L'astronomie en questions 2711752712, 9782711752713 [PDF]

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LA TERRE ET LA LUNE LES PLANÈTES ET LES COMÈTES LES ÉTOILES, LES CONSTELLATIONS ET LES PULSARS LES CADRANS SOLAIRES ET LA MESURE DU TEMPS TÉLÉSCOPES ET LUNETTES ASTRONOMIQUES LES PHÉNOMÈNES CÉLESTES…

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l’astronomie en questions FABRICE DROUIN

POURQUOI

FA I T - I L P L U S C H A U D L ’ É T É ? QUELLE EST LA DISTANCE DE LA TERRE À LA LUNE ? COMMENT MESURER L E D I A M È T R E D U S O L E I L ? P O U R Q U O I N ’ Y A - T - I L PA S D’ÉCLIPSE À CHAQUE NOUVELLE LUNE ? POURQUOI LES COMÈTES ONT-ELLES DEUX QUEUES ? POURQUOI L E S P U L S A R S T O U R N E N T - I L S S I V I T E ?... QUE L’HIVER

VUIBERT

l’astronomie en questions

FABRICE DROUIN

Chez le même éditeur : Albert DUCROCQ & André WARUSFEL, Mathématiques : plaisir & nécessité, 416 pages André BRAHIC & Jean-Yves DANIEL, Le système solaire dans l’Univers, 320 pages Jean-Pierre MAURY, Une histoire de la physique sans les équations, illustré par Marianne Maury-Kaufmann, 240 pages Jean-Marc LÉVY-LEBLOND, La physique en questions. Mécanique, dessins d’Yves Guézou, 144 pages André BUTOLI & Jean-Marc LÉVY-LEBLOND, La physique en questions. Électricité et magnétisme, dessins d’Yves Guézou, 144 pages Henri BACRY, La symétrie dans tous ses états, préface d’Alain Connes, 448 pages Jean-Pierre BOUDINE, La géométrie de la chambre à air, dessins d’Yves Guézou, 192 pages – Homo mathematicus. Les mathématiques et nous, 208 pages André SAINTE-LAGÜE, Avec des nombres et des lignes. Récréations mathématiques, 384 pages. Réimpression de l’édition de 1937 augmentée d’une étude inédite d’André Deledicq et de Claude Berge Émile FOURREY, Curiosités géométriques, 448 pages. Réimpression de l’édition de 1907 augmentée d’une étude inédite d’Évelyne Barbin – Récréations arithmétiques, 288 pages. Réimpression de l’édition de 1899 augmentée d’une étude inédite de Jean-Louis Nicolas Certifié de sciences physiques appliquées à l’électricité, Fabrice Drouin enseigne en BTS électrotechnique au lycée de la briquerie à Thionville, en Moselle. Son activité régulière d’animateur de clubs d’astronomie est à l’origine de ce livre. Illustrations de couverture : Neptune @NASA/Jet Propulsion Laboratory La première sortie dans l’espace : Ed White @NASA/Johnson Space Center La galaxie du Sombrero @ European Southern Observatory Navette Atlantis, mission STS 86 @ NASA/Kennedy Space Center Une supernova dans la constellation du Cygne @NASA/Hubble Space Telescope Center Couverture : Vuibert/Arnaud Martin Maquette et mise en page : Isabelle Paisant Illustrations : Lionel Auvergne ISBN 2 7117 5271 2 La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Le « photocopillage », c’est l’usage abusif et collectif de la photocopie sans autorisation des auteurs et des éditeurs. Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le « photocopillage » menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70

© Librairie Vuibert - août 2001 - 20 rue Berbier-du-Mets, F-75647 Paris cedex 13

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Table des matières

La Terre 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

La Terre est-elle ronde ? Quel est son diamètre ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La Terre tourne-t-elle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Comment connaître sa latitude à l’aide des étoiles ? . . . . . . . . . . . . . 16 Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Pourquoi fait-il plus chaud l’été que l’hiver ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Quelle est la masse de la Terre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Que vaut l’accélération de la pesanteur sur la Terre ? . . . . . . . . . . . . 37 Pourquoi voit-on à l’envers dans les instruments astronomiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Le trio : Terre – Lune – Soleil 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Quel est le diamètre de la Lune ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . À quelle distance de la Terre se trouve la Lune ? . . . . . . . . . . . . . . . . . À quelle distance de la Terre se trouve le Soleil ? . . . . . . . . . . . . . . . . Quel est le diamètre du Soleil ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quels sont la hauteur et le diamètre de ce cratère lunaire ? . . . . . . . Quand ont lieu les éclipses ? Pourquoi n’y a-t-il pas d’éclipse à chaque nouvelle Lune ? . . . . . . . 15. Pourquoi toutes les éclipses de Soleil ne sont-elles pas totales ? . . .

51 57 59 66 69 86 94

Le système solaire 16. 17. 18. 19. 20.

Quelle est la masse des planètes à satellite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Quelle est la masse du Soleil ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Quand repassera la comète de Halley ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Que se passe-t-il aux points de Lagrange ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Pourquoi les comètes ont-elles deux queues ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Notre galaxie et au-delà 21. Combien y a-t-il de constellations du zodiaque ? . . . . . . . . . . . . . . . 125 22. D’où viennent les noms des planètes, des constellations et des étoiles ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 23. À quelle distance se trouve cette étoile ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 24. Pourquoi le Soleil est-il une étoile et non la Terre ? . . . . . . . . . . . . . 150 25. Pourquoi les pulsars tournent-ils si vite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

La mesure du temps 26. Quel jour y a-t-il après le mercredi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 27. Quelles sont les unités de temps liées à des phénomènes astronomiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 28. Quel est le tracé d’un cadran équatorial ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 29. Durant quelle période de l’année peut-on utiliser un cadran équatorial ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 30. Sur un cadran horizontal ou vertical quelle doit être l’inclinaison du style ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 31. Quelle forme doit avoir le cadran solaire le plus simple à tracer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 32. À quelle vitesse se propage la lumière ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

IV

L’astronomie en questions

À mon fils Nathan et à tous les astronomes en herbe

Avant-propos Ce livre est fait pour tous les amateurs d’astronomie. Ils y redécouvriront les grands thèmes élémentaires et en découvriront peut-être de nouveaux. Sous forme de petits problèmes concrets et illustrés, les sujets les plus variés sont abordés. On pourra d’ailleurs se contenter de les lire sans chercher à les résoudre puisque toutes les questions posées sont suivies de leur réponse. Chaque énigme se compose de plusieurs problèmes. Il y en a 86 en tout, chacun se composant de trois parties : l’énoncé, l’aide et le corrigé (notées respectivement « Pb », « A » et « C »). On peut ainsi aborder l’ouvrage de multiples façons, selon ses envies et ses dispositions personnelles. Le cheminement le plus distrayant consiste à lire tout simplement les énigmes et les sujets de réflexion sans chercher à résoudre les problèmes ni à refaire les calculs, mais en consultant simplement l’aide et la solution. C’est une façon de prendre connaissance – sans peine – des grandes questions de l’astronomie. A contrario, on peut aussi avoir la satisfaction de répondre soimême aux questions en choisissant de ne consulter l’aide et la solution qu’en dernier recours. Quoiqu’il en soit, nul n’est censé tout savoir. Les connaissances accumulées ici sont pour la plupart le résultat de nombreux travaux menés au fil du temps par une multitude de spécialistes et de passionnés. Il ne faudra donc pas hésiter à se faire aider. On trouvera au verso une grille indiquant approximativement – en termes de cycles scolaires – le niveau de difficulté de chaque question. Outre les amateurs d’astronomie et de divertissements scientifiques en général, cet ouvrage pourra intéresser les enseignants de mathématiques et de sciences physiques des collèges et des lycées. Ils y trouveront une source de sujets pour illustrer les cours.

Je tiens à remercier mon épouse Marie-Jeanne pour son soutien et les corrections qu’elle a su apporter à ma syntaxe. Je remercie très chaleureusement mon collègue et ami Paul Genevaux, professeur certifié de physique–chimie, et co-responsable du club astronomie du lycée Charles Jully, de SaintAvold en Moselle. Il a eu la gentillesse et la grande patience de me relire et de me corriger.

Niveau approximatif de difficulté des questions Toutes les questions sont suivies de leur réponse et accompagnées d’explications. Le livre est ainsi accessible à tous. Avant d’essayer de résoudre un problème, on pourra se reporter à ce tableau d’évaluation indiquant le niveau de difficulté technique. Classifications en niveau d’étude Niveau I : Niveau II : Niveau III : Niveau IV : Niveau V : Énigme 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16

Pb n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

I

II

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III

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IV

V

élémentaire intermédiaire bac scientifique bac + 2 supérieur.

Énigme 17 18

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19 20 21 22

23

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24 25 26 27

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29

30 31 32

Pb n° 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

I

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II

III

IV

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V

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★ : avec de l’aide ✩ : sans aide La plupart des énigmes peuvent être résolues avec le niveau du bac scientifique.

ÉNIGME N° 1

La Terre est-elle ronde ? Quel est son diamètre ?

La Terre est-elle ronde ? Voilà une question qui ne semble plus être d’actualité en ce début de troisième millénaire… Mais est-il bien évident que nous vivons sur une sphère ? Qu’est-ce qui nous le prouve ? Avec les moyens techniques actuels, il existe des tas de façons de prouver que notre planète est une grosse boule : ◆ Prenez l’avion et partez dans n’importe quelle direction, gardez le cap et vous repasserez par votre point de départ. Pour les puristes qui pourraient envisager que la Terre est un cylindre, il faudra recommencer le voyage en choisissant un nouveau cap, si vous repassez à nouveau par votre point de départ, vous avez démontré que vous survoliez bien une sphère. ◆ Montez dans une fusée et sortez de l’atmosphère, vous observerez notre superbe planète bleue et constaterez sa sphéricité. Oui, mais nos amis les Grecs n’avaient ni fusée ni avion, alors avec les moyens de l’époque, comment pouvaient-ils démontrer cela ? Si l’on revient un petit peu en arrière, il y a environ 2600 ans, on trouve le premier modèle, celui de Thalès (640 à 562 av. J.-C.). Pour lui, la Terre est un disque qui flotte dans un océan, le tout est suspendu dans l’espace. La thèse de la Terre plate et circulaire se défend lorsque l’on est immobile en plaine : les points les plus lointains sur l’horizon nous semblent tous à la même distance et la surface nous paraît plate. Alors pourquoi en est-il autrement ? Aristote, philosophe et savant grec (Stagire 384 – Chalcis 322 av. J.-C.) est l’un des premiers adeptes des modèles astronomiques parfaits ; pour lui la Terre doit avoir une forme parfaite et la forme parfaite par excellence est la sphère. À cette considération philosophique vont s’ajouter quelques observations prouvant la sphéricité de la Terre : La Terre

1

◆ 1ère observation. Selon la latitude du point d’observation, on voit les étoiles à différentes hauteurs dans le ciel. Remarque. Voir l’énigme n° 3 : « Comment connaître sa latitude à l’aide des étoiles ? » ◆ 2ème observation. Lors des éclipses de Lune, on observe l’ombre de la Terre, c’est un arc de cercle. Début d’une éclipse, la Lune plonge progressivement dans l’ombre de la Terre :

Une troisième observation vient compléter sa démonstration. Comme Aristote, montrez que cette expérience prouve que la terre est une sphère :

Pb 1

Lorsque l’on observe, depuis une plage au niveau de la mer, un bateau qui prend le large, on a l’impression qu’il s’enfonce progressivement dans l’eau ; en effet, on voit d’abord disparaître sa coque puis son voilage comme l’indique la figure 1. La disparition du bateau se fait donc du bas vers le haut lorsqu’il s’éloigne. De même lorsque le bateau s’approche, il apparaît progressivement du haut vers le bas, puisque l’on verra le voilage avant la coque. Figure 1

Le niveau de la mer correspond à l’horizon lorsque l’on est étendu sur une plage Position ˙ 1 ¨

Position ˙ 2 ¨

Position ˙ 3 ¨

Si la Terre était plate, représentez sur la figure 2, le bateau dans les positions « 2 » et « 3 » et conclure. Figure 2

Position ˙ 1 ¨

2

L’astronomie en questions

Position ˙ 2 ¨

Position ˙ 3 ¨

Construire le même schéma en coupe avec une Terre parfaitement plate. Vous constaterez que jamais le bateau ne semble s’enfoncer, il devient de plus en plus petit en s’éloignant mais on continue à l’observer dans son intégralité.

Pb 2

Maintenant que nous avons démontré la sphéricité de la Terre, il vient naturellement une deuxième question : quel est le rayon de la Terre ? Vous pourrez essayer de répondre à cette question un peu plus tard, mais tant que nous parlons d’horizon et de bateau, il me vient quelques questions annexes : Si le haut du mât de notre bateau est situé à 10 m de la surface de la mer, que nous nous tenons toujours allongé sur la plage (on peut considérer que l’œil se trouve au niveau de la mer) et que nous connaissons le rayon de la Terre : R T = 6378 km. Quelle distance devra parcourir le bateau pour qu’il ne soit plus du tout visible ?

Pb 3

De même, pouvez-vous déterminer le point le plus éloigné visible sur l’horizon si on se tient en haut de la Tour Eiffel (hauteur 300 m) ? Pour cela on considérera la Terre sans aucun relief, c’est-à-dire parfaitement sphérique.

Pb 4

Quel est le rayon de la Terre ? C’est Ératosthène de Sylène (Cyrène 280 – Alexandrie 198 av. J.-C.), responsable de la bibliothèque d’Alexandrie, qui évalua le premier le rayon de la Terre vers 350 av. J.-C. à partir des observations suivantes : À midi, le jour du solstice d’été, dans deux villes de l’actuelle Égypte : Assouan (anciennement Syène) et Alexandrie, Ératosthème observe les ombres. ◆ À Assouan : le Soleil est au zénith, les rayons solaires atteignent le fond du puits le plus profond ; ◆ À Alexandrie : le soleil est très haut dans le ciel mais pas au zénith, un obélisque vertical à une ombre dont la mesure indique un angle de 7,2° par rapport à la verticale. Les Égyptiens qui étaient d’excellents arpenteurs ont mesuré la distance entre ces deux villes se trouvant sur le même méridien le long du Nil. Ils ont trouvé environ 5 000 stades (1 stade correspondant à 157 m). Comme Érathostène, vous avez tous les éléments pour déterminer le rayon, puis le diamètre et le périmètre de la Terre. Félicitations ! Vous connaissez la première donnée utile en astronomie, elle sera nécessaire à la détermination du diamètre de la Lune et à l’estimation des distances « Terre – Lune » et « Terre – Soleil ». Ces recherches seront traitées plus tard dans ce livre, mais pour l’instant, restons sur Terre ; il y a tellement de chose à voir encore… La Terre

3

Pb 5

AIDE N° 1

La Terre est-elle ronde ? A1

Pour confirmer la sphéricité de la Terre, vous pouvez observer la partie du bateau visible depuis le point O selon que le bateau se trouve dans la position « 1 », « 2 » ou « 3 » à l’aide de la figure suivante. Observateur au niveau de la mer ˙ 1¨ O

˙ 2¨ ˙ 3¨

L’observateur placé en O ne peut voir sous cette ligne qui est son horizon

Remarque. De même, en plaine lorsque l’on s’approche d’un village, on observe le clocher de l’église ou le château d’eau avant tout autre monument plus proche du sol.

A2

Faire le même type de figure que ci-dessus, mais avec la Terre plate !

A3

Utilisez la figure proposée en aide pour le Pb 1 et, avec le théorème de Pythagore, construisez un triangle rectangle en prolongeant les 2 verticales des positions de l’observateur et du bateau à la limite de visibilité, jusqu’au centre de la Terre. Le triangle sera rectangle en O (position de l’observateur).

A4

Même principe que ci-dessus : Pb 3. Désormais, le triangle rectangle aura pour sommets : ◆ Le point C : centre de la Terre ; ◆ Le point S : sommet de la Tour Eiffel ; ◆ Le point H : correspond au point le plus éloigné visible depuis la tour, il se trouve sur la surface de la Terre. Le triangle CSH sera rectangle en ce point H.

Quel est le rayon de la Terre ? A5

Complétez la figure ci-dessous où Alexandrie a été placée à sa latitude réelle (on pourrait la placer n’importe où d’ailleurs, cela ne changerait rien à la démonstration). 4

L’astronomie en questions

latitude d’Alexandrie : 31¡

P le Nord

A

quateur

Centre O

Rappel. Assouan (B) et Alexandrie (A) se trouvent sur le m me m ridien, donc dans le m me plan passant par les p les. P le Sud

1. Représenter la direction des rayons solaires arrivants à Alexandrie (point « A ») le jour du solstice d’été. 2. En déduire la position d’Assouan (anciennement Syène), nous la noterons d’un point « B ». 3. À partir de l’angle que fait l’ombre à Alexandrie et de la distance séparant les deux villes, déduire le rayon de la Terre. 4. En utilisant les relations générales dans un cercle, vous pouvez calculer le diamètre et le périmètre de la Terre. CORRIGÉ N° 1

La Terre est-elle ronde ? Si la Terre est sphérique le bateau en s’éloignant descend progressivement sous la ligne d’horizon de l’observateur, c’est pour cela qu’on le voit disparaître par le bas. Cela est rappelé par la figure 1 : Figure 1

Le niveau de la mer correspond à l’horizon lorsque l’on est étendu sur une plage Position ˙ 1 ¨

Position ˙ 2 ¨

Position ˙ 3 ¨

La Terre

5

C1

Si la Terre était plate, le bateau en s’éloignant deviendrait de plus en plus petit, mais ne disparaîtrait pas en passant sous la ligne d’horizon, puisque la ligne d’horizon et le niveau de la mer sont toujours confondus. Cela est représenté par la figure 2 (on peut préciser que si le bateau est petit ou que le rayon de la planète est très grand, cela revient à la configuration de la terre plate…)

Figure 2

Le niveau de la mer correspond à l’horizon lorsque l’on est étendu sur une plage Position ˙ 1 ¨

C2

Position ˙ 2 ¨

Position ˙ 3 ¨

Construction du schéma en coupe de la Terre si elle était plate. Observateur au niveau de la mer

Figure 3

O ˙1 ¨

˙2 ¨

˙3 ¨

Vous constaterez que jamais le bateau ne semble s’enfoncer, il devient de plus en plus petit car l’angle sous lequel on l’observe diminue lorsqu’il s’éloigne. Toutefois, puisqu’il ne passe jamais sous l’horizon de l’observateur, le bateau continue à être visible dans son intégralité. Observateur au niveau de la mer

C3

Si le haut du mât de notre bateau est situé à 10 m de la surface de la mer, que nous nous tenons toujours au niveau de la mer et que le rayon de la Terre est :

Distance : D O h = 10 m

R T = 6378 km. Détermination de la distance que devra parcourir le bateau pour qu’il ne soit plus du tout visible (figure ci-contre).

6

L’astronomie en questions

RT = 6378 km

C

Cette ligne est l’horizon de l’observateur placé en O, il ne peut donc pas voir au-dessous.

Le triangle COA est un triangle rectangle, nous recherchons la longueur du côté OA qui est la distance D, connaissant les longueurs des deux autres côtés :

• le côté OC a comme longueur : RT = 6378 km, • le côté AC a comme longueur : RT + h = 6378 km + 10 m = 6378,01 km On peut appliquer le théorème de Pythagore : AC2 = OA2 + OC2 d’où on peut exprimer :

OA =

2

2

AC – OC =

2

2

( 6378, 01 ) – ( 6378 ) = 11, 3 km

Le bateau ne disparaîtra complètement que lorsqu’il se sera éloigné de 11,3 km. En utilisant le même principe que précédemment, on détermine le point le plus éloigné visible sur l’horizon lorsque l’on se tient en haut de la Tour Eiffel à la hauteur de 300 m. Désormais, dans le triangle CSH, le point S représente le sommet de la tour. Nous recherchons toujours la longueur du coté SH, connaissant les longueurs des deux autres côtés :

C4

Distance : D S H h = 300 m

◆ le côté CH a comme longueur : R T = 6378 km, ◆ le côté CS a comme longueur :

RT = 6378 km

R T + h’ = 6378 km + 300 m = 6378,3 km On peut appliquer le théorème de Pythagore : CS2 = SH 2 + CH 2 , de là on exprime :

SH =

2

CS – CH

2

2

2

C

( 6378, 3 ) – ( 6378 ) = 61, 9 km C On peut donc voir des points éloignés de 61,9 km depuis le haut de la Tour Eiffel (si la Terre est parfaitement sphérique, sans relief). Dans la réalité, avec les meilleures conditions climatiques, on réussit à observer des lieux distants de 50 km à 60 km, selon les directions. =

Quel est le rayon de la Terre ? Pour déterminer le rayon de la Terre, nous allons suivre les indications proposées : 1. Nous savons que le Soleil se trouve 7,2° au Sud du zénith d’Alexandrie, à l’aide d’un rapporteur on peut donc construire la direction des rayons solaires (voir figure ci-dessous). La Terre

7

C5

2. Nous savons que le soleil se trouve au zénith d’Assouan. Nous sommes obligés de poser la condition que le Soleil est très éloigné de la Terre, donc que tous ses rayons nous arrivent parallèles (cette hypothèse sera vérifiée par l’énigme n° 11 « À quelle distance de la Terre se trouve le Soleil ? »). Il suffit alors de trouver la parallèle aux rayons solaires arrivant à Alexandrie qui soit perpendiculaire au disque terrestre, donc radiale, cela correspond à la position zénithale du Soleil. L’intersection avec la surface de la Terre nous indiquera le point B, c’est-à-dire la ville d’Assouan. direction des rayons solaires latitude d’Alexandrie : 31¡

P le Nord 7,2° A d = 5 000 stades

7,2° Centre O

quateur

B 31°

P le Sud

3. et 4. Il existe plusieurs façons de déterminer le rayon de la Terre à partir de cette figure, le plus simple est d’appliquer un produit en croix, nous observons que 7,2° correspondent à 5000 stades et que le périmètre complet correspondra à 360°, on peut donc déterminer la valeur du périmètre :

d = 5000 stades ⇒ 7, 2° ⎫ 5 000 × 360 = 250 000 stades ⎬ p = ---------------------------7, 2 périmètre = ? ⇒ 360° ⎭ On convertit les distances données en stades, en mètres puis en kilomètres : p = 250 000 × 157 m = 39 250 000 m = 39 250 km La Terre a donc un périmètre de 39 250 km. Les relations générales du cercle nous permettent de déduire le rayon et le diamètre :

p 39 250 R = ------ = ---------------- = 6 247 km 2π 2π D = R × 2 = 6 247 × 2 = 12 494 km La Terre a donc un diamètre de 12 494 km et un rayon de 6 247 km. 8

L’astronomie en questions

Ces résultats sont particulièrement précis pour l’époque, en effet le rayon de la Terre déterminé par les méthodes modernes est de 6 378 km, soit une erreur relative de seulement 2 % ! Une deuxième méthode permet d’utiliser le théorème de Thalès en mesurant la longueur « l » de l’ombre au sol (par exemple pour un pilier de hauteur 10 m), on trouve : l = 10 m × tan (7,2°) = 1,263 m Ensuite, il faut considérer la Terre comme plate entre Assouan et Alexandrie, cette approximation entraînera une imprécision par rapport à la première méthode. On peut schématiser le problème comme suit : direction des rayons solaires

A : base du pilier à Alexandrie A’ : haut du pilier A” : extrémité de l’ombre du pilier B : puits à Assouan O : centre de la Terre

7,2°

A’

A”

7,2°

A B

d = AB = 5 000 stades

Centre O

AB ----------- et --------- sont Le Théorème de Thalès qui nous dit que les deux rapports AA'' AO AA' égaux donne :

AB × AA' 5000 stades × 10 m R T = AO = ------------------------ = ---------------------------------------------- = 39 588 stades 1, 263 m AA'' Soit : RT = 39 588 × 157 = 6 215 360 m = 6 215 km On trouve désormais un rayon pour la Terre de 6 215 km, le premier résultat est plus rigoureux (6 247 km), mais les différences entre les deux méthodes sont très faibles... Remarque. Nous utiliserons une autre méthode pour déterminer le rayon de la Terre dans l’énigme n° 7 « Que vaut l’accélération de la pesanteur ? » – Pb 19.

La Terre

9

ÉNIGME N° 2

La Terre tourne-t-elle ?

Nous venons de montrer dans l’énigme précédente que la Terre est ronde. Il y a maintenant une deuxième évidence, une certitude commune à tous qu’il n’est pas aisé de démontrer : la Terre tourne sur elle-même ! Nous ne débattrons pas des diverses autres rotations de la Terre qui ne seront pas à mettre en évidence ici, telles que : ◆ La révolution de la Terre autour du Soleil en un an ; ce phénomène peut toutefois être montré à l’aide des saisons ou de l’observation du défilement des constellations du zodiaque. ◆ La révolution du système solaire autour du centre de notre galaxie en 240 millions d’années. ◆ La révolution de notre galaxie autour du centre de notre amas galactique local. ◆ Etc. Tant de rotations ! on en aurait presque le tournis… Il faut savoir que ce phénomène de rotation de la Terre sur elle-même est à l’origine d’une des plus grandes erreurs de l’astronomie antique. En effet, les anciens voyant tous les astres – planètes, étoiles et Soleil – tourner autour de nous, il leur semblait naturel et évident que la Terre était au centre de l’univers : la théorie géocentrique était née et allait s’imposer durant de nombreux siècles… Pour mémoire, c’est Nicolas Copernic (1473–1543) qui le premier publia un ouvrage (De revolutionibus orbium coelestium en 1543) qui chassait la Terre du centre de l’univers pour y placer le Soleil : le système solaire devenait héliocentrique. Cette théorie ne s’imposa que très progressivement, l’un de ses plus farouches opposants fut Tycho Brahé (1546–1601). La représentation de Copernic est très proche de la réalité, l’ordre des astres est respecté et le Soleil est bien au centre. Il considère toutefois que les orbites sont circulaires et qu’il existe une « sphère des fixes » sur laquelle toutes les étoiles sont « collées ».

10

L’astronomie en questions

Représentation de Copernic La représentation de Copernic est très proche de la réalité, l’ordre des astres est respecté et le Soleil est bien au centre. Il considère toutefois que les orbites sont circulaires et qu’il existe une « sphère des fixes » sur laquelle toutes les étoiles sont « collées ».

Saturne Jupiter Mars Terre + Lune Vénus Mercure

Soleil

Saturne Jupiter Mars Terre + Lune Vénus Mercure

Soleil

Représentation de Tycho Brahé

Tycho Brahé se refuse en effet à placer le Soleil au centre du système solaire, il reconnaît que toutes les planètes tournent autour du Soleil, mais pense que le Soleil à son tour tourne autour de la Terre, accompagné dans ce mouvement par la Lune.

Preuves du mouvement de rotation de la Terre autour de son axe Quels sont les phénomènes (non astronomiques) qui nous permettent sur Terre de constater notre rotation journalière autour de l’axe des pôles ?

Pb 6

Contrairement à l’idée répandue durant l’antiquité, nous savons que la « sphère des fixes » n’existe pas, c’est-à-dire que les étoiles ne sont pas collées sur une grande sphère de rayon déterminé. Elles sont au contraire toutes à des distances très variables de nous ; c’est une impression d’optique qui consiste à les imaginer collées sur une sphère céleste : l’œil ne pouvant discerner des distances se chiffrant en années lumière, il considère que l’étoile

Pb 7

La Terre

11

la plus proche est à l’infini, la suivante de même et ainsi de suite, ce qui fait que toutes les étoiles lui semblent à l’infini donc toutes à la même distance ; cela conduit à l’impression d’une sphère céleste « tapissée » d’étoiles… Sachant cela, quelle règle élémentaire d’astronomie nous permet de constater le mouvement de rotation de la Terre sur son axe ? AIDE N° 2

Qu’est-ce que la force de Coriolis ? L’ingénieur et mathématicien Gaspard Coriolis (1792-1843) a montré que les corps en mouvement subissaient une force due au mouvement de rotation de la Terre sur elle-même. Cette force notée fc est parfaitement définie ; elle fait apparaître un opérateur de calcul propre aux vecteurs nommé « produit vectoriel » et symbolisé : « ∧ ». Son expression est : fc = – 2m ω e ∧ vr , elle s’exprime en Newton (N). ◆ ω e est la vitesse angulaire de la Terre soit 73 μrad/s. ◆ vr est la vitesse du corps étudié en m/s. Dans le cas de la chute libre, cette vitesse est dirigée vers le centre de la Terre. La force de Coriolis est toujours dirigée vers l’Est sur la Terre, elle est nulle au niveau de l’équateur et augmente lorsque l’on s’approche des pôles. N

ωe fc vers l'Est

vr

Verticale É q u ate

ur

S

Si la Terre ne tournait plus sur elle-même, ωe serait nul et la force de Coriolis s’annulerait par la même occasion, cela entraînerait la disparition de nombreux phénomènes naturels. Par ailleurs, cette force ne s’applique qu’aux systèmes en mouvement.

12

L’astronomie en questions

Plusieurs phénomènes plus ou moins naturels sont les conséquences de la rotation de la Terre sur elle-même. Parmi ceux-ci on peut observer :

A6

◆ ◆ ◆ ◆

les mouvements des masses d’air ; le mouvement de l’eau s’évacuant d’une baignoire ; les mouvements du pendule de Foucault ; la déviation de la trajectoire d’objets en chute libre ou projetés sur de longues distances ; ◆ l’aplatissement de la Terre au niveau des pôles. Essayer de décrire ou de justifier succinctement ces divers phénomènes. Sachant que les étoiles sont toutes à des distances très variables de nous, montrer en utilisant la 3ème loi de Képler que la Terre tourne sur elle-même. Nous rappelons que Képler explique dans cette loi que plus un objet est éloigné de l’astre autour duquel il tourne, plus sa période de révolution est longue. Nous pourrons en profiter pour montrer que la Terre n’est pas au centre de l’univers.

A7

CORRIGÉ N° 2 Les phénomènes liés à la rotation de la Terre sur elle-même sont nombreux, nous en avons cité cinq ci-dessous. Nous allons maintenant expliquer quel est l’effet de la rotation de la Terre sur ces phénomènes. 1. Les mouvements des masses d’air La force de Coriolis due à la rotation de la Terre sur elle-même provoque la rotation des nuages : les cyclones tournent dans un sens (trigonométrique) dans l’hémisphère Nord mais dans le sens contraire (horaire) lorsqu’ils se produisent dans l’hémisphère Sud. 2. Le mouvement de l’eau s’évacuant d’une baignoire Il est tout à fait similaire au précédent sur le principe : l’eau doit tourbillonner dans deux sens différents lorsque l’on change d’hémisphère. Dans la pratique toutefois l’expérience n’est pas évidente à réaliser car la vitesse de l’eau reste faible, la moindre perturbation peut modifier ce phénomène… 3. Les mouvements du pendule de Foucault Un pendule constitué d’une masse fixée au bout d’une longue tige est lâché avec un petit angle par rapport à la verticale. On constate que le plan d’oscillation du pendule tourne lentement : au niveau des pôles il tourne de 15° par heure, comme la Terre (un tour complet par jour). La Terre

13

C6

Mouvement de balancier plutôt rapide

Lente rotation du plan d'oscillation due à la force de Coriolis (donc à la rotation de la Terre)

Plus l’expérience se produit près de l’équateur, plus cette rotation est lente (jusqu’à être nulle à l’équateur).

4. La déviation de la trajectoire d’objets en chute libre ou projetés sur de longues distances La rotation de la Terre entraîne une déviation vers l’Est des objets qui tombent. Un objet tombant d’une tour a une inertie liée à sa vitesse initiale plus grande car il est plus éloigné du centre de la Terre que dans sa position finale. En balistique également, la rotation de la Terre est influente, on ne peut pas projeter un objet sur de longues distances avec précision sans tenir compte de ce phénomène.

C' A

C

O

14

O'

L’astronomie en questions

Cas d’un projectile lancé du Sud vers le Nord. Depuis le point O un projectile a pour cible le point C. La Terre tournant sur elle-même les points O et C se déplacent et arriveront à un instant donné en O’ et C’. La vitesse du projectile a une composante équatoriale (OO’) plus grande que celle de la cible (CC’) puisqu’elle est plus près de l’équateur. L’accélération correspondante étant conservatrice, le projectile arrivera en A au lieu de C’. Le projectile a donc été dévié vers l’Est, c’est une preuve de la rotation de la Terre.

5. L’aplatissement de la Terre au niveau des pôles

Il n’est pas dû à la force de Coriolis mais à la structure de la Terre plutôt fluide (magma au centre) : le fluide mis en rotation a tendance à s’éloigner du centre, il subit une force centrifuge. Ce phénomène est plus accentué pour les planètes gazeuses telles que Jupiter ou Saturne.

Sphère parfaite Applatissement des pôles et/ou renflement à l'équateur

Képler a montré (3ème loi) que les planètes éloignées du Soleil tournaient plus lentement autour du Soleil que les planètes proches de lui.

C7

En raisonnant par l’absurde (en admettant que nous sommes le centre de l’univers) mais sachant que les étoiles sont à des distances très variables de nous, nous pouvons dire que si une étoile proche de nous tourne autour de nous en un jour, une étoile plus éloignée aura forcément une période de révolution plus longue. Par conséquent, toutes les étoiles devraient tourner autour de nous avec des périodes différentes. Or le ciel nous montre une image immuable et toutes les étoiles semblent fixées ensemble. Il n’est donc pas possible que ce soient les étoiles qui gravitent autour de nous, ça ne peut être que la Terre qui tourne sur elle-même. Ce principe montre par la même occasion que la Terre n’est pas au centre de l’univers puisque d’une part les étoiles ne gravitent pas autour de nous et que d’autre part, elles ne semblent pas toutes s’éloigner (théorie d’expansion de l’univers) ou se rapprocher de nous (théorie d’effondrement vers un point initial après une phase d’expansion). Cette image de la Petite Ourse montre que les étoiles bougent toutes ensemble : elles tournent d’un même angle en un temps donné, qu’elles soient proches de nous ou lointaines. Cela nous prouve que ce mouvement est apparent et non réel, les étoiles ne tournent pas autour de nous en un jour mais c’est la Terre qui tourne sur elle-même. Il en est de même pour la rotation apparente du Soleil.

α

Pôle Nord

Rotation effectuée en 6 heures

La Terre

15

ÉNIGME N° 3

Comment connaître sa latitude à l’aide des étoiles ?

Pourquoi est-il important de savoir se repérer ? Les hommes ont commencé à essayer de se repérer sur le globe terrestre lorsqu’ils ont voulu se déplacer sur de longues distances et particulièrement lorsqu’ils ont commencé à voyager d’un bout à l’autre du monde. Il était alors nécessaire de savoir s’orienter pour trouver son chemin et sa position. Sans boussole, il est possible de se repérer en observant le ciel. La mesure de la hauteur de l’étoile polaire nous permet de connaître facilement notre latitude. Cette mesure peut être réalisée très précisément à l’aide d’un sextant. La détermination de la longitude est plus complexe…

Définition du système de coordonnées géographiques Le système de coordonnées adopté pour se repérer sur la Terre est dit « polaire » ou « équatorial » ; il correspond à la définition de la position de tout point à la surface du globe à partir de deux angles : la longitude (λ) et la latitude (ϕ). Le graphe ci-dessous donne une représentation de ces coordonnées sous la forme d’une sphère quadrillée : Pôle Nord

Méridien de Greenwich (longitude 0°) 60°N

60°N

30°N

30°N Méridien de longitude: 60° Est

Ouest

60°W

30°W

0°

30°E

60°E

Est

Équateur (latitude nulle) Parallèle de latitude: 30° Sud 30°S

30°S

60°S

60°S Pôle Sud

16

L’astronomie en questions

Nous admettrons ce qui est très près de la réalité, c’est-à-dire que l’étoile polaire se trouve sur la droite passant par les pôles Nord et Sud, elle donne donc la direction du Nord sur le globe terrestre. Donner la méthode utilisée par les astronomes amateurs permettant de trouver l’étoile polaire à partir de la constellation connue de tous : la « Grande Ourse ».

Pb 8

Savoir trouver cette étoile est essentiel pour les astronomes, c’est le meilleur repère dans le ciel pour positionner et mettre en station son matériel d’observation, plus particulièrement la position de l’étoile polaire permet de répondre à la question que l’on se pose ici : « déterminer la latitude d’un lieu à l’aide des étoiles ». Sachant repérer l’étoile polaire, expliquer comment on peut connaître la latitude d’un lieu sur Terre. AIDE N° 3

L’étoile polaire indique-t-elle le Nord ? De prime abord, nous pouvons constater que l’hémisphère Nord bénéficie d’une coïncidence exceptionnelle : une étoile visible à l’œil nu se trouve sur la droite imaginaire correspondant à l’axe de rotation de la Terre. La probabilité d’une telle conjoncture est faible, elle n’existe d’ailleurs pas pour l’hémisphère Sud et cela complique quelque peu la vie des astronomes amateurs des antipodes. Lorsque l’on y regarde de plus près, une photographie prise par un appareil visant le Nord pendant une longue durée nous montre le mouvement réel de rotation de la Terre sur elle-même. Il se traduit sur la photographie par un mouvement apparent des étoiles qui forment des arcs de cercle dans le ciel. Ce type d’image nous permet de repérer exactement le Nord céleste qui se trouve automatiquement au centre des arcs de cercle puisqu’il correspond à l’axe de rotation. Un agrandissement moyen (comme ci-dessus) nous permet d’observer que l’étoile polaire (dont la trace est un « gros haricot blanc » près du centre) ne se trouve pas exactement au Nord puisque son image est un arc de cercle au lieu d’être un simple point si elle se trouvait sur l’axe des pôles. La Terre

17

Pb 9

L’écart par rapport au Nord réel est mesurable, on trouve un angle de 0,8° (ou 48 minutes d’arc). Cet écart est faible, il est négligé la plupart du temps, il est cependant parfois nécessaire d’en tenir compte pour des applications demandant une grande précision, notamment la photographie d’objets lointains.

A8

Donner la méthode utilisée par les astronomes amateurs permettant de trouver l’étoile polaire à partir de la constellation connue de tous : la « Grande Ourse ».

Lézard Cassiopée Persée Céphée Cygne Girafe α Pôle Nord Petite Ourse

Lynx

Carte des constellations circumpolaires (cercle polaire), visibles toute la nuit et toute l’année, elles ne se couchent jamais sous l’horizon de nos latitudes.

Dragon

Grande Ourse

A9 Sachant repérer l’étoile polaire, expliquer comment on peut connaître la latitude d’un lieu sur Terre à partir de la mesure : • de l’angle (α) existant entre la direction de l’étoile polaire et l’horizon du lieu considéré ; • de l’angle (β) existant entre la direction de l’étoile polaire et la verticale du lieu considéré. Vous pouvez vous aider de ce croquis et le compléter à votre guise pour trouver la relation qui existe entre la lattitude ϕ et les angles α ou β.

18

L’astronomie en questions

Nord Direction de l'étoile polaire Zénith β

α

Horizon local

Équateur

ϕ 0

CORRIGÉ N° 3 Pour retrouver facilement l’étoile polaire (« Polaris » ou « α Ursa Minor »), donc la direction du Nord, les astronomes tracent une ligne imaginaire dans le ciel partant de la casserole (Grande Ourse) : ils prolongent le segment reliant les deux étoiles opposées au manche de la casserole vers le haut. À une distance correspondant à 5 fois la longueur du segment on trouve l’étoile polaire qui est l’étoile la plus brillante de cette zone du ciel.

C8

Cette méthode demande dans un premier temps de savoir reconnaître la Grande Ourse. Une fois que l’on sait repérer cette constellation, divers chemins permettent de se repérer et de retrouver toutes les constellations importantes. Il est à noter que l’étoile polaire n’est pas l’étoile du berger, cette confusion est souvent faite. Ces deux astres n’ont rien de commun : • L’étoile polaire est l’étoile la plus brillante de la Petite Ourse et elle indique le Nord. Par rapport aux autres étoiles du ciel, l’étoile polaire a un éclat moyen. • L’étoile du berger n’est pas une étoile, c’est une planète, en l’occurrence il s’agit de Vénus. Elle est parfois visible à l’Ouest après le coucher du Soleil ou bien en direction de l’Est à l’aube, son éclat est intense, elle est plus brillante que toutes les étoiles (et planètes). α

Pôle Nord

Petite Ourse

Grande Ourse

Nous avons défini les angles α, β et ϕ dans l’aide :

C9

• α est l’angle existant entre la direction de l’étoile polaire et l’horizon du lieu considéré ; • β est l’angle existant entre la direction de l’étoile polaire et la verticale du lieu considéré. • ϕ est la latitude (en degrés) du lieu sur le globe terrestre (hémisphère Nord). La Terre

19

Il est à noter que les angles α ou β peuvent être mesurés précisément à l’aide d’un sextant, cet outil donne d’ailleurs directement la valeur de la latitude. La figure proposée peut être simplifiée (comme ci-dessous) pour une étude géométrique de ces angles. Les deux relations simples sont : 90° = ϕ + β 90° = α + β

donne donne ou

ϕ = 90° – β β = 90° - α ϕ=α

ϕ = 90° - (90° - α)

donc

Nord Direction de l'étoile polaire Zénith β

Direction de Zénith l'étoile polaire

α

β

Horizon local

Équateur

20

L’astronomie en questions

Équateur

ϕ

0

α

ϕ 0

Horizon local

ÉNIGME N° 4

Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ?

Représentation de l’inclinaison de la Terre Par la suite nous ne parlerons plus de « plan orbital de la Terre » mais plutôt « d’écliptique ». Ce terme consacré doit son nom aux éclipses puisque celles-ci n’ont lieu que lorsque la Lune se trouve dans l’écliptique, les trois astres devant être alignés (nous parlerons de ces phénomènes dans les énigmes n° 14 et 15). La figure ci-dessous montre que la Terre est inclinée de 23,5° par rapport à l’écliptique (en toute rigueur, nous devrions dire inclinée de 23,5° par rapport à la normale à l’écliptique, ce terme sera volontairement omis par la suite pour éviter trop de lourdeur) : 23,5°

23,5° Soleil

N

N Plan de l'écliptique

S

S

Terre (1)

Terre (2)

On observe bien que cette inclinaison ne varie pas au cours du temps, la Terre tourne autour du Soleil en conservant toujours la même direction de son axe des pôles. L’axe NS de la Terre est le même en position (1) et 6 mois plus tard en position (2). La figure ci-dessous est donc fausse : 23,5°

23,5° Soleil

N

N Plan de l'écliptique

S Terre (1)

S Terre (2)

Dans la réalité, un phénomène très lent appelé précession des équinoxes entraîne un glissement de cet axe, nous n’en parlerons pas ici mais décrirons ce phénomène dans l’énigme n° 21. La Terre

21

Pb 10

Le phénomène le plus remarquable dû à l’inclinaison de la Terre est le cycle des saisons. Complétez la figure suivante en notant pour chacune de ces 4 dispositions s’il s’agit d’un solstice ou d’un équinoxe ainsi que la saison correspondante pour l’hémisphère Nord. Sens de la

N

S Soleil

N

rota tion de la

Ter re

N

S

S N

S

Pb 11

Déterminer la hauteur du Soleil dans le ciel à midi au niveau de l’équateur les jours de solstice et d’équinoxe, en déduire une façon de mesurer l’inclinaison de la Terre.

Pb 12

La mesure de la hauteur du Soleil peut être donnée par un gnomon (bâton planté verticalement), il sert traditionnellement à indiquer l’heure dans les cadrans solaires rudimentaires. 1. Déterminer la longueur de l’ombre d’un gnomon de 1 mètre de haut aux équinoxes de printemps et d’automne à midi, à la latitude de Paris (50° Nord). 2. La longueur de l’ombre de ce gnomon vaut 50 cm le jour du solstice d’été et 3,4 m le jour du solstice d’hiver. En déduire l’inclinaison de la Terre.

AIDE N° 4

A 10

Pour compléter la figure suivante nous remarquerons que le Soleil est au zénith de l’équateur aux équinoxes de printemps et d’automne alors qu’il est au zénith des tropiques aux solstices : en hiver, le Capricorne (au Sud) et en été, le Cancer (au Nord).

22

L’astronomie en questions

Sens de la

N

S

rota tion de la

Soleil

N

Ter re

N

S

S N

S

Pour déterminer la hauteur du Soleil dans le ciel à midi au niveau de l’équateur les jours de solstice et d’équinoxe, nous pouvons utiliser les informations du problème précédent et compléter la figure ci-dessous. Nous préciserons que les tropiques se trouvent à 23,5° de latitude Nord et Sud. Montrer que l’inclinaison de l’axe terrestre est bien de 23,5°. Équinoxe de printemps

N

Solstice d'été

Équinoxe d'automne

T. Cancer

Équateur

Équateur

T. Capricorne

T. Capricorne S

N

S

N

T. Cancer

S

A 11

Solstice d'hiver

N

T. Cancer

T. Cancer

Équateur

Équateur

T. Capricorne

T. Capricorne S

1. Pour déterminer la longueur de l’ombre d’un gnomon de 1 mètre de haut aux équinoxes de printemps et d’automne à midi à la latitude de Paris (50°Nord), il faut connaître la hauteur du Soleil en ce lieu sachant qu’il est au zénith de l’équateur. La Terre

23

A 12

Faire une figure du même type que pour le problème précédent en représentant le gnomon et les rayons du Soleil ; en déduire la longueur de l’ombre. 2. Déduire la hauteur du Soleil à partir des longueurs d’ombre du gnomon : 50 cm le jour du solstice d’été et 3,4 m le jour du solstice d’hiver. Ne pas oublier de tenir compte de la latitude du lieu pour déterminer l’inclinaison de la Terre. CORRIGÉ N° 4

C 10

Il est clair pour la figure de droite que le Soleil est au zénith du Tropique Nord (Cancer), c’est donc l’été dans l’hémisphère Nord. Par opposition, pour la figure de gauche le Soleil est au zénith du tropique Sud (Capricorne), c’est donc l’été dans l’hémisphère Sud et l’hiver dans l’hémisphère Nord. Pour les deux figures intermédiaires (en haut et en bas) le Soleil est au zénith de l’équateur, nous sommes donc les jours d’équinoxe. Le sens de rotation de la Terre nous permet de départager les deux configurations : • en haut, l’été est passé et nous allons entrer dans l’hiver, il s’agit donc de l’automne ; • en bas, l’hiver est terminé et nous allons vers l’été, il s’agit donc du printemps. Cela donne sur la figure complétée : Équinoxe de printemps N S Soleil

N

Solstice d'hiver

Sens d e la r otat ion de la

N

S

Te rre

Solstice d'été S

N S

Équinoxe d'automne

Les noms des saisons sont inversés si nous nous trouvons dans l’hémisphère Sud.

C 11

Nous déterminons la hauteur (α) du Soleil dans le ciel à midi au niveau de l’équateur en mesurant l’angle fait par rapport à l’horizon et en traçant si nécessaire les rayons du Soleil arrivant à l’équateur (tous les rayons doivent être parallèles). 24

L’astronomie en questions

Nous ferons apparaître les angles de 23,5° correspondants aux latitudes des tropiques. Équinoxe de printemps

N

Solstice d'été T. Cancer

α

Équateur

Équateur

T. Capricorne

T. Capricorne S

N

Solstice d'hiver T. Cancer

α

T. Cancer

α

S

Équinoxe d'automne

N

Équateur

N T. Cancer

α

Équateur

T. Capricorne S

T. Capricorne S

En notant α la valeur de la hauteur du Soleil dans le ciel, nous constatons que α = 90° aux équinoxes de printemps et d’automne. Le Soleil étant incliné de 23,5° vers le nord au solstice d’été et vers le sud au solstice d’hiver, il faudra ajouter ou retrancher cette variation pour calculer α : • au solstice d’été : • au solstice d’hiver :

α = 90 – 23,5° = 66,5° ; α = 90 + 23,5 = 113,5°.

Par réciprocité, nous pourrions déduire l’inclinaison de l’axe des pôles sur l’écliptique en mesurant les hauteurs extrêmes αm du Soleil dans le ciel (minimales et maximales à midi) : l’inclinaison vaut α m – 90° . 1. Nous déterminons dans un premier temps la hauteur du Soleil dans le ciel de Paris (P) aux équinoxes en construisant une figure en coupe du globe terrestre (page suivante). Les trois hauteurs caractéristiques du Soleil sont notées αmin (au solstice d’hiver), αmoy (aux équinoxes de printemps et d’automne) et αmax (au solstice d’été). Le cas le plus simple à traiter est αmoy , puisque les rayons du Soleil sont parallèles à l’équateur. On retrouve donc un angle égal à la latitude ϕ = 50° entre les rayons solaires et la verticale (ou zénith) de Paris (P), il en résulte une hauteur par rapport à l’horizon : αmoy = 90 – ϕ = 90 – 50 = 40°. Le Soleil a donc comme hauteur moyenne dans le ciel parisien un angle de 40° à midi, cela se produit aux équinoxes de printemps et d’automne. La Terre

25

C 12

Horizon de P

Zénith de P

Nord α max

P 50° N

α moy α min Rayons solaires au solstice d'été

Rayons solaires aux équinoxes de printemps et d'automne

Rayons solaires au solstice d'hiver

ϕ = 50°

β

Équateur

β β est l'inclinaison de l'axe des pôles

Rayons solaires

Dans un deuxième temps, connaissant la hauteur du Soleil dans le ciel aux équinoxes (αmoy = 40° ), nous pouvons construire la figure d’un gnomon de 1 mètre et déterminer la relation trigonométrique nous donnant la longueur de son ombre.

Gnomon

1 m. α moy. = 40°

Long. omb.

Nous observons un triangle rectangle puisque le gnomon est vertical (donc perpendiculaire au sol), le rapport des longueurs existant entre le côté opposé et le côté adjacent d’un angle est égal à la tangente de cet angle, ici :

lm tan ( α moy ) = -----------------------long.omb.

donne

lm l long.omb. = ------------------------- = --------------------tan ( α moy ) tan ( 40° )

l’ombre mesure donc 1,2 mètre (= long.omb.).

26

L’astronomie en questions

2. Nous pouvons utiliser la relation précédente et l’appliquer aux jours de solstices : • Pour le solstice d’été :

lm 1 tan ( α max ) = ----------------------- = --------- = 2 long.min. 0, 5

soit

α max = 63, 4°

La figure en coupe de la Terre ci-dessus montre que cet angle (αmax) correspond à la hauteur moyenne du Soleil (αmoy) plus l’inclinaison de l’axe des pôles (β) : αmax = αmoy + β, donc l’inclinaison de l’axe des pôles vaut :

β = αmax – αmoy = 23,4° • Pour le solstice d’hiver :

lm 1 tan ( α min ) = ------------------------ = --------- = 0, 294 long.max. 3, 4

soit

α min = 16, 4°

La figure en coupe de la Terre ci-dessus montre que cet angle (αmin) correspond à la hauteur moyenne du Soleil (αmoy) moins l’inclinaison de l’axe des pôles (β) : αmin = αmoy – β, donc l’inclinaison de l’axe des pôles vaut :

β = αmoy – αmin = 23,6° Les deux méthodes donnent des valeurs de l’inclinaison des pôles β très proches de la réalité, soit 23,5°. Remarque. Il est à noter que cette méthode peut être utilisée dans le sens opposé pour déterminer la latitude d’un lieu, sachant que la Terre est inclinée de 23,5°.

Complément : détermination de l’inclinaison à partir d’une carte du ciel Sur les cartes du ciel, les coordonnées célestes sont calquées sur les repères terrestres. Lorsqu’on projette les pôles Nord et Sud ainsi que l’équateur qui se nomme alors équateur céleste, on peut observer une courbe sinusoïdale qui représente l’écliptique. Nous rappelons que vu de la Terre, l’écliptique représente le déplacement apparent du Soleil dans le ciel tout au long de l’année. L’écart angulaire minimal et maximal existant entre l’équateur céleste et l’écliptique représente l’inclinaison de 23,5° de la Terre. Cette forme sinusoïdale s’explique en projetant un plan incliné sur la sphère (ou cylindre) céleste (figure page suivante). Les abréviations : SAG, LIB, GEM, PIS, etc. sont les abréviations officielles des constellations. Nous pouvons remarquer que nous retrouvons toutes les constellations du zodiaque sur l’écliptique (voir énigme n° 21 : Combien y a-t-il de constellations du zodiaque ?). La Terre

27

+ 90° Écliptique 23,5°

GEM PIS

0°

AQU

-23,5°

OPH CAP SCO LIB SAG

LEO VIR CAN

GEM

TAU ARI PIS

PIS

23,5°

VIR Équateur céleste

SAG

- 90°

Le cylindre de droite montre plus clairement l’inclinaison de 23,5° existant entre le plan équatorial terrestre (0°) et son plan orbital (écliptique). Pour réaliser ce cylindre il suffit de découper une carte du ciel (comme à gauche) et de joindre son bord droit au bord gauche.

28

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 5

Pourquoi fait-il plus chaud l’été que l’hiver ?

Si cette question est évidente pour nous puisque depuis notre plus jeune âge nous assimilons l’été à la chaleur et l’hiver au froid, nous nous intéresserons ici aux raisons de ces variations de température.

Quelques éléments non astronomiques liés au climat Avant toute chose, il est à noter qu’il ne pourrait pas y avoir de climat sur Terre s’il n’y avait pas d’atmosphère. En effet cette couche de gaz qui nous entoure nous sert de couverture et de régulateur thermique, ses mouvements dus aux variations de température et de densité nous permettent de rompre la monotonie que nous connaîtrions si, comme la Lune, nous ne possédions pas d’atmosphère : une centaine de degrés Celsius le jour et environ – 150 °C la nuit. L’effet de l’atmosphère est donc prédominant sur les températures au sol ; pour exemple, nous pouvons citer la planète Mercure : sans atmosphère sa température varie de + 400 °C le jour à – 150 °C la nuit, alors que pour Vénus qui possède une atmosphère très dense avec un fort effet de serre, la température reste quasi constante à + 450 °C ! Il est évident par ailleurs que la vie ne peut pas exister sur des planètes aussi hostiles, notre atmosphère est un cas unique dans le système solaire. Après l’atmosphère, le deuxième élément prédominant dans l’évolution du climat est la présence des mers et océans qui couvrent 3/4 de la surface du globe. Ces énormes volumes d’eau, bons conducteurs thermiques, évitent les variations brutales de température et permettent de lisser les températures des régions côtières. On parle de climat océanique par opposition au climat continental. Les océans étant soumis à des courants, ils influent énormément sur le climat. Pour exemple New York et Lisbonne sont aux mêmes latitudes, mais la première ville se trouve du côté de l’Atlantique parcouru par un courant froid alors que la deuxième se trouve au bord du même océan mais du côté parcouru par un courant chaud (Gulf stream), ce qui donne 14 °C de différence au mois de janvier par exemple ! La Terre

29

Nous n’irons pas plus loin dans notre étude du climat, la météorologie étant une science complexe, il faudrait y consacrer de nombreux ouvrages…

Les phénomènes astronomiques jouant sur le climat Il est évident que l’origine de la chaleur au niveau de la surface terrestre est due au Soleil notre étoile et à son rayonnement. Nous allons observer maintenant quels phénomènes astronomiques peuvent causer des variations de température sur la Terre tout au long de l’année.

Pb 13

Lorsque l’on présente la rotation de la Terre à un enfant il s’imagine bien souvent que les différences de température entre l’été et l’hiver sont dues à la forme elliptique de l’orbite terrestre, puisque la distance Terre–Soleil varie tout au long de l’année. Montrer que ce phénomène n’est pas du tout prédominant dans les variations climatiques.

Pb 14

Expliquer pourquoi il fait plus chaud l’été que l’hiver à nos latitudes (nous ne parleront pas des zones intertropicales où le climat n’est pas aussi simple et les saisons sont moins marquées). Pour cela nous devrons décrire deux phénomènes : 1. l’inclinaison des rayons solaires est différente selon les saisons ; 2. la durée du jour et de la nuit varient également selon les saisons. AIDE N° 5

A 13

La figure ci-dessous représente la forme elliptique de l’orbite terrestre en respectant l’éloignement maximum : aphélie = 152,1 millions de km (« ap » pour loin et « hélios » pour Soleil) et l’éloignement minimum : périhélie = 147,1 millions de km (« péri » pour proche). Le Soleil se trouve à l’un des deux foyers de l’ellipse (légèrement décalé de son centre). Si cela ne suffit pas à expliquer que ce phénomène est négligeable, nous pourrons discuter des dates auxquelles la Terre passe à ses deux distances extrêmes : début juillet à l’aphélie et début janvier au périhélie.

Aphélie

Position du Soleil

Périhélie

30

L’astronomie en questions

Orbite de la Terre

Pour montrer l’influence de l’inclinaison des rayons solaires (1°), puis discuter de la variation des durées du jour et de la nuit (2°), vous pourrez flécher et compléter les figures suivantes, en tenant compte de l’inclinaison de 23,5° du plan équatorial terrestre sur son plan orbital (démontré dans l’énigme n° 4). Équinoxe de printemps N

Équinoxe d'automne N

S

S

Solstice d'été N

Solstice d'hiver N

S

A 14

S

Les flèches horizontales représentent les directions des rayons solaires.

CORRIGÉ N° 5 La forme de l’orbite terrestre est elliptique mais l’écart entre les distances minimale et maximale du Soleil est peu significatif : 3,3 %, c’est pour cela que sa représentation nous semble plutôt circulaire. Cet écart relatif est calculé comme suit :

152,1 – 147,1 ε = --------------------------------- × 100 % = 3,28 % 152,1 Un si faible écart ne peut pas produire de grosses variations de température, les rayonnements solaires reçus par la Terre peuvent être considérés comme constants tout au long de l’année. Par ailleurs, nous pouvons remarquer que ce phénomène est contraire à ce qui pourrait sembler logique vu de l’hémisphère Nord puisque lorsque le Soleil est le plus proche de nous (en janvier) c’est l’hiver et il fait froid, alors que lorsqu’il est le plus loin, (en juillet) c’est l’été et il fait chaud.

La Terre

31

C 13

C 14

Les vraies causes de variation des températures à nos latitudes sont dues à l’inclinaison de 23,5° de l’axe des pôles et au phénomène de saisons qui y est lié. Nous exploitons les figures représentant la Terre dans les dispositions correspondant aux jours de solstices. Nous avons supprimé les cas correspondant aux équinoxes, seuls les deux cas extrêmes nous intéressent ici. 1. L’inclinaison des rayons solaires est différente selon les saisons Solstice d'été N

Solstice d'hiver N

S

S

L’étude menée dans l’énigme précédente nous a permis de déterminer la hauteur minimale et maximale du Soleil dans le ciel de Paris :

α max = 63,4°

α min = 16,4°

Dans les deux dispositions ci-dessus, la distance entre deux rayons solaires est la même, elle permet de préciser que la densité lumineuse provenant du Soleil est constante. Nous observons que le sol reçoit un flux lumineux maximum au solstice d’été, c’est pour cela que la chaleur est importante. L’inertie thermique de l’atmosphère et des océans fait que la pointe de chaleur arrive plus tard en juillet–août. Nous observons que le sol reçoit un flux lumineux minimum au solstice d’hiver, c’est pour cela que la température est faible. L’inertie thermique de l’atmosphère et des océans fait que la pointe de froid arrive plus tard en janvier–février. 2. Les figures suivantes montrent bien que la durée du jour et de la nuit varie selon les saisons (figure page suivante) Les flèches horizontales à gauche représentent les directions des rayons solaires, c’est pour cela que la moitié droite de la Terre est noircie pour indiquer qu’elle est plongée dans l’obscurité, c’est la nuit.

32

L’astronomie en questions

Équinoxe de printemps N

Équinoxe d'automne N

S

S

Solstice d'été N

S

Solstice d'hiver N

S

En plus de l’équateur, nous avons tracé le disque correspondant au parallèle de Paris (50° Nord). L’observation de ces figures nous permet de comparer les durées du jour et de la nuit : ◆ On observe qu’à l’équateur les durées du jour et de la nuit sont égales tous les jours de l’année alors que cela n’arrive que deux fois à Paris : les jours d’équinoxes (printemps et automne). ◆ Le jour du solstice d’été, le parallèle de Paris est majoritairement situé du côté diurne, la durée du jour est donc supérieure à celle de la nuit, cela explique qu’il fasse plus chaud en été. ◆ Le jour du solstice d’hiver, le parallèle de Paris est majoritairement situé du côté nocturne, la durée du jour est donc inférieure à celle de la nuit, cela explique qu’il fasse plus froid en hiver.

La Terre

33

ÉNIGME N° 6

Quelle est la masse de la Terre ?

Cette question peut nous intéresser à deux points de vue. La masse est un concept que chacun maîtrise naturellement. Il permet de classer les objets et d’avoir une idée de leur importance. On peut comparer une plume, un homme ou un éléphant en imaginant leurs masses mais il est paradoxal d’essayer d’imaginer la masse de la Terre et de la comparer avec nos objets familiers, car cela dépasse les limites de l’imaginaire et nos points de comparaison n’ont plus lieu d’être dès que l’on touche aux grandeurs astronomiques. L’intérêt essentiel de la connaissance de la masse de la Terre est de pouvoir étudier et prévoir les mouvements et les interactions mécaniques liés à la Terre.

Pb 15

Déterminer la masse de la Terre en utilisant la troisième loi de Képler (elle est donnée dans l’aide) avec des données que nous déterminerons plus tard dans l’énigme n° 10, c’est-à-dire : ◆ distance Terre–Lune (de centre à centre) : 384 000 km ; ◆ période de révolution de la Lune autour de la Terre : 27,3 jours.

Pb 16

En utilisant le même principe, déterminer la masse du Soleil ; pour cela nous utiliserons des données que nous déterminerons dans l’énigme n° 11 : ◆ distance Terre–Soleil (de centre à centre) : 149 600 000 km ; ◆ période de révolution de la Terre autour du Soleil : 365,25 jours. AIDE N° 6 Pour répondre à cette question nous devons utiliser la…

Troisième loi de Képler appliquée à un orbite circulaire Nous parlerons plus en détail de Képler et de ses trois lois dans l’énigme n° 16. Nous utiliserons simplement ici le résultat de sa recherche et l’appliquerons au cas simple des astres ayant une orbite circulaire ; nous poserons en effet cette hypothèse pour étudier le système Terre–Lune ou Soleil–Terre car les orbites sont très peu elliptiques (excentricité de l’ordre de 3 % seulement) ; les considérer circulaires ne nous fait pas commettre de grosses erreurs. 34

L’astronomie en questions

Képler a montré que dans leur rotation les planètes respectent cette relation : « le carré de leur période de révolution soit T × T est proportionnel au cube de leur demi-grand axe orbital, cela correspond au rayon dans le cas du cercle, soit r × r × r ». Le coefficient de proportionnalité (K) dépend de la masse de l’astre central (mc) et de G, la constante de gravitation (G = 6,6726.10 -11 m3kg –1s –2) La relation que nous utiliserons sera : 2

2

T 4π ----3- = K = ----------------G ⋅ mc r Pour déterminer la masse de la Terre, nous étudions le système Terre–Lune où la Terre représente l’astre central : mc = m T . Il ne reste qu’à appliquer la troisième loi de Képler avec les valeurs numériques suivantes :

A 15

◆ distance Terre–Lune (de centre à centre) : 384 000 km ; ◆ période de révolution de la Lune autour de la Terre : 27,3 jours. Pour déterminer la masse du Soleil, nous étudions le système Soleil–Terre où le Soleil est l’astre central : mc = m S . La méthode est la même que dans le problème précédent avec les valeurs numériques suivantes :

A 16

◆ distance Terre–Soleil (de centre à centre) : 149 600 000 km ; ◆ période de révolution de la Terre autour du Soleil : 365,25 jours.

CORRIGÉ N° 6 La Terre est l’astre central du système « Terre–Lune » donc mc = m T . La troisième loi de Képler peut se mettre sous la forme : 2 3

4π r mc = m T = -----------2 GT Nous appliquons ensuite la troisième loi de Képler avec : r = 384 000 km et T = 27,3 jours (à convertir en secondes), cela donne : 2

3

4π ( 384 000 000 ) 24 mc = m T = --------------------------------------------------------------------------------------- = 6,02.10 – 11 2 ( 6,6726.10 ) ⋅ ( 27,3 × 24 × 3600 ) La masse de la Terre est donc : m T = 6.1024 kg. Le plus grand qualificatif numéraire est le milliard, il correspond à 109 ou 1 000 000 000, ici 6.1024 kg pourrait se dire 6 mille milliards de milliards de tonnes. Cela montre bien que la masse des astres dépasse l’imagination. La Terre

35

C 15

C 16

La question précédente peut être transposée au système « Soleil–Terre » avec mc = m S ; nous utiliserons les valeurs : r = 149.600.000 km et T = 365,25 jours (à convertir en secondes). 2

9 3

4π ( 149,6.10 ) 30 mc = m S = --------------------------------------------------------------------------------------------- = 1,99.10 – 11 2 ( 6,6726.10 ) ⋅ ( 365,25 × 24 × 3600 ) La masse du Soleil est donc : mS = 2.1030 kg. La Terre pèse donc 3 millionième de la masse du Soleil ! Conclusion. Cette méthode permettra de déterminer les masses de nombreuses planètes du système solaire ; nous ferons cette étude dans l’énigme n° 16. Une fois la masse de la Terre déterminée on peut également calculer la période de révolution des satellites artificiels autour de la Terre en fonction de leur altitude, puisque le coefficient de Képler pour la Terre sera conservé : 2

4π – 14 2 –3 K T = --------------- = 9,8.10 s .m G ⋅ mT

36

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 7

Que vaut l’accélération de la pesanteur sur la Terre ?

À la surface du globe terrestre nous considérerons (dans cette énigme) que l’accélération de la pesanteur est constante. Nous allons ici proposer plusieurs méthodes permettant de déterminer sa valeur. Avant cela nous indiquerons qu’il y a plusieurs façons (non contradictoires) de définir l’accélération de la pesanteur que nous noterons « g » (comme gravité) : ◆ Le plus simple à ressentir est d’insister sur le terme de pesanteur ; chacun sait qu’il ne pèse pas le même poids sur Terre ou sur la Lune, cela est dû à l’accélération de la pesanteur qui est différente (rapport 6 : 1). Cette accélération de la pesanteur est donc un terme qui permet de convertir la masse (immuable en kg) d’un corps en une force d’attraction que l’on appelle poids et qui a donc l’unité d’une force (le Newton : N). ◆ La deuxième façon de définir g est d’insister sur le terme d’accélération. Son utilisation surprend souvent les non-initiés qui ne voient pas où il y a accélération puisque la masse (m) ou le poids (P) d’un corps ne s’accélèrent pas. En effet, m et P sont constants en un lieu donné. Pour montrer que g a bien la grandeur d’une accélération, il faut rappeler qu’une accélération est une variation de vitesse. Lorsque l’on observe la chute libre d’un objet, la seule action entraînant sa descente est la pesanteur, et puisque la vitesse de chute est croissante l’objet est constamment accéléré : ceci peut être l’une des justifications ou au moins l’une des visualisations de cette accélération…

Étude de la chute libre Il existe de nombreuses méthodes de mesure de g plus ou moins scolaires, mais nous nous limiterons ici à une seule méthode : celle de la chute libre d’une bille. Parmi les autres méthodes citons : • la chute d’un cylindre exposé à un marqueur ; • le glissement d’un solide sur un plan incliné ; • les oscillations du pendule de Kater…

La Terre

37

Pb 17

Description de l’expérience Nous étudions ici la chute d’une bille métallique dans l’air, sur une hauteur inférieure au mètre ; nous négligerons les frottements avec l’air et considérerons donc que la chute a lieu dans le vide. La bille est initialement retenue par un électro-aimant, un chronomètre se déclenche à l’extinction de l’électro-aimant soit au moment où la bille est lâchée. Le chronomètre s’arrête dès que le capteur de position, situé à une distance d au-dessous de l’électro-aimant, est atteint par la bille. Nous réalisons des mesures pour différentes hauteurs d : d (cm) t (s)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

60

70

80

10,5 14

18

20

23

25

27

28

31

32

36 38,5 41,5

Déduire de chacune de ces mesures la valeur de g. ◆ Si vous êtes novice en problèmes de mécanique, consultez l’aide et utilisez directement la relation donnée. ◆ Si vous avez des bases en mécanique, rappelez la définition d’une accélération à partir de la vitesse puis de la position d’un corps, toutes ces grandeurs sont étudiées selon l’axe vertical seulement. On rappelle que la seule accélération à laquelle le corps est soumis est celle de la pesanteur : g (que nous cherchons à déterminer) ; par ailleurs la position initiale d(0) est choisie comme nulle ainsi que la vitesse initiale : v(0) = 0 m.s-1. Déterminer alors la relation existant entre d, g et t.

Gravité et altitude Pb 18

Pèse-t-on le même poids au niveau de la mer (0 m) qu’au sommet du mont Blanc (alt : 4807 m) ? Nous ne tiendrons pas compte des phénomènes dus à la rotation de la Terre sur elle-même et qui varient avec la latitude du lieu.

Pb 19

Un astronaute monte dans sa fusée muni d’un altimètre indiquant 0 m au décollage. À une altitude de 2560 km, il constate qu’il ne pèse plus que la moitié de son poids du décollage. Peut-il en déduire le rayon de la Terre ? Nous préciserons que la fusée conserve alors son altitude (2560 km), elle est en orbite autour de la Terre et sa vitesse est conservée constante de telle sorte que la seule accélération subie par l’astronaute soit l’accélération de la pesanteur créée par la Terre.

38

L’astronomie en questions

AIDE N° 7

Chute libre d’un corps Nous allons établir ici la relation qui lie l’accélération de la gravité (g) au temps (t) mis par une bille en chute libre pour tomber d’une hauteur (d). Cela nous permettra de calculer g pour chaque essai effectué ci-dessous ; nous prendrons comme valeur finale la moyenne de toutes ces valeurs : d (cm) t (s)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

60

70

10,5 14

18

20

23

25

27

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31

32

36 38,5 41,5

A 17

80

g (m.s-2) • Les conditions initiales sont les suivantes : position et vitesse nulles, accélération égale à g :

⎧d(0) = z(0) = 0 m ⎪ –1 ⎨ v ( 0 ) = 0 m.s ⎪ ⎩ a(0) = g z(t) représente la position sur l’axe vertical dirigé vers le bas (z(t) = d). • Les relations entre position, vitesse et accélération sont les suivantes :

dz ( t ) v ( t ) = -----------dt

et

dv ( t ) a ( t ) = -----------dt

2

donc :

d z(t) -. a ( t ) = -------------2 dt

• Appliquer ces définitions à notre système et montrer que l’on trouve :

1 2 z ( t ) = d = --- gt 2

Gravité et altitude Pour savoir si on pèse le même poids au niveau de la mer (0 m) et au sommet du mont Blanc (alt : 4807 m), nous utilisons la « loi de gravitation universelle » :

avec :

MT ⋅ m - ⋅ (– u) F = – G ⋅ ---------------2 r MT la masse de la Terre : 6.1024 kg ; G la constante de gravitation : 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2 ; m la masse du corps considéré ; r la distance séparant le corps considéré du centre de la Terre.

La Terre

39

A 18

MT Terre

m

RT

u

r = RT + h

h

RT est le rayon de la Terre : 6400 km h est l’altitude par rapport au niveau de la mer.

F

0

Par ailleurs, le principe fondamental de la dynamique appliqué ici donne : F = m.g À l’aide des deux expressions du poids (F) donner l’expression de g et comparer sa valeur aux deux altitudes proposées.

A 19

Utiliser les deux expressions de la force données dans le problème ci-dessus pour déterminer la relation qui doit exister entre le rayon de la Terre (RT) et l’altitude (alt) pour qu’un astronaute pèse deux fois moins lourd. En déduire le rayon de la Terre si l’altitude correspondante est alt = 2560 km.

CORRIGÉ N° 7

Chute libre d’un corps C 17

Nous utilisons l’expression de l’accélération a(t) développée dans l’aide et en déduisons l’expression de la position z(t) : 2

d z(t) a ( t ) = -------------2 dt dv ( t ) a ( t ) = ------------ donne : dt dz ( t ) v ( t ) = ------------ donne : dt

∫ g. dt + v ( 0 ) = g.t 1 z ( t ) = v ( t ). dt + z ( 0 ) = g.t. dt = --- g.t ∫ ∫ 2

v(t) =

2

L’expression utilisée pour compléter la dernière ligne du tableau et déduire la valeur de g sera donc : 1 2d 2 z ( t ) = d = --- g.t ou g = -----22 t d (cm) t (s)

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

60

10,5 14

18

20

23

25

27

28

31

32

36 38,5 41,5

–2

g (m.s ) 9,07 10,7 9,25 10 9,45 9,6 40

L’astronomie en questions

70

9,6 9,98 9,4 9,76 9,25 9,5

80 9,3

Nous prendrons pour g, la valeur moyenne de toutes les valeurs calculées dans le tableau : g = (9,07 + 10,7 + 9,25 + 10 + 9,45 + 9,6 + 9,6 + 9,98 + 9,4 + 9,76 + 9,25 + 9,5 + 9,3) / 13 = 9,7 m.s–2. Des méthodes plus précises comme le pendule de Kater permettent de donner une valeur de g légèrement différente pour Paris : g = 9,81m.s–2. Il est également possible de réaliser cette expérience en remplaçant le système d’électro-aimant, de capteur et de chronomètre par une caméra CCD qui filme la chute libre le long d’une paroi graduée en centimètres.

Gravité et altitude Notre poids est une force que nous pouvons calculer avec la « loi de gravitation universelle » en déterminant notre distance r par rapport au centre de la Terre : • au niveau de la mer : r1 = rayon de la Terre : RT = 6378 km • au sommet du mont Blanc (Alt. 4807m) : r2 = 6378 km + 4,807 km = 6382,8 km.

C 18

On en déduit que les poids correspondants F1 et F2 ont pour norme :

MT ⋅ m F 1 = – G ⋅ ---------------2 r1

MT ⋅ m F 2 = – G ⋅ ---------------2 r2

et

Puisque G, MT et m sont constants pour un corps donné, on constate que le poids varie avec l’altitude. Plus on se trouve loin du centre de la Terre (r grand) et plus notre poids est petit (F faible). Nous pouvons comparer F1 et F2 : 2

2 F r ( 6382,8 ) ----1- = ---22- = ---------------------- = 1,0015 2 F2 r1 ( 6378 )

Conclusion. On pèse donc 0,15 % de plus au niveau de la mer qu’au sommet du mont Blanc, la différence est très faible mais il est indéniable que le poids varie avec l’altitude. Le poids étant proportionnel à l’accélération de la pesanteur (F = m.g), nous observons que g chute avec l’altitude (dans la même proportion que le poids). Comme nous venons de l’écrire dans le problème n° 18, le poids d’un corps passe de F1 à F2 lorsque sa distance au centre de la Terre passe de r1 à r2 en vérifiant la relation : 2

F r ----1- = ---22F2 r1 La Terre

41

C 19

Pour qu’un astronaute pèse deux fois moins lourd, F1 passe de 1 à F2 = 0,5 ; il faut que 2

r 1 ------- = ---220,5 r1 Cela revient à écrire : r 2 = r 1 ⋅ 2 . • L’astronaute est parti de la surface de la Terre : r1 = RT . • L’astronaute pèse deux fois moins lourd à une distance r2 du centre de la Terre : r2 = 2560 km = RT + alt. où « alt » représente l’altitude par rapport à la surface terrestre. Nous avons donc :

R T + alt = R T ⋅ 2 Cette expression nous permet bien de déduire le rayon de la Terre :

R T ( 1 – 2 ) = – alt alt 2650 km R T = ---------------- = --------------------- = 6400 km = R T 0,4142 2–1 Le rayon de la Terre est en effet de 6400 km, comme nous l’avons déjà montré dans l’énigme n° 1.

42

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 8

Pourquoi voit-on à l’envers dans les instruments astronomiques ?

En dehors des jumelles qui peuvent être utilisées pour regarder le ciel, tous les instruments astronomiques, lunettes comme télescopes, inversent les rayons lumineux et les images par la même occasion. Ce phénomène n’est pas de nature à simplifier la vie des astronomes mais ceux-ci sont prêts à conserver ce défaut plutôt qu’à le corriger au détriment d’une perte de lumière, qui serait causée par l’ajout d’une lentille supplémentaire. Cette inversion fait en quelque sorte le charme de l’observation astronomique puisqu’il faut diriger son instrument en direction opposée de ce que l’on observe, par exemple lorsque je vois Jupiter qui quitte le champ de vision par la droite, je dois tourner l’instrument vers la gauche, etc. Nous allons essayer de comprendre ici à quoi est due cette inversion, nous décrirons plus tard précisément les instruments les plus utilisés par les astronomes : ◆ la lunette de Galilée ; ◆ le télescope de Newton ; ◆ les télescopes de type Cassegrain. Mais avant cela, pour justifier ce phénomène d’origine optique nous devons donner les lois qui définissent les directions des rayons lumineux après un miroir (réflexion) ou une lentille (réfraction).

Optique géométrique : règles simplifiées de construction des rayons lumineux Mon propos n’est pas de faire un cours d’optique mais de distraire en appliquant ce que j’appellerai des règles du jeu ; désolé pour la rigueur ! En premier lieu nous considérerons qu’en l’absence d’obstacle, la lumière se dirige de manière rectiligne ; un rayon lumineux est donc représenté par une droite. •

Règles de la réflexion : le miroir

Nous appelons « rayon incident » le rayon arrivant sur le miroir et « rayon réfléchi », le rayon dévié par le miroir, celui qui en part. Ces rayons seront fléchés pour indiquer leur direction. La Terre

43

Pour construire le rayon réfléchi il faut d’abord définir une droite imaginaire que l’on appelle « normale ». Cette droite passe par le point de contact du rayon incident avec la surface du miroir (le point d’incidence), par ailleurs comme son nom l’indique la normale est perpendiculaire à la surface du miroir au point d'incidence. Normale

Une fois la normale tracée, on construit le rayon réfléchi par simple symétrie axiale du rayon incident par rapport à la normale. Ci-contre une figure représente le cas du miroir plan :

Rayon réfléchi

Rayon incident

Miroir

L’utilisation des miroirs est systématique dans les télescopes. Outre les miroirs plans dont l’utilisation est secondaire dans le télescope de Newton, on trouve des miroirs concaves ou convexes dans tous les télescope. Ils permettent de focaliser les rayons parallèles venant de l’infini en un point précis pour lequel le miroir a été taillé. Miroirs concave et convexe Les miroirs principaux utilisés dans les télescopes sont concaves paraboliques ; pour simplifier leur étude nous les considérerons sphériques de centre C ; ils sont symbolisés comme cela : ou C

C

ou C

C

Nous avons besoin de définir le foyer du miroir (F) pour pouvoir donner une règle générale de construction du rayon réfléchi. Pour les miroirs sphériques, le foyer se trouve sur l’axe optique du miroir exactement entre le centre C et la surface du miroir. Deux règles suffisent à construire une image notée A’B’ d’un objet AB ; cellesci définissent les rayons réfléchis selon la direction des rayons incidents :

44

L’astronomie en questions

Miroir concave

Miroir convexe

Lorsque le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le rayon réfléchi est dirigé vers le foyer F.

Lorsque le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le rayon réfléchi est dirigé à l’opposé du foyer F.

Lorsque le rayon incident vient du foyer, le rayon réfléchi est parallèle à l’axe optique.

Lorsque le rayon incident vient du foyer, le rayon réfléchi est parallèle à l’axe optique.

L’image est réelle à l’intersection des 2 rayons réfléchis.

L’image est virtuelle à l’intersection des 2 rayons réfléchis virtuels.

B

B B' C

A'

F

C A'

A

A

F

B'

En astronomie nous considérons en général que les rayons sont tous parallèles à l’axe optique puisque les « objets » lumineux se trouvent à de grandes distances souvent confondues avec l’infini. •

Règles de la réfraction : les lentilles

Nous ne traiterons que les cas des lentilles minces. Elles peuvent être divergentes (bords épais) ou convergentes (bords minces) ; elles sont symbolisées comme suit : Lentille divergente

ou

Lentille convergente

ou

Comme nous l’avons vu, les miroirs possèdent tous un foyer ; les lentilles en possèdent deux (principaux) : un foyer objet F et un foyer image F’. Seule la représentation du foyer principal image F’ nous sera utile. Celui-ci se trouve La Terre

45

à la « distance focale » du centre de la lentille ; cette longueur est une caractéristique essentielle pour une lentille. On distingue d’une part les lentilles divergentes pour lesquelles le foyer image F’ se trouve avant la lentille et d’autre part les lentilles convergentes pour lesquelles F’ se trouve après la lentille (voir figure ci-dessous). Comme pour les miroirs, deux règles suffisent à construire une image notée A’B’ d’un objet AB ; celles-ci définissent les rayons réfractés par la lentille selon la direction des rayons incidents : Lentille divergente

Lentille convergente

• Lorsque le rayon incident passe par le centre de la lentille, il n’est pas dévié : le rayon réfracté garde donc la même direction. • Lorsque le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le rayon réfracté est dirigé vers l’intérieur en direction de F ’.

• Lorsque le rayon incident est parallèle à l’axe optique, le rayon réfracté est dirigé vers l’extérieur comme s’il venait de F ’.

Selon la position de l’objet AB, l’image correspondante A’B’ peut être réelle (derrière la lentille) ou virtuelle (avant la lentille).

L’image A’B’ se construit à l’intersection des rayons réfractés par la lentille provenant de AB. B B'

Lentille divergente A

F'

A'

B Lentille convergente F'

A'

A

B'

Il ne nous reste plus qu’à appliquer ces règles simplifiées pour tracer les directions prises par les rayons lumineux dans les instruments astronomiques : 46

L’astronomie en questions

La lunette de Galilée La lunette est composée de deux lentilles, la première de plus gros diamètre s’appelle l’objectif, la seconde plus petite et interchangeable s’appelle l’oculaire.

Pb 20

Porte oculaire coulissant

Objectif

Tube creux

Oculaire

Construire le schéma optique qui est une association de deux lentilles convergentes. Tracer les rayons lumineux dans la lunette et construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit à l’envers dans cet appareil. Le télescope de Newton Il est composé d’un miroir principal concave et d’un miroir secondaire plan ; il faut toujours ajouter une lentille convergente interchangeable nommée oculaire.

Pb 21

Miroir plan (plus petit dans la réalité)

Rayons lumineux

Oculaire

Tube creux

Miroir principal concave

Porte oculaire coulissant

Construire le schéma optique équivalent au télescope de Newton, le compléter en traçant les rayons lumineux dans le télescope et construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit à l’envers dans cet appareil. Les télescopes de type Cassegrain Il est composé d’un miroir principal concave percé en son centre et d’un miroir secondaire convexe (pour simplifier l’étude nous le considérerons plan) ; il faut toujours ajouter une lentille interchangeable nommée oculaire qui se glisse ici derrière le miroir principal. Nous étudierons le télescope de Cassegrain qui ne possède que ces trois éléments optiques, d’autres versions (Maksutov ou Schmidt) nécessitent l’ajout d’une fine lentille (ou lame) en amont du miroir primaire. La Terre

47

Pb 22

Miroir plan (il est convexe dans la réalité)

Porte oculaire coulissant

Miroir principal concave

Rayons lumineux Tube creux

Oculaire

Tracer le schéma optique équivalent et tracer les rayons lumineux dans le télescope, construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit à l’envers dans cet appareil.

AIDE N° 8

A 20

La lunette de Galilée Le schéma de principe de la lunette peut être modifié pour donner du point de vue optique : B

Lentille L1 Lentille L2 F'1 = F'2

Objet à l'infini A

Distance focale de L1

Distance focale de L2

Tracer les rayons lumineux extrêmes (flèches simple et double) dans la lunette et construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit à l’envers dans cet appareil.

A 21

Le télescope de Newton Le schéma de principe peut également être modifié pour donner du point de vue optique : Distance focale du miroir primaire M1 Objet observé à l'infini

M2

Distance focale de l'oculaire

48

L’astronomie en questions

n Oculaire lentille convergente

Miroir principal concave M1

Compléter la figure ci-dessous en traçant les rayons lumineux (flèches simple et double) dans le télescope et construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit à l’envers dans cet appareil. Les télescopes de type Cassegrain L’étude optique nous donne :

A 22 Miroir principal Oculaire concave M1 lentille convergente

Objet observé à l'infini

M2

n

Distance focale du miroir M1

Distance focale de l'oculaire

Compléter la figure ci-dessus en traçant les rayons lumineux dans le télescope et construire l’image formée derrière l’oculaire. Montrer que l’on voit également à l’envers dans cet appareil.

CORRIGÉ N° 8 La lunette de Galilée Pour la lentille convergente L1, les rayons incidents sont parallèles à l’axe optique, ils sont donc réfractés vers le foyer principal image F’1. Pour la lentille convergente L2, les rayons incidents viennent du foyer principal image F’2 ; ils sont donc réfractés parallèlement à l’axe optique. Lentille L1 B

Lentille L2 F'1 = F'2

Objet à l'infini

A' B'

A Distance focale de L1

Distance focale de L2

L’image est bien inversée par la lunette puisque le rayon lumineux est passé de l’autre côté de l’axe optique ; les flèches AB et A’B’ sont inversées.

La Terre

49

C 20

C 21

Le télescope de Newton Avant le miroir M1, la lumière n’est pas déviée ; elle se propage donc de manière rectiligne. Le miroir M1 focalise les rayons vers F1; avant de pouvoir y arriver ils rencontrent le miroir plan M2. Ce miroir dévie les rayons de façon à respecter une symétrie par rapport à chaque normale ; ils se focalisent en F’. Les rayons incidents à l’oculaire (convergents) proviennent de F’, ils repartent donc parallèlement à l’axe optique. Distance focale du miroir primaire M1 Miroir principal concave M1

F1

Objet à l'infini

n

Distance focale de l'oculaire

Oculaire lentille convergente

L’image est bien inversée par le télescope de Newton puisque le rayon lumineux est passé de l’autre côté de l’axe optique.

C 22

Les télescopes de type Cassegrain Avant le miroir M1, la lumière n’est pas déviée ; elle se propage donc de manière rectiligne. Le miroir M1 focalise les rayons vers F1 ; avant de pouvoir y arriver ils rencontrent le miroir plan M2. Ce miroir dévie les rayons de façon à respecter une symétrie par rapport à chaque normale ; ils se focalisent en F’. Les rayons incidents à l’oculaire (convergents) proviennent de F’, ils repartent donc parallèlement à l’axe optique. Miroir principal concave M1 Objet à l'infini

n F1

M2

Distance focale du miroir primaire M1

Oculaire lentille convergente

F'

Distance focale de l'oculaire

Les rayons ont changé de côté de l’axe optique, l’image a donc bien été inversée : le rayon du bas (double flèche) est désormais en haut et celui du haut (simple flèche) est passé en bas. 50

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 9

Quel est le diamètre de la Lune ? Préliminaire Quels que soient les modèles astronomiques, depuis l’Antiquité il a toujours été évident pour les hommes que la Lune tournait autour de la Terre. Enfin une considération philosophique réellement vérifiée… Deuxième observation antique : la Lune est un astre éteint ; en effet, elle ne produit aucune lumière, ce n’est pas une étoile comme le Soleil. La lumière qui nous parvient de la Lune est en réalité produite par le Soleil et seulement réfléchie par celle-ci. La figure ci-dessous permet de montrer que la Lune tout comme la Terre est une sphère. Cette figure représente les phases lunaires, elle permet de se rendre compte que le Soleil est très éloigné du système Terre - Lune ; on pourra dans un premier temps le considérer comme se trouvant à l’infini (l’énigme n° 11 permettra de répondre à cette question : quelle est la distance Terre – Soleil ?).

"7" "8" "6"

Rayons

"1"

Terre

solaires

"5"

"2" "4" "3"

Cette première figure montre que la face située du côté du Soleil est éclairée et que l’autre est obscure ; de ce fait, les phases lunaires sont les parties de disques solaires éclairés par le Soleil, visibles depuis la Terre. Le trio : Terre – Lune – Soleil

51

La figure ci-dessous reprend chaque position de la Lune numérotée de « 1 » à « 8 » et indique les 8 phases correspondantes dans l’ordre chronologique : "1"

"2"

"3"

"4"

Nouvelle Lune

Premier croissant

Premier quartier

Lune gibbeuse

"5"

"6"

"7"

"8"

Pleine Lune

Lune gibbeuse

Dernier quartier

Dernier croissant

Une petite astuce permet de ne pas confondre le premier et le dernier quartier, ainsi nous pouvons savoir si la Lune est croissante et sera bientôt pleine ou si elle est décroissante et sera bientôt nouvelle. Dans les deux cas, on observe un demi-cercle, pour savoir s’il s’agit du premier ou du dernier quartier il faut s’imaginer que l’on peut écrire un « p » ou un « d » en minuscule.

"p"

"d"

Premier quartier

Dernier quartier

Quel est le diamètre de la Lune ? Pb 23

Aristarque de Samos (310 – 230 av. J.-C.) émet l’hypothèse que la Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil. Jugées impures, ses idées seront rejetées : il est alors inconcevable que l’astre sur lequel nous vivons ne soit pas le centre du monde. C’est lui le premier qui a déterminé la distance Terre - Lune et aussi avec une grosse imprécision, la distance Terre - Soleil. Comme lui, nous allons tenter de comparer le diamètre de la Lune à celui de la Terre en nous appuyant sur ses observations :

52

L’astronomie en questions

• La plus longue éclipse de Lune jamais observée a duré 2 heures. • La Lune n’est pas fixe dans le ciel, elle bouge par rapport aux étoiles qui sont considérées comme fixes ; les Grecs pensaient que les étoiles étaient des points collés sur la voûte céleste appelée la « sphère des fixes ». Aristarque a mesuré la vitesse de la Lune par rapport à la sphère des fixes, il a estimé que chaque heure la Lune avance d’une distance équivalente à son diamètre apparent. La figure ci-dessous montre ce déplacement. La Lune est ici représentée dans trois positions successives à 22, 23 et 24 heures. On observe que chaque heure, elle se déplace d’un angle correspondant à son diamètre apparent.

Lune à 22 h

Lune à 23 h

Lune à 24 h

À partir de ces observations, faire un croquis représentant la Terre et la Lune lors de la plus longue éclipse de Lune possible. Représenter deux fois la Lune, d’abord au premier puis au dernier instant de l’éclipse. Nous rappelons que le Soleil sera considéré comme se trouvant à une distance infinie des deux astres considérés. En déduire le rapport existant entre les diamètres de la Terre et de la Lune. Déterminer ensuite le diamètre de la Lune, si on prend la valeur déterminée par Ératosthène pour le diamètre terrestre : DTERRE = 6250 km.

Les résultats obtenus par la méthode d’Aristarque de Samos ne sont pas précis, l’erreur essentielle vient d’avoir considéré que le Soleil se trouvait à l’infini ; puisque ce n’est pas le cas, l’ombre de la Terre ne forme pas un cylindre mais un cône. Nous supposerons que le Soleil est plus gros que la Terre, cela sera prouvé plus tard dans l’énigme n° 12 : « Quel est le diamètre du Soleil ? ». À partir de cette nouvelle hypothèse, construire un nouveau croquis de principe contenant les mêmes éléments que précédemment dans le Pb n° 23 ; la Lune est elle plus grosse ou plus petite que ce que nous avons déterminé ?

Le trio : Terre – Lune – Soleil

53

Pb 24

Représentation du système héliocentrique de Copernic

En bas, à droite : Copernic ; à gauche : Aristarque de Samos Planche d’Andreas Cellarius, Paris - 1705 Bibliothèque nationale de France – Cartes et plans

AIDE N° 9

A 23

S’il vous est difficile de vous représenter les positions de la Lune par rapport à la Terre au début et à la fin de l’éclipse, je vous propose de compléter le croquis suivant.

Direction des rayons

Terre

Cylindre d'ombre de la Terre

solaires

La flèche à droite représente le sens de passage de la Lune dans la zone d'ombre

Je vous rappelle que le Soleil est considéré comme se trouvant à l’infini ; la Lune commence à être complètement éclipsée lorsqu’elle est entièrement entrée dans le cylindre d’ombre de la Terre ; elle n’est plus totalement éclipsée dès qu’elle commence à sortir de l’ombre.

54

L’astronomie en questions

Puisque le Soleil est plus gros que la Terre et qu’il ne se trouve pas à une distance infinie, la zone d’ombre créée par la Terre n’est pas un cylindre mais un cône s’affinant. Le nouveau croquis de principe aura pour base :

A 24

Zone de pénombre

Direction des rayons

Terre

Cône d'ombre de la Terre

solaires Zone de pénombre

Repérer à nouveau les positions de la Lune au début et à la fin de l’éclipse totale, en déduire si la Lune est plus petite ou plus grande que ce que l’on a déterminé dans le Pb n° 23.

CORRIGÉ N° 9 Croquis représentant la Terre et la Lune lors de l’éclipse de Lune L’éclipse dure 2 heures et chaque heure, la Lune se déplace d’un angle correspondant à son diamètre apparent ; les positions de cette dernière au début et à la fin de l’éclipse sont donc côte à côte.

Début de l'éclipse

Direction des rayons

Terre

Cylindre d'ombre de la Terre

solaires

Lune

1 heure après le début

Fin de l'éclipse

2 heures après le début

En déduire le rapport entre les diamètres de la Terre et de la Lune. Le croquis réalisé montre clairement que le diamètre de la Lune est trois fois plus petit que le diamètre de la Terre. DTERRE = 3 . DLUNE En reprenant la valeur du diamètre de la Terre déterminée dans l’énigme n° 1 : « La Terre est-elle ronde, quel est son diamètre ? » soit : DTERRE = 6250 km, nous obtenons : DLUNE = DTERRE / 3 = 12500 / 3 = 4166 km. Le trio : Terre – Lune – Soleil

55

C 23

Remarque. En réalité la Lune a un diamètre : DLUNE = 3476 km, les observations faites par Aristarque de Samos manquent de précision. Toutefois ce résultat donne un bon ordre de grandeur avec une erreur relative de 20 %.

C 24

Avec le nouveau croquis de principe, et puisque la Lune avance (toujours) chaque heure d’un angle équivalent à son diamètre apparent, on peut dessiner cela :

Début de l'éclipse

Direction des rayons solaires

Terre

Cylindre d'ombre de la Terre

Lune

1 heure après le début

Fin de l'éclipse

2 heures après le début

Nous observons que le diamètre de la Terre est supérieur à 3 fois le diamètre de la Lune donc : DLUNE < 3 . DTERRE Conclusion. Nous venons de prouver que le diamètre de la Lune vaut moins de 0,33 fois le diamètre de la Terre ; aujourd’hui, ce rapport est connu, il vaut 0,27.

56

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 10

À quelle distance de la Terre se trouve la Lune ?

Rappel L’énoncé du problème est partiellement celui de l’énigme n° 9 : « Quel est le diamètre de la Lune ? ». En effet, pour déterminer la distance qui nous sépare de la Lune, nous allons à nouveau tirer de riches informations de l’étude des éclipses de Lune. Nous garderons comme résultat final le diamètre : DLUNE = 3476 km. Aristarque de Samos (310 – 230 av. J.-C.) a observé que chaque heure la Lune avance d’une distance équivalente à son diamètre apparent et qu’une lunaison (révolution de la lune autour de la Terre) dure environ 29 jours.

À quelle distance de la Terre se trouve la Lune ? À partir des données ci-dessus, déduire la distance qui sépare la Terre de la Lune.

Pb 25

AIDE N° 10 1. À partir de la vitesse de déplacement de la Lune et de sa période de révolution, déterminer son diamètre apparent, c’est-à-dire l’angle que représente son diamètre dans le ciel vu de la Terre.

A 25

2. Avec la valeur du diamètre de la Lune et son diamètre apparent, déterminer la distance Terre - Lune.

CORRIGÉ N° 10 Pour déterminer la distance qui nous sépare de notre seul satellite naturel, nous allons répondre aux questions proposées dans l’aide : 1. Détermination du diamètre apparent de la Lune ----------- = 12,4 ° Puisqu’une lunaison dure 29 jours, chaque jour la Lune parcourt 360° 29 autour de la Terre. Le trio : Terre – Lune – Soleil

57

C 25

Par ailleurs, chaque heure la Lune avance d’un angle correspondant à son diamètre apparent. En 24 heures, la Lune ayant avancé de 12,4 °, cela signifie que 24 diamètres apparents représentent 12,4 °, soit : 12,4 ° Diamètre apparent de la Lune = -------------- = 0,517 ° ou 31 minutes d’arc 24 2. Sachant que le diamètre apparent de la Lune est de 0,517 ° et que son diamètre réel vaut : DLUNE = 3476 km, on peut tracer la figure de principe suivante : Diamètre apparent de la Lune : α = 0,517° DLune

Distance : Terre-Lune D Terre-Lune

Nous observons côte à côte deux triangles rectangles équivalents ayant : ◆ un angle au sommet de 0,517 ° / 2 = 0,259 ° correspondant à la Terre ; ◆ un côté adjacent de longueur égale à la distance Terre – Lune que nous recherchons ; ◆ un côté opposé de longueur égale au rayon de la Lune : RLUNE = 3476 / 2 = 1738 km La fonction tangente permet de lier l’angle que nous connaissons aux côtés adjacent et opposé d’un triangle rectangle :

opposé tan ( α ) = -------------------adjacent Cela donne :

1738 km D TERRE – LUNE = ------------------------------ ≈ 384 500 km tan (0,259 °) Conclusion. Nous venons de déterminer la distance séparant la Terre de la Lune. Aristarque de Samos avait en son temps commis une grosse erreur dans le calcul du diamètre de la Lune, mais si nous prenons dès le début la véritable valeur de son diamètre (ce que nous avons fait ici), la méthode est très efficace. Les mesures actuelles de cette distance moyenne (orbite elliptique et non circulaire) nous donnent : DTERRE – LUNE = 384 400 km, cela correspond très bien à notre résultat précédent.

58

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 11

À quelle distance de la Terre se trouve le Soleil ?

Préliminaires Aristarque de Samos (310 – 230 av. J.-C.) fut le premier à proposer une méthode rationnelle permettant de déterminer la distance Terre – Soleil. Il avait observé que la durée séparant le premier et le dernier quartier était différente de la durée séparant le dernier et le premier quartier. Or ces durées seraient égales si le Soleil se trouvait à l’infini comme le montre ce croquis :

Les rayons solaires

Dernier quartier

sont parallèles lorsque l'on considère

Sens de la rotation de la Lune

Terre

le Soleil à une distance infinie Premier quartier

Mais dans la réalité, le Soleil ne se trouve pas à une distance infinie de la Terre alors…

À quelle distance de la Terre se trouve le Soleil ? Si le Soleil n’est pas à l’infini, quelle est la durée la plus courte : celle qui sépare le premier du dernier quartier ou le dernier du premier ?

Le trio : Terre – Lune – Soleil

59

Pb 26

Pb 27

Comme Aristarque de Samos, nous allons considérer que la Lune met 15 jours pour passer du premier au dernier quartier, alors qu’elle en met 14 pour passer du dernier au premier. Connaissant la distance qui sépare la Terre de la Lune (distance réelle, mesurée avec les moyens actuels) : DTERRE – LUNE = 384 400 km, déterminer la distance Terre - Soleil.

Pb 28 Prenons le problème à l’envers, car l’erreur commise par Aristarque de Samos se situe dans l’estimation des différences de durées mises par la Lune pour passer d’un quartier à l’autre. Nous allons alors considérer que nous connaissons la distance Terre – Soleil soit 149,6 millions de kilomètres. En considérant que l’orbite de la Lune est parfaitement circulaire, que son déplacement se fait à vitesse constante et qu’une lunaison dure 29,5 jours (mesure actuelle), déterminer la durée que met la Lune pour passer du premier au dernier puis du dernier au premier quartier.

Traité « Samius » d’Aristarque de Samos, figures représentant les distances et grandeurs du Soleil et de la Terre Venise, 1498, Bibliothèque nationale de France, réserve des livres rares.

AIDE N° 11 Déterminons laquelle de ces deux durées est la plus courte, entre le premier et le dernier quartier ou entre le dernier et le premier quartier. Il faut d’abord rappeler que depuis la Terre, on observe un premier ou un dernier quartier (c’est-à-dire un demi-disque éclairé) uniquement lorsque le plan formé par la 60

L’astronomie en questions

ligne d’ombre sur la Lune (appelé terminateur et formant un disque séparant la surface lunaire en deux parties égales) passe par le centre de la Terre. La figure suivante montre quatre positions de la Lune mais une seule correspond à un quartier vu de la Terre :

Plans passant par la limite de l'ombre sur la Lune Direction des rayons du Soleil

[c]

[b]

[d]

[a] Orbite circulaire

Terre O

Quatre positions de la Lune sont représentées ici : ◆ [a] : depuis la Terre, on voit moins d’un demi-disque éclairé ; ◆ [b] : depuis la Terre, on voit moins d’un demi-disque éclairé ; ◆ [c] : depuis la Terre, on voit exactement un demi-disque éclairé, c’est un quartier de Lune ; ◆ [d] : depuis la Terre, on voit plus d’un demi-disque éclairé.

A 26

Déterminer la position de la Lune lors du premier et dernier quartier sur la figure ci-dessous. En déduire la durée la plus courte : entre le premier et le dernier quartier ou inversement.

Orbite lunaire

Le trio : Terre – Lune – Soleil

61

A 27

En considérant que la Lune met 15 jours pour passer du premier au dernier quartier, et qu’elle en met 14 pour passer du dernier au premier quartier, déterminer la distance Terre – Soleil en utilisant un triangle rectangle dans la figure ci-dessus. Pour cela, il faut déterminer l’angle formé par les côtés LS et ST (où L est la Lune, S le Soleil et T la Terre. On utilisera les durées indiquées au-dessus.

A 28

Pour déterminer la durée que met la Lune pour passer du premier au dernier quartier, puis du dernier au premier quartier, nous devons déterminer l’angle α correspondant au sommet S dans le triangle LST, rectangle en L. Nous savons que : DTERRE – LUNE = 384 400 km ; DTERRE – SOLEIL = 149 600 000 km Durée d’un tour de la Lune sur son orbite : 29,5 jours. Ensuite, il faudra reporter l’angle α sur la figure du Pb n° 26 complétée.

CORRIGÉ N° 11

C 26

Si le Soleil n’est pas à l’infini, ses rayons ne sont plus parallèles mais sont tous originaires du point S, centre du Soleil ; ils s’écartent donc en s‘éloignant. La figure suivante montre la Lune dans la position du premier et dernier quartier. Nous rappelons que l’on observe un premier ou un dernier quartier uniquement lorsque le plan formé par la ligne d’ombre sur la Lune (terminateur) passe par le centre de la Terre. Le terminateur est perpendiculaire aux rayons du soleil

Dernier quartier

Soleil Terre Les rayons solaires ne sont pas parallèles lorsque l'on considère le Soleil à une distance non infinie

Premier quartier

62

L’astronomie en questions

Sens de rotation de la Lune

Puisque l’on considère que la Lune tourne à vitesse constante, elle mettra moins de temps pour parcourir la plus petite des deux portions du cercle, donc : La durée pour que la Lune passe du premier au dernier quartier est plus longue que la durée qu’il lui faut pour passer du dernier au premier quartier. En admettant que la Lune mette 15 jours pour passer du premier au dernier quartier, alors qu’elle en met 14 pour passer du dernier au premier quartier, on peut définir l’angle α dans le triangle rectangle ci-dessous : Lune L

Distance : Terre-Lune

α

Soleil

α

Terre

S

T Distance Terre-Soleil

Le triangle LST est rectangle en L, nous connaissons la distance Terre – Lune soit : TL = DTERRE – LUNE = 384.400 km, nous recherchons la distance Terre – Soleil : TS. Pour déterminer cette distance, nous devons d’abord calculer l’angle α, connaissant les durées séparant deux quartiers de Lune.

DQ

α

(14 / 29) d'un tour

Terre

PQ

(15 / 29) d'un tour

α

Nous avons tous les éléments nécessaires pour déterminer la valeur de l’angle α, en égalisant les 2 portions de cercles : Le trio : Terre – Lune – Soleil

63

C 27

14 360 ° × ------ + 2α = 180 ° 29

Soit :

ou

15 360 ° × ------ – 2α = 180 °. 29

360 ° × 14 180 ° – ------------------------29 α = -------------------------------------------- = 3,1 ° 2 À partir de ce résultat, on peut déduire la distance Terre – Soleil en utilisant les relations liées au triangle LST. D TERRE – LUNE opposé TL sin α = ------------------------------ = ------ = ---------------------------------hypothénuse TS D TERRE – SOLEIL donne :

D TERRE – LUNE D TERRE – SOLEIL = ------------------------------sin α soit :

384 400 km D TERRE – SOLEIL = ---------------------------- = 7 108 000 km sin (3,1 °) Remarque. La méthode d’Aristarque de Samos donne une idée de l’éloignement du Soleil (environ 7 millions de km) avec une erreur très importante puisque la distance réelle est de 149,6 millions de kilomètres. Son erreur vient de l’estimation des durées entre deux quartiers de Lune, car cette mesure est particulièrement difficile, l’écart entre ces deux durées étant très faible. Toutefois, Aristarque a réussi à montrer que le Soleil est beaucoup plus éloigné de nous que la Lune. Un tel nombre (149 000 000 km) n’est plus représentatif pour l’esprit humain, on a donc créé une nouvelle unité correspondant à cette distance « l’unité astronomique » notée U.A. Elle est très utilisée pour toutes les distances dans le système solaire. La distance Terre – Soleil vaut donc 1 U.A.

C 28

Nous connaissons désormais la vraie distance Terre – Soleil : 149,6 millions de kilomètres. Il suffit donc de changer d’inconnue dans les équations précédentes, nous cherchons désormais α :

D TERRE – LUNE D TERRE – LUNE sin α = ---------------------------------- ⇒ α = arcsin ⎛ ----------------------------------⎞ ⎝ D TERRE – SOLEIL D TERRE – SOLEIL⎠ 384 400 = arcsin ⎛ ------------------------------⎞ 0,147 ° ⎝ 149 600 000⎠

(= 8’50’’)

De plus nous savons qu’une lunaison dure 29,5 jours, nous pouvons donc déterminer n’importe laquelle des deux durées séparant deux quartiers, en utilisant la deuxième figure du corrigé du Pb n° 27. Nous noterons « d », la durée la plus courte et « D » la plus longue : 64

L’astronomie en questions

360 × d 360 × D ------------------ + 2α = 180 ° = ------------------- – 2α 29,5 29,5 soit :

29,5 29,5 d = ---------- ( 180 – 2α ) = ---------- ( 180 – 2 × 0,147 ) = 14,726 jours 360 360 et

D = 29,5 – d = 14,774 jours La Lune met donc : (D =) 14 jours, 18 heures et 35 minutes pour passer du premier au dernier quartier alors qu’elle met : (d =) 14 jours, 17 heures et 25 minutes pour passer du dernier au premier quartier. Conclusion. L’écart entre ces deux durées n’est d’environ qu’une heure au lieu d’un jour comme le pensait Aristarque de Samos, cela explique son importante erreur.

Le trio : Terre – Lune – Soleil

65

ÉNIGME N° 12

Quel est le diamètre du Soleil ?

Pb 29

Les énigmes n°9, 10 et 11 nous ont permis de déterminer le diamètre de la Lune ainsi que les distances qui nous séparent du Soleil et de la Lune ; nous utiliserons ici les données actuelles, soit : ◆ Diamètre de la Lune : ◆ Distance Terre – Lune : ◆ Distance Terre – Soleil :

DLUNE = 3 476 km. DTERRE – LUNE = 384 400 km. DTERRE – SOLEIL = 149 000 000 km.

L’observation des éclipses de Soleil nous permet de dire que le Soleil et la Lune ont des diamètres apparents égaux, puisque la Lune cache exactement le Soleil. Déduire de ces données le diamètre réel du Soleil.

Éclipse de Soleil photographiée par la sonde SOHO (NASA)

AIDE N° 12

A 29

Le croquis suivant montre la disposition particulière du Soleil et de la Lune lors d’une éclipse de Soleil. Les diamètres apparents de la Lune et du Soleil sont identiques, cela veut dire que la Lune cache exactement le Soleil. Dans la réalité, les orbites étant elliptiques et non circulaires, on voit parfois le Soleil ou la Lune plus ou moins gros, c’est donc en moyenne que ces diamètres apparents sont égaux. 66

L’astronomie en questions

Diamètre apparent = angle α α

Soleil

Lune

Terre

CORRIGÉ N° 12 Le croquis proposé dans l’aide permet en notant les rayons et les distances connus de déterminer le rayon du soleil : Soleil Terre Lune α Diamètre Lune

Diamètre Soleil

Distance Terre-Lune Distance Terre-Soleil

En appliquant le théorème de Thalès ou un simple produit en croix on peut écrire que : D SOLEIL D TERRE – SOLEIL ------------------ = ----------------------------------D LUNE D TERRE – LUNE donc :

D TERRE – SOLEIL D SOLEIL = D LUNE × ----------------------------------D TERRE – LUNE L’application numérique donne :

149 600 000 D SOLEIL = 3 476 × ------------------------------ = 1 352 800 km = diamètre du Soleil 384 400 Soit, un rayon de :

R SOLEIL = 676 400 km

Le trio : Terre – Lune – Soleil

67

C 29

Conclusion. Cette méthode donne un résultat tout à fait satisfaisant puisque les moyens actuels nous donnent un diamètre pour le Soleil de 1 392 000 km, soit une erreur relative de moins de 3 %. Il est amusant de rappeler que les mesures concernant le Soleil (diamètre et distance d’éloignement) ont été déterminées par Aristarque de Samos à l’aide de la Lune et de cette coïncidence exceptionnelle qui veut que les disques solaire et lunaire soient identiques vus de la Terre. La Lune est à peu près 400 fois plus petite que le Soleil, mais elle est également 400 fois plus proche de nous !

68

L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 13

Quels sont la hauteur et le diamètre de ce cratère lunaire ?

Notion d’altitude sur la Lune Pour définir une altitude sur la Lune comme sur la Terre, il faut une référence d’altitude : 0 mètre. Pour la Terre, la référence naturelle est le niveau de la mer, mais il n’existe pas de repère naturel pour la Lune. Il faut alors créer une référence ; le plus logique est de choisir un niveau moyen, cela a été fait en 1961 par R.B. Baldwin : le « Contour Map ». La figure ci-dessous montre que le niveau moyen est défini artificiellement (en pointillés) ; les mers se trouvent plutôt sous ce niveau et les continents au-dessus : Niveau moyen ou "Contour Map" Continent

Coupe de la Lune montrant un relief fictif

Mer ou Océan

Dans la suite du problème, nous ne définirons plus de niveau moyen. On ne cherchera pas l’altitude d’un relief lunaire par rapport au niveau moyen, mais nous parlerons plutôt de la hauteur d’un relief par rapport à son environnement proche que nous considérerons comme plat.

Détermination de l’angle sous lequel la Lune est éclairée Nous avons vu précédemment (énigme n° 9 « Quel est le diamètre de la Lune ? »), que la Lune pouvait nous présenter différentes phases selon sa position sur son orbite autour de la Terre. Ces phases sont simplement dues au fait que la face visible de la Lune depuis la Terre reçoit les rayons solaires sous un angle variant régulièrement, de 0 ° à 360 ° soit un tour complet en un mois synodique (ou lunaison, environ 29,5 jours). Le trio : Terre – Lune – Soleil

69

La figure ci-dessous permet de définir l’angle α, correspondant à l’angle que font les rayons du Soleil avec l’axe Terre – Lune. Nous choisirons α nul lorsque les rayons semblent venir de la Terre ; cet angle sera considéré comme croissant dans le sens direct (ou sens trigonométrique vu du Nord) : Soleil

Lune

Direction des rayons solaires

α Axe Terre/Soleil Terre

4 cas particuliers ◆ α = 0° = 360 ° : ◆ α = 90° : ◆ α = 180° : ◆ α = 270° = – 90° :

Pb 30

Nord + Nord

pleine Lune ; premier quartier ; nouvelle Lune ; dernier quartier.

Déterminer l’angle α sous lequel le Soleil éclaire la face visible de la Lune dans les 5 différentes dispositions données ci-dessous : A

D

B

C

E

Placer ensuite les cinq figures dans l’ordre chronologique en commençant par la pleine Lune. 70

L’astronomie en questions

Définition des coordonnées lunaires Lorsqu’un cratère est éloigné de la zone centrale de la face visible, on ne l’observe plus sous la forme d’un disque car il faut tenir compte de la sphéricité de la Lune ; pour cela nous aurons besoin de définir ses coordonnées lunaires. Comme pour toute sphère (et notamment la Terre), nous pouvons appliquer le système de coordonnées latitude et longitude à notre satellite naturel. Le fait que la Lune nous présente toujours la même face (dite « visible » en opposition à la face « cachée ») permet de définir le méridien de référence 0 ° comme passant juste par son centre. La figure ci-dessous donne le quadrillage des principaux méridiens et parallèles : Pôle Nord Parallèle de latitude : 30° Nord 60°N

60°N

30°N

30°N Méridien de longitude : 60° Est

Ouest

60°W

30°W 0° 30°E Équateur

60°E

Est

30°S

30°S

60°S

60°S Pôle Sud

Sur cette figure, le méridien de référence (0 °) est représenté verticalement. Il est rare que l’on observe la Lune dans cette position, car l’inclinaison de cet axe varie en fonction de l’heure et du fait que la Lune se lève ou se couche. Pour retrouver cet axe, nous tracerons le segment reliant les extrémités du terminateur (frontière entre les zones éclairée et obscure du disque lunaire). Nous admettrons également que les pôles de la Lune se trouvent aux extrémités du terminateur. Cela permettra de définir un système de coordonnées dans lequel le Soleil se trouve toujours dans le plan équatorial ; ainsi un observateur se trouvant sur la Lune verra le Soleil se lever exactement à l’Est et se coucher exactement à l’Ouest (pour α décroissant). Par comparaison : le Soleil passe aussi par ces deux points cardinaux vu de la Terre un jour de solstice puisque le Soleil se trouve alors dans le plan équatorial terrestre. Le trio : Terre – Lune – Soleil

71

Si ce système de coordonnées lunaires ne correspond pas exactement aux coordonnées géographiques rigoureuses ce n’est pas grave ; ce qui nous importe ici, c’est seulement la direction des rayons solaires.

Pb 31

À partir du moment ou un relief ne se trouve pas au centre de la face visible de la Lune, on a besoin de définir ses coordonnées lunaires : latitude et longitude à partir des parallèles et méridiens. 1. Définir la latitude et la longitude du centre de la mer de la Fécondité encadrée sur la photo. 2. Déterminer le diamètre de cette mer considérant qu’elle est circulaire.

Quels sont la hauteur et le diamètre de ce cratère ? Pour déterminer cela, nous allons regarder la photo d’un cratère tel qu’on pourrait l’observer dans une lunette astronomique. La Lune lors d’un premier quartier (disposition « D » du Pb 30) :

Zone au Sud de la région centrale de la Lune, cratère de Ptolémée :

La photographie de gauche donne une image agrandie du cratère de Ptolémée seul sous un éclairage différent, nous utiliserons le schéma de droite par la suite.

72

L’astronomie en questions

Ptolemaeus

Pour ce problème, nous considérerons le cratère schématisé ci-dessus. L’ombre à son maximum s’étend sur 20 % du diamètre du cratère.

Pb 32

1. Déterminer l’angle α sous lequel les rayons solaires éclairent la face visible de la Lune. 2. Déterminer les coordonnées du centre de ce cratère. 3. Déterminer le diamètre puis la hauteur de ce cratère.

AIDE N° 13 Recherche de l’angle α sous lequel la face visible de la Lune reçoit les rayons solaires. À partir de la figure suivante, déterminer la relation qu’il y a entre α, le rayon lunaire et la longueur du segment équatorial éclairé :

Lune vue du dessus (pôle Nord) Face cachée

Direction des O

rayons solaires α

Face visible Axe Terre/Soleil Segment équatorial éclairé N

E

O W S Disque lunaire vu de la Terre

Remarque. On observe que l’angle α tel qu’il a été arbitrairement orienté est positif lorsque la Lune est décroissante de la pleine Lune vers la nouvelle Lune en passant par le premier quartier. Puis α est négatif lorsque la Lune est croissante de la nouvelle Lune vers la pleine Lune en passant par le dernier quartier. La Lune se déplace donc dans le sens des angles α décroissants, cela est confirmé par les valeurs des 4 cas donnés dans l’énoncé (PL, PQ, NL, DQ). Le trio : Terre – Lune – Soleil

73

A 30

La relation ainsi définie doit permettre de déterminer α dans les 5 cas proposés en mesurant à chaque fois le segment équatorial lunaire éclairé. Vous pouvez effectuer vos mesures et éventuels tracés sur ces figures : A

B

C

E

D

Pour remettre les 5 phases lunaires proposées ci-dessus (de A à E) dans l’ordre chronologique, on part de la pleine Lune (α = 0 ° ou 360 °) et on classe les valeurs d’α dans le sens décroissant. Remarque. Dans la réalité, le mois lunaire débute par la « nouvelle Lune ».

A 31

Pour déterminer les coordonnées lunaires du centre de la mer de la Fécondité : question « 1 », nous suivrons les étapes suivantes : ◆ tracer l’axe reliant le pôle Nord au pôle Sud, il représentera l’axe des ordonnées ; ◆ noter le point O au centre de la face visible, ce sera le centre du système d’axes ; ◆ tracer l’équateur, qui sera l’axe des abscisses ; ◆ relever les coordonnées algébriques du point P qui nous intéressent, abscisse (X) et ordonnée (Y) ; ◆ relever le rayon R de la Lune et le rayon du disque (X’) d’ordonnée Y ; ◆ déduire des coordonnées du point P ; les angles correspondants à sa latitude ϕ et à sa longitude λ (la figure ci-contre permet de représenter ces angles).

74

L’astronomie en questions

Pour déterminer le diamètre de la mer de la Fécondité : question « 2 », nous suivrons les étapes suivantes : ◆ Déterminer l’angle β qui existe entre O’, le centre de la face visible ; O, le centre de la Lune et P, le point qui nous intéresse (centre de la mer). L’angle β permettra de déterminer l’inclinaison de la zone où se trouve la mer de la Fécondité par rapport au centre de la face visible, inclinaison due à la sphéricité de la Lune. La figure ci-dessous donne une représentation de cet angle. ◆ En connaissant le diamètre de la Lune : 3476 km, déterminer le diamètre de la mer de la Fécondité. La figure ci-dessous permet de représenter β à l’aide d’un système de coordonnées horizontales adapté à notre situation. C’est-à-dire que O est le centre de la Lune, P est le lieu qui nous intéresse à la surface de la Lune. La direction notée « zénith » correspondra à la direction de la Terre et O’ est le centre de la face visible depuis la Terre. Nord

P

Est Nadir

Face cachée

β

Zénith

ϕ

O

de la Lune

O' λ Ouest

P'

Face visible

Sud

Le cercle passant par les 4 points cardinaux (N, S, E et O) délimite les faces visibles et cachées de la Lune. Le cercle passant par O’, l’Est et l’Ouest est l’équateur. L’angle ϕ est la latitude, son origine est l’équateur et son orientation est verticale, positive vers le Nord : – 90 ° ≤ ϕ ≤ + 90 °. L’angle λ est la longitude, son origine est O’ et son orientation est horizontale, notée Est ou Ouest. L’expression de β est donnée par « la règle du cosinus » dans un triangle sphérique PP’O’ (où O’ désigne le centre de la face visible), la particularité de ce triangle est d’être rectangle en P’, de ce fait la relation s’écrit : Le trio : Terre – Lune – Soleil

75

ˆ cos β = cos ϕ × cos λ + sin ϕ × sin λ × cos P'

ˆ = cos (90°) = 0 avec cos P'

Cela simplifie l’expression qui devient : cos β = cos ϕ × cos λ Ainsi l’inclinaison β est définie en fonction de la latitude ϕ et de la longitude λ.

A 32

Pour déterminer les propriétés du cratère de Ptolémée, nous savons que l’ombre à son maximum s’étend sur 20 % du diamètre du cratère. Nous reprendrons les méthodes utilisées dans les deux premiers problèmes pour déterminer l’angle α et ses coordonnées lunaires. 1 et 2. La photo ci-contre permettra de faire les mesures nécessaires à la détermination des propriétés demandées. 3. Ensuite, il nous reste à déterminer son diamètre puis sa hauteur. Pour cela nous considérerons que le cratère est parfaitement circulaire, de hauteur constante et que la zone se trouvant autour du cratère et où se projette les ombres est bien plate.

La figure ci-dessous représente un cratère avec l’angle θ sous lequel on voit le Soleil par rapport à l’horizon local. Il faudra déterminer la relation entre l’angle θ et la hauteur du cratère ainsi que la longueur de l’ombre. es olair

ns s Rayo Cratère lunaire θ P

H omb

P est le centre du cratère H est la hauteur du cratère omb est la longueur de l’ombre

Ensuite il faudra définir l’angle θ à partir des autres angles déjà déterminés comme α, ϕ et λ. La figure suivante permet d’illustrer certaines informations nécessaires pour définir θ. Nous utiliserons désormais un vrai système de coordonnées horizontales pour donner les coordonnées du Soleil vu depuis le point P (centre de la mer de la Fécondité). 76

L’astronomie en questions

• L’angle h est la hauteur, son origine est l’horizon et son orientation est verticale vers le haut : - 90 ° ≤ h ≤ + 90 °

Soleil

Zénith

• Le point P est le lieu qui nous intéresse sur la Lune. Le point A donne la direction dans laquelle arrivent les rayons solaires.

A

Est

Nord

Face cachée

h

P

Sud

de la Lune

S

a

• L’angle a est l’azimut, son origine est le Sud et son orientation est horizontale vers l’Ouest : 0 ≤ a ≤ 360 °.

Ouest

A'

Nadir

Le plan regroupant les 4 points cardinaux (N, S, E et O) est le plan horizontal du lieu P. L’angle que nous recherchons, θ, est la hauteur du soleil au-dessus de l’horizon du point P, c’est donc l’angle h défini dans le système de coordonnées horizontales : θ = h . Nous rappelons que notre système de coordonnées (λ et ϕ) est défini par rapport à l’éclairement de la face visible de la Lune. Le Soleil se trouve toujours dans le plan équatorial de la Lune, de sorte que de n’importe quel point de la Lune, un observateur verra toujours le Soleil se lever et se coucher dans la direction exacte de l’Est et de l’Ouest. ◆ L’exploitation du système de coordonnées horizontales nous permet de définir précisément l’azimut du soleil en observant la Lune de dessus : Soleil

λ : longitude du point P (positive vers l’Est et négative vers l’Ouest) α : direction du Soleil par rapport à l’axe Terre – Lune (positif dans le sens trigonométrique) a : azimut positif dans le sens horaire.

-90 Est

Lune 180°

α λ

Nous observons sur cette figure que l’azimut « a » vaut : a = α – λ .

Terre O' 0°

a

P Ouest 90°

Le trio : Terre – Lune – Soleil

Sens trigonométrique

77

◆ Le système de coordonnées horizontales nous permet également de définir la hauteur maximale sous laquelle nous observons le Soleil depuis un point P de latitude ϕ. Nord

Zénith de P P

Lune O

ϕ 90° – ϕ

Rayons du Soleil

90° – ϕ

Horizon de P

Sud

La coupe de la Lune ci-dessus selon le méridien de P montre que le Soleil pourra atteindre une hauteur maximale dans le ciel de : hmax = 90 ° – ϕ . Puisque nous savons que le Soleil semble se déplacer sur un cercle vu de la Lune et que nous connaissons 3 points particuliers de passage : l’Est et l’Ouest sur l’horizon (azimut + et –90°) mais aussi un passage au Sud (azimut nul) à une hauteur hmax. Nous pouvons représenter le disque reprenant l’ensemble des positions du Soleil et en déduire la hauteur h pour un azimut quelconque. Soleil

Zénith h max

A

Est

Nord

Face cachée

h

P

de la Lune Trajectoire apparente du Soleil

Sud a

Ouest

S

A'

Nadir

Ensuite on peut définir l’angle h à partir des autres angles déjà déterminés comme α, ϕ et λ . 78

L’astronomie en questions

En effet, on peut d’abord déterminer la relation qui existe entre h, hmax et l’azimut « a », les relations de géométrie dans la sphère nous donnent : h = hmax × cos (a) en remplaçant hmax et a par leurs expressions, nous obtenons : h = (90 – ϕ) × cos (α – λ) Maintenant que nous avons défini l’inclinaison h du soleil par rapport à l’horizon, nous pouvons calculer la hauteur H du cratère de Ptolémée.

CORRIGÉ N° 13 La figure suivante permet de déterminer la relation entre α et la longueur du segment équatorial éclairé (BC) à l’aide du triangle rectangle OAB : Lune vue de dessus (pôle Nord)

Lune gibbeuse : figure 1

Segment équatorial éclairé

C Face cachée O B

α

OC = rayon lunaire

A

α

Axe Terre/Soleil

La longueur qui nous intéresse soit « le segment équatorial éclairé » est égale : ◆ au segment OC + OB : la Lune est entre un quartier et la pleine Lune (gibbeuse), c’est-à-dire que plus de la moitié du disque lunaire visible de la Terre est éclairé comme sur la figure 1 ; ◆ au segment OC – OB : lorsque la Lune est entre un quartier et la nouvelle Lune (croissant), c’est-à-dire que moins de la moitié du disque lunaire visible de la Terre est éclairé, comme sur la figure 2. Lune vue de dessus (pôle Nord)

Croissant de Lune : figure 2

Face cachée α B A α –180

Segment équatorial non éclairé

C

OFace visible

Axe Terre/Soleil

Le trio : Terre – Lune – Soleil

79

C 30

Le triangle OAB est rectangle en B, donc : OB = OA • cos α

ou

OB = OA • cos (α – 180 °)

Ce qui donne : • Pour la configuration « 1 », et lorsque plus de la moitié du disque lunaire OB - . Cela donne : est éclairé : cos α = -------OA OB α = arccos ⎛ ---------⎞ ⎝ OA⎠ • Pour la configuration « 2 » », et lorsque moins de la moitié du disque OB - . Cela donne : lunaire est éclairé : cos (α – 180 °) = -------OA OB α = 180 ° + arccos ⎛ ---------⎞ ⎝ OA⎠ À partir des mesures du rayon lunaire et du segment équatorial éclairé, on peut déterminer la valeur du segment OB :

OB = segment équatorial éclairé –rayon lunaire Le segment OA a comme longueur : le rayon lunaire, on peut donc remplir le tableau suivant : Croquis

A

B

C

D

E

Diamètre (du pôle Nord au pôle Sud)

3,1 cm

3,2 cm

3,3 cm

3,2 cm

3,3 cm

Rayon lunaire = OA

1,55 cm

1,6 cm

1,65 cm

1,6 cm

1,65 cm

Segment équatorial éclairé

0,6 cm

1,6 cm

0,8 cm

2,1 cm

3,3 cm

|0,6 – 1,55| = 0,95 cm

|1,6 – 1,6| = 0 cm

|0,8 – 1,65| = 0,85 cm

|2,1 – 1,6| = 0,5 cm

|3,3 – 1,65| =1,65 cm

|OB| / OA

0,61

0

0,51

0,31

1

Signe de α

–

–

–

+

=

Portion éclairée

1 moins de --2

1 moins de --2

1 moins de --2

1 plus de --2

1 plus de ---

|OB| / OA =

cos (α – 180°) cos (α – 180°) cos (α – 180°)

cos (α)

cos (α)

|OB|

α Ordre chronologique (référence = pleine Lune)

80

2

– 128 ° (= + 232 °)

– 90 ° (= + 270 °)

120 °

72 °

0° (= + 360 °)

3

2

4

5

1

dernier croissant

dernier quartier

premier croissant

gibbeuse croissante

pleine Lune

L’astronomie en questions

1. Coordonnées du centre de la mer de la Fécondité

C 31

Comme dans l’aide, nous suivrons les étapes suivantes : ◆ tracer l’axe reliant le pôle Nord au pôle Sud, il représentera l’axe des ordonnées ;

y

◆ noter le point O au centre de la face visible, ce sera le centre du système d’axes ;

X X’

◆ tracer l’équateur, qui sera l’axe des abscisses ;

0

◆ mesurer les coordonnées algébriques du point P qui nous intéresse, abscisse et ordonnée : • nous notons l’ordonnée du point P : Y = – 0,14 cm ; • son abscisse : X = 1,37 cm ; • le rayon du disque formé par le parallèle passant à la latitude de P : X’ = 1,8 cm ; • le rayon lunaire : R = 1,9 cm ;

x

Y

P

◆ déduire des coordonnées du point P, les angles correspondants à sa latitude ϕ et à sa longitude λ.

➩ Face visible de la Lune (vue de la Terre) La latitude ϕ est l’angle fait par le plan équatorial (O,x,z) et le segment OY :

y

sin ϕ = Y / R Remarque. Si ϕ est positif, on dit que la latitude est « Nord », s’il est négatif, on dira que la latitude est « Sud ». ➩ Disque correspondant au parallèle de même latitude que le point P, son rayon vaut donc X’ Le triangle rectangle OXP permet de déterminer la longitude du lieu P, nous utiliserons le fait que la longueur du segment OP correspond à l’abscisse X’, soit : sin λ = OX / OP ou :

Face visible (vue de la Terre)

N

λ X

W

X'

O

x

E ϕ

Y P S z

Disque correspondant au parallèle de même laitude que le point P

Face cachée X

W

X'

O Face visible

E λ

sin λ = X / X’ Remarque. Si λ est positif on dira que la longitude est « Est », si cet angle est négatif, on dira que la longitude est « Ouest ».

Le trio : Terre – Lune – Soleil

P

81

x

Pour le cas particulier qui nous intéresse : le centre de la mer de la Fécondité, nous avons mesuré : X = 1,37 cm ; X’ = 1,8 cm ; Y = – 0,14 cm ; R = 1,9 cm . On peut calculer la latitude ϕ et la longitude λ à l’aide des relations précédentes, soit : sin ϕ = Y / R sin ϕ = – 0,14 / 1,9 = – 0,0737

ici :

ou

ϕ = – 4,2 ° ;

puisque ϕ est négatif (sens inverse trigonométrique) nous pouvons dire que : la latitude du point P est de 4,2 °Sud. sin λ = X / X’ sin λ = 1,37 / 1,8 = 0,76

ici :

ou

λ = 49,6 ° ;

puisque λ est positif (sens trigonométrique) nous pouvons dire que : la longitude du point P est de 49,6 °Est. 2. Diamètre de la mer de la Fécondité ◆ Il faut d’abord déterminer l’inclinaison β de la zone sur laquelle se trouve le lieu qui nous intéresse en l’occurrence : la mer de la Fécondité. La relation utile a été définie dans l’aide de ce problème, elle s’appuie sur « la règle du cosinus » dans un triangle sphérique rectangle : cos β = cos ϕ × cos λ cela donne pour notre cas : cos β = cos (– 4,2 °) × cos (49,6 °) = 0,65

β = 49,7 °

soit :

◆ L’angle β représente l’inclinaison de la surface de la Lune au niveau de la mer de la Fécondité, par rapport au plan horizontal au centre de la face visible. La figure ci-dessous représente donc la mer de la Fécondité avec l’inclinaison sous laquelle elle est observée depuis la Terre : Surface de la Lune Terre O

O'

Direction de la Terre

β Diamètre réel P β

82

L’astronomie en questions

Diamètre vu de la Terre

Cette figure nous montre que l’on peut retrouver à l’aide d’un triangle rectangle, la relation entre le diamètre réel de la mer de la Fécondité (AC) et son diamètre vu de la Terre (AB). Soit :

AB cos β = -------AC On peut donc déduire le diamètre réel à partir du diamètre vu de la Terre et de l’inclinaison β : AB AC = -----------cos β Il faut d’abord déterminer le diamètre de la mer de la Fécondité vu de la Terre. Pour cela, il suffit de rapporter les mesures relevées sur la photographie, on compare le diamètre de la Lune (3,4 cm) et le diamètre de la mer vu de la Terre en suivant le rayon du disque lunaire passant par P (0,4 cm).

A

Diamètre réel

C

β

Diamètre vu de la Terre

B

Diamètre de la Lune O'

Diamètre "radial" de la mer

P

On déduit le diamètre de la mer vu de la Terre en sachant que le diamètre réel de la Lune est de 3476 km : « Diamètre de la mer vu de la Terre (en km) » égal « diamètre réel de la Lune (en km) » multiplié par « diamètre radial de la mer (en cm) » divisé par « diamètre de la Lune (en cm) ». Soit : 0,4 cm diamètre = 3476 km × ---------------3,4 cm Le diamètre de la mer de la Fécondité vu depuis la Terre est de : 409 km. À partir de l’inclinaison β, on peut désormais déterminer le diamètre réel de la mer : AB 409 km AC = ------------ = ---------------------------- = 632 km cos β cos ( 49,7 ° ) Le diamètre réel de la mer de la Fécondité est donc de 632 kilomètres. 1. Nous ne déterminerons pas à nouveau l’angle α sous lequel la face visible de la Lune est éclairée puisque cette configuration a déjà été étudiée dans le croquis « D » du Pb n° 30. Nous pouvons donc reprendre le résultat final : α = 90°, cela correspond bien à un premier quartier. 2. Comme nous l’avons fait dans le deuxième problème, nous allons déterminer les coordonnées lunaires du centre du cratère de Ptolémée : latitude et longitude. Nous mesurons d’abord : Le trio : Terre – Lune – Soleil

83

C 32

X = 0,1 cm ; X’ = 1,75 cm ; Y = – 0,5 cm ; R = 1,9 cm Ensuite nous appliquons les relations démontrées dans le Pb n° 31 : sin ϕ = Y / R sin ϕ = – 0,5 / 1,9 = – 0,26

ici :

ou

ϕ = – 15,2 ° ;

puisque ϕ est négatif (sens inverse trigonométrique) nous pouvons dire que : la latitude du point P est de 15,2 °Sud. sin λ = X / X’ sin λ = 0,1 / 1,75 = 0,057

ici :

ou

λ = 3,3 ° ;

puisque λ est positif (sens trigonométrique) nous pouvons dire que : la longitude du point P est de 3,3 °Est. 3. Ensuite, il nous reste à déterminer son diamètre puis sa hauteur. Pour cela, nous pouvons admettre que le cratère est parfaitement circulaire, de hauteur constante et que les alentours où se projettent les ombres sont plats. 3.1. Pour déterminer le diamètre du cratère de Ptolémée, nous utiliserons le principe déjà utilisé dans le Pb n° 31 : Nous mesurons donc sur la photographie le diamètre de la Lune : 3,8 cm ; puis celui du cratère vu de la Terre : 0,1 cm. Nous pouvons calculer : 0,1 cm diamètre = 3476 km × ---------------3,8 cm Le diamètre du cratère de Ptolémée vu depuis la terre est de : 91,5 km. Il faut ensuite déterminer l’inclinaison β avec la relation : cos β = cos ϕ × cos λ cela donne pour notre cas : cos β = cos (– 13,3 °) × cos (3,3 °) = 0,963 soit :

β = 15,5 °

À partir de l’inclinaison β, on peut désormais déterminer le diamètre réel de la mer : AB 91,5 km AC = ------------ = ------------------------------ = 95 km cos β cos ( 15, 5 ° ) Le diamètre réel du cratère de Ptolémée est donc de 95 kilomètres. 3.2. Pour déterminer la hauteur du cratère, nous utiliserons la figure proposée dans l’aide, elle représente un bord du cratère avec l’angle θ sous lequel on voit le Soleil par rapport à l’horizon local et l’ombre de ce cratère se projetant sur un sol plat. Nous rappelons la définition de l’angle θ qui est donnée dans l’aide, nous n’avons plus qu’à l’appliquer maintenant : 84

L’astronomie en questions

laires ns so Rayo Cratère lunaire θ P

H P est le centre du cratère H est la hauteur du cratère omb est la longueur de l’ombre

omb

θ = h = (90 – ϕ) × cos (α – λ) Dans notre cas nous avons :

ϕ = 15,2 ° Sud

λ = 3,3 ° Est

α = + 90 °

donc :

θ = (90 ° – 15,2 °) × cos (90 ° – 3,3 °) = 4,3 ° Maintenant que nous connaissons l’inclinaison θ du soleil par rapport à l’horizon, nous pouvons calculer la hauteur H du cratère de Ptolémée en fonction de la longueur (omb) de l’ombre grâce au triangle rectangle ainsi formé. H = omb × tan (θ) Il est dit dans l’énoncé que l’ombre couvre 20 % du diamètre du cratère soit : omb = diam × 20/100 = 95 km × 0,2 = 19 km Le cratère de Ptolémée a donc une hauteur de : H = 19 km × tan (4,3 °) = 1,428 km soit :

H = 1428 m.

Remarque. La méthode est très imprécise car les mesures sont difficiles sur une petite photographie. Par ailleurs, nous considérons que l’ombre du relief étudié se projette sur un sol plat ce qui n’est pas toujours le cas. Cela permet tout de même de se représenter le relief lunaire, nous montrons ainsi que la surface de la Lune n’est pas si plate qu’on l’imagine parfois. Ces mesures gagneront en précision si on travaille avec des agrandissements des zones à étudier.

Le trio : Terre – Lune – Soleil

85

ÉNIGME N° 14

Quand ont lieu les éclipses ? Pourquoi n’y a-t-il pas d’éclipse à chaque nouvelle Lune ?

Préliminaire Les éclipses sont des phénomènes propre au trio : « Terre – Lune – Soleil ». Il en existe deux types : ◆ Les éclipses de Lune Schéma de principe (aucune échelle n’est respectée) : Soleil Terre

Lune Cône d'ombre de la Terre

Depuis la Terre, on observe en pleine nuit la Lune qui disparaît dans l’ombre de la Terre. La disparition de la Lune n’est jamais complète car de la lumière est diffusée par l’atmosphère terrestre, mais la couleur de la Lune devient rousse voire brune. Nous avons vu dans l’énigme n° 9 que ce type de phénomène avait permis d’estimer le diamètre de la Lune. ◆ Les éclipses de Soleil Schéma de principe (aucune échelle n’est respectée) : Soleil Terre Lune

Cône d'ombre de la Lune

86

L’astronomie en questions

Depuis la Terre, on observe la Lune cacher le Soleil, et l’obscurité nous envahit en plein jour si on se trouve bien dans le cône d’ombre de la Lune. Dans le cas contraire, l’éclipse n’est que partielle et le Soleil ne disparaît pas complètement. Grâce aux éclipses totales, nous avons vu dans l’énigme n° 12 que nous pouvions déterminer le diamètre du Soleil. Quelles sont les phases lunaires lors d’une éclipse de Lune, puis lors d’une éclipse de Soleil ?

Pb 33

Pourquoi n’y a-t-il pas d’éclipse de Lune et d’éclipse de Soleil tous les mois ?

Pb 34

Cycle de répétition des éclipses : le Saros Les Babyloniens avaient déjà remarqué (plus de 2000 ans av. J.-C.) qu’il existait une périodicité dans les phénomènes d’éclipses de Lune. En effet, ils ont trouvé qu’environ tous les 18 ans les éclipses de Lune se répétaient identiques à ellesmêmes dans le même ordre. C’est ce cycle que l’on appelle « Saros ». Il était impossible par contre de prédire dans l’Antiquité la date d’une éclipse de Soleil pour un lieu donné car des calculs très complexes sont nécessaires. Le Saros correspond à un nombre entier de lunaison : 223 exactement ; sa durée est donc de 18 ans et 11 jours. Rappelons qu’une lunaison dure 29,53 jours, et qu’elle est l’intervalle de temps séparant consécutivement deux aspects identiques de la Lune. Montrer que la Lune fait un tour de la Terre (nommé « révolution sidérale de la Lune ») en près de 27 jours.

Pb 35

Démontrer que la durée du Saros est proche de 18 ans. Cela revient à déterminer le temps que mettent le Soleil, la Terre et la Lune pour se retrouver dans une disposition identique, par exemple pour qu’une éclipse se répète dans la même configuration. Les calculs pouvant être très complexes, on se contentera de monter que le Saros correspond à 223 lunaisons.

Pb 36

Pourquoi en un lieu donné est-il beaucoup plus rare d’observer une éclipse de Soleil qu’une éclipse de Lune ?

Pb 37

Liste des éclipses de Soleil à venir en Europe La première liste des prévisions d’éclipses a été publiée par Théodor Ritter von Oppolzer à Vienne en 1887. Depuis, d’autres astronomes ou mathématiciens ont publié des listes intitulées Canons d’éclipses. Les dernières rééditions comptent plus de 13 000 éclipses. Le trio : Terre – Lune – Soleil

87

Parmi les éclipses de Soleil, nous pouvons nous attendre à observer en Europe dans les 2 décennies à venir : Date

Description

31 / 05 / 2003

Éclipse de Soleil annulaire en Europe du Nord

03 / 10 / 2005

Éclipse de Soleil annulaire en Espagne - Portugal

29 / 03 / 2006

Éclipse de Soleil totale en Russie

01 / 08 / 2008

Éclipse de Soleil totale au Groenland

04 / 01 / 2011

Éclipse partielle de Soleil

03 / 11 / 2013

Éclipse de Soleil hybride dans le Sud de l’Europe

20 / 03 / 2015

Éclipse totale de Soleil – Atlantique Nord

11 / 08 / 2018

Éclipse partielle de Soleil dans le Nord de l’Europe

21 / 06 / 2020

Éclipse de Soleil annulaire dans le Sud-Est de l’Europe

AIDE N° 14

A 33

Pour déterminer quelles sont les phases lunaires lors d’une éclipse de Lune ou d’une éclipse de Soleil, nous pouvons utiliser la figure suivante bien qu’elle ne respecte pas les échelles : Dernier quartier

Terre Soleil

Nouvelle Lune

Terre

Pleine Lune

Premier quartier

Sur une telle figure, le Soleil peut être considéré à une distance infinie, ses rayons seront donc considérés comme parallèles.

A 34

Lorsque l’on observe la figure ci-dessus, il semble logique qu’il y ait deux éclipses par lunaison (ou période synodique : 29,5 jours), une éclipse de Lune et une éclipse de Soleil, toutes deux séparées d’une demi-lunaison (environ 15 jours). 88

L’astronomie en questions

Dans la réalité nous savons que ce n’est pas du tout le cas puisqu’il y a en moyenne 2,3 éclipses de Soleil par an (au lieu de 12) et 1,5 éclipse de Lune (au lieu de 12 aussi). La représentation ci-dessus n’est donnée qu’en deux dimensions ; quel phénomène à l’origine des écarts cités auparavant aurait été constaté sur une figure en 3 dimensions ? Pour déterminer le temps que met la Lune pour faire un tour de la Terre, il faut rappeler quelques définitions : • On appelle « lunaison » ou « mois synodique », la durée L = 29,53 jours que met la Lune pour montrer deux aspects (ou phases) identiques vus de la Terre. Cette durée est plus longue que le temps mis par la Lune pour faire un tour de la Terre. • Le temps que met la Lune pour faire exactement un tour de la Terre s’appelle le « mois sidéral », nous le noterons Ms et allons tenter de déterminer sa durée.

Position "C" Position "B" Direction d'une étoile α très éloignée, considérée comme un repère fixe dans l'espace

lu n

a ire

Soleil

bi

te

Position "A"

O

r

◆ Au début : position « A », la Lune est dans la même direction que le Soleil (nouvelle Lune) et qu’une étoile α choisie comme repère fixe. ◆ Un mois sidéral Ms plus tard : la position « B », la Lune a précisément fait un tour de la Terre puisqu’elle est à nouveau dans la direction de l’étoile α vue de la Terre, toutefois elle ne présente pas le même aspect à la Terre que dans la position « A ». ◆ Un mois lunaire L après la position « A », la Lune se trouve dans la position « C », elle présente le même aspect qu’au début vu de la Terre : c’est à nouveau la nouvelle Lune. Nous rappelons que la Terre fait le tour du Soleil en un an, nous prendrons comme durée d’une année : 365,25 jours. Voilà, vous avez toutes les informations utiles pour déterminer Ms. Le trio : Terre – Lune – Soleil

89

A 35

A 36

Pour montrer que la durée du Saros est proche de 18 ans, nous prendrons L = 29,530589 jours (mois synodique) et Ms = 27,212221 jours (mois sidéral). Par ailleurs, nous avons vu que déterminer la durée du cycle Saros revient à déterminer le temps que mettront le Soleil, la Terre et la Lune pour se retrouver exactement dans une même disposition, l’alignement étant également conservé par rapport au référentiel fixe (ici l’étoile α). On se limitera à montrer que le Saros correspond à 223 lunaisons, pour cela il faut savoir que ce cycle est forcément : ◆ un nombre entier X de mois lunaires : disposition Terre – Soleil – Lune conservée ; ◆ un nombre entier Y de mois sidéraux : disposition Terre – Lune – étoile α conservée.

Direction d'une étoile α considérée comme fixe

Plan orbital de la Lune

Ligne des nœuds intersection des 2 plans 5,9°

Plan orbital terrestre (écliptique)

On demande juste de prouver que X = 223 correspond à cette hypothèse de travail.

A 37

Pour montrer qu’en un lieu donné il est beaucoup plus rare d’observer une éclipse de Soleil qu’une éclipse de Lune, il faut rappeler les conditions d’observation de ces deux types d’éclipses : 1. On peut observer une éclipse de Lune depuis la moitié de la Terre plongée dans l’obscurité au moment du phénomène. 2. Pour observer une éclipse de Soleil (partielle ou totale) il faut se trouver dans le cône d’ombre (ou de pénombre) de la Lune au moment du phénomène. Expliquer pourquoi cette deuxième configuration est beaucoup plus rare que la première. 90

L’astronomie en questions

CORRIGÉ N° 14 Nous observons sur la figure proposée dans l’aide qu’il ne peut y avoir éclipse de Soleil que lorsque la Lune projette son ombre sur la Terre : la Lune doit être entre le Soleil et la Terre, c’est la « nouvelle Lune ». De même, nous observons qu’il n’y a éclipse de Lune que lorsque la Terre plonge la Lune dans son ombre : la Terre doit être entre le Soleil et la Lune, c’est la « pleine Lune ». Nouvelle Lune

Terre

C 33

Pleine Lune

Soleil

Sur la figure ci-dessous on observe que la Terre et la Lune ne tournent pas dans le même plan. Il existe un angle de 5,9 ° entre les deux plans orbitaux : celui de la Terre autour du Soleil (appelé également « écliptique ») et le plan orbital de la Lune autour de la Terre. Cet angle peut sembler faible à première vue, mais sur une figure à l’échelle on se rend compte qu’un tel écart rend beaucoup moins fréquent l’alignement des 3 astres. Cela montre bien pourquoi il ne peut pas y avoir d’éclipse de Lune ou de Soleil tous les mois.

C 34

Distance Terre – Lune : 384 000 km

Direction du Soleil

Inclinaison de l'orbite lunaire : 5,9°

Diamètre de la Terre : 12 756 km

Diamètre de la Lune : 3476 km

Sur cette figure l’échelle est respectée pour les diamètres de la Terre, de la Lune et pour leur éloignement, le Soleil n’est là qu’à titre indicatif mais sans respecter l’échelle du système Terre – Lune. Pour déterminer le temps que met la Lune pour faire le tour de la Terre, nous observons sur la figure fournie dans l’aide que : ◆ Un mois sidéral Ms correspond à une rotation de 360 ° de la Lune autour de la Terre. ◆ Un mois synodique dure L = 29,53 jours, il correspond à une rotation de (360 ° + β) de la Lune autour de la Terre. L’angle β correspond à la rotation de la Terre autour du Soleil en 29,53 jours soit : Le trio : Terre – Lune – Soleil

91

C 35

t = L = 29,5 jours t = Ms = ? β t = 0 jour Soleil Orbite lunaire

360 × 29,53 β = ---------------------------- = 29,1 ° 365,25 Nous considèrerons par souci de simplification que les orbites sont circulaires et que les vitesses des astres sont constantes, il nous reste à appliquer un simple produit en croix : Ms ⇒ 360° L = 29,53 jours ⇒ 360° + 29,1 ° = 389,1 ° donne : 360 × 29,53 jours Ms = ------------------------------------------ = 27,32 jours 389,1 Le résultat correspond bien à l’estimation demandée (proche de 27 jours). En effet, nous venons de montrer que la Lune fait exactement un tour de la Terre en 27,3 jours.

C 36

Pour retrouver la durée du Saros, nous prendrons L = 29,530589 jours (mois synodique) et Ms = 27,212221 jours (mois sidéral). Remarque. Nous constatons que la valeur de Ms donnée ne correspond pas à la valeur calculée précédemment de 27,32 jours. En effet pour déterminer la période de révolution de la Lune lui permettant de se retrouver dans la même disposition par rapport aux autres astres, nous avons besoin de définir un nouveau terme qui est la « révolution draconitique ». Elle tient compte de l’orbite elliptique et non circulaire de la Lune, elle tient également compte du phénomène de rotation d’une vingtaine de degrés par an de la ligne des nœuds (visible dans l’aide sur la figure du Pb n° 36). Par abus de langage mais par souci de simplification nous continuerons à appeler cette durée « mois sidéral ». 92

L’astronomie en questions

Une éclipse se reproduira identique à elle-même lorsque la Lune montrera la même phase à la Terre (conservation de l’alignement Soleil – Terre - Lune) donc au bout d’un nombre entier X de lunaisons d’une part. D’autre part l’alignement doit être respecté dans un référentiel fixe (conservation de l’alignement Terre – Lune – étoile lointaine), donc au bout d’un nombre entier Y de révolutions draconitiques. On nomme S la durée correspondant au Saros, cela peut s’écrire : S = X×L ⎫ X ⋅ L = Y ⋅ Ms ⎬ S = Y × Ms ⎭ Il est demandé ici de constater que le nombre X de 223 lunaisons fait correspondre un nombre entier Y de révolutions draconitiques, on calcule donc :

X⋅L 223 × 29,5305882 Y = ----------- = ------------------------------------------- = 241,998 ≈ 242 Ms 27,2122208 et on remarque que ce nombre est bien entier Y = 242. Nous retrouvons une durée du Saros :

S = Y ⋅ Ms = 242 × 27,2122208 = 6585,3 jours S = 18 ans et environ 11 jours. Cela signifie que 18 ans et 11 jours après une éclipse (de Lune ou de Soleil), la même éclipse se reproduit de façon identique. Cela est facilement observable pour les éclipses de Lune ( depuis le 3ème millénaire avant J.-C. par les Babyloniens), par contre cela n’est pas aussi évident pour les éclipses de Soleil, car le Saros n’étant pas un nombre entier de jours, l’éclipse de Soleil ne sera pas visible du même lieu de la Terre. 1. On peut observer une éclipse de Lune depuis la moitié de la Terre plongée dans l’obscurité au moment du phénomène, donc on a une chance sur deux de voir une éclipse de Lune depuis un lieu donné. 2. Pour observer une éclipse de Soleil (partielle ou totale) il faut se trouver dans le cône d’ombre (ou de pénombre) de la Lune au moment du phénomène, cela n’est possible que pour une faible partie de la surface terrestre (cela est dû au petit diamètre de la Lune). Il est donc beaucoup plus rare d’observer une éclipse de Soleil qu’une éclipse de Lune d’un point donné de la surface terrestre.

Le trio : Terre – Lune – Soleil

93

C 37

ÉNIGME N° 15

Pourquoi toutes les éclipses de Soleil ne sont-elles pas totales ?

Différents types d’éclipses de Soleil Il existe deux types d’éclipses centrales de Soleil : ◆ Les éclipses totales se produisent lorsque le diamètre apparent du Soleil est plus petit que celui de la Lune, vu de la Terre : Soleil Lune Surface terrestre Cône d'ombre de la Lune

Toute personne située dans la zone d’ombre voit le Soleil disparaître totalement. ◆ Les éclipses annulaires se produisent lorsque le diamètre apparent du Soleil est plus grand que celui de la Lune : Soleil Lune Surface terrestre Cône d'ombre de la Lune

Tout observateur situé dans la zone de pénombre voit le Soleil partiellement caché par la Lune, sa zone centrale disparaît mais il reste un anneau de Soleil autour. Nous ne parlerons pas ici des éclipses partielles de Soleil qui peuvent se produire plus fréquemment que les éclipses centrales mais qui sont moins spectaculaires.

94

L’astronomie en questions

Cette diversité dans les types d’éclipse est due aux orbites elliptiques de :

Pb 38

◆ la Terre autour du Soleil : ces deux astres auront donc une distance minimale appelée périhélie (147,1 millions de km) et une distance maximale appelée aphélie (152,1 millions de km). La distance moyenne Terre – Soleil vaut (149,6 millions de km). ◆ la Lune autour de la Terre : ces deux astres auront donc une distance minimale appelée périgée (356 410 km) et une distance maximale appelée apogée (406 740 km). La distance moyenne Terre – Lune vaut 384400 km. À partir de ces valeurs, calculer les diamètres apparents de la Lune et du Soleil vus de la Terre pour les cas moyens et extrêmes (diamètres minimums et maximums). Nous prendrons comme valeur numérique des diamètres réels : ◆ pour la Lune : 3476 km ; ◆ pour le Soleil : 1 392 000 km. Pour chiffrer l’occultation du Soleil par la Lune, il existe un terme nommé « grandeur d’une éclipse » défini comme suit : g = OB / BB’

Soleil

OB représente la partie du diamètre apparent solaire occultée par la Lune. BB’ représente le diamètre apparent du Soleil.

B'

S

Lune

O

B L

Ce terme est particulièrement intéressant pour comparer des éclipses partielles (comme sur la figure) mais il permet également de distinguer les éclipses totales des éclipses annulaires : • g ≥ 1 : éclipse totale, car OB ≥ BB’ ; • g < 1 : éclipse annulaire (ou partielle) car OB < BB’. Nous allons étudier les cas les plus extrêmes : 1. Soleil le plus lointain et Lune la plus proche de la Terre ; 2. Soleil le plus proche et Lune la plus lointaine de la Terre ; 3. le Soleil et la Lune à leur distance moyenne de la Terre. Dans les trois cas, montrer si les éclipses sont totales ou annulaires.

Le trio : Terre – Lune – Soleil

95

Pb 39

AIDE N° 15

A 38

Nous avons déjà utilisé la notion de diamètre apparent pour la Lune ou le Soleil dans les énigmes 9 à 12. Rappelons toutefois qu’il s’agit d’un angle que nous calculerons en degrés : B O

A

d(°)

Distance = OA

B'

tan(d) = BB’ / OA Selon que la Terre se trouve à sa distance moyenne du Soleil, à l’aphélie ou au périhélie, déterminer les diamètres apparents du Soleil (dsa, dsp, dsm). Même question pour la Lune selon sa position : moyenne, au périgée ou à l’apogée (dlm, dlp, dla).

A 39

Pour déterminer la grandeur de l’éclipse (g) dans les trois cas demandés, on applique simplement la relation g = OB / BB’. Dans le cas des éclipses centrales : • OB représente le diamètre apparent de la Lune (dl) ; • BB’ représente le diamètre apparent du Soleil (ds). Dans les trois cas proposés, calculer g 1, g 2, g 3 et discuter du type d’éclipse réalisé selon que g est supérieur ou inférieur à 1. CORRIGÉ N° 15

C 38

Pour déterminer les différents diamètres apparents nous appliquons simplement : tan(d) = BB’ / OA. Pour calculer directement « d », nous utilisons la fonction réciproque à la tangente (tan) qui est l’arc-tangente (arctan). Astre et position

BB’ (diamètre)

OA (éloignement)

Diam. apparent = arctan (BB’/OA)

Soleil éloigné (aphélie) : dsa

1,392 Mkm

152,1 Mkm

dsa = 0,52435°

Soleil proche (périhélie) : dsp

1,392 Mkm

147,1 Mkm

dsp = 0,54217°

Soleil « en moyenne » : dsm

1,392 Mkm

149,6 Mkm

dsm = 0,53311°

Lune éloignée (apogée) : dla

3476 km

406 740 km

dla = 0,48964°

Lune proche (périgée) : dlp

3476 km

356 410 km

dlp = 0,55878°

Lune « en moyenne » : dlm

3476 km

384 400 km

dlm = 0,51809°

96

L’astronomie en questions

Tous ces diamètres apparents sont très proches et voisins de 0,5° ou une trentaine de minutes d’arc (30’) dans la base sexagésimale. Remarque. Si les éclipses de Soleil existent, cela est dû à une coïncidence incroyable : le Soleil est 400 fois plus grand que la Lune mais 400 fois plus éloigné de la Terre. Aucune autre planète du système solaire n’a de satellite naturel ayant la même propriété. Nous calculons la grandeur de l’éclipse dans les trois configurations proposées à l’aide de la relation : g = OB / BB’ avec OB = ds (diamètre apparent du Soleil) et BB'’ = dl (diamètre apparent de la Lune). 1. Soleil le plus lointain et Lune la plus proche de la Terre : la grandeur sera maximale soit gmax = dlp / dsa = 0,55878 / 0,52435 = 1,066. Nous obtenons une grandeur gmax supérieure à 1, l’éclipse sera donc totale. 2. Soleil le plus proche et Lune la plus lointaine de la Terre : la grandeur sera minimale soit gmini = dla / dsp = 0,48964 / 0,54217 = 0,903. Nous obtenons une grandeur gmini inférieure à 1, l’éclipse sera donc annulaire. 3. Le Soleil et la Lune à leur distance moyenne de la Terre : la grandeur sera moyenne soit gmoy = dlm / dsm = 0,51809 / 0,53311 = 0,972. Nous obtenons une grandeur gmoy inférieure à 1, l’éclipse sera donc annulaire. Conclusion. Nous remarquons que la grandeur d’une éclipse peut varier entre 0,903 et 1,006 avec une valeur moyenne de 0,972. Nous avons donc montré que toutes les éclipses ne sont pas totales, puisque la majorité d’entre elles ne le sont pas (il y a plus d’éclipses annulaires que d’éclipses totales).

Le trio : Terre – Lune – Soleil

97

C 39

ÉNIGME N° 16

Quelle est la masse des planètes à satellite ?

Déterminer la masse d’une planète est essentiel. Avec son diamètre et sa distance d’éloignement du Soleil, il s’agit des trois caractéristiques principales qui sont données dans les cartes d’identité des planètes. Connaître la masse d’un astre permet : ◆ de prévoir les interactions avec les autres astres : les attractions gravitationnelles sont toujours en proportion des masses des astres considérés ; ◆ de savoir s’il y a une atmosphère : les petites planètes n’en possèdent pas car la gravité (qui est liée à la masse de l’astre) est trop faible et les gaz s’échappent dans l’espace ; ◆ de déterminer beaucoup d’autres caractéristiques encore… Nous appliquerons ici la 3ème loi de Képler, celle-ci permet de déterminer facilement la masse des planètes ayant des satellites comme Mars, la Terre, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton. Nous avons déjà appliqué cette méthode pour déterminer la masse de la Terre dans l’énigme n° 6.

Képler et ses trois lois Les trois lois de l’Allemand Johannes Képler (Weil 1571 – Ratisbonne 1630) ont révolutionné l’astronomie ; il a placé à nouveau le Soleil au centre du système solaire, alors que Tycho Brahé dont il a été l’assistant considérait que le Soleil tournait autour de la Terre. Toutefois les très fines observations de ce dernier ont permis à Képler de montrer ce qui philosophiquement était impensable à l’époque : les orbites des planètes ne sont pas circulaires (forme parfaite) mais elliptiques. Le système décrit par Képler est donc conforme au système solaire tel que nous le connaissons actuellement en l’absence des trois dernières planètes : • Uranus (découverte par Herschel en 1781), • Neptune (découverte en 1846 par Le Verrier et Adams), • Pluton (découverte par Tombaugh en 1930). Le système solaire

99

Les trois lois énoncées par Képler sont : 1. Loi n° 1 « Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer ». Terre

Soleil

A F1

P

F2

Demi-petit axe (b)

Demi-grand axe (a)

A : aphélie, la Terre est au plus loin du Soleil. P : périhélie, la Terre est au plus près du Soleil. 2. Loi n° 2 « Le rayon vecteur planète-Soleil balaie des aires proportionnelles au temps mis pour les parcourir ». Puisqu’en une durée identique la Terre balaie une portion d’ellipse identique en surface, cela signifie qu’elle va plus vite lorsqu’elle est près du Soleil (P) que lorsqu’elle en est éloignée (A). T2

A

Soleil S1

S2

P

T1

Surface S1 = Surface S2 3. Loi n° 3 « Le carré de la durée de révolution est proportionnel au cube du grand axe de l’orbite ». Comme dans l’énigme n° 6 « Quelle est la masse de la Terre ? » nous allons appliquer cette 3ème loi au cas des orbites circulaires, nous allons en quelque sorte renier la 1ère et la 2ème lois de Képler ; cette hypothèse est proche de la réalité pour les satellites des planètes que nous étudierons. Nous poserons donc :

100 L’astronomie en questions

2

2

T 4π ----3- = K = ----------------G ⋅ Mc r Le coefficient de proportionnalité (K) dépend de la masse de l’astre central (mc) et de G, la constante de gravitation (G = 6,6726.10 –11m3kg –1 s–2 ). Déterminer la masse de Mars en utilisant la 3ème loi de Képler et les données suivantes concernant ses deux satellites naturels : Satellite

Distance moyenne à Mars

Phobos

9 300 km

Deïmos

23 200 km

Révolution sidérale 0,318 jour 1,28 jours

Déterminer la masse de Jupiter en utilisant le même principe et des données suivantes concernant ses quatre satellites principaux dits « galiléens » : Satellite

Distance moyenne à Jupiter

Révolution sidérale

Io

421800 km

1,769 jours

Europe

671400 km

3,551 jours

Ganymède

1 070 000 km

7,155 jours

Callisto

1 883 000 km

16,689 jours

Déterminer la masse de Saturne à l’aide des données suivantes concernant ses cinq plus gros satellites : Satellite

Pb 40

Distance moyenne à Saturne

Révolution sidérale

Titan

1 221 830 km

15,95 jours

Rhéa

527 040 km

4,52 jours

Japet

3 561 300 km

79,33 jours

Dioné

377 400 km

2,74 jours

Thétys

294 660 km

1,89 jours

Déterminer la masse d’Uranus à l’aide des données suivantes concernant ses cinq plus gros satellites :

Le système solaire

101

Pb 41

Pb 42

Pb 43

Pb 44

Pb 45

Satellite

Distance moyenne à Uranus

Révolution sidérale

Miranda

129 390 km

1,41 jours

Ariel

191 020 km

2,52 jours

Umbriel

266 300 km

4,14 jours

Titania

435 910 km

8,71 jours

Obéron

583 520 km

13,46 jours

Déterminer la masse de Neptune à l’aide des données suivantes concernant le premier satellite découvert en 1846 : Satellite

Distance moyenne à Neptune

Révolution sidérale

Triton

354 800 km

5,877 jours

Déterminer la masse de Pluton à l’aide des données suivantes concernant son seul satellite d’un diamètre deux fois plus petit que Pluton : Satellite

Distance moyenne à Pluton

Révolution sidérale

Charon

19 130 km

6,39 jours

AIDE N° 16 La 3ème loi de Képler appliquée aux orbites circulaires est : 2

2

T 4π ----3- = K = ----------------G ⋅ Mc r ce qui nous donne : 2

3

4π r mc = -------- ⋅ ----2G T avec G = 6,6726.10 –11 m3 kg –1 s –2, T en secondes et r en mètres. Nous pouvons déterminer la masse de chaque planète mc, puisqu’elles sont toutes des astres centraux autour desquels gravitent des satellites.

102 L’astronomie en questions

Déterminer la masse de Mars en appliquant la relation ci-dessus : Satellite

Distance moyenne à Mars

Phobos

9 300 km

Deïmos

23 200 km

Révolution sidérale

A 40

Masse de Mars

0,318 jour 1,28 jours

Déterminer la masse de Jupiter : Satellite

A 41

Distance moyenne à Jupiter

Révolution sidérale

Io

421 800 km

1,769 jours

Europe

671 400 km

3,551 jours

Ganymède

1 070 000 km

7,155 jours

Callisto

1 883 000 km

16,689 jours

Masse de Jupiter

Déterminer la masse de Saturne : Satellite

A 42

Distance moyenne à Saturne Révolution sidérale Masse de Saturne

Titan

1 221 830 km

15,95 jours

Rhéa

527 040 km

4,52 jours

Japet

3 561 300 km

79,33 jours

Dioné

377 400 km

2,74 jours

Thétys

294 660 km

1,89 jours

Déterminer la masse d’Uranus : Satellite

A 43

Distance moyenne à Uranus Révolution sidérale

Miranda

129 390 km

1,41 jours

Ariel

191 020 km

2,52 jours

Umbriel

266 300 km

4,14 jours

Titania

435 910 km

8,71 jours

Obéron

583 520 km

13,46 jours

Masse d’Uranus

Déterminer la masse de Neptune : Satellite Triton

A 44

Distance moyenne à Neptune Révolution sidérale Masse de Neptune 354 800 km

5,877 jours

Le système solaire

103

A 45

Déterminer la masse de Pluton : Satellite

Distance moyenne à Pluton

Révolution sidérale

Charon

19 130 km

6,39 jours

Masse de Pluton

CORRIGÉ N° 16 Nous appliquons : 2

3

4π r mc = -------- ⋅ ----2G T où T est la révolution sidérale en secondes et r est le rayon de l’orbite circulaire (en mètres) du satellite autour de la planète de masse mc. G = 6,6726.10 -11m3 kg–1 s–2 .

C 40

Pour Mars nous trouvons : Satellite

Distance moyenne à Mars

Phobos

9.300 km

Deïmos

23.200 km

Révolution sidérale

Masse de Mars

0,318 jour

6,3.1023 kg

1,28 jours Moyenne

6,04.1023 kg 6,17.1023 kg

Le résultat trouvé fait apparaître un écart de 3,5 % par rapport à la valeur réelle.

C 41

Pour Jupiter nous trouvons : Satellite

Distance moyenne à Jupiter

Révolution sidérale

Io

421 800 km

1,769 jours

1,9.1027 kg

Europe

671 400 km

3,551 jours

1,9.1027 kg

Ganymède

1 070 000 km

7,155 jours

1,89.1027 kg

Callisto

1 883 000 km

16,689 jours

1,89.1027 kg

Moyenne

Masse de Jupiter

1,9.1027 kg

Le résultat trouvé fait apparaître un écart de 0,04 % par rapport à la valeur réelle.

104 L’astronomie en questions

Pour saturne nous trouvons : Satellite

C 42

Distance moyenne à Saturne Révolution sidérale Masse de Saturne

Titan

1 221 830 km

15,95 jours

5,68.1026 kg

Rhéa

527 040 km

4,52 jours

5,67.1026 kg

Japet

3 561 300 km

79,33 jours

5,68.1026 kg

Dioné

377 400 km

2,74 jours

5,67.1026 kg

Thétys

294 660 km

1,89 jours

5,67.1026 kg

Moyenne

5,68.1026 kg

Le résultat trouvé fait apparaître un écart de 1,1 % par rapport à la valeur réelle. Pour Uranus nous trouvons : Satellite

C 43

Distance moyenne à Uranus Révolution sidérale

Masse d’Uranus

Miranda

129 390 km

1,41 jours

8,63.1025 kg

Ariel

191 020 km

2,52 jours

8,69.1025 kg

Umbriel

266 300 km

4,14 jours

8,73.1025 kg

Titania

435 910 km

8,71 jours

8,65.1025 kg

Obéron

583 520 km

13,46 jours

8,69.1025 kg

Moyenne

8,68.1025 kg

Le résultat trouvé fait apparaître un écart de 0,05 % par rapport à la valeur réelle. Pour Neptune nous trouvons : Satellite Triton

C 44

Distance moyenne à Neptune Révolution sidérale Masse de Neptune 354 800 km

1,02.1026 kg

5,877 jours

Le résultat trouvé fait apparaître un écart de 1,5 % par rapport à la valeur réelle. Pour Pluton nous trouvons :

C 45

Satellite

Distance moyenne à Pluton

Révolution sidérale

Masse de Pluton

Charon

19 130 km

6,39 jours

1,36.1022 kg

Le système solaire

105

Le résultat fait apparaître un écart de 14,3 % par rapport à la valeur réelle. Conclusion. Les valeurs des masses des planètes possédant des satellites naturels sont déterminées avec une bonne précision par cette méthode, et plus particulièrement pour les grosses planètes (gazeuses).

106 L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 17

Quelle est la masse du Soleil ?

Comme dans l’énigme précédente nous allons déterminer la masse d’un astre ; il s’agit cette fois de notre étoile : le Soleil. Nous appliquerons à nouveau la 3ème loi de Képler, mais cette fois l’astre central est le Soleil, nous admettrons que les orbites des planètes sont circulaires (ce qui est tout à fait justifié), cela donne : 2 2 T 4π ----3- = K = ----------------G ⋅ ms r • • • •

T est la période de révolution de la planète autour du Soleil (en secondes) ; r est la distance moyenne de la planète au Soleil (en mètres) ; G est la constante de gravitation (G = 6,6726.10 –11 m3 kg –1 s–2 ) ; ms est la masse du Soleil (en kg) que nous allons déterminer.

Déterminer la masse du Soleil (ms) sachant que la Terre en fait le tour complet en 1 an soit 365,25 jours et que la distance Terre-Soleil est de 149,6 millions de kilomètres, comme nous l’avons vu dans l’énigme n° 11 « À quelle distance de la Terre se trouve le Soleil ? ».

Pb 46

À partir de la 3ème loi de Képler et du résultat au Pb n° 46 : ms = 1,99.1030kg, déterminer la période de révolution des huit autres planètes du système solaire (en années terrestres).

Pb 47

Planète Mercure

Distance moyenne au Soleil

Révolution sidérale

57 900 000 km

Vénus

108 200 000 km

Mars

227 900 000 km

Jupiter

778 300 000 km

Saturne

1 427 000 000 km

Uranus

2 869 600 000 km

Neptune

4 496 600 000 km

Pluton

5 900 000 000 km

Le système solaire

107

AIDE N° 17

A 46

Exprimer la masse du Soleil (ms) à partir de la 3ème loi de Képler pour les orbites circulaires : 2 2 T 4π ----3- = K = ----------------G ⋅ ms r Pour déterminer la masse de notre étoile, il ne restera qu’à faire une application numérique avec : ◆ T = 365,25 jours à convertir en secondes ; ◆ distance Terre-Soleil : r = 149,6 millions de kilomètres à convertir en mètres ; ◆ la constante de gravitation est : G = 6,6726.10 –11 m3 kg –1 s–2 .

A 47

À partir de la 3ème loi de Képler et de la valeur de ms = 1,99.1030 kg, on trouve : 3

2

r ⋅ 4π 2 T = -----------------G ⋅ ms

3

soit :

2

r ⋅ 4π -----------------G ⋅ ms

T =

Application numérique :

T = 5,4526 ⋅ 10

– 10

⋅ r

3

On veut exprimer T en années terrestres au lieu de la faire en secondes, unité officielle mais trop petite pour obtenir un résultat représentatif ; il faut donc diviser le résultat obtenu par 365,25 × 24 × 60 × 60 = 31 557 600 s/an. En années terrestres nous obtenons :

T = 1,7278 ⋅ 10

– 17

⋅ r

3

Il ne reste plus qu’à appliquer cette relation pour chaque planète : Planète

r : distance moyenne au Soleil

Mercure

57 900 000 km

Vénus

108 200 000 km

Mars

227 900 000 km

Jupiter

778 300 000 km

Saturne

1 427 000 000 km

Uranus

2 869 600 000 km

Neptune

4 496 600 000 km

Pluton

5 900 000 000 km

108 L’astronomie en questions

T : révolution sidérale

CORRIGÉ N° 17 La 3ème loi de Képler pour les orbites circulaires nous permet d’exprimer : 2

C 46

3

4π ⋅ r ms = ----------------2 G⋅T Les valeurs numériques de r, G et T nous donne : 2

9 3

4π ( 149,6 ⋅ 10 ) 30 - = 1,99 ⋅ 10 kg ms = -----------------------------------------------------------------------------------------------------– 11 2 ( 6,6726 ⋅ 10 ) ⋅ ( 365,25 × 24 × 60 × 60 ) Remarque. On peut comparer cette masse à celle de la Terre déterminée dans l’énigme n° 6 « Quelle est la masse de la Terre ? ». On retrouve un résultat connu : mS = 330 000 mT, cela montre bien que la Terre est une poussière à côté du Soleil. Cette énorme différence sera utile pour répondre à l’énigme n° 24 « Pourquoi le Soleil est-il une étoile et non la Terre ? ». Nous avons démontré dans l’aide que pour les planètes gravitant autour du Soleil avec une orbite circulaire la relation suivante était vérifiée :

T = 1,7278 ⋅ 10 avec T en années terrestres.

– 17

⋅ r

3

En appliquant cette relation nous trouvons : Planète Mercure

r

T calculé (en an)

T réel (en an)

57 900 000 km

0,2407

0,241

Vénus

108 200 000 km

0,6149

0,615

Mars

227 900 000 km

1,8798

1,881

Jupiter

778 300 000 km

11,863

11,862

Saturne

1 427 000 000 km

29,453

29,458

Uranus

2 869 600 000 km

83,989

84,014

Neptune

4 496 600 000 km

164,748

164,793

Pluton

5 900 000 000 km

247,612

247,700

Les résultats trouvés sont extrêmement précis, le calcul de la période de révolution de chaque planète correspond aux valeurs réelles. Conclusion. Cette méthode permet de déterminer rapidement les périodes de révolution de chaque planète, ce que le chronométrage ne permet pas. La mesure des distances se fait aisément par la méthode du parallaxe dont nous parlerons plus tard (énigme n° 23 : « À quelle distance se trouvent les étoiles ? »). Le système solaire

109

C 47

ÉNIGME N° 18

Quand repassera la comète de Halley ? Les visiteurs célestes Il est fréquent de confondre tous les « petits » objets du ciel comme les météorites, les étoiles filantes, les astéroïdes ou les comètes, alors qu’ils sont très différents : ◆ Les astéroïdes sont également appelés petites planètes, ils sont des milliers et forment un anneau (ou ceinture) autour du Soleil entre les orbites de Mars et de Jupiter. Le plus gros se nomme Cérés et a un diamètre de mille kilomètres. Certains astéroïdes ont des orbites très elliptiques et peuvent croiser l’orbite de la Terre ! ◆ Les météorites sont des débris d’origines diverses (planétaire, cométaire ou astéroïde) que l’on peut retrouver sur Terre après qu’ils sont entrés dans l’atmosphère en fusionnant. Une fois arrivé au sol il reste des morceaux pouvant peser plusieurs kilogrammes. Les gros météorites peuvent causer de gros dégâts, certains forment des cratères au moment de leur impact avec le sol. Le plus gros météorite ayant récemment fait des dégâts a ravagé une forêt en Sibérie sur un rayon de 50 km, c’était le 30 juin 1908 près de Toungouska. ◆ Les étoiles filantes sont les traces lumineuses laissées dans le ciel lors de l’entrée dans l’atmosphère terrestre de poussières ou de météorites. La lumière issue de ces particules est due à leur fusion qui est la conséquence de l’intense frottement dans l’air d’un objet ayant une vitesse vertigineuse (plusieurs dizaines de milliers de km/h). ◆ Les comètes contrairement aux astéroïdes proviennent pour l’essentiel des confins du système solaire. Elles seraient issues de ce que l’on appelle le « nuage de Oort » qui correspond aux particules du système solaire qui ont été éjectées (ou soufflées) lors de « l’allumage » du Soleil et qui se trouve loin au-delà de Pluton à plus de 40 000 fois la distance de la Terre du Soleil. Contrairement aux étoiles filantes ou aux météores, leur éclat n’est pas dû à leur entrée dans l’atmosphère terrestre, car elles ne passent pas à proximité de la Terre. Leur éclat est dû à l’évaporation des gaz gelés à l’approche du Soleil, ce sont ces gaz évaporés qui forment la queue de la comète, son éclat est dû à sa fluorescence. Contrairement aux planètes, les comètes ont souvent des orbites très elliptiques, elles ne sont visibles qu’à proximité du Soleil, le reste du temps elles en sont trop éloignées et leur éclat cesse en même temps que l’évaporation et l’éjection des gaz. 110 L’astronomie en questions

Description d’une comète Il existe différents types de comètes. De façon générale on distingue trois parties : le noyau, la chevelure et la queue. Noyau Direction du Soleil

Queue

Chevelure

Le noyau est en général petit (de 1 à 100 km), la chevelure est 1000 fois plus grosse, la queue représente la partie la plus facilement visible et peut s’étendre sur des centaines de millions de kilomètres (plus long que la distance Terre – Soleil) ! Les orbites des comètes sont des ellipses : le Soleil se trouve en F ou F’. B

A'

F'

C

F

A

b B' a

◆ Le demi-grand axe « a » vaut : AC = A’C = AA’/2 ; ◆ le demi-petit axe « b » vaut : BC = B’C = BB’/2 ; ◆ la distance du centre à un foyer « c » vaut : FC = F’C = FF’/2. Nous ne nous intéresserons ni au pourtour ni à la surface des ellipses mais deux relations nous seront utiles : 2 2 ◆ La relation liant a, b et c : c = a – b . ◆ On définit l’excentricité « e » des courbes dites coniques pour différencier les cas : • c’est un cercle si e=0; • c’est une ellipse si 0 1000.1029 kg Le système se scinde en plusieurs étoiles qui évolueront différemment selon leur masse propre

Pour les valeurs numériques des masses des deux astres qui nous intéressent nous pouvons reprendre les valeurs déterminées dans les énigmes n° 6 et n° 17, soit : • Masse de la Terre : MT = 6.1024 kg ; • Masse du Soleil : MS = 2.1030 kg.

CORRIGÉ N° 24 Comme le montre le tableau récapitulatif précédent, la vie des étoiles est conditionnée par leurs masses. L’étoile n’existe pas si la masse de l’astre est inférieure à 2.1029 kg, il faut en effet que la masse de l’astre soit très importante pour que les pressions soient énormes en son centre, et que les atomes puissent fissionner et fusionner. La masse de la Terre étant de 6.1024 kg et la masse du Soleil étant de 20.1029 kg, on peut donc simplement conclure que : • la Terre n’est pas une étoile car sa masse est trop faible : 6.1024 kg < 2.1029 kg ; • le Soleil est une étoile car sa masse est suffisante : 20.1029 kg.> 2.1029 kg. Remarque. Il existe un type intermédiaire que l’on appelle « étoiles ratées » ou « naines brunes », telle que Jupiter dans notre système solaire, sa masse est de 19.1026 kg elle est donc trop faible pour être une véritable étoile, mais les réactions thermonucléaires sont toutefois importantes en son sein et elle émet plus de rayonnement (non visible) qu’elle n’en reçoit du Soleil ! Par ailleurs une similitude apparaît dans la structure des grosses planètes et des étoiles puisque tous ces astres sont dits fluides (ou gazeux) par opposition aux planètes telluriques (ou rocheuses) qui ont une croûte solide. Conclusion. Ce qui distingue les étoiles des planètes lors de leur formation est donc leur masse propre qui selon le cas permettra ou ne permettra pas d’amorcer les réactions thermonucléaires. Une étoile a donc toujours une masse plus importante qu’une planète.

Notre galaxie et au-delà

153

C 63

ÉNIGME N° 25

Pourquoi les pulsars tournent-ils si vite ?

Que sont les pulsars ? Ce nom est une contraction de « PULSativ stAR », il s’agit donc d’une étoile qui envoie des impulsions de façon très rapide et régulière (très souvent inférieure à la seconde). Comme d’un phare, il nous provient des rayonnements périodiques qui sont dus à la rotation rapide de l’astre sur lui-même. Une énergie énorme permet d’émettre ce rayonnement très puissant ; contrairement aux phares, le rayonnement émis n’est pas visible mais correspond à des ondes radio. Ce type d’astre correspond à la phase finale de l’évolution des très grosses étoiles (géantes bleues) qui sont plus grosses que le Soleil et explosent brutalement lorsque la combustion thermonucléaire des éléments simples est achevée. De cette explosion qui a un éclat pouvant durer plusieurs années et qui est appelée « supernova » résulte un astre qui s’effondre sur lui même, d’une masse comprise entre 1,2 et 2,4 fois la masse du Soleil. Son diamètre n’est que de quelques dizaines de kilomètres, sa densité est énorme. La matière n’existe alors plus sous forme d’atomes mais ressemble à une bouillie de particules d’où le nom « d’étoile à neutrons ». L’un des plus célèbres pulsars a été découvert au milieu de la nébuleuse du Crabe, il correspond à une ancienne supernova qui a eu un immense éclat. Ce phénomène avait déjà été noté dans des registres, en 1054 de notre ère. Certaines supernovae ont un éclat tel que l’on peut les observer alors qu’elles se trouvent dans d’autres galaxies. Celles qui font partie de notre galaxie peuvent parfois être visibles en plein jour.

Pb 64

Pour s’imaginer combien les pulsars tournent vite on peut comparer les vitesses de rotation de quelques astres : ◆ Le Soleil tourne sur lui-même en 33 jours au niveau de l’équateur (plus lentement au niveau des pôles car c’est un astre fluide) ; ◆ La Terre tourne sur elle-même en 24 heures ; ◆ Un pulsar lent fait un tour sur lui-même en 3 secondes alors qu’un rapide le fait en 2ms (2 millisecondes). 154 L’astronomie en questions

Les durées de révolution de ces astres sur eux-mêmes donnent déjà une bonne une idée des différences que l’on peut rencontrer. Il est plus parlant de comparer leur vitesse à leur surface. Déterminer la vitesse linéaire (en km/h) à la surface de ces astres au niveau de l’équateur, sachant que leurs rayons sont : • Pour la Terre : RT = 6400 km ; • Pour le Soleil : RS = 700.000 km ; • Pour un pulsar moyen : RP = 30 km. Pour simplifier le phénomène qui se produit lors du passage de géante bleue à pulsar nous considérerons que l’astre n’a pas changé de masse lors de cet effondrement ; en réalité dans la phase intermédiaire l’astre devient une supernova et éjecte de la matière (qui formera une nébuleuse). Les données numériques sont les suivantes :

Pb 65

◆ État initial : Masse, mi = 4.1030 kg (2 fois le Soleil) ; Diamètre, Di = 1,8 millions de km ; Période de rotation à l’équateur, Ti = 47 jours. ◆ État final : Masse, mf = 4.1030 kg (inchangée) ; Diamètre, Df = 40 km. En utilisant le principe de la « conservation du moment cinétique » déterminer la période finale Tf ; montrer ainsi qu’il est logique que les pulsars tournent si vite sur eux-mêmes. La taille des pulsars étant liée à leur vitesse, nous venons de voir qu’à masse équivalente plus un astre est petit et plus il tourne vite. C’est la conséquence de la conservation du moment cinétique, ce qui est facilement compréhensible lorsque l’on regarde une patineuse (voir l’aide). Si nous prenons le problème à l’envers, nous pouvons constater que la vitesse de rotation du pulsar sur lui-même conditionne le diamètre de celui-ci, puisque la force centrifuge ne peut pas dépasser la force de gravitation sans quoi le pulsar se disloque ou explose. Rechercher la valeur du diamètre maximum Dmaxi pour lequel l’accélération due à la gravité est égale à celle qui est due à la rotation rapide et que nous appellerons accélération centrifuge ; cela correspond à la limite avant dislocation. Nous reprendrons les valeurs numériques du pulsar étudié précédemment : • Masse, mp = 4.1030 kg (2 fois le Soleil) ; • Diamètre, Dp = 40 km ; • Période de rotation à l’équateur, Tp = 2 ms.

Notre galaxie et au-delà

155

Pb 66

AIDE N° 25

A 64

Pour déterminer la vitesse linéaire (en km/h) au niveau de l’équateur de ces astres, il faut déterminer leurs périmètres. La vitesse est demandé ici en km/h mais ce n’est pas du tout son unité officielle qui est le m/s ; toutefois nous préférerons garder l’unité qui nous est la plus familière et donc la plus représentative. Pour déterminer la vitesse linéaire au niveau de l’équateur (en km/h), il ne reste plus qu’à calculer le rapport de la distance parcourue (périmètre) sur le temps mis pour la parcourir (période).

Qu’est-ce que le moment cinétique ? Ce qui nous intéresse dans le moment cinétique c’est qu’il se conserve dans le temps lorsque l’on étudie un système isolé sans perturbation extérieure ni frottement. Pour bien comprendre ce phénomène il est plus facile de se le représenter en observant par exemple une patineuse sur glace lors d’une figure que je nommerais « la toupie » à défaut de connaître le terme officiel. Au début de la figure, la danseuse s’élance pour tourner sur elle-même comme une toupie, les bras horizontaux ; ensuite sans changer de place elle replie les bras sur elle et tourne de plus en plus vite. Ce qui permet d’expliquer cette accélération c’est que son moment cinétique (ou inertie) est inchangé alors que « sa forme » a changé ; on peut dire que son rayon moyen a diminué.

La vitesse de rotation de la patineuse va augmenter lorsqu’elle rapprochera ses bras et sa jambe de son axe de rotation (vertical). De façon plus scientifique, on dira que le moment cinétique est fonction de la vitesse de rotation du système ω (en radians par secondes : rad/s) et de son rayon R (en mètres) pour la forme la plus simple qui nous intéresse ici et qui est la sphère. Lorsque l’on dit que le moment cinétique se conserve cela revient à dire que le produit « ω.R2 » est constant.

156 L’astronomie en questions

À partir des informations précédentes concernant la conservation du moment cinétique déterminer la période de révolution d’un pulsar qui est la phase finale d’une géante bleue de diamètre Di = 1,8 millions de km et de période de rotation à l’équateur, Ti = 47 jours. Nous rappelons que le diamètre du pulsar est Df = 40km.

A 65

Accélération de la pesanteur et accélération centrifuge • Nous avons déjà défini l’accélération de la pesanteur dans l’énigme n° 7 (pour le cas de la Terre). Nous avons vu qu’elle est centripète, c’est-à-dire dirigée vers le centre de l’astre de masse M, et qu’elle dépend de la distance à laquelle on se trouve du centre R. Nous définissons l’accélération de la pesanteur g comme suit : M g = G ⋅ -----2R M s’exprime en kg, R s’exprime en mètres, g s’exprime en m.s-2 et G, la constante universelle de gravitation vaut : G = 6,67.10 -11 m3.kg-1.s-2. On constate que pour un astre donné, la matière qui subit le moins cette accélération est celle qui se trouve à sa surface, puisque R est alors maximum. • Concernant l’accélération centrifuge, elle est dirigée vers l’extérieur de l’astre, elle est donc opposée à l’accélération de la pesanteur. L’accélération centrifuge dépend de la distance d’éloignement par rapport à l’axe de rotation R (en m) et surtout de la vitesse de rotation à cette distance ω (en rad/s) , son expression est : a = R.ω 2. Si l’astre a une vitesse de rotation égale en tout lieu (ce qui n’est pas tout à fait vrai pour les étoiles, car elles ne sont pas solides mais fluides) on constate que cette force est maximale au niveau de sa surface sur l’équateur. Utiliser les relations précédentes pour établir la valeur limite du diamètre Dmaxi qui permet d’obtenir l’équilibre des forces (ou des accélérations).

A 66

CORRIGÉ N° 25 Pour les trois astres proposés la vitesse linéaire au niveau de la surface à l’équateur se calcule à l’aide du périmètre équatorial : P = 2.π.R et de la période de rotation (T) en heure. Convertissons d’abord les périodes de révolution de chaque astre en heures :

Notre galaxie et au-delà

157

C 64

• • • •

Le Soleil : La Terre : Le pulsar lent : Le pulsar rapide :

T = 33 jours donne 33 × 24 = 792 heures T = 24 heures T = 3 secondes donne 3/3600 = 833.10-6 heures T = 2 ms donne 2.10–3/3600 = 555.10-9 heures.

Il suffit ensuite de calculer : v = P--- ; avec le choix des unités, nous obtenons T la vitesse v en km/h, cela donne : astre

R (km)

T (heure)

P (km)

Soleil

700 000

792

4 400 000

5 544

Terre

6 400

24

Pulsar 1 Pulsar 2

30 30

V (km/h)

40 210

1 650

833.10

-6

189

227 000

555.10

-9

189

340 millions

Même si ces vitesses ne sont pas représentatives puisque l’on a aucune impression de vitesse lorsque l’on se trouve à la surface d’un astre (comme la Terre), ces valeurs mettent tout de même en lumière la diversité qui peut être rencontrée et les valeurs extrêmes que l’on trouve pour les pulsars.

C65

Nous avons expliqué que la conservation du moment cinétique entraîne que le produit ω.R2 est constant entre la phase initiale et la phase finale. Nous connaissons le rayon initial Ri = Di / 2 = 900 000 km et le rayon final Rf = Df / 2 = 20 km. Le terme ω représente la vitesse en radians par seconde elle est inversement proportionnelle à la période de rotation T, c’est-à-dire que si nous pouvons écrire ωi × Ri 2 = ωf × Rf 2, cela revient à écrire 2

2

Rf Ri -------- = -------Ti Tf Nous en déduisons l’expression de la période finale : 2

Rf Tf = -------2- ⋅ Ti Ri Avec Ti = 47 jours soit : 47 fois 24 fois 3.600 = 4,06.106 s. Nous pouvons calculer : 2

( 20 ) 2 Tf = ------------------------2- ⋅ 4,6.10 = 2 ms ( 900000 ) Cela correspond à la vitesse la plus rapide connue pour un pulsar : 1 tour en 2 millièmes de seconde !

158 L’astronomie en questions

Pour que le pulsar ne se disloque pas il faut qu’en tout lieu l’accélération de la pesanteur (g) soit supérieure à l’accélération centrifuge (a). Le lieu critique se trouve à la surface du pulsar sur son équateur puisque c’est à ce niveau que l’attraction de la pesanteur est la plus faible alors que la force centrifuge est maximale. Le cas limite est donc a = g, cela donne au niveau de l’équateur : avec : M 2 g = G ⋅ -----2- et a = R ⋅ ω R soit : M 2 G ⋅ -----2- = R ⋅ ω R au niveau de l’équateur et pour le cas limite R = Rmaxi, par ailleurs l’expression ------ . de la vitesse de rotation est : ω = 2π T Cela donne : 2

G⋅M⋅T G⋅M 3 3 R = R maxi = ------------- = -----------------------2 2 ω 4π d’où :

⎛ G ⋅ M ⋅ T 2⎞ R maxi = ⎜ -----------------------⎟ 2 ⎝ 4π ⎠

1⁄3

On peut constater que le rayon peut être important lorsque la masse du pulsar est importante, mais surtout que plus cet astre tourne rapidement (T petit) plus son rayon doit être petit. Dans notre cas : 1⁄3

⎛ ( 6,672.10 –11 ) ⋅ ( 4.10 30 ) ⋅ ( 2.10 –3 ) 2⎞ -⎟ R maxi = ⎜ ---------------------------------------------------------------------------------= 30 000 m = 30 km 2 ⎝ ⎠ 4π soit D = 60 km. Le pulsar décrit ici ne doit donc pas avoir un diamètre supérieur à 60 km, sans quoi il perdrait de la matière puisque la force de gravité à sa surface deviendrait plus faible que la force centrifuge.

Notre galaxie et au-delà

159

C 66

ÉNIGME N° 26

Quel jour y a-t-il après le mercredi ?

Surtout ne répondez pas jeudi ! En tout cas pas tout de suite. Pour répondre à cette énigme nous allons essayer de déterminer quelle est l’origine des noms des jours et celle de leur ordre dans la semaine.

Origine du nom des jours Comme vous le savez sans doute, le nom des jours est directement lié aux astres que nous pouvons observer à l’œil nu. Selon la langue, nous retrouvons les racines correspondant aux sept astres « errants » visibles, ce sont les cinq planètes les plus proches de nous (Mars, Mercure, Vénus, Jupiter, Saturne) ainsi que notre étoile (le Soleil) et notre satellite naturel (la Lune) : français

anglais

allemand

français

anglais

allemand

lundi

Monday

Montag

Lune

Moon

Mond

mardi

Tuesday

Dienstag

Mars

Mars

Mars

mercredi

Wenesday

Mittvoch

Mercure

Mercury

Merkur

jeudi

Thursday

Donnerstag

Jupiter

Jupiter

Jupiter

vendredi

Friday

Freitag

Vénus

Venus

Venus

samedi

Saturday

Samstag

Saturne

Saturn

Saturn

dimanche

Sunday

Sonntag

Soleil

Sun

Sonne

Voir aussi en italien et en espagnol…

Ordre des jours dans la semaine Une fois que l’on a montré qu’à chaque jour correspond un astre essentiel (vu de la Terre), il faut encore connaître l’explication ou la relation qui permet de classer les jours dans l’ordre que l’on connaît… On peut penser que ces planètes doivent être classées dans un ordre particulier qui respecte une certaine logique, comme :

La mesure du temps

161

◆ Du plus lumineux au moins lumineux (entre parenthèses est indiquée la magnitude de chaque astre vu de la Terre ; plus cette valeur est petite et plus l’astre est brillant) : 1. Soleil 2. Lune 3. Vénus 4. Mars 5. Jupiter 6. Mercure 7. Saturne

(environ - 30) (en moyenne - 11) (- 4) (- 4) (- 3) (- 1,5) (- 1)

➩ ➩ ➩ ➩ ➩ ➩ ➩

Dimanche ; Lundi ; Vendredi ; Mardi ; Jeudi ; Mercredi. Samedi ;

◆ Dans le sens décroissant des périodes de révolution, vu de la Terre (système géocentrique utilisé dans l’Antiquité) : 1. Lune 2. Mercure 3. Vénus 4. Soleil 5. Mars 6. Jupiter 7. Saturne

(28 jours) (3 mois) (7,5 mois) (12 mois) (22,5 mois) (12 ans) (29 ans)

➩ ➩ ➩ ➩ ➩ ➩ ➩

Lundi ; Mercredi ; Vendredi ; Dimanche ; Mardi ; Jeudi ; Samedi.

◆ Du plus gros au plus petit (cette méthode n’est de toute façon pas crédible, car la taille des astres n’était pas connue à l’époque) : 1. Soleil 2. Jupiter 3. Saturne 4. Vénus 5. Mars 6. Mercure 7. Lune

(D = 1 400 000 km) (D = 143 000 km) (D = 120 000 km) (D = 12 100 km) (D = 6 800 km) (D = 4 900 km) (D = 3 480 km)

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Dimanche ; Jeudi ; Samedi ; Vendredi ; Mardi ; Mercredi ; Lundi.

Quel que soit le système de classement choisi, nous n’aboutissons jamais à l’ordre des jours dans la semaine tel que nous le connaissons, alors…

Pb 67

Rechercher la méthode ou la relation qui permet de donner l’ordre des jours dans la semaine et donc de savoir : « Quel jour y a-t-il après le mercredi ? ».

162 L’astronomie en questions

AIDE N° 26 La méthode qui permet de donner l’ordre des jours a été définie voilà quelques millénaires par les Babyloniens et peut-être même les Chaldéens (civilisation encore plus ancienne). Il faut savoir que déjà à cette époque le jour était divisé en 24 heures. Les astres ont été classés dans l’ordre décroissant de leur période de révolution vue de la Terre (système géocentrique = Terre au centre du système solaire). Ils voyaient périodiquement chaque astre revenir au même endroit du ciel, c’est-à-dire dans la même constellation du zodiaque ; la mesure de ces périodes de révolution a permis de classer les sept astres, du plus lent au plus rapide : 1. Saturne (29 ans) ; 2. Jupiter (12 ans) ; 3. Mars (22,5 mois) ; 4. Soleil (12 mois) ; 5. Vénus (7,5 mois) ; 6. Mercure (3 mois) ; 7. Lune (28 jours). À partir de là, il a été attribué à chaque heure de chaque jour le nom d’un astre en les prenant dans l’ordre indiqué ci-dessus, en commençant par la 1ère heure du 1er jour avec Saturne. Une fois arrivé à la 8ème heure du premier jour, on recommence au début avec Saturne ; une fois le premier jour terminé on continue le deuxième jour en notant en 1ère heure l’astre suivant directement celui de la 24ème heure du jour précédent, etc. Chaque jour prend alors le nom de l’astre correspondant à sa première heure, c’est pourquoi le premier jour s’appelait « SAMEDI » (pour Saturne). Compléter le tableau page suivante en suivant la méthode indiquée. Déterminez alors : « Quel jour y a-t-il après le mercredi ? ».

La mesure du temps

163

A 67

JOUR 1 ère

1

heure ème

2

Jupiter

3

Mars

4ème

Soleil

5ème

Vénus

6

ème

7

JOUR 3

Saturne

ème

ème

JOUR 2

Mercure Lune

8ème = 1ère

Saturne

9ème

Jupiter

ème

10

11ème 12ème 13ème 14ème 15ème = 8ème 16ème 17ème 18ème 19ème 20ème 21ème 22ème = 15ème 23ème 24ème Nom du jour :

Saturne SAMEDI

164 L’astronomie en questions

JOUR 4

JOUR 5

JOUR 6

JOUR 7

JOUR 8

CORRIGÉ N° 26 Nous appliquons la méthode définie dans l’aide, en complétant le tableau, c’est-à-dire en donnant à chaque heure le nom de l’un des sept astres, ceux-ci étant ordonnés dans l’ordre décroissant de révolution vu de la Terre :

C 67

Saturne, Jupiter, Mars, Soleil, Vénus, Mercure, Lune. Chaque jour prendra le nom de l’astre correspondant à sa première heure.

ère

1

heure

JOUR 1

JOUR 2

JOUR 3

JOUR 4

JOUR 5

JOUR 6

JOUR 7

J.8 = J.1

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

2ème

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

3ème

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

ème

4

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

5ème

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

6ème

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

7ème

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

ème

ère

8

=1

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

9ème

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

10ème

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

11ème

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

12ème

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

13ème

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

14ème

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

15ème = 8ème

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

16ème

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

17ème

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

18ème

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

19ème

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus Mercure

ème

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

21ème

20

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

22ème = 15ème

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

23ème

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

ème

24

Nom du jour :

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Saturne

Soleil

Lune

Mars

Mercure

Jupiter

Vénus

Saturne

SAMEDI

DIMANCHE

LUNDI

MARDI

MERCREDI

JEUDI

VENDREDI

SAMEDI

Nous retrouvons bien l’ordre des jours tel que nous le connaissons. On remarque que la semaine commençait le samedi (ce qui est toujours le cas du calendrier juif). Pour répondre à la question posée, nous avons bien montré que le jour suivant le mercredi est le jeudi ! La mesure du temps

165

ÉNIGME N° 27

Quelles sont les unités de temps liées à des phénomènes astronomiques ?

L’astronomie et la mesure du temps sont liées depuis toujours. En effet, les phénomènes astronomiques comme l’alternance du jour et de la nuit ou la succession des saisons rythment la vie sur la Terre depuis la nuit des temps… Nous ne reviendrons pas sur l’origine du nom des jours qui vient d’être évoquée dans l’énigme précédente, nous retiendrons seulement qu’ils sont directement liés aux noms des planètes.

Pb 68

Citer les durées, telles que l’année, qui ont pour origine un phénomène astronomique et décrire ces phénomènes.

Pb 69

Quelle est l’origine du nom des 12 mois du calendrier ?

L’astronomie sert de référence dans d’autres domaines aussi… Pb 70

Quel phénomène astronomique est à la base de la définition de l’unité d’angle : le degré ?

Pb 71

Quel lien existe-t-il entre l’astronomie et les noms des tropiques ?

AIDE N° 27

A 68

Les références temporelles les plus « célèbres » ayant pour origine un phénomène astronomique sont : 1. l’année ; 2. les saisons ; 3. les mois ; 4. les semaines ; 5. les jours ; 6. les heures ; 7. les secondes. Indiquer pour chacune de ces durées le phénomène qui est à son origine. 166 L’astronomie en questions

Étymologiquement, les noms des 12 mois proviennent de la civilisation romaine, leurs origines sont diverses : certains sont issus des divinités romaines ou des fêtes religieuses, d’autres du numéro du mois dans l’ordre adopté par le calendrier romain ou encore des phénomènes naturels.

A 69

Il semblerait que ce sont les Égyptiens qui ont les premiers divisé le cercle en 360 graduations, que nous nommons « degré ». Quel phénomène astronomique est divisé en environ 360 intervalles de même durée ?

A 70

Les deux tropiques qui sont parallèles à l’équateur et distants de 24,5° sont :

A 71

— le tropique du Cancer au Nord ; — le tropique du Capricorne au Sud. 1. À quoi correspondent ces deux tropiques, pourquoi avoir inventé ces deux parallèles, quelles particularités ont leurs latitudes ? 2. Pourquoi a-t-on attribué des noms de constellations du zodiaque aux tropiques ?

CORRIGÉ N° 27 Phénomènes astronomiques à l’origine des références temporelles :

C 68

1. L’année. C’est la durée de révolution de la Terre autour du Soleil, cette durée est facilement mesurable depuis la Terre en comptant le nombre de jours qui sépare par exemple deux solstices d’été (jour de l’année ou le jour est le plus long). 2. Les saisons. Ce sont les quatre parties qui composent à peu près équitablement l’année, chacune d’elle est délimitée par un solstice et un équinoxe. Pour déterminer la durée de chaque saison, il faut compter le nombre de jour qui sépare un solstice d’un équinoxe ; ces derniers sont faciles à repérer : ◆ équinoxe de printemps : jour de l’année où la durée diurne est égale à la durée nocturne, la durée diurne étant croissante (le 20 ou 21 mars) ; ◆ solstice d’été : c’est le jour où la nuit est la plus courte, il correspond au jour le plus long (le 21 ou 22 juin) ; ◆ équinoxe d’automne : jour de l’année où la durée diurne est égale à la durée nocturne, la durée nocturne étant croissante (le 20 ou 21 septembre) ; ◆ solstice d’hiver : c’est le jour où la nuit est la plus longue, il correspond au jour le plus court (le 21 ou 22 décembre). (Voir la figure dans le corrigé n° 57 qui suit). La mesure du temps

167

3. Les mois. Ils sont à l’intersection de deux systèmes de référence : ◆ Le système « solaire » qui a pour unité l’année et que les Égyptiens avaient déjà divisé en 12 parties à peu près égales, un an durait 360 jours soit 12 fois 30 jours (le nombre 12 est directement lié au nombre de constellations du zodiaque). ◆ Le système « lunaire » qui a pour unité le mois synodique ou la lunaison dure environ 29,5 jours ; c’est la durée qui sépare deux aspects identiques de la Lune. Les Babyloniens utilisaient ce système ; chaque mois commençait au premier croissant de Lune observable, la durée des mois variait de 29 à 30 jours. 4. Les semaines. Cette unité est également à l’intersection de deux références totalement indépendantes ; d’un côté, c’est la division du mois (ou lunaison) en quatre parties à peu près égales (environ sept jours). D’un autre côté, c’est un groupement de jours ; il fallait prendre un nombre entier pour que cette durée soit régulière et facilement mesurable. Hélas cela déconnecte à la longue sa relation avec les phases lunaires. Une semaine ne correspond donc plus exactement au quart d’un cycle lunaire, c’est-à-dire à la durée séparant un quartier de Lune (premier ou dernier) de la nouvelle ou pleine Lune… Par ailleurs le chiffre 7 était néfaste pour les Babyloniens et il n’était donc pas concevable de travailler le 7ème jour, le découpage en semaines était né. 5. Les jours. Cette référence est uniquement solaire, indépendante des mouvements lunaires ; un jour correspond à la durée que met le Soleil pour passer deux fois de suite par le plan méridien. Cette durée n’est pas parfaitement constante : on note un écart pouvant aller jusqu’à une demiheure entre le moment de l’année où la rotation apparente du Soleil est la plus rapide et le moment de l’année où elle est la plus lente, ce décalage est parfaitement connu et défini par ce que l’on appelle « l’équation du temps » (parfois représentée sur les cadrans solaires, voir énigme n° 29). 6. Les heures. Ce sont les 24 parties de durée égale qui divisent un jour, rien d’inédit… On peut toutefois souligner le rapport entre ce nombre 24 et la division de l’écliptique en 12 constellations du zodiaque ; en effet, le passage de ces constellations dans le ciel permettait aux anciens, selon la période de l’année, de connaître l’heure qu’il était la nuit, chaque constellation du zodiaque mettant en moyenne 2 heures pour traverser le méridien local. 7. Les minutes et les secondes. Elles correspondent à la division d’une heure ou d’une minute en 60 parties égales. Ce nombre 60 peut avoir différentes origines plus ou moins symboliques ; nous avons déjà évoqué la division en 12, dans le Pb n° 56 nous évoquerons la division par 360. Le nombre 60 et la base sexagésimale correspondante sont directement issus de ces deux nombres particuliers (60 = 12 × 5 et 60 = 360/6). 168 L’astronomie en questions

Le calendrier romain faisait référence à des personnalités ou à des phénomènes au nombre desquels on trouve : ◆ Un repère naturel comme le bourgeonnement : ouvrir → aperire → AVRIL ; ◆ Une fête religieuse : Februa → FEVRIER ; ◆ L’ordre des mois dans le calendrier romain qui commençait par le mois de Mars : le septième → SEPTEMBRE (sept); le huitième → OCTOBRE (oct); le neuvième → NOVEMBRE (nov); le dixième → DECEMBRE (dec).

C 69

◆ Les divinités romaines : Janus (gardien des portes de Rome) → JANVIER ; Mars (le célèbre dieu de la guerre) → MARS (1er mois de l’année romaine); Maïus (fête religieuse romaine) → MAI ; Junon (épouse de Jupiter « Dieu des Dieux ») → JUIN.

→ AOÛT ; Auguste Jules César → JUILLET. Concernant les deux derniers mois, il n’était pas question de faire de jaloux entre les empereurs, les deux mois devraient être aussi importants l’un que l’autre : 31 jours.

◆ Les empereurs romains :

Ce sont les Égyptiens qui ont créé le degré en divisant le cercle en 360 parties égales. Ce nombre 360 est directement lié à un phénomène astronomique puisqu’il s’agissait pour les Égyptiens du nombre de jours que comptait une année. Ce nombre est acceptable puisqu’en réalité une année est composée de 365,25 jours. Cet écart de près de 5 jours était probablement connu des Egyptiens, mais comme longtemps après eux encore, il n’était pas concevable qu’un phénomène céleste donc divin soit quelconque, toutes les valeurs et toutes les formes devaient être parfaites. Le nombre le plus parfait, c’est à dire comptant un maximum de sous multiples et proche de 365,25 est 360 ; il est acceptable car peu éloigné. C’est en représentant le déplacement du Soleil (vu de la Terre) dans les constellations du zodiaque que l’on peut représenter un cercle dans lequel le Soleil parcourt chaque jour 1° soit un 360ème de tour.

C 70

Les deux parallèles particuliers distants de 24,5° au Nord ou au Sud de l’équateur terrestre sont respectivement le tropique du Cancer et le tropique du Capricorne.

C 71

1. Quelle est leur particularité ? Leur particularité est de se trouver exactement à 24,5° de l’équateur, ce qui correspond exactement à l’inclinaison de l’axe des pôles par rapport au plan orbital (nommé l’écliptique) ; nous avons déjà parlé de cela dans La mesure du temps

169

l’énigme n° 4 : « Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? ». De ce fait, les deux tropiques encadrent un périmètre terrestre centré sur l’équateur et dans lequel, selon la période de l’année, on peut voir le Soleil passer au zénith. Au Nord ou au Sud de cette zone, le Soleil ne parvient jamais à se trouver exactement à la verticale du lieu. Les deux tropiques se trouvant aux latitudes extrêmes de cette zone, le Soleil ne passera qu’un seul jour de l’année au zénith de ces lieux, respectivement : ◆ le jour du solstice d’été (21 ou 22 juin) pour le tropique du Cancer ; ◆ le jour du solstice d’hiver (21 ou 22 décembre) pour le tropique du Capricorne. La figure ci-dessous représente la disposition de la Terre dans le plan contenant les pôles terrestres et le Soleil aux changements de saison. La Terre est constamment inclinée de 24,5 ° sur l’écliptique, la direction des pôles ne change pas, c’est le mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil qui fait que nous voyons le Soleil plus ou moins haut dans le ciel selon la saison. N Jour de l'équinoxe d'automne

T. du Cancer Équateur T. du Capricorne

Écliptique

S 24,5° N

Jour de solstice d'hiver 24,5°

T. du Capricorne

S N Jour de l'équinoxe de printemps

Équateur

S N

Jour de solstice d'été

T. du Cancer

24,5°

S

170 L’astronomie en questions

2. Pourquoi les tropiques portent-ils des noms de constellations du zodiaque ? Parce que lorsque le zodiaque a été créé avec les dates que nous connaissons et qui sont encore utilisées par les astrologues, le Soleil entrait dans la constellation du Cancer le 21 juin, jour de l’été et jour où le Soleil se trouve au zénith du tropique du même nom. De même, le Soleil entrait le 21 décembre dans la constellation du Capricorne, jour du solstice d’hiver et jour où le Soleil se trouve au zénith du tropique du même nom. Par extension on pourrait renommer l’équateur tropique du Bélier (entrée du Soleil dans cette constellation le 20 mars) ou de la Balance (entrée du Soleil dans cette constellation le 22 septembre). Dans la réalité, des décalages se sont opérés depuis la création de ce système ; en effet, un lent glissement dû à la précession des équinoxes provoque des erreurs significatives.

La mesure du temps

171

ÉNIGME N° 28

Quel est le tracé d’un cadran équatorial ?

Le cadran solaire de type « équatorial » Nous verrons dans l’énigme suivante qu’il existe de nombreux autres types de cadrans dont les plus célèbres sur les façades des édifices s’appellent les cadrans verticaux. L’écran équatorial est particularisé par son modèle géant qui est la Terre. En effet la figure ci-dessous permet de montrer que ce cadran sera réalisé à l’image de notre planète. Nous tracerons les lignes horaires sur le plan équatorial et la tige faisant l’ombre sera l’axe des pôles. N

N Plan équatorial Soleil

Équateur

S

S

La fabrication de ce type de cadran semble simple puisque la tige que l’on appelle le « style » du cadran est à fixer perpendiculairement au plan sur lequel on tracera la direction que doit prendre l’ombre heure après heure. Dans un premier temps nous ne nous intéresserons pas à l’inclinaison des pôles qui peut atteindre 23,5° et nous ne considérerons que la disposition ci-dessus.

Pb 72 L’ombre du cadran ainsi réalisé va se projeter sur un disque ; sachant que cette ombre est celle de la tige fixée perpendiculairement au centre du disque, représenter sur le disque ci-dessous le tracé du cadran sur sa face Nord, c’est-àdire représenter le segment sur lequel l’ombre se projettera chaque heure. 172 L’astronomie en questions

Forme du cadran quatorial l mentaire N Tige = style Disque = plan où l'ombre se projette

S

Compléter le tracé du disque se trouvant dans le plan équatorial de la Terre :

Ligne horaire pour 12h

Si on souhaite graduer les deux faces du cadran horizontal, de quelle façon doit être graduée la face Sud ?

Pb 73

De quelle façon doit être orienté le cadran pour fonctionner correctement ? Déterminer l’inclinaison (α) qui doit exister entre le style (tige du cadran) et le sol (horizontal) dans ces quelques lieux : ◆ au pôle Nord ; ◆ à l’équateur ; ◆ à Paris (latitude ϕ = 50°).

Pb 74

AIDE N° 28

A 72 La Terre tourne sur elle-même avec une vitesse de rotation constante en 24 heures. Vu de la Terre nous avons donc l’impression que c’est le Soleil qui nous tourne autour en 24 heures.

Face Nord du cadran

N

Soleil

En déduire le tracé de la face Nord du cadran équatorial.

S

A 73 Lorsque l’on retourne cette figure on obtient la suivante.

Face Sud du cadran

S

En déduire le tracé de la face Sud du cadran équatorial. Quelle est la différence entre les deux faces ?

Soleil

N

La mesure du temps

173

A 74

L’inclinaison « α » entre le style et le sol est représentée sur la figure cidessous : N

Style

α

S

Sol horizontal

Nous rappelons que le principe de ce cadran est d’avoir en permanence le style parallèle à l’axe Nord – Sud de la Terre ; de ce fait le cadran (partie circulaire) est parallèle au plan équatorial de la Terre. Quelle doit donc être l’inclinaison (α) des cadrans se trouvant : au pôle Nord, à l’équateur ou à Paris (latitude ϕ = 50°) ?

CORRIGÉ N° 28

C 72

Le Soleil fait le tour de la Terre en 24 heures, l’ombre de la tige (ou style) parallèle à l’axe des pôles fera donc de même. C’est-à-dire que l’angle parcouru ----------- = 15°. Le tracé du cadran équatorial par l’ombre en une heure vaudra : θ = 360° 24 h est donc le suivant :

4h

5h

6h

7h

8h 9h

3h

10h

2h

11h

1h 15°

24h

12h

23h

Ligne horaire pour 12h

13h

22h

14h

21h

15h 20h

19h 18h 17h

16h

Sens de rotation apparent du Soleil depuis l'hémisphère Nord = sens de rotation de l'ombre

L’ordre des heures correspond au sens de rotation du Soleil lorsque l’on se trouve dans l’hémisphère Nord : on voit le Soleil se lever à l’Est, passer vers le Sud pour se coucher à l’Ouest ; le Soleil a donc tourné dans le sens des aiguilles d’une montre autour du pôle Nord. 174 L’astronomie en questions

Pour graduer la face Sud, on peut recopier les graduations de la face Nord (tous les 15°) par transparence au dos de la face Nord ou constater que lorsque l’on est dans l’hémiphère Sud, le Soleil tourne dans l’autre sens. C’est en quelque sorte comme si on se trouvait dans l’hémisphère Nord en marchant sur les mains (la tête en bas). Le tracé de la face Sud est donc : 20h

18h 17h

19h

C 73

16h 15h

21h

14h

22h

13h

23h 15°

24h 1h

12h

Ligne horaire pour 12h

11h

2h

10h 3h

9h 4h

5h

7h

6h

8h

Sens de rotation apparent du Soleil depuis l'hémisphère Sud

Le cadran équatorial doit toujours avoir son style parallèle à l’axe des pôles et son disque gradué doit être parallèle au plan équatorial, cela donne les dispositions suivantes pour les lieux demandés : N Pôle Nord

α

Parallèle de latitude 50° Nord (Paris)

ϕ

Équateur

Axe des pôles

S

On constate que l’orientation particulière de ce cadran entraîne : ◆ Au pôle Nord, le style est perpendiculaire au sol (horizon local) donc : α = 90°. ◆ À l’équateur, le style est parallèle au sol donc α = 0°. ◆ En un lieu quelconque du globe on remarque sur la figure ci-dessous que α = ϕ. À Paris nous obtenons donc α = ϕ = 50°. La mesure du temps

175

C 74

Pour justifier cela, nous observons que l’angle de 90° séparant l’horizon local du zénith peut être scindé en deux angles ; avec une symétrie nous obtenons : 90° = α + (90 - ϕ) α=ϕ

soit :

N Zénith

90°– ϕ Horizon local α

ϕ

Plan équatorial α

90°– ϕ S Axes des pôles

176 L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 29

Durant quelle période de l’année peut-on utiliser un cadran équatorial ?

Comme le précise le titre de cette énigme, nous ne nous intéresserons pas à la durée d’utilisation quotidienne du cadran avec le problème du jour et de la nuit, mais nous observerons son fonctionnement annuel. Nous venons de décrire dans l’énigme précédente le principe du cadran équatorial, nous savons l’orienter et nous savons tracer les lignes qui permettront de lire l’heure. Le principe utilisé pour construire ce cadran a consisté à reproduire en miniature ce qui se passe pour la Terre dans le plan de l’équateur, soit un déplacement du Soleil de 15° toutes les heures. Pour simplifier le problème nous avions placé le Soleil dans le plan de l’équateur terrestre. Est-ce toujours le cas ? Quels sont les moments où le Soleil passe à des hauteurs extrêmes ou nulles par rapport au plan équatorial ?

Pb 75

Déduire des résultats précédents pour quelles saisons l’ombre du style se projettera sur la face Sud ou Nord du cadran équatorial.

Pb 76

Sur de nombreux cadrans solaires on remarque qu’il y a un tracé supplémentaire à celui des heures : il indique la longueur de l’ombre. Cette information est intéressante car elle permet de donner le mois de l’année dans lequel on se trouve. Le cadran devient donc un calendrier ! Le dessin ci-dessous s’appelle un analemme, il représente la position du Soleil le 21 de chaque mois à midi dans le ciel ; on peut remarquer deux choses :

Pb 77

◆ La hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon (h) varie au cours de l’année, toutefois à chaque hauteur correspond deux dates ; ◆ Le Soleil ne passe pas exactement au zénith à la même heure chaque jour ; cet écart est dû à ce que l’on appelle « l’équation du temps » dont nous ne parlerons pas pour le moment.

La mesure du temps

177

h (°)

21/6

113,5°

21/5

21/7

21/8

Hauteur du Soleil dans le ciel au cours d'une année

21/4

Pour s’intéresser au tracé des lignes de longueur d’ombre nous nous limiterons à rechercher les variations de ces longueurs à midi, les jours d’équinoxes et de solstices pour un style de longueur 20 cm (soit 10 cm de chaque côté, Nord et Sud).

21/9

21/3

21/10

21/2

Rappelons que le lieu où se trouve ce cadran est indifférent car tous les cadrans équatoriaux du monde sont orientés de la même manière.

21/11

21/1

21/12 66,5° Est

Sud

Ouest

Problème de réalisation pratique Pb 78

Pour éviter le problème de la face non éclairée durant la moitié de l’année comment peut on modifier le cadran tout en conservant son principe de fonctionnement ?

AIDE N° 29

A 75

Pour trouver la hauteur à laquelle se trouve le Soleil dans le ciel ainsi que les valeurs extrêmes qu’il peut prendre, nous pourrons reprendre les résultats déjà déterminés dans l’énigme n° 4 « Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? ».

A 76

Pour trouver laquelle des faces (Nord ou Sud) du cadran est éclairée, il faut se rappeler que ces faces sont parallèles au plan équatorial terrestre ; il ne reste donc qu’à chercher les moments de l’année où le Soleil éclaire l’hémisphère Nord ou bien l’hémisphère Sud. 178 L’astronomie en questions

Comme pour le premier problème (Pb 75), nous pouvons reprendre les résultats déterminés dans l’énigme n° 4 « Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? », concernant la hauteur (H) du Soleil par rapport au plan équatorial ; c’est-à-dire : ◆ H = 0° aux équinoxes de printemps et d’automne ; ◆ H = 23,5° au solstice d’été ; ◆ H = - 23,5 ° au solstice d’hiver.

A 77

Remarque. L’angle H défini ici est différent de l’angle h utilisé sur l’analemme (figure en « 8 ») celui-ci étant la hauteur du Soleil par rapport à l’horizon du lieu considéré et non par rapport au plan équatorial. Il ne reste plus qu’à exprimer la longueur de l’ombre (omb) en fonction de la hauteur (H) et de la longueur du style sur chaque face (L = 10 cm). Soleil

H (°) L (10cm) Plan équatorial Omb (cm)

Problème de réalisation pratique Le problème de la face non éclairée durant une partie de l’année revient à dire qu’il y a toujours une face du cadran qui fait de l’ombre à l’autre hormis les jours d’équinoxes (printemps et automne) où le Soleil se trouve exactement dans le plan du cadran (plan équatorial). Trouver des solutions permettant d’éliminer l’opacité des deux faces du cadran que nous avons étudiées jusqu’à présent.

A 78

CORRIGÉ N° 29 Comme nous l’avons déjà étudié dans l’énigme n° 4 « Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? », le Soleil respecte les quatre dispositions représentées ci-après dans les cas extrêmes :

La mesure du temps

179

C 75

Équinoxe de printemps

N

Solstice d'été

N

T. Cancer Équateur

T. Cancer α

Équateur

T. Capricorne

T. Capricorne

S

Équinoxe d'automne

S

N

Solstice d'hiver

N

T. Cancer Équateur

T. Cancer Équateur

α

T. Capricorne

S

T. Capricorne

S

Rappelons que les tropiques du Cancer et du Capricorne se trouvent tous deux à la latitude de 23,5° respectivement dans les hémisphères Nord et Sud. Nous en déduisons que la hauteur H du Soleil dans le ciel par rapport au plan équatorial est : ◆ H = 0° aux équinoxes de printemps et d’automne (vers le 21 mars et septembre) ; ◆ H = 23,5° au solstice d’été (vers le 21 juin) ; ◆ H = - 23,5° au solstice d’hiver (vers le 21 décembre).

C 76

Nous voyons bien sur le croquis ci-dessus que le Soleil se trouve du côté Nord à partir de l’équinoxe de printemps jusqu’à l’équinoxe d’automne. Il se trouve les six mois suivants du côté Sud. L’équateur correspond au plan de notre cadran, on constate que la face Nord est éclairée du 21 mars au 21 septembre (le printemps et l’été) alors que la face Sud est éclairée du 21 septembre au 21 mars (l’autome et l’hiver).

180 L’astronomie en questions

Pour déterminer la valeur de l’ombre d’un style d’une longueur de 10 cm aux équinoxes et aux solstices, nous utilisons les relations trigonométriques définissant l’angle H qui est la hauteur du Soleil par rapport au plan équatorial dans le triangle rectangle ainsi formé :

C 77

L (cm) H (°)

Omb (cm) L - . Connaissant les valeurs extrêmes de H Nous pouvons écrire tan (H) = -----------omb et la valeur fixe L nous pouvons exprimer puis calculer la longueur de l’ombre (omb) du cadran : L omb = ----------------tan (H)

Date

Hauteur du Soleil H (en °)

Longueur de l’ombre (omb)

Équinoxe de printemps

0°

infinie

Solstice d’été

23,5°

23 cm (face Nord)

Équinoxe d’automne

0°

infinie

– 23,5°

23 cm (face Sud)

Solstice d’hiver

On remarque qu’aux équinoxes le Soleil se trouve dans le plan équatorial, l’ombre est donc de longueur maximale puisqu’elle est infinie. Aux solstices le Soleil est au plus loin du plan équatorial, l’ombre est donc minimale.

Si nous sommes obligés de graduer les deux faces du cadran équatorial proposé, c’est parce qu’il est opaque. Selon la période de l’année, une face est éclairée l’autre étant à l’ombre. Le plus simple pour pallier cet inconvénient est de fabriquer le disque dans un matériau transparent (verre ou plexiglas). La deuxième solution est de supprimer complétement le disque en ne conservant que la tige (style) et une couronne circulaire graduée ; cela peut donner par exemple :

La mesure du temps

181

C 78

Anneau circulaire gradué tous les 15°

Style

α=ϕ

Sol

Ce cadran fonctionne au maximum 16 heures par jour en été à nos latitudes, on peut donc supprimer les 8 graduations inutiles correspondant à la nuit, ce qui donne :

Conclusion. Pour répondre à la question posée « durant quelle période de l’année peut-on utiliser un cadran équatorial ? », contrairement au cadran initialement présenté les modifications proposées permettent de l’utiliser toute l’année.

182 L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 30

Sur un cadran horizontal ou vertical quelle doit être l’inclinaison du style ?

Nous allons ici définir le cadran horizontal et vertical à partir du cadran équatorial. Dans l’énigme suivante nous verrons de quelle manière on trace les lignes horaires de ces deux cadrans. Plan vertical Plan équatorial

Plan horizontal

Méridien local = ligne passant par le lieu considéré et par les pôles.

Remarque. Il existe différents types de cadrans verticaux, nous ne parlerons ici que du cadran « plein Sud » qui est perpendiculaire au plan méridien (en pointillés ci-dessus). Les autres types de cadrans verticaux sont dits « déclinants » selon qu’ils sont plutôt inclinés vers l’Est ou vers l’Ouest. Rappeler la valeur de l’angle qui existe entre le style et le cadran équatorial. Déterminer l’angle α formé par le cadran horizontal et son style en fonction de la latitude ϕ du lieu. Déterminer l’angle β formé par le cadran vertical et son style.

Pb 79

Dans des lieux particuliers comme les pôles ou l’équateur peut-on réaliser des cadrans horizontaux et verticaux ? En donner une représentation simple (orientation du style par rapport au cadran).

Pb 80

La mesure du temps

183

AIDE N° 30

A 79

Nous constatons que pour les trois types de cadrans, le style a la même orientation : il est parallèle à l’axe des pôles. À partir des figures situant le cadran sur le globe terrestre données dans le Pb 74 de l’énigme n° 28 « Quel est le tracé d’un cadran équatorial ? », déterminer les angles α et β en fonction de la latitude ϕ.

A 80

Déduire des orientations particulières existant entre le plan horizontal, le plan vertical et l’axe des pôles dans les lieux qui nous intéressent, la possibilité de réaliser les cadrans verticaux et horizontaux. (Nous pourrons utiliser les mêmes figures que dans le problème précédent).

CORRIGÉ N° 30

C 79

En reprenant les résultats de l’énigme n° 28 nous pouvons écrire que : α = ϕ (démonstration détaillée dans le Pb 74). Zénith = direction verticale N β α

Axe des pôles

Horizon local ϕ

Équateur

À partir de ce résultat, nous pouvons exprimer l’angle β, puisque nous avons un triangle rectangle de côtés : l’axe vertical, horizontal et le style ; sachant que la somme des angles dans un triangle fait 180°, avec un angle particulier à 90°, nous pouvons donc écrire : 180° = 90° + α + β. Soit :

β = 90° - α

avec

α = ϕ la latitude

Nous obtenons :

β = 90° - β que l’on appelle aussi la co-latitude. Conclusion. L’inclinaison du style d’un cadran horizontal (α) ou d’un cadran vertical (β) est directement fonction de la latitude du lieu (ϕ).

184 L’astronomie en questions

Recherche de l’axe Nord – Sud : orientation du cadran Nous avons vu que pour tous les cadrans étudiés, le style doit être parallèle à l’axe des pôles. Nous savons désormais orienter cet axe par rapport au sol (plan horizontal) d’un lieu, mais il faut d’abord connaître la direction du Sud et/ou du Nord. Si la boussole semble le meilleur instrument pour donner la direction du Nord, cela est en réalité inexact car les pôles géographiques et magnétiques ne sont pas tout à fait confondus et l’écart entre leurs directions est de l’ordre de quelques degrés à nos latitudes. Pour déterminer précisément l’orientation du méridien local (direction Nord – Sud), les cadraniers utilisent la méthode suivante : ◆ On plante un gnomon vertical à l’endroit où le futur cadran devra être placé. ◆ On repère l’extrémité de l’ombre quelques fois durant une matinée puis on trace des cercles passant par ces repères et centrés sur la base du gnomon. Au cours de l’après-midi, l’extrémité de l’ombre passera sur les mêmes cercles en des lieux qu’il faudra à nouveau repérer. ◆ La direction du méridien local est donnée par les bissectrices des ombres de même longueur qui doivent toutes être confondues.

Gnomon vertical N

Méridien local = bissectrice des 2 ombres de même longueur

S Plan horizontal

Cercle dont le rayon correspond à une même longueur d'ombre le matin et l'après-midi

Dans les lieux particuliers qui nous intéressent :

C 80

Lieu

Latitude

Inclinaison / horizon

Inclinaison / zénith

Quelconque

ϕ

α=ϕ

β = 90° - ϕ

Pôle Nord

+ 90°

+ 90°

0°

Équateur

0°

0°

+ 90°

Pôle Sud

- 90°

- 90°

180° = 0°

La mesure du temps

185

Un angle nul (0°) signifie que le style doit être parallèle au cadran, les lignes horaires seront alors toutes parallèles les unes aux autres. Alors qu’un angle de 90° signifie que le style est perpendiculaire au cadran, le cadran réalisé est un simple cadran équatorial pour lequel les lignes horaires sont réparties tous les 15°. Aux pôles

À l'équateur

Le cadran horizontal a pour forme :

Le cadran horizontal a pour forme :

N

S

N

S Le cadran vertical a pour forme :

Le cadran vertical a pour forme :

N

S

N

S

Remarque. Pour les latitudes de 45°N et de 45°S le cadran horizontal en un lieu peut devenir le cadran vertical de l’autre lieu et réciproquement. Cela est le fait qu’entre les plans horizontaux de ces latitudes symétriques il existe un angle de 90° qui est justement l’angle qui sépare les plans des cadrans horizontaux et verticaux.

186 L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 31

Quelle forme doit avoir le cadran solaire le plus simple à tracer ?

Nous venons de voir dans l’énigme précédente que les cadrans équatoriaux, verticaux et horizontaux peuvent être assemblés comme ci-dessous lorsqu’un même style les relie. Plan vertical Plan équatorial

Nord

Plan horizontal Ouest

Sud

Est

Le but de cette énigme sera un peu plus ambitieux que de chercher simplement quel type de cadran est le plus simple à tracer, car pour répondre à cette question nous allons définir complètement les tracés des cadrans verticaux et horizontaux. À partir de la représentation ci-dessus et du tracé du cadran équatorial déjà étudié (dans l’énigme n° 28) déduire le principe de tracé des lignes horaires des cadrans horizontaux et verticaux.

Pb 81

Déterminer les angles séparant le tracé de chaque heure par rapport au plan méridien pour un cadran horizontal que l’on graduera de 6 heures à 18 heures. Nous nommerons ces angles suivant l’indice de l’heure h correspondante θ h, soit pour 8 h : θ 8.

Pb 82

Déterminer les angles séparant le tracé de chaque heure par rapport au plan méridien pour un cadran vertical « plein Sud » que l’on graduera de 6 heures à 18 heures.

Pb 83

La mesure du temps

187

AIDE N° 31

A 81

Pour construire graphiquement les lignes horaires des cadrans horizontaux et verticaux à partir du cadran équatorial, il est nécessaire d’utiliser la figure proposée au début de cette énigme et de bien remarquer que, quel que soit le type de cadran, l’ombre du style sera toujours un segment bien rectiligne. Cette ombre commence à la base du style pour aller jusqu’à la ligne d’intersection des plans équatoriaux, horizontaux et verticaux.

A 82

Pour déterminer le tracé des lignes horaires du cadran horizontal, nous allons définir les paramètres qui nous intéresserons : Plan équatorial Plan horizontal E Lé H

θh

I Ph

Ligne d'intersection

Lh

◆ Ligne d’intersection : droite commune aux trois plans : horizontal, équatorial et vertical ; ◆ Lé : rayon du cadran équatorial (EI) ou distance la plus courte séparant le centre du cadran équatorial (E) à la « ligne d’intersection » ; ◆ Lh : distance la plus courte (HI) séparant le centre du cadran horizontal (H) à la « ligne d’intersection » ; ◆ θh : angle correspondant à la direction de l’ombre à l’heure « h ». Remplir le tableau suivant, c’est-à-dire donner l’angle θh correspondant à la direction de l’ombre par rapport au méridien local (HI) à l’heure « h » : heure solaire

6h

7h

8h

9h

10 h

11 h

angle : θ h heure solaire

12 h 0°

13 h

14 h

15 h

16 h

17 h

18 h

angle : θ h

Pour exprimer ces différents angles nous utiliserons les propriétés déterminées dans le Pb 81 ainsi que des relations élémentaires de trigonométrie dans les triangles rectangles (E, I, Ph) et (H, I, Ph). 188 L’astronomie en questions

Pour déterminer le tracé des lignes horaires du cadran vertical, nous allons définir les paramètres qui nous intéresserons : Plan vertical

V Plan équatorial E

θh Lé

Ligne d'intersection

Lv I Ph

◆ Ligne d’intersection : droite commune aux trois plans : horizontal, équatorial et vertical ; ◆ Lé : rayon du cadran équatorial (EI) ou distance la plus courte séparant le centre du cadran équatorial (E) à la « ligne d’intersection » ; ◆ Lv : distance la plus courte (VI) séparant le centre du cadran vertical (V) à la « ligne d’intersection » ; ◆ θ h : angle correspondant à la direction de l’ombre à l’heure « h ». Remplir le tableau suivant, c’est-à-dire donner l’angle qh correspondant à la direction de l’ombre par rapport au méridien local (VI) à l’heure « h » : heure solaire

6h

7h

8h

9h

10 h

11 h

angle : θ h heure solaire

12 h 0°

13 h

14 h

15 h

16 h

17 h

18 h

angle : θ h

Pour exprimer ces différents angles nous utiliserons les propriétés déterminées dans le Pb 81 ainsi que des relations élémentaires de trigonométrie dans les triangles rectangles (E, I, Ph) et (V, I, Ph).

La mesure du temps

189

A 83

CORRIGÉ N° 31

C 81

Nous savons tracer les lignes horaires d’un cadran équatorial (cf. : énigme n° 28) puisque la ligne correspondant à 12h (midi solaire) part de la base du style pour prendre la direction du méridien local et que toutes les heures les lignes sont espacées de 15°. Pour déterminer graphiquement les tracés des cadrans verticaux et horizontaux à partir du cadran équatorial, nous utilisons la figure dans laquelle les cadrans sont imbriqués avec un style commun :

V 15° entre chaque segment

H Ligne d'intersection

9h

10h

11h 12h 13h

14h

Ce schéma indique le principe utilisé sans respecter les échelles, pour faire un tracé précis, il est nécessaire de bien connaître les longueurs « Lé », « Lh » et « Lv » correspondant aux distances entre la base du style de chaque type de cadran (équatorial, horizontal et vertical) et la ligne d’intersection (au point I). 1er cas. Le cadran horizontal. Par aplanissement du schéma ci-dessus nous obtenons le tracé du cadran horizontal. Sur le cadran équatorial, les lignes horaires sont disposées tous les 15°, chaque segment part du point E et aboutit à un point P (indice h) pour chaque heure (h) à la jonction de la « ligne d’intersection ». Pour construire le tracé du cadran horizontal il suffit de partir de ces points et de tracer les segments les reliant à la base du style en H (voir figure page suivante). Il est à rappeler que la longueur « Lh » est directement liée à « Lé » et à la latitude du lieu comme nous l’avons vu dans l’énigme n° 30 puisque le style est incliné d’un angle α = ϕ ( = 50° à Paris) par rapport au plan horizontal, nous obtenons donc la relation : Lé IE sin α = sin ϕ = ------ = -----Lh IH ou bien : Lé Lh = ----------sin ϕ 190 L’astronomie en questions

E

cadran équatorial P6

15°

P18

15°

Lé

P7

P17

P8 P9 Ouest

P10

P11

I = P12

P16 P13 P14 P15 Ligne d'intersection Est

P8

P16

P7

P17

Lh

P18

P6 Cadran horizontal

H

2ème cas. Le cadran vertical. Même principe que ci-dessus. E

cadran équatorial P6

15°

P18

15°

Lé

P7

P17

P8 P9 Ouest

P10

P11

I = P12

P16 P13 P14 P15 Ligne d'intersection Est

P8

P16

P7

P17

Lv

P6

P18 Cadran vertical

V

La mesure du temps

191

Il faut rappeler que la longueur « Lv » est directement liée à « Lé » et à la latitude du lieu, comme nous l’avons vu dans l’énigme n° 30, puisque le style est incliné d’un angle β = 90 - ϕ ( = 40° à Paris) par rapport au plan vertical ; nous obtenons la relation :

Lé IE sin β = sin ( 90 – ϕ ) = ------ = -----Lv IV ou bien :

Lé Lé Lv = ---------------------------- → Lv = -----------sin ( 90 – ϕ ) cos ϕ

C82

Pour un cadran horizontal, nous obtenons les angles séparant le tracé de chaque heure par rapport au plan méridien en utilisant le tracé ci-dessus (Pb 81) avec de simples relations trigonométriques dans des triangles rectangles puisque l’angle θ h, qui nous intéresse est celui qui sépare les segments (H,I) et (H,Ph) dans le triangle rectangle (H,I,Ph). Il en résulte que :

( I, Ph ) ( I, Ph ) tan ( θh ) = ----------------- = ----------------( I, H ) Lh Lé - d’une part et la longueur (I,Ph) que l’on peut déterminer ; avec Lh = ---------sin ϕ d’autre part à partir d’un triangle rectangle du cadran équatorial (E,I,Ph) :

( Ph, I ) ( Ph, I ) tan ( ê ) = ----------------- = ----------------( E, I ) Lé nous obtenons donc la longueur du segment :

( Ph, I ) = Lé × tan (ê) Ligne d'intersection Ph

H

θh

I = P12 Lh

Multiple de15°

ê

E

Lé

L’expression précédente de tan (θ h) nous permet d’écrire :

( I, Ph ) ( I, Ph ) × sin ϕ Lé × tan (ê) × sin ϕ tan ( θh ) = ----------------- = ----------------------------------- = ---------------------------------------------Lh Lé Lé → tan ( θh ) = tan (ê) × sin ϕ

192 L’astronomie en questions

ou :

θh = Arc tan [ tan (ê) × sin ϕ ] L’angle « ê » sépare le méridien local de la ligne horaire qui nous intéresse, cet angle vaut 15° par heure à partir de 12h. Nous pouvons donc compléter le tableau suivant pour chaque heure (de 6 à 18) si nous prenons la latitude de Paris ϕ = 50° : Heure (h)

6h

7h

8h

9h

10 h

11 h

12 h

Angle ( ê ) °

90°

75°

60°

45°

30°

15°

0°

(Ph,I)

infini

3,73.Lé

1,73.Lé

Lé

0,57.Lé

0,27.Lé

3,73.Lé

θh

90°

70,7°

53°

37,5°

23,9°

11,6°

0°

Heure (h)

13 h

14 h

15 h

16 h

17 h

18 h

– 15°

– 30°

– 45°

– 60°

– 75°

Angle ( ê ) ° (I,Ph)

– 0,27.Lé – 0,57.Lé

θh

– 11,6°

– 23,9°

– Lé

– 90°

– 1,73.Lé – 3,73.Lé

– 37,5°

– 53°

– infini

– 70,7°

– 90°

Nous allons appliquer exactement le même principe que précédemment. Pour un cadran vertical, nous obtenons les angles séparant le tracé de chaque heure par rapport au plan méridien en utilisant le tracé ci-dessus (Pb 81). L’angle θ v, qui nous intéresse est celui qui sépare les segments (V,I) et (V,Ph) dans le triangle rectangle (V,I,Ph). Il en résulte que :

( I, Ph ) ( I, Ph ) tan ( θv ) = ----------------- = ----------------( I, V ) Lv avec :

Lé Lv = -----------cos ϕ d’une part et la longueur (I,Ph) que l’on vient de déterminer dans le Pb 82 soit : ( Ph, I ) = Lé × tan (ê) Ligne d'intersection Ph

V

θv

I = P12 Lv

Multiple de15°

ê

E

Lé

La mesure du temps

193

C 83

L’expression précédente de tan (θv) nous permet d’écrire :

( I, Ph ) ( I, Ph ) × cos ϕ Lé × tan (ê) × cos ϕ tan ( θv ) = ----------------- = ------------------------------------ = ----------------------------------------------Lv Lé Lé → tan ( θv ) = tan (ê) × cos ϕ ou :

θv = Arc tan [ tan (ê) × cos ϕ ] L’angle « ê » sépare le méridien local de la ligne horaire qui nous intéresse ; cet angle vaut 15° par heure à partir de 12h. Nous pouvons donc compléter le tableau suivant pour chaque heure (de 6 à 18) si nous prenons la latitude de Paris ϕ = 50° : Heure (h)

6h

7h

8h

9h

10 h

11 h

12 h

Angle ( ê ) °

90°

75°

60°

45°

30°

15°

0°

(Ph,I)

infini

3,73.Lé

1,73.Lé

Lé

0,57.Lé

0,27.Lé

3,73.Lé

θv

90°

67,4°

48°

32,7°

20,4°

9,8°

0°

Heure (h)

13 h

14 h

15 h

16 h

17 h

18 h

– 15°

– 30°

– 45°

– 60°

– 75°

Angle ( ê ) ° (I,Ph)

θv

– 0,27.Lé – 0,57.Lé – 9,8°

– 20,4°

– Lé – 32,7°

– 1,73.Lé – 3,73.Lé – 48°

– 67,4°

– 90° – infini – 90°

Remarque. Selon la latitude ϕ du lieu où devra fonctionner le cadran il faudra prendre la latitude du lieu correspondant. Cette latitude peut être déterminée expérimentalement : ◆ Voir énigme n° 3 « Comment connaître sa latitude à l’aide des étoiles ? » - Pb 9. ◆ Voir énigme n° 4 « Que vaut l’inclinaison de l’axe terrestre par rapport à son plan orbital ? » - Pb 12 (à prendre à l’envers c’est à dire en sachant que la Terre est inclinée de 23,5° rechercher ϕ qui est alors inconnu). Plus simplement, on peut connaître précisément sa latitude en la lisant sur les cartes Michelin au 1/ 200 000ème , cette information figure sous la forme d’un quadrillage bleu sur toute la France par intervalles de 10 minutes, c’est-à-dire 10/ 60ème de degré (il s’agit en fait des parallèles à l’équateur qui vont d’Ouest en Est). Conclusion. Pour répondre à la question posée : « Quelle forme doit avoir le cadran solaire le plus simple à tracer ? », nous pouvons répondre qu’il doit être équatorial puisque les autres cadrans (horizontal et vertical) se construisent à partir de celui-ci.

194 L’astronomie en questions

ÉNIGME N° 32

À quelle vitesse se propage la lumière ?

Pendant très longtemps cette question n’a eu aucune raison d’être car il était évident que la lumière se propageait de façon instantanée. Il semble que Galilée au début du XVIIe siècle fut le premier à émettre l’hypothèse que la lumière se déplaçait à une vitesse non infinie : hélas il ne réussit jamais à le démontrer… Il fallut attendre encore quelques années pour que la vitesse de la lumière soit estimée : ◆ ◆ ◆ ◆

en 1676 : Römer mesure 215 000 km/s ; en 1725 : Bradley annonce 308 300 km/s ; en 1849 : Fizeau mesure 313 000 km/s ; en 1953 : Froome détermine 299 793 km/s à 0,3 km/s près.

Cette dernière vitesse est la vitesse maximale à laquelle peut se propager une onde, elle s’appelle célérité et se note « c ». Les corps possédant une masse se déplacent toujours à des vitesses très inférieures à c.

Éclipses des satellites galiléens Si Galilée n’a pas réussi à déterminer la vitesse de la lumière, le Danois Olaus Römer (Arhus 1644 – Copenhague 1710) l’a fait en étudiant les satellites dits galiléens ; c’est en quelque sorte un hommage que l’on peut rendre au précurseur. Les satellites dits galiléens sont les quatre plus gros satellites de la planète Jupiter qui ont été découverts par Galilée en 1610 avec une petite lunette astronomique ; leurs noms actuels sont Io, Europe, Ganymède et Callisto (les liens avec la mythologie sont conservés). Comme nous avons déjà eu l’occasion de le voir dans le cas de la Terre et de la Lune, les systèmes « Soleil - Planète – Satellite » donne lieu à des configurations particulières appelées éclipses. Lorsque ces phénomènes sont observés depuis l’extérieur du système et notamment depuis la Terre cela donne quatre dispositions notables représentées sur ce croquis (échelles non respectées) :

La mesure du temps

195

Soleil

Jupiter C B A Terre

Champ visuel du disque de Jupiter depuis la Terre

F D E

Orbite du satellite IO

Les dispositions [A] à [F] représentent des positions caractéristiques d’un satellite autour de Jupiter : ◆ Passage : on observe le satellite passer devant le disque de la planète Jupiter [A] et [B]. ◆ Passage d’ombre : on observe l’ombre du satellite se projeter sur le disque jovien (jovien : qui est relatif à Jupiter) [B] et [C]. ◆ Éclipse : Le satellite traverse le cône d’ombre de Jupiter, il n’est plus visible puisqu’il n’est plus éclairé par le Soleil : positions [D] et [E]. ◆ Occultation : Le satellite n’est plus visible car il se trouve derrière Jupiter, cela ne signifie pas forcément qu’il se trouve dans le cône d’ombre de Jupiter [D] et [F].

Expérience de Römer En 1676 Olaus Römer a estimé la vitesse de la lumière en observant le satellite Io dont la durée d’une révolution autour de Jupiter est de 42,5 heures. Il a remarqué que selon les moments de l’année cette durée variait quelque peu : lorsque la Terre s’approche de Jupiter cette durée réduit alors que lorsque la Terre s’en éloigne elle augmente. Pour illustrer cette observation nous pouvons nous reporter à la figure cidessous : le point [O] représente l’entrée de Io dans le cône d’ombre ; ce moment est appelé « occultation » alors que lorsque le satellite « émerge » de l’ombre au point [E], c’est la fin de l’éclipse. Les points [A], [B], [C] et [D] sont désormais des dispositions particulières de la Terre où l’on peut observer soit l’occultation, soit l’émersion de Io.

196 L’astronomie en questions

D C Orbite de Jupiter

Orbite de la Terre

Jupiter

Soleil

E

O Orbite du satellite B A

Figure de principe, échelles non respectées

Dans cette figure Jupiter est considérée comme fixe car sa période de révolution autour du Soleil est très longue (presque 12 ans). Essayer de retrouver la valeur de la vitesse de la lumière en actualisant l’expérience de Römer avec des mesures pouvant être effectuées par des instruments modernes de grande précision :

Pb 84

◆ Premier chronomètre lancé lorsque la Terre est en [A] au moment de l’observation du début de l’éclipse (occultation), chronomètre arrêté au début de l’occultation suivante de Io : durée chronométrée T1 = 42 heures 30 minutes. ◆ Second chronomètre lancé en même temps que le premier, lorsque la Terre est en [A] début de l’éclipse (1ère occultation), chronomètre arrêté en [B], au début de la 18ème occultation consécutive de Io : durée chronométrée : T2 = 722 heures 25 minutes 42 soit environ 30 jours ou 1 mois. ◆ Rayon de l’orbite terrestre : 149,6 millions de km. ◆ Durée de la révolution de la Terre autour du Soleil : 325,25 jours ◆ Rayon de l’orbite de Jupiter : 778,3 millions de km. ◆ Rayon de l’orbite de Io autour de Jupiter : 0,42 million de km. Essayer de retrouver la valeur de la vitesse de la lumière à l’aide du même principe que précédemment mais en observant désormais deux émersions consécutives du satellite Io (fins des éclipses) : ◆ Premier chronomètre lancé lorsque la Terre est en [C] fin de l’éclipse (émersion), chronomètre arrêté au début de l’émersion suivante de Io : durée chronométrée T1 = 42 heures 30 minutes. La mesure du temps

197

Pb 85

◆ Second chronomètre lancé en même temps que le premier, lorsque la Terre est en [C] fin de l’éclipse (1ère émersion), chronomètre arrêté en [D], au moment de la 18ème émersion consécutive de Io : durée chronométrée : 722 heures 34 minutes 18 secondes soit environ 30 jours ou 1 mois. ◆ Toutes les autres données numériques sont indiquées ci-dessus.

Expérience de Fizeau Hippolyte Fizeau (Paris 1819 – La Ferté-sous-Jouarre 1896) réussit en 1849 à mesurer la vitesse de la lumière dans l’air à l’aide d’un judicieux dispositif schématisé ci-dessous (cette figure ne respecte ni les échelles ni le très grand nombre de dents de la roue) : Roue dentée (720 dents) en rotation

Miroir semiréfléchissant

Miroir

Observateur L = 8630 m

Source lumineuse

Description de l’expérience. L’observateur règle précisément la vitesse de rotation de la roue dentée Ω (en tr/s) de manière à ce qu’il reçoive un minimum de rayonnement lumineux. Le rayonnement issu de la source lumineuse est dévié par le premier miroir, puis « haché » par les dents de la roue de telle sorte que l’on crée des impulsions lumineuses. Ces rayons (impulsions) passant sur le bord d’une dent sont renvoyés par le deuxième miroir et reviennent exactement sur l’autre bord de cette dent lorsque la roue tourne à la vitesse Ω que l’on pourra appeler vitesse propre. Que se passe-t-il pour différentes vitesses de rotation de la roue ? ◆ Si la roue tourne à une vitesse inférieure à la vitesse propre : une partie du rayonnement émis étant passé dans un creux sera réfléchi et repassera dans le même creux, l’observateur recevra donc de la lumière. ◆ Si la roue tourne à une vitesse supérieure à la vitesse propre, l’essentiel de la lumière réfléchie passera dans le creux suivant, l’observateur recevra également de la lumière. 198 L’astronomie en questions

◆ À la vitesse propre Ω, toute la lumière émise étant passée par un creux reviendra sur la roue au niveau d’une dent et ne franchira donc pas la roue : l’observateur ne reçoit pas de lumière. À partir de la distance D et de la vitesse de rotation de la roue dentée Ω (en tr/s), nous pouvons alors déterminer la célérité de la vitesse (c). Déterminer la valeur de la vitesse de la lumière à l’aide de l’expérience de Fizeau qui s’est passée entre la butte Montmartre et le mont Valérien soit D = 8630 m, la roue dentée utilisée possédait 720 dents et sa vitesse de rotation était de Ω = 12,6 tours par secondes.

Pb 86

AIDE N° 32 Entre deux occultations successives du satellite Io, Römer a chronométré une période de 42,5 heures. Toutefois au bout de 17 éclipses de Io (environ 1 mois) la Terre s‘approchant de Jupiter il faut moins de temps à la lumière pour arriver jusqu’à la Terre. Déterminer combien de temps il aurait dû s’écouler entre le début de la 1ère occultation et celui de la 18ème si la Terre ne se déplaçait pas. Comparer cette durée à la durée réellement chronométrée (T2) et en déduire le temps mis par la lumière pour parcourir la distance AB : TAB . Par souci de simplification nous considérerons que l’arc de cercle parcouru par la Terre entre [A] et [B] peut être assimilé à un segment linéaire. Cela n’est jamais le cas, mais la différence entre ces deux longueurs est relativement faible lorsque la Terre passe dans le plan perpendiculaire à l’axe Soleil - Jupiter. Déterminer la distance [AB], puis en utilisant la valeur du temps mis par la lumière pour parcourir cette distance (TAB), déduire la valeur de la vitesse de la lumière (c).

A 84

L’expérience précédente peut être transposée à l’étude des émersions au lieu des immersions de Io dans le cône d’ombre de Jupiter. Entre deux immersions successives du satellite Io, Römer a chronométré une période identique à la précédente : 42,5 heures, mais au bout de 17 éclipses de Io la Terre s’éloignant de Jupiter il faut plus de temps à la lumière pour arriver jusqu’à elle. Déterminer combien il aurait dû s’écouler de temps entre le début de la 1ère immersion et celui de la 18ème si la Terre ne se déplaçait pas ? Comparer cette durée à celle réellement chronométrée (T2) et en déduire le temps mis par la lumière pour parcourir la distance CD : TCD .

A 85

La mesure du temps

199

Déterminer la distance entre la position [C] et [D] de la Terre. Nous pourrons utiliser la même hypothèse simplificatrice que précédemment (dans le Pb 84). En utilisant la valeur du temps mis par la lumière pour parcourir cette distance (TCD), déduire la valeur de la vitesse de la lumière (c).

A 86

Pour exploiter l’expérience de Fizeau et déterminer la célérité c de la lumière il faut déterminer la durée d (en s) que met la roue pour avancer d’un angle correspondant à la largeur d’une dent. Il faut ensuite faire le rapport de la distance parcourue par celle-ci (soit 2 fois D) sur le temps mis pour la parcourir : d.

CORRIGÉ N° 32

C 84

Nous déterminons la durée TAB mise par la lumière pour relier les positions [A] et [B] en comparant deux temps. ◆ Nous calculons d’abord la durée que l’on chronométrerait entre la 1ère occultation et la 18ème si la Terre ne se déplaçait pas, cela revient à compter la durée de 17 périodes entières du satellite Io : soit 17 × 42,5 h = 722,5 h ou 722 heures et 30 minutes. ◆ Nous comparons ensuite ce temps au temps chronométré depuis la Terre entre ces occultations de Io soit : 722 heures 25 minutes 42 secondes. La différence entre ces deux durées nous donne donc le temps réellement mis par la lumière pour parcourir la distance AB soit : (722 h 30 min) – (722 h 25 min 42 s) = 4 min 18 s. Nous obtenons TAB = 4 min 18 s. Nous allons ensuite déterminer la longueur du segment [AB] en admettant qu’elle est proche de la longueur de l’arc de cercle correspondant. Le périmètre complet de l’orbite de la Terre autour du Soleil est : P = 2π.R = 2 × 3,14 × 149 600 000 = 940 000 000 km Puisque la Terre met 365,25 jours pour faire un tour complet alors qu’elle met la durée T2 = 722 heures 25 minutes et 42 secondes soit en base décimale :

25 42 T 2 = 722 + ⎛ ------⎞ + ⎛ ------------------⎞ = 722,428 heures ⎝ 60⎠ ⎝ 60 × 60⎠ pour parcourir l’arc [AB], nous pouvons déterminer la distance de l’arc à l’aide d’un simple produit en croix : P = 940 000 000 km ⇒ T = 365,25 jours = 8766 heures AB ⇒ T2 = 722,428 heures cela donne : 200 L’astronomie en questions

722,428 × 940 000 000 km AB = ----------------------------------------------------------------- = 77 468 000 km 8766 Pour déterminer la valeur de la vitesse de la lumière (c), il ne reste qu’à effectuer le rapport : AB (km) c ( km/s ) = --------------------T AB (s) Si la lumière met un temps TAB = 4 min 18 s = 258 s pour parcourir la distance AB = 77,468 millions de km cela nous permet de déterminer la valeur de la vitesse : 77 468 000 km c = ------------------------------------ = 300 263 km/s 258 s Remarque 1. Nous retrouvons ici la valeur de la vitesse de la lumière qui est quasiment de 300 000 km/s (299 793,0 km/s précisément). Cela est dû à une adaptation idéalisée des valeurs pouvant être chronométrées. Elles ne sont pas issues d’une expérience réelle qui ne donnerait pas d’aussi bons résultats ; le but ici était simplement d’appliquer le premier principe ayant permis d’estimer la vitesse de la lumière. Remarque 2. Römer en 1676 avait trouvé une valeur proche de 215 000 km/s ; l’erreur de Römer qui est de l’ordre de 30 % donnait déjà un bon ordre de grandeur de cette vitesse vertigineuse. L’erreur était due aux valeurs numériques utilisées par Römer qui ne disposait pas de la précision actuelle, particulièrement en ce qui concerne les distances entre les astres. Nous allons procéder exactement comme dans le Pb 84 pour déterminer la célérité de la lumière. Nous déterminons la durée TCD mise par la lumière pour relier les positions [C] et [D] en comparant deux temps. ◆ Nous calculons d’abord la durée que l’on chronométrerait entre la 1ère émersion et la 18ème si la Terre ne se déplaçait pas, cela revient à compter la durée de 17 périodes du satellite Io : soit 17 × 42,5 h = 722,5 h ou 722 heures et 30 minutes. ◆ Nous comparons ensuite ce temps à celui chronométré depuis la Terre entre les 18 occultations de Io soit : 722 heures 34 minutes 18 secondes. La différence entre ces deux durées nous donne donc le temps réellement mis par la lumière pour parcourir la distance CD soit : (722 h 34 min 18 s) – (722 h 30 min) = 4 min 18 s. Nous obtenons TCD = 4 min 18 s. Nous allons ensuite déterminer la longueur du segment [CD] , puisque la durée TCD = TAB (du Pb 84). La Terre tournant à une vitesse constante, elle se La mesure du temps

201

C 85

sera déplacée de la même longueur CD = AB = 77 468 000 km. Pour déterminer la valeur de la vitesse de la lumière (c), il ne reste qu’à effectuer le rapport : CD (km) c ( km/s ) = ---------------------T CD (s) Les valeurs trouvées étant les mêmes que pour le problème précédent, nous obtenons le même résultat : 77 468 000 km c = ------------------------------------ = 300 263 km/s 258 s Remarques. Identiques à celle du premier problème (C 84).

C 86

Pour déterminer la valeur de c (comme cela est demandé dans l’aide) nous déterminons d’abord la durée que met la roue pour présenter deux bords 1 1 - de tour. Cela donne : d = ------------------ × T, successifs d’une même dent, soit ----------------750 × 2 750 × 2 T étant la période de rotation de la roue :

1 1 T = ---- = ---------- = 79,36 ms Ω 12,6 donc : –3

1 1 79,36.10 d = ------------------ = ---- = ------------------------- = 55,11 µs 750 × 2 Ω 1440 Par ailleurs la distance parcourue par la lumière durant ce temps est de : 2.D = 2 × 8630 = 17 260 m Il ne reste plus qu’à faire le rapport de la distance sur la durée pour déterminer la célérité ou vitesse de la lumière. Cela donne :

2D 17260 6 d = ------- = ------------------------ = 313,2.10 m/s –6 d 55,11.10

ou

313 200 km/s

Conclusion. Ce résultat est particulièrement proche de la valeur aujourd’hui admise de 299 793,0 km/s, l’erreur étant de moins de 5 %, ou encore 6 fois plus précis qu’avec la méthode de Römer ! La lumière se propage donc quasiment à la même vitesse dans le vide (Römer) que dans l’air (Fizeau).