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IEDF

Techniques quantitatives 2

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Semestre 2

MATHEMATIQUES FINANCIERES (Cours et exercices non corrigés)      

Intérêts simples, escomptes et effets équivalents mise en équations de problèmes de gestion LES PARTAGES Intérêts composés Annuités Emprunts et amortissement TABLE FINANCIERE POUR LE CALCUL DE L’EXPRESSION ( ( 1 + i ) ^ m - 1 ) / i

Intérêts simples, escomptes et effets équivalents Page 1

I.

DEFINITIONS DE BASE  L’intérêt peut être défini comme étant la rémunération d’un placement d’argent, versée par un emprunteur à un prêteur. On peut donc dire que l’intérêt est le loyer de l’argent prêté  Une somme d’argent placée auprès d’une banque d’épargne, qui pratique un taux de t % , va rapporter au bout d’un certain temps un bénéfice Dans le vocabulaire financier : Somme d’argent est désignée par capital initial Certain temps est désigné par durée du placement Bénéfice est désigné par Intérêt Taux de t% , c’est par défaut un taux annuel Capital initial + intérêt = valeur acquise  L’intérêt est directement proportionnel : - Au capital placé ou emprunté, - A la durée du placement ou du prêt, - Au taux de placement - Les intérêts simples s’appliquent généralement aux opérations financières à court terme d’une durée inférieure ou égale à un(01) an.  L’intérêt simple s’applique généralement aux opérations financières à court terme ,d’une durée inférieure ou égale à une année.  L’intérêt simple ne produit pas , à son tour, un bénéficie

II.

DUREES DE PLACEMENT Année commerciale (ou année financière) = 12 mois = 360 jours Année civile = 12 mois = 365 jours (voir 365,25 jours) Les mois de janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre comptent chacun 31 jours Les mois d’avril, juin , septembre et novembre comptent chacun 30 jours Le mois de février compte 28 jours et toutes les 4 années, il compte 29 jours (Année bissextile). le mois de février compte 29 jours si son année est divisible par 4

Exemple Un capital est placé du 15 février 2019 au 16 mai 2019. Quel est-le Nombre de jours de placement ? 2019 n’est pas divisible par 4 , le mois de février 2019 compte 28 jours Du 15 au 28 février 13 jours 15-02 exclu et 16 mai inclu er Du 1 au 31 mars 31 jour er Du 1 au 30 avril 30 jours Page 2

-

Du 1er au 16 mai

III.

FORMULES DE CALCUL

16 jours

soit un total de 90 jours

Pour des raisons pratiques, on pose i = t/100 (ainsi si t=5% alors i=0.05) un capital C , placé au taux annuel de t% (i=t/100), va rapporter un bénéfice selon la durée de son placement. Durée 1 année N années

Bénéficie C.T/100 C.i C.i.N

Valeur acquise = C + C.i = C(1+i)

M mois

C.i/12.M

C + C.i.M/12 = C(1+i.M)/12

J jours

C.i/360.J

C + C.i/360.J = C(1+i.J/360)

C + C.i.N = C(1+iN)

Remarques : 1. l’intérêt simple ne génère pas à son tour un bénéfice 2. l’’intérêt est post-compté lorsqu’il est versé à l’issue du placement 3. l’intérêt est précompté lorsqu’il est versé, par avance, au moment du placement.

IV. ESCOMPTES ET EFFETS EQUIVALENTS

Valeur nominale La valeur nominale d’un capital placé ou emprunté est la somme effectivement versée à une date déterminée choisie comme origine des calculs. Valeur acquise C’est la valeur nominale augmentée des intérêts produits ou acquis pendant la durée de placement ou tout simplement (capital initial + intérêts): l’escompte Page 3

c’est La substitution d’un capital payable comptant à un capital payable à terme , on distingue deux types d’escomptes :. - l’escompte commercial qui est l’intérêt de la valeur nominale pour le temps qui doit s’écouler entre le jour de négociation et celui de l’échéance. L’escompte rationnel qui est calculé sur l’avance à verser. - les banques pratiquent l’escompte commercial, c'est-à-dire que l’escompte est toujours précompté. Equivalence de deux effets - On dit que deux effets commerciaux (ou deux capitaux) sont équivalents à une époque déterminée, étant escomptés au même taux, s’ils ont la même valeur actuelle à cette date. - L’époque où les deux effets sont équivalents s’appelle date de l’équivalence des deux effets. - Théorème : Si deux effets sont équivalents un jour donné, ils ne l’étaient pas avant cette date et ne le seront plus après

Page 4

EXERCICES

- Intérêts simples

EXERCICE 1 Trois (3) Capitaux placés respectivement durant 1,2 et 4 ans , sont en progression géométrique , les intérêts produits respectivement par ces capitaux sont en progression arithmétique. Le premier capital , placé à 6% , génère une valeur acquise de 127 200 da Le deuxième capital, placé à 8% , produit un intérêt de 9600 da Calculer : Les 3 capitaux , les intérêts produits par le premier et le troisième capital, les valeurs acquises générées par le deuxième et le troisième capital, le taux de placement du troisième capital EXERCICE 2 Trois capitaux directement proportionnels aux entiers 3,4,5 constituent une somme de 48000 da.  Calculer leur montant respectif  Placés à 5% pendant des temps différents, ils ont rapporté ensemble 7200 da. L’intérêt du premier capital est la moitié de l’intérêt du second capital et l’intérêt du troisième est égal à la somme des deux autres. - Trouver l’intérêt de chacun des 3 capitaux - Calculer les temps pendant lesquels ils ont été placés EXERCICE 3 La différence des intérêts produits par un capital (placé à 10%) est de 6 da selon que l’on utilise l’année commerciale ou l’année civile. Quel est ce capital EXERCICE 4 Une personne emprunte une certaine somme. Si elle rembourse le capital et les intérêts au bout de six(6) mois, elle aura à payer 6695 da, si elle rembourse cette somme au bout de 1 an et 2 mois elle aura à payer 6955 da. Calculer :  Le capital emprunté  Le taux et les intérêts

EXERCICE 5 Page 5

Un capital placé à 3% pendant un certain nombre de jours rapporte 35.32 da mais s’il était placé à 6% pendant 5 jours de plus, il rapporterait 77,55 da. Trouver le montant du capital et la durée du placement EXERCICE 6 Deux capitaux sont placés pendant 300 jours, le premier à 3 % et le second à 6 %. Le deuxième est les 3/4 du premier, l’intérêt rapporté par le second capital dépasse de 3 da celui rapporté par le premier capital Calculer :  Le montant de chaque capital  Le nombre de mois nécessaires pour que les deux capitaux aient la même valeur acquise EXERCICE 7 Une personne place les 4/5 d’un capital à 4 % pendant 30 jours, les ¾ du reste à 7 % pendant 10 mois, le reste qui s’élève à 9000 da à un certain taux pendant deux ans . Le total des intérêts s’élève à 3855 da, trouver le capital et le taux du troisième placement. EXERCICE 8 Un épargnant place une certaine somme à intérêt simple. Au bout de 8 mois ,il trouve à faire un autre placement plus avantageux , il retire donc la première somme qui se monte à 6160 da (capital et intérêt réunis) et la prête pendant un an à un taux double du premier . Il est alors remboursé par son emprunteur qui lui remet au total (capital+intérêt) la somme de 6652.80 da.  Quels étaient les deux taux d’intérêts ?  Quel était la somme primitivement placée ?

EXERCICE 9 Page 6

Quatre capitaux 12500, 19000, 21000 ,8600 ont été placés à 6 % respectivement pendant 80 jours, 45 jours, 65 jours, 34 jours  Calculer les intérêts rapportés par ces capitaux  Calculer la somme de leurs valeurs acquises La somme totale de ces capitaux et de leurs intérêts est partagée entre les trois héritiers A,B,C proportionnellement au nombre d’enfants de chacun 2 ; 3 ; 5 et d’une façon inverse à leurs âges 32 ; 45 ; 48  Déterminer la part qui revient à chaque héritier.

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Mathématiques Financières

Série 2/5

Semestre2

Exercices SUR LES PARTAGES

Techniques quantitatives 2

RESUME Un bien P est à partager entre trois individus A , B , C en fonction de leurs paramètres respectifs A1 , B1 , C1 (les paramètres peuvent être les âges , les anciennetés, les présences au travail, les absences etc.). On désigne par P1 la part de l’individu A P2 la part de l’individu B P3 la part de l’individu C Il est évident de constater que P= P1 + P2 + P3  Si le partage se fait d’une façon proportionnelle (directe) , nous aurons la relation P1 / A1 = P2 / B1 = P3 /C1  Si le partage se fait d’une façon indirecte (inversement proportionnelle) nous aurons la relation A1.P1 = B1.P2 = C1.P3

EXERCICE 1 Un employeur veut répartir une gratification budgétisée de 200 000.00 da entre quatre (4) de ses employés A,B,C ,D soit en 1) Raison directe par rapport à leurs nombres respectifs d’enfants 3 ;1 ;4 ;2 2) Raison inverse de leurs journées respectives d’absences 10 ;1 ;15 ;5 3) Combinant le nombre d’enfants et le nombre de journées d’absences d’une façon équilibrée puis en donnant aux journées d’absences un poids triple par rapport aux nombres d’enfants Calculer pour chacun des cas considérés la part de chacun des 4 employés

EXERCICE 2 Un comptable est chargé de partager une prime entre 5 employés A, B,C,D,E d’une façon Page 7

directe par rapport à leurs nombres respectifs d’enfants 5 ;3 ;4 ;1 ;2 et d’une façon proportionnelle par rapport à leurs nombres respectifs d’échelons 10 ;8 ;12 ;6 ;14 . Par erreur le partage a été fait d’une façon inverse par rapport à leurs nombres d’enfants respectifs, le troisième employé a alors perçu 1178.832 dinars de moins qu’il aurait du recevoir. Calculer : - La valeur totale de la prime - La part que le troisième employé doit normalement recevoir

EXERCICE 3 Le comptable d’une entreprise a reçu l’ordre de partager une prime P entre trois(3) employés A,B,C d’une façon directe par rapport à leurs d’enfants respectifs (3,2,5) et d’une façon inverse par rapport aux années respectives d’ancienneté (1,5,4). Sachant que la part de B multipliée par 2 nous donne la part de C plus 100 Calculer la valeur de la prime P et la part de chacun des trois employés A,B,C

EXERCICE 4 Une prime de 700 000.00 da est à partager entre les 15 employés de 3 services au niveau d’une agence bancaire et cela d’une façon proportionnelle par rapport au nombre d’enfants de chacun. Les employés sont répartis comme suit : Nombre d’enfants  0 1 2 3 total SERVICE-1 0 2 2 1 5 SERVICE-2 0 2 0 2 4 SERVICE-3 1 3 1 1 6 Total 1 7 3 4 15 1) Quelle est la part de chaque employé ? 2) Quel est le montant total dédié à chaque service ?

EXERCICE 5 Quatre capitaux 12500, 19000, 21000 ,8600 ont été placés à 6 % respectivement pendant 80 jours, 45 jours, 65 jours, 34 jours  Calculer les intérêts rapportés par ces capitaux  Calculer la somme de leurs valeurs acquises La somme totale de ces capitaux et de leurs intérêts est partagée entre les trois héritiers A,B,C proportionnellement au nombre d’enfants de chacun 2 ; 3 ; 5 et d’une façon inverse à leurs âges 32 ; 45 ; 48  Déterminer la part qui revient à chaque héritier.

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INTERETS

COMPOSES

L’intérêt compose, contrairement à l’intérêt simple, génère à son tour un bénéfice Définition Le principe de l’intérêt composé est la capitalisation des intérêts acquis de période en période. Ce mode est retenu pour les opérations de long ou moyen terme, c'est-à-dire celles dont la durée est supérieure à un an. On considère une opération sur n périodes de durée unitaire (par exemple une année). Après une période, le capital acquis est de a (1+i). A la fin de cette période, le capital acquis est lui-même placé au taux i pour la période suivante, ce qui conduit au capital acquis suivant après deux périodes : a (1+i) + i a (1+i)2 En renouvelant ce placement de période en période, la capital acquis à la fin de la nième période est An = a (1+i)n On dit donc qu’un capital est placé à intérêts composés, lorsqu’à la fin de chaque période l’intérêt simple de cette période est ajouté à ce capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante. 1. FORMULE DE CAPITALISATION 1.1 Etablissement de la formule générale des Intérêts composés : le temps de placement est un nombre entier Désignons par : a : capital initialement placé ; Page 9

i : le taux correspondant à la période (intérêt de 1 DA) n :le nombre de périodes ( pour les opérations financières à long terme, l’unité de période la plus fréquemment retenue est l’année, quelquefois le semestre ou le trimestre ) A : la valeur acquise par le capital au bout de n périodes Périodes Capital placé Intérêt produit Capital obtenu en fin de période au début de Pendant la ( A : valeur acquise) période période 1 A ai a + a i = a (1+i) 2 A (1+i) a (1+i) i a (1+i) + a (1+i) i = a (1+i)2 3 A (1+i)2 a (1+i)2 i a (1+i)2 + a (1+i)2 i= a (1+i) 3  ….. ….. ….. ….. N A (1+i) n-1 a (1+i) n-1 i a (1+i) n-1 + a (1+i) n-1 i = a (1+i)n A = a (1+i)n La table financière T1 donne la valeur du facteur (1+i)n Application: Que devient un capital de deux (02) millions de DA placé pendant 5 ans : a) au taux de 4 % avec capitalisation annuelle des intérêts? A = 2 000 000 x (1,04)5 = 2 000 000 x 1,216 653 = 2 433 306 DA La table financière I donne les valeurs successives de (1+i) n (1,04)5 = 1,216 653 La plus grande précision est fournie par les outils de calcul (tableur ou la calculatrice électronique) b) au taux de 2 % avec capitalisation semestrielle des intérêts? A = 2 000 000 x (1,02)10 = 2 000 000 x 1,218994 = 2 437 988 DA On constate que, pour un même taux annuel et pour une même durée de placement, la valeur acquise augmente lorsque la période de capitalisation diminue. 1.2 Le temps n’est pas un nombre entier de périodes. Taux proportionnels – Taux équivalents Dans l’établissement de la formule générale de capitalisation A= a (1+i) n , nous avons supposé n entier, mais le nombre de périodes peut être fractionnaire ; exemple 4 ans et 5 mois. Deux solutions sont possibles : 1° Utiliser la formule des intérêts composés pour la partie entière et pour la partie fractionnaire, à calculer les intérêts simples à partir du capital ainsi obtenu. C’est la solution rationnelle, la capitalisation des intérêts ne pouvant se faire qu’en fin de période. Posons n = k + q avec k entier et q rationnel avec 0 < q < 1 , on obtient ainsi: An = a (1+i)k (1+qi) Page 10

Au bout de k années, la capital obtenu par un placement initial de a Dinars sera A k = a (1+i)k Calculons les intérêts simples produits par le capital A k pendant la fraction q de l’année au taux annuel i . Application : calculer, en utilisant la solution rationnelle, la valeur acquise par un capital de 1 million de DA placé pendant 4 ans et 5 mois au taux annuel de 6 % A = 1 000 000 x (1,06)4 x (1+0,06 x 5/12) = 1 000 000 x 1,262477 x 1,025 = 1 294 038,93DA L’utilisation de l’expression 1 + qi nous conduit à la notion de taux proportionnels. Taux proportionnels : Deux taux correspondant à des périodes différentes sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives. Exemple Taux annuel 6 % : Taux semestriel proportionnel 3 %, taux trimestriel proportionnel 1,5 % Remarque : Si à intérêts simples, deux taux proportionnels conduisent un capital à une même valeur acquise pour une durée donnée. Il n’en est pas de même à intérêts composés, où la valeur acquise augmente lorsque la durée de la période diminue. 2° Etendre, au cas où n est fractionnaire, la formule précédemment établie pou n entier, c’est la solution commerciale. Ce qui donne : An = a (1+i)k (1+i)q = a(1+i)k+q Application : calculer, en utilisant la solution commerciale, la valeur acquise par un capital de 1 million de DA placé pendant 4 ans et 5 mois au taux annuel de 6 % A = 1 000 000 x (1,06)4 x (1,06)5/12 = 1 000 000 x 1,262477 x 1,02458 = 1 293 508,68 DA (1,06)4 est obtenu par la table financière I et (1,06)5/12 est obtenu par la table 5 Taux équivalents : Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents lorsque, pour une même durée de placement, ils conduisent à une même valeur acquise à intérêts composés. Le taux par période équivalent à i est le taux ik tel que : ( 1+ik)k = 1+i ; Il est égal à ik = V 1+i - 1 Exemple : 1 DA placé au taux annuel ia devient au bout d’un an : 1+ia 1 DA placé au taux semestriel is devient au bout d’un an : 1+is Les taux ia et is seront dits équivalent si les valeurs acquises sont égales 1+ia = (1+ is)2 2. FORMULE D’ACTUALISATION Le capital qu’il faut placer aujourd’hui (à la date zéro) au taux i pour obtenir le capital à la date n s’appelle valeur actuelle de A au taux de i, elle est notée a. A intérêts composés cette valeur est : a = A / (1+i)n et, en appliquant les règles relatives aux exposants négatifs a = A (1+i)-n La formule d’actualisation se déduit de la formule de capitalisation. Elle nous donne la valeur actuelle à l’époque zéro d’une somme qui ne sera disponible que dans n périodes. Page 11

E X E R C I C E S – Intérêts composés EXERCICE 1 Deux capitaux dont le total est égal à 10 000 da ont été placés ; l’un à intérêt simple au taux de 10 % et l’autre à intérêt composé au taux de 8%. Au bout de 9 ans, ils ont acquis la même valeur. Calculer les montants des deux capitaux placés. EXERCICE 2 Un capital C placé au taux annuel de t% a généré au bout de N années une valeur acquise V.  Dans le cadre d’une capitalisation semestrielle, à quel taux équivalent semestriel on aurait du placer ce capital C pour avoir au bout de N années la même valeur acquise V ?  Dans le cadre d’une capitalisation trimestrielle, à quel taux équivalent trimestriel on aurait du placer ce capital C pour avoir au bout de N années la même valeur acquise V ?  Dans le cadre d’une capitalisation mensuelle, à quel taux équivalent Page 12

mensuel on aurait du placer ce capital C pour avoir au bout de N années la même valeur acquise V ? EXERCICE 3 Le placement à intérêts composés d’une somme de 20 000 da est complété un an après par un nouveau dépôt de 20 000 da. Un an après ce nouveau placement, on dispose en compte de 47 721.54 da. Calculer le taux semestriel de placement (capitalisation semestrielle des intérêts) EXERCICE 4 Deux capitaux X et Y dont le montant total s’élevé à 80 000 da sont placés le même jour pour une durée de 6 ans chacun à intérêts composés. X est placé au taux annuel de 8% (capitalisation annuelle) Y est placé au taux semestriel de 3,75 % (capitalisation semestrielle) A l’expiration des 6 années, le total des intérêts produits s’élève à 46 007,32 da. Calculer X et Y

EXERCICE 5 Un capital C est placé à intérêts composés au taux annuel de 8%. Au bout d’une certaine durée X , la capitalisation devient trimestrielle et se fera désormais au taux proportionnel . Au bout de 10 ans (comptés à partir du début du placement), le capital s’est accru de 118,826 % de sa valeur initiale. Calculer X EXERCICE 6 Une personne place à intérêts composés une somme de 20 000 da à un taux t et une somme de 50 000 da à un taux t’. Elle dispose, après 4 ans, capitaux et intérêts réunis d’une somme totale de 109 199,13 da Si le capital de 20 000 da avait été placé au taux t’ et le capital de 50 000 da au taux t, le total des 2 valeurs acquises aurait été de 112 159,56 da Calculer les 2 taux t et t’. EXERCICE 7 Trois (3) capitaux de même montant sont placés à intérêts composés pendant 3 ans aux conditions suivantes : C1 au taux annuel de 10% (capitalisation annuelle) Page 13

C2 au taux semestriel de 5 % (capitalisation semestrielle) C3 au taux trimestriel de 2,5 % (capitalisation trimestrielle)  Au bout des 3 ans de placement, les intérêts produits par les deux premiers capitaux présentent une différence de 272,88 da. Calculer la valeur commune des 3 capitaux  Calculer la différence entre les intérêts produits par les placements des 2éme et 3éme capitaux  A quel taux d’intérêt simple, C1 devrait-il être placé pour que, après 3 ans de placement , la valeur acquise à intérêt simple soit égale à la valeur acquise à intérêts composés ?  Au bout de combien de temps, C1 placé à intérêt simple au taux annuel de 10% donnerait-il une valeur égale à la valeur acquise du même capital placé à intérêts composés au taux annuel de 10% pendant 3 ans ? EXERCICE 8 On a constaté sur un livret de caisse d’épargne les soldes (valeurs acquises) suivants : 31/12/2013  200 000 da 31/12/2014  400 000 da 31/12/2015  300 000 da 31/12/2016  500 000 da 31/12/2017  600 000 da Pouvez-vous estimer le solde au 31/12/2022 ? EXERCICE 9 On suppose que la capitalisation se fait régulièrement chaque 1er et 16 de chaque mois. La date de valeur de chaque opération est fixée comme suit : Le 1er du mois pour toute opération de retrait effectuée entre le 2 et le 16 du même mois Le 16 du mois pour toute opération de retrait effectuée entre le 17 et le 31 du même mois (ou le 1er du mois suivant) Le 1er du mois pour tout versement effectué entre le 16 et le 31 du mois précédent Le 16 du mois pour tout versement effectué entre le 1 er et le 15 du même mois Le 01-01-2010 un capital de 120 000,00 est placé au taux de 12 % Le 31-05-2010 retrait de 10 000 da Le 01-07-2010 changement du taux de placement, il passe à 8% Le 01-09-2010 versement de 40 000 da Le 15-12-2010 retrait de 20 000 da Calculer le solde au 31-12-2010.

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LES ANNUITES CONSTANTES ET VARIABLES 1. DEFINITION Une annuité est une suite de sommes versées ou payables à intervalles de temps égaux. L’intervalle de temps séparant le paiement de deux annuités est la période. La finalité financière est généralement le remboursement ou la constitution d’un capital. Elles peuvent être versées : - en début de période : c’est le cas, généralement, pour les anuités de placement ; - en fin de période : c’est le cas des anuités de remboursement et des annuités de capitalisation. On dit que l’annuité est constante quand la somme versée est identique à chaque intervalle de temps. 2. LES ANNUITES CONSTANTES DE FIN DE PERIODE 2.1 Valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période Page 15

On raisonne sur la base des intérêts composés, puisque chaque somme versée sera porteuse d’intérêt pour la période suivante, sauf la dernière : An = a(1+i)n-1 + a(1+i)n-2 ……… +a(1+i)n-p ……

+a(1+i) + a

Désignons par: a: le montant de l’annuité constante n : le nombre de versements i : l’intérêt de 1 DA An : la valeur acquise par la suite d’annuités à l’époque n, au moment du paiement de la dernière annuité. On constate que les termes du second membre de cette égalité représente une progression géométrique de raison (1+i)-n, leur somme An est égale à : -

n

An = a

(1+i) - 1 i

C’est la formule de capitalisation des annuités constantes de fin de période La table financière donne la valeur du facteur [(1+i)n – 1] / i L’annuité, quant à elle, sera égale

a = An

i (1+i)n - 1

Application 1 : Quelle est la valeur acquise par le versement d’une suite de 4 annuités constantes de fin d’année de 1000 000 DA ? Le taux de placement est de 10 %. A4 = 1000 000 (1,1)3 + 1000 000 (1,1)2 + 1000 000 (1,1) + 1000 000 Ou bien

(1,10)4 - 1 0,10 A4 = 1000 000 x = 4 641 000 DA A4 = 4 641 000, au taux de 10 % _______0_________1_________2_________3_________4__________> Temps 1000 000 -------------------------------------------- 1000 000------------------------------ 1000 000------------- 1000 000 Page 16

Comme on peut constater que le quatrième versement a lieu à la fin de la période et il n’y a pas de paiement d’intérêt sur cette somme. 2.2 Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période Le principe est le même que précédemment, mais cette fois on calcule la valeur à l’époque zéro des versements effectuées. La valeur actuelle d’une suite d’annuité est égale à la somme des valeurs actuelles de chacune des annuités V0 = a(1+i)-1 + a(1+i)-2 ……… +a(1+i)-(n-1) +a(1+i)-n Le deuxième membre de cette équation représente une progression géométrique de raison (1+i).Leur somme V0 est égale à :

A0 = a

1-(1+i )-n i

C’est la formule d’actualisation des annuités constantes de fin de période La table financière T4 donne la valeur du facteur [1 - (1+i)-n 1] / i L’annuité, quant à elle, sera égale à :

a = A0

i 1-(1+i )-n

Cette dernière formule est d’une utilisation dans le cas des remboursements des emprunts par annuité constante. Application 2 : Quelle est, un an avant le premier versement, la valeur actuelle au taux de 10 % de 4 redevances annuelles de 1000 000 DA à verser à terme échu par un industriel pour la location d’un matériel ? V0 = 1000 000 (1,1)-1 + 1000 000 (1,1)-2 + 1000 000 (1,1)-3 + 1000 000 (1,1)-4 V0 = 3 169 865,45 DA Soit, en généralisant : V0 = 1000 000

1-(1,10 )4 0,10

= 3 169 865,45 DA

V0 = 3 169 865,45 DA, au taux de 10 % _______0_________1_________2_________3_________4_________> Temps ------------- 1000 000 Page 17

--------------------------------1000 000 ----------------------------------------------------1000 000 -------------------------------------------------------------------- 1000 000 Comme on peut constater que les intérêts sont à déduire sur toutes les périodes Application 3 : Une société de leasing met immédiatement à la disposition d’un industriel un équipement d’un coût de 3 millions de DA contre paiement de 5 redevances de 800 000 DA payables en fin d’année, la première venant à échéance dans 1 an. Quelle est la valeur actuelle des annuités au taux de 10 % au moment où l’industriel reçoit la jouissance du matériel ? L’application de la formule d’actualisation donne : -5

V0 = 800 000

1-(1,10 ) 0,10

= 800 000 x 3,790787 = 3 032 629,42 DA

Le coût d’acquisition du matériel étant très peu inférieur à la valeur actuelle des annuités, le taux de placement pour la société de crédit bail est très légèrement supérieur à 10 % 3. CAS DES ANNUITES CONSTANTES DE DEBUT DE PERIODE 3.1 La valeur acquise sera égale à :

A’n = a x

(1+i)n - 1 i

x (1+i)

La formule de capitalisation d’une suite d’annuité de début de période est établie en utilisant le résultat obtenu pour les annuités de fin de période, puis on le multiplie par (1+i). 3.2 La valeur actuelle sera égale à :

V’0 = a x

1-(1+i )-n i

x (1+i)

La formule donnant la valeur actuelle d’une suite d’annuité de début de période est établie en utilisant le résultat obtenu pour les annuités de fin de période, puis on le multiplie par (1+i). V’0 A’n Page 18

Annuités de début de période périodes

0___1___2________/ a

Annuités de fin de période périodes

a

a

/

V0 0___1___2________/ a

________n-1___n____>

a

a

An ________n-1___n____> /

a

a

4. CAS DES ANNUITES VARIABLES L’annuité est dite variable lorsque les paiements, bien qu’effectués à des intervalles de temps égaux, ne sont pas égaux entre eux. Dans ce cas, la formule de calcul des annuités constantes ne peut plus être utilisée et le calcul doit se faire annuité par annuité (flux). La table 1 est utilisée dans le cas d’une valeur acquise et la table 2 dans le cas d’une valeur actuelle. Nota : Ces calculs sont très faciles à effectuer, à partir de calculatrices et de tableurs. Lorsque l’on ne dispose pas de ces outils, on utilise des tables financières qui donnent la valeur de chaque facteur.

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E X E R C I C E S - Annuités EXERCICE 1 Durant dix(10) années (chaque 1er janvier), un citoyen dépose sur un compte d’épargne , auprès d’une banque , une annuité constante de 50 000 da , au bout des 10 années le montant du capital constitué s’élève à 581 176.7 da, sachant que la capitalisation est annuelle, quel est le taux pratiqué par cette banque ? EXERCICE 2 Une suite de 15 annuités (chacune versée un 1er janvier) est ainsi constituée : 5 annuités de 1000 da chacune puis 5 annuités de 1500 da chacune puis 5 annuités de 2000 da chacune. Calculer la valeur acquise de cette série d’annuités sachant que la capitalisation est annuelle et que le taux pratiqué est de 11.5 % . EXERCICE 3 Une suite de 12 annuités se présente comme suit : 4 annuités de X da chacune, 4 annuités de 2X da chacune, 4 annuités de 3X da chacune. La valeur à l’origine de ces annuités, estimée à 9.5 % est de : 184 704.04 da . Calculer X EXERCICE 4 Comparer au taux de 10% :  Une suite de 15 annuités de 1000 da chacune (la première versée dans une année (un 1er janvier) et  Un paiement unique de 18000 da effectué dans 9 ans un 1 er janvier. A quelle date devrait être effectué le paiement unique de 18 000 da pour être équivalent à la suite d’annuités, le taux restant à 10 % ? EXERCICE 5 Une suite d’annuités est constituée de versements annuels égaux chacun à 20 000 da. Date du 1er versement 01-01-2001 , date du dernier versement 01-01-2014. Le taux annuel pratiqué est de 8% jusqu’au 31-12-2010 et passe à 9% dés le 01-01-2011 Calculer :  La valeur acquise pour cette suite d’annuités  La valeur à l’origine Page 20

EXERCICE 6 On effectue en banque des versements (annuités) capitalisés à 10 %. 1 er versement le 01-01-2001, dernier versement le 01-01-2011. 1. Calculer immédiatement après le dernier versement, le solde du compte en banque si chacun des versements est égal à 10 000 da. 2. Même question en supposant que les 7 premiers versements sont égaux chacun à 10 000 da, les autres étant égaux chacun à 12 000 da. 3. En reprenant l’hypothèse de la question 1), on suppose que le titulaire du compte en banque effectue des retraits annuels constants, égaux chacun à 38 000 da (1er retrait le 01-01-2012, dernier retrait le 01-012018 a) Quel sera le solde du compte immédiatement après le dernier retrait ? (taux=10%) b) Quel devrait être le montant du retrait effectué le 01-01-2018 si le titulaire du compte avait le désir par ce retrait de solder son compte ? (les autres retraits restant chacun à 38 000 da chacun) EXERCICE 7 a) Une personne a entrepris d’effectuer des placements annuels de 20 000 da chacun, les 1er janvier de chacune des années 2002 à 2011 inclusivement. Ces placements étant prévus devoir porter intérêt composé à 8.5 % l’an, d quelle somme peut-elle espérer disposer à la date du 01-01-2016, le capital constitué en 2011 ayant continué à porter intérêts. b) Immédiatement après avoir effectué le placement du 01-01-2007, la personne constate que le capital déjà constitué , ainsi que les placements à venir, ne pourront plus désormais produire des intérêts qu’au taux de 7.5 %, dans ces conditions, de quelle somme la personne en question disposera-t-elle le 01-01-2016 ? c) Dans les conditions du b) la personne considérée envisage d’effectuer des versements supplémentaires constants les 1er janvier de chacune des années 2012 à 2015 inclus de façon à obtenir le 01-01-2016 la somme prévue en a). Déterminer le montant de ces versements supplémentaires constants .

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EXERCICE 8 a) Une personne souhaite constituer un capital de 200 000 da pour le 0101-2012. Pour cela, elle verse sur un compte chaque début d’année, à partir du 01-01-2002 et jusqu’au 01-01-2011 une somme S constante. Quelle doit être le montant de cette somme si le taux d’intérêt servi sur ce compte est de 8% ? b) Même question, en supposant cette fois que les versements annuels sont en progression géométrique de raison 1.2 . EXERCICE 9 Un règlement peut être effectué : - Soit au moyen de deux versements de 100 000 da chacun, qui auraient lieu le 01-01-2010 et le 01-01-2012 - Soit au moyen de 10 versements annuels constants dont le premier aurait lieu le 01-01-2005 - Soit au moyen de versements annuels constants, égaux chacun à 31 701.76 da, le 1er versement intervenant à la date du 01-01-2008 Compte tenu d’un taux d’actualisation de 9%, ces trois(3) modalités sont équivalentes au 01-01-2014. a) Calculer le montant du versement annuel dans la seconde modalité b) Déterminer la date du dernier règlement dans la 3éme modalité EXERCICE 10 Un investissement entraînerait les dépenses suivantes :  Versements annuels de 100 000 da chacun, la première fois le 01-012004, la dernière fois le 01-01-2007  Ces dépenses devraient permettre des recettes annuelles constantes égales chacune à X dinars. 1ére recette le 01-01-2006, dernière recette le 01-01-2013 A partir de quel montant X l’opération peut-elle être envisagée ? Taux annuel pour l’ensemble des opérations 10%

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EXERCICE 11 A la fin de chaque exercice comptable, une société met en réserve une fraction constante de son bénéfice, fraction égale à 20 000 da. Immédiatement après sa constitution chacune de ces réserves est placée à intérêt composé au taux annuel de 10 %, la date de constitution de la première réserve est le 01-01-2002. A dater du 1er janvier 2005, les réserves constituées par la société sont en progression arithmétique de raison 2000 da. La dernière réserve sera constituée le 1er janvier 2012 a) Quelle va être au 1er janvier 2012 , la valeur acquise par l’ensemble des réserves constituées par la société ? b) Quelle aurait été cette valeur acquise si les réserves constituées à partir du 01-01-2005 avaient été en progression géométrique de raison 1.1 , la réserve constituée le 01-01-2005 restant égale à 20 000 da

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Les emprunts et les amortissements DEFINITION Un emprunt indivis est un emprunt dont le capital prêté est indivisible et mis à la disposition d’un débiteur unique par un créancier unique. De multiples formules peuvent être envisagées quant aux modalités de remboursement du principal (on parle d’amortissement du capital). Nous présentons les plus pratiquées qui sont également les plus simples soit successivement le cas : - d’un remboursement par amortissement constant du capital ; - d’un remboursement par annuités constantes ; Remboursement avec amortissement constant du capital (ou plan de remboursement linéaire du capital) Dans ce mode d’amortissement, le remboursement du capital est de V 0 /n à chaque période et le calcul des intérêts porte sur le capital restant dû. Les annuités, qui comprennent le remboursement du principal et les intérêts sont payées en fin de période. Lorsque les amortissements sont constants, les annuités et les intérêts sont en progression arithmétique décroissante de raison : - i V0 /n . Cette méthode d’amortissement conduit à des décaissements décroissants de période en période. Autrement formulé, chaque échéance contient dans ce cas une part constante en capital, que soit la première ou la dernière échéance. Cette part est en règle générale égale au montant du capital divisé par le nombre d’échéances. C’est la dégressivité des intérêts qui conduit à la dégressivité finale des échéances Le tableau ci-après présente la plan d’amortissement d’un emprunt d’un montant V 0, au taux i, remboursable par amortissement constant du capital sur n périodes. Tableau d’amortissement – Emprunt avec amortissement constant du capital Capital dû en début Amortissement Période Intérêts Annuités de début de période s 1 V0 = V iV V/n V/n + i V 2 V1= V (1-1/n) i V (1-1/n) V/n V/n + i V - i V/n V/n + i V - 2i 3 V2= V (1-2/n) i V (1-2/n) V/n V/n ….. ……. …. …. …. Vn-1=V(1-(n-1)/n) = N I V/n V/n V/n + i V/n V/n La Somme des intérêts versés est de : n−1

∑ iV 1=iV t=0

(n+ i) 2

A conditions égales (taux, durée, terme et fréquence d’échéances), la formule à remboursement en capital constant paraît moins onéreuse puisque le capital est remboursé plus rapidement que dans le cas des échéances ou annuités constantes. Les charges d’intérêts sont donc moins lourdes. Page 24

De plus, les remboursements en capital constant sont dans ce cas plus proches des dotations aux amortissements des biens financés. Une variante de cette formule consiste à dissocier la fréquence de remboursement du capital de celle des intérêts. Par exemple le remboursement du capital peut se faire semestriellement, les intérêts étant payés trimestriellement. Ce choix n’est pas neutre sur la détermination du taux actuariel, autrement dit le véritable coût du crédit. En toute rigueur, il faudrait actualiser les intérêts, puisqu’il s’agit de flux datés, c’està-dire calculer l’usufruit. Les contrats de prêt remboursables par amortissements constants peuvent prévoir sans difficulté des clauses particulières, comme de différé (*) d’amortissement (différé partiel) qui permet à l’emprunteur, pendant les premières années, de ne payer que les intérêts, ou encore une période de franchise d’intérêts (différé total), qui sont alors capitalisés et intégrés au capital à rembourser. (*) Les différés : il est possible de prévoir des différés d’amortissement, aussi bien en capital qu’en intérêts. Pendant la période du différé partiel, l’emprunteur ne paie que la charge d’intérêts afférente à l’emprunt contracté. Cette charge est moins lourde que la globalité capital plus intérêts et permet, dans le cadre d’investissements spécifiques, d’attendre leur montée en puissance progressive. A l’échéance du différé, le capital initial emprunté reste dû, et ce sur la durée restant à courir c'est-à-dire la durée d’amortissement du capital. Les différés en capital plus intérêts consiste à offrir l’avantage, pour l’investisseur, de n’avoir à procéder aucun remboursement ou paiement de quelque nature que ce soit pendant la période de différé, l’incidence sur la trésorerie est donc dans un premier temps particulièrement appréciable. Par contre, elle présente l’inconvénient de gonfler artificiellement le montant du capital initial emprunte, donc d’augmenter le risque pour le prêteur et à terme les charges de remboursement. Application : Un industriel a emprunté 100 millions de DA à un groupe financier. Le remboursement doit s’effectuer en cinq ans et comportant un amortissement constant. L’intérêt est calculé au taux de 5 %. La première annuité vient à échéance 1 an après la réalisation de l’emprunt. Dresser le tableau d’amortissement de cet emprunt.

Tableau d’amortissement constant du capital Page 25

Année Capital dû au Intérêts Amortissement Annuités Capital dû en s début de s (Echéances) fin de période période (Valeurs (valeurs à résiduelles) amortir) 5 000 1 100 000 000 20 000 000 25 000 000 80 000 000 000 4 000 2 80 000 000 20 000 000 24 000 000 60 000 000 000 3 000 3 60 000 000 20 000 000 23 000 000 40 000 000 000 2 000 4 40 000 000 20 000 000 22 000 000 20 000 000 000 1 000 5 20 000 000 20 000 000 21 000 000 0 000 15 000 115 000 Total 100 000 000 000et les intérêts sont en progression 000 arithmétiques de On peut vérifier que les annuités raison : - i V0 /n soit - 1 000 000 DA et que la somme des intérêts versés est: iV (n+1)/2 = 0,05 x 100 000 000 x (6/2) = 15 000 000 DA Remboursement par annuités ou échéances constantes Cette technique a le mérite pour l’entreprise d’établir pour toute la durée du crédit des charges de remboursement identiques. Par contre, chaque échéance comporte : - une part d’amortissement du capital, croissante d’échéance en échéance ; - une part d’intérêt, décroissante d’échéance en échéance. Un inconvénient à cette formule réside dans le fait qu’au départ, les échéances sont pour leur grande part constituées d’intérêts ; l’amortissement du capital est donc très faible dans un premier. Capital dû au Intérêts Amortissements Annuités Capital dû Année début de (Echéances en fin de s période ) période (valeurs à (Valeurs amortir) résiduelles) 1 V0=V iV A1 a V- A1 2 V-A1 i(V- A1) A1 (1+i) a V- A2 … … … … … … (n-p-1) p Vp-1 aa’n-p-1 iVP-1 Ap =a(1+i)a Vp =a a’n-p … … … … … … n a/(1+i) ai/(1+i) a/(1+i) a 0 L’annuité constante est égale à : a = V0 / a i n Avec a in =  1- ( 1+5%)-5  / 5 % = 0,216473833/ 0,05 = 4,329 476671 Soit a = 100 000 000 / 4,329 476 671= 23 097 479,81 DA Les intérêts se calculent par application du taux au capital dû en début de période iVn

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Les annuités étant constantes, les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + r) avec r = i / (1-i) = 0,05 / (1- 0,05)= 0,052632 Le calcul du premier Amortissement A1 = V0 x r / (1+r)n -1 Il est commode de déduire l’amortissement de la période par soustraction des intérêts de la période à l’annuité. Le tableau d’amortissement de l’emprunt est présenté ciaprès : Tableau d’amortissement emprunt – annuités constantes

Année s

Capital dû au Début de période (valeurs à amortir)

Intérêts

Amortissemen ts

Annuités (Echéances)

100 000 000,0 5 18 097 479,81 23 097 479,8 000 000,00 19 002 353,80 23 097 479,81 81 902 520,190 4 095 126,0 62 900 166,39 3 145 008,31 19 952 471.49 23 097 479,81 2 1472 20 950 095,07 23 097 479,81 42 947 694.90 384,74 1 099 21 997 599,83 23 097 479,81 21 997 607,38 880,37 15 100 000 000,0 115 4871 487399,44 0 399,10 Les amortissements sont bien en progression géométrique de raison 1+i. On trouve à partir du rapport A2/A1 = 1,05 ou du A5/A4 = 1,05 1 2 3 4 5 Total

Capital dû en fin de période (Valeurs résiduelles ) 81 902 520,19 62 900 166,39 42 947 694.9 21 997 607,38 0,00

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E X E R C I C E S –Emprunts et amortissements EXERCICE 1 Une société a emprunté une somme qu’elle doit rembourser en 3 annuités constantes. Sachant que les montants des amortissements 1 et 2 sont respectivement : 314 109.8128 et 332 956.401568 , il est demandé de calculer : 1) Le taux de l’emprunt 2) Le montant de chaque annuité 3) La somme empruntée EXERCICE 2 Un crédit est amortissable en 10 ans par des annuités constantes, sachant que les montants des amortissements 3 et 6 sont respectivement : 23 460.22 da et 30 381.67 da Calculer  Le taux d’intérêt / La valeur du crédit / Le montant de l’annuité  Le montant restant dû après le paiement de la 7éme annuité  Le capital amorti après le paiement de la 5éme annuité  Les lignes 6,8,9 et 10 du tableau d’amortissement EXERCICE 3 A l’examen du tableau d’amortissement d’un emprunt, remboursé par 8 annuités constantes, au taux de 5% ; On constate que la dette restant à rembourser, après le versement de la quatrième, surpasse de 130 471.85 da la dette restant à rembourser, après le paiement de la sixième annuité. Calculer le montant de l’emprunt et celui de l’annuité constante qui assurera le remboursement EXERCICE 4 Une société a emprunté le 01/01/2008 une certaine somme remboursable en 6 annuités constantes, la première étant payable le 31/12/2008. La somme du deuxième et du troisième amortissement s’élève à 27 720 da et la somme des deux premiers à 25200 da. Calculer dans l’ordre : - Le taux de l’emprunt, le premier amortissement , le montant de l’annuité - Le dernier amortissement, le montant de l’emprunt Si la société décidait de rembourser intégralement le montant de sa dette restant dûe au début de la 3émé année, quel serait le montant de ce versement unique ? EXERCICE 5 Page 28

On emprunte une somme de 1 000 000 da remboursable par annuités constantes en 15 ans au taux de 7% : 1) Quel est le dixième amortissement ? 2) Quelle est la somme remboursée après le paiement de la 10 éme annuité ? 3) Quelle est la somme restant dûe après le paiement de la 12éme annuité ? 4) Quel est le montant des intérêts compris dans la dernière annuité ? 5) Etablir la quatorzième ligne du tableau d’amortissement EXERCICE 6 D’un tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par 8 annuités constantes, on a tiré les renseignements suivants :  Intérêts payés au cours de la 6éme année : 20306.81 da  Intérêts payés au cours de la 5éme année : 25679.94 da  Intérêts payés au cours de la 4éme année : 30477.37 da Il est demandé de calculer : - Le taux de l’emprunt / Le montant de l’emprunt - Le montant restant dû après le paiement de la 7éme annuité - Le capital amorti après le paiement de la 5éme annuité Les deux(2) dernières lignes du tableau d’amortissement EXERCICE 7 Une entreprise s’acquitte d’une dette en effectuant à la fin de chaque année pendant 5 ans des remboursements en progression géométrique de raison 1.2 Le dernier remboursement s’élève à 207 360 da.  Sachant qu’elle paie , en outre, à la fin de chaque année les intérêts de la somme restant dû au début de l’année ,Quel était le montant de la dette ?  A quel taux sont calculés les intérêts, sachant que le montant total versé en intérêts s’élève à 150 000 da ? EXERCICE 8 Une dette de 500 000 da, est remboursée en vingt (20),ans par annuités constantes, la première versée un an après l’emprunt. En tenant compte des intérêts composés à 6% l’an : 1) Calculer l’annuité constante et le dernier amortissement 2) Quelle sera la somme totale amortie après le versement de la dixième annuité ? 3) En supposant qu’immédiatement après le versement de la dixième annuité, on convienne d’achever le remboursement par des annuités double des premières , le taux étant réduit de 6% à4.5 %, donner l’équation permettant de trouver le nombre de ces nouvelles annuités EXERCICE 9 Page 29

Une personne, ayant placé au début de chaque année et pendant 15 ans , une somme constante X au taux de 6%, a prêté le capital constitué à la fin de la quinzièmeà une société qui doit le lui rembourser en 20 ans au taux de 7% (le premier amortissement devant avoir lieu une année après l’emprunt).  Première modalité de remboursement : au moyen d’une annuité constante sachant que le troisième amortissement est égal à 8378.264 da. Calculer 1) L’annuité de remboursement 2) Le montant de l’emprunt 3) Le capital amorti après le versement de la treizième 4) L’ annuité de placement  Deuxième modalité de remboursement : Au moyen d’une annuité ,égale à l’amortissement augmenté de l’intérêt, calculée sur le capital restant dû. Les amortissements forment une progression arithmétiques décroissante de raison P. En prenant comme emprunt la somme obtenue dans la première modalité , il est demandé : - D’exprimer en fonction d’A1 (premier amortissement) la raison de la progression arithmétique - De présenter les cinq premières lignes du tableau d’amortissement sachant que la somme des deux premiers amortissements est égale à 31872 da EXERCICE 10 Une entreprise avait contracté un emprunt le 31-12-2005. La première annuité de remboursement est payable le 01-01-2007 ; la deuxième le 01-012008 et ainsi de suite… 1) Le montant du cinquième amortissement est de 5469.78 da . Le montant du premier amortissement est de 4500 da. Dans l’hypothèse où les annuités de remboursement sont constantes, précisez quel est le taux annuel d’intérêts ? 2) L’emprunt est remboursable en (n+1)iéme années, la première annuité étant versée le 01-01-2007. Les n premières annuités sont égales, et d’un montant de 6000 da. La (n+1) iéme comprend le reliquat de la dette et l’intérêt de ce reliquat pendant un an. Si le montant du premier amortissement est toujours de 4500 da et le taux de l’intérêt celui trouvé dans la première question : Il est demandé de calculer :  Le montant de la somme empruntée  Le nombre d’annuités constantes « n »  Le montant de l’annuité n° n+1 TABLE FINANCIERE POUR LE CALCUL DE L’EXPRESSION ( ( 1 + i ) ^ m - 1 ) / i Page 30

m/i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0,01 1,0000000 2,0100000 3,0301000 4,0604010 5,1010050 6,1520151 7,2135352 8,2856706 9,3685273 10,4622125 11,5668347 12,6825030 13,8093280 14,9474213 16,0968955 17,2578645 18,4304431 19,6147476 20,8108950 22,0190040 23,2391940 24,4715860 25,7163018 26,9734649 28,2431995

0,02 1,0000000 2,0200000 3,0604000 4,1216080 5,2040402 6,3081210 7,4342834 8,5829691 9,7546284 10,9497210 12,1687154 13,4120897 14,6803315 15,9739382 17,2934169 18,6392853 20,0120710 21,4123124 22,8405586 24,2973698 25,7833172 27,2989835 28,8449632 30,4218625 32,0302997

0,03 1,0000000 2,0300000 3,0909000 4,1836270 5,3091358 6,4684099 7,6624622 8,8923360 10,1591061 11,4638793 12,8077957 14,1920296 15,6177904 17,0863242 18,5989139 20,1568813 21,7615877 23,4144354 25,1168684 26,8703745 28,6764857 30,5367803 32,4528837 34,4264702 36,4592643

0,04 1,0000000 2,0400000 3,1216000 4,2464640 5,4163226 6,6329755 7,8982945 9,2142263 10,5827953 12,0061071 13,4863514 15,0258055 16,6268377 18,2919112 20,0235876 21,8245311 23,6975124 25,6454129 27,6712294 29,7780786 31,9692017 34,2479698 36,6178886 39,0826041 41,6459083

0,05 1,0000000 2,0500000 3,1525000 4,3101250 5,5256313 6,8019128 8,1420085 9,5491089 11,0265643 12,5778925 14,2067872 15,9171265 17,7129828 19,5986320 21,5785636 23,6574918 25,8403664 28,1323847 30,5390039 33,0659541 35,7192518 38,5052144 41,4304751 44,5019989 47,7270988

0,06 1,0000000 2,0600000 3,1836000 4,3746160 5,6370930 6,9753185 8,3938376 9,8974679 11,4913160 13,1807949 14,9716426 16,8699412 18,8821377 21,0150659 23,2759699 25,6725281 28,2128798 30,9056525 33,7599917 36,7855912 39,9927267 43,3922903 46,9958277 50,8155774 54,8645120

0,07 1,0000000 2,0700000 3,2149000 4,4399430 5,7507390 7,1532907 8,6540211 10,2598026 11,9779887 13,8164480 15,7835993 17,8884513 20,1406429 22,5504879 25,1290220 27,8880536 30,8402173 33,9990325 37,3789648 40,9954923 44,8651768 49,0057392 53,4361409 58,1766708 63,2490377

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