Helice Helicoptere PDF [PDF]

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H Héélliiccee dd''hhéélliiccooppttèèrree L'hélice (H) d'un hélicoptère est composée de quatre pales rigides (masse M, longueur 2.L, largeur a) décalées de /2 et inclinées d'un angle  par rapport à l'horizontale. z

P2

y

P3 a A P4

 P1

2.L

x

Q1.Calculer la matrice d'inertie de la pale (P1) par rapport à l'un de ses coins A dans la base x, u1, v 1 , notée I ( P1 , Axu1v1 ) ,   ( y, u1 )  ( z, v1 ) mesuré autour de x .  Le plan  A, xu1  est plan de symétrie et le point générique de la pale n'a pas de coordonnées    sur La matrice d'inertie est de la forme : v1 : AP  xx  uu1 .

 A   I ( P1 , Axu1v1 )   F  0

F B 0

0  0  . A  B  a

 u3  a3 2L On a : A   u dm   u   dS    u du  dx     x0   2 L avec m   2La d'où : 3 3  0  P1   P1  0 0 a

2

Am

2

2L

2

a2 3 2L

 u3  8L3 On a : B   x dm   x   dS    du  x dx   u     a avec m   2La d'où : 3  3 0  P1   P1  0 0 a

2

2L

2



m 2 4 L2 a  4 L2 Bm et C  3 3

a 0

2

 a

2L

 u 2   x2  a 2 4 L2 On a : F   xudm   xu  dS    udu  xdx         avec m   2La 2 2  2 0  2 0  P1   P1  0 0 aL d'où : F  m 2 a

2L

 a2  aL  0   2  3    aL 4 L2   0 Finalement : I ( P1 , Axu1 v1 )  m   2  3  a 2  4 L2  0  0  3        Q2.En déduire la matrice d'inertie de la pale (P1) dans le repère ( A, x, y, z ) , notée I ( P1 , Axyz ) .       La matrice de passage P de la base de départ x, u1 , v 1 à la base d'arrivée x , y, z  s'écrit       en exprimant les composantes des vecteurs x , y, z  en fonction des vecteurs x, u1 , v 1 . Hélice hélicoptère.doc du 29/09/09

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0 0  0 1 1    1 t sin   et P  P  0 cos  On a donc : P  0 cos   0  sin  cos   0 sin      Il vient : I P1, Axyz   P1I P1, Axu1v1 P 0 1    Soit : I P1 , Axyz   0 cos   0 sin  Tous

calculs

0 1    I P1 , Axyz   0 cos  0 sin 

F B 0

0  A  sin    F cos    0

0  1 0   0  0 cos  C  0  sin 

effectués,

F B 0

0  A  sin    F cos    0

0  1 0   0  0 cos  C  0  sin 

A     F cos    F sin 

F B cos  B sin 

0 0  1    C sin   0 cos  C cos   0  sin 

0  sin   cos  

A     F cos    F sin 

F B cos  B sin 

0 0  1    C sin   0 cos  C cos   0  sin 

0  sin   cos  

A     F cos    F sin 

0   sin   . cos  

 F cos  B cos 2   C sin 2  B  C sin  cos 

0  sin   cos   on

obtient :

0  sin   cos  

 F sin   B  C sin  cos   B sin 2   C cos 2  

On peut remplacer par les expressions obtenues précédemment :  a2  3    aL I P1 , Axyz   m  cos  2  aL  sin   2

aL cos  2 2 4L a 2  sin 2  3 3 a2  sin  cos  3

   2 a  sin  cos    3  4 L2 a 2  cos 2   3 3  aL sin  2

     Q3.Calculer la matrice d'inertie de l'hélice dans le repère ( A, x, y, z ) , notée I ( H , Axyz ) . Tout calcul effectué sera correctement justifié. Pour passer de la pale (P1) à la pale (P3), il suffit de changer x en –x, y en –y et z reste inchangé… A1=A3, B1=B3, C1=C3, -D1=D3, -E1=E3 et F1=F3. On en déduit que : A1+3=2A1, B1+3=2B1, C1+3=2C1 D1+3=0, E1+3=0 et F1+3=2F1.  2a 2  3    I P1  P3 , Axyz   m aL cos     0 

aL cos  8L2 2a 2  sin 2  3 3 0

    0   8L2 2a 2  cos 2   3 3  0

La matrice des deux pales (P2+P4) peut être obtenue à partir de la précédente en changeant : x en y, y en –x et z reste inchangé… Hélice hélicoptère.doc du 29/09/09

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 8L2 2a 2 2  3  3 sin   On obtient : I P  P , Axyz   m   aL cos  2 4   0  

   . 0   8L2 2a 2  cos 2   3 3 

 aL cos 

0

2a 2 3 0

Finalement, il reste à sommer ces deux matrices et on a :







4 2 2 2  3 L  a sin   1    I H , Axyz   m  0   0 

0



    0  4 2 4 L  a 2 cos 2    3 0





4 2 L  a 2 sin 2   1 3 0





 Q4.La matrice obtenue est-elle valable dans toute base du type (,, z ) ? A 0 0   . On peut par exemple La matrice d'inertie obtenue est de la forme : 0 A 0    0 0 C   xyz  effectuer un changement de base d'angle  mesuré autour de z.

 cos     On a : I H , Ax0 y0 z    sin    0

sin  cos  0

0  A 0 0  cos   sin  0  0 A 0   sin  cos  1  0 0 C   0 0 A 0 0      calculs faits que : I H , Ax0 y0 z   0 A 0 . Comme l'angle  est    0 0 C 

0 0 et l'on montre tous 1 quelconque, la forme et

l'égalité des termes de la matrice sont conservées.

Q5.Que penser de cette indécente ( ?) proposition : « Toute matrice diagonale est caractéristique d’un système possédant au minimum un axe de symétrie » ? Donner un exemple (ou un contre-exemple). Si l'on a un axe de symétrie matérielle, la matrice est diagonale. La réciproque est fausse. La figure ci-dessous présente un système constitué de trois points matériels de masses respectives m1, m2 et m3. z P3, m3 c O a

b

P1, m1

P2, m2

x

y

La matrice d'inertie est diagonale or il n'existe pas d'axe de symétrie.

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