Lineær algebra med en innføring i lineær programmering [3 ed.] 8200026205 [PDF]

Zitiervorschau

KNUT SYDSÆTER OG BERNT ØKSENDAL TELEMARK DISWKTSHØGSKOLB

Bl^dOTEKET 80 I TELEMARK

Lineær algebra Med en innføring

i lineær programmering

Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

UNIVERSITETSFORLAGET AS

KNUT SYDSÆTER OG BERNT ØKSENDAL TELEMARK DIST^fKTSHØGSKOLB Bl^dOTEKET W» BØ I 1EIEMARK

Lineær algebra Med en innføring

i lineær programmering

Nasjonalbiblioteket Dspotbiblioteket

UNIVERSITETSFORLAGET AS

©Universitetsforlaget AS 1977 ISBN 82-00-02620-5 1. utgave 1977 2. utgave 1982 3. utgave 1988

Ib

Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. H end vendelser om denne boka kan rettes til: U niversitetsforlaget Boks 2959 Toyen 0608 Oslo 6

Forord

Hensikten med denne boka er å gi en innføring i hovedidéene i elementær lineær algebra for studenter som har anvendelsene som siktepunkt. Boka forutsetter ikke kunnskaper i matematikk utover minimumsvarianten i matematikk fra den almenfaglige studieretningen, bortsett fra i noen få avsnitt og i noen spesielle eksempler og oppgaver. Selv om vi har forsøkt å gjøre framstillingen så enkel som mulig, har vi likevel valgt å være ganske fullstendige med de matematiske begrunnelsene for de resultatene som behandles. Vi regner imidletid med at en kan få brukbart utbytte av boka selv om en ikke setter seg inn i alle bevisene som gis. Derimot regner vi med et magert utbytte for dem som ikke er villig til å studere eksempler og regne et rikholdig utvalg av oppgavene. Det er lagt vekt på å gjøre leseren fortrolig med stoffet gjennom den tilknytning det har til forskjellige anvendelser. Vi har prøvd å få fram forståelse for at de abstrakte begrepene og operasjonene i lineær algebra på en naturlig måte representerer en felles struktur gjemt i en rekke tilsynelatende forskjellige problemstillinger. Derved har vi forsøkt å bygge bro over den kløft det ofte er mellom den rent matematiske framstilling og framstillingen av konkrete problemer som skal løses, slik at studenten ikke ser matematikken og anvendelsene som helt adskilte, men heller det første som et naturlig verktøy for det siste. Man kan innvende at eksemplene i denne boka er for enkle og urealistiske til å ha noen praktisk verdi. Til dette er å si at eksemplene bør være enkle for at selve idéen i anvendelsen ikke skal drukne i alle detaljene man ellers måtte trekke inn. Dernest er det ofte slik at har man først forstått poenget i anvendelsen på et enkelt eksempel, vil man ikke ha store vanskeligheter med å overføre dette til mer kompliserte og realistiske problemstillinger. Denne boka er 3. utgave av en bok som ble publisert første gangen i 1977. Vi har mange å takke for hjelp og bidrag, hvorav noen bør nevnes spesielt. Hans Erik Borgersen, Henrik Dahl og Åsvald Lima ved Agder Distriktshøyskole, Eivind Stensholt ved Norges Handelshøyskole, Lars Mejbo ved Aarhus Universitet og Arne Strøm ved Universitetet i Oslo, har alle gitt verdifull hjelp. Robert G. Hansen har med våkent øye lest gjennom den nye utgaven og viktige korreksjoner er resultatet av hans innsats.

Boka er produsert i T^X, et databasert system for matematisk sats. Arbeidet med dette er utført av Elin Begby, Hoang Quy og Tran Thi Thu Hang under overoppsyn av Bruce Wolman. Vi takker de alle for god innsats. Oslo i mai 1988

Bernt Øksendal Knut Sy ds æt er

Om organiseringen av boka Emneinndelingen er foretatt med sikte på å gi fleksibilitet ved sammensetning av kursopplegg. I Kapittel 2 har vi for eksempel valgt å diskutere skalarproduktet og ortogonalitet av vektorer først uten å kreve kjennskap til trigonometri, idet vinkler mellom vektorer er behandlet i et eget avsnitt. To- og tre-radete determinanter har fått et eget avsnitt 5.1, der også de tilsvar­ ende Cramers formler er tatt med. I avsnitt 6.1 definerer vi den inverse til en kvadratisk matrise og diskuterer de viktigste egenskapene ved den inverse, uten at en behøver å lære den generelle formelen for den inverse av en n x n-matrise. Helt nytt i den foreliggende utgaven er Kapittel 9 om lineære transformasjoner og Kapittel 10 om egenverdier. I det avsluttende kapittel om lineær programmering har vi nå i de første av­ snittene forklart problemstillingen, gitt geometriske og økonomiske tolkninger samt diskutert dualitet. For økonomer er dette det viktigste stoffet. De siste 5 avsnittene behandler simpleksmetoden.

Noen opplysninger Endel av teksten er satt i mindre skriftstørrelse for å markere at dette er stoff som for mange lesere ikke er av samme viktighet som resten. For å markere at et bevis er avsluttet, brukes symbolet ■. Forkortelsene ADH, BI, NDH, NHH, NLH, S, TDH og Aa, etterfulgt av et årstall, indikerer at de eksemplene eller oppgavene det dreier seg om er hentet fra eksamensoppgaver gitt i vedkommende år ved henholdsvis Agder distriktshøgskole, Bedriftsøkonomisk institutt, Nordland distriktshøgskole, Norges Handelshøgskole, Norges Landbrukshøgskole, Sosialøkonomisk institutt-UiO, Telemark Distriktshøg­ skole, Aarhus Universitet.

Innhold

Kapittel 1: Innledning 1.1 Hva er lineær algebra?....................... 1 1.2 Generelle lineære likningssystemer.................................................................... 3 1.3 Kryssløpsanalyse................................................................................................. 6

Kapittel 2: Vektorer 2.1 2.2 2.3 2.4 - 2.5 2.6 ■ 2.7 2.8

Vektorbegrepet. Regning med vektorer............................................................ Skalarproduktet................................................................................................. Geometrisk tolkning av vektorer .................................................................... Lengder av vektorer. Ortogonalitet................................................................ En alternativ beskrivelse av en vektor i planet. Vinkler mellom vektorer. . Linjer og plan .................................................................................................. Projeksjoner. Vinkler mellom plan ............................................................... Kryssproduktet................................................................................................

9 15 19 24 27 30 35 38

Kapittel 3: Matriser 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 “3.6 =-3.7

Matrisebegrepet................................................................................................. Matriseoperasjoner........................................................................................... Regneregler for matrisemultiplikasjon ............................................................ Spesielle matriser ............................................................................................. Den transponerte............................................................................................... Mer om Leontief systemet.............................................................................. Noen interessante eksempler..........................................................................

43 46 53 57 60 64 66

Kapittel 4: Eliminasjonsmetoder 4.1 Gauss eliminasjonsmetode............................................................................... 4.2 Elementære operasjoner på matriser..............................................................

71 80

Kapittel 5: Determinanter 5.1 5.2 5.3 5.4

Determinanten til 2 x 2 og 3 x 3-matriser ..................................................... Determinanten til en n x n-matrise................................................................ Regneregler for determinanter ........................................................................ Utviklingssetningen for determinanter..........................................................

85 90 93 103

Kapittel 6: Den inverse til en matrise 6.1 *6.2 6.3 6.4 * 6.5 6.6

Definisjon av den inverse............................................................................... En generell formel for den inverse ................................................................ Cramers formler ............................................................................................. Inverser ved hjelp av elementære operasjoner ............................................. Multippel regresjonsanalyse........................................................................... Partisjonering (blokk-deling) av matriser....................................................

111 117 121 125 127 132

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang 7.1 7.2 7.3 7.4

Lineær avhengighet og uavhengighet............................................................ 139 Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer........................... 145 Basis og dimensjon......................................................................................... 152 Rangbegrepet.................................................................................................. 158

Kapittel 8: Generelle lineære likningssystemer 8.1 Hovedsetningene om lineære likningssystemer............................................ 167 — 8.2 Homogene lineære likningssystemer.............................................................. 174

Kapittel 9: Lineære transformasjoner 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

En definisjon av lineære transformasjoner.................................................. Lineære transformasjoner og matriser.......................................................... Algebraiske relasjoner..................................................................................... Projeksjoner.................................................................................................... Ortogonale matriser og transformasjoner....................................................

177 181 186 190 196

Kapittel 10: Egenverdier og egenvektorer 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Definisjon av egenverdier............................................................................... Diagonalisering.............................................................................................. Mer om egenverdiene til en matrise............................................................. Diagonalisering av symmetriske matriser.................................................... Noen anvendelser ..........................................................................................

199 204 209 214 216

Kapittel 11: Lineær programmering 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10

Problemstillingen............................................................................................ 227 Om nytten av lineær programmering og om en generell økonomisk tolkning 233 Dualitetsteori.................................................................................................. 235 Mer om økonomiske tolkninger..................................................................... 241 Komplementær slakkhet ............................................................................... 243 Simpleksmetoden forklart ved et enkelt eksempel...................................... 248 Mer om simpleksmetoden ............................................................................. 251 Simpleksmetoden i det generelle tilfellet............ '......................................... 254 Dualitet ved hjelp av simpleksmetoden........................................................ 263 Følsomhetsanalyse ........................................................................................ 265

Appendiks: Innføring i komplekse tall A.l A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

Innledning ...................................................................................................... Definisjon av komplekse tall......................................................................... Om nullpunktene for polynomer................................................................... En geometrisk tolkning av kompleks multiplikasjon.................................. Mer om komplekse røtter............................................................................... Avsluttende merknader.................................................................................

271 272 277 278 279 281

Svar til oppgavene.......................................................................................... 283 Litteratur........................................................................................................ 299 Saksregister .................................................................................................... 301

Kapittel 1 Innledning

1.1

Hva er lineær algebra?

For å gi en antydning av hva lineær algebra dreier seg om, la oss begynne med å se på ordet algebra. Den opprinnelige betydningen av dette ordet i matematikken var likningsteori. Denne teorien synes å stamme fra Al-Khawarizmi og andre muhammed­ anske matematikere fra perioden 800 1000 e.Kr. Den essensielle idéen går ut på å erstatte et numerisk problem med en eller flere symbolske likninger, hvis ledd kan bli omorganisert og manipulert med etter veletablerte, algebraiske lover. Hvis det er en likning det dreier seg om, betraktes den som løst når den ukjente størrelsen, etter lovlige omforminger, står igjen alene på den ene siden av likningens likhetstegn, mens den andre siden bare inneholder kjente størrelser.

Eksempel 1 Til en fotballkamp ble det solgt 2400 billetter for kr. 92800. Det var to typer billetter og de dyreste kostet 20 kr. mer enn de andre. Hva var prisen på de dyreste billettene når det ble solgt 800 av dem?

Løsning: Vi lar x betegne prisen på de dyreste billettene. De billigste billettene koster da x — 20, og det er 2400 — 800 = 1600 av dem. Vi får derfor følgende likning 800a; + 1600(37 - 20) = 92800

Ved bruk av velkjente regler finner vi løsningen slik:

800x + 16003: - 32000 = 92800 2400a; = 92800 + 32000 = 124800 124800 rn — 52 37 — 2400 De dyreste billettene kostet altså 52 kr.

2

Kapittel 1: Innledning

Uttrykk av formen x — 5, 2400z — 8000 og —x/3 + 5/2 kalles lineære uttrykk i den variable x, mens 2x — 3t/, l+x + ?/og4 + \/2x — rvy er eksempler på lineære uttrykk i de to variable x og y. Mer generelt sier vi at hvis xx, x2, ..., xn er n variable, og a0, , a2, ..., a„ er konstanter, da er

a0 + axxj + a2x2 H------ 1- anxn

et lineært uttrykk i xx, x2, ..., xn . Det som skiller et lineært uttrykk fra et ikkelineært uttrykk er dermed at de variable bare forekommer i O’te eller l’te potens og bare multiplisert med konstanter, ikke med hverandre. Uttrykkene 2 + xx + x1 x2,

, x. + 2xx + x2,

1 + y/x1

3 og----- x2 xx

er eksempler på ikke-lineære uttrykk. Navnet lineær algebra skulle da antyde likningsteori som bare involverer lineære uttrykk. Selv om dette ikke er noen fullstendig dekkende beskrivelse av emnet, gir det et rimelig utgangspunkt. En likning som bare involverer lineære uttrykk kalles naturlig nok, en lineær likning. Dersom det er gitt flere slike likninger som skal gjelde samtidig, har vi et lineært likningssystem. Det spesielle tilfellet at vi har 2 lineære likninger med 2 ukjente, har vi alle støtt på tidligere, og vi vil heller ikke ha noen vanskeligheter med å løse slike systemer i den forstand at vi finner de verdiene av de variable som passer i begge likningene. Det er også ganske enkelt å løse systemer med 3 likninger med 3 ukjente, men når antallet ukjente og likninger fortsetter å stige, vokser problemene enormt og det oppstår et tvingende behov for en slags form for bokholderi for å holde orden og oversikt. Lineær algebra er bl.a. utviklet for å gi full oversikt over løsningene av generelle likningssys­ temer, og det å kunne formidle en slik oversikt er en av hovedhensiktene med denne boka. En kunne kanskje tro at de fleste likningssystemer som opptrer i praksis ikke har flere enn 2-3-4 ukjente, slik at det ikke er behov for et spesielt apparat for å takle store likningssystemer. I virkeligheten er det slik at en i mange anvendelser må operere med et stort antall variable og likninger. Et sentralt eksempel fra økonomi er den såkalte kryssløpsanalysen som brukes ved den økonomiske planleggingen i mange land. Her deles økonomien vanligvis opp i flere hundre sektorer og en studerer leveringer av varer og tjenester mellom disse sektorene. Dette kan resultere i lineære likningssystemer med mange hundre variable og likninger. (I avsnitt 1.3 vil vi forklare nærmere hva kryssløpsanalyse går ut på.) Et annet eksempel på at en i økonomien studerer store likningssystemer, er Leif Johansens mange-sektormodell for økonomisk vekst, MSG. Denne har vært benyttet ved perspektivanalyser av norsk økonomi fram til år 2000 og i en av dens versjoner opereres det med 132 variable og likninger (som ikke alle er lineære). Når en står overfor slike enorme likningssystemer, da er en i praksis henvist til å bruke datamaskiner for virkelig å finne løsningene. Selv om det fins ferdige programmer for løsning av store likningssystemer på de fleste større data-anlegg, må likevel de som arbeider med denne typen av modeller forstå teorien for slike systemer for å kunne sette dem opp eller for å kunne følge teoretiske resonnementer

1.2 Generelle lineære likningssystemer

3

med konklusjoner knyttet til slike modeller. De mer beregningsmessige aspekter vil en imidlertid ofte kunne overlate til eksperter på numerisk analyse og programmering. Som allerede antydet, har vi ovenfor gitt en litt snever tolkning av hva lineær algebra dreier seg om. Den teorien vi vil utvikle i denne boka har i virkeligheten anvendelser også utenfor likningsteorien, f.eks. i lineær programmering, som er temaet i Kapittel 11.

Ordet algebra i dagens matematikk Vi nevnte innledningsvis at den opprinnelige betydningen av ordet algebra i matematikken var likningsteori. Den klassiske likningsteorien ble brakt til en viss avslutning i første del

av det 19. århundre ved arbeidene til Gauss, Abel og Galois. Ordet algebra har nå i mate­ matikken en langt videre betydning enn likningsteori. For å gi en antydning betegner ordet algebra den delen av matematikken som behandler (generaliseringer av) de fire algebra­

iske regneoperasjonene addisjon, substraksjon, multiplikasjon og divisjon, uten at en tillater uendelige prosesser. De algebraiske systemene en studerer (“grupper”, “ringer”, “kropper”, “vektorrom” osv.) består da av elementer (som ikke nødvendigvis er tall) som kombineres ved hjelp av slike (generaliserte) algebraiske regneoperasjoner.

1.2

Generelle lineære likningssystemer

Teorien for generelle lineære likningssystemer vil altså stå sentralt i denne boka. Vi trenger i denne forbindelse en hensiktsmessig notasjon for å angi et generelt lineært likningssystem med m likninger og n ukjente, der m kan være større enn, lik eller mindre enn n. Hvis de ukjente betegnes med x,, ..., xn, skriver vi gjerne systemet på formen: ^1 1 1 2 T di n xn — b, (Z2 1 “1“ ^2 2 *^2 '• • + a2 n xn = b2 (1-1) 1 "f 2 T ‘ ‘ " T n æn Her kaller vi a, L, a12,. .., am n systemets koeffisienter, mens b,,...., bm kalles høyresidene. En må nøye merke seg meningen med de fotskriftene (indeksene) som fore­ kommer. F.eks. er a21 den koeffisienten i likning nr. 2 som står foran den ukjente nr. 1, x,. Generelt er atJ den koeffisienten i likning nr. i som står foran ukjente nr. j, Xj. Det er ingen ting i veien for at en eller flere av koeffisientene er 0. En løsning av systemet (1.1) er nå et sett tall s1, s2, ..., sn som passer i alle likningene samtidig når vi setter x, = st, x2 = s2, ..., xn = sn. Vi betegner gjerne en løsning på denne måten: (sj, s2,..., sn ). Merk at den rekkefølgen vi her bruker, er helt vesentlig i den forstand at om (sj, s2,..., sn) passer i (1.1), da vil f.eks. (sn , sn Sj) i alminnelighet ikke passe. Det er ikke sikkert at et system av formen (1.1) har noen løsninger i det hele tatt. Hvis systemet (1.1) har minst en løsning, kaller vi det konsistent. I motsatt

4

Kapittel 1: Innledning

fall kalles systemet inkonsistent eller selvmotsigende; da fins det ikke noe sett av n tall x°, x°, ..., x°n som passer i alle likningene. La oss se på noen typiske eksempler. Eksempel 1

Finn eventuelle løsninger av systemet

Xj + 2x2 = 2 2xj — x2 = 4

Løsning: Vi ser at dette er et system av typen (1.1) med n = m = 2. For å finne eventuelle løsninger kan vi gå fram slik: Av den første likningen finner vi — —2x2 + 2. Innsetting av dette uttrykket for xx i den andre likningen gir 2(—2x2 +2) — x2 =4. Herav finner vi x2 = 0, og deretter at Xt = —2 -0 + 2 = 2. Den eneste løsningen er derfor (xx,x2) = (2,0). Påvis at f.eks. (x1,ar2) = (0,2) ikke passer i systemet. Eksempel 2

Har følgende system noen løsninger? 3a?! + 5z2 = 6 3a?! + 5a:2 = 7

Løsning: Dette systemet er inkonsistent. Samme hvilke verdier vi velger for xY og x2 kan ikke 3a?i + 5a:2 samtidig bli 6 og 7. Systemet har altså ingen løsninger.

Eksempel 3 æi + a?2 — 2x3 = 2 —x2 + 2x3 = — 1 Dette er et system av typen (1.1) med 2 likninger og 3 ukjente. Systemet er konsistent idet det har uendelig mange løsninger. Velger vi en helt vilkårlig verdi for x3, x3 = s, da gir den siste likningen x2 = 2s 4- 1, mens den første gir xx = 1. For alle verdier av s er derfor {xY, x2, x3) = (1,2s + 1, s) en løsning av systemet. Med terminologi vi seinere skal innføre, har systemet en frihetsgrad.

Et av hovedsiktepunktene med denne boka er å nå fram til full klarhet over når systemet (1.1) er konsistent, og om det er konsistent, hvor mange løsninger det har. For å oppnå klarhet i disse problemene er det hensiktsmessig å innføre en rekke nye begreper: vektorer, matriser, determinanter for bare å nevne noen av dem. Før vi går igang med dette, vil vi imidlertid i et eget avsnitt forklare litt om kryssløpsanalyse, som er et eksempel på anvendelse av lineær algebra i økonomi som vi vil vende tilbake til flere ganger.

1.2 Generelle lineære likningssystemer

5

Oppgaver til avsnitt 1.2 1. Avgjør hvilke av følgende likninger i de variable x, y, z og w som er lineære og hvilke som ikke er det. (b) \^3x 4- 8xy — z + w — 0

(a) 3x — y — z — w = 50

/ x 800 (d) 3.33x — 4y 4------- z = 3 3 ( f) 2a2 x — \/by 4- (2 4- \/a)z = b2

(c) 3\Æ + 8xy — z 4- w = 0 (e) (x — y)2 + 3z — w = —3 (I (f) er a og b ikke-negative konstanter.)

2. La xt, y, , x2, y2 være gitte tall og betrakt følgende likninger i de variable a, i>, c, d. (Det er ikke vanlig, men mulig, å bruke slike betegnelser på de variable også!) ax\ 4- bxx yx 4- cy\ 4- d = 0 ax\ 4- bx2 y2 4- cy2 4- d = 0

Er dette et lineært likningssystem i a, b, c, d? 3. Finn eventuelle løsninger av følgende likningssystemer og gi en grafisk illustrasjon av hvert tilfelle i xy-planet.

x — 3y = 2 x — 3y = 2

(a)

x — 3y = 2 (c) 2x 4- y = 4

(b)

2x 4- y — 4

2x — 6y = 6 5x — 8y = 10

4. Skriv systemet (1.1) fullt ut når n = m = 4. Hvordan blir systemet dersom a,} = 1 for alle i j, mens a,, = 0 for i = 1, 2, 3, 4? 5. La oss tenke oss en samling på n individer som hver har et visst antall enheter av m forskjellige varer. La ao være det antallet enheter av vare nr. i som individ nr. j har, der i kan være 1, 2, . .., m mens j kan være 1, 2, .. ., n.

(a) Settet (a,,, a2,,.. . , a„,,), hva står det for? (b) Forklar i ord hva aH 4- a, 2 4- • • • 4- at „ og a,t 4- a,2 4- • • • 4- a,„ uttrykker.

(c) La p, betegne prisen (verdien) pr. enhet av vare nr. i (i = 1, 2, . . . , m). Hva blir den samlede verdien av de godene person nr. j har?

Mer krevende oppgaver 6. Prøv å finne en metode til å løse følgende likningssystem, og finn løsningen. x, 4- x2 4- 2x3 = 5 2x, 4- x2 4-

x3 = 5

x, 4- 2x2 4- 3x3 = 8

6

Kapittel 1: Innledning

7. I en modell av T. Haavelmo for USA’s økonomi i årene 1929-1941 opptrer følgende likninger:

c = 0.712y + 95.05 r = 0.158(c + x) - 34.30 y = c+ x —r

x - 93.53 der x betegner de totale investeringene, y er disponible totalinntekter, r er total bedriftssparing, og c er totalt konsum. Idet rekkefølgen av de variable velges slik: x, y, r, c, still opp likningssystemet på formen (1.1). Prøv å finne løsningen av systemet.

1.3

Kryssløpsanalyse

Vi nevnte i avsnitt 1.1 at den såkalte kryssløpsanalysen er et av de sentrale områdene i økonomien som leder til oppstilling og studium av systemer av lineære likninger. Kryssløpsanalysen, eller “input-output analysen” som den også kalles, ble utviklet i 1930-årene av den amerikanske økonomen Leontief. En forutsetter her at økonomien deles opp i en lang rekke sektorer som hver produserer en vare (et gode) ved å bruke bare en bestemt produksjonsprosess. Kull og stålindustrien kan f.eks. betraktes som slike sektorer. For å produsere en bestemt vare må en sektor få levert varer fra de andre sektorene. Foruten å selge sin vare til de andre sektorene som trenger den, vil den enkelte sektor vanligvis også måtte dekke en viss etterspørsel etter varen utenfra, til konsum, eksport osv. En kaller den mengden som trengs av varen til å dekke en slik etterspørsel, for sluttleveringen av varen. La oss nå tenke oss at økonomien er delt inn i n sektorer. La x, betegne det totale antall enheter av vare nr. i som skal produseres av sektor nr. z, og la b, betegne den totale sluttleveringen av varen. Vi innfører videre følgende betegnelse: er antall enheter av vare nr. i som trengs for å produsere en enhet av vare nr. j.

{

(1-2)

En viktig forutsetning som ofte gjøres er at antall enheter av vare nr. i som trengs for å produsere vare nr. j er direkte proporsjonalt med det antall enheter av vare nr. j som skal produseres, slik at altså

blir antall enheter av vare nr. i som trengs for å produsere x, enheter av vare nr. j.

{

For å produsere xt enheter av vare nr. 1, x2 enheter av vare nr. 2 osv., og tilslutt xn enheter av vare nr. n, trengs det ialt

at 1*^1

d" U. 2

*^2

d" ’ * “ d" U, n

Xn

1.3 Kryssløpsanalyse

7

enheter av vare nr. i. Skal en da også produsere 6, enheter av vare nr. i som sluttlev­ ering, må en for å dekke behovet etter vare nr. i innrette produksjonen slik at

x{ = ailx1 + di2x2 4- • • • 4- ain xn 4- b,. Dette gjelder for alle i = 1,2,..., n, og vi får derfor følgende likningssystem:

x i — u, i x j 4“Ui2'^2 4" 4Xn 4- b^ x2 = cl2 i æi T a22 x2 4" ■ • • 4- d2n xn 4- b2

fl.o)

xn — un i xt 4- un 2 æ2 4~ ■ • ■ 4" dn n xn 4" bn

Dette er en litt uvant måte å presentere et lineært likningssystem på siden vi f.eks. ser at i første likning opptrer æ, både på venstre side og i første ledd på høyre side. Flytter vi alle ledd som inneholder xY, ..., xn på venstre side i hver likning og ordner på de resulterende likningene, får vi at (1.3) blir det samme som (1 ^11)2-1 a2 j Xi 4~ (1 ®nl^l

d2 2 )x2

2*^2

%n — ^1 d 2 n xn — b 2 ®ln

012^2

■ 4” (1

n )æn

—

Dette kalles ofte Leontief-systemet. Tallene a, j, a12, ..., ann som er definert i (1.2), beskriver teknologien i de forskjellige sektorene og kalles kryssløpskoeffisienter. En løsning (æj ,x2,... ,xn) av (1.4) vil gi oss de produksjonsnivåene en må oppnå i hver sektor for å dekke etterspørselen etter varene fra de andre sektorene samt de sluttleveringene som en vil ha. Ifølge sin natur må xx, x2, ..., xn alle være større enn eller lik 0. Et viktig spørsmål som reiser seg er da dette: Vil det, uansett hvilke sluttleveringer en vil oppnå, 6,, b2, ..., bn , være mulig å finne Xj > 0, ..., xn >0 som passer i (1.4)? Det viser seg at en trenger visse krav på koeffisientene ao for at svaret skal bli ja. (Det er tilstrekkelig å kreve at alle kolonnesummene £)"=1 dtJ er mindre enn 1.) Vi henviser imidlertid til en generell innføring i kryssløpsanalyse for behandling av dette og andre spørsmål i forbindelse med Leontief-modellen, f.eks. Thonstad (1975) og Chenery & Clark (1959). 1 denne boka vil vi bare berøre endel enkle matematiske aspekter ved modellen.

Oppgaver til avsnitt 1.3 1. (a) Hva er tolkningen av den situasjonen at vi i (1.4) har a,, = 0 for alle i?

(b) Hva blir tolkningen av summen a,, + a,2 + • • • + a,„ ?

(c) Hva er tolkningen av denne samlingen av kryssløpskoeffisienter: (a,} , a2j,... , a„,)? (d) Forklar hvorfor det er vanskelig å tillegge summen a,, +a2j + •• • +

1 • • • , tO-n )

(2.2)

Hvis a er en 77-vektor, definerer vi ved (2.2) ta for ethvert reelt tall t. Legg merke til at om t spesielt er et naturlig tall, da blir ta summen av t a’er. F.eks. er 3a = a + a + a

Differensen mellom to n-vektorer a og b definerer vi ved: a — b = a + ( — l)b ,

slik at:

(a1, a2,..., a„) - (h, b2,..., bn ) = (a, - 6,, a2 - b2,..., an - bn)

(2.3)

Vi får altså a — b ved å subtrahere komponentene i b parvis fra komponentene i a. Differensen a —a blir vektoren bestående av bare 0-er. Vi kaller gjerne denne for nullvektoren og bruker notasjonen: 0 = (0,0,..., 0)

(2.4)

La oss se på et eksempel der vi bruker operasjonene som er definert ovenfor.

Eksempel 1 Hvis a = (3,—2,5) og b = (—2,10,—3), beregn a + b, a — b, 3a, -\/2 b og 3a + 4b.

Løsning: a + b= (3 + (-2), -2 + 10, 5 + (-3)) = (1,8,2) a —b = (3 - (-2),-2 - 10,5 - (-3)) = (5,-12,8)

3a = (3 • 3,3(—2), 3 • 5) = (9, -6,15) -72b = (272,-10 72,372) 3a + 4b = 3(3, -2, 5) + 4(—2,10, -3) = (9, -6,15) + (-8,40, -12) = (1,34,3)

12

Kapittel 2: Vektorer

Er a og b to n-vektorer og t og s reelle tall, kaller vi n-vektoren ta 4- .sb en lineær kombinasjon av a og b. I symboler har vi (denne gangen for kolonne vektorer):

/ ta} + sb} \ ta2 4" sb2

\ tan 4- sbn /

Vi kan gi en tolkning av slike lineære kombinasjoner knyttet til lagereksemplet vi brnkte innledningsvis: Hvis t personer kjøper samme lagervektor a og s personer hver kjøper lagervektoren b. da vil vektoren ta 4- .sb representere den totale varemengden som går ut av lagret. En rekke regneregler for addisjon av vektorer og multiplikasjon av en vektor med et tall følger umiddelbart av definisjonene. De viktigste er gitt i følgende oppstilling:

Regneregler for vektoroperasjonene Hvis a. b og c er vilkårlige 71-vektorer og a, /3 vilkårlige tall, da gjelder følgende regneregler: (1)

(a 4- b) 4- c = a 4- (b 4- c)

(2)

a 4- b = b 4- a

(3)

a 4- 0 = a

(4)

a 4- (-a) = 0

(5)

(a 4- /3)a = aa 4- /3a

(6)

a(a 4- b) = aa 4- ab

(7)

a(/3a) = (a^)a

(8)

la = a

(2-5)

Når det gjelder (1), viser den at vi i vektorsummer kan sette parenteser hvor vi vil, slik at vi i stedet for uttrykkene i (1) likegodt kan skrive a 4- b 4- c. Poenget med å ha regnereglene i (2.5) oppskrevet er at vi på grunnlag av dem kan regne med vektorer (på liknende måte som vi regner med vanlig tall), uten at vi behøver å uttrykke vektorene ved sine komponenter.

Eksempel 2

Gitt to n-vektorer a og b. Finn den n-vektoren x slik at 3x4-2a = 5b.

Løsning: Når to vektorer er like kan vi naturligvis addere samme vektor (—2a) til hver side og fremdeles få likhet:

(3x + 2a) + (-2a) = 5b 4- (-2a)

2.1 Vektorbegrepet. Regning med vektorer

13

Etter regel (1) er

(3x + 2a) + (—2a) = 3x + (2a + (—2a)) = 3x + 0 = 3x, der vi også brukte (1) og (3). Dermed får vi:

3x = 5b + (—2a)

Multiplikasjon av hver side med y gir videre: i(3x) = f(5b) + i(-2a)

Herav, ved hjelp av (7), x = -b — -a 3 3

Abstrakte vektorrom Regnereglene i (2.5) er det aksiomatiske utgangspunktet for definisjonen av et (abstrakt) vektorrom. La oss kort forklare hva dette begrepet står for. La X betegne en vilkårlig mengde av elementer. Anta at for hvert par av elementer a og b i X fins det et entydig bestemt element i X som kalles “summen” av a og b og betegnes med a + b. Anta videre at for hvert reelt tall a og hvert element a i X fins det et entydig bestemt element i X som kalles “produktet” av a og a og betegnes med a • a. Hvis de to operasjonene som her er innført oppfyller kravene (l)-(8) i (2.5), da sier vi at X er organisert til et (abstrakt) vektorrom eller et lineært rom. ((3) må formuleres slik: Det fins et element 0 i X slik at a + 0 = a for alle a i X. (4) må formuleres slik: Det fins til hvert element a i X et element —a i X slik at a + (—a) — 0.) I definisjonen av et vektorrom X har vi altså ikke spesifisert hvilken type av elementer som X inneholder, og vi har heller ikke forklart hvordan vi skal “addere” dem sammen eller multiplisere elementene med tall. Vi krever i stedet bare at de to operasjonene har de egenskapene som er beskrevet i (2.5). Mengden av alle n-vektorer der addisjon er definert ved (2.1) og multiplikasjon ved (2.2), danner selvfølgelig et vektorrom. Men det fins en lang rekke andre eksempler på vektorrom som en studerer i matematikken.

Eksempel 3 La F betegne mengden av alle reelle funksjoner av en reell variabel definert over et intervall I på tall-linjen. Når f og g hører med i F og a er et reelt tall, da definerer vi f + g og a ■ f som de funksjonene i F definert ved at for alle x 6 I er

(f + g)(x) = f (x) + ø(x) ,

(a • /)(x) = af(x)

(*)

Hvis 0 betegner funksjonen som til hver x (E I tilordner tallet 0, og — f er funksjonen som til x tilordner —f (x), da er det enkelt å verifisere at alle aksiomene i (2.5) er oppfylt. Mengden F, med de to operasjonene som er definert i (*), danner altså et abstrakt vektorrom.

Det begrepet vektorrom som vi definerte ovenfor, kalles ofte et reelt vektorrom for å understreke at vi multipliserer elementene i X med reelle tall. Hvis vi i stedet multipliserer elementene i X med komplekse tall (og lar aksiomene i (2.5) forsatt gjelde), da får vi et komplekst vektorrrom.

14

Kapittel 2: Vektorer

Grunnen til at en innfører abstrakte vektorrom er at en for slike vektorrom generelt kan bevise en lang rekke setninger som så dermed vil være gyldige for alle de spesielle vektorromene en måtte ha bruk for å studere. For en god innføring i abstrakt lineær algebra henviser vi til Lang (1986).

Oppgaver til avsnitt 2.1 3 4

1. Hvis a =

2. La a = (1,2,2),

, beregn a 4-b, a - b, 2a 4- 3b, —5a + 2b.

b = (0,0, -3) og c = (-2,4, -3). Finn

a 4- b 4- c ,

a — 2b 4- 2c ,

3a 4- 2b — 3c ,

—a — b — c

3. Hvis 2a — b = 0, hva er sammenhengen mellom koordinatene til a og b? a, \ /0 \ a2 I — I 1 I , finn koordinatene a, , a2, a3. a3 / \3 /

(

5. Hvis 3(x,y,z) 4- 5( —1,2,3) = (4,1,3), finn x, y og z. 6. (a) Hvis a 4- 0 = 0, kan en da si noe om komponentene til a?

(b) Hvis 0 • a = 0, kan en da si noe om komponentene til a?

7. (a) Vis at vektorlikningen

representerer to likninger i de to ukjente x og y.

(b) Vis at det ikke fins noen tall x og y slik at

Mer krevende oppgaver 8. La P„ betegne mengden av alle polynomer i én variabel, P, mengden av slike polynomer som har grad < n (n naturlig tall) og P2 mengden av slike polynomer som har grad — n. Hvis vi definerer addisjon og multiplikasjon med tall som i Eksempel 3, hvilke av disse mengder organiseres til et vektorrom?

2.2 Skalarproduktet

2.2

15

Skalarproduktet

En situasjon som oppstår i mange problemer i matematikkens anvendelser er denne: To n-vektorer er gitt og en får behov for å studere produktsummen av komponentene til vektorene. Et typisk tilfelle har vi i lagereksemplet i begynnelsen av avsnitt 2.1. Anta at prisene per enhet av de n varene er henholdsvis px, p2, ..., pn . Da er det klart at om beholdningen i lageret av de n varene er henholdsvis ax, a2, ..., an enheter, da er den totale verdien av beholdningen gitt ved produktsummen av p’ene og a’ene:

pxat +p2a2 +---- 1- pn an

(*)

Betegner vi vektoren av priser med p og lar a være vektoren med komponenter kaller vi tallet i (*) skalarproduktet av p og a. Generelt innfører vi følgende definisjon (formulert for linjevektorer):

Skalarproduktet Skalarproduktet av de to n-vektorene a = (aj, a2,..., an ) og b = (&,, b2,..., bn ) er definert ved: a • b = a, 6j + a2 b2 + • • • -T an bn

(2-6)

Vi merker oss altså at skalarproduktet av to vektorer er et tall (en skalar), nemlig det tallet vi får om vi danner produktsummen av komponentene til de to vektorene.

Eksempel 1

Hvis a = (1, —2,3) og b — (—3,2,5), beregn a • b.

Løsning:

a b = 1 • (-3) + (-2) • 2 + 3 • 5 = 8 Skalarproduktet kommer til anvendelse i en rekke andre forbindelser enn dem vi har antydet. Eksempel 2 En person skal kjøre fra byen A til byen C. En rekke veier går fra A til C, men alle må gå gjennom en av de tre byene Bx, B2 og B3. På figuren nedenfor angir tallene som er påsatt hvor mange forskjellige veier det er fra A til Bj, B2, B3 og hvor mange veier det går videre til C. Vi kan angi disse mulighetene ved vektorer. La P = (3,5,2) angi veiene fra A til B3, B2, B3 mens Q = (4, 2,1) angir antall veier fra B3,B2, B3 til C.

16

Kapittel 2: Vektorer

Hvor mange valgmuligheter for veier fra A til C har personen? Vi innser at svaret er dette: 3-4 + 5- 2 + 2- l = 24 Dette ser vi nettopp er skalarproduktet av P og Q.

Eksempel 3 Betrakt et eksperiment der det er to mulige utfall: Vi får gevinsten 5 med sannsynlighet 1/3 og gevinsten 2 med sannsynlighet 2/3. La vektoren G = (5,2) angi gevinstene og vektoren S = (7,7) angi sannsynlighetene for de to utfallene. Da vil skalarproduktet G•S=5•7+2• 7 =3

angi den forventete gevinst av eksperimentet. Det er denne gevinsten vi vil nærme oss i gjennomsnitt når eksperimentet gjentas mange ganger (“Store talls lov”. Se f.eks. Kemeny et.al. (1966), Kap. IV.) Eksempel 4 Anta at en insektpopulasjon består av ialt 3 aldersgrupper, en for hvert leveår. Av 1. gruppe vil halvparten dø i løpet av året, mens av gruppe 2 vil 2/3 ikke overleve til det 3. leveåret. Ingen individer lever lenger enn til slutten av 3. leveåret. Vi kan angi disse dødsratene med en vektor D = (7,7,1)- Hvis antallet individer i de forskjellige årsklasser i populasjonen i et bestemt år er gitt ved vektoren P = (1200,900,1000), hvor mange individer vil omkomme i løpet av året? Svaret er gitt ved:

1200 • altså ved skalarproduktet P D.

+ 900 ■ 2- + 1000 • 1 = 2200,

2.2 Skalarproduktet

17

En kan vise en rekke regneregler som gjelder for skalarproduktet. De viktigste er gitt i følgende oppstilling:

Regneregler for skalarproduktet Hvis a og b er to n-vektorer og a et vilkårlig tall, da gjelder følgende regneregler:

a•b=b•a

(1)

(2-7)

a(b 4-c) = a • b 4-a • c

(2)

(aa) • b = a • (ob) = o(a • b)

(3)

(4)

a*a>Oa/O

La oss vise (2) og overlate beviset for de andre til leseren. Vi lar a, b og c være linjevektorer og setter a = (a,, a2,..., an ), b = (b,, b2,..., bn ) og c = (c,, c2,..., cn ). Da er a ' (^ 4~

c)

b2

c2,..., bn 4“ cn) = fli (bi 4- c,) 4- a2 (b2 4- c2) 4-------------- h an (bn 4- cn) = a1bl + a2b2 4---------------1- an bn + at Cj 4- a2 c2 4-------------- H„c„ = a b 4- a • c (®i, ®2 j • • • >

) * (åi

cx,

4~

Oppgaver til avsnitt 2.2

1. Hvis a =

b =

3 4

, beregn a ■ a , a • b og a • (a + b).

2. Hvis a — (1, 2, 2), b — (0,0,—3) og c = ( — 2,4,—3), beregn a-b,b a c -I- b • c, a • (3b), 3a • b.

3. Anta at Hansen, Olsen og Jensen handler følgende varer i en forretning: Hansen: Olsen: Jensen:

2 epler, 6 sitroner, 5 pærer. 12 egg, 2 sitroner, 10 appelsiner. 10 epler, 6 egg, 10 appelsiner, 6 pærer.

a,(a + b)-c,

18

Kapittel 2: Vektorer

(a) Hvor mange forskjellige vareslag er kjøpt? (b) Skriv ned hvert av personenes kjøp som en vektor med så mange koordinater som svaret i (a). (c) Anta at varene har følgende priser (i kr.): Epler: Sitroner: Pærer: Egg: Appelsiner:

0,5 1,0 1,2 0,8 0,6

per stk. per stk. per stk. per stk. per stk.

Bruk skalarproduktet mellom vektorer til å sette opp uttrykk for hver persons kjøpesum. (d) Ved bruk av vektoraddisjon, finn den totale mengden av varer som de tre personene har kjøpt.

4. For hvilke verdier av x er skalarproduktet av (x, x — 1,3) og (i,x,3x) lik 0? 5. Et byggefirma har akseptert ordre for bygging av 3 hustyper: 5 stk. av type A, 7 stk. av type B og 12 stk. av type C. Skriv ned en 3-dimensjonal vektor x hvis koordinater angir antallet hus av hver type som skal bygges. Anta at type A krever 20 enheter tømmer, type B krever 18 enheter og type C krever 25 enheter. Skriv ned en vektor u som angir de forskjellige kvantiteter som kreves til de forskjellige hustypene A, B, C (i den rekkefølgen). Finn den totale mengde tømmer det er behov for ved å regne ut skalarproduktet x • u. 6. La V, , V2, . .., V„ betegne n forskjellige varer som en person ønsker å skaffe seg et visst utvalg av, og la p!, p2, ..., pn betegne prisene per enhet av de n varene. Hvis personen har til disposisjon et beløp R, og p er vektoren av priser, forklar hvorfor personen bare kan skaffe seg “varevektoren” a = (a, , a2,..., a„ ), dersom p • a < R. 7. Vis at når a og b er to n-dimensjonale vektorer, da er

(a + b) • (a + b) = a • a + 2a ■ b + b • b

Mer krevende oppgaver 8. La a og b være n-vektorene a = (1,2,3,..., n) og b = (1,1,..., 1). Beregn a • b og a • a. Vis at

( Vink: a • b bør du finne en enkel formel for. Forøvrig får du bruk for at l2 + 22 + • • • + n2 = ~(n + l)(2n + !)•)

2.3 Geometrisk tolkning av vektorer

2.3

19

Geometrisk tolkning av vektorer

Vektorer med 2 og 3 komponenter kan gis en geometrisk tolkning. En slik geometrisk tolkning av vektorer er spesielt hensiktsmessig innenfor fysikk og mekanikk, men også innen f.eks. økonomi, spiller den geometriske vektortolkningen en rolle. Kjennskap til geometriske vektorer er i det hele nyttig når det gjelder forståelsen av endel av de grunnleggende begrepene i lineær algebra.

Geometriske vektorer i planet Ordet vektor stammer fra det latinske ord for ”bærer”. Den opprinnelige betydningen av ordet er knyttet til den bevegelsen som består i å bære eller forflytte noe fra et sted til et annet. På jordkloden (globusen) er vi vant til å angi en slik forflytning ved f.eks. å oppgi det antall grader mot øst og det antall grader mot nord bevegelsen representerer. Hvis forflytningen foregår i planet, kan vi tilsvarende beskrive en slik bevegelse ved å angi antall lengdeenheter x, i rr-retningen og antall lengdeenheter y,, i y-retningen som bevegelsen består av. En plan forflytning er altså entydig bestemt ved et ordnet tallpar (rrt, y,) som angir forandringen i henholdsvis x- og ^/-retningen. Et slik ordnet tallpar var nettopp det vi i avsnitt 2.1 kalte en 2-vektor. Rent geometrisk kan vi illustrere en forflytning ved hjelp av en pil som går fra startpunktet P til endepunktet Q. Det er da klart at om vi parallellforskyver pilen slik at den i stedet går fra startpunktet P' til endepunktet Q', så vil pilen fremdeles representere den samme forflytningen, for bevegelsene Xi og ?/, i x- og ^/-retningene er jo like store:

Figur 2.1

Vi bruker ofte betegnelsen geometriske vektorer om slike piler, og forutsetter da at parallelle og ensrettede piler som er like lange representerer den samme geometriske vektoren (omtrent på samme måte som brøkene 2/6 og 1/3 representerer det samme tallet). Vi skriver PQ for vektoren som går fra punktet P til punktet Q. Vi har altså sett at det er en korrespondanse mellom geometriske vektorer (forflyt­ ninger) og ordnede tallpar: Hvis en geometrisk vektor a går fra punktet P = (Pi ,p2) til punktet Q = (^, q2) så blir det tallparet (aj, a2) som beskriver forflytningen i xog ^/-retningene gitt ved a. = qt - Pl, a2 = q2 - p2 eller (a1, a2) = (g,, q2) - (Pl ,p2). Dette er vist i figur 2.2.

20

Kapittel 2: Vektorer

P=(Pl.P2)

Figur 2.3

Omvendt, hvis tallparet (a15 a2) er gitt, finner vi den forflytningen som svarer til (a,, a2) ved å starte i et vilkårlig punkt P og så bevege oss Uj enheter i x-retningen og a2 enheter i p-retningen. Dette gir pilen fra P = (pj ,p2) til Q = (pi + ax ,p2 + a2) (se figur 2.3). Et lite unntak må vi gjøre for tallparet (0,0), som vi tidligere har kalt 0-vektoren. Den svarer til “nullforflytningen” eller ingen forflytning i det hele tatt. Geometrisk blir den å betrakte som en “degenerert” pil: Den starter og ender i samme punkt. Den korrespondansen mellom geometriske vektorer og ordnede tallpar som nå er forklart, viser at det bare dreier seg om forkledninger av det samme begrepet. Heretter vil vi derfor ofte brukte betegnelsen vektor på begge disse forkledningene, og vi setter likhetstegn mellom den geometriske vektoren a og dens tilsvarende tallpar, eller koordinater: a = (a15a2).

Geometrisk tolkning av vektoroperasjonene i planet Hvis a = (a,, a2) og b = (bj, b2) er to vektorer, definerte vi i avsnitt 2.1 summen av a og b ved a + b = (aj + b, ,a2 + b2) (*) Vi definerte også hva vi skulle forstå med a ■ a når a er et reelt tall:

ot • a = (cm, ,aa2)

(**)

Disse to vektoroperasjonene har enkle geometriske tolkninger som antydes ved følg­ ende eksempel.

Eksempel 1 La a = (3,1) og b = ( — 1,2). Illustrer vektorene a + b, 2a og -b i planet, idet du lar alle vektorene starte i origo.

2.3 Geometrisk tolkning av vektorer

21

Løsning: Vi finner at a + b = (2,3), 2a = (6,2) og —b = (1,-2). Vektorene er illustrert i figurene 2.4 og 2.5.

I figur 2.4 legger vi merke til at a + b representerer diagonalen i et parallellogram med a og b som sider. I figur 2.5 ser vi at 2 • a er en vektor med samme retning som a, men lengden er dobbelt så stor. Vektoren ( —1) • b blir en vektor med motsatt retning av b, men med samme lengde. Generelt er tolkningen av (*) vist i figur 2.6. Av figuren ser vi at a + b blir representert ved den pilen som går fra a’s startpunkt til b’s endepunkt, når b er parallellforskjøvet slik at den starter der a slutter. Og en slik definisjon er nettopp den naturlige ut fra det intuitive bildet av en vektor som en forflytning.

Figur 2.6

22

Kapittel 2: Vektorer

Summen av forflytningene a og b får vi ved først å utføre a og deretter b med utgangspunkt i endepunktet for a. Vi ser av figuren at a + b blir en av diagonalene i parallellogrammet som utspennes av a og b, og det følger ata + b = b + a (regel (2) i (2.5)). Dette er også i samsvar med intuisjonen: Rekkefølgen av forflytningene spiller ingen rolle for sluttresultatet. Tilsvarende kan vi begrunne geometrisk regel (1) i (2.5): a + (b + c) = (a + b)+c. Figur 2.7 illustrerer denne regelen.

Figur 2.8

Den geometriske tolkningen av a • a er også enkel. Er a > 0, da representerer a ■ a en vektor med samme retning som a, mens lengden er multiplisert med faktoren a. Betrakter vi a som en forflytning, blir era, med a > 0, en forflytning som er a ganger så stor som a i samme retning som a. Er a < 0, snus retningen til den motsatte, og lengden multipliseres med | a |, tallverdien av a. Som nevnt tidligere, skriver vi a—b i stedet for a+( —l)b. Dersom vi representerer a og b med piler som starter i samme punkt, blir a — b representert ved den pilen som går fra b’s endepunkt til a’s endepunkt. (Hvorfor?)

Geometriske vektorer i rommet Vi har sett hvordan 2-komponent vektorer (a,, a2) kan oppfattes som geometriske vektorer, eller forflytninger i planet. På en opplagt måte kan 3-komponent vektorer (flj, a2, a3) oppfattes som geometriske vektorer, eller forflytninger i rommet illustrert ved piler. I rommet tenker vi oss da innført et koordinatsystem som vist i figur 2.9. Tre gjensidig ortogonale linjer skjærer hverandre i et punkt 0. De representerer vanligvis x-aksen, ?/-aksen og z-aksen. Vi velger en enhet til å måle lengde langs hver akse og angir en positiv retning for hver av dem. Ethvert punkt P i rommet blir nå tilordnet et trippel av tall, (ax, a2, a3). Omvendt er det klart at ethvert trippel av tall tilordnes et punkt i rommet. Merk spesielt at når a3 er negativ, da ligger punktet P under x?/-planet. Det er på samme måte som i planet en naturlig korrespondanse mellom ordnede tripler {al ,a2,a3) og geometriske vektorer i form av piler som, hvis de starter i et punkt (a?!, x2, x3) ender i punktet (xx + ax, x2 +a2,x3 + a3). (Vi skiller heller ikke her

2.3 Geometrisk tolkning av vektorer

23

Figur 2.9

mellom parallelle og ensrettede vektorer av samme lengde, de representerer samme forflytning.)

Vektorer i Rn Mengden av alle n-tupler (ax, a2, ..., an) av reelle tall kaller vi det n-dimenjonale Euklidske rommet eller n-rommet og vi betegner det med Rn. For n = 1, 2 og 3 representerer Rn henholdsvis tall-linja, planet og rommet. For n > 4 har Rn ikke noen tilsvarende geometrisk tolkning. Likevel bruker vi gjerne et geometrisk språk når vi omtaler egenskaper ved Rn. Det viser seg nemlig at en stor del av den geometriske strukturen for R3 kan videreføres til Rn.

Oppgaver til avsnitt 2.3 1. La a — (3,

2), b — ( — 2, 5). Beregn a + b, —2a og |-b og illustrer i planet.

2. Gitt vektorene a = (3,1) og b = (-1,2). Definer x = Åa + (1 - Å)b. - \ C

(a) Beregn x når Å = 0, 1/4, 1/2, 3/4 og 1. Tegn figur. (b) Hvis en lar Å gjennomløpe alle reelle tall mellom 0 og 1, hva ser det ut som x be­ skriver? Vis at om Å gjennomløper alle reelle tall, da gjennomløper x alle punktene på den rette linja gjennom (3, 1) og ( — 1,2).

(c) Beregn x også når Å = 2 og Å = -3, og tegn figur.

3. La a = (1,2, 1), b = (-3,0, -2). (a) Finn reelle tall x, og x2 slik at

x, a + x2 b — (5, 4, 4) (b) Vis at det ikke finnes noen reelle tall x, ,x2 slik at x, a + x2 b = (—3, 6, 1) 2

24

2.4

Kapittel 2: Vektorer

Lengder av vektorer. Ortogonalitet

Hvis a = (ai,a2) er vektoren i figur 2.2, da ser vi at ifølge Pytagoras’ setning er lengden av a, betegnet med ||a||, gitt ved

(2-8)

Eksempel 1

Finn lengden av vektorene a. b og a + b i figur 2.4.

Løsning: ||a|| = \/32 + l2 \/22 + 32 = >/13.

/lo,

||b|| = V(-l?+22 =

og ||a + b|| =

For vektorer i rommet har vi en tilsvarende lengdeformel. Ved å studere figur 2.9 og bruker Pytagoras’ setning to ganger, innser en at om a = («i, a2, a3), da er

||a|| =

+ a2 +

(2-9)

For vektorer i R'1 definerer vi lengden av vektoren a = (a,, a2,..., an) ved

||a|| =

+ a2 + • • • + a2

(2.10)

Hvis a og b to vilkårlige vektorer i Rn , kan en vise følgende berømte ulikhet:

|a • b| < ||a|| • ||b||

(Schwartz’ ulikhet)

(2-11)

Her betyr |a ■ b| tallverdien av skalarproduktet av a og b. (Et pent bevis er antydet i oppgave 2.4.6) Betrakt de to punktene P(ai, a2,..., a„ ) °g Q(^i > ^2> • • •> ) i Rn og sett a = (a1, a2,..., an), b = (6,, b2,..., bn ). Vi definerer da avstanden mellom P og Q ved lengden av vektoren a — b: ||a — b|| = \/(flj — &i )2 + (u2 — å2 )2 + • • • + (an — bn )2

(2.12)

(Se figur 2.8) For n = 2 og n = 3 er dette formelen for avstanden mellom to punkter.

2.4 Lengder av vektorer. Ortogonalitet

25

Ortogonalitet Betrakt de to vektorene a og b i figur 2.10.

Figur 2.10

Ifølge Pytagoras’ setning er trekanten OAB rettvinklet med a = 90°, hvis og bare hvis kvadratet på hypotenusen AB er lik summen av kvadratene på katetene: a = 90°

«

l|a-b||I2 =||a||2 +||b||2

Her er ||a - b|| = (a, - )2 + (a2 - b2 )2, ||a||2 = a2 + a2 og ||b|| = &2 + 62, slik at betingelsen for at a = 90° blir (ai ~

)

+ (a2 ~

^2 )2 = o2 + a2 + å2 + å2

Ved å multiplisere ut og ordne denne likningen, reduserer den seg til Ujbl + a2b2 = 0. Her er a1bl + a2b2 lik skalarproduktet av vektorene a = (a1, a2) og b = (b},b2) slik at vi har følgende resultat:

Vektorene a og b er ortogonale (dvs. vinkelrett på hver­ andre) hvis og bare hvis skalarproduktet av dem er lik 0.

(2-13)

I symboler: (cii, a2) _i_

, b2)

< ;*

aj bY + a2 b2 =0

Det samme resonnementet kan en føre når det gjelder to vektorer i rommet, idet vi bruker Pytagoras setning på trekanter utspent av vektorene. Resultatet blir som formulert i (2.13). Er a — (dj, a2,..., an) og b = (6,, b2,..., bn ) to n-vektorer, sier vi, per definisjon, at a og b er ortogonale dersom a b = 0. I symboler:

26

Kapittel 2: Vektorer

a±b

(2.14)

ab = 0

Eksempel 2 (a) Vis at a = (2, -3,4) og b = (-3, 2,3) er ortogonale.

(b) Finn alle vektorene w = (x,y,z) som står ortogonalt på både a = (1,2, —1) og b = (-3,2,1). Løsning: (a) Vi finner at a • b = 2 • (—3) + (—3) • 2 + 4 • 3 = 0, så a ± b.

(b) Vi får de to betingelsene w ■ a. = x + 2y — z = 0 og w • b = —3x + 2y + z = 0. Av den første av disse likningene får vi z = x + 2y, som innsatt i den andre gir —3x + 2y + x + 2y = 0, dvs. y = ^x. Da blir z = x + 2y = x + x = 2x. Vi slutter at alle vektorer av formen (x, ^x,2x) = x(l, y,2) står normalt på de to gitte vektorene.

Oppgaver til avsnitt 2.4 1. Beregn ||a|| når a = (2,3).

2. La a = ( — 1,2) og b = (3,1). (a) Beregn ||a||, ||b|| og ||a + b||.

Forklar geometrisk hvorfor ||a|| + ||b|| ikke er lik

l|a + b||. (b) Beregn a b og test om Schwartz’ ulikhet gjelder. 3. Vis at følgende par av vektorer er ortogonale.

(a) a = (3,1) og b = (-1,3) (b) a = (1,2,3) og b = (-1,2,-1)

4. Undersøk hvilke av følgende par av vektorer som er ortogonale. (a) (1,3)

og

(c) (5,0,-1)

(-3,-1)

og

(b) (5,2)

og

(-2,5)

(-2,10,-10)

5. (a) Vis at vektorene (a, 5) og (—5, a) alltid er ortogonale.

(b) Vis at (a, , a2, a3) 1 (a, - a3, a3 - a, , a, - a2) uansett verdiene på a, , a2 og a3.

Mer krevende oppgaver 6. Bevis Schwartz’ulikhet (2.11). (Vink: Pga. egenskap (4) i (2.7) er (aa+/3b)(aa+/?b) > 0 for alle tall a, 0. Multipliser ut og sett a = b • b, = —a • b. Divider med b • b. Hva

med tilfellet b • b = 0?)

m 2.5

2.5 En alternativ beskrivelse av en vektor i planet

27

En alternativ beskrivelse av en vektor i planet. Vinkler mellom vektorer

I stedet for å bruke koordinater kan vi beskrive en geometrisk vektor a = (a,, a2) (0,0) i planet ved (1) Vektorens lengde, ||a|| = y/a2 + a22

(2) Vektorens retning, som er gitt ved den vinkelen øo som vektoren danner med den positive z-aksen, når vi krever at -180° < o < 180°

Figur 2.11

Det som gjør geometriske vektorer nyttige i fag som f.eks. fysikk, er at det er en rekke begreper som beskrives ved sin lengde (eller intensitet) og retning: Kraft, hast­ ighet, elektrisk feltstyrke, magnetisk fluks osv. De naturlige og hensiktsmessige oper­ asjonene på disse begrepene viser seg å kunne uttrykkes bl.a. ved hjelp av de vektor­ operasjonene som vi har definert. Hvis f.eks. vektorene a og b i figur 2.6 representerer krefter som virker på en partikkel i P, da er a + b nettopp den resultantkraften som virker på partikkelen og som alene erstatter virkningene av a og b. Den konkrete sammenhengen mellom vektoren a’s koordinater (ax, a2) og dens lengde og retning finner vi lettest ved å parallellforskyve a slik at den starter i origo, slik det er illustrert i figur 2.12. Da er

llall = \/a? + cosa

= —f=== ,

V

+ a2 2

sin oo. En kan vise at når n —> oo vil elementene i Mn nærme seg elementene i matrisen /0 0 0 \0

0 0 0 0

4/7 3/7 1 0

3/7\ 4/7 | 0 1 /

I

Dette betyr bl.a. at odds er 4 : 3 for at den som starter spillet skal vinne til slutt. (Se også Eksempel 3 i avsnitt 6.6. og Eksempel 4 i avsnitt 10.2.)

Oppgaver til avsnitt 3.7 1. En bedrift har to fabrikker F,, F2 som hver produserer tre varer V, , V2, V,. For produksjonen av disse varene trengs 4 råvarer M, , M2 , M3 og Mt. Anta at 4 X 3-matrisen A — [a4j ] er gitt, der atj angir hvor mange enheter som trengs av råvaren M, for produksjon av en enhet av V) . La videre produksjonsmatrisen B = [bJt] fortelle hvor mange enheter som skal produseres av varen V) ved fabrikken Fk . Hvordan kan en angi hvor mange enheter av råvarene M, som trengs ved fabrikken Fk ?

70

Kapittel 3: Matriser

Anta at prisene p, per enhet av M, er gitt ved prisvektoren P. råvarekostnadene for fabrikkene F, , F,?

Hva blir de totale

2. (Se Eksempel 3 og Fletcher (1972).) En viss type biller oppfører seg på følgende måte:

- Halvparten av billene blir eldre enn ett år. - Av disse vil 1/3 bli minst to år gamle. - De gjenlevende billene vil i løpet av sitt tredje år i gjennomsnitt produsere 6 nye biller. - Ingen biller blir mer enn 3 år gamle.

Anta at vi starter med en populasjon på 3000 biller, med 1000 i hver aldersgruppe. Populasjonsvektoren A(0) ved tiden t = 0 har altså komponentene 1000, 1000, 1000. (a) Sett opp sammenhengen mellom populasjonsvektorene A(t + 1) og A(t) ved hjelp av et system av differenslikninger på formen A(t + 1) = P • A(t)

ved hjelp av en matrise P som i Eksempel 3. (b) Regn ut P2 og P3.

(c) Hvordan vil billepopulasjonen forandre seg fra år til år? 3. En stortingsmann forteller til sin venn hvorvidt han

V,: kommer til å stille opp ved neste valg, eller V2: kommer ikke til å stille opp ved neste valg. Denne vennen gjengir dette (enten V, eller V2) til sin venn igjen, som igjen forteller nyheten til en 3. person osv. Anta at for alle disse personenes vedkommende er det en sannsynlighet p for at han gjengir det han hører korrekt og dermed en sannsynlighet på 1 — p for at han “snur” nyheten til det motsatte.

(a) Sett opp den stokastiske 2 X 2-matrisen M som angir sannsynlighetene aX] for at utsagn V, skal bli gjengitt som utsagn V, .

(b) Sannsynligheten for at utsagn V, skal bli gjengitt som utsagn V} etter å ha passert n personer er da gitt ved matrisen M" . Regn ut M2 og M3. (c) Vis, f.eks. ved induksjon, at . = 1 /1 + (2p-1)" 2 \1 - (2p - 1)"

1 — (2p — 1)" \ 1 + (2p - 1)" J

(d) Hvis 0 < p < 1, vis at M-

\l/2

1/2 J

i den forstand at elementene i Afn alle går mot 1/2 når n —♦ oo. Konklusjon-. Uansett p, 0 < p < 1, er det, når nyheten har passert tilstrekkelig mange personer, omtrent like stor sannsynlighet for at man får høre utsagn V, som utsagn V2!

Kapittel 4 Eliminasjonsmetoder

I dette kapitlet skal vi forklare en generell metode for å finne eventuelle løsninger av et lineært likningssystem. Metoden er basert på en systematisk eliminasjon (fjerning) av de ukjente. Den er meget effektiv og særlig fordelaktig framfor andre metoder ved store systemer. Metoden egner seg meget godt for programmering på datamaskiner.

4.1

Gauss eliminasjonsmetode

Vi begynner med å se på et eksempel: Eksempel 1

Finn eventuelle løsninger av systemet

2x2 — x3 = —7 Xi 4- x2 4- 3x3 = 2 -3Xi + 2x2 4- 2rr3 = -10

(1)

Løsning: Vi begynner med å bytte om de to første likningene, hvilket naturligvis ikke vil innvirke på løsningen av systemet:

Xi + x2 4- 3x3 =

2 2x2 x3 — 7 —Sa;, 4- 2x2 4- 2z3 = —10

(2)

Neste skritt er å bruke den (nye) første likningen til å eliminere xx fra den tredje likningen. (x3 er allerede borte fra den andre.) Det oppnår vi ved til den siste likningen å legge til tre ganger den første likningen. (Samme resultat får du om du av den første likningen får xx = — x2 — 3rr3 4- 2, og setter dette inn i den siste likningen. Prøv!) Vi får da a?i 4- x2 4- 3rr3 = 2 2x2 - x3 = -7 (3) 5a:2 4- llx3 = -4

72

Kapittel 4- Eliminasjonsmetoder

De to siste likningene har bare x2 og x3 som ukjente. Neste skritt i den systematiske prosedyren er å dividere den andre likningen i (3) med 2:

xx + x2 + 3z3 = 2 x2 — ~x 3 = --2 2 3 5o;2 -f- llx3 — —4

(4)

Vi eliminerer dernest x2 fra den siste likningen ved å multiplisere den andre lik­ ningen med —5 og legge resultatet til den siste likningen. (Alternativt: Av den andre likningen får du x2 — '-x3 — 7 ~. Sett dette inn i den siste likningen.) Vi får da:

xx + x2 + 3x2 =

~x 3 = 2 3

Vi multipliserer den siste likningen med

2

2

og får

Xy + x2 + 3z 3

—

2

(5)

Vi har funnet at x3 = 1, og de andre ukjente kan “spoles opp” nedenfra: Innsetting av x3 = 1 i den andre likningen i (5) gir x2 = —3, og den første likningen i (5) gir deretter x} = 2. Løsningen av den gitte likningen er altså (xj ,x2 ,x3) = (2, —3,1). Den løsningsmetoden vi har angitt kalles Gauss-eliminasjon. De operasjonene vi utførte på likningssystemet (1) for å komme fram til (5) kalles elementære opera­ sjoner. Knapt kan vi symbolisere de regneoperasjonene som er foretatt slik:

4-1 Gauss eliminasjonsmetode

Xj

+

-3a?! 4æj +

x2 2x2

+ —

+

2 æ3 — -7 2x3 = -10

73

3a?3 —

4—

x2 + 3x3 = 2 2x2 — x3 = — 7 5rr2 + llrr3 = —4

Vi sier gjerne at det nå er framkommet en “trapp” med xx, x2 og x3 som hjømeledd. Vi systematiserer ofte arbeidet med å finne alle de ukjente ved å fortsette eliminasjonen slik at vi får 0-er også over hjørneleddene:

74

Kapittel 4-' Eliminasjonsmetoder

x3

=2

= —3

x2

x3 =

1

Løsningen er nå funnet ved Gauss’ eliminasjonsmetode i sin endelige form. La oss bruke metoden på et annet eksempel.

Eksempel 2

Finn eventuelle løsninger av følgende likningssystem:

+

—2 - 2 -3

4 + x2 + X3 — 7 2xr — 4x2 + 4z3 = 6 = 11 3x3 + 4x2 3^7 2

—

—

4----- 1 (

4-------------

Løsning: Vi begynner med å utføre de operasjonene som alt er antydet og får:

xx 4- 3x2 — 5x2 — 10x2 — 5x2

Xj +

— x3 = 4 + 3x3 = — 1 + 6x3 = —2 + 3x3 = — 1

3æ2 — x2 —

x3 = — 5 J

4 15

— 10x2 + 6x3 = —2 — 5x2 + Sx3 = —1

10 5

4-1 Gauss eliminasjonsmetode

75

Vi har nå laget trappen. De to siste likningene er overflødige, og vi fortsetter ved å skaffe oss 0 over hjørneleddet x2:

Av det siste likningssystemet slutter vi at for en vilkårlig løsning av det gitte liknings­ systemet må det gjelde at

Vi ser at vi kan velge x3 fritt, og at x, og x2 i så fall er gitt ved (*). Setter vi x3 = t, kan vi sammenfatte løsningene ved å sette (a?!, x2, x3) = (' M O

0

M 0 + io , f)/ ,

t reelt tall.

Vi sier at løsningen av systemet har en frihetsgrad, fordi en av de variable kan velges fritt. Er denne gitt en fast verdi, da er de andre to helt bestemt. (Se avsnitt 8.1). Knapt og slagordmessig formulert er Gauss’ metode i sin endelige form denne:

Gauss’ eliminasjonsmetode

(1) Lag en trapp med 1 som koeffisient i hvert hjørneledd. (2) Skaffe O-er over hjørneleddene. (3) Den generelle løsningen framkommer ved å uttrykke de ukjente som står i trappens hjørner ved hjelp av dem som ikke står i hjørnene. De sistnevnte ukjente (om de fins) kan velges fritt. Antallet av dem kaller vi antall frihetsgrader i systemet.

I den oppskriften vi nettopp ga, er det implisitt forutsatt at det systemet vi forsøker å løse har løsninger. Vi kan imidlertid også bruke Gauss’ metode til å avsløre om et lineært likningssystem er inkonsistent, dvs. selvmotsigende. Før vi viser et eksempel på det, la oss innføre en notasjonsmåte som forenkler skrivearbeidet betraktelig. Ser vi tilbake på de to siste eksemplene, vil vi nemlig oppdage at vi i virkeligheten bare opererer med koeffisientene i likningssystemene, mens de variable bare tjener til å holde koeffisientene på plass i sine kolonner. I det siste eksemplet kunne vi alternativt ha brukt følgende oppstillingsmåte, der vi begynner med det gitte systemets utvidete

76

Kapittel 4- Eliminasjonsmetoder

matrise: —3 — 2 — 2 / 1 L> 2

3 1

-1 1

-------- > 2-4 ------------- > \3 4

f 1 5 10 0 0 l ----- > 0

3 1 -10 -5

4 0

-1 -3/5 6 3

41 7 6

11/ 4 1/5 -2

-1 )

__ 1_ 5

!1 0 0 2

d” ®2 2"^2

~~

(5.1)

— ®2

Hvis vi går fram på vanlig måte for å løse dette systemet, finner vi U22 b2a12 xx = -------- —-------- , ^11 ^2 2

^2 1^12

b2ax1 61 a21 x2 = -------------------^'11 ^2 2

^2 1^12

/_

(5.2)

Vi ser at uttrykkene for xx og x2 har felles nevner. Dette tallet, ax xa22 — a2xax2, kalles determinanten til systemets koeffisientmatrise A. Determinanten til A betegner vi med det (4) eller |A|, og vi setter altså O1 1

flj 2

®21

d22

fli 1 d2 2

Q2 1 fli 2

(5-3)

Determinanten til A definerer vi ved (5.3) selv om matrisen A ikke er koeffisientmatrisen til et likningssystem.

Eksempel 1 3 5

-2 1

= 3-1 - 5(-2) = 13,

a b = a2 - b2 b a

86

Kapittel 5: Determinanter

Undersøker vi tellerne i utrykkene for xr og x2 i (5.2), ser vi at de også kan skrives som determinanter. Vi får at dersom |A| / 0, da er

2 a2 2

^2

—

Ol1

^1

a2 j

b2

(5-4)

“W

Legg her merke til hvordan høyresiden i likningene i (5.1) opptrer i determinantene i tellerne i (5.4)! Vi kaller uttrykkene i (5.4) Cramers formler (etter den sveitsiske matematikeren G. Cramer (1702-1752)). Det viser seg at en får tilsvarende formler for 3 likninger med 3 ukjente (se nedenfor), og vi skal seinere generalisere formlene til å gjelde for n likninger med n ukjente. Bruk (5.4) til å finne løsningene av

Eksempel 2

2xi + 4x2 = 7 2xi — 2x2 = —2

Løsning: Vi finn er:

—

4 7 -2 -2 4 2 2 -2

-6 ’ — 12

1 2’

'

2 2 2 2

7 -2 4 -2

-18 ’ -12

3 2

Kontroller ved direkte innsetting at Xi = 1/2, x2 = 3/2 passer i det gitte systemet!

Determinanten til en 3 X 3-matrise La oss betrakte systemet

a,, x 4“ O, 2 X2 ^2 1*^1 "I” ^'2 2^'2

•

^'3 2^'2

•

^3 1 æl

x3 = b ^2 3*^3 = b2

4" di 3

(5.5)

^3 3æ3

der koeffisientmatrisen A er av orden 3x3. Dersom vi løser dette systemet mhp. xr, x2 og x3 ved eliminasjon, viser det seg at de ukjente uttrykkes som brøker der nevnerne er ett og samme tall. F.eks. får vi etter en god del (ganske besværlig) regning, 6,

a2 2 a33

bi a2 3 G32

4-

b2 a^ 3 a3 2

U11U22U33 —U11U23U32 4-012^23^31

b2 o, 2 a3 3

b3 a12 a23

012^21033 4-013021032

b3 a2 2 Oi 3 a,l3a22a31

Tallet i nevneren i uttrykket for Xi er dannet av elementene i koeffisientmatrisen A. Det kalles determinanten til A, betegnes med det (A) eller |A| og er altså definert ved Ol 3 Oi 1 O1 2 Oi i O22 O33 Oi 1 o2 3 O3 2 4” Oi 2 a2 3 O31 (5.6) O 2 1 O 2 2 O2 3 = |A| = fl, 2 O2 1 O33 4-O13 O2103 2

O31

O32

O3 3

Oi 3 o2 2 O31

Determinanten til 2 x 2 og 3 x 3-matriser

87

Eksempel 3 3 -1 5

0 1 2

2 0 3

= 3- l- 3 — 3-0-2 + 0- 0- 5 — 0- (-1) • 3 + 2 • (-1) • 2 - 2 • 1 • 5 = -5

Ser en svært nøye etter, vil en kunne oppdage at også telleren i uttrykket for xY ovenfor kan skrives som en determinant. Det samme gjelder formlene for x2 og x3, og en kan vise at en for |A| / 0 får følgende formler (se avsnitt 6.3)

_

b2 b3

Ul 2

3

al 1

6,

a2 2

a2 3

|

fori=l,2,3

(1)

5.3 Regneregler for determinanter

101

La nå A, være en linjeredusert trappe-matrise til A (Setning 4.2). Ifølge Setning 4.4, fins det da elementære matriser Et ,. .. ,E„ slik at E„ • . . . • Et • A = A, eller

A =

e;

1 • ... • e; ' • A,.

(2)

Bruker vi (1) gjentatte ganger, får vi da \AB\ = \e;' -(e;1 -...e;' -a, -b)\ = \e;'\-\e;' -...-e; 1

a,

(3)

-b\ = ••• = |e; 1|Æ7;‘|-|Ae b\

Det er nå 2 muligheter:

(a) Ae har en null-linje. Da har A„ • B en null-linje, og dermed er |j4, • B| = 0. Det gir at |A • B| — 0. Siden |A| = |E; 1 | • ... • \Ep 1 | • |A, | = 0, er også |A| • \B| = 0, slik at Setning 5.8 er bevist i dette tilfellet.

(b) A„ har ingen null-linje. Ifølge Setning 4.3 er da Ae = In og (3) sammen med (2) gir \a-b\ = \e;'\-...-\e;1\-\b\=\e;' ■... ■

e;

'\-\b\ = \a\-\b\ ■

Oppgaver til avsnitt 5.3 2 1 1

1 31 \I.

(

0

2

Beregn A', og påvis dernest at |A | = | A' |.

5/

2. Beregn følgende determinanter på enklest mulig måte. 8 4 4

c)

-2 0 -4

24 8 40

2 -1 0 -6

1 0 0 -3

3 2 3 -9

4 4 -1 -12

W

3 0 12 10-18 2 0 5 6 -1 0 -11 2

(d)

a 1 a 3a

1 —a 2 1

1 3 a 0

2a 0 1 0

3. Vis at (benytt bl.a. Setning 5.7) a b c

1 1 1

4. La X =

0 1 2 0

b+ c c+ a a + b

0\ 1 0 1/

= 0

(b)

Beregn XX og |A"X |.

x -y 1 y

x -y 1 1

x2 - y2 x+ y x

102

Kapittel 5: Determinanter

, TLa^A = fI 31 5.

B =

24

3

4

\ 5

6

(a) Beregn AB, BA, AB', BA'. (b) Påvist at |A| = |A'|, |4 B| = |A| • \B |. Er | AB' | = |A'| • |B'|? 6. Vis at en ortogonal matrise (se oppgave 3.5.6) må ha determinant 1 eller —1. 7. En kvadratisk matrise A av orden n kalles involutiv dersom A2 = I„ . - 1 0\ (a 1 - a2 Vis at er involutive (for alle a). 0 -1 °6 1 -a

(b) Vis at A er involutiv (/„ — A)(In + A) = 0. Vis at determinanten til en involutiv matrise er 1 eller —1.

8. La A være en n x n-matrise, og c et reelt tall. Vis at |cA| = c" |A|.

Mer krevende oppgaver a + b a

a a+b

a a

9. Bevis at Dn =

— b" ~ 1 (na + 6). a

a

a

( Vink: Studer Eksempel 6 ovenfor!)

10.

(a)

Forklar hvorfor D(x,y) —

(b)

Vis at D^x^y,) = D(x

(c)

Vis at

x x,

y 3/i

y>

i i i

x X, X,

y 3/> 3/i

1 1 1

er et uttrykk av første grad i x og y.

0.

= 0 er likningen for den rette linjen gjennom

(x1 ,y,) og (x, ,y2).

11- (a) Hvis i, j og k er de tre enhetsvektorene i R3 (s e bevis for (2.37) s.40) og a = (a, , a2, a3), b =(fc, , b2, b3), forklar hvorfor vi kan s ette

a X b =

i a, b,

j a2 b2

k a3 b3

(a x b er definert ved (2.30) s.38)

(b) Med referanse til oppgave 2.8.5, vis at det skalare trevektorproduktet kan karakteriseres slik: a,a2a3 [a b c] = b, b2 b3 Cj C2 C3 Resultatet i figur 5.3 er dermed bevist.

5.4 Utviklingss eining en for determinanter

103

12. (a) La

|A| =

1

Al 2

CL j i

CL 2 2

blt 62 2

bl2 b2i

Bevis at

|A|- 1*1

=

a,! G2 1 -1 0

a>2 ®2 2 0 -1

0 0 6., b2i

0 0 -1 0

0 0 0 -1

Gi! bx i + Gj 2 b2 1 CL 2 i b i i + 2 b2 1 btl b2l

0 0 bl2 62 2

G i i b} 2 G- ] 2 ^ 2 2 G2 1 bl 2 "4” G2 2 ^2 2 bl 2 62 2

= |A-B|

(b) Forsøk å generalisere metoden i (a) til å gjelde når A og B er vilkårlige n X nmatriser, og gi dermed et alternativt bevis for Setning 5.8. 13. Vis at b2 + e2 ab ca

ab c2 + a2 bc

ca bc a2 + b2

0 c b

=

c 0 a

b a 0

(Du bør unngå å regne ut determinantene!)

5.4

Utviklingssetningen for determinanter

La oss igjen betrakte en generell n-te ordens determinant ai 1

ai 2

•••

«1»

®2 1

a2 2

• • •

®2n

•

•

1

•

a, 2

• • •

a.„

2

• • •

n

Ifølge sin definisjon består |4| av en sum av ledd. I hvert ledd er det ett element fra hver linje og ett element fra hver kolonne. La oss spesielt feste oppmerksomheten ved z-te linje og plukke ut alle leddene som inneholder atl som faktor, deretter de som inneholder a,2 som faktor osv. Siden alle leddene inneholder nøyaktig ett element fra linje nr. z, får vi på denne måten med alle leddene, og vi kan skrive

|A| — an Ajj + ai2 Ai2 4- • • • 4-

AtJ 4- ■ • • 4- ain Ain

(5.12)

104

Kapittel 5: Determinanter

Vi sier da at vi har utviklet A etter i-te linje. Koeffisienten Atj kalles komplementet (eller kofaktoren) til elementet ai}. På tilsvarende måte kan vi utvikle |A| etter en kolonne. F.eks. har vi at

|A| — axj Aj j + a2jA2j 4- • • • 4- at} Atj 4- • • • 4- anjtAnj ,

(5.13)

der vi har utviklet etter j-te kolonne. Før vi går videre, la oss se på tilfellet n = 3 og utvikle determinanten etter 1. linje. Vi får da (se (5.6)) ai 1

o\ 0 1)

•w

0 0 0 1 0

'

0 0 1 0 0

► £ *

slik at (6.23) gir

—

k

1 1 1

3; 2: -1: -1: 1:

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

°\ 0 0 0 1/

(Kontrollér resultatet ved å beregne A A 1 ved hjelp av partisjonering.)

Nyttige formler Vi avslutter dette avsnittet ved å notere oss to nyttige formler for determinanten til en n x n-matrise A partisjonert som i (6.22).

6.6 Partisjonering (blokk-deling) av matriser

137

Hvis Ay ' eksisterer, da har vi: l'1) \^2 1

=*•

kt| = IA.I-IA. -44'4.1

(6.25)

^2 2 /

Hvis X”1 eksisterer, da har vi: a=(a"

1”)

\ ^2 1

^2 2 /

=*

I»I = I4.I-M,,-A.A74I

(6.26)

Når det gjelder begrunnelser for disse resultatene henviser vi til oppgave 5.

Oppgaver til avsnitt 6.6 1. Beregn følgende matriseprodukt ved (i) å bruke den vanlige framgangsmåten, (ii) ved å bruke den antydede partisjoneringen j4,3

B2 i

A2 2

2. Beregn følgende matriseprodukt ved å benytte den antydede partisjonering og kontroller ved å regne ut produktet på vanlig måte.

3. Bruk partisjonering til å finne de inverse av følgende matriser

0 0 0 1\ 10 0 1 0 10 1 0 0 10 110 1/

3 0 0\ 2 0 0 | O43I 0

3

/2 0 0 \0

2/

0 0 0 1

0 0\ 0 1 10 0 0/

Mer krevende oppgaver 4. Anta at P og Q er invertible matriser av orden henholdsvis m og n. Vis at da har vi O

QJ

O Q1

138

Kapittel 6: Den inverse til en matrise

(Her er altså A en partisjonert matrise med kvadratiske matriser på “hoveddiago­ nalen” .) 5. (a) Vis at om Alt eller A2, i (6.22) er O-matrisen, da er |A| — |Aj! | • |A231. ( Vink: Bruk definisjonen av en determinant. Jfr. oppgave 5.3.12.)

(b) Bevis (6.26). (Vink: Vis at

A O

-Ai2A;2'\ ( Alt In_k J

A12

A2 2

A12 A 2 2 A 21 >12. '

o A2 2

6. La a.,

(

a„.

der |A|

0. Vis at

(Denne formelen har en fått bruk for bl.a. i økonometri. Bruk resultatene i (6.25) og (6.26).)

7. (a) La A være en n x m-matrise og B en m x n-matrise. Vis at da har vi følgende determinantlikhet: |Z„ + AB\ = \lm + BA\ (Vink: Definer

Da er \I„ + AB\ = |£>E| = \D | |E| = |E| \D | = |E£>| = \Im + BA |, der vi brukte oppgave 5(a).) (b)

Bruk resultatet 1 1

CL 2

til å vise at når a, ,. . . , a„ alle er forskjellige fra 1, da er

1 1

1

- l)(a2 - !)•• 1

1

(c) Bruk resultatet i (b) til å teste resultatene i oppgavene 5.1.8 og 5.3.9.

1 af — 1

Kapittel 7 Basis, dimensjon og rang

I dette kapitlet skal vi studere noen begreper som er sentrale i lineær algebra. Stikkordsmessig dreier det seg om begrepene lineær avhengighet og uavhengighet, underrom, basis, dimensjon og rang.

7.1

Lineær avhengighet og uavhengighet

La oss begynne med å betrakte det generelle lineære likningssystemet

6. b2

(7.1)

Hvis vi innfører vektorene

så kan likningssystemet (7.1) skrives på formen XjHi

4- z2a2

4-------------- 1-

xn a n = b

(7-2)

Uttrykket på venstre side av (7.2) kalles en lineær kombinasjon av vektorene a,, ..., a„. Vi ser nå at problemet å finne eventuelle løsninger av (1.1) er ekvivalent med problemet å finne den (eller de) lineære kombinasjon(ene) av vektorene a,, an som er lik vektoren b. Når fins det flere enn en løsning av (7.2)? Anta at både {x1 ,x2,..., xn) og (x{, x'2,..., x'n) er løsninger, slik at

Xi ai x{ a,

x2 a2 4- x'2 a2 4-

4 4

xn a n = b 4- x'n an = b 4-

140

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Subtraksjon gir (a?! - x' )aj + (x2 - x'2 )a2 + ... + (x„ - x'n )a„ = 0

(*)

La oss sette cx = xx — x[, c2 = x2 — x'2, • • •, cn = xn — x'n. At de to løsningene er forskjellige, er da ekvivalent med at ikke alle cx, c2, ..., cn er 0. Vi slutter at dersom det fins to forskjellige løsninger av (7.2), da fins det tall cx, c2, ..., cn ikke alle lik 0, slik at Cj a! + c2 a2 + • • • + cn an =0. I så fall kaller vi aj, a2, ..., an lineært avhengige. Hvis disse vektorene ikke er lineært avhengige, kalles de lineært uavhengige. Ved hjelp av disse begrepene kan vi formulere resultatet vi kom fram til ovenfor slik:

Setning 7.1 Hvis det fins flere enn én løsning av (7.1), da er kolonnevektorene a,, a2, ..., an lineært avhengige. Eller, ekvi­ valent: Hvis kolonnevektorene aj, a2, ..., an er lineært uavhengige, da har systemet (7.1) høyst en løsning.

Setning 7.1 forteller oss at om at, a2, ..., an er lineært uavhengige, da kan ikke systemet (7.1) ha flere enn én løsning. Uten å vite mer om høyresiden b, kan vi imidlertid, i det generelle tilfellet, ikke vite om det fins løsning i det hele tatt. La oss definere de viktige begrepene lineær avhengighet og uavhengighet uten å knytte definisjonen til systemet (7.1):

De n vektorene ax, a2, ..., a,, i Rm er lineært avhengige dersom det fins tall cx, c2, ... cn, ikke alle er lik 0, slik at

(7.3)

+ c2a2 -I------ Fcna„ =0

Dersom aj, a2, ..., an ikke er lineært avhengige, kalles de lineært uavhengige. Dermed har vi

De ri vektorene at, a2, ..., an i Rm kalles lineært uavhengige dersom Cj ai + c2 a2 + • • • + c„ an = 0 => cx = c2 =

(7.4)

= c„ = 0

Vi ser av (7.4) at en lineær kombinasjon av lineært uavhengige vektorer bare kan være 0-vektoren dersom alle koeffisientene i lineærkombinasjonen er 0.

7.1 Lineær avhengighet og uavhengighet

141

Eksempel 1

/3\ (a) Vis at vektorene a, = I 1, a2

(b) Vis at vektorene a! =

3| \L

a2 —

6 2

er lineært avhengige.

1 2

er lineært uavhengige.

Løsning: (a) I dette tilfellet ser vi at a2 = 2aj, slik at 2a, — a2 =0. Velger vi Cj = 2, c2 = —1, er her + c2a2 = 0 og ifølge (7.3) er a,, a2 lineært avhengige. Figur 2.5 illustrerer situasjonen geometrisk. Vektoren a2 er bare en forlengelse av aj. (b) Likningen cY a] + c2 a2 =0 reduserer seg i dette tilfellet til SCi + c2 = 0 c, + 2c2 = 0 og dette systemet har bare løsningen cx = c2 = 0. Vektorene at, a2 er dermed lineært uavhengige. Tegner vi de to vektorene, ser vi at de “spriker”.

En enkel karakterisering av lineær avhengighet, som kanskje forklarer navnet bedre, er følgende:

Setning 7.2 Vektorene aj,..., an i Rm er lineært avhengige hvis og bare hvis minst en av dem kan skrives som en lineær kombinasjon av de øvrige.

Bevis: (i) Anta først at a,,... an er lineært avhengige. Da vil likningen (^a, + c2a2 H------ F cnan =0

gjelde med minst en av c,-ene forskjellige fra 0. Anta f.eks. at c, løse likningen mhp. a! og få ai

c2 Cl

a2

’

Cn c,

0. Da kan vi

an >

slik at a! er uttrykt som en lineær kombinasjon av de øvrige.

(ii) Anta f.eks. at a, kan skrives som en lineær kombinasjon av de øvrige, a, = d2 a2 + d3 a3 + • • • + dn an . Denne likningen kan skrives

(-l)a, + d2a2 + d3a3 H------ F dnan =0 Siden minst en av koeffisientene er ulik 0, er a,,..., an lineært avhengige. ■

142

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Eksempel 2 Som en umiddelbar konsekvens av Setning 7.2 får vi følgende beskriv­ else av når to vektorer er lineært avhengige: To m-vektorer aj og a2 er lineært avhengige hvis og bare hvis en av vektorene, f.eks. a,, kan skrives som et tall ganger den andre: a! = ca2. Hvis c / 0 kalles slike vektorer parallelle.

Lineær avhengighet og uavhengighet i R3 For å få en bedre føling med hva begrepene lineær kombinasjon og lineær avhengighet og uavhengighet egentlig innebærer, skal vi se på en geometrisk beskrivelse av begrep­ ene for vektorer i R3. Vi tenker oss nå alle vektorer representert ved piler som starter i origo. La ax, a2 0 være to ikke-parallelle 3-vektorer og la n være en 3-vektor som står ortogonalt på både a! og a2. (For de som har lest avsnitt 2.5: en kunne velge n som kryssproduktet a, x a2.) Vi ser at planet gjennom a! og a2 består av alle x = (x,, x2, x3) (oppfattet som en vektor som begynner i origo og ender i punktet (x,, x2, x3)) slik at x • n = 0. Spesielt er aj • n = a2 • n = 0. Er cx, c2 vilkårlige tall, følger det da også at (cj aj + c2a2) • n = c1 a, • n + c2a2 • n = 0, slik at enhver lineær kombinasjon av a,, a2 også ligger i dette planet. (Se figur 7.1.)

Hvis omvendt x er en vektor i planet gjennom og a2, da ser vi av Fig. 7.2 at vi kan finne tall og t2 slik at x = tx+ t2 a2. Samlet har vi altså:

Hvis 3-vektorene a, og a2 representeres som piler med start i origo, da består planet gjennom dem akkurat av de x som kan skrives som lineære kombinasjoner av a, og a2.

(7.5)

La nå a!, a2, a3 være 3 vektorer i R3. I følge Setning 7.2 er de lineært avhengige hvis og bare hvis en av dem, f.eks. a3, kan skrives som en lineær kombinasjon av de to andre: a3 — c, a1 T c2 a2

7.1 Lineær avhengighet og uavhengighet

143

Dette betyr nettopp at a3 ligger i planet gjennom a! og a2. Altså:

Tre vektorer i R3 er lineært avhengige hvis og bare hvis de ligger i samme plan. Tre vektorer i R3 er lineært uavhengige hvis og bare hvis det ikke finnes noe plan som går gjennom alle tre vektorene (vektorene “spriker maksimalt”)-

(7-6)

Figurene 7.3 og 7.4 gir en geometrisk illustrasjon av (7.6).

a, , a2 og a3 er lineært avhengige.

a, , a2 og a3 er lineært uavhengige.

Figur 7.3

Figur 7-4

Et determinantkriterium for lineær uavhengighet Anta at vi studerer n vektorer i Rn, a{, a2,..., an, og la matrisen A være den som har disse n vektorene som kolonner:

(7.7)

144

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Vi kan da vise følgende setning:

Setning 7.3 Gitt n vektorer aj,..., an i Rn og la A være n x n-matrisen med disse vektorene som kolonner. Da har vi:

a!,..., an er lineært uavhengige |A|

0

Bevis-, aj, • • •, an er lineært uavhengige hvis og bare hvis likningen x1 ar 4- x2 a2 4------ 1- xn an = 0

(*)

bare har den trivielle løsningen xx = x2 = • ■ ■ = xn =0. Likning (*) er ekvivalent med likningsystemet (6.17) i Setning 6.5 og denne setningen viser at (6.17) bare har den trivielle løsningen hvis og bare hvis |A| / 0. ■

Merknad: I tilfellet n = 3 gir tolkningen i figur 5.3 en geometrisk forklaring på Setning 7.3. Hvorfor?

Oppgaver til avsnitt 7.1 U ttrykk

som en lineærkominasjon av

og

2. Avgjør hvilke av følgende par av vektorer som er lineært uavhengige. (b)

(c)

2\ • Z°\ 1 1 og I 1 I er lineært uavhengige. (Bruk Setning 7.3.)

(

0/

\1 /

4. Vis at vektorene (1,1,1), (2,1,0), (3,1,4) og (1,2,—2) er lineære avhengige. 5. Hvis a, b og c er lineært uavhengige vektorer i Rm , vis at også a + b, b + coga + c er lineært uavhengige. Er det samme tilfelle for a — b, b 4- c, a + c? 6. Vis følgende setninger: (a) Hvis en mengde vektorer er lineært avhengig, så er enhver større mengde (dvs. en­ hver mengde som inneholder den opprinnelige) også lineært avhengig. (b) Hvis en mengde vektorer er lineært uavhengig, så er enhver delmengde (dvs. enhver mengde som er inneholdt i den opprinnelige) også lineært uavhengig.

1.2 Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer.

145

Mer krevende oppgaver 7. (a) Anta at a, b, c G R3, alle forskjellige fra 0, og at a 1 b, b 1 c, a 1 c, Vis at da er a, b, c lineært uavhengige.

(b) Anta at at ,..., a,„ er n-komponent vektorer, alle forskjellige fra 0. Anta at a, J_ a, for alle i / j. Vis at a,,..., am er lineært uavhengige.

7.2

Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer

I dette avsnittet skal vi vise noen resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer som har umiddelbare konsekvenser i teorien for lineære likningssystemer. Vi skal også innføre det sentrale begrepet underrom.

Et viktig begrep La ax,..., an være vektorer i Rm . Mengden av alle vektorer som kan skrives som en lineær kombinasjon av aj,... an betegnes med Sp ,..., an ] og vi kaller denne mengden rommet utspent (eller generert) av at,..., a„ . Altså:

Sp [aj,..., an ], rommet utspent (eller generert) av a!, ..., an, er mengden av alle vektorer som kan skrives som lineærkombinasjoner av at,..., a„ .

(7.8)

Legg merke til at det å spørre om det fins en løsning av (7.2) er det samme som å spørre om vektoren b er med i mengden Sp [at,..., an ].

Eksempel 1 La a!, a2 være to lineært uavhengige vektorer i R3, tolket som piler med start i origo. Vi ser da av (7.5) at Sp [aj, a2] er planet gjennom vektorene aj og a2. Tilsvarende kan vi når a er en 3-vektor, tolke Sp [a] som den rette linjen gjennom 3-vektoren a betraktet som en pil med start i origo. Eksempel 2 La nå aT, a2, a3 være 3 vektorer i R3 som ikke ligger i samme plan. Ved hjelp av figur 7.5 ser vi at da kan enhver 3-vektor x skrives som en lineær kombinasjon av a,, a2, a3:

x — t] 3]

i2 a2 T t3 a3

146

Kapittel 1: Basis, dimensjon og rang

Bruker vi (7.6), kan dette resultatet formuleres slik:

Hvis a,, a2, a3 er tre lineært uavhengige vektorer i R3, så er Sp[a,,a2,a3] = ff

(7.9)

Vi skal se at resultatet i (7.9) kan generaliseres til å gjelde for m lineært uavhengige vektorer i Rm . (Se Setning 7.12 (a).) Vi må imidlertid gjøre endel forarbeid før vi kan få frem denne viktige setningen.

Fimdamentalsetningen for lineær avhengighet La oss først formulere en enkel utvidelse av den ene delen av Setning 7.2.

Setning 7.4 La y\ , ..., y, og z,, ..., z, være vektorer i Rm . Anta at y,, ..., y, er lineært uavhengige og at y,, ..., y,, z,, z_, er lineært avhengige. Da finnes (minst) en av z-ene, kall den z(, som kan skrives som en lineærkombinasjon av de øvrige vektorene yx, ..., y4, . .zt_x, zl+ x, ..., z,.

Beviset er tilsvarende beviset for den ene delen av Setning 7.2 og overlates leseren. (Begynn slik: Anta at c^y, + ••• + a,y, + Azi + ••• + Az> = der ikke alle koeffisientene er 0. Hvorfor er da minst en (3t forskjellig fra 0?)

7.2 Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer.

147

Ved å bruke Setning 7.4 gjentatte ganger, kan vi nå vise følgende viktige resultat, kalt fundamentalsetningen for lineær avhengighet:

Setning 7.5 Anta at n vektorer i R™ utspenner et rom G som inneholder k lineært uavhengige vektorer. Da er k < n.

Bevis: La vektorene z, , ..., z„ utspenne G og la y, , ..., yk være lineært uavhengige vektorer i G. Da følger det umiddelbart at

G = Sp [y, ,z,,..., z„ ]

(1)

Dessuten har vi følge Setning 7.2 at y, , z,, . . ., zn er lineært avhengige, siden y, kan skrives som en lineær kombinasjon av z,, ..., z„ . Bruker vi nå Setning 7.4 (samt resultatet i oppgave 7.1.6(b) som sikrer at {y, } alene er lineært uavhengig), slutter vi at det finnes en z, (der 1 < j; < n)som kan skrives som en lineær kombinasjon av y, og resten av z-ene. Vi kan anta at nummereringen av z-ene er slik at det er vektoren z, som oppfyller dette. De vektorene i R'n som kan skrives som en lineær kombinasjon av y, og z, , ..., z„ kan da også skrives som en lineær kombinasjon av y, , z2, . . . , z„ , slik at G = Sp[y,,z2,...,zn]

(2)

Vi fortsetter ved å påpeke at siden y2 E G, følger det av (2) og Setning 7.2 at y, , y2 , z2, z3, ... , z„ er lineært avhengige. Vektorene y, , y2 er lineært uavhengige, og bruker vi igjen Setning 7.4, vet vi at det finnes en z, (2 < t < n) som kan skrives som en lineær kombinasjon av y> > Ya °g resten av z-ene. Antar vi at det er z2 som oppfyller dette, får vi G = Sp[y,,y2,z3,...,zn]

Slik fortsetter vi. For hver gang vi gjør denne prosessen, skifter vi ut en z, med en y,. Anta at k > n. Da kan vi fortsette prosessen helt til alle z-ene er “brukt opp” og vi har da G = Sp[y,,y2,...,yn] Men nå ery„+1 E G, slik at y,1+1 kan skrives som en lineær kombinasjon av y, , ..., y„ . Dette strider mot at y,, ..., y* er lineært uavhengige. Antakelsen om at k > n fører altså til en selvmotsigelse. Derfor må k < n, og beviset er fullført. ■

Setning 7.5 har mange viktige konsekvenser. En av dem er et fundamentalt resultat når det gjelder likningssystemer. Vi skal utlede det ved å bruke Setning 7.5 på en spesiell mengde vektorer i Rm .

148

Kapittel 1: Basis, dimensjon og rang

Enhetsvektorene e,,..., em i R": er vektorene

Vi ser at

+ rr2e2 4------ 1- xm em

Enhver vektor i Rm kan altså skrives som en lineær kombinasjon av ej,..., em , slik at Sp [ei,..., em ] = Rm . Videre ser vi at om lineær kombinasjonen (*) er 0, da må alle Xi,..., xm være 0. Dermed er ej,..., em lineært uavhengige. De m enhetsvektorer i Rm utspenner altså Rm . Hvis derfor at,..., a„ er lineært uavhengige vektorer i Rm , da følger det av Setning 7.5 (G = R™ ) at n < m. Vi kan også formulere resultatet slik:

n vektorer aj,... an i Rm er alltid lineært avhengige når n > m.

(7-10)

Hvis aj,..., an er vektorer i Rm og n > m, da kan vi altså alltid finne tall xx,..., xn , ikke alle lik 0, slik at

^a, 4- x2a2 4------ 1- xnan =0 Uttrykker vi dette som et resultat om likningssystemer, har vi at et homogent lineært likningssystem ((7.1) med 5, = • • ■ = bm =0) med flere ukjente enn likninger alltid har minst en løsning forskjellig fra null-løsningen. Men om (x°,..., x°n) er en løsning av et slikt homogent system, da er også (kx°,..., kx°n ) en løsning for alle tall k. Alt i alt har vi derfor følgende resultat:

Setning 7.6 Et homogent lineært likningssystem med flere ukjente enn likninger har alltid uendelig mange løsninger.

7.2 Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer.

149

Underrom Et begrep som er naturlig (og nyttig) i forbindelse med lineærkombinasjoner av vektorer er begrepet underrom:

Underrom En ikke-tom delmengde V av vektorer i Rm kaller vi et underrom av Rm hvis det for alle aj, a2 i V og alle tall Cj, c2 gjelder at lineærkombinasjonen a = Ci a, + c2 a2

er med i V.

Det følger av definisjonen at hvis V er et underrom av Rm , så er enhver lineærkombinasjon av et endelig antall vektorer i V igjen en vektor i V. Vi ser også at definisjonen like gjerne kunne vært formulert slik: V er et underrom hvis og bare hvis a, + a2 G V ca G V

for alle ai, a2 € V for alle a G V og alle tall c

(1) (2)

Eksempel 3 La P være et plan i R3 gjennom origo. La V bestå av alle vektorer i R3 som (når startpunktet er origo) ligger i planet P (null-vektoren medregnet). Da er V et underrom av R3.

Eksempel 4 La L være en rett linje i R2 gjennom origo. La V bestå av alle vektorer i R2 som (når startpunktet er origo) ligger på linjen L (nullvektoren medregnet). Vi ser at V er et underrom av R2. Eksempel 5 Mengden W av alle vektorer i R2 med startpunkt i origo og lengde høyst lik 1 (dvs. sirkelskiva om origo med radius 1) er ikke et underrom av R2. F.eks. er a = (1, 0) G W, men 2a = (2, 0) W. Se figur 7.6.

Figur 1.6

150

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Det neste eksemplet er så viktig at vi formulerer det som en setning:

Setning 7.7 Mengden V av alle løsninger (x,,..., xn ) G Rn av et ho­ mogent lineært likningssystem x, a, 4-x2 a2 4------ |-rrnan=O,

(*)

der aj, a2. an G Rm , danner et underrom av Rn .

Bevis: Hvis x = .., xn ) og y = (?/, ,..., yn ) er to løsninger av (*) og c og d er reelle tall, da er cx 4- dy også en løsning av (*), siden (cx1 + dy1)a1 4- • • • 4- (cxn -I- dyn )a„ =c(x> a, + • • • + a„ ) + d(yx a, + • • • + yn an ) = 0 ■

Eksempel 6 La . ,a, være vektorer i R™ . Rommet V utspent av a,,..., a71, dvs. V = Sp [aj,..., an ], er da alltid et underrom av Rm . Hvis nemlig a = Cj a, 4- • • • 4- cn aTl

og

b = d, a, 4- • • • 4- dn an

er to vektorer i V og r, s er reelle tall, så er

ra 4- sb = (rc, 4- sdx )a, 4------ 1- (rcn 4- sdn )a„ G V

Legg merke til at hvis vi velger begge konstantene c,,c2 lik 0 i definisjonen (7.11), får vi at 0 alltid er med i et underrom. En delmengde av Rm som ikke inneholder null-vektoren, kan derfor ikke være et underrom. Derfor er f.eks. mengden av vektorer i R3 (oppfattet med origo som startpunkt) som ligger i et plan som ikke går gjennom origo, ikke et underrom av R3.

Underrom av abstrakte vektorrom Underromsbegrepet er også nyttig i forbindelse med de abstrakte vektorrommene, definert i avsnitt 2.1. Definisjonen er den samme:

En delmengde V av et reelt (henholdsvis komplekst vektorrom) X er et underrom av X hvis for alle a, , a2 G V og c, , c2 reelle tall (henholdsvis c, , c2 komplekse tall) er lineærkombinasjonen o — Cj

igjen med i V.

cl i

C2

a>2

1.2 Resultater om lineært avhengige og uavhengige vektorer.

151

Eksempel 7

La F være vektorrommet av reelle funksjoner definert over et intervall I på tall-linjen, som omtalt i Eksempel 3 i avsnitt 2.1. La C være mengden av kontinuerlige reelle funksjoner pa I. Da er C et underrom av F. Begrunnelsen er at en lineær kombinasjon av to kontinuerlige funksjoner igjen er en kontinuerlig funksjon. På samme måte er f.eks. mengden D av kontinuerlig deriverbare reelle funksjoner pa I et underrom av F. En nyttig observasjon er at en delmengde V av et vektorrom X er et underrom av X hvis og bare hvis mengden V selv danner vektorrom når den “arver” de to abstrakte operasjonene “addisjon” og “mul­

tiplikasjon” fra X. I eksemplet ovenfor vil altså mengden av kontinuerlige, reelle funksjoner selv danne et vektorrom under operasjonene (*) i Eksempel 3 i avsnitt 2.1.

Oppgaver til avsnitt 7.2 1. Redegjør for at vektorene (1,2), (—2, 3) og (1,1) utspenner R3, men at de ikke er lineært uavhengige. Vis at vektoren (3,4) kan skrives som en lineær kombinasjon av disse tre vektorene på mer enn en måte.

2. Betrakt de to likningssystemene (6, , b2, b3 vilkårlige reelle tall)

(i)

3x. + x2 = b, x2 x2 4- 2x3 — b2 2x, + 3x2 — x3 = b3

3\ 1 I, 2/ Hva kan en på grunnlag

(

x, (ii)

4-

3x2 4- 5x3 = 6, 4- 2x3 — b2 x2 + x3 = b3

/ 1\ / 0\ I -1 I, I 2 knyttet til (i) er lineært uavhengige i R3. \ 3/ \-l / av det si om likningssystemet (i)?

(b) Besvar det tilhørende spørsmålet knyttet til systemet (ii). 3. La a, b, c være lineært uavhengige vektorer i R" og sett V = Sp[a,b,c]. Vis at

(a) Sp [a , a + b , a + b + c ] = V ,

(b) Sp [c , a + b , a + b + c ]

V

4. La U og V være underrom av Rm . (a) Vis at U D V igjen er et underrom av Rm . (b) Gi et eksempel som viser at U U V ikke alltid er et underrom av Rm . 5. La U og V være underrom av R ' . Definer U 4- V som mengden av alle vektorer på formen u 4- v; der u € U, v E V.

(a) Vis at U 4- V er et underrom av Rm . (b) Beskriv U 4- V når U = Sp [(1,0, 0) ] C R3, V = Sp [ 0 , x2 >0}

(b)

B = R3 — {(1, 1)} (£? er hele planet unntatt punktet (1,1).)

(c)

C = {(i, , x2) : x, =0 eller x2 = 0}

152

Kapittel 1: Basis, dimensjon og rang

7. La U = Sp [(1,2,0), (0,1,1)] C R3 og la U3 bestå av alle vektorer som står ortogonalt på alle vektorene i U:

U3 = {x G R3 : x • u = 0

for alle u G U}

(a) Vis at U3 er et underrom av R3. (b) Begrunn at hvis x • (1,2,0) = x • (0, 1,1) = 0 så er x G U3 .

(c) Beskriv alle vektorene i U3 . 8. La U være et vilkårlig underrom av Rm og definer

U3 = {x G Rm : x • u = 0

for alle u G U}

(a) Vis at U3 er et underrom av Rm . (b) Vis at U DU1 = {0}.

7.3

Basis og dimensjon

Vi vil nå studere nærmere mengder av vektorer i Rm som utspenner et gitt underrom V av Rm , men er mest interessert i slike mengder med færrest mulig vektorer. Anta at a!, ..., a* utspenner V og at a,, at er lineært avhengige. Da fins det minst én av vektorene, f.eks. a!, som kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av de øvrige: a, = c2a2 4----- be* ak. Men da er det klart at allerede vektorene a2, ..., afc utspenner V. Dette viser at en minimal samling av vektorer som utspenner V må være lineært uavhengig. Motivert av disse betraktningene innfører vi følgende definisjon.

En basis for et underrom

La V være et underrom av Rm . En samling vektorer aj, ..., an i V kalles en basis for V dersom

(1)

a,,..., a„ er lineært uavhengig og

(2)

Sp [a,,..., a„ ] = V

(7-12)

Et viktig spesialtilfelle får vi ved å velge V = R™ . Da har vi allerede sett et eksempel på en basis for Rm , nemlig enhetsvektorene ej, ..., em . Vi skal snart se at det finnes mange andre. Først et fundamentalt, men enkelt resultat:

Setning 7.8 La a!, ..., an være en basis for et underrom V av Rm . Da kan enhver vektor b i V skrives entydig som en lineær kombinasjon av a,, ..., an .

7.3 Basis og dimensjon

153

Bevis: At b kan skrives som en lineær kombinasjon av aH ..., a„ følger av defin­ isjonen av en basis. Entydigheten følger av Setning 7.1. ■

Et hjelperesultat som vi kommer til å få mye bruk for i de kommende resonne­ menter, er følgende:

Setning 7.9 La aj, ..., ak være lineært uavhengige vektorer i Rm og anta at a er en vektor i Rm som ikke er med i Spfaj, ..., afc ]. Da er a, aJ5 ..., a*. også lineært uav­ hengige.

Bevis: Anta at coa +

+ • • • + cfcafc =0. Hvis c. / 0, gir dette

c0 • som betyr at a 6 Sp [aj,..., afc ], en motsigelse. Derfor er c0 = 0, og dermed cx aj + • • • + ck ak =0. Siden ax, ..., afc er lineært uavhengige, må da Cj = • • • = ck = 0 . ■ Co

Vi er nå klare for to fundamentale resultater.

Setning 7.10 Ethvert underrom V £ {0} av Rm har en basis.

Bevis: Velg a! 0 i V. Hvis V = Sp[aj ], er a, en basis og vi er framme. Hvis V / Sp [ai ], så vi kan velge a2 € V — Sp [aj ]. Da er a,, a2 lineært uavhengige, pga. Setning 7.9. Derfor, hvis V = Sp[a1?a2 ], er at, a2 en basis og vi er framme. Hvis V ø Sp [at, a2 ], velger vi a3 € V — Sp [ai, a2 ]. Da er a!, a2, a3 lineært uavhengige osv. Siden n vektorer i Rm alltid er lineært avhengige når n > m (se (7.10)), må denne prosessen stoppe en gang, slik at for en k < m må vi ha at a., ..., ak er lineært uavhengige og V = Sp [at,..., afc ]. Dermed er aH ..., at en basis for V. ■

Setning 7.11 La V være et underrom av Rm . To basiser for V har alltid like mange elementer.

Bevis: Hvis a,, ..., an og bt, ..., bfc er to basiser for V, så er både k < n og n < k på grunn av Setning 7.5. Derfor er k = n. ■

154

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Antallet elementer i en basis for et underrom er ifølge Setning 7.11 det samme uansett hvilken basis vi velger. Dette antallet kalles dimensjonen til underrommet. Altså:

Dimensjonen til et underrom V av Rm er antallet ele­ menter i en basis for V, når V {0}. (Hvis V = {0} defineres dimensjonen til V som 0.) Dimensjonen til V betegnes med dim V.

Eksempel 1 en basis.

(7-13)

Dimensjonen til Rm er m siden enhetsvektorene ej, ..., em danner

Eksempel 2 Dimensjonen til et plan i R3 gjennom origo (dvs. dimensjonen til underrommet V av alle vektorer som ligger i dette planet) er 2. Velg nemlig 2 ikkeparallelle vektorer ai, a2 i dette planet. Da er at, a2 lineært uavhengige og V = Sp [aj, a2 ] slik at aj, a2 er en basis for V. Tilsvarende ser vi at dimensjonen til en rett linje i R3 gjennom origo er 1. Eksempel 3 Hvis aj, ..., an er lineært uavhengige vektorer i Rm , så er dimensjonen til Sp [aj,..., an ] lik n. Hvis vi ikke krever lineær uavhengighet av , ..., a„, kan vi bare slutte at dimensjonen til Sp [at, ..., a„ ] er høyst n. (Hvorfor?).

Hvis underrommet V av Rm har dimensjon n, viser det seg at for en samling med n vektorer i V er egenskapene (1) og (2) i (7.12) hver for seg tilstrekkelige til at samlingen utgjør en basis:

Setning 7.12 La underrommet V av Rm ha dimensjon n. (a) Enhver samling på n lineært uavhengige vektorer i V danner en basis for V.

(b) Enhver samling på n vektorer i V som utspenner V danner en basis for V.

7.3 Basis og dimensjon

155

Et viktig spesialtilfelle har vi når V = Rm :

Setning 7.13 (a) Enhver samling på m lineært uavhengige vektorer i Rm danner en basis for Rm .

(b) Enhver samling på m vektorer i Rm som utspenner Rm danner en basis for Rm .

Bevis for Setning 7.12: (a) La aj, ..., an være lineært uavhengige vektorer i V. Anta at Sp [at,..., a„ ] / V. Da fins det en vektor a i V som ikke er i Sp [aj, ..., a„ ]. Det følger av Setning 7.9 at da må a, , ..., an være lineært uavhengige. Men da har vi n + 1 lineært uavhengige vektorer i rommet V som er utspent av n vektorer (siden dimensjonen til V er n). Dette strider mot Setning 7.5. Derfor er Sp [aj,..., an ] = Vog aj,..., an er dermed en basis for V.

(b) La aH.,ari utspenne V. Anta de var lineært avhengige. Da ville det finnes tall Cj,..., cn , ikke alle lik 0, slik at Cj a, H------ I- c„ an =0. Anta f.eks. at cn / 0. Da finner vi at Cj

Cn — !

an —! ,

* Cn

Cn

slik at an € Sp [a!,..., an _j ]. Men da vil allerede de n — 1 vektorene ai, ..., an_j utspenne V. Dette strider mot Setning 7.5, siden V har dimensjon n og derfor inneholder de n lineært uavhengige vektorene i en basis. Antakelsen om at a,, ..., a,, var lineært avhengig må derfor forkastes. Derfor er alt ..., a,, lineært uavhengig og dermed en basis. ■

Fra tid til annen får vi også bruk for følgende resultat:

Setning 7.14 La U og V være underrom av Rm . Anta at U C V og at dimt/ = dim V. Da er U = V.

Bevis: La n = dim £7 = dimV. En basis for U har da n elementer og de er lineært uavhengige. Dermed er det også basis for V, pga. Setning 7.12. Men to underrom som har samme basis må være identiske. ■

La oss se på et eksempel på bestemmelse av dimensjonen av et underrom.

156

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

Eksempel 4

La a med komponenter a, , a„ være en vektor forskjellig fra 0-vektoren i R" og la U være mengden av alle vektorer x med komponenter x,, ..., xn slik at skalar­ produktet x • a er 0:

x • a — x, a, + • • • + xn a„ =0 U er da et hyperplan gjennom origo

Rn med a som normalvektor. (Se avsnitt 2.6.).

Hvis n = 3, vet vi fra Eksempel 2 at dim U = 2. Hva med det generelle tilfellet? Vi påstår at vi generelt har at dim U = n — 1. Fra Setning 7.7 (med m = 1) vet vi at 17 er et underrom av Rn . Hvis f.eks. a, 0, så er den i-te enhetsvektoren e, i Rn ikke med i U siden x • e, = a, 0. Derfor er U j R" slik at dim U < n — 1.

For å vise at dimensjonen til U ikke kan være lavere enn n — 1, skal vi konstruere n — 1

lineært uavhengige vektorer i U. For j i (der vi fremdeles antar at a, / 0), 1 < j' < n, la z, E R" ha koordinat nr. j lik 1, koordinat nr. i lik —a,/a,, de øvrige lik 0. Da er z, • a = 1 • a, — (a,/a,)a, = 0, slik at alle de n — 1 Zj-ene ligger i U. Disse vektorene er dessuten lineært uavhengige: Vektoren z = Yj" t # , c; har koordinat nr. j lik c, og koordinat nr. i lik ( — 1 /a,) Y? c, a,. Skal z være 0-vektoren, må derfor alle c, være 0. Dermed har vi påvist at dimensjonen til U minst må være n — 1. Dermed er dim U = n — 1

Oppgaver til avsnitt 7.3 1. For hver av følgende mengder av vektorer skal en (ikke nødvendigvis i den antydede rekkefølgen) (i) karakterisere rommet utspent av vektorene, (ii) avgjøre om vektorene er lineært uavhengige eller avhengige, (iii) avgjøre om de danner en basis for R7, R3 eller R'.

(a) (1,2), (-2,-4)

(b)

(1,2), (3,5)

(c) (1,2), (3,5), (2,1) (d)

(1,2,0), (3,0,1), (0,1,0)

(e) (2,3,4), (1,0,-1) (f) (2,0,0,0), (0,4,0,2), (3,0,-1,5), (-1,0,2,3)

7.3 Basis og dimensjon

2\ 2 ) danner en basis for R3.

-1\ / 3\ / 2 j, I —1 I og I

(

\

157

\-2 /

0/

3. (a) For hvilke verdiet av t danner

en basis for R3 ?

(b) For hvilke verdiet av t danner 3\ 0 j ,

Zl\ 12 1

t/

\1 /

/t\ I 0 I

og

\3/

en basis for R3 ?

4. (S 1969)

(a) Hvilke krav må en legge på konstantene a og b for at vektorene

Z3\ I 0 j ,

\a/

Z-l\ I 2 j

\

og

2/

/ I —1 j \

0/

skal være lineært uavhengige? (b) Sett

3-1 0 2

(

1

2

2\ -i I

0/

Beregn A~ 1, (A')" 1 og A3.

(c)

Anta at vektorene a, , a2, ..., a„ danner en basis for Rn . Vis at dersom b en vektor i R" slik at

0 er

a, • b = a2 • b = • • • = an _ , • b = 0 , da danner vektorene a,, a2, .. ., a„ _ ,, b en basis for R" . 5. I denne oppgaven skal vi beskrive alle underrom V av Rn . Begrunn påstandene ned­ enfor:

(a) Hvis dim V = 0, så er V = {0}. (b) Hvis dim V = 1, så fins det en a E V slik at V = Sp [a]. Med andre ord: V er en rett linje gjennom origo.

(c) Hvis dim V = 2, så fins det vektorer a,, a2 EV lineært uavhengige, slik at V = Sp[a!,a2 ]. Med andre ord: V er et plan gjennom origo. (d) Hvis dim V — 3, så er V = R3.

6. La U — Sp [(1,2, 0), (0,1,1) ] C R3 og U3' = {x E R3 : x • u = 0 for alle u E U} som i oppgave 7.2.7. Bestem dim U og dim([7± ).

158

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

7. Finn en basis for løsningsrommet til likningssystemet

x, + x, — x3 = 0 x, — x, + 3x3 = 0 ,

f.eks. ved først å forenkle systemet ved hjelp av elementære linjeoperasjoner. 8. For hvilke a og b er dimensjonen til løsningsrommet til følgende system lik 1? x, + 2x, — x, = 0 3x, + 5x2 + x3 = 0

2x, + ax, 4- bx, = 0

7.4

Rangbegrepet

La A være en vilkårlig m x n-matrise. Vi kan oppfatte A som bestående av n kolonnevektorer, hver med m komponenter. Det største antallet slike kolonnevektorer i A som er lineært uavhengige, kalles rangen til A og betegnes med r (A).

r(j4) er det maksimale antallet lineært uavhengige kolonne­ vektorer i matrisen A. Er A spesielt O-matrisen, setter vi r(?l) = 0.

(7-14)

En annen, ekvivalent formulering er følgende: La kolonnerommet til matrise A være rommet utspent av kolonnevektorene i A. Da gjelder:

Setning 7.15 r(A) er lik dimensjonen til kolonnerommet til A.

Bevis: La V betegne kolonnerommet til A. Sett k = r(A). Hvis at, ..., ak er et mak­ simalt sett med lineært uavhengige kolonnevektorer i A, så er enhver kolonnevektor med i Sp [aj t , afc ], på grunn av Setning 7.9. Dermed er V = Sp [ai, ..., a* ], slik at aj, ..., afc er en basis for V og k = dim V, som påstått. ■

Til enhver matrise A har vi på denne måten tilordnet et ikke-negativt helt tall r(A). Det viser seg at i mange forbindelser gir rangen til en matrise meget viktig informasjon om matrisen. Spesielt skal vi se at begrepet er sentralt i forbindelse med hovedsetning­ ene om lineære likningssystemer.

1.4 Rangbegrepet

Eksempel 1

159

Matrisen A=

/3 1 \1

1 4 3

1 1 7

2 0 -3

5 8 3

består av 5 kolonnevektorer i R3. De tre første er lineært uavhengige (bruk Setning 7.3), så r(4) > 3. Siden enhver samlig på mer enn 3 vektorer i R3 ifølge (7.10) er lineært avhengige, slutter vi at r(A) = 3.

Eksempel 2 Hvis A = [ao ]nX„ er en kvadratisk matrise, da viser Setning 7.3 at r(A) = n hvis og bare hvis determinanten til A er ± 0. Ovenfor valgte vi å oppfatte en m x n-matrise A som bestående av n kolonnevektorer. Vi kan også oppfatte den som bestående av m linjevektorer. Det viser seg at r(A) også kan karakteriseres som det største antallet lineært uavhengige linjevektorer i A. Inntil dette er bevist, er det imidlerid hensiktsmessig å bruke betegnelsen linjerang på det største antallet lineært uavhengige linjevektorer i A, og betegne dette tallet med rz(A).

Rang og underdeterminanter Før vi viser at r(X) = rz(A), skal vi etablere en nyttig karakterisering av r(A) ved hjelp av underdeterminanter definert som følger: Hvis vi i en matrise A tar bort alle unntatt r linjer og alle unntatt s kolonner, da kaller vi den resulterende r x s-matrise en undermatrise av A. Hvis undermatrisen er kvadratisk av orden r, da kaller vi determinanten til denne undermatrisen en underdeterminant av orden r. Eksempel 3

Det er i følgende matrise /1 0 A= 0 2 \0 2

2 4 2

1\ 2 1/

(i) 4 underdeterminanter av orden 3, som fåes ved å sløyfe en av de 4 kolonnene:

1 0 0

0 2 2 4 2 2

1 0 0

0 2 2

1 2 1

osv.

(ii) 18 underdeterminanter av orden 2, som fåes ved på alle mulige måter å sløyfe en linje og to kolonner. Noen av dem er

1 0

0 2

(her sløyfer vi 3. linje og 3. og 4. fcolonne)

0 2

1 1

(her sløyfer vi 2. linje og 1. og 3. fcolonne)

160

Kapittel 7: Basis, dimensjon og rang

(iii) 12 underdeterminanter av orden 1, som hver består av ett element i matrisen. Sammenhengen mellom rang og underdeterminanter er gitt ved følgende setning:

Setning 7.16 Rangen til en matrise A, r (A), er lik ordenen til den største underdeterminanten i A som er forskjellig fra 0.

Legg merke til at om A er kvadratisk av orden n, da er den største underdeterminanten i A lik |A| selv. Ifølge Setning 7.16 er da r(A) = n hvis og bare hvis |A| / 0. Dette er nettopp innholdet av Setning 7.3. Før vi ser på beviset for Setning 7.16, tar vi for oss noen eksempler på bruk av den. Eksempel 4

/l (a) 0 \0

Finn rangen av følgende matriser: 0 2 2

2 1\ 4 2 2 1/

/-l 0 (6) I —2 2 \ —3 1

2 4 6

1\ 2 | 3/

(c)

/-I 0 2 -2 0 4 \ —3 0 6

1\ 2 I 3/

Løsning: Ingen av matrisene kan ha rang høyere enn 3, siden det ikke fins noen underdeterminanter av orden 4 eller høyere. (a) Rangen er 3 fordi følgende underdeterminant er ± 0:

1 0 0 2 0 2

2 4 2

(b) Her er alle underdetrminantene av orden 3 lik 0, mens (f.eks.)

1 2

0 = 2^0, 2

så rangen er 2. (c) Her er underdeterminantene av orden 3 og 2 er 0. Ikke alle elementene er 0, så rangen er 1.

Eksempel 5

Bestem rangen til følgende matrise for alle verdier av x.

5—x 2 1

2 1—x 0

1 0 1—x

7.4 Rangbegrepet

Løsning: Vi finner at |A| = x(l - x)(x - 6). Hvis x rangen til matrisen 3. Siden underdeterminanten

161

0, x / 1 og x ± 6, da er altså

uansett verdien av x, slutter vi at rangen til matrisen er 2 når x enten er 0, 1 eller 6. Bevis for Setning 7.16 : Vi vil først vise at

r(A) > ordenen til den største underdeterminanten i A som er

0

(1)

La da C være en vilkårlig kvadratisk undermatrise av A med |C| / 0. Fra Setning 7.3 følger det at kolonnene i C er lineært uavhengige. Men da er de tilsvarende kolonnene i A lineært uavhengige siden de består av kolonnene i C pluss muligens noen ekstra koordinater. (Anta f.eks. at C er den kvadratiske undermatrisen av orden k øverst i venstre hjørnet i A. At kolonnene i C er lineært uavhengige, er da ensbetydende med at likningssystemet Oni, 4- ••• + aItxk = 0

4- ••• 4- akkxk — 0

bare har løsningen z, = • ■ • = xk =0. Men da er det åpenbart at også systemet flnZ, 4- • • • 4-

aikxk =0

am i x, 4- • • • 4- am k xk = 0

der jo m > k, bare har løsningen x, = er lineært uavhengige.)

= xk =0. Det følger at de k første kolonnene i A

Det maksimale antallet lineært uavhengige kolonner i A er altså minst like stort som ordenen til en vilkårlig underdeterminant 0, slik at (1) følger. Vi vil dernest vise at den motsatte ulikheten i (1) også gjelder. Anta at r(A) = k, og anta, for å få enkel notasjon, at de k første kolonnene i A, a,, ..., a», er et maksimalt sett med lineært uavhengige kolonner. La B være m x fc-matrisen som består av de k kolonnene a, , ..., a* . Da er r(B) = k. La p være linjerangen til B. Anta, igjen for å få en enkel notasjon, at de p første linjene i B, b, , ..., bp danner et maksimalt lineært uavhengig sett. Da må på grunn av Setning 7.9 de øvrige linjene i B ligge i Sp [b,, ..., bp ]. Ved å utføre elementære linjeoperasjoner på B kan vi derfor oppnå en ny m X p-matrise C som har b, , ..., b„ som de p første linjene og de øvrige linjene lik 0. Siden linjene i B ligger i R", må nødvendigvis p < k, på grunn av Setning 7.5. Vi skal se at også k < p må gjelde. La X være kolonnevektoren med komponenter z, , ... , xk . La D være p X fc-undermatrisen av C, med linjer b, , ..., b„ (dvs. vi sløyfer 0-linjene i C) og la a' , ..., a'k være kolonnene i D. Ved å benytte at løsningsmengden til et lineært likningssystem ikke endres av elementære operasjoner (Setning 4.1), samt at aH ..., a, er lineært uavhengige, får vi z, a', 4- • • • 4- xk ak =

z, a + • • • 4- xk afc =

0 O DX = O ^CX = 0

BX = 0

0 z, = • • • = xk =0

Dette viser at kolonnene a, , . . ., a4 i D er lineært uavhengige og siden de er vektorer i R” (som har dimensjon p), må k