Lab 4 [PDF]

Zitiervorschau

Ministerul Educaţiei Culturii si Cercetarii al Republicii Moldova Universitatea Tehnică a Moldovei

Departamentul Mecanica Teoretică

RAPORT Despre lucrarea de laborator Nr.4 la Mecanică realizată în MATLAB Tema:4. Compunerea oscilaţiilor armonice 4.1. Caracteristicile cinematice ale proceselor oscilatorii. 4.2. Compunerea oscilaţiilor armonice de aceiaşi direcţie. 4.3. Compunerea oscilaţiilor armonice de direcţii reciproc perpendiculare

A efectuat: A verificat:

Chişinău 2018

Scopul lucrării: Însuşirea materialului teoretic si compunerea oscilatiilor armonice în sistemul MATLAB. Mersul lucrării: Exercitiul 1: De făcut o generalizare concisă despre caracteristicile cinematice ale oscilaţiilor armonice si despre compunerea acestora, în cazul,când direcţiile coincid, şi ,când direcţiile sunt reciproc perpendiculare.

Caracteristicile cinematice ale oscilaţiilor armonice: Fie că un proces oscilatoriu este descris de o mărime scalară variabilă cu timpul , de exemplu , deplasarea x(t). Procesul oscilatoriu se numeşte periodic,dacă orice valori ale mărimii oscilatorii se repetă după intervale egale de timp , adică există o asemenea valoare minimă a timpului T, că pentru orice t se îndeplineşte condiţia x( t + T) = x(t) Mărimea T se numeşte perioada procesului oscilatoriu. Mărimea inversă lui T se numeşte frecvenţa procesului oscilatoriu şi se notează cu f. f = 1/T . Frecvenţa f se măsoară în Hz ( Hertz ). În tehnică se foloseşte noţiunea de frecvenţă circulară (pulsaţia), adică numărul de oscilaţii în 2π unităţi de timp (secunde) şi care se notează ω ω = 2*pi/T Cel mai simplu proces oscilatoriu este mişcarea armonică în care parametrul x se exprimă în funcţie de timpul t prin relaţiile

sau

x=Asin( ω·t+α) x=A cos( ω·t+α )

(5) (6)

În mişcarea oscilatorie armonică valoarea la un moment dat al parametrului x ,se numeşte elongaţie. Valoarea maximă a elongaţiei, adică A, se numeşte amplitudinea ( A> 0) , (ω·t+α) – se numeşte faza oscilaţiei, α – faza iniţială, iar ω - pulsaţia . Viteza oscilaţiei armonice: v= 𝑑𝑥/ 𝑑� = ω A cos(ω·t+α ) , Amplitudinea vitezei şi acceleraţiei, corespunzător sunt egale cu a·ω şi aω2 

Compunerea oscilaţiilor armonice de aceiaşi direcţie:

Compunerea oscilaţiilor reprezinta determinarea oscilaţiei rezultante dacă sistema oscilatorie simultan participă la mai multe procese oscilatorii. Un interes deosebit prezintă două cazuri particulare de compunere a două procese oscilatorii:  cazul oscilaţiilor de aceiaşi direcţie ;  cazul oscilaţiilor de direcţii reciproc perpendiculare.

Să studiem compunerea a două oscilaţii armonice de aceiaşi direcţie: x1=a1cos(ω1t + α1) şi x2 =a2cos(ω2 + α2)  amplitudinea oscilaţiei rezultante: a =a1+a2 (10).  Proiectia relaţiei vectorială (10) pe axele x şi y . ax= a1x+a2x=a1cos(ω1t+α1) +a2cos(ω2t+α2) ay=a1y+a2y=a1sin(ω1t+α1) +a2sin(ω2t+α2) 

Amplitudinea oscilaţiei rezultante: a=sqrt(a2x+a2y)

Două oscilaţii armonice x1 şi x2 se numesc coerente,dacă: 

diferenţa de faze nu depinde de timp: (ω2t+α2) - (ω1t+α1) = const sau: (ω2 – ω1 ) t +( α2 - α1) = const



Pentru pentru ca doua oscilatii sa fie coerente trebuie ca :







ω1 = ω2 =ω

Amplitudinea oscilaţiei rezultante: a = sqrt( �1 2 + �2 2 + 2 �1�2cos (�2 −�1)) Oscilaţia rezultantă de-a lungul axei x este: x =a cos (ω t + α) Oscilaţia rezultantă a compunerii a două oscilaţii armonice cu frecvenţe egale de aceleaşi direcţii este oscilaţie armonică de aceiaşi frecvenţă.

Două oscilaţii armonice x1 şi x2 se numesc necoerente,dacă:  a şi faza ( ω·t + α) sunt date de formulele: a=sqrt(�1 2 + �2 2 + 2�1�2cos [(�2 − �1)� + (�2 − �1))

 ω1≠ ω2 şi �1 ≠ �2

Ecuaţia oscilaţiei rezultante obţinută depinde de produsul a două funcţii armonice :

 una oscilează cu frecvenţa Δω /2 ,  iar alta cu frecvenţa (ω1+ω2)/2 = ω . Oscilaţia rezultantă poate fi privită ca o oscilaţie armonică cu o amplitudine ce variază după o lege armonică. Un asemenea proces oscilatoriu poartă numirea de bătaie . Oscilaţia rezultantă în cazul general nu este oscilaţie armonică ,adică: x(t +2π/ω) ≠ x(t).  Compunerea oscilaţiilor armonice de direcţii reciproc perpendiculare

si de frecvente diferite: Când frecvenţa uneia din oscilaţii este de două ori mai mare decât frecvenţa altei oscilaţii,iar amplitudinile sunt egale,adică:  ω1 = 2ω , ω2 =ω,  a1 = a2 = a, α1 = α2 = α - � /2 Atunci :

x = a sin( 2ωt – α ) y = a sin( ω t - α )

După excluderea timpului t se obţine traiectoria , ecuaţia căreia este o curbă algebrică de ordinul patru. Pentru valorile lui α ce variază de la π până la 2π ,vom obţine figurile lui Lissajous ,simetrice în raport cu vertical.  ecuaţia parabolei cu vârful în punctul (a,0) şi cu axa de simetrie x : y2 = � 2 /2 - � 2/2* x Exerciţiul 2: De ales două oscilaţii armonice de aceiaşi direcţie(x1 şi x2), cu frecvenţele ciclice ω1 şi ω2, cu fazele iniţiale α1 şi α2 , şi cu amplitudinile А1 şi А2 . De compus(de adunat) aceste oscilaţii (х= x1 + x2 , oscilaţia rezultantă), construind graficele respective cu inscripţii informative pentru următoarele cazuri:

a). Oscilaţii armonice necoerente

(ω1 ≠ ω2). De scris file-funcţia de timp, ce ar construi în o fereastră grafică pe axe comune graficele funcţiilor x1(t) , x2(t) şi х(t). De analizat rezultatele obţinute.



Costruiesc file-functia care compune oscilatiile: function[x1,x2,x3]=vector_sarcina2a(t) % definim amplitudinea a1=12; % m a2=22; % m % definim pulsatia omega1=12; % rad/sec omega2=7; % rad/sec % definim faza initiala alfa1=pi/1.4; % rad alfa2=pi/1.6; % rad x1=a1*cos(omega1*t+alfa1); x2=a2*cos(omega2*t+alfa2); x3=x1+x2; end



Construiesc fereastra grafica:

% definim intervalul de timp close all t=0:pi/180:15; % definim un vector cu 3 coloane, corespunzator x1, x2 si x3 [x1,x2,x3]=vector_sarcina2a(t); figure(1); plot(t,x1,'--g',t,x2,':r',t,x3,'-b'); legend('x1','x2','x1+x2'); title('compunerea oscilatiilor necoerente'); xlabel('t,(sec)'); ylabel('x,(m)');

b). Oscilaţii armonice coerente

(ω1 =ω2). De scris file-funcţia de timp, ce ar construi în o fereastră grafică pe axe comune graficele funcţiilor x1(t) , x2(t) şi х(t). De analizat rezultatele obţinute.



Costruiesc file-functia care compune oscilatiile: function[x1,x2,x3]=vector_sarcina2b(t) % definim amplitudinea a1=12; % m a2=22; % m % definim pulsatia omega1=12; % rad/sec omega2=12; % rad/sec % definim faza initiala alfa1=pi/1.4; % rad alfa2=pi/1.6; % rad x1=a1*cos(omega1*t+alfa1); x2=a2*cos(omega2*t+alfa2); x3=x1+x2; end



Construiesc fereastra grafica: close all % definim intervalul de timp t=0:pi/180:15; % definim un vector cu 3 coloane, corespunzator x1, x2 si x3 [x1,x2,x3]=vector_sarcina2b(t); figure(2); plot(t,x1,'--g',t,x2,':k',t,x3,'-b'); legend('x1','x2','x1+x2'); title('compunerea oscilatiilor coerente'); xlabel('t,(sec)');

ylabel('x,(m)');

c). Oscilaţii armonice necoerente (ω1 ≈ ω2 , - oscilaţie de tip bătaie). De scris file-funcţia de timp, ce ar construi în o fereastră grafică graficul funcţiei х(t). De determinat caracteristicile cinematice ale oscilaţiei de tip bătaie.



Costruiesc file-functia care compune oscilatiile: function[x1,x2,x3]=functia_bataie2c(t,domega) % definim amplitudinea a1=22; % m a2=24; % m % definim pulsatia omega1=3; % rad/sec omega2=omega1+domega; % rad/sec % definim faza initiala alfa1=0; % rad alfa2=0; % rad x1=a1*cos(omega1*t+alfa1); x2=a2*cos(omega2*t+alfa2); x3=x1+x2; end



Construiesc ferestrele graficelor: close all % definim intervalul de timp t=0:pi/25:180 ; n=0; for domega=[0.07,0.1,0.15]; n=n+1;

% definim un vector cu 3 coloane, corespunzator x1, x2 si x3 [x1,x2,x3]=functia_bataie2c(t,domega); figure(n); plot(t,x3,'-r','LineWidth',0.5); axis equal legend('x1+x2'); title({'oscilatie-bataie cu diferenta dintre pulsatie de ' domega 'radiani'}); xlabel('t, sec'); ylabel('x, m'); end

d). Oscilaţii armonice coerente (ω1=ω2). De scris o file-funcţie cu parametrii de intrare numărul figurii şi diferenţa de faze α =α1 - α2 , ce ar construi, în o fereastră grafică, graficele funcţiilor x1(t) , x2(t) şi х(t) pentru:

pe axe separate (fereastra grafică se divizează în 9 sectoare , fiecare cu axele sale, pentru fiecare valoare ale parametrului α).



Costruiesc file-functia: function[x1,x2,x3]=functie_sarcina2d(t,dalfa) % definim amplitudinea a1=8; % m a2=16; % m % definim pulsatia omega1=12; % rad/sec omega2=12; % rad/sec % definim faza initiala alfa1=pi/1.4; % rad alfa2=alfa1+dalfa; % rad x1=a1*cos(omega1*t+alfa1); x2=a2*cos(omega2*t+alfa2); x3=x1+x2; end



Construiesc ferestrele graficelor pe axe separate (fereastra grafică se divizează în 9 sectoare , fiecare cu axele sale, pentru fiecare valoare ale parametrului α ): close all % definim intervalul de timp t=0:pi/200:7; n=0; for alfa=[0, pi/4,pi/2,3*pi/4,pi,5*pi/4,3*pi/2,7*pi/4,11*pi/6]; n=n+1; % definim un vector cu 3 coloane, corespunzator x1, x2 si x3 [x1,x2,x3]=functie_sarcina2d(t,alfa); figure(n); plot(t,x1,'--g',t,x2,':k',t,x3,'-r','LineWidth',1.5); legend('x1','x2','x1+x2'); title({'compunerea oscilatiilor coerente cu diferenta de faza ',alfa}); xlabel('t, sec'); ylabel('x, m'); end

Exercitiul 3. Punctul material ia parte la două oscilaţii armonice de direcţii reciproc perpendiculare (x şi y) cu frecvenţele ciclice ω1 şi ω2 , сu fazele iniţiale α1 şi α2 şi amplitudinile А1 şi А2 . Este necesar de selectat aceste oscilaţii în următoarele cazuri:

a). ω1 =ω2 . De scris o file-funcţie cu parametrii de intrare numărul figurii şi diferenţa de faze α=α1 - α2 , ce ar construi, pe axe separate , în o fereastră grafică, traiectoriile mişcării punctului (figurile lui Lissajous),pentru



Costruiesc file-functia: function function1(fig,a); t=0:0.008:10; x=2.*4*sin(3.*t+ pi/3+a) y=1.*8*sin(3.*t+pi/3) figure(1) subplot(3,3,fig); plot(x,y,'-r');

grid on title(['alfa = ',num2str(a)]) xlabel('Axa Ox') ylabel('Axa Oy')



Apelez file-functia(pentru fiecare valoare a fazei): function1(1,0) function1(2,pi/6) function1(3,pi/4) function1(4,pi/3) function1(5,pi/2) function1(6,2*pi/3) function1(7,3*pi/4) function1(8,5*pi/6) function1 (9,pi)

b).

De scris o file-funcţie cu parametrii de intrare numărul figurii şi parametru α , ce ar construi, pe axe separate , în o fereastră grafică, traiectoriile mişcării punctului (figurile lui Lissajous),pentru



Costruiesc file-functia: function fuction2(fig,a); t=0:0.001:10; x=2.*4*sin(3.*t- pi/2+a); y=1.*8*sin(9.*t-pi/2+a); figure(1) subplot(3,3,fig); comet(x,y);plot(x,y,'r*--'); grid on title(['alfa = ',num2str(a)]) xlabel('Axa ox') ylabel('Axa oy')



Apelez file-functia(pentru fiecare valoare a fazei): fuction2(1,0) fuction2(2,pi/6) fuction2(3,pi/4) fuction2(4,pi/3) fuction2(5,pi/2) fuction2(6,2*pi/3) fuction2(7,3*pi/4) fuction2(8,5*pi/6) fuction2(9,pi)

Concluzie: Efectuând lucrarea de laborator nr.4 am operat cu comenzi pentru construirea graficelor în sistemul MATLAB pentru reprezentarea grafica a oscilatiilor armonice de diferite tipuri. Efectuand lucrarea respectiva am facut cunostinta cu caracteristicile cinematice ale proceselor oscilatorii. Am invatat cum secompun oscilaţii armonice de aceiaşi direcţie precum si compunerea oscilaţiilor armonice de direcţii reciproc perpendiculare. Am construit grafice cu ajutorul comenzii “plot” la diferite oscilatii armonice. De asemenea am creat file-functii si file-programe pentru indeplinirea sarcinilor propuse, folosind comezi precum “subplot’’ pentru aranjarea graficelor intr-o singura fereastra si comanda “comet’’ pentru determinarea traiectoriei punctului material care ia parte la două oscilaţii armonice de direcţii reciproc perpendiculare (x şi y) cu frecvenţele ciclice ω1 şi ω2 , сu fazele iniţiale α1 şi α2 şi amplitudinile А1 şi А2.

Sistemul MATLAB este usor de folosit şi în acelaşi timp ne oferă o gamă largă de posibilităţi de construire a graficelor şi de aceea el poate fi folosit în diferite domenii.