Compte Rundu Gyroscope [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI Faculté des Sciences EL Jadida

Manipulation : Etude Le Gyroscope.

----> HAMZA ELMAHFOUDHY ----> HICHAM ES-SADIKI ----> OSSAMA EL KHAIRAT GROUP : 3

ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2022/2023

LE GGYROSCOPE I.

Objectif 

Déterminer le moment d’inertie Ip du gyroscope en mesurant l’accélération angulaire α .



Déterminer le moment d’inertie Ip en mesurant la gyrofréquence

ωR

et la fréquence de

précession ωp .



II.

Etudier la relation entre la précession et la gyrofréquence et sa dépendance vis-à-vis du couple appliqué

Introduction et compléments . Un gyroscope est tout corps solide en rotation autour d’un point fixe. Le gyroscope (S) considéré ici (voir figure) Est un solide de révolution, de centre de masse G, constitué d’un disque (D) , de rayon R fixé à une tige qui passe par son centre. Soit (∆) l’axe de révolution du Gyroscope. Pour étudier le mouvement de (S) , on lui attache rigidement un référentiel orthonormé direct arbitraire, Rs(G ; ⃗I , ⃗ J ,⃗ K ) ayant pour origine un point quelconque lié

à (S). Soit R(O ;i⃗ , ⃗j, k⃗ ) le Repère stationner orthonormé. Le mouvement de (S) dans (R) est alors complètement déterminé par le mouvement de (Rs) dans (R). Le mouvement de rotation de (S) peut être décomposé en Trois planes successives autour de trois axes de rotation caractérisées par les trois angles d’Euler : ᴪ,Ⴔ,Ө . Ⴔ : est l’angle de rotation propre. ᴪ : est l’angle de précession. Ө : est l’angle de nutation. Le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (R) s’écrit :

⃗ꭥ ¿

III.

Détermination du moment d’inertie polaire Ip du disque du gyroscope.  Principe de l’expérience Le moment d’inertie d’un gyroscope est étudié en mesurent l’accélération angulaire générée par des couples connus. Dans cette expérience, on fixe deux des trois axes du gyroscope.  Partie Théorique Dans cette partie, on fixe deux axes de rotation du gyroscope de telle manière à éliminer les mouvements de rotation de précession et de nutation ( ωp=0 et ωN=0 ). Le gyroscope est alors disposé tel que son axe de rotation propre (∆) soit dirigé horizontalement (voir figure ). On ne s’intéresse donc qu’au mouvement gyroscope par rapport à l’axe (∆). Le gyroscope ne possède qu’un seul degré de liberté. Dans ce cas, le vecteur rotation instantané du gyroscope par rapport au repère fixe (R) devient :

⃗ꭥ ¿ ¿

On enroule autour du tambour de rayon (r) un fil inextensible à l’extrémité du quel on accroche une masse d’entrainement (m) le mouvement de rotation du disque (D) du gyroscope (S) autour de l’axe horizontal (∆) est alors généré par la chute de cette masse (m) tombant sous l’action de son poids à partir d’une certaine hauteur (h).

Le système à étudier est le disque (D) du gyroscope soumis à son poids MD ⃗g et à la tension du fil ⃗ T. Le couple exercé sur le disque (D) du gyroscope ( le moment de la force ⃗ T par rapport à l’axe horizontal (∆) ) est :

Ϭ∆ = Ip ωR

= Thorizontal . r Le mouvement cinétique du disque par rapportM à∆ l’axe (∆) est : Ou Ip désigne le moment d’inertie polaire autour de l’axe de rotation propre (∆) Le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe horizontal est :

L’accélération angulaire, α, s’écrit :

dϬ ∆ =M ∆ dt

d ωR M∆ =α = dt Ip

Selon la loi de l’action et de la réaction, la force qui produit le couple est donnée par la relation suivant :

T = m.(g-ꭤ)

Ou g est l’accélération gravitationnelle terrestre et a est ‘accélération linéaire donnée par :

2h

ꭤ = t²f

h : hauteur de chute de la masse tombante m, tf : temps de chute de la masse m, r  : rayon du tambour. Comme :

ꭤ = rα

T²f =

2 Ip +2 mr ² .h mgr ²

Alors en utilisant les différentes relations ci-dessus, on obtient :

IV.

Détermination de la fréquence de précession

 Principe de l’expérience La relation entre la fréquence de précession et la gyrofréquence du gyroscope à trois axes libres est examinée pour des couples de différentes valeurs appliquées sur l’axe de rotation.  Partie Théorique Le gyroscope, est suspendu pour pouvoir tourner librement autour de ses trois axes principaux. On distinguera deux cas :



Cas 1 : coïncide avec O Si le gyroscope, est mis en équilibre en position horizontal en lui accrochant un contrepoids C. (voir figure )

D’après le théorème du moment cinétique au point O par rapport à (R) :

d ⃗σ o ⃗ = M o ¿es)=0 dt

Par conséquent, le moment cinétique est constant : σ⃗ o=⃗ cst

 Cas 2 : G ne coïncide pas avec O Si maintenant, on ajoute une masse supplémentaire m’’ qu’on place à la distance r’’ du point de support O, alors on induit un couple supplémentaire M’’ que est égale à la variation dans le temps du moment cinétique.

En négligeant la nutation, le vecteur rotation instantané de (S) par rapport à (R) s’écrit dans ce cas ω¿ ⃗

K ωpk⃗ + ω R ⃗

Dans ce cas d’après le théorème du moment cinétique au point O par rapport au repère (R) :

d ⃗σ o dt ⃗ = M } o( {m} ^ {''} widevec {g} ¿ R

Les autres forces ont un moment nul au point O Or : '' '' '' '' '' '' ⃗ M o ( m ⃗g )=r ⃗v Ʌ ( −m . g ) k⃗ =−m . r . g u⃗

APPROXIMATION GYROSCOPIQUE : On suppose que si le gyroscope est mis en rotation rapide autour de son axe de révolution ( ∆ ), avec une vitesse angulaire

ωR, alors, on peut admettre, dans le cadre de cette approximation, que le vitesses

angulaire de précession et de nutation sont très petites par rapport à la vitesse de rotation propre :

ωR

≫

ωp

et

ωR

≫

ωN

Par conséquent, on peut montrer que le moment cinétique est porté par l’axe ( ∆ ) est que :

σ⃗ o=Ip ωR ⃗ K Du à l’influence de ce moment supplémentaire ( qui agit perpendiculairement dans ce cas particulier ), le moment cinétique σ⃗ o se mettra en rotation. Le gyroscope ne bascule pas sous l’influence du

couple supplémentaire, mais réagit perpendiculairement à la force générée par ce couple. Le gyroscope, que maintenant soumis à la gravitation, tourne autour de la verticale et décret le mouvement de précession. m .g .r ωp = Ipω p La vitesse angulaire ωp de la précession s’écrit comme : On a  :

2π

ωp = Tp

On obtient :

et

2π

ωR = T R 1 m .g.r 1 = . Tp TR 4 π ² Ip