Head First Algebra. Edycja polska 978-83-246-6044-5 [PDF]

Zitiervorschau

Tytuł oryginału: Head First Algebra: A Learner’s Guide to Algebra Tłumaczenie: Radosław Meryk ISBN: 978-83-246-6044-5 © Helion S.A. 2010 Authorized translation of the English edition of Head First Algebra © 2009 O’Reilly Media Inc. This translation is published and sold by permission of O’Reilly Media, Inc., the owner of all rights to publish and sell the same. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from the Publisher. Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: [email protected] WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Pliki z przykładami omawianymi w książce można znaleźć pod adresem: ftp://ftp.helion.pl/przyklady/hfalge.zip Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?hfalge_ebook Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. Printed in Poland.

x Poleć książkę na Facebook.com x Kup w wersji papierowej x Oceń książkę

x Księgarnia internetowa x Lubię to! » Nasza społeczność

Opinie o książce Head First Algebra „Książka Head First Algebra oferuje jasną i zrozumiałą metodę nauki zagadnień, które dla wielu osób wydają się zatrważające. Ze względu na lekkie podejście do prezentacji zagadnień matematycznych dla początkujących, książka ta inspiruje uczniów do nauki algebry na takim poziomie, jaki w innym przypadku byłby dla nich nie do osiągnięcia”. — Ariana Anderson

„Sposób, w jaki zaprezentowano informacje w niniejszej książce, jest tak wysoce prezentacyjny i intrygujący, że proces nauki przebiega znacznie łatwiej. Podczas lektury tej książki czytelnik czuje się tak, jakby naprawdę rozmawiał z autorem”. — Amanda Borcky

„Co powinni wiedzieć o algebrze członkowie punkowych zespołów muzycznych? Jaki wpływ mają równania kwadratowe na wrażenia podczas słuchania ich muzyki? Spróbuj się tego dowiedzieć w zabawny i ujmujący sposób!” — Cary Collett

„To najlepsza książka do nauki podstaw algebry. Korzystanie z niej to prawdziwa przyjemność”. — Dawn Griffiths, autor książki Head First Statistics

„Żałuję, że nie było takiej książki, jak Head First Algebra, kiedy byłem w gimnazjum. Uwielbiam sposób, w jaki autorzy łączą pojęcia matematyczne z sytuacjami z życia. Nauka algebry staje się nie tylko łatwa, ale i bardzo zabawna!” — Karen Shaner

„Head First Algebra to pasjonująca lektura. Autorzy książki wykonali fantastyczną pracę, wyjaśniając pojęcia i przeprowadzając czytelników krok po kroku przez rozwiązania problemów. W książce można znaleźć rozwiązania trudnych problemów, często spotykanych w życiu codziennym”. — Shannon Stewart, nauczyciel matematyki

„Książka zawiera wiele doskonałych przykładów rodem ze świata, w którym żyją uczniowie. Nie ma mowy o żadnych pociągach, które ruszają w tym samym momencie i z tej samej stacji, ale w przeciwnych kierunkach. Autorzy dobrze przewidują pytania, które rodzą się w uczniowskich głowach, i w porę na nie odpowiadają. To bardzo interesujące spojrzenie na podstawowe zagadnienia z algebry”. — Herbert Tracey, wykładowca nauk matematycznych na Uniwersytecie Loyola

Tę książkę dedykuję moim rodzicom i nauczycielom, ponieważ wierzyli, że mogę być dobra z matematyki, nawet wtedy, gdy się z nimi nie zgadzałam. — Tracey Tę książkę dedykuję wspaniałym nauczycielom, których miałem w życiu — zacznę od moich rodziców, którzy nauczyli mnie, że najważniejsze jest to, by nie rezygnować z nauki. — Dan

Autorzy

Autorzy książki Head First Algebra ne Tracey Pilo

Dan Pilone

Tracey Pilone przede wszystkim chciałaby podziękować swojemu mężowi i współautorowi zarazem za niezachwiane wsparcie oraz otwartość, które pozwoliły na wspólne przebywanie w świecie Head First. Tracey wykonuje wolny zawód autorki opracowań technicznych. Zanim podjęła decyzję o napisaniu książki poświęconej zagadnieniom matematycznym, tworzyła opracowania dotyczące oprogramowania do planowania misji i analizy radiowej dla Marynarki Wojennej. Zanim została pisarką, przez kilka lat pracowała jako inżynier budownictwa na dużych budowach wokół Waszyngtonu. Tam właśnie korzystała z algebry dość regularnie i po raz pierwszy przekonała się, że to dzięki matematyce budynki pozostają w pozycji pionowej. Posiada tytuł inżyniera Virginia Tech, ma licencję zawodowego inżyniera oraz tytuł magistra pedagogiki Uniwersytetu Virginia.

6

Dan Pilone jest projektantem oprogramowania w firmie Vangent, Inc. Był też szefem zespołów projektowych w Naval Research Laboratory i NASA. Prowadzi zajęcia z informatyki na studiach dziennych i podyplomowych w Catholic University w Waszyngtonie. Jest to druga książka Dana z serii Head First, ma ona jednak kilka cech książki „pierwszej”: jest to bowiem jego pierwsza książka spoza informatyki oraz pierwsza książka, której współautorką jest jego żona (tak się składa, że jest ona znacznie ładniejsza od ostatniego współautora — przepraszam, Russ). Praca nad tą książką wspólnie z Tracey zmieniła pracę w przyjemną rodzinną zabawę. No, może nie do końca, ale i tak było to wspaniałe doświadczenie. Dan posiada tytuł magistra informatyki, a jego specjalnością dodatkową jest matematyka. Wszystkim, którzy potrzebują dowodu na to, że algebra może być zabawna, polecam uruchomienie gry Halo. Pomyślcie o tych wszystkich iksach, igrekach i zetach, które umożliwiły powstanie tej gry.

Spis treści

Spis treści (skrócony) Wprowadzenie

19

1.

Poszukiwanie niewiadomych: Czym jest algebra?

31

2.

Algebra w podróży: (Bardziej) skomplikowane równania

63

3.

Postępuj zgodnie z regułami: Reguły operacji z liczbami

4.

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia: Potęgowanie

135

5.

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów: Wykresy

165

6.

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje: Nierówności

225

7.

Wiedzieć, czego się nie wie: Układy równań

261

8.

Zrywanie ze sobą jest trudne: Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

307

9. 10.

99

Wychodzimy poza linię: Równania kwadratowe

341

Każdy ma jakieś ograniczenia: Funkcje

393

Rozwiązywanie problemów świata: Algebra w praktyce

435

A

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy): Pozostałości

461

B

Buduj na solidnych podstawach: Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

467

11.

Spis treści (na serio)

W

Wprowadzenie Co myśli Twój mózg o algebrze? Próbujesz się czegoś nauczyć, a Twój mózg oddaje Ci przysługę, próbując robić wszystko, aby proces nauki się nie kleił. Twój mózg myśli sobie: „Lepiej zostaw miejsce na ważniejsze sprawy, jak na przykład, których dzikich zwierząt należy unikać i dlaczego jeżdżenie nago na snowboardzie to zły pomysł”. A zatem w jaki sposób nakłonić mózg do tego, by zaczął myśleć, że życie zależy od znajomości algebry? Dla kogo jest ta książka?

20

Wiemy, co sobie myślisz

21

Metapoznanie: myślenie o myśleniu

23

Oto co zrobiliśmy

24

Oto co możesz zrobić, aby zmusić mózg do posłuszeństwa

25

Przeczytaj koniecznie

26

Zespół recenzentów technicznych

28

Podziękowania

29

7

Spis treści

Czym jest algebra?

1

Poszukiwanie niewiadomych… Czy kiedykolwiek chciałeś wiedzieć więcej, niż wiesz? W tym właśnie leży sedno algebry: przemiana niewiadomych w wiadome. Kiedy przeczytasz ten rozdział, z pewnością uświadomisz sobie, że X to znacznie więcej niż oznaczenie miejsca, w którym zakopano skarb.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA A! LN SPECJA lna specja cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. ie. Jeden dżojstik w zestaw (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem. Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Wszystko zaczęło się od wielkiej promocji konsoli do gier

32

Ile naprawdę kosztuje konsola?

33

Algebra polega na szukaniu niewiadomych

34

Julia ma znacznie więcej niewiadomych

35

X oznacza niewiadomą

37

Równania to zdania w matematyce

38

Teraz znajdziemy niewiadomą

43

Jakie działania wykonujesz i kiedy?

45

Działania odwrotne

46

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań

58

(Bardziej) skomplikowane równania

2

Algebra w podróży Wyobraź sobie świat, w którym jest więcej niż JEDNA rzecz, której nie wiesz. Nie tylko istnieją problemy z więcej niż jedną niewiadomą, ale czasami ta sama niewiadoma występuje wiele razy w tym samym równaniu! Nie ma się jednak czego obawiać… dzięki narzędziom, które poznasz w tym rozdziale, będziesz rozwiązywać bardziej skomplikowane problemy zupełnie bez wysiłku. Zawsze zaczynaj od tego, co wiesz

8

65

Z każdym uczestnikiem są związane koszty

66

Zastąp słowa liczbami

69

Obliczamy c… krok po kroku

71

Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz prawidłowy wynik

72

Z liczbami całkowitymi zwykle łatwiej się pracuje

73

Zmienna może wystąpić w równaniu więcej niż jeden raz

76

Sprawdzenie pracy potwierdza wynik

80

Wyraz to fragment równania algebraicznego

90

Spis treści

Reguły operacji z liczbami

3

Postępuj zgodnie z regułami Czasami po prostu musisz postępować zgodnie z niewygodnymi regułami. Jeśli jednak chodzi o algebrę, reguły to dobra rzecz. Reguły chronią Cię przed uzyskiwaniem nieprawidłowych odpowiedzi. Często się zdarza, że reguły pomagają znaleźć niewiadomą bez większego nakładu dodatkowej pracy. Na czas lektury tego rozdziału odłóż na bok swój kapelusik z balu maskowego. Znajdziesz tu kilka przydatnych zasad, które pozwolą Ci osiągnąć doskonałe wyniki.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

Obowiązuje kolejność wykonywania działań

104

Równania można przekształcać

112

Własności działań bez tajemnic

119

To bardzo ważna runda…

120

Wyciągnięcie wartości przed nawias nie zmienia wartości wyrażenia

124

Stała reprezentuje liczbę

128

Potęgowanie

4

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia Czy można pomnożyć to jeszcze raz… i jeszcze raz? Istnieje inny sposób przedstawienia mnożenia tych samych liczb oprócz powtarzania czynników. Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia. Potęgowanie jest jednak bardziej złożone, jeśli dotyczy liczb mniejszych niż zwykle (i nie mamy tu na myśli ułamków). W tym rozdziale będziemy mówili o podstawach, stopniach i pierwiastkach.

runda 2

1=3 dzień runda 1

Anka

runda 1

136

Zmobilizujmy słuchaczy Anki

137

runda 2

Czy Anka i Olek uzyskają wystarczającą liczbę wejść?

141

runda 2

Olek zawodzi swoją siostrę

144

Zawsze są czarne owce…

148

Zgodnie z kolejnością działań najpierw wykonuje się potęgowanie

152

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania

154

runda 2 runda 1

Anka prowadzi podcast

runda 2 runda 2 runda 2 runda 2

=3 dzień 2 9 = razy 3

runda 2

9

Spis treści

Wykresy

5

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów Czasami równanie zaciemnia problem. Czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się, że spojrzałeś na równanie i pomyślałeś: „Ale co, u licha, to może znaczyć?”. W takich sytuacjach może Ci być potrzebna wizualna reprezentacja równania. Do tego właśnie służą wykresy. Dzięki nim można oglądać równania, a nie tylko je czytać. Na wykresie można dostrzec istotne punkty. Na przykład kiedy zabraknie Ci pieniędzy lub ile czasu zajmie Ci zaoszczędzenie sumy potrzebnej na nowy samochód. W rzeczywistości dzięki wykresom można wykorzystać równania do podejmowania inteligentnych decyzji.

Usugi Strzyenia Trawników

Firma Edka potrzebuje pomocy…

166

Dlaczego po prostu nie pokażecie mi odpowiedzi?

171

Wykres przepływu gotówki w firmie Edka

172

Wykresy pokazują całą relację

173

Narysujmy równanie Edka na układzie współrzędnych

184

Edek oblicza NACHYLENIE trawników

190

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

194

W jaki sposób na podstawie punktu i nachylenia można wyznaczyć linię?

195

Skorzystajmy z równania prostej przechodzącej przez punkt

200

Równania mają również postać ogólną

204

Postać kierunkowa jest łatwa do wykreślenia

205

y 5 4

Ulica jest na poziomie 0 metrów n.p.m.

Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

3

Dom jest o 4 metry dalej.

2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

10

Nachylenie = 1

Spis treści

Nierówności

6

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje? Czasami wystarczająco oznacza wystarczająco… a czasami nie. Czy kiedykolwiek pomyślałeś: „Potrzebuję nieco więcej”? Co jednak, jeśli ktoś dał Ci więcej niż tylko trochę więcej? Wtedy miałbyś więcej, niż potrzebujesz… ale życie pomimo to mogłoby być dość przyjemne. W tym rozdziale pokażemy, w jaki sposób język algebry pozwala powiedzieć: „Daj mi trochę więcej… i jeszcze troszkę!”. Dzięki nierównościom możemy wyjść poza dwie wartości i pozwolić sobie na otrzymywanie więcej lub mniej. Karolina bardzo lubi futbol

226

Koszty dla wszystkich graczy nie mogą przekroczyć 1 000 000 €

227

Nierówności to porównania

230

Nierówności wykorzystujące operacje na liczbach ujemnych wymagają specjalnego traktowania

234

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja

Nierówności z liczbami ujemnymi działają w przeciwnym kierunku

235

Strona gówna

Zmiana znaku nierówności poprzez mnożenie bądź dzielenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną

236

Wieci ze wiata

Pozycja

Nazwisko

Liga

Aktualnoci

Pensja

Formacja defensywna Biegacz Skrzydłowy Kopacz Rozgrywający Razem

Kiedy wykonujesz działania z nierównością oraz mnożeniem bądź dzieleniem przez liczbę ujemną…

237

Zbiór rozwiązań możesz zobrazować na osi liczbowej

243

W nierównościach mogą występować dwie zmienne

247

Korzystaj z wykresu w celu wizualizacji rozwiązań nierówności

251

Odpowiedzi tworzą obszar zacieniowany

252

Czy jesteście gotowi na trochę futbolu?

257

Biegacze Formacje defensywne Zespół

Koszt

Waleczni Orły

300 000 € 200 000 €

Stalowi Kruki

333 000 € 250 000 €

Skrzydłowi

Nazwisko

Koszt

Michał Abramowicz

197 000 €

Nazwisko

Bogdan Horbaczewski

202 187 €

Benedykt Trawińsk i

Ryszard Tomczak

185 200 €

Edward Babinicz

209 115 €

Kopacze Nazwisko Jerzy Amanowski Ryszard Wolański Piotr Hiszczuk Mateusz Ewański

Edmund Fred

ro

183 500 € 155 000 € 203 200 € 209 100 €

212 000 € 185 200 €

Roman Jankowsk i Marek Mar tyniuk

Koszt

Koszt 195 289 €

165 950 €

Rozgrywający

Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielsk i

208 200 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

175 000 € 199 950 €

Daniel Drzycimski 202 400 €

11

Spis treści

Układy równań

7

Wiedzieć, czego się nie wie Równania z dwiema niewiadomymi można przedstawić na wykresie, ale czy można je faktycznie rozwiązać? Niedawno tworzyliśmy wykresy dla bardzo różnych wyrażeń: G i t, x i y oraz innych. Co jednak zrobić, aby rozwiązać równania z dwiema niewiadomymi? W takim przypadku należy wykorzystać więcej niż jedno równanie. Mówiąc dokładniej, potrzebujemy równania dla każdej niewiadomej, którą próbujemy znaleźć. Co dalej? Kilka podstawień, parę linii i przecięcie — to wszystko, co jest potrzebne do rozwiązania równań z dwiema niewiadomymi.

owa Sylwestr balanga

1.00 21.00 – ! Muzyka Tace!

100%

12

40% 100%

Nie możesz użyć –1 litra cieczy!

267

W jaki sposób działa równanie do obliczania nasycenia CO2 w ponczu?

269

Punkt przecięcia linii wyznacza rozwiązanie obu równań liniowych

273

Rozwiązywanie równań z wieloma niewiadomymi za pomocą układów równań

274

Dwa rodzaje naczyń… oto dwie niewiadome

276

Rozwiązujemy problem naczyń

277

Zamiast wykresu można zastosować metodę podstawiania

278

Obliczenie w nie przysporzyło żadnych problemów

286

Przekształcanie równań w celu przygotowania do eliminowania zmiennych

289

Układy równań — podsumowanie

293

Prywatka u Zbyszka!

294

Czasami dwa równania nie oznaczają dwóch linii

302

+

52% = 40%

52%

Spis treści

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

8

Zrywanie ze sobą jest trudne Czasami wystarczy, że ktoś czegoś nie zrozumie, aby Cię zirytować. Do tej pory mieliśmy do czynienia z takimi zmiennymi, jak x i y. Co jednak się stanie, jeśli x w naszych równaniach zostanie podniesione do kwadratu? Nadszedł czas, aby się tego dowiedzieć. Teraz mamy już wszystkie narzędzia potrzebne do rozwiązania takich problemów! Pamiętasz o regule rozdzielności mnożenia względem dodawania? W tym rozdziale nauczymy Cię, w jaki sposób skorzystać z rozdzielności oraz specjalnej techniki PZWO w celu rozwiązywania nowego rodzaju równań: dwumianów. Przygotuj się — nadszedł czas, by nauczyć się upraszczać naprawdę trudne równania. Liczyć czy nie liczyć — finały rejonowe

0

Kasia

1

Janusz

Liczy czy nie liczy

308

Kto ma rację?

309

Dwumian to grupa dwóch wyrażeń algebraicznych

311

Wracamy do własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

312

Upraszczanie dwumianów dzięki własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

313

Co zrobić, jeśli znaki są takie same?

319

Czasami nie można znaleźć wzoru…

321

Metoda PZWO zawsze się sprawdza

322

Rozkład na czynniki to inaczej faktoryzacja

327

Faktoryzacja polega na odwróceniu efektów mnożenia

328

Faktoryzacja poprzez znalezienie wspólnego czynnika

329

Faktoryzacja — podsumowanie

330

Zero pomnożone przez dowolną liczbę daje 0

334

x2 - 4 x+5

2x - 3

Wszystkie dwumiany

2+3

x-y

13

Spis treści

Równania kwadratowe

9

Wychodzimy poza linię Nie wszystko w życiu ma charakter liniowy. Ale sam fakt, że równania nie da się wykreślić w postaci linii prostej, nie oznacza, że jest nieważne. W rzeczywistości większość z najważniejszych niewiadomych, z którymi spotykamy się w życiu, ma charakter nieliniowy. Czasami musimy korzystać z wyrażeń o wykładnikach większych od 1. Równania zawierające wyrażenia kwadratowe na wykresie tworzą krzywe! W jaki sposób to działa? Jest tylko jeden sposób na to, by się tego dowiedzieć.

WOJOWNICY-TO-MY

WTM

Katapulta Drewniana katapulta Maksymalnie 5 kg

h = wysokość rzutu

Zasig bazuje na równaniu:

Y OW KT DU

N O PR

x = odległość, na jaką należy wystrzelić balon

Head First U jest w stanie wojny!

342

Janek unowocześnia swoją technologię

343

Gdzie Janek umieści katapultę?

347

Zawsze należy opracować plan

348

Bractwo Pi Gamma Delta buduje mur!

352

9 metrów to nie problem

360

Równanie kwadratowe

361

Co to jest wyróżnik delta?

368

Wojna bractw — część druga

372

2

Jak należy wykreślić x ?

374

Wykresem równania kwadratowego jest parabola

378

Wykreślenie paraboli wymaga znajomości wierzchołka

379

Praca z parabolą — sposób inteligentny

383

Wyróżnik pomaga także w tworzeniu wykresów

384

Kwatera Pi Gamma Delta Kwatera Teta Teta Pi

h (wysokość)

Janek chce strzelać balonami z wodą nad drzewem znajdującym mi się pomiędzy siedziba dwóch bractw.

Gdzie powinien wylądować balon z wodą?

x (odległość od czoła katapulty) ? metrów

14

? metrów

Przewodn ic Pi Gamma zący bractwa Delta

Spis treści

Funkcje

10

Każdy ma jakieś ograniczenia Niektóre równania są jak sąsiedzi na przedmieściu… ogrodzeni płotem. Jak można się przekonać, w rzeczywistym świecie wiele równań ma ograniczenia. Równania są dobre tylko dla niektórych wartości. Na przykład, nie można przejechać samochodem –10 kilometrów lub wykopać dołu o wysokości 4 metrów w górę. W takich przypadkach należy określić ograniczenia dla równań. A do określania ograniczeń dla równań nie ma niczego lepszego od funkcji. Funkcja? Co to jest, u licha? Otwórz na właściwej stronie i dowiedz się — tak jak na ekranie reality show. Zespół Śmierć Piżamy w telewizji

€=

395

Równania mają ograniczenia (w większości przypadków)

397

Ograniczenia argumentów wyznaczają dziedzinę funkcji

398

Funkcje mogą mieć minimalną i maksymalną wartość

401

Algebra dotyczy relacji

404

Relacje, równania i funkcje są ze sobą powiązane

409

Funkcje — podsumowanie

410

Wykresy funkcji mają ograniczenia

413

Przed drugim odcinkiem programu telewizyjnego z udziałem zespołu Śmierć Piżamy…

417

Wykres pokazuje charakter relacji

418

Funkcje przechodzą test linii pionowej

419

Ale… co z resztą biletów?

423

Wykorzystaj tę część funkcji, której potrzebujesz

424

Mamy wszystkie dane… i co z tego wynika?

427

Program telewizyjny z udziałem zespołu Śmierć Piżamy okazał się hitem!

429

+ 15

Spis treści

Algebra w praktyce

11 Moto Salon

Rozwiązywanie problemów świata Świat ma wielkie problemy… Ty masz wielkie odpowiedzi. Kilkaset stron wiedzy matematycznej i co z tego masz? Pęk iksów i igreków oraz parametrów a i b? Nieprawda… masz umiejętności znajdowania niewiadomych. Nawet w najtrudniejszych sytuacjach. Do czego to może służyć? Ten rozdział w całości będzie poświęcony realnym problemom: wykorzystasz swoją wiedzę z algebry do rozwiązywania praktycznych problemów. Kiedy to Ci się uda, będziesz mieć wielu przyjaciół, znać wpływowych ludzi i zaoszczędzisz mnóstwo pieniędzy. Jesteś zainteresowany? A więc do dzieła.

FORMULARZ DANYCH

SAMOCHODU

VIN 1992 HF 5.0L SALOON 4-PASSENGER SPECIALTY 5.0L H1 HF V- ENGINE AUTO OVERDRIVE TRANSMISSION

WYPOSAŻENIE STANDARDOWE THE FEATURES LISTED SĄ DOŁĄCZONE BEZ DODATKOWYCH OPŁAT

W STANDARDOWYM WYPOSAŻENIU WYSZCZEGÓLNIONO Z PRAWEJ STRONY: ochodowe czeniaH1Sam HF 8-CYL. ENGINE i - Ubezpie •• 5.0L • PRZYCIEMNIANE SZYBY EEC-IV COMPUTERIZED ENGINE • ELEKTRONICZNE RADIO STEREO Jan Kowalsk

STANDARDOWA CENA POJAZDU

€18540.00

WYPOSAŻENIE OPCJONALNE PREFEROWANY PAKIET WYPOSAŻENIA NR 4560 SZYBKOŚCIOMIERZ ELEKTRYCZNE RADIO AM/FM Z ZEGAREM I MAGNETOFONEM DODATKOWY BIEG OVERDRIVE MODUŁ OSZCZĘDNOŚCI PALIWA P233/H323F4778 UDOGODNIENIA PRZEDNI PANEL DO MOCOWANIA TABLICY REJESTRACYJNEJ 8-PUNKTOWO PODGRZEWANE SIEDZENIA LIMITOWANA EDYCJA OPCJONALNA BLOKADA MECHANIZMU RÓŻNICOWEGO KLIMATYZACJA

CONTROLS • 5-SPEED MANUALU OVERDRIVE TRANSMISSION

AM/FM Z ZEGAREM • KIEROWNICA OPRAWIONA W SKÓRĘ • ELEKTRYCZNE SZYBY • INTERWAŁOWE WYCIERACZKI – VARIABLE TENSION SPRINGS ECZ • PEŁNE OPRZYRZĄDOWANIE UBEZPI – GAS PRESSURIZED SUPPORTS – TACHOMETER – OCTAGON SHOCK REAR ___ – TERMOMETR SUSPENSION ________ – KONTROLA NAPIĘCIA ____ • TRACTION-LOCK BUTTON AKUMULATORA ________ BRAKES • ULTRA-POWER ________ – OIL PRESSURE GUAGE ____ • P233/2543272 ALL____ SEASON TIRES – TRIP ODOMETER o: ________ ____ • 16”X7” CAST wisk WHEELS • ELECTRIC SEATS WITH REGULOWANE ________ ALUM. • LARGE-CAPACITY Imi i naz TRUNK ___________ LUMBAR SUPPORT ________ ____ HALOGEN HEADLAMPS ________ KRED•• YT • LIGHT GROUP ________ POWER y: LOCK ________ SAMO • HEAVY DUTY BATTERY CHODOWY___ Adres:_ poc•ztow ELECTRIC MIRRORS ____ — FORM• CONSOLE WITH ARMREST ztwo, kod

OCHOD HANDLING SUSPENSION INCL.: ENIE •SAM

Bank Kredyt owo-Oszczdn

1HFACALG4UISCOOL

EXTERIOR BLUE AD SHINY INTERIOR GRAY LEATHER

INFORMACJE O CENIE

ociowy

ŚRODEK DO PIELĘGNACJI SIEDZEŃ SKÓRZANYCH KOREKTOR GRAFICZNY RAZEM POJAZD+WYPOSAŻENIE

1641.00 1190.00 W CENIE 198.00 W CENIE 366.00 1700.00

W CENIE 1634.00 W CENIE 278.00

OPCJONALNE 28230.00 ULARZ KOSZTY SPROWADZENIA I DOSTAWY ________ 440.00 ________ FOR ADDED PROTECTION, Miasto, ________ THIS VEHICLE IS EQUIPPED WITH A RAZEM PRZED UDZIELENIEM RABATÓW ________ ____SUPPLEMENTAL 28670.00. ____ Mark SIDE ne:_ AIR BAG a samochoduDRIVER RESTRAINT SYSTEM (SRS) ail: ____ _ Cell Pho Adres e-m __________ ________: ____________________ _____ Compare : ________ __________ this vehicle to others in the FREE GAS MILEAGE __________ GUIDE available at the dealer. _______________ _____ domowy ___ __ Telefon Vehicle_ Mode _____________________ l:______________ ____ ____ ____ ____ _____ ____ ____ _______________ _____ .___CITY Bank __________ Kredytowo-Oszczd ___ Czas:__ MPG nociowy _____ ____ mos ________ ___________ HIGHWAY MPG _________ _____ ________ _______________ ____Vehic ________ 1234leSQL ____ St. Year: PO Box 1000 ___ yrs. ____ :___ _____ sny _____ WYCIĄG BANKOWY OPTION PACKAGE SAVINGS waDV ________ _____czy €3670.00 _______________ _____ COMPARED WITH BUYING 26849 _____ owanyDataville __________ ____________ ________ TGESE OPTIONS SEPARATELY _____________________ Wynajm STRONA 1 z 1 ______ -___ ____ __________ Vehicle Milea ________ ___ _____ - ____ ge:________ ________ NIP: ____ _______________ _____ /yyyy) JOHN ROOTS __________ _____ _________ Statement Okres ____ (mm/dd _____ __________ _________ h: Numer rachunku ____ _____ Birt _____RM. KAPPA MU 2009_ to 2009-03-31 EPSILON HALL ____ _____ cy… Date of Vehicle Price: 34_____ 2009-03-01 ____ Kalend miesi _____arz 9NUMBERVILLE _____ 00004-323-3477-8 ze ____ ___ _____ Jeszc e: ____ ________ __________ 91210 ____ Nam _____ r 2009 _____ ____ _______________ ____ Kwiecień _______________ Employe ___ Marzec 2009 N _______________ ____ S ________ P C _____ Ś ____ W __ P N ____ S : ________ Luty 2009 P _____ C Ś W ____ ______________ 2009 Kelley P N ____ S upation P DATE Blue C ____ Ś OccStyczeń W Book P DESCRIPTION ____ N 1992 FORMULÆ, ___ S Value t: 5.0L P ENGINEREF C Ś :_____ ____ WYPŁATY men W P _____ WPŁATY (FEEDBACK ____ ploy FUEL SYSTEM), 1 _____ SALDO _____ Previous balance _____ _____ ____ Em of MAR _____ ____ 8 CYCLINDERS, FUEL __________ INJECTION, _____ Length MAR 7 ________ ________ CATALYST, __________ € TOTAL 7,267.00 Check No. 357 ________ me: ____ 5-SPEED_____ €25000.00 AUTOMATIC Downthly _________ Inco $103.00 Paym ________ ent:__ ________ € 7,164.00 Mon MAR 8 ATM _____ ____ Withdrawal _ $60.00 _____ - The Other_____ Left _____ Bank ____ ___8901 _____ ____ _______________ ___ Estimated Annual Fuel Cost: $847 ____ _____ 54999 ___ € 7,104.00 MAR 11 ____ _____ 2009 ATM ___ Withdrawal _____ ____ _____ Sierpień 1st National ___ _____ ___ ____ 9014 2009 _____ N LipiecSavings S $30.00 _____ P ______ C Model:__ TotalMAR Ś € 7,074.00 ___ W _____ 16 nt Check 2009 P Amou N S No. _____ ____ 112 Czerwiec P C Ś Finan ____ ____ W P 9 2009 7 8 0 5 9 6 5 27358 N ced:__ Maj S ____ P C € _______________ Ś 500.00 ____ W _____ € 7,574.00 MAR N 18 P ____ S _____ Visa Card - Regular Payment P C Ś ____ _____ W __________ 9554 $200.00 P _____

wojewód

18

25

Obliczanie odsetek na podstawie stopy procentowej oraz pożyczonej kwoty kapitału

443

Marek jeszcze nie jest właścicielem tego samochodu…

448

Dzięki algebrze nie musisz bawić się w ZGADYWANIE

456

Marek chce Ci płacić za to, byś stał się jego planistą finansowym

460

Gas Mileage Information

__________

MAR 22

P

______

ATM Withdrawal - Dataville _____ _____ Savings _ r Name:_____ & Loan __________ 9759 $110.00 ___Deale ____ MAR 27 Check_____ No. 113 _______________ __________ _____ _____ MAR 31 _____ ________ _____Date... Closing _____Ending ________ _____Balance ___ 2009 _____ ________ Grudzień__ ______ Listopad 2009______________ ______ k 2009 Październi 2009 Year:__ Wrzesień icle Veh W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

€ 36.00

€ 7,374.00 € 7,264.00 € 7,300.00 € 7,300.00

Pozostałości

A 16

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy) Niewątpliwie wiele nauczyłeś się z tej książki, tymczasem algebra może zaoferować Ci jeszcze więcej. Nie bój się. To już prawie koniec! Przedtem jednak musimy wypełnić jeszcze kilka luk. Następnie będziesz mógł zacząć poznawać algebrę zaawansowaną, ale to już zupełnie oddzielna książka. Numer 1. Potęgi o wykładnikach ujemnych

462

Numer 2. Tabela wartości do tworzenia wykresów

464

Numer 3. Równania z wartością bezwzględną

465

Numer 4. Kalkulatory

466

Numer 5. Dodatkowe ćwiczenia — zwłaszcza w rozkładaniu wyrażeń na czynniki

466

Spis treści

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

B

Budowa na solidnych podstawach Czy kiedykolwiek miałeś wrażenie, że nie wiesz, od czego zacząć? Algebra jest doskonała, ale jeśli chcesz się jej uczyć, musisz dobrze znać reguły rządzące liczbami. Przypuśćmy, że zdałeś sobie sprawę z tego, że zapomniałeś, jak mnoży się liczby całkowite, dodaje ułamki zwykłe lub dzieli ułamki dziesiętne. W takim razie trafiłeś w odpowiednie miejsce! W tym dodatku umieścimy wszystkie wiadomości z algebry elementarnej, które powinieneś znać — w telegraficznym skrócie. Algebra zaczyna się od liczb

Liczby naturalne {1, 2, 3, ...}

92 46

2 2

23

S

Skorowidz

468

W jaki sposób pracuje się z liczbami ujemnymi?

469

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

471

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

472

Wartość bezwzględna

475

Zbiory liczbowe — wszystkie razem

480

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

484

Mnożenie ułamków dziesiętnych

487

Dzielenie ułamków dziesiętnych

488

Specjalne ułamki dziesiętne

490

Działania na procentach

494

Ułamki

497

Mnożenie ułamków

498

Ułamki niewłaściwe

501

Więcej informacji na temat ułamków niewłaściwych

502

Wyznaczanie odwrotności ułamków

505

Dodawanie i odejmowanie ułamków

507

Aby porównywać ułamki, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika

508

Wyznaczanie najmniejszego wspólnego mianownika w operacji dodawania

509

Dzielenie przez jeden nie zmienia wartości

513

Skracanie ułamków poprzez dzielenie przez 1

514

Drzewa rozkładu na czynniki pozwalają na wyeliminowanie wielu drobnych kroków

515

Upraszczanie ułamków za pomocą drzewa rozkładu na czynniki

516

Podsumowanie — ułamki

518

Przekształcanie ułamków dziesiętnych na zwykłe

522

Dzielenie przez zero jest niedozwolone

525

Czasami mnożenie zajmuje wieczność!

526

531

17

Jak korzysta z tej ksiki?

Wprowadzenie

Nie mogę uwierzyć, że umieścili to w książce do algebry.

Czy ta książka jest dla Ciebie? Ta książka jest dla każdego kto ma pieniądze by za nią zapłacić. Będzie wspaniałym prezentem dla kogoś specjalnego.

anie: iadamy na palące pyt W tym rozdziale odpow to w książce do algebry?”. „Dlaczego oni umieścili

19

Jak korzystać z tej książki

Dla kogo jest ta książka? Jeśli odpowiesz „tak” na wszystkie poniższe pytania: 1

Czy potrafisz swobodnie posługiwać się liczbami i znasz podstawowe pojęcia matematyczne?

2

Czy chcesz uczyć się algebry poprzez przyswajanie pojęć, a nie tylko przez rozwiązywanie ćwiczeń?

3

Czy potrafisz wykonywać działania na liczbach całkowitych i ułamkach i jesteś gotów, by przystąpić do rozwiązywania równań z niewiadomymi?

…ta książka jest dla Ciebie.

Kto raczej powinien trzymać się z dala od tej książki? Jeśli odpowiesz „tak” na dowolne z poniższych pytań: 1

Czy należysz do osób, które nie radzą sobie z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi?

2

Czy szukasz książki z zaawansowanej algebry lub statystyki?

3

Czy jesteś kimś, kto ma obsesję na punkcie wykonywania wszystkich obliczeń przy pomocy kalkulatora?

…ta książka nie jest dla Ciebie.

[Uwaga od pracowników działu mark etingu: ta książka jest dla każdego, kto ma kartę kredytową].

20

Wprowadzenie

eneś …w takim razie powini ad First. „He ę ążk ksi po ć gną się ska" Statystyka. Edycja pol

Wprowadzenie

Wiemy, co sobie myślisz „W jaki sposób to może być poważna książka z algebry?” „Po co są te wszystkie ilustracje?” „Czy naprawdę mógłbym się uczyć w taki sposób?”

Twój mózg myśli, że TO jest ważne.

Wiemy, co myśli sobie Twój mózg Twój mózg pragnie nowości. Przez cały czas szuka, skanuje, czeka na coś niezwykłego. Został stworzony w taki sposób i pomaga człowiekowi przeżyć. A zatem co robi Twój mózg z wszystkimi rutynowymi, zwykłymi, normalnymi rzeczami, z jakimi się spotykamy? Wszystko co może, aby nie dopuścić do tego, by przeszkadzały wykonywać prawdziwe zadanie mózgu — rejestrować informacje, które są ważne. Mózg nie zadaje sobie kłopotu, aby zapisywać nudne rzeczy. Tego typu informacje nigdy nie przechodzą przez filtr „to oczywiście nie jest ważne”. Skąd Twój mózg wie, co jest ważne? Załóżmy, że podczas wędrówki po górach nagle przed Tobą pojawia się tygrys. Co się dzieje wewnątrz Twojej głowy i ciała? Neurony płoną. Emocje są coraz gorętsze. Chemiczny przypływ.

Doskonale. Jeszcze tylko jakieś 510 nudnych, suchych stron.

A oto jak odbiera tę sytuację Twój mózg…

To jest bardzo ważne! Nie przeocz tego! Wyobraź sobie teraz, że jesteś w domu albo w bibliotece. Jest bezpiecznie, ciepło — strefa wolna od tygrysów. Uczysz się. Przygotowujesz się do egzaminu. Albo próbujesz zapoznać się z jakimś technicznym tematem, na którego yśli, ózg m O poznanie szef dał Ci tydzień, maksymalnie dziesięć dni. Twój m warto TEG nie . Tylko jeden problem. Twój mózg próbuje wyświadczyć Ci wielką przysługę. Stara się zapewnić, że ta bez wątpienia mało istotna zawartość nie zaśmieci cennych zasobów. Zasobów, które można wykorzystać do zapamiętania naprawdę ważnych rzeczy. Jak, na przykład, napotkanych tygrysów. Jak niebezpieczeństwa pożaru. Jak zapamiętania wszystkich tajnych przejść w grze Super Mario Brothers. Nie istnieje prosty sposób na to, by powiedzieć mózgowi: „Hej, mózg! Nieważne, jak nudna jest ta książka i jak niewiele rejestrują moje przyrządy w emocjonalnej skali Richtera, naprawdę proszę cię, byś to zapamiętał”.

ć że iętywa zapam

jesteś tutaj 

21

Jak korzystać z tej książki

e się. Czytelników książek Head First postrzegamy jak osoby ucząc zadbać, by tego nie zapomnieć. Na czym polega proces uczenia się? Najpierw trzeba coś zapamiętać, a potem nie nauk kognitywnych, dziedzi w Nauka nie polega na wpychaniu faktów do głowy. Z ostatnich badań elementów niż czytanie więcej e znaczni je neurobiologii i psychologii edukacyjnej wynika, że nauka obejmu mózgu. o Twojeg ie tekstu na stronie. My wiemy, jakie informacje powodują włączen Kilka zasad nauki obowiązujących dla serii Head First. łatwiej od słów, a nauka Zaprezentuj informacje wizualnie. Obrazy zapamiętuje się o wiele nawet o 89% skuteczniej tywane zapamię są obrazy że przebiega skuteczniej (z badań wynika, ałe. Umieść słowa na zrozumi bardziej też się stają enia od słów). Dzięki obrazom zagadni e, a nie pod nimi związan są którymi z cji, ilustra obok ilustracjach lub rozwiążą łatwiej nie dwukrot nawet się uczący a stronie, ej lub na następn 52% 40% 100% treścią. z ne problemy powiąza (lub)

Siema, siostro! Mogę Używaj konwersacyjnego i osobowego ci pomóc… Mam wielu przyjaciół. Widziałaś mój nawet stylu. Z najnowszych badań wynika, że uczniowie osiągali profil na Naszej Klasie? o 40% lepsze wyniki w testach przyswajania informacji, jeśli treść była im ej osobie, podawana w postaci bezpośrednich zwrotów wypowiadanych w pierwsz swobodnego języka. Używaj ć. zamiast tonu formalnego. Lepiej opowiadać historie, niż wykłada ującym przyjęciu emocjon na stwu Nie bądź zbyt poważny. Komu poświęca się więcej uwagi: towarzy czy wykładowcy na wykładzie?

, jeśli aktywnie nie Spowoduj, by uczeń zaczął myśleć intensywniej. Inaczej mówiąc głowie. Czytelnik musi pobudzisz swoich neuronów, nic ciekawego nie będzie się działo w Twojej problemów, wyciągania ywania być zmotywowany, zaangażowany, ciekawy i zainspirowany do rozwiąz ia, ćwiczenia i pytania wyzwan są ne wniosków i generowania nowych wiadomości. Aby to osiągnąć, potrzeb . zmysłów wiele i prowokujące myśli, a także działania angażujące obie półkule mózgu ie. Któż z nas nie przeżył co Zwróć uwagę czytelnika na treść i utrzymaj jego zainteresowan już po pierwszej stronie”? zasypiam ale najmniej raz sytuacji typu „Naprawdę chcę się tego nauczyć, dziwne, przyciągające jące, interesu Twój mózg poświęca uwagę rzeczom, które są niezwykłe, nych nie musi być technicz eń zagadni uwagę, nieoczekiwane. Uczenie się nowych, trudnych nie będzie. taki proces ten jeśli , nudne. Twój mózg będzie się uczył znacznie szybciej Przemawiaj do emocji. Wiemy, że zdolność zapamiętywania stopniu zależy od treści emocjonalnej. Zapamiętujemy dużym w jeśli coś czujemy. Nie, nie będziemy opowiadali my, to, co nas obchodzi. Pamięta jego psie. Mamy na myśli takie emocje, jak i chłopcu wzruszających historii o zadawanie sobie pytań typu „Co jest, u licha…?” zabawa, ść, niespodzianka, ciekawo ujesz oraz odczucia w rodzaju „Udało mi się!”, które pojawiają się, kiedy rozwiąz że wiesz sz, odkrywa lub trudne, za uważają wszyscy co czegoś, łamigłówkę, uczysz się nego. technicz działu z Bogdan rzały coś, czego nie wie przemąd

22

Wprowadzenie

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA ! NA SPECJAL na specjal cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem. Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Wprowadzenie

Metapoznanie: myślenie o myśleniu Jeśli naprawdę chcesz się uczyć i jeśli chcesz to robić szybciej i głębiej, powinieneś zwracać uwagę na to, w jaki sposób skupiasz się na poznawanym temacie. Myśl o tym, w jaki sposób myślisz.

Ciekaw jestem, w jaki sposób nakłonić mój mózg do zapamiętywania tych informacji…

Poznaj sposób, w jaki się uczysz. Większość z nas, w czasie gdy dorastaliśmy, nie uczestniczyła w kursach na temat metapoznania czy też teorii nauki. Oczekiwano od nas, byśmy się uczyli, ale rzadko uczono, w jaki sposób się uczyć. Zakładamy jednak, że jeśli trzymasz tę książkę w rękach, to z pewnością chcesz się uczyć algebry. I najprawdopodobniej nie chcesz poświęcać temu zbyt wiele czasu. Jeżeli chcesz wykorzystać wiadomości, o których czytasz w tej książce, musisz zapamiętywać to, co czytasz. A co ważniejsze, musisz to zrozumieć. Aby zyskać jak najwięcej z tej książki, a także z dowolnej książki lub nauki, weź odpowiedzialność za swój mózg. Nakłoń go do zarejestrowania tej treści. Sztuczka polega na tym, aby Twój mózg uznał nowy materiał, którego się uczysz, za Bardzo Ważny. O kluczowym znaczeniu dla Twojej pomyślności. Tak samo ważny jak spotkanie z tygrysem. W przeciwnym razie będziesz toczył z mózgiem nieustanną walkę, a ten zrobi wszystko, aby nie zapamiętać nowych wiadomości.

Zatem w jaki sposób skłonić mózg do tego, by traktował algebrę tak, jakby była ona głodnym tygrysem? Prowadzi do tego powolna, żmudna droga lub szybsza i bardziej skuteczna. Powolna droga polega na cierpliwym powtarzaniu. Oczywiście wiesz, że możesz nauczyć się nawet najnudniejszych zagadnień, jeśli będziesz usilnie wkuwał je sobie do mózgu. W przypadku wytrwałego powtarzania mózg mówi sobie: „Nie wygląda to na zbyt ważne dla niego, ale powtarza to samo tyle razy, że chyba trzeba to zapamiętać”. Szybszy sposób polega na zrobieniu czegoś, co zwiększa aktywność mózgu, zwłaszcza jeśli są to różne typy aktywności. Istotny fragment takiego rozwiązania zaprezentowano na poprzedniej stronie. Udowodniono, że te czynności wywierają pozytywny wpływ na to, by nakłonić Twój mózg do pracy na Twoją korzyść. Z badań wynika, że umieszczenie słów wewnątrz ilustracji (w odróżnieniu od umieszczenia ich w innym miejscu strony, na przykład w podpisie lub w treści akapitu) skłania mózg czytającego do próby znalezienia sensu, w jaki słowa i rysunki się ze sobą wiążą. To powoduje, że w procesie myślenia bierze udział więcej neuronów. Więcej pracujących neuronów = więcej szans na to, aby Twój mózg uznał, że są to informacje, na które warto zwrócić uwagę i być może zarejestrować. Zastosowanie stylu konwersacyjnego jest pomocne, ponieważ ludzie zwykle koncentrują się bardziej, kiedy prowadzą konwersację. Wtedy oczekuje się od nich śledzenia tematu rozmowy i dotrwania do końca. Zabawne, że dla mózgu niekoniecznie ma znaczenie to, że „konwersacja” jest prowadzona pomiędzy Tobą a książką! Z drugiej strony, jeśli styl pisania jest formalny i suchy, Twój mózg odbiera to tak samo, jakbyś był na wykładzie i siedział w pokoju pełnym pasywnych uczestników. Nie ma potrzeby, by się budzić. Ilustracje i styl konwersacyjny to jednak zaledwie początek…

jesteś tutaj 

23

Jak korzystać z tej książki

Oto co zrobiliśmy Wykorzystaliśmy ilustracje, ponieważ Twój mózg jest nastawiony na odbiór informacji wizualnych, a nie tekstu. Dla mózgu obraz jest wart tyle, co tysiąc słów. Kiedy tekst występuje razem z ilustracjami, wtedy osadzamy go wewnątrz ilustracji. Twój mózg pracuje bardziej efektywnie, jeśli tekst znajduje się wewnątrz obiektu, którego dotyczy, a nie w podpisie lub gdzieś w treści akapitu.

x2 - 4

2x - 3

x+5 Wszystkie dwumiany

2+3

x-y

Wykorzystaliśmy redundancję, powtarzając tę samą rzecz na różne sposoby, za pomocą różnych środków przekazu oraz w różnym znaczeniu. W ten sposób zwiększamy szanse, że treść zostanie zakodowana w więcej niż jednym obszarze mózgu. Pojęcia i ilustracje zaprezentowaliśmy w nieoczekiwany sposób, ponieważ Twój mózg jest nastawiony na nowości. Ilustracje i idee zostały wykorzystane tak, by w pewien sposób miały charakter emocjonalny. Twój mózg zwraca uwagę na biochemię emocji. To, co sprawia, że coś czujesz, będzie z większym prawdopodobieństwem zapamiętane, nawet jeśli tym uczuciem jest rozbawienie, zaskoczenie lub zainteresowanie. Zastosowaliśmy spersonalizowany styl konwersacyjny, ponieważ Twój mózg koncentruje się bardziej, kiedy prowadzi konwersację, niż wtedy, gdy pasywnie słucha prezentacji. Twój mózg zachowuje się w ten sposób nawet wtedy, gdy czytasz. Wykorzystaliśmy ponad 80 zajęć, ponieważ Twój mózg uczy się i zapamiętuje lepiej, jeśli coś robisz, niż jeśli o tym czytasz. Wybraliśmy zadania trudne, ale możliwe do rozwiązania, ponieważ większość osób takie preferuje. Wykorzystaliśmy wiele stylów nauki. Jeden woli uczyć się procedur krok po kroku, drugi lepiej się czuje, gdy najpierw zapozna się z ogólnym obrazem całości, a trzeci potrzebuje przykładu. Niezależnie jednak od preferencji w zakresie sposobu nauki każdy skorzysta, jeśli zobaczy tę samą treść przedstawioną na różne sposoby. Zamieściliśmy treść, którą przyswajają obie półkule naszego mózgu, ponieważ im większą część mózgu zaangażujesz, tym wyższe prawdopodobieństwo, że nauczysz się tematu i go zapamiętasz oraz że dłużej utrzymasz koncentrację. Ponieważ często jest tak, że gdy pracuje jedna półkula mózgu, druga odpoczywa, to dzięki naprzemiennemu wykorzystywaniu półkul możesz uczyć się efektywnie przez dłuższy czas. Zamieściliśmy historie i ćwiczenia, które prezentują więcej niż jeden punkt widzenia, ponieważ Twój mózg uczy się intensywniej, jeśli jesteś zmuszony do dokonywania porównań i osądów. Zamieściliśmy zadania i ćwiczenia oraz pytania, na które nie zawsze można znaleźć proste odpowiedzi. Twój mózg uczy się i zapamiętuje lepiej, jeśli musi wykonać jakąś pracę. Pomyśl tylko — nie uda Ci się wyrzeźbić muskulatury, jeśli będziesz tylko obserwować ludzi na siłowni. Zrobiliśmy wszystko, aby zapewnić, że jeśli będziesz ciężko pracować, to tylko wtedy, gdy jest to potrzebne. Że nie będziesz musiał poświęcić dodatkowego dendrytu na przetwarzanie trudnego do zrozumienia przykładu lub parsowanie żargonowego czy bardzo skomplikowanego tekstu. W naszych przykładach występują ludzie. Bohaterami historii czy przykładów są ludzie, ponieważ Ty jesteś człowiekiem. Twój mózg poświęca więcej uwagi ludziom niż rzeczom.

24

Wprowadzenie

Pięciu przyjaciół? Nie ma problemu… Zdobędę te e-maile bez trudu.

Wprowadzenie

Oto co możesz zrobić, aby zmusić mózg do posłuszeństwa A zatem my zrobiliśmy swoje. Reszta zależy od Ciebie. Zamieszczone wskazówki to punkt wyjścia. Posłuchaj swojego mózgu i spróbuj się dowiedzieć, co w Twoim przypadku sprawdza się najlepiej, a co nie. Próbuj nowych rzeczy. Wytnij to i przyczep sobie na lodówkę.

1

Nie spiesz się. Im więcej zrozumiesz, tym mniej będziesz musiał zapamiętać. Nie poprzestawaj na samym czytaniu. Zatrzymaj się i pomyśl. Kiedy w książce natkniesz się na pytanie, nie zaglądaj od razu do odpowiedzi. Wyobraź sobie, że ktoś naprawdę zadaje Ci pytanie. Im bardziej zmusisz swój mózg do myślenia, tym większą masz szansę na nauczenie się tematu i jego zapamiętanie.

6

Twój mózg pracuje najlepiej w miłej wodnej kąpieli. Odwodnienie (które może nastąpić, zanim poczujesz pragnienie) obniża zdolność do nauki. 7

3

8

Przeczytaj je wszystkie, bez wyjątku. Nie są to opcjonalne ramki, jest w nich istotna treść! Nie pomijaj ich.

jaką przeczytasz przed pójściem spać. Lub przynajmniej ostatni z trudnych tematów. Część procesu nauki (w szczególności transfer do pamięci długoterminowej) odbywa się po odłożeniu książki. Twój mózg potrzebuje czasu dla siebie, aby dodatkowo przetworzyć dostarczone mu informacje. Jeśli wówczas dostarczysz mu nowych danych, niektóre informacje z tych, których się nauczyłeś, zostaną utracone. 5

Mów o tym, czego się nauczyłeś. Na głos. Mówienie uaktywnia inną część mózgu. Jeżeli próbujesz coś zrozumieć lub zwiększyć swoje szanse na późniejsze zapamiętanie informacji, powtarzaj je na głos. Jeszcze lepiej będzie, jeśli spróbujesz na głos wyjaśnić nowy temat komuś innemu. Dzięki temu będziesz się szybciej uczyć oraz być może odkryjesz informacje, o których istnieniu nie zdawałeś sobie sprawy w czasie czytania.

Angażuj się w to, co czytasz. Twój mózg musi wiedzieć, że to, co czytasz, ma znaczenie. Angażuj się w opowiadane historie. Spróbuj stworzyć własne podpisy pod zdjęciami. Zmuszanie się do śmiechu po usłyszeniu kiepskiego dowcipu jest pomimo wszystko lepsze od braku jakichkolwiek odczuć.

Czytaj punkty „Nie istnieją głupie pytania”.

4 Niech to będzie ostatnia rzecz,

Słuchaj swojego mózgu. Zwracaj uwagę na to, czy Twój mózg nie jest zbyt mocno obciążony. Jeśli zauważysz, że czytasz bez zrozumienia lub zapominasz, o czym czytałeś przed chwilą, zrób sobie przerwę. Kiedy przekroczysz pewien punkt, nie będziesz się uczyć szybciej poprzez czytanie coraz większej ilości materiału. W rzeczywistości możesz pogorszyć proces uczenia się.

2 Wykonuj ćwiczenia. Rób własne notatki.

W książce są ćwiczenia. Gdybyśmy jednak robili je za Ciebie, byłoby to tak, jakby ktoś odrabiał za Ciebie pracę domową. I nie ograniczaj się do samego patrzenia na ćwiczenia. Używaj ołówka. Jest wiele dowodów na to, że fizyczna aktywność podczas nauki usprawnia proces przyswajania wiedzy.

Pij dużo wody.

9

Używaj algebry w życiu. Jest tylko jeden sposób na nauczenie się algebry: trzeba jej używać. Nie oznacza to, że musisz się zamknąć w pokoju z papierem milimetrowym i ołówkiem. Ale że powinieneś zastanowić się nad tym, jak wykorzystać algebrę w świecie, który Cię otacza. Jaki problem próbujesz rozwiązać? Jakie są wiadome, a jakie niewiadome? W jaki sposób się ze sobą łączą? Chodzi o to, że nie nauczysz się algebry, jeśli tylko będziesz o niej czytać — musisz jej używać. W tej książce zaprezentujemy sporo wiedzy praktycznej: w każdym rozdziale jest wiele ćwiczeń oraz pytań, o których powinieneś pomyśleć. Nie pomijaj ich obojętnie — większa część procesu nauki odbywa się w czasie, gdy robisz ćwiczenia. Nie wahaj się sięgnąć do rozwiązań, jeśli nie będziesz mógł ruszyć z miejsca, ale wcześniej jednak przynajmniej spróbuj rozwiązać problem.

jesteś tutaj 

25

Jak korzystać z tej książki

Przeczytaj koniecznie To jest książka do nauki, a nie materiał referencyjny. Celowo pozbyliśmy się wszystkiego, co mogłoby przeszkadzać w nauce. Wszystko, co jest do nauki potrzebne, omawiamy w tej książce. Lekturę zacznij od początku, ponieważ w książce przyjęto pewne założenia dotyczące tego, co wcześniej widziałeś i czego się nauczyłeś.

Zaczynamy od nauczenia Cię sposobów rozwiązywania równań algebraicznych. Uwierz nam lub nie, ale nawet jeśli nigdy nie uczyłeś się algebry, możesz natychmiast przystąpić do szukania niewiadomych. Zapoznasz się również z głębszymi motywacjami do nauki algebry oraz dowiesz się, dlaczego w ogóle powinieneś się jej uczyć.

Kalkulatory służą tylko do obliczeń arytmetycznych, których nie można łatwo zrobić w pamięci. NIE służą do rozwiązywania równań. Na rynku jest wiele kalkulatorów zdolnych do wykonywania różnych operacji, włącznie z rozwiązywaniem równań i tworzeniem wykresów. Ponieważ celem pracy z tą książką jest nauczenie Cię sposobów rozwiązywania równań i tworzenia wykresów, używanie do tego celu kalkulatora byłoby oszukiwaniem samego siebie!

Jeśli zapomniałeś jakichś tematów z algebry elementarnej, pomożemy Ci je sobie przypomnieć. Zanim przystąpisz do nauki algebry oraz szukania niewiadomych, powinieneś umieć wykonywać działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych, liczbach całkowitych oraz potęgować i pierwiastkować. Dobra wiadomość jest taka, że jeśli rozumiesz wymienione zagadnienia, ale na przykład nie pamiętasz, w jaki sposób znaleźć wspólny mianownik, to możesz skorzystać z obszernego dodatku zamieszczonego na końcu tej książki. Zawiera on zwięzłe i suche informacje, pozwala jednak szybko przypomnieć sobie potrzebne zagadnienia z algebry elementarnej.

26

Wprowadzenie

Wprowadzenie Algebra nie polega tylko na znalezieniu prawidłowej „odpowiedzi”. W tej książce zamieszczono wiele informacji dotyczących procesu rozwiązywania problemów: jakie etapy obejmuje rozwiązanie zadania, o co chodzi w każdym punkcie. Dzięki temu można zrozumieć, co się robi. Poświęciliśmy mnóstwo czasu na to, by dobrze wyjaśnić każde ćwiczenie. Jest ku temu powód — próbujesz się przecież czegoś nauczyć, prawda? A zatem nie przechodź od razu do zapisu x = 5, aby sprawdzić, czy dobrze rozwiązałeś zadanie, ponieważ to tylko część odpowiedzi.

Ćwiczenia nie są opcjonalne. Ćwiczenia i zadania nie są dodatkami. Należą do zasadniczej treści książki. Niektóre są po to, aby pomóc w zapamiętaniu informacji, inne mają pomóc w ich zrozumieniu, a jeszcze inne w zastosowaniu poznanej wiedzy w praktyce. Nie pomijaj ćwiczeń.

Redundancja jest celowa i istotna. Zasadnicza różnica pomiędzy książkami z serii Head First a innymi książkami polega na tym, że w tym przypadku bardzo nam zależy, by Czytelnicy dobrze zapoznali się z ich treścią. Chcemy, abyś po przeczytaniu tej książki zapamiętał to, czego się nauczyłeś. Celem większości książek referencyjnych nie jest zapamiętywanie i przypomnienie materiału. Ta książka dotyczy jednak procesu nauki, zatem niektóre pojęcia będą powtarzane więcej niż raz.

Każdy może nauczyć się algebry, nawet te osoby, które mówią o sobie: „Matematyka nie jest dla mnie”. Powinieneś zapomnieć o tym, że kiedykolwiek mówiłeś: „Matematyka nie jest dla mnie”. Matematyka jest dla wszystkich, a Ty tylko jeszcze o tym nie wiesz. Każdy korzysta z algebry na co dzień, tylko że nie zawsze zdaje sobie z tego sprawę. Jeśli jeszcze nie odkryłeś w sobie „żyłki do matematyki” lub jeśli potrzebujesz inspiracji, trafiłeś w odpowiednie miejsce. Kiedy przeczytasz tę książkę, będziesz wiedział, jak podchodzić do algebry. Tymczasem rozwiąż kilka równań!

jesteś tutaj 

27

Zespół recenzentów technicznych

Zespół recenzentów technicznych Ariana Anderson

Amanda Borcky

Dawn Griffiths

Shannon Stewart

Herbert Tracey

Karen Shaner

Cary Collett

Recenzenci techniczni: Ariana Anderson jest doktorantem statystyki na Uniwersytecie UCLA oraz członkiem kolegium nauczycieli akademickich CUTF (Collegium of University Teaching Fellows). Prowadzi badania na temat integracji neuroobrazowania i statystyki w celu stworzenia maszyn „czytających umysły”. Amanda Borcky jest studentką uczelni Virginia Tech w Blacksburg, w stanie Virginia. Studiuje dietetykę i ma zamiar stworzyć w przyszłości klinikę dietetyki. Wystąpiła w roli recenzentki technicznej po raz pierwszy. Dawn Griffiths jest autorką książki Head First Statistics. Kiedy Dawn akurat nie pracuje nad książkami Head First, zgłębia tajniki tai-chi, robi na szydełku lub spędza czas ze swoim ukochanym mężem Davidem. Karen Shaner jest absolwentką Emerson College w Bostonie. Oprócz pracy dla wydawnictwa O’Reilly pisze pracę magisterską z dziedziny publikacji i edytorstwa. W czasie wolnym, którego nie ma zbyt wiele, zajmuje się tańcem towarzyskim, spędza czas z przyjaciółmi, śpiewa w zespole Praise Band oraz korzysta z rozrywek, jakie oferuje Boston.

28

Wprowadzenie

Shannon Stewart jest byłą nauczycielką matematyki w piątej klasie. Podczas pięciu lat pracy w Mesquite była cenionym pedagogiem oraz osobą wyróżnianą w klasyfikacji Who’s Who of American Teachers. Jest absolwentką Hardin Simmons i posiada tytuł licencjata z nauczania początkowego. Następnie podjęła studia na Uniwersytecie A&M Commerce i uzyskała tytuł magistra pedagogiki. Obecnie mieszka w stanie Texas wraz z mężem Lesem i synem Nathanem. Herbert Tracey otrzymał tytuł licencjata w Towson University, natomiast magistra w The Johns Hopkins University. Obecnie jest wykładowcą matematyki na Uniwersytecie w Loyola w stanie Maryland. Jednocześnie pełni funkcję honorowego szefa Wydziału Matematyki w Hereford High School. Cary Collett studiował fizykę i astrofizykę w college’u i wyższej uczelni. Nie trzeba więc mówić, że musiał uczyć się dużo matematyki. Jego zdaniem algebra jest w matematyce najtrudniejsza. Obecnie zajmuje się informatyką i mieszka w centralnej części stanu Ohio.

Wprowadzenie Sanders Kleinfeld

Podziękowania Naszym redaktorom: Dziękujemy Sandersowi Kleinfeldowi, który prowadził tę książkę od projektu do pierwszych kopii roboczych. Odpowiadał również na niezliczone pytania (w większości zadawane przez Tracey) i pozwolił na filozofowanie na temat książek z matematyki pisanych przez gwiazdy telewizyjne z lat osiemdziesiątych. Dziękujemy również Brettowi McLaughlinowi, który oprócz tego, że przewodził pracy nad całą serią, pomógł nam przejść od pierwszych kopii roboczych do szczęśliwego końca. Bardzo często udzielał nam rad typu „a dlaczego nie pomyśleliśmy o tym…”, które okazały się niezwykle pomocne. Jesteśmy mu bardzo wdzięczni także za wyrozumiałość i tolerowanie dzieci oraz psa w tle podczas konferencji telefonicznych. Dziękujemy także Lou Barr, która spełniała prośby w stylu „Lou, czy mogłabyś to zrobić tak, żeby wyglądało fajnie?”. Ponieważ żadne z nas nie ma talentu artystycznego, wszystko co w tej książce wygląda fantastycznie, to jej zasługa.

Brett McLaughlin Pracownikom wydawnictwa O’Reilly: Caitrin McCullough za doskonały serwis internetowy i Karen Shaner za to, że zarówno spełniała rolę recenzentki technicznej, jak i dbała o to, by proces korekty przebiegał sprawnie.

Lou Barr

Brittany Smith — redaktor prowadzącej, która zawsze bardzo szybko odpowiadała na nasze pytania, nadawała sens wszystkim plikom komputerowym wykorzystywanym w tym projekcie oraz zawsze wysyłała optymistyczne e-maile. Na koniec, co nie umniejsza jej zasług, dziękujemy Laurie Petrycki, która dała nam szansę napisania książki matematycznej, co było dla nas niezwykle ekscytującym przeżyciem!

Recenzentom: Dziękujemy Wam wszystkim za przeczytanie całej książki z tak wielkim entuzjazmem. Amandzie Borcky za to, że spełniała rolę potencjalnego czytelnika i wskazywała te fragmenty, które były mniej udane. Herbertowi Tracey, który oprócz tego, że uczył Tracey trygonometrii i analizy matematycznej, przekazywał nam niezwykle cenne uwagi, dzięki którym udało nam się stworzyć znacznie lepszą książkę matematyczną. Arianie Anderson i Shannon Stewart, które jako nauczycielki matematyki potrafiły wskazać luki w naszych założeniach oraz zadawać dobre pytania. Na koniec dziękujemy Cary Collett i Dawnowi Griffithsowi, którzy pomogli nam w matematyce i zadbali o to, byśmy postępowali zgodnie z założeniami serii Head First. Naszym przyjacioom i rodzinie: Wszystkim z rodziny Pilone i Chadwicks. Gdyby nie Wasza miłość i wsparcie, nie udałoby się nam zaliczyć kursu algebry za pierwszym razem! Nauczycielom matematyki, którzy uczyli Tracey — Panu Tracey, Pani Vesley i Pani Booth — którzy dokonali jej transformacji z zadeklarowanego przeciwnika matematyki na inżyniera, a także nauczycielom matematyki Dana — Bratu Leahy, Panu Cleary, Ojcu Shea i Pani Newell, którzy zawsze go wspierali w trudnych chwilach i dzięki którym pierwszy plan tej książki powstał tak wiele lat temu… Na koniec, co nie umniejsza ich poświęcenia, dziękujemy Vinny’emu i Nick — pierwszym dwóm projektom, nad którymi Dan i Tracey pracowali razem. Oni wielokrotnie musieli znosić odpowiedzi w stylu „Tata i mama mają konferencję” i nauczyli się znacznie więcej algebry, niż powinno się wymagać od przedszkolaków.

jesteś tutaj 

29

30

Wprowadzenie

1. Czym jest algebra?

Poszukiwanie niewiadomych… To takie słodkie, czy moglibyśmy sobie na to pozwolić?

Nie wiem…, ale myślę, że to nie może być zbyt drogie. Sprzedawca powiedział, że dwunastokrotna cena tego przedmiotu to 22 400 złotych. Wydaje mi się, że to nie jest tak dużo.

Czy kiedykolwiek chciałeś wiedzieć więcej, niż wiesz? Na tym właśnie polega sedno algebry: przemiana niewiadomych w wiadome. Kiedy przeczytasz ten rozdział, z pewnością uświadomisz sobie, że X to znacznie więcej niż oznaczenie miejsca, w którym zakopano skarb. Dowiesz się, czym są równania, poznasz działania wykonywane po obu stronach równań i niezmieniające ich sensu oraz dowiesz się, dlaczego poszukiwanie niewiadomych nie jest niczym wielkim. Na co jeszcze czekasz? Zabieraj się do pracy!

to jest nowy rozdział 

31

Algebra jest wszędzie

Wszystko zaczęło się od wielkiej promocji konsoli do gier Julia obserwowała od jakiegoś czasu rywalizację na rynku konsoli do gier i w końcu zdecydowała się na model, który chciała mieć. W tym tygodniu jest promocja jej ulubionej konsoli. Julia jest zdecydowana na zakup. Czy jednak będzie mogła sobie na nią pozwolić? Aby odpowiedzieć na to pytanie, potrzebuje Twojej pomocy.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA A! SPECJALN

Mogę zapłacić 199 € — ale czy właśnie tyle będę musiała zapłacić?

lna specja cena

Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

Julia czeka na odpowiednią konsolę do gier.

Rozdział 1.

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem.

32

eka — którą Julia cz To konsola, na… ale czy konsola i kilka jest promocja nie za duży koszt? akcesoriów to

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Czym jest algebra?

Ile naprawdę kosztuje konsola? Kiedy coś kupujesz — zwłaszcza drogą elektronikę — pamiętaj, że jest wiele składowych, które musisz dodać do ceny podanej na promocyjnej ulotce: podatek VAT, rozszerzona gwarancja, wysyłka itp. A zatem ile naprawdę kosztuje konsola KillerX?

Do ceny trzeba doliczyć podatek VAT… Podstawowa cena konsoli wynosi 199 €. Do tej ceny trzeba doliczyć podatek VAT. Załóżmy, że wynosi on 5%. Spróbujmy obliczyć, ile podatku zapłaci Julia:

Super

Nowa konsola do gier Ki 2.0 to doskonałe urządze do zabawy. Jeden dżojst zestawie. (KILLX-112)

lna specja cena

…oblicz tę wartość. Zapamiętaj ją, będzie potrzebna za chwilę.

a 5% podatku VAT oznacza konieczność pomnożeni ceny przez 0,05…

Konsola do gier KillerX 2.0.

199 € special value

199 € × 0,05 = €

$3

To jest cena wyjściowa 199 €, którą odczytaliśmy z reklamy.

Jeśli nie pamiętasz, jak wykonać działania na ułamkach dziesiętnych, otwórz dodatek i odśwież sobie te wiadomości!

…trzeba też pomyśleć o rozszerzonej gwarancji Julia chce wydać 199 € na konsolę do gier, a ponadto postanowiła zakupić plan rozszerzonej gwarancji za dodatkowe 20 €. Uwzględnijmy te koszty w końcowej cenie. Jaką cenę będzie musiała zapłacić Julia?

199,00 €

i… Wyjściowa cena konsol

…podatek VAT, który obliczyłeś wcześniej…

+ 20,00 € Oblicz łączną cenę

…i do tego rozszerzona gwarancja.

Dodaj te wszystkie składniki do siebie, aby dowiedzieć się, ile naprawd ę wydać Julia, aby kupić konsolę. musi

jesteś tutaj 

33

Poszukiwanie niewiadomych

To głupie. Myślałam, że będziemy się uczyć algebry!

Obliczenie łącznej ceny nie było zwykłym dodawaniem! To było obliczenie wartości niewiadomej — a to już algebra. W tym przypadku niewiadomą stanowiła końcowa cena konsoli. i… Wyjściowa cena konsol

199,00 €

…podatek VAT, który obliczyliśmy wcześniej…

9,95 €

+ 20,00 €

arancja. …oraz rozszerzona gw

228,95 € wszystkie To była niewiadoma — y znane. był cje rma pozostałe info będzie musiała Wiedzieliśmy, że Julia wyjść ze sklepu aby ę, zapłacić jakąś cen za niewiadoma! z konsolą. To była nas

Algebra polega na szukaniu niewiadomych Algebra polega na szukaniu brakujących informacji, które nas interesują, na podstawie informacji, które znamy. Niewiadomą może być koszt pożyczki na samochód, potrzebna ilość wody sodowej lub wysokość, na jaką zdołamy rzucić balonem wypełnionym wodą. Jeśli czegoś nie znamy, jest to niewiadoma. Wszystkie umiejętności, które przyswoisz, będą dotyczyły sposobów manipulowania znanymi danymi w celu znalezienia nieznanych danych. Istnieją reguły dotyczące tego, kiedy można pomnożyć określone elementy lub przenieść z jednej strony znaku równości na drugą, ale są to jedynie sztuczki pomocne w szukaniu informacji.

34

Rozdział 1.

Czym jest algebra?

Julia ma znacznie więcej niewiadomych A zatem Julia już wie, ile potrzeba jej pieniędzy na kupno świetnej konsoli do gier razem z rozszerzoną gwarancją. W dalszym ciągu nie ma jednak żadnej gry… ani drugiego dżojstika… czy też mikrofonu ze słuchawkami. Julia miała na koncie bankowym 315,27 €. Ile będzie mogła wydać na akcesoria, kiedy już zapłaci za konsolę? Rozpocznijmy od zapisania tego problemu słownie. wnie jest Zapisanie problemu sło jścia. wy m kte pun m ały kon dos sisz Na tym etapie nie mu i. bam licz się ać przejmow

Saldo – rachunku

Cena konsoli

=

Pieniądze na akcesoria

Wiemy, ile kosztuje konsola (228,95 €), a także ile Julia ma na koncie (315,27 €). Wystarczy wypełnić puste miejsca, aby dowiedzieć się, jakim budżetem na akcesoria dysponuje Julia.

danej na Dzięki kwocie wy ała się st lia Ju ria so ce ak zem… szczęśliwym grac

315,27 € – 228,95 € = Tyle pieniędzy Julia ma na koncie.

To jest cena konsoli, obliczona przez nas wcześniej.

Uzupełnij niewiadomą!

jesteś tutaj 

35

X oznacza niewiadomą

Ceny konsoli z bliska Przyjrzyjmy się nieco bliżej temu, co właśnie zrobiliśmy. Najpierw wpiszemy w ramkę z niewiadomą standardowy symbol niewiadomej w algebrze — x.

x = pieniądze na akcesoria

ej magii Nie ma żadn— to po x w literze a najczęściej prostu liter algebrze. używana w

315,27 € – 228,95 € = 86,32 € = x Tyle Julia ma na koncie.

To jest cena konsoli, obliczona przez nas wcześniej.

…a to jest nasza niewiadoma.

86,32 € = x Możemy także zamienić strony równania, dzięki czemu otrzymamy:

x = 86,32 €

rozdziału W dalszej części na temat tego, ej ęc wi powiemy zamieniać dlaczego można ób. Pokażemy os strony w ten sp ki. Tymczasem także inne sztucz ętać, że obie mi powinieneś zapa są sobie ia postacie równan leżnie od tego, za równoważne, nie z prawej, czy x znajduje się . ny czy z lewej stro

Algebra polega na zrozumieniu problemu oraz znalezieniu niewiadomej — x. Wykorzystanie takich sztuczek, jak zapisywanie problemu słownie czy też zamiana elementów miejscami, to jedynie sposób, który pozwala na wyszukiwanie niewiadomych.

Fajnie! 86,32 € to w dalszym ciągu sporo do wydania na gry i zestaw mikrofonowo-słuchawkowy.

36

Rozdział 1.

Algebra to poszukiwanie wartości niewiadomych.

Czym jest algebra?

X oznacza miejsce niewiadomą Oznacza niewiad omą.

Może to być odpowiedź na pytanie, ile ktoś waży, ile psów potrzeba do tego, by ciągnąć sanie, lub ile będzie kosztować przyszycie rękawa w kurtce Twojego brata. Może oznaczać jedną lub wiele liczb.

X

Istnieje zbiór reguł, które mówią, co z nią można zrobić, a czego nie wolno.

Niewiadoma nie musi być oznaczona literą x, może to być dowolna litera bądź litery.

W równaniu określa się ją terminem zmienna.

x to po prostu symbol zastępczy ramki na niewiadomą, używanej przez nas wcześniej. Symbol x łatwiej napisać. To właśnie wartości x szukamy podczas rozwiązywania równań. Niewiadomą w dowolnej sytuacji określa się terminem zmienna. Problemy są w życiu na porządku dziennym. Przekształcenie ich na równania matematyczne pozwala je rozwiązać.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy niewiadomą zawsze oznacza się symbolem x? O: Nie. W równaniach matematycznych często można spotkać

niewiadome x, y i z. Do tego celu można jednak wykorzystywać dowolne litery.

P

: Dlaczego na stronie 36. mogliśmy zamienić strony równania?

O

: W rzeczywistości jedynie odwróciliśmy to samo równanie. Była to jedna z możliwych operacji na równaniach. Istnieją reguły określające sposoby, w jakie można przekształcać równania bez zmiany ich wartości. Powiemy o tym znacznie więcej w dalszej części niniejszej książki.

jesteś tutaj 

37

Równania to zdania w matematyce

Równania to zdania w matematyce Równania podobne do tego, które wykorzystaliśmy wcześniej do obliczenia, ile Julia może wydać na akcesoria, to po prostu matematyczne zdania, czyli matematyczny sposób na to, by coś wyrazić. A zatem kiedy mówiliśmy o saldzie rachunku Julii, w rzeczywistości używaliśmy równania:

Saldo – rachunku

Cena konsoli

=

…równa się kwota pozostała do dyspozycji na zakup akcesoriów.

minus kwota wydana na konsolę…

Saldo rachunku…

Pieniądze na akcesoria

Te równania matematyczne mówią to samo. Są to po prostu dwa sposoby przedstawienia tego samego problemu.

Nasze równanie ma następujące znaczenie: „Saldo rachunku pomniejszone o cenę zapłaconą za konsolę równa się kwocie, jaka pozostała do dyspozycji na akcesoria”. A zatem oznacza to, że saldo rachunku musi się równać kosztowi konsoli powiększonemu o pieniądze na akcesoria. Jeśli to zdanie zostanie zapisane w formie równania, będzie miało następującą postać:

Saldo = rachunku Saldo rachunku…

Cena konsoli

+

równa się kwocie wydanej na konsolę…

Pieniądze na akcesoria …powiększonej o sumę pozostałą do dyspozycji na zakup akcesoriów.

Oba zdania oznaczają to samo. Zostały jedynie inaczej przedstawione. Na kolejnych kilku stronach wyjaśniono, w jaki sposób przekształca się zdania matematyczne, tak aby nie zmienić wartości wyrażeń.

38

Rozdział 1.

Równania można przekształcać tak jak zdania.

Czym jest algebra?

Magnesiki matematyczne Poniej zamieszczono kilka problemów wyraonych sownie oraz zbiór magnesików. Twoim zadaniem jest stworzenie równa z magnesików w taki sposób, aby miay takie same znaczenia jak problemy wyraone sowami. Po uoeniu równa zakrel niewiadom — warto, któr powiniene wyznaczy. Nastpnie zapisz równanie w postaci kompletnego zdania.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

....................................

x

....................................

=

....................................

Umieść po jednym magnesiku w każdym pustym miejscu…

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Następnie zakreśl magnesik, który musisz wyznaczyć.

y To równanie zaczęliśm za Ciebie…

Koszt jednej subskrypcji razy… ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Tym razem samodzieln stwórz całe równanie…ie

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Czas na poziom 1

NA YWO

pienidze za wszystkie subskrypcje

..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

Koszt jednej subskrypcji Julia

Liczba gier

Julia i jej bracia

Czas na poziom 3

Czas na poziom 2

Poziom 5

Czas na poziom 4

Czas, po którym Julia musi wyj

jesteś tutaj 

39

Magnesiki. Rozwiązanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Poniej zamieszczono kilka problemów wyraonych sownie oraz zbiór magnesików. Twoim zadaniem jest stworzenie równa z magnesików w taki sposób, aby miay takie same znaczenia jak problemy wyraone sowami. Po uoeniu równa zakrel niewiadom — warto, któr powiniene wyznaczy. Nastpnie zapisz równanie w postaci kompletnego zdania.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje

W tym zadaniu trzeba rą wyznaczyć kwotę, któ Julia musi wydać.

Koszt jednej subskrypcji razy liczba osób w grupie Julia i jej bracia równa ..................................................................................................................................... się kwota pieniędzy, którą wydadzą na aktualizacje subskrypcji „NA ŻYWO”. .....................................................................................................................................

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Oto co należy obliczyć.

Czas na poziom 1

+

Czas na poziom 2

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Poziom 5

40

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

=

Czas, po którym Julia musi wyj

Czas na poziom 1 plus czas na poziom 2 plus czas na poziom 3 plus czas ..................................................................................................................................... na poziom 4 równa się czas, po którym Julia musi wyjść. .....................................................................................................................................

WYSIL

Liczba gier

NA YWO

+

Julia

Rozdział 1.

SZARE KOMÓRKI Możesz również stworzyć równanie postaci: „Czas, po którym Julia musi wyjść minus czas na poziom 1 minus czas na poziom 2 minus czas na poziom 3 równa się czas na poziom 4”. Czy tak byłoby lepiej? Dlaczego?

Czym jest algebra?

Konstruowanie równa Teraz moesz utworzy równania! Wyjd od „matematycznego zdania”, które zapisae, i przekszta je na równanie. Uyj liczb dla tych elementów, które byy znane, oraz x dla niewiadomych.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje , która Potrzebujemy zmiennej e dane. kan szu ć wa izo bol ma sym tamy x. Do tego celu wykorzys

Odczytaj te informacje . z treści zadania

x = x ..................................................................................................................................................................................... Ten symbol oznacza mnożenie.

To samo dotyczy tego problemu — w miejscu niewiadomej zapiszemy x.

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Uważaj na tę wartość! Godziny czy minuty?

Czas na poziom 1

+

Czas na poziom 2

+

+ +

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

=

+

=

+

=

Czas, po którym Julia musi wyj

.....................................................................................................................................................................................

W tej linijce dodaj liczby i zapisz krótsze równanie.

.....................................................................................................

jesteś tutaj 

41

Upraszczamy, upraszczamy

Konstruowanie równa Teraz moesz utworzy równania! Wyjd od „matematycznego zdania”, które zapisae, i przekszta je na równanie. Uyj liczb dla tych elementów, które byy znane, oraz x dla niewiadomych.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje To jest niewiadoma, ć. którą próbujemy znaleź

4 12 € x = x ..................................................................................................................................................................................... 3 braci+Julia = 4

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym?

Czas na poziom 1

20

+

Czas na poziom 2

+

+

37

+

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

as Potrzebny jest cz tach, wyrażony w minu y na ponieważ czas gr ziomach poszczególnych pominutach. przedstawiono w

=

Czas, po którym Julia musi wyj

41

+

x

=

120

98

+

x

=

120

.....................................................................................................................................................................................

iłeś Dobra robota — uprośctaci równanie do takiej pos je — w tej formie będzie łatwiej rozwiązać.

42

Rozdział 1.

.....................................................................................................

Czym jest algebra?

Teraz ZNAJDZIEMY niewiadomą Julia sprawdza, czy opłaca jej się zakupić subskrypcję „NA ŻYWO”. Posiada 10 gier, dla 7 z nich nie ma wersji online. Ile gier, w które można grać w trybie online, posiada Julia? Czy zakup subskrypcji ma w jej przypadku sens?

x

+

Chcemy przejść bezpośrednio do równania, bez formułowania zd an Jeśli Ci to pomo ia. możesz zapisać że, ró słownie. Powinn wnanie o wystarczyć słown jednak sformułowanie pr e oblemu wyłącznie w myśla ch.

=

Pewna nieznana liczba gier…

10 gier…

7 gier…

W tym zadaniu interesuje nas x — niewiadoma liczba gier. W zasadzie nie interesuje nas siedem gier po lewej stronie równania. Możemy pozbyć się tej siódemki, o ile zrobimy to samo po obu stronach równania. Znak równości oznacza, że obie strony są takie same. Zatem jeśli zabraliśmy 7 z jednej strony, musimy zrobić to samo z drugiej strony równania.

+

x

=

Pewna nieznana liczba gier…

7 gier…

10 gier…

m Pozostały na … hm y… 3 gr

Możemy pozbyć się siódemki poprzez odjęcie 7 po obu stronach równania.

Oto do jakiej postaci doszliśmy:

x lub

=

x = 3

Hm! Mogę zagrać online tylko w trzy gry. Na razie nie będę kupowała tej subskrypcji.

jesteś tutaj 

43

Izolowanie zmiennych

W jaki sposób to pomaga? Nie mam zamiaru poświęcić reszty mojego życia na rysowanie ilustracji wszystkich moich problemów.

Do robienia obliczeń algebraicznych nie są potrzebne rysunki. Potrzebny jest sposób wykorzystania znanych operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) do rozwiązywania równań. Co jest najtrudniejsze? Trzeba zachować zasady równości. Równość oznacza, że obie strony są takie same. Jeśli wykonasz jakieś działanie po jednej stronie równania, musisz zrobić to samo po drugiej stronie równania. Oto inny sposób spojrzenia na problem Julii z grami online — tym razem bez rysunków: Odpowiedź musi mieć postać x = coś, zatem powinniśmy pozbyć się siódemki

…w tym miejscu odejmujemy 7 od obydwu stron równania w celu zachowania równości…

x + 7 = 10

wstępne równanie dla gier Julii.

x + 7 - 7 = 10 - 7

Ponieważ 7–7 równa się 0, po tej stronie równania pozostał sam x…

x = 3

— to wna się 3 A 10–7 ró co chcieliśmy wszystko, wiedzieć…

Doprowadzając do sytuacji, w której po jednej stronie występuje sama niewiadoma x, izolujesz zmienną. Jest to najważniejsza część rozwiązywania równań. Izolowanie zmiennej oznacza, że po lewej stronie równania została sama zmienna x, natomiast cała reszta znajduje się po prawej stronie. Jeśli możesz wyizolować zmienną, to rozwiązałeś równanie — pozostaje zapisanie odpowiedzi, na przykład x = 3. Ponieważ Twoim celem jest wyizolowanie zmiennej, wiesz, jakie liczby usunąć z lewej strony. Ponieważ chcesz pozostawić samo x, przenosisz siódemkę, nie dziesiątkę!

44

Rozdział 1.

Czym jest algebra?

Jakie działania wykonujesz i kiedy? Działaniem odwrotnym do dodawania jest odejmowanie. Zatem jeśli dodajesz liczbę po jednej stronie równania i chcesz przenieść ją na drugą stronę, możesz odjąć tę liczbę od obu stron. Tego typu pary działań określa się w matematyce jako działania odwrotne. Podstawowymi działaniami matematycznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Działanie odwrotne to takie działanie, które niweluje skutki innego działania (tak jak dodawanie niweluje odejmowanie). Operacje odwrotne pozwalają na przeniesienie liczby lub zmiennej z jednej strony równania na inną, poprzez „anulowanie działania z tą liczbą” po jednej stronie równania.

ie by pozbyć Dlatego właśn(liczby dodanej), ki em się siód jąć liczbę trzeba było odu stron. siedem od ob

+

– do Działaniem odwrotnym wanie… jmo ode t jes a ani aw dod

Kiedy chcesz rozwiązać równanie: 1

Spójrz na równanie i zastanów si, jakie liczby naley przenie. W przypadku równania Julii musieliśmy pozbyć się siódemki. To dlatego, że próbowaliśmy wyizolować zmienną x.

2

Zastanów si, jakie dziaania powiniene wykorzysta. Aby pozbyć się liczby, musisz wykorzystać działanie odwrotne. W przypadku liczby odjętej wykorzystaj dodawanie. Dla liczby dzielonej — mnożenie itd.

3

Zachowuj równo. Jeśli wykonasz jakieś działanie po jednej stronie równania, musisz zrobić to samo po drugiej stronie równania. Dzięki temu równanie pozostaje równoważne.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Istnieją również inne pary działań odwrotnych. Czy potrafisz je wymienić?

jesteś tutaj 

45

Działania odwrotne

Dziaania odwrotne Wywiad tygodnia:

Kim są działania odwrotne? Head First: Witamy ponownie w programie „Algebra wieczorem”. Dzisiejszym gościem… lub raczej dzisiejszymi gośćmi… są działania odwrotne. Czy wy zawsze podróżujecie parami? Działania odwrotne: No cóż, tak. Nie byłybyśmy działaniami odwrotnymi, gdyby nie było nas obu razem. Jesteśmy po to, by zachować równowagę. Head First: Ach, tak… Zatem dodawanie zawsze występuje w parze z odejmowaniem, mnożeniu zawsze towarzyszy dzielenie… dlaczego tak jest? Działania odwrotne: Przeciwności się przyciągają, a mnożenie jest przeciwieństwem dzielenia. Head First: To samo dotyczy dodawania i odejmowania, prawda? Działania odwrotne: Tak. Jesteśmy przeciwieństwami, ponieważ wzajemnie niwelujemy skutki swojej pracy.

Head First: OK. Myślę, że rozumiem — możesz przenosić liczby z jednej strony równania na drugą. Zatem przydajecie się podczas wyznaczania wartości zmiennej? Działania odwrotne: Oczywiście! To robimy najlepiej. Trochę dodawania tu lub odejmowania tam i można wyizolować prawie każdą zmienną. Head First: Doskonale! Jakieś ostatnie słowo, zanim się rozłączymy. Działania odwrotne: Tylko kilka uwag. Musicie być bardzo ostrożni, aby równanie pozostało w równowadze. Jest jeszcze kilka naszych par, które można spotkać tu i ówdzie, ale one pojawią się później. Head First: Spotkanie z wami było przyjemnością — chętnie porozmawiam z wami następnym razem. Tymczasem życzę wam, aby mnożeniu zawsze towarzyszyło dzielenie, a dodawaniu — odejmowanie.

Head First: Czy mówiąc „niwelujemy skutki swojej pracy”, masz na myśli, że jeśli mamy mnożenie, to w wyniku dzielenia mnożenie znika? Działania odwrotne: Niezupełnie znika — pamiętaj, że naszym zadaniem jest utrzymanie wszystkiego w równowadze. My tylko przenosimy dane! Jeśli masz mnożenie, które musisz przenieść, możesz cofnąć skutki tego mnożenia za pomocą dzielenia — po obu stronach równania.

Działania odwrotne pomagają w wyizolowaniu zmiennej.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Algebra polega na szukaniu niewiadomych.

Q

Niewiadomą określa się terminem zmienna.

Q

Do sformułowania równania zawierającego niewiadome używamy innych informacji z zadania.

Q

Aby znaleźć wartość zmiennej (na przykład x), trzeba ją wyizolować.

46

Rozdział 1.

Q

Zmienną można izolować za pomocą działań odwrotnych, które pozwalają na przekształcanie równania.

Q

Dodawanie jest działaniem odwrotnym do odejmowania, a mnożenie jest działaniem odwrotnym do dzielenia.

Czym jest algebra?

Zaostrz ołówek Poniżej znajdują się równania, w których po obu stronach są niewiadome i liczby. Użyj operacji odwrotnych w celu wyizolowania zmiennej i rozwiązania równania. Ten symbol y”. oznacza „raz

5

5 : x = 125

Tutaj mamy wartość x pomnożonąe przez 5… jakie będzie prawidłow działanie odwrotne? Pamiętaj, aby wykonać działanie po obu stronach…

: x = 125 x=

x - 13 = 29 x - 13 = 29 x=

I gotowe!

x : 6 = 47 - 11 x:6 = x= Taki zapis również oznacza „razy”.

x + 22 = 25 x + 22 = 25 x=

3 (x) = 5 3 (x) =5 x=

Dlaczego mnożenie oznacza się kropką i nawiasami? Czy z symbolem x jest coś nie tak?

Komuś, kto uznał za dobry pomysł wykorzystanie symbolu x do oznaczenia niewiadomej, zapewne nie sprawiało kłopotu odróżnienie tego symbolu od znaku mnożenia u. Jednak wiele osób miało z tym kłopot. Zaprzestali oni używania symbolu u na oznaczenie mnożenia i wymyślili kilka bardziej czytelnych opcji:

sów Każdy z tych zapi oznacza mnożenie.

Kropka:

5 : x = 125

5 (x) = 125 Brak jakiegokolwiek 5x = 125 Nawiasy:

symbolu:

jesteś tutaj 

47

Rozwiąż to

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Nie zapomnij wykonanej pr sprawdzić ac podstaw pod y — wynik i sprawx uzyskany równanie jest dź, czy prawdziwe. 5 x 25 = 125

Poniżej znajdują się równania, w których po obu stronach są niewiadome i liczby. Użyj operacji odwrotnych w celu wyizolowania zmiennej i rozwiązania równania.

5 : x = 125 5

÷ 5

Sprawdzamy… 42–13 = 29

: x = 125 x = 25

x + 22 = 25 x + 22 - 22 = 25 we… Prawie goto x= 3

Pamiętaj, aby wykonać działanie po obu stronach…

÷ 5

I gotowe!

Tutaj musisz się trzynastki, zatem pozbyć tej z działania odwr korzystając ot 13 do obu stron nego, dodajesz równania.

x - 13 = 29 x - 13 + 13 = 29 + 13 x = 42

3 + 22 = 25

x pomnożoną Tutaj mamy wartość prawidłowe przez 5… jakie będzie działanie odwrotne?

To było trochę bardziej skomplikowane. Mamy tu –11, ale możemy obliczyć 47–11; nie ma potrzeby, by przenosić tę jedenastkę gdziekolwiek.

x : 6 = 47 - 11 x : 6 ÷ 6 = 36 ÷ 6 x= 6 Prawdziwym problemem jest szóstka, której możemy się pozbyć, dzieląc obie strony równania przez 6.

… To również sprawdzamy 6 x 6 = 47–11 Nowy symbo

- 22

3 (x) = 5 „dzielone przel z”. 3 (x) / 3 = 5 / 3 anie, x = 5/3 lub 1,6667 Sprawdź to dział czy , nić ew up y się ab idłową ułamek ma praw wartość. 5/3 x 3 = 5

Symbole dzielenia również zmieniono… Znak dzielenia, do którego jesteś przyzwyczajony, również został zastąpiony innym. Zamiast niego stosuje się następujące symbole:

48

Rozdział 1.

125/x = 5 125 Kreska ułamkowa: x =5 Ukośnik:

To są dwa różne sposoby prezentowania dzielenia.

Czym jest algebra?

: 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

Dopasuj każdy z przykładów działań, które poznałeś w tym rozdziale, do jego nazwy. Uważaj, niektóre nazwy występują dwukrotnie!

Przykad dziaania

Nazwa dziaania

Dziaanie odwrotne do dodawania

Dzielenie

Dziaanie odwrotne do mnoenia

Równanie

7/3

Przekształcanie równania

x

Zmienna

2x = 10 x:3

Odejmowanie

=5

jesteś tutaj 

49

Kto co robi

: 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

ROZWIĄZANIE

Dopasuj każdy z przykładów działań, które poznałeś w tym rozdziale, do jego nazwy. Uważaj, niektóre nazwy występują dwukrotnie!

Przykad dziaania

Nazwa dziaania

Dziaanie odwrotne do dodawania

Dzielenie

Dziaanie odwrotne do mnoenia

Równanie

7/3

Przekształcanie równania

x

Zmienna

2x = 10 x:3

50

Rozdział 1.

÷ 3

Odejmowanie

=5

÷ 3

Czym jest algebra?

Julia jest gotowa na zakup akcesoriów! Julia obliczyła, że na rachunku bankowym pozostało jej 86,32 €, które może przeznaczyć na akcesoria. Postanowiła, że kupi sobie więcej gier i nie będzie martwić się na razie mikrofonem ze słuchawkami. Aby dowiedzieć się, na ile gier może sobie pozwolić, Julia wykonała kilka obliczeń algebraicznych:

Julia zamierza kupić kilka gier w promocyjnej cenie.

$199 Słuc h z mik awki rofo Zesta nem w słu .

z mik chaw r ek do g ofonem i ier o nline dealny (HS-A L1-86 7)

spe c cenjalna a

39 € Wiel k zbió i rg

ier. Różn e dla k gry o (HD- nsoli Kille ISH-5 309) rX

spe c cenjalna a

49 €

Kiedy z obliczeń wyszło, że mogę sobie sprawić dwie gry, poszłam je kupić i wtedy okazało się, że muszę zapłacić więcej niż 86,32 €! Musiałam się gdzieś pomylić — myślałam, że mam dość pieniędzy!

Obliczenia Julii 49x = 86,32 49 49x/49 = 86,32/ x = 2,007

, że uważa Julia urat tyle ma ak dzy, ile ry. pienię ba na 2 g potrze

Zaostrz ołówek Rozwiąż problem Julii! Znajdź miejsce, w którym popełniła błąd. .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

51

Zawsze sprawdzaj obliczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Rozwiąż problem Julii! Znajdź miejsce, w którym popełniła błąd.

49x = 86,32x ..........................................................................................................................................................................................

Julia pomyliła się przy obliczeniach z użyciem

49x/49 = 86,32/49 promocyjnych cen. Czy mogła uniknąć pomyłki? .......................................................................................................................................................................................... x = 1,76

.......................................................................................................................................................................................... W dzieleniu był błąd!

Spradzanie pracy… Sprawdzanie Podczas analizy kolejnych tematów z algebry przekonałeś się, że problemy są coraz bardziej skomplikowane i dość łatwo o błąd. Julia popełniła błąd w dzieleniu i z tego powodu uzyskała błędny wynik! Sprawdzanie pracy nie polega tylko na przejrzeniu tego, co się zrobiło. Oznacza również wykorzystanie specjalnej techniki zwanej podstawianiem.

Podstawianie polega na wykorzystaniu uzyskanego wyniku w wyjściowym równaniu Podstawienie oznacza zastąpienie określonego elementu innym elementem. Podobnie jest w przypadku, kiedy nauczyciel prowadzi zajęcia w zastępstwie nauczyciela zasadniczego. W celu sprawdzenia pracy podstawiasz obliczoną odpowiedź pod zmienną w pierwotnym równaniu. Podstawianie jest procesem, który można wykorzystać nie tylko do sprawdzania pracy, ale także do innych operacji. Kiedy przejdziemy do bardziej złożonych równań oraz równań z więcej niż jedną zmienną, będziemy korzystali z podstawiania podczas rozwiązywania równań.

Sprawdzenie obliczeń Julii 49x = 86,32 49 49x/49 = 86,32/ 2,007 = x

52

Rozdział 1.

49x = 86,32 49(2,007) = 86,32? 89,343 = 86,32 Weź odpowiedź Julii i podstaw ją za x w równaniu wyjściowym.

Odpowiedzi się nie zgadzają, zatem Julia popełniła błąd.

Czym jest algebra? Nie istnieją

głupie pytania

P

: Chciałbym zadać pytanie dotyczące sprawdzania własnej pracy…

O

: Należy to robić. To łatwe, dzięki temu dowiesz się, czy uzyskany wynik jest prawidłowy! Naprawdę. Jeśli masz równanie postaci 5+x = 11 i uzyskasz wynik, na przykład x = 2, to kiedy podstawisz 2 do wyjściowego równania, uzyskasz 5+2 = 11, co jest oczywiście błędne. x nie jest równe 2. Po obliczeniu niewiadomej łatwo sprawdzić wykonaną pracę.

P: Kiedy poza tym używa się podstawiania? O: Będziesz się z tym spotykać wielokrotnie — zawsze podczas

sprawdzania obliczeń, ale także wykorzystasz to jako punkt wyjścia do rozwiązywania równań z dwiema niewiadomymi, do tworzenia wykresów, rozwiązywania nierówności… czytaj dalej, wkrótce do tego dojdziemy!

P

: Dlaczego istnieją różne notacje dla mnożenia i dzielenia?

O: Są wygodniejsze i znacznie mniej mylące od tradycyjnych

symboli mnożenia i dzielenia. Kiedy dojdziesz do dalszych rozdziałów, spotkasz się z bardziej skomplikowanymi równaniami. W takich równaniach przedstawienie dzielenia w jednej linii powoduje naprawdę olbrzymią różnicę. To samo dotyczy mnożenia (zwłaszcza z użyciem nawiasów) — czasami wyrażenie wystepujące w nawiasie jest bardzo złożone. Na koniec, mnożenie liczby przez zmienną jest tak częste, że napisanie obu wyrażeń obok siebie okazuje się znacznie mniej mylące niż w przypadku, gdy symbol mnożenia występuje pomiędzy mnożonymi składnikami.

P

: Czy dla dodawania i odejmowania też istnieją inne notacje?

O

: Nie. Symbole dodawania i odejmowania nie zmieniły się. Plus oznacza dodawanie, a minus odejmowanie, ale kto wie…

P

: Jaka jest różnica pomiędzy liczbą ujemną a odejmowaniem liczby dodatniej?

O

: W zasadzie nie ma żadnej. A zatem liczba –4 znaczy to samo, co +(–4).

P

: Wygląda na to, że rozwiązywanie równania obejmuje wiele elementów. Jak mam je zapamiętać?

O

: Rzeczywiście jest ich wiele, ale wkrótce staną się one Twoją drugą naturą. Kiedy przyzwyczaisz się do rozwiązywania równań, będziesz automatycznie używać działań odwrotnych w celu przenoszenia liczb pomiędzy stronami równań oraz upraszczać równania tak długo, aż uzyskasz samą zmienną.

W dalszej części książki prześledzimy dokładnie kolejne kroki. W gruncie rzeczy są one odpowiedziami na pytanie, co powinieneś zrobić, kiedy masz do rozwiązania równanie. Zwykle najczęściej zapominaną czynnością jest sprawdzenie obliczeń. Pamiętaj, by to robić!

P

: Kiedy powinienem wykorzystać nawiasy, kiedy kropkę, a kiedy po prostu zapisać liczbę i zmienną obok siebie?

O

: Nie ma różnicy pomiędzy różnymi notacjami. Najlepsza notacja to taka, która wydaje się nam najwygodniejsza i wygląda najbardziej estetycznie. Jeśli liczbę należy pomnożyć przez kilka wyrażeń, można użyć nawiasów. Powiemy o tym znacznie więcej w rozdziale 2. Jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez zmienną, po prostu zapisz je obok siebie. Jeśli chodzi o kropkę… cóż, to tak dla odmiany, jeśli nudzą Cię inne notacje.

W przypadku dzielenia niemal zawsze korzystamy z zapisu z kreską ułamkową. Wyjątek stanowi sytuacja, w której wpisujemy równanie w edytorze tekstu lub e-mailu. Wtedy korzystanie z takiego zapisu sprawia kłopot. W takich przypadkach stosujemy zapis z ukośnikiem.

Podstawianie polega na użyciu uzyskanej wartości w wyjściowym równaniu.

jesteś tutaj 

53

Potrzebuję więcej gier…

Ćwiczenie

Julia udoskonala plan wydatków oszczędności, jakie jej pozostały po zakupie nowej konsoli do gier. Pomóż jej obliczyć szczegóły!

Podczas niezbyt udanych zakupów, kiedy Julia próbowała nabyć akcesoria, musiała odłożyć na półkę zestaw mikrofonowo-słuchawkowy i kupiła tylko grę. Zostało jej więc 33,55 €. Nowa gra ma wersję sieciową, zatem nadszedł czas na zainwestowanie w subskrypcję NA ŻYWO (12 €) oraz zestaw mikrofonowosłuchawkowy (39 €). Ile Julia musi zaoszczędzić, żeby kupić te wszystkie akcesoria?

Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

Subskrypcja NA ŻYWO+zestaw mikrofonowo-słuchawkowy = pieniądze, których Julia .......................................................................................................................................................................................... potrzebuje+saldo oszczędności .......................................................................................................................................................................................... Przekształć równanie .......................................................................................................................................................................................... w cel u znalezienia x.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... nia! Sprawdź oblicze

..........................................................................................................................................................................................

Julia chce kupić dodatkowy poziom swojej gry w subskrypcji NA ŻYWO. Potrzebuje do tego 720 punktów. Tymczasem 60 punktów kosztuje 1 €. Ile będzie kosztował nowy poziom? 60 punktów (kwota w euro) = całkowity koszt poziomu w punktach ..........................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... wartość .......................................................................................................................................................................................... Podstaw obliczoną o równania. x do wyjścioweg

..........................................................................................................................................................................................

54

Rozdział 1.

Czym jest algebra?

Jaką kwotę musi zgromadzić Julia? Chciałaby kupić wszystkie akcesoria oraz nowy poziom gry…

Te obliczenia są te… stosunkowo pros

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... a wnani Podstaw do ró o… eg w io śc yj w ..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

Julia doszła do wniosku, że aby zapłacić za zestaw mikrofonowo-słuchawkowy, subskrypcję i dodatkowy poziom, może sprzedać niektóre używane gry, które już się jej znudziły. Może dostać 8 € za grę. Ile gier musi sprzedać, aby zdobyć pieniądze na nowe rzeczy? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

55

Rozwiąż równania

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Julia udoskonala plan wydatków oszczędności, jakie jej pozostały po zakupie nowej konsoli do gier. Pomóż jej obliczyć szczegóły!

Podczas niezbyt udanych zakupów, kiedy Julia próbowała nabyć akcesoria, musiała odłożyć na półkę zestaw mikrofonowo-słuchawkowy i kupiła tylko grę. Zostało jej więc 33,55 €. Nowa gra ma wersję sieciową, zatem nadszedł czas na zainwestowanie w subskrypcję NA ŻYWO (12 €) oraz zestaw mikrofonowosłuchawkowy (39 €). Ile Julia musi zaoszczędzić, żeby kupić te wszystkie akcesoria?

Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

Subskrypcja NA ŻYWO+zestaw mikrofonowo-słuchawkowy = pieniądze, których Julia potrzebuje+saldo oszczędności

12 + 39 = x + 33,55 51 - 33,55 = x + 33,55 - 33,55 17,45€ = x 12 + 39 = 17,45 + 33,55

Sprawdź obliczenia :)

podstaw Aby sprawdzić wynik, iu 17,45 za x. nan rów ym iow jśc wy w

51 = 51

Julia chce kupić dodatkowy poziom swojej gry w subskrypcji NA ŻYWO. Potrzebuje do tego 720 punktów. Tymczasem 60 punktów kosztuje 1 €. Ile będzie kosztował nowy poziom? 60 punktów (kwota w euro) = całkowity koszt poziomu w punktach

60x = 720

Dzielimy obie strony równania przez 60.

Podstaw obliczoną wartość x do wyjściowego równania.

56

60x = 720 60

60 x = 12

60(12) = 720

Rozdział 1.

720 = 720

To jest nowa notacja dzielenia.

Czym jest algebra?

Jaką kwotę musi zgromadzić Julia? Chciałaby kupić wszystkie akcesoria oraz nowy poziom gry… Te obliczenia są stosunkowo proste…

Nowe akcesoria+nowy poziom = całkowita kwota, jakiej potrzebuje Julia

17,45 + 12 = x 29,45 € = x Podstaw do równania wyjściowego…

17,45 + 12 = 29,45 29,45 = 29,45 Teraz znamy łączną kwotę, jakiej potrzebuje Julia.

Julia doszła do wniosku, że aby zapłacić za zestaw mikrofonowo-słuchawkowy, subskrypcję i dodatkowy poziom, może sprzedać niektóre używane gry, które już się jej znudziły. Może dostać 8 € za grę. Ile gier musi sprzedać, aby zdobyć pieniądze na nowe rzeczy? całkowita kwota, jakiej potrzebuje Julia

= liczba gier, jaką musi sprzedać

cena, jaką może otrzymać za jedną grę

29,45 = x 8 3,68125 = x 29,45 = 3,68125 8 3,68125= 3,68125

coś tam jest dokładna, Ta wartość 3 przecinek całkowitą liczbę gier. ać ale Julia może sprzed ci Julia musi sprzedać toś Tak więc w rzeczywis dze na nowe rzeczy! nią 4 gry, aby zdobyć pie

jesteś tutaj 

57

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań Spróbujmy zebrać razem wszystkie umiejętności rozwiązywania równań potrzebne do wyjaśniania praktycznych problemów z wykorzystaniem algebry. 2

Zapisz równanie do rozwizania. Kiedy zrozumiesz, co należy znaleźć, zapisz równanie w postaci algebraicznej. Do oznaczenia niewiadomej użyj litery x (lub dowolnej innej litery).

1

Zrozumienie treci problemu. W treści każdego problemu można znaleźć zarówno wskazówki, jak i niewiadome. Dowiedz się z treści zadania, czego szukasz oraz jakie inne liczby, które tam występują, mogą Ci pomóc w rozwiązaniu. Najpierw sformułuj problem słownie.

7

Sprawd obliczenia! Sprawdź — poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania w miejsce niewiadomej — czy uzyskany wynik jest prawidłowy.

6

Zapisz równanie w postaci niewiadoma = liczba. Doprowadzenie równania do postaci, w której po jednej stronie występuje sama zmienna, oznacza znalezienie rozwiązania.

x = jakaś wartość

58

Rozdział 1.

Czym jest algebra?

Podejmij decyzj o tym, w jaki sposób mona wyizolowa zmienn.

3

Użyj działań odwrotnych i wykonaj obliczenia arytmetyczne na liczbach w taki sposób, aby po jednej ze stron równania pozostała sama zmienna.

x

÷

Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie…

4

Jeśli musisz uprościć równanie, używaj tec hni przekształcania równań k .

5

Przekszta równanie. Zastosuj techniki przenoszenia liczb w równaniu — po to, by po jednej stronie równania pozostała sama zmienna. Pamiętaj, że zachowanie równoważności równania wymaga wykonywania takich samych działań po obu stronach.

Przepisz równanie. Uprość równanie poprzez wykonanie obliczeń arytmetycznych powstałych w wyniku przenoszenia elementów pomiędzy stronami i zobacz, czy po jednej ze stron równania pozostała sama zmienna. Jeżeli nie, to zastosuj inną technikę zmierzającą do wyizolowania zmiennej.

jesteś tutaj 

59

Dzięki algebrze Julia zaoszczędziła dzień

Julia ma doskonałą konfigurację Po wycieczce mającej na celu sprzedaż 4 gier i zakup zestawu mikrofonowosłuchawkowego Julia nabyła subskrypcję NA ŻYWO, kupiła nowy poziom gry i jest gotowa do grania. To jest konsola, którą kupić. Ponieważ Julia Julia chciała wszystkie dodatkowe ma już akcesoria, jest gotowa do wypró bowania gry.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA ! SPECJALNA

a

ln specja cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € special value ę Julia kupiła tę konsol … za swoje oszczędności

Następnie kupiła i sprzedała kilka gier, dzięki czemu mogła sobie pozwolić na nowy zestaw słuchawkowo-mikrofonowy i wersję online.

Julia ma zamiar spędzić wiele godzin z nową grą — kiedy się nią nacieszy, z łatwością obliczy, na jaką grę będzie mogła sobie pozwolić następnym razem!

Julia jest gotowa na przyjęcie wyzwania każdego gracza. W każdej chwili.

60

Rozdział 1.

Czym jest algebra?

Niezbędnik matematyka Rozdzia 1.

otnym do Działaniem odwr ejmowanie… od t jes dodawania

+

–

x

÷ Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie…

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Algebra polega na szukaniu niewiadomych.

Q

Do sformułowania równania zawierającego niewiadome używamy innych informacji z zadania.

Q

Niewiadomą określa się terminem zmienna.

Q

Aby znaleźć rozwiązanie równania, należy wyizolować zmienną.

Q

Zmienną można izolować za pomocą działań odwrotnych, które pozwalają na przekształcanie równań.

Q

Dodawanie jest działaniem odwrotnym do odejmowania, a mnożenie jest działaniem odwrotnym do dzielenia.

jesteś tutaj 

61

62

Rozdział 1.

2. (Bardziej) skomplikowane równania

Algebra w podróży

Kiedyś bardzo się bałam nieznanego, ale teraz Bogdan może mnie zawieźć wszędzie…

Wyobraź sobie świat, w którym jest więcej niż JEDNA rzecz, której nie wiesz. Tak, to trudne do wyobrażenia… ale istnieją problemy, w których jest więcej niż jedna niewiadoma. Poza tym czasami ta sama niewiadoma występuje wiele razy w tym samym równaniu! Nie ma się jednak czego obawiać… wiesz już przecież, w jaki sposób można przekształcać równania. Jeśli do tej wiedzy dodasz narzędzia, które poznasz w tym rozdziale, będziesz rozwiązywać bardziej skomplikowane problemy zupełnie bez wysiłku.

to jest nowy rozdział 

63

Śmierć Piżamy

Paweł uwielbia zespół Śmierć Piżamy Paweł jest wielkim fanem punkowego zespołu Śmierć Piżamy. W tym tygodniu zespół rozpoczyna trasę koncertową po Europie od miasta Tromso. Paweł postanowił, że musi tam być. Przygotował swoje oszczędności, ale nie ma pojęcia, ile pieniędzy powinien podjąć z rachunku bankowego.

Czy możesz pomóc Pawłowi? Paweł ma na rachunku bankowym 1330 € i zamierza wydać wszystkie oszczędności. Chce zabrać ze sobą przyjaciół i przepuścić wszystkie pieniądze w ten weekend. Ilu przyjaciół może ze sobą wziąć? Poza tym jest mnóstwo kosztów, które należy uwzględnić: Bilety

mer 1 Paweł — fan nu żamy! Pi zespołu Śmierć

Hotele

Żywność

Paliwo

Zespół Śmierć Piżamy gra na żywo w Tromso…

64

Rozdział 2.

Koledzy Pawła są zawsze go do podróży. towi

(Bardziej) skomplikowane równania

Zawsze zaczynaj od tego, co wiesz Najlepszym sposobem podejścia do każdego problemu jest określenie tego, co wiemy, oraz tego, czego nie wiemy. Wielką niewiadomą w przypadku tego problemu okazuje się liczba przyjaciół, których Paweł może zabrać ze sobą. Oznaczmy to literą c od słowa „chłopaki”. Wiemy także, że Paweł ma 1330 € na swoim rachunku bankowym. To maksymalna kwota, jaką może wydać podczas podróży.

Liczba kolegów, których zabierze Paweł.

c

Data 01-05

1330 € Pieniądze, które Paweł może wydać.

Rachunek o szczdnoc iowy Pawa Opis Kwota Saldo 1330,00 €

Maksymalna kwota, którą Paweł może wydać, wynosi 1330 € — to jest pierwsza „wiadoma” w naszym równaniu.

Ciągle jest jednak wiele brakujących elementów. Nie możemy tak po prostu porównać tych dwóch rzeczy… to nie miałoby sensu.

c

=

1330 €

Zaostrz ołówek Co jeszcze należałoby uwzględnić w równaniu opisującym całkowity koszt podróży? Czy liczba osób, które Paweł zabierze ze sobą, ma znaczenie? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

65

Z każdym uczestnikiem są związane koszty

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie takie Zużycie paliwa będzie o, ile teg od ie eżn zal samo, nie odzie. osób pojedzie w samoch

Co jeszcze należałoby uwzględnić w równaniu opisującym całkowity koszt podróży? Czy liczba osób, które Paweł zabierze ze sobą, ma znaczenie? Te trzy elementy zależą od liczby osób biorących udział w wycieczce.

Brakującym elemente m całkowity koszt wycie jest czki.

Na koszty składają się: paliwo, hotel, jedzenie i bilety. Niektóre z tych elementów zależą .......................................................................................................................................................................................... od liczby osób biorących udział w wycieczce, ale nie wszystkie. ..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

Z każdym uczestnikiem są związane KOSZTY Paweł będzie musiał ponieść koszty paliwa po to, by dotrzeć do Tromso. Co jednak z żywnością? Biletami? Pokojami w hotelu? Te elementy zależą od liczby osób biorących udział w wycieczce (Paweł jest jedną z nich). Zatem najpierw musimy obliczyć koszty stałe, takie jak paliwo, a następnie obliczyć, ile kosztuje udział każdego uczestnika w wycieczce. Tę drugą wartość trzeba pomnożyć przez liczbę osób i dodać do kosztów stałych. Wszystkie wyniki obliczeń muszą być powiązane z kwotą, którą Paweł może wydać na wycieczkę. A zatem otrzymujemy równanie w następującej postaci:

Koszty stałe

+

Koszty stałe to takie, które nie zmieniają się w zależności od liczby osób.

C

Ta zmienna oznacza liczbę chłopaków, którzy mogą wziąć udział w wycieczce, łącznie z Pawłem.

Koszt na jedną osobę

=

Każda dodatkowa osoba biorąca udział w wycieczce to więcej żywności, dodatkowe bilety itp.

Stałe koszty się nie zmienią, ale całkowite koszty w miarę dodawania nowych chłopaków (c) wzrosną. Problem polega na tym, by wyznaczyć, ile kosztuje każda nowa osoba.

66

Rozdział 2.

1330 € To jest 1330 €, które Paweł może wydać.

(Bardziej) skomplikowane równania

Magnesiki do obliczania kosztów Teraz, kiedy masz podstawowy obraz równania, uyj magnesików pokazanych poniej w celu wyznaczenia kosztu wycieczki na podstawie liczby chopaków biorcych w niej udzia. Pamitajmy, e niektóre koszty zale od liczby chopaków biorcych udzia w wycieczce, a niektóre nie.

+

)=

( Pawe

jcia Cena wyna lowego e t o h u pokoj

2 Kolega nr

Kolega nr 1

x ywno

+ +

÷

+ Cena biletu x

Liczba kolegów (k)

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

Pawe

Paliwo Kwota, jak zarabia Pawe tygodn iowo (120 €)

Liczba ) ków (c o  ch pa

Kolega nr 3

Cena wynajcia pokoju hotelowego

jesteś tutaj 

67

Ile to wszystko będzie kosztowało?

Magnesiki do obliczania kosztów. Rozwiązanie Teraz, kiedy masz podstawowy obraz równania, uyj magnesików pokazanych poniej w celu wyznaczenia kosztu wycieczki na podstawie liczby chopaków biorcych w niej udzia. Pamitajmy, e niektóre koszty zale od liczby chopaków biorcych udzia w wycieczce, a niektóre nie. A to jest maksymalna kwota łącznych kosztów — zakładamy, że Paweł chce wydać wszystko do ostatniego centa, dlatego wykorzystaliśmy całą kwotę 1330 €, jaką Paweł miał na koncie.

jscu nie używać w tym mie Należy pamiętać, aby weł+Kolega nr 1+Kolega nr 2…)… (Pa i liczbę osób, wyrażenia postac że z góry zakładamy ponieważ to oznacza, ą. sob ze iąć które Paweł może wz

Paliwo

+

Liczba chopaków (c)

Paliwo jest naszym kos ma znaczenia, czy Paw ztem stałym — nie czy umieści w swoim eł pojedzie sam, osób jedna na drugiej. samochodzie 10 kosztów pozostaje po Zatem ten składnik lewej stronie.

(

ywno

+

Cena biletu

jcia Cena wyna pokoju ÷ o hoteloweg

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

oba potrzebuje ęść — każda os To jest ważna cz i miejsca do spania. Musimy żywności, biletu ty przez liczbę chłopaków. ki. pomnożyć te koszyskamy całkowity koszt wyciecz W ten sposób uz

Dlatego właśnie liczba chłopaków jest nieznana… musimy obliczyć, (c) w jakim stopniu każdy z chłopakó ma wpływ na koszty wycieczki. w

Kolega nr 1 x ÷ 2 Kolega nr

Pawe

68

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zastąp słowa liczbami Teraz, kiedy mamy ogólne równanie, możemy podstawić liczby. W miejsce ramek zamieszczonych poniżej możesz wstawić odpowiednie liczby…

Większość posiłków typu fast food — powiedzmy 60 € na osobę na całą wycieczkę.

Chłopaki, paliwo kosztuje teraz 1 € za litr. To drogo. Musimy wydać 160 € na paliwo… W porządku — bilety na koncert będą kosztowały po 50 € na osobę.

Tu mam hotel za 100 € za noc. W ciągu wycieczki potrzebujemy 3 noclegów, co daje 300 € za całą wycieczkę.

Zaostrz ołówek y obliczyć Tę wartość musimnaczymy oz iu an wn ró w — ją literą „c”.

Paliwo

+

Liczba ) ków (c chopa

Skorzystaj z liczb reprezentujących poszczególne składniki kosztów, aby stworzyć ostateczne równanie kosztów wycieczki (nie musisz rozwiązywać równania, doprowadź je tylko do postaci, z którą możesz pracować).

(

ywno

+

Cena biletu

+

jcia Cena wyna pokoju o hoteloweg

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

.......................................................................................................................................................................................... zastąpimy Najpierw .......................................................................................................................................................................................... każdą ramkę wartościami jącymi .......................................................................................................................................................................................... występu w konwersacji czonej zamiesz Następnie .......................................................................................................................................................................................... powyżej… uporządkujemy liczby i trochę uprościmy .......................................................................................................................................................................................... równanie.

jesteś tutaj 

69

Jakie równanie?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie awimy bez Tę ramkę pozost wiadomą, nie t zmian. c jes wyznaczyć. którą próbujemy

Paliwo

+

Liczba ) ków (c chopa

Skorzystaj z liczb reprezentujących poszczególne składniki kosztów, aby stworzyć ostateczne równanie kosztów wycieczki (nie musisz rozwiązywać równania, doprowadź je tylko do postaci, z którą możesz pracować).

(

ywno

+

Cena biletu

+

jcia Cena wyna u j o k o p ego w o l e t o h

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

160 € na paliwo, 60 € na żywność, 50 € na bilet i 300 za noclegi w hotelu podczas € wycieczki.

160 + c x (60 + 50 + 300) = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Po dodaniu tych sum otrzymaliśmy 410 € Tyle Paweł może . 160 + c x (410) = 1330 osobę. na wydać — 1330 € ..........................................................................................................................................................................................

160 + 410c = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Tutaj trochę uporządko równanie — teraz prz waliśmy yję możliwą do rozwiązan ło postać ia…

70

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Obliczamy c… krok po kroku Otrzymaliśmy równanie (160+410c = 1330), które informuje nas o tym, ile osób Paweł może zabrać ze sobą na wycieczkę. W rozdziale 1. przekształcaliśmy równania w celu wyizolowania zmiennej. W tym przypadku zmienną jest c. Aby otrzymać samą zmienną c po jednej stronie równania, możemy wykorzystać działania odwrotne:

160 + 410c = 1330 Musimy po liczby 160 zbyć się z strony rów tej nania…

…i przenieść na tę stronę…

Trzeba też pozbyć się współczynnika 410…

…równanie musi jednak pozostać w równowadze W tym równaniu naszym zadaniem jest wyizolowanie zmiennej (c), aby obliczyć liczbę osób, które mogą pojechać na wycieczkę. Od czego jednak zacząć? Są dwie czynności, które trzeba zrobić, aby uzyskać samą zmienną c: po pierwsze pozbyć się liczby 160, która występuje po lewej stronie i jest dodana do wyrazu 410c. Należy również pozbyć się liczby 410, która jest pomnożona przez c. Niezależnie od tego, co zrobisz, strony równania powinny być sobie równe.

160 + 410c = 1330 Czy najpierw przenosimy liczbę 160?

amy Czy raczej pozbyw 0? się 41

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Równanie wykorzystane do obliczania kosztów jest wieloetapowe. Aby wyznaczyć c, trzeba zająć się zarówno liczbą 160, jak i 410. Którą czynność należy wykonać w pierwszej kolejności? Czy wykonanie tych czynności w innej kolejności spowoduje uzyskanie różnych wyników? Która kolejność jest prawidłowa?

jesteś tutaj 

71

Postępuj zgodnie z zasadami

Jeśli będziesz postępować według zasad, ZAWSZE uzyskasz prawidłowy wynik Najistotniejszą cechą równań jest to, że obie ich strony są równe. A zatem jeśli chcesz, możesz najpierw przenieść 160 za pomocą odejmowania, ale równie dobrze możesz się najpierw zająć wyrazem 410c. W rzeczywistości pytanie brzmi, które z działań jest łatwiejsze do wykonania w pierwszej kolejności.

Serio… nie ma niczeg w wybieraniu łatwiejszo złego rozwiązywania proble ego sposobu mów w algebrze.

Jeśli spróbujesz pozbyć się najpierw 410, będziesz musiał podzielić obie strony równania przez 410. Ponieważ 410c nie jest jedynym elementem równania po lewej stronie, trzeba będzie podzielić wszystko przez 410 w następujący sposób: Trzeba podzielić wszystko przez 410…

160 + 410c = 1330 410

410

410

i nie Z takimi liczbam wygodnie. pracuje się zbyt

0,3902 + c = 3,2439 - 0,3902 + 0,3902 + c = 3,2439 - 0,3902 c = 2,8537

Teraz odejmujemy 0,03902 od obu stron równania.

Zajęcie się w pierwszej kolejności liczbą 410 było OK, ale w tym przypadku byliśmy zmuszeni pracować z nieprzyjemnymi ułamkami dziesiętnymi. Nie ma w tym niczego złego, jednak bez kalkulatora rozwiązywanie tego rodzaju równania może okazać się trudniejsze, niż musi być. Pomimo to, niezależnie od wykorzystanego sposobu, za każdym razem otrzymujemy takie same wyniki. Czasami wykonywanie operacji w jeden konkretny sposób jest łatwiejsze. Spróbujmy obliczyć c w inny sposób. Tym razem najpierw odejmiemy 160 od obu stron równania.

Kiedy masz do dyspozycji więcej niż jeden sposób rozwiązywania równania, szukaj NAJPROSTSZEGO sposobu pracy z równaniem. 72

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Z liczbami całkowitymi zwykle łatwiej się pracuje Zamiast dzielić wszystko przez 410, co powoduje uzyskanie nieprzyjemnej liczby 160/410, spróbujmy najpierw odjąć 160 od obu stron równania, zrobimy to w następujący sposób:

- 160 + 160 + 410c = 1330 - 160 To samo działanie należy wykonać po obu stronach równania. Zobaczcie! Taka sama odpowiedź.

410c = 1170 410

410

w pierwszej Dzięki zastosowaniu uzyskaliśmy nia wa jmo ode i ośc ejn kol niejsze do god wy są re któ by, licz pracy…

c = 2,8537

…i tylko jedno nieco trudniejsze dzielenie — na samym końcu.

Wykonanie odejmowania w pierwszej kolejności było łatwiejsze, a uzyskany wynik jest taki sam. Drugi sposób okazał się łatwiejszy z dwóch powodów: do końca nie musieliśmy posługiwać się ułamkami dziesiętnymi, a rozwiązanie równania wymagało wykonania mniejszej liczby działań! Nie zawsze można tak łatwo ocenić, jakie działania należy wykonać w pierwszej kolejności. Dobrą wiadomością jest jednak to, że nawet jeśli nie wybierzemy najłatwiejszej strategii, zawsze dojdziemy do prawidłowego wyniku. Wystarczy tylko postępować zgodnie z regułami, a z pewnością uzyska się to samo rozwiązanie, niezależnie od kolejności, w jakiej zostaną wykonane działania.

Zatem w wycieczce Pawła może uczestniczyć 2,8537 osoby. To nie ma sensu… Jak to możliwe, aby Paweł zabrał inną osobę i jeszcze 0,8537 części trzeciej?

Liczba osób nie może być wyrażona ułamkiem. Wydaje się, że uzyskana wartość c nie ma sensu. Jak myślisz, co należy zrobić w tym przypadku?

jesteś tutaj 

73

Przekształcanie równań Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Co z kolejnością wykonywania działań? Czy nie muszę wykonywać mnożenia i dzielenia przed dodawaniem i odejmowaniem?

: Czy mogą być jeszcze bardziej złożone równania? Co zrobić, jeśli do wykonania jest jeszcze więcej czynności?

O: Jeśli masz kilka działań dodawania, odejmowania, mnożenia

: Równania mogą być rzeczywiście bardzo długie. Do niektórych z nich dojdziemy później. Ogólna idea pozostaje jednak taka sama. Trzeba zdecydować, jaką zmienną powinniśmy wyznaczyć, a następnie tak przekształcić równanie, aby ta zmienna znalazła się sama po jednej stronie.

i dzielenia do wykonania po jednej stronie, wtedy tak, musisz przestrzegać kolejności wykonywania działań. W tym przypadku jednak jest to jedynie przekształcanie równania. Równanie pozostało w równowadze dzięki temu, że z każdą ze stron równania wykonaliśmy dokładnie takie same działania. Kiedy przekształcasz równanie, nie ma znaczenia, jakie działanie wykonasz w pierwszej kolejności, pod warunkiem że zrobisz to po obu stronach równania.

O

Nie ma znaczenia, ile razy skorzystasz z działań odwrotnych, pomnożysz obie strony równania przez liczbę czy też wykonasz dowolne inne operacje. Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz prawidłowy wynik.

P

P: Czy zawsze muszę rozwiązywać równanie dwa razy?

: Kiedy zaczynam rozwiązywać duży, złożony problem, to czy muszę najpierw zapisać go słowami?

O

: Niekoniecznie. To zależy od Ciebie, ale zapisanie problemu słownie jest przydatnym sposobem zorientowania się, na czym problem polega, bez konieczności zajmowania się liczbami.

Skąd mam wiedzieć, jakie działania wykonać w pierwszej kolejności?

: Nie musisz rozwiązywać równania dwa razy. W tym przykładzie zrobiliśmy tak tylko po to, by pokazać, że każdy sposób jest dobry. Jeśli chodzi o to, jakie działanie wykonywać w pierwszej kolejności… cóż, to zależy. Jeżeli masz możliwość wykonania dodawania lub odejmowania w celu przeniesienia wyrazów z lewej na prawą stronę, zazwyczaj są to najprostsze operacje do wykonania w pierwszej kolejności. Będziesz mieć później mniej elementów do wykonania dalszych operacji, takich jak mnożenie lub dzielenie.

ojnie Spok

O

Dzięki zapisaniu problemu na papierze możesz zastanowić się nad nim przez chwilę — pomyśleć, jaki jest jego kontekst.

Na temat kolejności wykonywania działań powiemy znacznie więcej.

Nie przejmuj się, jeśli kolejność wykonywania operacji nadal sprawia Ci pewne kłopoty. W dalszej części książki bardzo często będziemy korzystać z kolejności wykonywania działań. Po zakończeniu lektury będziesz mistrzem w kolejności wykonywania działań.

74

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Łącznie ze mną mogą jechać 2,8 osoby. Hm, Olek, ty studiujesz biologię — czy mogę zabrać 0,8 części jednego z was?

A zatem, z technicznego punktu widzenia, otrzymaliśmy prawidłowe rozwiązanie dla zmiennej c. Wynik 2,8537 nie jest jednak prawidłową odpowiedzią dla tego konkretnego problemu. Ponieważ Paweł nie może zabrać 0,8 osoby, prawidłową odpowiedzią w tym zadaniu są 2 osoby (włącznie z Pawłem). Ponieważ w wycieczce nie mogą wziąć udziału 3 osoby (bo 3 to więcej niż 2,85, a zatem więcej, niż Paweł może sobie pozwolić), trzeba było zaokrąglić wynik do dwóch osób: to znaczy może pojechać Paweł z jednym kolegą. Kiedy rozwiązujesz problem z algebry, część tego procesu polega na rozwiązaniu równania… ale druga część wymaga pamiętania o tym, czego problem dotyczy. Nazywa się to kontekstem problemu. Matematyka nie służy do wykonywania działań na liczbach czy też przekształcania równań, ale do rozwiązywania praktycznych problemów.

Zaczekajcie… Jeśli nie będziemy musieli płacić za pokój hotelowy dla każdego z nas, będzie mogło pojechać więcej osób. Możemy przecież umieścić 2 osoby w jednym pokoju.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Koledzy Pawła mają rację! W naszym równaniu uwzględniliśmy wydatek 300 € na każdą osobę za hotel. Ale przecież można umieścić 2 osoby w jednym pokoju. Jak to uwzględnić? Którą część równania trzeba zmienić? Czy koszt uczestnictwa każdej z osób w dalszym ciągu zależy od liczby wycieczkowiczów?

jesteś tutaj 

75

Jedna zmienna — wiele wystąpień

Zmienna może wystąpić w równaniu WIĘCEJ NIŻ JEDEN RAZ Pokój hotelowy kosztuje 300 €. Do tej pory mnożyliśmy tę kwotę przez liczbę osób biorących udział w wycieczce.

160 + c x (60 + 50 + 300) = 1330

pozostałych kosztów, Te 300 € dodajemy do przez liczbę osób. my oży mn a następnie we dla każdej z osób A zatem opłaty hotelo . wynoszą po 300 €

Teraz musimy jednak zabrać te 300 € i policzyć oddzielnie. Nie każda osoba musi zapłacić 300 €, ponieważ w jednym pokoju mogą mieszkać 2 osoby. Zatem najpierw oddzielimy opłatę hotelową 300 €.

160 + c x (60 + 50) + 300 = 1330

jest mnożone Teraz 300 € nie … ale to nie jest przez liczbę osób t w dalszym sz prawidłowe… ko any z liczbą osób ciągu jest powiązw wycieczce. biorących udział

Pokój hotelowy kosztuje 300 € na każde 2 osoby. Zatem każdą osobę pokój kosztuje150 €, tak jak w poniższym równaniu:

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 Ponieważ każda osoba połowę, dzielimy 300 płaci € na 2 i otrzymujemy 150 €.

y tę wartość Następnie mnożym każda osoba ż wa nie po o, przez . 0 € 15 płaci po

Poczekajcie — teraz zmienna c występuje w równaniu dwa razy. Co powinniśmy z nią zrobić? Czy to jest to samo c?

TAK! Jeśli zmienna występuje w równaniu więcej niż jeden raz, zawsze reprezentuje tę samą wartość. Zmienna zastępuje w równaniu liczbę. Zatem za każdym razem, kiedy w równaniu pojawi się zmiennac, musi ona reprezentować tę samą liczbę. Ponieważ c reprezentuje tę samą wartość za każdym razem, gdy występuje w równaniu, możemy połączyć wyrazy zawierające tę zmienną. Na przykład 2c+3c = 5c. Zobaczmy, jak można to wykorzystać do rozwiązania naszego zadania…

76

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek Poniżej znajduje się nowe równanie kosztów wycieczki. Wykorzystaj nowe wartości kosztów do ustalenia liczby osób, które mogą wziąć udział w wycieczce, przy założeniu, że 2 osoby zamieszkają w jednym pokoju. Bądź ostrożny. Rozwiązanie tego równania obejmuje kilka kroków. Prawdopodobnie będzie trzeba połączyć wyrazy ze zmienną c. w To jest równanie kosztó ia w przypadku podzielen zynamy kosztów hotelu. Rozpoc ia. od uproszczenia równan

160 + c

(60 + 50) + 150c = 1330

x .......................................................................................................................................................................................... Najpierw wykonujemy

działania w nawiasach. .......................................................................................................................................................................................... ępnie łączymy wyrazy podobne.

Nast .......................................................................................................................................................................................... Później izolujemy zmienną.

.......................................................................................................................................................................................... Na koniec obliczamy liczbę .......................................................................................................................................................................................... osób, które mogą wziąć udział w wycieczce.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... Czy taka odpowiedź jest prawidłowa? Ile osób faktycznie może wziąć udział w wycieczce? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

WYTĘŻ UMYSŁ

W przypadku tego problemu jest pewna komplikacja związana z tym, czy w wycieczce bierze udział parzysta, czy nieparzysta liczba osób. Czy możesz powiedzieć, na czym ona polega?

jesteś tutaj 

77

Kontekst króluje

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej znajduje się nowe równanie kosztów wycieczki. Twoim zadaniem było wykorzystanie nowych wartości kosztów do ustalenia liczby osób, które mogą wziąć udział w wycieczce, przy założeniu, że 2 osoby zamieszkają w jednym pokoju. Najpierw pozbywamy się nawiasó poprzez dodanie do siebie liczb w wew

nątrz.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 160 + 110c + 150c = 1330 160 + 260c = 1330 -160 + 160 + 260c = 1330 - 160 260c = 1170 260c = 1170 260 260 c = 4,5

Następnie łączymy wyrazy podobne (110+150 = 260)…

Teraz możemy pozbyć się liczby 160 poprzez odjęcie 160 po obu stronach równania. Aby uzyskać samą zmienną c, musimy podzielić obie strony równania przez 260.

odpowiedź! A to jest nasza nowa

Czy taka odpowiedź jest prawidłowa? Ile osób faktycznie może wziąć udział w wycieczce? Obliczona wartość o to 4,5 osoby. Jest to wartość prawidłowa matematycznie, ale co oczywiste, .......................................................................................................................................................................................... Paweł nie może wziąć ze sobą pół osoby. Jednak dzięki umieszczeniu w pokoju dwóch osób teraz .......................................................................................................................................................................................... na wycieczkę mogą pojechać cztery osoby! ..........................................................................................................................................................................................

78

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Wow — teraz znacznie lepiej. A zatem jeśli podwoimy liczbę osób w pokojach, wygląda na to, że będą mogły pojechać cztery osoby. Zanim powiem cokolwiek chłopakom… jak mógłbym sprawdzić, czy ten wynik jest prawidłowy?

Zawsze sprawdzaj obliczenia! Doskonałe pytanie i bardzo prosta odpowiedź. Powinieneś sprawdzić obliczenia. To łatwe. Wystarczy wstawić odpowiedź do równania w miejsce, w którym występuje zmienna, i przekonać się, czy obie strony równania są takie same.

Zaostrz ołówek Sprawdź, czy uzyskałeś prawidłową odpowiedź, poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania i sprawdzenie, czy obie strony są sobie równe.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330

Pamiętaj, aby wstawić rzeczywi sty wynik uzyskany w rozwiązaniu: 4,5.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

79

Zawsze sprawdzaj obliczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Sprawdź, czy uzyskałeś prawidłową odpowiedź, poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania i sprawdzenie, czy obie strony są sobie równe.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Podstaw 4,5 160 + 4,5 (110) + 150(4,5) = 1330 .......................................................................................................................................................................................... w miejsce zm iennej c wsz występuje on ędzie, gdzie a w równaniu. 160 + 495 + 675 = 1330 ..........................................................................................................................................................................................

1330 = 1330 .......................................................................................................................................................................................... ejność Zastosuj właściwą kol obliczeń. dokonania pozostałych

ceniach

ał w celu .......................................................................................................................................................................................... …po przekszt 30 = 1330. wykonywania działań uzyskujemy 13 Doskonale!

..........................................................................................................................................................................................

Sprawdzenie pracy potwierdza wynik Obliczyliśmy zmienną c, podstawiliśmy wynik do równania w celu sprawdzenia i upewniliśmy się, że uzyskana odpowiedź jest prawidłowa. Na koncert zespołu Śmierć Piżamy mogą pojechać cztery osoby — dwa razy tyle, ile mogło pojechać, kiedy każdy miał własny pokój! Załatwiliśmy sprawę żywności, pokoi hotelowych i biletów. Jest tylko jedna rzecz, która może postawić całe przedsięwzięcie na głowie…

Koledzy, czy mogłaby z nami pojechać moja dziewczyna?

80

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Wyraz to fragment równania algebraicznego.

Q

Niezależnie od liczby wyrazów w równaniu, jego rozwiązanie wymaga wyizolowania zmiennej.

Q

Podczas przekształcania równania, łączenia wyrazów podobnych oraz izolowania zmiennej trzeba stosować kolejność wykonywania działań.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego podstawiliśmy 4,5 do równania, skoro powiedzieliśmy, że to 4 było prawidłową odpowiedzią?

O

: Liczbowym rozwiązaniem równania jest 4,5. To jest wartość, która daje prawidłowy liczbowy wynik. Ponieważ jednak Paweł nie może zabrać pół osoby, prawidłową odpowiedzią w tym zadaniu są 4 osoby. Jednak podczas sprawdzania obliczeń trzeba użyć matematycznie poprawnego wyniku — to znaczy 4,5.

P

: Czy trzeba tak często przypominać o konieczności sprawdzania obliczeń?

O: Oczywiście. To bardzo frustrujące,

kiedy przejdziemy przez cały problem i uzyskamy odpowiedź, która jest nieprawidłowa. Można tego uniknąć, jeśli sprawdzimy wykonane obliczenia.

P

: Moje obliczenia wyglądają nieco inaczej niż te pokazane w rozwiązaniu, ale uzyskałem prawidłową odpowiedź. Czy zrobiłem coś źle?

O

: Ależ nie. W algebrze musisz jedynie konsekwentnie postępować według zasad, a dojdziesz do prawidłowego wyniku. Rozwiązania, które zaprezentowaliśmy, pokazują sposób uzyskania odpowiedzi, ale w żadnym razie nie jest to jedyny sposób.

P

: Skąd było wiadomo, że podczas izolowania zmiennej najpierw należy wykonać odejmowanie, a potem dzielenie?

O

: Próbowaliśmy zminimalizować liczbę wyrazów do podzielenia. Jeśli możesz zmniejszyć liczbę wyrazów w równaniu poprzez połączenie wyrazów podobnych, zwykle oznacza to ułatwienie pracy na dalszych etapach. Będzie mniej wyrazów do obliczania. Dzięki odejmowaniu po obu stronach pozbywamy się liczby 160 i musimy podzielić tylko jeden wyraz przez 260.

P: Co się stanie, jeśli pominę wyraz,

który można było połączyć?

O

: Nie ma problemu. Jeśli tylko przekształcasz równanie prawidłowo, stosując reguły, nie uzyskasz błędnego wyniku… ale problem może się niepotrzebnie skomplikować.

P

: Co to za matematyka, jeśli istnieje więcej niż jeden sposób rozwiązania problemu? Czy nie powinno być tak, że jest tylko jedna prawidłowa odpowiedź?

O

: Istnieje ogromna różnica pomiędzy „jedną prawidłową odpowiedzią” a „jednym sposobem dojścia do odpowiedzi”. Charakterystyczną cechą matematyki jest między innymi to, że pomimo istnienia wielu sposobów rozwiązania tego samego problemu zawsze dochodzi się do tej samej (prawidłowej) odpowiedzi.

Na przykład, można obyć się bez mnożenia i wykorzystać wiele operacji dodawania. Użycie mnożenia jest jednak innym sposobem dojścia do tej samej odpowiedzi. Różne problemy wymagają różnych technik, ale na koniec zawsze powinno się dojść do tego samego miejsca.

Jeżeli poczujesz, że podążasz niewłaściwą drogą, nie musisz trzymać się jej do końca. Możesz powrócić do wyjściowego problemu i zacząć jeszcze raz.

Algebra dotyczy poszukiwania niewiadomych, ale również dokonywania inteligentnych wyborów w zakresie sposobów dojścia do rozwiązania. jesteś tutaj 

81

Zarządzaj zespołem Śmierć Piżamy

To jest Twoja szansa na to, by spojrzeć na pewne problemy, napisać kilka równań i wykonać działania.

Ćwiczenie Zyski zespołu Śmierć Piżamy Ta trasa koncertowa ma duże znaczenie dla zespołu Śmierć Piżamy. Większość pieniędzy muzycy zdobywają podczas tras koncertowych (branża muzyczna to trudny biznes). Na podstawie umowy firma nagrywająca koncerty zespołu Śmierć Piżamy otrzymuje procent zysku ze wszystkich przychodów, jakie wygenerują podczas trasy. Jaki minimalny procent zysku od firmy nagrywającej powinien dostać zespół, aby zarobić 15 000 € z jednego koncertu?

Przychody w czasie trasy koncertowej 1. rednia sprzeda ywnoci — 17 000 €/wieczór.

Kilka wskazówek: pro cen jest oznaczony za pom t w równaniu dziesiętnego. Dla każ ocą ułamka dego rodzaju przychodu będzie obo wią procent udziału w zys zywał ten sam kach.

2. Pyty CD (sprzedane podczas koncertu) — 10 €/sztuka, 100 sztuk w czasie koncertu. 3. T-shirty — 15 €/sztuka, 800 sprzedanych sztuk podczas koncertu. 4. Bilety — 50 €/sztuka, 4000 miejsc.

82

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Straty zespołu Śmierć Piżamy Jeden z koncertów zespołu Śmierć Piżamy wymknął się nieco spod kontroli i zespół otrzymał karę finansową 3600 €. Za każdy problem została naliczona taka sama kwota (zniszczone wentylatory, barmani, którzy zrezygnowali z pracy, itp.). Zespół chce jednak wiedzieć, ile wynosi kwota kary za każdy incydent. Oblicz, jaka kara została naliczona za każdy z incydentów.

Incydenty podczas koncertu: 1. 4 zniszczone wentylatory sufitowe; 2. 3 zamane gryfy gitarowe; 3. 2 barmanów zrezygnowao z pracy.

.............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

83

Jeden problem, wiele sposobów rozwiązania

To jest Twoja szansa na to, by spojrzeć na pewne problemy, napisać kilka równań i wykonać działania.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Przychody w czasie trasy koncertowej 1. rednia sprzeda ywnoci — 17 000 €/wieczór. 2. Pyty CD (sprzedane podczas koncertu) — 10 €/sztuka, 100 sztuk w czasie koncertu. 3. T-shirty — 15 €/sztuka, 800 sprzedanych sztuk podczas koncertu. 4. Bilety — 50 €/sztuka, 4000 miejsc.

To wszystkie składniki zysków wymienione powyżej.

dzie Całkowity zysk bę temu wi się równał całko ożonemu przychodowi pomn sku. przez procent zy

Zysk z ywnoci = 17 000 • P Zysk z pyt CD = 10 • 100 • P Zysk z T-shirtów = 15 • 800 • P Zysk z biletów = 50 • 4000 • P

Literą „P” oznaczyliśmy procent. Ponieważ wa rto jest taka sama dla każ ść źródła zysku, występuj dego we wszystkich równan e iach.

trzeba Dla płyt CD, T-shirtów i biletów nie obliczyć przychód poprzez pomnoże . cenę liczby sprzedanych sztuk przez

Cakowity zysk = Zysk z ywnoci+Zysk z pyt CD+Zysk z T-shirtów+Zysk z biletów W treści zadania powiedziano, że zespół chce zarobić 15 000 €.

15, 000 = 17, 000P + 1, 000P + 12, 000P + 200, 000P 15, 000 = 17, 000P + 1, 000P + 12, 000P + 200, 000P 1000

1000

1000

1000

15 = 17P + 1P + 12P + 200P 15 = 230P 15 = 230P 230

230

15 =P 230 0.0652 =P , , 6.52% =P 84

Rozdział 2.

Izolujemy zmienną poprzez podzielenie przez 230.

Zamieniamy na ułamek dziesiętny, a następnie na procent.

1000

Wszystkie te wyrazy dotyczą „P”, są to e. zatem wyrazy podobn

e

i kojn o p S

Tutaj dzielimy obie strony równania przez 1000. Dlaczego? Ponieważ dzięki temu upraszczamy problem, a poza tym taka a operacja jest dozwolon — trzeba jedynie podzielić wszystkie wyrazy po obu stronach równania.

obów Istnieje kilka spos oblemu. pr o teg a rozwiązani

ich przez 1000 wszystk Nie musisz dzielić w zó ra wać wszystkich wy wyrazów lub doda winien on żnie od sposobu po podobnych. Niezale edzi. wi po takiej samej od doprowadzić Cię do

(Bardziej) skomplikowane równania

Straty zespołu Śmierć Piżamy Jeden z koncertów zespołu Śmierć Piżamy wymknął się nieco spod kontroli i zespół otrzymał karę finansową 3600 €. Za każdy problem została naliczona taka sama kwota (zniszczone wentylatory, barmani, którzy zrezygnowali z pracy, itp.). Zespół chce jednak wiedzieć, ile wynosi kwota kary za każdy incydent. Oblicz, jaka kara została naliczona za każdy z incydentów. Incydenty podczas koncertu: 1. 4 zniszczone wentylatory sufitowe; 2. 3 zamane gryfy gitarowe; 3. 2 barmanów zrezygnowao z pracy.

4 zniszczone wentylatory sufitowe

ry 3 gita

daje w sum karę 3600 ie €

2 barmanów

4x + 3x + 2x = 3600 Ponieważ kara wy 9x = 3600 dla każdego incyd nosi tyle samo wykorzystać jednąentu, możemy zmienną: x. 9x = 3600 9

…następnie dzielimy obie strony równania przez 9…

t ta sama, Ponieważ zmienna jes y podobne. możemy połączyć wyraz Otrzymujemy 9x…

9

x = 400

wynik 400 € …i uzyskujemy to dużo. ej, Oj za incydent.

Sprawdzamy obliczenia poprzez podstawienie wyniku do równania wyjściowego…

4 (400) + 3 (400) + 2 (400) = 3600 1600 + 1200 + 800 = 3600 3600 = 3600

jesteś tutaj 

85

Równania z wieloma zmiennymi

Co to za wycieczka bez dziewcząt? Obliczyliśmy, ile osób pojedzie na wycieczkę, co jednak z dziewczynami? Paweł nie ma więcej pieniędzy, zatem jeśli miałyby jechać dziewczyny, nie będzie mógł zabrać tylu kolegów. Poza tym koszt uczestnictwa dziewcząt w wycieczce może być inny niż chłopaków… Jest kilka elementów, które trzeba zmienić w równaniu, aby uwzględnić uczestnictwo dziewcząt:

Ja też chcę jechać! Nie podoba mi się zbytnio, abym była jedyną dziewczyną. Chciałabym, aby pojechała ze mną jakaś koleżanka.

x dziewczyny nie chcą mieszkać w pokoju wspólnie z chłopakami — muszą mieć własne pokoje w hotelu; x dziewczyny potrzebują tylko 30 € na jedzenie. Problem polega na tym, że w naszym bieżącym równaniu pomnożyliśmy liczbę osób, które mają jechać na wycieczkę, przez koszty ich uczestnictwa.

ków Liczba chłopa ał zi d u biorących ) w wycieczce (c

Koszty stałe

Koszt uczestnictwa = chłopaka

1330 €

liczbę chłopaków przez W tym równaniu pomnożyliśmy wycieczce… teraz jednak w paka chło ctwa koszt uczestni koszt uczestnictwa ych któr dla ta, zabieramy dziewczę zmiany… ne pew zić wad jest inny. Trzeba wpro

To jest dziewczyna Pawła — Ania.

Potrzebujemy dodatkowej zmiennej Ponieważ z uczestnictwem dziewczyny w wycieczce wiąże się inna wartość kosztu, musimy potraktować je inaczej w naszym równaniu. Trzeba wprowadzić nową zmienną. Oznaczmy ją literą d (od słowa „dziewczęta”). Teraz nasze równanie wygląda następująco:

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

86

Rozdział 2.

Koszt uczestnictwa + chłopaka

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek

€ 60 € na jedzenie, 50 legi na bilet i 300 € za noc czki. w hotelu podczas wycie

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

Użyj informacji na temat kosztów uczestnictwa w wycieczce chłopaków i dziewcząt oraz zapisz nowe równanie, by ustalić liczbę osób, które mogą pojechać.

30 € na jedzenie, 50 € na bilet i 300 € za noclegi w hotelu podc wycieczki… ale bez mieszkania zas w pokoju z chłopakami.

Koszt uczestnictwa + chłopaka

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

.............................................................................................................................................................................................. Nie wolno zapominać, że dwóch

chłopaków może mieszkać w jedn .............................................................................................................................................................................................. ym pokoju. W przypadku dziewczyn mogłoby być tak samo.

.............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. h Uważaj podczas łączenia zmiennyc zy ze zmienną wyra że j, ięta pam — .............................................................................................................................................................................................. c można łączyć tylko z innymi mi wyrazami z c, a wyrazy z d z inny d. z i wyrazam ..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj 

87

Dziewczyny już są

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Użyj informacji na temat kosztów uczestnictwa w wycieczce chłopaków i dziewcząt oraz zapisz nowe równanie, by ustalić liczbę osób, które mogą pojechać.

waliśmy. Mają Tych wyrazów już uży nie, jak we cze zna o one takie sam tego rozdziału. wcześniejszej części

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

Dla dziewcząt przyjmujemy takie same rodzaje kosztów. Są tylko nieco inne wartości.

Koszt uczestnictwa + chłopaka

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

.............................................................................................................................................................................................. Paliwo + c (jedzenie + cena biletu) + c (hotel/2) + d (jedzenie + bilet) + d (hotel/2) = 1330 € .............................................................................................................................................................................................. Jedzenie kosztuje 30 €

tyle samo dla chłopaków, ale dziewczyny nie mogą mieszkać z chłopakami!

Bilety kosztują tyle Pokoje hotelowe kosztują za każdą dziewczynę. .............................................................................................................................................................................................. samo dla chłopaków, dziewcząt, co dla co dla dziewcząt.

.............................................................................................................................................................................................. nio Równanie w rzeczywistości zbyt bne niło — koszty są podo zmie nie się .............................................................................................................................................................................................. — d. i występuje dodatkowa zmienna

160 + c

(60 + 50) + 150c + d

(30 + 50) + 150d = 1330

x x .............................................................................................................................................................................................. 160 + 110c + 150c + 80d + 150d = 1330 ..............................................................................................................................................................................................

Przenieś nych liczby na wszystkie Podczas łączenia zmien zmienną 160 + 260c + 230d = 1330 stronę. jedną ze .............................................................................................................................................................................................. pamiętaj, że wyrazy z innymi c można łączyć tylko y z d wyrazami z c, a wyraz d. -160 + 160 + 260c + 230d = 1330 - 160 .............................................................................................................................................................................................. z innymi wyrazami z

260c + 230d = 1170

..............................................................................................................................................................................................

88

Rozdział 2.

(Bardziej) skomplikowane równania

Co teraz robimy? Mamy w równaniu dwie zmienne: c i d!

Dwie zmienne wydają się być problemem, ale jest to coś, z czym można sobie poradzić. Pomyśl o tym, w jaki sposób pracowaliśmy z jedną zmienną. Tworzyłeś równanie po to, by powiedzieć, jakie są relacje pomiędzy obiektami, w kontekście zmiennej. Zatem kiedy omawialiśmy udział w wycieczce tylko chłopaków, rozpatrywaliśmy koszty wycieczki w kontekście liczby chłopaków biorących udział w wycieczce — to znaczy zmiennej c. Nawet indywidualne części kosztów wycieczki były przedstawiane w ten sposób — na przykład tak obliczyliśmy koszty hotelu:

wydadzą Ile chłopaki hotele… na y dz ię pien

Ceny hoteli z bliska

Koszty hoteli =

150c

chłopaków …w kontekście

Koszty hoteli są przedstawione w kontekście chłopaków. Bazowa cena zakwaterowania w hotelu wynosi 150 €. Dla każdego chłopaka biorącego udział w wycieczce koszt hotelu zwiększa się o cenę bazową.

Hm, jak to się ma do łączenia wyrazów podobnych, tak jak robiliśmy wcześniej ze zmiennymi c i d?

Doskonałe pytanie. Aby to wyjaśnić, musimy powiedzieć nieco więcej na temat tego, czym dokładnie jest wyraz…

jesteś tutaj 

89

Wyrazy to algebraiczne cząstki

Wyraz to fragment równania algebraicznego Istotne znaczenie ma rozróżnienie pomiędzy zmienną a wyrazem. Zmienna to litera używana w celu podstawienia za liczbę, która jest nieznana: c oznacza chłopaków, d — dziewczęta itd. Z kolei wyraz to fragment równania. A zatem w równaniu 6c+10c = 32 jest tylko jedna zmienna — c, ale za to trzy wyrazy: 6c, 10c i 32. Kiedy mówimy o łączeniu wyrazów podobnych, mamy na myśli wybranie wyrazów z tą samą zmienną i wykonanie z nimi działań: 6c plus 10c równa się 16c. W jaki sposób jednak wyznaczyć liczbę wyrazów znajdujących się w równaniu? Wyrazy są scalane przez operacje mnożenia (lub dzielenia). A zatem 60b to wyraz, natomiast 60+b to dwa wyrazy. Czym więc jest 3(x+2)? Cóż, to po prostu jeden wyraz. Wszystko jest ze sobą połączone, ponieważ zawartość nawiasu została pomnożona przez 3.

Kontekst zmiennej — sekret wielu zmiennych w równaniu W algebrze bardzo wiele wyrażeń zawiera wiele zmiennych. Najczęściej w równaniach z wieloma zmiennymi występują niewiadome x i y, choć w naszym równaniu mamy zmienne c i d. Fraza „w kontekście zmiennej” nabiera znaczenia dopiero wtedy, gdy zaczynamy mówić o równaniach z wieloma niewiadomymi. Jeśli masz do rozwiązania równanie z dwiema niewiadomymi: Znacznie łatwiej się z nimi pracuje, jeśli można wyznaczyć jedną zmienną „w kontekście” drugiej. Dzięki temu można zastosować podstawienie. Równanie z dwiema niewiadomymi tworzy relację proporcjonalności pomiędzy dwiema zmiennymi. Pojedynczego równania z dwiema niewiadomymi nie można rozwiązać bez znajomości dodatkowych relacji.

Podsumowanie Wyraz — fragment wyrażenia algebraicznego połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

90

Rozdział 2.

o To jest klucz do naszeg problemu chłopaki – dziewczyny, powrócimy do niego za chwilę.

(Bardziej) skomplikowane równania

:

?

CO MAM ZROBIĆ?

7

7

Dopasuj każde z równań do opisu wyjaśniającego, która zmienna jest wyrażona w kontekście innej zmiennej. Niektóre równania mają dwie prawidłowe odpowiedzi, a niektóre opisy zostaną wykorzystane dwukrotnie!

T = 15d - 45 + 2 2

h - e = a + 12 - 5 e Q=

x-4 11

^ h f-r= r-6 8

2

h - 5 = 4 + 12 - 5 e

Równanie można uprościć tak, by wyrazić zmienną f w kontekście zmiennej r

Zmienna Q w kontekście zmiennej x

Zmienna h w kontekście zmiennej e

Jedna zmienna nie jest wyizolowana (jeszcze)

Zmienna T w kontekście zmiennej d

jesteś tutaj 

91

W kontekście…

:

?

CO MAM ZROBIĆ?

7

h - e = a + 12 - 5 e

Zmienna Q w kontekście zmiennej x

x-4 11

^ h f-r= r-6 8

ROZWIĄZANIE

Równanie można uprościć tak, by wyrazić zmienną f w kontekście zmiennej r

T = 15d - 45 + 2 2

Q=

7

Zmienna h w kontekście zmiennej e

2

Jedna zmienna nie jest wyizolowana (jeszcze)

h - 5 = 4 + 12 - 5 e

Zmienna T w kontekście zmiennej d

CELNE SPOSTRZEŻENIA

92

Q

Pamiętaj, że podczas rozwiązywania problemu często kluczową sprawą jest wyrażenie zmiennej „w kontekście” innej zmiennej.

Q

Dla ułatwienia rozbijaj skomplikowany problem na mniejsze części.

Rozdział 2.

Q

Zanim zrobisz cokolwiek innego, postaraj się dobrze zrozumieć problem.

Q

Jeżeli w treści problemu są stałe, możesz użyć ich wartości liczbowej lub, jeśli tak jest łatwiej, wykorzystać litery i podstawić je w miejsce stałych.

(Bardziej) skomplikowane równania

Myślę, że powinno być tyle samo dziewczyn, co chłopaków.

Jaka jest relacja pomiędzy liczbą chłopaków a dziewczyn? Aby rozwiązać problem Pawła — z tym, co wiemy na temat wielu zmiennych w równaniach — musimy znaleźć nową relację pomiędzy liczbą chłopaków a liczbą dziewcząt (c i d). Dla uproszczenia przyjmijmy, że na wycieczkę powinno pojechać tyle samo chłopaków, co dziewczyn. To jest nasza nowa relacja! Jeśli powiemy, że w wycieczce może wziąć udział ta sama liczba chłopaków, co dziewczyn, to możemy zapisać relację c = d. Po przyjęciu takiego założenia możemy podstawić c wszędzie tam, gdzie w równaniu występuje d (ponieważ są sobie równe). Nagle równanie staje się o wiele prostsze do rozwiązania…

Zaostrz ołówek Dokończ równanie kosztów wycieczki i oblicz c. Następnie oblicz d. y podstawić c Ponieważ c = d, możem stępuje d. wy wszędzie tam, gdzie

260c + 230d = 1170 .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... wykonaj z dokładnością

Dzielenie .......................................................................................................................................................................................... do jednego miejsca po przecinku (przecież nie możemy zabrać

.......................................................................................................................................................................................... na wycieczkę mniej niż jednej osoby, prawda?).

jesteś tutaj 

93

Jaki jest kontekst?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było dokończenie równania kosztów wycieczki i obliczenie c. Następnie trzeba było obliczyć d.

260c + 230d = 1170 .......................................................................................................................................................................................... wyrazy podobne.

490c = 1170 Połącz .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... 490c = 1170

490 490 .......................................................................................................................................................................................... c = 2,3 oraz d = 2,3 .......................................................................................................................................................................................... Pokazujemy tylko jedno miejsce po przecinku, ale pełna odpowiedź to 2,387755102…

Tymczasem wracamy do nowej relacji c = d, jednocześnie wiemy, że d = 2,3. To ma sens, ponieważ suma c+d wynosi 4,6. Tak jak w przypadku, gdy braliśmy pod uwagę tylko chłopaków.

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Dlaczego zapisaliśmy tylko fragment części dziesiętnej, a nie całą liczbę?

: Czy możemy tak po prostu powiedzieć, że c = d?

O: Ponieważ w przypadku tego

: Oczywiście, ponieważ to jest nasza druga relacja (równanie), które stworzyliśmy dla tego problemu. Relacja ta była częścią treści problemu. Wykorzystaliśmy ją do rozwiązania naszego wyjściowego równania. Wiedza o tym, że c = d oznacza, że można podstawić c w miejsce d w wyjściowym równaniu i dalej rozwiązywać równanie tylko z jedną zmienną.

problemu możemy zabrać na wycieczkę tylko całkowitą liczbę osób. Moglibyśmy zaokrąglić wynik do najbliższej liczby całkowitej i pokazać tylko dwa miejsca dziesiętne, ale w celu uniknięcia zamieszania wykorzystaliśmy tylko jedno miejsce po przecinku. Należy zawsze pamiętać o tym, jaki jest kontekst problemu. Z matematycznych obliczeń można uzyskać wynik 2,387755102 osoby. Kto jednak chciałby być tą częścią 0,387755102?

94

Rozdział 2.

O

P

: Czy w rozwiązaniu problemu zawsze trzeba podawać liczbę? Czy problem może się zakończyć inaczej? Co zrobić, jeśli możliwe okazuje się jedynie sformułowanie równania w kontekście dwóch zmiennych?

O

: W przypadku niektórych problemów może to być wszystko, co jest potrzebne. Inna sprawa, że należy myśleć o całym problemie, a nie tylko o równaniu. W niektórych przypadkach celem mogą być proporcje dwóch zmiennych, a nie odpowiedź liczbowa.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek Pamiętaj, aby za właściwą kolejno stosować ść wykonywania dział ań.

Uprość poniższe wyrażenia matematyczne, łącząc wyrazy podobne. Pamiętaj, że wyraz jest połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

2x 2x^ y - 1h + 4 - 2

6 + 5x - 10y + 2y - 2x + 3y - 4

12 - 3xy + 4y^ x - 2h - 3 x ^ 9 : 3h

x

1 1 xy - 4 2 + 2 - 4 x - 0.75 , x - 2y

Ten przykład zaczęliśmy za Ciebie.

(9 x 3) xy - 42 + 1 - 1 x - 3 x - 2y 2 4 4 x

3^ 3b - g h + 3 2 -

16

^ 10 - 2h

+ g - 10

jesteś tutaj 

95

Muzyczne dylematy

Musimy zabrać się do roboty. Mam dość pieniędzy, aby pojechały cztery osoby. Ja, Olek, Ania i jej najlepsza przyjaciółka!

Wycieczka! Wystarczyło trochę algebry, aby obliczyć, ilu z nas może jechać i ile to wszystko będzie kosztowało. Robi wrażenie. Pozostała jeszcze jedna rzecz do rozwiązania…

Niestety, to jest proble którego nie jest w sta m, rozwiązać nawet najlepnie sza książka z algebry…

70 30d = 11 260c + 2 70 490c = 11 Połącz wyrazy 70 podobne. 490c = 11 90 4 490 2,3 oraz d = c = 2,3 = d, i c150g lacj+ wej+re50) 160 +y g (60 = doxno acam Tymczasem wrwiemy, że d = 2,3. To ma 160 jednocześnie aż … + 110g + 150c = 1330 sens, poniew

160 + 260c = 1330

-160 + 160 + 260c = 1330 - 160 260c = 1170 260c = 1170 260 260 c = 4,5

96

Rozdział 2.

Musimy uzgodnić, jakiej muzyki będziemy słuchać. Świetny jest nowy utwór Fergie… naprawdę fajny.

się Najpierw pozbywamy anie nawiasów poprzez dod rz. do siebie liczb wewnąt

Następnie łączymy wyrazy podobne (110+150 = 260)… się liczby Teraz możemy pozbyć po obu 160 poprzez odjęcie 160 stronach równania. enną c, Aby uzyskać samą zmi strony musimy podzielić obie równania przez 260.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uprość poniższe wyrażenia matematyczne, łącząc wyrazy podobne. Pamiętaj, że wyraz jest połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

6 + 5x - 10y + 2y - 2x + 3y - 4 2 + 3x - 8y + 3y

Zapisanie problemu pomaga śledzić wyrazy podobne.

Mnożenie z wykorzystaniem własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

2 + 3x - 5y

i dzielenie

2xy - 2x + 4 - x 2xy - 3x + 4

12 - 3xy + 4y^ x - 2h - 3 x -3xy + 4y(x-2) - 4x

2x 2x^ y - 1h + 4 - 2 2xy - 2x + 4 - 2x 2

Uproszczenie ułamka.

-3xy + 4yx - 8y - 4x

Własność przemienności.

-3xy + 4xy - 8y - 4x xy - 8y - 4x

^ 9 : 3h

x

obny ze Nie jest to wyraz pod zawiera zmienną x, ponieważ . dodatkową zmienną (y)

1 1 xy - 4 2 + 2 - 4 x - 0.75 , x - 2y

Przekształcanie na ułamek

(9 x 3) xy - 2 + 1 - 1 x - 3 x -2y 4 x 4 2 4 działania w nawiasach

(27) 3 1 1 2 x xy - 4 + 2 - 4 x - 4 x -2y

3^ 3b - g h + 3 2 -

16 + g - 10 ^ 10 - 2h

działania w nawiasach

3(3b - g) + 32 - 16 + g - 10 8 potęgowanie

3(3b - g) + 9 - 16 + g - 10 8 mnożenie

2

9b - 3g + 9 - 16 + g - 10 8 9b - 2g - 3

potęgowanie

27 3 1 1 x xy - 16 + 2 - 4 x - 4 x -2y dzielenie

3 27y - 16 + 1 - 1 x - 4 x -2y 4 2 25y - 16 + 1 - 1x 2 25y - 15 1 - 1x 2

jesteś tutaj 

97

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 2.

Niezbędnik algebraika Ten rozdział dotyczył rozwiązywania bardziej złożonych równań algebraicznych.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

98

Rozdział 2.

Q

Niezależnie od liczby wyrazów w równaniu jego rozwiązanie wymaga wyizolowania zmiennej.

Q

Kolejność wykonywania działań determinuje porządek wykonywanych operacji.

Q

Znalezienie rozwiązania wymaga występowania po jednej relacji dla każdej zmiennej występującej w równaniu.

Q

Podczas łączenia fragmentów równania należy upewnić się, że mamy do czynienia z tymi samymi wyrazami.

Q

Jeżeli w treści problemu są stałe, możesz użyć ich wartości liczbowej lub, jeśli tak jest łatwiej, wykorzystać litery i podstawić je w miejsce stałych.

Q

Wyraz to fragment równania połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

3. Reguy operacji z liczbami

Postępuj zgodnie z regułami Mama mówi, że jeśli najpierw nie będę wykonywał mnożenia, to zabierze mi mój zdalnie sterowany helikopter napędzany na benzynę. Porażka…

Czasami po prostu musisz postępować zgodnie z niewygodnymi regułami. Przychodzi taki czas w życiu każdego człowieka, kiedy mama i tata przestają decydować o jego losie. Nikt już nie sprząta Twojego pokoju ani nie zabiera Ci telefonu komórkowego do czasu, kiedy odrobisz lekcje. Jeśli jednak chodzi o algebrę, reguły to dobra rzecz. Reguły chronią Cię przed otrzymywaniem nieprawidłowych odpowiedzi. Często się zdarza, że reguły pomagają znaleźć niewiadomą bez większego nakładu dodatkowej pracy. Na czas lektury tego rozdziału odłóż na bok swój kapelusik z balu maskowego. Znajdziesz tu kilka przydatnych zasad, które pozwolą Ci osiągnąć doskonałe wyniki.

to jest nowy rozdział 

99

Bądź sędzią

Liczyć czy nie liczyć Powstał nowy teleturniej, którym wszyscy się fascynują — Liczyć czy nie liczyć. W tym nowym hicie o najwyższej oglądalności dwóch konkurentów staje ze sobą w szranki i rozwiązuje problemy matematyczne. Uczestników quizu łatwo znaleźć, ale program Liczyć czy nie liczyć potrzebuje pomocy. W programie nie ma sędziów, którzy oceniliby, czy konkurenci prawidłowo rozwiązali zadane problemy. W tej roli wystąpisz Ty… Zostałeś wyznaczony jako sędzia w programie, który zostanie wyemitowany w tym tygodniu. Powodzenia… lega asz, na czym po Jeśli nie pamięt gnij do dodatku… się , potęgowanie

Problem numer 1:

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

11 ½

117 10

Oboje już podali swoje odpowiedzi. Kto ma rację?

To jest Jacek.

To jest Kasi a.

100

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

ściowe. Wyrażenie wyj 2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

Oto jak Kasia doszła do wyniku.

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

5 2 + ] 6 g + ] 3 g2 - 5 - b 10 l

+ 3m 4 + 4 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2 + ^6h + ^3h2 - 5 - c 21 m

+ 3m 8 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m

+ 3m 14 - 3 2 - 5 - c 210

8 + 9 - 5 - c 21 m

+ 3m 11 2 - 5 - c 210 +3 l 121 - 5 - b 210

11 1 2 czące Zrób notatki dotykażdy sposobu, w jaki związał z konkurentów ro ażyłeś uw problem. Czy za jakieś błędy?

Kto ma rację?

(zakreśl właściwe imię)

Oto jak J a rozwiązał cek zadanie.

Kasia

+ 3m 116 - c 210

Jacek

114 + 3 10

=

117 10

jesteś tutaj 

101

Kto wygrał tę rundę?

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

ściowe. Wyrażenie wyj 2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

2 + 2 = 4

Kasia najpierw wykonała działania w nawiasach…

+ 3m 4 + 4 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

5 2 + ] 6 g + ] 3 g2 - 5 - b 10 l 2 + ^ h + ^3h2 - 5 - c 1 m

6

następnie uprościła ułamki

Jacek wykonywał działania od lewej do prawej.

+ 3m 8 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2

do kwadratu uprościła wyrażenie podniesione

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m dodała 2 + 6

8 + 9 - 5 - c 21 m dodała i odjęła to, co pozostało

+ 3m 14 - 3 2 - 5 - c 210

Kasia postanowiła najpierw wykonać działania w grupach, następnie wykonać dodawanie i odejmowanie…

Ponieważ 14–3 = 11, zatem tę liczbę podniósł do kwadratu

…Jacek rozwiązywał cały problem od lewej do prawej.

11 1 2

+ 3m 11 2 - 5 - c 210

+3 l 121 - 5 - b 210 + 3m 116 - c 210 116–2

Kto ma rację? 102

Rozdział 3.

(zakreśl właściwe imię)

Kasia

Jacek Zastanawiasz się Czytaj dalej, aby dlaczego? dowiedzieć się więcej…

114 + 3 10

=

117 10

dodał do siebie to, co pozostało

Reguły operacji z liczbami Dlaczego to Kasia ma rację? Kto tak powiedział? Odpowiedź Jacka też ma sens. Kasia ma rację, ponieważ jej odpowiedź jest zgodna z regułami działań na liczbach. Kasia rozwiązała swoje równanie prawidłowo, ponieważ zastosowała kolejność wykonywania działań. Dlatego właśnie uzyskany przez nią wynik jest prawidłowy. Stosowanie się do obowiązującej kolejności wykonywania działań jest regułą obowiązującą podczas wykonywania działań na liczbach.

Jeśli nie zastosujesz się do reguł, nic nie będzie działało tak, jak powinno.

Jacek NIE przestrzegał reguł, dlatego otrzymał błędny wynik. Jacek rozwiązywał problem od lewej do prawej. Wydaje się to dość logiczne, ale ponieważ na taki sposób rozwiązywania problemów nie zgodziły się pozostałe osoby używające algebry, dlatego Jacek nie otrzyma prawidłowego wyniku.

Dziwna postaća przypominając . o zagrożeniach

Równania i wyrażenia pisze się po to, by określić kolejność działań. Kolejność ta musi być taka sama dla każdego, kto korzysta z wyrażenia. Inaczej nie będzie możliwe uzyskanie prawidłowych odpowiedzi. Witaj, matematyczny chaosie! Aby rozwiązywać problemy, należy nauczyć się i stosować kolejność wykonywania działań. Właśnie to spróbujemy zrobić za chwilę. Dzięki istnieniu zasad porządku wykonywania działań możesz mieć pewność, że zarówno Ty, jak i uczestnicy teleturnieju Liczyć czy nie liczyć postępujecie zgodnie z regułami.

Kolejność wykonywania działań to jeden ze sposobów, dzięki któremu wszystkie osoby rozwiązujące ten sam problem uzyskują taki sam wynik.

jesteś tutaj  103

Algebra ma swój porządek

Obowiązuje kolejność wykonywania działań Porządek operacji z liczbami, które należy wykonywać w wyrażeniu matematycznym, nazywa się kolejnością wykonywania działań. Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz taki sam wynik, jak inne osoby rozwiązujące problem. Oto obowiązująca kolejność:

Kolejność wykonywania działań Najpierw wykonuje się…

^h

Nawiasy

Należy obliczyć i uprościć wszystkie wyrazy i zapisać je w prostszej postaci.

Wszystko, co znajduje się wewnątrz.

Nawiasy obejmują wszystkie wyrazy pogrupowane w wyrażeniu. e To jest wyjściow równanie Kasi i Jacka.

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

Ponieważ są to wyrażenia w nawiasach, w pierwszym kroku je uprościmy.

eży

Następnie nal wykonać…

Potęgowanie Wszystkie wyrażenia podnoszone do potęgi (dowolnej potęgi — chodzi też o pierwiastkowanie). u Po uproszczeniu wyraz iczyć obl eży nal ach ias naw w potęgi.

. To jest potęgo p wanie

2 + ^6h + ^3h2 - 5 - c 21 m

jności W dalszej kole wykonuje się…

Mnożenie i dzielenie Te operacje są równe w hierarchii. Należy wykonywać obliczenia od lewej do prawej, upraszczając zarówno mnożone, jak i dzielone części wyrażenia.

ma W tym wyrażeniu nie , mnożenia ani dzielenia je dlatego pozostawiamy bez zmian.

onuje się… Na koniec wyk

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m Dodawanie i odejm to także działan owanie ia odwrotne.

Dodawanie i odejmowanie Dodawanie i odejmowanie są sobie równe, jeśli chodzi o kolejność. Należy je zatem obliczać od lewej do prawej, wykonując wszystkie działania dodawania i odejmowania. Po wykonaniu tych działań wyrażenie powinno być uproszczone.

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m

= 11 1

2

Oblicz to, co pozostało — od lewej do prawej.

104

Rozdział 3.

Mnożenie i dzielenie to działania odwrotne, dlatego ich „siła” jest taka sama.

Dodawanie „najsłabsze”i odejmowanie to występują działania, dlatego na końcu.

Reguły operacji z liczbami

Magnesiki matematyczne Czas na sdziowanie kolejnego zadania. Poniej znajduje si kilka problemów, które zostay czciowo obliczone. Twoim zadaniem jest okrelenie nastpnej czynnoci, któr naley wykona podczas rozwizywania problemu. Zastosuj obowizujc kolejno wykonywania dziaa i umie magnesiki opisujce dziaania, które bd wykonane w nastpnej kolejnoci. wszej wykonasz w pier Jakie działanie rz tego nawiasu? ąt wn kolejności we

^6 - 3 : 2 + 4 2 h 2

8 1 2 -1- -c m 12 3 3 Co zrobić dalej?

Co zrobić dalej?

5+3 l 1 - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - -8 12 3

- 1b

kowanie Pamiętaj, że pierwiast . nia wa ęgo pot to rodzaj

2 : ]- 1g +

4 -3

- 0.4 , + 0.1 , _6 + ^12 + 13h 6 ^25h

1/2

9i

3

wewnątrz

+7

1/2

+7 6 5+7 6

To działanie jest podchwytliwe — zastanów się dlaczego.

później

Mnoenie Potgowanie

Mnoenie

Potgowanie

Dzielenie

Nawiasy

Odejmowanie

Nawiasów

Dodawanie

Potgowanie

wanie Potgo

jesteś tutaj  105

Magnesiki — rozwiązanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest okrelenie nastpnej czynnoci, któr naley wykona podczas rozwizywania problemu. Zastosuj obowizujc kolejno wykonywania dziaa i umie odpowiednie magnesiki opisujce operacje, które bd wykonane w nastpnej kolejnoci. liczniku jest Ponieważ wyrażenie w ach, musisz je ias naw pogrupowane w należy wykonać uprościć — najpierw . nie wa ęgo pot

^6 - 3 : 2 + 4 2 h 2

8 1 2 -1- -c m 12 3 3

Potgowanie

5+3 l 1 - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - -8 12 3

- 1b

Należy pozbyć się nawiasu, a następnie wykonać potęgowanie (pierwiastek kwadratowy).

2 : ]- 1g +

4 -3

Nawiasy

Odejmowanie

Wyrażenie w nawiasach zostało uproszczone, zatem w następnej kolejności należy wykonać mnożenie.

Mnoenie

z nawiasów. Tam Należy wykonać działania wewnątranie — nie zapomnij, gow potę nać wyko ba najpierw trze a zapisu potęgowania. że pierwiastki kwadratowe to form

- 0.4 , + 0.1 , _6 + ^12 + 13h 6 ^25h

1/2

1/2

9i

3

Potgowanie

Dodawanie należy wykonać najp ierw, ponieważ występuje w postaci grupy nad znakiem dzielenia.

Dodawanie

tały Te magnesiki nie zos e. san ypi prz e dzi nig

Rozdział 3.

Nawiasów

+7

+7 6 5+7 6

106

wewnątrz

później

Potgowanie

Dzielenie

Mnoenie wanie Potgo

Reguły operacji z liczbami Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skąd pochodzą reguły kolejności wykonywania działań?

O

: Zostały ustanowione przez starożytnych matematyków (dziwaków zajmujących się algebrą dla zabawy), którzy starali się jakoś porównać swoją pracę. Dzięki uzgodnionej kolejności mogli oni porozumiewać się ze sobą i uzyskiwać te same wyniki rozwiązywanych przez siebie problemów, co jest dość istotne.

P

: Dlaczego ustalono taką, a nie inną kolejność wykonywania działań?

O: Najsilniejsze działania są wykonywane

w pierwszej kolejności. Nawiasy stanowią sposób wyrażenia nakazu „Zrób to najpierw!”. Następnie wykonuje się potęgowanie, a później mnożenie i dzielenie. Na końcu jest dodawanie i odejmowanie. To, co pozostało, oblicza się od lewej do prawej, zgodnie ze sposobem, w jaki czytamy tekst.

P: Czy pierwiastki kwadratowe

to rodzaj potęgowania?

O: Tak, dlatego są na drugim miejscu

w kolejności wykonywania działań. Jeśli chcesz przypomnieć sobie szczegóły, sięgnij do dodatku, w którym omówiono potęgowanie i pierwiastkowanie. Pierwiastek jest wyrażeniem podniesionym do potęgi ułamkowej, na przykład ½ bądź 1⁄3 (odpowiednio dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych).

P

: Czy działania odwrotne zawsze występują na tej samej pozycji na liście kolejności wykonywania działań?

O

: Tak. Dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie to dość oczywiste przykłady działań odwrotnych. Potęgowanie i pierwiastkowanie to także działania odwrotne.

P: Czy powinienem to zapamiętać? O: Tak, ale wystarczy zapamiętać, że

kolejność wykonywanych operacji jest zgodna z ich siłą.

P: Czy ułamki należy skracać? O: Sposób postępowania z ułamkami

to Twoja sprawa. Jeśli chcesz wykonywać działania z dużymi licznikami i mianownikami, możesz to robić (ale nie jest to zalecane).

P

: Czy zatem ułamki to po prostu dzielenie, czy też można je zostawić w niezmienionej postaci?

P

: Kiedy można pominąć nawiasy? Czy muszą pozostać na swoim miejscu, jeśli działania wewnątrz nich zostały wykonane?

O

: Wybór należy do Ciebie. Tak jak w przypadku ułamków, kiedy połączysz wyrazy wewnątrz nawiasów i doprowadzisz je do najprostszej formy, Twoje zadanie jest zakończone. Niektórzy wolą zachować nawiasy w celu wskazania mnożenia lub uwypuklenia potęgowania, ale to nie jest obowiązkowe.

P

: Wydaje się, że to sporo pracy. Czy trudno śledzić wykonywane działania?

O

: Czasami tak, dlatego należy zapisywać pracę podczas rozwiązywania problemu. Ponieważ Jacek zapisywał wykonywane działania, mogliśmy znaleźć miejsca, w których popełnił błędy, przez co otrzymał nieprawidłowe odpowiedzi.

O

: Oba zapisy są prawidłowe. W przypadku ułamka nie zmieniamy wartości liczby, a jedynie sposób jej wyrażania (½ lub 0,5). Tak więc każdy z tych zapisów jest poprawny. Jeśli chcesz podzielić ułamki, żeby otrzymać liczbę w postaci dziesiętnej, możesz to zrobić. Możesz też pozostawić ułamki bez zmian.

Dobrym pomysłem jest zapisywanie, w jaki sposób będzie wyglądało wyrażenie po każdym przekształceniu. Dzięki temu możesz śledzić to, co zrobiłeś, i sprawdzać swoją pracę. jesteś tutaj  107

Powracamy do gry

1

Kasia

0

Jacek

Liczy czy nie liczy

Wracamy do teleturnieju Liczyć czy nie liczyć Czas na rundę drugą. Reguły także się trochę zmieniły. Teraz konkurenci dostają jeden punkt za prawidłową odpowiedź i kolejny punkt za to, że udzielili odpowiedzi jako pierwsi. A zatem w tym przypadku szybkość ma znaczenie. Zobaczmy, jak poradzili sobie Kasia i Jacek, zwłaszcza teraz, gdy wszyscy znają kolejność wykonywania działań…

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

Problem numer 2:

c 1 + .6 m + 1 + c 1 : 8m + 1 , 5 2 2 2

108

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

Praca Jacka

wyrażenie wyjściowe

Praca Kasi

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2 d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2

c

5 6 1 1 1 10 + 10 m + 5 + c 2 : 8 m + 2

1 1 4 2 + 2 + 5 +4

11 2 1 10 + 10 + 4 + 2 11 2 40 5 10 + 10 + 10 + 10

1 + 4 + 54

13 + 45 10 10

5 54

58 10 5 54 Kto ma rację?

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

Kasia

Jacek

Czyje rozwiązanie było szybsze? Kasia

Jacek

Żadne z nich (zakreśl jedno imię)

ojnie Spok

Działania na ułamkach opisano w Dodatku.

Nie pamiętasz ułamków? Otwórz dziesz dodatek na końcu książki. Tam znaj pomoc.

jesteś tutaj  109

Kasia znów wygrywa

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

Praca Kasi

Kasia od razu zaczęła przekształcać wszystko na ułamki…

wyrażenie wyjściowe

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

…następnie pogrupowała te, które mają piątkę w mianowniku.

Jacek teraz wie, o co chodzi — najpierw działania w nawiasach — zatem jest potrzebny wspólny mianownik…

1 3 1 1 1 d + n + + c : 8m + 2 5 5 2 2

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2 1 1 4 2 + 2 + 5 +4

Potem zmieniła kolejność tego, co pozostało, tak by ułamki o wspólnym mianowniku znalazły się obok siebie…

1 + 4 + 54

Jeszcze jedna zmiana kolejności i można dodać liczby całkowite…

Działania w nawiasach wykonane. Znów jest potrzebny wspólny mianownik…

5 54

Kto ma rację?

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi) Oboje uzyskali prawidłowy wynik.

Kasia

Jacek

Czyje rozwiązanie było szybsze? Kasia 110

Praca Jacka

Rozdział 3.

Jacek

d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

c

5 6 1 1 1 10 + 10 m + 5 + c 2 : 8 m + 2 11 2 1 10 + 10 + 4 + 2 11 2 40 5 10 + 10 + 10 + 10

Skracamy ułamki i doprowadzamy do postaci całość+ułamek właściwy.

13 + 45 10 10 58 10 5 54

Żadne z nich (zakreśl jedno imię) a — jej acznie szybsz Kasia była zn ładało się z mniejszej rozwiązanie sk, w odróżnieniu od liczby etapów cka. rozwiązania Ja

Reguły operacji z liczbami

Co? Kasia rozwiązała swoje równanie zupełnie niezgodnie z kolejnością wykonywania działań, a uzyskała prawidłową odpowiedź. O co tu chodzi?

Oprócz reguł są własności. Kasia nie zignorowała kolejności wykonywania działań, a tylko najpierw zastosowała inne własności liczb. Do pracy z równaniem Kasia wykorzystała własności łączności i przemienności, a dopiero potem zastosowała kolejność wykonywania działań. Własności łączności i przemienności to w rzeczywistości inny typ reguł. Można z nich skorzystać przed zastosowaniem kolejności wykonywania działań, w jego trakcie lub po nim.

WYTĘŻ

UMYSŁ

Wróć na chwilę do pracy Kasi i przyjrzyj się uważnie jej działaniom. Zakreśl miejsca, w których Twoim zdaniem Kasia skorzystała ze specjalnych własności. Nie przewracaj strony, zanim nie zyskasz pewności, gdzie Kasia zastosowała sprytne chwyty.

jesteś tutaj 

111

Przekształcanie równań

Równania można przekształcać Własność łączności pozwala na zmianę grupowania liczb w działaniach dodawania i mnożenia. Załóżmy, że masz do dodania grupę liczb. Możesz dowolnie zmieniać sposób ich grupowania. Kasia właśnie to zrobiła:

Praca Kasi sności Kasia skorzystała z włay grupowania łączności w celu zmianDzięki temu w części rozwiązania. ałania na najpierw wykonała dzi mianownikach, ułamkach o wspólnych . a potem zrobiła resztę

1 + c 1 : 8 m + 12 3 1 + n d2+ 5 5 2 1 1 + d 3 + 15 n + 4 + 2 2 5

Co się tu dzieje? Ponieważ wszystkie działania to dodawanie, nawiasy nie mają wpływu na wynik. Własność łączności mówi, że kiedy wykonuje się dodawanie lub mnożenie, to grupowanie nie ma wpływu na wynik. Dzięki temu można dowolnie zmieniać sposób grupowania. Możemy przekształcić wyrażenie postaci 10u(4,2u0,225) na łatwiejsze do obliczenia, na przykład (10u4,2)u0,225. Znacznie łatwiej mnoży się liczby przez 10 niż przez 0,225, dlatego lepiej zawczasu zmodyfikować grupowanie w tym wyrażeniu.

Podsumowanie Własność łączności — zmiana grupowania zbioru liczb, które są do siebie dodawane lub mnożone, nie przeinacza wyniku działania.

112

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

Zaostrz ołówek Tutaj masz szansę na zastosowanie własności łączności w praktyce. Obok siebie znalazły się dwa wyrażenia różniące się grupowaniem. Czy odpowiedzi będą takie same?

ż za Ciebie Grupowanie ju przekonaj się, — y ! zmieniliśm w obie strony że to działa

c1 + 3m + 1 5 2 5

1 c3 1m + + 5 5 2

kontra

Czy wyniki są takie same? Tak

^12 - 5h - 3

Czy wyniki są takie same? Tak

c 1 : 9m 2 3

Czy wyniki są takie same?

Nie

12 - ^5 - 3h kontra

1 ^9 : 2h kontra 3

Nie

Tak

Nie

12 ' ]4 ' 2g kontra

]12 ' 4g ' 2

Czy wyniki są takie same? Tak

Nie

Dlaczego wyniki były takie same w przypadku niektórych zadań, a w przypadku innych nie?

jesteś tutaj 

113

Ćwiczenia z wykorzystaniem własności łączności

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

c1 + 3m + 1 5 2 5

Twoim zadaniem było rozwiązanie obu grup problemów, sprawdzenie, czy wyniki są takie same, i zastanowienie się, dlaczego uzyskałeś takie wyniki.

1 c3 1m + + 5 5 2 1 + 4 2 5 5 + 4 10 5 5 + 8 10 10 13 10

kontra

5+ 6 + 1 10 10 5 11 + 1 10 5 11 + 2 10 10 13 10

Czy wyniki są takie same? Tak

12 - ^5 - 3h

c 1 : 9m 2 3

(3)2

6

Wyniki są takie same — w tym przypadku działa własność łączności.

^12 - 5h - 3

12 - (2)

(7) - 3

10

4

Wyniki nie są ze sobą zgodne. Zmiana grupowania w tym przypadku była niedozwolona.

Czy wyniki są takie same? Tak

1 ^9 : 2h kontra 3 1 (18) 3

6

Czy wyniki są takie same?

Nie

kontra

Zmiana grupowania w obu tych wyrażeniach nie zmienia WARTOŚCI rozwiązania.

Nie

Zmiana grupowania w tym przypadku całkowicie zmieniła wartość rozwiązania — własność łączności w tym przypadku nie ma zastosowania.

Tak

Nie

12 ' ]4 ' 2g kontra

]12 ' 4g ' 2 (3) - 2

12 - (2)

3 2

6

Te wyniki także są różne — własność łączności ma ograniczenia!

Czy wyniki są takie same? Tak

Nie

Dlaczego wyniki były takie same w przypadku niektórych zadań, a w przypadku innych nie? Zmiana grupowania jest dozwolona dla dodawania i mnożenia — nie jest dozwolona dla dzielenia i odejmowania.

114

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

Własność łączności obowiązuje tylko dla dodawania i mnożenia — NIE obowiązuje dla odejmowania i dzielenia.

Uwaga!

Oznacza to, że nie można zmienić grupowania dla problemów odejmowania bądź dzielenia bez zmiany wartości rozwiązania. Wyrażenia z odejmowaniem i dzieleniem trzeba rozwiązywać w takiej kolejności, w jakiej zostały napisane.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: A zatem potrzebujemy kolejności wykonywania działań czy nie?

O

: Tak — kolejność działań (nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie) to porządek pozwalający na uproszczenie problemu. Stosując własność łączności, nie zmieniasz obowiązującej kolejności wykonywania działań — w dalszym ciągu najpierw wykonujesz działania w nawiasach — jedynie przenosisz pewne elementy wyrażenia z miejsca na miejsce.

P

: Jaki jest sens własności łączności działań? Co mi z tego, że mogę zmieniać sposób grupowania?

O: Własność łączności umożliwia obliczenie

wyrażenia w najłatwiejszy i jednocześnie najszybszy sposób. Pogrupowanie ze sobą takich ułamków, z którymi łatwo wykonać obliczenia, pozwala zaoszczędzić czas potrzebny do wyznaczania wspólnych mianowników. Liczby dziesiętne także można odpowiednio pogrupować. Pogrupowanie elementów pod kątem planowanego sposobu ich wykorzystania czasami pozwala również na to, by ruszyć z miejsca w przypadku trudnych problemów.

P: Czy istnieją inne własności? O: Tak — o dwóch z nich opowiemy na

kilku kolejnych stronach. Chodzi o własność przemienności i rozdzielności mnożenia względem dodawania. Własność przemienności pozwala na zamianę miejscami wyrazów w równaniu. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala na dystrybucję działań mnożenia i dzielenia wewnątrz równania (lub połączenia ich w pojedynczy wyraz, ale do tego dojdziemy później).

P

: Zatem własność łączności pozwala na zmianę porządku liczb. Czy tak?

O: Nie — własność łączności mówi tylko,

że można zmieniać sposób grupowania liczb, które są do siebie dodawane lub przez siebie mnożone. Nie można jednak zmieniać kolejności dowolnych liczb ani przenosić liczb z jednej części równania w inne miejsce. Jednak nie wszystko stracone. Istnieje własność, która pomoże Ci w zmianie porządku wyrazów: własność przemienności. Kiedy poznasz te własności, będziesz mógł zmieniać zarówno kolejność wyrazów, jak i sposób grupowania. Czytaj dalej…

Własność łączności mówi, że możesz zmieniać sposób grupowania w operacjach dodawania i mnożenia — NIE możesz tego robić dla odejmowania czy dzielenia!

jesteś tutaj 

115

Reguły operacji z liczbami

Wygląda na to, że Kasia nie tylko zmieniła sposób grupowania wyrazów… zmieniła także ich kolejność. Czy zatem istnieje własność pozwalająca na zmianę porządku liczb?

1 3 2 + d 5 + 51 n + 4 + 1 2

Możesz zmieniać kolejność liczb w wyrażeniu, a także sposób ich grupowania… używając własności przemienności. Własność przemienności dotyczy kolejności wyrazów w działaniach dodawania i mnożenia. Własność przemienności mówi, że możesz dodawać liczby wykorzystywane w działaniach dodawania lub mnożyć liczby w działaniach mnożenia w dowolnej kolejności i nie będzie to miało wpływu na uzyskany wynik. z jednak W dalszym ciągu musisobowiązującą postępować zgodnie z a działań kolejnością wykonywani przed i mnożenie wykonywać dodawaniem!

Przeniosła liczby całkowite, tak by występowały razem, i nie musiała wykonywać działań na ułamkach niewłaściwych.

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2 1 1 4 2 + 2 + 5 +4 1 + 4 + 54

Własność przemienności — możesz zmieniać kolejność, w jakiej wyrazy są do siebie dodawane bądź mnożone, bez wpływu na wynik.

Rozdział 3.

1+4+ 4 5 Kasia zastosowała jak sztuczkę, zmieniając ąś kolejność tych liczb.

Kasia pogrupowała ze sobą połówki, aby dodawanie było łatwiejsze.

Podsumowanie

116

1 1 2 + 2 + 54 + 4

Reguły operacji z liczbami Kilka równoważnych wyrażeń, przebranych w kostiumy, bawi się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, z jakiej własności korzystają. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy.

Kim jestem?

Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: Może się pojawić każda z czarujących własności, które poznałeś do tej pory… mogą one nawet być ze sobą razem!

Jaką własność zastosowano? jest równoważne

15 + ^14 + 2h

2 : 8 : 16

jest równoważne

8 : 2 : 16

^3 : 4 h + c 1 + 1 m

jest równoważne

c 1 + 1 m + ^3 : 4 h 2 3

5 ^0.5 , : 0.12 , h

jest równoważne

^5 : 0.5 , h 0.12 ,

^15 + 14h + 2

2

3

h + 16 + ^4 + 0.23 , , h 127 ^16 : 0.177 jest równoważne

^16 : 127h + ^16 + 4h + 0.23 0.177 , ,

Możesz potrzebować więcej niż jednej własności dla wybranego problemu.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Własność łączności mówi, że możesz zmieniać położenie nawiasów w operacjach dodawania i mnożenia bez wpływu na wynik.

Q

Własność przemienności mówi, że możesz zmieniać kolejność wyrazów w operacjach dodawania i mnożenia bez wpływu na wynik.

Q

Nie możesz stosować własności łączności i przemienności dla operacji dzielenia lub odejmowania.

Q

Kolejność wykonywania działań zawsze informuje o porządku, w jakim ma być obliczane wyrażenie.

jesteś tutaj 

117

Własności — podsumowanie

Kilka równoważnych wyrażeń, przebranych w kostiumy, bawi się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, z jakiej własności korzystają. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy.

Kim jestem?

Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: Może się pojawić każda z czarujących własności, które poznałeś do tej pory… mogą one nawet być ze sobą razem!

Rozwizanie jsce Zmieniło się tylko mie … ów występowania nawias ści. to jest własność łączno

^15 + 14h + 2

jest równoważne

Jaką własność zastosowano? 15 + ^14 + 2h

Własność łączności

Zmieniła się kolejność wyrazów… to jest własność przemienności.

2 : 8 : 16

jest równoważne

8 : 2 : 16

Własność przemienności

To było trochę bardziej skomplikowane. Zmieniła się kolejność dwóch grup… ale grupy pozostały te same.

^3 : 4 h + c 1 + 1 m

2

3

jest równoważne

c 1 + 1 m + ^3 : 4 h 2 3

Własność przemienności

innego Nawiasy zmieniły miejsce, ale nic i. nośc łącz ność włas niło: zmie nie się

5 ^0.5 , : 0.12 , h

jest równoważne

^5 : 0.5 , h 0.12 ,

h + 16 + ^4 + 0.23 , , h 127 ^16 : 0.177 jest równoważne

Własność łączności

Własności łączności i przemienności

Tutaj zmieni ł się sposób grupowania

^16 : 127h + ^16 + 4h + 0.23 0.177 , ,

…

…ale także zmieniła się kolejność wyrazów.

118

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

Wasnoci dziaa bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Własności łączności i przemienności — kto co robi? Własność łączności: Cześć, Przemienność. Czy wszystko w porządku? Wyglądasz na trochę zmieszanego. Własność przemienności: Cha, cha — zrozumiałem aluzję. Mieszanie to moja specjalność. Jeśli masz jakieś operacje dodawania lub mnożenia, to mogę zamieniać liczby miejscami bez żadnych problemów. Łączność: To miłe. Ja również pracuję z dodawaniem i mnożeniem, ale nie mogę zmieniać miejsca liczb. Ja pracuję z nawiasami. Przemienność: Zaczekaj, czy nawiasy nie są na początku łańcucha pokarmowego kolejności wykonywania działań? Łączność: Tak, właśnie z nimi pracuję. Obowiązują jednak ścisłe reguły. Nie wolno mi zmieniać kolejności działań ani zmieniać wyniku, dlatego mogę tylko przenosić nawiasy wtedy, gdy wewnątrz nich są działania dodawania lub mnożenia. Przemienność: Rozumiem. U mnie są takie same zasady. Nie wolno mi zmieniać wyniku, dlatego również mogę zmieniać kolejność liczb tylko w działaniach dodawania lub mnożenia. Zgaduję, że ty także nie możesz robić niczego z działaniami dzielenia lub odejmowania. Czy tak?

Przemienność: Mam te same problemy. Kolejność ma istotne znaczenie w przypadku odejmowania i dzielenia, dlatego muszę trzymać ręce z daleka. Łączność: Wiesz, myślę, że musimy coś sobie wyjaśnić przy okazji naszej rozmowy Przemienność: Co? Łączność: Że i ciebie, i mnie można używać poza rygorami kolejności wykonywania działań bez zmiany wyniku. Przemienność: Jasne. Przyzwyczaiłem się do tego, ale zgaduję, że może to być mylące. Możemy pracować w dowolnym momencie. Dodawanie i mnożenie można przegrupowywać lub zmieniać kolejność w dowolnym momencie podczas upraszczania. Łączność: Widzisz, zawsze jesteśmy pomocni! Aha… zanim sobie pójdę. Słyszałeś tę historię o operacji dodawania, która została niesprawiedliwie oskarżona? Przemienność: Jej wyrok złagodzono. Łączność: Nie słyszałem. Wiesz coś na ten temat?

Łączność: Zgadza się. Zmiana kolejności w odejmowaniu lub dzieleniu zmienia wynik, dlatego w tym przypadku nie mogę zmieniać sposobu grupowania.

jesteś tutaj 

119

Runda finałowa

3

kt w ostatniej Jacek dostał jeden pun ł prawidłowej ieli udz aż iew pon rundzie otrzymała dwa odpowiedzi, ale Kasia prawidłowy ała pod że punkty za to, rwsza. pie o jak wynik i zrobiła to

1

Kasia

Jacek

Liczy czy nie liczy

To bardzo ważna runda… W kolejnej rundzie można otrzymać dwa punkty, co oznacza, że napięcie wzrasta: musisz osądzić prawidłowo następne zadanie. W przeciwnym razie będzie wielka kłótnia o to, kto wygrał dzisiejsze wydanie teleturnieju Liczyć czy nie liczyć. Za rozwiązanie zadania znów można otrzymać jeden punkt, ale jest dodatkowa premia za rozwiązanie problemu tak szybko, jak to możliwe. Co więcej, zarówno Jacek, jak i Kasia znają zasady kolejności wykonywania działań, a także własności łączności i przemienności.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

ienności

Własność przem

w kolejno wyrazó Moesz zmienia nia e no dawania i m w operacjach do nik. wy bez wpywu na

Problem numer 3 — runda finałowa Uprość wyrażenie:

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

120

Rozdział 3.

Własność łączności Moesz zmienia spo sób grupowania wyrazów w operacjach dodawania i mnoenia bez wpyw u na wynik.

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku. Praca Kasi

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4 2(5) 5 1 d 12 + 12 + 12 11 n + 32 - 15 3 12 6 ^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 _ 25 i + 32 - 15

T

25 + 9 - 15 19

Czas: 45 sekund

Praca Jacka

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4 + 10 + 11 m + 32 - 15 12 c 12 12 12 2 12 d 25 12 n + 3 - 15

12 d 25 12 n + 9 - 15

Czas: 1 minuta 20 sekund

25 + 9 - 15 = 19 Kto ma rację? Kasia

Czyje rozwiązanie było szybsze? Jacek

Żadne z nich

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

Kasia

Jacek

(zakreśl jedno imię)

jesteś tutaj 

121

Kolejne zwycięstwo Kasi?

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku. Praca Kasi

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4

stały Te liczby pozo ę si po pozbyciu . mianowników

d 12

2(5) 1 + 12 5 + 12 11 n + 32 - 15 3 12 6

^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 Pozostało jeszcze potęgowanie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

_ 25 i + 32 - 15

Zamiast uproszczenia wewnątrz nawiasów Kasia pomnożyła każdy z wyrazów przez 12.

T

25 + 9 - 15 19

Czas: 45 sekund

Praca Jacka

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12 Jacek sprowadził wszystkie ułamki do wspólnego mianownika.

Tutaj Jacek uprościł ułamek.

Tutaj Jacek przegrał: . działania na ułamkach

4 + 10 + 11 m + 32 - 15 12 c 12 12 12 2 12 d 25 12 n + 3 - 15

Dalej trzeba wykonać potęgowanie.

12 d 25 12 n + 9 - 15

Czas: 1 minuta 20 sekund

25 + 9 - 15 = 19 Kto ma rację? Kasia

Czyje rozwiązanie było szybsze? Jacek

Żadne z nich

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

122

Rozdział 3.

Kasia

Jacek

(zakreśl jedno imię)

Reguły operacji z liczbami Żartujecie sobie? Zawsze dowiadujemy się później, jak będą oceniane zadania. Kasia znów zastosowała jakąś sztuczkę.

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala na mnożenie kilku liczb (i to nie jest żadna sztuczka). Kasia uprościła wszystkie ułamki w jednym kroku, poprzez pomnożenie ich wszystkich przez 12. Dzięki temu pozbyła się mianowników. Kiedy mnożysz wszystkie wyrazy w grupie przez tę samą liczbę, stosujesz własność rozdzielności mnożenia względem dodawania. Przyjrzyjmy się nieco bliżej temu, co zrobiła Kasia… i sprawdźmy, jak możesz to wykorzystać.

Praca Kasi z bliska Oto praca Kasi poddana jeszcze bardziej wnikliwej analizie. O co tu naprawdę chodzi? Kasia pomnożyła każdy z wyrazów w nawiasach przez 12.

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12 d 12 :

ciła Tutaj Kasia skró każdy z ułamków ie poprzez podzielen liczników przez mianowniki.

12 : 5 12 : 11 2 3 + 6 + 12 n + 3 - 15

d 12 : 1

d4 : 3 : 1

3

To wszystko, co pozostało po pozbyciu się mianowników.

5 1 11 2 3 + 12 : 6 + 12 : 12 n + 3 - 15

Kasia nie zmieniła niczego więcej w tym kroku.

+ 6 : 26 : 5 + 1212: 11 n + 32 - 15

_ 4 + 2 : 5 + 11 i + 32 - 15

^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 _ 25 i + 32 - 15

Kasia zastosowała wania kolejność wykony działań.

25 + 9 - 15 19 jesteś tutaj  123

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Wyciągnięcie wartości przed nawias nie zmienia wartości wyrażenia Jeśli mnożysz wartość przez grupę, dokonujesz dystrybucji tej wartości. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że jeśli mnożysz przez siebie dwie grupy, to możesz najpierw uprościć grupy, a potem wykonać mnożenie lub najpierw pomnożyć, a potem uprościć. Wyniki są takie tego, czy najpier— niezależnie od działania w nawi w wykonaliśmy wykonaliśmy mn asie, czy najpierw ożenie.

Oto fragment pracy Kasi, w którym skorzystała ona z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oto co zrobiła Kasia. Najpierw wykonała mnożenie, a potem uprościła wyrażenie.

1 + 5 + 11 m 3 6 12 ^4 + 10 + 11h 25

12 c 12 poza nawiasem zostało pomnożone przez każdą z liczb znajdującą się w nawiasie.

konywane Oto obliczenia wy najpierw y gd u, dk pa zy w pr nie uprościmy wyrażetem w nawiasie, a po pomnożymy.

12 c 1 + 5 + 11 m 3 6 12 12 c 4 + 10 + 11 m 12 12 12 12 c 25 m 12 25

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy można wykonać mnożenie, zanim wykona się działania w nawiasach?

O

: Tak. Jeśli masz sytuację, w której mnożysz przez siebie dwie grupy, możesz najpierw pomnożyć, a następnie uprościć lub najpierw uprościć, a potem pomnożyć.

P

: Czy własność rozdzielności mnożenia względem dodawania nie ignoruje obowiązującej kolejności wykonywania działań?

O

: Nie, trzeba tylko wiedzieć, kiedy można obejść kolejność wykonywania działań. Tak jak w przypadku własności łączności i przemienności. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania służy do tego, by rozwiązywać problemy w sposób prostszy i bardziej efektywny. Te własności są wykorzystywane razem z kolejnością wykonywania działań, a nie przeciwko niej.

124

Rozdział 3.

P

: Co robić, jeśli wewnątrz nawiasów są działania odejmowania lub dzielenia?

O

: To nie ma znaczenia. Trzeba jedynie zachować operatory po pomnożeniu wartości znajdującej się poza nawiasem. Jeśli liczba w nawiasie jest odejmowana, to po dokonaniu dystrybucji wartości w dalszym ciągu będzie odejmowana.

P

: Czy zatem nie trzeba najpierw wykonywać działań w nawiasie?

O

: Nie, jeśli zawartość nawiasu mnożymy przez liczbę. W takim przypadku można dokonać dystrybucji liczby na grupę.

Reguły operacji z liczbami

Zaostrz ołówek

Nadszedł czas na ćwiczenia zastosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania. Wyrażenia zamieszczone poniżej uprość na dwa sposoby: stosując własność rozdzielności mnożenia względem dodawania i postępując zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Dla każdego zadania wskaż sposób, który według Ciebie jest szybszy.

2^ 4 - 2 + 11h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

3 1 5 3 24 b 8 - 12 + 6 - 4 l

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

1 9 7 3 4 b 20 + 20 + 20 + 20 l Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

18^ 110 - 80 + 3 - 22 - 10h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

jesteś tutaj  125

Ćwiczenia w wykorzystaniu rozdzielności mnożenia względem dodawania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było uproszenie wyrażeń na dwa sposoby: poprzez zastosowanie własności rozdzielności mnożenia względem dodawania i poprzez postępowanie zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Który sposób okazał się szybszy w każdym z zadań?

1 9 7 3 4 b 20 + 20 + 20 + 20 l

2^ 4 - 2 + 11h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

2 •4 - 2 •2 + 2 •11

2(13)

8 - 4 + 22

26

26

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

4 1 +4 9 +4 7 +4 3 20 20 20 20 1 + 9 + 7 + 3 5 5 5 5 20 5

Kolejność wykonywania działań

4 20 20 4(1) 4

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Który sposób był szybszy? Dlaczego? Myślę, że szybszy był sposób polegający na

Szybszy był sposób z wykorzystaniem kolejności

zastosowaniu kolejności wykonywania działań,

wykonywania działań, ponieważ pozwolił na

ponieważ trzeba było wykonać mniej kroków.

pozbycie się wszystkich ułamków. Czasami zastosowanie kolejności wykonywania działań umożliwia szybsze rozwiązanie problemu.

odpowiedzi… Tu nie ma prawidłowej . bie Cie do eży wybór nal

3 1 5 3 24 b 8 - 12 + 6 - 4 l Rozdzielność mnożenia względem dodawania

18^ 110 - 80 + 3 - 22 - 10h

Kolejność wykonywania działań

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

24 3 - 24 1 + 24 5 - 24 3 8 12 6 4

24 9 - 2 + 20 - 18 24 24 24 24

(1980 - 1440 + 54 - 396 - 180)

18(1)

9 - 2 + 20 - 18

24 9 24

18

18

9

9

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Myślę, że szybszy był sposób z wykorzystaniem

Zastosowanie kolejności wykonywania działań było

rozdzielności mnożenia względem dodawania,

szybsze ze względu na wynik obliczenia w nawiasach.

ponieważ pozwolił na pozbycie się wszystkich ułamków.

126

Rozdział 3.

Jeśli liczby w nawiasie są duże, zastosowanie rozdzielności mnożenia względem dodawania nie jest dobrym pomysłem.

Reguły operacji z liczbami

ci Własność przemiennoś o wyrazów Moesz zmienia kolejn nia i mnoenia w operacjach dodawa bez wpywu na wynik.

Własn

ość łą

czn

ości Moe sz zm ienia wyraz sposó ów w b grup opera i mno owania cjach enia d odawa bez w nia pywu na wy nik.

i ielnośc awania z d z o dod ość r Własn ia względem w, wyrazó en grup z e mnoż z r czb p rup,

li oci g noysz jpierw rw upr Jeli m ie jp lub na a n ie n z e s  e no pie to mo ona m azów w gru r m wyk y te w kadym o z p W a ci. ady  k o r  y p  u m pomno a pote sam. ie ten liczb, z d z  e z b r p ynik dku w przypa

Jak mam to wszystko zapamiętać? Najpierw była kolejność wykonywania działań, a teraz te wszystkie własności… to tak jak pamiętanie wielu paragrafów. Czy powinnam je wszystkie zapamiętać?

Możesz zapamiętać ogólne równania. Nie musisz pamiętać rozbudowanych reguł. Zapamiętywanie wszystkich regułek dla każdej z własności bywa kłopotliwe… ale to jest matematyka, a nie pisanie wypracowań. Na szczęście, powyższe regułki można łatwo przekształcić na proste równania. Jednak aby to zrobić, potrzebny jest sposób reprezentowania liczb… potrzebujemy stałych. Co to dokładnie jest stała?

jesteś tutaj  127

Stałe reprezentują liczby

Stała reprezentuje liczbę

To nie jest łatwe do zapamiętania.

Stała to pojęcie wykorzystywane do opisania w równaniu niewiadomej reprezentującej liczbę, która się nie zmienia. Mówiąc inaczej, litera a po jednej stronie równania to ta sama liczba, co litera a po drugiej stronie równania. Stała, po prostu, reprezentuje liczbę.

Własnoś

ć przem

ienno

ści Moesz zmienia kolejno w operac  wyrazó jach dod w a wania i m bez wpy noenia wu na w ynik.

Stałe doskonale nadają się do przekształcania problemów specyficznych w bardziej ogólne, ponieważ pozwalają na używanie liter zamiast konkretnych liczb. Na przykład…

zegółowy problem. To jest to bardzo szc amiętania. zap do wy Nie jest łat

2 : 8 : 16

Liczbę 2 możemy oznaczyć literą „a”…

jest równoważne

8 : 2 : 16

…liczbę 16 oznaczymy literą „c”.

a:b:c=b:a:c

…liczbę 8 oznaczymy literą „b”…

Początkowo może się wydawać, że użyte litery są równie trudne do zapamiętania, co ciąg zdań. Spróbujmy jednak jeszcze bardziej uprościć problem:

a:b=b:a a+b=b+a To jest opis własności przemienności dodawania.

Teraz szczegółowy problem przestał być szczegółowy. O wiele łatwiej go zapamiętać.

To jest opis włas przemienności mnności ożenia.

pamiętać, że Teraz łatwiej za enia możemy oż w przypadku mn liczb. ść no lej ko iać ien i zm wienie własnośc To jest przedsta z używania słów! be i śc no en przemi

Ogólne równanie to sposób pozwalający na zapamiętanie reguł mających zastosowanie do wszystkich liczb w określonej sytuacji.

128

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

:

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

7

Wiesz więcej, niż Ci się wydaje… spróbuj dopasować wzór opisujący określoną własność do jej nazwy. Uważaj, niektóre nazwy własności zostały użyte dwukrotnie!

a ^b + ch = ab + ac a + ^b + ch = ^a + bh + c a:b=b:a a+b=b+a

Wasno przemiennoci

Wasno rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania

Wasno cznoci

a ^b : ch = ^a : bh c

jesteś tutaj  129

Jaka własność :

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

7

ROZWIĄZANIE

Dopasuj poszczególne wzory opisujące własności do ich nazw. Niektóre nazwy własności zostały użyte dwukrotnie!

a ^b + ch = ab + ac a + ^b + ch = ^a + bh + c a:b=b:a a+b=b+a a ^b : ch = ^a : bh c

130

Rozdział 3.

Wasno przemiennoci

Wasno rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania

Wasno cznoci

Reguły operacji z liczbami

ci Własność przemiennoś o wyrazów Moesz zmienia kolejn nia i mnoenia w operacjach dodawa bez wpywu na wynik.

Własność przemienności mnożenie

a:b=b:a a+b=b+a

Własność łączności Moesz zmienia sposób grupowa nia wyrazów w operacjach dodawania i mnoenia bez wpywu na wynik.

dodawanie

Własność łączności mnożenie

a ^b : ch = ^a : bh c

dodawanie

a + ^b + ch = ^a + bh + c

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania wyrazów, Jeli mnoysz liczb przez grup a potem , grup ci upro ierw to moesz najp noy pom ierw najp lub ie wykona mnoen , liczb z prze ie grup w kady z wyrazów ku pad przy ym kad W . a potem uproci . sam wynik bdzie ten

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania

a ^b + ch = ab + ac

jesteś tutaj 

131

Gra się skończyła

Podsumowanie rywalizacji… Po przeanalizowaniu pracy Kasi doszliśmy do wniosku, że wszystkie zadania rozwiązała prawidłowo i zrobiła to szybciej. 1

Kasia rozwizaa swoje pierwsze zadanie, stosujc kolejno wykonywania dziaa . Po tym, co zobaczyliśmy w pracy Jacka, wyraźnie widać, że nie można po prostu iść własną drogą, dlatego kolejność wykonywania działań jest istotna.

2

Kasia rozwizaa drugie zadanie, stosujc wasnoci cznoci i przemiennoci, a nastpnie zastosowaa kolejno wykonywania dziaa . Poradziła sobie ze swoim zadaniem szybciej i sprytniej. Dzięki temu mogła łatwiej wykonać obliczenia na ułamkach.

3

Kasia rozwizaa trzecie zadanie prawidowo i bya szybsza od Jacka dziki temu, e najpierw skorzystaa z wasnoci rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania, a nastpnie zastosowaa kolejno wykonywania dziaa . W efekcie zastosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania wykonanie obliczeń na ułamkach okazało się znacznie łatwiejsze.

Jacek był zawsze drugi. Nauczył się kolejności wykonywania działań na podstawie pierwszego problemu, ale by móc skutecznie rywalizować z Kasią, powinien poznać własności działań. 1

Jacek le rozwiza pierwsze zadanie, poniewa nie przestrzega regu kolejnoci wykonywania dziaa . Próbował najpierw rozwiązać najłatwiejsze części zadania, nie zważając na kolejność wykonywania działań. W związku z tym całkowicie rozminął się z wynikiem.

2

Jacek prawidowo rozwiza drugie zadanie dziki zastosowaniu kolejnoci wykonywania dziaa . Niestety, nie skorzystał z własności łączności i przemienności, dlatego rozwiązanie drugiego zadania zajęło mu więcej czasu niż Kasi.

3

Jacek prawidowo rozwiza take trzecie zadanie, ale znów by wolniejszy. Kolejność wykonywania działań nigdy go nie zawiodła, ale go spowolniła!

Postaraj się doskonalić umiejętności oceny zadań… nigdy nie wiadomo, kiedy będziesz znów potrzebny w teleturnieju Liczyć czy nie liczyć. 132

Rozdział 3.

Reguły operacji z liczbami

Niniejszy rozdział dotyczył własności działań na liczbach mających znaczenie dla rozumienia kolejności rozwiązywania równań.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Własność łączności dotyczy wyłącznie grupowania.

Q

Własność przemienności dotyczy kolejności.

Q

Własności rozdzielności mnożenia względem dodawania określa sposoby mnożenia grup.

Q

Zastosowanie kolejności wykonywania działań zawsze pozwala poprawnie uprościć wyrażenie.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

Q

Zmienna to niewiadoma, która może się zmieniać w zależności od problemu.

3

Mnożenie i dzielenie

Q

4

Dodawanie i odejmowanie

Stała jest wiadomą lub niewiadomą, która się nie zmienia.

Własność przemiennoś

ci

a:b=b:a a+b=b+a

Wszystkie zaprezentowane własności można stosować dla liczb i dla niewiadomych.

Własność łączności

a + ^b + ch = ^a + bh +c a ^b : ch = ^a : bh c

Własność rozdzielnoś ci mnożenia względem do dawania

a ^b + ch = ab + a c

jesteś tutaj  133

Rozdzia 3.

Niezbędnik algebraika

134

Rozdział 3.

4. Potgowanie

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia (co w tym przypadku jest dobre…) Dzięki programowi iTunes całkowicie wciągnęła mnie subskrypcja podcastów. Teraz włączam telewizor tylko po to, by obejrzeć ostatni odcinek „Zagubionych”.

Czy możesz pomnożyć to jeszcze raz? Czy możesz pomnożyć to jeszcze raz? Oprócz powtarzania czynników istnieje jeszcze inny sposób przedstawienia mnożenia tych samych liczb. Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia. Potęgowanie jest jednak bardziej złożone, jeśli dotyczy liczb mniejszych niż zwykle (i nie mamy tu na myśli ułamków). W tym rozdziale będziemy mówić o podstawach, stopniach i pierwiastkach. Jak to zwykle bywa, z zerem i jedynką jest związana osobna grupa problemów. Zatem… zaczynajmy pokaz podcastingu…

to jest nowy rozdział  135

Szaleństwo podcastów

Anka prowadzi podcast Prowadzę własny podcast, ale teraz potrzebuję sprzętu dobrej jakości… tymczasem nowy sprzęt jest drogi! nych. Hm… ekscentrycz

Anka prowadzi podcast o szalonych osobistościach. t Anka — producen niezwykłego podcasta.

Ostatnio podcast Anki zyskuje coraz większą liczbę słuchaczy. Aby poprawić poziom swojego serwisu, Anka potrzebuje lepszego sprzętu i jeszcze lepszego podcastu… ale na to potrzeba sporo pieniędzy. Anka ma witrynę WWW, która jest hostem jej podcastów. Chce umieścić na niej ogłoszenie w celu zebrania funduszy na nowy sprzęt. Znalazła kilku potencjalnych sponsorów, ale nie pomogą jej, jeśli Anka nie udowodni, że ruch w jej serwisie jest stosunkowo intensywny. Anka musi: …monitorowa liczb codziennych wej na stron w cigu nastpnych dwóch tygodni.

…udowodni, e w cigu nastpnych dwóch tygodni bdzie co najmniej 5 000 000 wej do jej serwisu! Ojej, to bardzo dużo.

Komputer Anki. Czy to jest rocznik 198 7?

136

Rozdział 4.

Potęgowanie

Zmobilizujmy słuchaczy Anki Anka wie o tym, że ma gorących zwolenników. Oto list, jaki napisała do swoich trzech najwierniejszych słuchaczy:

hacze, jwierniejsi suc Drodzy trzej na my mogli ego podcastu, by sz na a dl w ró so spon dni potencjalni Próbuj pozyska nych dwóch tygo p st na u g ci W t. szego serwisu. kupi nowy sprz czb wej do na li li zi ed l d reklamodawcy b dziennie. 5 000 000 wej  gn i os my si Mu a ten e-mail do rwis dzi i wys se  zi ed wi od ie i wysya Prosz konieczn wiedza serwis od ie dz b y d . Jeli ka nam si uda! 3 kolejnych osób i, to myl, e dn 14 z ze pr ób wych os e-maile do 3 no

Dzikuj, StarTalk Anka z podcastu

Zaostrz ołówek

Napisz równanie, które pozwala obliczyć, ile wejść na stronę uzyska Anka na koniec 14. dnia, przy założeniu, że każdy z jej 3 najwierniejszych słuchaczy nakłoni codziennie 3 nowe osoby do odwiedzenia serwisu. Na razie nie przejmuj się rozwiązaniem tego równania.

.................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  137

Wielokrotne mnożenie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było napisanie równania, które pozwala obliczyć liczbę wejść na stronę Anki na koniec 14-dniowego okresu, przy założeniu, że każdy z jej 3 najwierniejszych słuchaczy nakłoni codziennie 3 nowe osoby do odwiedzenia serwisu.

ć Każdego dnia mnożymy liczbę wejś przez 3, ponieważ codziennie .................................................................................................................................................................................. angażowane są 3 nowe osoby.

Liczba wejść = 3 razy 3, codziennie przez 14 dni

liczba wejść = 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ..................................................................................................................................................................................

tym pogubić. Oj, to dużo trójek… łatwo się w

Czat IM: Potgowanie To równanie jest olbrzymie.

Jola

Mamy 14 dni. Jeli kady, kto otrzyma ten e-mail, wejdzie na stron, bdziemy mieli 3 razy 3 dla kadego dnia. Nie do koca rozumiem dlaczego… Janek

Jola

OK. Zatem liczba wej w drugim dniu to dwie trójki pomnoone przez siebie. W 14. dniu bdziemy mieli 14 trójek.

Próbuj obliczy to na kalkulatorze, ale si gubi. Nie wiem, ile trójek wprowadziam.

ka An Anka

Janek

runda 1

runda 1

Jola

… Jola

Pogubiem si. O czym wy mówicie?

Rozdział 4.

runda 2 runda 2 runda 2

runda 2

Co to takiego? Potgowanie to skrócony sposób przedstawiania mnoenia przez t sam liczb. Potgowanie take moesz wykona na kalkulatorze. Trzeba wprowadzi tylko dwie liczby, a nie rzd 14 liczb.

runda 2

runda 2

Istnieje lepszy sposób na wykonanie tego dziaania. Syszaa o potgowaniu?

Jola

138

runda 2

runda 1

Janek

Dokadnie tyle.

Jola

runda 2

1=3 dzień

Oto rysunek. Mamy na nim rozrysowane 2 pierwsze rundy.

Janek

Janek

=3 dzień 2 9 = razy 3

runda 2

Potęgowanie

Potgowanie z bliska Potęgowanie to specjalna notacja używana do wyrażania powtarzanego mnożenia. Tego właśnie potrzebujemy do obliczenia liczby wejść na stronę Anki, bez konieczności mnożenia wielu trójek: sposobu na wyrażenie wielokrotnego mnożenia przez 3. Liczba podnoszona do potęgi ma następującą postać: wykładnik

podstawa

x a = x : x : x... : x Taki zapis oznacza: pomnóż x przez siebie a razy.

Podstawa jest liczbą poddawaną mnożeniu (w przypadku Anki jest to liczba 3), natomiast wykładnik oznacza, ile razy powtarzamy mnożenie (w przypadku Anki — 14). Aby uzyskać wynik na kalkulatorze, musisz wprowadzić tylko te dwie liczby.

Konstruowanie równa Przepisz równanie Anki, korzystajc z notacji potgowania, i rozwi je (uycie kalkulatora w celu uzyskania wyniku to dobry pomys). zenia liczby Równanie do oblic Anki. isu rw se wejść do

liczba wej = 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  139

Upraszczanie potęgowania

Konstruowanie równa Twoim zadaniem byo przepisanie równania Anki z wykorzystaniem notacji potgowania i rozwizanie tego równania. ! To jest 14 trójek

liczba wejść = 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3

................................................................................................................................................................................................. 3 jest podstawą, ponieważ ozna cza liczbę poddawaną mnożeniu.

aż 14 to wykładnik, poniewmy określa, ile razy mnoży trójkę przez siebie.

liczba wejść = 3 ................................................................................................................................................................................................. 14

liczba wejść = 314 = 4 782 969

Ponad 4 miliony wejść 14. dnia. To niezwykłe… ale niewystarczające.

.................................................................................................................................................................................................

To nie rozwiąże problemu. Aby uzyskać sponsoring, potrzebuję 5 000 000 wejść. Pomocy!

Siema, siostro! Mogę ci pomóc… Mam wielu przyjaciół. Widziałaś mój profil na Naszej Klasie?

Brat Anki, Olek.

140

Rozdział 4.

Potęgowanie

Czy Anka i Olek uzyskają wystarczającą liczbę wejść? Olek zaoferował Ance wysłanie kolejnej rundy e-maili. Rozpocznie od 3 przyjaciół, tak jak to zrobiła Anka, i spróbuje uzyskać 5 000 000 w 14 dni. Aby dowiedzieć się, ile wyniesie całkowita liczba wejść, trzeba ustalić, w jaki sposób zsumować obie grupy, z którymi pracuje Anka. W rozdziale 2. łączyliśmy wyrazy podobne, aby pomóc Pawłowi w jego wycieczce. Tutaj wykorzystamy ten sam pomysł. Jak pamiętamy z rozdziału 2., wyraz to dowolny fragment równania połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia. Ponieważ potęgowanie to tylko skrócona wersja mnożenia, oznacza to, że wyrazami podobnymi są wyrazy o tej samej podstawie oraz tym samym wykładniku. W przypadku potęgowania można łączyć wyrazy o tej samej podstawie. Spróbujmy pokazać, jak to działa.

Magnesiki matematyczne Napisz nowe równanie do obliczania liczby wej, jakie uzyska Anka wraz z Olkiem. Czy Anka uzyska teraz 5 000 000 wej? Anka skontaktowała się z 3 przyjaciółmi…

Teraz Olek również skontaktowa ł się z 3 przyjaciółmi.

= ................................................................................................................................................................. Niech w oznacza liczbę wejść.

w

=

w

=

2(

Potęgi o tej samej podstawie są wyrazami podobnymi.

)

................................................................................................................................................................. To jest całkowita liczba wejść.

.................................................................................................................................................................

Czy Anka i Olek uzyskają 5 000 000 wejść? .................................................................................................................................................................

Nie

14

14

9 565 938

3

14 +

3

3

5 000 000

w Tak

jesteś tutaj 

141

Mnożenie czy dodawanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Napisz nowe równanie do obliczania liczby wej, jakie uzyska Anka wraz z Olkiem. Czy Anka uzyska teraz 5 000 000 wej? Anka skontaktowała się z 3 przyjaciółmi…

Teraz Olek również skontaktowa ł się z 3 przyjaciółmi.

14

14

=

w

3

+

3

................................................................................................................................................................. Niech w oznacza liczbę wejść.

14

w

=

w

=

2(

)

3

Potęgi o tej samej podstawie są wyrazami podobnymi.

................................................................................................................................................................. To jest całkowita liczba wejść.

9 565 938

................................................................................................................................................................. Tak

Czy Anka i Olek uzyskają 5 000 000 wejść? ................................................................................................................................................................. 5 000 000 Nie

Zaczekajcie. Dlaczego mamy tu 2(314), a nie (314)2?

Ponieważ (314)2 oznacza mnożenie, a nie dodawanie. Wyraz to fragment równania scalony za pomocą mnożenia. Oznacza to, że cały wyraz oznaczający potęgowanie jest interpretowany jako jedna grupa. 14

3 to jeden wyraz, a nie dwa.

Kiedy grupujesz ze sobą dwa wyrazy podobne, dodajesz je do siebie. Kiedy jednak weźmiesz te dwa wyrazy i użyjesz potęgowania (ta dwójka na końcu wyrazu (314)2), będzie to oznaczało ich mnożenie, a to nas nie interesuje. Popatrz:

314 + 314 = 2(314) Ten wyraz

142

Rozdział 4.

plus ten wyraz

Pamiętaj! Potęgowanie oznacza mnożenie.

(314)2 = 314  314

oznacza dwa takie same wyrazy.

Ta notacja to inny sposób zapisu . 14 mnożenia 3 przez siebie 2 razy

Potęgowanie OK. Zatem (314)2 nie jest prawidłową odpowiedzią. Jak zatem rozwiązywać tego rodzaju problemy? Zgaduję, że można by zapisać bardzo długi ciąg trójek?

Cóż, tak by można, ale to bardzo dużo trójek… Zapisanie mnożenia ręcznie zadziała, ale nie jest zbyt wygodne. Zobacz, jak długi byłby taki ciąg trójek:

Bardzo wiele trójek…

^3 14h = 3 14 : 3 14 =^3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3h ^3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3h Ile wynosi wykładnik? Policz trójki =3 2

i wpisz wartość w ramce.

Ale zobacz, jest wzorzec! Oto jak można go zapisać:

^ x ah b = x a : b

żył Pomnóż 214 — to tak jakbyś mno k. tróje ciąg i dług ie sieb z prze

Wcześniej połączyliśmy potęgi o równych podstawach. Czy można robić jeszcze inne operacje dla potęg z równymi podstawami?

Potęgi o tej samej podstawie są WYRAZAMI PODOBNYMI. Oznacza to, że można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Spróbujmy dzielenia:

3 14 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 = 3:3:3:3:3:3:3:3:3:3:3:3 3 12 =3 : 3 Rozpisu

jąc potęgo zobaczysz, ile cz wanie, z łatwością ynników możesz podzielić.

Zaostrz ołówek

Napisz ogólną postać wzoru na łączenie wyrazów podobnych. Pierwszy przykład zrobiliśmy za Ciebie.

3 + 3 = x a + x a = 2x a 14

14

^3 14h = 2

=

3 14 = 3 12

=

3 14 : 3 2 = x a : x b =

Możesz rozpisać potęgowanie, jeśli masz taką potrzebę, ale powinieneś obyć się bez tego.

jesteś tutaj  143

Różne potęgi

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było zapisanie ogólnej postaci wzoru na łączenie wyrazów podobnych. W przypadku dzielenia wykładnik mianownika wystarczy odjąć licznika (to szybki spo od wykładnika wykładnika po podzie sób określenia leniu).

3 + 3 = x + x = 2x 14

14

a

^3 h =

(x )

a b

14 2

a

a

=

Wystarczy pomnożyć przez siebie dwa wykładniki…

x

xa

3 14 = 3 12 ab

x

b

a-b = x

3 : 3 = x a : x b = xa + b 14

2

3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 Rozpocznij od rozpisania potęg — to jest 16 trójek.

Olek zawodzi swoją siostrę

Anka, e zapomniaem przepraszam Ci, ale cakowici jeszcze tego o wysaniu tych maili. Do dzi osignicie nie zrobiem. Mam nadziej, e e. celu w dalszym cigu jest moliw Olek

Olek do trzeciego dnia nie wysłał e-maili do swoich przyjaciół. Oznacza to, że pozostało mu tylko 12 dni na dotrzymanie słowa danego siostrze. Czy Olkowi się to uda?

144

Rozdział 4.

Potęgowanie

Zaostrz ołówek Czy Ance uda się osiągnąć wymaganą liczbę wejść? Oblicz, ile wejść uzyska, jeśli wziąć pod uwagę to, że na działanie e-maili Olka pozostało już tylko 12 dni, a nie 14.

Zapisz nowe równanie i rozwiąż je: ....................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Jaka jest ogólna postać tego równania? ................................................................................................................................ Wykorzystaj litery x i y do ............................................................................................................................................................................................... oznaczenia podstaw oraz a i b do oznaczenia wykładników.

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy wyrazy podnoszone do potęgi mają taką samą podstawę?

Tak

Nie

Tak

Nie

ź. Zakreśl jedną odpowied

Czy Ance uda się uzyskać 5 000 000 wejść?

jesteś tutaj  145

Wyrazy podobne

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy Ance uda się osiągnąć wymaganą liczbę wejść? Oblicz, ile wejść uzyska, jeśli wziąć pod uwagę to, że na działanie e-maili Olka pozostało już tylko 12 dni, a nie 14.

w = 314 + 312

Olek ma dwa dni mniej, czyli 12.

Zapisz nowe równanie i rozwiąż je: .......................................................................................................................................

w = 4 782 969 + 531 441 E-mail Anki działa tak jak ............................................................................................................................................................................................... w poprzednim równaniu.

w = 5 314 410 ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

w = x + x Jaka jest ogólna postać tego równania? ................................................................................................................................ a

b

Tych wyrazów nie da się łatwo mają Wykorzy staj litery x i y do połączyć. Ponieważ te potęgi nie są ............................................................................................................................................................................................... oznaczenia podstaw oraz a i b takiego samego wykładnika, NIE do oznaczenia wykładników. wyrazami podobnymi.

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy wyrazy podnoszone do potęgi mają taką samą podstawę?

Tak

Nie Ale liczba ta zostanie przekroczona zaledwie o 314 410 wejść. Anka jest dość bliska wygranej.

Czy Ance uda się uzyskać 5 000 000 wejść?

Tak

Uff! Olek nie położył przedsięwzięcia. Teraz mogę jedynie czekać na osiągnięcie 5 000 000 wejść. Gdy tylko firma reklamowa to zobaczy, za kilka tygodni będę mogła kupić trochę sprzętu. Witaj, sklepie ze sprzętem Apple.

146

Rozdział 4.

Nie

Potęgowanie

Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego potęgowanie nie jest po prostu mnożeniem? O: Ponieważ pozwala zaoszczędzić wiele pracy. Zapisywanie

wartości do wielokrotnego mnożenia jest żmudne i stwarza ryzyko popełnienia błędów. Kiedy liczba czynników osiąga duże wartości (na przykład przy wykładniku 14), bez potęgowania nie można się obyć.

P

: Dlaczego jeśli chce się dodawać bądź odejmować potęgi, muszą one mieć takie same podstawy i takie same wykładniki?

O: Ponieważ muszą być wyrazami podobnymi. Pamiętaj,

że potęgi to skrót dla mnożenia. Ze względu na kolejność wykonywania działań nie można dodać do siebie dwóch wyrażeń mnożenia bez wykonania wcześniej mnożenia… chyba że mamy do czynienia z wyrazami podobnymi. Wyrazy podobne można uprościć i stworzyć na ich podstawie jeden wyraz. Dokładnie w ten sposób wykonuje się dodawanie potęg o równych podstawach i równych wykładnikach!

P

: Gdzie występuje potęgowanie w kolejności wykonywania działań?

P

: W jaki sposób pracuje się z wykładnikami o różnych podstawach?

O

: Przyjrzymy się im bliżej za chwilę. Ostrzegamy jednak, że nie można zrobić zbyt wiele, aby uprościć wyrażenia tego typu. Jeśli mamy dwie podstawy, to mamy dwa różne wyrazy do pomnożenia, podzielenia, czy wykonania innych działań. Nie istnieje łatwy sposób łączenia takich wyrazów, ponieważ trzeba oddzielnie śledzić obie podstawy.

P

: Co zrobić, jeśli po podzieleniu potęg uzyskamy ujemny wykładnik?

O

: Doskonałe pytanie! Podczas dzielenia wyrażeń potęgowych odejmujemy ich wykładniki. Oznacza to, że możemy uzyskać ujemny wykładnik. Na szczęście, łatwo sobie z tym poradzić. Ujemny wykładnik to po prostu 1 przez dodatni wykładnik. A zatem:

2–1 to inaczej 1/2, x–25 to 1/x25 …i tak dalej.

O

: Na drugim miejscu. Ponieważ potęgowanie to dająca większe możliwości forma mnożenia, należy je wykonywać przed mnożeniem. Zatem mamy nawiasy, potęgowanie, a potem mnożenie i dzielenie.

jesteś tutaj  147

Złe czasy dla Anki

Zawsze są czarne owce… Prowadzący Movie Podcast słyszeli o planach Anki dotyczących zwiększenia liczby subskrybentów i nie spodobało im się to. W końcu sponsoring, który Anka próbuje uzyskać, to mniej pieniędzy w kieszeni kierownictwa Movie Podcast. Z tego powodu zaczęła się rywalizacja.

Drodzy czterej najwierniejsi sucha cze Movie Podcast, StarTalk Podcast chce nam wykra reklamodawców! Jeli osign 5 000 000 wej w cigu nas tpnych 10 dni, nasz sponsor nas opuci.

Anka rozpoczęła swoją akcję, zanim ten e-mail został wysłany.

Musimy o niego walczy! Nie wchod cie na stron StarTalk i wylijcie ten e-mail do 4 uytko wników StarTalk Podcast z prob, by take tego nie robili . Jeli kady wyle e-mail do kolejnych 4 osób, zablok ujemy wystarczajco duo wej, aby plany naszej konkurencji si nie powiody! Dzikujemy, Movie Podcast

Każda osoba, która wejdzie na stronę Movie Podcast zamiast StarTalk Podcast, zabiera potencjalne wejścia. Co to oznacza dla Anki, która chce sprostać wymaganiom przyszłych sponsorów?

148

Rozdział 4.

Potęgowanie

Konstruowanie równa Poniewa Movie Podcast ma zamiar zabiera wejcia, policzmy, ile ich zostanie. Czy Ance uda si wypeni warunki sponsoringu, czy raczej bdzie miaa z tym kopoty?

Zapisz nowe równanie i rozwi je: Nie zapominaj o tym, co Anka i Olek zrobili do tej pory.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

Czy Ance uda si uzyska 5 000 000 wej?

Tak

Nie

Zakreśl jedną odpowiedź.

Jeli nie, to ile nowych wej potrzebuje Anka, .......................................................................................................... aby uzyska planowane 5 000 000?

Zapisz równanie w postaci ogólnej:

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

Ile rónych podstaw wystpuje w równaniu?

1

2

3

Ile rónych wykadników wystpuje w równaniu?

1

2

3

jesteś tutaj  149

Więcej o potęgowaniu

Konstruowanie równa Poniewa Movie Podcast ma zamiar zabiera wejcia, policzmy, ile ich zostanie. Czy Ance uda si wypeni warunki sponsoringu, czy raczej bdzie miaa z tym kopoty? ailem Pierwotna liczba wejść do serwisu Anki.

Zapisz nowe równanie i rozwi je: Ojej! Akcja serwisu Movie Podc ast spowodowała wystarczająco dużo złego, aby liczba wejść do serw isu Anki spadła poniżej potrzebnego progu.

Wejścia związane z e-m Olka (dwa dni później). E-maile serwisu Movie Podcast: pozostało 10 w = 314 + 312 - 410 dni i każdy wysyła po 4 e-maile.

w = 4 782 969 + 531 441 - 1 048 576 w = 4 265 834

Tak

Czy Ance uda si uzyska 5 000 000 wej?

Nie zez Mniej niż ma teraz (pr t). ludzi z Movie Podcas

Liczba wejść, jakich potrzebuje Anka.

Jeli nie, to ile nowych wej potrzebuje Anka, 5 000 000 - 4 265 834 = 734 166 .......................................................................................................... aby uzyska planowane 5 000 000? obyć ponad Anka musi zdych wejść! w no 0 00 700

Zapisz równanie w postaci ogólnej:

w = 3 + 3 - 4 ............................................................................................................................ 14

12

10

inną Nowy wyraz ma inny AZ OR wę w = x + x - y podsta ............................................................................................................................ wykładnik. a

b

c

Te wyrazy są takie sam w poprzednim równaniu — mają tak e jak ............................................................................................................................ ą ale różne wykładniki. samą podstawę,

Ile rónych podstaw wystpuje w równaniu?

1

2

3

Ponieważ Anka i Olek wysłali e-maile do tej samej liczby osób, podstawa potęg w tych wyrazach jest taka sama. Serwis Movie Podcast, ze względu na krótszy czas, wysłał e-maile do większej liczby osób.

Ile rónych wykadników wystpuje w równaniu?

1

2

y trzech różnych Dlatego właśnie użyliśma wykładników. zmiennych do oznaczeni nie można ich Oznacza to również, że łatwo połączyć.

150

Rozdział 4.

3

Potęgowanie

Ponieważ te wyrazy mają różne podstawy, nie można ich łączyć tak jak zmiennych.

Różne wyrazy = wyrazy NIE są podobne. Wyrazy o różnych podstawach nie są podobne (niezależnie od wykładników). Takie wyrazy nie mają ze sobą nic wspólnego. Są to potęgi, które nie dotyczą mnożenia tej samej liczby, niezależnie od tego, ile razy.

wcześniej, Jak przekonaliśmy się i ym obn pod i z wyrazam nia w przypadku potęgowa o mamy do czynienia tylk stawy, wtedy, gdy zarówno pod ne. rów JAK I wykładniki są

Nie możesz dodawać wykładników dla potęg o różnych podstawach Fragment równania Anki zawierający dwa wyrazy ma następującą postać:

c xb - y = ?

To jest fragment równania Anki.

Wiesz, że nie możesz dodać lub odjąć tych dwóch wyrazów, ponieważ nie są to wyrazy podobne. Mnożenia i dzielenia również nie można łatwo wykonać. Mnożenie wyrazów potęgowych zapisuje się poprzez umieszczenie ich obok siebie, w następujący sposób:

x b ^ y ch = x b : y c = x b y c y, ale inaczej To są takie same wyraz jednak ich żna mo Nie ne. zapisa wszystkich połączyć.

Dlaczego nie możemy po prostu wszystkiego połączyć, na przykład (xy)bc?

jesteś tutaj 

151

Najpierw potęgowanie

Zgodnie z kolejnością działań NAJPIERW wykonuje się potęgowanie Nie można podzielić podstaw i połączyć różnych wykładników, ponieważ każda podstawa musi pozostać przy własnym wykładniku. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań potęgowanie wykonuje się przed mnożeniem. Oznacza to, że wykładniki trzeba uprościć, zanim będzie można je połączyć z innymi elementami.

OK

To NIE jest poprawne.

x b ^ y ch = x b : y c = x b y c

x b y c ! ^ x : yh

Te działania są po ponieważ wykładn prawne, obok swoich pods iki występują taw.

bc

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Przetestuj pokazane wzory na prawdziwych liczbach — podstaw wyrazy 32 i 43. Czy możesz pokazać, że (32)(43) to nie to samo, co ((3)(4))(2)(3) bez obliczania dokładnego wyniku?

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy naprawdę muszę zapamiętywać te wszystkie reguły działań z potęgami?

O

: Nie, ponieważ zawsze możesz rozwiązać te równania oddzielnie, obliczając każdy z wyrazów. Jeśli jednak uda Ci się zapamiętać te reguły, będziesz mógł szybciej łączyć wyrazy podobne i rozwiązywać równania. Znacznie łatwiej jest połączyć wyrazy i wykonać jedno obliczenie. To o wiele lepsze od oddzielnego obliczania wielu wyrazów, zwłaszcza gdy wyrazy te można uprościć, ponieważ są to wyrazy podobne.

P

: Co zrobić, jeśli podstawy są różne, a wykładniki takie same?

152

Rozdział 4.

O

: Cóż, w takim przypadku niewiele da się zrobić. Jeśli wykładniki są takie same, to każdy wyraz jest mnożony tę samą liczbę razy, zatem MOŻNA je uprościć w następujący sposób: xayya = (xy)a. Wzór ten działa tylko ze względu na własności przemienności i łączności. Potęgowanie to przecież mnożenie, zatem możemy zmienić kolejność, a wynik się nie zmieni.

P

: A zatem wracam do problemu z ramki „Wysil szare komórki”. Jak rozwiązać problem bez wykonywania obliczeń?

O

: Można to zrobić za pomocą zmiennych. Zatem zamiast 3 i 4 podstawiamy x i y. Otrzymujemy wtedy x2y3 = xyxyyyyyy. Natomiast (xy)(2)(3) = (xy)6 = xyyxyyxyyxyyxyyxy = xyxyxyxyxyxyyyyyyyyyyyy. Wystarczy rzut oka na te wyrażenia, aby stwierdzić, że nie są one sobie równe.

Potęgowanie Co mam zrobić z liczbą wejść, której potrzebuję? Potrzebuję o 734 166 wejść więcej, a pozostało mi tylko 9 dni. Jeśli nie uda mi się z tym sponsoringiem, to kto wie, ilu jeszcze subskrybentów stracę.

Anka potrzebuje kolejnej rundy e-maili. Ile e-maili powinna zatem wysłać? Pozostało jej tylko 9 dni. Anka musi znaleźć liczbę e-maili, które trzeba wysłać dziś, aby nadrobić straty spowodowane działaniami serwisu Movie Podcast.

Trzeba podejść do obliczania potęgi „wstecz” Wróćmy do równania Anki. Tym razem dysponujemy innymi danymi — liczbą potrzebnych wejść oraz liczbą pozostałych dni:

Liczba wejść.

Liczba e-maili dziennie na osobę.

a w = x

To jest ogólna postać wyjściowego równania.

Liczba dni.

Teraz podstawiamy dane, które znamy:

734 166

w = xa

Pozostało 9 dn i.

Co powinnam z tym zrobić? Nie potrafię obliczyć podstawy.

734 166 = x9 Teraz należy obliczyć x.

jesteś tutaj  153

Pierwiastkowanie to także działanie odwrotne

Pierwiastkowanie to działanie ODWROTNE do potęgowania Potrzebujemy działania, które umożliwi rozwiązanie potęgi. Chcemy odpowiedzieć na pytanie, jaka liczba podniesiona do danej potęgi da nam pożądany wynik. Do tego potrzebne jest pierwiastkowanie. Znalezienie pierwiastka z liczby polega na znalezieniu takiej wartości, która po wielokrotnym pomnożeniu da nam pierwiastkowaną liczbę. W przypadku problemu Anki potrzebujemy wyznaczyć pierwiastek dziewiątego stopnia z obu stron równania. Dzięki temu wyizolujemy x i wyznaczymy liczbową wartość po drugiej stronie.

To jest nasze równanie wyjściowe.

734, 166 = x 9 9

734, 166 =

9

734, 166 = x

9

x9

W jaki sposób oblicza się ten szalony pierwiastek? Czy do tego trzeba być jakimś geniuszem?

Równanie Anki.

734 166 = x 9 Trzeba wyznaczyć pierwiastek dziewiątego stopnia.

Obliczamy pierwiastek stopnia z obu stron rówdziewiątego sposób pozbywamy się nania. W ten wykładnika 9 po prawej stronie.

Wiemy, że z tej strony powinien pozostać x, ponieważ stopień same pierwiastka i wykładnik są takie zą. znos się i wzajemnie

Pierwiastkowanie z bliska Nadszedł czas, aby wyjąć kalkulator. Dobrze się przyjrzyj — za jego pomocą z łatwością można obliczyć pierwiastek dowolnego stopnia z dowolnej liczby. Większość kalkulatorów pozwala na wprowadzenie pierwiastkowanej liczby, jak i stopnia pierwiastka (na przykład 9 lub 3).

Zapytaj nauczyciela lub poszukaj informacji w instrukcji kalkulatora.

Przyjrzyjmy się nieco bliżej pierwiastkom: pokazuje, Ten niewielki indeks yć noż pom eba trz y raz ile ypadku 2). pierwiastek (w tym prz

32 = 9 (czy widzisz związek?)

2

9=3

To jest symbol pierwiastkowania. Można go odczytać: „znajdź pierwiastek”.

To jest pierwiastek z liczby.

Powyższy zapis należy odczytać: „pierwiastek drugiego stopnia z liczby dziewięć wynosi trzy”. Pierwiastkiem jest liczba trzy. To tę liczbę trzeba pomnożyć dwukrotnie, aby uzyskać liczbę podpierwiastkową. Zatem aby znaleźć pierwiastek dziewiątego stopnia w równaniu Anki, wystarczy kalkulator.

154

Rozdział 4.

Potęgowanie

Zaostrz ołówek Nadeszła chwila prawdy. Ile dodatkowych e-maili powinna wysłać Anka? Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Rozwiąż pierwiastek z równania Anki: ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Ile e-maili powinna wysłać Anka? .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Tak

Nie

Dlaczego? ..............................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  155

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Nadeszła chwila prawdy. Ile dodatkowych e-maili powinna wysłać Anka? Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania? kalkulatora, Wprowadź te liczby do wynik. a uzyskasz potrzebny

734,166 = x Rozwiąż pierwiastek z równania Anki: ................................................................................................................................... 9

4,4849 = x ............................................................................................................................................................................................... Ta liczba ma wiele miejsc po

............................................................................................................................................................................................... przecinku, ale to wystarczy, aby uzyskać obraz.

............................................................................................................................................................................................... Anka powinna wysłać 5 e-maili w pierwszej rundzie. Ile e-maili powinna wysłać Anka? .......................................................................................................................................... Musi wysłać więcej niż 4,4 e-maila. Zatem powinna wysłać 5 e-maili.

............................................................................................................................................................................................... ja, kiedy To jest kolejna sytuac , jaki jest należy pamiętać o tympowiedź tekst problemu. Od kon............................................................................................................................................................................................... aila. przypadku to 4,4849 e-m tym w

Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Tak

Nie erbować Anka może również zw jeśli będzie więcej przyjaciół Olka, liczby osób. potrzebowała większej

Oczywiście — musi wysłać e-maile do dodatkowych 5 osób! Dlaczego? ..............................................................................................................................................................................

Pięciu przyjaciół? Nie ma problemu! Zdobędę te e-maile bez trudu.

9 dni później Pomogłeś Ance uzyskać czek na pokaźną sumę! Serwis Anki bez problemu osiągnął 5 000 000 wejść. Sponsoring stał się faktem. Subskrybentów przybywa, a Anka może wybrać się do lokalnego sklepu ze sprzętem Apple. Następnym krokiem będzie kampania wideo w serwisie YouTube!

156

Rozdział 4.

Potęgowanie Nie istnieją

głupie pytania

P

: Wystarczy po prostu wprowadzić liczby do kalkulatora? Naprawdę?

O

: Istnieje kilka sposobów znajdowania pierwiastków z liczb. Są tabele, z których można je odczytać, a nawet sposoby ręcznego obliczania przypominające długie dzielenie. Mówiąc szczerze, to jednak sposoby ze starej szkoły. W większości przypadków kalkulator świetnie się sprawdza.

Innym sposobem wyznaczania przybliżeń pierwiastków jest znajomość kwadratów liczb całkowitych (2u2 = 4, 3u3 = 9 itd.). Dzięki temu możemy znaleźć wartości znajdujące się blisko tych, których szukamy.

P: Jakie jest odwrotne działanie

do potęgowania? Pierwiastek?

O

: Niezupełnie. Działaniem odwrotnym jest wyznaczanie pierwiastka. Pierwiastek to symbol działania. To tak jak kropka symbolizuje mnożenie.

P: W jaki sposób odczytuje się

pierwiastki bez numeru indeksu?

O: Należy założyć wartość indeksu

równą 2. To jest pierwiastek kwadratowy. Istnieje konwencja, według której, jeśli brakuje indeksu, mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym.

P

: Czy wykładnik może być ułamkiem?

O

: Tak. Oznacza to po prostu, że należy obliczyć pierwiastek z podstawy. Na przykład, potęga o wykładniku ½ to nic innego, jak pierwiastek kwadratowy. Podobnie 1⁄3 oznacza pierwiastek sześcienny itp.

P

: W moim kalkulatorze nie ma przycisku z pierwiastkiem dziewiątego stopnia. Co mogę z tym zrobić?

O: Możesz zapisać pierwiastek w postaci

potęgi o wykładniku ułamkowym. A zatem pierwiastek dziewiątego stopnia można 1 zapisać jako 9 734 166 lub jako (734 166).9 W większości kalkulatorów jest przycisk do obliczania potęg. Można zatem podnieść liczbę podpierwiastkową do potęgi (1/9) i uzyskać taki sam wynik.

P

: Czy zdarza się, że trzeba wyznaczyć wykładnik, a nie podstawę?

O

: Jeszcze nie na tym etapie poznawania algebry. Istnieją działania, które można wykonywać w celu rozwiązywania tego rodzaju problemów, ale wykraczają one poza ramy tej książki. Nie przejmuj się tym na razie (czyż nie jest miło usłyszeć coś takiego?).

P: Co z wykładnikiem o wartości 0? O: Każda liczba podniesiona do potęgi 0

daje jedynkę. Dlaczego? Jeśli powrócisz do dzielenia potęg, zobaczysz, że operacja ta polega na odjęciu wykładnika licznika od wykładnika mianownika. Jeżeli w liczniku i mianowniku znajdą się te same potęgi, będzie to równoważne z podniesieniem podstawy do potęgi 0. To zawsze jest liczba „1”.

P: Co z wykładnikiem o wartości 1? O: Każda liczba podniesiona do potęgi 1

daje samą siebie. Oznacza to, że wykładnik 1 jest domniemany dla KAŻDEJ liczby i KAŻDEJ zmiennej. Czasami warto o tym pamiętać.

P: Czy wykładnik może być ujemny? O: Tak — oznacza to potęgę

w mianowniku. Tak więc jak .

to nic innego,

To również ściśle wiąże się z odejmowaniem wykładników. Ponieważ wykładnik w liczniku ma wartość 0, otrzymujemy wykładnik ujemny.

P

: Czy można skorzystać z ujemnych wykładników w celu pozbycia się ułamków?

O

: Tak. Jeśli masz wyrażenie z ułamkami, możesz zapisać wyrazy z mianownikami w postaci potęg o wykładnikach ujemnych. Taka operacja pomaga tylko wtedy, gdy działania z potęgami wydają Ci się łatwiejsze od działań z ułamkami. Oczywiście niektórzy tak wolą i jest to całkowicie dopuszczalny sposób postępowania. Działa to również w drugą stronę. Jeśli uważasz, że działania na ułamkach są łatwiejsze od działań na potęgach, możesz zapisać potęgi o ujemnych wykładnikach w postaci ułamków.

P

: Słyszałem o pierwiastkach zasadniczych. Co to takiego?

O

: Kiedy mówimy o wyznaczaniu pierwiastka, w rzeczywistości myślimy o znalezieniu pierwiastka zasadniczego. Jest to dodatni pierwiastek z liczby. Tymczasem liczby mają inne pierwiastki. Najczęściej spotykane to pierwiastki ujemne. Na przykład, pierwiastek zasadniczy z liczby 9 wynosi 3, ale –3 jest również pierwiastkiem kwadratowym z 9, ponieważ (–3)(–3) = 9.

jesteś tutaj  157

Przerwa na kawę

Może krótka przerwa na kawę?

158

Rozdział 4.

Potęgowanie : 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

Zapisaliśmy działania z potęgami, o których będziemy mówili w kontekście ogólnych zmiennych. Dopasuj każde z wyrażeń do jego uproszczonej postaci.

Wzór ogólny

xa : xb ^ x ah b

xa - xb

Wersja uproszczona.

xa:b 2x a xa+b

xa xb

xa

xa + xb

xa-b

2x a - x a Wyrażenie jest już uproszczone.

xa yb jesteś tutaj  159

Uprość wyrażenia : 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

ROZWIĄZANIE

Zapisaliśmy działania z potęgami, o których będziemy mówili w kontekście ogólnych zmiennych. Dopasuj każde z wyrażeń do jego uproszczonej postaci.

Wzór ogólny

Wersja uproszczona.

xa : xb

x

^ x ah b Ponieważ potęgi nie mają równych podstaw i wykładników, nie można zrobić nic więcej.

xa xb x +x

Podniesienie potęgi do potęgi to po prostu więcej mnożenia.

2x a

xa - xb

a

a:b

xa+b

Tutaj dodajemy. Pamiętaj o tym.

xa b

Upraszczamy wyrazy podobne.

x

a-b

Tu należy wykonać odejmowanie, ponieważ mamy tę samą podstawę i operację dzielenia.

2x a - x a Potęgi nie mają równych podstaw ani wykładników. Także nie można zrobić nic więcej.

160

Rozdział 4.

xa yb

Wyrażenie jest już uproszczone.

Potęgowanie

SPRÓBUJ BYĆ kalkulatorem Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie działań na liczbach w taki sposób, w jaki robi to kalkulator. Musisz zastosować to, czego się właśnie nauczyliśmy na temat wykładników ujemnych i podnoszenia podstaw do potęgi zerowej. Ponieważ udajesz kalkulator, nie używaj kalkulatora! ności Możesz użyć znaku rów e tego kilkakrotnie — obliczenisię wyrażenia może odbyć w kilku krokach.

ach Pamiętaj o własności wykładników…

14670 + 18561 =

22 + 23 =

22 : 23 =

Postaraj się znaleźć dwa sposoby obliczenia tego wyrażenia.

57 = 59 =

W tym przypadku także istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu — spróbuj znaleźć dwa, jeśli możesz.

1 1 = 3 + 3 33 = = jesteś tutaj 

161

Bądź kalkulatorem

SPRÓBUJ BYĆ kalkulatorem. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie działań na liczbach w taki sposób, w jaki robi to kalkulator. Musisz zastosować to, czego się właśnie nauczyliśmy na temat wykładników ujemnych i podnoszenia podstaw do potęgi zerowej. Ponieważ udajesz kalkulator, nie używaj kalkulatora! dodawać, jeśli Potęg nie można mej podstawy sa j kie nie mają ta wykładnika. i takiego samego

22 + 23 =

Te wyrazy mają taką samą podstawę, ale różne wykładniki. To jest OK, ponieważ wykonujemy mnożenie.

22 : 23 = zywać Nie trzeba było rozwią mi tki zys ws zadania a sposobami, ale było kilk prawidłowych metod.

Także w tym przypadku istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu.

1 + 1856 =

? 1857

Jedyne, co można zrobić, to rozp isać potęgi i dodać liczby.

2 •2 + 2 •2 •2 = 4 + 8 = 12 Kiedy mnożysz potęgi o równej podstawie, możesz dodać wykładni ki.

22 + 3 = 25 = 32

57 = 59 =

5 7-9 =

1 1 = 25 52

1 1 = + 33 33

=

Następnie należy potraktować ujemne wykładniki tak jak mianowniki (można wykorzystać zarówno notację ułamkową, jak i dziesiętną).

5 7 - 9 = 5 -2 = 0,04

taci potęg Zapisz ułamki w pos Ponieważ o ujemnym wykładniku. podstawę ą potęgi mają taką sam ki, są to dni kła wy e sam ie i tak e. obn pod wyrazy

Rozdział 4.

14670 + 18561 =

Dowolna liczba 1 podniesiona do potęgi daje samą siebie.

Należy tu pamiętać o odejmowaniu wykładników.

=

162

Dowolna liczba podnie sio do potęgi 0 daje jedynk na ę.

W rezultacie otrzymam y ujemny wykładnik.

3-3 + 3-3 = 2(3-3) = 2 2 2 33 = 27 2 1 1 27 + 27 = 27

2 1 33 = 27

razy podobne Możesz uznać je za wy pierw je naj i ów mk uła i tac pos w ościć. dodać, a następnie upr

Mógłbyś też je najpierw uprościć bez korzystania z reguł dotycząc , ych potęg.

Potęgowanie

Rozdzia 4.

Niezbędnik algebraika Niniejszy rozdział dotyczył działań na potęgach.

we Wyrażenia potęgo wykładnik

podstawa

x = x : x : x... : x a

nóż x przez Taki zapis oznacza: pom y. raz siebie a

To są ogólne wzory działań na potęgach dla potęg o takich samych podstawach oraz o różnych podstawach.

x ax b = x a + b x a y a = ^ xy h a

^ x ah b = x ab

xa a-b or xb = x a xa x = ya c ym x0 = 1 x1 = x x - a = 1a x

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia.

Q

Podstawa to liczba poddawana mnożeniu.

Q

Wykładnik wskazuje, ile razy jest mnożona podstawa.

Q

Aby dodawać lub odejmować wyrażenia potęgowe, muszą one mieć tę samą podstawę i ten sam wykładnik.

Q

Dodawanie i odejmowanie takich wyrażeń to nic innego, jak upraszczanie wyrazów podobnych.

Q

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, wystarczy dodać ich wykładniki.

Q

Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, należy odjąć od siebie ich wykładniki.

Q

Aby podnieść do potęgi potęgę, należy pomnożyć przez siebie wykładniki.

Q

Reguły postępowania z potęgami dotyczą liczb i zmiennych.

jesteś tutaj  163

164

Rozdział 4.

5. Wykresy

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów Na tym zdjęciu widać znacznie więcej niż uśmiech. Wystarczy się przyjrzeć.

Czasami równanie zaciemnia problem. Czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się, że spojrzałeś na równanie i pomyślałeś: „Ale co, u licha, to może znaczyć?”. W takich sytuacjach może Ci być potrzebna wizualna reprezentacja równania. Do tego właśnie służą wykresy. Dzięki nim można oglądać równania, a nie tylko je czytać. Na wykresie można dostrzec istotne punkty, na przykład kiedy zabraknie Ci pieniędzy lub ile czasu zajmie Ci zaoszczędzenie sumy potrzebnej na nowy samochód. W rzeczywistości dzięki wykresom można wykorzystać równania do podejmowania inteligentnych decyzji.

to jest nowy rozdział  165

Strzyżenie trawników i plany finansowe

Firma Edka potrzebuje pomocy… Edek od kilku lat prowadzi własną firmę zajmującą się koszeniem trawników i strzyżeniem żywopłotów. Oto jak dziś wygląda jego działalność:

@ Edek bierze 12 zł za koszenie trawnika. @ Edek ma obecnie 7 klientów, u których strzyże trawniki co tydzień.

@ Edek strzyże każdy trawnik co tydzień. @ Edek otrzymuje wynagrodzenie co tydzień. To jest Edek.

Usugi Strzyenia Trawników Edek chciałby ule swoją kosiarkę. pszyć

Edek sporządził listę nowych rzeczy, które chciałby kupić, aby rozszerzyć swoją firmę — myśli długofalowo. Chciałby się dowiedzieć, kiedy będzie w stanie zakupić każdy z tych towarów. B Ostrzaka do kos: 336 z B Maszyna do strzyenia ywopotów: 168 z B Zbieracz do trawy: 504 z

166

Rozdział 5.

Wykresy

Potrzebuję pomocy. Muszę coś zaplanować, ale nie wiem, jak się do tego zabrać…

Edek potrzebuje pomocy, aby ZOBACZYĆ, jak będzie wyglądała jego przyszłość finansowa. Edek chce, abyś pomógł mu w zaplanowaniu terminów wykonania przyszłych zakupów. Pomóż mu w podjęciu decyzji o tym, jak szybko musi pozyskiwać nowych klientów, oraz w finansowym zorganizowaniu firmy. Masz wszystkie informacje o firmie Edka. Jego dochody, liczbę klientów oraz listę przedmiotów, które chce kupić. Brzmi jak równanie. Trzeba je tylko ułożyć…

WYTĘŻ UMYSŁ

Korzystając z informacji otrzymanych od Edka, ułóż ogólne równanie dla jego przychodów w ciągu następnych tygodni i miesięcy. aczenia Użyj litery „G” dla ozn dla „t” i a Edk ki ów got odni. oznaczenia liczby tyg

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... Postaraj się zrobić to jak najlepiej. Kiedy skończysz, odwróć kartkę.

jesteś tutaj  167

Równanie ogólne

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Korzystając z informacji otrzymanych od Edka, ułóż ogólne równanie dla jego przychodów w ciągu następnych tygodni i miesięcy. Ta wartość się zmienia. Oznaczym y ją literą „t” (od tygodnie).

Tyle Edek zarobił w ciągu podanego okresu. Oznaczmy to literą „G”.

Gotówka Edka = liczba wszystkich trawników tygodniowo razy cena skoszenia 1 trawnika razy liczba tygodni

..................................................................................................................................................................................................... znana Ta wartość jest zł G = (7 •12)t 12 rze bie ek — Ed ..................................................................................................................................................................................................... wnika za skoszenie 1 traików i strzyże 7 trawn G = 84t tygodnia. w ciągu .....................................................................................................................................................................................................

Teraz Edek może się dowiedzieć, ile zarobi gotówki w DOWOLNYM czasie Ponieważ mamy dwie zmienne, to ogólne równanie, które zapisaliśmy, może być wykorzystane na dwa sposoby. Jeśli Edek będzie znał czas zarabiania pieniędzy i będzie się chciał dowiedzieć, ile pieniędzy zarobi, będzie można podstawić znaną wartość czasu za t i wyznaczyć zmienną G. Z kolei, jeśli Edek będzie wiedział, ile pieniędzy chce zarobić, będziemy mogli mu powiedzieć, kiedy osiągnie tę kwotę, poprzez podstawienie planowanej kwoty za G i rozwiązywanie równania pod kątem zmiennej t.

Kiedy będę mógł kupić sobie maszynę do strzyżenia żywopłotów?

Podstaw za G, oblicz t. Wystarczy podstawić cenę maszyny do strzyżenia żywopłotów za G i obliczyć t.

Ogólne równanie przepływu gotówki w firmie Edka.

pisz W ramkę w artość. obliczoną w

168

Rozdział 5.

C G = 84t 168 = 84t 84

84

=t

Tyle tygodni Edek musi strzyc trawniki, aby kupić sobie maszynę do strzyżenia żywopłotów.

Odpowiedź: 2

Maszyna do strzy żywopłotów kosz żenia tuje 168 zł.

Wykresy

OK. Doskonale. Co jednak z ostrzałką do kos? Albo koszem na trawę? Muszę się dowiedzieć, kiedy będę mógł pomyśleć także o tym sprzęcie.

Zaostrz ołówek Oblicz liczbę tygodni, jaką zajmie Edkowi zarobienie wystarczającej kwoty na ostrzałkę do kos lub na zbieracz do trawy. Wtedy Edek będzie miał obraz tego, co może zrobić.

Czas potrzebny na zebranie funduszy na ostrzałkę do kos: ................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czas potrzebny na zebranie pieniędzy na zbieracz do trawy: ................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  169

Przyszłość finansowa Edka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oblicz liczbę tygodni, jaką zajmie Edkowi zarobienie wystarczającej kwoty na ostrzałkę do kos lub na zbieracz do trawy. Wtedy Edek będzie miał obraz tego, co może zrobić.

Ostrzałka do kos kosztuje 336 zł, zatem to jest wartość G. Czas potrzebny na zebranie funduszy na ostrzałkę do kos: .......................................................................................................

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... To jest dokładnie taki sam proc 336 = 84t es, korzystaliśmy wcześniej. Podstawi z jakiego amy kwot ę 84 84 gotówki, jakiej potrzebuje Edek, ............................................................................................................................................................................................... i obliczamy liczbę tygodni — t.

4 = t

............................................................................................................................................................................................... zenie kwoty OK. Zatem zaoszczęd cej do zakupu ostrzałki ają rcz sta wy ............................................................................................................................................................................................... 4 tygodnie. do kos zajmie Edkowi

Zbieracz do trawy jest drogi, kosztuje 504 zł. Czas potrzebny na zebranie pieniędzy na zbieracz do trawy: ................................................................................................ Znów to samo. Wystarczy podstawić 504 za G.

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... 504 = 84t 84 84 ............................................................................................................................................................................................... Rzeczywi ście zbieranie pieniędzy zakup tego sprzętu potrwa najd na łużej. Zbieracz kosztuje 504 zł.

6 = t ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Doskonale. Udało nam się. Jeśli Edek będzie potrzebował podkaszarki, powtórzymy obliczenia. To samo będzie trzeba zrobić dla nowych noży. I każdego innego sprzętu… czy NIE ma sposobu na uniknięcie ciągłego powtarzania tych samych czynności?

170

Rozdział 5.

Wykresy

Dlaczego po prostu nie POKAŻECIE mi odpowiedzi? A gdyby tak znaleźć sposób, by spojrzeć na wartość — na przykład cenę określonego przedmiotu — a następnie sprawdzić, jaka wartość t odpowiada tej kwocie? W rzeczywistości istnieje sposób pokazania wszystkich możliwych wartości dla równania. Wykres pozwala narysować wszystkie dopuszczalne punkty równania. Następnie można sprawdzać wartości w różnych punktach, w miarę gdy będą potrzebne. Na wykresie można zobaczyć, ile pieniędzy zarobi Edek w dowolnym czasie, i w efekcie powiedzieć mu, czy może sobie na coś pozwolić, bez konieczności ciągłego rozwiązywania tego samego równania. Zacznijmy od zebrania informacji, które znamy, i narysowania ich na układzie współrzędnych.

Te punkty możemy wykreślić na układzie współrzędnych.

Ja Produkt Cena (zł) k długo Ostrzałka 4 tygodnie 336 do kos Maszyna do 2 168 strzyżenia żywopłotów Zbieracz 6 504 do trawy

To są liczby, które już obliczyliśmy.

Wykreśl dwa pozostałe punkty, aby sprawdzić, czy dobrze rozumiesz, o co chodzi.

G (gotówka Edka)

Zobacz, gdzie powinn a liczba 336, a następnie znaleźć się na linii odpowiadającej wykreśl ją 4 tygodniom. (4, 336)

t (tygodnie)

Odpowiedzi na nastpnej stronie. jesteś tutaj 

171

Połącz punkty

Wykres przepływu gotówki w firmie Edka G (gotówka Edka)

(6, 504)

Ja Produkt Cena (zł) k długo Ostrzałka 4 tygodnie 336 do kos Maszyna do 2 168 strzyżenia żywopłotów

(4, 336)

(2, 168 )

Zbieracz do trawy

504

6

t (tygodnie)

Też coś! Jak może mi pomóc ten zbiór kropek? W dalszym ciągu nie widzę sposobu znalezienia czasu, jakiego Edek potrzebuje, by kupić sprzęt, który kosztuje na przykład 255 zł.

Co z punktami, które jeszcze nie zostały wykreślone? Trzeba znaleźć wartości dla tych punktów, których jeszcze nie ma na wykresie. Popatrzmy jednak na te, które już mamy… wydaje się, że tworzą prostą linię. Jeśli narysujesz linię, która łączy wszystkie te punkty, będziesz mógł skorzystać z nich do obliczenia różnych wartości czasu i cen. Na przykład, z łatwością odpowiesz na pytanie, kiedy Edek będzie mógł kupić sobie nauszniki do tłumienia hałasu, które kosztują 255 zł. Wystarczy wykreślić linię i zobaczyć, w którym punkcie osiąga ona wartość 255 zł. ącą Wykreśl linię przechodz … przez te punkty. Śmiało

172

Rozdział 5.

Wykresy

Wykresy pokazują CAŁĄ relację Po dodaniu linii do wykresu złożonego z wyznaczonych punktów okazało się, że narysowaliśmy wykres relacji pomiędzy G (gotówka Edka) a t (liczba tygodni, przez które Edek kosi trawę): G (gotówka Edka)

(6, 504)

(4, 336) To są punkty, które j. wykreśliliśmy wcześnie

(2, 16 8)

t (tygodnie)

Istnieje coś jeszcze, co opisuje całą relację Można również określić równanie, które opisuje całą relację pomiędzy G a t:

G = 84t Okazuje się, że to, co narysowaliśmy — układ współrzędnych z linią i punktami — to w rzeczywistości wykres równania. Pokazuje on równanie w sposób graficzny i określa relację zachodzącą pomiędzy wielkościami G i t. Poza tym wykres pokazuje trend równania: ogólny kierunek, w jakim zmierza relacja. Wykres Edka pokazuje trend wzrostowy. Oznacza to, że Edek zarobi tym więcej pieniędzy, im dłużej będzie kosił trawniki (co oznacza, że będzie kontynuował prowadzenie firmy, oszczędzał coraz więcej pieniędzy itd.). Teraz, kiedy Edek będzie chciał coś kupić, wystarczy, że spojrzy na wartość zmiennej G, która go interesuje. Przyjrzyjmy się dokładnie, jak to działa…

jesteś tutaj  173

Narysuj wykresy równań

BĄDŹ planistą Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę planisty finansowego. Skorzystaj z wykresu przepływu gotówki przygotowanego dla Edka, aby pokazać, kiedy może on zaplanować przyszłe zakupy. Tym razem nie potrzebujesz ŻADNYCH obliczeń — wykres wykona pracę za Ciebie! G (gotówka Edka)

(6, 504)

G = 84t (4, 336)

(2, 168 )

t (tygodnie)

Ile czasu potrzeba, aby Edek mógł sobie kupić nauszniki do tłumienia hałasu za 255 zł? Nie staraj się odczytywać dokładnej

............................................................................................................................................................................................... wartości — oszacuj tylko czas w tygodniach.

Edek myśli o zakupie nowej kosiarki. Jej cena wynosi 375 zł. Kiedy będzie mógł ją kupić? ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

174

Rozdział 5.

Wykresy

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy wykres równania to linia, czy osobne punkty?

O

: Jedno i drugie. Linia składa się z nieskończonej liczby punktów. Dla Edka wyliczyliśmy zaledwie kilka punktów z tej relacji. Po wykreśleniu linii przedstawia ona wykres całego równania.

Równania i wykresy demonstrują relację pomiędzy zmiennymi. W tym przypadku zmiennymi są G i t. Wykresy i równania to różne sposoby przedstawiania tej samej rzeczy.

P: Skąd mam wiedzieć, gdzie

wykreślić punkty, jeśli nie leżą one dokładnie na linii siatki układu współrzędnych?

O

: Nie przejmuj się! Spójrz tylko na liczby pod osią (oś jest linią na krawędzi wykresu, która informuje o liczbach odpowiadających poszczególnym liniom siatki) i oszacuj, gdzie powinien się znaleźć wykreślany punkt. Jeśli wystarczająco dokładnie wykreślisz punkty, wykres będzie wystarczająco dobry, by z niego korzystać.

Inna rzecz to fakt, że wykresy nie zawsze mają tak duży zakres, jak w przypadku wykresu Edka. Edek rozpatruje problemy długofalowo. W przypadku wykresów, na przykład tylko z zakresu 0 – 10, jest o wiele łatwiej dokładnie wyznaczyć punkty.

P

: Czym jest trend? Czy mógłbym jeszcze raz usłyszeć, co to jest?

O

: Trend to po prostu ogólny kierunek linii. Jeśli wykres idzie w górę, oznacza to, że w miarę wzrastania jednej zmiennej wzrasta także druga. Jeżeli zaś idzie w dół, oznacza to, że im jedna zmienna jest większa, tym druga mniejsza.

P

: Skąd mam wiedzieć, jaką liczbę wykreślić na dolnej osi, a jaką na bocznej?

O

: Zazwyczaj każda z osi na wykresie jest oznaczona — na przykład „czas”, „liczba tygodni” lub „Gotówka Edka”. Kiedy zobaczysz te oznaczenia, będziesz mógł wykreślić każdą z wartości na właściwej osi.

Jeśli osie nie są oznaczone, powinieneś je oznaczyć! Jeśli równanie oznacza relację pomiędzy x a y, to x jest osią poziomą, a y — pionową. W przypadku gdy Twoje zmienne są inne, wstrzymaj się — nauczysz się sposobu identyfikacji struktury równania liniowego. Wtedy będziesz mógł łatwo stwierdzić, która zmienna zachowuje się jak x i jest pozioma.

P

: Czy na wykresie można pokazać dowolne zmienne?

O

: Tak samo jak w przypadku równań można wykorzystać dowolne zmienne. Najczęściej stosowane to x i y, przy czym x zwykle oznacza oś poziomą, natomiast y — pionową. Można jednak wykorzystać dowolne litery.

P

: Czy za każdym razem najpierw trzeba wyznaczyć kilka punktów? Czy też istnieje sposób, aby od razu wykreślić linię?

O

: Nie musisz zawsze zaczynać od wykreślania punktów. Poznamy metody, które nie wymagają wykonywania ŻADNYCH obliczeń. Po zapoznaniu się z nimi będziemy mogli stworzyć wykres dowolnego równania, tylko na nie patrząc. Najpierw jednak będziesz potrzebował trochę więcej informacji…

Równania i wykresy demonstrują różne sposoby pokazywania relacji pomiędzy dwiema zmiennymi.

jesteś tutaj  175

Zaplanuj przyszłość

BĄDŹ planistą. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę planisty finansowego. Skorzystaj z wykresu przepływu gotówki przygotowanego dla Edka, aby pokazać, kiedy może on zaplanować przyszłe zakupy. Tym razem nie potrzebujesz ŻADNYCH obliczeń — wykres wykona pracę za Ciebie! G (gotówka Edka)

Nowa kosiarka kosztuje 375 zł.

G = 84t

Aby oszacować czas, po którym można będzie kupić nauszniki, zacznij od wartości 255 zł w tym miejscu i odczytaj punkt z osi t.

t (tygodnie)

Ile czasu potrzeba, aby Edek mógł sobie kupić nauszniki do tłumienia hałasu za 255 zł? 3 tygodnie.

...............................................................................................................................................................................................

Edek myśli o zakupie nowej kosiarki. Jej cena wynosi 375 zł. Kiedy będzie mógł ją kupić? Za 4 do 5 tygodni. Zatem w praktyce — po 5 tygodniach. ...............................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

176

Rozdział 5.

Wykresy

OK. Doskonale. Teraz wiem, na czym stoję, i mogę zaplanować ekspansję.

Wykres daje wszystkie potrzebne odpowiedzi. Wystarczy spojrzeć, aby poinformować Edka o tym, kiedy będzie mógł sobie pozwolić na różne rzeczy. Edek może teraz przystąpić do sezonu koszenia traw i zacząć oszczędzać na zakup nowych akcesoriów.

G (gotówka Edka)

zbieracz do trawy

G = 84t ostrzałka do kos

Nauszniki

t (tygodnie)

Czasami jednak coś się zmienia… na przykład można złamać nogę podczas wycinania chwastów…

jesteś tutaj  177

Nowe okoliczności — nowe równania

Przewróciłem się na nierówności terenowej i złamałem nogę. Gips zdejmą mi dopiero za 10 tygodni. Moim klientom trzeba jednak kosić trawę!

Edek potrzebuje podwykonawcy. Edek nie może sobie pozwolić na to, by już na początku lata stracił wszystkich klientów. Pracuje dopiero od 3 tygodni, a tu zanosi się, że przez następne 10 tygodni nie będzie mógł wykonywać pracy. Na szczęście jego brat zgodził się mu pomóc… za 19 zł od trawnika! Mimo że Edek otrzymuje tylko 12 zł za trawnik, postanowił za wszelką cenę utrzymać działalność firmy. W związku z tym będzie musiał pokryć różnicę w cenie strzyżenia każdego trawnika z własnej kieszeni.

Nowa sytuacja wymaga nowego równania

Brat Edka wie, że Ede k nie ma wyjścia!

Edek ma w banku pieniądze z 3 tygodni koszenia trawników…

Edek musi się dowiedzieć, ile pieniędzy ma w banku oraz przez jaki czas będzie mógł sobie pozwolić na to, by płacić swojemu bratu. Edek otrzymuje 12 zł za skoszenie każdego trawnika, a jego brat chce od niego po 19 zł, zatem dopóki Edek nie dojdzie do pełnej sprawności, będzie musiał dopłacać do każdego trawnika po 7 zł.

Czy Edek moe sobie pozwoli na pacenie bratu, dziki czemu utrzyma swoich klientów? Twoim zadaniem jest narysowanie nowego wykresu pokazującego zmienioną sytuację Edka — konieczność płacenia pieniędzy zamiast ich zarabiania — przez 10 tygodni. Czy Edkowi zabraknie pienidzy, zanim zdejm mu gips? Sytuacja ma trwać tylko przez 10 tygodni, ale Edek nie ma nieskończonej kwoty pieniędzy. Ile zostanie Edkowi po upływie 10 tygodni?

178

Rozdział 5.

Wykresy

Ćwiczenie

Opracuj z Edkiem plan awaryjny. Oblicz, ile pieniędzy ma Edek, ile będzie go kosztowało wynajęcie brata oraz kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy.

Gotówka Edka = Oszczędności+Przychody Edka–koszty wynajęcia brata Napisz nowe równanie przepływu gotówki dla Edka: ........................................................................................................................ Użyj oznaczeń G i t, tak jak wcześniej — powinieneś jednak uwzględnić kwotę, od której ........................................................................................................................................................................................................... Edek zaczął, i odjąć wydatki, które poniósł.

........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy? ................................................................................................................................................... Stanie się to w momencie, gdy G = 0.

........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................

Czy w tym czasie Edek będzie już miał zdjęty gips? (zakreśl jedną odpowiedź)

Tak

Nie

Jeśli Edek będzie w dalszym ciągu w gipsie, to w jaki sposób obliczysz wysokość długów, w które popadnie? ................................... Wynotuj spostrzeżenia dotyczące sposobów, w jaki można by

to obliczyć. Nie używaj liczb. ...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  179

Za pomocą równań można przewidywać przyszłość

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Opracuj z Edkiem plan awaryjny. Oblicz, ile pieniędzy ma Edek, ile będzie go kosztowało wynajęcie brata oraz kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy.

Gotówka Edka = Oszczędności+Przychody Edka–koszty wynajęcia brata ........................................................................................................................ Wydatki na brata Edka = 19 zł za trawnik •7 = 133 zł Edek zarobił 7 •12 zł tygodniowo przez tygodnie, tzn. 3 •7 •12 zł = 252 zł „G”. 3 jest To 84t •liczba trawników na tydzień = 133t ...........................................................................................................................................................................................................

my ostatnim razem.

G = 252 + 84t - 133t To obliczyliś ........................................................................................................................................................................................................... G = 252 - 49t

...........................................................................................................................................................................................................

0 = 252 - 49t Kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy? ................................................................................................................................................... Jeśli rozwiążemy równanie dla G = 0,

49t + 0 = 252 - 49t + 49t

to otrzymamy wartość t wskazują ........................................................................................................................................................................................................... cą, kied y Edkowi zabraknie pieniędzy.

49t = 252 49 49

........................................................................................................................................................................................................... sc Ta liczba dziesiętna ma wiele miej zenia. po przecinku, ale to nie ma znac zatem 5 t = 5,142... ........................................................................................................................................................................................................... Chcemy wyznaczyć liczbę tygodni,zią. jest szukaną przez nas odpowied

Tak

Nie

Edek będzie miał nogę w gipsie przez 10 tygodni, zatem w połowie tego okresu zabraknie mu pieniędzy.

Jeśli Edek będzie w dalszym ciągu w gipsie, to w jaki sposób obliczysz wysokość długów, w które popadnie? ................................... Tu nie ma nieprawidłowej odpowiedzi — chcieliśmy tylko, żebyś zaczął myśleć. ...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

180

Rozdział 5.

Wykresy W jaki sposób mógłbym przewidzieć, w jak wysokie długi popadnę? Czy możesz stworzyć kolejny wykres?

Narysuj wykresy! Narysuj wykres dla nowego równania przepływu gotówki w firmie Edka.

G = 252 - 49t jeśli G = 0, to t = 5,142 Potrzebny jest jeden dodatkowy punkt, tak aby można było narysować linię. Spróbuj podstawić t = 0. Łatwo wtedy obliczyć G. Po zaznaczeniu tych dwóch punktów możesz narysować linię — to jest wykres równania.

To jest obszar robocz y, gdybyś go potrzebował.

..........................................................................................................................

.............................................................................................................................

G (gotówka Edka)

t (tygodnie)

jesteś tutaj 

181

Narysuj wykres Narysuj wykresy! Rozwizanie

G = 252 - 49t jeśli G = 0, to t = 5,142 Potrzebny jest jeden dodatkowy punkt, tak aby można było narysować linię. Spróbuj podstawić t = 0. Łatwo wtedy obliczyć G.

G = 252 - 49t 0 G = 252 - 49(0)

Więc, dla t = 0, G = 252 G (gotówka Edka)

) (0, 252 G = 252 - 49t

( 5, 0) t (tygodnie)

? 182

Rozdział 5.

Edkowi zdejmą gips w 10. tygodniu — zatem ile będzie wynosił jego dług? Czy można to odczytać z wykresu?

Wykresy

Trzeba rozszerzyć wykres, aby odczytać ostatnią wartość. Gdyby wartości G spadały, wykres byłby OK, ale Edek ma dług, zatem wartość G będzie mniejsza od zera.

Kartezjański układ współrzędnych pozwala na reprezentowanie wartości PONIŻEJ zera Na wielu wykresach trzeba przedstawiać liczby ujemne. Standard matematyczny do rysowania wykresów nazywa się kartezjańskim układem współrzędnych. W kartezjańskim układzie współrzędnych na obu osiach mogą występować wartości ujemne, co oznacza, że zmienne także mogą być mniejsze od zera. Oto jak wygląda kartezjański układ współrzędnych: To jest oś y. To jest numer ćwiartki .

II Ćwiartka II jest obszarem, w którym wartości x są ujemne, a wartości y — dodatnie.

III zarem, Ćwiartka III jest obs e tki zys w którym ws jak i y, wartości, zarówno x, są ujemne.

I układu To jest początek środkowa — ch ny ęd łrz pó ws część wykresu.

Ćwiartka I jest obszarem, w którym wszystkie wartości są dodatnie.

To jest oś x.

IV Ćwiartka IV jest obszarem, w którym wartości x są dodatnie, a wartości y — ujemne.

Dla równania opisującego dług Edka są nam potrzebne wartości ujemne. jesteś tutaj  183

Kartezjański układ współrzędnych

Narysujmy równanie Edka na układzie współrzędnych To, że podczas tworzenia wykresu dla Edka zaczęliśmy od jednej ćwiartki układu współrzędnych, nie oznacza, że musimy pozostać w tej ćwiartce. Jeśli narysujemy wykres Edka w kartezjańskim układzie współrzędnych, będziemy mogli odczytać wartość długu, jaki osiągnie Edek. Kiedy po raz pierwszy narysowaliśmy wykres Edka, stworzyliśmy siatkę i wykreśliliśmy znane punkty. Każdy punkt stanowił uporządkowaną parę: liczbę, po której występowała kolejna liczba. Parę tę zapisywaliśmy w następujący sposób: (0, 252). Pierwsza liczba oznacza współrzędną na osi poziomej, natomiast druga — na osi pionowej. Nawiasy informują nas, że liczby te są ze sobą powiązane. Zatem każdy punkt na wykresie Edka jest parą (t, G), gdzie t oznacza czas, natomiast G to gotówka Edka: W standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych to jest oś y.

G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

) (0, 252

Aby dojść do tego pun należy przejść w górę ktu, nad wartością 0 o 252 jednostki.

Para uporządkowana.

(5, 0)

t (tygodnie)

W standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych to jest oś x.

Wykres Edka ma dwa punkty PRZECIĘCIA Równanie liniowe wyraża relację pomiędzy dwiema zmiennymi — na przykład pomiędzy ilością gotówki a czasem. Linia reprezentująca równanie liniowe zawiera punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych. W miejscu, w którym G = 0, mamy punkt przecięcia z osią t. W miejscu, w którym t = 0, mamy punkt przecięcia z osią G. Standardowo określa się je jako punkty przecięcia z osiami x i y, ponieważ litery x i y są standardowymi oznaczeniami osi poziomej i pionowej.

184

Rozdział 5.

Wykresy Hej! W jaki sposób można rozszerzyć wykres na pozostałe ćwiartki? Nie mamy tam żadnych punktów, przez które można by przeprowadzić linię.

Linie są nieskończone. Po wyznaczeniu dowolnych dwóch punktów dla równania możesz narysować przez nie linię. Jest to wykres równania liniowego. Linie jednak nie mają nigdzie końca. Jeśli nic się nie zmienia, to biegną do nieskończoności. To, że dwa punkty wyznaczają linię, ma sens, ale dlaczego tak jest? Ponieważ linia, aby została dokładnie wyznaczona, wymaga punktu i kierunku. Przez jeden punkt można przeprowadzić linie we wszystkich kierunkach, które przechodzą przez ten punkt. Po wyznaczeniu drugiego punktu, wiesz, w jakim kierunku musi przechodzić linia, aby biegła przez obydwa punkty. Aby wykreli lini prost: 1

Wykrel dwa punkty speniajce warunki równania.

2

Narysuj lini prost, która przechodzi przez obydwa punkty (i wykracza poza nie). Linia prosta biegnie w nieskończoność w obu kierunkach, dlatego linia, którą rysujesz, musi przechodzić przez obydwa narysowane punkty.

3

Dodaj strzaki po obu stronach prostej. Strzałki wskazują, że linia biegnie poza część równania reprezentowaną na wykresie.

Prawda o równaniach liniowych… Równanie liniowe definiuje linię prostą. Oznacza to, że każde równanie tego typu pokazane na wykresie tworzy linię prostą. Aby zidentyfikować równanie liniowe, wystarczy na nie spojrzeć: jeśli znajdują się w nim jedna lub dwie zmienne i jeśli wykładnik tych zmiennych wynosi 1 oraz wszystkie wyrazy są stałymi bądź stałymi pomnożonymi przez zmienne, to jest równanie liniowe. Kiedy spojrzysz na dowolne równanie i stwierdzisz, że jest ono liniowe, wykreśl dwa punkty i narysuj prostą. Rozpocznij od ustawienia jednej zmiennej na 0 i oblicz drugą zmienną. Następnie zamień zmienne miejscami: podstaw pod drugą zmienną zero i oblicz wartość pierwszej. W ten sposób wyznaczysz dwa punkty przecięcia wykresu z osiami. Następnie możesz wykreślić linię prostą przez te dwa punkty i wykres jest gotowy.

Równanie Edka jest liniowe: G = 252 - 49t re Wszystkie wyrazy, któ o alb w nim występują, to h jedna z dwóch zmiennyc pomnożona przez stałą, albo sama stała.

jesteś tutaj  185

Celne spostrzeżenia i pytania Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego punkty przecięcia wykresu z osiami są tak istotne?

O

: Ponieważ są to elementy, które ułatwiają życie. Czy kiedykolwiek zauważyłeś, że jeśli wykorzysta się zero, to równania stają się łatwiejsze? Ponieważ punkty przecięcia z osiami x i y umożliwiają ustawienie jednej ze współrzędnych w równaniu na zero, znalezienie punktów wykresu staje się dzięki nim dość łatwe.

P: Słyszałem o tabeli wartości.

Co to takiego?

O

: Tabela wartości to bardziej formalny sposób rozwiązania równania w celu uzyskania punktów do wykorzystania na wykresie. Zazwyczaj tworzy się tabelę, która zawiera kolumny odpowiadające wartościom x, y oraz wartości równania. Podstawia się wartości za x i oblicza y lub odwrotnie. W rzeczywistości bardzo podobnie zrobiliśmy w przypadku równania Edka. Ten sposób jest tylko trochę bardziej sformalizowany.

Największą różnicą pomiędzy wykorzystaniem tabeli wartości a rozwiązywaniem tylko w oparciu o punkty przecięcia z osiami jest szybkość. W przypadku szukania punktów przecięcia wyznacza się tylko dwa, łatwe do znalezienia punkty. Zazwyczaj można to zrobić bardzo szybko.

P

: A co z równaniami zawierającymi więcej niż dwie zmienne?

O

P

: Dlaczego poszczególne ćwiartki są opisane liczbami rzymskimi?

O

: Są to wykresy trójwymiarowe, którymi w tej książce nie będziemy się zajmować! Nie ma potrzeby, by przejmować się tego rodzaju wykresami w algebrze.

: To jest po prostu standardowa notacja — wszyscy matematycy, mówiąc o wykresach, używają rzymskich liczb.

P: Czy istnieje sposób sprawdzenia

: Czy istnieją standardowe zmienne dla każdej osi?

O: Tak. Najprostszym sposobem jest

: Tak. Zwykle oś pozioma jest oznaczana literą x, natomiast oś pionowa literą y. Nie oznacza to jednak, że tak musi być. W równaniu Edka wykorzystaliśmy litery G i t — nie ma przeszkód, by używać takich oznaczeń.

poprawności wykresu?

próba rozwiązania równania w innym punkcie i sprawdzenie, czy punkt znajduje się na tej samej linii. W naszym przykładzie, jeśli podstawimy za x = –1 i poszukamy y, to wartość y, którą uzyskamy, powinna znajdować się na linii prostej. Jeśli jest poza prostą, oznacza to, że coś jest nie w porządku.

P

: Dlaczego ten układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim?

P O

Kartezjański układ współrzędnych pokazuje tylko relacje pomiędzy dwiema zmiennymi. Można zamienić miejscami zmienne x i y w równaniu lub zmienić oznaczenia każdej z osi na wykresie.

O

: Ten standardowy sposób przedstawiania współrzędnych został opracowany przez Rene Descartes’a w 1637 w ramach jego pracy na temat związków pomiędzy algebrą i geometrią. Układ ten doskonale się sprawdza, ponieważ pozwala na tworzenie figur (na przykład linii), które można opisać za pomocą równań algebraicznych.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Typowe zmienne używane na wykresach to x dla osi poziomej oraz y dla osi pionowej.

Q

Aby wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią y, należy podstawić za x wartość 0 i obliczyć y.

Q

Punkt przecięcia z osią x to punkt o współrzędnych (x, 0).

Q

Q

Aby wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią x, należy podstawić za y wartość 0 i obliczyć x.

Pary uporządkowane przedstawia się jako (x, y). Pierwsza jest współrzędna na osi x, a za nią współrzędna na osi y.

Q

Linie są definiowane przez dwa punkty i są nieskończone.

Q

186

Punkt przecięcia z osią y to punkt o współrzędnych (0, y).

Rozdział 5.

Wykresy

Zaostrz ołówek Używając pełnego kartezjańskiego układu współrzędnych, odczytaj z wykresu Edka, na jaką kwotę będzie zadłużony za 10 tygodni.

G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

t (tygodnie)

mą gips Edkowi zdej i. za 10 tygodn

Wartość tę można odczytać z wykresu. Nie jest nam potrzebna bardzo dokładna wartość.

Ile będzie wynosił dług Edka? ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zdejmą gips, będzie znów zarabiał 84 zł tygodniowo. Ile czasu zajmie mu spłata długu? ......................................................................................................................................... Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, ............................................................................................................................................................................................... powrócić do wyjściowego należy równania Edka G = 84t.

...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  187

Edek jest na minusie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Używając pełnego kartezjańskiego układu współrzędnych, odczytaj z wykresu Edka, na jaką kwotę będzie zadłużony za 10 tygodni. G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

s Edkowi zdejmą gip i. dn go ty 10 za

t (tygodnie)

To jest około -250

Edek będzie zadłużony na około 250 zł.

Ile będzie wynosił dług Edka? ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zdejmą gips, będzie znów zarabiał 84 zł tygodniowo.

250 = 84t Ile czasu zajmie mu spłata długu? ......................................................................................................................................... cy

k czasu wystarczają Musimy znaleźć odcineW związku z tym 250 = 84t zł. 250 a do zarobieni wartość, ną zna ia nan 84 84 rów do ............................................................................................................................................................................................... podstawiamy ześniej. tak jak robiliśmy to wc

2,97... = t ............................................................................................................................................................................................... Spłacanie długów potrwa około 3 tygodni. Wow! Oznacza to, że Edek po 16 tygodniach sezonu (włącznie z czasem chodzenia w gipsie) będzie z powrotem na 0.

188

Rozdział 5.

Wykresy Cóż, trzy tygodnie to nie było długo. Może teraz, kiedy nie mam gipsu, uda mi się zdobyć więcej klientów i zrekompensować ten falstart.

Edek potrzebuje nowych klientów. Edek chce powrócić do zarabiania pieniędzy. Jest już czerwiec i Edek jest zdrowy, ale ma długi i chce nadrobić stracony czas. Stworzył nowy formularz, w którym zapisuje szczegółowe dane dotyczące każdego trawnika. Dzięki temu chce przedstawić nową ofertę potencjalnym klientom. Edek koncentruje się na pofałdowaniu terenu. Chce naliczać większe opłaty proporcjonalnie do stopnia nachylenia. Oto jego nowy formularz:

Usugi Strzyenia Trawników Formularz nowego klienta Nazwisko i adres klienta

W jaki sposób to obliczyć?

Opata Obliczenia dla wzniesie

Nachylenie = 0

12 zł

Nachylenie > 0

20 zł

Nachylenie < 0

15 zł

Cakowity koszt trawnika:

jesteś tutaj  189

Jakie jest nachylenie?

Edek oblicza NACHYLENIE trawników Edek opracował system pozwalający na obliczenie stopnia nachylenia trawnika. Rozpoczyna od poziomu ulicy i mierzy kluczowe własności trawnika. Następnie wykorzystując te informacje, oblicza współczynnik nachylenia trawnika. Jak wysoko w górę (lub w dół) biegnie wzniesienie, jeśli liczyć od poziomu ulicy?

Oto w jaki sposób to robi:

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

Dla trawnika pokazanego poniej:

sienie, Jak długie jest wznie cy? uli od jeśli liczyć

Wzniesienie

Nachylenie =

Odległość

=

4 metry w górę = 2 2 metry w głąb

Usugi Strzyenia Trawników

Nachylenie jest wi to, że zgodnie z ększe od 0. Oznacza Edka koszt strzy nowym cennikiem że będzie wynosił 20 nia tego trawnika zł.

Formularz nowego klienta Nazwisko i adres klienta

Pani Eleonora Kowalska, plac Parkowy 8

Opata Obliczenia dla wzniesie

Nachylenie = 0 Nachylenie > 0

20 zł

Nachylenie < 0

15 zł

Cakowity koszt trawnika:

20 zł

Tutaj jest ulica.

190

12 zł

Rozdział 5.

Wysokość 4 metry

Wysokość 0 metrów

2 metry

Wykresy :

?

7

JAKIE JEST NACHYLENIE WZNIESIENIA 7

7

Oblicz nachylenie wzniesień dla wszystkich nowych klientów Edka oraz wysokość opłaty. Pamiętaj: wysokość wzniesienia należy podzielić przez odległość, na jakiej występuje wzniesienie! Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Wykres y 5

Nachylenie

Opłata za strzyżenie trawnika Spójrz na wykres Edka.

4

Ulica jest na poziomie 0 n.p.m.

3

Dom jest oddalony o 4 metry od ulicy.

2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Nachylenie =

5

-1

Wzniesienie Odległość

=

=

-2 -3 -4 -5

y 5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4

sienie Pamiętaj — wznie dodatnia, ść rto wa to w górę w dół — ujemna

i Dom jest na wysokośc 0 metrów n.p.m.

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

1

-1

2

3

-1

4

Nachylenie =

5

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-2 -3

Wzniesienie Odległość

=

=

=

=

-4 -5

Ten punkt jest na poziomie . 2 metrów n.p.m

y

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

4 metry od ulicy 1

-1 -1

2

3

4

x 5

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

-2 -3 -4 -5

jesteś tutaj 

191

Nachylenie: rozwiązanie :

?

7

JAKIE JEST NACHYLENIE WZNIESIENIA 7

ROZWIĄZANIE

7

Oblicz nachylenie wzniesień dla wszystkich nowych klientów Edka oraz wysokość opłaty. Pamiętaj: wysokość wzniesienia należy podzielić przez odległość, na jakiej występuje wzniesienie! Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Wykres y 5

Nachylenie

Opłata za strzyżenie trawnika

4

Ulica jest na poziomie 0 n.p.m.

Dom jest oddalony o 4 metry od ulicy.

1

x -5

-4

-3

-2

ka Znowu wspinacz zł. w górę, zatem 20

3 2

-1

1

2

3

4

Nachylenie =

5

-1

Wzniesienie Odległość

=

4 metry w górę 4 metry w głąb

1

=

20 zł

-2 -3 -4 -5

y 5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4

i Dom jest na wysokośc 0 metrów n.p.m.

To jest wzniesie nie ujemne (z górki), opłata wynosi 15 zatem zł.

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

Nachylenie =

5

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-2 -3

Wzniesienie Odległość

=

-4 2

=

-2

15 zł

-4 -5

y

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

5

Ten punkt jest na poziomie . 2 metrów n.p.m Przyjemny płask i zatem tylko 12 zł. teren,

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

4 metry od ulicy 1

-1

2

3

4

x 5

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

=

0 4

=

0

-2 -3 -4 -5

192

Rozdział 5.

Fajnie, to sporo kasy. Zaczynam odbijać się od dna!

12 zł

Wykresy

Nachylenia na wykresie są reprezentowane jako linie proste. Czy tak? Czy te linie przy okazji nie reprezentują także równań?

Linia na wykresie zawsze reprezentuje równanie. Jeśli znasz jeden z punktów należących do linii oraz jej nachylenie, możesz zapisać dla niej równanie.

Jak to jest możliwe? To się wydaje zbyt łatwe.

Równanie może przyjąć kilka różnych form. Możesz wykorzystać taką formę, która najbardziej Ci pomaga. Kiedy równania liniowe są pisane w określony sposób, mają one określoną postać. Postać równania to kolejność zmiennych, liczb i operacji. Czasami podaje się dwa punkty, a innym razem punkt przecięcia z osią i nachylenie. Jednak niezależnie od postaci równania liniowego każda linia prosta ma nachylenie, punkty przecięcia, nie ma wykładników większych od jeden oraz dwie zmienne. Zrozumienie, na czym polegają postacie równania, oznacza umiejętność interpretowania równań i zapisywania ich w różny sposób.

jesteś tutaj  193

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

Równania prostej przechodzącej przez punkt Równanie prostej przechodzącej przez punkt to reprezentacja równania utworzona na podstawie punktu należącego do linii oraz nachylenia tej linii. Jeśli zatem znasz jeden z punktów należących do linii oraz jej nachylenie, możesz skorzystać z tej postaci. To jest dowolny punkt należący do linii.

m reprezentuje nachylenie linii.

y i x to nasze dwie zmienne.

y - y1 = m ^ x - x1h

Co to jest?

_ x1, y1i wnaniu We właściwym ró zbami, lic są te i wartośc 2). na przykład (3,

Sporo tu nowych informacji, zatem przyjrzyjmy się im nieco dokładniej.

Równanie prostej przechodzcej przez punkt

y - y1 = m ^ x - x1h

Równanie prostej przechodzącej przez punkt z bliska

Powyższe wyrazy wyglądają trochę dziwnie i są trochę mylące. Czy to są zmienne, czy stałe? I co oznaczają te małe cyferki?

x1

y1

Indeksy

Co to jest? Te małe jedynki nieco poniżej i z boku to indeksy. Określają specyficzne wartości zmiennych x i y. Ponieważ wartości indeksów są takie same, oznaczają one, że wartości x i y są ze sobą powiązane. Jest to zatem para uporządkowana:

_ x1, y1i Para ta reprezentuje dowolny punkt należący do linii. Może to być punkt przecięcia z osią, ale nie musi. Do zapisania równania można wykorzystać dowolny punkt. Ponieważ są to punkty na wykresie, są to stałe, a nie zmienne. A zatem w równaniu prostej przechodzącej przez punkt bierzemy parę uporządkowaną reprezentującą punkt należący do linii i rozdzielamy dwie liczby z tej pary, tworząc równanie.

194

Rozdział 5.

Wykresy

W jaki sposób na podstawie punktu i nachylenia można wyznaczyć linię? Sposób obliczania nachylenia zaprezentowaliśmy już nieco wcześniej. Do obliczenia parametrów nachylenia trawników klientów Edka wykorzystaliśmy iloraz wzniesienia przez odległość, na jakiej ono występuje.

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

tek w górę Liczba jednos tości ujemne ar (w lub w dół unek w dół). oznaczają kier

Liczba jednostek w prawo lub w lewo (wartości ujemne oznaczaj ą kierunek w lewo).

Masz już jeden punkt należący do linii, zatem aby wykreślić całą linię, wykonaj następujące czynności: 1

Zaznacz punkt. Jeśli masz do dyspozycji równanie prostej przechodzacej przez punkt, to Twój punkt ma współrzędne:

Odległość

y 5

_ x1, y1i

4 3

drugi punkt (x, y)

Wzniesienie

pierwszy punkt (x1, y1)

2

2

Zinterpretuj nachylenie i wykorzystaj je do zaznaczenia drugiego punktu. Jeśli przesuniesz się w górę wzniesienia i dalej od punktu początkowego, będziesz mógł wykreślić punkt, w którym się znajdziesz. Korzystając z tego punktu, z łatwością wykreślisz linię.

1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4

3

Poprowad lini prost przez wyznaczone punkty.

-5

jesteś tutaj  195

Nie istnieją głupie pytania Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy punkt (x1, y1) może być dowolny?

O

: Może to być dowolny punkt należący do linii. Edek zna po dwa punkty dla trawników, dla których szacuje ceny, zatem możemy wybrać dowolny z nich i skorzystać z niego do zaprezentowania równania prostej przechodzacej przez punkt.

P: Sposób obliczania nachylenia

jest nieco rozmyty, „z górki”, „wzniesienie”, „odległość”… czy to naprawdę są pojęcia matematyczne?

O: Oczywiście. To, że to jest algebra,

nie oznacza, że musi być skomplikowana i dziwaczna. O wiele łatwiej nauczyć się czegoś, jeśli używa się prostszych określeń. Stwierdzenie, że wzniesienie ujemne to teren „z górki” ma przecież sens.

P

O

: Dlaczego nachylenie jest tak istotne?

O

: Każda prosta jest zdefiniowana przez określony typ nachylenia. Jeśli wiadomo, że nachylenie jest ujemne bądź dodatnie, można powiedzieć, czy zmienna y wzrasta, czy maleje wraz ze wzrastającymi wartościami x.

Można to przełożyć na dowolne dwie zmienne, z którymi pracujemy. Na przykład, Edek oszczędza coraz więcej gotówki (G) w miarę upływu tygodni (t). A zatem to równanie ma nachylenie dodatnie.

: Tak. Jednak to jest dość łatwe. Równanie prostej przechodzacej przez punkt można wyznaczyć na podstawie definicji nachylenia.

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

m oznacza nachylenie.

P

y - y1 m= x - x1

Odległość oznacza różnicę pomiędzy dwiema współrzędnymi x.

: Czy trzeba zapamiętać postać równania prostej przechodzacej przez punkt? Po kilku przekształceniach otrzymujemy…

y - y1 = m ^ x - x1h

Współrzędne x1 i y1 mają przeciwne znaki.

Uwaga!

196

Rozdział 5.

Wzniesienie oznacza różnicę pomiędzy dwiema współrzędnymi y.

Najtrudniejsze do zapamiętania w równaniu prostej przechodzacej przez punkt jest to, że dodatnie wartości współrzędnych x1 i y1 są odejmowane. Jeśli zatem w równaniu prostej przechodzacej przez punkt zobaczymy wartości dodatnie, będzie to oznaczało, że mamy do czynienia ze współrzędnymi ujemnymi, a nie dodatnimi.

Wykresy

Zaostrz ołówek Korzystając z tego, co wiesz na temat równań prostej przechodzacej przez punkt, spróbuj wykreślić kilka wykresów równań w tej postaci!

y + 1 = 1 ^ x + 8h 2

y - 3 = - 2 ^ x + 5h 3

jesteś tutaj  197

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Korzystając z tego, co wiesz na temat równań prostej przechodzacej przez punkt, spróbuj wykreślić kilka wykresów równań w tej postaci!

y 1 = –1

y + 1 = 1 ^ x + 8h 2

x1 = –8

Punkt, który można odczytać z równania, to (–8, –1). Wartości współrzędnych są ujemne, ponieważ w równaniu jest dodawanie.

o jeden na Wzniesienie nej dwóm w ró ci oś odległ jednostkom.

1 Nachylenie wynosi 2.

(-6, 0)

m jest liczbą przed wyrazem (x+8).

1 y + 1 = 2

(x + 8)

(-8, -1)

Oznacza to, że prosta wznosi się o 1 jednostkę na odległości równej 2 jednostkom.

x1 = -5

y1 = 3

y - 3 = - 2 ^ x + 5h 3

Punkt, który można odczytać z równania, to (–5, 3).

(-5, 3)

Współrzędna x jest ujemna, ponieważ w równaniu jest dodawana.

(-2, 1)

Nachylenie wynosi –2/3.

Obniżenie o 2 jednostki na odległości 3 jednostek.

Oznacza to, że prosta opada o 2 jednostki

- 2 y - 3 = 3

198

Rozdział 5.

(x + 5)

na odległości równej 3 jednostkom.

Wykresy

Co z trawnikami Edka? Czy teraz wiemy wystarczająco dużo, abyśmy mogli dla nich zapisać równania?

Oczywiście, że tak! Znając jeden punkt oraz nachylenie, które obliczyliśmy już wcześniej, wiemy dostatecznie dużo, aby zapisać równania dla tych trawników.

Zróbmy to…

jesteś tutaj  199

Więcej równań prostej przechodzącej przez punkt

Skorzystajmy z równania prostej przechodzącej przez punkt Jeśli weźmiemy pierwszy z trawników Edka i wykorzystamy informacje, które obliczyliśmy do tej pory, będziemy mogli zapisać równanie bez dodatkowych wyliczeń. y 5 4

Ulica jest na poziomie 0 metrów n.p.m.

Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Dom jest o 4 metry dalej.

3 2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3

Nachylenie = 1

-4

możemy Znane wartości odczytać stąd…

…i umieścić je tu.

-5

, ponieważ ółrzędne (4, 4) Punkt ma wspi się o 4 metry na trawnik wznos etrów. odległości 4 m

y - y1 = m ^ x - x1h

Nachylenie tego trawnika wynosi 1.

(4, 4)

y - 4 = 1 ^ x - 4h

To jest równanie prostej przechodzącej przez punkt.

To samo dotyczy dowolnej prostej, dla której znamy punkt i nachylenie. Wystarczy wyjść od ogólnego wzoru równania prostej przechodzącej przez punkt i podstawić wartości za m, x1 i y1. To wystarczy, aby wyznaczyć prawidłowe równanie prostej. Uważaj na znaki! Jeśli współrzędne x1 lub y1 mają ujemne wartości, należy wstawić je do równania ze zmienionym znakiem, a następnie uprościć. W efekcie w równaniu linii będzie dodawanie.

200

Rozdział 5.

Wykresy

Zapisz równania prostej przechodzacej przez punkt dla pozostałych trawników, dla których Edek wykonywał obliczenia.

Ćwiczenie

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

y

kości Dom jest na wyso . .m n.p 0 metrów

5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4 3

1 x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-3

-5

iomie Ten punkt jest na poz 2 metrów n.p.m.

y 5 4 3

-5

-4

-3

-2

-1

4 metry od ulicy. 1

-1 -2

y - y1 = m ^ x - x1h

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

(

Nachylenie =

2 1

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt: Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

-4

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

)

Nachylenie = –2

2

-5

(

2

3

4

x 5

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt:

) 0

y - y1 = m ^ x - x1h

-3 -4 -5

Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

jesteś tutaj  201

Rozwijamy firmę Edka

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Zapisz równania prostej przechodzacej przez punkt dla pozostałych trawników, dla których Edek wykonywał obliczenia. To jest punkt, w którym się wykres — od ulicy. zaczyna

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

y

kości Dom jest na wyso . .m n.p 0 metrów

5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4 3

1 x -4

-3

-2

0, 4

)

Nachylenie = –2

2

-5

(

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-3

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt: Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

-4 -5

y - y1 = m ^ x - x1h

y - 4 = -2(x - 0) Po uproszczeniu otrzymujemy y–4 = –2x.

iomie Ten punkt jest na poz 2 metrów n.p.m.

y 5

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

4 3

-5

-4

-3

-2

-1

4 metry od ulicy. 1

-1 -2

( 4, 2

Nachylenie =

2 1

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

2

3

4

x 5

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt:

Tutaj jest dom.

)

0

y - y1 = m ^ x - x1h

-3 -4 -5

Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

0 y - 2 = 0(x - 4)

Równanie w tej postaci nie wygląda na prawidłowe. Może jest inna postać równania, która w tym przypadku byłaby lepsza…

202

Rozdział 5.

Wykresy Co teraz robimy? Przy nachyleniu równym 0 wszystko się pomieszało.

Przy nachyleniu równym 0 równanie wygląda dziwnie. Istnieją przypadki, w których gdy nachylenie wynosi na przykład 0, równanie prostej przechodzacej przez punkt niezbyt dobrze opisuje prostą. Wykres trawnika z ostatniego przykładu z całą pewnością przedstawia linię prostą. W jaki sposób można zaprezentować równanie dla tej prostej? Wiemy, że równanie należy przedstawić w kontekście zmiennych x i y. Co jednak z nachyleniem? W jaki sposób pokazać nachylenie równe zeru?

Linie poziome wymagają innej postaci Edek patrzy na przyjemny, płaski trawnik. Wzniesienie linii wynosi 0, zatem niezależnie od tego, jaka będzie odległość, nachylenie zawsze będzie wynosić zero.

Nachylenie poziomej linii zawsze wynosi 0.

Zapisanie równania opisującego taką poziomą linię jest stosunkowo proste. Ponieważ wartości współrzędnej y są takie same dla wszystkich punktów (w tym przypadku wynoszą 2), możemy po prostu zapisać:

y= Tutaj wpisz wartość zmiennej y.

Nachylenie wynosi zero, ale co się dzieje ze współrzędną x? Przecież nie może też wynosić zero. Zgadza się?

W równaniu jest zmienna x ze współczynnikiem 0. Jeśli współczynnik zmiennej w równaniu wynosi zero, ta zmienna znika z równania. Powyższe równanie można zapisać następująco:

y - 2 = 0x W dalszym ciągu nie wygląda to zbyt dobrze. Na szczęście istnieje jeszcze inna postać, która sprawdza się lepiej…

jesteś tutaj  203

Postać ogólna

Równania mają również postać ogólną Równania liniowe mają również tzw. postać ogólną. Pozioma linia jest bardzo specyficznym przypadkiem, dla którego równanie prostej przechodzacej przez punkt nie działa. Istnieje jednak postać bardziej ogólna. W postaci ogólnej brane są pod uwagę obie zmienne: y i x. Postać ogólna działa również wtedy, gdy nachylenie prostej wynosi zero:

ax + by = c a, b i c to liczby występujące w równaniu prostej.

wartości a i b Czy możesz obliczyć y = 2? dla prostej o równaniu

W tej postaci równania nie ma m. A zatem żadna ze zmiennych nie oznacza nachylenia. Liczby a, b i c nie są w prosty sposób powiązane z wykresem. W związku z tym przekształcenie takiego równania w wykres okazuje się niezbyt łatwe. To jednak nie jest najważniejsze, ponieważ ten typ równania pozwala na przedstawienie każdego typu prostej.

Równanie ma po stać 0x+1y = 2.

Zatem jeśli podstawimy a = 0, b = 1 i c = 2, otrzymamy równanie dla płaskiego trawnika Edka. Zgadza się?

To prawda! Każdą postać równania liniowego można przekształcić do postaci ogólnej. Tak więc wcześniejsze równanie y = 2 można przekształcić do postaci ax+by = c.

204

Rozdział 5.

Wykresy Czy istnieją jeszcze jakieś postacie równań, które powinniśmy znać?

Istnieje jeszcze jedna postać… ta postać JEST doskonała do tworzenia wykresów. Ostatnia postać równania przypomina równanie prostej przechodzacej przez punkt. W równaniu w tej postaci występuje punkt i nachylenie. W tej odmianie równania wykorzystywany jest punkt przecięcia z osią y, postać ta nosi nazwę równania kierunkowego prostej.

Postać kierunkowa jest ŁATWA do wykreślenia Co więcej, w równaniu postaci kierunkowej występuje ta sama stała określająca nachylenie — m. A zatem m oznacza nachylenie, tak jak wcześniej. Poza tym są zmienne x i y, tak jak w pozostałych postaciach równań liniowych. Różnica polega na występowaniu przecięcia. Oto jak wygląda równanie liniowe w tej postaci: m reprezentuje nachylenie, tak jak zwykle.

To jest to samo nachyl które obliczaliśmy ze enie, wz wzniesienie przez odl oru egłość.

y = mx + b

Punkt (0, b) to przecięcie z osią y. Punkt b określa miejsce, w którym linia przetnie oś y.

Aby wykreślić linię, należy zaznaczyć punkt przecięcia z osią y — współrzędne (0, b), a następnie korzystając ze wzniesienia m, znaleźć drugi punkt, tak jak robiliśmy to wcześniej.

Podsumowanie Równanie w postaci kierunkowej — równanie w postaci y = mx+b, gdzie m oznacza nachylenie linii, natomiast b współrzędną y w miejscu przecięcia z osią y.

jesteś tutaj  205

Postacie równań: przegląd

Równania liniowe z bliska Równanie prostej przechodzacej przez punkt Ta postać równania ma wiele zalet. Pozwala szybko wyznaczyć punkt do wykreślenia oraz nachylenie. Na tej podstawie można z łatwością wykreślić pozostałą część linii. Wadą równania w takiej postaci jest to, że w przypadku konieczności manipulowania trzeba wykonywać wiele operacji w nawiasach.

m =

Wzniesienie Odległość

y - y1 = m ^ x - x1h

Wzniesienie Odległość

(x1, y1) to dowolny i punkt należący do lini

Równanie prostej przechodzacej przez punkt doskonale nadaje się do tworzenia wykresów, ale nie nadaje się do manipulowania

Postać ogólna

równaniami.

Postać ogólna jest oczywista — zarówno zmienna x, jak i y mają współczynniki. W tej postaci równania występuje dodatkowo stała. Równanie w tej postaci pozwala przedstawić dowolną prostą i jest łatwe do przekształcania. Tworzenie wykresów na podstawie postaci ogólnej jest trudne, ponieważ nie można w łatwy sposób wyznaczyć punktu na prostej ani nachylenia. Jedynym sposobem utworzenia wykresu na podstawie takiego równania jest wyliczenie kilku punktów, zaznaczenie ich w układzie współrzędnych i wykreślenie prostej.

206

Rozdział 5.

Wykresy

Postać kierunkowa Równanie w tej postaci pozwala na wyznaczenie punktu przecięcia z osią y oraz nachylenia. Dzięki tym informacjom można wykreślić pozostałą część linii. Postać kierunkowa to dobry kompromis pomiędzy poprzednimi dwiema postaciami. Jest łatwa do przekształcania i pozwala na natychmiastowe wyznaczenie punktu. Jeśli jednak punkt przecięcia z osią y ma bardzo dużą lub bardzo małą wartość, narysowanie wykresu staje się trudne.

y = mx + b

Punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0, b) b

Wzniesienie m = Odległość

Postać kierunkowa doskonale nadaje się do wykreślania prostych przecinających oś y blisko początku układu współrzędnych. Równanie jest stosunkowo łatwe do przekształcania.

Wzniesienie Odległość

mne To jest nachylenie uje (z górki), dlatego jest reprezentowane przez liczbę ujemną.

ax + by = c

Postać ogólna pozwala na opisanie każdej prostej. Także przypadki szczególne, takie jak te.

Postać ogólna jest łatwa do manipulowania, ale na jej podstawie trudno rysuje się wykresy.

jesteś tutaj  207

Znajomość postaci równań

Narada zespou: postacie równania liniowego Czy wystarczy spojrze na równanie, by mona byo powiedzie, jak bdzie wyglda wykres? Tak, wystarczy zapamita postacie równa.

Jola

Skd jednak wiadomo, jak bdzie wyglda wykres? Czy to na pewno bdzie linia prosta?

Janek

Tak — jeli jest x i y, nie ma wyrae podniesionych do kwadratu, to mamy do czynienia z lini.

Krystyna

OK. To jest prosta. Ale jakiego typu? Nie mona przecie wzi liczb z równania i traktowa ich jako punkty.

Janek

Mona — trzeba tylko wiedzie, jak posta równania mamy przed sob.

Jola

To jest dla mnie najtrudniejsze. Janek

Oto mój sposób na zapamitywanie: w równaniu prostej przechodzcej przez punkt s nawiasy, w odmianie kierunkowej x i y wystpuj po przeciwnych stronach i nie ma nawiasów, z kolei w postaci ogólnej x i y s po jednej stronie.

Krystyna

...

Janek

Krystyna

To pomaga, ale eby naprawd zobaczy, jak wyglda równanie, trzeba narysowa wykres.

Korzystaj z właściwej postaci równania Wiesz już wystarczająco dużo, aby spojrzeć na równanie i jeśli jest to równanie prostej przechodzącej przez punkt lub równanie kierunkowe, możesz narysować jego wykres. Jeżeli ma postać ogólną, musisz wcześniej wyznaczyć kilka punktów (łatwe do wyznaczenia punkty odpowiadają współrzędnym y = 0 oraz x = 0). Potem możesz wykreślić swoją linię. A zatem w większości przypadków nie są potrzebne obliczenia! Wystarczy rysować.

208

Rozdział 5.

Jeśli znasz postać równania, wystarczy, że na nie spojrzysz, abyś mógł narysować wykres.

Wykresy Narysuj wykresy!

Równanie:

W tym momencie jesteś gotów, aby narysować wykresy kilku równań. Poniżej zamieszczono kilka równań w różnych postaciach… y narysuj wizualną reprezentację każdego z nich.

y = 3x - 2 x

Jaka jest postać tego równania?

y

Równanie:

1x + 0y = 7

x

Jaka jest postać tego równania?

y

Równanie:

1 y + 2 =- ] x - 1 g 2

x

Jaka jest postać tego równania?

jesteś tutaj  209

Jaka postać równania? Narysuj wykresy!

Rozw

Równanie:

W tym momencie jesteś gotów, aby narysować wykresy kilku równań. Poniżej zamieszczono kilka równań w różnych postaciach… narysuj wizualną reprezentację y e i każdego z nich. n a z

i

y = 3x - 2

To jest nachylenie. Wzniesienie wynosi 3, odległość 1.

y = 3x - 2

Wzniesienie 3, odległość 1.

a To jest punkt przecięci ). –2 (0, y ą z osi

x

od punktu Rozpocznij z osią ia przecięc y (0, –2).

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie kierunkowe.

y

Równanie:

Dla wszystkich punktów wartość współrzędnej x wynosi 7. Wykres ma postać pionowej linii.

1x + 0y = 7

Pamiętając, że współczynnik 0 pow zniknięcie zmiennej y, łatwo zauw oduje ażyć, że równanie ma postać x = 7.

x

x = 7

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie w postaci ogólnej.

Równanie:

1 y + 2 =- ] x - 1 g 2

To oznacza, że wartość współrzędnej y dla tego punktu wynosi –2. Ponieważ w tej postaci równania współrzędne są odejmowane, –(–2) zmienia się na +2.

y

Nachylenie jest ujemne — spada o 1 na odległości dwóch jednostek. A zatem w dół o 1 i w prawo o 2.

y + 2 =

1 (x - 1) 2

y nia wyznaczam Z tego równa i wykreślamy go punkt (1, –2) lejności. ko w pierwszej

x

Rozpocznij w punkcie (1, –2).

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie w postaci prostej przechodzącej przez punkt.

210

Rozdział 5.

Zejdź o 1 w dół i w prawo o 2.

Wykresy Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego nachylenie oznacza się literą m? O: Tak naprawdę nikt nie wie. Descartes (Pan Kartezjański Układ

P

: Cały czas powtarzacie, że „postać” równania jest ważna. Co to naprawdę oznacza?

O

Współrzędnych we własnej osobie) nie używał tego oznaczenia. Niektórzy twierdzą, że pochodzi ono od łacińskiego słowa modulus, natomiast inni uważają, że litera m przyjęła się, ponieważ jest to środkowa litera alfabetu. W tym momencie wystarczy, jeśli powiemy, że wszyscy używają takiego oznaczenia.

: Postać równania to tylko układ zmiennych i stałych. Na przykład, aby uzyskać równanie prostej przechodzącej przez punkt, należy wyizolować y po lewej stronie, a po prawej stronie pozostawić wyraz ze zmienną x.

nachylenia. We wczesnych latach matematyki w kilku krajach używano innych liter do oznaczenia punktów przecięcia z osią y — na przykład k, n lub h.

— zatem jest to równanie w postaci kierunkowej. W tym przypadku m = 1, a b = 0. Ponieważ mamy m i b, możemy narysować wykres.

P: A co w przypadku równania y = x? Czy to jest P: Dlaczego punkt przecięcia z osią y oznacza się literą b? równanie w jakiejś specjalnej postaci? O: Tak. Równanie y = x to dokładnie to samo, co y = 1x+0 O: Cóż, to kolejna tajemnica. Podobnie jak w przypadku P

P: Czy równanie może być w postaci kierunkowej,

: Czy zdarza się, że trzeba zapisać równanie na podstawie wykresu?

O: Oczywiście, ale trzeba je przekształcić do postaci y = mx+b.

: Taka sytuacja zdarza się bardzo często. Kiedy wykreślasz jakieś dane — na przykład finansowe lub doświadczalne — i musisz zapisać równanie, które uogólnia jakiś trend, masz wykres przed równaniem.

jeśli x i y znajdują się po tej samej stronie?

Znaki mogą być różne — to oznacza, że określona stała jest liczbą ujemną.

P

: Dlaczego m i b są stałymi, natomiast x i y zmiennymi? Na jakiej podstawie można stwierdzić, że litera oznacza zmienną, a nie stałą?

O: Zazwyczaj stałe występują w równaniu w postaci liczb. Kiedy

rozpoznasz ogólną postać równania (a także kierunkową), będziesz wiedział, że m i b są stałymi, ponieważ zawsze mają taką samą wartość w równaniu.

O

P

: Czy naprawdę można wyznaczyć nachylenie i przecięcie i zapisać równanie?

O

: Na tym polega piękno postaci ogólnej. Każdy wie, że współczynnik wyrazu z x to nachylenie, natomiast stała występująca w równaniu to współrzędna y punktu przecięcia z osią y.

A oto inna wskazówka: układ współrzędnych bazuje na x i y, dlatego są to zmienne. x, podobnie jak y, może przybierać wszystkie możliwe wartości, natomiast m i b zawsze pozostają takie same.

P

: Jeśli m jest liczbą całkowitą, to jak ją wyrazić w postaci „wzniesienie” przez „odległość”.

Jeśli nachylenie jest liczbą całkowitą,

O

WZNIESIENIE prostej jest tą liczbą,

: Wróć na chwilę do ułamków! Każdej liczbie całkowitej odpowiada ułamek, który w liczniku ma tę liczbę, a w mianowniku jedynkę. Zatem jeśli nachylenie wynosi 5, to jest to samo co 5 przez 1, czyli „wzniesienie 5 na odległości 1”.

natomiast ODLEGŁOŚĆ wynosi 1.

jesteś tutaj 

211

Firma Edka rozwija się

Strzygę te trzy nowe trawniki już od dwóch tygodni. Coraz więcej osób prosi o oferty. Dla mnie to za dużo pracy, zatem mój brat mi pomoże.

Edek doszedł z bratem do porozumienia. Aby zrekompensować straty, które Edek poniósł na początku lata w związku z koniecznością dopłacania do pracy brata, jego brat postanowił pracować za darmo do końca sezonu. Edek szacował swoje trawniki na podstawie wykresów i tego, jak strome było ich nachylenie, ale jego brat zdecydował się na rozwiązanie bardziej kreatywne. Wykorzystał „nowy system” i kiedy przyniósł formularze do Edka, były na nich równania zamiast wykresów.

Nie mogę tak pracować — muszę zobaczyć na wykresach jego trawniki. Dzięki temu będę mógł ustalić wysokość opłat.

212

Rozdział 5.

Wykresy Twoim zadaniem jest konwersja każdego z równań na postać pozwalającą łatwo wykonać wykres. Następnie stwórz wykres dla każdego równania, tak by Edek mógł sporządzić oferty dla klientów.

Usugi Strzyenia Trawników Brat Edka zapisał równanie, zamiast narysować trawnik.

Formularz nowego klienta

Obliczenia dla trawników:

3 y = - x + 7 2

Edek lubi pracow z rysunkami. Br ać at powinien był spor Edka ządzić wykresy.

Trawnik Kowalskich y

x

Trawnik Nowaków

7x + 3y = 15

y

x

jesteś tutaj  213

Narysuj wykresy równań Twoim zadaniem jest konwersja każdego z równań na postać pozwalającą łatwo wykonać wykres. Następnie stwórz wykres dla każdego równania, tak by Edek mógł sporządzić oferty dla klientów.

Usugi Strzyenia Trawników Formularz nowego klienta Obliczenia dla trawników:

3 y = - x + 7 2

Trawnik Kowalskich y

(0, 7)

x

nkowej. To jest równanie w postaci kieru

(0, 7), a nachylenie Punkt przecięcia ma współrzędne 3 wynosi 2 .

3 x+7 2

y=

Trawnik Nowaków

7x + 3y = 15

y

(0, 5)

( 15 , 0) 7

nej. To jest równanie w postaci ogól tów. punk ć aczy wyzn Nie można łatwo

0 7(0) + 3y = 15 3 3

0 7x + 3(0) = 15 7 7

y = 5

x = 15 7

(0, 5) To jest nieco ponad 2. Czy tak?

214

Rozdział 5.

(

15 7

, 0)

x

7x + 3y = 15

Wykresy

Zatem jaka będzie ostateczna kwota, którą zarobię po uwzględnieniu nowych trawników?

Edek ma pracowite lato — nie zawsze szło mu dobrze. Zaczął ostro, złamał nogę. Aby utrzymać klientów, musiał płacić bratu szalone kwoty. Później jednak karta się odwróciła i Edek zaczął zdobywać nowych klientów. Oto co się zdarzyło. 1

Przez pierwsze trzy tygodnie lata Edek strzygł 7 trawników — po 12 zł za każdy.

2

Wtedy złamał nogę i musiał chodzić 10 tygodni w gipsie. Jego 7 klientów w dalszym ciągu płaciło 12 zł za strzyżenie, ale brat Edka życzył sobie 19 zł za trawnik. W rezultacie Edek popadł w długi wysokości 238 zł.

3

Przez dwa kolejne tygodnie skosił 7 trawników, ponownie po 12 zł za każdy, i dodał trzy nowe trawniki — jeden za 20 zł, drugi za 15 zł i trzeci za 12 zł.

4

Wtedy brat Edka zgłosił chęć strzyżenia 2 trawników — po 15 zł za każdy. Ma zamiar strzyc te trawniki przez resztę wakacji — 6 tygodni.

Ile zarobi Edek na koniec tego okresu? Jeśli potrzebujesz pomocy, obróć stronę. Tam znajdziesz kilka wskazówek…

jesteś tutaj  215

Przyszłość projektu Edka

Dugie wiczenie Oblicz, ile zarobi Edek na koniec wakacji. Narysuj wykres, aby pokazać mu prognozę na następne 22 tygodnie (taki okres obejmuje jego plan). Na początek wypełnij poniższą tabelę.

Numer tygodnia

Liczba trawników

Kwota za trawnik

Zarobek Edka

12 zł

1 – 3

252 zł

4 – 14

–

Złamana noga!

15 – 16 17 – 22

Cakowita zarobiona kwota

10

Różne ceny: 8 trawników po 12 zł, 1 za 15 zł i 1 za 20 zł Różne ceny — wszystkie trawniki z tygodni 15 i 16 plus 2 trawniki dodatkowe za 15 zł

131 zł tygodniowo×2 tygodnie = 262 zł 131 zł+30 zł tygodniowo = 161 zł tygodniowo

Dla tej części trzeba zapisać równanie i narysować wykres!

Napisz równanie opisujące ilość gotówki, jaką będzie miał Edek na koniec wakacji: ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

216

Rozdział 5.

Wykresy

Narysuj wykres nowego równania:

G

Ile gotówki będzie miał Edek na koniec wakacji: .................................................................................................................... wykresu — jest to Odczytaj tę wartość z odniowi nr 6. tyg ca ............................................................................................................................................................................................... ają liczba odpowiad

jesteś tutaj  217

Przyszłość rysuje się w jasnych barwach

Dugie wiczenie: Rozwizanie Twoim zadaniem było obliczenie zarobku Edka na koniec wakacji i narysowanie wykresu pokazującego prognozę na następne 22 tygodnie (taki okres obejmuje plan Edka).

Numer tygodnia

Liczba trawników 7

1 – 3 4 – 14 Złamana noga!

15 – 16

7

10

17 – 22

12

Kwota za trawnik 12 zł 12 zł za trawnik, ale koszty wynosiły 19 zł za trawnik = –7 zł straty za trawnik Różne ceny: 8 trawników po 12 zł, 1 za 15 zł i 1 za 20 zł Różne ceny — wszystkie trawniki z tygodni 15 i 16 plus 2 trawniki dodatkowe za 15 zł

Zarobek Edka

Cakowita zarobiona kwota

84 zł tygodniowo przez 3 tygodnie = 252 zł

252 zł

–49 zł tygodniowo przez 10 tygodni = –490 zł

–238 zł

131 zł tygodniowo×2 tygodnie = 262 zł 131 zł+30 zł tygodniowo = 161 zł tygodniowo

24 zł Dla tej części trzeba zapisać równanie i narysować wykres!

Napisz równanie opisujące ilość gotówki, jaką będzie miał Edek na koniec wakacji: To równanie przypomina wcześniejsze równanie przychodów Edka, ale teraz Edek zarabia więcej pieniędzy.

Nie wolno zapominać o kwocie początkowej!

Gotówka = 161 zł tygodniowo razy liczba tygodni plus 24 zł, od których Edek zaczął.

............................................................................................................................................................................................... Punkt przecięcia z osią y G = 161t + 24 ............................................................................................................................................................................................... ma współrzę dne (0, 24). To jest równanie y = mx+b. Naryso w postaci standardowej wanie wykresu jes ............................................................................................................................................................................................... bardzo łatwe. t

218

Rozdział 5.

Wykresy

G

(0, 24)

i 161, ie wynos Nachylenzrost o 161 dla zatem w ia. 1 tygodn

Odczytaj tę wartość z wykresu — jest to wartość odpowiadająca tygodniowi nr 6.

G = 161t+24

1000 zł Ile gotówki będzie miał Edek na koniec wakacji: ...........................

1000 zł! Pomimo złamanej nogi — to niebywałe. Wykorzystam wykres, który sporządziłeś, i zrobię plany!

Obraz może być również wart tysiąc złotych! Czasami z równania można wiele wywnioskować o przyszłości. Równanie może powiedzieć Edkowi, ile zaoszczędzi, ile trawników powinien strzyc, a nawet jakie będą zyski ze strzyżenia określonego trawnika. Czasami jednak potrzeba czegoś więcej niż tylko zbioru liczb i liter. W takich przypadkach wykres pomaga zobrazować równanie… i umożliwia podejmowanie świadomych decyzji.

jesteś tutaj  219

Ćwiczenia w rysowaniu wykresów

Zaostrz ołówek Jeśli w zadaniu jest równanie liniowe, narysuj jego wykres! Jeżeli jest wykres, wyznacz równanie.

y + 3 =- 3 x 5

Punkt nr 1: (

9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

x

) -9 -8

Punkt nr 2: (

-7 -6 -5 -4 -3 -2

-1 -1

1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

)

y 5 4 3

y= 1x+3 2

2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

4

5

-2

Punkt przecicia z osi y =

-4 -5

Rozdział 5.

3

Nachylenie =

-3

220

2

-1

7

8

9

Wykresy

y

sać Możesz śmiało pi na wykresach.

5 4

Nachylenie =

3

Punkt przecicia z osi y =

2 1

y=

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x+

5

-1 -2 -3 -4 -5

m=1 6

Punkt: (- 3, 4)

y 5 4 3 2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

jesteś tutaj  221

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Jeśli w zadaniu jest równanie liniowe, narysuj jego wykres! Jeżeli jest wykres, wyznacz równanie.

y + 3 =- 3 x 5

9 8 7 6 5 4 3 2 1

5·(0 + 3) = - 3 x·5 5 15 = - 3x -3 -3

y = 0

(-5, 0) Punkt nr 1: (-5, 0 )

-5 = x

-9 -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

y + 3 = - 3 (0) 5

x = 0

y + 3 - 3 = 0 - 3

y = -3

Punkt nr 2: ( 0, -3 )

y 5

wzniesienie 1

-1 -1

odległość 2

y

x 1

2

3

2

-2

-1

9

2

3

4

przecięcie z osią y

y= 1x+3 2 5

1 2

-1

Nachylenie =

-2

Punkt przecicia (0, 3) z osi y =

-4 -5

Rozdział 5.

8

y + 3 = - 3 x 5

nachylenie

1 i s o n y w 2 Nachylenie

(0, 3)

1

-3

222

7

(0, -3)

x -3

6

y = mx + b

1

-4

5

4 3

-5

4

Wykresy

y

sać Możesz śmiało pi na wykresach.

5 4

Nachylenie =

3

Punkt przecicia (0, -1) z osi y = 1 y = 4 x + -1

2 1

Na odległości 4

W górę o 1 -5

-4

-3

-2

x

-1

1

2

3

4

1 4

5

1 4

Wzniesienie = Odległość

-1 -2

= m

-3 -4 -5

m=1 6

i dalej o 6.

Punkt: (- 3, 4)

Równanie prostej przechodzącej y – y1 = m (x - x1) przez punkt

y - 4 =

1 (x + 3) 6

Uważaj: znak się zmienia, ponieważ to jest –3.

Idź w górę o 1

y 5 4

ię. narysuj lin Następnie

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

jesteś tutaj  223

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 5.

Niezbędnik algebraika

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Ten rozdział dotyczył rysowania wykresów.

Q

Wszystkie linie mają nachylenie — m.

Q

Nachylenie definiuje się jako wzniesienie na odległości.

Q

Linie zazwyczaj mają punkty przecięcia z osiami x i y, chyba że są to linie poziome lub pionowe.

Q

Równanie liniowe zawiera dwie zmienne i żadna z nich nie ma wykładnika większego od 1.

ch

Kartezjański układ współrzędny To jest numer ćwiartki.

II obszarem, Ćwiartka II jest i x są śc rto wa w którym ści y ujemne, a warto — dodatnie.

-9 -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2

III I jest Ćwiartka II którym w , em ar sz ob wartości, wszystkie jak i y, x, no w zaró są ujemne.

To jest oś y. 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Ćwiartka I jest obszarem, w którym wszystkie wartości są dodatnie.

I To jest początek nych układu współrzęd ć — środkowa częś wykresu. 1

2

3

4

5

6

7

Postać ogólna

To jest oś x.

ax + by = c

x 8

9

IV

Prosta przechodząca przez punkt

Ćwiartka IV jest obszarem, w którym wartości x są dodatnie, a wartości y — ujemne.

m =

y - y1 = m ^ x - x1h

Postać kierunkowa

y = mx + b m =

224

Rozdział 5.

Wzniesienie Odległość

Wzniesienie Odległość

6. Nierównoci

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje? O! Te wszystkie niesprawiedliwości… Powinienem dostać wystarczająco, a dostałem za mało.

Czasami wystarczająco oznacza wystarczająco… a czasami nie. Czy kiedykolwiek pomyślałeś: „Potrzebuję nieco więcej”? Co jednak, jeśli ktoś dał Ci więcej niż tylko trochę więcej? Wtedy miałbyś więcej, niż potrzebujesz… ale życie pomimo to mogłoby być dość przyjemne. Z tego rozdziału dowiesz się, w jaki sposób język algebry pozwala powiedzieć: „Daj mi trochę więcej… i jeszcze troszkę!”. Dzięki nierównościom możemy wyjść poza dwie wartości i pozwolić sobie na otrzymanie więcej lub mniej.

to jest nowy rozdział  225

Liga futbolu to algebra

Karolina bardzo lubi futbol Karolina chce założyć własną drużynę futbolową, ale potrzebuje pomocy w jej zarządzaniu. Każdy zespół nie może wydać więcej niż 1 000 000 € na pensje dla zawodników. Twoim zadaniem jest pomóc Karolinie w zarządzaniu drużyną.

Każdy zespół może wydać 1 000 000 €. Muszę jednak rozdzielić tę kwotę na obrońców, graczy ofensywnych i rozgrywającego. u Jako menedżer zespoł yć, Karoliny musisz oblicz dać jaką kwotę można wy na każdą z pozycji.

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja Strona gówna

Wieci ze wiata

Pozycja

Nazwisko

Formacja defensywna Biegacz W przypadku obrony cała formacja jest traktowana jako całość, zarobki nie są rozbijane na pojedynczych graczy.

226

Rozdział 6.

Skrzydłowy Kopacz Rozgrywający Razem

Liga

Aktualnoci

Pensja

Nierówności

Koszty dla wszystkich graczy nie mogą przekroczyć 1 000 000 € Karolina musi wypełnić zestawienie swoich graczy i zadbać o to, aby koszty nie przekroczyły 1 000 000 €. Oto jakich wyborów dokonała Karolina dla swojego zespołu. Do podjęcia jest bardzo wiele decyzji!

Biegacze

Formacje defensywne

Skrzydłowi

Nazwisko

Koszt

Michał Abramowicz

197 000 €

Nazwisko

Bogdan Horbaczewski

202 187 €

Benedykt Trawińsk i

Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Ryszard Tomczak

185 200 €

250 000 €

Edward Babinicz

209 115 €

Stalowi Kruk i

Kopacze Nazwisko

To jest lista zespołów i graczy, z których można zestawić zespół Karoliny.

i Jerz y Amanowsk i Ryszard Wolańsk Piotr Hiszczuk Mateusz Ewańsk i

Koszt 183 500 € 155 000 € 203 200 € 209 100 €

Edmund Fred

Koszt 195 289 €

ro

212 000 €

Roman Jankowsk i

185 200 €

Marek Mar tyniuk

165 950 €

Rozgrywający Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielski

208 200 € 175 000 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

Zaostrz ołówek Czy korzystając z równania kosztów zamieszczonego poniżej, możesz zestawić zespół spełniający warunki? Jeśli nie, to dlaczego? Czy jest jakiś problem z równaniem? Koszt formacji defensywnej+Koszt biegacza+Koszt skrzydłowego+Koszt Kopacza+Koszt rozgrywającego = 1 000 000 € ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  227

Porównania z wykorzystaniem nierówności

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy korzystając z równania kosztów zamieszczonego poniżej, możesz zestawić zespół spełniający warunki? Jeśli nie, to dlaczego? Czy jest jakiś problem z równaniem?

Koszt formacji defensywnej+Koszt biegacza+Koszt skrzydłowego+Koszt Kopacza+Koszt rozgrywającego = 1 000 000 €

............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Problem z użyciem znaku równości polega na tym, że nie istnieje taka kombinacja graczy, którzy w sumie ............................................................................................................................................................................................... będą kosztowali dokładnie 1 000 000 €. Nie potrzebujemy dokładnie 1 000 000 €. Zespół nie powinien tylko ............................................................................................................................................................................................... kosztować więcej od tej kwoty. ...............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Właściwie wykonujemy porównanie… W tym przypadku nie interesuje nas równość. Koszt całego zespołu powinien być mniejszy lub równy 1 000 000 €. Potrzebujemy sposobu pokazania, że koszt może być niższy od tej kwoty — wynosi nie więcej niż tyle. W przypadku wykonywania porównań nie używa się znaków równości. Do tego celu używa się symboli porównań — tzn. mniejszy niż ().

Koszt formacji Koszt Koszt + + + defensywnej biegacza skrzydłowego

Ten symbol oznacza „mniejszy lub równy”.

Koszt Koszt  1 000 000 € + Kopacza rozgrywającego

Zsumowany koszt wszystkich graczy.

A zatem znak < służy do porównania jednej strony równania z drugą. Czy tak?

Znaki ,  i oznaczają porównania. Pierwszy z nich — < — oznacza, że wyrażenie po lewej stronie jest mniejsze niż wyrażenie po prawej stronie. Następny — > — oznacza, że wyrażenie po lewej stronie jest większe niż wyrażenie po prawej stronie. Ostatnie dwa znaki to odpowiednio mniejszy lub równy oraz większy lub równy. Wyrażenia, w których wykorzystuje się te symbole, określa się terminem nierówności, ponieważ opisują one sytuację, kiedy dwie strony nie są równe.

228

Rozdział 6.

Większy niż oraz mniejszy niż to OPERATORY PORÓWNAŃ. Operatory te bardzo często spotyka się w treści zadań.

Nierówności

Nierównoci z bliska Znak = oznacza „jest równy”. O tym, jak działa, dowiedziałeś się już wcześniej. Symbol ten oznacza, że obie strony równania są takie same.

, wi, że wszystko Znak równości mó … nie ro co jest po tej st

…jest równe temu, co po tej stronie.

x + 7 = 10

W przypadku problemu Karoliny mamy do czynienia z nierównościami. Oznacza to, że dwie strony nie są sobie równe, ale zachodzi pomiędzy nimi relacja. Nierówność można zapisać za pomocą jednego z czterech symboli. Każdy z nich wyraża inną relację: większy niż, mniejszy niż, większy bądź równy oraz mniejszy bądź równy. Znaki te występują w nierówności dokładnie w tym samym miejscu, w którym w równaniu znajduje się znak równości. po Wszystko co e… ni ro st j te

jest mniejsze niż…

to, co po tej stronie.

x + 7 < 10

Zaostrz ołówek Poniżej zamieszczono kilka nierówności. Niektóre są prawidłowe, inne nie. Dla każdej z nierówności napisz, czy wyraża prawdę, czy fałsz.

5 < 10

1234 $ 1233

8>4

101 # 101.5 ,

4 6

10 # 10

- 10 < 10

> 3.2 1.23 , ,

-8 4

prawda

101 # 101.5 ,

prawda

4 6

fałsz

10 # 10

prawda

- 10 < 10

prawda

> 3.2 1.23 , ,

fałsz

-8 - 1

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

Wartości wzrastają w tę stronę.

Pomnożenie obu stron nierówności przez –2 powoduje odwrócenie znaku nierówności…

Wykres

- 18 < 2

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

236

Rozdział 6.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

Wartości wzrastają w tę stronę.

Nierówności

Kiedy wykonujesz działania z nierównością oraz mnożeniem bądź dzieleniem przez liczbę ujemną… 1

Rozpocznij od prawidowej nierównoci. Nierówność może zawierać liczby lub niewiadome i musi być prawdziwa (jeśli możesz sprawdzić ją za pomocą osi liczbowej, warto to zrobić).

2

Rozwizuj nierówno tak jak równanie do czasu, kiedy zostaniesz zmuszony do pomnoenia lub podzielenia obu stron nierównoci przez liczb UJEMN.

3

Mnoenie lub dzielenie obu stron nierównoci przez liczb UJEMN. Jeśli musisz pomnożyć lub podzielić obie strony nierówności przez liczbę ujemną, pamiętaj, aby zrobić to samo po obu jej stronach. Na tym jednak nie koniec. Zawsze, kiedy mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, powinieneś natychmiast…

4

…odwróci symbol w nierównoci. Zrób to od razu! Znak większy niż zamienia się na mniejszy niż, mniejszy lub równy na większy lub równy itd. Pamiętaj, że należy to robić zawsze podczas mnożenia lub dzielenia stron nierówności przez liczbę ujemną.

Lokalizację liczb łatwo zobrazować na osi liczbowej. W ten sposób można pokazać, jak zmienia się relacja nierówności. Znak nierówności to sposób śledzenia relacji w równaniu. Twoim zadaniem jest praca ze znakiem nierówności w taki sposób, aby zachować prawidłową relację. Należy pamiętać, aby odwracać znak nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu stron nierówności przez liczby ujemne. Takie działanie nie tylko nie zmienia wyrażenia… ale w praktyce pozwala zachować jego prawdziwość.

Liczby ujemne mają WIĘKSZE wartości, kiedy są BLIŻEJ zera.

jesteś tutaj  237

Nie istnieją głupie pytania

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Jak to jest, że można odwrócić znak nierówności? Czy to wszystkiego nie zmienia?

: Czy znak nierówności można zamienić więcej niż raz?

O: W rzeczywistości odwrócenie znaku

: Jest taka możliwość. Jeśli nierówność została tak napisana, że trzeba mnożyć lub dzielić obie jej strony więcej niż raz, to znak nierówności także trzeba odwrócić więcej niż raz. Znak nierówności należy odwracać za każdym razem, kiedy wykonujemy mnożenie bądź dzielenie przez liczbę ujemną.

nierówności utrzymuje jej prawdziwość. Przypomnij sobie oś liczbową — kiedy mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniasz relację pomiędzy nimi. Znak nierówności to sposób śledzenia tego, która strona ma większą wartość. Wysoka liczba ujemna ma niższą wartość niż niska liczba dodatnia (i odwrotnie).

P: W jaki sposób odwrócić znak ≤? O: Jeśli w znaku nierówności występuje

komponent „lub równy”, należy zastąpić go przeciwnym znakiem z komponentem „lub równy”. Zatem znak „mniejszy lub równy” należy zastąpić znakiem „większy lub równy”.

P

: Czy możesz powiedzieć mi jeszcze raz, czym dokładnie jest zbiór rozwiązań?

O

: Zbiór rozwiązań nierówności zawiera WSZYSTKIE liczby, które spełniają nierówność.

238

Rozdział 6.

O

To tak samo jak z rozwiązywaniem równań. Jeśli będziemy prawidłowo stosowali się do reguł, za każdym razem otrzymamy prawidłową odpowiedź.

P

: Co zrobić, jeśli trzeba podzielić lub pomnożyć nierówność przez ułamek lub liczbę dziesiętną? Czy w takim przypadku trzeba zmieniać znak nierówności?

O

: Tylko wtedy, gdy liczba dziesiętna lub ułamek są ujemne. Nie ma znaczenia, jaką formę ma liczba ujemna. Jeśli jest ujemna, to przy mnożeniu lub dzieleniu trzeba zmienić znak.

P

: Co zrobić, jeśli dodajemy lub odejmujemy liczby ujemne?

O

: W tej sytuacji nie ma potrzeby odwracania znaku nierówności. To dlatego, że kierunek wzrastania liczb się nie zmienia. Jeśli dodamy liczbę ujemną po obu stronach nierówności, obie strony nierówności przesuną się w lewo na osi liczbowej o tę samą liczbę jednostek. Oznacza to, że strony równania pozostaną do siebie w tej samej relacji.

Pamiętaj, że chodzi o względne relacje pomiędzy stronami. Jeśli się nie zmieniają, to nie ma powodu, by cokolwiek zmieniać.

P

: Co zrobić, jeśli podczas upraszczania nierówności mnożymy lub dzielimy wyraz po jednej stronie przez liczbę ujemną? Na przykład (–3)(2) > –10?

O

: W tym przypadku, ze względu na to, że nie wykonujemy mnożenia lub dzielenia obu stron nierówności, znak pozostaje bez zmian. A zatem w tym przykładzie otrzymamy –6 > –10, co jest prawdą.

Nierówności

Zaostrz ołówek Teraz, kiedy potrafisz dzielić i mnożyć strony nierówności przez liczby ujemne, możesz prawidłowo rozwiązać problem Karoliny dotyczący punktów karnych. Jest tu też kilka innych nierówności do wypróbowania. Aby sprawdzić pracę, skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej na dole strony. „Następny mecz gram z zespołem mojego brata, dlatego potrzebuję ubezpieczenia. Muszę zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów”. Oblicz, ile punktów karnych powinna zakupić Karolina. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Za każdy wygrany mecz liga przyznaje 40 punktów. Jeśli na koniec sezonu zespół zdobędzie ponad 260 punktów, otrzymuje Puchar Heismana. Ile meczów musi wygrać zespół Karoliny, aby otrzymać trofeum? ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Zgodnie z regułami obowiązującymi w lidze, jeśli zespół uzyska więcej niż 10 punktów karnych w ciągu sezonu, następuje jego dyskwalifikacja. Karolina chce rozłożyć równomiernie kary na pozostałe 16 meczów. Jaka jest maksymalna liczba punktów karnych, jakie może otrzymać zespół Karoliny w ciągu 1 gry, aby nie został zdyskwalifikowany? ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

jesteś tutaj  239

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Teraz, kiedy potrafisz dzielić i mnożyć strony nierówności przez liczby ujemne, możesz prawidłowo rozwiązać problem Karoliny dotyczący punktów karnych. Jest tu też kilka innych nierówności do wypróbowania. Aby sprawdzić pracę, skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej na dole strony.

„Następny mecz gram z zespołem mojego brata, dlatego potrzebuję ubezpieczenia. Muszę zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów”. Oblicz, ile punktów karnych powinna zakupić Karolina.

-10g -50 ............................................................................................................................................................................................... -10g ?-50 ............................................................................................................................................................................................... -10

-10

dy dzielisz obie strony

Kie , nie ............................................................................................................................................................................................... nierówności przez –10 ku. zapomnij o zmianie zna

g 5 ............................................................................................................................................................................................... Karolina musi kupić 5 lub więcej punktów karnych. ............................................................................................................................................................................................... Za każdy wygrany mecz liga przyznaje 40 punktów. Jeśli na koniec sezonu zespół zdobędzie ponad 260 punktów, otrzymuje Puchar Heismana. Ile meczów musi wygrać zespół Karoliny, aby otrzymać trofeum?

40w > 260 ............................................................................................................................................................................................... iany znaku — dzi liczbę dodatnią. ...............................................................................................................................................................................................

40w > 260 Nie ma zm ............................................................................................................................................................................................... elenie przez 40

40

w > 6,5 ............................................................................................................................................................................................... Karolina musi wygrać więcej niż 6,5 meczu. Ponieważ jednak nie można wygrać pół meczu, ............................................................................................................................................................................................... musi wygrać 7 lub więcej meczów. ............................................................................................................................................................................................... Zgodnie z regułami obowiązującymi w lidze, jeśli zespół uzyska więcej niż 10 punktów karnych w ciągu sezonu, następuje jego dyskwalifikacja. Karolina chce rozłożyć równomiernie kary na pozostałe 16 meczów. Jaka jest maksymalna liczba punktów karnych, jakie może otrzymać zespół Karoliny w ciągu 1 gry, aby nie został zdyskwalifikowany? ............................................................................................................................................................................................... 16p 10 ............................................................................................................................................................................................... 16p 10

16 16 ............................................................................................................................................................................................... p 0,625

...............................................................................................................................................................................................

Odpowiedź matematyczna brzmi nie więcej niż 0,625 punktów karnych na mecz. Ponieważ ............................................................................................................................................................................................... jednak nie można otrzymać ułamkowej części kary, Karolina nie ma możliwości równomiernego ............................................................................................................................................................................................... rozłożenia kar na poszczególne gry. Karolina musi zdecydować, w jakich meczach jej zespół ............................................................................................................................................................................................... może pozwolić sobie na nieczystą grę, a w jakich musi grać fair. ...............................................................................................................................................................................................

240

Rozdział 6.

Nierówności

Magnesiki matematyczne Uywajc magnesików zamieszczonych poniej, wypenij puste miejsca w celu rozwizania nierównoci.

12 > 2x - 4x + 16

15 - 3y > - 9y + 18 - 18 + 15 - 3y > - 9y + 18 - 18

- 16 + 12 > 2x - 4x + 16 - 16 - 4 > 2x - 4x

- 3 - 3y > - 9y 3y - 3 - 3y > - 9y + 3y

- 4 > - 2x

- 3 > - 6y

-2 x -2

-4 -2

-6 y -6

-3 -6

x Wybierz dowolną liczbę spełniającą nierówność.

Sprawdź obliczenia:

12 > 2 ^5h - 4 ^5h + 16

y Sprawdź obliczenia.

12 > 10 - 20 + 16

15 - 3 ^3h > - 9 ^3h + 18

12 > 6

15 - 9 > - 27 + 18

liczbę, którą Warto wybraćwykorzystać do o tw można ła obliczeń. sprawdzenia

6 >- 9 Podstaw rozwiązanie do wyjściowej nierówności, aby sprawdzić, czy wynik jest prawidłowy.

< -18

2 -4

-4

-2x


- 9y + 18

-16 - 16 + 12 > 2x - 4x + 16 - 16

- 18 + 15 - 3y > - 9y + 18 - 18 -18 3 -3 --3 -y3y > - -99yy

x --4 4 > 2x 2x- 44x

3y - -3 3 -3 -y3y > - 9y + 3y

--44 > - 2x

Odwróć znak nierówności!

-4 ? ? -2 x -2 -2
2 ^5h - 4 ^5h + 16 12 >

10-20+16

12 >

6

-3 -6 1 2

Sprawdź obliczenia.

Dla uproszczenia obliczeń wybraliśmy liczbę 5. Równie dobrze można było jednak wybrać dowolną liczbę większą niż 2.

- 3 > - 6y ?

-6 y -6

1< < y 2

Odwróć znak nierówności!

Sprawdź obliczenia.

15 - 3 ^3h > - 9 ^3h + 18 ksza niż czba wię . Każda li ia nierówność ak ½ spełn pozwoli jedn eń. 3 z Liczba szczenie oblic ro p u na

15-9

6

>

-27+18

>

-9

-2x

Sądziłam, że rozwiązaniem nierówności jest ZBIÓR liczb. Jak to się dzieje, że do sprawdzenia obliczeń używamy tylko jednej wartości?

Obliczenia należy sprawdzić za pomocą liczby należącej do zbioru rozwiązań… ale jaka to powinna być liczba?

242

Rozdział 6.

Do zbioru rozwiązań należy wiele liczb. Przyjrzyjmy się nieco bliżej zbiorom rozwiązań na osi liczbowej…

Nierówności

Zbiór rozwiązań możesz zobrazować na osi liczbowej Oś liczbowa to doskonały sposób wizualizacji zbioru rozwiązań. Oś liczbową wykorzystywaliśmy do zaznaczania punktów. W jaki sposób jednak można zaznaczyć zakres punktów lub cały zbiór rozwiązań? Gdyby to było możliwe, można by łatwiej wybierać liczby do sprawdzania naszej pracy. Dzięki temu można również zrozumieć, jakie liczby spełniają nierówność. Oto co należy zrobić: stana ność wykorzy To jest nierówpensji rozgrywającego do obliczenia liny. ro w zespole Ka

rq # 103, 000

Określ punkt, który Cię interesuje (w tym przypadku 103 000). Jest to punkt graniczny zbioru rozwiązań.

Spójrz na symbol nierówności, aby zdecydować, od jakiego typu punktu rozpocząć.


0,320

Średni współczynnik skuteczności uderzeń > 0,320

Aby wyizolować zmienną, trzeba pomnożyć obie strony przez 48.

12 •4 ............................................................................................................................................................................................... Liczba punktów h > 0,320 > 0,320 Liczba meczów •4 uderzenia na mecz ...............................................................................................................................................................................................

48

•

48 h

> 0,320

• 48

Na początek zapisaliśmy ............................................................................................................................................................................................... 48 nierówność słowami.

h > 15,36 ...............................................................................................................................................................................................

mu. my o kontekście proble

Pomyśl ktu. ............................................................................................................................................................................................... można zdobyć 0,36 pun Nie ci h > 15. Zatem w rzeczywistoś

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

To jest zbiór rozwiązań.

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Odbywa się właśnie ostatnia runda meczu w rzutki pomiędzy Januszem a Stanisławem. Wynik brzmi 18 dla Janusza, 12 dla Stanisława. Wygra ten, kto będzie miał większą liczbę punktów po rzucie Janusza. Jest też zasada, że kiedy gracz uderzy przeciwnika lotką w ucho, automatycznie odejmuje mu się 3 punkty. Stanisław powiedział coś na temat mamy Janusza. Janusz chce się dowiedzieć, ile razy może uderzyć Stanisława w ucho i w dalszym ciągu wygrać lub zremisować mecz.

erą „U” Oznaczyliśmy lit . 18 - 3(U) 12 od „ucho” ...............................................................................................................................................................................................

Wynik Janusza po rzucie Aktualny wynik Stanisława

- 18 + 18 - 3(U) 12 - 18 Aktualny wynik Janusza–punkty ujemne Aktualny wynik Stanisława ............................................................................................................................................................................................... - 3(U) -6

Więcej

operacji przygotowawczych. ...............................................................................................................................................................................................

- 6 - 3(U) m Dzielisz przez liczbę ujemną, zate ? Janusz może rzucić ści. ówno nier znak ócić - 3 - 3 musisz odwr ............................................................................................................................................................................................... dwa razy w ucho Stanisława U 2 i w dalszym ciągu Odwróć znak nierówności. ............................................................................................................................................................................................... będzie remis.

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

246

Rozdział 6.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Cały zbiór rozwiązań NIERÓWNOŚCI jest nieskończony. W naszym przypadku jednak zatrzymuje się na liczbie zero — nie można uderzyć przeciwnika w ucho ujemną liczbę razy!

Nierówności

W nierównościach mogą występować dwie zmienne

Potrzebuję pomocy — 103 000 € to za mało na rozgrywającego…

Karolina chciałaby wybrać inną formację defensywną. Dzięki temu miałaby więcej pieniędzy na rozgrywającego. Teraz jednak są dwie rzeczy, których Karolina nie wie…

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja Strona gówna

Karolina anulowała wybór formacji defensywnej i dzięki temu uzyskała nieco więcej pieniędzy.

Wieci ze wiata

Liga

Aktualnoci

Pozycja Formacja defensy wna

Nazwisko

Pensja

Biegacz

Michał Abramowicz Edmund Fredro Ryszard Wolańsk i

197 000 € 212 000 €

Razem

564 000 €

Skrzydłowy Kopacz

155 000 €

Rozgrywający Karolina może wy najwyżej 1 000 dać co 000 €.

Zaostrz ołówek Użyj informacji zamieszczonych powyżej do opracowania nierówności dla dwóch brakujących pensji: formacji defensywnej i rozgrywającego. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  247

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Koszt formacji

+

Koszt

Twoim zadaniem było opracowanie nierówności opisującej pensje formacji defensywnej i rozgrywającego. +

Koszt

+

Koszt

+

Koszt



1 000 000

skrzydłowego Kopacza rozgrywającego defensywnej biegacza ............................................................................................................................................................................................... 333 000 + 197 000 + 212 000 + 155 000 + r 1 000 000 ............................................................................................................................................................................................... ygnowała Karolina zrez formacji. d + 197 000 + 212 000 + 155 000 + r 1 000 000 j te ............................................................................................................................................................................................... u or z wyb

Oznaczmy tę zmienną przez d.

d + 564 000 + r 1 000 000 ............................................................................................................................................................................................... -564 000 + d + 564 000 + r 1 000 000 - 564 000 ............................................................................................................................................................................................... d + r 436 000 ............................................................................................................................................................................................... a Oto nasza końcow nierówność.

Co powinnam z tym zrobić? Zastosować podstawienie? wiamy Za r podsta . 185 000

Podstawienie to prawie zawsze dobry pomysł. Załóżmy na przykład, że znalazłeś rozgrywającego, który chce zarabiać 185 000 €. Po podstawieniu tej wartości do nierówności otrzymasz inną nierówność, którą będzie można wykorzystać do obliczenia pensji formacji defensywnej — d.

248

Rozdział 6.

d + 185, 000 # 436, 000 - 185, 000 + d + 185, 000 # 436, 000 - 185, 000 d # 251, 000 Tutaj nie musisz odw rac znaku nierówności, pon ać to jest odejmowanie. ieważ

ota Teraz wiemy, jaka kw up zak na nam ała ost poz formacji defensywnej.

Nierówności Czy za każdym razem trzeba stosować metodę prób i błędów? To wydaje się bardzo nieefektywne. Czy istnieje jakiś inny sposób?

Pamiętasz wykresy? W przypadku równań z dwiema niewiadomymi wykres pokazywał całą linię rozwiązań. Zatem wykres jest w istocie sposobem zobrazowania rozwiązań równania. Spróbujmy narysować wykres dla prostej nierówności. W tym przypadku należy pamiętać o kilku sprawach: 1

Kiedy rysujesz wykres nierównoci, zacznij od prostej. Narysuj wykres nierówności w taki sam sposób, w jaki narysowałbyś wykres równania.

2

Okrel zakres, w jakim mieszcz si rozwizania nierównoci. Czy odpowiedzi znajdują się powyżej, czy poniżej linii? Czynność ta jest podobna do rysowania wykresów na osi liczbowej: pomyśl, jaka jest relacja odpowiedzi do narysowanej prostej.

To tylko pewne wskazówki na początek. Wkrótce powiemy o szczegółach!

3

Zaznacz stron prostej, po której znajduj si rozwizania. Możesz użyć do tego linii przerywanych, linii ciągłych, cieniowania… wszystkiego, czego chcesz.

Zaostrz ołówek Spróbuj narysować wykres nierówności na poniższym układzie współrzędnych.

y > 3x + 2 Jeśli masz taką potrzebę, użyj tego miejsca do obliczeń.

Postaraj się zrobić to tak, jak umiesz. O szczegółach opowiemy na następnej stronie.

jesteś tutaj  249

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie To jest prosta przechodząca przez punkt.

Twoim zadaniem było narysowanie wykresu nierówności. Jak należało to zrobić? Oto prawidłowy sposób wykonania wykresu:

y > 3x + 2

cia z osią y) b (punkt przecię

m (nachylenie)

Ponieważ y jest większe od równania liniowego, zacieniowaliśmy obszar odpowiadający większym wartościom zmiennej y.

nkt Wykorzystując pu y, przecięcia z osią sie punkt zaznacz na wykre(0, 2). o współrzędnych

Korzystając z wartości nachylenia, wznieś się o 3 jednostki na odległości 1 — zaznacz drugi punkt o współrzędnych (1, 5).

Tu jest prosta.

Rozwiązaniem nierówności jest y CAŁY zacieniowany obszar. Każd punkt wewnątrz tego obszaru spełnia nierówność.

250

Rozdział 6.

Linia jest przerywana, ponieważ w nierówności jest symbol „większy niż”, a zatem większy niż linia — punkty na linii nie należą do rozwiązania.

Nierówności

Korzystaj z wykresu w celu wizualizacji rozwiązań nierówności Rysowanie wykresów nierówności z dwiema zmiennymi przypomina rysowanie wykresów dla równań, ale wymaga nieco więcej cieniowania (rozwiązywanie nierówności także jest podobne do rozwiązywania równań). W przypadku nierówności wykreślenie całego zbioru rozwiązań wymaga wykonania następujących czynności: 1

Rozpocznij od ułożenia prawidłowej nierówności z dwiema zmiennymi. Należy wyizolować zmienną na osi pionowej (zazwyczaj y).

2

Zdecyduj, jaki będzie format linii:


- 4.5 , +2 3.,2 >- 2.5 , Zobacz! Punkt ć! spełnia nierównoś

Wszystkie pary uporządkowane należące do zacieniowanego obszaru spełniają nierówność.

Nierówności :

7

?

KTO CO ROBI? 7

Dopasuj każdą z nierówności do jej wykresu. Uważaj! Nie wszystkim nierównościom odpowiadają wykresy!

Nierówność

Wykres

t > 2 ^d - 0.5 , h

y-3>x-7

y $- x -3 2

y > 2 ^ x - 0.5 , h

y #- x -3 2

y-3 $ x-7

jesteś tutaj  253

Kto co robi: rozwiązanie :

7

?

KTO CO ROBI? ROZWIĄZANIE

7 Dopasuj każdą z nierówności do jej wykresu. Uważaj! Nie wszystkim nierównościom odpowiadają wykresy!

Nierówność

Wykres

t > 2 ^d - 0.5 , h

y-3>x-7 Nierówność jest podobna do pierwszego wykresu, ale znak nierówności nie jest prawidłowy.

y $- x -3 2 W tej nierówności są niewłaściwe zmienne (nie są to zmienne t i d).

y > 2 ^ x - 0.5 , h

y #- x -3 2

y-3 $ x-7

254

Rozdział 6.

Wykres tej nierówności jest podobny do drugiego wykresu po prawej, ale powinien zawierać ciągłą linię.

Nierówności

A zatem mogę stworzyć wykres dla pozostałych graczy. Następnie spojrzeć na tabelę i wykres, aby stwierdzić, jakie możliwości mi pozostały.

Zaostrz ołówek Nierówność z wcześniejszych obliczeń…

dd + + qr # 436, 000

Narysuj wykres dla nierówności Karoliny. Najpierw musisz wyrazić d w zależności od r. Układ współrzędnych wykreśliliśmy w taki sposób, aby odpowiadał naszemu problemowi. Zawsze należy pamiętać o odpowiednim zaznaczeniu wartości.

r

jesteś tutaj  255

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Narysuj wykres dla nierówności Karoliny. Najpierw musisz wyrazić d w zależności od r. Układ współrzędnych wykreśliliśmy w taki sposób, aby odpowiadał naszemu problemowi. Zawsze należy pamiętać o odpowiednim zaznaczeniu wartości.

dd + + qr # 436, 000 -r + d + r

436 000 - r

d

436 000 - r To oznacza, że nachylenie wynosi –1.

ą d Punkt przecięcia z osi ma wartość 436 000.

W tym przypadku rozwiązania mog być tylko dodatnie (rozgrywający ą nie będzie przecież płacił swojemu pracodawcy).

r

ny obszar Cały zacienio ność. ów er spełnia ni

z Każdy punkt zaznaczony wewnątr zacienionego obszaru spełnia nierówność.

256

Rozdział 6.

Nierówności

Czy jesteście gotowi na trochę futbolu? Teraz, korzystając z wykresu, pomóż Karolinie w dokonaniu wyborów. Najpierw wybierz formację defensywną, a następnie zobacz, na jakiego rozgrywającego możesz sobie pozwolić. Aby skorzystać z wykresu, wybierz formację defensywną i zaznacz związane z nią koszty na osi d. Następnie odczytaj wartości r spełniające nierówność.

Formacje defensywne Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Stalowi Kruk i

Postaraj się jak najbardziej zbliżyć do kwoty wszystkich pieniędzy, które Karolina ma do wydania.

250 000 €

Rozgrywający Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielski

208 200 € 175 000 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

Tutaj wybierz formację defensywną…

…i spójrz na tę oś, aby odczytać z niej maksymalną pensję rozgrywającego.

r

OK. A więc kogo mam wybrać? Potrzebuję formacji defensywnej i rozgrywającego!

Formacja defensywna:

Rozgrywający:

jesteś tutaj  257

Karolina ma zespół

Świetnie! Orły to doskonała formacja defensywna, a Daniel Drzycimski otrzymał w tym roku nagrodę Heismana!

Formacje defensywne

Rozgrywający

Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Nazwisko Tomasz Jagielski

208 200 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Eryk Hetman

175 000 €

Stalowi Kruk i

250 000 €

Koszt

Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

ztu 300 000 €. To jest punkt dla kos jącego za cenę wa gry roz Możesz kupić do 150 000 €.

Ponieważ pensja Orłów wynosi 200 000 €, Twój rozgrywający może zarabiać nawet do 250 000 €.

r

258

Rozdział 6.

Nierówności

Ten rozdział dotyczył nierówności algebraicznych.

Mniejszy niż


550 €

Tyle wynosi wysokość miesięcznej raty dla opcji nr 1.

Nie stać mnie na tyle! A co z dłuższymi okresami spłaty? Naprawdę chcę mieć ten samochód!

444

Rozdział 11.

Teraz powinno się udać obliczenie tej wartości.

Na tyle Marek może sobie pozwolić.

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Sprawdź, czy Marek będzie mógł sobie pozwolić na dowolną z pozostałych opcji czasu spłaty — okres 4-letni lub 5-letni.

Opcja nr 2: 4 lata przy stawce oprocentowania 3,5%. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

Opcja nr 3: 5 lat przy stawce oprocentowania 4,0%. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  445

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było sprawdzenie, czy Marek będzie zdolny do spłaty pożyczki w terminie czterech lub pięciu lat. Podstawienie do równan utworzonego wcześnie ia j.

Opcja nr 2: 4 lata przy stawce oprocentowania 3,5%.

O

= (p •K )n

Uważaj na przecinek dziesiętny w tym miejscu.

(24 000 + 3 360)

= 570

4 •12 proste 0 .................................................................................................................................................................................................. 570 € > 550 € Oproste = (0,035 •24 000)4 .................................................................................................................................................................................................. O

= (840)4

proste Taka wysokość miesięcznej raty .................................................................................................................................................................................................. jest

wciąż za wysoka. Marek ma nadz że następna opcja będzie do przyieję, jęcia! ..................................................................................................................................................................................................

Oproste = 3360

To jest łączna kwota odsetek do zapłacenia w ciągu całego okresu spłaty pożyczki.

Marek będzie winien 28 800 €… kapitał plus 4 800 € odsetek.

Opcja nr 3: 5 lat przy stawce oprocentowania 4,0%.

(24 000 + 4 800)

= 480 5 •12 .................................................................................................................................................................................................. Oproste = (p •K0)n

O

= (0,04 •24 000)5

O

= (960)5

480 €

550 €

< proste .................................................................................................................................................................................................. Świetnie! Taka rata odpowiada!

d, jeśli zaciągnie pożyczkę o najdłużsiąc Oproste = 4 800 okresie spłaty. Co więcej, co mies .................................................................................................................................................................................................. zostanie mu 70 €. ochó proste .................................................................................................................................................................................................. Marek może sobie pozwolić na samzym

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jaka jest rzeczywista cena samochodu, jeśli uwzględnimy odsetki różnych opcji kredytu? Co by było, gdyby Marek mógł dokonać pierwszej wpłaty w wyższej wysokości? Co by było, gdyby poczekał dłużej, tak by mógł płacić więcej, kiedy już dostanie pracę?

446

Rozdział 11.

Algebra w praktyce Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego równanie odsetek jest tak skomplikowane? O: Równanie, które wykorzystaliśmy do obliczania odsetek, to

standardowe równanie służące do obliczania odsetek prostych. W rzeczywistości nie jest ono skomplikowane, chociaż dodatkowe litery i oznaczenia powodują, że na pierwszy rzut oka wydaje się ono złożone.

P: W jaki sposób działa równanie do obliczania odsetek? O: Równanie: O = (pxK )n jest właściwie dość proste. Mówi proste

0

ono, że całkowita kwota odsetek pożyczki jest równa stopie procentowej pomnożonej przez pożyczoną kwotę i czas, na jaki pożyczono pieniądze.

P

: Podczas obliczania odsetek okazało się, że przy pięcioletnim okresie spłaty trzeba oddać więcej pieniędzy, ale miesięczna rata jest niższa. Dlaczego tak jest?

O

: W przypadku pożyczek tego rodzaju czas spłaty ma większy wpływ na wysokość spłacanej kwoty od stopy odsetek. Dodanie roku spłaty do pożyczki to 12 dodatkowych rat. To znacznie więcej odsetek, ale są one rozłożone na dodatkowych 12 miesięcy. W efekcie miesięczna rata jest niższa.

Warto zapamiętać, że pożyczka zaciągnięta na dłuższy okres dość znacząco podniesie cenę samochodu. Krótsza pożyczka oznacza mniej odsetek, a tym samym niższy całkowity koszt. Krótszy okres spłaty jest lepszy, jeśli możemy sobie na niego pozwolić.

Co z tego wynika? Na koszty pożyczki składają się dwie rzeczy: wysokość stopy procentowej oraz czas, na jaki pożyczamy pieniądze.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

W przypadku rozwiązywania praktycznych problemów w równaniach często trzeba wprowadzać ograniczenia i przekształcać je na funkcje.

Q

Obliczanie odsetek polega na wyznaczeniu niewiadomej z równania.

Q

Z równania odsetek wynika, że czas spłaty pożyczki i oprocentowanie mają wpływ na wysokość miesięcznej raty.

Q

Ubezpieczenie samochodu jest stałą, a nie zmienną. To stała kwota.

Stać mnie na pięcioletnią pożyczkę. To niezwykłe! Teraz mogę sobie kupić samochód!

jesteś tutaj  447

Uważaj na spadek wartości

Marek jeszcze nie jest właścicielem tego samochodu… Marek jest gotów do zakupu. Może wpłacić 1000 € pierwszej wpłaty oraz zaciągnąć na pięć lat kredyt oprocentowany na 4% z ratą miesięczną. Stać go nawet na wykupienie polisy ubezpieczeniowej. Jest jednak jeszcze coś, co należy wziąć pod uwagę…

Zgadzasz się na finansowanie za pomocą kredytu na oferowanych przeze mnie warunkach? Jak chcesz. Ale kolego, co z ubezpieczeniem GAP? Potrzebujesz go, wiesz? Nie słyszałeś nigdy o ubezpieczeniu GAP. Przecież nie chcesz, by twój nowy samochód wyglądał tak. Zgadza się?

448

Rozdział 11.

Algebra w praktyce

Czat IM: Samochody trac na wartoci Ten facet oferuje mi co, czego nie rozumiem. Co to jest ubezpieczenie GAP, o którym on mówi?

Jola

Có, wiesz przecie, e samochody bardzo szybko trac na wartoci. Problem polega na tym, e samochody najwicej trac na wartoci na pocztku. Dlatego byskawicznie s warte mniej, ni si poyczyo. Naprawd? Czy to znaczy, e Marek bdzie winien bankowi wicej pienidzy?

Jola

Krystyna

Nie, Marek w rzeczywistoci nie bdzie winien bankowi wicej, tylko jego samochód bdzie wart znacznie mniej. Ten mechanizm dziaa nastpujco: powiedzmy, e Marek poyczy 28 800 €, których potrzebowa na zakup samochodu (24 000 € plus odsetki). Z powodu spadku wartoci samochód bdzie wart okoo 20 000 € natychmiast po wyjedzie od dilera. Janek

A zatem gdyby Marek mia wypadek w drodze od dilera do domu, to dostaby z agencji ubezpieczeniowej 20 000 €, poniewa tyle byby wart jego samochód. Czy pomimo to w dalszym cigu byby winien bankowi 28 800 €? Wydaje si, e to niesprawiedliwe… Krystyna

Có, nie do, e byby winien bankowi 8800 €, to jeszcze nie miaby samochodu. Jola

Wanie. To, co próbuje sprzeda handlarz, nazywa si ubezpieczeniem GAP. Pokrywa ono rónic pomidzy wartoci samochodu a kwot, jak nabywca jest winien bankowi. Krystyna

Ale to kolejna rzecz do zapaty. Czy Marka na to sta? Czy warto kupi takie ubezpieczenie? ...

Jola

Janek

Trzeba przytoczy kilka liczb, aby to obliczy…

jesteś tutaj  449

Oblicz, ile jest wart samochód Marek jest winien bankowi 24 000 € plus 4800 € odsetek.

ąg Załóżmy, że Marek otrzymał wyci … czki poży jej swo y cząc doty u bank z oto jak mógłby on wyglądać.

28 800 €

Saldo kredytu Cena samochodu rocznik 2009 to — bieca, zdewaluowana war

20 000 €

Po wyjeździe z parkin gu u dilera samochód Marka jest wart tylko 20 000 €.

Deprecjacja to smutna rzeczywistość Przedmioty szybko się starzeją… zwłaszcza samochody. Opony, hamulce, płyny i silnik zużywają się wraz z każdym przejechanym kilometrem. Dlatego właśnie używane samochody są tańsze od nowych. Deprecjacja to pojęcie opisujące ubytek wartości samochodu. Zdeprecjonowana wartość to cena samochodu pomniejszona o kwotę deprecjacji. Inaczej mówiąc, jest to wartość samochodu w określonym momencie. Niestety, samochody tracą około 20% swojej wartości natychmiast po wyjeździe od sprzedawcy. Następnie tracą pozostałą swoją wartość w ciągu około 10 lat. Po tym okresie są w zasadzie nic niewarte.

owana w wielu To jest funkcja zdefini łeś, co to nia pom Za ch! iała edz prz cji znajdziesz znaczy? Więcej informa 10. ale w rozdzi

Bank w dalszym ciągu ma swoje pieniądze Wartość samochodu spada szybciej niż tempo, w jakim spłaca się kredyt. Istnieje zatem różnica pomiędzy kwotą, jaką jesteśmy winni bankowi, a wartością samochodu.

Kwota długu spada ze stałą szybkością, w miarę jak co miesiąc spłacamy bankowi raty.

450

Rozdział 11.

Istnieje luka… ró pomiędzy wartośc żnica samochodu a kw ią otą, którą jesteśmy winni bankowi.

LUKA Samochód jest jednak zwykle wart mniej od kwoty długu.

Algebra w praktyce

Ćwiczenie

W celu wymodelowania luki musisz określić kilka funkcji. Napisz funkcję salda pożyczki Marka, a następnie funkcję deprecjacji zdefiniowaną w kilku przedziałach. Nie zapominaj o dziedzinach. w(t) Obie funkcje będą oznaczone jako u. czas od ci żnoś zale w ość — wart

Saldo kredytu: ........................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... Załóżmy, że samochód traci na wartości równomiernie w ciągu 10 lat… poza pierwszym spadkiem o 20%.

Zdeprecjonowana wartość samochodu: ............................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. Dziedzina: ...............................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  451

Ćwiczenie: rozwiązanie

W celu wymodelowania luki musisz określić kilka funkcji. Napisz funkcję salda pożyczki Marka, a następnie funkcję deprecjacji zdefiniowaną w kilku przedziałach. Nie zapominaj o dziedzinach.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

a Ten zapis oznacz wartość pożyczki w funkcji czasu.

Znak minus oznacza, że spłata każdej raty zmniejsza kwotę długu.

t 480 miesięcznie razy cy. się mie ba licz — Saldo kredytu: ........................................................................................................................................................................

w(t) = 28 800 – 480t

Ta liczba oznacza całkowity koszt pożyczki: kapitał plus odsetki, które obliczyliśmy wcześniej. ..................................................................................................................................................................................................

Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... 0 t 60 Dziedzina tej funkcji rozpoczyna się w chwili, kiedy Marek kupił samochód, i trwa 60 miesięcy (pięć lat) — tyle wynosi okres spłaty pożyczki.

Fragment nr 1 funkcji

Początkowa wartość samochodu

minus deprecjacja

0% oznacza 2 Ten wyraz ej wartości w o początk u razy t. samochod

w(t) = 25 000 – 0,2(25 000)t Zdeprecjonowana wartość samochodu: ...............................................................................................................................

Ta relacja jest prawdziwa

w(t) = 25 000 – 5000t 0 t < 1 tylko dla pierwszego .................................................................................................................................................................................................. mies

iąca — fragment nr 1 Najpierw oblicz, ile funkcji. Fragment nr 2 jest wart samochód po = 25 000 – 0,2(25 000) = 20 000 funk cji pierwszym spadku ceny. .................................................................................................................................................................................................. Nowa wartość początkowa

w(t) = 20 000 –

0,1

(20 000)t

Wiemy, że cena samochodu

spada w ciągu 10 lat. Średni 12 .................................................................................................................................................................................................. spadek wartości wynosi zatem To w dalszym ciągu jest funkcja 10% rocznie. wartości samochodu w czasie, w(t) = 20 000 – 166t ale dla t > 1. .................................................................................................................................................................................................. Podziel tę wartość przez 12, aby przekształcić stopę roczną 2 t 60 Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... na miesięczną. Ta relacja jest prawdziwa dla pozostałego czasu życia pożyczki: 60 miesięcy.

Podsumujmy — uzyskujemy czny obraz funkcji opisujcej „luk”:

25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 } w ^t h = { 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60 w(t) = 28 800 - 480t 0 # t # 60 452

Rozdział 11.

Układy równa funkcji rozwiąń i układy dokładnie tak zuje się samo.

Funkcji!

To jest układ równań ! Z technicznego punktu widzenia równania są przecież funkcjami.

Algebra w praktyce Hej! To zwykły układ równań. Jeśli narysujemy jego wykres, będziemy mogli „zobaczyć” lukę i znajdziemy miejsce, w którym się ona kończy.

Narysuj wykresy! Narysuj wykres obu funkcji, aby „zobaczyć” lukę. Zaczęliśmy za Ciebie, wykreślając pierwszą część wykresu deprecjacji. Deprecjacja

25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 w ^t h = { } 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60

Saldo kredytu

W(t) w = 28 800 - 480t 0 # t # 60

w(t) 35 000

30 000

25 000

To jest fragment funkcji deprecjac nr 1 ji.

20 000

15 000

10 000

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

jesteś tutaj  453

Narysuj wykres: rozwiązanie

Narysuj wykresy! Rozwizanie

Twoim zadaniem było narysowanie wykresu układu równań reprezentującego lukę. Jakie efekty uzyskałeś? 25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 w ^t h = { } 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60

Deprecjacja

Saldo kredytu

W(t) w = 28 800 - 480t 0 # t # 60

w(t) 35 000

30 000

Saldo kredytu Ten punkt przecięcia odp punktowi w czasie, kie owiada Marka kosztuje dokład dy samochód ile Marek jest winien nie tyle, bankowi.

25 000

20 000

15 000

10 000

Deprecjacja

To jest luka! Odległość pomiędz y tymi liniami oznacza kwotę, któr ą Marek będzie winien w dowolnym momencie. Począwszy od mniej więcej 28. ie miesiąca, samochód Marka będz en wini jest ek Mar niż ej, więc wart lem bankowi. W tym przypadku prob ubezpieczenia przestaje istnieć.

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

ości przez ponad Marek ponosi ryzyko „luki” w wartLepiej jeźdź lata! dwa d pona To . ięcy 25 mies ostrożnie, Marku…

454

Rozdział 11.

40

45

50

55

60

Algebra w praktyce

Hej, wystarczy już dziwacznych liczb. Wiecie teraz, że nie radziłem wam źle. Podpiszcie opcję nr 2 i nie będziecie się musieli więcej martwić problemem luki…

sy i opłaty re k o — P A G ie Ubezpieczen dzy wartością icę pomię nie pokryje różn ypadku. To ubezpiecze ytu w sytuacji w ed kr ą ot kw a samochodu

Option #1 18-miesięczna

ochrona — 20

Option #2

€ miesięcznie

ęcznie

a — 60 € miesi

3-letnia ochron

Co powinien zrobić Marek? Czy powinien wykupić ubezpieczenie GAP? Jeśli tak, to która opcja jest lepsza? jesteś tutaj  455

Wybierz właściwy okres ochronny

Dzięki algebrze nie musisz bawić się w ZGADYWANIE Marek zdecydowanie potrzebuje ubezpieczenia GAP w celu ochrony w okresie, kiedy jego samochód będzie wart mniej, niż Marek jest winien bankowi. Którą opcję powinien jednak wykupić? Pierwszą czy drugą? Dzięki wykresowi, funkcjom i Twoim diabelskim umiejętnościom z algebry możesz to wyliczyć. Musisz określić maksymalne potencjalne ryzyko Marka w dowolnym czasie oraz wziąć pod uwagę, ile kosztują poszczególne opcje ubezpieczenia GAP. Powinieneś również wziąć pod uwagę miesięczny budżet Marka oraz całkowity koszt każdej opcji ubezpieczenia GAP.

Ubezpiecz enie GAP T

Option

3-letnia

#2 ochrona

…pamiętaj jednak o kontekście problemu Najpierw powinniśmy się dowiedzieć, na jaki wydatek może sobie pozwolić Marek, biorąc pod uwagę kwotę rat kredytu oraz wcześniejszych ubezpieczeń. Nie jest to jednak jedyna rzecz, o którą Marek musi się martwić. Oto co należy zrobić: 1

Oblicz, na jaki wydatek sta Marka. Oblicz, ile pozostaje mu pieniędzy po dokonaniu zakupów, i sprawdź, czy stać go na którąkolwiek z opcji ubezpieczenia GAP.

2

Oblicz koszty opcji nr 1. Oblicz najgorszy przypadek luki w ciągu pierwszych 18 miesięcy (to jest ryzyko, jakie ponosi Marek) oraz całkowitą kwotę, jaką będzie musiał zapłacić Marek za tę opcję ochrony ubezpieczeniowej.

3

Oblicz koszty opcji nr 2. Oblicz najgorszy przypadek luki w okresie pomiędzy 18. miesiącem a 3 latami (to jest dodatkowe ryzyko, przed którym chroni opcja nr 2) oraz całkowitą kwotę, jaką będzie musiał zapłacić Marek w ciągu trzech lat za tę opcję ochrony ubezpieczeniowej.

4

Wybierz najrozsdniejszy wariant. Posługując się nowymi informacjami oraz wykresem luki, zdecyduj, który plan jest najbardziej rozsądny. Jaką opcję powinien wybrać Marek?

456

Rozdział 11.

— okres

o ubezp ieczenie po samocho du a kwo kryje różnicę po między w tą kredyt artością u w sytu acji wyp Option adku. #1 18-miesi ęczna och rona — 20 € mie sięcznie

— 60 € m

iesięcznie

y i opłaty

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Wykorzystaj to miejsce do wykonania obliczeń dotyczących problemu ubezpieczenia GAP Marka.

1

Oblicz, na jaki wydatek stać Marka. ................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 2

Oblicz koszty opcji nr 1. ...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 3

Oblicz koszty opcji nr 2. ...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 4

Wybierz jedną z opcji!.......................................................................................................................................................

jesteś tutaj  457

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było wybranie najlepszej opcji ubezpieczenia GAP dla Marka.

(24 000 + 4 800)

= 480 5 • 12 1 Oblicz, na jaki wydatek stać Marka. ................................................................................................................................ 480 € < 550 € onie 446, Obliczyliśmy to na str wariant Świetnie! Taka rata odpowiada! Marek może .................................................................................................................................................................................................. kiedy Marek wybierał sobie pozwolić na samochód, jeśli zaciągnie pożyczkę o najdłuższym okresie spłaty. Dodatkowo pozostanie mu 70 €.

kredytu.

.................................................................................................................................................................................................. 2

Oblicz koszty opcji nr 1. ................................................................................................................................................... Największa luka występuje w ciągu pierwszych

18 miesięcy — po początkowym spadku ceny. Wysokość spadku wynosi około 8000 €. ..................................................................................................................................................................................................

Liczba miesięcy

Miesięczna składka

Składki do zapłacenia = 18(20) = 360 €

ji nr 1 Razem składki przy opc

Mak

symalne ryzyko, .................................................................................................................................................................................................. jakie pono si Marek

Składka wynosi 20 € miesięcznie, na co Marek bez trudu może sobie pozwolić.

.................................................................................................................................................................................................. A zatem za kwotę 360 € Marek zabezpiecza maksymalne możliwe ryzyko utraty 8000 €. ..................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. 3

Najgorsza luka w okresie pomiędzy 18. miesiącem a 3 latami wynosi około 2000 €. Oblicz koszty opcji nr 2. ...................................................................................................................................................

Liczba miesięcy

Miesięczna składka

Całkowite maksymalne ryzyko ji nr 2 Razem składki przy opc w dalszym ciągu wynosi 8000 € € Składki do zapłacenia = 36(60) = 2160 .................................................................................................................................................................................................. w ciągu kilku pierwszych miesięcy. Jednak pomiędzy miesiącem 18. a 19. maksymalne Składka wynosi 60 € miesięcznie, na co Marek również może sobie pozwolić. ryzyko niezabezpieczone przez .................................................................................................................................................................................................. opcję nr 1 wynosi 2000 €. Za całkowitą kwotę 2160 € Marek zabezpiecza to samo ryzyko 8000 €, jak w opcji 1. .................................................................................................................................................................................................. Dodatkowo zabezpiecza ryzyko utraty 2000 €, która mogłaby nastąpić po upływie okresu ochrony planu nr 1. ..................................................................................................................................................................................................

4

458

Nie warto wybierać opcji nr 2! Marek musiałby zapłacić dodatkowo 1800 € Wybierz jedną z opcji!.......................................................................................................................................................

(koszt opcji nr 2–koszt opcji nr 1), aby zabezpieczyć dodatkowe ryzyko utraty 2000 €. A zatem zapłacenie dodatkowych składek pozwoliłoby Markowi potencjalnie zaoszczędzić 200 €! Lepiej wybrać opcję nr 1 i ostrożnie jeździć pomiędzy 19. i 28. miesiącem!

Rozdział 11.

Algebra w praktyce

w(t) 35 000

30 000

Saldo kredytu

Ten punkt przecięcia odpowiada punktowi w czasie, kiedy samochó d Marka kosztuje dokładnie tyle, ile Marek jest winien bankowi.

25 000

20 000 Deprecjacja

15 000

10 000

Począwszy od mniej więcej 28. ie miesiąca, samochód Marka będz en wart więcej, niż Marek jest wini lem bankowi. W tym przypadku prob ubezpieczenia przestaje istnieć.

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

. Marek ponosi ryzyko „luki” w wartości przez ponad 25 miesięcy To ponad dwa lata! Lepiej prowadź ostrożnie, Marku…

Opcja nr 1

Opcja nr 2

jesteś tutaj  459

Przebiegnij rundę honorową

Marek chce Ci płacić za to, byś stał się jego planistą finansowym Marek jest podekscytowany tym, że pomogłeś mu zaoszczędzić tyle pieniędzy, a jednocześnie zdobyć samochód swoich marzeń. Obiecał nawet w dalszym ciągu korzystać z Twoich usług doradcy przy podejmowaniu decyzji finansowych… i powiedzieć o Tobie swoim przyjaciołom! Aby doradzić Markowi, wykorzystałeś wiele zaawansowanych umiejętności algebraicznych:

Przedstawianie równa w kontekcie zmiennych. Korzystanie z funkcji z ograniczeniami dla dziedziny i przeciwdziedziny. Rysowanie wykresów funkcji i czytanie wyników. Rozwizywanie ukadów równa i funkcji.

Przyjechałem tutaj moim nowym samochodem! Jestem zabezpieczony przed wypadkiem we wczesnym okresie posiadania samochodu i stać mnie na opłaty. Nie ma problemu. Twoje rady były doskonałe! Hej! My też chcemy skorzystać z Twoich usług. Jakie są Twoje warunki?

Możesz otworzyć firmę! Dzięki Twojemu sukcesowi z Markiem w kolejce ustawiło się wiele osób, które tylko czekają, aby zapłacić Ci za porady finansowe. Najlepiej będzie, jeśli otworzysz biuro… i wykorzystasz algebrę do zaplanowania swojej własnej finansowej przyszłości!

460

Rozdział 11.

Tak. Tylko pięć. Do tej pory bardzo wiele się nauczyłeś…

Dodatek A Pozostaoci

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy) Mimo że zjedliśmy to wszystko, trochę jeszcze zostało.

Wiele nauczyłeś się z tej książki, ale algebra może zaoferować Ci jeszcze więcej. Nie bój się. To już prawie koniec! Przedtem jednak musimy wypełnić jeszcze kilka luk. Następnie będziesz mógł zacząć poznawać algebrę zaawansowaną, ale to już zupełnie oddzielna książka.

to jest dodatek  461

Potęgi o wykładnikach ujemnych

Numer 1. Potęgi o wykładnikach ujemnych Wspominaliśmy o nich w rozdziale 3. Dla szybkiego przypomnienia pokażemy, jak wyglądają potęgi o wykładnikach ujemnych:

1 x-a = x a Jeśli połączysz tę regułę z zasadą mnożenia wyrazów wykładniczych, nauczysz się także dzielić wyrażenia wykładnicze. Robi się to w następujący sposób:

xa = xa-b b x Co się tu dzieje? Problem sprowadza się do upraszczania wyrazów… oto prosty przykład, w którym możesz zaobserwować, na czym polega skracanie:

g Rozwinięcie potę

Zastosowanie reguł dzielenia wyrażeń wykładniczych

]2 : 2g 22 1 = 22 4 = ]2 : 2 : 2 : 2g 2 Ponieważ obydwa sposoby są prawidłowe, uzyskane odpowied zi są takie same.

2 2 2 2 - 4 2 -2 = = 24

Potęga o wykładniku ujemnym oznacza dzielenie jedynki przez wyraz podniesiony do potęgi dodatniej (o przeciwnym wykładniku). Potęgi o wykładniku ujemnym zapewniają doskonały sposób pozbycia się ułamków. Każdy ułamek można zapisać w postaci potęgi o wykładniku ujemnym i postępować z nim w taki sam sposób, w jaki postępuje się z każdą inną potęgą.

Potęgi o wykładniku ujemnym umożliwiają pozbycie się ułamków. 462

Dodatek A

Weź potęgę…

Ogólny wzór:

x - a = 1a x

…i umieść ją w mianowniku, bez znaku minus.

Pozostałości

Obliczenia z potęgami o wykładnikach ujemnych Jedyna różnica między postępowaniem z potęgami o wykładnikach ujemnych a działaniem ze zwykłymi potęgami polega na obserwowaniu znaku. To są reguły postępowania z potęgami opisane w rozdziale 4.

Dla przykładu przeanalizujmy tę regułę…

a+b xa xb = x a x a y a = ^ xy h

xax-b = xa+(-b) Zasady są takie same. Należy jedynie uważać na znaki!

^ x ah = x ab b

1 x a = x a - b lu b xb - a or x xb a xa = c x m y ya x0 = 1

To samo można zrobić dla pozostałych działań na tej liście.

x1 = x 1 x -a = x a x (1/a) =

a

x

Potęgi o wykładnikach ujemnych gwarantują nowe możliwości Jeśli napotkasz wyrażenie potęgowe w mianowniku, możesz zapisać je w postaci potęgi o wykładniku ujemnym i pozbyć się ułamka. Następnie możesz rozwiązać równanie w dowolny sposób. Na przykład:

5 + 62 ^ x 3h = 5 + 6x - 2 ^ x 3h x To są dokładnie takie same wyrażenia.

jesteś tutaj  463

Tabela wartości

Numer 2. Tabela wartości do tworzenia wykresów O tabeli wartości wspominaliśmy kilka razy, a nawet raz z niej skorzystaliśmy. Czym jednak dokładnie jest tabela wartości? Tabela wartości to zestawienie zawierające obie zmienne występujące w równaniu, pozwalające na łatwe śledzenie wyników dla różnych podstawień. Jest to jeden ze sposobów wyznaczania punktów do tworzenia wykresów. Dla wykresów liniowych tworzenie tabeli zazwyczaj nie jest konieczne, ponieważ do ich wykreślenia potrzeba tylko dwóch punktów. Warto jednak stworzyć taką tabelę dla innych kształtów… Ta tabela pochodzi z rozdziału 9. Pokazuje równanie, wartości zmie x i obliczone wartości zmiennej nnej h.

x

Wyjdź od tych wartości i uzupełnij resztę…

5 8 10 3 0

-x2 + 10x + 75 -(52) + 10(5) +75 -(8)2 + 10(8) + 75 75 -(10)2 + 10(10) + -(3)2 + 10(3) + 75 (0)2 + 10(0) + 75

h 100 91 75 96 75

Tabelę wartości można stworzyć dla dowolnego równania, którego wykres rysujemy, jeśli pomoże ona nam w śledzeniu tego, co się w nim dzieje.

464

Dodatek A

Ponieważ to jest równanie kwadratowe, jego wykresem będzie parabola.

h –x2 + 10x + 75 =

Pozostałości

Numer 3. Równania z wartością bezwzględną Nauczyłeś się wiele na temat przekształcania i rozwiązywania równań. Nie powiedzieliśmy jednak nic o sposobie postępowania z równaniami, w których występuje wartość bezwzględna. Wiesz, jak postępować z wartością bezwzględną z liczby. Co jednak zrobić, jeśli wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej znajduje się zmienna, którą chcesz wyizolować? Równania z wartością bezwzględną, nawet wtedy, gdy zawierają tylko jedną zmienną, mają dwa rozwiązania.

77 = 11 : x

11 da, To musi być prawpadku zy pr w ż poniewa lędnej wartości bezwzg zby. obcinamy znak lic

11

77 = x 11 7= x x = 7 lub x = -7

Co się dzieje, jeśli wewnątrz symboli wartości bezwzględnej występuje więcej niż jeden wyraz? Jeśli tak jest, to przed wykonaniem innych działań należy zinterpretować cały wyraz wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej jako niewiadomą, a następnie ją wyizolować.

Należy zinterpretować wyrażenie „x+3” jako niewiadomą i ją wyizolować.

2+ x + 3 - 2 = 0 +2

x+3 =2

W tym miejscu sprawy się komplikują. Pamiętaj, że znaki wartości bezwzględnej oznaczają, że wartość bezwzględna z całego wyrażenia wewnątrz symbolu jest równa 2. Oznacza to, że wyrażenie wewnątrz symboli wartości bezwzględnej może być równe 2 lub –2!

x+3 =2 x+3=2 -3 + x + 3 = 2 - 3 x =- 1

x + 3 =- 2 -3 + x + 3 =- 2 - 3 x =- 5 lub

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej, należy wyizolować wyrażenie, które ją zawiera, a następnie rozwiązać równania dla dwóch przypadków znaków. Oznacza to, że trzeba rozwiązać dwa równania. jesteś tutaj  465

Mniej kalkulatorów, więcej ćwiczeń

Numer 4. Kalkulatory Ogólnie rzecz biorąc, obliczenia zamieszczone w niniejszej książce można wykonać ręcznie (jeśli dysponujesz odpowiednią ilością papieru). W przypadku użycia kalkulatora wystarczy prosty kalkulator z funkcją potęgowania. Na rynku dostępnych jest wiele kalkulatorów, które pozwalają na rysowanie wykresów, rozwiązywanie równań, a także wyznaczanie pierwiastków równań kwadratowych. Na razie przyjmijmy jednak zasadę:

Nie używaj kalkulatora do rozwiązywania równań!

Celem tej książki i zgromadzonego w niej materiału jest nauczenie sposobu postępowania z podstawowymi równaniami w taki sposób, by Czytelnik rozumiał, co i w jakim celu się wykonuje. Jeśli tylko wprowadzisz dane do kalkulatora, jedynym, czego się nauczysz, będzie sposób posługiwania się kalkulatorem!

W miarę osiągania postępów w matematyce w większym stopniu będziesz potrzebować urządzeń technicznych, ale jeszcze nie teraz!

Numer 5. Dodatkowe ćwiczenia — zwłaszcza w rozkładaniu wyrażeń na czynniki Najlepszym sposobem na ugruntowanie wiedzy zamieszczonej w tej książce jest wykonywanie dodatkowych ćwiczeń. Wykonanie ćwiczeń zamieszczonych w tej publikacji to dobry początek. Powinieneś jednak wziąć zeszyt i popracować samodzielnie. W niniejszej książce opisano wszystkie zasady niezbędne do pracy z większością opracowań z algebry elementarnej. Im więcej będziesz z nimi pracował, tym bardziej na tym skorzystasz. Szczególnie rozkład na czynniki jest czynnością, którą będziesz mógł wykonywać szybciej, im więcej ćwiczeń wykonasz. Zatem ćwicz jak najwięcej…

466

Dodatek A

Dodatek B Przegld zagadnie z algebry elementarnej

Budowa na solidnych podstawach Nie od razu stałam się mistrzynią baletu — najpierw musiałam się nauczyć podstawowych kroków.

Czy kiedykolwiek miałeś wrażenie, że nie wiesz, od czego zacząć? Algebra jest doskonała, ale jeśli chcesz się jej uczyć, musisz dobrze znać reguły rządzące liczbami. Przypuśćmy, że zdałeś sobie sprawę z tego, że zapomniałeś, jak mnoży się liczby całkowite, dodaje ułamki lub dzieli ułamki dziesiętne. W takim razie trafiłeś w odpowiednie miejsce! W tym dodatku umieścimy wszystkie wiadomości z algebry elementarnej, które powinieneś znać — w telegraficznym skrócie.

to jest dodatek  467

Pojęcie liczb

Algebra zaczyna się od liczb Jeśli słyszysz w prognozie pogody, że jest „minus pięć”, wiesz, że jest naprawdę zimno, zimniej niż zero. W przypadku liczb czasem zachodzi potrzeba wskazania, że są mniejsze od 0. Aby to zrobić, przed liczbą stawiamy znak minus. Znak minus

-5

To jest typowa liczba ujemna. Liczby ujemne oznacza się znakiem minus.

A zatem to jest liczba ujemna. Jakie są inne liczby. Te zwykłe? To liczby dodatnie. Oznacza się je poprzez nieumieszczenie żadnego znaku lub umieszczenie znaku plus. Dodatnie lub ujemne liczby bez części ułamkowej to liczby całkowite.

10 5 0 -5 -10

+1

-34 55

-5

-22 To wszystko są przykłady liczb całkowitych.

0

17

Podsumowanie Liczby całkowite — wszystkie liczby ujemne i dodatnie bez części ułamkowej. {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

468

Dodatek B

Obie te liczby są dodatnie.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

W jaki sposób pracuje się z liczbami ujemnymi? Działania z liczbami ujemnymi są podobne do działań z liczbami dodatnimi. Trzeba jedynie obserwować znak liczb, z którymi się pracuje. Pierwszą rzeczą, jaką należy zrozumieć, jest wzajemna relacja zachodząca pomiędzy liczbami ujemnymi i dodatnimi. W określeniu tej relacji pomaga oś liczbowa.

Oś liczbowa

Nierówności zostały omówione.

ojnie Spok

w lewo –3 znajduje się jest od 1, zatem –3 mniejsze niż 1.

-3 < 1

Nie martw się, nierówności zostały opisane w tej książce. Jeśli nie wiesz, co znaczą symbole > (większy niż) lub < (mniejszy niż), to przejdź do pierwszych stron rozdziału 6., który w całości poświęcono nierównościom. Tam znajdziesz omówienie interesujących Cię tematów.

Aby ocenić relacje pomiędzy liczbami całkowitymi, wykreśl obie liczby na osi liczbowej. Liczby znajdujące się z lewej strony zawsze są mniejsze. To dlatego, że lewa strona osi liczbowej jest skierowana w stronę minus nieskończoności — bardzo, ale to bardzo małej liczby. Liczby znajdujące się z prawej strony zawsze są większe. Jest tak, ponieważ im bardziej z prawej strony osi liczbowej się znajdujesz, tym bliżej jesteś plus nieskończoności — olbrzymiej liczby. Jeśli spojrzysz na liczby –3 oraz 1 na osi liczbowej, będzie oczywiste, że –3 to mniej niż 1, ponieważ liczba –3 znajduje się z lewej strony.

Zaostrz ołówek Skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej powyżej w celu wykreślenia relacji, a następnie uzupełnij znaki mniejszy niż bądź większy niż.

-4

4

4 1

-3 -1 jesteś tutaj  469

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej powyżej w celu wykreślenia relacji, a następnie uzupełnij znaki mniejszy niż bądź większy niż.

ze Ujemna wersja liczby będzie zaws mniejsza od jej wersji dodatniej.

znak Jeśli dwie liczby mają ten sam i są dodatnie, to liczba położona z prawej strony jest większa.

-4 < 4 4>1

-3