Livre de Maths [PDF]

Zitiervorschau

RE

S

PROGRAMME

2011

f(x) =

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

x2 + 5

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

S

re

programme

2011

Raymond Barra Jean-Michel Barros Patrick Bénizeau Jean Morin

avec la participation de Karine Liorit & David Nivaud

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

SOMMAIRE Débuter en algorithmique .. . . . . . . . 10 Thème 1. Qu'est-ce qu'un algorithme ?.. . . . 10 Thème 2. Variables et affectation .. . . . . . . . . . . . . 12 Thème 3. L'instruction conditionnelle . . . . . . 14 Thème 4. La boucle itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Thème 5. La boucle conditionnelle .. . . . . . . . . . 18

1

second degré. équations et inéquations .. . . . . . . . . . . 21 Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 43 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2

Variations des fonctions associées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Activités ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 67 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Activités ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . . . 88 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4

Fonctions dérivées. applications .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 113 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5

Suites. suites arithmétiques. suites géométriques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 137 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6

7

comportement d'une suite .. . . . . . . 141 Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 162 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

vecteurs. colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 187 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

© Nathan 2011 - ISBN : 978-2-09-172446-1

ISBN numérique : 978-2-09-110550-5 « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

8

angles orientés et trigonométrie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 210 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9

produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 235 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

scalaire : 10 produit applications

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................................

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291

Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 312 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

: 13 probabilités loi binomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Activités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Cours .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 343 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

239

Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 262 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

11 statistiques

: 12 probabilités variable aléatoire

265

Activités ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Cours ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Activités de recherche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Exercices d’entraînement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Exercices d’approfondissement .. . . . . . . . . . . . . 288 Travail en autonomie .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Le vocabulaire de la logique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Quelques types de raisonnement . . . . . . . . . . 352 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Corrigés des questions-tests .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Corrigés des « Pour se tester » .. . . . . . . . . . . . . . . . 366 Corrigés des exercices .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Coups de pouce .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Sur les rabats de la couverture Calculatrices Casio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I - I II Calculatrices Texas Instrument . . . . . . . . . . . . . . I V-VI

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DÉCOUVREZ VOTRE MANUEL Une ouverture qui relie les mathématiques au monde d'aujourd'hui.

Des rappels, des activités courtes et un problème ouvert.

Le cours, adapté, simple et efficace, présente l’essentiel à savoir.

Des résultats bien mis en évidence.

Des démonstrations pour initier au raisonnement.

Les connaissances utiles sont rappelées au début de l’objectif.

Les exercices d’application s’organisent en objectifs pour un travail en autonomie. Elles suivent les capacités attendues.

La page « Pour se tester » permet à chaque élève d'évaluer l'acquisition des connaissances.

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Des exercices de narration de recherche.

Les « Activités de recherche » permettent d'aborder la résolution de problèmes de diverses façons : exercices guidés, narration de recherche, utilisation des TICE. Une frise présente des mathématiciens à connaître.

Les exercices d’entraînement sont classés par thèmes et sont de difficulté progressive. Des exercices « de tête » à faire sans les mains.

Des exercices d’algorithmique et de logique dans chaque chapitre.

Des exercices corrigés en fin de manuel. Ils ont une boîte blanche 75 .

Des exercices « Avec les TICE ». Des exercices de prise d’initiative.

Les exercices d'approfondissement nécessitent une maîtrise du calcul et du raisonnement un peu plus affirmée.

Des exercices de prise d'initiative plus difficiles.

une page de travail en autonomie, avec des coups de pouce. « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Des outils pour travailler avec les TICE Dans le manuel, le logo outil 3 signale qu’un diaporama est disponible sur le site compagnon de votre manuel www.transmathlycee.net/eleve-1reS

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Liste des outils Tableurs

GeoGebra outil 1

Prise en main de GeoGebra

outil 9

Prise en main d'un tableur

outil 2

Utiliser et paramétrer la grille

outil 10

Utiliser le symbole $ dans les formules

outil 3

Créer un curseur

outil 11

Insérer un diagramme type XY

outil 12

Créer la table d'une loi binomiale

outil 13

Représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons

outil 4

Utiliser le tableur de GeoGebra

outil 5

Autour d'une fonction

outil 6

Tangente à une courbe, à un cercle

outil 7

Avec les vecteurs

outil 8

Angle de vecteurs

Algorithmique outil 14

Prise en main d’AlgoBox

Ressources du manuel numérique enrichi Dans le manuel, des logos signalent des ressources du manuel numérique enrichi.

 Des animations pour mieux comprendre.

Des exercices interactifs.

 es compléments : D des exercices supplémentaires, des ressources pour travailler avec les TICE, …

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PROGRAMME D'après le B.O. n° 9 du 30 septembre 2010

1. Analyse CONTENUS Second degré Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Étude de fonctions Fonctions de référence x  1x et x  |x|.

Sens de variation des fonctions u + k, lu, 1u et 1  , la fonction u étant connue, k étant u une fonction constante et l un réel. Dérivation Nombre dérivé d'une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point. Dérivée des fonctions usuelles : x  1x, x  1 et x  xn (n entier naturel non nul). x Dérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d'une fonction. Suites Modes de génération d'une suite numérique.

Suites arithmétiques et suites géométriques. Sens de variation d'une suite numérique. Approche de la notion de limite d'une suite à partir d'exemples.

CAPACITÉS ATTENDUES Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d'une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d'un problème : développée, factorisée, canonique.

●

Connaître les variations de ces fonctions et leur représentation graphique.  Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + ∞[.  Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x  x, x  x2 et x  1x. ● Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. ●

●

Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.

●

Calculer la dérivée de fonctions.

●

Exploiter le sens de variation pour l'obtention d'inégalités.

Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites.  Mettre en œuvre des algorithmes permettant : – d'obtenir une liste de termes d'une suite ; – de calculer un terme de rang donné.  Établir et connaître les formules donnant 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qn. ● Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite. ●

2. Géométrie CONTENUS Géométrie plane Condition de colinéarité de deux vecteurs : xy' – yx' = 0. Vecteur directeur d'une droite. Équation cartésienne d'une droite. Expression d'un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

CAPACITÉS ATTENDUES

 Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite. ● Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point. ● Déterminer un vecteur directeur d'une droite définie par une équation cartésienne. ● Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.

Trigonométrie ● Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : Cercle trigonométrique. – déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ; Radian. – résoudre dans R les équations d'inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a. Mesure d'un angle orienté, mesure principale. Produit scalaire dans le plan Définition, propriétés.

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : – projection orthogonale ; – analytiquement ; – à l'aide des normes et d'un angle ; – à l'aide des normes. ● Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème. ●

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CONTENUS Vecteur normal à une droite. Application du produit scalaire : – calculs d'angles et de longueurs ; – formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus.

CAPACITÉS ATTENDUES Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal. ● Déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.  Déterminer une équation de cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.  Démontrer que : cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. ●

3. Statistiques et probabilités CONTENUS Statistique descriptive, analyse de données Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type. Diagramme en boîte. Probabilités Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart-type. Modèle de la répétition d'expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues. Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès). Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale. Échantillonnage Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence.

CAPACITÉS ATTENDUES Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart-type) et (médiane, écart interquartile). ● Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice. ●

Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire. Interpréter l'espérance comme valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de répétitions.

● ●

Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré. ● Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d'une variable aléatoire associée à une telle situation. ●

●

Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.

Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.  Démontrer que : n n n+1 1 k 2 + 1k + 12 = 1k + 1 2 ● Représenter graphiquement la loi binomiale. ● Utiliser l'espérance d'une loi binomiale dans des contextes variés. ●

Exploiter l'intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l'aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

●

Algorithmique

[…] Aucun langage, aucun logiciel n'est imposé. […] Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables : – d'écrire une formule permettant un calcul ; – d'écrire un programme calculant et donnant la valeur d'une fonction ; – ainsi que les instructions d'entréees et sorties nécessaires au traitement. Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d'une résolution de problèmes, doivent être capables de : – programmer un calcul itératif, le nombre d'itérations étant donné ; – programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.

Notations et raisonnement mathématiques

Cette rubrique, consacrée à l'apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l'objet de séances de cours spécifiques, mais doit être répartie sur toute l'année scolaire. En complément des objectifs rappelés ci-dessous, un travail sur la notion d'équivalence doit naturellement être mené en série scientifique (propriété caractéristique, raisonnement par équivalence). Notations mathématiques Les élèves doivent connaître les notions d'élément d'un ensemble, de sous-ensemble, d'appartenance et d'inclusion, de réunion, d'intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : , , ,  ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémenaire d'un ensemble A, on utilie la notation des probabilités wA. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples, à : – utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des courants de « et », « ou » dans le langage usuel ; – utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ", $ ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ; – distinguer, dans le cas d'une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; – utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ; – formuler la négation d'une proposition ; – utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; – reconnaître et utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l'absurde.

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Débuter en

ALGORITHMIQUE

Activité 1

THÈME 1. 

Qu’est-ce qu’un algorithme ?

Qu’est-ce qu’un algorithme ?

A, B et C sont trois points non alignés. On considère la suite d’instructions : dessinez le triangle ABC ; ●● placez le milieu A’ du segment [BC] ; ●● tracez la droite (AA’) ; ●● placez le milieu B’ du segment [AC] ; ●● tracez la droite (BB’) ; ●● placez le point d’intersection des droites (AA’) et (BB’). ●●

1 Quel est l’objectif de ce « programme de dessin » ? 2 Peut-on changer l’ordre des étapes ? Précisez.

A B’ C B

A’

3 Proposez un « programme de dessin » dont l’objectif est de tracer le cercle passant par les trois points A, B et C, c’est-à-dire le cercle circonscrit au triangle ABC.

Activité 2

Les étapes d’une résolution

La résolution de l’ inéquation 3x – 5  7 nécessite plusieurs étapes. 3x – 5  7 ↓ On ajoute 5 aux deux membres. 3x  12 ↓ On divise par 3 les deux membres. x  4 ↓ On précise l’ensemble des solutions. S = [4 ; + ∞[

1 Peut-on changer l’ordre des étapes ? 2 a) Détaillez les étapes nécessaires à la résolution de

x–5 = 3x + 1. 3 b) Auriez-vous pu choisir un ordre différent pour ces étapes ? Précisez. l’équation

Vocabulaire Définition. Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires,

à appliquer dans un ordre déterminé, à des données. Les trois phases d’un algorithme sont : 1 l’entrée de données ; 2 le traitement des données ; 3 la sortie de résultats.

Entrée

Sortie

Exemple. L e fonctionnement d’un navigateur GPS utilise un processus algorithmique : algo_fig02

– en entrée, il reçoit un point d’origine et un point d’arrivée ; 28 x 30 – le traitement des données est réalisé par une succession programmée d’instructions ; – en sortie, il transmet le parcours à effectuer pour relier les deux points donnés.

Un peu d’histoire. Le mot algorithme vient du nom du mathématicien persan al-KhuwarizmI (début du ixe siècle). En effet, il exposa le premier les méthodes de base de la résolution pas à pas des équations. Cependant, les algorithmes sont plus anciens. Déjà en 1 800 avant J.-C., les Mésopotamiens calculaient des valeurs approchées des racines carrées à l’aide d’algorithmes.

10

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Débuter en ALGORITHMIQUE

Exercices

1 À faire « fonctionner » … Choisir un nombre x. Le multiplier par 2. Ajouter 3 au résultat. Élever le résultat au carré.

4 Calcul de l’hypoténuse ABC est un triangle rectangle en A. On note a, b et c les mesures des cotés opposés aux sommets, comme indiqué ci-dessous. C

a) Appliquez ce programme de calcul, en donnant à x

1  ; 100. 2 b) Pouvez-vous choisir un nombre qui donne en sortie 0 ? 9 ? 100 ? – 9 ? c) Donnez l’expression de la fonction correspondant à ce programme de calcul.

a

b

les valeurs 5 ; –1 ;



2 Un peu de mémoire Choisir un nombre. Lui soustraire 2. Garder en mémoire le résultat. Reprendre le nombre de départ. L'élever au carré. Ajouter 1 au résultat. Diviser par le nombre placé   en mémoire

A

5 Des chemins différents Les deux algorithmes ci-dessous ont été écrits par Clovis et Darius. Clovis Entrée des données Le nombre x Traitement des données a reçoit x + 3 a reçoit a2 a reçoit a – 1 Sortie Affichage du nombre a

Darius

3 Des nombres et des points Dans un repère (O ; I, J), les points A, B et C ont pour coordonnées respectives (xA ; yA), (xB ; yB) et (xC ; yC). On s’intéresse à l’algorithme suivant.

Entrée des données Le nombre x Traitement a reçoit x a reçoit a a reçoit a

Entrée des données Les nombres xA, yA, xB, yB, xC, yC

Sortie des résultats : Affichage de xD et yD

1. Choisissez les nombres xA, yA, xB, yB, xC et yC puis placez les points A, B et C dans un repère. 2. Appliquez alors cet algorithme aux nombres choisis et placez le point D de coordonnées (xD ; yD). 3. Précisez l’objectif de cet algorithme. Justifiez.

B

Écrivez en langage naturel, la suite d’instructions qui permet d’obtenir le nombre a connaissant les nombres b et c.

a) Appliquez ce programme de calcul, en donnant à x les valeurs 8 ; 1 ; 0 ; 2. b) Donnez l’expression de la fonction correspondant à ce programme de calcul.

Traitement des données x + xC xA’ reçoit B 2 yB + yC yA’ reçoit 2 xD reçoit 2xA’ – xA yD reçoit 2yA’ – yA

c

des données + 6 × x + 8

Sortie Affichage du nombre a

1. a) Complétez le tableau suivant. Entrée

Sortie Clovis

Darius

2 – 5 1/2

b) Que pouvez-vous conjecturer ? Démontrez- le. 2. a) Clovis et Darius ont obtenu les nombres 0, – 1 et 8 en sortie. Pouvez-vous retrouver les nombres x qu’ils ont utilisés ? b) Peuvent-ils obtenir en sortie le nombre –2 ? Débuter en algorithmique

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Débuter en ALGORITHMIQUE

THÈME 2. 

Variables et affectation

Activité 1

Respecter les consignes

On considère le programme de calcul ci-contre. Enzo et Valentin avaient pour objectif de transcrire sur leurs calculatrices l’algorithme ci-contre , dans lequel les nombres A et B sont compris entre 0 et 9. Voici le programme d’Enzo sur sa Casio :

Entrée des données Les nombres A et B Traitement des données C reçoit B B reçoit A A reçoit C C reçoit 10A + B Sortie Affichage du nombre C

Valentin, sur sa TI, a inversé deux instructions :



A

B

1

2

C



Utilisez votre calculatrice ou le tableau ci-contre pour répondre aux questions suivantes.

1 Qu’obtiennent-ils après avoir saisi dans l’ordre les nombres 1 et 2 ? 2 Essayez avec d’autres couples. Qu’est-ce qui caractérise le programme d’Enzo ? celui de Valentin ? 3 a) Combien de variables ont été utilisées par chaque programme ?



b) Précisez pour chacune d’elles si son contenu a été : ●● initialement obtenu par saisie ; ●● affecté par une instruction du programme.

Vocabulaire Dans tout algorithme, on commence par l’entrée des données nécessaires au traitement. Chacune de ces données est stockée dans la mémoire de la calculatrice ou de l’ordinateur à un emplacement nommé variable et repérée par un nom. ●● Dans le déroulement de l’algorithme, il s’avère souvent nécessaire d’utiliser de nouvelles variables : pour des calculs intermédiaires, pour fournir les données en sortie, etc. Les variables peuvent contenir des nombres, mais aussi des listes, des chaînes de caractères (notamment pour l’affichage de messages), … ●● En résumé, les instructions de base que l’on peut pratiquer avec une variable sont : – la saisie : on demande à l’utilisateur de donner une valeur à la variable ; – l’affectation : on donne à la variable le résultat d’un calcul, d’une suite d’instructions ; – l’affichage : on affiche le contenu de la variable. ●●

Exemple. Dans l’activité, nous avons utilisé trois variables. Pour A et B, nous avons saisi le premier contenu. La variable C a été utilisée au cours du traitement ; elle a été affectée du contenu de B, puis du résultat d’un calcul par l’instruction : C reçoit 10A + B. Enfin, son contenu a été affiché. 12

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Exercices

6 On considère l’algorithme ci-dessous. Lire x Lire y a reçoit x + y b reçoit x – y c reçoit a × b Afficher c

qui doivent apparaître sur la facture pour un achat de n objets identiques de prix unitaire hors taxe P. La taxe appliquée ici est de 19,6 %. 1. Précisez les variables utilisées. 2. Complétez les instructions relatives aux calculs de prix.

1. Identifiez les parties « Entrée », « Traitement » et

« Sortie » de cet algorithme. 2. Identifiez les différentes variables utilisées et leurs

utilisations (Saisie –Affectation- Affichage). 3. Pouvait-on faire l’économie de variables ?

7 On considère le programme de calcul suivant. Choisir un premier nombre L’élever au carré Choisir un second nombre L’élever au carré Faire la somme des carrés Afficher cette somme

1. Identifiez et nommez les variables à utiliser. 2. a) Trouvez des couples de nombres dont la donnée

permet d’obtenir à l’affichage le nombre 1. b) Associez à chaque couple trouvé précédemment un point dans un repère orthonormé. Que pouvezvous conjecturer ?

11 Le point commun

a, b, c et d sont quatre nombres réels. Les droites D1 et D2 ont pour équations respectives y = ax + b et y = cx + d. On suppose a ≠ c. On considère alors l’algorithme suivant (écrit avec Algobox).

8 Autour d’un rectangle Écrivez un programme de calcul qui donne en sortie le périmètre et l’aire d’un rectangle après avoir demandé sa longueur et sa largeur.

9 Une bonne résolution … 1. Proposez un programme de calcul ayant pour

3 = 5. x+5 2. Le but de cette question est de construire un algorithme permettant de résoudre les équations de type a = c (E), avec a ≠ 0 et c ≠ 0. x+b a) Identifiez les variables à utiliser. a b) Vérifiez que le nombre – b est l’unique solution c de l’équation (E). c) Écrivez un algorithme répondant au problème et testez-le avec a = 3, b = 1 , c = 5. d) Programmez-le sur votre calculatrice pour vérifier son fonctionnement. objectif la résolution de l’équation

10 Un problème de facturation L’algorithme suivant a pour objectif de déterminer les prix hors taxe (PHT) et toutes taxes comprises (PTTC)

1. Quel est l’objectif de cet algorithme ? 2. Pourquoi suppose-t-on a ≠ c ? Que se passe-t-il si

l’utilisateur attribue la même valeur à a et c ? 3. Faites l’inventaire des variables utilisées. 4. Programmez votre calculatrice et vérifiez alors le bon fonctionnement en choisissant judicieusement les valeurs à saisir. 12 Une équation de droite A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d’abscisses distinctes dans un repère donné. Écrivez un algorithme qui permet d’obtenir l’équation réduite y = mx + p de la droite (AB). Débuter en algorithmique

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13

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THÈME 3. 

L’instruction conditionnelle

Activité 1

Choisir la bonne équation y

On considère la fonction f définie sur l’intervalle I = [– 3 ; 5] , dont la représentation graphique est donnée ci-contre.

1 5 1 a) On choisit un nombre x. À quelle condition utilise-t-on la y = – 2 x + 2

formule x + 1 pour calculer l'image de x ? 1 5 Et la formule –  x +  ? 2 2 b) À quelle condition le calcul n'est-il pas possible ?



2 Traduisez en langage naturel une méthode de calcul de l’image d’un nombre x par la fonction f.

Activité 2

y = x +1

1 O

1

x

Rectangle ou pas ?

On envisage de créer un algorithme permettant de vérifier qu’un triangle est rectangle ou non, en utilisant les mesures a, b et c de ses côtés (c étant supérieur à a et b).

1 Après avoir saisi a, b et c, que souhaitez-vous à l’affichage en sortie ? 2 Proposez un traitement des données approprié.

Vocabulaire La résolution de certains problèmes conduit parfois à une situation dans laquelle la décision prise est soumise à condition : – si la condition est vérifiée, on effectue une tâche précise, – si elle n’est pas vérifiée, on effectue une autre tâche. Instructions pour la calculatrice ●● Cela se traduit dans un algorithme Langage Casio Langage T.I. par le schéma ci-dessous : ●●

Si condition alors tâche 1 sinon tâche 2 FinSi

Instructions à effectuer si la condition est vérifiée. Instructions à effectuer si la condition n’est pas vérifiée.

●● Le « sinon » n’est pas systématique. Sans cette instruction, si la condition n’est pas vérifiée, la tâche n’est pas effectuée et l’algorithme passe à l’instruction suivante.

Exemple. Écrire un algorithme qui précise l’appartenance (ou non) d’un point, choisi par l’utilisateur, à la parabole d’équation y = x2 – 5x + 6 . Protocole

Algorithme

● On utilise trois variables :

Variables x, y, fx du type nombre Entrée Saisir x Saisir y fx reçoit x2 – 5x + 6 Traitement Si y = fx Alors afficher « Le point appartient à la courbe. », Sinon afficher « Le point n’appartient pas à la courbe. » FinSi

x et y, coordonnées du point choisi et fx, ordonnée du point d’abscisse x de la parabole. ● On teste l’appartenance du point à la parabole : si y est égal à fx, alors le point appartient à la parabole, sinon il n’appartient pas.

14

Avec Algobox

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Débuter en ALGORITHMIQUE

Exercices 13 Sécantes ou parallèles ? a, b, c et d sont quatre nombres réels. Les droites D1 et D2 ont pour équations respectives y = ax + b et y = cx + d. Écrivez un algorithme précisant la position relative des deux droites.

au et av, non nuls, définis par leurs coordonnées dans un repère.

14 À la piscine Lucie a pris pour l’année un abonnement à la piscine lui donnant droit à 25 entrées. Son abonnement coûte 30 € et chaque entrée supplémentaire 1,50 €. Écrivez un algorithme lui permettant de calculer sa dépense annuelle en fonction du nombre d’entrées.

Entrée des données Les nombres xu, yu, xv, yv Traitement des données et affichage A reçoit xu × yv – xv × yu Si …   Alors…   Sinon… FinSi

15 Les résultats de l’examen Le tableau suivant indique la situation d’un candidat à l’issue des épreuves d’un examen.

b) Complétez l’algorithme afin qu’il affiche, dans le cas de la colinéarité de au et av, le réel k tel que av = k au. x Remarque. au est non nul, si xu ≠ 0 alors k = v  , sinon xu y k = v  . yu

Moyenne M (sur 20) M 250

Taxe (€) / gramme de CO2 0 2€ 4€

Écrivez un algorithme permettant de calculer la taxe à acquitter suivant la quantité de CO2 par km émise. 17 Quel est l’objectif de l’algorithme ci-dessous, écrit avec Algobox ? Remarque. floor(10*random()) donne, au hasard, un nombre entier compris entre 0 et 9.

18 Colinéaires ou pas ? a) Complétez l’algorithme suivant qui a pour objectif de déterminer la colinéarité (ou non) de deux vecteurs

L’instruction Ran# génère un nombre aléatoire appartenant à l’intervalle [0 ; 1[ et Int (x) donne la partie entière de x, c'est-à-dire le nombre entier n tel que n < x < n + 1, donc, ici, 0 ou 1. ●

T.I.

L’instruction entAléat(n,p) – ou randInt(n,p)– génère un nombre aléatoire entier compris entre n et p. a) Que doit saisir le joueur ? b) Ajoutez une instruction pour que le joueur soit informé du tirage simulé par la calculatrice ? Débuter en algorithmique

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15

Débuter en ALGORITHMIQUE

THÈME 4. 

La boucle itérative

Activité 1

Des carrés imbriqués

On envisage de décrire la figure ci-contre construite à partir du grand carré dont le côté mesure 10 cm. Tous les reports mesurent 1 cm.

1 Décrivez la séquence nécessaire à la construction de l’un de ces carrés.

2 Combien de fois a-t-on répété cette séquence ?

Activité 2

Combien de « tours » ?

1 1 1 1

Dans cet organigramme, les variables S et i sont affectées au départ, respectivement par les valeurs 0 et 1. a) Précisez le rôle de la variable i et le nombre de fois où le test (i < 6) est réalisé. b) Qu’obtient-on finalement à l’affichage ?

S=0 i=1 i + 1 i S + 2i  S Oui

i≤6

Non

Afficher S

Vocabulaire Dans l’exécution d’un programme, on est parfois amené à réaliser plusieurs fois de suite la même tâche. En algorithmique, on dit qu’on exécute plusieurs fois la Instructions calculatrice même boucle et on utilise les instructions suivantes : Langage Casio Langage T.I.

●●

Pour i de 1 jusque N faire tâche FinPour ●● Avec cette instruction, on répète donc un nombre (fixé) de fois la même tâche. Ici, de 1 à N, soit N fois. La variable i est un compteur. Si le pas n’est pas précisé (step), elle augmente de 1 à chaque « tour ». Pour préciser, par exemple, un pas de 2 (i augmente de 2 à chaque tour), on note : pour Casio : For 1 → To N Step 2  et pour T.I. : For(I, 1, N, 2).

Exemple. Écrire un algorithme qui permet de calculer la somme des N premiers nombres entiers

naturels non nuls.

Protocole Les variables sont : – N : le nombre de termes de la somme ; – S : la somme ; – i : le compteur. ● On choisit le nombre N d’entiers à ajouter : 1+2+3+…+N (en fait N est le dernier de la somme). On « initialise » la variable S à 0. ● à chaque tour, on ajoute à S le nombre contenu dans le compteur i, puis on affecte cette somme à S. ● On affiche la dernière valeur de S. ●

16

Algorithme Variables N, S, i Entrée Saisir N. S reçoit 0.

Avec sa calculatrice Avec une Casio

Avec une TI Traitement Pour i de 1 jusque N faire S reçoit S + i FinPour Sortie Afficher S

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Débuter en ALGORITHMIQUE

Exercices 20 Choisir le nombre de termes ●

Casio

●

26 a) Précisez ce que l’on obtient en exécutant l’algorithme suivant.

T.I.

a) Traduisez le programme ci-dessus en langage courant. b) Que permet-il de calculer ? c) Qu’obtient-on à l’affichage pour N = 8 ? 21 Une suite « logique » (1) Écrivez un algorithme qui donne en sortie l’affichage des quinze premiers nombres de la suite « logique » : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… 22 Une suite « logique » (2) Écrivez un algorithme qui donne en sortie l’affichage du vingtième nombre de la suite « logique » : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… 23 La table d’addition Complétez l’algorithme suivant dont l’objectif est d’afficher la table d’addition de (0 à 9) d’un nombre entier N saisi par l’utilisateur. Variables N, i, S Algorithme Afficher « Choisissez un entier N » Saisir N Pour i de 0 à … S reçoit … Afficher … « + »… « = » … FinPour

24 La table de multiplication Écrivez un algorithme donnant la table de multiplication par 3 (de 1 × 3 à 10 × 3). 25 Les économies Mara ouvre un livret d’épargne. Elle envisage de placer chaque année, au 1er janvier, la même somme de 300 €. Chaque année les intérêts de 2 % s’ajoutent, à cette même date, à son capital. a) Complétez le tableau suivant traduisant le capital acquis au cours des années, à la date du 2 janvier. Année 0 300 e

Année 1 606 e

Année 2

Année 3

b) Justifiez que si C est le capital de l’année n, celui de l’année n +1 est alors C × 1,02 + 300. c) Écrivez un algorithme lui permettant de calculer le capital acquis au bout de 10 ans, à la date du 2 janvier.

Variables a, b, i, y Algorithme Saisir a, b Pour i de 0 à 10 y reçoit a × i + b Dessiner le point de coordonnées (i, y) FinPour

b) Le fait d’inverser l’ordre des deux dernières instructions modifie-t-il le résultat ? 27 Représenter point par point On souhaite représenter point par point, la fonction f définie par f(x) = x2 – x + 5 sur un intervalle [a ; b]. Pour cela, on partage le segment [a ; b] en N segments

b–a . N On obtient ainsi N + 1 nombres régulièrement répartis de a à b : a < a + p < a + 2p < … < a + (N – 1)p < b. de même longueur p =

En vous inspirant de l’exercice précédent, écrivez un algorithme dont l’objectif est de représenter les points de la courbe représentative de f ayant pour abscisses les (N + 1) nombres déterminés plus haut. 28 Avec une pièce Une expérience consiste à lancer 10 fois de suite une pièce équilibrée et à dénombrer les sorties Pile ou Face. On se propose de simuler N fois cette expérience (de 10 lancers). Pile est associé à 0 et Face à 1. a) Analysez l’algorithme suivant et précisez ce qu’il affiche en sortie. b) Répondez à la même question après avoir remplacé « Si S = 5 » par « Si S < 3 ». Variables c, N, i, k, r, S Algorithme Afficher «  Nombre d’expériences  ?  » Saisir N c reçoit 0 Pour i de 1 à N   S reçoit 0    Pour k de 1 à 10     r reçoit 0 ou 1 au hasard     S reçoit S + r    FinPour    Si S = 5 alors c reçoit c + 1    FinSi FinPour c Afficher N Débuter en algorithmique

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17

Débuter en

THÈME 5. 

ALGORITHMIQUE

La boucle conditionnelle

Activité

Combien de temps ?

On revient à la situation de Mara évoquée dans l’exercice 25 page 17. Elle place 300 € le 1er janvier de chaque année et les intérêts acquis pendant l’année précédente (taux de 2 % par an) s’ajoutent à cette même date au capital. On rappelle que si C est le capital de l’année n, celui de l’année n + 1 est alors C × 1,02 + 300. Elle souhaite savoir combien de temps elle doit épargner de cette manière afin d’obtenir un capital d’au moins 5 000 €.

1 Aidez-la à résoudre son problème en complétant un tableau semblable à celui-ci : Année 0

Année 1

Année 2

Année 3

…

…

…

…

300 e

606 e

…

…

…

…

…

…

2 Le caractère répétitif des calculs nous invite à utiliser un tableur ou à écrire un programme.



a) Dans un programme, l’usage d’une boucle vous paraît-il adapté ? b) Pouvez-vous prévoir le nombre de fois que vous devrez utiliser cette boucle ? c) Le nombre d’utilisations de cette boucle a-t-il un rapport avec la question que se pose Mara ?

Vocabulaire ●● Dans l’exécution d’un programme, on est parfois amené à réaliser plusieurs fois de suite la même tâche, sans savoir a priori combien de fois on doit l’exécuter. On répète les mêmes instructions tant qu’une condition est remplie. ●● On utilise alors une boucle conditionnelle : le passage par cette boucle s’arrête quand la condition n’est plus remplie. On utilise pour cela les instructions suivantes :

Instructions calculatrice

Langage Casio

Tant que condition faire tâche FinTant

Langage T.I.

Exemple. Écrire un algorithme qui permet de calculer le nombre d’années nécessaires à Mara (voir l’activité) pour obtenir un capital d’au moins 5 000 €. Protocole

18

Algorithme

●● On utilise deux variables : C le capital acquis et l'année n. ●● On affecte 300 à la variable C, valeur initiale du capital, et 0 à la variable n. ●● On calcule le capital obtenu un an plus tard et on incrémente le compteur n.

Variables C et n du type nombre

●● On

Sortie Afficher : « Dans n années, le capital sera de C euros. »

affiche le résultat.

Avec Algobox

Traitement Tant que C < 5 000, C reçoit 1.02*C + 300 n reçoit n + 1

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Débuter en

Exercices 29 On considère la suite « logique » des nombres suivants : 10, 17, 24, 31, …, 80, … a) Comment passe-t-on d'un nombre au suivant ? b) Écrivez un algorithme qui affiche les nombres inférieurs à 300 de cette suite. 30 La partie « entière » Écrivez un algorithme qui permet de répondre à la question suivante : étant donné un nombre positif x, quel est le plus grand entier inférieur ou égal à x ? Exemple

3 est le plus grand entier inférieur ou égal à π. Ce nombre est appelé partie entière de x. Les calculatrices contiennent un tel programme : Ia fonction Int pour Casio, et int pour T.I., de integer, nombre entier, en anglais.

ALGORITHMIQUE

Exemple. Si N = 17, on obtient les nombres : 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. b) Vous êtes très certainement arrivé à obtenir 1, car il a été prouvé que l'on finit par obtenir le nombre 1 pour tous les nombres N jusqu’à 3,2 × 1016… . Écrivez un algorithme indiquant, pour un nombre N choisi, le nombre de fois où la procédure a été effectuée pour obtenir le nombre 1. 33 Un classique Le but est de trouver, avec au plus cinq propositions, un nombre entier compris entre 1 et 100. On considère l'algorithme ci-dessous, dans lequel l’instruction a !=N signifie « a différent de N ».

31 Une opération « euclidienne » On considère l’algorithme suivant, dans lequel les nombres a et b sont des entiers naturels (b ≠ 0).

a) Testez cet algorithme pour a = 28 et b = 5, puis pour des valeurs de votre choix. b) Que se passe-t-il lorsque a < b ? Lorsque a = b ? c) Quel est l’objectif de cet algorithme ? 32 Conjecture de Syracuse a) Choisissez un nombre N entier naturel. S’il est pair, divisez le par 2. S’il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 au résultat. Si le nombre obtenu est différent de 1, recommencez la procédure avec ce nouveau nombre.

a) Comment modifier l’algorithme pour que le joueur ait au plus 6 coups à jouer ? b) Comment modifier l’algorithme pour que son objectif soit de trouver un nombre entier compris entre 1 et 10 en, au plus, trois coups ? 34 Un lancer de dé On lance un dé cubique parfait jusqu’à l’obtention d’un 6. a) On suppose que l'on finit par obtenir un 6… Le nombre de lancers nécessaires est donc un entier non nul. Peut-on être plus précis ? b) On fixe une condition supplémentaire : le nombre de lancers ne peut excéder 10. Débuter en algorithmique

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19

Débuter en ALGORITHMIQUE

On envisage de simuler cette expérience à l’aide de la calculatrice programmable ou d’un logiciel. Écrivez un algorithme indiquant : – l’échec si aucun lancer n’a fait apparaître un 6 ; – le nombre de coup(s) nécessaire(s) pour obtenir un 6. Aide

Pour générer un nombre entier au hasard entre 1 et 6 : – avec Casio : Int(6×Ran#) + 1 – avec T.I. : entAléat(1,6) – avec Algobox : floor(6*random()) + 1 35 Des chemins aléatoires On considère, dans un repère orthonormé d’origine O, le carré OABC dont les sommets A, B et C ont pour coordonnées : A(10 ; 0), B (10 ; 10) et C(0 ; 10). On définit un chemin dans ce carré de la manière suivante : – le chemin commence au point O ; – les déplacements successifs, de longueur 1, ne se font que sur les mailles du quadrillage 10 × 10 du carré. Ils ne peuvent se faire que vers la droite ou vers le haut ; – le chemin se termine sur le pourtour du carré, c'està-dire sur l'un des côtés [AB] ou [BC]. 10

C

1 O

1

B

A 10

1. a) Justifier que la longueur , d’un chemin ainsi défini est telle que 10 < , < 20. b) Quel est le lien entre la longueur , du chemin et les coordonnées du point d’arrivée ? 2. L’algorithme suivant, écrit avec Algobox, a pour but la construction aléatoire d’un tel chemin et du calcul de sa longueur. La direction à prendre est fixée par la donnée d’un nombre au hasard par le logiciel : random() renvoie un nombre de l’intervalle [0 ; 1[. a) Repérez dans l’algorithme la direction prise suivant la valeur obtenue au hasard. b) Complétez alors l’algorithme.

20

***Algorithme lancé*** La longueur du chemin est : 19 ***Algorithme terminé***

3. a) Compte tenu de la remarque faite à la question 1.b), proposez une autre façon de calculer la longueur du chemin. b) À quel endroit de l’algorithme devez-vous placer l’instruction concernant ce nouveau mode de calcul ? 4. Comment compléter cet algorithme afin qu’il indique aussi l’aire de la partie du carré située en dessous du chemin ? Aide

Cette partie peut être considérée comme un « entassement » de rangées horizontales…

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CHAPITRE

Second degré. Équations et inéquations

D’un siècle à un autre Pendant toute la partie aérienne de son saut, le skieur n’est soumis qu’à son propre poids : il est en chute libre. L’équation de son mouvement est de degré 2 et la courbe qu’il décrit est une parabole (chronophotographie ci-dessus). La découverte de la trajectoire parabolique est attribuée à Galilée, mais les travaux d’al-Khuwārizmī ont été déterminants pour la résolution des équations de degré 2.

En savoir plus sur al-Khuwārizmī Chercheurs d’hier p. 35

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Rappels

& Questions-tests

Identités remarquables l

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b)2

=

a2

– 2ab +

b2

l

(a –

l

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Pour tout nombre k positif : (1k)2 = k. On en déduit la factorisation de certaines expressions. Ainsi : x2 – 3 = x2 – (13)2 = (x – 13)(x + 13).

l

1   Factorisez.

a) x2 – 9 b) x2 – 5 e) (x + 1)2 – 7 d) x2 – 3 4 2   Développez. a) (x + 3)2

c) 36x2 – 25

b) (2x – 3)(4x + 5)

3   Justifiez que pour tout nombre x :

c) x – 4 7

1

2

2

a) (x + 6)2 – 10 = x2 + 12x + 26 ; 2 b) x2 + 3x – 19 = x + 3 – 7. 4 2

1

2

Comparaison l

l

Pour tous nombres a et b positifs : « a < b » équivaut à « a2 < b2 ».

4   a) Prouvez que pour tout x > 13, x2 + 5 > 8.

b) Prouvez que pour tout x < –15, x2 – 1 > 4.

Pour tous nombres a et b négatifs : « a < b » équivaut à « a2 > b2 ».

Équations 1. « A(x) × B(x) = 0 » équivaut à « A(x) = 0 ou B(x) = 0 ». 5   Résolvez les équations suivantes. 2. a est un nombre donné. L’équation x2 = a : a) (3x – 4)(–2x + 5) = 0 b) –3(x – 1)(x + 2) = 0 2 l ne possède aucune solution si a < 0 ; c) x = 8 d) x2 = –9 l

possède une seule solution 0, si a = 0 ;

l

possède deux solutions, 1a et –1a, si a > 0.

e) 2x2 + 3x = 0

f) x2 – 9 = 0

g) (x + 3)2 – 4 = 0

I néquations liées à la fonction carré l k est un nombre donné. Pour résoudre des inéquations du type x2 > k ou x2 < k, on peut utiliser la parabole représentant la fonction carré. y 2 l Ainsi pour résoudre y=x x2 > 3, on utilise la figure ci-contre. 3 On lit l’ensemble des solutions sur l’axe des abscisses 1 (en bleu) : x – 3 O 1 3 ]– ∞, –13[ ∪ ]13 ; + ∞[.

6   Résolvez les inéquations suivantes.

a) x2 > 5 b) x2 < 3 c) x2  8 d) x2 < –2 e) x2 – 9 < 0 f) x2 > –12 7   Vrai ou faux ? a) Si x2 > 1, alors x > 1.

b) Si x2  4 et x négatif, alors x < –2.

Voir les corrigés p. 363

22

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

Résolution d’équations du second degré

Vous avez déjà résolu des équations du second degré en utilisant une factorisation. Examinons des cas plus complexes.

1 Résolution de l’équation x2 + 2x – 8 = 0

Notre premier objectif est d’essayer de factoriser le trinôme x2 + 2x – 8.



a) x2 + 2x est le début du développement d’un carré de la forme (x + α)2. Déterminez α.



b) Déduisez-en une expression du trinôme de la forme (x + α)2 + b.

c) Vérifiez que le nombre b est négatif et donc que le trinôme peut s’écrire sous la forme d’une différence de deux carrés. Factorisez alors le trinôme et résolvez l’équation.

2 Résolution de l’équation 2x2 – 8x – 10 = 0 On souhaite se ramener à une situation proche de la situation précédente. On observe que le coefficient 2 peut se mettre en facteur et que le trinôme peut s’écrire 2(x2 – 4x – 5).

a) En utilisant la méthode vue précédemment, vérifiez que le trinôme peut s’écrire 2[(x – 2)2 – 32].



b) Factorisez alors le trinôme et résolvez l’équation.

3 Résolution de l’équation x2 + 4x + 5 = 0

a) En utilisant la même méthode, justifiez que : x2 + 4x + 5 = 0 équivaut à (x + 2)2 + 1 = 0.



b) Expliquez pourquoi cette équation n’a pas de solution.

Activité 2

Fonction trinôme et parabole

TICE

1 Dans GeoGebra, créez trois curseurs :

l

a, dans l’intervalle [–10 ; 10] avec un incrément égal à 0,2 ;

l α et b, dans l’intervalle [–30 ; 30] avec un incrément égal à 0,5.

2 Dans la fenêtre de saisie, tapez f(x) = a*(x – α)2 + b.

Quelle est la nature de la courbe lorsque a est non nul ?

3 Faites alors varier les trois curseurs et observez le comportement de la représentation graphique de f.



Que pouvez-vous conjecturer sur le lien entre :



a) la valeur de a et l’allure de la courbe ?



b) la valeur de α et la position du sommet de la courbe ?



c) la valeur de b et la position du sommet de la courbe ?

outil 1



outil 3

d) les valeurs de a et de b et le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ?

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Les mesures des côtés d’un triangle sont 3, 4 et 6. Est-il possible d’ajouter une même longueur à chacun de ses côtés pour obtenir un triangle rectangle ? Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

23

COURS

1

Fonction trinôme du second degré 1.1 Rappels

Définition

1 On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur  par f(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont trois nombres connus, et a ≠ 0.

Représentation graphique. Sens de variation l

La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.

l Pour le sens de variation, on admet les résultats suivants. Vous trouverez dans le chapitre 4 les outils pour les démontrer.

Cas a > 0



x

– 

–∞

f(x)

Cas a < 0

b 2a

x

+∞

b 2a M

– 

–∞

f(x)

m

+∞

1.2 Forme canonique En classe de Seconde, vous avez rencontré diverses écritures d’un même polynôme du second degré. Par exemple : l

2x2 – 4x – 6  

l

2(x + 1)(x – 3)  

l

2(x – 1)2 – 8

Nous verrons page 28 l’exploitation de la forme la plus adéquate en vue de la résolution d’un problème. On s’intéresse ici à la troisième forme, dite canonique. Théorème

1 Tout trinôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c (avec a ≠ 0) s’écrit sous la forme a(x – α)2 + b, avec α = – 

b . Cette forme est appelée forme canonique. 2a

b  x + c. a b 2 . En effet : Entre parenthèses, on reconnaît le début du développement de x + 2a 2 b 2 2 b b x+ = x +  x + . 2a a 4a2 b b 2 b2 – . On en déduit que x2 +  x = x + a 2a 4a2 b 2 b2 – +c Il en résulte que f(x) = a x + 2a 4a2 b 2 b2 – =a x+ +c 2a 4a b 2 –b2 + 4ac + . =a x+ 2a 4a b –b2 + 4ac , on obtient f(x) = a(x – α)2 + b. En posant α = –  et b = 2a 4a

1

Démonstration. Puisque a ≠ 0, f(x) = a x2 +

1

1

2

2

1

2

2

31

2

1

2

1

2

4

Remarque. Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour coordonnées (α ; b). 24

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

2

Équation du second degré Résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), c’est trouver (s’il en existe) tous les nombres qui vérifient cette égalité. Un tel nombre est dit solution de l’équation et racine du trinôme ax2 + bx + c.

2.1 Approche graphique On se limite ici au cas a > 0. y

y

y

1

5 O

1

x

1

O

x

1

O

1

x

1 f(x) = x2 + 2x + 2 (x – 2)2 2 La représentation graphique d’une fonction trinôme f permet de conjecturer le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0. Dans ces trois exemples, par simple lecture, on conjecture respectivement deux solutions, une solution et aucune solution.

f(x) = 2x2 + 4x – 6

f(x) =

2.2 Résolution de l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) Théorème

2 Le nombre de solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), dépend du signe du nombre ∆ égal à b2 – 4ac. Ce nombre ∆ est appelé discriminant du trinôme ax2 + bx + c. ∆0 Deux solutions distinctes : –b – 1∆ –b + 1∆ x1 = et x2 = 2a 2a

Démonstration. Posons ∆ = b2 – 4ac et reprenons la forme canonique vue au paragraphe 1.2. b 2 –b2 + 4ac b 2 b2 – 4ac b 2 b2 – 4ac f(x) = a x + + – – =a x+ =a x+ 2a 4a 2a 4a 2a 4a2 2 b ∆ f(x) = a x + – . Cette forme a[(x – α)2 + g] est aussi appelée forme canonique. 2a 4a2 ∆ l Si ∆ < 0, alors –  est strictement positif. Il en est de même pour l’expression entre crochets. 4a2 f(x) est le produit de deux facteurs non nuls : l’équation f(x) = 0 n’a pas de solution. b 2 b l Si ∆ = 0, alors f(x) = a x + . Ainsi, puisque a ≠ 0, f(x) = 0 équivaut à x + = 0. L’équation 2a 2a b f(x) = 0 a une solution et une seule : x = –  . 2a 2 (1∆)2 1∆ 1∆ b b b 2 l Si ∆ > 0, alors ∆ = (1∆) et f(x) = a x + – =a x+ x+ . + – 2 2a 2a 4a 2a 2a 2a 1∆ 1∆ b b Ainsi, puisque a ≠ 0, f(x) = 0 équivaut à x + = 0 ou x + = 0. L’équation + – 2a 2a 2a 2a –b – 1∆ –b + 1∆ f(x) = 0 a deux solutions x1 = et x2 = . 2a 2a

1 31

2 2

1

2

31

2

4

4

1

2

31

2

1

4 1 2

21

1

2

2

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

25

COURS Forme factorisée.

Cette démonstration nous permet d’obtenir une factorisation de f(x)

lorsque ∆  0 :

3

l

si ∆ = 0, f(x) = a(x – x0)2 ;

l

si ∆ > 0, f(x) = a(x – x1)(x – x2).

Signe du trinôme 3.1 Approche graphique On se limite, ici, au cas a < 0. y

1

1

O

O 1



y

3

x

f(x) = –2x2 + 8x – 6

O y x

–1

1

f(x) = –x2 – 4x – 4

1

x

f(x) = –x2 + 2x – 3

Ces représentations graphiques nous permettent de conjecturer que : l

les solutions de l’inéquation –2x2 + 8x – 6 > 0 sont les nombres de l’intervalle [1 ; 3] ;

l

l’inéquation –x2 – 4x – 4 > 0 n’a qu’une solution : le nombre –2 ;

l

le trinôme –x2 + 2x – 3 est toujours strictement négatif.

3.2 Résolution algébrique On sait étudier le signe d’un produit de facteurs (du premier degré). Or nous avons vu, dans la démonstration du théorème 2, les cas où la factorisation de f(x) est possible. ∆0 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) –b – 1∆ 2a –b + 1∆ et x2 = 2a

avec x1 =

3 Signe du trinôme f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0), est un trinôme du second degré.

26

∆0 f(x) est du signe de a sauf lorsque x est entre les racines x1 et x2, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS Démonstration.

b 2 ∆ – . 2a 4a2 l Si ∆ < 0, alors l’expression entre crochets est strictement positive donc f(x) est du signe de a. b 2 b l Si ∆ = 0, alors f(x) = a x + . Pour tout x ≠ –  , l’expression entre parenthèses est strictement 2a 2a positive, donc f(x) est du signe de a.

31

Reprenons la forme du trinôme : f(x) = a x +

1

2

4

2

Si ∆ > 0, alors f(x) = a(x – x1)(x – x2) ; f(x) est un produit de trois facteurs. L’un est constant et les deux autres sont des binômes du premier degré dont on sait étudier le signe selon la valeur x.

l

En notant x1 la plus petite des racines, on obtient le tableau suivant : x

x1

–∞

a

signe de a

x – x1

–

x – x2

–

(x – x1)(x – x2)

+

f(x)

signe de a

x2

+ ∞

signe de a

signe de a

+

+

0 0

–

0

+

–

0

+ signe de a

signe de (–a)

En résumé, le trinôme ax2 + bx + c est toujours du signe de a, sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines, lorsqu’il en possède.

3.3 Application à la résolution d’inéquations Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine le signe du trinôme associé.

Exemple. Résolution de –x2 + 3x – 2 > 0 Graphiquement, à l’aide de la représentation de la fonction trinôme f(x) = –x2 + 3x – 2, on peut conjecturer que les solutions de l’inéquation sont les nombres de l’intervalle [1 ; 2]. 1

y

O

1

x

2

Le calcul du discriminant conduit à ∆ = 1. Le trinôme a deux racines, x1 = 1 et x2 = 2. Le coefficient a est négatif (a = –1). Le trinôme est donc positif (du signe contraire de a) entre les racines. –x2

x + 3x – 2

–∞ –

1 0

+

2 0

+ ∞ –

Ceci confirme que l’ensemble des solutions est l’intervalle fermé [1 ; 2]. Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

27

EXERCICES

Application Objectif

1

Utiliser les différentes formes d’un trinôme

l La forme réduite et développée : ax2 + bx + c. Un trinôme du second degré peut l La forme canonique : a(x – α)2 + b. s’écrire sous plusieurs formes. l La forme factorisée (si elle existe) : a(x – x1)(x – x2) ou a(x – x0)2.

5

Exercice résolu A

Choisir une forme appropriée pour résoudre un problème

La courbe ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie sur  par f(x) = –2x2 + 4x + 2.

y

1. a) Déterminez la forme canonique de f(x). b) Déduisez-en une forme factorisée.

A

2. Choisissez la forme la plus appropriée de f(x) pour répondre aux questions suivantes. a) Calculez les coordonnées des points A, B et C. b) Calculez les abscisses des points I et J.

1 O

C 1

I

x

J

Solution

Méthode

1. a) f(x) = –2[x2 – 2x – 1]. x2 – 2x = (x – 1)2 – 1.

1. a) On met a = –2 en facteur. 2 l On considère x – 2x comme le début du développement d’un carré. l On en déduit la forme canonique. b) (x – 1)2 – 2 est de la forme : a2 – b2 = (a – b)(a + b).

Donc f(x) = –2[(x – 1)2 – 2]  (1). b) (x – 1)2 – 2 = [(x – 1) – 12][(x – 1) + 12] donc : f(x) = –2(x – 1 – 12)(x – 1 + 12)  (2). 2. a) La forme développée donne f(0) = 2.

2. a) On connaît l’abscisse de A, qui est zéro, donc l’ordonnée de A est f(0). l Les points B et C ont pour ordonnée zéro.

b) Les points I et J ont pour ordonnée –2.

l Graphiquement, on voit que la plus petite des deux solutions est l’abscisse du point I.

B



xB et xC sont les solutions de l’équation f(x) = 0. La forme factorisée (2) donne : xB = 1 – 12 et xC = 1 + 12 (car xB < xC). b) xI et xJ sont les solutions de l’équation f(x) = –2. Soit avec la forme canonique (1) : –2[(x – 1)2 – 2] = –2 2 donc (x – 1) – 2 = 1 ou (x – 1)2 – 3 = 0. Il en résulte que x – 1 = –13 ou x – 1 = 13 soit : xI = 1 –13 et xJ = 1 + 13.

Mise en pratique

1 Dans chacun des cas suivants, écrivez le 3  est la courbe représentative de la fonctrinôme f(x) sous sa forme canonique. tion f définie sur  par f(x) = x2 – 4x + 2. a) f(x) = x2 + 6x. b) f(x) = –3x2 + 6x – 2. 1. a) Quelle est la forme I y J 2 canonique de f(x) ? c) f(x) = x + x – 1. d) f(x) = 2x(x – 3). A b) Déduisez-en une forme 2 f est la fonction définie sur  par : 1 factorisée. B f(x) = x2 + 3x – 2. C x 2. Calculez les coordonO 1 1. Écrivez f(x) sous sa forme canonique.  17 nées des points A, B, C, I 2. Déduisez-en que pour tout nombre x, f(x)  –  . et J. 4 28

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

2

EXERCICES

Objectif

Résoudre une équation du second degré

Théorème 2. Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), dépend du signe du discriminant ∆ = b2 – 4ac. –b – 1∆ –b + 1∆ l Si ∆ > 0, l’équation a deux solutions : x = et x2 = . 1 2a 2a –b . l Si ∆ = 0, l’équation a une solution « double » : x = 0 2a l Si ∆ < 0, l’équation n’a pas de solution.

Exercice résolu B 1. Résolvez les équations suivantes. a) x2 – 3x = 0  b) 2x2 – 12x + 18 = 0 

y

c) x2 – 3x + 7 = 0

J



2. Sur la figure ci-contre, on a tracé la parabole  d’équation y = x2 et la droite d d’équation y = 2x + 2. Quelles sont les coordonnées des points I et J ? I 1 O Méthode

x

1

Solution

1. a) et b) Le calcul de ∆ ne doit pas se faire de manière systématique. Il est inutile si, dans l’équation ax2 + bx + c = 0, b = 0 ou c = 0 ou encore si l’on reconnaît une identité remarquable. c) On calcule ∆ = b2 – 4ac.

1. a) Après factorisation, l’équation s’écrit x(x – 3) = 0. D’où les solutions x = 0 et x = 3. b) 2x2 – 12x + 18 = 2(x2 – 6x + 9) = 2(x – 3)2 donc l’équation a une seule solution x = 3. c) ∆ = (–3)2 – 4 × 1 × 7 = 9 – 28 = –19. ∆ < 0, l’équation n’a donc pas de solution.

2. On utilise les équations des courbes.

2. I et J appartiennent à la fois à  et d donc leurs coordonnées vérifient le système : y = x2 y = x2 soit y = 2x + 2 x2 – 2x – 2 = 0

5

5

Pour résoudre l’équation x2 – 2x – 2 = 0, on calcule ∆.

l

On conclut. En observant la figure, on en déduit que la plus petite solution est l’abscisse de I. l



On résout l’équation x2 – 2x – 2 = 0. ∆ = (–2)2 – 4 × 1 × (–2) = 4 + 8 = 12 = (213)2. L’équation a donc deux solutions : 2 + 213 2 – 213 x1 = = 1 + 13 et x2 = = 1 – 13. 2 2 I a pour abscisse 1 – 13 et pour ordonnée 2(1 – 13) + 2, soit 4 – 213. De même, J a pour abscisse 1 + 13 et pour ordonnée 4 + 213.

Mise en pratique

4 Résolvez les équations suivantes, sans calculer le discriminant. a) 7x2 + 8x = 0

b) 6 – x2 = 0

c) (x + 3)2 = 25

d) x2 – 10x + 25 = 0

5 Résolvez les équations suivantes. a) x2 – 5x + 2 = 0

b) –3t2 – 8t + 2 = 0

c) –7t2 + t – 1 = 0

d) –3x2 + 213 x – 1 = 0

6 ABC est un triangle

C

rectangle isocèle tel que : AB = AC = 6. M est un point du segP ment [AB] tel que BM = x, avec 0 < x < 6. Pour quelles valeurs de x A l’aire du rectangle AMNP 1 est-elle égale à  aire (ABC) ? 3

N M

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

B

6

29

EXERCICES

Objectif

3

Étudier le signe d’un trinôme. Résoudre une inéquation

Le trinôme ax2 + bx + c, (a ≠ 0), est du signe de a, sauf entre les racines lorsqu’il en possède.

Exercice résolu C

Exploiter une factorisation

Résolvez chacune des inéquations du second degré suivantes. a) 4x – 2x2 < 0

b) (x + 3)(x + 1) < 2x + 6

Méthode

Solution

Pour ces inéquations du second degré, une factorisation s’obtient sans calcul de ∆.

a) Notons f(x) = 4x – 2x2. Résoudre l’inéquation 4x – 2x2 < 0 revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) est strictement négatif. f(x) = 2x(2 – x), produit nul pour 0 et 2. Le coefficient de x2 est négatif (a = –2). On résume le signe de f(x) ainsi :

a) On factorise f(x) et on en déduit ses racines.

On cherche le signe du coefficient de et on en déduit le signe de f(x). l On conclut. l

x f(x)

x2

l En développant mentalement le produit de facteurs, on trouve le signe du coefficient de x2.

On conclut.

–

0 0

+

2 0

+ ∞ –

L’inéquation 4x – 2x2 < 0 a pour ensemble des solutions S = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]2 ; + ∞[. b) L’inéquation est équivalente à : (x + 3)(x + 1) – (2x + 6) < 0 (1). Notons f(x) = (x + 3)(x + 1) – (2x + 6). Résoudre l’inéquation (1) revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) est négatif ou nul. f(x) = (x + 3)(x + 1) – (2x + 6) = (x + 3)(x + 1) – 2(x + 3) = (x + 3)(x + 1 – 2) = (x + 3)(x – 1), produit nul pour –3 et 1. Le coefficient de x2 est positif, (a = 1). On en déduit le signe de f(x).

b) On reconnaît un facteur commun : (x + 3). On factorise et on en déduit les racines.

l

– ∞

x f(x) 

– ∞ +

–3 0

1 0

–

+ ∞ +

L’ensemble des solutions est S = [–3 ; 1].

Mise en pratique

7 Résolvez les inéquations suivantes. a) (1 – 2x)(3 + 5x)  0 b) (2x – 3)(x + 2) < 0 c) –3x2 – 5x < 0

8 Résolvez les inéquations suivantes :

30

9 #f et #g sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur  par : f(x) = x2 et g(x) = 6x – 2x2.

y f g

1

a) 16 – (2x – 1)2 < 0

1. Conjecturez graphiquement l’ensemble des

b) (2x – 1)(x + 5) < 3x + 15

réels x pour lesquels #g est au-dessus de #f .

c) (x – 7)2 < (2x – 1)2

2. Résolvez le problème par le calcul.

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

O

1

x

EXERCICES

Exercice résolu D

Signe d’un trinôme et résolution d’une inéquation

f est la fonction définie sur  par f(x) = 2x2 – 9x + 4. 1. Conjecturez le signe de f(x) puis étudiez ce signe. 2. Résolvez l’inéquation f(x) < 0. Méthode

Solution 1. On conjecture que f(x) < 0 pour x ∈ ]x1 ; x2[ où x1 et x2 sont les racines de f(x).

1. On peut utiliser la calculatrice pour tracer la parabole représentant la fonction et conjecturer la réponse.

∆ = (–9)2 – 4 × 2 × 4 = 81 – 32 = 49. ∆ > 0, donc le trinôme f(x) a deux racines : 9–7 1 9+7 x1 = = et x2 = = 4. 4 2 4 2 l Le coefficient de x est positif (a = 2) donc :

On détermine le signe du discriminant ∆ = b2 – 4ac.

l

l

On connaît le signe du coefficient de x2 donc on peut dresser le tableau du signe de f(x).

l

x signe de f(x)

l

1 2 0

– ∞ +

4 –

+ ∞

0

+

1

4 2 3 ∪ ]4 ; + ∞[. 1 f(x) < 0 pour x ∈ 3  ; 44. 2 f(x) > 0 pour x ∈ – ∞ ;

On conclut.

2. D’après le tableau, f(x) < 0 signifie que 1 1 < x < 4. Donc f(x) < 0 équivaut à x ∈  ; 4 . 2 2 L’ensemble des solutions est : 1 S=  ; 4 . 2

2. Pour connaître l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 0, on exploite le tableau donnant le signe de f(x).

4

4



3

3

Mise en pratique

10 Dans chacun des cas suivants, dressez le 13 # est la représentation graphique tableau du signe du trinôme. d’une fonction trib) –x2 + 2x – 3 a) x2 + x – 2 nôme définie sur  c) 100t2 – 60t + 9 d) –2x2 + 5x – 3 par f(x) = ax2 + bx + c. 1. Quel est le signe de a ? Quel est le signe du discriminant ?

11 Résolvez les inéquations suivantes. a) x2 + x – 2 0 < 0

b) x2 – x + 1 < 0

c) x2 + 7x + 12  0 d) 7x2 – 5x + 1 > 0

12 Sur la figure, on a tracé la parabole  d’équation y = x2 et la droite d d’équation y = x + 2. Quel est l’ensemble des nombres x pour lesquels la parabole  est en dessous de la droite d ?

y

2 1 –1

y  O 1 2

x

2. Résolvez graphiquement f(x)  0. 3 3. Expliquez pourquoi f(x) = –  (x + 1)(x – 2). 2

 d

14 1. Résolvez l’inéquation x2 – 40x + 384 < 0. 2. Application

1 O

1

x

Une pelouse de forme rectangulaire a pour périmètre 80 m. Quelles sont les dimensions possibles de cette pelouse pour que sa superficie soit supérieure ou égale à 384 m2 ? Chapitre 1 ● Second degré

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31

EXERCICES

Exercice résolu E

Résoudre une équation et une inéquation où l’inconnue figure au dénominateur

Sur la vue d’écran ci-contre apparaissent (en partie) les courbes f et g représentatives des fonctions f et g définies par : 3 f(x) = x + 2 et g(x) = (x ≠ 0). x Déterminez par le calcul : a) les abscisses des points communs aux deux courbes ; b) les valeurs de x pour lesquelles la courbe f est au-dessus de g. Méthode

Solution

a) On traduit algébriquement le problème.

a) Les abscisses des points communs aux deux courbes sont les solutions 3 de l’équation x + 2 = , avec x ≠ 0. x x est un nombre non nul. 3 x(x + 2) – 3 x + 2 – = 0 équivaut à =0 x x 2 x + 2x – 3 soit encore à = 0. x 2 Notons A(x) = x + 2x – 3. Le discriminant de A(x) est 16 d’où les solutions : x = 1 et x = –3. B(x) = x donc B(x) ≠ 0 (car x ≠ 0). Les abscisses cherchées sont donc –3 et 1. b) Dire que f est au-dessus de g équivaut 3 à dire que f(x)  g(x), x ≠ 0, soit x + 2  , x x ≠ 0. D’après les résultats de la question a), x2 + 2x – 3 l’inéquation s’écrit :  0. x x – ∞ –3 0 1 + ∞ A(x) + 0 – – 0 +

l On transpose dans le premier membre et on réduit au même dénominateur.

Aide

Pour résoudre une équation où l’inconnue figure au A(x) dénominateur, on peut se ramener à = 0, qui B(x) équivaut à A(x) = 0 et B(x) ≠ 0. l On conclut. b) On traduit algébriquement le problème.

On se ramène à une inéquation du type : A(x)  0, c’est-à-dire à une inéquation dont B(x) le second membre est zéro. l

l

l

On dresse un tableau de signes.

On conclut. 

B(x)

–

A(x) B(x)

–

– 0

+

0

+ –

L’ensemble des solutions est : S = [–3 ; 0[ ∪ [1 ; + ∞[.

Mise en pratique Pour les exercices 15 à 17 Pour les exercices 18 à 21 a) Déterminez les abscisses des points d’inter- Résolvez l’inéquation proposée. section des courbes représentatives des foncx2 + x – 2 tions f et g. 18 2 < 0. x –9 b) Étudiez leur position relative. x+1 1 19 2 < 1. 15 f(x) = x + 1 et g(x) = (x ≠ 0). x – 3x + 2 x 1 3 1 20 + < –2. 16 f(x) = 3x – 4 et g(x) = (x ≠ 0). x + 2 x x 1 x+1 x–1 2x – 5 17 f(x) = 21 et g(x) = (x ≠ 1 ; x ≠ 2). > . x–1 x–2 x+1 x–1

32

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

+ 0

+

Po u r

22 Questions sur le cours

EXERCICES

se tester 23 Vrai ou faux

Complétez les propositions suivantes. f est la fonction définie sur  par : f(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0. 1. Le nombre b2 – 4ac s’appelle …… 2. La courbe représentative de f est une …… 3. L’équation ax2 + bx + c = 0 possède une seule solution si ∆ est …… 4. Toute solution de l’équation f(x) = 0 est une …… du trinôme ax2 + bx + c. 5. ∆ = b2 – 4ac ; si ∆ < 0, le signe de f(x) est le même que celui de ……

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. 1. 2 et –3 sont les racines du trinôme –5x2 + 13x – 6. 2. Le trinôme ax2 + x – a (a ≠ 0) possède toujours deux racines distinctes. 3. La parabole d’équation y = 10x2 – x – 0,2 est située entièrement au-dessus de l’axe des abscisses. 4. La forme canonique du trinôme –2x2 + 2x – 5 est 1 2 11 –2 x – . + 2 2

1

2

24 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. ]– ∞ ; 2] ∪ [5 ; + ∞[ est l’ensemble des solutions de l’inéquation : a) (x – 2)(x – 5) > 0 b) –x2 + 7x – 10  0 c) (x – 2) (x – 5)  0 2. L’ensemble des solutions de 6x2 + x – 2 < 0 est : 2 1 a) –   ; 3 2

3

4

1 2 b) –   ; 2 3

4

3

2 1 c) –   ; . 3 2

4

3

3. a est un réel (a > 0). Le trinôme ax2 – 6x – 6 : a) a deux racines distinctes. 3 2 9 b) a pour forme canonique a x – –6+ 2 . 2 a 1 c) a pour racine –  si a = 10. 2 9 4. L’équation 5x2 – 6x + = 0 : 5 a) n’a pas de solution.  b) a une solution. c) a deux solutions.

31

2

4

25 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. f est la fonction définie sur  par f(x) = –10x2 + 5x – 1. a) Pour tout nombre x, f(x) < –0,375. b) Le discriminant ∆ est négatif. c) Le sommet de la parabole représentative de f a 1 pour abscisse . 4 d) La forme canonique de f(x) est –10(x + 0,25)2 – 65. 2. f est la fonction définie par f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). a) Si ac < 0, alors le trinôme f(x) a deux racines. b) Si b = 0, le trinôme f(x) a deux racines opposées. c) Si a + b + c = 0, alors x = 1 est solution de l’équation f(x) = 0.

3. 3 est la courbe représeny  tative d’une fonction f. a) f(x) est de la forme : 1 O a(x2 – 2x – 3) avec a > 0. –1 1 3 x b) La valeur minimale de f(x) est –4a. c) Si le point A(0 ; –1) est un point de la parabole, alors (x + 1)(x – 3) f(x) = . 3 4. Le trinôme –3x2 + x – 1 est strictement négatif pour : a) tout nombre x.  b) aucun nombre x. c) tout nombre de l’intervalle ]–5 ; 4[. Voir les corrigés p. 366 Chapitre 1 ● Second degré

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33

EXERCICES

Apprendre à chercher 26 Position relative de deux courbes Dans un repère (O ; I, J), d est la droite d’équation y = 3x – 5 2 et  l’hyperbole d’équation y = , (x ≠ 0). x Objectif  Étudier suivant les valeurs de x la position relative de  et d. 1. Une représentation graphique de  et de d, éventuellement à l’aide de la calculatrice, permet de conjecturer la réponse.

Objectif  Trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire  du quadrilatère MNPQ est minimale. 1. Il faut exprimer  en fonction de x. L’aire  est égale à l’aire de ABCD privée de la somme des aires des domaines non coloriés. Démontrez que  = 2x2 – 12x + 32. 2. On est donc amené à s’intéresser à la fonction f définie sur [0 ; 4] par f(x) = 2x2 – 12x + 32. a) Donnez la forme canonique de f(x). b) Déduisez-en que pour tout x de [0 ; 4], f(x)  14. c) Pour quelle valeur de x, f(x) = 14 ?

activités de recherche

d) Concluez. Quelle conjecture faites-vous concernant la position relative de ces deux courbes ? 2. Dire que d est au-dessus de  équivaut à dire que 2 3x – 5  . On est donc amené à résoudre cette x inéquation sur  privé de zéro.

3. Pour étudier le signe d’un quotient, on dresse un tableau où sont indiqués le signe du numérateur et du dénominateur. a) Quel est le signe du trinôme 3x2 – 5x – 2 ? b) Recopiez le tableau et complétez-le. – ∞

0

+ ∞

3x2 – 5x – 2 3x2 – 5x – 2 x



d B

A

4

J O

I

2

2. En général, d recoupe 3 en un second point B. Ainsi A et B ont des coordonnées qui vérifient le système : y = x2 y = x2 équivalent à y = mx + 4 – 2m x2 – mx + 2m – 4 = 0 Dire que « d et 3 ont un seul point commun » revient à dire que « l’équation x2 – mx + 2m – 4 = 0 a une solution double. »

5

c) Concluez.

27 Une aire minimale ABCD est un rectangle tel que AB = 8 et AD = 4. M est un point de [AD] tel que DM = x, avec 0 < x < 4. On construit les points N, P et Q tels que : DM = AN = BP = CQ. D Q C M P

34

1. Une droite d non parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme y = mx + p. Or d passe par A donc, en traduisant le fait que A appartient à d, on écrit une relation entre les coefficients m et p.

Démontrez que d a pour équation y = mx + 4 – 2m.

x

A N

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole d’équation y = x2. A est le point de 3 d’abscisse 2. d est une droite quelconque passant par A, non parallèle à l’axe des ordonnées. Objectif  Trouver, parmi les droites d, une droite passant par A qui coupe 3 en un seul point. On dit dans ce cas que d est tangente à la parabole 3.

Démontrez que pour tout nombre x ≠ 0 : 2 3x2 – 5x – 2 3x – 5  équivaut à  0. x x

x

28 Droite tangente à une parabole

B

5

a) Justifiez cette affirmation. b) Pour quelle valeur de m l’équation : x2 – mx + 2m – 4 = 0 a-t-elle une solution double ? c) Vérifiez que la droite d obtenue pour cette valeur de m a bien le seul point A en commun avec 3. Concluez.

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

d’aire . Les points M, N, P et Q sont tels que : AM = BN = CP = DQ. Où doit-on placer M sur le côté [AB] afin que l’aire de MNPQ soit comprise entre 5 2   et   ? 8 3

D

C

P

30 f est la fonction définie par : –5x + 1 . f(x) = 2 2x + x + 1

Q

N A

M

B

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver ! Archimède Chap. 5 – 200

800

ANTIQUITÉ

MOYEN ÂGE

Après avoir justifié que f est définie pour tout nombre x, démontrez que la représentation graphique de f dans un repère orthonormé est entièrement contenue dans une bande de plan de largeur 5.

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

1600

Isaac Newton Leonhard Euler Chap. 4 Chap. 2 1700 1800 ÉPOQUE MODERNE

1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Gottfried Leibniz Chap. 3

Benoît Mandelbrot Chap. 6

al-Khuwārizmī (788-850)

activités de recherche

29 ABCD est un carré

EXERCICES

Narration de recherche

Mathématicien, géographe, astronome, il se consacra aux mathématiques à Bagdad. Son apport est particulièrement important en algèbre, notamment sur les techniques de résolution des équations de degré 1 et 2. Il accompagne toujours celles-ci de méthodes géométriques.

 ur le Web http://www.bibmath.net/bios/ S index.php3?action=affiche&quoi=khwarizmi

Première page de l’Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, publié en 825. Chapitre 1 ● Second degré

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

35

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice  our « approcher » les solutions éventuelles P d’une équation du second degré 31 Résolution d’une équation du second degré La fonction f est définie sur  par f(x) = 3x2 + (1 – 418)x – 12. 1. Faites afficher la courbe représentative de f, pour x compris entre –3 et 3 et y compris entre –5 et 10. 2. Utiliser ce graphique pour déterminer des valeurs approchées des solutions éventuelles de l’équation f(x) = 0. 3. Utilisez le menu Équation (Casio) ou l’éditeur de résolution d’équation (TI) pour confirmer vos résultats.

Avec une Casio

activités de recherche

1. Voir le rabat de couverture I. 2. ● Utilisez les touches sélectionnez ROOT F1  .

shift F5

(G-Solv) puis

F2

puis

● Entrez les coefficients du trinôme et appuyez sur EXE  .

Déplacez le curseur vers la droite pour faire afficher le deuxième point. ●

Avec une TI 1. Voir le rabat de couverture IV. 2. Appuyez sur trace pour lire les valeurs approchées des solutions cherchées.

3. ● Appuyez sur math  . ● Sélectionnez et appuyez sur entrer  . ● Saisissez l’équation désirée et appuyez sur entrer  .

36

3. ● Allez dans le menu ÉQUATION. ● Sélectionnez l’instruction POLY Degree F1  .

Donnez alors à x une valeur initiale pour démarrer la recherche, puis saisissez alpha entrer (résol).

●

Vous obtenez une valeur « approchée » d’une des solutions. ● Modifiez la valeur initiale pour obtenir l’autre solution.

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

 our programmer P la résolution d’une équation du second degré

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice

TP 32 Un algorithme pour résoudre une équation du second degré L’intérêt de ce TP réside dans l’analyse d’un algorithme qui permet de déterminer les racines d’un trinôme du second degré. Les calculatrices récentes contiennent de tels programmes.

▼ Variables a, b, c, ∆ Traitement Saisir… ∆ reçoit… DébutSi Si ∆ < 0 alors afficher “…” Si … alors afficher “l’équation a une seule solution x0 = …” Si … FinSi 2. L’algorithme précédent a été programmé pour deux calculatrices.

Avec une TI

Saisissez ce programme dans votre calculatrice et utilisez-le pour résoudre les équations suivantes. 2x2 + 4x + 1 = 0. 1 2 25  x + 5x – = 0. l –  2 2 l

–x2 + x – 1 = 0. 1 2  x – 2x – 5 = 0. l –  3 l

3. a) Complétez l’algorithme pour qu’il affiche un message d’erreur lorsque la valeur saisie pour a est 0. b) Modifiez en conséquence le programme de votre calculatrice.

Avec une Casio

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

activités de recherche

1. Complétez l’algorithme suivant dont l’objectif est de résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0.

37

EXERCICES

Entraînement de  tête 33 –2 est-il solution de l’équation x2 – 5x – 14 ? 34 –1 est-il solution de l’inéquation –2x2 + 4x – 1 > 0 ? 35 Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation –2(x – 1)(x – 3) > 0 ?

36 Quel est le discriminant du trinôme x2 – 2x – 3 ? 37 Pourquoi l’équation x2 –2x + 3 = 0 n’a-t-elle pas de solution ?

38 Comment choisir m pour que x = –1 soit solution de l’équation 2x2 + x – m = 0 ? + . 39 On sait que – 4x = (x – Quels nombres faut-il écrire à la place de x2

d’équation y =

et

 ?

– 3x + 5 ?

41 Trouvez un trinôme admettant 4 pour racine double.

42 Un polynôme du second degré de la forme ax2 + bx + c s’écrit (2x – 3)(2 – x). Trouvez a, b, c.

Polynôme du second degré. Forme canonique 43 Donnez la forme canonique des trinômes suivants. a) 2x2 – 8x + 1

b) –3x2 + 2x + 4

c) x2 + 5x – 7

d) –x2 + 3x

44 f est la fonction polynôme définie sur  par : f(x) = –2x2 + 3x + 5. 1. a) Quelle est la forme canonique de f(x) ?

49 . b) Déduisez-en que pour tout nombre x, f(x) < 8 2. Déduisez de la question précédente une forme factorisée de f(x).

45 On donne le trinôme : f(x) = (x2 – 9) – 2(x – 3)(x + 2).

–1

J O

3 I

Racines d’un trinôme. équation du second degré 46 Résolvez les équations suivantes sans calculer le discriminant. b) 5(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 2). c) (7 – 2x)2 + 1 = 0. d) 9 – (3x – 1)2 = 0. e) x2 – 26x + 169 = 0. Pour les exercices 47 à 52 Résolvez les équations données.

47 a) 2x2 – 2x – 12 = 0

b) –x2 + x + 2 = 0

48 a) –3x2 + 7x + 1 = 0

b) 3x2 + 412 x + 1 = 0

49 a) 2x2 + 12x + 18 = 0

b) –4x + 2x2 + 4 = 0

50 a) x2 – 312 x + 4 = 0

b) x(x + 4) + 8 = 0

51 a) 1,8t + t2 = 3,6

b) 12 t2 – 3t + 12 = 0

52 a) 2(1 – 3u) = u2 – 3(2u + 1) b) 3u2 – 417 u – 12 = 0

53 Écrivez chacun des trinômes suivants sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré. a) A(x) = 12x2 + 5x – 2

b) B(x) = –3x2 + 4x + 4

c) C(x) = 4x2 – 20x + 25

54 1. Développez (2 – 13)2. 2. Résolvez l’équation : x2 – (2 + 13)x + 213 = 0.

55 1. m est un nombre quelconque. Comment choisir m pour que l’équation 3x2 – 2mx + m = 0 admette x = 2 pour solution ?

1. a) Développez et réduisez f(x).

2. Calculez alors l’autre solution.

b) Quelle est sa forme canonique ?

56 Comment choisir le nombre a pour que le trinôme ax2 + 6x + 1 possède une racine double ? Calculez cette racine.

2. a) Factorisez f(x). b) Résolvez l’équation f(x) = 0.

38

4 3

a) x2 – 9 + 4(x + 3) = 0.

)2

40 Quelle est l’abscisse du sommet de la parabole 2x2

3. En exploitant les résultats des questions précédentes, précisez quels sont les arguments qui vous permettent de conjecturer que la parabole ci-contre est une représentation graphique de la fonction f.

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58 Un cube Si on augmente de deux centimètres la longueur de l’arête d’un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm3. Combien mesure l’arête de ce cube ?

53 cm

93 cm x

59 Gagnants du Loto Des amis ont gagné le gros lot du Loto, dont le montant s’élève à 2 000 000 �. Si ce groupe d’amis avait compté cinq personnes de moins, chacun aurait touché 20 000 � de plus. Combien sont-ils ?

60

63 L’écran d’un téléviseur Les dimensions de l’écran d’un téléviseur sont, en centimètres, 93 et 53. Le cadre doit être de largeur constante x.

EXERCICES

57 Déterminez les valeurs du réel m pour lesquelles l’équation 2x2 + mx + 2 = 0 n’a pas de solution.

Calculez cette largeur pour que l’aire du cadre soit égale au cinquième de l’aire de l’écran. Vous donnerez le résultat à un millimètre près.

64 Remembrement Un agriculteur, propriétaire d’un champ rectangulaire ABCD d’une superficie de 4 ha 32 a, doit, dans le cadre d’un remembrement, céder une bande AEFD de largeur 24 m et recevoir en échange une bande FCHG de largeur 20 m de façon à conserver la même superficie. A

E

B

Pourquoi le trinôme ax2 + x – a (a ≠ 0) possède-t-il

deux racines distinctes pour tout nombre a ? 24 m

d’équation y = x2 et la droite d’équation y = 1,9x + 8,4. Quelles sont les coordonnées exactes des points d’intersection A et B de ces deux courbes ? y

B

20 m

61 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la parabole

C F G H Quelles étaient les dimensions initiales de son terrain ? D

65 Variation d’une aire A 2 O

x

1

On a partagé un carré de 1 m de côté en deux domaines. La partie coloriée en bleu est une bande de largeur x. Comment choisir x pour que les parties bleues et mauves aient la même aire ?

62 Sur la figure ci-dessous, on a tracé les paraboles d’équations respectives y = 2x2 + x – 11 et y = x2 – x – 8. Quelles sont les coordonnées des points d’intersection A et B de ces deux courbes ? y

A

5 O

1

x

x

x

x x

66 En électricité On dispose de deux conducteurs ohmiques de résistance R1 et R2. Si on les monte en série (figure 1), on obtient un dipôle de résistance équivalente R = R1 + R2. Si on les monte en dérivation (figure 2), on obtient un dipôle de résistance équivalente R telle que : 1 1 1 = + R R1 R2 R1 R1

B

R2 R2



figure 1

figure 2 Chapitre 1 ● Second degré

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

39

EXERCICES

Applications

69 Les fonctions f et g sont définies sur  par :

1. Déterminez la valeur x de la résistance pour que la résistance équivalente de ce montage soit 6 Ω.

1. Quelles sont les coordonnées des sommets S et S’ des paraboles 3 et 3’ ?

4Ω xΩ

2. Dressez les tableaux de variation de f et g.

xΩ 2. Déterminez la valeur x de la résistance pour que la résistance équivalente de ce montage soit 4,5 Ω. 2Ω xΩ xΩ

3Ω

67 Chacune des courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction trinôme f définie sur  par f(x) = ax2 + bx + c. Précisez dans chaque cas le signe du discriminant, ainsi que celui de a et c. y

1. On considère les propositions A et B suivantes : A « Le trinôme g(x) n’a pas de racine. » B « c < –1. »

Les propositions A et B sont-elles équivalentes ? 2. On considère les propositions A et B suivantes : B « Le maximum de g est strictement positif. » Les propositions A et B sont-elles équivalentes ? Justifiez en examinant chaque implication.

x

O

figure 1



f désigne une fonction trinôme. L’énoncé « f(x) possède deux racines distinctes » équivaut à « ∆ > 0 » est une équivalence. Cela signifie que : Si « f(x) possède deux racines », alors « ∆ > 0 ». Et réciproquement : Si « ∆ > 0 », alors « f(x) possède deux racines distinctes ».

A « c > 0. »

x

O

LOGIQUE

70 Équivalence

g est la fonction trinôme définie par g(x) = –x2 + 2x + c, où c est un nombre quelconque.

Fonctions trinômes

y

f(x) = 3x2 – 12x + 5 et g(x) = –5x2 + 8x – 10. On note 3 et 3’ leurs représentations graphiques.

figure 2

y

71 f est la fonction trinôme définie sur  par : f(x) = 3x2 + 4x – 4. On note 3 la parabole représentant f.

y

1. Quelles sont les coordonnées de son sommet S ?

x

O



x

O

figure 3

68 f et g sont deux fonctions trinômes définies sur . Le discriminant de f(x) est positif et celui de g(x) est nul. On a tracé ci-contre les courbes représentatives de f et g.

3. Vérifiez à l’aide de votre calculatrice.

figure 4

1

y 1 2 x

O

2. 3 coupe l’axe des abscisses en I et J et l’axe des ordonnées en K. Quelles sont les coordonnées des points I, J et K ?

72 Les deux cubes sont tels que la somme des mesures de leurs côtés est égale à dix centimètres. On note x la mesure du côté de l’un d’entre eux. x

–2 –4

1. Attribuez sa courbe à chaque fonction. 2. a) Pourquoi f(x) est de la forme ax(x – 4) ? b) À l’aide des renseignements portés sur la figure, trouvez la valeur de a. 3. a) Pourquoi g(x) est-il de la forme a(x – b) Calculez a.

40

1)2 ?

10 cm Déterminez la valeur de x pour laquelle la somme des volumes des deux cubes est minimale.

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Pour les exercices 73 à 76 Étudiez le signe de chacun des trinômes suivant les valeurs de x.

73 a) A(x) = (x – 5)(x + 2).

b) B(x) = (1 + 3x)(6 + x).

c) C(x) = (2 – 6x)(1 + x).

d) D(x) = –9x(2 + 7x).

A

ABCD est un carré de 10 cm de côté et AMPN un carré de côté x tel que x appartient à l’intervalle I = [0 ; 10]. On désigne par S(x) l’aire en cm2 de la partie coloriée en bleu.

x M

N

B

P

74 a) A(x) = (x2 – 4) – 3(x + 2)(x – 1).

D 1. Démontrez que pour tout nombre x de I : S(x) = –x2 + 5x + 50.

b) B(x) = (x – 5)2 – 16.

2. a) Construisez le tableau de variation de S sur I.

c) C(x) = 4(x +

2)2

– 9(3 –

2x)2.

75 a) f(x) = x2 + x – 2.

b) g(x) = –3x2 + 6x – 2.

c) h(x) = x2 – 2x + 3. d) k(x) = 5x2 + 41x + 80. 1 76 a) f(x) = –  2  x2 + 6x + 16. b) g(x) = x2 – x + 1. c) h(x) = –x2 + x12 – 1. Pour les exercices 77 à 80 Résolvez chacune des inéquations.

77 a) x2 + 3x + 2 > 0.

b) t2 + t + 1 > 0.

c) x2 – 7x + 12 < 0.

d) –5t2 – t – 2 < 0.

c) –64x2 + 48x + 7 < 0.

79 a) (2 – x)(4x + 3)  0.

b) x2 – 6 > 0.

c) (3 + 2x)2 – 16  0.

d) 7x(3 + 2x)  0.

3+x

c)

81 Chacune des courbes ci-dessous représente une fonction trinôme. Dans chaque cas, résolvez l’inéquation proposée. exercice résolu E, page 32. a) f(x)  0 y 1 O

b) f(x) > 0 y 3 x

1

–1

–2

83 La méthode

d’al-Khuwarizmī x

A L G O R IT

H M IQ U E

b) Utilisez la même méthode pour déterminer la solution positive de l’équation x2 + 16x = 80. 2. a) Prouvez que toute équation du type x2 + bx = c où c > 0 admet deux racines de signes contraires. Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en utilisant le théorème démontré dans l’exercice 87  , page 42. b) Complétez cet algorithme qui donne la racine positive d’une telle équation.

1

3 1

x

1 2

x

O

3. Quel est l’ensemble des nombres x de I pour lesquels S(x) < aire(AMPN) ?

1. a) Vérifiez que l’équation x2 + 12x = 108 admet deux solutions de signes contraires et que l’algorithme proposé donne la solution positive.

b)

x > 0. 5–x

b) Pour quelle valeur de x l’aire S(x) est-elle maximale ? Que vaut alors cette aire ?

Diviser 12 par 2. Élever ce quotient au carré. Ajouter ce carré à 108. Prendre la racine carrée de cette somme. Retrancher à cette racine carrée le quotient du début.

b) –3t2 –

7 – 4x < 0. x+3 3 d) < x + 2. x

80 a) x – 3  0.

C

Pour déterminer la solution positive de l’équation : x2 + 12x = 108, voici comment procédait Al-Khuwarizmī, mathématix cien arabe du ixe siècle (voir page 10).

9  t + 3 < 0. 2 2 d) 4t + 12t + 9 > 0.

78 a) 9x2 + 30x + 25 < 0.

EXERCICES

82 Optimisation

Signe du trinôme

 c) f(x) < 0 y

4

3 2

1 O

d) f(x) > 0

1

x

y

1

–2 

O

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41

EXERCICES

84 Variation d’une aire. Inéquation ABC est un triangle rectangle C isocèle tel que : K M AB = AC = 5 cm. AHMK est un rectangle. On pose AH = x, 0 < x < 5. 1. Prouvez que l’aire S(x) du domaine coloré est égale à : A x H 25 x2 – 5x + . 5 cm 2 2. a) Étudier sens de variation de S.

ROC

Restitution organisée de connaissances

87 Prérequis. Le trinôme ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0),

B

b) Pour quelle valeur de x cette aire est-elle minimale ? Calculez ce minimum. 75 3. Trouvez les valeurs de x de [0 ; 5] telles que S(x) < . 8

Avec les tice 85 Travailler avec un paramètre Dans un repère orthornormé (O ; I, J),  est la parabole d’équation y = x2, et pour tout nombre m, dm est la droite d’équation y = 2x + m. On considère le cas où la droite dm coupe la parabole  en deux points A et B. Le but de l’exercice est de savoir sur quelle ligne se déplace le point C, milieu du segment [AB], lorsque m varie dans .

lorsque le discriminant ∆ est strictement positif, admet deux racines distinctes : –b – 1∆ –b + 1∆ x1 = et x2 = . 2a 2a 1. Démonstration b c Démontrez que x1 + x2 = –  et x1x2 = . a a 2. Application 1 a) Vérifiez que x = est solution de l’équation : 2 4x2 + 4x – 3 = 0. Calculez l’autre racine sans calculer ∆. b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l’équation x2 + 5x – 6 = 0.

Pour aller plus loin Utilisez le résultat démontré à l’exercice 87 pour résoudre les exercices 88 à 91.

88 1. a) Vérifiez que 4 est solution de l’équation : –7x2 + 9x + 76 = 0.

1. Expérimenter a) Avec GeoGebra, créez un curseur m. Réglages : mini –5, maxi 10, incrément 0,1. b) Saisissez y = x2 et y = 2x + m. Lorsque dm coupe  en A et B, créez le point C, milieu de [AB]. c) Affichez la trace de C et déplacez m à l’aide du curseur. Que conjecturez-vous : l sur la trace du point C ? l sur le nombre de points d’intersection ? 2. Démontrer

b) Quelle est l’autre solution ?

89 Chacune des équations suivantes admet une solution évidente. Trouvez cette solution, puis l’autre, sans calculer le discriminant ∆. a) 3x2 – 5x + 2 = 0.

b) 7x2 + 6x – 1 = 0.

c) x2

d) 8x2 + 7x – 15 = 0.

+ x – 6 = 0.

90 Trouvez deux nombres (s’ils existent) dont la somme est 12 et le produit –85.

a) Démontrez que la droite dm coupe  en deux points A et B, distincts ou non, si et seulement si m  –1. b) Calculez, en fonction de m, les abscisses de A et B. c) Déduisez-en l’abscisse du point C et concluez.

86 Nombre de racines d’un trinôme On souhaite déterminer le nombre de racines du trinôme f(x) = ax2 + bx + c en fonction du signe de a × yS, où yS est l’ordonnée du sommet de la parabole (a ≠ 0). 1. Utiliser GeoGebra pour conjecturer la réponse. 2. Exprimez a × yS en fonction de a, b et c pour démontrer (ou infirmer) la conjecture.

42

Prendre toutes les initiatives 91 Déterminez trois entiers consécutifs dont la somme est égale au produit. 92 # est la courbe d’équa-

1 tion y = avec x > 0. x M et N sont deux points de # d’abscisses respectives m et n. Calculez les valeurs exactes de m et n lorsque A est le milieu du segment [MN].

y  M 1 O

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A

1 2

N x

93 Déterminez le nombre m pour que le trinôme f(x) = –x2 + 3x – m soit négatif pour tout nombre x. 94 On donne le trinôme f(x) = x2 – (m + 1)x + 4. 1. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 a-t-elle une seule solution ? Calculez alors cette solution. 2. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 n’a-t-elle aucune solution ?

95 On donne le trinôme f(x) = mx2 + 4x + 2(m – 1). 1. Pour quelles valeurs de m l’équation f(x) = 0 a-t-elle une seule solution ? Calculez alors cette solution. 2. a) Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels l’équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes ? b) Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels f(x) < 0 pour tout nombre x ?

96 Si on augmente les arêtes d’un cube de 2 cm de côté, alors son volume augmente de 488 cm3. Que vaut l’arête de ce cube ? 97 La courbe  ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur  par : f(x) = (x2 + x – 2)(x2 – 2x – 1). y



1 O

1

x

L’équation s’écrit (x + 1)(x – 1) = x + 1. On simplifie par (x + 1) et l’équation devient x – 1 = 1, soit x = 2. » 2. « Pour résoudre l’inéquation (x + 1)2  x + 1, on pose y = x + 1. L’inéquation devient y2  y. Or ceci est toujours vrai donc l’ensemble des solutions est . » x2 – 1 3. « L’inéquation < x s’écrit x2 – 1 < x2 + 2x, soit x+2 1 –1 < 2x et x  –  . » 2

EXERCICES

Approfondissement

99 La vitesse du vent et l’ULM La vitesse vraie d’un ULM s’obtient : – en additionnant sa vitesse propre à celle du vent lorsque le vent est favorable ; – en retranchant de sa vitesse propre la vitesse du vent lorsque le vent est contraire. Un ULM dont la vitesse propre est 90 km · h–1 s’est rendu d’une ville A à une ville B, et est revenu aussitôt de la ville B à la ville A. La distance AB est 108 km. On admet que, pendant toute la durée du vol, le vent a soufflé à vitesse constante dans la direction (AB) et dans le sens de A vers B. 1. a) Vérifiez que le temps mis à l’aller s’exprime en 108 fonction de la vitesse v du vent par taller = 90 + v . b) Exprimez de même le temps tretour mis au retour. 2. Sachant que le temps mis pour faire l’aller-retour est de 2 h 30, déterminez la vitesse v du vent.

1. a) Graphiquement, conjecturez le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.

100 Implication réciproque

LOGIQUE

A. g est la fonction trinôme définie par : g(x) = mx2 + 4x + 4 (m ≠ 0).

b) Résolvez l’équation f(x) = 0.

1. Parmi ces implications, lesquelles sont vraies ?

2. a) Utilisez la représentation graphique de la fonction f pour conjecturer l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 0.

a) « m = 2 » ⇒ « Pour tout x, g(x) > 0. » b) « m < 0 » ⇒ « L’équation g(x) = 0 a deux solutions distinctes. »

b) Résolvez l’inéquation f(x) < 0 à l’aide d’un tableau de signes.

c) « Le trinôme g(x) a deux racines distinctes. » ⇒ « m < 0 »

98 Trouver des erreurs Sur des copies d’élèves, un professeur de mathématiques a trouvé les raisonnements suivants, qui contiennent chaque fois une erreur. Trouvez cette erreur et proposez une solution correcte. 1. « Pour résoudre l’équation x2 – 1 ≠ x + 1, on utilise l’identité x2 – 1 = (x + 1)(x – 1).

2. L’implication c) est la réciproque de b). Ces propositions sont-elles équivalentes ? B. On donne l’implication : « ax2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes » ⇒ « a et c sont de signes contraires ». Cette implication est-elle vraie ? Sa réciproque estelle vraie ? Chapitre 1 ● Second degré

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43

EXERCICES

101 Signe d’un trinôme

A L G O R IT

H M IQ U E

Cet algorithme permet de déterminer le signe d’un trinôme ax2 + bx + c, (a ≠ 0). a, b, c, d, x1 et x2 sont des variables de type nombre. 1. Quel est le rôle des lignes 2 à 6 (de lire a jusqu’à Fin_tant_que) ? 2. Complétez cet algorithme. 3. Dans cet algorithme, on a commencé par étudier le signe du discriminant. Écrivez un algorithme ayant le même objectif, mais dans lequel on commence par étudier le signe du coefficient a.

3

103 Dans un repère, # est la courbe d’équation y = x

et d la droite d’équation y = 2x + 1.

La droite d coupe # en A et B, et les axes en C et D. Démontrez que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.

104 Une pyramide SABC est une pyramide dont la base ABC est un triangle équilatéral et dont l’arête (SA) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AC). On sait que AB = 4 cm et SA = 2 cm. M est un point de [AB]. À partir de ce point on construit le rectangle MNPQ comme indiqué sur la figure : (MN) est parallèle à (AS) et (MQ) est parallèle à (BC). L’objectif est de choisir S le point M tel que l’aire du rectangle MNPQ soit 4 N P égale à 3 cm2. 1. On pose AM = x. A M Q Démontrez que : 2 x C aire (MNPQ) = –  2 + 2x. B 4 cm 2. Déduisez-en la ou les solutions du problème.

105 On se place dans un repère orthonormé (O ; I, J). OABC est un carré de côté 4. 1 d a pour équation y =  x + m 2 avec m appartenant à l’intervalle [2 ; 4[.

d E

C

B

F J

1. Justifiez que pour tout O I nombre m de [2 ; 4[, d coupe le segment [OC] en F et le segment [BC] en E.

A

2. a) Démontrez que aire(ECF) = (4 – m)2. b) Déduisez-en l’ensemble des nombres m de l’intervalle [2 ; 4[ pour lesquels : 8 × aire (ECF) < aire (OABC).

106 Le poids de l’astronaute

102 Un jardin de forme rectangulaire a une superficie totale de 805 m2, allée comprise. Cette allée de 1,5 mètre de large permet d’en faire le tour. Cette allée a une superficie de 165 m2.

Le poids diminue avec l’altitude. Ainsi, si la masse d’un astronaute est 60  kg, son poids (en N) à l’altitude x (en km) au-dessus du niveau de la mer est donné par : 6 400 2 P = 60 × 9,8 × 6 400 + x . À quelle altitude le poids de l’astronaute sera-t-il inférieur à 25 N ?

1

2

1,5

1,5

Quelles sont les dimensions du jardin ?

44

Chapitre 1 ● Second degré « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

pour coordonnées (3 ; 2). M est un point de l’axe des abscisses de coordonnées (m ; 0) avec m > 3. La droite (AM) coupe l’axe des ordonnées en N. N

3. Dans cette question, on ne connaît pas la valeur de p, mais on sait que l’entreprise réalise un bénéfice maximal lorsqu’elle fabrique 300 appareils. Calculez p.

110 ABC est un triangle rectangle tel que AB = 12 et AC = 5. M est un point de [AC] tel que AM = x, avec x appartenant à l’intervalle I = [0 ; 5]. À chaque point M, on associe le point N du segment [AB] tel que BN = 2x. On note !(x) l’aire du triangle AMN.

A

2 J O

b) Déterminez algébriquement le nombre d’appareils à fabriquer pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.

I

C

M

3

2m . m–3 b) Déduisez-en que l’aire du triangle OMN est égale à : m2 . m–3 2. Quel est l’ensemble des nombres m pour lesquels aire(OMN) < 16 ? 1. a) Démontrez que ON =

108 f et g sont deux fonctions définies sur  par : f(x) = 2x2 + 8x + 4 et g(x) = x2 – 3. y 4

2

1

O

5 M x A

B

N 12

1. Démontrez que !(x) = 6x – x2. 2. On note f la fonction définie sur  par f(x) = 6x – x2 et  la parabole représentative de f. a) Quelle est la forme canonique de f ? Quelles sont les coordonnées du sommet S de  ? b) Tracez  dans un repère orthonormé et déduisez-en la courbe représentative de ! définie sur I par : !(x) = 6x – x2.

1 –2

EXERCICES

107 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le point A a

1 2

x

3. On cherche l’ensemble des nombres x de I tels que 6 < !(x) < 8. a) Graphiquement, quelle conjecture faites-vous ?

–3 –4

b) Trouvez cet ensemble par le calcul. Aide

Résoudre !(x) < 8 puis !(x)  6 et conclure.

1. Attribuez à chaque fonction sa courbe. 2. Calculez les coordonnées des points d’intersection de ces deux paraboles. 3. Quel est l’ensemble des nombres x pour lesquels 1 est en dessous de 2 ?

109 Coût de fabrication et bénéfices Dans une usine, on fabrique des appareils ménagers. Le coût total de fabrication de n appareils est donné par : C(n) = 0,02n2 + 8n + 500, pour n ∈ [0 ; 600]. Le coût C(n) est exprimé en euros. 1. Déterminez la quantité à partir de laquelle le coût total est supérieur à 4 700 �. 2. On appelle p le prix de vente (en euros) d’un appareil. Dans cette question, p = 17,5. a) Exprimer le bénéfice B(n) en fonction de n et vérifiez que : B(n) = –0,02n2 + 9,5n – 500.

Prendre toutes les initiatives 111 Une ficelle longue de 20 cm est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 13 cm.

C

A

13 cm

B

Est-il possible de tendre la ficelle de manière à ce que le triangle ABC soit rectangle en C ?

112 Dans un cercle de rayon 4 cm, peut-on inscrire un triangle AMB isocèle, de sommet principal M, tel que MA soit le double de AB ? Chapitre 1 ● Second degré

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45

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Les deux carrés

D Les disques emboîtés

Deux terrains ayant la forme d’un carré sont disposés comme l’indique la figure ci-dessous. D

C G

A

F

B

x

Du tissage

10 cm

Deux cônes de révolution identiques (même rayon de base R = 3 cm et même hauteur h = 12 cm) sont disposés comme l’indique la figure ci-dessous. S2

O1

h

I2

I1

ABCD est un carré.

x x

A

B

O2

S1 10 cm

x

D

C

a) Exprimez l’aire de la partie colorée en vert en fonction de la variable x. 2 b) Déterminez la mesure x en cm pour laquelle les aires des parties coloriées en jaune et en vert sont égales. 3 

C Pas vraiment un losange… ABCD est un parallélogramme d’aire 52 cm2 et de périmètre 42 cm. D

A

B

46

4

On a indiqué en rouge la section de ces cônes par un plan parallèle aux bases de manière que S1I1 = O2I2 = x. a) Déterminez les rayons r1 et r2 des disques colorés en fonction de x. 6 b) Déterminez x pour que la somme des aires de ces 27p deux sections soit inférieure à . 7 4

F Dans le « couloir » On a tracé ci-dessous la courbe  représentative de la fonction f définie par : 2x – 1 . f(x) = 2 x –x+2 y 1  x O

1

C

α = 30° Calculez AB et AD.

O

E Deux cônes

E

G est un point du segment [BC]. L’aire totale est de 21 800 m2 et le périmètre de l’ensemble est de 660 m. a) Exprimez l’aire totale et le périmètre de l’ensemble en fonction des mesures x et y des côtés des carrés. b) Déduisez-en la mesure du côté de chacun des carrés. 1 

B

On note ! l’aire du grand disque ci-contre. Pour quelles valeurs de x (rayon du disque rouge) la somme des aires des deux disques intérieurs est-elle 5 supérieure ou égale à ! ? 8 5

a) Pourquoi f est-elle définie sur R ? 8 b) Pourquoi la courbe  est-elle entièrement dans la bande de plan délimitée par les droites d’équation y = –1 et y = 1 ? 9

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CHAPITRE

Variations des fonctions associées

D’un siècle à un autre Lors de la Coupe du monde de football de 2010 en Afrique du Sud, les vuvuzelas sont venues perturber les retransmissions télévisées. Pour pouvoir se débarrasser de ce bruit, il faut réussir à séparer un signal indésirable d’un signal utile. Pour cela, les ingénieurs réalisent une opération de « démixage » qui revient à faire une soustraction de signaux, c’est-à-dire une soustraction de fonctions. Cela n’aurait pas été possible sans les travaux de Leonhard Euler, qui a introduit le concept de « fonction ».

En savoir plus sur Leonhard Euler Chercheurs d’hier p. 59

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Rappels

& Questions-tests

 ésoudre graphiquement R une inéquation Résoudre l’inéquation f(x) > g(x), c’est chercher les nombres x dont l’image par f est supérieure à l’image par g. y Graphiquement, cela g f revient à trouver les abscisses des points 1 de la courbe #f situés x O 1 au-dessus de la courbe #g. Sur cet exemple, f(x) est supérieur à g(x) pour x < –2 et pour x ∈ ]0 ; 2[.

1   Résolvez graphiquement

les inéquations suivantes. a) x2 < x 1 b) x > x 1 2 f(b). On dit que f inverse l’ordre.

La fonction affine définie sur  par x  ax + b est strictement croissante sur  si a > 0. Elle est strictement décroissante sur  si a < 0. La fonction carré définie sur  par x  x2 est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[. Elle est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0]. 1 La fonction inverse définie sur * par x  x est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[. l

2   Les fonctions suivantes sont définies sur l’intervalle I = [–1 ; 5]. Précisez leur sens de variation sur I. a) f(x) = 3x + 2. b) g(x) = 5. x c) h(x) = –  + 3. 2 d) k(x) = x2. 3   Comparez les nombres A et B.

2 2 et B = . π 3 3 1 4 et B = , avec x > . b) A = 4 x 3 1 1 et B = , avec x > 0. c) A = x+2 x+3 4   Vrai ou faux ? f est une fonction strictement croissante sur [0 ; + ∞[ et f(5) = 0. a) Si 4 < x < 5, alors f(x) ∈ ]f(4) ; 0[. b) f(2) × f(3) > 0. a) A =

 ur une droite graduée : distance S à l’origine Les points M et N, d’abscisses respectives x et –x, sont à la même distance de l’origine O. Cette distance est égale à x si x est positif, et à –x si x est négatif. –x N

x O

I

5   a) Sur une droite graduée, de repère (O, I), M est le point d’abscisse x. Trouvez l’ensemble des nombres x tels que : a) OM  5. b) 2 < OM < 3.

M

Voir les corrigés p. 363

48

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité

Des paraboles et des opérations

TICE

1 a) Avec GeoGebra, tracez la parabole représentative de la fonction

outil 1

f : x  x2 + 3x – 4.



b) Créez un curseur k. Réglages : –10  k  10 ; incrément 0,1 ; largeur 300.

outil 3

c) Tracez la parabole représentative de la fonction g : g(x) = f(x) + k. d) Faites varier k. Observez les deux paraboles. Que constatez-vous ? e) k étant fixé (k différent de 0 et de 1), créez deux points de même abscisse : A sur une des paraboles et B sur l’autre. Créez le segment [AB]. Aide



Tracez la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par A afin de créer le point B.

f) Dans la fenêtre Algèbre, repérez la longueur du segment [AB], nommée b. Déplacez A et surveillez l’évolution de b. Que constatez-vous ?

g) Faites varier k. Dans la fenêtre algèbre, observez les variations de k et de b. Que constatez-vous ?

si k est positif, b = …… Complétez : si k est négatif, b = ……

5

Vocabulaire

b est la valeur absolue de k.

2 a) Effacez la fonction g et créez la fonction h en saisissant h(x) = k*f(x).



La parabole représentative de la fonction h s’affiche.

b) Faites varier k, (k ≠ 0) et observez les deux paraboles. Que constatez-vous ? c) Pourquoi les deux paraboles se coupent-elles toujours sur l’axe des abscisses ? d) Pour quelle valeur de k les courbes sont-elles symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Virgile affirme qu’il est en mesure de proposer deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I, toutes les deux strictement croissantes sur I, telles que la fonction h « produit de f et g » définie sur I par h(x) = f(x) × g(x) est strictement décroissante sur I. Qu’en pensez-vous ? Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

49

COURS

1

Fonction racine carrée 1.1 Étude de la fonction racine carrée Tout nombre positif x a une racine carrée notée 1x : c’est le nombre positif dont le carré est x. La fonction f : x  1x est donc définie sur [0 ; + ∞[.

Théorème

1 La fonction f : x  1x, définie sur [0 ; + ∞[, est strictement croissante sur [0 ; + ∞[. x f(x)

0

+ ∞

0

Démonstration

 Exercice 63, Logique ➜ p. 64 ●

Pour démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle I = [0 ; + ∞[, il suffit de prouver que si u et v sont deux nombres de I tels que 0  u < v, alors f(u) < f(v). Autrement dit, si u – v < 0, alors f(u) – f(v) < 0 ou encore 1u – 1v < 0. u et v étant positifs :

u – v = (1u)2 – (1v)2 = (1u + 1v)(1u – 1v).

Par hypothèse, 0  u < v, ainsi, v > 0 d’où 1v > 0 et comme 1u > 0, alors 1u + 1v > 0. D’après la règle des signes :

u – v = (1u + 1v)(1u – 1v).

5



positif

u – v et 1u – 1v sont de même signe. En conclusion, si u – v < 0 alors 1u – 1v < 0.

Représentation graphique 3 2 1

Un tableau de valeurs permet de tracer la courbe. x 1x

0 0

1 4 1 2

1 1

4 2

9

1 2

O

3

y

1 1

1 4

9 x

4

1.2 Comparaison de x, 1x et x2 (pour x positif) Sur l’intervalle [0 ; + ∞[, les trois fonctions : f : x  1x, g : x  x et h : x  x2 ont le même tableau de variation.

x f(x) g(x) h(x)

0   1

+ ∞

   1 0

Graphiquement, on constate que : l

les trois courbes ont en commun les points O(0 ; 0) et A(1 ; 1) ;

pour x ∈ ]0 ; 1[, la courbe f est au-dessus de g , elle-même au-dessus de h ;

y

l

 pour x > 1, la courbe h est au-dessus de g , elle-même au-dessus de f ;

h

2

f

l

l dans un repère orthonormé, les courbes  et  f h sont symétriques par rapport à g.

Le théorème qui suit permet de justifier ces constatations.

50

1 O

g

A

1

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

4 x

COURS Théorème

2 x est un nombre positif. 

l

Pour tout x ∈ [0 ; 1], x2  x  1x. 

l

Pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[ , 1x < x < x2.

Démonstration

 Exercice 41 ➜ p. 62 ●

l

0  x  1. En multipliant chacun des membres par x (positif ), on obtient : 0 × x  x × x  1 × x, donc 0  x2  x.  (1)

La croissance de la fonction racine carrée sur [0 ; + ∞[ nous permet alors d’affirmer que : 10  2x2  1x, donc que 0  x  1x. Finalement, on déduit de (1) et (2) que l

x2

(2)

 x  1x.

1 < x. On multiplie chacun des membres par x : 1 × x < x × x  donc x < x2.

Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, 1x < x. Ainsi, 1x < x < x2.

2

Fonction valeur absolue 2.1 Valeur absolue d’un nombre

Définition

1 Pour tout nombre x, la valeur absolue de x est égale à x si x est positif, à (–x) si x est négatif. x lorsque x > 0 Elle se note |x|. |x| = –x lorsque x  0

5

Remarques. Pour tout nombre x : l

|x| = |–x| ;

l

|x| = 0 équivaut à x = 0.

2.2 Étude de la fonction valeur absolue La fonction f : x  |x|, définie sur , est, par définition de la valeur absolue d’un nombre, une fonction affine « par morceaux ». En effet : l

sur l’intervalle ]– ∞ ; 0], f est égale à la fonction affine strictement décroissante x  –x ;

l

sur l’intervalle [0 ; + ∞[, f est égale à la fonction strictement croissante x  x.

Il en résulte le théorème suivant. Théorème

3 La fonction f : x  |x| définie sur  est : l

strictement décroissante sur l’intervalle ]– ∞ ; 0] ;

l

strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

x

– ∞

f(x)

Représentation graphique. Dans un repère orthonormé, la représentation graphique de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites d’origine O. Pour tout nombre x, |x| = |–x|, soit f(x) = f(–x). Ainsi, les points M(x ; f(x)) et M’(–x ; f(–x)) sont symétriques par rapport à l’axe (Oy). En conséquence, les deux demi-droites sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

0

+ ∞

0

M’

y

Ω–xΩ

ΩxΩ

M

1 –x

O

1

x

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51

COURS

3

Sens de variation des fonctions associées 3.1 Variations de x  u(x) + k

Théorème

4 u est une fonction définie sur un intervalle I et k est un nombre fixé. v est la fonction définie sur I par v(x) = u(x) + k. Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l’intervalle I. Démonstration. Supposons la fonction u strictement croissante sur I.

y

Pour tous nombres a et b de l’intervalle I, si a < b, alors u(a) < u(b), d’où u(a) + k < u(b) + k, soit encore v(a) < v(b). La fonction v est strictement croissante sur l’intervalle I. On démontre de la même manière que si u est strictement décroissante sur I, alors v l’est aussi.

w

v u

1 O

x

1

Remarque. Dans un repère, la représentation graphique de v se déduit de celle de u par la

translation de vecteur rw de coordonnées (0 ; k).

3.2 Variations de λu, (λ ≠ 0) λ est un nombre non nul. λu est la fonction définie sur l’intervalle I par λu : x  λ × u(x). Par exemple, si u(x) = x2 + 3, la fonction 5u est définie sur  par 5u(x) = 5(x2 + 3). Théorème

5 u est une fonction définie sur un intervalle I et λ un nombre fixé non nul : l

si λ est positif, u et λu varient dans le même sens sur I ;

l

si λ est négatif, u et λu varient en sens contraires sur I.

Démonstration. Prouvons le résultat dans le cas où u est strictement croissante sur I et λ < 0. Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I tels que a < b. Puisque la fonction u est strictement croissante, u(a) < u(b). En multipliant les deux membres par λ (négatif ), on obtient λu(a) > λu(b), ce qui montre que la fonction λu est strictement décroissante. On démontre les autres cas de manière analogue.

Exemple. La fonction u est définie sur  par u(x) = 1 1 –  u est la fonction définie sur  par x  –   x2. 2 2 x

– ∞

u(x) Pour l’étude de contre-exemples : exercices 25 et 26, TP ➜ p. 60 et 61

52

1 –   u(x) 2

0

+ ∞

x2

y

1 et λ = –  . 2 1 O

0 0

y = x2

1

x y = – 1 x2 2

Attention. Il n’existe pas de théorème général donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions.

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COURS 3.3 Variation de 1u Théorème

6 u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est positif. v est la fonction définie par v(x) = 5u(x). Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l’intervalle I.

Démonstration. Prouvons le résultat dans le cas où la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle I. Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I tels que a < b. Puisque la fonction u est strictement croissante, 0 < u(a) < u(b). La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, donc 5u(a) < 5u(b), soit encore v(a) < v(b). On conclut que la fonction v est aussi strictement croissante sur l’intervalle I. On démontre de manière analogue le cas où la fonction u est strictement décroissante sur l’intervalle I.

Exemple. La fonction u est définie sur l’intervalle 4– ∞ ;

1 par u(x) = –2x + 1. Cette fonction est 2

4

strictement décroissante sur cet intervalle. 1 Pour tout nombre x de l’intervalle – ∞ ; , u(x) est positif. 2 1 La fonction v : x  9–2x + 1 est donc définie et strictement décroissante sur l’intervalle – ∞ ; . 2

4

4

4

4

1 3.4 Variations de  — u Théorème

7 u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est non nul et de signe constant. v est la fonction définie sur l’intervalle I par v(x) =

1 . u(x) Les fonctions u et v varient en sens contraire sur l’intervalle I. Démonstration. Prenons les nombres a et b dans l’intervalle I : 1 1 u(b) – u(a) v(a) – v(b) = – = . u(a) u(b) u(a) · u(b) Pour tout nombre x de I, u(x) est non nul et de signe constant, le produit u(a) · u(b) est donc strictement positif. Il en résulte que v(a) – v(b) et u(b) – u(a) sont de même signe sur I et donc que v(a) – v(b) et u(a) – u(b) sont de signes contraires. En conclusion, les fonctions u et v varient en sens contraire sur I.

Exemple.

Sur l’intervalle ]2 ; + ∞[, la fonction u définie par u(x) = 2x – 4 est strictement

croissante.

y

Pour tout nombre x de l’intervalle ]2 ; + ∞[, u(x) est strictement 1 positif. La fonction v : x  est donc définie et strictement 2x – 4 décroissante sur ]2 ; + ∞[. x u(x) v(x)

2 0

y = 2x – 4

+ ∞ +

y=

1 O

1 2x – 4

1

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

x

53

EXERCICES

Application Objectif

1

Étudier une fonction du type 1u

u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) est positif. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens sur I.

Exercice résolu A

Étudier une fonction du type 1u sur un intervalle

On étudie la fonction f définie par f(x) = 82x – 5. 1. Vérifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I = 2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I.

5

3 2  ; + ∞3. 3

3. Déduisez-en un encadrement de f(x) lorsque x appartient à l’intervalle J = 7 ; Méthode

21 . 2

4

Solution

1. La racine carrée d’un nombre n’a de sens que si ce nombre est positif ou nul.

1. La fonction f est définie pour toute valeur 5 de x telle que 2x – 5 > 0, c’est-à-dire x > . 2 La fonction f est définie sur l’intervalle I.

2. Les fonctions u et 1u varient dans le même sens. On étudie d’abord les variations de la fonction (affine) définie sur l’intervalle I par u(x) = 2x – 5.

2. La fonction u : x  2x – 5 est affine. Le terme en x a pour coefficient 2 (positif ). donc u est croissante sur l’intervalle I. Sur I, les fonctions u et 1u varient dans le même sens, donc la fonction f est croissante sur I. D’où le tableau de variation :

l On conclut et on vérifie à l’aide de la calculatrice graphique.

5 2

x f(x)

3. On utilise le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle J. l

0

7

21 2

3

4

+ ∞

5 , donc l’intervalle J est contenu 2 dans l’intervalle I. l La fonction f est donc croissante sur J. 21 21 Puisque 7  x  alors, f(7)  f(x)  f  2 2 et donc 3  f(x)  4.

3. 7 >

Une fonction croissante conserve l’ordre.

1 2

 Mise en pratique Dans chacun des exercices 1 à 5 a) Vérifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I.

3 f(x) = 92x2 + 1, I = [0 ; + ∞[.

b) Étudiez les variations de f sur I.

5 f(x) = 1 + , I = ]– ∞ ; –1]. x 6 La fonction f est définie pour tout nombre

c) Utilisez votre calculatrice pour représenter f et vérifier vos résultats.

1

8

x + 1, I = [–3 ; + ∞[. f(x) = 3

2 f(x) = 8–x + 3, I = ]– ∞ ; 3]. 54

4 f(x) = 3|x|, I = ]– ∞ ; 0].

8

1

x  –3 par f(x) =

8 x +2 3 . Utilisez le tableau de

variation de cette fonction pour donner un x+3 encadrement de lorsque x ∈ [–1 ; 5]. 2

8

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

2

1 Étudier une fonction du type  — u

u est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout nombre x de I, u(x) est non nul et de 1 signe constant. Les fonctions u et varient en sens contraire sur I. u

Exercice résolu B

EXERCICES

Objectif

1 Étudier une fonction du type  — u  sur un intervalle

On étudie la fonction f définie par f(x) =

1 . x–4

1. Justifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I = ]4 ; + ∞[. 2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I. 3. Déduisez-en un encadrement de f(x) lorsque x appartient à J = [5 ; 7].

Solution

Méthode

1. f est définie pour toute valeur de x telle que x – 4 ≠ 0, c’est-à-dire x ≠ 4. f est donc bien définie sur I = ]4 ; + ∞[.

1. Tout nombre non nul a un inverse. Seul zéro n’a pas d’inverse. 1 varient en sens u contraire (théorème 7). On étudie d’abord les variations de la fonction (affine) définie sur I par u(x) = x – 4. 2. Les fonctions u et

2. La fonction u : x  x – 4 est affine. Le terme en x a pour coefficient 1 (positif ) donc u est croissante sur l’intervalle I. 1 Sur l’intervalle I, u et varient en sens u contraire, donc f est décroissante sur I. D’où le tableau de variation :

l On conclut et on vérifie à l’aide de la calculatrice graphique.

3. On utilise le sens de variation de la fonction f sur J. l

Une fonction décroissante inverse l’ordre. 

x

4

f(x)

 

5

7 1 3

1

+ ∞

3. 4 < 5, donc l’intervalle J est contenu dans l’intervalle I. La fonction f est donc décroissante sur J. Puisque 5  x  7, alors f(7)  f(x)  f(5) 1 et donc  x  1. 3

Mise en pratique Pour les exercices 7 à 11 a) Vérifiez que la fonction f est définie sur l’intervalle I. b) Étudiez les variations de f sur I. c) Utilisez votre calculatrice pour représenter f et vérifier vos résultats. 1 7 f(x) = , I = ]3 ; + ∞[. 3–x 1 8 f(x) = 2 , I = ]– ∞ ; 0[. x 1 9 f(x) = , I = ]– ∞ ; 0[. |x|

10 f(x) =

2 , I = ]–1 ; + ∞[. x+1 1

5

11 f(x) = , I = 4  ; + ∞3. 82x – 5 2 12 La fonction f est définie pour tout nombre x > 3 par : 1 f(x) = . 6x – 3 Utilisez le tableau de variation de cette fonction 1 lorsque pour donner un encadrement de 6x – 3 x ∈ [4 ; 19]. Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées

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55

EXERCICES

Objectif

3

Étudier les variations d’une fonction sur une réunion d’intervalles

l u est une fonction, k un nombre. v est la fonction définie par v(x) = u(x) + k. Les fonctions u et v ont le même sens de variation. l λ est un nombre non nul, l Si λ > 0, les fonctions u et λu varient dans le même sens. l Si λ < 0, les fonctions u et λu varient en sens contraire : ces résultats s’appliquent sur tout intervalle I sur lequel les fonctions utilisées sont définies.

Exercice résolu C

Étudier une fonction de la forme λu + k

2 + 3. x 1. Justifiez que la fonction f est définie sur I ∪ J avec I = ]– ∞ ; 0[ et J = ]0 ; + ∞[.

On étudie la fonction f définie par f(x) = – 

2. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I, puis sur l’intervalle J. Méthode

Solution

1. On repère les valeurs de x pour lesquelles f(x) n’est pas calculable. Seule la division par x peut poser problème.

1. La division par zéro est impossible : f est définie pour toute valeur de x non nulle. f est définie sur I ∪ J.

2. On analyse la suite d’opérations à effectuer pour le calcul de f(x). On peut ainsi remarquer que f est de la forme λu + k 1 avec u(x) = , λ = –2 et k = 3. x

2. Sur l’intervalle I, comme sur l’intervalle J, f se décompose de la manière suivante : 1 1 2 f : x   –2 ×  –  + 3. x x x 1 est décroissante sur I. x Les fonctions u et –2u varient en sens contraire, donc sur l’intervalle I, 2 la fonction –2u : x  –  est croissante. x Enfin, comme f(x) = –2u(x) + 3, f et –2u varient dans le même sens : la fonction f est croissante sur I. 1 Sur l’intervalle J, la fonction u : x  x est encore décroissante. On arrive donc à la même conclusion : la fonction f est croissante sur J. l D’où le tableau de variation :

On étudie les variations de la fonction f, séparément, sur chacun des intervalles I et J.

l

l

l On conclut par un tableau de variation et on vérifie à l’aide de la calculatrice graphique.

La fonction u : x 

x

– ∞

0

+ ∞

f(x)  Mise en pratique Dans chacun des exercices 13 à 16 a) Justifiez que la fonction f est définie sur D. b) Étudiez les variations de f sur chacun des intervalles qui composent D. c) Donnez le tableau de variation de f. 1 13 f(x) = – 5 ; D = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[. 3x

56

2

14 f(x) =  ; D = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[. |x| 1

15 f(x) = + 4 ; D = ]– ∞ ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[. x–1 1

16 f(x) =  ; D = [0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[. 1x – 1

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Po u r

17

Questions sur le cours

EXERCICES

se tester 18 Vrai ou faux

Complétez les expressions suivantes. 1. La fonction f : x  1x est : a) définie sur l’intervalle I = …… ; b) strictement …… sur I. 2. La fonction g : x  |x| est : a) strictement …… sur ]– ∞ ; 0] ; b) strictement …… sur [0 ; + ∞[. 3. Si 0 < x < 1, alors x, 1x et x2 sont rangés dans l’ordre : …… < …… < …… 4. a est un nombre non nul. La fonction f définie 1 est croissante sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f(x) = ax si a est ……

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) f : x  x2 et g : x  x, alors, pour tout x ∈ , f(x) > g(x). b) Pour tout nombre x, –x  x2. c) La fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; + ∞[ par f(x) = –21x est strictement décroissante sur I. d) Les nombres x et y sont non nuls. 1 1 Si x < y alors > . x y 3 e) La fonction x  2 – est strictement croissante x sur l’intervalle ]– ∞ ; 0[. f) La fonction x  4|x| est définie pour tout nombre x. g) La fonction x  1 – 1x atteint son minimum en 0.

19 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. La fonction définie, pour tout nombre x > 0, par |x| est : f(x) = 2x a) constante b) croissante c) décroissante

3. La fonction définie, pour tout nombre x > –1, par

2. a est un nombre non nul. La fonction définie sur 1 l’intervalle I = ]0 ; + ∞[, par f(x) = 2 est : ax a) croissante sur I si a > 0 ; b) décroissante sur I si a > 0 ; c) ni croissante ni décroissante.

4. Dans un même repère, les représentations des

f(x) = –26x + 1 est : a) constante

b) croissante

c) décroissante

fonctions f(x) = |x| et g(x) = –|x| : a) n’ont aucun point commun ; b) forment deux droites sécantes ; c) sont confondues.

20 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. La fonction f définie par : f(x) = x2 + 1 est strictement croissante sur l’intervalle : a) [0 ; + ∞[ b) ]–1 ; + ∞[ c) [1 ; 3] 2. La fonction f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, avec : 1 a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = + 1 x c) f(x) = |x| – 1

3. La fonction f est strictement décroissante sur [2 ; 5], avec : 1 b) f(x) = 2x2 – 10 a) f(x) = x 1 c) f(x) = 2 x +1 4. Pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [2 ; 5] : 1 a) < 0,2 b) 1x < x2 c) x < 1x x

4

5. Pour tout nombre x > 1 : 1 1 a) 2 < x + 1 1x + 1 b)

1 1 < x2 + 1 x+1

c)

1 1 < x+1 1x + 1

Voir les corrigés p. 366 Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

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EXERCICES

Apprendre à chercher 21 Modéliser une situation

22 Utiliser une transformation d’écriture

Dans un repère orthonormé (O ; A, B), M est un point (variable) d’abscisse x sur l’axe des abscisses.

1

B

O

A 1

M x

activités de recherche

Objectif  Étudier les variations de la longueur BM lorsque M décrit l’axe (O ; A). 1. Intuitivement, on remarque, par exemple, que lorsque M s’éloigne de O, la distance BM augmente. Cette distance BM dépend du nombre x. Dans un tableau, indiquez les variations de la fonction x  BM (croissance, décroissance, maximum, minimum). 2. Pour démontrer cette conjecture, on exprime BM « en fonction » de l’abscisse x du point M. Justifiez que BM = 8x2 + 1. 3. L’objectif est donc maintenant d’étudier les variations de la fonction f : x  8x2 + 1. Expliquez pourquoi f(x) existe quel que soit le nombre x. La fonction f est du type 1u. Les variations de f dépendent de celles de la fonction u. a) Établissez le tableau de variation de la fonction définie sur  par : u : x  x2 + 1.

Objectif  Étudier les variations sur l’intervalle I = [0 ; 5] 3x – 2 de la fonction définie par f(x) = , puis préciser x+1 la position de sa courbe représentative f par rapport à la droite ∆ d’équation y = 3. 1. Sous cette forme, l’expression de f ne nous permet pas, en utilisant les fonctions de référence, de préciser les variations de f. Transformons l’écriture de f(x) pour essayer de résoudre le problème. Une méthode consiste à faire apparaître l’expression (x + 1) au numérateur. a) Trouvez les nombres a et b tels que, pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 5], 3x – 2 = a(x + 1) + b. b) Déduisez-en l’expression de f(x) sous la forme : b . f(x) = a + x+1 2. Pour calculer l’image de x par f, sous cette forme, on commence nécessairement par calculer x + 1. Complétez le programme de calcul donnant une décomposition de la fonction f. 1 … xx+1 x+1 3. La fonction x  x + 1 est strictement croissante sur I. On peut, avec le programme de calcul précédent, terminer, de proche en proche, l’étude du sens de variation de la fonction f. Faites un tableau puis concluez. Commentaire

Les chapitres 3 et 4 vous apporteront de nouveaux outils pour étudier les variations d’une fonction homographique. Retenez cependant que la transformation d’une expression peut permettre de résoudre des problèmes.

b) Déduisez-en les variations de f. c) Vos conjectures sont-elles ainsi prouvées ? Commentaire

Le repère étant orthonormé, le minimum de la fonction f est la distance du point B à l’axe des abscisses. Les outils du chapitre 9 vous permettront de calculer, dans un repère orthonormé, la distance d’un point B à une droite quelconque d en déterminant les coordonnées du projeté orthogonal du point B sur la droite d (voir l’exercice 95, page 236).

58

4. Pour savoir si la courbe f est au-dessus ou audessous de la droite ∆, il faut comparer f(x) et 3 suivant les valeurs de x. Notons d la fonction « différence » définie sur I par : d(x) = f(x) – 3. a) Choisissez la forme la plus adaptée de f(x) et calculez d(x). b) Étudiez le signe de d(x) et concluez.

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

24 Les points A, B et C sont alignés et sont tels que :

y

fonction f représentée ci-dessous en décomposant  en 1 quatre intervalles et en exprimant f(x) sur chacun de ces x O 1 intervalles, mais essayez de trouver une expression unique valable pour tout nombre x.

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver ! Archimède Chap. 5 – 200 ANTIQUITÉ

AB = 2 cm

et

A

BC = 1 cm. B

C

Où placer le point M sur la droite (AB) pour que MA + MB – MC = 4 cm ?

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

al-Khuwārizmī Chap. 1 800

Gottfried Leibniz Chap. 3 1700

1600

MOYEN ÂGE

ÉPOQUE MODERNE

1800

Benoît Mandelbrot Chap. 6 1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Isaac Newton Chap. 4

Leonhard Euler (1707-1783)

activités de recherche

23 Vous pouvez définir la

EXERCICES

Narration de recherche

Parallèlement à des études de philosophie et de droit, il s’intéresse aux mathématiques, domaine dans lequel ses talents lui valent d’être remarqué par Jean Bernoulli. Sa notoriété et l’aide de la famille Bernoulli lui permettent d’obtenir un poste de professeur de mathématiques à l’université de Saint-Pétersbourg, où il terminera sa carrière après un passage en Prusse à l’invitation de Frédéric le Grand. Son œuvre concerne tous les domaines des mathématiques. « Une méthode Ses contemporains le considéraient comme le plus pour trouver les lignes grand mathématicien de tous les temps.

 ur le Web http://www.bibmath.net/bios/ S index.php3?action=affiche&quoi=euler

courbes jouissant de propriétés de maximum ou de minimum ».

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

59

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice Pour analyser les variations de fonctions TP 25 Étude des variations de la somme de deux fonctions monotones Dire que f est monotone sur l’intervalle I signifie que f varie toujours dans le même sens sur I : elle est toujours croissante (ou toujours décroissante, ou toujours constante). 1. Tracer les courbes Faites afficher les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : 1 f(x) = x et g(x) = . x Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux valeurs positives de x. 2. Conjecturer

activités de recherche

a) Les fonctions f et g sont-elles monotones sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ ? b) Faites afficher maintenant la fonction h définie sur l’intervalle 1 ]0 ; + ∞[ par h(x) = x + , c’est-à-dire h(x) = f(x) + g(x). x La fonction h est appelée somme de f et de g. Elle peut être notée f + g. La fonction h semble-t-elle monotone sur ]0 ; + ∞[ ? c) Observez les variations de ces mêmes fonctions sur l’intervalle ]– ∞ ; 0[, et rassemblez vos résultats dans un tableau. d) Après avoir effacé les courbes précédentes, faites afficher les représentations graphiques des fonctions f, g et f + g, définies sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par : f(x) = x2, g(x) = –x et (f + g)(x) = x2 – x. l Étudiez les variations de ces trois fonctions sur l’intervalle [0 ; + ∞[ et rassemblez vos résultats dans un tableau. l Faites de même sur l’intervalle ]– ∞ ; 0]. e) Quelles conjectures pensez-vous pouvoir émettre après ces études ? 3. Démontrer a) f et g sont deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I. a et b sont deux nombres de I tels que a < b. Traduisez la croissance de f et de g. Que pouvez-vous en déduire pour la fonction f + g ? Énoncez la propriété établie. b) Que se passe-t-il si l’on remplace l’hypothèse « f et g croissantes » par « f et g décroissantes » ? Énoncez la propriété établie.

l

c) Expliquez pourquoi vous pouvez affirmer que l’énoncé suivant est faux : « La somme de deux fonctions monotones sur un intervalle I est une fonction monotone sur I ». 4. Application a) Étudiez les variations : l de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par f(x) = 2x + 1 + 1x ; 1 – x. l de la fonction g définie sur l’intervalle ]1 ; + ∞[ par g(x) = x–1 b) Vérifiez vos résultats en représentant à la calculatrice les fonctions f et g.

60

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Pour analyser les variations de fonctions TP 26 Étude des variations du produit de deux fonctions monotones

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice

Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I, la fonction x  f(x) × g(x) définie sur I est appelée produit de f et de g. On la note f × g. 1. Tracer les courbes

2. Conjecturer a) Les fonctions f, g et f × g sont-elles monotones sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ ? b) Étudiez les variations de ces mêmes fonctions sur l’intervalle ]– ∞ ; 0[, et rassemblez vos résultats dans un tableau. c) Après avoir effacé les courbes précédentes, faites afficher les représentations graphiques des fonctions f, g et f × g, définies sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par : 2 3 l f(x) = x  ; l g(x) ; = –x l (f × g)(x) = f(x) × g(x) = –x .

Observez les variations de ces trois fonctions sur l’intervalle [0 ; + ∞[. l Rassemblez vos résultats dans un tableau. l Faites de même sur l’intervalle ]– ∞ ; 0]. l

d) Les études précédentes vous permettent-elles de conjecturer : le sens de variation du produit d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante ? l le sens de variation du produit de deux fonctions décroissantes ?

activités de recherche

Faites afficher les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : 1 2  ; l f(x) = x  ; l g(x) = l (f × g)(x) = f(x) × g(x) = x. x Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux valeurs positives de x.

l

3. Démontrer f et g sont deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I. a et b sont deux nombres de I tels que a < b. a) Traduisez la croissance de f et de g sur I. b) Prouvez que la propriété suivante est fausse : « m, n, p et q sont des nombres. Si m  n et p  q, alors m × p  n × q. » c) Pouvez-vous énoncer une règle générale donnant le sens de variation du produit de deux fonctions croissantes sur un intervalle ? d) Avez-vous maintenant une idée de réponse au problème ouvert de la page 49 ? Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

61

EXERCICES

Entraînement 1

de  tête

1

38 f : x  x – 1 , –f, 2f et f . y

Pour les exercices 27 à 30 Donnez le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle I.

27 f : x  x2 + 1 ; I = [0 ; + ∞[.

1

28 f : x  6x + 1 ; I = [–1 ; + ∞[.

O

x

1

29 f : x  8x2 + 1 ; I = . 1

30 f : x  1 – x  ; I = ]– ∞ ; 1[. Pour les exercices Comparez A et B.

1

39 f : x  x2 + 1, 1f et f .

31 à 33

y

31 A = 82x + 3 et B = 82y + 3, avec 0 < x < y. 1

1

32 A = 6x + 1 et B = 6y + 1 , avec 0 < x < y. 1

1

1

33 A = 2x – 5 et B = 2y – 5 , avec 3 < x < y.

O

34 Encadrer |x| pour x ∈ [–2 ; 0]. 1

36 f est la fonction définie sur l’intervalle 3 2  ; + ∞3

par :

f(x) = 82x – 1. Donnez un encadrement de f(x) pour x ∈ [5 ; 41].

Dans les exercices 37 à 40 Associez à chaque fonction sa représentation. 1 f : x  x2 + x – 1, –f, 2f et . f

1

1 O

Quelle courbe ne correspond à aucune de ces trois fonctions ?

x

tation graphique des fonctions suivantes : 1 1 1    l x     l x  2 lx x x 1x a et b sont deux nombres tels que 1 < a < b. Associez à chaque courbe sa fonction. h f g a

62

x

y

41 La figure ci-dessous est un extrait de la représen-

y

1

1

f, g et h sont trois fonctions. 2 lf:xx 2 lg:xx +2 2 l h : x  (x + 2)

D’une courbe à l’autre : reconnaître

O

x

40 Cherchez l’intrus

35 Encadrer |x| pour x ∈ [–2 ; 3].

37

1

b

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

47 Le tableau de variation suivant est celui d’une fonction f définie sur l’intervalle I = [–4 ; 4]. x



’

f(x)

0

2 2

0

4 1

1. Dressez le tableau de variation des fonctions définies sur l’intervalle I par : l g(x) = f(x) + 2 ;   l h(x) = –f(x) ;   l k(x) = 5f(x).

J  O

2. a) Tracez une courbe susceptible de représenter f sur l’intervalle I.

I

Précisez, parmi les fonctions suivantes, celle qui est représentée par la courbe #, image de  par la translation de vecteur –YOJ, et celle qui est représentée par la courbe ’, image de  par la translation de vecteur YOI : 2 2 l f(x) = (x + 1)  ; l g(x) = x + 1 ; 2 2 l h(x) = (x – 1)  ; l k(x) = x – 1.

D’une courbe à l’autre : construire 43 On appelle f la fonction représentée ci-dessous, dans un repère orthonormé, par le demi-cercle de centre A(2 ; 0). y

b) Dans le même repère, tracez des courbes susceptibles de représenter g, h et k.

48 Le tableau de variation suivant est celui d’une fonction f définie sur l’intervalle I = [–5 ; 3]. x

–5

f(x)

0

–3 1

–1

0

0

–1

1 0

2 3

3 1

1. Dressez le tableau de variation des fonctions définies sur I par : l g(x) = f(x) – 1 ;   l h(x) = –2 f(x). 2. a) Tracez une courbe susceptible de représenter f sur l’intervalle I. b) Dans le même repère, tracez des courbes susceptibles de représenter g et h. 3. a) Précisez sur quel ensemble E le calcul de 5f(x) est possible.

1 A O

–4 3

EXERCICES

42 La parabole  est la représentation de la fonction carré dans un repère orthonormé (O ; I, J).

1

2

b) Dressez alors le tableau de variation de la fonction définie sur E par k(x) = 5f(x).

x

Construisez les courbes représentatives des fonctions : l g(x) = –f(x)   l h(x) = 2f(x)   l k(x) = f(x) + 2.

44 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe représentative  de la fonction définie sur  par f(x) = x2. Déduisez-en les représentations graphiques des fonctions suivantes : 2 2 2 l g : x  x – 2 ;   l h : x  –2x  ;   l k : x  |x – 2|.

c) Dans le même repère, tracez une courbe susceptible de représenter la fonction k.

49 f est la fonction définie sur l’intervalle [–3 ; 3] représentée ci-dessous. y 1

O 1

45 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe représentative  de la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : 1 f(x) = . x Déduisez-en les représentations graphiques des fonctions suivantes : 1 1 1 + 2 ;   l h : x  –   ;   l k : x  +2. lg:x x x x

|

|

46 Tracez, dans un repère orthonormé, la courbe représentative # de la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x. Déduisez-en les représentations graphiques des fonctions suivantes : 1x l g : x  1x – 1 ;   l h : x  . 2

x

1. Dressez le tableau de variation de f. 2. On note g la fonction définie sur [–3 ; 3] par g(x) = |f(x)|. a) Représentez la fonction g. b) Déterminez graphiquement le nombre de solutions de l’équation g(x) = 1. 3. m est un nombre quelconque. Discutez, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation g(x) = m. Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

63

EXERCICES

Avec la calculatrice 61

Décomposition et sens de variation Pour les exercices 50 à 57 Décomposez la fonction f à l’aide de fonctions usuelles et déduisez-en le sens de variation de f sur chacun des intervalles donnés. Utilisez votre calculatrice pour représenter f et vérifier vos résultats.

50 f(x) = x2 + 3 ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[.

2. Déduisez-en l’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la fonction f : x  9x2 – 2x – 3 est définie. 3. Étudiez les variations de f sur chacun des intervalles qui composent l’ensemble D. 4. Établissez le tableau de variation de f et vérifiez à l’aide de votre calculatrice graphique.

62 1. Vérifiez que la fonction f : x  9x2 – 2x + 2 est définie pour tout nombre x.

51 f(x) = 8x2 + 3 ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[. 1

52 f(x) = x2 + 3  ; I = ]– ∞ ; 0] ; J = [0 ; + ∞[.

2. Étudiez les variations de la fonction f. 3. Déduisez de ce qui précède un encadrement de f(x) pour x ∈ [0 ; 5].

53 f(x) = 6x – 4 ; I = [4 ; + ∞[. 1

54 f(x) = 7x – 4  ; I = ]4 ; + ∞[.

63 Démonstration par l’absurde

55 f(x) = 2|x| – 1 ; I = . –2

57 f(x) = x2  ; I = ]– ∞ ; 0[ ; J = ]0 ; + ∞[. 2x + 1 sur . x

1. Trouvez les nombres a et b tels que f(x) = a +

LOGIQUE

Démontrer que la fonction x  1x est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[ revient à démontrer que : si a et b sont deux nombres tels que 0 < a < b, alors 1a < 1b. Raisonner par l’absurde consiste à ajouter une nouvelle hypothèse, la négation de la conclusion, et à en déduire qu’on arrive alors à une absurdité.

56 f(x) = 75 – x ; I = ]– ∞ ; 5].

58 f(x) =

1. Étudiez le signe du trinôme. x2 – 2x – 3 suivant les valeurs de x.

b . x

a) Exprimez la négation de la conclusion (1a < 1b). b) Utilisez alors une propriété de la fonction carré sur [0 ; + ∞[ pour montrer qu’on arrive, avec cette nouvelle hypothèse, à une absurdité et concluez.

2. Étudiez le sens de variation de f sur . Aide

Voir l’exercice résolu B p. 55 et l’exercice 22 p. 58.

64 Une question de signe

Avec la calculatrice 59 1. Utilisez votre calculatrice graphique pour représenter la fonction f définie sur  par f(x) = 3x2.

A L G O R IT

H M IQ U E

L’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, traduit un programme de calcul définissant une fonction f.

2. Quelle courbe pensez-vous reconnaître ? Quelle égalité pouvez-vous conjecturer ? 3. Démontrez que cette égalité est vraie pour tout nombre x.

60 Des chemins différents ?

A L G O R IT

H M IQ U E

Comparez les programmes de calcul suivants. P1 : x multiplier … soustraire 1 … élever … prendre la …

l

au carré

par 2

l

P2 : x

l

P3 : x

l

64

P4 : x

…

multiplier par –2 soustraire

soustraire

1 2

1 2

… …

ajouter 1

…

prendre la valeur absolue

prendre la valeur absolue élever au carré

…

racine carrée

…

…

multiplier par 2

prendre la racine carrée

…

…

multiplier par 2

…

Reconnaissez-vous la fonction f ainsi définie ? Utilisez une fonction déjà programmée dans le logiciel pour simplifier l’écriture de cet algorithme.

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

A L G O R IT

H M IQ U E

Écrivez un programme définissant la fonction qui au nombre x associe 8x2 + 1 si x est négatif et |1 – 2x| si x est positif.

P J

Note

En général, la fonction racine carrée se note sqrt (de square root, en anglais) et la fonction valeur absolue, abs.

66 A et B sont deux points distincts appartenant à la courbe représentant la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x. J A

a

B

B –2

A –1

O

M x

I

L’objectif est de déterminer un encadrement de la longueur du segment [AP] lorsque x ∈ [0 ; 3]. 1. Utilisez les triangles PAB, PAM et PBM pour démontrer que : AP = 7x + 1.

I

2. Utilisez les variations de la fonction f définie sur [0 ; 3] par f(x) = 7x + 1 pour résoudre le problème posé.

xi

69 Une personne est chargée de la surveillance d’un domaine ayant la forme d’un carré d’un kilomètre de côté.

b

1. Montrer que le milieu I du segment [AB] est situé « en dessous » du point J de la courbe ayant la même abscisse, c’est-à-dire que yI < yJ. Aide

EXERCICES

65 Par morceaux

Si a ≠ b, alors (1a – 1b)2 > 0.

2. Exprimez (en terme de moyennes) la propriété ainsi démontrée. Avec la calculatrice 67 On affiche sur l’écran de la calculatrice la partie obtenue pour 0 < x < 5 de chacune des courbes des fonctions : x  x, x  x + 1, x  8x2 + 1. Le croquis ci-dessous représente le domaine ABCD, et le point M indique la position du gardien lorsqu’il en fait le tour. D C 1. Repérez chacune des fonctions. 2. Une des courbes semble « bloquée » entre les deux autres. Par quel encadrement pouvez-vous traduire ce phénomène ? 3. Cet encadrement est-il vérifié pour tout nombre x positif ?

68 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), les points A, B et M sont les points de l’axe (O ; I) d’abscisses respectives –1, –2 et x (x  0). Le demi-cercle de diamètre [BM] (dans le demi-plan d’équation y > 0) coupe la droite d’équation x = –1 au point P.

A

M

B

Le gardien part du point A et tourne dans le sens indiqué par la flèche. Pour chaque position de M, on note x la distance parcourue depuis le départ de A. À chaque instant, on note d la distance (en km) qui sépare M, à vol d’oiseau, du sommet D. Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées

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65

EXERCICES

1. Conjecturez les variations de d en fonction de x et notez-les dans le tableau suivant :

Sommet

A

B

C

D

A

x

0

1

2

3

4

d

1

…

…

0

1

2. Pour chaque côté du carré, donnez l’expression de d en fonction de x. Exemple : pour 3 < x < 4, d(x) = 3 – x. 3. Vérifiez l’exactitude de vos conjectures en étudiant les variations de d.

ROC

Restitution organisée de connaissances

71 Prérequis Une fonction u est définie sur un intervalle I et pour tout nombre x de I, u(x) > 0. 1 Les fonctions u et varient en sens contraire. u 1. Démonstration k est un nombre strictement positif, f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I, et pour tout nombre x de I, f(x)  0. 1 est strictement Prouvez que la fonction x  f(x) + k décroissante sur l’intervalle I. 2. Application Une fonction f définie sur l’intervalle I = [1 ; + ∞[ est strictement croissante sur I et f(1) = 0. Démontrez que, pour tout nombre x appartenant à 1 l’intervalle I, la fonction g : x  est définie sur I f(x) + 1 et que pour tout nombre x de I, g(x) < 1.

Prendre toutes les initiatives Avec les tice 70 Conjecturer puis démontrer Aide

Voir l’exercice 22 p. 58.

f est la fonction définie sur l’intervalle ]–2 ; + ∞[ par : 2x – 1 . f(x) = x+2

72 Précisez le sens de variation de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par : 1 f(x) = 1x – . x 73 Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’origine O. La courbe  est la représentation graphique de la fonction racine carrée.

1. Expérimenter avec GeoGebra ou la calculatrice

y

A

a) Construisez la courbe de la fonction f.

N

b) Conjecturez la valeur d’un nombre A tel que pour tout nombre x de l’intervalle ]–2 ; + ∞[, f(x) < A. c) Conjecturez les variations de la fonction f. 2. Démontrer a) Vérifiez que pour tout nombre de l’intervalle ]–2 ; + ∞[, 5 f(x) = 2 – . x+2 b) Déduisez-en que pour tout nombre x appartenant à l’intervalle ]–2 ; + ∞[, f(x) < 2. c) Exploitez les résultats des questions précédentes pour déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]–2 ; + ∞[.

66

 1 O

M P

1

x

A est un point de la courbe . La perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par le milieu M du segment [OA] coupe  en un point N et l’axe des abscisses en un point P. PM Prouvez que le rapport est constant quelle que PN soit la position du point A sur la courbe .

Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

74 Produit de fonctions monotones et positives 1. Démontrer f et g sont deux fonctions positives sur un intervalle I, ce qui signifie que pour tout nombre x appartenant à I, f(x) et g(x) sont positifs. On suppose de plus que les fonctions f et g sont croissantes sur l’intervalle I. On note p la fonction « produit de f et g » définie sur I par : p(x) = f(x) × g(x). Prouvez que la fonction p est croissante sur l’intervalle I. 2. Conjecturer Que pouvez-vous conjecturer sur le produit de deux fonctions positives et décroissantes sur un intervalle I ? Démontrez-le. Exercice 26, page 61. 3. Applications Trouvez le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I donné. a) f(x) = x7x + 3 ; I = [1 ; + ∞[. 1 b) g(x) =  ; I = ]0 ; + ∞[. x(x + 1)

75 Sur le graphique ci-dessous sont représentées les fonctions définies sur l’intervalle I = [0 ; 1] par : f(x) = 1x et g(x) = x. 1

1

76 1. Vérifiez que la fonction définie par f(x) = x – x

est définie sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[.

2. On s’intéresse, dans un repère orthonormé, à la représentation  de f pour les valeurs de x strictement positives. Justifiez que  est toujours située en dessous de la droite d d’équation y = x.

EXERCICES

Approfondissement

3. On note A le point de  d’abscisse x et B celui de d ayant la même abscisse x. 1 Justifiez que la longueur AB est égale à . x 1 La fonction x  est strictement décroissante sur x ]0 ; + ∞[. Que pouvez-vous en déduire pour la courbe  ? 4. Tracez la droite d puis la courbe , pour x > 0.

77 À l’intérieur ?

A L G O R IT

H M IQ U E

Les courbes représentatives des fonctions f et g sont définies sur ]0 ; + ∞[ par : x–2 f(x) = x2 – 5x + 4  et  g(x) =  . x Elles déterminent une région du plan colorée en orange sur la figure ci-dessous.

1 O

y

1

x

B A O

x

1

A et B sont des points des deux courbes ayant la même abscisse x. L’objectif est de déterminer la longueur maximale du segment [AB] lorsque x parcourt l’intervalle [0 ; 1]. 1. Après avoir associé à chaque courbe sa fonction, exprimez la longueur AB en fonction de x. 2. On note g la fonction définie sur I par : g : x  AB. Par des considérations graphiques, établissez le tableau de variation de la fonction g. 3. Vérifiez que pour tout x de l’intervalle I : 1 1 1 g(x) < et que g = . 4 4 4

1 2

Aide

1 

2

2 1 Développez  —  – 1x . 2

4. Concluez.

1. Attribuez à chaque fonction sa courbe. 2. Écrivez un algorithme qui permet de préciser si un point défini par ses coordonnées appartient à la partie colorée (frontière comprise). 3. Réalisez le programme et testez-le en choisissant des points pour lesquels une simple lecture du graphique ne suffit pas (exemple : A(1,2 ; –0,5)).

78 Distance d’un point à une droite Dans un repère  orthonormé, on considère les points A(0 ; 1) et M(x ; y). M est un point de la droite d d’équation y = x – 4. L’objectif est d’étudier les variations de la distance AM lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale. 1. a) Exprimez la distance AM en fonction des coordonnées x et y de M. Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées

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67

EXERCICES

b) Justifiez ensuite que AM = 02x2 – 10x + 25.

y

2. À chaque nombre réel x correspond un unique point M de la droite d et réciproquement, chaque point de d est associé un unique réel x. L’objectif est donc maintenant d’étudier les variations de la fonction : f : x  02x2 – 10x + 25.

1

O

x

1

a) Justifiez que f(x) existe quel que soit le nombre x. b) Établissez le tableau de variation de la fonction u définie sur  par : u : x  2x2 – 10x + 25. c) Énoncez le théorème qui vous permet de déduire des variations de u celles de f. d) Déduisez-en la valeur minimale de la distance AM. Remarque

Cette valeur est, par définition, la distance du point A à la droite d (voir exercice 95, page 236 du chapitre 9).

79 Représentation de | f |

Reproduisez le dessin. En vous inspirant de l’exercice  79 , construisez la représentation de la fonction g définie sur I par g(x) = |f(x)|.

83 1. Étudiez les variations de la fonction f définie sur  par f(x) = 2x2 + 2x – 4. 2. Étudiez le signe de f(x) suivant les valeurs de x. 3. Représentez la fonction f et déduisez-en la représentation de la fonction g définie pour tout nombre x par g(x) = |2x2 + 2x – 4|.

84 Démontrer une équivalence

LOGIQUE

1. Dans un repère orthonormé, représentez la fonction affine f définie sur  par : f(x) = 2x – 4.

Deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsque (P) implique (Q) et (Q) implique (P). a et b sont deux nombres réels.

2. On note g la fonction définie sur I par g(x) = |f(x)|.

1. a) Pourquoi l’égalité 1a = b implique-t-elle b  0 et a = b2 ?

a) Justifiez que g(x) =

2x – 4 si x  2

5 –2x + 4 si x < 2.

b) Indiquez un moyen de placer le point de coordonnées (x, g(x)), lorsque : l x ∈ ]– ∞ ; 2] ; l x ∈ [2 ; + ∞[. c) Construisez la représentation de la fonction g définie sur  par g(x) = |2x – 4|.

80 1. Dans un repère orthonormé, représentez la fonction trinôme f définie sur  par f(x) = x2 – 3. 2. En vous inspirant de l’exercice précédent, construisez la représentation de la fonction g définie sur  par : g(x) = |x2 – 3|.

81 Donnez une expression « simple » de la fonction h représentée ci-dessous : y

b) Pourquoi, réciproquement, les conditions b  0 et a = b2 impliquent-elles 1a = b ? c) Énoncez l’équivalence ainsi démontrée. 2. Démontrez l’équivalence : (1a < 1b) ⇔ (0 < a et a < b). 3. Donnez une proposition équivalente à : 1a < b. Pour les exercices 85 à 91 Résolvez dans  l’équation ou l’inéquation proposée (en utilisant les résultats de l’exercice 84 ) et vérifiez à l’aide de la calculatrice graphique.

85 6x – 1 = 3 – x.

86

7x + 7 = x + 1.

87 t + 81 – 2t = 2.

88

71 – u = u – 1.

89 1x  82x – 1.

90

82x + 1 < 1 +

x . 3

91 4 + 76 – x < x. 92 1. Représentez les fonctions f et g définies par :

1 O

f(x) = 82x – 1

1

x

82 La courbe ci-après représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie sur l’intervalle I = [–4 ; 4]. 68

et

g(x) = x.

2. Graphiquement quelles sont les solutions de l’équation 82x – 1 = x ? 3. L’écran de la calculatrice ou du grapheur n’étant qu’une fenêtre, vérifiez par le calcul l’exactitude de votre conjecture.

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EXERCICES

93 f est la fonction définie sur l’intervalle [–1 ; + ∞[ par f(x) = 81 + x. On a construit ci-dessous la courbe f représentative de f. y f 1 O

x

1

1. a) Sur l’intervalle [–1 ; + ∞[, comparez les nombres 61 + x x et 1 + . 2 b) Pour quelle valeur de x obtient-on : x 71 + x = 1 +  ? 2 2. a) Représentez sur le même graphique f et la droite d x d’équation y = 1 + . 2 b) Déduisez de la question 1. la position de la droite d par rapport à la courbe f .

94 Les segments [AB] et [CD], de longueur 6, sont perpendiculaires en A, avec AD = 2. M et N sont variables respectivement sur [AB] et [CD] tels que AM = CN = x, 0 < x < 6. C 4 N

P

1. Construire avec GeoGebra Créez le demi-cercle de diamètre [AB], et le point M. Créez la parallèle à l’axe des abscisses passant par M puis le point N. Créez le périmètre p, somme des mesures des côtés affichées dans la fenêtre Algèbre. 2. Conjecturer Déplacez le point M sur le demi-cercle (l’abscisse x de M restant positive). Pour quelle(s) valeur(s) de x le périmètre semble-t-il maximum. Quelle est alors sa valeur ? 3. Démontrer Dans cette partie, on envisage de résoudre algébriquement le problème suivant : Pour quelles valeurs de x le périmètre est-il égal à 5 ? a) Démontrez que le point M a pour ordonnée 81 – x2. l Déduisez-en que : AM = 92(1 – x) et que P(x) = 2 + 2x + 292(1 – x). l Vérifiez que répondre à la question posée revient à 3 résoudre dans [0 ; 1] l’équation : 92(1 – x) = – x. (E) 2 b) Cette équation est dite irrationnelle parce qu’il y figure un radical que l’on ne peut pas simplifier. l L’équation (E), de la forme 1a = b, n’a de sens que si a et b sont positifs. Vérifiez que pour x ∈ [0 ; 1], les conditions sont respectées. Exercice 84, Logique, page 68.

A

x

M

6

B

2

l Expliquez pourquoi, ces conditions étant remplies, résoudre l’équation (E) revient à résoudre l’équation (E’) : 2 3 –x . 2(1 – x) = 2 c) Résolvez l’équation (E’) puis répondez à la question posée au début de cette partie 3.

1

D a) Exprimez en fonction de x l’aire f(x) du rectangle AMPN (vous distinguerez deux cas suivant la place de N par rapport à A). b) Représentez graphiquement la fonction f. c) Utilisez le graphique pour déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle est supérieure à 3.

95 Résoudre une équation irrationnelle TICE Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Par un point M (d’abscisse positive) du demi-cercle de centre O, de rayon 1 et de diamètre [AB], on trace la parallèle (MN) à l’axe des abscisses.On note x l’abscisse du point M(0 < x < 1) et on s’intéresse aux variations du périmètre p du trapèze isocèle AMNB en fonction de l’abscisse x du point M.

2

Prendre toutes les initiatives 96 (O ; I, J) est un repère orthonormé. Déterminez les points M(x ; y) du plan tels que |x| + |y| = 1. 97 (O ; I, J) est un repère orthonormé. A a pour coordonnées (0 ; 2) et B(1 ; 0). Déterminez tous les points C de l’axe des abscisses tels que le triangle ABC soit isocèle. 98 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé,

17 coupe-t-il la le cercle de centre A(2 ; 0) et de rayon 2 courbe d’équation y = 1x ? Chapitre 2 ● Variations des fonctions associées

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69

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Variations de f et 1f

D Des courbes symétriques

f est la fonction définie sur  par : f(x) = x2 – 2x + 3. 1. Dressez le tableau de variation de f. 2. a) Pourquoi la fonction g : x  4f(x) est-elle définie pour tout nombre de  ? 1 b) Dressez le tableau de variation de g.

La courbe  ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction f définie sur  par : 1 3 f(x) =  x3 +  x2. 2 2 y

2

c) Si x appartient à l’intervalle [0 ; 2], à quel intervalle appartient g(x) ?

B Des fonctions associées

1 O

3

La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction f définie sur l’intervalle I = ]– ∞ ; 3] par : f(x) = –x3 + 3x2. y

x

1

1. a) Construisez la courbe 1 , symétrique de  par rapport à l’axe des ordonnées, et la courbe 2 , symétrique de  par rapport à l’axe des abscisses. b) 1 est la courbe représentative d’une fonction f1 et 2 celle d’une fonction f2. Exprimez f1(x) et f2(x), et dressez le tableau de variation des fonctions f1 et f2.

1 O

5

2. a) Construisez la courbe 3 représentative de la fonction g définie par g(x) = |f(x)|.

x

1

1. Dressez le tableau de variation de f.

b) Donnez le tableau de variation de g.

2. Déduisez-en le tableau de variation de chacune des fonctions g, h et k définies par : l g(x) = f(x) + 4 ;   l h(x) = –f(x) ;   l k(x) = 4f(x).

C Autour d’une fonction affine par morceaux

E Un problème de distance

Dans un repère orthonormé d’origine O, un point M décrit la droite d d’équation y = x + 2.

4

y

La courbe ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie sur l’intervalle I = [–1 ; 2]. y d

1

6

M

1 O

x

1

–1 1

O

2

x

–1 Dans des repères orthonormés différents, tracez les représentations graphiques des fonctions g, h et k définies sur l’intervalle I par : l g(x) = –f(x) ;   l h(x) = |f(x)| ;   l k(x) = f(x) + 1.

70

1. Démontrez que OM = 02x2 + 4x + 4. 2. a) Pourquoi la fonction f : x  0x2 + 2x + 2 est-elle définie pour tout nombre de  ? 7 b) Dressez le tableau de variation de f. 3. a) Déduisez-en que OM  12.

8

b) Retrouvez géométriquement ce résultat.

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9

CHAPITRE

Dérivation

D’un siècle à un autre Les infographistes et les web designers connaissent bien les courbes de Bézier : ils les manipulent à longueur de journée. Elles furent mises au point en 1962 par l’ingénieur français Pierre Bézier. Ces courbes sont construites par morceaux et leur raccordement continu est réalisé grâce à des calculs de dérivées. Cette notion de dérivée a vu le jour au xviie siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton, qui s’en disputèrent la paternité.

En savoir plus sur Gottfried Leibniz Chercheurs d’hier p. 81

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Rappels

& Questions-tests

Équations de droites Dans un repère, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = mx + p. m est le coefficient directeur de la droite et p l’ordonnée à l’origine. Suivant le signe de m, on distingue trois cas : l

2

m=0

l

m0

l

1   Par lecture graphique, donnez une équation

m>0

y

de chacune des droites d1, d2, d3. y

1

m=0

O

O

x

1

m = –2

1

d2

d1

2 3

–2

m 0. Il quitte sa trajectoire tangentiellement en P(1 ; 2). À quel endroit touchera-t-il le sol, représenté par l’axe (O ; t) ?

y

2 1 O

 P

1

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

t

73

COURS

1

Nombre dérivé et tangente 1.1 Taux d’accroissement

Définition

1 La fonction f est définie sur un intervalle I et α est un nombre de I. À tout nombre h non nul, tel que (α + h) appartient à I, on peut associer le nombre appelé taux d’accroissement de f entre α et (α + h).

f(α + h) – f(α) h

Exemple et interprétation graphique. f est la fonction définie sur  par f(x) = x2.

h désigne un nombre quelconque, non nul. l

y

Le taux d’accroissement de f entre 1 et (1 + h) est égal à : f(1 + h) – f(1) (1 + h)2 – 12 = h h 1 + 2h + h2 – 1 = h h(2 + h) = h = 2 + h.

A et M sont les points de la courbe représentative de f d’abscisses respectives 1 et (1 + h).

M

f(1 + h)

f(1 + h) – f(1)

A

f(1)

h

l

1 1+h

O

x

Le taux d’accroissement de f entre 1 et (1 + h) est le coefficient directeur de la droite (AM) : yM – yA f(1 + h) – f(1) f(1 + h) – f(1) = = . xM – xA (1 + h) – 1 h

1.2 Nombre dérivé Dans l’exemple précédent, lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, les nombres (2 + h) « s’accumulent » autour de 2. On dit alors que la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 est 2 et on écrit : lim (2 + h) = 2.

h→0

On dit aussi que le taux d’accroissement tend vers 2 lorsque h tend vers 0. On s’intéresse donc au problème suivant : « Pour une fonction f donnée, le taux d’accroissement de f entre α et (α + h) a-t-il une limite lorsque h tend vers 0 ? » Définition

2 f est une fonction définie sur un intervalle I. Les nombres α et (α + h) appartiennent à I. Dire que f est dérivable en α signifie que le taux d’accroissement nombre L lorsque h tend vers 0.

f(α + h) – f(α) tend vers un h

Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en α. Il est noté f’(α). f(α + h) – f(α) f’(α) = lim   = L. h→0 h

Exemple. La fonction f : x  x2 vue précédemment est telle que

est dérivable en 1 et f’(1) = 2.

74

lim  

h→0

f(1 + h) – f(1) = 2, donc f h

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS 1.3 Tangente à une courbe A et M sont deux points de la courbe représentative d’une fonction f dérivable en α. Le fait que le nombre h tende vers zéro se traduit graphiquement par le fait que le point M se « rapproche » du point A.

y

Les sécantes (AM) ont pour position limite la droite passant par A et de coefficient f’(α). Cette droite correspond à l’idée intuitive que l’on se fait d’une tangente à une courbe. Définition

M

f(_ + h)

f(_ + h) – f(_)

A

f(_)

h

O

x

_+ h

_

3 f est une fonction définie sur un intervalle I. #f est sa courbe représentative. α est un nombre de l’intervalle I. f est dérivable en α.

La droite qui passe par A(α ; f(α)) et de coefficient directeur f’(α) est la tangente à #f au point A.

Équation de la tangente à une courbe en un point

y

Une équation de la tangente à f au point A(α ; f(α)) est : y = f’(α)(x – α) + f(α) En effet, cette tangente a pour coefficient directeur f’(α), elle a donc une équation du type y = f’(α) × x + p. Comme elle passe par A, alors f(α) = f’(α) × α + p, donc p = f(α) – f’(α) × α. Ainsi cette tangente a pour équation y = f’(α) × x + f(α) – f’(α) × α soit : y = f’(α) × (x – α) + f(α).

f(_)

O

A

1 f’(_)

x

_

Exemple. Dans l’exemple du paragraphe 1.1, la tangente à la parabole d’équation y = x2 au

point A(1 ; 1) a pour équation :

y = 2(x – 1) + 1 soit y = 2x – 1.

2

Fonctions dérivées 2.1 Fonction dérivée

Définition

4 f est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout nombre x de I. Alors la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f’(x) est appelée la fonction dérivée de f. On la note f’.

2.2 Dérivées de fonctions usuelles Pour les démonstrations de ce paragraphe, on calcule le taux d’accroissement puis on détermine sa limite lorsque h tend vers 0. Théorème

f(α + h) – f(α) , h

1 Toute fonction affine f définie par f(x) = mx + p est dérivable sur . Sa fonction dérivée est définie sur  par f’(x) = m. Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

75

COURS Démonstration. Quels que soient les nombres α et h (h ≠ 0) : f(α + h) – f(α) m(α + h) + p – mα – p mh = = = m. h h h Ainsi, le taux d’accroissement lorsque h tend vers 0, a pour limite m. Quel que soit le nombre α, f est dérivable en α et f’(α) = m : la fonction dérivée est définie sur  par f’(x) = m (fonction constante).

Exemples. Lorsque m = 1 et p = 0, f(x) = x et f’(x) = 1. Lorsque m = 0, f(x) = p et f’(x) = 0. Ainsi, toute fonction constante sur  a pour dérivée la fonction nulle. Théorème

2 Toute fonction trinôme f définie sur  par f(x) = ax2 + bx + c est dérivable sur . Sa fonction dérivée est définie par f’(x) = 2ax + b. Idée de la démonstration. f(α + h) – f(α) a(α + h)2 + b(α + h) + c – aα2 – bα – c = h h aα2 + 2aαh + ah2 + bα + bh + c – aα2 – bα – c ah2 + 2aαh + bh = = ah + 2aα + b. = h h Le taux d’accroissement est égal à ah + 2aα + b. Lorsque h tend vers 0, ce taux d’accroissement a pour limite 2aα + b.

Quels que soient α et h (h ≠ 0),

Ainsi, quel que soit le nombre α, f est dérivable en α et f’(α) = 2aα + b. La fonction dérivée est définie sur  par f’(x) = 2ax + b. Théorème

3 Pour tout entier naturel non nul n, la fonction f définie sur  par f(x) = xn est dérivable sur . Sa fonction dérivée est définie sur  par f’(x) = nx n–1.

Admis Théorème

4

1 La fonction inverse f définie sur  – {0} par f(x) = est dérivable sur chacun des intervalles x ]– ∞ ; 0[ et ]0 ; + ∞[. 1 Sa fonction dérivée est définie sur chacun de ces intervalles par f’(x) = –  2 . x Idée de la démonstration. Quels que soient les nombres α > 0 et h tels que α + h > 0, 1 1 –h – f(α + h) – f(α) 1 α+h α α(α + h) = . = = –  h h h α(α + h) 1 Lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement a pour limite –  2 . Ainsi, quel que soit le nombre α 1 α > 0, f est dérivable en α et f’(α) = –  2 . On obtient le même résultat lorsque α < 0. α 1 La fonction dérivée est définie sur chacun des intervalles ]– ∞ ; 0[ et ]0 ; + ∞[ par f’(x) = –  2 . x

Théorème

5 La fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x est dérivable sur l’intervalle ouvert ]0 ; + ∞[. Sa fonction dérivée est définie sur ]0 ; + ∞[ par f’(x) =

Attention La fonction f n’est pas dérivable en zéro.

76

1 . 21x

Idée de la démonstration. Quels que soient les nombres α > 0 et h tels que α + h > 0, α+h–α 1 8α + h – 1α2 8α + h + 1α2 8α + h – 1α f(α + h) – f(α) = = . = = h h h8α + h + 1α2 8α + h + 1α h8α + h + 1α2 1 Lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement a pour limite . 21α 1 Ainsi, quel que soit le nombre α > 0, f est dérivable en α et f’(α) = . 21α 1 . La fonction dérivée est définie sur ]0 ; + ∞[ par f’(x) = 21x

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Objectif

1

Associer tangente et nombre dérivé

Si f est une fonction dérivable en α, sa courbe représentative  admet au point A(α ; f(α)) une tangente T de coefficient directeur f’(α).

y



1

1 _

O

Exercice résolu A

T f’(_)

A

f(_) 1

EXERCICES

Application

x

Exploiter graphiquement le nombre dérivé

La courbe  ci-contre représente une fonction f dérivable pour tout nombre a. En chacun des points A, B et C la courbe admet une tangente. Déterminez graphiquement les nombres suivants : l f(0) l f(3) l f(–2) l f’(0) l f’(3) l f’(–2).

Méthode

7



y

F

–2

E 3 1 B

A

O

1 –2

C 3

5

x

Solution

l On lit sur la figure les ordonnées des points A, B et C. l On lit les coefficients directeurs des tangentes +1 –2 directement sur la figure. E B O l On peut aussi déterminer, par exemple, le coefficient directeur f’(3) de la droite (CF) par le calcul. On peut, de la même façon, déterminer le coefficient directeur f’(0) de la droite (BE).

Graphiquement, on lit : f(0) = 1 ; f(3) = 2 ; f(–2) = –2. l Graphiquement, on lit : 5 f’(0) = –2 ; f’(3) = . 2 La tangente à  en A est horizontale donc son coefficient directeur est nul. f’(–2) = 0. l

La tangente à  en C(3 ; 2) passe par le point F(5 ; 7). 7–2 5 = Son coefficient directeur est m = 5 – 3 2 5 donc f’(3) = . 2

l



Mise en pratique Pour les exercices

1 à 3 Les fonctions étudiées sont dérivables pour tout nombre de .

1 La courbe cicontre est celle d’une fonction f. Utilisez le quadrillage pour donner le nombre dérivé associé à la tangente en A et en B.

y B 1 A

O

1

 x

3  est la courbe représentative d’une fonction f. On donne : l f(0) = 2 l f(4) = 5 l f(7) = 3 l f(10) = 5 l f’(0) = 1 l f’(4) = 0 l f’(7) = 0 l f’(10) = 2 1. a) Placez les points A, B, C et D d’abscisses respectives 0 ; 4 ; 7 ; 10.

b) Tracez les tangentes à la courbe  en ces 2 La courbe représentative  d’une fonction f points. passe par le point A(2 ; 3). La tangente à la courbe 2. Dessinez une allure possible de  dans l’interen A passe par le point B(4 ; –1). Calculez f’(2). valle [0 ; 10]. Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

77

EXERCICES

Objectif

2

Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé

Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître. Voir théorèmes 2 à 5. f est une fonction dérivable sur un intervalle I. a est un nombre de I. La tangente à la courbe  représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a)), admet pour équation : y = f’(a)(x – a) + f(a). l l

Exercice résolu B

Tangente en un point d’une courbe

La courbe  ci-contre est la courbe représentative de la fonction f définie sur  1 par f(x) = –   x2 + 2x + 3. 2 Le point A d’abscisse 4 est un point de .

y 5

 A

3

1. Exprimez f’(x). 2. Calculez f’(4) et tracez la tangente T à  en A.

1

3. Déterminez une équation de T.

O

x 1 2

4

Solution

Méthode 1. On exprime la dérivée de la fonction trinôme en appliquant le théorème 2.

1. f’(x) = – 

2. l On calcule f’(4). l La tangente en A a pour coefficient directeur –2. D’où sa construction.

1 × 2x + 2 = –x + 2. 2

2. l f’(4) = –4 + 2 = –2. y

l

d

5 3

A

1 –2

1 O 3. l On applique la formule y = f’(a)(x – a) + f(a). l On calcule f(4). 

1 2

4

x 

3. l La tangente en A à la courbe a pour équation y = f’(4)(x – 4) + f(4). l f(4) = –8 + 8 + 3 = 3. La tangente en A a donc pour équation : y = –2(x – 4) + 3, soit y = –2x + 11.

Mise en pratique

4 f est la fonction définie sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[

6 f est la fonction définie sur  par f(x) = x3 et  est sa courbe représentative. A et B sont les points de  d’abscisses respectives 1 et –1. 1. Calculez f’(1) et f’(–1). 5 f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ 2. Tracez les tangentes par f(x) = 1x.  est sa courbe représentative. en A et B à . 1. a) Calculez f’(1) et f’(4). 3. a) Quelle conjecture b) Tracez la tangente à  aux points A et B faites-vous concernant d’abscisses respectives 1 et 4. ces tangentes ? b) Prouvez-le. 2. Déterminez une équation de ces tangentes.

1 par f(x) = .  est sa courbe représentative. x 1 1. a) Calculez f’(1) et f’ –  . 2 b) Tracez la tangente à la courbe  aux points A 1 et B d’abscisses respectives 1 et –  . 2 2. Déterminez une équation de ces tangentes.

y

1 

78



A

1 –1 B

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

O

1 –1

x

Po u r

7

Questions sur le cours

Complétez les propositions suivantes. 1. f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. a et (a + h) sont deux nombres de I, (h ≠ 0). f(a + h) – f(a) s’appelle …… a) Le nombre h f(a + h) – f(a) b) Si tend vers L lorsque h tend h vers 0, alors L s’appelle …… 2. A est le point d’abscisse a de la courbe  représentative de f. a) f(a) est …… du point A. b) f’(a) s’appelle …… c) L’équation de la tangente en A à  est ……

9

QCM

8

EXERCICES

se tester Vrai ou faux

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) Si g est la fonction définie sur  par g(x) = 2x + 5, alors g’(x) = 7. b) Si g est une fonction dérivable en 3, alors sa courbe admet une tangente au point d’abscisse 3. c) f est la fonction définie sur  par f(x) = 3x2, alors f’(2) = 12. d) La fonction f est définie sur  par f(x) = x13. Pour x . tout nombre x, f’(x) = 213 e) f est définie pour tout nombre x non nul par 1 f(x) = . La tangente au point A d’abscisse 2 à la x 1 courbe représentant f a pour équation y = –   x + 1. 4

Une seule réponse exacte

Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. f est la fonction définie sur  par f(x) = 3x2 + 2x + 4. a) f’(x) = 6x + 6. b) f’(x) = 6x + 4. c) f’(x) = 6x + 2. 2.  est la courbe représentative de la fonction « carré ». La tangente au point d’abscisse –3 a pour équation : a) y = –6x – 27. b) y = –6x – 9. c) y = 9x + 3. 3. f est la fonction définie sur  par f(x) = –x2 + x + 1.

Le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est : 1 b) –1 – h. c) –2 – h – . a) –h2 – h. h 4.  est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x. La tangente à  au point d’abscisse 16 a pour équation : 1 1 1 a) y =  x. b) y =  x – 2. c) y =  x + 2. 4 8 8

10 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1.  représente une fonction y  dérivable pour tout a de . On a tracé en A et E les tan1E gentes à . A On peut affirmer que : x O 1 a) f(0) = 1 et f’(0) = –1. b) f(1) = 0 et f’(1) = –1. c) f(1) = 1 et f’(1) = –1. d) f(1) = 1 et f’(1) = 2. 1 2. f est la fonction définie sur  par f(x) =  x2 – 2x + 3. 2  est sa courbe représentative. a) La tangente à  au point d’abscisse 4 passe par le point A(–3 ; 5).

b) Il existe un seul point de  en lequel la tangente a pour coefficient directeur 1. c) La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation y = –2x + 3. y d 3. f est une fonction trinôme. 5 La courbe représentative  passe par les points A et B. La droite d est tangente en A A 2 B à . a) f(x) = –x2 + x + 4. 1 O b) La tangente en B a pour x –1 1 équation y = –3x + 8. 1 c) La tangente au point d’abscisse est horizontale. 2 Voir les corrigés p. 366 Chapitre 3 ● Dérivation

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

79

EXERCICES

Apprendre à chercher 11 Tangentes à une courbe passant par un point Dans un repère orthonormé (O ; I, J),  est la courbe représentative de la fonction f définie sur  – {0} par 1 f(x) = . A est le point de coordonnées (1 ; –1). x Objectif  Déterminez, si elles existent, les tangentes à  passant par A. 1. Réaliser une figure aide à bien visualiser la situation. a) Tracez l’hyperbole  et placez le point A.

activités de recherche

b) Conjecturez le nombre de tangentes passant par A. 2. Cela revient à trouver les points de  en lesquels la tangente à  passe par A. Pour connaître un point de  il suffit de connaître son abscisse. On choisit donc pour inconnue l’abscisse m (non nulle) d’un point M de .

Deux droites d’équations respectives y = mx + p et y = m’x + p’ sont confondues si et seulement si m = m’ et p = p’. a) Trouvez une équation de Ta, puis une équation de Tb. b) Déduisez-en que les droites « Ta et Tb sont confondues » équivaut à « Il existe des nombres a et b tels que 1 2 2a = –  2 et –a2 =  ». b b c) Calculez a et b et concluez. Aide

(–2) est le seul nombre dont le cube est (–8).

13 Position d’une courbe et d’une tangente en l’un de ses points Dans un repère, on a tracé la courbe  représentative de la fonction f définie sur  par f(x) = x3 et T la tangente à  au point A d’abscisse 1.

a) Trouvez, en fonction de m, une équation de la tangente Tm en M à .

y 

b) Démontrez que « La tangente en M passe par A » équivaut à « m2 + 2m – 1 = 0 ».

T

1 A

c) Résolvez cette équation. Combien trouvez-vous de tangentes Tm ? Concluez en plaçant sur  les points trouvés et en traçant les tangentes.

O

1

x

12 Tangentes communes à deux courbes Dans un repère (O ; I, J), 3 et  sont les courbes représentatives des fonctions f et g définies respectivement 1 par f(x) = x2 et g(x) = , (x ≠ 0). x Objectif  Trouver les tangentes communes à ces deux courbes. 1. Une tangente commune à deux courbes * et 3 est une droite tangente à la fois en A à 3 et en B à . A priori les points A et B sont distincts. Pour se faire une idée et suivre le raisonnement, on peut faire une figure. a) Construisez 3 et  dans le repère (O ; I, J). b) Essayez de construire une tangente commune. Semble-t-il y en avoir une seule ? plusieurs ? 2. A est un point de 3 d’abscisse a et B un point de  d’abscisse b (b ≠ 0). L’idée est d’écrire : l une équation T de la tangente en A à 3 ; a l une équation T de la tangente en B à . b On voit ensuite s’il est possible de choisir a et b de façon que Ta et Tb soient confondues.

80

Aide

Objectif  Étudier les positions relatives de  et T. 1. Notons g la fonction affine dont la représentation graphique est T. Dire que «  est au-dessus de T » équivaut à dire que « f(x) > g(x) » ou « f(x) – g(x) > 0 ». Ainsi, étudier les positions relatives de  et T revient à étudier le signe de f(x) – g(x). a) Trouvez une équation de la droite T. b) Démontrez que : « f(x) – g(x) > 0 » équivaut à « x3 – 3x + 2 > 0 ». 2. Il reste à résoudre cette inéquation de degré 3. Pour résoudre une telle inéquation, on factorise l’expression puis on étudie son signe dans un tableau. a) Vérifiez que pour tout nombre x, x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 + x – 2). b) À l’aide d’un tableau, donnez le signe de ce produit. c) Déduisez-en la résolution de l’inéquation x3 – 3x + 2 > 0. d) Concluez.

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc. y

15 Circuit automobile

La figure ci-contre est le profil d’une voûte d’ogive constituée par deux arcs de parabole parfaitement C K symétriques. l AB = 12 m. l OH = 4 m. J l OK = 7 m. x La tangente en C à la A H O I B voûte a un coefficient directeur égal à 3. Dans le repère orthonormé indiqué, l’équation du demi-profil gauche est : y = ax2 + bx + c. Quelle est la hauteur totale de la voûte ?

Eux aussi,avant erché ils ont chro de t uver ! Archimède Chap. 5 – 200

800

ANTIQUITÉ

MOYEN ÂGE

y

La figure ci-contre est B une partie d’un plan qui représente un circuit automobile (en rouge). Un observateur placé en P n’aperçoit dans son champ de vision que le A « virage AB ». 1 Sur ce plan, dans le repère orthonormé indiqué (unix O 1 P té graphique 25 m), 1 l’arc symbolisant le virage a pour équation y =  x2 + 2 4 et P a pour coordonnées (2 ; 0). À quelle distance l’observateur aperçoit-il la voiture à l’entrée du virage et la perd-il de vue à la sortie du virage ?

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

1600

Isaac Newton Leonhard Euler Chap. 4 Chap. 2 1700 1800 ÉPOQUE MODERNE

1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

al-Khuwārizmī Chap. 1

Benoît Mandelbrot Chap. 6

Gottfried Leibniz (1646-1716)

activités de recherche

14 Voûte d’ogive et parabole

EXERCICES

Narration de recherche

Chargé par les princes allemands d’une mission diplomatique auprès de Louis XIV pour éviter un conflit, il rencontre Huygens, à Paris, qui l’incite à étudier les mathématiques. Dans ses travaux qui posent les bases du calcul différentiel, il s’intéresse notamment au lien entre l’équation d’une courbe et la pente de la tangente à cette courbe en un point. dy On lui doit de nombreuses notations, en particulier  , dx ainsi que les termes « fonction » et « coordonnées ».  ur le Web http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/ S viemaths/hist/mthacc/leibniz.htm

Machine à calculer conçue par Leibniz, qui permet d’effectuer les quatre opérations. Chapitre 3 ● Dérivation

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

81

EXERCICES

Utiliser GeoGebra  our étudier des tangentes P à des courbes de référence 16 Tangentes à une parabole et à une hyperbole Compétences Mathématiques

TICE

activités de recherche

Émettre et tester des conjectures. Animer une configuration. Créer et utiliser des curseurs.

Déterminer des équations de tangentes. Déterminer des intersections de courbes et de droites.

On note 3 et  les courbes représentatives des fonctions de référence 1 x  x2 et x  , et A(1 ; 1) leur point commun. x La tangente T1 à  en A recoupe la parabole 3 au point B. La tangente T2 à 3 en A recoupe l’hyperbole  au point C. L’objectif est dans un premier temps d’étudier la position de la droite (BC) par rapport aux deux courbes 3 et . Dans un second temps, de façon plus générale, on s’intéresse aux b courbes d’équations y = ax2 et y = (a > 0 et b > 0). x 1. Réaliser la figure a) Créez les courbes 3 et  en saisissant successivement, f(x) = x2 et g(x) = 1/x. b) Sélectionnez l’icône

puis créez le point commun A.

c) Sélectionnez l’icône puis créez les tangentes T1 et T2. Créez les points B et C et enfin la droite (BC).

outil 6

2. Conjecturer a) Que pouvez-vous conjecturer concernant la position de la droite (BC) par rapport aux deux courbes 3 et  ? Aide b) Créez la tangente en B à 3. Que constatez-vous ? Vérifiez votre conjecture à l’aide des équations dans la fenêtre Algèbre.

outil 3

Si nécessaire, cliquez sur les équations pour afficher les équations réduites des droites.

c) On envisage maintenant d’observer si la propriété est conservée pour les courbes d’équations y = ax2 b et y = où a et b sont deux nombres strictement positifs. x l Créez deux curseurs a et b avec les paramètres suivants. l Par un clic droit sur les équations, accédez au menu « propriétés » et modifiez les fonctions f et g pour b obtenir f(x) = ax2 et g(x) = . x Aide l Faites varier alternativement les nombres a et b. Que constatez-vous ? Pour modifier f, saisissez a*x2. 3. Démontrer On se limitera dans cette partie au cas a = b = 1, c’est-à-dire à la situation initiale. a) Déterminez les équations des tangentes T1 et T2. Déduisez-en les coordonnées de B et de C et l’équation de la droite (BC) du type y = mx + p. Vous pouvez vérifier l’exactitude de vos calculs dans la fenêtre Algèbre. b) Précisez par le calcul les éléments qui vous permettent d’affirmer que la droite (BC) est tangente aux deux courbes 3 et . Concluez.

82

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Pour calculer un nombre dérivé Pour tracer une tangente à une courbe

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice

TP 17 Vérifier des résultats avec la calculatrice La fonction f est définie sur  par f(x) = 2x2 – 3x – 1. # est sa courbe représentative. 1. f est dérivable sur . Exprimez f’(x). 2. Calculez f(2) et f’(2), puis déterminez une équation de la tangente au point d’abscisse 2. 3. Vérifiez vos résultats avec une calculatrice.

Avec une Casio Sélectionnez le menu GRAPH, puis utilisez l’instruction DRAW (  F6  ) pour afficher la courbe. ●

Appuyez sur F4 (Sketch), puis sélectionnez l’instruction Tang (  F2  ).

●

Déplacez le curseur jusqu’au point de la courbe d’abscisse 2 et appuyez sur EXE  . ●

Image

Variable

Nombre dérivé

Sélectionnez x = 2 pour obtenir f(2) et f’(2).

Cela confirme-t-il vos résultats ?

Avec une TI En mode Calcul, appuyez sur math puis dans le menu, sélectionner l’option 8 : nbreDérivé (  8  ). ● Complétez comme indiqué ci-contre. ● Appuyez sur entrer  . Vous obtenez f’(2). ●

Tapez 2nde trace (calculs), puis sélectionnez l’option 6 : dy/dx (  6  ). ● Appuyez sur 2 et validez par entrer  . ●

activités de recherche

Sélectionnez le menu GRAPH puis entrez l’expression de f dans Y1. F3 ● Paramétrez la fenêtre d’affichage SHIFT (V-Window) : –2 < x < 5 et –8 < y < 10 ● Sélectionnez le menu TABLE, appuyez sur SHIFT MENU (SET UP) et activez la commande « Derivative ». ● Appuyez sur EXE  . Dans le menu TABLE, F5 (SET), réglez start : –2, End : 5, Step : 0,1. ● Utilisez l’instruction TABL (  F6  ) pour afficher les valeurs de x, de f(x) et de f’(x). ●

Note

L’instruction nbreDérivé( s’utilise ainsi : nbreDérivé(expression, variable, valeur). Autre méthode ● Appuyez sur f(x) , puis entrez l’expression de f dans Y1. ● Appuyez sur fenêtre pour paramétrer la fenêtre d’affichage.

Appuyez sur graph pour afficher l’écran graphique avec la courbe de f. ● Tapez 2nde prgm (dessin), puis sélectionnez l’option 5 : Tangente((  5  ). ● Appuyez sur 2 et validez par entrer  . ●

Cela confirme-t-il vos résultats ? Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

83

EXERCICES

Entraînement de  tête 18 f est la fonction définie sur  par f(x) = x2.  est sa

30 Les fonctions suivantes sont dérivables en x = 1. Lire f’(1). a)

courbe représentative. 1. Calculez f(2) et f’(2). 2. La tangente à  au point d’abscisse 2 a-t-elle pour équation y = 4x – 4 ?

19 f est la fonction définie sur  par f(x) = x3. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?

b)

y 2 A

2 A

1

1

O c)

x

1

a) La tangente au point d’abscisse 0 est « horizontale ».

2 A

b) La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation y = 3x – 2.

1 O

O d)

y

20 Quel est le nombre dérivé en 0 de la fonction f

y

y A

2 1

x

1

x

1

O

1

3

x

définie sur  par f(x) = 3x2 – 5x + 1 ?

21 Le taux d’accroissement d’une fonction f, dérivable en 1, est tel que h ≠ 0 et 1 + h ≠ 0. Calculez f’(1).

f(1 + h) – f(1) 3h + 2 = , avec h (1 + h)2

Nombre dérivé Pour les exercices 22 à 27 Utilisez la définition 2 pour prouver l’existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée, puis calculez sa valeur.

Tangente et nombre dérivé Pour les exercices 31 et 32 Les fonctions sont dérivables pour tout nombre a. Par lecture graphique donnez le coefficient directeur de la tangente aux points indiqués puis trouvez une équation de cette tangente.

31

y

A

1  ; a = –1. x f(x) = x2 – 5x + 3 ; a = 2.

6 5

22 f(x) = 23

24 f(x) = x3 + 1 ; a = 2. 1  ; a = 2. 1–x f(x) = x3 – 3x ; a est un nombre donné.

3  ; a est un nombre donné. x 1 28 f est la fonction définie sur  – {0} par f(x) = x – . x 1. Vérifiez que pour tout h tel que h ≠ 0 et 1 + h > 0 : 2h + h2 . f(1 + h) = 1+h 2. Déduisez-en que f est dérivable en 1 et calculez f’(1).

27 f(x) =

32 A

84

6

x

5 6

x

C

y 5

C

2 1 –2

5

1

–2

29 f est la fonction définie sur  par f(x) = (x – 3)3. a) Démontrez que pour h ≠ 0 : f(h) – f(0) = h2 – 9h + 27. h b) Déduisez-en que f est dérivable en 0 et calculez f’(0).

D 3

O

–2

25 f(x) = 26

B

2 1

O –2

3 1 B

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1. Placez les points A, B, C et D d’abscisses respectives –3 ; 0 ; 3 et 6.

42 1 et 2 sont les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur  par f(x) = –x2 + 6x – 2 et g(x) = x2 + 2x. y

1

EXERCICES

33  est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur . On donne : l f(–3) = –1 l f(0) = –2 l f(3) = 0 l f(6) = 4 l f’(–3) = 0 l f’(0) = –1 l f’(3) = 3 l f’(6) = 0,5

2. Construisez les tangentes aux points A, B, C et D. 3. Dessinez une allure possible de la courbe sur l’intervalle [–3 ; 6]. 1 . x 1. Trouvez une équation de la tangente à la courbe  représentative de h au point d’abscisse 2 et au point d’abscisse –2.

2

34 h est la fonction définie sur  – {0} par h(x) =

2. a) Tracez  et les deux tangentes. b) Quelle particularité présente ces deux tangentes ? Pour les exercices 35 à 39 f est une fonction et a un nombre donné. f est dérivable en a. Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a.

35 f(x) = 36 37

3x2

x

1

2 1. Attribuez à chaque fonction sa courbe. 2. a) Démontrez que ces courbes ont un unique point commun A. b) Démontrez qu’en ce point, les deux courbes ont une tangente commune. LOGIQUE

43 Implication réciproque.

+ 5x – 2 et a = –2.

Contre-exemple La phrase « si f(x) = x2 + 10 alors f’(x) = 2x » est une implication.

1 f(x) =  1–7x + 5 + x22 et a = 5. 2 f(x) = 1x et a = 9.

a) Énoncez l’implication réciproque. b) À l’aide d’un contre-exemple, prouvez que cette implication réciproque est fausse.

38 f(x) = x3 et a = 2. 39 f(x) = (2x + 1)2 et a = 0. 40 3 est la parabole d’équation y = 2x2 – 5x – 3. d est la droite d’équation y = x + p. 1. Pour quelle valeur de p, 3 et d ont-elles un seul point commun A ? 2. Démontrez que dans ce cas d est tangente à 3.

41 3 est la parabole d’équation y = x2 – 2x + 5 et d la droite d’équation y = x.

44 Taux d’accroissement

A L G O R IT

H M IQ U E

1. f est la fonction définie par f(x) = 6x + 1. Voici un algorithme incomplet, écrit avec AlgoBox. Complétez-le afin d’obtenir les valeurs successives du taux d’accroissement de la fonction f en a : f(a + h) – f(a) , pour des valeurs de h égales à 10–n, où n h est un entier naturel, 2 < n < 10.

y



4

1 O1

x

Existe-t-il des points de 3 en lesquels la tangente est parallèle à la droite y = x ?

2. Testez cet algorithme et conjecturez le nombre dérivé de la fonction définie par f(x) = 6x + 1 en 3 puis en 24.

Aide

Pour définir la fonction utilisée, saisissez F1(x) = sqrt(x + 1). x n s’obtient par l’instruction pow(x, n). Chapitre 3 ● Dérivation

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

85

EXERCICES

45 f est la fonction définie sur  par f(x) = x2 – 4x + 1. A est le point de la courbe  représentative de f d’abscisse 0. 1. Quel est le point B de la courbe  en lequel la tangente a pour coefficient directeur 6 ? 2. Quelles sont les coordonnées du point C de  en lequel la tangente est parallèle à la droite (AB) ?

46  est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = 1x. 1 1. Résoudre l’équation f’(a) = , a ∈ ]0 ; + ∞[. 8 1 2. La droite d’équation y =  x + 2 est-elle tangente à  ? 8 47 3 est la parabole d’équation y = x2. Le point A d’abscisse 2 appartient à 3. Le point H est le projeté orthogonal de A sur l’axe des ordonnées. Le point H’ est le symétrique de H par rapport à l’origine O du repère. y



50 f est une fonction définie sur  par f(x) = ax2 + c (a ≠ 0). Le point A(3 ; 2) est un point de sa courbe représentative et la tangente en A à  passe par l’origine O du repère. y

d A

2 1

3

O1

x

1. Démontrez que « d est tangente en A à  » équivaut à 2 « f(3) = 2 et f’(3) =  ». 3 2. Déduisez-en la valeur de a et de c, puis l’expression de f(x). f(x) = ax2 + bx + c.  est sa courbe représentative. La droite d est tangente à  à l’origine O du repère et  passe par le point A(2 ; 3).

1 O

2. Déduisez-en la valeur de a et de b et l’expression de f(x).

51 f est une fonction trinôme définie sur  par :

A

H

1. Démontrez que « d est tangente en B à  » équivaut à « f(1) = 3 et f’(1) = 1 ».

y

x

1 2

A

3

d

1

H’

O1 2 1. Quelles sont les coordonnées des points A, H et H’ ? 2. Démontrez que la droite (AH’) est tangente en A à 3.

48 f est la fonction définie sur  par f(x) = –2x2 + 4x.

1. Démontrez que : l f(0) = 0 

x

1   l f(2) = 3. 2 2. a) Déduisez-en la valeur de c, de b et de a. l

f’(0) =

 est sa courbe représentative.

b) Quelle est l’expression de f(x) ?

1. Trouvez une équation de la tangente T à  au point A d’abscisse 3.

52 Point de chute La trajectoire d’un mobile est portée par la courbe  1 d’équation y = dans un repère orthonormé. t y 

2. a) Étudiez le signe de f(x) – (–8x + 18). b) Déduisez-en la position de  par rapport à T.

49 f est une fonction définie sur  par f(x) = ax2 + bx. B est le point de coordonnées (1 ; 3). La droite d d’équation y = x + 2 est tangente en B à la courbe  représentative de f.

y 3

d

86

1

O

M 1

t

On admet que lorsqu’il quitte sa trajectoire en M, le mobile poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente en M. À quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point A(4 ; 0) ?

B

1 O

1

x

Aide

On appelle t0 l’abscisse de M.

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

4x2

fonctions f définie sur  par f(x) = 1  – {0} par g(x) = . x y 

et g définie sur

2. a) Démontrez que N a pour coordonnées : m–1 m–1 2  ; . 2 2 b) Sur quelle ligne se déplace N ?

1

O

22

c) Étudiez la position relative de la droite (AM) et de la tangente en N à 3.

ROC 1

1

 1

x

EXERCICES

53 3 et * sont les représentations graphiques des

Restitution organisée de connaissances

55 Tangente passant par l’origine f est une fonction définie et dérivable sur R. # est sa courbe représentative dans un repère d’origine O. A est un point de # d’abscisse a. 1. Démonstration Démontrez que « La tangente en A passe par O » équivaut à « f(a) = af’(a) ».

1. Existe-t-il un nombre a tel que 3 et * aient des tangentes parallèles en leurs points d’abscisse a ? 2. Trouvez une équation pour chaque tangente.

2. Application f est la fonction définie sur  par f(x) = 2x2 – 3x + 1. Quels sont les points de sa courbe représentative en lesquels la tangente passe par l’origine du repère ? Trouvez une équation des tangentes. Vérifiez vos résultats à la calculatrice.

Avec les tice 54 Dans un repère, f est la fonction définie sur  par f(x) = x2. 3 est sa courbe représentative. A est le point de 3 d’abscisse –1. M est un point variable de 3 d’abscisse m (m ≠ –1). Les tangentes à la courbe en A et M se coupent en I. Les points J et N sont les milieux respectifs des segments [AM] et [IJ]. On s’intéresse aux questions suivantes : l À quelle ligne appartient le point N ? l Quelle particularité présente la tangente en N à cette ligne ? 1. Expérimenter avec GeoGebra l Paramétrez les axes comme indiqué : Saisissez la fonction f. Créez le point A et un point M. l Créez les tangentes à 3 en A et M puis le point I. l Créez J puis N. Déplacez M sur 3. Quelle conjecture faites-vous concernant N ? l Créez la tangente en N à 3 et déplacez M. Quelle conjecture faites-vous concernant la tangente en N ? l

2. Démontrer 1. a) Démontrez que la tangente en M a pour équation y = 2mx – m2. b) Déduisez-en l’équation de la tangente en A. c) Calculez les coordonnées de I et celles de J.

Prendre toutes les initiatives 56 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), * est l’hy-

1 . x On donne les points A(1 ; –1), B(1 ; 2) et C(2 ; 0). Trouvez, si elles existent, les équations des tangentes à * passant respectivement par A, B et C.

perbole d’équation y =

57 Dans un repère orthonormé d’origine O, M est le point de coordonnées (x ; y) avec x > 0 et y > 0. Le rectangle OHMK a pour aire 16. y K

M P

1 O

1

H

x

1. Démontrez que le point M appartient à un arc * d’hyperbole que l’on tracera. 2. P est le centre du rectangle OHMK. a) Pourquoi P appartient-il à la courbe *1 d’équation 4 y = avec x > 0 ? x b) Démontrez que la droite (KH) est tangente en P à *1. Chapitre 3 ● Dérivation

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87

EXERCICES

Approfondissement 58 f est la fonction définie sur  par :

1 f(x) =  x2 – 2x + 3. 2 3 est sa courbe représentative. M est un point de 3 d’abscisse a. Pour quelles valeurs de a la tangente en M passe-t-elle par le point A(0 ; –3) ?

61 Une rampe de skateboard

59 Point de vue ! Sur la figure ci-dessous, « l’arc » de parabole ABC représente une colline, le sol est symbolisé par l’axe des abscisses. Un observateur est placé en E de coordonnées 11 –2 ; dans le repère choisi. 4 Le but de l’exercice est de déterminer les points de la colline et ceux du sol (au-delà de la colline) qui ne sont pas visibles du point d’observation E.

2

On veut construire une rampe de skateboard. La figure ci-après représente le plan de fabrication.

y

1 A –2 –1 O

Sol

y

11 4

E

6m B 1

C 3

1. On note f la fonction définie sur [–1 ; 3] par : f(x) = ax2 + bx + c. Déterminez a, b, c pour que « l’arc ABC » soit la représentation graphique de f. 2. a) Reproduisez le schéma ci-dessus et indiquez sur la figure les points de la colline et ceux du sol qui ne sont pas visibles en E. b) Faites les calculs nécessaires pour trouver les abscisses de ces points.

60 Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole d’équation y = x2 et A est le point de coordon1 nées  ; –2 . 2 On se propose de trouver les équations des tangentes à 3 issues de A.

1

2

1. Conjecturez le nombre de tangentes que l’on peut mener de A à la parabole. 2. M est un point de 3 d’abscisse m. Trouvez, en fonction de m, une équation de la tangente T en M à 3. 3. Démontrez que « T passe par le point A » équivaut à « m2 – m – 2 = 0 ». 4. Déduisez-en les équations des tangentes passant par A ainsi que les coordonnées des points de tangence.

88

I

V A

U

B 2m

1

x

La distance au sol entre A et B est de six mètres et le dénivelé en B est de deux mètres. Le point I est le milieu du segment [AB]. On réalise cette rampe à l’aide de deux arcs de parabole   AI et IB, avec les contraintes suivantes : l ces deux arcs représentent une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] . l la tangente en I est commune aux deux arcs ; l le repère indiqué d’origine A est orthonormé ; l les tangentes en A et B sont horizontales. Pour la réalisation de la rampe, certains éléments ont besoin d’être précisés. 1. Trouvez une équation de la forme y = ax2 + bx + c pour chacun des arcs de parabole. 2. Déduisez-en les expressions de f suivant les intervalles [0 ; 3] et [3 ; 6].

62 Sur la figure ci-après on a tracé les paraboles 31 et 32 représentatives des fonctions f et g définies sur  par f(x) = x2 et g(x) = x2 + 2x + 3. A est un point de 31 d’abscisse a et B un point de 32 d’abscisse b.

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

a) Ta en A à 31 ;

l

b) Tb en B à 32. 2. Démontrez que la droite d est une tangente commune aux deux courbes si et seulement si a d et b vérifient le système : a = b + 1 (S) a2 = b2 – 3.

y

1

2

5

2. On suppose que la fonction f’, dérivée de f, est définie pour tout nombre x par : f’(x) = ax2 + bx + c. En utilisant les affirmations de la question 1., calculez a, b, c et déterminez f’(x).

EXERCICES

1. Justifiez les affirmations suivantes : f’(0) = –2 ; l f’(–1) = 0 ; l f’(2) = 0.

1. Trouvez une équation de la tangente :

3. Résolvez le système et déduisez-en une équation de d. 1 x 1

O

63 1. Vérifiez que :

y

x3 – 3x – 2 = (x + 1)(x2 – x – 2).

1 B 2. Dans un repère orthonormé on a tracé les courbes représenx O 1 tatives des fonctions : A 1 2 f définie sur  par f(x) =  (x – 3) 2 1 et g définie sur  – {0} par g(x) = . x a) Quelles sont les coordonnées des points A et B intersections de ces deux courbes ?

Prendre toutes les initiatives 65 On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur  par : 2 l f(x) = –x + 8x ; 2 l g(x) = x – 4x. y 2

64 La courbe  ci-dessus est celle d’une fonction f définie et dérivable sur . Les tangentes à la courbe en A et B sont horizontales. La tangente en O, origine du repère, passe par le point C(–1 ; 2).

y –2

C A

x

1

La droite d est tangente en A à 1. La droite d’ est tangente en B à 2. Les droites d et d’ sont parallèles. Quelle est l’abscisse commune des points A et B ?

f(x) = 4x2 – 6x + 2. Démontrez que la courbe  représentative de f est au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.

2 O

1

66 f est la fonction définie sur  par :



1

–1

B d’

c) Étudiez suivant les valeurs de x les positions relatives de ces deux courbes.

x

O

d

b) Démontrez que ces courbes ont une tangente commune en A.

A

67 À tout nombre m ≠ 0, on associe la parabole 3m d’équation : y = mx2 + (1 – 2m)x + m. Démontrez que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles. Note

B

On dit que deux paraboles 31 et 32 sont tangentes lorsqu’elles ont un point commun A et une tangente commune en A. Chapitre 3 ● Dérivation

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89

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Savoir lire un graphique

1

f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7].  est la courbe représentative de f. Trouvez une équation des tangentes à la courbe en O, A et B.

y A

5 4 3 2 1

B

O1

3

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on a tracé la parabole 3, courbe représentative de la fonction f définie sur  par : 1 f(x) =  x2 – 2x + 3. 2 Le point A a pour coordonnées (0 ; –3) et M est un point de 3 d’abscisse m.

x

7

B Construire, conjecturer, démontrer

2

À la calculatrice, tracez la parabole 3 d’équation : y = x2 + 2x – 1 et la droite d’équation y = – 4x – 10. Que dire de d par rapport à 3 ? Prouvez-le.

C Tangente : la méthode de Torricelli

3

x

B

H

A

1 O

90

1

1 O

m x

1 2

–3 A

2. Pour quelles valeurs de m la tangente T passe-t-elle par A ? 9 3. Reproduisez la figure. Placez le point A et tracez les tangentes à 3 passant par A.

f est une fonction définie sur  par f(x) = ax2 + bx + c. Sa courbe représentative 3 passe par O, origine du repère. De plus, la droite d est tangente en A à 3. Le but de l’exercice est de calculer a, b et c.

d



M

F À la recherche d’une parabole

D Une propriété remarquable de la parabole y

 y

1. a) Calculez f(m) et f’(m). 7 b) Déduisez-en une équation de la tangente T en M à la parabole 3. 8

y  est la courbe représentative  de la fonction f définie sur  par f(x) = x3. A est le point de 1H A  d’abscisse 1. Le point H est –1 le projeté orthogonal de A sur O 1 l’axe des ordonnées. –1 On note H’ le point tel que : IOH’ = –2UOH. Démontrez que la droite (AH’) est tangente à .

Dans un repère orthonormé, 3 est la parabole d’équation y = x2 et d la droite d’équation y = 2x + 3. La droite d coupe 3 en A et B. On note H le milieu du segment [AB].

2. C est le point de 3 en lequel la tangente est parallèle à (AB). a) Quelle est le coefficient directeur de la droite (AB) ? 5 b) Démontrez que C et H ont la même abscisse. 6

E Où passe-t-elle ?



5

1. a) Calculez les coordonnées des points A et B. b) Déduisez-en les coordonnées de H. 4

x

y

2 1 O

d

A

1

x

1. a) Justifiez que f(0) = 0, f(1) = 2 et f’(1) = 1. 10 b) Déduisez-en que a, b et c sont solutions du système : c = 0 a+b+c=2 2a + b = 1. 11

5

2. Quelle est alors l’expression de f(x) ?

Chapitre 3 ● Dérivation « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

12

CHAPITRE

Fonctions dérivées. Applications

D’un siècle à un autre Le Centre national de natation de Pékin, surnommé Water Cube, a été inauguré pour les Jeux olympiques de l’été 2008. Ce bâtiment écologique est un assemblage complexe de plastique et d’acier, mais il est également la solution à un vieux problème mathématique d’optimisation de pavage de l’espace : un maximum de volume pour un minimum de surface. De nombreux problèmes d’optimisation peuvent être résolus grâce aux résultats des travaux de Newton et de Leibniz sur les dérivées.

En savoir plus sur Isaac Newton Chercheurs d’hier p. 103

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Rappels

& Questions-tests

Sens de variation d’une fonction Dire qu’une fonction f est strictement croissante 1   Voici le tableau de variation d’une fonction f définie sur un intervalle I signifie que f conserve l’ordre. sur I = [–8 ; 10]. Pour tous nombres u et v de I : x –8 –1 0 3 10 si u < v, alors f(u) < f(v). 5 4 6 f(x) l Dire qu’une fonction f est strictement 0 –2 décroissante sur un intervalle I signifie que f Complétez les pointillés avec < ou >. inverse l’ordre. Pour tous nombres u et v de I : a) f(–5) …… f(–4). si u < v, alors f(u) > f(v). b) f(6) …… f(7). c) u et v sont deux nombres de l’intervalle [0 ; 3] tels que u < v, alors f(u) …… f(v). d) a et b sont tels que –1 < a < b < 0, alors f(a) …… f(b). l

Nombre dérivé et tangente Lorsque f est dérivable en α, le nombre dérivé de f en α est : f(α + h) – f(α) f’(α) = lim   . h→0 h l La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse α a pour coefficient directeur f’(α) et pour équation réduite : y = f’(α)(x – α) + f(α). l

2   La fonction f, représentée par la courbe  ci-dessous est définie et dérivable sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[. Sa fonction dérivée, f’, est définie par : y  1 f’(x) = 2x – 2 . x Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de f A au point A d’abscisse 1. 1 O

1

x

Minimum et maximum f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un nombre appartenant à I. l Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur prise par la fonction, soit : pour tout nombre x de I, f(x)  f(a). l Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur prise par la fonction, soit : pour tout nombre x de I, f(x) < f(a).

3   Reprenons le tableau de variation de la question 1. a) Précisez le minimum et le maximum de f sur I. b) Complétez le plus précisément possible : Si –1  x  3, alors ……  f(x)  …… . 4   La courbe représente une fonction g définie sur [0 ; 6].

a) Précisez le minimum et le maximum de g sur [0 ; 6]. b) Précisez le minimum et le maximum de g sur [0 ; 2]. y

10 O

1

x

Voir les corrigés p. 363

92

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ACTIVITÉS

Activité

dérivée et sens de variation

TICE

1 a) À l’aide de GeoGebra, tracez la courbe représentative de la fonction f définie par :

1 3 (x – 3x2). 4 b) Placez un point A, d’abscisse négative, sur la courbe. Sélectionnez l’icône et tracez la tangente à la courbe en A. f(x) =

2 a) Déplacez le point A et observez le signe du

coefficient directeur de la tangente dans la fenêtre algèbre lorsque l’abscisse de A reste inférieure à 0. b) Recommencez cette observation, mais en faisant maintenant varier l’abscisse de A entre 0 et 2. c) Enfin, déplacez A pour que son abscisse soit supérieure à 2 et observez de nouveau le signe du coefficient directeur.

3 a) Pour quelles valeurs de l’abscisse de A la tangente à la courbe en A est-elle horizontale ? b) On étudie le sens de variation de f sur l’intervalle [–2 ; 4]. Complétez le tableau suivant par lecture graphique. x Signe de f’(x)

–2

0 …

… 0

4

Sens de variation de f

Quelle conjecture pouvez-vous faire ?

4 a) Tracez la courbe représentative d’une nouvelle

Aide x+1 . x–4 Un clic droit sur l’équation de f vous permet de modifier l’expression de f(x) (menu Propriétés, onglet Basique). b) On étudie le sens de variation de f sur chacun des intervalles ]–10 ; 4[ et ]4 ; 10[. Déplacez le point A et construisez un tableau dans lequel vous ferez apparaître le signe de f’(x) et les variations de f. c) Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le lien entre le signe de f’(x) et le sens de variation de f sur un intervalle I ?



fonction f en remplaçant f(x) par

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Dans un repère orthonormé, on a tracé la parabole 3 d’équation y = x2 et la droite d d’équation y = 4. A et B sont deux points de 3 ayant la même ordonnée (inférieure à 4). C et D sont les deux points de la droite d tels que ABCD est un rectangle. Estimez la position de A pour laquelle l’aire du rectangle ABCD est maximale.

y C

D

B

A

–2

1

y = x2

O

1 2

y=4

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x

93

COURS

1

Opérations sur les fonctions dérivées 1.1 Dérivée de la somme u + v

Théorème

1 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’. Principe de la démonstration. Pour démontrer que u + v est dérivable sur I, on prouve que pour tout nombre a de I, le taux d’accroissement de u + v entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a une limite finie lorsque h tend vers 0. (u + v)(a + h) – (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) – u(a) – v(a) u(a + h) – u(a) v(a + h) – v(a) = = + h h h h u(a + h) – u(a) v(a + h) – v(a) Or lim = u’(a) et lim = v’(a). h→0 h→0 h h On admet alors le résultat suivant. Lorsque h tend vers 0, la limite du taux d’accroissement de u + v en a est u’(a) + v’(a) : (u + v)(a + h) – (u + v)(a) = u’(a) + v’(a). lim h→0 h Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.

Exemple. Sur I = ]0 ; + ∞[, la fonction définie par f(x) = x +

1 est la somme des deux fonctions, x

1 . x 1 Leurs dérivées sont définies par u’(x) = 1 et v’(x) = –  2 . x 1 Il en résulte que f est dérivable sur I et que f’(x) = u’(x) + v’(x) = 1 – 2 . x

u et v, dérivables sur I telles que u(x) = x et v(x) =

1.2 Dérivée de lu Théorème

2 u est une fonction dérivable sur un intervalle I et l est un nombre réel. Alors la fonction lu est dérivable sur I et (lu)’ = lu’. Principe de la démonstration. Pour démontrer que lu est dérivable sur I, on prouve que pour tout nombre a de I, le taux d’accroissement de lu entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a une limite finie lorsque h tend vers 0. (lu)(a + h) – (lu)(a) l × u(a + h) – l × u(a) u(a + h) – u(a) = =l× . h h h u(a + h) – u(a) = u’(a). On admet alors le résultat suivant. Or, par hypothèse, lim h→0 h Lorsque h tend vers 0, la limite du taux d’accroissement de lu en a est lu’(a) : (lu)(a + h) – (lu)(a) = lu’(a). lim h→0 h Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc lu est dérivable sur I et (lu)’ = lu’.

Remarque. Si l = –1, on obtient (–u)’ = –u’. On déduit alors du théorème 1 que si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors (u – v)’ = u’ – v’. Conséquence. Dérivée des fonctions polynômes. Il résulte des théorèmes 1 et 2, ainsi que du théorème 3 du chapitre 3, que :

94

Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS Théorème Admis

3 Toute fonction polynôme P : x  anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 (avec an ≠ 0) est dérivable sur  et sa fonction dérivée est P’ :

P’ : x  nanxn–1 + (n – 1)an–1xn–2 + … + a1.

Exemple. La fonction P définie sur  par P(x) = 3x5 – 2x3 + 5x2 – 1 est dérivable sur  et

P’(x) = 3(5x4) – 2(3x2) + 5(2x) = 15x4 – 6x2 + 10x.

1.3 Dérivée du produit uv Théorème

4 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’. Principe de la démonstration. Pour démontrer que uv est dérivable sur I, on prouve que pour tout nombre a de I, le taux d’accroissement de uv entre a et a + h (où h ≠ 0 et a + h ∈ I) a une limite finie lorsque h tend vers 0. (uv)(a + h) – (uv)(a) u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a) = . h h Un changement d’écriture permet de faire apparaître les taux d’accroissement de u et de v : u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a) u(a + h) v(a + h) – u(a) v(a + h) + u(a) v(a + h) – u(a) v(a) = h h u(a + h) – u(a) v(a + h) – v(a) × v(a + h) + u(a) × . = h h u(a + h) – u(a) v(a + h) – v(a) = u’(a) et lim = v’(a). Or lim h→0 h→0 h h On admet alors le résultat suivant, lorsque h tend vers 0 : si v est dérivable en a, alors lim v(a + h) = v(a). h→0

Il en résulte que la limite, lorsque h tend vers 0, du taux d’accroissement de uv en a est : (uv)(a + h) – (uv)(a) = u’(a) v(a) + u(a) v’(a). lim h→0 h Ceci est vrai pour tout nombre a de l’intervalle I donc uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.

Exemple. Sur l’intervalle ]0 ; + ∞[, la fonction f définie par f(x) = x1x est le produit des deux fonctions dérivables définies par u(x) = x et v(x) = 1x, dont les dérivées sont définies par u’(x) = 1 et 1 . v’(x) = 21x 1 1x 3 f est dérivable sur I et f’(x) = 1 × 1x + x × = 1x + =  1x. 2 2 21x Conséquence. Si u est dérivable sur I, alors u2 est dérivable sur I et (u2)’ = u’u + uu’ = 2uu’.

1.4 Dérivée du quotient u v Théorème Admis

5 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et, pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0. Alors la fonction

u est dérivable sur I et u ’ = u’v –2uv’ . v v v

1 2

2x + 1 est dérivable et : x–3 2(x – 3) – (2x + 1) × 1 –7 = . f’(x) = (x – 3)2 (x – 3)2 Conséquence. Si v est dérivable sur I et si, pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0, alors 1 est v 1 ’ 0 × v – 1 × v’ v’ = = –  2 .  Ainsi, 1 ’ = –  v’2 dérivable sur I et 2 v v v v v

Exemple. Sur I = ]3 ; + ∞[, la fonction f définie par f(x) =

1 2

1 2

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95

COURS

2

Sens de variation 2.1 Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

Théorème Admis

6 f est une fonction dérivable sur un intervalle I et sa fonction dérivée est f’. Si f’ est strictement positive sur I, sauf peut-être pour quelques valeurs où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I.

l

l Si f’ est strictement négative sur I, sauf peut-être pour quelques valeurs où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I. l

Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Exemple. La fonction f définie sur  par f(x) =

1 3  x est 8

y

3 dérivable sur  et f’(x) =  x2. 8 Donc f’ est strictement positive sur , sauf en 0 où elle s’annule. Ainsi, f est strictement croissante sur .

1 O

1

x

2.2 Extremum local Définition

1 f est une fonction définie sur un intervalle I et c est un nombre de I. Dire que f(c) est un maximum (resp. minimum) local de f signifie qu’il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) < f(c) (resp. f(x)  f(c)). Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.

Exemple.

Pour tout nombre x de l’intervalle ouvert J, f(x) < f(c) : f(c) est un maximum local de f.

y f(c) f(x)

Remarque. Pour une fonction dérivable f, s’il existe un extremum local en c, alors f’(c) = 0. Attention. La réciproque est fausse. Dans l’exemple du 2.1, f’(0) = 0. Cependant f(0) n’est pas un extremum local : la dérivée ne change pas de signe donc la fonction ne change pas de sens de variation.

96

cx J

O

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x

Objectif

1

Déterminer des fonctions dérivées

EXERCICES

Application Théorèmes 1, 2 et 4. u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors : 2 l (u + v)’ = u’ + v’   l (lu)’ = lu’   l (uv)’ = u’v + uv’   l (u )’ = 2uu’. l Théorème 5. u et v sont dérivables sur un intervalle I et pour tout nombre a de I, v(a) ≠ 0, alors : u ’ u’v – uv’ 1 ’ v’ =  ; = –  2 . v v2 v v n n–1 + … + a x + a est dérivable sur  et l Théorème 3. Toute fonction polynôme P : x  a x + a n n–1x 1 0 n–1 n–2 sa fonction dérivée est P’ : x  nanx + (n – 1)an–1x + … + a1. l

1 2

Exercice résolu A

1 2

Dériver des fonctions du type u + v et lu

1. f est la fonction définie sur  par f(x) = 5x3 – 3x2 + 6x – 7. Justifiez que f est dérivable sur  et calculez f’(x).

1 3 2 3  x + x + 1 – . 3 2x Justifiez que g est dérivable sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[, puis calculez g’(x).

2. g est la fonction définie sur l’intervalle I = ]0 ; + ∞[ par g(x) =

Méthode

Solution

1. On applique le théorème 3.

l

On conclut.

2. On définit g comme étant la somme de deux fonctions que l’on sait dériver sur l’intervalle I.

1. f est une fonction polynôme, donc f est dérivable sur . f(x) = 5x3 – 3x2 + 6x – 7. ↓ ↓ ↓ ↓ f’(x) = 5 × 3x2 – 3 × 2x + 6 × 1 – 0. 2 l f’ est définie sur  par f’(x) = 15x – 6x + 6. 1 2. La fonction polynôme u : x   x3 + x2 + 1 3 1 est dérivable sur , et la fonction v : x  x est dérivable sur I. g est définie sur I par 3 g(x) = u(x) –   v(x). 2 Les fonctions u et v étant dérivables sur I, g est dérivable sur I. 1 3 1 l g’(x) = –  2 . × 3x2 + 2x – 3 2 x 3 2 l Pour tout x de I, g’(x) = x + 2x + . 2x2

1

l On applique les théorèmes 1, 2 et 5 pour calculer g’(x). l On conclut.



2

Mise en pratique

1 Déterminez les fonctions dérivées des fonc- 1. Démontrez que f et g sont dérivables sur I. tions polynômes suivantes, définies sur  par : a) f(x) =

6x4

3x3

2x2

– + – 1. 1 3 1 2 b) g(x) =  x +  x – 4x + 2. 3 2 3x3 – 4x2 + 5x – 1 . c) h(x) = 5

2 u et v sont deux fonctions définies sur

2. Calculez, pour tout nombre x de I, f’(x) et g’(x).

3 1. Pourquoi la fonction f définie sur l’inter-

1 3 valle I = ]0 ; + ∞[ par f(x) =  x3 –  x2 + 1x est-elle 4 2 dérivable sur I ? 2. Calculez, pour tout nombre x de I, f’(x).

1 4 f est la fonction définie sur I = ]0 ; + ∞[ par . x f(x) = 41x + 2x2 – 1. # est sa courbe représentative. On note f et g les fonctions définies sur I par Trouvez une équation de la tangente à # au point 2 1 f = u + v et g =  u –  v. 3 4 d’abscisse 4.

I = ]0 ; + ∞[ par u(x) = 3x3 + 2x2 et v(x) =

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97

EXERCICES

Exercice résolu B

Dériver des fonctions de type uv et u v

Pour chacune des fonctions f suivantes dites si elle est dérivable sur I = ]0 ; + ∞[ puis calculez f’(x). 1. f(x) = (2x2 – 1) 1x. 2. f(x) =

x2 – 4x + 8 . 2x + 5 Solution

Méthode

1. f est de la forme uv avec u(x) = 2x2 –1 et v(x) = 1x. u et v sont dérivables sur ]0 ; + ∞[ donc f est dérivable sur I. 1 l Pour tout x de I, u’(x) = 4x et v’(x) = . 21x l f’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x) soit : 1 f’(x) = 4x 1x + (2x2 – 1) . 21x 2 8x 11x 2 + 2x2 – 1 10x2 – 1 l f’(x) = = . 21x 21x u 2. f est de la forme avec u(x) = x2 – 4x + 8 v et v(x) = 2x + 5. u est une fonction dérivable sur  donc sur I ; v est dérivable sur I et pour tout x de I, v(x) ≠ 0 donc f est dérivable sur I. l u’(x) = 2x – 4 et v’(x) = 2. u’(x) v(x) – u(x) v’(x) l f’(x) = soit : (v(x))2 (2x – 4)(2x + 5) – 2(x2 – 4x + 8) f’(x) = . (2x + 5)2 2x2 + 10x – 36 l f’(x) = . (2x + 5)2

1. On définit f comme étant le produit de deux fonctions dont on connaît les fonctions dérivées. On calcule u’(x) et v’(x). l On calcule f’(x) en utilisant la formule de dérivation : (uv)’ = uv’ + u’v. l On conclut. l

2. On définit f comme étant le quotient de deux fonctions dont on connaît les fonctions dérivées.

l

On calcule u’(x) et v’(x).

On en déduit f’(x) en utilisant la formule de dérivation : u ’ u’v – uv’ = . v v2 l

1 2

l On développe le numérateur puis on conclut.



Mise en pratique Pour les exercices 5 et 6 Calculez f’(x) en précisant sur quel(s) intervalle(s) votre calcul est valable.

5 a) f(x) = (2x – 1)(5x + 8). b) f(x) = (1x + 1)2. c) f(x) = (x2 – x) 1x.

6 a) f(x) = –  43 . 1 – 2x . b) f(x) = x–2

98

c) f(x) =

2 – x2 . 2 + x2

d) f(x) =

2x2 . 1–x

x

7 f est la fonction définie sur  par :

3x . x2 + 1 1. Démontrez que f est dérivable sur . Calculez f’(x). f(x) =

2. Déterminez une équation de la tangente à , courbe représentative de f, au point d’abscisse a, où a est un nombre quelconque.

8 u et v sont les fonctions définies sur  – {–1}

3x – 2 –5 et v(x) = . x+1 x+1 1. a) Démontrez que u et v sont dérivables sur ]– ∞ ; –1[ et sur ]–1 ; + ∞[.

par u(x) =

b) Calculez u’(x) et v’(x). Que remarquez-vous ? 2. Pour tout nombre x de  – {–1}, calculez f(x) = u(x) – v(x). Justifiez alors la remarque de la question 1.

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2

Exploiter le sens de variation d’une fonction

Théorème 6. f est une fonction dérivable sur un intervalle I et sa fonction dérivée est f’. Si f’ est strictement positive (respectivement strictement négative) sur I, sauf peut-être pour quelques valeurs où elle s’annule, alors f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur I. l Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I. l l

Exercice résolu C

EXERCICES

Objectif

Déterminer le sens de variation

f est la fonction polynôme définie sur  par f(x) = 1. Donnez l’expression de f’(x).

2 3 3 2  x +  x – 2x – 1. 3 2

2. Dressez un tableau dans lequel vous indiquerez le signe de f’(x) et les variations de f. 3. Déduisez-en les extremums locaux éventuels. Solution

Méthode

2 3  (3x2) +  (2x) – 2 × 1 = 2x2 + 3x – 2. 3 2 2. f’(x) est un trinôme du second degré. Son discriminant ∆ étant positif (∆ = 32 + 4 × 4 = 25), le trinôme 2x2 + 3x – 2 1 admet deux racines : x1 = –2 et x2 = . 2 l Le coefficient a est positif (a = 2) donc 1 f’(x) < 0 pour x ∈ –2 ;   et f’(x) > 0 pour 2 1 x < –2 ou x > . 2 3. On dresse le tableau de variation de f. 1. f’(x) =

1. On utilise les règles de dérivation. 2. f’(x) est un trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on commence par rechercher ses éventuelles racines. l Le trinôme est du signe du coefficient de x2 sauf entre ses racines.

4

3. On place les valeurs des racines dans la 1re ligne du tableau. e l Dans la 2 ligne, on indique le signe de la dérivé f’. e l Dans la 3 ligne, on indique les valeurs remarquables de la fonction f ainsi que son sens de variation en utilisant des flèches. l

x – ∞ f’(x) + f(x)

La lecture du tableau permet de conclure.

–

1/2 0

– 

+ ∞ +

37 24

11  , en –2 et 3 37 1 un minimum local, –   , en  . 24 2 l



–2 0 11 3

3

f admet un maximum local,

Mise en pratique Pour les exercices 9 et 10 Les fonctions sont définies et dérivables sur .

11 Dans chacun des cas suivants, étudiez les variations de la fonction f après avoir déterminé son ensemble de définition. 1. Donnez l’expression de f’(x). 4 2 2. Déterminez son signe suivant les valeurs de x a) f(x) = 3 – . b) f(x) = 2x + 1 + . x–3 x+1 puis dressez le tableau de variation de f. 12 Déterminez les extremums locaux éven9 a) f(x) = –x3 + 3x2 + 9x – 4. tuels des fonctions suivantes : 3 1 b) f(x) = x3 –  x – . a) f : x  x(x2 – 1) ; 4 4 4 2 c) f(x) = –x – 4x + 5. b) f : x  4x3 – 2x2 – 5x – 4. 2 2–x 10 a) f(x) = –3x 2 . b) f(x) = 1 + 2 . c) f : x  2 . 1+x x +4 x +1 Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

99

EXERCICES

Utiliser le sens de variation pour optimiser et encadrer

Exercice résolu D H

G

E N

T

S R

Q A

F

1. Vérifiez que le pavé droit a pour volume V(x) = x2(6 – x), avec 0  x  6.

D

C

P M

ABCDEFGH est un cube de côté 6 centimètres. M est un point de [AB] et N est un point de [AE] tels que AM = EN = x, avec 0  x  6. AMPQNRST est un pavé droit de base le carré de côté x et de hauteur [AN].

B

2. Étudiez les variations de la fonction V et dressez son tableau de variation. 3. a) Pour quelle valeur de x le volume est-il maximal ? b) Déterminez un encadrement du volume V(x) lorsque 3  x  5.

Méthode

Solution 1. V(x) = AM2 × AN = x2(6 – x) = –x3 + 6x2.

1. On utilise la formule donnant le volume d’un pavé droit. Rappel

Le volume d’un pavé droit rectangle est V = B × h où B est l’aire de la base et h la hauteur. 2. On calcule V’(x).

2. V est une fonction polynôme donc V est dérivable sur I = [0 ; 6]. V’(x) = –3x2 + 12x = –3x(x – 4). l V’(x) est un polynôme du second degré dont les racines sont 0 et 4. Le coefficient du terme en x2 est négatif (a = –3) donc V’(x) > 0 pour 0 < x < 4 et V’(x) < 0 pour 4 < x < 6.

l On étudie le signe de V’(x) V’(x) est un polynôme du second degré. On recherche ses racines éventuelles. On détermine alors son signe.

l On dresse le tableau de variation de V sur [0 ; 6] On indique d’abord le signe de V’(x). On en déduit le sens de variation de V.

x 0 V’(x) 0

3 +

V(x)

27

0 3. a) La lecture du tableau permet de conclure. b) On note dans le tableau V(3) et V(5), et on conclut.

4 0 32

5 –

6

25

0

3. a) Le volume est maximal (32 cm3) pour x = 4. b) Si 3  x  5, alors 25  V(x) < 32. 

Mise en pratique

13 Dans le département de Charente-Mari-

14 ABC est un triangle

rectangle en A. AC = 4, AB = 3. P est un point du segment [AC]. On construit le rectangle 1. a) Étudiez les variations de la fonction f définie APMN et on pose AP = x, avec 0  x  4. sur [0 ; 30] par : time, lors d’une épidémie de grippe, le nombre de personnes malades n jours après l’apparition des premiers cas est estimée à 30n2 – n3. n est un entier tel que 0  n  30.

f(x) = 30x2 – x3.

B 3 N A

M P

x

C

4

1. a) Calculez MP en fonction de x.

b) Déduisez-en que l’aire !(x) du rectangle 3 2 2. a) Déduisez de la question précédente le jour MNAP est égale à  (4x – x ). 4 où le nombre de personnes malades est maximal 2. a) Étudiez les variations de la fonction ! sur durant cette période de 30 jours. l’intervalle [0 ; 4]. b) Dressez le tableau de variation.

b) Précisez le nombre de personnes malades ce b) Déduisez-en la valeur de x pour laquelle ! est maximale. jour-là.

100

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Po u r

15

Questions sur le cours

16 Vrai ou faux

Complétez les propositions suivantes. 1. u et v sont deux fonctions dérivables sur I. a) (uv)’ = …… b) (u + v)’ = …… u ’ = …… c) v ne s’annulant pas sur I, v 2. Multiplier une fonction dérivable par une constante l multiplie sa dérivée par …… 3. f est une fonction dérivable sur un intervalle I. a) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) > 0, alors, sur I, f est …… b) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) < 0, alors, sur I. f est …… 4. f est une fonction définie sur  et, pour tout nombre x de ]–2 ; 1[, f(x)  f(0). f(0) est un ……

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) La fonction définie sur  par f(x) = –2x3 + 6x – 3 est croissante sur [0 ; 1]. b) La dérivée d’une fonction polynôme de degré 3 est une fonction polynôme de degré 2. c) Il existe des fonctions dérivables sur  qui n’ont pas de maximum sur . d) Si f est dérivable et strictement croissante sur  alors, pour tout nombre x, f’(x) > 0. e) Deux fonctions dérivables sur  qui ont la même fonction dérivée sont égales. f) Ajouter une constante à une fonction ne change pas sa dérivée.

1 2

17

QCM

EXERCICES

se tester

Une seule réponse exacte

Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. g est la fonction définie sur  par : –2x3 + 6x – 4 , 3 alors g’(x) est égal à : g(x) =

a) –6x + 6 b) –2x2 + 2

c) –6x2 + 6 4 d) –2x2 + 2x – 3 2. h est la fonction définie sur  – {–1} par : x2 – 2x h(x) = . x+1 a) h’(x) = 2x – 2.

b) Si –1 < a < b, alors h(a) > h(b). c) La courbe représentative de h admet deux tangentes horizontales. d) La tangente à la courbe représentative de h au point d’abscisse 1 1 a pour coefficient directeur . 2

18 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. La courbe ci-contre y représente une fonction f dérivable sur I = [–1,5 ; 1,6]. a) La courbe admet 1 trois tangentes horizontales. O b) La fonction dérivée de f est positive sur [0 ; 1,6]. c) Pour tout nombre x de I, –2 < f(x) < 3,5.

1

x

2. f et g sont deux fonctions dérivables en 2 avec : l f(2) = 0  l f’(2) = 3  l g(2) = –4  l g’(2) = –1 a) (f + g)’ (2) = 2. b) (f × g)’ (2) = –3. c) (f/g)’ (2) = –12. d) (f 2)’ (2) = 0. 3. f est la fonction définie sur  par : f(x) = ax3 + bx2 – ax + c (a > 0). a) f’(x) = 3ax2 + 2bx – a. b) f’ change de signe. c) f n’admet aucun extremum local. d) f’ est monotone. Voir les corrigés p. 366 Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications

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101

EXERCICES

Apprendre à chercher 19 Comparaison de fonctions Les fonctions f et g sont définies sur  par f(x) = x4 – 3x + 1 et g(x) = 2x3 – 3x – 1. Objectif  Comparer ces fonctions. 1. Pour se faire une idée, on peut observer les représentations graphiques de f et g à l’aide d’une calculatrice ou de GeoGebra.

20 Minimiser une distance Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole d’équation y = x2. M est un point quelconque de 3 d’abscisse x, et A est le point de coordonnées (0 ; 1).  x2

M

A J O

I x

activités de recherche

Objectif  Trouver la position du point M telle que la distance AM soit minimale. 1. Pour se faire une idée, on peut construire la figure avec GeoGebra et déplacer le point M. Quelle conjecture faites-vous ? Quelle conjecture faites-vous ? 2. Comparer f et g signifie trouver l’ensemble des nombres x tels que f(x) > g(x) et l’ensemble des nombres x tels que f(x)  g(x). En général le plus simple est d’introduire la fonction « différence » d définie sur  par d(x) = f(x) – g(x) puis d’étudier le signe de d(x). Trouvez et simplifiez d(x) = f(x) – g(x). 3. Le signe de d(x) n’est pas évident. On pense alors à étudier, par dérivation, les variations de la fonction d définie sur  par d(x) = f(x) – g(x). a) Vérifiez que d est dérivable sur  et calculez, pour tout nombre x de , d’(x). b) Étudiez le signe de d’(x). c) Dressez le tableau de variation de d. d) Le tableau laisse apparaître un minimum. Quelle est sa valeur ? Que peut-on en déduire quant au signe de d(x) ? e) Concluez. Commentaire

On a pu conclure facilement car, pour tout x de , d(x) > 0. Cela aurait été aussi le cas si d avait eu un maximum négatif (d(x) < 0). En dehors de ces deux cas, établir le signe de f(x) à partir du tableau de variations de d est plus difficile : il faut faire apparaître les antécédents de zéro par d, c’est-à-dire être capable de résoudre l’équation d(x) = 0, ce que l’on ne sait pas toujours faire.

102

2. On admet que « il existe un point M tel que AM est minimal » équivaut à « il existe un point M tel que AM2 est minimal ». Connaissant A(0 ; 1) et M(x ; x2), on calcule AM2 en fonction de x. Démontrez que AM2 = x4 – x2 + 1. 3. La parabole admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie, il suffit donc d’étudier les variations de la fonction f définie par f(x) = x4 – x2 + 1 sur l’intervalle [0 ; + ∞[. a) Calculez f’(x) et étudiez son signe. b) Dressez le tableau de variation de f sur [0 ; + ∞[. c) Déduisez de ce qui précède qu’il existe deux points M pour lesquels la distance AM est minimale. Calculez cette distance. 4. Pour obtenir les points M qui répondent au problème posé, on utilise le fait que leurs abscisses sont des nombres remarquables, liés à une configuration classique : le carré. a) Construisez le carré OIKJ de centre W. b) Le cercle de centre O passant par W coupe l’axe des abscisses en deux point, L1 et L2. Préciser les abscisses de L1 et de L2. c) Déduisez de ce qui précède, la construction des points M de la parabole pour lesquels la distance AM est minimale.

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L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

22 Un triangle d’aire minimale

1. Que pensez-vous de l’affirmation suivante : « De tous les rectangles d’aire 16 cm2, le carré est celui de périmètre minimal » ? D x

C 16 cm2

A

y

B

2. Plus généralement, l’affirmation précédente est-elle encore vraie si l’aire du rectangle est égale à a, avec a > 0 ?

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

– 200 ANTIQUITÉ

Dans un repère orthoN A normé (O ; I, J), on donne 2 le point A(3 ; 2). J M M est un point de coorO I 3 données (x ; 0), avec x > 3. La droite (AM) coupe l’axe des ordonnées en N. Après avoir démontré que : x2 aire (OMN) = , x–3 trouvez la position exacte de M pour laquelle l’aire du triangle OMN est minimale.

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

al-Khuwārizmī Chap. 1 800

1600

MOYEN ÂGE

Gottfried Leibniz Leonhard Euler Chap. 3 Chap. 2 1700 1800 ÉPOQUE MODERNE

1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Archimède Chap. 5

Benoît Mandelbrot Chap. 6

Isaac Newton (1643-1727)

activités de recherche

21 Un rectangle de périmètre minimal

EXERCICES

Narration de recherche

Newton est considéré au même titre que Leibniz comme le fondateur du calcul différentiel. Ses travaux sur les fonctions et les courbes sont de première importance. Il est aussi célèbre pour ses travaux sur la gravitation (la pomme…). Il prétendait que l’on peut comprendre tout l’Univers grâce à de simples lois mathématiques.  ur le Web http:/www.astrofiles.net/astronomieS isaac-newton

Un œuvre majeure dans l’histoire des sciences.

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103

EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour résoudre un problème d’optimisation TP 23 Recherche d’une aire minimale Compétences Mathématiques

TICE

activités de recherche

Construire une figure Utiliser l’affichage des grandeurs pour conjecturer un résultat Construire le point solution

Calculer l’aire d’une figure Utiliser le théorème de Thalès Transformer une écriture algébrique Étudier les variations d’une fonction

ABCD est un carré de côté 10. M est un point du segment [AB]. On pose AM = x. Les segments [DM] et [AC] se coupent en E. On note !(x) l’aire de la figure formée par les deux triangles AEM et DEC (surface colorée sur le dessin). Le but de l’exercice est de déterminer pour quelle position de M sur [AB] l’aire !(x) est minimale. 1. Réaliser la figure

outil 1

a) Construisez le segment [AB] de longueur 10 (icône ), puis construisez le carré ABCD. b) Placez le point M sur [AB]. Construisez les segments [DM] et [AC], puis créez le point E. c) Créez les triangles AEM et DCE. Leurs aires s’affichent dans la fenêtre Algèbre : poly2 et poly3.

Aide

Pour créer le carré ABCD, sélectionnez l’icône , cliquez sur A puis sur B, et indiquez 4 pour le nombre de points. l Pour créer le triangle AEM par exemple, sélectionnez l’icône , cliquez sur les points A, E et M, puis de nouveau sur A. l

2. Conjecturer avec GeoGebra a) Définissez l’aire !(x) dans la zone de saisie. b) Déplacez le point M sur [AB] et observez les variations de l’aire dans la fenêtre Algèbre. Conjecturez la position du point M pour laquelle l’aire !(x) est minimale et une valeur approchée de cette aire. 3. Démontrer La perpendiculaire à (AB) passant par E coupe [AB] en H et [CD] en H’. On note h la longueur EH.

h x = . 10 – h 10 10x 5x2 + 500 . d) Montrez que !(x) = . c) Déduisez-en que h = 10 + x x + 10 e) Étudiez les variations de la fonction ! et répondez au problème posé. a) Démontrez que AHEM est un carré.

b) Justifiez l’égalité :

4. Construire le point solution Tracez le cercle de centre C et de rayon 10 cm qui coupe [AC] en un point F. Puis tracez le cercle de centre A et de rayon AF. Démontrez que ce dernier cercle coupe le segment [AB] en un point qui répond au problème posé.

104

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Pour résoudre un problème d’optimisation TP 24 Recherche d’un volume maximal

EXERCICES

Utiliser GeoGebra

Compétences TICE

Mathématiques

Construire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique Utiliser l’affichage des grandeurs pour conjecturer un résultat

Calculer la dérivée d’une fonction Étudier les variations d’une fonction et déterminer un maximum

Il constate que son problème peut se réduire à la recherche d’un rectangle ABCD d’aire maximale, comme l’indique la figure ci-contre, le sommet A étant un point de la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 10] par f(x) = 21x.

1. Conjecturer avec GeoGebra a) Créez la courbe et un point A sur cette courbe. b) Créez la droite d’équation x = 10, puis les droites perpendiculaires aux axes passant par A.

Aide

Pour la courbe, saisissez f(x) = 2 sqrt(x).

c) Créez les points d’intersection B, C et D et enfin le rectangle ABCD dont l’aire, « poly1 », s’affiche dans la fenêtre Algèbre.

activités de recherche

Un artisan envisage de construire, sous un hangar dont la base est un carré de vingt mètres de côté, une salle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Il souhaite obtenir un volume maximal.

d) Déplacez le point A sur la courbe et observez l’évolution du nombre « poly1 ». Conjecturez la position de A pour laquelle le nombre « poly1 » est maximal. 2. Démontrer On note x l’abscisse du point A. a) Prouvez que l’aire (en m2) du rectangle ABCD est égale à 2(10 – x) 1x. b) Notons g la fonction définie sur ]0 ; 10] par g(x) = 2(10 – x) 1x. Justifiez la dérivabilité de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; 10] puis exprimez g’(x). c) Déduisez de ce qui précède les variations de la fonction g. Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ABCD est-elle maximale ? d) Concluez en donnant les dimensions pour lesquelles le volume de la salle est maximal, puis calculez ce volume à 1 m3 près. Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

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EXERCICES

Entraînement de  tête

Dérivées et tangentes

25 La fonction f est définie sur  par : f(x) =

1 3 1 2  x +  x + x + 1. Calculez f’(x). 3 2

26  est la courbe représentative de la fonction f définie sur  par f(x) = 3x4 + 4x3 + 5x + 1. Quel est le coefficient directeur de la tangente à  au point d’abscisse 1 ?

27 Quel est le sens de variation de la fonction f définie sur  par f(x) = x3 + 3x ?

28 La fonction f définie sur  par f(x) = elle décroissante sur [–1 ; 1] ?

1 3  x – x est3

29 La fonction f est définie sur  par f(x) = x3 + x. Lorsque x appartient à l’intervalle [–2 ; 0], à quel intervalle appartient f(x) ?

Pour les exercices 39 à 41 Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a. x+3 et a = –1. 1 – 2x 1 f(x) = x2 + 1 – 2 et a = 0. x +1

39 f(x) = 40

41 f(x) = (4x + 8)1x et a = 4. 3x . +1 1. Pourquoi f est-elle dérivable sur  ? Calculez f’(x).

42 La fonction f est définie sur  par f(x) =

2. Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a, où a est un nombre quelconque.

43 La fonction g est définie sur  par :

30 La fonction f est définie sur  par f(x) = –x2 + 2x. Si x appartient à l’intervalle [0 ; 3], à quel intervalle appartient f(x) ?

Opérations sur les fonctions dérivées Pour les exercices 31 à 37 Calculez f’(x) sur l’intervalle I indiqué. 1 31 f(x) = –   x4 + 3x3 – 2x2 + 4x + 1 et I = .

32

4 f(x) = (3x – 1)(x + 1)2 et I = .

33 f(x) = (1x + 1)2 et I = ]0 ; + ∞[. 3 2x – et I = ]0 ; + ∞[. 4x 5 1 1 et I =  ; + ∞ . 35 f(x) = (1 – 2x)2 2 x2 – 2x + 3 et I = ]– ∞ ; 4[. 36 f(x) = 4–x 1 et I = ]– ∞ ; 3[. 37 f(x) = 2x –1 + 3–x 38 f et g sont deux fonctions définies sur  – {2} par 4x + 1 9 f(x) = et g(x) = . x–2 x–2 1. a) Prouvez que f et g sont dérivables sur ]– ∞ ; 2[ et sur ]2 ; + ∞[.

x2

g(x) = 1. Calculez g’(x).

x3 5 +  x2 – 8. 3 2

2. Démontrez que la courbe représentative de g admet deux tangentes horizontales. Précisez les abscisses des points correspondants.

44 La fonction f est définie sur  par f(x) = 2x4 – 8x2 + 6. Démontrez que la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse –1 passe par le point A(0 ; 8).

45 La courbe ci-dessous est une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur  par : 1 1 f(x) =  x4 + x3 +  x2. 4 2

y 1 O

1 x

34 f(x) =

4

106

3

1. En combien de points la courbe semble-t-elle avoir une tangente parallèle à l’axe des abscisses ? 2. Par le calcul, trouvez la valeur exacte des abscisses de ces points.

46 f est la fonction définie sur  – {–1} par f(x) = et  est sa courbe représentative.

2x , x+1

1. a) Démontrez que f est dérivable sur chacun des intervalles ]– ∞ ; –1[ et ]–1 ; + ∞[. b) Calculez f’(x).

b) Calculez f’(x) et g’(x). Que remarquez-vous ?

2. Quels sont les points de  en lesquels la tangente à  est parallèle à la droite d’équation y = 4x ?

2. Calculez f(x) – g(x). Justifiez alors la remarque de la question 1.

3. Existe-t-il des tangentes à  passant par le point A(0 ; 1) ?

Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1. La courbe  admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?

5. La propriété établie est-elle vérifiée par la fonction h : x  6x + 1 + 2x + 1 ?

x3

2x2

2. La courbe  admet-elle des tangentes parallèles à la droite d’équation y = 3x –5 ? Si oui, précisez en quels points.

48 Avec GeoGebra, on a obtenu la courbe représentant la fonction f définie sur  par : f(x) = –x4 + 2x2 + x et la tangente T à cette courbe au point A(–1 ; 0).

EXERCICES

f(x) = + + 3x + 1  est sa courbe représentative.

b) Déterminez l’équation réduite de la tangente de la courbe P représentative de P au point d’abscisse 0. Énoncez la propriété établie.

47 f est la fonction définie sur  par :

Positions relatives d’une courbe et d’une de ses tangentes 51 La fonction f est définie sur  par f(x) = x3 + x2 – x. On appelle  sa courbe représentative. Le but de l’exercice est d’étudier la position de la courbe  par rapport à sa tangente T au point d’abscisse 1. 1. Donnez l’équation réduite de T. 2. On considère la fonction g définie par : g(x) = f(x) – (4x – 3). a) Étudiez les variations de g et dressez son tableau de variation.

Cette droite T semble être tangente à la courbe en un second point. Démontrez-le.

49 f est la fonction définie sur  par : f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 4 et  est sa courbe représentative. 1. Déterminez les points de  en lesquels la tangente a pour coefficient directeur 3. T1  2. On a tracé ci-contre une par5 T2 tie de la courbe  représentative de la fonction f. 4 Il semble que par le point A(0 ; 4) on puisse mener à  deux tangentes. Démontrez-le.

50 1. On considère la fonction polynôme f définie sur  par f(x) = x3 – 3x2 + 5x + 1. a) Donnez l’expression de f’(x). b) Déterminez l’équation réduite de la tangente à la courbe f représentative de f, au point d’abscisse 0. Vérifiez à l’aide de votre calculatrice. 2. Faites de même avec la fonction polynôme : g : x  x3 – 2x2 – 3x + 2. 3. Que remarquez-vous concernant l’équation réduite de la tangente au point (0 ; g(0)) ? Éventuellement, recommencez avec une ou plusieurs fonctions polynômes de votre choix. 4. a, b, c et d sont quatre nombres réels (a ≠ 0). P est la fonction polynome définie sur  par : P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. a) Calculez P(0) et P’(0).

b) Calculez g(–3). Placez –3 et g(–3) dans le tableau de variation. c) Déduisez-en le signe de g(x) suivant les valeurs de x et concluez. 52 Avec la calculatrice À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu la droite d’équa5 tion y =  x – 4 et la courbe représentant la fonction f 3 définie sur  par f(x) = x2 – 4x + 4.

La droite semble tangente à la courbe. Est-ce bien le cas ? 53 Avec la calculatrice Sur l’écran de la calculatrice sont affichées (en partie) les représentations graphiques des fonctions : 1 2 l f : x  x – x + 1 ;   l g : x  . 1+x

1. Distinguez l’arc de parabole lié à f de l’arc d’hyperbole lié à g. Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications

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107

EXERCICES

2. a) Quelle conjecture pouvez-vous faire en ce qui concerne d’éventuels points communs à ces deux courbes ?

y

1



y

a

b) Démontrez-le par le calcul.

b) Démontrez-le par le calcul ?

1

–1 1

3. a) Quelle conjecture pouvez-vous faire en ce qui concerne les tangentes à chacune de ces courbes en un point commun ?

x

–1 O 1 2

O 1 2 y

2



y

b

Sens de variation

O 1 2 O 1 2

55 f(x) =

57 58 59

f(x) =

1



x f’(x)

1 O

2

f

x

– ∞ –2 +

0

–1 –

0 –

0

+

1

5

+ ∞

0

–

2 –1

3. Esquissez une courbe possible pour f.

64 f est la fonction définie sur  par :

1

x

3 1

x

62 Les courbes suivantes représentent trois fonctions (courbes 1 , 2 , 3 ) et leurs fonctions dérivées (courbes a , b , c ) dans un ordre arbitraire. Observez attentivement ces courbes et associez à chaque fonction sa fonction dérivée. 108

O 1 2

1 3  x – x + 2. 3 1. Dressez le tableau de variation de f sur . f(x) =

2. Déterminez un encadrement de f(x) sur les intervalles : l [0 ; 1]  l [0 ; 3]  l [–3 ; 0]  l [–3 ; 3].

1 O

1

2. f possède-t-elle des extremums locaux ?

y

3

–1

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? Quel est celui de f’ ?

y  2

O

1

x

x

1

x

2

fonction f :

2x2 – 4x + 4 et I = . x2 – 2x + 6

1

y

c

63 On donne le tableau suivant concernant une

61 La figure ci-contre est la y  1 représentation graphique   d’une fonction f dérivable sur ]0 ; + ∞[. O 1 Parmi les trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est susceptible de représenter la fonction dérivée f’ de f ? y



–1 O 1

60 f(x) = (3 – x)1x et I = ]0 ; 9].

1

x

y

3

2 3 5  x +  x – 5 et I = . 3 6 x2 f(x) = 2x4 – 3x3 + + 3 et I = . 2 x2 + 2x + 4 f(x) = et I = [–6 ; 0[. x2 1 f(x) = 1 – x – et I = ]1 ; + ∞[. x–1

x

–1 1

Pour les exercices 54 à 60 Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle I indiqué, où elle est définie et dérivable.

56

1

–1

54 f(x) = –x3 + 3x2 – 4 et I = .

x

65 « Pour tout » et « Il existe »

LOGIQUE

Les phrases suivantes permettent-elles d’affirmer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle  I ? Justifiez votre réponse. Si la réponse est négative, trouvez un contre-exemple. 1. Il existe un nombre x appartenant à I tel que f’(x) > 0. 2. Pour tout nombre x de I, f’(x) > 0. 3. Pour tout nombre x de I, f’(x) > 0.

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1. Calculez f”(x) et étudiez son signe. 2. Déduisez-en les variations de f’. 3. Calculez f’(1), puis déduisez des questions précédentes le signe de f’(x) suivant les valeurs de x. 4. Étudiez enfin les variations de f.

Extremums locaux. Encadrements 67 a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur

1 . x b) Démontrez que, quel que soit le nombre x strictement postif, la somme de x et de son inverse est supérieure ou égale à 2. l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f(x) = x +

68 Avec la calculatrice À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu la courbe représentant la fonction f définie sur  par : x2 + 2x + 3 f(x) = . 4x2 + 1

h

EXERCICES

71 La hauteur d’un cône de révolution mesure 24 cm, et le rayon de la base, 8 cm. On veut inscrire, dans ce cône, un cylindre de révolution dont le volume V soit le plus grand possible.

24 cm

Note f” se lit « f seconde ».

Optimisation

1. Démontrez que h = 3(8 – r). r 8 cm

2. a) Déduisez-en que le volume V est défini sur [0 ; 8] par V(r) = 3pr2(8 – r).

b) Étudiez les variations de V puis déduisez-en la valeur de r pour laquelle V(r) est maximal. Quelle est alors la hauteur h ?

72 Dans une sphère de centre O et de rayon 4  centimètres, on inscrit un cône de révolution de hauteur h. On note r le rayon de base du cône. 1. Utilisez le théorème de Pythagore dans le triangle BOH pour démontrer que : r = 9h(8 – h).

A

h

O 4

66 Avec la dérivée de la dérivée La fonction f est définie sur  par : f(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 5. On note f’ la dérivée de f et f” la dérivée de f’.

B

H

C

r

2. On note V(h) le volume du cône. Démontrez que : 1 V(h) =  p (8h2 – h3). 3 3. a) Étudiez les variations de V sur l’intervalle [0 ; 8]. b) Déduisez la valeur de h pour laquelle le volume est maximal.

Elle semble atteindre un maximum local en zéro. Est-ce bien le cas ?

73 Un enclos

69 f est la fonction définie sur  par : f(x) = x4 – 8x2 + 2.

1. Étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation. 2. Précisez les extremums locaux de f. 3. Dans chaque cas, donnez un encadrement de f(x) lorsque x vérifie la condition donnée : a) x ∈ [–2 ; 1] ; b) 0  x  3 ; c) x ∈ [–2 ; 2].

70

f est la fonction définie sur  par : f(x) = –2x2 + 4x – 3.

1. Étudiez les variations de f. 2. Déduisez-en le minimum sur  de la fonction g 1 définie sur  par g(x) = . f(x)

Contre le mur de sa grange un fermier veut construire un enclos grillagé rectangulaire. Il dispose pour cela de quarante mètres de grillage pour clore trois côtés du rectangle (le 4e côté étant une partie du mur). Démontrez que la surface de l’enclos est maximale lorsque la longueur est égale au double de la largeur. Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications

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109

EXERCICES

75 Éclairement On utilise dans cet exercice la propriété physique suivante : « Lorsqu’un point M est situé à une distance d d’une source lumineuse de puissance p, l’intensité de l’éclairep ment en M est égale à 2 . » d A et B sont deux sources lumineuses de puissances respectives p et 8p. M est un point de [AB], distinct de A et B. On pose AB = , et AM = x avec 0 < x < ,.

77 Volume d’une bouée Une bouée a la forme d’un double-cône de génératrice 3 dm. On désigne par h (en dm) la hauteur du cône et par r (en dm) le rayon de sa base. On souhaite déterminer h et r pour que le volume de la bouée soit maximal. 1. Exprimez le volume V de la bouée en fonction de r et h. 2. Justifiez que ce volume peut s’écrire 2 sous la forme V(h) =  p(9h – h3), 3 h ∈ [0 ; 3].

m 3d

74 Un autre enclos Le fermier de l’exercice 73 envisage de construire, le long du mur de sa grange, un second enclos rectangulaire grillagé. Il souhaite que l’aire de l’enclos soit de 200 m2. Pour clore trois côtés du rectangle (le 4e étant le mur), il veut utiliser le minimum de grillage. Pouvez-vous l’aider à choisir les dimensions de l’enclos ?

h r

3. a) Étudiez les variations de la fonction V qui à h associe V(h). b) Déduisez-en que V admet un maximum V0 pour un nombre h0 dont on donnera la valeur exacte. 4. a) Calculez une valeur approchée, en dm3, de V0 à 10–3 près. b) Exprimez en fonction de h0 le rayon r0 de la base correspondant à ce volume maximal.

M

A

B

1. Démontrez que l’intensité de l’éclairement en M est p 8p . égale à 2 + x (, – x)2 2. Où faut-il choisir M sur [AB] pour que l’intensité soit minimale ? Aide

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

76 On considère le demi-cercle  de diamètre [AB], (AB = 6). H est un point du segment [AB] distinct de A et de B. On note x la longueur AH. La perpendiculaire en H à (AB) coupe  en M. K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB. M

78 Avec un bout de ficelle À l’aide d’un bout de ficelle d’un mètre de long, on réalise un carré de côté c et un triangle équilatéral de côté a.



1m c

K A

H

B

x L’objectif de cet exercice est de déterminer pour quelle(s) position(s) de H sur ]AB[, le segment [HK] a une longueur maximale. On note HK = f(x). 1. a) En exprimant cos(jBAM) de deux manières différentes, prouvez que AM = 46x. b) Justifiez le parallélisme de (HK) et de (AM) et dédui16 sez-en que f(x) = (6 – x)1x. 6 2. a) f est définie et dérivable sur ]0 ; 6[. Exprimez f’(x). b) Déduisez-en les variations de f et concluez.

110

c

c c

c

c

c

a a

a

a

a

On se pose la question suivante : Comment effectuer le découpage de ce bout de ficelle pour que la somme des aires du carré et du triangle soit minimale ? 1 – 3a 1. Démontrez que c = . 4 2. a) Calculez, en fonction de a, l’aire du carré et celle du triangle. b) Déduisez-en que la somme S(a) des aires est égale à : 1  319 + 413 2a2 – 6a + 14. 16

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79 Signe du taux

d’accroissement

A L G O R IT

H M IQ U E

On considère la fonction F1 définie sur l’intervalle 1 3 1  ; par F1(x) = x +  .  ; I= 2 2 x L’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, a pour objectif de déterminer le signe du taux d’accroissement de f 1 entre deux valeurs de x distantes de h, avec h = et n où n est choisi par l’utilisateur.

3

8 12

x

4

h 0,5

80 Un cube Dans une pièce de bois parallélépipédique de longueur 12, de largeur 8 et d’épaisseur x (en cm), on extrait un cube d’arête x.

EXERCICES

3. a) Déduisez-en la valeur de a pour laquelle S(a) est minimale. a b) Vérifiez que, dans ce cas, = 13. c

h

h 1,5

x

x

Comment choisir x pour que le volume restant soit maximal ?

81 Une distance minimale 1. f est la fonction définie sur  par : f(x) = x4 – x2 + 1. a) Calculez, pour tout nombre x de , f’(x). b) Étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation. 2. Dans un repère orthonormé (O ; I, J), 3 est la parabole d’équation y = 1 – x2.



J M

O

x

I

M est un point de 3 d’abscisse x. a) Démontrez que OM2 = f(x). b) On admet que « il existe un point M tel que la distance OM est minimale » équivaut à « il existe un point M tel que la valeur de OM2 est minimale ». Quelles sont les coordonnées des points de la parabole 3 qui sont les plus près de l’origine O ?

82 L’aire du trapèze On note f la fonction définie sur  par : f(x) = (x + 3)2 (3 – x). 1. Dressez le tableau de variation de F1 sur l’intervalle I. 2. a) Pour n = 10, l’affichage est - - - - - + + + + +. Est-ce en accord avec votre tableau de variation ? b) Pour n = 100, l’affichage est : 50 signes « – » et 49 signes « + », séparés par le nombre 1. Sur quel intervalle peut-on affirmer que le taux est strictement inférieur à 0,01 (ligne 14) ?

1. a) Calculez f’(x). b) Étudiez les variations de f et dressez son tableau de variation. c) Lorsque x décrit l’intervalle [0 ; 3], donnez un encadrement de f(x). 2. Application Un fabricant d’accessoires de tuning veut produire des autocollants pour le capot de certains modèles de Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications

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111

EXERCICES

voitures. Il souhaite que l’image, trapézoïdale, ait la plus grande surface possible.

 N

d) Étudiez les variations de la fonction f définie sur ]0 ; 2] (x2 + 4)2 par f(x) = . 4x e) Déduisez-en la valeur exacte de m pour laquelle l’aire du triangle est minimale. Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?

M

1 B

O

1

x

A

Dans un repère orthonormé,  est la parabole d’équa9 – x2 tion y = . 2 A et B sont les points de 3 de coordonnées respectives (3 ; 0) et (–3 ; 0). M et N sont les points de 3 d’abscisses respectives x et –x, avec 0  x  3. Déterminez la valeur de x pour laquelle l’aire du trapèze AMNB est maximale.

Avec les tice 83 Une aire minimale Dans un repère orthonormé, la parabole  a pour équation y = 4 – x2. M est un point de  d’abscisse m tel que m appartient à ]0 ; 2]. La tangente en M à  coupe les axes de coordonnées en A et B. On s’intéresse à l’aire du triangle OAB lorsque m décrit l’intervalle ]0 ; 2]. 1. Conjecturer avec GeoGebra a) Créez la parabole  en saisissant y = 4 – x2, puis créez le point M sur . b) Créez la tangente en M à , puis les points A et B. c) Créez le triangle OAB. Son aire (poly1) s’affiche dans la fenêtre Algèbre. d) Déplacez M sur  et conjecturez l’abscisse de M pour laquelle l’aire du triangle OAB est minimale. 2. Démontrer a) Trouvez en fonction de m une équation de la tangente en M à . b) Déduisez-en les coordonnées de A et B. c) Démontrez que l’aire !(m) du triangle OAB est égale (m2 + 4)2 . à 4m

112

ROC

Restitution organisée de connaissances

84 Dérivées de u2 et de u3 Prérequis : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’. 1. Démonstration Démontrez que si u est une fonction dérivable sur I, alors : a) u2 est dérivable sur I et (u2)’ = 2uu’. b) u3 est dérivable sur I et (u3)’ = 3u2u’. 2. Application Justifiez que les fonctions suivantes sont dérivables sur R. Calculez l’expression de leurs dérivées. a) f(x) = (3x – 1)2. 3 x +3 . b) g(x) = 2

1

2

Prendre toutes les initiatives 85 La droite d’équation y = 7x + 9 peut-elle être tangente à la courbe d’équation y = x3 + 4x + 11 ? Si oui, précisez en quel(s) point(s) ? 86 f est la fonction définie sur  par : f(x) = 8x4 – 8x2 + 1. Démontrez que : f(x) ∈ [–1 ; 1] équivaut à x ∈ [–1 ; 1].

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87 Une fonction f est définie sur ]0 ; + ∞[ par :

c f(x) = ax + b + , x où a, b et c sont des nombres. On connaît son tableau de variation : x f’(x)

0

1 +

f(x)

3 0 –5

+ ∞ –

–9

5

88 f est une fonction définie sur  par :

–2

f’(x)

+

0

0 –

0

+ ∞ +

5

f(x)

x

–2

f’(x)

0

–1 –

0 –

0

+ ∞ +

1. Donnez les variations de f. 2. Si –1 < a < b < 0, comparez f(a) et f(b).

4. Si a = –2 et b = 0, peut-on comparer les nombres f(a) et f(b) ? On sait de plus que f peut s’écrire sous la forme : x2 + mx + n x , x+p où m, n et p sont des nombres, p étant non nul, et que f(0) = –1 ; Trouvez la fonction f satisfaisant aux propriétés précédentes. 90 Avec la calculatrice

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, où a, b, c et d sont des nombres. On connaît son tableau de variation : – ∞

le signe de sa dérivée est donné par le tableau suivant :

3. Si –1 < a < b < 2, peut-on comparer les nombres f(a) et f(b) ?

1. À l’aide des renseignements portés dans ce tableau, montrez que a, b et c sont solutions du système : c = 9a a + b + c = –9 c 3a + b + = –5 3 2. Résolvez ce système et déduisez-en f(x).

x

l

EXERCICES

Approfondissement

1

1. a) À l’aide des renseignements portés dans ce tableau, montrez que a, b, c et d sont solutions du système : d = 1 c = 0 12a – 4b + c = 0 –8a + 4b – 2c + d = 5

5

b) Déduisez-en f(x). 2. a) Déterminez une équation de la tangente T à la courbe # représentative de f au point d’abscisse 1. b) Quel est le point de # en lequel la tangente est parallèle à T ? 3. a) La proposition suivante est-elle vraie : « si x  –3, alors f(x) > 0 » ? b) La réciproque de cette proposition est fausse. Trouvez un contre-exemple.

89 On considère une fonction f dont on ne connaît que quelques propriétés : l f est définie sur l’ensemble D = [–2 ; –1[ ∪ ]–1 ; + ∞[ ; l f est dérivable sur chacun des intervalles de D ; l sa dérivée f’ s’annule en –2 et en 0 ;

La fonction f est définie sur  par : f(x) = –x2 + 7x – 4. La fonction g est définie sur ]– ∞ ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ par : x+4 g(x) = . x–1 On appelle #f et #g leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthogonal. 1. Faites afficher à l’écran de votre calculatrice les courbes #f et #g. Conjecturez leur position relative. 2. Dressez, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f. 3. a) Justifiez que la fonction g est dérivable sur ]– ∞ ; 1[ et sur ]1 ; + ∞[. b) Calculez g’(x) et dressez le tableau de variation de g. 4. Calculez la différence g(x) – f(x) et étudiez son signe. Déduisez-en la position relative des courbes #f et #g.

91 Une entreprise souhaite fabriquer une boîte parallélépipédique à base carrée de 128 cm3 de volume. Le fond et le couvercle lui reviennent à 0,04 e le cm2, les faces latérales à 0,02 e le cm2. En centimètres, on désigne par x le côté de la base et par h la hauteur, exprimés en centimètres. 1. Exprimez h en fonction de x. 2. Déduisez-en que le prix de revient est, en centimes 1 024 d’euros, p(x) = 8x2 + . x 3. Étudiez les variations de p. 4. Pour quelles dimensions le prix de revient est-il minimal ? Chapitre 4 ● Fonctions dérivées. Applications

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113

EXERCICES

92 En économie Une entreprise fabrique et vend un produit imperméabilisé pour vêtements et équipements de randonnée. La quantité hebdomadaire produite x (en litres) varie entre 0 et 1 000.

4. Contrôlez la réponse à la question précédente en affichant à l’écran de votre calculatrice les courbes des fonctions Cm et CM. Vous prendrez comme fenêtre 0 < x < 90 et 0 < y < 5 000. Remarque

Ce résultat se généralise : le coût moyen atteint sa valeur minimale lorsqu’il est égal au coût marginal.

94 En pharmacologie Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d’un petit parallélépipède rectangle dont le volume est 576 mm3. On note y la hauteur ; ses autres dimensions sont x et 2x (x et y sont en mm). 1. Calculez y en fonction de x. Le coût de fabrication, en euros, de x litres est donné par : x3 x2 C(x) = – + 40x + 5 000. 1 000 20 La recette, en euros, est donnée par R(x) = –0,2x2 + 640x. 1. On appelle B(x) le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle fabrique et vend x litres de produit. Exprimez B(x) en fonction de x et étudiez les variations de la fonction B sur [0 ; 1 000]. 2. Quelle quantité doit fabriquer l’entreprise pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?

93 En économie Une entreprise fabrique des articles de maroquinerie.

Le coût de fabrication, en euros, de x articles a été modélisé, pour x ∈ [0 ; 90], par la fonction : C(x) = x3 – 90x2 + 2 700x + 8 836. l Le coût marginal est le coût de fabrication d’une unité supplémentaire. On considère que le coût marginal est égal à la dérivée du coût total. On le note Cm. l Le coût moyen est le coût d’un article. On le note C . M l

1. Donnez les expressions de Cm(x) et CM(x) pour x ≠ 0. 2. Démontrez que la dérivée du coût moyen est égale à : (x – 47)(2x2 + 4x + 188) . C’M(x) = x2 3. Étudiez les variations de CM et vérifiez que le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal.

114

2. Calculez la surface totale S(x), en mm2, de ce parallélépipède rectangle en fonction de x. 3. x est nécessairement compris entre 3 et 12 mm. Étudiez le sens de variation de S sur l’intervalle [3 ; 12] et déduisez-en la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale. Aide

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

Commentaire

La vitesse avec laquelle un comprimé soluble, de volume donné, se dissout, augmente avec sa surface. Ceci explique pourquoi les fabricants de médicaments se posent parfois des problèmes de recherche d’extremums.

95 Les proportions d’une casserole économique Vous êtes-vous demandé x pourquoi la hauteur d’une casserole est approximatih vement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ? Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant : Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ? On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole. L’unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et 6 l’aire totale, égale à l’aire latérale plus l’aire du fond. v 1. a) Démontrez que h = 2 . px 2v . b) Démontrez que 6(x) = px2 + x 2. a) Étudiez sur ]0 ; + ∞[ les variations de la fonction : 2v . 6 : x  px2 + x b) Concluez en montrant que h = x. Aide Vous pouvez utiliser l’égalité v = px2h.

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3. Déduisez-en que f est dérivable sur [0 ; + ∞[.

2. Démontrez

4. La phrase « Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors la fonction u × v est dérivable sur I » est une implication.

a) Calculez f’(x), puis f”(x) où f” est la fonction dérivée de la fonction f’.

LOGIQUE

f est la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = x1x. f(h) – f(0) avec h > 0. 1. a) Calculez h b) Déduisez-en que f est dérivable en 0. Précisez f’(0). 2. a) Justifiez que f est dérivable sur ]0 ; + ∞[.

a) Énoncez l’implication réciproque. b) Prouvez que cette implication réciproque est fausse en fournissant un contre-exemple.

97 Utile en statistiques x1, x2 et x3 sont trois nombres. f est la fonction définie sur  par : f(x) = (x – x1)2 + (x – x2)2 + (x – x3)2. Démontrez que f admet un minimum atteint pour x = wx, où wx désigne la moyenne arithmétique des nombres x1, x2 et x3. Prolongement : Refaites cette démonstration en prenant n nombres x1, x2, …, xn au lieu de trois. Note

f ( x ) Le nombre nx , utilisé en statistiques, est appelé la variance des nombres x1, x2, …, xn.

l

b) Étudiez le signe de f“(x) et déduisez-en les variations de f’. Pour quelle valeur de a la fonction f’ atteint-elle son minimum ?

Prendre toutes les initiatives 99 Existe-t-il une fonction polynôme du troisième degré dont la courbe représentative passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) et admette en ces points des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? 100 Cylindre inscrit dans une sphère Dans une sphère de rayon 4 cm, on inscrit un cylindre de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des disques de rayon r.

98 Positions de la tangente  est la courbe représentative de la fonction f définie x3 sur  par f(x) = – x2 + x – 1. 6 A est un point de . On s’intéresse au comportement de la tangente en A lorsque A parcourt .

1. Expérimenter avec GeoGebra a) Créez la courbe  et un curseur a (– 5 < a < 5). b) Créez le point A = (a, f(a)), puis la tangente en A à la courbe . c) Choisissez a négatif et observez la position de la tangente par rapport à la courbe dans un « voisinage » du point A. Par exemple pour a = –2, la tangente est audessus de la courbe.

EXERCICES

b) Calculez f’(x), pour tout x de ]0 ; + ∞[.

Faites varier a de –2 à 4. Qu’observez-vous ? Pour quelle valeur de a la tangente semble-t-elle traverser la courbe en A ? l Dans la fenêtre Algèbre, choisissez, pour la tangente, l’équation réduite et observez les variations du coefficient directeur, c’est-à-dire de f’(a). Quel lien établissez-vous entre le minimum de f’(a) et la position de la tangente ?

96 Implication réciproque

h r Pour quelle valeur de h le volume est-il maximal ?

101 Dans une verrerie d’art située sur l’île de Murano, on fabrique des vases sphériques en verre soufflé. Pour le transport et la commercialisation de ces pièces, on souhaite fabriquer un emballage original conique, tout en minimisant les coûts. S est une sphère de centre O et de A rayon 6 cm. On souhaite inscrire cette sphère dans un cône de révolution dont le volume v est le plus petit possible. Quelles doivent être les dimensions O r de ce cône ?

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115

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Calculatrice

1

1 f est la fonction définie sur  par : f(x) =  x3 – x2. 3  est sa courbe représentative. Déterminez les points de  en lesquels la tangente à  est parallèle à la droite d d’équation y = 3x + 5.

B Une tangente commune f est la fonction définie sur  par f(x) =  est sa courbe représentative.

–x4

+

2x2

+ x.

1. Déterminez les points de  en lesquels la tangente a pour coefficient directeur 1. 2 2. Démontrez que, pour deux de ces points, la tangente est commune.

C Vrai ou faux ?

3

1 3 f est la fonction définie sur  par f(x) = –   x3 +  x2 + 2. 2 2  est sa courbe représentative. Justifiez chacune des affirmations suivantes : 3 2

3. 4 est un maximum local de f.

D D’une implication à sa réciproque

O

1

4

4

E À la recherche d’une fonction Dans un repère orthonormé (O ; I, J) on donne les points : A(1 ; 0), B(–1 ; –2) et C(2 ; 4). f est la fonction définie sur : ax + 1 I = ]– ∞ ; 3[ par f(x) = . bx + c  est sa courbe représentative.

–1 O B

116

S

2x

f est la fonction définie sur  par f(x) = –x3 + 2x2 + 4. 4 alors f(x) ∈ [4 ; 7]. 1. Démontrez que si x ∈ –1 ; 3 2. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?

J

Une pyramide régulière de base carrée et de hauteur h (en cm) est telle que SA = 12 cm.

1

4. Si f(x) ∈ [2 ; 4] alors x ∈ [–1 ; 3].

C

4

F Une pyramide au volume maximal

y

2. La tangente à  au point d’abscisse 2 est horizontale.

3

5

A I 2 –2

h

12

1. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f’ dérivée de f.

1. a) Démontrez que la courbe  passe par les points A, B, C si et seulement si a, b, c sont solutions du système : a+1 =0 b+c 2a + 1 =4 (S) 2b + c 1–a = –2 5 c–b b) Déduisez-en a puis b et c. 6 Vérifiez que la fonction f est définie sur ]– ∞ ; 3[ par : 4(1 – x) f(x) = . x–3 2. Démontrez que la tangente en A à  est parallèle à (BC). 7

D A

C O

B

1. Calculez AB en fonction de h.

8

2. a) Démontrez que le volume  de la pyramide est défini par : 2 (h) = –   h3 + 96h avec 0 < h < 12. 9 3 b) Pour quelle valeur de h le volume est-il maximal ? 10  c) Déduisez-en la valeur du volume correspondant.

G La réciproque est-elle vraie ? f est la fonction définie sur  par : f(x) = ax3 + bx2 – ax avec a réel non nul et b réel. 1. Démontrez que f admet pour tout a ≠ 0 et tout b, deux extremums locaux. 11 2. Dans cette question on suppose a = b = 1. 12 a) Étudiez les variations de f et dressez le tableau de variation. b) Démontrez que si x ∈ [–1 ; 1] alors f(x) ∈ [–1 ; 1]. La réciproque est-elle vraie ?

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CHAPITRE

Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques

D’un siècle à un autre Quel est le point commun entre le film Avatar (photographie ci-dessus) et Archimède, savant du iiie siècle avant J.-C. ? Les suites ! Les images de synthèse et les effets spéciaux utilisent en effet massivement cet outil mathématique extrêmement puissant… dont l’un des premiers utilisateurs fut Archimède. En savoir plus sur Archimède Chercheurs d’hier p. 129

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Rappels

& Questions-tests

Notation puissance 1   On sait que b2 = 2,89 et b5 = 14,198 57.

a et b sont des nombres non nuls, m et p sont des nombres entiers. l

a0 = 1

l

a–m =

l

am ¥ ap = am+p

1 am

l

a1 = a

l

am = am–p ap

l

 ba 2

n

=

Sans calculer b, déterminez b3 et b7. 23 54 2   Simplifiez l’écriture du produit 2 ¥ 5 . 5 2 3   m et p sont des nombres entiers, simplifiez l’écriture 2m 3p–2 du produit p+1 ¥ m–3 . 3 2 4   q est un nombre non nul ; a = 5q7 et b = 5q10. Complétez : b = a ¥ … et a ¥ b = …

an bn

Calculs algébriques De l’identité remarquable (1 – a)(1 + a) = 1 – a2, 1 – a2 = 1 + a. on déduit que si a ≠ 1, alors 1–a

5   Calculez (1 – a)(1 + a + a2) et (1 – a)(1 + a + a2 + a3).

Déduisez-en, pour a ≠ 1,

1 – a3 1 – a4 et . 1–a 1–a

Voir les corrigés p. 363

Activité 1

Dénombrement

Le but de cette activité est d’apprendre à dénombrer des éléments. Sur cette photographie, prise sur l’Île de Pâques, on compte sept statues et six intervalles.

l

Dans un livre, le chapitre qui commence à la page 27 et se termine à la page 42 est constitué de seize pages :

l

16 = 42 – 26 = 42 – (27 – 1) = 42 – 27 + 1 1

2

3 26

26 27 28

41 42 42 – 26

D’une manière générale, la liste des nombres entiers de m à p : m, m + 1, m + 2, … (p – 1), p est constituée de (p – m + 1) nombres.

1 a) Au départ d’une course pédestre, une équipe reçoit les dossards 142 à 158.



Combien de coureurs composent cette équipe ?

b) Une équipe de vingt coureurs reçoit le lot de dossards suivant (le 1er dossard du lot est le 159). Précisez les dossards reçus par cette équipe.

2 Quel est le dernier nombre de la liste de trente-cinq nombres entiers consécutifs commençant à 12 ? 3 Combien d’années couvrent la période du 1/1/2011 au 31/12/2022 ? 4 a) Combien l’intervalle [5 ; 65], de longueur 60, contient-il de multiples de 5 ?

b) Même question pour l’intervalle [142 ; 217].

5 Dans une rue, du côté pair, combien y a-t-il de maisons numérotées de 26 à 84 ? 118

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ACTIVITÉS

Activité 2

Et ainsi de suite…

On envisage d’étudier un ensemble de points définis de la manière suivante : on place deux points distincts A et B ; puis le point C, milieu du segment [AB] ; l puis le point D, milieu du segment [BC] ; l puis le point E, milieu du segment [CD] ; l et ainsi de suite… l l

A

C

E

D

B

Habituellement, on attribue une lettre à chaque point d’une figure. Ici, les lettres de l’alphabet vont vite s’avérer insuffisantes. Nous allons attribuer à chacun une lettre (la même pour tous) et un numéro (celui qui correspond à l’ordre d’arrivée). Ainsi, le 1er sera nommé A1 (lire « A indice 1 »), le second A2 (à la place de B), et ainsi de suite…

1 Construisez un segment [A1A2], de longueur 10 cm, et les cinq points suivants (de A3 à A7), construits comme précédemment : A3 est le milieu de [A1A2], A4 est le milieu de [A2A3], et ainsi de suite…



En centimètres, les distances A1A2, A2A3, etc. s’expriment avec les nombres d1, d2, etc.

2 Sachant que d1 = 10, calculez, sous forme fractionnaire, les nombres dn, avec 2 < n < 10. 3 Conjecturez une relation entre deux nombres consécutifs dn et dn+1.

Activité 3

Construction de suites à l’aide du tableur

TICE

1 Ouvrez une feuille de calcul et saisissez 1 dans la cellule A1 et 3 dans la cellule A2. 2 Sélectionnez les deux cellules, puis recopiez vers le bas jusqu’à la cellule A2100. 3 Vérifiez que le contenu de la cellule A90 est 179. 4 Quel est le contenu de la cellule A2011 ? 5 Quelle relation pouvez-vous établir entre les contenus de A5 et A6 ?

Cette relation vous semble-t-elle vérifiée par les contenus de deux cellules consécutives ?

6 Recommencez en modifiant les nombres de départ. Quel point commun ont les suites ainsi construites ?

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Vérifiez que les nombres de points associés aux figures ci-dessous, appelés nombres triangulaires, sont : 1, 3, 6, 10 et 15. On suppose que le processus de construction se poursuit de la même manière. Combien de points sont associés à la figure 8 ? à la figure 17 ? à la figure 1 figure 2 figure 3 figure 4 figure 5 figure 2011 ? Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

119

COURS Dans la vie courante, on utilise fréquemment des listes ordonnées de nombres. Par exemple, pour étudier l’évolution du prix d’un produit, on peut noter p0 le prix initial, p1 le prix au bout d’un mois, pn le prix au bout de n mois. Ainsi, à chaque mois on associe un prix : n  pn. En mathématiques, les listes – appelées suites – contiennent un nombre infini de termes.

1

Définitions 1.1 Définition et notation

Définition

1 Une suite est une fonction définie sur l’ensemble  des entiers naturels (ou sur l’ensemble  privé des premiers entiers : 0, 1, 2, …, k).

Exemples l

La suite u associe à tout entier naturel n son double, 2n. n

0

1

2

3

…

7

8

9

…

u(n)

0

2

4

6

…

14

16

18

…

L’image de 3 par u est notée u3 au lieu de u(3). On lit « u indice 3 ». Ainsi, u3 = 2 × 3 = 6 et, plus généralement, u(n), image de n par u, est notée un. un est le terme d’indice n de la suite u. La suite u est aussi notée (un) ou (un)n ∈ .

La suite v associe à tout entier n (n  7) le nombre 7n – 7. Elle n’est définie que pour n  7 ; on dit aussi « à partir du rang 7 ». Par exemple, v7 = 0, v8 = 11, v9 = 12.

l

n

0

1

2

3

…

v(n)

7

8

9

…

n

…

0

1

12

…

7n – 7

…

1.2 Définir une suite par une formule explicite La donnée d’une formule explicite, qui permet de calculer directement chacun des termes de la suite, détermine une suite.

Exemples. l sn = (–1)n

l

wn = 5n + 3

alors s2011 = (–1)2011 = –1. alors w6 = 5 × 6 + 3 = 33.   Ici, wn = f(n) avec f(x) = 5x + 3.

Cas particulier. Si f est une fonction définie sur un intervalle I = [a ; + ∞[, avec a  0, on définit une suite (un) en posant, pour tout nombre entier n (n  a), un = f(n).

1.3 Définir une suite par récurrence La donnée du premier terme et d’une relation, dite de récurrence, qui permet de calculer un terme à partir du précédent, détermine une suite. Dans ce cas, on ne peut pas calculer directement un à partir de n. Il faut calculer tous les termes qui le précèdent.

Exemple. u0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un – 2, soit un+1 = g(un) avec g(x) = 3x – 2. Ces données permettent de calculer de proche en proche les termes de la suite : u1 = 3 × u0 – 2 = 3 × 5 – 2 = 13 ;

u2 = 3 × u1 – 2 = 3 × 13 – 2 = 37 ; etc.

Cas particulier. Si g est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout x de I, g(x) ∈ I, on définit une suite (un) en prenant u0 dans I et en posant, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un). 120

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COURS

2

Suites arithmétiques 2.1 Définition

Définition

2 Dire qu’une suite (un) est arithmétique signifie qu’il existe un nombre r tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de la suite (un).

Une suite est arithmétique Autrement dit lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r.

+r +r +r +r +r +r u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

Exemples

l

la suite des entiers naturels 0, 1, 2, 3, …, de premier terme 0 et de raison 1 ;

l

la suite des nombres pairs 0, 2, 4, 6, …, de premier terme 0 et de raison 2 ;

l la suite définie pour tout entier naturel n par u = 5n + 3, qui est une suite arithmétique de n raison 5. En effet, un+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = un + 5.

La définition par récurrence impose, pour calculer un terme, de connaître le précédent. Le théorème suivant permet de passer de la définition par récurrence à la définition par une formule explicite. Théorème

1 (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Alors, pour tout entier naturel n, un = u0 + nr. Illustration

u1 = u0 + r u2 = u1 + r

On additionne membre à membre ces égalités, puis on simplifie.

un = un–1 + r

nr

 +r +r +r +r u0

u1

u2

+r +r un-1 un

u3

un = u0 + nr

Exemple. (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 3. Alors u2011 = 2 + 2 011 × 3 = 6 035.

Remarques

(m – p)r

Si le premier terme est u1, alors, pour tout n  1, un = u1 + (n – 1)r. l

l

Pour tous nombres m et p, um = up + (m – p)r.

+r +r

+r +r um-1 um

up up+1

2.2 Somme des entiers de 1 à n Théorème

 Exercice résolu D ➜ p. 126  Exercice 119, Roc ➜ p. 136

2

La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous la forme : 1 + 2 + 3 + … + n =

Illustration. On écrit sur une ligne la somme des termes dans l’ordre croissant, de 1 à n, puis sur une seconde ligne on écrit cette somme dans l’ordre décroissant, de n à 1.

●

●

n(n + 1) . 2

On additionne membre à membre les deux égalités.

S = S =

1 n

+ 2 + 3 + … + (n – 1) + + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 +

n 1

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) n(n + 1) . 2S = n(n + 1) d’où le résultat : S = 2

Somme de n termes égaux à (n + 1).

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121

COURS

3

Suites géométriques 3.1 Définition

Définition

3 Dire qu’une suite (un) est géométrique signifie

qu’il existe un nombre q non nul tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un. Le nombre q est appelé la raison de la suite (un).

Une suite est géométrique Autrement dit lorsque l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre (non nul).

q=2 0

u0

u1

u2

u3

u2

u1

u0

q = 1/2 0

u3

Exemples l

La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La suite (sn) de terme général sn = (–1)n est la suite géométrique de premier terme 1 (s0 = 1) et de raison (–1). La liste des termes est 1, –1, 1, –1, etc. l

La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 2 × 3n est une suite géométrique de premier terme 2 (u0 = 2) et de raison 3. En effet, un+1 = 2 × 3n+1 = 2 × 3n × 3 = (2 × 3n) × 3 = 3 × un.

l

Théorème

3 (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Alors, pour tout entier naturel n, un = qn × u0. u1 = q × u0

Illustration. (u0 ≠ 0)

u2 = q × u1 un = q × un–1

On multiplie membre à membre ces égalités, puis on simplifie.

u1 × u2 × … × un–1 × un = qn × u0 × u1 × u2 × … × un–1 un = qn × u0

Remarques. l Si le premier terme est u1, alors, pour tout n  1, un = qn–1 × u1. l

Pour tous nombres m et p, um = qm–n × up.

3.2 Somme des puissances successives Théorème

4 La somme des puissances successives d’un nombre q (q ≠ 1) s’exprime sous la forme : 1 + q + q2 + … + qn =

1– qn+1 . 1–q

Illustration. Notons S la somme de ces puissances q0, q1, q2, …, qn.  Exercice résolu D ➜ p. 126  Exercice 120, Roc ➜ p. 136 ●

●

On soustrait membre à membre les deux égalités.

S qS

= 1 + q + q2 + q3 + … + qn–1 + qn, = q + q2 + q3 + … + qn–1 + qn + qn+1

S – qS = 1 – qn+1 S(1 – q) = 1 – qn+1 Or 1 – q ≠ 0, donc S =

122

1 – qn+1 . 1–q

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Objectif

1

Déterminer la nature d’une suite

EXERCICES

Application Dire qu’une suite (un) est arithmétique signifie qu’il existe un nombre r (la raison) tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.  exercice résolu A l

Dire qu’une suite (un) est géométrique signifie qu’il existe un nombre q non nul (la raison), tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un.  exercice résolu B

l

Exercice résolu A

Reconnaître une suite arithmétique

Les suites proposées sont définies pour tout entier naturel n. Précisez si elles sont arithmétiques. Indiquez alors le 1er terme et la raison. 1. un = 5n – 2 2. vn = n2 + n Méthode

Solution

1. On calcule la différence un+1 – un.

1. Calculons la différence entre deux termes consécutifs quelconques : un+1 – un = 5(n + 1) – 2 – (5n – 2) = 5n + 5 – 2 – 5n + 2 = 5. Cette différence est constante. La suite (un) est arithmétique de raison 5. Le premier terme de la suite est : u0 = 5 × 0 – 2 = –2. 2. 1 En calculant vn+1 – vn

Selon l’expression de cette différence, on conclut. l On calcule le premier terme de la suite. l

2. 1 De même, on calcule la différence : vn+1 – vn.

l

On conclut.

2 On calcule la différence entre les premiers termes : v1 – v0 et v2 – v1. l On obtient un contre-exemple qui permet de conclure.



vn+1 – vn = [(n + 1)2 + (n + 1)] – (n2 + n) = n2 + 2n + 1 + n + 1 – n2 – n = 2n + 2. La différence n’est pas constante puisqu’elle varie avec l’indice n : la suite (vn) n’est pas arithmétique. 2 En calculant des différences Calculons v1 – v0 et v2 – v1 : v1 – v0 = 2 – 0 = 2 et v2 – v1 = 6 – 2 = 4. Les deux différences ne sont pas égales : la suite (vn) n’est pas arithmétique.

Mise en pratique Pour les exercices 1 à 6 Précisez si les suites proposées, définies pour tout entier naturel n, sont arithmétiques ou non. Si oui, précisez le 1er terme et la raison.

1 a) un = 2n + 3 2

3n + 1 a) un = 2

b) un = n2 – n n+2 b) un = n+1

u0 = –1 u0 = 2 b) 1 un+1 =  un + 1 un+1 = –2 + un 2

3 a)

5

5

4 un = n + (–1)n 5 (un) est la suite des multiples non nuls de 7. 6 (un) est la suite dont les termes sont engendrés par l’algorithme suivant : Saisir n u reçoit 5 Pour i de 1 à n u reçoit u – 3 Afficher u FinPour

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123

EXERCICES

Exercice résolu B

Reconnaître une suite géométrique

2 1. Prouvez que la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = n est géométrique. 3 Précisez sa raison. 2. Chaque carré a une aire égale à la moitié de l’aire du carré précédent.

c1

c2

La suite des aires est donc géométrique de raison Qu’en est-il de la suite (cn) des mesures des côtés ?

c3 c4 c5

…

1 . 2

3. La suite (vn) est définie par v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = 3vn + 4. Prouvez que la suite (wn) définie par wn = vn + 2 est géométrique. Calculez w0. Solution

Méthode

1. Pour tout entier naturel n, 2 2 1 2 1 un+1 = n+1 = = × n =  un. 3 × 3n 3 3 3 3 La suite de terme général un 1 est géométrique de raison . 3 1 2 2 2. Pour tout n, c n+1 =  cn . 2 Tous les termes cn sont positifs, donc : 1  c . cn+1 = 12 n 1 La suite (cn) est géométrique de raison . 12 3. wn+1 = vn+1 + 2 = (3vn + 4) + 2 = 3vn + 6 = 3(vn + 2) = 3wn.

1. On s’efforce de transformer l’écriture de un+1 de manière à faire apparaître le produit q × un.

2. On traduit la propriété des aires. l On en déduit une relation entre deux termes consécutifs.

l

On conclut.

3. On cherche à établir une relation du type wn+1 = q wn entre deux termes consécutifs quelconques. Pour cela, on exprime wn+1 en fonction de vn+1, puis de vn. l On conclut. l On calcule le premier terme de (w ). n 

La suite (wn) est géométrique de raison 3. Son premier terme est : w0 = v0 + 2 = 6 + 2 = 8.

Mise en pratique

10 (un) est la suite dont Pour les exercices 7 à 10 Précisez si les suites (un), définies pour tout les termes sont engenentier naturel n, sont géométriques ou non. Si drés par l’algorithme cicontre. oui, précisez leur raison. 7 a) un = 5n+3 8 a) un =

2n + 5 3

u = 2

b) un =

2 3n+1

b) un = 3n + 3n u = –1

0 9 a) 0 b) 5 un+1 = 4un 5 5un+1 – 2un = 1

124

Saisir n u reçoit 4 Pour i de 1 à n u reçoit 2u – 3 Afficher u FinPour

11 La suite (un) est définie par u0 = 3 et par la

relation un+1 = 2un – 5, pour tout entier naturel n. Prouvez que la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un – 5 est géométrique. Donnez sa raison et calculez v0.

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2

Calculer des termes et des sommes de termes

(un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Pour tous les entiers naturels n, m et p : l u = u + nr (théorème 1). n 0 l

l

um = up + (m – p)r. 

exercice résolu C

l

La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous n(n + 1) . la forme 1 + 2 + 3 + … + n = 2 l

exercice résolu D

Exercice résolu C

l (u ) est une suite géométrique de premier n terme u0 et de raison q, q ≠ 0. Pour tous les entiers naturels n, m et p : n l u = q × u (théorème 3).  exercice résolu C n 0

um = qm–p × up 

EXERCICES

Objectif

exercice résolu D

Si q est un nombre différent de 1, alors : 1– qn+1 1 + q + q2 + … + qn = . 1–q

l

exercice résolu D

Calculer des termes

1. Les suites (un) et (vn) sont arithmétiques de raison r. a) u0 = 3 et r = 5. Calculez u25, u48.    b) v27 = 6 et v39 = 10. Calculez v7 et v75. 2. La suite (wn) est géométrique de raison q. w0 = 6 et q = –2. Calculez w5 et w7. Méthode

Solution

1. a) Connaissant le 1er terme u0 et la raison r, on peut calculer directement (th. 1) tous les termes de la suite : un = u0 + nr. b) On ne connaît ni v0 ni la raison r. Cependant, pour obtenir v39 à partir de v27, on ajoute douze fois la raison (12 = 39 – 27). On peut donc calculer la raison.

On pourrait calculer v0, mais la formule : vm = vp + (m – p)r nous permet d’obtenir directement v7 et v75. l

2. Connaissant le 1er terme w0 et la raison q, on peut calculer directement (th. 3) tous les termes de la suite : wn = qn × w0.



1. a) La suite (un) est arithmétique, u0 = 3 et r = 5, donc : u25 = u0 + 25 × r = 3 + 25 × 5 = 128. De même, u48 = 3 + 48 × 5 = 243. b) Puisque la suite est arithmétique, on peut calculer la raison r en utilisant la formule vm = vp + (m – p)r. Ici, v39 = v27 + (39 – 27)r. 1 Donc, 10 = 6 + 12r et r = . 3 1 2 =– . l v = v + (7 – 27)r = 6 – 20 × 7 27 3 3 1 v75 = v39 + (75 – 39)r = 10 + 36 × = 22. 3 2. La suite (wn) est géométrique, w0 = 6 et q = –2, donc : w5 = q5 × w0 = (–2)5 × 6 = –32 × 6 = –192. De même, w7 = (–2)7 × 6 = –128 × 6 = –768.

Mise en pratique Pour les exercices 12 à 15 Les suites sont arithmétiques de raison r.

12 u0 = 1 et u10 = 31. Calculez r puis u2011. 13 u0 = 5 et u100 = –45. Calculez u20 et u200. 14 u17 = 24 et u40 = 70. Calculez u10 et u20. 15 u10000 = 1 et u2000 = –79.

Calculez u3857 et u5000.

Pour les exercices 16 à 18 Les suites sont géométriques de raison q.

16 u0 = 4 et q = 5.

Exprimez un en fonction de n et calculez u5 et u8. 1

17 u0 = et q = –2. 3

Exprimez un en fonction de n et calculez u4 et u10.

18 u5 = 8,64 et q = 1,2. Calculez u3 et u10. Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques

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125

EXERCICES

Exercice résolu D

Calculer des sommes de termes

1. La suite (un) est arithmétique de 1er terme u0 = 5, et de raison 4. Calculez u12, u25 et la somme S de tous les termes de u12 à u25. 2. La suite (vn) est géométrique de raison 2 et v5 = 1. Calculez v7 et la somme S de tous les termes de v7 à v15.

Méthode

Solution

1. Connaissant le 1er terme u0 et la raison r, on peut calculer directement (th. 2) tous les termes de la suite : un = u0 + nr. Comme dans la démonstration du théorème 2 : l On écrit la somme S de deux manières différentes : S = u12 + u13 + … + u24 + u25 S = u25 + u24 + … + u13 + u12 l On ajoute membre à membre. Le nombre de termes de la somme étant déterminé, on conclut.

1. La suite est arithmétique, u0 = 5 et r = 4 donc : u12 = u0 + 12 × r = 5 + 12 × 4 = 53. De même, u25 = 5 + 25 × 4 = 105.

2. On calcule v7.

2. La suite est géométrique, v5 = 1 et q = 2, donc v7 = q7–5 × v5 = 22 × 1 = 4. S = v7 + 2v7 + 22v7 + … + 2(15–7)v7.

S est la somme de quatorze termes (25 – 12 + 1 = 14). S = 53 + (53 + 4) + (53 + 8) + … + 105 S = 105 + (105 – 4) + (105 – 8) + … + 53 En ajoutant membre à membre : 2S = 14 × (53 + 105) 158 S = 14 × = 1 106. 2

l Les termes v qui suivent v peuvent p 7 s’écrire qp–7v7. On écrit la somme des termes de v7 à v15. l Le facteur v est commun à tous les termes 7 de la somme. On factorise. l On utilise le théorème 4 pour calculer la somme des puissances de 2.

S = v7(1 + 2 + 22 + … + 28).



1 – 29 Or 1 + 2 + 22 + … + 28 = = 29 – 1. 1–2 Finalement, S = 4 × (29 – 1) = 4 × 511 = 2 044.

Mise en pratique Pour les exercices 19 à 21 Les suites sont arithmétiques de raison r.

23 t10 = 100 et q = 10.

Calculez la somme t4 + t5 + … + t10. 19 u0 = 5 et u100 = –95. Calculez r et u20, puis la Le calcul peut être fait mentalement. somme S des termes de u0 à u20. 24 Le premier disque a un rayon de quatre centimètres. Les rayons des cinq disques suivants 20 u17 = 24 et u40 = 70. Calculez r et u100, puis la sont obtenus en divisant par deux le rayon du somme S des termes de u40 à u100. précédent. Les aires sont donc successivement 21 u10000 = 1 et u2000 = –79. Calculez la somme S divisées par quatre. Quelle est l’aire totale des six des termes de u2000 à u10000. disques ? Pour les exercices 22 et 23 Les suites sont géométriques de raison q. 1 22 w3 = 27 et q = . 3 Calculez, sous la forme d’une fraction, la somme : w5 + w6 + … + w9.

126

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Po u r

25 Questions sur le cours Complétez les propositions suivantes. 1. La suite (un) est telle que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. a) La suite (un) est …… b) Le réel r est appelé …… c) Pour tous entiers naturels m et p, um – up = …… 2. La suite (vn) est telle que pour tout entier naturel n, vn+1 = q × vn avec q ≠ 0. a) La suite (vn) est …… b) Le réel q est appelé …… c) Pour tous entiers naturels m et p, um = up × ……

EXERCICES

se tester 26 Vrai ou faux Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) 47 est un des termes de la suite définie par un = 3n – 1. b) La suite définie par un = 3 + 2n est arithmétique. c) La suite définie par un = 3 + n2 est arithmétique. d) La suite définie par un = 3 + n2 est géométrique. e) Si un, un+1 et un+2 sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique, alors le produit un × un+2 est égal au carré de un+1. 1 f) 12, et 12 + 2 sont trois termes consécutifs 12 – 1 d’une suite arithmétique.

27 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. La suite définie pour tout entier naturel n non nul 2n + 1 est : par un = n a) arithmétique b) géométrique c) ni arithmétique ni géométrique 2. La suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier 2 naturel n non nul, par un+1 = un +  un est : 3 a) arithmétique b) géométrique c) ni arithmétique ni géométrique

3. (un) est une suite définie par la donnée de u0 (u0 = 1) et par la relation un+1 = 2un + 3 avec n ∈ . (vn) est la suite définie pour tout entier naturel n par vn = un + 3. Concernant les suites (un) et (vn) : a) elles sont géométriques  b) une est arithmétique  c) une seule est géométrique 4. x3 × x5 × x7 × … × x17 × x19 est égal à : a) x100

b) x99

c) x101

28 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. f est la fonction définie sur l’in1  ; + ∞ par f(x) = 82x – 1 tervalle 2 et (un) est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par un = f(n).

3

3

a) u17 > u16   b) u13 ∈  c) 4 est un terme de la suite (un)

2. La suite (un) est définie pour tout 1 entier naturel n par un = 2 . n +1 1 +1 a) un+1 = 2 n +1 1 b) un+1 = 2 n + 2n + 2 1 c) un+1 = (n + 1)2 + 1

3. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par un+1 = un + 3, avec u0 = 1. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel n par vn = 3n – 1. Les suites (un) et (vn) : a) sont arithmétiques b) ont même raison   c) u9 = v10

Voir les corrigés p. 366 Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

127

EXERCICES

Apprendre à chercher 29 Calculer le nombre de termes (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison r = 5. On ajoute les « premiers » termes de la suite afin d’obtenir une somme S supérieure à 750. Objectif  Trouver le plus petit nombre N de termes de la somme S qui permet de dépasser 750.

activités de recherche

1. La suite (un) étant arithmétique, chacun des N termes de la somme S s’exprime en fonction de u0 et de la raison r. D’autre part, le premier indice étant 0, le N-ième terme est uN–1 et S = u0 + u1 + … + uN–1. Exprimez la somme S en fonction de u0, de la raison r et de N (regroupez les termes « en u0 » et ceux « en r »). 2. Il en résulte que dans l’expression de S, en comptabilisant les termes « en r », on a fait apparaître la somme 1 + 2 + 3 + … + (N – 1), somme que l’on peut calculer en utilisant le théorème 2. Nous pouvons alors exprimer S en fonction de l’inconnue N. Vérifiez que S =

5 2 1  N –  N. 2 2

3. Par hypothèse, S > 750. L’objectif est donc maintenant de résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels , une inéquation du second degré d’inconnue N. 5 2 1  N –  N > 750 et concluez. 2 2 b) L’algorithme suivant, écrit avec AlboBox, a pour but de répondre au problème posé. On calcule pas à pas la somme S et on incrémente « tant que » S ne dépasse pas 750. Complétez cet algorithme. a) Résolvez l’inéquation

30 Une suite arithmétique Les nombres a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Leur somme est 21 et la somme de leurs carrés est 197. Objectif  Trouver ces trois nombres. a, b et c sont trois nombres consécutifs d’une suite arithmétique et, dans ce cas, lorsqu’on connaît un terme et la raison r, on connaît tous les termes. Choisissons donc un terme. Dans ce genre de situation, il est souvent commode de choisir le terme central, ici b. r

a

b

r

c

1. Exprimez alors a et c en fonction de b et de r. 2. Ecrivez un système qui permet de trouver les valeurs de b et de r, et résolvez-le. 3. Déduisez-en a et c.

31 Utiliser une suite auxiliaire La suite (un) est définie par : u0 = 1 un+1 = 3un – 1

5

Objectif  Exprimer de manière explicite les termes de la suite (un) définie par récurrence. 1. L’intérêt de ce passage de la définition par récurrence à la définition explicite est de permettre le calcul direct d’un terme sans avoir à connaître ceux qui le précèdent. Cette transformation est aisée pour une suite arithmétique ou géométrique. Vérifiez que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On introduit alors la suite (vn) définie pour tout entier 1 naturel n par vn = un – . 2 Une étude graphique comme celle de l’exercice 35 p. 130 peut permettre de justifier ce choix. a) Calculez les premiers termes de la suite (vn) définie 1 pour tout entier naturel n par vn = un – . 2 b) Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature de cette suite ? Démontrez-le. c) Exprimez vn en fonction de n. d) Concluez en exprimant un en fonction de n.

128

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EXERCICES

Narration de recherche L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

32 À partir de la somme des termes

34 Les deux rectangles

(un) est une suite telle que pour tout entier naturel n non nul u1 + u2 + … + un = 3n2 + 5n. Calculez u2011.

33 À la découverte de suites Que vous inspire le tableau ci-dessous ? Imaginez les nombres de la ligne 7 (en tenant compte des erreurs d’arrondi).

– 200 ANTIQUITÉ

a c

b) On suppose maintenant que ces quatre nombres sont, dans cet ordre, quatre termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 5 (cm). Comparez les périmètres et les aires des deux rectangles.

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

1600

MOYEN ÂGE

Isaac Newton Leonhard Euler Chap. 4 Chap. 2 1700 1800 ÉPOQUE MODERNE

1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Gottfried Leibniz Chap. 3

Benoît Mandelbrot Chap. 6

Archimède

(iiie s. avant J.-C.)

activités de recherche

À votre tour créez une suite, proposez les premiers termes à votre voisin afin qu’il découvre le terme suivant.

al-Khuwārizmī Chap. 1 800

d

b

Travail en groupe

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

a) Les nombres a, b, c et d sont, dans cet ordre, quatre termes consécutifs d’une suite géométrique. Comparez les aires des deux rectangles.

Archimède fut avec Euclide (287 av. J.-C. – 212 av. J.-C.) l’un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité. Son œuvre mathématique concerne la géométrie et l’arithmétique. Sa célébrité résulte surtout de sa contribution à la physique (en statique et en hydrostatique) et de son fameux « principe d’Archimède ».

 ur le Web http://therese.eveilleau.pagespersoS orange.fr/pages/hist_mat/textes/mirliton.htm

Extrait de son ouvrage Quatre livres sur les coniques, édition de 1675. Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques

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129

EXERCICES

Utiliser GeoGebra  our représenter les termes d’une suite (un) P lorsque un+1 = f(un) TP 35 Étude graphique d’une suite définie par une relation de récurrence Compétences Mathématiques

TICE Créer et utiliser des curseurs Animer une configuration Émettre et tester des conjectures

Interpréter un graphique Lire des coordonnées Caractériser une suite

a et b sont deux nombres. (un) est la suite définie, pour tout entier naturel n, par : u0 donné un+1 = aun + b

activités de recherche

5

L’objectif est de représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un) et d’observer l’influence des nombres a, b et u0 sur la nature de la suite. 1. Réaliser la figure a) Créez trois curseurs a, b et u0 (saisissez u_0). Dans un premier temps, choisissez, comme sur la vue d’écran ci-contre, u0 = 2, a = 0,6 et b = 0,1 (pour l’intervalle des trois curseurs, on prendra min : –5 ; max : 5 ; incrément : 0,1). b) Créez la fonction f définie par f(x) = ax + b et la droite d’équation y = x. u0 donné La suite (un) est définie par : un+1 = f(un)

5

outil 1 outil 3

c) Créez dans l’ordre, comme sur la vue d’écran, le point A de coordonnées (u0 ; 0) (saisissez (u_0,0)), puis les points B, C, D, E, F, G, H, I en utilisant les touches : pour tracer une perpendiculaire ;

Aide

pour définir un point d’intersection ;

Après avoir construit les points, masquez les droites perpendiculaires à un des axes en décochant . La figure sera plus lisible.

pour créer un segment.

d) Sachant que toutes les droites tracées sont perpendiculaires à un des axes, justifiez que les coordonnées du point B sont (u0 ; u1) et que celles de C sont (u1 ; u1) (rappel, A est le point d’abscisse u0). Déduisez-en les coordonnées des points D, E, F, G, H, I. e) Créez alors les points de l’axe des abscisses correspondants aux nombres u1, u2, u3 et u4. Pensez à , intersection entre deux objets. utiliser la touche 2. Conjecturer avec GeoGebra et démontrer a) l Les curseurs étant toujours ceux de la vue d’écran, pourquoi pouvez-vous conjecturer que la suite (un) n’est pas arithmétique ? l À l’aide du curseur, faites varier u . Cela modifie-t-il votre conjecture ? 0 b) l Mettez les trois curseurs à 1. Que constatez-vous ? Conjecturez la nature de la suite, puis démontrez-le. l Faites varier b, en prenant éventuellement des valeurs négatives. Cela semble-t-il changer la nature de la suite ? Que représente b lorsque a = 1 ? Démontrez-le. c) Choisissez u0 = 1 et b = 0. Faites varier a (a non nul). Conjecturez la nature de la suite lorsque b = 0. Démontrez-le.

130

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EXERCICES

Utiliser les outils de calcul Pour calculer des termes d’une suite TP 36 Évaluer le terme d’indice n d’une suite définie par récurrence Le calcul du terme d’indice n d’une suite définie par récurrence nécessite la connaissance de tous les termes qui le précède. L’utilisation des outils de calculs (tableur, calculatrice, etc.) est alors indiquée, mais il faut rester prudent sur les conclusions (danger des valeurs approchées – voir l’exercice 143 p. 139). La suite étudiée est définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 5. L’objectif est donc de déterminer le terme un (pour un indice « raisonnable », compte tenu des limites des outils de calcul). 1. Avec le tableur Saisissez le contenu des cellules A1-B3 comme indiqué ci-contre. Recopiez vers le bas jusqu’à la valeur de n souhaitée.

L’algorithme suivant permet de programmer le calcul du terme d’indice n : i : le compteur. u : le terme de rang i. n : l’indice du terme cherché.

outil 14

Variables u , i entrée n Traitement u = 1 Pour i de 1 à jusque n faire u reçoit 2 × u + 5 FinPour Sortie Afficher « u » n « = » u

la formule de récurrence.

a) Testez avec l’outil de votre choix, le programme qui en découle.

Avec une TI



Avec une Casio

Avec AlboBox

activités de recherche

2. Avec la calculatrice programmable ou avec AlgoBox



3. Applications Déterminez, avec l’outil de votre choix, une valeur éventuellement approchée :

u du terme u10 de la suite définie par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par un+1 = 5 + n  ; 2 3 l du terme v 100 de la suite définie par : v0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par vn+1 = 2  vn – 1. l

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131

EXERCICES

Entraînement de  tête

38 u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2n – 3.

Pour les exercices 52 et 53 La suite (un) est définie par la donnée explicite du terme un pour tout entier naturel n. Exprimez en fonction de n les termes un–1, un+1, u2n, u2n+1 de la suite (un).

39 Les nombres suivants sont-ils, dans cet ordre,

52 a) un = 3n2 – 1

37 un = n2 – 3n + 1. Calculez u1, u2, u3, u4, u5. u

Calculez u1 et u2.

trois termes consécutifs d’une suite arithmétique ? 1 5 4 a) 12 ; 25 ; 38 b)  ;  ; 2 6 3

40 (un) est une suite arithmétique de raison r = 2 et u5 = 6. Calculez u0, u10. 41 (un) est une suite arithmétique. u3 = 11 et u11 = 3.

Calculez u0, u14.

42 Calculez 1 + 2 + … + 20. 43 (un) est une suite arithmétique de raison r = 2

et u0 = 0. Calculez u8 + u9 + … + u15.

44 Les nombres suivants sont-ils, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique ? 1 a) 12 ; 24 ; 36 b)  ; –2 ; 12 3 45 (un) est une suite géométrique de raison q = 0,2

et u5 = 1,6. Calculez u0, u8.

46 (un) est une suite géométrique de raison q > 0.

u3 = 8 et u5 = 2. Calculez u4, u8.

Pour les exercices 47 à 49 Trouvez la fonction f telle que, pour tout entier naturel n, un = f(n), et calculez les termes de u0 à u5. n2 – 1 n+2

47 a) un = 2n + 5

b) un =

48 a) un = n2 + 2n – 5

b) un = |3 – 2n|

n 7n + 1

b) un = n2 – 1n + 1

Pour les exercices 50 et 51 Trouvez la fonction f telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = f(un), et calculez les termes de u1 à u5.

5

u0 = 5



5

u0 = 2

51 a)

132

5

u0 = –1 b) 2un un+1 = un+1 = (un + 1)2 un + 1

50 a)

2n – 1 n+1

b) un =

(–1)n+1 2(n + 1)

Pour les exercices 54 à 56 La suite (un) est définie par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence. Calculez les termes, de u1 à u5, puis conjecturez une formule explicite du terme général un = f(n). À partir de la formule obtenue, retrouvez u0 et la relation donnée entre un+1 et un. 1 54 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2  un.

55 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + 5. 56 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n : un+1 = 1 –

1 . 1 + un

57 (un) est définie pour tout entier naturel n, par : un = n3 – 3n2 + 2n + 1.

a) Calculez u0, u1 et u2. Tous les termes de la suite sont-ils égaux ?

Définir une suite

49 a) un =

n2 + n + 1

53 a) un = 2n + 1

b) un =

5

u0 = 1 b) un – 1 un+1 = un+1 = un(un + 1) un

b) Factorisez (un – 1). Combien de termes de la suite sont égaux à 1 ?

58 f est la fonction définie pour tout x ≠ 0 par :

1 . x 1. On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par un = f(n). Calculez u1, u2, u3, u4, u5, u50, u100. 1 2. On note (vn) la suite définie par v0 = et, pour tout 2 entier naturel n, vn+1 = f(vn). Calculez v1, v2, v3, v4. f(x) = x –

59 À partir d’un carré de côté u0 = 5, on construit les carrés de côtés u1, u2, u3, …, un, un+1 en utilisant des segments de longueur  1 comme indiqué sur la figure ci-contre. a) Calculez les valeurs exactes de u1 et u2.

u n+1 un

1

1

b) Exprimez un+1 en fonction de un.

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1

1

1 u0 = 2, u1 = 1 + , u2 = 1 + 2

1 1+

1 2

, u3 = 1 +

1

.

1

1+

1+

a) Calculez u1, u2, u3.

1 2

b) Conjecturez l’expression de un+1 en fonction de un. c) Calculez u4, u5, u6 et représentez les premiers termes sur un axe gradué.

61 Obtenir des termes choisis

A L G O R IT

H M IQ U E

1. Qu’obtenez-vous pour n = 7 et p = 15 à l’aide de l’algorithme suivant ?

exercice résolu A, page 123. b) un = 2n b) un = 7n – 1  (n ≠ 0)

u = –1

u =2

0 a) b) u = 0 64 5 un+1 = 2un – 1 n 5 un+1 – un = 2

Pour les exercices 65 et 66 La suite (un) est arithmétique de raison r. Exprimez un en fonction de n. exercice résolu C, page 125. 1

65 a) u0 = –3 et r = – 2 1

1

66 a) u5 = – 3 et r = 2

Pour les exercices 70 à 73 (un) est une suite arithmétique. Calculez u0 et la raison r.

70 u2 + u3 + u4 = 36 et u9 = 48. 71 u5 + u6 + u7 = –27 et u9 = –15.

75 On aperçoit, dans la colonne A ci-dessous, quelques termes d’une suite.

Pour les exercices 62 à 64 Précisez si la suite est arithmétique ou non. Si oui, donnez sa raison.

2n + 1 5

69 u3 = 12 et u5 = 18. Calculez u10.

74 Déterminez cinq nombres impairs consécutifs dont la somme est 55.

Suites arithmétiques

63 a) un =

68 u2000 = 74 et u2010 = 33. Calculez u10000.

73 u1 + u2 + u3 + … + u8 = 176 et u3 = 7.

2. (un) est la suite définie pour tout entier naturel n par : 3 un =  n + 4. 2 En vous inspirant de l’algorithme précédent, écrivez un algorithme permettant d’obtenir les dix termes qui suivent le terme d’indice n (n n’étant pas fixé).

5

67 u5 = 27 et u10 = 33. Calculez u20.

72 u10 + u12 + u14 = 33 et u100 = 55.

Variables i, u, n, p entrées n, p Traitement Pour i de n jusque p faire u reçoit 3×i – 2 Afficher « u » i « = » u FinPour

62 a) un = 3  n – 1

Pour les exercices 67 à 69 La suite (un) est arithmétique de raison r.

EXERCICES

60 On donne :

b) u1 = 5 et r =

1 10

b) u10 = 0 et r = –3

a) Pourquoi est-il raisonnable d’imaginer que la suite est arithmétique ? b) Son premier terme est dans la cellule A1. Quel est-il ?

76 Les nombres ci-contre sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique construite avec un tableur. Déterminez le contenu des cellules A30 et A100. 77 La suite (un) est arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = 1. a) Pour tout entier naturel n, on pose : 1 vn =  un + 2. 2 Prouvez que la suite (vn) est arithmétique. b) Pour tout entier naturel n, on pose : wn = 2un + 3vn. Prouvez que la suite (wn) est arithmétique.

78 (un) est une suite arithmétique de raison r. Prouvez que les suites (vn) et (wn) définies, pour tout entier naturel n, respectivement par vn = 2un + 5 et wn = u3n – 1 sont arithmétiques et donnez leur raison. 79 La suite (un) est définie par u0 = 1 et, pour tout

un . 1 + 2un a) Calculez u1, u2, u3, u4, u5. 1 b) Si un ≠ 0, on pose vn = . un Calculez v0, v1, v2, v3, v4, v5. entier naturel n, un+1 =

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133

EXERCICES

c) Prouvez que la suite (vn) est arithmétique. Exprimez vn puis un en fonction de n.

Pour les exercices 85 à 90 (un) est une suite géométrique de raison q.

80 La figure ci-contre indique le début de la construction de zones colorées que l’on peut prolonger indéfiniment. Tous les triangles de la figure sont équilatéraux.

exercice résolu C, page 125.

u1

u2

u3

u4

u5

0 1 2 3 4 5

a) Prouvez que la suite (un) des aires définies par la figure est arithmétique. Quelle est sa raison ? b) La suite (vn) des périmètres est-elle arithmétique ?

81 an et pn sont respective-

ment l’aire et le périmètre du domaine en vert sur la figure ci-contre dans un repère orthonormé. a) Calculez an et pn en fonction de n.

1 x+3 y= 3

j Oi

n n+1

b) Vérifiez que les suites (an) et (pn) sont arithmétiques. LOGIQUE

82 Démonstration par

un contre-exemple La suite (un) est arithmétique de raison r ce qui signifie que la différence de deux termes consécutifs quelconques de la suite est constante et égale à r, r étant, par exemple, la différence u1 – u0. Ceci se traduit par la proposition (P) : pour tout entier naturel n, un+1 – un = u1 – u0. 1. Exprimez la négation de la proposition (P). Il suffit donc, pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique, de trouver un contre-exemple, c’est-àdire ici une différence de termes consécutifs qui ne soit pas égale à la première, u1 – u0. 2. Application : pour chacune des suites suivantes, précisez si elle est arithmétique ou pas.

5

w0 = π 3n – 1 un = n2 – 2n lv = l n n+1 wn+1 = wn + 1

l

Suites géométriques Pour les exercices 83 et 84 Précisez si la suite est géométrique ou non. Si oui, donnez sa raison. exercice résolu B, page 124. 2n+3 b) un = 5n – n 83 a) un = n+2 3 u = 3

5

u = –2

5

0 0 u un b) 84 a) un+1 = un+1 – un = n

134

2

n+1

85 u0 = 3, q = 5. Calculez u3 et u10. 1

86 u0 = 2, q = – 2 . Calculez u3 et u10. 87 u5 = 486, u7 = 4 374 ; q > 0. Calculez u0 et u10.

88 u2 = –1,92, u4 = –1,228 8 ; q > 0. Calculez u0 et u5.

89 Pour tout naturel un+2 = un+1 + un.

Tous les termes sont non nuls et sa raison q est positive. Trouvez q.

90 (un) n’est pas constante. De plus, u0 = 5 et 2u2 = 3u1 – u0. Trouvez sa raison q.

91 On aperçoit, dans la colonne A ci-dessous, quelques termes d’une suite. a) Pourquoi est-il raisonnable d’imaginer que la suite est géométrique ? b) Son premier terme est dans la cellule A1. Quel est-il ?

92 Les nombres suivants sont des termes consécutifs d’une suite géométrique « construite » avec un tableur. Déterminez le contenu des cellules A8 et A9. 93 a et c sont deux nombres strictement positifs. Déterminez en fonction de a et de c le nombre positif b tel que a, b et c soient dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique. 94 (un) est une suite géométrique. un–1 = 45 et un+1 = 2 205. Déterminez un. 95 Boule de neige Sur une grille à mailles carrées d’un centimètre de côté, on place une boule de neige de dix centimètres de diamètre. Elle fond, et son volume est divisé par huit à chaque heure écoulée. On fait une observation toutes les heures. Dans combien de temps constaterons-nous que ce qui reste de la boule n’est plus retenu par la grille ?

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a) Exprimez en fonction de son prix initial, son prix au bout de cinq ans. b) Exprimez en pourcentage l’augmentation de p0 à p5.

97 Quelle somme doit-on placer avec un taux d’intérêt de 5 % l’an afin de détenir une somme de 10 000 � au bout de dix ans : a) lorsque les intérêts sont capitalisés ; b) lorsque les intérêts ne sont pas capitalisés.

Somme de termes Pour les exercices 102 à 118 Voir l’exercice résolu D, page 126.

102 a) Démontrez que la somme 1 + 3 + 5 + … + 99 est le carré d’un entier naturel. Aide

EXERCICES

96 Le prix d’un article augmente tous les ans de 3 %. On note p0 son prix initial, p1 son prix un an après, pn son prix au bout de n années (n est un entier naturel).

Voir le principe de démonstration du théorème 2 p. 121.

b) Calculez, en fonction de n, la somme des n premiers entiers naturels impairs. S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1).

103 (un) est une suite géométrique de raison q = 4 et

u4 = 12. Calculez u4 + u5 + … + u9.

Aide

Dire que les intérêts sont capitalisés signifie que chaque année ils sont ajoutés au capital et produisent, à leur tour, des intérêts.

104 (un) est une suite arithmétique telle que : u1 + u2 + u3 = 9 u10 + u11 = 40

5

a) Prouvez que u0 et la raison r sont tels que : u0 + 2r = 3 2u0 + 21r = 40 Calculez alors u0 et r.

5

b) Calculez la somme S = u0 + u1 +… + u30.

105 (un) est une suite arithmétique. u10 = –12 et u20 = –32. a) Calculez u0 et la raison r. b) Calculez u10 + u20 + … + u100.

Dénombrement 98 On considère l’intervalle I = [15 ; 54]. Combien I contient-il : a) de nombres entiers ?

b) de nombres pairs ?

99 On considère l’intervalle I = [28 ; 113]. Combien I contient-il : a) de multiples de 3 ?

b) de multiples de 7 ?

100 Déterminez le nombre de termes de la somme : a) 1 + 3 + 5 + … + 57 ; b) 9 + 12 + 15 + … + 123 + 126 ; 1 1 1 + +…+ n. c) 1 + 2 4 2

101 La suite (un) est géométrique. Indiquez le nombre de termes proposés : a) q5, q6, q7, …, q14 b) 1, 2, 22, 23, …, 223 c) 37, 39, 311, …, 347

Pour les exercices 106 à 108 La suite (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u1. On note Sn = u1 +… + un.

106 u17 = 105 et r = –2. Calculez u1 et S17. 107 r = –7 et S33 = 0. Calculez u1 et u33. 108 un = 14, r = 7 et Sn = –1 176. Calculez n et u1. 109 a) Calculez la somme de tous les entiers naturels multiples de 3 inférieurs à 1 000. b) Calculez la somme de tous les entiers naturels multiples de 5 inférieurs à 9 999.

110 Un épargnant décide de bloquer (sans intérêts), sur un compte, de l’argent chaque mois. Il commence le 1er janvier 2010 avec 10 �. Le 1er de chaque mois, il dépose 10 � de plus que le mois précédent. Combien aura-t-il sur son compte le 2 juin 2011 ? 1

1

1

1

1

1

1

111 Calculez S = 4 + 8 + 16 + … + 1 048 576 . 1

112 Calculez S = 3 – 9 + 27 – … – 6 561 . Chapitre 5 ● Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques

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135

EXERCICES

b) Calculez la somme des volumes des dix premiers cubes (à 1 mm3 près).

113 Un cycliste a effectué cinq tours de piste en 2 minutes et 40 secondes. Sachant qu’à chaque tour il a mis une seconde de plus qu’au précédent, donnez le temps mis pour chaque tour.

118 1. Vérifiez que la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par wn = 2n – 2n + 2 n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. Prouvez que la suite (un) définie pour n entier non nul par un = –2n + 2 est arithmétique ; et que la suite (vn) définie pour n entier non nul par vn = 2n est géométrique. 3. Calculez la somme w1 + w2 + … + w10.

114 On construit, à l’aide d’une ficelle, la figure suivante : On note x1 la longueur du 1er segment (x1 = 50 cm), x2 celle du deuxième et ainsi de suite. Calculez la longueur totale des sept premiers segments.

115 Calcul d’une somme 

ROC

50

Restitution organisée de connaissances

119 Somme des termes d’une suite arithmétique 12,5 25

A L G O R IT

H M IQ U E

a) Quelle est la nature de la suite utilisée dans cet algorithme ? b) Précisez l’objectif de cet algorithme écrit avec AlgoBox.

Prérequis : La somme des entiers de 1 à n s’exprime sous la forme : n(n + 1) 1+2+3+…+n= . 2 1. Démonstration Démontrez que la somme des n premiers entiers 3n(n + 1) naturels non nuls multiples de 3 est  . 2 2. Application Utilisez le résultat précédent pour calculer la somme 1 + 4 + 7 + 10 + … + 301.

120 Somme des termes d’une suite géométrique

116 Calcul d’une autre somme

A L G O R IT

H M IQ U E

Écrivez un algorithme permettant de calculer la somme des n premiers termes de la suite arithmé1 tique de premier terme 2 et de raison (le nombre n 2 étant choisi par l’utilisateur).

117 Avec des cubes Sur un cube de dix centimètres de côté, on empile des cubes de plus en plus petits : le volume d’un cube (autre que le premier) est égal à la moitié du volume du cube précédent. a) Calculez le volume du huitième cube.

136

Prérequis : 1 – qn+1 Pour q ≠ 1, 1 + q + q2 + … + qn = . 1–q 1. Démonstration (un) est une suite géométrique de raison q ≠ 1. Démontrez que : 1 – qn+1 u0 + u1 + u2 + … + un = u0 × . 1–q 2. Application Utilisez le résultat précédent pour calculer la somme : 9 + 27 + … + 310.

Prendre toutes les initiatives 121 Calculez la somme de tous les nombres entiers naturels inférieurs à 2 154 ayant 3 pour chiffre des unités.

122 Les mesures des côtés d’un triangle rectangle peuvent-elles être trois termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

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123 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n,

par : u0 = 1

5

un – 1 3un + 1 a) Calculez les cinq premiers termes de la suite. Que pouvez-vous conjecturer ? un+1 =



b) Démontrez que pour tout entier naturel n, un+3 = un. Vocabulaire (un) est dite périodique de période 3.

1 1 1 , et sont-ils des 1 + 15 4 3 + 15 termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

124 Les nombres

Pour les exercices 125 et 126 Trouvez trois nombres a, b et c, termes consécutifs d’une suite arithmétique, qui remplissent les conditions données. exercice 30, Apprendre à chercher, page 128.

125 Les nombres a, b et c sont tels que : a + b + c = 39 a2 + b2 + c2 = 525

5

126 Les nombres a, b et c sont tels que : a + b + c = –15 a2 + b2 + c2 = 107

5

127 Trouvez cinq nombres a, b, c, d et e, termes consécutifs d’une suite arithmétique tels que : a + b + c + d + e = 55 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 695

5

exercice 30, Apprendre à chercher, page 128.

a) Prouvez que la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par : vn = un2 est arithmétique. b) Exprimez vn puis un en fonction de n.

131 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : 1 u0 = 2 un un+1 = . 1 + 2un On admet que, pour tout entier naturel n, un > 0.

5

a) La suite (un) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? b) La suite (vn) est définie, pour tout entier naturel n, par : 1 vn = + 1. un Calculez les premiers termes de la suite (vn). Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature de cette suite ? Démontrez-le. c) Exprimez vn puis un en fonction de n.

132 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 1 1 1 un+1 =  un + 2 4

5

a) Calculez u1, u2, u3, u4 et u5. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 1 . b) On pose, pout tout entier naturel n, vn = un – 2 Prouvez que la suite (vn) est géométrique. c) Exprimez vn puis un en fonction de n.

128 a, b, c, dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison non nulle. b, c, a, dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique. De plus a + b + c = 18. Calculez a, b et c.

133 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 3 u un+1 = n + 3 4

129 (un) est une suite géométrique de premier terme u0 différent de 0, et de raison q différente de –1. On pose : vn = un + un+1 et wn = un × un+1.

a) Calculez u1, u2, u3, u4 et u5. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?

a) Prouvez que, pour tout n, vn est non nul.

wn est vn une suite géométrique dont vous préciserez le premier terme et la raison.

5

b) On pose, pour tout entier naturel n, vn = un – 4. Prouvez que la suite (vn) est géométrique.

b) Démontrez que la suite (tn) de terme général

c) Exprimez vn puis un en fonction de n.

130 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 0

134 Déterminer la nature d’une suite TICE La suite (un) est définie par : u0 = –1 4un un+1 = . 4 – un On admet que pour tout entier naturel n, un existe (c’està-dire qu’aucun terme de la suite ne prend la valeur 4).



5

un+1 = 91 + un2

EXERCICES

Approfondissement

5

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137

EXERCICES

1. Utilisez un tableur pour calculer les vingt premiers termes de la suite.

b) On prolonge la figure de quatre nouveaux arcs, ajoutés aux cinq arcs déjà dessinés. Quelle est la longueur de la spirale ainsi obtenue ?

La suite (un) vous semble-t-elle arithmétique ? géométrique ? Démontrez-le.

137 Dans le demi-disque

2. Supposons qu’il existe un entier naturel n tel que un = 0. Exprimez alors un–1, un–2, etc. 3. On considère maintenant la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par : 3un + 2 vn = . un Utilisez de nouveau le tableur pour calculer les vingt premiers termes de la suite.

Que pouvez-vous conjecturer concernant la nature de cette suite ? Démontrez-le. 4. a) Exprimez vn en fonction de n. b) Après avoir justifié que, pour tout entier naturel n, 2 vn – 3 est non nul, démontrez que un = . vn – 3 Exprimez alors un en fonction de n.

135 Dans la figure cicontre tous les triangles sont équilatéraux.

a) Justifiez que déterminer la demi-vie de l’uranium 234 revient à déterminer l’entier naturel n à partir duquel 0,999 724n < 0,5. Utilisez la calculatrice ou le tableur pour résoudre ce problème. b) Le thorium 230 est lui-même instable et se désintègre en radium 226. Sa demi-vie est de 76 000 ans. À l’aide de la calculatrice (ou d’un tableur), déterminez le taux d’atomes de thorium 230 désintégrés par siècle.

c) Que devient le thorium 230 après 152 000 ans ? Note

Pour la question b) et la question c), on part du principe que le thorium a été séparé de l’uranium, c’est-à-dire qu’aucun atome de thorium ne se forme pendant la désintégration en radium 226.

136 Une spirale La spirale représentée ci-dessous est composée de quarts de cercles dont les centres sont successivement les sommets du carré ABCD de côté 1 cm. C On note u1 la longueur du quart de cercle DE de centre A, C u2 la longueur du quart de cercle EF de centre B, et ainsi de suite… u5

u4

140 En économie Un employeur propose deux plans de rémunération mensuelle à un nouveau salarié : Le salaire sera de 1 900 � au départ avec deux options possibles : B. Chaque année, une augmentation de 4 %.

B F

139 Isolation phonique Une plaque d’isolant phonique absorbe 45 % du son qui la traverse. Combien doit-on superposer de plaques pour que l’intensité du son soit inférieure à 1 % de sa valeur initiale ?

A. Chaque année, une augmentation de 100 � ;

C

u3

a) Quelle est la nature de la suite (un) ?

138

L’uranium 234 est un corps radioactif qui se désintègre en thorium 230, en émettant des particules a. Le taux d’atomes d’uranium 234 désintégrés en thorium 230 est de 0,027 6 % par siècle. On appelle « demivie » d’un corps radioactif le temps nécessaire à la désintégration de la moitié de ses atomes.

Pour résoudre, à la calculatrice, l’équation X760 = 0,5, on calcule 0,51/760.

b) Prouvez que la suite des aires des triangles est géométrique.

E A u2

La désintégration de l’uranium 234 138

Aide

a) Prouvez que la suite des aires des disques est géométrique.

u1 D

de diamètre [AB], de centre O et de longueur dix centimètres, on enlève cinq demi- A O B disques dont les diamètres sont de plus en plus petits, chacun d’eux étant la moitié du précédent. Quelle aire reste-t-il ?

1. Quelle est l’option la plus intéressante pour le salarié au bout d’un an ? 2. Cette option est-elle la plus intéressante quelle que soit l’ancienneté ?

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EXERCICES

144 Dénombrement On place sur un cercle n points distincts et on s’intéresse au nombre pn de segments ayant pour extrémités deux de ces points.

141 En biologie Un biologiste souhaite étudier l’évolution d’une population de bactéries.

Il a effectué les relevés suivants : heure

10 h

10 h 20

10 h 40

11 h

11 h 20

nombre

1 000

2 100

4 000

7 900

16 000

a) On note p0 la population à 10 heures, p1 la population à 10 h 20 et ainsi de suite. Comment notez-vous la population à 12 heures ? à 14 heures ? b) Pour pouvoir faire des prévisions, le biologiste doit modéliser l’évolution. Remarquez que celle-ci est assez régulière. Quelle modélisation de l’évolution préconisez-vous ? Exprimez alors pn en fonction de n. c) Utilisez cette modélisation pour prévoir la population à 20 heures.

142 Deux placements Enzo choisit un placement à intérêts capitalisés. Il place une somme de 1 000 � le premier janvier 2011, au taux annuel de 2,5 %. Valentin place le même jour une somme de 900 �, au taux annuel de 3 %. Les intérêts de ce placement sont également capitalisés. a) Calculez les sommes dont ils disposeront un an plus tard. b) On note un le capital dont disposera Enzo et vn celui dont disposera Valentin le 1er janvier de l’année 2011 + n. Quelle est la nature des suites (un) et (vn) ?

a) Indiquez les valeurs de p2, p3, p4 et p5. b) n points étant placés et les pn segments étant tracés, on ajoute un nouveau point, distinct des précédents. Combien de nouveaux segments pouvez-vous tracer ? c) Déduisez de ce qui précède une relation de récurrence entre pn+1 et pn, puis utilisez cette relation pour exprimer pn en fonction de n.

Prendre toutes les initiatives 145 Trouvez trois nombres a, b et c, termes consécutifs d’une suite géométrique, tels que : a + b + c = 21 2a + b – c = 27

5

146 Exprimez de deux manières différentes le nombre 11,111 111 1 comme somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. 147 Les mesures des côtés d’un trapèze rectangle peuvent-elles être quatre termes consécutifs d’une suite géométrique ? c2

c) De quelles sommes disposeront-ils le 1er janvier 2017 ? d) En quel début d’année le capital de Valentin dépassera-t-il celui d’Enzo ? Aide

Dire que les intérêts sont capitalisés signifie que chaque année ils sont ajoutés au capital et produisent, à leur tour, des intérêts. Se méfier de la calculatrice 143 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par : 1 u0 = 7 un+1 = 8un – 1

c3

c1 c4

148 Nombres pentagonaux Les nombres de points 1, 5, 12, 22 sont associés aux figures ci-dessous. On suppose que le processus de construction se poursuit ainsi. Combien de points sont associés à la figure 8 ? à la figure 2011 ?

5

a) Calculez, « à la main », les termes u1, u2, u3, u4, u5. Que vous permettent de conjecturer ces quelques calculs ? b) Déterminez un avec la calculatrice pour n de 1 à 20. Que constatez-vous ?

figure 1

figure 2

figure 3

figure 4

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139

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Choisir son taux

D Réduire au même numérateur

1

À quel taux annuel doit-on placer une somme de 1 000 e pour obtenir au bout de 15 ans un capital de 1 800 e (à un euro près) sachant que les intérêts sont capitalisés annuellement.

B Un peu d’Histoire

2

Un ouvrage d’Histoire est consacré aux Trois Glorieuses. Quel est le nombre de pages de cet ouvrage sachant que la somme des numéros des pages correspond à l’année du thème du livre ?

La suite (un) est définie par : u0 = 4

5

2un 2 – un On admet que la suite est définie pour tout entier naturel n, c’est-à-dire qu’aucun terme n’est égal à 2. un+1 =



a) Calculez u1, u2, u3, u4, u5. b) Conjecturez la valeur de u100.

4

E Un triangle rectangle particulier

5

Les mesures des côtés d’un C triangle rectangle peuvent-elles être trois termes consécutifs d’une suite x géométrique de raison q ?

q2x

qx

A

F Somme de sommes

B

6

L’objectif est de calculer la somme des nombres contenus dans le tableau suivant.

Amédée Bourgeois (1798-1837), Attaque de l’Hôtel de Ville de Paris et combat du pont d’Arcole, 28 juillet 1830, huile sur toile, Musée du Château de Versailles

C Une spirale On construit la courbe ci-dessous de la manière suivante : Le triangle ABC est équiI latéral de côté 1 cm. Tous F les arcs de cercle, qui correspondent à des tiers de C cercle, sont centrés en un G D B des sommets A, B ou C. Le A C premier arc, CD, est centré C E en A, le second arc, DE, est centré en B, le troisième H C arc, EF, est centré en C, etc. a) Quelle est la nature de la suite des rayons ? b) Quelle est la longueur de la courbe obtenue en effectuant cinq tours (seuls deux tours sont représentés ici) ? 3

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

9 10 11 12 13 14 15 16 17

a) Pour les trois premières lignes, calculez la somme des nombres. b) Déduisez-en la somme de tous les nombres.

G Une suite récurrente

7

Le programme ci-dessous est destiné à calculer le terme de rang P (non nul) d’une suite.

Avec une TI

Avec une Casio

 a) La suite est-elle arithmétique ? b) La suite est-elle géométrique ?

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CHAPITRE

Comportement d’une suite

D’un siècle à un autre Le néologisme « fractale » (du latin fractus : brisé) est créé en 1974 par Benoît Mandelbrot, alors qu’il étudie des objets étranges, invariants lors de changements d’échelle. Des algorithmes de construction permettent de construire des « figures limites » qui sont fractales. Leur surface peut tendre vers une limite finie alors que leur périmètre tend vers une limite non finie. En savoir plus sur Benoît Mandelbrot Chercheurs d’hier p. 155

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Rappels

& Questions-tests

Comparer des nombres Pour comparer deux nombres a et b, on peut étudier le signe de leur différence. l

a  b équivaut à a – b  0.

l

a > b équivaut à a – b > 0.

1   n est un entier naturel. Comparez les nombres A et B :

A = n2 – n + 1  et  B = 3n – 3.

2   n est un entier naturel (n > 2).

Comparez

n n+1 et . n–1 n

Sens de variation d’une fonction f est une fonction strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur l’intervalle I signifie que, pour a et b appartenant à I : si a < b, alors f(a) < f(b) (resp. f(a) > f(b)).

l

l Si f est dérivable sur l’intervalle I, et si pour tout nombre x de I, f’(x) > 0 (resp. f’(x) < 0), alors f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur l’intervalle I.

l u est une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de I, u(x) > 0. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation sur l’intervalle I.

3   On considère la fonction trinôme f définie pour tout

nombre x par f(x) = x2 – 3x + 1. n est un entier naturel, n > 2. Comparez f(n) et f(n + 1).

4   a) Justifiez que la fonction f définie sur I = [1 ; + ∞[ par f(x) = 2x3 – 3x2 est croissante sur I. b) n étant un entier naturel non nul, comparez alors f(n) et f(n + 1). 5   a) Justifiez que la fonction f définie sur I = ]1 ; + ∞[

x+1 est strictement décroissante sur I. x–1 b) n étant un entier naturel, n > 2, comparez f(n) et f(n + 1). par f(x) =

6   a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur

l’intervalle [–3 ; + ∞[ par f(x) = 7x + 3. b) n est un entier naturel. Comparez f(n) et f(n + 1).

Algorithmique l Une boucle conditionnelle s’arrête lorsque la condition imposée n’est plus remplie.

Tant que condition faire tâche FinTant L’algorithme suivant permet de déterminer le plus petit entier naturel n tel que : 2 < 0,01. n2 l

Variable i entier positif Algorithme i reçoit 1, Tant que 2/i^2 > 0,01 faire i reçoit i+1 FinTant Afficher i

7   a) Quel est le but de cet algorithme ? b) Qu’obtiendra-t-on à l’affichage ? Variable i, u Algorithme i reçoit 0 u reçoit 5 Tant que u > 0,001 faire u reçoit u*0.2 i reçoit i+1 FinTant Afficher « u » i « = » u

8   (un) est la suite définie pour tout entier naturel n, par : u0 = 1 1 un+1 =  un 2 Écrivez un algorithme permettant de déterminer le 11e terme de la suite (un).

5

Voir les corrigés p. 363

142

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

Des « flocons »

Les polygones ci-dessous sont construits successivement en utilisant le processus suivant : chaque segment est remplacé par la ligne brisée obtenue comme l’indique le schéma ci-contre (à partir du partage en quatre segments de même longueur). Le premier polygone est un carré de côté 4 cm.

 

 

Maths et nature Les fractales

1 Justifiez que l’aire de ces polygones est constante. 2 On s’intéresse dans cette question aux périmètres de ces

Les fractales désignent des objets dont la structure est invariante par changement d’échelle. Dans la nature, on rencontre de nombreuses formes fractales approximatives, telles ce chou romanesco.

polygones. On note p1, p2, p3 les périmètres des trois premiers polygones.



a) Calculez p1, p2 et p3.

b) Quelle est la nature de la suite (pn) ? Justifiez. c) Est-il possible d’obtenir, avec ce mode de construction, un polygone dont l’aire est 16 cm2 et dont le périmètre est supérieur à 15 m ? à 100 m ?

3 Le second polygone est, par construction, plus « large » que le

premier (+2 cm). Le troisième est plus « large » que le second 1 +  cm , le quatrième est plus « large » que le troisième 2 1 +  cm , etc. 8 Cette « largeur » peut-elle dépasser 7 cm ? Justifiez.

1 1

2 2

Activité 2

Les triangles de Sierpinski

Les figures ci-contre sont construites successivement en utilisant le processus suivant : à chaque étape, on construit dans chaque triangle non coloré un triangle coloré dont les sommets sont les milieux de ses côtés. Le premier triangle est équilatéral de côté 5 cm.

Étape 1

Étape 2

1 Justifiez que, quelle que soit la figure, l’aire de chaque surface colorée ne dépasse pas

Étape 3

2513 cm2. 4

2 On s’intéresse dans cette question au périmètre des surfaces colorées.

a) Calculez les périmètres p1, p2 et p3 des trois premières surfaces.

b) Est-il possible d’obtenir avec ce mode de construction une surface colorée dont le périmètre est supérieur à 15 m ? Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

143

ACTIVITÉS

Activité 3

Variations d’une suite

TICE

1 (un) est la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 =  un + 3. 2 1 f : x   x + 3 est la fonction affine telle que un+1 = f(un). 2 L’objectif est de conjecturer le comportement des termes de la suite à partir d’une représentation graphique.

outil 1 la droite ∆ d’équation y = x et la Note x droite d d’équation y = + 3, Vous pouvez utiliser le fichier établi 2 dans l’exercice 35 du chapitre 5. qui représente la fonction f. b) Déterminez les coordonnées du point Ω, intersection de d et ∆. c) Créez, dans l’ordre, comme sur la vue d’écran, le point A de coordonnées (u0 ; 0) (saisissez A=(1,0)), puis les points B, C, D, E, F, G, H et I en utilisant les icônes :

1 a) À l’aide de GeoGebra, créez



pour tracer une perpendiculaire ;



pour définir un point d’intersection ;



pour créer un segment.

Aide

Après avoir construit les points, masquez les droites perpendiculaires à un des axes en décochant . La figure sera plus lisible.

d) Sachant que toutes les droites tracées sont perpendiculaires à un des axes, justifiez que les coordonnées du point B sont (u0 ; u1) et que celles du point C sont (u1 ; u1).

Rappel : A est le point d’abscisse u0.

Déduisez-en les coordonnées des points D, E, F, G, H et I. e) Créez alors les points de l’axe des abscisses correspondants aux nombres u1, u2, u3, u4.

Pensez à utiliser l’icône

, intersection entre deux objets.

2 Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le comportement des termes de la suite ? 3 a) On admet que pour tout entier naturel n, un < 6.

un . 2 b) Déduisez-en que pour tout entier naturel n, un+1 – un > 0. c) Comparez deux termes consécutifs quelconques de la suite. Démontrez que pour tout entier naturel n, un+1 – un = 3 –

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Antoine, Boris et Camille font du calcul mental. Chacun choisit un nombre entier et lui applique le petit programme de calcul suivant : « Ajouter 10 à la moitié du nombre choisi ». Puis, chacun fait subir le même traitement au nombre obtenu, et ceci six fois de suite. Antoine constate qu’il obtient des nombres de plus en plus grands. Pour Boris, au contraire, les nombres sont de plus en plus petits. Quant à Camille, il affirme que ses observations ne correspondent ni à celles d’Antoine ni à celles de Boris. Quel nombre a choisi Camille au départ ?

144

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

1

Sens de variation d’une suite 1.1 Définition

Définition

1 (un) est une suite définie pour tout entier naturel n. l

Dire que (un) est strictement croissante signifie que, pour tout entier naturel n, un < un+1.

l

Dire que (un) est strictement décroissante signifie que, pour tout entier naturel n, un > un+1.

l

Dire que (un) est constante signifie que, pour tout entier naturel n, un = un+1.

On définit de même une suite croissante ou décroissante en utilisant des inégalités au sens large. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Exemples La suite (arithmétique) des nombres impairs 1, 3, 5, 7, … est strictement croissante. 1 1 1 1 1 l La suite (géométrique) 1, , , , , … de raison est strictement décroissante. 2 4 8 16 2 l

Remarque. Dans certaines situations, on étudiera la monotonie d’une suite pour des valeurs de n supérieures ou égales à une valeur donnée entière m.

Exercice résolu A, page 149.

Attention. Il existe des suites non monotones. Par exemple, la suite définie pour tout entier naturel n par un = (–1)n, qui est la suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … n’est ni croissante ni décroissante.

1.2 Étude du sens de variation Pour étudier le sens de variation d’une suite (un), on compare, pour tout entier naturel n, un+1 et un : l

soit en étudiant le signe de la différence un+1 – un ;

u soit, lorsque tous les termes un sont strictement positifs, en comparant n+1 et 1. un u u –u u En effet, n+1 – 1 = n+1 n . Étant donné que un > 0, n+1 – 1 et un+1 – un sont de même signe ; un un un l soit, lorsque la suite (u ) est définie par (u ) = f(n), en étudiant les variations de la fonction f. n n

l

Cas particulier des suites arithmétiques (un) est une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout entier naturel n, un+1 – un = r. Le sens de variation dépend donc du signe de r : l

si r > 0, alors (un) est strictement croissante ;

l

si r < 0, alors (un) est strictement décroissante ;

l

si r = 0, alors (un) est constante.

Cas particulier des suites géométriques (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 (avec q > 0 et u0 > 0). u Alors, pour tout entier naturel n, un = qnu0, donc un > 0 et n+1 = q. un Le sens de variation dépend donc de la place de q par rapport à 1 : l

si 0 < q < 1, alors (un) est strictement décroissante ;

l

si 1 < q, alors (un) est strictement croissante ;

l

si q = 1, alors (un) est constante. Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

145

COURS 1.3 Cas des suites définies par un = f(n) Théorème

1 La suite (un) est définie par un = f(n), où f est une fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[. l

Si f est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, alors la suite (un) est strictement croissante.

l

Si f est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[, alors la suite (un) est strictement décroissante.

Le théorème est encore vrai pour une fonction croissante ou décroissante. Démonstration Pour tout entier naturel n, n < n + 1. La fonction f est strictement croissante, donc f(n) < f(n + 1). Ainsi, un < un+1 : la suite (un) est strictement croissante. l

Pour tout entier naturel n, f étant strictement décroissante, n < n + 1 entraîne f(n) > f(n + 1) et un > un+1 : la suite (un) est strictement décroissante.

l

x + 3 est strictement crois2 sante sur [0 ; + ∞[ ; la suite définie pour tout entier naturel n par : n un = + 3 2 est du type un = f(n). Elle est donc strictement croissante.

Exemple. La fonction affine f : x 

Attention. Le théorème 1 ne s’applique pas aux suites définies par récurrence. Par exemple, les suites définies pour tout entier naturel n par : u0 = 8 v0 = 1 u v et un+1 = n + 3 vn+1 = n + 3 2 2 sont telles que un+1 = f(un), où f est la fonction affine x f : x  + 3, qui est strictement croissante sur [0 ; + ∞[. 2 Cependant, la suite (un) est strictement décroissante alors que la suite (vn) est strictement croissante.



2

5

u7 u6 u5 u4 u3 u2 u1 u0

un

1

n

O

1 2 3 4 5 6 7

v1

v2 v3 v4 u3 u2 u1 u0

7 6 5 4 3 2 1 0

v0

1

2

3

4

5

6

7

8

Approche de la notion de limite Que deviennent les nombres un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers « plus l’infini » ? Des exemples nous permettent de conjecturer diverses situations. un

un

un

O

un n O

O

Les termes s’accumulent près d’un nombre fixé.

146

n

O

n

Les termes deviennent La suite tend vers – ∞. de plus en plus « grands » vers + ∞.

Les termes se dispersent.

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n

COURS 2.1 Exemples d’une accumulation 1 Observons les termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n, n ≠ 0, par un = : n 1 1 1 1 1 1 1 1 ;  ;  ; … ;  ; … ;  ; … ;  ; … ; 8  ; … ; 20  ; … 2 3 10 100 2 011 10 10 1 1 6 4

1 100 0

1 10

1 5

1 3

1 2

1

Les termes finissent par s’accumuler près de zéro. Les termes un étant tous strictement positifs, plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle I = ]0 ; 10–3[. La suite (un) est strictement décroissante. Il en résulte que si un des termes de la suite se trouve dans l’intervalle I, alors tous ceux qui le « suivent », c’est-à-dire d’indice supérieur, appartiennent aussi à l’intervalle I. 1 1 Dans notre exemple, n’appartient pas à I, mais est 1 000 1 001 élément de I et entraîne ainsi tous les termes suivants…

1 1002 1 1 1003 1 001 0 1 1000

Ce phénomène est vérifié quelle que soit la longueur de l’intervalle I, aussi petite soit-elle. On dit alors que la suite (un) a pour limite 0 quand n tend vers + ∞. On note : lim un = 0. n→+∞

Observons les termes de la suite (vn) définie pour tout entier naturel n non nul, par vn = 1 1 1 1 1 1 1  ; … ; –   ; … ; 6  ; … –1 ;  ; –   ;  ; –   ; … ; 2 3 4 5 100 225 10 –1

–1 3

0

1 4

1 2

(–1)n . n

1

Les termes finissent par s’accumuler près de zéro. Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle J de centre 0 et de rayon 10–3, soit J = ]–10–3 ; 10–3[. Pour tout entier n, non nul, si n > 1 000, alors 1 1 1 1 0< < et –  < –  < 0. n 1 000 1 000 n 1 1 et –  sont dans l’interLes deux nombres n n valle J : vn est dans l’intervalle J. On peut donc affirmer que tous les termes d’indice n supérieur à 1 000 appartiennent à l’intervalle J. Ce phénomène est vérifié quel que soit le rayon de l’intervalle I, aussi petit soit-il. On dit alors que la suite (vn) a pour limite 0 quand n tend vers + ∞.

Exemples

– 1 – 1 1003 1001

1 1 004

1 1002

0 – 1 1000

1 1000

On note : lim vn = 0. n→+∞

1 1 et vn = (n entier, n > 1) ont pour limite 0 quand n tend vers + ∞. n2 1n 1 l La suite définie par t = 2 + (n entier, n > 1) a pour limite 2 quand n tend vers + ∞. n n l

Les suites définies par un =

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147

COURS 2.2 Exemples d’une limite « infinie » Observons les termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3n + 1 : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; … ; 3 001 ; 1 071 844 ; … ; 3 000 001 ; … Les termes deviennent de plus en plus grands. Considérons, par exemple, le nombre N = 106 (un million). La suite (un), arithmétique et de raison 3, est strictement croissante. Il en résulte que si un des termes est supérieur à N, alors tous ceux qui le suivent (d’indice supérieur) seront aussi supérieurs à N. Or, 3n + 1 > 106 équivaut à 3n > 999 999 et à n > 333 333. À partir de u333333, tous les termes de la suite, sauf un nombre fini (les 333 333 premiers…), sont dans l’intervalle [N ; + ∞[. Et ceci est vrai quel que soit le nombre N choisi. On dit alors que la suite (un) a pour limite + ∞ quand n tend vers + ∞. On note : lim u = + ∞. n→+∞

n

Observons les termes de la suite (vn) définie par v0 = –1 et pour tout entier naturel n, n > 1, vn+1 = 2vn. Il s’agit de la suite géométrique de premier terme –1 et de raison 2. Ainsi, vn = v0qn soit vn = –2n. –1 ; –2 ; –4 ; –8 ; … ; –1 024 ; … ; –220 ; … Les termes de la suite sont tous négatifs et deviennent de plus en plus grands en valeur absolue. Considérons, par exemple, le nombre M = –106. La suite (vn) est strictement décroissante car pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn soit vn+1 – vn = vn, donc vn+1 – vn < 0. Il en résulte que si un des termes est inférieur à M, alors tous ceux qui le suivent (d’indice supérieur) seront aussi inférieurs à M. –2n < –106 équivaut à 2n > 106. Or 220 = 1 048 576 donc –220 < –106, soit v20 < M. En remarquant que v19 > M, on peut donc affirmer que tous les termes de la suite, sauf un nombre fini (les 20 premiers…), sont dans l’intervalle ]– ∞ ; –106]. Ceci est vrai quel que soit le nombre M choisi. On dit alors que la suite (vn) a pour limite – ∞ quand n tend vers + ∞.

On note : lim vn = – ∞. n→+∞

Exemples Les suites définies par un = 2n + 3, vn = n2 et wn = 1n (n entier) ont pour limite + ∞ quand n tend vers + ∞. l

Les suites définies par un = –2n + 3 et vn = –2 × 3n (n entier) ont pour limite – ∞ quand n tend vers + ∞. l

2.3 Exemple d’une « dispersion » Observons les termes de la suite (un) définie par un = (–1)nn et dont les premiers termes sont 0, –1, 2, –3, 4, –5, … l

Deux termes consécutifs de la suite sont de signes contraires.

l

Les termes de rang pair sont de plus en plus « grands » et tendent vers + ∞.

un

1

1

O

Les termes de rang impair sont tous négatifs et deviennent de plus en plus grands en valeur absolue.

l

On dit alors que la suite n’a pas de limite quand n tend vers + ∞.

148

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

n

Objectif

1

Étudier le sens de variation d’une suite

EXERCICES

Application Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut : l étudier le signe de u n+1 – un ; l étudier le sens de variation de f pour les suites définies par u = f(n) (voir théorème 1) ; n un+1 l étudier la place du quotient par rapport à 1 (lorsque tous les termes sont strictement positifs). un

Exercice résolu A

Étudier la monotonie d’une suite (éventuellement à partir d’un certain rang)

Étudiez le sens de variation des suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par : n 3n – 1 1. un =     2. vn = n n+2 2 Méthode

Solution

1. On reconnaît en un l’image de l’entier n par une fonction homographique définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[. l On étudie le sens de variation de f.

l

1. Pour tout entier naturel n, un = f(n) où 3x – 1 f:x est définie sur I = [0 ; + ∞[. x+2 f est dérivable sur I et pour tout x  0, 3(x + 2) – (3x – 1) 7 =  , f’(x) = (x + 2)2 (x + 2)2 donc f’(x) >0. Il en résulte que f est strictement croissante sur I. l La suite (u ) est donc strictement croissante. n l

On applique le théorème 1.

2. 1 Avec le signe de la différence

l

2. 1 On étudie le signe de vn+1 – vn. n+1 n n + 1 – 2n 1 – n vn+1 – vn = n+1 – n = = n+1 . 2 2 2n+1 2 l Or, 1 – n < 0 équivaut à n > 1 donc pour tout entier naturel n  2, vn+1 – vn < 0 : la suite est strictement décroissante à partir du terme d’indice 2.

On conclut.

2 En comparant le quotient à 1 Les termes vn , d’indice n non nul, étant tous v strictement positifs, on compare n+1 à 1. vn l

On conclut. 

2 Autre méthode Pour tout entier n, n > 1, vn > 0 et : vn+1 n + 1 2n n+1 1–n – 1 = n+1 × – 1 = –1= . vn 2 n 2n 2n vn+1 l Donc –1 < 0 pour n > 1 soit n  2, vn ce qui nous amène à la même conclusion.

Mise en pratique Pour les exercices 1 à 4 Étudiez le sens de variation de la suite (un).

1 a) un = 1n.

b) un =

1  n – 2. 5

2 a) u0 = 2 et, pour tout entier n non nul : 3n – 2 . b) un = n+1

un+1 = un – n.

3n 3 a) un = 22n .

3 b) un = (n – 5)2.

4 Pour tout entier naturel n  1 : un =

3n . n

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149

EXERCICES

Exercice résolu B

Exploiter une représentation graphique

3 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un2. 4 1. Représentez sur l’intervalle I = ]0 ; 1[ la fonction f telle que un+1 = f(un) et construisez les points A(u0 ; u1), B(u1 ; u1), C(u1 ; u2), D(u2 ; u2) et E(u2 ; u3). La suite (un) est définie par u0 =

2. Conjecturez le sens de variation de la suite. 3. Justifiez que pour tout nombre x de I, f(x) appartient à I, puis prouvez votre conjecture. 4. Conjecturez le comportement de la suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes. Méthode

Solution

1. On représente la fonction f sur l’intervalle I, puis on construit les points A, B, C, D et E.

1. La fonction f est la fonction carré ; sa restriction à l’intervalle ]0 ; 1[ est l’arc de parabole (en rouge) ci-dessous.

Aide

1

Comme u1 = f(u0), le point A(u0 ; u1) appartient à l’arc de parabole précédemment tracé. Le point B(u1 ; u1) appartient à la droite d’équation y = x, droite qui permet de reporter le nombre u1 sur l’axe des abscisses, et de même les nombres u2, u3, etc.

B

u1 u2

D

u3

E u2

O u3

A C

u1 u0

1

2. u0 > u1 > u2 > u3 … À la lecture du graphique, on peut conjecturer que la suite est strictement décroissante. 3. Si 0 < x < 1, alors 0 < x2 < x < 1, donc si x ∈ I, alors f(x) ∈ I. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0 < un < 1 entraîne 0 < un2 < un < 1 et donc un+1 < un.

2. On lit sur les axes les premières valeurs.

3. On vérifie que si un appartient à l’intervalle I, un+1 appartient aussi à l’intervalle I. Aide

On utilise une propriété de la fonction carré pour ordonner un nombre et son carré. l

On conclut.

La suite (un) est donc bien strictement décroissante. 4. Graphiquement, on peut conjecturer que lim un = 0.

l

4. On observe sur le graphique une accumulation des abscisses un des points construits vers 0.

n→+∞



Mise en pratique Pour les exercices

5 à 9

6 u0 = 9 et, pour tout entier naturel n,

1. Représentez la fonction f telle que un+1 = f(un).

un2 . 10

2. Utilisez cette représentation et la droite d’équation y = x pour déterminer graphiquement les premiers termes de la suite.

7 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

3. Conjecturez le sens de variation et le comportement de la suite lorsque n tend vers + ∞.

8 u0 = 2 et, pour tout entier naturel n,

5 u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, 1 un+1 =  un + 1. 2

150

un+1 = 4

un+1 = 4un.

1 . un u0 = 6 et, pour tout entier naturel n, 1 un+1 = –   un + 2. 2 un+1 =

9

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2

Étudier des comportements de suites à l’infini

Dans le cas d’une accumulation (en L), on montre qu’à partir d’un certain indice, tous les termes de la suite appartiennent à un intervalle de centre L et de rayon choisi aussi petit que l’on veut. l Dans le cas d’une limite infinie, on montre qu’à partir d’un certain indice, tous les termes de la suite : l dépassent un nombre choisi aussi grand que l’on veut lorsque la limite est + ∞ ; l ne dépassent pas un nombre choisi aussi « petit » que l’on veut lorsque la limite est – ∞. l

Exercice résolu C

EXERCICES

Objectif

Cas d’une accumulation

La suite (un) est définie pour tout entier naturel non nul par un =

1 3 + . 2 2n

1 . 2 2. Prouvez qu’à partir d’un certain entier m, que vous préciserez, tous les termes d’indice n avec n > m, sont dans l’intervalle I = ]0,49 ; 0,51[.

1. Démontrez que la suite (un) est décroissante et que pour tout entier n non nul, un >

Méthode

Solution 1. un = f(n) où f est la fonction 1 3 f:x + définie et dérivable 2 2x sur ]0 ; + ∞[. 3 Pour tout x > 0, f’(x) = –  2 donc f’(x) < 0. 2x l f est donc décroissante sur ]0 ; + ∞[ et la suite (un) est aussi décroissante. 1 3 l Pour tout entier n, n > 0, u – = . n 2 2n 1 1 On a donc un – > 0 soit un > . 2 2 1 3 2. 0,49 < + < 0,51 équivaut à 2 2m 1 3 1 –  < < . Comme m > 0, pour que 100 2m 100 ces conditions soient vérifiées, il suffit que 3 < 100, soit m > 150. Ainsi m = 151 est 2m solution et tous les termes d’indice n, avec n > 151 sont dans l’intervalle I.

1. On étudie le sens de variation de la suite (un). Remarque

l

Les trois méthodes conviennent.

On applique le théorème 1.

1 On compare un et en étudiant le signe 2 de leur différence.

l

2. On cherche le plus petit indice m tel que : 0,49 < um < 0,51. Aide

La suite étant décroissante et tous les termes étant supérieurs à 0,5, on détermine le premier terme de la suite appartenant à l’intervalle I, et les « suivants » seront aussi dans I.

u152 u 151 u 150 0,49

0,5

0,51 

Mise en pratique Pour les exercices 10 à 15 La suite (un) a pour limite L quand n tend vers + ∞. Trouvez (éventuellement à la calculatrice) un indice m tel que, lorsque n > m, les termes un appartiennent à l’intervalle I proposé. 1 10 un = , L = 0 et I = ]0 ; 10–4[. 1n

11 un =

1 , L = 0 et I = ]0 ; 10–5[. n+5

12 un = 22 , L = 0 et I = ]0 ; 10–6[. n

–5 , L = 0 et I = ]–10–4 ; 0[. 2n + 1 14 un = –1n , L = 0 et I = ]–10–6 ; 10–6[. 3 15 un = 3 + 1 , L = 3 et I = ]3 – 10–4 ; 3 + 10–4[. n 16 On passe d’un carré à l’autre en divisant la longueur du côté par 2. Le premier carré étant d’aire 25 cm2, combien mesure le côté du premier carré dont l’aire est inférieure à 1 mm2 ?

13 un =

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151

EXERCICES

Exercice résolu D

Cas d’une limite infinie

(un) est la suite définie pour tout entier naturel n par un = 82n + 1. 1. Démontrez que pour tout n, un > 0 et que la suite (un) est croissante. 2. a) Quel est le plus petit entier m tel que um > 105 ? b) Déduisez-en que pour tout nombre entier n, n > m, un ∈ [105 ; + ∞[. 3. Reprenez la question 2 en remplaçant 105 par un nombre positif quelconque A. Méthode

Solution

1. On démontre que pour tout n, un > 0.

1. Pour tout n, 2n + 1 > 0, donc un > 0.

1 La fonction f : x  82x + 1 avec x > –  2 est associée à la suite (un). La fonction g : x  2x + 1 est croissante sur [0 ; + ∞[, il en est donc de même de la fonction f. Il en résulte que la suite (un) est croissante. 2. a) 82m + 1 > 105 équivaut à 1 2m + 1 > 1010 et à m > 5 × 109 – . 2 Le plus petit entier solution est m = 5 × 109. b) La suite (un) est croissante donc pour tout n > m, un > um > 105. Il en résulte que un ∈ [105 ; + ∞[. A2 – 1 3. 82m + 1 > A équivaut à m > . 2 On choisit pour m le premier entier A2 – 1 supérieur ou égal à . 2 De plus, la suite est croissante ; ainsi, pour tout entier n, tel que n  m, un  um  A, donc un ∈ [A ; + ∞[.

On utilise le sens de variation de la fonction associée (théorème 1). l

l

2. a) On est ramené à résoudre une inéquation. b) On exploite les résultats de la question 1.

3. On reprend la question 2.

 Mise en pratique

17 (un) est la suite définie pour tout entier

18 Dans chacun des cas suivants :

démontrez que (un) est strictement croissante ; trouvez un indice m tel que, lorsque n  m, les termes un appartiennent à l’intervalle I proposé. 2 a) un =  n2  et  I = [106 ; + ∞[. 3 b) Démontrez que la suite (un) est décroissante. 5n b) un = n+1   et  I = [105 ; + ∞[. 2 2. a) Quel est le plus petit entier m pour lequel 5 um < –10  ? 19 (un) est la suite définie pour tout n de  par b) Déduisez-en que pour tout entier n, n > m, un = –2 × 5n. un ∈ ]– ∞ ; –105]. 1. Démontrez que pour tout n de , u < 0 et que naturel n par :

2–n un = . 3 1. a) Démontrez que : pour tout n > 3, un < 0.

3. Est-il vrai que pour tout nombre A négatif aussi grand soit-il en valeur absolue, l’intervalle ]– ∞ ; A] contient tous les termes de la suite à partir d’un certain indice ?

152

l l

la suite (un) est décroissante.

n

2. Trouvez un indice m tel que, pour tout entier n tel que n > m, les termes un appartiennent à l’intervalle ]– ∞ ; –106].

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Po u r

20 Questions sur le cours Complétez les propositions suivantes. a) Dire qu’une suite (un) est croissante signifie que pour tout entier naturel n, un+1 – un est …… b) Une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = un est une suite …… c) La suite (vn) est telle que, pour tout entier naturel n, vn = f(n), avec f décroissante sur +. La suite (vn) est …… d) Tous les termes de la suite (un) sont strictement u positifs. Si, pour tout entier naturel n, n+1 > 1, un alors la suite (un) est ……

EXERCICES

se tester 21 Vrai ou faux Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse. a) La suite définie pour tout entier naturel n par un = 3n – 1 est croissante. b) La suite définie pour tout entier naturel n, n ≠ 0, (–1)n par un = 2 est monotone. n c) Si une suite est strictement croissante, alors ses termes finissent par être supérieurs à n’importe quel nombre choisi. d) Si f est une fonction croissante sur +, alors la suite définie par un = f(n), n ∈ N, est croissante. 2x e) f est la fonction définie sur  par f(x) = + 1. 3 La suite définie par u0 = 5 et, pour tout n, par un+1 = f(un) est croissante.

22 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. La suite définie pour tout entier naturel n non nul 2n – 1 par un = est : n a) croissante b) décroissante c) constante d) non monotone 2. La suite définie pour tout entier naturel n non nul par u0 = 1 et un+1 = –2un + 5 est : a) croissante b) décroissante c) constante d) non monotone 3. (un) est une suite croissante et (vn) est la suite définie pour tout entier n par vn = un – 3.

La suite (vn) est : a) croissante b) décroissante c) constante d) non monotone 4. (un) est une suite décroissante et (vn) est définie pour tout entier n par vn = 2un + 7. La suite (vn) est : a) croissante b) décroissante c) constante d) non monotone 5. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par un = 1 + 2 + 3 + … + n. u n+2 a) (un) est décroissante. b) n+1 = un n+1 c) Pour tout entier n > 63, un > 2 011.

23 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. La suite définie pour tout entier naturel n non nul par : un = n2 – 5n + 8 est : a) croissante b) décroissante c) croissante à partir d’un certain rang d) non monotone

2. La suite (un) est définie pour tout 1 entier naturel n par un = 2 . n +1 a) (un) est décroissante. b) Pour tout n > 10, un ∈ ]0 ; 0,01[. c) Il existe n > 10 tel que un > 0,01.

3. La suite (un) est strictement croissante et u0 = 1. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel n par vn = u0 + u1 + u2 + … + un. a) Pour tout n, un > 0. b) Pour tout n, vn > n. c) (vn) est strictement croissante. d) lim vn = + ∞. n→+∞

Voir les corrigés p. 366 Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

153

EXERCICES

Apprendre à chercher 24 Étude d’une suite définie par récurrence La suite (un) est définie par u0 = 4 et pour tout entier 1 naturel n, un+1 =  un + 1. 2 Objectif  Étudier la suite (un), c’est-à-dire son sens de variation et son comportement lorsque n devient très grand. Dans l’étude d’une suite définie par récurrence, il est souvent utile de représenter graphiquement les premiers termes. Cela est fait sur la figure ci-après. La 1 fonction f : x   x + 1 est la fonction affine associée à 2 la suite (un) : un+1 = f(un).

activités de recherche

activité 3, page 144, et exercice résolu B, page 150. y

y=

x y=

f (x)

1 O

1

2 u2 u1

u0

x

Les droites passant par le point O font, deux à deux, p des angles de  , et la mesure OA0 est égale à 4. 3

A1 A2 A3

/ 3

O A4

A0

4

Objectif  Étudier l’évolution de la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An lorsque n devient très grand. 1. Tirons des conséquences immédiates de la figure. Chacun des segments [AnAn+1] forme avec le point O un demi-triangle équilatéral. Pour simplifier la rédaction, on note dn la distance AnAn+1. a) Précisez les propriétés communes à ces triangles et 1 déduisez-en que dn+1 =  dn. 2 b) Quelle est la nature de la suite (dn) ?

Cette figure permet de conjecturer que la suite (un) est décroissante et que les termes semblent s’accumuler vers 2. D’où l’idée d’étudier la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un – 2.

c) Calculez d0, et pour tout entier naturel n, exprimez dn en fonction de n.

1. a) Calculez v0 et prouvez que, pour tout entier natu1 rel n, vn+1 =  vn. Quelle est la nature de la suite (vn) ? 2 b) Exprimez vn en fonction de n.

2. Notons un la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An. Pour tout n, un = d0 + d1 + … + dn–1. Le problème est donc d’étudier le comportement de la suite (un) lorsque n devient très grand.

c) Quel est le sens de variation de (vn) ? Justifiez votre réponse.

a) Quel est le sens de variation de la suite (un) ?

2. a) Déduisez des questions précédentes le sens de variation de (un) et l’expression de un en fonction de n. b) Pourquoi peut-on affirmer que pour tout entier naturel n, un > 2 ? c) Déterminez un entier naturel m tel que, pour tout entier naturel n  m, un ∈ ]2 ; 2,000 1[. Commentaire

On considère les suites récurrentes définies sur N par : un+1 = aun + b (a ≠ 0 et a ≠ 1). Elles sont du type un+1 = f(un), où f est la fonction affine x  ax + b. Pour étudier ces suites, on utilise la suite auxiliaire définie par vn = un – a, où a est l’abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = f(x).

154

25 Étude d’une ligne brisée

b) Vérifiez que un peut s’écrire : 1 1 1 un = d0 1 +   + 2   + … + n–1 . 2 2 2 c) Déduisez-en, pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n.

1

2

3. Cette expression du terme un contient une partie 1 variable : n . On admet que cette expression peut être 2 1 rendue aussi proche que l’on veut de 0 : lim n = 0. n→+∞ 2 a) Justifiez que, pour tout entier naturel n, un < 413. b) Comment se comporte la longueur un lorsque n devient très grand ? Concluez.

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L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

non nul par :

3 + 5 + 7 + … + (2n + 1) . un = n Étudiez ses variations et son comportement quand n devient de plus en plus grand.

Eux aussi,avant erché ils ont chro de t uver ! Archimède Chap. 5 – 200

800

ANTIQUITÉ

MOYEN ÂGE

27 (un) est la suite définie pour tout entier naturel n

par :

1+n . 1 + n + n2 + n3 Étudiez ses variations et son comportement quand n devient de plus en plus grand. un =

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de l’Analyse.

1600

Isaac Newton Leonhard Euler Chap. 4 Chap. 2 1700 1800 ÉPOQUE MODERNE

al-Khuwārizmī Chap. 1

1900 ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Gottfried Leibniz Chap. 3

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Ayant quitté avec sa famille la Pologne en 1936, il s’installe en France et est initié aux mathématiques par un oncle professeur au Collège de France, à Paris. Ce mathématicien est surtout connu pour ses travaux sur les fractales, figures géométriques qui se reproduisent « à l’infini ». Installé aux États-Unis après la guerre, il utilise l’outil informatique pour obtenir à l’aide des fractales des images spectaculaires. Cette technique est utilisée dans la production cinématographique pour réaliser des effets spéciaux.  ur le Web http://www.ted.com/talks/benoit_ S mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.htm

activités de recherche

26 (un) est la suite définie pour tout entier naturel n

EXERCICES

Narration de recherche

Sa création emblématique : l’ensemble de Mandelbrot.

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155

EXERCICES

Utiliser les outils de calcul Pour étudier le comportement d’une suite TP 28 Une approche du nombre d’or 1. On considère la suite (un), dite de Fibonacci, définie par u0 = 1, u1 = 1, u2 = u1 + u0 = 2, u3 = u2 + u1 = 3, et pour tout entier naturel n, par un+2 = un+1 + un. a) Calculez u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10. b) Conjecturez le sens de variation de la suite (un) et son comportement pour les grandes valeurs de n.

activités de recherche

2. On considère maintenant la suite (vn) définie pour tout u entier naturel n par vn = n+1 . un a) Calculez v0, v1, v2, v3, v4, v5 et placez sur une droite graduée (unité 5 cm) les points ayant pour abscisses les premières valeurs v0, v1, etc. b) Conjecturez le comportement de la suite (vn).

Histoire des Maths Fibonacci Né à Pise, fils d’un commerçant toscan, ce mathématicien italien émigre en Algérie, voyage en Égypte, Sicile, Grèce et Syrie. Deux ans après son retour en Italie vers Léonard de Pise (env. 1200, il introduit 1180-env. 1250), dit une suite, qui gardera son nom, pour Fibonacci. résoudre un problème de reproduction de lapins.

3. Utiliser un tableur a) l Renseignez les cellules A2 à A4. Recopiez la formule de la cellule A4=A2+A3 vers le bas pour obtenir les premiers termes de la suite (un). l Dans la cellule B2, entrez : =A3/A2, et étirez cette formule vers le bas pour obtenir les premiers termes de la suite (vn). Note

Paramétrez le nombre maximal de décimales à l’affichage (menu Format ; menu Cellules… ; onglet Nombres). b) Vos conjectures sont-elles confirmées ? 4. Utiliser sa calculatrice L’algorithme suivant a pour objectif de déterminer les valeurs des n premiers termes de la suite (vn). a) Complétez le tableau suivant indiquant les valeurs des variables a, b, c et v suivant les premières valeurs de i. i

a

b

1

1

c

v 1

1 2 3

b) Quel est l’objectif des quatre lignes encadrées ? c) Utilisez cet algorithme pour programmer votre calculatrice. Note

Variable i, n, a, b, c, v Algorithme Saisir n a reçoit 1 b reçoit 1 v reçoit 1 Pour i de 1 jusqu’à n c a b v

reçoit reçoit reçoit reçoit

a + b b c b/a

AFFICHER « v » i « = » v Fin Pour

1 + 15 , appelé nombre 2 d’or, lorsque n tend vers + ∞. Le nombre d’or est une grandeur à laquelle on a attribué, au cours des siècles, des propriétés esthétiques voire mystiques. On l’a ainsi « cherché » dans des domaines aussi variés que l’architecture, la peinture, la musique, mais aussi dans des éléments naturels comme la fleur de tournesol ou le nautile. On peut démontrer que la suite (vn) tend vers le nombre

156

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EXERCICES

Utiliser Algobox Pour étudier le comportement d’une suite TP 29 Au voisinage de la limite Dans de nombreuses situations, on est amené à conjecturer que les termes d’une suite sont de plus en plus près d’un nombre fixé (que l’on appellera limite de la suite). L’algorithme ci-dessous a pour objectif de déterminer à partir de quel indice n les termes d’une suite monotone de limite L sont dans l’intervalle ]L – r ; L + r[, où r est un nombre strictement positif choisi par l’utilisateur. un–1 un un+1 L L–r

r

r

L+r

u0 = 1 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par : u = 2un + 1 n+1 3 On admet que cette suite est croissante et tend vers L = 3 quand n tend vers + ∞ (vous pouvez le vérifier graphiquement). L’algorithme ci-dessous a été écrit avec AlgoBox.

outil 14

a) À quelle ligne précise-t-on la valeur du premier terme u0 ? b) Quel est le rôle de la fonction qui apparaît à la ligne 22 ?

activités de recherche



c) Les lignes 11 à 15 correspondent à une boucle conditionnelle. Quel est le test qui conditionne le fonctionnement de cette boucle ? d) À quelles actions correspondent les lignes 13 et 14 ? e) Utilisez cet algorithme avec AlgoBox ou programmez-le sur votre calculatrice afin de préciser à partir de quel indice n, un appartient à l’intervalle : l ]2,99 ; 3,01[ ;  l ]2,999 8 ; 3,000 2[ ;  l ]3 – 10–6 ; 3 + 10–6[.  Aide Dans chacun des cas, commencez par indiquer r. f) Comment modifier cet algorithme pour faire une étude équivalente avec la suite définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 6 u un+1 = n + 2 2 On admet que cette suite est décroissante et tend vers 4 quand n tend vers + ∞ (vous pouvez le vérifier graphiquement).



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157

EXERCICES

Entraînement de  tête Pour les exercices 30 à 33 Calculez les cinq premiers termes de la suite. Quelle conjecture concernant son sens de variation pouvez-vous émettre ?

30 un = 5 + n. 31 un = 1 – 2n. 1 (avec n > 0). 2n u0 = –2 et pour tout n, un+1 = –2un.

32 un = 33

Pour les exercices 34 à 37 Conjecturez le comportement de la suite (un) lorsque n tend vers + ∞. 1 . n+1 1 un = 1 + (avec n > 0). n 1 un = 3 – (avec n > 0). n un = 1 – 2n.

34 un = 35 36 37

Pour les exercices 38 et 39 Donnez un indice m à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont dans l’intervalle I (on ne demande pas le plus petit indice m). 1 et I = ]0 ; 0,001[. 5n un = n2 + n et I = [10 000 ; + ∞[.

38 un = 39

42 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,

par :

un = 2n3 – 30n2 + 54n. 1. Étudiez les variations de la fonction f définie sur  par f(x) = 2x3 – 30x2 + 54x. 2. Déduisez-en que la suite (un) est strictement croissante à partir de l’indice 9.

43 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n non nul, par : 2 un = 3 + 2  . n 1. Étudiez les variations de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par : 2 f(x) = 3 + 2  . x 2. Déduisez-en le sens de variation de la suite (un). 44 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n

non nul, par :

1,1n  . n2 1. Calculez u1, u2, u3, u4. Que remarquez-vous ? un =

2. Calculez un+1 – un et déduisez-en le sens de variation de la suite (un) pour n  21.

45 Implication réciproque

LOGIQUE

f est une fonction définie sur [0 ; + ∞[. (un) est la suite définie pour tout entier naturel n par (un) = f(n). D’après le théorème 1 page 146 : Si f est croissante, alors (un) est croissante. 1. Énoncez l’implication réciproque. 2. À l’aide d’un graphique, vérifiez qu’elle est fausse. 46 Avec la calculatrice

Sens de variation 40 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,

par :

un = n2 –9n –20. 1. Calculez u0, u1, u2, u3, u4. Que remarquez-vous ? 2. Étudiez le sens de variation de la suite (un) : a) en utilisant le signe de un+1 – un pour n > 4 ; b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = x2 – 9x –20.

41 La suite (vn) est définie pour tout entier n  5 par :

vn = n2 – 10n + 26. Exprimez vn+1 – vn en fonction de n. Démontrez que la suite (vn) est strictement croissante.

158

1. Choisissez un nombre a strictement supérieur à 1. À l’aide de votre calculatrice, calculez les premiers termes de la suite définie pour tout entier naturel n par : u0 = a un+1 = 4un



Que pouvez-vous conjecturer ? 2. Recommencez avec un nombre a tel que 0 < a < 1. Que constatez-vous ?

Comportements de suites 47 La suite (un) est définie, pour tout entier naturel n, par un = 1 + 2 + 3 + … + n. 1. Précisez le sens de variation de la suite (un). 2. Existe-t-il des termes de la suite supérieurs à 2 011 ? à 1 000 000 ?

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A L G O R IT

H M IQ U E

On lâche une balle d’une hauteur de deux mètres. À chaque rebond, la balle perd 10 % de sa hauteur. Complétez l’algorithme suivant, écrit avec AlgoBox, afin de déterminer le nombre (minimum) de rebonds à l’issue desquels la hauteur du rebond de la balle sera inférieure à dix centimètres.

Pour les exercices 55 à 57 Vérifiez que la suite (un) est monotone et que tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle I proposé.

55 un =

2 et I = ]0 ; 2]. n+1

56 un =

1 – 3n2 (avec n > 0) et I = ]–3 ; –2]. n2

EXERCICES

48 La balle aux bonds

1 57 un = 5 – 2 (avec n  1) et I = [4 ; 5[. n

58 Les suites (vn) et (wn) sont définies, pour tout

entier naturel n, respectivement par vn = n2 et wn = 10n.

1. Calculez les cinq premiers termes de chacune de ces suites. Que conjecturez-vous ? Démontrez-le. 2. À partir de quel indice N1, a-t-on vn > 10 000 ? À partir de quel indice N2, a-t-on wn > 10 000 ?

49 Vrai ou faux ? La suite (un) est définie pour tout entier n, n > 0, par : 1 un = 2 – 2  . n Est-il vrai que, pour tout entier naturel non nul n, un < 1,999 999 ? Justifiez votre réponse.

50 Les suites (un) et (vn) sont définies pour tout entier naturel n par : 2n + 1  . un = n2  et  vn = n+3 1. Vérifiez que les deux suites sont strictement croissantes. 2. Prouvez qu’à partir d’un certain entier m, que vous préciserez, tous les termes d’indice n de la suite (un), avec n  m, sont dans l’intervalle I = [10 000 ; + ∞[. 3. Prouvez que tous les termes de la suite (vn) sont inférieurs à 2. Pour les exercices 51 à 54 La suite (un) a pour limite + ∞ ou – ∞ quand n tend vers + ∞. Trouvez (éventuellement à la calculatrice) un indice m tel que, lorsque n  m, les termes un appartiennent à l’intervalle I proposé. 3n2  ; limite : + ∞ ; I = [108 ; + ∞[. 2 3n un = n+1  ; limite : + ∞ ; I = [105 ; + ∞[. 2 1–n un =  ; limite : – ∞ ; I = ]– ∞ ; –103]. 5

51 un = 52 53

54 un = 92n + 1 ; limite : + ∞ ; I = [104 ; + ∞[.

3. N1 étant inférieur à N2, on peut traduire cela par l’expression suivante : la suite (vn) atteint « la première » le nombre 10 000. Est-ce encore vrai pour le nombre 1 000 000 ? pour tout nombre supérieur à 10p, p étant un entier naturel ?

59 Verre teinté Une plaque de verre teinté atténue de 15 % l’intensité lumineuse d’un rayon qui la traverse. On note i0 l’intensité d’un rayon lumineux à l’entrée de la plaque et i1 son intensité à la sortie. 1. Exprimez i1 en fonction de i0. 2. On superpose cinq plaques identiques. On note i5 l’intensité d’un rayon à la sortie. Exprimez i5 en fonction de i0. 3. Combien de plaques doit-on superposer (au minimum) pour que l’intensité soit atténuée de 90 % ?

60 Mathématiques et gourmandise Stéphane adore la galette. Il en achète une et, arrivé chez lui, il en prend une bonne part (la moitié). Après s’être régalé, il ne résiste pas à l’envie d’en reprendre une part (la moitié de ce qui reste). Et la gourmandise aidant, il répète ceci plusieurs fois. Il est aussi friand de mathématiques et, en présence d’une toute petite part restante de galette, il note : 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1, 2 4 8 16 32 32 ce qui correspond aux cinq parts qu’il a mangées et à la 1 part qui reste et qui représente de la galette initiale. 32 Il résume la situation en notant : 31 En cinq passages, j’ai mangé de la galette. 32

1

2

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EXERCICES 1. Quelle fraction de la galette mangerait-il en dix passages ? en quinze passages ? On note un la fraction correspondant à n passages, n étant un entier naturel non nul. 2. Exprimez un en fonction de n. 3. Quel est le sens de variation de la suite (un) ? 4. Pourquoi les termes de cette suite ne dépasseront-ils jamais 1 ? 5. Déterminez le nombre de passages (virtuels) à effectuer pour que le reste soit inférieur à 1/1 000 000 de la galette initiale.

61 Construction d’un aéroport La population d’une ville est de 100 000 habitants en 2011. Suite à la création d’un aéroport sur une zone très proche de la ville, on émet l’hypothèse que la population de cette ville va régulièrement diminuer de 5 % par an. On note u1 la population en 2011, u2 la population en 2012, etc.

63 Deux entreprises 1. La production annuelle d’une entreprise spécialisée dans la fabrication de phares de plongée augmente régulièrement d’une même quantité. On note Pn la production de la n-ième année. La production P6 de la 6e année est de 14 000 unités, et la somme des productions des six premières années est de 66 000 unités. a) Calculez P1 ainsi que l’augmentation annuelle de la production. b) Quelle est la nature de la suite (Pn) ? c) Si la politique de production reste la même, au bout de combien d’années la production dépassera-t-elle le double de la production P1 ? 2. Dans une seconde entreprise, la production de la 1re  année a été de 50 000 unités. La production augmente régulièrement de 10 % par an. On note Qn la production de la n-ième année. a) Calculez Q5. b) Si la politique de production reste la même, au bout de combien d’années la production annuelle dépasserat-elle le double de la production Q1 ?

64 Deux placements Valentine et Léonie ont ouvert, chacune, un Livret Jeune pour y placer leurs économies. Les intérêts annuels de 5 % sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts. 1. Valentine a placé une somme u0. On note un le capital qu’elle obtiendra après n années. Elle a calculé qu’au bout de cinq ans, son capital u5 sera, au centime près, de 510,51 �.

1. Exprimez u2 en fonction de u1.

a) Quel était le capital u0 placé au départ ?

2. Quelle est la nature de la suite (un) ?

b) Combien d’années doit-elle laisser son argent sur son livret afin que le capital initial soit doublé ?

3. À l’aide de votre calculatrice, déterminez en quelle année la population de cette ville sera inférieure, pour la première fois, à 50 000 habitants.

62 La population d’une ville augmente de 10 % par an. En combien d’années double-t-elle ? Peut-on envisager que, sous cette hypothèse, elle soit un jour multipliée par dix ? 160

2. Léonie a versé 100 � en janvier 2010. Elle verse ensuite tous les ans, en janvier, 30 � sur son livret. On note vn le capital qu’elle obtiendra après n années. a) Justifiez que pour tout entier n, vn+1 = vn × 1,05 + 30. b) Quel sera son capital en janvier 2015 ? c) À quelle date son capital dépassera-t-il 500 � ?

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2. Démontrer a) Démontrez la propriété conjecturée à la question b).

EXERCICES

c) Observez les premières décimales de chacun des termes. Quelle propriété semble avoir la suite des troncatures à 0,001 près des termes de (un) ? On note (vn) cette suite.

65 En biologie

b) Exprimez la suite (vn) en fonction de n et faites afficher les trente premiers termes dans la colonne C. 3. Reprenez l’exercice avec un = 1,002n. 4. Sans outil de calcul, donnez une valeur approchée de 1,00415 à 0,01 près.

ROC Une étude du processus d’élimination du principe actif d’un médicament a permis d’observer qu’à chaque heure écoulée, la quantité de principe actif encore présente dans le sang du patient est réduite de moitié. On injecte dans le sang d’un patient une dose de médicament contenant 4 milligrammes de principe actif. On note q0 la quantité initiale de principe actif et qn la quantité encore présente au bout de n heures. 1. Exprimez qn en fonction de n. 2. Calculez le nombre d’heures nécessaires à l’élimination de 99 % du principe actif du médicament.

66 La suite (un) est définie pour tout entier naturel

non nul n, par : u1 = 0

5 u



n+1

1. Calculez u2, u3, u4.

=

1 . 2 – un

2. Quelle conjecture faites-vous pour un ? 3. On suppose que cette conjecture est vérifiée jusqu’à l’indice n. Est-elle encore vraie à l’indice n + 1 ?

Avec les tice 67 Une approximation « rapide » 1. Expérimenter a) À l’aide d’un tableur, calculez (avec six décimales) les trente premiers termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 1,001n.

b) Conjecturez le sens de variation de la suite (un).

Restitution organisée de connaissances

68 Monotonie d’une suite Prérequis : Dire qu’une suite (un) est strictement croissante signifie que, pour tout entier naturel n, un+1 > un. 1. Démonstration (un) est une suite à termes strictement positifs. Prouvez u que si pour tout entier n, n+1 –1 > 0, alors la suite (un) un est strictement croissante. 2. Application a) Énoncez la propriété pour une suite strictement décroissante. b) Étudiez le sens de variation des suites (un) et (vn) définies respectivement, pour tout entier naturel n, par : 2n+2 n l u = 2  ;   l v = . n n 3n

Prendre toutes les initiatives 69 Que peut-on conjecturer pour la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : u1 = 1 1 un+1 =  ? 1 1+ un

5

70 Une ligne brisée est constituée de segments. Chacun d’eux a pour longueur le tiers de la longueur du segment précédent. Le premier mesure 90 centimètres. 1. Quelle longueur, au micromètre près, est nécessaire à la construction, de cette manière, d’une ligne brisée constituée de dix segments ?

90

30

10

2. Peut-on atteindre une longueur supérieure à 1,5 mètre ? Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

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161

EXERCICES

Approfondissement 71 Proches de zéro

A L G O R IT

H M IQ U E

1. Montrez que la suite (un) définie, pour tout entier 1 naturel n, par un = n est décroissante. 2 2. On conjecture aisément que les nombres positifs 1 s’approchent aussi près que l’on veut du nombre 0. 2n Pour conforter cette intuition, créez un algorithme (en vous inspirant de celui de l’exercice 29 ) pour déterminer l’indice du premier terme de la suite (un) qui appartient à un intervalle de la forme ]0 ; r[ où r est un nombre positif que l’on choisira (de plus en plus petit). 3. Programmez ainsi votre calculatrice afin de déter1 miner l’indice n à partir duquel n < 10–8. 2

72 Les suites (un) et (vn) sont définies respectivement, pour tout entier naturel n, par : 3n – 1 v0 = 1 un = et 2 vn+1 =  vn + 1 n+1 3 1. Calculez les cinq premiers termes de chaque suite. Que pouvez-vous conjecturer concernant leur sens de variation ?

5

2. On admet que pour des valeurs de n de plus en plus grandes, un et vn sont de plus en plus proches du nombre 3. Remarque

Vous pouvez le vérifier à l’aide d’un tableur ou de représentations graphiques. On veut comparer les « façons » d’approcher le nombre 3 par chacune des suites. Pour cela on note, pour tout entier naturel n : Un = 3 – un et Vn = 3 – vn. Les nombres Un et Vn sont les « distances » respectivement de un et vn au nombre 3. a) Exprimez Un en fonction de n. b) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn. Déduisez-en la nature de la suite (Vn) puis exprimez Vn en fonction de n. c) Pour chacune des suites (Un) et (Vn), déterminez l’indice du premier terme qui appartient à l’intervalle ]0 ; 10–6[. Aide

Utilisez votre calculatrice ou un tableur pour la suite (Vn).

d) Reprenez la question précédente avec l’intervalle ]0 ; 10–10[. Que constatez-vous ? Quelle conjecture faitesvous concernant la « vitesse d’approche » du nombre 3 de ces deux suites ? Aide

L’algorithme de l’exercice 29 a pour objectif d’étudier la façon d’approcher le nombre 3 par la suite (un).

162

73 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par : u0 = 2 u –3. un+1 = n un + 1 1. Calculez u1, u2, u3.

5

2. Que pouvez-vous conjecturer à propos des variations de la suite (un) ? 3. Exprimez un+3 en fonction de un. Concluez.

74 ABC est un triangle rectangle isocèle. AB = AC = 2 cm. On construit des carrés de la manière suivante : C

A

C

B

A

C

B

A

B

1re étape : on construit un premier carré dont trois sommets sont les milieux des côtés du triangle.

l

2e étape : dans les triangles isocèles « restants », on construit des carrés selon le même principe. On note un l’aire, en cm2, de l’ensemble des carrés verts que l’on vient de construire pendant cette n-ième étape. l

1. Quelle est la nature de la suite (un) ? 2. Expliquez pourquoi la suite (vn) définie pour tout entier naturel n non nul par : vn = u1 + u2 + … + un est croissante, et pourquoi, quel que soit n, vn < 2. 3. Au bout de combien d’étapes l’aire de la partie orangée sera-t-elle inférieure à 0,1 mm2 ?

75 La suite (un) est définie pour tout entier naturel n,

par un = 2n – 40n –20.

1. a) Démontrez que la suite est croissante à partir du rang 6. b) Déduisez-en que pour tout entier naturel n, si n  9, alors un > 0. 2. On note (vn) la suite définie par vn = 2n – 20n2. a) Démontrez que vn+1 – vn = un. b) Déduisez-en le sens de variation de (vn). c) À partir de quel rang a-t-on vn  0 ?

76 Datation au carbone 14 Le but de l’exercice est l’étude de la désintégration d’un corps radioactif : le carbone 14.

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a) Exprimez N1 en fonction de N0, puis Nk en fonction de Nk–1. b) Déduisez-en la nature de la suite (Nn) et exprimez Nn en fonction de N0 et de n.

Avec les tice 78 Méthode de Héron TICE On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par : u0 = 1 1 2 un+1 =   un + 2 un

5

1

EXERCICES

1. Soit N0 le nombre d’atomes de carbone 14 à l’instant t = 0, N1 le nombre d’atomes de carbone 14 un siècle après, Nk le nombre d’atomes de carbone 14 après k siècles (k entier). On sait que le nombre d’atomes de carbone 14 diminue très lentement au cours du temps, d’environ 1,24 % par siècle.

2

1. a) À l’aide d’un tableur ou de votre calculatrice, calculez les vingt premiers termes de la suite (un) (faites afficher le maximum de décimales).

c) Donnez, en le justifiant, le sens de variation de la suite (Nn). 2. Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants : à la mort de ceux-ci, l’assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre. Des archéologues ont trouvé des fragments d’os dont la teneur en carbone 14 est 40 % de celle d’un fragment d’os actuel de la même masse, pris comme témoin. À l’aide de la calculatrice (ou d’un tableur), calculez l’âge de ces fragments. On arrondira au siècle près.

b) Que pouvez-vous conjecturer ? 2. Modifiez le contenu de la cellule A2 afin d’obtenir les premiers termes de la suite définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 1 1 3 . un+1 =   un + 2 un

5

1

2

a) Que pouvez-vous conjecturer ? b) Remplacez u0 par un nombre strictement positif autre que 1. Cela modifie-t-il le comportement des suites précédemment étudiées ? 3. Quelle modification devez-vous effectuer pour obtenir une suite de nombres qui tendent vers 15 ?

Prendre toutes les initiatives 79 Les suites (un), (vn) et (wn) sont définies pour tout entier naturel n non nul, par : 1 2n + 5 lu =    l vn = 2    l wn = 3un n n n +n+1 a) Comparez, suivant les valeurs de n, les termes un, vn et wn. 77 Vers l’infini

AL

IQ U E G O R IT H M

a) Montrez que la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = 2n – n est croissante. b) On conjecture aisément que les nombres positifs 2n – n deviennent de plus en plus « grands » et finissent par être supérieurs à n’importe quel nombre choisi, aussi « grand » soit-il. Pour conforter cette intuition, créez un algorithme pour déterminer l’indice du premier terme de la suite (un) qui appartient à un intervalle de la forme [A ; + ∞[ où A est un nombre que l’on choisira (de plus en plus « grand »). Aide Vous pouvez vous inspirer de l’algorithme de l’exercice 29  .

b) Quelle conjecture pouvez-vous émettre concernant le comportement de la suite (vn) lorsque n tend vers + ∞ ?

80 La suite (un) est définie pour tout entier natu-

rel n, par : un = 1 + 2 + 3 + … + n. À l’aide d’un tableur ou de votre calculatrice, trouvez deux entiers naturels m et p tels que : um = 10p et um < 108.

81 Sur la figure ci-contre, tous les triangles sont équilatéraux. Le cercle est de rayon 3 cm. Combien de triangles ainsi construits ont une aire supérieure à 0,1 mm2 ? Chapitre 6 ● Comportement d’une suite

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163

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Conjecturer et démontrer

c1

La suite (un) est définie pour tout entier naturel non nul n 1 2 n . par un = + n 3 1. Calculez u1, u2, u3, u4. 1

1 2

2. a) Calculez un+1 – un en fonction de n.

c2 c3

2

c4

b) Déduisez-en que la suite (un) est strictement décroissante. 3

B Conjecturer uniquement

On pose n = c1 + … + cn.

4

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe   représentative de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 21x et la droite d d’équation y = x. On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n par : un+1 = 23un  et  u0 = 1. y

… 1. a) Exprimez cn et n enfonction de n.

8

b) Justifiez l’affirmation suivante : pour tout entier n  1, n < 8. 9 2. Déterminez un entier naturel m tel que pour tout entier n, n  m, n ∈ ]8 – 10–5 ; 8[. 10

E Une somme de différences

d 

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on a tracé, pour x  1, les courbes représentatives des fonctions : 1 1 . f : x    et  g : x  x x+1

1 O1

x

1. Reproduisez la figure ci-dessus.

J

f N

2. Conjecturez le comportement de la suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes.

C De la variation à un encadrement La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par : 3n2 + 1  . un = 2 n +3 1. a) Étudiez les variations de la fonction f définie sur 3x2 + 1 [0 ; + ∞[ par f(x) = 2 . 5 x +3 b) Déduisez-en que la suite (un) est strictement croissante. 2. a) Démontrez que pour tout entier naturel n : un < 3. 6 b) Déterminez un entier naturel m tel que pour tout entier n, n  m, un ∈ ]2,999 9 ; 3[. 7

D Jusqu’où cette suite de carrés ? n carrés sont disposés comme l’indique la figure ciaprès. Le côté d’un carré est égal à la moitié du côté du carré qui le précède. Le premier carré a pour côté c1 = 4 cm.

164

g O

I

M n

n+1 n+2

1. a) Pourquoi f est-elle au-dessus de g pour tout nombre x, x  1 ? 11 b) À tout entier naturel n, on associe MN. 1 1 Justifiez que MN = – . n n+1 2. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, 1 1 n  1 par un = – . n n+1 a) Calculez un+1 en fonction de n. u n b) Démontrez que n+1 = . un n+2 c) Déduisez-en le sens de variation de (un). 12 1 3. a) Vérifiez que n = u1 + u2 + … + un = 1 – . 13 n+1 b) Pourquoi n < 1 pour tout entier n, n  1 ? c) Déterminez un entier m tel que pour tout entier n, n  m, n ∈ ]1 – 10–4 ; 1[. 14

Chapitre 6 ● Comportement d’une suite « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CHAPITRE

Vecteurs. Colinéarité

D’un siècle à un autre Le Français Antoine Albeau est multiple champion du monde de planche à voile et a remporté plusieurs courses longue distance. Si la navigation en mer est un art complexe et physique, elle mobilise également les facultés intellectuelles et utilise notamment le calcul vectoriel. Pour obtenir la route réellement suivie par exemple (vitesse fond), on calcule la somme vectorielle du cap choisi (vitesse surface) et de la dérive (courant). On doit la notion de vecteur du plan telle qu’on l’utilise aujourd’hui à l’Italien Giusto Bellavitis.

En savoir plus sur Giusto Bellavitis Chercheurs d’hier p. 179

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Rappels

& Questions-tests

Égalité de vecteurs Dire que YAB = UCD équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

1   ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que :

UBD = YAC et YAE = YBA. Quelle est la nature du quadrilatère ADCE ?

Somme de vecteurs Relation de Chasles l Règle du parallélogramme YAB + YBC = YAC YAB + YAC = UAD

l

A

u

u+v

B

u

v

A C





B D

u+v v

C

2   ABC est un triangle. a) Construisez les points D, E et F tels que : UAD = YAB + YAC ; YAE = YBA + YAC ; YBF = YBA – UAC. b) Démontrez que C est le milieu de [DE].

Vecteurs colinéaires l Deux vecteurs non nuls YAB et UCD sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. l Dire que deux vecteurs non nuls YAB et UCD sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre k non nul tel que UCD = kYAB.

3  M A B N C P Sur la droite ci-dessus les divisions sont régulières. Complétez les égalités suivantes : UAM = … YAB ; UAN = … YAC ; YCP = … YCB.

Coordonnées d’un vecteur (O ; I, J) est un repère. au et av sont deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x’ ; y’). k est un nombre quelconque. 1. au + av a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’). kau a pour coordonnées (kx ; ky). au = av équivaut à x = x’ et y = y’. 2. Si les points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur YAB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).

4   Dans un repère (O ; I, J) on donne les points A(–3 ; 3) et B(5 ; –1). M est un point de coordonnées (x ; y). a) Calculez en fonction de x et y les coordonnées de UMA et UMB. b) Calculez les coordonnées de 3UMB. c) Déduisez-en les coordonnées de M telles que : UMA = 3UMB. 5   Dans un repère (O ; I, J) on donne les points A(–2 ; 2), B(1 ; –3), C(9 ; –1) et D(6 ; 4). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Équations de droites Dans un repère toute droite d a une équation de la forme : y = mx + p si d n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. (m est le coefficient directeur de d.) l

l

x = c si d est parallèle à l’axe des ordonnées.

l Si A(x  ; y ) et B(x  ; y ) sont deux points de d tels A A B B que xA ≠ xB alors : y –y m= B A . xB – xA

6   Placez dans un repère (O ; I, J) les points A(–2 ; 1),

B(4 ; 2), C(–2 ; –1) et D(–1 ; 2). Trouvez une équation pour les droites (AB), (AC) et (BD). 7   Dans un repère (O ; I, J),

a) construisez la droite d passant par le point A(3 ; –2) et de coefficient directeur m = 3  ; 4 b) trouvez une équation de cette droite.

Voir les corrigés p. 363

166

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

condition de colinéarité

TICE

Avec GeoGebra

outil 1

1 a) Affichez la grille et créez les points A(–3 ; 3), B(1 ; 5) et C(1 ; 1).

outil 7

Puis créez un point D quelconque. Créez les vecteurs au = YAB et av = UCD.

b) Ouvrez le tableur de GeoGebra puis saisissez les coordonnées de au et av de la manière suivante :



A1 = x(u) ; B1 = y(u) ; A2 = x(v) ; B2 = y(v).

outil 4

Puis dans C3, saisissez : C3=A1*B2–A2*B1.

2 a) Déplacez D en (3 ; 2).

Qu’obtient-on dans la case C3 ? Que peut-on dire des vecteurs YAB et UCD ?

b) Trouvez d’autres positions de D pour lesquelles on obtient encore la valeur 0 dans C3. Que peut-on dire chaque fois des vecteurs YAB et UCD ?

3 On donne les vecteurs au(X ; Y) et av(X’ ; Y’). Proposez une relation entre les coordonnées traduisant la colinéarité de ces vecteurs.

Activité 2

Une propriété fondamentale des vecteurs

Avec GeoGebra

TICE outil 1

1 a) Créez les points A(0 ; 0), B(5 ; 0) et C(1 ; 3). Effacez les axes et affichez la grille. b) Créez les vecteurs au = YAB et av = UAC. Les vecteurs au et av sont-ils colinéaires ?

outil 7

c ) Créez deux curseurs a et b allant de –5 à +5 (incrément : 0,01). Dans les propriétés du curseur, modifiez la valeur de la largeur à 500. Puis créez le vecteur rw = aau + bav (saisie w = a*u + b*v).



outil 3

2 a) Créez les points D(3 ; 4), E(–3 ; 6), F(–3 ; –3), G(7 ; –6).

b) Trouvez les valeurs des curseurs pour lesquelles rw = aau + bav = UAD. Exprimez UAD en fonction des vecteurs YAB et UAC. Recommencez avec les vecteurs UAE, UAF et UAG.

3 Complétez la conjecture :

« YAB et UAC sont des vecteurs non colinéaires. Pour tout point M, il existe … ».



Problème ouvert

L

D

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ? C K

ABCD est un rectangle. Sur les segments [AB] et [AD], les divisions sont régulières. Le point K est le milieu du segment [CB]. Les droites (IJ) et (LK) sont parallèles. Les droites (IK), (JL) et (AC) sont-elles concourantes ?

I A

J

B

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

167

COURS

1

Vecteurs colinéaires 1.1 Définition et conséquence

Définition

1 Dire que deux vecteurs non nuls YAB et UCD sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

u

B

C D

A

Théorème

v

1 Dire que deux vecteurs non nuls au = UAB et av = UCD sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre k (k ≠ 0) tel que av = kau ou UCD = kYAB.

Convention. Le vecteur nul a0 est colinéaire à tout vecteur au 10au = a02. En résumé, les trois propositions suivantes sont équivalentes. (AB) et (CD) sont   ⇔  des droites parallèles.

UAB et UCD sont   ⇔  colinéaires.

Il existe un nombre k non nul tel que UCD = kUAB.

Conséquence pour l’alignement. Dire que les trois points A, B, C distincts deux à deux sont alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre k non nul tel que UAC = kUAB.

1.2 Expression de la colinéarité par les coordonnées Théorème

2 Dans un repère, dire que les vecteurs au(X ; Y) et av(X’ ; Y’) sont colinéaires équivaut à dire que XY’ – X’Y = 0.

LOGIQUE

Démonstration par équivalence ➜ p. 346

Démonstration 1 l Supposons au et av colinéaires et démontrons que XY’ – X’Y = 0. Il existe un nombre k tel que av = kau donc X’ = kX et Y’ = kY. On en déduit que XY’ – X’Y = X(kY) – (kX)Y = 0. On a prouvé que si au et av sont colinéaires, alors XY’ – X’Y = 0. 2 l Supposons que XY’ – X’Y = 0 et démontrons que au et av sont colinéaires. Si au = a0 alors au est colinéaire à av. Si au ≠ a0 l’une de ses coordonnées, par exemple X, est non nulle. Donc : Y’ = X’  Y. Posons X’ = k, il en résulte que X’ = kX et Y’ = kY, donc av = kau. X X Ainsi au et av sont colinéaires (si Y ≠ 0, on conclut de même en posant Y’ = k). Y On a prouvé que si XY’ – X’Y = 0 alors au et av sont colinéaires. Les propositions « au et av colinéaires » et « XY’ – X’Y = 0 » sont équivalentes.

Remarque. Lorsque au et av sont colinéaires, X’ = kX et Y’ = kY. Autrement dit les coordonnées de ces vecteurs sont proportionnelles. Le tableau

168

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité



X

X’

Y

Y’

est un tableau de proportionnalité.

×k

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COURS

2

Décomposition d’un vecteur 2.1 Trois types de repères En classe de seconde, on a rencontré les repères suivants, notés (O ; I, J).

Repère orthonormé l

J

Repère orthogonal

(OI) ⊥ (OJ).

OI = OJ, unité de longueur choisie dans le plan.

l

J

l

O

I

O

Repère quelconque

(OI) ^ (OJ).

I

J O



I

On pose YOI = ai et UOJ = aj. Les vecteurs ai et aj ne sont pas colinéaires. Désormais choisir un repère, c’est : l

choisir un point appelé origine du repère (ici le point O) ;

l

choisir un couple de vecteurs non colinéaires (ici 1ai ; aj 2).

On notera donc le repère 1O ; ai, aj 2 ou 1O ; ROI, YOJ2. Théorème

3 Dire que le point M a pour coordonnées (x ; y)

y

dans le repère 1O ; ai, aj 2 signifie que : IOM = xai + yaj .

M w

j O

x

i

Par définition, les coordonnées d’un vecteur rw dans le repère 1O ; ai, aj 2 sont celles du point M tel que IOM = rw. Conséquence

Dire que rw a pour coordonnées (x ; y) signifie que rw = xai + yaj .

2.2 Expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires On admettra les deux théorèmes suivants. Théorème

4 A, B et C sont trois points non alignés du plan. Alors, pour tout point M, il existe un couple unique de nombres (x ; y) tels que IAM = xYAB + yUAC . Ce couple est celui des coordonnées de UAM (et du point M) dans le repère 1A ; UAB, UAC2.

Théorème

5 au et av sont deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur rw, il existe un couple unique de nombres (x ; y) tels que rw = xau + yav .

Exemple. D’après la relation de Chasles :

C

IMN = UMA + UAN soit IMN = UAN – IAM = 3  UAC – 1  UAB. 4 3 Il en résulte que, dans le repère 1A ; YAB, UAC2, le vecteur IMN a pour coordonnées – 1  ; 3 . 3 4 A

1

2

N

M

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

B

169

COURS

3

Équation cartésienne d’une droite 3.1 Vecteur directeur d’une droite

Définition

2 Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur

B d

A

au non nul, dont la direction est celle de d.

u

Conséquences. l La donnée d’un point A et d’un vecteur au non nul définit une droite d unique.

Théorème

l

Si A et B sont deux points distincts de d, alors YAB est un vecteur directeur de d.

l

Si au est un vecteur directeur de d, alors kau (k ≠ 0) est aussi un vecteur directeur de d.

6 d et d’ sont deux droites de vecteurs directeurs au et au’. Dire que d et d’ sont parallèles équivaut à dire que au et au’ sont colinéaires.

3.2 Équation cartésienne d’une droite Théorème

7 Dans un repère : 1. Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec a ≠ 0 ou b ≠ 0. Le vecteur au(–b ; a) est alors un vecteur directeur de d. 2. a, b, c sont trois nombres tels que a ≠ 0 ou b ≠ 0. L’ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées sont telles que ax + by + c = 0 est une droite. Une équation de la forme ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) est appelée équation cartésienne de la droite d. Démonstration

 Exercice résolu D ➜ p. 174 ●

1.

Choisissons un point A(x0 ; y0) sur la droite d et notons au(p ; q) un vecteur directeur de d.

Par définition au est non nul donc p ≠ 0 ou q ≠ 0. « M(x ; y) est un point de d » équivaut à « IAM et au sont colinéaires ». IAM a pour coordonnées (x – x0 ; y – y0). Donc d’après le théorème 2 la colinéarité de IAM et au équivaut à (x – x0)q – (y – y0)p = 0 soit qx – py – qx0 + py0 = 0. Si on pose a = q, b = – p et c = py0 – qx0 cette condition de colinéarité s’écrit ax + by + c = 0 avec a ≠ 0 ou b ≠ 0. Finalement dire que M(x ; y) est un point de d équivaut à dire qu’il existe trois nombres a, b, c avec a ≠ 0 ou b ≠ 0 tels que ax + by + c = 0. Ainsi d a une équation de la forme ax + by + c = 0. Un vecteur directeur est au(p ; q) c’est-à-dire au(– b ; a). 2. Cherchons l’ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0). a  x – c . l Si b ≠ 0, ax + by + c = 0 équivaut à y = –  b b Cette équation est de la forme y = mx + p. Ainsi l’ensemble cherché est une droite. c . L’ensemble cherché est la droite l Si b = 0, alors a ≠ 0 ; ax + by + c = 0 équivaut à x = –  a d’équation x = –  c parallèle à l’axe des ordonnées. a Cette équation est

Lien entre vecteur directeur et coefficient directeur

appelée équation réduite de d.

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p. Une équation cartésienne s’écrit mx – y + p = 0 et au(1 ; m) est un vecteur directeur de d. Ainsi « m est le coefficient directeur de d » équivaut à « au(1 ; m) est un vecteur directeur de d ».

170

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Objectif

1

Savoir utiliser la colinéarité

l

Dans un repère, au(X ; Y) et av(X’ ; Y’) sont colinéaires équivaut à XY’ – X’Y = 0.

l

« Les droites (AB) et (CD) sont parallèles » équivaut à « YAB et YCD sont colinéaires ».

l

« A, B, C, distincts deux à deux, sont alignés » équivaut à « YAB et YAC sont colinéaires ».

Exercice résolu A

EXERCICES

Application

Utiliser la colinéarité en géométrie repérée

Dans le répère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(–2 ; 3), B(4 ; 7) et C(3 ; 2). 1. Démontrez que les droites (AB) et (OC) sont parallèles. 2. M(x ; 0) est un point de l’axe des abscisses. Calculez x pour que A, B, M soient alignés. Solution

Méthode l

On fait une figure. B

7

A 2 M x

3

C

j –2 O i

3 4

1. On démontre que les vecteurs YAB et UOC sont colinéaires. Pour cela, on calcule leurs coordonnées. l On conclut.

1. YAB a pour coordonnées (6 ; 4) et UOC(3 ; 2). Ainsi YAB = 2UOC. Les vecteurs YAB et UOC sont colinéaires, donc les droites (AB) et (OC) sont parallèles.

2. A, B, M alignés équivaut à YAB et UAM colinéaires. On applique la condition de colinéarité : XY’ – X’Y = 0. l On conclut.

2. UAM a pour coordonnées (x + 2 ; –3) et YAB(6 ; 4). La colinéarité de UAM et YAB se traduit par : (x + 2) × 4 – (–3) × 6 = 0 d’où 4x = –26 et x = –6,5. M a pour coordonnées (–6,5 ; 0).



Mise en pratique  Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.

1 On donne les points A(–2 ; –1), B(0 ; 4), C(2 ; –3) et D(6 ; –1). 1. M(x ; 0) est un point de l’axe des abscisses. Pour quelle valeur de x les points A, B, M sont-ils alignés ? 2. Démontrez alors que (CM)//(BD).

2 On donne les points A(–3 ; 2) et B(–1 ; 7).

11 Le point M –6 ; –  est-il un point de (AB) ? 2

1

4 On donne la figure suivante.

A

3

–2 j O i –3

2

3 On donne les points A(3 ; 2), B(7 ; 3), C(–3 ; y)

B

5

2 5 D

y C

–4

et D(1 ; –3). Calculez y pour que les droites (AB) et (CD) soient Pour quelle valeur de y les vecteurs YAB et YCD parallèles. sont-ils colinéaires ? Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

171

EXERCICES

Exercice résolu B

Utiliser la colinéarité en géométrie non repérée

ABC est un triangle, D le point tel que UAD = 3YAB – 2YAC. 1. Exprimez YBC et YBD en fonction de YAB et YAC. 2. Déduisez-en que les points B, C et D sont alignés.

Méthode l

Solution

On fait une figure. A

D

B

C

1. On utilise la relation de Chasles. l On exploite la définition du point D.

1. YBC = YBA + YAC = –YAB + YAC. YBD = YBA + YAD = –YAB + 13YAB – 2YAC2 YBD = 2YAB – 2YAC.

2. On montre qu’il existe un nombre k tel que YBD = kYBC.

2. La comparaison de YBD et YBC incite à mettre « –2 en facteur ». YBD = 2YAB – 2YAC = –21–YAB + YAC2 = –21YBA + YAC2. YBD = –2YBC. Les vecteurs YBD et YBC sont colinéaires, donc les points B, C et D sont alignés.

l

On conclut. 

Mise en pratique

5 A et B sont deux points distincts. On se 8 ABCD et AEGF sont deux parallélogrammes tels que YBE = 2YAB et YAF = 3YAD. propose de construire le point M tel que : F G UMA + 2UMB = YAB. 1. À l’aide de la relation de Chasles, démontrez que 3UAM = YAB. 2. Pourquoi M est-il un point de la droite (AB) ? Construisez-le.

6 ABC est un triangle. 1. Construisez le point D tel que : 5YAD = 3YAB + 2YAC.

D A

C B

E

Démontrez que les points A, C, G sont alignés.

9 ABC est un triangle. Le point I est le milieu

3 2. a) À l’aide de la relation de Chasles, démontrez du segment [AB]. RBJ = 5  YBC et RAL = 3YAC. 2 que YBD =  1YAC – YAB2. 5 L b) Déduisez-en que les points B, C, D sont alignés.

7 ABC est un triangle. 1. Construisez les points I et J tels que : RAI = YAB + 2YAC et YAJ = 2YAB + YAC.

C J

A I B 2. a) Exprimez PIJ en fonction de RAI et RAJ puis en 1. Exprimez PIJ et PIL en fonction de YBC et YBA. fonction de YAB et YAC. b) Déduisez-en que (IJ) et (BC) sont parallèles.

172

2. Déduisez-en que les points I, J, L sont alignés.

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

2

Équation cartésienne d’une droite et parallélisme

1. Dans un repère : Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0). Le vecteur au(–b ; a) est un vecteur directeur de d. l

l

EXERCICES

Objectif

ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) est l’équation d’une droite de vecteur directeur au(–b ; a).

2. Si deux droites d et d’ ont pour vecteurs directeurs au et au’. « d parallèle à d’ » équivaut à « au et au’ colinéaires ». exercice résolu E

Exercice résolu C

Déterminer une équation cartésienne

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(1 ; 5), B(–3 ; 2) et C(5 ; –1). 1. Trouvez une équation cartésienne de la droite d passant par A et de vecteur directeur au(3 ; 1). 2. Trouvez une équation cartésienne de la droite d’ passant par A et parallèle à (BC).

Méthode

Solution 1. au(3 ; 1) est un vecteur directeur de d, donc d a une équation de la forme x – 3y + c = 0.

1. l On connaît un vecteur directeur de d, on peut donc en déduire une forme de l’équation. l On utilise le fait que A est un point de d.

l

Les coordonnées (1 ; 5) de A vérifient l’équation de d : 1 – 3 × 5 + c = 0 d’où 1 – 15 + c = 0 et c = 14. d a pour équation cartésienne x – 3y + 14 = 0.

On conclut.

2. On justifie que YBC est un vecteur directeur de d’. Puis on procède comme pour le 1.

l

On conclut. 

2. (BC) et d’ sont parallèles donc YBC est un vecteur directeur de d’. YBC a pour coordonnées (8 ; –3) donc d a une équation de la forme –3x – 8y + c = 0. A(1 ; 5) est un point de d’ donc –3 × 1 – 8 × 5 + c = 0 soit –3 – 40 + c = 0 et c = 43. d’ a pour équation cartésienne : –3x – 8y + 43 = 0 ou 3x + 8y – 43 = 0.

Mise en pratique  Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.

10 Dans chacun des cas suivants, trouvez une 13 Représentez graphiquement chacune des équation cartésienne de la droite d. droites suivantes. a) A(–2 ; 5) est un point de d et au = 2ai + 3aj un a) d1 passe par A(1 ; 2) et a pour vecteur directeur vecteur directeur de d. au = ai – 3aj. b) d passe par A(–5 ; 3) et a pour coefficient b) d a pour équation 5x – 4y – 9 = 0. 2 2 directeur m = . c) d 3 3 passe par B(2 ; 4) et a pour coefficient 1 11 On donne les points A(1 ; –1) et B(3 ; 2). directeur . 2 Trouvez une équation cartésienne de la droite d passant par le point C(–4 ; 6) et de vecteur 14 Trouvez une équation cartésienne de la droite d d’équation : directeur YAB. 2 1 y =  x – . 3 5 12 d a pour équation 2x – 3y + 5 = 0. Trouvez une équation de ∆, parallèle à d passant par A(–1 ; 2). Le vecteur au(3 ; 2) est-il un vecteur directeur de d ? Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

173

EXERCICES

Exercice résolu D

Utiliser la condition de colinéarité pour déterminer une équation cartésienne y

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(2 ; 3), B(4 ; 5), C(2 ; –2) et D(–3 ; 2).

B

5

1. Trouvez une équation cartésienne de la droite (AB). 2. Trouvez une équation cartésienne de la droite ∆ passant par A et parallèle à la droite (CD).

M

D

A

3 2 j

–3

O i –2

Méthode

4

x

Δ

C

Solution 1. M(x ; y) est un point quelconque de la droite (AB). Dire que « M appartient à la droite (AB) » équivaut à dire que « UAM et YAB sont colinéaires ». UAM a pour coordonnées (x – 2 ; y – 3) et YAB(2 ; 2). La condition de colinéarité se traduit par : 2(x – 2) – 2(y – 3) = 0 soit 2x – 2y + 2 = 0. La droite (AB) a pour équation cartésienne : x – y + 1 = 0.

1. On définit une droite par un point et un vecteur directeur. On traduit l’appartenance de M par la relation de colinéarité.

l

2

On simplifie et on conclut.

2. YCD est un vecteur directeur de ∆. On reprend la méthode de la question 1.

2. Dire que « M(x ; y) est un point de ∆ » équivaut à dire que « les vecteurs UAM et YCD » sont colinéaires. UAM a pour coordonnées (x – 2 ; y – 3) et YCD(–5 ; 4). La colinéarité de UAM et YCD se traduit par : 4(x – 2) + 5(y – 3) = 0 soit 4x + 5y – 23 = 0. La droite ∆ a pour équation cartésienne : 4x + 5y – 23 = 0.

Remarque

Pour chacune des questions, on peut se ramener aux conditions du résolu C en définissant la droite par un point et un vecteur directeur.

 Mise en pratique  Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.

15 En tenant compte des renseignements b) d passe par A 7  ; 8 et est parallèle à la 14 52 portés sur la figure ci-après, trouvez une équation cartésienne : b) de la droite ∆ passant par C et parallèle à (AO).

B

5

a) de la droite (AB) ; A

3 j O i

C

nées respectives (4 ; 3), (–2 ; 1) et (5 ; 2). Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation cartésienne de la droite d. a) d passe par A et est parallèle à (BC).

2 3

b) d passe par A et le milieu I de [BC].

droite d dans chacun des cas suivants.

18 On donne A(2 ; 3), B(5 ; 7) et C(–7 ; –9). Le point C est-il un point de la droite (AB) ?

a) d est parallèle à la droite ∆ d’équation : 2x – y + 3 = 0 et passe par A(0 ; 1).

19 On donne A(2 ; 3), B(–2 ; 1) et C(1 ; –2). Trouvez une équation de la médiane issue de B dans le triangle ABC.

16 Trouvez une équation cartésienne de la

174

4 5 3  x –  y + = 0. 5 7 8

17 On donne les points A, B et C de coordon-

1

–2

droite ∆ d’équation

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Droites parallèles

Dans chacun des cas suivants, dites si les droites d et d’ sont parallèles. 1 1. d et d’ ont pour équations respectives x – 4y + 2 = 0 et –   x + 2y + 5 = 0. 2 7 2. d et d’ ont pour équations respectives 3x – 2y + 1 = 0 et y =  x – 1. 5 Méthode

Solution

1. On cherche un vecteur au directeur de d et un vecteur directeur Pu’ de d’. l

On vérifie si au et Pu’ sont colinéaires.

l

On conclut.

1. au(4 ; 1) est un vecteur directeur de d et 1 Pu’  –2 ; –  est un vecteur directeur de d’. 2 On remarque que au = –2Pu’ donc au et Pu’ sont colinéaires. Ainsi les droites d et d’ sont parallèles.

1

2. La droite d’ est définie par son équation réduite. On transforme son équation. l On est ainsi ramené au cas précédent. On utilise la condition de colinéarité ; on vérifie si XY’ – X’Y est nul. l On conclut.

EXERCICES

Exercice résolu E

l



2

2. d’ a pour équation cartésienne : 7x – 5y – 5 = 0. au(2 ; 3) est un vecteur directeur de d et Pu’(5 ; 7) un vecteur directeur de d’. 2 × 7 – 3 × 5 = –1 donc au et Pu’ ne sont pas colinéaires. d et d’ ne sont pas parallèles.

Mise en pratique  Pour tous les exercices, on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2.

20 Dans chacun des cas suivants, dites si 3. Quelles sont les coordonnées de leur point les droites d et ∆ distinctes sont parallèles ou sécantes. 4 5 a) d : x –   y + 2 = 0 et ∆ :  x – y + 3 = 0. 7 3 –9 b) d a pour vecteur directeur au =  ai + 3aj et ∆ a 2 pour équation 2x + 3y – 3 = 0.

d’intersection ?

22 A(–1 ; 2) et B(3 ; 5) sont deux points d’une droite d. La droite d’ passe par O et a pour coefficient directeur 0,75. Les droites d et d’ sont-elles parallèles ?

23 Comment choisir le nombre m pour que les droites d et ∆ d’équations respectives 21 1. Démontrez que les droites d’équations 2x – 3y + 4 = 0 et mx – 2y + 2 = 0 soient parallèles ? respectives 5x – 2y – 4 = 0 et y = –2,5x + 0,5 ne 24 Pour quelle valeur du nombre m les sont pas parallèles. droites d et ∆ d’équations respectives 3x + y = 0 et

c) d : 2x – 3y + 5 = 0 et ∆ : 0,4x – 0,6y + 8 = 0.

2. Tracez ces droites dans le repère 1O ; ai, aj 2.

(2m – 1)x + (m – 3)y – 1 = 0 sont-elles parallèles ?

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175

EXERCICES

Objectif

3

Choisir un repère pour démontrer

Théorème 4. A, B et C sont trois points non alignés du plan. Alors pour tout point M, il existe un couple unique de nombres (x ; y) tels que IAM = IxAB + IyAC. Ce couple (x ; y) est le couple de coordonnées du vecteur UAM dans le repère 1A ; YAB, UAC2.

Exercice résolu F 1 1  UAD et UAQ = –   UAB. 3 2 1. Déterminez les coordonnées des points B, C et D dans le repère 1A ; UAQ, YAP2.

ABCD est un parallélogramme, les points P et Q sont tels que YAP = 2. Démontrez que les points C, P et Q sont alignés.

Solution

Méthode 1. l On fait une figure.

1.

C

D

Note

P

Dans le repère (A ; rAQ, rAP) on a Q(1 ; 0) et P(0 ; 1). B

A Q 1 YAP =  UAD donc UAD = 3YAP et D a pour 3 coordonnées (0 ; 3). 1 UAQ = –   YAB donc YAB = –2UAQ et B(–2 ; 0). 2 Comme ABCD est un parallélogramme : UAC = YAB + UAD = –2UAQ + 3YAP donc C a pour coordonnées (–2 ; 3).

l On exprime les vecteurs en fonction de UAQ et YAP.

l

On utilise la règle du parallélogramme. Attention

Bien noter les coordonnées dans le bon ordre.

2. YCP a pour coordonnées (0 – (–2) ; 1 – 3) soit (2 ; –2). YCQ a pour coordonnées (1 – (–2) ; 0 – (3) soit (3 ; –3). 3 On constate que YCQ =  YCP. 2

2. l On calcule par exemple les coordonnées des vecteurs YCP et YCQ.

On examine la colinéarité de ces deux vecteurs. l On conclut. l



Donc les vecteurs YCP et YCQ sont colinéaires. Les points C, P et Q sont alignés.

Mise en pratique

25 Choisir un repère ABC est un triangle. P, Q, R sont tels que : 1 1 1 YAP =  YAB ; YCR = –   YCB et UCQ =  YCA. 3 3 3 1. Faites une figure.

26 Choisir un repère ABCD est un parallélogramme. Les points I, J, K 1 1 sont tels que PAI =  YAB, RCJ =  YCD et YBK = 2YBC. 3 3 On veut démontrer que les points I, J, K sont alignés.

2. Dans chacun des cas suivants, calculez les 1. Faites une figure. coordonnées de P, Q, R. 2. a) Le choix du repère 1B ; PBI, YBC2 vous paraît-il a) On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2. pertinent ? Pourquoi ? b) On choisit le repère 1B ; YBC, YBA2. b) Si oui, démontrez à partir de ce repère l’alignec) On choisit le repère 1C ; YCR, UCQ2. ment des points I, J, K. 3. a) Quel repère choisissez-vous pour démontrer c) Si le choix précédent ne vous paraît pas perque les points P, Q, R sont alignés ? tinent, choisissez vous-même un autre repère et b) Terminez les calculs.

176

terminez les calculs.

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Po u r

27 Questions sur le cours

EXERCICES

se tester 28 Vrai ou faux Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. On se place dans un repère 1O ; ai, aj 2. a) On donne les points A(–3 ; –5), B(5 ; 8) et C(3 ; 5). Les vecteurs YAB et UOC sont colinéaires. b) Les droites d’équations 8x + 2y + 6 = 0 3 et 3x +  y – 5 = 0 sont parallèles. 4 c) au(3 ; 4) et av(2,4 ; 3,2) sont deux vecteurs directeurs d’une même droite. d) Pour toute droite il existe un vecteur directeur. e) Pour toute droite il existe un coefficient directeur. x y f) + – 1 = 0 et 3x + 2y – 6 = 0 sont des 2 3 équations d’une même droite.

Complétez les propositions suivantes. Pour toutes les questions on se place dans un repère 1O ; ai, aj 2. a) La droite d’équation ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) a pour vecteur directeur au(…… ; ……). b) L’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme …… . c) Dire que les vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) sont colinéaires équivaut à dire que …… . d) La droite d’équation y = mx + p a pour vecteur directeur au(1 ; ……). e) Dire que les droites d’équations y = mx + p et y = m’x + p’ sont parallèles équivaut à dire que …… .

29 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. On se place pour toutes ces questions dans un repère 1O ; ai, aj 2. D 2 1. La droite d’équation y =  x + 3 a pour vecteur 4. ABCD est un rectangle. M 5 1 1 directeur : ZDM =  YDA et UAN = –   YAB. 3 4 a) (–2 ; 5) b) (2 ; 5) c) (5 ; 2) N A Le vecteur ZMN est égal à : 1 2. Le vecteur au  ; –3 est colinéaire au vecteur av de 2 1 2 1 1 2 a) –   UAD –  YAB b)  UAD –   YAB c) –   YAB + coordonnées : 3 4 3 4 5 2 16 1 5. ABCDEF est un hexagone régulier. C a) (–1 ; 6) b) –   ; c) 2 ; –  3 3 3 j 3. La droite d’équation 3x + 2y – 5 = 0 a pour coeffi- On pose YOA = ai et YOB = aj. D Le vecteur YCE est égal à : cient directeur : O 2 3 3 a) aj – 2ai b) aj + 2ai c) ai – 2aj a) m = –  b) m = –  c) m = E 3 2 2

1

2

1

2

1

2

C

B 2  UAD 3 B A

i F

30 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. b) Les points A, B et C(6 ; 0) sont alignés. 1. OIKJ est un rectangle. A est le milieu de [OI], 1 3 J K c) La droite ∆ passant par O et parallèle à d a pour YOB =  YOJ et UAG =  YAB. 3 3 5 équation y = –   x. 2 a) Dans le repère 1O ; ROI, YOJ2, G a B G 3. ABC est un triangle. Les points I et J sont tels que : 2 3 4PBI = YBA  et  5RCJ = 2YCA. pour coordonnées  ; . O I A 5 5 3 3 a) PIJ = –   YAB +  YAC. 1 1 4 5 b) UOG =  ROI +  YOJ. c) O, G, K sont alignés. 5 5 b) Dans le repère 1A ; YAB, YAC2, le vecteur au(–5 ; 4) est un 2. Dans un repère 1O ; ai, aj 2 la droite d est définie par les vecteur directeur de (IJ). points A(–3 ; 6) et B(3 ; 2). c) Dans le repère 1A ; YAB, YAC2 la droite (BC) a pour a) d a pour équation 2x + 3y – 12 = 0. équation x + y – 1 = 0.

1

2

Voir les corrigés p. 366 Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

177

EXERCICES

Apprendre à chercher 31 Choisir un repère ABCD est un carré. Les points I et J sont tels que : 1 1 RAI =  YAB et RAJ =  UAD. 4 3 Les droites (DI) et (BJ) se coupent en G et les droites (AG) et (BC) se coupent en K. Objectif  Trouver la relation de colinéarité liant les vecteurs UKB et UKC.

activités de recherche

1. Faites une figure précise pour bien visualiser la situation. 2. Lorsqu’on ne voit pas de piste qui conduirait à la solution, on peut toujours choisir un repère. Plusieurs choix sont possibles, mais pour avoir des coordonnées simples on choisit le repère 1A ; RAI, RAJ2 (voir Objectif 3 page 176).

b) Trouvez une équation de d3. c) Calculez les coordonnées de M intersection de d2 et d3. d) M est-il un point de d1 ? Concluez.

33 Étudier une configuration ABCD est un rectangle. M est un point du segment [BD] distinct de B et D. Le point N est le symétrique de C par rapport à M. La parallèle à (AB) passant par N coupe (AD) en P. La parallèle à (AD) passant par N coupe (AB) en Q. D

C

Quelles sont les coordonnées de B, D et C dans ce repère ? 3. Pour trouver la relation de colinéarité liant UKB et UKC, il faut trouver les coordonnées de K. Mais au préalable il faut celles de G, intersection des droites (DI) et (BJ). a) Trouvez une équation de (DI) puis de (BJ). b) Déduisez-en les coordonnées de G. 4. On connaît l’abscisse de K. Notons y son ordonnée. En traduisant l’alignement des points A, G et K, trouvez y puis concluez.

32 Étudier la position relative de trois droites Dans un repère 1O ; ai, aj 2, la droite d1 passe par les points A(3 ; –2) et B(7 ; 2) ; l la droite d a pour équation 2x – y + 5 = 0 ; 2 l la droite d passe par le point O et a pour coefficient 3 3 directeur m = . 2 l

Objectif  Démontrer que les droites sont concourantes. Vous pouvez utiliser GeoGebra. 1. Construisez les droites d1, d2, d3 dans un repère 1O ; ai, aj 2. 2. Pour démontrer que trois droites sont concourantes un moyen consiste à chercher, par exemple, si d2 et d3 sont sécantes en M et de vérifier ensuite que M est un point de d1.

178

a) Vérifiez que d1, d2, d3 ne sont pas parallèles deux à deux.

A P

Q

M

B

N

Objectif  Démontrer que les points P, M et Q sont alignés et que la droite (PQ) garde une direction fixe, quel que soit le point M choisi. 1. Pour faciliter la résolution on choisit un repère. Prenons 1A ; YAB, YAD2. Quelles sont les coordonnées des points B, C et D ? 2. M varie sur ]BD[. On prend l’initiative de noter m l’abscisse de M avec 0 < m < 1. Il reste à calculer les coordonnées de N, P et Q en fonction de m. Mais au préalable il faut trouver l’ordonnée de M. a) En traduisant l’alignement des points D, B et M, trouvez l’ordonnée du point M en fonction de m. b) Démontrez que le point N a pour coordonnées (2m – 1 ; 1 – 2m). c) Déduisez-en les coordonnées des points P et Q. d) Vérifiez que les vecteurs UPM, YPQ et YAC sont colinéaires puis concluez.

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L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

36 Narration et de recherche

ABC est un triangle. Le point I est le milieu du segment [AB] et J le point tel que : RAJ = YAB – 2YAC. Démontrez que les droites (CI) et (AJ) sont parallèles.

35 Un problème d’alignement ABC est un triangle. Les points M et N sont tels que : 2UAM = 3YAB et 2YBN = 3YBC. Les points I, J, K sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [MN]. À l’aide d’un repère bien choisi, démontrez l’alignement de ces trois points.

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

Cet exercice peut également être traité en groupe et mener à une mise en commun des résultats. ABC est un triangle. Les points I, J et K sont tels que : 3  YAB ; l PAI = 4 1  YAC ; l RA J = 3 1  RBJ. l YBK = 3 1. Démontrez que les points C, K et I sont alignés. 2. La droite (AK) coupe (BC) en G. Trouver le nombre k tel que YBG = kYBC.

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de la géométrie.

Jean-Robert Argand Chap. 8 1800

1750

Travail en groupe

ÉPOQUE MODERNE

Hermann Günther Grassmann Chap. 9 1850

1900

ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Jean-Baptiste Delambre Chap. 10

Giusto Bellavitis (1803-1880)

Mathématicien et homme politique italien. Il est connu pour ses travaux sur « l’équipollence des segments de droites dans le plan » (1835-1837). C’est une préfiguration de la notion de vecteurs et du calcul vectoriel actuel. Ses travaux influencèrent ceux de Grassmann pour l’introduction de sa théorie des vecteurs en 1844.

activités de recherche

34 Un problème de parallélisme

EXERCICES

Narration de recherche

Route surface (Vitesse surface) vs (Courant) Ct vf (Vitesse fond) Route fond

Sur le Web http://www.chronomath.com/anx/vecteur.html

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179

EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour étudier une configuration TP 37 Étudier la position relative de trois droites Compétences TICE Construire une figure géométrique Émettre des conjectures Tester une conjecture

Mathématiques Trouver l’équation cartésienne d’une droite Étudier la colinéarité de vecteurs Trouver le point d’intersection de deux droites

activités de recherche

Dans un repère orthornormé 1O ; ai, aj 2 on donne les points A(–1 ; –1), B(–1 ; 0) et C(0 ; –1).  est la courbe 1 d’équation y = . M est un point quelconque. M se projette orthogonalement en P sur l’axe des x abscisses et en Q sur l’axe des ordonnées du plan. On souhaite étudier la position relative des droites (BQ), (AM) et (CP) suivant la position du point M.

180

1. Réaliser la figure a) Affichez la grille et créez les points A, B, C. 1 puis les points M, P et Q. b) Créez la courbe  d’équation y = x c) Créez les droites (AM), (BQ) et (CP).

outil 1 outil 5

2. Conjecturer avec GeoGebra Déplacez M. Quelle conjecture faites-vous concernant ces trois droites suivant que M appartient ou non à la courbe  ? 3. Démontrer Notons (a ; b) les coordonnées du point M. a) l Calculez les coordonnées des vecteurs UAM, UBQ et UCP en fonction de a et b. l Démontrez que ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si ab = 1. l Que dire alors des droites (AM), (BQ) et (CP) lorsque M est un point de  ? b) On suppose dans cette question que ab ≠ 1 (donc M ∉ ). l Démontrez que la droite (BQ) a pour équation bx – y + b = 0. l Trouvez une équation de la droite (CP). l Calculez en fonction de a et b les coordonnées de N intersection des droites (CP) et (BQ). l Vérifiez que A, N et M sont alignés. Concluez.

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EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour étudier une configuration TP 38 Droite mobile autour d’un point fixe TICE

Mathématiques

Construire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Afficher une trace. Émettre des conjectures.

Trouver l’équation cartésienne d’une droite. Calculer les coordonnées d’un point, intersection de deux droites.

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2 on donne les points A(1 ; 0), B(0 ; 1) et C(–1 ; 0). d est la droite passant par O de coefficient directeur m (m est un nombre différent de 0, de 1 et de –1). La droite d coupe la droite (AB) en M et la droite (BC) en N. Les droites (MC) et (AN) se coupent en P. L’objectif est de trouver sur quelle ligne se déplace P lorsque la droite d pivote autour de O. 1. Réaliser la figure a) Affichez la grille et créez les points O, A, B et C, puis tracez les droites (AB) et (BC).

outil 1

b) Créez un curseur pour le paramètre m. Réglages : –10  m  10 ; incrément : 0,1.

outil 3

c) Créez la droite d d’équation y = mx, puis les points M, N. d) Tracez les droites (MC) et (NA), puis créez le point P. 2. Conjecturer avec GeoGebra Activez la trace de P et déplacez le curseur. Sur quelle ligne semble se déplacer le point P ? 3. Démontrer a) l Trouvez une équation de la droite (AB) puis de la droite (BC). Déduisez-en, en fonction de m, les coordonnées des points M et N.

l

b) l Démontrez que le vecteur au(2 + m ; m) est un vecteur directeur de la droite (CM). l Déduisez-en une équation de la droite (CM).

activités de recherche

Compétences

c) l Démontrez que le vecteur av(2 – m ; m) est un vecteur directeur de la droite (AN). l Déduisez-en une équation de la droite (AN). d) Calculez les coordonnées du point P et concluez.

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181

EXERCICES

Entraînement 50 Les points M, N, P sont tels que :

de  tête

3  aj. 5 Pour quelle valeur de x les points M, N, P sont-ils alignés ?

ZMN = 5ai + 2aj

39 d a pour équation x – y + 1 = 0. Trouvez les coordonnées de deux points de d.

40 Les vecteurs au(213 ; 3) et av(4 ; 213) sont-ils colinéaires ?

41 On donne au(3 ; –2) et av(x ; 4). Trouvez x pour que les deux vecteurs soient colinéaires.

42 Trouvez une équation de la droite d passant par le point A(0 ; 2) et de coefficient directeur 3.

51 On donne les points A(3 ; 2) et B(–2 ; 1). La droite (AB) coupe l’axe des abscisses en M et l’axe des ordonnées en N. Sans utiliser une équation de (AB), calculez les coordonnées de M et N. 52 M est un point de la droite d parallèle à l’axe des ordonnées.

A

2 tion y = –   x + 4. 3

56

46 Dans chacun des cas suivants, dites si les vecteurs au et av sont colinéaires ? 2 a) au = 2ai – 3aj et av =  ai – aj. 3 1 1 b) au = 2ai + 3aj et av = –   ai –  aj. 3 2 47 au et av sont deux vecteurs tels que :

1 3  ai –  aj et av = xai – aj. 2 4 Comment choisir x pour que au et av soient colinéaires ?

au =

1 3 1. Calculez x et y pour que au  ; y et av x ; soient 2 4 colinéaires à rw(–1 ; 3).

1

2

1

2

2. Déduisez-en le réel k tel que av = kau.

49 Dans chacun des cas suivants, dites si les points A, B et C sont alignés. 1 3 7 a) A(–1 ; 1), B  ; 2 , C –   ; . 2 4 6 b) A(–5 ; 2), B(3 ; –1), C(8 ; –3).

1

182

2 1

2

–3

5

C

Les droites (AB) et (CM) sont parallèles. Quelle est l’ordonnée de M ?

53 On donne les points A(–3 ; 1), B(2 ; 6), C(12 ; –4) et D(7 ; 6). Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [DC]. Les points M et N sont tels que : 5ZDM = YDB et 5YCN = YCA.

Vecteurs colinéaires

48 au, av et rw sont trois vecteurs.

2

2 j –1 O i 1

44 Trouvez un vecteur directeur de la droite d d’équa-

Pour les exercices 46 à (O ; ai, aj ) est un repère.

d

B

4

43 Trouvez un vecteur directeur de la droite d d’équation 2x – 5y + 3 = 0 et dites si le point A(6 ; 3) est un point de la droite d.

45 Les vecteurs au et av ont pour coordonnées respectives (–3 ; 2) et (1 ; 3). Quelles sont les coordonnées de 2au + av ?

UMP = xai –

et

1. Calculez les coordonnées de I, J, M et N. 2. Le point K étant le milieu du segment [MN], démontrez que les points I, J et K sont alignés.

54 On donne les points A(–2 ; 3), B(4 ; 5) et C(27 ; 9). Démontrez que les droites (AB) et (OC) sont parallèles. 55 ABC est un triangle. 1. Construisez le point D tel que : 3 2 YAD =  YAB +  YAC. 5 5 2. En écrivant que YBD = YBA + YAD, démontrez que les vecteurs YBD et YBC sont colinéaires.

56 Pour chacune des questions suivantes : l l

faites une figure (A et B distincts) ; trouvez le nombre t tel que UMA = tUMB.

a) M ∈ [AB] et 3AM = 2AB. b) M ∈ [AB) et 2AM = 5AB. c) M ∈ [BA) et 3BM = 5AB.

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

57 Exprimez les vecteurs au, av et rw en fonction des vecteurs ai et aj.

Choisir un repère 63 ABCD est un parallélogramme. Les points P et Q

1 1 sont tels que UAQ = –   YAB et YAP =  UAD. 2 3 1. Faites une figure.

j

u

EXERCICES

Expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires

2. a) Quelles sont les coordonnées de Q, P, B, D et C dans le repère 1A, UAQ, YAP2 ?

i

b) Déduisez-en que les points C, P et Q sont alignés.

w

64 ABCD est un parallélogramme. Les points M et P

v

2 3  UDC et YBP =  YBC. 3 2 On souhaite démontrer que les points A, M et P sont alignés en choisissant un repère parmi les propositions suivantes : l 1A ; YAB, UAD2 l 1B ; YBA, YBC2 l 1C ; UCM, YCP2. sont tels que UDM =

58 ABC est un triangle. 1. Placez le point D tel que UAD = 3YAB – 2YAC. 2. a) Exprimez YBD en fonction de YAB et YAC. b) Déduisez-en que YBD et YBC sont colinéaires. Que dire alors des points B, C et D ?

1. Quel est le choix qui vous paraît le plus pertinent ? 2. Démontrez, en utilisant le repère choisi, que A, M et P sont alignés.

59 ABCD est un parallélogramme. 1. Placez les points I et J tels que : 2PBI = YAB et RAJ = 3UAD.

65 Sur la figure ci-dessous :

2. a) Exprimez PIJ et PIC en fonction de YAB et UAD.

l

b) Que pouvez-vous en conclure pour I, C et J ?

l

I est le milieu de [AB]. YKB + 5YKC = a0. l 5RJC = RJA.

60 ABC est un triangle.

J

1. Placez les points D et E tels que : UAD = 2YAB + YAC et 3RBE = YBC.

C

K

2. Exprimez YAE en fonction des vecteurs YAB et YAC. b) Déduisez-en que A, D et E sont alignés.

61 ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] tel que AB = 3CD. E est le point de la demi-droite [AD) 3 tel que AE =  AD. 2 1. Démontrez que YBE = YBA + YAE = 31YCD + YDE2.

E D

B

On veut démontrer que les points I, J, K sont alignés. On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2. 1. Calculez, dans ce repère, les coordonnées de I, J et K.

A

B

2. Déduisez-en que les vecteurs YBE et YCE sont colinéaires et que les points B, C et E sont alignés.

62 ABC est un triangle. Le

I

A C

P

point I est le milieu du segment [AB]. Le point P est tel que : YAP = YAB – 2YAC. 1. Démontrez que : YAP = YAB – 2RAI – 2RIC. 2. Déduisez-en que YAP et RIC sont colinéaires. Que dire alors des droites (AP) et (CI) ?

B

2. Concluez.

66 ABC est un triangle. Le point M est le milieu du segment [AB] et le point I celui du segment [MC]. Le point K est tel que 3YCK = YCB. On veut démontrer que les points A, I et K sont alignés. 1. Choisissez un repère et calculez les coordonnées de M, I et K dans ce repère.

I

2. Concluez.

67 ABC est un triangle. Les points I et J sont tels que :

A

C

1  YAB et RAJ = 4YAC. 4 Après avoir choisi un repère, démontrez que les droites (IC) et (BJ) sont parallèles.

PAI =

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183

EXERCICES

b) Trouvez une équation de d puis de d’.

Équation cartésienne d’une droite Pour les exercices

2. Quelles sont les coordonnées de leur point d’intersection ?

68 à 78 1O ; ai, aj 2 est un repère.

68 Dans chacun des cas suivants, trouvez une équa-

tion de la droite d définie par le point A et le vecteur au. a) A(–2 ; 4) et au =3ai + aj.

b) A(–2 ; 5) et au = 2ai.

c) A(1 ; 2) et au = –4aj.

69 La droite d passe par les points A et B. Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation de d. a) A(1 ; 5) et B(–3 ; 2).

b) A(3 ; 0) et B(0 ; 2).

c) A(4 ; 2) et B(4 ; –3).

d) A(2 ; –2) et B(4 ; –2).

1. a) Quel est son coefficient directeur ? b) Quelle est son ordonnée à l’origine ? 3 2. Le point A d’ordonnée est un point de d. Quelle est 2 son abscisse ? d1 d2 2

d4

j O i

–3

2 3 d3

–4 –5

2. Trouvez une équation pour chacune des trois autres droites.

72 La droite d passe par le point A et au est un vecteur

directeur. La droite d’ passe par B et av est un vecteur directeur.

B

A

v j O i

1. a) Reproduisez la figure ci-dessous et tracez les droites d et d’.

184

b) d2 : 3y – x + 1 = 0. 3 7 d) d4 :  x – 2y + = 0. 4 2

74 Les droites d et d’ ont respectivement pour équation : 7x – 3y + 2 = 0 et 5x – 2y – 8 = 0. 2. Quelles sont les coordonnées de leur point d’intersection ?

75 La droite d est définie par les points A(0 ; –2) et B(6 ; 6). La droite ∆ est définie par le point C(–2 ; 3) et par le vecteur directeur au tel que au = 5ai – aj. 1. Démontrez que d et ∆ sont sécantes. 2. Calculez les coordonnées de leur point d’intersection.

76 La droite d1 est définie par le point A(4 ; 3) et le vecteur directeur au(2 ; 1). La droite d2 passe par les points B(1 ; 5) et C(4 ; 2). La droite d3 passe par O, origine du repère, et a pour 4 coefficient directeur . 5 1. Faites une figure. 2. Ces trois droites sont-elles concourantes ?

1. Quelle est la droite qui a pour équation 2x – y – 4 = 0 ?

u

a) d1 : 3x – 2y + 5 = 0. x y c) d3 : + – 1 = 0. 3 2

1. Démontrez que les droites d et d’ sont sécantes.

70 La droite d a pour équation 2x – 3y + 5 = 0.

71 Les droites d1, d2, d3 et d4 sont représentées sur la figure ci-contre.

73 Les droites d1, d2, d3 et d4 sont définies par une équation. Déterminez pour chacune d’elles un point et un vecteur directeur.

77 Les droites d1 et d2 ont respectivement pour équation 3x – 2y – 8 = 0 et 5x + 4y – 6 = 0. La droite ∆ a pour équation : 2mx – (m + 1)y – 8 = 0. Comment choisir le réel m pour que ces trois droites soient concourantes ? 78 Équation cartésienne d’une droite particulière A est un point de l’axe des abscisses de coordonnées (p ; 0) et B un point de l’axe des ordonnées de coordonnées (0 ; q) avec p ≠ 0 et q ≠ 0.

q

B

j O i

x y + –1=0 p q A p

1. Démontrez que la droite (AB) a pour équation : x y + – 1 = 0. p q 2. On donne les points C(3 ; 0) et D(0 ; –2). Déduisez-en, sans calcul, une équation de la droite (CD).

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82 ABC est un triangle. A’ et C’ sont deux points tels que : A’ est le symétrique de A par rapport à C et C’ celui de C par rapport à A. Le point K est le milieu du segment [BC]. La droite (A’K) coupe (AB) en I et la droite (C’K) coupe (AB) en J. A’

79 Quelles sont les coordonnées du point M intersection des droites (AB) et (CD) ?

4 B M j O i

C 2

A 5

EXERCICES

Pour les exercices 79 à 81 On pourra utiliser le résultat de l’exercice 77 .

C K

–3 D A

80 Les droites (DI) et (BJ) se coupent en C. 4 D

J

I

B

C’ On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2.

2

2. a) Déduisez-en les coordonnées de I et J.

I 3

M

A

b) Quel lien existe-t-il entre les vecteurs YAJ, PJI et PIB ?

C

P j

1. Trouvez une équation de (A’K) puis de (C’K).

N

J

i

B 4

Position relative de deux droites

1. À partir des renseignements portés sur la figure, trouvez les coordonnées du point C.

Pour les exercices 83 à 1O ; ai, aj 2 est un repère.

2. Les points M, N et P sont les milieux respectifs des segments [AC], [BD] et [IJ]. Démontrez que ces trois points sont alignés.

83 Trouvez une équation de la droite ∆ passant par le point A(–1 ; 4) et parallèle à la droite d d’équation : 3x – 2y + 1 = 0.

81 ABCD et AIKJ sont deux parallélogrammes disposés comme l’indique la figure ci-dessous.

84 Trouvez une équation de la droite ∆ passant par le point A(–3 ; 5) et parallèle à la droite d d’équation : 2 y =  x – 3. 3

D

C

87

85 Trouvez une équation de la droite ∆ passant par J

K M

A I B 2 1 RAI =  YAB et RAJ =  UAD. 3 2 Le point M est l’intersection des droites (DI) et (BJ). On se propose de démontrer que les points M, K et C sont alignés. On choisit le repère 1A ; RAI, RAJ2. 1. Quelles sont les coordonnées de B, C, D, K ? 2. Trouvez les coordonnées de M, intersection des droites (DI) et (BJ). 3. Concluez.

le point C(3 ; 2) et parallèle à la droite d définie par les points A(–1 ; 5) et B(2 ; –2).

86 Pour quelle valeur de m, la droite d d’équation mx – 3y + 2 = 0 est-elle parallèle à la droite ∆ d’équation 3x – 2y + 4 = 0 ? 87 Dans chacun des cas suivants dites si les droites d et d’ sont confondues, parallèles distinctes ou sécantes. Si ces droites sont sécantes, calculez les coordonnées de leur point d’intersection. 2x – y + 5 = 0 8x + 2y + 6 = 0 3 a) b) 3x – 5y + 6 = 0 3x +  y – 5 = 0 4 x + 3y – 6 = 0 c) 1  x + y – 2 = 0 3

5 5

5

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185

EXERCICES

LOGIQUE

88 Implication et équivalence

P et Q sont deux propositions. Dites chaque fois si P ⇒ Q ; Q ⇒ P ; P ⇔ Q. a) M et N sont deux points distincts. P « YIM = PNI », Q « I est le milieu de [MN] ». b) A, B, M sont trois points distincts du plan. P « UMA et UMB sont opposés », Q « MA = MB ». c) A, B, C sont deux à deux distincts. P « Il existe un réel k tel que CA = |k| CB ». Q « Les points C, A, B sont alignés ». d) d et d’ sont deux droites d’équations respectives mx + y – 1 = 0 et x + ny + 1 = 0. P « d // d’ », Q « mn = 1 ».

89 Position relative de

A L G O R IT

H M IQ U E

deux droites Écrivez un algorithme dont le but est d’étudier la position relative de deux droites dont on connaît les équations cartésiennes dans un repère 1O ; ai, aj 2. d1 : a1x + b1y + c1 = 0 (a1 ≠ 0 ou b1 ≠ 0) ; d2 : a2x + b2y + c2 = 0 (a2 ≠ 0 ou b2 ≠ 0). Pensez au cas où d1 et d2 sont confondues.

ROC

Restitution organisée de connaissances

91 Équation d’une droite Prérequis : 1. Dire que deux vecteurs au(X ; Y) et av(X’ ; Y’) sont colinéaires équivaut à dire que XY’ – X’Y = 0. 2. Dire que le point M appartient à la droite (AB) équivaut à dire que UAM et YAB sont colinéaires. 1. Démonstration Démontrez que la droite d passant par les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) a pour équation : (yB – yA)x – (xB – xA)y + xByA – xAyB = 0. 2. Application La droite (AB) coupe l’axe des abscisses en M et l’axe des ordonnées en N. Quelles sont les coordonnées de ces deux points ?

B

5 A

–2

3 j O i

4

Prendre toutes les initiatives Avec les tice 90 Un parallélisme étonnant

Dans un repère 1O ; ai, aj 2 on donne les points A(–2 ; 0), B(0 ; –3) et C(0 ; 4). M est un point de l’axe des abscisses distinct de A et O. La droite d, parallèle à (AB) passant par M, coupe l’axe des ordonnées en J. La droite ∆, parallèle à (CM) et passant par B, coupe l’axe des abscisses en I. On s’intéresse au comportement de la droite (IJ) lorsque M décrit l’axe des abscisses privé du point O.

l

1. Expérimenter avec GeoGebra a) Affichez la grille et créez les points A, B, C. b) Créez un point M quelconque distinct de A et O. c) Créez les droites d et ∆ puis les points I et J. d) Créez la droite (IJ).

5

93 ABC est un triangle. À tout nombre m, m ≠ 1, on associe les points P et Q tels que : YAP = YAB + mYAC UAQ = (m + 1)YAB + YBC. Démontrez que le vecteur YPQ est colinéaire à un vecteur fixe que l’on précisera.

94 ABC est un triangle. I et J sont deux points tels que : 4PAI = YAB et 3RAJ = 2YAC. La droite (IJ) coupe la droite (BC) en K.

e) Affichez dans la fenêtre algèbre son équation sous la forme y = mx + p.

K

f) Déplacez le point M sur l’axe des abscisses. Que pouvez-vous conjecturer pour la droite (IJ) ?

J

2. Démontrer On note m l’abscisse de M avec m ≠ 0 et m ≠ –2. a) Calculez les coordonnées de I et J. b) Démontrez que PIJ est colinéaire à YAC. Concluez.

186

92 au, av et rw sont trois vecteurs tels que : au + av = 2rw av – 3au = 4rw. Démontrez que au et av sont colinéaires et trouvez le nombre k tel que av = kau.

C

I A

B

Trouvez les nombres k et t tels que : YKB = kYBC et RK J = t PIJ.

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95 Équations de droites et alignement ABC est un triangle. O est un point tel que : 1 YBO =  YBC. 3 d1 et d2 sont deux droites parallèles passant respectivement par B et C. La parallèle à (AB) passant par O coupe la droite d2 en J et la parallèle à (AC) passant par O coupe la droite d1 en I. C

d2

J O B

A

d1

On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2. 1. Calculez les coordonnées des points I, J et K en fonction de t.

EXERCICES

Approfondissement 2. Pour quelle valeur de t non nulle les points I, J et K sont-ils alignés ? Vérifiez à l’aide d’un dessin.

99 Écrire un algorithme

A L G O R IT

H M IQ U E

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points M(xM ; yM) et N(xN ; yN). On rappelle que le vecteur au(–b ; a), avec a ≠ 0 ou b ≠ 0, est un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0. Le but de l’algorithme ci-dessous est de déterminer une équation cartésienne ax + by + c = 0 de la droite (MN), lorsque M et N sont distincts.

I Le but de l’exercice est de démontrer l’alignement des points A, I et J. On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2. 1. Quelles sont les coordonnées de O ? 2. Le vecteur au(1 ; m) est un vecteur directeur des droites d1 et d2, (m ≠ 0). a) Trouvez une équation de d1 et d2. b) Déduisez-en les coordonnées de I et J. Concluez.

96 Droites concourantes

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, la droite d1 passe par le point A(4 ; 3) et a pour vecteur directeur au(3 ; 2). La droite d2 passe par B(6 ; 0) et a pour vecteur directeur av(2 ; –1). d3 est une droite passant par C(4 ; –2) et rw est un de ses vecteurs directeurs. Démontrez que d1, d2 et d3 sont concourantes si et seulement si rw est colinéaire au vecteur 4ai – 9aj.

97 Droites concourantes ABCD est un rectangle. Les points I, J,K et L sont tels que : l 3PAI = YAB  l 4RA J = UAD  l 8YBK = 3YBC  l 6RDL = YDC. Le but de l’exercice est de démontrer que les droites (LI), (JK) et (AC) sont concourantes. Pour cela on choisit le repère (A ; PAI, YAJ). 1. Trouvez les coordonnées des points B, D, C, L et K. 2. a) Trouvez les coordonnées du point d’intersection des droites (AC) et (LI). b) Achevez la démonstration.

98 ABC est un triangle et t un nombre non nul. Les points I, J et K sont tels que : l PAI = t YAB  l RCJ = t YCA 

l

YCK = –t YCB.

1. Précisez l’objectif des lignes 14 à 17. 2. Complétez les lignes 21 et 22. 3. Testez votre algorithme avec M(3 ; 1) et N(0 ; 3). Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité

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187

EXERCICES

100 ABC est un triangle. Le point I est le milieu du segment [AB]. Les points J et L sont tels que : 2PJB + 3RJC = a0 et 3RLC = 2RLA. 1. Faites une figure. 2. a) Exprimez les vecteurs PIJ et PIL en fonction de YBC et YBA. b) Déduisez-en que les points I, J et L sont alignés.

101 Vecteurs colinéaires et alignement ABCD est un parallélogramme de centre O. Le point M est le symétrique de O par rapport à D et K celui de C par rapport à B. G est le centre de gravité du triangle ADB. La droite (MC) coupe la droite (AD) en P. La droite (MG) coupe la droite (AB) en Q. P

M

D

C O

A

G

Le but de l’exercice est de démontrer que les points P, Q et K sont alignés. On choisit le repère 1A ; YAB, YAD2. 1. Calculez les coordonnées des points O, M, K et G. 2. Déduisez-en, à l’aide de la colinéarité de vecteurs, les coordonnées des points P et Q. 3. Concluez.

102 Droites parallèles ou concourantes OIKJ est un carré. A est un point de la droite (OI) et B un point de la droite (OJ). Le but de l’exercice est d’étudier la position relative des droites (AB’), (A’B) et (OK). B’ A’

J

O

K

I

A

Note Une expérimentation avec GeoGebra est possible.

On choisit le repère 1O ; ROI, YOJ2 et dans ce repère on note (a ; 0) les coordonnées de A et (0 ; b) celles de B. 1. a) Démontrez que « (A’B) parallèle à (AB’) » équivaut à « a + b = 1 ».

188

a) Trouvez une équation de la droite (OK). b) Démontrez que (b – 1)x + ay – ab = 0 est une équation de la droite (BA’). c) Déduisez-en que le point M, intersection de (OK) et (A’B), a pour coordonnées : ab ab  ; . a+b–1 a+b–1 3. Démontrez que les points A, M et B’ sont alignés. Concluez.

1

2

103 Comportement d’une droite TICE ABCD est un rectangle de centre O tel que : AB = 4 et AD = 3. À tout point M on associe le point N tel que : IMN = 2UMA + UMB + UMC. Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la droite (MN) lorsque M varie. 1. Expérimenter avec GeoGebra b) Saisissez : N=M+2vecteur[M,A]+vecteur[M,B]+vecteur[M,C].

K

B

2. Dans cette question on suppose a + b ≠ 1.

a) Créez le rectangle ABCD et placez un point M.

B

Q

b) Déduisez-en que si a + b = 1, les trois droites (OK), (A’B) et (AB’) sont parallèles.

c) Créez la droite (MN). Déplacez M. Affichez la trace de (MN). Quelle particularité semble présenter la droite (MN) ? 2. Démontrer On note I le milieu de [BC] et J celui de [AI]. 1. a) Démontrez que RJB + RJC = 2PJI. b) Déduisez-en que 2RJA + RJB + RJC = a0. 2. Démontrez que UMN = 4YMJ. Concluez. Prolongement 1. Quel est l’ensemble des points M pour lesquels les vecteurs UMN et YBD sont colinéaires ? 2. On choisit le repère orthonormé 1A ; ai, aj 2 dans lequel les points B et D ont pour coordonnées respectives (4 ; 0) et (0 ; 3). Trouvez une équation de l’ensemble des points M pour lesquels les vecteurs UMN et YBD sont colinéaires.

104 « Pour tout »

LOGIQUE

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, la droite dm a pour équation mx + y – 3 = 0 où m est un nombre donné. M(x ; y) est un point du plan. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. 1. Pour tout nombre m, il existe une droite dm.

2. Pour tout nombre x, il existe un nombre y tel que M ∈ dm. 3. Pour tout nombre y, il existe un nombre x unique tel que M ∈ dm.

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5. Pour tout nombre m, il existe un unique point A indépendant de m appartenant à dm.

105 Comportement d’un point TICE ABC est un triangle, k un nombre. À chaque valeur de k on associe le point N tel que : UAN = 2kUAB + (2 – k) UAC. Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de N lorsque k varie. 1. Expérimenter avec GeoGebra 1. a) Créez les points A, B, C. Créez un curseur noté k. Réglage : –10 < k < 10 ; incrément : 0,01. b) Saisissez : N=A+(2k)vecteur[A,B]+(2–k)vecteur[A,C]. c) Activez la trace de N et faites varier k à l’aide du curseur. Que pouvez-vous conjecturer concernant le point N ? 2. Démontrer À k = 0 on associe N0 et à k = 2 on associe N2.

a) Placez ces points sur la figure et exprimez IN0N2 en fonction de YAB et YAC. b) Exprimez IN0N en fonction de YAB et YAC.

3. Nicolas veut trouver tous ces points, soit par le calcul soit à l’aide d’un tableur. Par le calcul Nicolas écrit : 50 – 3x y= avec x ∈ [0 ; 20] et y ∈ [0 ; 20]. 2 a) Justifiez son choix. b) Pourquoi x doit-il être un entier pair de l’intervalle [0 ; 20] ? c) Nicolas pose alors x = 2k donc y = 25 – 3k. En donnant à k des valeurs entières, trouvez tous les couples possibles de notes. Avec un tableur a) Créez dans une feuille de calcul, un tableau à double entrée. Chaque case représente un couple du type (x ; y) où x et y prennent les valeurs entière de 0 à 20. 1 2 3

A B x/y 0 0 1

C 1

Avec ou sans tableur Chaque mois dans sa classe de 1re S, Nicolas a deux notes sur 20 en mathématiques. L’une de contrôle, notée x, à coefficient 3, et l’autre de devoir à la maison, notée y, à coefficient 2. Les notes x et y sont toujours exprimées en points entiers. Nicolas calcule sa moyenne m à l’aide de la formule : 3x + 2y m= . 5 1. Dans cette question on suppose m = 11.

c) Construisez ce segment. 2. a) Sur la figure de la question précédente, placez le point M(8 ; 13). b) Quelle est la moyenne m associée à M ? Sur quel segment se trouvent tous les points associés à cette moyenne ? Construisez ce segment. c) Trouvez sur la figure les points à coordonnées entières pour lesquels la moyenne est 10.

E 3

F 4

G 5

H 6

I 7

J 8

K 9

L 10

c) Déduisez-en tous les couples (x ; y) solutions.

Prendre toutes les initiatives 107 Dans un repère 1O ; ai, aj 2, construisez l’ensemble des points dans chacun des cas suivants : a) (x – 3y + 1)2 = (y – 4x + 2)2.

b) x – 3|y| + 1 = 0.

108 Trouvez, s’ils existent, les nombres a et b tels

que : rw = aau + bav.

u w

a) Vérifiez que les notes « possibles » sont liées par la relation 3x + 2y – 55 = 0. b) Déduisez-en que dans un repère orthonormé (O ; ai, aj ) l’ensemble des points M(x ; y) sont les points à coordonnées entières d’un segment contenu dans un carré que l’on précisera.

D 2

b) Tapez en B2 la formule =(3*$A2+2*B$1)/5. Copiez la formule sur la plage de cellule B2:V22. Que représente le tableau de résultats obtenus ?

c) Déduisez-en que IN0N et IN0N2 sont colinéaires et concluez.

106 Moyenne pondérée et équation cartésienne

EXERCICES

4. Pour tout point M du plan, il existe un nombre m unique tel que M ∈ dm.

v

j O i

109 Théorème de Ménélaüs ABC est un triangle. Les points P, Q et R sont tels que : l RPA = aYPB  l YQB = bYQC  l YRC = gYRA (a ≠ 1, b ≠ 1, g ≠ 1). On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2. 1. Calculez les coordonnées des points P, Q et R. 2. Démontrez que : « P, Q et R alignés » équivaut à « abg = 1 ». Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité

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189

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Parallèle ou non ?

D Simplifiez-vous la tâche en choisissant un repère

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(0 ; 4), B(– 3 ; 1) et C(2 ; 0). 1. a) Placez les points A, B et C. b) Construisez les points M, N et P tels que : 1 l 2UMB + UMA = a0 ; l YCP = – YCA ; l YCN = –2YCB. 1 2 2. Quelle conjecture faites-vous concernant les droites (AN), (BP) et (CM) ? 3. a) Calculez les coordonnées des points M, N et P. b) Démontrez votre conjecture.

2

B De l’alignement au parallélisme D

J

ABC est un triangle. I et J sont les milieux respectifs de [AC] et de [BI]. I  La droite (CJ) coupe la droite K J (AB) en K. On se propose de trouver le nombre k tel que B C YAK = kYAB. A

1. Choisissez parmi les repères suivants : l 1B ; YBC, YBA2 ; l 1C ; YCB, RCI2 ; l 1A ; YAB, RAI2 celui qui vous paraît le mieux adapté au problème posé. Justifiez votre choix. 7 2. a) Votre repère étant choisi, calculez les coordonnées de I, J et C.

C

b) Déduisez-en celles de K, puis le nombre k. O M

E Sont-elles concourantes ?

I

A

N

A

B

ABCD est un rectangle de centre O. Les points I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD]. Les points M et N sont tels que : 4UOM + YOI = a0 et 3YON + YOJ = a0. On choisit le repère 1O ; YOI ; YOJ2. 1. a) Quelles sont les coordonnées de A, B, C et D dans ce repère ? b) Calculez les coordonnées de M et N.

3

2. Démontrez que : a) les points D, M, N sont alignés ;

b) les droites (AM) et (CN) sont parallèles.

C ABC est un triangle.

K 1. Quelles sont les coordonnées des points I, J et K dans le repère 1B ; YBC, YBA2 ? 9 2. Démontrez que les droites B I C (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes. 10

F Savoir traduire une colinéarité ABC est un triangle

1 1 1. Construisez le point D tel que YAD = –  YAB +  YAC. 2 3 11

a) Quelles sont les coordonnées de D dans ce repère ? b) Déduisez-en celles de K et concluez.

1. On souhaite construire le point G tel que YGA + 2YGB + YGC = a0.

G Un alignement

a) On note I le milieu de [AC]. Démontrez que YGA + YGC = 2RGI. b) Déduisez-en que G est le milieu de [BI]. Construisez G. 5 2. a) Construisez le point D tel que YAD = 2YAB + YAC.

190

Sur les côtés du triangle ABC les divisions sont régulières. J

2. La droite (BD) coupe la droite (AC) en K. On se propose de trouver le nombre k tel que YAK = kYAC. On choisit le repère 1A ; YAB, YAC2.

4

b) Démontrez que les points A, G et D sont alignés.

8

6

12

13

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(6 ; – 1), B(4 ; 5) et C(– 2 ; – 1). K est le point de la droite (BC) d’abscisse –5, J est le milieu de [AB]. La droite (AC) coupe l’axe des ordonnées en I. Démontrez que les points I, J et K sont alignés.

Chapitre 7 ● Vecteurs. Colinéarité « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CHAPITRE

Angles orientés et trigonométrie

D’un siècle à un autre L’effet visuel « Bullet Time » a été remis à la mode par le film Matrix (1999). Cela consiste à installer une série d’appareils photographiques tout autour de l’action afin de la capturer sous tous les angles. La somme de ces images est travaillée par ordinateur pour obtenir une scène tridimensionnelle qui peut alors être utilisée dans le film, donnant l’illusion de mouvements de caméras impossibles. Jean-Robert Argand, avec sa vision géométrique des nombres, a opéré un rapprochement déterminant entre la géométrie et l’algèbre.

En savoir plus sur Jean-Robert Argand Chercheurs d’hier p. 203

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Rappels

& Questions-tests

Point d’un cercle trigonométrique associé à un réel Sur un cercle trigonométrique, si le point M est associé à un + nombre x, alors il est aussi asso- A’ cié à tout nombre x’ tel que : x’ = x + 2kπ, k ∈ . 

B

1   Sur un cercle trigonométrique, placez les points M, N M(x) et P associés respectivement aux nombres : A

O B’

17π 29π 13π    l    l –  4 6 3 2   a) Sur un cercle trigonométrique, pourquoi 5π 11π les nombres et –  sont-ils associés au même 8 8 point M ? 117π b) En est-il de même pour  ? 8 l

Cosinus et sinus d’un réel M est le point d’un cercle trigonométrique associé au nombre x. Dans le repère orthonormé 1O ; YOA, UOB 2 : – cos x est l’abscisse de M ; – sin x est l’ordonnée de M.

l

au nombre x. N est le symétrique de M par rapport à O.

cos x

O



A’

M (x)

sin x A’

B

+

B

+

l

3   M est le point du cercle trigonométrique  associé

O

M A



A

N

B’

1. a) Comparez les coordonnées de M et N. b) Déduisez-en les expressions de cos (x + π) et sin (x + π) en fonction de cos x et sin x.

B’

Valeurs remarquables x

π 6

π 4

π 3

π 2

cos x

13 2

12 2

1 2

0

sin x

1 2

12 2

13 2

1

2. Donnez les valeurs exactes du cosinus et du sinus 4π 7π 5π de chacun des nombres  ;  ; . 3 6 4 4   Sur un cercle trigonométrique, placez les points M 3π π et N associés aux nombres et –  , puis donnez 4 6 3π π et de sin –  . les valeurs exactes de cos 4 6

 2

1 2

Relation trigonométrique fondamentale Pour tout nombre x : (cos x)2 + (sin x)2 = 1.

3

π 2

4

5   x est un nombre de l’intervalle I = –   ; 0 tel que

1 cos x = . 3

8 . 9 2. a) Sur un cercle trigonométrique, coloriez l’ensemble des points M associés aux nombres de l’intervalle I. b) Quel est le signe de sin x ? c) Déduisez-en la valeur exacte de sin x.

1. Démontrez que sin2 x =

Voir les corrigés p. 363

192

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

le radian

1 a) Avec GeoGebra, reproduisez le demi-cercle  de centre O après avoir créé les points A(1 ; 0), B(0 ; 1) et C(–1 ; 0).

C b) Créez un point M quelconque sur  puis créez l’arc AM. Sa longueur  s’affiche dans la fenêtre algèbre.

2 a) Créez l’angle kAOM. Sa mesure a s’affiche.

b) Déplacez M sur  de manière à avoir  = 1.

c) Choisissez l’unité : option unite d’angle radian. Quelle est alors la mesure affichée de a ? Un angle de 1 radian est un angle interceptant, sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1.

d) Déplacez M en C. Quelle est la valeur affichée pour  ? Que vaut a en radians ?

Activité 2

angles orientés de vecteurs

Avant d’ouvrir votre feuille de travail GeoGebra, allez sur la page : http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Outils et cliquez sur le lien permettant d’ajouter l’outil « Angle orienté » :

1 a) Avec GeoGebra, après avoir effacé les axes, créez deux vecteurs YAB = au et UCD = av, puis un cercle trigonométrique  de centre O.



b) Saisissez : M = O + u et N = O + v.

c) Créez les demi-droites [OM) et [ON), puis les intersections respectives, E et F, de ces demi-droites et du cercle . outil 7 outil 8 d) Enfin, créez les vecteurs YOE et YOF.

2 a) Utilisez l’icône

pour créer l’angle du vecteur O U E avec le vecteur UOF.

Comment l’angle de UOE avec UOF est-il indiqué sur la figure ?

b) Créez l’angle de UOF avec UOE. Comment est indiqué cet angle par rapport au précédent ?

c) Déplacez le point D de manière que F se déplace sur  dans le sens des aiguilles d’une montre. Que se passe-t-il lorsque F est diamétralement opposé à E ?



d) Continuez à déplacer F dans le même sens. Que devient alors la mesure de l’angle de UOE avec UOF ?

On dira qu’une mesure de l’angle 1 UOE, UOF 2 est une mesure en radians de l’angle orienté de vecteurs  au, av 2.

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Le rayon incident se réfléchit sur un miroir à deux pans (OA et OB). Quelle est la mesure de l’angle formé par le rayon incident et le rayon réfléchi ?

i éch réfl on ray

Un rayon lumineux se réfléchit sur un miroir plan symétriquement à la normale au point d’incidence.

normale

B

π 4

normale O

nt cide n i on ray A

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

193

COURS

1

Cercle trigonométrique. Radian 1.1 Cercle trigonométrique

Définition

1 Un cercle trigonométrique  est un cercle de rayon 1 sur lequel on a distingué

+

deux sens de parcours : celui indiqué par la flèche rouge est le sens direct , l’autre le sens indirect .

1

A

O

La longueur du cercle est 2π, celle du demi-cercle est π et celle du quart de π cercle est . 2



1.2 Le radian, une nouvelle unité de mesure d’angles  Sur un cercle trigonométrique, si un arc IJ a pour longueur x avec 0  x  p, on convient de dire que l’angle géométrique gIOJ a pour mesure x radians. A’ On crée ainsi une nouvelle unité de mesure d’angles, le radian, noté rad.

–

x

J

I

+

x

A

O 

Définition

Figure 1

2 Un angle de 1 radian est un angle interceptant, sur un cercle, un arc de

r

longueur égale au rayon du cercle. O

Relation entre radians et degrés

 Sur le cercle trigonométrique  (figure 1) la longueur de l’arc AA’ est π donc, en radians, kAOA’ = π. Mais en degrés, kAOA’ = 180°, donc π radians correspond à 180°.



l

Les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés. D’où le tableau de proportionnalité ci-contre.

l

degrés d radians a

r

1 r

Figure 2

180°

90°

60°

45°

30°

π

π 2

π 3

π 4

π 6

Du tableau de proportionnalité, on déduit la formule : 180 × a = p × d. 180 l Un angle de 1 radian a pour mesure en degrés : ≈ 57,30°. π

2

Angle orienté d’un couple de vecteurs 2.1 Angle orienté de vecteurs : une définition par la mesure Comme pour un cercle trigonométrique, tout cercle du plan peut être orienté : la flèche rouge indique le sens direct. Avec ce choix, on dit que le plan est orienté.

N 

+

B 

A M O au et av sont deux vecteurs non nuls.  est un cercle trigonométrique de centre O. On pose IOM = au et ZON = av. Les demi-droites [OM) et [ON) v u coupent  en A et B.  On note  est la longueur de l’arc AB parcouru de A vers B dans le sens direct (  0). Au couple de vecteurs 1 UOA, UOB 2 on associe la famille de nombres réels de la forme  + 2kπ, k ∈ Z.

194

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS Définition

3 Chacun des nombres de la forme  + 2kπ est une mesure de l’angle orienté de vecteurs  au, av 2.

Conventions d’écriture L’usage est de noter  au, av 2 un angle de vecteurs et de confondre un angle avec l’une de ses mesures. π π On écrit  au, av 2 = ou  au, av 2 = + 2kπ. Donc si x est une mesure de  au, av 2, toute autre mesure 4 4 s’écrit y = x + 2kπ, k ∈ .

2.2 Mesure principale d’un angle orienté de vecteurs Parmi les mesures x + 2kp de l’angle orienté  au, av 2 de deux vecteurs non nuls, il en existe une et une seule dans l’intervalle I = ]–p ; p]. Cette mesure est la mesure principale de  au, av 2.

l

La valeur absolue de la mesure principale de  au, av 2 est égale à la mesure, en radians, de l’angle géométrique défini par au et av.

l

Souvent, la mesure principale de  au, av 2 s’obtient à partir de l’une de ses mesures a en écrivant après division : a = b + k(2p) avec –p < b < p.

Exemples

37 1 π π l  p = + 3(2p) ; la mesure principale est .  p = 6 + 6 6 6 6 202π 1 π π 2π 2π l  p = + 67p = 68p – p + = –  + 34(2p) ; la mesure principale est donc –  . = 67 + 3 3 3 3 3 3 2π 2π . L’angle géométrique associé a pour mesure  –    = 3 3

1

2

1

2

|

|

2.3 Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs Si a est une mesure en radians de l’angle orienté  au, av 2, alors toute autre mesure est du type a + 2kp. Or, sur le cercle trigonométrique, a et a + 2kp sont associés au même point M donc cos (a + 2kp) = cos a et sin (a + 2kp) = sin a. Définition

4 Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté  au, av 2 est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures en radians. On note cos  au, av 2 (resp. sin  au, av 2).

Conséquence. Si b est la mesure principale de  au, av 2 et q la mesure en

B

radians de l’angle géométrique associé jAOB, on sait que q = |b|. D’où : l

si b  0, |b| = b = q donc cos q = cos b ;

l

si b < 0, |b| = –b = q donc cos q = cos (–b) = cos b.

+ v

v

A e u

O

Ainsi, l’angle orienté de deux vecteurs  au, av 2 et l’angle géométrique associé ont le même cosinus.

u

2.4 Plan orienté, repère orthonormé direct Une unité de longueur étant choisie, dans le plan orienté, dire que le repère 1O ; ai, aj 2 est orthonormé direct équivaut à dire que i ai i = i aj i = 1 et 1 ai, aj 2 = π . 2 Sur la figure ci-contre, on a associé le repère orthonormé direct 1O ; ai, aj 2 au cercle trigonométrique  de centre O.

B j

A’

O 

+ / 2 i

B’

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

A –

195

COURS

3

Propriétés des angles orientés 3.1 Angles orientés et colinéarité L’angle  au, av 2 permet de traduire la colinéarité de deux vecteurs non nuls au et av. En effet, d’après la définition des mesures d’un angle orienté : 1 au, au 2 = 0 et 1 au, –au 2 = π. D’où le théorème suivant.

Théorème

1

au et av sont colinéaires et de même sens équivaut à 1 au, av 2 = 0. l

au et av sont colinéaires et de sens contraires équivaut à 1 au, av 2 = p.

l

+

u

u

v

+

v

En pratique. Le théorème 1 donne un outil pour démontrer le parallélisme de deux droites et l’alignement de trois points. En additionnant n’importe quelles mesures de  au, av 2 et de  av, rw 2, on obtient une mesure de  au, rw 2. Réciproquement, toute mesure de  au, rw 2 peut s’écrire comme la somme d’une mesure de  au, av 2 et d’une mesure de  av, rw 2.

3.2 La relation de Chasles Théorème (admis)

2 Pour tous vecteurs non nuls au, av, rw : 1 au, av 2 + 1 av, rw 2 = 1 au, rw 2.

Exemple. Avec la figure ci-contre : 1 YBA, UCD2 = 1 YBA, UBC 2 + 1 UBC, UCD2.

Donc 1 YBA, UCD2 = – 

Conséquences

D

+

w

– 3/ 4

3π π 5π + = –  . 4 3 12

A

C

v

B

u

/ 3 v

Pour tous vecteurs non nuls au et av : 1

 av, au 2 = –  au, av 2  

2

 au, –av 2 =  au, av 2 + p  

3

–au, av 2 =  au, av 2 + p  

4

–au, –av 2 =  au, av 2 

Les figures ci-dessous illustrent les résultats précédents : v

v v

v –u

u u



  

–v

figure 1

   figure 2

–u

u

  

figure 3

Démonstrations  au, au 2 = 0. Or, d’après la relation de Chasles,  au, au 2 =  au, av 2 +  av, au 2. Donc  au, av 2 +  av, au 2 = 0, soit  av, au 2 = – au, av 2. 1

2

u

figure 4 On démontre de la même façon les règles 3 et 4 . Voir ROC, exercice 74.

 au, –av 2 =  au, av 2 +  av, –av 2. Or  av, –av 2 = p, donc  au, –av 2 =  au, av 2 + p.

Remarque. On ne change pas la mesure d’un angle orienté  au, av 2 en remplaçant l’un ou l’autre des vecteurs par un vecteur non nul colinéaire et de même sens. 2au, av 2 =  au, av 2 ;  au, 3av 2 =  au, av 2 ;  2au, 3av 2 =  au, av 2. 196

–v

3v v

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u

2u

Objectif

1

Calculer le cosinus et le sinus d’angles associés

EXERCICES

Application On appelle angles associés à un angle orienté de mesure x en radians les angles dont une mesure π π est : –x, π – x, π + x, – x, + x. 2 2 l À l’aide d’une figure, on peut déterminer les expressions des cosinus et sinus d’angles associés. Pour cela, on trace un cercle trigonométrique, puis on place le point M associé à x et le point M’ π π associé à –x, π – x, π + x, – x ou + x. 2 2 l

B A’ 

(/ – x) M’ A’

A

O

 B’ M’ (–x)

 A’

O

/–x 2 M (x)

O

A’

1

2

(/ + x) M’

sin

1 π2 – x2 = cos x

B

1

2

1

2

M (x) cos π + x = –sin x 2 A π sin + x = cos x 2

O



B’

cos (π + x) = –cos x sin (π + x) = –sin x

/+x M’ 2 A’

A

O



cos (π – x) = –cos x sin (π – x) = sin x

π cos – x = sin x 2

A

M (x) A

B’

cos (–x) = cos x sin (–x) = –sin x B M’

B M (x)

B

M (x)

B’

B’

Mise en pratique

1 Sur un cercle trigonométrique , on a placé 1. Placez sur  les points associés à : le point M associé à

π . 6

+ A’ 

l

B

O

/ M 6 A

3π + x, 

l

5π – x, 

l

5π – x,  2

l

π . 2

x–

2. Simplifiez l’expression : 5π π . – x + sin (3π + x) + cos (5π – x) + cos x – sin 2 2

1

2

1

2

3 Simplifiez les expressions suivantes. B’

1 π2 – x2 + cos (π – x) + sin (x). π π b) sin 1x – 2 – cos (x + π) + cos 1x – 2 – sin (x – π). 2 2 a) sin (π + x) + cos

1. Placez les points N, P et Q associés respectivement à : 5π 7π π 4 1. Sur le cercle trignométrique  associé l    l    l –  . 6 6 6 au repère orthonormé direct 1O ; YOA, UOB 2, placez 2. Déduisez-en le cosinus et le sinus de ces angles. 3 π le point M tel que cos x = et x ∈ –   ; 0 . 5 2 2 Sur le cercle trigoB 2. Calculez : + nométrique  ci-contre, M (x) a) sin x ; on a placé le point M asso- A’ A π – x  ; b) sin cié à x. O 2  c) cos (π – x) ; B’ d) sin (π + x).

3

1

4

2

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

197

EXERCICES

Objectif

2

Résoudre dans R les équations cos x = cos a et sin x = sin a

Pour résoudre dans  les équations cos x = cos a et sin x = sin a, on peut utiliser un cercle trigonométrique. l Il existe deux points, M et M’, d’abscisse cos a. D’où les solutions dans R : B M x = a + 2kπ, k ∈  x = –a + 2kπ, k ∈  A’ A O cos a l M et M’ sont confondus  M’ si cos a = 1 ou cos a = –1. B’

5

l Il existe deux points, M et M’, d’ordonnée sin a. D’où les solutions dans R : B sin a M’ M x = a + 2kπ, k ∈ 

5 x = π – a + 2kπ, k ∈ 

M et M’ sont confondus si sin a = 1 ou sin a = –1.

A’

A

O

l



B’

Résoudre des équations en utilisant un cercle trigonométrique

Exercice résolu B

Résoudre dans  les équations suivantes :  1. cos x = cos Méthode

π 5π  ;    2. sin x = sin . 3 6

Solution

1. On utilise un cercle trigonométrique. On repère les points d’abscisse cos a.

1. Sur , il existe deux points / M π 3 d’abscisse cos . 3 Donc les solutions de l’équation cos / π 3 cos x = cos sont : 3 π x = + 2kπ, k ∈  / M’ – 3 3 π x = –  + 2kπ, k ∈ Z 3 2. Sur , il existe / 5/ M sin 5/ M’ 6 deux points M 6 6 et M’ d’ordonnée 5π sin . 6 Donc les solutions de l’équation sont : 5π + 2kπ, k ∈ Z x = 6 π x = + 2kπ, k ∈ Z 6

5

2. On utilise un cercle trigonométrique. On repère les points d’ordonnée sin a.



5

Mise en pratique

5 Résolvez dans  les équations suivantes.

2π 5π a) cos x = cos . b) sin x = sin . 3 4 5π 5π . d) cos x = cos . c) sin x = sin –  6 6 6 Trouvez les nombres x de l’intervalle [0 ; 2π[ tels que : π π 3π . a) cos x = cos  ; b) sin x = sin  ; c) cos x = cos 3 6 4 7 Trouvez les nombres x de l’intervalle [–π ; π[ tels que : π π b) cos x = cos  ; a) sin x = sin –   ; 4 6 π 2π d) cos x = cos  . c) sin x = sin –   ; 3 3

1

2

1 2 1 2

198

8 Résoudre une équation du type cos x = c ou sin x = s 1. Dans cette question, on veut résoudre l’équa1 tion cos x = –  dans l’intervalle [0 ; 2π[ . 2 a) Justifiez l’affirmation : 1 « résoudre cos x = –   » équivaut à « résoudre 2 2π  ». cos x = cos 3 b) Résolvez alors l’équation. 2. Reprenez la démarche de la question 1. pour 13 résoudre l’équation sin x = dans l’intervalle 2 [0 ; π].

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3 l l

EXERCICES

Objectif

Trouver la mesure principale d’un angle orienté Un angle orienté a une seule mesure, en radians, dans l’intervalle ]–π ; π]. C’est sa mesure principale. 1 1 au, –av 2 = 1–au, av 2 = 1 au, av 2 + π.   2 1–au, –av 2 = 1 au, av 2.   3 1 au, –au 2 = π.

Exercice résolu C Dans le plan orienté, ABCD est un trapèze rectangle, ADC un triangle D rectangle isocèle et CAB un triangle isocèle. Trouvez, en radians, la mesure principale des angles orientés suivants.

C

+

a) 1 UAD, UAC 2   b) 1 YCB, YBA2   c) 1 YBC, UAD2

l On cherche la mesure en radians de l’angle géométrique associé jDAC. l On tient compte de l’orientation.

On se ramène à 1 YBC, YBA2 en utilisant 1 .

l

On cherche la mesure de jABC.

l

On tient compte de l’orientation.

1 UAD, YAC2 = –  π . Comme –  π

∈ ]–π ; π], c’est 4 4 la mesure principale de 1 UAD, YAC2.

l

b) 1YCB, YBA2

b) YCB et YBA ont une « extrémité » commune. l

B

a) 1UAD, UAC2 π l jDAC = . 4

a) UAD et UAC ont la même origine.

1 YCB, YBA2 = 1–YBC, YBA2 = 1 YBC, YBA2 + π.

1 π 3π π– = . 2 4 8 1 YCB, YBA2 = 3π + π = 11π . 8 8 11π 16 5 5π π = –  = – + 2π. 8 8 8 8 5π est la mesure principale de 1 YCB, YBA2. –  8 c) 1YBC, UAD2 D C E +

1

jABC =

1

l On cherche la mesure principale (voir le cours page 195, paragraphe 2.2).

c) Les vecteurs YBC et UAD n’ont pas « d’extrémité » commune. l On remplace UAD par un vecteur colinéaire et de même sens, d’origine B. l On cherche la mesure de hCBE.

l

A

Solution

Méthode

l

2

2

1 YBC, UAD2 = 1 YBC, YBE2.

π 3π π – = 2 8 8 B π A donc 1YBC, UAD2 = –  . 8 π Comme –  ∈ ]–π ; π], c’est la mesure principale 8 de 1 YBC, UAD2.

l

On tient compte de l’orientation.

hCBE =

 Mise en pratique Pour tous les exercices, le plan est orienté.

9 ABCDEF est un hexa-

+ C

11 ABC est un triangle

B

A + équilatéral tel que : D A 1 YBC, YBA2 = π . O 3 a) 1 YOA, UOC2. b) 1 YAB, YBE2. AHE un triangle rectangle c) 1 YAB, YCD2. d) 1 YAB, YOE2. E F isocèle tel que : E B H B 10 Trouvez la mesure princi- A 1 YHA, YHE2 = π . / 2 – pale de chacun des angles sui3 Trouvez la mesure principale des angles : vants. gone régulier. Indiquez la mesure des angles :

a) 1 YCA, YCB2. c) 1 YAB, YCB2.

b) 1 YBC, YCA2. C

a) 1 YAC, YAE2.

b) 1 YBA, YCB2.

c) 1 UAH, YEB2.

d) 1 REA, UCH2.

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C

199

EXERCICES

Objectif

4 l l l

Démontrer en utilisant la relation de Chasles Théorème 2. Pour tous vecteurs au, av, rw non nuls : 1 au, av 2 + 1 av, rw 2 = 1 au, rw 2. Si au = YAB, av = UCD, rw = REF, alors 1 YAB, UCD2 + 1 UCD, YEF 2 = 1 YAB, REF2.

1 YBA, UCD2 = 1 YAB, UCD2 + π.      

Exercice résolu D

l

1 YBA, UDC2 = 1 YAB, UCD2.

Prouver le parallélisme de deux droites

Le plan est orienté. Avec les renseignements portés sur la figure ci-contre, A étudiez la position relative des droites (AB) et (DE).

Méthode

D

+ – 5/ 6 B

Solution

On applique 1–au, av 2 = 1 au, av 2 + π.

l

On conclut.

E

C

1 YAB, YDE2 = 1 YAB, YBC2 + 1 YBC, UCD2 + 1 UCD, YDE2.

l On cherche, par exemple, une mesure de l’angle 1 YAB, YDE2. On utilise la relation de Chasles afin d’exploiter les angles connus de la figure.

l

/ 3

–/ 2

1 YAB, YBC2 = 1 YBA, YBC2 + π

5π π +π= . 6 6 1 YBC, UCD2 = 1 YCB, UCD2 + π soit 1 YBC, UCD2 = π . 2 1 UCD, YDE2 = 1 UDC, YDE2 + π = π + π = 4π . 3 3 π π 4π π 3π 8π 1 YAB, YDE2 = + + = + + = 2π. 6 2 3 6 6 6 Ainsi, la mesure principale de 1 YAB, YDE2 est égale à 0. Les vecteurs YAB et YDE sont colinéaires donc les droites (AB) et (DE) sont parallèles. soit 1 YAB, YBC2 = – 



Mise en pratique Pour tous les exercices, le plan est orienté.

12 Sur la figure ci-dessous, (AB) et (DE) sont deux droites parallèles. C / 4

– 2/ 3 A

B

D

? E

1. Justifiez l’égalité : 1 YDE, UDC2 = 1 YDE, YBA2 + 1 YBA, YBC2 + 1 YCB, UCD2. 2. Déduisez-en la mesure principale de 1 YDE, UDC2.

5 1. Justifiez l’égalité : 1 YBA, YCB2 = 1 YAB, YAC2 + 1 YCA, YCB2.

/ 3

A

D

13 Le triangle ABC est recπ tangle en A et 1 YCA, YCB2 = .

14 1. En utilisant la figure, justifiez que : 1 YAD, YCB2 = 1 YAD, YAC2 + 1 YCA, YCB2 + π. 2. Déduisez-en la mesure principale de 1 YAD, YCB2.

C / 5

/ 2 B

C

15 A, B, C, D et E sont des points deux à deux distincts ; 1 YAB, YAC2 = a, 1 YAC, YAD2 = b, 1 YAB, YAE2 = c. 1. Justifiez l’égalité : 1 YAD, YAE2 = – 1 YAC, YAD2 – 1 YAB, YAC2 + 1 YAB, YAE2.

2. a) On suppose que les droites (AD) et (AE) sont perpendiculaires. Quelle relation lie a, b et c ? 7π 4π 2π A B b) On suppose que a = ,b= et c = . Les 12 3 5 2. Déduisez-en la mesure principale de 1 YBA, YCB2. droites (AD) et (AE) sont-elles perpendiculaires ?

200

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Po u r

16 Questions sur le cours

17

EXERCICES

se tester Vrai ou faux

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) Quels que soient les points A, B, C distincts : 1 YAB, YCB2 – 1 YBC, YAB2 = π. b) Si 1 au, av 2, 1 rw, av 2 et 1 at, rw 2 ont respectivement pour π π 5π mesure , –  et –  , alors au et at sont colinéaires. 4 3 12 c) Pour tout nombre x : π π – x – cos – x + cos(π + x) + sin(3π – x) = 0. sin 2 2 d) M et N sont deux points d’un cercle trigonomé83π 81π et . L’abscisse de M est trique associés à 8 8 égale à l’ordonnée de N et inversement.

Complétez les propositions suivantes. a) a et d sont les mesures en radians et en degrés d’un angle. a et d sont liés par la relation …… b) Si b est la mesure principale de 1 au, av 2, alors b appartient à l’intervalle …… c) Si b est la mesure principale de 1 au, av 2 et q la mesure de l’angle géométrique associé (b et q en radians), alors b et q sont liés par la relation :

1

q = …… d) Si au et av sont deux vecteurs non nuls, alors 1 au, av 2 et 1 au, –av 2 sont liés par la relation 1 au, –av 2 = ……

2

1

2

18 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. π 1. Si 1 au, av 2 = , alors 1 au, –av 2 a pour mesure : 5 π 4π 4π b) –  c) a) –  5 5 5 π 2. L’expression sin(3π + x) + cos(x – π) – sin –x 2 est égale à : a) –sin x – 2 cos x b) –sin x c) cos x

1

2

2 π π et x ∈ –   ; 0 . Alors cos – x est égal à : 3 2 2 15 15 5 a) b) –  c) –  3 3 9 4. Dans le plan orienté, ABCD est un carré de centre O π tel que 1 YAB, UAD2 = . 1 YAC, YAB2 est égal à : 2 b) 1 YDC, YOB2 c) 1 YCO, YAB2 a) 1 YAC, YAD2

3. cos x =

3

4

1

2

19 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 3π 4 π b) 1 YBC, UOD2 = –  4 π c) 1 YCE, YDA2 = –  4

D

1. a) 1 YAD, UCO2 =

3. 1 YCA, YCB2 a pour mesure principale : 17 41π 7π a) –   π  b)   c) –  24 24 24

C

+

A

/O 2

+

B

/ 2

c) 1 YBA, YCA2 = –a.

C

_ A

– / 3/ 3 8

B

B

+

E

2. a) 1 YCA, YAB2 = p – a. b) 1 YBA, UAC 2 = p + a.

A

C 4. ABC est un triangle équilatéral. 13 a) cos 1 ZC’O, IC’B’ 2 = . 2 13 . b) sin 1 YOA, UCC’2 = 2 13 c) sin 1 UCC’, UBB’2 = –  . 2 B

A C’

+ B’

O C Voir les corrigés p. 366

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201

EXERCICES

Apprendre à chercher 20 Angles orientés et parallélisme Dans le plan orienté, on considère la figure ci-dessous où ABCD et CEFG sont deux parallélogrammes tels π π que 1 YAB, UAD2 = et 1 UCD, YCE2 = . AHD est un triangle 6 2 π équilatéral tel que 1 YHA, UHD2 = . 3 H / 3 A

D

activités de recherche

B

/ 2

G

C

a) Démontrez que sin b) Concluez.

F

E

Objectif  Prouver que les droites (AH) et (FG) sont parallèles. 1. Une façon de prouver que (AH) et (FG) sont deux droites parallèles est de démontrer que les vecteurs UAH et YFG sont colinéaires en calculant une mesure de 1 UAH, YFG2.

2π = 5

910 + 215 4

.

22 Utilisez les angles orientés pour démontrer On note : π 3π 5π 7π + sin2 + sin2 . S = sin2 + sin2 8 8 8 8 Objectif  En utilisant les angles associés, simplifier l’écriture de S. 1. On a divisé un demi-cercle trigonométrique en huit parties égales. B +

a) Décomposez l’angle de vecteurs 1 UAH, YFG2 en utilisant la relation de Chasles et les vecteurs UAD et YAB. π b) Démontrez que 1 YAB, YFG2 = . 2 2. Déduisez-en une mesure de 1 UAH, YFG2, puis concluez.

A’

21 Lignes trigonométriques d’angles associés La valeur exacte de cos

15 – 1 2π est . 4 5

O

A

π . 8 b) Placez les points N, P, Q associés respectivement à : 3π 5π 7π l    l    l . 8 8 8 c) Quelles symétries avez-vous utilisées pour placer les points ? a) Sur ce demi-cercle, placez le point M associé à

Objectif  Trouver les valeurs exactes du cosinus et du sinus des nombres suivants : 3π 7π π l    l    l 5 5 10 1. Avant de trouver les valeurs exactes du cosinus et du sinus de ces nombres, montrons que chacun d’eux est 2π la mesure d’un angle « associé » à . 5

d) Déduisez des constructions précédentes les expres3π 5π 7π π , sin et sin en fonction de sin sions de sin 8 8 8 8 π et cos . 8

a) Calculez :

2. Il reste à regrouper judicieusement les termes de la somme S pour conclure.

l

202

c) Déduisez-en les expressions du cosinus et du sinus 2π et de chacun de ces nombres en fonction de cos 5 2π . sin 5 2. Pour terminer les calculs, il faut calculer la valeur 2π exacte de sin . 5

+

/ 6

b) Sur un cercle trigonométrique, placez le point M 2π puis les points N, P, Q associés associé à 5 3π 7π π , et , en indiquant les respectivement à 5 5 10 symétries utilisées.

π–

2π  ;   5

l

π+

2π  ;   5

l

π 2π – . 2 5

Calculez S.

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EXERCICES

Narration de recherche L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

sente un écran radar. 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé j direct du plan orienté. O i D est le point du cercle  de π rayon 3 tel que 1 ai, UOD2 = –  . 2 B est le point du cercle ’ de π rayon 4 tel que 1 ai, UOB2 = . 3 L’unité choisie est le kilomètre. Un observateur placé en D dans une plaine peut-il apercevoir un objet situé en B si la visibilité est de 6,5 kilomètres ?

Eux aussi,avant erché ils ont chro de t uver !

1750

24 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct,  est le

cercle trigonométrique de centre O. 1. Construisez tous les points P de  pour lesquels le triangle MNP est isocèle. 2. Quelle est la mesure principale de l’angle 1 ai, YOP2 pour chacune des solutions trouvées ?

2/ N 3

B

M

/ 4

j A’

A O

i

 B’

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de la Géométrie.

Jean-Baptiste Delambre Hermann Günther Grassmann Chap. 10 Chap. 9 1800 1850

ÉPOQUE MODERNE

1900

ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Giusto Bellavitis Chap. 7

Jean-Robert Argand (1768-1822)

activités de recherche

23 La figure ci-contre repré-

D’origine suisse et mathématicien amateur. Des problèmes pratiques, telle la navigation, montrent que les angles géométriques ne suffisent plus et qu’il faut désormais considérer des angles dont la mesure « dépasse 180° » ou dont la mesure est négative. C’est en 1806 qu’Argand met en valeur le repérage avec les angles orientés. Ses travaux seront complétés 25 ans plus tard par Cauchy.  ur le Web http://www.chronomath.com/ S chrono/argand.html

Couverture de l’Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques publié en 1806.

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203

EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour étudier une configuration du plan orienté 25 De l’intérêt des angles orientés. Utiliser la relation de Chasles Compétences Mathématiques

TICE Construire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Animer une figure. Tester une conjecture.

Exploiter la relation de Chasles. Étudier l’orthogonalité de deux droites.

π . 2 D est le milieu du segment [BC]. Le point E est le symétrique de D par rapport au segment [AC]. M est un point de la droite ∆ médiatrice de [AC] ; M est distinct de E. La droite (CM) coupe la droite (AD) en F. On s’intéresse à la position relative des droites (AM) et (FB).

activités de recherche

Dans le plan orienté, ABC est un triangle rectangle isocèle tel que 1 YAB, YAC2 =

1. Réaliser la figure a) Affichez la grille et effacez les axes. Créez le triangle ABC et le point D.

outil 1

b) Créez la droite ∆ et le point E. (∆ sera aussi désignée par (xy).) c) Créez M, point quelconque de ∆, puis créez le point F. d) Créez les droites (AM) et (FB). 2. Conjecturer avec GeoGebra a) Déplacez le point M sur ∆. Vous constatez que la figure se modifie suivant la position de M sur ∆. Si I est le milieu du segment [AC], on obtient six figures possibles : l

M ∈ ]Ex) 

l

M ∈ ]EI[ 

l

E

M = I 

l

M ∈ ]ID[ 

I

l

M = D 

l

M ∈ ]Dy).

D

x

y

b) Quelle conjecture faites-vous concernant les droites (AM) et (FB) ? 3. Démontrer La démonstration avec les angles géométriques nécessite l’étude des six cas de figures, alors que le raisonnement avec les angles orientés est valable dans tous les cas. Note

On admettra que la symétrie orthogonale change la mesure d’un angle orienté en son opposée : 1 YOO’, ROQ 2 = – 1 YOO’, ROP 2.

+ O

P O’ Q

a) Justifiez que : 1 UAM, UAC2 = – 1 UCM, YCA2 et 1 RBA, YBF2 = – 1 YCA, YCF2. b) Utilisez la relation de Chasles : 1 ZAM, YBF2 = 1 ZAM, UAC 2 + 1 YAC, YBA2 + 1 YBA, YBF 2 π pour démontrer que 1 UAM, B Y F 2 = – 1 UCM, C Y F 2. 2

c) Pourquoi 1 UCM, YCF 2 = 0 ou 1 UCM, YCF 2 = π ? d) Concluez.

204

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

de  tête

Angles orientés

26 au et av sont deux vecteurs tels que 1 au, av 2 =

Donnez une mesure de :

π . 3

a) 1 av, au 2 ;   b) 1–au, av 2   c) 1–av, au 2. π π et 1 au, rw 2 = . 3 6 Donnez une mesure de 1 av, rw 2.

27 On sait que 1 au, av 2 =

28 On donne : 1 au, av 2 = au et at sont-ils colinéaires ?

π π π ; 1 av, rw 2 = ; 1 rw, at  2 = . 2 3 6

29 Donnez une mesure de 1 UAD, YAE2 et de 1 YCE, YCB2. D

C

E

π 2 A

B

30 1O ; YOA, YOB2 est un repère orthonormé direct et 

le cercle trigonométrique de centre O. B

N A’ 

33 1. Quels sont les nombres de l’intervalle [0 ; 2π[ associés respectivement aux points M, N, P ? 2. Reprenez la question précédente en considérant les intervalles proposés. π 3π a) [–π ; π[ b) –   ; . 2 2

3

B

P j

A’

+

O

A i

 M

3

2. a) a =

25π 4

b) a =

205π 3

35 Mesure principale

/ M 6 A

O

trigonométrique de centre O.

N

B’

34 Dans chacun des cas suivants, on donne une mesure a d’un angle orienté. Trouvez sa mesure principale. 7π 5π 37π b) a = –  c) a = 1. a) a = 2 3 6

+ π 3

Pour les exercices 33 à 37 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct.  est le cercle

EXERCICES

Entraînement

B’ P

1. Quel est le nombre de l’intervalle [0 ; 2π[ associé à N ? 2. Quel est le nombre de l’intervalle [–π ; 0] associé à P ?

c) a = – 

117π 7

A L G O R IT

H M IQ U E

1. L’algorithme (partiel) ci-dessous, écrit avec AlgoBox, a pour objectif de fournir la mesure principale d’un angle x. Ainsi, cet algorithme donne la décomposition de x sous la forme a + 2kp, avec a ∈ ]–p ; p] et k un nombre entier naturel. Math.PI est la notation utilisée par le logiciel pour le nombre p. Complétez cet algorithme.

31 1O ; YOA, YOB2 est un repère orthonormé direct.

Complétez.

a) 1 YOP, ZOM2 = ……

b) 1ZOM, UON2 = ……

c) 1 YOP, UON2 = …… B

3/ 4 P A’

M

A

O 

/ 3

N–

/ 6

B’

32 Complétez. a) 1 YAB, UAD2 = ……

b) 1 YCB, UAD2 = …… A

+

D

/ 4 / 3 B

C Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie

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205

EXERCICES

2. Pour des raisons d’arrondi, ce programme ne renvoie pas la bonne décomposition pour x = Math.PI. Un moyen de remédier à ce problème est de créer une nouvelle variable b, de lui attribuer la valeur Math.PI et d’étudier le cas x = b (entre les lignes 9 et 10). Écrivez l’algorithme ainsi modifié.

41 Dans le plan orienté, les triangles rectangles isocèles ABC et CED sont disposés comme l’indique la figure ci-dessous. D + B

36 1. Sur le cercle , placez les points M, N et P asso-

Par lecture graphique, donnez une mesure des angles orientés suivants.

A

3π 4π π ciés respectivement à a = ,b= et g = . 4 3 6 2. Placez sur  les points C, D et E associés respectivement à a = a + b + g, b = a – b – g et c = g – a – b. 3. Quelle est la mesure principale de l’angle orienté : l 1 ai, UOC2 ?    l 1 ai, UOD2 ?    l 1 ai, YOE2 ?

37 Sur la figure ci-dessous, d est la droite d’équation

π  ; M1 est le symétri5 que de M par rapport à d, M2 est le symétrique de M par rapport à (OB), M3 le symétrique de M par rapport à O et M4 le symétrique de M par rapport à (OA). y = x ; M est le point de  associé à

B

M1

M2

M

j

A’

O

M3 d

A

/ 5

i M4



B’

Quels sont les nombres de l’intervalle [–π ; π[ associés à chacun de ces points ?

38 Dans le plan orienté, ABCD est un carré de centre O tel que : 1 YAB, YAD2 = π . 2 Trouvez une mesure de 1 YBC, UOD2, puis de 1 YBA, YCO2.

39 Dans le plan orienté, ABCD est un rectangle de centre O tel que : 1 YAB, UAD2 = π et 1 YDA, YDB2 = π . 2 3

+ D

C / 2

D

C O

A

B C

A

a) 1 YAC, UBB’2  b) 1 YOA, ZCC’ 2  c) 1 ZC’O, ZC’B’2

206

1. Placez le point C tel que : 1 YAB, YAC2 = –  π   et  1 YBA, YBC2 = π . 3 6 2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

43 Dans le plan orienté, A et B sont deux points distincts. Dans chacun des cas suivants, représentez l’ensemble des points M. a) 1 YAB, ZAM 2 = 0

b) 1 YAB, ZAM 2 = π π c) 1 UMA, UMB2 = π d) 1 YAB, ZAM 2 = 3 44 Repérage d’un point dans le plan orienté 1O ; ai, aj 2 est un repère ortho+ normé direct.  est le cercle M A trigonométrique de centre K j O. G est un cercle de centre e O et de rayon r et M est un O i  point de G tel que 1 ai, ZOM2 = q. La demi-droite [OM) coupe B’  en A.

Commentaire

+

B’ π 3

42 Dans le plan orienté, A et B sont deux points distincts.

2. Déduisez-en que M a pour coordonnées : (r cos q ; r sin q).

Trouvez une mesure de 1 YOA, YOB2, puis de 1 UOD, YCB2. est un triangle équilatéral de centre O tel que : 1 YAB, YAC2 = π . 3 Trouvez une mesure de :

a) 1 YAC, YCD2  b) 1 YAB, YDC2  c) 1 YAC, YDE2  d) 1 YBC, YDE2

b) Pourquoi A a-t-il pour coordonnées (cos q ; sin q) ?

B

40 Dans le plan orienté, ABC

E

1. a) Pourquoi a-t-on ZOM = rYOA ?

O

A

/ 3

C

+

45 Dans un repère orthonormé direct 1O ; ai, aj 2,  et ’ sont les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 π et 2. A est le point de  tel que 1 ai, UOA2 = et B le point 6 3π . de ’ tel que 1 ai, UOB 2 = 4 1. a) Faites une figure et placez les points A et B. b) Quelle est la mesure principale de 1 UOA, UOB 2 ?

O C’

1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct, G le cercle de centre O et de rayon r. Si M est un point de (G) tel que 1 ai, YOM2 = q, alors M a pour coordonnées (r cos q ; r sin q).

B

2. a) Démontrez que A a pour coordonnées 1213 ; 22 et B 1–12 ; 122. b) Déduisez-en que AB = 295 + 16 – 12.

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Pour les exercices 46 à Le plan est orienté.

57

46 Une mesure de 1 au, av 2 est fixée. Dans chacun des

cas suivants, donnez une mesure de chacun des angles orientés indiqués. π 1. 1 au, av 2 = . 6 a) 1 au, 2av 2. b) 1 av, –2au 2. c) 1–av ; –au 2. 2. 1 au, av 2 = α, α ∈ R. a) 13au, –2av 2.

b) 1–2au, av 2.

7 1. Justifiez l’égalité suivante : 1 YBA, YCB2 = 1 YAB, YAC2 + 1 YCA, YCB2.

C

+

B

2. Déduisez-en la mesure principale de 1 YBA, YCB2. D

C

/ 3 / 2

A

+ B

54 En tenant compte des renseignements portés sur cette figure, démontrez que l’angle 1 UDC, YDE2 a π pour mesure principale . 12

/ 3 / 2

B

C

– 3/ 4 A

E 3/ 4

–/ 2

?

D

+

/ 6 B

? D

+ D

–/ 3 C

C

E

56 En tenant compte des renseignements portés sur cette figure, quelle est la mesure principale de 1 YEA, YED2 ?

m

3 cm

B

55 YAB et YDE sont colinéaires. Trouvez une mesure de 1 UDC, UDE 2.

D

2c

A

A

+

50 On a construit ci-dessous une lignée brisée.

– 5/ 6

LOGIQUE

1. A, B, C sont trois points distincts deux à deux. L’implication : « si A, B et C sont alignés, alors 1 YAB, YAC2 = kπ, k ∈  » est-elle vraie ?

b) Que pouvez-vous en conclure ?

4 cm



Q

53 Implication réciproque

A

/ 2

2. a) Quelle est la mesure principale de 1 YBE, YBD2 ?

E

A

B

+

3 ACD et BAE sont deux triangles rectangles isocèles tels que : 1 YCA, YCD2 = π et 1 YAE, YAB2 = π . 2 2 1. Quelle est la mesure principale de 1 YBE, YBA2 ? Et celle de 1 YBA, YBD2 ?

/ 3

P

+

2. L’implication réciproque est-elle vraie ?

2. Déduisez-en la mesure principale de 1 YCD, YBA2.

49 ABC est un triangle équila- E π latéral tel que : 1 YAB, YAC2 = .

52 Dans le plan orienté, P et Q sont deux points d’un cercle  de diamètre [AB], distincts de A et B et disposés sur les demi-cercles opposés comme indiqué ci-contre.

2. Déduisez-en l’ensemble des points M tels que : 1 UMA, UMB2 = π   (M ≠ A et M ≠ B). 2

2/ 7 A

48 ABC est un triangle rectangle isocèle et BCD est un triangle équilatéral tels que : 1 YAB, YAC2 = π et 1 YCB, YCD2 = π . 2 3 1. Justifiez l’égalité : 1 YCD, YBA2 = 1 YCD, YCB2 + 1 YBC, YBA2 + π.

51 Dans le plan orienté, ABCD est un quadrilatère non croisé. Démontrez que : 1 YAB, UAD2 + 1 YBC, YBA2 + 1 YCD, YCB2 + 1 YDA, UDC2 = 0.

1. Trouvez une mesure de 1 RPA, YPB2, puis de 1 YQA, YQB2.

c) 1–3au, –2av 2.

47 ABC est un triangle rectangle 2π en A tel que 1 YCA, YCB2 = .

2. Justifiez la colinéarité des vecteurs YAB et YDE et déduisez-en le réel k tel que YDE = kYAB.

EXERCICES

Propriétés des angles orientés

+ C

m

3c B

1. Justifiez que : 1 YAB, YDE2 = 1 YAB, YBC2 + 1 YBC, UCD2 + 1 UCD, YDE2.

? E

A – 3/ 4

B –/ 3 3/ 4 / 2

C

D Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

207

EXERCICES

57 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  le

cercle trigonométrique de centre O.

1. Placez sur  les points A et B tels que : 1 ai, UOA2 = π   et  1 ai, UOB2 = –  π . 6 3 2. À tout réel a en radians, on associe les points M et N tels que 1 UOA, UOM2 = 1 UOB, UON2 = a. π Démontrez que 1 ZOM, UON2 = –  . 2

LOGIQUE

58 Implication réciproque

π 1 1. L’implication : « si x =  , alors cos x =  » est-elle 3 2 vraie ? 2. Énoncez l’implication réciproque. Est-elle vraie ? Justifiez.

Lignes trigonométriques Pour les exercices 59 à 61 Trouvez les valeurs exactes du cosinus et du sinus des nombres donnés. Vous pouvez commencer par placer les points sur un cercle trigonométrique.

59 60 61

7π a) 6 9π a) 4 4π a) 3

11π b) 6 81π b) 4 71π b) 3

13π c) –  6 107π c) –  4 97π c) –  3

1

2

1

2 2 1 1

π π – sin (x + π) + sin x – – cos (x – π). 2 2 π π 7π 7π l B = cos + cos . – x – sin x + – x – sin x + 2 2 2 2 π π l C = sin (π + x) + cos x + + cos (π – x) + sin x + . 2 2 A = cos x –

1

2

1 1

2

1

2

2 2

63 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  le

cercle trigonométrique de centre O. Les points N, P, Q sont définis à partir de M comme indiqué sur la figure ci-dessous. B M(x) N j A’ A i O Q

 P

2. Simplifiez les écritures suivantes. π 3π a) cos x + cos x + + cos (x + π) + cos x + . 2 2 π 3π + sin (x + π) + sin x + . b) sin x + sin x + 2 2

208

2 2

4

2. a) Quelle est la valeur exacte de sin x ? b) Déduisez-en les valeurs exactes de : π π l cos – x  ;  l sin (π + x) ;  l sin + x  ;  l cos (π – x). 2 2 1 65 On donne cos x = –  , x ∈ [0 ; π]. Calculez : 3 π π l sin x ;  l sin x +  ;  l cos x +  ;  l cos (x + π). 2 2 16 – 12 π . 66 La valeur exacte de sin   est  4 12 16 + 12 π est 1. Démontrez que la valeur exacte de cos . 4 12 2. Déduisez-en les valeurs exactes du sinus et du cosinus de : 5π 7π 11π  ;    b)  ;    c) . a) 12 12 12

1

2

1

1

2

1

2

2

Équations 67 À l’aide d’un cercle trigonométrique , trouvez les réels x de l’intervalle [–π ; π[ tels que : 5π π a) sin x = sin  ; b) cos x = cos  ; 6 4 13 1 d) cos x = . c) sin x = –   ; 2 2 68 1. À l’aide d’un cercle trigonométrique , trouvez les réels x de l’intervalle [0 ; 2π[ tels que : 13 12 13 a) cos x =  ; b) sin x =  ; c) cos x = –  . 2 2 2 2. Trouvez les réels x de l’intervalle [–π ; π[ tels que : 12 13 13 a) sin x = –  ; b) cos x =  ; c) sin x = –  . 2 2 2 69 Résolvez dans R les équations suivantes. a) 2 sin x + 1 = 0

b) 12 cos x – 1 = 0

c) 2 cos x + 13 = 0

d) 2 sin x + 12 = 0

70 Avec la calculatrice À l’aide de la calculatrice, donnez une valeur en radians approchée à 10–2 près des solutions de l’équation dans l’intervalle indiqué. Note

B’

1. Quels sont les réels de [0 ; 2π] associés à N, P et Q respectivement ?

1 1

3

1 2

62 Simplifiez les expressions suivantes. l

3 π et x ∈ –   ; 0 . 4 2 1. Sur un cercle trigonométrique, placez le point M associé à x.

64 On donne cos x =

1

1

2

2

La calculatrice donne directement la valeur (exacte ou approchée) de x dans les intervalles suivants : π π • pour cos x = a, x ∈ [0 ; π] ; • pour sin x = a, x ∈ –   ; . 2 2

3

a) I = [0 ; π] ; b) I = [–π ; π[ ; c) I = [0 ; 2π[ ;

cos x = 0,7. 1 sin x = . 3 3 cos x = –  . 7

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

4

71 a) I = [0 ; π] ;

3

cos x = 0,6. 2 sin x = –  . 5

4

π π b) I = –   ;  ; 2 2

72 a) I = [–π ; π[ ;

a) Pourquoi CM = CN = CP ? b) Pourquoi 1 YCM, YCA2 = 1 YCA, YCN2 et 1 YCB, YCP2 = 1 YCN, YCB2 ?

sin x = 0,4. 5 sin x = . 6 3 cos x = –  . 7

b) I = [0 ; 2π[ ; c) I = [0 ; 2π[ ;

3. Démontrer On pourrait démontrer cette conjecture par disjonction des cas. Mais en utilisant les angles orientés, on peut faire une démonstration valable quel que soit le cas de figure.

EXERCICES

Pour les exercices 71 et 72 Donnez à l’aide de la calculatrice une valeur approchée en radians à 10–3 près des solutions de l’équation dans l’intervalle I indiqué.

Aide Utilisez le résultat de la note page 204.

c) En utilisant la relation de Chasles et les résultats de la question b), démontrez que : 1 UCM, YCP2 = 21 YCA, YCB2. d) Concluez.

Avec les tice 73 Une équerre qui pivote Dans le plan orienté, ABC est un triangle rectangle isoπ cèle tel que 1 YAB, UAC 2 = . M est un point de la droite 2 (AB), N est son symétrique par rapport à la droite (AC). P le symétrique de N par rapport à la droite (BC).

ROC

Restitution organisée de connaissances

74 Prérequis. Pour tous vecteurs au et av non nuls : 1 av, au 2 = – 1 au, av 2  et  1 au, –av 2 = 1 au, av 2 + π. 1. Démonstration a) Démontrez que : 1–au, –av 2 = 1 au, av 2  et  1–au, av 2 = 1 au, av 2 + π. b) au, av, au’, av’ sont des vecteurs non nuls. Démontrez que : 1 au, av 2 = 1 au’, av’ 2 équivaut à 1 au, au’ 2 = 1 av, av’ 2. 2. Application Dans le plan orienté, ABCD est un parallélogramme tel que 1 YAB, UAD2 = a, α ∈ R. Calculez en fonction de a : a) 1 YBC, YBA2 ;   b) 1 YCD, YCB2 ;

D

C

_ A

B

c) 1 YDA, YDC2. 1. Réaliser la figure avec GeoGebra

Prendre toutes les initiatives

a) Effacez les axes et affichez la grille.

2. Conjecturer avec GeoGebra a) Déplacez le point M sur (AB). b) Vous remarquez que la figure se déforme suivant que M ∈ ]Ax[, M = A, M ∈ ]AB[, M = B ou M ∈ ]By). Il existe donc cinq cas de figure possibles. x

76 Démontrez que : sin

d) Créez les points N et P, puis le triangle MCP.

A

75 Quelle est la nature d’un triangle ABC tel que 1 YAC, YAB2 + 1 YBA, YBC2 = 1 YCB, YCA2 ?

B y

Quel semble être, dans chacun des cas, la nature du triangle MCP ?

1 π8 2 – sin 1 3π8 2 + sin 1 5π8 2 – sin 1 7π8 2 = 0.

77 Un cône de révolution de hauteur 4 cm et de rayon de base 3 cm a pour patron une portion de disque telle que jAOB = a en radians. Calculez a. B A

4 cm

b) Créez un triangle rectangle isocèle ABC tel que : 1 YAB, UAC 2 = π . 2 c) Créez la droite (AB), puis un point M quelconque de cette droite.

O _

3 cm

  

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

209

EXERCICES

Approfondissement 78 1O ; ai, aj 2 est un / A + repère orthonormé 3 direct et  le cercle M j trigonométrique de O i centre O. Les points A et N / B sont respectivement B– 6  associés aux nombres π π et –  . 3 6 La médiatrice du segment [AB] coupe  en M et N. Trouvez la mesure principale de l’angle 1 ai, ZOM2 puis celle de l’angle 1 ai, UON2. 79 OBC est un triangle équilatéral tel que : 1 YOB, UOC2 = π .

O +

/ 3

82 1. Factorisez les expressions suivantes. a) 2 cos2 x – 1

b) 4 sin2 x – 3

2. Résolvez dans l’intervalle ]–π ; π] les équations suivantes. b) 4 sin2 x = 3

83 Résolvez dans R les équations suivantes.

1

2

1

2

π π = sin 3 4 π π – x = cos c) cos 4 8 a) sin x +

1

b) cos x –

π 2π = cos 3 3

2

1

2

1

2

π = 1 avec x ∈ [0 ; 2π[. 4 π = 1 avec x ∈ [–π ; π[. b) 2 cos x – 3

B

/ 2

85 Le but de l’exercice est de résoudre dans R l’équa-

π   (1). 5 π 3π 1. Justifiez que sin = cos . 5 10 2. Résolvez l’équation (1).

tion cos x = sin

1. Trouvez les mesures principales de : a) 1 YOA, UOH2 ;  b) 1 UOD, YOB2 ;  c) 1 UAD, UAO2 ;  d) 1 YAB, UCD2. 2. Démontrez que les droites (AD) et (OH) sont perpendiculaires. +

A E

D

B

/ 3

C F

81 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  le cercle trigonométrique de centre O. 1. a) Placez sur  les points A, B, C et D associés 2π 5π 3π π respectivement à , , –  et . 3 6 4 4 b) Tracez la droite d d’équation y = –x. 2. La droite d coupe le segment [AB] en H. a) Quelle est la mesure de l’angle 1 ai, UOH2 ?

210

3. Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère ABCD.

a) 2 sin x +

H

A

80 Trouvez la mesure principale de 1 UAD, YBF 2, puis celle de 1 YAE, YBC2.

d) Pourquoi d est-elle la médiatrice de [CD] ?

84 Résolvez les équations suivantes.

C / 2

c) Déduisez-en que A et B sont symétriques par rapport à la droite d.

a) 2 cos2 x – 1 = 0

3 AOB et DOC sont deux triangles rectangles isocèles tels que : 1 YOA, YOB2 = 1 UOC, UOD2 = π  . 2 H est le milieu du segment [BC].

D

b) Démontrez que 1 YOA, UOH2 = 1 UOH, YOB2.

Aide

sin x = cos

π

1 2 – x2.

86 Le but de l’exercice est de résoudre dans R l’équaπ tion sin x = cos   (2). 8 π 1. Trouvez un réel a tel que cos = sin a. 8 2. Résolvez alors l’équation (2). 87 Angles orientés et suites 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct. À tout entier n, on associe le point Mn du cercle de centre O et de rayon 8 π tel que 1 ai ; OOMn2 = n  . 2n 2 1. a) En prenant le centimètre pour unité, construisez les points M0 , M1 , M2 , M3 , M4. b) Quelles sont les coordonnées de ces points dans le repère 1O ; ai, aj 2 ? 2. a) Quelle est la nature des triangles OMnMn+1 ? Justifiez. b) À l’aide du théorème de Pythagore, démontrez que : MnMn+1 =

815 . 2n+1

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

4. On pose n = u0 + … + un.

1

Démontrez que n = 815 1 –

cos 1 . 2n+1

2

5. Narration de recherche Dans cette question, vous devez décrire les étapes de votre recherche même incomplète ou d’une initiative même non fructueuse. Déterminer le rang n à partir duquel ,n ∈ [815 – 10–4 ; 815[.

88 Sur la figure ci-dessous, 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct,  est le cercle trigonométrique de π π centre O, 1 ai, YOA2 = et 1 ai, UOC2 = –  . 3 6 Les tangentes à  en A et C se coupent en B. A

+



90 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  le cercle trigonométrique de centre O. On donne les 1 13 1 13 et C –   ; –  du cercle . points A  ; 2 2 2 2 1. a) Faites une figure.

1

2

1

2

b) Déterminez la mesure principale de 1 ai, YOA2 et de

1 ai, UOC2.

2. a) Quelle est la mesure principale de 1 YOA, UOC 2 ? b) Déduisez-en la mesure en radians de jAOC, puis celle de jOAC. c) Quelle est la mesure principale de 1 UAO, YAC 2 ?

b) Déduisez-en la mesure principale de 1 ai, YAC2, puis celle de 1 aj, YAC2.

i C

91 Implications réciproques

1. Démontrez que : a) le quadrilatère OABC est un carré ; b) B est un point du cercle G de centre O et de rayon 12 ; π c) 1 ai, UOB2 = . 12 2. a) Calculez les coordonnées de A et de C. b) Déduisez-en celles de B. 3. Pourquoi B a-t-il pour coordonnées : π π x = 12 cos et y = 12 sin  ? 12 12 Aide

3π 82 – 12 3π 82 + 12 = =   et  sin . 2 2 8 8

3. a) Démontrez que : 1 ai, UAC 2 = 1 ai, YOA2 + 1 UAO, YAC 2 + p.

B

j O

3. a) Déduisez des questions précédentes les valeurs 3π 3π et sin . exactes de cos 8 8 b) Vérifiez que :

EXERCICES

3. On considère la suite (un) telle que pour tout entier naturel n, un = MnMn+1. Démontrez que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Voir la note de l’exercice 44.

LOGIQUE

1. (P) est la proposition : « sin 2x = 2cos x » et (Q) est la proposition : « sin x = 1 ». L’implication (Q) ⇒ (P) est-elle vraie ? Justifiez votre réponse. 2. Dans le plan orienté, A, M, B sont trois points distincts deux à deux. π (P) est la proposition : « 1 UMA, UMB2 =  ». 2 (Q) est la proposition : « M est un point du cercle  de diamètre [AB] ». Les implications (P) ⇒ (Q) et (Q) ⇒ (P) sont-elles vraies ? Justifiez votre réponse.

b) Déduisez-en, avec les questions 2.b) et 3.a), les π valeurs exactes du sinus et du cosinus de . 12

89 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct,  est le cercle de centre O et de rayon 2, A le point de coordon3π nées (2 ; 0) et B le point de  tel que 1 ai, UOB2 = . 4 On note I le milieu du segment [AB]. 2 – 12 12 . 1. Démontrez que I a pour coordonnées  ; 2 2 2. a) Démontrez que I est un point du cercle de centre O et de rayon 82 – 12.

1

2

b) Quelle est la mesure principale de 1 ai, ROI2 ? c) Déduisez-en que I a aussi pour coordonnées : 82 – 12 cos 3π  ; 82 – 12 sin 3π . 8 8

1

2

Prendre toutes les initiatives 92 Quelle est la valeur exacte de : cos2

π 3π 7π 9π 11π + cos2 + cos2 + cos2 + cos2  ? 12 12 12 12 12

93 x est un réel tel que : 3 sin x + 4 cos x = 5. Calculez la valeur exacte de sin x et de cos x.

94 Résolvez dans l’intervalle [–π ; π[ l’équation : 4 cos2 x – 2(1 – 13) cos x – 13 = 0.

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

211

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Avec un polygone régulier  est un cercle trigonométrique de centre O et ABCDEF est un hexagone régulier. Quelle est la mesure principale de : a) 1 YOA, YAF2 ?

D

1

C

+

B

b) 1 YAB, UCD 2 ? E

A

2

+

π 2

D

+

/ 2 / 3

A

A

B

b) 1 YCD, YCB2 ?

B

N B

c) 1 YBC, YDA2 ?



Dans le plan orienté, on donne la figure ci-dessous. ABC est un triangle équilatéral, ACE et DBC sont deux triangles rectangles isocèles.

/ 3

B

3 E

/ 2

/ 2

3

2. a) Déduisez-en une mesure de 1 YAB, UAD2, puis de 1 YAE, UAD2. b) Que peut-on dire des points D, A, E ?

4

5

À partir des renseignements portés sur la figure ci-dessous, trouvez la mesure principale de chacun des angles suivants.

212

b) 1 YCA, YDE2

7

2

B

+ A’



c) 1 YCA, YCE2.

M A

2 3

O

B’

G Rester dans le bon intervalle

C

D Un carré sur un triangle…

4

1

1. Donnez la mesure de l’angle géométrique jBAD.

a) 1 YAB, YDE2

F Angles associés

A P

i

B’

x est un réel de l’intervalle π 2 0 ; tel que cos x = . 2 3 M est le point associé à x sur le cercle trigonométrique . Calculez : π cos x – et sin (3p – x). 2

+

A

O

π 4

M

j

A’

C En partant d’un angle géométrique

D

6

1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  est le cercle trigonométrique de centre O. π M est le point de  associé à . La médiatrice du seg4 ment [OM] coupe  en N et P. Déterminez la mesure principale de 1 ai, UOP 2, puis celle de 1 ai, UON2.

Figure 1 Figure 2 Pour chacune de ces figures, quelle est la mesure principale de : a) 1 YDA, YBA2 ?

B

E Cherchez des triangles

Dans le plan orienté, on donne les figures ci-dessous. C

E

/ 3

F

B Tirer des renseignements d’une figure C

/ 2

A

O

c) 1 YOF, YCB2 ?

D

C



D

+

8

Pour chacune des figures ci-dessous, trouvez les réels x de l’intervalle [–3p ; 3p[ associés aux points M et N. B M B M N + 3 2 A’ A A’ A O 1 O 2 

B’ N Figure 1



B’ Figure 2

Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

+

CHAPITRE

Produit scalaire

D’un siècle à un autre En mécanique quantique, la trajectoire d’un électron n’est pas mesurable. En revanche, cette partie de la physique peut déterminer la probabilité de trouver un électron dans une zone de l’espace proche du noyau atomique (figure ci-dessus : vue d’artiste de l’orbitale atomique 4f). C’est en réalisant un produit scalaire, notion introduite par Hermann Grassmann, qu’on détermine cette probabilité.

En savoir plus sur Hermann Günther Grassmann Chercheurs d’hier p. 227

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Rappels

& Questions-tests

Distance AB Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, si A et B sont deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) alors : 2 2 AB2 = 1xB – xA2 + 1yB – yA2 donc

0

2

2

AB = 1xB – xA2 + 1yB – yA2

Mesure principale de l’angle 1au, av 2 α est une mesure quelconque en radians de l’angle 1 au, av 2. La mesure principale b de l’angle 1 au, av 2 s’obtient en écrivant : α = b + 2kp (k ∈ ) avec –p < b  p. l

La valeur absolue de la mesure principale de l’angle 1 au, av 2 est la mesure en radians de l’angle géométrique associé à au et av.

A

1   1O ; ai, aj 2 est un repère

orthonormé. 1. Le triangle ABC est-il isocèle ? 2. Démontrez que le périmètre du triangle ABC est égal à 3(12 + 215).

C

5 2

j O i –1

–3

3 B

35  p. 6 1. Quelle est la mesure principale de l’angle 1 au, av 2 ? 2. Quelle est la mesure en degrés de l’angle géométrique associé à au et av ? 2   On donne 1 au, av 2 =

l

 osinus d’un angle et mesure C de cet angle  est le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé direct 1O ; ai, aj 2. Pour tout nombre a de [–1 ; 1], il existe un seul nombre q de l’intervalle [0 ; p] tel que cos q = a.

B

+

 / A’

j

e

a O

i

3   Dans chacun des cas suivants, on donne cos1 au, av 2.

Quelle est la mesure en radians, puis en degrés, de l’angle géométrique associé à au et av ? 13 1 0 a) cos1 au, av 2 = –   ;  b) cos1 au, av 2 =  ;  c) cos1 au, av 2 = –1. A 2 2

 ercle trigonométrique C et coordonnées d’un vecteur Sur la figure ci-dessous,  est le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé direct 1O ; ai, aj 2. On note α une mesure quelconque de l’angle 1 ai, au 2. B

M

j A’

O

u

i

M a pour coordonnées (cos α ; sin α).

UON = au donc le vecteur au a pour coordonnées les coordonnées de N, soit (ON cos α ; ON sin α).

+

B M A’

j O

_

B’ l

N

N

+



4   1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  le cercle trigonométrique de centre O.

B’

A

i 

M est un point de  et de la médiatrice du segment [OB] ; le point N est défini par ZON = 2ZOM. Quelles sont les coordonnées de N ?

l

214

Voir les corrigés p. 363

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité

Une approche du produit scalaire

Les notions de distance et d’orthogonalité sont liées par le théorème de Pythagore :

C

dire que « Le triangle ABC est rectangle en B » équivaut à dire que « AC2 – AB2 – BC2 = 0 ». On se pose alors la question suivante : « Que devient l’expression δ = AC2 – AB2 – BC2 lorsque ABC n’est pas un triangle rectangle ? » On note H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle quelconque ABC.

A On envisage les trois cas de figures possibles suivant la position de H par rapport à A et B.

B

On note q la mesure de l’angle géométrique hxBC ; θ est donc aussi la mesure de l’angle géométrique associé à UAB et UBC.

e

e B

A



C

C

C

H

Figure 1

x

H

A

B

e x

H

B

A

Figure 2

x

Figure 3

1 Pour les trois cas de figures, démontrez que δ = AH2 – AB2 – BH2  (1). 2 l Figure 1 : A, B, H sont alignés dans cet ordre, donc AH = AB + BH.

Démontrez, à partir de (1), que δ = 2AB × BC × cos q.



l



Démontrez que δ = –2AB × BH = –2AB × BC × cos(p – q) = 2AB × BC × cos q.



l



Démontrez que δ = –2AB × BC × cos(p – q) = 2AB × BC × cos q.

Figure 2 : A, H, B sont alignés dans cet ordre, donc AH = AB – BH. Figure 3 : H, A, B sont alignés dans cet ordre, donc AH = BH – AB.

Conclusion δ 1  , égal à 3AC2 – AB2 – BC24 = AB × BC × cos q, est indépendant du cas de figure 2 2 envisagé. Il est appelé produit scalaire des vecteurs UAB et UBC, et se note UAB · UBC. l

Le nombre

l Passons au cas général en posant au = UAB et av = UBC. Alors UAC = UAB + UBC = au + av. AB est la longueur de au, que l’on note i au i (on lit « norme de au »). De même, BC = i av i et AC = i au + av i. On peut alors définir le produit scalaire de au et av : 1 2 2 2 au ·av = 1i au + av i – i au i – i av i 2 = i au i × i av i × cos1 au, av 2. 2

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ? D

ABCD et AEFG sont deux carrés de cotés respectifs 6 et 4 disposés comme l’indique la figure ci-contre. O est le milieu du segment [GD]. Les droites (OA) et (EB) sont-elles perpendiculaires ?

C

O G F

B

A E

? H

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

215

COURS

1

Produit scalaire : définition et expressions 1.1 Norme d’un vecteur

Définition

1 Une unité de longueur étant choisie, la norme d’un vecteur au = YAB est la longueur AB. On note i au i = iYABi = AB. || au || se lit « norme de au ». Si i au i = 1, le vecteur au est dit unitaire.

Conséquences. l iYABi = 0 équivaut à A = B. Pour tout nombre l et tout vecteur au, ilau i = |l| × i au i. Par exemple, i2au i = 2i au i et i–3au i = 3i au i.

l

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, si au a pour coordonnées (x ; y), alors i au i = 9x2 + y2.

C

l

B 2u –3u

D

E

F

En effet, si M est le point tel que ZOM = au, alors M a pour coordonnées (x ; y), d’où i au i = OM = 8x2 + y2.

M

y u

j O i

1.2 Définition du produit scalaire Définition

u

A

x

2 Le produit scalaire de deux vecteurs au et av est un nombre réel. Ce nombre, noté au · av, se lit « au scalaire av » et, par définition : 1 2 2 2 au · av =  1i  au + av i – i au i – i av i 2 .  (1) 2 2 2 2 Par convention, au · au est noté au  . Ainsi : au · au = au  = i au i .

Remarques. l Lorsque au = a0 ou av = a0, on obtient au · av = 0.

C

ABCD est un parallélogramme. On pose au = YAB et av = YAC. 1 Alors, au + av = UAD  et  YAB · UAC =  1AD2 – AB2 – AC22. 2

l

v A

1.3 Autres expressions du produit scalaire

D u+

u

v

B

En fonction des coordonnées (expression analytique) Théorème

1 Dans un repère orthonormé, si au et av ont pour coordonnées respectives (x ; y) et (x’ ; y’), alors : u · av = xx’ + yy’ .  (2) 2

2

Démonstration. Dans ces conditions, i au i = x2 + y2 et i av i = x’ 2 + y’ 2. Le vecteur au + av a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’) donc :

i au + av i2 = 1x + x’22 + 1y + y’22 = x2 + x’ 2 + 2xx’ + y2 + y’ 2 + 2yy’.

1 2 2 2 Ainsi, en calculant au · av =  1i au + av i – i au i – i av i 2, 2 1 on obtient : au · av =  1 x2 + x’ 2 + 2xx’ + y2 + y’ 2 + 2yy’ – x2 – y2 – x’ 2 – y’ 22 2 soit après simplification : au · av = xx’ + yy’.

Conséquence 2

Si au a pour coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormé, alors au   = x2 + y2.

216

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS En fonction des normes et de l’angle Théorème

 Exercice 4,

●

➜ p. 220

2 Si au et av sont deux vecteurs non nuls, alors au · av = i au i × i av i × cos1au, av2.  (3) au et av sont non nuls pour que l’angle orienté 1au, av2 soit défini.

Démonstration. Posons YOA = au et UOB = av. Choisissons un repère orthonormé direct 1O ; ai, aj 2 tel que ai et YOA soient colinéaires et de même sens. Notons M le point d’intersection de la demidroite [OB) et du cercle trigonométrique  de centre O.

B

+ M



Calculons au · av = YOA · UOB. Dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2 : UOA a pour coordonnées (OA ; 0), UOB a pour coordonnées 1OB cos1 ai, UOB 2 ; OB sin1 ai, UOB 22 ou encore 1OB cos1 au, av 2 ; OB sin1 au, av 22 car 1 ai, UOB 2 = 1 au, av 2.

j

v

e

O

i

u

A

Donc, d’après le théorème 1 : YOA · UOB = OA × 1OB cos1 au, av 22 + 0 × 1OB sin1 au, av 22 = OA × OB × cos1 au, av 2, soit : au · av = i au i × i av i × cos1 au, av 2.

Remarque. Si θ est la mesure de l’angle géométrique associé aux vecteurs au et av,

alors cos θ = cos1au, av 2 (voir chapitre 8, page 195). Donc : au · av = i au i × i av i × cos θ.

En pratique, on utilise souvent cette forme.

Cas particulier de deux vecteurs colinéaires u

A C

B D

v

au = YAB et av = UCD sont colinéaires et de même sens. Alors 1 au, av 2 = 0 donc cos1 au, av 2 = 1 et : YAB · UCD = AB × CD.

2 Théorème

u

A D

B

v

C

au = YAB et av = UCD sont colinéaires et de sens contraires. Alors 1 au, av 2 = p donc cos1 au, av 2 = –1 et : YAB · UCD = –AB × CD.

Règles de calculs 3 Quels que soient les vecteurs au, av, rw et les nombres a et b : 1. au · av = av · au

2. au · 1av + rw 2 = au · av + au · rw

3. 1aau2 · 1bav 2 = (ab) au · av

Démonstration. Démontrons par exemple l’égalité 2.

6

Dans un repère orthonormé, notons (x ; y), (x’ ; y’), (x” ; y”) les coordonnées respectives de au, av, rw.

5

au · 1av + rw 2 = x(x’ + x”) + y(y’ + y”) = xx’ + yy’ + xx” + yy” = au · av + au · rw.

Conséquences  Exercice 81, Roc ➜ p. 234

●

l

1–au2 · av = –au · av (égalité 3, avec a = –1 et b = 1) 2

2

2

1au – av 2 = au + av  – 2au · av Si l’on pose au = YAB et av = UCD, on obtient : l

l l

YAB · UCD = –YBA · UCD = –YAB · UDC = YBA · UDC

1YAB – UCD22 = AB2 + CD2 – 2YAB · UCD

2

2

2

1au + av 2 = au + av  + 2au · av 2 2 l 1au + av 2 · 1au – av2 = au – av 

l

1YAB + UCD22 = AB2 + CD2 + 2YAB · UCD 2 2 l 1YAB + UCD2 · 1YAB – UCD2 = AB – CD l

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

217

COURS

3 Définition

Produit scalaire et orthogonalité 3 au et av sont deux vecteurs non nuls.

Dire que au et av sont orthogonaux signifie que, si au = YAB et av = UCD, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul a0 est orthogonal à tout autre vecteur.

Théorème

D A

u

v B

C

4 Dire que deux vecteurs au et av sont orthogonaux équivaut à dire que au · av = 0.

Ainsi, dire que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que YAB · UCD = 0. Démonstration. Si au = a0 ou av = a0, le résultat est immédiat. Si au ≠ a0 et av ≠ a0, au · av = i au i × i av i × cos1 au, av 2.

Or i au i ≠ 0 et i av i ≠ 0 donc au · av = 0 équivaut à cos1 au, av 2 = 0. p Or cos1 au, av 2 = 0 équivaut à 1 au, av 2 = + kp (k ∈ ). Donc au et av sont orthogonaux. 2

Conséquence. Dans un repère orthonormé, si au(x ; y) et av(x’ ; y’), alors au · av = xx’ + yy’, donc : « au et av sont orthogonaux » équivaut à « xx’ + yy’ = 0 ».

4

Projection orthogonale Le théorème suivant permet de ramener le calcul du produit scalaire de deux vecteurs au calcul du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires, calcul en général plus facile.

Théorème

5 YAB et UCD sont deux vecteurs non nuls.

D C

Les points C’ et D’ sont les projetés orthogonaux respectivement de C et D sur la droite (AB). Alors :

YAB · UCD = YAB · IC’D’. Ceci est la 4e expression du produit scalaire.

B’ A’ A

B C’

D’

Démonstration. D’après la relation de Chasles, UCD = UCC’ + IC’D’ + ID’D donc : YAB · UCD = YAB · (UCC’ + IC’D’ + ID’D) = YAB · UCC’ + YAB · IC’D’ + YAB · ID’D. Le vecteur YAB est orthogonal aux vecteurs UCC’ et IDD’ donc YAB · UCC’ = 0 et YAB · ID’D = 0. Il en résulte que YAB · UCD = YAB · IC’D’.

Remarques En considérant les projetés orthogonaux A’ et B’ des points A et B respectivement sur la droite (CD), on obtient de même : YAB · UCD = IA’B’ · UCD.

l

l Par abus de langage, on dit que IC ’D’ est le projeté orthogonal de UCD sur YAB (en fait sur la droite (AB). On peut alors retenir le théorème 5 sous la forme :

Pour calculer le produit scalaire YAB · UCD, on peut remplacer l’un des vecteurs YAB ou UCD par son projeté orthogonal sur l’autre vecteur.

218

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

5

Droite et produit scalaire 5.1 Vecteur normal à une droite

Définition

4 Dire qu’un vecteur non nul an (an = YPQ) est normal à une droite d

Q

signifie que les droites (PQ) et d sont perpendiculaires. Ainsi, un vecteur an normal à une droite d est orthogonal à tout vecteur directeur ZAM de d.

n

d

P M

A

Conséquence Dire qu’un point M appartient à la droite d passant par A et

perpendiculaire à la droite (PQ) équivaut à dire que ZAM · UPQ = 0 ou UAM · an = 0.

Autres conséquences l

Si an est un vecteur normal à d et au un vecteur directeur de d, alors : • an est un vecteur directeur de toute droite d’ perpendiculaire à d ; • au est un vecteur normal à toute droite d’ perpendiculaire à d.

d’

n

n’

d et d’ sont deux droites ayant respectivement an et rn’ pour vecteurs normaux, au et ru’ pour vecteurs directeurs :

l

d

u u’

d ⊥ d’ ⇔ an · rn’ = 0 ⇔ au · ru’ = 0 ⇔ an et ru’ sont colinéaires.

5.2 Vecteur normal et équation de droite Théorème

6 Dans un repère orthonormé : si une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0, (a ≠ 0 ou b ≠ 0), alors an(a ; b) est un vecteur normal à d.

l

réciproquement, si un vecteur an non nul de coordonnées (a ; b) est normal à une droite d, alors d a une équation de la forme ax + by + c = 0.

l

Démonstration. l Supposons que la droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) et démontrons que an(a ; b) est un vecteur normal à d. Le vecteur au(–b ; a) est un vecteur directeur de d. Or au · an = –ab + ab = 0 donc au et an sont orthogonaux, et an est un vecteur normal à d. l Réciproquement, supposons que le vecteur an(a ; b), non nul, est normal à d et démontrons que d a une équation de la forme ax + by + c = 0. Notons A(x0 ; y0) un point de d.

D’après la conséquence de la définition 4, M(x ; y) est un point de d équivaut à UAM · an = 0, soit : (x – x0)a + (y – y0)b = 0 ou ax + by – ax0 – by0 = 0.

Cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec c = –ax0 – by0.

Conséquences l

d et d’ ont respectivement pour équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a’x + b’y + c’ = 0.

D’après la conséquence 2 (§ 5.1) : « d et d’ sont perpendiculaires » équivaut à « aa’ + bb’ = 0 ». De même, si d et d’ ont respectivement pour équations réduites y = mx + p et y = m’x + p’, alors : « d et d’ sont perpendiculaires » équivaut à « mm’ = –1 »

l

En effet, an(m ; –1) et rn’(m’ ; –1) sont des vecteurs normaux à d et d’. Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

219

EXERCICES

Application Objectif

1

Choisir l’expression du produit scalaire la mieux adaptée

au et av sont deux vecteurs non nuls d’angle géométrique associé θ. Pour calculer un produit scalaire, on peut utiliser les trois expressions suivantes : 1 ➊ au · av =  1i au + av i2 – i au i2 – i av i22 2 ➋ au · av = i au i × i av i × cos1 au, av 2 = i au i × i av i × cos q ➌ au · av = xx’ + yy’ où (x ; y) et (x’ ; y’) sont les coordonnées de au et av dans un repère orthonormé.

Choisir la bonne expression

Exercice résolu A

Pour chacune des figures ci-dessous, calculez au · av en choisissant l’expression du produit scalaire qui vous semble la mieux adaptée. Figure 1 Figure 2 Figure 3

2 A

v 45° 3

u

B

C

v

5

C 4

Méthode

2

A 3 u 2 j O i1 B –1

C

4 u

A

v

B

Solution

l Figure 1 : on connaît les normes des deux vecteurs et l’angle géométrique associé. On choisit donc l’expression ➋. l Figure 2 : le repère est orthonormé, on peut donc calculer les coordonnées des vecteurs YAB et UAC. On choisit donc l’expression ➌.

Figure 1 : au · av = AB × AC × cos 45° 12 soit : au · av = 3 × 2 × 2 = 312. l Figure 2 : YAB a pour coordonnées (–2 – 1 ; –1 – 3) = (–3 ; –4) et UAC a pour coordonnées (4 – 1 ; 1 – 3) = (3 ; –2). au · av = YAB · YAC = –3 × 3 + (–4)(–2) = –9 + 8 = –1. l Figure 3 : i au i = 4 ; i av i = 2 et i au + av i = 5 1 5 donc au · av =  [25 – 16 – 4] = . 2 2 l

Figure 3 : on connaît les normes des trois vecteurs au, av et au + av. On choisit donc l’expression ➊. l



Mise en pratique  Les coordonnées sont relatives à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2.

3 Dans chacun des cas suivants, calculez au · av.

1 Calculez YAB · YAC dans chaque cas. a)

b) C

2

A

B

4 2

j –2 O i –3

A 2

c) D

2

a) au = 2ai + 3aj et av = ai – 2aj.

2/ 3

b) i au i = 5, i av i = 2 et 1au, av 2 = –  B

2

c) i au i = 2, i av i = 3 et i au + av i = 4.

C

4 ABCDEF est un

C A

B

hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1. Calculez :

2 On donne les points A(3 ; –2), B(1 ; 2) et a) YOA · UOB

C(5 ; –3). Calculez YAB · UAC.

220

2p . 3

c) YOA · YBC

C D

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

A

O

b) YOA · UOC d) YOA · UAD.

B

E

F

Calculer à partir du produit scalaire

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(0 ; 4), B(–2 ; 0) et C(3 ; 0).

4

1. Calculez le produit scalaire YAB · UAC. –2 B

b) Donnez la mesure en degrés de l’angle jBAC, arrondie au dixième.

j O i

3 C

Solution

Méthode

1. YAB a pour coordonnées (–2 – 0 ; 0 – 4) = (–2 ; –4) et UAC a pour coordonnées (3 – 0 ; 0 – 4) = (3 ; –4).

1. On calcule les coordonnées des vecteurs YAB et YAC.

On en déduit YAB · UAC.

l

2. a) Pour calculer cos jBAC, on choisit l’expression YAB · UAC = AB × AC × cos jBAC. Il reste à calculer AB et AC. l On en déduit cos jBAC.

b) On utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée de la mesure en degrés de l’angle jBAC.

A ?

2. a) Déduisez-en cos jBAC.

YAB · UAC = –2 × 3 + (–4) × (–4) = 10.

2. a) AB = 94 + 16 = 420 = 215 AC = 99 + 16 = 425 = 5. l



YAB · UAC = AB × AC × cos jBAC

5

l

EXERCICES

Exercice résolu B

↓ 10 = 215 × 5 × cos jBAC 10 1 donc cos jBAC = = 1015 15 b) jBAC ≈ 63,4°. 

Mise en pratique  Les coordonnées sont relatives à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2.

5 ABC est un triangle tel que : YAB · UAC = 18,  AB = 6  et  AC = 213.

b) Déduisez-en une mesure de l’angle jBAC à un degré près.

1. Quelle expression choisir pour calculer cos jBAC ?

8 A, B et C sont trois points tels que :

2. Quelle est la mesure en radians de l’angle jBAC ?

l

6 On donne les points A(3 ; 0), B(0 ; 4) et C(8 ; 0).

l

1. a) Calculez BA et BC. b) Démontrez que YBA · UBC = 40 et que : YBA · UBC = 2015 cos jABC.

AB = 4 ;

YAB · UAC = 3 ; p . l jBAC = 6 Calculez la longueur AC.

9 Dans chacun des cas suivants, trouvez 2. Déduisez-en cos jABC, puis une mesure de jABC une mesure en radians de l’angle géométrique à un degré près. associé aux vecteurs au et av. a) i au i = 3 ; i av i = 2 et au · av = 313. 7 On donne C 6 les points A(–3 ; 2), b) au = 3ai + 4aj et av = 4ai – 3aj. B(3 ; 0) et C(0 ; 6). c) i au i = 13, i av i = 213 et au · av = –3. 1. Calculez YAB · UAC. 2 A 10 A, B et C sont trois points tels que : B j l YAB et UAC sont colinéaires et de sens contraires ; –3 3 O i l YAB · UAC = –15 ; 1 l AC = 3. . 2. a) Démontrez que cos jBAC = Calculez la longueur AB. 110 Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

221

EXERCICES

Objectif

2

Savoir utiliser la projection orthogonale

Le produit scalaire de deux vecteurs est remplacé par le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires en projetant orthogonalement sur (AB) ou (CD) : YAB · UCD = YAB · IC’D’ = IA’B’ · UCD.

C

D

B’ A’ A

B C’

D’

Choisir une projection orthogonale

Exercice résolu C

Pour chacune des figures suivantes, calculez YAB · UAC. C

D

C OBDC est un carré de côté 4

O

A

Figure 1

ACB est un triangle isocèle en C.

H 2

A

B

B

A

B

Figure 2

Figure 3

Méthode

Solution

l Figure 1 : on indique quel projeté orthogonal on utilise. l

C

L’unité choisie est le côté d’un carré du quadrillage.

O est le projeté orthogonal de C sur (AB), donc YAB · UAC = YAB · UAO avec AB = AO = 2.

l

A est le milieu de [OB] donc YAB et UAO sont colinéaires et de sens contraires. Ainsi, YAB · UAC = –AB × AO = –4.

On justifie le sens des vecteurs colinéaires.

l

l Figure 2 : le triangle ABC étant isocèle, la médiatrice du segment [AB] est un axe de symétrie du triangle.

H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), donc : YAB · UAC = YAB · UAH avec AB = 2 et AH = 1. YAB et UAH sont colinéaires et de même sens, donc YAB · UAC = AB × AH = 2.

l Figure 3 : afin d’utiliser le quadrillage, la seule projection exploitable simplement est la projection orthogonale sur (AB).

Notons H le projeté B orthogonal du point C sur la droite (AB). Alors : H YAB · UAC = YAB · UAH A avec AB = 5 et AH = 2. YAB et UAH sont colinéaires et de même sens donc YAB · UAC = AB × AH = 10.

l

l



C

Mise en pratique

11 L’unité choisie est le côté d’un carré du Calculez : quadrillage. Calculez au · av dans chaque cas.

a) YAC · YBE   b) YCE · UAD.

a)

13 ABC est un triangle, H est le pied de la hauteur issue de C.

v

b) u

v u

c) u

v

1. Pourquoi YAB · YAC = YAB · UAH ?

2. On donne AB = 6, AC = 4 et YAB · YAC = –12. Pourquoi les vecteurs YAB et UAH sont-ils colinéaires 12 ABCD est un carré de côté 3. CBE est un tri- et de sens contraire ? Déduisez-en AH. angle rectangle extérieur à ABCD tel que BE = 2. 3. Construisez une figure (unité : 1 cm).

222

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

3

EXERCICES

Objectif

Utiliser l’orthogonalité pour calculer un produit scalaire

Théorème 4. l « Les vecteurs au et av sont orthogonaux » équivaut à « au · av = 0 ». l « Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires » équivaut à «  YAB · UCD = 0 ».

Exercice résolu D

Décomposer des vecteurs pour calculer des produits scalaires

ABCD est un rectangle.  est le demi-cercle de diamètre [DC] et de centre O. La perpendiculaire en O à [DC] coupe  en E.

E 

1. Calculez les produits scalaires YDA · UOE et YDC · UDO. 2. En décomposant les vecteurs YDE et YDB par la relation de Chasles, calculez YDB · YDE.

D 2 A

Méthode

C

O

4

B

Solution 1. Les vecteurs YDA et YOE sont colinéaires et de sens contraires donc YDA · YOE = –DA × OE. Le point E appartient au demi-cercle de diamètre [DC] donc YDA · YOE = –2 × 2 = –4. l UDC et UDO sont colinéaires et de même sens donc : UDC · UDO = DC × DO = 4 × 2 = 8.

1. On utilise les propriétés de la figure pour calculer les produits scalaires. Remarque

On peut résoudre cet exercice en choisissant par exemple le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, avec YOC = 2ai et YOE = 2aj. 2. l On décompose les vecteurs YDE et YDB.

2. D’après la relation de Chasles, YDE = UDO + YOE  et  YDB = UDC + YCB = UDC + YDA. l YDB · YDE = (UDC + YDA) · (UDO + YOE). YDB · YDE = UDC · UDO + YDA · YOE + UDC · YOE  + YDA · UDO. l UDC et YOE d’une part, et YDA et UDO d’autre part, sont orthogonaux donc : UDC · YOE = YDA · UDO = 0. D’où : YDB · YDE = UDC · UDO + YDA · YOE.

On remplace UDE par UDO + YOE et YDB par YDC + YDA, puis on développe.

l

On utilise l’orthogonalité de certains vecteurs pour réduire l’expression. l

l On conclut en utilisant les résultats de la question 1.

l

YDB · YDE = 8 – 4 = 4.



Mise en pratique

14 ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que AB = 5, AD = 4 et DC = 3. O est le milieu de [AD]. Démontrez, à l’aide de la relation de Chasles, que UOB · UOC = 11.

15 ABCD est un carré de côté 2. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]. En décomposant chacun des vecteurs RAJ et RID, calculez le produit scalaire RAJ · RID. Que pouvez-vous conclure ?

D

C

O A D

16 ABCD est un carré de

D C côté 4. O est le milieu du segment [AD]. e Le but de l’exercice est de O calculer le produit scalaire B UOB · UOC de deux manières B différentes et d’en déduire A une mesure θ de l’angle jBOC. C 1. En décomposant UOB et UOC, démontrez que : UOB · UOC = AB2 – AO2 = 12.

J 2. a) Calculez OB et OC. b) Déduisez-en que UOB · UOC = 20 cos θ. A

I

B

3. Calculez cos θ, puis déduisez-en une mesure de l’angle jBOC arrondie à un degré près. Chapitre 9 ● Produit scalaire

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223

EXERCICES

Objectif

4

Utiliser le produit scalaire pour trouver une équation de droite

Théorème 6. Dans un repère orthonormé : l si une droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0), alors au(–b ; a) est un vecteur directeur de d et an(a ; b) est un vecteur normal à d ; l si un vecteur non nul an de coordonnées (a ; b) est normal à une droite d, alors d a une équation de la forme ax + by + c = 0.

Exercice résolu E

Trouver une équation d’une droite perpendiculaire à une droite donnée

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, la droite d a pour équation 3x – y + 5 = 0. 1. Trouvez un vecteur au directeur de d et un vecteur an normal à d. 2. Construisez la droite ∆ passant par le point A(1 ; 2) et perpendiculaire à d. 3. Trouvez une équation de ∆ de deux façons différentes : a) en utilisant un vecteur normal ; b) en utilisant le produit scalaire. Méthode

Solution

1. On utilise le premier énoncé du théorème 6.

1. d a pour équation 3x – y + 5 = 0 donc au(1 ; 3) est un vecteur directeur de d et an(3 ; –1) un vecteur normal à d.

2. On construit la droite ∆.

2.

d

5

u

A

3

j O i

∆

3. a) On utilise le second énoncé du théorème 6.

3. a) Les droites d et ∆ sont perpendiculaires. au(1 ; 3), vecteur directeur de d, est un vecteur normal à ∆. Donc ∆ a une équation de la forme x + 3y + c = 0. Or A(1 ; 2) est un point de ∆ donc 1 + 6 + c = 0 et c = –7. Ainsi ∆ a pour équation x + 3y – 7 = 0.

b) On applique la conséquence de la définition 4 du cours.

b) M(x ; y) ∈ ∆ équivaut à au · ZAM = 0. On a ZAM(x – 1 ; y – 2) et au(1 ; 3), donc ZAM · au = 0 se traduit par (x – 1) + 3(y – 2) = 0 soit x + 3y – 7 = 0.



Mise en pratique  Le plan est muni d’un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2.

17 1. a) Tracez la droite d passant par le point A(1 ; –1) et de vecteur normal an(2 ; –3).

19 d est une droite de vecteur normal an(–3 ; 2).

Trouvez une équation de la droite :

b) Tracez la droite ∆ passant par le point A(1 ; –1) a) ∆1 passant par A(3 ; 5) et parallèle à d ; et de vecteur normal rn’ (3 ; 2). b) ∆2 passant par A(3 ; 5) et perpendiculaire à d. 2. Que remarquez-vous ? Justifiez. 20 Trouvez une équation de chacune des n3 A 18 d est la droite passant par A(–1 ; 1) et de droites d1, d2, d3 passant n 3 1 vecteur directeur au(1 ; 2). par A et admettant respecn2 Trouvez une équation de la droite ∆ passant par tivement an1, an2 et an3 pour j vecteurs normaux. B(2 ; 1) et perpendiculaire à d. O i 2

224

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Po u r

21 Questions sur le cours

EXERCICES

se tester 22 Vrai ou faux Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) Si UAB · UAC = –AB × AC, alors les points A, B et C sont alignés. b) Il existe des vecteurs au et av tels que : i au i = 5, i av i = 3 et au · av = 20. c) Si A, B et C sont trois points alignés distincts deux à deux tels que UAB · UAC < 0, alors A est entre B et C. d) Le vecteur au(2 ; 1) est normal à la droite d’équation x – 2y + 3 = 0 dans un repère orthonormé.

Complétez les propositions suivantes. a) Dans un repère orthonormé, l’orthogonalité des vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) se traduit par …… . b) Si les vecteurs UOA et UOB sont colinéaires et de même sens, alors UOA · UOB = …… . c) Si dans un repère orthonormé, la droite d a pour équation ax + by + c = 0, le vecteur an(a ; b) est …… . d) L’expression du produit scalaire au · av en fonction de la norme des vecteurs et de l’angle 1 au, av 2 est …… .

23 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. Dans un repère orthonormé, si le vecteur an(–2 ; 3) est normal à la droite d et si le point A(1 ; 1) est un point de d, alors une équation de d est : a) –2x + 3y = 0 b) 3x – 2y + 1 = 0 c) 3y – 2x – 1 = 0 2

2

2. Si au = av  alors nécessairement : a) au = av b) au = –av c) i au i = i au i 3. Si au et av sont deux vecteurs orthogonaux de 2 normes respectives 3 et 1, alors 12au – av 2 est égal à : a) 0 b) 37 c) 35

4. A est un point du cercle  ’ B de centre O et de rayon 1, et B  un point du cercle ’ de A centre O et de rayon 2. On O H pose YOA · UOB = k. Le point B se projette orthogonalement en H sur (OA). Dire que les points O, A, H sont alignés dans cet ordre et sont distincts équivaut à dire que : a) k ∈ ]1 ; 2[  b) k ∈ ]1 ; 2]  c) k > 1

24 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse.

2. Les cercles  et ’ ont pour rayons respectifs 1 et 2. Le point A’ est le symétrique de A par rapport à O. B est un point de ’ et de la tangente en A’ à .

C

a) YOA · YOB = –1 b) YBO · YBA = 7

4

1. ABC est un triangle, H est le projeté orthogonal de  C sur le segment [AB]. a) YAB · YAC = 12 b) BC = 217 c) 1UCH + UHA2 · 1UCH + YHB2 = 4

c) cos jAOB = –  A 2 H

4

B

B ’

 A’

O

A

1 2

3. Dans un repère orthonormé, la droite d a pour équation 3x + 4y + 4 = 0. La perpendiculaire ∆ à d en A(4 ; 1) coupe d en H. 8 11  ; –  . a) H a pour coordonnées 5 5 b) La distance de A à d est 4.

1

2

c) Le cercle de centre A passant par H est tangent à d. Voir les corrigés p. 366 Chapitre 9 ● Produit scalaire

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225

EXERCICES

Apprendre à chercher 25 Démontrer que deux droites sont perpendiculaires ABCD est un carré de côté c, M et N sont des points des segments [AB] et [AD] tels que : AM = AN. Le point I est le milieu du segment [DM].

D

C I

a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D et E dans ce repère ?

N A M

B

activités de recherche

Objectif  Sans choisir un repère, démontrer que les droites (AI) et (BN) sont perpendiculaires. 1. On peut penser à démontrer que RAI · UBN = 0. Aucune formule ne permet un calcul direct, d’où l’idée de décomposer au moins l’un des vecteurs afin d’exploiter l’orthogonalité de vecteurs. a) Prouvez que 2RAI = ZAM + ZAD. b) Après avoir décomposé le vecteur UBN, démontrez que 2RAI · UBN = ZAM · YBA + UAD · UAN  (1). 2. Le second membre de (1) ne fait intervenir que des vecteurs colinéaires. On peut donc exprimer simplement 2RAI · UBN. a) Déduisez-en que RAI · UBN = 0. b) Concluez.

26 Choisir un repère pour démontrer Trois triangles rectangles isocèles OAB, OCD et DAE sont disposés comme l’indique la figure ci-dessous avec OA = a et OC = c. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [DE] et [DC]. B

K D

I

C

A

O

1. On choisit un repère de façon que les points de base de la figure aient des coordonnées simples. On choisit le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2 tel que : UOA = aai et UOC = caj.

b) Déduisez-en celles des points I, J et K. 2. Pour démontrer que les droites (IJ) et (AK) sont perpendiculaires, on pense à calculer PIJ · ZAK. Terminez les calculs et concluez.

27 Exploiter l’orthogonalité et les équations de droites Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(0 ; 2) et B(3 ; 6).  est le cercle circonscrit au triangle OAB. La droite ∆ est la tangente en B au cercle . Objectif  Trouver les coordonnées du point I, centre du cercle , et une équation de la tangente ∆. 1. Pour guider le raisonnement, on commence par faire une figure. Placez les points A et B dans un repère 1O ; ai, aj 2. 2. Le centre I du cercle  est le point de concours des médiatrices du triangle OAB. Choisissez par exemple la médiatrice d1 du segment [OA] et la médiatrice d2 du segment [AB]. Tracez ces médiatrices, puis le cercle . 3. Pour trouver les coordonnées du point I, un moyen consiste, au préalable, à trouver une équation de la médiatrice d1 de [OA] et une équation de la médiatrice d2 de [AB]. Pour d2, on connaît un vecteur normal, UAB, et un point, le milieu de [AB]. a) Trouvez une équation de d1 puis de d2. Aide Voir l’exercice résolu E, page 224.

b) Déduisez-en les coordonnées du point I.

J

E Objectif  Démontrer que les droites (IJ) et (AK) sont perpendiculaires.

226

4. On retiendra que la tangente en B à  est la droite perpendiculaire en B à [IB]. On connaît donc un vecteur non nul, RIB, et un point, B. Trouvez une équation de la droite ∆, tangente en B à . Aide Voir l’exercice résolu E, page 224.

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L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

29 Chercher un point fixe D

28 Un calcul d’angle ABCD est un carré de côté a. Le point I est tel que 4YAI = IAD. Donnez une mesure  q de l’angle gBIC à un dixième de degré près. D

C

e

ABCD est un carré de coté a. M est un point quelconque de la droite (BD), qui se proB P jette orthogonalement en P A sur la droite (AB) et en Q sur Q M la droite (AD). Démontrez que la droite ∆ menée par M et perpendiculaire à la droite (PQ) passe par un point fixe. Travail en groupe

A

Cet exercice peut également être traité en groupe et mener à une mise en commun des réflexions.

B

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

1750

C

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de la géométrie.

Delambre Chap. 10 1800

Giusto Bellavitis Chap. 7 1850

ÉPOQUE MODERNE

1900

ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Jean-Robert Argand Chap. 8

Hermann Günther Grassmann (1809-1877)

activités de recherche

I

EXERCICES

Narration de recherche

Mathématicien allemand. Il est considéré comme le fondateur de la théorie des espaces vectoriels. On lui doit l’idée de faire « le produit de deux vecteurs » pour obtenir un nombre. C’est en 1839, dans sa thèse « Théorie des flots et des marées », qu’il définit le produit linéaire de deux vecteurs, qui est notre produit scalaire actuel. Il montre ses propriétés et en donne la valeur en fonction des composants des vecteurs. Sur le Web http://www.chronomath.com/anx/ProdScal.html

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

227

EXERCICES

Utiliser GeoGebra  our construire une figure géométrique P Pour mettre en évidence une propriété de la figure TP 30 Appartenance d’un point à une figure donnée Compétences Mathématiques

TICE

activités de recherche

Représenter une fonction Construire une figure géométrique Émettre et tester des conjectures

Trouver un vecteur directeur à une droite Résoudre un système d’équations Prouver qu’un point appartient à une ligne donnée

1 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est la courbe d’équation y = . A et B sont deux points de , x 1 d’abscisses respectives –  et 3. M est un point quelconque de , distinct de A et B. On note H 2 l’orthocentre du triangle AMB. On souhaite étudier la position de H lorsque M décrit . 1. Conjecturer avec GeoGebra a) Créez la courbe  et placez les points A et B. b) Créez un point M quelconque sur , puis le triangle AMB.

outil 5

c) Créez les hauteurs issues de M et A, puis le point H, intersection de ces hauteurs.

outil 1

d) Activez la trace de H, puis déplacez M sur . Quelle conjecture faites-vous concernant le point H ?

2. Démontrer

1 Notons m l’abscisse du point M (m ≠ 0 ; m ≠ –   ; m ≠ 3). 2 a) Quelles sont les ordonnées des points A, B et M ? b) Démontrez que les vecteurs au(3 ; 2) et av(–3m ; 1) sont des vecteurs directeurs respectifs des droites (AB) et (BM). c) On note (x ; y) les coordonnées de l’orthocentre H. l Pourquoi les produits scalaires IMH · au et UAH · av sont-ils nuls ? l Déduisez-en que les coordonnées de H sont solutions du système : 2 3x + 2y = 3m + m 3 –3mx + y =  m – 2 2 l Résolvez ce système et prouvez votre conjecture.

5

228

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EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour construire une figure TP 31 Étude d’une configuration Compétences TICE

Mathématiques

Représenter une fonction Construire une figure géométrique Émettre et tester des conjectures

 éterminer une équation d’une tangente D à une parabole Déterminer une équation d’une droite perpendiculaire à une droite donnée Résoudre un système d’équations

x2 + 1, F est le point de 4 coordonnées (0 ; 2), M est un point quelconque de 3 et d est la tangente en M à 3. On trace par F et M les droites ∆1 et ∆2 perpendiculaires à d. La droite ∆1 coupe la droite d en B. La droite ∆2 coupe l’axe des ordonnées en A. On note C le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées. Lorsque le point M décrit 3 en restant distinct du sommet, on s’intéresse : l à la ligne décrite par B ;   l à la distance AC. 1. Conjecturer avec GeoGebra

x2 + 1, puis créez le point F = (0 ; 2). 4 b) Créez un point M quelconque sur 3, puis la droite d, tangente à 3 en M.

a) Tracez la parabole 3 d’équation y =

outil 5 outil 6

c) Créez les droites ∆1 et ∆2, puis les points A et B. d) Créez le point C, puis le segment [AC]. e) Activez la trace de B, puis déplacez le point M. Sur quelle ligne semble se déplacer le point B ? f) Quelle conjecture faites-vous concernant AC ?

activités de recherche

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, 3 est la parabole d’équation y =

2. Démontrer On note m l’abscisse du point M. a) Déterminez une équation de la tangente d en M à la parabole 3. Déduisez-en une équation des droites ∆1, puis ∆2. b) Exprimez en fonction de m les coordonnées des points A, B et C. Calculez AC. c) Les résultats sont-ils conformes à vos conjectures ? Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

229

de  tête

32 On considère les vecteurs au(–2 ; x) et av(5 ; 1). Que

B

33 au(3 ; 4) est un vecteur. Calculez i au i. 34 au et av sont deux vecteurs de coordonnées respectives (3 ; –2) et

1

1 3  ; 42. Calculez au · av.

35 au(3 ; –1) est un vecteur. Trouvez les coordonnées d’un vecteur av orthogonal à au.

36 La droite d a pour équation y = 2x – 1. Trouvez les coordonnées d’un vecteur an normal à d.

37 au, av et rw sont trois vecteurs, au · rw = –5 et av · rw = 3. Calculez 12au – av 2 · rw.

38 Les points A, B et C sont tels que AB = 5, AC = 6 et YAB · YAC = –15. Calculez la mesure de l’angle jBAC. que YAB soit un vecteur normal à la droite d d’équation x – 2y + 1 = 0.

Les diverses expressions du produit scalaire Les coordonnées et les équations qui figurent dans les énoncés sont relatives à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2.

YAB · UAC. b)

c)

A

43 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé.  et ’ sont deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3.

A j O i 60°

K

1. Démontrez que B a pour 313 3 coordonnées –   ; –  . 2 2 2. Calculez :

1

’ 

2

44 M est un point de la médiatrice du segment [AB] et O est le milieu de [AB]. Quels sont les « outils » qui vous permettent d’écrire : IAM · YAB = UAO · YAB AB2  ? = AO × AB = 2

I

B

3

A

B

M

O

A

B

45 A, B et C sont trois points tels que :

π AB = 4,  YAB · UAC = 3  et  jBAC = . 3 Calculez AC.

C

5B

2. a) Calculez YCA · YCB.

–2 c) Déduisez-en que : 3 cos jACB = . 5 C 3. Donnez une mesure de l’angle jACB à un degré près.

70° 5

b) i au i = 3 ; i av i = 2 ; au · av = –313. c) i au i = 2 ; i av i = 6 ; au · av = –12.

b) Démontrez que : YCA · YCB = 40 cos jACB.

D 2 C

B

42 Dans chacun des cas suivants, trouvez une mesure en radians de l’angle géométrique associé à au et av. a) i au i = 4 ; i av i = 5 ; au · av = 10.

47 1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

41 Pour chacune des figures suivantes, calculez

B

B

AB = 2,  YAB · UAC = –1  et  A, B, C sont alignés. Calculez AC.

a) au = 2ai – 3aj et av = 5ai + aj. p b) au(1 ; 2), i av i = 3 et 1 au, av 2 = . 4     c) i au i = 2, i av i = 3 et i au + av i = 4.

A

4

A

C

46 A, B et C sont trois points tels que :

40 Dans chacun des cas suivants, calculez au · av.

C

5

a) YOA · UOB ;  b) YBK · YBA ;  c) PIA · YOB.

39 On considère le vecteur YAB(–3 ; a). Trouvez a pour

a)

j O i

D

+6

Le repère repère 1O ; ai, aj 2 est orthonormé.

y=

x+

32 à 39

–2x

Pour les exercices

C

2

3

A

vaut x si au et av sont orhogonaux ?

230

e)

d) y=

EXERCICES

Entraînement

1 j O i –1

A 4

48 On souhaite construire un triangle ABC (si possible) tel que AB = 3 cm ; AC = 4 cm et YAB · UAC = 6.

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Règles de calcul

1. Exprimez YAC et YBD en fonction de YAB et UAD.

2

a) au · 1 au + av 2 ;  b) 2au · 1–3av 2 ;  c) 1 au + av 2 .

50 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les

vecteurs au = 2ai – aj et av = 3ai + 5aj. Calculez :

D

C

2

3

B

pectives 2 et 3, et tels que au · av = –4. 2

1. a) Calculez 1 au + av 2 . b) Déduisez-en i au + av i.

2. Déduisez-en que : YAC · YBD = –20.

53 au et av sont deux vecteurs orthogonaux de normes

respectives 1 et 2. Démontrez que :

1. Justifiez que : YAC · UBD = IA’C’ · UBD.

1 au – av 2 – 1 au + 3av 2 = –32.

54 En physique B

O

50° F1

B

D

C A’

4 C’ A

60 ABCD est un carré de

6

B

a

C

D

côté a. I est le milieu du segment [AD]. On veut démontrer que la mesure q de l’angle gACI est indépendante de a.

e

I

A

b) Déduisez-en que :

B

a2410 cos q. 2 2. a) Exprimez PCI en fonction de UCD et YCB. 3 b) Déduisez-en que PCI · YCA =  a2. 2 3. Calculez cos q et concluez. PCI · YCA =

2

F2

6

A

1. a) Calculez CI et CA en fonction de a.

2. Démontrez que i2au – av i = 441.

Le point O est soumis à deux forces PF1 et PF2 d’intensités respectives 300 et 200 newtons. jAOB = 50°. Le vecteur PR est la résultante de ces deux forces donc PR = PF1 + PF2.

C

4

2. Sachant que YAC · UBD = –20, démontrez que : 10413 A’C’ = . 13

4

52 au et av sont deux vecteurs ayant pour normes res-

2

D

59 On reprend la figure de l’exercice précédent.

2

a) au · av ;  b) au  ;  c) 1 au – 2av 2 · 12au – av 2.

A

57 Dans un repère orthonormé, on donne les points A(0 ; 1) et B(5 ; 4). M est un point de coordonnées (x ; 0). Existe-t-il des nombres x pour lesquels le triangle AMB est rectangle en M ? AB = 6 et AD = 4.

i au i = 3,  i av i = 5  et  au · av = 12.

51 ABCD est un parallélogramme. On note au = YAB, av = UAD et au + av = UAC. 3 1. Démontrez que au · av = . 2 2 2. Calculez 1 au – av 2 et déduisez-en que DB = 410.

56 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(–4 ; 1), B(–1 ; 2) et C(1 ; –4). Démontrez que le triangle ABC est rectangle.

58 ABCD est un rectangle,

49 au et av sont deux vecteurs tels que : Calculez :

Produit scalaire et orthogonalité

EXERCICES

On propose le programme suivant : l tracez un segment [AC] de longueur 4 cm ; l tracez le cercle  de centre A et de rayon 3 cm ; l placez le point H sur [AC] tel que AH = 1,5 cm ; l tracez la perpendiculaire en H à (AC) ; elle coupe le cercle  en B1 et B2. Justifiez l’affirmation : « Chacun des triangles AB1C et AB2C répond au problème posé. »

C R A

2

1. Calculez PR  .

61 Une mesure d’angle dans l’espace H F

E

2

1. Démontrez que rw = x2 – 2x + 4. 2. Déduisez-en les valeurs de x pour lesquelles i rw i = 3.

E

G O

2. Déduisez-en l’intensité de R à un newton près.

55 Deux vecteurs au et av sont tels que i au i = 2, i av i = 1 et au · av = –1. On pose rw = au + xav, x étant un nombre.

G

O

A

D a

e

C B

A

H

C

ABCDEFGH est un cube de côté a et de centre O. On se propose de démontrer que la mesure q de l’angle jAOC est la même pour tous les cubes. Chapitre 9 ● Produit scalaire

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231

EXERCICES

On remarque que ce problème se ramène à un problème de géométrie plane en considérant le rectangle ACGE. 1. a) Démontrez que AC = a12 et que AG = a13. 3 b) Déduisez-en que YOA · UOC =  a2 cos q. 4 2. On souhaite calculer YOA · UOC d’une autre manière. On appelle H le milieu du segment [AC]. a) Exprimez les vecteurs YOA et UOC en fonction des vecteurs UOH et YHA. a2 b) Déduisez-en que YOA · UOC = –  . 4 3. Déduisez l’expression de cos q des questions 1. et 2., puis la mesure de q, en degrés, arrondie au dixième.

62 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, les droites d1

et d2 ont pour équations respectives : x – y – 1 = 0  et  2x + y – 3 = 0. est un vecteur directeur de d1 et au2 un vecteur u a 1 directeur de d2. 1. Calculez de deux manières le produit scalaire au1 · au2. 2. Déduisez-en une mesure a de l’angle aigu des droites d1 et d2 arrondie au dixième de degré.

63 Dans un repère

8 B

orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(6 ; 0), B(0 ; 8), C(2 ; 2).

e 2

2. Trouvez en radians la mesure exacte de l’angle géométrique jACB.

C

j O i

64 Proposition réciproque

2

A 6 LOGIQUE

Pour chacune des propositions suivantes, donnez la proposition réciproque et dites si cette réciproque est vraie ou fausse. Justifiez votre réponse. a) Si av = rw alors au · av = au · rw. 2

b) Si au = av alors au = av . c) au, av et rw sont trois vecteurs non nuls et non colinéaires deux à deux. Si au · av = au · rw, alors au est orthogonal à av – rw. d) Si M est un point de la médiatrice du segment [AB], 1 alors YAB · IAM =  AB2. 2

65 Quadrangle orthocentrique On dit que quatre points A, B, C et D forment un quadrangle orthocentrique si chacun de ces points est l’orthocentre du triangle ayant pour sommets les trois autres points. On donne dans un repère orthonormé les points A(5 ; 0), B(–1 ; –2), C(11 ; –8) et D(7 ; 4). Est-ce un quadrangle orthocentrique ? 232

A

4

C –3

H 6

j O i

5

–3

B

1. a) Calculer YAB · YAC. b) Calculez AC et démontrez que AH = 15. 2. a) Calculez BH. b) Démontrez que l’aire du triangle ABC est un nombre entier.

67 Test d’orthogonalité

A L G O R IT

H M IQ U E

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC) et D(xD ; yD). 1. Exprimez les coordonnées (a ; b) du vecteur YAB et (c ; d) du vecteur UCD en fonction des coordonnées des points A, B, C et D. 2. Complétez l’algorithme suivant, dont l’objectif est de vérifier l’orthogonalité des vecteurs YAB et UCD.

1. Exprimez de deux manières le produit scalaire YCA · YCB.

2

66 Les points A, B et C sont donnés par leurs coordonnées dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2. H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).

Variables xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD, a, b, c, d, p Algorithme Saisir xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD a reçoit xB – xA b reçoit...... c reçoit...... d reçoit...... p reçoit...... Si p = 0 alors afficher...... Sinon...... FinSinon FinSi

3. Vérifiez votre algorithme avec les points A(5 ; 2), B(–1 ; 3), C(–4 ; 0) et D(–3 ; 5).

Droites et produit scalaire Les coordonnées et les équations sont relatives à un repère orthonormé.

68 Dans chacun des cas suivants, tracez la droite  d passant par le point A et de vecteur normal an, puis donnez une équation de d. a) A(2 ; 1) et an(3 ; –2). c) A(–2 ; 4) et an(–2 ; 0).

b) A(3 ; 1) et an(0 ; 3). 2 d) A(2 ; 1) et an  –   ; 1 . 3

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1

2

équation de la droite ∆ passant par le point A et perpendiculaire à la droite d. a) A(–2 ; 1) ; d : 2x – 4y + 1 = 0.

a) une équation de la droite ∆1 passant par le point A et parallèle à la droite d ; b) une équation de la droite ∆2 passant par le point A et perpendiculaire à la droite d.

1. Pourquoi ces deux réponses sont-elles fausses ? Justifiez. 2. Rédigez une solution correcte de ce problème.

74 Orthocentre d’un triangle On donne les points A(–1 ; 2), B(2 ; 5) et C(3 ; 2).

b) A(0 ; 4) ; d : 2x – y + 4 = 0.

70 Trouvez :

5

1. a) Construisez le triangle ABC.

C

b) Construisez le point M, orthocentre de ce triangle. 2. a) Trouvez une équation de la hauteur issue de A. b) Déduisez-en les coordonnées du point M.

–2 A

j O i –1

B 4 d

71 Dans chacun des cas suivants, dites si les droites d1 et d2 sont perpendiculaires. a) d1 : x – 2y + 4 = 0 ; d2 : 6x + 3y – 7 = 0. b) d1 : y = –2x + 5 ; d2 : x – 2y + 1 = 0.

75 Dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, le point H(x ; y) est tel que : UAH · UOB = 0 et UOH · UAB = 0.

72 Deux droites ∆1 et ∆2 passent par un même point A

et sont respectivement parallèle et perpendiculaire à une même droite  d. Dans chacun des cas suivants, trouvez une équation de ∆1 et ∆2. a) A a pour coordonnées (–1 ; 3) et an(–3 ; 2) est un vecteur normal à d.

1. Que représente H pour le triangle AOB ? 2. Démontrez que les coordonnées de H vérifient le système : –3x + 2y = 0 –x + 3y = 1

D

G

C

E

6

A

A

1 j –1

i

O

2

76 Démontrer avec les coordonnées d1

N –3 B

F

3

3. Déduisez-en les coordonnées de H.

b) A a pour coordonnées (5 ; 2) et au(2 ; 1) est un vecteur directeur de d.

73 Chercher l’erreur ABCD est un rectangle tel que AB = 3 et BC = 6. E est le milieu du segment [AD]. AEFG est un carré. Le professeur demande aux élèves de calculer YAC · YAF. Voici deux copies d’élèves.

B

5

c) d1 : (1 + 12)x – y + 3 = 0 ; d2 : (12 – 1)x + y = 0.

Copie 1 :

EXERCICES

69 Dans chacun des cas suivants, trouvez une

3

F et C se projettent orthogonalement en E et D sur (AD) donc YAC · YAF = YAD · YAE. Les vecteurs UAD et YAE sont colinéaires et de même sens donc YAC · YAF = 3 × 6 = 18. Copie 2 :

B

6 A

d2

H

M

j O i

C 4

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(0 ; 6), B(–3 ; 0) et C(4 ; 0). Les droites d1 et d2 ont pour équations respectives x = –3 et x = 4. Les perpendiculaires menées par O à (AB) et (AC) coupent la droite d1 en N et la droite d2 en M. La droite (MN) coupe l’axe des ordonnées en H. Le but de l’exercice est de démontrer que le point H est l’orthocentre du triangle ABC. 1. Calculez les coordonnées des points M et N. 2. a) Trouvez une équation de la droite (MN). b) Déduisez-en les coordonnées du point H.

On choisit le repère (A ; YAB, YAE). Le point C a pour coordonnées (1 ; 2) et F(-1 ; 1) donc : YAC a pour coordonnées (1 ; 2) et YAF(-1 ; 1). Il en résulte que YAC · YAF = -1 + 2 = 1.

3. Calculez le produit scalaire UBH · YAC et concluez.

77 On donne les points A(2 ; 3) et B(–3 ; 6). Trouvez une équation de la tangente ∆ en B au cercle  de centre A passant par B. Chapitre 9 ● Produit scalaire

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

233

EXERCICES

78  est le cercle de centre A(3 ; 1) et de rayon 5. 1. Vérifiez que B(–1 ; –2) est un point de . 2. Trouvez une équation de la tangente en B à .

a) Justifiez chacune des égalités de l’enchaînement sui2 vant : RIC · RIO = RIC · YIM = RIH · YIM = PIB · YIM = PIB . b) Déduisez-en les coordonnées de C et concluez.

Avec les tice 79 Produit scalaire et parabole 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé, 3 est la parabole d’équation y = x2 et M est un point quelconque de 3 distinct de O. La perpendiculaire à la droite (OM) passant par O recoupe 3 en N. On s’intéresse au « déplacement » de la droite (MN) lorsque M décrit la parabole 3 privée de O. 1. Expérimenter avec GeoGebra a) Construisez la figure et créez la droite (MN). b) Déplacez M sur la parabole 3. Quelle conjecture faites-vous ?

Note

Activer la trace de (MN).

2. Démontrer On note m l’abscisse du point M avec m ≠ 0. a) Calculez les coordonnées de N en fonction de m. b) Démontrez que le vecteur au(–m ; 1 – m2) est un vecteur directeur de la droite (MN). c) Déduisez-en une équation de la droite (MN). d) Prouvez que la droite (MN) passe par un point fixe F repéré lors de l’expérimentation.

80 Étude d’une configuration

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne le point I de coordonnées (0 ; 4).  est le cercle de centre I et de rayon 2 et M un point quelconque de l’axe des abscisses. Le cercle circonscrit au triangle IOM coupe le cercle  en A et B. On s’intéresse au comportement de la droite (AB) lorsque M décrit l’axe des abscisses. 1. Réaliser la figure a) Affichez la grille et créez les points I, O et le cercle . b) Créez M et le cercle circonscrit du triangle IOM. c) Créez A et B puis la droite (AB). 2. Conjecturer avec GeoGebra a) Activez la trace de la droite (AB). b) Déplacez le point M sur l’axe des abscisses. Quelle conjecture faites-vous ? 3. Démontrer La droite (AB) coupe les droites (IM) et (IO) respectivement en H et C.

234

ROC

Restitution organisée de connaissances

81 Prérequis. Si au et av sont deux vecteurs non nuls,

alors :

l

2

2

2

1 au + av 2 = au + av + 2au · av ;

l

1 –au 2 · av = –1 au · av 2.

1. Démonstration Démontrez que si A, B et C sont trois points non alignés, alors BC2 = AB2 + AC2 – 2YAB · YAC. 2. Application Le point H est l’orthocentre du triangle ABC. Démontrez que : 2 2 2 l AB = AH + HB + 2UAH · YHB ; 2 2 2 l AC = AH + HC + 2UAH · UHC. Déduisez-en que : AB2 – AC2 = HB2 – HC2.

A

H B

I

C

Prendre toutes les initiatives 82 ABCD est un carré. M et N sont des points de [AB] et [AD] tels que AM = DN. On construit le rectangle AMPN. Démontrez que les droites (CP) et (MN) sont perpendiculaires et que CP = MN.

C

D N

A

P

M

B

83 ABC est un triangle. d est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Démontrez l’équivalence des deux propositions suivantes : l « M est un point de d. » ; l « UMA · UMB = UMA · UMC. » 84 A, B et C sont trois points distincts non alignés

tels que YAB · UAC < 0. Démontrez qu’il n’existe aucun point M tel que YAB · UCM = 0 et UMA · UMB = 0.

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

H M IQ U E

A et B sont deux points distincts du plan, rapporté à un repère orthonormé. Pour tout point M du plan distinct de A et de B, « UMA · UMB = 0 » équivaut à « l’angle jAMB est droit ». L’égalité UMA · UMB = 0 caractérise donc l’appartenance du point M au cercle de diamètre [AB]. M

M A

C

b) Démontrez que : UOB · UOC = 150465 cos a.

B _

2. Déduisez-en la valeur de a arrondie au dixième de degré.

30

A

88 ABC est un triangle isocèle

H

B

1. a) Démontrez que : UOB · UOC = OA2 + YAB · YAC.

O A

tel que AB = 6 et BC = 4. B

A

1. Démontrez que YBC · YBA = 8. 2. Déduisez-en BH puis HC.

6

H

87 On souhaite calculer la mesure a de l’angle jBOC. 5

A L G O R IT

15

85 Disques et produit scalaire

EXERCICES

Approfondissement

H 1. Dans chacun des cas de figures ci-dessus, justifiez l’égalité UMA · UMB = UMA · IMH.

89 Dites si les affirmations sui-

2. Justifiez les affirmations suivantes : a) Si le point M est intérieur au cercle, alors UMA · UMB est strictement négatif.

vantes sont vraies ou fausses. Justifiez votre réponse.

b) Si le point M est extérieur au cercle, alors UMA · UMB est strictement positif.

b) UHB · YBC = –BI × BC.

3. a) Pourquoi pouvez-vous affirmer : « Si UMA · UMB est strictement positif, alors le point M est extérieur au cercle » ? b) Quelle autre affirmation résulte de ce qui précède ? 4. Complétez alors l’algorithme suivant dont l’objectif est de déterminer la position d’un point M(xM ; yM) par rapport au cercle de diamètre [AB]. On note P le nombre UMA · UMB.

perpendiculaire à (AB) qui coupe l’axe des ordonnées en I. Quelle est l’ordonnée de I ?

I

J

H B

90 ABC est inscrit dans le cercle  de diamètre [AB]. Une droite variable d passant par A coupe le segment [CH] en I et le cercle  en J.

I

C

C I A

O

H

J d B

2. Déduisez-en que le produit scalaire RAI · PIJ est indépendant de la droite d.

91 ABC est un triangle, ABDE et ACFG sont deux carrés disposés comme l’indique la figure ci-dessous.

B 3 4

G

O E

A

j O i 1

A

a) UHA · RBJ = RCJ · YHA.

C

3 2

C

 1. Justifiez chacune des étapes de la chaîne suivante : RAI · RAJ = RAI · YAB = UAH · YAB = YAC · YAB = AC2.

Variables xA, yA, xB, yB, xM, yM, P Algorithme Saisir xA, yA, xB, yB, xM, yM P reçoit...... Si P = 0 alors afficher...... Sinon Si P < 0 alors...... Sinon...... FinSinon FinSi

86 On a tracé par C la

4

B

A F

D B

C Chapitre 9 ● Produit scalaire

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

235

EXERCICES

1. a) Démontrez que YAE · YAG = –YAB · YAC. b) Sachant que YEC = YAC – YAE et que YBG = UAG – YAB, démontrez que (EC) et (BG) sont perpendiculaires. 2. a) Démontrez que YAE · YAC = YAB · UAG. b) En tenant compte de la décomposition des vecteurs YEC et YBG de la question 1. b), démontrez que EC = BG.

92 Prolongement de l’exercice précédent On considère la figure de l’exercice précédent. O est le milieu du segment [EG]. 1. Démontrez que 2UAO = YAE + UAG  (1). 2. a) Démontrez que 2YAO · YBC = 2UAO · (YAC – YAB). b) À l’aide de (1) et du résultat de la question 2. a) de l’exercice précédent, démontrez que les droites (AO) et (BC) sont perpendiculaires.

2. Réciproquement : peut-on affirmer que si YAB · ZAM = 8, alors M est un point de la droite (OI) ?

97 AB = 2a et I est le milieu

M

du segment [AB]. 1. Démontrez que pour tout point M : UMA · UMB = MI2 – a2. A

2. Application ABCD est un carré de côté 4. I est le milieu du segment [AB]. Démontrez l’affirmation suivante : « Dire que UMA · UMB = 16 équivaut à dire que M est un point du cercle de centre I passant par C. »

A

95 Distance d’un point à une droite Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, d est la droite d’équation 3x – 4y + 12 = 0, A le point de coordonnées (5 ; 3) et ∆ la perpendiculaire menée par A à d. Les droites d et ∆ se coupent en H. On souhaite calculer AH, distance de A à d. 1. a) Trouvez un vecteur an normal à d. b) Justifiez que UAH = kan, k étant un nombre non nul.

LOGIQUE

99 Équivalence

1. ABCD est un rectangle. a D C AB = a et AD = b. Le point  I est le milieu du segment [AB]. On donne les propositions : (P) : « a = b12. » (Q) : « Les droites (DI) et (AC) A I B sont perpendiculaires. » Démontrez que ces propositions sont équivalentes. 2. ABCD sont quatre points distincts deux à deux. On donne les propositions : P : « Pour tout point M, YAB · UCM = YAB · IDM. » Q : « Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. » Démontrez que ces propositions sont équivalentes.

tangle en A. I est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. J et K sont les projetés orthogonaux de H sur les droites (AB) et (AC). On veut démontrer que les droites (KJ) et (AI) sont perpendiculaires.

centre O et de côté 4. Le point I est le milieu du segment [AB]. 1. Démontrez que si M est un point de la droite (OI), alors YAB · ZAM = 8.

236

2. Calculez les coordonnées du point I ainsi que le rayon du cercle .

2. a) En écrivant que H est un point de d, calculez k. D

C

O A

I 4

B

B

4

1. Construisez le cercle  de centre I circonscrit au triangle ABC.

100 ABC est un triangle rec-

96 ABCD est un carré de

I

98 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(4 ; 1), B(0 ; 5) et C(–2 ; 1).

c) Déduisez-en les coordonnées de H en fonction de k. b) Déduisez-en que AH = 3.

C

b

94 ABC est un triangle rectangle en A. Démontrez qu’il existe un unique point M distinct de A tel que UMA · UMB = 0 et UMA · IMC = 0. Quel point particulier obtient-on ?

B

D

93 ABC est un triangle équilatéral de coté a. 1. Démontrez que les propositions suivantes sont équivalentes. (P) : « M est un point de la médiatrice de [AC]. » a2 (Q) : « IAM · YAC =  . » 2 2. a) Démontrez qu’il existe un point M unique tel que : a2 IAM · YAB = 0 et IAM · YAC =  . 2 b) Démontrez que ce point M appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

I

C

I K

A

H

J

1. Démontrez que : YAB · YJK = YAB · UHA (1) et UAC · YJK = UAC · UAH (2).

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

B

104 Droites particulières d’un triangle

3. Déduisez de (1), (2) et (3) que les droites (AI) et (JK) sont perpendiculaires.

Partie A : Caractérisation de droites particulières dans un triangle ABC est un triangle, O est le milieu du segment [BC].

101 Coordonnées de l’image d’un point

par une symétrie axiale Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, la droite d a pour équation 3x + 4y – 12 = 0.

1. Dans chacun des cas suivants, construisez l’ensemble des points M.

1. a) Construisez cette droite.

c) UAM et YOA sont deux vecteurs colinéaires.

b) Trouvez une équation de la droite ∆ passant par l’origine du repère O et perpendiculaire à d.

2. Quelles droites particulières du triangle ABC obtenezvous ?

2. a) Déduisez de la question précédente les coordonnées du point I, intersection des droites d et ∆.

102 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les

Partie B : Exploitation de cette caractérisation en géométrie repérée Dans un repère orthonormé, on donne les points A(5 ; 4), B(6 ; –3) et C(–3 ; 0). O est le milieu du segment [BC]. En exploitant les résultats de la partie A, trouvez :

points A(–1 ; 4) et B(5 ; 2). À tout point M(x ; y) on associe le nombre MA2 – MB2.

1. une équation de la hauteur et une équation de la médiane issue de A ;

b) Quelles sont les coordonnées de O’, image de O par la symétrie d’axe d ?

1. Calculez MA2 – MB2 en fonction de x et y. 2. Démontrez que l’ensemble des points M tels que MA2 – MB2 = 4 est une droite d perpendiculaire à la droite (AB).

103 Droites concourantes d3

5

B

d1

A

d2

a) UAM · YBC = 0.    b) IOM · YBC = 0.

2. une équation de la médiatrice du segment [BC]. Aide Notez (x ; y) les coordonnées du point M.

Prendre toutes les initiatives 105 ABCD est un rectangle tel que DC = 6 et AD = 4. I est le milieu de [AB]. D

3

EXERCICES

2. Démontrez que YAB · RJK + YAC · YJK = 2PAI · RJK  (3).

6

C

I 4

1 B’ –1

j O i

e

C A A’

C’ 2

5

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(2 ; 5), B(–1 ; 3) et C(5 ; 1). On note A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur l’axe des abscisses. d1 est la perpendiculaire à (BC) passant par A’. d2 est la perpendiculaire à (AC) passant par B’. d3 est la perpendiculaire à (AB) passant par C’. Le but de l’exercice est de démontrer que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes. 1. a) Trouvez une équation de d1 et une équation de d2. b) Déduisez-en les coordonnées du point I, intersection de ces deux droites. 2. Vérifiez que I est un point de d3 et concluez.

I

B

Trouvez une valeur approchée en radians de l’angle q.

106 OAB est un triangle rectangle en O tel que OA = 4 et OB = 6. OAM1 et OBM2 sont deux triangles rectangles isocèles. N est le milieu du segment [M1M2] et I celui du segment [AB]. En choisissant un repère orthonormé bien adapté, démontrez que N est un point du cercle circonscrit au triangle OAB et que OIN est un triangle rectangle isocèle.

B

6

O

M2

I

4

A

N

M1

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

237

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Un pliage

F Une figure remarquable

1

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, d est la droite passant par les points B(0 ; 2) et C(1 ; –1). Le point A a pour coordonnées (4 ; 1). Quelles sont les coordonnées du point A’, symétrique de A par rapport à d ?

B Angle de deux droites

2 B 1 1 j O i –1 C

A

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les droites d et d’ d’équations respectives y = x – 1 et y = –2x + 3. Trouvez la mesure en degrés, arrondie au dixième, de l’angle aigu formé par ces deux droites.

C D’un triangle à son aire

3

On donne, dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, les points 11  ; 5 , B(–3 ; 2) et C(3 ; –2). A 2 Quelle est l’aire du triangle ABC ?

1

2

A

5 B

–3

11 2

Démontrez que le triangle OMN est rectangle isocèle.

G Triangles équilatéraux emboîtés ABC est un triangle équilatéral de côté a. Les points M, N et P sont tels que : YBN = kYBC, ZAM = kYAB et YCP = kYCA, k ∈ [0 ; 1]. 1. Vérifiez que : MP2 = a2(3k2 – 3k + 1).

A M P

B

N

C

8

C H

2

YAB · YAC = UAH + YHB · UHC.

D À la recherche de l’orthogonalité

2. Déduisez-en l’équivalence : A « ABC rectangle en A » équi2 vaut à « YHB · UHC = –UAH  ».

4

y D

I Où est la ligne ?

B

9

ABC est un triangle rectangle isocèle en A. Le but de l’exercice est de trouver à quelle ligne appartiennent les points M tels que YCB · UCM – YAB · UCM = 0.

I

1. Simplifiez l’égalité.

j O

7

1. Démontrez que :

C

C

B

ABC est un triangle quelconque et H est le pied de la hauteur issue de A.

3

–2

i

E Passer des côtés aux diagonales ABCD est un rectangle tel que : AB = 6 et AD = 4. Calculez le produit scalaire YAC · YBD.

238

M

A

H Une équivalence

j O i

N

O

2. Démontrez que le triangle MNP est équilatéral.

2

hxOy est un angle droit, Les points A, B, C et D sont tels que OA = OC = a et OB = OD = b. I est le milieu de [AD]. Démontrez que les droites (CB) et (OI) sont perpendiculaires.

ABCD est un carré de côté 1. Les points M et N sont tels que ZAM = kYAB et YBN = kYBC, k ∈ ]0 ; 1[. D C

4

2

6

B x

A 5

2. Concluez et faites une figure.

J Du bon usage des vecteurs colinéaires

10

ABCD est un trapèze rectangle en A et D. O est le milieu de [AD]. On pose AB = a, CD = b et AD = c. c2 Démontrez que YOB · UOC = ab –  . 4

Chapitre 9 ● Produit scalaire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CHAPITRE

Produit scalaire : applications

D’un siècle à un autre Le tournage des films en relief est délicat, les erreurs de positionnement des caméras sont fatales. Pour ajuster très précisément les décors fictifs et les acteurs réels qui cohabitent dans le film en relief Tron : l’héritage (Disney, 2010), il a fallu procéder à de nombreux relevés de points au télémètre laser pour localiser tous les volumes. La définition et le repérage des images de synthèse sont intimement liés aux notions de vecteurs et de produit scalaire.

En savoir plus sur Jean-Baptiste Delambre Chercheurs d’hier p. 253

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Rappels

& Questions-tests

Distance AB Dans un repère orthonormé, la distance AB entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est telle que : AB2

= (xB –

xA)2

+ (yB –

yA)2.

1   Dans un repère orthonormé, les points A et B ont

pour coordonnées respectives (–2 ; 1) et (3 ; 6). Calculez le rayon du cercle centré en A et passant par B.

Produit scalaire l Les points C et D se projettent orthogonalement en C’ et D’ sur la droite (AB), alors :

YAB · UCD = YAB · ZC’D’. C

l

M

Aide

D

A

2   Démontrez que : « M est un point de la médiatrice de [AB] » équivaut à « UAM · YAB = 2 ». A

Voir le Vocabulaire de la logique, p. 346.

B C’

B

2

3   Dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, à tout point

M(x ; y) on associe le nombre MA2 – MB2.

D’

YAB · UAC = AB × AC × cos q.

B

4

C

A

θ

2

j O –1 i

B

A

H

Dans un repère orthonormé, au et av ont pour coordonnées respectives (x ; y) et (x’ ; y’). Alors :

3

l

Démontrez que l’ensemble des points M tels que MA2 – MB2 = 1 est une droite d dont on donnera une équation.

au · av = xx’ + yy’.

Cercle trigonométrique x est un réel, M est le point du cercle trigonométrique associé à x. Le point M a pour coordonnées (cos x ; sin x).

B

+ sin x A’

seignements portés sur la figure, les coordonnées des points M, N et P dans le repère orthonormé 1O ; UOA, UOB2 ?

A donnez cos x

O P

4    est un cercle trigonoméM(x) trique. En tenant compte des ren-



+ N A’

Relation entre le cosinus et le sinus d’un nombre Pour tout nombre x, (cos x)2 + (sin x)2 = 1. On note plus simplement : cos2

x+

sin2

x = 1.

O P

B’

B M A  B’

1 4

5   a) On sait que x ∈ [0 ; π] et cos x = –  .

Calculez la valeur exacte de sin x. π 3 b) On sait que x ∈  ; π et sin x = . 2 5 Calculez la valeur exacte de cos x.

3

4

Voir les corrigés p. 363

240

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

Calculer cos

π

12 π B 3

1 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct.  est le cercle trigonométrique de centre O.

π π A et B sont les points de  associés respectivement aux nombres et . 4 3 Quelle est, en radians, la mesure de l’angle jAOB ?

A

j O

2 a) Quelles sont les coordonnées exactes de A et B ?

π 4

i

16 + 12  . 4 π 3 a) Justifiez que UOA · UOB = cos  . 12 16 – 12 π π = . b) Déduisez-en la valeur exacte de cos , puis vérifiez que sin 4 12 12

b) Déduisez-en que UOA · UOB =

Activité 2

Calculer dans un triangle A

ABC est un triangle. Selon l’usage, on pose BC = a, AC = b, AB = c et on note qA, qB, qC les angles du triangle de sommets respectifs A, B, C. Dans le triangle ABC, on considère six éléments : a, b, c, qA, qB, qC. Lorsqu’on connaît certains d’entre eux, on peut calculer les éléments manquants. B

1 Exemple 1

a) Construisez un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et jBAC = 60°. 2 b) Développez 1UAC – UAB2 et déduisez-en que BC = 217 cm.

217 . 7 l Calculez la mesure de l’angle qB, puis celle de l’angle qC à un degré près.

2

c) Développez 1UBC – YBA2 et déduisez-en que cos qB =

b

c

C

a

On va calculer la mesure BC du côté « manquant ». On va calculer la mesure de l’angle jABC.

2 Exemple 2

a) Construisez un triangle ABC tel que BC = 7 cm, BA = 6 cm et AC = 3 cm. 1 2 b) Développez 1UAC – UAB2 et démontrez que cos qA = –  . 9 l Déduisez-en la mesure de l’angle qA à un degré près.

Problème ouvert

On va calculer la mesure de l’angle jBAC.

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ? 8 D

1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé. Démontrez qu’il existe quatre points M du segment [CD] pour lesquels le triangle AMB est rectangle. Quelles sont les coordonnées de ces points ?

6 B

j O i

A 6

C 8

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

241

COURS

1

Avec le produit scalaire : calculer des longueurs et des angles 1.1 Le théorème de Pythagore « généralisé »

A

ABC est un triangle quelconque. Selon l’usage, on pose BC = a, AC = b et AB = c.

c

b

Les angles de sommets respectifs A, B et C sont notés qA, qB et qC. Théorème

B

1 ABC est un triangle quelconque. Avec les notations usuelles :

C

a

a2 = b2 + c2 – 2bc cos qA. Démonstration D’après la relation de Chasles, UBC = YBA + UAC = UAC – UAB 2 donc UBC2 = 1UAC – UAB2 = UAC2 + UAB2 – 2UAC · UAB. Or UAC · UAB = AC × AB × cos qA, d’où le résultat : a2 = b2 + c2 – 2bc cos qA.

On démontre de même que : b2 = c2 + a2 – 2ac cos qB c2 = a2 + b2 – 2ab cos qC.

Remarque « ABC est un triangle rectangle en A » équivaut à « YAB · UAC = 0 » donc à « bc cos qA = 0 », donc finalement à « a2 = b2 + c2 ». D’où le nom de théorème de Pythagore « généralisé » donné à ce théorème.

Intérêt de ce théorème Si les mesures a, b, c des trois côtés sont connues, on peut calculer les mesures des angles qA, qB et qC. Par exemple, dans la figure ci-contre : BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos 60°, 1 soit BC2 = 9 + 16 – 24 × , 2 donc BC2 = 25 –12 = 13, d’où BC = 413. 9 + 13 – 16 6 1 c2 + a2 – b2 = = . De même, cos qB =  , soit cos qB = 2ac 2 × 3 × 413 6 × 413 413 Ainsi qB ≈ 74° (mesure arrondie à un degré près).

A

3

60°

B

4 C

a

1.2 Le théorème de la médiane Théorème

2 ABC est un triangle, I est le milieu de [BC].

A

BC = a, AC = b, AB = c et la mesure de la médiane issue de A est notée mA. b2 + c2 = 2mA2 +

c

a2 . 2 B

 Exercice résolu B ➜ p. 246 ●

242

b

mA I a

Démonstration D’après la relation de Chasles, UAB = RAI + RIB et UAC = RAI + RIC = RAI – RIB 2 2 donc AB2 + AC2 = 1RAI + RIB2 + 1RAI – RIB2 = RAI2 + RIB2 + 2RAI · RIB + RAI2 + RIB2 – 2RAI · RIB. Il en résulte que AB2 + AC2 = 2AI2 + 2IB2. a a2 Or IB = et AI = mA d’où le résultat c2 + b2 = 2mA2 + . 2 2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

C

COURS

2

Cercle et produit scalaire 2.1 Équation d’un cercle défini par son centre et son rayon Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est le cercle de centre I(x0 ; y0) et de rayon r. Par définition : « M(x ; y) est un point de  » équivaut à

« IM2

=

r2 ».

Le vecteur YIM a pour coordonnées (x – x0 ; y – y0) donc : IM2 = (x – x0)2 + (y – y0)2. Ainsi : M ∈  ⇔ (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2. Alors :

M (x ; y)

 I

y0 j O i

x0

Une équation du cercle  de centre I(x0 ; y0) et de rayon r est : (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.

Exemple L’équation (x + 1)2 + (y – 2)2 = 12 est du type (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 avec x0 = –1, y0 = 2 et r = 412 = 213. C’est donc une équation du cercle de centre I(–1 ; 2) et de rayon 213.

2.2 Équation d’un cercle défini par son diamètre [AB] Théorème

3 Le cercle  de diamètre [AB] est l’ensemble Autrement dit des points M tels que ZMA · ZMB = 0.

LOGIQUE

« M est un point de  » équivaut à « ZMA · ZMB = 0 ».

Démonstration

Vocabulaire de la logique ➜ p. 346

On utilise un raisonnement par disjonction des cas. l

Si M = A ou M = B alors ZMA = P0 ou ZMB = P0 donc ZMA · ZMB = 0.

Si M ≠ A et M ≠ B alors le triangle AMB est rectangle en M, ce qui équivaut à dire que les vecteurs ZMA et ZMB non nuls sont orthogonaux, ce qui équivaut à ZMA · ZMB = 0.

l

Équation du cercle  Le théorème 3 permet de déterminer une équation du cercle . Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, les points A et B ont pour coordonnées respectives (a1 ; a2) et (b1 ; b2).  est le cercle de diamètre [AB]. « M(x ; y) appartient à  » équivaut à « ZMA · ZMB = 0 ». Or ZMA a pour coordonnées (a1 – x ; a2 – y) et ZMB a pour coordonnées (b1 – x ; b2 – y), donc ZMA · ZMB = (a1 – x)(b1 – x) + (a2 – y)(b2 – y) = x2 + y2 – (a1 + b1)x – (a2 + b2)y + a1b1 + a2b2.

B

b2 I

 a2

A

j O i

a1

b1

Le cercle  a donc pour équation : x2 + y2 – (a1 + b1)x – (a2 + b2)y + a1b1 + a2b2 = 0.

Cette équation est de la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0.

Attention

Tout cercle a une équation de la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0, mais toute équation de cette forme n’est pas nécessairement celle exercice résolu D, page 248 d’un cercle. Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

243

COURS

3

Trigonométrie 3.1 Les formules d’addition

Théorème

●

4 Quels que soient les nombres a et b : (1) cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

(3) sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b

(2) cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

(4) sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Démonstration (1) 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé direct et  est le cercle trigonométrique de centre O. A et B sont deux points de  tels que : 1 ai, UOA2 = a et 1ai, UOB2 = b.

 Exercice 89

➜ p. 260

Les vecteurs UOA et UOB ont donc pour coordonnées respectives (cos a ; sin a) et (cos b ; sin b). D’après la relation de Chasles : 1UOA, UOB2 = 1UOA, ai 2 + 1 ai, UOB2,

+

B A

j O

i



donc 1UOA, UOB2 = 1 ai, UOB2 – 1 ai, UOA2, soit 1UOA, UOB2 = b – a. Calculons de deux manières différentes le produit scalaire UOA · UOB : UOA · UOB = cos a cos b + sin a sin b UOA · UOB = OA × OB × cos (b – a) = cos (b – a) = cos (a – b). D’où le résultat : cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. l

Les trois autres relations se déduisent de la précédente.

(2) En écrivant a + b = a – (–b), on obtient : cos(a + b) = cos(a – (–b)) = cos a cos(–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b.

On utilise cos(–x) = cos x et sin(–x) = –sin x. p On utilise cos 1 – a2 = sin a 2 p et sin 1 – a2 = cos a. 2

(4) sin (a + b) = cos

3 π2 – (a + b)4 = cos31 π2 – a2 – b4



1 π2 – a2 cos b + sin1 π2 – a2 sin b = sin a cos b + cos a sin b.

= cos

(3) De même, sin (a – b) = sin(a + (–b)) = sin a cos (–b) + cos a sin (–b) = sin a cos b – cos a sin b.

3.2 Les formules de duplication En remplaçant b par a dans les formules donnant cos(a + b) et sin(a + b), on obtient pour tout nombre a : cos 2a = cos2 a – sin2 a



et

sin 2a = 2 sin a cos a.

ou

cos 2a = 1 – sin2 a – sin2 a.

cos 2a = 2 cos2 a – 1

ou

cos 2a = 1 – 2 sin2 a.

1 + cos 2a 2

et

sin2 a =

Or cos2 a + sin2 a = 1, donc :

cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a)

Il en résulte que : On en déduit que :

244

cos2 a =

1 – cos 2a . 2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1

Appliquer le produit scalaire au calcul de longueurs et d’angles A

ABC est un triangle, I est le milieu de [BC]. On pose BC = a, AC = b, AB = c et la mesure de la médiane issue de A est notée mA.

c

Théorème 1. a2 = b2 + c2 – 2bc cos qA. a2 2 2 2 l Théorème 2. b + c = 2m + . A 2

Exercice résolu A

b

mA

l

I

B

C

a

Utiliser le théorème de Pythagore « généralisé »

ABC est un triangle tel que AB = 3, BC = 8 et jABC = 60°.

A 3

1. Calculez AC.

60°

2. Calculez, à un degré près, la mesure de l’angle jBAC.

8

B Méthode

C

Solution

1. On connaît deux côtés et la mesure de l’angle « compris » entre ces côtés. On applique le théorème 1. l On conclut.

1. AC2 = AB2 + BC2 – 2AB × BC cos 60° soit 1 AC2 = 9 + 64 – 48 × = 49. 2 l D’où : AC = 7.

2. On connaît désormais la mesure des trois côtés du triangle ABC. La formule a2 = b2 + c2 – 2bc cos qA permet de calculer la mesure de l’angle jBAC.

2. BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos jBAC. soit 64 = 9 + 49 – 42 cos qA, d’où 9 + 49 – 64 –6 1 cos jBAC = = = –  . 42 42 7

l

On conclut.



l

jBAC a pour mesure 98° à un degré près.

Mise en pratique

1

3 Quelle est la valeur

B 250 m

A

A

exacte du périmètre du quadrilatère ABCD représenté ci-contre ?

75°

6 8 45° 30° 8

C

340 m

B

ABC est un triangle. À partir des renseignements portés sur la figure, calculez :

D

C

4 ABC est un triangle. H est le pied de la hauteur issue de A. A b) les mesures des angles jABC et jBCA, arrondies 6 au dixième de degré. a) la longueur BC, arrondie au décimètre près ;

4

Objectif

EXERCICES

Application

2 ABC est un triangle. A

B

8

1. a) Démontrez que cos jABC =

9

5

H

b) Déduisez-en sin jABC.

C 11 . 16

3415 . 4 Quelles sont, à un degré près, les mesures des b) Déduisez-en la valeur exacte de l’aire du triangle ABC. angles du triangle ABC ? B

12

C

2. a) Démontrez que AH =

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

245

Pour chacune des deux figures ci-dessous, calculez la valeur exacte de AO. a) Figure 1



b) Figure 2

A

6

O

B

B

C

8

Méthode

Solution BC2 , 2 soit 25 + 49 = 2AO2 + 32. Donc 2AO2 = 25 + 49 – 32 = 42. 2 l AO = 21 d’où AO = 421.

a) Figure 1. On applique le théorème de la médiane dans le triangle BAC. l

a) AB2 + AC2 = 2AO2 +

On conclut.

b) Figure 2. Là encore, on peut appliquer le théorème de la médiane, mais cette fois dans le triangle BAO. l

O

C

4

         

3

A

7

5

EXERCICES

Utiliser le théorème de la médiane

Exercice résolu B

On conclut.



BO2 b) AB2 + AO2 = 2AC2 + . 2 Or BO = 8, donc : 36 + AO2 = 18 + 32, soit : AO2 = 14. l D’où AO = 414.

Mise en pratique

5 Calculez, à 0,01 près, la mesure des médianes

7 ABCD est un parallélogramme de centre O. AB = 15, BC = 13 et AC = 14.

du triangle ABC. A

C

D O

7

8

B

A Démontrez que : DB = 4437. B

C

10

8 ABCD est un rectangle de centre O. M est un point quelconque.

6 A, B, C et D sont quatre points alignés tels que AB = BC = CD = 2.

M D

C

M 3

O

Démontrez que : A

B

A 2

B

2

C

2

D

MA2

+

MC2

=

MB2

+ MD2.

1. Démontrez que MC = 417.

9 A et B sont deux points tels que AB = 4. O est le milieu de [AB] et M un point tel que : MA2 + MB2 = 10.

2. Déduisez-en MD.

1. Démontrez que MO2 = 1.

Le triangle AMB est isocèle en A avec MA = 3.

2. A et B étant donnés, dessinez la « ligne » à laquelle appartiennent les points M tels que : MA2 + MB2 = 10.

246

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

2 l

Déterminer et reconnaître une équation d’un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle  de centre I(x0 ; y0) et de rayon r a pour équation : (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.

Pour savoir si une équation de la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0 est celle d’un cercle, on cherche à écrire cette équation sous la forme :

l

EXERCICES

Objectif

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2. Alors, I(x0 ; y0) est le centre et r est le rayon. l

Théorème 3.  est un cercle de diamètre [AB]. « M est un point de  » équivaut à « UMA · UMB = 0 ».

Exercice résolu C

Déterminer une équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(2 ; 1) et B(–4 ; 3). Trouvez une équation : a) du cercle 1 de centre A passant par B ;   b) du cercle 2 de diamètre [AB]. Méthode

Solution

a) On connaît les coordonnées du centre A de 1. Il reste à trouver le rayon r, c’est-à-dire à calculer AB. Une équation de 1 est : (x – xA)2 + (y – yA)2 = r2.

a) YAB a pour coordonnées (–6 ; 2). Donc AB2 = 36 + 4 = 40 et AB = 2410. Donc 1 a pour équation : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 40.

b) On utilise le théorème 3.

b) « Le point M(x ; y) appartient à 2 » équivaut à « UMA · UMB = 0 ». Or UMA(2 – x ; 1 – y) et UMB(– 4 – x ; 3 – y), donc M U A · M U B = (2 – x)(– 4 – x) + (1 – y)(3 – y). Une équation du cercle 2 est donc : x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0.

Note

On peut aussi se ramener au cas précédent en calculant les coordonnées de I, milieu de [AB], qui est le centre du AB = 410. cercle 2 de rayon 2  Mise en pratique

b) de diamètre [BC], avec B(2 ; 1) et C(–4 ; –1) ; Pour les exercices 10 à 14 Les coordonnées et les équations sont relatives c) circonscrit au triangle OMN, avec M(–3 ; 2) et à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2. N(4 ; 6). Aide Quelle est la nature de OMN ?

10 Trouvez une équation du cercle : a) 1 de centre A(1 ; –3) et de rayon 2 ; b) 2 de centre B(–1 ; 1) passant par C(3 ; 2).

11 1. Trouvez une équation du cercle de centre I(3 ; 2) tangent à l’axe des abscisses.

2 j O i

I

3 2. De même, trouvez une équation du cercle de centre J(–2 ; 4) tangent à l’axe des ordonnées.

12 Trouvez une équation du cercle : a) de diamètre [OA], avec A(0 ; 2) ;

13 On donne les points A(2 ; 0), B(0 ; 3) et C(2 ; 3). Trouvez une équation du cercle  circonscrit au triangle ABC.

B

C

j O i

A

14  est le cercle de centre I(–2 ; 3). Son rayon est 410. 1. Trouvez une équation de . 2.  coupe l’axe des abscisses en A et B et l’axe des ordonnées en C et  D. Calculez les coordonnées des points A, B, C et D. Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

247

EXERCICES

Exercice résolu D

Reconnaître une équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les équations suivantes : a) x2 + y2 – 2x + y – 5 = 0 ;   b) x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 ;   c) 2x2 + 2y2 – 4x – 6y + 7 = 0. Pour chacune de ces équations, dites si c’est une équation d’un cercle. Si oui, précisez le rayon et les coordonnées du centre de ce cercle. Méthode

Solution a) x2 + y2 – 2x + y – 5 = 0 s’écrit : x2 – 2x + y2 + y – 5 = 0. 2 2 l Or x – 2x = (x – 1) – 1 2 1 1 et y2 + y = y + – . 2 4 Donc x2 + y2 – 2x + y – 5 = 0 s’écrit : 1 2 25 (x – 1)2 + y + = . 2 4 2 2 l x + y – 2x + y – 5 = 0 est une équation 1 5 du cercle de centre I 1 ; –  et de rayon . 2 2 b) x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 s’écrit :

a) On cherche à écrire l’équation sous la forme : (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2. 2 l On met x – 2x et y2 + y sous la forme canonique.

1

2

1

l

On conclut.

1

b) On applique la méthode du a).

l

On conclut.

c) On simplifie l’expression pour revenir à la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0. l On conclut.

2

x2 – 2x  +  y2 + 4y + 5 = 0. (x – 1)2 – 1 + (y + 2)2 – 4 + 5 = 0, soit : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0. l Ce « cercle » est réduit au seul point I(1 ; –2). On obtient un « cercle-point ». 7 c) On divise par 2 : x2 + y2 – 2x – 3y + = 0 2 2 3 1 soit (x – 1)2 + y – = –  . 2 4 La somme de deux carrés ne pouvant pas être négative, cette équation n’est pas une équation d’un cercle.

1



2

2

Mise en pratique 2. Quelles sont les coordonnées des points d’inPour les exercices 15 à 19 Les coordonnées et les équations sont relatives tersection de  avec les axes de coordonnées ? à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2. 18 Chacune des trois équations ci-après est une équation d’un des trois cercles de la figure. 15 Dans chacun des cas suivants, démontrez Associez chaque cercle à son équation. que l’équation proposée est celle d’un cercle. Précisez les coordonnées du centre et le rayon. a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 ; b) x2

+

c) 3x2

y2

– 3x – 4y + 4 = 0 ;

+ 3y2 – 7x – 8y = 0 ;

d) (x – 1)(x – 3) + (y + 2)(y – 1) = 0.

1

3 j O i

16 Justifiez qu’aucune des équations suivantes n’est une équation d’un cercle. a) x2 + y2 – 4 = 0 a) (x – 1)2 + (y + 2)2 + 4 = 0 ; c) x2 + y2 – 4x – 4 = 0. b) x2 + y2 – 2x – 4y + 7 = 0.

17 1. Expliquez pourquoi l’équation : x2 + y2 – 2x – 2y – 8 = 0 est une équation d’un cercle .

248

2 b) x2 + y2 – 2x + 2y = 0.

19 1. Expliquez pourquoi l’équation x2 + y2 – 4x – 3y + 5 = 0 est celle d’un cercle . 2. On donne les points A(1 ; 1) et B(3 ; 2). Vérifiez que [AB] est un diamètre de .

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

3

Utiliser les formules d’addition

Quels que soient les nombres a et b : l cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b ; l sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;

Exercice résolu E

l l

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b ; sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Utiliser les formules d’addition

a et b sont deux nombres. l

EXERCICES

Objectif

3

a appartient à l’intervalle 0 ;

p 3 et cos a = . 2 5

4

1. Calculez sin a et cos b.

l

b appartient à

3 π2  ; π4 et sin b = 13 .

2. Déduisez-en cos (a + b) et sin (a – b).

Méthode

Solution 1. On fait une figure. +

1. l On place sur un cercle trigonométrique les points M et N repérés par cos a et cos b.

(b)N A’

B 1 3

O 

On vérifie, avec la figure, le signe de sin a et de cos b. 2 2 l La formule cos x + sin x = 1 permet de 2 2 calculer sin a et cos b.

l

l

M(a) A

3 5

B’

On constate que sin a > 0 et cos b < 0.

9 16 = . 25 25 4 Or sin a > 0, donc sin a = . 5 1 8 2 2 l cos b = 1 – sin b = 1 – = . 9 9 –212 Or cos b < 0, donc cos b = . 3 3 –212 4 1 –612 – 4 – × = . 2. cos (a + b) =   15 5 3 5 3 l

sin2 a = 1 – cos2 a = 1 –

1

2. l On applique la formule donnant cos (a + b). l On applique la formule donnant sin (a – b).

l



sin (a – b) =

2

4 –212 3 1 –812 – 3 – × = . 3 15 5 5 3

1

2

Mise en pratique

20 1. Vérifiez que p = p – p .

12 3 4 p p 2. Calculez la valeur exacte de cos et de sin . 12 12 21 1. Vérifiez que 5p = p + p . 12 6 4 5p 5p 2. Calculez la valeur exacte de cos et de sin . 12 12 22 Démontrez que : p p sin + x – sin – x = sin x. 3 3 23 Exprimez chacune des expressions suivantes en fonction de sin x et cos x. p p a) 12 cos x +  ;   b) 12 sin x –  ; 4 4 p . c) 2 cos x – 3

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

24 Réduisez les expressions suivantes : a) A(x) = cos 7x sin 6x – sin 7x cos 6x ; b) B(x) = cos 3x cos 2x + sin 2x sin 3x ; c) C(x) = cos x cos 2x – sin x sin 2x.

25 Trois carrés de côté 1 cm sont disposés comme l’indique la figure ci-contre.

E

F

G

H

β γ C D 3 1 1. a) Pourquoi cos a = et sin a =  ? 410 410 b) Calculez cos b et sin b. A

α B

2. a) En utilisant les résultats de la question 1, calculez cos (a + b) et sin (a + b). b) Déduisez-en a + b = γ. Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

249

EXERCICES

Objectif

4

Utiliser les formules de duplication

Pour tout nombre a : 2 2 2 2 l cos 2a = cos a – sin a = 2 cos a – 1 = 1 – 2 sin a  

l

sin 2a = 2 sin a cos a.

Exercice résolu F 13 . Calculez cos 2x. 3 1 p b) On donne sin x = et x ∈  ; π . Calculez sin 2x. 4 2 p 13 p p p et déduisez-en cos et sin . 2. En utilisant cos = , calculez cos2 6 12 12 12 2

1. a) On donne cos x = – 

3

4

Méthode

Solution

1. a) Connaissant cos x, pour calculer cos 2x on applique la formule cos 2x = 2 cos2 x – 1.

1

3

b) On connaît sin x, il faut donc calculer cos x.

On applique ensuite la formule sin 2x = 2 sin x cos x. l

l

1. a) cos 2x = 2 cos2 x – 1 soit 13 2 3 1 – 1 = 2 × – 1 = –   .  cos 2x = 2 –  3 9 3 p π b) x ∈  ; π 2B 2 + donc cos x < 0. 2 2 1 cos x = 1 – sin x A’ A 4 1 15 =1– = π O 16 16 415 donc cos x = –  .  4 B’ l sin 2x = 2 sin x cos x 1 415 soit sin 2x = 2 –  4 4 415 donc sin 2x = –  . 8 1 + cos 2x 2. cos2 x = 2 p 1 + cos p 6 = 2 + 13 . 2 = donc cos 2 12 4 92 + 13 p p Or cos > 0 donc cos = . 2 12 12 1 – cos 2x 2 l De même, sin x = 2 p 1 – cos p 6 = 2 – 13. donc sin2 = 2 12 4 p p 82 – 13 Or sin > 0 donc sin = . 12 12 2

2

4

1 21

On conclut.

p p =2× . 6 12 Les formules cos 2x = 2 cos2 x – 1 et cos 2x = 1 – 2 sin2 x vont permettre de calculer cos x et sin x à partir de cos 2x. 2. On sait que



2

Mise en pratique

26 Calculez cos 2x dans chaque cas :

b) Déduisez-en cos 2x et sin 2x.

3 2 a) cos x =  ;   b) sin x = . 5 3 1 27 On donne cos x = et x ∈ –  p  ; 0 . 3 2 a) Calculez sin x.

calculez cos2

b) Déduisez-en cos 2x et sin 2x.

a) 1 + cos 2x + cos x = cos x (2 cos x + 1) ;

3

4

28 On donne sin x = –  3 et x ∈ π ; 3p . 4 2 a) Calculez cos x.

3

250

4

12 29 En utilisant cos p = ,

30

2 4 p p p et déduisez-en cos et sin . 8 8 8 Démontrez les égalités suivantes :

b) (cos x – sin x)2 = 1 – sin 2x ; c) (cos x + sin x)(cos x – sin x) = cos 2x.

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Po u r

31 Questions sur le cours Complétez les propositions suivantes. a) Dans un repère orthonormé un cercle  de centre I(x0 ; y0) et de rayon r a pour équation …… b) L’ensemble des points M tels que UMA · UMB = 0 est …… c) a et b sont deux nombres. Alors : l cos (a + b) = …… l cos 2a = …… = …… d) a et b sont deux nombres. Alors : l sin (a – b) = …… l sin 2a = ……

EXERCICES

se tester 32 Vrai ou faux Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. a) L’équation x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0 n’est pas une équation d’un cercle. b) Il existe un unique point M(x ; y) tel que : x2 + y2 + 2x – 6y + 10 = 0. c) L’équation x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 avec c < 0 est toujours une équation d’un cercle. d) Pour tout nombre x : p p sin x + – sin x – = 12 cos x. 4 4

1

2

1

2

33 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. 1. ABCD est un carré. L’ensemble des points M tels que UMA · UMC = 0 est : a) réduit aux seuls points A et C ; b) la perpendiculaire en C à (AC) ; c) le cercle circonscrit au carré ABCD. p p est égal à : + 2. sin 6 4 16 – 12 16 + 12 13 + 12 a)  ; b)  ; c) . 4 4 2 1 p 3. Si cos q = avec q ∈ –   ; 0 , alors sin 2q est égal à : 3 2 412 412 8 a)  ; b) –   ; c) –  . 9 9 27

1

2

3

4

4. ABC est un triangle. 1 et 2 sont respectivement l’ensemble des points M tels que UMA · UMB = 0 et UMA · UMC = 0. a) 1 et 2 ont un seul point commun. b) 1 et 2 n’ont pas de point commun. c) Le point H, pied de la hauteur issue de A, est commun aux deux cercles.

1

5. cos x + cos x + a) 3 cos x ;

2p 4p + cos x + est égal à : 3 3

2

1

2

b) 0 ; c) 13 sin x.

34 QCM Au moins une réponse exacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1. a ∈

3 p2  ; π4 et cos a = –  82 +2 13 , alors :

1 13  ; c) sin 2a = . 2 2 2. 1O ; ai, aj 2 est un repère orthonormé. On donne les points A(0 ; 4) et B(6 ; 6).  est le cercle circonscrit au triangle OAB. a) La droite d’équation 3x + y – 14 = 0 est la médiatrice de [AB]. b) Le centre de  a pour coordonnées (4 ; 2). c)  a pour équation : x2 + y2 – 8x – 4y + 1 = 0.

a) 2a ∈ [π ; 2π] ;

b) cos 2a =

3. Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, 1 est le cercle de centre O et de rayon 1, et 2 le cercle d’équation : x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0. a) 2 coupe l’axe des ordonnées en C et D d’ordonnées respectives 4 – 17 et 4 + 17. b) 1 et 2 ont en commun le point A de coordon3 4 . nées  ; 5 5

1

2

c) Les cercles 1 et 2 sont tangents extérieurement. Voir les corrigés p. 366 Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

251

EXERCICES

Apprendre à chercher 36 Trigonométrie et pentagone régulier

35 Deux solutions pour un problème OABC est un carré de côté 2 et de centre I. J est le milieu du segment [OA].

C

B

2 I J

O

A

Objectif  Trouver, dans chacun des cas suivants, l’ensemble des points M tels que : 2 2 l ZMO · UMA = 4 ;   l MA + MC = 8.

activités de recherche

A. Avec un repère 1. On choisit le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2 tel que UOA = 2ai et UOC = 2aj, et on note (x ; y) les coordonnées d’un point  M quelconque. Il reste à calculer UMO · UMA, MA2 et MC2 en fonction de x et y. On note  l’ensemble des points M tels que ZMO · UMA = 4 et  l’ensemble des points M tels que MA2 + MC2 = 8. a) Calculez ZMO · UMA et MA2 + MC2 en fonction de x et y. b) Justifiez les affirmations suivantes : « M appartient à  » équivaut à « x2 + y2 – 2x + 4 = 0 ». « M appartient à  » équivaut à « x2 + y2 – 2x – 2y = 0 ». c) Déduisez-en que  est un cercle passant par C et B. Précisez son centre et son rayon. Déduisez-en que  est le cercle circonscrit au carré OABC. B. Sans repère La relation de Chasles et les règles de calcul du produit scalaire vont nous permettre de déterminer les ensembles  et . 1. a) En écrivant ZMO et UMA comme sommes de deux vecteurs, démontrez que : ZMO · UMA = MJ2 – JO2. b) Déduisez-en que : « M appartient à  » équivaut à « JM2 = 5 ». c) Concluez. 2. Le théorème de la médiane (voir le cours p. 242) permet d’exprimer MA2 + MC2 en fonction de MI2 et AC2. a) Démontrez que : MA2 + MC2 = 2MI2 + 4. b) Déduisez-en que : « M appartient à  » équivaut à « MI2 = 2 ». c) Concluez.

252

 est un cercle de centre O et  de rayon 1. [OA] et [OA’] sont C deux rayons de  perpendiculaires. Le point P est tel que : J 4UOP = –UOA. H est le milieu de [OA’]. ’ est le cercle de centre  P passant D par H. ’ coupe (OA) en I et J, et les tangentes en I et  J à  ’ coupent  en B, E, C et D.

A’ B H I P O

A

’ E

Objectif  Démontrer que ABCDE est un pentagone régulier. 1. Pour démontrer que ABCDE est un pentagone régulier, il suffit par exemple de démontrer que tous les 2p angles au centre tels que jAOB, jBOC, etc. sont égaux à . 5 Pour cela, on va être amené à calculer les produits scalaires YOA · UOB et YOA · UOC. a) Calculez PH.

15 – 1 15 + 1 et OJ = . 4 4 c) Pourquoi YOA · UOB = ROI · YOA ? 15 – 1 . Déduisez-en que YOA · YOB = 4 d) De la même manière, démontrez que : 15 + 1 YOA · UOC = –  . 4

b) Déduisez-en que OI =

2. Il reste à calculer les angles au centre. On pose jAOB = a, jAOC = b et jCOJ = g. On va exprimer YOA · YOB et YOA · UOC en fonction de cos a et cos b. a) Démontrez que YOA · YOB = cos a et YOA · UOC = cos b. 15 – 1 15 + 1 b) Déduisez-en que cos a = et cos b = –  . 4 4 15 + 1 . c) Démontrez que cos g = 4 3. Il reste à calculer a, b, g et à conclure. Pour cela, on cherche une relation entre a et b d’une part et entre a p et g d’autre part, 0 < a < et 0 < b < p. 2 a) À l’aide des formules de duplication, démontrez que cos 2a = cos b et cos 2g = cos α. b) Déduisez-en b et g en fonction de a. c) En tenant compte du fait que b + g = p, démontrez p que 5a = 2p 0 < a < . 2 d) Concluez.

1

2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

cercles 1 et 2 d’équations respectives : x2 + y2 – 6x – 4y = 0 et x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0. On note  l’ensemble des points M(x ; y) intérieurs à 1 et extérieurs à 2. Pourquoi l’aire du domaine  est-elle un nombre entier ?

38 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, le cercle  de centre C(2 ; 3) passant par O coupe les axes du repère en A et B. M est le point de  d’ordonnée 5 et d’abscisse négative.

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

1750

Le point M se projette orthogonalement en I, J, K respectivement sur (OA), (OB) et (AB). Démontrez que les points I, J, K sont alignés.

39 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est la

1 courbe d’équation y =  . B est le point de  d’abscisse 4 x et A un point de  d’abscisse a telle que 0 < a < 4. La droite d, perpendiculaire en A à (AB) recoupe  en C. On note T la tangente en A à . Démontrez que lorsque a décrit l’intervalle ]0 ; 4[, la droite T reste perpendiculaire à (BC).

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine de la géométrie. Jean-Robert Argand Giusto Bellavitis Chap. 8 Chap. 7 1800 1850

ÉPOQUE MODERNE

1900

ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Hermann Günther Grassmann Chap. 9

Jean-Baptiste Delambre (1749-1822)

activités de recherche

37 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les

EXERCICES

Narration de recherche

C’est au cours de l’été 1792, en pleine Terreur, que Delambre et Méchain ont entrepris de mesurer l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone afin de fixer la valeur du mètre. La méthode utilisée est celle de la « triangulation ».

 ur le Web http://www.images.math.cnrs.fr/ S Geometrie-mesurer-la-terre-mesurer.html

Un extrait des triangles de Dunkerque à Barcelone.

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

253

EXERCICES

Utiliser GeoGebra Pour représenter une famille de cercles. Pour découvrir des points fixes dans une configuration TP 40 Étude d’une famille de cercles Compétences TICE Construire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique Utiliser un curseur Tester des conjectures

Mathématiques Trouver une équation de droite Trouver une équation de cercle Démontrer une conjecture

activités de recherche

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(4 ; 0), B(0 ; 4) et C(4 ; 4). À tout nombre m on associe les points M(4 + m ; 0) et N(0 ; 4 – m). On note m le cercle de diamètre [MN] et de centre I. On s’intéresse au comportement de I lorsque m décrit R et à la famille  des cercles m. 1. Expérimenter avec GeoGebra a) Affichez la grille et créez les points A, B et C.

outil 1

b) Créez un curseur pour le paramètre m. réglage : –10 < m < 10 ; incrément : 0,1. Icône

outil 3

c) Saisissez M=(4+m,0) et N=(0,4–m). d) Créez la droite (AB), le segment [MN], le point I et le cercle m.

2. Conjecturer a) Faites varier m à l’aide du curseur. Sur quelle ligne semble se déplacer le point I ? b) Quelle particularité semblent présenter les cercles m lorsque m décrit R ? 3. Démontrer a) l Calculez les coordonnées de I en fonction de m. l Trouvez une équation de la droite (AB). Vérifiez que I est un point de (AB). b) l Démontrez que le cercle m a pour équation x2 + y2 – (4 + m)x – (4 – m)y = 0. l Vérifiez que le cercle  passe par deux points fixes lorsque m décrit R. m

254

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

 our trouver l’équation d’un cercle passant P par un point donné et tangent à une droite donnée

EXERCICES

Utiliser GeoGebra

TP 41 Cercle passant par un point et tangent à une droite donnée TICE

Mathématiques

Construire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique Suivre un protocole de construction Émettre une conjecture

 Utiliser les propriétés d’une tangente à un cercle. Tenir un raisonnement géométrique  Trouver une équation d’une droite et une équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne le point A(–3 ; 1) et la droite d d’équation 3x – 4y – 12 = 0. La droite d coupe l’axe des abscisses en B. L’objectif est de trouver une équation du cercle  passant par A et tangent en B à la droite d. On suppose que  existe et est unique.

outil 1

1. Expérimenter avec GeoGebra a) Créez la droite d, le point A puis le point B. b) Créez le segment [AB], puis la médiatrice ∆ de [AB].

c) Créez la droite d’ perpendiculaire à d en B puis le point C, intersection des droites d’ et ∆. d) Créez le cercle  de centre C passant par A. 2. Conjecturer Le cercle  semble-t-il répondre à l’objectif énoncé dans le texte ?

activités de recherche

Compétences

3. Démontrer a) Démontrez que le cercle de centre C passant par A est tangent en B à d. b) Trouvez une équation de ∆ puis de d’. c) Déduisez-en les coordonnées de C. d) Trouvez une équation de . Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

255

de  tête

51 ABC est un triangle équilatéral de

42 Calculez BC.

D

côté a et UBD = 3YBC. Démontrez que : AD = a17.

C

C

?

5

EXERCICES

Entraînement

60° 8

A

43 1. Calculez sin qA .

a

B

52 ABC est un triangle tel que :

A

2 2. Déduisez-en cos qA.

A

B

BC = 15, AB = 13 et AC = 14. H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). 3

3

1. Calculez cos jBAC et déduisez-en sin jBAC.

H 2

B

2. Démontrez que les longueurs BH, AH et HC sont des entiers naturels. C

π π π π cos – sin sin . 6 3 6 3 45 Le point A(2 ; 1) appartient-il au cercle  d’équation x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0 ?

44 Simplifiez cos

46 Le cercle  de centre I(3 ; 4) et de rayon 5 a-t-il pour équation x2 + y2 – 6x – 8y = 0 ?

47 Quelles sont les coordonnées du centre et le rayon du cercle  d’équation (x + 1)2 + (y – 3)2 = 12 ? 48 AB = 8. Le point O est le milieu de [AB]. M est un point du cercle de centre O A et de rayon 2. Calculez MA2 + MB2.

M O

B

8

53 Dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, le point M a pour coordonnées (x ; y).

C

3

1. Calculez MA2, MB2 et MC2 en fonction de x et y.

M

y

B

1 j O i 1

–2

x

2. Démontrez que : –2 « MA2 – 2MB2 + MC2 = 0 » A équivaut à « M est un point 5 de la droite d’équation y = 6x –  ». 2 54 ABC est un triangle tel que : AB = 10, AC = 2410 et BC = 215. 3p Peut-on affirmer que jACB =  ? 4 55 ABC est un triangle tel que : AB = 6, AC = 4 et YAB · YAC = 1213. L’unité choisie est le centimètre.

1. Trouvez, en radians, une mesure de l’angle jBAC. 2. Calculez la longueur BC, arrondie au millimètre.

Longueurs et angles 28

20

AB = 20 cm, BC = 32 cm et AC = 28 cm. 1. Calculez la mesure, arrondie au dixième de degré, des angles qA, qB, qC.

Pour aller plus loin

A

49 ABC est un triangle.

O

B

C

32

2. Démontrez que AO = 4421.

50 ABC est un triangle. On note : AB = c, AC = b et BC = a ; mA = AI, mB = BJ et mC = CK. Démontrez que : 3 mA2 + mB2 + mC2 = (a2 + b2 + c2). 4

256

56 Aire d’un triangle Dans cet exercice, on se propose d’exprimer l’aire d’un triangle en fonction de deux côtés et de l’angle formé par ces côtés. On envisage pour cela deux cas de figures selon que qA est un angle aigu ou obtus. b

J

K

B

C

C

A

I

A C

a H c

a

b B    

H

A

c

B

1. Démontrez, pour les deux cas de figures, que CH = b sin qA.

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

EXERCICES

2. Déduisez-en que : 1 aire (ABC) = bc sin qA. 2

C

D

Remarque

On démontre de même que aire (ABC) =

1 1 ca sin qB = ab sin qC. 2 2

40°

Avec les formules établies dans l’exercice 56, et qui dépassent le cadre du programme, vous pouvez résoudre les exercices 57 et 58.

57 Calculez l’aire et le périmètre

A

du triangle ABC. 3

que jBAC est un angle obtus. Son aire est 18 cm2. AB = 6 cm et AC = 10 cm.

6

50°

4

B

C

1. Calculez sin jBAC puis cos jBAC. 2. Déduisez-en la longueur BC arrondie au millimètre.

1. Calculez la mesure de l’angle qA. 2. Déduisez-en b et c.

B

45°

4

Comme l’indique la figure cicontre, ABC est un triangle et le cercle  est inscrit dans le triangle ABC.

C 

K

J O4

A

b) Déduisez-en que :

8

I

6

B

4 3 et cos qA = . 5 5 2. De la même manière, calculez cos qB et sin qB. sin qA =

b C

3. a) Démontrez que : cos qC = –cos 1qA + qB2 et sin qC = sin 1qA + qB2. b) Déduisez-en cos qC et sin qC. c) Calculez alors les valeurs exactes de CA et CB.

A b

c) Déduisez-en la longueur  de filet nécessaire pour clore le bassin (longueur arrondie au mètre près).

1. a) Calculez : qA qA et cos . sin 2 2

Avec la formule démontrée dans l’exercice 59, et qui dépasse le cadre du programme, vous pouvez résoudre les exercices 60 à 62.

60 ABC est le triangle représenté ci-contre.

b) Déduisez-en les longueurs AD et DB (arrondies au décimètre près).

62 Triangle et cercle inscrit

10

59 Relation entre les côtés et les angles d’un triangle A ABC est un triangle. AB = c, AC = b et BC = a. c On sait exprimer l’aire S du triangle de trois manières : 2S = bc sin qA = ac sin qB = ab sin qC. B a On sait que les angles qA, qB, qC appartiennent à l’intervalle ]0 ; π[. Donc sin qA ≠ 0, sin qB ≠ 0 et sin qC ≠ 0. b c a Démontrez que : = . = sin qA sin qB sin qC

B

400 m

b) Déduisez-en DC. C

A

45° 40°

2. a) De la même manière, en utilisant pour le triangle ABC les renseignements de la figure, calculez BC.

B

58 ABC est un triangle tel

A

45°

c 35°

Cercle et produit scalaire Dans ces exercices, les coordonnées et les équations sont relatives à un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2.

63 Trouvez une équation du cercle : a) de centre A(1 ; –2) et de rayon 5 ; C

61 Un bassin piscicole implanté sur une côte a la forme d’un quadrilatère comme l’indique la figure ciaprès. AD + DC + CB est la longueur de filet nécessaire pour clore ce bassin. On la note . 1. a) En utilisant les renseignements portés sur la figure, calculez, en degrés, la mesure de l’angle jADB.

b) de centre A(–1 ; 2) passant par B(3 ; 4) ; c) de centre A(1 ; –4) et tangent à l’axe des abscisses.

64 Dans chacun des cas suivants, démontrez que l’équation proposée est celle d’un cercle dont vous préciserez les coordonnées du centre et le rayon. a) x2 + y2 – x – 3y – 5 = 0 ; b) (x – 2)(x + 5) + (y – 1)(y – 4) = 0 ; c) 3x2 + 3y2 – 6x – 9y – 1 = 0. Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

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257

EXERCICES

65  est le cercle de centre I et de rayon 212. Il coupe l’axe des abscisses en A et B, et l’axe des ordonnées en C et D. C Aj O i 1 –2

I

1. Trouvez une équation de . 2. a) Trouvez les coordonnées de A, B, C et D. b) Vérifiez que YOA · YOB = UOC · ZOD.

66 On donne les points I(4 ; –1) et A(1 ; 5).  est le cercle de centre I passant par A. 1 9 est Démontrez que la droite d d’équation y =  x + 2 2 tangente en A au cercle . 67 1. Reproduisez la figure ci-dessous. Puis construisez le cercle  dont le centre appartient à d, et qui passe par A et B. 2 A

–2

2

b) Déduisez-en les coordonnées de I. 3. Trouvez alors une équation du cercle .

B

D

j O i

2. a) Trouvez une équation de la médiatrice de [AB], puis une équation de la médiatrice de [AC].

B 6 d

71 Cercle passant par trois points (suite) Les données sont celles de l’exercice 70 . On se propose de trouver une équation de  d’une autre manière. On sait que le cercle  a une équation de la forme : x2 + y2 + ax + by + c = 0. Donc trouver une équation de  revient à calculer a, b et c. 1. En écrivant que A, B, C sont trois points de , démontrez que :

5

2. a) À l’aide de (1) et (2), trouvez a. b) Déduisez-en b et c avec (2) et (3). 3. a) Trouvez alors une équation de . b) Vérifiez que A, B, C sont bien trois points de . Précisez les coordonnées de son centre et son rayon.

72 On se propose de construire le cercle  passant par A et tangent en B à d, s’il existe, puis d’en trouver une équation.

2. Trouvez une équation du cercle .

68 On donne le point A(1 ; 2) et la droite d d’équation x + 2y = 0. Démontrez que le cercle de centre A passant par O est tangent à d. 69  est le cercle d’équation x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0 et d est la droite d’équation x + 3y – 6 = 0. 1. Faites une figure. 2. Vérifiez que les points A(3 ; 1) et B(1 ; –5) appartiennent à . 3. a) La droite d est-elle tangente à  au point A? b) La tangente à  en B est-elle parallèle à d ?

70 Cercle passant par trois points Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(5 ; 1), B(–3 ; 1) et C(0 ; 6). Le but de l’exercice est de trouver une équation du cercle  circonscrit au triangle ABC. 1. Placez les points dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2 1O ; ai, aj 2 et construisez . On note I le centre de .

258

(1) (2) (3)

5a + b + c = –26 – 3a + b + c = –10 6b + c = –36

3

A

d B

1 j –1 O i

2

1. a) Si le cercle  existe, pourquoi son centre I appartient-il à la médiatrice de [AB] ? b) Pourquoi I appartient-il à la droite ∆ perpendiculaire en B à d ? c) Déduisez-en l’existence d’un point I unique et du cercle . 2. a) Trouvez une équation de la médiatrice de [AB]. b) Déduisez-en les coordonnées de I et une équation de .

73 On donne le point A(0 ; 3) et la droite d d’équation y = x – 1. La droite d coupe l’axe des ordonnées en B. 1. Construisez le cercle  de centre A tangent en H à la droite d. Justifiez votre construction. 2. a) Trouvez les coordonnées de H. b) Déduisez-en AH et une équation de .

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

point de coordonnées (x ; y).

b) Démontrez que le système (S) équivaut au système : y = 2x – 2 (S’) 5x2 – 5 = 0.

5

1. Calculez en fonction de x et y le produit scalaire UMA · UMB.

c) Déduisez-en les coordonnées de M et celles de N.

2. Démontrez que la ligne décrite par M lorsque UMA · UMB = 15 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

78 1. Tracez la droite d d’équation x + 3y – 10 = 0 et le cercle  d’équation x2 + y2 – 4x – 2y = 0.

75 Orthocentre d’un triangle et cercle Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est le cercle d’équation x2 + y2 + x – 4y – 12 = 0. 1. Construisez le cercle . 2.  coupe l’axe des abscisses en A et B, et l’axe des ordonnées en C et D (l’ordonnée de D est négative). a) Calculez les coordonnées des points A, B, C et D. b) On note H le symétrique de D par rapport à l’axe des abscisse. Démontrez que H est l’orthocentre du triangle ABC.

76 Angle de deux tangentes Dans le repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, les courbes 1 et 2 ont pour équations respectives y = x2 et y = 1x. Les tangentes T1 et T2 en leur point commun A coupent l’axe des abscisses respectivement en M et N. T1

1

A j

T2 2

α

N O i M

EXERCICES

74 On donne les points A(–1 ; 4) et B(5 ; 2). M est un

2. Calculez les coordonnées des points d’intersection de  et d. Aide

Voir l’exercice 77.

79 Intersection d’une droite et d’un cercle Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est le cercle de centre A(2 ; 3) et de rayon 4. La droite d a pour équation y = 2x + 3. 1. Tracez le cercle  et la droite d. 2. a) Trouvez une équation de . b) Quels sont les coordonnées des points M et N d’intersection du cercle  et de la droite d ?

80 On donne les points A(–1 ; 2) et B(3 ; 4), M est un point de coordonnées (x ; y). 1. Calculez, en fonction de x et y, 1UMA + UMB2 · UMA. 2. Prouvez que les points M tels que 1UMA + UMB2 · UMA = 0 sont situés sur un cercle dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre.

81 Un ensemble sans utiliser un repère ABC est un triangle rectangle en A. I est le milieu de [AB]. Le but de l’exercice est de trouver la ligne  décrite par les points M tels que 1UMA + UMB2 · UMC = 0. 1. Démontrez que UMA + UMB = 2YMI.

1. a) Trouvez une équation de T1 et T2. b) Déduisez-en les coordonnées de M et N. 2. Trouvez, arrondie à un degré près, une mesure a de l’angle kMAN.

77 Intersection d’une droite et d’un cercle Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne le cercle  d’équation x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0 et la droite d d’équation y = 2x – 2. 1. Construisez le cercle  et la droite d. 2. On note M et N les points d’intersection de  et d. Le but de la question est de trouver les coordonnées de M et celles de N. a) Démontrez que les coordonnées de M et de N sont solutions du système : y = 2x – 2 (S) x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0.

5

2. a) Démontrez que : « M ∈  » équivaut à « YMI · UMC = 0 ». b) Déduisez-en .

82 A et B sont deux points tels que AB = 6 cm et I est le milieu de [AB]. On se propose de trouver l’ensemble  des points M tels que MA2 – MB2 = 24. 1. Justifiez chacune des égalités suivantes : MA2 – MB2 = 1UMA + UMB2 · 1UMA – UMB2 ; l UMA + UMB = 2YMI. l

2. a) Déduisez de la question précédente que : « M ∈  » équivaut à « YIM · YAB = 12 ». b) On note H le projeté orthogonal de M sur (AB). Démontrez que YIM · YAB = YIH · YAB. c) Déduisez-en que IH = 2 puis déterminez l’ensemble . Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

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259

EXERCICES

83 Pythagore généralisé

A L G O R IT

H M IQ U E

ABC est un triangle. a, b et c sont les longueurs respectives des côtés [BC], [AC] et [AB]. Précisez les objectifs de l’algorithme ci-dessous. Note

La variable notée ACB est la mesure en radians de l’angle fACB, l’instruction pow(a,2) correspond à a2 et sqrt x à 1 x. VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE c EST_DU_TYPE NOMBRE ACB EST_DU_TYPE NOMBRE p EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE a LIRE b LIRE ACB c PREND_LA_VALEUR sqrt(pow(a,2)  +pow(b,2)–2*a*b*cos(ACB)) p PREND_LA_VALEUR a+b+c AFFICHER c AFFICHER p FIN_ALGORITHME

84 Implication directe et réciproque

LOGIQUE

Pour chacune des implications suivantes : a) dites si elle est vraie ; b) formulez l’implication réciproque ;

87 Réduisez chacune des expressions suivantes : l l

A(x) = sin 2x cos 3x – cos 2x sin 3x. B(x) = cos 4x cos 3x + sin 4x sin 3x.

88 Exprimez chacune des expressions suivantes en fonction de sin x et cos x : 3p  ; a) 12 sin x + 4 2p b) 2 sin x – . 3

1 1

2

89 Démontrez les égalités suivantes : a) sin (a + x) cos (a – x) + sin (a – x) cos (a + x) = sin 2a ; b) sin (a + b) sin (a – b) = sin2 a – sin2 b.

90 x est un nombre de l’intervalle 40 ;

1. Réduisez l’expression suivante : sin 3x cos x – sin x cos 3x.

3

p . 2

2. Déduisez-en que : sin 3x cos 3x – = 2. sin x cos x

91 1. En tenant compte des C renseignements portés sur la 2 2 qC H figure ci-contre, calculez sin . A B 2 1 3 2. Déduisez-en que cos qC = –  8 puis calculez une mesure de l’angle qC à un degré près. 92 Un cerf-volant a la forme ci-dessous. x

c) dites si cette implication réciproque est vraie. Toutes les réponses doivent être justifiées.

x

2x θ

1. ABC est un triangle. Si jBAC est un angle obtus, alors BC2 > AB2 + AC2. 2. Si on connaît les trois côtés d’un triangle, alors on peut calculer les trois angles.

2

2x

q q et sin . 2 2 4 2. Déduisez-en que sin q = . 5

1. Calculez cos

93  est un cercle trigonométrique de centre O.

Les formules d’addition et de duplication 85 Calculez cos 2x dans chacun des cas suivants : a) cos x =

13 1  ;   b) cos x = –  . 2 4

86 Calculez cos 2x et sin 2x dans chacun des cas suivants :

4 a) x ∈ [–p ; 0] et cos x = –   ; 5 p 1 b) x ∈  ; p et sin x = . 2 3

3

260

4

On a dessiné un polygone régulier de 16 côtés inscrit dans . + / B 8 A

O 

p est-il associé au point B 1. Pourquoi le nombre 8 de  ?

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3

4

ROC

EXERCICES

2. a) Reproduisez la figure et placez-y les points C, D et E 3p 5p 7p respectivement associés aux nombres , et . 8 8 8 b) Exprimez les coordonnées de ces points en fonction p p de cos et sin . 8 8 3. En tenant compte des résultats précédents, démontrez que : p 3p 5p 7p + sin2 + sin2 = 2. sin2 + sin2 8 8 8 8 p 94 a et b sont deux nombres de l’intervalle 0 ; 2 4 1 tels que cos a = et cos b = . 5 3 1. Calculez la valeur exacte de sin a et de sin b.

Restitution organisée de connaissances

96 Prérequis : Pour tous vecteurs au et av : ( au – av )2 = au 2 + av 2 – 2au · av. Pour tout vecteur YAB : YAB · YAB = YAB2 = AB2. 1. Démonstration Démontrez que MA2 + MB2 = 2MO2 + M

AB2 . 2

2. Calculez cos(2a + b) et sin(2a + b).

Avec les tice 95 Tangentes à un cercle parallèles à une droite

donnée Dans un repère orthonormé,  est le cercle d’équation x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0 et d est la droite d’équation 4x + 3y = 0. Le but de l’exercice est de trouver une équation des tangentes à  parallèles à d. 1. Construire avec GeoGebra a) Construisez le cercle  d’équation : x2 + y2 – 6x – 2y – 15 = 0 puis la droite d’équation 4x + 3y = 0. b) Créez le point A, centre du cercle . c) Créez la droite ∆ passant par A et perpendiculaire à d. d) Créez les points B et C, intersection de  et de ∆. e) Créez les tangentes au cercle  en B et C. Pourquoi, en exécutant ce programme, avons-nous répondu au problème posé ? 2. Résoudre le problème En exécutant le programme, on trouve les équations des tangentes dans la fenêtre Algèbre. a) Trouvez les coordonnées de A puis une équation de ∆. b) Trouvez les coordonnées de B et C (voir la méthode, exercice 77, page 259). c) Déduisez-en des équations des tangentes en B et C.

A

O

B

2. Application Démontrez que si ABCD est un parallélogramme alors : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2.

Prendre toutes les initiatives 97 Dans un repère orthonormé, la droite d a pour équation 2x + y + 6 = 0. Trouvez une équation du cercle  centré sur d et passant par les points A(–2 ; 3) et B(4 ; 1).

98 Le carré ABDE et le triangle ABC de la figure ci-contre ont la même aire.

C α

b) Déduisez-en que : sin α = 4(1 – cos α). a 1 2. Démontrez que tan = . 2 4

a

a

1. a) Démontrez que 2b2 = a2 sin α. A b

E

b b

H B b D

99 Démontrez qu’il est impossible de trouver un triangle ABC tel que : BC2 AB2 + AC2 < . 2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

261

EXERCICES

Approfondissement 100 Intersection de deux cercles

2. Démontrer

1. Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, tracez les cercles 1 et 2 d’équations respectives : x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 et x2 + y2 + 4x + 2y + 3 = 0.

a) Justifiez qu’une équation de  s’écrit : (x – 2m)2 + (y – 1)2 = 4(m2 – 1).

2. Démontrez que le système : x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 (S) x2 + y2 + 4x + 2y + 3 = 0 est équivalent au système : x = 2y + 1 (S’) x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0.

c) Pourquoi le centre A appartient-il à deux demi-droites (que l’on précisera) ?

5

104 Un ensemble de points

5

3. Résolvez (S’) par substitution et déduisez-en les coordonnées des points M et N, intersections de 1 et 2.

101 Intersection de deux cercles Dans un repère orthonormé,  est le cercle de centre I(–3 ; –3) et de rayon 5, et ’ le cercle de diamètre [AB] tel que A a pour coordonnées (–2 ; 0) et B(1 ; 4). 1. Trouvez une équation de  et une de ’. 2. Quelles sont les coordonnées des points d’intersection de ces deux cercles ?

102 Tangentes à un cercle menées d’un point Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2,  est le cercle d’équation x2 + y2 + 6x + 6y – 7 = 0 et de centre I. Le point B a pour coordonnées (2 ; 7). Le cercle 1 de diamètre [IB] coupe  en M et N. 2. a) Trouvez une équation de 1. b) Déduisez-en les coordonnées de M et N. 3. On trace les droites (BM) et (BN). b) Trouvez une équation de chacune de ces droites.

103 Une famille de cercles TICE Au nombre m, on associe, s’il existe, le cercle m d’équation x2 + y2 – 4mx – 2y + 5 = 0. On s’intéresse, lorsqu’il existe, au centre A de m. 1. Expérimenter avec GeoGebra a) Créez un curseur pour le paramètre m. Réglages : –10 < m < 10 ; incrément : 0,1. pour

c) Faites varier m avec le curseur. Le cercle m semble-t-il toujours exister ? Que se passet-il pour m = 1 ? pour m = –1 ?

262

M

y B j O i

x

A

1. Démontrez l’affirmation suivante : « M est un point de k » équivaut à k « x2 + y2 – 4x – 2y + 15 – = 0 ». 3 2. a) Démontrez que k est un cercle de rayon non nul si et seulement si k > 30. b) Que peut-on dire de k si k < 30 ? c) Construisez k lorsque k = 42.

105 a et b sont deux nombres de l’intervalle 30 ;

p 2

4

b) Déduisez-en a + b puis b.

a) Pourquoi ces droites sont-elles tangentes à  ?

d) Activez la trace de A et faites varier m. Sur quelle ligne semble se déplacer A ?

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, les points A et B ont pour coordonnées respectives (6 ; 0) et (0 ; 3). On cherche l’ensemble k des points M(x ; y) tels que MA2 + MB2 + MO2 = k, k étant un nombre donné.

16 – 12 1 . tels que sin a = et sin b = 4 2 16 + 12 . 1. Calculez cos a et vérifiez que cos b = 4 2. a) Calculez cos(a + b) et sin(a + b).

1. Faites une figure.

b) Saisissez l’équation de  puis utilisez l’icône créer le centre A.

b) Démontrez que le cercle m de rayon non nul existe si et seulement si m < –1 ou m > 1.

106 1. Démontrez que (cos a + sin a)2 = 1 + sin 2a puis que (cos a + sin a)(cos a – sin a) = cos 2a. p : 2. Déduisez-en que pour tout a ∈ 0 ; 4 1 + sin 2a cos a + sin a = . cos 2a cos a –sin a 3. Application p p cos + sin 12 12 Démontrez que : p p = 13. cos – sin 12 12

4

3

107 Avec un tétraèdre OABC est un tétraèdre tel que AOB et AOC sont des triangles rectangles. p p BC = 10, α = , b = 6 3 p et g = . 4

A

α B

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

β

O 10

γ

C

2. a) Déduisez-en OA. b) Calculez l’aire du triangle ABC.

A

108 Un triangle particulier 1. En tenant compte des renseignements portés sur cette figure, démontrez que : cos b = cos 2α. 2. Quelles sont, à un degré près, les mesures des angles jABC et hBCA ?

4

C

c 5

β

B

α 6

A

B

3. Quelle est la valeur exacte de l’aire du triangle ABC ?

109 Calculer des angles

A L G O R IT

H M IQ U E

L’objectif de cet algorithme (écrit avec Algobox) est de déterminer les mesures des angles d’un triangle dont on connaît les mesures a, b et c des côtés. A c

α

b

G

J

EXERCICES

110 Des médianes perpendiculaires ABC est un triangle. G est son centre de gravité. I et J sont les milieux respectifs des segments [AC] et [AB].

1. Démontrez que : AB = 10(13 – 1).

I C

a

1. a) Démontrez que : 1 2 2 b2 a +c – . 2 2 b) Calculez de même CJ2.

3

BI2 =

4

c) Déduisez-en BG2 et CG2 en fonction de a, b, c. 2. Démontrez l’équivalence suivante : « Les médianes (BI) et (CJ) sont perpendiculaires » équivaut à « b2 + c2 = 5a2 ».

Prendre toutes les initiatives

b

111 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, 1 et 2

B

a

C

Les variables x et xd sont les mesures de l’angle « alpha » (de sommet A) respectivement en radians et en degrés. 1. Complétez l’algorithme. 2. Vérifiez l’exactitude de vos propositions en déterminant les mesures des angles d’un triangle dont les côtés ont pour mesures (en cm) : a = 8 ; b = 7 ; c = 5. Aide

• pow(b,2) est la notation utilisée pour le calcul de b2. • Math.PI est la notation utilisée pour le nombre p. • round(x) arrondit la variable x à l’entier le plus proche.

sont les cercles d’équations respectives : x2 + y2 + 4x – 3y + 4 = 0 et x2 + y2 – 6y + 8 = 0. Démontrez que 1 et 2 sont tangents entre eux et tangents au cercle 3 de centre O et de rayon 4.

112 Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, la droite d

a pour équation x sin q + y cos q – sin 2q = 0 avec p . q ∈ 0 ; 2 La droite d coupe les axes du repère en M et N. Démontrez que la distance MN est constante et que le milieu I de [MN] se déplace sur un quart de cercle p lorsque q décrit l’intervalle 0 ; . 2

4

3

4

3

113 Une réserve d’eau ayant la forme d’un triangle ABC est entourée de trois terrains de « forme carrée » et d’aires respectives 900 m2, 6 400 m2 et 4 900 m2. Quelle est la superficie de cette réserve, qui sert à irriguer ces trois terrains ?

A

4 900 m2

900 m2

C

B 6 400 m2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

263

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A D’un cercle à son équation

1

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points suivants : l A(–1 ; 2) ; l B(4 ; 4) ; l C(6 ; –1). Trouvez une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

Partant de A, les voiliers contournent la bouée en B, puis la bouée en C, avant le retour en A. On a porté sur la figure les distances en milles « marins » ou « milles nautiques ». Calculez la distance AC, arrondie au dixième de mille.

E D’un polygone régulier à l’autre ABC est un triangle équilatéral de côté a et de centre O. On a construit un carré sur chaque côté du triangle comme l’indique la figure ci-dessous. D

B Orthocentre et cercle circonscrit

I

Dans un repère 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(0 ; 3) et B(4 ; 5). On note # le cercle circonscrit au triangle AOB. 1. Trouvez une équation du cercle #.

2

2. a) La droite d’équation x = 4 coupe # en B et D. Quelles sont les coordonnées de D ? 3

A H

E B

b) Le cercle # coupe l’axe des abscisses en O et C. Quelles sont les coordonnées de C ? 4

O a

C

3. H est le symétrique de D par rapport à (OC). Démontrez que H est l’orthocentre du triangle OBC. 5 F

C Avec les angles associés

3p p = cos ? 6 10 5 2. Démontrez que : p 3p 7p 4p sin2 + sin2 + sin2 + sin2 = 2. 7 5 10 10 5 3. Démontrez que : p 3p 7p 4p cos + cos + cos + cos = 0. 8 5 10 10 5

1. Calculez OI.

1. Pourquoi sin

D Le triangle olympique

3. Reprenez les questions en remplaçant le triangle équilatéral par un hexagone régulier de côté a.

F Le cercle des neufs points

9

2m

illes

C

264

70° 3 milles

B

10

2. Démontrez que l’hexagone DEFGHI est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de a. 11

Une compétition nautique se déroule selon un parcours type appelé triangle olympique.

A

G

Dans un repère orthonormé 1O ; ai, aj 2, on donne les points A(6 ; 0), B(0 ; 6) et C(–3 ; 0). On note H l’orthocentre du triangle ABC. D, E, F sont les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. # est le cercle circonscrit au triangle DEF. 1. Vérifiez que # a pour équation : 3 9 x2 + y2 –  x –  y = 0. 12 2 2 2. Les points M, O et N sont les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C. Les points I, J et K sont les milieux respectifs de [HA], [HB] et [HC]. Vérifiez que M, O, N, I, J, K sont des points de #. 13

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CHAPITRE

Statistiques

D’un siècle à un autre Le 7 janvier 2009, à Marseille, les palmiers étaient sous la neige. Pourtant, l’année 2009 fait partie des dix années les plus chaudes depuis 1850. C’est sur l’étude de séries historiques que reposent les études sur le changement climatique. Ainsi, on a pu établir que la température moyenne à la surface de la Terre a augmenté de près d’un degré depuis 1860. Ces analyses de données utilisent de nombreux outils mathématiques inventés par John Tukey.

En savoir plus sur John Wilder Tukey Chercheurs d’hier p. 279

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Rappels

& Questions-tests

Moyenne d’une série On considère une série quantitative d’effectif total N. Valeur

x1

x2

……

xp

Effectif

n1

n2

……

np

Fréquence

f1

f2

……

fp

La moyenne wx peut se calculer à partir : n x + n2x2 + … + npxp – des effectifs : wx = 1 1 N avec  N = n1 + n2 + … + np ; – des fréquences : wx = f1x1 + f2x2 + … + fpxp. l

l On dit que wx est la moyenne des valeurs pondérées par leurs effectifs (ou leurs fréquences).

1   Le relevé des notes de mathématiques dans un jury du bac S est donné par le diagramme suivant. Effectif 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 Note

a) Calculez la note moyenne arrondie à 0,01 près. b) Quel est le pourcentage, arrondi à 1 % près, des candidats qui ont obtenu au moins la note 10 ?

l Si la série est regroupée en classes, on fait 2   Voici la répartition des salaires bruts mensuels (en milliers d’euros) dans une entreprise. l’hypothèse que la répartition des valeurs est uniforme à l’intérieur de chaque classe. On calcule Salaire [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ alors une valeur approchée de la moyenne en Fréquence 0,48 0,34 0,16 0,02 affectant l’effectif (ou la fréquence) de chaque a) Donnez une estimation du salaire moyen. classe au centre de celle-ci. b) Le directeur financier constate que les promotions de fin d’année ont modifié les seules fréquences des tranches [1 ; 2[ et [2 ; 3[. Le salaire moyen est passé à 2 300 �. On note x la fréquence de la première classe. Quelle est la nouvelle répartition des salaires ?

Médiane et quartiles On suppose la série précédente rangée dans l’ordre 3   On reprend la série de l’exercice 1. a) Calculez la note médiane. croissant. Les N valeurs sont écrites l’une après b) Déterminez les quartiles Q1 et Q3. l’autre, une même valeur étant répétée autant de fois que l’indique son effectif : x1 < x2 < … < xN. c) Quel est le pourcentage (arrondi à 1 % près) des candidats qui ont obtenu une note dans l’intervalle [8 ; 13] ? l La médiane Me est le nombre tel que : — si N est impair, N = 2k + 1, alors Me = xk+1 ; x +x — si N est pair, N = 2k, alors Me = k k+1 . 2 l Les quartiles Q et Q sont les valeurs que l’on 1 3 calcule de la manière suivante : Q1 (resp. Q3) est la valeur dont le rang est N le premier entier supérieur ou égal à 4 3N (resp. ). 4

4   Pendant une semaine, Chloé a noté chaque jour le nombre de ses nouvelles amies sur Facebook. Elle a obtenu une série de sept valeurs, toutes différentes, dont voici les paramètres : ● valeur mini : 2 ; ● médiane : 11 ; ● moyenne : 9 ; ● quartile Q  : 3 ; ● quartile Q  : 13 ; ● étendue : 15. 1 3

Pouvez-vous trouver, dans l’ordre croissant, le nombre de nouvelles amies avec qui Chloé a été en contact chaque jour de cette semaine ?

Voir les corrigés p. 363

266

Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 1

La masse des bébés

Les courbes ci-contre sont issues de l’étude statistique de la masse des bébés entre 0 et 3 ans. Pour chaque bébé, on indique son âge et sa masse par un point du graphique. Pour 3 % de ces bébés, ce point est situé sous la courbe inférieure rouge.

1 Quelle information donne la courbe supérieure ? 2 a) Quelle masse lit-on pour un bébé de trois mois sur

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

la courbe repérée par 25 % ?



Masse (kg) 97 % 75 % 25 % 3%

0

1

b) À quel paramètre statistique correspond-elle ?

2 3 Âge (années)

3 a) Quel est le troisième quartile de la série des masses des enfants de 2 ans ? b) Dans quel intervalle se situe la médiane de la série des masses d’un enfant d’un an ? de deux ans ? c) À quel âge 75 % des bébés pèsent-ils 8 kg ou moins ?

Activité 2

Approche d’une mesure de dispersion

TICE

Une entreprise utilise deux machines, M1 et M2, pour remplir des sachets de perles. Voici la composition des sachets issus d’un contrôle sur des échantillons provenant de M1 et M2. Nombre de perles : xi

108

109

110

111

112

113

114

115

M1 : Nombre de sachets

3

3

10

33

95

39

16

1

M2 : Nombre de sachets

1

5

16

79

30

26

25

18

1 Calculez pour chaque machine le nombre moyen (noté wx ) de perles par sachet. 2 La direction souhaite obtenir des sachets contenant un nombre de perles le plus proche possible de 112. Les machines sont réglées pour des moyennes de 112, mais il subsiste des écarts.

L’objectif est de savoir quelle machine a des résultats s’écartant le moins possible de la moyenne. Pour cela, on procède pour chaque série, de la manière suivante : 2 l on mesure chacun des écarts (x – wx ), puis on les élève au carré pour obtenir (x – wx )  ; i i l on calcule alors la moyenne pondérée de ces carrés.

Appliquez cette méthode en utilisant un tableur.

Problème ouvert

outil 9

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Le directeur d’une concession automobile offre tous les ans au meilleur de ses trois agents un séjour d’une semaine aux Antilles. Il décide de récompenser celui qui réalise les ventes les plus régulières. Les profils de vente sont donnés sur le graphique . Quel est le vendeur qui sera choisi ?

8 Ventes 6 4 2 Boris 0

Abdel

Chloé Mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Chapitre 11 ● Statistiques

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267

COURS

1

Diagramme en boîte 1.1 Médiane et quartiles On considère une série statistique X, à caractère quantitatif, d’effectif N, dont toutes les données sont rangées dans l’ordre croissant : x1  x2  …  xN. La médiane Me et les quartiles Q1 et Q3 sont des paramètres de position qui permettent un partage de la population suivant le schéma ci-dessous. Au moins 50 % des valeurs Plus petite valeur

Au moins 50 % des valeurs

Q1

Plus grande valeur

Q3 Médiane Me

Au moins 25 % des valeurs

Au moins 50 % des valeurs

Au moins 25 % des valeurs

Exemple. Voici le relevé, dans l’ordre croissant, du rythme cardiaque au repos, exprimé en pulsations par minute, des 34 élèves d’une classe de 1re S.

Voir les méthodes de calcul dans les rappels p. 266.

Rythme cardiaque

59

63

70

71

73

77

79

80

84

86

88

91

Effectif

2

1

5

2

5

4

2

2

4

5

1

1

x17 + x18 77 + 77 = 77. soit Me = 2 2 Les quartiles sont Q1 = x9 = 71 et Q3 = x26 = 84. L’effectif est pair, 34 = 2 × 17, donc Me =

Remarque. Q1 = 71. Or 10 valeurs sur 34 sont inférieures ou égales à 71 soit environ 29 %, donc ce pourcentage dépasse 25 %. Ce phénomène résulte de la prise en compte de la valeur 71 plusieurs fois. Il illustre la définition de Q1 par un partage des valeurs du type (au moins 25 % ; au moins 75 %). Il en est de même pour la définition de Me et de Q3.

1.2 Représentation par un diagramme en boîte La répartition des données peut être représentée par un diagramme dit en boîte, qui résume le caractère étudié par les valeurs extrêmes, la médiane et les quartiles. Le diagramme en boîte ci-dessous correspond à l’exemple précédent. patte

patte Note

Q1 59

63 67 71 Valeur mini.

Me 75

Q3

79 83 87 91 Valeur maxi. 

Ce type de diagramme, dû au statisticien américain John Wilder Tukey (1915-2000), est aussi appelé diagramme en boîte à moustaches ou diagramme à pattes.

On lit également la répartition des données rangées dans l’ordre croissant : — au moins 50 % des valeurs sont dans l’intervalle interquartile [Q1 ; Q3] ; — au moins 25 % des valeurs ne dépassent pas Q1 alors qu’au moins 25 % dépassent Q3. Un tel diagramme illustre la dispersion de la moitié des valeurs autour de la médiane. Les pattes représentent la plage des valeurs restantes limitées par les valeurs minimale et maximale ; ainsi la boîte ne tient pas compte directement des valeurs extrêmes.

268

Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

2

Paramètres de dispersion 2.1 Étendue et écart interquartile Nous connaissons déjà deux paramètres de dispersion : l’étendue et l’écart interquartile. l

L’étendue est la différence entre les valeurs extrêmes : e = xmax – xmin.

Cet indicateur grossier ne tient compte que des valeurs extrêmes et non des intermédiaires. l

L’écart interquartile est la différence entre les quartiles Q3 et Q1 : Ei = Q3 – Q1.

Il mesure la dispersion des 50 % des valeurs qui entourent la médiane.

2.2 Variance et écart-type On considère une série statistique X dont les valeurs xi ont pour effectifs respectifs ni ; on la note : X = (xi ; ni).

Valeur

x1

x2

…

xp

Effectif

n1

n2

…

np

Nous allons définir un nouveau paramètre qui permet de mesurer la dispersion des valeurs xi autour de la moyenne wx. Pour cela, on calcule la moyenne des carrés des écarts (xi – wx ) (voir activité 2 p. 267). Définition

1 (xi ; ni) est une série statistique d’effectif total N.

On peut aussi écrire : V=

S n (x – wx ) i =1

i

i

La variance de cette série est le nombre : n1(x1 – wx )2 + n2(x2 – wx )2 + … + np(xp – wx )2 V= N l L’écart-type de cette série est le nombre s = 1V. l

p

2

. N Le numérateur se lit : « somme de i = 1 jusqu’à p de ni(xi – wx )2 ».

Remarque. La variance V et l’écart-type s sont deux nombres positifs tels que V = s2. n

Variance et fréquence. Comme Ni = fi , on peut aussi calculer la variance à partir de la série

(xi ; fi) des fréquences. Là aussi on peut écrire : p

V = f1(x1 – wx )2 + f2(x2 – wx )2 + … + fp(xp – wx )2.

S f (x – wx ) .

V = 

i =1

Théorème

1

i

i

2

n1x12 + n2x22 + … + npxp2 – xx  2. N Ainsi, V est « la moyenne des carrés des valeurs xi moins le carré de la moyenne wx ». La variance de la série X = (xi ; ni) est telle que : V =

Démonstration. Par définition de la variance, NV = n1(x1 – xx )2 + n2(x2 – xx )2 + … + np(xp – xx )2. Dans l’expression de NV, on remplace chaque (xi – wx )2 par (xi2 – 2xi wx + wx 2) : NV = n1(x12 – 2x1 wx + xx 2) + n2(x22 – 2x2 wx + xx 2) + … + np(xp2 – 2xp wx + xx 2) NV = (n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2) – (2n1 x1 xx + 2n2 x2 xx + … + 2np xp xx ) + (n1 xx 2 + n2 xx 2 + … + np xx 2) NV = (n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2) – 2xx(n1 x1 + n2 x2 + … + np xp) + xx 2(n1 + n2 + … + np). Or par définition de la moyenne, n1 x1 + n2 x2 + … + np xp = Nxx et n1 + n2 + … + np = N donc NV = (n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2) – 2xx  Nxx + xx  2N = (n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2) – 2Nxx  2 + Nxx  2 NV = (n1 x12 + n2 x22 + … + np xp2) – Nxx 2. D’où, en divisant par N : V =

n1x12 + n2x22 + … + npxp2 – xx 2. N Chapitre 11 ● Statistiques

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

269

COURS Exemple. Les notes de mathématiques d’Anna et Brahim lors des dix contrôles réalisés au cours de l’année scolaire sont représentées sur le diagramme ci-après. 5

Nombre de contrôles Anna Brahim

4 3 2 1 0

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Note

On vérifie qu’Anna et Brahim ont la même moyenne : xc A = xc B = 11,4. p

S n (x – wx ) i

V=

i

N

p

S n  x

i i

V=

2

i =1

i =1

N

2

– wx 2

Examinons la dispersion des résultats par rapport à la moyenne en comparant les écarts-types. La variance de la série de notes d’Anna est, d’après la définition 1 : (8 – 11,4)2 + 2 × (9 – 11,4)2 + (11 – 11,4)2 + 3 × (12 – 11,4)2 + 2 × (13 – 11,4)2 + (15 – 11,4)2 VA = = 4,24. 10 Pour la variance de la série de notes de Brahim, utilisons Note la formule du théorème 1 : Dans la pratique, l’utilisation de la calculatrice 2 × 72 + 102 + 4 × 112 + 132 + 162 + 172 permet d’obtenir rapidement ces divers paramètres. – 11,42 = 9,64. VB = 10 Ainsi les écarts-types sont sA = 3VA ≈ 2,06 et sB = 3VB ≈ 3,10. La comparaison sA < sB indique que les notes d’Anna sont moins dispersées autour de la moyenne et donc que ses résultats sont plus réguliers. Le calcul nous confirme une première impression donnée par le graphique.

Remarque. Si les données sont exprimées avec une unité (mètre, seconde, gramme…) alors la variance V s’exprime en unité « carré » (m2, s2, g2, …). L’écart-type s = 1V s’écrit avec la même unité que les données.

3

Résumé d’une série statistique Résumer une série, c’est indiquer la répartition des données en utilisant différents indicateurs. Deux questions peuvent alors être posées : l

Autour de quelle valeur centrale les données sont-elles réparties ?

l

Quelle est l’importance de la dispersion des données autour de cette valeur centrale ?

On utilise habituellement un paramètre de position indiquant une tendance centrale et un paramètre de dispersion. Ainsi pour résumer une série on peut déterminer puis, interpréter suivant l’étude désirée, l’un des Exercice 34, page 283 couples définis dans le tableau ci-dessous.

270

Paramètre de tendance centrale

Paramètre de dispersion

Propriété

médiane : Me

écart interquartile : Ei = Q3 – Q1

peu sensible aux valeurs extrêmes

moyenne : xx

écart-type : s

sensible aux valeurs extrêmes

Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Objectif

1

Utiliser un diagramme en boîte

EXERCICES

Application Un diagramme en boîte illustre la répartition des valeurs d’une série ordonnée dans l’ordre croissant suivant le schéma : l

Q1

xmini

Exercice résolu A

Q3

Me

xmaxi

Construire et interpréter un diagramme en boîte

Le tableau suivant indique l’espérance de vie (en années) dans les pays africains en 2007 (source : Word Factbook 2007-2008). Espérance de vie

32

38

39

40

41

42

44

47

48

50

51

52

53

Nombre de pays

1

1

1

1

2

1

1

1

2

4

5

1

2

Espérance de vie

54

55

57

58

59

61

62

63

70

72

76

77

Nombre de pays

5

2

2

2

3

2

1

1

1

2

2

1

1. Représenter cette série par un diagramme en boîte. 2. À partir du diagramme, présentez la répartition des pays africains suivant l’espérance de vie de leur population. Solution

Méthode

1. l D’après le tableau, la série est rangée dans l’ordre croissant. l L’effectif total est N = 47. Il est impair, 47 = 2 × 23 + 1, donc Me = x24. La 24e valeur est 54 d’où Me = 54.

1. On s’assure que la série est rangée dans l’ordre croissant. l On calcule la médiane. N est l’effectif total de la série : – si N est impair, N = 2k + 1, alors Me = xk + 1 ; x +x – si N est pair, N = 2k, alors Me = k k + 1 2 l On calcule les quartiles. On cherche le premier entier j (resp. k) tel que : N 3N j > (resp. k >  ). 4 4 Alors Q1 = xj et Q3 = xk.

N = 11,75 donc le premier entier 4 supérieur ou égal à 11,75 est 12. Ainsi, Q1 = x12. La 12e valeur est 50 donc Q1 = 50. De même Q3 = x36 = 59. l D’où le diagramme en boîte suivant. l

l On repère ensuite sur un axe les valeurs remarquables : valeur minimale, Q1, Me, Q3, valeur maximale. On trace alors la boîte dont la longueur correspond à celle de [Q1 ; Q3], et les pattes.

2. On indique que : la boîte représente environ 50 % des valeurs autour de la médiane ; l les pattes représentent les valeurs en dehors de l’intervalle interquartile [Q1 ; Q3].

30 mini.

l



40

50 60 Q1 Me Q3

70

80 maxi.

2. Ainsi, dans environ 50 % des pays africains, l’espérance de vie se situe entre 50 et 59 ans, dans 25 % des pays elle ne dépasse pas 50 ans et dans les 25 % restants elle est supérieure à 59 ans.

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271

EXERCICES

Mise en pratique

1 Le tableau indique l’âge des vainqueurs La répartition des tailles est représentée par la des derniers Tours de France. 28

27

33

25

29

34

33

32

31

30

29

28

28

24

32

31

30

29

28

27

29

28

28

28

25

31

24

23

28

27

34

25

24

29

30

26

29

28

27

26

25

24

28

27

26

1. Quel est l’âge le plus fréquent de la série ?

courbe des fréquences cumulées croissantes suivante : f.c.c. (en %) 100

96 80 82 60

46

40

2. a) Déterminez la médiane et les quartiles. b) Représentez la distribution des âges par un diagramme en boîte.

20 0

c) Commentez cette répartition.

21 3 25

27

29

31

33

2 Le tableau indique les fréquences cumulées

35 37 Taille (en mm)

croissantes (f.c.c.) donnant la répartition des 1. Donnez par lecture graphique une estimation élèves d’un lycée suivant la distance d (en km) des quartiles et de la médiane. 2. a) Tracez le diagramme en boîte associé. entre le domicile et ce lycée. Distance d (en km)

SA. b) Résolvez cette inéquation puis concluez. c) À partir de quel pourcentage de cadres, la structure du personnel de l’entreprise B permet-elle d’obtenir un salaire moyen supérieur à celui de l’entreprise A. Commentaire

L’influence de la répartition du personnel (cadre/ouvrier) sur le calcul du salaire moyen dans l’entreprise est appelé « effet de structure ». Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

281

EXERCICES

Entraînement de tête

Paramètres d’une série

24 Voici pour les quinze premiers jours de septembre 2010 le relevé des précipitations P et celui des températures maximales T pour une station météo de la ville de Lille. Précipitations (en mm) 0,2 0,2 0,2

0

0

2,4 14,9

Température (en °C)

20

21

21

19

20

21

Précipitations (en mm) 16,5 0,4 0,2 Température (en °C)

2

0,4

0

22

5,1

0

16 21 20 24 20 20 19 18

1. Indiquez la médiane et les quartiles de la série des précipitations. 2. Même question avec la série des températures. 3. Quelle est à 1 mm près la précipitation moyenne sur cette période ? 4. Quelle est, à 1 °C près, la température maximale moyenne durant cette période ?

proposées, les tarifs en euros de deux agences qui organisent des week-ends de canyoning sur différents sites. l Agence A : 33-65-35-60-45-6062-65-65-55-130-40-100-65-4035-120-55-80-35-80. l Agence B : 34-70-35-55-90-5050-35-105-27-50-112-48-55-11270-35-105-50. 1. Représentez sur un même graphique chacune des séries par un diagramme en boîte. 2. Dites à quelles agences correspondent les informations suivantes : a) Trois quarts des tarifs dépassent 35 �. b) La moitié des tarifs ne dépasse pas 50 �.

25 Sur l’écran d’une calculatrice sont affichés les résultats suivants obtenus lors du traitement d’une série de notes.

c) Un quart des tarifs dépasse 65 �.

1. Quel est l’effectif ?

3. Commentez la dispersion des deux séries à partir de la comparaison des deux diagrammes.

d) La moitié des tarifs est entre 40 � et 65 �.

2. Quelle est la moyenne des carrés ? 3. Quel est l’écart-type de la série ?

Utiliser la notation S p

ai remplace l’écriture a1 + a2 + … + ap. S i =1

La notation 

5

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 S i =1

Par exemple : 

26 Explicitez puis calculez les sommes suivantes : 8

(2i + 1)   S i =0

a) 

b) 

10

S  k   k =1

6

1

j

S 1  j =0 2

c) 

27 Écrivez les sommes suivantes en utilisant Σ : a) S = 1 + 5 + 52 + … + 5p

b) T = 12 + 22 + 32 + … + n2

c) U = 10–1 + 10–2 + 10–3 + … + 10–p

28 Écrivez les sommes suivantes en utilisant Σ : a) S = 12 + 13 + … + 425

b) T = 1 + 3 + 5 + … + 251

c) U = 2 + 4 + 8 + … + 1 024

29 X est la suite des dix premiers nombres impairs. 1. Écrivez leur moyenne xx avec Σ. Combien vaut x ? x 2. Écrivez leur variance V avec Σ. Combien vaut V ? 3. On ajoute 1 à chaque valeur, on obtient la série X’. Que valent sa moyenne wx’ et sa variance V’ ?

282

30 Voici, suivant les activités

Nbre d'entreprises 31 La répartition des 400 346 entreprises du bâtiment suivant leur type (0 à 10 sala- 300 riés ; 11 à 20 ; plus de 20) est donnée sur le diagramme où 200 les effectifs sont indiqués en 100 16 milliers. 9 0 Les entreprises employant de 0 à 10 11 à 20 > 20 11 à 20 salariés ont un chiffre Nbre de salariés d’affaires moyen de 1,125 mil- (Source : Capeb.) lion d’euros ; elles réalisent 14 % du chiffre d’affaires total (CAT) des entreprises du bâtiment. Les entreprises de plus de 20 salariés réalisent 38 % du CAT.

1. Calculez le CAT arrondi à 1 million d’euros près. 2. Quel est le chiffre d’affaires moyen (à 1 millier d’euros près) des entreprises de plus de 20 salariés ? 3. Calculez le chiffre d’affaires moyen pour les entreprises de 0 à 10 salariés. 4. Comparez les différents chiffres d’affaires moyens.

32 Une coopérative laitière fabrique un fromage qui doit contenir, selon l’étiquette, 50 % de matière grasse. Un organisme de contrôle de qualité prélève 100 fromages afin d’analyser leur taux de matière grasse.

Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Taux Effectif

[45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[ 6

25

45

21

3

1. Calculez une valeur approchée du taux moyen xt et de l’écart-type s. 2. Une production de fromage peut être vendue sous l’appellation « 50 % de matière grasse » si les deux conditions suivantes sont remplies : l

d) Pour résumer la série de la population des communes du Nord est-il préférable d’utiliser le couple (moyenne ; écart-type) ou le couple (médiane ; écart interquartile) ? Justifiez votre choix.

35 Calcul de la variance

A L G O R IT

H M IQ U E

EXERCICES

Voici les résultats de l’analyse :

Avec Algobox, Chloé a écrit l’algorithme suivant afin de calculer la variance d’une série de notes.

50 appartient à l’intervalle 3xt – 0,3 ; xt + 0,34.

l Plus de 90 % des fromages analysés appartiennent à l’intervalle 3xt – 2s ; xt + 2s4. Que pensez-vous de la production de cette coopérative ?

33 Une entreprise A emploie 5 techniciens et 20  ouvriers. Une entreprise B emploie 42 personnes réparties entre techniciens et ouvriers. Pour chacune des entreprises le salaire moyen des techniciens est 2 760 � et celui des ouvriers 1 680 � mais dans l’entreprise B le salaire moyen est inférieur de 36 � à celui de A. 1. Calculez le salaire moyen dans l’entreprise A. 2. a) Déterminez la répartition des employés dans l’entreprise B. b) Comparez les fréquences des catégories techniciens dans les entreprises A et B. Le résultat était-il prévisible ?

On se propose de vérifier cet algorithme en le testant pas à pas, sur la série de notes : 12-16-7-11-9. 1. Quelle formule permet ici de calculer la variance ? 2. a) Complétez le tableau indiquant la valeur des variables lors des différentes étapes. Variable i

1

1

2

…

non déclaré

12

16

…

somme

0

12

28

…

somme_carrés

0

144

400

…

34 Sensibilité aux valeurs extrêmes

b) Quelle valeur sera affichée pour V ? 3. Déterminez à la calculatrice la variance de la série. Comparez avec le résultat obtenu. Concluez.

1. a) Ouvrez la feuille des communes et copiez en colonne A d’une nouvelle page, la colonne J donnant la population totale de chacune des 895 communes. b) Triez la série obtenue dans l’ordre croissant. 2. a) Complétez la feuille de calcul où P désigne la population d’une commune.

b) Comment évoluent la médiane et les quartiles ? En est-il de même pour la moyenne et l’écart-type ? c) Présentez la répartition des communes du Nord en utilisant la définition de la médiane et des quartiles.

…

x[ i ]

Apprendre à chercher, exercice 18.

Téléchargez sur le site Nathan le fichier Excel de la population du département du Nord (62). L’objectif est d’examiner l’évolution des différents indicateurs lorsqu’on modifie la série en éliminant quelques valeurs extrêmes.

Initialisation Étape 1 Étape 2

Choisir un résumé adapté 36 La répartition des cas d’infections à méningocoques suivant l’âge, en France en 2007, est représentée par la courbe des fréquences cumulées croissantes. f.c.c. (en %)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

87 76 68 53 39

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Âge (en années)

(Source : InVS.)

Chapitre 11 ● Statistiques « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

283

EXERCICES

1. Graphiquement, indiquez une valeur approchée de la médiane et des quartiles. 2. a) Dressez le tableau des fréquences. b) Déduisez-en une estimation de la moyenne et de l’écart-type. 3. Quels indicateurs vous semblent pertinents pour présenter la répartition de ces cas ?

37 Voici les résultats d’un test sur la durée de vie (en milliers d’heures) d’un lot de composants électroniques. d f.c.c. en %

85,5 et D > 16 » est réalisé. La tige est envoyée au rebut (événement noté R) si l’événement « D > 15,9 ou L > 84,5 » n’est pas réalisé. Calculez P(U) et P(R).

45 Un dispositif électronique commande l’allumage des fusées lors d’un feu d’artifice. Il envoie un code qui est un nombre aléatoire de six chiffres ne pouvant prendre que les valeurs 0 et 1. Exemple de code : 0 1 1 0 1 1 N est la variable aléatoire qui indique le nombre de 1.

b) Sur quel tarif moyen par adhérent peut compter ce club s’il renouvelle un grand nombre de fois ce type de sortie dans les mêmes conditions ?

47 Utiliser un tableau de probabilités Patrick, patron d’un chalutier, fait une sortie sur sa zone de pêche. Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons.

1. Dressez le tableau de la loi de probabilité de N. 2.  Calculez l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire N.

On note B et S les événements suivants : l B : « Il y a un banc de poissons sur sa zone » ; l S : « Le sonar détecte la présence de poissons ». Une étude statistique sur les sorties dans cette zone et sur la fiabilité du sonar a permis d’établir que : P(B) = 0,7 ;  P(S) = 0,575 ;  P(B ∩ S) = 0,56.

46 Un club de randonnée propose à ses adhérents une sortie payante suivant les tarifs indiqués ci-après. A (adultes)

J (jeunes)

E (enfants)

Sortie

20 �

13 �

7�

Repas

12 �

7�

4�

Catégorie

1. a) Dans le tableau de probaS wS bilités ci-contre : B 0,56 0,7 – la probabilité de B est indiwB quée en bout de ligne ; – la probabilité de S est indi0,575 1 quée en bas de colonne ; – à l’intersection de la ligne de B et de la colonne de S, on indique la probabilité de B ∩ S. Pour chaque ligne et chaque colonne, la case blanche est la somme des cases mauves. Complétez le tableau. b) Énoncez l’événement wB ∩ S et donnez sa probabilité. Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire

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307

EXERCICES

2. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve dans l’une des situations ci-dessous. l Situation 1 : un banc est présent et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas, le gain estimé est de 2 000 �. l Situation 2 : il n’y a pas de banc de poissons, mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas, on estime la perte à 400 �. l Situation 3 : le sonar ne détecte rien. Le bateau rentre à quai et on estime la perte à 150 �. X est la variable aléatoire donnant le gain algébrique pour une sortie en mer.

pour l’année. En outre, le club organise chaque année une journée de rencontre, notée R, pour laquelle une participation de x euros (0 < x < 40) par participant est demandée. Un tiers des adhérents de L, un quart de ceux de A et la moitié de ceux de C participent à cette journée. 1. Complétez le tableau de répartition des adhérents en inscrivant les pourcentages qui conviennent. L R

Utilisation des paramètres d’une variable aléatoire 48 Un jeu de hasard est constitué d’un dispositif allumant de façon aléatoire une case, et une seule, d’un tableau lumineux dont les ampoules sont rouges (R), vertes (V), bleues (B) ou violettes (V).

5 % 20 %

100 %

Aide Pour le remplissage du tableau, voir l’exercice 47.

2. On interroge au hasard un membre du club. On appelle S la variable aléatoire qui à chaque adhérent associe le montant annuel à verser au club (cotisation plus participation éventuelle à la rencontre). a) Quelles sont les valeurs prises par S ? b) Indiquez la loi de probabilité de S. c) Calculez, en fonction de x, l’espérance E(S). d) À quel prix le directeur du club doit-il fixer la participation à la journée de rencontre s’il veut que le coût moyen par adhérent ne dépasse pas 90 euros ?

L’exploitant donne au client un jeton, servant à actionner le mécanisme, dont il peut fixer à sa guise la valeur a en euros. Le joueur gagne 80 � si le rouge clignote, 50 � si c’est le vert, rien du tout s’il s’agit du violet et perd 10 fois la valeur du jeton si c’est le bleu. X est la variable aléatoire donnant le gain algébrique en euros du joueur pour une partie.

50 Une marque de téléphone portable propose deux options sur ses appareils, le GPS (noté G) et le Wifi (noté  W). Sur l’ensemble de sa gamme, 40 % des téléphones possèdent l’option G, 70 %, l’option W et 24 %, les deux à la fois. On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque. On suppose que tous les appareils ont la même probabilité d’être choisis.

1. Trouvez la loi de probabilité de X.

1. a) Calculez P(G ∪ W).

2. a) Calculez a pour que le jeu soit équitable.

b) Déduisez-en la probabilité qu’un téléphone n’ait aucune des deux options.

L'ampoule rouge est allumée.

b) Comment l’exploitant a-t-il intérêt à fixer la valeur a du jeton ?

49 Un club de natation propose à ses adhérents trois types d’activités : la compétition (C), le loisir (L) et l’aquagym (A). Chaque adhérent ne peut pratiquer qu’une seule de ces activités. Voici la répartition des adhérents suivant l’activité choisie : l L : 30 %   l A : 20 %   l C : 50 % L’adhésion à la section L ou à la section A coûte 60 � tandis que l’adhésion à la section C revient à 100 �

308

C

wR

a) Donnez la loi de probabilité de X. b) Patrick effectue de nombreuses sorties. Quel gain moyen par sortie peut-il espérer ?

A

2. Pour le fabricant, le coût de revient par téléphone de l’option G est de 12 euros et celle de l’option W, de 6 �. On note X la variable aléatoire qui indique ce coût par appareil. a) Déterminez la loi de probabilité de X. b) Calculez E(X). c) Déduisez-en une estimation du coût de revient total de l’équipement de 200 000 appareils dans les mêmes conditions.

Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Au jeu de la roulette, les 37  issues 0, 1, 2, …, 36 sont équiprobables.

b) Calculez E(V). 3. La commerçante a engagé une somme de 540 � pour la promotion. Quel chiffre d’affaires, promotion déduite, peut-elle espérer réaliser sur la vente de 250 chemisiers ?

EXERCICES

a) Dressez le tableau de la loi de probabilité de V.

51 À la roulette

53 Un magasin dans une station de sports d’hiver loue des skis de piste (Sp), des snowboards (Sn) et des skis de randonnée (Sr).

On se propose de comparer trois stratégies de jeu. l Stratégie 1 : un joueur mise 10 � sur « rouge ». Si un numéro rouge sort, il reçoit le double de sa mise ; sinon, il perd sa mise. l Stratégie 2 : il mise 10 � sur un numéro. S’il sort, il reçoit 36 fois sa mise ; sinon, il perd sa mise. 12 l Stratégie 3 : il mise 10 � sur l’événement P qui correspond à la sortie de l’un des numéros 1, 2, …, 12. Si cet événement est réalisé, il reçoit le triple de sa mise ; sinon, il perd sa mise. 1. Pour chacune des stratégies : a) donnez la loi de probabilité de la variable aléatoire qui indique le gain algébrique du joueur ; b) calculez l’espérance mathématique et la variance. 2. Comparez les espérances et les variances. Quelle interprétation faites-vous concernant le gain moyen et la possibilité de « gagner une grosse somme » ?

52 Une boutique de vêtements démarqués a reçu un lot important, noté S, de chemisiers en coton. La responsable constate que ces chemisiers peuvent présenter deux types de défaut : l 4 % des chemisiers ont un défaut de coloris ; l 3 % des chemisiers ont un bouton manquant. Cependant, 95 % des chemisiers sont sans défaut. Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considère les événements suivants : l B : « le chemisier a un bouton manquant » ; l C : « le chemisier a un défaut de coloris ». 1. a) Reproduisez puis complétez ce diagramme. S B

C

b) Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ C ? 2. Le prix de vente d’un chemisier sans défaut est de 40 �. La boutique fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul défaut et une remise de 50 % s’il a les deux défauts. V est la variable aléatoire qui indique le prix de vente, en euros, d’un chemisier.

Voici la répartition de son matériel : l S : 48 %   l S : 24 %   l S : 28 % p n r Après une journée de location, les skis sont contrôlés et éventuellement réparés. Il a été constaté que : l 28 % du matériel est du type S et en parfait état ; p l 14 % est du type S et en parfait état ; n l 8 % est du type S et doit être réparé. r Le matériel est répertorié dans un fichier informatique. On ouvre au hasard une des fiches. On note R l’événement : « le matériel nécessite réparation ». 1. Calculez les probabilités : l P(R ∩ S )   l P(R ∩ S )   p n

l

P(R ∩ Sr)

Aide Utilisez un tableau (voir l’exercice 49).

2. Voici la répartition des frais moyens de réparation : l type S : 22 �   l type S : 26 �   l type S : 15 �. p n r On note X la variable aléatoire qui indique le coût de réparation après une journée de location. a) Déterminez la loi de probabilité de X. b) Le matériel est loué 30 � par jour. Quelle somme moyenne peut espérer gagner le magasin par paire de skis ou snowboard loués ?

54 Une extension de garantie Une entreprise vend des ordinateurs sur Internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement. Elle propose, en option, une extension de garantie payante de deux ans supplémentaires. 1. Une étude faite sur un échantillon de 1 000 ordinateurs vendus par cette entreprise montre que : l 12 ordinateurs ont été réparés au cours de la deuxième année (événement R2) ; Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

309

EXERCICES

l 25 ordinateurs ont été réparés au cours de la troisième année (événement R3), dont 4 qui avaient déjà été réparés l’année précédente. Quel est le nombre d’ordinateurs appartenant à : l R ∩ R  ?   l R ∩ wR  ?   l wR ∩ R  ?   l wR ∩ wR  ? 2 3 2 3 2 3 2 3 On admet par la suite que cette répartition modélise ce qui se produit pour l’ensemble des ordinateurs.

Y est la variable aléatoire donnant le nombre d’opérations nécessaires pour ranger la fiche x à sa place.

2. Selon les chiffres de l’entreprise, si un ordinateur vendu sans extension de garantie tombe en panne, le coût moyen de réparation est de : l 150 e si la panne a lieu la deuxième année ; l 200 e si la panne a lieu la troisième année. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par cette entreprise, associe le coût moyen de réparation (en e), pour l’acheteur, au cours des trois premières années.

56 Une promenade aléatoire

a) Déterminez la loi de probabilité de X. b) Calculez E(X). c) L’entreprise propose l’extension de garantie payante de deux ans supplémentaires au tarif de 30 e. L’acheteur a-t-il intérêt à prendre l’extension de garantie ?

55 Deux façons de ranger son classeur Un classeur contient huit fiches a1 , a2 , …, a8 rangées dans l’ordre alphabétique. On veut insérer dans ce classeur une neuvième fiche, notée x, en respectant l’ordre alphabétique. Neuf cas sont alors possibles : avant a1 , entre a1 et a2 , …, entre a7 et a8 , après a8. On adopte les notations suivantes : l x < a si la fiche x est avant la fiche a  ; 1 1 l

ai < x < ai+1 si la fiche x est entre ai et ai+1 ;

x > a8 si la fiche x est après la fiche a8. On se propose d’étudier deux méthodes de rangement. l

1. Méthode A l On compare x à a : si x < a  , on place x en tête. 1 1 l Sinon, on compare x à a : si a < x < a  , on place x 2 1 2 entre a1 et a2. l Sinon, on compare x à a  , et ainsi de suite. 3 X est la variable aléatoire donnant le nombre d’opérations nécessaires pour ranger la fiche x à sa place. Déterminez la loi de X puis calculez E(X). 2. Méthode B On ouvre le fichier en son milieu. On compare x à a4 et a5 : si a4 < x < a5, on place x. l Sinon on connaît la partie où doit se ranger x. On ouvre ce « demifichier » en son milieu et a1 a2 a a 3 4 on poursuit le processus. l

310

a5 a6 a7

a8

a) Vérifiez que Y prend les valeurs 1, 2 et 3. b) Déterminez la loi de Y puis calculez E(Y). 3. Comparez les espérances mathématiques de X et Y. Qu’en déduisez-vous quant à ces deux méthodes ?

Un point M peut se déplacer sur un quadrillage, d’un pas (c’est-à-dire d’un carreau), M dans l’une des quatre direc1 tions. Les déplacements O 1 possibles se font au hasard (ils sont équiprobables). Au départ, M est en O. M se déplace jusqu’à ce qu’il sorte du disque de centre O et de rayon 5 pour la première fois. On appelle alors N la variable aléatoire qui indique le nombre de pas effectués. On se propose d’utiliser un algorithme pour calculer des valeurs prises par N, puis pour estimer les probabilités des événements suivants. l « N  15 »   l « 15 < N  30 »   l « N > 30 » Protocole On code par 0 un déplacement d’un pas vers la droite ; par 1 un déplacement vers la gauche ; par 2 un déplacement vers le haut ; par 3 un déplacement vers le bas. Exemple. Le trajet représenté se code 0211202003. Chaque déplacement se traduit par une relation sur les coordonnées (x ; y) du point M. Code

Déplacement

Relation

0

1 pas vers la droite

x devient x + 1

1

1 pas vers la gauche

x devient x – 1

2

1 pas vers le haut

y devient y + 1

3

1 pas vers le bas

y devient y – 1

1. Complétez l’algorithme. Variables x,y,N,Z Algorithme x ← 0 : y ← 0 : N ← 0 Tant que ...... faire N ← N+1 Z ← nombre entier au hasard entre 0 et 3 Si Z = 0 alors x ← x + 1 FinSi Si Z = 1 alors ...... FinSi Si Z = 2 alors ...... FinSi Si Z = 3 alors ...... FinSi FinTant Afficher N

Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Dire que M(x ; y) appartient au disque de centre O et de rayon 5 signifie que OM  5. Cette condition équivaut à OM2  52 soit x2 + y2  25. 2. Programmez cet algorithme sur votre calculatrice. Organisez-vous en classe pour obtenir une série de 1 000 valeurs. Déduisez-en les fréquences expérimentales fexp , sur l’échantillon de taille 1 000, des événements : l « N  15 »   l « 15 < N  30 »   l « N > 30 »

Prendre toutes les initiatives 58 Le bon régime Un moteur électrique possédant trois bornes B1 , B2 et B3 , doit être alimenté en électricité par trois fils, chaque fil étant relié à une borne identifiée. B1 B2 B3 fils

3. Déterminez pour chaque événement l’intervalle de confiance au seuil de 95 % de leur probabilité. Commentez vos résultats. Rappel

1 1  ; f + 1n exp 1n où n est la taille de l’échantillon sous les conditions n > 25 et 0,2 < fexp < 0,8.

3

L’intervalle de confiance au seuil de 95 % est fexp –

ROC

4

Restitution organisée de connaissances

57 Prérequis X est une variable aléatoire définie sur un univers E muni d’une loi de probabilité P. E prend k valeurs x1 , x2 , …, xk . On note pi la probabilité de l’événement « X = xi ». Alors : k k 2 E(X) =  pi xi  et  V(X) =  pi xi2 – 3E(X)4 .

S i =1

S i =1

A. Démonstration On considère la nouvelle variable aléatoire Y qui à chaque issue donnant la valeur xi associe le nombre yi défini par yi = 6 – xi. Démontrez que : E(Y) = 6 – E(X)  et  V(Y) = V(X). B. Application Une pièce de bois est peinte puis découpée en petits cubes de même arête qu’on place dans un sac. (Voir l’activité 1, p. 293.) On tire au hasard un cube du sac. 1. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de faces peintes du cube obtenu. a) Déterminez la loi de X. b) Calculez E(X) et V(X). 2. On définit une nouvelle variable aléatoire Y en associant à chaque cube tiré, son nombre de faces non peintes. a) Quelle relation lie Y et X ? b) Déduisez-en l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Y.

EXERCICES

Aide

Si les trois fils sont correctement branchés, le moteur tourne à 1 000 tours par minute ; si un seul fil est branché à la bonne borne, le moteur tourne à 500 tours par minute ; sinon, le moteur ne tourne pas. On a perdu le schéma de montage et on fait le branchement au hasard. Quelle est la loi de probabilité de la vitesse de ce moteur ?

59 La meilleure stratégie Dans une urne sont placées dix boules indiscernables, cinq blanches et cinq noires. Une expérience consiste à tirer, successivement et au hasard, deux boules de l’urne. On s’intéresse à l’événement : « obtenir au moins une boule blanche ». l Stratégie 1 : on tire les deux boules avec remise. l Stratégie 2 : on tire les deux boules sans remise. Quelle est la stratégie qui donne les meilleures chances de réalisation de cet événement ?

60 Une moyenne de points Dans un jeu de fléchettes, la cible est constituée de disques de rayons respectifs 5, 10 et 15 centimètres. Un joueur atteint tou100 jours la cible, et on admet 40 que la probabilité qu’il atteigne une zone de cette 10 cible est proportionnelle à l’aire de cette zone. Ce joueur s’entraîne tous les jours. Quel nombre moyen de points peut-il espérer obtenir lors d’une séance d’entraînement ?

61 Quel jeu choisir ? On lance deux dés équilibrés. On considère les jeux suivants. l Jeu 1 : on gagne 8 � s’il sort au moins un 5 ou un 6 ; sinon, on perd 10 �. l Jeu 2 : on gagne 350 � si le double 6 sort ; sinon, on perd 10 �. Auquel de ces jeux préférez-vous jouer ? Justifiez. Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

311

EXERCICES

Approfondissement 62 Au cirque Sept chevaux pénètrent successivement sur la piste. Parmi eux, trois sont blancs, les autres sont bais. L’ordre d’apparition des chevaux est choisi au hasard.

1. On note X la variable aléatoire qui donne le rang d’entrée du premier cheval blanc. Définissez la loi de probabilité de X. 2. Sur un grand nombre de représentations, en moyenne, quel est le rang d’apparition du premier cheval blanc ?

63 Composition d’une urne pour un jeu équitable On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient 8 boules blanches et n boules noires. Les boules sont indiscernables. Un joueur tire avec remise deux boules de l’urne. Il examine leur couleur. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 5 �, et pour chaque boule noire tirée, il perd 10 �. On note G la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur sur un tirage. 1. Définissez, en fonction de n, la loi de probabilité de G. 2. a) Exprimez, en fonction de n, l’espérance E(G). b) Existe-t-il une valeur de n telle que le jeu soit équitable ?

64 Au stand de tir Quatre cibles numérotées 1, 2, 3, 4 défilent sur une zone de tir. Quatre tireurs A, B, C, D choisissent alors une cible au hasard et tirent simultanément, sans échec. On se propose de déterminer, en moyenne, le nombre de cibles intactes. Le résultat d’une expérience est noté par un quadruplet (x ; y ; z ; t) de nombres pris parmi 1, 2, 3 ou 4. Ces nombres indiquent les cibles choisies par les quatre tireurs. Tous ces résultats sont équiprobables. On appelle X la variable aléatoire qui indique le nombre de cibles intactes. 312

21 . 64 2. a) Définissez la loi de probabilité de X.

1. Prouvez que P(X = 2) =

b) Calculez E(X) puis concluez.

65 Un problème d’éditeur Une revue est proposée sous deux versions : – une version papier ; – une version numérique consultable sur Internet. L’éditeur a chargé un centre d’appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels. Le centre d’appel contacte au hasard une personne de cette liste. On considère les événements suivants : l I : « La personne s’abonne à l’édition imprimée » ; l N : « La personne s’abonne à l’édition numérique ». Une étude a montré que la probabilité que la personne : – s’abonne à l’édition imprimée est de 0,2 ; – s’abonne à l’édition numérique est de 0,16 : – ne s’abonne à aucune des deux versions est de 0,72. Pour chacune des personnes contactées, l’éditeur verse au centre d’appel : l 2 �, si la personne ne s’abonne pas ; l 10 �, si elle s’abonne à la seule édition numérique ; l 15 �, si elle s’abonne à la seule édition imprimée ; l 20 �, si elle s’abonne aux deux éditions. On note X la variable aléatoire qui indique la somme reçue par le centre d’appel pour une personne contactée. 1. Déterminez la loi de probabilité de X. 2. Donnez une estimation de la somme perçue par le centre d’appel s’il parvient à contacter 5 000 lecteurs potentiels.

66 Une espérance maximale Une urne contient n jetons indiscernables dont sept sont verts et les autres rouges. On y prélève, successivement et sans remise, deux jetons. 1. Dans cette question, on suppose que n = 10. Calculez les probabilités des événements suivants : l A : « Les deux jetons sont verts » ; l B : « Les deux jetons sont de la même couleur » ; l C : « Le premier jeton est vert et le second est rouge » ; l D : « Les deux jetons ont des couleurs différentes ». 2. Dans le cas général, n est un entier naturel tel que n > 9. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de couleurs obtenues lors du tirage. a) Définissez, en fonction de n, la loi de probabilité de X. b) Vérifiez que l’espérance de X est telle que : n2 + 13n – 98 . E(X) = n(n – 1) c) Déterminez n afin que cette espérance soit maximale.

Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1. Expérimenter a) Créez une page de calcul dans un tableur, suivant le modèle ci-dessous.

68 Somme de deux variables aléatoires E = {e1 ; e2 ; … ; ek} est l’univers associé à une expérience aléatoire. X et Y sont deux variables aléatoires définies sur E : X associe à chaque issue ei le nombre xi et Y le nombre yi. (Les valeurs xi (ou yi ) ne sont pas nécessairement toutes différentes.) On définit la variable aléatoire « somme », notée X + Y, en associant à chaque issue ei le nombre xi + yi . On note pi la probabilité de chaque issue ei (1  i  k). 1. Justifiez que E(X) = 

EXERCICES

67 Simulation On se propose de simuler 400 fois l’expérience de l’exercice 64 « Au stand de tir » et de calculer la moyenne du nombre de cibles intactes.

k

pi xi . S i =1

2. Démontrez que E(X + Y) = E(X) + E(Y). 3. Application Un processus aléatoire affiche l’un des chiffres 1, 2, 3, 4 dans les cases successives d’un écran. On se propose de trouver l’espérance mathématique de la variable aléatoire X donnant le nombre de chiffres non utilisés dans l’écriture du nombre de l’écran. On définit les variables aléatoires Mi (1  i  4) par Mi prend la valeur 1 si le chiffre i manque, 0 sinon. Par exemple : M2 vaut 1 si le chiffre 2 manque, 0 sinon. a) Justifiez que M1 + M2 + M3 + M4 = X. b) Calculez l’espérance mathématique de M1. Indiquez alors les espérances de M2, M3 et M4. b) Numérotez les séances de tir de 1 à 400 (plage B1:OK1). c) Sur la plage B4:B7, on affiche le tir aléatoire sur une cible numérotée de 1 à 4. Complétez chaque cellule par la formule adéquate. Copiez alors vers la droite le contenu de la plage B4:B7 jusqu’en OK4:OK7. d) Sur la plage B10:B13, on affiche le nombre d’impacts par cibles, ce qui correspond au nombre de tireurs ayant choisi la cible. Saisissez en B10 : =NB.SI(B$4:B$7;$A10). Que signifie cette instruction ? Copiez-la vers le bas jusqu’en B13, puis vers la droite jusqu’à la plage OK10:OK13. e) Sur la ligne 15, on affiche pour chaque série de tirs le nombre de cibles non touchées. Quelle instruction doit-on saisir dans la cellule B15 ? Copiez cette formule vers la droite jusqu’en OK15. f) On affiche en B17 la moyenne des cibles intactes après cette simulation de 400 séances de tir. 2. Comparer Faites de nouvelles simulations (  F9 ou Ctrl + + F9  ). Comparez le résultat avec l’espérance mathématique obtenue dans l’exercice 64 . 3. Prolongement. Simulez dans les mêmes conditions une séance avec dix tireurs et dix cibles. On obtient ainsi une estimation de l’espérance de la variable aléatoire X, que vous ne savez pas obtenir simplement par le calcul. Interprétez l’estimation de cette expérience.

c) Utilisez le résultat du 2. pour en déduire E(X).

Prendre toutes les initiatives 69 Un problème d’alignement On place successivement, au hasard, trois jetons sur des cases 3 différentes de cette grille. 2 On considère la variable aléatoire X définie de la manière suivante : 1 A B C l X prend la valeur 20 si les jetons sont en ligne ou en colonne ; l X prend la valeur a si les jetons sont alignés en diagonale ; l X prend la valeur –2 si les jetons ne sont pas alignés. Pour quelle valeur de a l’espérance de X vaut-elle 0 ? 70 Arrêt au feu Sur son trajet habituel domicile-lieu de travail, une automobiliste rencontre deux feux tricolores. On a pu évaluer qu’elle a : l une chance sur trois d’être arrêtée au premier feu ; l cinq chances sur douze d’être arrêtée au second feu ; l une chance sur trois de passer les deux feux sans s’arrêter. La durée du trajet si les feux sont au vert est de 9  minutes. Chaque arrêt à un feu la pénalise de 1,5 minute. Quelle est la durée moyenne du trajet ? Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire

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313

EXERCICES

Travail en autonomie L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Visites au CDI

D Des petits bateaux

La fréquentation mensuelle du CDI d’un lycée suivant le niveau des élèves est indiqué ci-dessous. Niveau

Seconde

Première

Nombre de visites

0

2

0

1

2

3

Effectif

56 140 84

10

60

70

60

Niveau

1

Terminale

Nombre de visites

0

1

2

3

Effectif

18

70

38

54

On interroge un élève choisi au hasard et on note : A : « l’élève est en Première » ; B : « l’élève vient une fois par mois au CDI » ; C : « l’élève vient au moins deux fois par mois au CDI ». 1. Calculez les probabilités indiquées. 1 a) P(A ∩ B)   b) P(A ∪ B)     c) P(C) 2. On note V la variable aléatoire qui indique le nombre de visites mensuelles au CDI. a) Dressez le tableau de la loi de probabilité de V. b) En moyenne, quel est le nombre de visites que fait un élève au CDI durant un mois ? 2

B Au café théâtre Un café-théâtre propose chaque soir un spectacle. Pour attirer les spectateurs, le gérant organise un jeu à l’entrée. Chaque personne lance un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6. l S’il obtient 6, l’entrée est gratuite ; l s’il obtient 1, l’entrée est demi-tarif ; l sinon, le client paie plein tarif, soit 20 e. 1. Quel est, en moyenne, le prix que peut espérer payer un client durant la campagne de promotion ? 3 2. Avant la promotion, le prix unique était 20 e et le gérant avait en moyenne 80 clients par jour. Depuis la promotion, la clientèle a augmenté de 40 %. Le gérant peut-il espérer de meilleures recettes ? 4

C Un jeu équitable

5

Une urne contient n jetons (n > 5) indiscernables : deux verts, un bleu, les autres jetons sont rouges. Un jeu consiste à extraire au hasard, l’un après l’autre et sans remise, deux jetons de l’urne. À chaque tirage, on gagne 10 e pour un jeton vert, 4 e pour un jeton bleu mais on perd 3 e pour un jeton rouge. Quelle doit être la composition de l’urne pour que le jeu soit équitable ?

314

Une entreprise fabrique des maquettes radiocommandées d’un modèle de porte-avions. Ces maquettes peuvent présenter deux types de défauts : – un défaut E dans le circuit électrique ; – un défaut M de nature mécanique. Les contrôles de qualité sur des échantillons de la production, ont permis d’établir que : l 90 % des maquettes sont sans défaut ; l 8 % ont le défaut M ; l 7 % ont le défaut E. Le coût de fabrication d’une maquette est de 600 e. La garantie permet de faire des réparations au frais du fabricant selon les tarifs suivants : l 100 e pour réparer le seul défaut M ; l 130 e pour réparer le seul défaut E ; l 210 e pour réparer les deux défauts M et E. On note X la variable aléatoire qui, à chaque maquette choisie au hasard dans la production, associe son prix de revient (coût de fabrication + frais de réparation). 1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

6

2. On admet que toutes les maquettes sont vendues. Le fabricant veut réaliser un bénéfice moyen par maquette de 85 e. Quel doit être le prix de vente d’une maquette ? 7

E En promotion Au rayon « image et son » d’un grand magasin, un téléviseur et un lecteur DVD sont en promotion pendant une semaine. Une personne se présente au rayon. Des études statistiques permettent d’estimer que la probabilité : l qu’elle achète le téléviseur (T) est 0,60 ; l qu’elle achète le lecteur DVD (L) est 0,46 ; l qu’elle n’achète ni l’un ni l’autre est 0,36. Avant la promotion, le téléviseur coûtait 600 e et le lecteur DVD, 240 e. Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15 % pour l’achat d’un seul des deux appareils et de 25 % pour l’achat des deux appareils. On note D la variable aléatoire qui indique la dépense effective (en e) de cette personne. 1. Quelle est la loi de probabilité de D ?

8

2. La responsable du rayon prévoit qu’il se présentera dans la semaine 120 personnes intéressées. Quel chiffre d’affaires (en e) peut-elle espérer réaliser durant cette semaine ? 9

Chapitre 12 ● Probabilités : variable aléatoire « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CHAPITRE

Probabilités : loi binomiale

D’un siècle à un autre Au début du xviiie siècle, Jacob Bernoulli consolide les bases du calcul des probabilités dans son œuvre majeure : le traité Ars Conjectandi. Mais ce calcul n’a été introduit que récemment en biologie pour la détermination de génomes ancestraux. Il est actuellement un des axes privilégiés de recherche pour la reconstruction d’arbres phylogénétiques à partir de données moléculaires. Ces méthodes probabilistes ont pour but de mettre en évidence les éventuels ancêtres communs.

En savoir plus sur Jacob Bernoulli Chercheurs d’hier p. 333

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ACTIVITÉS

Activité 1

Simulation de la loi du nombre de succès

TICE

Une expérience consiste à lancer trois fois de suite un dé cubique parfait. On s’intéresse alors au nombre de fois où le numéro 6 est sorti lors des trois lancers. Durant d’une expérience, le numéro 6 peut sortir 0, 1, 2 ou 3 fois. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de succès (sortie du 6) au terme des trois lancers. Nous allons simuler n fois (n  2 500) cette expérience en mesurant les fréquences de réalisation des divers événements du type « X = k » au cours de ces n expériences. Protocole de simulation l

Lors d’un lancer, on affiche 1 (succès) lorsque le numéro 6 sort ; sinon, on affiche 0.

Au terme des trois lancers, le nombre de succès correspond à la somme des 1 obtenus. Ainsi, X ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2 ou 3. l

La fréquence de réalisation d’un événement du type « X = k » au cours de n expériences est le rapport : nombre de réalisations de k succès . nombre d’expériences l

1 a) Ouvrez une feuille de calcul puis complétez les cellules A2, B2, C2, D2 et E2.

outil 10

Aide

Dans B2, C2 et D2 : =SI(ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)=6;1;0). Dans E2 : =SOMME(B2:D2).



b) Faites afficher la fréquence de réalisation de chaque événement au cours de ces n lancers. Aide



Dans F2, on calcule la fréquence de l’événement « X = 0 » : =NB.SI(E$2:E2;0)/$A2. Dans G2, H2 et I2 : adapter la formule précédente.

c) Sélectionnez la ligne 2 puis recopiez vers le bas jusqu’à la ligne 2501 pour obtenir une simulation de 2 500 expériences.

2 a) Faites afficher un graphique représentant les fréquences

des divers événements en sélectionnant les colonnes A, F, G, H et I. Aide



Type de diagramme XY, option Lignes seules.

outil 11

b) Utilisez « la loi des grands nombres » pour donner une estimation de la probabilité de chacun des événements « X = k ».

activité 2, chapitre 12, page 293

Conclusion Les valeurs obtenues de P[X = k] donnent une estimation de la loi de probabilité de X, appelée loi du nombre de succès.

316

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

ACTIVITÉS

Activité 2

La planche de Galton

La planche de Galton est un dispositif inventé par Sir Francis Galton (1822-1911). Il est constitué d’une planche où sont plantés des clous disposés en quinconce. Une bille lâchée sur la planche décrit un chemin en passant soit à gauche soit à droite du clou, avec la même probabilité, et termine sa course dans un bac.

A B

C

D

E

G 0

Le schéma ci-contre représente ce dispositif pour une expérimentation à quatre niveaux (quatre rangées de clous).

1

F

H

I

J

2

3

4

1 Représentez par un arbre les différents chemins possibles pour une bille lâchée au-dessus du clou A.

0,4

2 On associe à chaque chemin une issue correspondant à l’un des

bacs numérotés 0, 1, 2, 3 ou 4. Tous les chemins sont équiprobables. Déterminez la probabilité de chacune des issues. Remarque



Les résultats que vous avez obtenus peuvent être représentés sous la forme d’un diagramme en bâtons (voir ci-contre). Cette représentation est associée à une loi de probabilité appelée loi binomiale.

Activité 3

Probabilités

0,3 0,2 0,1 0,0

0

1

2

3 4 N° du bac

Échantillonnage et prise de décision

Note



Faire cette activité nécessite d’avoir vu le cours sur la loi binomiale.

1 Problématique Au Pays basque, un médecin veut savoir si le pourcentage d’habitants de la région appartenant au groupe sanguin O– correspond à la valeur de 6 %, connue pour la population globale en France métropolitaine. Pour le vérifier, il constitue, au hasard, un échantillon de 100 habitants de la région et détermine leur groupe sanguin. Il constate que 19 personnes appartiennent au groupe O–. Ainsi, la fréquence de l’événement « la personne est O– », observée sur cet échantillon, est f = 0,19. Comment ce médecin peut-il répondre à la question qu’il se pose à l’aide de cette valeur observée f ?

2 Analyse de la situation l L’échantillon est prélevé au hasard et la population est suffisamment importante pour que l’on puisse considérer qu’il s’agit d’un tirage avec remise de n personnes. l Si la proportion du caractère O– était p = 0,06, la constitution de l’échantillon serait un schéma de Bernoulli de taille 100, associé à l’épreuve dont les issues sont S et xS, avec S : « la personne est O– », de probabilité p = 0,06. La variable aléatoire X, qui indique le nombre de personnes O– dans un échantillon de 100 personnes, suivrait alors une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,06. On suppose donc que p = 0,06. Comment juger de la validité de cette hypothèse à partir de l’observation de f ? Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

317

ACTIVITÉS 3 Mise en place d’un protocole de prise de décision l On choisit de fixer le seuil de décision à 5 %. l On cherche alors deux nombres entiers a et b (a < b) entre 0 et 100 tels que la variable aléatoire X vérifie les conditions ci-dessous. P(X < a) ≈ 2,5 %

a

0



P(X > b) ≈ 2,5 %

b

100

P(a  X  b) ≈ 95 %

La loi de X est représentée par le diagramme en bâtons ci-dessous. On adoptera les définitions de a et b indiquées. Ainsi, P(a  X  b) est d’au moins 95 %. P (X = k)

0,20

a est le plus petit entier tel que : P(X  a) > 0,025.

0,15

b est le plus petit entier tel que : P(X  b) > 0,975.

0,10 0,05 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95 100

4 a) Reproduisez puis complétez à l’aide de la calculatrice le tableau des probabilités cumulées de X. k



0

1

2

3

…

10

11

12

P(X  k)

b) Déduisez-en les valeurs des nombres entiers a et b.

13

outil 12 outil 13

5 On définit alors l’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence selon la loi binomiale par : I=

3 na  ; nb 4, où n est la taille de l’échantillon.

En supposant que p = 0,06, on sait, avant de prélever un échantillon aléatoire de taille 100, que la fréquence de personnes du type O– dans un tel échantillon appartient à I avec une probabilité d’au moins 0,95. Autrement dit, si l’hypothèse est vraie, il y a moins de 5 % de chances de prélever un échantillon aléatoire de taille 100 pour lequel la fréquence du caractère étudié est en dehors de l’intervalle I. Indiquez l’intervalle de fluctuation d’une fréquence sur un échantillon de taille n = 100.

6 On utilise alors la règle de décision suivante : si la fréquence observée appartient à I, on accepte

l’hypothèse p = 0,06 dans la population basque ; sinon, on la rejette. Quelle décision va-t-on prendre à partir de la fréquence observée sur l’échantillon du médecin ?

Problème ouvert

Refaites cet exercice après le chapitre ... Est-il plus facile ?

Une tombola a lieu une fois par semaine. Sur cent billets, trois sont gagnants. Chaque billet coûte 2 e. Anna prévoit d’acheter dix billets la même semaine alors que Boris envisage lui d’acheter un billet pendant dix semaines. Quelle est la meilleure stratégie pour obtenir au moins un billet gagnant ?

318

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

1

Répétition d’épreuves identiques et indépendantes Parfois, une expérience aléatoire consiste à répéter n fois une même expérience appelée épreuve. Dans ce chapitre, on sera toujours dans le cas où l’issue d’une épreuve ne dépend pas des issues des épreuves qui l’ont précédée. On dit alors que ces épreuves sont indépendantes.

1.1 Étude d’un exemple : tirage avec remise Une urne contient cinq boules indiscernables : deux bleues, deux rouges et une noire. L’expérience aléatoire étudiée ici consiste à tirer au hasard successivement deux boules de l’urne avec remise et à noter les couleurs obtenues.

Définition de l’épreuve Analysons le protocole. On remet la boule après le premier tirage, donc la composition de l’urne lors du second tirage est identique à celle rencontrée lors du premier tirage. Cette expérience est donc la répétition de l’épreuve « tirer au hasard une boule dans l’urne et noter sa couleur ». On répète cette épreuve deux fois. De plus, le résultat du second tirage ne dépend pas de l’issue du premier : les deux épreuves (1er tirage et 2e tirage) sont indépendantes. Attention, il n’en serait pas de même lors d’un tirage sans remise.

Calcul des probabilités lors d’une épreuve L’univers associé à chaque épreuve est l’ensemble des cinq boules qui ont toutes la même proba1 bilité d’être tirées. Les événements B (boule bleue), R (boule rouge) et N (boule noire) ont donc 5 2 2 1 respectivement pour probabilités , et . 5 5 5

Construction de l’arbre associé à l’expérience aléatoire. L’expérience aléatoire peut être illustrée par un arbre dit pondéré qui permet le calcul des probabilités. Pour réaliser l’arbre pondéré, on procède de la manière suivante : on dessine les branches qui représentent les résultats obtenus lors de la répétition des deux épreuves ;

1re boule

2/5

l

Issues de l’expérience. On associe à chaque chemin la liste des résultats lus en parcourant ce chemin. Cette liste est une issue de l’expérience.

Issues

2/5

(B ; B)

2/5 1/5

(B ; R) (B ; N)

2/5

l

on inscrit sur chacune des branches la probabilité de l’événement correspondant.

2e boule

2/5

(R ; B)

2/5 1/5

(R ; R) (R ; N)

1/5

2/5

(N ; B)

2/5 1/5

(N ; R) (N ; N)

Ainsi, le chemin → R → N représente l’issue (R ; N).

Probabilité d’une issue de l’expérience On admettra que la probabilité d’une issue s’obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin représentant cette issue. 2 1 2 2 2 4 Par exemple, P(R ; N) = × =  ; P(R ; B) = × = . 5 5 25 5 5 25 Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

319

COURS 1.2 Cas général Lorsqu’une expérience aléatoire est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, on peut la représenter par un arbre pondéré. On admettra que : l

une issue est une liste ordonnée de résultats, représentée par un chemin ;

l

la probabilité d’une issue est le produit des probabilités de chacun de ces résultats.

1.3 Règles d’utilisation d’un arbre pondéré Les règles suivantes précisent les conditions à respecter pour construire un arbre pondéré représentant une expérience aléatoire et calculer les probabilités des événements. Règle

1 La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud vaut 1.

Règle

2 La probabilité d’une issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

Règle

Ceci est la loi des nœuds.

Ceci est la loi des chemins.

3 La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A. Les exemples qui suivent exploitent l’expérience aléatoire du paragraphe 1.1.

Exemple. Calcul de la probabilité d’un événement Notons U l’événement « tirage unicolore ». Trois chemins conduisent à U : → B → B ; → R → R ; → N → N. D’après la règle 3 et la loi des chemins (règle 2) : 2 2 2 2 1 1 9 × × × P(U) = + + = . 5 5 5 5 5 5 25

1

2 1

2 1

2

Exemple. Loi d’une variable aléatoire. Considérons la variable aléatoire Z qui indique le nombre de boules rouges obtenues. Lors des deux tirages, on ne peut obtenir que zéro, une ou deux boules rouges donc Z prend les valeurs 0, 1 ou 2. L’événement « Z = 2 » correspond au seul chemin : → R → R. 2 2 4 Donc P(Z = 2) = = . 5 25

l

1 2

« Z = 1 » est réalisé à partir des chemins : → B → R ; → R → B ; → R → N ; → N → R. 2 2 2 2 2 1 1 2 12 × × D’où P(Z = 1) = + + + = . 5 5 5 5 5 5 25

l

1 2 1 2 1

l

2 1

2

« Z = 0 » est réalisé à partir des chemins :

→ B → B ; → B → N ; → N → B ; → N → N. 2 2 1 1 2 1 2 9 × × D’où P(Z = 0) = + + + = . 5 5 5 5 5 5 25 Ainsi, la loi de probabilité Z est définie par :

1 2 1 2

320

2 1

2 1 2

k

0

1

2

P(Z = k)

9 25

12 25

4 25

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

COURS

2 Définition

Épreuve de Bernoulli. Loi de Bernoulli 1 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : S (Succès), de probabilité p, et xS (Échec), de probabilité q = 1 – p.

Exemple. On lance un dé cubique parfait et on s’intéresse à la sortie du numéro 6. Cette expérience est une épreuve de Bernoulli telle que S signifie « sortie du 6 », p = Définition

1 5 et q = . 6 6

2 Dans une épreuve de Bernoulli, notons Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque S est réalisé et la valeur 0 en cas d’échec.

k

La loi de probabilité de Y est donnée ci-contre.

P(Y = k)

On dit que Y suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

0

1

1–p

p

Conséquences. L’espérance et la variance de Y sont E(Y) = p et V(Y) = p(1 – p) = pq. En effet, E(Y) = 0 × (1 – p) + 1 × p = p et V(Y) = (1 – p) × 02 + p × 12 – p2 = p – p2 = p(1 – p).

3

Schéma de Bernoulli d’ordre n. Loi binomiale 3.1 Étude d’un exemple On lance trois fois de suite un dé cubique parfait et on s’intéresse au nombre de sorties du numéro Activité 1, page 316 6 au terme de ces trois lancers. Cette expérience est la répétition de l’épreuve de Bernoulli : « lancer un dé cubique parfait » avec 1 l’issue S : « sortie du 6 », de probabilité p = . 6

Arbre pondéré associé à l’expérience. Les probabilités de chacune des issues sont calculées en utilisant la loi des chemins. Lancer 2

Lancer 1 p

S

S p

q

Il y a autant de chemins conduisant à t succès qu’à t échecs.

q

S

p

S

q

S

S

Lancer 3

Issues

Probabilités

p

S

SSS

q

S

SSS

p

S

SSS

q

S

SSS

p

S

SSS

q

S

SSS

p

S

SSS

q

S

SSS

p3 = 1 216 2 pq= 5 216 2q p = 5 216 25 pq2 = 216 5 p2q = 216 25 pq2 = 216 25 pq2 = 216 125 q3 = 216

Par exemple, il y a trois chemins conduisant à deux succès, c.-à-d. aux issues S S xS, S xS S et xS S S.

Par symétrie, il y a aussi trois chemins menant à deux échecs, c.-à-d. aux issues xS xS S, xS S xS et S xS xS.

Loi du nombre de succès. Notons X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès au terme des trois lancers. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

321

COURS l L’événement « X = 2 » est réalisé en suivant les trois chemins dont les issues correspondantes ont la même probabilité p2q, d’où P(X = 2) = 3 p2q. 1 5 De même, P(X = 0) = q3, P(X = 1) = 3pq2 et P(X = 3) = p3 avec p = et q = 1 – p = . 6 6 l On a ainsi défini la loi de probabilité de X, appelée loi du nombre de succès.

k

0

P(X = k)

1

125 q3 = 216

2

3

75 15 3pq2 = 3p2q = 216 216

On dit aussi que X suit la loi binomiale de paramètres 3 et

p3 =

1 216

1 . 6

3.2 Loi binomiale de paramètres n et p Définition

3 On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n l’expérience aléatoire qui est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L’exemple du paragraphe 3.1 se généralise dans le cas d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.

Définition

4 Le nombre de chemins de l’arbre associé à un schéma de Bernoulli d’ordre n conduisant à k n succès pour n répétitions est noté . On lit « k parmi n ». k n Les nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux. k

1 2

1 2

Exemple. Dans la situation du paragraphe 3.1, l’événement « X = 2 » est réalisé à partir de trois chemins donc Théorème

1 32 2 = 3. De même, 1 30 2 = 1, 1 31 2 = 3 et 1 33 2 = 1.

1 On considère un schéma de Bernoulli d’ordre n où chaque épreuve est telle que la probabilité de S est p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre k de succès au terme des n épreuves est définie par : n k P(X = k) = p (1 – p)n–k, pour tout entier naturel k tel que 0  k  n. k On dit alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

1 2

Remarque. Si n = 1, la variable aléatoire X est telle que P(X = 0) = 1 – p et P(X = 1) = p. On retrouve la loi de Bernoulli, qui a pour espérance p.

3.3 Espérance, variance, écart-type De façon pratique, on peut dire que si l’on gagne un euro par succès, on peut espérer gagner à chaque épreuve, en moyenne, p euro. La répétition de n épreuves identiques et indépendantes nous laisse espérer alors un gain moyen de np euros. On conjecture donc que E(X) = np. Cette conjecture est validée par le théorème 2 (admis). Théorème

2 X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : l

E(X) = np ;

l

V(X) = np(1 – p) = npq ;

l

s(X) = 6npq.

3.4 Les coefficients binomiaux Théorème

3 Pour tous nombres entiers n et k : l

322

si 0  k  n alors

1 nk 2 = 1nn – k2  

l

si 0  k  n – 1 alors

1 nk 2 + 1nk + 1 2 = 1nk ++ 112

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Ceci est la formule de Pascal.

COURS ●

Démonstration. l On suppose 0  k  n. Sur l’arbre, il y a autant de chemins conduisant à t succès qu’à t échecs. Or, dire qu’un chemin indique k succès pour n répétitions équivaut à dire que ce chemin indique n – k échecs. Il y a donc autant de chemins de chacun de ces types n n d’où = . k n–k l On suppose 0  k  n – 1. On considère l’arbre à n + 1 répétitions d’une épreuve de Bernoulli. Les chemins qui indiquent k + 1 succès sont de deux types : ceux qui se terminent par S (type 1) et ceux qui se terminent par xS (type 2). n l Un chemin du type 1 indique k succès lors des n premières répétitions ; il y en a donc . k n l Un chemin du type 2 indique les k + 1 succès lors des n premières répétitions ; il y en a . k+1 n n n n n+1 + chemins donnent k + 1 succès en n + 1 répétitions donc + = . k k+1 k k+1 k+1

 Exercice 57

➜ p. 340

1 2 1

 Exercice 64, Roc ➜ p. 342

●

1 2 1

2

2

1 2 1 2 2 1 2

1 2 1

Triangle de Pascal Le triangle de Pascal, représenté ci-contre, permet de calculer, de proche en proche, les coefficients binomiaux en utilisant la formule de Pascal. n L’entier est à l’intersection de la ligne n et de k la colonne k.

1 2

l

On place les valeurs évidentes : n n = 1 et = 1. 0 n

1 2

l

4

1 2

n 0

k

0

1

2

3

1

La calculatrice affiche directement les entiers 1 n 2. k

1

4

1

1

1

2

1

2

3

1

3

3

4

1

 4 

 6 

4

1

5

1

5

 10 

10

5

On complète le triangle en suivant le processus donné en exemple :

5

1

1

1 41 2 + 1 42 2 = 1 52 2

Échantillonnage et prise de décision Au sein d’une population, on suppose que la proportion d’un certain caractère est p. On souhaite juger cette hypothèse. Pour cela, on prélève dans la population au hasard et avec remise, un échantillon de taille n sur lequel on observe une fréquence f de ce caractère.

Hypothèse : proportion supposée p Échantillon de taille n Fréquence observée f

4.1 Intervalle de fluctuation à 95 % selon la loi binomiale Définition

5 L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence, sur un échantillon aléatoire de taille n, selon

la loi binomiale de paramètres n et p, est : a : plus petit entier tel que P(X  a) > 0,025 a b Conditions admises :  ; avec n > 30 ; np > 5 ; n n b : plus petit entier tel que P(X  b) > 0,975

3

n(1 – p) > 5.

4

5

4.2 Règle de prise de décision Règle

4

l

Si f appartient à I, l’hypothèse est acceptée au seuil de 95 %.

l

Si f n’appartient pas à I, on rejette l’hypothèse au seuil de 5 %.

La probabilité de rejeter l’hypothèse, alors qu’elle est vraie, est inférieure à 5 %.

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

323

EXERCICES

Application Objectif

1

Utiliser un arbre pondéré

La répétition de n épreuves identiques et indépendantes peut se représenter par un arbre pondéré. On utilise alors les différents chemins pour le calcul de probabilités. l Loi des chemins : une issue représentée par un chemin, a pour probabilité le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. l Probabilité d’un événement : c’est la somme des probabilités des issues associées à tous les chemins qui conduisent à la réalisation de cet événement. l

Exercice résolu A

Répéter une épreuve et calculer des probabilités

Une épreuve consiste à lancer une fléchette sur une cible du type ci-contre. On considère les événements V : « le joueur atteint la zone verte », O : « le joueur atteint la zone orange » et B : « le joueur atteint la zone bleue ». On admet qu’à chaque lancer le joueur atteint la cible sans viser de zone particulière. 1. Quelles sont les probabilités des événements V, B et O ? 2. Le joueur lance une volée de trois fléchettes de façon indépendante. Quelle est la probabilité qu’il atteigne lors de ces trois lancers : a) trois fois la zone bleue (événement C) ?    b) trois fois une même zone (événement D) ? Méthode

Solution

1. On utilise le modèle associé à l’épreuve qui définit la probabilité d’atteindre aire (zone) . une zone par aire (cible)

1. L’unité d’aire choisie est celle d’un carreau. La cible a pour aire 25 et les différentes zones respectivement 1 (bleu), 8 (orange) et 16 (vert), donc : 16 8 1 et P(B) = . P(V) = , P(O) = 25 25 25 2. On construit le début de l’arbre pondéré.

2. On représente la répétition de trois épreuves identiques et indépendantes par un arbre pondéré. Sa construction dépend des trois issues V, O, B d’une épreuve.

Lancer 1

Lancer 3 1/25 B

B

Remarque

8/25

O

16/25 V

1/25

Il n’est pas nécessaire de construire la totalité de l’arbre.

1/25 B B 1/25

a) On repère le chemin qui conduit à la réalisation de l’événement C. On applique alors la loi des chemins. b) On cherche tous les chemins qui conduisent à la réalisation de l’événement D. On calcule la somme des probabilités des issues associées à tous ces chemins. 

324

Lancer 2

8/25

O

8/25

O

16/25 V 16/25

a) Un seul chemin, → B → B → B, conduit à la réalisation de l’événement C, donc : 1 1 1 1 P(C) = × × = . 25 25 25 15 625 b) La réalisation de D correspond à trois chemins : → V → V → V, → O → O → O et → B → B → B. Donc : 16 3 8 3 1 3 4 609 P(D) = . + + = 25 25 25 15 625

1 2 1 2 1 2

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1 On reprend la situation de l’exercice résolu A où le joueur lance une volée de trois fléchettes sur la cible.

I I

D

1. Quelle est la probabilité de l’événement E : « le joueur atteint les trois zones » ?

I E

2. Même question avec l’événement F : « le joueur atteint exactement deux zones ». 3. On appelle Z la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de zones atteintes lors d’une volée de trois fléchettes. Indiquez la loi de probabilité de Z.

2 Lors d’une fête foraine, on propose une

E

EXERCICES

Mise en pratique

E D I

D

E D

Aide

Utilisez le chemin → I → I pour trouver la probabilité de I. Utilisez les chemins → I → E et → E → I pour en déduire la probabilité de E.

l

loterie. Pour un joueur, la partie consiste à lancer successivement trois roues indépendantes. À l’arrêt des roues, un repère indique la couleur 2. Calculez la probabilité des événements A : « les obtenue sur chacune d’elles. deux dossiers sont ceux d’un demi-pensionnaire » et B : « les deux dossiers sont l’un d’un externe et l’autre d’un demi-pensionnaire ». l

Pour jouer, on achète un ticket à 12 euros. La personne gagne un lot d’une valeur de : l 1 024 e, si les trois roues indiquent rouge ; l 64 e, si les trois roues indiquent bleu ; l 20 e, si les trois roues indiquent jaune ; l 8 e, si les trois couleurs sortent. Sinon, il ne gagne rien. 1. Construisez l’arbre pondéré associé à l’expérience aléatoire. 2. On appelle G la variable aléatoire qui donne la valeur du lot obtenu. a) Déterminez la loi de probabilité de G. b) Calculez E(G). Cette loterie est-elle favorable à l’organisateur ?

4 Un entraîneur d’une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs. Il a alors remarqué que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque : – 5 buts avec une probabilité de 0,2 (événement A) ; – 4 buts avec une probabilité de 0,5 (événement B) ; – 3 buts avec une probabilité de 0,3 (événement C). Chaque joueur, à l’entraînement, tire deux séries de cinq pénaltys. On admet que les résultats d’un joueur à chacune des séries sont indépendants. On choisit un joueur au hasard.

3 Au secrétariat d’un lycée, chaque élève 1. a) Dressez l’arbre pondéré qui représente la

a un dossier scolaire qui indique en particulier son régime : demi-pensionnaire D, interne I ou externe E. Un professeur tire un dossier au hasard, l’examine, puis le remet en place. Le trimestre suivant il consulte de nouveau les dossiers, dans les mêmes conditions. La probabilité que les deux dossiers soient ceux d’un interne est 0,09. La probabilité que l’un des dossiers soit celui d’un interne et que l’autre soit celui d’un externe est 0,12.

séance de tirs aux deux séries de pénaltys. b) Quelle est la probabilité que le joueur réussisse tous ses tirs lors des deux séries ? 2. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de buts marqués lors des deux séries. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminez la loi de probabilité de X.

c) L’entraîneur considère que le joueur a réussi son entraînement s’il a marqué au moins huit buts. 1. Reproduisez puis complétez l’arbre pondéré Quelle est la probabilité que le joueur réussisse son entraînement ? correspondant à cette expérience aléatoire. Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

325

EXERCICES

Objectif

2

Utiliser la loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues, S et xS. On pose p = P(S). Si on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on définit un schéma de Bernoulli d’ordre n. Alors la variable aléatoire X qui indique le nombre de succès au terme des n épreuves suit une loi binomiale de paramètres n et p. l l

Pour tout entier naturel k, 0  k  n : P(X = k) = L’espérance mathématique de X est alors : E(X) = np.

Exercice résolu B

1 nk 2 p

k

(1 – p)n–k.

exercice résolu B

exercice résolu C

Reconnaître une loi binomiale et calculer des probabilités

Un test d’aptitude consiste à poser une série de quatre questions indépendantes. Pour chacune d’elles, deux réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un candidat répond chaque fois au hasard. Il est reconnu apte s’il obtient au moins trois réponses correctes lors du test. 1. Justifiez que le test correspond à un schéma de Bernoulli ; précisez la nature de l’épreuve. 2. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de réponses correctes. a) Calculez P(X = 3) et P(X = 4). b) Quelle est la probabilité qu’un candidat qui répond au hasard soit reconnu apte ? Méthode

Solution

1. On définit l’épreuve qui va être répétée. l

1. Une épreuve consiste à répondre au hasard à une question posée. l On note S l’issue : « réponse correcte ». On pose p = P(S) = 0,5. l Le candidat répond à quatre questions indépendantes donc le test correspond à un schéma de Bernoulli d’ordre 4. 2. a) La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,5. 4 l Ainsi, P(X = 3) = × 0,53 × (1 – 0,5)4–3. 3 4 = 4, Or le coefficient binomial est 3 3 donc P(X = 3) = 4 × 0,5 × 0,5 = 0,25.

On précise l’issue S et on détermine P(S).

l On s’assure de la répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

2. a) On indique la loi du nombre de succès.

1 2

On calcule P(X = 3) en utilisant la formule de calcul de k succès en n répétitions. Ici n = 4, k = 3 et p = 0,5. l

Note

1 2

Le triangle de Pascal ou la calculatrice permettent d’obtenir les coefficients binomiaux. De même, on calcule avec n = 4, k = 4 et p = 0,5.

l

l

b) On traduit l’événement comme une réunion d’événements incompatibles.

l

On calcule sa probabilité. 

326

De même, P(X = 4) =

4

1 4 2 × 0,5

4

× (1 – 0,5)0

donc P(X = 4) = 1 × 0,54 × 1 = 0,062 5. b) L’événement A : « le candidat est apte » signifie « X > 3 ». Cet événement est réalisé lorsque le candidat obtient soit trois, soit quatre bonnes réponses. l Ainsi, P(A) = P(X = 3) + P(X = 4) donc P(A) = 0,25 + 0,062 5 = 0,312 5.

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

5 Un conseiller commercial en informatique reçoit huit clients par jour. On admet que la probabilité qu’un client passe commande est de 0,1 et que les décisions des clients sont indépendantes les unes des autres. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de commandes que le conseiller obtient par jour.

2. On choisit maintenant, et de façon indépendante, six élèves du lycée. On suppose que l’effectif du lycée est suffisamment élevé pour que cette expérience soit assimilée à un schéma de Bernoulli. Calculez la probabilité (à 10–3 près) que sur les six élèves :

1. Justifiez que X suit une loi binomiale.

b) aucun n’étudie l’allemand ;

2. Quelle est la probabilité (à obtienne :

10–4

EXERCICES

Mise en pratique

a) trois étudient l’allemand ;

près) qu’il c) au moins un étudie l’allemand.

a) deux commandes ? b) moins de deux commandes ?

6 Une urne contient trois fois plus de boules noires que de boules blanches. 1. On tire au hasard une boule. Quelle est la probabilité qu’elle soit noire ?

8 Une auto-école propose deux filières pour préparer l’examen du permis de conduire : l’apprentissage anticipé de la conduite (A) ; l la filière traditionnelle (T). E désigne l’ensemble des candidats qu’elle a présentés pour la première fois à l’examen et R la partie de E formée des candidats qui ont réussi. Parmi les candidats de E : l 40 % on choisi l’option A ; l 32 % l’option A et ont réussi ; l 31 % l’option T et ont échoué. l

2. On tire à présent trois boules successivement avec remise. On note N la variable aléatoire qui indique le nombre de boules noires obtenues lors de la 1. Reproduisez le diagramme ci-dessous puis série de trois tirages. complétez les pointillés par les pourcentages qui a) Justifiez que N suit une loi binomiale dont conviennent. vous préciserez les paramètres. E T b) Donnez la loi de probabilité de N. …% REA c) Déduisez-en la probabilité d’obtenir au moins 32 % RET deux boules blanches. …%

7 Dans un lycée, 55 % des élèves sont des 8% A filles, 12,1 % des élèves sont des filles qui étudient l’allemand et 36,9 % des élèves sont des garçons 2. On interroge au hasard un candidat de E. qui n’étudient pas l’allemand. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi ? 1. On choisit un élève au hasard. On considère les 3. On interroge au hasard dix candidats de E. événements suivants : On suppose que l’effectif est suffisamment élevé l F : « l’élève est une fille » ; pour que cette expérience soit assimilée à un l A : « l’élève étudie l’allemand ». schéma de Bernoulli. a) Complétez le tableau illustrant la situation. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de candidats reçus. F wF Quelle est la probabilité (à 10–4 près) que sur les A 0,121 dix candidats : 0,369 wA 0,55

b) Déduisez-en la probabilité P(A).

a) cinq candidats soient reçus ? b) au moins un des candidats soit reçu ?

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

327

EXERCICES

Exercice résolu C

Utiliser l’espérance d’une loi binomiale

Un fabricant produit et vend 125 tondeuses par mois. Le coût de fabrication est de 160 e par machine. Le fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacune de ses machines. Le test est positif pour une tondeuse dans 92 % des cas ; ainsi la tondeuse est conforme et est vendue 250 e. Si le test est négatif, la tondeuse est bradée à un sous-traitant au prix de 100 e. 1. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de tondeuses conformes parmi les 125 tondeuses produites. Expliquez pourquoi X suit une loi binomiale. Calculez E(X). 2. On note Y la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel en euros. a) Exprimez Y en fonction de X.    b) Déduisez-en E(Y). Interprétez ce résultat. Méthode

Solution

1. On définit le schéma de Bernoulli qui correspond au test des tondeuses produites.

l On justifie le fait que X suit une loi binomiale.

On calcule l’espérance : E(X) = np. 2. a) À la vente, on distingue deux catégories : – les tondeuses conformes, vendues 250 e ; – celles non conformes, vendues 100 e. l

l

On calcule le bénéfice mensuel : Bénéfice = recette – coût.

b) On utilise la formule sur l’espérance : E(aX + b) = aE(X) + b. On interprète le résultat. 

1. Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont l’issue S est « la tondeuse est conforme ». On répète 125 fois cette épreuve dans les mêmes conditions donc on définit un schéma de Bernoulli d’ordre 125. l La variable aléatoire X indique le nombre de succès, donc elle suit la loi binomiale de paramètres n = 125 et p = 0,92. l Donc E(X) = 125 × 0,92 = 115. 2. a) X indique le nombre de machines conformes, donc le nombre de machines non conformes est donné par 125 – X. Le prix de vente est 250X + 100(125 – X) ; le coût total s’élève à : 125 × 160 = 20 000. D’où le bénéfice mensuel en euros : Y = 250X + 100(125 – X) – 20 000 Y = 150X – 7 500. b) E(Y) = E(150X – 7 500) = 150E(X) – 7 500 donc E(Y) = 150 × 115 – 7 500 = 9 750. Le fabricant peut espérer un bénéfice mensuel moyen de 9 750 e.

Mise en pratique

9 Un parcours hippique de trois kilomètres comporte huit obstacles du même type. À l’entraînement, ce parcours est réalisé à la vitesse de 15 km · h–1. On estime que pour un cavalier, la probabilité qu’il franchisse sans faute un obstacle est de  0,625. Le passage sans faute ne ralentit pas le cavalier alors qu’un passage avec faute lui fait perdre une minute. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre d’obstacles franchis sans faute.

10 Un QCM se présente sous la forme de cinq affirmations indépendantes où l’élève doit répondre par vrai ou faux. Chaque réponse juste rapporte deux points tandis qu’une réponse incorrecte pénalise d’un point. Ainsi, la note obtenue peut être négative. Un élève décide de répondre au hasard. On note J la variable aléatoire qui indique le nombre de réponses justes.

1. Précisez la loi de probabilité de X et indiquez 1. Indiquez la loi de probabilité de J et précisez la son espérance. valeur de E(J). 2. Quel est le temps théorique de parcours 2. On appelle N la variable aléatoire qui indique exprimé en minutes ? la note obtenue au QCM. 3. On note D la variable aléatoire qui indique la a) Quelles sont les valeurs prises par N ? durée en minutes du parcours du cavalier. b) Exprimez N en fonction de J ; déduisez-en a) Exprimez D en fonction de X. E(N). b) Déduisez-en E(D) et interprétez le résultat.

328

c) Que dire de la stratégie de réponse au hasard ?

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3

Exploiter un intervalle de fluctuation

l Intervalle de fluctuation d’une fréquence selon la loi binomiale L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence f, sur un échantillon aléatoire de taille n, selon la loi binomiale de paramètres n et p, est : a : plus petit entier tel que P(X  a) > 0,025 a b  ; avec b : plus petit entier tel que P(X  b) > 0,975   (1) n n

3

4

EXERCICES

Objectif

5

Règle de prise de décision On suppose que dans une population la proportion d’un certain caractère est p. On observe la fréquence f de ce caractère sur un échantillon de taille n. Si f est dans l’intervalle, l

Si f est en dehors de l’intervalle, on rejette l’hypothèse, au seuil de 5 %, que la proportion est p.

Exercice résolu D

Intervalle de

a n

fluctuation

on accepte l’hypothèse, au seuil de 95 %, que la proportion est p.

b n

Prendre une décision

La proportion de gauchers en France est estimée à 13 %. Parmi les 93 élèves de Première S d’un lycée, 17 sont gauchers. On souhaite savoir si la fréquence des gauchers observée sur cet échantillon est en accord avec la proportion p de gauchers de la population française. Pour cela, on fait l’hypothèse que la proportion de gauchers dans le lycée est de 13 %. 1. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de gauchers dans un échantillon aléatoire de 93 personnes sous l’hypothèse p = 0,13. Justifiez que X suit une loi binomiale de paramètres n = 93 et p = 0,13. 2. On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées P(X  k). Déterminez l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des gauchers.

k

P(X  k)

5

0,013 9

6

0,034 1

7

0,071 5

… 17

0,946 7

18

0,970 6

19

0,984 6

20

0,992 4

3. La fréquence des gauchers dans cet échantillon d’élèves est-elle en accord avec la proportion de gauchers de la population française ? Solution

Méthode

1. X indique le nombre de succès (S : « être gaucher ») dans un schéma de Bernoulli d’ordre 93, donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 93 et p = 0,13. 2. P(X  5) ≈ 0,013 9 et P(X  6) ≈ 0,034 1 donc a = 6. P(X  18) ≈ 0,970 6 et P(X  19) ≈ 0,984 6 donc b = 19. D’où l’intervalle de fluctuation à 95 % 6 19  ; I= . 93 93 17 3. La fréquence observée , appartient à I. 93

1. On met en évidence un schéma de Bernoulli, ainsi la loi du nombre de succès est une loi binomiale. 2. On cherche les entiers a et b dans la table en utilisant la définition (1).

L’intervalle de fluctuation à 95 % a b  ; est . n n 3. On prend une décision sur la qualité de l’échantillon au seuil de 95 %. Pour cela, on situe la fréquence observée par rapport à l’intervalle de fluctuation. l On applique la règle de prise de décision. l

3

4

3



4

La fréquence observée est en accord avec la proportion de 13 % de gauchers en France.

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

329

EXERCICES

Mise en pratique

11 Le maire d’une ville affirme que 50 % des c) Déduisez-en les bornes de l’intervalle de flucautomobilistes qui traversent sa ville dépassent la vitesse autorisée 50 km · h–1. Un contrôle de police a constaté que sur 256 véhicules, 115 étaient en infraction. 1. On souhaite savoir si le maire a raison. On suppose alors que la proportion d’automobilistes en infraction est p = 0,5. On note I la variable aléatoire qui indique le nombre d’infractions sur un échantillon aléatoire de 256 personnes.

tuation à 95 %.

2. a) Peut-on affirmer, au seuil de 5 %, que la chaîne fonctionne correctement ? b) Calculez P(X  3) + P(X >16). Que représente cette probabilité ?

13 Un fournisseur d’accès Internet propose des abonnements incluant la fourniture d’un modem ADSL. La proportion de modems présentant des anomalies est estimée par le fournisseur à p = 0,16. a) Quelle est la loi de I ? b) Utilisez l’extrait ci-dessous de la table des pro- Une association de consommateurs lance une babilités cumulées pour déterminer l’intervalle enquête auprès des abonnés à sa revue pour estimer leur degré de satisfaction concernant de fluctuation à 95 %. leur fournisseur d’accès. Parmi les réponses à k P(I  k) l’enquête, 428 concernent ce fournisseur d’ac111 0,019 5 cès : 86 abonnés déclarent avoir reçu un modem 112 0,026 2 défectueux. 113

0,034 9

114

0,045 7

…

…

143

0,973 8

144

0,980 5

145

0,985 7

146

0,989 7

1. On suppose que la proportion de modems défectueux est 0,16. On appelle Y la variable aléatoire qui, à un échantillon aléatoire de 428 modems du fournisseur, associe le nombre de modems défectueux. a) Précisez la loi de probabilité de Y.

b) Utilisez l’extrait de la table de probabilités 2. a) Quelle est la fréquence observée f des in- cumulées ci-dessous pour déterminer l’intervalle fractions de vitesse ? de fluctuation à 95 %. b) Peut-on considérer, au seuil de 5 %, que l’affirk P(Y  k) mation du maire est exacte ?

12

Une chaîne d’embouteillage d’eau minérale assure une production dont on estime que les réglages peuvent conduire à la proportion p = 5 % de bouteilles défectueuses. On contrôle la production en prélevant un échantillon de 200 bouteilles ; on découvre 17  bouteilles défectueuses.

53

0,021 5

54

0,029 8

55

0,040 6

56

0,054 3

…

…

83

0,973 9

84

0,980 6

0,985 8 1. On suppose que la production de bouteilles défectueuses est de 5 %. 86 0,989 7 X est la variable aléatoire qui donne le nombre de 2. a) Quelle est la fréquence observée f sur l’échanbouteilles défectueuses sur un échantillon aléatillon de l’association de consommateurs ? toire de 200 bouteilles. b) Peut-on estimer, au seuil de 5 %, que l’assoa) Précisez la loi de probabilité de X. ciation de consommateurs donne une informab) Utilisez la calculatrice pour compléter le tion qui confirme les indications du fournisseur tableau suivant (valeurs à 10–4 près) : d’accès ? 85

k

3

4

P(X  k)

330

15

16

17

c) Quelle est la probabilité de commettre une erreur lors de la prise de décision ?

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Po u r

14

Questions sur le cours

Complétez les propositions suivantes. a) Une épreuve de Bernoulli a …… issues. b) La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes définit ……  c) Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités sur les branches issues d’un même nœud vaut ……  d) On construit le triangle de Pascal en utilisant la n+1 = ……  relation k+1 e) La probabilité d’obtenir k succès en n répétitions indépendantes d’une épreuve est …… 

1

2

f) Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors : l E(X) = …… l V(X) = ……

15

EXERCICES

se tester Vrai ou faux

Les affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre réponse. 1. On lance trois fois de suite un dé cubique parfait. La probabilité d’obtenir : 1 a) un multiple de 3 lors d’un seul lancer est  ; 3 2 b) deux multiples de 3 lors des trois lancers est  ; 3 1 c) trois multiples de 3 lors des trois lancers est . 27 2. Les coefficients binomiaux sont tels que : 3 3 3 3 2 011 2 011 + + + = 23 ;  b) = . a) 0 1 2 3 2 2 009 3. On lance cinq fois de suite une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir au terme des cinq lancers : a) deux fois Pile est 0,312 5 ; b) trois fois Pile est 0,5 ; c) au moins une fois Pile est 0,875.

1 2 1 2 1 2 1 2

1

2 1

2

16 QCM Une seule réponse exacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. Une urne contient six boules indiscernables au toucher : trois bleues, deux rouges et une verte. On y prélève au hasard, l’une après l’autre avec remise, trois boules. 1. On considère les événements suivants : l U : « tirage unicolore » ;   l B : « tirage bicolore » ; l T : « tirage tricolore ».

17

QCM

Les probabilités de ces événements sont : 35 1 2 ; b) P(T) = ; c) P(B) = . a) P(U) = 216 36 3 2. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de boules bleues à l’issue du tirage. Alors : 1 1 a) P(X = 0) =  ; b) P(X = 3) =  ; 9 9 c) P(X = 1) = P(X = 2) ; d) E(X) = 2.

Au moins une réponse exacte

Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. Les motos sont réparties en deux catégories. A : cylindrée supérieure ou égale à 125 cm3 ; B : cylindrée inférieure à 125 cm3. On distingue les motos routières (R) des sportives (S). Une étude a établi que parmi les motards : l 44 % ont des motos de la catégorie A ; l 36,6 % ont des motos du type R ; l 19,6 % ont des motos de la catégorie B et du type R. 1. En interrogeant un motard pris au hasard, on a :

a) P(A ∩ R) = 0,17 ; b) P(A ∪ R) = 0,636 ; c) P(S) = 0,634 ; d) P(B ∪ S) = 0,83. 2. On interroge au hasard, et de façon indépendante, quatre motards (le même motard pouvant être interrogé plusieurs fois). Voici les probabilités (arrondies à 0,001 près) des événements indiqués. a) « Un seul a une moto de catégorie A » : 0,309 ; b) « Tous ont des motos de type R » : 0,162 ; c) « Deux ont une moto de type S » : 0,323 ; d) « Au moins un a une moto de catégorie B » : 0,963. Voir les corrigés p. 366 Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

331

EXERCICES

Apprendre à chercher 18 En état de marche Un système électronique comporte trois composants qui fonctionnent indépendamment les uns des autres avec la même probabilité p = 0,9. Le système ne marche que si au moins deux des composants sont opérationnels. Objectif  Trouver la probabilité que le système soit en état de marche.

activités de recherche

L’état d’un composant définit une épreuve de Bernoulli dont les issues sont S : « il fonctionne » et xS : « il est en panne » telle que p = P(S) = 0,9. Les trois composants fonctionnent de façon indépendante donc l’état du système définit un schéma de Bernoulli d’ordre 3. D’où l’idée d’introduire la variable aléatoire X qui indique le nombre de composants en état de marche. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. a) Traduisez l’événement A : « le système est en état de marche » en utilisant la variable aléatoire X. b) Déduisez-en P(A).

19 Combien d’enfants pour avoir une fille ? On s’intéresse au nombre d’enfants d’une famille. On suppose qu’il n’y a pas de naissances multiples et qu’il y a équiprobabilité pour la naissance d’un garçon ou d’une fille.

On lance quatre fois de suite un dé cubique équilibré. On considère la variable aléatoire X définie de la manière suivante : l si au terme des quatre lancers le numéro 1 n’est pas sorti, X prend la valeur 0 ; l sinon, X prend pour valeur le rang du premier 1 sorti. Objectif  Trouver la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X). 1. Lors d’un lancer, seuls deux événements nous intéressent : la sortie du 1, événement noté A, et son événement contraire, noté A w . D’où l’idée de considérer qu’un lancer est une épreuve à deux issues, A et A w . Quelles sont les probabilités des événements A et A w  ? 2. On répète quatre fois cette épreuve dans les mêmes conditions donc les épreuves successives sont indépendantes. L’expérience peut alors être représentée par un arbre pondéré qui permet le calcul des probabilités des événements. Voici le début de l’arbre pondéré. Lancer 1

Lancer 2

Lancer 3 A

A A

A

Objectif  Trouver le nombre minimum d’enfants afin que la probabilité d’avoir une fille dépasse 0,99.

A A A

1. On peut considérer la naissance d’un enfant comme une épreuve de Bernoulli dont les issues sont S : « naissance d’une fille » et xS : « naissance d’un garçon ». a) Quel modèle d’expérience décrit la naissance de n enfants dans une famille ? b) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire qui indique le nombre de filles dans le cas de n naissances ? 2. On s’intéresse à l’événement A : « avoir au moins une fille sur les n naissances ». La définition de A contient la locution « au moins ». En général il est alors plus facile de calculer P( wA ). a) Que signifie A w  ? b) Calculez sa probabilité puis déduisez-en que : 1 P(A) = 1 – n . 2 c) Trouvez le plus petit entier n tel que P(A) > 0,99.

332

20 Loi géométrique tronquée

A a) Quel est le nombre de chemins de l’arbre complet ? b) Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ? c) Pourquoi l’événement « X = 0 » est-il représenté par l’unique chemin → A w →A w →A w →A w  ? Déduisez-en P(X = 0). d) Pourquoi l’événement « X = 4 » est-il représenté par l’unique chemin → A w →A w →A w → A ? Déduisez-en P(X = 4). e) Calculez de même la probabilité des événements du type « X = k ». f) Dressez le tableau de la loi de probabilité de X puis calculez son espérance. Note On dit que X suit une loi géométrique tronquée.

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L’objectif n’est pas seulement de résoudre le problème posé : vous devez aussi noter les différentes idées même lorsqu’elles n’ont pas permis de trouver la réponse. Expliquez pourquoi vous avez changé de méthode et ce qui vous a fait avancer, etc.

22 Le Loto foot 15&7

La roulette comporte trente-sept cases numérotées de 0 à 36. Le zéro est vert et les autres numéros sont alternativement rouges ou noirs. La mise est perdue si le zéro sort. Un joueur mise sur rouge (év. R) : si R est réalisé, il reçoit le double de sa mise, sinon, il la perd. Un joueur dispose de 315 e et mise 5 e sur « rouge » : s’il gagne, il arrête de jouer ; s’il perd, il mise le double, toujours sur « rouge ». Peut-il être ruiné ? Quel gain algébrique peut-il espérer obtenir ?

Eux aussi,avant erché ils ont chro t de uver !

On pronostique les résultats de quinze matches de football. Exemple : Bordeaux Lyon 1 N 2 On choisit parmi trois cases : 1 pour la victoire de Bordeaux, 2 pour celle de Lyon et N pour un match nul. On suppose que les résultats des matches sont indépendants et qu’il y a équiprobabilité entre les trois résultats pour chaque match. On remplit une grille (simple) au hasard. Une grille est gagnante si elle contient au moins douze bonnes réponses. Quelle est, à 10–4 près, la probabilité d’avoir une grille gagnante au Loto foot 15 ? Comparez avec le Loto foot 7, où une grille de sept matches est gagnante à partir de six bons résultats.

Chercheurs d’hier Voici quelques mathématiciens importants qui ont travaillé dans le domaine des probabilités et des statistiques.

Blaise Pascal Chap. 12 1550

1600

RENAISSANCE

1650

John Wilder Tukey Chap. 11 1700

ÉPOQUE MODERNE

1750

1800

1850

1900

1950

ÉPOQUE CONTEMPORAINE

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Mathématicien et physicien suisse, il pose le principe du calcul des probabilités. Il étudie notamment la répétition d’épreuves aléatoires indépendantes ayant une probabilité p de succès. Dans son livre Ars Conjectandi (l’Art de la conjecture), il montre en particulier le résultat suivant : la fréquence moyenne d'apparition d'un résultat dans une répétition d’épreuves tend vers la probabilité d’observer cette apparition dans une seule épreuve. Cet énoncé nous est devenu familier sous le nom de « loi des grands nombres ».

activités de recherche

21 Une martingale à la roulette

EXERCICES

Narration de recherche

Le chef-d’œuvre de Jacob Bernoulli

Sur le Web http://www.bibmath.net/bios

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

333

EXERCICES

Utiliser sa calculatrice Pour afficher des coefficients binomiaux Pour afficher les probabilités suivant une loi binomiale TP 23 Calculer des probabilités selon une loi binomiale On lance vingt fois de suite une pièce équilibrée. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de sorties de « Face » durant les vingt lancers. On sait que X suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,5. 20 20 1. Faites afficher les coefficients binomiaux et . 5 10 2. Donnez une valeur approchée à 10–4 près de P(X = 5) et de P(X  10).

1 2 1 2

Avec une Casio

activités de recherche

1. Allez dans le menu RUN, appuyez sur puis choisissez l’option PROB (  F3  ).

OPTN

coefficients binomiaux

Tapez : 20

Ainsi,

F3

(nCr)5

EXE

20

Complétez :

Nombre de succès Nombre d’épreuves

 .

Probabilité

20

1 5 2 = 15 504. De même, 1102 = 184 756.

2. Dans le menu STAT, choisissez l’option DIST (  F5  ) puis l’option BINM (  F5  ).

● Appuyez sur EXE  . Vous obtenez P(X = 5) ≈ 0,014 8. Pour calculer P(X  k) : Procédez de même en choisissant l’option Bcd (  F2  ). Vous obtenez : P(X  10) ≈ 0,588 1.

Note

Bpd signifie « binomial probability distribution ». Bcd signifie « binomial cumulative distribution ».

Pour calculer P(X = k) : ● Sélectionnez option Bpd (  F1  ).

Avec une TI 1. ● Tapez 20 math  , puis choisissez, dans le menu PRB, l’option 3 (Combinaison).

●

●

Tapez 5 puis appuyez sur entrer  .

20 20 Ainsi, = 15 504. De même, = 184 756. 5 10 2. Tapez sur 2nde var (distrib).

1 2

1 2

Pour calculer P(X = k) sélectionnez la fonction A:binomFdp( puis appuyez sur entrer  ; ●

334

●

complétez nombre d’épreuves probabilité

nombre de succès

puis appuyez sur entrer . Vous obtenez P(X = 5) ≈ 0,014 8. Pour calculer P(X  k) : ● Procédez de même en choisissant la fonction B:binom FRép(. Vous obtenez : P(X  10) ≈ 0,588 1.

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Pour tabuler et représenter une loi binomiale TP 24 Un dé truqué ?

EXERCICES

Utiliser un tableur

Compétences TICE

Mathématiques

Tabuler une loi binomiale Représenter une loi binomiale Créer le diagramme des probabilités cumulées

Utiliser la loi binomiale Déterminer un intervalle de fluctuation Rejeter ou accepter une hypothèse

On lance cinquante fois un dé cubique et on obtient seize fois la sortie du numéro 6. Peut-on penser que ce dé est truqué ? 1. Simuler la loi binomiale

1 . 6 Sur un échantillon aléatoire de 50 lancers successifs, la variable aléatoire X qui indique le nombre de 1 succès (sortie du 6) suit une loi binomiale de paramètres 50 et . Elle prend les valeurs k de 0 à 50. 6 a) Tabulation de la loi de X Aide l Ouvrez une feuille de calcul. en B2 : =LOI.BINOMIALE(A2;50;1/6;0) Complétez les cellules A2, B2 en C2 : =LOI.BINOMIALE(A2;50;1/6;1) et C2. l Tirez la plage de cellules A2:C2 vers le bas jusqu’en A52:C52. Vous obtenez : en colonne B, la loi de probabilité de X ; en colonne C, la table des probabilités cumulées P(X  k) pour 0  k  50.

outil 9

outil 13

b) Représentation graphique l Pour la loi de X, sélectionnez la colonne B puis utilisez le type de diagramme en colonne. Aide

Pour le réglage des catégories, renseignez la boîte de dialogue avec $Feuille1.$A$2:$A$52.

outil 12

Pour le diagramme des probabilités cumulées, sélectionnez les colonnes A et C puis le type de diagramme XY ; points seuls. l

activités de recherche

On suppose que le dé n’est pas truqué. Ainsi, la probabilité de sortie du 6 lors d’un lancer est p =

2. Prendre une décision a) Déterminer, en utilisant la table de la loi de X, les plus petits entiers a et b tels que : P(X  a) > 0,025 et P(X  b) > 0,975. b) Déduisez-en l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence d’apparition du 6. c) Quelle est la fréquence observée d’apparition du 6 ? 1 L’hypothèse p = est-elle acceptée ? Concluez. 6 Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

335

EXERCICES

Entraînement de  tête 25 Le bureau de la vie scolaire d’un lycée détient les fiches informatisées des élèves : 10 % sont internes, 30 % externes et 60 % demi-pensionnaires. Le conseiller d’éducation consulte au hasard, l’une après l’autre (avec possibilité de reprendre la même) trois de ces fiches. Quelles sont les probabilités de : a) consulter trois fiches d’internes ?

31 On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On décide de coder Pile par 1 et Face par 0. On considère le jeu suivant : l si 1 sort au premier lancer on gagne 1 e ; l sinon, s’il sort au deuxième lancer on gagne 2 e ; l sinon, s’il sort au troisième lancer on gagne 4 e ; l enfin, s’il n’est pas sorti, on perd n euros. G est la variable aléatoire donnant le gain algébrique. a) Déterminez la loi de probabilité de G. b) Comment choisir n pour que le jeu soit équitable ?

b) aucune fiche de demi-pensionnaires ?

Rappel

26 On lance cinq fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité (exprimée sous forme d’une fraction) qu’au cours des cinq lancers on obtienne :

Un jeu est dit équitable, lorsque l’espérance de gain du joueur est nulle.

a) aucune fois « Face » ? b) une fois « Face » ?

27 On connaît les coefficients binomiaux suivants :

10 10 l = 210 l = 252. 4 5 Quelle est la valeur des entiers : 10 a)  ? 6 11  ? b) 5

1 2

1 2

1 2 1 2

28 Pour un archer, la probabilité d’atteindre une cible est de 0,8. Il lance une volée de trois flèches et on suppose les tirs indépendants. Quelle est la probabilité : a) que toutes les flèches ratent la cible ? b) qu’au moins une flèche soit dans la cible ?

29 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0,125. a) Quelle est l’espérance de X ? b) Sa variance ?

32 Un dé parfait a ses faces numérotées : 1, 1, 1, 2, 2, 4. On lance ce dé trois fois de suite. On note de gauche à droite le numéro obtenu ; on obtient ainsi un nombre de trois chiffres. 1. Représentez la situation par un arbre pondéré. 2. Calculez sous forme fractionnaire la probabilité des événements suivants : A : « le nombre est 421 ». B : « le nombre a trois chiffres différents ». C : « le nombre contient au moins une fois le chiffre 2 ». 3. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de fois où le chiffre 1 est utilisé dans l’écriture du nombre. Déterminez la loi de probabilité de X.

33 Deux amis A et B décident de jouer à pile ou face leurs derniers jeux sur console. Chacun dispose de quatre jeux ; ces jeux sont tous différents entre eux. Ils décident de jouer quatre parties. Lors du lancer de la pièce équilibrée, on note GA et GB les événements « A gagne un jeu » et « B gagne un jeu ». 1. Illustrez la situation par un arbre pondéré. 2. X est la variable aléatoire qui donne le gain algébrique de A. (Si A gagne il marque + 1, sinon –1.) a) Quelle est la probabilité que A perde tous ses jeux ? b) Dressez le tableau de la loi de probabilité de X.

Répétition d’une même épreuve 30 Une urne contient trois boules indiscernables : une rouge R, une verte V et une noire N. On tire successivement avec remise trois boules de l’urne.

c) Ce jeu est-il équitable ?

34 Un avion dispose de trois moteurs à hélices du même type : un moteur central MC et deux moteurs d’aile MG et MD.

a) Quel est le nombre d’issues ? b) On considère les événements U : « tirage unicolore », T : « tirage tricolore » et B : « tirage bicolore ». Calculez les probabilités de U, T et B.

336

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

1. Représentez la situation par un arbre pondéré du type suivant. MG

MC

MD

On appelle X la variable aléatoire qui indique le rang de sortie de la première perle verte. Par convention, si on n’obtient pas de perle verte, on attribue à X la valeur 0. 1. Illustration par un arbre pondéré a) Représentez les quatre tirages successifs par un arbre pondéré. On notera : V « on tire une perle verte » et N « on tire une perle noire ». b) Calculez la probabilité de l’événement « X = 0 ».

F

c) Dressez le tableau de la loi de X.

F

2. Illustration par un arbre « réduit » Justifiez que l’arbre réduit ci-dessous permet de retrouver la loi de X.

F

F

dans le tube d’une machine. Cette machine possède trois portes P1, P2, P3 qui ferment ou ouvrent les accès aux quatre sorties possibles S1, S2, S3, S4. Un système électronique positionne de façon aléatoire ces trois portes en position « ouverte » ou « fermée » indépendamment les unes des autres. P1 P2 P3 (fermée) (ouverte) (fermée)

S2

S3

S4

Pour jouer, on doit miser 7 e. Si la bille sort par S1, on ne reçoit rien ; sinon, si elle sort par S2 on reçoit 5 e, par S3, on reçoit 10 e et par S4, on reçoit 20 e. X est la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain algébrique du joueur.

V

0,6 0,4

35 Un jeu de hasard consiste à introduire une bille

S1

V

0,6

2. Déduisez-en à 10–6 près la probabilité que l’avion s’écrase au sol.

Entrée de la bille

EXERCICES

L’avion se maintient en vol lorsque le moteur central ou les deux moteurs d’aile fonctionnent. La probabilité qu’un des moteurs fonctionne est 0,995. Les trois moteurs fonctionnent de façon indépendante les uns par rapport aux autres. On note F l’événement « le moteur fonctionne ».

Note

V

0,6

N

0,4

0,4

N

N

37 Loi géométrique tronquée de paramètres n et p On se place dans les conditions de l’exercice 36 et on procède à n tirages successifs avec remise. On note X la variable aléatoire qui indique le rang de sortie de la première perle verte ; si on n’obtient pas de perle verte, on attribue à X, la valeur 0. 1. a) Exprimez P(X = 0) en fonction de n. b) Un arbre « réduit » du type de celui vu en exercice 36 illustre la situation. V

0,6

V

0,6 0,4

N

0,4

n niveaux N

2. a) Déterminez la loi de probabilité de X. c) Comment modifier le montant de la mise pour que ce jeu soit équitable ?

0,4

On dit que X suit une loi géométrique tronquée.

1. Représentez la situation par un arbre pondéré. b) Calculez E(X).

V

0,6

N

0,6

V

0,4

N

Pour tout entier k tel que 1  k  n, à quel chemin correspond la réalisation de l’événement « X = k » ? c) Déduisez-en la probabilité P(X = k). Note

Loi géométrique tronquée 36 Arbre « réduit » Un coffret contient 60 perles vertes et 40 noires. On tire au hasard, successivement et avec remise quatre perles du coffret. On s’intéresse à l’obtention de la première perle verte.

La loi de la variable aléatoire X est appelée loi géométrique tronquée de paramètres n et p = 0,6. n

S P(X = k) = 1. k=0

2. Vérifiez que  Rappel

1 + p + p2 + … + pn–1 =

1 – pn (p ≠ 1). 1–p

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

337

EXERCICES

38 Le lièvre et la tortue Une course entre le lièvre et la tortue est simulée par le lancer d’un dé équilibré : si le résultat est 6, le lièvre a gagné, sinon la tortue avance d’une case. Les lancers sont indépendants. La tortue gagne si elle atteint la case n° 6 (elle a donc six cases à parcourir).

1. Précisez le rôle de la boucle conditionnelle : While … WhileEnd (ou End). 2. Quelle partie du programme traite les conditions du protocole ? Détaillez les alternatives. 3. a) Écrivez ce programme sur votre calculatrice. b) Après quelques tests indiquez une estimation du temps d’attente moyen avant la désintégration. Commentaire

Le temps d’attente est une variable aléatoire qui suit une loi géométrique tronquée de paramètres n = 100 et p = 0,07. Son 1 espérance est proche de p lorsque n est grand (voir exercice 73). 1

2

3

4

5

6

La course ne peut pas dépasser six lancers. Dès que le 6 sort, le lièvre a gagné. La tortue gagne si le 6 n’est pas sorti durant les six lancers. 1. Représentez par un arbre pondéré (« réduit ») du type de celui de l’exercice 36  , la succession des six lancers. 2. a) Quelle est la probabilité que la tortue gagne ?

Pour les exercices 40 à 43 Les probabilités seront données sous forme de fractions.

40 On lance trois fois de suite un dé cubique parfait.

b) Déduisez-en la probabilité que le lièvre gagne.

Quelle est la probabilité d’avoir trois as ?

3. On note N la variable aléatoire qui indique le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le lièvre vainqueur et 0 sinon.

41 Pour un archer, la probabilité d’atteindre une cible

a) Dressez le tableau de la loi de probabilité de N.

donnée est 0,7. Les tirs sont supposés indépendants. Quelle est la probabilité qu’il touche trois fois la cible sur une volée de cinq flèches ?

b) Calculez E(X) puis interprétez ce résultat.

42 On tire successivement avec remise huit cartes

39 Simulation et moyenne

A L G O R IT

H M IQ U E

(D’après inter-académiques Poitiers 2010)

La probabilité qu’un atome se désintègre par unité de temps est p = 0,07. On simule cette désintégration en limitant le temps d’attente à 100 unités de temps. On s’intéresse à la moyenne du temps d’attente sur un échantillon constitué de 200 expériences. Protocole On associe 0 à l’événement qui indique qu’après 100 unités de temps la désintégration n’a pas eu lieu ; sinon on indique au bout de combien d’unités de temps t la désintégration s’est produite. Programme de simulation Casio Texas

338

Loi binomiale

d’un jeu de trente-deux cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir cinq cœurs ?

43 On lance six fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) au plus deux « Pile » ? b) au moins un « Pile » ? Pour les exercices 44 à 48 X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Les probabilités seront données à 10–4 près. Pour tabuler la loi de X, voir l’exercice 23  , ou bien utiliser le mode TABLE des calculatrices. Exemple : n = 6 et p = 0,4. Casio Menu Table OPTN F6() F3(stat) F1(dist) F5(binm) F1(bpd) Tapez : Y1 = BinomialPD(X, 6, 0.4) puis EXE . F5(set) Réglez les valeurs de la table puis validez. Faites afficher la table pour les valeurs entières de 0 à 6. Texas Y= 2nd vars(distr) option 0 Tapez : binomialpdf(6, 0.4, X) puis entrer

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

44 n = 6, p = 0,4. Donnez le tableau de la loi de X. 45 n = 9, p = 0,6. Donnez le tableau de la loi de X. 46 n = 15, p = 0,8. Calculez P(X = 8) et P(X = 12).

verte on gagne 10 e. Un joueur réalise cette épreuve quinze fois avec remise de la boule après un tirage. On se propose de calculer l’espérance de gain de ce joueur. On note G la variable aléatoire qui indique le gain algébrique du joueur et X la variable aléatoire qui indique le nombre de boules rouges obtenues au terme des quinze tirages. 1. Justifiez que : G = 150 – 30X.

47 n = 10, E(X) = 3. Calculez P(X  3) et P(X > 7).

2. Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance ?

48 p = 0,2, s(X) = 2. Calculez P(X  2) et P(X < 2).

3. Déduisez-en l’espérance mathématique de G.

49 La probabilité qu’une machine tombe en panne durant un mois donné est p = 0,05. Les pannes sont indépendantes les unes des autres. Calculez les probabilités (à 10–3 près) que la machine : 1. ne tombe pas en panne durant un an ; 2. tombe en panne plus d’une fois durant cette année.

50 Le problème du chevalier de Méré Le chevalier de Méré posa en 1654 le problème suivant à Blaise Pascal : « A-t-on plus de chance d’obtenir au moins un six en lançant un dé cubique quatre fois, ou d’obtenir au moins un double six en lançant deux dés vingt-quatre fois ? » 1. On lance un dé parfait quatre fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ? 2. On lance deux dés vingt-quatre fois de suite. a) Quelle est la probabilité de n’obtenir aucun double six ? b) Déduisez-en la probabilité d’obtenir au moins un double six. Concluez.

51 Une épreuve consiste à lancer deux dés cubiques parfaits, l’un bleu et l’autre rouge, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note S l’événement « la somme des numéros des deux dés est supérieure ou égale à 10 ». On répète dix fois de suite cette épreuve dans les mêmes conditions. 1. Quelle est la probabilité de S lors d’une épreuve ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois la réalisation de S lors des dix épreuves ? On donnera la valeur arrondie à 10–3 près.

EXERCICES

Réglez les valeurs de la table puis validez. Faites afficher la table pour les valeurs entières de 0 à 6.

53 Avec la calculatrice Une entreprise fabrique des cartes à puce. Chaque puce peut présenter deux défauts a et b. On prélève au hasard, une puce dans la production de la journée. Une étude a permis de montrer que la probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait : – le défaut a est 0,03 ; – le défaut b est 0,02 ; – ni le défaut a ni le défaut b est 0,950 6. 1. Quelle est la probabilité que la puce ait les deux défauts à la fois ? 2. Les puces sont conditionnées par lots de 100 pour un nettoyage avant montage sur la carte. On prélève au hasard un lot de 100 puces (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). X est la variable aléatoire, qui à chaque lot, associe le nombre de puces défectueuses. a) Quelle est la loi de X ? b) Quel est en moyenne le nombre de puces sans défaut dans un lot de 100 ? 3. Après le nettoyage, les puces sont regroupées par paquets de 800 pour alimenter l’atelier de montage sur la carte. On prélève au hasard un lot de 800 cartes (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). On appelle Y la variable aléatoire qui indique le nombre de cartes en mauvais état de fonctionnement. Déterminez le plus petit entier n tel que P(Y > n)  0,05. Interprétez ce résultat.

3. On répète cette épreuve n fois de suite. a) Prouvez que la probabilité Pn d’obtenir au moins une 5 n . fois la réalisation de S est 1 – 6 b) Quel est le nombre minimum d’épreuves pour que cette probabilité soit supérieure à 0,9 ?

1 2

52 Une urne contient cinq boules indiscernables : trois vertes et deux rouges. On tire au hasard une boule de l’urne. Si la boule est rouge on perd 20 e, si elle est Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

339

EXERCICES

54 Une enquête réalisée auprès des clients d’une compagnie aérienne révèle que 45 % des passagers utilisent ses avions pour des raisons touristiques (T), 30 % pour des raisons professionnelles (R) et les autres pour des raisons diverses (D). Parmi ses avions la compagnie distingue deux classes, C1 et C2. En première classe on relève 30 % de la clientèle dont 7 % pour la catégorie T et 12 % pour la catégorie R. 1. Complétez le diagramme ci-dessous en indiquant les pourcentages qui conviennent.

C1 7% T

D

2. On choisit au hasard un client de la compagnie. Quelle est la probabilité qu’il voyage en classe C1 ? 3. On choisit au hasard n clients de la compagnie (on suppose que le tirage se fait avec remise). a) Exprimez, en fonction de n, la probabilité Pn qu’au moins un des clients, parmi les n, voyage en classe C1. b) Déterminez le plus petit entier n pour lequel : Pn > 0,999 9.

55 Programmer sur sa calculatrice

A L G O R IT

H M IQ U E

1. Voici un algorithme Variables k, n, p, R Entrées n, p Algorithme Pour k de 0 jusqu’à n n R reçoit  × pk × (1 – p)n–k k Afficher « Probabilité pour k = » Afficher k, “=”, R FinPour

1 2

y=x

Départ

Face

1. a) Indiquez le nombre de chemins possibles (n = 4). b) Représentez tous les points d’arrivée possibles.

57 Compter des chemins On reprend la situation de l’exercice 56 lorsque C n = 8. Voici une méthode 1 3 de dénombrement. A B l Pour aller de O au point 1 2 3 de coordonnées (1 ; 0) il y a un seul chemin : D. 1 1 O On code 1 ce point. l Pour aller de O au point de coordonnées (0 ;1), il y a un seul chemin : H. On code 1 ce point. l Pour aller de O en A il y a deux chemins possibles : – un qui passe par le point de coordonnées (1 ; 0) : DH ; – un qui passe par le point de coordonnées (0 ; 1) : HD. On code 2 le point A. l Pour aller de O au point de coordonnées (0 ; 2) il y a un seul chemin possible : DD. On code 1 ce point. l Pour aller de O à B, il y a trois chemins possibles : – un qui vient du point de coordonnées (2 ; 0) ; – deux qui viennent de A. On code 3 le point B. Ainsi, de proche en proche, on peut coder tous les points par le nombre de chemins qui les relient à O en utilisant comme seuls déplacements D et H. 1. Réalisez le codage pour un chemin de n = 8 pas.

Quel est le but de cet algorithme ?

2. Indiquez les coordonnées des points d’arrivée.

2. a) Programmez-le sur votre calculatrice.

3. Que représentent les nombres qui codent les issues représentées par les points d’arrivée ?

b) Testez-le pour les valeurs n = 3 et p = 0,5 puis n = 10 et p = 0,1. Vérifiez avec le programme intégré de votre calculatrice.

340

Pile

2. Pour chacun de ces points, quel est le nombre de chemins aboutissant à cette arrivée ?

R 12 %

l si Face sort, on se déplace d’un pas vers la droite D ; l si c’est Pile, on se déplace d’un pas vers le haut H. Dans cet exercice : n = 4. Le chemin rouge représente l’issue FPPF.

58 On se place dans les conditions de l’exercice 57 avec n = 8. On dit que « Pile fait la course en tête », si le chemin associé à une issue est toujours situé au-dessus ou sur la droite d d’équation y = x.

Coefficients binomiaux

1. Utilisez un protocole de codage (voir exercice 57) pour dénombrer les chemins menant aux points situés au-dessus ou sur d après 8 pas.

56 La répétition n fois du lancer d’une pièce équilibrée peut être représentée dans un quadrillage par un chemin. On adopte le protocole suivant :

2. Tous les chemins de huit pas sont équiprobables. Quelle est la probabilité que « Pile fasse la course en tête » ?

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satisfaisant la condition imposée : n = 36. a) 2 n n = 14 . b) 3 4 2

1 2 1 2

1 2

60 1. Utilisez la formule de Pascal pour trouver les entiers n et p tels que : 3 4 5 6 7 n + + + + = . 3 3 3 3 3 p

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Aide

La production est suffisamment importante pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise. On suppose que la proportion de lentilles de type B est p = 15 % (réglage type du robot). On note X la variable aléatoire donnant le nombre de lentilles de type B sur un échantillon de taille 80.

EXERCICES

59 Utilisez le triangle de Pascal pour trouver l’entier n

1. Quelle est la loi de X ? 2. Les limites de contrôle sont les bornes de l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence. Calculez les limites de contrôle. 3. Quelle est, sous réglage type, la probabilité de commettre une erreur de décision à partir d’un échantillon ?

3 4 3 = 4 .

1 2 1 2

2. Comment lire ce résultat dans le triangle de Pascal ?

Prise de décision 61 Une enquête a établi qu’une proportion p = 52 % des élèves d’un lycée utilisaient quotidiennement Internet pour les devoirs. Un professeur interroge sur ce sujet, 64 de ses élèves ; parmi eux, 42 utilisent Internet tous les jours. L’effectif du lycée est suffisamment important pour que l’on puisse considérer ces interrogations comme indépendantes.

Avec les tice 63 Comparaison d’intervalles de fluctuation à 95 % On suppose que dans une population la fréquence d’un certain caractère est p. On observe sur un échantillon aléatoire de taille n (obtenu par tirage avec remise) une fréquence f. Le but de cette activité est de mettre en place une procédure automatisée pour obtenir l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence selon : a b  ; l la loi binomiale I =  ; n n 1 1 l la formule vue en seconde J = p – .  ; p + 1n 1n On peut alors comparer les deux intervalles. Procédons à un exemple avec n = 30 et p = 0,4. NB. On limitera la simulation aux valeurs n  1 000.

3

4

3

4

1. Préparer une feuille de calcul du type suivant :

1. Déterminez, à l’aide de la loi binomiale, l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de réalisation de l’événement « l’élève utilise Internet pour les devoirs ». 2. Comparez cet intervalle à celui obtenu en classe de 1 1 seconde par p –  ; p + où n désigne la taille de 1n 1n l’échantillon qu’on interroge.

3

4

3. Les classes du professeur sont-elles en accord avec la proportion p dans le lycée ?

62 Un atelier réalise le polissage de lentilles. À la sortie du robot de polissage, on classe les lentilles en suivant deux catégories A (haute qualité) et B (qualité moyenne). On contrôle la production en prélevant au hasard des échantillons de 80 lentilles.

a) Valeurs initiales Renseignez les cellules B3 et D3. b) Protocole l k prend les valeurs de 0 à n. Tapez 0 en A6. l P(X  k) donne les probabilités cumulées selon la loi binomiale de paramètres n et p. Tapez en B6 : =SI(A60,025;A6/B$3;’’’’). Tapez en D6 : =SI(B6>=0,975;A6/B$3;’’’’). l Sélectionnez la plage A6:D6 puis recopiez vers le bas jusqu’à obtenir pour k la valeur n (ici : n = 30). a b Les bornes et sont les premières valeurs qui appan n raissent dans les colonnes correspondantes. Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale

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341

EXERCICES

c) Affichage des intervalles l Intervalle selon la loi binomiale Tapez en H5 : =MIN(C6:C1006). Tapez en H7 : =MIN(D6:D1006). l Intervalle selon la formule de seconde Tapez en J5 : =D3-1/RACINE(B3). Tapez en J7 : =D3+1/RACINE(B3). 2. Comparez les deux intervalles de fluctuation. 3. Utilisez ce programme dans les cas suivants : a) n = 30, p = 0,6 ;

b) n= 30, p = 0,85 ;

c) n = 100, p = 0,15 ;

d) n = 100, p = 0,55 ;

e) n = 500, p = 0,22 ; Que constatez-vous ?

f) n = 500, p = 0,9.

ROC

Restitution organisée de connaissances

64 Prérequis : n est le nombre de chemins menant à k succès lors k de n répétitions d’une épreuve de Bernoulli. n n = . Si 0  k  n alors k n–k Démonstration On s’intéresse au nombre de chemins conduisant à 3 succès lors de 6 répétitions. Ces succès sont répartis au fil des répétitions. Si on obtient k succès (0  k  3) lors des trois premières répétitions on obtient 3 – k succès lors des trois dernières.

1 2

1 2 1

2

1. Prouvez que parmi les chemins conduisant à trois succès au terme des six répétitions il y en a respective3 2 3 2 3 2 3 2 ment , , , qui indiquent 0, 1, 2, 3 0 1 2 3 succès lors des trois premières répétitions.

Prendre toutes les initiatives 65 Un QCM comprend dix questions auxquelles on répond par « Vrai » ou « Faux ». Un élève répond au hasard à toutes les questions. A-t-il autant de chances de répondre exactement à trois questions que de répondre exactement à sept ?

66 A et B sont deux avions équipés respectivement de deux et trois moteurs qui fonctionnent de façon indépendante. Chaque moteur a la même probabilité p = 10–3 de tomber en panne. Un avion ne peut achever son vol que si la moitié au moins de ses moteurs fonctionnent. Quel est l’avion le plus fiable entre A et B ? Ce résultat est-il valable pour toute valeur de p telle que 0 < p < 1 ?

67 Au cours d’une quinzaine commerciale, un magasin offre un billet de loterie à tout acheteur d’un appareil électroménager. Les cinq cents billets numérotés de 1 à 500 sont tous distribués. Parmi eux cinquante billets sont gagnants et rapportent des bons d’achat. Le magasin annonce : « pour doubler vos chances d’avoir au moins un billet gagnant, achetez deux appareils ». Une personne sensible à la publicité achète deux appareils et tire deux billets au hasard. A-t-elle raison de suivre le conseil publicitaire ?

1 2 1 2 1 2 1 2

2. Déduisez-en les entiers n et p tels que : 3 2 3 2 3 2 3 2 n + + + =    [1] 0 1 2 3 p Application Comment lire cette formule dans le triangle de Pascal ? Écrivez la formule analogue qui correspond au nombre de chemins conduisant à quatre succès au terme de huit répétitions.

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

342

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

68 En moyenne, cinq sur vingt Lors d’un test, on pose vingt questions à un candidat. Pour chaque question, k réponses sont proposées aux candidats dont une seule est exacte. Le candidat choisit au hasard une des réponses proposées à chaque question. On lui attribue un point par bonne réponse mais on le pénalise de 0,5 point par mauvaise réponse. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de bonnes réponses aux vingt questions du test.

Application Calculez P(X5 = 7). d) Calculez E(Xn). Interprétez ce résultat.

70 Vieux jeu ! Un des jeux à la mode dans les années 1987-1993 était le tapis vert. 1 R D V 10 9 6 7

1. a) Quelle est en fonction de k, la loi de X ?

1 R D V 10 9 6 7

b) Exprimez E(X) en fonction de k.

1 R D V 10 9 6 7

2. On appelle N la variable aléatoire qui indique la note du candidat. a) Exprimez N en fonction de X. b) Déduisez-en E(N) en fonction de k. c) Comment choisir k pour que le candidat qui répond au hasard obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.

69 Des sauts de puce Une piste est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, 3, etc. Une puce se déplace de la gauche vers la droite, de une ou deux cases au hasard, à chaque saut. Au départ elle est à la case 0. +1 +1 0

1

+2 2

3

+1 4

+2 5

6

7

…

Par exemple : au 1er saut, la puce avance d’une case, au 2e d’une case, au 3e de deux cases, au 4e d’une case et au 5e de deux cases. Au cinquième saut, elle arrive à la case 7. On se propose d’étudier la variable aléatoire notée Xn qui indique le numéro de la case occupée après n sauts (n entier, n > 1).

1 R D V 10 9 6 7 Le jeu consistait à remplir une grille en cochant un pique, un cœur, un carreau et un trèfle. Le tirage quotidien se faisait en direct à la télévision : une carte de chaque couleur définissait la grille gagnante. Si on avait coché : – les 4 cartes tirées, on gagnait 1 000 fois sa mise ; – 3 cartes tirées, 30 fois sa mise ; – 2 cartes tirées, 2 fois sa mise. 1. On note X la variable aléatoire qui à chaque grille associe le nombre de cartes qui coïncident avec les cartes tirées. a) Justifiez que X suit une loi binomiale de paramètres 1 n = 4 et p = . 8 b) Dressez le tableau de la loi de probabilité de X avec les probabilités écrites sous forme de fractions. c) Déduisez-en la probabilité d’avoir une grille gagnante. 2. On note G le gain algébrique du joueur pour une mise de 1 e.

1. Déterminez la loi de probabilité de X1 puis calculez son espérance E(X1).

a) Donnez la loi de probabilité de G.

2. On appelle Yn la variable aléatoire qui indique le nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n premiers sauts. Justifiez que Yn suit une loi binomiale de paramètres n 1 et p =  . Déduisez-en E(Yn). 2 3. a) Prouvez que Xn = 2n – Yn.

3. On suppose qu’un joueur remplisse une grille au hasard tous les jours pendant une semaine. Quelle est la probabilité à 10–4 près que le joueur soit gagnant au moins une fois dans la semaine ?

Aide

Remarquez que la puce se déplace d’une case Yn fois et de deux cases (n – Yn) fois. b) Quelles sont les valeurs prises par Xn ? c) Déduisez-en que pour tout entier naturel k tel que n 1 n n  k  2n, P(Xn = k) = × . 2n – k 2

1

2 1 2

EXERCICES

Approfondissement

b) Quelle est l’espérance de gain à 0,01 e près ?

Commentaire

Ce jeu a disparu en 1993 car trop risqué pour l’organisateur. Beaucoup de parieurs aiment jouer le « carré d’as ». Imaginons la catastrophe si les quatre as sortaient… Ceci est arrivé le 28 mars 1988 ! Il y eut le nombre record d’environ 22 000 gagnants.

71 Trois ou cinq relais ? Un système de communication comprend cinq relais. Chaque relais fonctionne indépendamment des autres avec une probabilité p (0 < p < 1) et donc ne fonctionne pas avec une probabilité q = 1 – p. Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale

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343

EXERCICES

Le système total peut effectivement fonctionner si au moins la moitié de ses relais sont en état de marche. On désire comparer ce système avec celui qui ne contient que trois relais et qui fonctionne sous les mêmes conditions. On note P5 (resp. P3) la probabilité que le système à 5 relais (resp. à 3 relais) fonctionne. 1. Démontrez que : P5 = 10p3q2 + 5p4q + p5. 2. De même, exprimez P3 en fonction de p et q. 3. a) Vérifiez que P5 – P3 = 6p5 – 15p4 + 12p3 – 3p2. Remarque

Un logiciel de calcul formel permet de factoriser cette expression sous la forme : P5 – P3 = 3p2(p – 1)2 (2p – 1). b) Déduisez-en l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles le système à cinq relais est préférable à celui à trois.

72 Espérance de la loi binomiale On considère un schéma de Bernoulli d’ordre n associé à une épreuve telle que la probabilité de succès soit p. On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de succès au terme des n épreuves. Pour tout entier k tel que 1  k  n on considère la variable aléatoire Xk qui prend la valeur 1 si le succès est réalisé lors de la ke épreuve, 0 sinon. exercice 68, page 313 1. Quelle est l’espérance de Xk ? 2. Justifiez que X = X1 + X2 + … + Xn. 3. Déduisez-en que E(X) = np.

73 Espérance d’une loi géométrique tronquée On considère l’expérience aléatoire qui consiste à répéter dans des conditions identiques une épreuve de Bernoulli de paramètre p (0 < p < 1) avec au maximum n répétitions et arrêt du processus au premier succès. On note X la variable aléatoire qui prend la valeur : l 0 si aucun succès n’est obtenu ; er l k si le 1 succès est obtenu à l’étape k (1  k  n). On pose q = 1 – p. 1. a) Prouvez que P(X = 0) = qn et que pour tout nombre entier k tel que 1  k  n, P(X = k) = qk–1 p. Aide Utilisez un arbre « réduit » (voir exercice 37). n

S P(X = k) = 1. k=0

b) Vérifiez que 

2. Prouvez que E(X) = p(1 + 2q + 3q2 + … + nqn–1). 3. On considère la fonction f définie sur I = ]0 ; 1[ par : f(x) = 1 + x + x2 + x3 + … + xn. xn+1 – 1 a) Prouvez que f(x) = . x–1 b) Justifiez que f est dérivable sur I et donnez deux expressions de f’(x), pour tout x de I. 4. a) Vérifiez que E(X) = pf’(q).

344

b) Déduisez de la question 3 que : 1 E(X) =  31 – (1 + np)(1 – p)n4. p Remarque

1 On admettra que E(X) tend vers p lorsque n tend vers + ∞.

74 Implication

LOGIQUE

Les implications (Q1) ⇒ (Q2) sont-elles vraies ? On considère un schéma de Bernoulli d’ordre n associé à une épreuve dont l’issue du succès a pour probabilité p(0 < p < 1). On pose q = 1 – p. 1. (Q1) : X est la variable aléatoire qui indique le nombre de succès au terme des n épreuves. (Q2) : Z = n – X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et q. 2. (Q1) : Y est la variable aléatoire qui indique le rang du premier succès, 0 sinon. n

S P(Y = k) = 1. k=1

(Q2) : 

3. X est la variable aléatoire définie à la question 1. h et k sont deux entiers tels que 0  h < k  n. (Q1) : A est l’événement « h < X  k ». (Q2) : P(A) = P(X  k) – P(X  h).

Prendre toutes les initiatives 75 Une fontaine en cascades On suppose que toutes les vasques sont remplies et que le débit est constant. Prouvez que les volumes d’eau reçus par chaque vasque d’un même niveau sont proportionnels aux coefficients du triangle de Pascal. 76 Probabilité et suite Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On répète n(n > 2) fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule avec remise et à noter sa couleur. Les boules ont la même probabilité d’être tirées et les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer des boules des deux couleurs lors des n tirages. À partir de quel nombre n de tirages a-t-on pn > 0,999 ? 77 Le risque des impasses Le programme d’un examen d’oral est constitué de 20 sujets. On propose à chaque candidat deux sujets tirés au hasard, l’un après l’autre : le candidat traite alors le sujet de son choix. Combien de sujets au minimum, un candidat doit-il connaître pour avoir plus de 75 % de chances de savoir traiter au moins l’un des sujets ?

Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

L es exercices suivants permettent de revoir les principales méthodes de résolution abordées dans le chapitre. Faites ces exercices à votre rythme, en utilisant si besoin les coups de pouce page 381.

A Un arbre qui porte ses fruits

1

Une urne contient des boules identiques de trois couleurs : bleues (B), vertes (V) et rouges (R). On tire au hasard et avec remise deux boules de l’urne. On sait que la probabilité de tirer : 1  ; l deux boules bleues est 36 1  . l l’une bleue, l’autre rouge est 6 L’expérience est représentée par l’arbre pondéré ci-contre, où les probabilités des événements B, V et R sont inconnues. 1. Reproduisez puis complétez l’arbre. 2. L’urne contient 18 boules : quelle est sa composition ?

B Au basket-ball Lucy est inscrite dans un club de basket-ball. Son entraîneur a constaté que lors d’un tir au niveau du poste central la probabilité qu’elle marque un panier est p = 0,6. À l’entraînement, Lucy effectue une série de n lancers depuis ce poste. On admet que tous ces lancers sont indépendants. 1. Dans cette question n = 4. Calculez les probabilités des événements suivants. l A : « Lucy marque tous ses paniers » ; l B : « Lucy marque trois paniers » ; 2 l C : « Lucy marque au moins un panier ». 2. Quel est le nombre minimum n0 de lancers, à partir du poste central, que Lucy doit effectuer afin que la probabilité qu’elle réussisse au moins un panier dépasse 0,999 9 ? 3

C Au cinéma Une ville ne dispose que d’un cinéma situé au centreville et d’un cinéma multiplexe situé en périphérie. Des films français et étrangers sont projetés dans leurs salles. Une enquête a montré que parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville : l 75 % préfèrent le cinéma multiplexe (M) ; l 10 % préfèrent le cinéma du centre-ville (C) et les films français (F) ; l 70 % préfèrent les films étrangers (E). 1. On interroge au hasard un spectateur régulier.

EXERCICES

Travail en autonomie Calculez les probabilités que la personne préfère : a) les films français et le cinéma multiplexe ; b) les films français ou le cinéma du centre-ville.

4

2. On interroge au hasard, et de façon indépendante, dix personnes qui vont régulièrement au cinéma. Calculez la probabilité, à 10–3 près, que parmi elles cinq préfèrent : a) les films français et le cinéma multiplexe ; b) les films français ou le cinéma du centre-ville.

5

D La grande braderie Lors des soldes, une boutique affiche des rabais sur un lot de 250 tee-shirts initialement vendus 35 €. Le fournisseur estime qu’un tee-shirt sur cinq présente un léger défaut de coloris. La gérante prévoit un rabais de 40 % sur les tee-shirts sans défaut, un rabais de 60 % sur les autres, et pense écouler la totalité de son stock. Les coûts d’étiquetage sur ce lot s’élèvent à 150 €. 1. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de tee-shirts sans défaut. Quelle est la loi de probabilité de X ? Précisez la valeur de E(X). 6 2. V est la variable aléatoire qui indique le chiffre d’affaires en euros, réalisé sur la vente du stock, déduction faite des frais d’étiquetage. a) Exprimez V en fonction de X. b) Quel chiffre d’affaires, en euros, peut espérer la gérante de la boutique sur la vente de ce lot de tee-shirts ? 7

E Vente aux enchères Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. La direction affirme que trois quarts des vendeurs opérant sur son site sont satisfaits. Une enquête de satisfaction a montré que sur 872 vendeurs, 618 se déclarent satisfaits. 1. On suppose que la proportion de vendeurs satisfaits est p = 0,75. Déterminez l’intervalle I de fluctuation à 95 %, selon la loi binomiale, de la fréquence de réalisation de l’événement « le vendeur est satisfait de la transaction ». 8 2. Peut-on considérer, au seuil de 5 %, que l’affirmation de la direction est exacte ? 9 Chapitre 13 ● Probabilités : loi binomiale

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Le vocabulaire de la

LOGIQUE Ces pages peuvent être utilisées dès le début de l’année car les exemples proposés sont tous tirés de la classe de Seconde.

1

Les conjonctions « et », « ou »   La conjonction « et » 1.1 En mathématiques , le sens de la conjonction « et » est le sens du langage courant. ● Le nombre x est supérieur à 1 et inférieur à 3. x ● Le triangle ABC est rectangle et isocèle. 1

L’ensemble « A et B »

3

A«B

Considérons les deux ensembles de nombres : A = {– 5 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 4}. Les nombres qui appartiennent à la fois à A et B sont les nombres : 1 et 2. L’ensemble de ces nombres est appelé « A inter B » ; il est noté A  B. On écrit : A  B = {1 ; 2}.

A

–4 0 –3 –5 –2 –1

B 1

3

2

4

  La conjonction « ou » en langage mathématique 1.2 On l’a vu, en mathématiques, le sens de la conjonction « et » est le sens du langage courant. Il n’en est pas de même pour la conjonction « ou ». Dans le langage courant, le « ou » est exclusif. En mathématiques, le « ou » est non exclusif : il est inclusif.

Exemple. Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard. On gagne si la carte tirée est « un roi ou une carte de couleur rouge ». On gagne à ce jeu lorsque la carte est un roi qui n’est pas de couleur rouge, ou alors une carte de couleur rouge qui n’est pas un roi, ou alors un roi de couleur rouge. Ainsi, en mathématiques, le « ou » accepte les deux cas à la fois. L’ensemble « A ou B »

Reprenons les deux ensembles A et B précédents. Quels sont les nombres qui appartiennent à A ou à B ? En mathématiques, la réponse est la suivante. Ces nombres sont : – soit les nombres qui sont dans A sans être dans B : – 5 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; – soit les nombres qui sont dans B sans être dans A : 3 ; 4 ; – soit les nombres qui sont dans A et dans B : 1 ; 2. Ce sont donc les nombres : – 5 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. L’ensemble des nombres qui appartiennent à A ou à B est appelé « A union B » ; il est noté A  B . On écrit : A  B = {– 5 ; – 4 ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. A»B A

–4 0 –3 –5 –2 –1

346

B 1 2

3

Les nombres qui sont à la fois dans A et B ne sont écrits qu’une seule fois.

4

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Le vocabulaire de la logique

  Emploi de « et » et de « ou » : exemples 1.3 Pour deux nombres a et b : ● ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0 ; ● ab ≠ 0 équivaut à a ≠ 0  et  b ≠ 0 ; 2 2 ● a + b = 0 équivaut à a = 0  et  b = 0.

2

L’implication Le mot proposition désigne, à notre niveau, une phrase qui est soit vraie, soit fausse. Une proposition sera notée (P) ou (Q).

  L’implication : si…, alors… 2.1 Examinons l’énoncé suivant : « Si x > 2, alors x2 > 4 ». Cet énoncé affirme ceci : si la proposition (P) : « x > 2 » est vraie, alors la proposition (Q) : « x2 > 4 » est vraie. Un tel énoncé est une implication. Le graphique ci-contre montre que l’implication est vraie.

y

4

On dit alors que l’hypothèse (P) implique la conclusion (Q). Ce qui se traduit par Si (P), alors (Q) ou par (P) donc (Q). Pour signifier que (P) implique (Q), on peut écrire (P) ⇒ (Q).

1 O

Autre exemple

x

12

D

C

« Si A Y B=D Y C, alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) » est aussi une implication vraie. A

Implications implicites

B

« Implicite » signifie que l’implication n’est pas exprimée comme on vient de l’expliquer.

Parfois, dans un énoncé, l’implication est implicite. Par exemple, « Deux nombres opposés ont leurs carrés égaux » est une implication implicite. En effet, cette phrase signifie : « Si deux nombres sont opposés, alors leurs carrés sont égaux ».

  Condition suffisante, condition nécessaire 2.2 Dans l’implication « Si (P), alors (Q) », on dit que (P) est une condition suffisante pour (Q) et que (Q) est une condition nécessaire pour (P).

Exemple





« Si le quadrilatère ABCD est un losange, alors ABCD est un parallélogramme. » (P) (Q)

Il suffit que (P) soit vraie pour que (Q) soit vraie. Il faut que (Q) soit vraie pour que (P) le soit. En effet, si (Q) est fausse (si ABCD n’est pas un parallélogramme), (P) est fausse aussi (ABCD ne peut pas être un losange).

B A

C D

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347

Le vocabulaire de la logique

  Implication réciproque d’une implication 2.3 Reprenons l’implication : « Si x > 2, alors x2 > 4 ». Par définition, l’implication réciproque de « si (P), alors (Q) » est « si (Q), alors (P) ». L’implication réciproque s’énonce : « Si x2 > 4, alors x > 2 ». Cette implication est fausse. En effet, le nombre x = – 3 est tel que « x2 > 4 » est vraie et « x > 2 » est fausse.

Autre exemple Reprenons l’autre exemple du paragraphe 2.1. L’implication réciproque de « si (P), alors (Q) » est : « Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati), alors YAB = YDC ». Cette implication réciproque est vraie.

3

Propositions équivalentes   Un exemple pour comprendre 3.1 Reprenons les propositions (P) : « YAB = D Y C » et (Q) : « ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ». Nous avons vu que « Si (P), alors (Q) » et « Si (Q), alors (P) » sont des implications vraies. On dit alors que (P) et (Q) sont équivalentes. Deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsque (P) implique (Q) et lorsque (Q) implique (P). On peut écrire (P) ⇔ (Q), ce qui se traduit par (P) équivaut à (Q) ou par (P) si et seulement si (Q).

Autres exemples 1. Comme le montre le graphique ci-dessous, « 

1 1 >  » équivaut à « x ∈ ]0 ; 2] ». x 2

y

1 2

1 O

1

2

x

2. « ABC est un triangle rectangle en A » équivaut à « BC2 = AB2 + AC2 ».

  Condition nécessaire et suffisante 3.2 Lorsque (P) équivaut à (Q), on dit que (P) est une condition nécessaire et suffisante pour (Q) ou que (Q) est une condition nécessaire et suffisante pour (P).

348

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Le vocabulaire de la logique

4

Les quantificateurs   Les locutions « Quel que soit », « Pour tout » 4.1 Exemples 1. La proposition (P) : « Quel que soit le nombre x de l’intervalle [0 ; 1],

y

y = x2 x2 < x » est une proposition vraie illustrée par la figure ci-contre. Quel que soit est appelé quantificateur universel. Ce quantificateur permet 1 x de préciser l’ensemble des nombres x tels que x2 < x. x2 Il signifie que tout nombre x de l’intervalle [0 ; 1] possède la propriété x2 < x. On peut dire aussi : « Pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 1], x2 < x ». O x 1x y=x « Pour tout » est aussi un quantificateur universel. 2. « Pour tout nombre x, x2 + 4x – 5 = (x + 2)2 –9 » est une proposition vraie. 3. « Pour tout x de l’intervalle [– 1 ; 2], x2 ∈ [1 ; 4] » est une proposition fausse. En effet, 0 est dans [– 1 ; 2] et 02 ∉ [1 ; 4]. 4. « Quelle que soit la série de données statistiques, la médiane est comprise entre les quartiles Q1 et Q3 » est une proposition vraie.

Remarque : « Pour tout » et « un » Parfois, « quel que soit » ou « pour tout » sont remplacés par l’article indéfini « un ». Par exemple, la proposition : « Dans un triangle, les médianes sont concourantes » doit se comprendre ainsi : « Pour tout triangle, les médianes sont concourantes ».

  La locution « Il existe au moins un » 4.2 Un exemple pour comprendre

f est la fonction définie sur R par f (x) = 2x + 3. La proposition « Il existe au moins un nombre x tel que f (x)  5 » est une proposition vraie. En effet, par exemple, f (2)  5. (En réalité, tous les nombres x tels que x  1 sont tels que f (x)  5.) Il existe au moins un est appelé quantificateur existentiel.

Autres exemples 1. « Il existe au moins un nombre x tel que 4 cos x = 5 » est une proposition fausse.

5 > 1 et pour tout nombre x, – 1  cos x  1. 4 2. Considérons la proposition (P) : « Si a, b et c sont trois nombres positifs tels que a + b + c = 12, alors parmi ces trois nombres, il en existe au moins un qui est supérieur ou égal à 4 ». Cette proposition est vraie. En effet si a, b et c, positifs, sont tous strictement inférieurs à 4, leur somme est strictement inférieure à 12. Donc au moins l’un de ces nombres est supérieur ou égal à 4. En effet, 4 cos x = 5 signifie cos x =

5

Négation d’une proposition   Définition 5.1 à partir d’une proposition (P), on peut toujours énoncer une autre proposition notée (non P) qui est la négation de (P). Par exemple, la négation de la proposition « Le triangle ABC est isocèle » est « Le triangle ABC n’est pas isocèle ». Des deux propositions, évidemment, si l’une est vraie, l’autre est fausse, et réciproquement. Le vocabulaire de la logique « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

349

Le vocabulaire de la logique

  Négation d’une proposition (P1 et P2) 5.2 On tire une carte d’un jeu de 32 cartes et on considère la proposition (P) : « la carte tirée est une figure de couleur rouge ». (P) est de la forme (P1 et P2) avec : Figure 7, 8, 9, 10, as (P1) : « la carte est une figure » et (P2) : « la carte est rouge ». Dans le Rouge (P) tableau ci-contre, (P) est représenté par la case verte. Donc (non P) Noire est représentée par les trois cases bleues. Ainsi, nier (P), c’est dire que « la carte n’est pas une figure » ou « la carte n’est pas rouge ». La négation de (P1 et P2) est la proposition ((non P1) ou (non P2)).

  Négation d’une proposition (P1 ou P2) 5.3 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. La proposition (P) : « la carte tirée est un Pique ou une figure » est de la forme (P1 ou P2) avec (P1) : « la carte tirée est un Pique » ou (P2) : « la carte tirée est une figure ». Figure

Dans le tableau ci-contre, (P) est représentée par les trois cases Pique vertes. Non pique Donc (non P) est représentée par la case bleue. Ainsi, nier (P), c’est dire que la carte tirée n’est pas un Pique et n’est pas une figure.

7, 8, 9, 10, as Non (P)

La négation de (P1 ou P2) est la proposition ((non P1) et (non P2)).

  Négation d’une proposition universelle 5.4 Une proposition universelle est une proposition qui contient le seul quantificateur « pour tout » ou « quel que soit » (ou « pour tous » ou « quels que soient »).

Exemple

Prenons la proposition (P) suivante : « Pour tout nombre x, (x + 1)2 > 0 ». Nier (P), c’est dire : « Il existe au moins un nombre x tel que (x + 1)2  0 ». (Non P) est vraie car pour x = – 1, (x + 1)2 = 0. Donc (P) est fausse.

Cas général Notons (P) la proposition : « Pour tout élément x d’un ensemble E, x satisfait à une condition C ». Alors (non P) est la proposition : « Il existe au moins un élément x de E qui ne satisfait pas la condition C ».

Conséquence : démonstration par recours à un contre-exemple à l’aide d’un contre-exemple, démontrons que la proposition (P) : « Pour tout nombre x > ­–1, x2 > 1 » est fausse. Démontrer que (P) est fausse revient à démontrer que sa négation (non P) est vraie. Or (non P) est : « Il existe au moins un nombre x tel que x > ­–1, et tel que x2 < 1 ». Il s’agit donc de trouver un tel nombre x. On cherche au plus simple : zéro convient car 0 > ­–1 et 02 < 1. Donc (P) est fausse.

350

Le vocabulaire de la logique « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Le vocabulaire de la logique

  Négation d’une proposition existentielle 5.5

H

Exemple. La négation de la proposition (P) : « Il existe au moins un triangle dont l’orthocentre est à l’extérieur du triangle » est : « Pour tout triangle, l’orthocentre est à l’intérieur du triangle ». Ici, (P) est vraie (figure ci-contre), et donc (non P) est fausse.

A B

C

Cas général Notons (P) la proposition : « Il existe au moins un élément x de l’ensemble E qui satisfait à une condition C ». Alors (non P) est la proposition : « Pour tout élément x de E, x ne satisfait pas à C ».

6

Contraposée d’une implication Par définition, la contraposée de l’implication : « (P) implique (Q) » est « (non Q) implique (non P) ».

Une implication et sa contraposée sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses : elles sont équivalentes.

Supposons que « (P) implique (Q) » soit vraie. Alors « (non Q) implique (non P) » est vraie aussi. En effet, si « (non Q) implique (non P) » est fausse, alors « (non Q) implique (P) » est vraie. Puisque « (P) implique (Q) » est vraie, on déduit que « (non Q) implique (Q) » est vraie, ce qui est impossible. On en déduit que « (non Q) implique (non P) » est vraie.

Intérêt de la contraposée 1. Le théorème de Pythagore est vrai :

Si (P) : « Un triangle ABC est rectangle en A », alors (Q) : « BC² = AB² + AC² ». Donc sa contraposée est vraie. Or sa contraposée s’énonce : Si (non Q) : « Dans un triangle ABC, BC² ≠ AB² + AC² », alors (non P) : « ABC n’est pas rectangle en A ». Cette contraposée permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

2. La proposition suivante est vraie :

« Dans un repère, si les vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) sont colinéaires, alors xy’ – x’y = 0. » Par contraposée, on déduit une autre proposition vraie : « Dans un repère, si deux vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) sont tels que xy’ – x’y ≠ 0, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. »

Différence entre implication réciproque et contraposée La réciproque de « (P) implique (Q) » est « (Q) implique (P) » tandis que la contraposée est « (non Q) implique (non P) ».

Exemple





(O ; ai, aj ) est un repère du plan. Une équation de la droite d est y = mx + p et une équation de la droite d’ est y = m’x + p’. Considérons l’implication (A) : « d est parallèle à d’ implique que m = m’ ». (P) (Q) L’implication réciproque de (A) est (B) : « m = m’ implique que d est parallèle à d’ ». La contraposée de (A) est : « m ≠ m’ implique que d et d’ sont non parallèles ». Ces implications sont toutes vraies. La réciproque sert à démontrer que deux droites du plan sont parallèles, tandis que la contraposée sert à démontrer que deux droites du plan sont non parallèles, c’est-à-dire sécantes. Le vocabulaire de la logique « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

351

Quelques types de

RAISONNEMenT

1

Démontrer une implication   Par implications successives 1.1 Notons (P) la proposition : « 0 < x < 2 et 0 < y < 2 » et (Q) la proposition : «  Démontrons que « (P) implique (Q) » est vraie.



0 1. x y

On ajoute membre à membre des inégalités de même sens.

On a effectué la démonstration par implications successives (P) ⇒ (P1) ⇒ (Q). L’organigramme d’une démonstration par implications successives est : (P) ⇒ P1 ⇒ P2 ⇒ … ⇒ Pn ⇒ (Q), où chaque proposition (Pi) se déduit des propositions précédentes ou d’une partie d’entre elles.

  Par transformation de la conclusion 1.2 Au lieu de démontrer que (P) implique (Q), on remplace (Q) par une proposition (Q’) qui lui est équivalente. L’organigramme d’une telle démonstration est (P) ⇒ (Q’) ⇔ (Q).

Exemple. Démontrons que : « pour tout nombre x  0 et tout nombre y > 0, 24xy  x + y ».

Cette proposition est l’implication : « si x  0 et y  0, alors 24xy  x + y ». Dans l’ensemble des nombres positifs, on sait que « a  b » équivaut à « a2  b2 ». On remplace donc (Q) : « 24xy  x + y » par la proposition équivalente (Q’) : « 4xy  (x + y)2 ». (Q’) équivaut à (Q1) : « 4xy  x2 + y2 + 2xy » ; (Q1) équivaut à (Q2) : « 0  (x – y)2 ». (Q2) est vraie car tout carré est positif ou nul, donc (P) ⇒ (Q2) ⇔ (Q1) ⇔ (Q') ⇔ (Q).

  Par utilisation de la contraposée 1.3 Une proposition et sa contraposée sont équivalentes. Ainsi, pour démontrer qu’une proposition est vraie, on peut démontrer que sa contraposée est vraie.

Exemple. Démontrons la proposition :

5

5

5

5

Si le carré d’un entier naturel n est pair, alors n est pair. (P) (Q) La contraposée de cette implication est : Si n est un entier naturel impair, alors n2 est impair. (non Q) (non P) Supposons donc que n est impair, c’est-à-dire que n = 2k + 1, où k est un entier naturel. Alors n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Donc n2 est impair. La contraposée est vraie donc la proposition « Si le carré d’un entier n est pair, alors n est pair » est vraie.

  Par l’absurde 1.4 Pour démontrer par l’absurde l’implication « (P) implique (Q) », on conserve l’hypothèse (P) et on ajoute l’hypothèse (non Q). À partir de l’hypothèse (P et (non Q)), on déroule un raisonnement qui aboutit à une contradiction ou à une proposition impossible. Il en résulte que (non Q) est fausse, donc que (Q) est vraie.

352

Quelques types de raisonnement « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Quelques types de raisonnement

Démontrons avec cette méthode l’implication : Si (P) : « x est un nombre différent de 3 », alors (Q) : «  Supposons ((P) et (non Q)), c’est-à-dire :



x+1 est différent de 1 ». x–3



x ≠ 3 (P) x≠3 et alors x+1 x + 1 = x –3 = 1  (non Q) x–3

soit



x≠3 0=4

0 = 4 est impossible. En conclusion, la proposition (non Q) est fausse et (Q) est vraie.

2

Démontrer une équivalence Pour démontrer l’équivalence : (P) équivaut à (Q), on retiendra deux façons. 1 Par double implication On démontre que (P) ⇒ (Q) et (Q) ⇒ (P). 2 Par équivalences successives

On démontre que (P) ⇔ (Q1) puis (Q1) ⇔ (Q2), … jusqu’à (Qn) ⇔ (Q).

Par double implication : étude d’un exemple a et b sont des nombres positifs. Démontrons l’équivalence : (P) : « a < b » équivaut à (Q) : « a2 < b2 ». Supposons que (P) est vraie : a < b. (Q) : « a2 < b2 » équivaut à (Q’) : « (a + b) (a – b) < 0 ». a et b sont positifs et b > a donc b > 0 ; ainsi a + b > 0. a < b soit a – b < 0 donc (a + b) (a – b) < 0. Ainsi (P) ⇒ (Q’) est vraie. Donc (P) ⇒ (Q) est vraie. ●

Supposons que (Q) est vraie : a2 < b2. Alors (a + b) (a – b) < 0. a et b sont positif et b > a donc b > 0 ; ainsi a + b > 0. Comme (a + b) (a – b) < 0, on a donc a – b < 0, soit a < b. Donc (Q) ⇒ (P) est vraie. ● Conclusion : (P) ⇒ (Q) et (Q) ⇒ (P) donc (P) ⇔ (Q). ●

Par équivalences successives : étude d’un exemple Démontrons que (P) : « a2 = b2 » équivaut à (Q) : « a = b ou a = – b ». (P) équivaut à (P1) : « a2 – b2 = 0 » et (P1) équivaut à (P2) : (a + b) (a – b) = 0. Enfin (P2) équivaut à (Q) : « a = b ou a = – b ». Ainsi (P) ⇔ (P1) ⇔ (P2) ⇔ (Q).

Quelle méthode choisir ? On utilise plutôt la méthode par équivalences successives lorsque les équivalences intermédiaires sont bien connues. Sinon, en cas de doute, il est préférable d’opérer en deux étapes, par double implication. Quelques types de raisonnement « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

353

Quelques types de raisonnement

3

Autres types de raisonnements   Démonstration par disjonction des cas : exemple 3.1 ABC est un triangle quelconque. On note AB = c, AC = b, BC = a et a la mesure en degrés de l’angle kBAC. C a

b a

A

B c 1 On se propose de démontrer que aire(triangle ABC) = bc sin a. 2 Pour cela, on va examiner les deux seuls cas de figures possibles : kBAC est un angle aigu ou kBAC est un angle obtus. ●

1er cas : kBAC est un angle aigu C b A



a a B

H c

a

Dans le triangle rectangle AHC, CH = b sin a. 1 1 Or aire(ABC) = AB × CH. Donc aire(ABC) = bc sin a. 2 2 e ● 2 cas : kBAC est un angle obtus C

β

H A



a

b

Note

N

α c

B

Dans le triangle rectangle AHC, CH = b sin b. Or b = 180° – a et sin(180° – a) = sin a. 1 Donc CH = b sin a et aire(ABC) = bc sin a. 2 1 ● Conclusion : Pour tout triangle ABC, aire(ABC) = bc sin a. 2

A’

B

+

180° – α α

O

M α

A

M et N sont symétriques par rapport à OB, donc : sin (180° – a) = sin a.

  Démonstration par utilisation d’un contre-exemple 3.2 y

f est la fonction définie sur R par f (x) = x2 – 4x + 3. (P) est la proposition : « Pour tout nombre x, x2 – 4x + 3  0 ». (P) est une proposition universelle. 1 Pour démontrer que (P) est une proposition fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire de prouver que la proposition (non P) : x O 1 3 « Il existe un nombre x tel que x2 – 4x + 3 < 0 » est une proposition vraie. Pour x = 2, f (2) = 4 – 8 + 3 = –1 < 0 donc (non P) est vraie. Ainsi la proposition (P) est fausse.

354



Quelques types de raisonnement « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Rappels Ces rappels viennent compléter ceux qui se trouvent dans chaque chapitre.

1

Comparer des nombres a, b, c et d sont des nombres quelconques. Pour comparer deux nombres, on dispose de plusieurs méthodes. l

On utilise la calculatrice, lorsqu’on peut trouver des valeurs exactes ou approchées significatives.

l

On étudie le signe de la différence car : « a < b » équivaut à « a – b < 0 ».

l

Lorsque les nombres sont positifs, on compare leurs carrés car : « 0 < a < b » équivaut à « a2 < b2 ».

On utilise les règles de comparaison suivantes. R1 Si a < b et b < c, alors a < c.

R2 Si a < b, alors a + c < b + c et a – c < b – c.

R3 Si a < b et c < d, alors a + c < b + d.

R4 Si 0 < a < b et 0 < c < d, alors ac < bd.

l

a b <  . c c a b >  . et c c

R5 Si a < b et c > 0, alors ac < bc et Si a < b et c < 0, alors ac > bc

2

LOGIQUE

Vocabulaire de la logique ➜ p. 346

Intervalles Intervalle

Inégalité

[a ; b]

a > 0. a b

l

c  . c d

  Fonction homographique 6.2

ax + b cx + d où a, b, c, d sont des nombres connus avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0. La courbe représentative est une hyperbole. On appelle fonction homographique toute fonction qui peut s’écrire sous la forme f : x 

358

Rappels « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Rappels

7

Statistiques   Moyenne 7.1 La moyenne de la série statistique ci-contre est le nombre noté wx défini par : n1x1 + n2x2 + … + npxp avec N = n1 + … + np wx = N ou n wx = f1x1 + f2x2 + … + fpxp avec fi = i  . N

Variable xi

x1

x2

…

…

xp

Effectif ni

n1

n2

…

…

np

Fréquence fi

f1

f2

…

…

fp

  Médiane 7.2 l La médiane d’une série statistique est le nombre, noté Me, qui partage la population selon le schéma suivant : Au moins 50 % des valeurs Au moins 50 % des valeurs

Plus petite valeur

Me

Plus grande valeur

l Pratiquement, la liste des N valeurs étant rangée par ordre croissant, chacune figurant un nombre de fois égal à son effectif : • si N est impair, N = 2k + 1, alors Me est la valeur de rang k + 1 ; • si N est pair, N = 2k, alors Me est la demi-somme des valeurs de rang k et k + 1.

  Quartiles 7.3 La liste des N valeurs est rangée par ordre croissant. l Le premier quartile est la plus petite valeur Q de la liste telle qu’au moins un quart des valeurs de 1 la liste sont inférieures ou égales à Q1.

Le troisième quartile est la plus petite valeur Q3 de la liste telle qu’au moins les trois quarts des valeurs de la liste sont inférieures ou égales à Q3.

l

8

Probabilités On note E l’univers de l’expérience, e1, …, en les issues et p(ei) la probabilité de ei. l

Si E = {e1, e2, …, en}, alors p(e1) + … + p(en) = 1.

l La probabilité d’un événement A, notée p(A), est la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dans A. l Lorsque les événements élémentaires sont équiprobables : nombre d’issue favorables à A p(A) =  . nombre d’issues possibles l A étant un événement de probabilité p(A), son événement contraire wA, a pour probabilité : p(wA) = 1 – p(A). l

Quels que soient les événements A et B, p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B). Rappels « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

359

Rappels

Lorsque A et B n’ont pas d’issues en commun, on dit qu’ils sont incompatibles. On écrit A ∩ B = ∅. Dans ces conditions, p(A ∩ B) = 0 et p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

l

AB E

E

B

A

B

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

9

A

Géométrie repérée   Coordonnées 9.1 Dans tout repère, les coordonnées du milieu I d’un segment [AB] sont : xA + xB yA + yB xI = et yI = . 2 2

Dans un repère orthonormé, la distance AB entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est telle que : AB = 0(xB – xA)2 + w(yB – yA)2 .

  Équations de droites 9.2 Toute droite (AB) non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p. y –y xB ≠ xA car (AB) n’est pas Son coefficient directeur m est B A  . parallèle à l’axe (Oy). xB – xA

l

l

Si la droite (AB) est parallèle à l’axe des ordonnées, une de ses équations est x = xA (ou x = xB).

l

Si la droite (AB) est parallèle à l’axe des abscisses, une de ses équations est y = yA (ou y = yB).

l

Dans un repère, la droite d a pour équation y = mx + p et la droite d’ a pour équation y = m’x + p’. d est parallèle à d’ ⇔ m = m’ d et d’ sont sécantes ⇔ m ≠ m’

Dire que « Trois points A, B, C, dont les abscisses sont distinctes deux à deux, sont alignés » équivaut à dire que « Les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur ». l

10

Les triangles : droites et points remarquables ABC est un triangle.

A C’ B

360

B’ G

• Les médianes d’un triangle sont concourantes.

• Leur point d’intersecC tion  G est le centre de A’ gravité du triangle. 2 2 2 AG =  AA’ ; BG =  BB’ et CG =  CC’. 3 3 3

• Les hauteurs d’un triangle sont concourantes.

A H B

C

• Leur point d’intersection H est l’orthocentre du triangle.

Rappels « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Rappels

• Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

A O B

11

12

C

• Leur point d’intersection O est le centre du cercle circonscrit au triangle. OA = OB = OC.

• Les bissectrices d’un triangle sont concourantes.

A R B

I

Q

P

• Leur point d’intersection I est équidistant de chacun des trois côtés du triangle. I est le centre du cercle inscrit. IP = IQ = IR.

C

Reconnaître un quadrilatère l

« ABCD est un parallélogramme » équivaut à

l

Un parallélogramme est un :

« Ses côtés opposés sont parallèles » ou « Ses diagonales ont le même milieu ».

losange • si deux côtés consécutifs ont la même longueur ;

rectangle • si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires ;

• si ses diagonales sont perpendiculaires.

• si ses diagonales ont la même longueur.

carré • s’il est à la fois un rectangle et un losange.

Cercles : droite tangente, cercles tangents  d

 La tangente au cercle # en un point M de # est la droite perpendiculaire l au point M à la droite (OM).

O M

l

# est un cercle de centre O et de rayon r et #’ est un cercle de centre O’ et de rayon r’ avec r > r’. 



’

O

r

r’

’ r O’

« Les cercles sont tangents ⇔ « OO’ = r + r’ » extérieurement »

O

O’

r’

« Les cercles sont tangents ⇔ « OO’ = r – r’ » intérieurement  Rappels

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

361

Rappels

13

Les vecteurs   Notion de vecteur 13.1 l

Deux vecteurs égaux sont deux vecteurs qui ont même direction, même sens et même longueur.

A, B, C, D sont quatre points deux à deux distincts et non alignés. « UAB = UCD » équivaut à « ABDC est un parallélogramme ». « UAB et UCD opposés » équivaut à « UCD = –UAB ».

l

  Somme de deux vecteurs 13.2 Relation de Chasles UAB + UBC = UAC Vecteurs « bout à bout »

B u

v C

A

u+v

Règle du parallélogramme UAB + UAC = UAD Vecteurs de même origine

D C

u+v u

B

v A

  Vecteurs colinéaires 13.3 l Dire que deux vecteurs non nuls UAB et UCD sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre k (k ≠ 0) tel que UCD = kUAB. l

Les trois propositions suivantes sont équivalentes. (AB) // (CD) ⇔

UAB et UCD colinéaires

⇔

Il existe un nombre k (k ≠ 0) tel que UCD = kUAB.

Dire que trois points A, B, C, distincts deux à deux, sont alignés équivaut à dire qu’il existe un nombre k (k ≠ 0) tel que : UAC = kUAB.

l

  Repère et coordonnées 13.4 Dans un repère 1O ; ai, aj   2 : l

Les coordonnées du vecteur UAB sont (xB – xA ; yB – yA).

au a pour coordonnées (x ; y) et av a pour coordonnées (x’ ; y’). k est un nombre. • Le vecteur au + av a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’). • Le vecteur kau a pour coordonnées (kx ; ky). • « au = av » équivaut à « x = x’ et y = y’ ».

l

362

Rappels « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés Corrigés des Questions-tests On peut aussi utiliser le fait que, pour des nombres positifs, le passage à l’inverse inverse l’ordre. 1 b) La fonction x  est strictement décroisx 4 1 3 sante sur ]0 ; + ∞[, et x > donc < . 3 x 4 c) Pour la même raison, comme x + 2 < x + 3, 1 1 > . alors x+2 x+3

Chapitre 1 1 a) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3). b) x2 – 5 = (x + 15)(x – 15). c) 36x2 – 25 = (6x + 5)(6x – 5). 13 13 3 x– . d) x2 – = x + 2 2 4 2 e) (x + 1) – 7 = (x + 1 + 17)(x + 1 – 17).

1

21

2

4 a) Vrai. f étant strictement croissante, si 4 < x < 5 alors f(4) < f(x) < f(5) et donc : f(x) ∈ ]f(4) ; 0[. b) Vrai. 2 < 5 donc f(2) < f(5), c’est-à-dire f(2) < 0. De même, f(3) < 0. Le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif : f(2) × f(3) > 0.

2 a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.

b) (2x – 3)(4x + 5) = 8x – 2x – 15. 4 2 2 8 16 = x –  x + . c) x – 7 7 49 2

1

2

3 a) (x + 6)2 – 10 = x2 + 12x + 36 – 10

3 b) x + 2

1



2

2

= x2 + 12x + 26. 9 28 – 7 = x2 + 3x + – 4 4 19 2 = x + 3x – . 4

5 a) S = [–5 ; 5].

b) S = ]–3 ; –2[ ∪ ]2 ; 3[.

b) Si x < – 15 < 0, alors x2 > 5 soit x2 – 1 > 4. 5 a) S =

4 5

5 3  ; 2 6.

c) S = {–212 ; 212} (car 18 = 212). d) S = Ø (car –9 < 0). 3 e) 2x2 + 3x = x(2x + 3), donc S = –   ; 0 . 2 f) S = {–3 ; 3}. 2 2 2 g) (x + 3) – 4 = (x + 3) – 2 = (x + 1)(x + 5), donc S = {–5 ; –1}.

5

1 2

1 d1 : y = –   x + 3 ; d2 : y =

b) S = {–2 ; 1}.

d3 : y = –1. 2

y

6

A

7 a) Faux.

Contre-exemple : (–2)2  1 et –2 < 1. b) Faux. Contre-exemple : (–1)2 < 4 et –1  –2.

Chapitre 2 1 a) S = [0 ; 1]. b) S = ]–1 ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[. c) S = ]0 ; 1[. 2 a) f est strictement croissante sur I (f est

affine et a > 0). b) g est constante. c) h est strictement décroissante sur I (h est affine et a < 0). d) k est strictement décroissante sur [–1 ; 0] et strictement croissante sur [0 ; 5]. 2 3 a) La fonction x  est strictement déx 2 2 croissante sur ]0 ; + ∞[, et 3 < p donc > . 3 p

∆2

1 O

x

1

1 + 3 = 4 : A ∈ d. 2 –2 × 0,6 + 3 = 1,8 : B ∈ d. 1 7 –2 × + 3 = ≠ 2,34 : C ∉ d. 3 3

1 2

3 –2 – 

5

soit a = – 

8 a) y = x – 1.

7 b) y = –   x – 2. 8 c) y = 5.

Chapitre 4 1 a) f(–5) > f(–4). b) f(6) < f(7). c) f(u) > f(v). d) f(a) < f(b).

Chapitre 6

2 Pour tout entier n  2,

11 et b = 11. 4

7 y = –6x + p et –9 = –6 × 12 + p donc p = 63

et y = –6x + 63.

(1 – a)(1 + a + a2 + a3) = 1 – a4 1 – a3 Pour a ≠ 1, = 1 + a + a2 1–a 1 – a4 et = 1 + a + a2 + a3. 1–a

A – B  0 donc A  B.

8 b) –2 = 3m + 6 donc m = –  . 3 –4 = 4a + 7 b = 4 × 1 + 7

b5 = 4,913 b2 7 5 2 b = b × b = 41,033 867 3 52 25 2 2 = 2 4 23 8 3 3 = 3 27 4 b = a × q3 et a × b = 52 × q17

= (n –2)2.

5 a) –2 = –4 × 3 + p donc p = 10.

6

Chapitre 5

1 A – B = n2 – n + 1 – 3n + 3 = n2 – 4n + 4

4 d1 et d3 passent par A.



4 a) Le minimum de g sur [0 ; 6] est –20, il est atteint pour x = 4. Le maximum est 40, atteint pour x = 6. b) Le minimum de g sur [0 ; 2] est –6, il est atteint pour x = 1. Le maximum est 10, atteint pour x = 0.

5 (1 – a)(1 + a + a2) = 1 – a3

∆3

6 a) S = ]– ∞ ; – 15[ ∪ ]15 ; + ∞[.

b) S = ]– 13 ; 13[. c) S = [–212 ; 212]. d) S = Ø. e) S = ]–3 ; 3[ (car x2 – 9 < 0 équivaut à x2 < 9). f) S = .

3  x + 1 et 2

∆4

∆1

3 a) Le minimum de f sur I est –2, il est atteint pour x = 3. Le maximum de f sur I est 6, il est atteint pour x = 10. b) Si –1 < x < 3, alors –2 < f(x) < 4.

1 b3 =

Chapitre 3

4 a) Si x > 13 > 0, alors x2 > 3 soit x2 + 5 > 8.

2 a) f’(1) = 1 et f(1) = 2, donc y = 1 × (x – 1) + 2. L’équation réduite de la tangente est y = x + 1.

n n + 1 n2 – n2 + 1 1 – = = >0 n–1 n n(n – 1) n(n – 1) n n+1 > . donc n–1 n 3 f(n + 1) – f(n) = (n + 1)2 – 3(n + 1) + 1 – n2

 + 3n – 1 = 2n – 2 et pour tout entier n  2, f(n + 1) – f(n) > 0, soit f(n + 1) > f(n). 3 Ou : f est strictement croissante sur  ; + ∞ , 2 donc pour tout entier n  2, f(n + 1) > f(n).

3

3

4 a) f’(x) = 6x2 – 6x = 6x(x –1) > 0. Ainsi pour x > 1, f’(x) > 0  : f est strictement croissante sur I. b) n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1). –2 < 0 : f est strictement 5 a) f’(x) = (x – 1)2 décroissante sur I. b) n < n + 1, alors f(n) > f(n + 1).

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

363

Corrigés

6 a) u : x  x + 3 est affine strictement croissante, u et 1u varient dans le même sens : f est strictement croissante sur [–3 ; + ∞[. b) n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1). 7 a) Le but est de déterminer le premier terme de la suite géométrique (un) de raison 0,2 avec u0 = 5, qui soit inférieur ou égal 1 à . 1 000 b) u6 = 0,000 32.

5 YAB a pour coordonnées (1 + 2 ; –3 –2) soit (3 ; –5). UDC a pour coordonnées (9 – 6 ; –1 – 4) soit (3 ; –5), donc YAB = UDC et ABCD est un parallélogramme. 6

D A

B J O

C

I

4

8

La droite (AB) a une équation de la forme 2–1 1 y = mx + p avec m =  , soit m =  , donc 4+2 6 1 y =  x + p. Or B(4 ; 2) est un point de (AB) 6 4 2 4 + p, soit p = 2 – = et donc 2 = 6 3 3 1 4 y =  x +  . 6 3 l La droite (AC) est parallèle à l’axe des ordonnées, elle a donc pour équation x = – 2. La droite (DB), qui est parallèle à l’axe des abscisses, a pour équation y = 2. l

Chapitre 7

7 a)

E

1

d

A

J

B

O

C

–2

3 A

4

D YAC = YBD, donc ABDC est un parallélogramme. Il en résulte que UDC = YBA. Or YBA = YAE, donc UDC = YAE et ADCE est un parallélogramme. F

2

E

A

b) d a une équation de la forme y =

D a) UAD = YAB + UAC (règle du parallélogramme). YAE = YBA + UAC = YBC (relation de Chasles). YBF = YBA – UAC. On construit YAF = – UAC, donc on obtient YBF. b) BAEC et ABDC sont deux parallélogrammes avec YBA = YDC et YBA = YCE. Il en résulte que YDC = YCE et que C est le milieu de [DE]. 3

A 2 l ZAM = –  YAB ; 3

17p 16p p p = + = 4p + 4 4 4 4 p donc M est associé à . 4 29p 24p 5p 5p l = + = 4p + 6 6 6 6 5p donc N est associé à . 6 13p 12p p p l –  = –  – = –4p – 3 3 3 3 p donc P est associé à –  . 3 B + 1

B

N 5 l UAN =  UAC ; 7

C P 1 l YCP = –  YCB. 4

b) 3ZMB a pour coordonnées (15 – 3x ; – 3 – 3y). c) ZMA = 3ZMB équivaut à – 3 – x = 15 – 3x et 3 – y = –3 – 3y soit : x = 9 et y = –3.

364

 B’

P

2

5 1. sin x2 = 1 – cos x2 = 1 –

+ A’

B

O / – 2  B’

1 8 = . 9 9

0 A

b) sin x < 0.

212 212 8 ou –   . soit sin x = 3 3 9 212 Donc sin x = –  . 3 2

c) sin x2 =

Chapitre 9 M

17/ 4 A

O

4 a) ZMA(–3 – x ; 3 – y) ; ZMB(5 – x ; –1 – y).

B’ 2

l

29/ N 6 A’

π N – 6

+

2. a)

Chapitre 8

B

M

3  x + p, 4

or A(3 ; –2) est un point de d, donc : 9 17 –2 = + p et p = –  , ainsi d a pour équa4 4 3 17 tion y =  x –  . 4 4

C

3 1. a) M et N ont des abscisses et des ordonnées opposées. b) Donc cos(x + π) = –cos x et sin(x + π) = –sin x. 4p p 2. l = + π donc : 3 3 4p p 1 cos = –cos = –  3 3 2 4p p 13 sin = –sin = –  . 3 3 2 7p p l = + π donc : 6 6 7p p 13 cos = –cos = –  6 6 2 1 7p p sin = –sin = –  . 2 6 6 5p p l = + π donc : 4 4 5p p 12 cos = –cos = –  4 4 2 5p p 12 sin = –sin = –  . 4 4 2 3p p 12 = –cos = –  4 cos 4 4 2 p p 1 sin –  = –sin = –  . 6 6 2 B π  3π 4 M 4 π 6 A’ A O

1 2

3 I

11p 16p 5p 5p = –  + = –2p + . 8 8 8 8 117p 112p 5p 5p b) = + = 14p + . 8 8 8 8 117p Donc est associé au même point M. 8 2 a) – 

–13/ 3

1 1. A a pour coordonnées (0 ; 5), B(3 ; –1), C(–3 ; 2). Donc YAB(3 ; –6) et YBC(–6 ; 3). Donc AB = BC = 99 + 36 = 445 = 315. Le triangle ABC est isocèle en B.

2. YAC(–3 ; –3) donc AC = 312. Il en résulte que le périmètre est égal à : 312 + 2 × 315 = 3(12 + 215).

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés

36p p p – = 6p – donc la 6 6 6 p mesure principale de 1 au, av 2 est –  . 6 2. L’angle géométrique associé à au et av a p pour mesure soit 30°. 6 3 a) Le nombre q de [0 ; p] tel que : 1 2p cos q = –  est . 2 3 2p Donc la mesure cherchée est , soit 120°. 3 13 b) Le nombre q de [0 ; p] tel que cos q = 2 p p est . Donc la mesure cherchée est ou 30°. 6 6 c) De même, on obtient p ou 180°. 2 1. 1 au, av 2 =

4 L’angle 1YOA, ZOM2 est tel que : 1 donc cos1YOA, ZOM2 < 0 et sin1YOA, ZOM2 = 2 1YOA, ZOM2 = 5p . ON = 2 donc N a pour coor6 5p 5p données 2 cos , 2 sin soit (– 13 ; 1). 6 6

1

2

Chapitre 10 1 YAB a pour coordonnées (5 ; 5) donc

AB = 925 + 2w5 = 512. Le rayon du cercle est 512. 2 l Si M est un point de la médiatrice, UAM · YAB = YAB · UAH = AB × AH car YAB et UAH sont de même sens, donc UAM · YAB = 2 × 1 = 2. l Notons H le projeté orthogonal de M sur (AB). UAM · YAB = UAH · YAB = 2. Le produit scalaire est positif donc UAH et YAB sont de même sens. Il en résulte que AH × AB = 2 et AH = 1. Ainsi H est le milieu de [AB] et M un point de la médiatrice de [AB]. D’où l’équivalence. 3 A(–1 ; 2), B(3 ; 4) et M(x ; y) donc :

UMA(–1 – x ; 2 – y) et UMB(3 – x ; 4 – y). Ainsi MA2 = (–1 – x)2 + (2 – y)2 = 1 + 2x + x2 + 4 – 4y + y2 = x2 + y2 + 2x – 4y + 5. 2 MB = (3 – x)2 + (4 – y)2 = 9 – 6x + x2 + 16 – 8y + y2 = x2 + y2 – 6x – 8y + 25. MA2 – MB2 = 1 équivaut à 8x + 4y – 21 = 0 et l’ensemble des points M est une droite d. 13 1

13 1

12

12

1 2  ; 2 2 ; N1–  2  ; 2 2 ; P1–  2  ; –  2 2.

4 M

1 15 =  . 16 16 415  . sin x > 0, donc sin x = 4 9 16 b) (cos x)2 = 1 – =  . 25 25 4 cos x < 0, donc cos x = –  . 5 5 a) (sin x)2 = 1 –

Chapitre 11 1 a) Note moyenne :

2 × 1 + 1 × 2 + 3 × 3 + … + 1 × 20 76 d’où wx ≈ 10,37. wx =

b) Parmi les candidats, 47 ont obtenu une note de dix ou plus, d’où la proportion 47 ≈ 0,62. p= 76 Ainsi le pourcentage cherché est p ≈ 62 %. 2 a) Estimation du salaire moyen :

ws = 0,48 × 1,5 + 0,34 × 2,5 + 0,16 × 3,5 + 0,02 × 4,5. ws = 2,22 (milliers d’euros). Ainsi, on peut estimer le salaire brut moyen à 2 220 e. b) On note x la fréquence de la 1re classe. Or la somme des fréquences vaut 1, donc la 2e classe a pour fréquence : 1 – (x + 0,16 + 0,02) = 0,82 – x. Le salaire moyen est 2,3 (milliers d’euros) d’où la mise en équation : 1,5x + 2,5 (0,82 – x) + 3,5 × 0,16 + 4,5 × 0,02 = 2,3. Ainsi, – x + 2,7 = 2,3, donc x = 0,4. On en déduit la nouvelle répartition des salaires. Salaires

[1 ; 2[

[2 ; 3[

[3 ; 4[

[4 ; 5[

Fréquences 0,40

0,42

0,16

0,02

3 a) L’effectif 76 est pair, donc N = 2k avec

k = 38.

x38 + x39  . 2 Les 38e et 39e notes valent 11 donc 11 + 11 Me = = 11. 2 b) Le quart de l’effectif est 19, donc Q1 = x19 = 8. De même, Q3 = x57 = 13. c) Dans l’intervalle [8 ; 13], il y a 42 notes d’où 42 ≈ 0,55. la proportion p = 76 Ainsi le pourcentage cherché est p ≈ 55 %. Ainsi, Me =

4 La situation peut être visualisée grâce à un axe sur lequel sont indiqués les nombres des nouvelles amies de Chloé, ces nombres étant rangés dans l’ordre croissant. l La série contient 7 valeurs différentes avec x1 = 2. l L’étendue est 15, donc x – x = 15. 7 1 Ainsi, x7 = x1 + 15 d’où x7 = 17. l Par définition : Q1 = x2 = 3 ; Q3 = x6 = 13 ; Me = x4 = 11. l Pour obtenir les deux valeurs qui manquent, x3 et x5, on utilise la moyenne 9. x1 + x2 + … + x7 x + x + 46 = 9, soit 3 5 = 9, 7 7 donc x3 + x5 = 17. Or x4 < x5 < x6, donc 11 < x5 < 13. Ainsi, la seule valeur possible pour x5 est 12 d’où x3 = 5. Schéma récapitulatif :

Mini Q1 2 3

Me 5

Q3

11 12 13 Étendue 15

Maxi 17

Chapitre 12 1 a) Le sac contient 50 boules et toutes ont la même probabilité d’être tirées. nombre de boules bleues 15 3 = = . P(B) = nombre de boules 50 10 25 1 10 1 De même, P(R) = = et P(V) = = . 50 2 50 5 b) Ainsi les issues B, R et V ne sont pas équiprobables. 2 a)

P P F P F F 1er lancer

2e lancer

P F P F P F P F 3e lancer

L’univers est constitué de huit triplets. b) La pièce est équilibrée, donc les huit issues sont équiprobables. 3 a) wA : « La carte n’est pas une figure ». wB : « La carte est noire ». A ∩ B : « La carte est une figure rouge ». A ∪ B : « La carte est une figure ou la carte est rouge ». wA ∩ B : « La carte n’est pas une figure et la carte est rouge ». A ∪ wB : « La carte est une figure ou la carte est noire ». b) C = A ∩ wB. D = wB ∩ wA. 4 A = {2 ; 4 ; 6} ; B = {3 ; 6} ; A ∩ B = {6} ; A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6} ; wA ∩ wB = {1 ; 5} ; wA ∪ wB = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}. 5 a) P(H ∪ T) = P(H) + P(T) – P(H ∩ T) donc :

17 14 6 5 + – soit P(H ∪ T) = . 35 35 35 7 b) Notons A l’événement : « l’élève ne pratique ni le hand-ball ni le tennis. » Son événement contraire s’énonce : « l’élève pratique le hand-ball ou le tennis. » 5 Ainsi wA = H ∪ T, d’où P(wA) = . 7 2 Or P(A) = 1 – P(wA) donc P(A) = . 7 P(H ∪ T) =

6 a) Dire que les deux distributeurs ne sont jamais en panne simultanément signifie qu’il y en a toujours un qui fonctionne. Ainsi, l’événement A ∪ B est certain donc P(A ∪ B) = 1. b) L’événement : « les deux distributeurs fonctionnent en même temps » se note A ∩ B. On sait que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) donc : P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B). Ainsi P(A ∩ B) = 0,8 + 0,6 –1 soit P(A ∩ B) = 0,4.

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Corrigés des « Pour se tester » Chapitre 1 22 1. Le nombre b2 – 4ac s’appelle le discriminant.

2. La courbe représentative de f est une parabole. 3. L’équation ax2 + bx + c = 0 possède une seule solution si ∆ est nul. 4. Toute solution de l’équation f(x) = 0 est une racine du trinôme ax2 + bx + c. 5. ∆ = b2 – 4ac ; si ∆ < 0, le signe de f(x) est le même que celui de (–a). 23 1. Faux. –5(–3)2 + 13(–3) – 6 = –90 ≠ 0.

2. Vrai. ∆ = 1 + 4a2 > 0. 3. Faux. ∆ = 1 + 8 = 9 > 0 : le trinôme a deux racines. Donc, la parabole ne peut pas être entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.

1

4. Faux. –2 x –

1 2

2+ 2

11 1 11 = –2 x2 – x + + 2 4 2 = –2x2 + 2x + 5.

1

2

24 1. Les nombres 2 et 5 ne sont pas solu-

tions des inéquations a) et b). Réponse exacte : c). 2 1 2. –  et sont les racines du trinôme mais 3 2 ne sont pas solution de l’inéquation. Réponse exacte : c). 3. ∆ = 36 + 24a > 0. Réponse exacte : a). 4. ∆ = 0. Réponse exacte : b). b –5 1 1 3 = –  = –0,375. = =  ; f  2a –20 4 4 8 Le coefficient de x2 est négatif donc –0,375 est un maximum et pour tout x, f(x) < –0,375. b) ∆ = 25 – 40 = –15 < 0. 1 1 d) –10(x + 0,25)2 – 6,5 = –10 x2 +  x + – 6,5. 2 4 Le coefficient de x est égal à –5. Réponses exactes : a), b) et c). 25 1. a) – 

1 2

1

2

2. a) Si ac < 0, alors b2 – 4 ac > 0. Donc le trinôme a deux racines. b) Si b = 0, le trinôme s’écrit ax2 + c. L’équation x2 + 1 = 0 n’a pas de racine et pourtant b = 0. c) f(1) = a + b + c donc c) est vrai. Réponses exactes : a) et c). 3. a) La parabole est « tournée vers le haut » : a > 0. –1 et 3 sont racines donc f(x) = a(x + 1)(x – 3) = a(x2 – 2x – 3). b b) –  = 1 et f(1) = –4a. 2a c) Si A(0 ; –1) ∈ 3, alors f(0) = –3a = –1 d’où 1 (x + 1)(x – 3) a = . Et f(x) = . 3 3 Réponses exactes : a), b) et c).

366

4. ∆ = –11 < 0 et a < 0, le trinôme est strictement négatif pour tout nombre x et en particulier pour tout nombre de l’intervalle ]–5 ; 4[. Réponses exactes : a) et c).

4.

Ωx Ω J O

Chapitre 2

–ΩxΩ

17 1. La fonction f : x  1x est : a) définie sur l’intervalle I = [0 ; + ∞[ ; b) strictement croissante sur I.

Réponse exacte : b).

2. La fonction g : x  |x| est : a) strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0] ; b) strictement croissante sur [0 ; + ∞[. 3. Si 0 < x < 1, alors x, 1x et x2 sont rangés dans l’ordre : x2 < x < 1x. 4. a est un réel non nul. La fonction f définie 1 est croissante sur l’intervalle par f(x) = ax ]0 ; + ∞[ si a est strictement négatif. 1

1

1

1

1 2 2 = 4 soit f 1 2 2 < g1 2 2.

18 a) Faux. f 

1

1

1

1

1 2 2 > 1–  2 2 car 2 > 4 .

b) Faux. – – 

2

c) Vrai. u et –2u varient en sens contraire (th.  5). La fonction racine carrée est strictement croissante sur I, donc f est bien strictement décroissante sur I. 1 1 d) Faux. –2 < 3 et –  < (les deux nombres 2 3 ne sont pas de même signe). 1 e) Vrai. Sur I = ]– ∞ ; 0[, x  est strictement x 3 décroissante, donc x  –  est strictement x 3 croissante, ainsi que x  2 – . x f) Vrai. Car pour tout x, |x| est positif. g) Faux. x  1 – 1x est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[, donc atteint son maximum en 0. 19 1. Pour tout x > 0, |x| = x et donc f(x) =

La fonction f est constante. Réponse exacte : a).

I

1 . 2

2. Sur I, si a > 0, la fonction x  ax2 est strictement croissante et ne s’annule jamais. La fonction f est donc strictement décroissante (th. 7). Réponse exacte : b). 3. Pour tout x > –1, la fonction affine x  x + 1 est strictement croissante et ne prend que des valeurs positives. Il en résulte que x  6x + 1 est, elle aussi, strictement croissante (th. 6) et puisqu’on multiplie par un négatif (th. 5), f est strictement décroissante. Réponse exacte : c).

20 1. La fonction f est, comme la fonction carré, strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. Réponses exactes : a) et c).

2. a) Vrai. La fonction f est affine strictement croissante sur , donc sur ]0 ; + ∞[. 1 b) Faux. Comme la fonction inverse x   ,  x la fonction est strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[. c) Vrai. Comme la fonction valeur absolue, la fonction est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[. Réponses exactes : a) et c). 3. a) Vrai. Sur [2 ; 5], comme la fonction 1 inverse x   , la fonction est strictement x décroissante. b) Faux. Comme la fonction carré x  x2, la fonction est strictement croissante sur [2 ; 5]. c) Vrai. La fonction carré x  x2 + 1 étant strictement croissante sur [2 ; 5], la fonction est strictement décroissante sur [2 ; 5]. Réponses exactes : a) et c). 1 4. a) Faux. La fonction inverse x   , est x 1 strictement décroissante sur [2 ; 5], donc 5 est le minimum atteint par la fonction. Ainsi, 1 pour tout x de [2 ; 5], > 0,2. x b) Vrai. Pour tout x > 1, 1x < x2. c) Faux. Pour tout x > 1, 1x < x. Réponse exacte : b). 1 5. a) Vrai. La fonction inverse x   , est x strictement décroissante sur [1 ; + ∞[ et pour tout x > 1, 1x + 1 < x2 + 1 donc : 1 1 > . 1x + 1 x2 + 1 b) Vrai. Pour tout x > 1, x2 + 1 > x + 1 donc : 1 1 < . x2 + 1 x + 1 c) Vrai. Pour tout x > 1, x + 1 > 1x + 1, donc : 1 1 < . x + 1 1x + 1 Réponses exactes : a), b) et c).

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Chapitre 3 f(a + h) – f(a) s’appelle h le taux d’accroissement (de f en a). f(a + h) – f(a) tend vers L lorsque h tend b) Si h vers 0, alors L s’appelle le nombre dérivé (de f en a). 7 1. a) Le nombre

2. a) f(a) est l’ordonnée de A. b) f’(a) s’appelle le nombre dérivé (de f en a). c) L’équation de la tangente en A à  est y = f’(a)(x – a) + f(a). 8 a) Faux. g’(x) = 2. b) Vrai. Cette tangente est la droite passant par ce point de la courbe d’abscisse 3 et de coefficient directeur f’(3). c) Vrai. f est dérivable sur  et f’(x) = 6x, donc f’(2) = 12.

d) Faux. f’(x) = 13. e) Vrai. f est dérivable en 2 et f’(x) = – 

1 . x2

L’équation réduite de la tangente est : 1 y = f’(2)(x – 2) + f(2), soit y = –   x + 1. 4 9 1. f’(x) = 2 × 3x + 2 = 6x + 2. Réponse exacte : c).

2. Notons f la fonction carré : f(x) = x2. f’(x) = 2x donc f’(–3) = –6. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse –3 est : y = f’(–3)(x + 3) + f(3) soit y = –6x – 9. Réponse exacte : b). f(1 + h) – f(1) –(1 + h)2 + (1 + h) + 1 – 1 3. = h h –h2 – h = = –h – 1. h Réponse exacte : b). 1 1 donc f’(16) = . 4. a) Faux. f’(x) = 21x 8 b) Faux. Le point de la courbe d’abscisse 16 : A(16 ; 4), n’appartient pas à la droite d’équa1 tion y =  x – 2. 8 c) Vrai. A appartient à la droite d’équation 1 y =  x + 2. 8 Réponse exacte : c). 10 1. a) Vrai. b) Faux. f(1) = 1. c) Faux. f’(1) = 2. d) Vrai. Réponses exactes : a) et d).

2. a) Faux. f’(x) = x – 2 d’où f’(4) = 2. L’équation réduite de la tangente T en ce point d’abscisse 4 est : y = f’(4)(x – 4) + f(4) soit y = 2x – 5. Le point A n’appartient pas à T. b) Vrai. f’(x) = 1 équivaut à x – 2 = 1 qui admet une unique solution x = 3. c) Vrai. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 0 est : y = xf’(0) + f(0) soit y = –2x + 3. Réponses exactes : b) et c).

3. a) Vrai. Notons f(x) = ax2 + bx + c. Alors f’(x) = 2ax + b. La courbe passe par A, donc f(–1) = a – b + c = 2. Elle passe par B, donc 4a + 2b + c = 2. Enfin la tangente en A a pour coefficient directeur 3, donc f’(–1) = –2a + b = 3. Le triplet (–1 ; 1 ; 4) est solution du système : –2a + b = 3 a – b + c = 2 donc l’affirmation est vraie. 4a + 2b + c = 2 b) Vrai. f’(x) = –2x + 1 d’où f’(2) = –3. L’équation réduite de la tangente en B est : y = f’(2)(x – 2) f(2) soit y = –3x + 8. 1 = 0. c) Vrai. f’ 2 Réponses exactes : a), b) et c).

5

1 2

Chapitre 4 15 1. a) (uv)’ = u’v + uv’. b) (u + v)’ = u’ + v’. u ’ u’v – uv’ c) = . v v2 2. Multiplier une fonction dérivable par une constante l multiplie sa dérivée par l.

1 2

3. a) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) > 0, alors, sur I, f est strictement croissante. b) Si, pour tout nombre x de I, f’(x) < 0, alors, sur I, f est décroissante. 4. f(0) est un maximum local de f sur ]–2 ; 1[. 16 a) Vrai. f’(x) = –6x2 + 6 = –6(x + 1)(x – 1).

f’(x) est positif entre les racines –1 et 1 donc la fonction f est croissante sur [0 ; 1]. b) Vrai. Si f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), alors f’(x) = 3ax2 + 2bx + c. c) Vrai. La fonction définie sur  par f(x) = x est dérivable sur . Pour tout nombre x, f’(x) = 1, donc f est strictement croissante et n’admet pas de maximum. d) Faux. f’(x) peut s’annuler pour quelques valeurs. Exemple : la fonction x  x3 est strictement croissante et pourtant sa dérivée f’ définie par f’(x) = 3x2 est nulle pour x = 0. e) Faux. Un contre-exemple : f et g définie par f(x) = x et g(x) = x + 1 sont dérivables sur  et f’(x) = g’(x) = 1. f) Vrai. La dérivée de f + k (où f est une fonction dérivable et k une fonction constante) est la fonction f’ car la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. 2 17 1. g’(x) = –   (3x2) + 2 = –2x2 + 2. 3 Réponse exacte : b). x2 + 2x – 2 2. a) Faux. h’(x) = ≠ 2x – 2. (x + 1)2 3 b) Faux. h(2) = 0 et h(3) = . 4 c) Vrai. h’(x) = 0 équivaut à x2 + 2x – 2 = 0, équation qui admet deux solution distinctes car ∆ = 12.

1 . 4 Réponse exacte : c). d) Faux. h’(1) =

18 1. a) Vrai. b) Faux. La fonction est décroissante par exemple sur [1,5 ; 1,6]. c) Vrai. Le minimum est égal à –1,5 et le maximum strictement inférieur à 3,5. Réponses exactes : a) et c).

2. a) Vrai. (f + g)’ = f’ + g’ donc (f + g)’(2) = f’(2) + g’(2) = 3 – 1 = 2. b) Faux. (f × g)’ = f’g + fg’ donc (f × g)’(2) = f’(2) × g(2) + f(2) × g’(2) = 3 × (–4) + 0 × (–1) = –12. f ’ f’g – fg’ c) Faux. = g g2 f ’ f’(2) × g(2) – f(2) × g’(2) (2) = donc g [g(2)]2 (–4) 3 =3× = –  . (–4)2 4 d) Vrai. (f 2)’ = 2ff’ donc (f 2)’(2) = 2f(2) × f’(2) = 0. Réponses exactes : a) et d).

1 2

1 2

3. a) Vrai. f’(x) = a(3x2) + b(2x) – a = 3ax2 + 2bx – a. b) Vrai. Le discriminant du trinôme 3ax2 + 2bc – a est strictement positif (∆ = 4b2 + 12a2 > 0). Le trinôme admet donc deux racines distinctes x1 et x2. f’(x) est du signe de a à l’extérieur de ]x1 ; x2[ et du signe contraire à l’intérieur. c) Faux. Le tableau de variation fait apparaître deux extremums associés aux points d’abscisses x1 et x2. d) Faux. f’ change de signe (voir b). Réponses exactes : a) et b).

Chapitre 5 25 1. La suite (un) est telle que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. a) La suite (un) est arithmétique. b) Le réel r est la raison de la suite. c) Pour tous entiers naturels m et p, um – up = (m – p)r.

2. La suite (vn) est telle que pour tout entier naturel n, vn+1 = q × vn avec q ≠ 0. a) La suite (vn) est géométrique. b) Le réel q est la raison de la suite. c) Pour tous entiers naturels m et p, um = up × qm–p. 26 a) Vrai. u16 = 3 × 16 – 1 = 47. b) Vrai. Pour tout n, un+1 – un = 2. c) Faux. Pour tout n, un+1 – un = 2n + 1 qui varie avec n : la suite n’est pas arithmétique. u 4 u 7 d) Faux. 1 = ≠ 2 = : la suite n’est pas u0 3 u1 4 géométrique.

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e) Vrai. Notons q la raison. un × un+2 = un × un × q2 = (un × q)2 = u2n+1. 1

= 12 + 1 et donc 12, 12 + 1 et 12 – 1 12 + 2 sont trois termes consécutifs d’une suite aritmétique de raison 1. 5 1 7 5 27 1. u2 – u1 = – 3 = –  ≠ u3 – u2 = – 2 2 3 2 1 = –  . 6 La suite n’est pas arithmétique. u2 5 u3 14 = ≠ = . u1 6 u2 15 La suite n’est pas géométrique. Réponse exacte : c). 5 2. Pour tout naturel n, non nul, un+1 = un. 3 5 La suite est géométrique de raison . 3 5 2 25 5 10 – = . u1 – u0 = – 1 = et u2 – u1 = 3 3 9 3 9 La suite n’est pas arithmétique. Réponse exacte : b). f) Vrai.

3. Pour tout n par vn+1 = un+1 + 3 = 2un + 3 + 3 = 2(un + 3) = 2vn. La suite (vn) est géométrique de premier terme 4(u0 + 3 = 4) et de raison 2. D’où pour tout n, vn = 4 × 2n = 2n+2 et un = 2n+2 – 3. Le calcul des premiers termes u0 = 1, u1 = 5 et u2 = 13 prouve que (un) n’est ni arithmétique, ni géométrique. Réponse exacte : c) 4. x3 × x5 × x7 × … × x17 × x19 = x3+5+7+…+17+19 19 – 3 = 16 = 8 × 2 (8 intervalles de 2). 3 + 5 + 7 + … + 17 + 19 est donc la somme de 9 termes consécutifs d’une suite arithmétique. 3 + 19 = 99. S=9× 2 Réponse exacte : b). 28 1. f est strictement croissante sur I (la

fonction affine définie par u(x) = 2x – 1 est strictement croissante sur I et positive donc la fonction 1u l’est aussi – cf chapitre 2). Donc f(17) > f(16). u13 = f(13) = 425 = 5 ∈ . 17 . L’équation f(x) = 4 ⇔ 2x – 1 = 16 ⇔ x = 2 f(x) = 4 n’a pas de solution entière donc 4 n’est pas un terme de la suite (un). Réponses exactes : a) et b). 1 1 2. un+1 = = . (n + 1)2 + 1 n2 + 2n + 2 Réponses exactes : b) et c). 3. Par définition, la suite (un) est arithmétique de raison 3. u9 = u0 + 9r = 1 + 9 × 3 = 28. Pour tout naturel n, par vn+1 – vn = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = 3. La suite (vn) est arithmétique de raison 3. v10 = 3 × 10 – 1 = 29, donc u9 ≠ v10. Réponses exactes : a) et b).

368

Chapitre 6 20 a) Dire qu’une suite (un) est croissante, signifie que pour tout entier naturel n, un+1 – un est positif. b) Une suite (un) est telle que pour tout entier naturel n, un+1 = un, est une suite constante. c) La suite (vn) est telle que pour tout entier naturel n, vn = f(n), avec f décroissante sur R+. La suite (vn) est décroissante. d) Tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. u Si, pour tout entier n, n+1 > 1, alors la suite un (un) est strictement croissante. 21 a) Vrai. f : x  3x – 1 est affine croissante donc (un) est croissante. b) Faux. Deux termes consécutifs sont (toujours) de signes contraires. c) Faux. Un contre-exemple : la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par : 1 un = 3 – n est strictement croissante et pour tout n, un < 3. d) Vrai car pour tout entier naturel n, f(n) < f(n + 1), soit, un < un+1 : la suite (un) est croissante. 13 e) Faux car u0 = 5 et u1 = < 5. 3 22 1. Pour tout entier naturel n non nul, un = f(n) où f est la fonction définie sur 1 I = ]0 ; + ∞[ par f(x) = 2 – . f est dérivable x 1 sur I et f’(x) = 2 > 0. Ainsi f’(x) > 0 donc f est x donc strictement croissante ainsi que la suite (un).

Réponse exacte : a). 2. u0 = 1, u1 = 3, u2 = –1, u3 = 7, u4 = –9 : la suite (un) n’est pas monotone. Réponse exacte : d). 3. vn+1 – vn = un+1 – 3 – un + 3 = un+1 – un  0 car la suite (un) est croissante : la suite (vn) est croissante. Réponse exacte : a). 4. vn+1 – vn = 2(un+1 – un) avec un+1 – un < 0 car la suite (un) est décroissante. Ainsi vn+1 – vn < 0 et (vn) est décroissante. Réponse exacte : b). 5. a) Faux. Pour tout entier naturel n, un+1 – un = n + 1 > 0. Ainsi un+1 – un > 0 et la suite (un) est strictement croissante. b) Faux. Pour tout entier naturel n, n(n + 1) un = , donc 2 un+1 (n + 1)(n + 2) 2 n+2 = × = . un 2 n(n + 1) n c) Vrai. La suite (un) est strictement crois63 × 64 = 2 016 donc si sante (voir a)) et u63 = 2 n > 63, alors un > 2 011. Réponse exacte : c).

23 1. u0 = 8, u1 = 4, u2 = 2, u3 = 2, u4 = 4 : la suite (un) n’est pas monotone, donc a) faux, b) faux et d) vrai. c) Vrai. un = f(n) où f est la fonction définie sur I = [0 ; + ∞[ par f(x) = x2 – 5x + 8 qui est 5 strictement croissante pour x  : la suite 2 (un) est strictement croissante à partir du rang 3. Réponses exactes : c) et d).

2. a) Vrai. Pour tout entier naturel n, un > 0, u n2 + 1 n2 + 1 et n+1 = = 2 < 1 (car 2 un (n + 1) + 1 n + 2n + 2 0 < n2 + 1 < n2 + 2n + 2). Vrai. La suite (un) est (strictement) décroissante. b) Vrai. Pour tout entier naturel n, n > 10, la suite étant strictement décroissante un < u10. 1 1 Or u10 = < . 101 100 Vrai. De plus, pour tout entier naturel n, un > 0. Il en résulte que pour tout entier naturel n > 10, un ∈ ]0 ; 0,01[. c) Faux (voir b). Réponses exactes : a) et b). 3. a) Vrai. u0 = 1 et la suite (un) est strictement croissante : pour tout entier naturel n, un > 0. b) Vrai. La somme de n termes supérieurs à 1 est supérieure à n. vn , somme de u0 et de n termes supérieurs à 1, est strictement supérieur à n. c) Vrai. Pour tout entier naturel n, vn+1 – vn = un+1  1, donc vn+1 – vn > 0 : la suite (vn) est strictement croissante. d) Vrai. Pour tout entier naturel n, vn > n. Donc quel que soit le nombre A choisi aussi « grand » que l’on veut, si l’on note M le premier nombre entier supérieur à A, tous les termes d’indice supérieurs ou égaux à M « dépassent » A : lim vn = + ∞. n→+ ∞

Réponses exactes : a), b), c) et d).

Chapitre 7 27 a) La droite d’équation ax + by + c = 0 (a ≠ 0 ou b ≠ 0) a pour vecteur directeur au(–b ; a). b) L’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme x = c. c) Dire que les vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) sont colinéaires équivaut à dire que xy’ – x’y = 0. d) La droite d’équation y = mx + p a pour vecteur directeur au(1 ; m). e) Dire que les droites d’équations y = mx + p et y = m’x + p’ sont parallèles équivaut à dire que m = m’. 28 a) YAB(8 ; 13) ; UOC(3 ; 5). 8 × 5 – 13 × 3 = 1 ≠ 0. Réponse : faux.

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Corrigés

b) 8x + 2y + 6 = 0 a pour vecteur directeur 3 au(–2 ; 8) et 3x +  y – 5 = 0 a pour vecteur 4 3 directeur au’  –  ; 3 . 4 3 –2 × 3 – –  × 8 = 0. 4 Réponse : vrai. 4 c) av =  au. 5 Réponse : vrai. d) au(–b ; a). Réponse : vrai. e) Les droites d’équation x = c n’ont pas de coefficient directeur. Réponse : faux. x y f) + – 1 = 0 s’écrit 3x + 2y – 6 = 0 donc 2 3 c’est la même droite. Réponse : vrai.

1

2

1

2

2  x – y + 3 = 0. 5 2 Donc u ou va (5 ; 2) est vecteur directeur. a   1 ; 5 Réponse exacte : c). 29 1.

1

2

2. –2au a pour coordonnées (– 1 ; 6). Réponse exacte : a). 3 5 3. 3x + 2y – 5 = 0 s’écrit y = –   x + donc 2 2 3 m = –   . 2 Réponse exacte : b). 4. ZMN = ZMA + UAN 1 2 = – YAB –  YAD. 4 3 Réponse exacte : a). 5. O, E, B alignés donc YCE = YCB + YBE soit YCE = UOA – 2UOB = ia – 2 aj. Réponse exacte : c). 30 1. a) Faux, car A

1

1

1 2  ; 02, B10 ; 3 2

et 51UAO + UOG2 = 31UAO + UOB2 5UOG = 2UOA + 3UOB = YOI + YOJ 1 1 UOG =  YOI +  YOJ. 5 5 b) Vrai. Voir le calcul précédent. c) Vrai, car 5UOG = UOK. Réponses exactes : b) et c).

1

16 a) α et d sont les mesures en radians et en degrés d’un angle. α et d sont liés par la relation 180° × a = p × d. b) Si b est la mesure principale de 1 au, av 2, alors b appartient à l’intervalle ]–p ; p]. c) Si b est la mesure principale de 1 au, av 2 et q la mesure de l’angle géométrique associé (b et q en radians), alors b et q sont liés par la relation q = |b|. d) Si au et av sont deux vecteurs non nuls, alors 1 au, av 2 et 1 au, –av 2 sont liés par la relation : 1 au, –av 2 = 1 au, av 2 + p. 17 a) 1A Y B, C Y B2 – 1B Y C, A Y B2 = 1A Y B, C Y B2 + 1A Y B, B Y C2

= 1A Y B, C Y B2 + 1A Y B, C Y B2 + p = 2 1YAB, YCB2 + p.

Réponse : fausse. b) 1 au, at 2 = 1 au, av 2 + 1 av, rw 2 + 1 rw, at 2 soit : p p 5p = p. 1 au, at 2 = + + 4 3 12 Donc au et at sont colinéaires. Réponse : vrai. p p – x – cos – x + cos (p + x) c) sin 2 2 + sin (3p – x) = cos x – sin x – cos x + sin x = 0. Réponse : vrai. 83p 3p 81 p d) = 10p + et  p = 10p + . 8 8 8 8 3p p p Or + = donc : 8 8 2 3p p p p cos = sin . = cos – 8 2 8 8 3p p p p sin = cos . = sin – 8 2 8 8 Réponse : vrai. p 6p 18 1. 1 au, –av 2 = 1 au, av 2 + p = + p = . 5 5 6p 4p – 2p = –  . 5 5 Réponse exacte : b). p 2. sin (3p + x) + cos (x – p) – sin –x 2 = –sin x – cos x – cos x = –sin x – 2cos x. Réponse exacte : a). 2 p 4 5 3. cos – x = sin x. Or 1sin x2 = 1 – = 2 9 9 p et sin x < 0 car x ∈ –   ; 0 . 2 15 p Donc cos – x = –  . 3 2 Réponse exacte : b). p 4. 1YAC, YAB2 = 1UDC, YOB2 car 1YAC, YAB2 = –  4 p et 1UDC, UOB2 = 1UDC, UDO2 = –  . 4 Réponse exacte : b).

1

2

I

1

B

2

2

2

1

1

19 1. a) 1 UAD, UCO2 = 1 UAD, UOA2 = 1 UAD, UAO2 + p

p 3p +p= . 4 4 p b) 1 YBC, UOD2 = 1 YBC, UBO2 = . 4 p c) 1 YCE, UDA2 = 1 YCE, YCB2 = –  . 4 Réponses exactes : a) et c).

= – 

2. a) 1 YCA, YAB2 = 1 YAC, YAB2 + p = –a + p. b) 1 YBA, YAC2 = 1 YAB, YAC2 + p = p + a.

Chapitre 8

2

1

J

A

2

1

C

3 3  YAB +  UAC. 4 5

3 3 b) Vrai, car rIJ  –  ; , au(–5 ; 4) 4 5 3 3 soit –  × 4 – (–5) × = 0. 4 5 c) Vrai, car les coordonnées de B(1 ; 0) et C(0 ; 1) vérifient l’équation. Réponses exactes : a), b) et c).

1

2. a) Vrai, car les coordonnées de A et B vérifient l’équation. b) Vrai, car C(6 ; 0) appartient à d. 2 c) Faux, car l’équation de d s’écrit y = –  x + 4 3 2 3 et – ≠ –  . 3 2 Réponses exactes : a) et b). 3. a)

Vrai, car rIJ = rIA + YAJ = –

3

2

4

2

c) 1 YBA, YCA2 = 1 YAB, YAC2 = a. Réponses exactes : a) et b). 3. 1 YCA, YCB2 = 1 YCA, YBA2 + 1 YBA, YCB2

= 1 YAC, YAB2 + 1 YBA, YBC2 + p p 3p +p = + 3 8 8p + 9p + 24p = 24 41p = 24 7p = 2p – . 24 Réponses exactes : b) et c).

1 4. a) 1 ZC’O, ZC’B’2 = 1 ZC’C, YBC2 car ZC’B’ =  YBC. 2 p 1 ZC’O, ZC’B’2 = . 6 13 Donc cos 1 ZC’O, ZC’B’2 = . 2 p b) 1 YOA, UCC’2 = 1 YOA, ZOC’2 = . 3 13 Donc sin1 YOA, UCC’2 = . 2 2p c) 1 ZCC’, UBB’2 = 1 ZOC’, ZOB’2 = –  . 3 13 Donc sin1 ZCC’, UBB’2 = –  . 2 Réponses exactes : a), b) et c).

Chapitre 9 21 a) Dans un repère orthonormé, l’orthogonalité des vecteurs au(x ; y) et av(x’ ; y’) se traduit par xx’ + yy’ = 0. b) Si les vecteurs YOA et YOB sont colinéaires et de même sens, alors YOA · YOB = OA × OB. c) Si dans un repère orthonormé, la droite d a pour équation ax + by + c = 0, le vecteur an(a ; b) est normal à d. d) L’expression du produit scalaire au · av en fonction de la norme des vecteurs et de l’angle 1 au, av 2 est  au  ×  av  × cos  au, av . 22 a) Les points sont alignés dans l’ordre B, A, C. Réponse : vrai. b) Notons θ l’angle géométrique associé aux vecteurs au et av : au · av = 20 =  au  ×  av  × cos θ = 5 × 3 × cos θ. 20 4 Soit cos θ = = > 1. C’est impossible. 15 3 Réponse : faux. c) YAB · YAC < 0 soit YAB · YAC = –AB × AC. Les points sont alignés dans l’ordre B, A, C. Réponse : vrai.

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

369

Corrigés

d) Un vecteur normal à d est an = (1 ; –2). Réponse : faux. 23 1. d a une équation de la forme : –2x + 3y + c = 0. A(1, 1) ∈ d donc c = –1. Réponse exacte : c). 2

2

2

2

2. Si au = av , alors  au  =  av  donc  au  =  av . Réponse exacte : c). 2

2

2

3. 12au – av 2 = 4  au  +  av  – 4au · av. Or au · av = 0 2 donc 12au – av 2 = 37. Réponse exacte : b). 4. YOA · YOB = YOA · UOH = k. On suppose que O, A et H sont alignés dans cet ordre et distincts. Alors YOA · UOH = OA × OH = OH. Donc k = OH. Comme H est le projeté orthogonal de B sur (OA), dans ce cas, 1 < OH < 2. Donc k ∈ ]1 ; 2]. Réponse exacte : b). 24 1. a) YAB · YAC = YAB · UAH = AB × AH = 12.

b) Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHC : CH2 = 12. Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle CHB : BC2 = 28, soit BC = 217. c) (UCH + YHA) · (UCH + YHB) 2

= UCH + UCH · YHB + YHA · UCH + YHA · YHB 2

= UCH + UCH · YHB + UCH · YHA + YHA · YHB (car UCH · YHB = UCH · YHA = 0, vecteurs orthogonaux). = CH2 – HA × HB = 12 – 8 = 4. Réponses exactes : a), b) et c).

31 a) Un cercle # de centre I(x0 ; y0) et de

rayon r a pour équation : (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2.

c) a et b sont deux nombres. Alors : cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. 2 2 l cos 2a = 2 cos a – 1 = 1 – 2 sin a. l

d) a et b sont deux nombres. Alors : l sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a. l sin 2a = 2 sin a cos a. 32 a) Vrai car (x – 1)2 + (y + 2)2 = –1. Ce n’est

pas l’équation d’un cercle. b) Vrai car (x + 1)2 + (y – 3)2 = 0 donc on obtient M(–1 ; 3). c) Vrai car (x + a)2 + (y + 2)2 = a2 + b2 – c. Or c < 0 donc a2 + b2 – c > 0 et r = 9a2 + bw2w– c. p p d) Vrai car sin x cos + cos x sin – sin x 4 4 p p cos + cos x sin  , soit 4 4 p 12 2 cos x sin = 2 × cos x = 12 cos x. 4 2 D

C

2. a) YOA · YOB = YOA · ZOA’ = –1. b) 1 YBO · YBA2 = 1 UBA’ + UA’O2 · 1 UBA’ + UA’A2 = BA’2 + UA’O · YA’A + UBA’ · YA’A + UA’O · UBA’ (vecteurs orthogonaux) = BA’2 + A’O × A’A = 3 + 2 = 5. c) YOA · YOB = OA × OB × cos (jAOB) = 2 cos (jAOB). 1 Or UAO · UOB = –1 donc cos (jAOB) = –  . 2 Réponses exactes : a) et c). 3.

d

A

1 j O i1

Δ

4 H

a) Les coordonnées de H sont solution du système : 3x + 4y + 4 = 0 –4x + 3y + 13 = 0. 8 11 est bien la solution de ce système.  ; –  5 5 b) La distance de A à d est égale à UAH.

5

1

2

12 16 UAH –   ; –  donc AH = 5 5

9 7

144 + 256 25 400 = 25 = 416 = 4.

1

2

c) Le cercle est bien tangent à d car (AH) ⊥ d. Réponses exactes : a), b) et c).

370

O A

B

c) Vrai, car UMA · UMC = 0 est le cercle de diamètre [AC]. Réponse exacte : c). 2. b) Vrai, car p p p p p p + = sin cos + cos sin sin 6 4 6 4 6 4 12 13 + 1 16 + 12 , soit  . =   2 2 4 Réponse exacte : b).

1

2

1

2

1 8 3. b) Vrai car (sin q)2 = 1 – = et sin q < 0 9 9 212 donc sin q = –  , soit 3 sin 2q = 2 sin q cos q 212 1 – 412 =2× – =  . 3 3 9 Réponse exacte : b).

1

21 2

4. c) Vrai, car l’ensemble des points M tels que UAM · UBM = 0 est le cercle de diamètre [AB], et l’ensemble des points M tels que A U M · UCM = 0 est le cercle de diamètre [AC]. Ces cercles ont en commun A et M, pied de la hauteur issue de A. Réponse exacte : c). 5. La réponse b) est exacte car 2p 1 13 = – cos x –  sin x cos x + 3 2 2 1 13 donc – cos x – sin x. 2 2

1

2 1

2 1

2 1

2

1

2

1 92 +2 13 2 – 1 2

b) L’ensemble des points M tels que UMA · UMB = 0 est le cercle de diamètre [AB].

33 1.

4p 1 13 = – cos x + sin x, donc 3 2 2 2p 4p cos x + cos x + + cos x + = 0. 3 3 Réponse exacte : b).

1

cos x +

Chapitre 10

2

34 1. cos 2a = 2 



=

2(2 + 13) 13 –1= 4 2

et 2a ∈ [p ; 2p]. Réponses exactes : a) et b).

2. a) Vrai, car le milieu I de [AB] a pour coordonnées (3 ; 5), c’est un point de la droite. De plus le vecteur an(3 ; 1) normal à la droite est colinéaire à YAB. b) Vrai, car le centre est un point de la médiatrice de [OA] donc l’ordonnée du centre est 2 et ce point est un point de la droite d’équation 3x + y –14 = 0. C’est donc le centre du cercle. c) Faux, car O(0 ; 0) ne vérifie pas l’équation. Réponses exactes : a) et b). 3. a) Vrai, car si x = 0, alors l’équation y2 – 8y + 9 = 0 a pour solutions 4 – 17 et 4 + 17. 3 2 4 2 + = 1 donc A ∈ #1. b) Vrai, car 5 5 2 2 3 4 18 32 + – – + 9 = 1 –10 + 9 = 0, 5 5 5 5 donc A ∈ #2. c) Vrai, car #2 a pour centre I(3 ; 4) et pour rayon 4. #1 a pour centre O et pour rayon 1. OI = 89 + 16 = 5. Donc la distance des centres est égale à la somme des rayons et les calculs sont tangents extérieurement. Réponses exactes : a), b) et c).

1 2 1 2

1 2 1 2

Chapitre 11 13 a) Le premier quartile est la taille de rang 9. b) Le troisième quartile est la taille de rang 27. c) Dans le diagramme en boîte associé à la série, la longueur de la boîte correspond à l’écart interquartile Q3 – Q1. d) Dans le diagramme en boîte associé à la série, la longueur totale des pattes correspond à étendue – écart interquartile. e) La variance est le carré de l’écart-type. f) La variance s’exprime en cm2. 14 Dans la série (xi), les N données sont écrites une à une donc une même donnée peut être répétée. a) On utilise la formule de la variance. N

V = s2 =

Sx i =1

i

N

2

– wx 2 d’où

Sx i =1

i

2

= wx 2 + s2. N N Ainsi la moyenne des carrés des valeurs xi est égale à wx 2 + s2. Réponse : vrai.

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés

b) On utilise le résultat précédent : N

S i =1

xi2

= wx 2 + s2.

N

N

Si s = 0, alors

Sx i =1

i

2

= wx 2. Ainsi la moyenne

N des carrés des valeurs xi est égale au carré de leur moyenne wx. Réponse : vrai. c) D’après la définition de la moyenne : N

S

   xi = Nwx. i =1

Ainsi

32

Sx = 32 × 12 = 384. i =1

i

Réponse : vrai. d) On utilise la formule de la variance. N

V=s = 2

Sx i =1

i

2

– wx 2 donc s2 =

N Réponse : faux.

310 2 – 5 = 6. 10

15 1. Les principaux paramètres sont :

282 347 < f10 <  , soit 2 500 2 500 0,112 8 < f10 < 0,138 8, d’où l’encadrement plus large 0,112 < f10 < 0,139. Ainsi c) est vraie. Réponses exactes : a) et b). b) De même,

Chapitre 12 9 a) Si à chaque issue on associe un nombre, on dit qu’on définit une variable aléatoire. b) Si X est une variable aléatoire sur E qui prend les valeurs x1 , x2 , …, xk, alors « X = xi » est un événement. k

S P(X = x  ) = 1.

c) 

i =1

k

S P(X = x  ) x = E(X).

d) 

i

i

i =1

i

e) La variance de X est le carré de l’écarttype de X.

wx = 0,303 ; Me = 0,30 ; Q1 = 0,29 ; Q3 = 0,31 et s ≈ 0,0195. D’où l’écart interquartile : e = Q3 – Q1 = 0,02. Réponse exacte : d). 2. On élimine les valeurs non situées dans l’intervalle d’extrémités Me – 1,5e = 0,27 et Me + 1,5e = 0,33. Ainsi la série X’ contient toutes les valeurs de la série X sauf deux valeurs anormales, 0,35 et 0,36. Pour cette série X’, les limites de confiance sont 0,271 et 0,328, donc deux valeurs x’, ne sont pas dans les limites 0,27 et 0,33. Le seuil d’alerte est atteint. Réponse exacte : c).

10 a) La situation est illustrée par le tableau suivant où les cases contiennent les produits des numéros sortis. On vérifie que T prend 18 valeurs.

16 1. On lit le diagramme en boîte associé à « S = 10 ». a) Q1 = 304 donc a) est vraie. Ainsi dans 25 % des cas il y a 304 réalisations au plus donc d) est fausse. b) Q3 = 324 donc b) est vraie. c) Me = 313 ; ainsi dans 50 % des cas il y a 313 réalisations ou moins donc c) est vraie. Réponses exactes : a), b) et c). 2. On lit le diagramme en boîte associé à « S = 9 ». a) Me = 288 donc a) est vraie. b) Q1 = 279 et Q3 = 300. L’écart interquartile est e = Q3 – Q1 = 21 donc b) est vraie. c) Q1 = 279 ; ainsi dans 25 % des cas il y a 279 réalisations ou moins donc c) est fausse. d) Q3 = 300 ; ainsi dans 75 % des cas il y a au plus 300 réalisations donc d) est vraie. Réponses exactes : a), b) et d). 3. a) L’issue « S = 9 » est réalisée au minimum 257 fois et au maximum 326 fois lors des cent expériences. D’où l’encadrement de la fréquence 257 326 0,5. 36 Réponse : faux. 18 d) P(6  T  18) = = 0,5. 36 Réponse : vrai. 49 e) À la calculatrice : E(T) = 12,25 = . 4 Réponse : vrai. 49 f) E(4T – 48) = 4E(T) – 48 = 4 × – 48 = 1. 4 Réponse : vrai.

Dé 1 1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

8

10

12

3

3

6

9

12

15

18

4

4

8

12

16

20

24

5

5

10

15

20

25

30

6

6

12

18

24

30

36

Dé 2

11 1. Le jeu de domino comprend :

7 doubles (du double 0 au double 6) ; 21 simples. En effet, il y a 7 choix pour la première case du domino et 6 choix pour la deuxième case, soit 42 possibilités. Mais en procédant ainsi, on dénombre deux fois le même domino. 42 Donc le nombre de « simples » est = 21. 2 Finalement, il existe 28 dominos. Réponse exacte : c). l l

2. Il y a équiprobabilité donc 7 1 P(« double ») = = . 28 4 Réponse exacte : b). 3. On détermine la loi de X. « X = 6 » signifie « double 6 » 1 donc P(X = 6) = . 28 De même pour les valeurs 5, 4, 3, 2, 1, 0. « X = –1 » est réalisé si on obtient un simple 21 donc P(X = –1) = . 28 D’où la loi de probabilité de X. xi

–1 0 1 2 3 4 5 6 21 1 1 1 1 1 1 1 P(X = xi) 28 28 28 28 28 28 28 28

On en déduit : 21 × P(X = 0) = P(X = –1). Réponse exacte : c). 4. E(X) = 0. Ainsi le jeu est équitable. Réponse exacte : a). 12 Réalisons un schéma de la situation. 472 lentilles n’ont aucun défaut donc 28 lentilles (500 – 472) ont au moins un défaut. Ainsi D ∪ E contient 28 lentilles. Soit x le nombre de lentilles de D ∩ E. 28 = 18 + 15 – x donc x = 5. D’où les nombres indiqués sur le schéma.

D 13

10

5

E

472 1. a) Parmi les 500 lentilles, 472 n’ont aucun 472 défaut donc P(wD ∩ wE) = = 0,944. 500 Ainsi a) est vraie. b) D ∪ E est l’événement contraire de A : « la lentille n’a ni défaut de diamètre ni défaut d’épaisseur » donc P(D ∪ E) = 1 – P(A) = 1 – 0,944 soit P(D ∪ E) = 0,056. Ainsi b) est vraie. c) D ∩ wE s’énonce : « la lentille a un défaut de diamètre et n’a pas de défaut d’épaisseur ». 13 D’après le diagramme : P(D ∩ wE) = = 0,026. 500 Ainsi c) est fausse. Réponses exactes : a) et b). 2. a) Une lentille peut avoir 0, 1 ou 2 défauts donc X prend trois valeurs. Ainsi a) est fausse. b) « X = 2 » signifie : « la lentille a deux défauts ». 5 Donc P(X = 2) = = 0,01. Ainsi b) est vraie. 500 c) « X = 1 » signifie : « la lentille a un seul défaut ». D’après le diagramme : 13 + 10 P(X = 1) = = 0,046. 500 Ainsi c) est vraie. Réponses exactes : b) et c). 3. a) La loi de X est définie par : xi P(X = xi)

0

1

2

0,944

0,046

0,01

D’où E(X) = 0,066. Corrigés

« Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

371

Corrigés

E(500X – 33) = 500E(X) – 33 = 500 × 0,066 – 33 = 0. Ainsi a) est vraie. b) À la calculatrice, s(X) = 0,286 (à 0,001 près) donc s(X) > 0,1. Ainsi b) est fausse. c) V(500X) = 5002 V(X) = 250 000 V(X). Ainsi c) est fausse. Réponse exacte : a).

Chapitre 13 14 a) Une épreuve de Bernoulli a deux

issues. b) La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes définit un schéma de Bernoulli. c) Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités sur les branches issues d’un même nœud vaut 1. d) On construit le triangle de Pascal en utilin+1 n n sant la relation = + . k+1 k k+1 e) La probabilité d’obtenir k succès en n répétitions indépendantes d’une épreuve est n k p (1 – p)n–k. k f) Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors : l E(X) = np ; l V(X) = np(1 – p).

1

2 12 1

2

12

15 1. a) Lors d’un lancer, la probabilité de succès « obtenir un multiple de 3 » est 2 1 p = =  . Vrai. 6 3 b) L’expérience est un schéma de Bernoulli d’ordre 3. Lors d’une épreuve, la probabilité 1 de succès est p =  . 3 Si X est la variable aléatoire indiquant le nombre de succès lors des trois lancers, d’après la loi du nombre de succès : 3 k p ( 1 – p)k. P(X = k) = k 3 1 2 2 D’où P(X = 2) = × ×  2 3 3 2 2 =3× =  . Faux. 27 9 3 1 3 2 0 c) De même, P(X = 3) = × × 3 3 3 1 =  . Vrai. 27 3 3 3 3 2. a) + + + = 1 + 3 + 3 + 1 0 1 2 3 = 8 = 23. Vrai.

12 12 1 2

12 1 2 1 2

12 12 12 12

Note

La somme représente le nombre total de chemins possibles dans un arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli d’ordre 3. Il y en a 23. n n b) Il suffit d’appliquer la règle = k n–k avec n = 2 011 et k = 2. Vrai.

12 1

2

3. a) L’expérience est un schéma de Bernoulli d’ordre 5. L’épreuve associée est le lan-

372

cer d’une pièce équilibrée et la probabilité de succès « obtenir Pile » est 0,5. Si X est la variable aléatoire indiquant le nombre de Pile obtenus au terme des cinq lancers, d’après la loi du nombre de succès, 5 P(X = k) = 0,5k(1 – 0,5)5 – k. k 5 × 0,55. Soit, P(X = k) = k 5 × 0,55 = 10 × 0,55 Ainsi, P(X = 2) = 2 = 0,312 5. Vrai. b) De même, 5 P(X = 3) = × 0,55 = 10 × 0,55 3 = 0,312 5. Faux. c) On note A l’événement « obtenir au moins un Pile ». wA signifie « n’obtenir aucun Pile » soit « X = 0 ». 5 Ainsi P(wA) = P(X = 0) = × 0,55 = 0,031 25. 0 D’où P(A) = 1 – P(wA) = 0,968 75. Faux.

12

12 12

3 1  , P(X = 3) =  . 8 8 1 De plus E(X) = np avec n = 3 et p = donc 2 3 E(X) =  . 2 Réponse exacte : c).

P(X = 2) =

17 1. La situation peut être représentée par un tableau à double entrée qu’on complète.

Catégorie Type R S

12

12

16 1. L’univers associé à cette expérience contient 63 = 216 issues équiprobables. a) Faux. L’événement U est réalisé par le tirage : 3 l soit de 3 boules bleues (3 issues favorables) ; 3 l soit de 3 boules rouges (2 issues favorables) ; 3 l soit de 3 boules vertes (1 issues favorables). 33 + 23 + 13 36 1 D’où P(U) = = =  . 63 216 6 b) Faux. L’événement T est réalisé par le tirage d’une boule bleue (B), d’une rouge (R) et d’une verte (V). Ainsi, il y a six types de tirages favorables à T : BRV, BVR, RBV, RVB, VBR, VRB. Pour chacun d’eux, il y a trois choix pour la boule bleue, deux pour la rouge et un seul pour la verte. Exemple :

A

B

17 % 19,6 % 36,6 % 27 % 36,4 % 63,4 % 44 % 56 % 100 %

L’univers est l’ensemble des motards et toutes les issues sont équiprobables. Par lecture du tableau : a) Vrai. P(A ∩ R) = 0,366 – 0,196 = 0,17. b) Vrai. P(A ∪ R) = P(A) + P(R) – P(A ∩ R). P(A ∪ R) = 0,44 + 0,366 – 0,17 = 0,636. c) Vrai. P(S) = 1 – P(R) = 1 – 0,366 = 0,634. d) Vrai. P(B ∪ S) = P(B) + P(S) – P(B ∩ S). P(B ∪ S) = 0,56 + 0,634 – 0,364 = 0,83. Réponses exactes : a), b), c) et d). 2. L’interrogation des quatre motards définit un schéma de Bernoulli d’ordre 4. L’épreuve associée consiste à poser une question à un motard sur : l la catégorie de sa moto [questions a) et d)] ; l le type de sa moto [questions b) et c)]. a) Vrai. Lors d’une épreuve, la probabilité de succès (« Moto de catégorie A ») est ici p1 = 0,44. X est la variable aléatoire donnant le nombre de motos de catégorie A. D’après la loi du nombre de succès : 4 P(X = 1) = × 0,441 × 0,563 ≈ 0,309. 1 b) Faux. Pour une épreuve, la probabilité de succès (« Moto de type R ») est p2 = 0,366. On peut raisonner directement au lieu d’utiliser la loi du nombre de succès. L’événement noté T correspond au seul chemin :

12

3 choix 2 choix 1 choix BRV contient 3 × 2 × 1 = 6 issues. Finalement, il existe 6 × 6 = 36 issues favorables à T. 36 1 D’où P(T) = =  . 216 6 c) Vrai. L’événement B est réalisé pour toutes les issues qui n’ont pas été encore dénombrées. Ainsi, il existe 216 – (36 + 36) = 144 issues favorables à B. 144 2 =  . D’où P(B) = 216 3 Réponse exacte : c). 2. L’expérience est un schéma de Bernoulli d’ordre 3. L’épreuve associée est le tirage d’une boule 1 bleue et la probabilité de succès est p =  . 2 Si X est la variable aléatoire indiquant le nombre de boules bleues obtenues lors des trois tirages, d’après la loi du nombre de succès : 3 1 k 1 3 – k P(X = k) = × × 1– , k 2 2 3 3 1 1 3 × = × . soit P(X = k) = k 2 8 k 1 3 D’où P(X = 0) =  , P(X = 1) =  , 8 8

12 1 2 1 12 1 2

2

12

p2

p2

p2

p2

1 – p4

1 – p4

R R R R d’où sa probabilité : P(T) = p24 ≈ 0,018. c) Vrai. Pour une épreuve, la probabilité de succès (« Moto de type S ») a pour probabilité p3 = 0,634. Z est la variable aléatoire donnant le nombre de motos de type S. 4 D’où P(Z = 2) = × 0,6342 × 0,3662 ≈ 0,323. 2 d) Vrai. Pour une épreuve, la probabilité de succès (« Moto de catégorie B ») a pour probabilité p4 = 0,56. On note M l’événement « au moins un a une moto de catégorie B ». wM signifie « Nul n’a de moto de catégorie B ». Cet événement correspond au seul chemin :

12

1 – p4

1 – p4

wB wB wB d’où sa probabilité : P(wM) = (1 – p4)4. Donc P(M) = 1 – P(wM) = 1 – (1 – p4)4, soit P(M) = 1 – 0,444 ≈ 0,963. Réponses exactes : a), c) et d).

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

wB

Corrigés

Corrigés des exercices 3 (a = –4), donc S = –   ; 2 (le trinôme est du 4 signe de (–a) entre les racines).

3

Chapitre 1 3

1 2  x2 + 5. 3 9 = –231x – 2 – 4 + 5. 4 16 3 49 = –21x – 2 + . 4 8 3 b) Pour tout nombre x, –21x – 2  0 donc 4 44 1. a) f(x) = –2 x2 –

2

2

2

49 . 8 3 2 49 – . 2. f(x) = –2 x – 4 16 3 7 3 7 = –2 x – + x– – . 4 4 4 4 5 = –2(x + 1) x – . 2 f(x) 

31 1

2

21 1 2

b) Les racines sont – 16 et 16. a est positif, donc S = ]– ∞ ; – 16[ ∪ ]16 ; + ∞[ (du signe de a à l’extérieur des racines). c) (3 + 2x)2 – 16 = (3 + 2x + 4)(3 + 2x – 4) = (2x + 7)(2x – 1). 7 1 Les racines sont –  et . a est positif, donc 2 2 7 1 ∪  ; + ∞ à l’extérieur des S = – ∞ ; –  2 2 racines. 3 d) Les racines sont –  et 0. a est positif 2 3 ∪ [0 ; + ∞[ à (a = 14), donc S = – ∞ ; –  2 l’extérieur des racines.

4

4

2

4

4 3

4

90 Notons x1 et x2 les deux nombres cherchés. x1 + x2 = 12 et x1 × x2 = –85. S’ils existent x1 et x2 sont solutions de l’équation : x2 – 12x – 85 = 0. 2 ∆ = 484 = 22 . Les solutions du trinôme sont 17 et –5 : les nombres cherchés sont –5 et 17.

61 xA et xB vérifient l’équation x2 = 1,9x + 8,4,

soit x2 – 1,9x – 8,4 = 0. ∆ = 1,92 + 4 × 8,4 = 37,21 = 6,12. l x est la plus petite des deux racines donc : A 1,9 – 6,1 = –2,1 d’où yA = (–2,1)2 = 4,41 xA = 2 et A(–2,1 ; 4,41). 1,9 + 6,1 l x = = 4 d’où yB = 16 et B(4 ; 16). B 2 75 a) ∆ = 9, les racines sont –2 et 1. a est positif, d’où le tableau de signes :

x

– ∞

–2

f(x)

+

0

1 –

0

+ ∞ +

3 – 13 3 – 13 et . 3 3 a est négatif, d’où le tableau de signes :

b) ∆ = 12, les racines sont

x

3 – 13 3

– ∞

f(x)

–

0

3 + 13 3 +

0

+ ∞

d) ∆ = 81, les racines sont –5 et –3,2. a est positif, d’où le tableau de signes : f(x)

– ∞

–5 +

0

–3,2 –

0

36 f a le même sens de variation que la fonction affine x  2x – 1 : elle est stricte1 ment croissante sur  ; + ∞ et si 5  x  41, 2 alors f(5)  f(x)  f(41), soit 3  f(x)  9.

3

3

39 Sur un intervalle (par exemple [0 ; + ∞[),

1 varie f 1 en sens contraire. La représentation de est f donc la courbe « violette ». f(1) = 2, donc la représentation de f est en rouge et celle de 1f en bleu. f et 1f ont même sens de variation et

y

k h

f

+ ∞ +

79 Pour donner l’ensemble des solutions, vérifiez toujours si l’inégalité est large ou stricte : cela permet de décider s’il faut inclure les racines dans S. 3 a) Les racines sont –  et 2. a est négatif 4

O

–2

4 x

1 g

Pour vérifier avec la calculatrice, f(x) = 84x – x2. 51 x  x2  x2 + 3  8x2 + 3.

3. Pour tout nombre x positif, x2  x2 + 1  x2 + 2x + 1 et la fonction racine carrée étant croissante sur [0 ; + ∞[, 3x2  8x2 + 1  9x2 + 2x + 1 soit encore x  8x2 + 1  x + 1.

Chapitre 3 29 a)



f(h) – f(0) (h – 3)3 + 27 = h h h3 – 9h2 + 27h = h = h2 – 9h + 27.

b) lim (h2 – 9h + 27) = 27, donc f’(0) = 27. h→0

32 l f’(–2) = –4, donc la tangente en A

admet pour équation y = –4(x + 2) + 5, soit y = –4x – 3.

40 Les abscisses des points communs sont solutions de :

2 1

67 2. On peut conjecturer que pour tout x positif, x  8x2 + 1  x + 1.

l f’(3) = 0, donc la tangente en B a pour équation y = –2. l f’(5) = 4 et la tangente en C a pour équation y = 4(x – 5) + 2, soit y = 4x – 18.

43

–

c) ∆ = –8 < 0 et a est positif donc, pour tout x, f(x) > 0.

x

Chapitre 2

4

65

3

4

49 a) 2x2 + 12x + 18 = 2(x2 + 6x + 9) = 2(x + 3)2 d’où S = {–3}. b) –4x + 2x2 + 4 = 2(x2 – 2x + 2) = 2(x – 1)2 + 1 > 0 pour tout nombre x. D’où S = Ø.

La fonction carré est strictement décroissante sur I. Il en est de même pour x  x2 + 3 et pour f. La fonction carré est strictement croissante sur J. Il en est de même pour x  x2 + 3 et pour f.

1. 2x2 – 5x – 3 = x + p soit 2x2 – 6x – 3 – p = 0 ∆ = 36 + 8(3 + p) = 60 + 8p. Il existe un seul point commun si ∆ = 0 soit : 60 15 b 6 3 p = –  = –    et  x = –  = = . 8 2 2a 4 2 2. Le point commun a pour coordonnées : 3  ; –6 . 2 La tangente à 3 en ce point a pour équation : 3 15 y=1 x– – 6 soit y = x – . 2 2 Donc la tangente est la droite d.

1

1

2

2

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

373

Corrigés

45

51 1. f’(x) = 3x2 + 2x – 1. f(1) = 1 et f’(1) = 4

y 

B

6

x 0 !’(x)

2. a) g(x) = x3 + x2 – x – 4x + 3 = x3 + x2 – 5x + 3. g’(x) = 3x2 + 2x – 5 = (x – 1)(3x + 5). b)

!(x)

x

O

1

–3

2

–

0

1 –

+ ∞

0 + 0

256 27

+

C

61 Le tableau de variation de f se présente

ainsi :

1

2

2. f(1) = 3 équivaut à a + b = 3. f’(1) = 1 équivaut à 2a + b = 1. Donc a = –2, b = 5 et f(x) = –2x2 + 5x.

x f’(x)

1 0 1

+

f(x)

43 1. g’(x) = x2 + 5x.

x f’(x)

–3 +

–1 0 8 3

–4

0 –

1 0

3 +

2

4 3

8

2

47 1. f’(x) = 3x2 + 4x + 3. f’(x) = 0 équivaut à 3x2 + 4x + 3 = 0. ∆ = 16 – 36 < 0 dont f’(x) ne s’annule pas et # n’admet pas de tangente horizontale.

2. Dire que  admet des tangentes parallèles à la droite d’équation y = 3x – 5 équivaut à dire que f’(x) = 3, soit 3x2 + 4x + 3 = 3 ou 4 x(3x + 4) = 0, donc x = 0 ou x = –  . 3 Les tangentes à  parallèles à la droite 4 49 d’équation y = 3x – 5 en A(0 ; 1) et B –   ; –  . 3 27

1

2

+ ∞

4

3 3  ; 24. 4 4 Si x ∈ 3  ; 84, alors f(x) ∈ 38 ; 4. 3 3 8 Si x ∈ [–3 ; 0], alors f(x) ∈ 3–4 ; 4. 3 Si x ∈ [–3 ; 3], alors f(x) ∈ [–4 ; 8]. 69 1. f’(x) = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4).

f’(x) = 4x(x – 2)(x + 2). x f’(x)

– ∞ –

–2 0 +

–14

0 0 2

1 – –5

2 0

–14

3 + ∞ + 11

2. f admet un minimum –14 pour x = –2 et pour x = 2, un minimum local 2 en 0. 3. a) Si x ∈ [–2 ; 1], alors f(x) ∈ [–14 ; 2]. b) Si x ∈ [0 ; 3], alors f(x) ∈ [–14 ; 11]. c) Si x ∈ [–2 ; 2], alors f(x) ∈ [–14 ; 2]. 73

x

40 –

Donc l’aire est maximale lorsque x = 10 et y = 40 –20 = 20. La longueur est donc égale au double de la largeur. 80 1. a) f’(x) = 4x3 – 2x = 2x(2x2 – 1).

x

12 –  2

– ∞

f’(x)

–

x

y On a 2x + y = 40. L’aire est égale à xy, soit x(40 – 2x), donc !(x) = 40x – 2x2. !’(x) = 40 – 4x = 4(10 – x).

0

12 2

0 +

3 4

f(x)

0 1

–

+ ∞

0 + 3 4

2. a) M a pour coordonnées (x ; 1 – x2), donc OM2 = x2 + (1 – x2)2 = x4 – x2 + 1 = f(x). b) Les points les plus près de O sont :

1 122  ; 12 2 

A

64 1. f’(x) = x2 – 1 = (x + 1)(x – 1).

f(x)

2. x2 + 5x = x(x + 5) = 0 soit x = 0 ou x = –5. Ainsi, la courbe représentative admet deux tangentes horizontales aux points A(0 ; –8) 77 . et B –5 ; 6

– 0

2. Si x ∈ [0 ; 1], alors f(x) ∈

36 La fonction f est définie et dérivable sur x ∈ ]– ∞ ; 4[ ∪ ]4 ; + ∞[. u f est de la forme avec u(x) = x2 – 2x + 3 et v v(x) = 4 – x. Donc u’(x) = 2x – 2 et v’(x) = –1. (2x – 2)(4 – x) + (x2 – 2x + 3) . Ainsi, f’(x) = (4 – x)2 Il en résulte que : –x2 + 8x – 5 f’(x) = . (4 – x)2

+ ∞

Donc la fonction dérivée est représentée par la courbe (1).

f(x)

Chapitre 4

0

10 0 200

+

b)

c) Il en résulte que g(x) > 0 pour x ∈ [–3 ; + ∞[ et que g(x) < 0 pour x ∈ ]– ∞ ; –3[. Donc  est au-dessus de T pour x ∈ ]–3 ; + ∞[.

2. La droite (AB) a pour coefficient direc5 teur 1, donc f’(x) = 1 soit 2x – 4 = 1 et x =  . 2 5 11 Ainsi C a pour coordonnées  ; –  . 2 4 49 1. B ∈  équivaut à f(1) = 3. La droite d a pour coefficient directeur 1, qui équivaut à f’(1) = 1.

374

5 3 0

– 

+

g(x)

x

5

1. f’(x0) = 6. Soit 2x0 – 4 = 6 2x0 = 10 et x0 = 5 donc B(5 ; 6).

1

– ∞ –3

g’(x)

1 A

D’où le tableau suivant.

donc T a pour équation y = 4(x – 1) + 1, soit y = 4x – 3.

12 1 et  B –   ; . 2 2

1

2

Chapitre 5 2x définie sur ]–1 ; + ∞[. x+1 10 10 5 5 u1 = =  ; u2 = 3 =  ; 5 5+1 3 4 +1 3 10 20 10 20 4 9 =  ; u4 = =  ; u3 = 5 10 9 19 +1 +1 4 9 40 40 u5 = 19 = . 20 39 +1 19 b) f(x) = (x + 1)2 définie sur R. u1 = (–1 + 1)2 = 0 ; u2 = (0 + 1)2 = 1 ; u3 = (1 + 1)2 = 4 ; u4 = (4 + 1)2 = 25 ; u5 = (25 + 1)2 = 676. 1 1 1 1 1 54 u1 =  ; u2 =  ; u3 =  ; u4 =  ; u = . 2 4 8 16 5 32 On peut conjecturer que pour tout entier 1 naturel n, un = n . 2 1 1 u0 = 0 = = 1 et pour tout n, 2 1 1 1 1 1 un+1 = n+1 = × n = × un. 2 2 2 2 50 a) f(x) =

63 a) Pour tout entier naturel n,

2(n + 1) + 1 2n + 1 2 – = . 5 5 5 2 La suite (un) est arithmétique de raison . 5 b) u1 = 0 ; u2 = 1 ; u3 = 12. u2 – u1 = 1 ≠ u3 – u2 = 12 – 1. La suite (un) n’est pas arithmétique. un+1 – un =

70 u2 = u3 – r et u4 = u3 + r, donc u2 + u3 + u4 = 3u3 = 36, et u3 = 12. u9 – u3 = (9 – 3)r, soit 48 – 12 = 6r et donc r = 6. u3 = u0 + 3r, soit 12 = u0 + 18 et u0 = –6.

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés

u10 = u0 × q10

1

1

1

1 2 2 = 2 × 1–  8 2 = –  4 . 1 1 1 1 = 2 × 1–  2 = 2 × = = . 2 2 2 512

86 u3 = u0 × q3 = 2 × – 

3

2. a) Q (1 ; 0), P (0 ; 1), B (–2 ; 0), D (0 ; 3) et C (–2 ; 3). b) C Y P (2 ; –2) et C Y Q (3 ; –3). Les vecteurs C Y P et C Y Q sont colinéaires donc C, P, Q sont trois points alignés.

10

10

9

98 a) 54 – 15 + 1 = 40.

b) Les nombres pairs de l’intervalle I sont 8 × 2, 9 × 2, …, 27 × 2 et sont au nombre de : 27 – 8 + 1 = 20 (ou 54 – 16 = 38 donc 19 intervalles de longueur 2 soit 20 nombres pairs).

66

A

M

I

106 u17 = u1 + (17 – 1)r soit 105 = u1 + 16 × (–2)

et u1 = 137. u + u17 137 + 105 S17 = 17 × 1 = 17 × 2 2 = 17 × 121 = 2 057.

Chapitre 6 40 1. u0 = –20, u1 = –28, u2 = –34, u3 = –38, u4 = –40 : on peut penser à la lecture des premiers termes que la suite est strictement décroissante.

2. a) n > 4. un+1 – un = (n + 1)2 – 9(n + 1) – 20 – n2 + 9n + 20 = 2n – 8 = 2(n – 4) donc un+1 – un > 0 dès que n > 4 soit n > 5. La suite (un) est strictement croissante à partir du rang 5. b) La fonction trinôme f admet un minimum 9 b 9 pour x = car –  = et est strictement 2 2a 2 9  ; + ∞ donc la croissante sur l’intervalle 2 suite (un) est strictement croissante à partir du rang 5.

1

2

3

3

57 un = f(n) où f est la fonction définie sur 1 I = ]0 ; + ∞[ par f(x) = 5 – 2 . f est dérivable et x 2 f’(x) = 3 > 0. x f est donc strictement croissante sur I et la suite (un) est strictement croissante. 1 Pour tout entier naturel n, 5 – 2 < 5 soit n un < 5, et la suite (un) étant croissante : un  u1 , soit un > 4. Conclusion : pour tout entier naturel n, un ∈ [4 ; 5[.

B

Chapitre 7 48 1. u a colinéaire à rw équivaut à 1 3 × 3 – y(–1) = 0, soit y = –  . 2 2 va colinéaire à rw équivaut à 3 1 x × 3 – × (–1) = 0, soit x = –  . 4 4 1 3 2. u et va a pour a a pour coordonnées  ; – 2 2 1 3 , donc u coordonnées –  ; a = – 2va soit 4 4 1 va = –  u a . 2 1 7 53 1. I a pour coordonnées –  ; et 2 2 19 J ;1 . 2 ZDM a pour coordonnées (x – 7 ; y – 6) et YDB (–5 ; 0). 5 D Z M=D Y B équivaut à 5x – 35 = –5 et 5y – 30 = 0, d’où M (6 ; 6). De même, C Y N (x – 12 ; y + 4) et C Y A (–15 ; 5) donc : 5x – 60 = –15 et 5y + 20 = 5, d’où N(9 ; –3).

1

1

1

64 1. a) u5 = u0 × 1,055 = 510,51 e soit u0 = 400 e. b) un  2u0 équivaut à 1,05n  2. 1,0514 = 1,98 et 1,0515 ≈ 2,08, le capital est doublé en 15 ans.

2. a) La multiplication par 1,05 correspond au capital augmenté des intérêts. b) vS = 293,39, donc en janvier 2015 son capital sera de 293,39 e. c) Son capital dépassera 500 e en 2020.

1

1

2

1

1 2

2

60 1.

C

D E B

2. a) 3YBA + 3YAE = B Y A+A Y C, soit 3YAE = 2YAB + A Y C. b) 3YAE = A Y D donc les vecteurs A Y E et A Y D sont colinéaires et les points A, D, E sont alignés. D

C

P Q

A

v

v

B

B u A

j O i

d’

b) d passe par A (3 ; 2) et a pour vecteur directeur u a  (2 ; 3). d’ passe par B (1 ; 5) et a pour vecteur directeur va  (–2 ; 1). d a une équation de la forme 3x – 2y + c = 0. A (3 ; 2) ∈ d donc 9 – 4 + c = 0 soit c = –5, donc d a pour équation 3x – 2y – 5 = 0. De même, d’ a une équation de la forme x + 2y + c = 0. B (1 ; 5) ∈ d’ donc 1 + 10 + c = 0 et c = –11. d’ a donc pour équation x + 2y – 11 = 0. 2. Les coordonnées (x ; y) du point M commun à d et d’ vérifient : 4x –16 = 0 3x – 2y – 5 = 0 soit 3x – 5 y= x + 2y – 11 = 0   2 7 Donc x = 4 et y =  . Conclusion : M a pour 2 7 coordonnées 4 ; . 2

5 

5 

1

A

63 1.

d

u

2

2. K, milieu de [MN], a pour coordonnées 15 3 ; . 2 2 5 rIJ a pour coordonnées 10 ; – et rIK (8 ; –2). 2 5 10 × (–2) – – × 8 = 0 donc rIJ et rIK sont 2 colinéaires et par suite les points I, J, K sont alignés.

C

72 1. a)

2

2

62 Une augmentation de 10 % se traduit

par une multiplication par 1,10. 1,17 ≈ 1,94 et 1,18 ≈ 2,14, elle double en 8 ans. 1,124 ≈ 9,85 et 1,125 ≈ 10,83 : en 25 ans la population peut être multipliée par 10.

2

K

Choisissons le repère 1C, C Y K, rCI2. K (1 ; 0), I (0 ; 1), M (0 ; 2) et B (3 ; 0). x +x y +y De plus A B = xM et A B = yM, 2 2 donc xA = –3 et yA = 4. A Y K a pour coordonnées (4 ; –4) et rAI (3 ; –3). Donc A Y K et rAI sont colinéaires et les points A, I, K sont alignés.

2

77 Les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles. Les coordonnées (x ; y) de leur point d’intersection M vérifient le système : 11x = 22 3x – 2y – 8 = 0 qui équivaut à 3x – 8 y= 5x + 4y – 6 = 0   2 x=2 soit y = –1 Les droites d1, d2 et ∆ sont concourantes si et seulement si M est un point de ∆, soit : 4m – (m + 1) (–1) – 8 = 0 soit 5m = 7, donc 7 m =  . 5

5 

5 

5 

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

375

Corrigés

85 A Y B a pour coordonnées (3 ; –7). Le vecteur A Y B est donc un vecteur directeur de ∆. Ainsi ∆ a une équation de la forme – 7x – 3y + c = 0. Or C(3 ; 2) ∈ ∆ donc –21 – 6 + c = 0 et c = 27. Ainsi ∆ a pour équation 7x + 3y – 27 = 0.

Chapitre 8 34 Notons b la mesure principale.

8p p p p – = 4p – donc b = –  . 2 2 2 2 6p p p p b) α = –  + = – 2p + donc b = . 3 3 3 3 36p p p p c) α = + = 6p + donc b = . 6 6 6 6

1. a) α =

24p p p p + = 6p + donc b = . 4 4 4 4 204p p p p b) α = + = 68p + donc b = . 3 3 3 3 112p 5p 5p 5p c) α = –  – = –16p – donc b = –  . 7 7 7 7 2. a) α =

39 l Le triangle DOA est isocèle en O et

p . 3 Donc DOA est équilatéral. On en déduit que : 2p 2p et 1 YOA, YOB2 = . jAOB = 3 3

1 YDA, YDB2 =

l

1 UOD, YCB2 = 1 UOD, UDA2 = 1 UDO, YDA2 + p



= – 

soit 1 UOD, YCB2 =

2p . 3

p +p 3

sont colinéaires et de même sens ; OA = 1 et OM = r. Donc ZOM = r YOA  (1). b) A est un point de # donc A a pour coordonnées (cos q ; sin q). 2. D’après (1), M a pour coordonnées : (r cos q ; r sin q). 48 1. 1 YCD, YBA2 = 1 YCD, YCB2 + 1 YCB, YBA2 ; or 1 YCB, YBA2 = 1 YBC, YBA2 + p, d’où le résultat.

p p 12p – 4p + 3p 2. 1 YCD, YBA2 = –  + + p = 3 4 12 11p ∈ ]–p ; p]. soit 1 YCD, YBA2 = 12 11p . Donc la mesure principale est 12 51 S = 1 YAB, UAD2 + 1 YBC, YBA2 + 1 UCD, YCB2

+ 1 YDA, UDC2

S = 1 YAB, UAD2 + 1 YAD, YCD2 + 1 UCD, YCB2 + 1 YCB, YAB2 S = 1 YAB, YCD2 + 1 YCD, YAB2 = 0. 54 1 UDC, YDE2 = 1 UDC, YCB2 + 1 YCB, YBA2



1 UDC, YCB2 = 1 YCD, YCB2 + p ; 1 YCB, YBA2 = 1 YBC, YBA2 + p ; p 1 YBA, YDE2 = –  . 2

376

62 A = sin x + sin x + cos x – cos x = 2sin x. B = sin x – cos x – sin x + cos x = 0. C = –sin x – sin x – cos x + cos x = –2sin x. p 66 1. cos est le nombre A tel que : 12 p A2 + sin2 = 1 et A > 0. 12 2 16 + 12 8 + 413 8 – 413 p et sin2 . = = 4 16 16 12 2 16 + 12 p + sin2 = 1. Ainsi : 4 12 D’où le résultat. 5p p p = – 2. a) 12 2 12 16 – 12 5p p = sin = donc cos 4 12 12 16 + 12 5p p . = cos = et sin 4 12 12 16 – 12 7p 5p 7p 5p b) = p – , cos = – cos = –  4 12 12 12 12 7p 5p 16 + 12 . = sin = et sin 4 12 12 11p p 11p p c) =p– donc cos = –cos 12 12 12 12 16 + 12 16 – 12 11p p et sin . = sin = =– 4 4 12 12

1

2

1

2

69 a) sin x = – 

44 1. a) O, A et M sont alignés ; YOA et ZOM



p 2 3p 2p p –9p – 8p – 6p = –  – – = 4 3 2 12 23p p = –  = –2p + . 12 12 p Donc 1 UDC, YDE2 a pour mesure principale . 12

Donc 1 UDC, YDE2 = 1 YCD, YCB2 + 1 YBC, YBA2 –

+ 1 YBA, YDE2.

5

1 p = sin –  donc : 2 6

1 2

p x = –  + 2kp 6 ou 7p x= + 2kp. 6 1 p b) cos x = = cos donc : 12 4 p x = + 2kp 4 ou p x = –  + 2kp. 4 13 5p = cos donc : c) cos x = –  2 6 5p x= + 2kp 6 ou 5p x=– + 2kp. 6 12 p = sin –  donc : d) sin x = – 2 4 p x = – + 2kp 4 ou 5p x= + 2kp. 4

Chapitre 9

2

1

22

3 313 soit B –   ; –  . 2 2 2. a) YOA(0 ; 2) donc YOA · YOB = –313.

1

2

47 1. A(4 ; 1) ; B(0 ; 5) ; C(–2 ; –1). Donc YCA(6 ; 2) et YCB(2 ; 6). CA = CB = 936 + 4 = 440 = 2410. Le triangle ABC est isocèle en C.

2. a) YCA · YCB = 12 + 12 = 24. b) YCA · YCB = CA × CB × cos (jACB) = 40 cos (jACB). 24 3 = . c) cos (jACB) = 40 5 3. À un degré près, jACB a pour mesure 53°. 2

2

2

52 1. a) 1 au + av 2 =  au  +  av  + 2au · av



= 4 + 9 – 8 = 5.

b)  au + av  = 15. 2

2

2

2. 12au – av 2 = 4 au  +  av  – 4au · av = 16 + 9 + 16 = 41 donc 2au – av  = 441. a2 5a2 60 1. a) CI2 = a2 + = (Pythagore dans 4 4 a15 . ICD triangle rectangle) ; CI = 2 2 2 CA = 2a  ; CA = a12. a2410 cos θ. b) PCI · YCA = CI × CA × cos θ = 2 1 2. a) PCI = UCD + RDI = UCD +  YCB. 2 1 b) PCI · YCA = UCD +  YCB  · YCA 2 1 = UCD · YCA +  YCB · YCA 2 12 1 12 + × a × a12 × = a × a12 × 2 2 2 1 2 3 2 2 = a +  a =  a . 2 2 2 2 3 3a2 × 3. cos θ = (PCI · YCA) × 2 = = . a 410 2 a2410 410 Donc cos θ est indépendant de a.

1

2

3

d1

1. ru1(1 ; 1) et ru2(–1 ; 2) ru1 · ru2 = –1 + 2 = 1. ru1 · ru2 = 12 × 15 × cos 1 ru1, ru22. 1 2. Donc cos 1 ru1, ru22 = . 410 Il en résulte que a ≈ 71°6.

5

2p 2p  ; 3 sin –  3 3

2

d2

1 2

1

2 1

j i O

5

1

1

62

5

43 1. B 3 cos – 

3 313 3 313 b) K(–3 ; 0) ; YBK –   ;  ; YBA  ; 2 + . 2 2 2 2 9 27 9 = + 313. Donc YBK · YBA = –  + 313 + 4 4 2 c) I(2 ; 0) ; PIA(–2 ; 2). Donc PIA · YOB = 3 – 313.

66 1. a) A(5 ; 4) ; B(6 ; –3) ; C(–3 ; 0). YAB(1 ; –7) ; YAC(–8 ; –4). YAB · YAC = –8 + 28 = 20. b) AC = 964 + 16 = 480 = 816 × 5 = 415. YAB · YAC = YAC · UAH = AC × AH = 20. 20 5 YAB · YAC Donc AH = = = = 15. 415 15 AC 2. a) BH2 = AB2 – AH2 = 50 – 5 = 45 ; BH = 315. 1 1 b) Aire (ABC) =  AC × BH = × 415 × 315 = 30. 2 2

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés

2. a) jACB = 180° – (45° + 85°) = 50°. CB 400 =  , soit CB ≈ 369,2 m. sin 45° sin 50° 2 2 b) DC = CB + BD2 – 2CB × BD cos 45°, soit DC ≈ 345 m. c) Donc , = AD + DC + CB. Soit , ≈ 1 028 m.

74 1. a) et b)

5

y

B

A –1

C

M 1 0

x

1 2 3

y

est un vecteur normal à ∆. YAB(–5 ; 3) donc ∆ a une équation de la forme –5x + 3y + c = 0. B(–3 ; 6) appartient à ∆ donc 15 + 18 + c = 0 soit c = –33. ∆ a pour équation : –5x + 3y – 33 = 0.

Chapitre 10 A

Si x = 1, y =

I

1 est un vecteur directeur de d. De plus, 2 au · RAI = 0, donc d est perpendiculaire à (AI). Il en résulte que d est tangente en A à #.

1

u a   1;

2

y d

Δ

2 A

A

H

B

1

–2

H

6 B x

C

C

BC2 = 9 + 16 –24 cos 50° = 25 –24 cos 50°. BC ≈ 3,1. Donc si p est le périmètre, p ≈ 10,1. 1 1 Aire(ABC) =  AC × BH =  AC × AB sin 50°, 2 2 soit aire(ABC) = 2 × 3 sin a = 6 sin 50°. Aire(ABC) ≈ 4,6.

I

d a pour équation y = – x. YAB (6 ; –2) et au (3 ; –1), colinéaire à YAB, est un vecteur normal de ∆, médiatrice de [AB]. De plus, le point H, milieu de [AB], de coordonnées (3 ; 1) est un point de ∆. ∆ a une équation de la forme 3x – y + c = 0. H ∈ ∆, donc 9 – 1 + c = 0, c = –8, donc ∆ a pour équation 3x – y – 8 = 0. Le centre I est un point de d et de ∆. y = – x et 3x – y – 8 = 0, soit x = 2 et y = –2.

y

77 1.

1 O

d

N 2 1

x

 M

–3

I

61 1. a) jADB = 180° – (40° + 85°) = 55°.

AD DB 400 = = . sin 40° sin 85° sin 55°

Il en résulte que AD ≈ 313,9 m et DB ≈ 486,5 m.

5

I

équivaut à : 2. y = 2x – 2 x2 + y2 – 4x + 6y + 3 = 0

B

1. UMA + UMB = RMI + RIA + RMI + RIB. Or RIA + RIB = a0, donc UMA + UMB = 2RMI. M ∈ (L) ⇔ (UMA + UMB) · UMC = 0 ⇔ RMI · UMC = 0. b) L est donc le cercle de diamètre [IC] passant par A. 89 a) sin (a + x) cos (a – x) + sin (a – x) cos (a + x) = sin (a + x + a – x) = sin 2a. b) sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a. Donc : sin (a + b) sin (a – b) = (sin a cos b)2 – (sin b cos a)2 = sin2 a cos2 b – sin2 b cos2 a = sin2 a (1 – sin2 b) – sin2 b (1 – sin2 a) = sin2 a – sin2 b. 91 1. sin

qC AH 3 = =  . 2 AC 4

1

2. # a pour rayon AI. RAI (2 ; –4). AI2 = 4 + 16 = 20, donc # a pour équation (x – 2)2 + (y + 2)2 = 20.

4

50°

2

O

C

15 169 + 196 – 225 1. cos a =  , 2 × 13 × 14 140 5 soit cos a = =  . 2 × 13 × 14 13 25 144 (sin a)2 = 1 – (cos a)2 = 1 – =  . 169 169 12 Or sin a > 0, donc sin a =  . 13 12 2. BH = AB sin a = 13 × = 12. 13 5 AH = AB cos a = 13 × = 5, 13 donc HC = 14 –5 = 9.

x

1

1 9 + = 5, donc A ∈ d. RAI (3 ; –6). 2 2

67 1.

α

4

O –1

14

13

81

d

1

H

B

b)

2

c) x = 1 ou x = –1, soit M(–1 ; –4) et N(1 ; 0).

A

1

3

2

A

5

77 ∆ est perpendiculaire à (AB) donc YAB

57

2

66

2. a) YBC(1 ; –3) donc (AM) a une équation de la forme x – 3y + c = 0. A(–1 ; 2) ∈ (AM) donc c = 7. (AM) a pour équation x – 3y + 7 = 0. b) M a pour abscisse 2 donc son ordonnée est 3. M a pour coordonnées (2 ; 3).

52

5 yx =+2x4x––28x + 4 – 4x + 12x – 12 + 3 = 0 soit y = 2x – 2 5 5x – 5 = 0.

2

2

9 1 qC 2. cos C = 1 – 2  sin   = 1 – 2 × = –  . 16 8 2 qC ≈ 97°. 16 9 94 (sin a)2 = 1 – = 25 25 3 sin a > 0 donc sin a =  . 5 1 8 (sin b)2 = 1 – = 9 9 212  . sin b > 0 donc sin b = 3 32 7 2. cos 2a = 2(cos a)2 – 1 = – 1 = 25 25 4 3 24 sin 2a = 2 cos a sin a = 2 × × = 5 5 25 donc cos(2a + b) = cos 2a cos b – sin 2a sin b 7 1 24 212 7 – 4812 = × – × = 25 3 25 3 75 sin (2a + b) = sin 2a cos b + cos 2a sin b 24 1 7 212 24 + 1412 = × + × =  . 25 3 25 3 75

Chapitre 11 4 1. Par lecture graphique, on constate que : l 75 % des ampoules ont une durée de vie qui dépasse 5 milliers d’heures, donc Q1 ≈ 5 ; l 50 % des ampoules ont une durée de vie qui dépasse 8,1 milliers d’heures, donc Me ≈ 8,1 ; l 25 % des ampoules ont une durée de vie qui dépasse 9,9 milliers d’heures, donc Q3 ≈ 9,9.

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

377

Corrigés

2. Diagramme en boîte :

Me Q3

Q1 0

2

4

6

8 10 12 14 16 Durée de vie (× 1 000 h)

3. Voici deux présentations possibles, l’une à partir de Q1, l’autre à partir de Me : l trois quarts de nos ampoules ont une durée de vie qui dépasse 5 000 heures ; l plus de la moitié de nos ampoules ont une durée de vie qui dépasse 8 000 heures. 10 1. À la calculatrice, on obtient les résul-

tats suivants : l classe A : wx ≈ 12,9 ; s ≈ 4,03 ; A A l classe B : wx = 13,5 ; s ≈ 3,67. B B 2. Pour la classe A : [wxA – sA ; wxA + sA] = [8,87 ; 16,93]. Proportion de notes dans cet intervalle : 17 pA = ≈ 0,515, soit pA ≈ 51,5 %. 33 Pour la classe B : [wxB – sB ; wxB + sB] = [9,83 ; 17,17]. Proportion de notes dans cet intervalle : 20 pB = ≈ 0,690, soit pB ≈ 69 %. 29 3. Au vu des résultats, la classe B est meilleure : la moyenne est plus élevée et la dispersion autour de la moyenne est bien moindre que dans la classe A. 29 1. Les dix premiers nombres impairs, 1, 3, …, 19, sont du type 2k + 1 avec k entier tel que 0 < k < 9. 9  (2k + 1) D’où la moyenne : wx = k =0  . 10 9 Or  (2k + 1) = 100, donc wx = 10.

S

S

k =0

Note

Le calcul de la somme peut se faire en remarquant qu’il s’agit de la somme de 10 termes successifs d’une suite arithmétique de raison r = 2 (voir le chapitre 5). 9

2. La variance s’écrit : V = Or

9

S

S  (2k + 1 – 10)

On passe de la 1re série à la 2de en augmentant les valeurs de 1 donc la moyenne a aussi augmenté de 1. En revanche, pour chaque série, les écarts à la moyenne sont inchangés donc les variances sont les mêmes.

36 1. Par lecture graphique : 33 1. On note SA le salaire moyen dans l’en-

treprise A. masse des salaires SA =  , effectif total 5 × 2 760 + 20 × 1 680 d’où SA = = 1 896 e. 25 2. a) On note SB le salaire moyen dans l’entreprise B. SB = SA – 36 = 1 860 e. On note x le nombre de techniciens. La répartition des salaires est illustrée par le tableau : Personnel Salaire moyen en e

Techniciens

Ouvriers

x

42 – x

2 760

1 680

SB s’exprime en fonction de x, d’où la mise en équation : 2 760x + 1 680(42 – x) = 1 860 e. 42 D’où 2 760x + 70 560 – 1 680x = 78 120 1 080x = 7 560 x = 7. L’entreprise B emploie 7 techniciens et 35 ouvriers. b) La fréquence de la catégorie « technicien » est : 5 l chez A, de = 0,20 soit 20 % ; 25 7 l chez B, de ≈ 0,167 soit environ 16,7 %. 42

k =0

 .

Or

10

S (2i –11) i =1

378

2

S(2i – 11) i =1

= 330, donc V’ = 33.

39

[5 ; 15[ [15 ; 20[ 14

15

[20 ; 25[ [25 ; 50[ [50 ; 100[

Fréquence (en %)

8

11

13

b) On affecte la fréquence au centre de chaque classe. D’où des estimations de la moyenne et de l’écart-type à l’aide de la calculatrice : wx ≈ 20,7 et s ≈ 23,7. 3. L’âge moyen et l’écart-type ne sont pas des indicateurs pertinents : l 68 % des cas sont déclarés avant 20 ans alors que l’âge moyen est 20,7 ans ; l L’écart-type, traduit une dispersion très importante par rapport à la moyenne, mais n’indique pas d’où elle provient. Les quartiles et la médiane donnent une meilleure image de la répartition : l 25 % des cas sont déclarés sur des enfants de moins de 3 ans ; l la moitié des cas sont déclarés avant 13 ans ; l les trois quarts des cas ont lieu avant 24 ans.

Note

Une étude plus fine semble cependant nécessaire pour la population des jeunes.

+1

+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1

2

10

Âge (en année)

+1

S

La variance s’écrit : V’ =

[0 ; 5[

Fréquence (en %)

–1

3. X’ est la suite des nombres pairs : 2, 4, …, 20. Ces valeurs sont du type x’i = 2i avec i entier tel que 1 < i < 10. 10 (2i) D’où la moyenne : wx’ = i=1  . 10 10 Or  (2i) = 110, donc wx’ = 11. 10

Âge (en année)

29 1. Réalisons un arbre. Toutes les issues représentées sont équiprobables.

k =0

i =1

Me ≈ 13, Q1 ≈ 3, Q3 ≈ 24. 2. a) Tableau des fréquences :

Chapitre 12

2

10  (2k –9)2 = 330, donc V = 33.

S

La fréquence dans l’entreprise B est plus faible que dans l’entreprise A. Ce résultat était prévisible : le salaire moyen, plus bas chez B, permet de conjecturer que la proportion de techniciens est plus faible chez B que chez A. C’est un « effet de structure ».

Note

–1

 .

–1 1 er chiffre

2 e chiffre

3 e chiffre

+1

Somme Produit 4 1

–1

2

–1

+1

2

–1

–1

0

1

+1

2

–1 1

–1

0

+1

0

1

–1

–2

–1

+1

2

–1

–1

0

1

+1

0

1

–1

–2

–1

+1

0

1

–1

–2

–1

+1

–2

–1

–1

–4

1

4 e chiffre

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

Corrigés

2. a) A : « la somme est nulle ». 6 3 P(A) = = . 16 8 b) B : « le produit vaut 1 ». 8 1 P(B) = = . 16 2 c) C : « la suite est alternée ». 2 1 P(C) = = . 16 8

2. E(X) = 0,3 × 0 + 0,6 × 1 + 0,1 × 2 = 0,8. Sur un grand nombre de tirages, le nombre moyen de boules vertes est 0,8. Il y a moins de boules vertes que de boules rouges donc il était prévisible que ce résultat soit inférieur à 1.

Ainsi la commerçante peut espérer un chiffre d’affaires de 9 300 e sur la vente des 250 chemisiers.

46 1. X prend les valeurs : 7, 11, 13, 20, 32.

35 1. On désigne les quatre amis par a1 , a2 , a3 et a4 et les salles de cinéma par S1 , S2 , S3 et S4. Une répartition peut être symbolisée par un quadruplet formé à partir de S1 , S2 , S3 , S4. Exemple : a1 a2 a3 a4

2. a) Un tableau permet de dénombrer les participants des différentes catégories. On le remplit avec les données (en noir) puis on complète.

12 1. a) X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,05. b) Tableau.

S2

S4

S2

S1

4 choix 4 choix 4 choix 4 choix Il y a quatre choix possibles pour chacun des quatre amis d’où le nombre de répartitions N = 44. 2. Toutes les issues sont équiprobables. Une issue favorable à A est du type : a1 a2 a3 a4 l

4 choix 3 choix 2 choix 1 choix A contient 4 × 3 × 2 × 1 issues favorables. 4×3×2×1 3 Donc P(A) = = . 44 32 l B contient 4 issues favorables. 4 1 Donc P(B) = 4 = . 4 64 l C est l’événement contraire de A : C = wA. 29 Donc P(C) = 1 – P(A) soit P(C) = . 32 43 1. Une issue est symbolisée par un couple de deux boules distinctes.

A

xi

0

1

2

P(X = xi) 0,3 0,6 0,1

E

Total

Repas

29

7

9

45

Pique-nique

29

10

3

42

Participant

58

17

12

87

Toutes les issues sont équiprobables. l « X = 7 » signifie : « le participant est un enfant qui a apporté son pique-nique ». 3 Ainsi P(X = 7) = . 87 l de même pour les autres événements du type « X = xi ». D’où la loi de X : xi

7

11

13

20

32

P(X = xi)

3 87

9 87

10 87

36 87

29 87

Remarque. La somme des probabilités est bien égale à 1. b) Le tarif moyen correspond à l’espérance E(X). À la calculatrice : E(X) ≈ 21,82 e.

Valeur de a k

3

4

15

0,02

C 0,02

b) 95 % des chemisiers sont sans défaut donc 5 % ont au moins un défaut. Ainsi P(B ∪ C) = 0,05. Or P(B ∪ C) = P(B) + P(C) – P(B ∩ C) donc : P(B ∩ C) = P(B) + P(C) – P(B ∪ C). P(B ∩ C) = 0,03 + 0,04 – 0,05 = 0,02. 2. a) Prix de vente pour un chemisier avec : – un seul défaut : 0,8 × 40 = 32 e ; – deux défauts : 0,5 × 40 = 20 e. V prend les valeurs : 20, 32, 40. D’où la loi de V : vi P(V = vi)

20

32

40

0,02

0,03

0,95

b) Espérance de V : E(V) = 39,36 e. 3. On note Y la variable aléatoire qui indique le chiffre d’affaires : Y = 250V – 540. E(Y) = 250 E(V) – 540 donc E(Y) = 9 300 e.

17

31 a) Un arbre pondéré illustre l’expérience.

Lancer 2

0,95 0,01

16

c) Les bornes de l’intervalle de fluctuation I sont : a b = 0,02 et = 0,08. n n 2. a) La fréquence observée est 17 fobs = = 0,085. 200 Ainsi fobs ∉ I. On rejette au seuil de 5 % l’hypothèse p = 0,05. On peut donc penser que la chaîne ne fonctionne pas correctement. b) P(X > 16) = 1 – P(X < 16) ≈ 1 – 0,976 2 ≈ 0,023 8. D’où P(X < 3) + P(X > 16) ≈ 0,009 0 + 0,023 8, soit P(X < 3) + P(X > 16) ≈ 0,032 8. On obtient la probabilité que X prenne ses valeurs dans la zone de rejet. Ainsi, il y a une probabilité d’environ 3,3 % de rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie.

Lancer 1

S

Valeur de b

P(X < k) 0,009 0 0,026 4 0,955 6 0,976 2 0,987 9

52 1. a)

B 5 choix 4 choix Le nombre d’issues possibles est : N = 5 × 4 = 20. Toutes ces issues sont équiprobables. a) « X = 0 » signifie : « tirage de deux boules 3×2 rouges ». D’où P(X = 0) = = 0,3. 20 b) Un tirage ne peut comporter que 0, 1 ou 2 boules vertes donc X prend les valeurs 0, 1, 2. l « X = 1 » signifie : « tirage d’une boule verte et d’une boule rouge ». Un tirage favorable est alors : soit RV (3 × 2 possibilités), soit VR (2 × 3 possibilités). 3 × 2 +2 × 3 Donc P(X = 1) = = 0,6. 20 l « X = 2 » signifie : « tirage de deux boules vertes ». 2×1 Donc P(X = 2) = = 0,1. 20 D’où la loi de X :

J

Chapitre 13

1/2

1

1/2

0

1/2

1

1/2

0

1

1/2

1/2

0

Lancer Gain 3 algébrique 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 0

+1 +1 +1 +1 +2 +2 +4 –n

Loi de probabilité de G. gi

1

2

4

–n

P(G = gi)

1 2

1 4

1 8

1 8

b) Dire que le jeu est équitable signifie que E(X) = 0. 1 2 4 n 12 – n E(X) = + + – =  . 2 4 8 8 8 Ainsi, E(X) = 0 équivaut à n = 12. 37 1. a) L’événement « X = 0 » est représenté par le chemin à n branches : 0,4

0,4

N N……… Donc P(X = 0) = 0,4n.

0,4

N

Corrigés « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

379

Corrigés

b) L’événement « X = k » est représenté par le chemin à k branches : 0,4

0,4

0,4

0,6

N N………N N V On obtient (k – 1) perles noires, puis la ke est verte. c) Ainsi, P(X = k) = 0,4k–1 × 0,6 avec 1 < k < n. 2. Somme des probabilités : S =

n

SP(X = k). k =0

5

S = 0,4n + 0,6 + 0,4 × 0,6 + 0,42 × 0,6 + … + 0,4n–1 × 0,6 n 2 S = 0,4 + 0,611 + 0,4 + 0,4 + … + 0,4n–12

S = 0,4n + 0,6 × soit S = 1.

1 – qn (q ≠ 1). 1–q

1 – 0,4n 1 – 0,4n = 0,4n + 0,6 ×  , 1 – 0,4 0,6

43 Notons X la variable aléatoire donnant le nombre de Pile au terme des six lancers. X suit une loi binomiale de paramètres n = 6 1 et p =  . 2 6 1 k 1 6 – k 1 6 6 P(X = k) = × = × . k 2 2 2 k a) On calcule P(X < 2). P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

1 2 1 21 2

P(X < 2) =

1

6

6

1

1 2 12

6

6

1

6

6

1 2 2 × 102 + 1 2 2 × 112 + 1 2 2 × 122.

1 11 (1 + 6 + 15), donc P(X < 2) =  . 64 32 b) L’événement A « Obtenir au moins un Pile » a pour événement contraire : « Obtenir aucun Pile », c’est-à-dire « X = 0 ». Ainsi, P(A) = 1 – P(X = 0), 1 6 63 =  . soit P(A) = 1 – 2 64

P(X < 2) =

1 2

54 1.

R

18 % 12 % 11 % D

14 %

C1 7% 38 % T

2. Interroger un client au hasard sur la classe qu’il réserve pour ses voyages est une

380

3. a) On est dans le cas d’un schéma de Bernoulli d’ordre n associé à la probabilité de succès p = 0,3. On note A l’événement : « au moins un client voyage en classe C1 ». Son événement contraire est wA : « Aucun des n clients ne voyage en classe C1 ». wA est représenté par le chemin : 0,7

wC1

0,7

wC1………

0,7

wC1

Ainsi, P(wA) = 0,7n, donc Pn = P(A) = 1 – 0,7n. b) Pn > 0,999 9 s’écrit 1 –  0,7n > 1 – 0,000 1 d’où 0,7n < 0,000 1. Le plus petit entier solution est n0 = 26.

Rappel

1 + q + q2 + … + qn–1 =

épreuve de Bernoulli associée à l’issue C1 de probabilité p = P(C1) = 0,30.

58 1. Pour dénombrer les chemins de 8 pas qui sont situés au-dessus ou sur la droite d, on utilise le protocole de codage de l’exercice 57.

1 Pile 1 7 1 6 20 1 5 14 28 1 4 9 14 14 1 3 5 5 1 2 2 1 1

y=x

D’où la loi de X1 : k

1

2

P(X1 = k)

1 2

1 2

3  . 2 2. La succession de n sauts indépendants définit un schéma de Bernoulli d’ordre n. L’épreuve associée a pour issues S : « Saut de 1 case » et wS : « Saut de 2 cases », avec 1 p = P(S) =  . 2 Yn suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,5. n Ainsi, E(Yn) = np, soit E(Yn) =  . 2 3. a) Durant les n sauts, Yn donne le nombre de sauts d’une case donc n – Yn indique le nombre de sauts de deux cases. Ainsi, le numéro de la case sur laquelle la puce arrive au terme des n sauts est : Xn = 1 × Yn + 2 × (n – Yn), soit Xn = 2n – Yn. b) Xn prend les valeurs entières de n à 2n. E(X1) =

Note

La valeur n est obtenue lorsque tous les sauts sont de 1 case alors que la valeur 2n est obtenue lorsque tous les sauts sont de 2 cases. Face

Départ 2. Tous les chemins de 8 pas sont équiprobables. Le nombre de chemins possibles est N = 28 = 256. On note T l’événement : « Pile fait la course en tête ». Le nombre de chemins favorables à T sont ceux qui arrivent aux points de coordonnées (0 ; 8), (1 ; 7), (2 ; 6), (3 ; 5) et (4 ; 4). Le code associé à chacun de ces points indique le nombre de chemins menant à cette arrivée. Ainsi, le nombre de chemins favorables à T est : nT = 1 + 7 + 20 + 28 + 14 = 70. n 70 35 D’où P(A) = T = =  . N 256 128 69 1. L’expérience comporte un seul saut. La puce arrive soit à la case 1, soit à la case 2.

c) Pour n < k < 2n, l’événement « Xn = k » signifie « 2n – Yn = k », soit « Yn = 2n – k ». Ainsi, P(Xn = k) = P(Yn = 2n – k) d’où, en utilisant la loi binomiale de Yn : n 1 2n–k 1 n – (2n – k) P(Xn = k) = 2n – k 2 2 n 1 n P(Xn = k) = × . 2n – k 2 Application 5 1 5 1 5 × = 10 × =  . P(X5 = 7) = 3 2 32 16 La probabilité que la puce soit à la case n° 7 5 après une succession de 5 sauts est  . 16 d) E(Xn) = E(2n – Yn) = 2n – E(Yn), n 3n d’où E(Xn) = 2n – =  . 2 2 Si on répète, un grand nombre de fois, une série de n sauts, la moyenne des numéros des cases sur lesquelles arrive la puce à 3n chaque série est  . 2

1 1

21 2 1 2 2 1 2

12 1 2

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Coups de pouce données de O, A, B et, sur ces tangentes, un second point à coordonnées entières.

Chapitre 1 1 Pour résoudre ce système, pensez à substituer une des inconnues… Ne soyez pas surpris de trouver plusieurs possibilités.

2 Évitez de compter deux fois l’aire du carré commun aux deux bandes vertes. 3 Pensez que la variable x appartient nécessairement à l’intervalle [0 ; 10]. 4 Le calcul de l’aire nécessite la connaissance d’une hauteur : tracez la hauteur issue de D et notez h sa longueur. 5 L’aire d’un disque de rayon R est égale à pR2. La somme des rayons des deux disques intérieurs est égale à 10 cm. 6 Pensez à utiliser le théorème de Thalès. 7 Le problème se ramène à la résolution d’une inéquation du second degré en x. 8 Vérifiez que x2 – x + 2 ne s’annule jamais. 9 # entièrement située dans la bande de plan délimitée par les droites d’équation y = –1 et y = 1 revient à dire que pour tout nombre réel x, –1  f(x)  1.

Chapitre 2

2 Après avoir tracé la parabole et la droite, vous avez l’impression que d est tangente à 3. Posez-vous la question : « En quel point cette droite d est-elle tangente à  » ? Il vous reste ensuite à vérifier qu’en ce point la tangente est bien la droite d. 3 Faites une figure et construisez H’. Vous avez ensuite deux façons de démontrer que la tangente en A passe par H’. • Vous cherchez une équation de la tangente en A et vous vérifiez que H’ est un point de cette tangente. • Vous comparez le nombre dérivé en x = 1 et le coefficient directeur de (AH’). 4 Pensez que les coordonnées des points A et B vérifient le système : y = x2 y = 2x + 3. Sa résolution vous donne les coordonnées de A et B. Celles de H s’en déduisent immédiatement.

5

5 Souvenez-vous, le coefficient directeur yB – yA est m = x – x . B A

6 Il faut trouver l’abscisse x0 de C…, mais pensez que f’(x0) = m… 7 Trouvez d’abord la fonction dérivée, puis

1 Il est nécessaire d’étudier le signe de f(x). 2 Attention, la fonction g n’est peut-être pas monotone sur l’intervalle [0 ; 2].

3 Les fonctions g, h et k sont « associées » à la fonction f. Appliquer les théorèmes du cours.

4 Utilisez les valeurs remarquables de x et n’oubliez pas que |f(x)| est toujours positif.

f’(m) et f(m).

8 Connaissant f(m) et f’(m), il vous reste à appliquer la « formule » donnant l’équation de la tangente en un point d’une courbe. 9 Il vous reste à traduire le fait que la tangente en M passe par A(0 ; –3)… et à résoudre une équation du second degré en m.

symétrique M1(–x ; f(x)) par rapport à l’axe des ordonnées et M2(x ; –f(x)) par rapport à l’axe des abscisses.

10 Il suffit de traduire les trois idées suivantes, contenues dans le texte : • O est un point de P ; • A est un point de P ; • d est la tangente en A.

6 Le point de coordonnées (x ; y) est à la

11 Il suffit de traduire les trois conditions

5 Le point M (x ; f(x)) de la courbe # a pour

distance 8x2 + y2 de l’origine du repère.

7 L’étude du signe du trinôme x2 + 2x + 2 est utile. On peut même remarquer que x2 + 2x + 2 = (x2 + 2x + 1) + 1 …

8 N’oubliez pas que OM = 12 × f(x). 9 La perpendiculaire à d passant par O coupe d en un point H.

Chapitre 3 1 Par lecture graphique vous pouvez trouver facilement le coefficient directeur de chacune des tangentes. Vous avez les coor-

de 1. a) : on calcule f(0), f(1) et f’(1).

12 Résolvez le système précédent et vous aurez la réponse.

Chapitre 4 1 Avec un logiciel ou à la calculatrice tracez  et la droite d. Déplacez la droite d et conjecturez ainsi le nombre de points de  en lesquels la tangente est parallèle à d. La tangente en un point de  d’abscisse x0 a pour coefficient directeur f’(x0). 2 Comme pour l’exercice précédent avec GeoGebra par exemple, tracez  et une

droite de coefficient directeur 1. Déplacez la droite et conjecturez le nombre de points. Pensez que le coefficient directeur f’(x0) doit être égal à 1.

3 Pensez à dériver f et à dresser le tableau de variation. Les réponses en découlent. 4 Une conjecture avec GeoGebra est intéressante : sur une même figure tracez  ainsi que les droites d’équations respectives y = 4 4 et y = 7 puis x = –1 et x = . Dressez puis 3 exploitez le tableau de variation. 5 Dire qu’un point M(m, p) est un point de  équivaut à f(m) = p. Traduisez cette idée pour les points A, B, C afin d’obtenir le système. 6 On trouve d’abord a facilement… il reste ensuite à résoudre un système. 7 Avec GeoGebra placez A, B, C puis tracez la courbe représentative de f. Tracez la droite (BC) et la tangente en A. Intéressez-vous aux réponses qui apparaissent dans la fenêtre algèbre. Retrouvez ces résultats par le calcul. 8 La diagonale d d’un carré et le côté a sont liés par la relation d = a12. 9 On rappelle que le volume d’une pyra-

1  Bh où B est l’aire de la base et 3 h la hauteur… mide est

10 Le volume est une fonction de h. Étudiez les variations de  sur l’intervalle [0 ; 12]. 11 Posez-vous la question : l’équation f’(x) = 0 a-t-elle toujours deux solutions ? 12 Vous pouvez aussi mener une conjecture avec GeoGebra… puis exploiter le tableau de variation dans ce cas particulier.

Chapitre 5 1 En appuyant sur les touches, 1

•

1

^ 1 5 , par exemple, de votre calculatrice, vous obtiendrez une valeur (approchée) de 1,115. Faites de même avec des nombres choisis de manière pertinente et vous trouverez la réponse.

2 Chercher (sur Internet par exemple) l’année de l’événement. Traduisez en équation et résolvez. 3 Établissez un lien entre les arcs successifs, cela doit vous permettre d’économiser les calculs. 4 Conjecturez l’expression de un en fonction de n. Vérifiez à l’aide du tableur (Format – Cellules… – Fraction). Coups de pouce

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381

Coups de pouce

5 Pensez au théorème de Pythagore et posez q2 = Q.

2 Posez-vous la question suivante : les vecteurs UAN, YBP et ZCM sont-ils colinéaires ?

6 Observez les différents résultats obtenus et reconnaissez une suite.

3 Le choix du repère 1O ; YOI, YOJ2 est pertinent. Il facilite vos calculs. Pour M et N, il suffit de remarquer que : 1 1 ZOM = –  YOI et UON = –  YOJ. 4 3

7 Le calcul des premiers termes de la suite peut être utile.

4 Tout est ici une affaire de colinéarité…

Chapitre 6 1 En remplaçant n par 1, 2… vous avez les réponses demandées. Profitez de ce calcul pour conjecturer les variations de la suite.

2 Le calcul peut paraître délicat. Pensez que an+1 – an = an (a – 1). 3 C’est une simple affaire de signe… Il n’y a pas de calculs.

4 Vous n’avez rien à démontrer. Vous devez seulement construire « l’escalier » … et conjecturer. Exercice résolu B, page 150.

5 N’oubliez pas de tracer la courbe à la calculatrice ou avec GeoGebra pour avoir une idée des variations. Calculez la dérivée et concluez.

6 Pensez que « a < b » équivaut à « a – b < 0 »… Cherchez donc le signe de un – 3. 7 Voyez l’exercice résolu C page 151 pour avoir une idée de la méthode. N’oubliez pas que un < 3. 8 Calculez C2, C3… vous aurez ainsi une

idée sur la nature de la suite. En appliquant ensuite les formules, on trouve Cn et n en fonction de n. Afin que vous puissiez conti1 nuer, on trouve n = 8 1 – n . 2

1

9 Voir le coup de pouce

2

6 .

10 …Il vous reste seulement à résoudre ,n > 8 – 10 … à la calculatrice. –6

11 Le signe de f(x) – g(x) pour x > 1 vous donnera la réponse. 12 Assurez-vous au préalable que tous les

Intéressez-vous d’une part aux vecteurs ZDM et UDN et d’autre part aux vecteurs ZAM et UCN.

5 Avec la relation de Chasles, décomposez les vecteurs YGA et YGC en fonction de rIA et rIC… et I est le milieu de [AC].

6 Toujours avec la relation de Chasles, exprimez G Y B et G Y C en fonction de A Y B et A Y C. Ensuite, à partir de la relation G Y A + 2 YGB + G Y C = 0a , exprimez A Y G en fonction de A Y B et A Y C.

7 Le choix du repère 1A ; YAB, rAI2 semble le plus pertinent. Il permet de trouver rapidement les coordonnées de C et de J. Il permet aussi d’avoir rapidement k, car k est l’abscisse de K dans le repère 1A ; YAB, rAI2. 8 Vous pouvez trouver les coordonnées de K de deux manières : l en traduisant la colinéarité de YCJ et UCK avec K (x ; 0) ; l en trouvant une équation de (CJ) et en cherchant l’abscisse de K, intersection de (CJ) et de l’axe des abscisses. 9 Dans ce repère, les coordonnées de I et K sont immédiates. Pour J, pensez que 4 YAJ = YAC. Cette égalité vous permet de trouver les coordonnées (x ; y) de J.

10 Voyez l’exercice 78 page 184. Il vous permet de trouver de manière astucieuse les équations des droites (AI) et (CK). Il vous reste à trouver ensuite les coordonnées de M, intersection de ces deux droites, et à vérifier l’alignement de M, J, B.

11 A

termes un sont positifs.

13 Voyez le chapitre 5 page 121. En écrivant

Chapitre 7

382

d’abord à trouver la mesure de l’angle géométrique associé.

2 Revoyez le résolu C page 199. Revenez à des vecteurs de même origine et à trouver la mesure de l’angle géométrique associé.

3 jDBA se calcule facilement… Il vous reste à remarquer que le triangle DBA est isocèle pour trouver la mesure de jBAD.

4 Ces points semblent alignés, il vous manque seulement 1 UAD, YAE2 pour conclure… avec la relation de Chasles.

5 Revenez, pour les deux premiers angles orientés, à des vecteurs de même origine. La présence du carré BCDE vous facilitera la tâche.

6 Si vous trouvez d’abord la nature des triangles MOP et NOP, puis la mesure des angles géométriques jPOA et jAON, il ne vous restera plus qu’à conclure.

7 Placez les points repérés par ces réels sur le cercle #. Sans doute aurez-vous besoin de trouver au préalable sin x pour répondre aux questions posées. Aidez-vous d’un cercle trigonométrique.

8 Vous pouvez chercher d’abord les réels dans l’intervalle ]–p ; p[ et écrire vos réponses sous la forme x + 2kp. Vous chercherez ensuite les valeurs de k pour lesquelles ces réels « restent » dans l’intervalle [–3p ; 3p[.

– 3/

– 2/

–/

0

/

2/

3/

+2/

K

Chapitre 9 B

C

12 Pensez que K a pour coordonnées (0 ; y) et traduisez l’alignement des points B, D et K. 13 Une figure précise vous aidera rapide-

1 Pour construire M, pensez à exprimer ZAM (par exemple) en fonction de YAB avec la relation de Chasles.

1 Revoyez le résolu C page 199 et pensez

– 2/

D

les premiers termes et les deux derniers… la simplification est immédiate.

14 Cherchez un entier naturel n tel que n > 1 – 10–4.

Chapitre 8

ment à trouver les coordonnées de I et J. Notez (–5 ; y) les coordonnées de K, puis traduisez l’alignement de K, B, C pour trouver y.

1 Dessinez A’ à main levée. Que dire de (AA’) et d ? Que dire de H, intersection de ces deux droites ? Cherchez ses coordonnées.

2 D’abord, faites une figure… Choisissez des vecteurs directeurs au et au’ de d et d’ de manière que l’angle géométrique associé soit aigu.

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Coups de pouce

3 Souvenez-vous que l’aire du triangle

1 ABC est, par exemple, égale à BC × AH. 2

A

5 B –3

2 j i O –2

C

5 Sur la figure, H appartient déjà à une hauteur. Il faut prouver qu’il appartient à une seconde hauteur. Les calculs seront plus simples si vous choisissez celle issue de O. 6 Utilisez un cercle trigonométrique.

3 H

4 Cette fois y = 0. Une factorisation vous donne l’abscisse de C.

11 2

4 Il semble que le choix d’un repère est bien adapté à l’exercice. Attention, le repère doit être orthonormé. On peut prendre par exemple le repère O ; ai, aj 2 tel que YOA = aai et OB = bai.

5 La présence des angles droits vous offre deux pistes possibles : utiliser un repère orthonormé ou exprimer A Y C et B Y D en fonction de deux vecteurs par la relation de Chasles.

6 Il y a beaucoup d’angles droits dans la figure. La piste géométrique semble difficile. Choisissez un repère orthonormé qui conduit à des coordonnées simples. N’oubliez pas que AB = AD = 1…

7 Il n’y a pas d’angles droits. Il est ici préférable de suivre la piste géométrique. Pensez 2

à MP2 = UMA + YAP2 …

8 Exprimez YAB et YAC en fonction de UAH, puis calculez YAB · YAC. L’équivalence découle immédiatement du résultat précédent. 9 Transformez l’expression en remarquant que UCM est commun aux deux produits scalaires. La relation de Chasles fait le reste.

10 En exprimant YOB et YOC en fonction de deux vecteurs par la relation de Chasles, vous profiterez de la présence des angles droits en A et D. Il vous restera ensuite à gérer le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.

Chapitre 10 1 Ne vous lancez pas dans les calculs sans faire une figure précise. Elle vous renseignera sur la particularité du triangle ABC. Cela vous permettra de trouver le centre et le rayon.

2 Une figure est indispensable. Il vous faut les coordonnées du centre de #. Avec deux médiatrices bien choisies, les calculs sont simplifiés. Une équation du cercle # est : 13 x2 + y2 –  x – 3y = 0. 2

3p p + = ……… ? 10 5 Revenez ensuite aux angles associés du chapitre 8.

7 Placez sur le cercle trigonométrique de 7p 4p et puis concluez. C’est 10 5 toujours une affaire d’angles associés. la question 1

8 Exploitez la figure. 9 Pensez au théorème de Pythagore généralisé.

et la part de la production française. À vous de l’exploiter !

Chapitre 12 1 Il faut exploiter le tableau. 2 Interprétez l’espérance de V. 3 Pensez à introduire une variable aléatoire puis à interpréter son espérance. 4 Une nouvelle variable aléatoire, liée à la première, indique les recettes. 5 Pensez à introduire le gain algébrique du joueur. Quelle doit être la valeur de son espérance pour que le jeu soit équitable ? 6 Un diagramme ensembliste ou un tableau permet de répondre.

E

wE

M cM

10 Rappelez-vous, si a est le côté d’un triangle équilatéral, alors la hauteur est égale a13  . Déduisez-en la valeur de OA. à 2 Vous connaissez l’angle OAI. Utilisez le théorème de Pythagore généralisé.

11 Sur la figure, il y a trois axes de symétrie passant par O. Exploitez-les pour trouver le centre et le rayon.

12 Faites une figure, à compléter au fur et à mesure. Vous pouvez utiliser GeoGebra. On vous demande seulement de vérifier que D, E, F sont des points de #. 13 Trouvez une équation des droites (AC) et (AB), puis des hauteurs issues de B et C. Vous en déduirez les coordonnées de H, M et N. Il ne reste plus qu’à vérifier l’appartenance à #.

Chapitre 11 1 La comparaison peut se faire à partir des indicateurs de position (quartiles – médiane) mais aussi des indicateurs de dispersion (étendue – écart interquartile). 2 Pour chaque jeu, pensez à la fréquence des avis positifs. 3 Un tableau résume la situation. 4 Intéressez-vous à la proportion de garçons et de filles qui testent ces jeux. 5 Pensez à utiliser le centre des classes. 6 Le diagramme des fréquences cumulées croissantes peut être fort utile.

7 La part de la production française n’est

3 On sait que l’abscisse de D est 4 et que

autre que la fréquence des « films français ».

D est un point de #. Vous êtes ramené à résoudre une équation du second degré.

8 L’équation de la droite permet d’établir une relation affine entre le rang de l’année

7 Le prix de vente V d’une maquette est une variable aléatoire ; exprimez V en fonction de X. Que vaut E(V) ? 8 Utilisez un tableau à double entrée ou un diagramme ensembliste.

L

T

9 Le montant C du chiffre d’affaires est une variable aléatoire ; exprimez C en fonction de D. Déduisez-en E(C).

Chapitre 13 1 N’oubliez pas de repérer les chemins qui conduisent à la réalisation des événements cités. Ils mènent directement à la solution. 2 Un arbre peut vous aider à répondre. Sinon, introduisez la variable aléatoire qui indique le nombre de succès. 3 Exprimez en fonction de n la probabilité que Lucy réussisse au moins un panier. 4 Aidez-vous d’un schéma ensembliste ou d’un tableau à double entrée. 5 Vous reconnaissez un schéma de Bernoulli d’ordre 10. Exploitez-le. 6 Pensez à la loi du nombre de succès. 7 Exploitez une relation du type V = aX + b pour calculer E(V). 8 Si X désigne le nombre de vendeurs satisfaits sur un échantillon aléatoire de 872 personnes, quelle est la loi de probabilité de X ? À vos calculatrice pour déterminer I. 9 Testez l’hypothèse ! Coups de pouce

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383

Index A B Absurde (démonstration par) 265 Accroissement (taux d’) 74 Accumulation 147 Aléatoire (expérience) 292 Aléatoire (variable) 294 Angles associés 197 Angle orienté d’un couple de vecteurs 194 Arbre pondéré 320, 324 Arithmétique (suite) 121 Bernoulli • (épreuve de) 321 • (loi de) 321 • (schéma de) 321

C Calculatrie (programmation) Canonique (forme) Cercle • (équation d’un) • trigonométrique Coefficients binomiaux Coefficient directeur d’une droite Colinéaires (vecteurs) Contraposée Coordonnées • d’un point • d’un vecteur Cosinus d’un angle de deux vecteurs

rabats 24 243 194 322 170 168 262 169 166 195

D Démonstration • par l’absurde • par contre-exemple • par contraposée • par équivalences successives • par implication successives • par disjonction des cas Dénombrement Dérivation • nombre dérivé • fonction • dérivée de u + v • dérivée de lu • dérivée de uv u • dérivée de v Diagramme en boîte Discriminant

265 266 264 265 264 266 118 74 75 94 94 95 95 268 25

E Écart-type Échantillonnage Épreuve de Bernoulli Équation • d’un cercle • cartésienne d’une droite • du second degré Équivalence Espérance Étendue

Édition : Nathalie Ferry, Fabienne Loup-Brunswick Conception graphique : Élise Launay Couverture : Frédéric Jély Schémas : Soft Office Iconographie : Juliette Barjon Composition : JPM Photogravure : Key Graphic

384

269, 295 323 321 243 170 25 260 295, 322 269

292 96

Expérience aléatoire Extremum local

F Fluctuation (intervalle de) Forme canonique Fonction(s) • affine • strictement croissante • strictement décroissante • dérivable • dérivée • inverse • homographique • polynôme • (sens de variation d’une) • racine carrée • trinôme • valeur absolue Formules • d’addition • de duplication

G H

323 24 357 48, 356 48, 356 75 75 358 358 95 96 50 24, 357 51 244 244

I

Géométriques (suites) Hyperbole Implication Inéquation du second degré Intervalles

122 357 259 27 355

L Limite d’une suite (approche) Loi • binomiale • binomiale de paramètres n et p • des chemins • des nœuds • de probabilité

146 321 322 320 320 294

M N Maximum local Médiane • (théorème de la) • d’une série statistique Mesure • d’un angle de deux vecteurs • principale Minimum local Moyenne d’une série statistique Négation d’une proposition Nombre dérivé Norme d’un vecteur

96 242 268, 359 194 195 96 359 261 74 216

O P Opérations sur les fonctions dérivées Parabole Plan orienté Polynôme (dérivée d’un) Prise de décision Probabilité • d’un événement • d’un événement élémentaire

94 357 195 95 323 292 292

• de A, de wA, de A ∩ B, de A ∪ B • (loi de) Produit de fonctions (dérivée d’un) Produit scalaire Projection orthogonale

292 294 95 216 218

Q R Quantificateurs 260 Quartiles 268, 359 Quotient de deux fonctions (dérivée du) 95 Racine carrée (fonction) 50 Radian 194 Raison d’une suite • arithmétique 121 • géométrique 122 Réciproque (implication) 260 Récurrence (définir une suite par) 120 Relation de Chasles • pour les vecteurs 166 • pour les angles de vecteurs 196 Relations métriques dans un triangle quelconque 242 Repère orthonormé direct 195 Répétition d’expériences aléatoires 319

S Schéma de Bernoulli d’ordre n Sens de variation • d’une fonction • d’une suite Signe du trinôme Sinus d’un angle de deux vecteurs Somme de fonctions (dérivé d’une) Somme • des entiers de 1 à n • des puissances massives Suites • arithmétiques • géométriques

321 96 145 26 195 94 121 122 120 121 122

T V Tangente à une courbe Taux d’accroissement Théorème de la médiane Triangle de Pascal Trigonométrie Trinôme Valeur absolue (fonction) Variable aléatoire Variance Variations d’une suite Vecteur(s) • (angle orienté de) • colinéaires • directeur d’une droite • normal à une droite • (norme d’un) • orthogonaux

75 74 242 323 244 24 50 294 269, 295 145 194 168 170 219 216 218

Crédits photographiques. Couverture  : Tomas Rodriguez/Corbis. 10  : ANDIA PRESSE ; 21bd LEEMAGE ; 21h  : REGARDS DU SPORT/Vandystadt/ Jean-Marc Favre ; 35bd : Oxford University Press/John L. Esposito. The Oxford History of Islam. ; 39 : BUREAU 233/Pascal Baril/Planete bleue images ; 39 h : FOTOLIA/Victor Zastol’skiy ; 43 : gama rapho/Sylvain Grandadam/HOA QUI ; 44 : BIS/Ph. NASA Coll. Archives Sejer ; 47bd : AKG- Images/ SPL ; 47h : AFP/Valérie Hache ; 59bd : Droits Réservés ; 65 : CORBIS SYGMA/Yves Forestier ; 71bd : GAMMA RAPHO/KEYSTONE France ; 71h : HANOTEAU Frédéric ; 81bd : Droits Réservés ; 81hg : PHOTONONSTOP/Nicolas Thibaut ; 81md : CORBIS/Schlegelnilch ; 88 : HEMIS/Hugues ; 91bd : BIS/Ph. © National Portrait Gallery - Archives Larbor ; 91h : REA/ROPI- REA/Angelos ; 103bd : AKG/SPL ; 109 : PHOTONONSTOP/Daniel Schneider ; 110 : ANDIA PRESSE/Tesson Philippe ; 114b : SIGNATURES/Christophe ; 114h : GAMMA RAPHO/Timothy Laman/IMAGESTATE/HOA QUI ; 115 : AKG Images/De Agostini Pict.Li ; 117b AKG Images ; 117h : CHRISTOPHE L ; 118 : CORBIS/Guido Cozzi ; 129bd : KHARBINE-TAPABOR ; 134 : ISTOCKphoto ; 135 : FOTOLIA/ElenaR ; 136 : FOTOLIA/richard villalon ; 139 : FOTOLIA/zentilia ; 140 : THE PICTURE DESK/DAGLI-ORTI ; 141b : AKG Images ; 141h : GETTY IMAGES France/Dorling Kindersley ; 143 : CORBIS/photocuisine/Trizeps Photography ; 155bd : COSMOS/SPL/Alfred Pasieka ; 156 : AKG Images/SPL ; 159 : MYLONAS Manolo/Fedephoto ; 160bd REA/Richard Damoret ; 160bg : CIT’IMAGES/CIT’EN SCENE/Eric Nota ; 160hd : BSIP/ Chromo ; 160hg : ANDIA PRESSE ; 161 : BSIP/Chassenet ; 163 COSMOS/SPL/Javier ; 165bd : DR ; 165h : UMA/Bernard Biancotto ; 191b : LEEMAGE/ Bianchetti ; 191h : THE PICTURE DESK/The KOBAL Collection ; 191 m : THE PICTURE DESK/THE KOBAL Collection ; 203bd : Droits Réservés ; 213b : LEEMAGE/Selva ; 213h : COSMOS/SPL/Laguna Design ; 227b : Droits Réservés ; 239b : Observatoire de Paris ; 239h : CHRISTOPHE L Collection ; 253bd : Observatoire de Paris ; 265b : CORBIS/Bettmann ; 265h : AFP/Gerard Julien ; 267 : FOTOLIA ; 272 : NATURIMAGES/Christophe Doucet ; 276 : FOTOLIA ; 279bd : Droits Réservés ; 282 : FOTOLIA ; 283 : FOTOLIA ; 284hd : PHOTONONSTOP/Jacques Loïc ; 284md : URBA IMAGES/AIR IMAGES/Castro M. ; 285hg : REA/REPORTERS- REA/Wim Van Cappellen ; 285md THE PICTURE DESK/The KOBAL Collection ; 285mg : THE PICTURE DESK/The KOBAL Collection ; 286 : URBA IMAGES/AIR IMAGES/ Y. Soulabaille ; 288 : FOTOLIA ; 291b : AKG- IMAGES/North Wind Picture Archives ; 291h : MAGNUM Photos/2001 Eli Reed ; 294 & 303 : HANOTEAU Frederic ; 301bd : KHARBINE-TAPABOR/Migny ; 304 : CIT’IMAGES/CIT’EN SCENE ; 305 : SIGNATURES/ Philippe Schuller ; 307bg : AGE FOTOSTOCK/Johnny Stockshooter ; 307hd : FRANCEDIAS.COM/Hemon Roger ; 307md : SCOPE ; 308 : PICTURETANK/Myr Muratet ; 309hg : FOTOLIA/Rare ; 309md : FOTOLIA/Karin Hildebrand Lau ; 312 : CIT’IMAGES/CIT’EN SCENE/Christophe Couffinhal ; 315b : LEEMAGE/MP ; 315h : EBPHOTO/NPL/Karl Ammann ; 317 : Droits Réservés ; 325 : PRESSE-SPORTS/Rondeau ; 333d : LEEMAGE/MP ; 336 : MAXPPP/ Arnaud Beinat ; 339 : Droits Réservés ; 341b : REA/James Leynse ; 341h : BSIP ; 342 : REA/Richard Damoret.

Index « Usage strictement réservé à l'établissement Sainte-Croix de Neuilly, autorisé jusqu'au 31/07/17 »

CALCULATRICES

1

Casio

Fonctions

Objectifs 1 Afficher le nombre dérivé en 2 de la fonction f définie par f(x) = –x2 + 2x + 3. 2 Tracer la tangente à la courbe f représentative de f au point d’abscisse 2. 3 Trouver une équation de la tangente au point de f d’abscisse –1.

1

Afficher un nombre dérivé

1. Sélectionnez le menu RUN-MAT. ● Définissez l’option de calcul. Appuyez sur OPTN F4 (CALC). ● Choississez le type : F2 (d/dx). Aide

2. Complétez les informations demandées. ● Saisissez l’expression de f (x). ● Déplacez le curseur vers la droite à l’aide de la touche de direction puis saisissez la valeur 2. ● Validez par EXE .

d/dx est un symbole indiquant la dérivation.

f ‘(2)

2

Tracer la tangente en un point

1. Sélectionnez le menu GRAPH. ● Saisissez l’expression de la fonction. Validez par EXE . ● Réglez la fenêtre d’affichage en appuyant sur SHIFT F3 (V-Window). Paramétrez comme indiqué.

2. Allez dans le menu GRAPH puis faites afficher la courbe en appuyant sur F6 (DRAW). ● Sélectionnez l’instruction Sketch ( SHIFT F4 ) puis l’option Tang ( F2 ). ● Déplacez le curseur à l’aide des touches de direction jusqu’à obtenir x = 2 puis validez par EXE .

x entre –2 et 4.

Tangente au point d’abscisse 2.

y entre –3 et 5.

3

Trouver une équation de la tangente en un point

1. Vérifiez que le réglage suivant est activé. Pour cela, appuyez sur SHIFT MENU (SET UP). Option de dérivation activée.

2. Reprenez la configuration du 2 2. ● Déplacez le curseur jusqu’à obtenir x = –1 puis validez par EXE .

Équation de la tangente au point d’abscisse –1.

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2

3

Suites

Objectifs

O

1 Dresser le tableau des dix premières valeurs de la suite un définie par : un = 8n2 + 1 2 Même question pour la suite vn définie par : v0 = –1 et vn+1 = 0,5vn + 1

1

(n ∈ ).

(n ∈ ).

1. ●S ●S

Dresser le tableau des valeurs d'une suite du type un = f (n)

1. Sélectionnez le menu RECUR. ● Appuyez sur F3 (TYPE) puis F1 (F1 : an = An+B). ● Saisissez l’expression puis validez par EXE .

2. Affichez le tableau de valeurs en sélectionnant l'instruction TABL ( F6 ). Utilisez les touches de direction pour faire afficher les termes suivants.

● Utilisez l'instruction SET ( F5 ) pour paramétrer l'affichage du tableau de valeurs.

4

n varie de 0 à 9.

O

2

Dresser le tableau des valeurs d'une suite récurrente du type un+1 = f (un)

1. Sélectionnez le menu RECUR. ● Réglez le type par F3 (TYPE) puis choisissez F2 (F2 : an+1 = Aan + Bn + C). ● Saisissez l’expression puis validez par EXE .

● Utilisez l'instruction SET ( F5

) pour paramétrer l'affichage du tableau de valeurs. Valeur du 1er terme.

2. Affichez le tableau de valeurs en sélectionnant l'instruction TABL ( F6 ). Utilisez les touches de direction pour faire afficher les termes suivants.

●C ●

va

3. Remarque. En appuyant sur F4 (WEB) puis sur EXE EXE … EXE on obtient une représentation graphique de cette suite récurrente. Réglage des axes : shift F3

(V-Window) Instruction Valeur de départ pour une représentation graphique.

1.

●P

In

INIT ( F1 ).

Note

Si on veut obtenir une représentation graphique de la suite, c'est ici qu'il faut indiquer le terme qui définit le départ de la construction.

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P S c

3

Probabilités

Objectif Afficher les paramètres d'une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est définie ci-contre.

1. Sélectionnez le menu STAT. ● Saisissez les valeurs xi dans List 1. ● Saisissez les probabilités P(X = xi) dans List 2. Valeurs xi

Valeur xi

–250

–120

12

350

500

P(X = xi)

0,08

0,34

0,25

0,28

0,05

2. Sélectionnez l'instruction CALC ( F2 ). ● Utilisez l'instruction SET ( F6 ) pour affecter les listes comme indiqué. Validez par EXE .

Probabilités ● Faites afficher les paramètres : 1 VAR ( F1

).

Espérance E(X)

Écart-type σ(X)

4

Éléments de programmation

Objectif Créer le programme qui, pour deux nombres donnés A et B, calcule leur distance. (La distance entre deux nombres A et B est la différence entre le plus grand et le plus petit.)

1. Sélectionnez le menu PRGM. ● Choisissez l'option 3 : NEW ( F3 ). ● Écrivez le nom du programme [DISTANCE], puis validez par EXE .

2. Écrivez les instructions du programme. ● Validez chaque ligne d'instruction par EXE . Le programme passe à la ligne suivante . Commande If … Then… Else… If end. Instruction :

Rappel

Le clavier est bloqué en mode alphabétique. Le nom ne doit pas dépasser huit lettres.

COM ( F1 ).

● Enregistrez par SHIFT

EXIT

● Pour accéder aux commandes spécifiques décrites ci-dessous, appuyez sur SHIFT

Instructions

Commandes COM ( F1 )

(QUIT).

VARS

(PRGM).

Signes REL ( F6 

F3

).

Opérateurs logiques On y accède en suivant : Pour passer aux instructions suivantes, appuyez sur F6 . Sélectionnez l'instruction désirée en appuyant sur la touche correspondante.

OPTION

F6



F6



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F4

CALCULATRICES

1

Texas

Fonctions

Objectifs 1 Afficher le nombre dérivé en 2 de la fonction f définie par f(x) = –x2 + 2x + 3. 2 Tracer la tangente à la courbe f représentative de f au point d’abscisse 2. 3 Trouver une équation de la tangente au point de f d’abscisse –1.

1

Afficher un nombre dérivé

1. Placez-vous dans l’écran de Calcul : ● appuyez que la touche math , ● choisissez l’option 8 : nbreDérivé( ; ● validez par 8 .

2. Complétez l’instruction en respectant le modèle : nbrDérivé(fonction, variable, valeur). Validez par entrer .

f ‘(2)

2

Tracer la tangente en un point

1. Placez-vous dans l’éditeur de fonctions f (x) . ● Saisissez l’expression de f (x) dans Y1. Validez par entrer . ● Réglez la fenêtre d’affichage en appuyant sur fenêtre . Paramétrez comme indiqué.

2. Placez-vous dans le module graphique ● Appuyez sur 2nde prgm

● Sélectionnez l’option 5 : Tangente( ; validez par 5 ● Appuyez sur 2

puis validez par

entrer

.

.

Tangente au point d’abscisse 2.

y entre –3 et 5.

Trouver une équation de la tangente en un point

1. Reprenez la configuration du paragraphe 2 2. Effacez la tangente tracée par : 2nde prgm (dessin) option 1 : EffDessin ( 1 ).

.

(dessin).

x entre –2 et 4.

3

graphe

2. Procédez alors comme au paragraphe 2 2. ● 2nde prgm (dessin) ; ● option 5 : Tangente( 5 ; ● (-) 1 entrer .

Équation de la tangente au point d’abscisse –1.

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2

Suites

Objectifs 1 Dresser le tableau des dix premières valeurs de la suite un définie par : un = 8n2 + 1 2 Même question pour la suite vn définie par : v0 = –1 et vn+1 = 0,5vn + 1

1

(n ∈ ).

(n ∈ ).

Dresser le tableau des valeurs d'une suite du type un = f (n)

1. Placez-vous en mode SUITE : ● appuyez sur mode ; ● sélectionnez l’option SUITE, validez par entrer puis 2nde mode (quitter).

2. Affichez le tableau de valeurs. Pour cela : ● définissez la table 2nde fenêtre (déf table) (réglage : DébTbl = 0 et Pas = 1) ; ● demandez l’affichage : 2nde graphe (table).

Option SUITE en surbrillance.

● Appuyez sur

Utilisez les touches de direction pour faire afficher les termes suivants.

f (x) puis saisissez l’expression de un. Expression de un.

2

Dresser le tableau des valeurs d'une suite récurrente du type un+1 = f (un)

1. Reprenez le mode SUITE. ● Appuyez sur f (x) puis saisissez l’expression de vn.

3. Remarque. On peut obtenir une représentation graphique de cette suite récurrente. ● Choisissez le type : 2nde zoom

(format) option Esc.

Note

La relation de récurrence vn+1 = 0,5vn + 1 sera traduite ici sous la forme vn = 0,5vn–1 + 1. ●

Réglez la fenêtre d’affichage comme indiqué.

2. Relation de récurrence. Valeur du 1er terme.

● Appuyez sur graphe

puis sur

trace

.

Tracez la représentation graphique à l’aide de la touche de direction  .

2. Affichez le tableau de valeurs par l’instruction 2nde graphe (table). Utilisez les touches de direction pour faire afficher les termes suivants.

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3

Probabilités

Objectif Afficher les paramètres d’une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est définie ci-contre.

1. Placez-vous en mode stats . ● Choississez l’option 1 : Edite… 1 . ● Saisissez les valeurs xi dans L1. ● Saisissez les probabilités P(X = xi) dans L2.

Valeur xi

–250

–120

12

350

500

P(X = xi)

0,08

0,34

0,25

0,28

0,05

2. Appuyez sur CALC(. ●

stats

puis choisissisez l’option

Renseignez les listes :

● Validez par entrer .

Espérance E(X)

Écart-type σ(X)

4

Éléments de programmation

Objectif Créer le programme qui, pour deux nombres donnés A et B, calcule leur distance. (La distance entre deux nombres A et B est la différence entre le plus grand et le plus petit.)

1. Appuyez sur prgm  ● Sélectionnez l’option 1.



2. Écrivez les instructions du programme. ● Validez chaque ligne d'instruction par EXE . Le programme passe à la ligne qui suit en affichant : .

.

● Écrivez le nom du programme [DISTANCE], puis validez par entrer .

Note

Le clavier est bloqué en mode alphabétique. Le nom ne doit pas dépasser huit lettres.

● Enregistrez par 2nde mode

(quitter).

● Pour accéder aux commandes spécifiques décrites ci-dessous, appuyez sur prgm

Menu Contrôle (CTL)

Menu Entrée/Sortie (E/S)

.

Menu Test & Logique Tapez 2nde maths (tests)

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RE

S

PROGRAMME

2011

Le manuel numérique enrichi et interactif ◗ L’intégralité du manuel papier en version numérique. ◗ Des outils pratiques et simples à utiliser : zoom, spot… 150 ressources multimédias : animations, exercices interactifs, fichiers TICE, etc.

Conception graphique : Frédéric Jély

Démonstrations, détails de l’offre et équipement élèves sur www.nathan.fr/manuels-numeriques

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