Initiation Aux Tranferts Thermiques [PDF]

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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique Université 20 Aout 1955_Skikda_ Faculté de technologie Département de pétrochimie et de génie des procédés

Initiation aux transferts thermiques Cours & exercices

Rédigé par : Dr. Nabil Messikh 2020

‫الحمد والشكر هلل سبحانه وتعالى مــرشد العقول منير الدروب‬ ‫إلى كل محبي العلم والمعرفة أهـــــــــــــــــدي‬ ‫هـــــــذا العمل المتواضع‪.....‬‬ ‫• هذا الكتاب مجاني ‪ %100‬وال يجوز ألي شخص أن يبيعه‪.‬‬

‫• ال يجوز ألي شخص أن يستبدل االسم باسم آخر ويعيد نشر‬ ‫الكتاب منسوبا إليه‪.‬‬

Avant propos

L’objectif de ce cours, destiné aux étudiants licence génie chimique et raffinage et pétrochimie, est d’en faire un document de référence contenant les notions de transfert de chaleur. Notre vif souhait est que ce document offre des connaissances en transfert thermique. Après une brève, mais indispensable, notions générale sur le transfert de chaleur. Par la suite, un deuxième chapitre est consacré à la conduction stationnaire, le troisième s’intéresse à la conduction transitoire. Le quatrième chapitre est consacré à la convection et le cinquième chapitre traite le transfert de chaleur par rayonnement. On termine ce cours par un chapitre relatif aux échangeurs de chaleur.

Nomenclature A

Surface d’échange

Bi

Nombre de Biot

C

Capacité calorifique

Cp

Capacité calorifique à pression constante

D

Diamètre

e

Epaisseur

erf

Fonction d’erreur de Gauss

F

Facteur de forme

Fo

Nombre de Fourier

g

Accélération de la pesanteur

Gr

Nombre de Grashof

h

Coefficient d’échange convectif

L

Longueur

m

Masse

m

Débit massique

Nu

Nombre de Nusselt

NUT Nombre d’unité transférée P

Périmètre

p

Paramètre de Laplace

k

Conductivité thermique

K

Degré Kelvin

Q

Quantité de chaleur

q

Flux de chaleur

q

Source d’énergie

Rth

Résistance thermique

Renc

Résistance d’encrassement

T

Température

t

Temps

U

Coefficient de transfert thermique global



Vitesse d’écoulement

Lettres grecques 

Diffusivité thermique, coefficient d’absorption du rayonnement



Coefficient de dilatation



Emissivité



Densité de flux de chaleur



Capacité du temps, coefficient de transmission du rayonnement



Angle solide



Efficacité



viscosité dynamique



viscosité cinématique



Constante de Stefan - Boltzmann

Sommaire Chapitre I : Notions générales sur le transfert de chaleur I-1 introduction…………………………………………………………………… I-2 Grandeurs physiques en thermique ………………………………… I-2 .1 Température…………………………………………………………… I-2.2 Chaleur…………………………………………………………………… I-2.3 Flux de chaleur………………………………………………………. I-2.4 .Densité de flux de chaleur………………………………………… I-2.5 Champ de température……………………………………………… I-2.6 Chaleur spécifique……………………………………………………. I-2.7 Chaleur sensible………………………………………………………. I-2.8 Chaleur latente………………………………………………………… I-3 Modes de transfert de chaleur…………………………………………. I-3.1 Conduction……………………………………………………………… I-3.1.1Conductivité thermique…………………………………………. I-3.2 Convection………………………………………………………………. I-3.3 Rayonnement…………………………………………………………… Exercices non corrigés…………………………………………………………. Chapitre II : Transmission de chaleur par conduction II-1 Introduction…………………………………………………………………….. II-2 Loi fondamentale……………………………………………………………… II-3 Equation fondamentale de la conduction ………………………………. II-3.1 Formes particulières de l’équation générale de la conduction II-3.2 Expressions de Laplacien dans divers systèmes de coordonnées………………………………………………………………………….. II-3.3 Applications………………………………………………………………... II-3.3.1 Mur simple sans source d’énergie …………………………… II-3.3.2 Mur simple avec source d’énergie………………………………… II-3.3.3 Analogie entre les conductions thermique et électrique…… II-3.3.4 Cylindre creux sans source d’énergie………………………… II-3.3.5 Cylindre creux avec source d’énergie…………………………… II-3.3.6 Sphère creuse sans source d’énergie…………………………… II-3.3.7 Sphère creuse avec source d’énergie…………………………… II-3.3.8 Combinaison entre la conduction et la convection………… II-3.3.9 Isolation thermique critique………………………………………… II- 4 Transfert de chaleur à partir des ailettes……………………………… II-4.1 Equation fondamentale de l’ailette…………………………………… II-4.1.1 Ailette infiniment longue……………………..……………………. II-4.1.2 Ailette de longueur finie isolée à l’extrémité………………… II-4.1.3 Ailette de longueur finie avec un échange convectif à l’extrémité…………………………………………………………………………….. II-4.2 Performance d’une ailette……………………………………………… II-4.3 Ensemble d’ailettes (efficacité totale) ………………………………… II-4.4 Choix des ailettes………………………………………………………… Exercices non corrigés…………………………………………………………….

1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 4 6 6 8 10 13 13 14 16 17 18 18 21 23 23 26 28 30 31 34 37 38 39 41 43 44 44 45 45

Chapitre III : Conduction thermique en régime variable III.1 Introduction……………………………………………………………………. III.2 Milieu à température uniforme……………………………………………. III.2.1 Analyse globale du système…………………………………………… III.2.2 Nombres adimensionnels………………………………………………. III.2.3 Critère de l’analyse globale du système………………………….. III.2.3.1 Conditions mixtes……………………………………………………. III.2.4 Un nombre de Biot supérieur à 0,1………………………………… III.2.5 Solutions graphiques (Abaques de Heisler et Grober)…………. III.3 Milieu semi infini…………………………………………………………….. III.3.1 Equation de chaleur……………………………………………………. III.3.1.1 Température constante imposée en surface…………………… III.3.1.2 Flux constant imposé en surface………………………………… III.3.1.3 Flux convectif imposé en surface………………………………… Exercices non corrigés…………………………………………………………….. Chapitre IV : Transmission de chaleur par convection IV.1Introduction……………………………………………………………………. IV.2 Loi de Newton………………………………………………………………….. IV.3 Mécanisme de la convection………………………………………………. IV.4 Couche limite………………………………………………………………… IV.4.1 Couche limite hydrodynamique……………………………………… IV.4.2 Couche limite thermique…………………………………………………. IV.5 Nombre de Nusselt(Nu) ……………………………………………………… IV.6 Evaluation du coefficient d’échange convectif(h) …………………….. IV.6.1 Nombres adimensionnels………………………………………………. IV.7 Convection sans changement de phase………………………………… IV.7.1.Convection forcée………………………………………………………… IV.7.1.1 Ecoulement sur une plaque plane……………………………….. IV.7.1.2 Ecoulement à l’intérieur de tubes cylindriques lisses………. IV.7.1.3 Ecoulement autour d’un cylindre………………………………… IV.7.1.4 Ecoulement dans les espaces annulaires…………………….. IV.7.1.5 Ecoulement autour d’une sphère……………………………….. IV.7.1.6 Ecoulement autour d’un faisceau de tubes…………………… IV.7.2 Convection naturelle(libre) ……………………………………………. IV.8 Convection avec changement de phase………………………………. IV.8.1 Convection lors de la condensation………………………………… IV.8.1.1Coefficient d’échange convectif lors de la condensation en film……………………………………………………………………………………. IV.8.2 Convection lors de l’ébullition………………………………………. IV.8.2.1 Classification de l’ébullition…………………………………….. IV.8.2.2 Ebullition libre(en vase) …………………………………………… IV.8.3 Coefficient d’échange lors d’ébullition…………………………… IV.8.3.1 Ebullition nucléée……………………………………………………... IV.8.3.2 Ebullition pelliculaire instable……………………………………. IV.8.3.3 Ebullition pelliculaire stable……………………………………….. IV.8.4 Ebullition en convection forcée…………………………………… IV.8.4.1 Ebullition forcée externe……………………………………………

54 54 54 58 59 63 66 66 73 73 74 77 79 81 87 87 89 90 90 90 91 92 93 95 95 95 96 98 99 100 101 102 106 106 106 114 114 115 116 116 117 118 118 118

IV.8.4.2 Ebullition forcée interne……………………………………………….. Exercices non corrigés……………………………………………………………. Chapitre V : Rayonnement thermique V.1 Introduction…………………………………………………………………….. V.2 Spectres des ondes électromagnétiques…………………………………. V.3 Classification des grandeurs énergétiques…………………………….. V.3.1 Composition spectrale…………………………………………………….. V.3.2 Distribution spatiale……………………………………………………….. V.4 Définitions des grandeurs énergétiques……………………………….. V.4.1 Surfaces émettantes………………………………………………………… V.4.1.1 Flux énergétique (W) …………………………………………………… V.4.1.2 Intensité totale……………………………………………………………. V.4.1.3 Emittance M(W/m2) ……………………………………………………… V.4.1.4 Luminance LOX(W/m2 sr) ……………………………………………….. V.4.1.5 Angle solide (stéradian) …………………………………………………. V.4.1.6 Relation entre luminance et l’émittance …………………………. V.4.2 Surfaces réceptrices………………………………………………………… V.4.3 Loi de Lambert (cosinus) ………………………………………………… V.5 Corps noir………………………………………………………………………. V.5.1 Emittance énergétique monochromatique……………………………. V.5.2 Lois de Wien………………………………………………………………….. V.5.3 Loi de Stefan Boltzmann ………………………………………………… V.5.4 Fraction de l’émittance totale dans un intervalle spectral……… V.6.Loi de conservation d’énergie……………………………………………… V.6.1 Emissivité……………………………………………………………………… V.6.2 Loi de Kirchhoff……………………………………………………………… V.6.3 Radiosité………………………………………………………………………. V.7 Flux net échangé entre deux surfaces………………………………… V.7.1 Corps noirs…………………………………………………………………… V.7.2 Flux net entre deux surfaces noires………………………………….. V.7.3 Evaluation des facteurs de formes……………………………………. V.7.4 Flux net entre des surfaces grises…………………………………….. V.7.4.1 Echange net par une surface………………………………………….. V.7.4.2 Echange net entre deux surfaces grises…………………………... V.7.4.3 Echange net entre trois surfaces…………………………………….. Exercices non corrigés……………………………………………………………. Chapitre VI : Echangeurs de chaleur VI.1 Introduction……………………………………………………………………. VI.2 Définition……………………………………………………………………….. VI.3 Coefficient d’échange thermique global……………………………… VI.4 Types des échangeurs de chaleur……………………………………… VI.4.1 Echangeurs tubulaires……………………………………………………. VI.4.2 Echangeurs à plaques……………………………………………………. VI.5 Classification es échangeurs de chaleur………………………………... VI.5.1 Procédé de transfert………………………………………………………. VI.5.2 Ecoulement des fluides…………………………………………………. VI.5.3 Conception technologique………………………………………………..

119 121 128 128 130 130 131 131 131 131 131 132 132 132 133 134 134 134 135 136 138 139 141 143 144 145 146 146 147 148 155 155 155 159 161 167 167 168 171 171 173 174 174 175 175

VI.6 Problèmes de fonctionnement d’un échangeur……………………… IV.7 Evaluation des performances thermiques d’un échangeur………… VI.7.1Méthode de DTLM………………………………………………………….. VI.7.2 Echangeur à contre courant……………………………………………. VI.7.3 Echangeurs de chaleur complexes ……………………………………. VI.7.4 Méthode NUT……………………………………………………………….. Exercices non corrigés…………………………………………………………….. ANNEXE Références

175 176 177 179 181 185 193

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Chapitre I : Notions générales sur le transfert de chaleur

I.1- Introduction La thermodynamique est essentiellement basée sur deux principes mesurant la variation d’énergie entre deux états en équilibre, sans expliquer le mécanisme, et la vitesse de cette variation. Le transfert de chaleur, représente un aspect d’échange d’énergie incontournable dans l’ingénierie, complète le premier et le deuxième principe de la thermodynamique en fournissant des règles expérimentales supplémentaires pouvant être utilisées pour établir les taux de transfert d’énergie. Ce phénomène, qui se produit entre des corps à des températures différentes, peut se faire par la superposition de trois modes fondamentaux: La conduction ; La convection ; Le rayonnement. I.2-Grandeurs physiques en thermique : I.2.1- Température : C’est une grandeur physique qui décrit l’état thermique d’un corps. Elle mesure l’énergie cinétique moyenne des constituants élémentaires (atomes, molécules) d’un corps. La température possède plusieurs échelles à savoir (figure I.1): L’échelle Celsius qui fixe la température de fusion de la glace à 0°C et la température d’ébullition de l’eau à 100°C. L’échelle Fahrenheit, utilisé dans les pays anglophones, fixe la température de congélation de l’eau à 32°F et sa température d’ébullition à 212°F. 𝑇(°𝐹 ) = 1,8 ∗ 𝑇(°𝐶 ) + 32

1

(I.1)

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Dans le système international, l’unité de la température est le Kelvin (K), utilise comme référence le point triple de l’eau (coexistence des trois phases). 𝑇(𝐾 ) = 𝑇(°𝐶 ) + 273,15

(I.2)

Figure I.1 : Notions d’échelle de la température

I.2.2- Chaleur : C’est une forme d’énergie, qui correspond à une augmentation ou diminution de l’agitation de particules élémentaires qui constituent la matière. Selon le deuxième principe de la thermodynamique, la chaleur se déplace du corps le plus chaud vers le corps le plus froid (figure I.2). L’unité l’égale de la chaleur est le joule (J).

Figure I.2 : Sens d’écoulement de la chaleur

I.2.3- Flux chaleur : C’est la quantité de chaleur transférée par unité de temps. Un flux de chaleur est une puissance, il s’exprime donc en watt (W=J/s). 2

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𝑞=

𝑑𝑄 𝑑𝑡

(I. 3)

Q : la quantité de chaleur transférée (Joule). t : le temps (s) I.2.4- Densité de flux de chaleur : C’est la quantité de chaleur transférée par unité de surface pendant l’unité de temps. Elle est exprimée par W/m². 𝑞=

1 𝑑𝑄 𝐴 𝑑𝑡

(I. 4)

A : surface d’échange (m²). I.2.5- Champ de température : Les transferts de chaleur sont déterminés à partir de l’évolution de la température dans l’espace et dans le temps. La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champ de température. On distingue deux cas : Champs de température indépendant du temps : le régime est dit stationnaire ou permanant ; Evolution du champ de températures avec le temps : le régime est dit variable ou transitoire. I.2.6- Chaleur spécifique : La chaleur spécifique d’un corps est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1°K la température de l’unité de masse de ce corps (J/g°K). I.2.7- Chaleur sensible : Si on considère un corps solide ou un fluide de masse (m) de capacité (C) et si on lui apporte une quantité de chaleur (Q), l’accroissement de la chaleur contenue par le corps ou le fluide d’une élévation de température T, donnée par : 𝑄 = 𝑚𝐶 𝑇

(I. 5)

I.28- Chaleur latente : La chaleur latente (Enthalpie) de changement d’état est l’énergie qu’il faut fournir à l’unité de masse pour transformer de l’état initial (Solide ; Liquide, Gaz) à un autre état. Remarque : Selon le principe zéro de la thermodynamique (équilibre thermique), le transfert de chaleur est absent. 3

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I.3-Modes de transfert de chaleur La littérature traitant du transfert de chaleur reconnaît généralement trois formes classiques et différentes : conduction, convection et rayonnement. A vrai dire, seuls la conduction et le rayonnement doivent être classés comme des modes de transfert de chaleur, puisque les processus de ces deux mécanismes sont les seuls qui dépendent simplement de l’existence d’une différence de température. La convection dépend aussi, pour sa réalisation, du mécanisme de transport de masse. I.3.1- Conduction : la conduction est un phénomène au moyen duquel la chaleur s’écoule à l’intérieur d’un milieu (solide, liquide ou gazeux) d’une région à haute température vers une autre à basse température, ou entre différents milieux mis en contact sans déplacement de la matière. La conduction est le seul mécanisme au moyen duquel la chaleur peut s’écouler dans les corps solides. Elle est importante également dans les fluides, mais dans ce cas elle est accompagnée d’une transmission par convection et dans certains cas par rayonnement (figure I.3). Le flux de chaleur (unidirectionnel) est exprimé par la loi de Fourier : 𝑞 = −𝑘𝐴

𝑑𝑇 𝑑𝑥

(I. 6)

k : la conductivité thermique du matériau ; A : l’aire de la section à travers laquelle s’écoule la chaleur par conduction (perpendiculaire à la direction du flux thermique) ; 𝑑𝑇 𝑑𝑥

: le rapport de la variation de la température T parcourue par le flux de

chaleur. Exemple 1 : un barreau métallique dont l’une des extrémités est exposée à une flamme, s’échauffe progressivement. La chaleur se propage de proche en proche à l’intérieur du métal où le transfert de chaleur se fait par conduction.

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Figure I.3: Transfert de chaleur par conduction

Exercice I.1 Déterminer le flux thermique et le gradient de température à travers un mur de surface 3m² et d’épaisseur 10cm. On supposera que les températures des faces interne et externe du mur sont respectivement 100°C et 30°C. La conductivité thermique du mur est 8.5w/mK. Solution L’intégration de l’équation (I.6) pour une épaisseur (e) du mur et entre les deux surfaces interne et externe de températures respectivement T1 et T2 (figure I.4) donne l’expression suivante : 𝑞=

𝑇1 − 𝑇2 (𝑒/𝑘𝐴)

q

100 − 30 𝑞= 0.10 (8.5 ∗ 3) e

𝑞 = 17850𝐾𝑤

Figure I.4 : Flux de chaleur à travers un mur

D’après l’équation (I.6), le gradient de température s’écrit : 𝑑𝑇 −𝑞 = 𝑑𝑥 𝑘𝐴 𝑑𝑇 −17850 = 𝑑𝑥 8,5 ∗ 3 𝑑𝑇 = −700°𝐶/𝑚 𝑑𝑥 5

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I.3.1.1- conductivité thermique La conductivité thermique est un paramètre physique du matériau. Il caractérise la capacité d’un matériau à transmettre de la chaleur. Un matériau ayant une bonne conductivité thermique conduit la chaleur plus rapide qu’un autre à faible conductivité (plastiques). Les matériaux présentent une grande résistance à la propagation de la chaleur sont appelés matériaux isolants. La figure I.5 donne une idée générale sur les valeurs moyennes des coefficients de conductivité des différents corps.

Figure I.5 : Valeurs des coefficients de conductivité thermique des différents corps

I.3.2- Convection : Le transfert de chaleur par convection se produit entre deux phases dont l’une est généralement au repos (solide) et l’autre en mouvement (fluide) en présence d’un gradient de température. La transmission de la chaleur par convection est désignée, selon le mode d’écoulement du fluide, par convection libre et par convection forcée. Lorsqu’il se produit au sein du fluide des courants dus simplement aux différences de densité résultant des gradients de température, on dit que la convection est libre (naturelle). Par contre, si le mouvement du fluide est provoqué par une action externe, telle une pompe ou un ventilateur, le processus est appelé convection forcée. 6

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L’efficacité de la transmission de la chaleur par convection dépend largement du mouvement du fluide. C’est pourquoi l’étude de transfert de chaleur par convection est fondée sur la connaissance des caractéristiques de l’écoulement du fluide. Le flux de chaleur transmis par convection entre une surface et un fluide peut être évalué par la relation de Newton : 𝑞 = ℎ𝐴 𝑇

(I. 7)

h : Coefficient d’échange thermique par convection ; A : Aire de la transmission de la chaleur ; T : Différence entre la température de la surface Ts et celle du fluide T loin de la surface. Exemple 2 : un fluide peut être mis en mouvement de manière artificielle. Par exemple, pour le chauffage central, la pompe active la circulation de l’eau. Les échanges thermiques entre la chaudière et les radiateurs sont accélérés par convection forcée. Les radiateurs quand à eux cèdent de la chaleur principalement par convection naturelle à l’air dans la pièce (figure I.6).

Figure I.6 : Transfert de chaleur par convection

Exercice I.2 La surface latérale d’un tube de cuivre de diamètre 20mm est exposée à un flux de chaleur convectif (h=6w/m²K). Déterminer le flux linéaire perdu par convection si la température de la surface est 80°C et celle de son environnement est 20°C.

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Solution Le flux de chaleur est exprimé par la loi de Newton (I.7) 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝑞 = ℎ 𝜋𝑑𝐿(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Le flux linéaire (q’) s’écrit :

𝑞

𝑞 ′ = 𝐿 = ℎ𝜋𝑑(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝑞 ′ = 6 ∗ 𝜋 ∗ 0,02 ∗ (80 − 20) 𝑞 ′ = 22,62𝑤/𝑚

I.3.3- Rayonnement : C’est le mécanisme par lequel la chaleur se transmet d’un corps à haute température vers un autre à basse température, lorsque ces corps sont séparés dans l’espace ou même lorsqu’un vide existe entre eux. Le terme rayonnement est généralement appliqué à toute sorte de phénomènes d’onde électromagnétique, mais dans la transmission de chaleur les seuls phénomènes qui ont de l’intérêt sont ceux qui résultent d’une différence de températures et peuvent transporter de l’énergie à travers un milieu transparent ou à travers l’espace (figure I.7). L’énergie transmise de cette manière est désignée par : chaleur rayonnée.

Figure I.7 : transfert de chaleur par rayonnement

La chaleur transmise par rayonnement devient de plus en plus importante avec l’accroissement de la température du corps. Dans les problèmes techniques où interviennent des températures voisines de l’atmosphère, la chaleur transmise par rayonnement peut être négligée. Dans ce mode, il n’existe ni contact, ni déplacement et aucun support matériel. Le flux échangé entre deux corps est donné par la loi de StephanBoltzmann : 8

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𝑞 = 𝐴1 𝐹1−2 (𝑇14 − 𝑇24 )

(I. 8)

: Constante de Stephan-Boltzmann ; A1 : Aire de la surface du corps ; : Facteur d’émission de la surface grise ; F1-2 : facteur de forme. Exercice I.3 Une surface noire de surface 1m² et sa température est de T1=340°C libère de la chaleur par rayonnement dans un milieu environnant de température T2=315°C. Déterminer le flux de chaleur échangé entre la surface noire et son environnement sachant que : F1-2 =1, =5,67.10-8w/m²K4. Solution D’après l’équation (I.8), le flux de chaleur s’écrit : 𝑞 = 5,67. 10−8 . 1.1(6134 − 5884 ) 𝑞 = 216,63𝑤 Remarque Dans la plupart des cas pratiques, le transfert de chaleur s’effectue par la combinaison de deux ou trois modes de transfert de chaleur (figure I.8). On admet qu’aux basses et moyennes températures, le transfert de chaleur ne s’effectue que par conduction ou/et convection. Par contre, lorsque les températures

sont

élevées,

les

phénomènes

radiatifs

deviennent

prédominants.

Figure I.8 : Combinaison des trois modes de transfert de chaleur

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Exercices non corrigés Exercice 1 : Une résistance électrique de forme cylindrique (d=0,4cm, L=5cm), sur un circuit imprimé, dissipe une puissance de 0,6w. On suppose que la chaleur est transférée de manière uniforme à travers toutes les surfaces. Déterminer : 1- La quantité de chaleur dissipée par cette résistance au cours de 24h. 2- La densité de flux de chaleur. Exercice 2 : Calculer le transfert de chaleur nécessaire pour évaporer 1kg d’eau initialement à 20°C, sous 1atm en considérant que la capacité thermique massique de l’eau liquide est en moyenne égale à 4,18KJ/kgK et que la chaleur latente de vaporisation de l’eau, sous 1atm, est 2,24.106 J/kg. Exercice 3 : L’échauffement d’une bille de cuivre de diamètre 10cm pendant une durée de 30min permet d’élever sa température de 100°C jusqu’à 300°C. Déterminer : 1- La quantité de chaleur reçue par la bille. 2- La densité de flux de chaleur. On donne Cp=0,395KJ/Kg, =8950Kg/m3. Exercice 4 : Evaluer le flux de chaleur par mètre carré de surface transmis à travers la paroi d’un four formée de 20cm de brique au chrome de conductivité thermique 1,6w/mK. Les températures des deux faces de la paroi sont maintenues respectivement 1400K et 1100K. Exercice 5 : Déterminer la conductivité thermique pour une plaque de dimension150x150mm et de 12mm d’épaisseur. Sachant que pendant 2 heures, une quantité de chaleur égale à 8,4.104 J transmise. Les températures des deux faces sont respectivement 300°C et 290°C. Exercice 6 : Pour déterminer la conductivité thermique de l’hydrogène, un tube creux avec un fil chauffant concentrique est souvent utilisé. Un courant électrique traversant le fil sert comme source de chaleur. Déterminer la conductivité thermique du gaz. On donne : Température du fil : 200°C, température du tube : 150°C, I=0,5A, V=3,6V, r1=0,0025cm, r2=0,125cm, L=0,3m. 10

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0,125m

L=0,3m

Fil chauffant

Exercice 7 : De l’air à 20°C souffle sur une plaque de dimension (50x75 cm²) maintenue à une température de 250°C. Le coefficient d’échange par convection h est égal à 25w/mK. Calculer le flux thermique transmis par la plaque. Exercice 8 : Un réfrigérateur se trouve dans une pièce où la température de l’air est de 20°C, la température de la surface externe du réfrigérateur est de 16°C. Les côtés ont une épaisseur de 30mm et une conductivité thermique de 0,10w/mK. Le coefficient de transfert convectif égal à 10w/m²K. Déterminer : 1- La densité de flux de chaleur. 2- La température de la surface interne du réfrigérateur. Exercice 9 : Un courant électrique passe dans un fil de 1mm de diamètre et de 10cm de longueur. Le fil est immergé dans l’eau à la pression atmosphérique et l’intensité du courant est augmentée jusqu’à ce que l’eau arrive à ébullition. Dans ces conditions, le coefficient de transfert par convection égal à 5000w/m²K. Quelle est la puissance électrique qui doit être fournie au fil afin de maintenir sa surface à la température 114°C. Exercice 10 : La première face d’une dalle d’épaisseur 0,2cm et de conductivité thermique k=45w/mK reçoit la chaleur d’un four à 500K par convection (h1=50w/m²K) et par rayonnement. La température de cette face est 400K. L’autre face dissipe de la chaleur par les mêmes modes de transfert précédents (h2=60w/m²K). Déterminer 1- Le flux de chaleur reçu par la dalle. 2- La température de la deuxième face. 3- L’expression pour calculer la température (T 2). On donne : =5,67.10-8w/m²K4, F=1.

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Exercice 11 : Deux plaques infiniment longues et parallèles dont les surfaces sont considérées comme des corps noirs sont maintenues aux températures 800°C et 300°C. Calculer la densité de flux de chaleur. Exercice 12 : Une surface de température 340°C libère la chaleur par rayonnement dans un milieu environnant de température 315°C. Lorsque la surface est noire, déterminer le coefficient d’échange par rayonnement. Exercice 13 : La température de surface d’un radiateur de chauffage central est 60°C. Déterminer le flux de chaleur surfacique échangé entre le radiateur et son environnement. Le radiateur est considéré comme un corps noir. On donne :

=5,67.10-8w/m²K4, F=1. T =20°C.

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Chapitre II : Transmission de chaleur par conduction

II.1- Introduction La conduction est le mode de transfert de chaleur existant dans un milieu donné sans qu’il y’ait un déplacement apparent de la matière.

Elle existe

lorsqu’il y a un gradient de température, dans le cas contraire le milieu est en équilibre thermique et aucun transfert de chaleur ne peut se produire. La conduction thermique se fait par vibration des atomes et des électrons libres. Dans ce transfert de chaleur, le transport d’énergie se fait par choc des particules de la zone chaude vers la zone à faible température par agitation des particules de proche en proche. Ce mode d’échange de chaleur existe aussi bien pour les fluides (gaz, liquide) que pour les solides. II.2- Loi fondamentale : La relation fondamentale de la transmission de chaleur par conduction est exprimée par la loi de Fourier : 𝑞 = −𝑘𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇

(II. 1)

q : Le flux de chaleur [w] ; A : surface totale d’échange [m²] ; k : la conductivité thermique [w/mK] ; (-) : écoulement de la chaleur dans le sens des températures décroissantes ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇 = 𝑔𝑟𝑎𝑑

𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 ⃗⃗⃗ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

La conductivité thermique représente du point de vue numérique l’énergie (chaleur) transférée par unité de surface isotherme, dans une unité de temps sous un gradient de température unitaire. Elle dépend également de la température et de l’état du matériau considéré.

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Afin de fixer un ordre d’idée, nous avons reporté dans le tableau II.1 quelques valeurs de la conductivité thermique de matériaux à température ambiante (20°C). Tableau II.1 : Conductivité thermique Matériaux

K (w/mK)

matériaux

K (w/mK)

Argent

419

Briques terre cuite

Cuivre

386

Couton

0,059

Aluminium

204

Polyuréthane

0,030

Acier doux

45

Air

0,026

Acier inox

14,9

Béton Eau liquide

1,4 0,60

1,1

Laiton

113

PVC

0,15

Zinc liquide

59,41

II.3- Equation fondamentale de la conduction : Pour déterminer le champ de la température dans un corps qui subit un transfert thermique par conduction, il faut établir une relation entre les propriétés caractéristiques du corps considéré et les paramètres impliqués dans le phénomène. Cette relation est exprimée par une équation différentielle. Soit un volume élémentaire dV de forme parallélépipédique ayant les côtés dx, dy et dz parallèles avec les plans des coordonnées d’un système orthogonal (figure II.1).

Figure II.1 : Volume élémentaire d’un solide

14

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

L’équation générale de la conduction est obtenue à partir d’un bilan thermique dont les hypothèses simplificatrices utilisées sont les suivantes : La structure du solide est homogène et isotrope ; Les grandeurs physiques caractéristiques sont constantes ; La déformation du volume est négligeable ; Les sources internes de chaleurs sont distribuées d’une manière uniforme (puissance volumique (w/m3)). La loi de conservation de l’énergie à ce volume dit que la somme de chaleur qui passe par ce volume par conduction (d𝑞𝑥 ) et celle produite par les sources internes de la chaleur (𝑞̇ )dans l’intervalle de temps dt est égale à la variation de l’énergie interne de la substance contenue dans ce volume considéré. (𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 ) − (𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑞𝑦+𝑑𝑦 + 𝑞𝑧+𝑑𝑧 ) + 𝑞̇ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝐶

𝜕𝑇 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑡

(II. 2)

Avec : 𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +

𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑥

. 𝑑𝑥

(II. 3 − 𝑎)

𝑞𝑦+𝑑𝑦 = 𝑞𝑦 +

𝜕𝑞𝑦 . 𝑑𝑦 𝜕𝑦

(II. 3 − 𝑏)

𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 +

𝜕𝑞𝑧 . 𝑑𝑧 𝜕𝑧

(II. 3 − 𝑐 )

Après substitution dans l’équation (II.2), il vient : −(

𝜕𝑞𝑦 𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑞𝑧 𝜕𝑇 . 𝑑𝑥 + . 𝑑𝑦 + . 𝑑𝑧) + 𝑞̇ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝐶 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

Les lois de Fourier sont exprimées par : ∂T ∂x ∂T 𝑞𝑦 = −k y dxdz ∂y 𝑞𝑥 = −k x dydz

𝑞𝑧 = −k z dydx

∂T ∂z

Donc, on obtient : [

𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 (𝑘𝑥 ) 𝑑𝑥 + (𝑘𝑦 ) 𝑑𝑦 + (𝑘𝑧 ) 𝑑𝑧] 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑞̇ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝐶 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑡

15

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Dans le cas où la conductivité thermique k est constante, la relation précédente devient : (

𝜕²𝑇 𝜕²𝑇 𝜕²𝑇 𝑞 ̇ 𝜌𝐶 𝜕𝑇 + + )+ = 𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧² 𝑘 𝑘 𝜕𝑡

(II. 4)

La relation (II.4) peut s’écrire sous forme générale : ∆𝑇 +

𝑞 ̇ 1 𝜕𝑇 = 𝑘 𝛼 𝜕𝑡

(II. 5)

Cette équation exprime l’équation aux dérivées partielles de la conduction thermique. Elle régit les variations spatiales et temporelles de la température en chaque point du corps où à lieu un transfert de la chaleur par conduction et les caractéristiques thermo- physiques de celui-ci. Le coefficient

exprimé dans la relation (II.5) s’appelle diffusivité thermique,

elle caractérise l’aptitude des corps à laisser passer la chaleur par conduction. La diffusivité thermique dépend essentiellement de la nature du matériau (fluides possèdent une faible diffusivité thermique alors que les métaux ont une diffusivité thermique importante). II.3.1- Formes particulières de l’équation générale de la conduction : L’équation de la conduction générale décrit une classe très importante de phénomène de conduction. On peut particulariser certains processus de transfert thermique conductif qui conduisent aux formes de l’équation suivante : Conduction transitoire sans source d’énergie, on obtient l’équation de Fourier : ∆𝑇 =

1 𝜕𝑇 𝛼 𝜕𝑡

(II. 6)

Conduction stationnaire avec source d’énergie, il découle l’équation de Poisson : ∆𝑇 +

𝑞̇ =0 𝑘

(II. 7)

Conduction stationnaire sans source d’énergie, on trouve l’équation de Laplace ∆𝑇 = 0

(II. 8) 16

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.3.2- Expressions du Laplacien dans divers systèmes de coordonnées : En coordonnées cartésiennes (figure II.2a) le Laplacien s’écrit : ∆𝑇 =

𝜕²𝑇 𝜕²𝑇 𝜕²𝑇 + + 𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧²

(II. 9)

En coordonnées cylindriques (figure II.2b) le Laplacien s’écrit : ∆𝑇 =

1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 𝜕²𝑇 (𝑟 ) + + 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟² 𝜕𝜙 𝜕𝑧²

(II. 10. a)

Dans le cas d’une symétrie cylindrique T= f(r,t). Le Laplacien de la température sera : ∆𝑇 =

1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟 ) 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

(II. 10. b)

En coordonnées sphériques (figure II.2c), le Laplacien de la température est de la forme suivante : ∆𝑇 =

1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕²𝑇 1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟² ) + ( )+ (𝑠𝑖𝑛𝜃 ) 𝑟² 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜃 𝜕𝜙² 𝑟²𝑠𝑖𝑛²𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃

(II. 11. a)

Dans le cas d’une symétrie sphérique T= f(r,t). Le Laplacien de la température sera : ∆𝑇 =

1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟² ) 𝑟² 𝜕𝑟 𝜕𝑟

a

b

(II. 11. b)

c

Figure II.2 : Coordonnées (a) Cartésiennes, (b) Cylindriques, (c) Sphériques.

La résolution de l’équation (II.5) nécessite de compléter cette équation par un supplément d’informations constituant les conditions d’unicité. Il existe plusieurs types à savoir :

17

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Conditions géométriques qui caractérisent la forme et la grandeur du corps où la conduction à lieu (surface du corps plane, cylindrique…) ; Conditions physiques qui précisent les paramètres physiques du matériau (corps homogène, isotrope…) ; Conditions initiales qui décrivent le champ de la température du matériau à l’instant initial ; Conditions aux limites qui caractérisent l’interaction du corps étudié avec son environnement. II.3.3- Applications II.3.3.1- Mur simple sans source d’énergie Soit un mur d’épaisseur (e), constitué d’un matériau homogène et isotrope de conductivité (k) constante et que les températures T0 et T1 sur les faces de ce mur sont connues, constantes et uniformes (voir figure II.3).

Figure II.3 : Conduction stationnaire dans un mur plan

D’après les hypothèses précédentes, l’équation différentielle de Laplace qui décrit la propagation de la chaleur dans ce mur prend la forme suivante : ∆𝑇 =

𝑑²𝑇 =0 𝑑𝑥²

(II. 12)

La solution générale de cette équation est : 𝑇(𝑥 ) = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

(II. 13)

Où les constantes d’intégrations C 1 et C2 sont déterminées en utilisant les conditions aux limites suivantes : 𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇1 𝑥 = 𝑒 → 𝑇 = 𝑇2 On obtient alors les valeurs :

18

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

𝐶1 = −

𝑇1 − 𝑇2 𝑒

𝐶2 = 𝑇1 Qui, remplacées dans (II.13), donnent le champ de température dans le mur : 𝑇(𝑥 ) = 𝑇1 −

(𝑇1 − 𝑇2 ) 𝑥 𝑒

(II. 14)

Cette expression montre que le profil de la température dans un mur plan est linéaire. Le flux de chaleur s’obtient en utilisant la loi de Fourier : 𝑞=

𝑘𝐴 (𝑇 − 𝑇2 ) 𝑒 1

(II. 15)

L’expression (II.15) peut être écrite comme suit : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) ∆𝑇 = 𝑒/𝑘𝐴 𝑅𝑡ℎ

(II. 16)

Rth : résistance thermique. Exercice II.1 : On considère une porte en bois (sapin très tendre) de surface S = 2 m 2, d’épaisseur

e=5

cm

et

de

conductivité

thermique

k=0,1w/mK.

Les

températures extérieure et intérieure de la maison sont respectivement 4 °C et 19 °C. Déterminer 1- Le profil de la température. 2- Le flux de chaleur. Solution : Le système est sans source d’énergie et en régime permanent, l’équation de la conduction s’écrit (équation II.8): 𝑑²𝑇 =0 𝑑²𝑥 Le profil de la température est donné par l’expression (II.14) : (𝑇1 − 𝑇2 ) 𝑥 𝑒 (19 − 4) 𝑇(𝑥) = 19 − 𝑥 = 𝟏𝟗 − 𝟑𝟎𝟎𝒙 0,05 𝑇(𝑥 ) = 𝑇1 −

19

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Le flux de chaleur est obtenu à partir de l’équation de Fourier (II.16) : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) (19 − 4) = = 𝟔𝟎𝒘 𝑒/𝑘𝐴 0,05/0,1 ∗ 2

Remarque : Pour un mur composite (plusieurs couches), le flux de chaleur est donné par : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) ∑ 𝑒𝑖 /𝑘𝑖 𝐴𝑖

(II. 17)

Pour des surfaces planes en série, la résistance thermique totale est : 𝑒𝑖 𝑅𝑡ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ∑ = ∑ 𝑅𝑡ℎ 𝑖 (II. 18) 𝑘𝑖 𝐴𝑖 𝑖=1

𝑖=1

Pour des surfaces planes en parallèle, la résistance totale est exprimée par : 1 𝑅𝑡ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒

=∑ 𝑖=1

𝑘𝑖 𝐴𝑖 1 = ∑ 𝑒𝑖 𝑅𝑡ℎ 𝑖

(II. 19)

𝑖=1

Exercice II.2 : Un four est constitué de briques réfractaires, de briques isolantes et de briques ordinaires (voir figure II.4). Les températures intérieure et extérieure du four sont respectivement 1200K et 330K. Déterminer : 1- La densité de flux de chaleur perdu par le four. Solution D’après l’équation (II.17), le flux de chaleur s’écrit : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) ∑ 𝑒𝑖 /𝑘𝑖 𝐴𝑖

Figure II.4 : schéma représentatif de l’exercice II.2

20

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Et comme les surfaces sont égales, la densité de flux est donnée par l’expression suivante : (𝑇1 − 𝑇2 ) 𝑞 𝑞′ = ( ) = ∑ 𝑒𝑖 /𝑘𝑖 𝐴 𝑞′ =

(1200 − 330) = 961𝑤/𝑚² 0,20 0,10 0,20 ∑( + + ) 1,4 0,21 0,7

II.3.3.2- Mur simple avec source d’énergie Soit un mur d’épaisseur (e), constitué d’un matériau homogène et isotrope de conductivité (k) constante avec une génération de chaleur et que les températures T0 et T1 sur les faces de ce mur sont connues, constantes et uniformes. L’équation fondamentale de transfert de chaleur par conduction est donnée par l’équation de Poisson (II.7) : ∆𝑇 +

𝑞̇ =0 𝑘

𝑑²𝑇 𝑞̇ =− 𝑘 𝑑𝑥² La solution générale est donnée par l’expression suivante : 𝑞̇ 𝑥²+𝐶1 𝑥 + 𝐶2 2𝑘

𝑇 (𝑥 ) = −

(II. 20)

Où les constantes d’intégrations C 1 et C2 sont déterminées en utilisant les conditions aux limites suivantes : 𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇1 𝑥 = 𝑒 → 𝑇 = 𝑇2 On obtient alors les valeurs : 𝐶1 = −

𝑇1 − 𝑇2 𝑞̇ 𝑒 + 𝑒 2𝑘

𝐶2 = 𝑇1 Qui, remplacées dans (II.20), donnent le champ de température dans le mur : 𝑇 (𝑥 ) = − Le

flux

de

chaleur

s’obtient

𝑞̇ 𝑞𝑒̇ 𝑇1 − 𝑇2 𝑥² + [ − ] 𝑥 + 𝑇1 2𝑘 2𝑘 𝑒

en

𝑞 = −𝑘𝐴

utilisant

la

loi

de

𝑑𝑇 𝑞̇ 𝑞𝑒̇ 𝑇1 − 𝑇2 = −𝑘𝐴 [− 𝑥 + − ] 𝑑𝑥 𝑘 2𝑘 𝑒

21

(II. 21) Fourier :

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

1 𝑇1 − 𝑇2 𝑞 = 𝑞̇ 𝐴 (𝑥 − ) + (𝑒/𝑘𝐴) 2

(II. 22)

Exercice II.3 On considère une plaque avec une génération de chaleur (𝑞̇ ) uniforme. Déterminer 1- Le profil de la température 2- La densité de flux de chaleur à droite, à gauche et au centre de cette plaque. On donne : k=200w/m°K, 𝑞̇ =40Mw/m3, T1=160°C, T2=100°C e=2cm. Solution 1- Le système est en régime stationnaire et avec source d’énergie. L’équation générale de la conduction (II.5) devient : 𝑑²𝑇 𝑞̇ + =0 𝑑𝑥² 𝑘 La solution de cette équation est donnée par l’expression suivante (II.20): 𝑇 (𝑥 ) = −

𝑞̇ 𝑥²+𝐶1 𝑥 + 𝐶2 2𝑘

C1 et C2 sont obtenues à partir des conditions aux limites. Le profil de la température s’écrit pour les conditions (x=0 , T=T1 et x=e , T=T2) : 𝑇 (𝑥 ) = −

𝑞̇ 𝑞𝑒̇ 𝑇1 − 𝑇2 𝑥² + [ − ] 𝑥 + 𝑇1 2𝑘 2𝑘 𝑒

𝑇(𝑥 ) = −105 𝑥² − 103 𝑥 + 160 . 2- D’après l’équation de Fourier, la densité de flux de chaleur est 𝑞 𝑑𝑇 𝑞 ′ = ( ) = −𝑘 = −𝑘(−2. 105 𝑥 − 103 ) 𝐴 𝑑𝑥 𝑞 ′ = 400. 105 𝑥 + 2. 105 La densité de flux de chaleur à gauche de la plaque(x=0) 𝑞 ′ = 200 𝑘𝑤/𝑚² La densité de flux de chaleur à droite de la plaque(x=2.10-2m) : 𝑞 ′ = 400. 105 . 2. 10−2 + 2. 105 = 103 𝑘𝑤/𝑚² La densité de flux de chaleur au milieu de la plaque (10-2m) : 𝑞 ′ = 400. 105 . 10−2 + 2. 105 = 600𝑘𝑤/𝑚²

22

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.3.3.3-Analogie entre les conductions thermique et électrique L’analogie entre les conductions thermique et électrique pour des corps homogènes et isotropes est illustrée dans le tableau II.2. Tableau II.2. Analogie entre transfert thermique et l’électrique Transfert thermique

Courant électrique

Température (T)

Potentiel (V)

Chaleur (Q)

Charge électrique (q)

Flux thermique (q)

Intensité électrique (I)

Conductivité thermique (k) Conductivité électrique ( ) ∆𝑉 = 𝑅. 𝐼

∆𝑇 = 𝑞 ∑ 𝑅 𝑡ℎ𝑖

L’analogie électrique est très utile pour l’étude des phénomènes ou intervenant les combinaisons des résistances. On applique souvent les lois des circuits en série ou en parallèle. Exemple II. 1

Figure II.5 : Analogie entre conductions thermiques et électrique

II.3.3.4- Cylindre creux sans source d’énergie Dans diverses applications techniques, on trouve des parois circulaires (tubes) exposées à des fluides de températures différentes entre la surface intérieure et extérieure. On considère un cylindre creux homogène et isotrope de conductivité (k) constante, limité par une surface intérieure de rayon r1 et une 23

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

surface extérieure de rayon r2 qui ont des températures constantes et uniformes T1 et T2 (voir figure II.6). On considère que le cylindre à une longueur (l) beaucoup plus grand que son diamètre. La conduction thermique est unidirectionnelle et présente un gradient de température radial.

Figure II.6 : Conduction stationnaire dans un cylindre

Pour le cas de la conduction stationnaire et sans source d’énergie le problème est défini par l’équation de Laplace : 1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟 ) = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

(II. 23)

La résolution de l’équation (II.23) est obtenue par intégration. Elle est sous la forme logarithmique : 𝑇(𝑟) = 𝐶1 𝑙𝑛𝑟 + 𝐶2

(II. 24)

Les constantes d’intégration C1 et C2 sont déterminées par les conditions aux limites suivantes : 𝑟 = 𝑟1 → 𝑇 = 𝑇1 𝑟 = 𝑟2 → 𝑇 = 𝑇2 Qui ont comme résultat : 𝐶1 =

𝑇1 − 𝑇2 𝑟 𝑙𝑛 𝑟1 2

𝐶2 = 𝑇1 − (𝑇1 − 𝑇2 )

(II. 25. 𝑎) 𝑙𝑛𝑟1 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟1 ) 2

(II. 25. 𝑏)

En remplaçant les valeurs de C1 et C2 dans la relation (II.24), on obtient finalement l’équation du champ de température dans le cylindre creux : 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟 ) 1 𝑇(𝑟) = 𝑇1 − (𝑇1 − 𝑇2 ) (II. 26) 𝑟2 𝑙𝑛 (𝑟 ) 1 24

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Le flux thermique est obtenu à partir de la loi de Fourier : 𝑞 = 2𝜋𝑘𝑙

(𝑇1 − 𝑇2 ) 𝑟 𝑙𝑛 ( 2 ) 𝑟1

(II. 27)

La résistance thermique du cylindre creux est exprimée par la relation : 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟2 ) 1 𝑅𝑡ℎ = (II. 28. 𝑎) 2𝜋𝑘𝑙 Pour un cylindre composite la résistance thermique est donnée par : 𝑟 𝑙𝑛 ( 𝑖+1 1 𝑟𝑖 ) 𝑅𝑡ℎ = ∑ (II. 28. 𝑏) 2𝜋𝑙 𝑘𝑖 𝑖=1

Exercice II.4 Soit un tube en acier de longueur 1m, de rayon intérieur r1=10mm, de rayon extérieur r2=13,5mm et de conductivité thermique k=46w/mK. On suppose que les températures des parois intérieure et extérieure sont respectivement 119,75°C et 119,64°C. Déterminer : 1- La résistance thermique et le flux de chaleur correspondant 2- La résistance thermique et le flux dans le cas où le tube est entarté sur une épaisseur de 2mm. La conductivité thermique de la tarte est 2,2w/mK. Solution 1- La résistance thermique du tube est exprimée par l’équation (II.28-a) : 𝑅𝑡ℎ =

𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 1

2𝜋𝑘𝑙

=

0.0135 𝑙𝑛 ( 0,010 ) 2𝜋. 46.1

= 1,038. 10−3 𝐾/𝑤

Le flux de chaleur s’écrit : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) (119,75 − 119,64) = = 105,97𝑤 𝑅𝑡ℎ 1,038. 10−3

2- La présence de tarte conduit à l’expression suivante : 𝑟 𝑙𝑛 𝑖+1 1 1 𝑙𝑛(0,0135/0,01) 𝑙𝑛(0,01/0,008) 𝑟𝑖 𝑅𝑡ℎ = ∑ = ( + ) 2𝜋𝑙 𝑘𝑖 2𝜋1 46 2,2 𝑖=1

𝑅𝑡ℎ = 1,718. 10−2 𝐾/𝑤 Le flux de chaleur est donc : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇2 ) (119,75 − 119,64) = = 6,40𝑤 𝑅𝑡ℎ 1,718. 10−2 25

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.3.3.5- Cylindre creux avec source d’énergie Pour le cas de la conduction stationnaire avec source d’énergie, le problème est défini par l’équation de Poisson : 1 𝜕 𝜕𝑇 𝑞̇ (𝑟 ) + = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑘 𝜕 𝜕𝑇 𝑞̇ (𝑟 ) = − 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑘

(II. 29)

La première intégrale donne 𝜕𝑇 𝑞̇ ) = − 𝑟² + 𝐶1 𝜕𝑟 2𝑘 𝑑𝑇 𝑞̇ 𝐶1 ( )=− 𝑟+ 𝑑𝑟 2𝑘 𝑟 (𝑟

(II. 30. a)

La seconde intégrale conduit au profil de la température : 𝑇 (𝑟 ) = −

𝑞̇ 𝑟² + 𝐶1 𝑙𝑛𝑟 + 𝐶2 4𝑘

(II. 30. b)

Deux constantes C1 et C2 sont à déterminer, ce qui nécessite deux conditions aux limites : Pour les conditions : 𝑑𝑇 =0 𝑑𝑥 𝑟 = 𝑅 → 𝑇(𝑅) = 𝑇𝑅 𝑟=0→

La première condition résulte de la symétrie du système c.à.d. pour un cylindre plein, l’axe central est une ligne de symétrie pour la distribution de la température (le gradient de la température doit être nul). A partir de cette condition et l’équation (II.30.a) la constante d’intégration C1 est nulle. D’après la seconde condition : 𝐶2 = TR +

q̇ R² 4k

Le profil de la température est donc : 𝑇 (𝑟 ) =

𝑞̇ 𝑅² r² (1 − ) + TR 4𝑘 R²

(II. 31. a)

Le profil de la température à l’axe (r=0) s’écrit : 𝑇0 = Avec T0 la température à l’axe du cylindre.

26

𝑞̇ 𝑅² + TR 4𝑘

(II. 31. b)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Le flux de chaleur peut être évalué en utilisant l’équation (II.31.a) et la loi de Fourier. Exercice II.5 Une résistance électrique constituée d’un fil de diamètre 5mm, une longueur de 0,7m et de conductivité thermique 20w/mK est utilisée pour chauffer l’eau. Elle développe une puissance de 2kw. Déterminer la température au centre du fil si la température à la surface est égale à 110°C. Solution La quantité d’énergie développée (source d’énergie w/m3) est : 𝑞̇ =

𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑃 2000 = ² = = 1,455. 108 𝑤/𝑚3 2 . 0,7 ( ) 𝑉 3,14. 0,025 𝜋𝑟 𝐿

La température au centre du fil est exprimée par la relation (II.31.a) 𝑇0 =

𝑞̇ 𝑅² 1,455. 108 . (2,5. 10−3 )² + TR = + 110 = 121,4°C 4𝑘 4.20

Pour les conditions : 𝑟 = 𝑅1 → 𝑇(𝑅1 ) = 𝑇1 𝑟 = 𝑅2 → 𝑇(𝑅2 ) = 𝑇2 Après plusieurs opérations de calculs, le profil de la température s’écrit : 𝑟 𝑙𝑛 (𝑅 ) 𝑞̇ 𝑞̇ 2 ] 𝑇𝑟 − 𝑇2 = ( ) (𝑅2 ² − 𝑟²) + [(𝑇2 − 𝑇1 ) + ( ) (𝑅2 ² − 𝑅1 ²)] [ 𝑅2 4𝑘 4𝑘 𝑙𝑛 (𝑅 ) 1

(II. 32. a)

𝑟 𝑙𝑛 (𝑅 ) 𝑞̇ 𝑞̇ 1 ] 𝑇𝑟 − 𝑇1 = ( ) (𝑅1 ² − 𝑟²) + [(𝑇2 − 𝑇1 ) + ( ) (𝑅2 ² − 𝑅1 ²)] [ 𝑅 4𝑘 4𝑘 𝑙𝑛 ( 𝑅2 ) 1

(II. 32. b)

Ou

Le rayon auquel la température maximale est atteinte est obtenu en différenciant l’expression (II.32) et en lui donnant la valeur zéro. 𝑅𝑚𝑎𝑥 ² =

2𝑘 𝑞̇ [(𝑇2 − 𝑇1 ) + ( ) (𝑅2 ² − 𝑅1 ²)] 𝑅 4𝑘 𝑞̇ 𝑙𝑛 ( 𝑅2 ) 1

(II. 33)

Exercice II.6 Une conduite cylindrique, de rayon intérieur 3cm, de rayon extérieur 6 cm et de conductivité thermique 30w/mK, est le siège d’une génération de chaleur 27

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

uniforme 5.106w/m3. Les températures de surfaces intérieure et extérieure sont maintenues respectivement à 380°C et 360°C. Déterminer 1- L’emplacement et la valeur de la température maximale. 2- Le flux de chaleur générée allant à la surface intérieure. Solution 1- D’après l’équation (II.33), le rayon auquel la température maximale est 1/2

𝑅𝑚𝑎𝑥 =

2.30 5. 106 [(380 − 360) + ( ) (0,06² − 0,03²)] 0,06 4.30 6 5. 10 𝑙𝑛 (0,03) [ ]

= 0,04𝑚

La température maximale : 5.106

𝑇𝑟 − 380 = ( 4.30

) (0,03² − 0,04²) +

0,04 ) 0,03 0,06 𝑙𝑛( ) 0,03

𝑙𝑛(

[(380 − 360) + (

5.106 4.30

) (0,06² − 0,03²)]

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 389,22°𝐶 2- Le flux de chaleur à l’intérieur est la chaleur générée jusqu’à 𝑅𝑚𝑎𝑥 𝑞 = 𝑞̇ 𝜋(𝑅𝑚𝑎𝑥 ² − 𝑅1 ²) = 5. 106 . 𝜋(0,04² − 0,03²) = 10995,6𝑤 II.3.3.6- Sphère creuse sans source d’énergie On considère une sphère de conductivité k, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur

r2.

Les

températures

des

faces

interne

et

externe

étant

respectivement T1 et T2.

Figure II.7 : Conduction stationnaire dans une sphère

Le système est uniforme et sans source d’énergie, l’expression de l’équation de la conduction est exprimée par la relation (II.11.b):

28

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

1 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟². ) = 0 𝜕𝑟 𝑟² 𝜕𝑟 𝜕 𝜕𝑇 (𝑟². ) = 0 𝜕𝑟 𝜕𝑟 La solution de l’équation précédente donne le profil de la température : 𝑇 (𝑟 ) = −

𝐶1 + 𝐶2 𝑟

(II. 34)

Pour déterminer les constantes d’intégrations, on écrit les conditions aux limites. 𝑟 = 𝑟1 → 𝑇(𝑟1 ) = 𝑇1 = −

𝐶1 + 𝐶2 𝑟1

𝑟 = 𝑟2 → 𝑇(𝑟2 ) = 𝑇2 = −

𝐶1 + 𝐶2 𝑟2

𝐶1 = (

𝑇1 − 𝑇2 ) 1 1 − 𝑟1 𝑟2

𝐶2 = 𝑇1 + (

𝑇1 − 𝑇2 ) 1 1 − 𝑟1 𝑟2

Le profil de la température s’écrit : 1 1 𝑇 − 𝑇1 𝑟1 − 𝑟 =( ) 1 1 𝑇1 − 𝑇2 − 𝑟2 𝑟1

(II. 35)

Le flux de chaleur est obtenu en utilisant la loi de Fourier : 𝑞 = −𝑘4𝜋𝑟²

𝑞 = 4𝜋𝑘

Le terme

1

1

1

4𝜋𝑘 𝑟1

𝑟2

𝑇1 − 𝑇2 1 . 1 1 𝑟² − 𝑟2 𝑟1

𝑇1 − 𝑇2 1 1 𝑟1 − 𝑟2

(II. 36)

( − ) représente la résistance thermique dans le cas d’une

sphère creuse. Dans le cas d’une sphère composite (plusieurs couches), la résistance thermique est donnée par l’expression suivante : 𝑛

𝑅𝑡ℎ

1 1 1 1 = ∑ ( − ) 4𝜋 𝑘𝑖 𝑟𝑖 𝑟𝑖+1 𝑖=1

29

(II. 37)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Exercice II.7 Une sphère creuse en aluminium de diamètre intérieur 50cm et diamètre extérieur 60cm. La paroi interne est maintenue à la température 70°C, la surface externe est maintenue à 25°C. Calculer le flux de chaleur par conduction à travers la paroi de conductivité thermique 232,22w/mK. Solution D’après l’équation (II.36), le flux de chaleur s’écrit : 𝑞 = 4𝜋𝑘

𝑇1 − 𝑇2 70 − 25 = 4.231,22.3,14 = 19,69𝑤 1 1 1 1 − − 𝑟1 𝑟2 0,25 0,30

II.3.3.7- Sphère creuse avec source d’énergie Soit une sphère avec une génération de chaleur (𝑞̇ ) de conductivité k, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2. Les températures des faces interne et externe étant respectivement T1 et T2. L’équation de la conduction est exprimée par la loi de Poisson : 1 𝜕 𝜕𝑇 𝑞̇ (𝑟² ) + = 0 𝜕𝑟 𝑘 𝑟² 𝜕𝑟 𝜕 𝜕𝑇 𝑞̇ (𝑟² ) = − 𝑟² 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑘 La solution de l’équation différentielle précédente donne le profil de la température : 𝑇 (𝑟 ) = −

𝑞̇ 𝐶1 𝑟² − + 𝐶2 6𝑘 2𝑟

(II. 38)

A partir de conditions aux limites, les constantes d’intégrations sont déterminées. 𝑟=0→

𝑑𝑇 = 0, 𝑑𝑥

𝐶1 = 0

𝑟 = 𝑅 → 𝑇(𝑅) = 𝑇𝑅 ,

𝐶2 = 𝑇𝑅 +

𝑞̇ 𝑅² 6𝑘

La substitution des constantes d’intégrations dans l’équation (II.38) conduit à: 𝑇(𝑟) = 𝑇𝑅 +

𝑞̇ (𝑅 2 − 𝑟 2 ) 6𝑘

(II. 39)

La température maximale est obtenue à r=0 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝑅 + 30

𝑞̇ 𝑅² 6𝑘

(II. 40)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Exercice II.8 Soit une sphère pleine de rayon 0,09m et de conductivité thermique 30w/mK génère une quantité de chaleur égale à 5.106 w/m3. Cette quantité est transférée de la surface externe vers un fluide à température 160°C par convection (h=750w/m²K). Déterminer : 1- La température maximale et la température à R=0,06m. Solution D’après l’équation (II.40), la température maximale s’écrit : 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇𝑅 +

𝑞̇ 𝑅² 6𝑘

La quantité d’énergie générée égale à la quantité transférée par convection : 𝑉. 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇̇ 𝑅 − 𝑇∞ ) V,

A

sont

respectivement

le

volume

et

la

surface

de

la

sphère.

4 3 𝜋𝑅 = ℎ(4𝜋𝑅2 )((𝑇𝑅 − 𝑇∞ ) 3 𝑇𝑅 = 𝑇∞ +

𝑞̇ 𝑅 5. 106 . 0,09 = 160 + = 360°𝐶 3𝑘 3.750

Donc : 𝑇𝑚𝑎𝑥

𝑞̇ 𝑅² 5. 106 . (0,09)² = 𝑇𝑅 + = 360 + = 585°𝐶 6𝑘 6.30

Pour calculer la température à R=0,06, on utilise l’équation (II.39) : 𝑇(0,06) = 𝑇𝑅 +

𝑞̇ 5. 106 . (0,09² − 0,06²) (𝑅2 − 𝑟 2 ) = 360 + = 485°𝐶 6𝑘 6.30

II.3.3.8- Combinaison entre la conduction et la convection Mur simple en contact avec deux fluides : Considérons maintenant le cas de transfert thermique dans un mur simple, d’épaisseur (e) et de conductivité (k), séparant deux fluides en mouvement (figure II.8). On sait que le flux thermique transféré entre un fluide en mouvement et un solide est donné par la loi de Newton (équation I.3). En régime laminaire et en absence de sources internes de chaleur dans le mur, le flux surfacique est donné par : 𝑞=

(𝑇

− 𝑇 2) ∆𝑇 = 𝑒 1 1 ∑ 𝑅𝑡ℎ ∑𝑛 𝑖 ℎ1 + 𝑖=1 𝑘𝑖 + ℎ2 31

1

(II. 41)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

𝑇∞1 ℎ1 𝑇∞2 ℎ2 𝑒2

𝑒1

𝑒𝑛

Figure II.8 : Combinaison conduction - convection

Exercice II.9 Une paroi de chambre froide, de surface de 40cm², est constituée d’un mur de briques creuses (e1=10cm, k1=0,5w/mK), un isolant en polystyrène (e2, k2=0,03w/mK) et un enduit intérieur (e3=3cm, k3=1,2w/mK). Les coefficients de convection sont h1=7w/m²K et h2=10w/m²K. Les températures de part et d’autre de la paroi sont respectivement -10°C et 30°C. Déterminer : 1- L’épaisseur de l’isolant pour limiter la puissance à 10 w/m². 2- La quantité de chaleur qui traverse cette paroi pendant 24h. Solution 1- La densité de flux de chaleur est exprimée par : 𝑞=

∆𝑇 ∑𝑛𝑖=1 𝑅𝑡ℎ 𝑖

=

(𝑇1 − 𝑇2 ) 1 𝑒 𝑒 𝑒 1 (ℎ + 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + ℎ ) 1 1 2 3 2

L’épaisseur de l’isolant s’écrit : 𝑒2 = 𝑘2 [

(𝑇1 − 𝑇2 ) 1 𝑒1 𝑒3 1 − ( + + + )] 𝑞 ℎ1 𝑘1 𝑘3 ℎ2

(30 + 10) 1 0,1 0,03 1 𝑒2 = 0,03 [ −( + + + )] = 0,011𝑚 10 7 0,5 1,2 10 2- La quantité de chaleur est donnée par la formule suivante : 𝑄 = 𝑞. 𝐴. 𝑡 = 10.24.3600.40. 10−4 = 3456𝐽 Cylindre creux en contact avec deux fluides : soit un cylindre creux qui sépare deux fluides ayant des températures T

32

1

et T

2

constantes. On

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

considère que les coefficients de transfert de chaleur par convection h1 et h2 sont constants et connus. La conservation du flux se traduit par l’égalité du flux total cédé par le fluide chaud à la surface intérieure du cylindre par convection avec celui traversant l’épaisseur du cylindre par conduction et avec celui reçu par le fluide froid par convection à la surface extérieure du cylindre. Le flux total rapporté à l’unité de longueur du cylindre est :

𝑞=

(𝑇

− 𝑇 2) ∆𝑇 = 𝑟 ∑ 𝑅𝑡ℎ 𝑙𝑛 ( 𝑖+1 𝑟𝑖 ) 1 1 𝑛 1 )+ + (2𝜋 ∑𝑖=1 𝜋𝑑1 ℎ1 𝑘𝑖 𝜋𝑑2 ℎ2 1

(II. 42)

Le flux de chaleur peut être exprimé par la relation suivante : 𝑞 = 𝑈𝐴̅̅̅̅ 𝑇

(II. 43)

Où : U : Coefficient de transfert de chaleur global ; A : Surface d’échange totale ; ̅̅̅̅ 𝑇 : Variation de température moyenne. Exercice II.10 Un préchauffeur d’air est fait d’un tuyau d’acier (d1=43mm et d2=49mm), de conductivité k=50W/mK, à l’intérieur du tuyau circulant de gaz brûlés ayant la température T1=250°C et à l’extérieur un courant d’air ayant la température T2=145°C. Les coefficients de transfert thermiques surfaciques sont : à l’intérieur h1= 45W/m2K et à l’extérieur h2=25W/m2K. On demande : 1. Le flux thermique transféré par mètre linéaire du tuyau. 2. Le coefficient de transfert thermique global linéaire Solution 1- D’après l’équation (II.42), le flux de chaleur est : 𝑞=

(𝑇

− 𝑇 2) 𝑟 𝑙𝑛 ( 2 ) 1 𝑟1 1 ( ) 𝜋𝑑1 𝑙 ℎ1 + 2𝜋𝑘 + 𝜋𝑑2 𝑙 ℎ2

33

1

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

𝑞=

𝜋𝑙 (𝑇

− 𝑇 2) 𝑟2 𝑙𝑛 ( 1 𝑟1 ) 1 ( )+ + 𝑑1 ℎ1 2𝑘 𝑑2 ℎ2 1

Le flux linéaire 𝑞 ′ s’écrit : 𝑞 𝑞′ = ( ) = 𝑙

𝑞′ =

𝜋 (𝑇

− 𝑇 2) 𝑟2 𝑙𝑛 ( 1 𝑟1 ) 1 )+ +( 𝑑1 ℎ1 2𝑘 𝑑2 ℎ 2 1

𝜋(250 − 145) = 247,28𝑤/𝑚 0,049 𝑙𝑛 ( ) 1 1 0,043 ) ( + + 0,043.45 2.50 0,049.25

2- Le coefficient global linéaire 𝑞 ′ = 𝑈𝑙 ∆𝑇 = 𝑈𝑙 = (

∆𝑇 ∑ 𝑅𝑡ℎ

𝑞′ 247,28 )= = 2,35 𝑤/𝑚𝐾 ∆𝑇 (250 − 145)

II.3.3.9- Isolation thermique critique On considère une conduite cylindrique de conductivité thermique k. On isole cette conduite à l’aide d’un isolant d’épaisseur e et de conductivité thermique ki (figure II.9)

ℎ1 𝑘 𝑇1

ℎ2 𝑇∞

𝑘𝑖

Figure II.9 : Isolation d’une conduite

Le flux de chaleur traversant les parois de l’intérieur à l’extérieur s’écrit : 𝑞=

(𝑇1 − 𝑇∞ ) 𝑟 𝑟 +𝑒 𝑙𝑛 (𝑟2 ) 𝑙𝑛 ( 2 𝑟 ) 1 1 1 2 + + + 2𝜋𝑙𝑟1 ℎ1 2𝜋𝑘𝑙 2𝜋𝑘𝑖 𝑙 2𝜋𝑙(𝑟1 + 𝑒)ℎ2

34

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

𝑞=

2𝜋𝑙 (𝑇1 − 𝑇∞ ) 𝑟 𝑟 +𝑒 𝑙𝑛 (𝑟2 ) 𝑙𝑛 ( 2 𝑟 ) 1 1 1 2 +( 𝑟1 ℎ1 + 𝑘 + 𝑘𝑖 𝑟2 + 𝑒)ℎ2

Si on pose 𝑟 = (𝑟2 + 𝑒), il vient : 𝑞=

2𝜋𝑙(𝑇1 − 𝑇∞ ) 𝑟 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟2 ) 𝑙𝑛 (𝑟 ) 1 1 1 2 + + + 𝑟1 ℎ1 𝑘 𝑘𝑖 𝑟ℎ2

(II. 44)

On constate que le rayon d’isolation fait varier la résistance au transfert dans les deux sens contradictoires. Il existe donc une valeur de rayon (rayon critique) pour laquelle la résistance thermique est optimale. La dérivée de l’expression (II.44) pour un rayon critique. 𝑑𝑞 =− 𝑑𝑟

1 1 2𝜋𝑙(𝑇1 − 𝑇∞ ) [𝑘 𝑟 − ] ℎ 𝑖 2 𝑟² 2 =0 𝑟2 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟 ) 𝑙𝑛 (𝑟 ) 1 1 [𝑟 ℎ + 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑟ℎ ] 1 1 𝑖 2

On en déduit le rayon critique (rc) : 𝑟𝑐 = (

𝑘𝑖 ) ℎ2

(II. 45)

Dans le cas d’un système sphérique, le rayon critique est donné par l’expression suivante : 𝑟𝑐 = (

2𝑘𝑖 ) ℎ2

(II. 46)

Exercice II.11 Une canalisation en cuivre (k=380w/m°C) est, de rayon interne 8mm et de rayon externe 10mm, parcouru par un fluide à la température uniforme de 60°C. Elle est dans de l’air à la température 20°C. Les coefficients d’échanges thermiques convectifs à l’intérieur et à l’extérieur du tube sont respectivement égaux à 2000w/m²K et 10w/m²K. Cette canalisation est revêtue d’un isolant de 10mm d’épaisseur et de conductivité thermique 0,04w/mK. Déterminer : 1- La résistance thermique totale pour une longueur de 1m. 2- L’épaisseur optimale de l’isolant.

35

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Solution 1- D’après l’équation (II.44), la résistance thermique s’écrit : 𝑟 𝑟 𝑙𝑛 (𝑟2 ) 𝑙𝑛 (𝑟 ) 1 1 1 1 2 𝑅𝑡ℎ = [ + + + ] 2𝜋𝑙 𝑟1 ℎ1 𝑘 𝑘𝑖 𝑟ℎ2

𝑅𝑡ℎ

0,010 0,010 + 0,010 𝑙𝑛 (0,008) 𝑙𝑛 ( ) 1 1 1 0,010 [ ] = + + + (0,010 + 0,010). 10 2𝜋1 0,008.2000 380 0,04 𝑅𝑡ℎ = 3,56𝑚

𝑚𝐾 𝑤

2- L’épaisseur optimale de l’isolant est exprimée par la relation (II.45) 𝑟𝑐 = (

𝑘𝑖 0,04 )= = 0,004𝑚 ℎ2 10

Exercice II.12 Un dispositif électronique de forme sphérique de rayon 5mm est enfermé dans une gaine sphérique transparente de conductivité 0,04w/m²K. 1- Déterminer le diamètre de la gaine pour un flux thermique maximal. 2- Sachant que le dispositif est exposé à la convection (h=10w/m²K), calculer le flux de chaleur en présence et en absence de la gaine si la chute de température égale à 120°C. Solution 1- Le diamètre optimal est exprimé par la relation (II.46) : 𝑟𝑐 =

2𝑘 2. 0,04 = = 0,008𝑚 ℎ 10

𝑑𝑐 = 2. 𝑟𝑐 = 2.0,008 = 0,016𝑚 2- Le flux de chaleur : o Dispositif nu : 𝑞 = ℎ. 4. 𝜋. 𝑟²∆𝑇 = 10.4. 𝜋. 0,005². 120 = 0,377𝑤 o Présence de la gaine : 𝑞=

∆𝑇 120 = = 0,439𝑤 1 1 1 1 1 1 1 1 [ − ]+ [ ]+ − 4𝜋𝑘 𝑟 𝑟𝑐 4𝜋𝑟𝑐 ²ℎ 4. 𝜋. 0,04 0,005 0,008 4. 𝜋. 0,008². 10

36

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.4- Transfert de chaleur à partir des ailettes : Les ailettes sont des surfaces métalliques, de faible épaisseur et de grande superficie, utilisées pour apporter ou dégager d’importante quantité de chaleur. Elles sont utilisées dans les échangeurs de chaleur, chauffage des locaux et pour refroidir les composants électroniques. La figure (II.10) illustre les différentes formes des ailettes :

(a)

(b)

(d)

(c)

(e)

(f)

Figure II. 10: Différentes formes d’ailettes : (a)Carré ou rectangulaire (b) Cylindrique de diamètre constant

(c) Cylindrique de diamètre

variable (d) Ellipsoïdale (e) Trapézoïdale (f) Nid d’abeille

37

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.4.1- Equation fondamentale de l’ailette On considère une ailette d’épaisseur (e) et de longueur (l) (figure II.11)

T0

Figure II.11 : Bilan thermique à travers une ailette rectangulaire

Hypothèses :

Régime permanent sans source d’énergie ; Le gradient de température est unidirectionnel (e

l) ;

Le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable ; La conductivité (k) et le coefficient de transfert de chaleur par convection(h) sont constants. Le bilan thermique sur la tranche dx : 𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣

(II. 47)

Après substitution de chaque terme par son expression, il vient : −𝑘𝐴. (

𝑑𝑇 𝑑𝑇 ) + 𝑘𝐴. ( ) − ℎ𝑑𝐴𝑐 (𝑇 − 𝑇∞ ) = 0 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥+𝑑𝑥

(II. 48)

A : surface d’échange de chaleur par conduction ; Ac =P.dx (P : périmètre) surface d’échange de chaleur par convection. On divise par KAdx et dx tend vers zéro, on obtient : (

𝑑²𝑇 ℎ𝑃 (𝑇 − 𝑇∞ ) = 0 )− 𝑑𝑥² 𝐾𝐴

(II. 49)

On pose : 𝜃 (𝑥 ) = (𝑇 − 𝑇∞ )

(II. 50. 𝑎)

ℎ𝑃 𝑚=√ 𝐾𝐴

(II. 50. 𝑏)

38

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Elle devient : (

𝑑²𝜃(𝑥) ) − 𝑚²𝜃(𝑥) = 0 𝑑𝑥²

(II. 51)

L’équation (II.51) est une équation différentielle linéaire de deuxième ordre à coefficients constants. La solution générale est donnée par l’expression suivante : 𝜃 (𝑥 ) = 𝐶1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑚𝑥

(II. 52. 𝑎)

𝜃 (𝑥 ) = 𝐴𝑐h(𝑚𝑥) + 𝐵𝑠h(𝑚𝑥)

(II. 52. b)

Où

Les constantes d’intégration C1 et C2 sont déterminées à partir des conditions aux limites : Première condition : 𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇0 , 𝜃 (0) = 𝜃0 = (𝑇0 − 𝑇∞ ) La deuxième condition dépend des considérations géométriques et physiques de l’ailette (longueur infinie, longueur finie…). Pour la suite de la résolution de l’équation différentielle (II.51.a), on considère une ailette rectangulaire et on traite les trois cas suivants : Ailette de longueur infinie ; Ailette de longueur finie, isolée à l’extrémité ; Ailette de longueur finie, avec un échange convectif à l’extrémité. II.4.1.1 : Ailette infiniment longue Dans le cas d’une ailette infiniment longue, les conditions aux limites s’écrivent : Première condition : 𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇0 , (𝑇0− 𝑇∞ ) = 𝜃0 ; Deuxième condition : 𝑥 =

→ 𝑇 = 𝑇 , 𝜃 (∞ ) = 0

La deuxième condition conduit à : 𝐶1 = 0 , la solution devient : 𝜃 (𝑥 ) = 𝐶2 𝑒 −𝑚𝑥 La première condition donne :

𝐶2 = 𝜃0

La solution générale est sous la forme : 𝜃 (𝑥 ) = 𝜃0 𝑒 −𝑚𝑥

39

(II. 53. 𝑎)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Le profil de température est donc: (

𝑇 − 𝑇∞ ) = 𝑒 −𝑚𝑥 𝑇0 − 𝑇∞

(II. 53. 𝑏)

T0 : la température de la base. Le flux de chaleur dissipé par l’ailette peut être calculé par deux voies : La conduction (loi de Fourier) : 𝑑𝑇 ) 𝑑𝑥 𝑥=0

(II. 54. 𝑎)

𝑞 = ∫ ℎ𝑃𝜃(𝑥 ). 𝑑𝑥

(II. 54. 𝑏)

𝑞 = −𝑘𝐴 ( La convection 𝐿 0

Pour le cas d’une ailette infiniment longue, le flux de chaleur dissipé par l’ailette est donné par l’expression suivante: 𝑞 = −𝑘𝐴 (

𝑑𝑇 ) = 𝑘𝐴𝑚 (𝑇0 − 𝑇∞ ) 𝑑𝑥 𝑥=0

𝑞 = = (𝑇0 − 𝑇∞ )√𝑘𝐴𝑐 ℎ𝑃

(II. 55)

On peut trouver le même résultat en utilisant la formule (II.54.b) : 𝐿

𝑞 = ∫ ℎ𝑃(𝑇0 − 𝑇∞ )𝑒

−𝑚𝑥

0

𝑞=

∞ 1 −𝑚𝑥 . 𝑑𝑥 = [− ℎ𝑃(𝑇0 − 𝑇∞ )𝑒 ] 𝑚 0

ℎ𝑃 𝑘𝐴 (𝑇0 − 𝑇∞ ) = ℎ𝑃√ (𝑇0 − 𝑇∞ ) = (𝑇0 − 𝑇∞ )√𝑘𝐴𝑐 ℎ𝑃 𝑚 ℎ𝑃

Exercice II.13 La base d’une ailette cylindrique (longueur infinie) de 1,5cm de diamètre est maintenue à une température de 130°C. 1- Déterminer le profil de la température dans l’ailette. 2- Calculer le flux de chaleur échangé avec l’air environnant. On donne : k=295w/mK, h=18w/m²K, T =18°C. Solution 1- Le profil de la température est donné par l’expression (II.53.b) ℎ𝑃 4ℎ 𝑇(𝑥) − 18 −√ 𝑥 −√ 𝑥 𝑘𝐴 𝑘𝐷 𝑐 =𝑒 =𝑒 130 − 18

𝑇(𝑥 ) = 130𝑒 −4𝑥 40

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

2- Le flux de chaleur dissipé par l’ailette est : 4.18 𝑞 = 𝑘𝐴(𝑇0 − 𝑇∞ )𝑚 = 295. . 0,00752 . (130 − 18). √ = 23,55𝑤 295.0,0075 II.4.1.2 : Ailette de longueur finie isolée à l’extrémité : Les conditions aux limites sont : Première condition :𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇0 , (𝑇0− 𝑇∞ ) = 𝜃0 𝑑𝜃

Deuxième condition : 𝑥 = 𝑙 → 𝑞 = 0 = (𝑑𝑥 ) Elles fournissent les relations suivantes : 𝐶1 + 𝐶2 = 𝜃0 𝐶1 𝑒 𝑚𝐿 − 𝐶2 𝑒 −𝑚𝐿 = 0 Après calcul, on trouve : 𝐶1 =

𝜃0 1 + 𝑒 2𝑚𝐿

𝐶2 =

𝜃0 1 + 𝑒 −2𝑚𝐿

En substituant les constantes d’intégration dans l’équation (II.52.a), on obtient : 𝜃 (𝑥) cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥) = 𝜃0 cosh 𝑚𝑙

(II. 56. 𝑎)

Le profil de température est : (

𝑇 − 𝑇∞ cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥) )= 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙

(II. 56. 𝑏)

Le flux de chaleur dissipé est donné par : 𝑞 = (𝑇0 − 𝑇∞ )√𝑘𝐴𝑐 ℎ𝑃 tanh(𝑚𝑙)

(II. 57)

Exercice II.14 Prenons une cuillère en acier inoxydable (k=15,1w/mK) partiellement immergée dans l’eau bouillant à 95°C dans une cuisine à 25 °C. La manche de la cuillère est une section de 0,2cmx1cm et s’étend dans l’air de 18cm de la surface libre de l’eau. Le coefficient de transfert convectif est 15w/m²K.

41

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

On suppose que le transfert de chaleur est négligeable à l’extrémité de la cuillère. 1- Déterminer la différence de température à la surface exposée du manche de la cuillère. 2- Le flux de chaleur dissipé par le manche de la cuillère. Solution Cuillère

Air à 25°C

0,2cm 18cm 1cm

Eau à 95°C

1- Le profil de la température dans le manche de la cuillère s’écrit : (

𝑇 − 𝑇∞ cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥) )= 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙

La différence de température sur la surface exposée du manche de cuillère (x=L) : (

𝑇𝐿 − 𝑇∞ 1 )= 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙

Avec : ℎ𝑃 ℎ. 2(𝑤 + 𝑡) 15.2(0,01 + 0,002) 𝑚𝑙 = √ =√ =√ . 0,18 = 6,21 𝑘𝐴𝑐 𝑘(𝑤. 𝑡) 15,1. (0,01.0,002) (𝑇𝐿 − 𝑇∞ ) =

𝑇0 − 𝑇∞ 95 − 25 = = 0,28°𝐶 cosh 𝑚𝑙 cosh(6,21) ℎℎ

Où : 𝑇𝐿 = 0,28 + 25 = 25,28°𝐶 Donc : (𝑇0 − 𝑇𝐿 ) = 95 − 25,28 = 69,72°𝐶 Le flux de chaleur est donné par l’expression (II.57) : 𝑞 = (95 − 25)√15,1.0,0002.15.0,024 tanh(6,21) = 2,308𝑤 42

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

II.4.1.3 : Ailette de longueur finie avec un échange convectif à l’extrémité : Les conditions aux limites sont : Première condition :𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇0 , (𝑇0− 𝑇∞ ) = 𝜃0 𝑑𝜃

Deuxième condition : 𝑥 = 𝑙 → −𝑘 (𝑑𝑥 )

𝑥=𝑙

= ℎ𝜃𝑙

La solution générale (profil de la température) est sous la forme : 𝜃(𝑥 ) cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥 ) + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑚(𝑙 − 𝑥) = 𝜃0 cosh 𝑚𝑙 + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑚𝑙)

(II. 58. 𝑎)

Le profil de température est : ( Où : 𝐻 =

𝑇 − 𝑇∞ cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥 ) + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑚(𝑙 − 𝑥) )= (II. 58. 𝑏) 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙 + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑚𝑙)

ℎ 𝑚𝑘

Le flux de chaleur dissipé est donné par : 𝑞=

sinh(𝑚𝐿) + 𝐻𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝐿) √ℎ𝑃𝐾𝐴𝑐 𝜃0 cosh(𝑚𝐿) + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚𝐿)

(II. 59)

Exercice II.15 On considère une tige de section carrée 12mm, de longueur 80mm et de conductivité thermique 51,9w/mK. Elle est fixée au mur d’un four à 200°C et baigne dans l’air à 35°C. On suppose qu’il ya un échange convectif à l’extrémité de la tige. Le coefficient de transfert convectif est 22w/m²K. 1- Déterminer la température à l’extrémité de cette tige. Solution 1- La distribution de la température dans ces conditions s’écrit : (

𝑇 − 𝑇∞ cosh 𝑚(𝑙 − 𝑥 ) + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑚(𝑙 − 𝑥) )= 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙 + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑚𝑙)

Pour (𝑙 = 𝑥 ) , l’équation devient : 𝑇𝐿 − 𝑇∞ 1 ( )= 𝑇0 − 𝑇∞ cosh 𝑚𝑙 + 𝐻𝑠𝑖𝑛ℎ (𝑚𝑙) Avec : 𝑚=√

ℎ𝑃 22.4.0,012 =√ = 11,89 1/𝑚 𝑘𝐴𝑐 51,9.0,012.0,012

Donc :

43

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

(

𝑇𝐿 − 35 1 )= 22 200 − 35 cosh(11,89.0,08) + (51,9.11,89) 𝑠𝑖𝑛ℎ (11,89.0,08) 𝑇𝐿 = 143,1°𝐶

II.4.2. Performance d’une ailette On peut évaluer la performance d’une ailette par le calcul soit de : L’efficacité d’une ailette : C’est le rapport entre le flux de chaleur maximum (qmax) échangé par l’ailette et le flux de chaleur qu’elle échangerait si sa température était uniforme (T0). 𝑞 = 𝑞𝑚𝑎𝑥

(II. 60)

Le rendement d’une ailette : C’est le rapport entre le flux de chaleur échangé sur toute la surface et le flux de chaleur qu’elle échangerait en absence d’ailette. 𝜖=

𝑞 𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒

(II. 61)

A titre d’exemple, l’efficacité et le rendement d’une ailette infiniment longue sont respectivement exprimés par : 1 𝑚𝑙 𝑃 𝜖= 𝑚𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =

II.4.3-Ensemble d’ailettes (Efficacité totale) Pour un ensemble d’ailettes (figure II.12), l’efficacité est exprimée par :

Figure II.12 : Ensemble d’ailettes

44

(II. 62) (II. 63)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

= Avec :

𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ )

𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ ) + 𝑁

𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒

ℎ𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ )

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑁. 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒

= =

ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ ) + 𝑁 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 ℎ𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ ) ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ )

[ℎ(𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑁. 𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 ) + 𝑁 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 ℎ𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 ](𝑇0 − 𝑇∞ ) ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ ) 𝑁𝐴 ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 [1 − 𝐴 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 (1 − 𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 )] (𝑇0 − 𝑇∞ ) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 (𝑇0 − 𝑇∞ )

L’efficacité totale est exprimée par la relation suivante : =1−𝑁

𝐴𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 (1 − 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒

𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒

)

(II. 64)

II.4.3- Choix des ailettes Les ailettes sont utilisées lorsqu’’il faut extraire une densité importante dans un environnement réduit (radiateur d’automobile, évaporateur…). D’une façon générale, l’usage d’ailette est un compromis entre le coût, l’encombrement, les pertes de charge et le transfert de chaleur. Elle est d’autant plus performante que sa conductivité thermique (k) est élevée. Pour les liquides, les ailettes sont peu utiles car leur coefficient d’échange (h) est grand. Ce dernier est faible pour les gaz par conséquent leur utilisation est importante. Exercices non corrigés Exercice 1 : Le plafond d’une maison, chauffée électriquement, est de dimension : longueur 6m, largeur 8m et d’épaisseur 0,25m. Ce plafond en béton a une conductivité thermique de 0,8w/mK. Les températures interne et externe du plafond sont respectivement 15°C et 4°c pour une période de 10h. Déterminer : 1- Le flux de chaleur perdu à travers le toit de la maison.

45

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Initiation aux transferts thermiques

2- Le prix de cette chaleur perdue aux occupants de cette maison, sachant que le prix de kwh électrique est de 40DA. Exercice 2 : Calculer le flux de chaleur par conduction à travers un mur de surface A=8m², d’épaisseur e=16cm et de conductivité thermique k=2,3w/mK. Les deux faces sont maintenues aux températures constantes 25°C et 5°C. Que devient ce flux lorsque la conductivité thermique varie linéairement avec la température (𝐾1 = 𝑘 (1 + 1,5. 10−3 𝑇). Exercice 3 : On considère une plaque chauffante située entre deux solides de même surface et de conductivités thermiques différentes. Le chauffage est uniforme et donne une puissance égale à 290w. Les températures de surface de chaque solide égale à 300°K. Déterminer : 1- Le flux de chaleur à travers chaque solide. 2- La température de chauffage. On donne : A=0,1m², k1=35w/mK, k2=9w/mK, e1=60mm, e2=30mm. Exercice 4 : Un mur composite est constitué de cinq sections (voir figure cidessous). Déterminer la résistance thermique totale. On donne :k1 =k3 =80w/m°K, k2=120 w/m°K, K4=100 w/m°K et k5=150 w/m°K

Exercice 5 : La paroi d’un échangeur de chaleur est constituée d’une plaque de cuivre de 9,5mm d’épaisseur. Les coefficients d’échange de chaleur sur les deux côtés de la plaque sont 2340 kcal/hm²°C et 6100kcal/hm²°C correspondant respectivement aux températures 82°C et 32°C du fluide. En

46

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supposant que la conductivité thermique de la paroi est 344,5kcal/hm°C, calculer la densité du flux de chaleur et les températures de surfaces. Exercice 6 : Le mur d’un bâtiment est fait de briques rouges ayant une épaisseur de 38cm et une conductivité thermique 0,8w/mK. La température de l’air intérieur est de 20°C et celle de l’air extérieur -15°C. Les coefficients de

transfert

superficiel

sont

respectivement

10w/m²K

et

20w/m²K.

Déterminer : 1- Le coefficient de transfert thermique global. 2- La résistance thermique totale du mur. 3- Le flux thermique surfacique. 4- Les températures sur les faces limitatrices du mur. Exercice 7 : Le mur d’un four est composé de deux couches. La première est en briques réfractaires (e1=20cm, k1=1,38w/mK), la deuxième est en briques isolantes (e2=10cm, k2=0,17w/mK). Les températures interne et externe du four sont respectivement 1650°C et 25°C. On supposera que les échanges côté four et côté extérieur s’effectuent par convection thermique de coefficients d’échange h1=68w/m²K et h2=11,4w/m²K. Calculer le flux de chaleur traversant le mur et les températures des faces intérieure et extérieure de ce mur. Exercice 8 : Calculer le flux de chaleur perdu par unité de longueur d’un tuyau en acier (k1=38kcal/hm°C) de 48mm de diamètre intérieur et 56mm de diamètre extérieur, recouvert d’un isolant en amiante (k2=0,15kcal/hm°C) de 75mm de diamètre extérieur. A l’intérieur du tuyau s’écoule de la vapeur à 145°C. La résistance thermique totale à la paroi intérieure est 0,2 hmK/kcal et la température ambiante est de 21°C. Exercice 9 : un long cylindre creux de conductivité thermique k=50w/mK, de rayon interne10 cm et de rayon externe 20cm. La surface interne est chauffée par un flux de chaleur surfacique de 1,16.105 w/m² et la surface externe du cylindre est maintenue à une température constante de 30°C. Calculer la température de la surface interne. Exercice 10 : Un tuyau transportant de la vapeur à 230°C a un diamètre interne 12mm, une épaisseur de 7,5mm et une conductivité thermique 47

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k1=49w/mK. Le coefficient de transfert par convection à l’intérieur du tuyau est de 85w/m²K. Le tuyau est isolé par deux couches de même épaisseur 5mm mais de conductivités thermiques différentes k1=0,15w/mK et k2=0,48w/mK. La surface externe du tuyau est exposée à une température de 35°C et le coefficient de transfert convectif est 18w/m²K. Calculer 1- Le flux de chaleur perdu pour une longueur de 5m. 2- Les températures des interfaces. 3- Le coefficient global de transfert de chaleur basé sur la surface interne et la surface externe. Exercice 11 : Une forme sphérique creuse, de 20cm de diamètre intérieur et de

50mm de diamètre extérieur, est utilisée pour déterminer la conductivité thermique du matériau. Un appareil de chauffage de 30w est placé à l’intérieur et sous des conditions stationnaires. Les températures aux rayons 15cm et 20cm se sont révélées à 80°C et 60°C. Déterminer 1. La conductivité thermique du matériau. 2. La température extérieure. Si la température entourée la sphère est 30°C, calculer le coefficient de transfert convectif. Exercice 12 : Un conteneur métallique de forme sphérique à paroi mince de diamètre 0,5m est utilisé pour stocker de l’azote liquide à 77K. Ce conteneur est couvert par 25mm d’isolant de conductivité 0,0017w/mK. La surface externe de l’isolant est exposée à l’air ambiant à 300K. Le coefficient de transfert convectif est 20w/m²K. La chaleur latente de vaporisation et la densité de l’azote liquide sont respectivement 2.105 J/kg et 804kg/m3. Calculer : 1- Le flux de chaleur transmis. 2- Le débit volumique de l’azote liquide évaporé. Exercice 13 : Une plaque d’épaisseur 24mm et de conductivité thermique k=25w/mK avec une source d’énergie 20Mw/m3 est exposée à une convection à 200°C avec un coefficient de transfert convectif h=900w/m²K. Déterminer : 1- La température de surface.

48

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2- La température maximale de la plaque. 3- Le gradient de la température de surface.

Exercice 14 : On considère une plaque rectangulaire (L=75cm, l=50cm) et de faible épaisseur (e=2cm). Un écoulement d’air, à la température -20°C, s’effectue sur l’une des deux faces de la plaque de température constante 250°C. On suppose que la plaque perd, par cette face, un flux de chaleur radiatif égal à 1,5Kw. Calculer la température de l’autre face sachant que k=43w/m°C et h=25w/m²°C. On se place maintenant dans le cas où la plaque dégage un flux de chaleur par unité de volume (les deux faces sont maintenues aux températures constantes). 1- Exprimer la distribution de la température à l’intérieur de la plaque. 2- Calculer la température maximale.

Exercice 15 : Un appareillage est conçu de telle façon que sa paroi, d’épaisseur L=200mm, de conductivité thermique 4w/mK est le siège d’un échauffement interne uniforme q= 1000w/m3. Afin d’empêcher toute perte vers l’extérieur de la chaleur engendrée dans la paroi, on place sur la face externe une très mince bande chauffante électrique qui fournit une chaleur localisée 𝜙0 (w/m²). 49

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Côté intérieur, le coefficient convectif est hi=20w/m²K pour une température Ti=50°C. Côté extérieur, le coefficient convectif est he=5w/m²K pour une température Te=25°C. 1- Etablir le profil de température dans la paroi dans ces conditions. 2- Evaluer les températures à chaque extrémité de la paroi. 3- Déterminer la valeur de 𝜙0 (w/m²) qui permet de remplir ces conditions.

k

Exercice 16 : Un rondin, de rayon 2cm, à l’intérieur duquel est générée de la 𝑟 2

chaleur avec une densité volumique de puissance :𝑃 = 𝑃0 (1 + 𝑎 (𝑅) ), est entouré d’une coquille en aluminium de rayon extérieur de 3cm. L’ensemble est plongé dans un liquide à température uniforme de 200°C, servant à le refroidir. Calculer : 1- La quantité de chaleur transférée par unité de longueur. 2- La température maximale du rondin. On

donne :

P0=5,8/cm3,

a=4,

krondin=11,6w/mK,

kcoquille=186w/mK,

h=1160w/m²K. Exercice 17 : On considère un fil conducteur d’électricité de rayon R et de longueur L (très long). La température de la surface extérieure est maintenue à T0. Il ya une production de chaleur uniforme (Se) due à la dissipation électrique (par effet de joule) et le régime est permanent. On demande : 1- Le bilan d’énergie effectué sur une tranche r. 50

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2- Déduire la température maximale. 3- Le flux de chaleur par conduction à la surface pour une longueur L. Exercice 18 : On veut étudier une sphère composite formée d’une sphère en matériau fissile de rayon RF, enrobée d’une couche sphérique d’aluminium de rayon RE. La matière fissile engendre par collisions atomiques internes une énergie volumique selon l’équation suivante : 𝑞̇ = 𝑞̇ 0 [1 + 𝑏 (

𝑟 2 ) ] 𝑅1

Ou 𝑞̇ 0 le flux de chaleur au centre de la sphère et b est une constante positive sans dimension. On demande : 1- Le bilan énergétique sur une tranche R. 2- Les flux de chaleur qF et qE. 3- Les températures TF et TE Exercice 19 : Une sphère homogène de matières radioactives de rayon 0,04m qui génère de la chaleur à une cadence constante de 4.107 w/m3. La chaleur générée est évacuée constamment à l’environnement. La surface extérieure de la sphère est maintenue à une température uniforme de 80°C et la conductivité thermique de la sphère est 15w/mK. 1- Exprimer l’équation différentielle et les conditions aux limites. 2- Exprimer la variation de la température dans la sphère. 3- Déterminer la température au centre de la sphère. Exercice 20 : Un cylindre plein infiniment long de diamètre 50mm est maintenue à une température constante T0=130°C. La surface du cylindre est exposée à l’air ambiant de coefficient de transfert convectif de 9w/m²K pour une température de 20°C. Calculer le flux de chaleur perdu par le cylindre si sa conductivité thermique est 390w/mK. Exercice 21 : Un cylindre homogène en acier, de 1cm de diamètre, de 4cm de longueur et de conductivité thermique 40w/mK, est plongé dans un fluide de température T =25°C. L’une de ses extrémités est isolée et l’autre est maintenue à une température fixe de 250°C. 1- Donner l’expression de la distribution de la température au sein du cylindre. Déduire la température à chaque point (pas 1 cm). 51

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2- Déterminer le flux de chaleur échangé avec le fluide sachant que le coefficient de transfert convectif égal à 80w/m²K. Exercice 22 : Une ailette rectangulaire de longueur 22cm est soudée aux extrémités à deux supports maintenus aux températures T0 et T1 (voir figure ci-dessous). On demande de :

T0

T1 T

b

e

h L

1- Etablir l’expression de la température le long de l’ailette. 2- Calculer le flux de chaleur échangé avec l’air ambiant de température 30°C. 3- Calculer l’efficacité de cette ailette. Exercice 23 : La base d’une ailette infinie de diamètre 1,5cm et de conductivité thermique k=290w/mK est maintenue à température uniforme de 130°C. La température de l’air ambiant est 18°C et le coefficient de transfert de chaleur convectif égal à 18w/m²K. 1- Calculer le flux de chaleur échangé avec l’air environnant. 2- Que devient ce flux lorsque le cylindre à une longueur finie variant de 20cm à 120cm avec un pas de 20cm. 3- Calculer l’efficacité et le rendement pour une longueur de 120cm. Exercice 24 : Soit un mur auquel est fixé trois tablettes en bois (figure cidessous). La largeur du mur Lmur=0,5 m possède une conductivité thermique kmur=0,22w/mK. Le mur possède une hauteur H=2m. Le côté gauche du mur est à T1=25°C. Chaque tablette possède une conductivité thermique kbois=0,16w/mK. Les tablettes possèdent une épaisseur t=0,01m et une longueur Ltablette=0,3m. Le mur ainsi que les tablettes possèdent une profondeur w=1m. Le mur et les tablettes sont soumis à la convection (T =17°C et h=5w/m²K).

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1- Déterminer le transfert de chaleur par convection du mur avec les tablettes. 2- Déterminer la température T2. 3- Est-ce que le mur dissipe plus de chaleur avec ou sans tablettes.

Exercice 26 : Un local de 4m de long, 3m de large et 2,4m de haut est séparé de l’extérieur par deux murs d’épaisseur 50cm et de conductivité thermique 0,4w/mK. L’intérieur de la salle est maintenu à une température de 20°C, grâce à un système de chauffage (radiateur menu des ailettes à circulation d’eau). Le coefficient de convection interne est 1,5w/m²K. L’air à l’extérieur est à une température de 5°C, le coefficient de convection externe est 2w/m²K. 1- Calculer la densité de flux de chaleur perdue par chaque mur. Le système de chauffage est constitué d’un radiateur muni d’ailettes rectangulaires (L=70cm, l=10cm, b=1cm) et espacées régulièrement de e=2cm. La température à la base de l’ailette est T0=75°C, et l’efficacité d’ailette est =0,35. 2- Calculer le nombre d’ailettes nécessaire pour compenser le flux de déperdition à travers les deux murs.

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Chapitre III : Conduction thermique en régime variable

III.1- Introduction Dans le chapitre précédent, on a seulement traité les problèmes concernant la conduction thermique en régime permanent. Cependant, avant d’atteindre les conditions d’un régime établi, un certain temps doit s’écouler à partir du début du processus de la chaleur pour permettre aux conditions transitoires de disparaître. Dans le cas de la conduction en régime variable (la température dépend du temps), aux conditions aux limites s’ajoute une condition temporelle appelée condition initiale (t=0). A cette condition, on suppose que le champ de température est connu dans tout le milieu. Pour déterminer la distribution de la température dans un solide lors d’un processus transitoire, on commence par résoudre les problèmes qui peuvent être simplifiés en considérant que la température du solide dépend uniquement du temps (t). Dans les sections suivantes du chapitre, on examine les problèmes lorsque la température varie en fonction du temps et qu’elle pénètre à l’intérieur du solide. III.2- Milieu à température uniforme Si la taille physique du solide est très petite, le gradient de température existant dans le solide sera négligeable. Le corps peut être supposé à température uniforme à tout moment. La distribution de la température dépend unique ment du temps. La résolution de tel système utilise une analyse globale de transfert (Lumped analysis system), fondée sur le bilan thermique. III.2.1- Analyse globale du système Considérons la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la température (Ti) dans un bain à température (T ) maintenue constante (figure III.1). 54

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Figure III.1 : La trempe d’une bille métallique Le bilan thermique entre (t) et (t+dt) montre que la chaleur dégagée par la bille métallique est égale à la diminution de l’énergie interne de cette bille pendant le temps (dt) : Si on suppose que : La température à l’intérieur de la bille est uniforme (petite dimension, T=f(t)) ; La conductivité thermique est élevée (la résistance au transfert externe contrôle le phénomène). 𝑑𝑇

−ℎ𝐴(𝑇(𝑡) − 𝑇 ) = 𝜌𝐶𝑉 𝑑𝑡

(III.1)

: Masse volumique (Kg/m3) C : Chaleur spécifique (J/Kg°K) V : Volume (m3) On pose : 𝜃 = (𝑇 − 𝑇∞ ), l’équation (III.1) devient : 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝜃 ℎ𝐴 ( )=− 𝑑𝑡 𝜃 𝜌𝐶𝑉

−ℎ𝐴𝜃 = 𝜌𝐶𝑉

L’intégration de l’expression précédente donne : 𝑙𝑛(𝜃) = −

ℎ𝐴 𝑡+𝑃 𝜌𝐶𝑉

(III. 2)

P est la constante d’intégration, calculée à partir de la condition initiale (t=0). T(0)=Ti

et 55

𝜃 (0) = 𝜃𝑖

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Il vient :

𝑙𝑛(𝜃𝑖 ) = 𝑃

On introduit l’expression de la constante d’intégration dans l’équation (III.2), on trouve : 𝑙𝑛(𝜃) = −

ℎ𝐴 𝑡 + 𝑙𝑛(𝜃𝑖 ) 𝜌𝐶𝑉

𝜃 ℎ𝐴 𝑙𝑛 ( ) = − 𝑡 𝜃𝑖 𝜌𝐶𝑉 𝜃 ℎ𝐴 ( ) = 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑡) 𝜃𝑖 𝜌𝐶𝑉 La solution de l’équation (III.1) s’écrit : (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) ℎ𝐴 = 𝑒𝑥𝑝 [− ( ) 𝑡] (𝑇𝑖 − 𝑇 ) 𝜌𝑉𝐶

(III. 3)

L’équation (III.3) peut être utilisée pour déterminer le temps nécessaire pour que le solide atteigne une certaine température T. La figure III.2 illustre la variation de la température en fonction du temps. Elle montre que la température du solide se rapproche de la température ambiante (T ) de manière exponentielle.

Figure III.2 : Variation de la température en fonction du temps

Exercice III.1 Déterminer le temps nécessaire pour qu’une petite pièce d’aluminium moulée initialement à 16°C soit portée à 510°C par les gaz d’un haut fourneau à1204°C. La dimension caractéristique (V/A) de la pièce est égale à 15cm et le coefficient de convection entre la pièce et les gaz est 85w/m²K. Données : CAl= 940J/kgK, ρAl = 2700kg/m3 .

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Solution : On considère que la pièce est à température uniforme (la résistance de la conduction est négligeable). D’après l’équation (III.3) : (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) ℎ𝐴 = 𝑒𝑥𝑝 [− ( ) 𝑡] (𝑇𝑖 − 𝑇 ) 𝜌𝑉𝐶 𝑡=−

𝜌𝑉𝐶 𝑇(𝑡) − 𝑇∞ 2700.0,15.940 510 − 1204 . 𝑙𝑛 ( )=− 𝑙𝑛 ( ) = 2408 𝑠 ℎ𝐴 𝑇𝑖 − 𝑇 85 16 − 1204

𝜌𝑉𝐶

Le terme ( ℎ𝐴 ) est homogène à un temps, appelé la constante du temps du système, notée ( ). Il indique la rapidité avec laquelle un système à température uniforme se refroidit ou s’échauffe. L’équation (III.3) devient : (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) −𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) (𝑇𝑖 − 𝑇 ) 𝜏

(III. 4)

Exercice III.2 Une balle d’acier de petite taille initialement à la température 450°C est immergée dans un bain d’huile maintenue à une température 100°C. 1- Déterminer la constante du temps sachant que la balle atteint la température de 150°C pendant une 1H. Solution 1- D’après l’équation (III.4) : (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) −𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) (𝑇𝑖 − 𝑇 ) 𝜏 La constante du temps ( ) s’écrit : 𝜏=

−𝑡 1.3600 =− . = 1,951𝑠 150 − 100 𝑇(𝑡) − 𝑇∞ 𝑙𝑛 ( ) 𝑙𝑛 ( 𝑇 − 𝑇 ) 450 − 100 𝑖

Le taux de refroidissement instantané peut être calculé en différenciant l’équation (III.4) par rapport au temps. (

𝑑𝑇 1 −𝑡 ) = (𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) [− 𝑒𝑥𝑝 ( )] 𝑑𝑡 𝜏 𝜏

(III. 5)

Le taux de transfert de chaleur instantané du solide s’écrit : 𝑞 (𝑡) = ℎ𝐴(𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) = −𝑚𝐶 (

57

𝑑𝑇 ) 𝑑𝑡

(III. 6. a)

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En substituant l’expression de

(𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) dans l’équation précédente, on

trouve : 𝑞 (𝑡) = ℎ𝐴(𝑇𝑖 − 𝑇∞ )𝑒𝑥𝑝 (

−𝑡 ) 𝜏

(III. 6. b)

La quantité de chaleur totale échangée entre le solide et son environnement au cours du temps est égale à la variation de l’énergie interne du solide. Elle peut être calculée en intégrant l’équation (III.6.b) par rapport au temps entre les limites 0 et t. 𝑡

𝑈 = ℎ𝐴(𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) ∫ 𝑒𝑥𝑝 ( 0

−𝑡 ) 𝑑𝑡 𝜏

−𝑡 ) − 1] 𝜏 −𝑡 𝑈 = − 𝑉𝐶 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) [𝑒𝑥𝑝 ( ) − 1] 𝜏

𝑈 = ℎ𝐴(𝑇𝑖 − 𝑇∞ )(−𝜏) [𝑒𝑥𝑝 (

En utilisant l’équation III.4, on trouve : (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) 𝑈 = − 𝑉𝐶 (𝑇𝑖 − 𝑇∞ ) [ − 1] (𝑇𝑖 − 𝑇 ) ∆𝑈 = ℎ𝐴(𝑇 − 𝑇𝑖 )

(III. 7)

III.2.2- Nombres adimensionnels Il est toujours intéressant de représenter les résultats sous forme des équations adimensionnelles : Nombre de Biot (Bi) : C’est le nombre adimensionnel qui mesure le rapport de la résistance interne du solide considéré à la résistance de contact du solide avec le milieu adjacent. 𝐵𝑖 =

ℎ𝑙𝑐 𝑘

(III. 8)

𝑙𝑐 : Longueur caractéristique est définit comme le rapport entre le volume du solide et l’aire du solide en contact avec le fluide (Tableau III.1). Nombre de Fourier (Fo) : c’est un nombre adimensionnel qui caractérise la vitesse de pénétration de la chaleur en régime variable :

𝐹𝑜 =

𝑡 𝑙² 58

(III. 9)

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Le terme de l’exposant dans l’équation (III.3) peut être exprimé comme suit : ℎ𝐴 ℎ𝐴 𝑘𝑙𝑐2 𝑡=( 𝑡) ( 2 ) 𝜌𝑉𝐶 𝜌𝑉𝐶 𝑘𝑙𝑐 D’où : ℎ𝐴 ℎ𝑙𝑐 𝑘𝑡 𝐴𝑙𝑐 𝑡 = ( )( )( ) 𝜌𝑉𝐶 𝑘 𝑉 𝜌𝐶𝑙𝑐 ² Donc : ℎ𝐴 𝑡 = 𝐵𝑖. 𝐹0 𝜌𝑉𝐶

(III. 10)

La distribution de la température est exprimée par l’expression suivante: (𝑇(𝑡) − 𝑇∞ ) = 𝑒𝑥𝑝(−𝐵𝑖. 𝐹𝑜) (𝑇𝑖 − 𝑇 )

(III. 11)

La connaissance des nombres adimensionnels de Biot et de Fourier permet de déterminer la distribution de la température de tout système à température uniforme. Tableau III.1 : Longueurs caractéristiques des différentes géométries. Géométrie

Volume (V)

Surface (A)

Longueur caractéristique (Lc)

𝐴𝐿

2𝐴

𝐿 2

Petit cylindre

𝜋𝑟0 2 𝐿

2𝜋𝑟0 ² + 2𝜋𝑟0 𝐿

𝑟0 𝐿 2(𝑟0 + 𝐿)

Long cylindre

𝜋𝑟0 2 𝐿

2𝜋𝑟0 𝐿

𝑟0 𝐷 = 2 4

Sphère solide

4 3 𝜋𝑟 3 0

4𝜋𝑟0 2

𝑟0 𝐷 = 3 6

Cube

𝐿3

6𝐿2

𝐿 6

paroi plane

schéma

A

O

A

L

59

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III.2.3- Critère de l’analyse globale du système L’analyse des problèmes de la conduction thermique transitoire devient facile en utilisant la méthode de capacité thermique en raison de sa simplicité. Mais, il est nécessaire de spécifier ses limites entre lesquelles elle peut être utilisée avec une précision raisonnable. Pour développer un critère approprié, considérons un mur de surface A et d’épaisseur L (figure III.3). L’une des surfaces, est maintenue à une température T1 et l’autre à la température T2 , est exposée à la convection de coefficient h (T 0. 2- Calculer la température de la face externe après 5min de chauffage. 3- Calculer la température limite atteinte par la semelle du fer si celui-ci reste brancher en permanence. On donne : =7840kg/m3 , C=450J/kg.K, k=70w/mK.

Chauffage Q (W/m²)

Plaque T(t)

Convection

L

Exercice 9 : Un long cylindre de 20cm de diamètre est retiré d’un four à une température uniforme de 600°C. Le cylindre est refroidi lentement d’une chambre à 200°C avec un coefficient de transfert de chaleur convectif égal à 80w/m²K. Déterminer : 1- La température au centre du cylindre après 45min. 2- Le flux de chaleur linéaire pendant cette période. On donne : =7900kg/m3, C=477J/kg.K, k=14,9w/mK, =3,95.10-6m²/s. Exercice 10 : De grandes plaques de laiton de 4cm d’épaisseur, initialement à une température uniforme de 20°C, sont chauffées dans un four jusqu’à une température de 500°C. Les plaques restent 7min dans le four. 83

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1- Déterminer la température à la surface lorsque les plaques sont hors du four. On

donne :

=8530kg/m3,

C=380J/kg.K,

h=120w/m²K,

k=110w/mK,

=33,9.10-6m²/s. Exercice 11 : Durant un procédé de manufacturier, de longues tiges de différents diamètres sont maintenues uniformément à 40°C dans un four. Lorsqu’elles sont retirées du four, elles sont refroidies par convection dans l’air ambiant à 25°C. Un opérateur a remarqué qu’il faut 280 secondes pour qu’une tige de 40mm de diamètre atteigne une température de 60°C à son centre. 1- Combien faut-il de temps pour qu’une tige de 80mm de diamètre atteigne cette même température avec le même coefficient de convection. =2500kg/m3, C=900J/kg.K, h=20w/m²K, k=15w/mK. Exercice 12 : Un fil de thermocouple en cuivre de 0,10cm de diamètre, initialement à 150°C. Déterminer la distribution de la température en fonction du temps dans le cas où le fil est immergé soudainement dans : 1- Eau à 40°C avec un coefficient convectif 80w/m²K. 2- Air à 40°C avec un coefficient convectif 10w/m²K. =8930kg/m3, C=383J/kg.K, k=391w/mK. Exercice 13 : Une plaque métallique de 10cm d’épaisseur initialement à 30°C est soudainement exposée sur une face à un flux de chaleur de 3000w/m² de coefficient d’échange convectif égal 50w/m²K. Déterminer : 1- Les températures à l’état stationnaire. 2- La variation de la température en fonction du temps. 3- Le temps nécessaire pour atteindre 1°C de moins que la température de la face chaude. Données : =8933kg/m3, C=385J/kg.K, k=380w/mK.

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Exercice 14 : Un dispositif a une masse de 0,5kg, une chaleur spécifique de 750J/kg.K et une surface de 0,04m². Le dispositif est initialement à 30°C et soumis à un flux de chaleur par convection de coefficient 12w/m²K. Si la température du dispositif doit augmenter jusqu’à 120°C en 120 secondes en utilisant un appareil de chauffage intégré, déterminer la puissance de cet appareil. Exercice 15 : Un mur en béton de 0,305m d’épaisseur est initialement à une température de 38°C. Brusquement une des faces du mur est exposée à des gaz chauds à 871°C. Si le coefficient d’échange de chaleur sur la face chaude est 24,4kcal/hm²°C, l’autre face étant isolée. Déterminer : 1- Le temps nécessaire pour que la température de la face isolée du mur atteigne 260°C. 2- La distribution de la température dans le mur à cet instant. 3- La chaleur transmise au mur par mètre carré de surface. =2305kg/m3, C=0,20kcal/kg.°C, k=0,804kcal/hm°C, =1,75m²/h Exercice 16 : Un cylindre plein en aluminium, initialement à température uniforme de 300°C, de 5cm de diamètre, de 5cm de long et de conductivité thermique 204w/mK. Le cylindre est immergé brusquement dans un bain marie à 200°C. Calculer : 1- La température au centre après 10 secondes de refroidissement. 2- La température au 2cm du centre du cylindre. Données : =2707kg/m3, C=896J/kg.K, k=380w/mK, h=200w/m²K. Exercice 17 : une sphère de diamètre 80mm, initialement à une température uniforme de 200°C, est soudainement exposée à l’air ambiant de 30°C avec un 85

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Initiation aux transferts thermiques

coefficient convectif égal à 510w/m²K. Sachant que les propriétés physiques de la sphère sont : la densité

= 8000kg/m3, la chaleur spécifique

C=400J/kg.K, la conductivité thermique k=60w/mK et la diffusivité thermique =1,6.10-5 m²/s. Déterminer : 1- La température au centre et à une profondeur de 5cm de la sphère après une minute. 2- La chaleur perdue pendant cette durée. Exercice 18 : Dans l’installation des conduites d’eau souterraines, on souhaite déterminer la profondeur à laquelle une variation de température à la surface se fait sentir durant une période de 12h. Sachant que la température initiale du sol est de 4°C et que la température à la surface tombe brusquement à -4°C. 1- Déterminer la profondeur à laquelle pénètre la température du point de congélation. On admettra que le sol est sec et =0,0011m²/h. Exercice 19 : Estimer la profondeur minimale à laquelle on place une conduite d’eau sous la surface du sol pour éviter la solidification. Le sol est initialement à 20°C. En suppose que le sol est soumis à une température de 15°C pendant 60jours. Données : =2050kg/m3, C=1840J/kg.K, k=0,52w/mK, =0,138.10-6m²/s. Exercice 20 : Une masse importante d’un matériau ( =0,41m²/h) initialement à une température uniforme de 100°C. Calculer le temps nécessaire pour que le gradient de température à la surface atteigne 3,5°C/cm.

86

N.Messikh

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Chapitre IV : Transmission de chaleur par convection

IV.1- Introduction Le transfert de chaleur par convection se produit entre deux phases dont l'une est généralement au repos et l'autre en mouvement en présence d'un gradient de température. Par suite de l'existence du transfert de chaleur d'une phase à l'autre, il existe, dans la phase mobile, des fractions du fluide (ou agrégats) ayant des températures différentes. Le mouvement du fluide peut résulter de la différence de masse volumique due aux différences de températures (on parle alors de convection libre ou naturelle) ou à des moyens purement mécaniques (on parle alors de convection forcée). Lorsqu'un fluide est en écoulement, une partie du transfert de chaleur se fait également par conduction et, dans le cas d’un fluide transparent, un transfert de chaleur par rayonnement peut accompagner les deux transferts précédents. IV.2-Loi de Newton Quelque soit le type de convection (forcée ou naturelle) et quelque soit le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur est exprimé par la loi de Newton 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

(IV. 1)

Q : densité de flux de chaleur (W/m²) ; A : surface d’échange (surface de contact entre le solide et le fluide) ; h : Coefficient local d’échange de chaleur par convection (W/°C). Comme les conditions d’écoulement peuvent varier d’un point à l’autre, le coefficient et le flux de chaleur échangés peuvent varier. La densité de flux totale échangée sera alors obtenue par intégration de l’équation (IV.1) : 𝑞 = ∫ 𝑄. 𝑑𝐴𝑠 = (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) ∫ ℎ 𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠

87

𝐴𝑠

(IV. 2)

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Exercice IV.1 : La face supérieure d’une plaque, de surface 0,5m x 0,25m, est en contact avec un fluide à 300°C. Déterminer le flux de chaleur pour une température de la plaque 40°C et un coefficient de transfert de chaleur par convection h=250w/m²K. Solution Le flux de chaleur est donné par la loi de Newton (équation IV.1) : 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 250.0,5.0,25. (40 − 300) 𝑞 = −8125𝑤 Le flux de chaleur est négatif, donc on a un réchauffement de la surface de la plaque. Le coefficient d’échange convectif total (moyen) pour toute la surface qui permet d’exprimer le flux de chaleur est donné par : 𝑞 = ℎ̅𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )

(IV. 3)

Le coefficient d’échange convectif total (moyen) pour : Surface quelconque : ℎ̅ =

1 ∫ ℎ. 𝑑𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝐴𝑠

(IV. 4)

ℎ̅ =

1 𝐿 ∫ ℎ. 𝑑𝑥 𝐿 0

(IV. 5)

Surface plane :

Exercice IV.2 : Les résultats expérimentaux donnent l’expression ci-dessous du coefficient d’échange convectif local pour un écoulement sur une plaque plane : Où a une constante.

ℎ𝑥 = 𝑎𝑥 −0,1

1. Déterminer l’expression du coefficient d’échange convectif total. Solution 1- L’expression du coefficient d’échange convectif total est donnée par : ℎ̅ =

1 𝑥 1 𝑥 −0,1 ∫ ℎ. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎𝑥 . 𝑑𝑥 𝑥 0 𝑥 0

ℎ̅ =

1 𝑥 𝑎 𝑥 0,9 ∫ ℎ. 𝑑𝑥 = ( ) = 1,11𝑎𝑥 −0,1 𝑥 0 𝑥 0,9

ℎ̅ = 1,11ℎ𝑥 ℎ 88

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Les ordres de grandeurs du coefficient d’échange convectif moyen (W/m²K) sont présentés dans le tableau IV.1 Tableau IV.1 : Différentes valeurs du coefficient d’échange convectif Fluides

Convection libre

Convection forcée

Gaz

5-30

30-500

Eau

30-300

300-20000

Huile

5-100

30-3000

Métal liquide

50-500

500-20000

Eau bouillante

2000_20000

3000-100000

Condensation de vapeur d’eau

3000-30000

3000-200000

Le coefficient d’échange de chaleur par convection est, en effet, une fonction complexe de l’écoulement du fluide, des propriétés thermiques du milieu fluide et la géométrie du système. IV.3- Mécanisme de la convection La transmission de la chaleur entre une paroi solide et un fluide met en jeu la conduction et le transfert de masse. Si la température de la paroi est supérieure à celle du fluide, la chaleur s’écoule d’abord par conduction de la paroi vers les particules fluides à proximité de la paroi. L’énergie ainsi transmise sert à augmenter la température et l’énergie interne de ces particules du fluide. Ensuite les particules vont se mélanger avec d’autres particules situées dans des régions à basse température et transférer une partie de leur énergie. Dans ce cas, l’écoulement transporte le fluide et l’énergie. L’énergie est, à présent, emmagasinée dans les particules du fluide et elle est transportée sous l’effet de leur mouvement. Comme le transfert d’énergie par convection est intimement lié au mouvement du fluide, il est nécessaire de connaître le régime d’écoulement du fluide (Laminaire ou turbulent) avant d’examiner celui de l’écoulement de la chaleur.

89

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IV.4- Couche limite IV.4.1- Couche limite hydrodynamique : On considère l’écoulement sur une plaque plane (figure IV.1). Les particules fluides en contact avec la surface solide ont une vitesse nulle. Elles freinent les particules voisines dans les couches supérieures et cela sur une épaisseur de , jusqu’à ce que cet effet devienne négligeable. En augmentant la distance à la surface, la vitesse tend vers la vitesse du fluide.

Figure IV.1 : Développement d’une couche limite hydrodynamique sur une surface plane

L’épaisseur

représente la couche limite hydrodynamique. Elle est définie

comme étant la distance comptée à partir de la paroi où la vitesse locale atteint 99% de la vitesse du fluide loin de la paroi. Cette couche augmente avec la distance x, se développe quelque soit l’écoulement. La notion de la couche limite est d’une grande importance pour comprendre la transmission de chaleur par convection. IV.4.2- Couche limite thermique Au contraire de la couche limite hydrodynamique qui se développe pour tout l’écoulement, la couche limite thermique ne se développera que si la température du fluide et celle de la surface sont différentes. Considérons l’écoulement représenté sur la figure (IV.2). Les particules fluides en contact avec la surface de la plaque sont à la température de cette surface. Ces particules échangent de l’énergie avec les particules voisines, ce qui donne naissance à un gradient de température dans le fluide. Le domaine où se développe ce gradient est appelé la couche limite thermique et son épaisseur est défini comme la distance pour laquelle le rapport des températures est 99%. 90

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Figure IV.2 : Développement d’une couche limite thermique sur une surface plane

Le flux de chaleur dans le fluide à la surface (y=0) s’exprime par la loi de Fourier (conduction). Cette chaleur est ensuite transportée par convection dans le fluide (loi de Newton). IV.5- Nombre de Nusselt (Nu) Le mécanisme de transport d’énergie par convection suggère qu’une méthode pour évaluer la quantité de chaleur transmise entre un fluide et une paroi solide. Comme à l’interface (y=0) la chaleur s’écoule par conduction, le flux de chaleur peut être calculé à partir de l’équation de Fourier : 𝜕𝑇

𝑞 = −𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝐴 (𝜕𝑦)

(IV. 6) 𝑦=0

Afin de se rapprocher du sens physique du transfert se réalisant entre le fluide et la paroi solide, celui-ci est décrit par la loi de Newton (IV.2) exprimant un échange par convection. Il vient : 𝑞 = −𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝐴 (

𝜕𝑇 ) = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝜕𝑦 𝑦=0

(IV. 7)

En considérant la température à la paroi Ts comme température de référence, on peut écrire : 𝜕𝑇 = 𝜕(𝑇 − 𝑇𝑠 )

(IV. 8)

En introduisant une longueur (L) intervenant comme une caractéristique géométrique du corps considéré émettant la chaleur, on aura :

91

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Initiation aux transferts thermiques

−𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝐴𝐿 ( ℎ𝐿 𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 Le rapport (

ℎ𝐿 𝑘𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒

)

=

𝜕𝑇 ) = ℎ𝐴𝐿(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝜕𝑦 𝑦=0

𝑇 −𝑇 𝜕 (𝑇 𝑠 − 𝑇 ) 𝑠

𝑦 𝜕 (𝐿 )

∞

(IV. 9)

(IV. 10)

est appelé le nombre de Nusselt (Nu). Ce nombre est une

quantité adimensionnelle. Exercice IV.3 : La distribution de la température, lors du passage de l’air à 20°C sur une plaque (k=0,03w/mK) maintenue à 160°C, est exprimée par : 𝑇(𝑦) − 𝑇∞ = exp(−𝑎𝑦) 𝑇𝑠 − 𝑇∞ Où : a =3200m-1, y la distance verticale mesurée à partir de la plaque. 1- Déterminer le flux de chaleur sur la surface de la plaque ainsi que le coefficient de transfert de chaleur par convection h. Solution 1- Le transfert de chaleur de la surface de la plaque jusqu’à l’air est donné par la conduction : 𝑞 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = −𝑘

𝜕𝑇 | 𝜕𝑦 𝑦=0

𝜕𝑇 | = (𝑇𝑠 − 𝑇∞ )(−𝑎) 𝜕𝑦 𝑦=0 𝜕𝑇 | = (160 − 20)(−3200) = −4,48.105 °𝐶/𝑚 𝜕𝑦 𝑦=0 IV.6- Evaluation du coefficient d’échange convectif (h) La détermination de flux de chaleur nécessite la connaissance du coefficient convectif local ou moyen. Or ces coefficients dépendent de plusieurs paramètres à savoir : Caractéristiques physiques du fluide ; Nature d’écoulement (laminaire ou turbulent) ; Températures du fluide et du solide ; Géométrie de l’écoulement. 92

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Il existe quatre méthodes pour évaluer les coefficients d’échange de la chaleur par convection : L’analyse dimensionnelle combinée avec l’expérience ; Les solutions mathématiques exactes des équations de la couche limite. Les études approchées de la couche limite par les méthodes d’intégration. L’analogie entre le transfert de chaleur, de masse et de quantité de mouvement. Toutes ces quatre techniques ont contribué à notre compréhension du transfert thermique par convection. Cependant, une seule méthode ne peut résoudre tous les problèmes car chacune d’elle possède des limites qui restreignent l’étendue de son application. Dans la suite, on utilise l’analyse dimensionnelle combinée avec l’expérience car

elle

nécessite

des

calculs

mathématiques

simples,

son

champ

d’application est le plus vaste. La principale restriction de cette méthode provient du fait que les résultats obtenus sont incomplets et inutiles sans les données expérimentales. IV.6.1- Nombres adimensionnels La résolution des équations aux dimensions fait apparaître des nombres adimensionnels très utiles dans l’étude des phénomènes convectifs. Nombre de Nusselt (Nu) : Il caractérise l’importance de la convection par rapport à la conduction. 𝑁𝑢 = Nombre

de

Reynolds

ℎ𝐿 𝑘

(Re) :

Ce

(IV. 10) nombre

caractérise

le

régime

d’écoulement dans la convection forcée. 𝑅𝑒 =

𝜗𝐿

=

𝜗 : Vitesse du fluide : viscosité cinématique : Viscosité dynamique

93

𝜗𝐿

(IV. 11)

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Nombre de Prandtl (Pr) : Il caractérise la distribution des vitesses par rapport à la distribution des températures. 𝑃𝑟 =

𝐶𝑝 k

(IV. 12)

Cp : Capacité calorifique à pression constante. Nombre de Grashof (Gr) : Ce nombre caractérise la force de viscosité du fluide. 𝐺𝑟 =

g L3 ∆T 2

(IV. 13)

Avec 𝛽=

1 𝑇(°𝐾)

∆𝑇 = (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Nombre de Rayleigh (Ra) : Il caractérise le régime d’écoulement du fluide dans la convection naturelle. 𝑅𝑎 = 𝐺𝑟. 𝑃𝑟

(IV. 14)

La démarche pour évaluer le coefficient d’échange convectif local ou moyen est la suivante : Calcul des nombres adimensionnels ; Choix de la corrélation suivant le régime et la géométrie d’écoulement ; Calcul du coefficient d’échange convectif avec les corrélations choisis (Nu) ; Calcul du flux de chaleur à partir de l’équation de Newton. Un grand nombre de formules empiriques est disponible pour évaluer le coefficient de transfert de chaleur par convection à travers l’expression du nombre de Nusselt. Ces relations dépendent notamment du type de convection (forcée ou naturelle) et de la nature de régime (laminaire ou turbulent). On essaye de résumer ces relations et de les exprimer pour le maximum des cas possible.

94

N.Messikh

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IV.7-Convection sans changement de phase IV.7.1- Convection forcée L’application de l’analyse dimensionnelle combinée avec l’expérience montre que, dans la convection forcée, la corrélation expérimentale est sous la forme : 𝑁𝑢 = 𝑓(𝑅𝑒, 𝑃𝑟)

(IV. 15)

De nombreux résultats obtenus par des scientifiques ont été rassemblés dans la littérature. Concernant le nombre de Prandtl, qui intervient dans l’expression de Nusselt, doit être déterminé pour une température moyenne appelée température de film (Tf) 𝑇𝑓 =

𝑇𝑠 + 𝑇∞ 2

(IV. 16)

IV.7.1.1- Ecoulement sur une plaque plane La plaque peut être horizontale ou verticale. La longueur caractéristique représente la distance le long de l’écoulement du fluide. Régime laminaire (Re≤5.105) 𝑁𝑢𝑥 = 0,332 𝑅𝑒 0,5 𝑃𝑟 0,33

(IV. 17)

Le coefficient moyen pour cette configuration est : ̅̅̅̅𝐿 = 0,664 𝑅𝑒 0,5 𝑃𝑟 0,33 𝑁𝑢

(IV. 18)

Régime turbulent (Re 5.105) 𝑁𝑢𝑥 = 0,036 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,33

(IV. 19)

Exercice IV.4 : Une huile de moteur à 60°C s’écoule à une vitesse de 2m/s sur la surface supérieure de 5m de long d’une plaque maintenue à 20°C. Déterminer le flux de chaleur par largeur de la plaque sachant que les propriétés physiques de l’huile à 40°C sont : =876kg/m3, =2,485.10-4m²/s, k=0,144w/mK et Pr=2962. Solution Le nombre de Reynolds : 𝑅𝑒 =

𝜗𝐿 2.5 = = 4,024. 104 < 5.105 𝜐 2,485. 10−4

95

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Comme la valeur de Reynolds calculée est inférieure au Reynolds critique, le régime est laminaire. La corrélation utilisée pour calculer le coefficient h est : 𝑁𝑢 =

ℎℎℎ𝐿 = 0,664 𝑅𝑒 0,5 𝑃𝑟 0,33 𝑘

𝑘 0,144 ℎ = 0,664 ( ) 𝑅𝑒 0,5 𝑃𝑟 0,33 = 0,664. ( ) (4,024. 104 )0,5 29620,33 = 55,01𝑤/𝑚²𝐾 𝐿 5 Le flux de chaleur par unité de largeur de la plaque s’écrit : 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇 − 𝑇∞ ) = 55,01.5.1(20 − 60) = −11,05𝑤 La quantité de chaleur est transmise d’huile vers le solide. IV.7.1.2- Ecoulement à l’intérieur de tubes cylindriques lisses Dans le cas de l’écoulement des fluides à l’intérieur des tubes (figure IV.3), la longueur caractéristique est le diamètre intérieur.

𝜗∞ Température de surface (Ts)

Figure IV.3 : Convection forcée dans un tube.

Régime laminaire (Re≤2000) : Corrélation de Haussen 𝑁𝑢𝐷 = 3,66 +

𝐷 0,0668𝑅𝑒. Pr( 𝐿𝑖 )

𝜇𝑚 0,14 ( ) (IV. 20) 𝐷𝑖 0,66 𝜇𝑠 1 + 0,04 [𝑅𝑒. 𝑃𝑟 𝐿 ]

𝐷𝑖 : Diamètre intérieur du tube. m,

s

: viscosités dynamiques définies à température moyenne et la

température du solide. Corrélation de Sieder et Tate 𝐷 𝜇𝑚 0,14 𝑁𝑢𝐷 = 1,86(𝑅𝑒. 𝑃𝑟)0,33 ( ) ( ) 𝐿 𝜇𝑠 Pour [Re.Pr(D/L)] 10

96

(IV. 21)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Corrélation de Kays 𝑁𝑢𝐷 = 3,66 +

𝐷 0,104𝑅𝑒. Pr( 𝐿 )

𝐷 0,8 1 + 0,06 [𝑅𝑒. 𝑃𝑟 𝐿 ]

(IV. 22)

Pour [Re.Pr(D/L)] 100 Régime turbulent (Re 2000) Corrélation de Colburn 𝑁𝑢𝐷 = 0,023 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,33 Pour : L/D 60, 0,7 Pr 100 et 104

(IV. 23)

ReD 1,2.105

Corrélation de Sieder et Tate 𝑁𝑢𝐷 = 0,023 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,33 (

𝜇𝑚 0,14 ) 𝜇𝑠

(IV. 24)

Corrélation de Sieder et Tate 𝑁𝑢𝐷 = 0,023 𝑅𝑒

1/5

𝑃𝑟

0,33

𝜇𝑚 0,14 𝐷 0,7 [1 + ( ) ] (IV. 25) ( ) 𝜇𝑠 𝐿

Exercice IV.5 : On demande de calculer la quantité de chaleur transmise par une eau se déplaçant d’une manière forcée dans un serpentin constitué d’un tube de 18mm de diamètre. Le débit de l’eau est de 0,24kg/s et de température 120°C. La température de la paroi interne de la conduite dont la longueur est de 3m est considérée constante et égale à110°C. =945,3kg/m3, =2,34.10-4kg/ms, k=0,685w/mK, C=4250J/kg.K. Solution La vitesse de l’eau est donnée par l’expression suivante : 𝜗=

𝑚̇ 0,24.4 = = 0,998𝑚/𝑠 𝜌𝐴 945,3. 𝜋. 0,018²

Le nombre de Reynolds s’écrit : 𝑅𝑒 =

𝜌𝜗𝐷 945,3.0,998.0,018 = = 7,26. 104 > 2000 𝜇 2,34.10−4

Le régime est turbulent, on utilise la corrélation de Colburn : 𝐿 3 = = 166,66 > 60 𝐷 0,018 104

ReD 1,2. 105

97

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

𝑃𝑟 =

𝜇𝐶 2,34.10−4 . 4250 = = 1,45 𝑘 0,685

0,7 Pr 100 Les conditions sont vérifiées. 𝑁𝑢𝐷 =

ℎ𝐷 = 0,023 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,33 = 0,023. (7,24. 104 )0,8 . 1,450,33 = 201,24 𝑘 𝑘 0,685 ℎℎ = 𝑁𝑢𝐷 = . 201,24 = 7658,30w/m²K 𝐷 0,018

Le flux de chaleur par convection est donné par l’expression suivante : 𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = ℎ𝜋𝐷𝐿(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) = 7658,30.3,14.0,018.3(120 − 110) = 12985,41𝑤. IV.7.1.3- Ecoulement autour d’un cylindre Le fluide est en écoulement perpendiculaire par rapport à l’axe du cylindre (figure IV.4). On définit un coefficient de convection moyen pour toute la périphérie à température Ts : Dans le cas d’un gaz ̅̅̅̅𝐷 = 𝐶 𝑅𝑒 𝑚 𝑃𝑟 0,33 𝑁𝑢

(IV. 26)

Dans le cas d’un liquide ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = 1,11𝐶 𝑅𝑒 𝑚 𝑃𝑟 0,33

Figure IV.4 : Ecoulement autour d’un cylindre

Les valeurs des constantes C et m sont reportées dans le tableau IV.2

98

(IV. 27)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Tableau IV.2 : Constantes dans l’expression du nombre de Nusselt pour écoulement autour d’un cylindre Re

C

m

0,4 – 4

0,989

0,330

4- 40

0,911

0,385

40 – 4000

0,683

0,466

4000 – 40000

0,193

0,618

40000 - 400000

0,027

0,805

Exercice IV.6 : Calculer le coefficient de transfert de chaleur moyen de 3kg/h d’huile s’écoulant sur un tube de diamètre extérieur de 0,19m et 1m de long. Les propriétés physiques de l’huile sont :

=902kg/m3,

=0,004 Pa.s,

k=0,16w/mK, C=1520J/kg.K. Solution : Calcul des nombres de Reynolds et de Prandtl : 𝑅𝑒 =

𝜌𝜗𝐷 4𝑚̇ 4.3 = = = 1,39 𝜇 𝜇𝜋𝐷 0,004. 𝜋. 0,19.3600

𝑃𝑟 =

𝜇𝐶 0,004.1520 = = 38 𝑘 0,16

D’après le tableau IV.2, les constantes : C=0,989 et m=0,33 : La corrélation IV.27 s’écrit : ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = 1,11.0,989 (1,39)0,33 380,33 = 4,06 ℎ=

𝑘 0,16 ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = . 30,17 = 3,42𝑤/𝑚²𝐾 𝐷 0,19

IV.7.1.4- Ecoulement dans les espaces annulaires Pour les espaces annulaire (figure IV.5), la longueur caractéristique est le diamètre hydraulique définit comme suit : 𝐷𝐻 =

4𝐴 𝑃

(IV. 28)

La corrélation utilisée est sous la forme suivante : 𝑁𝑢𝐷𝐻 = 0,023𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 𝑛 Avec : n=0,4 pour chauffage (Ti> Te) n=0,3 pour refroidissement (Ti< Te)

99

(IV. 29)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Figure IV.5 : Ecoulement dans l’espace annulaire

Exercice IV.7 : Déterminer le nombre de Nusselt pour l’eau s’écoulant à une vitesse moyenne de 3m/s dans un anneau formé entre un tube de diamètre extérieur de 25mm et un tube de diamètre intérieur de 38mm. L’eau entre à 100°C et se refroidit. La température de la paroi interne est de 50°C et la paroi externe de l’anneau est isolée. On donne : =974,9kg/m3, =376,6.10-6kg/ms, k=0,671w/mK, C=4190J/kg.K. Solution 1- Calcul des nombres de Reynolds et de Prandlt: 𝑅𝑒 =

𝜌𝜗𝐷ℎ 𝜇

𝜋 2 2 4𝐴 4. (4 (𝐷𝑒 − 𝐷𝑖 )) 𝐷ℎ = = = (𝐷𝑒 − 𝐷𝑖 ) = 38 − 25 = 13𝑚𝑚 𝑃 𝜋(𝐷𝑒 + 𝐷𝑖 ) 𝑅𝑒 =

974,5.3.0,013 = 100917 376,6. 10−6

𝜇𝐶 376,6. 10−6 . 4190 𝑃𝑟 = = = 2,35 𝑘 0,671 D’après l’équation (IV.29), on trouve : 𝑁𝑢𝐷𝐻 = 0,023. 1009170,8 . 2,350,3 = 299,38 IV.7.1.5- Ecoulement autour d’une sphère Dans le cas d’un écoulement autour d’une sphère (figure IV.6), la corrélation préconisée par la littérature est la suivante : 1/4

𝜇 ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = 2 + (0,4 𝑅𝑒 0,5 + 0,06𝑅𝑒 0,66 )𝑃𝑟 0,4 ( 𝜇𝑚 ) 𝑠

Pour :

0,71 Pr 380 , 3,5 Re 7,6.104 et 1

100

(

𝜇𝑚 𝜇𝑠

(IV. 30) ) 3,2

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Température de surface

Fluide à T

Figure IV.6 : Ecoulement autour d’une sphère

Exercice IV.8 : Une bille d’acier inoxydable ( =8055kg/m3, C=480J/kg.K) de 25mm de diamètre est retirée d’un four à 300°C. La bille est ensuite soumise à un flux d’air à 25°C avec une vitesse de 3m/s. La surface de la bille décroit jusqu’à 200°C. Déterminer le coefficient moyen de transfert de chaleur par convection forcée. s=2,76.10

-5kg/ms,

m=1,849.10

-5kg/ms,

k=0,02551w/mK,

=1,562.10-5

m²/s, Pr=0,7296. Solution Calcul du nombre de Reynolds 𝑅𝑒 =

𝜗𝐷

=

3.0,25 = 4,802. 104 1,562. 10−5

Le nombre de Nusselt , d’après l’expression (IV.30), on trouve: 1/4

0,5 0,66 ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = 2 + (0,4 4,802. 104 + 0,06. 4,802. 104 ) 0,72960,4 (

1,849. 10−5 ) 2,76. 10−5

= 135

Donc le coefficient de transfert de chaleur convectif s’écrit : ℎ=

𝑘 0,02551 ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = . 135 = 13,8𝑤/𝑚²𝐾 𝐷 0,25

IV.7.1.6- Ecoulement autour d’un faisceau de tubes Plusieurs installations industrielles sont constituées de rangées de tubes parallèles immergées dans un écoulement perpendiculaire à leur axe. Les tubes peuvent être alignés ou disposés en quinconce (figure IV.7). La disposition quinconce conduit à de plus fortes turbulences et donc un coefficient d’échange plus important que dans le faisceau aligné. La corrélation utilisée est la suivante : ̅̅̅̅𝐷 = 1,13 𝐶1 𝑅𝑒 𝑚 𝑃𝑟0,33 𝑁𝑢 101

(IV. 31)

N.Messikh

Initiation aux transferts thermiques

Les valeurs des constantes sont C1=0,26 et m=0,65 pour la disposition alignée et C1=0,41 et m=0,60 pour la disposition quinconce. Le nombre de Reynolds est calculé dans ces configurations en utilisant la vitesse maximale dans l’écoulement.

Figure IV.7 : Ecoulement autour d’un faisceau de tubes (a) disposition alignée (b) disposition quinconce

IV.7.2- Convection naturelle (libre) Les transferts par convection naturelle résultent simplement du mouvement du fluide provoqué par les différences de densité dues aux variations spatiales de température. Dans la convection naturelle, les échanges sont nettement moins intenses qu’en convection forcée. L’analyse dimensionnelle combinée avec l’expérience, dans la convection naturelle, montre que les corrélations les plus usuelles sont généralement de la forme : ̅̅̅̅ 𝑁𝑢𝐷 = 𝐶𝑅𝑎𝑛 = 𝐶 (𝐺𝑟. 𝑃𝑟)𝑛

(IV. 32)

Les valeurs des constantes C et n dépendent de la géométrie et le régime d’écoulement. L’exposant n prend les valeurs : n=1/4 en régime laminaire (Ra 4.80

0.995 32 0.996 26 0.997 02 0.997 64 0.998 14 0.998 54 0.998 86 0.999 110 7 0.999 311 5 0.999 593 0 0.999 764 0 0.999 865 7 0.999 925 0 0.999 958 9 0.999 977 9 0.999 988 4 0.999 994 0 0.999 996 9 0.999 998 5 0.999 999 256 91 0.999 999 644 14 0.999 999 832 85 0.999 999 923 00 0.999 999 965 21 0.999 999 984 58 0.999 999 997 14 0.999 999 999 51 0.999 999 999 92 0.999 999 999 99 1.00

ANNEXE D: Emissivitée des surfaces Material Alumina Aluminum oxide Asbestos Asphalt pavement Brick Common Fireclay Carbon filament Cloth Concrete Glass Window Pyrex Pyroceram Ice Magnesium oxide Masonry Paints Aluminum Black, lacquer, shiny

Temperature, K

Emissivity, e

800–1400 600–1500 300 300

0.65–0.45 0.69–0.41 0.96 0.85–0.93

300 1200 2000 300 300

0.93–0.96 0.75 0.53 0.75–0.90 0.88–0.94

300 300–1200 300–1500 273 400–800 300

0.90–0.95 0.82–0.62 0:85–0.57 0.95–0.99 0.69–0.55 0.80

300

0.40–0.50

300

0.88

Material

e

Oils, all colors Red primer White acrylic White enamel Paper, white Plaster, white Porcelain, glazed Quartz, rough, fused Rubber Hard Soft Sand Silicon carbide Skin, human Snow Soil, earth Soot Teflon Water, deep Wood Beech Oak

Temperature, K 300 300 300 300 300 300 300 300

Emissivity, 0.92–0.96 0.93 0.90 0.90 0.90 0.93 0.92 0.93

300 300 300 600–1500 300 273 300 300–500 300–500 273–373

0.93 0.86 0.90 0.87–0.85 0.95 0.80–0.90 0.93–0.96 0.95 0.85–0.92 0.95–0.96

300 300

0.94 0.90

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