Lecture 4-1 Composantes Symetriques F [PDF]

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CHAPITRE 3 LES COMPOSANTES SYMETRIQUES 3.1 Introduction La méthode des composantes symétriques a été développée pour la première fois en 1918 par L.C.Fortescue. C'est une technique très puissante pour l'analyse des systèmes triphasés déséquilibrés. Cette méthode définit une transformation linéaire des composantes de phase en un nouveau système de composantes dites ''composantes symétriques''. L'avantage de cette méthode est que pour les réseaux équilibrés triphasés, les circuits équivalents obtenus des composantes symétriques appelés ''schémas équivalents des séquences '', sont séparés en trois circuits indépendants non couplés. Nous verrons par la suite, que pour les réseaux triphasés déséquilibrés, les trois circuits des séquences sont reliés entre eux uniquement au point de déséquilibre. Cela a pour conséquence de rendre assez simple et aisée l'analyse de nombreux problèmes des réseaux triphasés déséquilibrés. Par ailleurs, cette méthode n'est autre qu'une technique de modélisation permettant l'analyse systématique et la conception des réseaux électriques triphasés. Le fait de découpler un réseau triphasé détaillé en trois réseaux simples des séquences, permet d'exprimer en termes beaucoup plus simples des phénomènes complexes.

3.2 Définition des composantes symétriques Considérons un système triphasé de tensions V a V b V c déséquilibrées, en concordance avec Fortescue. Ces phaseurs tension sont convertis en trois systèmes de composantes comme suit (voir figure 3.1) :  Les composantes de séquence homopolaire qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et de déphasage nul.  Les composantes de séquence directe qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et déphasés entre eux de 120 et de séquence abc.  Les composantes de séquence inverse qui consistent en un système de trois phaseurs de même amplitude et déphasés entre eux de 120 et de séquence acb.

34

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  V cd V ch V bh

V bi

V ah  V h

V bd a) Composantes de séquence homopolaire

V ad V ai

V ai  V i

V ad  V d

V ci

b) Composantes de séquence directe

c) Composantes de séquence inverse

V bh V ah

V ci

Vb

V cd

V bd V bi d) phase A

Vc

e) phase B

V ch

f) phase C

Va Vc Vb g) système triphasé déséquilibré Fig. 3.1 conversion d'un système triphasé déséquilibré en composantes symétriques

Nous utiliserons tout le long de ce chapitre la phase A comme phase de référence. Aussi pour des raisons de simplicité nous omettrons l'indice a dans les expressions symétriques que nous noterons simplement avec les indices h, d et i, comme pour les tensions: V h , V d et V i . Ces grandeurs sont définies par la transformation suivante:

V a  1 1    2 V b   1 a    V c  1 a et

a  11200 

1  V h    a  V d    a 2   V i 

(3.1)

1 3 j 2 2

(3.2)

Réécrivons le système d'équations (3.1) en trois équations distinctes :

V a  V h V d V i V b  V h  a 2V d  aV i

(3.3) (3.4)

V c  V h  aV d  a 2V i

(3.5)

35

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  L'opérateur a est un nombre complexe d'amplitude 1 et de 120° de déphasage. Si on multiplie par a tout phaseur, cela entraîne une rotation de 120° de ce phaseur, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Le produit par a2 de la même manière entraîne une rotation de 240°. Voici les principales identités utilisant l'opérateur a :

a4 = a =1 120° a2 = 1 240° a3 = 1 0° 1+a +a2 = 0 1 – a = 3 –30° 1 – a2 = 3 30°

a2 – a = 3 270° ja = 1 210° 1+a = –a2 = 1 60° 1+a2 =–a=1 –60° a+a2 =–1=1 180°

Le système d'équations (3.1) peut être écrit de manière plus compacte en définissant les vecteurs suivants:

Vp vecteur des phaseurs tensions : Va    V p  V b    Vc 

(3.7)

Vs vecteurs des composantes symétriques : V h    Vs  V d     V i  A matrice de transformation :

1 1 A  1 a 2 1 a

(3.8)

1 a  a 2 

(3.9)

L'inverse de la matrice de transformation A est :

1 1 1 A  1 a 3 1 a 2 1

1 a 2  a 

(3.10)

La matrice A-1 de la relation (3.10) peut être vérifiée en effectuant le produit A A-1 qui doit être égal à la matrice identité. Aussi en multipliant la relation (3.9) par A-1 nous obtenons:

36

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

A1 V p  A1 AVs

(3.11)

Vs  A1 V p A l'aide des relations (3.6), (3.7) et (3.10), l'équation (3.11) devient:

V h  1 1   1 V d  = 1 a   3 2 1 a  V i 

1  V a    a 2  V b    a  V c 

(3.12)

Réécrivons l’équation (3.12) en trois équations indépendantes:





1 V a V b V C 3 1 V d  V a  aV b  a 2V C 3 1 V i  V a  a 2V b  aV C 3 Vh 

(3.13)





(3.14)





(3.15)

Nous remarquons à partir de l'équation (3.13) qu'il n'y a pas de tension homopolaire pour un système triphasé équilibré, car la somme des phaseurs équilibrés est nulle. Dans un système triphasé déséquilibré la transformation en composantes symétriques des tensions simples donne toujours lieu à l'existence de la composante homopolaire. Par contre, celle des tensions composées ne donne jamais lieu à l'existence de la composante homopolaire, car par l'application de la loi des mailles de Kirchhoff, leur somme est nulle. De la même manière, la transformation en composantes symétriques s'applique aux courants:

I p  AI s où

(3.16)

Ip est le vecteur des phaseurs courants et Is le vecteur des composantes symétriques :  Ia    I p  Ib     I c  Ih   Is   I d     I i 

(3.17)

(3.18)

Nous avons aussi

I s  A 1 I p

(3.19)

Les équations (3.16) et (3.19) peuvent être réécrites sous forme de trois équations indépendantes de la manière suivantes :

37

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  courants de phases :

Ia  Ih  Id  Ii I b  I h  a2 I d  a I i I c  I h  a I d  a2 I i

(3.20) (3.21) (3.22)

courants par composantes symétriques: 1 Ih  Ia  Ib  IC (3.23) 3 1 Id  I a  a I b  a2 I C (3.24) 3 1 Ii  I a  a2 I b  a I C (3.25) 3 Dans un système triphasé relié en étoile, le courant de neutre I n est la somme des courants de ligne I n  Ia  I b  Ic (3.26)













En comparant les relations (3.26) et (3.23), nous obtenons:

In  3Ih

(3.27)

Le courant du neutre vaut trois fois le courant homopolaire. Dans un système équilibré triphasé relié en étoile les courantes de lignes n'ont pas de composantes homopolaire, puisque le courant de neutre est nul. Il en découle, que pour tout système triphasé sans neutre (par exemple, triangle ou étoile sans conducteur de neutre), les courants de lignes n'ont pas de composantes homopolaires.

3.3 Transformation symétriques

des

impédances

des

charges

en composantes

La figure 3.2 ci-dessous représente une charge triphasée équilibrée reliée en étoile et dont l'impédance par phase est notée Z y , le neutre de cette charge étant relié à la terre au travers d'une impédance Z n .

V at V ct

a

Ia c

Ic

Zy

Zy n

V bt

Ib

b

Zy

t Fig.3.2 Charge équilibrée reliée en étoile

38

Zn

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Selon la figure 3.2, la tension simple entre phase et terre de la phase a est:



 



V at  Z y I a  Z n I n  Z y I a  Z n I a  I b  I c  Z y  Z n I a  Z n I b  Z n I c

(3.28)

On écrira de la même manière les équations des phases b et c:





V bt  Z n I a  Z y  Z n I b  Z n I c



(3.29)



V ct  Z n I a  Z n I b  Z y  Z n I c

(3.30)

Les équations 3.28 à 3.29 peuvent être écrites sous forme matricielle de la manière suivante:

V at   Z y  Z n    V bt    Z n    V ct   Z n

 Ia    Zn  Ib    Z y  Z n   I c 

Zn

Zn

Z y  Zn Zn

(3.31)

Cette équation peut être écrite de manière plus compacte en posant Vp vecteur des tensions simples phase terre, Ip vecteurs des courants de lignes ou de phase, Zp matrice des impédances :

Vp  Z p I p

(3.32)

En utilisant les relations 3.9 et 3.11 dans l'équation 3.32, nous pouvons déterminer la relation liant les composantes symétriques des tensions à celles des courants de la manière suivante:

AVs  Z p AI s

(3.33)

En prémultipliant par A-1 les deux côtés de l'équation ci-dessus, nous obtenons:





Vs  A  1 Z p A I s D’où

Vs  Z s I s

avec

Z s  A 1 Z p A

(3.34) (3.35) (3.36)

La matrice impédance ainsi obtenue Zs est dite "matrice impédance des séquences''. En utilisant les définitions de A, A-1, et Zp nous définissons la matrice impédance des séquences pour une charge équilibrée, reliée en étoile, par la relation suivante:

1 1 1 Z s  1 a 3 2 1 a

1  Z y  Zn  a2   Z n  a   Z n

Zn Z y  Zn Zn

39

 1 1  Z n  1 a  Z y  Z n  1 a 2

Zn

1  a2  a 

(3.37)

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Procédons au produit matriciel de (3.37) en s'aidant de l'identité 1+ a + a2 = 0. Nous obtenons:





 Z y  3Z n 0 0     Zs  Zy 0  (3.38) 0    0 0 Zy   Il ressort de l'équation (3.38) que la matrice impédances des séquences, d'une charge triphasée équilibrée reliée en étoile, est une matrice diagonale. De ce fait, la relation matricielle (3.35) peut être exprimée par le système suivant :





0 0  Ih V h   Z y  3 Z n       Z y 0  Id  0 V d           Ii  V Z 0 0 y i       Ou par les équations découplées qui en résultent :



(3.39)



V h  Z y  3Z n I h  Z h I h

(3.40)

V d  Z y Id  Zd Id

(3.41)

V i  Z y Ii  Zi Ii

(3.42)

Comme nous le constatons à partir des équations ci-dessus, il ressort que la composante homopolaire de la tension ne dépend que de la composante homopolaire du courant et de l'impédance ( Z y  3 Z n ). Cette impédance, désignée par Z h , est dite ''impédance de séquence homopolaire". De même la tension de séquence directe, ne dépend que du courant de séquence directe, et de l'impédance Z y  Z d dite ''impédance de séquence directe". Idem pour les grandeurs de séquence inverse. Les relations (3.40) à (3.42) peuvent être représentées par les trois circuits suivants:

Ih

Ii

Id

 Zy

Vh 3Z n





Vd

Vi

Z y  Zi

Z y  Zd 



 Fig.3.3 Schémas monophasés équivalents des séquences: homopolaire, directe et inverse d'une charge équilibrée reliée en étoile

40

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Les trois schémas ci-dessus sont dits respectivement :''Schéma Monophasé Equivalent de Séquence Homopolaire '',''Schéma Monophasé Equivalent de Séquence Directe'' et enfin 'Schéma Monophasé Equivalent de Séquence Inverse '', soit par abréviation S.M.E.H, S.M.E.D et S.M.E.I. Comme on le constate, chaque séquence est indépendante et séparée des deux autres ! Cette séparation des séquences est la conséquence du fait que la matrice impédance des séquences est diagonale pour une charge équilibrée reliée en étoile. Elle caractérise aussi un des avantages des composantes symétriques. Il est à noter que l'impédance Z n reliant le neutre à la terre n'apparaît que dans la seule séquence homopolaire. Cela illustre le fait que les courants des séquences directes et inverses ne peuvent circuler au travers de l'impédance du neutre. Lorsque le neutre d'une charge reliée en étoile est isolé, c'est-à-dire non relié à la terre, alors l'impédance du neutre est infinie et le terme 3 Z n dans le S.M.E.H devient donc un circuit ouvert. Dans ces conditions puisque le circuit est ouvert, il ne peut exister de courant homopolaire. Cependant, lorsque le neutre est solidement relié a la terre au travers d'un conducteur d'impédance nulle, alors le terme 3 Z n dans le S.M.E.H devient un court-circuit, Alors il s'ensuit que pour un neutre solidement relié à la terre, le courant homopolaire existe du fait de l'existence de la tension homopolaire causée par un système de tension triphasé, déséquilibré, appliqué à la charge. Une charge triphasée équilibrée reliée en triangle, peut être convertie en une charge équivalente, reliée en étoile. Comme la charge en triangle n'a pas de point neutre, donc pas de connexion entre le neutre et la terre, alors la charge équivalente reliée en étoile aura un circuit ouvert entre le neutre et la terre. Les schémas monophasés équivalents des séquences correspondants à une charge équilibrée triphasée reliée en triangle sont représentés su la figure 3.4 ci-dessus. Comme on le constate, l'impédance équivalente de la charge convertie du triangle à l'étoile apparaît dans chacun des S.M.E.H, S.M.E.D, S.M.E.I. Le S.M.E.H. est un circuit ouvert puisque l'impédance Z n   correspond à un neutre non relié à la terre, ce qui fait qu'il ne peut y avoir de circulation de courant homopolaire dans la charge équivalente en étoile. Ih  0



Id

Zy 

Z 3

Vh



Zn  

Ii





Vd

Vi

Zd 



Z 3 

Zy 

Fig.3.4 Schémas monophasés équivalents des séquences: homopolaire, directe et inverse d'une charge équilibrée reliée en triangle convertie en étoile.

41

Z 3

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Les trois schémas ci-dessus représentent une charge équilibrée reliée en triangle vue à partir de ses bornes, mais ne reflètent pas les caractéristiques internes de la charge. Les courants I h , I d , I i sont les composantes symétriques des courants de ligne entrant dans la charge reliée en triangle, mais pas celle des courants circulant dans le triangle (courants de phases). Considérons maintenant, le cas général d'une charge linéaire triphasée (figure 3.5). Celleci peut représenter aussi bien une charge équilibrée reliée en étoile ou en triangle, qu'une charge triphasée déséquilibrée. a

Ia

 b

 c



Charge triphasée statique

Ib

Ic

 



t Fig. 3.5 cas général d'une charge triphasée

Les relations générales reliant phase-terre aux courants de lignes, pour cette charge, peuvent être écrites sous forme matricielle de la manière suivante:

V at   Z aa    V bt    Z ba    V ct   Z ca

Z ab Z bb Z cb

Z ac   Z bc   Z cc 

Ia    Ib     I c 

Vp  Z p I p

ou encore

(3.43)

(3.44)

En procédant de la même manière que pour le cas de la charge reliée en étoile, nous obtenons les relations générales suivantes sous forme matricielle compacte:

avec

:

alors que

:

Vs  Z s I s

(3.45)

Z s  A 1 Z p A

(3.46)

Vp et Ip vecteurs des tensions et courants de phases, Zp matrice des impédances de phases, Vs et Is vecteurs des composantes symétriques tensions et courants, Zs matrice des impédances des séquences.

Cette matrice est définie dans le cas général de la manière suivante:

 Zh  Z s   Z dh   Z ih

Z hd Zd Z id

Z hi   Z di   Z i 

42

(3.47)

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Les éléments diagonaux Z h , Z d et Z i de cette matrice Zs sont dits impédances propres respectivement de séquence homopolaire, directe, et inverse. Les éléments non diagonaux sont les impédances mutuelles entre les séquences. Réécrivons la relation (3.47) sous sa forme matricielle développée:

 Zh   Z dh   Z ih

Z hd Zd Z id

Z hi  1 1  1 Z di   1 a  3 2 Z i  1 a

1   Z aa  a 2   Z ba  a   Z ca

Z ab Z bb Z cb

Z ac  1 1  Z bc  1 a 2  Z cc  1 a

1  a a 2 

(3.48)

En effectuant les produits matriciels nous obtenons les équations suivantes relatives aux: Eléments diagonaux: 1 Z h  ( Z aa  Z bb  Z cc  2 Z ab  2 Z ac  2 Z bc ) 3 1 Z d  Z i  ( Z aa  Z bb  Z cc  Z ab  Z ac  Z bc ) 3 Eléments non diagonaux: 1 ( Z aa  a 2 Z bb  a Z cc  a Z ab  a 2 Z ac  Z bc ) 3 1  ( Z aa  a Z bb  a 2 Z cc  a 2 Z ab  a Z ac  Z bc ) 3

(3.49) (3.50)

Z hd  Z ih 

(3.51)

Z dh  Z hi

(3.52)

1 ( Z aa  a 2 Z bb  a Z cc  2a Z ab  2a 2 Z ac  2 Z bc ) 3 1  ( Z aa  a Z bb  a 2 Z cc  2a 2 Z ab  2a Z ac  2a Z bc ) 3

Z di 

(3.53)

Z id

(3.54)

On définit une charge comme étant ''une charge symétrique'' si sa matrice d’impédances des séquences est diagonale, c'est-à-dire si les impédances mutuelles entre séquences (éléments non diagonaux) sont nulles. En mettant égales à zéro les équations (3.51) à (3.54) et en le résolvant nous obtenons les conditions suivantes pour qu’une charge soit définie symétrique, c'est-à-dire satisfaire à la fois ces deux relations:

Z aa  Z bb  Z cc Z ab  Z bc  Z bc

(3.55) (3.56)

Dans ces conditions, il s'ensuit que:

Z hd  Z dh  Z hi  Z ih  Z id  Z di  0 Z h  Z aa  2 Z ab Z d  Z i  Z aa  Z ab

43

(3.57) (3.58) (3.59)

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Donc les conditions pour qu’une charge soit symétrique sont que les éléments diagonaux de la matrice impédances de phase soient égaux entre eux et que à la fois les impédances mutuelles entre phases le soient aussi. Nous remarquons des équations (3.50) et (3.59) que quelque soit la charge (symétrie ou non), les impédances de séquence directe et inverse sont égales. Cela est tout le temps vrai pour des impédances linéaires, symétriques, représentant des équipements statiques tels que les transformateurs et les lignes. Cependant, les impédances de séquence directe et inverse des machines tournantes, telles que les alternateurs et les moteurs, sont généralement différentes. Notons aussi que l'impédance de séquence homopolaire est différente de celle de la séquence directe et inverse, sauf lorsque les impédances mutuelles entre phases sont nulles. Les S.M.E.H, S.M.E.D et S.M.E.I d'une charge symétrique sont représentés par la figure 3.6 ci-dessous. Nous remarquons que les trois circuits sont découplés les uns des autres et cela est dû au fait que la matrice impédance des séquences est diagonale. Ih

Ii

Ih







Vh

Vd

Vi

Z h  Z aa  2 Z ab

 a) S.M.E.H

Z d  Z aa  Z ab

_

Z i  Z aa  Z ab _

b) S.M.E.D

c) S.M.E.I

Fig.3.6 composantes symétriques d'une charge triphasé symétrique

3.4 Composantes symétriques des impédances " série " La figure 3.7 représente les impédances séries, prises entre les points ou nœuds a-a’, bb’,c-c’, d'un circuit triphasée. Les impédances propres de chaque phase sont désignées Z aa , Z bb et Z cc . En général ces circuits sont mutuellement couplés. Les chutes de tension aux bornes de ces impédances sont données par les équations suivantes:

V an  V a ' n  V aa '   Z aa      V bn  V b ' n   V bb '    Z ba      V cn  V c ' n  V cc '   Z ca

Z ab Z bb Z cb

44

Z ac   I a    Z bc   I b    Z cc   I c 

(3.60)

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

a

 Ib

b V



Z bb

Z ab

Z cc

Z bc

b,

c Ic

V

c, V

bn

V



a,

Z ca

an

V

n

Z aa

Ia

V

cn

a 'n '

b 'n '

c 'n '



n

Fig3.7 Schéma des impédances séries triphasée

On suppose que la matrice impédance est symétrique, ce qui correspond à un circuit bilatéral, et que ces impédances représentent des équipements statiques (ligne, transformateurs par exemples…). Les équations matricielles (3.60) peuvent être réécrites sous forme plus compacte de la manière suivante:

Vp  Vp'  Z p I p

(3.61)

où V p , V p' sont respectivement les vecteurs des tensions simples aux nœuds abc et a’b’c’;

Ip

vecteur des courants de lignes.

L'équation ci-dessus est transformée en équation de séquences de la même manière que précédemment en multipliant ses deux membres par la matrice inverse de transformation. Nous obtenons alors :

Vs  Vs  Z s I s

(3.62)

La matrice Z s est diagonale lorsqu'elle satisfait aux conditions de symétrie à savoir des impédances propres égales entre elles, et des impédances mutuelles égales entre elles.

Z aa  Z bb  Z cc   Zh Zs   0   0  avec

Z h  Z aa  2 Z ab

0 Zd 0 et

et

Z ab  Z bc  Z ca

0  0  Zi  

(3.63)

Z d  Z i  Z aa  Z ab

(3.64)

Ainsi l'équation matricielle (3.62) s'écrit sous forme de trois équations indépendantes l'une de l'autre : V h  V h'  Z h I h (3.65) V d  V d'  Zd Id

(3.67)

V i  V i'  Zi I i

(3.68)

45

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Ces trois expressions sont représentées par les schémas équivalents monophasés suivant: Z d  Z aa  2 Z ab

Z h  Z aa  2 Z ab

Z d  Z i  Z aa  Z ab

Id

Ih

V h'

Vh

V d'

Vd

S.M.E.H.

Ii

Vi

V i'

S.M.E.D.

S.M.E.I.

Fig 3.8 Schémas monophasés équivalents des impédances séries

3.5 Schémas monophasés équivalents des séquences des machines tournantes Un alternateur synchrone dont les enroulements sont reliés en étoile est représenté par la figure 3.9. Le neutre est relié à la terre au travers d'une impédance Z n . Les forces électromotrices internes sont désignées par E a , E b , E c , les courants de ligne par I a , I b , I c et les tensions simples bornes alternateur par V a , V b , V c .  Z

In

Zn Ec

y

Ea

V

a

Eb Z

Z

a

y

Ib

y

 V

b

b

Ic 

Ia

c V

c

 

Fig 3.9 Alternateur synchrone relié en étoile

Les schémas monophasés équivalents des séquences sont représentés en figure 3.10. Du fait que l'alternateur est conçu pour produire des forces électromotrices internes de séquence ABC, désignées par E a , E b , E c , lors de leur conversion en composantes symétriques, il ne subsistera que la composante directe, les autres étant nulles. La force électromotrice interne de séquence directe est notée E d est n'est représentée que sur le S.M.E.D.

46

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

Id

Ih 

Zh V

h

Zd

Ii 

 V

Ed

d

V

Zi

i

Zh 





a) S.M.E.H

b) S.M.E.D

c) S.M.E.I

Fig 3.10 Schémas équivalents des séquences d'un alternateur relié en étoile

Les tensions simples des séquences aux bornes de l'alternateur sont notées V h , V d , V i .





La tension simple aux bornes du neutre est V n  Z n I n  3 Z n I h car I n 3  I h . Comme cette chute de tension est exclusivement due au courant homopolaire, alors il est inséré dans le S.M.E.H. en série avec l'impédance homopolaire de l'alternateur Z h une impédance égale à 3Z n . Généralement les impédances des machines tournantes ne sont pas égales entre elles. Nous ne donnerons dans le cadre de ce cours qu'une brève explication. Aussi, lorsqu'un alternateur synchrone est le siège d'un système de courants triphasé, équilibré, de séquence directe, en régime établi, alors la force magnétomotrice nette, produite par cette séquence de courants, tourne à la vitesse synchrone dans la même direction que le rotor. Dans ces conditions, la pénétration du flux magnétique dans le rotor est importante, et par voie de conséquence l'impédance de séquence directe l'est aussi. En régime établi, cette impédance est dite «impédance synchrone». D'autre part, lorsque l'alternateur est le siège d'un système de courants triphasé, équilibré, de séquence inverse, la force magnétomotrice nette, produite par cette séquence inverse de courants, tourne à la vitesse synchrone dans le sens opposé au rotor. Cette force magnétomotrice n'est pas stationnaire par rapport au rotor, mais tourne à une vitesse égale à deux fois la vitesse synchrone. Dans ces conditions les enroulements du rotor sont le siège de courants induits, qui s'opposent à la pénétration du flux magnétique dans le rotor, et de ce fait l'impédance de séquence inverse est plus petite que celle de séquence directe. Enfin, lorsque l'alternateur n'a que des courants de séquence homopolaire, alors la force magnétomotrice produite par ces courants est théoriquement nulle. L'impédance de séquence homopolaire est la plus petite des impédances des séquences. Elle est due aux flux de fuites, aux flux harmoniques, provenant des enroulements qui ne produisent pas une FMM parfaitement sinusoïdale. L'impédance de séquence directe des machines tournantes est dite synchrone, transitoire et subtransitoire. L'impédance synchrone est utilisée lors de l'analyse des réseaux en régime établit, l'impédance transitoire est utilisée pour les problèmes de stabilité des réseaux, et l'impédance subtransitoire lors de l'étude des courts-circuits.

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Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques  Les schémas monophasés équivalents des séquences des moteurs synchrones et asynchrones sont représentés sur les figures 3.11 et 3.12 respectivement. Les moteurs et les alternateurs synchrones ont les mêmes schémas, sauf que les courants sont entrants pour les moteurs et sortants pour les alternateurs. Les moteurs asynchrones ont eux aussi les mêmes schémas que les moteurs synchrones, excepté que la force électromotrice interne de séquence directe n'est pas représentée. Cela est lié au fait que le moteur asynchrone ne dispose pas de source à courant continu pour générer le flux d'excitation. Les schémas ci-dessous ne sont que des schémas simplifiés des machines tournantes. Ils ne tiennent pas compte de la saillance des pôles, de la saturation, et d'autres phénomènes transitoires importants. Néanmoins ils s'avèrent suffisamment précis pour être utilisés dans la majeure partie des études de réseaux.

Id

Ih

Zd

Ii







Zh V

V

h

Ed V

d

Zi

i

3Z n 





a) S.M.E.H

b) S.M.E.D

c) S.M.E.I

Fig. 3.11 schémas équivalents des séquences d'un moteur synchrone relié en étoile



Zh V

h

3Z n  a) S.M.E.H

Zd

Id

Ih

Ii 

 V

V

Zi

i

d



 b) S.M.E.D

c) S.M.E.I

Fig. 3.12 schémas équivalents des séquences d'un moteur asynchrone relié en étoile

3.6 Expression de la puissance apparente en composantes symétriques La puissance apparente fournie à un circuit triphasé, peut être exprimée en fonction des puissances absorbées par chacun des circuits monophasés équivalents de séquence homopolaire, directe et inverse. On note S p la puissance apparente totale livrée à un circuit triphasé et qui se calcule par la relation suivante: 





S p  V a Ia V b Ib V c Ic Réécrivons cette équation sous forme matricielle:

48

(3.69)

Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

 I a    T    V c  Ib  V p I p    I c   

S p  V a V b Or

V p  AVs

et

I p  AI s

S p   AVs 

T

d’où

(3.70)

Puisque le produit matriciel

 AI s 







 VsT AT A I s

(3.71)

A A   3U T



(3.72)

l'expression (3.71) devient alors : S p  3 VsT I s

S p  3 V a V b

(3.73)

 I a        V c   I b   3 V h I h  V d I d  V i I i 3 S s    I c   





(3.74)

De la relation ci-dessus, il apparaît que la puissance apparente totale fournie à un circuit triphasé est égale au triple de la puissance apparente totale fournie aux circuits de séquences homopolaire, directe et inverse.

EXERCICES Exercice 3.1: A l'aide de l'opérateur a =1120°, calculez les expressions suivantes sous forme polaire : a) (a -1)/(1 + a -a²) b) (a2 + a +j)/(ja + a²) c) (1 + a)(1 + a²) d) (a - a2)(a2-1)

Exercice 3.2 Déterminez les composantes symétriques des courants de ligne suivants : a) Ia= 5/90°, Ib= 5/320°, IC = 5/2.20° A; b) Ia= j50, Ib =50, Ic = 0 A.

Exercice 3.3 Déterminez les tensions de phase Va , Vb , Vc, dont les composantes symétriques sont les suivantes : Vh =5080° ; Vd =1000° ; Vi =5090°

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Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

Exercice 3.4 Une ligne d'un alternateur triphasé est ouverte, alors que les deux autres sont court-circuitées à la terre. Les courants de ligne sont : Ia= 0 ; Ib= 1000150° ; Ic=100030° A ; déterminez les composantes symétriques de ces courants ainsi que le courant à la terre

Exercice 3.5 Soit le système de tension simple à la terre suivant : Va = 2800° ; Vb = 250-110° ; Vc = 290130° Volts; calculer : a) les composantes symétriques de ces tensions simples que l'on notera Vh , Vd ,Vi ; b) les tensions composées Uab , Ubc , Uac c) les composantes symétriques des tensions composées que l'on notera Ua, Uen. Vérifiez les relations suivantes : Uk= 0 Mg= q3 Y,e 14-39* th= 4340° volts

Exercice 3.6 Les courants circulant dans une charge reliée en triangle sont : Iab = 10A0°, Iac = 15A- 90°, Ibc = 20A90°. Calculer :  les composantes symétriques de ces courants que l'on notera IΔh , IΔd ;  les courants de ligne Ia , Ib , Ic  les composantes symétriques de ces courants Ih , Id , Ii ; et vérifiez que Ih =0 , Id = 3 IΔd-30°, Ii = 3 IΔi-30°

Exercice 3.7 Le système de tensions simples de l'exercice 3.5 est appliqué à une charge équilibrée reliée en étoile et dont l'impédance par phase est de (12 + 16j) Ω. Le neutre de la charge est solidement relié à la terre. Représentez les SMEH, SMED et SMEI puis calculez les courants Ih , Id , Ii ; et enfin les courants Ia , Ib, Ic .

Exercice N°8 Refaire l'exercice 3.7 en considérant le neutre de la charge non relié à la terre.

Exercice 3.9 Refaire l'exercice 3.7 en considérant que la charge est reliée en triangle avec nue impédance par phase de (12 + 16j) Ω

Exercice 3.10 le système de tensions simples de l'exercice 3.5 est appliqué à deux charges en parallèles; l’une reliée en étoile ex d'impédance par phase = (3 + 4j) Ω et dont le neutre est relié à la terre au travers d'une impédance Zy = 2j Ω. L'autre charge est constituée de capacités reliées en triangle et de réactance par phase Xc =30 Ω. Représentez les SMEH, SMED et SMEI puis calculez les courants Ih , Id , Ii et enfin les courants Ia , Ib , Ic .

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Chapitre 3                                                                                            Les composantes symétriques 

Exercice 3.11 Refaire l'exercice 3.7 en insérant entre la source et la charge une ligne triphasée d'impédance par phase de (3 + 4j) Ω

Exercice 3.12 Un alternateur équilibré dont les enroulements statoriques sont reliés en étoile à une tension composée à ses bornes Ubc = 2000°. Il alimente une charge équilibrée reliée en triangle et d'impédance par phase de 1040° Ω. L'impédance par phase de la ligne reliant l'alternateur à la charge est de 0.580° Ω. Le neutre de l'alternateur est relié à la terre au travers d'une impédance de 5j Ω. Les impédances des séquences de l'alternateur sont : Zgh = 7j; Zgd = 15j; Zgi=10j Ω. Représentez les SMEH, SMED et SMEI puis calculez les courants Ih , Id, Ii et enfin les courants Ia , Ib , Ic.

Exercice 3.13 Programmer dans le langage informatique de votre choix, une fonction permettant de transformer a) un vecteur de grandeurs de phase en un vecteur de composantes symétriques ; notée SEQVEC (Vp,Vs) b) un vecteur de composantes symétriques en un vecteur de grandeurs de phase notée PHAVEC (Vs,Vp)

Exercice 3.14 Refaire l'exercice 3.12 avec la matrice des impédances SEQMAT (Zp , Zg) et PHAMAT (Zs , Zp)

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