Geometrie Clasa A VI-a [PDF]

Zitiervorschau

UNGHIURI ADIACENTE

A

C

O

- au v¼rful comun - au o latur¬ comun¬ - celelalte dou¬ laturi sunt situate de o parte §i de alta fa@¬ de latura comun¬

B

m(ˆAOB) = m(ˆAOC) / m(ˆCOB)

BISECTOAREA UNUI UNGHI A

Este semidreapta cu urm¬toarele propriet¬@i: - are originea ”n v¼rful unghiului - este situat¬ ”n interiorul unghiului - formeaz¬ unghiuri congruente cu laturile unghiului

C

O

B

ˆAOC Á ˆ COB

A N M

O

C

Un punct din interiorul unui unghi propriu apar@ine bisectoarei unghiului « distan@ele de la punct la laturile unghiului sunt egale

ˆAOC Á ˆ COB « [MN] Á [MP] P

B

UNGHIURI SUPLEMENTARE Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care suma m¬surilor este egal¬ cu 180o

B

m(ˆAOB) / m(ˆMNP) = 180o

M

Unghiul MNP este suplementul unghiului AOB. Unghiul AOB este suplementul unghiului MNP. P Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare.

O

A

N

m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 180o

B

Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §i suplementele lor sunt congruente.

A

O

C

UNGHI DREPT Este unghiul congruent cu suplementul s¬u. A

m(ˆAOB) = 90o Orice dou¬ unghiuri drepte sunt congruente. C

O

B

DREPTE PERPENDICULARE b a O

Dreptele a §i b sunt perpendiculare dac¬ formeaz¬ un unghi drept.

a ^ b « m(ˆO) = 90o

UNGHIURI OPUSE LA VŠRF D

Dou¬ unghiuri proprii se numesc opuse la v¼rf dac¬ au laturile ”n prelungire.

O

A

Unghiurile opuse la v¼rf sunt congruente.

C B

ˆAOB Á ˆ COD ˆBOC Á ˆAOD Dac¬ punctele A, O, C sunt coliniare §i ˆ AOB Á ˆ COD, atunci §i punctele B, O, D sunt coliniare.

A,O,B ¤ C,O,D . ∠ AOB ≡ ∠ COD

UNGHIURI COMPLEMENTARE Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care suma m¬surilor este egal¬ cu 90o.

M

B

P O A

N

B

A

C

O

Unghiul MNP este complementul unghiului AOB. Unghiul AOB este complementul unghiului MNP. Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacente sunt perpendiculare, atunci unghiurile sunt complementare.

m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 90o Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §i suplementele lor sunt congruente.

M

A

M¬sura unghiului format de bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente este egal¬ cu semisuma m¬surilor accestora.

B N

O

m(∠ AOB)+m(∠ BOC) . m(∠ MON)= 2

C

Bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente §i suplementare sunt perpendiculare.

N

C

Perpendiculara dus¬ pe bisectoarea unui unghi este bisectoarea unghiului adiacent §i suplementar acestuia.

M

A

O

B

UNGHIURI ™N JURUL UNUI PUNCT

B

C

- au v¼rful comun - nu au puncte interioare comune - reuniunea lor §i a interioarelor acoper¬ ”ntreg planul

D A

A' Suma m¬surilor unghiurilor ”n jurul unui punct este egal¬ cu 360o.

F E m(ˆAOB) / m(ˆBOC) / m(ˆCOD) / / m(ˆDOE) / m(ˆEOF) / m(ˆFOA) = 360o

OPERA`II CU UNGHIURI A

C

Dac¬ unghiurile AOC §i BOC sunt adiacente, atunci:

m(ˆAOB) = m(ˆAOC) /m(ˆBOC). B

O

M

N

O

P

Dac¬ unghiurile MON §i MOP: - au v¼rful comun; - o latur¬ comun¬ - laturile necomune se afl¬ de aceea§i parte a laturii comune atunci: m(ˆNOP) =

= m(ˆMOP) – m(ˆMON)

TRIUNGHIURI CONGRUENTE M

A

B

C

N

 [AB] ≡ [MN]  [BC] ≡ [NP]   [CA] ≡ [PM]   ∠A≡∠M  ∠B≡∠N   ∠C≡∠P

P

† ABC Á † MNP «

CAZURILE DE CONGRUEN`® M

A

I. L.U.L.

C

B

N

M

A

C

B

P

N

 [AB] ≡ [MN]  † ABC Á † MNP «  [BC] ≡ [NP]  ∠B≡∠N  II. U.L.U.

P

 [BC] ≡ [NP]  † ABC Á † MNP «  ∠ B ≡ ∠ N  ∠C≡∠P  III. L.L.L.

M

A

B

C

N

 [AB] ≡ [MN]  † ABC Á † MNP «  [BC] ≡ [NP]  [CA] ≡ [PM]  P

CAZURILE DE CONGRUEN`® ALE TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE B

N

C

B

M

N

P

C

A

C.C. ≡ [MN] † ABC Á † MNP «  [AB] [AC] ≡ [MP]

A

≡ [MP] † ABC Á † MNP «  [AC] ∠C≡∠P 

B

N

C

M

P

I.U. † ABC Á † MNP «

P

C.U



B

M

 [BC] ≡ [NP]   ∠C≡∠P

A

N

C

M

I.C. [BC] ≡ [NP] † ABC Á † MNP «  [AC] ≡ [MP] 

P

MEDIATOAREA UNUI SEGMENT

d

Este dreapta perpendicular¬ pe segment ”n mijlocul s¬u. A

M

B

N

A

M

Un punct apar@ine mediatoarei unui segment « este egal dep¬rtat de extremit¬@ile segmentului. B

CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR C

A

M

D

BN

P

E

M

C

A

Dup¬ unghiuri -ascu@itunghice (toate unghiurile ascu@ite) -dreptunghice (un unghi drept) -obtuzunghice (un unghi obtuz)

BN

F

Dup¬ laturi - oarecare (scalene) - isoscele (dou¬ laturi congruente) - echilaterale (toate laturile congruente)

D

P

E

F

LINII IMPORTANTE ™N TRIUNGHI -™n¬l@imea AD ^ BC ( perpendiculara din v¼rf pe latura opus¬ - Bisectoarea ˆ BAA' Á ˆ AA'C (intersec@ia dintre bisectoarea unghiului §i interiorul triunghiului) - Mediana [BM] Á [MC]

A

d

B

D A' M

C

(segmentul ce une§te v¼rful cu mijlocul laturii opuse) - Mediatoarea [BM] Á [MC], d ^ BC (perpendiculara dus¬ prin mijlocul laturii)

BISECTOARELE UNUI TRIUNGHI A

P

™ntr-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente.

S

I

F

B

 ∠ BAQ ≡ ∠ QAC   ∠ BCP ≡ ∠ PCA  ∠ ABS ≡ ∠ SBC 

G Q

E

C

¤ AQ ÇBS ÇCQ = {I}

Punctul de intersec@ie al bisectoarelor este centrul cercului ”nscris ”n triunghi.

[IE] Á [IE] Á [IG], IE ^ AC, IF ^ AB, IG ^ BC

Punctul de intersec@ie al bisectoarelor exterioare a dou¬ unghiuri din triunghi se afl¬ pe bisectoarea interioar¬ a celui de-al treilea unghi.

A

B

F

C

E D

I

Punctul lor de intersec@ie este centrul cercului ex”nscris.

MEDIATOARELE UNUI TRIUNGHI A

Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersec@ie al mediatorelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.

N

P

B

C

M

A

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei. B

O

C

MEDIANELE UNUI TRIUNGHI A

P

M

Medianele unui triunghi sunt concurente.

G

B

N

C

Punctul de concuren@¬ al medianelor se nume§te centrul de greutate al triunghiului.

Centrul de greutate al triunghiului se afl¬ pe fiecare median¬, la o treime de baz¬ §i dou¬ treimi de v¼rf Triunghiul MNP se nume§te triunghi median sau complementar.

™N®L`IMILE UNUI TRIUNGHI A

™n¬l@imile unui triunghi sunt concurente. Punctul de concuren@¬ al ”n¬l@imilor se nume§te ortocentru.

E F H

B

D

C

-Triunghiul format din ortocentru §i dou¬ v¼rfuri are drept ortocentru cel de-al treilea v¼rf al s¬u. - A este ortocentru ”n † HBC - B este ortocentru ”n † HAC - C este ortocentru ”n † HAB

C

- Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se afl¬ ”n exteriorul triunghiului.

A

D

B'

A'

B

A

B

C

C' H

- Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afl¬ ”n v¼rful s¬u drept. A

Triunghiul av¼nd drept v¼rfuri picioarele ”n¬l@imilor se nume§te triunghi ortic.

E F

™n¬l@imile triunghiului sunt bisectoarele triunghiului ortic.

H

B

D

C

DREPTE PARALELE

A ×

a

b

Dou¬ drepte sunt paralele dac¬: - sunt coplanare; - nu au nici un punct comun.

a ½½ b

Axioma paralelelor (postulatul lui Euclid) Printr-un punct exterior unei drepte date, trece o singur¬ paralel¬ la dreapta dat¬. a b

Dou¬ drepte distincte paralele cu a treia dreapt¬ sunt paralele ”ntre ele.

a ½½b, b ½½ c ¤ a ½½ c c

DREPTE PARALELE T®IATE DE O SECANT® (ˆ3, ˆ5); (ˆ4, ˆ6) - unghiuri alterne interne (ˆ1, ˆ7); (ˆ2, ˆ8) - unghiuri alterne externe 8 7 a (ˆ1, ˆ5); (ˆ4, ˆ8) - unghiuri corespondente 5 6 (ˆ2, ˆ6); (ˆ3, ˆ7) - unghiuri corespondente 4 3 (ˆ4, ˆ5); (ˆ3, ˆ6) - unghiuri interne b 1 2 (de aceea§i parte a secantei) (ˆ1, ˆ8); (ˆ2, ˆ7) - unghiuri externe (de aceea§i parte a secantei) Dreptele a §i b sunt paralele « a) unghiurile alterne interne sunt congruente b) unghiurile alterne exerne sunt congruente c) unghiurile corespondente sunt congruente d) unghiurile interne sunt suplementare e) unghiurile exerne sunt suplementare a ½½ b « a) ˆ3 Á ˆ 5 (a.i.), ˆ 4 Á ˆ 6 (a.i.); b) ˆ1 Á ˆ 7 (a.i.), ˆ 2 Á ˆ 8 (a.e.) c) ˆ2 Á ˆ 6 (coresp), ˆ 3 Á ˆ 7 (coresp.); d) m(ˆ4) / m(ˆ5) = 180o(i.), m(ˆ3) / m(ˆ6) = 180o(i.), e) m(ˆ1) / m(ˆ8) = 180o(e.), m(ˆ2) / m(ˆ7) = 180o(e.).

PERPENDICULARITATE ¦I PARALELISM a

b

Dou¬ perpendiculare pe aceea§i dreapt¬ sunt paralele

a ⊥ c ¤ a ½½ b b ⊥ c

c

c

a

b

O perpendicular¬ pe o dreapt¬ este perpendicular¬ pe orice paralel¬ la dreapt¬.

c ^ a, a ½½ b ¤ c ^ b

PARALELE INTERSECTATE DE PARALELE Dou¬ drepte paralele sunt t¬iate de alte dou¬ drepte paralele dup¬ segmente congruente. a

C

D

a ½½b, c ½½d ¤ [AB] Á [CD], [AD] Á [BC] b

B

A c

d

LINIA MIJLOCIE ™NTR-UN TRIUNGHI A

M

B

Este segmentul care une§te mijloacele a dou¬ laturi din triunghi.

N

C

Linia mijlocie este paralel¬ cu a treia latur¬ §i are lungimea egal¬ cu jum¬tate din lungimea acesteia.

Paralela dus¬ prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la alt¬ latur¬ a triunghiului trece prin mijlocul celei de-a treia laturi a triunghiului. [AM] Á [MB], [AN] Á [NC] ¤ MN ½½ BC, MN = 12 · BC [AM] Á [MB], MN ½½ BC ¤[AN] Á [NC]

SUMA M®SURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI A 1

Suma m¬surilor unghiurilor unui triunghi este egal¬ cu 180o.

3

† ABC ¤ m(ˆA) / m(ˆB) / m(ˆC) = 180o B

C

Un triunghi are cel mult un unghi de m¬sur¬ mai mare sau egal¬ cu 90o. Unghiurile ascu@ite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.. Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt ascu@ite. Unghiurile de la baza unui triunghi dreptunghic isoscel au m¬sura de 45o. Unghiurile unui triunghi echilateral au m¬sura de 60o.

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI A

Este unghiul format de o latur¬ a triunghiului cu prelungirea altei laturi a triunghiului.

B

C

B'

M¬sura unghiului exterior unui triunghi este egal¬ cu suma m¬surilor celor dou¬ unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el .

m(ˆACB') = m(ˆA) / m(ˆB)

TRIUNGHIUL ISOSCEL Este triunghiul cu dou¬ laturi conguente.

A

† ABC iso. « [AB] Á [AC]

C

B A

1 2

M

B

C

A

N C'

P G

E

I

B

H M

B' D

C

Propriet¬@i Un triunghi este isoscel « - are dou¬ unghiuri congruente; - liniile importante corespunz¬toare bazei coincid; - liniile importante corespunz¬toare laturilor congruente sunt congruente. † ABC iso. ([AB] Á [AC]) « -ˆB Á ˆ C ; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á A2; - [BB'] Á [CC'] , [BD] Á [CE], [BP] Á [CN].

TRIUNGHIUL ECHILATERAL Este triunghiul cu toate laturile conguente.

A

† ABC echi. « [AB] Á [BC] Á [CA]

C

B A

B

C

A

N

P O

B

M

C

Propriet¬@i Un triunghi este echilateral « - are toate unghiurile congruente; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi coincid; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi sunt congruente. † ABC echi. ([AB] Á [BC] Á [CA]) « -ˆ A Á ˆB Á ˆ C; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á ˆA2; BN ^ AC, [AN] Á [NC], ˆB1Á ˆ B2; CP ^ AB, [AP] Á [PB], ˆC1Á ˆ C2 - [AM] Á [BN] Á [CP].

UNGHIURI CU LATURILE PARALELE A

C O"

O

B

O'

Unghiurile cu laturile paralele sunt congruente sau suplementare.

D

A' B'

OA ½½O'A' , OB ½½O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B' sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o

A C O" O

B

D O'

A'

B'

UNGHIURI CU LATURILE PERPENDICULARE A'

A

A

Unghiurile cu laturile perpendiculare sunt congruente sau suplementare.

B

O

O

B

A' B'

OA ^O'A' , OB ^ O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B' sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o

B' A

B

A

B O

O

B

O' A' B'

O'

A'

Dou¬ unghiuri congruente cu dou¬ laturi perpendiculare au §i celalte dou¬ laturi perpendiculare.