Gyroscope [PDF]

Zitiervorschau

I.

Objectifs :  Déterminer le moment d’inertie IP du gyroscope en mesurant l’accélération angulaire α.  Déterminer le moment d’inertie IP en mesurant la gyrofréquence WR et la fréquence de précession WP.  Etudier la relation entre précession et la gyrofréquence et sa dépendance vis-à-vis du couple appliquée.

II.

Introduction et compléments : Un gyroscope est tout corps solide en rotation autour d’un point fixe. Le gyroscope considérée est un solide de révolution, de masse Ms, de centre de masse G, constitue d’un disque (D), de masse MD, de rayon R, fixe a une tige qui passe par son centre. Le mouvement de rotation de (S) peut être décompose en trois rotation plein successives autour de trois axe de rotation caractérisées par les trois angles d’Euler :ψ, θ et ϕ.  ϕ : est l’angles de rotation propre qui caractérise le mouvement de rotation du gyroscope (S) autour de l’axe de révolution (Δ) ayant ⃗ pour vecteur directeur.  ψ : est l’angle de précession qui est le mouvement de rotation lent de l’axe de rotation (Δ) du gyroscope (S) autour de vertical de vecteur directeur ⃗ .  θ : est l’angles du nutation qui est le mouvement d’oscillation de l’axe (Δ) autour de la droite D (O, ⃗ ) qui s’appelle axe nodal et de vecteur directeur⃗⃗⃗ . Rotation propre

⃗ ѱ̇ 𝑘

⃗ 𝜑̇ 𝐾

Z

(∆)

⃗ 𝐾

Précession

(D)

⃗ G 𝑴𝑺 𝐠

𝜽 𝑣

O

ѱ

ѱ

𝑢 ⃗

(Tige)

X

Axe nodal La vectrice rotation instantanée de (S) par rapport à (R) s’écrit : ̇ ⃗⃗

⃗

1

̇ ⃗⃗

̇ ⃗⃗⃗

Y

III.

Détermination de moment d’inertie polaire Ip du disque du gyroscope : 1) Principe de l’expérience : Le moment d’inertie d’un gyroscope est étudié en mesurant l’accélération angulaire générée par des couples connues. Dans cette expérience on fixe deux de ses trois axes de gyroscope (wp=0 et wN=0).

2) Partie théorique :

Tige

(∆)

Tambour

(D) 2r

o ⃗ 𝑻

m h



T = m (g – a)

Le vecteur rotation instantanée du gyroscope devient : ̇ ⃗⃗⃗

⃗



Le moment de la force ⃗ par rapport à l’axe orizentale (Δ) est :



Le moment cinétique du disque par rapport à (Δ) est :



Le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe horizontal est :



L’accélération angulaire s’écrit :



D’après le P.F.D. :



L’accélération linéaire s’écrit :

(1)

2

3) Devoir #1 : 1) Recherche bibliographique :  Sur un bimoteurs thermique : une légère variation de tours rendant les moteurs asynchrones crée une instabilité en lacet, un gyroscope sur la dérive permet de compenser rapidement les va et vient du fuselage en lacet. 2) On a :

(

Or :

)

(car m ,g,r,Ip se sont des constants) D’où :

3) On a :

D’où : 4) On a :

D’où :

3

5) On a:

D’où : (

IV.

)

(

)

(

)

(

)

Détermination de la fréquence de précession : 1) Partie de l’expérience : 

La relation entre la fréquence de précession et la gyrofréquence de gyroscope a trois axes libres et examinées pour des couples des différentes valeurs appliquée sur l’axe de rotation.

2) Partie théorique :

Axe nodal

C

O

⃗𝑲 ⃗⃗

ψ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴∗𝑶

m*

(∆) ⃗ 𝝈

ψ

y

⃗𝑷 ⃗

x

z r* 𝑡𝑅

𝑚∗ 𝑔 𝑟 ∗ 𝑡 4𝜋 𝐼𝑃 𝑃 4

3) Devoir #2 : 6)

𝑑𝜎 ⃗⃗⃗⃗0 | 𝑑𝑡 𝑅

⃗⃗⃗⃗⃗0∗ 𝑚∗ 𝑔 𝑀 ⃗ 𝑑𝐾 𝐼𝑃 𝜔𝑅 | 𝑑𝑡 𝑅

𝑑𝜎 ⃗⃗⃗⃗0 | 𝑑𝑡 𝑅 ⃗

⃗

|

⃗

| ̇⃗

⃗ 𝑑𝜎 ⃗⃗⃗⃗0 | 𝑑𝑡 𝑅

̇⃗

∗

On a :

Et D’où : ∗

∗

4 7) 4 4

(

)

Si D’où : (

)

5

⃗

𝑚∗ 𝑔𝑟 ∗

𝐼𝑃 𝜔𝑅 𝜔𝑃 ∗

⃗

8)

9)

On a :

Ce qui implique :

D’où :

V.

Manipulation : .

6

1) Manipulation #1 : détermination du moment d’inertie Ip : 5.  La courbe de tF2 en fonction du h.  Pmin = 0,56 s2/cm  Pmax = 0,58 s2/cm  Pmoy = 0,57 s2/cm  ΔPmoy = 0,01 s2/cm Pmoy = (0,57 ± 0,01) s2/cm 6.  D’où :

Ip = 8,46 .10-3 Kg.m2 7. 

(

)

(

)

(

)

(

)

ΔIp = 0,67 .10-3 Kg.m2 8. 

IP = (8,46 ± 0,67)10-3 Kg.m2

9. 

Ip = 8,47 .10-3 Kg.m2 

(4

)

ΔIp = 0,29 .10-3 Kg.m2 

IP = (8,47 ± 0,29)10-3 Kg.m2 10.

  Cette différence peut résulter aux matériels ou l’utilisateur. 7

2) Manipulation #2 : détermination du moment d’inertie Ip par l’étude de la précession : 11.  La courbe tR-1 en fonction de tP. 12. 

Ip = 9,34 .10-3 Kg.m2 13. 

(

)

ΔIp = 0,33 .10-3 Kg.m2 14. 

VI.

IP = (9,14 ± 0,33)10-3 Kg.m2

Conclusion : 1. Les valeurs du moment d’inertie obtenues avec les différentes méthodes sont presque équivalentes. On peut conclure que Ip est constant quel que soit la méthode. 2. La troisième rotation qui n’a pas étudié c’est la nutation. 3. Les difficultés rencontres pour effectuer ce TP sont des difficultés du matériels et pour améliorer les expériences proposes il faut utiliser des outils modernes et efficace.

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