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H Héélliiccee dd''hhéélliiccooppttèèrree L'hélice (H) d'un hélicoptère est composée de quatre pales rigides (masse M, longueur 2.L, largeur a) décalées de /2 et inclinées d'un angle par rapport à l'horizontale. z
P2
y
P3 a A P4
P1
2.L
x
Q1.Calculer la matrice d'inertie de la pale (P1) par rapport à l'un de ses coins A dans la base x, u1, v 1 , notée I ( P1 , Axu1v1 ) , ( y, u1 ) ( z, v1 ) mesuré autour de x . Le plan A, xu1 est plan de symétrie et le point générique de la pale n'a pas de coordonnées sur La matrice d'inertie est de la forme : v1 : AP xx uu1 .
A I ( P1 , Axu1v1 ) F 0
F B 0
0 0 . A B a
u3 a3 2L On a : A u dm u dS u du dx x0 2 L avec m 2La d'où : 3 3 0 P1 P1 0 0 a
2
Am
2
2L
2
a2 3 2L
u3 8L3 On a : B x dm x dS du x dx u a avec m 2La d'où : 3 3 0 P1 P1 0 0 a
2
2L
2
m 2 4 L2 a 4 L2 Bm et C 3 3
a 0
2
a
2L
u 2 x2 a 2 4 L2 On a : F xudm xu dS udu xdx avec m 2La 2 2 2 0 2 0 P1 P1 0 0 aL d'où : F m 2 a
2L
a2 aL 0 2 3 aL 4 L2 0 Finalement : I ( P1 , Axu1 v1 ) m 2 3 a 2 4 L2 0 0 3 Q2.En déduire la matrice d'inertie de la pale (P1) dans le repère ( A, x, y, z ) , notée I ( P1 , Axyz ) . La matrice de passage P de la base de départ x, u1 , v 1 à la base d'arrivée x , y, z s'écrit en exprimant les composantes des vecteurs x , y, z en fonction des vecteurs x, u1 , v 1 . Hélice hélicoptère.doc du 29/09/09
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0 0 0 1 1 1 t sin et P P 0 cos On a donc : P 0 cos 0 sin cos 0 sin Il vient : I P1, Axyz P1I P1, Axu1v1 P 0 1 Soit : I P1 , Axyz 0 cos 0 sin Tous
calculs
0 1 I P1 , Axyz 0 cos 0 sin
F B 0
0 A sin F cos 0
0 1 0 0 0 cos C 0 sin
effectués,
F B 0
0 A sin F cos 0
0 1 0 0 0 cos C 0 sin
A F cos F sin
F B cos B sin
0 0 1 C sin 0 cos C cos 0 sin
0 sin cos
A F cos F sin
F B cos B sin
0 0 1 C sin 0 cos C cos 0 sin
0 sin cos
A F cos F sin
0 sin . cos
F cos B cos 2 C sin 2 B C sin cos
0 sin cos on
obtient :
0 sin cos
F sin B C sin cos B sin 2 C cos 2
On peut remplacer par les expressions obtenues précédemment : a2 3 aL I P1 , Axyz m cos 2 aL sin 2
aL cos 2 2 4L a 2 sin 2 3 3 a2 sin cos 3
2 a sin cos 3 4 L2 a 2 cos 2 3 3 aL sin 2
Q3.Calculer la matrice d'inertie de l'hélice dans le repère ( A, x, y, z ) , notée I ( H , Axyz ) . Tout calcul effectué sera correctement justifié. Pour passer de la pale (P1) à la pale (P3), il suffit de changer x en –x, y en –y et z reste inchangé… A1=A3, B1=B3, C1=C3, -D1=D3, -E1=E3 et F1=F3. On en déduit que : A1+3=2A1, B1+3=2B1, C1+3=2C1 D1+3=0, E1+3=0 et F1+3=2F1. 2a 2 3 I P1 P3 , Axyz m aL cos 0
aL cos 8L2 2a 2 sin 2 3 3 0
0 8L2 2a 2 cos 2 3 3 0
La matrice des deux pales (P2+P4) peut être obtenue à partir de la précédente en changeant : x en y, y en –x et z reste inchangé… Hélice hélicoptère.doc du 29/09/09
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8L2 2a 2 2 3 3 sin On obtient : I P P , Axyz m aL cos 2 4 0
. 0 8L2 2a 2 cos 2 3 3
aL cos
0
2a 2 3 0
Finalement, il reste à sommer ces deux matrices et on a :
4 2 2 2 3 L a sin 1 I H , Axyz m 0 0
0
0 4 2 4 L a 2 cos 2 3 0
4 2 L a 2 sin 2 1 3 0
Q4.La matrice obtenue est-elle valable dans toute base du type (,, z ) ? A 0 0 . On peut par exemple La matrice d'inertie obtenue est de la forme : 0 A 0 0 0 C xyz effectuer un changement de base d'angle mesuré autour de z.
cos On a : I H , Ax0 y0 z sin 0
sin cos 0
0 A 0 0 cos sin 0 0 A 0 sin cos 1 0 0 C 0 0 A 0 0 calculs faits que : I H , Ax0 y0 z 0 A 0 . Comme l'angle est 0 0 C
0 0 et l'on montre tous 1 quelconque, la forme et
l'égalité des termes de la matrice sont conservées.
Q5.Que penser de cette indécente ( ?) proposition : « Toute matrice diagonale est caractéristique d’un système possédant au minimum un axe de symétrie » ? Donner un exemple (ou un contre-exemple). Si l'on a un axe de symétrie matérielle, la matrice est diagonale. La réciproque est fausse. La figure ci-dessous présente un système constitué de trois points matériels de masses respectives m1, m2 et m3. z P3, m3 c O a
b
P1, m1
P2, m2
x
y
La matrice d'inertie est diagonale or il n'existe pas d'axe de symétrie.
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