Виша математика II Viša matematika II [PDF]

Zitiervorschau

VISA MATEMATIKA ik Ispitni zadaci sa reSenjima i rezultatima

BEOGRAD, 1977.

VISA MATEMATIKA I1 ISPITNI ZADACI SA RESENJIMA i REZULTATIMA

Recenmt

Prof. dr ERNEST STIPANIC

IzdauaE: IzdavaEko preduzebe UNIJA PUBLIK, Novi Beograd, Bulevar Lenjina 171.

Stampa: SLOBODAN JOVIC, Beograd

PREDGCVOR Ova Zbirka sadrZi odabrane i reiene zadatke i z predmeta V i i a matematika 11, koji su davani nu pismenim ispitima Gradevinskog fakulteta u Beogradu u periodu od juna 1957. godine do novembra 1976. godine. Po praz7ilu ztzeti su u obzir ispitni zadaci iz onih disciplina koje su obuhvaeene sadadnjim programom predmeta ViSa matematika 11. Pri tome je vodeno meuna da telcstovi zudataka uglavnom ostanu nepromenjeni, da se zadaci ne ponavljaju i da po svojoj sadrZini i karakteristikama Sto potpunije ilztstruju spomenuti predmet. Radi bolje preglednosti zadaci su grupisani u sledefa poglavlja: ObiEne diferencijnlne jednafine, Parcijalne diferencijalne jednafine, BeskonaPni redovi, Krivolinijski i vigestruki integrali, Elementi teorije polja i DiJ-erencijalnageometrija. Tipieni primeri iz w a k e discipline su detaljno uradeni i prokomentarisani, a zatim su dati zadaci za samostalni rad sa rezultatima i neophodnim uputstvima. Oznake, formule i k r a f i izvodi iz teorije nisu posebno dati u. ovoj knjizi. Taj materijal je detaljno izloEen i sistematski obruden u naSoj prvoj knjizi ,,Visa matematika 11 - zadaci sa reienjima i rezultatima". Kapominjemo da ove due knjige predstavljaju jednu celinu, pri Eemu svaka od njih ima sasvim odredenu namenu. Po svojoj koncepciji i sadrfini, k0.o i po nutinu izbora i obrade zadataka, ova knjiga odgovara potrebama studenata tehniEkih, prirodno-matematiCkih i drugih fakulteta i viSih dkola koji pripremaju pismene ispite iz predmeta T7iia matematika 11. NajsrdaEnije se zahvaljujemo profesoru dr E. Stipanitu nu podrici i savetitna. Korisne sugestije kao i prinzedbe nu eventualne greike primitemo sa zahvalno3fu. Izraiavamo ~ a h ~ v a l n o sradnicima t grafiEkog preduzeta ,,Slobodan JoviC" koji su uspeSno realizovali teiak matematic'ki slog. Marta 1977. godine Beograd

1.

OBICNE DIF'ERENCIJALNE JEDNACINE

1. Data je diferencij alna jednaEina

Odrediti parametar q tako, da se jednaEina pomoku smene y=xq z transformise u diferencijalnu jednaEinu, u kojoj 6e promenljive x i z biti razdvojene. NaCli zatim opSte resenje date diferencijalne j ednarine. Rezenje. Zamenom funkcije u=m z u diferendjalnoj jednatini, nalazimo

i njenog izvoda

y'=qm - I z+

XP z'

--

2 qxqz+2 X P + ~ Z ' + X ' I Z ~ x ~ + + ' Q z ~ - I + x Q z3 =o

U prethodnoj jednatini (promenljive Ce biti razdvojene a d u h j u kada je 1+2q=0, tj. q=-112. Prema tome, imamo

a odatle, pomdu smene zS=-

1 t '

htegracijm dedi

arc cost t+ l n x = C . odnosno 1 +lnx=C, xy2 (*) odredeno je q d t e reHmje date diferencijer je y = ~ - ~ l ~ Relacijom z .

P)

arccos-

jdne jedna&ine. Napomenimo da su njena aingularna regenja: yi=-

1

i yz=-

1 -

v;

I/% ' Hto se moie neposredno proveriti. 2. Data je diferencijalna jednaEina (x2+ y2) (xdx+ y d y ) = ( x B + y 2 + x ) (xdy-gdx). Pokazati da se smenom: x=u cos v, y = u sin v ova jednaEina svodi na linearnu diferencijalnu jednaEinu prvoga reda po nepoznatoj

funkciji u. Dobijenu jednaEinu regiti, i na osnovu toga nati opSte reSenje polazne dif erencijalne j ednaeine. RdenJe. Diferenciranjem funkcija

dobijamo

Data diferencijalna jednaEina transfopnige se u jednaEinu tj. u linearnu diferencijalnu jednarinu, obLika

Njeno opSte relienje je u=Cev+

sin v-cas v 2

. Imajuti

u vidu relacije C),

opHte reSenje date diferencijalne jednafine odredeno je jednaEinm arc tg

2x~+2y3+x-y=2

~ V a e + y ~ e

Y -

x.

3. NaEi opSte reSenje diferencijalne jednasne

-dy ---(x"yyg-1)

y+x dx (x2+yP-I) x-y koristeEi smene: x= u cos v, y =u sin v , pri Eemu f e v nezavisno promenljiva a u zavisno promenljiva. Odrediti zatiln integralnu krivu koja prolazi kroz taCku M (1,O). Rezultati.

4. NaEi opSte regenje diferencijalne jednaEine

ReSenje. Koristebi smene:

i polaze6i od zahteva, da je y+2=Y+b+2=Y

X+U-l=X+Y+a+b-l=X+Y,

sledi

data diferencijalna jedndina se svodi na homogenu diferencfjalnu jednaEinu

koja se integrise pornoh smene Y = X U (X). Dalje, imamo

Uzevgi u obzir relacije (*), dabijamo trnteno opBte reknje date difemndjalne jednabine, dakle

5. Tangente krivih K odsecaju na ordinatnoj osi odseEak duZine

gde je a realan parametar razliEit od nule. Na6i jednaHnu one krive KO koja prolazi kroz taEku M, Menje. JednaEina tangente krive K u t a w M

(2, y) EK, glad

Ordinate preseEne taEke tangente T i ose Oy je Y = y - ~ f ' ( X m 0 ) . Pxema uslovu zadatka, imamo IYI =b, I

.

tl.

JednaEina (*) je Bernaullieva diferencijalna jednaEina, koja ae rsaenwn

svodi a~ linearnu diferencijelnu j e d n a b u

Kako je opSte reSenje poslednje jedaaEine, oblika 1

z= xP

arc tg ax),

to Ce opSte regenje diferenoijalne jedmahe 1 y'

-1

x2

(*) s obairom

ma

(**), biti

(C+arc tgax).

x = l / a I. y=2/al/, odredena je jednaEinom

dobija se C=O. Prema tome, traZena kriva

Za

KO

;CP-yza,rc tg ax=O.

6. ReaSiti diferencijalnu jednaEinu ( 3 x + 2 y+ya) dz+(x+4 x y + 5 y q dy=O,

znajubi da je njen integracioni faktor, oblika X=X (x+yg). Odrediti zatim onu integralnu krivu, koja prolazi kroz taEku M ( - 2 , l ) . Wenje. TraPitemo reSenje ekvivalentne diferencijalne jednarine

(*I

oLP)cls+(XQ)dy=O,

OcfO)

pri Eemu je P=3 x+2 y+y2,

Q=x+4 x y + 5 yg,

k = h (v),

v=x+yP.

Integracioni faktor 5 ( v ) odreduje se iz uslova

Odatle, diferenciranjem i sredivanjem d&ijenog

izraaa, sledi

Za nadenu fulllkciju k=x+yn, izraz na levoj strar jednaEine (*) je totahi diferenaal funkcije u=u (x, y), toju treba odrediti. Imamo dakle

(P) &+(l Q) dy-d~=O

au 3

UY=

-

i dalje

xP+2 w+yP x + 3 xyP+2yS+y4)d ~ + (Y) g (**)

3

u=*+yx'+2

yPx'+2 v J x + V'X+Q

(v).

Difemdmnjem l w e J, desne strane poslednje jednakosti po y, uz koriibenje datag b o d a u y (uy=X Q), malazimo

Zamenom funkcije g (y) u jednakosti (**) i vodehi r a h n a o tome da je kmaEno dobijamo opSte regenje date diferencijalne jednafine, dakle

u=C,

p + y 4 x + 2 y s x + 2 ytx'+yx2+xS=C.

Za

x=-2

i y = l bibe C = - 1 .

7. ReSiti diferencijalnu jednafinu (yS-2

P yS)a x + ( 2

m 4 - x S y2) dy=o

znajuti da ima dntegracioni faktor oblika k=k

8. ReSiti Langrageovu diferencijalnu jednaf inu

x+ yy'= ye. ~anltat.

9. Pokazati da diferencijalna jednaEina ima partikularno regenje y,=a, gde je a konstanta koju treba odrediti. Na6i njeno opste reSenje i pokazati da sve integral* krive prolaze kroz dve stalne taEke.

a=-1,

x (x-y)-C(y+l)=O;

talike su: A ( 0 , -1)

graciju date jednalSine koristiti smenu y = - I +

i,' ,B( - 1 - 1 ) .

i).

10. Odrediti ortogonalne trajektorije farniLije knrgova h + y 2 - 2 m =0, (a realan parametar).

(

Za inte-

11. Data je diferencijalna jednaEina X+~+;CP=~~

gde su a i g konstante, razliEite od nule. Nabi reSenje jedname koje zadovoljava uslove: x (0)=0.

,x (0)= 0,

..

..

ReSenje. PomoCu m e n a : z = x , z=x, voga reda

dobija se diferencijalna jednaEina pr-

Eije reSenje Z = Z ( t ) treba da zadovolji uslov x (O)=O. Integracijom jednaEine (*), nalazimo

StavljajuCi: t=O i z=0 dobija se C,=O, odnosno

ReHavanjem poslednje jednatine po z = x > sledi

a odatle integracijom, nalazimo x=

a

lnch (lag1 t)+C,

I najzad, za t=O i x = 0 bibe C,=O. Prema tome, traZeno rehnje difehencijalne jednaEine koje zadovoljava date uslove, glasi 1 xp= - lnch (lag]t ) . a2

12. Na6i reSenje diferencijalne jednaEine y"+ 2 y ( Y ' ) ~ = O

koje zadovoljava uslove

y (0)= 0 i y' (0) =3. du

ReSenje. Koristebi smene: yf=u, yU= - u, dobijamo diferenoijalnu jednatinu dY

Eije reSenje u=u (y) treba da zadovolji uslov u (0)=3. JednaEina (*) raspada se na dve jednafine:

Iz jednaEine u=y'=O,

sledi y=C,. Ta funkcija zadovoljava datu diferencijalnu jedmEinu, ali ne zadovoljava skup datih poEetnih uslova. Opkte reSenje druge diferondjalne jednaEine iz skupa jednaEina (**), glad 1

u= C,+ y2 ' S obzirom na uslove y=O i u=3, dobijamo C,=

1 3

- . OpBte reSenje dife-

le y+ys=3x+c,. Za x=O i y=O, bibe C,=O. Prema tome, regenje diferencijalne jednaPine koje zadovoljaw date uslave, odredeno je jednarinom y+vS=3 x.

13. ReSiti diferencij alne jednaf ine: lo y " ( l + x 2 ) - 2 x y t = 0 ;

y(O)=1,

y'(O)=3.

2O

(1-x2)y"-xyt=2;

y(O)=O,

yt(0)=l.

3O

(l+x"yy"+y'?=-1;

y(O)=O,

y'(O)=l.

Reznltsti. lo y,=x*+3 x+1.

2O y,=arc sin x+arc sin8 x.

14. Nahi regenje dikrencijalne jednaliine

ReSenje. Pogto su koreni 'karakteristiene jednaEine rk-r=0; r,=O i r,=l, to be opSte reSenje odgovarajute homogene diferencijalne jednaune y"-y'=O, biti

+

vr =C, C, ez. OpSte reSenje date (nehomogene) diferencijalne jedmEine trafibemo, koristeki metod vanijacije konstanata. Imamo dakle

Pri integracij'i, koriSCena je rzmena t=eX. Zamenom dobijenih funkcija (**) u I(*) dolazimo do a p h g reSenja date diferencijlalne jednarine, dakle

Prema tome, tra2eno gartilcularno reSenje jednaEine glasi

up= -2-ln

2+(3-ln2) ez-(l+eX) [x-ln (l+es)].

15. Data je diferencijalna jednaEina

lo Znajuti da odgovarajuea homogena diferencijalna jednaEina ima

jedno partikclarno reSenje u obliku polinoma, na6i njeno opSte resenje. 2' Odrediti zatim ono partikularno reSenje date jednaf ine, koje zadovoljava uslove y (-2)=0

5

i y(3)=-ln3.

2

lo Postupak odretbivanja op3teg regenja diferenoijalne jdnafine sastoji se iz tri dela: a) naCi partikularno regenje y, (u obliku polinoma) jednaEne L [y] =O; b) pomdu smene y = y l z sniziti red jednatine L [y]=O, i naCi njeno C)

oplte relenje; koristebi metod vanijacije kmstanata, adrediti ~ S t reSenje e date (ne1

homogene) jeclnaEine L [y 1= x + - . X

a) Neka je

Zamenom polinoma (*) u jednaEini L [y]=O, sa zahtovom da b d e njenn regenje, i imajuki u vidu pri tome da je

dobijamo

Pasle sredivanja, imamo

OEigledno, polinom (*) 6e biti reHenje jednaEine L [y]=O samo u tom sluEaju ako se iz identiteta (**) mogu odrediti njegov stepen n i svi njegovi koeficijenti. Da bi odredili stepen polinoma, stavibemo da je Ucoeficijent uz xn identiteta (**) jednak nuli, dakle (nz-l)a,,=O n=l (jer je a,#O i n prirodan broj). ;Za n = l identitet #(**)s e svodi na 2 a,-ap=O, odakle za al=l Prema tome, traieno partikularno resenje je b) Uvedimo smenu y=yl z L [y,] =0. Dalje imamo YM Y 1 z

gde je

sledi %=2.

z=z ( x ) nova nepoznata funkcija i

l*(-l)

Prema tome, apHe resenje odgovarajube homogene diferencijalne jednaPine, glasi

C)

OpHte reHenje date jednaEine, koju Cerno prethodno, na'pisati u obliku

naCi femo metodom varijacije konstanata. Imamo dakle

3 .

x2+ 1

c;~l'+c2'~2'= XZ(y+

{

1 . C1= -.In 2

1x1

,)

c;=-

x2+ 1 2x (x+ 1 j2 ( x + 2 ) ( x 2+1

3

2 (x+

1 + x+ D, +1

x2 1 Cz=--+-+D*. 4 x+l

.. Prema

tome opSte reienje date jednaEine je

1 y=D1(x+2)+DZx 2O

-

C,'

C,'Y,+C*'Y*=O

Iz graniEnih uslova D,=2.

+2 + xIn 2

y (-2)=0

1x1

4 -*2

++ 1. 4x

5 1 i y (3)=-- In 3, dobija se Dl=-2 4

i

TraZeno reSenje glasi

Napomena 1. Ako je poznato jedno reSenje y, diferencijalne jednatine

I/"+ P (XIu'+q (2) Y = 0 , tada se drugo reSenje y, nalazi po formuli

16. Zadana je diferencijalna jednaEina Eije je jedno reSenje oblika

(2) y=ax+b, gde su a i b konstante. Utvrditi za koje be vrednosti konstanata a i b funkcija ( 2 ) biti reSenje jednaEine (I), i zatim na osnovu toga odrediti opgte regenje jednaEine (1). Rezultat. b.=O, a proizvoljan broj; u=C, x + C , x In (x+

t21).

17. ReSiti diferencijalnu jednaEinu

(1+x2)y"+2 xy'-2 y = 4 xP+2;

y (-I)=@, y' (- 1)=0.

Rezultat.

Uputstvo. Funkcija y , = x

je reSenje odgovarajuke homogene jednafine.

18. Data je diferencijalna jednaEina

L [y]=xe y"-x (x-1) y'-y=Z

(x2+x-1) ex.

ZnajuEi da odgovarajuba hom'ogena diferncijalna jednaEina izna jedno partikularno regenje, oblika 1 y1= emx, (m parametar)

;

odrediti o@te re3enje jednaeine. ReSenje. a) Kako je y,

-; 1

y:-

em.,

emt

(rnx-I),

y r

emx

-- - (2-2rnx+max2); XI

to je

L [y,] =

xz em=

7(2-Zrnx+m'xZ)

m3-rn=0 1-m=O

*

(xZ-x) x2

- -emz(mx-1)

1 - -emz=O X

3

m=1.

Prema tome partikularno reSenje jednaEina L [y] =0, glasi

b) Drugo partikularno reSenje y, homogene jednatine L [y]=O pomo6u f ormule

,-J

odredihemo

P ( x ) dx

Yz=Yt

dx,

=x

gde je p (x)

1-x

(videti napomenu 1.). Imamo dakle

Prema tomr, opSte reSenje odgorarajuhe homogcne difcrencijalne jednaEine L !..yl=O je

C)

OpSte reSenje date diferencijalne jednarine, nahi 6emo pomoCu metode varijacije konstanata. Frethodno napiSimo jednaEinu u obliku

Dalje Ce biti )

ez

l+x

X

x

y-c,-+c,-.

(C, (XI, C*(x)=?),

Zamenom (**) u (*), dabijamo opHte rdenje date diferencijalne jednarine,

dakle

19. U dif erencijalnoj j ednafini (xd+1) y"-2 x y f + ( a 9 + b x + c ) y=O

d r e d i t i kmstante a, b 1 c tako, da je yl=emf jedan njm partikulami integral. NaCi zatirn opSte reSenje date jednaf ine. Reznltat.

20. Diferencijalna jednaEina yPf-tg x yf+2 y=o

ima partilrularno reSenje lorblika g l = a eos x+ b sin x. Odrediti njeno apSte reSenje. Reznltat. a=O,

b proizvoljan lbroj;

yh- C, sin x + Ct

[ - 1 + sin x In 1 tg exi+311.

21. Data je diiermeijalna jednaeina xyW+2 y' +xy=O.

Znajubi da je jedno njeno reSmje oblika y1= Ci.ku1arn.o reSenje koje zadovoljava uslove:

sin x, rma~on0 par-

Bewltat. a= -1,

yp-

COS X -X

-. x

22. Nafi o@te regenje dif e m c i j alne jednaeine (1 +x? y"+xy'-n2 y=O, (n prirodan broj), znajuti da je jedno njeno -je yl=(x+ I'I + X ? ~ .

23. Odrediti crpSte ~egenjedif erencijalne j ednaEine ( 1 + 9 ) yN+3 xy'+py=3 xP ako se zna, da odgovarajufa homogena diferencijalna j e d n a h a ima partikularno resenje, oblika Y~=(~+X?~, gde su p i q realni brojwi i q f O .

24. Odrediti opSte regenje diferencijalne jednaEine

(cos x-sin x) yy"+2sin x y'-(sin x+cos x ) y=eZ (cosx-sin x ) ~ maju6i da je j edno reSenje odgwarajube homogene difemdjalne jednaEine, funkcija yl= @, Bwaltat. g = ~ et+D* , sin x+(cos x+sin f

eer.

25. Koristefi smenu g = -, nafi wgte &nje xe

Men& Zamenom funkcije Y-

z

2'

dtferencijalne j d m Z h e .

prl &mu je z=z (x) nova nepoznata funkcija, kao i njenih izvoda:

u datoj jednarini, dobijamo

*.

Opgte reSenje odgovarajute homogene diferencijalne jednaEine pretfiodne jednatine (*), je

5.

zn-C, e-%+C, e Z .

PoSto je partikularno reHenje diferencijalne jednaEine (*): Z=ez, reSenje jednaEine (*) biti Imajubi u vidu datu smenu $ y=z, diferencijalne jednatine, dakle

to 6e opdte

malazimo konaEno opHte seknje date

X -

y-

21 (C, e - z + Cr e 2 + e s )

26. Data je diferencijalna jednaEina x2

lo Koristdi smmu y = e T z (x), nabi njmo q 3 t e regenje. 2' Nabi zatim ono partikularno re3enje koje zadwoljava udove

Reraltati. 10

y

20 y,-

+ c, - eg(~, (-(7 ); )/J cos (

x2

ez

sin

x)

sin t f a x )

'3

+. 4

or

27.. Data je diferencijalna jednaEina

9 cl: fGYw+6f & ~ ' - ~ = c o .s;f

lo Uvesti putem smene t=g (x) n w u promenljivu t tako, da d y bude jednak-nuli, a zatirn na6i cpgte regenje koeficijent uz dt date diferencijalne jednalrine.

2" Odrediti partikularno reSenje jednarine, za koje je y (0)=1 i y (-x)=y

(x).

lo Zamenom funkcije y = y (t)=v (g (XI) i njenih izvoda: .. yf=yg', yM=yg"+yy"

u datoj diferencijalnoj jednal?ini, dobijamo 9 ~ ~ ~ ~ ~ ~ > + ( 6 ~ 1 ~ ' + 9 x ~ ~ ~ ~ ~ ) j r - y - c o s ~ ~

(

Funkciju g odredikemo iz zahteva, da koeficijent uz 1; bude jednak nuli, dakle dg' 2dx 3 r ~ ( 2 ~ ' + 3 X ~ f f )3 - o -=-3 g - D * r x + ~ ~ g' 3x Uzimajubi, na primer, da je D,=1 i D,=O, sledi (**)

t=&

(x=t3).

Pomobu smene (**), diferencijalna jednaEina (*) modi se na jednaEinu sa konstantnim koeficijentima, dakle y-y=cost. 1 cost, to be 2 opSte reSenje date diferencijalne jednaEine, s obzirom na (**), biti

Kako je opSte reSenje prethodne jednaEine: y=C, cht+C, sht--

p c , ~h P; + c, sh P; - -I eos p i . 2 2O

Na osnovu datih uslova, imamo

TraZeno partikularno reHenje je

yp

-

1 - (3 ch 2

% i - cos f x ).

Napomena 2. Ako se diferencijalnia jednaEina moZe transformisati u diferencijalnu jednaEinu ,sa konstantnim koeficijentima putem zamene nezavisno pmmenljive, tada se ta: transformacija izvodi samo pomoku formule t

-

C

j f 1 q ( ~1 d) r ,

(C proiz. konstanta, razliEita od nule).

U prethodnom primeru, bilo je

28. Data je diferencijalna jednafina (1-x2) y"-xy'+n2y=0, . (n ;prirodan broj). KoristeCi smsnu x=cost, naCIi opBte re3enje diferencijalne jednaEine. Za n=2 odrediti ono partikularno reBenje jednafine koje zadovoljava .'uslove y(O)=l d yf(0)=O. Rezultati. y = C , cos (narc cos x )

+C , sin (narc cos x ) ;

yp= 1-2 a?.

29. Data je diferencijalna j e h d i n a ( I + X ~yf'+2 ) ~ Z: (1+x2) yr+y=o.

lo Uvesti putem smene t = g (x) novu promenljivu t tako, da d y bude jednak nuli, a zatim naki o@te r g e n j e koeficijent uz dt jednaf ine. 2' Odrediti ono partikularno r e k n j e jednaEine, koje zadwoljava uslove

y (o)=o i

(I)=

1/2.

Rezultati. 1

10 y=f

E

2

(Cl x t C,),

[=arc tg x .

30. PomoCIu smene t = e x nabi op3te re9enje diferencijalne jednaeine y" -y' +e*X y =e2X.

Odrediti zatim ono partikularno re3enje jednaEine koje zadovoljava uslove y ( l n 7 ~ ) = 0i y'(lnx)=O. Reznltati. y = C , cos ez+C, sin ez+ 1 ;

yP=1+cos ex.

31. ReBiti diferencijalnu jednaEinu putem smene t=cos x, a zatim naCi ono partikularno reSenje koje zadovoljava uslove

cos x

-

mZ+ 1

32. Data je ~difermcijalnajednafina Pokazati da se ova jedna5iina m e n o m y2=u, svodi na Eulerovu diferencijalnu jednaEinu, pri Eemu je u nova nepoznata funkci ja. Odrediti opSte reSenje date jednaEine, a zatim i partikularno koje zadovoljava uslove: y(-1)=0,

-

y(l)=1/2.

ReSenje. Pomo6u smena:

data diferencijalna jednaEina se transformige u jednarinu, oblika iz koje sledi

a to je Eulerova diferencijalna jednafina. Pomo6u smene t=lnx, ona se svodi na jednatinu sa konstantnim koeficijentom, dakle u - 3 u + 2 u=o.

Kako je opHte reSenje prethodne jednaEine: u=C, et+C2 e z t , to fe 0pEte reSenje jednarine (*) ~biti u = C , x+C, st.

Prema tome, opite regenje date diferencijalne jednafine, glasi y=

--

l/cl x + c 2

xP.

S obzirom na date granifne uslove, Wamo

pa je trazeno partikularno regenje

-

y,= l / x + x z .

33. Data je homogena diferencijalna jednacina

L [ y ] = $ y"-(2

.

a-1) xy'+4 y=O

pri Eemu je a realan parametar.

lo Napisati sva tri oblika opSteg r d e n j a te jednaEine, koji odgovaraju raznim vrednostima parametra a.

2'

Za a=2 d r e d i t i ono p a r t i k u l a m resenje nehornogene diferencijalne jednaEine L[y]=~(l+lnx) .

koje zadwoljava uslove Rezultati. lo

y (1)=0 i y' (1)=0.

,

la)2;

2O

t=lnx.

34. ReSiti diferencijalnu jednaeinu

L [ y ]=y"'-2

yf'-y'+2

y=

2x8+xe-4~-6 D x4

znajuki da je jedno parbikularno re3enje oblika Y=-

a X

.

Odmditi

zatim olno regenje jednarine, za koje je

ReSenje. PoSto su koreni karakteristiEne jednaEine bpojevi: T,=-1, jednaEine biti

r2=1 i rg=2, to ee 0pSte reSenje odgovarajube homogene

a

Parametar a odredieemo iz zahteva, da funkcija Y=-

X

bude reSenje date

jednaEine. Imamo dakle

(a-1) (2 rS+xL-4 x-6)EO

=$

a=l.

Prema tome, opSte reSenje date diferencijalne jednaEine glasi 1 a=C1 e-z+C, ez+C, e2z+ --. X

Na osnovu zadanih uslova, imamo limy (x)=O x-+1/ (1)=2

C2=CJ=0, C,=e

lit0 znaEi da be tra2eno partikularno reBenje jednaEine biti

35. Odrediti opme regenje diferencijalne jednaEine x2 (2s-1) yU'+(4 x-3) xy"-2 xy'+2 y=o

znajuki dva njena partikularna rdenja

ReSenJe. Zadatak femo reati putem sniZavanja reda jednaEine pomoCu

smene

pri Eemu je C, prcizvoljna konstanta i u=z'. Transfonnisana diferencijalna jednaEina bite drugoga reda po nepoznatoj funkciji u=z', i jedno njeno reSenje u , je pomato, jer je u,=z,'=(y,/y,)'=2 x. Dalje, irnamo z

y

1 yf--(xz'-1). x

,

1 y"=--(x~2''-2xz'+2z)

xa

Z

Zamenom funkcije y = - i njenih izvoda u datoj diferencijalnoj jednaEini X dobijamo (2 xz-x) 2'"-2

xzt'+2 z'=O,

odnbsno

Znaju6i jedno resenje %=2 x jednaEine (**), mo&erno adrediti i njeno drugo relenje (a samim tim i opite regenje) pomofu poznate formule (vid. napomenu 2), dakle

jednaEine (**) u jednakosti i*), nalazimo

Odatle, gmle integracije konaho sledi apgte reienje date diferencijalne jednafiine, dakle y

- ;+ Cl

pri Eemu je

C,x+ C a ( xIn x + l),

36. Odrediti opSte d e nj e diferencijalne j e d n a h e

Wenje. To je Eulerova jednaEina, 1 o m se integriSe pomoCu smene

t=lnz., Diferenciranjem funkcije nalazimo

a zatim zamenom: t=lnx, funkcije y i njenih izvoda, dobijarno

Koreni karakteristiEne JednaEine 9-rP=O su rl=rl=O i rQ=l. Opme rehnje odgovarajuke homogene jednaeine prethodne diferencijalne jednaPine, je Kako je bpartikularno reknje jednarine (*): Y=e-lt, to ke @te date diferencijalne jednaeine (imajuki u vidu da je t =ln x) blti

reiienje

37. Pokazati da je svako reSenje diferencijalne jednaEine

Odrediti qBta re3enj a obeju jednaEina. Na6i zatim partikularno reSenje jedna6ine (1) koje je prio& h a fmkcija, i zadovoljava uslw y (0) =2. BePenje. Neka je Y =Y Ix) bilo koje reSezlje jednatine (I), tj. pretpostavim0 da vaii identitet (sin x) YY"-(cosx+sin x) Y'+(cos x) Y=cos x. Diferencixmjem ovog identiteta, b i k (sin x) YY"+(cosx) YH-(COSx+sin x ) Y"-(cos x-sin x) Y'+{cos x) Y'-(sinx)Y=-sinx

*

r-Yff+Y'-Y-

+ -1.

sinx(Y'"-Y"+Y'-Y+l)=O

Y=Y (x) jednafine (1) je i reSenje jednaEine (2). Nabi bemo najpre, opSte reSenje jednafine (2). Njena karakteristifna jednaf ina

tj. svako reSenje

ld-re+r-l=(~-l) ima korene. r1=1,

(rY+l)=O

T*,~=* i

(i=

vx).

Stoga ke opHte reSenje odgovarajube homogene diferencijalne jednafine biti yh=C, e=+C, cos x+C, sin x. Kako je partikularno regenje jednaEine (2): Y,=1, to je funkcija opSte rdenje posmatrane diferencijalne jednafine (2). Nadimo sada opSte reSenje jednaEine (1). Sva reienja diferencijalne jednafine (1) obuhvakena su relacijom (3). Prema tome i opite reienje jedaafine (1) dobija se iz opiteg reSenja (3). Stvarno, zamenom funkcije (3) u diferencijalnoj jednaEini (I), dobijamo tj. funkcija (4)

y=Cle~+C,(cosx+sinx)+l,

(C, i C,

proiz. konstante)

zadovoljava diferencijalnu jednaEinu (1). PoSto su C, i C, proizvoljne i nezavisne konstante, to je relacijom (4) dredeno opite reienje jednafine (1). ReSenje (4) be bibi perjodiEna funkcija samo u tom slufaju, kada je C,=O. Iz drugog uslova y (0)=2, dobija se C,=l. Prema tome, trateno gartlkularno reSenje jednafine glasi

38. Linearni gramihi problem definisan j e diferencijalnom jednaanom yIV -X4 y=o, (X20) i granihim uslmima

y (0)=O, y" (0)=0, y" (1) = 0 i y"' (1) -y (1)= 0. Pokazati da su sopstvene vrednosti problems, reSenja j&aEine cth X-ctg X=-

2

h8 i da se maj~manjapozitivna scipstvena vrednost lo nalazi u intervalu (0, n). Naki s a p s t m u funkciju koja odgovara soipstvmoj vred-

nosti

X,.

ReSenje. Treba razlikovati sluhjeve: k=O i k>O. lo

,

X=O.

OpSte s d e n j e diferencijalne jednafine yIv=O je

*, .

y=C,+C, x+Cs x g + c 4

Zamenom dobijenog opSteg reSenja u datim granifnim uslovirna, nalazimo C,=O,

c,=o,

C*=O i

cs=o.

.

Prema tome reSenje problema je trivijalno (y=O), te k=O nije sopstvena vrednost. Z0 h>O.

U ovom slutaju opSte reSenje diferencijalne jednarine glasi y=C, ch & x+C, sh h x+C, cos h x+C, sin h x. Iz prva dva granitna uslova: y (O)=C,+C,=O,

y" (0)=XL(C,-C,)=O

imamo

-.

C1=Cs=O.,

Zamenom regenja u preostalim granifnim uslovima, dobijamo C2sh 1-C4 sin h = ~

(**I

C2(h3ch h-shh)+C,

(-~~COS h-sin

h)=O.

Determinants sistema (**) je A (h)=h3(chhsinh-coshsh 1 ) - 2 s h h s i n h ,

a njene realne nule (ukoliko postoje) su realne sopstvene vrednosti datog granifnog problema. Deobom jednaEine A (h)=O sa sh h sin h, dobijamo jednatinu 2 -=cth h-ctg 1. 2.8

Iz grafitkog prikaza aba dela prethodne jednafine zakljuEujemo da ona ima beskonaEno mnogo regenja: h=hn (n=0,1,2,. . .).

Za sopstvenu vrednost k=hO iz bilo ,koje jednaeine sistema (**), na primer iz prve, dobijamo odgovarajuke vrednosti C, i C,, dakle

cz sin A,

=

c4 sh A,

=Ao

3

C,=A, sin h, C4=Aosh 1,

gde je A, proizvoljna konst,anta. Prema tome sopstvenoj vrednosti h=h, odgovara sopstveno reSenje y,=A, (sin 1,sh X, x + sh 1,sin ho r). Korespondentna sopstvena funkcija dobija se iz sopstvenog resenja, stavljanjem A,=l.

39. ReSiti graniEni problem

yIV-2 ay"-by=0,

(a>O,

b>O);

y (O)=O, y" (O)=O, y (l)=O, y" (l)=O.

gde je

OpSte xeSenje date diferencijalne jednaEine je Slirno kao u prethodnom zadatku, iz prva dva graniEna uslova imamo

Zamenom reSenja y=C,shax+C,sin P x i"~'

" u preostalim graniEnim twlovima, dobijamo

Determinants toga sistema je jednaka nuli, dakle

A=-(aZ+p2) s h u a s i n p l = o za

d n pl=O, jer je s h a l > O

(a1>0).

Odatle sledi

OEevidno je da za svaki prjrodan broj n postoji par pozitivnih brojeva a i b tako da vaZi prethodna jednakost, na primer ako se stavi b = 3 aVobiCe se nn

)16-T9~-~nZa dobijene sopstvene vrednosti

(bn =3 an).

pa,

sistem (*) be biti

odakle sledi da je C,=O i C, proizvoljan broj. Prema tome, traZena regenja paniEnog problema su: pn=An sin

nn

- X, 1

@=I,2;.

pri Pemu vaii jednakost t v a p + b - a =

..): nn T .

(An proizvoljan broj),

40. GraniEni problem definisan je diferencijahom jednaEinom yIv -X4 y=O,

(X>O).

i graniEnh ulslorvima

y (1) =y' (1) = 0. Nafi r&enji y = y (x) problems, tkoja imajv osobinu y (x)= y (-x). Rezultat. (n=l,2,. . .),

yn=A, (COS Xn ch Xn x -~h l n cos b q x),

X=&

zadovoljavaju jednakost thh-tgb=O,

A, proizvoljan broj.

41. Data je diferencijalna jednaeina x2 y"-X parametar.

y=O,

gde je h realan

a) Nafi opSte reSenje te jednaEine. b) Odrecliti sopstvene vrehosti i q s t v e n e funkcije graniEnog problems

x2 y"-1 y=O, y (l)=O, y (e)=O. Rezultati.

vx (el eos J - d l2n

y=

x + C, sin

2

gde je d=1+4X. b)

4Xn=-1-4n3xP,

vr=

(n=l, 2,

sin (n TC In x),

.. .).

42. Dat je lineami granieni problem y M + 2 yl+X

gde je

X

y=O, y (0)=0,

realan parametar. ReSiti problem.

Rezultat. An=l

y (E)=O,

RZ iT2

+-, la

nx yn=Cfie-2sin-x, I

(n=1,2, ...)

Cn proizvoljne konstante.

za d d < ~ ;

43. Zadan je sistm diferencijahih jednarina yt=3 2- y z'=z+y+e",

gde je

k realan parametar. Nabi

opSte reSenje sistem.

Diferenciranjem prve jednatine datoga sistema po x i ellminacijam promenljivih z i z', nalazimo

Oplite reSenje jednatine (1) je oblika y = z ~ h + Y , gde je yh opgte rebenje odgovarajuke homogene jednaEine a Y partikularno relienje. Polito au koreni karakteristitne jednatine r2-4=0 rl= -2 i rp=2, to je Partikularno relienje Y, diferencijalne jednatine {I), zavisife od paralnetra k, pri Eemu treba uzeti u obzir slutajeve: 1X1#2 i IXI=2. lo )h1#2. Relienje Y je oblika Y=Aehz. natini (I), dobijamo

Zamenom funkcije Y u jed-

Prema tome, opSte regenje jednaEine (1) glasi

Iz prve jednaEine datoga sistema sledi (4)

z=

I

~(YSY').

Zamenom (3) u relaciji (4) dolazimo konarno do opSteg reSenja sistema, dakle

2 O X=2. U ovom sluEaju partikularno regenje Y je oblika Y=Axezr.

menom funkcije Y u jednatini (1) (h=2), 4Aeszm3esz a A=-

3 4'

Stoga je cxplite regenje jednatine. (1):

imam^

Za-

Zamenom (5) u jednakosti (4) dobija se nepoznata funkcija z. Prema tome, opite seSenje datoga sistema u ovom sluEaju, glasi

3O

X= -2. Partikularno reSenje jednaEine (1) treba traiiti u obliku Y = B x e - 2 2 . Na potpuno ,isti naEin kao u prethodnom sluEaju, dobijamo opSte reSenje sistema, dakle 3 y=C1 e-2z+C2 eP+---xe-22 4

44. Dat je sistem difemcijahih jednaEina x - 2 x+2 y=o

Nati opSte reSenje sistema, a zatim odrediti ono partikularno rdenje koje zadlovoljava uslwe: lim y=0, lim x=0, x (0) = 1, y (0)=O. t+-

k-

Diferencirajmo prvu jednafinu sistema dva puta po t, i obrazujmo sledebi sistem jednaEina

Eliminacijom promenljivih y i y iz toga sistema, dobijamo linearnu diferencij alnu j ednabinu .... .. x-5 r + 4 x=O, fije je opSte reSenje

Zamenom (1) u jednakosti y=-

1 (2x-x), 2

dobija se i nepoznata funkcija y.

Prema tome, opSte reSenje datoga sistema glasi

( x=Cl e - 2 t + C Z e - t + C S e f + C , e a t

ReSenje (2) zadovoljava prva dva data uslova, u sluEaju kada je C,=C,=O. Konstante C, i C, odreduju se koriikenjem preostalih uslova, dakle

KonaEno, traieno partikularno reBenje datoga sistema je 1 X p = - (e-2!+2 e-t) 3 1

J'p = - (-e-2t+e-t).

3

45. Regiti sledede sisteme diferencijalnih jednaEina:

Rezultati. lo

z0

xp=16 t+6-3sin t-2cost, y,=-8 t+1+2sin t. x=C, et+2 C, ert-et.In (eZt+1)+2 e 2 t arc tg et y=C, et+3Cee2t-etIn (e2t+l)+3 e2t arctg el.

46. Dat je sistem linearnih diferencijalnih jednaEina u matrirnom obliku dX -=AX+F dt

@e j.e 1 3-2

xa

ReSiti sistem primenom matrica.

0 3 -

ReSenje odgovarajute homogene diferencijalne jednaeine

traiikemo u qblii'ku matrice

Iz identiteta h A, e x t - A A a e x t ,

sledi ( A - x E) A,=o, ili u skalarnom obliku

(1-h) a1+3 a,-2 a,=O (2)

-a1+(2-h) a,+a,=O 3 a , + ( - 1 - h ) a,=O.

Da bi homogeni sistem jednatina (2) imao netrivijalna rdenja, potrebno je i dovoljno da determinanta toga sistema bude jednaka nuli, tj. 1-1 3 -2 xi=-1 1 2 A 1 3 ( 1 h ) ( l + h ) @ 2 ) = 0 &= 1 A@)=

0

3

-1-A

X,=

2.

Za dobijene vrednosti X=hk ( k = l , 2,3) sistem jednarina (2) svodi se na dve nezavisne jednatine sa tri nepoznate, na primer mogu se uzeti prve dve jednatine (1-hk) a1+3 a,-2 a3=0 -a1+(2-.LA.) a,+a,=O

iz kojih se odreduju odgovarajuke vrednosti a,, a, i h. Imamo, dakle

Prema tome opSte reSenje odgovarajute homogene jednatine, glasi Xh=CI X1+C2 X,+C3 X,

odnosno

PomoCu metode varijacije konstanata odredieemo oplte relenje nebornogene diferencijalne jednaEine

u obliku matpice

-

(4)

x=

C1 ( t )e - t + 5 C , (t) et+Cs ( t )e2t 2 C, ( t )et+C, ( t )e2t

, (Ck(t)=?).

- CI( t )e - t + 3 Ct ( t )et+C, ( t )e2t C,e - t + 5 C , e t + ~ e, * t = l 2 C,et+C, e 2 t = 0 C,e - t + 3 C , e t + d , ent=t sledi

Integracijom tih jednaEina, nalazirno

Zamenom dobijenih izraza (5) u matrici (4), sledi oHte d e 4 e date jednaEine, dakle

47. Dat je sistem linearnih diferencijalnih j&naEina u matrilinom &Uku

gde je

Nati opWe ieienje, a zatim i ono partikularno koje zadovoliava uslov

- D,et+D,sint+D,cost

-Dl et+D, cos t-D, sin t+:

X=

-

1

; Dl=D,=l

i D,=0.

D, sin t+D, cost+l-

48. Na& opgte regenje sistema linearnih diferencijalnih jednarina koji je zadan u matriPnom olbliku

pri Emu je

BeSe4e. Karakteristifna jednafina

4-A 3 1

-1 1-1

0

-1

=(2-h)'==O

0 1-h

ima koren k=2 treCeg reda. U tom slufaju, opSte reSenje sistema linearnih diferencijalnih jednaf ina

treba traiiti u obliku

gde su: (2)

gl=a,

t*+%t+a,,

gI=bJF+bp t+bi

i ~~=d~t'+d~t+di

polinomi sa neodredenim koefioijentima. Zamenom funkcija

u prvoj i treCoj diferencijalnoj jednaEini datog sistema na primer, dobijamo identitete

odnosno

Odatle rsledi (4)

b,=2 a,-a,,

b,=2 a,-2 as, b8=2 al

d,=a,-a,+2

a,, d n = ~ - 2a,, d8=as.

Pogto su a,, a, i a, proizvoljni brojevi, moZemo staviti as=Cs (s=l, 2,3), pa Ce traieno opSte reHenje u matritnom obliku, s obzirom na (I), (2) i (4) biti

-c, X-

+

Czt

+

Cst2

2C,- Cz+(2Cz-2CS) t+2C8 tZ

e2 1

~ c , - c , + ~ ~ , + ~ ~ , - z ~ ~. ) t + ~ , t ~ ~

,

2. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE

49. Reziti sledeke parcijalne diferencijalne jednaf ine:

ReSenja. 1 Integracijom odgovarajukeg sistema obiEnih diferencijalnih jednaeina

---

d x 1

dv -1

xydr y-x

nalazimo a x = -dy dx

=3

x+li=C,,

-xvdz 1

C,-2~ dt.= --- dx a z=lnCp+ln (C,x-xS) c,x-x2

-

3

y=C,-x

Prema tome, prvi integrali toga sistema su:

OpSte relenje date parcijalne jednaEine je

(

F x+y,

I:: -

-

0,

(implicitni oblik)

ili

(**I

z=ln (XU) +f (x+Y),

(eksplicbtni oblik),

gde su F i f proizvoljne diferencijabilne funkcije. ReSenje parcijalne jednaEine, koje treba da zadovolji date poEetne uslove, moiemo odrediti na dva narina u zavisnosti od toga da li se koriste prvi integrali (*) ili opSte reSenje (**).

I naEin. Eliminacijom promenljivih

x, y i z jz ,skupa jednatina

dobijamo

Koristebi veze (*), nalazimo

a odatle, resavanjem po z sledi traZeno regenje u eksplicitnom obliku

II naain. U opstem regenju (**) treba odreditf funkciju f pomdu datih poEetnih uslova. Imamo dakle d

Hto znaEi da je funkcija f oblika

-I+ V l - ( u - x f ( u ) = I n uu-l Zamenjujubi je u jednakosti (**), dobibemo reHenje (***). 2 O Prvi integrali sistema diferencijalnih jednatina

Stoga &e opgte reSenje jednaEine u eksplicitnom obliku biti

gde je f proizvoljna diferencij abilna funkcija. Partikularno regenje .,koje zadovoljava dati aslov odredujemo na sliEan natin kao u prethodnom primeru, naime z ( l , y ) = f (eY'/s)=efl f (u)=u2, (u =el*), pa je

*

odnosno, funkcija z=

1 e X

YZ

7

50. ReSiti sledeee parcijalne jednaMne:

'6 ( y + 2 z 2 ) p + 2 x 2 z q = x 2 ; z f x ) x 2 ) = x . Rezuitati.

2O

F (p, xyz

- y-3a ) = 0 ;

3' F ( x 3 - y p , W-z)=O; I O F ( ~ ,y + X

5 O

,;(

F

1=o;

X

z=4+3 y3-3 x e + x y + v w . (2 U + X ) ~ = X~ Z

z2y + y 2 x + x z z XY

(yz).+3 xyz-y3+1=0.

)

0

+ ~xe y.

z2 ( 5 - y 2 ) + z ( 5 y - y x Z ) + ~ z - y 3 ~ = 0 .

51. Nafi @te resenje parcijalne jednari'ne (2 2-3 y) & + ( 3

X-2)

u u + ( y - - 2 x ) %=0,

Reznltat.

u = f (x2+yt+z2, x + 2 y+3 z), f proizvoljna diferencijabilna fumkcija.

52. Data je parcijalna jednaEina 42

zZz+z,,--=O,

r2

gde je r = v m ,

d22

Odrediti funkciju z-- f ( r ) koja zadovoljava jednaEinu. Regenje. Diferenciranjem sloiene funkcije z = f (r), dakle

1 zamenom izvoda drugoga reda u parcijalnoj jednaEini, dobijamo Eulerovu diferencijalnu jednaEinu r3frr+rfr-4f-0.

Smenom r=et, ona se svodi na diferencijalnu jednaEinu sa stahrkn koeficijenbima f-4f=O, Eije je opSte relenje f=C, e-2t+C, e2t. I konabo, rejenje date garcijalne jednaEine u obliku funkcije z=f (7) glasi z=C, r-g+C,rS odnasno

c,

z==-+ c, (x2-ty2). x2+y2

53.

u

transformacimim jcdntaliinauna u=x+a y i v=z+B 3, odrediti parametre a i fi tako da parcijalna jedolatiina a&,+ 2 bz,,+

cz,,=

0,

gde su a, b i c (bnstante h j e zadovoljavaju relaciju dobije oblik zu,=0. Odrediti apste reSenje date jdnaEine.

ac-WO).

Koristikemo metod razdvajanja promenljivih. Zamenom funkcije u (x, t )=X ( x ) T ( t ) u datoj parcijalnoj jednaEini, nalazimo

(-AX Iz granitnih uslova

A > 0.

koje treba da zadovolji nepoznata funkcija X = X (x). S obzirom na (1) i (2), razlikova6emo sledde slutajeve: lo

X"-~'2X=O

P O W jednaeina T"+(aX)V=O

,

ima apSte regenje &lika

T(t)=Acos(a)it)+Bsin(aXt), to 6e za X=Xn

biti

T,,(t)=An cos (a ?.,t) +Bn sin (a 5t t), gde su A, i Bn proizvoljne konstante. Obrazujmo funkcionalni niz Svaki elan niza (3) je regenje parcijalne jednaEine koje zadovoljava date graniEne uslove (sopstvena reSenja problema). ReSenje parcijalne jednafine, koje 6e pored graniEnih uslova zadovoljavati i date poEetne uslove, trafi se u obliku funkcionalnog reda OD

(4)

00

[An cos (a & t) +Bn sin (a h, t)] sin Xn x.

un(x, t) =

u (x, t)= n=l

n=l

Kako je (5)

x

ut (5,t)=

a An [-An sin ( a An t)+ Bn cos ( a An t ) ] sin A,

X,

n=l

Do za t = O ,

s obzirom na poEetne uslove, iz (4) i (5) sledi

u (x, 0)=

x

An sin X,x =0,

n=l

OD

~1

(x, 0)=

C a )in Bn sin kf$ x = f (XI. n=l

PoSto su to sinusni F-redovi, poznatim postupkom nalazimo 1

Bn-

2vl -[cos a xZ ng

nxa

- COP 1

I

-. nXg 1

Zamenom nadenih koeficijenata A, i B, u jednakosti (4), dobijamo r d e n j e zadanog meSovitog problema, dakle anx t

(7)

4vJ

u (x,t) = -

z" --1

a n2 k=O (2 k + l ) *

sin

(2k+l)ant 1

sin

sin

nnx

-I

( 2 k + 1)nx 1

Oznarimo sa D skup taEaka M (a,t ) , Eije koordinate zadovoljavaju uslove: OO) i uslovima: u(O,y)=O,

u(a,y)=O,

u (x, O)=O, u (x, b)=O.

Uzimajubi lda je u (x, u ) = X (2)y (Y) nahi sopstvene vredrnosti i sopstvene funkcije problema. ReSenje. Zamenom funkcije u = X Y YX"+XY"=

u parcijalnoj jednatini, dobijamo

-A2 XI-,

a odatle, deobom sa XY sledi

Svaki sabirak na levoj strani prethodne jednakosti mora biti konstantan broj. Stvarno, ako tu jednakost napiSemo u obliku

tada vidimo da desna strana ne zavisi od x a leva ne zavisi od y. PoSto su x i y nezavisno promenljive, jednakost (1) je moguka samo u tom slutaju ako su izrazi na jednoj i drugoj strani konstante, dakle

i pri tome je: (2) X3=ao P2.

+

Iz datih granirnih uslova proizilaze graniEni uslovi

x (O)=O X (a)=O

odnosno

Y (O)=O Y (b)=O

koje treba da zadovoljava nepoznata funkcija X = X ( x ) , odnosno funkcija Y = Y ( y ) . Prema tome dati graniEni problem svodi se na traZenje sopstvenih funkcija Xn (x) i Y m ( 9 ) . Imamo dakle X"+a2 X=O

KonaEno, nalazimo: lo sopstvene funkcije granilinog problema un,m ( x , y )

-

sin

nxx

mxy

sin -. a b '

Z0 sopstvene vrednosti granilinog problema

58. Zica, uEvrs6ena na krajevima x = 0 i x=Z i imufena iz r a w t e h o g polofaja, u trenutku t=O ima oblik kao na slici.

Odredibi udaljenje u=u (x, t ) taEka na iici u trenutku t , ako je njena po2etna bmina treperenja ut (x, 0 ) =O. Rezultat. u(x,t) =

9r " 1 2nx anxt nxx - sin - cos -- sin x2 "=I nZ d 1 1 '

-

Upntstvo. PoPetni uslov u ( x , 0) =f ( x ) zadan grafitki je

a graniEni uslovi su u(O,t)=O

i u(l,t)=O.

59. Koriste& m e t d razdvajanja promenljivih, naOi r e k n j a slededih megovitih problema:

u (0, t )=0 , u (l, t )= 0 , 5nx 4nx u ( x J 0 ) = 2 s i n - , ut ( x , 0 ) = 3 sin -. 1 1

lo

u

-f

[2(-i)nA'cGs 2nt

n=l

+ 1 + ( n - naI ) (x-

1)n

I

sin 2 nt sin nx.

5ant 5xx 4axt 4xx - 2cos sin ---- + sin - sin -. 4an I I 31

2 O

u

30

u-41g[EL-

1

#PO

(2n+l)n

1

-

I

(2n+1,~x~

-[(2n:','ax]

$

(2n+l)zr COS

21

3. BESKONACNI REDOVI 60. Pokazati da je red

konvergentan, i odrediti njegovu sumu. Rdenje. Koristebi razlaganje racionalnog izraza uk, daMe

nalazimo

lim Sn

n--

23 90'

-

PoHto je niz parcijalnih suma (Sn)datoga reda konvergentan, to je po definiciji posmatrani red konvergentan, i njegova suma S je graniba vrednost 23 toga niza, tj. S = 90'

16. Ispitati kmvergenciju reda

gde je a realan parametar. Besenje. Zadatak Cemo regiti na dva naEina.

Pored datog alternativnog reda

piwmatraCema i njegov smodularni red

KoristiCemo relaciju

kao i funkciju

Piji je prvi izvod

l o Red konvergira apsolntno za a