’ardoise • Consigne : « Je lis un problème simple. Vous écrivez l’opération en ligne sur votre ardoise et la réponse. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : – Problème 1 : Dans son potager, le jardinier a planté 9 rangées de 9 plants de tomates. Combien de plants de tomates a-t-il plantés ? (9 × 9 = 81. Il a planté 81 plants de tomates.) – Problème 2 : Lors d’une promenade en forêt, Lilou et ses 4 amies ont chacune ramassé 10 champignons. Combien de champignons ont-elles ramassés au total ? (10 × 5 = 50. Elles ont ramassé 50 champignons au total.) – Problème 3 : La fleuriste a fait 7 bouquets de 8 roses. Combien de roses a-t-elle utilisées ? (8 × 7 = 56. Elle a utilisé 56 roses.) La correction suit chaque problème.
u Temps 2 : Rappel
À l’écrit • Consigne : « Je lis un problème simple. Vous écrivez l’opération en ligne sur votre ardoise et la réponse. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : – Problème 1 : Le club de tennis organise un tournoi. 5 lots de 6 médailles sont prévus pour les récompenses. Combien de participants recevront une médaille ? (6 × 5 = 30. 30 participants recevront une médaille.)
Travail individuel écrit
Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous revu lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu le sens et la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 2 chiffres. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur la technique opératoire de la multiplication par un nombre à 2 chiffres. »
Travail dans le manuel Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
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Correction des exercices : Parcours A : • A1. 7 4 × 7 5 1 8
b)
7 4 × 2 0 1 4 8 0
× 5 1 4 1 9
7 2 1 8 9
4 7 8 0 8
5 + 5 5 × 3 = 15. Il y a 15 étoiles en tout. c)
• A2. × 5 2 7 3 3
9 3 5 9 4
3 6 8 0 8
× 6 1 3 1 9
6 2 0 4 4
7 9 3 0 3
5
3+ 3+ 3+ 3+ 3+
• A3. × 3 2 1 2 5
+
5 4 7 6 3
4 7 8 0 8
× 2 4 6 4 8
9 5 7 0 7
2 3 6 0 6
3+ 3+ 3 8 + 8+ 8 8+8+8=8×3 3+3+3+3+3+3+3+3=3×8 8 × 3 = 3 × 8 = 24 Il y a 24 carreaux en tout.
• A4. 48 × 72 = 3 456 ; 39 × 84 = 3 276 • A5. 39 × 31 = 1 209. Il parcourt 1 209 km au cours d’un mois de 31 jours. • A6. 36 × 27 = 972. La vente des brouettes a rapporté 972 €.
Difficultés à effectuer des multiplications posées • Verbaliser toute la démarche sur plusieurs opérations, puis laisser l’élève le faire en l’aidant au besoin lorsqu’il commet une erreur ou un oubli. Donner les tables de multiplication pour ne pas gêner l’apprentissage de la démarche et apporter un obstacle supplémentaire.
Parcours B : • B1. 95 × 4 = 380 ; 78 × 7 = 546 ; 86 × 6 = 516 ; 69 × 8 = 552 • B2. 92 × 50 = 4 600 ; 68 × 40 = 2 720 ; 49 × 70 = 3 430 ; 38 × 90 = 3 420 • B3. 9 7 8 9 × 5 8 × 6 7 7 7 6 6 2 3 4 8 5 0 5 3 4 0 5 6 2 6 5 9 6 3
Difficultés à poser la multiplication d’un nombre par un nombre à 2 chiffres • Donner une feuille seyes et plusieurs multiplications à poser. Ces calculs ne sont pas à effectuer pour le moment, l’objectif étant ici de positionner correctement la multiplication en colonnes. Verbaliser pas à pas l’écriture de la multiplication à poser. Laisser petit à petit l’élève verbaliser seul.
• B4. 123 × 58 = 7 134 ; 341 × 84 = 28 644 • B5. 451 × 98 = 44 198 ; 645 × 76 = 49 020 • B6. 54 × 67 = 3 618. Le magasin de bricolage pourra mettre en vente 3 618 sacs de ciment. • B7. 429 × 12 = 5 148. Cet achat a coûté 5 148 €.
Difficultés à calculer la multiplication d’un nombre par un nombre à 2 chiffres • Reprendre toute la démarche en accompagnant l’élève. Exemple : 75 × 24 1) 7 5 × 2 4
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à comprendre le sens de la multiplication • Travailler à partir de matériels divers, puis de représentations d’objets réels et de l’addition itérée. Exemples : a)
Je commence par multiplier 75 × 4. 2) 7 5 × 2 4 3 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 4.
4 + 4 + 4 + 4 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 5 (4 multiplié par 5) = 20 Il y a 20 personnages en tout.
3) Je vais maintenant multiplier « 75 × 2 dizaines » c’est-à-dire « 75 × 20 ». 20 c’est 2 × 10. 7 5 × 2 4 3 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 4. 0 ➝ Le 0 correspond à la multiplication par 10.
+
4
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4) Je multiplie maintenant 75 × 2. 7 5 × 2 4 3 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 4. 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 20.
Difficultés à mémoriser la technique opératoire de la multiplication d’un nombre par un nombre à 2 chiffres • Proposer des multiplications simples qui auront peu, voire pas, de retenue et qui auront pour multiplicateurs des nombres des tables bien connues des élèves. Exemples : 17 × 21 ; 24 × 32 ; 53 × 15.
5) J’additionne les 2 lignes pour avoir le résultat final. 7 5 × 2 4 3 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 4. 1 5 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 20. 1 8 0 0 ➝ C’est le résultat de 75 × 24.
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Les mesures de masse Manuel de l’élève pages 30 et 31
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles. Utiliser des instruments de mesure. Effectuer des conversions. » – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » – « Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9. »
• La notion de « masse » est familière des élèves. Il faut cependant noter une difficulté lexicale liée à cette notion : le terme « masse » qui désigne une quantité de matière (et qui est le terme exact) est souvent remplacé par le terme « poids » dans la vie courante. Le poids est la force qui appuie sur le sol, et cette force n’est pas la même sur la Terre ou sur la Lune, au niveau de la mer ou en haut d’une montagne. La masse, quant à elle, est toujours la même. Cette difficulté se complique par l’utilisation (correcte) du verbe « peser » lorsque l’on mesure une masse. • L’unité légale de mesure de masse est le gramme. Les élèves sont cependant plus familiers du kilogramme, d’utilisation plus courante dans la vie quotidienne : leur propre masse, le prix au kg dans les magasins d’alimentation, etc. Une première approche de la tonne viendra compléter les unités que l’élève aura à sa disposition. • Les conversions (ou changements d’unité) posent un problème, lié au fait que certaines unités sont tombées en désuétude et passées sous silence : le décagramme et l’hectogramme. Cela rend le tableau de conversions inadapté car on ne peut pas nommer les colonnes « dag » et « hg ». Cela oblige donc à une règle d’échange « 1 pour 1 000 » : 1 T = 1 000 kg 1 kg = 1 000 g
■ Programmes 2008 : – « Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure du système métrique pour les masses et leurs relations. » – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » ■ Objectifs des séances : – Connaître les unités de masse (tonne, kilogramme et gramme) et les relations qui les lient. – Estimer un ordre de grandeur. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u Temps 1 : Calcul mental
u Temps 1 : Découvrir
Objectif : Multiplier un nombre par 10, 20, 30…
Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir les mesures de masse et les relations qui les lient. Vous allez apprendre à estimer un ordre de grandeur. » • Consigne : « Quelles mesures de masse connaissez-vous ? » Réponses attendues : le kg ; le g, la tonne (connaissance de la vie courante). Les élèves ouvrent leur manuel à la page 30. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’estimer l’ordre de grandeur de la masse de divers animaux. Réponses : la baleine : 9 T / la crevette : 30 g / le thon : 45 kg / la raie : 5 kg. • B. L’objectif est de redécouvrir les relations entre les unités de masse. Réponses : 1 T = 1 000 kg ; 1kg = 1 000 g le koala : 9 kg = 9 000 g l’éléphant : 5 T = 5 000 kg • C. L’objectif est de découvrir que, pour additionner des masses données dans des unités différentes, il faut d’abord les convertir dans la même unité. Réponse : 5 T + 4 500 kg = 5 000 kg + 4 500 kg = 9 500 kg
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment calculer mentalement 4 × 20. » Les élèves rappellent la stratégie possible : Multiplier 4 par 20 revient à multiplier 4 par 2, puis par 10, car 20 c’est 10 × 2. 4 × 2 = 8, puis 8 × 10 = 80, donc 4 × 20 = 80. Énoncer : 6 × 20 ; 9 × 20… La démarche est oralisée pour chaque produit. • Consigne 2 : « En prenant appui sur ce que vous venez de rappeler, comment calculer mentalement 4 × 30 ? » Les élèves répondent oralement : Multiplier 4 par 30 revient à multiplier 4 par 3, puis par 10, car 30 c’est 10 × 3. 4 × 3 = 12, puis 12 × 10 = 120, donc 4 × 30 = 120. Énoncer : 5 × 30 ; 7 × 40… La démarche est oralisée pour chaque produit. À l’écrit, sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des produits à calculer mentalement. Vous écrivez le résultat. » Énoncer : 6 × 20 ; 7 × 60 ; 9 × 20 ; 2 × 50 ; 4 × 70. La correction collective s’ensuit. ‹ Remarque : Faire prendre conscience aux élèves de l’importance de maîtriser les tables de multiplication pour être capable de calculer ces produits mentalement.
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• Exercice 2 : L’objectif est d’additionner des masses après les avoir converties dans la même unité. Réponses : 4 kg + 2 000 g = 6 000 g ; 450 g + 3 kg = 3 450 g ; 2 T + 760 kg = 2 760 kg ; 4 T + 6 000 kg = 10 T
• D. L’objectif est d’estimer un ordre de grandeur des masses de divers animaux et de les ranger dans l’ordre décroissant. Réponses : le lion : 175 kg / le poussin : 40 g / l’hippopotame : 275 kg / l’aigle : 4 kg / le ver de terre : 10 g 275 kg > 175 kg > 4 kg > 40 g > 10 g
• Exercice 3 : L’objectif est de comparer des masses après les avoir converties dans la même unité. Réponses : 780 kg < 2 T ; 9 kg > 8 590 g ; 10 kg < 11 000 g ; 4 T > 3 800 kg
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’effectuer des conversions. Réponses : 4 T = 4 000 kg / 6 000 g = 6 kg / 8 000 kg = 8 T / 7 kg = 7 000 g
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons redécouvert les unités de masse et les relations qui les lient. Nous avons appris à estimer un ordre de grandeur. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les conversions, proposer de commencer par les exercices A2, B2, A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’addition des mesures de masse, proposer de commencer par les exercices A3, B3 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison des mesures de masse, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre par 10, 20, 30… Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Je vous donne des produits à calculer mentalement. Vous nommez le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle. Énoncer : 7 × 50 ; 8 × 60 ; 9 × 20 ; 3 × 70… La démarche est oralisée pour chaque produit. • Consigne 2 : « Je vous donne des produits à calculer mentalement. Vous écrivez le résultat sur votre ardoise. » Énoncer : 60 × 3 ; 70 × 6 ; 40 × 50… Les élèves lèvent l’ardoise au signal. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des produits à calculer mentalement. Vous écrivez le résultat. » Énoncer : 8 × 70 ; 70 × 3 ; 90 × 2 ; 2 × 80 ; 40 × 5. La correction collective s’ensuit.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. rôti de bœuf : 1 kg ; voiture 1 T ; chaise 10 kg. • A2. a) 2 000 g = 2 kg ; 5 000 g = 5 kg ; 12 000 g = 12 kg ; 8 T = 8 000 kg ; 2 T = 2 000 kg ; 4 T = 4 000 kg b) 6 kg = 6 000 g ; 9 kg = 9 000 g ; 3 kg = 3 000 g c) 7 000 kg = 7 T ; 5 000 kg = 5 T ; 11 000 kg = 11 T • A3. 2 kg + 500 g = 2 500 g ; 750 g + 7 kg = 7 750 g ; 4 000 g + 2 kg = 6 kg ; 8 kg + 3 000 g = 11 kg • A4. 6 500 g < 7 kg ; 2 kg > 850 g ; 35 kg > 3 650 g ; 45 g < 2 kg • A5. 568 – 375 = 193. La différence de masse entre le cheval et l’âne est de 193 kg. • A6. 617 × 14 = 8 638 kg. La masse totale du troupeau est de 8 638 kg.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris et retenu lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons redécouvert les unités de masse et les relations qui les lient. Nous avons appris à estimer un ordre de grandeur. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner. »
Parcours B : • B1. baguette de pain : 250 g ; paire de chaussures : 600 g ; tondeuse à gazon : 35 kg • B2. a) 2 500 g = 2 kg et 500 g ; 3 250 g = 3 kg et 250 g ; 11 450 g = 11 kg et 450 g b) 6 kg et 800 g = 6 800 g ; 4 kg et 430 g = 4 430 g ; 2 kg et 60 g = 2 060 g c) 5 600 kg = 5 T et 600 kg ; 4 910 kg = 4 T et 910 kg ; 7 050 kg = 7 T et 50 kg d) 8 T et 600 kg = 8 600 kg ; 2 T et 850 kg = 2 850 kg ; 1 T et 80 kg = 1 080 kg • B3. 4 kg et 300 g + 700 g = 5 000 g ; 750 g + 4 kg et 200 g = 4 950 g ; 6 500 g + 2 kg et 500 g = 9 kg ; 8 kg + 600 g + 200 g + 1 kg et 200 g = 10 kg • B4. 6 kg et 700 g = 6 700 g ; 8 kg et 100 g > 9 g ; 4 T > 5 600 g ; 6 000 kg < 7 T et 200 kg
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’estimation d’un ordre de grandeur sur les masses, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de
49
• B5. 9 T et 550 kg = 9 550 kg 5 T = 5 000 kg 9 550 – 5 000 = 4 550 Le camion peut transporter 4 550 kg de terre, soit 4 T et 550 kg. • B6. 450 × 48 = 21 600 g Un carton de 48 boîtes de haricots pèse 21 600 g.
• Faire de même pour une mesure donnée en kg : l’élève l’écrit en g. L’élève place la mesure donnée en kg dans le tableau et complète par des 0 jusqu’à la colonne des g. Exemples : 4 kg = … g ; 6 kg = … g kg
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
g 0
0
0
5
0
0
0
0
0
6
0
0
0
Difficultés à estimer un ordre de grandeur sur les masses • Pour les mesures relevant des kg et g, utiliser une balance de type Roberval, une balance de salle de bains et/ou une balance de cuisine pour que l’élève puisse peser les objets et voir concrètement leurs masses. Exemples : « Quelle est la masse de ta gomme : 10 g ou 1 kg ? Quelle est la masse de ton manuel : 500 g ou 5 kg ? » • Proposer des mesures et des objets de masses éloignées d’abord, puis moins évidentes par la suite.
• Donner une mesure en g. L’élève la place dans le tableau en commençant par les unités, puis lit le nombre dans la colonne des kg. Exemples : 2 000 g = … kg (2 kg) 5 000 g = … kg (5 kg)
2
0
Difficultés à comparer ou à ranger des mesures données dans des unités différentes • Verbaliser la démarche. Exemple : Ranger dans l’ordre croissant les masses suivantes : – Masses : 3 100 g / 8 kg / 7 900 g / 4 kg – Conversion dans la même unité (en g) :3 100 g / 8 000 g / 7 900 g / 4 000 g – Rangement : 3 100 g < 4 000 g < 7 900 g < 8 000 g – Réponse : 3 100 g < 4 kg < 7 900 g < 8 kg • Faire de même avec d’autres mesures en inversant le rangement : dans l’ordre croissant et dans l’ordre décroissant.
g
kg
4
• Même démarche pour les conversions T/kg.
Difficultés à convertir des masses en g ou en kg • Les élèves ont l’habitude de travailler avec le tableau de numération. Donc, même si on ne travaille pas sur dag et hg, proposer un tableau de conversions de ce type : kg
g
50
13
Les nombres jusqu’à 999 999 Manuel de l’élève pages 32 et 33
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. »
Au cours de cette leçon, l’élève va étendre le champ de la numération à l’ensemble de la classe des mille. On veillera à l’utilisation du tableau de numération, notamment pour porter une attention particulière au(x) zéro(s) intercalé(s). Il conviendra d’être attentif à bien distinguer « unités simples » et « unités de mille », « dizaines simples » et « dizaines de mille », « centaines simples » et « centaines de mille ».
■ Objectifs des séances : – Écrire, nommer et comparer les nombres jusqu’à 999 999. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. »
Séance 1 Les élèves ouvrent leur manuel à la page 32. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres à 6 chiffres donnés en lettres et d’utiliser le tableau de numération. Réponses : Lille : 227 561 ; Lyon : 484 345 ; Marseille : 851 726 ; Bordeaux : 239 157 • B. L’objectif est de travailler la numération de position et de connaître la valeur de chaque chiffre. Les élèves devront écrire en chiffres des nombres donnés sous la forme désordonnée : x centaines de mille / y dizaines de mille… Réponses : Toulouse : 441 802 ; Nice : 343 304 • C. L’objectif est d’encadrer des nombres à 6 chiffres entre des centaines de mille entières. Réponses : – entre 200 000 et 300 000 habitants : Lille ; Bordeaux ; – entre 300 000 et 400 000 habitants : Nice ; – entre 400 000 et 500 000 habitants : Lyon ; Toulouse ; – entre 500 000 et 600 000 habitants : case vide ; – entre 700 000 et 800 000 habitants : case vide ; – entre 800 000 et 900 000 habitants : Marseille. • D. Marseille (851 726) > Lyon (484 345) > Toulouse (441 802) > Nice (343 304) > Bordeaux (239 157) > Lille (227 561)
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Dire, écrire et décomposer des nombres ≤ 99 999. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 15 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Avant le début du cours, écrire au tableau : 87 564 / 23 765 / 23 098 / 54 700 / 990 061… Les élèves lisent les nombres à tour de rôle. • Consigne 1 : « Je dis des nombres, vous les écrivez en chiffres sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer des nombres à 5 chiffres en insistant sur les nombres comportant des « 0 ». Lors de la mise en commun, écrire ces nombres dans un tableau de numération. • Consigne 2 : « Décomposez 54 683 sous forme additive. » Si besoin, donner un exemple en collectif (78 932 = 70 000 + 8 000 + 900 + 30 + 2). Énoncer : 89 015 ; 40 500. • Consigne 3 : « Décomposez 89 764 sous forme additive et multiplicative. » Si besoin, donner un exemple en collectif : 78 932 = (10 000 × 7) + (1 000 × 8) + (100 × 9) + (10 × 30) + 2 Énoncer : 75 682 ; 60 400 À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « Écrivez ces nombres en chiffres. » Énoncer : 76 080 ; 82 100 ; 60 004… • Consigne 2 : « Décomposez 23 678 sous forme additive. »
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
• Consigne 3 : « Décomposez 87 654 sous forme additive et multiplicative. » La correction collective s’ensuit.
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres ≤ 999 999 donnés en lettres. Réponses : 212 635 ; 463 492 ; 685 645 • Exercice 2 : L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres ≤ 999 999 donnés sous forme désordonnée. Réponse : 326 704 (une erreur s’est glissée dans la 1re édition du manuel : remplacer « 2 unités de mille » par « 2 dizaines de mille »).
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à écrire, nommer et comparer des nombres à 6 chiffres. »
51
• Exercice 3 : L’objectif est d’encadrer un nombre à 6 chiffres entre 2 centaines de mille entières. Réponse : 500 000 < 563 871 < 600 000 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons
appris à écrire, nommer, comparer et encadrer des nombres à 6 chiffres. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 A3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des nombres ≤ 999 999 avec des zéros, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison des nombres ≤ 999 999, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Dire, écrire et décomposer des nombres ≤ 99 999. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 15 min
À l’oral et par écrit sur l’ardoise • Écrire au tableau avant l’arrivée des élèves des nombres à 5 chiffres. Les élèves lisent les nombres à tour de rôle. • Consigne 1 : « Je dis des nombres, vous les écrivez en chiffres sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer des nombres à 5 chiffres en insistant sur les nombres comportant des « 0 ». Lors de la mise en commun, écrire ces nombres dans un tableau de numération.
‹ Remarque : Donner la possibilité aux élèves d’utiliser le tableau de numération. Correction des exercices :
• Consigne 2 : « Décomposez 73 287 sous forme additive. » Énoncer : 17 639 ; 99 720
Parcours A : • A1. 536 722 ; 848 456 ; 168 926 • A2. 849 771 ; 894 667 • A3. 942 086 ; 701 948 • A4. 65 098 < 345 600 < 543 009 < 876 789 • A5. Il a vendu 130 700 voitures B de plus. 234 164 + 130 700 = 364 864 364 864 voitures de modèle B ont été vendues.
• Consigne 3 : « Décomposez 73 915 sous forme additive et multiplicative. » Énoncer : 57 135 ; 84 143 À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « Je dis des nombres ; vous les écrivez en chiffres. » Énoncer : 65 070 ; 24 700 ; 30 003… • Consigne 2 : « Décomposez 76 394 sous forme additive. »
Parcours B : • B1. 703 283 ; 408 273 ; 690 412 ; 187 899 • B2. 802 704 ; 360 905 ; 609 423 • B3. 600 803 ; 850 010 ; 401 200 ; 900 100 • B4. 681 234 > 678 456 > 598 745 > 59 329 • B5. 120 803 en 1re semaine et 204 106 en 2e semaine. 120 803 + 204 106 = 324 909 324 909 spectateurs ont vu le film.
• Consigne 3 : « Décomposez 39 856 sous forme additive et multiplicative. » La correction collective s’ensuit.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire, nommer, comparer et encadrer des nombres à 6 chiffres. »
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire, écrire, comparer et ranger des nombres ≤ 999 999. »
Travail dans le manuel
Difficultés à décomposer un nombre à 5 chiffres sous forme additive lors du calcul mental • Donner un nombre à 5 chiffres. L’élève complète au fur et à mesure le tableau de numération. Il verbalise ensuite pour chaque chiffre. Exemple : 37 564
u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture et l’écriture des nombres ≤ 999 999, proposer de commencer par les exercices A1, B1, B3, A2, B2 et
Classe des mille
52
Classe des unités simples
d
u
c
d
u
3
7
5
6
4
3 est le nombre de dizaines de mille : 30 000. Classe des mille
5 c’est 5 une fois Transcrire en équation mathématique : 64 395 = (10 000 × 6) + (1 000 × 4) + (100 × 3) + (10 × 9) + (5 × 1) • Faire de même avec d’autres nombres. Amener progressivement l’élève à verbaliser à la place de l’enseignant.
Classe des unités simples
d
u
c
d
u
3
0
0
0
0
Difficultés à lire et à écrire des nombres à 6 chiffres • Écrire un nombre à 6 chiffres. Cacher les centaines de mille, les dizaines de mille, les unités de mille, les centaines et les dizaines. Découvrir petit à petit les chiffres et lire le nombre correspondant. Exemple : 865 879. L’élève ne voit que le 9 ; il le lit. Découvrir les 7 d ; l’élève lit ce nouveau nombre « 79 ». Découvrir 8 c ; lecture du nouveau nombre « 879 ». Découvrir les 5 unités de mille ; l’élève lit le nouveau nombre « 5 879 ». Découvrir les 6 dizaines de mille ; l’élève lit le nombre. Découvrir les 8 centaines de mille. Ce nombre pourra être écrit dans un tableau de numération. Rappeler à l’élève que le nombre écrit hors du tableau doit présenter un espace entre la classe des mille et le chiffre des centaines. Faire remarquer à l’élève que l’on entend les « mille » et les « centaines » lorsque l’on prononce un nombre à 6 chiffres. Exemple : 298 395 : « 298 mille » « trois cents » « quatre-vingtquinze » (nombre à 2 chiffres bien connu des élèves) • Donner un nombre sous la forme : … centaines de mille / … dizaines de mille /… unités de mille / … centaines / … dizaines / … unités. L’élève complète le tableau de numération, écrit le nombre hors du tableau et le lit. • Nommer un nombre à 6 chiffres. L’élève le place sur les abaques (matériel téléchargeable gratuitement sur le site Istra). • Placer des jetons sur les abaques. L’élève lit le nombre.
7 est le nombre d’unités de mille : 7 000. Classe des mille
Classe des unités simples
d
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0
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0
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0
0
5 est le nombre de centaines : 500. Classe des mille
Classe des unités simples
d
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c
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u
3
0
0
0
0
7
0
0
0
5
0
0
6 est le nombre de dizaines : 60. Classe des mille
Classe des unités simples
d
u
c
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0
0
7
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0
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0
6
0
Difficultés à comparer des nombres à 6 chiffres • Faire comparer 2 nombres terme à terme. Commencer par 2 nombres ayant un nombre différent de centaines de mille. • Faire de même avec 2 nombres qui ont le même nombre de centaines de mille mais un chiffre des dizaines de mille différent. • Jeu de bataille. Écrire en chiffres sur des cartes des nombres à 6 chiffres, puis jouer à la bataille. L’élève qui remporte les 2 cartes justifie à chaque fois : « J’ai 548 357, tu as 432 248, 548 357 > 432 248, donc je prends les 2 cartes. » Le gagnant est celui qui a le plus de cartes à la fin du jeu.
4 est le nombre d’unités simples : 4. Classe des mille
Classe des unités simples
d
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0
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0
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0
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0 4
3
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5
6
Difficultés à ranger des nombres ≤ 999 999 dans l’ordre croissant ou décroissant • Proposer des exercices progressifs en verbalisant la démarche pas à pas. Exemple de progression : – ranger 3 nombres qui ont un nombre de chiffres différent : 554 378 / 8 796 / 23 987 ; – ranger 3 nombres dont 2 ont le même nombre de chiffres : 347 456 / 54 799 / 219 321 ; – ranger 3 nombres qui ont tous le même nombre de chiffres : 437 467 / 712 987 / 345 296 ; – ranger 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres et dont 2 ont le même chiffre des centaines de mille : 366 453 / 164 987 / 363 253 ; – ranger 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres et qui ont le même chiffre des centaines de mille et de dizaines de mille : 557 432 / 551 961 / 558 268.
4
37 564 = 30 000 + 7 000 + 500 + 60 + 4 • Faire de même avec d’autres nombres. Amener progressivement l’élève à verbaliser à la place de l’enseignant. Difficultés à décomposer un nombre à 5 chiffres sous forme additive et multiplicative lors du calcul mental • Commencer par donner un nombre à 5 chiffres que l’élève décompose sous forme additive (même démarche que précédemment). S’appuyer sur cette décomposition additive et verbaliser. Exemple : 64 395 = 60 000 + 4 000 + 300 + 90 + 5 60 000 c’est 10 000 six fois 4 000 c’est 1 000 quatre fois 300 c’est 100 trois fois 90 c’est 10 neuf fois
53
14
Le carré et le rectangle Manuel de l’élève pages 34 et 35
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures usuelles. » – « Utiliser la règle, l’équerre pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure. »
Le carré et le rectangle sont des figures géométriques connues et étudiées depuis le CP. Certaines de leurs propriétés se sont progressivement construites : – pour le rectangle : – égalité des côtés opposés deux à deux ; – 4 angles droits. – pour le carré : – égalité des 4 côtés ; – 4 angles droits. Au cours de cette leçon, l’élève ajoutera à ces propriétés le parallélisme des côtés opposés. On conservera à l’esprit que le carré est un rectangle particulier, qui a ses 4 côtés égaux.
■ Programmes 2008 : – « Reconnaître, décrire et tracer un rectangle. » ■ Objectifs des séances : – Reconnaître que des droites sont parallèles. – Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites perpendiculaires, droites parallèles, angle. – Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. – Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. ■ Matériel à prévoir : – pour l’enseignant : la règle, l’équerre du tableau ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques, une équerre, un double décimètre en parfait état ; un crayon à papier très bien taillé.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u Temps 1 : Calcul mental
u Temps 1 : Découvrir
Objectifs : Comparer, ranger et encadrer des nombres ≤ 99 999.
Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à reconnaître et à décrire des carrés et des rectangles en utilisant leurs propriétés. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 34. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Écrivez le signe < sur un côté de votre ardoise et le signe > de l’autre côté. Je dis des nombres ; vous les comparez en me montrant le signe qui convient. » Énoncer : 54 689 et 76 900 ; 30 700 et 30 698… ‹ Remarque : Rappeler que l’on commence toujours par le 1er nombre énoncé qui est comparé au 2nd. • Consigne 2 : « J’écris des nombres au tableau. Vous les rangez dans l’ordre décroissant. » Écrire : 87 654 ; 2 543 ; 75 009 ; 354 Les élèves oralisent le rangement.
• A. L’objectif est d’identifier les propriétés du rectangle, d’utiliser le vocabulaire géométrique spécifique et d’utiliser à bon escient les outils de la géométrie. Réponses : – Les 4 angles de la figure ABCD sont des angles droits. – Les côtés opposés ont la même mesure ; ils sont égaux : AB = DC = 6 cm ; AD = BC = 4 cm. – ABCD est un rectangle. – Les côtés AB et DC sont parallèles. – Les côtés AD et BC sont parallèles.
• Consigne 3 : « Je dis un nombre ; vous l’encadrez avec celui qui vient avant et celui qui vient après. » Énoncer : 65 499 ; 30 001 ; 50 999… À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’écris des nombres au tableau ; vous les comparez avec le signe qui convient. » Écrire : 65 789 et 66 000 ; 90 700 et 89 999 ; 10 001 et 99 999 • Consigne 2 : « J’écris des nombres au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant. » Écrire : 76 498 ; 4 500 ; 98 000 ; 44 500 La correction collective s’ensuit.
• B. L’objectif est d’identifier les propriétés du carré, d’utiliser le vocabulaire géométrique spécifique et d’utiliser à bon escient les outils de la géométrie.
54
Réponses : – Les 4 angles de la figure EFGH sont des angles droits. – Les 4 côtés sont égaux : EF = FG = HG = EH = 4 cm. – EFGH est un carré. – Les côtés EF et HG sont parallèles. Les côtés EH et FG sont parallèles.
Réponse :
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
IJKL est un rectangle. Il a 4 angles droits. Ses côtés opposés ont la même mesure : IJ = LK et IL = JK. Ses côtés opposés sont parallèles : IJ est parallèle à LK et IL est parallèle à JK.
Travail individuel écrit
J
3 cm
6 cm
L
Durée : 25 min
K
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à reconnaître et à décrire des carrés et des rectangles en utilisant leurs propriétés. »
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de tracer un rectangle sur papier pointé et de le décrire par ses propriétés.
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectifs : Comparer, ranger et encadrer des nombres ≤ 99 999.
Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Écrivez le signe < sur un côté de votre ardoise et le signe > de l’autre côté. Je dis des nombres ; vous les comparez en me montrant le signe qui convient. » Énoncer : 87 000 et 78 000…
Correction des exercices : Parcours A : • A1. AB = CD et AD = BC. Les côtés opposés du quadrilatère ABCD sont égaux. AB est parallèle à CD. AD est parallèle à BC. Les angles A, B, C et D sont des angles droits. Le quadrilatère est un rectangle. • A2. EF = GH = EH = FG Les 4 côtés du quadrilatère EFGH sont égaux. EF est parallèle à GH. EH est parallèle à FG. Les angles en E, F, G et H sont des angles droits. Le quadrilatère EFGH est un carré. • A3. Les côtés IJ et LK ne sont pas parallèles. Cette figure n’est donc pas un carré. Parcours B : • B1. AB = CD et AD = BC. Les côtés opposés du quadrilatère ABCD sont égaux. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux : AB est parallèle à CD et AD est parallèle à BC. Les angles A, B, C et D sont des angles droits. Le quadrilatère ABCD est un rectangle. • B2. EF = FG = GH = EH EF est parallèle à GH et EH est parallèle à FG. Les 4 angles E, F, G et H sont des angles droits. Le quadrilatère EFGH est un carré. • B3. IJ = KL et JK = IL Les côtés IJ et KL sont parallèles. Les côtés IL et JK sont parallèles.
• Consigne 2 : « J’écris des nombres au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant. » Écrire : 67 876 / 40 980 / 55 610 / 67 800 Les élèves oralisent le rangement. • Consigne 3 : « Je dis un nombre ; vous l’encadrez avec celui qui vient avant et celui qui vient après. » Énoncer des nombres à 5 chiffres. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’écris des nombres au tableau ; vous les comparez avec le signe qui convient. » Écrire : 86 000 et 85 998 ; 90 000 et 89 999 ; 70 001 et 69 999 • Consigne 2 : « J’écris des nombres au tableau. Vous les rangez dans l’ordre décroissant. » Écrire : 65 710 / 39 654 / 35 764 / 10 000 La correction collective s’ensuit.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à reconnaître et à décrire des carrés et des rectangles en utilisant leurs propriétés. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à décrire ces quadrilatères et à les reproduire sur papier pointé. »
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Les 4 angles sont des angles droits. Le quadrilatère IJKL est un rectangle.
• Utiliser l’angle droit tracé sur papier calque pour identifier les angles droits de figures tracées. • Utiliser l’angle droit de l’équerre pour identifier les angles droits d’objets concrets, puis de figures tracées. • Faire verbaliser l’élève : – « Les 2 côtés de l’angle droit de l’équerre se superposent aux 2 côtés de l’angle de mon cahier ; donc l’angle de mon cahier est droit. » – « Les côtés de cet angle de la table ne coïncident pas avec ceux de l’angle droit de mon équerre, ce n’est pas un angle droit. »
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner l’angle droit de l’équerre sur l’angle d’un objet ou d’une figure • Utiliser du papier calque et tracer l’angle droit de l’équerre. Positionner le calque en le superposant aux angles d’objets concrets facilement manipulables. • Utiliser un gabarit de l’angle droit en le positionnant sur les angles à mesurer (angles droits ou pas).
Difficultés à tracer un carré ou un rectangle sur papier pointé • Marquer par une croix les 4 sommets sur les points du papier. L’élève trace les côtés du carré ou du rectangle. • Faire de même avec 3 points uniquement, puis 2 points, puis 1 point.
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Problèmes de la vie courante: les mesures de longueur Manuel de l’élève pages 36 et 37
Commentaires pédagogiques termes de la formule de calcul n’est pas donné directement mais doit être calculé.
Résoudre un problème de la vie courante nécessite d’abord de bien en comprendre le contexte. Le vocabulaire utilisé, et tout particulièrement certains mots, construisent le contexte de la résolution. Ainsi, les mots « distances », « longueur », « km », « m », etc., induisent un problème sur les mesures de longueur. Lorsque ce contexte est identifié, l’élève doit être en mesure de choisir la procédure de calcul qui convient : – distance totale = distance A + distance B ; – distance B = distance totale – distance A ; – distance totale = distance d’un parcours × nombre de parcours. On ajoutera plus tard dans l’année une 4e procédure : – distance d’un parcours = distance totale : nombre de parcours. Dans le manuel, ces procédures sont nommées « formules de calcul ». Chacun y reconnaîtra les procédures additive, soustractive, multiplicative… Pour chaque problème, le choix de la procédure de calcul précédera toujours l’élaboration du calcul mathématique. Ces procédures de résolution doivent être considérées comme des procédures de base : la résolution de n’importe quel problème sur les mesures de longueur prendra appui sur l’une de ces procédures. Elles se complexifieront progressivement, notamment dans le cas d’un problème à étapes où l’un des
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, schémas. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; effectuer des conversions. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes sur des longueurs dont la résolution implique des conversions. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 blèmes sur les mesures de longueur dont la résolution va impliquer des conversions. » • Rappel sur les relations qui lient les mesures de longueur. • Consigne : « Combien y a-t-il de m dans 1 km ? (1 000) Combien y a-t-il de cm dans 1 m ? (100) Combien y a-t-il de mm dans 1 cm ? (10) » Les élèves répondent oralement. Les élèves ouvrent leur manuel à la page 36. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de faire découvrir une typologie de problèmes sur les distances du type : distance totale = distance A + distance B. Réponse : 7 500 + 3 500 = 11 000 m = 11 km Il parcourt 11 km avant midi. • B. L’objectif est de faire découvrir une typologie de problèmes sur les distances du type : distance B = distance totale – distance A. Réponse : 16 – 11 = 5 km Il lui reste 5 km à parcourir l’après-midi. • C. L’objectif est de faire découvrir une typologie de problèmes sur les distances du type : distance totale = distance d’un parcours × nombre de parcours. Réponses : 16 × 5= 80. En une semaine de travail, il parcourt 80 km. 16 × 23 = 368. En 23 jours de travail, il parcourt 368 km.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Différencier « chiffre » et « nombre » pour les nombres ≤ 99 999. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise Énoncer des nombres. Demander le chiffre des unités simples, des dizaines de mille, des centaines…, le nombre de milliers, le nombre de dizaines simples… Les élèves nomment ou écrivent le résultat et lèvent l’ardoise au signal de l’enseignant. ‹ Remarque : Les élèves peuvent s’aider d’un tableau de numération. Il sera au tableau et servira de support lors de la correction collective oralisée. À l’écrit, sur le cahier de mathématiques Énoncer : 72 694 « Quel est son chiffre des dizaines ? Quel est son nombre de dizaines ? Quel est son nombre de centaines ? Quel est son chiffre des dizaines de mille ? Quel est son nombre d’unités de mille ?… » Les élèves écrivent leurs réponses sur le cahier. La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u Temps 1 : Découvrir Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez résoudre des pro-
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• D. L’objectif est d’identifier les mots qui indiquent qu’il s’agit d’un problème sur les distances. Réponses : parcourir ; distance ; longueur ; m ; km.
Réponses : 160 + 120 = 280. Les 2 premières étapes ont une longueur totale de 280 km. 400 – 280 = 120. La 3e étape a une longueur de 120 km.
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les distances de type : – distance totale = distance A + distance B ; – distance B = distance totale – distance A ; – distance totale = distance d’un trajet × nombre de trajets. »
Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problème 1 : L’objectif est de résoudre un problème de type : distance totale = distance d’un trajet × nombre de trajets. Réponse : 2 × 3 = 6. L’avion fait 6 trajets par jour. 691 × 6 = 4 146. L’avion parcourt une distance totale de 4 146 km par jour. • Problème 2 : L’objectif est de résoudre un problème à étape de type : – distance totale = distance étape 1 + distance étape 2 ; – distance étape 3 = distance totale – distance des étapes 1 et 2.
‹ Remarque : Afficher un référent didactique. Les problèmes sur les distances • distance totale = distance A + distance B • distance B = distance totale – distance A • distance totale = distance d’un trajet × nombre de trajets Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problème de type « distance totale = distance A + distance B », proposer de commencer par les exercices A1, B1 et A4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problème de type « distance B = distance totale – distance A », proposer de commencer par les exercices A2, B2 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problème de type « distance totale = distance d’une étape × nombre d’étapes », proposer de commencer par les exercices A3, B3, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Différencier « chiffre » et « nombre » pour les nombres ≤ 99 999. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise Énoncer des nombres. Demander le chiffre des unités simples, des dizaines de mille, des centaines…, le nombre de milliers, le nombre de dizaines simples… Les élèves nomment ou écrivent le résultat et lèvent l’ardoise au signal de l’enseignant. À l’écrit sur le fichier de mathématiques Dire : « 60 239. Quel est son chiffre des centaines ? Quel est son nombre de centaines ? Quel est son nombre d’unités de mille ? Quel est son chiffre des dizaines de mille ? Quel est son nombre d’unités simples ? » Les élèves écrivent leurs réponses sur le cahier. La correction collective s’ensuit.
Correction des exercices :
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Parcours A : • A1. 299 + 394 = 693 ➝ distance totale : 693 km • A2. 4 000 – 1 500 = 2 500 ➝ distance manquante : 2 500 m • A3. 56 × 5 = 280 ➝ distance totale : 280 km • A4. 316 + 439 + 434 = 1 189 La distance totale du voyage est de 1 189 km. • A5. 250 × 12 = 3 000 La longueur totale de la course est de 3 000 m ou 3 km.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les distances de type : – distance totale = distance A + distance B ; – distance B = distance totale – distance A ; – distance totale = distance d’un trajet × nombre de trajets. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur les distances dont la résolution impliquera parfois des conversions. »
Parcours B : • B1. 1 345 + 425 = 1 770 m 89 + 73 = 162 km 2 650 m + 3 km = 2 650 m + 3 000 m = 5 650 m • B2. distance B : 120 – 80 = 40 km distance A : 2 500 – 1 450 = 1 050 m • B3. circuit A : 25 × 10 = 250 km circuit B : 17 × 15 = 255 km circuit C : 37 × 25 = 925 km
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
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• B4. 305 + 765 = 1 070. Il y a 1 070 km de Paris à Berlin. 1 644 – 1070 = 574. Le car doit encore parcourir 574 km de Berlin à Varsovie. • B5. 25 + 9 = 34. La piste mesure 34 km. 34 × 25 = 850. Le pilote doit parcourir 850 km.
• Schématisation Faire observer le schéma. Verbaliser la démarche à partir du schéma, puis la faire verbaliser par l’élève.
Longueur A
Longueur B
« Le schéma nous indique la longueur totale de 49 cm et la longueur A de 25 cm. Le point d’interrogation est placé au-dessus de la longueur B, ce qui veut dire que nous devons chercher la longueur B. Je regarde la longueur totale ; si j’enlève la longueur A que je connais (je la cache avec ma main, avec mon buvard…), il reste la longueur B. L’opération qui correspond à « j’enlève » est la soustraction. J’enlève la longueur A (25 cm) de la longueur totale (49 cm) : 49 – 25 = 24 La longueur B est de 24 cm. • Même démarche avec d’autres schémas en variant la recherche.
Difficultés à résoudre des problèmes de type « longueur totale = longueur A + longueur B » • Situation concrète. – Prendre 2 bâtonnets, 2 pailles, 2 bouts de laine, 2 fils de longueur différente… L’élève mesure chaque objet et écrit les mesures sur son ardoise. – Juxtaposer les 2 objets et demander à l’élève comment faire pour trouver la longueur totale. Faire verbaliser : « Pour connaître la longueur totale, je dois ajouter la longueur de la 1re paille et la longueur de la 2nde. » L’élève écrit l’opération.
Difficultés à identifier et schématiser un problème sur les distances de type : « distance totale = distance A + distance B » Exemple : « Tom part en car de Paris avec ses amis pour se rendre en colonie de vacances à Arcachon. Ils s’arrêtent piqueniquer à 280 km de Paris puis repartent et effectuent 355 km pour arriver à Arcachon. Quelle est la distance totale de Paris à Arcachon ? » Présenter le problème concrètement, puis schématiquement et de plus en plus abstraitement à l’élève. • Situation concrète mimée Matérialiser un point de départ et un point d’arrivée (bâton, panneau, drapeau…). Avec une petite voiture, simuler la situation en la faisant vivre à l’élève (mimer). Utiliser des bandes, de la laine… pour tracer les distances, puis schématiser la situation sur l’ardoise.
Paille 2 Longueur totale
• Schématisation. Faire observer le schéma. Verbaliser la démarche à partir du schéma, puis la faire verbaliser par l’élève. 15 cm 7 cm Longueur A
?
Longueur totale : 49 cm
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Paille 1
25 cm
Longueur B
Longueur totale ? « Sur le schéma, il y a une longueur A que je connais car sa mesure est écrite au-dessus : 15 cm. Il y a une longueur B que je connais car sa mesure est écrite au-dessus : 7 cm. Il y a la longueur totale avec un point d’interrogation. Cela veut dire que je dois chercher la longueur totale. La longueur totale, c’est la longueur A + la longueur B. J’additionne donc les 2 longueurs : 15 cm + 7 cm = 22 cm. La longueur totale est de 22 cm. » ‹ Remarque : On pourra demander à l’élève de suivre la longueur totale avec son doigt afin qu’il voie qu’il y a la longueur A et la longueur B qui suit.
PARIS
ARCACHON 280 km
315 km
Pique-nique Pique-nique
• Situation semi-concrète 280 km Ficelle
Difficultés à résoudre des problèmes de type : « longueur A = longueur totale – longueur B » « longueur B = longueur totale – longueur A » • Situation concrète Prendre une paille, de la laine, un fil… L’élève mesure la paille et écrit cette mesure sur son ardoise. L’enseignant coupe cette paille en 2 parties inégales. L’élève mesure un morceau et note sur l’ardoise : morceau n° 1 = … cm Demander : « Comment faire pour trouver la mesure du morceau n° 2 sans mesurer ? » Lui montrer et expliquer : « On a la paille entière. Si on enlève le morceau n° 1, il reste le morceau n° 2. » Faire rappeler que « retirer », « enlever », sont des actions qui correspondent à une soustraction. On enlève le morceau n° 1 de la paille entière. L’élève écrit la soustraction correspondante. • Renouveler cet exercice avec d’autres matériels et d’autres mesures en faisant varier la recherche : longueur A ou longueur B.
Départ
315 km Ficelle
Pique-nique
Arrivée
Distance totale ? • Schématisation 280 km
315 km Distance totale ?
Difficultés à identifier et schématiser un problème sur les distances de type : « distance A = distance totale – distance B » « distance B = distance totale – distance A » • Utiliser des bandes ou des ficelles pour matérialiser la situation comme précédemment. Faire jouer la scène tout en verbalisant la situation, puis schématiser et calculer. • Montrer à l’élève que, lorsque l’on enlève une distance A à la distance totale, il reste la distance B et vice versa. Couper la ficelle ou la bande de papier pour visualiser.
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Valeurs approchées Manuel de l’élève pages 38 et 39
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » – « Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers. » – « […] justifier et apprécier la vraisemblance d’un résultat. »
Cette leçon sur les valeurs approchées présente deux intérêts majeurs : – travailler avec les valeurs approchées permet de faire une estimation de l’ordre de grandeur d’un résultat ; c’est important pour vérifier la plausibilité d’un résultat, notamment lors de l’usage de la calculatrice ; – l’utilisation de la valeur approchée aura une grande utilité lors de la recherche du quotient probable dans la division par un nombre à deux chiffres. Ce point sera précisé lors de la leçon traitant de cette opération.
■ Programmes 2008 : – « Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. » ■ Objectif des séances : – Estimer une valeur approchée. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
u Temps 1 : Découvrir
Objectifs : Trouver et utiliser des stratégies de calcul pour additionner 2 nombres.
Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ce qu’est une valeur approchée et à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Lorsque l’on ne possède pas de calculatrice et que l’on veut connaître un total, on arrondit les nombres pour avoir un ordre de grandeur du résultat. Par exemple, lorsque vos parents font des courses et qu’ils souhaitent avoir un ordre d’idée du prix total qu’ils vont payer, ils calculent mentalement en arrondissant les prix. Le résultat leur donnera un ordre de grandeur de ce qu’ils vont devoir payer. » • Les élèves ouvrent leur manuel à la page 38. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment calculer mentalement 57 + 40. » Les élèves rappellent la stratégie : ajouter 4 d aux 5 d de 57. • Consigne 2 : « Comment ajouter 11, 21, 31… ? » Les élèves rappellent la stratégie : pour ajouter 11, on ajoute 10, puis 1. Pour ajouter 21, on ajoute 20 (2 d), puis 1… • Consigne 3 : « Comment additionner 26 + 12 ? » Les élèves exposent leur stratégie. Proposer d’ajouter les unités, puis les dizaines dans le cas d’une addition sans retenue. • Consigne 4 : « Comment additionner 38 + 29 ? » Les élèves exposent leur stratégie. Proposer d’ajouter 30, puis d’enlever 1. • Consigne 5 : « Comment ajouter 46 + 27 ? » Proposer plusieurs stratégies ; les élèves utiliseront celle qui leur convient le mieux : – 46 + 27 → 46 c’est 50 – 4 ; on ajoute 50 + 27 et on retire 4 ; 77 – 4 = 73 donc 46 + 27 = 73 ; – 46 + 27 → 27 c’est 30 – 3 ; on ajoute 46 + 30 et on retire 3 ; 76 – 3 = 73 donc 46 + 27 = 73 ; – 46 + 27 → 4 d + 2 d = 6 d ; 6 u + 7 u = 13 u soit 1 d qu’on ajoute aux 6 d et 3 u ; donc 46 + 27 = 73. Les élèves sortent leur ardoise. Énoncer : 15 + 23 ; 46 + 33 ; 27 + 15… Les élèves lèvent l’ardoise au signal de l’enseignant. Les stratégies utilisées sont oralisées lors de la correction.
• A. L’objectif est d’estimer la valeur approchée d’un nombre. Réponses : – valeur approchée de l’armoire : 600 € ; – valeur approchée de la commode : 300 € ; – valeur approchée des 3 meubles : 500 + 600 + 300 = 1 400 € La valeur approchée des 3 meubles est de 1 400 €.
À l’écrit, sur le cahier de mathématiques Énoncer : 34 + 25 ; 71 + 28 ; 27 + 39… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
• C. L’objectif est de calculer le montant exact des sommes à régler pour les achats dans les 2 magasins et de les comparer à l’ordre de grandeur des estimations faites précédemment afin de prendre conscience que la valeur approchée est au plus
• B. L’objectif est d’estimer la valeur approchée d’un nombre à la centaine près. Réponses : – lit : 300 € ; commode : 200 € ; armoire : 500 € – valeur totale approchée des 3 meubles : 300 + 200 + 500 = 1 000 €
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près du résultat exact, ce qui donne un ordre de grandeur des sommes à payer. Réponses : magasin n° 1 : 1 385 € ; magasin n° 2 : 1 020 €
• Exercice 3 : L’objectif est d’identifier le résultat d’une somme, d’une différence et d’un produit à partir du calcul de la valeur approchée des nombres donnés. Réponses : 1 999 + 2 989 = 4 988 ; 301 – 199 = 102 ; 498 × 5 = 2 490 • Exercice 4 : L’objectif est de calculer la valeur approchée d’une somme, d’une différence et d’un produit de 2 nombres. Réponses : 799 + 298 : valeur approchée : 800 + 300 = 1 100 596 – 405 : valeur approchée : 600 – 400 = 200 299 × 4 : valeur approchée : 300 × 4 = 1 200 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris ce qu’est une valeur approchée et à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » Lire la rubrique « Retenir ».
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’identifier la valeur approchée d’un nombre donné parmi plusieurs réponses. Réponses : 59 → 60 ; 685 → 700 ; 2 190 → 2 000 • Exercice 2 : L’objectif est de trouver la valeur approchée d’un nombre. Réponses : 79 → 80 ; 397 → 400 ; 1 199 → 2 000 ; 69 198 → 70 000
Séance 2 commencer par les exercices A3, A4, B4, B3, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Trouver et utiliser des stratégies de calcul pour additionner 2 nombres. Travail collectif oral et individuel écrit
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 79 → 80 ; 89 → 90 ; 899 → 900 ; 6 969 → 7 000 • A2. 91 → 90 ; 902 → 900 ; 2 127 → 2 000 ; 1 032 → 1 000 • A3. 399 + 695 = 1 094 ; 803 + 310 = 1 113 ; 3 999 – 2 985 = 1 014 ; 5 010 – 1 032 = 3 978 ; 99 × 5 = 495 • A4. 3 005 est proche de 3 000 ; 2 999 est proche de 3 000. Le total approché est de 6 000. • A5. 69 est proche de 70 ; 71 est proche de 70 ; 89 est proche de 90 ; 101 est proche de 100 ; 99 est proche de 100. 70 + 70 + 90 + 100 + 100 = 430. Le total approché est de 430 animaux. L’étable ne sera pas assez grande.
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise Énoncer : 35 + 15 ; 48 + 22 ; 57 + 2… Les élèves donnent oralement le résultat ou l’écrivent sur l’ardoise qu’ils lèvent au signal de l’enseignant. À l’écrit sur le cahier de mathématiques Énoncer : 63 + 14 ; 55 + 39 ; 50 + 83… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier de mathématiques.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif
Parcours B : • B1. 79 à la dizaine près → 80 ; 98 à la dizaine près → 100 ; 899 à la centaine près → 900 ; 684 à la centaine près → 700 ; 4 992 au millier près → 5 000 ; 6 910 au millier près → 7 000 ; 68 999 à la dizaine de mille près → 70 000 ; 87 778 à la dizaine de mille près → 90 000 • B2. 81 à la dizaine près → 80 ; 62 à la dizaine près → 60 ; 704 à la centaine près → 700 ; 910 à la centaine près → 900 ; 4 132 au millier près → 4 000 ; 9 198 au millier près → 9 000 ; 81 980 à la dizaine de mille près → 80 000 ; 73 672 à la dizaine de mille près → 70 000 • B3. 601 + 3 021 → résultat approché : 3 600 29 998 + 19 994 → résultat approché : 50 000 9 043 – 2 999 → résultat approché : 6 000 6 987 – 4 045 → résultat approché : 3 000 398 × 7 → résultat approché : 2 800 • B4. filet d’oranges 2 € 99 → 3 € ; boîte de haricots verts 2 € 95 → 3 € ; paquet de café 2 € 90 → 3 € ; filet de 3 kg de tomates 5 € 99 → 6 € 3 + 3 + 3 + 6 = 15 € Toutes les valeurs approchées sont un peu plus grandes que les prix réels. Donc 15 € seront suffisants. • B5. 298 + 298 + 298 + 210 Calcul approché : 300 + 300 + 300 + 200 = 1 100 Il a besoin d’environ 1 100 m de grillage.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris ce qu’est une valeur approchée et à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur ces nouvelles connaissances. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur les valeurs approchées d’un nombre, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur l’approximation d’un résultat, proposer de
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100 × 10 = 1 000 Il a acheté 1 000 m de grillage. Il n’a pas acheté assez de rouleaux de grillage.
– 6 / 60 / 600 / 6 000 ; – 10 / 30 / 60 / 90 ; – 50 / 60 / 70. » Difficultés à trouver l’ordre de grandeur d’un résultat • Travailler les pistes précédentes. • Travailler sur « ajouter et retrancher » des dizaines, des centaines entières (cf. connaissances étudiées en calcul mental). Exemple 1 : « Dans sa boîte à perles, Luna a 48 perles bleues, 32 perles rouges, 89 perles blanches et 27 perles orange. Trouve le nombre total de perles de Luna. » Faire verbaliser toute la démarche : 1) On cherche la valeur approchée de chaque nombre : 48 → 50 ; 32 → 30 ; 89 → 90 ; 27 → 30. 2) On additionne les dizaines entre elles : 5 d + 3 d + 9 d + 3 d = 20 d = 200 u Luna a environ 200 perles. Exemple 2 : « Dans la vitrine de la confiserie, il y a 198 réglisses, 202 sucettes et 413 nounours. Combien y a-t-il de confiseries en tout ? » Faire verbaliser toute la démarche : 1) On cherche la valeur approchée de chaque nombre : 198 → 200 ; 202 → 200 ; 413 → 400. 2) On additionne les centaines entre elles : 2 c + 2 c + 4 c = 8 c = 800 u. Il y a environ 800 bonbons dans la vitrine.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier la valeur approchée d’un nombre • Expliquer que la valeur approchée d’un nombre se termine toujours par un 0 ; c’est un nombre « rond ». • Donner des nombres très proches d’une dizaine entière ou d’une centaine entière. Faire identifier cette dizaine ou cette centaine entière. Exemples : 58 → 60 ; 42 → 40 ; 399 → 400 ; 805 → 800… • Expliquer que, lorsque le chiffre des unités est < 5, on arrondit au-dessous, et que lorsque le chiffre des unités est > 5, on arrondit au-dessus. Exemples : 43 → 40 ; 68 → 70… • Faire trouver une valeur approchée dans une liste de nombres. Commencer par proposer de grands écarts entre les nombres de la liste, puis resserrer progressivement. Consigne : « Trouve parmi ces propositions la valeur approchée de 59 :
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Méthodologie: les problèmes sous différentes formes Manuel page 40
Commentaires pédagogiques Un énoncé de problème peut prendre différentes formes : un texte (forme la plus courante), un dessin, un tableau, un graphique, etc. Au cours de cette séance, l’élève sera amené à repérer les informations sous les différentes formes possibles, puis à les structurer.
– « Savoir organiser des informations numériques, justifier et apprécier la vraisemblance d’un résultat. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Interpréter un tableau ou un graphique. » – « Construire un tableau ou un graphique. »
■ Socle commun (palier 2) : – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et en faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, schémas… »
■ Objectifs de la séance : – Présenter un problème sous différentes formes et le résoudre. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
L’objectif général est de faire prendre conscience aux élèves qu’un même problème peut se présenter sous diverses formes. Ici, le même problème est présenté sous la forme d’un dessin et d’un tableau. C’est à partir de ces 2 supports que les élèves devront écrire le problème sous la forme d’un texte avec une question, présentation la plus connue.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Résoudre des problèmes simples énoncés oralement. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 15 min
• A. L’objectif est de découvrir qu’un dessin peut devenir énoncé de problème : il suffit d’ajouter une question qui implique un calcul.
À l’écrit sur l’ardoise et à l’oral • Consigne : « J’énonce un problème. Vous écrivez l’opération en ligne et la réponse sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer :
‹ Remarque : Insister sur la question d’un problème mathématique. Pour que l’énoncé soit un problème mathématique, il faut qu’il y ait quelque chose à chercher ; on ne peut pas donner la réponse d’emblée. Par exemple, ici, la question « Combien coûte la chemise bleue ? » n’est pas une question de problème puisque la réponse est dans l’énoncé (dans le dessin).
– Problème 1 : Sasha a 38 €. Elle voudrait s’acheter une veste à 52 €. Combien lui manque-t-il pour s’acheter la veste ? – Problème 2 : Un amateur d’oiseaux compte les oiseaux du lac de Noiraud : 405 grues, 149 hérons et 112 cygnes. Donne un ordre de grandeur du nombre total d’oiseaux du lac de Noiraud.
Réponses : Achille a présenté son problème sous la forme d’un dessin. Question : Combien a-t-il payé au total ? (15 × 3) + (8 × 3) = 45 + 24 = 69 Il a payé 69 €.
– Problème 3 : Hier, il y avait 290 spectateurs au cinéma. La salle peut contenir 500 places. Combien y avait-il de places vides hier soir ?
‹ Remarque : Certains enfants pourront choisir d’autres questions de problèmes que l’on acceptera. Exemples : « Combien coûtent les 3 paires de chaussettes ? » ; « Combien coûte l’achat de 2 chemises ? » ; etc.
La correction collective orale suit chaque problème.
Travail dans le manuel
• B. L’objectif est de résoudre le même problème présenté sous la forme d’un tableau (bon de commande). Réponses :
u Temps 1 : Découvrir Travail individuel ou par binômes écrit et collectif oral
Durée : 25 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à lire et à représenter un problème sous différentes formes et le résoudre. » • Les élèves ouvrent leur manuel à la page 40. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binômes (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Chemises Paires de chaussettes Total général
Prix à l’unité 15 8
Nombre
Prix total
3 3
45 24 69
C. L’objectif est de rédiger ce problème sous la forme d’un texte avec une question de problème. Réponse possible : J’ai acheté 3 chemises à 15 € l’une et 3 paires de chaussettes à 8 € la paire. Combien ai-je dépensé ?
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u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
Difficultés à résoudre un problème sous une autre forme que le texte • Utiliser un tableau simple connu des élèves et en faire un énoncé de problème. Par exemple, utiliser les tableaux des présents, les tableaux des élèves qui déjeunent à la maison ou à la cantine, des bons de commande… • Faire raconter l’histoire du problème présenté sous forme de dessin, de schéma, de tableau. • Faire rédiger un énoncé de problème identique à un problème donné sous une autre forme. • Donner 2 problèmes présentés sous différentes formes (chaque problème sera présenté sous forme d’un texte, d’un schéma, d’un dessin…). Les mélanger. Les élèves doivent retrouver le même problème présenté différemment. • Utiliser des tableaux, des graphiques, des schémas pris dans les livres de géographie par exemple. • Lors des activités de résolution de problèmes, varier les présentations des énoncés : une même compétence sera travaillée mais les supports donnés aux élèves seront différents : un texte, un dessin, un schéma…
• Problème : L’objectif est de présenter sous la forme d’un tableau un problème proposé sous la forme d’un dessin et d’un texte (menu) et de le résoudre. Réponse : Prix
Nombre
Prix total
Salade de tomates
5
4
20
Terrine de lapin
6
2
12
Steak
10
4
40
Filet de lieu
12
2
24
Tarte aux pommes
8
1
8
Crème flambée
6
5
30
TOTAL
134
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à lire et à représenter un problème sous différentes formes et à le résoudre. » Lire la rubrique « Retenir ».
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Bilan (2) Manuel page 41
Commentaires pédagogiques – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres, les mesures. »
Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, encadrer et ranger ces nombres. » – « Calculer mentalement des sommes. » – « Mémoriser et mobiliser les tables d’addition. » – « Effectuer un calcul posé : addition, soustraction, multiplication. » – « Reconnaître que des droites sont parallèles. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites parallèles, droite… » – « Connaître les unités de mesure et les relations qui les lient. » – « Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat. » – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Construire un tableau. »
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; effectuer des conversions. » – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le manuel de mathématiques, le cahier de mathématiques, les outils de la géométrie.
• Exercice 2 : L’objectif est de comparer des nombres à 6 chiffres écrits sous diverses formes avec les signes ou =. Réponses : 217 299 < 318 110 ; 56 792 < 69 212 ; 28 491 < 20 000 + 8 000 + 500 + 10 + 8 74 976 = 70 000 + 4 000 + 900 + 60 + 16 500 000 + 80 000 + 600 + 9 > 90 000 • Exercice 3 : L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant des nombres à 6 chiffres. Réponses : 596 329 < 598 745 < 678 456 < 681 234 • Exercice 4 : L’objectif est de poser et de calculer des multiplications en colonnes en utilisant la technique opératoire étudiée. Réponses : 57 × 21 = 1 197 63 × 43 = 2 709 86 × 67 = 5 762 • Exercice 5 : L’objectif est d’effectuer des conversions de mesures de masse. Réponses : 1 kg = 1 000 g ; 1 T = 1 000 kg ; 8 000 g = 8 kg ; 7 500 kg = 7 T et 500 kg • Exercice 6 : L’objectif est d’additionner des mesures de masse données dans des unités différentes. Réponses : 5 kg + 3 600 g = 8 600 g 5 000 g + 2 kg = 7 kg 100 g + 5 kg = 5 kg et 100 g 13 T + 8 000 kg = 21 T • Exercice 7 : L’objectif est de comparer des mesures de masse données dans des unités différentes avec les signes ou =. Réponses : 680 g < 3 kg ; 2 T > 800 kg ; 11 kg < 11 000 kg ; 7 T = 7 000 kg
Travail préparatoire u Temps 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral Durée : 5 min Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u Temps 2 : Calcul mental
Durée : 15 min Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : – Écrivez le résultat de : 9 × 20 ; 6 × 30 ; 7 × 50 ; 80 × 2 ; 98 × 10. – Écrivez le résultat de : 7 × 3 ; 9 × 7 ; 3 × 4 ; 2 × 5 ; 6 × 6 ; 9 × 8 ; 4 × 6 ; 8 × 3 ; 5 × 9 ; 7 × 7. – Écrivez le résultat de : 24 + 26 ; 81 + 27 ; 49 + 39 ; 52 + 31 ; 88 + 29.
Travail dans le manuel Travail individuel écrit Durée : 45 min Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure qu’elles sont comprises par tous les élèves. • Exercice 1 : L’objectif est de lire des nombres ≤ 999 999 écrits en lettres ou en chiffres et de les écrire en chiffres ou en lettres. Réponses : trente-cinq mille six cent trente-six ; sept cent cinquante-quatre mille huit cent soixante-treize ; 126 312 ; 95 821 ; 70 250 ; 802 704
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• Exercice 11 : L’objectif est d’estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Réponses : 299 + 304 est proche de 600. 498 + 597 + 105 est proche de 1 200.
• Exercice 8 : L’objectif est de décrire un rectangle en utilisant ses propriétés. Réponses : AB = CD et AD = BC AB est parallèle à CD et AD est parallèle à BC. Les angles A, B, C et D sont des angles droits. Le quadrilatère ABCD est un rectangle.
• Exercice 12 : L’objectif est de comprendre un énoncé de problème rédigé sous la forme d’un texte et d’organiser ses informations pour le présenter sous la forme d’un tableau. Réponses :
• Exercice 9 : L’objectif est de résoudre un problème sur les mesures de longueur en s’appuyant sur les formules de calcul étudiées. Réponses : a) 781 – 685 = 96 Il reste 96 km à parcourir. b) 685 × 12 = 8 220 La distance parcourue en 12 tours est de 8 220 m.
Prix unitaire
Nombre
Prix total
Sorties
75 E
2
150 E
Livres
9E
10
90 E
Jeux
10 E
10
100 E
2E
20
40 E
TOTAL
380 E
Dépenses
• Exercice 10 : L’objectif est de trouver la valeur approchée de nombres donnés à la centaine près, à la dizaine près ou millier près. Réponses : 199 → 200 ; 2 015 → 2 000 ; 79 → 80
Cerceaux
La coopérative a dépensé 380 €.
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Deuxième période
19
Les nombres jusqu’à 999 999 999 (1) Manuel de l’élève pages 42 et 43
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. »
L’étude des nombres se poursuit ici sur le même principe que le travail sur les nombres jusqu’à 999 999. Le tableau de numération sera d’une aide très précieuse pour la quasi-totalité des élèves de la classe, et particulièrement pour les nombres ayant un ou des zéros intercalés. Les nombres étant d’une grande longueur, le travail de mémorisation du nombre lu devient de plus en plus difficile. Parvenir à transcrire en chiffres le nombre écrit en lettres nécessitera plusieurs étapes de mémorisation : lecture/mémorisation de la classe des millions suivie de son écriture, lecture/mémorisation de la classe des mille suivie de son écriture, et lecture/mémorisation de la classe des unités simples suivie de son écriture. Ces difficultés et ces étapes successives doivent conforter les élèves dans la nécessité de bien séparer chaque classe par un espace, condition indispensable pour que le nombre puisse être lu.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. » ■ Objectifs des séances : – Écrire, nommer, comparer et ranger les nombres ≤ 999 999 999. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire des nombres à 9 chiffres écrits en lettres, puis de les écrire en chiffres en utilisant le tableau de numération. Réponses : France : 66 417 591 habitants États-Unis : 315 664 470 habitants • B. L’objectif est de travailler la numération de position. Les nombres donnés sous la forme « y dizaines de millions, x centaines de millions, etc. » doivent être écrits en chiffres en prenant soin de laisser un espace entre les classes. Réponses : Mexique : 112 millions 336 mille 538 Allemagne : 81 millions 923 mille • C. L’objectif est de trouver une démarche pour comparer des nombres à 9 chiffres. Réponse : C’est José qui a raison car, pour comparer des nombres à 9 chiffres, on commence par comparer les millions. 192 376 496 (Brésil) > 143 056 383 (Russie) > 127 650 000 (Japon)
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Organiser ses calculs pour additionner plusieurs nombres. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Comment calculer le plus facilement possible la somme 5 + 23 + 15 sans poser l’opération ? » Laisser les élèves exposer leurs stratégies. Proposer : regrouper 2 nombres pour constituer une dizaine entière. (5 + 15) + 23 → 20 + 23 = 43 • Consigne 2 : « Vous allez calculer les additions suivantes sans les poser en essayant de regrouper 2 nombres pour constituer une dizaine entière. » Écrire au tableau : 16 + 20 + 14 ; 11 + 27 + 9 ; 28 + 19 + 2… Les élèves répondent oralement ou sur l’ardoise. À l’écrit, sur le cahier de mathématiques • Écrire : 9 + 12 + 1 ; 13 + 18 + 7 ; 4 + 25 + 16 ; 15 + 3 + 5 ; 6 + 29 + 14 Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction collective s’ensuit. La démarche est verbalisée.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire en chiffres un nombre à 9 chiffres donné en lettres. Réponse : 204 754 881 • Exercice 2 : L’objectif est de travailler la numération de position et d’écrire en chiffres un nombre donné sous la forme « x centaines, y dizaines et z unités ». Réponse : 316 589 417 • Exercice 3 : L’objectif est de comparer des nombres à 9 chiffres en utilisant les signes < et >. Réponses : 546 645 900 > 456 876 890 ; 234 654 312 > 199 999 999 ; 67 987 341 < 254 098 896
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à écrire, nommer et comparer des nombres à 9 chiffres ». Les élèves ouvrent leur manuel à la page 42. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation.
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En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à écrire, nommer et décomposer les nombres jusqu’à 999 999 999. »
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 ‹ Remarque : Donner la possibilité aux élèves d’utiliser le tableau de numération.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 64 625 357 / 264 938 745 / 922 669 837 • A2. 803 640 643 / 958 530 321 • A3. a) 648 723 826 ; b) 983 249 210 • A4. 67 876 391 < 141 211 102 453 768 132 > 399 654 739 354 876 982 > 298 111 032 • A5. Mercure est la planète la plus proche du Soleil à 58 000 000 km Jupiter est la planète la plus éloignée du Soleil à 778 000 000 km. Dans l’ordre, de la plus proche à la plus éloignée du Soleil : Mercure / Vénus / Terre / Mars / Jupiter. Parcours B : • B1. 675 363 878 / 287 679 183 / 99 887 375 • B2. 801 409 603 / 930 201 640 • B3. a) 13 728 847 ; b) 109 640 027 • B4. 999 999 < 1 000 000 456 745 192 < 491 112 324 673 894 561 > 671 989 879 • B5. – La France a 66 417 591 habitants. L’Espagne, l’Italie et le Royaume-Uni ont moins d’habitants que la France. – Le Mexique a 112 336 538 habitants. Le Japon, la Russie et le Brésil ont plus d’habitants que le Mexique. – Ordre croissant de population : Espagne, Italie, Royaume-Uni, Japon, Russie, Brésil.
Objectif : Organiser ses calculs pour additionner plusieurs nombres. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « Vous allez calculer mentalement les sommes que je vais écrire au tableau. » Écrire : 27 + 50 + 3 ; 31 + 12 + 9 ; 25 + 21 + 15… Les élèves répondent oralement ou sur l’ardoise. À l’écrit, sur le cahier de mathématiques • Écrire : 64 + 8 + 6 ; 7 + 24 + 33 ; 51 + 12 + 9 ; 2 + 35 + 68 ; 15 + 7 + 55… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit. La démarche est verbalisée.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire, nommer et comparer des nombres à 9 chiffres. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire, écrire et comparer des nombres ≤ 999 999 999. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture et l’écriture des nombres ≤ 999 999 999, proposer de commencer par les exercices A1, A3, B1, B3, A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des nombres ≤ 999 999 999 ayant des zéros, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison des nombres ≤ 999 999 999, proposer de commencer par les exercices A4, B4, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Difficultés à lire et à écrire des nombres à 9 chiffres • Écrire un nombre à 9 chiffres. Cacher les centaines de millions, les dizaines de millions, les unités de millions, les centaines de mille, les dizaines de mille, les unités de mille, les centaines simples et les dizaines de la classe des unités simples. Découvrir petit à petit les chiffres et lire le nombre correspondant. Exemple : 654 865 879. L’élève ne voit que le 9 ; il le lit. Découvrir les 7 d ; l’élève lit ce nouveau nombre 79. Découvrir 8 c ; lecture du nouveau nombre 879. Découvrir les 5 unités de mille ; l’élève lit le nouveau nombre 5 879. Découvrir les 6 dizaines de mille ; l’élève lit le nombre ; etc. Ce nombre pourra être écrit dans un tableau de numération. Rappeler que le nombre écrit hors du tableau doit avoir un espace entre chaque classe. Faire remarquer que l’on entend le « nombre de millions » et « le nombre de mille » lorsque l’on prononce un nombre à 9 chiffres.
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Exemple : 803 298 395 : « 803 millions, 298 mille trois cent quatre-vingt-quinze » • Donner un nombre sous la forme « x centaines de millions, y dizaines de millions, z unités de millions, etc. » L’élève complète le tableau de numération, écrit le nombre hors du tableau et le lit. • Nommer un nombre à 9 chiffres. L’élève le place sur les abaques (numération positionnelle). • Placer des jetons sur les abaques. L’élève lit le nombre.
as 101 432 248. 132 548 357 > 101 432 248, donc je prends les 2 cartes. » Celui qui gagne est celui qui a le plus de cartes à la fin de jeu. Difficultés à ordonner des nombres à 9 chiffres dans l’ordre croissant ou décroissant • Proposer des exercices progressifs en verbalisant la démarche pas à pas. Exemple de progression : – ordonner 3 nombres qui ont un nombre de chiffres différent ; – ordonner 3 nombres dont 2 ont le même nombre de chiffres ; – ordonner 3 nombres qui ont tous le même nombre de chiffres mais un chiffre des centaines de millions différent ; – ordonner 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres. 2 de ces nombres ont le même chiffre des centaines de millions ; – ordonner 3 nombres qui ont le même nombre de chiffres, le même chiffre des centaines de millions et de dizaines de millions ; – etc.
Difficultés à comparer des nombres à 9 chiffres • Faire comparer 2 nombres terme à terme. Commencer par 2 nombres ayant un nombre différent de centaines de millions. • Faire de même avec 2 nombres qui ont le même nombre de centaines de millions mais un chiffre des dizaines de millions différent. • Jeu de bataille. Sur des cartons, écrire en chiffres des nombres à 9 chiffres, puis jouer à la bataille. L’élève qui remporte les 2 cartes justifie à chaque fois : « J’ai 132 548 357, tu
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Le cercle Manuel de l’élève pages 44 et 45
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : centre d’un cercle, rayon, diamètre. » – « Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. » – « Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat. »
• La notion de « cercle » a déjà été abordée au CE2. Elle ne présente pas de difficulté particulière. Cette année, les élèves devront retrouver le rayon à partir de la seule mesure du diamètre. • On veillera à ce que le cercle soit nommé par son centre et par son rayon. • L’élève sera habitué à prendre précisément l’écartement des branches du compas à l’aide de sa règle graduée.
■ Objectifs des séances : – Tracer un cercle. – Découvrir et utiliser le vocabulaire : centre, rayon et diamètre.
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’enseignant : le compas du tableau, la règle graduée du tableau ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, un compas, une règle graduée.
Séance 1 Vous allez apprendre les relations qui lient le rayon et le diamètre d’un cercle. » • Les élèves ouvrent leur manuel à la page 44. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer mentalement l’ordre de grandeur du résultat d’une somme ou d’une différence. Travail collectif oral et individuel écrit sur l’ardoise
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise et à l’oral • Consigne 1 : « Vous avez appris à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Rappelez-moi comment faire. » Laisser les élèves rappeler la démarche. Réponse attendue : « On utilise les valeurs approchées des nombres pour avoir un ordre de grandeur du résultat. La valeur approchée d’un nombre est un nombre rond qui se termine par un 0. »
• A. L’objectif est de découvrir qu’un cercle peut avoir plusieurs rayons qui partent tous d’un même point nommé « centre du cercle » et qu’ils ont la même mesure. Réponses : – Les communes de Mugnes, Missac, La Justice et Le Cercle sont toutes à la même distance du village de Levain. – C’est Baroy. – C’est La Borne.
• Consigne 2 : « J’énonce des additions ou des soustractions à calculer mentalement. Vous devrez trouver l’ordre de grandeur du résultat parmi les propositions écrites au tableau. » Énoncer : 41 + 59 Écrire au tableau : 10 / 100 / 1 000 La correction s’ensuit avec verbalisation : « La valeur approchée de 41 est 40 ; la valeur approchée de 59 est 60 ; 40 + 60 = 100, donc l’ordre de grandeur du résultat est 100, ce qui veut dire que le résultat exact sera proche de 100. »
‹ Remarque : On attendra le CM2 pour dire qu’un cercle possède une « infinité de rayons ». • B. L’objectif est d’identifier et de différencier des rayons et des diamètres de cercles différents. Réponses : – Départ : Le Cercle – 1er arrêt : Terroir – 2e arrêt : Mugnes – 3e arrêt : Le Venteau – 4e arrêt : Bel Écrin – Arrivée : Levain
• Faire de même avec : 158 + 38 ; 201 – 198 ; 499 + 307…
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Travail individuel ou par binôme écrit
Travail individuel écrit
et collectif oral
Durée : 35 min
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ou revoir comment on trace un cercle. Vous allez découvrir et utiliser le vocabulaire qui se rapporte au cercle : centre, rayon, diamètre.
• Exercice 1 : Le 1er objectif est de tracer un cercle sur papier pointé à partir de la mesure d’un rayon donné. Le 2nd objectif
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‹ Remarque : Afficher un référent didactique.
est de tracer un diamètre de ce cercle nommé AB et d’en donner la mesure. Réponse : diamètre = 14 cm ‹ Remarque : Rappeler que la mesure du rayon est donnée par l’écartement du compas. On l’obtient en le mesurant sur la règle. le 0 de la règle
centre du cercle
ray on
Le cercle
diamètre
0 1 2 3 4
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à tracer des cercles avec le compas. Nous avons appris que le rayon est la mesure qui part du centre du cercle à un point du cercle. Il y a plusieurs rayons dans un cercle. Nous avons appris qu’un rayon est la moitié d’un diamètre. »
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la mesure de l’écartement
• Exercice 2 : L’objectif est de tracer un cercle sur papier uni à partir de la mesure donnée par le diamètre et donc d’en calculer son rayon. Réponse : rayon = 6 cm
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le tracé de cercles, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1, B2, A4 et A3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer mentalement l’ordre de grandeur du résultat d’une somme ou d’une différence. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Consigne : « J’énonce des additions ou des soustractions à calculer mentalement. Vous devrez donner un ordre de grandeur du résultat. » Énoncer : 82 – 49 La correction s’ensuit avec verbalisation : « La valeur approchée de 82 est 80 ; la valeur approchée de 49 est 50 ; 80 – 50 = 30 ; donc l’ordre de grandeur du résultat est 30. Le résultat exact sera proche de 30. »
Correction des exercices : Exercices de reproduction et de tracés à corriger par l’enseignant. Parcours A : • A1. diamètre = 10 cm • A2. rayon = 6 cm
• Faire de même avec d’autres sommes et d’autres différences. La correction collective suit chaque opération donnée.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à tracer des cercles avec le compas. Nous avons appris que le rayon est la mesure qui part du centre du cercle à un point du cercle. Il y a plusieurs rayons dans un cercle. Nous avons appris qu’un rayon est la moitié d’un diamètre. »
Difficultés à utiliser le compas ‹ Remarque : Il est impératif que les élèves possèdent du bon matériel ; tracer des cercles en début d’apprentissage avec un compas de mauvaise qualité ne permet pas une bonne manipulation et augmente les difficultés de traçage. • Faire manipuler le compas en traçant de grands cercles sur papier uni, l’outil étant alors plus facile à utiliser. • Faire de même avec des cercles plus petits. • Tracer des cercles à partir d’un point donné (centre du cercle) et d’un rayon donné assez grand (au moins 5 cm de rayon).
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à tracer des cercles sur papier quadrillé et/ou uni. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Difficultés à différencier rayon et diamètre • S’appuyer sur le référent didactique affiché au mur de la classe (voir Séance 1).
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
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Les mesures de capacité Manuel de l’élève pages 46 et 47
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Connaître et utiliser les unités du système métrique pour les contenances et leurs relations. » – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. »
Le litre est l’unité légale de capacité. Cette leçon va permettre de renforcer la connaissance du litre et du centilitre, les deux unités déjà étudiées au CE2, et d’introduire le décilitre et le millilitre. Si le décilitre est d’usage peu courant, il permet pourtant d’utiliser un tableau de conversions complet et va ainsi permettre de donner du sens à l’échange « 1 L contre 100 cL ».
■ Objectif des séances : – Connaître les mesures de capacité : L, dL, cL, mL et les relations qui les lient.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesures ; effectuer des conversions. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Réponses : 1 L = 50 cL × 2 → 1 L = 100 cL 1 L = 5 dL × 2 → 1 L = 10 dL • C. L’objectif est de découvrir les relations qui lient le L et le mL. Réponses : 1 L = 20 cL × 5 → 1 L = 100 cL 1 L = 200 mL × 5 → 1 L = 1 000 mL • D. L’objectif est de comparer des mesures de capacité données dans des unités de mesure différentes. Les élèves devront appliquer ce qu’ils ont déjà découvert pour comparer les mesures de longueur et de masse, à savoir écrire toutes les mesures dans la même unité avant de comparer. Réponses : 500 mL < 1 L ; 1 L > 75 cL ; 10 dL = 1 L ; 1 dL < 1 000 mL ; 75 cL > 1 dL
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur les tables de multiplication de 2 à 9. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une multiplication des tables de 2 à 9. Vous écrivez le résultat sur l’ardoise. » Énoncer : 3 × 9 ; 7 × 7 ; 6 × 9 ; 3 × 4 ; 2 × 5… Les élèves écrivent sur leur ardoise le résultat et la lèvent au signal de l’enseignant. La correction orale est immédiate après chaque multiplication énoncée.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une multiplication des tables de 2 à 9. Vous écrivez le résultat. » Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
Travail individuel écrit Durée : 15 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de convertir des mesures de capacités dans les unités demandées. Réponses : 2 L = 200 cL 3 dL = 30 cL 4 dL = 40 cL 900 cL = 90 dL 5 cL = 50 mL 700 dL = 70 L 4 L = 4 000 mL 90 dL = 900 cL 5 dL = 500 mL 6 000 mL= 6L 8 cL = 80 mL 4 000 mL = 40 dL 7 L = 700 cL 800 mL = 80 cL 800 cL = 8 L 950 mL = 95 cL • Exercice 2 : L’objectif est de convertir des mesures de capacité dans la même unité pour pouvoir les additionner. Réponses : 5 L + 75 cL = 500 cL + 75 cL = 575 cL 400 cL + 60 dL + 2 L = 4 L + 6 L + 2 L = 12 L • Exercice 3 : L’objectif est de convertir des mesures de capacité dans la même unité pour pouvoir les comparer. Réponses : 7 L > 45 dL 145 mL < 95 cL ‹ Remarque : Les élèves pourront s’aider du tableau des mesures de capacité. Un référent didactique sera construit et affiché au mur de la classe avec les autres affichages mathématiques.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre les mesures de capacité et les relations qui les lient, les conversions. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 46. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de déterminer la capacité et l’unité de grandeur adaptées à une situation donnée. Réponses : A : 5 L ; B : 100 L ; C : 5 cL ; D : 1 L ; E : 50 cL • B. L’objectif est de découvrir les relations qui lient le L et le dL, ainsi que le L et le cL.
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En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris les mesures de capacité et les relations qui les lient et à convertir des mesures de capacité. » Lire la rubrique « Retenir ».
Les mesures de capacité 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL Le tableau des mesures de capacité L
dL
cL
mL
Séance 2 exercices A3, A4, B3 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison des mesures de capacité données sous différentes unités, proposer de commencer par les exercices A6 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’addition de mesures de capacité données dans des unités différentes, proposer de commencer par les exercices A5, B5, A6 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur les tables de multiplication de 2 à 9. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je vais vous donner très rapidement des multiplications des tables de 2 à 9. Je vous interrogerai à tour de rôle. Vous me donnerez le résultat. » Énoncer : 8 × 3 ; 7 × 2 ; 5 × 7 ; 9 × 9… À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une multiplication des tables de 2 à 9. Vous écrivez le résultat. » Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. citerne : 30 000 L / bouteille d’eau 150 cL / cuillère à soupe : 5 mL / jerrycan d’essence 10 L • A2. L dL cL mL 5 6 0 7 7 0 4 5 • A3. 5 L = 50 dL 7 L = 700 cL 2 L = 2 000 mL 6 dL = 60 cL 4 dL = 400 mL 5 cL = 50 mL • A4. 500 dL = 50 L 400 cL = 4 L 6 000 mL = 6 L 60 cL = 6 dL 700 mL = 7 dL 560 mL = 56 cL • A5. 400 cL + 3 L = 400 cL + 300 cL = 700 cL 800 dL + 90 cL = 800 dL + 9 dL = 809 dL 5 000 mL + 4 L = 5 L + 4 L = 9 L • A6. 7 dL < 7 L ; 2 cL > 9 mL ; 18 dL < 3 L • A7. 170 + 100 + 30 = 300 Jonas a préparé 300 cL de cocktail de fruits, soit 3 L. • A8. 250 x 4 = 1 000 1 000 mL = 1 L Elle aura assez d’une bouteille de 1 L.
u Temps 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris les mesures de capacité et les relations qui les lient. Nous avons appris à effectuer des conversions. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur les mesures de capacité. Vous allez les convertir, les comparer, les additionner et résoudre des problèmes qui entraîneront peutêtre des conversions. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’unité de grandeur des capacités en fonction de la situation donnée, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture de capacités dans le tableau de mesures, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les conversions, proposer de commencer par les
Parcours B : • B1. arrosoir : L / flacon de médicament : mL / bouteille d’eau : L / réservoir de voiture : L • B2. L dL cL mL 7 6 8 0 6 7 5 0 7 5 4 6 5 9 3 0 9 4 • B3. 7 L et 75 cL = 700 cL + 75 cL = 775 cL 9 L et 6 dL = 900 cL + 60 cL = 960 cL
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1 L et 67 mL = 1 000 mL + 67 mL = 1 067 mL 8 dL et 5 mL = 800 mL + 5 mL = 805 mL 6 L et 5 dL = 60 dL + 5 dL = 65 dL 3 L et 50 cL = 30 dL + 5 dL = 35 dL • B4. 725 dL = 72 L et 5 dL 457 cL = 4 L et 57 cL 2 450 cL = 24 L et 50 cL 853 cL = 85 dL et 3 cL 4 500 mL = 4 L et 5 dL 6 745 mL = 67 dL et 45 mL • B5. 675 cL + 4 L et 25 cL = 700 cL + 400 cL = 1 100 cL 3 L + 87 dL + 3 dL + 200 cL = 3 L + 90 dL + 2 L = 5 L + 9 L = 14 L 6 dL + 5 cL + 50 mL = 60 cL + 5 cL + 5 cL = 70 cL • B6. 875 mL < 9 L / 780 cL > 7 L / 78 mL > 7 cL • B7. 25 × 12 = 300 300 cL = 3 L Elle utilise 3 bouteilles de 1 L pour arroser les 12 plantes. • B8. 50 × 4 = 200 cL Les deux offres concernent la même quantité car 200 cL = 2 L. La 2nde offre est donc la plus intéressante, car la moins chère (4 €).
Exemple : 700 cl = … L L dL cL mL 7 0 0 ➝ Lire la colonne des litres : 7 700 cL = 7 L • Faire de même pour une mesure en mL ou en dL. • Même démarche pour convertir des L en dL, en cL, en mL en s’appuyant sur ce que savent les élèves, à savoir compléter par des 0 jusqu’à la colonne correspondant à l’unité demandée. Exemples : 9 L = … dL = … cL = … mL 2 L = ... dL 3 dL = ... mL L dL cL mL 9 0 0 0 2 0 3 0 0 9 L = 90 dL = 900 cL = 9 000 mL 2 L = 20 dL 3 dL = 300 mL Difficultés à additionner et/ou à comparer des mesures de capacité données dans des unités différentes • Verbaliser la démarche : 1) on convertit d’abord toutes les mesures de capacité dans la même unité (on peut s’aider du tableau des mesures de capacité) ; 2) on compare les mesures qui sont maintenant dans la même unité ; 3) on réécrit les mesures telles qu’elles étaient données. Exemple : comparer 800 cl et 9 L 800 cL < 900 cL donc 800 cl < 9 L • Faire de même avec d’autres mesures. • Même démarche pour additionner.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à convertir des capacités Les élèves s’appuieront sur le tableau des mesures de capacité. • Donner une mesure en cL. L’élève la place dans le tableau en commençant par les unités, puis lit le nombre dans la colonne des L.
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Approche de la division: les partages Manuel de l’élève pages 48 et 49
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Restituer les tables de multiplication. »
L’objectif est de présenter la division comme l’opération inverse de la multiplication. Cette opération se présente en effet sous la forme de l’équation de base : dividende = (diviseur × quotient) + reste où le reste est toujours plus petit que le diviseur. dividende 7 5 – 7 2 75 = (8 × 9) + 3
3 reste
■ Programmes 2008 : – « Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1 000. » – « Effectuer un calcul posé : division euclidienne de 2 entiers. »
diviseur 8 9
■ Objectif des séances : – Découvrir le sens de la division à partir de situations de partage.
avec le reste < diviseur 3 18 kg et 460 g). • D. L’objectif est de découvrir un problème sur les masses de type « masse pour 1 personne = masse totale : nombre de personnes ». Réponse : 260 = 65 × 4 ou 260 : 4 = 65 Chaque client mange 65 g de baguette.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez résoudre des problèmes sur les mesures de masse. »
Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
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• Problème 1 : L’objectif est de résoudre un problème de type « masse totale = masse A + masse B + masse C » et qui implique des conversions. Réponse : 1 500 g + 3 kg + 700 g + 2 kg = 7 200 g Il utilise 7 200 g de fruits ou 7 kg et 200 g. • Problème 2 : L’objectif est de résoudre un problème de type « masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets » et qui implique des conversions. Réponses : 150 × 6 = 900 g Une barquette pèse 900 g. 1 kg = 1 000 g. Donc la masse d’une barquette est inférieure au kg.
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les masses en utilisant une typologie de problèmes : – masse totale = masse A + masse B + masse C ; – masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets ; – différence de masse = masse A – masse B. » ‹ Remarque : Afficher un référent didactique comme pour les problèmes sur les mesures de longueur. Les problèmes sur les masses • masse totale = masse A + masse B • masse B = masse totale – masse A • masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 masse B », proposer de commencer par les exercices A3 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de type « différence de masse = masse A – masse B », proposer de commencer par les exercices A1 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de type « masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets », proposer de commencer par les exercices A2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Compter et décompter de 10 en 10, de 100 en 100… Travail collectif oral Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je vous donne un nombre de départ. Vous devrez compter ou décompter de 10 en 10 ou de 100 en 100 à partir de ce nombre. Je vous interroge au hasard. Un élève commencera le compte, puis lorsque je nommerai un autre élève, celuici devra prendre la relève. » – compter de 10 en 10 de 67 220 à 67 440 ; – compter de 100 en 100 de 5 789 à 8 089 ; – décompter de 10 en 10 de 9 904 à 6 254 ; – décompter de 100 en 100 de 8 003 à 5503. Interroger les élèves à tour de rôle.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 6 kg et 800 g = 6 800 g 11 kg = 11 000 g 11 000 – 6 800 = 4 200 4 200 g = 4 kg et 200 g Il y a une différence de 4 kg et 200 g entre les deux vélos. • A2. 15 × 12 = 180. Caramel mange 180 kg de croquettes en une année. • A3. 750 g + 2 kg + 250 g = 750 + 2 000 + 250 = 3 000 g = 3 kg Mathieu a dû porter 3 kg de courses. • A4. 960 : 8 = 120 Un kiwi pèse 120 g en moyenne.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les masses en utilisant une typologie de problèmes : – masse totale = masse A + masse B + masse C ; – masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets ; – différence de masse = masse A – masse B. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur les masses. »
‹ Remarque : La division est connue depuis le CE2. Mais la technique de la division posée n’a pas encore été revue. Inciter donc les élèves à utiliser la calculatrice.
Travail dans le manuel
Parcours B : • B1. 25 × 12 = 300 La masse des 12 sacs de ciment est de 300 kg. 1 T et 500 kg = 1 500 kg 300 + 1 500 = 1 800 Le total du chargement pèse 1 800 kg ou 1 T et 800 kg. • B2. 600 : 8 = 75 La masse moyenne d’une personne est de 75 kg.
u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de type « masse totale = masse A +
‹ Remarque : La division est connue depuis le CE2. Mais la technique de la division posée n’a pas encore été revue. Inciter donc les élèves à utiliser la calculatrice.
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• B3. 8 T et 500 kg = 8 500 kg 8 500 × 4 = 32 000 kg = 32 T Le tracteur a apporté 32 T de blé à la coopérative agricole. • B4. 1 T et 350 kg = 1 350 kg 80 × 5 = 400 kg La voiture peut transporter 400 kg en passagers. 1 350 + 400 + 60 = 1 810 kg La masse totale de la voiture quand elle est chargée est de 1 810 kg.
grammes, puis en kg et g. La vérification se fait en demandant aux 2 élèves de monter ensemble sur le pèse-personne. Difficultés à identifier un problème sur les masses de type : « masse B = masse totale – masse A » ou « masse A = masse totale – masse B » Utiliser des objets concrets à manipuler. • Proposer une situation que l’élève résout d’abord sur l’ardoise. La vérification se fait par la manipulation concrète. Exemple : Utiliser la balance de cuisine. Prendre 2 objets A et B de la classe. Les peser ensemble sur la balance. L’élève observe et note la masse totale des 2 objets. Retirer l’objet B. L’élève note la masse de l’objet A. Anticipation : « Quelle est la masse de l’objet B ? Comment la calculer ? » Réponse attendue : « Si on enlève la masse de l’objet A de la masse totale, il nous reste la masse de l’objet B. » L’élève écrit et calcule l’opération sur son ardoise. La vérification se fait en plaçant les 2 objets A et B sur la balance et en retirant l’objet A. Il reste la masse de l’objet B. • Faire de même avec d’autres matériels.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier un problème sur les masses de type « masse totale = masse A + masse B » • Représenter concrètement la situation, en utilisant une balance de Roberval, une balance de cuisine ou un pèse-personne, et faire manipuler l’élève. – Exemple 1 : Prendre une balance de cuisine. Remplir 1 pot d’eau et 1 pot de trombones (ou autre matériel). L’élève pèse chaque pot et note sa masse sur l’ardoise. Anticipation : « Comment faire pour calculer la masse totale des 2 pots remplis sans les placer ensemble sur la balance ? » Réponse attendue : « On additionne leurs 2 masses. » L’élève écrit et calcule l’opération sur son ardoise. La vérification se fait en plaçant ensemble les 2 pots et en lisant la masse indiquée. Faire de même avec d’autres matériels et un nombre d’objets plus important. – Exemple 2 : Faire venir 2 élèves. Ils se pèsent à tour de rôle. Anticipation : « Comment faire pour connaître combien ils pèsent à eux deux ? » Réponse attendue : « On additionne leurs 2 masses. » Les élèves écrivent et calculent l’opération sur leur ardoise. Si les enfants n’ont pas un nombre entier de kg, convertir en
Difficultés à identifier un problème sur les masses de type : « masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets » Utiliser des objets concrets à manipuler. • Proposer une situation que l’élève résout d’abord sur l’ardoise. La vérification se fait par la manipulation concrète. Exemple : Utiliser la balance de cuisine. Poser un manuel de mathématiques sur la balance pour le peser. L’élève observe et note la masse du manuel. Anticipation : « Quelle est la masse de 4 manuels ? Comment la calculer ? » Réponse attendue : « Si on multiplie la masse d’un manuel par le nombre de manuels, on obtient la masse totale de 4 manuels. » L’élève écrit et calcule l’opération sur son ardoise. La vérification se fait en plaçant les 4 manuels sur la balance. • Faire de même avec d’autres objets de masse identique.
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La division par un nombre à un chiffre Manuel de l’élève pages 56 et 57
Commentaires pédagogiques Exemple : 128 : 4. Il faut diviser 1 centaine par 4. Ce n’est pas possible car 1 < 4. Donc on divise 12 dizaines par 4.
Au cours de cette séance, l’élève va passer de l’équation « dividende = (diviseur × quotient) + reste » à la division posée. Il sera amené à comprendre le sens de chacun des éléments de la division et à connaître le lexique correspondant : « dividende », « diviseur », « quotient », « reste ». La technique de la division posée doit être comprise comme une suite de divisions. Dans le cas de la division d’un nombre à 2 chiffres, on commence par la division des dizaines ; le reste de cette division (les dizaines qui n’ont pas pu être partagées) est transformé en unités. On divise ensuite le total des unités (celles du reste précédent + les unités du nombre initial). Dans le cas de la division d’un nombre à 3 chiffres, on commence par diviser les centaines, puis les dizaines et enfin les unités. Si le nombre de centaines ne peut pas être divisé (nombre de centaines plus petit que le diviseur), on divise le nombre total de dizaines.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Restituer les tables de multiplication. » ■ Programmes 2008 : – « Effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens, la technique opératoire et le vocabulaire de la division à un chiffre au diviseur. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 • Consignes : « Quel est le résultat de 18 : 2 ? de 36 : 4 ? de 20 : 5 ? etc. » Les élèves oralisent la démarche.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez les résultats des divisions que je vais vous donner. » Énoncer : 16 : 2 ; 36 : 4 ; 10 : 5 ; 20 : 4 ; 16 : 4… Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction s’ensuit.
Objectif : Diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 15 min À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Énoncer : « Voici un problème. Enzo a un paquet de 30 bonbons qu’il partage avec 4 amis. Combien chaque enfant dégustera-t-il de bonbons ? » ‹ Remarque : Interroger les élèves sur le nombre de parts. Il s’agit bien ici de partager en 5 car Enzo dégustera aussi des bonbons. • Consigne 1 : « Rappelez-moi l’opération qui permet de partager. » Réponse attendue : la division. • Consigne 2 : « Quelle opération doit-on faire pour résoudre le problème ? » Réponse attendue : 30 divisés par 5. • Consigne 3 : « Comment écrire cette opération en ligne ? » Réponse attendue : 30 : 5 Rappeler que le signe de la division est « : ». • Consigne 4 : « Rappelez-moi comment on calcule cette opération. » Réponse attendue : « Il faut chercher un nombre dans la table de 5 qui, multiplié par 5, donne 30. » 5 × 6 = 30. Chaque enfant dégustera 6 bonbons. • Consigne 5 : « Je veux diviser par 2 un nombre < 20. Qu’est-ce que je connais par cœur et qui va m’aider ? » Réponse attendue : la table de 2. • Consigne 6 : « Je veux diviser par 4 un nombre < 40. Qu’est-ce que je connais par cœur et qui va m’aider ? » Réponse attendue : la table de 4.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 30 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez découvrir le sens, la technique opératoire et le vocabulaire de la division à 1 chiffre. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 56. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de comprendre le lien entre la multiplication et la division posée, et de découvrir le vocabulaire de la division : « dividende », « diviseur », « quotient » et « reste ». Réponse : 29 = (4 × 7) + 1 dividende diviseur 2 9 – 2 8 reste 1
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4 7 quotient
• B. L’objectif est d’apprendre la technique opératoire de la division d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre. Réponse : 9 6 – 8 1
8 1
9 6 – 8 1 6
8 1
le reste, c’est 1 dizaine qui n’a pas pu être partagée
9 6 – 8 1 6 – 1 6 0
Je cherche dans la table de 4 un nombre qui, multiplié par 4, me donne 16 ou s’en rapproche sans le dépasser. C’est 4 × 4 = 16. J’écris 4 au quotient et j’enlève 16 au dividende.
8 1 2 reste < diviseur
Je soustrais 16 de 16, il me reste 0.
• C. L’objectif est d’apprendre la technique opératoire de la division d’un nombre à 3 chiffres par un nombre à 1 chiffre avec le chiffre des centaines > au chiffre du diviseur. 2 9 6 – 2 8 1 6 – 1 6 0
4 7 4
Je vérifie que le reste est < que le diviseur : 0 < 4. Le résultat de 296 : 4 est 74 reste 0.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de poser et de calculer des divisions de nombres à 2 ou 3 chiffres par un nombre à 1 chiffre. Réponses : 38 : 7 = 5 reste 3 45 : 8 = 5 reste 5 87 : 6 = 14 reste 3 73 : 5 = 14 reste 3 178 : 4 = 44 reste 2 342 : 9 = 38 reste 0 ‹ Remarque : Lors de la correction collective, oraliser toute la démarche comme précédemment. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris le vocabulaire lié à la division et la technique opératoire de celleci avec 1 chiffre au diviseur. » Lire la rubrique « Retenir ».
4 7
Je soustrais 28 de 29 ; il me reste 1. 2 9 6 – 2 8 1
4 7
J’abaisse les 6 unités ; j’ai 1 d et 6 u, c’est-à-dire 16 que je divise par 4. 2 9 6 – 2 8 1 6
4 7 4
2 9 6 – 2 8 1 6 – 1 6 0
‹ Remarque : Verbaliser la démarche lors de la mise en commun. 1) 296 : 4. Je commence par diviser les centaines ; j’en ai 2 ; je ne peux pas les partager par 4. 2) Je dois donc diviser les 29 dizaines par 4. Je cherche dans la table de 4 un nombre qui, multiplié par 4, me donne 29 ou s’en rapproche sans le dépasser. C’est 7 × 4 = 28 J’écris 7 au quotient et j’enlève 28 au dividende. 2 9 6 – 2 8
4 7 4
2 9 6 – 2 8 1 6 – 1 6
4 7
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire
Travail oral collectif
u TEMPS 1 : Calcul mental
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris le vocabulaire lié à la division et la technique opératoire de celle-ci avec 1 chiffre au diviseur. »
Objectif : Diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. Travail individuel écrit et collectif Durée : 10 min À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « Écrivez les résultats des divisions que je vais vous donner. » Énoncer : 81 : 9 ; 50 : 5 ; 32 : 8… Les élèves écrivent le résultat sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal de l’enseignant. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez les résultats des divisions que je vais vous donner. » Énoncer : 14 : 2 ; 16 : 4 ; 40 : 8 ; 21 : 7 ; 15 : 3… Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction s’ensuit.
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à calculer des divisions. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
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Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division dont le résultat découle directement des tables de multiplication, proposer de commencer par les exercices A1, B1 et A4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 7 6 8 3 7 5 – 7 2 9 – 3 5 7 4 2 • A2. 7 3 3 9 5 4 – 6 – 8 2 4 2 3 1 3 1 5 – 1 2 – 1 2 1 3 • A3. 3 2 7 6 2 8 1 5 – 3 0 – 2 5 5 4 5 6 2 7 3 1 – 2 4 – 3 0 3 1 • A4. 12 + 15 = 27. Il y a 27 participants au total. 27 : 3 = 9 9 voiliers sont nécessaires. • A5. 282 : 6 = 47 Le camion livrera 47 cageots dans chaque magasin. Parcours B : • B1. 6 9 8 8 4 9 – 6 4 8 – 8 1 9 5 3 • B2. 8 9 7 9 9 8 – 7 – 8 1 2 1 2 1 9 1 9 – 1 4 – 1 6 5 3 • B3. 4 5 7 8 6 9 8 7 – 4 0 – 6 3 5 7 9 9 5 7 6 8 – 5 6 – 6 3 1 5 • B4. 26 + 28 = 54 Il y a 54 élèves au total. 2+4=6 Il y a 6 adultes. 54 : 6 = 9 Chaque adulte aura 9 élèves dans son groupe. • B5. 41 × 6 = 246 Il y a 246 bouteilles au total. 246 : 5 = 49 et reste 1 Chaque stand aura 49 bouteilles. Il restera 1 bouteille pour Jérémy.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à résoudre des situations de partage • Proposer des problèmes simples et proches du vécu des élèves. Faire manipuler des objets pour visualiser la situation : des billes, des images, des crayons, des jetons, de la monnaie factice… Pour chaque problème, les élèves verbalisent la démarche et écrivent l’opération sur leur ardoise. Exemples de problèmes : – Problème n° 1 : « Nathan et ses 4 amis se partagent 45 billes pour jouer pendant la récréation. Combien chaque enfant aura-t-il de billes ? » – Problème n° 2 : « Luna fait collection de timbres. Elle en possède 28. Elle colle 4 timbres par page dans un carnet. Combien de pages de son carnet sont complètes ? » – Problème n° 3 : « Pendant les soldes, Nico s’est acheté un pantalon à moitié prix. Il coûtait 40 €. Combien Nico a-t-il payé son pantalon ? » Difficultés à comprendre la division posée et à la calculer • Reprendre pas à pas la démarche vue dans la phase de découverte en multipliant les situations concrètes avec manipulation d’objets : partages de crayons, de gommes, de craies, d’images, de billes, de jetons… Exemples : – Situation 1 : « Deux enfants se partagent équitablement un paquet de 18 bonbons. Combien chacun aura-t-il de bonbons ? » Dessiner la situation comme ci-dessous. 18 nombre de bonbons à se partager
2 le partage se fait entre 2 enfants
0
9
il ne reste aucun bonbon après le partage
1 8 0
2 9
Chaque enfant aura 9 bonbons et il n’en restera aucun. – Situation 2 : « Trois enfants se partagent 24 billes. Combien chacun aura-t-il de billes ? » Verbaliser la démarche. 2 4 3 nombre total de billes le partage se fait en 3 0 8 il reste 0 bille nombre de billes après le partage pour chacun 2 4 0
3 8
Chaque enfant aura 8 billes. Difficultés à calculer des divisions posées • Partir de situations concrètes. Faire manipuler des objets et verbaliser toute la démarche pas à pas. Exemple : Donner 48 haricots secs à l’élève. « Tu as 48 haricots secs. Tu veux les répartir dans 3 boîtes. Combien de haricots chaque boîte contiendra-t-elle ? Restera-t-il des haricots ? » Poser la division tout en manipulant et en verbalisant la démarche. • Faire de même avec d’autres objets manipulables.
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Méthodologie: le tri des informations Manuel de l’élève page 58
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. »
Un énoncé de problème contient un ensemble d’informations, certaines pertinentes quant à la question à résoudre, d’autres dont le seul intérêt est d’enrichir le contexte. Pour résoudre le problème, il faut donc procéder à une sélection des seules informations utiles, et suivre des étapes : – identifier et bien comprendre la question posée ; – repérer dans cette question les mots inducteurs du contexte de résolution : une masse, un prix, une longueur, etc. Une fois les informations utiles extraites de l’énoncé, il est possible de définir la procédure nécessaire à la résolution du problème.
■ Programmes 2008 : – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes. » ■ Objectif de la séance : – Identifier les informations utiles pour répondre à la question d’un problème et le résoudre. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur les multiples des nombres d’usage courant. Durée : 10 min Travail collectif oral À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est le multiple d’un nombre. » Réponse attendue : « Le multiple d’un nombre est un nombre obtenu en le multipliant par un autre nombre. » • Consigne 2 : « Comment trouver les 10 premiers multiples de 9 ? » Réponse attendue : « On s’aide de la table de multiplication par 9. Un ou deux élèves énoncent les 10 premiers multiples de 9. » • Consigne 3 : « Quels sont les multiples de 10 compris entre 10 et 100 ? » Les élèves répondent à tour de rôle. • Consigne 4 : « Énoncez les 10 premiers multiples de 15. » Les élèves répondent à tour de rôle. • Consigne 5 : « Quels sont les 5 premiers multiples de 25 ? » Les élèves répondent à tour de rôle. • Consigne 6 : « Quels sont les multiples de 50 compris entre 100 et 600 ? » Les élèves répondent à tour de rôle.
• A. L’objectif est d’identifier dans un énoncé de problème les informations utiles pour répondre à la question posée, ici les informations sur les masses. Réponses : Il faut regarder la partie rouge de l’énoncé. Les mots de l’énoncé qui indiquent les informations sur les masses sont : 300 g ; 250 g ; 80 g ; 10 g. ‹ Remarque : On admettra en réponse uniquement le mot « gramme ». 300 g + 250 g + 80 g + 10 g = 640 g La masse totale de la recette est de 640 g. • B. L’objectif est d’identifier dans un énoncé de problème les informations utiles pour répondre à la question posée, ici les informations sur les durées. Réponses : Il faut chercher les mots ou expressions qui permettent de comprendre que l’on parle de durées : heures, minutes, temps. La partie de l’énoncé qui permet de répondre à cette question est en noire. 9 h 45 min – 9 h = 45 min Le temps de cuisson est de 45 min. ‹ Remarques : Les élèves auront probablement des démarches différentes pour trouver cette durée, ce temps de cuisson. – Certains chercheront ce qu’il manque à 9 h pour arriver à 9 h 45. → de 9 h à 9 h 45, il s’est écoulé 45 min. – D’autres s’aideront de la pendule à aiguilles. – D’autres calculeront la différence entre 9 h 45 et 9 h.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à identifier les informations utiles dans des énoncés de problèmes afin de répondre à la question posée et résoudre ces problèmes. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 58. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ».
• C. L’objectif est d’identifier dans un énoncé de problème les informations utiles pour répondre à la question posée, ici les informations sur la somme d’argent dépensée. Réponses : Les mots de l’énoncé qui indiquent que c’est un problème de coût : achète ; euros €.
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C’est la partie bleue de l’énoncé qui correspond à cette question. 7 + 5 + 3 + 1 = 16 La recette lui coûte 16 €. • D. L’objectif est de faire prendre conscience qu’il peut y avoir des informations inutiles dans un énoncé. Toutes les informations (notamment les données chiffrées) ne sont pas à prendre en compte pour répondre à la question posée. Réponse : La partie verte n’a servi à répondre à aucune des 3 questions de problème.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier les informations utiles pour répondre à la question d’un problème • Donner des énoncés courts de problème. Verbaliser ce que représente chaque nombre dans l’énoncé et expliquer si c’est une information utile ou pas pour répondre à la question du problème. Exemple : « Dans la trousse de Luna, il y a 7 crayons de couleurs, 4 crayons à papier, 2 pots de colle et 1 paire de ciseaux. Combien Luna a-t-elle de crayons en tout ? » 7 : c’est le nombre de crayons de couleur. 4 : c’est le nombre de crayons à papier. 2 : c’est le nombre de pots de colle. 1 : c’est le nombre de paire de ciseaux. Pour trouver le nombre total de crayons, je ne m’occupe que des crayons de couleur et des crayons à papier. • Proposer des énoncés sur différents supports. Poser une question, puis demander où se trouve l’information (ou les informations) utile(s) pour répondre à la question.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problème : L’objectif est de réécrire l’énoncé d’un problème en ne conservant que les données utiles pour répondre à la question du problème. Réponse : Un client commande 2 pizzas Vesuvio à 13 € l’une et 3 pizzas Margarita à 9 € pièce. Quelle somme ce client va-t-il payer ? (13 × 2) + (9 × 3) = 26 + 27 = 53 Le client va payer 53 €. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à identifier les informations utiles pour répondre à la question d’un problème et le résoudre. » Lire la rubrique « Retenir ».
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Bilan (3) Manuel page 59
Commentaires pédagogiques – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : rayon, diamètre… » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres, les mesures. » – « Savoir organiser des informations numériques. »
Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, encadrer et ranger ces nombres. » – « Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1 000. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : rayon, diamètre… » – « Connaître les unités de mesure et les relations qui les lient. » – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. »
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Utiliser la calculatrice. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; effectuer des conversions. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le manuel et le cahier de mathématiques.
• Exercice 1 : L’objectif est de lire, puis d’écrire en chiffres ou en lettres des nombres ≤ 999 999 999. Réponses : 56 832 521 ; 788 472 987 ; 749 613 285
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral Durée : 5 min Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
• Exercice 2 : L’objectif est de comparer des nombres à 8 ou 9 chiffres avec les signes ou =. Réponses : 99 258 456 < 211 123 102 899 235 142 > 799 657 328 566 589 237 > 549 999 897
u TEMPS 2 : Calcul mental
• Exercice 3 : L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant des nombres à 8 ou 9 chiffres. Réponses : 32 689 845 < 203 567 861 < 907 116 246
Durée : 15 min Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : – Écrivez le résultat de : 7 × 100. – Écrivez le résultat de : 68 × 10. – Écrivez le résultat de : 849 × 10. – Écrivez le résultat de : 75 × 1 000. – Écrivez le résultat de : 804 × 100. – Écrivez le résultat de : 503 × 1 000. – Écrivez le résultat de : 30 × 20. – Écrivez le résultat de : 51 × 300. – Écrivez le résultat de : 92 × 400. – Écrivez le résultat de : 50 × 50. – Écrivez le résultat de : 60 × 40. – Écrivez le résultat de : 74 × 200.
• Exercice 4 : L’objectif est de trouver des multiples de nombres d’usage courant. Réponses : 30 / 45 / 60 / 75 100 / 50 / 75 / 125 • Exercice 5 : L’objectif est de résoudre un problème sur les mesures de masse impliquant des conversions, en s’appuyant sur la typologie étudiée. Réponses : 70 + 80 = 150 150 × 60 = 9 000 La masse totale de confiserie est de 9 000 g ou 9 kg. • Exercice 6 : Les objectifs sont d’identifier le centre, le rayon et le diamètre d’un cercle et de distinguer rayon et diamètre. Réponses : C’est B. Le cercle bleu a 6 carreaux de diamètre. Rayon du cercle vert : 2 carreaux Les points E et D.
Travail dans le manuel Travail individuel écrit Durée : 45 min Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous les élèves.
• Exercice 7 : L’objectif est d’utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs complexes.
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Réponses : 4 978 + 5 601 = 10 579 9 867 – 978 = 8 889 874 × 76 = 66 424 • Exercice 8 : L’objectif est de vérifier des résultats avec la calculatrice et de les corriger si besoin. Réponses : 9 891 + 2 242 = 10 133 (faux) ➝ 12 333 1 111 × 32 = 3 552 (faux) ➝ 35 552 6 548 – 369 = 6 179 (correct) • Exercice 9 : L’objectif est de résoudre un problème en utilisant uniquement les informations utiles à la résolution du problème.
Réponse : 80 × 4 = 320 Ils vont dépenser 320 €. • Exercice 10 : L’objectif est d’effectuer des conversions sur les mesures de capacité. Réponses : 8 L = 800 cL ; 6 L = 60 dL ; 2 L = 2 000 mL ; 540 mL = 54 cL ; 300 cL = 3 L ; 500 cL + 4 L = 9 L ; 700 dL + 2 L = 72 L • Exercice 11 : L’objectif est de calculer des opérations en ligne en lien avec la division d’un nombre par un nombre à 1 chiffre. Réponses : 58 = (8 × 7) + 2 86 = (9 × 9) + 5 88 = (9 × 9) + 7 57 = (8 × 7) + 1 45 = (6 × 7) + 3 74 = (9 × 8) + 2
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Les nombres jusqu’à 999999999 (2) Manuel de l’élève pages 60 et 61
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. »
Cette deuxième leçon sur les nombres jusqu’au milliard (milliard exclu) permettra : – de reprendre et de conforter le passage de la numération orale à la numération écrite des grands nombres, en insistant sur les nombres ayant de nombreux zéros. Tant que l’élève n’aura pas acquis une aisance suffisante, l’utilisation du tableau de numération restera nécessaire, voire indispensable. – de conforter la notion de « numération de position » par le repérage précis de la position de chaque chiffre dans des nombres ayant de nombreux zéros ; – de travailler la décomposition multiplicative et additive de ces nombres.
■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. » ■ Objectifs des séances : – Écrire, nommer et comparer les nombres ≤ 999 999 999. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques.
Séance 1 • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir l’écriture des nombres à 9 chiffres et apprendre à les décomposer sous forme additive et multiplicative. » Les élèves ouvrent leur manuel page 60. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire des nombres à 9 chiffres en lettres et de les écrire en chiffres en utilisant le tableau de numération. Réponses : Mercure : 57 910 000 km Vénus : 108 200 000 km • B. L’objectif est de recomposer un nombre à 9 chiffres donné sous forme de décomposition additive et multiplicative. Les élèves pourront s’aider du tableau de numération. Réponses : Terre : 149 600 000 km Mars : 227 940 000 km • C. L’objectif est de trouver un nombre à 9 chiffres donnés dans le désordre sous la forme « x centaines de millions, y dizaines de millions… ». Réponse : 778 330 000 km
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectifs : Écrire, nommer, comparer et encadrer des nombres < au milliard. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Avant l’arrivée des élèves, écrire en chiffres au tableau des nombres < au milliard. Écrire : 564 789 320 ; 98 654 ; 156 432 876… • Consigne 1 : « J’ai écrit des nombres au tableau. Vous allez les lire. » Les élèves lisent ces nombres à tour de rôle. • Consigne 2 : « Sur l’ardoise, écrivez le signe < sur une face et > sur l’autre face. Je vous nomme ou vous écris au tableau deux nombres que vous comparez avec les signes < et >. » Écrire ou nommer : 564 843 290 … 678 900 432 654 987 921 … 120 675 321 546 545 900 … 456 876 890 234 654 312 … 199 999 999 67 987 341 … 254 098 896 • Consigne 3 : « Encadrez le nombre 8 965 432 entre deux unités de millions. » Réponse attendue : 8 965 432 est compris entre 8 et 9 millions. • Faire de même en encadrant à la centaine, à la dizaine de millions : – 765 389 210 Réponses : entre 700 et 800 millions entre 76 et 77 millions – 840 234 654 Réponses : entre 800 et 900 millions entre 84 et 85 millions
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres ≤ 999 999 999 donnés en lettres. Réponses : 479 000 000 ; 209 000 000 ; 537 300 000 • Exercice 2 : L’objectif est de trouver un nombre à 9 chiffres donnés dans le désordre sous la forme « x centaines de millions, y dizaines de millions… ». Réponses : 938 000 000 ; 407 600 000 • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire en lettres des nombres ≤ 999 999 999 donnés en chiffres. Réponses : trois cent quarante-cinq millions ; sept cent quatre millions ; six cent deux millions huit cent mille
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
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• Exercice 4 : L’objectif est de recomposer un nombre à 9 chiffres donné sous forme de décomposition additive et multiplicative. Réponse : 578 400 000
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu l’écriture des nombres ≤ 999 999 999, nous avons appris à les décomposer et nous avons vu qu’il était important d’utiliser le tableau de numération lorsque les nombres ont des 0. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 B3 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la décomposition / recomposition des nombres ≤ 999 999 999, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Écrire, nommer, comparer et encadrer des nombres < au milliard. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et sur l’ardoise • Consigne 1 : « Je dis des nombres. Vous les écrivez en chiffres. » Énoncer : 5 768 900 ; 23 654 780…
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 223 000 000 / 638 000 000 / 436 000 000 / 110 800 000 • A2. six cent cinquante-neuf millions / neuf cent quarantecinq millions / cent deux millions / huit cent quarante et un millions trois cent mille • A3. 735 000 000 / 496 800 000 / 263 100 000 / 480 300 000 • A4. 425 600 000 / 813 900 000 / 689 310 000 / 735 420 000 • A5. en 1950 : 229 800 000 habitants en 1980 : 482 803 000 habitants en 2000 : 811 101 000 habitants Parcours B : • B1. 804 000 000 / 970 000 000 / 780 200 000 / 410 200 000 • B2. huit cent quatre-vingt-seize millions / cent soixante-dixneuf millions / trois cent quatre-vingt-deux millions huit cent mille / huit cent quatre-vingt-dix-sept millions neuf cent mille • B3. 609 000 000 / 940 200 000 / 278 010 000 / 180 301 000 • B4. 306 200 000 / 760 900 000 / 900 580 000 / 209 080 000 • B5. Il y a 313 900 000 habitants aux États-Unis. Il faut ajouter 195 900 000. 313 900 000 + 195 900 000 = 509 800 000 Il y a 509 800 000 habitants en Europe.
‹ Remarque : Insister sur les 3 classes et la mémorisation des nombres par classe. Exemple : 678 953 234 J’entends : 678 millions 953 mille 234 J’écris : 678 espace 953 espace 234 • Consigne 2 : « J’écris 4 nombres au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant sur votre ardoise. » Écrire : 678 543 200 / 65 234 980 / 8 976 421 / 679 326 100 La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous revu et appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu l’écriture des nombres ≤ 999 999 999, nous avons appris à les décomposer et nous avons vu qu’il était important d’utiliser le tableau de numération lorsque les nombres ont des 0. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire, écrire et décomposer des nombres ≤ 999 999 999. »
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Voir les pistes données à la leçon 19
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Difficultés à écrire en chiffres un nombre à 9 chiffres comportant des 0 • Multiplier l’écriture de nombres à 9 chiffres en utilisant le tableau de numération. Exemple : Écris en chiffres les nombres suivants. – cent quatre-vingt-sept millions huit cent mille – millions : 7 c 4 d 2 u unités simples : 9 c 2 u – (100 000 000 × 5) + (7 × 1 000 000) + (1 000 × 7) – 40 000 000 + 5 000 000 + 60 000 + 50 + 3
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture et l’écriture des nombres ≤ 999 999 999, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1, B2, A3,
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Les axes de symétrie des figures simples (1) Manuel de l’élève pages 62 et 63
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels. »
Rappeler qu’une figure et son symétrique par rapport à un axe de symétrie se superposent exactement lorsque l’on plie l’ensemble selon l’axe de symétrie. Le symétrique a une forme identique, mais inversée par rapport à cet axe. Une figure peut n’avoir aucun axe, 1 axe, 2 axes… jusqu’à 4 axes pour le carré et même une infinité d’axes pour le cercle, puisque tous ses diamètres sont potentiellement axes de symétrie.
■ Programmes 2008 : – « Compléter une figure par symétrie axiale. » ■ Objectifs des séances : – Identifier l’axe ou les axes de symétrie d’une figure. – Compléter une figure par symétrie axiale. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Calculer avec des parenthèses. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral Écrire au tableau : (12 + 4) – (5 + 3) • Consigne 1 : « Comment calculer cette opération avec des parenthèses ? » Les élèves ou l’enseignant rappellent la stratégie étudiée au CE2. Réponse attendue : « On commence par calculer ce qu’il y a dans les parenthèses. » Réponse : 16 – 8 = 8 • Consigne 2 : « J’écris au tableau des calculs avec parenthèses. Vous cherchez le résultat. Vous pouvez vous aider de votre ardoise. » Écrire : (6 × 9) + (3 × 10) = (25 – 15) + (8 + 4) = (250 + 50) – (10 × 10) = • Consigne 3 : « J’écris au tableau des calculs avec parenthèses. Vous cherchez le résultat mentalement. Vous l’écrivez sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Écrire : (25 + 25) + (50 + 50) (270 – 80) + (240 + 40) La correction collective s’ensuit avec verbalisation de la démarche.
‹ Remarque : Avant chaque recherche par groupe, laisser un temps de recherche individuelle. • A. L’objectif est d’identifier les figures qui ont un ou plusieurs axes de symétrie et les figures qui n’en n’ont pas. Réponses : – C et H n’ont pas d’axe de symétrie. – A, B et F ont 1 axe de symétrie. – G a 2 axes de symétrie. – D a 3 axes de symétrie. – E a plus de 3 axes de symétrie. • B. L’objectif est de compléter une figure sur quadrillage par symétrie axiale. Réponses :
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Travail dans le manuel
Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur du papier quadrillé distribué par l’enseignant.
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir la symétrie. Vous allez identifier l’axe ou les axes de symétrie de figures et vous compléterez une figure par symétrie axiale (selon son axe). » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 62. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ».
• Exercice 1 : L’objectif est de reproduire une figure sur papier quadrillé et d’identifier ses axes de symétrie. L’enseignant corrigera les tracés des élèves. • Exercice 2 : L’objectif est de reproduire un tracé sur papier quadrillé et de compléter la partie symétrique par rapport à l’axe de symétrie. L’enseignant corrigera les tracés des élèves.
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En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont revu et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la symétrie. Nous avons identifié l’axe ou les axes de symétrie de
figures et nous avons tracé et complété le symétrique d’une figure par rapport à son axe. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Correction des exercices :
Travail préparatoire
Parcours A : • A1.
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Calculer avec des parenthèses. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « J’écris au tableau des calculs avec parenthèses. Vous cherchez le résultat mentalement. Vous l’écrivez sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Écrire : (2 × 4) + (2 × 5) + (4 × 3) = (5 × 5) + (5 × 1) + (8 × 4) = À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris au tableau des calculs avec parenthèses. Vous cherchez le résultat mentalement. Vous l’écrivez sur votre cahier. » Écrire : (46 + 4) – (3 × 10) = (100 × 8) + (100 × 2) = (4 × 7) + (2 × 1) + (9 × 5) = La correction collective s’ensuit avec verbalisation de la démarche.
A
B
C
F
• A2.
ou • A3.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la symétrie. Nous avons identifié l’axe ou les axes de symétrie de figures et nous avons tracé et complété le symétrique d’une figure par rapport à son axe. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à trouver l’axe ou les axes de symétrie de figures et compléter des figures en traçant leur symétrique. »
Parcours B : • B1. – Figure A : 2 axes de symétrie – Figure B : 2 axes de symétrie – Figure C : 4 axes de symétrie – Figure D : 1 axe de symétrie – Figure E : aucun axe de symétrie – Figure F : 1 axe de symétrie • B2.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification des axes de symétrie de figures, proposer de commencer par les exercices A2, B2, A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le tracé d’une figure par symétrie axiale, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
• B3.
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• Faire observer des dessins sur quadrillage avec le tracé d’un axe. Faire compter les carreaux de chaque côté. Les élèves verbalisent et justifient s’il s’agit ou non d’un axe de symétrie. Exemples :
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier l’axe de symétrie d’un dessin ou d’une figure • Faire manipuler les élèves : ils utiliseront les procédés de pliage et de superposition. Exemples : Donner des images ou des figures géométriques
Difficultés à tracer le symétrique d’une figure • Utiliser le papier quadrillé avec des figures simples. L’élève repère un point de la figure, compte le nombre de carreaux qui le séparent de l’axe de symétrie, compte le même nombre de carreaux de l’autre côté de l’axe, puis place le symétrique du point. Faire de même pour un 2e point, etc. • Petit à petit, complexifier la figure.
Difficultés à identifier si un axe est un axe de symétrie • Donner des dessins et/ou des figures géométriques sur lesquels sont tracés des axes de symétrie. Faire plier sur l’axe de symétrie ; les élèves observent par transparence si les 2 dessins ou les 2 figures se superposent parfaitement. Faire verbaliser : « C’est un axe de symétrie car les 2 figures se superposent parfaitement » ou « Ce n’est pas un axe de symétrie car les 2 figures ne se superposent pas parfaitement. »
• Changer la position de l’axe de symétrie et faire verbaliser et utiliser la même démarche que précédemment.
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La division par un nombre à deux chiffres (1) Manuel de l’élève pages 64 et 65
Commentaires pédagogiques Dans la division par un nombre à un chiffre, le choix du chiffre du quotient semble aisé, car directement en lien avec les résultats de la table de multiplication. Exemple : 83 : 9. La connaissance de la table de multiplication donne assez rapidement : 9 × 9 = 81 et 81 + 2 = 83. Mais dans la division par un nombre à deux chiffres, le choix du chiffre du quotient est soumis aux conséquences de la retenue des unités sur les dizaines. Le chiffre retenu peut donc être trop petit ou trop grand. C’est là la caractéristique de la division : procéder par approximation aussi précise que possible. L’élève doit donc comprendre que le choix d’un chiffre de quotient trop petit ou trop grand n’est pas une erreur en soi, mais le moyen de parvenir au chiffre exact par affinement aussi précis que possible. Il sera utile de préciser à l’élève de calculer la division avec un crayon à papier et une gomme.
■ Socle commun (palier 2) : – « Restituer les tables de multiplication de 2 à 9. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Division euclidienne de 2 entiers. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens et la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques, un crayon à papier et une gomme.
Séance 1 • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Doubles et moitiés de nombres simples. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est le double d’un nombre. » Réponse attendue : « C’est le même nombre ajouté 2 fois ou multiplier par 2. » Interroge les élèves à tour de rôle ou privilégier le procédé La Martinière avec l’ardoise. • Consigne 2 : « Quel est le double de 8 ? de 10 ? de 25 ? etc. » Les élèves nomment ou écrivent le résultat. • Consigne 3 : « Rappelez-moi ce qu’est la moitié d’un nombre. » Réponse attendue : « C’est le nombre que l’on divise en 2. » • Consigne 4 : « Comment faire pour trouver mentalement la moitié d’un nombre ? » Réponse attendue : « On utilise la table de multiplication par 2. » Interroger les élèves à tour de rôle ou privilégier le procédé La Martinière avec l’ardoise. • Consigne 5 : « Quelle est la moitié de 6 ? de 60 ? de 200 ? etc. » Les élèves nomment ou écrivent le résultat. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez le double de 20 ; de 60 ; de 15 ; de 30 ; la moitié de 50, de 24, de 92… » Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 64. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de faire le lien entre la multiplication et la division. Réponse : 92 = (21 × 4) + 8 dividende diviseur 9 2 – 8 4 0 8 reste – Il devra effectuer 4 voyages. – 84 touristes pourront faire le circuit. – 8 touristes ne pourront pas faire le circuit. • B. L’objectif est de comprendre le sens de la division et de construire sa technique en s’appuyant sur les connaissances acquises. Il s’agit ici de trouver un nombre (le quotient) qui, multiplié par le diviseur, va se rapprocher le plus possible du dividende sans le dépasser, puis de vérifier que le reste est < au diviseur. Réponses : Thierry 1 6 8 5 0 – 1 0 0 2 6 8
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
2 1 4 quotient
Isabelle 1 6 8 5 0 – 1 5 0 3 1 8
Sandrine 1 6 8 5 0 – 2 0 0 4 impossible
– La proposition de Thierry n’est pas bonne car il reste 68 touristes. Il est donc possible de faire un autre voyage avec 50 personnes.
100
‹ Remarque : Rappeler que le reste doit toujours être < au diviseur. – La proposition de Sandrine ne convient pas car on ne peut pas soustraire 200 de 168. Le multiple du diviseur doit toujours être < au dividende. – Faire argumenter sur la proposition d’Isabelle, pour montrer qu’elle est la bonne : « Isabelle a fait la bonne proposition car elle a rempli 3 cars de 50 personnes, ce qui fait 150 personnes. Il reste 18 personnes. Ce reste est plus petit que 50. Elle ne peut pas faire de voyage supplémentaire car le car doit être plein pour voyager. »
– 128 : 42 ➝ reste 44 > diviseur 42 ➝ faux. Il faudrait avoir quotient 3 / reste 2. • Exercice 3 : L’objectif est de compléter les calculs intermédiaires d’une division par un nombre à 2 chiffres, le quotient étant connu. Réponses : 8 9 – 8 0 9
1 6 5
1 7 6 – 1 3 5 4 1
4 5 4 3
• Exercice 4 : L’objectif est de constater que le chiffre du quotient choisi n’est pas le bon. Réponses : – 84 :14 ➝ le quotient est trop grand : 98 > 84. Le quotient doit être 6. – 126 : 45 ➝ le quotient est trop grand : 135 > 126. Le quotient doit être 2.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’identifier le quotient et le reste d’une division posée pour compléter la multiplication à trous en ligne correspondante. Réponse : 78 = (11 × 7) + 1 • Exercice 2 : L’objectif est de vérifier si le reste est bien inférieur au diviseur. Réponses : – 59 : 12 ➝ reste 11 < diviseur 12 ➝ correct. – 97 : 24 ➝ reste 25 > diviseur 24 ➝ faux. Il faudrait avoir quotient 4 / reste 1.
8 4 – 8 4 0
1 4 6
1 2 6 – 9 0 3 6
4 5 2
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 ‹ Remarque : Prendre en fond de classe 3 ou 4 élèves les plus en difficulté pour les accompagner et les aider à réaliser le parcours A.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Doubles et moitiés de nombres simples. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je vous demande le double ou la moitié de nombres. L’élève interrogé donne sa réponse. » Énoncer : « Quel est le double de 32 ? Quelle est la moitié de 46 ? le double de 75 ? la moitié de 100 ? le double de 150 ? la moitié de 1 000 ? le double de 225 ? la moitié de 650 ? etc. » Les élèves nomment les résultats. ‹ Remarque : Mener cette phase sur un rythme soutenu. Ce travail peut se faire sur l’ardoise. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous demande le double ou la moitié de nombres. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : « Quel est le double de 60 ? Quelle est la moitié de 84 ? le double de 55 ? le double de 74 ? la moitié de 90 ? le double de 423 ? etc. » La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les liens entre multiplication et division à 2 chiffres au diviseur, proposer de commencer par les exercices A1, B1 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur le reste de la division qui doit être < au diviseur, proposer de commencer par les exercices A2, B2 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la recherche du quotient de la division à 2 chiffres au diviseur, proposer de commencer par les exercices A4, B4, A6 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris la technique opératoire de la division par un nombre à 2 chiffres. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à calculer des divisions avec 2 chiffres au diviseur. »
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• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur l’entraînement de la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur, proposer de commencer par les exercices A3, B3, A5, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
• B4.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 75 = (12 × 6) + 3 97 = (23 × 4) + 5 • A2.
• B5. 250 : 36 (quotient 6 / reste 34) Les animateurs ne pourront pas donner 8 ballons par enfant. Ils pourront donner 6 ballons. Il restera 34 ballons. • B6. 125 : 15 (quotient 8 / reste 5) Le libraire aura 8 étagères pleines. Il aura 5 livres sur la 9e étagère.
7 8 – 7 5 3
1 5 5
9 8 – 9 3 5
3 1 3
1 3 5
6 9 – 6 6 3
2 2 3
1 2 6 5
6 9 – 6 6 4
2 2 2 3
1 6 9 – 1 2 9 4 0
• A4. 6 4 – 6 0 4
• A5. 82 = (24 × 3) + 10 Le menuisier doit encore livrer 10 chaises. • A6. 100 : 12 (quotient 8 / reste 4) Elle ne peut pas faire 9 bouquets car il lui faudrait alors 108 roses : 12 × 9 = 108 Elle peut faire 8 bouquets et il lui restera 4 roses. Parcours B : • B1. 175 = (51 × 3) + 22 281 = (63 × 4) + 29 • B2. 2 1 0 – 1 4 8 6 2
7 4 2
1 9 8 – 1 9 2 6
3 2 6
3 4 5
3 7 1 – 3 6 4 7
5 2 7
• B3. 1 8 2 – 1 7 0 1 2
2 3 8 – 2 1 6 2 2
5 4 5 4
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• A3. 7 4 – 6 5 9
4 3 4 3
Difficultés à vérifier que le reste est toujours inférieur au diviseur (souvent un oubli) • Faire calculer oralement la division. Lorsque l’élève arrive à l’étape du reste, lui imposer de verbaliser à chaque fois : « Je vérifie que le reste est < au diviseur. » • Faire surligner le reste et le diviseur et comparer les 2 nombres. Difficultés à cibler un nombre au quotient Exemple : 63 : 22 Permettre d’utiliser la calculatrice pour passer par la multiplication et/ou l’addition itérée. Verbaliser la démarche, puis laisser l’élève le faire : « Je cherche un nombre qui, multiplié par 22, va faire 63 ou s’en rapprocher sans le dépasser. » L’élève pourra tâtonner par la multiplication ou passer par l’addition itérée du nombre 22. Faire écrire sur l’ardoise les résultats trouvés. 22 + 22 = 44 ➝ 22 × 2 = 44 22 + 22 + 22 = 66 ➝ 22 × 3 = 66 63 est entre 44 et 66. 3 est trop grand (66 > 63) donc le quotient est 2. Faire calculer ensuite la division.
102
32
Les périmètres du carré et du rectangle Manuel de l’élève pages 66 et 67
Commentaires pédagogiques • Le périmètre d’une figure est la mesure de son contour. Lorsqu’une figure est un polygone de forme quelconque, il suffit d’additionner la mesure de chacun des côtés. Dans le cas du carré et du rectangle, l’égalité des 4 côtés ou des côtés deux à deux permet l’utilisation de formules de calculs : – Le carré a ses 4 côtés égaux : Périmètre du carré = côté × 4 – Le rectangle a 2 longueurs de même mesure et 2 largeurs de même mesure : Périmètre du rectangle = (longueur × 2) + (largeur × 2). On préférera cette formule à celle traditionnellement utilisée, dont le sens est moins évident : Périmètre du rectangle = (longueur + largeur) × 2 • Dans un 2nd temps, montrer que, si l’on connaît le périmètre d’un carré, on peut en retrouver la mesure d’un côté. De même, si l’on connaît le périmètre d’un rectangle et la mesure de sa largeur (ou de sa longueur), on peut retrouver sa longueur (ou sa largeur).
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : mesures, figures géométriques. » ■ Programmes 2008 : – « Calculer le périmètre d’un polygone. » ■ Objectifs des séances : – Calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle. – Découvrir leurs formules. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur la relation entre les nombres 15, 30 et 60. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur l’ardoise • Consignes : « Quelle est la moitié de 30 ? Dans 30, combien de fois y a-t-il 15 ? dans 60 ? Quel est le double de 15 ? de 30 ? de 60 ? Que pouvez-vous dire de 60 par rapport à 15 ? de 15 par rapport à 30 ? » Les élèves répondent sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal de l’enseignant. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous pose des questions. Vous écrivez le résultat directement sur votre cahier. » Énoncer : « Quel est le double de 15 ? le double de 30 ? Dans 60, combien de fois y a-t-il 15 ? Dans 60, combien de fois y a-t-il 30 ? etc. » La correction s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
• Consigne 2 : « L’un d’entre vous vient montrer le périmètre des figures dessinées. » Un élève volontaire montre avec le doigt le périmètre des figures. • Consigne 3 : « Comment faire pour calculer le périmètre de ces polygones ? » Réponse attendue : « Il faut mesurer tous les côtés et les additionner. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
u TEMPS 2 : Rappel sur la notion de « périmètre » Travail collectif oral Durée : 10 min L’objectif de cette phase est de rappeler aux élèves que calculer le périmètre d’un polygone revient à calculer la mesure totale de son contour. • Consigne 1 : « Si nous souhaitions calculer le périmètre de la classe, comment faudrait-il faire ? » Réponse attendue : « Il faudrait mesurer tout le tour en additionnant la mesure des 4 côtés de la classe. » Présenter des figures au tableau (en les projetant ou en les accrochant après les avoir tracées).
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle. Vous allez découvrir les formules de calculs pour calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 66. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche » Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
103
• Consigne : « Rappelez-moi ce qu’est le périmètre d’une figure. » Réponse attendue : « C’est la mesure du contour de la figure. » ‹ Remarque : Le périmètre d’une figure a été étudié au CE2. • A. L’objectif est de découvrir la formule de calcul du périmètre d’un rectangle. Réponses : – Le terrain est rectangulaire. – 3 + 100 + 3 = 106 La longueur L de la barrière est 106 m. Pour calculer le périmètre, elle doit être comptée 2 fois. – 3 + 70 + 3 = 76 La largeur de la barrière mesure 76 m. Pour calculer le périmètre, elle doit être comptée 2 fois. – 106 + 106 + 76 + 76 = 364 Le périmètre du terrain mesure 364 m. Périmètre du rectangle = (Longueur × 2) + (largeur × 2) • B. L’objectif est de découvrir la formule de calcul du périmètre du carré. Réponses : La forme du terrain est carrée. La mesure du côté doit être comptée 4 fois. Périmètre du carré = côté × 4 16 × 4 = 64 La bordure sera de 64 m. • C. L’objectif est de calculer la mesure d’un côté du carré, connaissant son périmètre. Réponse : 120 : 4 = 30 La haie mesurera 30 m. • D. L’objectif est de calculer les longueurs d’un terrain rectangulaire, connaissant son périmètre, puis d’en déduire la mesure d’une longueur. Réponses : 90 – (15 × 2) = 60 Les 2 longueurs mesurent 60 m. 60 : 2 = 30 m. Une longueur mesure 30 m.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1. L’objectif est de calculer le périmètre d’un carré, connaissant la mesure d’un côté, en utilisant la formule de calcul du périmètre du carré. Réponse : 3 × 4 = 12. Le périmètre est de 12 cm. • Exercice 2 : L’objectif est de calculer le périmètre d’un rectangle, connaissant la mesure d’une longueur et d’une largeur, en utilisant la formule de calcul du périmètre du rectangle. Réponse : (7 × 2) + (2 × 2) = 14 + 4 = 18 Le périmètre est de 18 cm. • Exercice 3 : L’objectif est d’utiliser les formules de calculs des périmètres du carré et du rectangle. Réponses : 75 × 4 = 300 ➝ P = 300 cm 20 : 4 = 5 ➝ Côté du carré = 5cm (32 × 2) + (24 × 2) = 64 + 48 = 112 ➝ P = 112 m 80 – (10 × 2) = 80 – 20 = 60 Longueur × 2 = 60 cm 60 : 2 = 30 Longueur = 30 cm En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle à partir de formules de calculs. Nous avons appris à calculer la mesure d’un côté du carré connaissant son périmètre et à calculer la mesure d’une longueur ou d’une largeur d’un rectangle connaissant la mesure du périmètre. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur la relation entre les nombres 15, 30 et 60. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous pose des questions. Vous écrivez directement le résultat sur votre cahier. » Énoncer : « Quelle est la moitié de 60 ? Dans 60, combien de fois y a-t-il 15 ? Dans 30 ? Quel est le double de 30 ? de 15 ? de 60 ? Que pouvez-vous dire de 30 par rapport à 15 ? De 30 par rapport à 60 ? » La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
longueur ou d’une largeur d’un rectangle connaissant son périmètre. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle et à utiliser les formules de calculs. »
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à calculer les périmètres d’un carré et d’un rectangle à partir de formules de calculs. Nous avons appris à calculer la mesure d’un côté du carré connaissant son périmètre et à calculer la mesure d’une
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul du périmètre d’un carré ou d’un rectangle, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A2, B2, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul d’un côté du carré connaissant la mesure
104
Difficultés à identifier et à calculer le périmètre d’un polygone en général • Donner un polygone quelconque. Verbaliser : « Le périmètre de ce polygone, c’est le tour de ce polygone. Le périmètre, c’est la mesure totale de tous les côtés. » L’élève mesure tous les côtés. Il note à chaque fois la mesure du côté mesuré avant de passer au suivant. Lorsque tous les côtés sont mesurés, faire écrire l’addition en ligne. Le calcul pourra se faire en calcul mental, posé ou avec l’aide de la calculatrice. Exemple :
5 cm m 2 cm
2c
m
2c
Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) P = 8 × 4 = 32 cm ; b) P = 7 × 4 = 28 m ; c) P = 24 × 4 = 96 cm • A2. a) P = (9 × 2) + (6 × 2) = 18 + 12 = 30 cm b) P = (30 × 2) + (20 × 2) = 60 + 40 = 100 cm c) P = (16 × 2) + (9 × 2) = 32 + 18 = 50 cm • A3. a) côté = 8 : 4 = 2 cm b) côté = 20 : 4 = 5 cm c) côté = 24 : 4 = 6 cm d) côté = 36 : 4 = 9 cm • A4. Longueur × 2 = périmètre – (largeur × 2) = 60 – (10 × 2) = 60 – 20 = 40 40 : 2 = 20 cm • A5. (450 × 2) + (250 × 2) = 900 + 500 = 1 400 Le périmètre de la pièce mesure 1 400 cm. Il faut 14 m de frise. • A6. 25 × 4 = 100 Le périmètre du tableau est de 100 cm. Parcours B : • B1. a) P = 28 × 4 = 112 cm ; b) P = 92 × 4 = 368 m ; c) P = 250 × 4 = 1 000 m ; d) P = 112 × 4 = 448 m • B2. a) P = (19 × 2) + (17 × 2) = 38 + 34 = 72 m b) P = (49 × 2) + (37 × 2) = 98 + 74 = 172 cm c) P = (150 × 2) + (75 × 2) = 300 + 150 = 450 cm d) P = (217 × 2) + (130 × 2) = 434 + 160 = 594 cm • B3. a) côté = 64 : 4 = 16 cm b) côté = 72 : 4 = 18 m c) côté = 92 : 4 = 23 m d) côté = 136 : 4 = 34 cm • B4. a) Longueur × 2 = périmètre – (largeur × 2) = 120 – (24 × 2) = 120 – 48 = 72 72 : 2 = 36 cm. La longueur mesure 36 cm. largeur × 2 = périmètre – (Longueur × 2) = 300 – (100 × 2) = 300 – 200 = 100 100 : 2 = 50. La largeur mesure 50 cm. • B5. Périmètre = (400 × 2) + (350 × 2) = 1 500 Le périmètre était de 1 500 m avant l’agrandissement. Nouvelle longueur : 400 + 50 = 450 m Nouvelle largeur : 350 + 20 = 370 m Périmètre = (450 × 2) + (370 × 2) = 1 640 m Le périmètre est maintenant de 1 640 m. • B6. Périmètre = (30 × 2) + (20 × 2) = 100 Ce rectangle a un périmètre de 80 cm. 100 : 4 = 25 Un carré de même périmètre aurait des côtés de 25 cm.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
2c m
du périmètre, proposer de commencer par les exercices A3, A6 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul d’une longueur ou d’une largeur connaissant la mesure du périmètre du rectangle, proposer de commencer par les exercices A4, A5 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
5 cm
5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 =18 cm • Faire de même avec des polygones de formes et de tailles très différentes. Difficultés à calculer le périmètre d’un rectangle ou d’un carré (mesures en cm) • Faire tracer le carré ou le rectangle avec les mesures données en cm. Noter les mesures pour visualiser le périmètre. L’élève pose l’addition en ligne comme précédemment et la calcule. Exemple : Calculer le périmètre d’un rectangle qui a 8 cm de longueur et 4 cm de largeur. L’élève trace le rectangle sur papier quadrillé. Il note les mesures de chaque côté. Il écrit l’addition en ligne et la calcule. Il donnera la phrase-réponse oralement. • Pour passer progressivement de l’addition des 4 côtés du rectangle à la formule mathématique, faire repasser sur le rectangle les 2 longueurs d’une couleur et les 2 largeurs d’une autre couleur. Les élèves auront ainsi une image mentale : pour calculer le périmètre, il faut ajouter les 2 l et les 2 L. Faire verbaliser : – « Le rectangle a 2 L identiques et 2 l identiques. Pour calculer son périmètre, je dois ajouter les 2 L et les 2 l. » – « Pour le carré : mesure d’1 côté + mesure d’1 côté + mesure d’1 côté + mesure d’1 côté = mesures de 4 côtés égaux ; donc je multiplie la mesure d’un côté par 4. » Difficultés à calculer le périmètre d’un carré ou d’un rectangle dont les mesures sont données en m Les élèves ont parfois des difficultés à se représenter concrètement la figure dont il faut calculer le périmètre. Faire schématiser et noter les mesures données en expliquant que c’est le schéma de la réalité. Puis suivre la démarche précédente.
105
33
Tableaux et graphiques Manuel de l’élève pages 68 et 69
Commentaires pédagogiques Le tableau et le graphique sont deux méthodes complémentaires de structuration de l’information : – l’organisation en tableau donne de la lisibilité à un ensemble d’informations chiffrées de même nature ; – le graphique permet d’avoir une vision comparative ou évolutive de l’ensemble des informations chiffrées. L’élève sera amené à passer d’un mode de représentation à l’autre.
■ Socle commun (palier 2) : – « Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques. » – « Savoir organiser des informations numériques. » ■ Programmes 2008 : – « Interpréter un tableau ou un graphique. » – « Construire un tableau ou un graphique. » ■ Objectifs des séances : – Lire et interpréter des graphiques. – Organiser des informations dans un tableau. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 grande aiguille est sur le 2, cela veut dire qu’il s’est écoulé 10 min depuis l’heure juste. Etc.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
55 min
Objectif : Lire l’heure sur une pendule à aiguilles. Travail collectif oral
60 min
50 min
15 min
40 min
Utiliser la pendule à aiguilles de la classe (ou une pendule fabriquée en carton). re
10 min
45 min
Durée : 15 min
35 min
5 min
20 min 30 min
25 min
55 min
60 min
50 min
10 min
45 min
15 min
40 min 35 min
5 min
20 min 30 min
25 min
1 étape : Rappeler le rôle des aiguilles
• Expliquer que chaque petite graduation correspond à 1 min.
• Consigne 1 : « À quoi servent la petite et la grande aiguille ? » Réponse attendue : « La grande aiguille sert à indiquer l’heure, la petite les minutes. »
• Positionner les aiguilles pour avoir 10 heures. Puis tourner la petite aiguille de min en min : les élèves lisent l’heure.
• Consigne 2 : « Combien y a-t-il de minutes dans une heure ? » Réponse attendue : 60 min
‹ Remarque : Nous ne parlerons pas de « moins 20, moins le quart… » mais on ajoutera uniquement les minutes. Exemple :
2e étape : Lire les heures et les demi-heures • Consigne 1 : « Observez la pendule. Quand la petite aiguille est sur un nombre et la grande sur le 12, qu’est-ce que cela indique ? » Réponse attendue : une heure juste Placer des heures justes sur la pendule. Les élèves verbalisent l’heure indiquée. • Consigne 2 : « Quand la grande aiguille est sur le 6 et la petite entre 2 et 3, qu’estce que cela signifie ? » Réponse attendue : Il est 2 h passées de 30 min. On dit qu’il est 2 h et demie. • Consigne 3 : « Si nous étions l’après-midi, quelle heure seraitil ? » Réponse attendue : 14 h 30 3e étape : Lire l’heure exacte avec les minutes • Expliquer : Lorsque la grande aiguille est sur le 1, cela veut dire qu’il s’est écoulé 5 min depuis l’heure juste. Lorsque la
Sur cette pendule, le matin, il est 6 h 50. L’après-midi, il est 18 h 50. Montrer différents horaires sur la pendule, les élèves lisent l’heure. ‹ Remarque importante : Pour que l’apprentissage de la lecture de l’heure soit efficace et effectif, cette activité doit être menée quotidiennement, tout au long de la journée. Une seule leçon ne pourrait suffire. Se référer régulièrement à la pendule et demander l’heure aux élèves. Exemples : – « Nous commençons notre séance de mathématiques. Quelle heure est-il ? » – « Vous avez 15 min pour réaliser ce travail. Quelle heure estil ? Quelle heure sera-t-il quand vous aurez terminé ? » – Faire lire en partant en récréation, au retour, etc.
106
Réponses : – C’est novembre. – Par une colonne coloriée en bleu. – Graphique à compléter :
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Hauteur d’eau
Durée : 35 min
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à lire et à comprendre des tableaux et des graphiques et à organiser des informations dans un tableau. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 68. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire, d’interpréter les informations données sous forme de graphique et de les organiser dans un tableau. Réponses : – Le graphique donne les températures sur une année sur l’Île de Ré. – Je repère le mois de juillet en bas du graphique. En haut de la colonne, je suis la ligne sur la gauche pour lire la température. Pour ne pas me tromper, je peux positionner la règle en haut de la colonne de juillet. – Le mois le plus froid est janvier. C’est la plus petite colonne. – Tableau à compléter : T
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
8
10 12 14 18 21 24 24 22 18 13
9
• B. L’objectif est de lire et comprendre des informations données en tableau, puis de les organiser sous forme d’histogramme (diagramme en bâtons).
J F M A M J J A S O N D
Mois
– 90 – 35 = 55 La différence de hauteur de pluie entre novembre et juillet est de 5 mm.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent l’exercice sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est d’organiser des données chiffrées dans un tableau. L M Me J V Nombre 25 20 40 35 45 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à lire des tableaux et des graphiques et à organiser des informations dans un tableau. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire
Travail oral collectif
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Lire l’heure sur une pendule à aiguilles. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Je vais indiquer une heure sur ma pendule. Vous devrez la lire. » Montrer : 7 h 00 ; 12 h 30 ; 17 h 30 ; 8 h 45 ; 6 h 13 ; 4 h 27 ; 20 h 15… et indiquer s’il s’agit du matin ou de l’après-midi. Les élèves nomment l’heure indiquée. • Consigne 2 : « J’écris une heure, un élève vient placer les aiguilles sur la pendule. » Écrire au tableau : 9 h 15 ; 12 h 07 ; 23 h 18… Un élève place les aiguilles. Les autres valident ou pas en argumentant leur propos. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je montre une heure sur la pendule. Vous l’écrivez sur votre cahier. » Montrer : 7 h 25 ; 11 h 30 ; 12 h 00 ; 5 h 15 ; 17 h 48; etc. Indiquer s’il s’agit du matin ou de l’après-midi. La correction collective s’ensuit.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à lire des tableaux et des graphiques et à organiser des informations dans un tableau. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous exercer à lire des graphiques, à organiser leurs données dans un tableau, à résoudre des problèmes avec les informations données dans un graphique ou un tableau, à construire un graphique à partir d’informations à prélever dans un tableau. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
107
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture de graphiques et l’organisation de ses informations dans un tableau, proposer de commencer par les exercices A1, A3, B1 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture de tableaux et l’organisation de ces informations dans un graphique (histogramme), proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices :
420 – 340 = 80 80 voitures ont été vendues au 4e trimestre.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à lire et à compléter un tableau à double entrée • Proposer le tableau ci-dessous. Lundi
Parcours A : • A1.
Nombre pour 100 personnes
France
Étranger
Ne partent pas
40
10
35
Car
Fromage Tarte aux pommes Total • Travailler le repérage des lignes et des colonnes en faisant suivre avec le doigt la colonne désignée, la ligne désignée… Montrer une case et demander à l’élève sur quelle ligne elle se trouve et en même temps sur quelle colonne. • Donner un tableau vierge : seuls les en-têtes des lignes et des colonnes sont écrits. Placer un jeton dans le tableau. L’élève indique sur quelle ligne et quelle colonne il se situe. • À l’inverse, demander à l’élève de placer un jeton sur la case désignée. • Donner un tableau à double entrée complet. Poser des questions : l’élève recherche les informations dans le tableau. • À l’inverse, donner des informations à placer dans un tableau (dessins, nombres…). Reprendre le tableau ci-dessus. Exemple : Aide le restaurateur à faire ses comptes. Le lundi, 67 menus du jour et 45 tartes aux pommes ont été servis. Le mardi, 38 salades composées, 45 menus du jour, 15 fromages et 7 tartes aux pommes ont été servis. Le jeudi, 59 salades composées, 12 menus du jour et 18 fromages ont été servis. Le vendredi, 43 salades composées, 29 fromages et 32 tartes aux pommes ont été servis. Combien de salades composées ont été servies durant ces 4 jours ? Combien de menus du jour ? de fromages ? de tartes aux pommes ?
Moyen de transport
Voiture
• A3.
Nombre de personnes
– de 20 ans
de 20 à 40 ans
de 40 à 60 ans
plus de 60 ans
25
50
60
55
25 + 50 + 60 + 55 = 190 La population totale du village est de 190 habitants. Parcours B : • B1. CP
CE1
CE2
CM1
CM2
Filles
15
9
14
18
13
Garçons
10
12
14
11
16
• B2. Nombre d’élèves 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Vendredi
Menu du jour
Nombre de personnes
Train
Jeudi
Salade composée
• A2. 300 250 200 150 100 50 0
Mardi
Difficultés à lire un graphique (histogramme) • Faire identifier les informations données par les 2 axes (« abscisses » et « ordonnées », mais il n’est pas utile d’introduire ce vocabulaire). • Faire placer une règle au niveau du 1er bâton de l’histogramme pour faciliter la lecture. • Proposer diverses situations de lecture d’histogrammes (exemple : en géographie).
Bus Voiture À pied À vélo Moyen de déplacement
• B3. Trimestres
1er
2e
3e
Nombre de voitures
80
140
120
4e
80 + 140 + 120 = 340 340 voitures ont été vendues au cours des 3 premiers trimestres.
Difficultés à transcrire les informations d’un tableau dans un histogramme (ou inversement) • S’assurer de la compréhension du tableau et du graphique (lecture).
108
• Prendre les informations une à une et verbaliser la démarche pour transférer l’information du tableau et la placer dans le graphique (ou le contraire). • S’appuyer sur chaque ligne/colonne du tableau et chaque abscisse/ordonnée du graphique. Exemple : Tennis
Danse
Football
15
20
30
Nombre d’adhérents Nombre d’adhérents 40 30 20 10 0
Type de sports Tennis Danse
Foot
109
34
Les durées Manuel de l’élève pages 70 et 71
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions. » – « Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : mesures. »
La durée est l’espace de temps compris entre une heure de début et une heure de fin. Le travail sur les durées comporte 2 difficultés : – la numération sexagésimale partielle (le passage de l’heure aux minutes et de la minute aux secondes) est un système qui ne se décline pas du jour aux heures ; – le calcul d’une durée lorsque l’on passe du matin à l’aprèsmidi, pour des heures observées sur une pendule à aiguilles (de 11 h à 3 h de l’après-midi par exemple) ou lorsque l’on passe d’une heure de soirée à une heure le lendemain matin. C’est pour travailler sur ces difficultés que cette leçon s’appuie autant sur l’observation de la pendule que sur le calcul luimême.
■ Programmes 2008 : – « Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées et leurs relations. » ■ Objectifs des séances : – Connaître et utiliser les mesures de durées (h, min) et les relations qui les lient. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une pendule en carton ou en papier.
Séance 1 u TEMPS 2 : Lecture de l’heure
Travail préparatoire
Travail collectif oral
u Temps 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur les mesures de capacité et les relations qui les lient. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi les mesures de capacités que vous connaissez. » Réponse attendue : L, dL, cL, mL. • Consigne 2 : « Je vous donne des mesures de capacités en L. Vous me donnez leur valeur dans l’unité demandée. » Énoncer : 1 L = … dL ; 8 L = … cL ; 5 L = … mL Réponses : 1 L = 10 dL ; 8 L = 800 cL ; 5 L = 5 000 mL Interroger les élèves à tour de rôle. • Consigne 3 : « J’énonce des mesures de capacité dans différentes unités. Vous me donnez l’équivalent de ces mesures en L. » Énoncer : 500 cL ; 1 300 dL ; 8 000 mL Réponses : 500 cL = 5 L ; 1 300 dL = 13 L ; 8 000 mL = 8 L Interroger les élèves à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « Je vous donne des mesures de capacité en L. Vous écrivez leur valeur dans l’unité demandée. » Énoncer : 5 L = … dL ; 9 L = … dL ; 12 L = … cL Réponses : 5 L = 50 dL ; 9 L = 90 dL ; 12 L = 1 200 cL Les élèves écrivent les égalités et les résultats sur leur cahier. • Consigne 2 : « J’énonce des mesures de capacité dans différentes unités. Vous écrivez l’équivalent de ces mesures en L. » Énoncer : 200 cL ; 6 000 cL ; 450 dL ; 3 000 mL Réponses : 200 cL = 2 L ; 6 000 cL = 60 L ; 450 dL = 45 L ; 3 000 mL =3L Les élèves écrivent les égalités et les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
110
Durée : 10 min
• Consigne : « Lors de la leçon précédente, nous avons revu en calcul mental la lecture de l’heure. Je vous montre une heure sur ma pendule à aiguilles ; vous lisez l’heure indiquée. » Montrer des heures variées en précisant s’il s’agit du matin ou de l’après-midi.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à utiliser les mesures de durée et les relations qui les lient. » • Consigne 1 : « Rappelez-moi combien il y a de minutes dans une heure. » (60 min) • Consigne 2 : « Rappelez-moi combien il y a de secondes dans 1 min. » (60 min) Les élèves ouvrent leur manuel à la page 70. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier une heure de départ (lecture de l’heure sur la pendule à aiguilles) et de calculer une durée par addition de mesures de durée. Réponses : Elle part à 8 h 05 de chez elle. 10 + 5 + 15 + 20 + 5 = 55 La durée totale de son trajet est de 55 min. 8 h 05 + 55 min = 8 h + 60 min = 9 h Elle arrive à 9 h à son travail.
‹ Remarque : Montrer la correction sur la pendule à aiguilles. Positionner les aiguilles sur 8 h 05 et faire avancer la grande aiguille de 55 min.
Réponses : – 21 h 08 + ? = 24 h 00 8 min + 52 min = 1 h Donc 21 h 08 + 52 min = 22 h et 22 h + 2 h = 24 h De 21 h 08 à 24 h, il y a une durée de 2 h et 52 min. La durée entre l’heure de départ et minuit le lundi est de 2 h 52 min. – De 0 h à 9 h 18, il y a 9 h 18. Il y a 9 h 18 le mardi entre minuit et l’heure d’arrivée. – 2 h 52 + 9 h 18 = 11 h et 70 min soit 12 h et 10 min car 60 min = 1 h.
• B. L’objectif est de calculer une durée en connaissant l’heure de départ et l’heure d’arrivée. ‹ Remarque : Les élèves peuvent calculer la soustraction 8 h 55 – 7 h 45 car il n’y a pas de conversions à faire (les conversions ne sont pas au programme de CM1). Sinon, ils doivent calculer la durée par complément. Réponses : 8 h 55 – 7 h 45 = 1 h 10 Autre manière : 7 h 45 pour arriver à 8 h 55. Il manque 15 min pour arriver à 8 h. Il manque 55 min pour arriver à 8 h 55. 15 + 55 = 70 min soit 1 h et 10 min. La durée de son trajet est de 1 h et 10 min.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de calculer des durées en connaissant les heures de départ et d’arrivée. Réponses : 1 h 50 / 3 h 15 / 6 h • Exercice 2 : L’objectif est de convertir des durées en min ou en h et min. Réponses : 1 h 15 = 75 min / 74 min = 1 h 14 min 2 h 05 = 125 min En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à utiliser les mesures de durée et les relations qui les lient. » Lire la rubrique « Retenir ».
• C. L’objectif est de calculer l’heure de départ en connaissant l’heure d’arrivée et la durée. Réponse : 8 h 00 – 1 h et 10 min (Les élèves de CM1 ne peuvent pas faire le calcul, ils doivent calculer étape par étape.) 8 h 00 – 1 h = 7 h Je recule de 10 min à partir de 7 h : il est 6 h 50. Le papa de Boris doit partir à 6 h 50. • D. L’objectif est de calculer une durée qui se déroule sur 2 jours différents. Les élèves sont guidés par les étapes. ‹ Remarque : Faire rappeler que minuit est égal à 24 h de la journée qui s’achève et 0 h de la journée qui débute.
Séance 2 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : S’entraîner sur les mesures de capacité et les relations qui les lient.
Travail individuel écrit
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Je vous donne des mesures de capacité dans différentes unités. Vous me donnez leur valeur dans l’unité demandée. » Énoncer : 60 cL = … mL ; 32 dL = … cL ; 500 cL = … L Réponses : 60 cL = 600 mL ; 32 dL = 320 cL ; 500 cL = 5 L Interroger les élèves à tour de rôle.
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul d’une durée, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A2, A5, B2 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul pour trouver l’heure de départ, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul pour trouver l’heure d’arrivée, proposer de commencer par les exercices A3, A6, B3 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des mesures de capacité dans différentes unités. Vous écrivez leur valeur dans l’unité demandée. » Énoncer : 6 L = … cL ; 56 L = … mL ; 21 000 cL = … L Réponses : 6 L = 600 cL ; 56 L = 56 000 mL ; 21 000 cL = 210 L Les élèves écrivent les égalités et les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à utiliser les mesures de durée et les relations qui les lient. »
Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) de 6 h 30 à 10 h 30 ➝ 4 h b) de 14 h 15 à 17 h 45 ➝ 3 h 30 min • A2. a) 30 min b) 1 h 50 min • A3. a) 9 h 10 b) 16 h 50
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur ces mesures de durée. Vous devrez calculer des durées, l’heure de départ ou l’heure d’arrivée. »
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c) 15 h
• A4. a) 14 h b) 17 h 30 c) 17 h 15 • A5. de 16 h 50 à 17 h 25 ➝ 35 min Nolan a joué 35 min. • A6. Ajouter 55 min, c’est ajouter 1 h et enlever 5 min. 8 h 41 + 1 h = 9 h 41 9 h 41 – 5 min = 9 h 36 Le train arrive à Paris à 9 h 36. ‹ Remarque : D’autres démarches sont possibles. • Passer par l’heure entière. 8 h 41 + 55 min = ? 19 min 36 min 9h 9 h 36 8 h 41 • 8 h 41 min + 55 min = ? J’ajoute les minutes : 41 + 55 = 96 min 96 min c’est 1 heure et 36 min 8 h + 1 h + 36 min = 9 h 36 Parcours B : • B1. a) de 14 h 22 à 17 h 52 ➝ 3 h 30 b) de 6 h 43 à 11 h 36 ➝ 4 h 53 • B2. a) 12 h 40 b) 8 h 57 • B3. a) 9 h 42 b) 14 h 54 c) 15 h 30 • B4. a) 16 h 15 b) 7 h 45 c) 17 h 27 • B5. de 14 h 15 à 16 h 53 ➝ 2 h 38 min La séance dure 2 h 38 min. • B6. Arrivée à 2 h 52. Les passagers lisent 2 h 52 sur leur montre.
Schématiser la situation : Départ 16 h 30
Arrivée
durée du trajet : 10 min
16 h 30 + 10 min = 16 h 40 • Faire de même avec d’autres situations : aller de la maison à la bibliothèque ; de l’école au gymnase… en fonction du contexte local. Exemple 2 : Le mercredi, Luna va à la danse. Elle arrive à la salle de danse à 14 h 30. Elle met 20 min pour s’y rendre. À quelle heure part-elle de chez elle ? Départ Arrivée durée du trajet : 20 min ? 14 h 30 – « L’heure de départ est-elle avant ou après 14 h 30 ? » (avant) – « Combien de temps met-elle pour se rendre à la danse ? » (20 min) – « Que faut-il faire pour trouver l’heure à laquelle elle est partie ? » (enlever 20 min) Départ Arrivée 14 h 30 – 20 min durée du trajet : 10 min 14 h 30 = 14 h 10 La pendule à aiguilles peut être une aide efficace. Difficultés à calculer la durée • Schématiser des situations en racontant en même temps l’histoire. Exemple : Gabin part le matin à 8 h 15 pour aller au collège. Départ
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à calculer l’heure d’arrivée ou l’heure de départ • Matérialiser au sol des situations que l’élève va vivre corporellement. Exemple 1 : – « Tu pars de l’école pour rentrer chez toi. Il est 16 h 30. » Symboliser ce départ par un trait au sol. L’élève se place derrière ce trait. – « Le trajet pour rentrer chez toi dure 10 min. » L’élève marche. – « Tu arrives chez toi. » Placer un trait représentant l’arrivée. – « Est-ce plus tard ou plus tôt que 16 h 30 ? Comment faire pour savoir à quelle heure tu arrives ? » Réponse attendue : « Il faut ajouter les 10 min de trajet à l’heure à laquelle je suis parti(e) de l’école pour avoir l’heure d’arrivée. »
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8 h 15 Il arrive devant le portail du collège à 8 h 25. Départ
Arrivée
8 h 15 8 h 25 Combien de temps met-il pour aller au collège ? c’est-à-dire quelle est la durée de son trajet ? Départ Arrivée durée du trajet : ? 8 h 15 8 h 25 Réponse attendue : « Il part à 8 h 15. Je cherche ce qui manque pour arriver à 8 h 25. 8 h et 15 min + 10 min = 8 h et 25 min (car, pour aller de 15 à 25, il manque 10) Gabin met 10 min pour aller au collège. »
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Problèmes de la vie courante: les capacités Manuel de l’élève pages 72 et 73
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures. »
L’élève devra être capable d’identifier un problème sur les capacités à partir de mots inducteurs : les noms de liquides, les récipients cités ou bien encore les termes désignant des unités de mesure. Il pourra alors choisir explicitement parmi les procédures de base : – capacité totale = capacité A + capacité B + … ; – capacité B = capacité totale – capacité A ; – capacité totale = capacité d’un récipient x nombre de fois où ce récipient est utilisé ; – capacité d’un récipient = capacité totale : nombre de récipients identiques. Tous les problèmes sur les capacités se résumeront à l’une de ces procédures, l’un ou l’autre des éléments étant éventuellement à calculer (problème à plusieurs étapes de calcul).
■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes sur les mesures de capacité en utilisant le vocabulaire spécifique. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Réponses : – Famille Gaspi : 4 personnes 4 bains : 640 × 4 = 2 560 quantité totale = 2 560 + 160 + 40 = 2 760 La famille Gaspi consomme 2 760 L d’eau par jour. – Famille Éco : 4 personnes 4 douches : 240 × 4 = 960 quantité totale = 960 + 100 + 20 = 1 080 La famille Éco consomme 1 080 L d’eau par jour.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner à diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. Durée : 15 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne : « Nous allons faire un jeu. En début de partie, vous êtes tous debout. J’énonce des divisions à calculer mentalement. Je vous interroge à tour de rôle au hasard. Vous devez me donner le résultat en 5 s. Si vous vous trompez ou si vous dépassez le temps, vous avez perdu et vous devez vous asseoir. Le dernier qui reste debout a gagné. » Énoncer : 18 : 2 / 21 : 3 / 36 : 9 / 15 : 3 / 16 : 4 À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez les résultats de ces divisions. » Énoncer : 24 : 2 / 20 : 4 / 48 : 8 / 49 : 7 / 33 : 3 Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction s’ensuit.
• B. L’objectif est de découvrir une typologie de problèmes sur les capacités du type « différence de capacité = capacité A – capacité B ». Réponse : 2 760 – 1 080 = 1 680 La différence de consommation d’eau entre les 2 familles est de 1 680 L d’eau par jour. • C. L’objectif est de découvrir une typologie de problèmes sur les capacités du type « capacité totale = capacité A × nombre de fois ». Réponse : La quantité gâchée par les Gaspi, c’est la différence entre leur consommation et celle de la famille Éco. 1 680 × 31 = 52 080 En 31 jours, la famille Gaspi gâche 52 080 L d’eau.
Travail dans le manuel
‹ Remarque : Les élèves peuvent utiliser la calculatrice. • D. L’objectif est de découvrir une typologie de problèmes sur les capacités du type « capacité d’1 part = capacité totale : nombre de parts ». Réponses : - Famille Gaspi : 2 760 : 4 = 690 Chaque personne consomme en moyenne 690 L d’eau par jour. – Famille Éco : 1 080 : 4 = 270 Chaque personne consomme en moyenne 270 L d’eau par jour.
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez résoudre des problèmes sur les mesures de capacité. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 72. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir une typologie de problèmes sur les capacités du type « capacité totale = capacité A + capacité B ».
‹ Remarque : Les élèves peuvent utiliser la calculatrice.
u Temps 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d'application ».
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• Problème 1 : L’objectif est de résoudre un problème de type « capacité B = capacité totale – capacité A ». Réponse : capacité de fioul à faire livrer = capacité totale de la cuve – capacité restant dans la cuve 4 000 – 990 = 3 010 La famille Petrolus doit se faire livrer 3 010 L de fioul. • Problème 2 : L’objectif est de résoudre un problème de type « capacité totale = capacité d’une part × nombre de parts ». Réponse : capacité totale = capacité d’une bouteille × nombre de bouteilles 12 × 75 cL = 900 cL = 9 L Ils doivent acheter 9 bouteilles d’1 L d’eau. • Problème 3 : L’objectif est de résoudre un problème de type « nombre de parts = capacité totale : capacité d’une part ». Réponse : nombre de flacons = capacité totale de parfum : capacité d’un flacon 48 L = 4 800 cL 4 800 : 50 = 96
Il obtient 96 flacons. ‹ Remarque : Rappeler que, pour calculer des mesures, il faut les convertir dans la même unité. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les mesures de capacités. » Lire la rubrique « Retenir ». ‹ Remarque : Construire un référent didactique sur les problèmes sur les mesures de capacité qui sera affiché sur le mur avec les autres référents mathématiques. Les problèmes sur les mesures de capacité • capacité totale = capacité A + capacité B • capacité B = capacité totale – capacité A • capacité totale = capacité A × nombre de fois • capacité d’une part = capacité totale : nombre de parts • nombre de parts = capacité totale : capacité d’une part
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner à diviser un nombre à 2 chiffres par un nombre ≤ 9. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Nous allons faire le même jeu qu’hier. Rappelezmoi la règle du jeu. » Un élève rappelle la règle du jeu. Énoncer des divisions du type : 24 : 8 / 45 : 9 / 18 : 6 / etc. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez les résultats des divisions que je vais vous donner. » Énoncer : 81 : 9 / 56 : 7 / 36 : 6 / etc. Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier. La correction collective suit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Correction des exercices : Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les mesures de capacité. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur les mesures de capacité. Vous pouvez utiliser la calculatrice pour les calculs. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de types « capacité totale = capacité A + capacité B » et/ou « capacité B = capacité totale – capacité A », proposer de commencer par les problèmes A3, A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de type « capacité totale = capacité A × nombre de fois », proposer de commencer par les problèmes A4, B1 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de types « capacité d’une part = capacité totale : nombre de parts » et « nombre de parts = capacité totale : capacité d’une part », proposer de commencer par les problèmes A1, B3 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
Parcours A : • A1. 150 : 15 = 10 Marin pourra remplir 10 gobelets de 15 cL avec sa bouteille de 150 cL. • A2. 60 – 5 = 55 Amélie doit ajouter 55 L pour remplir son réservoir. • A3. 120 + 60 + 60 + 10 = 250 Pedro prépare 250 cL de cocktail de fruits. • A4. 75 × 16 = 1 200 La quantité totale de liquide est de 1 200 cL, soit 12 L. Elle aurait pu acheter 12 bouteilles de 1 L. Parcours B : • B1. 498 × 3 = 1 494 La capacité totale des 3 cuves est de 1 494 L. 1 494 – 196 = 1 298 Il reste 1 298 L lundi soir après l’arrosage. • B2. 9 000 – 1 475 = 7 525 Le camion-citerne doit livrer 7 525 L d’essence pour que la cuve soit à nouveau pleine.
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• B3. 10 L et 50 cL = 1 050 cL 1 050 : 15 = 70 Jonathan a bu 70 verres. • B4. 2 + 1 + 2 = 5 5 cuillères de sirop par jour 5 × 5 = 25 Soré prend 25 mL de sirop par jour. 25 × 10 = 250 Elle boit 250 mL de sirop en 10 jours. La bouteille de sirop de 250 mL sera suffisante.
2) Pour arroser les plantes, Margot utilise une bouteille de 150 cL. Elle verse 25 cL. Quelle capacité reste-t-il dans la bouteille après avoir arrosé les plantes ?
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Difficultés à résoudre des problèmes sur les capacités de type « capacité d’une part = capacité totale : nombre de parts » • S’appuyer sur la manipulation concrète. Exemple : « Tu as 18 craies. Tu veux les partager avec 2 amis. Combien aurez-vous de craies chacun ? Comment faire ? Quelle opération dois-tu effectuer ? » L’élève verbalise : « Je dois partager les 18 craies entre mes 2 amis et moi, ce qui fait 3. L’opération qui permet de partager est la division. Je dois donc diviser 18 par 3 pour connaître le nombre de craies que chacun de nous aura. » Écrire en même temps : 18 : 3 = ? L’élève verbalise : « Je cherche dans la table de 3 un nombre qui, multiplié par 3, donne 18. C’est 6. Nous aurons 6 craies chacun. » Compléter l’opération : 18 : 3 = 6.
Difficultés à résoudre des problèmes sur les capacités de type « capacité totale = capacité A × nombre de fois » • Proposer des problèmes simples de la vie courante en donnant pour seules informations la capacité A et le nombre de fois que cette capacité A est utilisée. Exemple : Sasha est en vacances au bord de la mer. Elle s’amuse à transporter de l’eau pour faire un puits dans le sable. Son seau rempli contient 200 cL. Elle fait 3 voyages. Quelle quantité totale d’eau a-t-elle transportée dans son seau ?
Difficultés à résoudre des problèmes sur les mesures de capacités de types « capacité totale = capacité A + capacité B » et « capacité B = capacité totale – capacité A » • Proposer des problèmes additifs et soustractifs simples sur les mesures de capacité en s’appuyant sur des situations de la vie courante. Exemples : 1) Luna prépare de la pâte à crêpes. Elle verse 500 cL de lait, 200 cL d’eau et 25 cL d’eau de fleur d’oranger dans la farine. Quelle quantité de liquide a-t-elle versée ?
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La division par un nombre à deux chiffres (2) Manuel de l’élève pages 74 et 75
Commentaires pédagogiques C’est la première leçon sur la technique de la division par un nombre à deux chiffres. Nous avons choisi de commencer par la division par 10, 20, 30, etc., pour deux raisons : – poser et structurer le mécanisme opératoire sans que la difficulté du calcul fasse obstacle à la compréhension ; – préparer à la recherche du quotient par les valeurs approchées (leçon 40) en arrondissant dividende et diviseur à la dizaine la plus proche.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Division euclidienne de deux entiers. » ■ Objectif des séances : – Diviser un nombre entier par 10 ou un multiple de 10 au diviseur. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1
Durée : 10 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 74. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on calcule le double d’un nombre. » Réponse attendue : « On le multiplie par 2. »
• A. L’objectif est de découvrir que, pour diviser par 10 un nombre entier ayant un 0 comme chiffre des unités, il suffit de supprimer ce 0. Réponses : Pour diviser 480 par 10, on enlève un 0.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Calculer le double, le triple, le quadruple d’un nombre. Travail collectif oral et individuel écrit
• Consigne 2 : « Rappelez-moi comment on calcule le triple d’un nombre. » Réponse attendue : « On le multiplie par 3. Pour se souvenir, « triple » commence comme « trois ». » • Consigne 3 : « Rappelez-moi comment on calcule le quadruple d’un nombre. » Réponse attendue : On le multiplie par 4. Pour se souvenir, « quadruple » commence comme « quatre ». Énoncer : « Quel est le triple de 4 ? le quadruple de 8 ? le double de 20 ? etc. » Les élèves répondent à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous demande le double, le triple ou le quadruple d’un nombre. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. Si vous ne savez pas, laissez un espace. » Énoncer : « Quel est le triple de 8 ? le double de 40 ? le triple de 20 ? le quadruple de 9 ? etc. » Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective suit.
8 0 8 8 0
0
1 0 4 8
0 0 0
• B. L’objectif est d’asseoir la découverte faite en A : diviser un nombre entier terminé par 0 revient à enlever le 0 de ce nombre. Réponses : 3 – 3 0 –
6 0 6 6 0
1 0 3 6
0 0 0 0
6 – 6 0 –
8 0 8 8 0
0 0 0 0
1 0 6 8
7 – 7 0 –
4 0 4 4 0
0
1 0 7 4
0 0 0
Pour diviser par 10 un nombre ayant 0 pour chiffre des unités, il faut supprimer le 0. • C. L’objectif est de découvrir que, pour diviser par 20 un nombre entier terminé par un 0, il suffit de diviser ce nombre par 10 (supprimer le 0 de ce nombre), puis de diviser par 2. Réponse :
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
4 – 4 0 –
4 – 4 0 –
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à diviser un nombre par 10 ou un multiple de 10 au diviseur, en posant la division. »
116
2 0 2 2 0
0 0 0 0
2 0 2 1
Pour diviser par 20 un nombre entier terminé par un 0, il faut d’abord le diviser par 10, puis par 2. • D. L’objectif est de découvrir que, pour diviser un nombre entier terminé par un 0 par un multiple de 10, il suffit de diviser ce nombre par 10 (supprimer le 0 de ce nombre), puis de diviser par le chiffre des dizaines restant. Réponses : 3 0 2 2
6 6 0 – 6 0 6 0 – 6 0 0
8 – 8 0 –
4 0 4 4 0
0 0 0 0
4 0 2 1
1 2 6 0 – 1 2 0 0 0 6 0 – 6 0 0 0
• Exercice 2 : L’objectif est calculer en ligne la division par 10 d’un nombre entier terminé par un 0 : il suffit d’enlever le 0 de ce nombre. Réponses : 620 : 10 = 62 / 340 : 10 = 34 / 820 : 10 = 82 / 910 : 10 = 91 • Exercice 3 : L’objectif est de diviser un nombre entier terminé par 0 par un multiple de 10. Réponse :
6 0 2 1
4 – 4 0 –
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
8 0 8 8 0
0
4 0 1 2
0 0 0 0
• Exercice 4 : L’objectif est de calculer en ligne la division d’un nombre entier terminé par 0 par un multiple de 10 : il suffit de diviser ce nombre par 10 (supprimer le 0 de ce nombre), puis de diviser par le chiffre des dizaines. Réponses : 450 : 30 = 45 : 3 = 15 280 : 20 = 28 : 2 = 14 440 : 40 = 44 : 4 = 11 500 : 50 = 50 : 5 = 10
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre sur leur cahier : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de diviser par 10 un nombre entier terminé par 0. Réponse : 9 – 9 0 –
8 0 8 8 0
1 0 9 8
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à diviser un nombre par 10 ou un multiple de 10 au diviseur en posant la division ou en la calculant en ligne. »
0 0 0
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à diviser un nombre par 10 ou un multiple de 10 en ligne et en colonnes. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Calculer le double, le triple, le quadruple d’un nombre. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je vous demande le double, le triple ou le quadruple d’un nombre ; vous nommez le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle. Énoncer : « Quel est le triple de 300 ? le double de 450 ? le triple de 45 ? le quadruple de 60 ? etc. » Les élèves nomment le résultat. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous demande le double, le triple ou le quadruple d’un nombre ; vous écrivez le résultat sur votre cahier. Si vous ne savez pas, laissez un espace. » Énoncer : « Quel le double de 80 ? le triple de 30 ? de 90 ? le quadruple de 100 ? le double de 500 ? etc. » Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective suit.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à diviser un nombre par 10 ou un multiple de 10 au diviseur en posant la division ou en la calculant en ligne. »
117
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division par 10 en colonnes ou en ligne, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division par un multiple de 10 en colonnes ou en ligne, proposer de commencer par les exercices A2, A3, B2, B3, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 2 – 2 . –
1 0 1 1 .
0
2 520 : 60 = 252 : 6 = 42 2 160 : 90 = 216 : 9 = 24 • B4. 345 + 225 = 570 Il doit emballer 570 bonbons. 570 : 10 = 57 Le chocolatier peut remplir 57 boîtes de 10 bonbons. • B5. 2 295 – 135 = 2 160 Il peut vendre 2 160 concombres. 2 160 : 40 = 216 : 4 = 54 Le maraîcher peut remplir 54 cageots de 40 concombres.
1 0 2 1
0 0 0
320 : 10 = 32 / 460 : 10 = 46 / 610 : 10 = 61 • A2. 2 – 2 . –
8 0 8 8 .
0 0 0 0
2 0 1 4
3 – 2 1 – 1
4 0 4 4 .
0
2 0 1 7
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
0 0 0
• A3. 630 : 30 = 63 : 3 = 21 880 : 40 = 88 : 4 = 22 960 : 30 = 96 : 3 = 32 550 : 50 = 55 : 5 = 11 • A4. 210 : 10 = 21 Le camion devra faire 21 voyages. • A5. 540 : 20 = 54 : 2 = 27 La salle contient 27 rangées de 20 fauteuils. Parcours B : • B1. 54 × 10 = 540 ➝ 540 : 10 = 54 63 × 10 = 630 ➝ 630 : 10 = 63 84 × 10 = 840 ➝ 840 : 10 = 84 73 × 10 = 730 ➝ 730 : 10 = 73 45 × 10 = 450 ➝ 450 : 10 = 45 • B2. 780 : 20 = 78 : 2 = 39 640 : 20 = 64 : 2 = 32 920 : 20 = 92 : 2 = 46 1 240 : 20 = 124 : 2 = 62 • B3. 960 : 30 = 96 : 3 = 32 1 550 : 50 = 155 : 5 = 31 1 640 : 40 = 164 : 4 = 41
Difficultés à diviser un nombre entier terminé par un 0 par 10 Écrire des divisions et verbaliser. Barrer le 0 du 10 et le 0 du nombre à diviser. Exemple : 680 : 10 ➝ 680 : 10 = 68 Difficultés à diviser un nombre entier terminé par un 0 par un multiple de 10 • Écrire : 840 : 40 = ? Verbaliser : « On commence par diviser par 10. Pour diviser par 10, on enlève le 0 du nombre 840. Il reste 84 : 4. On pose la division et on calcule. » 8 – 8 0 – 0 0
4
4 2 1
4 4 0
• Faire de même avec d’autres nombres entiers terminés par un 0 et/ou un multiple de 10.
118
37
Méthodologie: organiser les informations Manuel de l’élève page 76
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes. »
Les informations contenues dans un énoncé de problème peuvent être données de manière dispersée. Il peut donc être intéressant de les regrouper pour leur donner de la cohérence et de la lisibilité. L’organisation de ces informations et données sous forme de tableau est une possibilité qui sera exploitée dans cette leçon.
■ Objectif de la séance : – Organiser les informations d’un énoncé de problème pour mieux le résoudre.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Les élèves ouvrent leur manuel à la page 76. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u Temps 1 : Calcul mental Objectif : Calculer la moitié, le quart, le tiers d’un nombre. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 15 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on calcule la moitié d’un nombre. » Réponse attendue : On le divise par 2.
• A. L’objectif est d’identifier les données utiles, parmi les nombreuses informations, pour répondre au questionnement. Réponses : Pour connaître le nombre d’hommes dans l’Oise, Margot doit rechercher le nombre total d’habitants de l’Oise et le nombre de femmes. 791 512 – 406 600 = 384 912 Il y a 384 912 hommes dans l’Oise.
• Consigne 2 : « Rappelez-moi comment on calcule le tiers d’un nombre, le quart d’un nombre. » Réponses attendues : « Pour calculer le tiers d’un nombre, on le divise par 3. Pour calculer le quart d’un nombre, on le divise par 4. »
• B. L’objectif est de nommer les informations nécessaires pour répondre au questionnement, puis de les identifier dans l’énoncé et de répondre à la question après avoir fait le calcul. Réponses : Les informations nécessaires au calcul de la population totale de l’Aisne sont : le nombre de femmes et le nombre d’hommes. 277 036 + 262 834= 539 870 La population totale de l’Aisne est de 539 870 habitants.
• Consigne 3 : « Je donne des calculs. Vous écrivez le résultat sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : « Quelle est la moitié de 50 ? le quart de 40 ? le tiers de 90 ? etc. » Les élèves oralisent et écrivent le résultat sur leur ardoise. La correction collective suit. ‹ Remarque : Ces connaissances ont été apprises au CE2. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous nomme des calculs. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : « Quelle est la moitié de 160 ? le quart de 20 ? le tiers de 33 ? etc. » La correction collective suit.
• C. L’objectif est de nommer les informations nécessaires pour répondre au questionnement, de les sélectionner dans l’énoncé et dans les résolutions des étapes A et B, puis de calculer. Réponses : Elle a besoin de connaître la population totale de l’Oise, de l’Aisne et de la Somme. La population totale de la Somme est donnée dans l’énoncé, celle de l’Oise a été calculée en A et celle de l’Aisne a été calculée en B. 791 512 + 539 870 + 569 775 = 1 901 157 La région Picardie a une population totale de 1 901 157 habitants.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• D. L’objectif est de savoir organiser des informations dans un tableau et de prendre conscience que ce support est beaucoup plus lisible qu’un énoncé lorsque les informations sont nombreuses.
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à organiser les informations d’un énoncé de problème pour mieux le résoudre. »
119
Réponses : Hommes
Femmes
Total
Somme
276 710
293 065
569 775
Oise
384 912
406 600
791 512
Aisne
262 834
277 036
539 870
Population totale de la région Picardie
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à organiser les informations d’un énoncé de problème pour mieux le résoudre. » Lire la rubrique « Retenir ».
1 901 157
‹ Remarque : Dans ce problème, les questions ne sont pas formulées sous forme de phrases interrogatives directes. Il est important de varier les formes de « ce que l’on recherche » afin de ne pas enfermer les élèves dans un seul type de questionnement, à savoir la phrase interrogative directe placée après l’énoncé.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent l’exercice sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés en calcul mental pour retenir les opérations liées au vocabulaire « tiers » et « quart » • Moyen mnémotechnique. Utiliser les initiales des mots : tiers ➝ trois / quart ➝ quatre • Afficher un référent mathématique avec des représentations d’objets concrets.
• Problème : L’objectif est d’identifier et d’organiser les données prélevées dans un énoncé pour répondre au questionnement. Réponses : distance durée
1re étape
2e étape
3e étape
4e étape
155 km
178 km
179 km
182 km
4h
4 h 30
4 h 30
4 h 50
155 + 178 + 179 + 182 = 694 La distance totale parcourue est de 694 km. 4 h + 4 h 30 + 4 h 30 + 4 h 50 = 17 h 50 La course a duré 17 h 50 au total.
Un quart 1 quart du gâteau, c’est un gâteau partagé en 4 dont on prend 1 part. On divise par 4. Difficultés à identifier les données utiles pour répondre à la question du problème Voir pistes en leçon 27.
120
38
Bilan (4) Manuel page 77
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées.
– « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres, les mesures. » – « Savoir organiser des informations numériques. » – « Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux. » ■ Programmes 2008 – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Formules des périmètres du carré et du rectangle. » – « Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure de durée et leurs relations. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie… » – « Compléter une figure par symétrie axiale. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Construire et interpréter un tableau. »
■ Socle commun palier 2 : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Utiliser la calculatrice. » – « Utiliser la règle, l’équerre, le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le manuel et le cahier de mathématiques.
Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral
Travail individuel Durée : 5 min
Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure qu’elles sont comprises par tous les élèves.
Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u TEMPS 2 : Calcul mental
Durée : 45 min
• Exercice 1 : L’objectif est de décomposer un nombre ≤ 999 999 999 sous forme additive et multiplicative. Réponse : (100 000 000 x 6) + (10 000 000 x 5) + (100 x 5)
Durée : 15 min
Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé.
• Exercice 2 : L’objectif est d’écrire en chiffres un nombre ≤ 999 999 999 donné sous la forme « x centaines de millions, y dizaines de millions et z unités de millions ».
• Consignes : – Écrivez le résultat de : le double de 25 ; – Écrivez le résultat de : la moitié de 100 ; – Écrivez le résultat de : le quart de 100 ; – Écrivez le résultat de : le tiers de 90 ; – Écrivez le résultat de : le quadruple de 25 ; – Écrivez le résultat de : la moitié de 30 ; – Écrivez le résultat de : le triple de 15 ; – Écrivez le résultat de : le tiers de 60 ; – Écrivez le résultat de : le quart de 200 ; – Écrivez le résultat de : le quadruple de 15 ; – Écrivez le résultat de : 30 × 20 ; – Écrivez le résultat de : 51 × 300 ; – Écrivez le résultat de : 92 × 400 ; – Écrivez le résultat de : 50 × 50 ; – Écrivez le résultat de : 60 × 40 ; – Écrivez le résultat de : 74 × 200.
Réponse : 648 000 000 • Exercice 3 : L’objectif est de recomposer un nombre ≤ 999 999 999 donné sous forme additive et multiplicative. Réponse : 372 800 049 • Exercice 4 : L’objectif est d’écrire en lettres des nombres ≤ 999 999 999 donnés en chiffres. Réponses : sept cent quarante-huit millions ; deux cent quatre millions • Exercice 5 : L’objectif est de calculer les périmètres d’un carré, d’un rectangle et la longueur d’un rectangle. Réponses : – Périmètre d’un carré de 8 cm de côté : 8 × 4 = 32 P = 32 cm – Périmètre d’un rectangle de 50 cm de Longueur et 20 cm de largeur : (50 × 2) + (20 × 2) = 140 ➝ P = 140 cm
121
– Longueur d’un rectangle de 100 m de périmètre et 10 m de largeur : 100 – (10 × 2) = 80 80 : 2 = 40 La longueur mesure 40 m. • Exercice 6 : L’objectif est d’appliquer la typologie de problèmes sur les durées. Réponses : – de 9 h 10 à 12 h 20 : durée 3 h 10 – 13 h 20 + 4 h 35 = 17 h 55 : arrivée à 17 h 55 – 21 h – 2 h = 19 h : départ à 19 h • Exercice 7 : L’objectif est d’identifier l’axe de symétrie d’une figure et de le tracer. Réponse :
Réponse :
• Exercice 9 : L’objectif est d’identifier les informations utiles dans un énoncé de problème pour compléter un tableau et faire les calculs. Réponses : Filles
Garçons
Total
Saules
85
75
160
Marronniers
68
70
138
Chênes
50
55
105
Total général
• Exercice 8 : L’objectif est de tracer le symétrique d’une figure par rapport à un axe de symétrie sur quadrillage.
403
• Exercice 10 : L’objectif est de résoudre un problème sur les capacités. Réponse : 7 000 – 590 = 6 410 6 410 L de fioul ont été consommés pour chauffer la maison.
122
Troisième période
39
Les fractions: demi, quart, tiers Manuel de l’élève pages 78 et 79
Commentaires pédagogiques Cette 1re leçon sur les fractions s’appuie sur des notions connues sous une autre forme : « demi », « tiers » et « quart » sont des formulations déjà rencontrées et exploitées que les élèves connaissent : – la moitié d’une quantité, c’est cette quantité divisée par 2 ; – le tiers d’une quantité, c’est cette quantité divisée par 3 ; – le quart d’une quantité, c’est cette quantité divisée par 4. À partir de là, nous allons poser une notion importante : – 1 d’une quantité, c’est diviser cette quantité par 2 ; 2 – 1 , c’est diviser par 3 ; 3 – 1 , c’est diviser par 4. 4 Ainsi, le dénominateur est le nombre par lequel on divise la quantité sur laquelle on applique cette fraction. Exemple : Lorsque l’on prend 1 d’une tarte aux pommes (la 4 tarte étant l’unité), on commence par la diviser en 4 et on prend 1 part. Si on prend 3 de cette tarte, on divise d’abord en 4 et on 4 prend 3 parts.
Cette notion est fondamentale pour la compréhension du concept de « fraction ». ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples. » – « Restituer les tables de multiplication de 2 à 9. » ■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage. » ■ Objectifs des séances : – Nommer et écrire des fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Rechercher les valeurs approchées d’un nombre à 3 chiffres à la dizaine, à la centaine. Travail collectif oral ou individuel écrit sur l’ardoise
Durée : 15 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est une valeur approchée. » Réponse attendue : « C’est une valeur arrondie à la dizaine la plus proche, à la centaine la plus proche, à l’unité de mille la plus proche. Elle se termine par 1, 2 ou 3 zéros. » • Consigne 2 : « Donnez-moi un exemple. » Les élèves donnent des exemples. Les autres élèves valident ou non les propositions en argumentant leur propos. • Consigne 3 : « Quelle est la valeur approchée de 57 ? (60) de 91 ? (90) de 178 ? (170)… » Les élèves répondent oralement ou sur l’ardoise qu’ils lèvent au signal (au choix de l’enseignant). • Consigne 4 : « Quelle est la valeur approchée à la centaine de 321 ? (300) de 685 ? (700)… » ‹ Remarque : Rappeler que l’on pointe le chiffre des centaines et que l’on regarde les dizaines et les unités. Si le nombre formé par les d et u est > 50, on prend la centaine supérieure ; s’il est < 50, on arrondit à la centaine du nombre. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « Quelle est la valeur approchée des nombres suivants ? » Énoncer : 83 ; 78 ; 169 ; 31 ; 217 Préciser au besoin que l’on cherche la valeur approchée à la dizaine.
• Consigne 2 : « Quelle est la valeur approchée des nombres suivants à la centaine ? » Énoncer : 785 ; 908 ; 538 ; 226 ; 463 La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 30 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à lire et à écrire des fractions simples en utilisant le vocabulaire « tiers », « demi » et « quart », puis à calculer le tiers, le demi et le quart de quantités. » Les élèves ouvrent leur manuel page 78. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir que chercher la moitié d’une quantité correspond à la fraction 1 , que la fraction 1 est liée à 2 2 la division par 2 : calculer la moitié d’un nombre, c’est calculer 1 de ce nombre, c’est-à-dire le diviser par 2. 2
Réponse : 1 de 48 c’est la même chose que 48 : 2. 48 : 2 = 24 2
24 wagons transportent des voyageurs. • B. L’objectif est de découvrir que chercher le quart d’une quantité correspond à la fraction 1 , que la fraction 1 est liée à 4
4
la division par 4 : calculer le quart d’un nombre, c’est calculer 1 4 de ce nombre, c’est-à-dire le diviser par 4.
124
Réponse : 1 de 48, c’est la même chose que 48 : 4. 48 : 4 = 12 4
12 wagons transportent des marchandises. • C. L’objectif est de découvrir que chercher le tiers d’une quantité correspond à la fraction 1 , que la fraction 1 est liée à la 3
3
division par 3 : calculer le tiers d’un nombre, c’est calculer 1 de 3 ce nombre, c’est-à-dire le diviser par 3. Réponses : 1 de 12, c’est la même chose que 12 : 3. 12 : 3 = 4 3
4 wagons sont chargés de charbon. 12 – 4 = 8 8 wagons transportent du bois. ‹ Remarque : Insister sur la nécessité absolue de bien connaître ses tables de multiplication pour faire ces calculs. Les donner à revoir régulièrement.
• Exercice 2 : L’objectif est de calculer le tiers, le quart et la moitié de nombres donnés. Réponses : un tiers de 9 ➝ 3 un tiers de 18 ➝ 6 un tiers de 30 ➝ 10 un quart de 8 ➝ 2 un quart de 16 ➝ 4 un quart de 80 ➝ 20 un demi de 4 ➝ 2 un demi de 24 ➝ 12 un demi de 50 ➝ 25 • Exercice 3 : L’objectif est de calculer le tiers, le quart et la moitié de nombres donnés. Réponses : 1 de 8 ➝ 4 2
1 2 1 4 1 3 1 3
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
de 36 ➝ 18 de 24 ➝ 6 de 12 ➝ 4
1 2 1 4 1 4 1 3
de 20 ➝ 10 de 12 ➝ 3 de 36 ➝ 9 de 24 ➝ 8
de 36 ➝ 12
Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire sous forme de fraction : « un demi », « un tiers », « un quart ».
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à à lire et à écrire des fractions simples en utilisant le vocabulaire « tiers », « demi » et « quart » et à calculer le tiers, le demi et le quart de quantités. »
Réponses : 1 ; 1 ; 1
Lire la rubrique « Retenir ».
2 3 4
Séance 2 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : Rechercher les valeurs approchées d’un nombre à 3 chiffres à la dizaine, à la centaine.
Travail individuel écrit
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « Quelle est la valeur approchée des nombres suivants ? » Énoncer : 42 ; 67 ; 289 ; 14 ; 285. Préciser au besoin que l’on cherche la valeur approchée à la dizaine.
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur la fraction 1 , proposer de commencer par les 2 exercices A2, B2 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur la fraction 1 , proposer de commencer par les
• Consigne 2 : « Quelle est la valeur approchée des nombres suivants à la centaine ? » Énoncer : 579 ; 814 ; 2 789 ; 226 ; 463. La correction collective s’ensuit.
exercices A3, B3, A6, B1 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement sur la fraction 1 , proposer de commencer par les
À l’oral • Consigne : « Quelle est la valeur approchée de 84 ? 29 ? 456 ? 931 ? 534 ? 63 ? 2 801 ? 7 432 ? » Les élèves répondent oralement à tour de rôle.
4
exercices A4, B4, A1, B1, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
3
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à lire et à écrire des fractions simples en utilisant le vocabulaire « tiers », « demi » et « quart » et à calculer le tiers, le demi et le quart de quantités. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire et à écrire des fractions simples ( 1 ; 1 et 1 ) et à calculer sur ces 2 3 4 fractions. »
Correction des exercices : Parcours A : • A1. la moitié de 6 = 3 le tiers de 12 = 4 le quart de 8 = 2 • A2. 1 de 8 ➝ 8 : 2 = 4
125
2 1 de 10 ➝ 10 : 2 = 5 2 1 de 18 ➝ 18 : 2 = 9 2
le quart de 20 = 5 la moitié de 10 = 5 le tiers de 15 = 5
• A3. 1 de 9 ➝ 9 : 3 = 3
• B6. 1 de 800 g ➝ 800 : 4 = 200
1 de 21 ➝ 21 : 3 = 7 3 1 de 27 ➝ 27 : 3 = 9 3 • A4. 1 de 16 ➝ 16 : 4 = 4 4 1 de 8 ➝ 8 : 4 = 2 4 1 de 24 ➝ 24 : 4 = 6 4 • A5. 1 de 50 cL ➝ 50 : 2 = 25 2
Il lui faut 200 g de farine.
3
4
1 de 320 g ➝ 320 : 4 = 80 4
Il lui faut 80 g de beurre. 1 de 400 g ➝ 400 : 4 = 100 4
Il lui faut 100 g de sucre. 1 de 8 ➝ 8 : 4 = 2 4
Il lui faut 2 œufs.
La bouteille contient 25 cL quand elle est à moitié pleine. • A6. 1 de 36 ➝ 36 : 3 = 12 3
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Arthur a 12 ans. 1 de 12 ➝ 12 : 2 = 6 2
Lison a 6 ans. Parcours B : • B1. la moitié de 24 = 12 le tiers de 18 = 6 le quart de 24 = 6 • B2. 1 de 60 ➝ 60 : 2 = 30
2 1 de 40 ➝ 40 : 2 = 20 2 1 de 36 ➝ 36 : 2 = 18 2 • B3. 1 de 30 ➝ 30 : 3 = 10 3 1 de 36 ➝ 36 : 3 = 12 3 1 de 90 ➝ 90 : 3 = 30 3 • B4. 1 de 36 ➝ 36 : 4 = 9 4 1 de 80 ➝ 80 : 4 = 20 4 1 de 100 ➝ 100 : 4 = 25 4 • B5. 1 de 24 ➝ 24 : 3 = 8 3
le quart de 36 = 9 la moitié de 30 = 15 le tiers de 27 = 9
Difficultés à calculer la moitié, le quart et le tiers d’un nombre Il s’agit souvent d’un manque de connaissance et de maîtrise des tables de multiplication. • Placer en fond de classe des jeux qui permettront aux élèves de s’entraîner sur les tables de multiplication de façon ludique. Ils pourront jouer seuls (en autonomie) lorsqu’ils auront achevé un travail ou à 2, 3… en groupe de soutien ou en activités pédagogiques complémentaires. Exemples de jeux : – Construire un jeu de type « questions/réponses » afin que l’élève automatise les tables. – Jeu de cartes à construire : écrire au recto en noir les 2 multiplications (commutativité) et au verso en rouge le résultat. recto verso 9×3 27 3×9
Chang a 8 billes bleues. 1 de 24 ➝ 24 : 4 = 6 4
Chang a 6 billes rouges. 24 – (8 + 6) = 10 Chang a 10 billes vertes.
Si l’élève joue seul, il peut comptabiliser ses bonnes réponses. Si les élèves jouent en binôme ou en groupe, chacun comptabilise le nombre de bonnes réponses. Celui qui a le plus de points gagne la partie.
126
40
La division par un nombre à deux chiffres (3) Manuel de l’élève pages 80 et 81
Commentaires pédagogiques L’une des difficultés de la division consiste à évaluer le quotient probable, le dividende et le diviseur étant connus. Exemple : En 453, combien de fois 82 ? Il faut trouver le nombre qui, multiplié par 82, s’approche le plus possible de 453, mais reste inférieur à 453. Il faut donc développer une stratégie pour être le plus efficace possible, de manière à ne pas faire une multitude d’essais infructueux. La stratégie mécanique traditionnelle est la suivante : « En 453, combien de fois 82 ? Cela revient à faire : en 45, combien de fois 8 ? » Cette démarche est tout à fait pertinente et a fait ses preuves. Mais il nous semble important de donner du sens à cette procédure, afin que les élèves commencent par utiliser une stratégie mathématique qui a du sens. Nous conseillons donc de passer par le calcul approché, travaillé dans la leçon précédente sur la division. Il est donc possible de raisonner ainsi : « 453, c’est proche de 450. 82, c’est proche de 80. Le quotient 453 : 82 est donc proche de 450 : 80.
450 : 80 c’est comme 45 : 8. 8 × 5 = 40. Le quotient probable est donc 5. » Procéder ainsi permet de passer d’une stratégie strictement mécanique à une stratégie mathématique. Lorsque le principe mathématique est compris, la stratégie mécanique traditionnelle prend évidemment toute sa place. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Division euclidienne de deux entiers. » ■ Objectif des séances : – Rechercher le quotient par un calcul approché. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 • Consigne 2 : « Rappelez-moi comment on divise 690 par 30. » Réponse attendue : « Diviser 690 par 30 revient à diviser 69 par 3.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : S’entraîner sur les fractions : un demi, un tiers, un quart. Durée : 10 min Travail individuel écrit À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Vous allez vous entraîner à calculer mentalement le 1 , le 1 et le 1 d’un nombre. Je vous donne un calcul, 2 3 4 vous écrivez le résultat sur l’ardoise, que vous lèverez à mon signal. » • Consigne 2 : « Calculez le 1 de 26 ; le 1 de 32 ; le 1 de 27… » 2
4
3
La correction orale collective s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des calculs. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : « Le 1 de 100 ; le 1 de 16 ; le 1 de 21… » 2
4
3
La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche dans le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur la division par 10 ou un multiple de 10 d’un nombre terminé par un 0 Objectif : Rappeler comment calculer la division par 10 ou un multiple de 10 d’un nombre terminé par un 0. Durée : 10 min Travail collectif oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on divise 980 par 10. » Réponse attendue : « On enlève le 0 à chaque nombre. 980 :10 = 98. »
6 9 – 6 9 0 0
3 2 3
690 : 30 = 23. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 30 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à rechercher le quotient d’une division par un calcul approché. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 80. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche » Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier la valeur du quotient d’une division après avoir cherché les valeurs approchées du dividende et du diviseur. Les élèves prendront appui sur ce qu’ils ont appris en leçon 36. Réponses : Avant de calculer la division, Tom cherche les valeurs approchées du dividende et du diviseur. Calculer 360 : 70, c’est comme diviser 36 par 7. Il doit chercher dans la table de 7 un nombre qui, multiplié par 7, s’approche le plus de 36 sans le dépasser. C’est 5 (5 × 7 = 35) car 6 est trop grand (6 × 7 = 42).
127
3 6 1 – 3 5 5 0 0 6
7 1 5
Division dividende 6 5 8 – 6 4 8 0 1 0 reste
• B. L’objectif est de construire le sens et la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur. Réponses : Il faut chercher le nombre qui, multiplié par 7, s’approche le plus de 65 sans le dépasser. Le quotient probable est 9 : 9 × 7 = 63. 6 5 8 – 6 4 8 0 1 0
2 5 4 – 2 8 8 impossible
4 8 6
Le quotient 6 est trop grand : le reste est plus grand que le dividende. Il faut donc essayer avec 5 au quotient. 2 5 4 – 2 4 0 0 1 4
Vérification par la multiplication : dividende = (diviseur × quotient) + reste 658 = (72 × 9) + 10 = 648 + 10
7 2 9
• C. L’objectif est de calculer une division en utilisant la méthode de son choix (A ou B). Réponses : – Méthode A (par un calcul approché) : 254 est proche de 250 ; 48 est proche de 50. J’essaie le calcul approché 25 : 5. Dans la table de 5 : 5 × 5 = 25 5 est le quotient probable. – Méthode B (par division des dizaines) : Dans 254, il y a 25 dizaines ; dans 48, il y a 4 dizaines. En 254, combien de fois 48 ? Ou en 25, combien de fois 4 ? Le quotient probable est 6 car 6 × 4 = 24. ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, montrer que ces méthodes permettent de s’approcher au plus près du quotient mais qu’elles ne permettent pas d’obtenir le quotient exact du 1er coup. – Méthode B :
4 8 5
La division est exacte : le reste est plus petit que le diviseur. ‹ Remarque : Apprendre aux élèves à vérifier leur opération par la multiplication correspondante : (diviseur × quotient) + reste = dividende. Ici : je multiplie 5 par 48 et j’ajoute 14 (le reste). Je dois retrouver 254 (le dividende). Construire un référent didactique :
diviseur 7 2 9 quotient
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de calculer les divisions en utilisant la méthode de son choix. Réponses : – Méthode A : 139 c’est proche de 140 ; 32 c’est proche de 30. J’essaie le calcul approché de 140 : 30. 140 : 30 revient à chercher 14 dans la table de 3. Le nombre qui, multiplié par 3 donne 14 ou s’en rapproche sans le dépasser, c’est 4. 3 2 4
1 3 9 – 1 2 8 0 1 1
– Méthode B : Dans 139, il y a 13 dizaines. Dans 32, il y a 3 dizaines. En 13, combien de fois 3 ? 4 3 2 4
1 3 9 – 1 2 8 0 1 1
6 8 9 – 6 3 2 5 7
7 9 8
• Exercice 2 : L’objectif est de calculer la division avec la méthode B, la technique opératoire la plus connue. Réponses : 8 1 3
2 7 3 – 2 4 3 0 3 0
4 2 8 – 4 1 6 0 1 2
5 2 8
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à rechercher le quotient d’une division par un calcul approché. Nous avons calculé des divisions. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Énoncer : « Le 1 de 50 ; le 1 de 100 ; le 1 de 36… »
Travail préparatoire
2
4
3
u TEMPS 1 : Calcul mental
La correction orale collective s’ensuit.
Objectif : S’entraîner sur les fractions : un demi, un tiers, un quart. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je vous propose un calcul à tour de rôle. Vous donnez oralement le résultat. »
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des calculs. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : « Le 1 de 86 ; le 1 de 84 : le 1 de 96… » 2
4
La correction collective suit.
128
3
u TEMPS 2 : Rappel
• B3.
Travail oral collectif
6 1 2 – 5 5 3 5 9
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à rechercher le quotient d’une division par un calcul approché. Nous avons calculé des divisions. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à rechercher le quotient d’une division et la calculer. »
Travail dans le manuel
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
‹ Remarque : Pas de parcours différencié ici. L’enseignant devra prendre en soutien un groupe d’élèves en difficulté pour verbaliser toute la démarche avec eux. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 3 6 3 – 3 5 7 6
5 1 7
4 1 2 – 3 7 2 4 0
6 2 6
5 9 7
1 9 9 – 1 9 0 9
3 8 5
2 9 4
3 3 1 – 2 8 8 4 3
4 8 6
• A2. 4 2 9 – 4 1 3 1 6 • A3. 1 4 3 – 1 1 6 2 7
• A4. 248 : 31 = 8 Le grand-père d’Emma parcourt 8 km par jour. • A5. 108 : 12 = 9 9 boîtes sont fabriquées par heure.
5 3 1 – 4 8 8 4 3
6 1 8
Difficultés à comprendre la raison d’une recherche du quotient par calcul approché • Proposer une division avec un quotient de 9. Exemple : 228 : 24. Demander aux élèves de commencer en essayant avec un quotient égal à 2, puis 3, etc. les élèves prennent conscience que ce procédé est long et source d’erreurs. Il est donc préférable d’utiliser une méthode permettant d’approcher rapidement au plus près du quotient. Difficultés à trouver le quotient • Voir ensuite en fonction de l’élève la méthode qui lui convient le mieux : Méthode A par calcul approché ou Méthode B par division des dizaines. ‹ Remarque : Ne pas exiger une méthode plutôt que l’autre. L’essentiel est que l’élève réussisse à trouver le quotient approché. Difficultés à calculer la division • Donner plusieurs divisions et faire verbaliser toute la démarche de la division (après avoir choisi une méthode pour identifier le quotient). Exemple : 249 : 31 – Avec la méthode par calcul approché : « 249, c’est proche de 250. 31, c’est proche de 30. 250 : 30 a le même résultat que 25 : 3. Dans la table de 3, le plus proche est 8. 2 4 9 – 2 4 8 0 0 1
Parcours B : • B1. 6 5 1 – 6 3 9 1 2
7 1 9
8 9 6
3 4 9 – 3 4 0 9
6 8 5
3 1 8
Le reste est bien inférieur au diviseur. 249 : 31 est égal à 8 (reste 1). » – Avec la méthode par division des dizaines : « Dans 249, il y a 24 dizaines. Dans 31, il y a 3 dizaines. En 24, combien de fois 3 ? Le quotient probable est 8. 2 4 9 – 2 4 8 0 0 1
• B2. 5 4 9 – 5 3 4 1 5
9 2 8
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Durée : 45 min
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
8 1 8 – 7 3 6 8 2
• B4. 672 – 24 = 648 Le prix des vélos sans les frais de livraison est de 648 €. 648 : 81 = 8. L’école a acheté 8 vélos. • B5. 20 + 19 = 39. Le circuit mesure 39 km. 273 : 39 = 7. Les voitures doivent effectuer 7 tours. ‹ Remarque : Lors de la correction collective, il sera indispensable de verbaliser toute la démarche pour chaque division.
u S’entraîner Travail individuel écrit
7 9 7
3 1 8
Le reste est bien inférieur au diviseur. 249 : 31 est égal à 8 (reste 1). »
129
41
Aire d’une figure sur un quadrillage Manuel de l’élève pages 82 et 83
Commentaires pédagogiques La surface d’une figure est la portion de plan délimitée par les côtés de cette figure. L’aire est la mesure de cette surface dans l’unité donnée. L’unité d’aire est généralement un « carré-unité », mais pas nécessairement.
■ Programmes 2008 : – « Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir les notions de « surface » et d’« aire ». – Mesurer l’aire d’une figure grâce à l’utilisation d’un quadrillage. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques ; – par binôme : une copie du « terrain de jeu » du Temps 2 de la Séance 1 du travail préparatoire.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Utiliser des instruments de mesure. »
Séance 1 Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail individuel écrit
Durée : 15 min
‹ Remarque : Préparer les indices au tableau avant ce temps de calcul mental. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’ai écrit des indices au tableau : ils vont vous permettre de trouver des nombres. Vous pouvez utiliser l’ardoise et le tableau de numération. » – « Mon nombre d’unités de millions est le triple de 300. Mon nombre d’unités de mille est le double de 15. Qui suis-je ? » (900 030 000) – « J’ai 8 centaines de millions, 4 dizaines de millions, 9 unités de millions et 5 dizaines simples. Qui suis-je ? » (849 000 050) – « Mon nombre de dizaines de millions est le quart de 100. Mon chiffre des unités de millions est le quadruple de 2. Mon chiffre des centaines de mille est le tiers de 9. Mon chiffre des dizaines de mille est le triple de 3. Mon chiffre des unités simples est égal à 3 × 2. Qui suis-je ? » (258 390 006)
u TEMPS 2 : Découverte des notions de « surface » et d’« unité d’aire » Travail collectif oral
Durée : 20 min
• Mise en place : Lors d’une activité en EPS (jeux collectifs…), partager la classe en 2 équipes. Demander aux élèves de chaque équipe d’utiliser toute la surface de leur terrain. • Consigne : « Qu’est-ce que la surface de votre terrain ? Quelles en sont les limites ? » Un élève montre les limites du terrain en marchant sur les lignes. Les autres élèves doivent se déplacer sur toute la surface de leur terrain en marchant. • De retour en classe, préparer au tableau le plan des terrains de jeu. Exemple :
Terrain A
Terrain B
‹ Remarque : Les élèves passent par l’écrit pour trouver les nombres dans un tableau de numération. La correction collective orale s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vais écrire des indices pour trouver des nombres. Vous pouvez vous aider d’un tableau de numération. » – « Mon chiffre des centaines de mille est égal à 3 × 3. Mon chiffre des dizaines de mille est égal à 3 × 2. Qui suis-je ? » (960 000) – « Je suis un nombre à 7 chiffres. Mon chiffre des unités de millions est égal à la moitié de 14. Qui suis-je ? » (7 000 000) – « Mon nombre d’unités de mille est 14 753. Qui suis-je ? » (14 753 000) – « Mon nombre d’unités de millions est égal à 4 × 30. Mon chiffre des centaines simples est égal à 3 × 2. Mon chiffre des dizaines est 4 et mon chiffre des unités est le double de mon chiffre des dizaines simples. Qui suis-je ? » (120 000 648)
• Consigne 1 : « Voici le schéma de vos terrains de tout à l’heure. Lorsque je vous demandais d’occuper toute la surface de votre terrain, à quoi cela correspond-il sur le schéma ? » Un élève de l’équipe A vient montrer avec son doigt les limites de son terrain et la surface du terrain. Faire de même pour le terrain B. • Consigne 2 : « Pour respecter les règles du jeu, il faut que les 2 terrains aient une surface bien précise. Comment faire ? » Laisser les élèves exprimer leurs idées. Mener un échange sur la faisabilité des propositions. Retenir les plus pertinentes. Proposer : En mathématiques, on utilise ce que l’on appelle « une unité d’aire ». C’est une unité de mesure que l’on reporte sur toute la surface que l’on doit mesurer. L’aire est la mesure d’une surface.
130
• Consigne 3 : « Je vous distribue par binôme le schéma des terrains. À l’aide de l’unité d’aire, mesurez l’aire de votre terrain. »
Terrain A
Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir les notions de « surface » et d’« aire » et de mesurer l’aire d’une surface à partir d’une unité d’aire donnée (le carreau). Réponse : 37 carreaux entiers et 8 demi-carreaux, donc 41 carreaux. ‹ Remarque : Les élèves auront probablement utilisé des démarches différentes : – ils comptent 1 à 1 le nombre de carreaux entiers et notent le résultat (37). Ils comptent ensuite le nombre de 1 carreaux, 2 qu’ils transforment en carreaux entiers (8, donc 4 carreaux entiers). Ils ajoutent les 2 résultats : 37 + 4 = 41 carreaux. – ils partagent le motif en rectangles pour multiplier. 5 × 5 = 25 3 × 4 = 12 8 demi-carreaux = 4 carreaux entiers 25 + 12 + 4 = 41
Terrain B
Unité d’aire ‹ Remarque : Les élèves adopteront la méthode de leur choix : – découper l’unité d’aire et la reporter sur le terrain ou colorier ; – passer par la multiplication. Cette présentation est en effet travaillée lors de la découverte de la multiplication. Cette démarche sera plus difficile à utiliser lors de la mesure d’aire de figures complexes, mais tout à fait possible. (Exemples : exercice A3 du parcours A, exercice B3 du parcours B). • Mise en commun. Interroger un binôme de l’équipe A pour qu’il expose leur résultat et la méthode employée pour trouver l’aire de leur terrain de jeu. Les autres binômes de cette même équipe valident ou pas et exposent leur démarche si ce n’est pas la même. Favoriser les échanges entre les élèves. Faire de même avec les binômes du terrain B. Réponse : Les aires des terrains A et B sont les mêmes. Chaque terrain a une aire de 48 unités d’aire. • Consigne : « Si nous avions utilisé le ½ carré comme unité d’aire, quelle aurait été l’aire des terrains ? »
• B. L’objectif est de découvrir que l’aire d’une figure dépend de l’unité d’aire donnée. Réponses : L’aire du motif est de 44 unités d’aire. Si Pierre choisit le carreau comme unité d’aire, l’aire du motif est alors de 22 carreaux.
Réponse attendue : « 1 carré c’est la moitié de 1 carré. 1 carré, 2
c’est le double de 1 carré. Il faut donc multiplier par 2 l’aire 2 mesurée en carré-unité entier. L’aire des terrains serait de 96 unités d’aire. » • Pour aller plus loin : Possibilité de faire de même en utilisant 4 carrés pour unité d’aire.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercices 1 et 2 : L’objectif est de mesurer l’aire d’une figure avec le carreau pour unité d’aire. Réponse exercice 1 : aire = 15 carreaux Réponse exercice 2 : aire = 31 carreaux En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris ce que sont une surface et l’aire d’une figure, à mesurer l’aire d’une figure grâce à l’utilisation d’un quadrillage et d’une unité de mesure donnée. » Lire la rubrique « Retenir ».
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 30 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ce que sont une surface et l’aire d’une figure, à mesurer l’aire d’une figure grâce à l’utilisation d’un quadrillage et d’une unité de mesure donnée. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 82.
Séance 2 – « Mon chiffre des dizaines de millions est le tiers de 27. Mon chiffre des centaines de millions est le quart de 20. Mon chiffre des dizaines de mille est la moitié de 6. Mon chiffre des centaines simples est égal à 4 × 2. Qui suis-je ? » (590 030 800)
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail individuel écrit Durée : 10 min ‹ Remarque : Préparer les indices au tableau avant ce temps de calcul mental. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’ai écrit des indices au tableau : ils vont vous permettre de trouver des nombres. Vous pouvez utiliser l’ardoise et le tableau de numération. »
– « Mon nombre de centaines de mille est 487. Mon chiffre des dizaines simples est le triple de 2. Mon chiffre des unités simples est égal à 9 × 0. Qui suis-je ? » (48 700 060) À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vais écrire des indices pour trouver des nombres. Vous pouvez vous aider d’un tableau de numération. »
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– « Mon chiffre des unités simples est 2. Mon chiffre des dizaines simples est le triple de mon chiffre des unités simples. Mon nombre de centaines simples est 698. Qui suis-je ? » (69 862) – « Mon chiffre des unités de mille est égal à 36 : 6. Mon chiffre des unités de millions est égal à 81 : 9. Mon chiffre des centaines simples est égal à 49 : 7. Mon chiffre des dizaines de millions est égal à 28 : 4. Qui suis-je ? » (79 006 700) La correction collective suit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris ce que sont une surface et l’aire d’une figure, à mesurer l’aire d’une figure grâce à l’utilisation d’un quadrillage et d’une unité de mesure donnée. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à calculer l’aire de différentes figures. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’aire d’une figure simple avec le carreau pour unité, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. aire du rectangle = 36 carreau • A2. aire du carré = 25 carreaux • A3. aire de la figure rouge = 55 carreaux • A4. aire du jeu de dames = 10 × 10 = 100 cases aire du jeu d’échecs = 8 × 8 = 64 cases ‹ Remarque : Les élèves ont appris à utiliser des quadrillages lors de l’apprentissage de la multiplication. Ici, la recherche de
l’aire par la multiplication ne devrait pas poser de problème. Ils pourront peut-être utiliser l’addition itérée et/ou le comptage de 1 en 1. Lors de la correction collective (ou en aparté avec l’élève qui compte de 1 en 1), rappeler la possibilité d’utiliser la multiplication. Parcours B : • B1. aire du rectangle vert = 42 carreaux aire du rectangle rouge = 36 carreaux • B2. aire = 20 carreaux • B3. aire = 17 carreaux • B4. 7 × 5 = 35 Pour réaliser ce travail, il faut 35 carrés de tissu. ‹ Remarque : Même remarque que précédemment.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier une surface • Utiliser divers objets de la classe. Verbaliser : « Passe ta main sur toute la surface de ta table, sur la surface de la couverture de ton manuel… » • Donner des dessins et des figures sur papier et demander à l’élève de colorier la surface du dessin, de la figure géométrique... Difficultés à mesurer l’aire d’une surface sur quadrillage • Commencer par travailler avec le carreau pour unité d’aire. Faire colorier chaque carreau de la figure et verbaliser : « Pour calculer l’aire du rectangle, je colorie chaque unité (chaque carreau) et je les additionne. »
1
1 2
1 2 3
• Faire de même avec le demi-carreau pour unité, 2 carreaux pour unité…
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42
Le losange Manuel de l’élève pages 84 et 85
Commentaires pédagogiques Le losange est une figure géométrique un peu moins connue que le carré ou le rectangle puisqu’elle n’a été introduite qu’au CE2. Il a alors été défini par l’égalité de ses 4 côtés. Cette séance va permettre de le définir par le parallélisme et l’égalité de ses côtés. À ses propriétés s’ajoutera l’observation des diagonales et de leur perpendicularité (sans insister sur le fait qu’elles se coupent en leur milieu, propriété qui sera étudiée en CM2). La leçon insistera enfin sur le fait que le carré est un losange particulier, dont les 4 angles sont droits.
■ Programmes 2008 : – « Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre et le compas. » – « Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites perpendiculaires, droites parallèles… » ■ Objectifs des séances : – Découvrir les propriétés du losange et les utiliser pour le tracer. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques ; deux bandes de même largeur par élève (« Découvrir »).
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures usuelles. »
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’un produit. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce que sont une valeur approchée et un ordre de grandeur. » Réponse attendue : « La valeur approchée d’un nombre est une valeur proche de la valeur exacte. Elle donne un ordre de grandeur. Par exemple, 699 est proche de 700. » • Consigne 2 : « Pourquoi utiliser des valeurs approchées dans un calcul ? » Réponse attendue : « Pour avoir un ordre de grandeur du résultat et ainsi vérifier si le résultat est cohérent ou si une erreur est probable. » Exemple : 79 + 58 c’est environ 80 + 60. Le résultat de 79 + 58 est donc proche de 140. Si nous trouvons 1 370, c’est qu’il y a une erreur. • Consigne 3 : « Donnez-moi l’ordre de grandeur de la multiplication 28 × 4. » Les élèves proposent leur stratégie. Proposer : « 28, c’est proche de 30. La valeur approchée est 30 × 4 = 120. Le « résultat de 28 × 4 est donc proche de 120. » À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une multiplication. Vous écrivez l’ordre de grandeur du résultat sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 29 × 6 ; 52 × 3 ; 81 × 4… La correction collective s’ensuit avec verbalisation.
u TEMPS 2 : Rappel sur les quadrilatères Travail collectif oral
Durée : 5 min
• Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est un quadrilatère. » Réponse attendue : « C’est un polygone à 4 côtés. »
• Consigne 2 : « Quels quadrilatères connaissez-vous ? » Réponses attendues : le rectangle ; le carré, le losange. • Consigne 3 : « Qu’est-ce qui différencie le rectangle du carré ? » Réponse attendue : Le rectangle a 2 longueurs égales et 2 largeurs égales. Le carré a 4 côtés égaux. • Explication : « Aujourd’hui, vous allez découvrir les propriétés du losange et apprendre à le distinguer du carré et du rectangle. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 84. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme. La mise en commun suit chaque partie. • Mise en place. Distribuer à chaque élève 2 bandes de même largeur afin qu’ils les manipulent en même temps qu’ils mèneront la recherche du « Découvrir ». • A. L’objectif est de découvrir 2 propriétés du losange : ses côtés opposés sont parallèles et il possède 4 côtés égaux. Réponses : AB // CD et AD // BC Les 4 côtés du quadrilatère ABCD sont égaux. Ils ont la même mesure. Ce quadrilatère ABCD est un losange. • B. L’objectif est de découvrir une autre propriété du losange : ses diagonales sont perpendiculaires. Réponses : Ses 2 diagonales sont perpendiculaires : elles se croisent en formant 4 angles droits. • C. L’objectif est de différencier le carré du losange. Réponses : IJKL est un carré. Contrairement à ABCD, il possède 4 angles droits.
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u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de tracer des losanges, d’en mesurer les côtés et de tracer leurs diagonales en vérifiant avec l’équerre qu’elles sont perpendiculaires.
‹ Remarque : L’enseignant vérifiera les tracés des élèves individuellement. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons découvert les propriétés du losange et nous avons appris à le distinguer du carré et du rectangle. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’un produit. Durée : 10 min Travail individuel écrit À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une multiplication. Vous écrivez l’ordre de grandeur du résultat sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 49 × 5 ; 23 × 8 ; 98 × 2… La correction collective s’ensuit avec verbalisation. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une multiplication. Vous écrivez l’ordre de grandeur du résultat sur le cahier. » Énoncer : 69 × 6 ; 82 × 7 ; 58 × 9… La correction collective s’ensuit avec verbalisation.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons découvert les propriétés du losange et nous avons appris à le distinguer du carré et du rectangle. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à reconnaître des losanges, à les décrire et à les tracer sur papier quadrillé. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification d’un losange, proposer de commencer par les exercices A1, A2 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la description d’un losange, proposer de commencer par les exercices A3, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le tracé d’un losange sur quadrillage, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. Le quadrilatère ABCD n’a pas 4 côtés égaux. Ce n’est donc pas un losange. • A2. Le quadrilatère EFGH a 4 côtés égaux : EF = FG = GH = HE. De plus, ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2. C’est un losange. • A3. Un losange a 4 côtés égaux. Un losange a ses côtés opposés parallèles. Un losange a ses diagonales perpendiculaires. Parcours B : • B1. Le quadrilatère ABCD a 4 côtés égaux et ses côtés opposés parallèles. C’est un losange. Le quadrilatère EFGH a 4 côtés égaux et ses côtés opposés parallèles. C’est un losange. Le quadrilatère IJKL n’a pas 4 côtés égaux. Ce n’est pas un losange. • B2. Le quadrilatère MNOP a 4 côtés égaux : MN = NO = OP = PM. Ses côtés opposés sont parallèles : MN // OP et NO // PM. Ses diagonales sont perpendiculaires. C’est un losange. • B3. Les côtés opposés d’un losange sont parallèles. Le losange a ses diagonales perpendiculaires. Le losange a ses 4 côtés égaux. Le carré est un losange particulier.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier un losange Privilégier la manipulation avec des bandes de papier. • Faire construire des losanges ou des quadrilatères autres que des losanges (avec des bandes de largeurs différentes). Les élèves verbalisent à chaque fois en prenant appui sur les propriétés. • Montrer des bandes croisées et demander à l’élève s’il s’agit d’un losange ou non. L’élève verbalise en s’appuyant sur les propriétés. Exemple : Le quadrilatère A n’est pas un losange car ses diagonales ne se croisent pas en formant 4 angles droits ; elles ne sont pas perpendiculaires. Faire de même avec les quadrilatères B et C.
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A
B
C
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Problèmes de la vie courante: les périmètres Manuel de l’élève pages 86 et 87
Commentaires pédagogiques Les problèmes sur les périmètres sont aussi des problèmes sur les mesures de longueur. Comme les autres problèmes de la vie courante travaillés depuis le début de l’année, les problèmes sur les périmètres se repèrent grâce au vocabulaire inducteur. Ainsi, le mot « périmètre » est quasiment toujours présent dans l’énoncé. S’il n’y est pas, il est remplacé par des expressions équivalentes : « la mesure du tour du »… Une fois le domaine des longueurs et des périmètres identifié, les élèves doivent identifier le type de figure géométrique dont on recherche le périmètre. De là va découler la procédure de résolution : – la figure n’est ni carré, ni rectangle : périmètre = côté A + côté B + côté C… ; – la figure est un rectangle : périmètre = (Longueur × 2) + (largeur × 2) ; – la figure est un carré : périmètre = côté × 4. Si l’on recherche la mesure d’un côté en connaissant le périmètre, il faudra appliquer les formules réciproques : – la figure n’est ni un carré, ni un rectangle : côté A = périmètre – (côté B + côté C…) ;
– la figure est un rectangle : Longueur = (périmètre – [largeur × 2]) : 2. Cette procédure est plus complexe car elle implique plusieurs étapes. L’élève l’approchera pas à pas et la procédure de résolution ne sera pas formalisée ; – la figure est un carré : côté = périmètre : 4. ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, figures géométriques. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » – « Formules des périmètres du carré et du rectangle. » ■ Objectif des séances : – Réinvestir les notions de « périmètres d’un carré et d’un rectangle » en résolution de problèmes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 u TEMPS 2 : Rappel sur la notion de « périmètre »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
Objectif : Rappeler les formules de calcul des périmètres d’un carré et d’un rectangle.
Objectif : S’entraîner sur les mesures de longueur et les relations qui les lient.
Travail collectif oral
Travail individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place : « Observez le tableau des mesures de longueur. » ‹ Remarque : Ce tableau est affiché dans la classe comme référent didactique depuis la leçon 4. Si ce n’est pas le cas, demander à un élève de venir le tracer au tableau ; il servira de mémoire et de point d’appui aux élèves. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une mesure de longueur, vous l’écrivez sur l’ardoise dans l’unité demandée. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : « 4 km = … m ? 9 m = … cm ? 8 m et 4 dm = … dm ? » La correction collective s’ensuit. Les mesures seront écrites dans le tableau des mesures de longueur pour aider les élèves en difficulté à effectuer les conversions. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une mesure de longueur, vous l’écrivez dans l’unité demandée. » Énoncer : 80 cm + 4 dm = … dm ? 940 cm = … m et de dm ? 75 km = … dm ? 20 dm = … m ? La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche dans le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Durée : 5 min
• Consigne : « Rappelez-moi comment on calcule les périmètres d’un carré et d’un rectangle. » Réponses attendues : « Pour calculer le périmètre d’un carré, on multiplie par 4 la mesure d’un côté de ce carré. » « Pour calculer le périmètre d’un rectangle, on additionne les mesures des 2 longueurs et des 2 largeurs. » • Explication : « Aujourd’hui, vous allez utiliser ces formules en résolution de problèmes. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 86. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’utiliser la formule du calcul du périmètre d’un carré pour calculer la mesure du côté d’un carré en connaissant son périmètre.
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Réponse : Périmètre = côté × 4 donc côté = périmètre : 4 120 : 4 = 30 On peut placer 30 chaises sur un côté.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
• B. L’objectif est d’utiliser la formule du calcul du périmètre d’un rectangle pour calculer la mesure d’une largeur en connaissant son périmètre et sa longueur. Réponses : Périmètre = (Longueur × 2) + (largeur × 2) largeur × 2 = 120 – 80 = 40 largeur = 40 : 2 = 20 Il faudra mettre 20 chaises dans le sens de la largeur.
• Problème 1 : L’objectif est de calculer la mesure d’un côté d’un carré en s’appuyant sur une des propriétés du carré : il a 4 côtés égaux. Réponse : 270 : 3 = 90 Un côté du miroir mesure 90 cm. Il lui faut 90 cm de baguette pour terminer le 4e côté.
Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• C. L’objectif est de calculer le périmètre d’un carré et la longueur d’un rectangle. Réponses : – 15 × 4 = 60 Pour une scène carrée, il faudra 60 m de tissu. – (Longueur × 2) + (largeur × 2) = Périmètre (longueur × 2) + (10 × 2) = 60 m Longueur × 2 = 60 – 20 = 40 Longueur = 40 : 2 = 20 m Il faudra 20 m de tissu pour une longueur de scène.
• Problème 2 : L’objectif est de calculer la mesure d’une largeur d’un rectangle dont on connaît la mesure du périmètre et la mesure d’une longueur. Réponse : (largeur × 2) = périmètre – (Longueur × 2) (largeur × 2) = 120 – 80 = 40 m largeur = 40 : 2 = 20 m La mesure de cette largeur est de 20 m. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes en utilisant les formules de calculs des périmètres du carré et du rectangle. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : S’entraîner sur les mesures de longueur et les relations qui les lient.
Travail individuel écrit
Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une mesure de longueur, vous l’écrivez dans l’unité demandée. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : « 8 km = … m ? 7 dm = … cm ? 4 km et 4 dm = … m ? 500 mm = … cm ? » La correction collective s’ensuit. Les mesures seront écrites dans le tableau des mesures de longueur pour aider les élèves en difficulté à effectuer les conversions. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une mesure de longueur, vous l’écrivez dans l’unité demandée. » Énoncer : « 6 dm et 8 cm = … mm ? 457 mm = … cm et mm ? 2 m et 47 cm = … mm ? » La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Problèmes d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul du périmètre du rectangle, proposer de commencer par les problèmes A1, A4 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul du périmètre du carré ou la mesure d’un côté du carré, proposer de commencer par les problèmes A3 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le calcul d’une longueur ou d’une largeur d’un rectangle, proposer de commencer par les problèmes A2, B3 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices :
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes en utilisant les formules de calculs des périmètres du carré et du rectangle. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes en utilisant les formules de calculs des périmètres du carré et du rectangle. »
Durée : 45 min
Parcours A : • A1. (25 × 2) + (16 × 2) = 50 + 32 = 82 Le périmètre de sécurité est de 82 m. • A2. (Longueur × 2) = 20 × 2 = 40 (Longueur × 2) = périmètre – 40 = 90 – 40 = 50 Longueur = 50 : 2 = 25 Une longueur de bassin mesure 25 m. • A3. 220 : 4 = 55 Un côté du cadre mesure 55 cm.
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• A4. (40 × 2) + (30 × 2) = 80 + 60 = 140 Le périmètre du terrain est de 140 m. 140 – 2 = 138 Il a besoin de 138 m de grillage. Parcours B : • B1. 400 × 4 = 1 600 cm Le périmètre de la pièce est de 1 600 cm, soit 16 m. 10 × 2 = 20 Boris a acheté 20 m de frise. 16 < 20. Boris aura assez de 2 rouleaux de frise. • B2. (252 × 2) + (175 × 2) = 504 + 350 = 854 Anaïs a besoin de 854 cm de ruban, soit 8 m et 54 cm. • B3. (Longueur × 2) = 198 – (15 × 2) (Longueur × 2) = 198 – 30 = 168 Longueur = 168 : 2 = 84 Le mur à refaire mesure 84 m. • B4. (largeur × 2) = 370 – (110 × 2) (largeur × 2) = 370 – 220 = 150
largeur = 150 : 2 = 75 Il lui reste une largeur de 75 m à tracer.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à résoudre des problèmes sur le calcul du périmètre • Revoir la rubrique « Retenir » de la leçon 32 page 66. • Voir les pistes données à la leçon 32 du guide pédagogique. Difficultés à effectuer des conversions • Revoir la rubrique « Retenir » de la leçon 4. • Voir les pistes pédagogiques données dans le guide pédagogique.
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44
Les fractions simples Manuel de l’élève pages 88 et 89
Commentaires pédagogiques Une fraction est un nombre. Le dénominateur indique en combien de parts l’unité est divisée. Le numérateur indique le nombre de parts de ce nombre. Lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à l’unité. Lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à l’unité. Il est ici important de ne pas « enfermer » l’élève dans une logique où la fraction serait toujours plus petite que l’unité. À ce stade de l’étude de la notion de « fraction », les représentations visuelles sous forme de disques, de surfaces en carreaux, etc. sont très importantes. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples. »
■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » ■ Objectifs des séances : – Écrire, nommer et utiliser les fractions simples. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : 3 gâteaux identiques pouvant être découpés en 8 parts chacun, des fromages en portions, des bandes… ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, du matériel de manipulation (disques, bandes, dessins, carrés, rectangles…), 2 bandes de papier (exercice 1 du « Appliquer »).
Séance 1 • Mise en place : Présenter 1 gâteau aux élèves.
Travail préparatoire
• Consigne 1 : « Que voyez-vous ici ? » (1 gâteau)
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Diviser un nombre par 2, 3 ou 4. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des divisions. Vous écrivez les résultats sur l’ardoise, que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : « 36 : 4 ; 120 : 2 ; 33 : 3… » La correction collective s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des division. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : « 100 : 2 ; 60 : 3 ; 30 : 2 ; 90 : 3 ; 200 : 4 ; 50 : 2… » La correction s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche dans le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Écrire, nommer et représenter des fractions simples
8 8
Ce nombre indique en combien de parts j’ai divisé le gâteau. Ce nombre s’appelle « le dénominateur. » Il est écrit sous le trait. – 1 gâteau est partagé en 8 parts égales. Je donne 1 part à Luna. Voici comment s’écrit la fraction correspondante : 1 8 Cette fraction se dit « un huitième ». J’ai pris 1 part sur les 8 parts. – Je donne 1 part à Nico. Voici la fraction correspondant aux 2 parts que j’ai prises : 2 8
Cette fraction se dit « deux huitièmes ».
Objectif : Construire une représentation mentale des fractions simples, d’une fraction < et > à l’unité (image mentale indispensable pour une compréhension du concept). Travail collectif oral
• Explication : « Vous allez apprendre à écrire et à nommer des fractions simples. » – Je coupe ce gâteau en 8 parts égales. Voici comment s’écrit la fraction correspondante : 8 . Cette frac8 tion se dit « huit huitièmes ». Ce nombre indique le nombre de parts. C’est le numérateur.
Durée : 15 min
‹ Remarque : Ce temps de manipulation avec du matériel concret (bandes, disques…) sera repris autant de fois que nécessaire, notamment pour les élèves les plus fragiles. ‹ Remarque : Apporter si possible des gâteaux pouvant être découpés en 8 parts chacun. Nous prendrons ici pour exemple une classe de 24 élèves. Adapter les nombres ci-dessous en fonction du nombre d’élèves dans la classe. • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à écrire, à nommer et à utiliser des fractions simples. »
J’ai pris 2 parts sur les 8 parts. – Faire de même jusqu’au bout. Verbaliser à chaque fois et noter au tableau la fraction correspondante. • Consigne 2 : « J’ai 1 autre gâteau découpé en 8 parts. Je veux donner 1 part à chacun d’entre vous. Vous êtes 24. Aurai-je assez de parts ? » Réponse attendue : « Non, 16 enfants n’ont pas eu de part. » • Consigne 3 : « Comment faire pour que chaque enfant ait une part de gâteau de taille identique à celle de ses camarades ? » Laisser les élèves émettre des propositions. Réponse attendue : « Il faut 3 gâteaux au total. Chaque gâteau sera partagé en 8 parts égales. » Faire le partage et verbaliser.
138
• Écrire d’autres fractions que 1 .
Les fractions La tarte est coupée en 4. Je prends 3 parts sur les 4.
8
Exemple : Prendre une assiette. Placer 3 parts de gâteau et verbaliser : « J’ai partagé le gâteau en 8 parts égales. Le dénominateur est donc 8. J’ai pris 3 parts sur les 8. J’ai pris 3 du gâteau 8 (trois huitièmes). »
3 parts
Travail dans le manuel
La fraction s’écrit 3 et se lit « trois quarts ». 4 numérateur
u TEMPS 1 : Découvrir
3 4
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min 3 4
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 88. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
dénominateur nombre de parts que je prends
nombre total de parts Quand on partage en 2, on obtient des demis. Quand on partage en 3, on obtient des tiers. Quand on partage en 4, on obtient des quarts. Quand on partage en 5, on obtient des cinquièmes. Quand on partage en 6, on obtient des sixièmes. Quand on partage en 7, on obtient des septièmes. Quand on partage en 8, on obtient des huitièmes. Quand on partage en 9, on obtient des neuvièmes.
• A. L’objectif est d’écrire en chiffres et de nommer une fraction correspondant à des fractions en demi, tiers et quart. Réponses : 1 de la tarte aux pommes ; 1 de la tarte aux fram2 3 boises ; 1 de la tarte au citron. 4
‹ Remarque : Insister sur le fait que, lorsque l’on partage en 2, on obtient des demis et que le dénominateur est 2. Quand on partage en 3, on obtient des tiers et le dénominateur est 3. Quand on partage en 4, on obtient des quarts et le dénominateur est 4. • B. L’objectif est d’écrire en chiffres une fraction simple (tiers et quarts au dénominateur). Réponses : 2 de la tarte aux framboises ; 3 de la tarte au citron. 3
4
• C. L’objectif est de représenter des fractions par le dessin et de les écrire. Réponses : 2 2
3 3
4 4
3 trois tiers 3
3 =1 3
4 quatre quarts 4
4 =1 4
2 deux demis 2
2 =1 2
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 15 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
Pour chaque tarte, le numérateur est égal au dénominateur. Cela correspond aux tartes entières. • D. L’objectif est d’apprendre que, lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à l’unité. Réponses :
• Exercice 1 : L’objectif est de lire une fraction écrite en chiffres et de la représenter par coloriage sur une bande de papier. Réponses : 1
2 3 4 • Exercice 2 : L’objectif est d’écrire la fraction correspondant aux dessins donnés. Réponses : a) 2
b) 2
4
3
• Exercice 3 : L’objectif est de lire des fractions écrites en lettres et de les écrire en chiffres. Il y a 3 parts dans chaque tarte. Donc pour avoir 9 parts, il faut 3 tartes entières. La fraction correspondante s’écrit 9 et se lit « neuf tiers ». 3
Le numérateur est plus grand que le dénominateur. Dans ce cas, la fraction est supérieure à 1. ‹ Remarque : S’appuyer sur la proposition du Temps 2 vécu avec les élèves en classe. Construire un référent didactique :
Réponses : 1 ; 4
2; 3
2; 4
1; 2
3 4
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à écrire, nommer et représenter des fractions. Nous avons appris ce que sont le numérateur et le dénominateur dans une fraction. Nous avons appris qu’une fraction peut être plus petite ou plus grande que l’unité. » Lire la rubrique « Retenir ».
139
Séance 2 • A2. a) 2 3 • A3.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
b) 1 3
c) 3 3
d) 2 3
1 4
Objectif : Diviser un nombre par 2, 3 ou 4. Durée : 10 min
Travail collectif oral et individuel écrit
2 3
À l’oral • Consigne : « J’énonce des divisions. Vous les calculez mentalement et vous donnez le résultat. » Interroger les élèves à tour de rôle. Énoncer : « 21 : 3 ; 400 : 2 ; 120 : 3 ; 160 : 4 ; 210 : 3 ; 1 800 : 2… » La correction collective s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Écrivez sur votre cahier les résultats des divisions que je vais vous donner. » Énoncer : « 600 : 2 ; 600 : 3 ; 240 : 4 ; 360 : 4… » La correction s’ensuit.
2 2 1 3 • A4.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire, nommer et représenter des fractions. Nous avons appris ce que sont le numérateur et le dénominateur dans une fraction. Nous avons appris qu’une fraction peut être plus petite ou plus grande que l’unité. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire, écrire, nommer et représenter des fractions simples. »
1 4
Nathan préférera prendre 1/3 de la pizza, car la part est plus grosse. Parcours B : • B1. a) 1 4
d) 2 3
• B2. 1 : un demi 2 1 : un quart 4 3 : trois tiers 3 2 : deux quarts 4
Travail dans le manuel u S’entraîner Durée : 30 min
4 e) 2 3
c) 1 2
f) 1
3 1 : un tiers 3 2 : deux tiers 3 3 : trois quarts 4
1 2
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture en chiffres d’une fraction représentée en dessin, proposer de commencer par les exercices A1, A2 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la représentation d’une fraction donnée en chiffres, proposer de commencer par les exercices A3, B3 et A4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture d’une fraction, proposer de commencer par les exercices A3, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : 4
b) 3
• B3.
Travail individuel écrit
• A1. a) 2
1 3
b) 3 4
c) 4 4
d) 1 4
1 4 2 3 3 4 • B4. 1 tarte est divisée en 4 parts. Pour avoir 12 parts, il faut avoir 3 tartes entières.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à représenter une fraction simple • Faire repérer en combien de parties le support est partagé. Insister sur le fait que, pour qu’il y ait fraction, il faut que les parts soient égales. Verbaliser à chaque manipulation.
140
Exemple :
Difficultés à lire une fraction et à la nommer • Verbaliser la démarche. Exemple : 2
➝
3
On commence par lire le chiffre qui est au-dessus du trait. Il représente le nombre de parts que l’on prend. C’est le numérateur. On lit ensuite le dénominateur. C’est 3. Quand on partage en 3, on dit « tiers ».
J’ai partagé une bande de papier en 4 parts égales.
J’ai colorié 3 parts sur les 4 parts. J’ai colorié trois quarts que j’écris : 3 . 4
• Faire de même avec d’autres supports : disque, carré, rectangle, quadrillage…
2 se lit « deux tiers ». 3
• Faire de même avec de nombreuses fractions. Expliquer aux élèves qu’ils doivent s’aider du référent didactique affiché au mur. C’est un outil d’aide.
141
45
Les graphiques Manuel de l’élève pages 90 et 91
Commentaires pédagogiques Au cours de cette séance, l’élève sera confronté à différents types de graphiques. Il devra : – en comprendre l’organisation ; – repérer la nature des informations et en faire une interprétation visuelle ; – repérer les données chiffrées correspondantes. • Le graphique en secteur circulaire permet de comparer visuellement la part de chacun des éléments qui le composent. Ce graphique peut se concevoir sans données chiffrées, pour une simple comparaison visuelle directe. Si elle existe, l’indication chiffrée est donnée directement sur chaque secteur. • Le graphique en bâtons se structure en abscisses et ordonnées ; la nature des données y est précisée. Les données chiffrées ne sont pas données directement et doivent être lues sur les ordonnées (le plus souvent). La valeur d’un élément est indiquée par un bâton vertical ou horizontal. Pour ce type de graphique, l’ordre des éléments mesurés sur les abscisses n’a pas d’importance. • Le graphique en courbe se présente lui aussi en abscisses et ordonnées. La valeur d’un élément est notée par un point
repéré par ses coordonnées, les valeurs successives étant reliées par une ligne. Ce type de graphique se conçoit dans une « suite chronologique d’événements » dont on cherche à observer l’évolution dans le temps. ■ Socle commun (palier 2) : – « Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : graphiques. » ■ Programmes 2008 : – « Construire un tableau ou un graphique. » – « Interpréter un tableau ou un graphique. » – « Lire les coordonnées d’un point. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir différents types de graphiques. – Lire, interpréter et utiliser leurs informations. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à lire, à comprendre, à utiliser les informations de graphiques différents et à voir l’intérêt de chaque type de graphique. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer un nombre entre 2 multiples d’une même table de multiplication. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne 1 : « Le nombre 16 est-il dans la table de 3 ? » (non) • Consigne 2 : « Entre quels multiples de la table de 3 se situe-t-il ? » Réponse attendue : entre 15 et 18. • Explication : « Si je veux encadrer le nombre 15 entre 2 multiples de la table de 3, je cherche les 2 multiples les plus proches de 15. » 3 × 5 < 16 < 3 × 6 • Consigne 3 : « Entre quels multiples de la table de 2 se situe 19 ? 13 ? 7 ? » Réponse attendue : 19 est entre 9 × 2 et 10 × 2, c’est-à-dire entre 18 et 20. • Faire de même avec d’autres nombres et d’autres tables de multiplication. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne un nombre. Vous devrez l’encadrer entre 2 multiples de la table que je vous indiquerai. » Énoncer : « 29 ➝ table de 4 ; 42 ➝ table de 5 ; 67 ➝ table de 8 » La correction collective s’ensuit avec verbalisation pour chaque réponse.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 90. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir « le graphique en secteurs », de le lire, de l’interpréter, d’utiliser ses informations et d’en comprendre l’intérêt. Réponses : Les élèves ne trouveront pas d’eux-mêmes le terme « graphique en secteurs » ; ils utiliseront certainement des termes comme « disque » ou « camembert ». Lors de la mise en commun collective, apporter le terme exact. – C’est dans la catégorie des benjamins. – benjamins > minimes > cadets > juniors > poussins Faire remarquer qu’il n’y a pas besoin de données chiffrées pour comparer chaque secteur par rapport aux autres. La taille du secteur suffit. – L’intérêt de ce graphique en secteurs est la facilité de comparaison et de rangement des catégories d’un simple regard. Les données chiffrées ne sont pas utiles. • B. L’objectif est de revoir le « graphique en bâtons » (ou histogramme) déjà introduit au CE2, comment le lire, l’interpréter, utiliser ses informations et en comprendre l’intérêt. Réponses : tennis : 60 / GRS : 30 / basket : 20 / ping-pong : 20 / athlétisme : 30 60 + 30 + 20 + 20 + 30 = 160 Il y a 160 adhérents au total.
142
L’intérêt de ce type de graphique est que l’on peut lire facilement les nombres de personnes par sport, les comparer entre eux et effectuer des calculs. • C. L’objectif est de revoir le « graphique en courbe » déjà introduit au CE2, comment le lire, l’interpréter, utiliser ses informations et en comprendre l’intérêt. Réponses : L’association a perdu des adhérents en 2011. C’est en 2013 que la progression du nombre d’adhérents a été la plus forte (écart avec l’année précédente). Ce type de graphique permet de voir l’évolution des données dans le temps. ‹ Remarque : Demander aux élèves de regarder dans leur carnet de santé leurs courbes de poids et de taille. En apporter un et projeter les courbes devant les élèves, afin de confirmer l’intérêt de ce type de graphique pour voir l’évolution des données.
TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de lire, d’interpréter et d’utiliser les données d’un graphique en bâtons (histogramme). Réponses : 25 + 20 + 25 + 20 + 15 + 10 = 115 femmes 25 + 20 + 20 + 25 + 10 + 5 = 105 hommes 115 + 105 = 220 La population de ce village est de 220 personnes. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à lire, à comprendre et à utiliser les informations de graphiques différents. Nous avons vu l’intérêt de chaque type de graphique. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : Encadrer un nombre entre 2 multiples d’une même table de multiplication.
Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on encadre un nombre entre 2 multiples d’une même table de multiplication. » Réponse attendue : « On cherche dans la table les multiples qui se rapprochent au plus près du nombre. » • Consigne 2 : « Entre quels multiples de la table de 4 se situe 22 ? » Réponse attendue : entre 20 et 24, entre 5 × 4 et 6 × 4. • Consigne 3 : « Entre quels multiples de la table de 9 se situe 79 ? 31 ? » Les élèves répondent oralement. • Faire de même avec d’autres nombres et d’autres tables de multiplication. Interroger les élèves à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne un nombre. Vous devrez l’encadrer entre 2 multiples de la table que je vous indiquerai. » Énoncer : « 53 ➝ table de 7 ; 28 ➝ table de 8 ; 44 ➝ table de 9 » La correction collective s’ensuit avec verbalisation pour chaque réponse.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à lire, à comprendre et à utiliser les informations de graphiques différents. Nous avons vu l’intérêt de chaque type de graphique. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire, interpréter et utiliser les données des graphiques que vous avez découverts. »
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les graphiques en secteurs, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les graphiques en bâtons (histogrammes), proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les graphiques en courbe, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. Le marron est la couleur la plus représentée. bleu < vert < marron 8 + 4 + 14 = 26 élèves • A2. La catégorie la plus importante est celle des adultes femmes. Habitants de sexe féminin : adultes femmes + enfants filles = 30 + 22 = 52 Habitants de sexe masculin : adultes hommes + enfants garçons = 28 + 20 = 48 catégorie nombre e
femmes
hommes
30
28
garçons
filles
20
22
e
• A3. Le 6 jour a été le plus chaud et le 10 le moins chaud. C’est entre le 2e et le 6e jour que la température a augmenté de 10 à 17 °C. La température a chuté de 5 °C (de 10 à 5 °C) entre le 7e et le 10e jour.
143
Parcours B : • B1. Ce graphique indique les longueurs des fleuves français et les comparent. La Seine est le fleuve le plus court. La Loire et le Rhin sont longs de plus de 1 000 km. Seine < Rhône < Garonne < Loire < Rhin • B2. L’alimentation et le loyer sont les 2 dépenses les plus importantes durant le mois. loyer > alimentation > eau gaz électricité > impôts > téléphone et transports à égalité Somme nécessaire : 700 + 500 + 120 + 100 + 40 + 40 = 1 500 Cette personne doit gagner 1 500 € au minimum pour pouvoir tout payer. • B3. La population de La Ferté-Alais était inférieure à 3 000 habitants en 1978 et 1986. Elle était comprise entre 3 000 et 4 000 en 1994. Entre 1978 et 2010, la population a augmenté. La courbe est toujours croissante ; la population est passée d’un peu moins de 2 000 habitants à 4 000 habitants.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à lire un graphique • Travailler sur les nœuds dans un quadrillage. Placer des objets concrets sur les nœuds d’un quadrillage. L’élève place son doigt sur le nœud où se trouve l’objet, et le déplace vers la gauche horizontalement jusqu’à l’en-tête. Il note l’information. Il fait de même avec la ligne verticale. Il note l’information, puis associe les 2. Faire plusieurs fois cette manipulation sur des supports différents. Difficultés à lire un histogramme • Faire identifier les informations données par les 2 axes (abscisses et ordonnées). Faire placer une règle plate au niveau du 1er bâton de l’histogramme pour faciliter la lecture. Proposer diverses situations de lecture d’histogrammes (en géographie, en sciences, en lecture documentaire). Difficultés à comprendre l’intérêt d’utiliser un graphique par rapport à un autre • Partir d’une situation identique présentée sous la forme d’un graphique en secteur, d’un graphique en bâtons, et d’un graphique en courbe. Travailler la lecture des informations et leur interprétation afin que l’élève prenne conscience de l’intérêt de chaque type de graphique en fonction de la situation donnée et de ce que l’on cherche. Si l’on veut comparer des valeurs, le graphique en bâtons est pertinent ; si l’on veut voir l’évolution des données, la courbe sera plus lisible.
144
46
Méthodologie: les étapes de calcul Manuel de l’élève page 92
Commentaires pédagogiques L’élève a déjà été confronté à ce type de problèmes. Jusqu’à présent, il les a résolus de manière intuitive. Cette séance devra permettre de concevoir explicitement une stratégie de résolution : 1) Quelle est la formule de résolution pour ce type de problème ? 2) A-t-on toutes les informations chiffrées pour effectuer le calcul ? 3) Quelle information manque-t-il ? 4) De quoi a-t-on besoin pour la calculer ? Cette dernière question revient à résoudre un mini-problème intermédiaire. Une fois le problème intermédiaire résolu, l’élève aura tous les éléments chiffrés et pourra résoudre le problème comme un problème simple.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Vous allez chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Cet exercice rapide vous entraîne à calculer les divisions. » Énoncer : « Dans 27, combien de fois 3 ? » Réponse attendue : 9 car 9 × 3 = 27 • Consigne 2 : « Dans 30, combien de fois 6 ? Dans 49, combien de fois 7 ? etc. » Les élèves répondent oralement à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Vous écrivez les résultats. » Énoncer : « Dans 45, combien de fois 5 ? Dans 28, combien de fois 4 ? Etc. » La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 40 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à résoudre des problèmes à plusieurs étapes. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 92. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de faire prendre conscience aux élèves qu’ils ne possèdent pas toujours toutes les informations nécessaires pour répondre à la question du problème et qu’il faut passer par une étape intermédiaire pour pouvoir résoudre ce problème.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Objectif de la séance : – Organiser les informations et les calculs pour résoudre un problème à plusieurs étapes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Réponses : Pour calculer le coût total du séjour, il faut utiliser la formule « coût total du séjour = coût de la location du car + coût de l’hébergement ». Nous connaissons le coût de la location du car. L’information qui n’est pas directement donnée et qui doit être calculée est le coût de l’hébergement. coût de l’hébergement : 240 × 26 = 6 240 2 100 + 6 240 = 8 340 Le coût total du séjour est de 8 340 €. • B. L’objectif est de résoudre un problème à étapes en identifiant les informations disponibles et les informations à chercher. Réponses : coût total du séjour = coût de l’hébergement + coût des billets de train Nous ne connaissons pas le coût total de l’hébergement ni le coût total des billets de train. coût total = hébergement + billets de train coût total = (coût par enfant × nombre d’enfants) + (coût d’1 billet × nombre de personnes) coût total = (198 × 26) + (70 × 30) coût total = 5 148 + 2 100 coût total = 7 248 Le coût total du séjour est de 7 248 €. ‹ Remarque : Le problème pourra être résolu étape par étape. Néanmoins, il est important, à chaque fois que l’occasion se présente, de montrer aux élèves la pertinence de l’utilisation des parenthèses pour résoudre ce type de problèmes : cette technique évite des oublis et explique clairement ce que l’on cherche dans les parenthèses.
TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 15 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problème : L’objectif est de résoudre un problème à étapes. Réponse : montant total = prix d’1 vélo × nombre de vélos montant total = prix d’1 vélo × (nombre de vélos homme + nombre de vélos femme) montant total = 169 × (27 + 29) montant total = 169 × 56 montant total = 9 464
145
Le montant total de cette vente de VTT est de 9 464 €. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes à plusieurs étapes. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Propositions de problèmes simples à étapes Guider les élèves pas à pas. • Problème 1 : « Nathan passe une commande. Il achète un lot de balles de ping-pong à 13 € et une raquette à 24 €. Il a 70 €. Combien lui reste-t-il après avoir payé ? » Consigne 1 : « Que faut-il d’abord chercher ? » Réponse attendue : « La somme qu’il doit. » Les élèves cherchent la somme due (13 + 24 = 37 €). Consigne 2 : « Le problème est-il résolu ? ➝ Non. Que faut-il chercher maintenant ? » Réponse attendue : « La somme d’argent qu’il lui reste. » Les élèves cherchent la somme restante avec verbalisation de la démarche et du calcul (70 – 37 = 33 €). • Problème 2 : « Lilou commande 2 petites voitures à 8 € l’une pour jouer avec son frère. Elle a 39 € dans sa tirelire. Combien lui reste-t-il après son achat ? » Consigne 1 : « Que devez-vous d’abord chercher ? » Réponse attendue : « La somme qu’elle va dépenser. » 8 × 2 = 16 € Consigne 2 : « Que devez-vous chercher ensuite ? » Réponse attendue : « La somme qu’il lui reste après son achat. » 39 – 16 = 23 € Les élèves résolvent le problème en 2 étapes. Les guider si besoin. • Problème 3 : « Pour fabriquer des rideaux, Myriam a une grande pièce de tissu de 179 cm. Elle découpe 2 morceaux de 60 cm chacun. Combien mesure le morceau de tissu restant ? » Consigne 1 : « Que faut-il d’abord chercher ? » Réponse attendue : « La longueur totale des 2 morceaux de tissu qu’elle découpe. » Les élèves cherchent sur leur ardoise ou leur cahier d’essai, puis verbalisent leur démarche et la phrase-réponse.
Consigne 2 : « Le problème est-il résolu ? ➝ Non. Que faut-il chercher maintenant ? » Réponse attendue : « Il faut chercher la longueur du morceau de tissu qu’il reste. » Les élèves cherchent et verbalisent la démarche, le calcul et la phrase-réponse. Difficultés à identifier les questions intermédiaires des problèmes à étapes Proposer des problèmes avec 1 seule étape intermédiaire et guider pas à pas l’élève par le questionnement. Exemple : « La course d’escargots mesure 100 cm. Lors de la 1re étape, Baveux l’escargot s’arrête à 30 cm de l’arrivée. Lors de la 2nde étape, il s’arrête à 15 cm de l’arrivée. Quelle distance reste-t-il à parcourir à Baveux l’escargot ? » Questions : « Que dois-tu chercher ? » ➝ la distance qu’il reste à parcourir à Baveux l’escargot « De quelles informations as-tu besoin pour répondre à la question du problème ? » ➝ la distance totale qu’il doit parcourir et la distance qu’il a déjà parcourue « Quelle information as-tu ? » ➝ la distance totale à parcourir : 100 cm « Quelle information te manque-t-il ? » ➝ la distance déjà parcourue « Comment faire pour trouver la distance déjà parcourue ? » ➝ additionner la distance parcourue à l’étape 1 et la distance parcourue à l’étape 2 « Quand tu auras le résultat de ce calcul, auras-tu toutes les informations pour résoudre le problème ? » ➝ oui L’élève résout le problème soutenu par l’enseignant qui pourra lui proposer si besoin de faire un schéma qui peut faciliter la compréhension. • Faire de même avec d’autres problèmes : – Problème 1 : « Le marchand de fruits et légumes a mis en rayon 21 kg de pommes goldens, 37 kg de pommes reinettes, 43 kg de pommes canadas et 29 kg de pommes granny. Le soir, 85 kg de pommes ont été vendus. Quelle masse de pommes reste-t-il en magasin ? » – Problème 2 : « La semaine dernière, le boucher a vendu 175 kg de viande. Cette semaine, il en a vendu le double. Quelle masse totale de viande a été vendue en 2 semaines ? » – Problème 3 : « Tino a 95 billes. Il en donne 9 à chacun de ses 4 amis. Combien de billes lui reste-t-il ? » – Problème 4 : « Dans la ferme de Jules, il y a 4 enclos avec 8 moutons dans chacun et 3 enclos avec 5 chèvres dans chacun. Quel est le nombre total d’animaux dans sa ferme ? »
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Bilan (5) Manuel page 93
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Restituer les tables de multiplication. »
– « Utiliser la règle, l’équerre, le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres, les mesures. » – « Savoir organiser des informations numériques. » – « Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : graphiques. » ■ Programmes 2008 – « Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Formules des périmètres du carré et du rectangle. » – « Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Interpréter un graphique. » ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le manuel et le cahier de mathématiques.
Réponses : 1 ; 1 ; 1
Travail préparatoire
3 2 4
u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant
• Exercice 2 : L’objectif est de calculer la moitié, le quart et le tiers de nombres donnés.
Travail collectif oral Durée : 5 min Rappeler ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
Réponses : 1 de 30, c’est 30 : 2 = 15
u TEMPS 2 : Calcul mental
• Exercice 3 : L’objectif est d’utiliser les formules des périmètres d’un carré et d’un rectangle Réponses : – 25 × 4 = 100 Le périmètre de ce carré est de 100 cm. – (30 × 2) + (15 × 2) = 60 + 30 = 90 Le périmètre de ce rectangle est de 90 cm. – (Longueur × 2) = 50 – (10 × 2) (Longueur × 2 ) = 50 – 20 = 30 Longueur = 30 : 2 = 15 La longueur de ce rectangle est de 30 cm.
Durée : 15 min Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : – Écrivez le résultat de : 50 : 2. – Écrivez le résultat de : 90 : 3. – Écrivez le résultat de : 420 : 2. – Écrivez le résultat de : 360 : 4. – Écrivez le résultat de : 300 : 2. – Dans 48, combien de fois 8 ? – Dans 18, combien de fois 6 ? – Dans 54, combien de fois 9 ? – Dans 25, combien de fois 5 ? – Dans 56, combien de fois 7 ?
Travail dans le manuel Travail individuel écrit Durée : 45 min Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous les élèves. • Exercice 1 : L’objectif est de lire des fractions écrites en lettres et de les écrire en chiffres.
2 1 de 24, c’est 24 : 4 = 6 4 1 de 33, c’est 33 : 3 = 11 3
• Exercice 4 : L’objectif est d’écrire en chiffres les fractions représentées par un dessin. Réponses : a) 3 4
b) 1 2
c) 2 3
• Exercice 5 : L’objectif est de résoudre un problème à étapes. Réponses : somme totale = (36 × 19) + (15 × 12) = 684 + 180 = 864 La somme totale encaissée est de 864 €. • Exercice 6 : L’objectif est de lire, d’interpréter et d’utiliser les données d’un graphique en secteurs pour répondre à des questions. Réponses : – La tranche de 0 à 19 ans est la plus nombreuse. – La tranche de 40 à 59 ans comprend 25 personnes.
147
– 8 personnes ont entre 80 et 100 ans. – 15 + 8 + 32 + 20 + 25 = 100 La population totale de ce village est de 100 personnes.
• Exercice 8 : L’objectif est de calculer l’aire d’une figure en utilisant le carreau pour unité d’aire. Réponse : aire de la figure = 15 carreaux
• Exercice 7 : L’objectif est d’identifier des losanges en utilisant leurs propriétés pour justifier. Réponses : ABCD n’est pas un losange car ses côtés ne sont pas égaux. EFGH est un losange car ses 4 côtés sont égaux, ses côtés opposés sont parallèles et ses diagonales se croisent en formant 4 angles droits.
• Exercice 9 : L’objectif est de calculer la division posée d’un nombre par un nombre à 2 chiffres au diviseur. Réponses :
148
2 6 7 – 2 5 6 0 1 1
3 2 8
1 9 7 – 1 9 2 0 0 5
2 4 8
48
Les nombres jusqu’à 999999999 (3) Manuel de l’élève pages 94 et 95
Commentaires pédagogiques • Dans la numération décimale de position, il est important de bien distinguer « chiffre des… » et « nombre de… ». Le terme « chiffre » est souvent utilisé de manière abusive dans le vocabulaire courant à la place du terme « nombre » : on parle ainsi de « chiffres du chômage » en lieu et place de « nombre de chômeurs »… Il sera important de rappeler que l’ensemble des chiffres est strictement délimité ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) alors que l’ensemble des nombres est un ensemble infini. • Dans les grands nombres : – chaque chiffre indique la quantité de chaque unité d’ordre ; – le « nombre de… » est la quantité totale de l’unité donnée. Exemple : Dans 127 456 879, 127 est le nombre de millions, 127 456 le nombre de mille, 1 274 le nombre de centaines de mille.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Comparer, ranger et encadrer ces nombres. » ■ Objectif des séances : – Différencier « chiffre des… » et « nombre de… » dans les nombres à 9 chiffres. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération, des dessins de fractions (Calcul mental), des nombres à 9 chiffres écrits en chiffres au tableau ou sur des affiches ; – pour l’élève : l’ardoise, le manuel et le cahier de mathématiques, le tableau de numération.
Séance 1 Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des fractions simples. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant ce temps de calcul mental, préparer des dessins de ce type :
A
B
C
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 25 min
• Mise en place. Avant ce Temps 2, écrire au tableau ou sur des affiches des nombres ≤ 999 999 999 écrits en chiffres. • Consigne 1 : « Lisez à tour de rôle les nombres écrits au tableau (ou sur les affiches). » Proposer : 8 954 209 / 78 008 356 / 867 104 321 / 707 009 300 / 60 000 092… Les élèves lisent les nombres à tour de rôle.
D E
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Écrivez en chiffres et en lettres les fractions dessinées. » Réponses : A : 1 un demi ; B : 2 deux tiers ; C : 1 un demi ; 2 3 2 D : 3 trois quarts ; E : 5 cinq huitièmes. 4
u TEMPS 2 : Lire et écrire des nombres jusqu’au milliard
8
• Consigne 2 : « J’énonce des fractions. Vous les écrivez en chiffres sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. »
• Consigne 2 : « J’énonce des nombres. Vous les écrivez sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 65 309 765 / 2 097 600 / 31 000 985… ‹ Remarque : Chaque nombre sera écrit dans le tableau de numération tracé au tableau. Les élèves en difficulté pourront écrire les nombres énoncés directement dans leur tableau de numération plastifié, puis en dehors du tableau pour ne pas oublier les espaces entre les classes de nombres. Exemple :
Énoncer : 1 ; 5 ; 9 ; 7 …
Classe des millions
2 7 3 4
La correction collective suit chaque fraction. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’écris des fractions en chiffres au tableau. Vous les écrivez en lettres. » Écrire : 2 ; 3 ; 9 ; 6 … 3 4 2 3
• Consigne 2 : « J’écris des fractions en lettres au tableau. Vous les écrivez en chiffres sur le cahier. » Écrire : trois quarts ; un demi ; deux tiers ; trois cinquièmes ; quatre quarts… La correction collective s’ensuit.
c
d 6
Classe des mille u 5
c 3
d 0
Classe des unités simples u 9
c 7
d 6
u 5
65 309 765 • Consigne 3 : « Observez le tableau de numération. Rappelez-moi comment différencier le « chiffre des… » du « nombre de… ». » Réponse attendue : « Pour identifier le « chiffre des… », on regarde la colonne correspondante. Il n’y a qu’un seul chiffre, il ne peut pas y en avoir plusieurs. Pour identifier le « nombre
149
de… », on regarde la colonne de l’unité concernée et tous les nombres placés à sa gauche. » Exemple : « Quel est le chiffre des unités de mille dans 65 309 765 ? Quel est le nombre d’unités de mille dans 65 309 765 ? » Classe des millions c
d 6
Classe des mille u 5
c 3
d 0
Classe des unités simples u 9
c 7
d 6
u 5
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
chiffre des unités de mille Classe des millions c
d 6
Classe des mille u 5
c 3
d 0
Classe des unités simples u 9
c 7
d 6
u 5
nombre d’unités de mille
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier « le chiffre des… » dans un nombre à 9 chiffres. Les élèves s’appuient sur le tableau de numération. Réponse : Le code du 1er coffre est 163 982 845. • B. L’objectif est d’identifier « le nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres. Réponse : Le code du 2nd coffre est 345 256 346.
Durée : 15 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à différencier « le chiffre des… » et « le nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 94. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant).
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’identifier « le chiffre des… » dans un nombre donné. Réponses : - unités de mille : 561 214 358 – dizaines de millions : 784 857 951 – centaines simples : 437 671 601 – unités de millions : 814 971 204 – dizaines simples : 204 651 287 • Exercice 2 : L’objectif est d’identifier et d’écrire le « nombre de… » dans un nombre donné. Réponses : – 654 987 128 ➝ 65 498 dizaines de mille – 987 658 159 ➝ 9 centaines de millions – 134 524 981 ➝ 134 524 unités de mille – 561 258 573 ➝ 56 dizaines de millions – 15 587 654 ➝ 155 876 centaines simples En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à différencier « le chiffre des… » et « le nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2
u TEMPS 1 : Calcul mental
• Consigne 2 : « J’énonce des fractions. Vous les écrivez en chiffres sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 5 ; 8 ; 2 …
Objectifs : Lire et écrire des fractions simples.
La correction collective suit chaque fraction.
Travail préparatoire
Travail collectif oral et individuel écrit
4 9 2
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant ce temps de calcul mental, préparer des dessins de ce type :
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’écris des fractions en chiffres au tableau. Vous les écrivez en lettres. » Écrire : 1 ; 5 ; 3 … 2 4 3
• Consigne 2 : « J’écris des fractions en lettres au tableau. Vous les écrivez en chiffres. » Écrire : quatre demis ; deux quarts ; sept tiers ; cinq demis… La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Écrivez en chiffres et en lettres les fractions dessinées. » Réponses : 5 cinq huitièmes ; 2 deux tiers ; 1 un demi ; 1 un 8 3 2 4 quart.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à différencier « le chiffre des… » et « le nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à différencier le « chiffre des… » et le « nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres. »
150
Travail dans le manuel
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification d’un chiffre dans le nombre donné, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1, B2, A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification du « nombre de… » dans un nombre donné, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Difficultés à identifier le « chiffre des… » dans un nombre à 9 chiffres Utiliser le tableau de numération et rappeler que lorsque l’on cherche le « chiffre des… »,il ne peut pas y avoir plusieurs chiffres. Il faut identifier la classe concernée, puis la colonne de l’unité. Exemple : « Quel est le chiffre des dizaines de mille dans le nombre 654 789 321 ? » Verbaliser : « Le chiffre des dizaines de mille se trouve dans la classe des mille. Le chiffre des dizaines de mille se trouve dans la colonne d. Le chiffre des dizaines de mille dans le nombre 654 789 321 est 8. » Classe des millions c 6
d 5
Classe des mille u 4
c 7
d 8
Classe des unités simples u 9
c 3
d 2
u 1
Difficultés à identifier le « nombre de… » dans un nombre à 9 chiffres Utiliser le tableau de numération. Même démarche que précédemment : rappeler que le « nombre de… » peut avoir plusieurs chiffres ; il s’agit des nombres placés à la gauche de l’unité repérée. Exemple : « Quel est le nombre de dizaines de mille dans le nombre 654 789 321 ? » Verbaliser : « Je commence par repérer le chiffre des dizaines de mille qui se trouve dans la classe des mille.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. Dans 132 546 879 : – chiffre des unités de mille : 6 ; – chiffre des dizaines de millions : 3 ; – chiffre des centaines simples : 8 ; – chiffre des unités de millions : 2 ; – chiffre des centaines de mille : 5. • A2. 486 944 111 • A3. 65 dizaines de millions ; 895 unités de millions ; 6 750 centaines de mille ; 89 200 dizaines de mille • A4. Il faut ajouter 232 141 475 à la colonie B. 127 650 000 + 232 141 475 = 359 791 475 Il y a 359 791 475 fourmis dans la colonie A.
Classe des millions c 6
Parcours B : • B1. – chiffre des unités de millions : 674 971 560 – chiffre des unités de mille : 980 567 132 – chiffre des dizaines de millions : 981 564 191 – chiffre des centaines simples : 546 132 914 – chiffre des centaines de millions : 198 735 284 • B2. Le nombre est 296 451 649. • B3. 78 465 776 dizaines simples ; 3 549 centaines de mille ; 983 millions ; 3 198 384 centaines simples. • B4. 312 439 786 ordinateurs ont été vendus dans le monde en 2013.
151
d 5
Classe des mille u 4
c 7
d 8
Classe des unités simples u 9
c 3
d 2
u 1
Pour avoir le nombre de dizaines de mille, je regarde tous les nombres à gauche de la colonne d dans la classe des mille. Classe des millions c 6
d 5
Classe des mille u 4
c 7
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Classe des unités simples u 9
c 3
d 2
u 1
Dans le nombre 654 789 321, le nombre de dizaines de mille est 65 478. » • Faire de même avec d’autres nombres.
49
Description et reproduction de figures (1) Manuel de l’élève pages 96 et 97
Commentaires pédagogiques Pour reproduire une figure, l’élève devra agir avec méthode. Pour cela, il devra : – avoir une reconnaissance visuelle globale de la figure en question : un carré, un cercle, un rectangle, un losange… ; – procéder à la mesure des côtés, au repérage des angles droits, au parallélisme des côtés, au repérage du centre d’un cercle et de son rayon… de façon à recueillir la totalité des informations géométriques qui lui seront ensuite nécessaires. Il devra ensuite réutiliser ces informations en s’appuyant sur les procédures de construction des figures simples. Dans le cas de figures complexes, l’élève sera amené à décomposer l’ensemble en figures simples de base, et à les traiter successivement.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour construire avec soin et précision des figures planes usuelles. » – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. » ■ Objectif des séances : – Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une règle graduée, un compas, un crayon à papier bien taillé.
Séance 1 Travail préparatoire
Figure A
Figure B
Figure C
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre à 2 chiffres par 10, 100, 1 000. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on multiplie un nombre par 10 mentalement. » Réponse attendue : « On place un 0 à la droite du nombre. » • Consigne 2 : « Rappelez-moi comment on multiplie un nombre par 100 et par 1 000 mentalement. » Réponse attendue : « Pour multiplier un nombre par 100, on place deux 0 à la droite du nombre. Pour multiplier un nombre par 1 000, on place trois 0 à droite du nombre. » • Consigne 3 : « J’énonce une multiplication et vous donnez le résultat. » Énoncer : 12 × 10 ; 32 × 100 ; 50 × 100 ; 46 × 1 000… Les élèves répondent oralement à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des produits, vous écrivez les résultats. » Énoncer : 78 × 100 ; 83 × 1 000 ; 39 × 1 000 ; 93 × 100… La correction collective s’ensuit. ‹ Remarque : Utiliser régulièrement le mot « produit » pour la multiplication permet aux élèves de s’approprier ce terme qu’ils doivent maîtriser en fin de cycle 3. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Figure D 4 cm
O • Consigne 1 : « Décrivez chaque figure en vous appuyant sur ce que vous avez appris lors des séances précédentes en géométrie sur le carré, le rectangle, le losange et le cercle. » Les élèves s’appuieront sur les propriétés découvertes dans les leçons 14, 20 et 42. Réponses : Figure A : elle a 4 côtés égaux ; elle a 4 angles droits ; ses côtés opposés sont parallèles. C’est un carré. Figure B : elle a 2 longueurs et 2 largeurs ; ses 2 longueurs ont la même mesure ; ses 2 largeurs ont la même mesure ; les largeurs sont parallèles entre elles ; les longueurs sont parallèles entre elles ; cette figure a 4 angles droits. C’est un rectangle. Figure C : cette figure a 4 côtés égaux ; les côtés opposés sont parallèles ; elle n’a pas d’angles droits ; si l’on trace les diagonales, elles se coupent en formant 4 angles droits. C’est un losange. Figure D : cette figure n’est pas un polygone mais un cercle de centre O et de 4 cm de rayon.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 20 min
u TEMPS 2 : Rappel sur les propriétés du carré, du losange, du rectangle et du cercle
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. »
Travail collectif oral Durée : 15 min • Mise en place. Préparer avant la séance les figures suivantes (au tableau ou à projeter).
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 96. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation.
152
Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire la description d’une figure afin de l’identifier parmi d’autres figures. Réponses : - La 1re pièce est bleue. La 2e pièce est verte. La 3e pièce est orange. La 4e pièce est jaune. – La 1re pièce est un rectangle. La 2e pièce est un cercle. La 3e pièce est un carré. La 4e pièce est un losange. Lors de la mise en commun, insister sur le fait que, pour décrire une figure, il faut énoncer ses propriétés. • B. L’objectif est de reproduire la figure de la découverte A. Les élèves devront prendre des points de repère sur le quadrillage. Passer auprès des élèves pour aider ceux qui en ont besoin.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• Exercice : L’objectif est de décrire chaque figure simple qui compose la figure géométrique complexe proposée et de reproduire cette figure complexe sur papier quadrillé. Réponses : Figure 1 : cercle de 2 carrés de rayon. Figure 2 : rectangle avec Longueur = 5 carrés et largeur = 4 carrés. Il possède 4 angles droits. Figures 3 et 4 : des polygones avec 3 côtés, donc des triangles avec un angle droit. ‹ Remarque : Les élèves ont étudié le triangle rectangle en CE1 et en CE2. Ils se souviendront certainement du nom de ce type de triangle : « triangle rectangle ». Si ce n’est pas le cas, le rappeler lors de la mise en commun. Les reproductions seront corrigées par l’enseignant. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre à 2 chiffres par 10, 100, 1 000. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on multiplie un nombre à 2 chiffres par 10, 100 ou 1 000 mentalement. » Réponse attendue : « On place un, deux ou trois 0 à la droite du nombre. » • Consigne 2 : « J’énonce des produits et vous donnez les résultats. » Énoncer : 76 × 100 ; 32 × 10 ; 51 × 100 ; 99 × 1 000… Les élèves répondent oralement à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des produits, vous écrivez les résultats. » Énoncer : 64 × 100 ; 66 × 1 000 ; 83 × 1 000 ; 56 × 10… La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à décrire et à reproduire des figures sur quadrillage. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la description de figures géométriques, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la reproduction de figures géométriques, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1 et B2 sans s’attarder sur la description mais en ne travaillant que sur la reproduction des figures, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. AB = CD = 6 cm AD = BC = 4 cm Les angles A, B, C et D sont des angles droits. ABCD est un rectangle. LM = MO = OP = LP = 2 cm et 8 mm Les angles L, M, O et P sont des angles droits. LMOP est un carré. • A2. EFGH est un carré de 4 cm de côté. RSTU est un losange dont les 4 côtés mesurent 2 cm et 2 mm. • A3. Passer auprès de chaque élève pour vérifier la qualité des tracés et aider ceux qui en ont besoin. Parcours B : • B1. ABCD est un carré de 6 cm de côté. Le cercle a pour centre O et un rayon de 3 cm. Le segment ML est un diamètre du cercle qui passe par les milieux des segments AD et BC. Le point K est le milieu du segment AB. KLM est un triangle rectangle en K. • B2. PQRS est un rectangle dont les longueurs mesurent 2 cm et les largeurs 1 cm. JMP est un triangle rectangle où l’angle P, commun au rectangle PQRS, est l’angle droit. PMNO est un carré de 5 cm de côté.
153
‹ Remarque : Les élèves ont toujours sous les yeux le dessin du manuel pour les aider dans leurs tracés.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à décrire une figure Donner à l’élève une grille qui sera une trame à utiliser pour décrire des figures avec les propriétés à observer. Nom du polygone
Nombre de côtés
Mesure des côtés
Côtés opposés parallèles
Cercle
Centre du cercle
Mesure Mesure du rayon du diamètre
Angles droits
Si c’est un polygone, observer le nombre de côtés, mesurer les côtés et indiquer si certains sont égaux, repérer si les côtés opposés sont parallèles, indiquer si la figure comporte des angles droits. S’il s’agit d’un cercle, indiquer son centre, mesurer son rayon. Difficultés à reproduire une figure • Donner des figures très simples sur lesquelles les élèves marquent les points de repère intéressants pour la reproduction. Verbaliser les étapes de reproduction, puis laisser petit à petit l’élève verbaliser seul.
« – Place un point sur le quadrillage qui correspond à un sommet du triangle. – À partir de ce point, compte 2 carreaux vers la droite et 8 vers le bas. Place le 2e point du triangle. – À partir de ce point, compte 5 carreaux vers la gauche et 3 vers le haut. Place le 3e point. – Joins les points pour tracer le triangle. » • Complexifier ensuite les figures.
Guider l’élève pas à pas, comme précédemment. « – Place un point sur un nœud du quadrillage. C’est le centre du cercle. – Trace un cercle de 5 carreaux de rayon dont le centre est ce point. – Place le 1er point en bas à gauche sur le cercle. – Comptes 8 carreaux vers la droite et place le 2e point sur le cercle. – Pars du centre du cercle et compte 5 carreaux vers le haut. Place le 3e point du triangle. – Trace les côtés du triangle avec ta règle et un crayon à papier bien taillé. »
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50
Les fractions décimales: les dixièmes Manuel de l’élève pages 98 et 99
Commentaires pédagogiques Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ou une puissance de 10 : 100 ; 1 000 ; etc. L’élève a déjà découvert la fraction. Il sait que le nombre du bas (le dénominateur) est le nombre par lequel l’unité est divisée. Il sait que le nombre du haut (le numérateur) est le nombre de parties de l’unité divisée. Dans cette leçon, 10 sera le nombre par lequel on divise, le dénominateur. Ainsi, « le dixième » sera compris comme « l’unité divisée par 10 ». Cette notion aura une importance fondamentale dans la compréhension du nombre à virgule et la désignation du 1er chiffre après la virgule, notamment dans le tableau de numération.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples. » ■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : dixième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » ■ Objectifs des séances : – Nommer, écrire, représenter et utiliser les fractions décimales : les dixièmes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Représenter par le dessin des fractions simples. Travail individuel écrit Durée : 15 min À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment s’écrit la fraction 3 . 4 Que veut-elle dire ? » Réponse attendue : « Elle s’écrit 3 . Cela signifie que j’ai partagé 4 en 4 parts égales et que je prends 3 parts sur les 4. » • Consigne 2 : « J’énonce des fractions. Vous devrez les représenter par le dessin sur votre ardoise. Vous prendrez une bande comme unité. » Tracer un exemple au tableau :
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 98. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir la fraction décimale correspondant au dixième : 1 unité partagée en 10 parts égales. Réponses : - Le 1er sous-sol est divisé en 10 places. – 1 place correspond à 1 du sous-sol. 10
– 3 voitures occupent le 1er sous-sol – 3 voitures utilisent 3 du sous-sol. 10
– Les places inoccupées représentent 7 du sous-sol. 10
Lors de la mise en commun, faire verbaliser les élèves : « Ces voitures utilisent 3 du sous-sol. Cela veut dire que, sur les
Énoncer : « Représentez 1 sur cette bande. »
10
2
Les élèves dessinent la bande et colorient un demi (la moitié) de cette bande. Ils lèvent l’ardoise au signal. La mise en commun suit et est verbalisée : « Pour représenter 1 sur la bande, je dois la partager en 2 parts égales et je colorie 2 1 part sur les 2. J’ai colorié 1 . » 2
10 places du sous-sol, 3 places sont occupées par des voitures. Sur les 10 places, 7 places sont donc vides. La fraction correspondante est 7 . » 10
• B. L’objectif est de lire, représenter et écrire des fractions décimales en dixièmes. Réponses :
R
• Faire de même avec : 3 ; 2 … 4 5
R
B
B
B
B
V
V
V
1 place disponible, donc 1 du sous-sol.
Les élèves verbalisent la démarche à chaque fois.
10
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à nommer, écrire, représenter et utiliser des fractions décimales : les dixièmes. »
• C. L’objectif est d’écrire une fraction supérieure à l’unité, c’està-dire supérieure à 10 , afin de ne pas laisser croire aux élèves 10 qu’une fraction a toujours un numérateur inférieur au dénominateur. Réponses : 18 10
1 sous-sol n’est pas suffisant puisqu’il ne contient que 10 places. Il faut 1 sous-sol entier et 8 de sous-sol pour accueillir toutes 10 les voitures.
155
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
9 10
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1. L’objectif est d’écrire les fractions décimales correspondant aux dessins proposés. Réponses : a) 8 ; b) jaune 2 ; vert 3 ; bleu 1 ; rouge 4 ; 10
10
10
10
10
c) 5 . 10 • Exercice 2 : L’objectif est de représenter des fractions données en dixièmes. Réponses :
12 10
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à nommer, écrire, représenter et utiliser des fractions décimales : les dixièmes. » Lire la rubrique « Retenir ».
1 10
Séance 2 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : Représenter par le dessin des fractions simples.
Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des fractions. Vous devrez les représenter par le dessin sur votre ardoise. Vous prendrez un carré comme unité. » Tracer un carré au tableau. Énoncer : « Coloriez 2 de ce carré. » 3
Les élèves dessinent le carré et colorient 2 de ce carré. Ils lèvent 3 l’ardoise au signal. La mise en commun suit et est verbalisée : « Pour colorier 2 du carré, je dois le partager en 3 parts égales. 3
Je colorie 2 parts sur les 3. J’ai colorié 2 . » 3 Il y a plusieurs solutions possibles :
• Faire de même avec : 3 ; 2 … 4 5
Les élèves verbalisent la démarche à chaque fois. ‹ Remarque : Expliquer que, sur l’ardoise, on va vite pour s’entraîner et que l’on partage en 2, en 3 sans utiliser les mesures exactes ni la règle. On le fait à main levée. Dans ce cas-là, ce n’est pas grave si les parts ne sont pas parfaitement identiques.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 2
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture d’une fraction décimale en dixièmes à partir d’une représentation concrète, proposer de commencer par les exercices A1, A3, B1 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la représentation d’une fraction décimale en dixièmes à partir d’une fraction écrite en chiffres, proposer de commencer par les exercices A2, B2 et A4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les fractions décimale > à l’unité, proposer de commencer par les exercices A3, B3 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à nommer, écrire, représenter et utiliser des fractions décimales : les dixièmes. » • Expliquer : « On appelle ces fractions des fractions décimales car elles ont 10 pour dénominateur. Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à nommer, écrire, représenter et utiliser ces fractions décimales, les fractions en dixièmes. »
10 • A2. a) 5 10
b) 7
10
• A3. 12
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10
b) 4
10
• A4. 3 de 10 : Léane aura 3 caramels. 10
4 de 10 : Théo aura 4 caramels. 10 1 de 10 : Sarah aura 1 caramel 10
b) 23 • B3. a) 18 10 10 • B4. 28 parts, c’est 28 de gâteaux. 10 Il faudra 2 gâteaux entiers et 8 du 3e gâteau. 10
3+4+1=8 10 – 8 = 2 Il restera 2 caramels après la distribution. Parcours B : • B1. rouge 4 ; jaune 2 ; vert 1 ; bleu 3 10 10 10 10 • B2. 4 10
9 10
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes de travail des leçons 39 et 44. La seule nouveauté est le dénominateur 10. Insister sur le fait que c’est la même chose que pour les autres fractions simples étudiées précédemment. Les dixièmes expriment un partage en 10 parts égales.
6 10
157
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La division par un nombre à deux chiffres (4) Manuel de l’élève pages 100 et 101
Commentaires pédagogiques Identifier le nombre de chiffres du quotient présente deux intérêts : • Identifier la partie du dividende que l’on divise en premier. Exemple : c d u 3 0 7 5 2 5 . . . c d u Le quotient a 3 chiffres, il est donc de la forme c d u (même si le dividende est de la forme m c d u). Puisque ce quotient n’a pas de milliers, mais commence aux centaines, c’est le nombre total de centaines du dividende que l’on divise. • Repérer 2 erreurs fréquentes : lorsque l’élève choisit un quotient trop petit et divise à nouveau le reste obtenu (erreur 1) ; lorsque l’élève oublie de mettre le 0 d’un quotient (erreur 2). 9 8 6 7 2 4 7 2 4 8 2 4 – 4 8 – 7 2 2 2 1 1 3 2 5 0 0 4 8 – 4 8 – 2 4 0 2 6 – 2 4 2 7 – 2 4 3 erreur 1 erreur 2
Pour identifier le nombre de chiffres du quotient, il suffit de : – repérer quel serait le dividende si le quotient était 1, 10, 100 ou 1 000 ; – voir où le dividende réel se situe par encadrement ; – conclure sur l’encadrement du quotient : s’il est compris entre 1 et 10 c’est un quotient à 1 chiffre ; entre 10 et 100 c’est un quotient à 2 chiffres ; etc.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » ■ Programmes 2008 : – « Division euclidienne de deux entiers. » ■ Objectifs des séances : – Identifier le nombre de chiffres du quotient. – Découvrir la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectifs : Lire et représenter les fractions décimales en dixièmes. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min • Mise en place. Préparer au tableau des écritures de fractions décimales : 5 ; huit dixièmes ; 9 ; sept dixièmes ; 2 . 10 10 10 À l’oral • Consigne : « J’ai écrit au tableau des fractions décimales en dixièmes. Vous les lisez oralement. » Les élèves lisent à tour de rôle. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des fractions décimales en dixièmes. Vous les représentez sur votre ardoise par un dessin, sur une bande. » Énoncer : 6 ; 2 ; 5 …
Travail collectif oral
10 10 10
Les élèves tracent les représentations sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal. Réponses :
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à identifier le nombre de chiffres du quotient dans une division et découvrir la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 100. Les élèves découvrent la situation avec l’enseignant. Ils effectuent la recherche collectivement car cette leçon présente des notions complexes que l’enseignant doit aider à découvrir. • A. L’objectif est de découvrir la démarche pour trouver le nombre de chiffres du quotient. Réponses : 3 075 : 25 pour 10 sacs : 25 × 10 = 250 pour 100 sacs : 25 × 100 = 2 500 3 075 pour 1 000 sacs : 25 × 1 000 = 25 000 Le nombre de sacs est compris entre 2 500 et 25 000. Le quotient est entre 100 et 1 000. Il a donc 3 chiffres. Pour connaître le nombre de chiffres du quotient, il faut multiplier le diviseur par 10, par 100, par 1 000 et repérer entre quels résultats se trouve le dividende. Expliquer l’intérêt de connaître le nombre de chiffres du quotient : – connaître la partie du dividende que l’on doit diviser en premier. Si le quotient a 3 chiffres, il faut diviser le nombre de centaines d’abord ;
158
– recalculer la division au cas où le résultat trouvé n’aurait pas le bon nombre de chiffres. • B. L’objectif est de découvrir les étapes de la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. Verbaliser cette démarche au tableau. Réponses : Étape 1 c d u 3 0 7 5 2 5 – 2 5 1 . . c d u 0 5
c 3 – 2 0 –
Étape 2 c d u 3 0 7 5 2 5 – 2 5 1 2 . c d u 0 5 7 – 5 0 0 7
Étape 3 d u 0 7 5 2 5 5 1 2 3 c d u 5 7 5 0 0 7 5 – 7 5 0
Autre possibilité : 3 0 7 5 – 2 5 5 7 – 5 0 7 5 – 7 5 0
2 5 1 2 3
1) J’ai 2 chiffres au diviseur, j’en prends 2 au dividende. 2) Dans 30, combien de fois 25 ? 1 fois. 3) 25 × 1 = 25 4) J’effectue la soustraction : 30 – 25 = 5. Il reste 5. 5) J’abaisse le 7. J’ai 57 dizaines à diviser par 25. 6) Dans 57, combien de fois 25 ? 2 fois. 7) 25 × 2 = 50 8) J’effectue la soustraction : 57 – 50 = 7. Il reste 7. 9) J’abaisse le 5. J’ai 75 unités à diviser par 25. 10) Dans 75, combien de fois 25 ? 3 fois.
11) 25 × 3 = 75 12) J’effectue la soustraction : 75 – 75 = 0. Il reste 0.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de calculer et de compléter un encadrement en vue d’identifier le nombre de chiffres d’un quotient. Réponses : 35 × 10 = 350 ; 35 × 100 = 3 500 ; 35 × 1 000 = 35 000 ➝ 35 × 100 < 4 585 < 35 × 1 000 Pour la division 4 585 : 35, le quotient a 3 chiffres. • Exercice 2 : L’objectif est d’identifier le nombre de chiffres du quotient des divisions données. Réponses : 4 095 : 65 65 × 10 < 4 095 < 65 × 100 Le nombre de chiffres du quotient est 2. 18 615 : 51 51 × 100 < 18 615 < 51 × 1 000 Le nombre de chiffres du quotient est 3. 17 094 : 21 21 × 100 < 17 094 < 21 × 1 000 Le nombre de chiffres du quotient est 3. • Exercice 3 : L’objectif est de calculer la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. Réponse : c d u 6 8 4 6 4 2 – 4 2 1 6 3 c d u 2 6 4 – 2 5 2 0 1 2 6 – 1 2 6 0 ‹ Remarque : Lors de la correction, verbaliser toute la démarche (voir Temps 1, Découvrir B). En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à identifier le nombre de chiffres du quotient dans une division et découvrir la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et représenter les fractions décimales en dixièmes. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min • Mise en place. Préparer au tableau des écritures de fractions décimales en dixièmes : 1 ; quatre dixièmes ; 7 ; douze 10 10 dixièmes ; 20 … 10 À l’oral • Consigne : « J’ai écrit au tableau des fractions décimales en dixièmes. Vous les lisez oralement. » Les élèves lisent à tour de rôle.
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des fractions décimales en dixièmes. Vous les représentez sur votre ardoise par un dessin sur une bande. » Énoncer : 4 ; 17 ; 23 … 10 10 10 Les élèves tracent les représentations sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal.
159
4 10 17 10 23 10
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à identifier le nombre de chiffres du quotient dans une division et à découvrir la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à trouver le nombre de chiffres du quotient et à calculer des divisions de nombres entiers par un nombre à 2 chiffres au diviseur. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la recherche du nombre de chiffres au quotient par des encadrements, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres au diviseur, proposer de commencer par les exercices A4, B4, A5, A6, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 25 × 10 = 250 47 × 10 = 470 57 × 100 = 5 700 63 × 100 = 6 300 48 × 1 000 = 48 000 35 × 1 000 = 35 000 • A2. a) 23 × 10 = 230 ; 23 × 100 = 2 300 ; 23 × 1 000 = 23 000 23 × 100 < 4 669 < 23 × 1 000 b) 32 × 10 = 320 ; 32 × 100 = 3 200 ; 32 × 1 000 = 32 000 32 × 100 < 3 968 < 32 × 1 000 c) 89 × 10 = 890 ; 89 × 100 = 8 900 ; 89 × 1 000 = 89 000 89 × 10 < 1 602 < 89 × 100 • A3. 7 712 : 32 ➝ quotient à 3 chiffres car 32 × 100 < 7 712 < 32 × 1 000 545 : 45 ➝ quotient à 3 chiffres car 45 × 10 < 545 < 45 × 100 1 376 : 43 ➝ quotient à 2 chiffres car 43 × 10 < 1 376 < 43 × 100 2 432 : 16 ➝ quotient à 3 chiffres car 16 × 100 < 2 432 < 16 × 1 000 • A4. c d u c d u 7 4 5 5 3 5 4 9 1 4 2 1 – 7 0 – 4 2 2 1 3 2 3 4 c d u c d u 4 5 7 1 – 3 5 – 6 3 1 0 5 8 4 – 1 0 5 – 8 4 0 0
• A5. 5 904 : 24 = 246 La voiture a parcouru 246 km par heure en moyenne. • A6. 26 052 : 78 = 334 Le cirque a acheté 334 chaises. Parcours B : • B1. 92 × 10 = 920 ; 92 × 100 = 9 200 ; 92 × 1 000 = 92 000 74 × 10 = 740 ; 74 × 100 = 7 400 ; 74 × 1 000 = 74 000 85 × 10 = 850 ; 85 × 100 = 8 500 ; 85 × 1 000 = 85 000 79 × 10 = 790 ; 79 × 100 = 7 900 ; 79 × 1 000 = 79 000 • B2. 37 × 10 < 1 961 < 37 × 100 46 × 10 < 3 226 < 46 × 100 84 × 100 < 29 736 < 84 × 1 000 78 × 10 < 7 644 < 78 × 100 92 × 100 < 81 972 < 92 × 1 000 • B3. 9 782 : 73 ➝ quotient à 3 chiffres car 73 × 100 < 9 782 < 73 × 1 000 3 290 : 94 ➝ quotient à 2 chiffres car 94 × 10 < 3 290 < 94 × 100 16 524 : 36 ➝ quotient à 3 chiffres car 36 × 100 < 16 524 < 36 × 1 000 57 552 : 88 ➝ quotient à 3 chiffres car 88 × 100 < 57 552 < 88 × 1 000 • B4. c d u c d u 3 7 2 7 8 5 7 5 3 6 0 6 9 8 – 3 4 2 – 4 9 0 6 5 4 5 4 7 3 0 7 4 6 0 – 2 8 5 – 3 9 2 2 2 8 6 8 6 – 2 2 8 – 6 8 6 0 0 • B5. 14 + 14 = 28 L’avion a parcouru 28 fois le trajet. 17 108 : 28 = 611 La distance entre Paris-Orly et Toulouse est de 611 km. • B6. 37 + 42 = 79 Le magasin a vendu 79 robes. 9 085 : 79 = 115 Le prix d’une robe était de 115 €.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à trouver le nombre de chiffres au quotient • Faire encadrer le dividende comme vu dans la leçon. – Exemple 1 : 18 615 : 51 Verbaliser : « Je multiplie le diviseur par 10, 100, puis 1 000. Je repère entre quels résultats le dividende se situe. 51 × 100 < 18 615 < 51 × 1 000 5 100 < 18 615 < 51 000 Je regarde le nombre de 0 du nombre le plus grand dans l’encadrement : 51 000 a 3 zéros, le nombre de chiffres du quotient est 3. » – Exemple 2 : 4 095 : 65 Verbaliser : « Je multiplie le diviseur par 10, 100, puis 1 000 et je repère entre quels résultats le dividende se situe. 65 × 10 < 4 095 < 65 × 100 650 < 4 095 < 6 500
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Je regarde le nombre de 0 du nombre le plus grand dans l’encadrement ; 6 500 a 2 zéros, le nombre de chiffres du quotient est 2. » • Faire de même avec d’autres divisions.
Difficultés à calculer la division d’un nombre entier par un nombre à 2 chiffres Verbaliser la démarche, puis laisser l’élève le faire petit à petit (voir Temps 1, Découvrir B). Commencer par des divisions simples.
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Classement et rangement de surfaces selon leur aire Manuel de l’élève pages 102 et 103
Commentaires pédagogiques Mesurer, c’est comparer. C’est le cas pour les surfaces. Il est possible de comparer les surfaces par superposition, mais c’est difficile pour des figures de forme quelconque. L’utilisation de l’aire, c’est-à-dire la mesure de la surface avec un carré-unité, permet de donner une valeur numérique pour l’aire de chaque figure et donc de pouvoir établir une comparaison numérique. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Utiliser des instruments de mesure. »
■ Programmes 2008 : – « Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif, à l’aide d’une surface référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. » – « Ranger et classer des surfaces selon leur aire. » ■ Objectifs des séances : – Classer et ranger des surfaces en fonction de leur aire. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail individuel écrit Durée : 15 min • Mise en place. Préparer les indices au tableau avant ce temps de calcul mental. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’ai écrit des indices au tableau qui vous permettront de trouver un nombre. Vous pouvez vous aider de votre ardoise et du tableau de numération. » – 1er nombre : « Mon nombre d’unités de millions est 678. Mon chiffre des centaines de mille est 8. Qui suis-je ? » (678 800 000) – 2nd nombre : « Mon chiffre des dizaines de millions est le résultat de 45 : 9. Mon chiffre des unités de millions est le quadruple de 2. Mon chiffre des centaines simples est le double de 4. Mon chiffre des dizaines simples est le triple de 3. Qui suis-je ? » (58 000 890) ‹ Remarque : Les élèves passent par l’écrit pour trouver les nombres en utilisant leur tableau de numération. La correction collective orale s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris des indices pour trouver un nombre. Vous pouvez vous aider de votre ardoise et du tableau de numération. » – 1er nombre : « Mon chiffre des unités de millions est le résultat de 72 : 8. Mon chiffre des dizaines de millions est le résultat de 42 : 7. Mon chiffre des centaines de millions est le résultat de 30 : 5. Qui suis-je ? » (669 000 000) – 2nd nombre : « Je suis un nombre à 9 chiffres. J’ai le même nombre de millions que 345 675 128. J’ai le même nombre de milliers que 256 342 098. J’ai autant de dizaines que 345. J’ai le même chiffre des unités que 56. Qui suis-je ? » (345 342 346) La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur les notions de surface et d’aire Travail collectif oral Durée : 15 min • Mise en place. Préparer des figures sur quadrillage à présenter aux élèves.
• Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est l’aire d’une figure. » Réponse attendue : « L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. On l’exprime à l’aide d’une unité d’aire. » Présenter ou projeter les figures suivantes : Unité d’aire
figure 1
Unité d’aire
figure 2
Unité d’aire
figure 3
‹ Remarque : Il serait intéressant de proposer des quadrillages rectangulaires, pour ne pas laisser croire que l’unité d’aire est toujours le carré. • Consigne 2 : « Observez ces figures. Ont-elles la même unité d’aire ? Quelle est leur aire ? » Réponses : – figure 1 : unité d’aire = le rectangle aire = 25 unités d’aire – figure 2 : unité d’aire = le carré aire = 36 unités d’aire – figure 3 : unité d’aire = le demi-carré aire = 40 unités d’aire
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel écrit ou en binôme et collectif oral
Durée : 20 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à classer et ranger des surfaces en fonction de leur aire. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 102. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de mesurer l’aire de 6 figures différentes et de les comparer, l’unité d’aire étant identique pour chaque figure.
162
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Réponses : – figure de Léa : 16 unités d’aire – figure de Noah : 15 unités d’aire – figure de Tom : 12 unités d’aire – figure de Luna : 12 unités d’aire – figure de Nathan : 16 unités d’aire – figure de Sasha : 15 unités d’aire – Léa et Nathan ont les figures les plus grandes. • B. L’objectif est de prendre conscience que des figures peuvent avoir la même aire avec des formes différentes. Réponses : – Léa et Nathan ont des figures de même aire. – Noah et Sasha ont des figures de même aire. – Tom et Luna ont des figures de même aire. – Les figures peuvent avoir la même aire mais pas la même forme. • C. L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant les aires de 3 figures de même unité d’aire. Réponse : figure de Tom < figure de Noah < figure de Léa
Travail individuel écrit Durée : 10 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de mesurer l’aire de chaque figure, puis de les ranger dans l’ordre décroissant, ce qui est possible puisque l’unité d’aire est identique pour chaque figure. Réponses : – figure A : 15 unités d’aires – figure B : 24 unités d’aires – figure C : 14 unités d’aires – figure D : 16 unités d’aires –B>D>A>C En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à classer et ranger dans l’ordre croissant et décroissant des surfaces en fonction de leur aire. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire
Travail oral collectif
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Préparer les indices au tableau avant ce temps de calcul mental. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’ai écrit des indices au tableau pour vous permettre de trouver un nombre. Vous pouvez vous aider de votre ardoise et du tableau de numération. » – 1er nombre : « Mon chiffre des dizaines de mille est le double de 4. Mon chiffre des centaines de millions est le résultat de 9 : 3. Mon chiffre des centaines simples est le 1 de 27. Mon 3 chiffre des unités de millions est le quart de 28. Qui suis-je ? » (307 080 900) – 2nd nombre : « Mon chiffre des dizaines de mille est le 1 de 24. 4 Mon nombre de dizaines de millions est la moitié de 50. Mon chiffre des unités de millions est le tiers de 15. Mon chiffre des dizaines simples est le triple de 2. Mon chiffre des centaines simples est le quart de 8. Qui suis-je ? » (255 060 260) ‹ Remarque : Les élèves passent par l’écrit pour trouver les nombres en utilisant leur tableau de numération. La correction collective orale s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’ai écrit des indices pour trouver un nombre. Vous pouvez vous aider de votre ardoise et du tableau de numération. » – 1er nombre : « Mon nombre de dizaines de mille est le résultat de 875 × 100. Mon chiffre des unités de mille est le 1 de 27. 3 Mon chiffre des centaines simples est le résultat de 456 × 0. Mon chiffre des unités simples est le triple de 1. Qui suis-je ? » (875 009 003) – 2nd nombre : « Je suis un nombre à 9 chiffres. J’ai le même nombre de centaines de mille que 785 201 800. J’ai autant de dizaines que 302. J’ai le même chiffre des unités que 284. Qui suis-je ? » (785 200 304) La correction collective s’ensuit.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à classer et ranger des surfaces en fonction de leur aire. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur cette compétence. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison des aires de 2 figures, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B2 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le rangement des aires de figures dans l’ordre croissant ou décroissant, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. – figure 1 : 9 carrés – figure 2 : 8 carrés L’aire de la figure 1 est > à l’aire de la figure 2. • A2. – figure Y : 16 carrés – figure Z : 8 carrés aire de la figure Y > aire de la figure Z
163
• A3. – figure A : 36 carreaux – figure B : 27 carreaux – figure C : 76 carreaux aire de la figure B < aire de la figure A < aire de la figure C Parcours B : • B1. – aire du rectangle A : 24 carrés – aire du rectangle B : 24 carrés – aire du rectangle C : 24 carrés Ils ont tous la même aire. • B2. Ils ont la même aire : 36 carrés.
la même aire ou non. L’élève pourra ainsi comparer concrètement les aires de 2 figures. Commencer par des figures très simples puis complexifier. Difficultés à ranger dans l’ordre croissant ou décroissant • Commencer par des figures simples (uniquement des rectangles) pour simplifier la comparaison. Les élèves pourront les découper et les comparer par superposition ou compter le nombre d’unités d’aire pour chaque figure et écrire les aires sous (ou dans) les figures. Le rangement s’effectuera comme en numération.
• B3. – figure 1 : 39 carrés + 1 carré 2 – figure 2 : 38 carrés – figure 3 : 34 carrés aire de la figure 1 > aire de la figure 2 > aire de la figure 3
Unité d’aire 20
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
8 12 2
Difficultés à identifier une surface Difficultés à mesurer l’aire d’une surface sur quadrillage Voir les pistes proposées en leçon 41.
10
Difficultés à comparer les aires de 2 figures • Donner 2 figures sur quadrillage avec la même unité d’aire. Faire découper les figures et voir par superposition si elles ont
• Complexifier les figures. Proposer de compter le nombre d’unités d’aire et de les écrire sous (ou dans) les figures. Le rangement sera facilité.
164
53
Problèmes de la vie courante: les durées Manuel de l’élève pages 104 et 105
Commentaires pédagogiques Comme les autres problèmes de la vie courante travaillés depuis le début de l’année scolaire, les problèmes sur les durées se repèrent grâce au vocabulaire inducteur : « durée », « heure de départ ou de début », « partir à », « heure d’arrivée ou de fin », « arriver à »… Une fois le domaine identifié (les durées), le type de problème devra être identifié et la procédure de résolution correspondante retenue : – durée = heure d’arrivée – heure de départ ; – heure de départ = heure d’arrivée – durée ; – heure d’arrivée = heure de départ + durée ; – durée totale = durée A + durée B ; – durée A = durée totale – durée B ; – durée totale = durée A × nombre de fois.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, schémas. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Effectuer des conversions. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes sur les durées en utilisant le vocabulaire spécifique. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une pendule ou une montre à aiguilles.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectif : S’entraîner sur les mesures de durée et les relations qui les lient.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à résoudre des problèmes sur les durées. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 104. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de calculer une durée en connaissant l’heure de départ et l’heure d’arrivée et de découvrir la formule « durée = heure d’arrivée – heure de départ ». Réponse : Je pars de l’heure d’arrivée à 10 h 10. J’enlève 10 min à 10 h 10 pour arriver à 10 h. J’enlève 2 h à 10 h pour arriver à 8 h, l’heure de départ. 2 h + 10 min = 2 h 10 La durée de cette 1re étape est de 2 h 10 min Autre procédure possible (partir de l’heure de départ) : De 8 h à 10 h, il y a 2 h. De 10 h à 10 h 10, il y a 10 min. La durée de cette 1re étape est de 2 h 10 min. • B. L’objectif est découvrir la formule « durée totale = durée A × nombre de fois ». Réponse : 2 h 10 × 3 = 6 h 30 min La durée totale de la marche a été de 6 h 30 min. • C. L’objectif est de découvrir la formule « durée totale = durée A + durée B » et la formule « heure d’arrivée = heure de départ + durée. » Réponses : 6 h 30 + 1 h 30 = 8 h Ils ont passé 8 h dans la nature.
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Combien y a-t-il de minutes dans 1 h ? dans 2h?» • Consigne 2 : « Combien y a-t-il de secondes dans 1 min ? dans 3 min ? » • Consigne 3 : « Combien y a-t-il de jours dans 1 semaine ? Si j’ajoute 15 jours et 6 jours, combien cela fait-il de semaines ? » • Consigne 4 : « Combien y a-t-il de minutes dans 2 h ? 4 h ? 1 h et 15 min ? dans 2 h 10 ? dans 1 h 30 ? etc. » • Consigne 5 : « Combien y a-t-il de secondes dans 2 min ? 6 min ? 2 min et 5 secondes ? etc. » • Consigne 6 : « Combien y a-t-il d’heures dans 180 min ? 240 min ? 420 min ? etc. » • Consigne 7 : « Combien y a-t-il de minutes dans 300 s ? dans 360 s ? etc. » Interroger les élèves à tour de rôle. À l’écrit sur le fichier de mathématiques • Consigne 1 : « Combien y a-t-il de minutes dans 4 h ? dans 1 h 50 ? dans 2 h 12 ? dans 1 h 20 ? dans 6 h ? » • Consigne 2 : « Combien y a-t-il de minutes dans 60 s ? dans 180 s ? dans 540 s ? etc. » Les élèves écrivent le résultat sur leur cahier de mathématiques. La correction collective s’ensuit.
165
8 h + 8 h = 16 h Ils ont terminé leur randonnée à 16 h. • D. L’objectif est de faire prendre conscience aux élèves que, pour résoudre un problème de durée, il suffit d’utiliser une de ces formules. Réponses : Question A : formule c Question B : formule e Question C : formules d et a ‹ Remarque : Construire un référent didactique. Les problèmes sur les durées • durée totale = durée A + durée B • durée totale = durée A × nombre de fois • heure d’arrivée = heure de départ + durée • heure de départ = heure d’arrivée – durée • durée = heure d’arrivée – heure de départ
• Problème 1 : L’objectif est de résoudre un problème sur les durées en utilisant la formule c. Réponses : formule c 22 h 35 – 20 h 30 = 2 h 05 min • Problème 2 : L’objectif est de résoudre un problème sur les durées en utilisant les formules d et b. Réponses : formule d : 45 + 30 = 75 min = 1 h 15 min Il lui faut 1 h 15 pour réaliser cette recette. formule b : 12 h – 1 h 15 min 10 h 45
11 h
15 min
12 h 1h
Il doit commencer à 10 h 45 pour que la tarte soit prête à midi.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les durées. Nous avons découvert les formules pour les résoudre. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : S’entraîner sur les mesures de durée et les relations qui les lient.
Travail individuel écrit
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Combien manque-t-il à 50 min pour arriver à 1 h ? Combien manque-t-il à 90 min pour arriver à 2 h ? etc. » • Consigne 2 : « Combien manque-t-il à 45 s pour arriver à 1 min ? Combien manque-t-il à 165 s pour arriver à 3 min ? » Interroger les élèves à tour de rôle qui verbalisent et expliquent leur résultat. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris des additions de durées au tableau. Vous devrez les compléter. » Écrire : 48 min + … = 1 h 126 mn + … = 3 h 30 min 200 s + … = 4 min … + 50 s = 2 min 10 h + … min = 11 h 55 Les élèves écrivent les opérations sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les durées. Nous avons découvert les formules pour les résoudre. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur les durées. »
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes relevant de la formule « durée totale = durée A + durée B », proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes relevant de la formule « durée totale = durée A × nombre de fois », proposer de commencer par les exercices A2, A6, B2 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes relevant de la formule « durée = heure d’arrivée – heure de départ », proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes relevant de la formule « heure d’arrivée = heure de départ + durée », proposer de commencer par les exercices A3, A5, B3 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 40 s + 10 s = 50 s b) 30 min + 20 min = 50 min c) 12 jours + 2 jours = 14 jours
166
• A2. 10 × 3 = 30 min 30 × 5 = 150 min 13 × 4 = 52 jours • A3. 8 h 30 + 1 h 20 = 9 h 50 10 h 15 + 1 h 10 = 11 h 25 14 h 20 + 3 h 30 = 17 h 50 • A4. 12 h – 8 h = 4 h 10 h 30 – 9 h 15 = 1 h 15 min 13 h 50 – 10 h 05 = 3 h 45 min • A5. 12 h 45 + 15 min = 13 h de 9 h 25 à 13 h ➝ 13 h – 9 h 25 = 3 h 35 min La durée du trajet sera de 3 h 35min. • A6. 30 × 7 = 210 Frédéric a réalisé 210 min d’exercices au cours d’une semaine, soit 3 h 30 min. Parcours B : • B1. a) 50 s + 10 s = 60 s = 1 min b) 80 min + 40 min = 120 min = 2 h c) 16 jours + 5 jours = 21 jours = 3 semaines
• B2. 15 × 6 = 90 min = 1 h 30 min 50 × 4 = 200 min = 3 h 20 min 7 × 4 = 28 jours = 4 semaines • B3. 9 h 45 + 1 h 45 = 11 h 30 11 h 35 + 2 h 50 = 14 h 25 15 h 50 + 2 h 30 = 18 h 20 • B4. 11 h 10 – 9 h 45 = 1 h 25 18 h 15 – 15 h 25 = 2 h 50 22 h 12 – 19 h 36 = 2 h 36 • B5. 19 × 4 = 76 La durée de son footing est de 1 h et 16 min. • B6. 10 h 55 + 3 h 36 = 14 h 31 L’arrivée est prévue à 14 h 31.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir pistes données en leçon 34.
167
54
Découverte des nombres à virgule Manuel de l’élève pages 106 et 107
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Nombres décimaux : connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 e). » 100 – « Savoir les repérer et les placer sur une droite graduée. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. »
Le nombre à virgule est un nombre décimal. Il est composé d’une partie entière, à gauche de la virgule, et d’une partie décimale, à droite de la virgule. La virgule sépare la partie entière de la partie décimale. Il sera intéressant d’expliquer aux élèves que cette virgule est remplacée par un point dans l’écriture angloaméricaine du nombre (comme sur les calculatrices). Le nombre à virgule peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. Pour les nombres étudiés dans cette leçon, il s’agira d’une fraction avec un dénominateur 10. La notion repose donc dans cette leçon sur le partage en 10 de l’unité. On veillera à ce que les élèves ne considèrent pas le nombre à virgule comme la juxtaposition de deux nombres entiers, erreur fréquemment rencontrée.
■ Objectifs des séances : – Découvrir les nombres à virgule. – Faire le lien entre les fractions décimales et les nombres décimaux. – Repérer et placer des fractions décimales et des nombres décimaux sur une droite graduée.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux jusqu’au centième. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, des droites graduées (même format que celles du Découvrir A p. 106 (2,5 cm entre 0 et 1, entre 1 et 2, entre 2 et 3), 3 segments de tailles différentes (segment A : 4 cm ; segment B : 1,5 cm ; segment C : 6 cm).
Séance 1 u TEMPS 2 : Construire la droite graduée au dixième
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Compter et décompter à partir d’un nombre donné. Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment compter de 1 000 en 1 000. » Réponse attendue : « Il faut ajouter 1 unité de mille au nombre donné. » • Consigne 2 : « Je vous donne un nombre. Vous devrez compter de 1 000 en 1 000 à partir de ce nombre jusqu’à ce que je vous arrête. » Énoncer : 87 500 Un élève commence. Lorsque l’enseignant le décide, il passe la parole à un autre élève et ainsi de suite. Il arrête quand il le souhaite. • Consigne 3 : « Rappelez-moi comment décompter de 10 000 en 10 000. » Réponse attendue : « Il faut enlever 1 dizaine de mille au nombre donné. » • Consigne 4 : « Je vous donne un nombre. Vous devrez décompter de 10 000 en 10 000 à partir de ce nombre jusqu’à ce que je vous arrête. » Énoncer : 193 690 000 Un élève commence. Lorsque l’enseignant le décide, il passe la parole à un autre élève et ainsi de suite. Il arrête quand il le souhaite ou attend qu’il n’y ait plus de dizaine de mille à enlever. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail collectif oral Durée : 15 min Distribuer les segments et les droites graduées à l’unité uniquement. • Explication : « Aujourd’hui, vous allez découvrir de nouveaux nombres, les nombres à virgule. » • Consigne 1 : « Mesurez le segment A avec la droite graduée que je viens de vous donner. Quelle est sa mesure ? » Laisser les élèves exprimer leurs remarques. Réponses possibles : « Ça ne tombe pas juste ; la mesure du segment A est entre 1 et 2. » • Faire de même avec les 2 autres segments. • Consigne 2 : « Comment faire pour avoir une mesure plus précise sans utiliser votre règle graduée ? » Laisser les élèves émettre leurs hypothèses. Essayer les plus pertinentes. Proposer la 2nde droite graduée. • Consigne 3 : « Quelle différence voyez-vous entre cette droite graduée et la 1re que je vous ai distribuée ? » Réponse attendue : « L’espace entre chaque graduation a été partagé en 10 parties égales. » • Consigne 4 : « Si l’espace entre chaque graduation a été partagé en 10, comment s’appelle chaque petite graduation ? » Réponse attendue : un dixième. • Consigne 5 : « Reprenez les 3 segments A, B et C. Donnez-moi une mesure plus précise pour chacun d’eux. » Réponses : segment A : 14 dixièmes. On peut dire aussi qu’il mesure 1 unité + 4 dixièmes. Noter au fur et à mesure au tableau : segment A :
14 dixièmes
14 10
c’est
• Faire de même avec les 2 segments B et C.
168
1+ 4 10
Je remplace le point par une virgule : 1,8.
Travail dans le manuel
18 = 1,8 10
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
14 = 1,4 10
23 = 2,3 10
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Durée : 20 min
• Expliquer : « Maintenant, vous allez découvrir le lien entre les fractions décimales et les nombres à virgule. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 106. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice : L’objectif est de lire un nombre sur une droite graduée en dixièmes, de l’écrire sous la forme d’une fraction décimale, puis sous la forme « x unités + y », puis sous la forme 10 d’un nombre à virgule. Réponses : Ligne graduée
• A. L’objectif est de découvrir (si le Temps 2 n’a pas été mené) ou de renforcer ce que l’on vient de découvrir à savoir, que, pour avoir une mesure de plus en plus précise, on peut partager l’espace entre 2 graduations en 10 pour obtenir des dixièmes. Réponses : Ce nombre comprend 18 dixièmes. 18 dixièmes = 18
Nombre à virgule
1
2
3
29 10
2+ 9 10
2,9
0
1
2
3
15 10
1+ 5 10
1,5
4
5
6
7
47 10
4+ 7 10
4,7
10
• B. L’objectif est de découvrir le lien entre les fractions décimales et les nombres à virgule, c’est-à-dire comment passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. Réponses : En faisant la division 18 : 10 sur la calculatrice, j’obtiens comme résultat : 1.8.
1+ … 10
0
10
Pour obtenir ce nombre, il faut ajouter 8 dixièmes à 1 : 18 = 10 1+ 8
… 10
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons découvert de nouveaux nombres, les nombres à virgule. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire
Travail oral collectif
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Compter et décompter à partir d’un nombre donné. Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment compter de 1 000 000 en 1 000 000. » Réponse attendue : « Il faut ajouter 1 unité de million au nombre donné. » • Consigne 2 : « Je vous donne un nombre. Vous devrez compter de 1 000 000 en 1 000 000 à partir de ce nombre jusqu’à ce que je vous arrête. » Énoncer : 567 000 000 Un élève commence. Lorsque l’enseignant le décide, il passe la parole à un autre élève et ainsi de suite. Il arrête quand il le souhaite. • Consigne 3 : « Rappelez-moi comment compter de 10 000 000 en 10 000 000. » Réponse attendue : « Il faut ajouter 1 dizaine de millions au nombre donné. » • Consigne 4 : « Je vous donne un nombre. Vous devrez décompter de 10 000 000 en 10 000 000 à partir de ce nombre jusqu’à ce que je vous arrête. » Énoncer : 793 000 000 Un élève commence. Lorsque l’enseignant le décide, il passe la parole à un autre élève et ainsi de suite. Il arrête quand il le souhaite.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris qu’il existe d’autres nombres que l’on appelle les nombres à virgule. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire un nombre sur une droite graduée en dixièmes, à l’écrire sous forme de dixièmes et d’unités entières + dixièmes et à l’écrire sous forme de nombre à virgule. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture d’un nombre sur une droite graduée en dixièmes, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
169
• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le placement d’un nombre sur une droite graduée en dixièmes, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture d’un nombre sous la forme d’une fraction décimale, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture d’un nombre sous la forme d’un nombre entier + fraction décimale, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture d’un nombre sous la forme d’un nombre à virgule, proposer de commencer par les exercices A5, A6, A7, B5, B6 et B7, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 1,9 • A2. 0
b) 5,3
1
2
3
• A3. 13 dixièmes = 13
28 dixièmes = 28
27 dixièmes = 27
35 dixièmes = 35
10
10
10
10 35 = 3 + 5 10 10 10 10 29 = 2 + 9 32 = 3 + 2 10 10 10 10 3 1 • A5. 3 + = 3,3 3+ = 3,1 10 10 2 + 5 = 2,5 1 + 1 = 1,1 10 10 24 = 2,4 • A6. 33 = 3,3 10 10 18 = 1,8 32 = 3,2 10 10 • A7. 8 km et 7 dixièmes de km ➝ 8 + 7 = 8,7 10
• B5. 5 + 1 = 5,1
8 + 3 = 8,3
7 + 4 = 7,4
9 + 7 = 9,7
10
10
10
10 81 = 8,1 10
10 64 = 6,4 10 56 = 5,6 10
• B7. Cookie pèse 3,7 kg. Voyou pèse 3,5 kg.
Mistigri pèse 4,3 kg. Matou pèse 5,2 kg
• B6. 45 = 4,5
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à lire un nombre sur une droite graduée en dixièmes • Débuter par des nombres placés sur une règle graduée en dixièmes commençant par 0. Faire compter tous les dixièmes jusqu’au repère correspondant au nombre à lire. Utiliser une règle graduée en dixièmes commençant par 1, puis par 2… Verbaliser à chaque fois : « 1 c’est 10 dixièmes. 2 c’est 20 dixièmes. Etc. » Travailler régulièrement ce lien. L’élève sera amené à surcompter à partir de l’unité qui vient juste avant le nombre à lire.
• A4. 48 = 4 + 8
Difficultés à trouver le nombre d’unités entières dans une fraction écrite en dixièmes • Faire repérer la fraction sur la droite graduée. • Travailler sur le lien entre nombre entier et dixièmes. Exemples : 2 unités c’est 20 dixièmes ; 9 unités c’est 90 dixièmes ; 80 dixièmes c’est 8 unités ; 130 dixièmes c’est 13 unités… • Expliquer que, pour trouver l’unité, il faut décomposer la fraction. Exemple : 35/10 c’est 30/10 + 5/10 ; 30/10 c’est 3 unités donc 35/10 c’est 3 + 5/10
Bakari a parcouru 8,7 km.
Difficultés à écrire une fraction décimale sous la forme d’un nombre à virgule • Expliquer qu’il faut d’abord une seule fraction en dixièmes. Utiliser ensuite la calculatrice en n’oubliant pas que le point correspond à la virgule. • Donner d’abord des fractions de type : 18 ; 21 . Les élèves cal10 10 culent 18 : 10 et 21 : 10 à la calculatrice. • Donner ensuite des fractions de type : 2 + 4 ; 3 + 9 . Les 10 10 élèves les transforment en une fraction exprimée en dixièmes avant d’utiliser la calculatrice pour exprimer ces nombres sous la forme d’un nombre à virgule.
Parcours B : • B1. a) 6,8 • B2. 5
b) 0,9
6
• B3. 45 dixièmes = 45 10
84 dixièmes = 84 10 • B4. 84 = 8 + 4 10 10 37 = 3 + 7 10 10 92 = 9 + 2 10 10
7 73 dixièmes = 73 10 39 dixièmes = 39 10 46 = 4 + 6 10 10 73 = 7 + 3 10 10
7,4
8
2 + 4 = 24 = 2,4 10
170
10
3 + 9 = 39 = 3,9 10
10
55
Méthodologie: réduire un énoncé Manuel de l’élève page 108
Commentaires pédagogiques L’élève est habitué à résoudre des problèmes dont l’énoncé court ne comporte que les données strictement utiles à sa résolution. Lorsqu’il se trouve confronté à un énoncé long, l’élève aura tout intérêt à le réduire, en supprimant les passages ou paragraphes contenant des informations inutiles. L’élève se trouve alors devant un énoncé court et fonctionnel et sera mieux en mesure d’identifier la procédure de résolution.
Réponses : Titouan a rayé certaines informations car elles sont inutiles pour répondre à la question du problème. Nous pouvons encore supprimer la 1re phrase. Énoncé réduit : « La ville a un nouveau système d’arrosage qui permet d’économiser 450 L d’eau par jour. » 450 L × 7 = 3 150 Au bout d’une semaine, la ville économise 3 150 L d’eau. 450 L × 31 = 13 950 Au bout d’un mois de 31 jours, la ville économise 13 950 L d’eau.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire, écrire et représenter les dixièmes (fractions). Durée : 10 min
• Mise en place. Préparer avant le début de la séance une droite graduée que les élèves recopieront sur leur ardoise.
0
1
2
3
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des fractions décimales en dixièmes. Vous les représentez sur votre ardoise sur la droite graduée et vous les écrivez en chiffres. » Énoncer : 9 ; 5 ; 17 ; 24 … 10 10 10 10
Les élèves placent les fractions sur la droite graduée sur leur ardoise et écrivent la fraction en chiffres. Ils lèvent l’ardoise au signal. La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel
• B. L’objectif est de faire prendre conscience que les données utiles à identifier dans un énoncé sont en lien avec la question posée. Réponses : Énoncé réduit : « Il fallait 5 000 L d’eau par jour pour arroser les pelouses et les parterres de fleurs de la ville. Un nouveau système d’arrosage permet d’économiser 450 L d’eau par jour. » 5 000 – 450 = 4 550 4 550 × 7 = 31 850 Chaque semaine, 31 850 L d’eau sont utilisés pour arroser.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
■ Objectif de la séance : – Réduire un énoncé de problème en ne conservant que les données utiles pour répondre à la question et résoudre le problème. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. »
Travail individuel écrit
■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. »
Travail individuel écrit
Durée : 40 min
Durée : 15 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à réduire un énoncé de problème en ne conservant que les données utiles pour répondre à la question et résoudre le problème. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 108. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation lue à l’oral collectivement. S’assurer de la compréhension par tous. Les élèves effectuent la recherche individuellement. La mise en commun collective suit chaque partie. • A. Les objectifs sont : – de faire prendre conscience que toutes les données d’un énoncé de problème ne sont pas à prendre en compte, mais seulement les données utiles pour répondre à la question du problème. – de faire réécrire l’énoncé du problème en ne conservant que les données utiles à la résolution.
171
• Problème : L’objectif est de réduire au minimum un énoncé de problème afin de ne garder que les données utiles à la résolution du problème. Réponse : Énoncé réduit : « Pour organiser le tournoi interclubs, la directrice fait la liste du matériel dont elle a besoin : dix ballons de handball, onze ballons de football et 12 ballons de volley. » 10 + 11 + 12 = 33 Le nombre total de ballons est de 33. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à réduire un énoncé de problème en ne conservant que les données utiles pour répondre à la question et résoudre le problème. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à identifier les informations utiles pour répondre à la question d’un problème Voir pistes leçon 27.
Difficultés à réduire au minimum un énoncé de problème pour ne conserver que les données utiles Proposer des énoncés avec de nombreuses informations inutiles. Les élèves les barrent au fur et à mesure en se rapportant à chaque fois à la question posée. Faire justifier chaque suppression d’une information considérée comme inutile. ‹ Remarque : Il sera utile que l’élève aille au bout de la résolution du problème afin qu’il puisse prendre conscience par luimême de certaines données restantes dans l’énoncé et inutiles.
172
56
Bilan (6) Manuel page 109
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer comparer et utiliser les nombres décimaux, quelques fractions simples. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers. » – « Restituer les tables de multiplication. » – « Reconnaître, décrire et nommer les figures usuelles. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour construire des
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral
Durée : 5 min
Rappeler ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u TEMPS 2 : Calcul mental
Durée : 15 min
Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : – Écrivez le résultat de : 5 × 100. – Écrivez le résultat de : 6 × 1 000 – Écrivez le résultat de : 65 × 100. – Écrivez le résultat de : 98 × 1 000. – Écrivez le résultat de : 809 × 10. – Écrivez le résultat de : 3 005 × 100. – Écrivez le résultat de : 525 × 10. – Écrivez le résultat de : 2 900 × 100. – Écrivez le résultat de : 395 × 1 000. – Écrivez le résultat de : 1 579 × 100.
Travail dans le manuel Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure qu’elles sont comprises par tous les élèves.
figures planes usuelles avec soin et précision. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres, les mesures. » – « Savoir organiser des informations numériques. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard. » – « Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : dixième. » – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. » – « Classer et ranger des surfaces selon leur aire. » – « Division euclidienne de 2 entiers. » – « Savoir repérer un nombre à virgule sur une droite graduée. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
• Exercice 1 : L’objectif est de trouver un nombre à 9 chiffres à partir d’indices donnés sous la forme « chiffres des… » et « nombre de… ». Réponse : 385 206 001 • Exercice 2 : L’objectif est de reproduire avec soin et précision une figure complexe composée de 3 figures simples sur papier quadrillé en utilisant les outils géométriques adaptés. • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire en chiffres une fraction décimale (en dixièmes) à partir d’une représentation concrète. Réponse : 3 10 • Exercice 4 : L’objectif est d’identifier le nombre de chiffres du quotient d’une division. Réponses : 642 : 68 ➝ 1 chiffre au quotient 1 860 : 32 ➝ 2 chiffres au quotient 3 492 : 14 ➝ 3 chiffres au quotient 671 : 74 ➝ 1 chiffre au quotient • Exercice 5 : L’objectif est de mesurer l’aire de figures qui ont la même unité d’aire (le carreau), puis de les ranger dans l’ordre croissant en fonction de leur aire. Réponses : aires B et D > aire A > aire C aire A = 22 carreaux aire B = 26 carreaux aire C = 21 carreaux aire D = 26 carreaux • Exercice 6 : L’objectif est de calculer des divisions posées. Réponses : 3 4 8 2 8 4 6 5 9 7 4 – 3 3 6 – 5 9 2 8 4 1 0 1 2 2 0 6 7 – 8 4 3 8
173
• Exercice 7 : L’objectif est de résoudre un problème sur les durées. Réponses : de 8 h à midi ➝ 12 h – 8 h = 4 h de 13 h à 17 h ➝ 17 h – 13 h = 4 h Stéphane travaille 8 h par jour. 8 × 5 = 40 (5 jours de travail par semaine et non 7) Stéphane travaille 40 h par semaine. • Exercice 8 : L’objectif est de repérer un nombre sur une droite graduée aux dixièmes et d’écrire le nombre à virgule correspondant. Réponses : a) 1,2 b) 5,8
• Exercice 9 : L’objectif est de passer d’une écriture fractionnaire à un nombre à virgule. Réponses : 4,2 7,1 4,2 • Exercice 10 : L’objectif est de réécrire un énoncé de problème en ne conservant que les données utiles pour répondre à la question, puis de résoudre ce problème. Réponses : Énoncé réduit : « Julie va à la jardinerie pour acheter 2 cerisiers à 37 € l’un et 3 poiriers à 29 € l’unité. Combien va-telle dépenser pour l’achat des arbres ? » (37 × 2) + (29 × 3) = 74 + 87 = 161 Julie va dépenser 161 € pour l’achat des arbres.
174
Quatrième période
57
Les fractions décimales: les centièmes Manuel de l’élève pages 110 et 111
Commentaires pédagogiques Au cours des leçons précédentes, le dixième a été présenté comme l’unité divisée par 10. Le centième sera construit sur la même logique : la fraction 1 100 se comprend comme l’unité divisée par 100 et la subdivision du dixième en 10, dans une logique décimale. Le mètre, et notamment la grande règle de la classe, sera un outil concret utile pour travailler sur le rapport m/cm. De même le rapport entre euro et centimes d’euro : le centime est le centième de l’euro. L’élève observera le rapport de racine et de sens entre les termes « centièmes », « centimètre » et « centimes ».
■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » ■ Objectifs des séances : – Nommer, écrire et placer des fractions décimales sur une droite graduée. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : une droite graduée ;
0 ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples. »
1
2
3
– pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectifs : Lire, écrire, comparer et encadrer des nombres ≤ 999 999 999.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Travail collectif oral
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à nommer, écrire et placer des fractions décimales sur une droite graduée et découvrir de nouvelles fractions, les centièmes. »
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant ce temps de calcul mental, écrire au tableau des nombres ≤ 999 999 999. Écrire : 789 432 / 123 098 234 / 430 000 000 / 54 008 200 / 1 000 876 / 6 020 090… À l’oral • Consigne 1 : « J’ai écrit des nombres au tableau. Vous allez les lire à tour de rôle. » Montrer des nombres ; l’élève interrogé lit. • Consigne 2 : « J’énonce un nombre. Vous donnez celui qui précède et celui qui suit. » Énoncer : 6 789 987 / 5 908 400 / 76 000 000 / 80 000 001…
u TEMPS 2 : Rappel sur les dixièmes Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne 1 : « Quelle fraction décimale connaissez-vous déjà ? » Réponse attendue : les dixièmes. • Consigne 2 : « Combien y a-t-il de dixièmes dans 1 unité ? » Réponse attendue : 10
Durée : 40 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 110. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de faire prendre conscience aux élèves qu’il est nécessaire de partager l’espace entre 2 dixièmes en 10 pour obtenir une mesure plus précise de la mesure du cahier. Lors de la mise en commun, faire le lien entre le m et les centièmes de mètre, les cm. Réponses : La règle est partagée en 100 petites graduations. Chaque fraction de la règle représente 1 . 100
La mesure du cahier correspond à 42 de m. 100
‹ Remarque : Faire compter toutes les graduations de la grande règle du tableau pour que les élèves soient convaincus que, entre 0 et 1, il y a 100 petites graduations.
• Consigne 3 : « Voici une droite graduée. Que représentent les grandes graduations de cette droite graduée ? » Réponse attendue : des unités.
• B. L’objectif est d’apprendre que 10 c = 1 d’e et que 1 c = 10 1 d’e. C’est 1 € partagé en 100 parts égales.
• Consigne 4 : « Que représentent les petites graduations de cette droite graduée ? » Réponse attendue : des dixièmes.
La pièce de 1 c correspond à 1 d’e.
100
Réponses : La pièce de 10 c correspond à 1 d’e. 0 € et 57 c, c’est 57 d’e.
176
100
100
10
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 15 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de lire des fractions en centièmes sur une droite numérique graduée en dixièmes et centièmes. Réponses : A : 13
100 C : 52 100
B : 25
100
D : 67
100
E : 96
• Exercice 2 : L’objectif est d’écrire des fractions en centièmes en s’appuyant sur la monnaie. Réponses : 15 d’e
47 d’e 100
100
98 d’e 100
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à nommer, écrire et placer des fractions décimales sur une droite graduée : les centièmes. » Lire la rubrique « Retenir ».
100
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire, écrire, comparer et encadrer des nombres ≤ 999 999 999. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « J’énonce des nombres. Vous les écrivez en chiffres sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 6 000 000 / 43 678 800 / 120 000 001 / 799 999 999… • Consigne 2 : « Écrivez le signe < d’un côté de votre ardoise et > de l’autre. J’énonce 2 nombres. Vous les comparez et levez l’ardoise pour montrer le signe qui convient. » Énoncer : 3 000 000 et 999 999 (>) 29 999 999 et 31 000 000 () La correction suit chaque comparaison.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à nommer, écrire et placer des fractions décimales sur une droite graduée : les centièmes. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à écrire, à lire, à placer des fractions décimales en centièmes sur une droite graduée, à faire le lien entre les mesures de longueur, la monnaie et les fractions décimales. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture sur une droite graduée et l’écriture de fractions décimales en centièmes, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le placement de fractions décimales en centièmes sur une droite graduée, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les fractions décimales en utilisant les euros, proposer de commencer par les exercices A3, B3, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les fractions décimales en utilisant les mesures de longueur, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 18 100 • A2. a) 41 4 100
b) 28
100
c) 84
100
b) 53
c) 85
100
100
10
5 10
2 10
3 10
8 10
9 10
• A3. a) 21 d’e 100
b) 37 d’€ 100
c) 98 d’e 100
• A4. 42 + 3 = 45 100
100
100 Berthe a parcouru 45 de m. 100 • A5. 1 € c’est 100 d’e. 100 0 € 95 c c’est 95 d’e. 100 On me rend 5 c soit 5 d’e. 100
Parcours B : • B1. a) 45 100 • B2. a) 28 1 100
b) 49
100
c) 84
100
100
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
100
c) 74 d’e
177
c) 99
100
10
• B3. a) 36 d’e 100
b) 82
b) 52 d’e 100
• B4. 12 de m, c’est 12 cm. 100 1 m, c’est 100 cm. 100 – 12 = 88 Il lui reste à parcourir 88 cm soit 98 de m. 100 • B5. 50 d’e, c’est 50 c. 100 50 + 25 = 75 1 € c’est 100 centimes. 100 – 75 = 25 Il lui reste 25 c, soit 25 d’e. 100
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à faire le lien entre unité et centièmes • Utiliser la monnaie et faire manipuler les élèves. Prendre 100 pièces factices de 1 c et des pièces factices de 1 €. Verbaliser chaque manipulation et faire référence à : 1 € = 100 c. Exemple : « Tu achètes une sucette à 85 c. À quelle fraction d’euro correspondent 85 c ? » Verbaliser : « 85 c, c’est 85 pièces de 1 c. C’est 85 c sur 100 c dans 1 €. C’est 85 . » 100 • Faire de même avec d’autres sommes en centimes. • Utiliser les mesures de longueur pour manipuler. Prendre le mètre du tableau. Faire mesurer la distance entre chaque graduation de la règle (10 cm). Verbaliser : « La règle est divisée en 10 ; ce sont des dixièmes. » Faire mesurer la distance entre le 0 de la règle et le 1 (représentant 1 de la règle, soit 10 cm). 10 Avec un marqueur, tracer les petites graduations correspondant aux centièmes du mètre. Mesurer des objets avec cette règle graduée et exprimer ces mesures sous forme de fractions décimales.
178
58
Reproduction de figures: le programme de construction Manuel de l’élève pages 112 et 113
Commentaires pédagogiques Le tracé de figures complexes doit se décomposer en une somme de tracés de figures simples. Cela nécessite donc une organisation avec étapes successives ordonnées de réalisations. Chaque étape permet la réalisation d’un tracé et d’une action simples. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. »
■ Programmes 2008 : – « Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes. » ■ Objectif des séances : – Reproduire une figure à partir d’un programme de construction donné par une suite de consignes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une règle graduée, un compas, un crayon à papier bien taillé.
Séance 1 u TEMPS 2 : Rappel sur les propriétés des figures planes usuelles
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire les centièmes (fractions) et les placer sur une droite numérique. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant ce temps de calcul mental, écrire au tableau des fractions décimales. Écrire : 12 ; 78 ; 54 ; 98 ; 432 … 10 100 10 10 100
À l’oral • Consigne 1 : « Qu’est-ce qui est écrit au tableau ? » Réponse attendue : « Des fractions décimales (le dénominateur est 10 ou 100). » • Consigne 2 : « Je vous montre des fractions avec ma règle. Vous les lirez à haute voix quand je vous interrogerai. » À l’écrit sur l’ardoise • Mise en place. Dessiner les droites ci-dessous au tableau. Placer une flèche sur les fractions que les élèves devront identifier sur la droite numérique et écrire sur leur ardoise. 4 10
5 10
2 10
3 10
8 10
9 10
Travail collectif oral Durée : 10 min • Consigne 1 : « Rappelez-moi les propriétés du carré. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 4 côtés égaux et 4 angles droits. » • Consigne 2 : « Rappelez-moi les propriétés du rectangle. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 2 longueurs de même mesure et 2 largeurs de même mesure. Les 2 longueurs sont parallèles et les 2 largeurs sont parallèles. Il a 4 angles droits. » • Consigne 3 : « Rappelez-moi les propriétés du losange. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 4 côtés égaux mais pas d’angle droit. Ses diagonales se croisent en formant 4 angles droits. » • Consigne 4 : « Rappelez-moi les propriétés du cercle. » Réponse attendue : « Il a un centre et un rayon qui permet de tracer le cercle à partir du centre. » • Consigne 5 : « Rappelez-moi ce que vous savez du triangle. » Réponse attendue : « Il a 3 côtés. Les mesures des côtés peuvent être identiques mais ne le sont pas toujours. Quand il a un angle droit on dit que c’est un triangle rectangle. » • Explication : « Vous allez utiliser toutes vos connaissances dans la reproduction de figures à partir d’un programme de construction. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir
• Consigne : « Quelle fraction en centièmes correspond à chaque flèche sur la droite graduée ? » Les élèves écrivent les nombres sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal de l’enseignant. Proposer : 46 ; 21 ; 89
100 100 100
La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 25 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à reproduire une figure à partir d’un programme de construction, c’est-àdire en suivant dans l’ordre des consignes données. Un programme de construction est comme une fiche technique de fabrication. Il faut suivre les consignes étape par étape pour reproduire exactement la figure souhaitée. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 112. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ».
179
Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire, comprendre et utiliser les consignes d’un programme de construction pour construire une figure. Réponse :
B
A
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de réaliser une figure en suivant les consignes d’un programme de construction. Réponse :
F O D
E
C
• B. L’objectif est de construire une figure à partir des consignes d’un programme de construction, puis de la comparer à une autre production afin d’identifier d’éventuelles erreurs de tracé. Réponse :
A
B
H • Exercice 2 : L’objectif est de lire étape par étape le programme de construction, d’observer la figure proposée afin d’identifier d’éventuelles erreurs. Réponse : Le point P est mal placé. Il devrait être au milieu du segment AD. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à reproduire une figure en suivant étape par étape les consignes d’un programme de construction. »
O D
G
O
C
Lire la rubrique « Retenir ».
Juliette n’a pas tracé les diagonales.
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire les centièmes (fractions) et les placer sur une droite numérique. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « J’énonce un nombre. Vous venez placer un point rouge correspondant à ce nombre sur la droite numérique. » Faire repérer les unités 0 et 1, les dixièmes, puis les graduations en centièmes. Énoncer : 15 ; 78 ; 9 ; 64 … 100 100 10 100 Un élève à tour de rôle vient placer le nombre sur la droite numérique. La validation est faite par les autres élèves qui justifient leur proposition. • Consigne 2 : « À quelle fraction d’euro la somme 0 € 75 c correspond-elle ? » Réponse attendue : 75 (l’écrire au tableau) 100
Faire de même : « À quelle fraction d’euro la somme 0 € 39 c correspond-elle ? et 0 € 25 c ? et 0 € 48 c ? » À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une fraction décimale. Vous l’écrivez en chiffres sur votre cahier. »
Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à reproduire une figure en suivant étape par étape les consignes d’un programme de construction. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. ‹ Remarque : Prendre à part un petit groupe d’élèves qui ont des difficultés à tracer une figure à partir d’un programme de construction. Correction des exercices : Parcours A : • A1.
Exemple : « J’énonce : 87 . Vous écrivez : 87 . » L’écrire au 100 100 tableau. Énoncer : 6 ; 87 ; 3 … 10 100 100
La correction collective s’ensuit.
180
A
O
B
• A2.
• B3.
C
D H J
F
E
Il a tracé un cercle de rayon IH et non de diamètre IH. Il devait partager le diamètre et tracer un cercle de 3 cm de rayon.
• A3. Le segment IH ne mesure pas 3 cm mais 4 cm. Parcours B : • B1.
A
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
B
O
Difficultés à tracer une figure à partir d’un programme de construction • Commencer par faire reproduire des figures très simples à partir de 2 consignes. • Augmenter ensuite le nombre de consignes. Si les élèves ont des difficultés de lecture de ces consignes, les verbaliser. • Insister sur le fait qu’il est très important de suivre le programme de construction étape par étape. • Si les élèves ont des connaissances lacunaires sur les propriétés des figures à tracer, les diriger vers les « Retenir » du manuel. • Complexifier progressivement le programme de construction.
• B2.
E
F
C
D
181
59
Les fractions décimales et les nombres décimaux (1) Manuel de l’élève pages 114 et 115
Commentaires pédagogiques L’élève a découvert le centième et la fraction décimale 1 . 100 Il peut désormais mettre en relation la fraction décimale et le nombre à 2 chiffres après la virgule. Le tableau de numération va ainsi s’enrichir d’une nouvelle colonne, celle des centièmes, résultant d’une subdivision du dixième. La découverte des nombres à virgule demande de prendre quelques précautions dans l’apprentissage : – amener l’élève à bien percevoir le rôle de la virgule comme séparant la partie entière de la partie décimale ; – veiller à ce que l’élève ne perçoive pas le nombre à virgule comme 2 nombres juxtaposés, mais 1 seul nombre dans lequel la partie décimale est plus petite que l’unité ; – distinguer dixième et dizaine, centième et centaine.
■ Objectif des séances : – Découvrir les nombres à virgule et les relations qui lient les fractions décimales et les nombres décimaux.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, un tableau de numération « partie entière et partie décimale » plastifié ou dans une pochette plastique.
■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » – « Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100e). » – « Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. »
Séance 1 • Consigne 2 : « 2 . Est-ce plus petit ou plus grand que 1 ? »
Travail préparatoire
10
Réponse attendue : « C’est plus petit que 1. » Montrer au tableau :
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Calculer mentalement des quotients avec reste. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral et à l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « J’énonce des divisions. Vous les calculez mentalement et vous énoncez le résultat. Je vous interroge à tour de rôle au hasard. » Énoncer : 50 : 2 / 36 : 4 / 90 : 9 / 27 : 3 (des divisions sans reste) • Consigne 2 : « Divisez 37 par 4. Que remarquez-vous ? » Réponse attendue : « 37 n’est pas dans la table de 4. 37 n’est pas un multiple de 4. » • Consigne 3 : « Comment faire pour diviser 37 par 4 mentalement ? » Réponse attendue : « Il faut trouver un multiple de 4 qui se rapproche le plus possible de 37 sans le dépasser. C’est 36. Donc 37 : 4 = 36 et il reste 1. » • Consigne 4 : « J’énonce des divisions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 20 : 3 / 43 : 8 / 75 : 9… La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur les fractions décimales : dixièmes et centièmes
1 Unité 1 10
1 10
• Consigne 3 : « Comment obtient-on des centièmes ? » Réponse attendue : « On prend 1 dixième que l’on partage en 10 parts égales. » • Consigne 4 : « 2 . Est-ce plus petit ou plus grand que 1 ? » 100
10
Réponse attendue : « C’est plus petit que 1 . » 10 Montrer au tableau :
1 Unité 1 10
1 10
2 100
‹ Remarque : Faire construire les représentations d’1 unité partagée en dixièmes et centièmes avec du papier calque. Ceci permettra aux élèves de superposer les calques et ainsi de comparer l’unité, le dixième et le centième et de voir concrètement que 1 > 1 > 1 . 10 100 1 = 10 1 = 100 10
100
1 100
Travail collectif oral Durée : 10 min • Consigne 1 : « Comment obtient-on des dixièmes ? » Réponse attendue : « On prend 1 unité que l’on partage en 10 parts égales. »
182
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à écrire des nombres décimaux, à les placer dans un tableau de numération (partie entière et partie décimale < 1) et à faire le lien entre les fractions décimales et les nombres décimaux. Les élèves ouvrent leur manuel à la page 114. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir l’écriture et la lecture des nombres décimaux à partir d’une situation sur la monnaie ; de découvrir le tableau de numération avec « Partie entière » et « Partie décimale » pour bien repérer et positionner les unités, les dixièmes et les centièmes (numération de position). Réponses : Il donne 2 € entiers. 10 Il donne 7 c, donc 7 d’€. 100
€ entiers
1 d’€ 10
1 d’€ 100
6
7
• B. L’objectif est de construire le nombre décimal en lien avec les fractions décimales et le tableau de numération. Réponses : Elle doit donner 8 € entiers. Partie entière
Partie décimale
€ entiers
1 d’€ 10
,
1 d’€ 100
3
5
La virgule doit être placée entre la partie entière et la partie décimale, c’est-à-dire après les unités de la partie entière et avant les dixièmes de la partie décimale.
6 1
8 7
100
8,37 = 8 + 3 + 7 10 100 ‹ Remarque : Lors de la correction collective, placer 3,92 et 8,37 dans le tableau de numération pour aider les élèves à faire le lien entre nombre décimal et fractions décimales et s’approprier petit à petit ce nouveau tableau de numération. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à écrire des nombres décimaux, à les placer dans un nouveau tableau de numération (qui comporte une partie entière et une partie décimale < 1) et à faire le lien entre les fractions décimales et les nombres décimaux. » Lire la rubrique « Retenir ». Construire un référent didactique.
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, proposer d’autres sommes d’argent à placer dans le tableau avec la virgule et faire écrire ces nombres hors du tableau. Insister sur le fait que les dixièmes et les centièmes sont plus petits que 1. Les élèves ont souvent du mal à le concevoir car ils s’appuient sur leur connaissance des nombres entiers (1 < 10 < 100). • C. L’objectif est d’écrire un nombre décimal à partir de fractions décimales. Réponse : 3 € + 2 d’€ + 6 d’€ = 3,26 € 10
, ,
1 100
10
Partie décimale
8
4 9
1 10
Réponses : 3,92 = 3 + 9 + 2
Partie entière
,
Unité entière
• Exercice 4 : L’objectif est d’écrire un nombre décimal sous forme de fractions décimales.
Il donne 60 c, donc 6 d’€.
2
Travail individuel écrit Durée : 15 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application. » • Exercice 1 : L’objectif est d’écrire un nombre décimal en s’appuyant sur la monnaie et les mesures. Réponses : a) 1,43 € b) A : 5,32 / B : 5,66 ‹ Remarque : Lors de la correction, commencer par faire repérer les unités entières. Faire remarquer que les nombres A et B se situent entre 5 et 6. • Exercice 2 : L’objectif est de faire le lien entre fraction décimale et nombre décimal. Réponses : 3,45 8,29 • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire un nombre décimal à partir d’une décomposition de fractions décimales en utilisant le tableau de numération. Réponses :
100
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, placer 3 € + 2 d’€ 10 + 6 d’€ dans le tableau de numération. 100 Verbaliser : « Dans 3,26 €, 3 est la partie entière, il y a 3 € entiers. 26 est la partie décimale < 1. Le 2 représente les dixièmes, le 6 représente les centièmes. » L’unité écrite après le nombre correspond toujours à la partie entière. 3,26 €
183
Les fractions décimales et les nombres décimaux 7, 45 = 7 + 4 + 5 10 100 7,45 se lit : « sept virgule quarante-cinq ». 7,45 ce sont 7 unités 4 dixièmes et 5 centièmes. Partie entière Partie décimale 1 unité entière 7
,
1 dixième 1 centième 10 100
4
5
Dans 7, 45 : 7 représente les unités entières ; 4 représente 4 ; 10 5 représente 5 . 100 1
1
1
1 100
1
1
1
7 unités entières
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
4 10
5 100
Séance 2 • A3.
Travail préparatoire
Unité entière
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Calculer mentalement des quotients avec reste. Durée : 10 min Travail individuel écrit À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des divisions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 42 : 6 / 18 : 9 / 30 : 4 / 48 : 9 / 75 : 8… La correction collective s’ensuit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des divisions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 21 : 6 / 32 : 9 / 45 : 7 / 24 : 5 / 28 : 4… La correction collective s’ensuit.
• A4. 4,26 • A5. 2,15. • A6. 8,29. Parcours B : • B1. a) 7,31 • B2. a) 9,14 • B3. m 7 8
, ,
1 100
2 3
4 8
6,18 3,98 Il a dépensé 2,15 €. La corde mesure 8,29 m. b) 8,26 b) 9,26
, ,
1 de m 10
c) 9,53
d) 9,67
1 de m 100
3 9
2 1
• B4. 24 + 3 + 1 = 24,13
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire des nombres décimaux, à les placer dans un nouveau tableau de numération (qui comporte une partie entière et une partie décimale < 1) et à faire le lien entre les fractions décimales et les nombres décimaux. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire et à écrire des nombres décimaux et faire les liens entre ces nombres et les fractions décimales. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des nombres à virgule à partir de situation concrètes (monnaie, mesures), proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1, B2 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture des nombres à virgule à partir du tableau de numération, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, de continuer avec les exercices A4, B4, A5 et A6 (en faisant placer ces fractions dans le tableau de numération), puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 3,87 b) 6,19 • A2. a) 6,17 b) 6,47
5 6
1 10
100 10 4 + 7 + 13 = 13,47 10 100 8 + 35 + 2 = 35,82 10 100
• B5. De 3,45 pour aller à 5 : 1,55 Le poissonnier rend 1,55 € à Natou. • B6. 3,45 m 1,43 m 5,12 m
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à faire le lien entre nombre décimal et fractions décimales • Jouer à la marchande et utiliser les euros et les centimes d’euro comme support. Marquer les prix des objets avec des nombres décimaux. Les élèves les lisent et les représentent avec de la monnaie factice en verbalisant. Exemple : « Le crayon coûte 0,95 €. C’est 0 € entier, 9 d’€ et 10 5 d’€. C’est 95 c. C’est < 1 €. » 100
• À l’inverse, demander à l’élève d’être le marchand. Il décrit les prix des objets à vendre sous forme de nombres décimaux. Énoncer : « Le prix du manuel est de 14,53 €. Écris le prix du manuel sur l’étiquette. » • Proposer un nombre écrit sous les 2 formes et verbaliser. Exemple : 4 + 6 + 8 10 100 4 ,6 8 4 6
8 10 100
• Placer un nombre dans le tableau de numération et verbaliser (puis faire verbaliser les élèves). Exemple : Partie entière
Partie décimale
1 unité entière
1 dixième 1 centième 10 100
9
,
9, 45 = 9 + 4 + 5 10 100
184
4
5
9,45 se lit : « neuf virgule quarante-cinq ». 9,45 ce sont 9 unités 4 dixièmes et 5 centièmes. • S’appuyer sur les calques ou la droite numérique pour visualiser les unités entières, les dixièmes et les centièmes. Noter les nombres décimaux ou les fractions décimales dans le tableau de numération pour faire le lien.
Difficultés à placer la virgule dans le tableau de numération • Proposer de commencer par placer la virgule dans le tableau, puis d’insérer les nombres.
185
Partie entière
Partie décimale
1 unité entière
1 dixième 1 centième 10 100
,
60
Problèmes de la vie courante: les partages Manuel de l’élève pages 116 et 117
Commentaires pédagogiques Les problèmes de la vie courante sur les distances ont déjà été abordés dans la leçon 15. Se référer donc aux commentaires pédagogiques de cette leçon, les principes édictés restant ici pleinement valables. Le partage des distances en distances égales n’y avait pas été abordé, en attente de l’apprentissage de la division. L’élève pourra donc ici compléter l’ensemble des procédures de résolution des problèmes de la vie courante sur les longueurs (ou les distances) par les formules : – longueur d’un parcours = longueur totale : nombre de parcours identiques ; – nombre de parcours = longueur totale : longueur d’un parcours.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Savoir organiser des informations numériques. » – « Utiliser la calculatrice. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Savoir organiser les données en vue de sa résolution. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes de partage sur les mesures de longueur (distance). ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération (avec partie entière et partie décimale) ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération plastifié, la calculatrice.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire une fraction décimale sous la forme d’un nombre à virgule. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’écris un nombre sous forme décomposée avec des fractions décimales. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre ardoise. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Écrire : 6 + 8 + 4 ; 9 + 2 + 6 ; 1 + 3 + 7 ; 7 + 2 ; 6 10
100
10
100
10
100 10
100 100
Utiliser le tableau de numération pour la correction. 6 + 8 + 4 = 6,84 10
100
9 + 2 + 6 = 9,26 10
100
1 + 3 + 7 = 1,37 10 100 7 + 2 = 0,72 10 100 6 = 0,06 100
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris un nombre sous forme décomposée avec des fractions décimales. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre cahier. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Écrire : 4 + 9 + 5 ; 3 + 7 ; 6 + 8 ; 2 + 8 10
100
10
100 10
100
La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à résoudre des problèmes de partage sur les mesures de longueur. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 116. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier parmi plusieurs propositions la formule de calcul permettant de résoudre le problème. Réponses : nombre de circuits = longueur totale : longueur d’un circuit 156 : 12= 13 Le bus 456 a effectué 13 fois le circuit. • B. L’objectif est d’identifier parmi plusieurs propositions la formule de calcul permettant de résoudre le problème. Réponses : nombre de circuits = distance totale : (longueur d’un circuit + longueur de la boucle) longueur boucle = 12 + 4 = 16 km nombre de circuits : 384 : 16 = 24 Le bus 457 a effectué 24 fois le circuit total.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problèmes 1 et 2 : L’objectif est de résoudre un problème sur les partages en utilisant la formule « longueur d’un circuit = longueur totale : nombre de circuits. » Réponse Problème 1 : 84 : 7 = 12 La longueur du circuit est de 12 km. Réponse Problème 2 : 1 875 : 3 = 625 La longueur du circuit est de 625 m.
186
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes de partage sur les mesures de longueur. » Un référent didactique pourra être construit et affiché dans la classe.
Les problèmes de partage sur les longueurs • longueur totale = longueur d’1 circuit × nombre de circuits • longueur d’un circuit = longueur totale : nombre de circuits • nombre de circuits = longueur totale : longueur d’un circuit Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 cuits = longueur totale : longueur d’un circuit », proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire une fraction décimale sous la forme d’un nombre à virgule. Durée : 15 min
Travail collectif oral et individuel écrit
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’écris un nombre sous forme de fraction décimale. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre ardoise. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Écrire : 7 + 3 + 1 ; 49 + 6 ; 17 + 3 ; 7 + 9 + 1 ; 5 + 3
10 100 4 +8; + 2 ; 9 10 100 100
100
10
100
10 10
100
Utiliser le tableau de numération pour la correction. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris un nombre sous forme décomposée avec des fractions décimales. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre cahier. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Écrire : 78 + 8 + 8 ; 3 + 7 ; 16 + 8 ; 2 + 8 ; 6 + 8 10 100 100 100 100 10 100 + 3 10
La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes de partage sur les mesures de longueur. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur cette compétence. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 40 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Ils sortent leur calculatrice. Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de partage du type « longueur d’un circuit = longueur totale : nombre de circuits », proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de partage du type « nombre de cir-
‹ Remarque : Les élèves n’ont généralement pas de problème pour trouver la longueur totale. Néanmoins, il sera possible de donner des problèmes supplémentaires de ce type pour les élèves qui en auraient besoin. Exemples : • Problème 1 : « Pour la grande course automobile, les voitures roulent sur un circuit d’une longueur de 1 800 m. Elles parcourent 22 fois ce circuit avant de franchir la ligne d’arrivée. Quelle est la distance totale de la course ? » • Problème 2 : « Au club d’athlétisme, l’entraîneur demande aux sportifs de faire 5 tours de piste pour s’échauffer. Un tour de piste fait 850 m. Quelle distance doivent-ils parcourir à l’échauffement ? » Correction des exercices : Parcours A : • A1. 4 750 : 5 = 950 Arthur parcourt 950 m chaque jour. • A2. 3 + 2 = 5 Il y a 5 athlètes dans l’équipe de relais. 8 750 : 5 = 1 750 Chaque athlète a parcouru 1 750 m. • A3. 7 + 6 = 13 Le circuit mesure 13 km. 156 : 13 = 12 Les motards parcourent 12 tours du circuit. Parcours B : • B1. 19 + 22 = 41 Le chauffeur a roulé 41 jours en mai et juin. 3 895 : 41 = 95 Il parcourt 95 km en moyenne par jour. • B2. 2 835 : 63 = 45 Une part de saucisse mesurait 45 cm. • B3. 32 + 31 = 63 Chaque voiture a parcouru 63 km. 1 764 : 63 = 28 28 voitures ont participé à ce rallye touristique.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à trouver le nombre par part dans une situation de partage Difficultés à résoudre des situations de partage Voir pistes des leçons 22 et 26.
187
Difficultés à résoudre des problèmes de partage sur les distances • S’appuyer sur des schémas ou des dessins en verbalisant la situation. Exemple : Schématiser le Problème 2 du « Appliquer ». 1 875 m 3 fois 2 fois 1 fois
Quand ils ont fait 3 fois le tour, ils ont parcouru 1 875 m. Pour connaître la longueur d’un seul tour, il faut partager 1 875 m en 3. L’opération qui permet de partager, c’est la division. 1 875 : 3 = 625 m J’ai partagé 1 875 en 3 et j’ai trouvé 625. Donc la longueur d’un tour est de 625 m.
Départ et arrivée
188
61
Les nombres décimaux Manuel de l’élève pages 118 et 119
Commentaires pédagogiques La lecture et l’écriture du nombre à virgule peuvent poser quelques problèmes auxquels il conviendra d’apporter une attention toute particulière. Certains élèves ont tendance à : – voir le nombre à virgule comme la juxtaposition de deux nombres entiers : 21,35 vu comme 21 et 35 ; – confondre dixièmes et dizaines, centièmes et centaines, ce qui bouleverse la position des chiffres ; – oublier de compléter les cases vides du tableau de numération par un zéro, notamment pour les nombres plus petits que 1. Le tableau de numération reste donc toujours un outil essentiel.
■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeur. » – « Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). » 100 – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. » ■ Objectifs des séances : – Écrire et nommer les nombres décimaux. – Repérer précisément la position des chiffres dans le nombre.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. »
■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération plastifié.
Séance 1 u TEMPS 2 : Rappel sur la relation nombre à virgule/ fractions décimales (tableau de numération)
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Reconnaître les multiples et les utiliser. Travail collectif oral et individuel écrit
Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Parmi les nombres écrits au tableau, quels sont les multiples de 4 ? » Écrire : 8 – 10 – 16 – 22 – 28 – 32 – 34 – 36 – 38 • Consigne 2 : « Si je calcule 35 : 4, quel multiple de 4 vais-je utiliser ? Pourquoi ? » Réponse attendue : « Je vais utiliser 32 car c’est le multiple de 4 qui se rapproche le plus de 35 sans le dépasser. » • Consigne 3 : « J’énonce une division : 45 : 8. Vous cherchez dans la liste le multiple qui permet de l’effectuer. » Écrire : 8 – 16 – 24 – 32 – 40 – 48 – 54. Réponse : « C’est 40 car 5 × 8 = 40. 6 × 8 = 48 est trop grand. 40 est le multiple de 8 le plus proche de 45 sans le dépasser. 45 : 8 = 5 et reste 5. »
• Consigne 1 : « Rappelez-moi comment lire ce tableau de numération. »
Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Partie entière
Partie décimale
1 unité entière
1 dixième 1 centième 10 100
• Consigne 2 : « Où doit-on placer la virgule ? » Réponse attendue : « On doit la placer entre la partie entière et la partie décimale, juste après la colonne des unités entières et juste avant les dixièmes. » Un élève vient placer la virgule dans le tableau.
• Faire de même avec d’autres divisions. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des divisions et j’écris une liste de nombres. Vous cherchez le multiple qui permet d’effectuer chaque division et vous l’écrivez sur votre cahier. » Énoncer : 42 : 5 5 – 10 – 15 – 20 – 30 – 40 – 45 – 50 60 : 7 28 – 35 – 42 – 49 – 56 – 63 – 70 68 : 8 32 – 40 – 48 – 56 – 64 – 72 – 80
Durée : 10 min
Partie entière
Partie décimale
1 unité entière
1 dixième 1 centième 10 100
,
• Consigne 3 : « Comment obtient-on les dixièmes ? les centièmes ? » Réponses attendues : « On obtient les dixièmes en partageant l’unité en 10 parts égales. On obtient les centièmes en partageant l’unité en 100 parts égales. » • Consigne 4 : « J’énonce des nombres. Vous venez les placer dans le tableau. » L’élève interrogé va écrire le nombre dicté. La validation se fait par toute la classe. Énoncer : « 2 unités 4 dixièmes et 3 centièmes. » Un élève note le nombre et le lit « 4 virgule 43 ». • Faire de même avec d’autres nombres.
189
Réponses :
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 118. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire un nombre décimal écrit en lettres, de repérer la partie entière de ce nombre, de l’écrire en chiffres et de bien distinguer les parties entière et décimale du nombre. Réponses : Cette capacité est proche de vingt-trois litres : 23,35 L.
Partie décimale
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10
1
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à écrire et nommer des nombres décimaux et à repérer précisément la position de chaque chiffre dans le nombre. Il faudra veiller à ne pas confondre les dizaines et les dixièmes, ainsi que les centaines et les centièmes. »
Partie entière
4
8
Il n’y a pas de dixièmes. Pour compléter le nombre, il faut ajouter un 0. Partie entière
Partie décimale
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10
1
4
• D. L’objectif est d’écrire des nombres décimaux qui ne possèdent pas de partie entière ou dans lesquels le placement d’un ou plusieurs 0 est indispensable pour obtenir le nombre décimal correct. Réponses : Partie entière
Partie décimale
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10
0 0
, ,
3 0
‹ Remarques : • Permettre aux élèves d’utiliser le tableau de numération. Insister lors de la mise en commun sur le fait qu’un nombre décimal comprend une partie entière et une partie décimale mais que c’est 1 seul nombre. • Lors de la mise en commun, insister sur le fait que le L est l’unité qui correspond à la partie entière. • Même si ce n’est pas demandé, placer ce nombre dans le tableau de numération.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10
2
3
,
3
1 centième 100
5
• B. L’objectif est de reconstituer un nombre décimal donné dans le désordre en unités, dizaines, dixièmes… Réponse : Partie entière
Partie décimale
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10
2
4
,
3
8
‹ Remarque : Lors de la correction collective, écrire ce nombre hors du tableau : 14,08. Faire énoncer la partie entière et la partie décimale.
bave de crapaud : 0,32 L venin de serpent : 0,09 L
Partie décimale
1 centième 100
0
Dans le nombre « 23,35 », 23 est la partie entière et 35 la partie décimale.
Partie entière
1 centième 100
Travail individuel écrit
1 centième 100
2 9
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de lire, puis d’écrire des nombres décimaux en chiffres ou en lettres. Les élèves peuvent s’aider du tableau de numération. Réponses : 37,21 ; 18,99 ; 128,6 trois virgule quarante-sept huit virgule soixante-treize cent quarante-trois virgule cinquante-six • Exercice 2 : L’objectif est d’écrire des nombres décimaux en s’aidant du tableau de numération. Réponses : 12, 06 ; 30, 85 ; 902,09 • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire des nombres décimaux donnés en désordre sous la forme « x dizaines, y unités, z dixièmes… ». Réponses : 4,76 ; 41,98 ; 56,72
1 centième 100
8
‹ Remarque : Lors de la correction collective, écrire ce nombre hors du tableau : 24,38. Faire énoncer la partie entière et la partie décimale. • C. L’objectif est de reconstituer un nombre décimal comportant un 0. Lors de la mise en commun, insister sur l’importance de l’utilisation du tableau de numération qui évite bien des erreurs.
• Exercice 4 : L’objectif est d’écrire des nombres décimaux < 1 donnés sous la forme « x dixièmes, y centièmes… ». Réponses : 0,8 ; 0,52 ; 0,09 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à écrire et nommer des nombres décimaux et à repérer précisément la position de chaque chiffre dans le nombre. » Lire la rubrique « Retenir ».
190
Séance 2 proposer de commencer par les exercices A1, B1, A2, A3, B3 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les nombres décimaux comprenant des 0, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture en chiffres des nombres < 1, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Reconnaître les multiples et les utiliser. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une division. Vous cherchez le multiple qui permet de l’effectuer et vous donnez le résultat de la division. » Énoncer : 22 : 4 Réponse : « 20 est le multiple de 4 le plus proche de 22. Le résultat de 22 : 4, c’est 5, reste 2. »
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 5,53 8,38 9,65 • A2. 4,58 46,72 91,29 • A3. 42,07 80,51 68,07 • A4. 0,37 0,19 0,02 • A5. Le nombre-mystère est 6,66. • A6. La quantité totale de cocktail est de 1,53 L. Parcours B : • B1. 37,73 127,88 235,69 • B2. 472,62 324,19 588,46 • B3. 254,08 780,39 940,07 • B4. 0,42 0,46 0,07 • B5. 3,45 + 0,4 = 3,85 Le paquet « Régalou » vaut 3,85 €. • B6. Mickael : 16,02 m Hakim : 16,02 + 0,6 = 16,62 m
• Faire de même avec : 38 : 6 ; 53 : 7 ; 24 : 9… Les élèves écrivent le résultat sur l’ardoise qu’ils lèvent au signal. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une division. Vous cherchez le multiple qui permet de l’effectuer et vous écrivez le résultat de la division. Calculez 37 : 5 ; 57 : 6 ; 17 : 2 ; 31 : 4… » Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à écrire et nommer des nombres décimaux et à repérer précisément la position de chaque chiffre dans le nombre. »
928,19
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à lire et à écrire des nombres décimaux. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
6,12 47,18
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture en chiffres de nombres donnés en lettres,
191
Difficultés à écrire des nombres décimaux donnés en lettres • Utiliser systématiquement le tableau de numération. Placer le nombre dans le tableau, puis hors du tableau. Exemples : trente-quatre virgule cinquante-sept ; 3 dixièmes et 7 centièmes. Partie entière
Partie décimale
Dizaine entière Unité entière
1 dixième 10 5
3 34,57
4 0 0, 37
,
3
1 centième 100
7 7
62
Repérage de cases dans un quadrillage Manuel de l’élève pages 120 et 121
Commentaires pédagogiques La leçon porte sur le repérage de cases dans un quadrillage, au moyen d’un codage. Le codage est une convention. Dans un espace quadrillé, le codage indique les coordonnées de la case, séparées par une virgule et écrites entre parenthèses. La convention impose de toujours commencer par l’abscisse, donnée par l’axe horizontal, puis l’ordonnée, donnée par l’axe vertical. Dans cette leçon, l’abscisse est donnée sous forme de lettre ; il ne peut donc y avoir de confusion entre l’abscisse et l’ordonnée. On comprend cependant l’intérêt d’un codage normé rigoureux, préparant aux situations où abscisse et ordonnée seront toutes les deux données sous forme de nombre. Cela sera le cas en codage de cases d’abord, puis en codage de points.
■ Programmes 2008 : – « Lire les coordonnées d’un point. » – « Placer un point dont on connaît les coordonnées. » ■ Objectifs des séances : – Se repérer dans l’espace d’un quadrillage normé. – Identifier, coder et décoder les cases d’un quadrillage. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant le temps de calcul mental, écrire des nombres en chiffres au tableau. Écrire : 4,98 ; 67,98 ; 0,6 ; 9,02 ; 456,9… À l’oral • Consigne : « Voici des nombres décimaux écrits en chiffres au tableau. Vous les lisez à tour de rôle. » Montrer les nombres dans n’importe quel ordre et interroger un maximum d’élèves. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les écrivez sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 8,1 ; 0,87 ; 23,18 ; 432, 04 ; 1 unité et 6 dixièmes ; 87 unités et 9 centièmes… La correction collective s’ensuit. Utiliser le tableau de numération.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir l’identification, le codage et le décodage des cases d’un quadrillage. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 120. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
• A. L’objectif est de se repérer dans un quadrillage en s’appuyant sur les lignes et les colonnes et d’identifier les cases d’un quadrillage. Réponses : croiseur sur la ligne 7 torpilleur sur la colonne A Pour repérer un bateau, il faut donner les numéros de sa ligne et de sa colonne. • B. L’objectif est d’identifier une case d’un quadrillage à partir de l’intersection de la ligne et de la colonne correspondant à la case ciblée. Il s’agit de décoder les cases d’un quadrillage. Réponses : case (B,3) Oui, Samira a un bateau en (B,3). Il s’agit d’une vedette. • C. L’objectif est d’apprendre à coder les cases d’un quadrillage. Réponses : Quentin écrit toutes les coordonnées des colonnes et des lignes sans laisser d’espaces. Samira a noté les coordonnées de façon très organisée. Ceci facilite le repérage des cases. C’est précis. • D. L’objectif est de coder les cases d’un quadrillage. Réponses : 3 vedettes : (B,3), (G,2) (I,9) 3 sous-marins : 1er en (D,5) (E,5) / 2e en (J,4) (J,5) / 3e en (F,9) (G,9) 1 torpilleur : (A,8) (A,9) (A,10) 1 croiseur : (C,7) (D,7) (E,7) (F,7) 1 porte-avions : (M,6) (M,7) (M,8) (M,9) (M,10)
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent : « Exercice d’application ». • Exercice : L’objectif est de construire un quadrillage et de repérer des cases à partir des coordonnées.
192
Réponse : A
B
C
D
E
F
1
G
H
I
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu comment identifier, coder et décoder les cases d’un quadrillage. » Lire la rubrique « Retenir ».
J
Vio
2
Vert
3 4
B
5 6 7
R
8 9 10
J
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant le temps de calcul mental, écrire des nombres en chiffres au tableau. Écrire : 9,08 ; 65,89 ; 21,08 ; 321, 03 ; 507,01… À l’oral • Consigne : « Voici des nombres décimaux écrits en chiffres au tableau. Vous les lirez à tour de rôle. » Montrer les nombres dans n’importe quel ordre et interroger un maximum d’élèves. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les écrivez sur votre cahier. » Énoncer (ou écrire au tableau) : 7 unités et 9 dixièmes ; 3 dizaines 1 unité et 7 centièmes ; 9 dizaines et 4 dixièmes… La correction collective s’ensuit.
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification et le codage des cases d’un quadrillage, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le repérage d’une case à partir d’un code donné, proposer de commencer par les exercices A2, B2, A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. bleu (A,5) jaune (C,2) vert (G,5) • A2. A
C
D
E
F
1
u TEMPS 2 : Rappel Durée : 5 min
2
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu comment identifier, coder et décoder les cases d’un quadrillage. »
3
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à identifier, à coder et à décoder les cases d’un quadrillage. »
6
Travail oral collectif
B
rouge (B,7) violet (F,3)
u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
jaune
4 5 7
bleu violet rouge vert
• A3. rocher (B,2) cabane (E,4) trésor (I,5)
arbre (H,3) bateau (B,5) plage (G,1)
Parcours B : • B1. jaune (A,10) vert (D,1) marron (H,8) rouge (L,2)
violet (B,4) noir (D,9) bleu (J,7) orange (N,5)
193
H
gris
8
Travail dans le manuel
G
• B2. A
B
C
1
D
E
F
G
H
I
J
K
L
noir
2
rouge
3 4
jaune
5 6
vert
7 marron 8 9
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
M N
bleu violet
10 • B3. Talin (C,5) Berville (G,7) Agout (B,8) La Planche (I,4) Trioul (M,5)
orange Garral (D,5) Orvat (M,9) Soisseau (F,9) Grandval (K,2) Ribeville (B,9)
Difficultés à coder une case, à partir de la case vers l’en-tête de ligne et l’en-tête de colonne • Placer des objets concrets sur un quadrillage. L’élève place son doigt sur la case où est l’objet et déplace son doigt verticalement vers le haut pour identifier la lettre « en tête » de colonne. Il repart ensuite de l’objet en déplaçant son doigt horizontalement vers la gauche pour identifier le nombre « en tête » de ligne. • Faire plusieurs fois cette manipulation. Difficultés à repérer la case d’un quadrillage en connaissant son code : matérialiser l’intersection ligne/colonne • Annoncer une case du quadrillage : (D,5). Faire repérer la ligne et la colonne dans un quadrillage, ainsi que les en-têtes. L’élève suit avec 2 doigts (index) la ligne 5 et la colonne D jusqu’à ce qu’ils se rencontrent. C’est la case à trouver. L’élève dessine ou place un objet sur cette case. • Jeu de « bataille navale ». Expliquer la règle du jeu. Placer un bateau sur un quadrillage. Dessiner un quadrillage identique au tableau. Les élèves doivent couler le bateau. Pour couler le bateau, il faut toucher toutes les cases sur lesquelles il se trouve. Les élèves ont eux aussi chacun un quadrillage. Ils colorient au fur et à mesure les cases « touchées ». Un élève propose une case : (D,4). L’enseignant place un point rouge dans le quadrillage du tableau pour montrer qu’il n’y a pas de bateau dans cette case. Si le bateau est touché, dire « touché », ou « coulé » si le bateau entier a été touché. Ce jeu permet de travailler le codage et le décodage des cases.
194
63
L’addition de nombres décimaux Manuel de l’élève pages 122 et 123
Commentaires pédagogiques Pour additionner des nombres à virgule, l’élève ne sera confronté qu’à une seule vraie difficulté : l’alignement des nombres lors de l’addition en colonnes. Certains élèves ont en effet tendance à aligner tous les nombres à droite, sans se préoccuper de la virgule. La règle est simple : il faut aligner les nombres en colonnes de manière à ce que les virgules soient l’une sous l’autre. L’utilisation du tableau de numération pourra être d’une aide très précieuse. Les élèves seront amenés à remarquer que : – l’opération se calcule comme une addition ordinaire, éventuellement avec retenue(s) ; – la virgule du résultat se place dans l’alignement des virgules des nombres additionnés.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres décimaux. » ■ Programmes 2008 : – « Additions de deux nombres décimaux. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens et la technique opératoire de l’addition des nombres décimaux. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Enzo doit commencer son opération par les centièmes, la colonne de droite.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Identifier la position de chaque chiffre dans un nombre décimal. Travail collectif oral et individuel écrit
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Dans le nombre 782,03, indique ce que représente chaque chiffre. » • Faire de même avec le nombre 82,94.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir
2,
3
2
1,
0
0
e
3 saut
1,
6
5
Total
4,
9
7
• B. L’objectif est d’apprendre à positionner en colonnes des nombres décimaux à additionner. Réponses : Sasha a placé les centièmes sous les centièmes, les dixièmes sous les dixièmes, les unités sous les unités. Elle a aligné les virgules sous les virgules. 2 + 1 + 1 5
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à additionner des nombres décimaux. »
• A. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de l’addition des nombres décimaux en s’appuyant sur le tableau de numération. Réponses : Enzo doit faire une addition. Pour le 2e saut, il a complété le nombre par des 0 dans les colonnes des dixièmes et des centièmes, afin d’avoir le même nombre de chiffres que les autres nombres.
1 de m 100
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, insister sur le fait que chaque nombre à ajouter doit avoir le même nombre de chiffres. Cela facilite l’opération et évite les erreurs. Rappeler que, pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule, on peut compléter les nombres par des 0.
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 122. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
1 de m 10
e
2 saut
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Dans le nombre décimal 65,98, quel est le chiffre des dizaines ? des dixièmes ? des unités ? des centièmes ? » Les élèves répondent oralement. • Faire de même avec d’autres nombres décimaux.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
1er saut
m
, , , ,
3 2 4 0
8 0 5 3
‹ Remarque : Expliquer que, pour ajouter des nombres décimaux, on aligne les virgules les unes sous les autres et on calcule l’addition comme pour les nombres entiers. On commence toujours par additionner les nombres à droite. • C. L’objectif est d’additionner en colonnes des nombres décimaux donnés en ligne. Réponse :
195
1 , + 1 , + 1 , 5 ,
9 4 9 3
8 2 0 0
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de calculer des additions de nombres décimaux, d’abord avec le tableau de numération pour guide, puis sans repère. Réponses :
+ 1
1 2 , 4 9 + 4 , 3 6 1 6 , 8 5
u
1 10
1 100
7, 6, 4,
5 8 3
8 1 9
9 , 6 7 + 2 , 7 9 1 2 , 4 6
• Exercice 2 : L’objectif est de calculer en colonnes l’addition de nombres décimaux donnée en ligne. Réponses : +
6 , 7 0 8 , 4 5 1 5 , 1 5
5 , 7 8 + 1 4 , 6 4 2 0 , 4 2
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à additionner en colonnes des nombres décimaux. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 poser en colonnes, proposer de commencer par les exercices A5, A6, A7, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Identifier la position de chaque chiffre dans un nombre décimal. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne : « Dans 654,89, que représente chacun des chiffres ? » Les élèves répondent oralement. • Faire de même avec d’autres nombres décimaux. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Dans 65,29, quel est le chiffre des unités ? des dixièmes ? des centièmes ? des dizaines ? » • Faire de même avec 31,57. ‹ Remarque : Si besoin, écrire les nombres au tableau.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 8 , 4 3 + 4 , 3 5 1 2 , 7 8 • A2. +
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’addition en colonnes des nombres décimaux, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’addition de nombres décimaux donnés en ligne à
7 , 5 6 2 , 2 9 9 , 8 5
2 4 , 3 8 + 1 5 , 1 8 3 9 , 5 6
2 , 9 1 3 , 7 4 6 , 6 5
3 1 , 8 2 + 1 7 , 3 5 4 9 , 1 7
1 , 9 9 2 , 4 6 4 , 4 5
4 9 , 5 8 + 2 1 , 8 5 7 1 , 4 3
• A3.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à additionner en colonnes des nombres décimaux. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à additionner des nombres décimaux. »
1 3 , 1 6 + 2 1 , 4 3 3 4 , 5 9
+ • A4. +
• A5. 1,32 + 3,84 = 5,16 1,2 + 8,92 = 10, 12 • A6. 1,45 + 2,35 = 3,80 Camille a payé 3,80 €. • A7. 14,53 + 7,81 = 22,34 Le hérisson a parcouru 22,34 m. Parcours B : • B1. 6 + 7 + 1 1 4
, , , ,
4 1 2 8
6 5 8 9
1 3 , + 2 1 , + 8 , 4 2 ,
1 4 3 9
6 3 6 5
, , , ,
8 3 8 9
1 4 2 7
3 4 + 2 3 + 1 7 7 6
7 5 8 0
2 3 1 6
• B2.
196
+ +
7 6 1 1 5
, , , ,
• B3. + +
4 2 1 9
, , , ,
9 7 8 9 1 6 8
4 2 + 8 + 1 6 6 7
, , , ,
8 5 1 6
Difficultés à positionner en colonnes les nombres décimaux donnés en ligne
5 9 8 2
• Placer les nombres dans le tableau de numération, puis continuer sur d’autres exemples en enlevant progressivement les repères. Exemples :
• B4. 17,43 + 1,32 + 38,9 = 57,65 29,9 + 1,09 + 98,32 = 129,31 • B5. 11,87 + 9,59 + 3,39 = 24,85 Le ticket affiche un total de 24,85 €. • B6. 0,28 + 0,87 + 0,49 = 1,64 Il y aurait eu 1,64 L d’eau dans la bassine mercredi soir.
u
1 10
1 100
7, 6, 4,
5 8 3
8 1 9
u
1 10
1 100
1
7, 6, 4,
5 8 3
8 1 9
1
7, 6, 4,
5 8 3
8 1 9
+ 1
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
+
Difficultés à calculer les additions des nombres décimaux en colonnes • Verbaliser toute la démarche. Placer d’abord la virgule au résultat pour ne pas l’oublier, puis commencer par additionner les nombres de droite comme pour l’addition des entiers.
+
• Compléter certains nombres par des 0 afin que tous les nombres aient le même nombre de chiffres.
197
64
Méthodologie: identifier un problème à étapes Manuel de l’élève pages 124
Commentaires pédagogiques Si un problème à étapes peut sembler complexe à la lecture, il est important de faire comprendre à l’élève qu’il doit se traiter comme un problème simple : – en identifiant la procédure générale de résolution : exemple : dépense totale = dépense pour un participant × nombre de participant ; – en constatant que l’une des informations nécessaires à la résolution est à calculer ; – en calculant cette information « manquante » ; – en résolvant le problème comme un problème simple dont toutes les informations sont connues.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. » – « Savoir organiser des informations numériques. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Objectif des séances : – Différencier un problème simple d’un problème à étapes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectif : Calculer avec des parenthèses.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à différencier un problème simple d’un problème à étapes et à le résoudre. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 124. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier la formule de calcul qui permettra de résoudre les problèmes. Les élèves remarqueront que la même formule est à appliquer pour résoudre les 2 problèmes. Réponses : dépense totale = dépense pour 1 objet × nombre d’objets La même formule permet de résoudre les 2 problèmes. • B. L’objectif est de résoudre un problème à 1 seule étape dans lequel l’énoncé apporte toutes les données utiles pour répondre à la question. Réponses : 155 × 26 = 4 030 Le montant total de la dépense pour le haras de la Roche sera de 4 030 €. Oui, l’énoncé apporte toutes les données utiles pour résoudre le problème. • C. L’objectif est de résoudre le même type de problème que le précédent, mais avec une étape de résolution supplémentaire avant de pouvoir répondre à la question du problème. Toutes les informations ne sont pas dans l’énoncé. Réponses : dépense totale = dépense pour 1 porte × nombre total de portes 1re étape : calculer le nombre total de portes 28 + 29 = 57 2nde étape : 155 × 57 = 8 835 Le montant total de la dépense pour le haras de la Rivière sera de 8 835 €. ‹ Remarque : Au CM1, il est pertinent d’apprendre aux élèves à résoudre les problèmes à étapes en utilisant les parenthèses.
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral et sur l’ardoise • 1re étape : Calculer avec des parenthèses à partir d’une représentation d’objets concrets. Projeter (ou dessiner) la situation ci-dessous et faire compléter par les élèves sur leur ardoise. +
(… – …) + (… – …) = … … + … = … Correction collective. Faire verbaliser les étapes de calculs : « Je calcule d’abord les opérations qui sont dans les parenthèses, puis j’additionne les résultats. » +
(8 – 4) 4
+ +
(8 – 2) 6
=
10
nde
• 2 étape : Calculer avec des parenthèses à partir d’écritures mathématiques. Écrire : (4 + 3) + (3 + 5) = … (12 – 8) + (17 – 9) = … (4 × 7) + (5 × 2) = … Les élèves calculent sur leur ardoise. La correction collective s’ensuit en verbalisant les étapes. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris des opérations avec parenthèses. Vous les écrivez sur votre cahier et vous les calculez. » Écrire : (8 × 4) – (2 × 7) = … (80 – 50) + (70 + 50) = … (7 × 7) – (3 × 9) = … La correction collective s’ensuit.
198
Mais il s’agira de ne pas leur imposer car certains ont encore besoin de décomposer toutes les étapes de calculs. Exemple : dépense totale = dépense pour 1 objet × nombre d’objets dépense totale = dépense pour 1 porte × nombre de portes dépense totale = 155 × (28 + 29) dépense totale = 155 × 57 dépense totale = 8 835
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problème : L’objectif est d’identifier les formules de calculs qui permettront de résoudre le problème à étapes, puis de répondre à la question du problème. Réponses : formule générale : masse totale = masse A + masse B = masse de terreau + masse de fumier Il faut calculer la masse de terreau. Formule : masse totale = masse C × nombre de masses C masse totale de terreau = masse d’1 sac de terreau × nombre de sacs de terreau masse totale de terreau = 12 × 25 = 300 Il faut calculer la masse de fumier. Formule : masse totale = masse C × nombre de masses C
masse totale de fumier = masse d’1 sac de fumier × nombre de sacs de fumier masse totale de fumier : 15 × 16 = 240 On a maintenant toutes les données. masse totale à transporter = 300 + 240 = 540 La masse totale à transporter est de 540 kg. ‹ Remarque : Là encore, proposer la résolution de ce problème à étapes avec des parenthèses. masse totale à transporter = masse de terreau + masse de fumier masse totale = ( 12 × 5 ) + ( 15 × 16 ) masse totale = 300 + 240 masse totale = 540 kg En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à différencier un problème simple d’un problème à étapes et à les résoudre. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à résoudre des problèmes à étapes Voir les pistes données en leçon 46.
199
65
Bilan (7) Manuel page 125
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer comparer et utiliser les nombres décimaux, quelques fractions simples. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et les nombres décimaux. » – « Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux. »
– « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres. » – « Savoir organiser des informations numériques. » – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour construire avec soin et précision des figures planes usuelles. » ■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : dixième, centièmes. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. » – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Nombres décimaux : connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). » 100 – « Repérer les nombres décimaux sur une droite graduée. » – « Lire les coordonnées d’un point. » – « Placer un point dont on connaît les coordonnées. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
• Exercice 1 : L’objectif est de repérer des nombres placés sur une droite numérique et de les exprimer en fractions.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant
Réponses : a) 15
Travail collectif oral Durée : 5 min Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
On acceptera : a) 1 + 5
u TEMPS 2 : Calcul mental
Durée : 15 min Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : « Vous allez calculer mentalement des divisions avec reste. Vous écrivez uniquement le résultat et le reste. » Exemple : 17 : 2 = 8 reste 1 – Écrivez le résultat de : 45 : 8 ; – Écrivez le résultat de : 50 : 9 ; – Écrivez le résultat de : 23 : 3 ; – Écrivez le résultat de : 30 : 4 ; – Écrivez le résultat de : 44 : 5 ; – Écrivez le résultat de : 60 : 7 ; – Écrivez le résultat de : 13 : 2 ; – Écrivez le résultat de : 39 : 6 ; – Écrivez le résultat de : 70 : 8 ; – Écrivez le résultat de : 23 : 6.
Travail dans le manuel
b) 52
100
100
10
b) 5 + 2 10
100
c) 92
100
100
c) 9 + 2 10
100
• Exercice 2 : L’objectif est de passer d’une écriture fractionnaire à une écriture sous forme de nombre à virgule. Réponses : 5,13 7,82 • Exercice 3 : L’objectif est d’écrire en chiffres des nombres décimaux donnés en lettres ou sous forme « x unités , y dixièmes, z centièmes ». Réponses : 10,35 63,24 8,03 ‹ Remarque : Autoriser les élèves à utiliser leur tableau de numération. • Exercice 4 : L’objectif est de résoudre un problème de partage sur les distances. Réponse : 65 : 5= 13 La longueur de ce circuit est de 13 km. • Exercice 5 : L’objectif est d’additionner en colonnes des nombres décimaux. Réponses : 27,29 + 2,18 = 29,47 16,89 + 3,48 = 20,37 • Exercice 6 : L’objectif est de poser et de calculer l’addition de nombres décimaux. Réponse :
Travail individuel écrit Durée : 45 min Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous les élèves.
200
5 , 1 0 + 9 , 4 3 1 4 , 5 3
• Exercice 7 : L’objectif est de repérer la position d’un point dans un quadrillage et donner ses coordonnées. Réponses : vert (B,3) violet (D,5) jaune (G,2) rouge (H,6) bleu (J, 4) • Exercice 8 : L’objectif est de placer un point dont on connaît les coordonnées dans un quadrillage. Réponse : Voir sur le cahier de l’élève si les couleurs sont placées au bon endroit. • Exercice 9 : L’objectif est de résoudre des problèmes à étapes. Réponse Problème 1 : masse totale de friandises pour 1 personne = masse des caramels pour 1 personne + masse des bonbons pour 1 personne 80 + 120 = 200 Chaque invité aura 200 g de friandises. masse totale achetée = masse pour 1 personne × nombre de personnes 200 × 12 = 2 400 Elle a acheté 2 400 g de friandises, soit 2 kg et 400 g. Réponse Problème 2 : nombre total d’invités = nombre de garçons + nombre de filles 9 + 8 = 17 Il y a 17 invités.
masse totale achetée = masse pour 1 personne × nombre de personnes 150 × 17 = 2 550 La masse totale de friandises achetée par la maman de Sonia est de 2 550 g, soit 2 kg et 550 g. ‹ Remarque : Certains élèves auront compté Mehdi dans le Problème 1 (donc 13 personnes au total) et Sonia dans le Problème 2 (donc 18 invités au total). En effet, les enfants ne peuvent pas concevoir que la maman ait acheté des bonbons pour les autres et pas pour eux alors que c’est leur anniversaire. • Exercice 10 : L’objectif est de tracer une figure en suivant un programme de construction donné par des consignes à suivre étape par étape. Réponse :
B
201
A
C
66
Comparaison de nombres décimaux (1) Manuel de l’élève pages 126 et 127
Commentaires pédagogiques Pour comparer des nombres décimaux, il faut d’abord comparer leurs parties entières. L’élève connaît cette procédure, d’autant que le travail sur les nombres décimaux au CM1 porte sur des nombres généralement inférieurs à 1 000. Lorsque les 2 nombres ont la même partie entière, il faut d’abord comparer les chiffres des dixièmes ; si les deux nombres ont le même chiffre des dixièmes, il faut comparer les chiffres des centièmes. Suivre avec rigueur selon cette procédure de comparaison permet d’éviter une erreur récurrente : celle de comparer les nombres composant la partie décimale. Exemple : 25,9 et 25,18. Les élèves constatent que les 2 nombres ont la même partie décimale. Certains pourront être tentés de conclure que 25,18 > 25,9 car 18 > 9. Il faudra être très attentif à cette difficulté en justifiant systématiquement les réponses données.
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). » 100 – « Savoir les repérer, les ranger et les encadrer par 2 nombres entiers consécutifs. » ■ Objectifs des séances : – Comparer et ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant et décroissant. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération (partie entière et partie décimale) plastifié.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux en lien avec des fractions décimales. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « J’écris un nombre sous forme décomposée avec des fractions décimales. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre ardoise. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Écrire : 89 + 8 + 4 10 1+ 3 + 7 10 100
100
9+ 6
100 2 + 7 100 10
6 100
Utiliser le tableau de numération pour la correction. • Consigne 2 : « J’écris des nombres décimaux en lettres sous la forme « x dizaines, y unités, z dixièmes ». Vous les écrivez en chiffres sur votre ardoise. » Écrire : 9 dizaines / 4 unités / 1 dixième / 8 centièmes 9 unités / 5 dizaines / 3 centièmes 2 centièmes / 8 unités / 6 dizaines / 4 dixièmes La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel des procédures de comparaison des nombres entiers Travail collectif oral
Durée : 10 min
• Consigne : « Rappelez-moi comment comparer des nombres entiers. » Réponse attendue : « Pour comparer des nombres entiers, on regarde d’abord le nombre de chiffres de chaque nombre. Le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. Si les
2 nombres ont le même nombre de chiffres, il faut regarder le chiffre le plus à gauche. Celui qui a le chiffre le plus grand est le nombre le plus grand. Si les 2 chiffres de gauche sont égaux, il faut comparer le chiffre suivant et ainsi de suite. » • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à comparer des nombres décimaux et à les ranger dans l’ordre croissant. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 126. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. L’objectif de cette recherche est de découvrir la comparaison des nombres décimaux étape par étape. • A. L’objectif est de comparer les parties entières de nombres décimaux, en commençant par identifier sur une droite graduée entre quels nombres entiers chacun se situe. Réponses : 21,18 est compris entre 21 et 22. 20,98 est compris entre 20 et 21. 21,18 > 20,98. Tom a raison. Pour comparer 2 nombres décimaux, on commence par comparer leurs parties entières. Le nombre le plus grand est celui qui a une partie entière supérieure à celle de l’autre. • B. L’objectif est de découvrir la démarche pour comparer 2 nombres décimaux qui ont la même partie entière.
202
Réponses : 21,45 et 21,9 ont la même partie entière. 21,45 vient avant 21,9 sur la droite numérique, donc 21,9 > 21,45. 9 dixièmes > 4 dixièmes Pour comparer 2 nombres décimaux qui ont la même partie entière, on regarde le chiffre des dixièmes de chaque nombre. Celui qui a le chiffre des dixièmes le plus grand est le nombre décimal le plus grand. • C. L’objectif est de comparer 2 nombres décimaux qui ont la même partie entière, le même chiffre des dixièmes mais des chiffres des centièmes différents. Réponses : Tom n’est pas suffisamment précis dans son argumentation car il oublie de mentionner que les 2 nombres ont la même partie entière. Léa a bien précisé que les 2 nombres ont la même partie entière mais elle oublie d’indiquer qu’ils ont aussi le même chiffre des dixièmes.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• Exercice 1 : L’objectif est de comparer 2 nombres décimaux. Réponses : 67,14 > 56, 78 78,17 < 78,21 ‹ Remarque : Lors de la correction collective, insister sur le fait que 78,17 < 78,21 parce que 1 < 2 et non pas parce que 10 10 17 < 21. • Exercice 2 : L’objectif est de ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant. Réponses : 28,12 < 28,56 < 28,91 56,32 < 73,32 < 73,34 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à comparer des nombres décimaux et à les ranger dans l’ordre croissant. » Lire le Retenir. ‹ Remarque : Cette séance étant la première sur la comparaison des nombres décimaux, les exercices d’entraînement ne portent pas sur le rangement dans l’ordre décroissant des nombres décimaux, compétence plus complexe que le rangement dans l’ordre croissant.
Séance 2 Réponse attendue : « Nous avons appris à comparer des nombres décimaux et à les ranger dans l’ordre croissant. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux en lien avec des fractions décimales. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’écris des nombres sous forme décomposée avec des fractions décimales. Vous écrivez le nombre à virgule correspondant sur votre cahier. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. »
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à comparer et à ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant et décroissant. » • Consigne : « Rappelez-moi comment faire. » Réponse attendue : « Pour comparer 2 nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières. Si elles sont identiques, on compare les dixièmes. S’ils sont identiques, on compare les centièmes. »
Écrire : 74 + 2 + 7
10 100 9 + 30 + 2 + 7 100 10 6+ 3 10
Travail dans le manuel
90 + 5 100 7 + 50 + 9 100
u S’entraîner 6 + 50 10
Travail individuel écrit
Utiliser le tableau de numération pour la correction. • Consigne 2 : « J’écris des nombres décimaux en lettres et sous la forme « x dizaines, y unités, z dixièmes ». Vous les écrivez sur votre cahier sous forme de décomposition de fractions décimales, puis sous la forme de nombres à virgule. Vous pourrez vous aider du tableau de numération. » Commencer par présenter un exemple au tableau, en collectif. Écrire au tableau : 8 dizaines / 6 unités / 2 dixièmes / 5 centièmes Réponse attendue : 80 + 6 + 2 + 5 = 86,25 10
100
Proposer : 9 dizaines / 4 unités / 1 dixième / 8 centièmes 9 unités / 5 dizaines / 3 centièmes 2 centièmes / 8 unités / 6 dizaines / 4 dixièmes La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? »
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison de 2 nombres décimaux, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A3, B1, B2, B3, A6, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le rangement des nombres décimaux dans l’ordre croissant, proposer de commencer par les exercices A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. ‹ Remarque : Il sera possible de demander aux élèves les plus performants d’exécuter les exercices A4 et B4 en changeant la
203
consigne : « Range les nombres dans l’ordre décroissant », ou bien de donner d’autres séries de nombres décimaux à ranger dans l’ordre décroissant. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 4,26 < 13,18 18,14 > 9,53 23,27 < 27,31 35,41 > 29,43 • A2. 31,37 < 31, 41 38,54 > 38,19 41,91 > 41,19 • A3. 36,14 < 36,19 42,38 > 42,31 29,59 > 29,45 31,78 > 31,18 • A4. 24,29 < 73,18 < 84,31 42,18 < 42,29 < 42,37 51,31 < 51,32 < 51,35 • A5. Raviolis « premier prix » : 2,90 € Raviolis « distributeurs » : 3,15 € Raviolis « grande marque » : 3,50 € • A6. 3,15 + 2,36 = 5,51 5,51 > 5,25 Pedro n’a pas assez d’argent pour faire ses courses. Parcours B : • B1. 19,99 < 21,11 84,18 < 85,09 39,04 > 25,79 73,2 > 61,99 • B2. 31,4 > 31,37 48,32 > 48,29 69,09 < 69,31 74,1 > 74,03 0,67 > 0,19 1,08 < 1,12 • B3. 94,17 < 94,19 63,47 > 63,42 84,99 > 84,91 73,01 < 73,08 0,04 < 0,08 1,05 > 1,01
• B4. 9,99 < 17,44 < 28,32 < 46,18 28,73 < 31,73 < 31,84 < 84,32 0,01 < 0,21 < 1,02 < 2,1 • B5. 8,95 + 8,80 + 6,45 = 24,20 La dépense totale serait de 24,20 €. 24,20 < 25,58 Lucie peut acheter tous ces cadeaux. • B6. 0,81 + 0,72 + 1,45 = 2,98 Il a besoin d’une longueur totale de 2,98 m. Philippe doit choisir une tablette de 3,05 m.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à comprendre que 1 > 1 > 1 10 100 Utiliser des supports visuels : – les calques construits lors de la leçon 59 ; – les droites graduées (l’élève les partage en 10 pour obtenir des dixièmes) ; – les disques partagés en 10 parties égales… Difficultés à comparer des nombres décimaux Verbaliser pas à pas toute la démarche vue précédemment afin de comparer 2 nombres décimaux, en commençant par 2 parties entières différentes, puis 2 parties entières identiques, la comparaison s’effectuant au rang des dixièmes, etc. Repérer ces nombres sur des droites graduées.
204
67
Angles droits, aigus ou obtus Manuel de l’élève pages 128 et 129
Commentaires pédagogiques Jusqu’à présent, la notion d’« angle » se limitait à vérifier si un angle était ou pas un angle droit. L’introduction des notions d’« angle aigu » et d’« angle obtus » permet une première approche de la notion de « mesure d’angle », l’angle droit étant présenté comme angle-unité. L’élève sera capable de classer les angles en 3 catégories : – les angles plus petits que l’angle droit : les angles aigus ; – les angles droits ; – les angles plus grands que l’angle droit : les angles obtus. À défaut d’une mesure précise, l’élève sera en mesure d’ordonner un angle aigu, un angle obtus et un angle droit dans l’ordre croissant de leurs grandeurs, sans les superposer, avec la seule aide de l’équerre. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. »
■ Programmes 2008 : – « Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. » – « Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. » – « Estimer et vérifier en utilisant l’équerre qu’un angle est droit, obtus ou aigu. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir différents angles en appui avec l’angle droit de l’équerre. – Estimer, puis vérifier qu’un angle est obtus, aigu ou droit en utilisant l’équerre. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une équerre, du papier calque sur lequel les élèves tracent un angle droit.
Séance 1 Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Comparer des nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez et vous justifiez votre réponse. » Écrire : 7,93 et 7,34 / 9, 04 et 9,1 / 34,76 et 38 / 76,1 et 76,09 Les élèves interrogés donnent leur comparaison et justifient. Exemple : 7,93 et 7,34. Ils ont la même partie entière, il faut regarder les dixièmes. 7,93 a 9 dixièmes et 7,34 a 3 dixièmes. 9 > 3 donc 7,93 > 7,34 10
• A. L’objectif est de découvrir que l’angle aigu est plus petit que l’angle droit en utilisant l’angle droit de l’équerre. Réponse : Victor a une vision plus petite que l’angle droit car, lorsque l’on place un côté de l’angle droit de l’équerre sur un côté de l’angle de vision de Victor, l’autre côté de l’angle droit de l’équerre ne recouvre pas le 2nd côté de l’angle de vision de Victor : il est sous l’équerre. ‹ Remarque : Faire tracer un angle droit sur du papier calque. Positionner cette « équerre-calque » pour voir concrètement que l’angle de vision est plus petit que l’angle droit.
10
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez sur votre cahier en utilisant les signes < et >. » Écrire : 65,3 et 87,4 / 39,67 et 40 La correction collective s’ensuit avec verbalisation de la comparaison.
Angle de vision de Victor
Angle droit de l’équerre
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit Durée : 35 min et collectif oral • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ce que sont des angles aigus et obtus ; vous allez apprendre à les identifier en utilisant l’angle droit de l’équerre. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 128. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation.
• B. L’objectif est de découvrir que l’angle obtus est plus grand que l’angle droit en utilisant l’angle droit de l’équerre. Réponse : Il a une vision plus grande que l’angle droit car, lorsque l’on place un côté de l’angle droit de l’équerre sur un côté de l’angle de vision de Victor, l’autre côté de l’angle droit de l’équerre ne recouvre pas le 2nd côté de l’angle de vision de Victor : il dépasse. ‹ Remarque : Même si, dans le cas d’un angle obtus, on voit concrètement qu’il est plus grand que l’angle droit, positionner l’équerre-calque pour voir concrètement que l’angle de vision est plus grand que l’angle droit.
205
Angle de vision de Victor
Les angles droits, aigus et obtus • l’angle droit
Angle droit de l’équerre
Angle droit de l’équerre
• C. L’objectif est d’estimer, puis de vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus en utilisant l’angle droit de l’équerre. Réponses : Les angles de vision de l’aigle et de la grenouille sont des angles aigus. Les angles de vision du serpent et du chat sont des angles obtus.
• l’angle obtus
Angle obtus plus grand que l’angle droit
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Angle droit de l’équerre
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• l’angle aigu
• Exercice 1 : L’objectif est d’estimer, puis de vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus en utilisant l’angle droit de l’équerre. ^ ^ A : aigu B : obtus Réponses : ^ ^ ^ C : droit D : obtus E : aigu • Exercice 2 : L’objectif est d’estimer, puis de vérifier le type d’angle d’un quadrilatère donné en utilisant l’angle droit de l’équerre. ^ ^ A : obtus B : aigu Réponses : ^ ^ C : obtus D : droit ‹ Remarque : Construire un référent didactique qui sera affiché au mur.
Angle aigu plus petit que l’angle droit
Angle droit de l’équerre
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris ce que sont des angles aigus et obtus ; nous avons appris à les identifier en utilisant l’angle droit de l’équerre. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à identifier si un angle est droit, obtus ou aigu en utilisant l’angle droit de votre équerre. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Comparer des nombres décimaux. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez et vous justifiez votre réponse. » Écrire : 54,93 et 54,97 / 13,08 et 13,2 / 67,76 et 38 / 98,1 et 99 Les élèves interrogés donnent leur comparaison et justifient. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez sur votre cahier en utilisant les signes < et >. » Écrire : 467,4 et 467, 01 / 876,67 et 876,8 / 507,02 et 507 La correction collective s’ensuit avec verbalisation de la comparaison.
• Consigne 1 : « Rappelez-moi comment est l’angle aigu par rapport à l’angle droit. » Réponse attendue : « L’angle aigu est plus petit que l’angle droit. »
u TEMPS 2 : Rappel
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris ce que sont des angles aigus et obtus ; nous avons appris à les identifier en utilisant l’angle droit de l’équerre. »
• Consigne 2 : « Rappelez-moi comment est l’angle obtus par rapport à l’angle droit. » Réponse attendue : « L’angle obtus est plus grand que l’angle droit. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
206
Correction des exercices : Parcours A : ^ ^ ^ • A1. A : obtus B : obtus C : droit • A2. Vérifier les tracés des élèves. ^ ^ ^ • A3. D : aigu E : obtus F : aigu ^ ^ ^ H : obtus I : aigu • A4. G : aigu ^ J : obtus Parcours B : ^ ^ • B1. angles aigus : C et B ^ angle droit : E ^ angles obtus : A et F ^ ^ ^ • B2. Triangle ABC : A et B aigus ; C droit Triangle DEF : les 3 angles sont aigus. ^ ^ ^ Triangle IGH : I et H aigus ; G obtus • B3. Vérifier les tracés des élèves. ^ ^ • B4. Les angles A et D sont droits. ^ ^ B est obtus. C est aigu. Les côtés AB et CD sont parrallèles. • B5. Vérifier les tracés des élèves.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner l’angle droit de l’équerre pour vérifier la nature d’un angle • Verbaliser la démarche et mener les actions en même temps. Exemple : « Je dois identifier s’il s’agit d’un angle droit, aigu ou obtus. J’utilise l’équerre fabriquée en calque. Je superpose un côté de mon équerre sur un côté de l’angle à identifier et j’observe l’autre côté de mon équerre. Si le 2nd côté de l’angle est sous l’équerre, cet angle est plus petit que l’angle droit : c’est un angle aigu. Si le 2nd côté de l’angle dépasse de l’équerre, cet angle est plus grand que l’angle droit : c’est un angle obtus. Si les 2 côtés de mon équerre-calque se superposent parfaitement avec les 2 côtés de l’angle, c’est un angle droit.
207
68
La soustraction de nombres décimaux Manuel de l’élève pages 130 et 131
Commentaires pédagogiques La soustraction des nombres à virgule se traitera de la même manière que l’addition, avec la même contrainte : aligner les nombres virgule sous virgule. L’élève sera confronté à la difficulté des nombres n’ayant pas le même nombre de chiffres après la virgule. Cette difficulté se résout en complétant par un ou des 0. Exemple : 3,5 peut être remplacé par 3,50. Rappeler l’importance du tableau de numération, notamment pour les élèves les plus fragiles. Les élèves seront ensuite amenés à remarquer que : – l’opération se calcule comme une soustraction ordinaire, avec retenue(s) éventuellement ; – la virgule du résultat se place dans l’alignement des virgules des nombres soustraits.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres décimaux. » ■ Programmes 2008 : – « Soustractions de deux nombres décimaux. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens et la technique opératoire de la soustraction de nombres décimaux. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « J’écris des nombres décimaux au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant sur votre ardoise. » Écrire : 87,3 / 9,54 / 12 / 6,98 Lors de la correction collective, les élèves exposent la démarche de comparaison. Ici, on ne compare que les parties entières puisqu’elles sont différentes. Réponse : 6,98 < 9,54 < 12 < 87,3 • Consigne 2 : « J’écris des nombres décimaux au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant sur votre ardoise. » Écrire : 7,54 / 87,23 / 7,9 / 8, 7 Réponse : 7,54 < 7,9 < 8, 7 < 87,23 Lors de la correction collective faire également verbaliser la démarche de rangement.
• A. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de la soustraction sans retenue de nombres décimaux avec le tableau de numération en appui. Réponses : Le prix du T-shirt avant la remise est de 15,89 €. La remise est de 1,58 €. 15,89 – 1,58 = ? u
1
5 1 4
– 1
, ,,
1 10
1 100
8 5 3
9 8 1
Le nouveau prix du T-shirt est de 14,31 €. • B. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de la soustraction avec retenue de nombres décimaux. Réponses : Je dois placer les centièmes sous les centièmes, les dixièmes sous les dixièmes, les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines et bien aligner les virgules les unes sous les autres. Je dois utiliser une retenue au rang des centièmes. Je dois prendre 1 et le transformer en 10 pour effectuer la 10 100 soustraction.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
d
– Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à soustraire des nombres décimaux. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 130. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. S’assurer que les élèves comprennent les termes « promotions » et « remise ». Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
7 8 , 9 10 7 , 81 9 7 1 , 0 1
Le nouveau prix est de 71,01 €. • C. L’objectif est de découvrir la démarche pour soustraire un nombre décimal à un nombre entier en utilisant des 0. Réponses : Le nombre 14 peut aussi s’écrire 14,00. En effet, dans 14, il n’y a pas de dixième ni de centième. –
1 4 , 10 0 1 , 4 0 1 1 2 , 6 0
Le pull-over coûte maintenant 12,60 €.
208
TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1. L’objectif est de calculer des soustractions de nombres décimaux posées en colonnes avec et sans retenue. Réponses : 31,84 – 7,31 = 24,53 48,91 – 16,29 = 32,62 73,28 – 41,71 = 31,57 64,32 – 18,99 = 45,33
• Exercice 2. L’objectif est de poser en colonnes des soustractions de nombres décimaux, de compléter si besoin ces nombres par des 0 pour faciliter les soustractions. Réponses : 44,37 – 31,26 = 13,11 51,3 – 2,75 = 51,30 – 2,750 = 48,55 63 – 18,43 = 63,00 – 18,43 = 44,57 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à soustraire des nombres décimaux ; nous avons compris qu’il faut ajouter des 0 aux nombres afin d’avoir le même nombre de chiffres pour chaque nombre, ce qui facilite la soustraction. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant et décroissant. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris des nombres décimaux au tableau. Vous les rangez dans l’ordre croissant sur votre cahier de mathématiques. » Écrire : 92,02 / 9,80 / 98 / 90,82 43,81 / 43,9 / 43,19 / 43,3 7,5 / 7,59 / 7,52 / 7,57 La correction collective s’ensuit avec verbalisation de la démarche. Dans la 1re série de nombres, on ne compare que les parties entières, dans la 2e série, on compare aux dixièmes et dans la 3e série, on compare aux centièmes. Réponses : 9,80 < 90,82 < 92,02 < 98 43,19 < 43,3 < 43,81 < 43,9 7,5 < 7,52 < 7,57 < 7,59
• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la soustraction en colonnes des nombres décimaux, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B2, B3 et A3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la soustraction des nombres décimaux à poser en colonnes, proposer de commencer par les exercices A4, B4, A5, A6, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la soustraction de nombres décimaux qui n’ont pas le même nombre de chiffres, proposer de commencer par les exercices A3, B4 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur la technique opératoire de la soustraction des nombres décimaux. »
Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement » Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
1 10
1 100
1
4, 7, 7,
3 1 2
8 5 3
• A2. 3 8 , 4 3 – 1 2 , 2 8 2 6 , 1 5
4 9 , 1 2 – 1 1 , 8 9 3 7 , 2 3
• A3. 4 , 3 0 – 2 , 1 1 2 , 1 9
Travail dans le manuel u S’entraîner
u
–
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à soustraire des nombres décimaux ; nous avons compris qu’il faut ajouter des 0 aux nombres afin d’avoir le même nombre de chiffres pour chaque nombre, ce qui facilite la soustraction. »
d
7 , 0 0 – 1 , 7 0 5 , 3 0
• A4. 24,3 – 8,35 = 15,95 17 – 6,4 = 10,6 • A5. 1,50 – 0,25 = 1,25 Il reste 1,25 L de jus d’orange. • A6. 10,75 – 3,69 = 7,06 La fourmi doit encore parcourir 7,06 m. Parcours B : • B1. 271,84 – 34,61 = 237,23 384,99 – 192,28 = 192,71
209
• B2. 3 5 4 , 3 1 – 6 3 , 2 9 2 9 1 , 0 2
Difficultés à positionner en colonnes les nombres décimaux donnés en ligne afin de les soustraire • Commencer par donner des nombres qui ont autant de chiffres. Placer les nombres dans le tableau de numération. Continuer sur d’autres soustractions, en enlevant peu à peu les repères.
2 8 6 , 2 5 – 1 3 5 , 8 3 1 5 0 , 4 2
• B3. 3 4 3 , 2 5 – 1 2 2 , 9 9 2 2 0 , 2 6
7 3 4 , 4 6 – 1 7 2 , 5 9 5 6 1 , 8 7
• B4. 34,1 – 0,78 = 33,32 100 – 2,88 = 97,12 • B5. 1,12 – 0,97 = 0,15 La masse totale des passagers et des bagages est de 0,15 T. • B6. 3 – 1,75 = 1,25 Le morceau de planche restant mesure 1,25 m. Il n’aura pas assez pour faire une nouvelle étagère de 1,30 m.
u
1 10
1 100
7, 6, 1,
9 8 1
8 1 7
u
1 10
1 100
–
8, 6, 2,
9 5 4
8 6 2
–
6, 3, 3,
5 1 4
4 2 2
–
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à soustraire des nombres décimaux en colonnes • Commencer par des soustractions sans retenue. Verbaliser toute la démarche : « Je place d’abord la virgule au résultat pour ne pas l’oublier, puis je commence par soustraire les chiffres de droite, comme pour la soustraction des nombres entiers. »
• Continuer avec des nombres décimaux qui n’ont pas le même nombre de chiffres. Verbaliser : « Je commence par placer des 0 pour avoir le même nombre de chiffres dans chaque nombre. Je place ma virgule au résultat pour ne pas l’oublier. J’effectue la soustraction en commençant par la droite. »
210
69
Description et reproduction de figures (2) Manuel de l’élève pages 132 et 133
Commentaires pédagogiques ■ Programmes 2008 : – « Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes. »
Pour reproduire une figure complexe sur papier quadrillé, il faut procéder à une décomposition de cette figure en figures simples et procéder par étapes. L’élève devra donc penser les étapes de la construction avant de la commencer. Cette anticipation est d’autant plus nécessaire qu’il devra faire tenir les figures à réaliser dans le cadre quadrillé qui lui sera donné. S’il ne place pas correctement la figure initiale sur sa feuille quadrillée, il risque de ne pas avoir la place pour les autres figures qui composent la figure complexe.
■ Objectifs des séances : – Décrire une figure en vue de la faire réaliser. – Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction donné sous forme de consignes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une règle graduée, un compas, un crayon à papier bien taillé.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. »
Séance 1 • Consigne 2 : « Rappelez-moi les propriétés du rectangle. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 2 longueurs de même mesure et 2 largeurs de même mesure. Ses 2 longueurs sont parallèles et ses 2 largeurs sont parallèles. Il a 4 angles droits. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer des nombres décimaux entre 2 entiers. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne : « Comment faire pour encadrer 2 nombres décimaux entre 2 nombres entiers ? » Laisser les élèves émettre leurs hypothèses. Proposer : « Il faut regarder la partie entière. » Exemple : « Entre quels nombres entiers peut-on encadrer 1,5 ? » (entre 1 et 2) Énoncer : « Entre quels nombres entiers peut-on encadrer 8,1 ? 89,05 ? 48,98 ? 3,07 ? etc. » Les élèves écrivent l’encadrement au tableau sous cette forme : 8 < 8,1 < 9. Le nombre 8,1 est encadré par 8 et par 9. La validation se fait par la classe. • Faire de même pour les autres encadrements. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je donne des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Écrire ou énoncer : 87,5 ; 7,99 ; 34,05… La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
• Consigne 3 : « Rappelez-moi les propriétés du losange. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 4 côtés égaux mais pas d’angle droit. Ses diagonales se croisent en formant 4 angles droits. » • Consigne 4 : « Rappelez-moi les propriétés du cercle. » Réponse attendue : « Il a un centre et un rayon qui permet de tracer le cercle à partir du centre. » • Consigne 5 : « Rappelez-moi ce qu’est un triangle. Que savezvous du triangle ? » Réponse attendue : « Il a 3 côtés. Les mesures des côtés peuvent être identiques mais ne le sont pas toujours. Quand il a un angle droit, c’est un triangle rectangle. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 25 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 132. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
u TEMPS 2 : Rappel sur les propriétés des figures planes usuelles Travail collectif oral Durée : 10 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à décrire une figure en vue de la faire réaliser ; vous apprendrez aussi à tracer une figure à partir d’un programme de construction, c’est-à-dire en suivant des consignes étape par étape. » • Consigne 1 : « Rappelez-moi les propriétés du carré. » Réponse attendue : « C’est un quadrilatère. Il a 4 côtés égaux et 4 angles droits. »
• A. L’objectif est de lire 2 descriptions de la même figure et d’identifier la description qui lui correspond. Réponse : La figure à l’intérieur du cercle est un carré et non un losange, car elle a 4 côtés égaux et 4 angles droits. Luna a raison. • B. L’objectif est de terminer la rédaction des étapes de construction pour réaliser une figure donnée en utilisant un
211
vocabulaire géométrique précis et en donnant des points de repère pour achever correctement ce tracé. Réponse : Étape 4 : Joins le point O au point D.
A
O
B
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de tracer une figure à partir d’un programme de construction.
D
C
T
Étape 5 : Joins le point O au point C.
A
O
U
B A
D
C
Étape 6 : Trace un cercle de centre O et de rayon AO.
A
O
• Exercice 2 : L’objectif est de lire 2 descriptions de la même figure et d’identifier la description qui correspond à la figure tracée. Réponse : C’est le tracé n° 1 qui est exact car, dans le tracé n° 2, OI = 12 cm (et non pas 6 cm).
B
D
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à décrire une figure et à tracer une figure à partir d’un programme de construction. »
C
Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail dans le manuel
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : Encadrer des nombres décimaux entre 2 entiers.
Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Rappelez-moi comment on encadre 2 nombres décimaux entre 2 nombres entiers. » Réponse attendue : « Il faut regarder la partie entière. » Énoncer : « Entre quels nombres entiers peut-on encadrer 76,1 ? 589,35 ? 92,9 ? 839,02 ? etc. » Les élèves écrivent l’encadrement au tableau. La validation se fait par la classe. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je vous donne des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Écrire ou énoncer : 987,52 ; 107,99 ; 300,1 ; 999,05… La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la construction de figures à partir d’un programme de construction, proposer de commencer par les exercices A2, A1, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la rédaction du programme de construction d’une figure en vue de la faire reproduire, proposer de commencer par les exercices A3, B3, A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. C’est la figure 3. • A2.
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à décrire une figure et à tracer une figure à partir d’un programme de construction qu’il faut suivre étape par étape. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur ces compétences. »
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F
H
E
G
• A3. Trace un carré violet de 6 carreaux de côtés. Place un point au milieu de chaque côté. Relie ces milieux. Parcours B : • B1. programme 2 • B2.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
F
E
G
H • B3. Trace une droite orange horizontale sur une grosse ligne de ton cahier. Place un point A et un point C sur cette droite, espacés de 6 carreaux. Trace une droite perpendiculaire passant par le milieu de ces 2 points. À partir du milieu du segment AC, compte 4 carreaux vers le haut et marque le point B. Compte 4 carreaux vers le bas et marque le point D. Trace les segments AB, BC, CD et DA en vert.
Difficultés à tracer une figure à partir d’un programme de construction • Faire reproduire des figures très simples à partir de 2 consignes. • Augmenter au fur et à mesure le nombre de consignes. Si les élèves ont des difficultés de lecture de ces consignes, les verbaliser. • Insister sur l’importance de suivre le programme de construction étape par étape. • Si les élèves ont des connaissances lacunaires sur les propriétés des figures à tracer, les diriger vers les « Retenir » du manuel. • Complexifier progressivement le programme de construction. Difficultés à rédiger les étapes d’un programme de construction • Faire écrire des programmes de construction pour des figures très simples. Faire tracer et verbaliser en même temps, ce qui aidera à trouver les étapes. • Organiser un défi. Chaque élève crée un programme de construction qu’il réalisera, puis proposera à un(e) ou des camarades qui le réaliseront à leur tour. Ils valideront ou pas ce programme de construction en expliquant en quoi ils ont rencontré des difficultés (manque de précision, manque d’étapes…) ou pourquoi ils ont parfaitement réussi à construire la figure. Favoriser les échanges entre élèves.
213
70
Les axes de symétrie des figures simples (2) Manuel de l’élève pages 134 et 135
Commentaires pédagogiques La symétrie est une notion déjà travaillée au cours de l’année. Les axes de symétrie du carré ou du rectangle ont été repérés, notamment par pliage. Au cours de cette séance, l’élève s’appropriera de manière plus explicite quelques techniques de repérage de ou des axes de symétrie : – une droite qui passe par les sommets opposés ; – une droite qui passe par le milieu de côtés opposés ; – une droite qui passe par un sommet et le milieu d’un côté opposé à ce sommet. L’élève sera amené à tracer les axes de symétrie du carré et du rectangle.
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie… » – « Compléter une figure par symétrie axiale. » ■ Objectifs des séances : – Identifier et tracer les axes de symétrie de diverses figures géométriques planes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une addition de 2 nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Comment faire pour trouver une valeur approchée du résultat d’une addition de nombres décimaux ? » Laisser les élèves exposer leurs propositions. Retenir et noter les plus pertinentes. Proposer : « Additionner les parties entières les plus proches du nombre décimal donné. » Exemple : 5,12 + 2,9 5,12 est proche de 5 et 2,9 est proche de 3. 5+3=8 La valeur approchée du résultat est 8. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’écris au tableau des additions de nombres décimaux. Vous écrivez sur l’ardoise la valeur approchée du résultat. » Écrire : 2,89 + 7,03 / 8,1 + 9,9 / 5,09 + 2,1… Les élèves répondent sur l’ardoise qu’ils lèvent au signal. La correction collective s’ensuit avec justification de chaque résultat approché. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 134. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est d’identifier tous les axes de symétrie d’un carré en utilisant le papier calque et le pliage. Réponses : - Oui, Max a commis une erreur. L’axe 2 n’est pas un axe de symétrie car, lorsque l’on plie le calque sur cet axe, les 2 parties ne se superposent pas. – L’axe 1 coupe AB et CD en leur milieu. – Les axes 4 et 5 correspondent aux diagonales du carré. • B. L’objectif est de découvrir les axes de symétrie du rectangle et de prendre conscience que les diagonales ne sont pas des axes de symétrie, contrairement à celles du carré. Réponses : - Les axes 1 et 3 sont des axes de symétrie. – L’axe 1 coupe EH et FG en leur milieu.
u TEMPS 2 : Rappel sur la notion de symétrie
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de reproduire une figure sur papier pointé et de trouver ses axes de symétrie.
Travail collectif oral Durée : 10 min • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez revoir la symétrie. Vous allez identifier et tracer l’axe ou les axes de symétrie de figures géométriques planes. » • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est un axe de symétrie. » Réponse attendue : « Lorsque l’on plie la figure et que les 2 parties se superposent parfaitement, le pli est un axe de symétrie. » • Consigne 2 : « Une figure a-t-elle un seul axe de symétrie ? » Réponse attendue : « Non, elle peut en avoir plusieurs. »
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
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• Exercice 2 : L’objectif est de tracer un cercle et de tracer un de ses axes de symétrie. Lors de la correction collective, faire remarquer que le cercle a une infinité d’axes de symétrie : tous les diamètres. Faire le lien entre axes de symétrie du cercle et diamètres.
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la symétrie et appris à identifier et tracer l’axe ou les axes de symétrie de figures géométriques planes. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 • A2.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une addition de 2 nombres décimaux. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris au tableau des additions de nombres décimaux. Vous écrivez la valeur approchée du résultat. » Écrire : 7,01 + 15,3 / 8,95 + 9,07 / 34,09 et 12,1… Les élèves répondent sur leur cahier. Prendre en petit groupe les élèves qui ont rencontré des difficultés la veille lors de ce temps de calcul mental, afin de les aider et de les guider. La correction collective s’ensuit avec justification de chaque résultat approché.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• A3.
Parcours B : • B1.
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la symétrie et appris à identifier et tracer l’axe ou les axes de symétrie de figures géométriques planes. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous exercer à repérer des axes de symétrie dans des figures planes et à les tracer. » • B2.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
• B3.
Correction des exercices : Parcours A : • A1.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques données en leçon 30.
215
71
La multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier Manuel de l’élève pages 136 et 137
Commentaires pédagogiques L’élève sait comment placer la virgule aux résultats d’une addition et d’une soustraction. Cet acquis pourrait être une gêne dans l’apprentissage de la multiplication de nombres décimaux : les élèves pourraient être tentés d’appliquer la même règle d’alignement de la virgule que dans l’addition et la soustraction. Il convient donc de travailler une procédure où l’élève sera amené à effectuer la multiplication sans se soucier de la virgule, puis à la replacer au résultat en comptant le nombre de décimales.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres décimaux. » ■ Programmes 2008 : – « Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens et la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une soustraction de 2 nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Comment faire pour trouver une valeur approchée du résultat d’une soustraction de nombres décimaux ? » Laisser les élèves exposer leurs propositions. Retenir et noter les plus pertinentes. Proposer : « Soustraire les parties entières les plus proches du nombre décimal donné. » Exemple : 5,12 – 2,9 5,12 est proches de 5. 2,9 est proche de 3. 5 – 3 = 2. La valeur approchée du résultat est 2. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’écris au tableau des soustractions de nombres décimaux. Vous écrivez sur l’ardoise la valeur approchée du résultat. » Écrire : 7,12 – 4,09 / 8,95 – 6,98 / 12,2 – 9,89… Les élèves répondent sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal. La correction collective s’ensuit avec justification de chaque résultat approché.
Travail dans le manuel u TEMPS 2 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
• A. L’objectif est de découvrir le sens et la technique opératoire de la multiplication et de comprendre le placement de la virgule au résultat. Réponses : 2,5 + 2,5 + 2,5 = 7,5 2,5 L = 25 dL. Lorsque l’on convertit en dL, la virgule disparaît.
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 136. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
×
2 5 3 7 5
75 dL = 7 L et 5 dL = 7,5 L Pour transformer le résultat en L, je place la virgule entre le 7 et le 5 : 7,5 L. ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, insister sur le fait que, lorsqu’il y a 1 chiffre après la virgule dans l’opération, il y aura 1 chiffre après la virgule dans le résultat. • B. L’objectif est de calculer la valeur approchée du résultat de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Réponses : Si le pot valait 26 €, le total serait de 26 × 3 = 78 €. Si le pot valait 27 €, le total serait de 27 × 3 = 81 €. Le résultat exact sera compris entre 78 et 81. • C. L’objectif est de découvrir le sens et la construction de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre (résultat avec 2 chiffres après la virgule). Réponses : Quand il transforme la somme en centimes, il n’y a plus de virgule. 2 635 × 3 = 7 908 c 7 908 c = 79 € et 8 c = 79,08 € Il faut replacer la virgule entre le 9 et le 0 pour qu’il y ait 2 chiffres après la virgule. ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, montrer que, lorsqu’il y a 2 chiffres après la virgule dans l’opération, il y aura 2 chiffres après la virgule dans le résultat.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
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• Exercice 1 : L’objectif est de calculer des multiplications d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre (1 chiffre après la virgule). Réponses : 3,8 × 6 = 22,8 15,2 × 8 = 121, 6 • Exercice 2 : L’objectif est de calculer des multiplications d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre (2 chiffres après la virgule). Réponses : 7,31 × 6 = 43,86 28,39 × 5 = 141,95 • Exercice 3 : L’objectif est de placer la virgule au bon endroit dans le résultat d’une multiplication décimale. Réponses : 8,43 × 6 = 50,58 Verbaliser lors de la mise en commun : « 8,43 a 2 chiffres après la virgule, il y a donc 2 chiffres après la virgule dans le résultat. » 7,3 × 5 = 36,5
Verbaliser lors de la mise en commun : « 7,3 a 1 chiffre après la virgule, il y a donc 1 chiffre après la virgule dans le résultat. » ‹ Remarque : Travailler en ligne la multiplication d’un nombre à virgule par un nombre entier (en donnant le résultat sans virgule) permet d’éviter que l’élève ne transpose à tort l’alignement vertical de la virgule de l’addition et de la soustraction. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Nous avons appris que, s’il y a 1 chiffre après la virgule dans l’opération, il y aura 1 chiffre après la virgule dans le résultat, et que, s’il y a 2 chiffres après la virgule dans l’opération, il y aura 2 chiffres après la virgule dans le résultat. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer l’ordre de grandeur du résultat d’une soustraction de 2 nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris au tableau des soustractions de nombres décimaux. Vous écrivez sur le cahier la valeur approchée du résultat. » Écrire : 7,01 – 5,18 / 48,95 – 39,07 / 76,09 – 53,99… Prendre en petit groupe les élèves qui ont rencontré des difficultés la veille lors de ce temps de calcul mental, afin de les aider et de les guider. La correction collective s’ensuit avec justification de chaque résultat approché.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le placement de la virgule dans le résultat de la multiplication, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 3 1 , 4 × 4 1 2 5 , 6 • A2.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Nous avons appris que, s’il y a 1 chiffre après la virgule dans l’opération, il y aura 1 chiffre après la virgule dans le résultat, et que, s’il y a 2 chiffres après la virgule dans l’opération, il y aura 2 chiffres après la virgule dans le résultat. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. »
4 , 7 2 × 2 9 , 4 4
9 , 8 7 × 2 1 9 , 7 4
• A3. 8,32 × 8 = 66,56 19,2 × 7 = 134,4 25,7 × 6 = 154,2 54,29 × 5 = 271,45 • A4. 29,5 × 5 = 147,5 La longueur totale de la banderole est de 147,5 cm. • A5. 1,29 × 5 = 6,45 Dylan a dépensé 6,45 €. • A6. 1,5 × 6 = 9 Le pack contient 9 L au total. Parcours B : • B1.
Travail dans le manuel
1 9 2 , 7 × 8 1 5 4 1 , 6
u S’entraîner Travail individuel écrit
4 8 , 3 × 2 9 6 , 6
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
2 1 9 , 4 × 9 1 9 7 4 , 6
• B2. 61,43 × 7 = 430,01 134,28 × 6 = 805,68 86,32 × 5 = 431,60 0,87 × 4 = 3,48 • B3. 18,49 × 9 = 166,41 124,3 × 6 = 745,8 354,6 × 5 = 1 773 (ou 1 773,0) 98,35 × 8 = 786,8 (ou 786,80) • B4. 56,45 × 4 = 225,80 Le périmètre du potager fait 225,80 m.
217
225,80 – 0,75 = 225,05 Il faut 225,05 m de grillage. • B5. bonbons : 3,25 × 6 = 19,50 soda : 2,79 × 8 = 22,32 19,50 + 22,32 = 41,82 Sarah dépense 41,82 €. • B6. 0,33 × 8 = 2,64 Le lot de 8 canettes contient 2,64 L.
gule dans le résultat. Je positionne la virgule de façon à ce qu’il y ait 2 chiffres après la virgule. » Exemple : 654,93 × 4 = … « Dans le nombre 654,93, il y a 2 chiffres après la virgule, il y aura donc 2 chiffres après la virgule dans le résultat. 654,93 × 4 = 261972. Je mets ma virgule entre le 9 et le 7 pour qu’il y ait 2 chiffres après la virgule dans le résultat : 2 619,72. » • Écrire des multiplications en ligne avec les résultats présentés sans les virgules. Les élèves doivent positionner la virgule au bon endroit. • Écrire des multiplications en ligne avec les virgules mal placées dans les résultats. L’élève doit corriger la position des virgules dans les résultats tout en verbalisant la démarche.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner la virgule dans le résultat • Écrire plusieurs multiplications en ligne et en colonnes. Verbaliser, puis faire verbaliser l’élève : « Dans le nombre X, il y a 2 chiffres après la virgule. Il y aura donc 2 chiffres après la vir-
Difficultés à effectuer les multiplications • Erreurs dans les tables de multiplication. Permettre à l’élève d’utiliser ses tables car, dans cette leçon, il ne doit travailler que la technique opératoire. Faire réviser les tables petit à petit. • Erreurs de retenues. Faire écrire les retenues sur le côté de la multiplication et les barrer une fois qu’elles ont été prises en compte dans le calcul.
218
72
La monnaie Manuel de l’élève pages 138 et 139
Commentaires pédagogiques Dans la vie courante, les moyens de paiement prennent plusieurs formes : – les billets et les pièces (présentation très concrète) ; – le chèque (la monnaie devient abstraite : c’est une somme écrite en lettres) ; – la carte bleue (encore plus abstraite, le montant de la dépense n’est même plus écrit par l’acheteur). Il faudra faire remarquer que le paiement en espèces se limite le plus souvent aux petites sommes (exemple : le pain chez le boulanger), et que le chèque tend à disparaître au profit de la carte de paiement. L’élève devra néanmoins connaître ces 3 principaux moyens de paiement. Il lui sera aussi utile de connaître l’ordre de grandeur du prix d’un objet de la vie courante.
■ Socle commun (palier 2) : – « Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles ; effectuer des conversions. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » ■ Objectifs des séances : – Identifier par un ordre de grandeur la valeur marchande d’un produit de la vie courante. – Rendre la monnaie. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 • Consigne 2 : « Expliquez-moi ce que veut dire « rendre la monnaie ». » Réponse attendue : « Quand on donne plus d’argent que le prix d’un objet, la caissière ou le caissier doit nous rendre la différence entre l’argent donné et le prix de l’objet acheté. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « J’écris des indices au tableau, qui vont vous permettre de trouver le nombre auquel je pense. Vous pouvez vous aider de votre ardoise. » – 1er nombre : « Ma partie entière est 54. Ma partie décimale est 8. Qui suis-je ? » (54,8) – 2nd nombre : « Ma partie décimale est 75 et ma partie entière est 3. Qui suis-je ? » (3,75) • Faire de même avec : – « Dans ma partie entière, j’ai 4 dizaines et 6 unités. Dans ma partie décimale, j’ai 7 dixièmes. Qui suis-je ? » (46,7) – « Dans ma partie décimale j’ai 9 centièmes et 2 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 2 centaines et 6 unités. Qui suisje ? » (206,29) – « Dans ma partie entière, j’ai 8 centaines. Dans ma partie décimale, j’ai 5 centièmes. Qui suis-je ? » (800,05) La correction suit chaque nombre. Placer les indices dans un tableau de numération, puis écrire le nombre hors du tableau. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur la monnaie Travail collectif oral
Durée : 5 min
• Consigne 1 : « Rappelez-moi les pièces et les billets que nous utilisons au quotidien. » Les élèves énumèrent les pièces et les billets en euros les plus utilisés. Les noter, les dessiner ou les projeter au tableau.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à identifier par un ordre de grandeur la valeur d’un produit de la vie courante, c’est-à-dire estimer à peu près son prix. Vous allez revoir comment on rend la monnaie. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 138. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. Les objectifs sont : – écrire en chiffres une somme d’argent représentée avec de la monnaie ; – écrire en chiffres une somme écrite en lettres ; – ranger dans l’ordre croissant des prix donnés en euros. Réponses : Téléviseur n° 1 : 899 € Téléviseur n° 2 : 793 € 793 < 899 < 910 : le téléviseur n° 2 est moins cher que le n° 1, qui est moins cher que le n° 3. • B. L’objectif est d’identifier l’ordre de grandeur des prix de produits de la vie courante.
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Réponses : mini-four : 130 € cahier : 5 € clé USB : 10 € ordinateur : 540 € • C. L’objectif est de rendre la monnaie à partir d’une situation concrète représentée. Réponse :
‹ Remarque : Pour les élèves qui en ont besoin, donner de la monnaie factice pour la manipulation. • D. L’objectif est de revoir la relation entre les centimes et l’euro. Réponses : 1 rouleau de 40 pièces de 10 c ➝ 10 c × 40 = 400 c = 4 € 1 rouleau de 40 pièces de 50 c ➝ 50 c × 40 = 2 000 c = 20 €
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1. L’objectif est d’écrire des sommes d’argent en lettres. Réponses : sept euros et quinze centimes ; trente-huit euros et cinquante centimes ; cent trente euros et quatre-vingt-dix centimes
• Exercice 2. L’objectif est de comparer des sommes d’argent écrites en lettres et en chiffres. Réponses : huit cent quarante-trois euros > 659 € cinq cent quatre-vingt-huit euros < 818 € • Exercice 3 : L’objectif est de rendre la monnaie. Réponses : 3 billets de 20 € = 60 € 60 – 54,50 = 5,50 € Il faut rendre 5,50 € au client. 2 – 0,87 = 1,13 Il faut rendre 1,13 € au client. ‹ Remarque : Lors de la correction collective, expliquer que l’on peut effectuer la soustraction posée des nombres décimaux ou trouver le complément à 54,50 pour arriver à 60 (calcul réfléchi). • Exercice 4 : L’objectif est de convertir des centimes en euros. Réponses : 40 pièces de 20 c ➝ 40 × 20 = 800 c = 8 € 65 pièces de 20 c ➝ 65 × 20 = 1 300 c = 13 € En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à estimer l’ordre de grandeur du prix d’un article. Nous avons revu comment l’on rend la monnaie. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 La correction collective suit.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 2 : Rappel
Objectif : Trouver le nombre pensé.
Travail oral collectif
Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’écris des indices au tableau, qui vont vous permettre de trouver le nombre auquel je pense. Vous écrivez le nombre sur l’ardoise. » Écrire : « Dans ma partie décimale, j’ai 3 centièmes et 8 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 6 centaines, 4 dizaines et 6 unités. Qui suis-je ? » (646,83) « Dans ma partie décimale, j’ai 7 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 651 dizaines. Qui suis-je ? » (6 510,7) « Mon nombre d’unités simples est 4 762. Mon chiffre des dixièmes est 5 et mon chiffre des centièmes est 3. Qui suis-je ? » (4 762,53) « Mon nombre de dizaines est 39. Mon chiffre des centièmes est 4. Qui suis-je ? » (390,04) La correction suit chaque nombre à découvrir. Placer les indices dans un tableau de numération, puis écrire les nombres hors du tableau. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris des indices au tableau, qui vont vous permettre de trouver le nombre auquel je pense. Vous écrivez le nombre dans votre cahier. » Écrire : « Dans ma partie décimale, j’ai 4 centièmes et 3 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 9 centaines, 3 dizaines et 5 unités. Qui suis-je ? » (935,34) « Je suis un nombre décimal. Mon nombre d’unités entières est 78 et mon chiffre des dixièmes est 2. Qui suis-je ? » (78,2) « Je suis un nombre décimal. Mon nombre de dizaines est 36, mon chiffre des centièmes est 8. Qui suis-je ? » (360,08)
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à estimer l’ordre de grandeur du prix d’un article. Nous avons revu comment rendre la monnaie. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur ces compétences. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’estimation de l’ordre de grandeur du prix d’un article, proposer de commencer par les exercices A2, B2 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’action de rendre la monnaie, proposer de commencer par les exercices A3, B3, A6 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
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• Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’écriture en chiffres et en lettres de sommes d’argent et/ou leur comparaison, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les conversions euros/centimes, proposer de commencer par les exercices A4, B4 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
• B5. 2,25 × 3 = 6,75 10 – 6,75 = 3,25 Le marchand lui rend 3,25 €. • B6. L’ordre de prix d’une console est plutôt de 400 € et le prix d’un jeu de 80 €. 400 + 80 = 480 La dépense à envisager est de 480 €.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 54,50 € 80,65 € 33,12 € • A2. une baguette de pain : 1 € un réfrigérateur-congélateur : 500 € un timbre poste : 0,50 € un T-shirt : 20 € un appareil photo numérique : 150 € • A3. 2 € payés avec un billet de 10 € ➝ 8 € 3,50 € payés avec un billet de 10 € ➝ 6,50 € 9 € payés avec un billet de 20 € ➝ 11 € 4,75 € payés avec un billet de 20 € ➝ 15,25 € • A4. 400 pièces de 10 c ➝ 40 € 120 pièces de 50 c ➝ 60 € 150 pièces de 1 c ➝ 1,50 € • A5. (40 × 10) × 10 c = 400 × 10 = 4 000 c = 40 € (40 × 6) × 50 c = 240 × 50 = 12 000 = 120 € (25 × 6) × 1 € = 150 € 40 + 120 + 150 = 310 € Elle a 310 € dans sa caisse en début de journée. • A6. 8,50 + 10,25 = 18,75 Xavier dépense 18,75 €. 10 + 5 + 5 = 20 Il paie avec 20 €. 20 – 18,75 = 1,25 Autre méthode : 18,75 + 0,25 + 1 = 20 On lui rend 1,25 €.
Difficultés à composer une somme demandée • Jeu de la marchande. L’enseignant est le marchand : il dispose divers objets sur la table. L’élève est l’acheteur. Il possède des pièces factices qu’il échange contre l’objet acheté. • Travailler l’addition en ligne en calcul mental. Difficultés à comprendre la règle d’échange • Multiplier les exercices de manipulation autour d’échanges : 2 pièces de 10 c contre 1 pièce de 20 c ; 4 pièces de 5 c contre 1 pièce de 20 c ou contre 2 pièces de 10 c ; 5 pièces d’1 € contre un billet de 5 €…
Parcours B : • B1. 106,45 € 43,32 € 880,02 € 43,32 € < 106,45 € < 880,02 • B2. un pain au chocolat ➝ 2 € un bonbon ➝ 0,20 € un téléviseur grand écran ➝ 500 € une voiture ➝ 15 000 € un anorak ➝ 50 € • B3. 14,75 € avec un billet de 50 € ➝ 35,25 € 37,18 € avec un billet de 100 € ➝ 62,82 € 165,50 € avec un billet de 200 € ➝ 34,50 € • B4. (10 × 40) + (20 × 30) = 400 c + 600 c = 4 € + 6 € = 10 € (50 × 20) + (20 × 45) = 1 000 c + 900 c = 10 € + 9 € = 19 € (50 × 12) + (20 × 25) + (10 × 10) = 600 c + 500 c + 100 c = 6 € + 5 € + 1 € = 12 €
Difficultés à rendre la monnaie • Trouver le complément à 1 € à l’aide de pièces en centimes en manipulation et verbaliser. Exemple : « Combien manque-t-il à 85 c pour arriver à 1 € ? » L’élève représente les 85 c et la pièce d’1 € avec sa monnaie factice. Il laisse un espace entre les 2 sommes pour insérer les pièces qui vont représenter le complément pour arriver à 1 €. 85 c + 5 c = 90 c ; 90 c + 10 c = 1 € 5 c + 10 c = 15 c ; il manque 15 c à 85 c pour arriver à 1 €. • Faire de même avec d’autres nombres en passant par la manipulation et la verbalisation. • Jeu de la marchande. Les élèves sont par 2 (1 vendeur et 1 acheteur qui changent de rôle au bout d’un moment). Des objets étiquetés peuvent faire office d’objets à acheter. Les élèves utilisent leur monnaie factice. Ils verbalisent la démarche. Exemple : L’acheteur donne une somme d’argent supérieure ou égale au prix de l’objet. Le vendeur recompte et annonce si la somme tombe juste ou s’il doit rendre de la monnaie. Si c’est le cas, il verbalise le complément en accompagnant du geste le rendu de la monnaie. Difficultés à estimer l’ordre de grandeur du prix d’un article • Utiliser divers catalogues pour que les élèves apprennent la valeur approximative des objets de la vie courante (le prix d’une baguette, d’un croissant…). S’appuyer sur des articles connus et appréciés des élèves. • Demander aux élèves de regarder les prix lorsqu’ils font des courses avec leurs parents, afin d’apprendre la valeur approximative des objets.
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La symétrie axiale Manuel de l’élève pages 140 et 141
Commentaires pédagogiques Au cours de cette séance, l’élève va découvrir les propriétés de la symétrie : – la conservation de la forme, mais inversée ; – le point et son image par symétrie sont à égale distance de l’axe de symétrie ; – la droite qui joint le point à son image par symétrie est perpendiculaire à l’axe de symétrie. L’élève pourra ainsi s’initier au tracé de figures symétriques, en recherchant successivement le symétrique de chaque sommet qui les compose.
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie… » – « Compléter une figure par symétrie axiale. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir la notion de « symétrie axiale ». – Reproduire une figure par symétrie axiale. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u TEMPS 1 : Découvrir
Objectif : Résoudre des problèmes oraux.
Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 140. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement. La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir que tous les points de la figure sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie ; ils sont à égale distance de l’axe. Réponses : – L’axe rouge coupe le segment AA1en son milieu. L’axe rouge et le segment sont perpendiculaires. – C’est la même chose pour tous les autres points. • B. L’objectif est d’apprendre que le symétrique d’une figure est identique à cette figure ; il a la même forme mais pas la même position. Réponses : – La figure symétrique au rectangle ABCD par rapport à l’axe est identique à ABCD : c’est aussi un rectangle qui a les mêmes dimensions. – La position du symétrique du rectangle ABCD n’est pas la même. Elle est inversée. Les sommets du rectangle ABCD et les sommets de sa figure symétrique sont à égale distance de l’axe de symétrie. – A1 est le symétrique de A par rapport à l’axe de symétrie. B1 est le symétrique de B par rapport à l’axe de symétrie. C1 est le symétrique de C par rapport à l’axe de symétrie. D1 est le symétrique de D par rapport à l’axe de symétrie.
Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « J’énonce des problèmes. Vous devez les résoudre mentalement. » Énoncer : « Luna achète un pain au chocolat à 1,50 €. Elle donne une pièce de 2 €. Quelle somme d’argent la boulangère lui rend-elle ? » « Lilou a repéré une robe à 58,60 €. Elle possède 2 billets de 20 € et 1 billet de 10 €. Peut-elle s’offrir cette robe ? Justifiez. » « Nathan s’achète 2 paquets de billes à 3,50 € pièce. Quelle somme doit-il donner au caissier ? » La mise en commun collective orale suit chaque problème énoncé. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur la notion de symétrie Travail collectif oral
Durée : 5 min
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez revoir la symétrie. Vous allez identifier les points symétriques d’une figure donnée par rapport à un axe de symétrie. Vous allez apprendre à compléter une figure par symétrie axiale. » • Consigne 1 : « Rappelez-moi ce qu’est un axe de symétrie. » Réponse attendue : « Lorsque l’on plie la figure ou le dessin et que les 2 parties se superposent parfaitement, le pli correspond à un axe de symétrie. » • Consigne 2 : « Une figure a-t-elle un seul axe de symétrie ? » Réponse attendue : « Non, elle peut en avoir plusieurs. »
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
222
• Exercice 1 : L’objectif est de tracer le symétrique du carré ABCD par symétrie axiale sur quadrillage. Réponse :
E
E1
G
A
G1
A1
D
B B1 C1
C
F1
F
D1
• Exercice 2 : L’objectif est de tracer le symétrique du triangle EFG par symétrie axiale sur papier blanc.
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la symétrie. Nous avons identifié les points symétriques d’une figure donnée par rapport à un axe de symétrie. Nous avons appris à compléter une figure par symétrie axiale. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Correction des exercices :
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
Parcours A :
Objectif : Résoudre des problèmes oraux.
• A1.
Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des problèmes. Vous devez les résoudre mentalement. Vous n’écrivez sur votre cahier que le résultat et la phrase-réponse (pas de calculs posés). » Énoncer : « Sasha met dans sa tirelire 2 billets de 5 €, 3 billets de 10 € et 5 pièces de 10 €. Quelle somme ajoute-t-elle dans sa tirelire ? » « Nico s’achète un jean à 47,90 €. Il donne un billet de 50 € à la vendeuse. Quelle somme d’argent lui rend-elle ? » « Jérôme achète une console de jeux pour 850 €, un jeu pour 50 € et une manette à 80 €. Il paie en carte bleue. Quelle somme est écrite sur son ticket ? » La correction collective s’ensuit.
A
C1
C B
B1
• A2.
D1
D
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
A1
E E1
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la symétrie. Nous avons identifié les points symétriques d’une figure donnée par rapport à un axe de symétrie. Nous avons appris à compléter une figure par symétrie axiale. »
G
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à tracer les symétriques de figures planes par rapport à un axe de symétrie. »
F • A3.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
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F1
G1
Parcours B : • B1.
• B3.
A1
A
C
C1 B
B1
• B2.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques en leçon 30.
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Méthodologie: regrouper les informations Manuel de l’élève page 142
Commentaires pédagogiques Dans un énoncé de problème, les informations apparaissent dans l’ordre de la cohérence de la situation présentée. Cet ordre peut ne pas correspondre à la question à résoudre et doit nécessiter une réorganisation. L’élève devra donc identifier dans l’énoncé les informations utiles à la résolution de la question posée et les regrouper pour leur donner plus de lisibilité. ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Ajouter un nombre entier à un nombre décimal. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Je dis : 8 + 4,2. Quelle démarche allez-vous adopter pour trouver le résultat ? » Laisser les élèves donner leur proposition. Propositions possibles : « 8 est un nombre entier. On peut l’écrire 8,0 pour avoir autant de chiffres que 4,2, puis on additionne sans oublier la virgule au résultat. 8,0 + 4,2 = 12,2 » « 8 est un nombre entier. Dans 4,2, 4 est la partie entière. J’additionne 8 + 4 et je n’oublie pas la partie décimale : ceci me donne 12,2. » « J’écris les 2 nombres en dixièmes, puis je replace la virgule. 80 + 42 = 122 = 12 et 2 = 12,2 » 10 10 10 10
Les élèves adopteront la stratégie qui leur convient le mieux. Énoncer : 5 + 3,8 ; 6,5 + 4 ; 13,65 + 6 Les élèves interrogés énoncent leur résultat qui est validé par l’ensemble de la classe ou repris avec justification des élèves. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des additions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 8,5 + 9 ; 64,38 + 50 ; 30 + 30,55 Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur les informations des énoncés Travail collectif oral Durée : 5 min • Consigne 1 : « Toutes les informations données dans un énoncé sont-elles à prendre en compte pour résoudre un problème ? Pourquoi ? » Réponse attendue : « Non, certaines informations ne sont pas utiles pour répondre à une question posée. » • Consigne 2 : « Quand on doit résoudre un problème et répondre à la question posée, toutes les informations sontelles dans l’énoncé ? »
■ Programmes 2008 : – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes. » ■ Objectifs de la séance : – Sélectionner et organiser les informations utiles à la résolution du problème. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Réponse attendue : « Non, parfois il faut les chercher avant de pouvoir résoudre le problème ; c’est un problème à étapes. » • Consigne 3 : « Dans un énoncé de problème, comment les nombres peuvent-ils être écrits? » Réponse attendue : « En chiffres ou en lettres. » • Explication : « Aujourd’hui, vous allez résoudre des problèmes en sélectionnant et en organisant les informations utiles pour répondre à la question posée. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 142. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de sélectionner et d’organiser les informations utiles issues de l’énoncé pour répondre à la question posée. Réponses : nombre de F5 : 5 dans le 1er bâtiment, 2 dans le 2e bâtiment et 3 dans le 3e bâtiment. 5 + 2 + 3 = 10. 10 appartements F5 au total. 12 familles en attente, donc il n’y a pas assez de F5 dans la résidence. • B. L’objectif est d’identifier et d’organiser les informations utiles issues de l’énoncé pour répondre à la question posée. Réponses : 4 personnes logées dans un F3. 20 F3 dans le 1er bâtiment, 10 dans le 2e bâtiment et 20 dans le 3e bâtiment. 20 + 10 + 20 = 50. Il y a 50 appartements F3. 4 × 50 = 200 200 personnes peuvent être logées dans des F3. • C. L’objectif est d’identifier les informations utiles dans l’énoncé et de les utiliser pour répondre à la question. 5 + 10 + 20 + 10 + 5 = 50 Réponses : 50 appartements dans le 1er bâtiment. 50 – 35 = 15 Il reste 15 appartements disponibles dans le 1er bâtiment.
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TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ». • Problème : L’objectif est de regrouper et d’organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. Réponses : - marchand de fruits et légumes : 1,20 + 0,90 = 2,10 Teddy doit 2,10 € au marchand de fruits et légumes. 3 – 2,10 = 0,90 Le marchand de fruits et légumes lui rend 90 c ou 0,90 €. – boucher : 8,50 + 5,10 = 13,60 Teddy doit 13,60 € au boucher. 15 – 13,60 = 1,40 Le boucher rend 1,40 € à Teddy.
– poissonnier : 3,50 + 4,30 = 7,80 Teddy doit 13,60 € au poissonnier. 10 – 7,80 = 2,20 Le poissonnier rend 2,20 € à Teddy. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons résolu des problèmes en sélectionnant et en organisant les informations utiles pour répondre à la question posée. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir pistes en leçon 27.
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Bilan (8) Manuel page 143
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer comparer et utiliser les nombres décimaux. » – « Restituer les tables d’addition et de multiplication. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et les nombres décimaux. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant Travail collectif oral
Durée : 5 min
Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u TEMPS 2 : Calcul mental
Durée : 15 min
Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consigne 1 : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les encadrez entre 2 nombres entiers. » Énoncer : 7,4 / 37,98 / 83,06 / 345,3 / 707,07
– « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Utiliser les unités de mesure usuelles. » ■ Programmes 2008 : – « Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. » – « Nombres décimaux. Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). 100 – « Les comparer et les ranger. » – « Les encadrer par deux entiers consécutifs. » – « Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. » – « Estimer et vérifier en utilisant l’équerre qu’un angle est droit, aigu ou obtus. » – « Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie, angle… » ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
• Exercice 3 : L’objectif est d’identifier les angles obtus et aigus en utilisant l’angle droit de l’équerre. ^ ^ Réponses : A : aigu B : obtus ^ ^ C : aigu D : obtus • Exercice 4 : L’objectif est de soustraire des nombres décimaux. Réponses : 28,46 – 12,35 = 16,11 37,18 – 24,34 = 12,84 • Exercice 5 : L’objectif est de poser en colonnes et d’effectuer des soustractions de nombres décimaux. Réponses : 62,3 – 41,25 = 21,05 73 – 28,41 = 44,59 • Exercice 6 : L’objectif est d’identifier tous les axes de symétrie d’une figure plane. Réponse :
• Consigne 2 : « J’énonce des additions d’un nombre décimal à un nombre entier. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 7,9 + 4 ; 37,12 + 12 ; 50,15+ 8 ; 47,56 + 17 ; 35,6 + 25
Travail dans le manuel Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous les élèves. • Exercice 1 : L’objectif est de comparer des nombres décimaux. Réponses : 63,32 > 73,1 81,47 > 81,18 28,19 > 28,17 15,09 < 15,1 • Exercice 2 : L’objectif est de ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant. Réponses : 17,98 < 31,41 < 42,11 46,1 < 46,11 < 46,12
• Exercice 7 : L’objectif est de calculer la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Réponses : 7,6 × 4 = 30,4 18,5 × 7 = 129,5 • Exercice 8 : L’objectif est de poser en colonnes et de calculer la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Réponse : 41,31 × 8 = 330,48 • Exercice 9 : L’objectif est d’identifier la place de la virgule dans le résultat d’une multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. Réponses : 9,31 × 8 = 74,48 6,5 × 9 = 58,5 212,45 × 7 = 1 487, 15
227
• Exercice 10 : L’objectif est de rendre la monnaie sur une somme donnée. Réponses : 8 € avec un billet de 20 € ➝ 12 € 6,50 € avec un billet de 10 € ➝ 3,50 € 7,25 € avec un billet de 10 € ➝ 2,75 € 3,75 € avec un billet de 20 € ➝ 16,25 €
• Exercice 11 : L’objectif est d’écrire un programme de construction. Réponse : Trace un segment AB de 4 cm. Place un point O au milieu de AB. Trace un cercle de centre O et de rayon OA. Trace un segment perpendiculaire à AB vers le haut passant par O. Nomme C l’intersection de ce segment avec le cercle. Relie les points C et A, puis C et B.
228
Cinquième période
76
Les fractions décimales et les nombres décimaux (2) Manuel de l’élève pages 144 et 145
Commentaires pédagogiques Le nombre décimal peut s’écrire sous deux formes : – un nombre à virgule : 0,9 ; – une fraction décimale : 9 . 10 Au cours de cette leçon, l’élève construira cette égalité : 0,9 = 9 . 10 Il prendra ainsi conscience qu’il s’agit du même nombre écrit de 2 manières différentes. Cette notion devrait être appréhendée assez facilement pour les nombres inférieurs à 1. Il n’en sera pas de même pour les nombres supérieurs à 1, l’élève ayant des difficultés à percevoir la transformation des unités entières en dixièmes. L’usage de la droite numérique sera d’un usage indispensable. Elle sera utilisée chaque fois que l’élève sera hésitant ou en difficulté. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. »
■ Programmes 2008 : – « Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. » – « Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. » – « Connaître la valeur de chacun des chiffre de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). » 100 – « Savoir les repérer et les placer sur une droite graduée. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. » ■ Objectif des séances : – Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Soustraire un nombre entier à un nombre décimal. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « Comment calculer la soustraction 12,8 – 4 ? » Laisser les élèves faire des propositions. Proposer : « 4 est un nombre entier. Il faut le retirer à la partie entière du nombre décimal. » Énoncer : 8,43 – 7 ; 56,43 – 30 ; 789,43 – 89… Les élèves interrogés énoncent leur résultat qui est validé par l’ensemble de la classe ou repris avec justification des élèves. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des additions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 20,5 – 9 ; 64,38 – 50 ; 30,55 – 15… Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur les fractions décimales et les nombres décimaux Travail collectif oral Durée : 5 min • Consigne 1 : « Comment obtient-on des dixièmes ? » Réponse attendue : « On prend 1 unité que l’on partage en 10 parts égales. » • Consigne 2 : « Comment obtient-on des centièmes ? » Réponse attendue : « On prend 1 unité que l’on partage en 100 parts égales, ou on prend 1 que l’on partage en 10. » 10
• Consigne 3 : « Dans le nombre décimal 23,65, que représente chaque chiffre ? » Réponse attendue : « 2 dizaines et 3 unités pour la partie entière ; 6 dixièmes et 5 centièmes pour la partie décimale. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à passer d’une écriture fractionnaire à un nombre à virgule et réciproquement. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 144. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de faire le lien entre l’écriture d’une fraction décimale et l’écriture d’un nombre à virgule pour un nombre < 1. Réponses : Manon écrit : 9 . 10 Miloud écrit : 0,9. • B. L’objectif est de faire le lien entre l’écriture fractionnaire et l’écriture d’un nombre à virgule pour un nombre > 1. Réponses : Le trait bleu couvre 1 unité entière et 7 dixièmes en plus. Ce nombre s’écrit 1,7. Il couvre un nombre total de 17 dixièmes, soit 17 .
230
10
• C. L’objectif est d’écrire un même nombre sous les formes d’une fraction décimale et d’un nombre à virgule. Réponses : A : 9,4 = 94 10 B : 11,3 = 113 10
10
10
E : 28 = 2 + 8 = 2,8 10
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, montrer les 2 solutions pour les écritures fractionnaires comme : 35,8 = 358 = 35 10 + 8. 10
10
• Exercice 2 : L’objectif est de passer d’une écriture à virgule à une écriture fractionnaire. Réponses : 0,7 = 7 10
1,8 = 18 = 1+ 8 10
10
7,1 = 71 = 7 + 1
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
D : 21 = 2 + 1 = 2,1
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de lire un nombre sur une droite graduée en dixièmes, de l’écrire sous les formes d’une fraction décimale et d’un nombre à virgule.
10 10 95 9,5 = =9+ 5 10 10
• Exercice 3 : L’objectif est de passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. Réponses : 8 = 0,8 10
67 = 6,7 10
24 = 2,4 10
165 = 16,5 10
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à passer d’une écriture fractionnaire à un nombre à virgule et réciproquement. » Lire la rubrique « Retenir ».
Réponses : A : 5 = 0,5 10
B : 13 = 1 + 3 = 1,3
10 10 16 C: = 1 + 6 = 1,6 10 10
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Soustraire un nombre entier à un nombre décimal. Travail individuel écrit Durée : 10 min • Consigne : « J’énonce des soustractions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 45,76 – 35 ; 100,06 – 75 ; 80,3 – 55… La correction collective suit chaque opération calculée. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des soustractions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 13,4 – 5 ; 124,76 – 23 ; 87,08 – 37 Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à passer d’une écriture fractionnaire à un nombre à virgule et réciproquement. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur cette compétence. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la lecture de nombres sur une droite graduée et leur écriture sous forme de fraction ou de nombre à virgule, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le passage d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule, proposer de commencer par les exercices A4, B4, A5 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le passage d’une écriture à virgule à une écriture fractionnaire, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. a) 3
b) 18
c) 25
d) 39
• A2. a) 0,2
b) 1,9
• A3. 0,8 = 8 10 13 1,3 = 10 17 • A4. = 1,7 10 38 = 3,8 10
0,6 = 6 10 17 1,7 = 10 24 = 2,4 10 42 = 4,2 10
10
10
10
10
c) 2,3 2,4 = 24
• A5. 3 km et 5 de km = 3,5 km 10 2 2 km et de km = 2,2 km 10
3,5 + 2,2 = 5,7 km Mathilde a parcouru 5,7 km depuis le début.
231
d) 3,5
10
Parcours B : • B1. a) 8 10 • B2. a) 1,4 • B3. 7,1 = 71
b) 46 10 b) 3,9 6,3 = 63
c) 73 10 c) 7,8
9,7 = 97
7,8 = 78
11,3 = 113
Voir les pistes pédagogiques en leçon 59.
237 = 23,7 10
Difficultés à passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement • Utiliser le tableau de numération pour faire le lien entre les fractions décimales et le nombre à virgule.
10
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
d) 109 10 d) 10,2
10
10 • B4. 86 = 8,6 10 148 = 14,8 10
10
10
73 = 7,3 10
• B5. 30 + 8 = 38 doses 38 = 3,8 L 10 Valentin verse 38 de L de lait, soit 3,8 L.
Partie entière
10
centaine 100
232
dizaine 10
Partie décimale dixième centième unité 1
1 10
1 100
0,1
0,01
77
Comparaison des angles Manuel de l’élève pages 146 et 147
Commentaires pédagogiques Cette leçon sur la comparaison des angles doit permettre d’entrer dans la notion de « mesure des angles ». Dans une leçon précédente, l’élève a établi un premier type de comparaison par rapport à l’angle droit, en 3 catégories : plus grand, égal ou plus petit que l’angle droit. Il devient alors possible de comparer 2 angles qui ne sont pas dans la même catégorie. Au cours de cette leçon, l’élève sera amené à comparer des angles même s’ils sont tous les deux aigus ou tous les 2 obtus. Pour cela, il suivra 2 procédures : – par superposition, en utilisant un papier calque : l’angle le plus grand est celui qui est le plus ouvert ; – par utilisation d’un gabarit-unité : l’angle le plus grand est celui dans lequel il est possible de juxtaposer le plus de gabarits-unités. Attention ! certains élèves pourraient être tentés de considérer que l’angle le plus grand est celui qui a les côtés les plus longs.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. » – « Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. » – « Estimer et vérifier en utilisant l’équerre qu’un angle est droit, obtus ou aigu. » ■ Objectif des séances : – Comparer des angles à l’aide d’un gabarit. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, une équerre, du papier calque.
Séance 1 u TEMPS 2 : Rappel sur la notion d’angle
Travail préparatoire
Travail collectif oral
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le complément d’un nombre décimal au nombre entier supérieur. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Quel nombre entier vient juste après 2,7 ? (3) Comment trouver le complément à 2,7 pour arriver à 3 ? » Laisser les élèves faire leurs propositions.
Durée : 5 min
• Consignes : « Rappelez-moi ce qu’est un angle aigu ; un angle obtus. Comment les reconnaît-on ? » Réponses attendues : « Un angle aigu est plus petit que l’angle droit. Un angle obtus est plus grand que l’angle droit. Pour les identifier, il faut utiliser l’angle droit de l’équerre. » • Tracer ou projeter des angles au tableau.
Proposer : « On sait que 10 = 1. On cherche le nombre de
10 dixièmes qui manquent à 7 pour en avoir 10. C’est 3 , soit 10 10
0,3. » Le complément à 2,7 pour arriver à 3, c’est 0,3.
• Consigne 2 : « Quel nombre entier vient juste après 8,2 ? (9) Quel est le complément à 8,2 pour arriver à 9 ? » Interroger un élève qui verbalisera la démarche comme précédemment. • Faire de même avec : « Quel nombre entier vient juste après 15,6 ? Quel est le complément à 15,6 pour arriver à 16 ? » « Quel nombre entier vient juste après 42,9 ? Quel est le complément à 42,9 pour arriver à 43 ? »
Les élèves estiment s’il s’agit d’angles droits, aigus ou obtus, puis un élève vient vérifier avec l’angle droit de l’équerre du tableau. • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à comparer des angles à l’aide de papier calque et à les mesurer avec un gabarit. »
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Quel nombre entier vient juste après 5,4 ? (6) Quel est le complément à 5,4 pour arriver à 6 ? » Les élèves répondent sur leur cahier. • Faire de même avec : le complément à 75,1 ; à 92,8 ; à 67,5 ; à 432,6. La correction collective s’ensuit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 30 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 146. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ».
233
Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de comparer 2 angles tracés sur papier calque en les superposant et de prendre conscience que la longueur des côtés n’intervient en aucune manière dans la mesure de l’angle. Réponses : Les 2 angles se superposent exactement. Les angles de vision du chat et du serpent sont donc identiques. • B. L’objectif est de mesurer et de comparer des angles à l’aide d’un gabarit. Réponses : Il peut reporter 3 fois le gabarit entier sur l’angle rouge, plus une partie du gabarit. 3 gabarits < angle rouge < 4 gabarits ‹ Remarque : Il sera possible de préparer un gabarit par élève ainsi que des angles à mesurer et à comparer afin que les élèves manipulent, mesurent et comparent des angles par eux-mêmes. • C. L’objectif est de comparer des angles à l’aide d’un gabarit et de les ranger dans l’ordre croissant.
^
Réponses : 3 gabarits < angle A < 4 gabarits ^ 2 gabarits < angle B < 3 gabarits ^ 4 gabarits < angle C < 5 gabarits ^ ^ ^ donc : angle B < angle A < angle C
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 15 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de comparer 2 angles à l’aide du papier calque par superposition. ^ Réponse : L’angle D est le plus grand. • Exercice 2 : L’objectif est de mesurer des angles à l’aide d’un gabarit et d’écrire la mesure de chaque angle par encadrement. ^ Réponses : 1 gabarit < angle F < 2 gabarits ^ 2 gabarits < angle G < 3 gabarits En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à comparer des angles à l’aide de papier calque en les superposant et à mesurer un angle à l’aide d’un gabarit. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2
u TEMPS 1 : Calcul mental
Réponse attendue : « Nous avons appris à comparer des angles avec du papier calque en les superposant et à mesurer un angle à l’aide d’un gabarit. »
Objectif : Trouver le complément d’un nombre décimal au nombre entier supérieur.
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à comparer des angles avec du papier calque et à les mesurer avec un gabarit. »
Travail préparatoire
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
Travail dans le manuel
À l’oral • Consigne 1 : « Quel nombre entier vient juste après 1,85 ? (2) Comment trouver le complément à 1,85 pour arriver à 2 ? » Laisser les élèves faire leurs propositions.
u S’entraîner
Proposer : « On sait que 100 = 1. On cherche le nombre de 100 centièmes qui manquent à 85 pour en avoir 100. C’est 15 100 100
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
soit 0,15. Le complément à 1,85 pour arriver à 2, c’est 0,15. » • Consigne 2 : « Quel nombre entier vient juste après 8,98 ? (9) Quel est le complément à 8,98 pour arriver à 9 ? » Interroger un élève qui verbalisera la démarche comme précédemment. • Faire de même avec : « Quel nombre entier vient juste après 15,63 ? Quel est le complément à 15,63 pour arriver à 16 ? » « Quel nombre entier vient juste après 7,50 ? Quel est le complément à 7,50 pour arriver à 8 ? » ‹ Remarque : Utiliser le tableau de numération si besoin. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Quel nombre entier vient juste après 6,70 ? Écrivez-le sur votre cahier. Quel est le complément à 6,70 ? Écrivezle sur votre cahier. » • Faire de même avec : le complément à 75,75 ; à 53,83 ; à 67,20 ; à 32,64. La correction collective s’ensuit.
Travail individuel écrit
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la comparaison d’angles à l’aide du papier calque, proposer de commencer par les exercices A1 et B1, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la mesure des angles à l’aide d’un gabarit, proposer de commencer par les exercices A2, A3, B2, A4 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : ^ ^ • A1. angle A < angle B
B
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 45 min
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? »
234
A
^
• A2. angle C = 3 gabarits ^ • A3. 1 gabarit < angle D < 2 gabarits ^ 3 gabarits < angle E < 4 gabarits ^ • A4. 2 gabarits < angle F < 3 gabarits ^ 4 gabarits < angle G < 5 gabarits Parcours B : ^ ^ • B1. angle A < angle C < angle B
C B A ^
• B2. 3 gabarits < angle D < 4 gabarits ^ 2 gabarits < angle E < 3 gabarits ^ 1 gabarit < angle F < 2 gabarits ^ • B3. 2 gabarits < angle G < 3 gabarits ^ 2 gabarits < angle H < 3 gabarits ^ 4 gabarits < angle I < 5 gabarits ^ 1 gabarit < angle J < 2 gabarits ^ 3 gabarits < angle K < 4 gabarits
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à comparer des angles • Utiliser le papier calque. Tracer les 2 angles à comparer. Les découper. Les superposer afin de pouvoir les comparer. C’est la solution la plus simple et la plus concrète pour comparer des angles. Difficultés à mesurer des angles à l’aide d’un gabarit • Commencer par faire mesurer des angles avec un nombre entier de gabarits. Utiliser un gabarit assez grand et bien manipulable. Reporter et tracer le gabarit, puis compter le nombre de gabarits. Exemple :
1
2
3 4 Gabarit
• Faire de même avec des angles qui n’ont pas un nombre entier de gabarits. Faire verbaliser et écrire l’encadrement : x gabarits < angle mesuré < y gabarits
235
78
Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier (2) Manuel de l’élève pages 148 et 149
Commentaires pédagogiques Pour multiplier un nombre décimal par un nombre entier, il faut effectuer la multiplication sans tenir compte de la virgule, puis la rajouter au résultat. Il faut décaler la virgule d’autant de décimales qu’en comportent ensemble le diviseur et le dividende. Le programme de CM1 ne prévoyant pas la multiplication de 2 nombres à virgule, compter le nombre de décimales se limite donc aux décimales du dividende. Il conviendra d’être particulièrement attentif pour que ne s’installe pas une fausse règle de placement de la virgule : les élèves ont en effet tendance à transposer à la multiplication la règle de placement de la virgule dans l’addition ou la soustraction. Le résultat de la multiplication posée ayant en effet le même nombre de chiffres après la virgule que le dividende, les virgules du dividende et du résultat sont en apparence alignées comme elles le sont pour l’addition et la soustraction. L’élève pourrait en conclure que l’on aligne la virgule du diviseur sur la position de la virgule du dividende. Il s’agira de montrer que ce n’est pas la raison.
Le travail sur les conversions de mesures et de monnaie, par les changements d’unités, seront un bon moyen d’installer la procédure de calcul de ces multiplications. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres décimaux. » ■ Programmes 2008 : – « Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. » ■ Objectif des séances : – Découvrir la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 2 chiffres. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire des nombres décimaux sous forme de fractions. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
‹ Remarque : Les élèves pourront utiliser leur tableau de numération. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce un nombre décimal. Vous l’écrivez sous forme d’une fraction décimale. Vous lèverez votre ardoise à mon signal. » Énoncer : 8,56 La correction suit avec verbalisation. Placer ce nombre dans le tableau de numération. Réponse : 856/100 • Faire de même : 78,3 ; 432,89 ; 704,03 ; 23,1. La correction collective suit. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce un nombre décimal. Vous l’écrivez sur votre cahier sous forme d’une fraction décimale. » Énoncer : 9,5 ; 7,37 ; 61,08 ; 302,4 ; 4 765,6. La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Réponse attendue : « On multiple sans s’occuper de la virgule. On compte le nombre de chiffres après la virgule du nombre décimal ; le résultat a autant de chiffres après la virgule que lui. » Écrire au tableau : 5,61 × 2 Un élève va calculer cette opération en verbalisant toute la démarche. Les autres élèves l’aident si besoin. • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 2 chiffres. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 148. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir le vocabulaire spécifique à la multiplication (multiplicande et multiplicateur) et la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal avec 1 chiffre après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres en s’appuyant sur les mesures de longueur. Réponses :
u TEMPS 2 : Rappel sur la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre Travail collectif oral
1 4 × 1 4 3 1 4 5 1 8 8
Durée : 10 min
• Consigne : « Rappelez-moi comment multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 1 chiffre. »
Durée : 35 min
5 3 5 0 5
1 4, × 1 4 3 1 4 5 1 8 8,
5 3 5 0 5
La largeur de la terrasse de Pedro est de 188,5 cm.
236
• B. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal à 2 chiffres après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres en s’appuyant sur la monnaie. Réponses : 1 6 5 × 1 4 9 6 1 6 5 5 2 1 5 1
5 3 5 0 5
1 6, 5 × 1 4 9 6 1 6 5 5 2 1 5, 1
5 3 5 0 5
– Le multiplicande a 2 chiffres après la virgule. Le résultat a 2 chiffres après la virgule. – Pour multiplier un nombre décimal ayant 1 chiffre après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres, on place la virgule de façon à ce que le résultat ait 1 chiffre après la virgule. Pour multiplier un nombre décimal ayant 2 chiffres après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres, on place la virgule de façon à ce que le résultat ait 2 chiffres après la virgule.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ».
• Exercice 1 : L’objectif est de calculer des multiplications de nombres décimaux ayant 1 ou 2 chiffres après la virgule. Réponses : 5 6, × 2 2 2 5 1 1 2 6 1 3 5 1,
3 4 2 0 2
6 4, 4 × 5 1 2 8 8 3 2 2 1 5 3 3 5 0, 3
3 2 6 0 6
• Exercice 2 : L’objectif est de poser et d’effectuer des multiplications de nombres décimaux ayant 1 ou 2 chiffres après la virgule Réponses : 8 4, 6 2 5 2 5 0 5 8 5 3 1 0,
×
3 3 9 0 9
6 1, 5 4 4 9 2 6 2 4 6 3 2 2 9 5 5, 8
×
8 8 4 0 4
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à multiplier un nombre décimal à 1 et 2 chiffres après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Réponse attendue : « Nous avons appris à multiplier un nombre décimal à 1 ou 2 chiffres après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire des nombres décimaux sous forme de fractions. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « J’énonce un nombre décimal. Vous l’écrivez sous forme d’une fraction décimale, puis sous forme décomposée d’un nombre entier et de la somme de fractions. » Exemple : 6,94. « La fraction décimale correspondante est 694 . 100 La décomposition est : 6 + 9 + 4 . » 10
100
Énoncer : 84,69 Interroger les élèves, qui proposent la solution. Réponse : « La fraction décimale correspondante est 8 469 . La décomposition est 80 + 4 + 6 + 9 . 10
100
100
• Consigne 2 : « Vous allez faire de même avec les nombres décimaux suivants. » Énoncer : 45,3 ; 96,25 ; 700,13 ; 230,8. La correction suit avec verbalisation. Placer chaque nombre dans le tableau de numération. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce un nombre décimal. Vous l’écrivez sur votre cahier sous forme d’une fraction décimale, puis sous forme décomposée d’un nombre entier et de la somme de fractions. » Énoncer : 6,3 ; 4,57 ; 27,04 ; 980,6 ; 90,65. La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? »
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à multiplier un nombre décimal à 1 ou 2 chiffres après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le placement de la virgule au résultat de la multiplication, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal ayant 1 chiffre après la virgule par un nombre entier à 2 chiffres, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A4 et A5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la technique opératoire de la multiplication d’un nombre décimal ayant 2 chiffres après la virgule par un
237
nombre entier à 2 chiffres, proposer de commencer par les exercices A2, B2, B4 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 64,1 × 12 = 769,2 32,7 × 21 = 686,7 • A2. 51,41 × 34 = 1 747,94 52,63 × 42 = 2 210,46 • A3. 57,1 × 58 = 3 311,8 64,32 × 35 = 2 251,20 38,27 × 19 = 727,13 45,68 × 56 = 2 558,08 • A4. 1,5 × 12 = 18 Jules rapporte 18 L de soda à la maison. • A5. 2,5 × 15 = 37,5 Le pâtissier utilise 37,5 kg de compote. Parcours B : • B1. 73,8 × 46 = 3 394,8 93,5 × 38 = 3 553,0 = 3 553 • B2. 69,38 × 83 = 5 758,54 85,49 × 79 = 6 753,71 • B3. 89,2 × 69 = 6 154,8 98,23 × 78 = 7 661,94 79,9 × 63 = 5 033,7 69,38 × 99 = 6 868,62 • B4. 0,15 × 25 = 3,75 Les 25 ballons valent 3,75 €. • B5. 0,35 × 56 = 19,60 Il faut prévoir 19,60 kg de frites ou 19,6 kg. 1,15 × 56 = 64,40 Il faut prévoir 64,40 kg de moules ou 64,4 kg.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à positionner la virgule au résultat • Écrire plusieurs multiplications en ligne et en colonnes. Verbaliser, puis faire verbaliser l’élève : « Dans le nombre X, il y a 2 chiffres après la virgule. Donc il doit y avoir 2 chiffres après la virgule dans le résultat. Je positionne la virgule de façon à ce qu’il y ait 2 chiffres après la virgule dans le résultat. » Exemple : 76,62 × 14 = … « Dans le nombre 76,62, il y a 2 chiffres après la virgule. Je positionne la virgule de façon à ce qu’il y ait 2 chiffres après la virgule dans le résultat de 76,62 × 14, c’est-à-dire 1 072,68. Je mets ma virgule entre le 2 et le 6. » • Faire de même avec des multiplications de nombres décimaux ayant 1 chiffre après la virgule. • Écrire des multiplications en ligne avec les résultats sans les virgules. Les élèves doivent positionner la virgule au bon endroit. • Écrire des multiplications en ligne avec les virgules mal positionnées dans les résultats. L’élève doit corriger la position des virgules dans les résultats tout en verbalisant la démarche. Difficultés à calculer des multiplications • Erreurs dans les tables de multiplication. Permettre à l’élève d’utiliser ses tables car, dans cette leçon, il ne doit travailler que la technique opératoire. Faire réviser les tables petit à petit. • Erreurs de retenues. Faire écrire les retenues sur le côté de la multiplication et les barrer une fois qu’elles ont été prises en compte dans le calcul.
238
79
Problèmes de la vie courante: la monnaie Manuel de l’élève pages 150 et 151
Commentaires pédagogiques Les problèmes de la vie courante sur la monnaie se repèrent à leur vocabulaire spécifique : « prix », « coût », « achat », « dépense », « euros », « réduction »… Ce vocabulaire oriente ensuite sur des procédures-types de résolution : – prix total = prix A + somme B ; – prix B = prix total – prix A ; – prix total = prix A × nombre d’objets ; – prix d’un objet = prix total : nombre d’objets. Ces procédures de résolution seront nommées « formules de calcul » dans le manuel de l’élève. Il convient de rappeler l’importance de faire formuler cette procédure générale pour que l’élève raisonne le problème avant même de se lancer dans un calcul.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Savoir organiser des informations numériques. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. » – « Savoir organiser les données en vue de leur résolution. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes sur la monnaie en utilisant le vocabulaire spécifique. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer un nombre décimal entre 2 entiers. Durée : 10 min Travail individuel écrit À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment encadrer 1 nombre décimal entre 2 nombres entiers ? » Réponse attendue : « Il faut regarder la partie entière du nombre décimal et l’encadrer entre le nombre entier qui vient juste avant et le nombre entier qui vient juste après. » • Consigne 2 : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 8,54 ? » (entre 8 et 9) Énoncer : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 15,1 ? 87,05 ? 53,98 ? 5,07 ?… » Les élèves écrivent l’encadrement sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal. La correction suit chaque encadrement. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « Je donne des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Écrire ou énoncer : 654,5 ; 701,99 – 340,05… La correction collective suit.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à résoudre des problèmes sur la monnaie en utilisant des formules de calcul. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 150. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement. La mise en commun suit chaque partie.
• A. L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie de type « coût d’1 objet = coût total : nombre d’objets ». Réponses : Le coût total des entrées est de 576 €. coût d’1 entrée = coût total des entrées : nombre d’enfants 576 : 48 = 12 Le coût d’1 entrée est de 12 €. ‹ Remarque : En cas de difficultés à calculer la division, permettre aux élèves d’utiliser la calculatrice. L’objectif est ici de faire découvrir les procédures de résolution de problèmes sur la monnaie. La technique de la division pourra être reprise avec les élèves en difficulté en « Activités pédagogiques complémentaires » ou lors de groupe de besoin. • B. L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie de type « coût total = coût pour 1 objet × nombre d’objets ». Réponses : coût pour 50 enfants = coût pour 1 entrée × nombre d’enfants 12 × 50 = 600 Le centre de loisirs avait préparé 600 € pour 50 enfants. • C. L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie de type « coût B = coût total – coût A ». Réponses : coût pour 1 enfant = coût d’1 entrée – prise en charge par le centre 12 – 8,50 = 3,50 Chaque enfant doit payer 3,50 € pour la sortie. • D. L’objectif est de résoudre un problème de type « coût total = coût A + coût B ». Réponses : coût total = coût des entrées + coût du car 576 + 357,75 = 933,75 Le coût total de cette sortie pour le centre de loisirs est de 933,75 €.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ».
239
• Problème : L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie de types « coût d’1 objet = coût total : nombre d’objets » et « coût total = coût A + coût B ». Réponses : 1 290 : 15 = 86 Un lecteur MP3 coûte 86 € après la promotion. 86 + 13,50 = 99,50 Un lecteur MP3 coûtait 99,50 € avant la promotion. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur la monnaie en utilisant des formules de calculs. »
‹ Remarque : Construire un référent didactique à afficher dans la classe. Les problèmes sur la monnaie • coût total = coût du 1er objet + coût du 2nd objet • coût du 2nd objet = coût total – coût du 1er objet • coût total = coût pour 1 objet × nombre d’objets • coût pour 1 objet = coût total : nombre d’objets Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer un nombre décimal entre 2 entiers. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral ‹ Remarque : Interroger les élèves à tour de rôle. • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment encadrer 1 nombre décimal entre 2 nombres entiers ? » Réponse attendue : « Il faut regarder la partie entière du nombre décimal et l’encadrer entre le nombre entier qui vient juste avant et le nombre entier qui vient juste après. » • Consigne 2 : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 870,53 ? (entre 870 et 871) • Consigne 3 : « J’énonce des nombres décimaux que vous devrez encadrer entre 2 entiers. Je vous interroge au hasard. » Énoncer : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 67,93 ? 200,8 ? 499,56 ? 901,61 ?… » Les élèves énoncent l’encadrement. La correction suit chaque encadrement. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Énoncer : 500,76 ; 299,5 ; 1 098,56 ; 690,01… La correction collective suit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur la monnaie. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur la monnaie en vous aidant des formules de calculs découvertes. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problèmes sur la monnaie de type « coût total = coût du 1er objet + coût du 2nd objet », proposer de commencer par les exercices B4 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problèmes sur la monnaie de type « coût du 2nd objet = coût total – coût du 1er objet », proposer de commencer par l’exercice B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problèmes sur la monnaie de type « coût total = coût pour 1 objet × nombre d’objets », proposer de commencer par les exercices A1, A5, A6, B1, B4 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la résolution de problèmes sur la monnaie de type « coût pour 1 objet = coût total : nombre d’objets », proposer de commencer par les exercices A2, A3, A5, B2 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 2,55 × 6 = 15,30 6 boîtes coûtent 15,30 €. • A2. 675 : 15 = 45 Un seul livre vaut 45 €. • A3. 37,50 + 4,75 = 42,25 Le papi de Lou doit payer 42,25 €. • A4. 120 : 24 = 5 Une seule boîte de croquettes vaut 5 €. • A5. 75 : 25 = 3 Un seul cahier vaut 3 €. 3 × 4 = 12 Le coût des cahiers pour un élève est de 12 €. • A6. 1,34 × 95 = 127,30 Le chauffeur dépense 127,30 € pour faire le plein. Parcours B : • B1. 17,35 × 18 = 312,30 Le coût total de cet achat est de 312,30 €. • B2. 896 : 28 = 32 Un rosier vaut 32 €. • B3. 90 – 38,50 = 51,50 La robe vaut désormais 51,50 €.
240
• B4. 384 : 24 = 16 Le prix unitaire d’un ballon est de 16 €. 16 + 5 = 21 Le magasin revend chaque ballon 21 €. 21 × 24 = 504 La vente des ballons rapportera 504 €. • B5. 280 : 56 = 5 Le prix du billet est de 5 €. 2 × 20 = 40 Les spectateurs ont acheté pour 40 € de glaces. 280 + 40 = 320 La séance de cinéma a rapporté 320 € au total au village.
– Problème 1 : « Tu veux acheter un stylo plume et une boîte de crayons de couleur. Quelle somme vas-tu dépenser ? » Faire verbaliser : « Le prix total de ce que je dois payer est égal au prix du stylo plume et du prix de la boîte de crayons de couleur : 8,50 + 12. Le prix total est de 20,50 €. » – Problème 2 : « Tu achètes la boîte de crayons de couleur et une gomme. Tu donnes exactement 14 €. Quel est le prix de la gomme ? » Faire verbaliser : « Le prix total de la boîte de crayons de couleur et de la gomme est de 14 €. Je connais le prix de la boîte de crayons. Elle vaut 12 €. Pour connaître le prix de la gomme, j’enlève 12 € aux 14 € : 14 – 12 = 2. Le prix de la gomme est de 2 €. » • Faire de même avec d’autres problèmes.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à résoudre des problèmes sur la monnaie de types « coût total = coût du 1er objet + coût du 2nd objet » et « coût du 2nd objet = coût total – coût du 1er objet » • Jeu de la marchande. Utiliser des objets à manipuler et favoriser la verbalisation. Étiqueter des objets avec des prix. Exemples avec des objets de la classe :
2,50 €
8,50 €
1,75 €
Difficultés à résoudre des problèmes sur la monnaie de types « coût total = coût pour 1 objet × nombre d’objets » et « coût pour 1 objet = coût total : nombre d’objets » • Même démarche. Utiliser des objets concrets avec des étiquettes de prix (reprendre les objets précédents et/ou des images, des billes, des craies…). – Problème de type « coût total = coût pour 1 objet × nombre d’objets » : « L’institutrice achète 24 règles graduées pour les élèves de sa classe. Quelle somme va-t-elle payer ? » – Problème de type « coût pour 1 objet = coût total : nombre d’objets » : « Le directeur achète 12 boîtes de craies. Il donne exactement 60 €. Combien coûte 1 boîte de craies ? »
12 €
241
80
La division décimale de deux nombres entiers (1) Manuel de l’élève pages 152 et 153
Commentaires pédagogiques La division décimale de deux nombres entiers peur être considérée comme une division en deux temps : – un 1er temps où l’élève doit calculer une division avec quotient entier et reste ; – un 2nd temps où il calcule la partie décimale du quotient. La partie entière du quotient calculée, la délimitation entre partie entière et partie décimale du quotient doit être immédiatement marquée par la virgule. L’élève doit ensuite considérer que le nombre entier peut aussi s’écrire sous forme de nombre à virgule (exemple : 9 = 9,00). La division peut ensuite être poursuivie par le calcul des dixièmes du quotient et éventuellement des centièmes.
■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et décimaux. » ■ Programmes 2008 : – « Division décimale de deux entiers. » ■ Objectif des séances : – Découvrir le sens et la technique opératoire de la division décimale de deux nombres entiers. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire des fractions sous forme de nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min À l’oral • Consigne : « J’énonce une fraction décimale. Vous la nommez sous la forme d’un nombre décimal. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Énoncer : 36 10
Les élèves nomment le nombre décimal correspondant : 3,6. Placer 36 dans le tableau de numération et faire lire la corres10 pondance 3,6. • Faire de même avec : 56 ; 472 ; 84 … 10 100 100
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une fraction décimale. Vous l’écrivez sous la forme d’un nombre décimal. »
• Consigne 2 : « À quoi correspond le dividende ? le diviseur ? le quotient ? le reste ? » Réponses attendues : « Le dividende est le tout que nous devons partager. Le diviseur est le nombre qui nous dit en combien il faut partager. Le quotient est le résultat. Le reste est ce qui n’a pas pu être partagé. » • Consigne 3 : « J’ai 392 bonbons à partager entre 25 enfants. Combien chacun aura-t-il de bonbons ? En restera-t-il pour moi ? Si oui, combien ? » Les élèves calculent l’opération sur leur ardoise. ‹ Remarque : L’objectif est de revoir rapidement la technique opératoire de la division à 2 chiffres au diviseur. Un élève vient corriger au tableau en verbalisant toute la démarche opératoire de la division (voir leçon 51). • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre la division décimale de 2 nombres entiers. Le résultat de la division des 2 entiers sera un nombre décimal. »
Énoncer : 9 ; 708 ; 567 ; 901 … 10
Travail dans le manuel
10 100 100
La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur le sens de la division et le vocabulaire associé Travail collectif oral Durée : 10 min • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment s’appelle chaque nombre que je vous montre dans la division. » Écrire au tableau : 8 9 4 2 – 8 4 4 7 0 9 – 8 1 4 – 1 4 0 Rappeler le vocabulaire (dividende, diviseur, quotient et reste).
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 152. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de diviser 2 entiers avec reste. Réponses : Elle pose la division 6 : 4. Elle n’a pas réparti les 6 L car il en reste 2. • B. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de la division décimale aux dixièmes de 2 nombres entiers. Réponses : Elle transforme les 6 L en 60 dL en ajoutant un 0 dans la division. En abaissant le 0, il reste désormais 20 dL à partager (au lieu de 2 L).
242
Elle met en même temps une virgule au quotient, car ce ne sont plus des L qu’elle divise mais des dixièmes de L, soit des dL. 4 1, 5
6, 0 – 4 2 0 – 2 0 0
Pour vérifier : 1,5 × 4 = 6 • B. L’objectif est de découvrir la technique opératoire de la division décimale aux centièmes de 2 nombres entiers. Réponses : Le 6 du quotient représente 6 km. Le 3 du reste représente 3 km. 4 6, 7 5
2 7, 0 0 – 2 4 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0
• Exercice 1 : L’objectif est de calculer la partie décimale du quotient. Réponses : 5 7, 2
3 6, 0 – 3 5 1 0 – 1 0 0
6 1, 5
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, bien verbaliser le rang de chaque chiffre de la division.
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques et écrivent en titre : « Exercices d’application ».
8 2, 2 5
• Exercice 2 : L’objectif est de calculer la division décimale de 2 entiers jusqu’à un quotient exact. Réponses : 9, 0 – 6 3 0 – 3 0 0
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
1 8, 0 0 – 1 6 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0
3 0, 0 0 – 2 4 6 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
8 3, 7 5
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris la technique opératoire de la division décimale de 2 nombres entiers. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Réponse attendue : « Nous avons appris la technique opératoire de la division décimale de 2 nombres entiers. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Écrire des fractions sous forme de nombres décimaux. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce une fraction décimale. Vous l’écrivez sur votre ardoise sous la forme d’un nombre décimal. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » 10
Les élèves nomment le nombre décimal correspondant : 87,1. Placer 871 dans le tableau et faire lire la correspondance 87,1. 10
• Faire de même avec : 932 ; 752 ; 8 073 … 10 100
10
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce une fraction décimale. Vous l’écrivez sous la forme d’un nombre décimal sur votre cahier. Vous pouvez vous aider du tableau de numération. » Énoncer : 85 ; 654 ; 9 876 ; 7 004 … 100
10
La correction collective suit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Énoncer : 871
10 100
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur la technique opératoire de la division décimale de 2 entiers. »
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? »
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division de 2 entiers avec un quotient décimal aux dixièmes, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A5, B1, B2 et B5, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division de 2 entiers avec un quotient décimal aux centièmes, proposer de commencer par les exercices A3, A4, A6, B3, B4 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
243
Correction des exercices : Parcours A : • A1. 1 2, 0 – 8 4 0 – 4 0 0
8 1, 5
• B3.
1 5, 0 – 1 2 3 0 – 3 0 0
6 2, 5
• A2. 2 8 – 2 4 4 0 – 4 0 0
6 2, 0 0 – 5 6 6 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
3 7, 0 0 – 3 6 1 0 – 8 2 0 – 2 0 0
4 9, 2 5
4 2 2, 7 5
5 0, 0 0 – 4 8 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0
8 6, 2 5
• B4. 8 3, 5
1 9, 0 – 1 8 1 0 – 1 0 0
2 9, 5
4 1, 7 5
1 8, 0 0 – 1 6 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0
8 2, 2 5
3 9, 0 0 – 3 6 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0
4 9, 7 5
8 9, 0 0 – 8 0 9 – 8 1 0 – 8 2 0 – 2 0 0
• A3. 7, 0 0 – 4 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0
8 7, 7 5
• B5. 42 : 5 = 8,4 Julien met 8,4 L dans chaque arrosoir. • B6. 50 : 8 = 6,25 Chaque ruban mesure 6,25 m.
• A4. 2 6, 0 0 – 2 4 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0
8 3, 2 5
• A5. 6 : 4 = 1,5 Chaque âne mange en moyenne 1,5 kg d’avoine. • A6. 20 + 5 = 25 Il y a 25 € à partager. 25 : 2 = 12,50 Chaque enfant va avoir 12,50 €. Parcours B : • B1. 6 0, 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
8 7, 5
8 1, 0 – 5 3 1 – 3 0 1 0 – 1 0 0
5 1 6, 2
5 1 6, 4
5 7, 0 – 5 0 7 – 5 2 0 – 2 0 0
5 1 1, 4
• B2. 8 2, 0 – 5 3 2 – 3 0 2 0 – 2 0 0
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à calculer la division décimale de 2 nombres entiers • Commencer par des divisions très simples aux dixièmes. Verbaliser toute la démarche. Multiplier les exemples en verbalisant à chaque fois les divisions pour que la méthode s’installe durablement et soit parfaitement mémorisée par les élèves. Exemple : 6 : 4 6, 0 – 4 2 0 – 2 0 0
4 1, 5
1) 6 : 4. Je cherche dans la table de 4 le multiple qui se rapproche le plus de 6 sans le dépasser. C’est 1. 2) 4 × 1 = 4. J’enlève 4 de 6 : 6 – 4 = 2. 3) Je continue la division aux dixièmes. 4) J’ajoute la virgule au dividende et au quotient. 5) J’abaisse 0 dixième pour continuer la division. 6) 20 : 4 = 5 (car 5 × 4 = 20) 7) J’enlève 20 : il reste 0. • Même démarche avec une division aux centièmes.
244
81
Les prismes droits Manuel de l’élève pages 154 et 155
Commentaires pédagogiques L’élève connaît le cube et le pavé droit depuis le CP. Le cube et le pavé droit sont des solides d’usage très courant, ce qui justifie pleinement que leur étude précède celle des prismes droits quelconques. Pourtant, une logique purement mathématique aurait commencé l’étude par le cas général (le prisme droit quelconque), pour s’intéresser ensuite aux prismes droits particuliers (le cube et le pavé droit). Le prisme droit se caractérise par : – 2 faces opposées identiques de forme quelconque : les bases ; – des faces latérales de forme rectangulaire, avec autant de faces que la base a de côtés. Cette leçon nécessite la manipulation concrète de prismes droits pour permettre leur description. Le travail sur le manuel est soumis par nature à la difficulté de se construire l’image d’un volume à partir d’une représentation en surface plane.
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. » – « Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. » ■ Objectifs des séances : – Reconnaître et décrire les prismes droits. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : plusieurs prismes droits à manipuler (partie « Découvrir ») ; – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre décimal par 10. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Comment faire pour multiplier 6,89 par 10 mentalement ? » Laisser les élèves émettre leurs propositions. Les tester et les conserver si elles sont pertinentes. Proposer : « Pour multiplier un nombre décimal par 10, il suffit de déplacer la virgule d’un rang vers la droite. » 6 ,8 9 × 1 0 = 6 8 ,9 Énoncer : 9,65 × 10 ; 34,28 × 10 ; 432,02 × 10 ; 7,99 × 10… Les élèves énoncent le résultat. ‹ Remarque : Il sera possible de placer le nombre dans un tableau de numération et de montrer le déplacement de la virgule. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des multiplications de nombres décimaux par 10. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : 9,03 × 10 ; 67,43 × 10 ; 987,28 × 10… La correction collective suit.
Travail dans le manuel
• A. L’objectif est de découvrir les propriétés d’un prisme droit : – bases identiques ; – faces latérales rectangulaires ; – nombre de faces latérales = nombre de côtés de la base. Réponses : Léo a choisi le prisme 2, Tom le prisme 1 et Lydia le prisme 3. Les 3 prismes ont autant de faces latérales que leurs bases ont de côtés. • B. L’objectif est de décrire un prisme droit. Réponses : Il a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets. Ses bases sont JKL et MNO. Elles sont triangulaires. Ses faces latérales sont JMOL, JMNK et KNOL. Elles sont rectangulaires. • C. L’objectif est d’identifier un prisme droit en s’appuyant sur les propriétés découvertes. Réponses : Le solide A a 2 bases de même forme et ses faces latérales sont rectangulaires. C’est un prisme droit. Le solide B a 2 bases identiques mais ses faces latérales ne sont pas rectangulaires. Ce n’est pas un prisme droit.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
‹ Remarque : Mettre à disposition des prismes identiques à la phase du « Découvrir » afin que les élèves puissent les manipuler pendant cette phase de recherche.
Travail individuel écrit Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre à reconnaître et à décrire des prismes droits. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 154. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation.
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de décrire un prisme droit. Réponse : Il a 2 bases identiques et ses faces latérales sont rectangulaires. Il a autant de faces latérales que sa base a de côtés. • Exercice 2 : L’objectif est d’identifier des prismes droits parmi plusieurs solides.
245
Réponses : Les solides 1, 4 et 5 sont des prismes droits. Ils ont 2 bases identiques et leurs faces latérales sont rectangulaires. Ils ont autant de faces latérales que leurs bases ont de côtés.
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à reconnaître et à décrire des prismes droits. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre décimal par 10. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des multiplications de nombres décimaux par 10.Vous écrivez les résultats sur votre ardoise que vous lèverez à mon signal. » Ne pas oublier d’énoncer des nombres décimaux qui, multipliés par 10, donneront un nombre entier. Énoncer : 78,54 × 10 ; 60,3 × 10 ; 345,99 × 10 ; 95,8 × 10… Utiliser le tableau de numération. La correction suit chaque multiplication. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des multiplications de nombres décimaux par 10. Vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : 45,56 × 10 ; 67,3 × 10 ; 907, 2 × 10… La correction collective suit.
Correction des exercices : Parcours A : • A1. Le prisme 1. • A2. Ce solide a 2 faces opposées carrées et 4 faces latérales rectangulaires. C’est un prisme droit particulier : un pavé droit. • A3. Le prisme a 2 faces triangulaires opposées identiques. Il a 3 faces rectangulaires. • A4. Les prismes 1, 2 et 4 sont des prismes droits. Le prisme 3 n’est pas un prisme droit car ses faces latérales ne sont pas rectangulaires. Parcours B : • B1. Le prisme 3. • B2. Ce solide a 4 faces carrées. On peut donc dire qu’il a 2 bases identiques et 4 faces rectangulaires (le carré étant un rectangle particulier). C’est un prisme droit particulier : un cube. • B3. Le prisme a 2 faces opposées de même forme avec 5 côtés. Il a 5 faces latérales de forme rectangulaire. • B4. Le prisme 3 n’est pas un prisme droit car il n’a pas de faces de forme rectangulaire. Le prisme 4 n’est pas un prisme droit car il n’a pas de faces de forme rectangulaire.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à reconnaître et à décrire des prismes droits. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à identifier des prismes droits et à les décrire. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants.
Difficultés à identifier des prismes droits • Utiliser des solides pour la manipulation et l’observation. S’appuyer sur les propriétés des prismes droits pour identifier les solides qui en sont et ceux qui n’en sont pas. Difficultés à décrire des prismes droits • Verbaliser les propriétés des prismes droits en montrant sur un prisme droit ce que l’on nomme : « Ses 2 bases ont exactement la même forme. Ses faces latérales sont toutes des rectangles. Si je compte le nombre de côtés des bases et le nombre de faces latérales, je remarque qu’il y en a le même nombre. Donc c’est un prisme droit. » • Faire de même avec des solides qui ne sont pas des prismes droits. Énoncer les propriétés et voir celles qui ne correspondent pas au prisme droit, ce qui permettra d’affirmer que ce n’en est pas un.
246
82
Les coordonnées d’un point Manuel de l’élève pages 156 et 157
Commentaires pédagogiques Dans la leçon 62, les élèves repéraient des cases dans un espace normé. Dans cette nouvelle leçon, ils auront à repérer des points, intersections de lignes verticales et de lignes horizontales. Le repérage des points dans le quadrillage reprend donc les procédures introduites dans la leçon 62 : – le codage est une convention : il indique les coordonnées du point, séparées par une virgule et écrites entre parenthèses ; – la convention de toujours commencer par l’abscisse, donnée par l’axe horizontal, puis l’ordonnée donnée par l’axe vertical. Dans cette leçon, l’abscisse comme l’ordonnée sont données sous forme de nombre. On comprend donc l’intérêt d’un codage normé rigoureux. En effet, inverser l’ordre des nombres de part et d’autre de la virgule changerait la position du point à repérer. Il sera utile de préciser ici le rôle de la virgule : elle sépare
2 nombres. À ne pas confondre avec son rôle dans le nombre décimal à virgule. ■ Programmes 2008 : – « Lire les coordonnées d’un point. » – « Placer un point dont on connaît les coordonnées. » ■ Objectifs des séances : – Se repérer dans l’espace d’un quadrillage normé. – Identifier, coder et décoder les cases d’un quadrillage. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire
8 7
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment faire pour encadrer 2 nombres décimaux entre 2 nombres entiers. » Réponse attendue : « Il faut regarder la partie entière et encadrer entre les 2 nombres entiers qui se suivent. » • Consigne 2 : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 876,9 ? » (entre 876 et 877) Énoncer : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 195,1 ? 587,05 ? 530,9 ? 105,07 ?… » Les élèves écrivent l’encadrement sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal. La correction suit chaque encadrement. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Énoncer : 700,5 ; 999,01 ; 599,05 ; 2 699,47… La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur les notions de « codage » et de « décodage » des nœuds d’un quadrillage Travail collectif oral
6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Un élève vient montrer les lignes horizontales et verticales. Dessiner un objet sur le quadrillage. • Consigne : « Sur quelles lignes l’objet se trouve-t-il ? Comment écrire ses coordonnées ? » Réponse attendue : « L’objet se trouve au croisement de la ligne verticale 5 et de la ligne horizontale 3. » • Placer un rectangle, un triangle, un cube… sur le quadrillage. Faire lire les coordonnées comme précédemment. Inversement, énoncer les coordonnées de points ; les élèves viennent dessiner une figure ou un objet sur le quadrillage. ‹ Remarque : Dans cette phase, le codage ne sera pas écrit car sa découverte ne sera travaillée que dans la phase suivante. On se contentera donc de repérer les points ou de les décoder en utilisant les termes « ligne verticale » et « ligne horizontale », en prenant soin de commencer par la ligne verticale (abscisse).
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 10 min
• Mise en place. Préparer au tableau (ou projeter) un quadrillage normé.
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir le repérage de points sur quadrillage. Vous allez identifier, coder et décoder les points d’un quadrillage. »
247
‹ Remarque : Les élèves ont travaillé le repérage des nœuds au CE1 et au CE2. Il sera possible de s’y référer. Les élèves ouvrent leur manuel à la page 156. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir que l’annonce des coordonnées d’un point commence toujours par l’axe des abscisses : il faut donc commencer par observer les lignes verticales. Réponses : Il faut d’abord donner le numéro de la porte, puis le numéro de la fenêtre. Léo habite porte 2, étage 4 Camille : (porte 4, étage 1) Anissa : (porte 5, étage 4) • B. L’objectif est de repérer des points sur un quadrillage et de les coder en respectant la convention du codage. Réponses : A : (3,5) B : (6,7) C : (7,6) Pour ne pas confondre ces coordonnées, il faut toujours commencer par nommer le chiffre de la ligne verticale avant de nommer le chiffre de la ligne horizontale. • C. L’objectif est de placer sur un quadrillage des points dont on connaît les coordonnées. Réponses :
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ». • Exercice : L’objectif est de placer des points dont on connaît les coordonnées sur un quadrillage et de coder des points placés sur un quadrillage. Réponses : A : (2,3) B : (4,7) C : (5,4) D : (7,1) E : (10,6) 7 6
G
5
F
4 3
H
2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à repérer des points dans un quadrillage, à coder et décoder les points d’un quadrillage. » Lire la rubrique « Retenir ».
10 9 8
D
7 6 5 4
F
3
E
2
G
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Séance 2 u TEMPS 2 : Rappel
Travail préparatoire
Travail oral collectif
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Encadrer un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Consigne 1 : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 3 909,9 ? (entre 3 909 et 3 910) Énoncer : « Entre quels nombres entiers trouve-t-on 4 095,8 ? 5 879,05 ? 5 300,9 ? 7 899,07 ?… » Les élèves écrivent l’encadrement sur leur ardoise qu’ils lèvent au signal. La correction suit chaque encadrement. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les encadrez sur votre cahier entre 2 entiers. » Énoncer : 6 769,5 ; 8 589,67 ; 5 099,09 ; 8 299,45 La correction collective suit.
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à repérer des points dans un quadrillage, à coder et décoder les points d’un quadrillage. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à repérer les points d’un quadrillage, à coder et décoder ces points. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
248
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le repérage des points d’un quadrillage et leur codage, proposer de commencer par les exercices A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le placement de points sur quadrillage connaissant leurs coordonnées, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
• B3. 10
7 6
4 3 2
E
2
H
1
F
0 0
1
2
Parcours B : • B1. A : (1,8) C : (8,5) • B2. E : (1,2) G : (5,7)
3
4
5
M
1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Difficultés à coder un point sur un quadrillage • Placer des objets concrets sur un quadrillage. L’élève place son doigt sur le point où est l’objet et se déplace (ou déplace l’objet) verticalement jusqu’à l’en-tête. Il note le chiffre. Puis il fait de même avec la ligne horizontale. Il note le chiffre, puis associe les 2. • Faire plusieurs fois cette manipulation.
G
3
K
5
6
4
L
8
Correction des exercices : Parcours A : • A1. Lucas : (4,5) Adrien : (6,2) Salima : (8,7) Samy : (9,1) • A2. A : (6,2) B : (1,5) C : (4,3) D : (2,1) • A3.
5
J
9
6
B : (3,4) D : (9,1) F : (2,1) H : (7,5)
Difficultés à placer (décoder) un point sur un quadrillage • Annoncer les coordonnées d’un point du quadrillage : (3,5). Faire repérer les lignes (verticales et horizontales), ainsi que les en-têtes. L’élève suit avec les doigts la ligne verticale n° 3 et la ligne horizontale n° 5 jusqu’à leur intersection. C’est le point à trouver. L’élève dessine ou place un objet sur ce point. • Jeu de bataille navale. Tracer un quadrillage vierge derrière le tableau. Un « maître du jeu », l’enseignant dans un 1er temps puis un élève, dessine des objets sur des nœuds du quadrillage. Donner un quadrillage vierge identique aux élèves. Expliquer qu’ils doivent trouver le positionnement des objets en proposant des coordonnées de points du quadrillage. Sur leur quadrillage, les élèves dessinent les objets trouvés et marquent d’un point rouge les points nommés sur lesquels il n’y a rien. L’élève gagnant est celui qui a trouvé le plus d’objets quand tous ont été découverts.
249
83
Méthodologie: le vocabulaire et les énoncés de problèmes Manuel de l’élève page 158
Commentaires pédagogiques Un certain nombre de mots-clés sont indispensables à la compréhension d’énoncés de problèmes. La plupart sont des mots qui précisent la quantité : « l’unité », « pièce », « l’un ou le lot », ou des mots qui impliquent une opération : la soustraction pour « réduction » ou « remise ». ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres. » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Utiliser la calculatrice. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Ajouter un nombre décimal à un nombre entier. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « Je vous demande d’additionner 8 + 4,2. Comment allez-vous faire ? » Laisser les élèves proposer des stratégies. Propositions possibles : – « 8 est un nombre entier. On peut l’écrire 8,0 pour avoir autant de chiffres pour chaque nombre. On additionne alors sans oublier la virgule au résultat : 8,0 + 4,2 = 12,2. » – « 8 est un nombre entier. Dans 4,2, 4 est la partie entière. J’ajoute 8 au 4 de la partie entière de 4,2 ; cela donne 12,2. » – « J’écris les 2 nombres en dixièmes, puis je replace la virgule. 80 + 42 = 122 = 12 et 2 = 12,2 » 10 10 10 10
Les élèves adopteront la stratégie qui leur convient le mieux. Énoncer : 5 + 3,8 / 6,5 + 4 / 13,65 + 6 Les élèves interrogés énoncent leur résultat, validé par l’ensemble de la classe ou repris avec justification des élèves. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des additions. Vous les calculez mentalement et vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 8,5 + 9 / 64,38 + 50 / 30 + 30,55 Les élèves écrivent les résultats sur leur cahier. La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Découverte de mots-clés pour la résolution de problèmes mathématiques Travail collectif oral
Durée : 10 min
Projeter ou écrire au tableau les énoncés suivants, afin de favoriser le travail collectif. • L’objectif du Problème 1 est de faire prendre conscience que le verbe « gagner » n’entraîne pas obligatoirement une addition.
■ Programmes 2008 : – « Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes. » ■ Objectif de la séance : – Repérer des mots-clés dans les énoncés de problèmes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Problème 1 : « Paul arrive à l’école avec des billes. Pendant la récréation, il en gagne 7. Maintenant, il en a 29. Combien de billes avait-il en arrivant à l’école ? » Le problème est résolu en oral collectif. Insister sur le fait que « gagner » n’entraîne pas toujours une addition. • L’objectif du Problème 2 est de faire prendre conscience que l’expression « de moins » n’entraîne pas obligatoirement une soustraction. Problème 2 : « Angel a 9 ans. Elle a 25 ans de moins que Jérôme. Quel est l’âge de Jérôme ? » Le problème est résolu en oral collectif. Insister sur le fait que « de moins » n’entraîne toujours pas une soustraction. ‹ Remarque : Un affichage didactique pourra être affiché au mur avec les mots-clés et des exemples de problèmes résolus. • Explication : « Aujourd’hui, vous allez résoudre des problèmes en repérant les mots-clés dans des énoncés de problèmes. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 158. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de découvrir la signification des mots-clés qu’il est indispensable de maîtriser pour résoudre le problème. Réponses : – 7,10 € le lot : cela veut dire que Rémi paiera 7,10 € pour les 3 boîtes de gâteaux secs. Le lot, c’est l’ensemble. – Une réduction, c’est quand on enlève une somme d’argent au prix initial. Le sachet de chapeaux de fête coûtait 3,55 €. La réduction est de 0,50 €. Donc le prix payé par Rémi sera de : 3,55 – 0,50 = 3,05 €. – Ici, le mot « pièce » veut dire « un seul ».
250
– Une remise est une somme d’argent que l’on déduit du prix initial. Après la remise de 1 €, le prix sera inférieur au prix d’origine. – 2 gâteaux pour 26,50 € cela veut dire que 26,50 € est le prix de l’ensemble des 2 gâteaux. Rémi ne doit donc pas multiplier ce prix par 2. – Le prix d’une bouteille de soda est de 1,70 €. C’est le mot « chacune » qui l’indique. Cela veut dire « pour 1 seule bouteille ». – « L’unité » veut dire pour 1 seul ballon. – L’expression qui indique que Rémi doit payer pour recevoir ses courses chez lui est : « les frais d’expédition ». • B. et C. L’objectif est d’utiliser la formule « somme totale = somme A + somme B + … » et de faire attention aux mots-clés qui jouent un rôle important dans la résolution du problème. Réponses : somme totale à payer = somme pour les bonbons + somme pour les gâteaux secs + somme pour les gâteaux + somme pour les chapeaux de fête + somme pour les ballons + somme pour la glace + somme pour les bouteilles de soda + somme pour les frais d’expédition somme totale = (1,50 × 3) + (7,10 × 2) + (1,70 × 12) + 26,50 + (3,55 – 0,50) + (4,20 – 1) + (0,15 × 13) + 5,50 = 4,50 + 14,20 + 20,40 + 26,50 + 3,05 + 3,20 + 1,95 + 5,50 = 79,30 Rémi va payer une somme totale de 79,30 €.
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, il sera intéressant de montrer aux élèves comment résoudre ce problème avec des parenthèses.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ». • Problème : L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie en utilisant les mots-clés à bon escient. Réponses : 30 + (9 × 15) + (1,75 × 12) + (3 × 13) – 5 = 30 + 135 + 21 + 39 – 5 = 220 Le montant total de la dépense est de 220 €. En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons résolu des problèmes en repérant les mots-clés dans des énoncés de problèmes. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes en leçon 27.
251
84
Bilan (9) Manuel page 159
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et décimaux. »
■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
Réponses : 28 = 2,8
u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant
10
Durée : 5 min
Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
u TEMPS 2 : Calcul mental
■ Programmes 2008 – « Nommer les fractions simples et décimales : dixièmes, centièmes. » – « Utiliser ces fractions dans des codages de mesures de grandeur. » – « Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule. » – « Division décimale de 2 entiers. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes. » – « Reconnaître, décrire et nommer des solides droits : prismes. » – « Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. »
• Exercice 2 : L’objectif est d’écrire des fractions décimales sous forme de nombres à virgule.
Travail préparatoire Travail collectif oral
– « Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. » – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures. » – « Savoir organiser des informations numériques. »
Durée : 15 min
Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes : – Écrivez le résultat de : 7,1 + 2,6. – Écrivez le résultat de : 5, 4 + 3,5. – Écrivez le résultat de : 6,2 + 3,7. – Écrivez le résultat de : 1,4 + 7,3. – Écrivez le résultat de : 7,45 × 10. – Écrivez le résultat de : 76,53 × 10. – Écrivez le résultat de : 876,48 × 10. – Écrivez le résultat de : 75,2 × 10. – Écrivez le résultat de : 5,07 × 10.
• Exercice 4 : L’objectif est de multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 2 chiffres. Réponses : 6 3, 8 × 1 4 2 5 5 2 6 3 8 0 8 9 3, 2
4 4 – 4 0 4 0 – 4 0 0 Durée : 45 min
• Exercice 1 : L’objectif est de repérer un nombre sur une droite graduée et de l’écrire sous forme de fraction décimale. 10 10
5 1, 3 4 2 5 6 8 2 0 5 4 4 2 3 1 1, 2
×
6 5 0 0 0
• Exercice 5 : L’objectif est de calculer la division décimale de 2 nombres entiers. Réponses :
Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous les élèves.
Réponses : 7 ; 14
45 = 4,5 10
• Exercice 3 : L’objectif est de décrire un prisme droit. Réponse : Ce prisme a 2 bases de forme identique : des triangles. Il a 3 faces latérales rectangulaires. Il a le même nombre de faces que ses bases ont de côtés.
Travail dans le manuel Travail individuel écrit
9 = 0,9 10
8 5, 5
3 5 – 3 2 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0
4 8, 7 5
• Exercice 6 : L’objectif est de repérer des points sur un quadrillage et d’écrire leurs coordonnées. Réponses : A : (2,7) B : (4,10) C : (6,4) D : (9,3) E : (10,1)
252
• Exercice 7 : L’objectif est de mesurer 2 angles à l’aide d’un gabarit et de donner leur mesure dans un encadrement. ^ Réponses : 2 gabarits < angle A < 3 gabarits ^ 1 gabarit < angle B < 2 gabarits • Exercice 8 : L’objectif est de résoudre un problème sur la monnaie. Réponses : 79 × 65 = 5 135
Le photographe a payé 5 135 € à son fournisseur. 6 435 : 65 = 99 Il revend 99 € l’appareil photo à ses clients. • Exercice 9 : L’objectif est de résoudre un problème en veillant aux mots-clés de l’énoncé. Réponses : (6 × 18) + (13 × 12) + 30 = 108 + 156 + 30 = 294 Il dépense 294 €.
253
85
Comparaison des nombres décimaux (2) Manuel de l’élève pages 160 et 161
Commentaires pédagogiques Au cours de cette leçon, l’élève encadrera ou rangera des nombres à virgule. L’encadrement permettra de situer le nombre à virgule : – entre les 2 nombres entiers les plus proches : le nombre entier le plus proche par excès et le nombre entier le plus proche par défaut ; – entre 2 nombres à virgule au dixième près, par excès et par défaut. Le rangement des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant se traitera sur le principe général de comparaison des nombres à virgule (leçon 66) : – en comparant d’abord la partie entière de chacun des nombres ; – si leur partie entière est la même, en comparant leur chiffre des dixièmes ; – si leur chiffre des dixièmes est le même, en comparant leur chiffre des centièmes. Lorsque l’un des nombres a 1 chiffre après la virgule alors que l’autre en a 2, il peut être utile de compléter le 1er par un 0 aux centièmes. Exemple : 21,6 et 21,52 à 21,60 et 21,52
■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples. » ■ Programmes 2008 : – « Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1 ). » 100 – « Savoir les repérer, les ranger et les encadrer par 2 nombres entiers consécutifs. » ■ Objectifs des séances : – Comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : le tableau de numération ; – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Soustraire des nombres décimaux < 10. Travail collectif oral et individuel écrit Durée : 10 min ‹ Remarque : Donner des soustractions sans retenue. À l’oral • Consigne : « J’énonce des soustractions de nombres décimaux < 10. Vous calculez mentalement l’opération et vous donnez le résultat oralement. » Énoncer : 8,5 – 4,3 = … Un élève donne le résultat. La classe valide ou invalide le résultat proposé en argumentant. Énoncer : 9,5 – 4,2 ; 8,8 – 5,5… Les élèves nomment le résultat. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des soustractions de nombres décimaux < 10. Vous calculez mentalement ces soustractions et vous écrivez les résultats sur vote cahier. » Énoncer : 7,6 – 4,3 ; 8,2 – 4,1 ; 5,9 – 2,7 ; 3,8 – 1,5… La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Rappel sur la comparaison de nombres décimaux Travail collectif oral Durée : 10 min • Consigne : « Rappelez-moi comment on compare 2 nombres décimaux. » Réponse attendue : « Pour comparer 2 nombres décimaux, on commence par comparer leurs parties entières. Le nombre le plus grand est celui qui a la partie entière supérieure à l’autre.
Pour comparer 2 nombres décimaux qui ont la même partie entière, on regarde les chiffres des dixièmes des 2 nombres. Celui qui a le plus grand est le nombre décimal le plus grand. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez revoir la comparaison, le rangement dans l’ordre croissant et décroissant et l’encadrement des nombres décimaux à l’unité près et au dixième près. »
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 160. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche » Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de prendre conscience des précisions apportées par les mesures aux dixièmes et aux centièmes et d’écrire ces mesures sous forme de nombres décimaux. Réponses : - Oui, leurs réponses sont justes car le point sur la droite graduée se situe entre les 2 nombres entiers 14 et 15 mais aussi entre les 2 nombres décimaux 14, 7 et 14,8. – La performance la plus précise est celle donnée par l’arbitre qui indique « entre 14,7 et 14,8 ». – La performance exacte de la concurrente est de 14,75 m, au centième de mètre près. • B. L’objectif est de repérer des nombres fractionnaires sur une droite graduée et de les écrire sous forme de nombres décimaux (à virgule).
254
Réponses : grenouille rouge : 2,8 m / grenouille bleue : 3,3 m / grenouille verte : 4,2 m / grenouille jaune : 4,7 m 2,8 < 3,3 < 4,2 < 4,7 C’est la grenouille jaune qui a sauté le plus loin, c’est donc elle qui est en tête. • C. L’objectif est de ranger des nombres décimaux dans l’ordre décroissant. Réponses : 15,02 > 14,3 > 9,15 > 4,86 > 1,9 2e : panthère 3e : kangourou 1re : antilope e e 4 : grenouille 5 : sauterelle
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est d’encadrer un nombre décimal entre 2 entiers.
Réponses : 9 < A < 10 11 < C < 12
10 < B < 11
• Exercice 2 : L’objectif est d’encadrer un nombre entre 2 nombres décimaux au dixième près. Réponses : 21,7 < 21,74 < 21, 8 32,8 < 32,81 < 32,9 63,1 < 63,18 < 63,2 45,6 < 45,65 < 45,7 • Exercice 3 : L’objectif de ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant. Réponse : 6,99 < 7,86 < 7,9 < 8,1 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la comparaison, le rangement dans l’ordre croissant et décroissant et l’encadrement des nombres décimaux à l’unité près et au dixième près. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Soustraire des nombres décimaux < 10. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Consigne : « J’énonce des soustractions de nombres décimaux < 10. Vous calculez mentalement l’opération et vous donnez le résultat. » Énoncer : 7,6 – 4,4 Un élève donne le résultat. La classe valide ou invalide le résultat proposé en argumentant. Faire de même avec d’autres soustractions : 5,7 – 3,5 ; 9,4 – 7,3 ; 2,9 – 1,6… Les élèves nomment le résultat. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des soustractions de nombres décimaux < 10. Vous calculez mentalement ces soustractions et vous écrivez les résultats sur votre cahier. » Énoncer : 8,8 – 5,3 ; 7,4 – 6,2 ; 3,7 – 2,2… La correction collective s’ensuit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous revu lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la comparaison, le rangement dans l’ordre croissant et décroissant et l’encadrement des nombres décimaux à l’unité près et au dixième près. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’encadrement d’un nombre décimal entre 2 nombres entiers, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A5, A6, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’encadrement d’un nombre décimal entre 2 nombres décimaux au dixième, proposer de commencer par les exercices A2 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le rangement dans l’ordre croissant et décroissant des nombres décimaux, proposer de commencer par les exercices A3, A4, B3 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 3 < 3,5 < 4 14 < 14,2 < 15 7 < 7,3 < 8 12 < 12,9 < 13 • A2. 5,5 < 5,51 < 5,6 6,4 < 6,43 < 6,5 13,2 < 13,28 < 13,3 21,3 < 21,35 < 21,4 • A3. 11,9 < 13,4 < 24,18 ; 31,1 < 31,2 < 31,9 • A4. 41,46 > 41,39 > 41,35 • A5. 14 + 15,6 = 29,6 29 < 29,6 < 30 Ahmed s’arrête entre la borne 29 et la borne 30. • A6. 1,3 + 0,9 + 0,1 = 2,3 2 < 2,3 < 3 2,3 kg est entre 2 et 3 kg. Paul va payer 5 €. Parcours B : • B1. 63 < 63,31 < 64 41 < 41,7 < 42 31 < 31,56 < 32 48 < 48,9 < 49 • B2. 24,4 < 24 + 1,45 < 24,5 38,7 < 36 + 2,73 < 38,8 52,9 < 51 + 1,98 < 53 84,7 < 84 + 0,75 < 84,8
255
• B3. 68,29 < 73,91 < 84,2 < 198,1 84,09 < 84,1 < 84,21 < 84,73 • B4. 75,4 > 75,3 > 75,21 > 75,16 0,8 > 0,56 > 0,5 > 0,39 • B5. 5 L < 5,6 L < 6 L ➝ Alex 7 L < 7,8 L < 8 L ➝ Jérémy 8 L < 8,4 L < 9 L ➝ Mathias • B6. Beaupré entre 11 et 12 km ➝ 11,1 km La Planche entre 12 et 13 km ➝ 12,7 km Bellerive : entre 13 et 14 km ➝ 13,5 km Villeneuve : entre 14 et 15 km ➝ 14,3 km
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques en leçon 66. Difficultés à encadrer des nombres décimaux entre 2 nombres entiers • Faire repérer uniquement la partie entière du nombre. Expliquer que le nombre décimal donné est plus grand que sa partie entière puisqu’il a une partie décimale. Pour l’encadrer entre 2 nombres entiers, on prend sa partie entière et le nombre entier suivant. Exemple : 57,3 57,3 ➝ plus grand que 57 57 < 57,3 < 58 Difficultés à encadrer des nombres décimaux au dixième près • Même démarche que précédemment. Souligner le chiffre des dixièmes du nombre décimal à encadrer. Comme il possède des centièmes, le nombre décimal inférieur à lui aux dixièmes n’a pas de centièmes, et le supérieur est le suivant. Exemple : 7,46 7,46 ➝ plus grand que 7,4 7,4 < 7,46 < 7,5 • Autre démarche : placer autant de chiffres après la virgule pour chaque nombre, puis encadrer. Exemple : 9,52 9,50 < 9,52 < 9,60
256
86
La proportionnalité (1) Manuel de l’élève pages 162 et 163
Commentaires pédagogiques Sur le plan mathématique, deux nombres x et y sont proportionnels s’il existe un nombre z (différent de 0) tel que y = z × x. Dans ce cas, le nombre z est appelé « coefficient de proportionnalité » ou « rapport de proportionnalité ». Dans un tableau de proportionnalité, l’élève pourra : – appliquer le rapport de proportionnalité à plusieurs nombres donnés et trouver le nombre-image dans la relation de proportionnalité ; 3 4 5 ×2 6 8 ? – calculer le rapport de proportionnalité connaissant les nombres et leur image dans la relation de proportionnalité : 10 15 ? 30 45 Pour trouver le rapport de proportionnalité, il faut au moins 2 nombres et leur image dans la relation de proportionnalité. En effet, dans le cas du tableau ci-dessus, le seul exemple 10 et 30 pourrait amener à choisir l’opérateur + 20.
Nous avons choisi de ne présenter dans le manuel que des situations de proportionnalité, pour en asseoir le principe. L’identification de situations de proportionnalité ou de non-proportionnalité se fera ultérieurement.
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. » ■ Programmes 2008 : – « Utiliser un tableau dans des situations très simples de proportionnalité. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir la notion de « proportionnalité ». – Identifier ou appliquer le coefficient de proportionnalité. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération plastifié.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
‹ Remarque : Utiliser le tableau de numération. À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment on multiplie un nombre décimal par 10. » Réponse attendue : « On déplace la virgule d’un rang vers la droite. » • Consigne 2 : « Comment multiplier un nombre décimal par 100 ? » Laisser les élèves exposer leurs stratégies. Proposer : « Pour multiplier un nombre décimal par 100, il faut déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite. » Exemple : 7,98 × 100 = 798 • Consigne 3 : « Comment multiplier un nombre décimal par 100 quand celui-ci n’a qu’1 chiffre après la virgule ? » Donner un exemple en plaçant le nombre à multiplier dans le tableau de numération. Exemple : 6,7 × 100 Laisser les élèves chercher et faire des propositions. Proposer : « Il faut déplacer la virgule d’un rang vers la droite et ajouter un 0. » • Consigne 4 : « Comment multiplier un nombre décimal par 1 000 ? » Laisser les élèves exposer leurs stratégies. Proposer : « Pour multiplier un nombre décimal par 1 000, il faut déplacer la virgule de 3 rangs vers la droite. Si besoin, il faut ajouter un ou deux 0. » Exemples : 7,98 × 1 000 = 7 980 54,2 × 1 000 = 54 200
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des multiplications par 10, 100 ou 1 000. Vous écrivez le résultat sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 7,3 × 10 ; 98,65 × 10 ; 6,98 × 100 ; 9,43 × 1 000… La correction collective suit chaque produit. Placer chaque nombre dans le tableau de numération. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 2 : Découverte de la notion de « proportionnalité » à partir d’une situation concrète Travail collectif oral
Durée : 20 min
• Projet de classe : faire un gâteau. Apporter une recette très simple avec les proportions des ingrédients pour 8 personnes (exemple : recette du gâteau au yaourt). Il y a 24 élèves dans la classe. • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez découvrir la proportionnalité et le coefficient de proportionnalité, appelé aussi rapport de proportionnalité. » • Consigne 1 : « J’ai apporté la recette du gâteau au yaourt pour 8 personnes. Vous êtes 24. Comment faire pour fabriquer des gâteaux pour 24 personnes ? » Laisser les élèves exposer leurs stratégies. Proposer : « La recette est pour 8 personnes. Pour avoir la recette pour 24 personnes, il faut multiplier tous les ingrédients par 3 car 8 × 3 = 24. » • Consigne 2 : « Voici la recette. Vous cherchez combien il faut de chaque ingrédient pour 24 personnes. »
257
Les élèves recherchent par groupes de 4.
• A. L’objectif est de découvrir la notion de « proportionnalité » à partir d’une situation concrète multiplicative. Réponses : Hugo peut obtenir : 2 × 4 = 8 cartes « mousse » Lola peut obtenir : 3 × 4 = 12 cartes « mousse ».
Recette pour 8 personnes : • 1 pot de yaourt (garder le pot pour le reste de la recette) • 2 œufs • 3 pots de farine • 2 pots de sucre • 1 pot d’huile • 1 sachet de levure
• B. L’objectif est de découvrir le tableau de proportionnalité avec un rapport de proportionnalité de 2.
• Mise en commun. Un rapporteur de chaque groupe expose les solutions trouvées. Écrire les résultats au tableau. 1 pot de yaourt ➝ 3 pots de yaourt 2 œufs ➝ 6 œufs 3 pots de farine ➝ 9 pots de farine 2 pots de sucre ➝ 6 pots de sucre 1 pot d’huile ➝ 3 pots d’huile 1 sachet de levure ➝ 3 sachets de levure • Consigne 3 : « Comment passe-t-on d’1 pot de yaourt à 3 pots de yaourts ? de 2 œufs à 6 œufs ? etc. » Réponse attendue : « On multiplie par 3. » • Consigne 4 : « Comment présenter ces résultats de manière très lisible ? » Réponse attendue : « Sous forme de tableau. » Recette pour 8 personnes 1 pot de yaourt 2 œufs 3 pots de farine 2 pots de sucre 1 pot d’huile 1 sachet de levure
Recette pour 24 personnes 3 pots de yaourt 6 œufs 9 pots de farine 6 pots de sucre 3 pots d’huile 3 sachets de levure
Réponses : Cartes « capitaines » Cartes « pirate »
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
×2
• C. L’objectif est de trouver le rapport de proportionnalité, de compléter un tableau de proportionnalité et de comprendre qu’un tableau de proportionnalité peut se présenter verticalement ou horizontalement. Réponses : 16 : 2 = 8 32 : 4 = 8 Le rapport de proportionnalité est de 8 : 1 carte « capitaine » = 8 cartes « mousse » ×8 Cartes « capitaine » 2 4
• Consigne 5 : « Comment montrer dans le tableau que l’on passe de 1 à 3 ? de 2 à 6 ? etc. » Proposer : « On note ce que l’on appelle le rapport de proportionnalité. Chaque nombre de gauche est multiplié par 3. » ×3 Recette pour 8 personnes 1 pot de yaourt 2 œufs 3 pots de farine 2 pots de sucre 1 pot d’huile 1 sachet de levure
‹ Remarque : Lors de la mise en commun, expliquer aux élèves que le rapport de proportionnalité est constant : chaque nombre de cartes « capitaine » est × 2 pour obtenir le nombre de cartes « pirate ». Quel que soit le nombre de cartes « capitaine », il faut multiplier par 2 pour obtenir le nombre de cartes « pirate ».
Cartes « mousse » 16 32
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 20 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de compléter un tableau de proportionnalité en connaissant le rapport de proportionnalité. Réponse :
Recette pour 24 personnes 3 pots de yaourt 6 œufs 9 pots de farine 6 pots de sucre 3 pots d’huile 3 sachets de levure
Nombre de personnes Nombre d’œufs
1 2
2 4
3 6
4 8
6 12
8 16
×2
• Exercice 2 : L’objectif est de compléter un tableau de proportionnalité et d’identifier le rapport de proportionnalité. Réponse : ×5
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min Les élèves ouvrent leur manuel à la page 162. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche » Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
1
5
3
15
5
25
8
40
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris ce que sont la proportionnalité et le rapport de proportionnalité. » Lire la rubrique « Retenir ».
258
Séance 2 • A2.
Travail préparatoire
×5
u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’énonce des multiplications par 10, 100 ou 1 000. Vous écrivez le résultat sur l’ardoise que vous lèverez à mon signal. » Énoncer : 9,36 × 10 ; 908,6 × 10 ; 34,76 × 100 ; 6,57 × 1 000… La correction collective suit chaque produit. Placer chaque nombre dans le tableau de numération. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des multiplications par 10, 100 ou 1 000. Vous écrivez le résultat sur votre cahier. » Énoncer : 24,54 × 10 ; 98,51 × 100 ; 54,24 × 1 000… La correction collective suit.
×4
4
20
2
8
6
30
4
16
• A3. ×6
×7
1
6
1
7
3
18
4
28
5
30
7
49
7
42
5
35
• A4. 1 kg à 2 €. Il y a donc un rapport de proportionnalité de 2 : il faut multiplier par 2. Mme Dao dépensera 10 €, Mme Samir 4 € et Mme Tonis 8 €. • A5. ×5
u TEMPS 2 : Rappel Nombre d’h
Nombre de km
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris ce que sont la proportionnalité et le rapport de proportionnalité. »
1
5
2
10
3
15
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à compléter des tableaux de proportionnalité et à trouver le rapport de proportionnalité. »
4
20
Travail oral collectif
Durée : 5 min
M et Mme Grandpied parcourent 5 km en 1 h. Ils parcourraient 20 km en 4 h. Parcours B : • B1.
Travail dans le manuel u S’entraîner
4 24
×6
Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement » Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le fait de compléter des tableaux de proportionnalité en connaissant le rapport de proportionnalité, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la recherche du rapport de proportionnalité, proposer de commencer par les exercices A2, A3, B2 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
10 60
12 72
15 90
• B2. ×9
×7
5
45
6
42
9
81
3
21
• B3. ×9
×8
1
9
1
8
8
72
9
72
6
54
7
56
7
63
8
64
• B4. ×6 fraises
100
600
Correction des exercices :
groseilles
40
240
Parcours A : • A1.
framboises
50
300
cassis
20
120
×3
1 3
3 9
7 21
4 12
20 120
Pour 6 personnes, il faut 600 g de fraises, 240 g de groseilles, 300 g de framboises et 120 g de cassis.
259
• B5.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
× 150 1
150
10
1 500
5
750
60
9 000
Une poule mange 150 g de grain. Il faut prévoir 9 000 g de grains pour 60 poules.
Difficultés à comprendre des situations proportionnelles • Utiliser des situations concrètes très simples pour permettre aux élèves de manipuler. Exemple : Faire des échanges. – 1 image de fleur s’échange contre 3 images d’arbres ; – 1 image d’arbre s’échange centre 2 images de fruits. Distribuer des images et faire des échanges. Consigner les résultats dans un tableau. Observer le tableau et montrer que le rapport entre les échanges est toujours le même. • Faire d’autres types d’échanges : des billes contre des calots et des boulards ; des craies de couleurs différentes… Difficultés à compléter un tableau de proportionnalité (propriété multiplicative) • Montrer aux élèves qu’il suffit d’appliquer à chaque nombre le rapport de proportionnalité, c’est-à-dire de multiplier par… Les élèves prendront conscience une fois encore de l’importance de connaître les tables de multiplication. Difficultés à trouver le rapport de proportionnalité • Passer par les multiples et les tables de multiplication.
260
87
Les patrons du cube et du pavé droit Manuel de l’élève pages 164 et 165
Commentaires pédagogiques • Le patron d’un solide est la figure plane correspondant aux faces dépliées de ce solide. Le cube ayant 6 faces carrées, le patron du cube est composé de 6 carrés identiques. Le patron du pavé droit est composé de 6 rectangles, 2 à 2 identiques. Certains pavés droits peuvent avoir 2 faces carrées (rappel : le carré est un rectangle particulier). On peut donc dire que le cube est un pavé droit particulier. • Plusieurs patrons sont possibles pour un cube ou un pavé donné. Exemples pour le cube :
Même si chacun de ces patrons présente un intérêt, il paraît important de privilégier une forme facilement mémorisable, que ce soit pour le cube ou le pavé droit.
■ Socle commun (palier 2) : – « Reconnaître, décrire et nommer les solides usuels. » ■ Programmes 2008 : – « Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé. » – « Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. » ■ Objectifs des séances : – Reconnaître et tracer le patron d’un cube ou d’un pavé droit. ■ Matériel à prévoir : – pour la classe : divers solides (pavés droits avec faces carrées et faces rectangulaires et pavés droits avec faces rectangulaires uniquement, cubes de différents volumes, pyramides, boules, cônes, cylindres, prismes… de la vie courante et/ou achetés), une affiche pour le référent didactique ; – pour l’élève : une feuille photocopiée avec divers patrons (un patron de cube, un de pavé droit et d’autres patrons) ; du papier quadrillé (« Découvrir B » de la Séance 1), le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Intercaler un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Travail collectif oral
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « J’énonce 2 nombres entiers. J’écris des nombres décimaux au tableau. Vous devez trouver dans cette liste le nombre décimal qui s’intercale entre ces 2 entiers. » Interroger les élèves à tour de rôle. Énoncer : – « Trouvez le nombre décimal qui s’intercale entre 6 et 7. » Écrire : 8,1 / 6,9 / 5,8 / 7,02 – « Trouvez le nombre décimal qui s’intercale entre 3 et 4. » Écrire : 2,99 / 4,1 / 5,3 / 3,95 – « Trouvez le nombre décimal qui s’intercale entre 13 et 14. » Écrire : 12,99 / 1,3 / 1,40 / 13,02 La correction collective suit avec justification. • Consigne 2 : « J’énonce 2 nombres entiers. Vous devez trouver un nombre décimal entre ces 2 nombres entiers. » Énoncer des nombres entiers. Les élèves proposent des nombres décimaux. La classe valide ou pas en argumentant. ‹ Remarque : Montrer qu’il existe beaucoup de nombres décimaux compris entre 2 entiers.
u TEMPS 2 : Découverte de patrons du cube et du pavé droit Travail collectif oral
Durée : 30 min
Étape 1 : Rappel sur les propriétés du cube et du pavé droit Montrer divers solides (voir « Matériel pour la classe »). • Consigne 1 : « Vous connaissez le cube et le pavé droit. Quels sont les cubes parmi ces solides ? » Un élève rassemble ce qu’il pense être des cubes. • Consigne 2 : « Êtes-vous d’accord ? Pourquoi peut-on dire que ces solides sont des cubes ? » Laisser les élèves rappeler les propriétés du cube : « Il a 6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets. » (Les montrer en même temps.) • Consigne 3 : « Quels sont les pavés droits parmi ces solides ? » Un élève rassemble ce qu’il pense être des pavés droits. • Consigne 4 : « Êtes-vous d’accord ? Pourquoi peut-on dire que ce sont des pavés droits ? » Laisser les élèves rappeler les propriétés du pavé droit : « Il a 6 faces rectangulaires (ou 4 faces rectangulaires et 2 faces carrées), 12 arêtes et 8 sommets. » (Les montrer en même temps.)
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‹ Remarque : Si l’élève n’a sélectionné que les pavés droits aux faces rectangulaires, montrer les pavés droits avec les 2 faces carrées. Expliquer qu’un solide qui a 4 faces rectangulaires et 2 faces carrées est aussi un pavé droit et que le solide qui a 6 faces carrées est un pavé droit particulier que l’on nomme « cube ».
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 15 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 164. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
Étape 2 : Découvrir un patron de cube et de pavé droit Distribuer la fiche photocopiée avec les patrons suivants :
‹ Remarque : La phase A du Découvrir ne posera aucun problème aux élèves qui auront vécu la phase de manipulation précédente. Cette phase pourra donc être menée rapidement en oral collectif. • A. L’objectif est d’identifier les patrons du cube et du pavé droit parmi 3 patrons proposés. Réponses : Jonas doit utiliser le patron A et Aïcha doit utiliser le patron C. Le patron B ne correspond ni à un cube ni à un pavé droit car 2 de ses faces sont triangulaires. • B. L’objectif est de tracer un patron de cube sur quadrillage, de le découper et de le reconstituer pour obtenir un cube (le solide). ‹ Remarque : Passer auprès de chacun pour aider ceux qui en ont besoin. Observer les cubes construits par les élèves et valider ou non les productions.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir • Consigne 1 : « Voici des patrons. Ce sont des figures planes correspondant aux faces du solide déplié. Vous allez découper ces patrons et reconstituer les solides par pliages. Vous recherchez s’il y a un patron de cube et de pavé droit. » La mise en commun suit cette recherche. • Consigne 2 : « Quel est le patron du cube ? du pavé droit ? » Les élèves verbalisent et argumentent en s’appuyant sur les propriétés du cube et du pavé droit. • Expliquer : « Maintenant que vous avez revu les propriétés du cube et du pavé droit et que vous avez découvert un type de patron (il y en a d’autres), vous allez apprendre à tracer des patrons de cubes et de pavés droits. »
Travail individuel écrit
Durée : 15 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercice d’application ». Ils réalisent l’exercice sur papier quadrillé de 1 cm de côté. • Exercice : L’objectif est de tracer le patron d’un pavé droit, de le découper et de le reconstituer pour obtenir un pavé droit (le solide). En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à reconnaître et à tracer les patrons d’un cube et d’un pavé droit. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Intercaler un nombre décimal entre 2 nombres entiers. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne 1 : « J’énonce 2 nombres entiers. J’écris des nombres décimaux au tableau. Vous devez trouver dans cette liste le nombre décimal qui s’intercale entre ces 2 entiers. » Énoncer : – « Trouvez le nombre décimal qui s’intercale entre 17 et 18. » Écrire : 1,7 / 1,80 / 17,8 / 1,78 – « Trouvez le nombre décimal qui s’intercale entre 35 et 36. » Écrire : 35,55 / 36,01 / 3,99 / 3,85 La correction collective s’ensuit avec justification de chaque proposition.
• Consigne 2 : « J’énonce 2 nombres entiers. Vous devez trouver un nombre décimal compris entre ces 2 nombres entiers. » Énoncer des nombres entiers. Les élèves proposent un ou plusieurs nombres décimaux qu’ils écrivent sur leur cahier. La correction sera faite au cas par cas par l’enseignant lorsqu’il corrigera les cahiers.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à reconnaître et à tracer les patrons d’un cube et d’un pavé droit. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à identifier, compléter et tracer des patrons de cubes et de pavés droits. »
262
Travail dans le manuel
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement l’identification des cubes et des pavés droits et de leurs patrons, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement le tracé d’un patron sur quadrillage, proposer de commencer par les exercices A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. Cubes Pavés droits n° 2 et n° 6 n° 3, n° 4, n° 5 • A2. patron 1 : cube patron 2 : pavé droit • A3.
Difficultés à identifier les cubes parmi divers solides • Donner plusieurs solides (objets concrets) ainsi que des cubes de tailles différentes. Faire identifier les cubes en verbalisant leurs propriétés et en les montrant sur les cubes identifiés : « Il a 6 faces carrées identiques, 8 sommets et 12 arêtes. »
• Donner des solides dessinés sur papier. Les élèves colorient les cubes. Ils argumentent leur choix.
Difficultés à reconnaître le patron d’un cube ou d’un pavé droit • Donner des patrons. Les élèves les découpent et les assemblent pour reconstruire le solide. Les élèves ne gardent que les patrons de cubes et de pavés droits pour modèles. Parcours B : • B1. patron 1 : cube patron 3 : pavé droit • B2. A1 2,C 3,B • B3.
patron 2 : pavé droit patron 4 : cube 4,D
263
88
La division décimale de deux nombres entiers (2) Manuel de l’élève pages 166 et 167
Commentaires pédagogiques Cette leçon doit permettre de renforcer la technique opératoire de la division décimale de 2 nombres entiers (voir les commentaires de la leçon 80). Dans cette leçon, l’élève devra gérer un diviseur à 2 chiffres. ■ Socle commun (palier 2) : – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres entiers et décimaux. »
■ Programmes 2008 : – « Division décimale de deux entiers. » ■ Objectif des séances : – Renforcer le sens et la technique opératoire de la division décimale de deux nombres entiers. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail individuel écrit
Durée : 10 min
‹ Remarque : Préparer les indices au tableau en amont de ce temps de calcul mental. À l’écrit sur l’ardoise • Consigne : « J’ai écrit au tableau des indices pour vous permettre de trouver le nombre auquel je pense. Vous pouvez vous aider de votre ardoise pour trouver le nombre. » – 1er nombre : « Ma partie entière est 987. Ma partie décimale est 43. Qui suis-je ? » (987,43) – 2e nombre : « Ma partie décimale est 5 et ma partie entière 100 est 52. Qui suis-je ? » (52,05) – 3e nombre : « Dans ma partie entière, j’ai 4 dizaines, 6 unités et 7 centaines. Dans ma partie décimale, j’ai 2 dixièmes. Qui suisje ? » (746,2) – 4e nombre : « Dans ma partie décimale, j’ai 6 centièmes et 5 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 8 centaines et 2 unités. Qui suis-je ? » (802,56) – 5e nombre : « Dans ma partie entière, j’ai 4 centaines. Dans ma partie décimale, j’ai 3 centièmes. Qui suis-je ? » (400,03) La correction suit chaque nombre à découvrir. Placer les indices dans un tableau de numération, puis écrire chaque nombre hors du tableau.
• A. L’objectif est de calculer la division décimale de 2 nombres entiers avec 1 seul chiffre au diviseur. Réponse : 1 0, 0 0 8 – 8 1, 2 5 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0 • B. L’objectif est de calculer la division décimale de 2 nombres entiers avec 1 seul chiffre au diviseur. Réponse : 1 1, 0 0 4 – 8 2, 7 5 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0 • C. L’objectif est de calculer la division décimale de 2 nombres entiers avec 2 chiffres au diviseur. Réponse : 2 7, 0 0 – 2 4 3 0 – 2 4 6 0 – 6 0 0
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
• Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir la technique opératoire de la division décimale de 2 entiers. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 166. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
1 2 2, 2 5
Le prix d’une seule tartelette est de 2,25 E.
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit
Durée : 25 min
Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercice 1 : L’objectif est de calculer des divisions décimales de 2 entiers avec 1 ou 2 chiffres au diviseur.
264
Réponses : 8 6, 7 5
5 4 – 4 8 6 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
7 3 – 4 3 3 – 3 2 1 0 – 8 2 0 – 2 0 0
3 – 2 1 – 1
6 5 1 0 1 – 1
4 1 8, 2 5
2 5 1, 4 4 0 0 0 0 0 0 0
1 8 1 – 1 5 0 3 1 – 3 0 1 – 1
5 0 3, 6 2 0 0 0 0 0 0 0
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la technique opératoire de la division décimale de 2 entiers avec 1 ou 2 chiffres au diviseur. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Trouver le nombre pensé. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
‹ Remarque : Préparer les indices au tableau en amont de ce temps de calcul mental. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’ai écrit des indices au tableau pour vous permettre de trouver le nombre auquel je pense. » – 1er nombre : « Dans ma partie décimale, j’ai 9 centièmes et 8 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 6 centaines, 5 dizaines et 1 unité. Qui suis-je ? » (651,89) – 2e nombre : « Mon nombre d’unités simples est 7 643. Mon chiffre des dixièmes est 2 et mon chiffre des centièmes est 7. Qui suis-je ? » (7 643,27) – 3e nombre : « Dans ma partie décimale, j’ai 8 dixièmes. Dans ma partie entière, j’ai 402 dizaines. Qui suis-je ? » (4 020,8) – 4e nombre : « Mon nombre de dizaines est 36. Mon chiffre des centièmes est 5. Qui suis-je ? » (360,05) – 5e nombre : « Je suis un nombre décimal. Mon nombre de centaines est 12 et mon chiffre des dixièmes est 4. Qui suisje ? » (1 200,4) La correction collective suit. Placer les indices dans un tableau de numération, puis écrire chaque nombre hors du tableau.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division décimale de 2 entiers avec 1 chiffre au diviseur, proposer de commencer par les exercices A1, A2, A5, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la division décimale de 2 entiers avec 2 chiffres au diviseur, proposer de commencer par les exercices A3, A4, A6, B3, B4, B5 et B6, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. 2 5, 0 0 – 2 4 1 0 – 8 2 0 – 2 0 0
3 8, 0 0 – 3 2 6 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
8 4, 7 5
4 6, 7 5
3 8, 0 0 – 3 2 6 0 – 5 6 4 0 – 4 0 0
8 4, 7 5
• A2. 2 7, 0 0 – 2 4 3 0 – 2 8 2 0 – 2 0 0
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons revu la technique opératoire de la division décimale de 2 entiers avec 1 ou 2 chiffres au diviseur. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur cette compétence. »
• A3.
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
4 6, 2 5
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ».
265
1 4 2, – 1 2 5 1 7 – 1 5 2 – 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 5 5, 6 8
3 7 1, – 3 5 0 2 1 – 2 0 1 – 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 7, 4 2
• A4. 10 : 4 = 2,5 Chaque panneau de bois mesure 2,5 m. • A5. 306 : 24 = 12,75 Chaque sac de terreau pèse 12,75 kg. Parcours B : • B1. 1 6 9, 0 0 4 1 1 0, – 1 6 – 8 4 2, 2 5 0 9 3 0 – 8 – 2 4 1 0 6 – 8 – 5 2 0 – 2 0 – 0 • B2. 1 0 6, 0 0 8 1 1 9, – 8 – 8 1 3, 2 5 2 6 3 9 – 2 4 – 3 6 2 0 3 – 1 6 – 2 4 0 – 4 0 – 0
• B3.
0 0
4 2 9, 7 5
1, 0 0
1 0 1 5 6 – 6
8 1 3, 7 5
0 6 4 0 4 0 0 0 0
2 7 5 – 2 2 5 5 0 – 4 5 5 – 4
0 0 0 0 0 0 0
7 5 3 6, 6 8
2 1 0 6, 0 0 – 2 0 0 1 0 6 – 1 0 0 6 0 – 5 0 1 0 0 – 1 0 0 0
5 0 4 2, 1 2
• B4. 25 + 23 = 48 Maud et Florian ont 48 chèvres à eux deux. 132 : 48 = 2,75 Chaque chèvre produit 2,75 L de lait en moyenne en une journée. • B5. 60 – 20 = 40 40 trottinettes ont été vendues. 3 970 : 40 = 99,25 Le prix de vente d’une trottinette était de 99,25 €.
0 8 2 0 2 0 0
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques en leçon 80.
266
89
La proportionnalité (2) Manuel de l’élève pages 168 et 169
Commentaires pédagogiques La 1re leçon sur la proportionnalité a permis d’identifier le rapport de proportionnalité. Au cours de cette 2nde leçon, l’élève va utiliser les 2 propriétés caractéristiques de la proportionnalité : – la propriété additive : f(a + b) = f(a) + f(b) L’image d’une somme dans une relation de proportionnalité est égale à la somme des images. Dans l’exemple ci-dessous, le nombre proportionnel à la somme 3 + 2 est obtenu en faisant la somme du nombre proportionnel à 2 et du nombre proportionnel à 3, soit 14 + 21. 3+2=5 2 14
3 5 21 14 + 21 = 35 – la propriété multiplicative : kf(c) = f(kc) Dans cette relation de proportionnalité, l’image du produit d’un nombre par k est égale au produit de l’image de ce nombre par k. Dans l’exemple ci-dessous, l’image de 3 multipliée par 4 est égale au produit de l’image de 3, c’est-à-dire 21 par le même nombre 4. 3×4 2 14
3 21 21 × 4
■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. » ■ Programmes 2008 : – « Utiliser un tableau dans des situations très simples de proportionnalité. » ■ Objectif des séances : – Utiliser les propriétés additive et multiplicative de la proportionnalité. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques, le tableau de numération plastifié (Temps de Calcul mental), du matériel de manipulation (phase « Découvrir » de la Séance 1, situations concrètes avec des images de croissants et de chaussons aux pommes et des étiquettes pour noter les prix).
12 84
Séance 1 • Explication : « Aujourd’hui, vous allez apprendre les propriétés additive et multiplicative de la proportionnalité. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Comparer des nombres décimaux. Durée : 10 min Travail collectif oral et individuel écrit À l’oral • Consigne : « J’énonce 2 nombres décimaux. Vous les comparez et vous justifiez votre réponse. » Énoncer : 5,93 et 7,34 / 9,04 et 9,1 / 34,76 et 38 / 76,15 et 76,09 Les élèves interrogés donnent leur comparaison et justifient. Exemple : 7,93 > 7,34. Les 2 nombres ont la même partie entière, il faut regarder les dixièmes. 7,93 a 9 et 7,37 a 3 . 9 > 3 donc 7,93 > 7,34 10 10
10
10
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce 2 nombres décimaux. Vous les comparez sur votre cahier avec< et >. » Écrire : 56,3 et 65,4 / 39,67 et 40 / 76,05 et 67,89 Les élèves écrivent la comparaison sur leur cahier. La correction collective suit avec verbalisation de la comparaison.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 40 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 168. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Faire rappeler ce qu’est « un lot » et ce que sont « des promotions ». Ils effectuent ensuite la recherche par binôme. Les binômes peuvent être choisis par l’enseignant. Un élève performant peut par exemple travailler avec un élève plus fragile pour la mise en place d’un tutorat. La mise en commun suit chaque partie. ‹ Remarque : Mener cette phase de découverte avec les élèves les plus fragiles. Utiliser le matériel de manipulation (voir « Matériel à prévoir pour l’élève »). • A. L’objectif est de découvrir une situation de proportionnalité mettant en œuvre la propriété additive de la proportionnalité. Réponse : Sonia achète 9 croissants pour 6 €. Titouan achète 15 croissants pour 10 €. Prix des 9 croissants + prix des 15 croissants = prix des 24 croissants 6 + 10 = 16 Le prix des 24 croissants est de 16 €.
267
• B. L’objectif est de découvrir une situation de proportionnalité mettant en œuvre la propriété multiplicative de la proportionnalité. Réponse : 5 chaussons aux pommes = 6 € 10 chaussons aux pommes, c’est 2 lots de 5. 6 × 2 = 12 Noah va payer 12 € les 10 chaussons aux pommes. • C. L’objectif est d’appliquer la propriété additive de la proportionnalité à un tableau de proportionnalité. Réponses : + Nombre de croissants Prix en euros
3 2
6 4
9 6
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent l’exercice sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ». • Exercice : L’objectif est de résoudre ce problème de proportionnalité en utilisant la propriété additive de la proportionnalité et en complétant un tableau de proportionnalité. Réponses : Nombre de yaourts Capacité totale en cL
12 8
+ Lors de la mise en commun, montrer que, pour obtenir le prix de 12 croissants, on a additionné le prix de 3 croissants et le prix de 9 croissants. • D. L’objectif est d’appliquer la propriété multiplicative de la proportionnalité à un tableau de proportionnalité. Réponses : ×3 Nombre de chaussons aux pommes Prix en euros
5 6
6
12
18
24
30
36
150
300
450
600
750
900
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris les propriétés additive et multiplicative de la proportionnalité. » Lire la rubrique « Retenir ».
15 18 ×3
Séance 2 Travail préparatoire
Travail dans le manuel
u TEMPS 1 : Calcul mental
u S’entraîner
Objectif : Comparer des nombres décimaux.
Travail individuel écrit
Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez et vous justifiez votre réponse. » Écrire : 54,9 et 54,87 / 13,08 et 13,2 / 62 et 45,73 / 98,1 et 99. Les élèves interrogés donnent leur comparaison et justifient. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’écris 2 nombres décimaux. Vous les comparez sur votre cahier avec < et >. » Écrire : 407,4 et 407,01 / 276,67 et 276,8 / 598,02 et 600 / 389,92 et 390,01 Les élèves écrivent la comparaison sur leur cahier. La correction collective suit avec verbalisation de la comparaison.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la propriété additive de la proportionnalité, proposer de commencer par les exercices A1, B1, A4 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement la propriété multiplicative de la proportionnalité, proposer de commencer par les exercices A2, B2, A3 et B3, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices :
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris les propriétés additive et multiplicative de la proportionnalité. »
Parcours A : • A1. Nombre de bouteilles
4
6
10
Capacité totale en L
6
9
15
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à compléter des tableaux de proportionnalité et à résoudre des situations de proportionnalité en utilisant les propriétés additive et multiplicative. »
• A2.
268
Nombre d’objets
2
4
40
Masse en kg
7
14
140
• A3. Nombre de baguettes 1 2 3 4 5 6
• B4. Nombre de jours
Prix à payer 1,50 € 3€ 4,50 € 6€ 7,50 € 9€
Quantité en g
1
2
3
4
5
Distance en km
90
180
270
360
450
En 1 h, le pilote parcourt 2 fois moins de km qu’en 2 h : 180 : 2 = 90 km. En 4 h, il parcourt 2 fois plus de km qu’en 2 h : 180 × 2 = 360 km. En 5 h, il parcourt 5 fois plus de km qu’en 1 h : 90 × 5 = 450 km. Parcours B : • B1. Nombre de seaux
7
14
21
28
Capacité totale en L
84
168
252
336
• B2. Nombre d’objets
6
12
24
Masse en kg
7
14
28
• B3. Nombre de L
10
20
30
50
100
Nombre de kg
16
32
48
60
160
2
3
5
120
240
360
600
10
15
30
1 200 1 800 3 600
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
• A4. Heures
1
Difficultés à comprendre des situations proportionnelles Voir les pistes pédagogiques en leçon 86. Difficultés à compléter un tableau de proportionnalité (propriété multiplicative) Voir les pistes pédagogiques en leçon 86. Difficultés à trouver le rapport de proportionnalité Voir les pistes pédagogiques en leçon 86. Difficultés à compléter un tableau de proportionnalité (propriété additive) • S’appuyer sur des exemples concrets (voir phase « Découvrir » de la Séance 1) pour les élèves les plus fragiles et compléter en même temps le tableau de proportionnalité. • Apprendre aux élèves à bien observer les liens entre les nombres proposés. Si ces nombres ne sont pas des multiples, il s’agit peut-être d’une situation de proportionnalité où la propriété additive est en jeu.
269
90
Problèmes de la vie courante: les masses (2) Manuel de l’élève pages 170 et 171
Commentaires pédagogiques Pour cette dernière leçon sur les problèmes de la vie courante, l’élève s’entraînera sur une démarche formalisée de résolution de problèmes sur les masses, en suivant des étapes : – l’identification des informations ; – l’identification de la procédure de calcul parmi les procédures types : masse totale = masse A + masse B masse A = masse totale – masse B masse totale = masse d’une part × nombre de parts masse d’une part = masse totale : nombre de parts Rappeler l’importance de raisonner en termes de procédure de calcul plutôt que d’addition, soustraction, multiplication ou division. Le problème doit être raisonné avant d’être calculé : l’élève fera une addition parce que la procédure de calcul est de type additif ; – la conversion des données numériques dans la même unité ; – le ou les calculs ;
– la réponse sous forme de phrase avec les unités. Chaque problème complexe à étapes se gérera comme une succession de problèmes simples, chacun permettant de calculer une information manquant à la procédure principale. ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures. » ■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes sur les masses. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Séance 1 • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez utiliser ces formules et apprendre d’autres formules de calculs pour résoudre des problèmes sur les masses. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Travail dans le manuel
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant la séance, écrire au tableau des nombres décimaux en chiffres. Écrire : 7,54 / 98,9 / 54,02 / 806,82… À l’oral • Consigne : « J’ai écrit des nombres décimaux au tableau. Vous les lisez quand je vous interroge. » Interroger les élèves à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les écrivez en chiffres sur votre cahier. » Énoncer : 7 unités et 6 dixièmes / 3 dizaines, 1 unité et 8 centièmes / 876 unités et 46 centièmes / 49 dizaines, 6 dixièmes et 2 centièmes La correction collective suit. Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 170. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de résoudre un problème sur les masses de type « masse totale = masse A + masse B » et d’utiliser les conversions afin de pouvoir effectuer le calcul. Réponses : formule : masse totale = masse A + masse B 900 g + 1,1 kg = 900 g + 1 100 g = 2 000 g = 2 kg La masse totale des filets de saumon est de 2 kg.
Durée : 5 min
• B. L’objectif est de résoudre un problème sur les masses de type « masse d’une part = masse totale : nombre de parts ». Réponse : formule : masse d’1 part = masse totale : nombre de parts 2 kg : 8 = 0,25 kg = 250 g Chaque personne aura 250 g de saumon.
• Consigne : « Quelles sont les formules de calculs pour résoudre des problèmes sur les masses que vous connaissez ? » Réponses attendues : – masse totale = masse A + masse B + … – masse totale = masse d’un objet × nombre d’objets – différence de masse = masse A – masse B
• C. L’objectif est de résoudre un problème sur les masses de type « masse totale = masse d’1 part × nombre de parts ». Réponse : formule : masse totale = masse d’1 part × nombre de parts 0,25 kg × 8 = 2 kg La quantité totale de frites est de 2 kg.
u TEMPS 2 : Rappel des formules de calculs pour résoudre des problèmes sur les masses Travail collectif oral
270
• D. L’objectif est de résoudre un problème sur les masses de type « masse d’1 part = masse totale : nombre de parts ». Réponse : formule : masse d’1 part = masse totale : nombre de parts 250 g : 8 = 31,25 g La masse d’une part de camembert est de 31,25 g.
Réponses : Entre 1 et 6 personnes, le rapport de proportionnalité est de 6. Il faut donc soit multiplier soit diviser les quantités par 6. Pour 1 personne
Pour 6 personnes
Farine
20 g
120 g
Beurre
30 g
180 g
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Œuf(s)
1
6
Travail individuel écrit Durée : 20 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercice d’application ». • Problème : L’objectif est de réinvestir ses connaissances sur la proportionnalité dans le cadre d’un problème sur les masses en utilisant les formules de calculs « masse totale = masse pour 1 part × nombre de parts » et « masse pour 1 part = masse totale : nombre de parts ».
Sucre
40 g
240 g
Chocolat
50 g
300 g
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les masses en utilisant les formules de calculs générales. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectifs : Lire et écrire des nombres décimaux. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
• Mise en place. Avant ce temps de calcul mental, écrire au tableau des nombres décimaux en chiffres. Écrire : 9,76 / 4,02 / 457,92 / 87,4… À l’oral • Consigne : « J’ai écrit des nombres décimaux au tableau. Vous les lisez quand je vous interroge. » Interroger les élèves à tour de rôle. À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des nombres décimaux. Vous les écrivez en chiffres sur votre cahier. » Énoncer : 8 unités et 2 dixièmes / 30 dizaines 1 unité et 7 centièmes / 876 dizaines et 5 centièmes / 9 dizaines et 7 dixièmes / 67 centaines et 8 centièmes. La correction collective suit.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif
Durée : 5 min
• Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à résoudre des problèmes sur les masses en utilisant les formules générales. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner à résoudre des problèmes sur les masses en utilisant les bonnes formules de calculs. »
Travail dans le manuel u S’entraîner Travail individuel écrit
Durée : 45 min
Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté.
• Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de masses utilisant la formule de calcul « masse totale = masse pour 1 part × nombre de parts », proposer de commencer par les exercices A1 et B4, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de masses utilisant la formule de calcul « masse d’1 part = masse totale : nombre de parts », proposer de commencer par les exercices A1, A3 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de masses utilisant la formule de calcul « différence de masse = masse A – masse B », proposer de commencer par l’exercice A2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de masses utilisant la formule de calcul « masse B = masse totale – masse A », proposer de commencer par les exercices A5, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les problèmes de masses utilisant la formule de calcul « masse totale = masse A + masse B », proposer de commencer par les exercices A4, A5, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler. Correction des exercices : Parcours A : • A1. masse des oranges : 2,5 × 24 = 60 masse des clémentines : 1,5 × 32 = 48 60 + 48 = 108 Thierry a mis en vente 108 kg de fruits. • A2. 5,3 – 2,8 = 2,5 La différence de poids entre les 2 chats est de 2,5 kg. • A3. 45 : 25 = 1,8 Une boule de campagne pèse 1,8 kg. • A4. 15,7 × 32 = 502,4 Les 32 billes pèsent 502,4 g.
271
502,4 + 100 = 602,4 La pochette pèse 602,4 g quand Chang y range toutes ses billes. • A5. 38 + 49 = 87 Paul et Gabin pèsent ensemble 87 kg. 120 – 87 = 33 Chloé peut monter avec eux dans l’ascenseur si elle ne pèse pas plus de 33 kg. Parcours B : • B1. 450 g + 1,25 kg + 250 g + 2,25 kg + 3,5 kg + (0,25 kg × 3) Il faut convertir les masses dans la même unité. 450 g + 1 250 g + 250 g + 2 250 g + 3 500 g + (250 g × 3) = 8 450 g Le poids total des courses est de 8 450 g ou 8,45 kg. Le sac peut contenir 11 kg. Enzo peut donc rapporter ses courses chez lui en une seule fois. • B2. différence de masse entre les parents : 75,65 – 58,35 = 17,30 masse d’Arthur : 17,30 + 15,75 = 33,05 Arthur pèse 33,05 kg.
• B3. 90 : 72 = 1,25 Chaque colis pèse 1,25 kg. 1 kg < 1,25 kg < 2 kg Le tarif d’expédition pour un catalogue est de 5 €. • B4. 2,75 × 26 = 71,50 Il faut 71,50 kg d’avoine par jour pour nourrir les chevaux. 71,5 × 31 = 2 216,5 Il faut 2 216,5 kg d’avoine pour nourrir tous les chevaux pendant un mois de 31 jours.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques des leçons 12, 22, 25, 26 et 86. • Proposer des situations concrètes et proches des élèves. Faire manipuler et verbaliser la résolution en même temps. Utiliser des billes, des cartes, des bonbons…
272
91
La règle de trois Manuel de l’élève pages 172 et 173
Commentaires pédagogiques ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité : la règle de trois. » – « Savoir organiser des informations numériques. »
La règle de trois est une règle de proportionnalité. Nombre de personnes 5 4
Prix payé 25 ?
Elle permet de déduire le 4e nombre manquant à partir des 3 nombres connus. Plusieurs procédures de résolution sont possibles : – le produit en croix : soit y le nombre manquant : y × 5 = 25 × 4 Nombre de personnes 5 4
Prix payé 25 ?
■ Programmes 2008 : – « Utiliser la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité. » ■ Objectifs des séances : – Découvrir et utiliser la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
– le passage à l’unité : Il faut diviser par 7 pour avoir la quantité pour 1 part.
:7
×8
Quantité Quantité Quantité pour pour pour 7 parts 1 part 8 parts 14 2 16
Il faut multiplier par 8 pour avoir la quantité pour 8 parts.
Séance 1 u TEMPS 2 : Situation préparatoire à la découverte de la règle de trois
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental
Travail collectif oral
Objectif : Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Travail collectif oral et individuel écrit
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne 1 : « Rappelez-moi comment estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. » Laisser les élèves rappeler la démarche. Réponse attendue : « On utilise les valeurs approchées des nombres pour avoir l’ordre de grandeur du résultat. La valeur approchée d’un nombre est un nombre rond qui se termine par un 0. » • Consigne 2 : « J’énonce des additions ou des soustractions à calculer mentalement. Vous devrez trouver l’ordre de grandeur du résultat parmi les propositions écrites au tableau. » Énoncer : 401 + 590 Écrire au tableau : 10 / 100 / 1 000 La correction suit avec verbalisation : « La valeur approchée de 401 est 400. La valeur approchée de 590 est 600. 400 + 600 = 1 000. L’ordre de grandeur du résultat est 1 000, ce qui veut dire que le résultat exact sera proche de 1 000. »
Durée : 10 min
• Consigne 1 : « Je veux faire un gâteau au chocolat. Je connais les quantités pour 4 personnes. Vous allez m’aider à trouver les quantités d’ingrédients nécessaires pour 10 personnes. » Recette pour 4 personnes : • 250 g de chocolat noir • 4 œufs • 50 g de farine • 1 cuillère à café de levure • 80 g de sucre • 80 g de beurre Laisser les élèves exposer leurs propositions. Favoriser les échanges entre élèves. Proposer : « Si je connais les quantités pour 1 seule personne, est-ce que je peux trouver facilement les quantités pour 10 personnes ? » Réponse attendue : « Oui, ensuite tu n’auras qu’à multiplier les quantités pour 1 personne par 10. »
• Faire de même avec : 489 + 385 ; 901 – 298 ; 299 + 615…
• Consigne 2 : « À partir de la recette pour 4 personnes, comment calculer les quantités pour 1 personne ? » Réponse attendue : « Il faut diviser par 4 chaque quantité. »
Proposition d’un Temps 2 avant la recherche sur le manuel. L’enseignant choisira de le mener ou pas.
• Consigne 3 : « Sur votre cahier de mathématiques, cherchez les quantités pour 1 personne. »
273
• Mise en commun collective. Les élèves présentent leurs résultats écrits au tableau. Recette pour 1 personne : • 62,50 g de chocolat noir • 1 œuf • 12,50 g de farine • 1 de cuillère à café de levure 4 • 20 g de sucre • 20 g de beurre • Consigne 4 : « Maintenant que nous avons les quantités pour 1 personne, comment calculer les quantités pour 10 personnes ? » Réponse attendue : « Il faut les multiplier par 10. » Interroger des élèves qui iront compléter au tableau la recette pour 10 personnes.
• A L’objectif est de découvrir que, lorsqu’une situation-problème de proportionnalité ne peut être résolue avec une addition ou une multiplication, il faut passer par l’unité. Réponses : Si on connaît les quantités pour 4 personnes, il suffit de diviser par 4 pour avoir les quantités pour 1 personne. 8 :4 = 2 Le chef doit utiliser 2 œufs pour 1 personne. 2 × 7 = 14 Pour 7 personnes, il doit utiliser 14 œufs. • B. L’objectif est de découvrir la règle de trois, à savoir passer par l’unité pour avoir 1 part puis multiplier par le nombre de parts. Réponses : Quantité pour 3 personnes
Quantité pour 1 personne
Quantité pour 5 personnes
360 g
120 g
600 g
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir
Pour 10 personnes : • 625 g de chocolat noir • 10 œufs • 125 g de farine • 2 cuillères à café et 1 de levure 2 • 200 g de sucre • 200 g de beurre
Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Exercices 1 et 2 : L’objectif est d’utiliser la règle de trois dans une situation simple de proportionnalité. Réponse exercice 1 : :5
• Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez apprendre ce qu’est la règle de trois, qui se base sur ce que vous venez de faire pour la recette du gâteau au chocolat. »
Travail dans le manuel
Quantité pour 5 élèves
Quantité pour 1 élève
Quantité pour 26 élèves
20
4
104
Réponse exercice 2 :
u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral
× 26
:6 Durée : 35 min
Les élèves ouvrent leur manuel à la page 172. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche » Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie.
× 10
Quantité pour 6 tartes
Quantité pour 1 tarte
Quantité pour 10 tartes
18
3
30
En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont appris et retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons appris à utiliser la règle de trois (passage à l’unité) dans des situations de proportionnalité. » Lire la rubrique « Retenir ».
Séance 2 Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat. Travail collectif oral et individuel écrit
À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce des opérations à calculer mentalement. Vous devrez donner un ordre de grandeur des résultats. Vous écrivez les résultats sur votre cahier de mathématiques. » Énoncer : 292 + 317 ; 611 – 485 ; 908 × 2… La correction collective suit.
Durée : 10 min
À l’oral • Consigne : « J’énonce des multiplications à calculer mentalement. Vous devrez donner un ordre de grandeur des résultats. » Énoncer : 98 × 4 La correction s’ensuit avec verbalisation : « 98 c’est proche de 100 ; 100 × 4 = 400. Le résultat exact de 98 × 4 est proche de 400. » Énoncer : 53 × 7 ; 289 x 3 ; 617 × 4… La correction collective suit chaque multiplication.
u TEMPS 2 : Rappel Travail oral collectif Durée : 5 min • Consigne : « Qu’avez-vous appris lors de la séance précédente ? » Réponse attendue : « Nous avons appris à utiliser la règle de trois (passage par l’unité) dans des situations de proportionnalité. » • Expliquer : « Aujourd’hui, vous allez vous entraîner sur cette compétence. »
274
• B2.
Travail dans le manuel
:5
u S’entraîner Travail individuel écrit Durée : 45 min Les élèves écrivent en titre sur leur cahier de mathématiques : « Exercices d’entraînement ». Propositions de parcours : • Parcours A complet uniquement pour les élèves en difficulté. • Parcours B complet uniquement pour les élèves performants. • Pour les élèves qui ont besoin de travailler plus particulièrement les tableaux de proportionnalité, proposer de commencer par les exercices A1, A2, B1 et B2, puis de poursuivre le parcours A ou B en fonction des compétences à travailler.
Quantité pour 1 part
Quantité pour 9 parts
8
4
36
• A2. :7
×6
Quantité pour 7 parts
Quantité pour 1 part
Quantité pour 6 parts
21
3
18
:8 Quantité pour 1 part
Quantité pour 3 parts
32
4
12
• A3. :5
×8
Quantité pour 5 parts
Quantité pour 1 part
Quantité pour 8 parts
30
6
48
• A4. prix d’1 kg de pommes de terre : 6 : 3 = 2 prix des 8 kg : 2 × 8 = 16 Les 8 kg de pommes de terre valent 16 €. • A5. contenance d’1 arrosoir : 32 : 4 = 8 quantité d’eau pour 9 arrosoirs : 8 × 9 = 72 Le jardinier va utiliser 72 L d’eau. Parcours B : • B1. :7
Quantité pour 9 parts
150
30
270 ×9
Quantité pour 15 parts
Quantité pour 1 part
Quantité pour 9 parts
165
11
270
:6
×8
Quantité pour 6 parts
Quantité pour 1 part
Quantité pour 8 parts
240
40
320
• B4. capacité d’une bouteille : 9 : 6 = 1,5 Une bouteille contient 1,5 L d’eau. quantité d’eau pour 4 bouteilles : 1,5 × 4 = 6 4 bouteilles contiennent 6 L d’eau. • B5. prix d’une paire de gants : 125 : 5 = 25 Une paire de gants vaut 25 €. dépense pour 18 paires de gants : 25 × 18 = 450 La dépense sera de 450 € pour les 18 paires de gants.
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien
×3
Quantité pour 8 parts
Quantité pour 1 part
• B3.
×9
Quantité pour 2 parts
Quantité pour 5 parts
: 15
Correction des exercices : Parcours A : • A1. :2
×9
Difficultés à utiliser la règle de trois • Utiliser le tableau, une structure bien connue des élèves et simple. Proposer des situations très simples. Verbaliser toute la démarche. Exemple : « 3 paquets de bonbons valent 6 €. Combien valent 8 paquets de bonbons ? » Verbaliser : « 8 n’est pas un multiple de 3. Il faut donc passer par le prix d’1 paquet de bonbons, puis multiplier par 8 pour avoir le prix des 8 paquets de bonbons. Pour trouver le prix d’1 paquet de bonbons, je dois diviser par 3 ➝ 6 : 3 = 2 Un paquet de bonbons coûte 2 €. Pour connaître le prix de 8 paquets, je dois multiplier le prix d’1 paquet par 8 ➝ 2 × 8 = 16 8 paquets de bonbons coûtent 16 €. » :3
×8
×8
Quantité pour 7 parts
Quantité pour 1 part
Quantité pour 8 parts
Quantité pour 3 paquets
Quantité pour 1 paquet
Quantité pour 8 paquets
42
6
48
6€
2€
16 €
275
92
Méthodologie: les problèmes à étapes Manuel de l’élève page 174
Commentaires pédagogiques Les problèmes à étapes ont été régulièrement travaillés tout au long de l’année, de manière implicite le plus souvent et de manière explicite lors de la leçon 64. Cette leçon permettra à l’élève une dernière formalisation de la notion. ■ Socle commun (palier 2) : – « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. » – « Savoir organiser des informations numériques. »
Travail préparatoire u TEMPS 1 : Calcul mental Objectif : Résoudre des problèmes simples donnés oralement. Travail individuel écrit Durée : 10 min À l’écrit sur le cahier de mathématiques • Consigne : « J’énonce un problème. Vous écrivez l’opération en ligne et la réponse sur votre cahier. » – Problème 1 : « Luna achète 1 paquet de 8 images à 2 €. Quelle somme dépense-t-elle si elle achète 5 paquets ? 8 paquets ? 12 paquets ? » – Problème 2 : « Pendant la kermesse, Nico achète 7 gâteaux à 19,75 €. Donne un ordre de grandeur du prix total que Nico va payer. » – Problème 3 : « Gabin achète 2 BD à 10,50 € pièce. Il donne 30 € à la libraire. Combien lui rend-elle ? » La correction collective s’ensuit.
Travail dans le manuel u TEMPS 1 : Découvrir Travail individuel ou par binôme écrit et collectif oral Durée : 35 min • Explication : « Aujourd’hui, vous allez revoir la démarche pour résoudre des problèmes à plusieurs étapes. » Les élèves ouvrent leur manuel à la page 174. Sur le cahier de mathématiques, ils écrivent en titre : « Recherche ». Les élèves découvrent la situation. Ils effectuent la recherche individuellement ou par binôme (au choix de l’enseignant). La mise en commun suit chaque partie. • A. L’objectif est de lire l’énoncé du problème, de le comprendre, d’identifier la question et de trouver la formule générale de résolution du problème. Réponses : – question du problème : « Quel sera le montant total de la facture ? » – formule générale : montant total = coût pour la taille de la haie + coût pour l’abattage des arbres + coût pour la tonte de la pelouse • B. L’objectif est d’identifier les informations qui ne sont pas dans l’énoncé et qu’il faut calculer avant de pouvoir répondre à la question du problème.
■ Programmes 2008 : – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » ■ Objectif des séances : – Résoudre des problèmes à plusieurs étapes. ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : l’ardoise, le cahier et le manuel de mathématiques.
Réponses : L’information donnée dans l’énoncé que l’on n’a pas besoin de calculer est le prix de la tonte de la pelouse (75,35 €). Les informations à calculer sont : – le coût pour les 26 m de haie ; – le coût pour l’abattage des 2 arbres. coût pour les 26 m de haies = coût pour 1 m × nombre de m 12,75 × 26 = 331,50 Le coût pour la taille de la haie est de 331,50 €. coût pour l’abattage des 2 arbres = coût pour 1 arbre × nombre d’arbres 129,55 × 2 = 259,10 Le coût pour l’abattage des 2 arbres est de 259,10 €. • C. L’objectif est de résoudre le problème à partir de la formule de calcul initiale en utilisant les informations toutes connues maintenant. Réponse : formule générale : montant total = coût pour la taille de la haie + coût pour l’abattage des arbres + coût pour la tonte de la pelouse 331,50 + 259,10 + 75,35 = 665,95 • D. L’objectif est de répondre par une phrase à la question du problème. Réponse : Le montant total de la facture sera de 665,95 €. ‹ Remarque : Lors de la mise en commun, demander aux élèves (ou expliquer) comment résoudre ce problème avec des parenthèses. Ce travail a déjà été mené au cours de l’année. Certains élèves de CM1 sont capables maintenant d’utiliser les parenthèses pour résoudre un problème à étapes. montant total = (12,75 × 26) + (129,55 × 2) + 75,35 = 331,50 + 259,10 + 75,35 = 665,95
u TEMPS 2 : Appliquer ce que l’on vient de découvrir Travail individuel écrit Durée : 25 min Les élèves réalisent les exercices sur leur cahier de mathématiques. Ils écrivent en titre : « Exercices d’application ». • Problème : L’objectif est de résoudre un problème à étapes en organisant sa résolution avec méthode. Réponses : montant total de la dépense = prix de la cage + prix des 2 roues + prix des 4 sacs de granulés prix de la cage : 17,45 € (présent dans l’énoncé) prix des 2 roues : 9,95 × 2 = 19,90 € prix des 4 sacs de granulés : 3,95 × 4 = 15,80 €
276
montant total de la dépense = 17,45 + 19,90 + 15,80 = 53,15 Les parents de Léa ont dépensé 53,15 € à l’animalerie. ‹ Remarque : Même remarque que précédemment. Lors de la correction collective, demander aux élèves (ou expliquer) comment résoudre ce problème avec des parenthèses. montant total de la dépense = 17,45 + (9,95 × 2) + (3,95 × 4) = 17,45 + 19,90 + 15,80 = 53,15 En fin de séance, demander aux élèves ce qu’ils ont retenu. La réponse des élèves peut être : « Nous avons revu la démarche
pour résoudre des problèmes à étapes. Nous avons revu comment les résoudre avec des parenthèses. » Lire la rubrique « Retenir ».
Piste de remédiation Activités pédagogiques complémentaires Groupe de soutien Voir les pistes pédagogiques en leçon 46.
277
93
Bilan (10) Manuel de l’élève page 175
Commentaires pédagogiques Les bilans sont un point d’appui important pour cibler les élèves qui seront pris en charge lors du temps d’activités pédagogiques complémentaires, ou lors des groupes de besoin mis en place par l’enseignant. Ils sont également destinés aux élèves et à leurs parents afin qu’ils sachent où ils en sont dans leurs apprentissages. L’enseignant possède une grille pour chaque bilan avec la liste des élèves et les compétences évaluées. Cette grille sera renseignée après chaque bilan et analysée. L’enseignant aura une vue d’ensemble sur les acquis de la classe et de chaque élève. Les compétences non acquises par une majorité d’élèves seront reprises sous une autre forme pour le groupe classe. Des groupes de besoin peuvent être organisés pour des petits groupes d’élèves qui n’auraient pas atteint les compétences visées. ■ Socle commun (palier 2) : – « Écrire, nommer et comparer les nombres décimaux (jusqu’au centième). » – « Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations. » – « Reconnaître, décrire et nommer les solides usuels. » – « Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations sur les nombres décimaux. »
– « Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations, de la proportionnalité et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, règle de trois. » – « Savoir organiser des informations numériques. » – « Lire et interpréter quelques représentations simples : tableaux. » ■ Programmes 2008 : – « Savoir comparer, ranger et encadrer par 2 nombres entiers consécutifs des nombres décimaux. » – « Multiplier un nombre décimal par 10, 100 et 1 000 mentalement. » – « Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. » – « Effectuer un calcul posé : division décimale de 2 entiers. » – « Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. » – « Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé. » – « Reconnaître un patron de cube ou de pavé. » – « Interpréter un tableau. » – « Utiliser un tableau ou la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité. » ■ Matériel à prévoir : – pour l’élève : le cahier et le manuel de mathématiques.
u TEMPS 1 : Explication de l’enseignant
• Exercice 2 : L’objectif est de ranger dans l’ordre croissant des nombres décimaux ayant la même partie entière. Réponse : 61,37 < 61,41 < 61,9
Travail collectif oral Durée : 5 min Rappeler aux élèves ce qu’est un bilan, à quoi ça sert (pour l’enseignant, pour l’élève, pour les parents). Expliquer la nécessité de travailler individuellement.
• Exercice 3 : L’objectif est de compléter des tableaux de proportionnalité en appliquant les propriétés additive et multiplicative de la proportionnalité. Réponses :
Travail préparatoire
Nombre d’objets Prix en e
u TEMPS 2 : Calcul mental
Durée : 15 min Expliquer aux élèves qu’ils doivent laisser un espace pour un résultat non trouvé. • Consignes 1 : – Écrivez le résultat de : 65,98 × 10 ; – Écrivez le résultat de : 7,29 × 100 ; – Écrivez le résultat de : 6,3 × 100 ; – Écrivez le résultat de : 876,52 × 10 ; – Écrivez le résultat de : 12,4 × 1 000. • Consignes 2 : – Écrivez l’ordre de grandeur du résultat de : 295 + 412 ; – Écrivez l’ordre de grandeur du résultat de : 921 – 787 ; – Écrivez l’ordre de grandeur du résultat de : 32 × 21 ; – Écrivez l’ordre de grandeur du résultat de : 8,79 + 3,05 ; – Écrivez l’ordre de grandeur du résultat de : 56,88 – 33, 19.
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
×5
Nombre d’objets Prix en e
5 9
10 18
15 27
Nombre d’objets Prix en e
7 3
14 6
28 12
• Exercice 4 : L’objectif est d’identifier les patrons d’un cube et d’un pavé droit en s’appuyant sur leurs propriétés. Réponses : Le patron A est le patron d’un cube car il a 12 arêtes de même mesure et 6 faces carrées. Le patron B est le patron d’un pavé droit car il a 12 arêtes et 6 faces rectangulaires. • Exercice 5 : L’objectif est de calculer la division décimale de 2 nombres entiers. Réponses :
Travail dans le manuel Travail individuel écrit Durée : 45 min Les consignes sont lues par l’enseignant qui s’assure de leur compréhension par tous. • Exercice 1 : L’objectif est d’encadrer des nombres décimaux à l’unité près. Réponses : 4 < 4,7 < 5 ; 6 < 6,8 < 7 ; 38 < 38,86 < 37
278
3 5, 0 – 2 8 7 0 – 7 0 0
1 4 2, 5
6 – 5 1 – 1
4, 0 4 2 1 – 1
0 0 0 5 5 0 5 0 0
2 5 2, 5 6
• Exercice 6 : L’objectif est de lire et d’interpréter un tableau et d’utiliser la règle de trois pour résoudre un problème de proportionnalité très simple. Réponse : :5 ×9 Quantité de billes pour 5
Quantité de billes pour 1
Quantité de billes pour 9
35
7
63
• Exercice 7 : L’objectif est de résoudre un problème sur les masses en utilisant la bonne formule et en travaillant sur les conversions. Réponses : masse de bifteck par personne = masse totale : nombre de personnes 0,5 kg : 4 = 500 g : 4 = 125 g = 0,125 kg Rachid prévoit 125 g ou 0,125 kg de bifteck haché par personne.
masse de frites par personne = masse totale : nombre de personnes 1 kg : 4 = 1 000 g : 4 = 250 g = 0,25 kg Rachid prévoit 250 g ou 0,25 kg de frites par personne. • Exercice 8 : L’objectif est de résoudre un problème à plusieurs étapes. Réponse : Formule générale : montant total de la dépense = prix des 3 pots de peinture + prix des 2 rouleaux de papier peint + prix des 6 baguettes de bois prix des 3 pots de peinture : 27,38 × 3 = 82,14 € prix des 2 rouleaux de papier peint : 11,95 × 2 = 23,90 € prix des 6 baguettes de bois : 3,75 × 6 = 22,50 € montant total de la dépense = 82,14 + 23,90 + 22,50 = 128,54 Le montant total de la dépense est de 128,54 €.
279
Évaluations
LES ÉVALUATIONS Dans le manuel de l’élève figurent 10 bilans : ils servent de synthèse aux apprentissages vus durant chaque demi-période. Ils peuvent être utilisés de deux manières : – pour évaluer les élèves ; – pour réviser les compétences et les connaissances travaillées précédemment. Ce sont des bilans d’étape. Nous avons choisi de proposer ici des évaluations sommatives sous la forme de photofiches. Elles reprennent toutes les connaissances et les compétences étudiées par demi-période. L’enseignant choisira les modalités de leur utilisation : – les faire passer à chaque demi-période ; – les regrouper pour évaluer une période entière. Ces évaluations ont pour objectif de faire un point le plus complet possible des acquis des élèves au terme d’un apprentissage. Les exercices des photofiches doivent être réalisés par les élèves seuls, en autonomie, sans l’aide de l’enseignant. Cela permettra d’avor une image objective et fiable des connaissances et des compétences de chaque élève. Après l’analyse des résultats obtenus par chacun, il sera possible de mettre en place la différenciation pédagogique nécessaire. Dans ce guide pédagogique, à la fin de chaque leçon, une partie intitulée « Pistes de remédiation – Activités pédagogiques complémentaires – Groupe de soutien » propose une aide pour conduire au mieux cette différenciation. Avant chaque phase d’évaluation par la photofiche, il est bon de rappeler aux élèves l’objectif précis de celle-ci : elle est l’occasion de faire un point sur ce qu’ils savent et ce qui leur reste à apprendre ou sur ce qu’ils doivent améliorer. Nous proposons également des tableaux individuels par photofiche d’évaluation. Un tableau recense les compétences et les connaissances à évaluer avec précision dans chaque exercice de la photofiche en lien avec les connaissances et les compétences des programmes 2008 et du Socle commun attendues en fin de CM1. Ces tableaux sont à remplir avec les résultats obtenus par chaque élève. Ces résultats figureront dans le livret scolaire.
283
ÉVALUATION N° 1
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items Connaître les tables d’addition de 2 à 9. Ajouter ou retrancher 9, 19, 29…, 11, 21, 31…
Palier 2 du Socle commun – Restituer les tables d’addition. – Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Lire et écrire des nombres ≤ 9 999. Décomposer des nombres ≤ 9 999. Comparer des nombres ≤ 9 999.
– Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Exercice
Notation
Consolider les connaissances et capacités en calcul mental Calcul mental sur les nombres entiers.
Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3
Comparer, ranger, encadrer ces nombres.
Ranger des nombres ≤ 9 999. Calculer des additions et des soustractions avec retenues en colonnes.
Programmes 2008
Ex. 4 – Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations Effectuer un calcul posé : sur les nombres entiers. addition et soustraction. – Restituer les tables d’addition.
– Utiliser les unités Effectuer des conversions de mesure usuelles. sur les mesures de longueur. – Effectuer des conversions.
Connaître et utiliser les unités du système métrique pour les longueurs et leurs relations.
Ex. 5
Ex. 6
Poser et calculer des multiplications d’un nombre entier par un nombre à 1 chiffre.
– Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations Effectuer un calcul posé : sur les nombres entiers. multiplication. – Restituer les tables de multiplication.
Ex. 7
Utiliser les outils et le vocabulaire de la géométrie.
Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles.
Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas.
Ex. 8
Identifier des droites parallèles.
Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles.
– Reconnaître que des droites sont parallèles. – Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : droites parallèles.
Ex. 9
Résoudre un problème à étapes.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Savoir organiser des informations numériques.
- Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. – Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations.
Ex. 10
Consignes de calcul mental • 1re ligne : « Écrivez les résultats des additions : 3 + 5 ; 7 + 7 ; 9 + 4 ; 8 + 3 ; 3 + 7 ; 8 + 6 ; 9 + 8 ; 6 + 5 ; 4 + 8 ; 7 + 5. » • 2nde ligne : « Écrivez les résultats des opérations : 7 + 19 ; 6 + 39 ; 50 – 29 ; 57 + 11 ; 75 – 11 ; 346 + 31 ; 85 – 29 ; 40 – 19 ; 37 + 21 ; 12 + 49. »
284
ÉVALUATION N° 1
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Lis les nombres, puis écris-les en chiffres ou en lettres. • 3 865 :
..................................................................................................................
• mille vingt-trois : . . . . . . . . . . . . . . . • 9 unités de mille 7 centaines 6 dizaines et 3 unités : . . . . . . . . . . . . . . . • 6 dizaines 9 unités 7 unités de mille : . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
Décompose ou recompose les nombres. • 8 000 + 500 + 70 + 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 9 000 + 60 + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• (1 000 × 8) + (10 × 5) + 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• (1 000 × 3) + (2 × 10) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 1 750 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 9 053 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compare avec les signes ou =. • 8 987 . . . . . . . 9 500
• 7 080 . . . . . . . 7 800
• 5 000 + 700 + 40 + 6 . . . . . . . 5 746
• 4 001 . . . . . . . 3 999
• 3 678 . . . . . . . 3 768
• 6 045 . . . . . . . 6 000 + 400 + 5
• 2 000 + 300 + 20 + 1 . . . . . . . 2 000 + 20 + 1
• 3 256 . . . . . . . 3 000 + 200 + 50 + 6
Range ces nombres dans l’ordre croissant. 7 908 / 58 / 532 / 9 800 / 3 248 ...............
5
< ............... < ............... < ............... < ...............
Pose et calcule les opérations suivantes. • 932 – 328 = . . . . . . . . . . . . . . .
• 897 + 369 + 572 = . . . . . . . . . . . . . . .
285
6
Écris les nombres dans la même unité, puis additionne-les. • 9 m + 8 dm = . . . . . . . . . . . . . . . dm + . . . . . . . . . . . . . . . dm = . . . . . . . . . . . . . . . dm • 80 cm + 7 dm = . . . . . . . . . . . . . . . dm + . . . . . . . . . . . . . . . dm = . . . . . . . . . . . . . . . dm • 5 dm + 300 mm = . . . . . . . . . . . . . . . mm + . . . . . . . . . . . . . . . mm = . . . . . . . . . . . . . . . mm • 63 dm + 7 cm = . . . . . . . . . . . . . . . m + . . . . . . . . . . . . . . . m = . . . . . . . . . . . . . . . m
7
Pose et effectue les multiplications. • 85 × 9 = . . . . . . . . . . . . . . .
8
• 625 × 3 = . . . . . . . . . . . . . .
• 146 × 4 = . . . . . . . . . . . . . .
Réponds aux questions. A
• De quels instruments géométriques as-tu besoin pour tracer cette figure géométrique ? ........................................................................................ ........................................................................................
O
D
• Que peux-tu dire du point O ? ........................................................................................
9
Réponds à la question. Quelle droite est parallèle à la droite (d) ? (d4) (d2)
(d3) (d)
.....................................................................
(d1)
10 Résous le problème. Luna fabrique 12 colliers de perles pour ses amies. Elle utilise 8 perles bleues et 7 perles blanches par collier. Combien de perles utilise-t-elle au total ?
Fais tes essais.
......................................................... .............................................................. .........................................................
286
ÉVALUATION N° 2
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items Restituer les tables de multiplications de 2 à 9.
Palier 2 du Socle commun Restituer les tables de multiplication.
Lire et écrire des nombres ≤ 999 999. Décomposer des nombres ≤ 999 999. Comparer des nombres ≤ 999 999.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Programmes 2008
Exercice
Consolider les connaissances et capacités en calcul mental Calcul mental sur les nombres entiers. Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3
Comparer, ranger, encadrer ces nombres.
Ranger des nombres ≤ 999 999.
Ex. 4
Calculer des multiplications par un nombre à 2 chiffres.
– Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations Effectuer un calcul posé : sur les nombres entiers. multiplication. – Restituer les tables de multiplication.
Effectuer des conversions sur les mesures de masse.
– Utiliser les unités de mesure usuelles. – Effectuer des conversions.
Reconnaître et décrire une figure plane : le carré.
Décrire une figure en vue Reconnaître, décrire et de l’identifier parmi d’autres nommer les figures usuelles. figures ou de la faire reproduire.
Ex. 7
Estimer une valeur approchée.
– Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat. Estimer mentalement – Utiliser les techniques un ordre de grandeur opératoires des 4 opérations du résultat. sur les nombres entiers.
Ex. 8
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. Résoudre un problème – Résoudre des problèmes sur les mesures de longueur. dont la résolution implique des conversions. Organiser un problème en tableau.
Notation
Connaître et utiliser les unités du système métrique pour les masses et leurs relations.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Lire, interpréter et construire quelques représentations Construire un tableau. simples : tableaux.
Ex. 5
Ex. 6
Ex. 9
Ex. 10
Consignes de calcul mental • 1re ligne : « Écrivez les résultats des multiplications : 3 × 2 ; 6 × 3 ; 5 × 2 ; 4 × 4 ; 8 × 5 ; 3 × 2 ; 9 × 2 ; 6 × 4 ; 2 × 1 ; 7 × 4. » • 2nde ligne : « 9 × 5 ; 6 × 3 ; 2 × 9 ; 8 × 8 ; 7 × 6 ; 5 × 8 ; 4 × 9 ; 3 × 3 ; 7 × 9 ; 9 × 9. »
287
ÉVALUATION N° 2
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Lis les nombres, puis écris-les en chiffres ou en lettres. • 176 580 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
• deux cent quatre-vingt-treize mille quatre cent trois :
...............................................
• 6 dizaines de mille 9 centaines de mille 7 unités de mille et 8 dizaines simples : . . . . . . . . . . . . . . . • 402 023 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
2
Décompose ou recompose les nombres. • 300 000 + 3 000 + 500 + 3 =
...................................................................................
• (100 000 × 6) + (10 000 × 9) + (1 000 × 7) + (100 × 5) = • 810 005 300 =
3
4
..............................................
......................................................................................................
Compare avec les signes ou =. • 893 987 . . . . . . . . 93 500
• 78 080 . . . . . . . . 7 800
• 593 456 . . . . . . . . 600 000
• 400 999 . . . . . . . . 401 000
• 973 403 . . . . . . . . 974 000
• 89 000 . . . . . . . . 78 999
Range ces nombres dans l’ordre croissant. 876 580 / 76 400 / 521 890 / 98 640 / 900 800 .................
5
< ................. < ................. < ................. < .................
Pose et calcule les multiplications suivantes. • 264 × 72 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 546 × 63 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
• 198 × 89 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Écris les nombres dans la même unité, puis compare-les avec les signes ou =. • 8 700 g / 7 kg : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 7 kg et 700 g / 7 700 g : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 8 T / 8 500 kg :
7
......................................................................................................
Décris et nomme ce quadrilatère. A
B
...................................................................................... ......................................................................................
D
8
9
C
Écris la valeur approchée de chaque nombre. • 499 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 7 001 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 39 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 299 + 199 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 198 + 301 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 397 + 202 → . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcule la distance totale. 7 parcours de 84 km ................................................................ Départ
Arrivée
......................................................................
Distance totale ?
.........................................................................................................................
10 Organise ce problème sous forme de tableau et résous-le. Pour la rentrée des classes, Baptiste achète les fournitures scolaires de ses enfants : 8 cahiers, 3 stylos plume, 4 règles, 3 pochettes de feutres et 6 crayons de papier. Combien va-t-il payer en tout ?
2E
8E
3E
9E
Construis ton tableau.
1E
.........................................................................................................................
289
ÉVALUATION N° 3
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1 000.
Palier 2 du Socle commun Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Lire et écrire des nombres ≤ 999 999 999. Comparer des nombres ≤ 999 999 999.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Ranger des nombres ≤ 999 999 999.
Programmes 2008 Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1 000. Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
Exercice
Notation
Calcul mental
Ex. 1
Ex. 2 Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Ex. 3
Utiliser la calculatrice pour effectuer des opérations.
Utiliser une calculatrice.
Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice.
Ex. 4
Effectuer des conversions sur les mesures de capacité.
– Utiliser les unités de mesure usuelles. – Effectuer des conversions.
Connaître et utiliser les unités du système métrique pour les contenances et leurs relations.
Ex. 5
Écrire et identifier des multiples de nombres d’usage courant.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Reconnaître les multiples des nombres d’usage courant.
Identifier le centre, le rayon, le diamètre d’un cercle.
Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.
Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : centre d’un cercle, rayon, diamètre…
Ex. 8
Résoudre un problème sur les mesures de masse.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Ex. 9
Identifier les informations utiles pour répondre à la question et résoudre le problème.
Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations.
Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.
Ex. 10
Ex. 6 Ex. 7
Consignes de calcul mental Cas 1 à 10 : « Écrivez les résultats des multiplications : 9 × 10 ; 7 × 50 ; 8 × 60 ; 9 × 20 ; 3 × 70 ; 4 × 40 ; 5 × 30 ; 2 × 90 ; 5 × 60 ; 3 × 50. »
290
ÉVALUATION N° 3
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Lis les nombres, puis écris-les en chiffres ou en lettres. • 34 602 010 :
.........................................................................................................
.............................................................................................................................
• six cent millions trois cent vingt mille sept cent douze : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 2 centaines de millions 5 dizaines de millions 3 unités de millions 3 centaines de mille 2 dizaines simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 6 dizaines de millions 5 centaines de millions 4 unités de mille 9 centaines simples 8 dizaines simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 702 000 034 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
2
3
Compare avec les signes ou =. • 93 345 987 . . . . . . . . . . 93 876 500
• 34 780 080 . . . . . . . . . . 700 800
• 201 593 456 . . . . . . . . . . 300 000 000
• 400 000 000 . . . . . . . . . . 399 999 999
Range ces nombres dans l’ordre croissant. 58 900 000 / 106 000 000 / 762 000 000 / 7 876 999 / 110 000 000 ......................
4
< ...................... < ...................... < ...................... < ......................
Utilise ta calculatrice pour effectuer les opérations. • 765 + 9 345 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
• 9 801 – 6 838 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 579 × 65 = . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complète les égalités. • 9 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . cL
• 10 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . dL
• 5 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . mL
• 460 mL = . . . . . . . . . . . . . . . . . cL
• 800 cL = . . . . . . . . . . . . . . . . . L • 600 dL + 3 L =
......................................................................................................
• 300 cL + 5 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
6
Écris les 5 premiers multiples de 25. .............................................................................................................................
7
Entoure les multiples de 15. 50
8
30
68
45
90
80
150
Observe la figure et suis les consignes pour la compléter.
• Nomme O le centre du cercle de rayon 2 carreaux. • Nomme P le centre du cercle de 6 carreaux de diamètre. • Trace un rayon sur le cercle de centre P. • Trace un diamètre sur le cercle de centre O.
9
Résous le problème. Après une promenade en forêt, Luna veut savoir la masse de champignons qu’elle a ramassés. Elle pèse son panier vide. La balance affiche « 450 g ». Elle pèse ensuite son panier rempli de champignons. La balance affiche « 9 kg 500 g ». Quelle masse de champignons Luna a-t-elle ramassée ?
Fais tes essais.
......................................................................................................................... .........................................................................................................................
10 Résous le problème. Tu peux utiliser ta calculatrice. Dans le jardin de l’école, les élèves plantent Fais tes essais. des fleurs des 2 côtés de l’entrée. Chaque allée mesure 90 m. Ils plantent les fleurs tous les 30 cm. Les 10 bulbes de jacinthe coûtent 8 €, les 15 bulbes de tulipe coûtent 6 € et les 5 bulbes de dahlia coûtent 2 €. L’école a acheté 20 bulbes de jacinthe, 45 bulbes de tulipes et 20 bulbes de dahlia. Quelle somme a été dépensée pour acheter tous ces bulbes ? ......................................................................................................................... .........................................................................................................................
292
ÉVALUATION N° 4
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items Calculer la moitié, le quart, le tiers, le double, le triple, le quadruple d’un nombre entier. Lire et écrire des nombres ≤ 999 999 999. Décomposer et recomposer des nombres ≤ 999 999 999.
Palier 2 du Socle commun
Programmes 2008
Exercice
Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Consolider les connaissances et capacités en calcul mental Calcul mental sur les nombres entiers.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
Connaître et utiliser Calculer le périmètre les formules du périmètre d’un carré et d’un rectangle. d’un carré, d’un rectangle.
Notation
Ex. 1 Ex. 2
Formules du périmètre du carré et du rectangle.
Ex. 3
Tracer le symétrique d’une figure par symétrie axiale.
Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels.
Compléter une figure par symétrie axiale.
Ex. 4
Lire et interpréter un graphique et organiser ses données dans un tableau.
– Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques. – Savoir organiser des informations numériques.
– Interpréter un tableau ou un graphique. – Construire un tableau ou un graphique.
Ex. 5
Résoudre un problème sur les durées.
– Utiliser les unités de mesures usuelles. – Utiliser des instruments de mesure. – Effectuer des conversions. – Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : mesures.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Ex. 6
Résoudre un problème sur les mesures de capacité.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Ex. 7
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Écrivez : le triple de 300 ; le double de 450 ; le triple de 45 ; le quadruple de 60 ; la moitié de 160 ; le quart de 20 ; le tiers de 33 ; le triple de 60 ; le double de 63 ; la moitié de 82. »
293
ÉVALUATION N° 4
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Écris les nombres en chiffres et en lettres. Tu peux utiliser le tableau de numération. • millions : 7 c 2 d → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . →
.........................................................................................................................
• millions : 4 d 9 c 1 u →
mille : 8 c 3 d 7 u →
...............................................................
.........................................................................................................................
.............................................................................................................................
• millions : 9 u 3 d →
unités simples : 6 d 1 c 5 u → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.........................................................................................................................
.............................................................................................................................
2
Recompose ou décompose les nombres. • (100 000 000 × 4) + (10 000 000 × 2) + (1 000 000 × 9) + (100 000 × 6) + (100 × 3) + (10 × 5) + 1 = .......................................................................................................................... = .......................................................................................................................... • (100 000 000 × 8) + (1 000 000 × 6) + (10 000 × 9) + (1 000 × 1) + (100 × 5) + 3 = .......................................................................................................................... = .......................................................................................................................... • (100 000 000 × 5) + (10 000 000 × 9) + (10 000 × 4) + (10 × 7) = .......................................................................................................................... = ..........................................................................................................................
3
Calcule. • Le périmètre d’un carré de 6 cm de côté. .............................................................................................................................
• Le périmètre d’un rectangle de 30 cm de longueur et 15 cm de largeur. .............................................................................................................................
• La longueur d’un rectangle de 210 m de périmètre et de 30 m de largeur. .............................................................................................................................
294
4
Trace le symétrique de cette figure par rapport à l’axe de symétrie noir.
5
Organise les données de ce graphique en tableau et calcule le nombre d’élèves de cycle 3 qui restent à la cantine sur une semaine. Nombre d’élèves 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
CE2
Lundi
Mardi
Jeudi
CM1
Construis ton tableau.
CM2
Vendredi
Jours
......................................................................................................................... .........................................................................................................................
6
Résous les problèmes. • Le dessin animé commence à 20 h 30. Il se termine à 22 h 10. Quelle est la durée de ce dessin animé ?
Fais tes essais.
................................................................... ...................................................................
• Le TGV part de Paris-Gare de Lyon à 9 h 53. Il arrive à la gare de Montpellier 3 h 15 plus tard. À quelle heure le TGV arrive-t-il à Montpellier ?
Fais tes essais.
................................................................... ...................................................................
7
Résous le problème. Un camion-citerne livre du gasoil dans une stationservice. Sa cuve pleine contient 25 000 L. Après sa livraison, il lui reste 16 500L de gasoil. Quelle capacité de gasoil a-t-il livré à la station-service ? ................................................................ ................................................................
295
Fais tes essais.
ÉVALUATION N° 5
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items
Palier 2 du Socle commun
Programmes 2008
Exercice
Estimer mentalement Estimer mentalement l’ordre un ordre de grandeur de grandeur d’un résultat. du résultat.
Estimer mentalement un ordre de grandeur d’un résultat.
Écrire et nommer des fractions simples : demi, quart, tiers.
Écrire, nommer, comparer et utiliser quelques fractions simples.
– Nommer les fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart. – Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage.
– Rechercher le quotient par un calcul approché. – Calculer des divisions de 2 nombres entiers.
Utiliser les techniques Division euclidienne de deux opératoires des 4 opérations entiers. sur les nombres entiers.
Mesurer l’aire d’une figure sur papier quadrillé.
– Utiliser les unités de mesures usuelles. – Utiliser des instruments de mesure.
Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé.
Ex. 4
Identifier un losange en appui sur ses propriétés.
Reconnaître, décrire, nommer les figures et solides usuels.
– Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. – Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. – Utiliser en situation le vocabulaire géométrique.
Ex. 5
Résoudre un problème sur le périmètre du carré et du rectangle.
Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, figures géométriques.
– Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. – Formules du périmètre du carré et du rectangle.
Ex. 6
Lire et interpréter un graphique.
Lire, interpréter et construire Interpréter un tableau quelques représentations ou un graphique. simples : graphiques.
Notation
Calcul mental
Ex. 1
Ex. 2
Ex. 3
Ex. 7
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Je vous nomme une multiplication. Vous écrivez l’ordre de grandeur du résultat : 29 × 6 ; 52 × 3 ; 81 × 4 ; 49 × 5 ; 23 × 8 ; 98 × 2 ; 69 × 6 ; 82 × 7 ; 58 × 9 ; 31 × 7. »
296
ÉVALUATION N° 5
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.................
• un quart : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• un demi : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• un tiers : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• deux tiers : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• cinq demis : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• trois quarts : . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 1 de 50 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 • 1 de 16 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1 de 24 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 • 1 de 82 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Calcule.
Recherche le quotient par valeur approchée et calcule la division. 6
4
.......
.................
• 1 de 9 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 • 1 de 36 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3
.......
Écris les fractions en chiffres.
.................
2
.......
1
2
7
9
2
4
8
3
1
Calcule l’aire de cette figure.
............................................................................... ...............................................................................
Unité d’aire
297
5
Indique si ces deux quadrilatères sont des losanges. Justifie ta réponse pour chacun d’eux. E
• quadrilatère ABCD : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
......................................................................
D
B
......................................................................
H F
......................................................................
C G
6
• quadrilatère EFGH : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................................................................
Résous le problème. Lilou réalise un dessus de lit. Elle veut coudre de la dentelle tout autour. Son dessus de lit est rectangulaire, avec une longueur de 350 cm et une largeur de 185 cm. De quelle longueur de dentelle Lilou a-t-elle besoin ?
Fais tes essais.
............................................................ ............................................................
7
Observe le graphique et réponds aux questions. Sports
Natation
11 ans
Danse
10 ans Basket
9 ans
Foot 0
10 20 30 40 Nombre d’enfants inscrits dans les clubs sportifs du village
• Combien d’enfants de 10 ans jouent au basket ? ...............................................................................................................................
• Combien d’enfants de 11 ans pratiquent la natation ? ...............................................................................................................................
• Quel sport est le plus pratiqué par les enfants de 9 ans ? ...............................................................................................................................
• Combien y a-t-il d’inscrits dans le club de foot ? ...............................................................................................................................
298
ÉVALUATION N° 6
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items
Palier 2 du Socle commun
Programmes 2008
Exercice
Multiplier mentalement Calculer mentalement un nombre entier à 2 chiffres en utilisant les 4 opérations. par 10, 100, 1 000.
Multiplier mentalement un nombre entier par 10, 100, 1 000.
Calcul mental
Différencier « chiffre des » et « nombre de ».
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.
Ex. 1
Reproduire une figure sur quadrillage.
– Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour construire avec soin et précision des figures planes usuelles. – Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.
Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire.
Ex. 2
Écrire et représenter des fractions décimales : les dixièmes.
– Nommer les fractions simples et décimales en utilisant Écrire, nommer, comparer le vocabulaire : dixième. et utiliser quelques fractions – Utiliser ces fractions dans simples. des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.
Ex. 3
Calculer des divisions de 2 nombres entiers avec 2 chiffres au diviseur.
Utiliser les techniques Division euclidienne de deux opératoires des 4 opérations entiers. sur les nombres entiers.
Ex. 4
Classer et ranger des surfaces selon leur aire.
– Utiliser les unités de mesures usuelles. – Utiliser des instruments de mesure.
– Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif ou à l’aide d’une surface référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. – Ranger et classer des surfaces selon leur aire.
Résoudre un problème sur les mesures de durée.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Nombres décimaux : Connaître la valeur de chacun des chiffres Écrire des nombres à virgule Écrire, nommer, comparer de la partie décimale en fonction et faire le lien avec et utiliser les nombres de sa position (jusqu’au 1/100). les fractions décimales. décimaux jusqu’au centième. – Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée. Réduire un énoncé de problème et le résoudre.
Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations.
– Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.
Ex. 5
Ex. 6
Notation
Ex. 7
Ex. 8
Ex. 9
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Écrivez les résultats des multiplications : 24 × 10 ; 65 × 100 ; 13 × 1 000 ; 83 × 100 ; 98 × 10 ; 61 × 100 ; 29 × 1 000 ; 70 × 1 000 ; 26 × 100 ; 99 × 10. »
299
ÉVALUATION N° 6
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Écris « le chiffre » ou « le nombre » demandé. • le chiffre des unités de millions dans :
765 980 123 : . . . . .
789 432 103 : . . . . .
• le chiffre des dizaines de millions dans :
123 456 789 : . . . . .
980 765 432 : . . . . .
• le nombre de dizaines simples dans :
654 321 800 : . . . . .
• le nombre de centaines de mille dans :
567 890 132 : . . . . .
• le nombre d’unités de millions dans :
760 000 543 : . . . . .
2
Reproduis la figure sur le quadrillage de droite.
3
Écris la fraction correspondant à la partie colorée.
...........
4
.......
...........
...........
...........
Calcule les divisions. 6
7
3
8
4
4
300
9
1
4
2
5
5
Calcule l’aire de chaque figure en nombre de carreaux. Unité d’aire
• Figure n° 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 1
Figure 2 ...............................................................
• Figure n° 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................
Compare ces aires avec ou =. Figure n° . . .
6
......
Figure n° . . .
Résous le problème. Lilou prend le bus pour aller à l’école. La durée du trajet est de 22 min. Elle arrive à l’école à 8 h 20. À quelle heure prend-elle le bus ?
Fais tes essais.
............................................................ ............................................................
7
Écris le nombre à virgule indiqué par la flèche. • • •
8
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
.............................. ..............................
Écris chaque nombre sous la forme d’un nombre à virgule. • 7 + 3 :................. 10
9
..............................
• 9 + 1 :................. 10
• 68 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Réécris l’énoncé de problème en le réduisant au maximum, puis résous le problème. La veille de la rentrée des classes, le dimanche 1er septembre, Jonas et son père vont se promener dans les grands magasins. Pour faire plaisir à son fils, le papa de Jonas lui achète une paire de chaussures, pointure 35, au prix de 49 €, un pantalon taille 12 ans au prix de 38 €, deux tee-shirts taille S à 12 € pièce, un blouson à 50 €, une boîte de feutres à 10 € et une trousse garnie à 18 €. Quel est le montant de sa dépense pour l’habillement de Jonas ? ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ......................................................................................................................... .........................................................................................................................
301
ÉVALUATION N° 7
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items
Palier 2 du Socle commun
Programmes 2008
Exercice
Calculer mentalement des quotients avec reste.
Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Consolider les connaissances en calcul mental sur Calcul mental les nombres entiers.
Tracer une figure en suivant le programme de construction.
Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision.
Problèmes de reproduction, de construction : « Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes. »
Écrire et représenter des fractions décimales : les centièmes.
– Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; Écrire, nommer, comparer centième. et utiliser quelques fractions – Savoir les repérer, les placer simples. sur une droite graduée. – Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.
Écrire, nommer, comparer Écrire des nombres décimaux et utiliser les nombres en chiffres et en lettres. décimaux et quelques fractions simples.
– Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. – Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position.
Utiliser les techniques Poser et calculer des additions Additions de deux nombres opératoires des 4 opérations de nombres décimaux. décimaux. sur les nombres décimaux.
Notation
Ex. 1
Ex. 2
Ex. 3
Ex. 4
Ex. 5 Ex. 6
Coder et décoder les cases d’un quadrillage.
Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : figures géométriques.
– Lire les coordonnées d’un point. – Placer un point dont on connait les coordonnées.
Résoudre un problème de partage sur les mesures de longueur (distances).
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Savoir organiser des informations numériques. – Utiliser la calculatrice.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations. – Savoir organiser les données en vue de sa résolution.
Ex. 8
Résoudre un problème à étapes.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. – Savoir organiser des informations numériques. – Utiliser une calculatrice.
– Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. – Organiser ses calculs pour trouver un résultat à l’aide de la calculatrice.
Ex. 9
Ex. 7
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Écrivez le résultat des divisions et le reste : 24 : 5 ; 27 : 2 ; 80 : 9 ; 50 : 7 ; 37 : 6 ; 16 : 3 ; 76 : 8 ; 26 : 4 ; 58 : 9 ; 37 : 4. »
302
ÉVALUATION N° 7
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
.......
.......
.......
.......
.......
.......
2
.......
×
O
Écris la fraction correspondant à la flèche sur la droite graduée. •
7 10
8 10
9 10
.............
•
4 10
5 10
6 10
.............
Écris le résultat sous la forme d’un nombre à virgule. • 8 + 6 + 9 = ............... 10 100
4
.......
Trace la figure en suivant le programme de construction.
• Étape 1 : Place un point O. • Étape 2 : Trace un cercle de centre O et de 6 cm de diamètre. • Étape 3 : Trace un diamètre AB. • Étape 4 : Trace un cercle de centre B et de rayon 3 cm.
3
.......
• 4 + 7 + 5 = ............... 10 100
• 7 + 2 + 6 = ............... 10 100
Écris les nombres décimaux en chiffres ou en lettres. • sept virgule trois : . . . . . . . . . . . . . . .
• 8 unités 3 dixièmes et 2 centièmes : . . . . . . . . . . . . . . .
• 7,45 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • deux unités 8 centièmes :
5
.......................................................................................
Pose et calcule les additions de nombres décimaux. • 87,35 + 75,39 = . . . . . . . . . . . . . .
• 9,3 + 13,98 = . . . . . . . . . . . . . .
303
• 32,04 + 41,9 = . . . . . . . . . . . . . .
6
Écris le code de la case dans laquelle se situe chaque figure. A 1 2 3 4 5 6 7 8
7
B
C
D
E
F
G
H ● (. . . . . . . ; . . . . . . . )
●
óòó(. . . . . . . ; . . . . . . . ) ✮ (. . . . . . . ; . . . . . . . ) J
óòó
J (. . . . . . . ; . . . . . . . )
✮
Place les objets dans la bonne case. A
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4 5 6 7 8
8
(. . . . . . . ; . . . . . . . )
Ú (C ; 8) (G ; 5) r (F ; 2) Ø (A ; 7) J (B ; 6)
Résous le problème. Les CM2 participent au Cross des écoles. Ils parcourent 1 200 m sur un stade dont 1 tour mesure 400 m. Combien de tours font-ils ?
Fais tes essais.
............................................................ ............................................................
9
Résous le problème. Tu peux utiliser ta calculatrice. Pour Noël, une entreprise achète un cadeau pour chaque enfant du personnel : 34 poupées à 23 € l’une, 58 camions télécommandés à 19 € chaque, 37 lots de 4 DVD pour 25 € le lot et 29 dînettes à 21 € l’unité. • Combien d’enfants vont recevoir un jouet pour Noël ? • Quelle somme totale le comité d’entreprise va-t-il dépenser ? •
........................................................................ ........................................................................
•
........................................................................ ........................................................................
304
Fais tes essais.
ÉVALUATION N° 8
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items
Palier 2 du Socle commun
Estimer mentalement l’ordre Calculer mentalement de grandeur d’un résultat. en utilisant les 4 opérations.
Programmes 2008 Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat.
Exercice Calcul mental
Comparer et ranger des nombres décimaux.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux (jusqu’au 1/100).
Savoir comparer, ranger les nombres décimaux (jusqu’au 1/100).
Identifier des angles aigus, obtus ou droits en utilisant l’angle droit de l’équerre.
– Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. – Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.
– Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. – Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. – Estimer et vérifier en utilisant l’équerre qu’un angle est droit, obtus ou aigu.
Ex. 3
Soustraire deux nombres décimaux.
Utiliser les techniques Soustractions de deux nombres opératoires des 4 opérations décimaux. sur les nombres décimaux.
Ex. 4
Utiliser la règle, l’équerre Écrire le programme et le compas pour vérifier de construction d’une figure la nature de figures planes en vie de la faire reproduire. usuelles et les construire avec soin et précision.
Ex. 1 Ex. 2
Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.
Ex. 5
Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie…
Ex. 6
Tracer les axes de symétrie d’une figure.
Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels.
Multiplier un nombre décimal par un nombre entier.
Utiliser les techniques Multiplication d’un nombre opératoires des 4 opérations décimal par un nombre entier. sur les nombres décimaux.
Ex. 7
Résoudre un problème sur la monnaie.
– Utiliser les unités de mesures usuelles. – Effectuer des conversions. – Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures.
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Ex. 8
Reconnaître, décrire et nommer les figures et les solides usuels.
– Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : axe de symétrie. – Compléter une figure par symétrie axiale. – Compléter une figure par symétrie axiale.
Ex. 9
Reproduire une figure par symétrie axiale.
Notation
Consignes de calcul mental • Cases 1 à 5 : « J’écris au tableau des additions de nombres décimaux. Vous écrivez la valeur approchée du résultat : 2,89 + 7,03 / 8,1 + 9,9 / 5,09 + 2,1 / 8,95 + 9,07 / 34,09 + 12,1. » • Cases 6 à 10 : « J’écris au tableau des soustractions de nombres décimaux.Vous écrivez la valeur approchée du résultat : 7,12 – 4,09 / 8,95 – 6,98 / 12,2 – 9,89 / 7,01 – 5,18 / 48,95 – 39,07. »
305
ÉVALUATION N° 8
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
2
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Compare les nombres avec < ou >. • 87,4 . . . . . . . 65,98
• 27,99 . . . . . . . 34,1
• 63,67 . . . . . . . 64
• 18,2 . . . . . . . 18,07
• 31,09 . . . . . . . 31,1
• 46 . . . . . . . 45,99
Range les nombres dans l’ordre croissant. 31,8 / 8,95 / 34,7 / 29,99 / 31,53 ................
3
< ................ < ................ < ................ < ................
Indique pour chaque angle s’il est obtus, aigu ou droit. ^
• angle A : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
^
• angle B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^
• angle C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A C E
^
• angle D : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^
• angle E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
^
• angle F : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
4
Pose et calcule les soustractions. • 92,65 – 79,73 = . . . . . . . . . . . . . . . .
5
• 50, 5 – 27, 74 = . . . . . . . . . . . . . . . .
• 83 – 34,61 = . . . . . . . . . . . . . . . .
Écris le programme de construction de cette figure. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................
306
6
Trace les axes de symétrie de cette figure.
7
Pose et calcule les multiplications. • 8,5 × 3 = . . . . . . . . . . . .
8
• 27,3 × 8 = . . . . . . . . . . .
Résous le problème. Emma achète une paire de boucles d’oreilles pour 12,50 € et un collier à 19,25 €. Elle donne un billet de 20 € et 2 billets de 10 € à la vendeuse. Combien de monnaie la vendeuse lui rend-elle ?
• 26,49 × 4 = . . . . . . . . . . .
Fais tes essais.
..................................................................... .....................................................................
9
Trace le symétrique de la figure par rapport à l’axe de symétrie.
307
ÉVALUATION N° 9
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items Multiplier un nombre décimal par 10.
Palier 2 du Socle commun Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Écrire, nommer, comparer Écrire des nombres à virgule et utiliser les nombres et faire le lien avec décimaux et quelques les fractions décimales. fractions simples.
Programmes 2008 Multiplier mentalement un nombre décimal par 10, 100, 1 000. – Nommer les fractions simples décimales en utilisant le vocabulaire : dixième ; centième. – Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position ( jusqu’au 1/100). – Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée.
Exercice
Calcul mental
Ex. 1
Ex. 2
Mesurer et comparer des angles à l’aide d’un gabarit.
– Utiliser la règle, l’équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. – Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.
Multiplier un nombre décimal par un nombre entier à 2 chiffres.
Utiliser les techniques Multiplication d’un nombre opératoires des 4 opérations décimal par un nombre sur les nombres décimaux. entier.
Ex. 4
Diviser deux nombres entiers.
Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations Division décimale de deux sur les nombres entiers et entiers. décimaux.
Ex. 5
Décrire un prisme droit.
Reconnaître, décrire et nommer les solides usuels.
Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé prisme.
Ex. 6
Identifier, coder et décoder les points d’un quadrillage.
Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux et graphiques.
– Lire les coordonnées d’un point. – Placer un point dont on connait les coordonnées.
Ex. 7
Résoudre un problème à étapes sur la monnaie en repérant les mots-clés dans l’énoncé.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : les nombres. – Utiliser la calculatrice.
– Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. – Résoudre des problèmes engageant une démarche à 1 ou plusieurs étapes.
Ex. 8
Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit.
Notation
Ex. 3
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Écrivez les résultats des multiplications : 6,3 × 10 ; 9,03 × 10 ; 67,43 × 10 ; 987,28 × 10 ; 9,65 × 10 ; 34,28 × 10 ; 432,02 × 10 ; 7,99 × 10 ; 45,56 × 10 ; 67,3 × 10. »
308
ÉVALUATION N° 9
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
• •
.......
.......
.......
.......
.......
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
.......
.......
...........................
...........................
...........................
Écris les nombres sous forme de nombres à virgule. • 67 = . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
.......
Écris le nombre indiqué par une flèche sous la forme d’une fraction décimale. •
2
.......
• 8 = ............... 10
• 42 = . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 185 = . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chaque angle est comparé avec le même gabarit. Écris la mesure de chaque angle en nombre de gabarit(s), puis compare-les avec < ou >. Gabarit
^
• angle A : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^
• angle B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^
angle A
A B
4
Effectue les multiplications. 5 4 , 3 × 2 3
6 5 , 8 2 × 4 5
309
^
........
angle B
5
Effectue les divisions jusqu’à ce que le reste soit égal à 0. 6
6
3
5
5
2
7
8
4
5
Décris ce prisme droit. ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................
7
Écris les coordonnées de chaque point du quadrillage. 7 6
A
5 4
B
3
C
2
• point C (. . . . . . . ; . . . . . . . )
• point D (. . . . . . . ; . . . . . . . )
E
0 0
8
• point B (. . . . . . . ; . . . . . . . )
• point E (. . . . . . . ; . . . . . . . )
D
1
• point A (. . . . . . . ; . . . . . . . )
1
2
3
4
5
6
7
Résous le problème. Tu peux utiliser ta calculatrice. Pour la kermesse de l’école du village, les parents Fais tes essais. d’élèves achètent 9 paquets de 30 ballons au prix unitaire de 3,55 €, 5 paquets de 50 gobelets en plastique à 2,20 € pièce, 6 packs de soda pour 50,40 €, treize lots de 5 paquets de gâteaux à 8,40 € le lot et 12 paquets de bonbons à 3,60 € chacun. Le vendeur leur fait une remise de 5 €. Quelle somme dépensent-ils au total ? ......................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... .........................................................................................................................
310
ÉVALUATION N° 10
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Compétences et connaissances évaluées Items
Palier 2 du Socle commun
Programmes 2008
Exercice
Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000.
Calculer mentalement en utilisant les 4 opérations.
Multiplier mentalement un nombre décimal par 10, 100, 1 000.
Encadrer et ranger en ordre croissant des nombres décimaux.
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres décimaux et quelques fractions simples.
Savoir les repérer, les ranger, les encadrer par 2 nombres entiers consécutifs.
Compléter un tableau de proportionnalité.
Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité.
Utiliser un tableau dans des situations très simples de proportionnalité.
Ex. 3
– Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé. – Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.
Ex. 4
Reconnaître le patron Reconnaître, décrire et d’un cube et d’un pavé droit. nommer les solides usuels.
Calcul mental Ex. 1 Ex. 2
Diviser deux nombres entiers.
Utiliser les techniques opératoires des 4 opérations Division décimale de deux sur les nombres entiers et entiers. décimaux.
Ex. 5
Résoudre un problème sur les mesures de masse.
Résoudre des problèmes faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures.
Ex. 6
Résoudre un problème de proportionnalité en utilisant la « règle de trois ».
– Résoudre des problèmes relevant de la proportionna- Utiliser la « règle de trois » lité : « règle de trois ». dans des situations très – Savoir organiser des simples de proportionnalité. informations numériques.
Ex. 7
Résoudre un problème à plusieurs étapes.
– Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques. – Savoir organiser des informations numériques.
Ex. 8
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.
Notation
Consignes de calcul mental Cases 1 à 10 : « Écrivez les résultats des multiplications : 7,3 × 10 ; 98,65 × 10 ; 6,98 × 100 ; 9,43 × 1 000 ; 9,36 × 10 ; 908,6 × 10 ; 34,76 × 100 ; 6,57 × 1 000 ; 24,54 × 10 ; 54,24 × 1 000. »
311
ÉVALUATION N° 10
Date :
Nom :
Prénom :
. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
.............................................. . . . . . . . . . . . . . .
Calcul mental .......
1
2
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Encadre les nombres décimaux à l’unité près. • . . . . . . . . . . . < 6,3 < . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . < 76,39 < . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . < 7,01 < . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . < 643,32 < . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . < 87,4 < . . . . . . . . . . .
• . . . . . . . . . . . < 809,56 < . . . . . . . . . . .
Range les nombres dans l’ordre croissant. 98,4 / 93,16 / 98,08 / 93,6 / 9,89 ................
3
< ................ < ................ < ................ < ................
Complète les tableaux de proportionnalité. a) Nombre d’objets
1
2
3
4
5 ×5
Prix en E
........
........
........
Nombre d’objets
10
15
20
Prix en E
9
18
........
Nombre d’objets
8
16
32
Prix en E
5
10
........
........
........
b)
c)
4
Indique pour chaque patron s’il s’agit du patron d’un cube ou d’un pavé. Justifie tes réponses.
...........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
312
5
Calcule chaque division jusqu’à ce que le reste soit égal à 0. 1 0 6
6
4
1 1 0
8
3 6
2 5
Résous le problème. Sofia pèse 36 kg. Samir pèse le double de Sofia. Pour connaître la masse de Chloé, tu dois ajouter les masses de Sofia et Samir et diviser cette somme en deux. Combien Chloé pèse-t-elle ?
2 7 5 1
Fais tes essais.
.................................................................................. ....................................................................................... ..................................................................................
7
Résous les problèmes en utilisant la « règle de trois ». • Un pack de 6 bouteilles de jus d’orange contient 9 L. Quelle quantité de jus d’orange contiennent 4 bouteilles ?
Fais tes essais.
.................................................................................. ....................................................................................... ..................................................................................
• Il faut 21 pommes pour faire 7 tartes. Combien faut-il de pommes pour faire 9 tartes ? .................................................................................. ....................................................................................... ..................................................................................
8
Résous le problème. Lilou est passionnée de peinture. Pour son anniversaire, ses Fais tes essais. parents lui achètent un lot de 4 toiles à peindre pour 35,90 €, 7 tubes de peinture à l’huile au prix de 5,21 € chaque, un chevalet pour 27,90 € et 2 lots de pinceaux à 6,75 € le lot. Quelle somme dépensent-ils ? .................................................................................. ....................................................................................... ..................................................................................
313
7 5
Classe des millions c
d
Partie entière d
Classe des mille u
c
Classe des unités simples
d
u
c
d
u
Partie décimale u
c
1 10
1 100
d
u
m
dm
cm
mm
L
dL
cL
mL
315
, ,
dixièmes
centièmes
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 A
B
C
D
E 316
F
G
H
317
318
319
320