Le Mystère Des Sangaku [PDF]

Zitiervorschau

Le mystère des sangaku

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Le mystère des sangaku Bernard Honclaire Mots clés : cercles et homothéties, tangentes, sangaku.

Résumé. Cet article relate mon intervention au congrès de Liège (2017). Il témoigne de nombreux échanges déclenchés par une question de l’Olympiade Mathématique Belge. Cette question m’a rappelé les très belles figures qui illustrent le livre de Géry Huvent et a provoqué un échange de questions-réponses orientées vers des constructions géométriques de figures « du style Sangaku ».

1. Double déclic • Ma rencontre avec le livre de Géry Huvent a constitué un premier déclic : la découverte des sangaku (énigmes géométriques japonaises).

carrés. . .) et témoignant du sens de l’esthétisme japonais, ces énigmes présentent une très grande originalité. À travers une sélection des plus beaux et plus intéressants sangaku, classés par difficulté et présentés avec leur solution complète, cet ouvrage vous fera découvrir ce joyau encore mal connu des mathématiques japonaises. Le site http:www.wasan.jp\english situe les endroits où des sangaku sont encore visibles actuellement (huit cent dix-sept recensés en 2008).

La quatrième de couverture ci-dessous résume bien la situation.

Au Japon, les sanctuaires shinto et les temples bouddhistes peuvent renfermer de véritables trésors mathématiques : sur des tablettes de bois accrochées aux auvents, sont peintes des énigmes colorées, les sangaku.

Géry Huvent décrit trente-quatre de ces énigmes, en donne une solution (numérique ou algébrique selon les cas). Pour ses solutions, il utilise des théorèmes classiques : Pythagore, Thalès mais également la trigonométrie, inconnue par les mathématiciens japonais de l’époque.

Les sangaku ont vu le jour au cours de la période Edo (1600–1868) quand le Japon avait coupé presque tout contact avec le monde extérieur. Composées de figures simples (cercles, triangles,

• Le deuxième déclic fut provoqué par une question des olympiades (question 27, Midi demi-finale 2017) accompagnée de : « Que ferais-tu de cette question ? ».

Losanges

«

N 39

«

2017

«

3–8

3

Le mystère des sangaku A

Quel est le rayon du cercle inscrit dans le triangle curviligne ABC, si |AB| = 8 ?

B

A

3

√ 2 2

√ 3 2

√ 2 3

√ 8−4 2

La ressemblance de cette figure (ogive gothique) et du sangaku 9 figurant sur la page de couverture du livre était plus qu’une coïncidence pour moi et j’ai donc « provoqué » quelques amis (retraités comme moi !) avec le problème suivant :

B

A

N

D

A

N

D

A

E

N F

B

C

Nous avons pris un certain plaisir à le résoudre, chacun à sa façon, et je vais tenter de vous faire partager ce plaisir ! En ce qui concerne la construction de l’ogive, deux approches sont apparues : — par les homothéties ; — par les tangentes.

D

E

D

Sur quelles propriétés géométriques peut-on s’appuyer pour construire la figure ci-contre ? B

C

M

Appelons C le grand cercle magenta, C ” le petit cercle magenta et E le point commun à C et C ”. Parmi les deux homothéties qui appliquent C sur C ”, seule celle de centre E peut nous aider dans notre recherche ; appelons-la H .

E

A

D

E Supposons le problème résolu dans un « cadre plus étendu ».

C

N

C

B

H

X

M

C

M

B

C

M

H

H

H (H) = M et HM est une trace de H . Le point où HM coupe C est le point E (le centre de H ). La droite HM (= HE) est une diagonale du rectangle AXHD. Le centre F de C ” est aligné avec E et C. Il est donc le point commun à EC et M N . Est-il vrai que H (C) = F ? Oui car CH // F M .

2. Recherche de constructions

2.1.2. Construction

La droite définie par les points M (milieu de [BC]) et N (milieu de [AD]) a d’emblée été perçue comme axe de symétrie de la figure. Le centre du cercle cherché est donc un point de [M N ]. Cette propriété sera utilisée à plusieurs reprises.

Le fichier ConstructionParHomothetie.fag décrit différentes étapes de la construction. Nous en extrayons les trois images ci-dessous : A

N

D A

N

D A

N

D

2.1. Approche par les homothéties E

2.1.1. Analyse Le fichier AnalyseParHomothetie.fag détaille une approche étape par étape.

4

E F

B

M

C

B

M

F

C

B

M

C

Le mystère des sangaku A

2.2. Approche par les tangentes

N

D

N

A

D

E

B

Le fichier LaboTangente.fag visualise cette recherche (un genre de labo). N

D

X

B

C

Placer un point mobile X sur le quart de cercle de centre C et construire la tangente au quart de cercle en ce point. Par déplacement du point X, on conjecture rapidement que la tangente commune cherchée passe par N (milieu de [AD]).

Une conjecture étant apparue. . . place à la construction et à la démonstration !

2.2.2. Construction Le fichier ConstructionsTangente.fag décrit les étapes de deux constructions qui diffèrent par le choix du premier cercle dessiné. • Voici trois étapes de la première construction (basée sur l’égalité des longueurs des segments tangents à partir d’un point extérieur).

A

N

D

N

A

D

N

A

E’

E

G

G F

Le cercle cherché étant dessiné approximativement, imaginons une tangente mobile au quart de cercle de centre C.

A

D

E

G

2.2.1. Géométrie dynamique

N

A

D

C

B

M

C

B

M

C

Cette fois, c’est la perpendicularité entre tangente à un cercle et rayon de ce cercle qui intervient : N E ⊥ EC. Pour que la tangente soit commune à l’arc de cercle et au cercle cherché, il faut que les points E, C et le centre F du cercle cherché soient alignés. Ce cercle de centre F et de rayon |F E| passe-t-il par M ?

2.2.3. Démonstration Il reste à démontrer que |F E| = |F M |. Le fichier DemoTangente.fag détaille les étapes d’une démonstration possible. La tangente N E est perpendiN A D culaire au rayon CE. Les angles en N et C, à côtés perpendiculaires, ont même E mesure. F |N E| = |N D| = |M C|. Les triangles rectangles N EF B C M et CM F sont isométriques.

3. Bref retour à d’Olympiades

la

question

Le calcul du rayon du cercle cherché découle immédiatement de la figure ci-dessus et solutionne la question 27 des Olympiades : Si |BC| = 1 et r = |EF |,

E’

E

M

Alors B

M

C

B

M

C

B

M

C

Grâce au cercle de centre N , on obtient |N E| = |N D|. N D et N E sont les deux tangentes au cercle de centre C issues de N . Un jeu analogue avec le cercle de centre B (ou l’argument de symétrie) donne le point E ′ . Le cercle déterminé par les points E, E ′ et M est-il tangent à N E et N E ′ ? • Et voici trois étapes de la deuxième construction (basée sur la construction d’une tangente à un cercle par un point extérieur à ce cercle).

|F C|2 = |F M |2 + |M C|2 ( )2 1 2 2 (1 − r) = r + 2 3 r = 8 Grâce à la symétrie de la figure par rapport à la droite M N , ce résultat permet une construction directe du centre F du cercle cherché sur le segment [M N ].

5

Le mystère des sangaku 4. Intrus non abouti

A

D

Dans le quadrillage associé au carré, [SC] et [DC] sont des diagonales dans deux rectangles isométriques.

S

Plusieurs constructions ayant été proposées entre nous, l’idée me vint de les rassembler en une proposition d’ « Intrus » ! (Projet abandonné puisque je l’utilise aujourd’hui !) Huit méthodes de détermination du point de tangence E sont proposées : trouver les intrus !

B

Quelques opportunités d’utiliser un « quadrillage » comme aide à la démonstration sont proposées en annexe. • Les points Q et T acquièrent ci-dessous le statut d’intrus grâce à la géométrie analytique : dans un même système d’axes, suggéré dans le dessin ci-dessous, nous avons calculé les coordonnées des points S, Q et T .

E

Q

R

P

V

T

U

S

W

Les coordonnées de S (qui coïncide avec E) sont la solution du système { y + 2x = 0 4y − 2x − 3 = 0 E

Vous reconnaissez évidemment plusieurs constructions abordées ci-dessus. • P , R (construction par tangentes) et V , W (construction par homothétie). • Les points S, U et W font globalement penser à un point commun à trois objets (deux segments et un quart de cercle.) Le point S est-il sur le quart de cercle ? Deux justifications de l’égalité |SC| = |CD| sont apparues lors de nos échanges, le fichier Tangente4Quad.fag décrit ces raisonnements étape par étape ; en voici des raccourcis : A D La rotation d’un quart de tour à gauche autour du centre de S ABCD applique D sur A et X X sur Y donc DX ⊥ AY . Y Le segment [SC] est la méB C diane relative à l’hypoténuse du triangle rectangle DSZ donc |SC| = |DZ| 2 = |DC|. Z

6

C

(0 , 1)

S

(−0,3; 0,6)

(0.5 , 0)

Dans les cas des points Q et T , la construction commence par un triangle équilatéral et son cercle inscrit.

T

La hauteur du √ triangle équilatéral mesure 23 et le centre du cercle inscrit est aussi centre de gravité. Son ordonnée √est donc √ 3 3 6 et celle de T est 3 . . . Le point T est donc différent de E.

Le calcul est un peu plus compliqué pour disqualifier le point Q : le système à résoudre nécessite l’équation de l’oblique définie par l’origine et un point de contact du cercle inscrit dans le triangle. Voici le résultat : {( Q

)2 x − 21 + y 2 = 1 √ y = − 3x √

√ √

Q( 1−8 13 ; 3( 813−1) ) ≃ (−0,32 . . . ; 0,56 . . .)

Le mystère des sangaku 5. Un défi En guise de défi (un peu à la mode des sangaku de l’époque ! Inspiré de [1]. ) Les points X, Y et Z ont respectivement la même abscisse dans les repères (A, B), (B, C) et (C, A).

A

Le fichier defi.fag permet de modifier les points A, B, C, X, Y et Z

X

Utiliser la commande Modifier pour obtenir quatre disques isométriques. Z

C

B

Toute communication au sujet de ce problème peut m’être envoyée à l’adresse [email protected]

Y

Note : Le fichier Liege.ppt est disponible sur le site de la SBPMef ainsi que les fichiers .fag associés. Pour que ces fichiers .fag puissent être ouverts à partir du fichier Liege.ppt, il faut que le logiciel AG soit présent sur l’ordinateur. De plus, tant le fichier Liege.ppt que les fichiers .fag doivent être placés dans un dossier C:\Liege.

Annexe : utilisation de quadrillages

Nous avons réalisé, au point 4, une démonstration d’égalité de longueurs en utilisant un quadrillage. Cet outil de démonstration peut éclairer efficacement de nombreuses situations au début du secondaire. Nous citons ci-dessous quatre situations. Points aux tiers

Points au milieu

Le fichier Medianes-Triangle.fag propose des étapes qui conduisent aux propriétés suivantes : — les médianes d’un triangle sont concourantes, — le centre de gravité d’un triangle se trouve aux 23 des médianes à partir des sommets. Le fichier Varignon.fag généralise l’usage des « quadrillages » en croisant deux familles de droites parallèles non équidistantes. . . pour envisager le parallélogramme inscrit et des comparaisons d’aires.

Les fichiers TrianglesTiers.fag et ParaTiers.fag illustrent la comparaison des aires de deux triangles ou de deux parallélogrammes en utilisant des quadrillages. L’utilisation de quadrillages comme aide à la démonstration sera développée dans un prochain article.

Pour en savoir plus [1]

Chevanne P., Problèmes géométriques, mathafou.free.fr/pbg/.

[2]

crem, Apprenti Géomètre, www.crem.be/logiciel/AG.

[3]

Huvent G., Sangaku, gery.huvent.pagesperso-orange.fr/html/sangaku.htm.

[4]

Huvent G., Sangaku - Le mystère des énigmes géométriques japonaises. Dunod, 2008.

[5]

Kotera H., Japanese temple geometry problems, www.wasan.jp/english/.

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Les élèves et le cours d’analyse

Comment les élèves appréhendent le cours d’analyse Marcel Cornez Mots clés : Minimum, maximum, tangente, dérivée, Pierre de Fermat, construction géométrique, résolution de problèmes, question ouverte.

Résumé. Les élèves de 5e année du secondaire doivent manipuler les notions de dérivée, de continuité et de limite avant la fin de leur année scolaire. Toutefois, la majorité n’en comprend pas vraiment l’essence. De plus, lorsqu’ils doivent les appliquer à des problèmes de la vie courante ou des problèmes spécifiques, un « mur » se dresse devant eux. Une approche par des situations d’exploration et par un texte historique de la découverte de la méthode de la recherche du minimum ou du maximum de Pierre de Fermat a été testée en 2016–2017 avec des résultats très parlants au niveau de la réaction des élèves.

1. Prolégomènes « Mais pourquoi les élèves ont-ils autant de mal à comprendre le cours d’analyse en 5e année du secondaire et les mathématiques en général ? » Dans l’élaboration du travail qui suit, j’ai été guidé par cette réflexion et la citation de Nicolas Rouche : « Qu’est-ce que faire des mathématiques ? Ma réponse globale sera que faire des maths, c’est les FAIRE, au sens propre du terme, les construire, les fabriquer, les produire, que ce soit dans l’histoire de la pensée humaine ou dans l’apprentissage individuel. ». De plus, dans mon esprit, les notions de dérivée, de continuité et de limite devaient avoir un aspect ludique et montrer ainsi la beauté des mathématiques. Ce qui suit a été testé durant l’année scolaire 2016–2017 auprès de 37 élèves en option « scientifique ». Je disposais d’un ordinateur couplé à un TBI avec une connexion internet, du logiciel GeoGebra et de la version numérique du livre CQFD 5e année 6 périodes, aux éditions De Boeck. Les élèves avaient la version papier par le biais du prêt du livre et une calculatrice graphique. À l’instar des cours « classiques », j’ai proposé aux élèves une approche historique chronologique, c’est-à-dire la découverte de la dérivée, puis de la continuité et enfin des limites. Voici la partie « découverte de la dérivée ».

2. Découverte de la dérivée par la recherche d’un extremum La séquence débute par une première activité basée sur la consigne ci-dessous.

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