Le Filtrage Adaptatif Des Signaux Sismiques (LMS) [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE MOHAMMED 5 ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE L'ENSEIGNEMENT TECHNIQUE RABAT Année 2019-2020

Rapport d’un mini projet Spécialité : Génie électrique

Réalisé par

BOUHNIN Jawad Prochainement diplômée d’un Master en Génie électrique

De L'Ecole Normale Supérieure de L'Enseignement Technique de Rabat (ENSET)

FILTRAGE ADAPTATIF APPLIQUE A UN SIGNAL SISMIQUE DE MOYENNE PERIODE

Encadré par : Jamal EL MHAMDI Enseignant au Laboratoire de recherche en génie électrique (LRGE) Université Mohammed V, L'Ecole Normale Supérieure de L'Enseignement Technique (ENSET) de Rabat, Maroc.

REMERCIEMENT

C

’est pour moi un réel plaisir de remercier toutes les personnes qui ont,

de près ou de loin, d’une manière ou d’une autre, permis, par leur collaboration, leur soutien et leur avis judicieux, de mener à bien ces travaux pratiques.

Je voudrais exprimer mes remerciements ainsi que mes profondes gratitudes à M. Jamal EL MHAMDI qui m’accordait sa confiance en ma permettre d’améliorer mes connaissances techniques et aussi mes compétences dans le domaine du traitement de signal avancé grâce à sa rigueur scientifique, sa large expérience dans ce domaine ainsi que ses encouragements incessants nous ont été d’une aide précieuse. Ses conseils avisés, ses critiques pertinentes et ses qualités humaines ont été d’une très grande utilité pour mener à terme ce travail.

Résumé Les tremblements de terre sont les catastrophes imprévisibles dans la nature. Pendant l'énergie sismique est soudainement libérée dans la lithosphère terrestre et crée des ondes sismiques, ces ondes sont des ondes élastiques qui peuvent traverser un milieu en le modifiant selon l'intensité du séisme Par conséquent, les signaux sismiques sont très contaminé par le bruit qui est un ensemble de vibrations permanentes du sol, dues à une multitude de cause ( Rapport signal /bruit du signal sismique est très faible.). Alors le bruit c'est une composante des sismogrammes (les signaux enregistrés par les sismomètres), généralement indésirable et difficilement interprétable. Les caractéristiques fréquentielles du bruit local se superposant au signal sismique, le recours au filtrage fréquentiel analogique ou numérique est l’un des moyens efficaces pour éliminer les signaux indésirables. Des techniques de prétraitement sont utilisées dans afin de réduire le bruit. Dans ce travail le filtre LMS est mise en œuvre pour filtrer le bruit du signal sismique, ainsi que L’identification des coefficients du filtre.

abstract Earthquakes are unpredictable disasters in nature. During seismic energy is suddenly released into the earth's lithosphere and creates seismic waves, these waves are elastic waves that can pass through a medium by modifying it according to the intensity of the earthquake. Therefore, seismic signals are very contaminated by noise, which is a set of permanent ground vibrations, due to a multitude of causes (Signal-to-noise ratio of the seismic signal is very low.). So noise is a component of seismograms (signals recorded by seismometers), generally undesirable and difficult to interpret. Since the frequency characteristics of local noise are superimposed on the seismic signal, the use of analog or digital frequency filtering is one of the effective means of eliminating unwanted signals. Preprocessing techniques are used in order to reduce noise. In this work the LMS filter is implemented to filter the noise of the seismic signal, as well as the identification of the filter coefficients.

TABLE DES MATIERES

Introduction Générale .................................................................. 2 Chapitre I : Les ondes sismiques ................................................. 3 1.1 Introduction ........................................................................... 3 1.2 Onde P : onde de compression .............................................. 3 1.3 Onde S : ondes de cisaillement .............................................. 4 1.4 Propriétés des ondes P et S ................................................... 4 Chapitre II : le filtrage adaptatif .................................................. 5 2.1 Introduction ........................................................................... 5 2.2 Le Filtrage Adaptatif .............................................................. 5 2.2.1 Filtre de Wiener .................................................................. 6 2.2.2 L’algorithme LMS (moindre carré moyen) .......................... 7 Chapitre III : Application .............................................................. 9 3.1 Les signaux utilisés pour la simulation ................................... 9 3.2 Resultats de la simulation .................................................... 10 3.3 Conclusion du chapitre ........................................................ 11 Conclusion Générale................................................................... 12

LISTES DES FIGURES Figure 1: Enregistrement d'une onde sismique. ..................................................................................... 3 Figure 2:Propagation et polarisation des ondes P. ................................................................................. 3 Figure 3:Figure 2:Propagation et polarisation des ondes s horizontal et vertical. ................................. 4 Figure 4:Principe d’un filtre adaptatif. .................................................................................................... 5 Figure 5:Illustmtion d'une paraboloide d 'EQM à deux dimensions ....................................................... 7 Figure 6: Résumé de l'algorithme LMS .................................................................................................... 8 Figure 7: Caractéristiques fréquentielles du signal sismique moyenne période .................................... 9 Figure 8: bruit blanc ................................................................................................................................ 9 Figure 9: signal sismique de la Fig.7 filtré du bruit local, par l’utilisation d’un bruit blanc comme signal de référence. ......................................................................................................................................... 10 Figure 10: filtre d'analyse ...................................................................................................................... 10 Figure 11: l’évolution temporelles et fréquentielles des cinq premiers coefficients du filtre .............. 10 Figure 12 : Détection des temps des arrivées des ondes sismiques P et S ........................................... 11

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Introduction Générale La sismique est une méthode de prospection qui permet d’avoir une connaissance sur les structures géologiques du sous-sol grâce à l’analyse des ondes élastiques qui se propagent dans le sol. Les méthodes sismiques sont essentiellement utilisées en prospection pétrolière dans le but de localiser et caractériser des gisements d’hydrocarbures ou de gaz naturel. Elles peuvent aussi être utilisées en génie civil pour la construction de grands ouvrages tels que des ponts, des digues, etc. Le traitement des données sismiques apparaît donc comme un formidable champ d’application pour les traiteurs de signaux. La diversité des milieux étudiés se traduit par une grande complexité des signaux à traiter. L'analyse visuelle des données issues des campagnes sismiques est alors impossible. Le traitement du signal intervient donc en proposant des méthodes de représentation et de caractérisation permettant de faciliter l’interprétation de ces signaux. La technique fondamentale utilisée en sismique consiste à produire des ondes sismiques à partir d’une source (camion vibreur, explosifs, Canon à air, etc.) et à mesurer le temps de propagation mis par ces ondes pour atteindre des capteurs pose sur le sol. L’étude des trajets des ondes observées, des variations des amplitudes et des fréquences des signaux permet d’obtenir des informations sur le sous-sol et en particulier sur sa structure. Pour mesurer les mouvements du sol, des capteurs directionnels sont utilisés, permettant d’enregistrer une vibration selon une direction définie. Pendant longtemps, les capteurs enregistraient ce mouvement dans une seule direction de l’espace (généralement verticale). Récemment, on assiste à une utilisation grandissante de capteurs dits multicomposants ou vectoriels. Ces capteurs n’enregistrent plus seulement l’information relative à une unique direction de l’espace mais dans deux ou trois directions. Ceci permet l’accès à une caractéristique fondamentale des ondes sismiques : leur polarisation. Les données récoltées sur ces capteurs forment des enregistrements multicomposants, de taille souvent très importante. Ce travail est organisé en trois chapitres. Nous dressons dans le premier chapitre une introduction sur les signaux sismiques. Dans le deuxième chapitre nous présentons le filtrage adaptatif, des notions générales sur le filtre de Wiener et l’algorithme LMS .Dans le troisième chapitre nous présentons une application de filtrage sur un signal sismique noyé dans un bruit non connu a priori d’une base de données réelles.

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Chapitre I : Les ondes sismiques 1.1 Introduction Les tremblements de terre, ou séismes, peuvent provoquer des dégâts et des catastrophes considérables pour la vie humaine. Cependant, ils nous apportent certaines informations sur la structure de la Terre. Les séismes libèrent de l'énergie stockée dans les roches avec le temps : cette énergie est transmise à partir du foyer (zone de libération de l'énergie provoquant le tremblement) sous la forme d'ondes (ou vibrations) qui se propagent dans toutes les directions : les ondes sismiques. Il existe deux grands domaines de propagation des ondes : – les ondes de fond qui se propagent à l'intérieur de la Terre et peuvent être enregistrées en plusieurs points du globe. On distinguera 2 grands types : les ondes de cisaillement, ou ondes S, et les ondes de compression, ou ondeskP; – les ondes de surface (ondes L) Elles se propagent à la surface du globe et dans la croûte et provoquent tous les dégâts liés aux tremblements de terre. Elles sont moins rapides que les ondes P et ondes S, mais sont de plus grande amplitude. Les ondes de surface sont analogues aux vagues de l'océan. Ce sont les dernières ondes à être détectées par un sismographe.

1.2 Onde P : onde de compression

Figure 1: Enregistrement d'une onde sismique.

Elles déforment les roches par changement de volume et consistent en des vibrations qui alternent compression et décompression. Elles se déplacent donc en créant des zones de dilatation (zones de décompression) et des zones de compression. Les particules se déplacent alors selon un mouvement avant-arrière dans la direction de la propagation de l'onde (elles ont un mouvement parallèle à la direction de l'onde). Ce sont les ondes les plus rapides (6 km/s en moyenne) ; elles se propagent dans les solides, les fluides, les gaz, et même l'atmosphère. Elles sont par conséquent les premières à être enregistrées par un sismographe après un tremblement de terre, d'où leur appellation également d'ondes primaires. Figure 2:Propagation et polarisation des ondes P.

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1.3 Onde S : ondes de cisaillement Elles déforment les roches par changement de forme. Ce sont des ondes transversales qui ne sont transmises que par les solides (car les gaz et les liquides n'ont pas l'élasticité pour reprendre leur forme originelle) : elles consistent en des mouvements perpendiculaires à la direction de propagation des ondes. La vitesse de propagation des ondes S dans la croûte terrestre est d'environ 3,5 km/s : elles sont donc enregistrées après les ondes P (d'où leur appellation d'ondes secondaires).

Figure 3:Figure 2:Propagation et polarisation des ondes s horizontal et vertical.

1.4 Propriétés des ondes P et S Les ondes sismiques de fond se comportent comme des ondes de lumière et de son : elles peuvent être transmises et aussi réfléchies et réfractées. Les ondes sont réfléchies par des discontinuités dans la Terre, tandis que la réfraction implique un changement de vitesse d'une onde et de sa direction. Si la Terre possédait une composition homogène et si la densité augmentait de façon progressive avec la profondeur, alors les ondes auraient une trajectoire courbe et une vitesse croissante (la vitesse de propagation des ondes est proportionnelle à la densité du matériel dans lequel elles se propagent) ; alors qu'en fait elles sont réfléchies et réfractées par des zones de changement brusque de densité, comme la limite entre le manteau et le noyau. Ainsi, l'augmentation progressive de la vitesse des ondes P et S dans le manteau indique une hausse de la densité du matériel à mesure qu'on s'enfonce vers le centre de la Terre, mais la propagation des ondes S stoppent brusquement à la limite entre le noyau et le manteau : cela indique que le noyau externe est liquide. Les stations d’acquisition de signaux sismiques sont placées sous forme d’un réseau courte période à proximité des zones sismiques. Comme Les données acquises contiennent du bruit, diverses techniques de traitement du signal sont utilisées. Alors Le traitement du signal sismique traite les données sismiques dans le but de supprimer le bruit et d'améliorer le signal. Dans le chapitre suivant, nous exposons le filtrage adaptatif du signal sismique afin d’obtenir un signal filtré de son bruit.

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Chapitre II : le filtrage adaptatif 2.1 Introduction Au centre de réception des signaux sismique le responsable doit souvent considérer le cas courant, à partir d’un message brut ou signal observé contenant un signal utile et un bruit, à déterminer le meilleur récepteur permettant de discriminer le signal du bruit. Par récepteur ou filtre optimal, nous entendons un filtre qui satisfait certains critères d’optimalité par un filtre adaptatif dont les coefficients évoluent en fonction des signaux reçus. Ces coefficients seront estimés par des algorithmes récursifs, au sens d’un certain critère. Dans ce chapitre on parle du filtrage adaptatif, algorithme LMS et application d’un signal sismique.

2.2 Le Filtrage Adaptatif Le filtrage adaptatif est un outil puissant en traitement du signal, communications numériques, et contrôle automatique. Il est utilisé chaque fois qu’un environnement est mal connu ou changeant, ou pour supprimer des perturbations situées dans le domaine des fréquences du signal utile, ce que les filtres classiques ne peuvent pas faire. Les applications sont diverses mais présentent les caractéristiques suivantes : on dispose d’une entrée x(n) ainsi que de la réponse désirée (référence) d(n) et l’erreur e(n), qui est la différence entre d(n) et la sortie du filtre y(n), sert à contrôler (adapter) les valeurs des coefficients du filtre. Ce qui différencie essentiellement les applications provient de la façon de définir la réponse désirée d(n). d(n) Un filtre numérique

X(n)

Coeffiçients ajustables w(n)

y(n)

-+ e(n)

Algorithme de modification des coeffiçients Figure 4:Principe d’un filtre adaptatif.

Le problème du filtrage optimal de trouver le « meilleur » filtre c’est à dire celui permettant d’obtenir en sortie une réponse y(n) la plus « proche » possible d’une réponse désirée d(n) lorsque l’entrée est une certaine séquence x(n). On note e(n) = d(n) – y(n) l’erreur entre la réponse désirée d(n) et la sortie y(n). On note également w(n) le vecteur des coefficients ajustables du filtre. Le problème consiste donc à rechercher le filtre assurant l’erreur la plus faible e(n), au sens l’erreur quadratique moyenne est la plus utilisée, car elle conduit à des développements mathématiques complets et simples, fournit la solution en fonction des caractéristiques au second ordre des variables aléatoires, caractéristiques qui sont les plus simples à estimer, et enfin fournit une solution unique. C’est sur l’estimation linéaire en moyenne quadratique que repose le filtrage de Wiener.

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2.2.1

Filtre de Wiener

Dans le traitement du signal , le filtre de Wiener est un filtre utilisé pour produire une estimation d'un processus aléatoire souhaité ou cible par filtrage linéaire invariant dans le temps d'un processus bruyant observé, en supposant des spectres de signal et de bruit stationnaires connus et un bruit additif. La sortie du filtre s’écrit : 𝑀−1

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑤𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝐾=0

Et l’erreur est quant à elle

𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑦(𝑛)

Le filtre de Wiener minimise l'erreur quadratique moyenne (EQM ou MSE en anglais) entre le processus aléatoire estimé et le processus souhaité. 𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2 ) J : Erreur Quadratique Moyenne (EQM) ; E : Espérance mathématique. 𝑤 𝑇 = [𝑤0 … . . 𝑤𝑀−1 ]

En introduisant les vecteurs :

𝑥 𝑇 = [𝑥(𝑛) … . . 𝑥(𝑛 − 𝑀 − 1)] Alors La sortie du filtre s’écrit :

𝑀−1

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑤𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) = 𝑤 𝑇 . 𝑥 = 𝑥 𝑇 . 𝑤 𝐾=0

Et l’erreur est : 𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇 . 𝑥 = 𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇 D’où 𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2 ) = 𝐸((𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇 . 𝑥)(𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇 )) = 𝐸(|𝑑(𝑛)|2 ) − 𝑤. 𝐸(𝑥 𝑇 . 𝑑(𝑛)) − 𝑤 𝑇 . 𝐸(𝑥. 𝑑(𝑛)) + 𝑤 𝑇 . 𝐸(𝑥. 𝑥 𝑇 ). 𝑤 𝑝 = 𝐸(𝑑(𝑛). 𝑥 𝑇 )

Si on désigne par :

𝑅 = 𝐸(𝑥. 𝑥 𝑇 ) 𝜎𝑑2 = 𝐸(|𝑑(𝑛)|2 ) On aboutit à la relation de l’EQM : 𝑗(𝑤) = 𝜎𝑑2 − 2. 𝑤. 𝑝 − 𝑤 𝑇 . 𝑅. 𝑤 Avec R qui est la matrice d’autocorrélation de l’entrée x(n). P le vecteur d’intercorrélation entre la sortie désirée d(n) et l’entrée x(n). 𝜕𝐽 Le vecteur optimum w est celui qui annule le gradient du critère : =0 𝜕𝑤 Alors le vecteur des coefficients de prédiction 𝑇

𝑤 =𝑅

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−1

.𝑝

" La résolution de cette équation nécessite la connaissance a priori des matrices d’auto-corrélation R et d’inter-corrélation p. Beaucoup d’algorithmes ont été développés dans ce sens pour résoudre cette équation, en particulier celui de Levinson & Durbin (Bellanger 1996)

Dans la partie précédente nous exposerons l’approche statistique du problème (filtrage de Wiener) qui suppose la disponibilité de certaines grandeurs statistiques (moyenne et autocorrélation) du signal utile et du bruit. L’approche consiste alors à minimiser la moyenne statistique du carré de l’erreur (EQM ou MSE en anglais) entre l’information désirée et la sortie du filtre. Par rapport au filtrage classique le filtrage adaptatif comporte une mise à jour récursive des paramètres (coefficients) du filtre. L’algorithme part de conditions initiales prédéterminées et modifie de façon récursive les coefficients du filtre pour s’adapter au processus, pour ceci on va présenter l’algorithme du gradient qui fournit un algorithme récursif de calcul des coefficients du filtre. Nous donnerons ensuite une version dans laquelle les grandeurs statistiques impliquées sont remplacées par des valeurs instantanées, on obtient alors l’algorithme très fréquemment utilisé du gradient stochastique LMS (least mean square).

2.2.2

L’algorithme LMS (moindre carré moyen)

Le choix de l’algorithme se fera en fonction des critères suivants : • La rapidité de convergence qui sera le nombre d’itérations nécessaires pour converger « assez près » de la solution optimale de Wiener dans le cas stationnaire. • La mesure de cette « proximité » entre cette solution optimale et la solution obtenue. • La capacité de poursuite (tracking) des variations (non stationnarités) du processus. • La robustesse au bruit. • La complexité. • La structure. • Les propriétés numériques (stabilité –précision) dans le cas d’une précision limitée sur les données et les coefficients. L’algorithme LMS est le plus utilisé dans les applications techniques et industrielles, en raison de sa simplicité et sa robustesse face aux erreurs de calcul. Cet algorithme fait partie de la famille des algorithmes du gradient. Ces algorithmes sont basés sur la minimisation du critère d'erreur quadratique moyenne (EQM). Lorsque les signaux à filtrer sont de type réponse impulsionnelle finie (RF), ce critère d'erreur mène à une courbe d'erreur quadratique de forme parabolique à N dimensions (où N est le nombre de coefficients du filtre). Ainsi, en se dirigeant toujours dans la direction inverse de la pente maximale de la courbe d'erreur quadratique, le gradient de I'EQM, l'algorithme converge inévitablement vers le minimum de cette courbe d'erreur.

Courbe de I'EQM à 2 dimensions

Projection du parcours de l'algorithme sur le plan des coefficients

Figure 5:Illustmtion d'une paraboloide d 'EQM à deux dimensions

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Alors l’algorithme LMS est une approximation stochastique de l’algorithme du gradient appliqué à la minimisation de la fonction de coût quadratique J(w). Ainsi, pour faire tendre w vers sa valeur optimale, on lui soustrait une valeur qui est proportionnelle au gradient de[𝑒(𝑛)]2 . Ceci aura comme expression : 𝑤𝑁 (𝑛 + 1) = 𝑤𝑁 (𝑛) − 𝜇∇[ 𝐽(𝑛) ] (1) Où 𝑤𝑁 (𝑛) est le vecteur des coefficients du filtre, 𝜇 le pas d'itération, 𝐽(𝑛) I'EQM où 𝐽 = 𝐸(|𝑒(𝑛)|2 ) Et le dernier terme ∇ est le gradient de I'EQM, N = nombre de coefficients. L'algorithme LMS est base sur un estimateur très simple du gradient de I'EQM. Cette simplification permet de contourner le calcul exact du gradient ∇[ 𝑒(𝑛)² ] est la dérivée de 𝑒(𝑛)² par rapport à 𝑤(𝑛). On a 𝑒(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝑤 𝑇 . 𝑥 = 𝑑(𝑛) − 𝑤. 𝑥 𝑇 ∇[ 𝑒(𝑛)² ] =

𝜕 𝑒(𝑛)² 𝜕𝑤𝑁

∇[ 𝑒(𝑛)² ] = −2𝑒(𝑛)𝑥𝑁 (𝑛) Dans l'expression (1) nous obtenons l'algorithme LMS 𝑤𝑁 (𝑛 + 1) = 𝑤𝑁 (𝑛) + 2𝜇𝑒(𝑛)𝑥𝑁 (𝑛) Enfin, le choix du pas d'itération ou le coefficient d’adaptation 𝜇 de ces algorithmes est déterminant sur la vitesse de convergence et la stabilité du filtre. En raisonnant par symétrie, nous constatons qu'avec un paramètre 𝜇 très petit, la convergence de l'algorithme est très lente. Par contre, nous approchons le minimum avec une grande précision. En choisissant le paramètre 𝜇 trop grand, l'algorithme diverge car, à chaque répétition, nous pointons de plus en plus loin du minimum de la surface d'erreur quadratique. II existe donc un choix optimal du paramètre μ selon la précision avec laquelle nous voulons approximer le processus A modéliser. Pour le LMS, nous avons respectivement les conditions de convergence en moyenne et en erreur quadratique moyenne suivantes 2 0