Formulaire Poutre Technique de L'ingenieur [PDF]

Zitiervorschau

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RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

6. Poutres (0)

Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante Définitions et hypothèses (1) Dénomination

Type

Poutre console

I

Poutre sur appuis simples

II

Poutre encastrée d’un côté, sur appui simple de l’autre

III

Poutre encastrée des deux côtés

IV

Réactions et moments sur appui

Représentation

Déformation

(1) Les moments fléchissants M et les efforts tranchants T sont comptés dans le sens habituel de la Résistance des matériaux. Les réactions verticales R sont comptées positivement vers le haut. Les rotations ω sont comptées positivement dans le sens trigonométrique. Les flèches v sont comptées positivement vers le haut.

Caractéristiques

Moment

Effort tranchant

Réactions Type

Charges

Diagramme

Équations M

R A = p

Équations

= – ------------2 T = px1

MB = 0 MA

RA = P

Diagramme

2 px 1

p 2 = – -----------2

M = – Px1 MB = 0

T=P

MA = – P 

I RA = P

B à C :M = 0 C à A : M = P (x – α ) MC = 0 MA = – P α

BàC:T=0 CàA:T=P

3

M p1  R A = ----------2

p1 x 1 = – ---------------6

MB = 0 p1  2 M A = – --------------6

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2

p1 x 1 T = --------------2

Form. C 2 060 − 25

F O R M U L A I R E

F O R M U L A I R E

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

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Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Caractéristiques

Moment

Effort tranchant

Réactions Type

Charges

Diagramme

Équations M

p R A = R B = ---------2

RA RB



px = --------- (  – x ) 2 p 2 = -------------8

P A à O : M = ------ x 2 P O à B : M = ------ (  – x ) 2 P M O = ---------4

P R A = R B = -----2

α = P 1 – ----- α = P -----

MO

Diagramme



x ( – α) A à C : M = P ----------------------- α ( – x) C à B : M = P ----------------------- α ( – α) M C = P ----------------------- A à C : M = Px C à C’ : M = Pa

RA = R B = P

C′à B : M

II

RA RB

M

O à B : T = – P /2

α A à C : T = P 1 – ----- α T A = P 1 – ----- α C à B : T = – P ----- α T B = – P -----

 

C’ à B : T = – P

p1  p1 x 2 T = ------------ – ---------------2 6

3 pour x m =  ----------3

OàB:M

p1  p1 x 3 = ------------ x – --------------4 3 3 p1  p1 x 1 = ------------ x 1 – ---------------4 3 p1  2 = ---------------12

M

x = m 1 + ( m 2 – m 1 ) ----

MO

m1 + m2 = -----------------------2

AàO: p1  p1 x 2 T = ----------- – ---------------4  OàB:

2

p1  p1 x 1 T = – ------------ + --------------4 

m2 – m1 T = ------------------------

M =m RA = R B = 0

RA = RB

Form. C 2 060 − 26

T=0

MO = m AàC:M

m = ------

 

C à C’ : T = O

= P ( – x)

3 M max = ----------- p 1  2 27

MO m 2 – m1 R A = ----------------------- m1 – m 2 R B = ------------------------

A à O : T = P /2

p1 x = ------------- (  2 – x 2 ) 6

AàO:M p1  R A = R B = ----------4





 T = p ----- – x 2

AàC : T = P

M C = M C ’ = Pa p1  = -----------6 p1  = -----------3

Équations

mx = – ----------





x C à B : M = m 1 – ---- mα M C gauche = – ---------- mβ M C droite = -----------

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m T = – ------

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RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Caractéristiques

Moment

Effort tranchant

Réactions Type

Charges

Diagramme

Équations

RA RB

Équations

px 1 3 x 1 = --------------- ----- – ------2  4 p 2 -----------= – 8 9 = ----------- p 2 128 3 pour x 1m = -----  8



M 5 = ----- p 8 3 = ----- p 8

Diagramme

MA M max



3 T = ----- p – p x 1 8

P A à O : M = -------- ( 11 x – 3  ) 16 3P M A = – ------------16 5 O à B : M = -------- P (  – x ) 16 5P M O = -----------32

11 R A = -------- P 16 5 R B = -------- P 16

11 A à O : T = -------- P 16 5 O à B : T = – -------- P 16

AàC: Pβ ( 2 – β 2)( – x ) M = -------- x – ----------------------------------------- 2 2 P β ( 3 2 – β 2 ) R A = -------------------------------------2 3 2 P α ( 2 + β ) R B = ----------------------------------2 3

P β (3 2 – β 2 ) T = ---------------------------------------2 3 P β (3 2 – β 2) T A = -------------------------------------2 3 CàB: Pα 2(2 + β ) T = – ----------------------------------2 3 P α 2(2 + β ) T B = – -----------------------------------2 3

P β ( 2 – β 2) M A = – ----------------------------------2 2 CàB: P α 2(2 + β) - ( – x) M = ----------------------------------2 3 2 P α β (2 + β) M C = ----------------------------------------2 3

III M 4 R A = -------- p 1  10 p1  R B = ----------10

AàC:

MA M max

3m R A = ----------2 3m R B = – ----------2

p1 x1 2 = --------------- ( 3  2 – 5 x 1 ) 30  1 = – -------- p 1  2 15 p1  2 = -----------------15 5  pour x 1 = ----------5

M MB MA

m (3x –  ) = -----------------------------2 = m m = – ------2

AàC: M

p1 2 T = ------------- ( 5x 1 –  2 ) 10 

  m β = -------  1 – 3 ---------  2 

m β 2 x1 = ------- 3 1 – -------- ------- – 2  2 2

3m T = ----------2



2



3m β2 R A = – ----------- 1 – -------2 2



3m β2 R B = ----------- 1 – -------2 2





MA

2

CàB:

T

  3m β β = -----------  1 – ---------  ----2  

β 2 x1 3m - ------M = ----------- 1 – ------- 2 2 2

M C droite









3m β2 = – ----------- 1 – -------2 2

TA = TB

3m β2 = – ----------- 1 – -------2 2

2

m β2 β M Cgauche = ----- 3 1 – ------2- ----- – 2 2  





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Form. C 2 060 − 27

F O R M U L A I R E

F O R M U L A I R E

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

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Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Caractéristiques

Moment

Effort tranchant

Réactions Type

Charges

Diagramme

Équations M

p R A = R B = --------2

MA MO

RA = RB

P = ----2

Diagramme

Équations

1 1 = ----- px (  – x ) – -------- p  2 2 12 p2 = M B = – -------------12 p2 = -------------24

P A à O : M = ---------2 P O à B : M = ---------2 MA = MB

 T = p ----- – x 2





 ----- – ----4-  x

1

3 x ----- – ----4  P = – ---------8

P A à O : T = -----2 P O à B : T = – -----2

P M O = ---------8 AàC: P (  – α )2 - [α = – -------------------------3 – ( + 2α) x]

M

P β2 R A = ------------( + 2α) 3 2 Pα - ( + 2β ) R B = ------------3

P α (  – α )2 M A = – ------------------------------2 CàB: P α2 - (3 – 2α) x M = – ------------3 – ( 2  – α )  P α 2( – α) M B = – ------------------------------2 2 P α 2 (  – α )2 M C = -------------------------------------3

IV

AàC: T

P β2 = ------------( + 2α) 3

P β2 ( + 2α) T A = ------------3 CàB: T TB

P α2 - ( + 2β) = – ------------3 P α2 - ( + 2β) = – ------------3

AàC:

RA = RB = P

Pa M = – --------- (  – a ) + Px  C à C′ : Pa 2 M = ----------- C′ à B : Pa M = – --------- (  – a ) + P (  – x )  Pa 2 M O = M C = M C ′ = ----------- Pa (  – a ) M A = – --------------------------- M

RA RB

3p 1  = -------------20 7p 1  = --------------20

M max

Form. C 2 060 − 28



C’ à B : T = – P

 

 

et M B

C à C’ : T = 0

p1  2 x = – ---------------- 2 – 9 ----60  x +10 ----

MA

AàC :T = P

p1  2 = – ----------------30 p1  2 = – ---------------20 = 0,021 44 p 1  2

3



3 pour x =  -------10

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p1  x T = ----------- 3 – 10 ---- 20

 

2

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RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Caractéristiques

Moment

Effort tranchant

Réactions Type

Charges

Diagramme

Équations

Diagramme

Équations

AàO: p1  2 x M = – ---------------- 5 – 24 ----96  x3 + 32 -------3 OàB: x1 p1  2 - 5 – 24 ------M = – ---------------96 





p1  = ----------4

RA = RB

AàO: p1  x2 T = ------------ 1 – 4 -------4 2





3

MO

p1  2 = ---------------32

x1 + 32 -------3



OàB: 2

x1 p1  T = ------------ 1 – 4 -------4 2







5 p1  2 M A = M B = – ------------------96

IV

AàC:

RA

αx mβ β M = ----------- 2 – 3 ----- – 6 -------  2 mβ β M A = ----------- 2 – 3 ---- 

 

6 m αβ = – -----------------3

6 m αβ R B = -----------------3



T



TA

CàB:

β x1 mα α M = – ----------- 2 – 3 ----- – 6 ----------  2 mα α M B = – ----------- 2 – 3 ---- 

 



TB

6 m αβ = – -----------------3 6 m αβ = – -----------------3 6 m αβ = – -----------------3



Déformations Caractéristiques Type

Ligne élastique. Flèches

Rotation des sections

Équations

Équations

Charges

px 2

v vA vB

= – --------------- ( 6  2 – 4  x + x 2 ) 24 E I = 0 p 4 = – -----------8EI v vA vB

I

vB

ωA ωB

P = – ------------ x 2 ( 3  – x ) 6EI = 0 P 3 = – -----------3EI

x1 p1  4 x1 = – -------------------- 4 – 5 ------- + ------120 E I   p1  4 = – ---------------30 E I

 

px = – ------------ ( 3  2 – 3  x + x 2 ) 6EI = 0 p 3 = – ------------6EI

ω ωA ωB

P A à C : v = – ------------ x 2 ( 3 α – x ) 6EI P C à B : v = – ------------ x 2 ( 3 x – α ) 6EI P v B = – ------------ α 2 ( 3  – α ) 6EI

v

ω

5

P = – ------------ x ( 2  – x ) 2EI = 0 P 2 = – -------------2EI

P A à C : ω = – ------------ x ( 2 α – x ) 2EI ωA = 0 P C à B : ω = – ------------ α 2 2EI Pα2 ω B = – -------------2EI

ω ωA ωB

p1  3 x1 = – ---------------- 1 – ------24 E I  = 0 p1  3 = – ---------------24 E I

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4

Form. C 2 060 − 29

F O R M U L A I R E

F O R M U L A I R E

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Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Déformations Caractéristiques Type

Charges

v vO

Ligne élastique. Flèches

Rotation des sections

Équations

Équations

ω

p = – ---------------- x (  – x ) (  2 +  x – x 2 ) 24 E I 5 p 4 = – ----------- -----------384 E I

ωA ωB

P A à O : ω = – --------------- (  2 – 4 x 2 ) 16 E I

P A à O : v = – --------------- x ( 3  2 – 4 x 2 ) 48 E I P 2 O à B : v = – --------------- x 1 ( 3  2 – 4 x 1 ) 48 E I P 3 v O = – --------------48 E I

AàC: v

Px (  – α ) = – ---------------------------- [ α ( 2  – α ) – x 2 ] 6EI

CàB: v

Pα ( – x) = – ---------------------------- [ x ( 2  – x ) – α 2 ] 6EI

vC II

P α 2 (  – α )2 = – ----------------------------------3EI P ( – α) = – ------------------------ 3 [ α ( 2  – α ) ] 3 27 E I 

 α > ----- : v max 2  Pα α < ----- : v max = – -----------------27 E I  2

3 (  2 – α 2 )3

P 2 ω A = – --------------16 E I P 2 O à B : ω = --------------- (  2 – 4 x 1 ) 16 E I P 2 ω B = --------------16 E I

P ( – α) A à C : ω = – ------------------------ [ α ( 2  – α ) – 3 x 2 ] 6EI P α ( – α) (2 – α) ω A = – ---------------------------------------------------6EI Pα C à B : ω = --------------- [ (  + α ) (  – α ) – 3 (  – x ) 2 ] 6EI P α ( – α) ( + α) ω B = ------------------------------------------------6EI

Px A à C : v = – ----------- [ 3 a (  – a ) – x 2 ] 6EI Pa C à C ′ : v = – ----------- [ – a 2 + 3  x – 3 x 2 ] 6EI Pa v O = – --------------- ( 3  2 – 4 a 2 ) 24 E I Pa 2 v C = v C′ = – ----------- ( 3  – 4 a ) 6EI Px 1 2 C ′ à B : v = – ----------- [ 3 a (  – a ) – x 1 ] 6EI

v v max

Form. C 2 060 − 30

p1 x = – ---------------------- ( 7  4 – 10  2 x 2 + 3 x 4 ) 360 E I  p1  4 = – 0,006 522 ---------------- pour x = 0,519 33  EI

p = – ---------------- (  3 – 6  x 2 + 4 x 3 ) 24 E I p 3 = – ---------------24 E I p 3 = ---------------24 E I

P = – ----------- [ a (  – a ) – x 2 ] 2EI Pa C à C ′ : ω = – ----------- (  – 2 x ) 2EI P 2 C ′ à B : ω = ----------- [ a (  – a ) – x 1 ] 2EI Pa (  – a ) ω A = – ω B = – ---------------------------2EI Pa (  – 2 a ) ω C = – ω ′ = – ------------------------------C 2EI AàC:ω

ω ωA

p1 = – ---------------------- ( 7  4 – 30  2 x 2 + 15 x 4 ) 360 E I  7 p1  3 = – -------------------360 E I

8 p1  3 ω B = -------------------360 E I

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RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Déformations Caractéristiques Type

Ligne élastique. Flèches

Rotation des sections

Équations

Équations

p1 x A à O : v = – ---------------------- ( 25  4 – 40  2 x 2 + 16 x 4 ) 960 E I  p1 x1 2 4 O à B : v = – ---------------------- ( 25  4 – 40  2 x 1 + 16 x 1 ) 960 E I  p1  4 v O = – -----------------120 E I

p1 A à O : ω = – --------------------- ( 5  4 – 24  2 x 2 + 16 x 4 ) 192 E I  p1 2 4 O à B : ω = ---------------------- ( 5  4 – 24  2 x 1 + 16 x 1 ) 192 E I  3 5 p1  ω A = – ω B = – -------------------192 E I

Charges

x v = – --------------- [ ( 2 m 1 + m 2 )  2 – 3 m 1  x + ( m 1 – m 2 ) x 2 ] 6EI 2 v O = – --------------- ( m 1 + m 2 ) 16 E I

II

v vO

ωA ωB

m  x1 α2 -– C à B : v = – ------------------ 1 – 3 -------6EI 2





2 x1 -------2 

m = – ----------- (  – 2 x ) 2EI m = – ----------2EI m = ----------2EI

  m β = -----------  1 – 3 ---------  6EI  x α m = -----------  1 – 3 --------- – 3 --------  6EI  

m β2 x2 - – 3 -------A à C : ω = ----------- 1 – 3 -------2 6EI  2

ωA



CàB:ω

m αβ ( α – β ) v C = ---------------------------------3EI (α + β)

III

ωB

ω



v max

ωA

1 = – --------------- [ ( 2 m 1 + m 2 )  2 – 6 m 1  x + 3 ( m 1 – m 2 ) x 2 ] 6EI 1 = – ----------- ( 2 m 1 + m 2 )  6EI 1 = ----------- ( m 1 + 2 m 2 )  6EI

mx = – ----------- (  – x ) 2EI m 2 = – --------------8EI

mx β2 x2 A à C : v = -------------- 1 – 3 -------– --------6EI 2 2

v

ω

2

2



m α2 ω B = ----------- 1 – 3 -------6EI 2

p = – --------------- x 2 (  – x ) ( 3  – 2 x ) 48 E I p 4 = – 2,079 8 ------------------- pour x = 0,578 5  384 E I

Px2 A à O : v = – --------------- ( 9  – 11 x ) 96 E I P ( – x ) O à B : v = – -------------------------  5 x ( 2  – x ) – 2  2  96 E I 7P 3 v O = – -----------------768 E I P 3 1 v max = – ------------------------ pour x =  1 – ---------48 E I 5 5





ω ωB

2 1 2

2

2



px = – ---------------- ( 6  2 – 15  x + 8 x 2 ) 48 E I p 3 = ---------------48 E I

Px A à O : ω = – --------------- ( 6  – 11 x ) 32 E I P O à B : ω = – --------------- ( 4  2 – 10  x + 5 x 2 ) 32 E I P 2 ω B = --------------32 E I

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Form. C 2 060 − 31

F O R M U L A I R E

F O R M U L A I R E

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

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Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Déformations Caractéristiques Type

Ligne élastique. Flèches

Rotation des sections

Équations

Équations

Charges

P x 2( – α) - α (2 – α) (3 – x) – 2 2x A à C : v = – ------------------------------12 E I  3

P ( – α) x - α (2 – α) (2 – x ) – 2 2x  A à C : ω = – ---------------------------4EI 3

P α 2( – x ) C à B : v = – -------------------------------x (2 – x) (3 – α) – 2 2α 12 E I  3 P α 3 (  – α )2 ( 4  – α ) v C = – --------------------------------------------------------12 E I  3

Pα 2 - (2 2 – 6x + 3x 2) + αx (2 – x ) C à B : ω = – -----------------4EI 3 P α 2( – α) ω B = -------------------------------4EI

v v max

p1 x1 2 2 = – ---------------------- (  2 – x 1 ) 120 E I  2 p1  4  = – --------------------------- pour x 1 = ---------375 E I 5 5

III v v max

AàC:v

ω ωB

mx 2 (  – x ) = – -------------------------------4EI m 2 2 = – --------------- pour x = -----  27 E I 3

mx 2 = v 1 = --------------4EI

ω ωB β2

 1 – ----x-  –  3 – ----x-  -------2

m ( x – α )2 C à B : v = v 1 + ----------------------------2EI mα 2β (α 2 – 2β 2 ) v C = ------------------------------------------------4EI 3 v vO

x 2 (  – x )2 = – p -----------------------------24 E I p 4 = – ------------------384 E I

P A à O : v = – --------------- x 2 ( 3  – 4 x ) 48 E I P O à B : v = – --------------- (  – x ) 2 ( 4 x –  ) 48 E I P 3 v O = – -----------------192 E I

IV

P (  – α )2 x 2 - 3α – ( + 2α) x  A à C : v = – ---------------------------------6EI 3 P α 2 (  – x )2 -  3  x – ( + 2 x )α  C à B : v = – ---------------------------------6EI 3

v max

Form. C 2 060 − 32

p1 2 2 = ---------------------- (  2 – x 1 ) (  2 – 5x 1 ) 120EI p1  3 = -----------------120EI

P α 3 (  – α )3 v C = – ---------------------------------3EI 3 2 P α 3 (  – α )2 2α - pour x = ------------------ ( α > β ) = – ----------- ----------------------------3 E I (  + 2 α )2  + 2α

mx ( 3 – 2x ) = ------------------------------------4EI m = ----------4EI

mx A à C : ω = ω 1 = -----------4EI

x

x

β2

2 – 3 -----  – 3 2 – ----- -------2

m (x – α) C à B : ω = ω 1 + --------------------------EI m β ω B = – ------------ 1 – ----4EI 



3β   1 – ------- 

x ( – x ) ( – 2x ) ω = – p -----------------------------------------------24 E I

P A à O : ω = – ------------ x (  – 2 x ) 8EI P O à B : ω = – ------------ (  – x ) (  – 2 x ) 8EI

P (  – α )2 x -  2  α – ( + 2 α )x  A à C : ω = – -----------------------------2EI 3 P α 2( – x) 2 -  – (3 – 2α) x  C à B : ω = – ------------------------------2EI 3 P α 2 β 2(α – β ) ω C = ----------------------------------------2EI 3

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RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Tableau 10 – Moment, effort tranchant et déformations des poutres consoles et des poutres droites à une travée d’inertie constante (suite) Déformations Caractéristiques Type

Charges

Ligne élastique. Flèches

Rotation des sections

Équations

Équations

Px2 A à C : v = – ---------------  3 a (  – a ) –  x  6EI

Px A à C : ω = ---------------   x – 2 a (  – a )  2EI Pa 2 C à C ′ : ω = – --------------- (  – 2 x ) 2EI P a2 c ω C = – -----------------2EI P ( – x) C ′ à B : ω = – ------------------------   (  – x ) – 2 a (  – a )  2EI

Pa2 C à C ′ : v = – ---------------  3 x (  – x ) –  a  6EI P a 3(2 – 3a) v C = – --------------------------------------6EI P a 2(3 – 4a) v O = – --------------------------------------24 E I P (  – x )2 C ′ à B : v = – ---------------------------  3 a (  – a ) –  (  – x )  6EI

IV

v

p1  4 x = – ------------------ ----120 E I 

v max

1,308 5 p 1  4 = – ------------------------------------- pour x = 0,524 7  1 000 E I

2

x x x   1 – ----- 2 – ----- – -------2  2

p1  4 x A à O : v = – ----------------- ----960 E I 

p1  3 x ω = – ------------------ ----120 E I 

x3

   25 – 40 ----x- + 16 -------3  2

p1  4 x1 O à B : v = – ------------------ ------960 E I 

  2

3

x1 x1 25 – 40 ------+ 16 ------- 3

7 p1  4 v O = – ----------------------3 840 E I mβx 2 3β αx A à C : v = ------------------ 1 – --------- – -------EI 2  2



2 mαx 1

2

x x x   1 – ----- 4 – 5 ----- – 5 -------2 



3 α β x1 C à B : v = – ------------------- 1 – --------- – ----------EI 2 2



mα 2 β 2(α – β) v C = ----------------------------------------2EI 3





p1  3 x A à O : ω = – --------------- ----96 E I 

x2

2x - 5 – 2 ----- – 4 -------   1 – -------   2  x

p1  3 x1 O à B : ω = – --------------- ------96 E I 

2x

x

x

2

1 1 1 5 – 2 ------- – 4 -------   1 – ----------    2

mβx β αx A à C : ω = --------------- 2 – 3 ----- – 3 --------EI  2 mαx 1 β x1 α C à B : ω = ------------------- 2 – 3 ----- – 3 ----------EI  2









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