Finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen 9783835006188, 3835006185 [PDF]

Zitiervorschau

Heinz Eckart Klingelhofer Finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

GABLER EDITION WISSENSCHAFT Moderne Finanzwirtschaft & Unternehmensbewertung Herausgegeben von Professor Dr. Manfred Jiirgen Matschke

In dieser Schriftenreihe werden betriebswirtschaftliche Forschungsergebnisse zu aktuellen Fragestellungen der betrieblichen Finanzwirtschaft im ganzen und der Unternehmensbewertung im besonderen prasentiert. Die Reihe richtet sich an Leser in Wissenschaft und Praxis. Sie ist als Veroffentlichungsplattform fiir alle herausragenden Arbeiten auf den genannten Gebieten offen, unabhangig davon, wo sie entstanden sind.

Heinz Eckart Klingelhofer

Finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Manfred JiJrgen Matschke

Deutscher Universitats-Verlag

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnetdiese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber abrufbar.

Habilitationsschrift Universitat Grelfswald, 2004

I.Auflage November 2006 Alle Rechte vorbehalten © Deutscher Universitats-Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Brigitte Siegel/Stefanie Loyal Der Deutsche Universitats-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media, www.duv.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschijtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Druck und Buchbinder: Rosch-Buch, ScheBlitz Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN-10 3-8350-0618-5 ISBN-13 978-3-8350-0618-8

Geleitwort Die Bewertungslehre gehort zu den zentralen betriebswirtschaftlichen Theorien. Die Betriebswirtschaftslehre ist an der Behandlung von Bewertungsfragen zur Wissenschaft gereift. Seit altersher stehen sich dabei zwei Auffassungen gegeniiber: •

die objektivistische Sicht, die eine Abhangigkeit von Bewertungszweck und Bewertungsvorgang von subjektiven Einfiussen grundsatzlich vemeint, im Grunde nicht zwischen Wert und Preis differenziert, und

•

in Opposition dazu eine Sichtweise, nach der ein Ruckgriff auf subjektive Elemente wie Ziele und Handlungsmoglichkeiten einschlieBiich Restriktionen des Handelnden bei der Bewertung unerlaBIich ist, die daher streng zwischen subjektivem Wert und Preis differenziert. In der Variante der funktionalen Bewertungslehre legt sie den Fokus auf unvollkommene Markten und betont dabei die Zweckabhangigkeit jeder Bewertung.

Denn wer als Einzelwirtschaft (Individuum, Haushalt, Unternehmen) handelt - kauft oder verkauft, investiert oder desinvestiert -, macht dies um eines einzelwirtschaftlichen Vorteils willen, gemessen an seinen Zielen und seinen jeweiligen Moglichkeiten in der betreffenden Situation. Als Kaufer beurteilt er den erwarteten Nutzen als Ausdruck seiner Zielerfiillung und leitet unter Beachtung seiner finanziellen und sonstigen Handlungsmoglichkeiten seine individuelle Zahlungsbereitschaft ab oder legt in einer komplexen Bewertungssituation fest, was er an Vereinbarungen auBerstenfalls zu akzeptieren bereit ist. In der vorliegenden Arbeit von PD Dr. Klingelhofer geht es um die kalkiilhafte Bewertung von Investitions- und Desinvestitionsentscheidungen im Sinne der Ermittlung eines Entscheidungswertes als subjektiver Grenzpreis. Bewertungsgegenstand sind dabei solche Investitionen oder Desinvestitionen, die einen Umweltbezug haben, also zumindest auch aus Umweltschutzgriinden vorgenommen werden. Er konzentriert sich auf die Bewertung der monetaren Aspekte der Umweltschutzinvestitionen, weshalb er von fmanzwirtschaftlicher Bewertung spricht, und konstatiert dabei zutreffend, daB die Beurteilung von Investitionen im Bereich der Umweltokonomie auBerst unzureichend ist und dem Stand der betriebswirtschaftlichen Bewertungstheorie nicht entspricht. Seine Aufgabe sieht PD Dr. Klingelhofer darin, zu untersuchen, welche Ansatze die gegebene subjektive Entscheidungssituation am ehesten abbilden, sie ggf. anzupassen und dann entsprechend einzusetzen. Sein Ausgangspunkt sind Uberlegungen, die aus der Untemehmensbewertungslehre bekannt sind. Er erweitertet diese jedoch wesentlich mit Blick auf den unvoUkommenen Kapitalmarkt, die Einbeziehung von Unsicherheiten und hinsichtlich der Auswirkungen, die die verschiedenen durch den Umweltschutz gegebenen Rahmenbedingungen auf die fmanzwirtschafdiche Vorteilhaftigkeit betrieblicher Umweltschutzinvestitionen haben. Zu den Rahmenbedingungen gehoren - aufgrund fonnaler Ahnlichkeiten gleichsam auch als deren Grundtypen nicht zuletzt die verschiedenen Instrumente staatlicher Umweltpolitik. Sachgerecht wird von ihm ein besonderes Augenmerk auf die Beriicksichtigung der Auswirkungen der Produktion auf die Zahlungsstrome der Investition gelegt, weil betriebliche Umweltschutzinvestitionen dazu dienen, umweltschadliche Effekte der Produktion zu verringem oder gar zu unterbinden und/oder der Umwelt niitzende auszubauen. Er entwickelt dazu in einem mehrstufigen ProzeB quantitative

VI

Geleitwort

Modelle auf Basis der linearen Programmierung, um Umweltinvestitionen okonomisch auf ihre Vorteilhaftigkeit beurteilen zu konnen. Durch Anwendung der Dualitatstheorie gelingt es ihm femer, wichtige Erkenntnisse auch im Hinblick auf den korrekten Einbezug der Auswirkungen umweltpolitischer Mafinahmen in Partialmodelle wie den Kapitalwert zu gewinnen, und Sensitivitatsanalysen der gefundenen Losungen fordem durchaus unerwartete und nicht bezweckte Aspekte des staatlichen Instrumenteneinsatzes zutage. Die urspriingliche Fassung dieser Schrift wurde 2004 von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultat der Emst-Moritz-Amdt-Universitat als Habilitationsschrift fiir das Gebiet der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre angenommen. Sie verbindet in auBerst gelungener und differenzierter Weise methodisch wie sachlich drei komplexe Sachverhalte miteinander: den Betrieblichen Umweltschutz, die Betriebiiche Bewertungslehre sowie als methodisches Fundament die Mathematische Programmierung. Ich wiinsche ihr eine weite Verbreitung in Wissenschaft und Praxis.

Prof. Dr. Manfred Jiirgen Matschke

Vorwort Die vorliegende Arbeit wurde im Jahr 2004 von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakuitat der Emst-Moritz-Arndt-Universitat zu Greifswald ais Habilitationsschrift angenommen. Wenn trotz des erfoigreichen Abschlusses des Verfahrens im November desselben Jahres noch einige Zeit bis zum Erscheinen der nun vorliegenden Fassung verging, so liegt das u.a. in der Erganzung des fUnften Kapitels um einige Beispiele begriindet. Sie halfen, das Verstandnis zentraler Ergebnisse im Rahmen verschiedener Vortrage zu erleichtem, und sollen deshalb auch dem Leser nicht vorenthalten bleiben. Ublicherweise ist das Gelingen eines Habilitationsverfahrens von einer Vielzahl von Faktoren abhangig. Da dabei das Umfeld eine wesentliche Roile spielt, mochte ich all denen herzlich danken, die trotz immer wieder auftretender Schwierigkeiten zum letztlich reibungslosen Ablauf beigetragen haben. Zuvorderst zu nennen ist hier mein verehrter akademischer Lehrer, Herr Prof. Dr. Manfred Jiirgen Matschke, der mir stets die eiforderlichen wissenschaftlichen Freiraume gewahrt hat. Die von ihm geschaffene angenehme Arbeitsatmosphare war mir immer eine groBe Unterstutzung. Gedankt sei dariiber hinaus Herrn Prof. Dr. Roland Rollberg und Herrn Prof. Dr. Rolf Schwinn fUr die stets aufmunternden Worte und die Ubernahme der weiteren Gutachten. Herr Dipl.-Kfm. Michael Lerm las die Manuskripte selbst in teilweise noch etwas unfertigem Zustand gegen, als aufgrund terminlicher Verpflichtungen eine Parallelisierung der Arbeitsablaufe unvermeidlich wurde. Trotzdem widmete er sich dieser Aufgabe mit grofier Bereitwilligkeit und half mir mit vielen wertvollen Kommentaren. DafUr mochte ich ihm an dieser Stelle noch einmal sehr herzlich danken. Besonders dankbar bin ich schlieBlich ebenso meiner Familie - meiner Frau Francisca sowie Rosi und Sabine Sophie. Frisch nach Deutschland gekommen, muBten sie trotz zunachst groBer Anpassungsschwierigkeiten immer wieder auf Papi verzichten, wenn dieser aufgrund der groBen Menge an Aufgaben und wahrzunehmenden Terminen oder der Arbeit am eigenen Werk wieder einige Nachte allenfalls kurz nach Hause kommen konnte. Sie haben die hieraus resultierenden Einschrankungen und Belastungen stets mitgetragen. Unterstutzt wurden wir dabei trotz groBer Entfemung von meiner Mutter Annegret Klingelhofer sowie von der Patentante unseres „Bienchens", Frau Inge Michalak, die wahrend all dieser Zeit voller Eifer die aufopfemngsvoUe Rolle einer „Ersatzoma" fUr beide Kinder einnahm. Ohne diesen Einsatz ware vieles nicht moglich gewesen, so daB ich hierfUr auch an dieser Stelle noch einmal meinen ganz auBerordentlichen und herzlichen Dank aussprechen mochte.

Heinz Eckart Klingelhofer

Inhaltsverzeichnis Abklirzungsverzeichnis

XIII

Verzeichnis der verwendeten mathematischen Zeichen

XVn

Verzeichnis der verwendeten Variablen und Konstanten

XIX

Verzeichnis der verwendeten Indizes

XXni

Beispielverzeichnis

XXVII

Abbildungsverzeichnis

XXIX

Tabellenverzeichnis

XXXI

1

Einleitung und Gang der Untersuchung

1

2

Grundlagen - Zur finanzwirtschaftlichen Bewertung betrieblicher Umweltschutzinvestitionen

7

2.1 Zum Begriff der „Umweltschutzinvestition" und den Rahmenbedingungen fiir ihre Durchfuhrung

7

2.1.1 Umwelt und Umweltschutz

7

2.1.2 Die Umweltschutzinvestition

8

2.1.2.1 Wesen der Umweltschutzinvestition 2.1.2.2 Beispiele verschiedener Arten von Umweltschutzinvestitionen 2.1.3 Rahmenbedingungen fiir die Durchfuhrung betrieblicher Umweltschutzinvestitionen

8 10 13

2.1.3.1 Das umweltpolitische Instrumentarium des Staates als Rahmenbedingung fiir die Durchfiihrung betrieblicher Umweltschutzinvestitionen

14

2.1.3.2 Weitere Rahmenbedingungen fiir die Durchfiihrung betrieblicher Umweltschutzinvestitionen

20

2.2 Zur Zielsetzung der finanzwirtschaftlichen Bewertung betrieblicher Umweltschutzinvestitionen

22

2.2.1 Die grundsatzliche Zielsetzung bei der fmanzwirtschaftiichen Bewertung betrieblicher Investitionen

22

2.2.2 Das Umweltschutzziel und sein Verhaltnis zur Zielsetzung bei der fmanzwirtschaftiichen Bewertung betrieblicher Investitionen

26

Inhaltsverzeichnis

2.3 SchluBfolgerungen aus den wesentlichen Charakteristika betrieblicher Umweltschutzinvestitionen fiir ihrefinanzwirtschaftlicheBewertung

29

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

31

3.1 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen auf unvoUkommenen Kapitalmarkten unter Sicherheit

31

3.1.1 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen unter der Zielsetzung der Vermogensmaximierung auf unvoUkommenen Kapitalmarkten unter Sicherheit

32

3.1.2 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Investitionen unter der Zielsetzung der Einkommensmaximierung auf unvoUkommenen Kapitalmarkten unter Sicherheit

43

3.2 Die arbitragefreie Bewertung unsicherer Investitionen 3.2.1 Einfiihrung in die arbitragefreie Bewertung - Zustandsbedingte Anspriiche und das Prinzip der Bewertung einperiodiger unsicherer Investitionen auf arbitragefreien Markten

46

3.2.2 Die Bedingung der Arbitragefreiheit

51

3.2.2.1 Die schwache Arbitragefreiheitsbedingung 3.2.2.2 Die starke Arbitragefreiheitsbedingung 3.2.3 Die arbitragefreie Bewertung mehrperiodiger unsicherer Investitionen

4

45

52 54 59

3.3 Die nnanzwirtschaftUche Bewertung von Investitionen auf unvoUkommenen Kapitalmarkten unter Unsicherheit

71

3.4 Zur grundsatzlichen Modellierung der finanzwirtschaftlichen Bewertung einer zusatzlichen Investition

83

Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen betrieblicher Umweltschutzinvestitionen aus den Zusammenhangen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung 4.1 Grundlagen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung 4.2 Grundsatzliche Bestimmung der Zahlungskonsequenzen betrieblicher Umweltschutzinvestitionen aus den in der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung gegebenen Zusammenhangen 4.2.1 Aus der betrieblichen Produktion resultierende Zahlungskonsequenzen von Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz, von Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren

93

93

102

103

Inhaltsverzeichnis

5

XI

4.2.2 Aus der betrieblichen Produktion resultierende Zahlungskonsequenzen von Investitionen in additive UmweltschutzmaBnahmen

104

4.2.3 Aus der betrieblichen Produktion resultierende Zahlungskonsequenzen des Aufbaus von Recyclingstrukturen

113

Die Hnanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen 5.1 Abgrenzungen und ihre Konsequenzen fiir die Onanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

123

123

5.1.1 Thematische Abgrenzungen

123

5.1.2 Abgrenzungen im Hinblick auf die Verkniipfung von Produktionstheorie und Produktionsprogrammplanung mit der Investitionstheorie

123

5.1.3 Das resultierende Basisprogramm zur finanzwirtschaftlichen Bewertung von Umweltschutzinvestitionen in seiner Grundform

127

5.2 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an gegebene Umweltschutzrahmenbedingungen

130

5.2.1 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen

130

5.2.1.1 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, von Devestitionen und von Anderungen von Produktionsverfahren zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen

130

5.2.1.2 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Investitionen in additive Umweltschutzverfahren zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen

150

5.2.1.3 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung des Aufbaus von Recyclingstrukturen zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen

161

5.2.2 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an Abgaben und Subventionen

172

5.2.2.1 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Basisprogramm.... 172 5.2.2.2 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, fiir Devestitionen und fUr Anderungen von Produktionsverfahren

177

5.2.2.3 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in additive Umweltschutzverfahren

194

5.2.2.4 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Bewertungsprogramm fiir den Aufbau von Recyclingstrukturen

199

5.2.3 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an Kompensationslosungen und Zertifikate

204

XII

Inhaltsverzeichnis

5.2.3.1 Auswirkungen von Kompensationslosungen und Zertifikaten auf das Basisprogramm

204

5.2.3.2 Auswirkungen von Kompensationslosungen und Zertifikaten auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren

211

5.2.3.3 Auswirkungen von Kompensationslosungen und Zertifikaten auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in additive Umweltschutzverfahren

242

5.2.3.4 Auswirkungen von Kompensationslosungen und Zertifikaten auf das Bewertungsprogramm fiir den Aufbau von Recyclingstrukturen

255

5.2.4 Die fmanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an Regelungen des Umwelthaftungsrechts

263

5.2.4.1 Abgrenzung der Auswirkungen des Umwelthaftungsrechts auf die Investitionsplanung

263

5.2.4.2 Das Basisprogramm zur Bewertung von Investitionen beim Vorliegen von umwelthaftungsrechtlichen Regelungen

271

5.2.4.3 Auswirkungen des Umwelthaftungsrechts auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren 278 5.2.4.4 Auswirkungen des Umwelthaftungsrechts auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in additive Umweltschutzverfahren 291 5.2.4.5 Auswirkungen des Umwelthaftungsrechts auf das Bewertungsprogramm fiir den Aufbau von Recyclingstrukturen 304

6

Zusammenfassung

313

Anhang

323

Literaturverzeichnis

325

Verzeichnis der verwendeten Rechtsvorschriften und Bundestagsdrucksachen

343

Verzeichnis der verwendeten Urteile deutscher Gerichte

345

Stichwortverzeichnis

347

Abkiirzungsverzeichnis AbfG

Abfallges(jtz

Abs.

Absatz

APV

Adjusted Present Value

Art.

Artikel

Aufl.

Auflage

BB

Betriebs-Berater

Bd.

Band

ber.

berichtigt

BFuP

Betriebsv/irtschaftliche Forschung und Praxis

BGB

Biirgerliches Gesetzbuch

BGBl.

Bundesgesetzblatt

BOH

Bundesgerichtshof

BGHZ

Entscheidungen des Bundesgerichtshofes in Zivilsachen

BImSchG

Bundes-Immissionsschutzgesetz

BOP

Begin-of-(the-)Pipe

bspw.

beispielsweise

BT

Bundestag

bzw.

beziehungsweise

c.p.

ceteris peiribus

CO2

Kohlendioxid

DB

Der Betrieb

DBW

Die Betriebswirtschaft

DCF

Discounted Cash Flow

d.h.

das heiBt

DIN

Deutsches Institut fiir Normung e.V.

Drs.

Drucksache

e.V.

eingetragener Verein

ebd.

ebenda

EOF

End-of-(the-)Pipe

etal.

etalii

XIV

AbkUrzungsverzeichnis

etc.

et cetera

evtl.

eventuell

f.

folgende(r) [Seite/Paragraph]

F&E

Forschung und Entwicklung

FCKW

Huorchlorkohlenwasserstoff

ff.

(fort)folgende [Seiten/Paragraphen]

Fn.

Fu6note(n)

FT

Finanzierungstitel

GE

Geldeinheit(en)

geand.

geandert

gem.

gemaB

ggf.

gegebenenfalls

GMBl.

Gemeinsames Ministerialblatt

HdWW

Handworterbuch der Wirtschaftswissenschaft

Hrsg.

Herausgeber

hrsg.

herausgegeben

HWB

Handworterbuch der Betriebswirtschaft

HWF

Handworterbuch der Finanzwirtschaft (1. Aufl.), Handworterbuch des Bank- und Finanzwesens (2. Aufl.)

HWProd

Handworterbuch der Produktionswirtschaft

i.a.

im allgemeinen

i.d.F.

in der Fassung

i.d.R.

in der Regel

i.e.S.

im engeren Sinne

i.S.d.

im Sinne des, im Sinne der

i.V.m.

in Verbindung mit

i.w.S.

im weiteren Sinne

inkl.

inklusive

insbes.

insbesondere

Jg.

Jahrgang

JoF

The Journal of Finance

kg

Kilogramm

XV

Abkurzungsverzeichnis

konst.

konstant

KoR

KapitalmarktorientierteRechnungslegung

KRP

Kostenrec hnungspraxi s

KrW-/AbfG

Kreislaufwirtschafts- und Abfallgesetz

m.w.Nachw.

mit weiteren Nachweisen

max.

maximiere

ME

Mengeneinheit(en)

min.

minimiere

MunchKomm

Miinchner Kommentar zum Biirgerlichen Gesetzbuch

Nachl.

Nachlieferung

NJW

Neue Juristische Wochenschrift

Nr.

Nummer

o.a.

Oder ahnliche(s)

OR

Operations Research

PACT

Pollution Added Credit Trading

RGBl.

Reichsgesetzblatt

resp.

respektive

Rn.

Randnummer

S.

Seite(n)

s.o.

siehe oben

SK

Systematischer Kommentar zum Strafgesetzbuch

sog.

sogenannt

Sp.

Spalte(n)

StGB

Strafgesetzbuch

TA

Technische Anleitung

u.a.

unter anderem, und andere

u.d.N.

unter der Nebenbedingung (unter den Nebenbedingungen)

u.U.

unter Umstanden

UE

Umwelt und Energie, Handbuch flir die betriebliche Praxis

UmweltHG

Umwelthaftungsgesetz

UPR

Umwelt- und Planungsrecht

usw.

und so weiter

XVI

AbkUrzungsverzeichnis

UWF

Umweltwirtschaftsforum

VDE

Verband Deutscher Elektrotechniker

VersR

Versicherungsrecht

vgl.

vergleiche

VO

Verordnung

Vol.

Volume

vs.

versus

WiSt

Wirtschaftswissenschaftliches Studium

WISU

Das Wirtschaftsstudium

z.B.

zum Beispiel

z.T.

zum Teil

ZAU

Zeitschrift fiir angewandte Umweltforschung

ZfB

Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft

ZfbF

Schmalenbachs Zeitschrift fiir betriebswirtschaftiiche Forschung

ZFO

Zeitschrift Fiihrung + Organisation

ZfU

Zeitschrift fiir Umweltpolitik und Umweltrecht

ZGPM

Zustands-Grenzpreis-Modell

ZP

Zeitschrift fiir Planung & Untemehmenssteuerung

ZPM

Zustandspreismodell

ZWS

Zeitschrift fiir Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

Verzeichnis der verwendeten mathematischen Zeichen V

Allquantor („fur alle")

3

Existenzquantor („es existiert")

A nB

Schnittmenge der Mengen A und B

Ac B

A ist echte Teilmenge von B

Ac B

A ist Teilmenge von B

AXB

kartesisches Produkt der Mengen A und B

A\B

Differenz der Mengen A und B (Komplement von B in A)

alb

a unter der Bedingung b

a := b

a ist definiert als b

f(x)

Funktion von x

=^

Impiikation („daraus folgt", „wenn, dann")

^^

Aquivalenz („genau dann, wenn")

IR

Menge der reellen Zahlen

IRm +n

nichtnegativer Orthant des (m+n)-dimensionalen euklidischen Vektorraumes

M

Matrix

M'

transponierte Matrix

J14-I

inverse Matrix

max.

maximiere

min.

minimiere

e

Element von

^

nicht Element von

X

Vektor x

x'

transponierter Vektor

I pi

Betragvonp

Verzeichnis der verwendeten Variablen und Konstanten Matrix der Beschrankungskoeffizienten (gemeinsam beschrankter Objekte/Komponenten) Beschrankungskoeffizient (gemeinsam mit anderen beschrankter Objekte/Komponenten) B

Matrix der BezugsgroBenkoeffizienten

b

BezugsgroBe / BezugsgroBen(koeffizient)

BEW

Zielfunktionswert des Bewertungsprogramms (bei Preismaximierung)

BP

Matrix flir die Umordnung von Outputobjekten der BOP-MaBnahme zu Inputobjekten des eigentlichen Produktionsprozesses

D

Menge von Intensitaten

d

Intensitat

5

Schattenpreis der Restriktion zur Gewahrleistung eines Entnahmewertes, der mindestens dem maximalen des Basisprogramms entspricht (Dualwert)

AGDB"^

Gesamtdeckungsbeitragssprung nach oben

AGDB-

Gesamtdeckungsbeitragssprung nach unten

E

Einheitsmatrix Entnahm(j

EN ENS

Breite des Entnahmestroms (Zielfunktionswert bei Entnahmestrommaximierung)

EP

Matrix fur die Umordnung von Inputobjekten der EOP-MaBnahme zu Outputobjekten des eigentlichen Produktionsprozesses

ESK

erwartete Schadenskosten

esk

erwarteter Schadenskostensatz je Mengeneinheit des Bezugsobjektes

FT

reiner Finanzierungstitel, ARROW-DEBREU-Finanzierungstitel

GEN

(Summe der) gewichtete(n) Entnahmen (Zielfunktionswert des Basisprogramms)

GK

Gesamtkosten

gw

Gewichtungsfaktor

gws

Gewichtungsfaktor fur die Breite des Entnahmestromes

r

Anzahl der zusatzlichen (ggf. nichtmonetaren) Restriktionen (etwa der Produktion)

XX

n , r2,13, r4, r s

Verzeichnis der verwendeten Variablen und Konstanten

wie r; durch die Zahl eifolgt die Abgrenzung von Restriktionen jeweils eines bestimmten Grundtyps

H

Anzahl der verschiedenen Objektteilmengenintervalle

i

Zinssatz

invj

Haufigkeit der Durchfiihrung des Investitionsobjektes j

J

Zahl der Objektej

/

Indexmenge der Objekte

K

Kapitalwert

koeff

Kuppelproduktionskoeffizient bei Bezug auf die Menge eines konkreten (des li-ten) Outputobjektes (hier: Produktes) Xp^

koeff

Vektor der Kuppelproduktionskoeffizienten bei deren Bezug auf die Menge eines konkreten (des h-ten) Outputobjektes (hier: Produktes)

1

Schattenpreis der Liquiditatsnebenbedingung (Dualwert)

X

(Produktions-/Aktivitats-/ProzeB-)Niveau

X

Vektor der (Produktions-/Aktivitats-/ProzeB-)Niveaus

M

Technologiematrix

m

Anzahl der verschiedenen Produktionsfaktorsorten i.w.S.

N

Nutzen

n

Anzahl der verschiedenen Ausbringungsobjektsorten der Produktion

p

Preis

PB

Matrix fiir die Umordnung von Inputobjekten des eigentlichen Produktionsprozesses zu Outputobjekten der B0P-Ma6nahme

PE

Matrix fiir die Umordnung von Outputobjekten des eigentlichen Produktionsprozesses zu Inputobjekten der EOP-MaBnahme

n

linearer (Produktions-)Proze6

Ti

Schattenpreis der primalen (nichtmonetaren) (Produktions-)Beschrankung (Dualwert)

9g

£-tes Einsatz- oder Ausbringungsobjekt der Produktion

(D = (r'; x ' ) '

Input-ZOutputvektor der Produktion (Aktivitat) nach dem Bruttoprinzip (Bestandsversion)

au6

Vektor der (zusatzlich zu den Rezyklaten) von auBen bezogenen und nach auBen abgegebenen Objekte

Verzeichnis der verwendeten Variablen und Konstanten

^ — O

Si .2

II

00 C 3

•o c

c 2

(X o

1? J=i

c2 •3o e o

E

"O j=

c

3


1 •^_JL

-a c al

>^

C C 3

C

4J

>

00

c 3 c


0 des Objektes j nur in Frage, wenn diese Ungleichung (3.9) als Gleichung erfullt ist. Gilt inv; < inv:^, fiihrt die Komplementaritatsbeziehung (3.2) iiber das Preistheorem auf h = 0; ein solches Objekt leistet also keinen positiven Beitrag zum Zielfunktionswert des Dualproblems und damit in der optimalen Losung auch nicht zu demjenigen des Primalproblems. Bezogen auf die Kapitalwertformel (3.9) als aus dem Totalmodell gewonnenes Partialmodell erhalt man mit Hilfe dieser Zusammenhange: I.

Bei voUer Verwirklichung des Objektes j mit inv; = inv:*^ > 0 ist sein Kapitalwert K; niemals negativ: Ki= ^ >0 ' lo Eine nicht degenerierte Optimallosung laBt ihn sogar positiv sein. In der Umkehrung heiBt das, ein Objekt j mit positivem Kapitalwert bis zur Hochstgrenze durchzujuhren.

II.

Bei bloB teilweiser Verwirklichung eines Objektes j in der Optimallosung (Grenzobjekt) erzwingt 0 < inv: < invj° wegen (3.2) fiir die Dualvariable L den Wert 0, und es resultiert:

In einer solchen Situation erlaubt die Kapitalwertmethode in ihrer Umkehrung freilich keine isolierte Entscheidung Uber die Durchfiihrung des Objektes j , well ein Kapitalwert Kj = 0 als ausgeartete Losung auch schon unter I und ebenso folgend unter III auftreten kann. Mithin ist bei alleiniger Entscheidung nach dem Vorzeichen des Kapitalwertes nicht klar, ob man es mit einem Grenzobjekt zu tun hat und in welchem Umfang dieses zu tatigen ist.

^^° Vgl. hierzu und zum Folgenden HAX: Finanzplanung, S. 441, FRANKE/LAUX: Partialmodelle, S. 748 f., HAX: Investitionstheorie, S. 98-100, HERING: Investitionstheorie, S. 82-85 sowie alternativ auf Basis des Prinzips von LAGRANGE wieder HELLWIG: Ressourcen, S. 25-31 und SPECKBACHER: Separation, S. 482.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

III.

37

Bei Nichtverwirklichung eines Objektes j folgt aus 0 = invj < invj° wegen (3.2) wieder ^j = 0 und damit aus Ungleichung (3.9): Ki 0, so muB der Klammerausdruck 0 ergeben und zumindest einer derDualwerte 1^ > 0 und demnach wegen \_i > 1^ Vt G {1; 2; ...; T } auch IQ > 0 sein.'37 i^ gj^^ ^j^bei wiederum in der Optimallosung den Beitrag einer zusatzlichen GE zum Zielfunktionswert WRS des Dualproblems und damit gem. dem Dualitatstheorem auch zum Zielfunktionswert ENS des Primalproblems an (mithin die erfolgende Anderung der Breite EN des Einkommensstromes). Also miissen gws^ GE zusatzhch in jedem Zeitpunkt t gem. dem zu 0 erfiillten Klammerausdruck in (3.4a) dazu fiihren, daB dieser (genau der gewiinschten Entnahmestruktur entsprechende) Zahlungsstrom z = gws mit 1 bewertet wird, denn die Breite des

'3^ Diese Vorgehensweise wahlt bspw. schon HAX: Finanzplanung, S. 440 f., der die Aussagen zu den endogenen GrenzzinsfiiBen aus dem Fall der Einkommensmaximierung herleitet. Vgl. femer FRANKE/LAUX: Partialmodelle, S. 747-752 und 756 f., die beide Wege einschlagen und die Zusammenhange (insbes. auch zur von ihnen als „Nettorendite" bezeichneten Initialverzinsung) nachweisen. ^36 Vgl. HERING: Investitionstheorie, S. 94 f., FRANKE/LAUX: Partialmodelle, S. 756. •^^ Vgl. in diesem Zusammeniiang die Ausfiihrungen zu (3.5) im letzten Unterabschnitt.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

45

Einkommensstromes EN kann um genau 1 GE erhoht werden. Bestimmt man jetzt analog zum Abschnitt 3.1.1 den Kapitalwert der Zahlungsreihe z = gws aus dem zu 0 erfullten Klammerausdruck in (3.4a) unter Beriicksichtigiiing der Beziehung l^_i > 1^ Vt G {1; 2;...; T}, SO resultiert: T I 1 T I gwst--^-— I gwSfpt-lo = l ^ Vs G {1; 2;...; S} ZU bewerten. DaB dem in der Tat so ist, laBt sich auf Ba-

Vgl. z.B. HERING: Arbitragefreiheit, S. 168, HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 189 f.

56

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

sis des Satzes von STIEMKE'^^ oder des Trennungssatzes fiir konvexe Mengen^^^ beweisen. Leichter geht es jedoch iiber die Dualitatstheorie der linearen Optimierung:^^^ Hierzu sind zunachst wie zu Beginn des Abschnitts 3.1.1 das Primalproblem der Entnahmemaximierung (max. GEN) und das zugehorige Dualproblem (min. WRG) aufzustellen. Dabei sind indes die Variablen t G {1; . . . ; T } als kiinftige Zustande s e { l ; . . . ; S } z u interpretieren (d.h. T = S), wahrend t = 0 weiterhin dem heutigen Entscheidungszeitpunkt entspricht. Hinzu treten einige geringfiigige weitere Unterschiede: So lange, wie man in jedem Zustand an Entnahmen interessiert ist (alles andere ware okonomisch unsinnig)'^', werden die Entnahmegewichte gw^ > 0 fiir alle kiinftigen Zustande sein. Da ferner gemaB Voraussetzung Leerverkaufe ausdriicklich zugelassen sind, gilt im Primalproblem nicht mehr die Nichtnegativitatsbedingung inv: > 0 V j e {1; 2; . . . ; J}, sondem nunmehr inv: e IR Vj e {1; 2; . . . ; J}. Dies hat zur Folge, daB die erste Gruppe von Nebenbedingungen im Dualproblem nunmehr die Gleichungsform annimmt:

(3.23)

T -lzw-lt+^j=0 t=0

VJG{l;2;...;J}

Der Rest bleibt im Vergleich zu den friiheren Ansatzen unverandert. Fiir die Auswertung ist dann zu unterscheiden, ob die J Obergrenzen inv; < inv;^ die Objekttransaktionen inv; tatsachlich nach oben beschranken und ob heute oder in den S verschiedenen kiinftigen Zustanden vom Investitionsprogramm unabhangige Zahlungen uz^ ^ 0 auftreten konnen.

1^^ Vgl. STIEMKE: Losungen; DANTZIG: Programmierung, S. 160; NiKAlDO: Theory, S. 36 f.; MANGASARIAN: Programming, S. 32 i.V.m. 29, HEITMANN: Bewertung, S. 32-34, JOHANNWILLE: Bewertung, S. 68. '5^ Vgl. etwa GREEN/SRIVASTAVA: Arbitrage, S. 259, DUFFIE: Theory, S. 3 f. sowie zum Beweis des Satzes COLLATZ/WETTERLING: Optimierungsaufgaben, S. 203-205 und DUFFIE: Theory, S. 275-278. ^^ Vgl. dazu ausfuhrlich HERING: Arbitragefreiheit, S. 168-170; HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 190-192. Vgl. ferner WILHELM/BRUNING: Fristigkeitsstruktur, S. 261-268; KUNK: Anleihenbewertung, S. 13-20; INGERSOLL: Theory, S. 54-57, 67 f; DE MUNNIK: Valuation, S. 12-24. "^^ Beim Modell der Entnahmemaximierung nach HAX und WEINGARTNER reicht es aus, wenn in wenigstens einem Zeitpunkt die Entnahme positiv gewichtet wird, sofern zu anderen Zeitpunkten anfallende Gelder in ausreichendem Umfang dorthin transformiert werden konnen - geringstenfalls uber die unverzinsliche Kassenhaltung nach hinten oder uber Wucherkredite nach vorne. Fiir gWj > 0 und sonstige okonomisch sinnvoll formulierte Zielsetzungen (vgl. die Voraussetzungen 1-4 in Abschnitt 3.1.1 auf S. 33 dieser Arbeit) ist dies immer gewahrleistet (zur Situation bei okonomisch weniger sinnvoll formulierten Zielsetzungen vgl. Fn. 109 auf S. 35). Bei der hier betrachteten Problemstellung indes ist eine solche Transformation zwischen den verschiedenen Zustanden in t = 1 nicht moglich, da diese - anders als Zeitpunkte - nicht alle nacheinander durchlaufen werden, sondern altemativ eintreten. Aus diesem Grunde diirfen sich die Entnahmegewichtungen zwischen verschiedenen Zustanden zwar unterscheiden; sie werden aber immer groBer als 0 sein, well okonomisch sinnvollerweise niemand bewuBt Geld verfallen laBt. (Will man lediglich Arbitragegelegenheiten aufdecken und nicht zugleich Investitionen gem. den eigenen Konsumpraferenzen zu den Marktbedingungen als Opportunitat bewerten, so sind gleich groBe Entnahmegewichte durchaus ausreichend.) Da femer Geld immer einperiodig von t = 0 zum (ggf zustandsbedingten) Zinssatz ip^^ ^ > 0 bis t = 1 angelegt werden kann, gilt gemaB (3.5) IQ ^ 1^ Vs e {1; 2; ...; S} in t = 1. Bestehen auBerdem zustandsbedingte Kreditaufnahmemoglichkeiten zu endlichen Zinssatzen (ggf zu Wucherzinsen), konnen spatere Betrage auch hier diskontiert vorgezogen werden (mit der Folge 1^ > 0 und demnach p^ Q > 0)- Zusammen mit der genannten Anlagemoglichkeit erlaubt dies dann auch eine Aussage iiber den Wert einer Geldeinheit in einem Zustand bezogen auf einen anderen. Hierauf wird im Unterkapitel 3.3 zunachst im Zusammenhang mit der dortigen Beziehung (3.7**) und ausfuhrlich unter dem Gesichtspunkt der Einkommensmaximierung noch naher eingegangen werden.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

57

Im einfachsten Falle entfallen die J Obergrenzen invj*^ im Primalproblem, so daB alle zugehorigen Dualvariablen ^j = 0 sind. 1st uberdies uz^ = 0 in alien Zustanden t, so ergibt sich als Zielfunktionswert des Dualproblems WRG = 0. Weil dann nach dem Dualitatstheorem der linearen Optimierung im Falle einer zulassigen Losung auch derjenige (GEN) des Primalproblems nicht groBer sein kann, ist eine zulassige Losung beider Probleme gleichbedeutend damit, daB die durchzufiihrenden Transaktionen keine Entnahmen erlauben, der Markt mithin arbitragefrei ist. Da femer alle Entnahmen in den kiinftigen Zustanden positiv gewichtet werden^^^ und analog zu den friiheren Ausfiihrungen heutiges Geld zum zustandsbedingten Zinssatz i^^^ j > 0 angelegt werden kann (gilt zumindest fiir die einperiodige Kassenhaltung von heute bis zum Zustand t), erhalt man aus den Nebenbedingungen des Dualproblems fiir Zustande: (3.24)

lt>gwt>0 VtG {0; l;...;T = S} => Pto:= — >0

Vt G {0; 1; ...; T = S}

Nachdem die friihere Ungleichung (3.9) bereits aufgrund von (3.23) als Gleichung auf die neue Situation fiir Zustande ubertragen ist, resultiert wegen ^j = 0 und pj = -ZJQ bei arbitragefreier Bewertung fiir den Preis p; eines Weitpapiers j : T

(3.25)

^.

T

X Zjt-Pt,0=-r = 0 ^> Pj=-ZjO= SzjfPt,0 t=0

^0

VJG {l;2;...;J}

t-1

(3.24) und (3.25) zusammengefaBt in Matrizenschreibweise liefert dann die starke Arbitragefreiheitsbedingung: (3.26)

3^>0

mit Z R - ^ = p

Sie unterscheidet sich von der friiheren dahingehend, daB nunmehr die zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren alle positiv sein miissen. Gibt es hingegen keine solche zulassige Losung ^ > 0, muB der Zielfunktionswert des Primalproblems (max. GEN), das wenigstens die zulassige Losung iny = 0 und EN = 0 hat, gegen unendlich streben, und es gibt Arbitrage. In der Realitat wird diese bisher beschriebene einfachste Situation freilich in den seltensten Fallen gegeben sein (zumeist auch nicht fiir Umweltschutzinvestitionen). Greifen Obergrenzen invj < invj^ fiir einige oder gar fiir alle Objekttransaktionen j G {1; 2; ...; J} oder treten heute Oder in einem der S verschiedenen kiinftigen Zustande vom Investitionsprogramm unabhangige Zahiungen uzj ^ 0 auf,^^^ ^Q kann der optimale Zielfunktionswert des Dualproblems WRG endliche positive Werte annehmen - und damit nach dem Dualitatstheorem der linearen Optimierung ebenso derjenige des Primalproblems GEN. Eine zulassige Losung beider Pro-

162 Verziciitet man darauf und gewichtet aussciilieBlich die heutige Entnalime mit einem Gewichtungsfalctor gWg > 0, so gilt im folgenden nur nocii \>Q V t e { 1 ; . . . ; T = S } und damit pf Q ^ 0 V t G {1; ...; T = S}. Entsprechend wird spater aus (3.26) die aus Unterabschnitt 3.2.2.1 bekannte schwache Arbitragefreiheitsbedingung. Vgl. dazu HERING: Arbitragefreiheit, S. 169 f. Vgl. ferner INGERSOLL: Theory, S. 54-57. ^^•^ Bei Untersuchungen eines Marktes auf Arbitragefreiheit wird man von letzterem absehen konnen. Mochte man jedoch den „Marktwert" einer sich nur dem Investor bietenden Investition priifen, konnen vom Investitionsprogramm unabhangige Zahiungen aus Sicht des Investors durchaus eine RoUe spielen.

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3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

bleme gestattet also u.U. positive, in ihrer Hohe allerdings beschrankte Entnahmen. Letztlich ist diese SchluBfolgerung i.S.d. Abschnitts 3.1.1 gleichbedeutend damit, daB die Ausnutzung von Marktunvollkommenheiten Geschdfte mit positivem Kapitalwert erlaubt.'^ Insbesondere Oberund Untergrenzen fur die Objektdurchfuhrungen invj lassen u.U. auch die Gleichungen (3.23) wieder zu Ungleichungen werden und fiihren damit auf eine zu (3.9) analoge Schreibweise.^^^ Gleiches gilt fur Transaktionskosten, (ggf. als Subventionen zu interpretierende negative) Steuern und Geld-Brief-Spannen, da man es bei ihnen aufgrund der differierenden Zahlungsreihen de facto mit unterschiedlichen vorzeichenbeschrankten Objekten zu tun hat.^^^ GeldBrief-Spannen fiihren dazu, daB sich ein Kauf und gleichzeitiger Verkauf eines oder mehrerer Wertpapiere trotz einfacher Verletzung der bisherigen Formulierung der starken Arbitragefreiheitsbedingung 3 p^ > 0 mit ZR • p^ = p nicht lohnen (der Markt also arbitragefrei bleibt), wenn die Ankaufs- und Verkaufpreise noch innerhalb des Intervalls p/^^j^ < ZR • pQ < pverk liegen.'^^ Ahnliche Uberlegungen bei Transaktionskosten und Steuern, die jedes ihnen unterliegende Geschaft verteuem, lassen durch Aufspaltung der Zahlungsreihen urspriinglich unbeschrankter Objekte mit inv; G IR auf zwei verschiedene, nunmehr vorzeichenbeschrankte Objekte mit inv; > 0 die Bedingung 3 ^ > 0 mit ZR - p^ = p resultieren. Erweitert man die Analyse schlieBlich auf mehrperiodige Betrachtungen, so gestattet schon eine einfache Riickinterpretation des auf Zustande bezogenen Modells auf Zeitpunkte (und damit in die Form des Abschnitts 3.1.1) die Analyse von Arbitragegelegenheiten bei einer weiteren Marktunvollkommenheit: Erlaubt man namlich neben den mehrperiodigen Geschaften die zusatzliche Kassenhaltung zwischen verschiedenen Zeitpunkten mit der einperiodigen Zahlungsreih^^KH.t = (2KH,t'^KH,t+l) = (~1' 1)' Vt e {0; 1; ...; T-1}, so fiihrt das mit i^^,! - ^ ^t)er die T zusatzlichen Bedingungen (3.5) und uber (3.6) auf Pt_i,o ^ Pt,0- ^^^ Abzinsungsfaktoren diirfen also im Zeitablauf nicht wachsen, weil andernfalls die (aus der Zinsstruktur nicht unbedingt ohne weiteres erkennbaren) resultierenden negativen Terminzinssatze nach (3.9) bei gleichzeitig zugelassener Kassenhaltung eine Arbitragemoglichkeit eroffneten. Fiir den AusschluB auch solcher Falle muB die starke Arbitragefreiheitsbedingung demnach lauten:'^^ (3.27)

3^>0

mit

Z R - ^ = p und Pt-i,o^Pt,0

Vt G {1; 2;...; T}

Im Endeffekt sind Arbitrageiiberlegungen in den betrachteten Fallen zwar nichts anderes als die Suche nach sich lohnenden Investitionen. Trotzdem sei darauf hingewiesen, daB es hierbei bloB um das Vorliegen von Arbitragegelegenheiten aufeinem bestehenden Kapitalmarkt ging. Unabhangig davon ist die Frage zu sehen, ob mit den Moglichkeiten eines Kapitalmarktes weitere Investitionen vorgenommen werden konnen, die mehr oder minder ausschliefilich dem Entscheidungssubjekt zur Verfiigung stehen. Sie ist also im Gegensatz zum vorgenannten Aspekt sub• ^ Vgl. dazu auch schon H E R I N G : Arbitragefreiheit, S. 173. 165 Vgl. S. 36 dieser Arbeit. 166 Verzichten diese Geschafte immer noch auf Obergrenzen, fiihren positive Kapitalwerte wie zuvor automatisch auf nicht beschrankte Zielfunktionswerte des Primalproblems und damit zu unbegrenzter Arbitrage. 16'^ Vgl. dazu sowie zum Folgenden HERING: Arbitragefreiheit, S. 171-173, B A M B E R G / K R A P P : Arbitragefreiheit, S. 268-272. Zu Transaktionskosten vgl. ferner D E R M O D Y / P R I S M A N : No Arbitrage, S. 71 ff •6^ Vgl. dazu auch HERING: Arbitragefreiheit, S. 170 f

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

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jektiver Natur. In jedem Falle bleibt freilich bei Betrachtung der untersuchten MarktunvoUkommenheiten zu konstatieren, daB mit deren zunehmendem Einbezug das Modell der arbitragefreien Bewertung iibergeht in ein auf Zustande anstelle von Zeitpunkten bezogenes (aber ansonsten strukturgleiches) Modell nach HAX und WEINGARTNER.^^^

3.2.3 Die arbitragefreie Bewertung mehrperiodiger unsicherer Investitionen Gnindsatzlich nicht viel anders als im Einperiodenfall gestaltet sich die arbitragefreie Bewertung mehrperiodiger unsicherer Investitionen: Dazu sei angenommen, daB ausgehend von dem im Entscheidungszeitpunkt t = 0 realisierten (und insofem sicheren) Zustand s = 0 in den T Folgezeitpunkten insgesamt S weitere Zustande s eintreten konnen. Sie mogen sich auf T+1 Indexmengen 5^ der Zustande s zu den Zeitpunkten t e {0; 1; ...; T} verteilen, wobei sich die Gesamtindexmenge S aller Zustande s durch Vereinigung aller zeitbezogenen Mengen S^ ergibt:''^^ T

S=

U 5t = S O U S I U . . . U S T = {0; l;...;S} t=0

Jede zeitbezogene Indexmenge 5^ mit t > 1 laBt sich weiter in Teilmengen zerlegen, die abhangig von dem in t-1 erreichten Zustand s e St_i sind (unter der Bedingung, daB Zustand s eingetreten ist; als Index: „l(t-l)s" oder einfach nur „ls", da jedes s e 5 eindeutig festgelegt ist). SchlieBlich wird man mit fortschreitender Zeit oftmals genauer wissen, welche Zustande ausgehend von den bereits realisierten tatsachlich noch eintreten konnen.^^^ Der Zeitablauf erlaubt also eine immer feinere Unterteilung der zeitbezogenen Indexmengen, und es resultiert:'^^ 5t=

U

5,|3

VtG{l;2;...;T}

S€5t_i

Die graphische Veranschaulichung einer solchen Informationsstruktur fur die zu verschiedenen Zeitpunkten noch moglichen Zustande fiihrt auf einen Zustandsbaum,'^^ ^^g gj. beispielhaft in der Abbildung 3.1 fiir drei Perioden mit 18 kiinftigen Zustanden dargestellt ist:

HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 200, 205, 247-258 spricht von einem „Zustands-Grenzpreismodell" (ZGPM). Vgl. ferner INGERSOLL: Theory, S. 54-57. Vgl. dazu, zu Zustandsbaumen und den alternativ einsetzbaren Entscheidungsbaumen schon (dort mit Wahrscheinlichkeiten gewichtet) LAUX: Investitionsplanung, S. 19-22, 39-44; LAUX: Planung, S. 730-742, LAUX: Entscheidungstheorie, S. 283-311; MAGEE: Capital Investment; MAGEE: Decision Making; MAO: Analysis, S. 307-316; BLOHM/LUDER/SCHAEFER: Investition, S. 263-270; HAX: Investitionsentscheidungen, S. 136-139; HAX: Investitionstheorie, S. 168-171; KLINGELHOFER: Investitionsbewertung, S. 284 f. Damit ist hier die entscheidungslogische und nicht die informationsbedingte Variante der Unsicherheit i.e.S. unterstellt, ist doch bereits im Vorfeld bekannt, welche Zustande spater noch eintreten konnen. Eine Uberfijhrbarkeit beider Formen von Unsicherheit i.e.S. ware in der Theorie vorstellbar, wenn es gelange, die ganze Bandbreite moglicher Zustande in den betrachteten zukiinftigen Zeitpunkten zu ermitteln (ggf. durch beliebig feine Diskretisierung). Im Sicherheitsfall hat jede Menge S^^ genau ein Element. Da dies per definitionem ebenso fiir 5 Q gilt, weisen alle Sj genau ein Element auf (pro Zeitpunkt t ist dann ein Umweltzustand s moglich) - und damit die Gesamtindexmenge S aller S+1 Zustande insgesamt T+1 fiir T-i-1 Zeitpunkte. Vgl. zur Definition von Informationsstrukturen in der Literatur HuANG: Structure, S. 33-36, 48-55, 60-66, HUANG/LITZENBERGER: Foundations, S. 180-183, HEITMANN: Bewertung, S. 36-38, REINHARDT: Bewer-

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3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

t=0

t=l

t=2

t=3

s=3

s= 10 s= 1

s=4

s= 11 s= 12 s=13

s=5

s=0

s= 14 s=15 s-6 s= 16 s=2 s=17 s=7 s= 18

Abbildung 3.1: Zustandsbaum iiber drei Perioden In einem solchen Fall erhalt man in Verbindung von (3.6) und (3.19) aus den Abschnitten 3.1.1 und 3.2.1 ftir den heutigen Preis pjo einer unsicheren Investition j auf einem vollstandigen Kapitalmarkt bei Diskontierung ihrer Riickfliisse Zj^^ im Zustand s des Zeitpunktes t mit den zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren p^^ Q = Ps,0 ^uf den Zeitpunkt 0:''^'^ T

(3.28)

Pjo= I

T

I Zjts • Pts,0 = I

t=l sG5t

I Zjs Ps,o=" izjs-pso =zrj'-ao

t=l seSt

s-1

Auf den Zeitindex t der Zahlungen z und Diskontierungsfaktoren p kann nach der Definition der Indexmengen der Zustande hier und im folgenden auch verzichtet werden. Er ist in diesem Abschnitt freilich als gewollte Redundanz gefiihrt, um der Verstandlichkeit halber die Zuordnung der einzelnen Zustande s zu den verschiedenen Zeitpunkten besser zu verdeutlichen. Umtung, S. 62-64, JOHANNWILLE: Bewertung, S. 40-42. Zu Zustandsbaumen vgl. die in Fn. 170 auf S. 59 dieser Arbeit genannten Quellen. ^'^^ Vgl. auch JOHANNWILLE: Bewertung, S. 126.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

61

gekehrt verdeutlicht die Minimalschreibweise ohne Zeitindizierung, daB es sich bei (3.28) trotz der Beriicksichtigung verschiedener Zeitpunkte letztlich weiterhin bloB um eine Zustandsbetrachtung handelt. Also lassen sich die auf Matrizen bezogenen, hinsichtlich der Indizierung geringfugig spezifizierten Schreibweisen der Gleichungen (3.21) und (3.22) ftir S Wertpapiere mit linear unabhangigen RiickfluBvektoren weiterhin zur Bestimmung der zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren anwenden (ZR ist dabei nach wie vor regular und daher invertierbar): (3.29)^(3.21)

Oo-ZR-'-po

(3.30) = (3.22)

pjo = X Zjs •Ps,0 = ZTj' • ^Q = z i j ' ' ZR"^ • Po

S s=l

Analog zu (3.7) ist ferner fiir p^g Q "^ 0 ^uch eine Ermittlung zustandsbedingter Auf- und Abzinsungsfaktoren pxa,ts - Po,s ^^^ Zustand a (im Zeitpunkt i) auf den Zustand s (im Zeitpunktt) moglich,'^^ sofern der jeweils spatere Zustand mit einer positiven Eintrittswahrscheinlichkeit aus dem friiheren hervorgehen kann. Gilt im Falle der zustandsbedingten Diskontierung also a G S^\^ (d.h.: a ist einer derjenigen Zustande, die im Zeitpunkt x noch eintreten konnen, wenn im Zeitpunkt t der Zustand s erreicht wurde)'^^ und entsprechend umgekehrt bei zustandsbedingter Aufzinsung s e S^\^, so erhalt man den zustandsbedingten Auf- oder Abzinsungsfaktormit:^^^ (3.31)

p^cT,ts = Po,s = - ^ ^ ^ = - ^ ^ = Pa,s Pts,0 Ps,0

fur a G 5^|s oder s G S^\^

Mochte man damit den zustandsbedingten Terminpreis m^^ -V\s ^ines Wertpapiers j bei Eintreten des Zustandes s im Zeitpunkt t bestimmen, so ist zu beriicksichtigen, daB man im Falle der unterstellten entscheidungslogischen Unsicherheit bei Erreichen dieses Zustandes gegeniiber heute einen Informationsvorsprung dahingehend haben wird, daB man weiB, welche aller urspriinglich S von heute aus erreichbaren Zustande iiberhaupt noch eintreten konnen. Folglich sind nur die Zahlungen z-,^^ - z\^ mit a G S^\^ und T > t abzuzinsen, denn bloB diese werden den Terminpreis pj^^ des Wertpapiers j determinieren. Umgekehrt heiBt das, daB - anders als im Falle der arbitragefreien Bewertung von Investitionen unter Sicherheit - nicht alle heutigen Preisbestandteile des Wertpapiers j auf den Zustand s in t aufgezinst werden diirfen, sondern nur derjenige AnteiU der tatsachlich auf die Effekte des moglichen Eintretens des kiinftigen Zustandes s in t zuriickzufiihren ist („unter der Bedingung, daB der ausgewahlte spatere Zustand s eintritt"; als Index kenntlich gemacht durch „lts" oder - unter Beriicksichtigung der Definition der Indexmengen der Zustande - „ls"). Zur Verdeutlichung dieses Sachverhaltes moge man anhand des in der Abbildung 3.1 veranschauHchten Zustandsbaumes einen Ast von einem beliebigen Zustand (etwa s = 2 in t = 1) in die Zukunft verfolgen: Alle nicht auf diesem Teilbaum lie-

^^^ Auch hier gilt wie sciion zuvor, daB p^^^ Q = 0 okonomisch unsinnig ware. Vgl. dazu die Fn. 109 auf S. 35 und 161 auf S. 56 dieser Arbeit sowie die jeweiligen Bezugsstellen dieser FuBnoten im Text. '^^ „ls" steht dabei fur „unter der Bedingung, daB s eingetreten ist". '^^ Vgl. zu zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren auch JOHANNWILLE: Bewertung, S. 126-129, zum Folgenden vgl. ferner ebd., S. 129-131.

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3 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Investitionen

genden kiinftigen Zahlungen konnen nicht auf s diskontiert und folglich ihr heutiger Preisanteil (d.h. ihr Barwert in 0) nicht bis zu dem in t eintretenden Zustand s aufgezinst werden.^'^^ Mit pjOits als demjenigen Preisbestandteil des Wertpapiers j , der auf die Effekte des mogUchen Eintretens des kiinftigen Zustandes s in t zuriickzufiihren ist, liefert dieser Gedankengang:'"^^ /n o^\

(3.32)

\^

Pjts = Pjs=

V^

V

V

PXO,0

PjOltS

1 1 ^]xo-9x0,13= L L Zjxa-= -7— T=t+1 OG5^its x=t+l aeS^its Pts,0 Pts,0

Zu guter Letzt sei darauf hingewiesen, daB aufgrund der fiir den Mehrperiodenfall gegebenen formalen Gleichheit zum Einperiodenfall, die sich insbesondere durch die AhnHchkeit der Gleichungen (3.28), (3.29) und (3.30) zu (3.19), (3.21) und (3.22) konkretisiert, sich auch die fruheren Arbitragefreiheitsbedingungen des Abschnitts 3.2.2 iibertragen lassen. Die Beweise sind vollkommen analog zu fiihren, so daB an dieser Stelle auf ihre Angabe verzichtet werden kann.1^0 Da ferner auch die mehrperiodige Betrachtung unter Sicherheit einen Spezialfall der Betrachtung unter Unsicherheit darstellt, liegt eine nahere Betrachtung der Bedingung (3.27) fiir Arbitragefreiheit bei Kassenhaltung ebenso nahe. Sie wird man freilich bloB auf die jeweils von einem Zustand aus direkt erreichbaren kiinftigen Zustande beziehen, denn allenfalls zwischen diesen konnte sonst liber eine zusatzlich zugelassene Kassenhaltung eine zeitliche Arbitrage vorgenommen werden. Trotzdem reicht die zunachst nahe liegende Verallgemeinerung zu (3.33)

3^>0

mit

ZR • p^ = po

und

V t e {0;1;...;T-1},

Pts,0 ^ P(t+l)a,0 V s e 5^,

\/oe

St+nts

noch nicht aus, vor Arbitrage zu schlitzen: Sehr wohl ware hier zwar die Bedingung mit der Zeit abnehmender Abzinsungsfaktoren zustandsabhangig erflillt, nicht jedoch insgesamt. Die im Zustand s € Sf beginnende einperiodige Kassenhaltung hat namlich die Zahlungsreihe ZKH,ts = (2KH,ts' 2'KH,t+l) = (~1' i )'• Dabei zeichnet den Vektor z'^H.t+l - 1 ^^S' ^^^ ^^ ^" seinen Elementen ZKH,(t+l)a = 1 Va e 5^+1 its ist. Wenn also die Kassenhaltung bei Bewertung mit den Abzinsungsfaktoren keine Arbitrage erlauben soil, dann darf der auf t bezogene Wert ihrer Zahlungen in t+1 nicht groBer sein als die daflir erforderliche „Anschaffungsauszahlung". Entsprechend liefert Gleichung (3.32) fur die Zahlungsreihe der Kassenhaltung:

Es entfallen damit im gewahlten Beispiel alle Bestandteile, die auf Zahlungen in den Zustanden a e {1; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} zuriickzufuhren sind, da diese mit Eintritt von s = 2 nicht mehr erreichbar sind. Hinsichtlich der im Zustand s des Zeitpunktes t anfallenden Zahlung Zj^^ (im gewahlten Beispiel also z- j 2) ware zu priifen, ob sie fiir die Preisfindung im Zeitpunkt t (hier in t = 1) noch eine Rolle spielt oder nicht. Die angegebene Gleichung (3.32) indes setzt voraus, daB nur kiinftige Zahlungen zur Bestimmung des Preises pjj^ = p- (d.h. hier: pj j 2 = P; 2) herangezogen werden. Ausschiittungen wie Zinsen, Dividenden usw. in einem Zeitpunkt (hier in t = 1) kommen damit demjenigen zugute, der sein Geld im relevanten vergangenen Bezugszeitraum (im Beispiel von t = 0 bis t = 1) zuletzt oder - alternativ - zu einem Stichtag zur Verfiigung gestellt hat. Besonders leicht geht dies, wenn gleich das in Unterkapitel 3.3 zu entwickelnde Modell zur Bewertung mehrperiodiger Investitionen auf unvoUkommenen Kapitalmarkten unter Unsicherheit herangezogen wird. Mit Hilfe der ersten Gruppe von Nebenbedingungen des Dualproblems WRG (den Dualrestriktionen der Objekte j) sowie (3.5*), (3.6*) und (3.9*) ergeben sich die zu (3.23)-(3.26) vergleichbaren Bedingungen wie in Abschnitt 3.2.2.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

-ZKH,ts = 1 =

S

63

ZKH,(t+l)a ' P(t+l)a,ts -

S

P(t+l)a,ts

Oder - bezogen auf den Zeitpunkt 0 (d.h. nach Abzinsung): Pts,0 =

S

P(t+l)o,0

Damit ergibt sich an Stelle von (3.33) die starke Arbitragefreiheitsbedingung im Mehrperiodenfall bei erlaubter Kassenhaltung nunmehr als:^^' (3.34)

3^>0

mit

ZR-Q^ = ^o und p^^o> VtG {0; 1;...;T-1},

2

P(t+i)a,0

VSG S^

Sie ist also zwecks Einbezugs der Zustandsbetrachtung noch einmal verschdrft warden. Dies laBt sich wie folgt interpretieren: Wenn der heutige Wert einer Geldeinheit im spateren Zeitpunkt t+l groBer ist als der heutige Wert der dafiir im friiheren Zeitpunkt t erforderiichen Anschaffungsauszahlung, kann ohne Kapitaleinsatz durch Kapitalmarktgeschafte und Kassenhaltung risikolos Geld in der Zukunft generiert und dann nach t = 0 vorgezogen werden. Der UmkehrschluB bei umgekehrten Ungleichheitszeichen ist jedoch nicht moglich, solange man sich nicht genauso zu den Bedingungen der Kassenhaltung verschulden kann. Ein Beispiel moge schlieBlich auch die Uberlegungen dieses Abschnitts noch einmal verdeutlichen:

Beispiel 3.4:

Die arbitragefreie Bewertung mehrperiodiger unsicherer Investitionen

Gegeben seien die Informationsstruktur und der Zustandsbaum der Abbildung 3.1. Da danach insgesamt 18 kiinftige Zustande moglich sind (2 in t = 1, 5 in t = 2 und 11 in t = 3) benotigt man zur Erfiillung der Pramisse des vollstandigen Kapitalmarktes insgesamt 18 Wertpapiere mit linear unabhangigen RiickfluBvektoren (Kassenhaltung sei zunachst ausgeschlossen).'^^ Solche Wertpapiere finden sich in der folgenden Tabelle:

^^' Sie laBt sich korrespondierend zu Bedingung (3.27) auch aus der ersten Gruppe von Nebenbedingungen des Dualproblems WRG (den Dualrestriktionen derObjektej) sowie (3.5*), (3.6*) und (3.9*) des in Unterkapitel 3.3 zu entwickelnden Modells zur Bewertung mehrperiodiger Investitionen auf unvollkommenen Kapitalmarkten unter Unsicherheit herleiten, setzt sich doch der Kapitalwert nach (3.9*) aus den abgezinsten Zahlungen in alien moglichen alternativen Zustanden s G 5^ aller Zeitpunkte t e {0; 1; ...; T} zusammen. ^^^ Die fiir ein Beispiel zunachst vielleicht groB erscheinende Zahl von 18 Zustanden liegt darin begriindet, daB auch Terminpreise fiir mehrperiodige Zahlungsstrome abgebildet werden sollen - und zwar nicht nur im einfachen Fall lediglich zweier moglicher Nachfolgezustande pro Periode (die unterstellten Anwendungsvorausseizungen sind also weniger eng als beim optionspreistheoretischen Binomialmodell).

64

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Preis j

Pj

1

2

3

t = 2: 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

185 102 103 175 115 31 40 36 30 45 30 91 35 142 53 105 34 14

30 10 20 45 40 6 8 0 0 3 5 20 10 40 0 21 0 16

30 25 20 50 25 5 6 0 0 7 4 25 10 60 0 22 15 15

10 20 20 50 15 8 6 0 3 0 3 15 6 15 20 25 15 0

40 18 20 50 20 6 16 15 4 3 4 20 6 16 30 32 16 0

t = l:

8 22 20 50 40 4 16 15 5 0 8 20 4 16 0 0 14 0

30 24 20 40 30 6 6 15 0 5 3 15 8 20 30 30 0 0

Zustande s in Zeitpunkt 1 t = 3: 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 10 20 50 20 10 4 15 1 0 2 12 8 20 30 40 0 0

30 10 20 60 30 9 15 0 2 60 4 15 8 20 50 35 0 0

50 30 20 20 25 6 5 20 6 50 4 20 4 18 0 0 18 0

10 16 20 0 4 6 10 6 12 2 6 20 7 40 0 16 0 0

90 20 20 25 16 8 12 0 13 0 6 20 6 40 0 25 12 0

80 50 20 30 16 4 5 0 14 1 10 20 6 20 0 25 0 0

20 0 20 10 10 2 0 16 10 3 14 10 6 30 0 10 8 0

10 14 20 0 0 10 0 6 11 0 14 20 7 30 0 18 8 0

50 20 20 20 25 5 4 20 7 0 4 15 4 18 0 0 0 0

60 20 20 20 25 4 4 0 8 40 5 15 5 18 0 0 0 0

20 0 20 0 40 4 0 15 9 0 6 10 6 20 0 0 0 0

70 50 20 10 9 4 10 0 15 0 13 10 4 40 0 35 9 0

Tabelle 3.4; Vollstandiger Kapitalmarkt mit 18 Wertpapieren bei insgesamt 18 Umweltzustanden in drei kiinftigen Zeitpunkten Auf dem so gebildeten vollstandigen Kapitalmarkt sollen der theoretisch richtige heutige Preis Pl9,0 sowie die zustandsbedingten Terminpreise Pi9,2,7' Pl9,2,5' Pl9,l,l ^"^ Pl9,l,2 ^i^^^ weiterenInvestition(19)mitdemVektorzri9 = (20;50;20;30; 16; -30; -30; 0; 15; 40; 50; 25; 0; 0; 25; 20; 20; 70) ihrer kiinftigen Riickfliisse bei arbitragefreier Bewertung gefunden werden.i^^ Die Auswahl dieser zustandsbedingten Terminpreise ist dabei wie folgt begriindet: Pi9,2,7 ^^s einleitendes Beispiel fiir einen „normalen" Terminpreis ohne Besonderheiten, -

Pi9,2,5 ^Is Beispiel fiir einen Terminpreis, wenn in alien nachfolgenden Zustanden (13 und 14 im Zeitpunkt 3) keine von 0 verschiedenen Riickflusse melir auftreten,

-

und schlieBlich Pi9j j und p 19,1,2' ^^ ^^^ deren Hilfe einerseits auch negative kiinftige Zahlungen zu beriicksichtigen und andererseits die Beziehung zum theoretisch richtigen heutigen Preis zu untersuchen, wenn alle altemativ moglichen zustandsbedingten Terminpreise fiir einen kiinftigen Zeitpunkt und die bis dahin noch ausstehenden, ebenfalls zustandsbedingten Zahlungen bekannt sind.

Zur Durchfiihrung dieser Aufgabe ist es zunachst erforderlich, die zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren p^g Q = Ps,o ^^^^^ iri genau einem der kiinftigen Umweltzustande s anfallenden •^•^ Der zugehorige Zustandsbaum mit den hier angegebenen und den noch zu errechnenden Daten findet sich nach AbschluB der vorzunehmenden Berechnungen als Abbildung 3.2 auf S. 69. •

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

65

Geldeinheit auf den heutigen Beweitungszeitpunkt zu bestimmen. Da die RuckiluBvektoren der den vollstandigen Markt bildenden 18 Wertpapiere linear unabhangig sind, ist dies gem. (3.29) relativ einfach moglich: Oo = ZR-^ • po = (0,5; 0,4; 0,4; 0,45; 0,25; 0,3; 0,25; 0,3; 0,2; 0,35; 0,3; 0,4; 0,25; 0,15; 0,2; 0,2; 0,15; 0,1), d.h., die einzelnen Diskontierungsftiktoren p^^ Q - Ps,0 ergeben sich mit: P 1,1,0 = 0'5,

p 1,2,0 = 0,4,

P2,3,0 = 0 A

p2,4,0 = 0'45,

P2,5,o = 0,25,

P2,6,0 = 0,3,

P2,7,o = 0'25,

p3,8,0 = 0 3 ,

p3,9,o = 0,2,

p3io,0 = 035,

P3,ll,0 = 0 3 , P3,12,0 = 0 A

P3,13,0 = 0'25, P3,i4,o = 0^15, P3,15,0 = 0'2,

P3,16,0 = 0'2, P 3 i 7 o = 0.,15, p3,i8,0 = 0'l Mit ihrer Hilfe laBt sich jede unsichere Investition j auf dem vorliegenden vollstandigen Kapitalmarkt arbitragefrei bewerten - also auch die zu betrachtende Investition 19. Fiir deren theoretisch richtigen (heutigen) Preis Pi9,o ergibt sich auf diese Weise nach Gleichung (3.30): 18 Pl9,0 = S Zl9,s • Ps,0 = '^\9 ' OO = z r i 9 ' ' ZR"^ ' Po = 100 s-1

Betrachtet man dieses Ergebnis genauer und stellt es den gegebenen Daten gegeniiber, so wird man feststellen, daB die Investition 19 schon von der (gem. Aufgabenstellung zunachst noch ausgeschlossenen) einfachen Kassenhaltung dominiert wird. Selbst wenn das Beispiel nach Aufdeckung dieses aus den gegebenen Informationen ex ante vielleicht nicht sofort erkennbaren Sachverhaltes zunachst als unrealistisch erscheinen mag, soil doch darauf hingewiesen werden, dal3 auf eine derartige Konstruktion durchaus bewuBt Wert gelegt wurde. So kann ein Investor, der blofi die im Vektor zri9 zusammengefaBten Zahlungen betrachtet, gar nicht wissen, daB die Investition 19 gegeniiber der (noch nicht zugelassenen) Kassenhaltung nachteilig ist, denn dafiir miiBte ihm der fiir sie zu entrichtende Preis Pi9,o bekannt sein. Der ergibt sich aber erst durch Vergleich der Investition 19 mit den 18 anderen. DaB dann die Bewertung mit pi9 0 zu einer gegeniiber der spater gestatteten Kassenhaltung ungunstigeren Situation fiihrt, hat den Vorteil, daB sich so die Wirkungen der verschiedenen zuvor vorgestellten Arbitragefreiheitsbedingungen besonders gut verdeutlichen lassen. Es wird sich namlich zeigen, daB selbst eine solche - fiir den Investor bei vorhandener Moglichkeit der Kassenhaltung offensichtlich ungiinstige - Investition von den bisher in der Literatur zu findenden Arbitragefreiheitsdefmitionen nicht als nachteilig erkannt wird. Ein nicht alle Aspekte genau untersuchender, sondem bloB die Investition 19 mit Hilfe des Marktes bewertender Investor konnte also zu einer Fehlentscheidung verleitet werden,

66

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Unter dem Gesichtspunkt der Realitatsnahe ware es zwar durchaus moglich gewesen, diesen Sachverhalt noc/z we/rer in den Daten zu „verstecken",i8^ indem den Investitionen andere Zahlungsreihen zugewiesen werden, doch ginge dann Anschaulichkeit verloren, ohne im Endeffekt zusatzliche Erkenntnisse zu gewinnenJ^^ Im iibrigen ist zu bedenken, daB beispielsweise das „Waschen" von Schwarz- oder Fluchtgeldem sowie das mil Kosten (fiir Gebiihren, Transport, Transaktionen etc.) verbundene Auslagem von Kassenbestanden liber Nacht bei einer Sicherheitsfirma oder bei Banken aus rein finanzieller Sicht haufig ebenfalls schlechter als die Kassenhaltung abschneiden.'^^ Anders als fiir den theoretisch richtigen heutigen Preis P19 Q der Investition sind zur Bestimmung der Terminpreise in t = 1 und t = 2 gem. den Ausfiihrungen zur Gleichung (3.32) nicht mehr die Zahlungen in alien spateren Zustanden a, sondern nur in denjenigen der Zeitpunkte x mit T > t heranzuziehen, die ausgehend von dem in t erreichten, der Bewertung zugrunde gelegten Zustand s noch eintreten konnen. Mochte man also zur Demonstration der Vorgehensweise als einfachsten Fall zunachst den Terminpreis Pi9,2,7 = Pi9,7 ^^^ Investition 19 im Zustand 7 des Zeitpunktes 2 errechnen, so weiB man, daB mit Eintritt dieses Zustandes 7 in x = 3 nur noch die Zustande a = 17 und a = 18 moglich sind, d.h. a G S^^yij - {17; 18}. Alle in diesen Zustanden o anfallenden Zahlungen der Investition 19 (d.h. zjg 3 17 = Z19 17 = 20 und Z193 ig = Zj9 j8 = 70) sind mit den nach Gleichung (3.31) gewonnenen zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren auf den Zustand 7 in t = 2 zu diskontieren: P3,17,0 P3,17,2,7=

0,15

^ , Pi7,0

" ^ 7 7 ^ " ^ ' ^ = "I =Pl7,7 P2,7,0 0'25 p7^o P3,18,0

P3,18,2,7=

P2,7,0

O J (.. Pl8,0 "^TT^^^'^^'Z

0'25

^ =Pl8,7

P70

Damit resultiert der gewiinschte Terminpreis wie folgt gem. Gleichung (3.32): V V ^ V V Pl9,2,7-2. L Zl9,xa-Pxa,2,7= 2 . L ^9,xo'i=3aGS^i2 7 T=3OG5^I2 7

P2,7,0 Pxa,0

Pl9,OI2,7 ^ Pl9,0 = — ^ P2,7,0 P2,7,0

^^'^ Es sei daran erinnert, daB bereits der Preis pj^Q der Investition 19 im vorhinein nicht bekannt war, so daB man bei alleiniger Betrachtung ihres Ruckzahlungsvektors 3:190 "i^hts von der Unvorteilhaftigkeit gegeniiber der Kassenhaltung wissen konnte. '^^ Vgl. zu einer solchen in den Daten verpackten Dominanz der Kassenhaltung schon das bloB auf den Sicherheitsfall bezogene Beispiel mit inverser Zinsstruktur bei HERING: Arbitragefreiheit, S. 170 f. Dort dominiert die Kassenhaltung von t = 3 bis t = 4 ebenfalls die Anlage am Kapitalmarkt, doch wiirde man das bei oberflachlicher Betrachtung der Daten kaum vermuten. Ahnliche Situationen lieBen sich auch fiir den hier untersuchten mehrperiodigen Unsicherheitsfall konstruieren. 186 YQJ^ einer „Dominanz" der Kassenhaltung wird man dabei zwar nicht sprechen konnen, denn solche Tatigkeiten werden i.d.R. bloB vorgenommen, well man je nach Situation damit rechnet, daB das Geld entweder entdeckt wird und abgefuhrt werden muB oder daB es iiber Nacht gestohlen werden kann. Damit gibt es jeweils zumindest einen Zustand, in dem die „Investition" Kassenhaltung schlechter ist - letztlich aber auch nur, weil diese dann nicht mehr typisch ist (man also nicht mehr den Betrag entnehmen kann, den man vorher hineinsteckte), sondern selbst zu Schwund fuhrt.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

67

p„„=20.0,6.70.0,4 = 4 0 = ^ ^ 0 ^ 1 ^ ± ^ ^ . M = 400=Pi^ 0,25

0,25

P2,7,o

Wie man sieht, ergibt sich der Tenriinpreis in Zustand 7 (t = 2) bloB aus den dann noch in t = 3 erreichbaren Zustanden 17 und 18 durch Diskontierung}^'^ Anders als im Fall der Bewertung von Investitionen unter Sicherheit fiihrt eine Aufzinsung des heutigen Preises der Investition 19 mit dem zustandsbedingten Aufzinsungsfaktor l/p2,7 o daher nicht zum gewiinschten Ergebnis, enthalt doch der heutige Preis auch Anteile aus der Abzinsung solcher Zahlungen, die ab Zustand 7 definitiv nicht mehr eintreten konnen. Lediglich eine Aufzinsung derjenigen Bestandteile des heutigen Preises, die sich durch Abzinsung der tatsachlich von Zustand 7 aus noch erreichbaren Zustande 17 und 18 errechnen, liefert den korrekten Terminpreis. Da die Investition 19 in den auf Zustand 5 im Zeitpunkt 2 folgenden Zustanden 13 und 14 im Zeitpunkt 3 keine von 0 verschiedenen Riickfltisse mehr liefert, kann ihr Terminpreis P19 2 5 in s = 5 auch nicht von 0 abweichen, wie ein Einsetzen in Gleichung (3.32) sofort bestatigt. Der Terminpreis Pi9,1,1 der Investition 19 in Zustand 1 des Zeitpunktes 1 ergibt sich schlieBlich analog zum zuerst bestimmten: Man wird den unteren, bei s = 2 beginnenden Ast des Zustandsbaumes aus Abbildung 3.1 auBer acht lassen miissen und erhalt somit fiir die noch erreichbaren Zustande s: SG 5211,1 US311J ={3; 4; 5} u {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} Alle in diesen Zustanden anfallenden Zahlungen Z19 ^-^^ sind mit zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren Pxo,\,\ ~ Pa,l g^i^^B Gleichung (3.31) auf den Zustand 1 des Zeitpunktes 1 zu diskontieren, so daB sich mit dem resultierenden Vektor Q_\ aller dieser Abzinsungsfaktoren a i = 1/0,5 • (0,4; 0,45; 0,25; 0,3; 0,2; 0,35; 0,3; 0,4; 0,25; 0,15) = (0,8; 0,9; 0,5; 0,6; 0,4; 0,7; 0,6; 0,8; 0,5; 0,3) der gewiinschte Terminpreis Pi9,1,1 errechnet: - V V ^ V V Pi,1,0 Pl9,0ll,l 1^^ Pl9,l,l- L L Zl9,ta-pTa,l,l - 2. L Zl9,Ta - ~ - ^^^ T=2 aG5,ii,i 1=2 OG5^|I,, PTa,0 Pi,1,0 Ebenso erhalt man bei Bezug auf den Zustand 2 des Zeitpunktes 1 fiir die noch erreichbaren Zustande s fiir den Vektor ^2 der auf s = 2 bezogenen Diskontierungsfaktoren pT;a,l,2 = Po,2 ^^^ schlieBlich fiir pj9^ j ^2 (negative Zahlungen werden formal behandelt wie alle anderen auch): s G S2ii,2 ^ '^311,2 ={6; 7} u {15; 16; 17; 18} ^2 = 1/0,4 • (0,3; 0,25; 0,2; 0,2; 0,15; 0,1) = (0,75; 0,625; 0,5; 0,5; 0,375; 0,25)

MuBte der Erwerber den NachschuB in Hohe von 30 [GE] im Zustand 7 leisten, so hatte die Zahlung z,9 2j '• -30 [GE] in die Errechnung des Terminpreises einzugehen. Es resultierte P1927 = 40 - 30 • 1/1 = 10 [GE].

68

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

V

V

.

1=2 aeS^ii 2

^

_ V

V

.

1=2 aGS^ii^2

Pl,2,0 _Pl9,0ll,2 P'^^'O

_^o^

P^'^'O

Sind damit die beiden moglichen Terminpreise fiir alle altemativen Zustande in t = 1 ermittelt (d.h. fiir s = 1 und s = 2), so laBt sich schlieBlich auch deren Beziehung zum heutigen Preis Pi9,0 ^^^ Investition 19 untersuchen. Wenn alle Berechnungen stimmen, muB namlich die Abzinsung der zustandsabhangigen Terminpreise auf den Zeitpunkt t = 0 unter Beriicksichtigung der in t = 1 auBerdem anfallenden zustandsabhangigen Zahlungen ZJQj j und Z19j 2 t>ei Arbitragefreiheit gerade P19 0 liefem: (Pl9,l,l + ^19 11) • Pi 1 0 + (Pl9,l,2 + Zi9 1 2) • Pl,2,0 = (135 + 20) • 0,5 + (6,25 + 50) • 0,4 = 77,5 + 22,5 = 100 = pi9,o Die Fordemng ist also in der Tat erfiillt. Zugleich fiihrt dieser Zusammenhang noch einmal vor Augen, daB sich die zustandsabhangigen Terminpreise einer Investition (hier V\9,\,\ und Pi9j^2) - anders als im Sicherheitsfall - nicht einfach durch Aufzinsung des heutigen Preises mit dem zustandsabhangigen Aufzinsungsfaktor ergeben. Es laBt sich namlich erkennen, daB der heutige Preis den aus heutiger Sicht noch moglichen Eintritt von Zahlungen in anderen Zustanden beriicksichtigt, die den (ggf. um Projektzahlungen erganzten) Terminpreis nicht mehr beeinflussen. Im Falle der Realisation von Zustand 1 werden diese heutigen, in s = 1 aber irrelevanten Preisbestandteile durch den Summanden (Pi9j,2 ^ ^^19,1,2) ' P 1,2,0 reprasentiert, im Falle s = 2 durch (Pl9,l,l +^19 11) • Pi,i,oDie nachstehende Abbildung 3.2 faBt die bisher gefundenen Ergebnisse noch einmal zusammen.

69

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

t=:0

t=l

t=2

Z 19,2,5

t=3

= 16

P2.5,0 = 0,25 S =5

s=0

z Pi9.o = 100

Pl9,2,5

=0

=0

^19,3,14

^

P3.14,0 = 0 J 5

s = 14

z

=25

^19,3,15

^*^

P3.I5.0 = 0,2

s = 15

Z

=20

^19,3,16

'^'^

P3,I6,0 = 0,2

s=16

z Pl9.1,2 = 6 , 2 5

=20

^19,3,17

^ ^

P3,17,0 = 0,15

s = 17

Z Pl9,2,7 = 4 0

=70

^19,3,18

' ^

P3,I8,0 = 0,1

s=18

Abbildung 3.2: Zustandsbaum mit den gegebenen und den errechneten Werten Festgehalten sei zu guter Letzt auch, daB die Werte dieses Beispiels zugleich der starken (und damit ebenso der schwachen) Arbitragefreiheitsbedingung genugen - freilich nicht bei Zulas-

70

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

sung auch von Kassenhaltung. Mit dem eingangs errechneten Vektor der Abzinsungsfaktoren ^ ist gemaB Bedingung (3.26)•^^ ein Vektor ausschlieBlich positiver Preise gefunden, der nicht nur die Riickfliisse der den vollstandigen Kapitalmarkt prasentierenden 18 Wertpapiere exakt auf deren heutigen Preise abzinst, sondem gemaB der in diesem Beispiel vorgenommenen Konstruktion auch die Riickflusse der arbitragefrei bewerteten Investition 19. Ohne Zulassung von Kassenhaltung gabe der Kapitalmarkt damit tatsachlich alle Altemativen wieder, die in t = 0 getatigt werden konnen, und selbst die Bedingung (3.33)

3ao>Q

mit

ZR • Oo = Po

und

VtG {0;1;...;T-1},

Pts,0 ^ P(t+l)a,0 VseS^,

VaeSt+nts

ist erfiillt,!^^ nehmen doch die zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren entlang eines jeden einzelnen Astes des Zustandsbaumes nie zu, wie man sich leicht anhand von Abbildung 3.2 iiberzeugen kann. Trotzdem zeigt eine genauere Betrachtung dieser Abbildung, daB die Investition 19 von der Kassenhaltung dominiert wird: AuBer auf dem zum Zustand s = 11 fiihrenden Ast wird auf keinem Weg bis t = 3 der eingesetzte Preis P19 o = 100 ^uch nur annahemd wieder erreicht (nicht einmal in der einfachen Summe langs des Weges), und selbst bei Eintreten des zum Zustand s = 11 fiihrenden Astes erhalt man - ohne Beriicksichtigung von Verzinsungen - gerade die Anschaffungsauszahlung zuriick. (3.33) reicht also noch nicht aus, eine Arbitrage durch Kassenhaltung zu verhindem. Begriindet liegt dies darin, daB die Summe der auf einen Zustand s folgenden zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren p(t+i)oO mit c e S^^n^^ meist groBer als der entsprechende Abzinsungsfaktor p^^ Q i^^- Beispielsweise gilt fiir s = 1 und s = 6: Pi,1,0 = 0'5 < 0,4 + 0,45 + 0,25 = P2,3,o + P2,4,0 + P2,5,0 P2,6,0 = 03 < 0,2 + 0,2 = P3J5 0 + P3,16,0 Die Bedingung (3.34) ist also in beiden Fallen nicht erfullt. Ware schlieBlich - abweichend von den bisherigen Aufgabenteilen - Investition 19 heute am Markt mit dem Preis pi9^o - ^^ t^^] bewertet, so muB (auch unter AuBerachtlassung der Kassenhaltung) eine „normale" Arbitragemoglichkeit vorliegen. Also wird sich durch geschickte Kombination mit den iibrigen 18 Wertpapieren gegeniiber dem eingangs ermittelten arbitragefreien Preis, der aufgrund seiner Ermittlung durch Rekonstruktion der Riickfliisse der Investition 19 nun als synthetischer Preis Pi9,synth,0 " ^^^ t^^] aufzufassen ist, ein risikoloser Arbitragegewinn erzielen lassen. Folglich muB nach den Ausfiihrungen in Unterabschnitt 3.2.2.1 ein Arbitrageportfolio inv* = (invj; ...; IUVJQ)' existieren, das in t = 0 einen negativen (Gesamt-)

Vgl. S. 57 dieser Arbeit. Gegeniiber der bisherigen Verwendung imRahmen dieses Beispiels sind ZR und PQ dann um eine 19. Zeile fUr die Investition 19 zu erganzen. In dieser langeren Form werden sie daher im folgenden zur Abgrenzung ebenso wie iny - zusatzlich mit * indiziert.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

71

Preis (p*o)'' iny* hat und somit eine risikolose Entnahme zulaBt, ohne in einem der kiinftigen Zustande s zu Auszahlungen zu fuhren:!^^ 3iny*eIR^^

mit (p*o)'-inv* 0, d.h., Bedingung 1 des Unterabschnitts 3.2.2.1 fiir das Vorliegen von Arbitrage ist erftillt.

3.3

DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Investitionen auf unvollkommenen Kapitalmarkten unter Unsicherheit Die in den beiden vorangegangenen Unterkapiteln 3.1 und 3.2 vorgestellten Konzepte zur Bewertung von Investitionen erlauben zwar die Beriicksichtigung besonderer Problemstellungen (im Falle des Modells von HAX und WEINGARTNER unvollkommene Markte, bei arbitragefreier Bewertung die Unsicherheit), sind aber jedes fiir sich noch mit Unzulanglichkeiten belastet: Das Modell von HAX und WEINGARTNER unterstellt zumindest eine subjektive Sicherheit (auch als „Quasi-Sicherheif' bezeichnet):'^^ Wenn schon nicht die Kapitalgeber, so mu6 doch wenigstens der Entscheidende vom Eintreten einer bestimmten Datensituation uberzeugt sein. Ob das freilich gerade fiir Umweltschutzinvestitionen zutrifft, ist nach den Ausfuhrungen des Abschnitts 2.1.3 zu den Rahmenbedingungen betrieblicher Umweltschutzinvestitionen als sehr zweifelhaft zu beurteilen. Hier sind einfach zu viele exteme EinfluBfaktoren zu beriicksichtigen, die je nach ihrer Entwicklung in der Zukunft schnell ganz andere Altemativen als vorteilhafter erscheinen lassen, so daB die Annahme von Sicherheit als zu restriktiv wirkt. ^^^ Zur Indizierung vgl. Fn. 189 auf S. 70 dieser Arbeit. Insbesondere ist die Matrix ZR* im Gegensatz zu ZR niciit invertierbar, weist sie doch bei 19 Zeilen nur den Rang 18 auf. ^^' Die Komponenten des Vektors mv sind hier auf zwei Stellen hinterm Komma gerundet; im Beispiel wunde mit den genauen Werten weitergerechnet. Die aus Platzgriinden vorgenommenen Transpositionen zeigen ferner zugleich den Zusammenhang zu den Berechnungen vom Anfang dieses Beispiels. 192 Vgl. BUSSE VON COLBE/LABMANN: Investitionstheorie, S. 157; FRANKE/HAX: Finanzwirtschaft, S. 148 und 245; HERING: Investitionstheorie, S. 67 f.; JOHANNWILLE: Bewertung, S. 122.

72

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Eine arbitragefreie Bewertung hingegen setzt an vielen anderen Voraussetzungen an, die in Abschnitt 3.2.1 vorgestellt wurden. In der Realitat werden die Markte freilich Unvollkommenheiten aufweisen, die mit diesem Modell nicht vertraglich sind. So sind viele Geschafte mit Transaktionskosten verbunden, und die Konditionen fiir die Kapitalaufnahme entsprechen zumeist nicht denjenigen der -anlage (von Unbegrenztheit ganz zu schweigen). Schon die Ausfiihrungen in Unterabschnitt 3.2.2.2 zeigten, daB solche Unvollkommenheiten rasch zu Problemen mit dem Begriff der „Arbitrage" fiihren und daB man es alsbald mit einer allgemeinen Bewertung auf unvollkommenen Markten zu tun bekommt. Aus diesen Griinden soil nunmehr ein Modell entwickelt werden, mit dem eine mehrperiodige Bewertung von Investitionen unter Unsicherheit moglich ist. Im Endeffekt wird es sich damit um eine Erweiterung des Modells von HAX und WEINGARTNER auf den Unsicherheitsfall handeln, so daB einem GroBteil der genannten Kritikpunkte wirksam begegnet werden kann. Bereits die Ausfiihrungen in Unterabschnitt 3.2.2.2 zur starken Arbitragefreiheitsbedingung zeigten, daB sich das Modell von HAX und WEINGARTNER zur Bewertung mehrperiodiger sicherer Investitionen auf unvollkommenen Markten aufgrund gegebener formaler Strukturgleichheit ohne Probleme auf den einperiodigen Unsicherheitsfall ubertragen laBt. Im Abschnitt 3.2.3 zur arbitragefreien Bewertung mehrperiodiger unsicherer Investitionen wurde ferner (neben der ebenfalls vorstellbaren Indizierung nach der Zeit und nach den Zustanden gleichzeitig) die Zustandsauswahl so getroffen, daB jeder Zustand - unabhangig vom Zeitpunkt seines moglichen Eintretens eindeutig identifiziert werden kann, so daB seine Zeitindizierung ohne Informationsverlust verzichtbar wird. Dies hat zur Folge, daB der mehrperiodige Ansatz zur arbitragefreien Bewertung unter Unsicherheit letztlich wiederum strukturgleich zum einperiodigen unter Unsicherheit ist. Besteht infolgedessen eine solche doppelte Strukturgleichheit, so liegt es eigentlich nahe, das Modell von HAX und WEINGARTNER auf den Unsicherheitsfall zu ubertragen. Wenngleich dies auf den ersten Blick schon seit langem in der Literatur als abgehandelt erscheint, zeigt eine genauere Betrachtung des vorliegenden Schrifttums, daB dem keineswegs so ist. Beispielsweise formuhert LAUX schon 1969 und 1971 auf Basis des bekannten Modells zur Investitionsbewertung unter Sicherheit Ansatze zur flexiblen Planung, die freilich mit Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten undNutzenfunktionen operieren.'93 Problematisch an dem von ihm vorgeschlagenen Weg ist indes, daB oftmals die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustande nicht bekannt (insbes. nicht unter Unsicherheit i.e.S.) und Nutzenfunktionen - speziell etwa bei mehreren Eignem - kaum mehr praktikabel zu ermitteln sind. Auch die Voraussetzung des BERNOULLi-Prinzips muB keineswegs der Wirklichkeit entsprechen. ^^^ Vielmehr wird man unter Unsicherheit oftmals nur Dominanziiberlegungen anstellen konnen. Eine Anwendung der Dualitatstheorie der Hnearen Optimierung wie bei WEINGARTNER und HAX im Sicherheitsfall ist nicht mehr moglich, zur Herleitung der Kapitalwertmethode hat der Ruckgriff auf die Optimalitatsbedingungen nach KUHN und TUCKER zu erfolgen, und die Ableitung der zustandsabhangigen InitiVgl. LAUX: Investitionsplanung, S. 46-50; LAUX: Planung, S. 737-741; HAX: Investitionstheorie, S. 172176. Den Begriffder„flexiblen Planung" kritisieren SCHNEIDER: Planung, SCHNEIDER: Planung - Diskussion und JACOB: Unsicherheit, S. 438, da es sich hierbei u.a. kaum um eine besondere Variante von „Planen" handele und vemiinftige Planung unter UngewiBheit notwendigerweise flexibel sei. Zu weitergehenden Uberlegungen mit Wahrscheinlichkeitsbeschrankungen, Untersuchungen hinsichtlich der EinfluBfaktoren sowie verschiedener Risikoeinstellungen und Heuristiken vgl. INDERFURTH: Investitionsplanung. Vgl. zu dieser Pramisse in der flexiblen Investitionsplanung LAUX: Investitionsplanung, S. 19, 26, 51.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

73

alverzinsungbleibtunvollstandig.i^^ Die Maximierung des Erwartungswertes des Endvermogens^^^ schlieBlich setzt i.d.R. Risikoneutralitat voraus. Ein alterer Vorschlag von JACOB lauft ebenfalls auf eine Erwartungswertbildung hinaus und integriert z.T. Verzinsungen auf kurzfristig ausgeliehene Mittel und auf Finanzinvestitionen in die Zielfunktion.'^^ Die Unsicherheit geht hier zunachst iiber Absatzspektren ein, die den Absatzmengen und -preisen eine Verteilungsfunktion unterlegen,^^^ Fiir das eigentliche Modell geniigt freilich, daB verschiedene Absatzsituationen nebeneinander bestehen konnen. Nicht beriicksichtigt sind die im Abschnitt 3.2.3 eingefiihrten Informationsstrukturen, die das Eintreten bestimmter Zustande erst nach vorheriger Realisation anderer erlauben. Der Gewinn einzelner Perioden wird iiber die Finanzierungsbedingungen durchgekoppelt - eine Vorgehensweise, welche den Ansatz schnell iiber alle MaBen komplex werden laBt.'^^ Spater hingegen greift JACOB den Ansatz von LAUX auf, indem er die „Aktionsprogramme" einer jeweiligen Periode ebenso von den erreichten Zustanden der Vorperiode abhangig macht.^oo Weitere Vorschlage von HELLWIG und JOHANNVV'ILLE kommen einer Umsetzung ohne Wahrscheinlichkeiten und Nutzenfunktionen naher, wahlen als Zielsetzung jedoch die Maximierung des Marktwertes der zustandsabhangigen Entnahmen, wozu diese mit zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren diskontiert werden.-^^ Im Hinblick auf ein Modell zur Bewertung unsicherer Investitionen auf unvollkommenen Kapitalmarkten ist eine solche Zielfunktion freilich zumeist unbrauchbar: So besteht schon der wesentliche Fortschritt des in Unterkapitel 3.1 vorgestellten Modells von HAX und WEINGARTNER gegenuber demjenigen ALBACHS daiin, daB nicht mehr der Kapitalwert des gesamten Kapitalbudgets maximiert wird (mit der daraus resultierenden Frage nach dem richtigen KalkulationszinsfuB, der zudem bekannt sein muB), sondern die gewichteten Entnahmen, ergeben sich doch die KalkulationszinsfuBe endogen aus dem Modell.202 Was folglich bereits fiir die Investitionsbewertung auf unvollkommenen Markten unter Sicherheit i.d.R. zu falschen Ergebnissen fiihrt, kann im Unsicherheitsfall nicht wieder richtig werden.^o^

^^^ Vgl. L A U X : Investitionsplanung, S. 64-77. Er leitet Transformationsfaktoren her, die aber aufgrund der Abhangigkeit vom Grenznutzen und von den Wahrscheinlichkeiten kaum praktikabel sind. 196 Vgl. L A U X : Planung, S. 737-739. '9^ Vgl. J A C O B : Flexibilitatsuberlegungen und JACOB: Problem, S. 164 ff. als Fortentwicklung seines friiheren, auf den Sicherheitsfall bezogenen Ansatzes aus JACOB: Entwicklungen. Vgl. auBerdem JACOB: Unsicherheit, S. 426-433. •9^ Vgl. J A C O B : Flexibilitatsuberlegungen, S. 3 (nur die Absatzmengen) und JACOB: Problem, S. 164 (Absatzmengen und -preise). 1 ^ Der Ansatz eines KalkulationszinsfuBes verbietet sich dann, wird er doch durch die Gewinnriickkopplung ersetzt (vgl. J A C O B : Unsicherheit, S. 518). 200 Vgl. J A C O B : Unsicherheit, S. 433-438. 201 Vgl. H E L L W I G : Wertpapierplanung, S. 981 f; J O H A N N W I L L E : Bewertung, S. 195-219. 202 Vgl. zum von ihm verwendeten Kalkulationszins A L B A C H : Investition, S. 86-88 sowie zu seinem Modell ebd., S. 154-219, 305-322, vgl. ferner und zur Weiterentwicklung H A X : Finanzplanung, S. 432-439 (zur Kritik an A L B A C H S Zielfunktion insbes. S. 434), B L O H M / L U D E R / S C H A E F E R : Investition, S. 285-295 (zur Kritik an A L B A C H S Zielfunktion insbes. S. 286 f., 289 m.w.Nachw.) sowie fiir den angelsachsischen Raum B A U M O L / Q U A N D T : Investment, S. 324-326 f. i.V.m. 319-322. 203 Insofern ist der Aussage von J O H A N N W I L L E : Bewertung, S. 218, daB es sich um eine „konsequente Ubertragung des Ansatzes im Sicherheitsfall auf den Unsicherheitsfall" handele, allenfalls eingeschrankt auf eine hypothetische Marktwertbetrachtung zuzustimmen. Er begriindet diese Form der Zielfunktion fiir den Sicherheitsfall ebd., S. 116 sowie fiir das Vorliegen von Unsicherheit ebd., S. 195 und 218 namlich ebenso wie L A U X : Kapitalkosten, S. 17-19 und H A X : Investitionstheorie, S. 88 f. und 145 f. damit, daB Anteilseigner i.d.R. unterschiedliche Zeit- und Risikopraferenzen besitzen. Werde deren Opportunitat jedoch durch die Kon-

74

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Konsequent kann es daher auch bei Unsicherheit nur sein, die zustandsbedingten Entnahmen wieder mit subjektiven Gewichten zu versehen, wie dies etwa HERING in seinem Zustandsgrenzpreismodell (ZGPM) tut, in dem freilich die Informationsstruktur und die daraus abzuleitende Zustandsstruktur sowie deren Zustandekommen nicht naher expliziert werden.204 Hierzu ware es etwa vorstellbar, fiir die altemativen Zustande s e 5^ eines Zeitpunktes t jeweils gleiche Entnahmegewichte vorzusehen, sofem die Entnahmen unabhangig vom Eintreten eines bestimmten (im vorhinein unsicheren) Zustandes stattfinden sollen. Genausogut ist aber auch eine zustandsabhangige Gewichtung sogar fiir die verschiedenen s G S^ zu rechtfertigen. SchlieBHch konnten beispielsweise groBe Kurssteigerungen bei borsennotierten Wertpapieren potentielle Investoren zu einem anderen Anlageverhalten verleiten als eine schwachere Entwicklung. Mochte man also wieder das Vermogen maximieren,^^^ so heiBt das analog zu friiher, die Summe GEN der gemaB der Konsumpraferenz mit Faktoren gWj^ = gWg > 0 gewichteten Entnahmen ENjs = ENg in den verschiedenen Zustanden s zu den einzelnen Zeitpunkten t (mit 0 < t < T) zu maximieren, wobei gw^ > 0 fiir mindestens ein s ist.206 (Eine Belegung der gWg als Ergebnis von wahrscheinlichkeitstheoretischen Uberlegungen ist dabei selbstverstandlich moglich, aber nicht Bedingung.^o^) Beinhalten die zeitbezogenen Indexmengen S^ dabei fiir alle Zeitpunkte genau einen Zustand s, so resultiert aus dieser Formulierung der Zielfunktion die bekannte des Sicherheitsfalls. Ebenso wie friiher sind femer ggf. Obergrenzen invj*^ fur die Durchfiihrung der (Investitions-)Projekte inv; zu beachten, und es ist iiber Liquiditatsnebenbedingungen sicherzustellen, daB die Summe der zustandsbedingten Auszahlungen (Zj^g = Zj^ < 0) und Entnahmen ENjs = ENg in keinem Zustand s G 5^ und keinem Zeitpunkt t die Summe aus Einzahlungen (Zjts = Zjs > 0) und sonstigen, vom Investitionsprogramm unabhangigen Zahlungen uz^g = uz^ iibersteigt.208,209 gg ^^re zwar sehr wohl moglich, auch die Illiquiditat zuzulassen (etwa mit der

204

205 206

207

208

209

ditionen eines vollkommenen und arbitragefreien Kapitalmarktes bestimmt, so fiihre seine Zielfunktion zur Maximierung eines hypothetischen Marktwertes der Ausschuttungen an die Anteilseigner (zur Kritik dieses Kriteriums vgl. aber schon LAUX: Kapitalkosten, S. 20-27 und 139-150). Fraglich bleibt dabei freilich neben der recht restriktiven Annahme hinsichtlich der Opportunitat, wie die erforderlichen DiskontierungszinsfiiBe zu bestimmen sind, ist dies bei Unsicherheit doch zumeist keineswegs trivial. Vgl. HERING: Unternehmensbewertung, 1. Aufl., S. 181-188. Er holt dies nach in HERING: Investitionstheorie, 2. Aufl., S. 262-264 und spricht dann von einem „ZustandspreismodeH" (ZPM), kehrt aber in HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 247-254 wieder zum „ZGPM" zuriick . Auf Ansatze zur Einkommensmaximierung und ihre okonomische Sinnhaftigkeit unter Unsicherheit wird nach AbschluB der Ausfiihrungen zur Vermogensmaximierung auf S. 81-82 kurz eingegangen werden. Ahnlich wie zuvor kann auf den Zeitindex t nach der in Abschnitt 3.2.3 vorgenommenen Definition der Indexmengen der Zustande hier und im folgenden wieder verzichtet werden. Als gewollte Redundanz soil er lediglich die Zuordnung der einzelnen Zustande s zu den verschiedenen Zeitpunkten besser verdeudichen. Eine Uberfuhrbarkeit zum Modell von LAUX: Investitionsplanung, S. 46-50 ist demnach durchaus gegeben. Nichtsdestoweniger sind im Unsicherheitsfall (i.e.S.) die Wahrscheinlichkeiten i.d.R. nicht bekannt, und auf die von LAUX: Investitionsplanung, S. 19, 26, 51 unterstellte Geltung des BERNOULLI-Prinzips kann verzichtet werden. Im hier entwickelten Modell reichen also letztlich Dominanziiberlegungen schon aus. So auch schon LAUX: Investitionsplanung, S. 47 und LAUX: Planung, S. 739 f - freilich ohne die vom Investitionsprogramm unabhangigen Zahlungen. Sie konnen (miissen aber nicht) ebenfalls zustandsabhangig sein - wie u.U. beispielsweise Dividendenzahlungen aus kurzfristig nicht kiindbaren Engagements. Die einperiodige Kassenhaltung von t zu t-»-l wird im Vergleich zu friiher durch eine etwas komplexere Zahlungsreihe Zj^p^ ^^ = {z^j^ j^; z'j^^j^ j+j)' = (-1; i ' ) ' abgebildet, konnen doch auf ihren Startzustand s G 5^ verschiedene Zustande in t-i-1 folgen. Daher ist z\^ t+l '

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

75

Folge, daB ab Eintreten eines solchen Falles der Unternehmer alle Vermogensgegenstande verliert und fortan mit ungedeckten Schulden belastet ist), doch fiihrte dies fiir die folgenden Betrachtungen zu einer unnotigen Verkomplizierung des Problems.^'o Im Hinblick auf die eigentlichen Investitions- und Finanzierungsmoglichkeiten ist femer bei der Formulierung der Nebenbedingungen zu bedenken, daB Zahlungen in spateren Zustanden entsprechend der jeweiligen Informationsstruktur durch das Eintreten friiherer bedingt sind.^" So kann beispielsweise nach dem Zustandsbaum der Abbildung 3.1 auf S. 60 eine in Zustand 7 beginnende Investition in t = 3 nur zu Zahlungen in den Zustanden 17 und 18 fiihren. Zudem ist bei der Aufstellung der Liquiditatsnebenbedingungen fiir den Zustand 7 Zahlungen Rechnung zu tragen, welche bereits durch die Investitionsprogramme in s = 0 und s = 2 verursacht werden, und in den Zustanden 17 und 18 dariiber hinaus sogar noch denjenigen des Investitionsprogrammes aus Zustand 7. Unbeachtet bleiben bei alien hier beispielhaft erwahnten Liquiditatsnebenbedingungen (sowie ebenso bei denjenigen fiir die Zustande 0 und 2) jedoch die Zahlungen aus den in den Zustanden s e {1; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} beginnenden Investitionen und Finanzierungen. Insgesamt resultiert nach diesen Uberlegungen wieder ein lineares Optimierungsproblem, das in der die Zeitpunkte t beriicksichtigenden Schreibweise analog zu friiher das folgende Aussehen anninimt:2i2 T

max. GEN;

GEN := X X gWts-ENt^ t=0 SESJ

J

u.d.N.

-Zzjt3-inv|-hENts

< uz^g Vje

Vse^t

Vt G {0; 1; ...; T}

{1;2;...;J}213

invj > 0

VJG {1;2;...;J}

ENts > 0

VsG 5t

VtG {0; 1; ...;T}

Entsprechend ergibt sich in der kiirzeren Formulierung:

211 212 213

Im Falle einer Kapitalgesellschaft kann eine Beriicksichtigung u.U. auch einfach schon dadurch erfolgen, daB in alien Zustanden, die auf den Eintritt der lUiquiditatfolgen, bloB noch Zahlungen in Hohe von 0 anfallen. Vgl. zur Illiquiditat und ihrer Modellierung in den - ansonsten zu hier vergleichbaren - Nebenbedingungen LAUX: Investitionsplanung, S. 28 und 86-89. Letztlich sind mit LAUX' Formulierung der Liquiditatsnebenbedingung tatsachlich alle Falle abgedeckt, handelt es sich doch um ein alle moglichen Zustande erfassendes Totalmodell. Die Berucksichtigung von Strafkosten in der Zielfunktion ist insofern nicht erforderlich, zumal die ggf. ubermaBige Einschrankung des Raumes zulassiger Losungen (mit der Konsequenz, kaum noch vorteilhafte Investitionsprogramme zu finden) durch das Zulassen von Illiquiditat aufgeweicht ist (gleicher Ansicht ist JACOB: Unsicherheit, S. 521 f.). Vgl. ebenfalls LAUX: Investitionsplanung, S. 47 und LAUX: Planung, S. 739 f. Vgl. zum folgenden Ansatz und seiner Entwicklung KLINGELHOFER: Investitionsbewertung, S. 288-295. Sind nicht alle Objekte nach oben beschrankt, so laBt sich die zugehorige Restriktion mit ^ (d.h. in der Implementation: mit einer hinreichend groBen Zahl) als Obergrenze formulieren oder ganz streichen. Im Falle konkreter Rechnungen wird man schon allein aus rechenokonomischen Griinden nur die echten Grenzen betrachten. Fiir die Allgemeinheit und Kurze der Darstellung hat jedoch die erste Vorgehensweise Vorteile.

76

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

S

max. GEN;

GEN := I gw^ • ENg s=0 J

u.d.N.

-Xzjs-invj + ENs < uz^

Vs G {0; 1; ...; S}

J=l

invj < invj^

Vj e {1; 2; ...; J}2'4

invj > 0

Vje {1;2;...;J}

ENs > 0

Vse {0; 1;...;S}

Sie ist im Vergleich zur vorherigen Schreibweise deutlich weniger kompliziert, so daB der friihere Vorteil der Verdeutlichung der zeidichen Zusammenhange zwischen den Zahlungen in unterschiedlichen Zustanden fiir die folgenden Ausfiihrungen aufgewogen wird. Da auBerdem die zweite Problemformulierung die mathematisch gleiche Strukturierung zu dem in Abschnitt 3.1.1 diskutierten Sicherheitsfall besser zum Ausdruck bringt, sei sie fortan zugrunde gelegt. Fiir das Dualproblem resultiert somit analog zu friiher (mit den Dualvariablen Ig der primalen Liquiditatsnebenbedingung des Zustandes s und L der primalen Durchfiihrungsbeschrankung einer Investitions-ZFinanzierungsaltemati ve): ^ 15 min. WRG;

WRG

s s=0

S

U.d.N.

- I z j 3 - l s + ^j > 0 s=0

V j e { l ; 2 ; . , ..;J}

k ^ gWs

V s e {0; 1;. ..;S]

Is ^ 0

V s e {0; 1;. •

•;$]

^, ^ 0

Vje{l;2;..•

•;}}

Man erkennt also, daB sich das Modell zum Sicherheitsfall aus dem Ansatz zur Beriicksichtigung der Unsicherheit in der hier angegebenen einfacheren Schreibweise herleiten laBt, indem einfach die Zustandsindizierungen durch solche der Zeit ersetzt werden. Trotzdem ist die in diesem Unterkapitel vorgestellte Fassung wesentlich weiter zu sehen. Die Zustande stehen hier namlich entsprechend der in Abschnitt 3.2.3 eingefiihrten Informationsstruktur (und die zuerst angegebene ausfiihrlichere, die Zeitpunkte explizit ausweisende Schreibweise des Primalproblems verdeutlicht das besonders) nicht nur fiir verschiedene Zeitpunkte, sondem differenzieren gleichzeitig alternative Umweltsituationen zu den einzelnen Zeitpunkten und bilden mithin zwei

2^"^ Vgl. die vorherige FuBnote. 2'^ Vgl. ahnlich JOHANNWILLE: Bewertung, S. 197. Abweichungen insbesondere hinsichtlich der rechten Seiten resultieren aus der hier anders zugrunde gelegten Zielfuniction des Primalproblems.

11

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Dimensionen zugleich ab.^^^ immerhin erlaubt aber die Strukturgleichheit eine analoge Herleitung des Partialmodells Kapitalwertmethode. Aus den frliheren Komplementaritatsbeziehungen (3.1) bis (3.4) folgt somit durch Anpassung: uZg + X Zjs • invj - ENg = 0

(3.1*)

VsG {0;1;...;S}

J=l

(3.2*) = (3.2)

^j-(invj°-invj) = 0

VJG{1;2;...;J}

(3.3*)

inVj- - X Zjs-ls + ^j

:0

VJE{1;2;...;J}

s=0

(3.4*)

Vse {0;1;...;S}

ENs-(ls-gW3):=0

Eine Ubertragung der Herleitung von (3.5) fiihrt fiir die einperiodige Anlage einer Geldeinheit im Zustand a in t-1 zum (ggf. zustandsabhangigen) einperiodigen Habenzinssatz ina.sla - ^ t)is zum Zustand s in t auf:^^^ (3.5*)

l a - ( l + iHa,slo) • ^s-0 l(y>ls

und damit

VsGStia "lit oeSt_i V t G {1; 2; ...; T}

Den zustandsbedingten Abzinsungsfaktor einer unabhangig vom Investitionsprogramm zusatzlichen Geldeinheit im Zustand s des Zeitpunktes t auf den Zeitpunkt 0 liefert: (3.6*)

Ps,o:=-!^^l

Beliebige zustandsbedingte Auf- und Abzinsungsfaktoren p^ ^ vom Zustand a (im Zeitpunkt T) auf den Zustand s (im Zeitpunkt t), sofern der jeweils spatere Zustand iiberhaupt aus dem friiheren hervorgehen kann, erhalt man dann nach (3.7*)i^^^ (3.7*)

p^,3=P2^ = l^ Ps,0 h

fiir entweder a G 5^|S oder s G 5^tla

2'6 Ausdriicklich sei darauf hingewiesen, daB sich auch solche diskreten Optionspreismodelle wie das Binomialmodell aus dem vorgestellten Ansatz als Spezialfall herleiten lassen. Vgl. zum Binomialmodell Cox/Ross/RUBINSTEIN: Option Pricing, RENDLEMAN/BARTTER: Option Pricing; zu seiner Herleitung aus der (gemaB den vorherigen Unterkapiteln in dem hier vorgestellten Modell als Spezialfall enthaltenen) arbitragefreien Bewertung vgl. KRUSCHWITZ: Finanzierung, S. 281-302, HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 201-206. ^i"^ Da diese Voraussetzung fiir beliebige Betrage gelten soil, ist die Dualvariable ^j = 0. Es muB nicht im vorhinein bekannt sein, welcher einperiodige Habenzins wirklich eintritt; die Beziehung ij^^ ^^^ > 0 reicht unabhangig von der tatsachlichen Belegung aus. Ist er ab Zustand a in t-1 sicher, so laBt sich fiir ina sla ^^'^^ 'Ha tia schreiben. Ist er dariiber hinaus fiir alle Zustande o in t-1 gleich, darf wieder i^^ ^ gesetzt werden. 2'8 Die Fn. 109 auf S. 35 und 161 auf S. 56 sowie die jeweiligen Bezugsstellen dieser FuBnoten im Text gelten im Hinblick auf die Positivitat der Auf- und Abzinsungsfaktoren p^, ^ fiir zeitlich (ggf. uber mehrere Stufen) aufeinanderfolgende Zustande sinngemaB fort (vgl. explizit KLINGELHOFER: Investitionsbewertung, S. 291),

78

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

Die Gleichung (3.7*) ist damit vor dem zweiten Gleichheitszeichen formal identisch mit Gleichung (3.31) aus dem Abschnitt 3.2.3 zur mehrperiodigen arbitragefreien Bewertung unsicherer Investitionen. Es ist freilich darauf hinzuweisen, daB sich die eingesetzten Zinsfaktoren nach anderen Zusammenhangen ergeben, wie (3.6*) und der Bruch nach dem zweiten Gleichheitszeichen in (3.7*) im Vergleich zu (3.29) zeigen.^'^ Weitet man den Geltungsbereich von (3.7*) aus, so daB auch nicht aufeinanderfolgende Zustande erfaBt werden: (3.7**)

p^3=H^ =^ Ps,0 k

Va,seS,

so laBt sich der verallgemeinerte (Transformations-)Faktor p^j ^ als Wert einer im Optimum im Zustand o erzielten zusatzlichen Geldeinheit bezogen auf den Zustand s interpretieren.220 Dies erlaubt einen Vergleich der unsicheren Zahlungen auch zwischen verschiedenen Zustanden. Die (einperiodigen) endogenen Grenzzinsfiifie i^ = i^i^j vom Zustand a (im Zeitpunkt t-1) auf den daraus mit zwar unbekannter, aber positiver Eintrittswahrscheinlichkeit folgenden moglichen Zustand s (im Zeitpunkt t) schlieBlich resultieren mit: (3.8*)

i3 = i 3 | ^ = - i ^ - l = - ^ ^ - l Is Ps,0

V s G Sti^^mitoe 5t_i

VtG {1;2;...;T}

Sie gestatten die Diskontierung aller Zahlungen auf den Beginn des Planungszeitraumes (s = 0). Zu guter Letzt laBt sich aus der Dualrestriktion des Objektes j S -IZjS-ls+^j^O s=0

durch Umstellung und Teilen durch IQ wieder sein Kapitalwert Kj bestimmen:

(3.9*) Kj:= i z j , - J ^ = i z j , . p , , o < 7 ^ s=0

^0

s=0

^0

Er setzt sich aus den abgezinsten Zahlungen in alien moglichen alternativen Zustanden s G 5^ aller Zeitpunkte t G {0; 1; ...; T} zusammen, wenngleich je kiinftigem Zeitpunkt t tatsachlich nur genau ein Zustand eintreten wird. SchlieBlich wird man voraussetzungsgemaB in keinem Zustand Geld verfallen lassen; Geld wird in jedem Zustand ein Wert zugemessen. Dann ist es ebenso einleuchtend, daB kiinftigen Werten diskontierte heutige entsprechen miissen - zumindest, solange die Moglichkeit des Vorziehens kiinftiger zustandsbedingter Zahlungen besteht (und sei es zu Wucherzinsen). Fiir diesen Kapitalwert nach (3.9*) gelten in seiner Funktion als Partialmodell analog zum Sicherheitsfall unter Beriicksichtigung der Komplementaritatsbeziehungen (3.2*) und (3.3*) sowie des Preistheorems der linearen Optimierung wieder die auf formal gleiche Weise hergelei219 Unbeschadet davon wurde bereits in den Fn. 180 und 181 auf den S. 62 und 63 darauf hingewiesen, daB die friiheren Formeln zur arbitragefreien Bewertung mehrperiodiger Investitionen unter Unsicherheit auch auf gleiche Weise wie die hier angegebenen hergeleitet werden konnen.

3 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Investitionen

79

teten Entscheidungsregeln I-III des Abschnittes 3.1.1.221 Objekte j mit positivem Kapitalwert (Fall I) sind demnach bis zur Hochstgrenze durchzufiihren, Objekte mit negativem Kapitalwert (Fall III) hingegen iiberhaupt nicht. Im Falle K; = 0 (Fall II) hat man es schlieBlich auch hier wieder entweder mit einer entarteten Losung zu tun, die ihrerseits entweder zu verwirklichen oder abzulehnen sein kann, oder mit einem Grenzobjekt, iiber dessen Umfang noch keine Aussage getroffen ist. Also wird man auch beim Vorliegen von Unsicherheit wie bereits zuvor unter Sicherheit nicht isoliert iiber Objekte mit einem Kapitalwert von 0 entscheiden konnen. Als zustandsabhangigen endogenen Grenzzinssatz vom Zustand a (im Zeitpunkt T-1) auf den daraus mit zwar unbekannter, aber positiver Eintrittswahrscheinlichkeit folgenden moglichen Zustand s (im Zeitpunkt T) erhalt man fiir z^^ -^ 0 nach Nullsetzen der durch p^ Q geteilten Kapitalwertformel (3.9*) und anschlieBendem Auflosen: ^ja - Zja • ~ — + 2:js Ps,0

+2. Ps,0

Y (3.10*) i ^ 3 = - ! l ^ - l = Ps,0

2.

z is*

t=T+l S*ES^|,,

Y '^ Zja

7

^ PS,0

Ps*,0 1

Ahnlich wie im Sicherheitsfall werden also alle (jetzt unsicheren) Zahlungen im Zustand s und alien spateren Zustanden s*, die sich aus s entwickeln konnen, auf den Zustand s im Zeitpunkt x abgezinst. Der so erhaltene Gegenwartswert wird dann mit der Anschaffungsauszahlung des Grenzobjektes in Zustand a (im Zeitpunkt T-1) ins Verhaltnis gesetzt, und man erhalt die zustandsabhangige Initialverzinsung i^^ ^ der in den Zustanden a startenden Grenzobjekte (sofern solche existieren).222 Geht man hingegen von real existierenden Grenzobjekten aus, die ebenfalls einen Kapitalwert von 0 haben, aber nicht ausschlieBlich in s, sondern ebenso in weiteren Zustanden des Zeitpunktes T Zahlungen versprechen, so lieBe sich auch fiir diese eine %esamte endogene Grenzverzinsung vom Zustand a im Zeitpunkt x-l zum Zeitpunkt T bestimmen,

220 Vgl. ebenso (nach anderer Herleitung) L A U X : Investitionsplanung, S. 66 und 69. 221 Zum (dort anders hergeleiteten) Kapitalwertkriterium in der flexiblen Investitionsplanung vgl. L A U X : Investitionsplanung, S. 64-67. 222 Im Ausartungsfalle konnen auch hier wieder voll oder gar nicht verwirklichte Objekte Grenzobjekte sein erstere, wenn eine Erhohung ihrer Obergrenze keine haufigere Durchfiihrung in der Optimallosung zur Folge hatte (die ihnen zugeordnete Schlupfvariable steht mit dem Wert 0 in der Basis), letztere, wenn sie mit dem Wert inVj = 0 in die Basis aufgenommen werden. Beginnt in einem Zustand a keine Zahlungsreihe einer fiir die kommende Periode bis zum Zustand s besten Alternative, entspricht der korrekte Steuerungszins einem aus den Zahlungsreihen der Grenzobjekte ermittelten MischzinsfuB. Ferner sind im Falle der primalen Degeneration der Optimallosung durchaus auch wieder mehrdeutige GrenzzinsfuBe vorstellbar, da dann mehrere Objekte Grenzobjekte sind. Vgl. K L I N G E L H O F E R : Investitionsbewertung, S. 294 sowie zum Sicherheitsfall schon Fn. 113 auf S. 38 dieser Arbeit und die dort genannte Literatur.

80

3 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Investitionen

indem man die auf (3.10*) fiihrende Betrachtung auf alle dem Zustand o folgenden Zustande s in T iibertragt und dementsprechend den Kapitalwert durch alle zugehorigen p^ Q teilt:223 ^

Pa,0 ^

V Ps,0

t.x

V

-.

S*ES,,^,_,,

Ps*,0 S

n PS,0

^^ST|(T-1)O

T

Ps*,0

t=^ s*^s,|(,_i^, (3.10**) 1^,= — ^ ^ ^ ^ S Ps,0

2.

^^

Ps,o

^!^(x^)a

^

Zjcf

^^^T|(T-1)O

Ein solcher gesamter endogener Grenzzinssatz gibt damit die gesamte einperiodige, gewissermaBen „erwartete Initialverzinsung"224 des jeweiligen unsicheren Grenzobjektes an. GroBer erscheint freilich der Nutzen der zuvor mit (3.10*) bestimmten zustandsabhangigen Initialverzinsung, hat man doch damit direkt ein MaB, mit dem unsichere Zahlungen in einzelnen Zustanden abzuzinsen sind, um uber deren Vorteilhaftigkeit eine Aussage treffen zu konnen. Die unter (3.10**) angegebene, in der Literatur zu findende „erwartete Initialverzinsung" eignet sich hierfiir hingegen nicht und kann dies auch nicht mit anderen Vorteilen kompensieren, die nicht auch aus (3.10*) herleitbar waren. SchlieBlich setzt sich ein unsicherer Zahlungsstrom aus den Zahlungen in verschiedenen Zustanden zusammen, die sich alle mit Hilfe von (3.10*), nicht aber von (3.10**) abzinsen lassen. (3.10**) eignet sich folglich allenfalls zur Abzinsung sicherer Zahlungsstrome. Da eine sichere Zahlung z^ jedoch gleichbedeutend damit ist, daB in alien moglichen Zustanden s e S^ die Zahlung z^ eintritt, ist diese genauso gut unter Verwendung der zustandsabhangigen Initialverzinsung nach (3.10*) bewertbar. Treten zum Primalproblem zusatzliche, ggf. auch nichtmonetare Restriktionen y der Form J

Sajy-invj 0

VJG { 1 ; 2 ; . . . ; J }

ENs > 0

VsG {0; 1;...;S}

Pi ^ 0

2-^^ Aufgrund der gewahlten Darstellung der Zustande geht das Modell zugleich in HERINGS Ansatz iiber. Vgl. dazu HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 247-254 und S. 57 f. (ebd., S. 48 f. findet sich zudem ein einkommensmaximierender Ansatz) sowie HERING: Zustands-Grenzpreismodell, S. 363-366. Zu nichtlinearen Erweiterungen des ZGPMs vgl. femer PFAFF/PFEIFFER/GATHGE: Unternehmensbewertung. Zur Kritik an der Zielsetzung der EMnkommensmaximierung unter Unsicherheit vgl. analog die Ausfuhrungen zum SchluB des Unterkapitels 3.3 auf S. 81-82 dieser Arbeit. 238 Vgl. dazu HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 58 f. Zum Bewertungsprogramm im Falle eines einkommensmaximierenden Ansatzes auf Basis des strukturgleichen ZGPMs vgl. ebd., S. 49 f.

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3 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Investitionen

Ahnlich wie bisher zwischen der Optimallosung und den Kapitalwerten der einzelnen Objekte j lassen sich mit Hilfe der Dualitatstheorie Zusammenhange herstellen, die den Grenzpreis pj^P^ und den Ertragswert als Kapitalwert der kiinftigen Riickfliisse der zu bewertenden Investition I einbeziehen. Das zum Bewertungsprogramm BEW duale Problem, das den Wert WRB der ausgeschopften Restriktionen minimiert, nimmt hier (mit den Dualvariablen Ig der primalen Liquiditatsnebenbedingung des Zustandes s, ^j der primalen Durchfiihrungsbeschrankung einer Investitions-ZFinanzierungsaltemative und 5 der Gewahrleistung eines Entnahmewertes, der mindestens dem maximalen des Basisprogramms entspricht) das folgende Aussehen an:^^^ S

J

min. WRB; WRB := UZQ • IQ + I (uz^ + ZiJ-13 -GEN^'P^ -5 + X inv-" • ^j

u.d.N.

s s=0

•Is +

's - gWs •

^j

>0

V j e { l ; 2 ; . . .;J}

5 >0

V s e {0;1;. ..;S}

lo>i l3>0

V s s {0; 1;. ..;S}

^j^O

V j e { l ; 2 ; ,,..;J}

8>0 Da weiterhin Primal- und Dualproblem nach dem Dualitatstheorem der linearen Optimierung im Falle einer zulassigen Losung gleiche optimale Zielfunktionswerte aufweisen, resultiert wegen BE^opt ^ ^Rgopt ^ p^opt |-^j. p^opt ^gj. foigej^^g Ausdruck:

(3.35)

S J pi^P^ = uzo • lo + I (UZ3 + Z13) • 1, - GEN^P^ - 6 + 1 mv] • ^^ = i zis-is + i UZ3-13 + i s=l

s=0

invj-^j-GEN«P^5

j=l

Ebenso wie friiher finden sich femer auch zwischen dem primalen und dem dualen Bewertungsprogramm Komplementaritatsbeziehungen: J

(3.36)

uzo+Xzjo-inVj-ENo-pi

239 Vgl. hierzu und zum Folgenden HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 59-63 sowie als „komplexe Bewertung" fur den Fall der Einkommensmaximierung unter Sicherheit mit Hilfe eines gemischtganzzahligen Ansatzes schon LAUX/FRANKE: Bewertung, S. 214-218.

87

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

; + zi3 + X Zjs • invj - ENs

(3.37)

VsG {1;2;...;S}

j-l

(3.38)

5- -GEN^P^ + S gws • EN3 = 0 s=0

(3.39)

^j-(invj«-invj) = 0

(3.40)

inVj.

(3.41)

EN3-(l3-gW3-5) = 0

(3.42)

pr(lo-l) = 0

VJG {1;2;...;J}

s

(

- X z j 3 - l 3 + ^j V s=0

=0

VJG {1;2;...;J} Vse {0; 1;...;S}

Im Falle der Existenz einer optimalen Losung BEW^P^ = WRB'^P^ = pi°P^ > 0 beider Probleme folgt aus (3.42) IQ = 1. Die analog zu friiher herleitbaren zustandsbedingten Abzinsungsfaktoren einer unabhangig vom Investitionsprogramm zusatzlichen Geldeinheit im Zustand s auf den Zeitpunkt 0 vereinfachen sich damit zu: (3.43)

Ps^o -

VsG {0; 1;...;S}

• - \ . ^ l

- und entsprechend der Kapitalwert des Objektes j auf:

s (3.44)

s

K J : = I Zj3-l3= X Zjs-Ps,0 ^ ^ s=0

s-0

Aufgrund von (3.39) und (3.40) gelten fiir ihn wieder die bekannten Entscheidungsregeln I-III des Abschnittes 3.1.1: Objekte j mit positivem Kapitalwert werden bis zur Hochstgrenze durchgefiihrt, Objekte mit negativem Kapitalwert iiberhaupt nicht, wahrend iiber solche mit einem Kapitalwert von 0 nicht partialisiert entschieden werden kann, well es sich auch um degenerierte Losungen der beiden anderen Falle handeln kann. Weiterhin resultiert aus Komplementaritatsbeziehung (3.41): (3.45)

: gW3 • 5

VsG {0; 1;...;S} mit EN3>0

Unter der Voraussetzung, daB alle Dualwerte Ig positiv sind,24o ist 5 > 0, und es ergibt sich aus der Komplementaritatsbeziehung (3.38):

^^^ Dies gilt auch unter Unsicherheit fiir okonomiscii sinnvoll formulierte Probleme immer. Vgl. dazu KLINGELHOFER: Investitionsbewertung, S. 291 und Fn. 217 auf S. 77 i.V.m. (3.5*), Fn. 218 auf S. 77 sowie Fn. 109 auf S. 35 und 161 auf S. 56. Wird eine Entnahme in einem Zustand eines spateren Zeitpunktes positiv bewertet, gilt dies ebenso fiir alle Entnahmen in denjenigen friiheren Zustanden, die auf dem gleichen Ast des Zustandsbaumes wie dieser spatere Zustand liegen.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

S

(3.46)

GEN^P^= IgWs-ENs s=0

Im Bewertungsprogramm erhalt man also in der Tat exakt die gleiche Summe der gewichteten Entnahmen wie zuvor im Basisprogramm - freilich ggf. anders auf die Zustande s verteilt^"^! Der Term 6 • GEN°P^ laBt sich dann als Kapitalwert dieses gleichwertigen Ausschiittungsplans interpretieren:2'^2 (3.47)

5.GEN^P^ = 5- IgW3-EN3= s-0

I

^•gW3.EN3=

ENs>Og^s

I

Ps,o-ENs

EN3>0

Zusammen mit der fiir zu realisierende Objekte j infolge der Komplementaritatsbedingung (3.40) als Gleichung erftillten Beziehung (3.44) fiir den Kapitalwert der Objekte j kann die friihere Bewertungsgleichung (3.35) fiir die Ermittlung des Grenzpreises pj°P^ = BEW°P^ = WRB^P^ unter Unsicherheit wie folgt transformiert werden:243 (3.48)

pi«P^=

izis-Ps,o s=l

+ iuz3-Ps,o+ I s=0

Ertragswert des Bewertungsobjekts

invJ-Kj-

Ki>0 j Kapitalwert des

^

5-GEN^P^ ^ ' Kapitalwert eines dem Basisprogramm

Bewertungsprogramms

gleichwertigen

(ohne das Bewertungsobjekt)

Ausschiittungsplans

Der Grenzpreis pj^P^ der zu bewertenden Investition unter Unsicherheit entspricht demnach dem Ertragswert (Kapitalwert der kunftigen Riickfliisse) des Bewertungsobjekts - korrigiert um den Kapitalwert der Umstrukturierungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm. Eine Verdeutlichung dieses Zusammenhangs erlaubt eine Betrachtung der Verdrangungsbeziehungen der gefundenen Losungen. Dazu ist der gleiche „Trick", der zur Preisbestimmung eingesetzt wurde (die Gleichsetzung der Zielfunktionswerte von Primal- und Dualproblem im Optimum), noch einmal anzuwenden - diesmal indes bezogen auf das Basisprogramm. Auch dessen primale (GEN^P^) und duale (WRG^P^) Optimallosung sind namlich nach dem Dualitatstheorem der linearen Optimierung gleich, d.h. (vgl. Unterkapitel 3.3): S

(3.49)

S

J

GEN^P' - I gws • EN3 = I UZ3 • I3 + X inv^ • ^j s-0

s=0

j=l

Eingesetzt in (3.35) erhalt man bei Indizierung der aus dem Bewertungsprogramm stammenden GroBen mit „Bew" und der korrespondierenden Basisprogrammvariablen mit „Bas" sowie 2^*' Vgl. hierzu und zum Folgenden HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 60 f. 2'^^ Die Bedingung EN3 > 0 ist nicht nur deshalb aufgefiihrt, um redundant erscheinende Terme mit EN3 = 0 von vornherein auszuklammern, sondern auch - i.V.m. (3.41) und der fiir okonomisch sinnvoU formulierte Probleme erfiillten Voraussetzung Ig > 0 - unter dem Gesichtspunkt der Gewahrleistung von gWg ^ 0. 243 v/egen (3.39) ist zugleich L = 0, wenn die Durchfuhrung eines Objektes j nachteilig ist. Vgl. HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 61 sowie als „komplexe Bewertung" fiir den Fall der Einkommensmaximierung unter Sicherheit schon LAUX/FRANKE: Bewertung, S. 217 f.

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

89

unter Berticksichtigung von (3.42) und (3.43) die ersten beiden Darstellungen der folgenden Gleichung (3.50). Unter zusatzlicher Beachtung von (3.44) i.V.m. (3.39) und (3.40) fiir die BewertungsprogrammgroBen resultiert analog zu (3.48) die dritte Variante - und entsprechend bei Heranziehung von (3.9*) i.V.m. (3.2*) und (3.3*) aus Unterkapitel 3.3 fiir die Variablen des Basisprogramms die vierte:^^^ (3.50)

pr

= i z,s • if ^" + i uz, • i f - + i inv° . ^fS=l

5=0

S

- 6-

S

j=l

J

^

Iuz3.l3^-+XinvJ.^f^ S Zls-Ps,0 + l u Z s - p s o

s=\

J +lmvj-^j

-0-ls

s=0

/

. ,

-5-^j

\

izis-PsV+iu^s-(PsV-5 ,Bas +

2.

i^^j " ^ j

s =

s

L Zls-Ps,0 s=0

+

-0-2,inVj-qj

I

+ I UZg- Pso s=0

invJ-Kf^-5-

Kf^>0

-0-ls

X

inv^-l§^^-Kf^

KfSO

Sie alle verdeudichen die - bei kapitalwertgleichem Ausschiittungsplan - auf die Umstrukturierung vom Basis- zum Bewertungsprogramm zuriickzufiihrenden Einfliisse auf den Grenzpreis des zu bewertenden Objektes. Der Faktor 6 als Dualvariable der Gewahrleistung eines Entnahmewertes, der mindestens dem maximalen des Basisprogramms entspricht, gibt dabei den EinfluB auf den Zielfunktionswert des Bewertungsprogramm (d.h. auf den Grenzpreis pf^^ der Investition) an, wenn sich derjenige des Basisprogramms marginal andert.^^^ Steht nun I3

fiir

244 Wegen (3.39) ist ^ j ^ ^ ^ = 0, wenn die Durchfuhrung eines Objektes j im Bewertungsprogramm nachteilig ist; aus (3.2*) folgt entsprechend ^-^^^ = 0 fiir ein im Basisprogramm abzulehnendes Objekt j . Vgl. zu einer (3.50) ahnelnden, aber komplexeren Formeln nach anderer Herleitung fiir den Fall der Einkommensmaximierung unter Sicherheit schon LAUX/FRANKE: Bewertung, S. 217 f. 245 Die programmiJbergreifende Wirkung von 5 laBt sich fiir nichtentartete Losungen auch wie folgt beweisen (vgl. MIRSCHEL/KLINGELHOFER/LERM: Stimmrechtsanderungen, S. 12 f.): Solange es in mindestens einem Zustand s* eine Entnahme EN^* > 0 gibt und auch im Basisprogramm in diesem Zustand eine Entnahme Bas

Bas

stattfindet, sind wegen der zugehorigen Komplementaritatsbeziehungen (3.4*) und (3.45) \^* = gw^* und 1^/^ = 6-gWs*^^. Also ergibt sich bei Substitution von 5 und Division durch IQ^^^ = 1 in der Optimallosung unter der Pramisse unveranderter Entnahmegewichtungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm: X /^cNiopt

iBew

S

„„,Bas

8.GEN«P' = i ^ E N ^ = ^ • X ^ ^

iBew

s

rr,.,Bas

S

ENf- = ifj— I S ^ . EWf- = pf.=S • I pfP • ENf-

90

3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen

die Auswirkungen einer zusatzlichen Geldeinheit im Zustand s des Basisprogramms auf dessen Zielfiinktionswert (die Summe der gewichteten Entnahmen), so transformiert 5 • \^^ diese auf die Zielfunktion des Bewertungsprogramms (den maximal zahlbaren Preis pi^^^). Damit erlaubt 5 • Ig eine Aussage dariiber, wie sich Anderungen des Basisprogramms (in diesem Fall der investitionsprogrammunabhangigen und insofem in beiden Programmen gleichen Zahlungen uzg) auf den Grenzpreis auswirken, falls es nicht zu einem Basiswechsel der optimalen Losungen konunt. Entsprechend gibt 5 • ^ j ^ ^ = 5 • IQ^^ • Kj^^ das Verhalten des maximal zahlbaren Preises an, wenn das Objekt j im Basisprogramm einmal haufiger durchgefiihrt werden kann. Die letzte Aussage deutet dabei schon an (und die letzte Umformung in (3.50) zeigt dies auch), da6 in (3.50) neben der bereits im Zusammenhang mit (3.48) erlauterten und aus (3.44) i.V.m. (3.39) und (3.40) herzuleitenden Kapitalwertbeziehung fiir die realisierten Objekte im Bewertungsprogramm noch eine zweite fiir diejenigen im Basisprogramm eingeht. Der Kapitalwert des Objektes j im Basisprogranun wird namlich durch 5 • lo

ins Bewertungsprogramm iibertra-

gen. Welche Auswirkungen das hat, laBt sich fiir Spezialfalle noch genauer wie folgt aus der Beziehung (3.9*) des letzten Unterkapitels fiir den Kapitalwert Kj^^ im Basisprogramm herleiten: (3.9*)

S iBas S t?^ KjB-=Izj3L=Iz^,.pB?f^5l_ s=0

IQ

S=0

h

Er ist fiir realisierte Objekte im Basisprogramm gem. der Komplementaritat (3.3*) des letzten Unterkapitels als Gleichung erfiillt. In (3.50) steht freilich an Stelle des Koeffizienten I/TQ^^ der Dualvariablen ^ j ^ ^ die Dualvariable 6. Sofem es aber in Zustanden s des Basisprogramms zu Ausschuttungen ENg^^ > 0 kommt, gih wegen (3.6*) i.V.m. (3.4*) aus Unterkapitel 3.3: iBas

„„,Bas

(3.52) p,B?f=-L = I g _ iBas

iBa

lo

lo

Vs€{0;l;...;S}

mit

ENs"^>0

Zusammen mit (3.42), (3.43) und (3.45) resultiert dann im Falle einer im Bewertungsprogranmi gegeniiber dem Basisprogramm unveranderten Ausschiittungsgewichtung mit gWg

= gw^^^

= gWg in alien Zustanden s e {0; 1;...; S} bei Existenz einer optimalen Losung Pi°P^ > 0:^^

Demnach ermOglicht 5 fiir gWj*** = gw^*^ die wertmaBige Transformation allcr ungewichteten Entnahmen im Basisprogramm auf den besonderen Zustand s* und von dort die Diskontierung auf den Zustand 0 im Bewertungsprogramm. Man erhalt folglich den Wert der gewichteten Entnahmen im Basisprogramm bezogen auf das Bewertungsprogramm. Vgl. im Ergebnis ahnlich im Rahraen ihrer „komplexen Bewertung" fur den Fall der Einkommensmaximierung unter Sicherheit schon LAUX/FRANKE: Bewertung, S. 217. '^^ Die Bedingungen ENg^*^ > 0 und ENs^*"* > 0 gewahrleisten i.V.m. den fiir 5konomisch sinnvoll formulierte Probleme erfUllten Voraussetzungen Ig^^ > 0 und Ig^^* > 0 wegen (3.4*) und (3.41) gWg^^^ ^ 0 und gWsB**;tO.

3 Die finanzwirtschaftliche

Bewertung von Investitionen

|Bew

(3.53)

iBew

iBew

91

^Bew

6=- V - = ^ - ^ - =- ^ =% ^

gwf-

gwf-

if-

^ s e {0;1;...;S}

mit

EN,^^>0

und

ENs^^>0

if-

Damit erhalt man aus (3.9*) wegen der Komplementaritatsbeziehung (3.3*) aus Unterkapitel 3.3 fiir realisierte Objekte im Basisprogramm: ('X^A\

S ^Bew X ) ^ B a s _ o T^Bas .Bas „ v ^^^,0 ^

(3.54) 6-^j

-6-Kj

-lo

- l-B^-^js'-B^lo s-0

Ein positiver Term 5 • ^i

,Bas S ^s iBas _ ^ ^

h

n ^ ^ ^ _ . ^BaslBew

- 1 Zjs-Ps,0 -

IQ

^j

s=0

gibt also unter der Bedingung gw^ ^ = gw^

licher Ersetzbarkeit von 5 gem. (3.53) den Kapitalwert K:

= gWg und bei mog-

eines im Baswprogramm

realisierten Objektes j bei Bewertung mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms an. ^j

kann wegen der Komplementaritat (3.2*) nur positiv sein, wenn das Objekt j

im Basisprogramm bis zur Obergrenze invj^ durchgefUhrt wurde; andemfalls ist ^j

= 5 • ^j^^

= 0. Da gleichzeitig nach den Ausfiihrungen zu (3.45) und (3.46) 5 > 0 ist, muB fur ^ j ^ ^ > 0 auch Kj^^'^^^ > 0 sein. Femer ist ftir Objekte j mit Kj^^ = 0 ebenso Kj^-'^^^ =: 0. Analog zu der Herleitung zu (3.48) darf man damit schlieBlich fiir (3.50) das Folgende schreiben: /o cz\

(3.55)

opt

pi *^ =

S V

Bew ,

lzisPs,o

+

V

i

•

0 T^Bew

mvj-Kj

-

v

1

•

o T>^ BaslBew

'"^j'^j

Diese Beziehung zeigt die Umstrukturierungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm auf, wenn die genannten Voraussetzungen erfiillt sind. Die vom Investitionsprogramm unabhdngigen und insofern in beiden Programmen gleichen Zahlungen uz^ spielen jetzt also keine Rolle mehr, da sich die sie betreffenden Terme wegen der unter den getroffenen Annahmen zweimaligen Abzinsung mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms genau aufheben. Der maximal zu zahlende Preis fur das Bewertungsobjekt (die zu bewertende Investition) ergibt sich demnach in der geschilderten Situation einzig aus dem Ertragswert des Bewertungsobjekts und den Umschichtungen von den realisierten Objekten im Basisprogramm zu denjenigen im Bewertungsprogramm - bewertet aber mit den endogenen Grenzzinsatzen des Bewertungsprogramms.^"^^ Eine derartige Schreibweise erieichtert unter den zur Herleitung von (3.53) getroffenen Voraussetzungen, die „Anreizwirkung" bestimmter umweltpolitischer Rahmenbedingungen auf die Durchfiihrung von Investitionen zu beurteilen, sofem davon direkt die (ggf. korrigierten) Kapitalwerte der zu bewertenden Investition und der durch sie verdrangten Objekte betroffen sind. Gleiches gilt im Rahmen der spateren Sensitivitatsanalysen, wenn man Informationen iiber die Empfindlichkeit des maximal zu zahlenden Preises fiir eine Investition auf Anderungen im Einsatz umweltpolitischer Instrumente seitens des Staates gewinnen mochte. 2'*'^ Unter der Bedingung gleichbleibender Grenzobjekte und endogener GrenzzinsfuBe werden selbst die beiden ietzten Summenterme noch wegfallen, so daB die allgemeine Grenzpreisformel schlieBlich zur bekannten Ertragswertformel mutiert. Vgl. dazu HERING: Unternehmensbewertung, 2. Aufl., S. 61 f., der gleich diesen Weg einschlagt und insofern (3.55) uberspringt.

4

Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen betrieblicher Umweltschutzinvestitionen aus den Zusammenhangen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung

Wurden im vorherigen Kapitel investitionstheoretische Modelle zur finanzwirtschaftlichen Bewertung diskutiert und im Hinblick auf unsichere Zahlungsstrome fortentwickelt, soil nunmehr das Zustandekommen dieser Zahlungsstrome aus den Zusammenhangen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung naher betrachtet werden. Hierzu wird im Unterkapitel 4.1 kurz auf die produktionstheoretischen und produktionsprogrammplanerischen Grundlagen eingegangen, bevor sich Unterkapitel 4.2 mit den aus der betrieblichen Produktion resultierenden grundsatziichen Zahlungskonsequenzen von Umweltschutzinvestitionen auseinandersetzt.

4.1 Grundlagen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung Als Basis der weiteren Ausfiihrungen sei ein auf der linearen Aktivitatsanalyse aufbauendes Produktionsprogrammplanungsmodell fiir Kuppelproduktion angenommem^^s Die Technologie(menge) T aller dem Produzenten technisch moglichen Aktivitaten (^ = (r'; x')' = (rj,..., Tj^; xj,..., Xj^)' > 0 in Bruttodarstellung249 mit den Einsatzmengen rj^ > 0 fiir den |Li-ten von m Inputs und den Ausbringungsmengen x^ > 0 fiir den v-ten von n Outputs r := {(^ = (r'; x')' E IR_|.^"^" I (^ ist technisch moglich} werde durch insgesamt endlich viele (namlich q) Basisaktivitaten (^^'^ aufgespannti^^o 248 Vgl. KOOPMANS: Activities; KOOPMANS: Allocation, S. 71-83; DEBREU: Theory, S. 37-49; WlTTMANN: Produktionstheorie, S. 1-20 und 102-113; NiKAlDO: Theory, S. 180-185; BOL/OPITZ: Aktivitatsanalyse; KiSTNER: Kostentheorie, S. 54-64 und 239-245; KiSTNER: Produktionstheorie; HlLDENBRAND/HlLDENBRAND: Modelle, S. 22-34; FANDEL: Produktion, S. 35-48; SCHULZ: Leistungsverflechtung, S. 159-182; DYCKHOFF: Aktivitatsanalyse, Sp. 59-65; DYCKHOFF: Grundlagen, S. 9-12; DYCKHOFF: Produktion, S. 4858, 73-87 und 155-173; STEVEN: Effizienz, S. 130-134 und STEVEN: Produktion, S. 82-86; DINKELBACH/ ROSENBERG: Produktionstheorie, S. 37-66, 115-139; KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 222-252, 417-442. •^4^ An Stelle des hier gewahlten Bruttoprinzips (Bestandsversion, stock version) findet sich in der Literatur haufig das Nettoprinzip (FluBversion, flow version), das die Aktivitat als Saldo (g^^^^^ = x - I darstellt. Voraussetzung fiir die Saldierung ist jedoch, daB bei alien drei Vektoren - ggf nach Umordnung ihrer Elemente und geeigneter Erganzung um Nullen - an gleicher Stelle jeweils physisch gleiche Objekte stehen. Fiir cp^ "° > 0 ist das 8-te Objekt dann als Output, fiir cp^"^^"" < 0 als Input zu interpretieren. LaBt sich somit die Bestandsversion leicht in die FluBversion uberfiihren, so ergibt sich in der Umkehrung das Problem, daB zu einer in FluBversion dargestellten Aktivitat haufig mehrere Input-ZOutput-Kombinationen passen, wenn Objekte sowohl in die Produktion einflieBen als auch aus ihr herauskommen. - Die Bestandsversion enthalt also mehr Informationen als die FluBversion. Ausfuhrlich zu beiden Darstellungsformen und ihrer Uberfiihrbarkeit vgl. NlKAlDO: Theory, S. 182-185; vgl. auBerdem SCHULZ: Leistungsverflechtung, S. 118-120, DYCKHOFF: Produktion, S. 57 f, KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 223 f 250 iR^+n •_- |(g g IR'^+" I (g > 0} stellt den nichtnegativen Orthanten des (m-i-n)-dimensionalen euklidischen Vektorraumes dar. Das Ungleichheitszeichen zwischen zwei Vektoren soil hier und fortan fiir jedes ihrer Elemente gelten. Die lineare Unabhdngigkeit dtr Basisaktivitaten ist nicht erforderlich, wird aber haufig aus Praktikabilitatsgriinden zusatzlich eingefiihrt (speziell fiir die Technologiematrix). So spricht etwa DYCKHOFF: Produktion, S. 163 von der „Basis der Technologic T, wenn die Anzahl der Basisaktivitaten minimal ist", setzt „dies aber nicht unbedingt" voraus. KiSTNER: Kostentheorie, S. 62 bildet die Technologiematrix

94

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

q

V(e = ( r ' ; x ' ) ' e r gilt:

$=S^^-(2^'P

mit: C^^'^G J, ;^P>0, pe {1; ...; q},

d.h., fiir T gilt mit X^ als dem ProzeBniveau und der aus den q Basisaktivitaten zusammengesetzten Technologiematrix M: r=

i^P.(pB^P|xP>0;P = l,...,q[ = ]cp = (r';x')'EllC^

(p =

MX,'k>0

Ein linearer (Produktions-)ProzeB oder Verfahren 11 schlieBlich ergibt sich als Menge aller durch groBenproportionale Niveauanderungen aus einer einzelnen Aktivitat (^ hervorgehenden Aktivitaten (^ : n := 19*

9* = >i • 9

mit: 9 G 7, X > 0 i

Im Endeffekt bildet ein linearer ProduktionsprozeB also eine Halbgerade (den ProzeBstrahl), die durch den Koordinatenursprung und die betreffende Aktivitat 9 eindeutig festgelegt ist. Alle linearen Prozesse, die lediglich durch Variation von genau einer Basisaktivitat9 '"^ um den Faktor ^'^ > 0 (mit p als Index fiir den ProzeB) entstehen, bezeichnet man femer als reine lineare Prozesse und alle diejenigen, die als positive Linearkombination (und damit auch als Konvexkombination) von mindestens zwei linearen Prozessen darstellbar sind, als gemischte lineare Prozesse. Der Vektor 9^'^ einer (Basis-)Aktivitat steht dabei mit seinen Elementen rj^ *' ^ und x^ '^ fiir alle im jeweiligen ProzeB eingesetzten Produktionsfaktoren i.w.S. - namlich traditionelle Faktoreinsatzmengen (Produktionsfaktoren i.e.S.), als neutral angesehene Beifaktoren und eingesetzte Abfalle - sowie alle ausgebrachten Kuppelprodukte (Produkte, neutral eingestufte Beiprodukte und erzeugte Abfalle) mit den zugehorigen Kuppelproduktionskoeffizienten.251 Unter Einbezug der Umwelt erweist sich die Wahl von Objekten als AusgangsgroBe der Untersuchungen freilich nicht immer als ausreichend.252 SchlieBlich unterscheidet sich vor allem bei der Riickfiihrung von Objekten in den Wirtschaftskreislauf deren Qualitat oft erheblich: Telle konnen verschmutzt, beschadigt oder korrodiert, Verbindungen gerissen oder unlosbar geworden sein, und moglicherweise begonnene chemische Reaktionen lassen das Objekt ganz oder in Teilen giftig oder zumindest schwerer entsorgbar werden. Innerhalb einer - im Hinblick auf die jeweilige Entscheidungssituation zweckbedingt verschiedene Objekte nach ihrer Ahnlichkeit zusammenfassenden - Objektart^^s liegen also mehrere in sich homogene Objektsorten^s^ vor, desogar explizit aus den „Koeffizientenvektoren ... aller reinen Prozesse". (Auf die Technologiematrix und reine Prozesse wird sogleich eingegangen werden.) Die Vorgehensweise dieser Arbeit soli DYCKHOFF folgen. 25^ Zu den Abgrenzungen der einzelwirtschaftlich als erwiinscht, neutral oder unerwunscht angesehenen In- und Outputs der Produktion vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 33-46 und 219-221. Der Begriff „Ruckstand" soil dabei die einzelwirtschaftlich als erwiinscht (Produkte) oder als neutral (Beiprodukte) eingestufte Ausbringung der Produktion umfassen. 252 Vgl. hierzu ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 232-245. 253 Vgl. zum Begriff „Objektart" auch DYCKHOFF: Produktion, S. 47.

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

95

ren Eigenschaftsunterschiede^ss sich durch Differenzen in der Objektzusammensetzung erklaren, d.h. iiber die enthaltenen Komponenten.256 Rein formal laBt sich ein Objekt damit als durch seine Zusammensetzung determiniertes Kuppelproduktbiindel und folglich als Vektor seiner Komponenten auffassen.257 g^j insgesamt Q verschiedenen Komponenten je ProzeB ergibt sich auf diese Weise mit den Mengen r^ ^ der (O-ten Komponente des Inputs r^ und x^ ^^ der co-ten Komponente des Outputs Xy die folgende Vektordarstellung der eingesetzten und ausgebrachten Objekte in Komponentenschreibweise (Index komp): ^komp ^

komp komp

ri,Q, ••., rrn,i, ..., r^^jQ; Xj i, ..., X}^^, ..., x^j, ..., x^^j

Die so gewahlte Komponentendarstellung der einzelnen Objekte hat den Vorteil, daB sich trotz analoger Erweiterung nicht nur der Aktivitaten (g, sondem ebenso der Prozesse 11 und damit der Technologic T und der Technologiematrix M auBer der Dimensionsvervielfachung der Spalten um den Faktor Q. nichts andert. Auf die Verwendung der Indizes komp und entsprechend obj fiir die Objektschreibweise soil deshalb i.S.d. Allgemeinheit soweit wie moglich verzichtet werden; die insofern indexlose Variante kann also fiir beide Darstellungsformen stehen. Nur wenn explizit auf eine bloB fiir Komponenten oder lediglich fiir ganze Objekte giiltige Schreibweise abgestellt wird, sollen zwecks Vermeidung von MiBverstandnissen die Indizes gefiihrt werden. Da im iibrigen die Gleichung (^ =M ' i die Technologienebenbedingung darstellt und demzufolge die Kuppelproduktionsverhaltnisse angibt, enthalt sie in Komponentenform (bei der sich jede einzelne Basisaktivitat ebenfalls auf Komponenten bezieht) zugleich die durch die Objektzusammensetzung vorgegebenen Verhaltnisse der einzelnen Komponenten zueinander, 1st man schlieBlich an der Beziehung zwischen den Objekten und ihren Komponenten interessiert, so gibt im Sinne einer Stiickliste der sich im Gozintographen wiederfmdende Zusammensetzungskoeffizient zk den Anteil einer Komponente r^ QJ am Einsatzobjekt r^, x^ ^ am Ausbringungsobjekt Xy oder (in allgemeiner Schreibweise) (p^ (^ am Objekt % ani^^s zkr|i,co = r^yr,^,

zkxv,(o = Xy,(o/Xv

und '^\z,iii = ^z,J^z

V , w - ^kr|x,a) • ^11'

^v,CL) ~ ^kxv,co ' ^v

^nd

oder:

(pg ^^ = ^k^pg Q^ • %

^^"^ SOUREN: Reduktion, S. 87 faBt all jene Objekte zu einer Objektsorte zusammen, die in alien ihren Qualitatseigenschaften, sofern diese fiir die vorzunehmenden Untersuchungen von Bedeutung sind, gleiche Auspragungen aufweisen. Die Komponentenstruktur aller Objekte einer Objektsorte wird hinsichtlich der prozentualen Verteilung als gleich angesehen. 255 Nach DYCKHOFF: Produktionswirtschaft, S. 98 laBt sich ein „Objekt funktioneli als ein Biindel von Eigenschaften" auffassen. 256 Vgl. zur Grundidee der Komponentenbetrachtung SoUREN: Reduktion, S. 82-132 (bezogen freilich ausschlieBlich auf massenbilanzahnliche Verhaltnisse); zur allgemeinen Umsetzung und fiir Spezialfalle vgl. ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 232-245 i.V.m. 546 f. und 423 f. Vgl. femer SouREN: Konsumgiiterverpackungen, S. 204-207. 25'^ Im Einzelfall kann ein Objekt auch aus nur genau einer Komponente bestehen. 258 Vgl. hierzu und zum Folgenden SouREN: Reduktion, S. 94, KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 234 f.

96

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

Der Zusammensetzungskoeffizient ist dimensionslos, wenn Komponente und Objekt dimensionsgleich sind (etwa als Masse in kg); andernfalls hat er die Dimension „Komponentenmengeneinheiten/Objektmengeneinheit" (z.B. „Raderpro Auto"). Weisen zwei Objekte der gleichen Objektart unterschiedliche Werte der Zusammensetzungskoeffizienten auf, so gehoren sie verschiedenen Objektsorten, bei groBen Unterschieden sogar differierenden Objektarten an. Mit dem zusatzlichen Index obj zur Verdeutlichung, daB es sich explizit um die Objektdarstellung handelt, und der Matrix ZK der Zusammensetzungskoeffizienten laBt sich dann die Beziehung zwischen den Komponenten- und den Objektmengen einer Aktivitat (^ wie folgt schreiben: ^komp ^ 2K • (g^^J Wiinscht man ferner weniger eine Abbildung von Aktivitaten und ProzeBniveaus, sondern ist eher die - auf ein bestimmtes (das h-te) Erzeugnis259 xjp^^ bezogene - Produktionsgeschwindigkeit (Intensitat, Leistungsgrad) d^ = x|p|^/tb'^ oder die Betriebs-ZProduktionszeit tb^^ eines Prozesses von Interesse, so resultiert fiir die Ausbringung dieses h-ten Produktesi^^o

xP, = x^^xP=dP.tbP Fur die ubrigen eingesetzten und ausgebrachten Objekte (p^^ des P-ten reinen Produktionsprozesses gibt dann ein als Kuppelproduktionskoeffizient

interpretierbarer Proportionalitatsfaktor

x^j^ Einsatz und Ausbringung an, wenn vom Produkt x^j^ genau BB

eine Einheit erzeugt wird. Fiir die „alten" Kuppelproduktionskoeffizienten cp^'^ und den gesamten Input-ZOutputvektor (^ des reinen Produktionsprozesses (3 erhalt man mithin:^^! cpP = Q Fiir die spatere finanzwirtschafthche Bewertung ist dies gewissermaBen der Grundbaustein namlich das Produktionsprogrammplanungsproblem fiir einen Zustand s in einem Zeitpunkt t.273 Es definiert damit einen groBen Teil der im Rahmen der Bewertung zu betrachtenden prozeBniveauabhangigen Zahlungsstrome und der nichtmonetaren Nebenbedingungen.^^^ In den meisten Fallen wird es in der Realitat freilich nicht ganz so einfach ausfallen. So verbleibt im Hinblick auf die Zielfunktion kurz auf diejenigen GroBen einzugehen, die sich nicht linear mit dem ProzeBniveau oder der Betriebszeit andem, da sie entweder sprungfixer Natur sind (d.h. mit Uber- oder Unterschreiten kritischer Grenzen anfallen) oder selbst Funktionen der eingesetzten oder ausgebrachten Objekte, des ProzeBniveaus oder der Betriebszeit darstellen. Sofem eine Diskretisierung moglich ist (die Gesamtdeckungsbeitragsfunktion muB dann hinsichtlich

271 Vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 424 sowie SouREN: Reduktion, S. 113. Beispielsweise konnen etwa Mengensteigerungen einer eigentlich positiv bewerteten Objektkomponente iiber das erwunschte MaB hinaus dazu fiihren, daB der Objektpreis keineswegs mehr im gleichen MaBe steigt, sondern ggf. sogar wieder fallt. 2^2 Es laBt sich zeigen (vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 310-416, 474-482), daB sich praktisch alle im betrieblichen Umweltschutz relevanten sich auf (mehrere) Einsatz- und/oder Ausbringungsmengen (gleichzeitig) beziehende Beschrankungen auf die angegebene lineare Form zurtickfiihren lassen. Dies gilt selbst fiir relativ formulierte wie die Massenverhaltnis-, -konzentrations-, -strom-, Emissionsgrad- und Geruchszahlrestriktionen der jetzigen Abschnitte 2.5 bis 2.7 der TA Luft (auf die neu hinzugetretenen Grenzen fiir Faserstaubkonzentrationen, Emissionsfaktoren und Emissionsminderungsgrade lassen sich die Beweise formal iJbertragen). Vgl. Erste Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum Bundes-Immissionsschutzgesetz (Technische Anleitung zur Reinhaltung der Luft - TA Luft) vom 24. Juli 2002 (GMBl. S. 511). ^^•^ Dafiir hat dann noch die passende Indizierung stattzufinden. 2"^^^ Die dort verfolgte Zielsetzung der Entnahmemaximierung beriicksichtigt die individuelle Wertschatzung der Verteilung der Ausschiittungen ijber die Zustande, so daB die Gesamtdeckungsbeitrage in die Liquiditatsnebenbedingungen einflieBen. Dies raumt den Zahlungsiiberschiissen jedoch keinen wesentlich anderen Stellenwert ein, werden doch letztlich sie als ResidualgroBe der Liquiditatsnebenbedingungen entnommen.

100

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

der unabhangigen Variablen additiv zerlegbar sein)275, heiBt das, Gesamtdeckungsbeitragsspriinge zu integrieren.276 Dazu wird man die Objektmengen entsprechend den jeweiligen kritischen Grenzen diskretisieren, d.h. die Gesamtmenge (p^ der 8-ten Objektsorte in Teilmengen (p^j^ aufteilen, denen jeweils ein fester Preis p^j^ zugeordnet ist. Aus den urspriinglichen Mengenbeschrankungen mit den Indizes o fur die Ober- und u fiir die Untergrenze wird damit: 0^ = I ( p e h = M c p e I ? ^ h h

^ ^?

h

AuBerdem sind fiir alle entstandenen Teilmengen (p^i^ die eigenen Intervallgrenzen gem. der vorgenommenen Diskretisierung zu notieren, wobei ggf. mit Hilfe gesonderter Reihenfolgebedingungen (und Binarvariablen CO^p^j^) dafiir Sorge zu tragen ist, daB diese Objektteilmengenintervalle entsprechend den vorgefundenen Gegebenheiten in der richtigen Reihenfolge belegt werden. Im nachfolgend aufgestellten Ansatz wird diese Aufgabe von der dritten (Teilmengen) und der vierten Gruppe (Reihenfolge) von Nebenbedingungen iibemommen: Die jeweihge Teilmengenbedingung sorgt dafiir, daB das h-te Intervall nicht eher als fiir ^^^zh - 1 genutzt wird. Solange jedoch cpgj^ die Obergrenze (p^^j^ nicht voll ausschopft, muB die Binarvariable G5(p£(^+i) = 0 sein, weil die zugehorige Reihenfolgebedingung nicht erfiillt ist. Uber die nachste Objektteilmengenrestriktion folgt dann gleichzeitig, daB auch 9e(h+i) = 0 sein muB. Bei Fortsetzen dieses Zusammenspiels der beiden unterschiedlichen Bedingungsarten resultieren nacheinander die jeweils folgende Binarvariable und dann die zugehorige Objektteilmenge mit ebenfalls 0. Also erfolgt tatsachlich nur die richtige Zuordnung zum ersten Intervall, wahrend alle anderen leer bleiben. Erst mit (p^^ - 9°eh ^^^ weiter wachsendem % (d.h. 9°eh - 9e - 9*^eh + 9°e(h+l)) ^i^ ^ n\c\\i die (h+l)-te obere Objektteilmengengrenze erfiillt, und das Zusammenspiel beginnt fiir h+1 und h+2 von vome. Fiir die nachstehenden Ausfiihrungen hieBe das zunachst, d2& jeder der aufsummierten Terme nur von einer Variablen cpg abhangig sein darf Ausgeschlossen waren damit beispielsweise Produktterme mehrerer cp^ gleichzeitig. Weil aber Kuppelproduktion unterstellt wurde und die cp^ ihrerseits von den ProzeBniveaus X^ abhangen, ist diese Forderung hinsichtlich der verschiedenen Objekte (p^^^ eines Prozesses p hinfallig, denn hier ist der Gesamtdeckungsbeitrag nur noch eine Funktion von A,^ Da sich femer die Gesamtdeckungsbeitrage annahmegemaB bloB additiv aus den mit Preisen bewerteten Mengen zusammensetzen, ist sie jedoch auch unabhangig von der Kuppelproduktionseigenschaft erfiillt. Genauso reicht fiir die im folgenden betrachteten Gesamtdeckungsbeitragsspriinge das Uberschreiten der kritischen Menge eines Objektes. Vgl. zur Diskretisierung bei zerlegbaren Funktionen etwa HiLLlER/LlEBERMANN: Operations Research, S. 444-451. Ihre Einfiihrung an dieser Stelle soil weniger dazu dienen, entstandene Formeln zu komplizieren, als vielmehr helfen, spatere Ausfiihrungen abzukiirzen: Immerhin kann es bei den zu untersuchenden Anpassungen an gegebene Umweltschutzrahmenbedingungen ebenfalls zu Gesamtdeckungsbeitragsspriingen kommen mit entsprechenden Auswirkungen auf die zu bewertenden Zahlungsstrome einer Umweltschutzinvestition. Zu (Gesamt-)Deckungsbeitragsspriingen, der Entwicklung des im folgenden vorgestellten Ansatzes, der Abbildung einfacherer Spezialfalle, der Anwendung auf den mengenabhangigen Wechsel der Vorteilhaftigkeit von Objekten sowie zu Beispielen vgl. ausfiihrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 427-442. Vgl. femer ADAM: Programmplanung und exemplarisch ADAM: Planung, S. 573-576 sowie in einer geringfiigig anderen Variante JACOB: Planung, S. 426-431. Zu Stillegungskosten und Uberstunden vgl. auBerdem ALBACH: Produktionsplanung, S. 67-72, JACOB: Produktionsplanung, S. 227-230 und MULLER-MERBACH: Operations Research, S. 162 f. Zur Naherung einer Preis-Absatz-Funktion vgl. JACOB: Planung, S. 571-573.

4 Die Bestimmung der finanzwirtschafilich zu bewertenden Zahlungen ...

101

In die Gesamtdeckungsbeitragsfunktion schlieBlich haben neben den mit nunmehr diskreten Preisen bewerteten Objektteilmengen noch mit binaren Variablen tO^pg^ versehene eventuelle sprunghafte Anderungen des Gesamtdeckungsbeitrags AGDE'^p^}^ nach unten und AGDE'^^pg^ nach oben einzugehen, zu denen es bei Erreichen kritischer Mengen kommen kann. Mit GDB|^est(9) fiir die Summe aller nriit ihren Preisen bewerteten Objekte mit Ausnahme des 8-ten und mit insgesamt H verschiedenen Objektteilmengenintervallen ergibt sich dann:^^^ H

max .

H

_

GDB = p' • cp + X AGDB J^h ^^^eh + I AGDB;^^^ • ^cpeh h-1

h=l

^

^ /

= GDBRest + I Peh • 9eh + I h=l

_ \ ^G^Kzh

+ ^CDB^^^ • ^cpeh

h=l H

H

= GDBRest + M^pe X Peh • >^h + 2 (AGDB;^,h + AGDB-,h) • ^^eh h=l

h=l

H

u.d.N.: (p = M X = M. X X^ h=l H

0o;p-i,...,q-i 1(3=1

Wird hingegen ein Verfahren gejindert, so heiBt dies letztlich nichts anderes, als einen bisherigen ProzeB durch einen neuen zu ersetzen.282 in der nachstehenden Darstellung der neuen linearen Technologic t^^^ des Produzenten und der geanderten Technologiematrix M"^" ist diesem Umstand dadurch Rechnung getragen, daB ohne Beschrankung der Allgemeinheit der q-te R T

ProzeB wegfallt und dafiir ein neuer mit der Basisaktivitat (p ' hinzutritt: y^eu^|^^\(3.^B,(3^^^I^B,I I ^P > Q; p = l, ..., q _ 1, I p=l ' ^^2 Hierbei ist vorausgesetzt, daB die Prozesse in ihrer formalen Darstellung schon linear sind. Andernfalls ist erst entsprechend den Ausfiihrungen im vorangegangenen Unterkapitel zu diskretisieren, bevor nicht mehr giiltige Prozesse entfernt und geanderte hinzugefugt werden. Die gesamte Anzahl moglicher reiner Prozesse kann dann im Vergleich der neuen Situation zur alten konstant bleiben, steigen oder sinken (vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 397 f.). Normalerweise liegt weder vor noch nach der Anderung eine (mathematische) Basis des IR"^"^" vor, denn graphisch ergibt sich immer nur ein (m+n)-dimensionaler Kegel, der im j^m+n ^g(]gj. (jjg Koordinatenachsen noch negative Koordinaten enthalt und somit nicht von einem System orthogonaler Basisaktivitaten gebildet werden kann. (Zur Begriindung: Soil beispielsweise auch nur ein einziges Produkt erzeugt werden, so ist dazu wenigstens ein Input erforderUch. Umgekehrt fUhrt ein beliebiger Einsatz in der Produktion immer auch zur Outputentstehung. Es kann also keine Basisaktivitaten geben, die nur Produktionsfaktoren i.w.S. oder bloB Ausbringungsmengen enthalten. Da femer negative Mengen nicht zugelassen sind, lassen sie sich auch nicht durch Linearkombination anderer Aktivitaten erzeugen. - Damit ist fur n > 1 [was m > 1 impliziert] nie der ganze IR}?"^" durch tatsachlich mogliche Aktivitaten darstellbar. Vgl. zu diesen Ausfiihrungen ebd., S. 231.) Gewohnlich wird sich aber wenigstens ein Basisvektor andern.

104

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

M"^" = ((2'*'',(e^'^...,(e^-i-',(e'^-') Im Hinblick auf die mit der Produktion verbundenen Zahlungen fiihren die beiden bisher besprochenen Investitionstypen und die Devestitionen im wesentlichen zu drei Konsequenzen:283 - Verfahrenseinfiihrungen und -anderungen (und zwar insbesondere auch sauberer Verfahren) zeichnen sich dadurch aus, daB der Input-ZOutputvektor der Basisaktivitat cp *' ^ dieses Verfahrens ein anderer ist (beispielsweise ist der Anteil der Abfalle verringert). Dies hat iiber die Bewertung der Objekte unmittelbar EinfluB auf den Gesamtdeckungsbeitrag GDB((^), unterscheidet sich formal allerdings nicht von der Bewertung der iibrigen reinen Prozesse. - Mit der Zu- oder Wegschaltung eines (sauberen) Verfahrens und ggf. desgleichen mit der Wahi besonderer Verfahrensbedingungen konnen andere sprungfixe Kosten ais „ublich" verbunden sein. Auch dies wird nach den Ausfiihrungen in Unterkapitel 4.1 in der zu maximierenden Zielfunktion bereits beriicksichtigt, namlich iiber Gesamtdeckungsbeitragsspriinge. Der einzige Unterschied zu den tibrigen reinen Prozessen liegt also - wenn uberhaupt - in der Hohe der betrachteten Gesamtdeckungsbeitragsspriinge. - SchlieBlich fiihrt die Verwendung anderer Verfahren zu anderen (entscheidungsrelevanten) fixen Kosten. Sie sind natiirlich von sehr groBer Bedeutung fiir die Beurteilung dieser Verfahren im Vergleich zu „konventionellen" und deshalb insbesondere investitionstheoretisch, d.h. bei der Entscheidung iiber ihre Einfiihrung oder iiber einen ggf. erforderlichen Ersatz zu berucksichtigen. Im Rahmen der spateren Bewertungsprogramme werden sie sich aber leicht den prozeBniveauunabhangigen Zahlungen einer Investition subsumieren lassen. Als Ergebnis bleibt also fiir die weiteren Erorterungen festzuhalten, daB saubere Verfahrenstechnologien und -bedingungen ebensowenig wie aus Umweltschutzgriinden getatigte Devestitionen und Verfahrensanderungen zu groBen formalen Schwierigkeiten fiihren. Wie bei alien anderen Investitionen im Produktionsbereich ist die Technologic (und damit die Technologienebenbedingung (^ = M ' i ) an die neuen Gegebenheiten anzupassen, und man hat ggf. Gesamtdeckungsbeitragsspriinge zu beachten. Weitere formale Besonderheiten weisen sie nicht auf.

4.2.2 Aus der betrieblichen Produktion resultierende Zahlungskonsequenzen von Investitionen in additive Umweltschutzmafinahmen Im Gegensatz zu den vorher besprochenen Investitionen lassen additive UmweltschutzmaBnahmen den eigentlichen ProduktionsprozeB unangetastet. Statt dessen schalten sie ihm lediglich weitere Prozesse nach oder vor, um so entweder durch das Abfangen bereits entstandener Outputs Schadstoffe doch noch zuriickzuhalten (EOP-Technologien) oder durch Herausfiltern bestimmter Einsatzfaktoren i.w.S. eine unkontrollierte Schadstoffentstehung und/oder -abgabe an die Umwelt schon im Vorfeld der Produktion zu verhindem (BOP-Technologien).284 Wird eine End-of-(the-)Pipe-MaBnahme (EOP-MaBnahme) gewissermaBen als Filter zur Reinigung hinter den eigentlichen ProduktionsprozeB geschaltet, so hat das zur Folge, daB der zu

283 Vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 444 f. 28"^ Vgl. zu den nachfolgenden produktionstheoretischen Darstellungen ausfuhrlich auch KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 398-408.

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

Prn7 P O P

reinigende Teil x

'

105

Prny

der gesamten Ausbringung x

ses als Teil r'^OP'P'*^^ des gesamten Inputvektors r

des eigentlichen Produktionsprozesdieser EOP-MaBnahme unter Zugabe

weiterer direkt von auBen bezogener Einsatzfaktoren i.w.S. r^^^'"'^ zu deren Output x formiert wird (vgl. Abbildung 4.1). Davon wiederum wird ein Teil x

trans-

*^'"^^ zusammen mit der

nicht dem Filter zugefuhrten Ausbringung x^^^^'^''' des eigentlichen Produktionsprozesses direkt nach auBen abgegeben, wahrend der verbleibende Rest x^^^'^^*^ sich im Filter anreichert und spater gesondert zu beseitigen oder weiter zu nutzen ist.

Abbildung 4.1: Objektstrome beim Einsatz von EOP-MaBnahmen Diese in der Abbildung 4.1 dargestellten Zusammenhange lassen sich fiir bereits linear genaherte Prozesse der EOP-Technologie in die folgenden acht Beziehungen transformieren, wenn ein linearer ProduktionsprozeB durch genau einen linearen EOP-ProzeB gereinigt wird:2^5 (4.1)

r^^^ = r^^^^ + r^OP'dir

(aggregierter Input von eigentlichem ProduktionsprozeB und EOP-ProzeB)

(4.2)

x^§^ = ^Proz,dir ^ ^EOP

(aggregierter Output von eigentlichem ProduktionsprozeB und EOP-ProzeB)

2^5 Zur Naherung nichtlinearer EOP-Prozesse durch Diskretisierung vgl. analog Unterkapitel 4.1. Bei Reihenschaltung mehrerer linearer EOP-Prozesse ist die im folgenden geschilderte Vorgehensweise mehrfach hinter-

106

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen .

(4.3)

rEOP = rEOP.^oz + jEOWir

(Input des EOP-Prozesses)

(4.4)

x^^P = x^^P'P'^^ + x^^P'^^'

(Output des EOP-Prozesses)

(4.5)

rProz

(Einsatzfaktoren i.w.S. des eigentlichen Produktionsprozesses)

(4.6)

x^'"^ = x^'^^'^^P + x^''^^'^*''

(Ausbringung des eigentlichen Produktionsprozesses)

(4.7)

x^ir^^Proz,dir+^EOP,dir

(bei Produktion und Reinigung direkt nach auBen abgegebene schadstoffreduzierte Ausbringung)

(4.8)

PE • XProz,EOP .

j-EOP. Proz

(Mengenkontinuitatsbeziehung [mit der Permutationsmatrix PE])^^^

Durch Einfiihrung einer EOP-Mafinahme andert sich der Input-ZOutputvektor einer davon direkt betroffenen - bisher als isoliert betrachteten - Aktivitat nach den Gleichungen (4.1), (4.2), (4.4), (4.6) und (4.7) von (^^'"^ = ([r^'^^]'; [x^'°^]0' zu der neuen, in der Abbildung 4.1 hellgrau unterlegten aggregierten Aktivitat (^^^\ r^gg

(4.9)

(p^g§ =

j.Proz_^j.EOP,dir ^ ^Proz,dir _L^EOP

Proz _^ j.EOP,dir ^Proz

^Proz,EOP , ^EOP,dir , ^EOP,Filt

X

X

-Proz

T X

0

~r A

+ (pEOP,dir ^

Proz,EOP

,dir

Q

^

ROP,Filt

0 FOP,Filt

einander anzuwenden, wobei jeweils die zuletzt bestimmte Einheit aus ProduktionsprozeB und nachgeschalteter UmweltschutzmaBnahme formal als zu reinigender ProduktionsprozeB der nachsten Stufe anzusehen ist. 286 Da dieselben Objekte (dieselben Komponenten derselben Objekte) in den Vektoren x^''^^'^^^ und r^OP.Proz normalerweise an unterschiedlichen Stellen stehen werden, ist zwecks Gewahrleistung der Mengenkontinuitat durch Gleichsetzen die Umordnung eines dieser Vektoren erforderlich. Dies zu bewerkstelligen, ist Aufgabe einer Umordnungsmatrix - d.h. hier der Permutationsmatrix PE fur x^^oz.EOP (aiternativ ware eine Permutationsmatrix EP fur rEOP-P^oz jenkbar). Vgl. dazu KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 400 f.

107

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

mit

(p^^' =

^

(

j.Proz _^ j.EOP,dir

^dir I

I

Proz,dir _i_ vEOP,dir

^Proz

^ ^EOP,dir ^

^Proz _ ^Proz,EOP

^EOP,dir

-cp

Proz

{

-

^Proz,EOP

EOP,dir

+9

als Vektor der bei Produktion und Reinigung von auBen bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. und direkt nach auBen abgegebenen schadstoffreduzierten Ausbringung sowie mit (^ ^^'0; (3 = 1, ..., q

= {(^ = (r'; X')'€ iRf-'" I (^ = M^^^ • L2^ > 0}

'j.B,l

j.B,2

j.B,q-l

^B,l

^B,2

^B,q-1

/

B,Proz,q_^j.B,EOP,dir,q

/^B,Proz,q _ ^B,Proz,EOP,q ^ ^B,EOP,q \ I

Zugleich impliziert diese Form der Darstellung, daB der Filter auf dem gleichen Niveau X^ wie der eigentliche ProduktionsprozeB „gefahren" wird und daB sich damit alle Einsatzund Ausbringungsmengen r^^^ und x^^^ und folglich auch die nach (4.3) und (4.4) angegebenenTeilmengenrEOP^Proz^ jEOP,dir^ ^EOP,Fih ^^^ ^EOP,dir ^^^^^^ ^-^ _^Proz^ ^Proz,EOP ^^^

108

4 Die Bestimmiing der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

X ^°^' ^^ nach (4.5) und (4.6) verhaltnisgleich andern. Fiir die Allgemeinheit der Ausfiihrungen dieser Arbeit resultiert daraus jedoch keine Einschrankung: Unterscheiden sich die ProzeBniveaus von EOP-MaBnahme und eigentlichem ProzeB, was trotz der im Falle eines Filters notgedrungen geltenden Mengenkontinuitatsbeziehung (4.8) durchaus moglich ist, wenn sich die von (4.8) nicht erfaBten Mengen r^OP'^ir sowie x^^^'^^^^ und/oder x^^^'^^' in anderen Relationen als r ' '^^^ verhalten, so ist es sinnvoller, diesen Filter als eigenstdndigen ProduktionsprozeJ] aufzufassen. Er geht dann - von der zu beachtenden und deshalb als Nebenbedingung aufzunehmenden Mengenkontinuitat (4.8) abgesehen - unabhangig vom bisherigen, sich nunmehr zum Basisprogramm nicht andernden eigentlichen q-ten ProzeB in das Produktionsprogrammplanungsproblem und damit auch in das Bewertungsprogramm ein und ist insofem im Rahmen der in dieser Arbeit verfolgten Einteilung/orma/ als (q+l)-ter ProzeB wie eine Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz zu modellieren (wenngleich das inhaldich naturlich nach wie vor nicht zutrifft).287 Spiegelbildlich zur EOP-MaBnahme kann eine Begin-of-(the-)Pipe-MaBnahme (BOP-MaBnahme) verstanden werden. Sie unterbindet die Schadstoffentstehung und/oder -abgabe an die Umwelt schon im Vorfeld des eigentlichen Produktionsprozesses, indem sie dessen Inputs reinigt (vgl. Abbildung 4.2):

Abbildung 4.2: Objektstrome beim Einsatz von BOP-MaBnahmen Aus dem zu reinigenden Teil r^^^'"'' der ursprunglichen Inputs r^'^^'"' = r^^^'"' + r^''^^''^''' des eigentlichen Produktionsprozesses soil die BOP-MaBnahme bestimmte Einsatzfaktoren i.w.S. ganz Oder teilweise herausfiltem.288 Dazu benotigt sie ggf. weitere direkt von auBen bezogene

2^"^ Vgl. zum besseren Nachvollzug die Modellierungen in den spateren Unterabschnitten 5.2.1.1 und 5.2.1.2. 288 Zur Naherung nichtlinearer BOP-Prozesse etwa durch Diskretisierung vgl. analog Unterkapitel 4.1.

4 Die Bestimmung derfinanzwirtschaftlich zu hewertenden Zahlungen ...

ROP dir

Inputs r (x

109

ROP

' " - es entsteht die Ausbringung x

. Diese Ausbringung ihrerseits stellt zum Teil

' ^^^) den gereinigten Input f"^^^^^^^ des eigentlichen Produktionsprozesses dar, wird

zum Teil aber auch direkt nach auBen abgegeben (x

' ) oder sammelt sich wieder im Filter

zur spateren Beseitigung oder weiteren Nutzung an (x^^^'^^'^ Im Ge genzug entsteht unter Zugabe direkt von auBen bezogener Produktionsfaktoren i.w.S. r ^°^'

statt der urspriinglichen,

ungereinigten Ausbringungsmenge x^''^^'"^ die gereinigte x^^^^'S^^, wahrend ein schadlicher Anteil mit der Menge x^^^^'^^ entfallt.289 Unter der Voraussetzung, daB der urspriingliche ungereinigte ProzeBinput r^''^^'"'' = r^OP'Ur + ^Proz,dir i^Qj^g^^j^^ bigjt)^^ impliziert dies freilich zugleich eine Modifikation des eigentlichen linearen Produktionsprozesses (und damit die Wahl anderer Aktivitaten), da sich die verhaltnismaBige Zusammensetzung der ObjektsortenZ-komponenten zueinander in dessen Input-ZOutputvektor mit Einfiihrung der BOP-MaBnahme andert.^^o Insgesamt ergeben sich damit i.V.m. Abbildung 4.2 die folgenden Beziehungen (der aggregierte ProzeB (^^^ ist dort hellgrau unterlegt): (4.1*)

r^gg ^ r^OP,ur_^ j.BOP,dir ^. jProz,dir

(aggregierter Input von eigentlichem ProduktionsprozeB und BOP-ProzeB)

(4.2*)

x'SS = x^'^''^"' + x^^P'^'' + x^OP,Filt

(aggregierter Output von eigentlichem ProduktionsprozeB und BOP-ProzeB)

(4.3*)

r^^^ = r^OP,ur ^ jJ30P,dir

(jj^p^t ^^^ BOP-Prozesses)

(4.4*)

x^O^ = x^OP,Proz ^ ^BOP,dir ^ ^BOP,Filt

^^^^^^^ ^^^ BOP-Prozesses)

(4.5*)

r^'"^^'"' = j-BOP,ur ^ ^Proz,dir

(ursprunglicher Input des eigendichen Produktionsprozesses)

(4.5a*) r^^'o^'g^^ = j.Proz,BOP ^ ^Proz,dir

(gereinigter Input des eigentlichen Produktionsprozesses)

289 Es ist vorstellbar, daB x^''^^'^^'' dafur Substanzen enthalt, die in x'^''^^'"'' in geringerer Menge oder gar nicht vorhanden waren. 2^^ Der formale Einwand, man konne auch gleich die geanderte (in der Technologie ggf. sciion vorhandene) Basisaktivitat verwenden und erspare sich so die BOP-MaBnahme, greift insofern zu kurz, als er das Vorhandensein des gereinigten Inputs r^roz.ger _ jProz.BOP ^ jj'roz.dir voraussetzt. In der Realitat wird man sich hingegen haufig (insbes. beim Einsatz von aus der Umwelt bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. oder von Rezyklaten) mit einem Input anderer Zusammensetzung (r^''^^'"'' = j^OP.ur _j_ jProz.dir^j begnUgen mussen, den man trotzdem verarbeiten mochte.

no

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

(4 6*)

x^'^^^'"^ = ^Proz,Sch _j_ ^Proz,ger

(urspriinglicher Output des eigentlichen Produktionsprozesses)

(4.7*)

x^ir^^Proz,ger^^BOP,dir

(bei Produktion und Reinigung direkt nach auBen abgegebene schadstoffreduzierte Ausbringung)

(4 8*)

BP • x^^^''^^^^ - rP''oz30P

(Mengenkontinuitatsbeziehung [mit der Permutationsmatrix BP])^^'

Insgesamt andert sich durch Einfiihrung einer BOP-MaBnahme nach den Gleichungen (4.1*), (4.2*), (4.5*), (4.6*) und (4.7*) der Input-ZOutputvektor einer davon direkt betroffenen - bisher als isoliert betrachteten - Aktivitat von i^"^^^ - ([r^^^^]'; [x^*^^^]')' zu der neuen aggregierten Aktivitat(^^S§:

BOP,ur _^ BOP,dir _^ j.Proz,dir ^

^j-^g-^

(4.9*)

(p^SS:

^Proz,ger _^ ^BOP,dir ^ ^BOP,Filt

,agg

j.Proz,ur _|_j.BOP,dir ^Proz,ur _ ^Proz,S , ^BOP,dir , ^BOP,Filt X

=9

X

Proz,ur

1 X

r A

^BOP,dir

0 ^Proz,S

BOP,dir

0 ^BOP,Filt

0

,dir

ROP,Filt

mit

9

^j-agg^

( ^Proz,ur ^ ,.BOP,dir ^

vx"'^;

^Proz,ger _^ ^BOP,dir

dir .

(j.BOP,dir

Proz,ur

r'"^"'"' +r

Proz,ur _

Proz,ur

=9

(

Proz,Sch

Q Proz,Sch

^BOP,dir

BOP,dir

+9

Ahnlich wie bei der EOP-MaBnahme sinken also die vom eigentlichen ProduktionsprozeB ausgebrachten Objektmengen von ursprlinglich x^''^^'"^ urn die nicht entstandenen (schadlichen)

291 Fn. 286 auf S. 106 gilt fur die Permutationsmatrix BP (oder alternativ PB) analog.

4 Die Bestimmung der finanzmrtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

Ill

Mengen x^^^^'^^^ auf die gereinigten x^^^^'S^'' des angepaBten eigentlichen ProduktionsprozesROP dir

ses - allerdings wieder um den Preis zusatzlichen Faktoreinsatzes i.w.S. r"^"'"^^ zum Betrieb des Filters und der Entstehung weiterer Outputmengen x^^ '"^^ + x^^^'^^*^ im Filter.292 Werde ohne Beschrankung der Allgemeinheit der q-te reine ProzeB durch eine BOP-MaBnahme erganzt, so resultiert fiir die neue Technologie T

und die neue Technologiematrix M

•

(4.10*) r^^^= l \ ^ - 9 ^ ' ^ + ?^'^-?^''^^''' I XP>0;p = l, . . . , q

fB,\ ,B,1

j.B,q-l

/ B,Proz,ur,q_^j.B,BOP,dir,q'

^B,q-1 _

/ B,Proz,ur,q _ ^B,Proz,Sch,q , ^B,BOP,dir,q , ^B,BOP,Filt,q I_ _ _ _

Ferner impliziert diese Form der Darstellung zugleich (wie schon entsprechend bei den EOPMaBnahmen), daB der Filter auf dem gleichen Niveau X^ wie der gereinigte eigentliche ProduktionsprozeB „gefahren" wird und sich damit alle Einsatz- und Ausbringungsmengen r^^^ und x^^^ und folglich auch die nach (4.3*) und (4.4*) angegebenen Teilmengen r '"^ _^BOP,dir^^BOP,Proz^^BOP,dir ^^^ ^BOP,Filt ^^^^^^ ^-^ ^-^ ^^^^^^^. Objcktmengen rP^o^^OP^ j.Proz,dir ^^^ ^Proz,ger ^^^ gereinigten Prozesses verhaltnisgleich andern. Fiir die Allgemeinheit der Ausfiihrungen dieser Arbeit resultiert daraus jedoch wiederum keine Einschrankung: Unterscheiden sich die ProzeBniveaus von BOP-MaBnahme und gereinigtem eigendichen ProzeB, so ist es auch hier sinnvoUer, diesen Filter als eigenstandigen ProduktionsprozeB aufzufassen.^^^ Die weitere Vorgehensweise differiert hingegen etwas von derjenigen bei EOP-MaBnahmen: Statt des ursprunglichen eigentlichen Prozesses im Basisprogramm hat nun dessen gereinigte Fassung in das Bewertungsprogramm einzugehen. Gleichzeitig ist der Filter als neuer (q+1)ter ProzeB wieder formal wie eine Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz zu modellieren (wenngleich das inhaltlich natiirlich nach wie vor nicht zutrifft), und die Mengenkontinuitat (4.8*) hat als zusatzliche Nebenbedingung im Bewertungsprogramm zu erscheinen.

2^2 Aufgrund des Ansatzes der Reinigung vor dem eigentlichen ProduktionsprozeB werden die herausgefilterten Substanzen freilich oftmals eine andere Konsistenz aufweisen als die nicht entstandenen x^''oz,Sch pg^g^ jg^ vorstellbar, daB auch x^''°^'g^^ Substanzen enthalt, die in x^^°^'^^ in geringerer Menge oder gar nicht vorhanden waren. Bei ihnen wird es sich jedoch i.d.R. nicht um die Produktion limitierende schadliche Stoffe handeln, da ja gerade solche durch den Einbau des Filters verringert werden sollten. Nicht auszuschlieBen ist, schlieBlich, daB die Schadstoffreduktion mit Hilfe einer BOP-MaBnahme zugleich die Erzeugung der (erwunschten) Produkte beeinfluBt, was aber in der gewahlten Darstellung formal bereits beriicksichtigt ist. Vgl. dazu auch KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 407 f. 293 Vgl. zum besseren Nachvollzug die Modellierungen in den spateren Unterabschnitten 5.2.1.1 und 5.2.1.2.

112

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

Sind schlieBlich mehrere lineare BOP-Prozesse in Reihe geschaltet, so ist die geschilderte Vorgehensweise - ausgehend von der letzten Reinigungsstufe - mehrfach hintereinander anzuwenden, wobei der auf der jeweils vorhergehenden Stufe zu reinigende ProduktionsprozeB formal aus der zuletzt bestimmten Einheit von ProduktionsprozeB und vorgeschalteter UmweltschutzmaBnahme gebildet wird. Entsprechend sind die verschiedenen Prozesse unter zusatzlichem Rtickgriff auf die vorherigen Ausfiihrungen beim kombinierten Einsatz von BOP- und EOP-MaBnahmen sukzessive zusammenzufassen. Ist damit der produktionstheoretische Einbezug additiver UmweltschutzmaBnahmen erlautert, so verbleibt die Untersuchung der Zahlungskonsequenzen.^^^ Die bisherige Bewertungsgleichung GDB((^) = p' • (^ = p' • M • 2^ = GDB(i), ggf. erganzt urn Terme fur Gesamtdeckungsbeitragssprunge und fiir sich mit der Menge andemde Entsorgungskosten, reicht als zu maximierende Erfolgsfunktion namlich nicht mehr aus, weil 1. nicht alle Einsatz-und/oder Ausbringungsmengen des (eigentlichen) Produktionsprozesses fur die AuBenbeziehungen des Betriebes eine Rolle spielen und 2. die sich im Filter ansammelnden Substanzen schon allein aufgrund ihrer Konzentration oftmals eine gesonderte (zusatzliche) Behandlung und/oder spezielle Beseitigung erfordern, die selbst fiir die u.U. verbleibenden Restmengen des gleichen Stoffes in den ubrigen Objektstromen nicht (mehr) erforderlich ist. Grundlage der Bewertung additiver UmweltschutzmaBnahmen sind damit nicht mehr allein die (gereinigten) Input- und Outputmengen des eigentlichen Produktionsprozesses, sondern die aggregierten Objektmengen ^^^^ = ([r^^^]'; [x^^^]')' von eigentlichem ProduktionsprozeB und additiver UmweltschutzmaBnahme. Die gleichzeitige Bewertung dieser Mengen mit den Preisen p und der im Filter angereicherten, extra zu behandelnden und/oder gesondert zu beseitigenden Objektmengen x^^^'^'^^ (oder x^^^'^^^^) mit den Preisen Px^^'^'^^ f^hrte indes zu einer doppelten Erfassung letzterer in der Gesamtdeckungsbeitragsfunktion.295 Deshalb ist es sinnvoller, (^^SS um die Mengen x^OP,Filt ^^^^^ ^BOP,Filt^ ^^ bereinigen, wie bereits mit Einfuhrung des Vektors c^^"" der von auBen bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. r^^^ und der bei Produktion und Reinigung direkt nach auBen abgegebenen schadstoffreduzierten Ausbringung x "" geschehen. Damit laBt sich der Gesamtdeckungsbeitrag GDB endlich wie folgt schreiben: (4.11)

GDB = p'-(p^i^+(pf'Pi^^)-xEOP>Filt 0 q)"55 _

^.

BB,Filt\'.^EOP,Filt

^EOP,Filt

fiir einen nachgeschalteten UmweltschutzprozeB und

294 Vgl. zum Folgenden ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 445-448. 295 g^BB.Filt j^fjj gj^j^ jj^ si^^g ^Qj^ Behandlungs- und/oder Beseitigungskosten verstehen. Zwar wird es sich demnach meist urn negative Preise handeln, doch konnen einige Elemente dieses Preisvektors durchaus positiv sein, wenn beispielsweise noch weiter nutzbare Restmengen an Produkten im Filter enthalten sind. Die Indizierung des Vektors mit „x" schlieBlich soil andeuten, daB er sich nur auf die Ausbringung x bezieht.

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

113

(4.11*) G D B = p ' . ( p ' " ^ + ( p ^ B . R I < ) ' . x B O P ' ™ '

^ (p^S

Q , BOP, Hit

^

(pBB.Fi.t)'., BOP,Filt

fiir einen vorgeschalteten. Sollten in einer Technologic BOP- and EOP-MaBnahmen gleichzeitig vorkommen, so setzt sich die Zielfunktion - den jeweils betroffenen Prozessen entsprechend - aus den beiden hier entwickelten Gesamtdeckungsbeitragsfunktionen zusammen, wobei zu beriicksichtigen ist, daB sich die (pagatorischen) Behandlungs- und/oder Beseitigungskosten Px ' * ^ fiir beide Arten von Umweltschutzverfahren unterscheiden konnen und deshalb ggf. entsprechend zu indizieren sind. Die angepaBte Technologienebenbedingung sorgt schlieBlich dafijr, daB auch den Kuppelproduktionsverhaltnissen Rechnung getragen wird; Gesamtdekkungsbeitragsspriinge (etwa infolge des Zu- oder Wegschaltens von Prozessen) und mengenabhangige Preise konnen analog zu Unterkapitel 4.1 beriicksichtigt werden.

4.2.3

Aus der betrieblichen Produktion resultierende Zahlungskonsequenzen des Aufbaus von Recyclingstrukturen Gemeinsames Prinzip von Zyklen (inkl. Recycling) ist, daB ein Teil der Ausbringung in die Produktion zuriickgefiihrt wird - und zwar unabhangig davon, ob man es mit erwiinschten oder unerwiinschten Objekten zu tun hat.^^^ Liegt ein extemes Recycling vor, dann wird noch der Markt als Quelle oder Aufnahmestation in die Kreislauffiihrung eingeschaltet sein. Dabei miissen die Riickstande nicht in das gleiche (urspriingliche) Unternehmen zuriickflieBen - sie konnen es aber. In der auf S. 114 angegebenen Abbildung 4.3 wird dem dadurch Rechnung getragen, daB - im Falle des herausfuhrenden Recyclings die Riickstande (ggf. zu einem negativen Preis) an den Absatzmarkt abgegeben werden und - im Falle des hineinfiihrenden Recyclings danach differenziert wird, ob es sich um eine Riicknahme ehemaliger Produkte des Unternehmens handelt (was meistens mit Kosten fiir das Unternehmen verbunden ist) oder ob Riickstande anderer Unternehmen iiber den Beschaffungsmarkt bezogen werden (wofiir das Unternehmen oftmals sogar Erlose erzielen kann).

Im Rahmen dieser Arbeit soil sich die explizite theoretische Abbildung freilich auf das interne Recycling beschranken. Dies hat folgende Griinde: Liegen die einfachen Formen des heraus- oder hineinfiihrenden Recyclings ohne KreislaufschluB im betrachteten Betrieb vor, so kann man im ersten Fall das betroffene Objekt als an den Markt abgegebenen Riickstand und im zweiten ganz normal als Produktionsfaktor i.w.S. ansehen. Allenfalls der Beitrag zur einzelwirtschafdichen Formalzielerfiillung wird vielleicht ein anderer als fiir „normale" Produkte und Produktionsfaktoren i.e.S. sein.

2^^ Innerbetriebliche Zyklen fiir die positiv bewerteten Produkte der Unternehmung sind schon lange Thema der Produktionstheorie (vgl. etwa KLOOCK: Input-Output-Modelle, S. 50-55 i.V.m. 89-95; KLOOCK: Produktionstheorie, S. 64-67; SCHULZ: Leistungsverflechtung). Externe Kreislaufschlusse indes werden zumeist bereits dadurch vollstandig abgebildet, daB sowohl der Absatz als auch die Beschaffung iiber den Markt erfolgt (vgl. dazu und zu weiteren Sonderfallen KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 216-220 m.w.Nachw.).

114

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen .

Abbildung 4.3: Giiterstromorientierte Darstellung der Produktion unter Beriicksichtigung der Marktbeziehungen und der Umwelt

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

115

Schwerer wird es jedoch, wenn der Betrieb dasselbe Objekt, das er an den Markt abgibt, spater auch zuriicknimmt und rezykliert und dies - etwa im Rahmen der Produktverantwortung nach dem KrW-/AbfG - von vomherein in seinen Uberlegungen zu beriicksichtigen hat. Hieraus ergeben sich namlich fiir die produktionstheoretische Betrachtung zwei Problemkreise: 1. Die vemutzten Produkte oder Riickstande werden keineswegs in einem homogenen Zustand zuriickflieBen, sondem sich in ihrer Qualitat mehr oder minder stark unterscheiden, ggf. sogar mit anderen Objektarten durchmischt sein. 2. Der Zeitpunkt des Riickflusses ist nicht bekannt. Zum gleichen Zeitpunkt produzierte und abgesetzte Produkte konnen nach unterschiedlich langen Nutzungsphasen zuriickflieBen. Ist der erste Punkt nach den friiheren und analog zu den anschlieBenden Erlauterungen noch relativ leicht im Rahmen einer Komponentenbetrachtung iiber differierende Komponentenmengen abzuhandeln, so bedingt das spatere RiickflieBen vom Markt (oder aus der Umwelt) oftmals den Aufbau einer ganzen Entsorgungsinfrastruktur und der zugehorigen Logistik. Das geht jedoch als ganzes Biindel zu betrachtender voneinander mehr oder minder abhangiger Investitionen iiber die im Rahmen dieser Arbeit betrachtete Bewertung einzelner Investitionen hinaus. SchlieBlich miiBte bei der Bildung des Bewertungsprogramms dieses nicht nur um eine einzelne Investition, sondern um ein ganzes weiteres Investitionsprogramm gegeniiber dem Basisprogramm erganzt werden. Das ware zwar theoretisch moglich,^^^ fuhrte aber zu einer gewaltigen „Aufblahung" des verwendeten methodischen Instrumentariums.^^s Aus diesem Grunde soil sich die Abbildung im folgenden auf die resultierenden produktionstheoretischen und produktionsprogrammplanerischen Konsequenzen einer Investition zur Installierung von RecyclingmaBnahmen innerhalb des Betriebes beschranken. Will man nun einen intemen Zyklus in allgemeiner Form darstellen (und damit auch das interne Recycling),299 bei dem der Anteil rec^M niit 0 < rec^^ < 1 des Outputs Xy als Input r^ in die Produktion zuriickgefiihrt wird, so lassen sich unter Beachtung der Technologienebenbedingung

mit r^^" fiir den von auBen bezogenen Teil des Inputs r^ und x^ fiir die nach auBen abgegebene Menge des Outputs x^ zunachst die folgenden Beziehungen aufstelleni^oo

2^^ Vgl. zu den produktionstheoretischen und produktionsprogrammplanerischen Vorarbeiten sowie den intertemporalen Verkniipfungen, ferner zur Verbindung mit additiven Umweltschutzmal3nahmen und zur Abbildung (etwa seitens des Staates) gestellter Anforderungen an die Riickfiihrung friiherer Outputs des Betriebes in die Produktion ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 286-305, 382-395, 456-472. Da die Berucksichtigung der intertemporalen Verkniiipfungen eine zeitpunkt-Zzustandsubergreifende Abbildung erfordert, die im Hinblick auf die Zeitpunkte bereits ebd. geschildert wurde, ist auch die Verknijpfung zur Investitionsprogrammplanung unter Unsicherheit in Fortentwicklung der Darstellungen dieser Arbeit zumindest theoretisch moglich, sofern man die jeweils einem Zustand vor- und nachgelagerten Zustande passend modelliert. 298 Allein die Integration der in jedem Zustand als Gesamtdeckungsbeitrag in den Liquiditatsnebenbedingungen zu beriicksichtigenden Zahlungskonsequenzen nimmt nach Einsetzen der zur Abkiirzung gewahlten Variablen schon mehrere DIN-A4-Seiten ein (vgl. die dazu in der vorherigen Fn. angegebenen Quellen) - und das im Falle variabler Kreislaufquoten noch verkniipft mit Ganzzahligkeitsvariablen. 299 Vgl. zu den produktionstheoretischen Darstellungen ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 252-286.

116

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen ...

(4.12)

x^"^ = (l-reCv^i)-Xv=(l-rec^^)-Ix|^'P-XP

(4.13)

r^?"^ = r^-recv^,-x,= i(rj?'P-rec,^-x^'P).^P (3=1

Hierbei laBt sich fiir roCy^ = 0 der zyklenfreie Fall als Sonderfall einer zyklischen Struktur auffassen. Umgekehrt zeigt die Saldierung der eingesetzten und ausgebrachten Objekte zu r^^^ und Xy , daB jeder Zyklus auch aufgelost werden kann.^^^ Zu bedenken bleibt freilich, daB sich die Qualitdt des Rezyklats von derjenigen der iibrigen Produktionsfaktoren unterscheiden kann und daB der kreislaufgefiihrte Stoff - je nach Verarbeitungsstufe und durchlaufener Nutzungsphase - keineswegs mehr den urspriinglichen (erwiinschten oder unerwiinschten) Outputs des Produktionsprozesses entsprechen muB. Die im Unterkapitel 4.1 vorgestellte Komponentenbetrachtung erlaubt indes, solche Eigenschaftsunterschiede zu erfassen, sind sie doch meist auf Differenzen in der (mengenmaBigen) Zusammensetzung zuriickzufiihren. Mit der Rezyklierung eines Objektes werden dann all seine Komponenten in der Produktion (wieder-)eingesetzt. Dies erlaubt zugleich, den gerade fiir das Recycling wiciitigen Zusammenhang darzustellen, daB das kreislaufgefiihrte Objekt mit seinen Komponenten nicht nur den Einsatz eines Inputobjektes mehr oder minder voUstandig ersetzen kann, sondern u.U. auch denjenigen verschiedener (Komponenten von) Inputobjekte(n) gleichzeitig?^'^ FormalheiBtdas,ye 0 fiir die kreislaufgefiihrten Anteile der n Outputs x^.^i^ Da die Gleichung (4.16) (4.16)

(^^"^^'komp ^ ( g _ ^ g ^ ) . ^komp ^ ( g _ g £ ^ ) . j^komp . j^^

welche die Verbindung von (^^ zu den verschiedenen am ProzeB beteiligten Mengen (^ herstellt, bloB Komponenten zum Gegenstand hat, schaffen die erforderliche Verbindung erst die aus Unterkapitel 4.1 bekannten Beziehungen der Objektzusammensetzung ^komp ^ ^

. ^obj

in Verbindung mit der die Kreislaufquoten betreffenden Gleichung (4.18): (4.18)

X rec we

V(0,|I(0

= (l-^v,co)'

mit 0 < r e c ^ ( ^ ^ =reCv < 1

Vv Vco

Eine Vereinfachung resultiert freilich dann, wenn - wie in (4.16) schon angedeutet - nicht die Mengen, sondem tatsachlich die ProzeBniveaus die Entscheidungsvariablen bilden. Fiir deren Variation (und auf die kommt es bloB im Rahmen der in dieser Arbeit unterstellten Kuppelproduktion an) sind alle mit X verkniipften Produktterme bloB Koeffizienten. Beim Einsetzen Die ersparten Kosten fiir die ersetzten Produktionsfaktoren und den Verzicht auf die Beseitigung sowie die nicht erzielten Erlose fiir den unterbundenen Verkauf der Rezyklate gehen schon dadurch in die Zielfunktion ein, daB $^" und nicht der Input-ZOutputvektor (g der Produktion Ausgangspunkt der Bewertung ist. Komponentenverluste und -zuwachse vor dem Wiedereinsatz sind bei den Kosten fiir die Durchfiihrung der Kreislauffiihrung nicht zu betrachten, da die Riickfiihrung zumindest zu Beginn noch die ganzen Objekte erfaBt und somit ihnen komplett zugerechnet werden kann. Im Falle des Vektors (^^^ der von auBen bezogenen und nach auBen abgegebenen Mengen erfolgt die Beriicksichtigung bereits iiber die Zyklenmatrizen REC nach Gleichung (4.16). Ausfuhrlich zu internen Zyklen vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 448-456. Zu einer ahnlichen Darstellung der Zielfunktion vgl. DINKELBACH/PIRO: LEONTIEF-Technologien, S. 477-480 und DiNKELBACH: Elemente, S. 65 f. Zu den in dieser Arbeit nicht weiter betrachteten externen Zyklen vgl. KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 456-472. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daB definitionsgemaB stets Objekte (als zusammenfassende Einheiten ihrer Komponenten) in einem Anteil rec^ an ihrer Gesamtausbringung x^'^"'^'' zuriickgefiihrt werden. Sollte

122

4 Die Bestimmung der finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen .

der entsprechenden einmal zu ermittelnden und dann bekannten Werte ist 2^ demnach lediglich mit einer Zahl als Koeffizient versehen - unabhangig davon, ob eine Objekt- oder Komponentenbetrachtung durchgefiihrt wird. (4.18) kommt damit ebenso wie den Beziehungen der Objektzusammensetzung zwar eine wichtige Rolle bei der konsistenten Bestimmung der Koeffizienten eines Produktionsprogrammplanungsproblems zu, dariiber hinaus jedoch nicht, da sie keine direkte Beziehung zwischen den Entscheidungsvariablen X herstellt. Mochte man nun - ahnlich wie mit der Gleichung (4.19) - auch hinsichtlich der Zielfunktion die Betrachtung auf den in der Praxis eher haufigeren Fall der variablen Kreislaufquoten ausdehnen, so ist zu bedenken, daB nicht nur die (mit ihren Preisen bewerteten) Mengen (^ und x° J zu diskretisieren sind, sondem ebenso die Kosten der Durchfiihrung des Recyclings (namlich fiir die Behandlung, den Transport etc.) entsprechend anzupassen sind. SchlieBlich konnen sich diese mit den riickgefiihrten Mengen durchaus andern - beispielsweise aufgrund des hoheren Erfassungsaufwandes oder infolge zunehmender Schwierigkeiten bei der Sortentrennung, wenn man einen hoheren Reinheitsgrad erzielen mochte. Die Zielfunktion (4.22) wird damit zu: (4.23)

GDB((p)= p'

^2:cpauB,pk p=l k .pk .Pk

p=i k ^""^

,pk,obj

^ 0

0

nPk

Erganzt wird sie weiterhin durch die Beziehungen der Objektzusammensetzung und auBerdem durch die (4.18) ersetzende diskretisierte Gleichung (4.20) samt zugehorigen Bedingungen (inkl. Kapazitatsrestriktion), um auf diese Weise die Verbindung zu der komponentenbezogenen, ebenfalls diskretisierten Bedingung (4.19) zu schaffen.^^^ Wiederum resultiert aber eine Vereinfachung im Rahmen der unterstellten Kuppelproduktion, bilden doch die Prozefiniveaus die Entscheidungsvariablen. Fiir deren Variation sind - wie (4.16) schon verdeutlichte - alle mit X verkniipften Produktterme auch hier bloB Koeffizienten, und zwar unabhangig davon, ob eine Objekt- oder Komponentenbetrachtung durchgefiihrt wird. (4.20) kommt damit auf gleiche Weise wie vorher der ersetzten Gleichung (4.18) und ebenso wie den nach wie vor zu beachtenden Beziehungen der Objektzusammensetzung zwar eine wichtige Rolle bei der konsistenten Bestimmung der Koeffizienten eines Produktionsprogrammplanungsproblems zu, dariiber hinaus jedoch nicht (d.h. insbes. nicht wahrend der Losungsfindung, da sie keine direkte Relation zwischen den Entscheidungsvariablen X definiert).

man im Einzelfall wirklich auf eine einzelne Komponente co abstellen wollen, so ist es sinnvoll, sie als neues Objekt x^^ zu definieren, das genau aus dieser einen Komponente besteht. ^^^ Vgl. zu diesen Gleichungen S. 119-120 dieser Arbeit.

5

Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

5.1

Abgrenzungen und ihre Konsequenzen fiir diefinanzwirtschaftlicheBewertung von Umweltschutzinvestitionen 5.1.1 Thematische Abgrenzungen Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln zunachst das Wesen von Umweltschutzinvestitionen erlautert, die einzuschlagende Zielsetzung ihrer Bewertung diskutiert, investitionstheoretische Modelle zur finanzwirtschaftlichen Bewertung vorgestellt und fiir mehrperiodige unsichere Zahlungsstrome auf unvollkommenen Markten verallgemeinert sowie die finanzwirtschaftlich zu bewertenden Zahlungen betrieblicher Umweltschutzinvestitionen aus den Zusammenhangen der Produktionstheorie und der Produktionsprogrammplanung bestimmt worden sind, soil es nunmehr im Rahmen dieses Kapitels zur Verkniipfung der bisherigen Ausfuhrungen kommen. Das heiBt, das fortentwickelte investitionstheoretische Instrumentarium soil zur Anwendung bei der finanzwirtschaftlichen Bewertung von Umweltschutzinvestitionen gelangen. Nach den Ausfuhrungen in Unterabschnitt 2.1.2.2 lassen sich im wesentlichen fiinf Formen von Umweltschutzinvestitionen unterscheiden, die freilich wegen der in Unterkapitel 4.2 im Hinblick auf ihre produktionstheoretische Abbildung angesprochenen formalen Ahnlichkeiten zwischen einzelnen Varianten in der dort gewahlten Reihenfolge diskutiert werden sollen: a) produktionsintegrierter Umweltschutz, b) Devestitionen, c) die Anderung bestehender Prozesse, d) additive UmweltschutzmaBnahmen und e) der Aufbau von Recyclingstrukturen. Da der Durchfuhrung von Umweltschutzinvestitionen bestimmte, in Unterabschnitt 2.1.2.1 angesprochene und in Abschnitt 2.1.3 diskutierte Anlasse zugrunde liegen, soil ihre Bewertung in diesem Rahmen untersucht werden. Hierzu wird es nach den Ausfuhrungen in Unterkapitel 2.3 i.V.m. Abschnitt 2.1.3 allerdings reichen, die Betrachtung auf Restriktionen, zu denen auch die ordnungsrechtlichen MaBnahmen zahlen, und die marktwirtschaftlichen umweltpolitischen Instrumente (d.h. Abgaben und Subventionen, Kompensationslosungen, Zertifikate und das Umwelthaftungsrecht) einzuschranken, well weder das flankierende umweltpolitische Instrumentarium noch die sonstigen Rahmenbedingungen aus mathematisch-formaler Sicht zusatzlich zu beriicksichtigende Gesichtspunkte liefem.

5.1.2

Abgrenzungen im Hinblick auf die Verkniipfung von Produktionstheorie und Produktionsprogrammplanung mit der Investitionstheorie Geht es darum, konkrete Umweltschutzinvestitionen finanzwirtschaftlich zu bewerten, so heiBt das nach den Ausfuhrungen in Unterkapitel 4.2, zuerst die Technologic T entsprechend anzupassen. Aus investitionstheoretischer Sicht hat man es formal i.d.R. mit einer Kaufsituation zu tun (bei einer Devestition mit einer formal verwandten Verkaufssituation), so daB das in Unterkapitel 3.4 vorgestellte Modell angewandt werden kann. Um dieses mit Daten zu fiillen, sind die Zahlungen Zjg der einzelnen Objekte j in den Umweltzustanden s zu ermitteln. Diese Objekte konnen sowohl finanzieller Natur sein (etwa Kredite oder Finanzanlagen), so daB fiir sie keine

124

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Anderungen an dem entwickelten Modell vorgenommen werden miissen, als auch durch die Prozesse

der Produktion gebildet werden. Letzteres hat zur Folge, daB ein Teil der Zahlun-

gen sowohl mengenabhangiger als auch (sprung-)fixer Natur sein kann. Sofern sie aus Sicht der Produktion variabler Natur sind, werden sie freilich schon durch die mit Preisen bewerteten Einsatz- und Ausbringungsmengen ^^ der einzelnen Prozesse gebildet; (sprung-)fixe Zahlungen hingegen lassen sich laut Unterkapitel 4.1 iiber Gesamtdeckungsbeitragsspriinge integrieren. Wenngleich die Betrachtungen damit auf den ersten Blick - gewissermaBen in Nachfolge etwa von FORSTNER/HENN, JACOB, SEELBACH und ROSENBERG - auf eine Verknupfung von Produkti-

onsprogramm- und Investitionsplanung zuzulaufen scheinen,^!^ soil dieser Weg doch zumindest in der Konsequenz hier ausdriicklich nicht eingeschlagen werden. Sicherlich spielen die Zusammenhange zwischen Investitionen und Produktion der Natur der Sache gemaB auch fur die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen eine wichtige Rolle, und aus theoretischer Sicht sind zur Bestimmung des Basisprogramms sehr wohl alle Altemativen finanzieller Art und das Produktionsprogramm betreffend zu beriicksichtigen, um eine optimale Losung zu finden - und das heiBt eben auch die Abbildung des (ggf. vorzeitigen oder verzogerten) Kapazitatsaus- oder -abbaus, des optimalen Ersatzzeitpunktes, moglicher Reparaturen, Mehrstufigkeit usw. Bezieht man dagegen die Tatsache in die Uberlegungen ein, daB bisher nur von den Zahlungen Zj^ gesprochen wurde, diese aber nach dem gewahlten Bewertungsansatz noch mit den Objektvariablen inv; zu verkniipfen waren (mit der Konsequenz der Nichtlinearitat), so ist leicht vorstellbar, daB die Problemstellung schnell unhandlich bis zur Unlosbarkeit wird. Im Rahmen dieser Arbeit liegt der Untersuchungsgegenstand jedoch etwas einfacher, so daB die Problemstellung diesem angepaBt werden kann: Hier sollen im wesentlichen grundsatzliche Wirkungen diskutiert werden, die auf die Durchfiihrung einer Umweltschutzinvestition zuriickgeftihrt werden konnen. Dafiir ist die Abbildung eines jeden Details nicht erforderlich. So wurde schon in den Ausfiihrungen zur Produktion Einstufigkeit unterstellt. Ferner sei angenommen, daB alle aus der Produktion oder dem Investitionsprogramm resultierenden Zahlungen jeweils auf die diskreten Zustande s zu den Zeitpunkten t verdichtet werden konnen und daB die Zeitpunkte von Einkauf, Produktion, Absatz und Rechnungsbegleichung zusammenfallen. Auf sonst fallige Vor- und Zwischenfmanzierungen kann dann verzichtet werden,^!^ und die Lagerung sowie Mengenkontinuitatsbeziehungen eriibrigen sich im wesentlichen. Die Maschinen haben eine

Vgl. zu solchen Ansatzen der simultanen Bestimmung von Investitions- und Produktionsprogramm die z.T. schon zitierten Ansatze von FORSTNER/HENN: Produktionstheorie, S. 119-121 und JACOB: Entwicklungen, JACOB: Flexibilitatsuberlegungen, JACOB: Planung, JACOB: Problem, SEELBACH: Planungsmodelle, S. 1623, 42-54 und SEELBACH: Investitionsplanung, S. 300-306 sowie zur zusatzlichen Integration der Finanzierung und der Steuern ROSENBERG: Investitionsplanung. Zu einer an der Komplexitat solcher Modelle ansetzenden Kritik hinsichtlich ihrer praktischen Anwendung vgl. bspw. BLOHM/LUDER/SCHAEFER: Investition, S. 304 f. sowie ROLLBERG: Unternehmensplanung, S. 129-131 anhand eines von ihm ebd., S. 109-117 entworfenen und ebd., S. 117-129 hinsichtlich Pramissen, Umfang und Losbarkeit diskutierten Totalmodells. Zur integrierten Planung des gesamten Unternehmens unter Verwendung einer lenkpreisorientierten Heuristik vgl. ebd., S. 153-204, zu den Abhangigkeiten zwischen einzelnen Teilplanen auch ROLLBERG: Interdependenzen und ROLLBERG: Abhangigkeiten. Eine Ubertragung der Kritiken und der angesprochenen Heuristik auch auf unvollkommene Markte findet sich schlieBlich bei ROLLBERG: Unvollkommene Markte. BLOHM/LUDER/SCHAEFER: Investition, S. 301 tragen der Produktionszeit Rechnung, indem sie - anders als JACOB: Entwicklungen - produktabhangige Auszahlungen am Anfang, Einzahlungen aus dem Produktverkauf jedoch am Ende der Periode modellieren.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

125

gewisse Nutzungsdauer, die nichi; beliebig variabel ist, so daB liber optimale Ersatzzeitpunlcte und Reparaturen niclit extra nachgedacht werden muB.^i^ AuBerdem werden i.d.R. ein bestimmter, das Entscheidungsfeld starlc einschiranlcender Anlagenpark und damit eine Technologie T im Startzeitpun] 0 verringert c.p. nach (5.2) den korrigierten Kapitalwert K -j^^^ der Produktion mit Hilfe eines jeden der von ihr in s betroffenen Prozesse (3, so daft bisher lohnende Verfahren diese Eigenschaft moglicherweise verlieren.329 Geht es nun darum, unter bestehenden Umweltschutzrestriktionen eine Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz zu bewerten, so heiBt das gem. Abschnitt 4.2.1 letztlich nur, die bestehende Technologiemenge T um Prozesse zu erweitern, die sich durch umweltfreundliche Einsatz-ZAusbringungsverhaltnisse auszeichnen. Im Endeffekt hat man es also formal mit einer klassischen Kaufsituation zu tun, so daB das in Unterkapitel 3.4 vorgestellte Modell problemlos durch Anpassung iibertragen werden kann. Ausgehend von dem unter 5.1.3 angegebenen Basisprogramm erhalt man auf diese Weise das nachstehende Bewertungsprogramm:^^^ max. BEW;

BEW := pj

Vgl. zum Beweis KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 310-416, 474-482 - insbesondere auch fiir relativ formulierte Beschrankungen mit ihren Spezialfallen wie den Massenverhaltnis-, -konzentrations-, -strom-, Emissionsgrad- und Geruchszahlrestriktionen der jetzigen Abschnitte 2.5 bis 2.7 der TA Luft (auf die gegeniiber friJheren Fassungen dieser Vorschrift neu hinzugetretenen Grenzen fiir Faserstaubkonzentrationen, Emissionsfaktoren und Emissionsminderungsgrade lassen sich die Beweise formal iibertragen). Unter Umstanden kann es aufgrund der gegebenen Interdependenzen auch zu einer Umstrukturierung der Produktion dahingehend kommen, daB bisher nicht lohnende Prozesse infolge der iibermafiigen Belastung anderer doch vorteilhaft werden (die Ceteris-paribus-Bedingung in der getroffenen Aussage ist also keineswegs uberfliissig). Da indes neu hinzutretende Bedingungen den Raum zulassiger Losungen einschranken, wird sich die Optimallosung des Basisprogramms zumindest nicht verbessern, sondern allenfalls gleichbleiben. Zu sich nichtlinear mit der Menge andemden Einsatz-ZAusbringungsmengenverhaltnissen vgl. die Anmerkung zum Basisprogramm in Abschnitt 5.1.3. Einen einfacheren, aus dem folgenden leicht herleitbaren Ansatz stellt BROSEL: Medienrechtsbewertung, S. 162-166 zur Bewertung audiovisueller Medienrechte auf. Sie werden von ihm als abzuziehende Konstante auf der rechten Seite der nichtmonetaren Produktionsbeschrankungen modelliert, weil ihr Einsatz die zur Verfiigung stehende Sendezeit fiir andere Programmobjekte einm+n

schrankt. Das hieBe im hier angegebenen Modell, die Terme X ^e-ys "^e' ' ^s einfach durch Konstanten zu e=l

ersetzen, die als solche auf die rechte Seite der jeweiligen Nebenbedingung gebracht werden diirfen. Femer versucht SCHRODER: Investition, S. 242-245, einen Ansatz auf der Basis des Modells von HAX und WEINGARTNER aufzustellen, formuliert aber ALBACHS Zielfunktion mit Kapitalwerten und die Realisation der Investition auf Basis von Ganzzahligkeitsrestriktionen. Es gelten damit die schon in Abschnitt 3.1.1 diskutierten Nachteile. Eine weitere Untersuchung nimmt er nicht vor. In der Vereinfachung insofern konsequenter (als auf finanzwirtschaftliche Restriktionen wie insbesondere die Liquiditatsnebenbedingungen verzichtend) ist die Modellierung bei LETMATHE/STEVEN: Investitionsentscheidungen, welche gleich die Kapitalwertmethode als Ausgangspunkt ihrer Betrachtung der Auswirkungen staatlicher Umweltpolitik auf Basis der linearen Aktivitatsanalyse wahlen. Allerdings handelt es sich damit nicht mehr um ein investitionstheoretisches Totalmodell (und schon gar nicht um eine zweistufige Bewertung), sondern um ein Produktionsprogrammplanungsmodell mit abgewandelter Zielfunktion, die eigentlich modellendogene Parameter direkt vorgibt.

132

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen: J

q m+n

g

m+n

- S z j O - i n V j - X I P e o - 9 e ' ^ - ^ o + E N o + P i < u z o + Z i o + X PeO'^e' "^0 j=l (3-1 e=l e=l J q m+n „ „ m+n - I z j s - i n v j - l I Pes-9e'^-^s^+EN3 0

VJG { 1 ; 2 ; . . . ; J }

Xs^ > 0

V P e {l;2;...;q;I}

ENs > 0

VsG {0; 1;...;S}

Vs G {0; 1; ...; S}

PI ^ 0 Es beriicksichtigt in den Liquiditatsnebenbedingungen neben den prozeBniveauunabhangigen (und insofern [zusta.nds-]fixen) Zahlungen zjg der zu bewertenden Investition I im Zustand s (etwa fiir die Einrichtung und Ingangsetzung der neuen Verfahren) auch die sich ergebenden aus der Produktion mit dem dadurch moglichen neuen ProzeB.^^' Die fixen Zahlungen ZJQ in S = 0 konnten altemativ als Preisbestandteil aufgefaBt und insofern vemachlassigt werden, doch soil dem nicht gefolgt werden, da bestimmte Zahlungen sehr wohl in ihrer Hohe bekannt sein mogen

Erlaubt die Investition mehrere neue Prozesse, sind entsprechend zusatzliche Terme zu integrieren.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

133

(beispielsweise fiir die Installation einer Maschine durch eigene Mitarbeiter), wahrend andere verhandelbar sind (etwa die Beschaffung). Hier zwecks Bestimmung des Grenzpreises eine Integration anzustreben erscheint als iinnatiirlich. Ebenfalls abgebildet ist der Sonderfall, daB die Investition erst in einem bestimmten Urnweltzustand s zu einem spateren Zeitpunkt beginnt. Sowohl die zustandsfixen Zahlungen zjs als auch die sich ergebenden aus der Produktion mit dem dadurch moglichen neuen ProzeB I nehmen namlich fiir alle nichtrelevanten Umweltzustande einfach den Wert 0 an. Lediglich der Grenzpreis pj wird bei der gegebenen Modellformulierung in t = 0 fallig, ist also als heute maximal zahlbarer Preis der in s startenden Investition zu interpretieren. Dies ist insofern von Vorteil, als trotz etwaiger mehrfacher Durchfiihrung der Bewertung fiir verschiedene Startzustande der Investition eine direkte Vergleichbarkeit iiber den jeweils auf t = 0 bezogenen Grenzpreis gegeben bleibt. Nichtsdestoweniger lieBe sich mit einer geringfiigigen Modifikation genauso der nach heutigen Daten in s giiltige maximale Terminpreis bestimmen. Hierzu ware lediglich der Preis pj aus der fiir heute giiltigen Liquiditatsnebenbedingung zu eliminieren und statt dessen in formal gleicher Weise in der zum Zustand s gehorenden zu integrieren. Zur Gewinnung von Informationen iiber EinfluBfaktoren auf den Grenzpreis pj der zu bewertenden Investition I soil wiederum das dazu duale Problem herangezogen werden:332 min. WRB; s WRB:=X (uZs+ZiJ-l^+Sb^-TT^+i^P'^-Cs^ + ^J'^-Cj -GEN^P'-5-Hlinv^-^j s=0

u.d.N.: Dualrestriktionen der Durchfiihrung inv; der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte: S -Izj3-l3+^j>0 s=0

VJG{1;2;...;J}

Dualrestriktionen der ProzeBniveaus X/: m+n

- 1

Fg m+n

P.s'ff^-k+l

£=1

I

ae^(Pe^-P-7t^+C^>0 "eys

Vp e {1; 2; ...; q; 1}

Y=l e=l

Vse {0;1;...;S} Dualrestriktionen der Entnahmen ENg: ls-gW3-6 > 0

VsG {0; 1;...;S}

Dualrestriktion des Preises pj: lo ^ 1

•^^2 Dazu wurden alle variablen Zahlungen im Primalproblem auf die linke Seite der Liquiditatsnebenbedingu gen gebracht und die duale Zielfunktion zwecks Zusammenfassung iiber die Zustande umgeordnet.

134

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Nichtnegativitatsbedingungen: Is > 0

VsG {0; I;...;S}

TC^s ^ 0

Vye { l ; 2 ; . . . ; r j

^j ^ 0

Vje{l;2;...;J}

?s^ ^ 0

V p e {l;2;...;q;I}

Vs G {0; 1; ,..; S}

Vs G {0; 1; ,..; S}

5 > 0 Es entspricht im wesentlichen dem bekannten aus Unterkapitel 3.4 - erganzt freiJich um die Produktionszusammenhange. Analog zu fruher laBt sich daher wegen BEW^P^ = WRB°P^ = pj^P^ fiir pj°P^ der folgende Ausdruck herleiten: (5.3)

p|^P^= X s=0

-GEN°P^-6+Iinv^-^j H Aufgrund der Komplementaritaten der Durchfiihrung inv: der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte, der ProzeBniveaus X^^ und des Preises pj der zu bewertenden Investition (5.4)

invj- - S Zjs-ls+^j = 0

(5.5)

= 0 Vp€ {l;2;...;q;I} XP • - S p,, • (pB'P • 1, + S S ae^ • (p^'P • n^ + Cl

ft

D Q

y

e=l

Tg^ 111 m+n ' II

Vje {1;2;...;J}

n

a

O

7=1 £=1

Vse {0;1;...;S} (5.6)

pi-(lo-l) = 0

sind fiir zu realisierende sonstige Investitions- und Finanzierungsobjekte j (d.h. invj > 0) und einzusetzende Produktionsprozesse p (dann ist Xj^ > 0) die Klammerausdrucke null, und es resultiert im Falle der Existenz einer optimalen Losung BEW^P^ = WRB^P^ = pj^P^O wegen ]Q = 1 fiir den Abzinsungsfaktor p^ Q einer unabhangig vom Investitionsprogramm zusatzlichen Geldeinheit im Zustand s auf den Zeitpunkt 0: (5.7)

Ps,o:=f = l s ^ l

Vse {0; 1;...;S}

Damit erhalt man fur die Kapitalwerte der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte j sowie fiir die korrigierten Kapitalwerte der in den Zustanden s wahlbaren Produktionsprozesse

J Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

135

p (inkl. des auf die zu bewertende Investition I zuruckzufiihrenden neuen Prozesses) wieder die schon als (5.1) und (5.2) im Abschnitt 5,L3 hergeleiteten Zusammenhange, jetzt freilich errechnet aus den GroBen des Bewertungsprogramms:^^^ S

(5.8)

(5-9)

S

Ki„v,j- X z j s l s = Szjs-Ps,0^^j s=0

s=0

m+n

„

Fg m+n

K^^^ ^ I Pes • (pf-l^ • Is - I £-1

VJG {l;2;...;J} „

^

I a,^ • iff^ • 7t^ < C^

^ Y=^ £-1

^X,^s

Korrektur V P G {l;2;...;q;I}

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

Wie fiir andere Prozesse gilt damit ebenso fur den auf die zu bewertende Investition I zuruckzufiihrenden neuen Prozefi, daB sich sein Einsatz gem. den bekannten Entscheidungsregeln I-III aus Abschnitt 3.1.1 im Zustand s nur lohnt, wenn sein - um die abgezinsten monetaren Aquivalente der Inanspruchnahmen der (ausgeschopften)^^^ nichtmonetaren Produktionsbeschrankungen - korrigierter Kapitalwert groBer oder ggf. noch gleich 0 ist. Fiir unvorteilhafte sonstige Investitions- oder Finanzierungsobjekte j und Prozesse p sind wegen der Komplementaritaten (5.10)

^j-(inVj^-invj)-0

Vj e {1; 2; ...; J}

(5.11)

Cs^-as^'°-X3P) = 0

VpG{l;2;...;q;I}

Vs e {0; 1; ...; S}

die Dualvariablen ^j und ^g null, wahrend (5.4) und (5.5) fiir sich lohnende Objekte j und Prozesse p eine Substitution durch die passenden (korrigierten) Kapitalwerte gestatten. Einsetzen der gefundenen Zusammenhange (5.7), (5.8) und (5.9) in (5.3) unter Beriicksichtigung der aus (5.10) und (5.11) ableitbaren Aussagen iiber die Dualvariablen L und C,J^ sowie der fortgeltenden Beziehungen (3.45) bis (3.47) aus Unterkapitel 3.4 liefert dann analog zu (3.48):^2^'336

^^^ Zumindest die Abzinsungsfaktoren p^ Q und die Schattenpreise jc^ der nichtmonetaren Beschrankungen doProduktion warden sich i.d.R. von denjenigen des Basisprogramms unterscheiden, da die Hereinnahme der zu bewertenden Investition zu einer anderen Inanspruchnahme der Liquiditats- und der nichtmonetaren Nebenbedingungen der Produktion fuhren kann. Andert sich namlich die Optimallosung, so werden meist auch die resultierenden (korrigierten) Kapitalwerte der eingehenden Objekte andere sein als zuvor. 334 Fn. 326 auf S. 130 gilt analog. 335 Der Verdeutlichung halber wurde die Indexmenge {1; 2;...; q; 1} der Prozesse p fiir die Darstellung in Gleichung (5.12) wieder zerlegt in {1} fiir den auf die zu bewertende Investition zuriickzufUhrenden neuen Prozefi im zweiten Summenterm und ( 1 ; 2; ...; q} fiir die Aufsummierung der korrigierten Kapitalwerte aller sonstigen Produktionen am SchluB der Formel. 336 Die mehrfache Verwendung des Begriffs „Kapitalwert liegt darin begriindet, daB analog zu den Ausfuhmngen in Unterkapitel 3.4 und unter Beriicksichtigung der Herleitungen zu (3.9) und (3.12) in Abschnitt 3.1.1 sowie (3.9*) und (3.12*) in Unterkapitel 3.3 tatsachlich eine Anwendung des Partialmodells „Kapitalwertmethode" erfolgt. Insbesondere werden zur Abzinsung die sich aus dem Totalmodell ergebenden richtigen endogenen GrenzzinsfuBe herangezogen. Unbenommen - wenngleich aufgrund der naheren Bestinmiung des jeweiligen Kapitalwertes durch das Genitivattribut unbeachtlich - bleibt, daB mit dem zu bestimmenden

136

(5.12)

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

pf =

s

Ps,0 s=0 Kapitalwert der fixen Zahtungen der zu bewertenden Investition

s=0

11,0

TT korr

n%>'> Korrigierter Kapitalwert der pro-

Kapitalwert eines dem Basisprogramm

zeBniveauabhangigen Zahlungen

gleichwertigen

der zu bewertenden Investition

Ausschiittungsplans

Ki„vj>0

Kjy,>0

Korrigierter Kapitalwert des Bewertungsprogramms (ohne die zu bewertende Investition)

Der Grenzpreis pf^^ einer zu bewertenden Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz entspricht mithin dem korrigierten Kapitalwert ihrer zustandsfixen und prozeBniveauabhangigen Zahlungen - erganzt um den korrigierten Kapitalwert der Umstrukturierungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm.337 Dabei ist bereits beriicksichtigt, daB in manchen Zustanden s moglicherweise besondere Umweltschutzrestriktionen wirken konnen (und in anderen nicht). Sie vermindem c.p. namlich den korrigierten Kapitalwert der Produktion sowohl mit Hilfe der Umweltschutzinvestition als auch der iibrigen Prozesse in diesem Zustand s. Da allerdings ein integriertes Umweltschutzverfahren der Natur der Sache nach zumeist im Hinblick auf die relevanten Umweltschutzrestriktionen verhaltnismaBig giinstiger als andere Prozesse abschneiden wini, darf man davon ausgehen, dafi seine prozeBniveauabhangigen Zahlungen relativ weniger zu korrigieren sein werden als diejenigen der anderen Verfahren. Die daraus resultierenden Interdependenzen konnen dann sehr wohl zur Folge haben, daB eine solche Umweltschutzinvestition speziell aufgrund vorliegender oder in einem kunftigen Zustand s eintretender Umweltschutzrestriktionen uberhaupt erst einen positiven (korrigierten) Kapitalwert gewinnt, Genauere Aussagen iiber diese Auswirkungen umweltschutzender Beschrankungen im Zustand s auf den maximal zahlbaren Preis einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz erlaubt eine Betrachtung der Verdrangungsbeziehungen der gefundenen Losungen. Dazu ist der gleiche Weg wie schon bei Beziehung (3.49) des Unterkapitels 3.4 zum Finden der Gleichungen (3.50) und (3.55) einzuschlagen: Nach dem Dualitatstheorem der Unearen Optimierung sind namlich nicht nur im Falle des Bewertungsprogramms, sondem ebenso des Basisprogramms die Optimallosungen GEN^P* = WRG°P^ von Primal- und Dualproblem gleich, d.h.:

Grenzpreis pj°P* die in s = 0 maximal fiir die Durchfiihrung der Investition zu entrichtende (Anschaffungs-) Auszahlung in keinen einzigen der so bezeichneten Terme eingeht. ^^"^ Es sei freilich darauf hingewiesen, daU die Abgrenzung der letzten geschweiften Klammer in (5.12) insofem nicht ganz so sauber wie diejenige der zweiten zu Gleichung (3.48) auf S. 88 ist, als in dem hier zugrunde gelegten Bewertungsprogramm die prozeBniveauabhangigen Zahlungen der zu bewertenden Investition letztlich ebenso auf die linke Seite der Liquiditatsnebenbedingung gezogen wurden wie die durch die Investition erfolgende prozeBniveauabhangige Beanspruchung der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen - mit der Folge eines gewissermaBen zusatzlichen Einflusses der zu bewertenden Investition auf die Dualvariablen dieserbeiden Beschrankungstypen. Da in dem der Gleichung (3.48) zugrundeliegenden Bewertungsprogramm weder solche „variablen*' Zahlungen der zu bewertenden Investition noch Beanspruchungen nichtmonetarer Restriktionen beriicksichtigt wurden, ist die Abgrenzung dort scharfer.

5 Die

finanzwirtschajtliche

Bewertung

S

von

137

Umweltschutzinvestitionen

J

S

S

q

„

„

(5.13) GEN^P^= I g W s - E N s - X s=0

s=0

j=l

T-1

s=0 p-1

Eingesetzt in (5.3) erhalt man - unter Beriicksichtigung der aus (5.11) ableitbaren Aussagen iiber die Dualvariablen ^^ wie in (5.12) - bei Indizierung der aus dem Bewertungsprogramm stammenden GroBen mit „Bew" und der korrespondierenden Basisprogrammvariablen mit ,Bas":

(5.14) vr

Bew

= Sz„.p3V+

s + 1

1,0

I

s=0

i^korr,Bew

K ;^,is

">0

„„

f r,^^^

? iBas\ ,

V

uBew

_Bew

v

y=\

s-O

uLBBas a s 5; X _—Bas Bai

Y=l

Altemativ ist eine Schreibweise mbglich, welche die letzten Umformungen der Gleichung (3.50) auf S. 89 dieser Arbeit aufnimmt und weitere (korrigierte) Kapitalwerte einbeziehti^^s (5.14*) p?P'=

I z „ . p B §Bew ^

1,0

r^korr,Bew

•K A., Is

s=0

S

,,„ /p,Bew c iBas\ , ll2s-^Ps,0 " O ' l s j+

+ I

+

S

v 1

u B e w _.Bew b ^ -Tt^ -

7=]

s=0

inv^Kp--5-

i^ korr.Bew p.

'^

I

v uuBas tias 5 s? ^^tJas Bas 2 . b ^ -O-TT-^

7=1

mvJ.lo^-.KP„-

v, korr.B

^l^s '>0

Verbal ausgedriickt setzt sich der maximal fur die Umweltschutzinvestition zahlbare Preis pj^^^ gem. (5.14*) also wie folgt als Summe (z.T. korrigierter) Kapitalwerte zusammen:

338 Zur Herleitung der Gleichung (5.14*) aus (5.14) vgl. den Anhang dieser Arbeit. Die Fn. 335 auf S. 135 behalt auch fiir den zweiten und den vorletzten Summenterm in (5.14*) ihre Giiitigkeit, wahrend der letzte aus den urspriinglichen Prozessen p G { 1 ; 2; ...; q} des Basisprogramms auswahlt.

138

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Vmweltschutzinvestitionen

(5.14*) p°P^ = Kapitalwert aller prozeBniveauunabhangigen Zahlungen der zu bewertenden Investition (mit Ausnahme ihres maximal zahlbaren Preises pj''^^ y^^ + korrigierte Kapitalwerte der Nutzung der sich lohnenden neuen Prozesse auf ihren maximalen ProzeBniveaus X^'^ + Kapitalwertdifferenz infolge anderer Bewertung der investitionsprogrammunabhangigen Zahlungen + Kapitalwert der Anderungen der monetaren Aquivalente der Produktionsrestriktionen vom Basis- zum Bewertungsprogramm + Kapitalwertdifferenz der realisierten sonstigen, nicht direkt die Produktion betreffenden Investitions- und Finanzierungsobjekte + korrigierte Kapitalwertdifferenz der

gewahlten ubrigen

Prozesse

pe{l;2;...;q} Die beiden Darstellungen (5.14) und (5.14*) verdeutlichen wieder die - bei kapitalwertgleichem Ausschiittungsplan - auf die Umstrukturierung vom Basis- zum Bewertungsprogramm zuriickzufiihrenden Einfliisse auf den Grenzpreis der zu bewertenden Umweltschutzinvestition. (5.14) zeigt dabei besser die formale Struktur auf, werden doch die Effekte direkt einander gegeniibergestellt. Im Gegenzug bietet (5.14*) Vorteile fiir die direkte okonomische Interpretation, denn einige Dualvariablen sind durch (korrigierte) Kapitalwertbeziehungen ersetzt. Da an spateren Stellen der Arbeit beide Varianten als Ausgangspunkte fur weitere Betrachtungen dienen, erscheint es sinnvoU, sie beide hier schon anzugeben und zu erlautem. Ausdriicklich zugelassen ist sowohl in (5.14) als auch in (5.14*), daB sich die produktionsrelevanten Beschrankungen ynach Art und Anzahl andem konnen (aber nicht miissen - dann ware eine Zusammenfassung der beiden Summentcrme unter nur noch einem Summenzeichen moglich). Zwecks anschlieBender okonomischer Interpretation ist aber zunachst die Bedeutung des Faktors 6 naher zu beleuchten: Als Dualvariable der Gewahrleistung eines Entnahmewertes, der mindestens dem maximalen des Basisprogramms entspricht, gibt er nach wie vor den EinfluB auf den Zielfunktionswert des Bewertungsprogramm (d.h. den maximal zahlbaren Preis p^^^ der Investition) an, wenn sich die Summe GEN der gewichteten Enmahmen im Basisprogramm marginal andert. Wie im einfachen Fall des Unterkapitels 3.4 transformiert folglich 6 • \^^ die Konsequenzen einer zusatzlichen Geldeinheit im Zustand s des Basisprogramms auf die Zielfunktion des Bewertungsprogramms (den Preis pi°P^) und erlaubt damit eine Aussage dariiber, wie sich Anderungen des Basisprogramms (in diesem Fall der investitionsprogrammunabhangigen und insofem in beiden Programmen gleichen Zahlungen uzg) auf den Grenzpreis auswirken, wenn es dabei nicht zu einem Basiswechsel der optimalen Losungen kommt.

339 Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl, Fn. 336 auf S. 135. In der hier gewahlten verbalen Schreibweise sind alle (korrigierten) Kapitalwerte auf das Bewertungsprogramm bezogen.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Ahnlich gibt 5 • n^^

139

den Wert einer infinitesimalen Lockerung oder Verscharfung einer im Ba-

sisprogramm wirkenden Produktionsbeschrankung hinsichtiich des Grenzpreises der zu bewertenden Investition an. Zusammen mit der - soweit vorhanden - entsprechenden Restriktion im Bewertungsprogranun (bewertet durch 7i^^^ ) laBt sich dann eine Aussage dariiber treffen, welchen EinfluB sie insgesamt (ergo auch - aber nicht nur - bei unveranderter Geltung im Bewertungsprogramm) auf den maximal zahlbaren Preis der Investition hat. Da dies insbesondere ebenso fiir Beschrankungen der Produktion aus Umweltschutzgriinden gilt, lal3t sich auf diese Weise beurteilen, welchen „Anreiz" sie auf die Investition in produktionsintegrierte Umweltschutzverfahren austiben: Sofern es bei beiden Programmen im Faile einer in gleicher Weise fortgeltenden Begrenzung durch die Zu- oder Abnahme ihrer Scharfe b^^^ = b-^^^ nicht zu einem Basiswechsel der optimalen Losungen kommt, wird sich der Grenzpreis der Investition um die mit dem Faktor (TUE^^ - 5 • nz^^) bewertete Anderung anpassen. Einsetzen der passenden Werte %^^

und 6-7t^^^ in die zweite Zeile von (5.14) bzw. (5.14*) schlieBlich liefert ver-

gleichbar die Auswirkungen auch solcher (Umweltschutz- und sonstiger nichtmonetarer) Produktionsbeschrankungen auf die maximale Zahlungsbereitschaft, die Basis- und Bewertungsprogramm in unterschiedlichem MaBe betreffen (b-^^^ ^ b ^ ^ ^ ) , weil etwa bestimmte Begrenzungen zwecks Forderung von Umweltschutzinvestitionen mit ihrer Durchfiihrung gelockert werden (ggf. sogar ganz wegfallen) oder andere Anforderungen hinzutreten.^^o Hinzuweisen bleibt in diesem Zusammenhang noch auf einen moglichen Sonderfall bei der L6sung des Bewertungsprogramms und der anschlieBenden Sensitivitatsbetrachtungen: Je nach Gestaltung der Nebenbedingungen (und damit auch der Umweltschutzrestriktionen) ergibt sich u.U. keine zulassige Losung mehr. Die Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz ist dann unvorteilhaft; mithin kann ihr kein nichtnegativer Preis zukommen. In diesem Falle realisierte man sie also nur, wenn man einen monetdren Ausgleich erhielte. Mochte man auch dessen Hohe bestimmen, so ist das Bewertungsprogramm dahingehend anzupassen, daB der zu errechnende Grenzpreis pj nicht mehr vorzeichenbeschrdnkt ist. Dafur hat man die Differenz aus maximaler Zahlungsbereitschaft (Preis pj ^ fiir die Auszahlungen) und minimal zu fordemdem Preis (pi g fiir die resultierenden Einzahlungen) zu maximieren.^^i Da dieser Sonderfall bei der

^^

Im Falle eines Basiswechsels wird eine iiber den kritischen Punkt hinausgehende Lockerung/Verscharfung von b ^

sich zwar mit einem anderen Faktor auswirken, gleichwohi wegen der stets nichtnegativen Dualva-

riablen mit gleichem Vorzeichen wie zu Beginn der Anderung. Im Rahmen einer Sensitivitatsanaiyse laBt sich unter Beachtung dieser Tatsachen auBerdem die Variation einer nach der Investition gultigen lockereren Oder scharferen Beschrankung gegeniiber ihrem ggf. fiktiven (da nach Investition durch den aktuellen Wert b^

ersetzten) Ausgangswert b J*^ ermitteln. Ferner kann das Hinzutreten einer neuen Beschrankung im

Bewertungsprogramm den Zielfunktionswert (d.h. den maximal zu zahlenden Preis) nie verbessem, sondem allenfalls eine bisherige Losung verschlechtern. Formal ergibt sich dies - entgegen dem moglicherweise ersten Anschein - auch durch Einsetzen in (5.14) oder (5.14*), wenn man bedenkt, daB der Ausgangsgrenzwert in diesem Fall nicht 0, sondem hinreichend groB war und nun eine Verscharfung stattfindet. ^^^ Zwar mag es fur den Grenzpreis pj unendlich viele Linearkombinationen von pj ^ und pj ^ geben, doch interessiert hier nur der Nettobetrag, so daB dies fiir die Losung ohne Belang bleibt - zumal wohl die meisten

140

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Einfiihmng von produktionsintegriertem Umweltschutz aber eher die Ausnahme als die Regel darstellen diirfte, sei er an dieser Stelle (und entsprechend in den analogen spateren Abschnitten zur Anpassung an die anderen Rahmenbedingungen) nicht weiter diskutiert. Das ist insofern unproblematisch, als er bei den nachfolgend erorterten Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren in der Praxis wohl haufiger vorkommen wird und deshalb explizit zu modellieren ist. Insbesondere der formale Vergleich der hier besprochenen Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz mit den spateren in die Anderung von Produktionsverfahren lai^t dann die Diskussion einer solchen Ausnahme bereits an dieser Stelle als unnotig erscheinen. Formal in verwandter Weise wie die Bewertung einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz abzubilden ist diejenige einer Devestition. Obgleich erstere als Kaufsituation interpretiert werden konnte, heiBt das nicht unbedingt, daB letztere einer Verkaufssituation vergleichbar ist. Ahnlich wie dort als Gegensttick zur Kaufsituation verzichtet man zwar auch hier als Gegenstlick zur Investition auf etwas, wird doch nach den Ausfiihrungen in Abschnitt 4.2.1 die bestehende Technologiemenge T um einen ProzeB eingeschrankt, so daB die mit diesem ProzeB verbundenen Zahlungen im Bewertungsprogramm wegfallen.^^^ (Ohne Beschrankung der Allgemeinheit sei dies der ProzeB q.) Im Unterschied zur iiblichen Verkaufssituation muB es freilich im Falle einer Devestition aus Umweltschutzgriinden nicht dazu kommen, daB man als Gegenleistung Geld erhalt, sondern man hat ggf. sogar Auszahlungen zu tatigen. Der Grenzpreis pQ der Devestition (Index D) wird also nicht zwangslaufig vorzeichenbeschrankt sein. Insofern kann es in der Zielfunktion nicht allein darum gehen, den minimal zu fordemden Preis p£),e fur die resultierenden Einzahlungen zu bestimmen. Statt dessen hat sie die Differenz aus maximaler Zahlungsbereitschaft (p^ ^ fiir die Auszahlungen) und p^ ^ zu maximieren.^'^^ Damit erhalt man, ausgehend von dem unter 5.1.3 angegebenen Basisprogramm, als Bewertungsprogramm.-^^^ max. BEW; BEW := p^ ^ - PD,e u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen: J q-l m+n -Xzjo-inVj-X S PeO-9E j=l p=l 8=1

^ •^0+ENo+PD,a-PD,e^uZo+ZDO

Programme zur linearen Optimierung fur Pj ?^ 0 nur einen der beiden Werte ungleich null setzen werden. Vgl. zu solchen Zerlegungen nicht vorzeichenbeschrankter Variablen in die Differenz zweier nichtnegativer und zu den daraus resultierenden Folgerungen im Dualproblem etwa DANTZIG: Programmierung, S. 147 f. ^^^ Mathematisch hat man es also in allgemeiner Formulierung des Problems zunachst mit einer Vorzeichenanderung zu tun. Trotzdem ist die Interpretation eine andere als beim vorherigen Fall: Betrachtete der namlich die bei Durchfuhrung der Investition hinzutretenden neuen Zahlungen, so sind es jetzt die wegfallenden alten. Diese unterscheiden sich aber von jenen i.d.R. nicht nur durch das Vorzeichen, sondem auch betragsmaBig abgesehen davon, daB der Abbau eines alten Prozesses und mogliche Entsorgungstatigkeiten i.d.R. genauso wie der Aufbau eines neuen mit prozeBniveauunabhangigen Aw.s'zahlungen verbunden sein wird. Zu Besonderheiten bereits der Verkaufssituation in der Unternehmensbewertung vgl. etwa SCHILDBACH: Verkaufer. 343 Vgl. analog Fn. 341 auf S. 139. ^^ Zu sich nichtlinear mit der Menge andemden Einsatz-ZAusbringungsverhaltnissen vgl. die Anmerkung zum Basisprogramm auf S. 128. Die zuvor im Zusammenhang mit integrierten UmweltschutzmaBnahmen getroffenen Aussagen zum Durchfuhrungszeitpunkt und zu den Terminpreisen gelten analog.

141

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

J

q-1 m+n

- I z j 3 . i n v j - I I Pes-(p?'P-^^+EN, 0

VJG{1;2;...;J}

> 0

V(3e{l;2;...;q-1}

ENs > 0

V s e {0;1;...;S}

V s e {0;1;...;S}

PD,a > 0 PD,e > 0 Entsprechend ergibt sich das dazu duale Problem mif.^^s min. WRB; WRB:=X

(uz,+ZDs)-ls+ib^.7l^+I^P'«.^P

s=0

Y=l

P=l

-GEN^P^5+Xinv5*-^j j=l

u.d.N.: Dualrestriktionen der Durchfuhrung invj der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte: S

- I z j s - l s + ^j > 0 s=0

Vje{l;2;...;J}

^^^ Dazu wurde die Zielfunktion des Dualproblems zwecks Zusammenfassung iiber die Zustande umgeordnet.

142

5 Die

finanzwirtschaftliche

Bewertung

von

Umweltschutzinvestitionen

Dualrestriktionen der ProzeBniveaus Xj^: r„ m+n I Pes-9?'^-15+ I I a , ^ - ( p ^ ' P - 7 i ^ 3 4-Cs^ ^ 0 y=le=l e=l

VpG{l;2;...;q-l}

VsG {0; 1;...;S} Dualrestriktionen der Entnahmen ENg'. ls-gWs-5 > 0

Vs6 {0;1;...;S}

Dualrestriktion des Preises p£) ^ - PD,e' lo>i -In S -1

lo=l

Nichtnegativitatsbedingungen: VsG {0;1 ...;S}

L > 0 Tlys ^J >-:

Vye {1;2

> 0 0

•..;rj

VsG {0;1;...;S}

VJG{1;2 ...;J}

Cs^ > 0

VpG{l;2;...;q-l}

VsG {0;1;...;S}

5 > 0 Ebenso wie vorher wird man nun wegen BEW^P^ = WRB°P^ = p'^[ - p^^ aus S

(5.3a)

^s

q-1

7=1

p=l

pg;i-p§:'e= S s=0

-GEN°P^6+IinvJ-^j aufgrund der Fortgeltung der - z.T. hinsichtlich des Geltungsbereich des Laufindexes p an nur noch q-1 Prozesse anzupassenden - Beziehungen (5.4) bis (5.11) sowie (3.45) bis (3.47) aus Unterkapitel 3.4 fiir den Grenzpreis der Devestition den folgenden Ausdruck erhalten:346

^"^ Die (an die Devestition angepaBten) beiden neuen Komplementaritatsbeziehungen (5.6) werden hier nicht einmal gebraucht, weil schon die beiden Dualrestriktionen der Preise sicherstellen, daB 1Q = 1 wird. Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5,12a) pg;^ - pg;^ =

143

i ZD,. p,,o 5-GEN°P' , s=Q , Kapitalwert eines dem Basisprogramm Kapitalwert der fixen Zahlungen gleichwertigen Ausschuttungsplans der zu bewertenden Devest! tion

S

korr

uzs • Ps,0 + S b ^ • 71^ s=0

y

Krps>0

Korrigierter Kapitalwert des nach der Devestition verbleibenden Restes des Bewertungsprogramms (aber ohne den zu zahlenden oder zu erhaltenden Preis)

Eine Devestition wird man demnach nur durchfiihren, wenn der dafiir maximal zu zahlende (bzw. mindestens zu fordernde) Preis dem Kapitalwert ihrer zustandsfixen Zahlungen - korrigiert um den Kapitalwert der Umstrukturierungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm - entspricht.3'^'^ Wiederum ist beriicksichtigt, daB in manchen Zustanden s besondere Umweltschutzrestriktionen wirken konnen (und in anderen nicht). SchlieBlich vermindem sie gemaB der hinsichtlich des Geltungsbereiches angepaBten Beziehung (5.9) c.p. den korrigierten Kapitalwert der Produktion mit Hilfe der verbleibenden Prozesse in diesem Zustand s und damit den maximal zu entrichtenden Preis der Devestition (im Falle eines mindestens zu fordernden Preises wird dieser erhoht). Weil man indes - je nach Scharfe der Beschrankung - Devestitionen zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen zumeist so durchfiihren wird (ggf. gezwungenermaBen), daB man die im Hinblick auf die Begrenzung ungiinstigsten Verfahren zuerst stillegt, werden die Auflagen den verbleibenden, relativ giinstigeren Verfahren mehr Spielraum lassen. Die auf diese Weise resultierenden Interdependenzen konnen dafiir sorgen, daB einzelne der verbleibenden - in der bisherigen Optimallosung vielleicht sogar abzulehnende - Prozesse aufgrund der Umweltschutzrestriktion gegeniiber der Situation im Basisprogramm vorteilhafter werden und nun verstarkt einzusetzen sind. Untersuchen lassen sich solche Effekte wieder (analog zu vorher bei der Analyse von Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz) durch Einsetzen der optimalen Losung GEN*^P^ des Basisprogramms (5.13) in (5.3a). Das fiihrt auf die beiden (5.14) und (5.14*) entsprechenden Varianten der Gleichung (5.14a), welche aus den bereits im Zusammenhang mit (5.14) und (5.14*) genannten Griinden wieder beide angegeben seien:^'*^

^'^^ Fn. 337 auf S. 136 gilt fur die durch die Devestition wegfallenden prozeBniveauabhangigen Zahlungen und Beanspruchungen der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen in gleicher Weise. ^"^^ Zum Ersatz der Dualvariablen durch (korrigierte) Kapitalwertbeziehungen beim Schritt von (5.14a) zu (5.14a*) vgl. analog den Anhang dieser Arbeit.

144

5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5.14a) pg;l-pg;'= S z D s P ^ r s=0

s

„n, /^Bew / ^tJew X iiBas\ Bas t J a s\) ., •(Ps,0 -0-ls jJ + uZs-(Ps,0 -0-ls

V utsew uBew _tiew ^Bew v K^as 5? ^Bas 2. b ^ -^Ts - 2 . D ^ -O-Tly^ 7=1 7=1

s=0

j=l

(5.14a*) pg;'a-pg;e=

s=0

U=l

P=l

pBew

uzs-(p^r-

s=0

5? iBas\ .

V

uBew _Bew

^

2.

invj - K i n v j - 0 -

I i^korr,Bew ^/-»

2.

pBas V uBas e ^Bas 7=1

7=1

v-Bew. p.

+

„

X^DsPsV s=0

s + 1

+

/q_l

invj

lo

Kinvj

i^Bas ^ ^

?.P'°-K!^°^'^'^"'-5^?i,ps

I ^korrj y Re

xP'°l§'''K^°"'-'^'' ^^,(3s >^

PQ'^ - p^^g = Kapitalwert aller prozeBniveauunabhangigen Zahlungen der zu bewertenden Devestition (mit Ausnahme ihres maximal zahlbaren Prei-

«esps:'a-pre)'^' + Kapitalwertdifferenz infolge anderer Bewertung der investitionsprogrammunabhangigen Zahlungen + Kapitalwert der Anderungen der monetaren Aquivalente der Produktionsrestriktionen vom Basis- zum Bewertungsprogramm + Kapitalwertdifferenz der realisierten sonstigen, nicht direkt die Produktion betreffenden Investitions- und Finanzierungsobjekte + korrigierte Kapitalwertdifferenz der gewahlten iibrigen q bzw. q - 1 Prozesse (3

^"^^ Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

5 DiefinanzwirtschaftlicheBewertung von Umweltschutzinvestitionen

145

Wie zuvor verdeutlichen die Darstellungen (5.14a) und (5.14a*) die - bei kapitalwertgleichem Ausschiittungsplan - auf die Umstrukturierung vom Basis- zum Bewertungsprogramm zuriickzufiihrenden Einfliisse auf den Grenzpreis der zu bewertenden Devestition. Dabei ist ausdriicklich wiederum zugelassen, daB sich die produktionsrelevanten Beschrankungen y nach Art und Anzahl andem konnen (aber nicht miissen - dann ware eine Zusammenfassung der beiden Summenterme unter einem Summenzeichen moglich). Fiir ihren EinfluB auf die maximale Zahlungsbereitschaft / den minimal zu fordemden Preis gilt das schon zu den Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz Festgestellte analog: Sofem bei beiden Programmen im Falle einer in gleicher Weise auch nach der Devestition fortgeltenden Begrenzung trotz Zunahme oder Lockerung ihrer Scharfe b^^^ = h^"^

ein Basiswechsel der optimalen Losungen ausbleibt, ist

der Grenzpreis der Devestition um die mit dem Faktor (nz^"^ - 6 • TI;^^^ ) bewertete Anderung zu korrigieren. Einsetzen der passenden Werte TiSf^ und 5-7iS^^ in die zweite Zeile von (5.14a) bzw. (5.14a*) schlieBlich liefert vergleichbar die Auswirkungen auch solcher (Umweltschutzund sonstiger nichtmonetarer) Produktionsbeschrankungen, die Basis- und Bewertungsprogramm mit b-ys^^ 1^ h^^

in unterschiedlichem MaBe betreffen, weil etwa bestimmte Begren-

zungen bei der Durchfiihrung von Devestitionen gelockert werden (ggf. sogar ganz wegfallen) Oder andere Anforderungen hinzutieten.^^o Ist damit nach der fmanzwirtschafdichen Bewertung der Einfiihrung sauberer Technologien auch diejenige der Devestitionen als Mittel der Anpassung an Umweltschutzrestriktionen untersucht, so kann jetzt als formale Verbindung^^i beider auch die Bewertung von Investitionen zur Anderung bestehender Prozesse genauer analysiert werden. Als Zielfunktion des auf das immer gleiche Basisprogramm aufbauenden Bewertungsprogramms ist dazu die allgemeinere des zuletzt betrachteten Falls zugrunde zu legen, kann es doch durch die Anderungen je nach deren Charakter zu Ein- oder Auszahlungen kommen. Die vom Investitionsprogramm unabhangigen Zahlungen uz^ erganzen nicht mit der Produktionsmenge variierende zjg des zu bewertenden Objektes I, und die Anzahl der verbleibenden Prozesse verringert sich auf q-1, zu denen der geanderte I tritt (ohne Beschrankung der Allgemeinheit sei dies wieder der bisherige ProzeB q): max. BEW; U.dJV.

BEW := pi ^ - Pi,e

J q-lm+n - X Zjo • invj - S I Peo • % '^^ • A!^ + ENQ +Pi,a -pi,e j=l (3=1 g=i ^X^ BI I < UZO+ZIO+ I Peo-cpe' "^0 e=l - I z j s - m V j - S L Pes-9e j=l p=i e=i

-^s + ENs < wz^ + zi^-V X Pes • 9e £=1

'^s

VsG { 1 ; 2 ; . . . ; S }

350 Fn. 340 auf S. 139 gilt analog.

146

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

p=l e=l

'ys

8=1

VyG{l;2;...;rj VsG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

-IgWs'ENs

< -GEN^P^

s=0

V j e {1;2;...;J} X,^ < X,^^""

VpG {{ll;;22;;......;;qq--ll;;II}}

invj > 0

Vje{l;2;...;J}

Xs^ > 0

VpG {{ll;;22;;......;;qq--ll;;II}}

ENg > 0

VsG { 0 ; 1 ; ...; S}

Vs G {0; 1; ...; S}

Vs G {0; 1; ...; S}

Pl,a ^ 0 Pl,e ^ 0 Wie nach den vorherigen Ausfiihrungen kaum anders zu erwarten, weist dieses Primalproblem formal eine sehr groBe Ahnlichkeit zu demjenigen zur Bewertung von Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz auf. Lediglich die Zielfunktion und der Wertebereich fiir den Laufindex der zu betrachtenden Produktionsprozesse sind geandert.352 Ergo fiihrt auch eine Betrachtung des zugehorigen Dualproblems zu keinen groBen Abweichungen vom friiheren Fall: min. WRB; WRB:= X s=0

u.d.N.

-GEN°P^5+Iinv°-^j 7=1

-Xzjs-ls+^j>0

p=l

VJG{l;2;...;J}

s=0 Fs m+n

IPes-9e'^'ls+I £=1

I a , , 3 . c p ^ ' P . 7 i '7s ,,+Cs^>0

Vp G {1; 2; ...; q - 1 ; 1}

7=1 e=l

VsG { 0 ; 1 ; . . . ; S } ls-gWs-5 > 0

VsG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

351 Vgl.Abschnitt 4.2.1. 35^ Damit bestatigt sich der friihere Hinweis, daB es im Rahmen dieser Arbeit rechtzufertigen sei, den Fall nicht vorzeichenbeschrankter Grenzpreise pj als Besonderheit aus der Betrachtung von Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz auszuklammern. Er ware namlich mit dem hier vorgestellten Ansatz ohne weiteres zu erfassen, wenn der Laufindex (3 der „alten" Prozesse nicht durch q - 1, sondern q begrenzt ware.

147

5 DiefinanzwirtschaftlicheBewerlung von Umweltschutzinvestitionen ln>l ln=l -In > -1 Vs6 {0;1;. ..;S}

1, > 0 71^3 >

VsG {0;1;...;S}

V Y € { 1 ; 2 ; . ,..•S,}

0

k ^0

V j s { l ; 2 ; . . .;J}

CsP ^ 0

Vp€ {1;2;. . . ; q - l ; l }

Vse {0; 1;...;S}

5 > 0 Aufgrund seiner formalen Ahnlichkeit zum Dualproblem der Bewertung von Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz lassen sich die hinsichtlich des Geltungsbereiches anzupassenden Beziehungen (5.4) bis (5.11) wiederum iibertragen, wobei (5.6) infolge der gleichen Dualrestriktion der Preise wie im Devestitionsfall weiterhin nicht benotigt wird. Fur den Einsatz des geanderten Prozesses I im Zustand s gilt damit wegen der auf (5.9) fiihrenden Komplementaritat, daB sein korrigierter Kapitalwert groBer oder ggf. noch gleich 0 ist. Aus (5.3b)

I K+ZiJ.l^+Ib^.TU^+I^P'^-CP+Xj'^-Cj

vZ-V^^=

s=0

y=l

(3=1

-GEN^P^5+XinvJ-^j j=l

folgt dann in gleicher Weise wie zuvor:' T 1,0

opt _ opt . (5.12b) pj-P^-p^-i

T^korr

s=0

5-GEN"P^ Kapitalwert eines

Kapitalwert der fixen Zahlungen der zu bewertenden Anderungsinvestition

Korrigierter Kapitalwert der prozeBniveauabhangigen ^^^^^^^^^^ ^^^ ^^ ^^^^^^^_

^^"^ Basisprogramm gleichwertigen Ausschuttungsplans

den Anderungsinvestition

S s=0

UZs-Ps,0+ S S 7=1

4- I Kinvo>0

inv^.K,,,j+

I

^P-K^«-

KS^->0

Korrigierter Kapitalwert des von der Anderung nicht betroffenen (verbleibenden) Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen fiir die / aus der Anderungsinvestition)

^^^ Zur Verdeutlichung wurde die Indexmenge {1; 2; ...; q - 1; 1} der Prozesse |3 fiir die Darstellung in Gleichung (5.12b) ein weiteres Mai zerlegt in {1} fiir den durch die zu bewertende Investition geanderten ProzeB im zweiten und {1; 2; ...; q - 1} fiir die Aufsummierung der korrigierten Kapitalwerte aller sonstigen Produktionen im letzten Summenterm. Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

148

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestltionen

Man wird also nur dann in eine Anderung bestehender Produktionsverfahren investieren, wenn der dafiir im Hochstfall zu zahlende (bzw. mindestens zu fordernde) Preis dem (korrigierten) Kapitalwert ihrer zustandsfixen und prozeBniveauabhangigen Zahlungen - seinerseits korrigiert um den Kapitalwert der Umstrukturierungen vom Basis- zum Bewertungsprogramm - entspricht-^^"^ Emeut erhalt man als Riickwirkung von Umweltschutzrestriktionen, daB sie gem. der angepaBten Beziehung (5.9) c.p. die (korrigierten) Kapitalwerte aller Produktionen mit Hilfe der davon betroffenen Prozesse (inkl. des geanderten) verringem werden. Beriicksichtigt man aber, daB von Produktionsanderungen aus Umweltschutzgriinden zumeist besonders verbesserungsfahige Prozesse betroffen sind, so wird man oftmals davon ausgehen diirfen, daB auch hier erst die umweltschiitzende Beschrankung dafiir Sorge tragt, daB sich eine solche Anderung iiberhaupt lohnt. SchlieBlich schaffen dann u.U. erst die durch die Anderung wieder zusatzlich zu gewinnenden EngpaBkapazitaten den Raum fiir eine gewinnbringende Produktion mit dem moglicherweise infolge der Restriktion zunachst unwirtschafdich gewordenen alten ProzeB. Genauer untersuchen lassen sich diese Konsequenzen auf den moglichen Preis der Anderung mit Hilfe der wie bisher herzuleitenden Beziehungen:355

(^.14b)

Pi,a - P l , e -

2.Zls-Ps,0 s=0

+

2. ^s K^°"''^^'^>0

pBew

S s=0

j=l

'^^^is

uz«

•^Ps,0

-^-^s

j+

2. b ^ y=l

s=0

rf -71^

l^p=l

-

2. b ^ y=l

O-Ti;^

(3-1

^^^ Fn. 337 auf S. 136 giltbezogen auf die infolge der Investition geanderten (= wegfallenden + hinzutretenden) prozeBniveauabhangigen Zahlungen und Beanspruchungen der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen in gleicher Weise. 3^^ Die Fn. 353 auf S. 147 behalt fiir den zweiten und den vorletzten Summenterm in (5.14b*) ihre Giiltigkeit, wahrend der letzte aus den urspriinglichen q Prozessen (3 e {1; 2; ...; q} des Basisprogramms auswahlt. Zum Ersatz der Dualvariablen durch (korrigierte) Kapitalwertbeziehungen beim Schritt von (5.14b) zu (5.14b*) vgl. analog den Anhang dieser Arbeit.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5.14b*) p°P'-p°P'= I z „ . p , V +

s +1

),I,o T^korr,Bew

^''"-K

pBew pBas V uBas c --Bas x iBas\ , V uBew _Bew -6-ls + 2 . b^s -^Ts 7=1 Y=l

uzs(p^r-

s=0

,

1

149

V

Oi P'O T^korr,Bew

c

^

'^ Q,o iBas T^korr,Bas

P? a ~ P? e ~ Kapitalwert aller prozeBniveauunabhangigen Zahlungen der zu bewertenden Anderungsinvestition (mit Ausnahme ihres maximal zahlbaren PreisespS;P^-pj;P;)356 + korrigierte Kapitalwerte der Nutzung der sich lohnenden geanderten Prozesse auf ihren maximalen ProzeBniveaus ^g + Kapitalwertdifferenz infolge anderer Bewertung der investitionsprogrammunabhangigen Zahlungen + Kapitalwert der Anderungen der monetaren Aquivalente der Produktionsrestriktionen vom Basis- zum Bewertungsprogramm + Kapitalwertdifferenz der realisierten sonstigen, nicht direkt die Produktion betreffenden Investitions- und Finanzierungsobjekte + korrigierte Kapitalwertdifferenz der gewahlten iibrigen q bzw. q - 1 nicht geanderten Prozesse P Sie entsprechen im wesentlichen den schon bekannten Beziehungen (5.14) und (5.14*), so daB die Interpretation wiederum iibertragbar ist: Auf den Grenzpreis der Anderung bestehender Verfahren wird sich eine Verscharfung oder Lockerung fortgeltender Umweltschutzrestriktionen (d.h. b^^^ = b-ys^^) mit dem Faktor (TI^^^ -6-nz^^)

auswirken, sofern es zu keinem Basis-

wechsel von einer oder beiden der optimalen Losungen kommt. Ftir im unterschiedlichen MaBe wirkende Beschrankungen mit b^^^ ^ b^^^ (bspw. aufgrund von deren Lockerung, Wegfall oder Hinzutreten bei Durchfiihrung der Anderung) haben die passenden Werte fiir n^^

3^^ Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

und

150

5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

^'Ky^^ in die zweite Zeile von (5.14b) bzw. (5.14b*) eingesetzt zu werden, so daB sich bei ausbleibenden Basiswechseln auch deren Preiswirksamkeit bestinimen laBt.^^^

5.2,1.2 Die tinanzwirtschaftliche Bewertung von Investitionen in additive Umvi^eltschutzverfahren zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen Nach den Ausfiihrungen in Abschnitt 4.2.2 zeichnen sich additive UmweltschutzmaBnahmen dadurch aus, daB sie den eigendichen ProduktionsprozeB zwar unangetastet lassen, ihm aber einen Filter vor- oder nachschalten. Formal hat das zur Folge, daB ahnlich wie bei einer Anderung von Produktionsverfahren der Input-ZOutputvektor des betroffenen Prozesses durch einen anderen ersetzt wird. Sofem dies ohne Beschrankung der AUgemeinheit der bisherige q-te ist, heiBt das zunachst, (p^ durch den gem. (4.10) bzw. (4.10*) aggregierten Vektor (^^^^ der Einsatz- und Ausbringungsmengen des (gereinigten) eigentlichen Prozesses und des Filters zu ersetzen.^^s Anders als bei den bisher besprochenen „normalen" Verfahrensanderungen gelten diese Modifikationen freilich nicht fiir jede Nebenbedingung im Bewertungsprogramm, werden doch - die Anforderungen an die im Filter angereicherten Stoffe x^^^'^^'^ oder x^^^'^'^^ verhaltnismaBig weniger restriktiv als an die gesamte (urspriingliche) Ausbringungsmenge x^'^^^ resp. ^Proz,ur ^gg eigendichen Produktionsprozesses und - die direkt nach auBen abgegebene schadstoffreduzierten Ausbringungsmengen fiir mindestens eine der durch die Schadstoffmengenrestriktion beschrankten x^ echt reduziert sein:359,360 V dir - V Proz,dir . ^ EOP,dir _ ^ Proz •^V

~ -^V

V

~ "^V

^ Proz,EOP . ^ EOP,dir ^ ^ Proz ~ "^V

Y dir _ Y Proz,ger , ^ BOP,dir _ „ Proz,ur Ay

— Ay

"t" A y

— Ay

^V

V

^^^, DZW.

^ Proz,Sch , ^ BOP,dir ^ ^ Proz,ur Ay

T Ay

!

v=l

q-1 m+n

-Izjs-invj-l j=l

IPe:r9e'^'^^s + EN3

P=l £=1
rn , eine BOP-MaBnahme

Ausschuttungsplans

S I X

Tls UZg • ps^O +

Tss

X

^25 b y l s • Tlyls +

^45

E

t ) y 2 s ' '^^1%

r5s

+ Z t>y3s • 7i;y3s + X by4s-7Cy4s+ X t)y5s-7ly5s Y3=1 Y4=1 y5=l

+

I Ki„vj>0

K-Ki„,,j+

I

^^"•4:^3

K^3.>0

Komgierter Kapitalwert des verbleibenden Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen der zu bewertenden Investition)

'

159

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5.i4d) pr= izis-pfo^+ 1 ^I'^-^T'^^+iuz^-ip^r-si^i s=0

K^T'^^'^>0 /^pBew pDCW Is

S s=0

'

s=0 nBew ip

pDCW

V uBew ^Bew . v uBew ^Bew , ^ v3s utJew _Be L byis -TCyis + 2 . t)y2s -^728 + L Dy3s -71^3! Yl=l Y2=1 Y3=1

V uBew _Bew ^Bas c _Bas + 2 . D-y4s -71^45 + 2 . 0^55 -TCySs - 2 . D ^ " ^ • 71. y4=l y5=l Y=l

q-1

j=l

(5.14d*)

pr=

s=0

iz,3-p3V+ s=0

l^p=l

p=l

^^'°-K^°,*+iuz3.(p,V-5-l:

K^T'®^'^>0

pBew

S

I

Has

'

s=0

pBew

p Bew

3s — Bew ^Bew , v uBew _Bew Bew ^Bew L Dyls "^yls "^ 2 . Dy2s "^728 + 2 . ^^35 -TZy^s y2=l y3=l s=0 (,Yl=l

+ 1

Bew

Bew

, r!4s V uBew _Bew , 5s v uBew ^Bew + 2 . L)y4s -71^45 + 2 . t)y58 •^y58 " y4=l y5=l

+

I

,0 iBa8 T^Ba8 invyr^-K invj

inv^.KP„t^-5- I

V

TiP»o T^korr,Bew

Bas

v uBa8 5; ^Ba8 2 . Dys * ^ • TC^s

5;

v

TiP'O iBa8 7^korr,Bas

Anhand dieser Darstellungen erkennt man die - bei kapitalwertgleichem Ausschiittungsplan auf die Umstrukturierung vom Basis- zum Bewertungsprogramm zuriickzufiihrenden Einfliisse auf den Grenzpreis der zu bewertenden Investition in additive UmweltschutzmaBnahmen. Dabei wird schon durch die vom Basis- zum Bewertungsprogramm geanderte Indizierung in (5.14c), (5.14c*), (5.14d) und (5.14d*) deutlich, daB sich die produktionsrelevanten Beschrankungen nach Art und Anzahl andem konnen, werden doch zumindest fiir die im Filter angesammelten Substanzen oftmals andere Bedingungen gelten als fiir diejenigen des ungereinigten Prozesses. 5 • Ky^^ gibt nach wie vor den Wert der infmitesimalen Lockerung oder Verscharfung einer im Basisprogramm wirkenden Produktionsbeschrankung (inkl. solcher aus Umweltschutzgriinden) hinsichtlich der Grenzpreisbestimmung der zu bewertenden Investition an. Zusammen mit der -

160

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

soweit vorhanden - entsprechenden Restriktion im Bewertungsprogramm (bewertet durch TCyfs^ , 711^2^' ^YSS^' ^yir oderTTyl^) laBt sich dann unter vergleichbaren Voraussetzungen genauso wie in Unterabschnitt 5.2.1.1 eine Aussage dariiber treffen, welchen EinfluB diese Lokkerung oder Verscharfung insgesamt (also auch - aber nicht nur - bei unveranderter Geltung im Bewertungsprogramm) auf den maximal zahlbaren Preis der Investition hat. Das friiher Gesagte braucht mithin nicht wiederholt zu werden.^^^ Der „Anreiz" einer bindenden Umweltschutzrestriktion auf die Investition in additive Umweltschutzverfahren laBt sich freilich noch in einer anderen Weise konkretisieren: Bereits einleitend wurde festgestellt, wie die Einfiigung eines Filters auf die beschrankungsrelevanten Mengen des betroffenen Produktionsprozesses wirkt. Der Unterschied von Xy^"* zu x^^^^^ oder x^^^^^'"'^, ggf. auch von ^^^^'^^^ zu rj^ ^°^'"^ gestattet, Engpafieinheiten „hinzuzugewinnen'\ Auf diese Weise sind aber nach den Ungleichungen (5.9c) und (5.9d) c.p. hohere korrigierte Kapitalwerte ^X^h ^^ fiirdiemitdem betroffenen ProzeB durchgefiihrten Produktionen moglich - insbes. auch gegeniiber den mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms errechneten korrigierten Kapitalwerten K j^ '

der (im Bewertungsprogramm aufgrund der Ersetzung fik-

tiven) Produktion mit Hilfe des friiheren ungereinigten q-ten Prozesses.^^^ Dem Gewinn an Engpafieinheiten stehen zwar die durch den Filtereinbau hinzutretenden und verschdrften Restriktionen entgegen, doch werden diese entsprechend den einleitend getroffenen Uberlegungen i.d.R. weniger begrenzend als die bisherigen wirken, so dafi dieser Effekt erst mit Verzogerung eintritt. Nichtsdestoweniger ist er im Vergleich der korrigierten Kapitalwerte bereits berUcksichtigt, gehen die Inanspruchnahmen dieser Restriktionen doch iiber den Korrekturterm gem. (5.9c) und(5.9d)in Kj^j^' ^^ ein, wahrend Kj^^^' ^^ ^^ die Situation des Basisprogramms zugrunde legt. Zur Beurteilung der Auswirkungen dieser Gedanken moge folgende Betrachtung helfen: Nach den analog geltenden Herleitungen zu den Gleichungen (5.12) und (5.14) wurde fiir zu wahlende Prozesse in (5.14c) und (5.14d) bereits ^^^'^^"^ durch K^^^'^^"^ ersetzt. Sofern nun - im Bewertungsprogramm gegeniiber dem Basisprogramm unveranderte Ausschiittungsgewichtungenmit gWg

= gWg

= gw^ in alien Zustanden s e {0; 1; ...; S} angenommen

werden,

365 Dies g[\i auch fiir die dortigen Feststellungen zum Vorliegen/Nichtvorliegen eines Basiswechseis. 366 Djes Yvjj.(j jn der direkten Wirkungen normalerweise sogar nicht nur c.p. gelten, zeigen doch die dem (geanderten) q-ten und den Prozessen pG {1;2; . . . ; q - l } zugrundeliegenden Dualrestriktionen fiir die einzelnen Zustande s, daB unmittelbar zunachst - sofern es zu keinem Basiswechsel kommt - tatsachlich nur der gereinigte ProzeB betroffen ist. Indirekt wird die durch die hohere Produktion mit dem gereinigten ProzeB einhergehende andere Beanspruchung der monetaren und nichtmonetaren Nebenbedingungen der Produktion jedoch irgendwann auch den zugehorigen Dualvariablen einen anderen Wert zuordnen (d.h., es fmdet ein Basiswechsel statt), der auch andere (korrigierte) Kapitalwerte und gewohnlich selbst denjenigen des gereinigten q-ten Prozesses I wieder beeinfluBt.

5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

161

- die Voraussetzung der Ersetzbarkeit von 5 in alien relevanten Termen gegeben ist (dies trifft zu, wenn in denjenigen Zustanden, in denen GroBen abzuzinsen sind, sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm positive Entnahmen stattfinden) und - sich im Basisprogramm der Einsatz des q-ten Prozesses im Zustand s lohnt, mithin j^korr,BaslBew ^Qj^^sev A,qs '

kann bei Existenz einer optimalen Losung pj^P^ > 0 (d.h., die Investition in einen Filter ist vorteilhaft) in den Gleichungen (5.14c) und (5.14d) 5 • Cs"^'^^ = K^^q"^'^^''^^"^ gesetzt werden.368 Nehmen nun die K j^^°j^' ^^ aufgnind der hinzugewonnenen EngpaBeinheiten im Vergleich zu den ^XQS

^^' ^^ steigt unter den genannten Pramissen gem. den angepaBten Formeln

(5.14c) und (5.14d) auch der maximal zahlbare Preis pj^P^ fiir den Filtereinbau um diese Anderungen, solange es nicht zu einem Basiswechsel kommt.^^^ Selbst im Falle eines Basiswechsels erlauben die „hinzugewonnenen" EngpaBeinheiten meistens noch eine Ausweitung der Wertschopfung, so daB auch hier der Einbau lohnender wird.

5.2.1.3 Die finanzwirtschaftliche Bewertung des Aufbaus von Recyclingstrukturen zur Anpassung an Umweltschutzrestriktionen Mochte man den Aufbau von Recyclingstrukturen bewerten, so heiBt dies gemaB den Ausfiihrungen in Abschnitt 4.2.3, die von auBerhalb der Einheit aus ProzeB und RecyclingmaBnahme bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. und die von ihr nach auBen abgegebenen Kuppelprodukte ^^ aus den Einsatz- und Ausbringungsmengen cp des Prozesses durch Verringerung um die kreislaufgefuhrten Anteile zu bestimmen. Hierbei lassen sich eine Komponentenbetrachtung und die ggf. erforderliche Variabilisierung der Kreislaufquoten relativ unkompliziert integrieren. Da als Entscheidungsvariablen im Rahmen einer Kuppelproduktion die Niveaus Xf der Prozesse (3 in den einzelnen Zustanden s zu wahlen sind, fiihrt eine Komponentenbetrachtung nicht zu einer Variablenvermehrung,, sondem nur zu komplizierteren Ausdriicken fiir deren Koeffizienten. Im praktischen Anwendungsfall hieBe das, die entsprechenden Werte einzusetzen 3^"^ Vgl. analog die Ausfuhrungen am SchluB des Unterkapitels 3.4. 3^^ Es gilt ^^^'^^s = 0, wenn im Basisprogramm der Einsatz des dort noch ungefilterten Prozesses q im Zustand s abzulehnen ist. Vgl. zur Herleitung den Anhang dieser Arbeit sowie die Ausfuhrungen am SchluB des Unterkapitels 3.4. ^^^ Selbstverstandlich kann es durch die Filterung auch zu Anderungen der unkorrigierten Kapitalwerte infolge der erhohten und mit p oder p^^^*^''^ bewerteten Input-ZOutputmengen (^^^ kommen - und damit ebenfalls zu von K;)^ '

abweichenden korrigierten Kapitalwerten ^^xis

• ^^ ^" dieser letzten Untersuchung

des aktuellen Unterabschnitts aber die Anreizwirkung einer bindenden Umweltschutzrestriktion auf die Investition in additive Umweltschutzverfahren im Zentrum der Betrachtung steht, sei dieser Sachverhalt zwar nochmals erwahnt, nicht jedoch gesondert untersucht - zumal er mit seinen Auswirkungen auf den Grenzpreis des Filtereinbaus iiber die geanderten korrigierten Kapitalwerte in den nach den Erlauterungen im Text angepaBten Gleichungen (5.14c) und (5.14d) bereits abgebildet ist (lediglich die formale Ursache dieser Kapitalwertdifferenzen ist damit eine andere als die Gewinnung von EngpaBeinheiten).

162

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

und der Koeffizient ware nur noch eine Zahl. Weil hier freilich nur die Investition I in die Anderung eines Prozesses betrachtet werden soil (sei dies ohne Beschrankung der Allgemeinheit wieder der q-te), reicht es, die Gleichungen (4.19) bis (4.21) und (4.23) des Abschnittes 4.2.3 auf einen ProzeB (namlich I) zu beziehen. Jewells die auBere Aufsummierung iiber alle q Prozesse (3 kann also entfallen, ware dies doch gleichbedeutend mit insgesamt q Investitionen, die jede fiir sich vorteilhaft oder nachteilig sein konnen.^^o Diese Vorabbetrachtungen fiihren zu folgenden Uberlegungen fiir die Anpassung des in Unterabschnitt 5.2.1.1 entwickelten Bewertungsprogramms an die Beurteilung einer Investition in das Recycling (die nachstehend angegebenen Gleichungen und Ungleichungen entstammen dem Abschnitt 4.2.3): 1. Die auf den ProzeB I eingeschrankte, Objekte zugrunde legende Gleichung (4.23) modifiziert die in den Zustanden s einzuhaltenden Liquiditatsnebenbedingungen.^^i 2. Gleichung (4.19) ist auf der Basis von Komponenten formuliert und betrifft die nichtmonetaren komponentenbezogenen Produktionsnebenbedingungen (d.h., es sind die entsprechenden Zeilen der in Vektordarstellung geschriebenen Gleichung zu verwenden, wenn eine konkrete Input- oder Outputkomponente durch eine auBerhalb der Einheit von ProzeB und RecyclingmaBnahme angreifende Restriktion reguliert wird). Das Fahren des Prozesses I mit variablen Recyclingquoten ist ausdrticklich zugelassen - dafiir ist er im Rahmen einer Diskretisierung in Teilprozesse k zu zerlegen, deren (Teil-)ProzeBniveaus Xf^ in ihrer Summe gem. (4.21) gerade X^ des gesamten Prozesses ergeben. 3. Neben (4.23) werden auch die ganze Objekte betreffenden Produktionsnebenbedingungen durch analog zu (4.19) aufgebaute, Objekte zugrunde legende Gleichungen beeinfluBt.372 4. Da der ursprtingliche ProzeB I zur Betrachtung variabler Kreislaufquoten im Rahmen einer Diskretisierung in Teilprozesse k zerlegt wird, ist die urspriingliche Obergrenze Xg'° gem. (4.21) zugleich gemeinsame Schranke fur alle TeilprozeBniveaus X^. SchlieBlich kann jedes von ihnen zwar die Schranke X^'^ durchaus schon allein erreichen, sie diirfen sie aber in ihrer Gesamtheit iiber alle eingesetzten Teilprozesse k nicht iiberschreiten. 5. Die Gleichungen (4.20) stellen lediglich die „matrixintemen" (Mengenkontinuitats-)Beziehungen zwischen verschiedenen Koeffizienten der Zyklenmatrix REG her. Sie geben namlich an, um welche (ggf. negativen) Verlustquoten die wiedereingesetzten Anteile rec^^ ^^^ geringerals die urspriingUch zuriickgefuhrten reCyf^, ^j^ der Outputkomponenten x^ ^^ sind. - Im Bewertungsprogramm darf damit auf die Modellierung dieser Gleichungen verzichtet werden, sobald die Wiedereinsatz- und Riickfiihrungsanteile unter ihrer Beriicksichtigung kon^^^ Abstrahiert werden soil hier von dem in Abschnitt 4.2.3 zugelassenen Fall, daB die Outputs eines Prozesses p die Einsatzfaktoren i.w.S. eines anderen (p*) ersetzen. ^^^ Es sei nochmals darauf hingewiesen, daB definitionsgemaB stets Objekte (als zusammenfassende Einheiten ihrer Komponenten - im Extremfall auch nur einer) in einem Anteil rec^ an ihrer Gesamtausbringung ^^komp zuriickgefiihrt werden. Sollte im Einzelfall wirklich eine einzelne Komponente co preisbestimmend sein, so kann eine Anpassung gem. den Ausfuhrungen in Unterkapitel 4.1 erfolgen.

163

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

sistent in der Matrix abgebildet sind. SchlieBlich bilden sie nicht einen direkt einzuhaltenden Zusammenhang zwischen den Entscheidungsvariablen X^ ab, sondern nur zwischen deren Koeffizienten - d.h. wegen der aus (4.19) abgeleiteten Beziehung ^au6,I,komp _ y

auB,Ik,komp _ y / p _ Dpr"lk \ . ^B,I,komp jjk _ y

k

k

B,au6,Ik,komp

yjk

k

zwischen den Elementen des Vektors (^^B,au6,Ik,komp 373 6. Die bereits aus Unterkapitel 4.1 bekannten Beziehungen der Objektzusammensetzung ^komp^^.^obj geben die Relation zwischen Objekt- und Komponentenmengen an und sind somit fiir die konsistente Bestimmung der Koeffizienten von besonderer Bedeutung. Speziell zwischen den auf die hier diskutierten Punkte 1 bis 3 zuriickzufiihrenden Darstellungen darf es keine Widerspriiche geben. Im Hinblick auf die Modellierung der Beziehungen der Objektzusammensetzung gilt jedoch das unter 5 Gesagte in gleicher Weise fort. Unter Beriicksichtigung dieser Uberlegungen erhalt man schHeBlich das nachstehende Bewertungsprogramm fiir eine Investition in den Aufbau von Recyclingstrukturen: max. BEW;

BEW := pj J

u.d.N.

q-1 m+n

- 1 Zjo • invj - I j=l M

tj o u-

a

I p,o • (p?'^'"^J • 4 + ENo + Pi e=l

< u z o + Z i o + i ; ^ S Peo -9?'^"''^'^'^+ I PvY'^^ -reci^-x^'^'^^J k Ve=l v=l J

q-1 m+n

- 1 Zjs • invj - I j=l

I

n o u-

Pes • 9 ? ' ^ ' " ' ^ ' ^s^ + EN3

(3=1 e=l m+n

0 s=0

Y2=1

i\p.cP+^I'^-c^

Vje{l;2;...;J}

V ^ mB'P'Obj 1 , V - l P e s - 9 e ^ •'•ls+1 e=l Yl=l r2s + S Y2=1

V o mB,3,obj ^ l ^ e ^ l s - ^ e ^ -^'^Yls e=l m+n Q. I I a e , o o , T 2 s - 9 ? i ' " " " P ' t Y 2 s + C^^O e=l co=l

Vpe {l;2;...;q-l}

V s e {0;1;...;S}

,

- ^Y2S

165

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

X Pes Ve=l

.^B,au6,Ik,obj^^pRec,Ik.^^^Ik

vB,Ik,obj

•Is

Ay

v=l Fis

m+n

7l=l

6=1

7 •^yls

r2s +

m+n Q

S

S

Z

R

R Tk k

ae (O,Y2S • ^E,©"

'

1

' ^""^ • ^y2s

+ Cs ^ 0

Y2=1 e=l co=l

Vk Is - gws • 5 >

0

VsG

Vse {0;1;...;S} {0;1;...;S}

lo > 1 Vse {0;1;...;S}

Is ^ 0 ^yls

^

0

VYlG{l;2;...;riJ

Vse {0;1;...;S}

7CY2S

^

0

V72e{l;2;...;r2s}

Vse {0;1;...;S}

^j

^

Vje{l;2;...;J}

0

VpG { l ; 2 ; . . . ; q - l ; 1}

Cs^ ^ 0 5

>

V s e {0;1;...;S}

0

Ebenso wie zuvor im Falle der Investitionen in additive UmweltschutzmaBnahmen weist also auch der Aufbau von Recyclingstrukturen durchaus eine groBe formale Ahnlichkeit zu den Primal- und Dualproblemen- des Abschnitts 5.2.1.1 auf, so daB sich die dortigen Herleitungen wiederum iibertragen lassen. Durch das geanderte Aussehen der dortigen Komplementaritat (5.5) resultieren freilich andere Beziehungen fiir die korrigierten Kapitalwerte der (Teil-)Prozesse P und Ik im Zustand s. Mit der Kennzeichnung der Formeln der analog zu friiher abgeleiteten Bedingungen durch den erganzenden Buchstaben „e" erhalt man dann: (5.9e)

K^-:=

I

Pes-9?*"^'"J-Is

e=l

K;^,ps Is m+n

£

r2s

m+n Q

I I I

X aeyis-cpe '^^•^•^Yls+ £ X Z ^g w,y2s •9?,!'^^'"^ •^Y2S Yl=l e=l Y2=1 e=l ca=l

Korrektur

^CP

Vp6{l;2;...;q-1} Vs 6{l;2;...;S}

und

166

5 Die finanzmrtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5.9e*) K^-^

m+n ^ 2 . Pes • 9£

r. T, t •

n ^ ^, + 2 . Pvs

rec^x^'^'^'«bj

^?i,Iks

Tis m+n 2. L aeyis-cpe Vyl=l e=l

D Ti u"^yls

r2s m+n Q I V V V o y2=l 8=1 co=l

D DTI I ,-B,au6,Ik,komp

^y2s

Korrektur

^^l

Vk

VSG{1;2;...;S}

Wahrend zu den korrigierten Kapitalwerten der vom Basisprogramm verbleibenden Prozesse P e {1; 2; ...; q - 1} imPrinzip nichts mehr gesagt werden muB, da sie im Unterschied zu den friiheren lediglich hinsichtlich des Korrekturterms genauer spezifiziert sind, um zwischen objekt- und komponentenbezogenen Produktionsbeschrankungen unterscheiden zu konnen, ist dies bei denjenigen der Teilprozesse k der Investition I nicht so einfach. Sie sehen zwar auf den ersten Blick nicht viel anders aus, denn statt der Einsatz- und Ausbringungsmengen (^ der Produktion gehen hier bloB diejenigen ein, die in Erganzung zu den Rezyklaten von auBen bezogen / nach auBen abgegeben werden ((^ ), und die zusatzlich zu beriicksichtigenden (pagatorischen) Kosten der Durchfuhrung des Recyclings verringern den jeweils abzuzinsenden DeckungsbeiRec Ik

trag (Pvs ' ist zumeist negativ). Ebenso gelten die bekannten Entscheidungsregeln I-III aus Abschnitt 3.1.1 fort, wonach sich der Einsatz des Prozesses I im Zustand s auf dem k-ten (Teil-) ProzeBniveau bloB lohnt, wenn sein korrigierter Kapitalwert dort groBer oder ggf. noch gleich 0 ist. Dennoch - wie so oft: „Der Teufel steckt im Detail", d.h. hier in der Dualvariable ^g der gemeinsamen Obergrenze der Teilprozesse k. Sie ist namlich von der Teilmengenzerlegung unabhdngig und kann nur dann positiv sein, wenn die zugehorige primale Nebenbedingung X^s - ^s'^ ^Is Gleichung erfiillt ist. Daraus lassen sich folgende Schltisse fiir einen in der Opk

timallosung eingesetzten ProzeB I ableiten: 1. Fiir blofi einen in der Optimallosung gewahlten TeilprozeB k des Prozesses I mit X^ = X^ '^ ist ein positiver korrigierter Kapitalwert moglich: Die zum TeilprozeBniveau gehorende Komplementaritatsbeziehung laBt (5.9e*) als Gleichung erfiillt sein. Da femer die fiir alle k gemeinsam geltende Obergrenze volUg ausgeschopft wird, erlaubt sie positive Werte fiir die komplementare Dualvariable ^^l Letztlich heiBt dies, daB der durch Recycling erganzte ProzeB rf im Zustand s mit konstanten Kreislaufquoten genutzt wird: RECg = REC. = konst.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

167

2. Werden ein oder mehrere Teilprozesse k des Prozesses I im Optimum mit Niveaus „gefahren", deren Summe noch nicht dem maximalen X^'° entspricht, ist fiir jeden gewahlten TeilprozeB nach (5.9e*) der korrigierte Kapitalwert 0. Diese zunachst verwirrend erscheinende Aussage erhellt sich, wenn man bedenkt, daB einerseits (5.9e*) aufgrund der Komplementaritat zu %^ fiir jeden zum Einsatz gelangenden TeilprozeB k als Gleichung erfiillt ist und andererseits der gesamte ProzeB I sein Maximalniveau A^'° bloB teilweise in Anspruch nimmt. L,^ muB demnach 0 sein, und 11 ist Grenzobjekt. Nichtsdestoweniger kann die Aufteilung zwischen mehreren Recyclingquoten genau in der vorgefundenen Weise durch die nichtmonetaren Produktionsnebenbedingungen (etwa durch Umweltschutzrestriktionen) erzwungen sein, sie muB es aber nicht. 3. Werden mehrere Teilprozesse k des Prozesses I im Optimum zusammen auf jeweils positiven Niveaus Xj^ eingesetzt und schopfen diese gemeinsam das maximale ProzeBniveau A^ '^ aus, so kann ^^ positiv sein, und (5.9e*) ist aufgrund der Komplementaritat zu Xf" fiir jeden verwendeten TeilprozeB k als Gleichung erflillt. Die korrigierten Kapitalwerte werden also fiir alle gewahlten Teilprozesse k gleich und nichtnegativ, ggf. sogar positiv sein, Auch hier gilt offensichtlich, daB die nichtmonetaren Produktionsnebenbedingungen (etwa Umweltschutzrestriktionen) ein Kreislaufquotensplitting erzwingen konnen. Damit laBt sich festhalten: Entweder weist nur ein TeilprozeB k des Prozesses I einen positiven korrigierten Kapitalwert auf, oder alle haben im Falle mehrerer den gleichen. Dieser auf den ersten Blick seltsam erscheinende Effekt ist insofem verstandlich, als es sich beim Kapitalwert um ein Partialmodell handelt, das Grenzgrofien zu seiner Errechnung verwendet. Es ist unerheblich, welcher der betroffenen Teilprozesse die beste Altemative verdrangt oder von ihr verdrangt wird - das Resultat bleibt das gleiche. Ahnlich, wie bei kommunizierenden Rohren der Druck iiberall gleich ist, ist zum Verstandnis bloB wichtig, daB es einen EngpaB gibt und daB die nachste/letzte marginal(5 EngpaBeinheit jedem der positiv bewerteten Teilprozesse in gleicher Weise zugute kommen / ihn beschneiden kann (solange ein Basiswechsel unterbleibt). Uber eine entsprechende Herleitung wie in Unterabschnitt 5.2,1.1 gewinnt man schlieBlich auch den Grenzpreis pi^P^ einer Investition in den Aufbau von Recyclingstrukturen. Dabei darf allerdings der Ersatz von ^^ nicht durch die Summen der positiven korrigierten Kapitalwerte der zu wahlenden Teilprozesse k erfolgen, da nach dem bisher Gesagten die Wahl mehrerer Teilprozesse k des Prozesses I im 3, Fall (die Teilprozesse erflillen zusammen die gemeinsame Obergrenze X^s - ^s'^ ^^^ Gleichung) theoretisch zu einer - im Hinhlick auf die Zielfunktion k

fdlschlichen - mehrfachen BerUcksichtigung des jeweils gleichen positiven korrigierten Kapitalwertes fiihren kann, Daher soil nunmehr gesetzt werden:

(5.9e-) K!^- = 4 X = C S fflr ^''{S:s>^

168

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Es wird also unterstellt, daB der korrigierte Kapitalwert des gesamten Prozesses I im Falle seines Einsatzes nicht der Summe der korrigierten Kapitalwerte seiner gewahlten Teilprozesse k entspricht, sondern bloB demjenigen eines einzigen. Diese Setzung ist - auch vordem Hintergrund der anschlieBenden Verwendung von (5.9e**) - gem. dem angesprochenen Prinzip der kommunizierenden Rohren mit dem Kapitalwert als Partialmodell, in dessen Errechnung mit der letzten verdrangten oder zu verdrangenden Einheit GrenzgroBen eingehen, kompatibel. Jeder der begrenzten Teilprozesse k, der direkt von einer moglichen Lockerung der gemeinsamen oberen Schranke betroffen ist, wird genauso darauf reagieren wie der eigentliche Prozefi I: n kann genauso ausgedehnt werden wie der betroffene TeilprozeB k, handelt es sich doch bloB um eine Marginalbetrachtung. SchlieBlich lieBe sich fur Ir bei seiner Wahl der gleiche positive korrigierte Kapitalwert C,^ wie fur seine genutzten Teilprozesse k ermitteln: Die ProzeBniveaus der zum Einsatz gelangenden einzelnen Teilprozesse k ergeben sich anteilig aus demjenigen des gesamten Prozesses I. Also muB umgekehrt die Summe ihrer mit diesen Anteilen gewichteten (jeweils gleichen) korrigierten Kapitalwerte den gesamten (ebenfalls gleichen) korrigierten Kapitalwert K'^^ = ^^ des gewahlten Prozesses I erbringen.374 Somit lassen sich - bei Unterscheidung auch der Restriktionen des Basisprogramms in objektund komponentenbezogene - die zu den friiheren Gleichungen (5.12), (5.14) und (5.14*) passenden Formulierungen fiir den Grenzpreis pf^^ des Aufbaus einer Kreislauffiihrung bei Indizierung der aus dem Bewertungsprogramm stammenden GroBen mit „Bew" und der korrespondierenden Basisprogrammvariablen mit „Bas" wie folgt angebeni^^s

•^^'* Als alternative mathematische Begriindung liefie sich angeben, da6 mit der Wahl des Prozesses I - ^s "=2-^5 - ^s' ^is Gleichung erfullt ist und damit ein positives ^^ ermoglicht und k

- mit Xj^ > 0 ebenso die entsprechende (im vorliegenden Dualproblem aufgrund der Aufspaltung naturlich bloB fiktive) duale Nebenbedingung als Gleichung erfullt ist. 3*^^ Der Verdeutlichung halber wurde die Indexmenge {1; 2; ...; q - 1; 1} der Prozesse p fiir die Darstellung in den Gleichungen (5.12e) und (5.14e*) abermals zerlegt in {1} fiir den neuen ProzeB im jeweils zweiten Summenterm einerseits und {1; 2; ...; q - 1} fiir die Aufsummierung der korrigierten Kapitalwerte aller sonstigen Produktionen im letzten Summenterm von (5.12e) sowie im vorletzten von (5.14e*) andererseits. Der letzte Summenterm von (5.14e*) hingegen kann aus den urspriinglichen q Prozessen p des Basisprogramms mit den Indizes {1; 2; ...; q} diejenigen mit positivem korrigierten Kapitalwert auswahlen. Fn. 337 auf S. 136 gilt fiir die durch die Investition in die Kreislauffuhrung wegfallenden und hinzutretenden prozeBniveauabhangigen Zahlungen und Beanspruchungen der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen in gleicher Weise, so daB die Abgrenzung der letzten geschweiften Klammer in (5.12e) nicht ganz so sauber ist wie diejenige der zweiten zu Gleichung (348) auf S. 88. Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135. Zum Ersatz der Dualvariablen durch (korrigierte) Kapitalwertbeziehungen beim Schritt von (5.14e) zu (5.14e*) vgl. analog den Anhang dieser Arbeit.

169

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(5.12e) p^^'=

5:zi3-p3,o

+

^I,o.T^korr r - K ?i,Is

1

s=0

_

K^ j" >0

Kapitalwert der fixen Zahlungen fur den Recyclingaufbau

5-GEN°P^ Kapitalwert eines

Korrigierter Kapitalwert der pro,,^„i,,,,,bhangigen Zahlungen ^^^ Recyclings

dem Basisprogramm gleichwertigen Ausschuttungsplans

S

S s=0

+

Yl=l

I

inv^-Kin,,j+

y2=l

^P'°-K korr

I

KS5;>o Korrigierter Kapitalwert des verbleibenden Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen der zu bewertenden Investition)

S

(5.14e) p ^ =

1 zis - p ^ r +

I

I

s

^^'^ - K ^ , - ' ^ - + I uz, -(p^o^^ -5-1;

I

s=0

S s=0

s=0 /^pBew ^ Is

V

uBew _Bew

yl=l pBew

v

uBas c ^Bas

yl=l pBas

_i_ V uBew _Bew v uB^s c ^Bas + L Dy2s •Tiy2s - L by2s-0-7ry2s y2=l y2-l

Bas

j=i

s=o

i^p=i

p=i

170

(5.14e*)

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

pjopt

_

L Zls-Ps,0 s=0

I^korr,Bew >0

f-rBew

S

+ I s=0

1 b V Y2=1

V 1

^ I , o . K k o r T 3 e w ^ ^ ^ ^ ^ /.Bew •\Ps,0 • ^?.,Is s=0

pBas ^ Is

Bew ^Bew

yl=l .

_L +

+

Bas

Yl=l

uBew ^Bew

Bas 2s

bn

51; Bas

Bas yls

Bas c ^Bas

Y2S ''^yls ~ X by2s •6-7ly2s

ir^^r^ i^Bew c invj - K i n v j - O -

y2=l

V ;«..o iBas T^Bas 1 mvj-lo -K^^y; KP/V>O

XP-°.l?-.

^korr,Bas ^?i,|3s

Vergleicht man diese Darstellungen mit (5.12b), (5.14b) und (5.14b*) fiir Investitionen in Produktionsanderungen, so stellt man eine prinzipielle formale Ahnlichkeit fest. Wenn also 6 • 71^^ g^ und 5 • TUyZs di^ Auswirkungen der infinitesimalen Lockerung oder Verscharfung von im Basisprogramm wirkenden Produktionsbeschrankungen (inkl. solcher aus Umweltschutzgriinden) auf den Grenzpreis angeben, so laBt sich zusammen mit den entsprechenden Restriktionen im Bewertungsprogramm (bewertet durch TC^fg^ undTi-y^) unter vergleichbaren Voraussetzungen genauso^'^^ wie in Unterabschnitt 5.2.1.1 eine Aussage dariiber treffen, welcher EinfluB solchen Lockemngen oder Verscharfungen insgesamt (also auch - aber nicht nur - bei unveranderter Geltung im Bewertungsprogramm) auf den maximal zahlbaren Preis der Installation einer Kreislauffiihrung zukommt. Das friiher Gesagte braucht mithin nicht wiederholt zu werden. Den eigentlichen Anreiz fur die Durchfuhrung einer solchen Investition liefert die Reduktion der Einsatz- und Ausbringungsmengen (^ des Prozesses I um die kreislaufgefiihrten Anteile auf die Mengen ^^ ' der von auBerhalb der Einheit aus ProzeB und RecyclingmaBnahme bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. und der von dieser Einheit nach auBen abgegebenen Kuppelprodukte. Dadurch konnen einerseits ggf. teurere Einsatzfaktoren i.w.S. substituiert und andererseits u.U. - wie schon bei additiven UmweltschutzmaBnahmen - Engpafieinheiten (etwa bereits ausgeschopfter Umweltschutzrestriktionen) „hinzugewonnen" werden. Also erlaubt die Produktion mit Hilfe des geanderten Prozesses im Vergleich zu seiner friiheren (im Bewertungsprogramm aufgrund der Ersetzung aber fiktiven) Variante c.p. auf zweifache Weise hohere korrigierte Kapitalwerte, wenn die Recyclingkosten diesen Anstieg nicht wieder aufzehren namlich liber die Preise und die Mengen der von der Kreislauffiihrung betroffenen Substanzen:

Die dortigen Feststellungen zum Vorliegen/Nichtvorliegen eines Basiswechsels gelten analog.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

171

1. Falls der Preis der rezyklierten und sonst anderweitig zu entsorgenden Outputs negativ ist, lassen die niedrigeren Mengen c.p. die unkomgierten Kapitalwerte und damit die korrigiertenKapitalwerte K^^'j^f^'^ nach (5.9e*) sowie letztlich (im Falle des unterstellten Einsatzes des k-ten Teilprozesses) die korrigierten Kapitalwerte K^^j^' ^^ im Vergleich zu den mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms errechneten korrigierten Kapitalwerten ^Xai

^^ ^^ der (im Bewertungsprogramm fiktiven) Variante ohne Ruckfiihrung steigen.

Gleiches gilt, wenn es gelingt, teurere Inputs zu ersetzen. 2. Das Gewinnen von EngpaBeinheiten laBt den Korrekturterm zum (unkorrigierten) Kapitalwert vergleichsweise weniger ins Gewicht fallen, so daB der korrigierte Kapitalwert nach (5.9e*) c.p. ebenfalls steigt. Dies wird in der direkten Wirkung sogar normalerweise nicht nur c.p. gelten, zeigen doch die dem (geanderten) q-ten und den Prozessen p G { l ; 2 ; . . . ; q - l } zugrundeliegenden Dualrestriktionen fiir die einzelnen Zustande s, daB unmittelbar zunachst - falls es zu keinem Basiswechsel kommt - tatsachlich nur der um die Kreislauffiihrung erganzte ProzeB betroffen ist.^"^^ Ahnlich wie im letzten Unterabschnitt im Zusammenhang mit additiven Umweltschutzverfahren laBt sich in (5.14e) bei Existenz einer optimalen Losung pj^P^ > 0 (d.h., die Investition in den Aufbau der Kreislauffuhrung lohnt sich) 5 • Cs"^'^^ = j.kc)iT,BaslBew ^^^^^^^ ^^^^ - im Bewertungsprogramm gegeniiber dem Basisprogramm unveranderte Ausschiittungsgewichtungen mit gWg

= gw^

= gWg in alien Zustanden s G {0; 1; ...; S} angenommen

werden, - die Voraussetzung der Ersetzbarkeit von 6 in alien relevanten Termen gegeben ist (dies trifft zu, wenn in denjenigen Zustanden, in denen GroBen abzuzinsen sind, sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm positive Entnahmen stattfmden) und - sich im Basisprogramm der Einsatz des q-ten Prozesses im Zustand s lohnt, mithin j^korr,BaslBew > Q j ^ 378

Nehmen dann die korrigierten Kapitalwerte K^^^j^' ^^ aufgrund der hinzugewonnenen EngpaBeinheiten im Vergleich zu 5 • ^s^^'^'^ = j^kc)rr,BaslBew ^^^ ^^ j ^ ^ ^^^ Einfuhren einer Recyclingtechnologie iiber (5.14e) auch den dafiir maximal zahlbaren Preis pj^P^ um diese Anderungen

^'^'^ Indirekt wird die - durch die hohere Produktion mit dem durch die Kreislauffuhrung erganzten ProzeB einhergehende - andere Beanspruchung der monetaren und nichtmonetaren Nebenbedingungen der Produktion irgendwann den zugehorigen Dualvaiiablen ebenfalls andere Werte zuordnen (d.h., es findet ein Basiswechsel statt). Dies bleibt dann nicht ohne EinfluB auf die anderen (korrigierten) Kapitalwerte und bertihrt gewohnlich selbst diejenigen des gereinigten q-ten Prozesses I. •^^^ Es gilt ^^'l'^^^ = 0, wenn im Basisprogramm der Einsatz des ursprunglichen Prozesses q ohne Kreislauffuhrung im Zustand s abzulehnen ist. Vgl. zur Herleitung den Anhang dieser Arbeit sowie die Ausfiihrungen am SchluB des Unterkapitels 3.4.

172

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

der komgierten Kapitalwerte steigen.379 Selbst im Falle eines Basiswechsels erlauben die „hinzugewonnenen" EngpaBeinheiten meistens noch eine Ausweitung der Wertschopfung, so daB die Investition lohnender wird.

5.2.2 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen zur Anpassung an Abgaben und Subventionen 5.2.2.1 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Basisprogramm Abgaben und Subventionen setzen am Gewinnziel des Adressaten an, so daB sie im Falle eines Produktionsprogrammplanungsproblems in dessen Zielfunktion - dem Gesamtdeckungsbeitrag GDB - zu integrieren sind.^^o im hier betrachteten Normalfall der mengenabhangigen (variablen) Abgaben und Subventionen, bei denen die Gesamtbelastung oder -entlastung abhangig von der Menge der Bezugsgrundlage ist, ist dies relativ einfach, da eine Abgabe die Erwiinschtheit des betroffenen Objektes verringert, wahrend umgekehrt eine Subvention diese wachsen laBt. Ergo ist im Falle einer Abgabe der Preis pg des betroffenen Objektes % um den entsprechenden Abgabensatz st^ > 0 nach unten zu korrigieren, wahrend die gleiche Aktion bei einer Subvention

(5.15)

GDB((p) = (p - St)' • (p = (p - St)' • M • 2. = GDB(i)

Bei nur auf Objekte bezogenen Preisen, aber auch Komponenten als Basis von Abgaben/Subventionen laBt sich der gewiinschte Zusammenhang wie nachstehend abbilden:382 (5.15*) GDB((p)= (p - st^^y • (p^^J - (st^«"^P)' • cp^^^^^P = [(p - st^^J)^ • M^^J - (st'^'^^'P)' • M^^^'P] • i = GDB(i) Um freilich die Ausfiihrungen nicht unnotig zu verkomplizieren, sei im folgenden die Variante (5.15) zugrunde gelegt, fiihrte (5.15*) doch lediglich auf die Beriicksichtigung eines weiteren ^"^^ Anderungen der unkorrigierten Kapitalwerte infolge der von vorher abweichenden Mengen ^^^ der von auBerhalb der Einheit aus ProzeB und RecyclingmaBnahme bezogenen Produktionsfaktoren i.w.S. und der von ihr nach auBen abgegebenen Kuppelprodukte sind selbstverstandlich genauso moglich (zumal die Kosten der Kreislauffiihrung zu beriicksichtigen sind). Sie fiihren ebenfalls zu Differenzen zwischen Kj^^"' ^ und ^;\„qs'

• ^^^^ ^" dieser Stelle aber die Anreizwirkung einer bindenden Umweltschutzrestriktion auf die

Investition in den Aufbau eines Recyclings im Zentrum der Betrachtung steht, sei dieser Sachverhalt zwar nochmals erwahnt, nicht jedoch gesondert untersucht. Immerhin ist er mit seinen Auswirkungen auf den Grenzpreis der Investition iiber die geanderten korrigierten Kapitalwerte in der nach den Erlauterungen im Text angepaBten Gleichung (5.14e) bereits abgebildet (die Differenzen werden damit bloB anders verursacht, d.h. nicht durch die Gewinnung von EngpaBeinheiten). ^^^ Vgl. zur Beriicksichtigung der unterschiedlichen Varianten von Abgaben und Subventionen in der Produktionsprogrammplanung ausfuhrlich KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 482-488. Die rechtlichen und volkswirtschaftlichen Ausgestaltungsmoglichkeiten diskutiert ebd., S. 78-122. ^^^ „st" ist an den Begriff „Steuer" angelehnt, wenngleich damit sprachlich nur ein sehr kleiner Teil der moglichen Umweltabgaben erfaBt ist. Alternativ waren namlich ebenso Gebuhren, Beitrage oder Sonderabgaben vorstellbar. Vgl. zur Abgrenzung der Abgaben nach deutschem Recht und zu ihrer jeweiligen Eignung als umweltpolitisches Steuerungsinstrument KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 85-116, 529-536. ^^2 Ist zugleich ein Teil der Preise nicht fiir Objekte, sondem fiir Komponenten gegeben, sind ggf. andere Zusammenfassungen moglich. Eine komponentenbezogene Gestaltung von Abgaben/Subventionen ist denkbar, wenn die Verwendung bestinamter Produktbestandteile belastet oder gefordert werden soil.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

173

Termes hinaus, ohne den Darstellungen ansonsten zusatzlichen prinzipiellen Aussagegehalt beizumessen. Da sowieso nur ganze Objekte nach auBen abgegeben oder von dort bezogen werden, bleiben beispielsweise „normale" Schadstoffemissionen (die ggf. als eigenes Objekt zu verstehen sind) weiterhin erfaBt. Ausgehend vom Basisprogramm max. GEN aus Abschnitt 5.1.3 erfordert die eingeschlagene Vorgehensweise die Korrektur der ersten Gruppe von Nebenbedingungen - namlich der Liquiditatsnebenbedingungen - gem. (5.15) um den Abgaben-ZSubventionssatz stgi^^^ (5.16)

J q m+n o o - X z j , - i n v j - X I (PBs-stes)-9r-^^s+ENs < u z 3

Vs G {0; 1; ...; S}

Ansonsten bleibt das Basisprogramm mit dem bisherigen formal identisch. Ebenso andert sich wenig am dazu dualen Problem min. WRG. Hier ist von der Anpassung lediglich die zweite Gruppe der Nebenbedingungen betroffen, d.h. die Dualrestriktionen der ProzeBniveaus X^\ m+n

(5.17)

o

Fs m+n

-I(Pes-stJ-(p°''^-ls+I £=1

I

r,

o

ae^-(pP-7r^+CP>0

Vp e {1; 2; ...; q}

y=l e=l

VsG {0; 1;...;S} Damit erhalt man analog zu vorher fiir die korrigierten Kapitalwerte der im Zustand s wahlbaren Produktionsprozesse ^'?^^ p.l«)

l^^^Bs-- ^ lPes-stesj-9e '^• — - 2. 2. ag^'^e £^1

|0^

Kx,ps

y=l £=1

•-^^ — ^0

iQ

Korrekmr

mit den bekannten Entscheidungsregeln I-III des Abschnittes 3.1.1. Die Einfuhrung einer (mengenabhangigen) Abgabe wird mithin die Vorteilhaftigkeit eines Prozesses erwartungsgemaB eher verringem, diejenige einer Subvention hingegen erhohen. Um nun in den spateren Unterabschnitten die Konsequenzen einer Abgaben- oder Subventionssatzanderung auf den Grenzpreis der dort betrachteten Umweltschutzinvestition im Rahmen einer Sensitivitatsanalyse385 genauer untersuchen zu konnen, ist es erforderlich, sich schon an die-

Eine Integration auch mit der Menge steigender Abgaben- / sinkender Subventionssatze kann auf ahnliche Weise erfolgen wie spater in Abschnitt 5.2.4 die aus der Anpassung an haftungsrechtliche Regelungen folgende Eingliederung von erwarteten Schadenskosten bei der Uberschreitung gegebener Obergrenzen/Sorgfaitsniveaus. Daher kann an dieser Stelle schon auf die spateren Ausfiihrungen verwiesen werden. Im Falle auch mit der Menge sinkender Abgaben- / steigender Subventionssatze indes sind iiber die dortigen Anpassungen hinaus noch besondere Reihenfolgebedingungen erforderlich, um sicherzustellen, dafi der Losungsalgorithmus nicht entgegen der tatsachlichen Interval!folge zuerst die in bezug auf die Zielerreichung gunstigsten Mengenintervalle belegt. Die spateren Ausfiihrungen sind dann zusatzlich entsprechend denjenigen zur Integration von Gesamtdeckungsbeitragsspriingen in Unterkapitel 4.1 zu modifizieren. Die Kapitalwerte der sonstigen, nicht direkt die Produktion betreffenden Investitions-ZPinanzierungsobjekte invj errechnen sich weiterhin nach Formel (5.1) aus Abschnitt 5.1.3. Der Begriff „Sensitivitatsanalyse" ist die buchstabengetreue Ubersetzung des englischen „sensitivity analysis". Stattdessen schlagt MULLER-MERBACH: Operations Research, S. 150 die Bezeichnung „Sensibilitatsanalyse" vor. Sie hat sich aber bisher nicht durchgesetzt, so daB ihr im folgenden nicht gefolgt wird.

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ser Stelle Gedanken iiber die Auswirkungen solcher Anderungen auf den Zielfunktionswert des Basisprogramms zu machen.386 Eine solche Sensitivitatsanalyse ist allerdings u.U. selbst im Basisprogramm aufwendiger als zuvor, andert eine Abgabe oder Subvention stg^ auf einen Produktionsfaktor i.w.S. / ein Kuppelprodukt 8 im Zustand s in der hier betrachteten Problemformulierung doch nicht mehr die rechte Seite einer Nebenbedingung oder - dual dazu - die Koeffizienten der Zielfunktion, sondem nach Ungleichungssystem (5.16) bis zu q Beschrdnkungskoeffizienten auf der linken Seite. Diese sind mit den in den Zustanden s wahlbaren ProzeBniveaus X^ der Produktionsprozesse P verkniipft - also mit Strukturvariablen des Primalproblems. Mithin ist zur Beurteilung der Auswirkungen zunachst zu priifen, ob die betroffenen ProzeBniveaus im bisherigen Endtableau des Simplexalgorithmus (d.h. vor Anderung des Abgaben-ZSubventionssatzes) Nichtbasisvariablen sind oder zumindest zum Teil auch in die Basis eingehen. I Im ersten Fall (alle geanderten Beschrankungskoeffizienten gehoren zu bisherigen Nichtbasisvariablen) bieibt die Losung optimal und damit GEN^P^ als maximale Summe der gewichteten Entnahmen konstant, solange die zugehorigen dualen Nebenbedingungen (5.17) trotz Variation der Abgabe/Subvention noch erfiillt bleiben.^^^ Dies gilt immer, wenn sich die Abgabe erhoht oder die Subvention vermindert, well dann die linke Seite von (5.17) wachst.^^s Es kann aber anfangs auch noch auf sinkende Abgaben- oder betraghch steigende Subventionssatze zutreffen. Ist eine der zugehorigen dualen Nebenbedingungen (5.17) jedoch nicht mehr erfiillt, fiihrt die schwache Dualitatseigenschaft zur Nichtoptimalitat der bisherigen Basislosung. Der Zielfunktionskoeffizient wenigstens einer bisherigen Nichtbasisvariablen wird dann negativ. Also laBt sich der Zielfunktionswert als rechte Seite der Zielfunktion so lange erhohen, wie Nichtbasisvariablen infolge negativer Zielfunktionskoeffizienten in die Basis treten. Damit ist allgemein festzuhalten: Sofem alle betroffenen ProzeBniveaus %^ Nichtbasisvariablen sind, ist im Basisprogramm ausschlieBlich die Senkung mengenabhangiger Abgaben oder das Erhohen mengenabhangiger Subventionen in der Lage, ein Anwachsen des Zielfunktionswertes GEN^^P^ als maximale Summe der gewichteten Entnahmen herbeizufiihren; davon abweichende Variationen dieser umweltpolitischen Instrumente andem ihn nicht. Dieses analytisch gefundene Ergebnis ist auch insofem intuitiv einleuchtend, als ein ohnehin nicht eingesetzter ProzeB (3 bei Verschlechterung seiner Bedingungen (d.h. Erhohung der zu leistenden

^^^ Es wird sich spater zeigen, daB die Effekte auf den Grenzpreis der zu bewertenden Investition mehrstufig zu bestimmen sind. Da dazu die im folgenden zu untersuchenden Falle mit den spateren zu verschranken sind, ginge leicht der Uberblick verloren, wenn die grundsatzliche Vorgehensweise nicht einmai im Vorfeld erlautert ware. Weil auBerdem die mehrstufige Beurteilung die eigenstandige der Konsequenzen fiir das Basisprogramm benotigt, bietet es sich an, diese bereits hier zu erlautem und die Ergebnisse spater zu ubertragen. •^^^ Eine Nichtbasisvariable weist den Wert 0 auf. Daher kann die Koeffizientenanderung die Zulassigkeit der Losung des primalen Problems nicht beeinflussen. Bieibt nun auch die duale Losung wegen der Erfiillung der Nebenbedingungen zulassig, so laBt die schwache Dualitatseigenschaft die Losung des primalen Problems optimal werden. Vgl. dazu und zum Folgenden HiLLlER/LlEBERMANN: Operations Research, S. 152 f. i.V.m. 143, 138 f., 128 f., DINKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 76-78. ^^^ Bei wachsender Belastung der Umweltschadigung werden also umweltfreundliche Verfahren tendenziell eher zugeschaltet werden, mithin Basisvariable sein. Laut der fiir den ersten Fall getroffenen Annahme (die Belastung betreffe ausschlieBlich Koeffizienten von Nichtbasisvariablen) heifit das sogar, daB die Belastung diesen umweltfreundlichen ProzeB nicht beeinfluBt, die betroffene Substanz also als Einsatzfaktor nicht benotigt / als Kuppelprodukt nicht ausgebracht wird.

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Abgabe, Senkung der erhaltenen Subvention) erst recht nicht gewahlt wird,389 wahrend eine Verbesserung dieser Bedingungen ihn womoglich selbst gegentiber bisher gtinstigeren Prozessen interessant erscheinen laBt. Im zweiten Fall (mindestens ein geanderter Beschrankungskoeffizient gehort zu einer bisherigen Basisvariablen) haben diese Andemngen i.d.R. schwerwiegendere Abweichungen des nunmehr angepaBten „letzten" Tableaus vom bisherigen Optimaltableau zur Folge:^^^ Eine Basisvariable zeichnet sich namlich dadurch aus, daB ihr Koeffizient in der zugehorigen Zeile des Optimaltableaus den Wert 1 und in alien anderen Zeilen inkl. der Zielfunktionszeile 0 annimmt. Eine Variation des Abgaben-ZSubventionssatzes stg^ wird indes oftmals in den Spalten der zugehorigen Basisvariablen dieses letzten Tableaus Modifikationen nach sich ziehen, so daB u.U. erst wieder die Normalform hergestellt werden muB und dann eine emeute Priifung auf Zulassigkeit und Optimalitat stattzufinden hat - ggf. mit der Konsequenz weiterer Umformungen nach dem GAUBschen Eliminationsverfahren. Im revidierten „letzten" Tableau fiihrt Ast^^ > 0 als Erhohung des Abgabensatzes / Senkung der Subventionshohe (Ast^g < 0 als Senkung des Abgaben- / betragliche Erhohung des Subventionssatzes) somit aufgrund der definitionsgemaB nichtnegativen Dualvariablen des alten Optimums (das sind im Primalproblem die Zielfunktionskoeffizienten Ig, 71^^, ^j, C^/ und 6 der Schlupfvariablen) tendenziell zum Anwachsen (zur Verringerung) der Zielfunktionskoeffizienten der betroffenen Entscheidungsvariablen X/, wahrend diejenigen der Schlupfvariablen unverandert bleiben. Uber die Anderung der ubrigen Koeffizienten in den Spalten der betroffenen Basisvariablen laBt sich jedoch keine allgemeingiiltige Aussage treffen.^^i Bei positiven Koeffizienten in den Zeilen der betroffenen bisherigen Basisvariablen werden sich die NuUen in den jeweils ubrigen Zeilen einer jeden Basisvariablenspalte (und damit letztlich die Normalfoim) durch Addieren und Subtrahieren positiver Vielfache der Basisvariablenzeile wieder herstellen lassen. Durch den ebenso vorzunehmenden Ausgleich des Zielfunktionskoeffizienten in der Spalte der jeweiligen bisherigen Basisvariablen zu 0 fallt 2^9 So simpel sich diese Erkenntnis audi anhort - es ware iiberlegenswert, ob die Unvorteilhaftigkeit der Nichtbasisprozesse bei isolierter Betrachtung in einem anderen MaBe zunehmen konnte als bei den in der Basis verbliebenen. Dann ware frtiher oder spater ein Basiswechsel denkbar. Das implizierte, daB sicli der aus der simultanen Betrachtung resultierende BewertungsmaBstab (etwa der fur die Partialbetrachtung erforderiiche Kalkulationszins) infolge der Belastungserhohung ebenfalls anderte. SchlieBlich nahme man nach den Ausfuhrungen im Kapitel 3 dieser Arbeit auch in einer Totalbetrachtung unter der Zielsetzung der Maximierung der gewichteten Entnahmen nie ein Objekt in die Optimallosung, dessen mit den richtigen Abzinsungsfaktoren errechneter (korrigierter) negativer Kapitalwert sich noch verschlechtert. Die Schreibweise „bei isolierter Betrachtung" sollte damit schon kenntlich machen, daB der Beurteilende bloB sieht, der Abgabensatz andere sich ausgehend von der bisherigen Situation. Der korrigierte Kapitalwert scheint also schlechter zu werden. Der Beurteilende konnte nun bei Kenntnis der Tatsache, daB es Interdependenzen geben kann, vermuten, daB mit dem Basiswechsel das bisherige schlechtere Objekt aufgrund seiner relativen Vorziehenswiirdigkeit und dem neuen endogenen GrenzzinsfuB insgesamt vorteilhaft wiirde. Die Aussage im Text schlieBt aber das Zutreffen dieser Vorstellung aus. Das ist letztlich insofem verstandlich, als die in der Basis verbliebenen Prozesse annahmegemaB nicht von der Koeffizientenanderung betroffen sein diirfen und sich folglich nicht durch eine Abgabenerhohung/Subventionssenkung verschlechtem konnen. ^'^ Vgl, hierzu und im folgenden die Ausfiihningen zum revidierten Simplexverfahren und zur Revision des alten Optimaltableaus bei HiLLlER/LlEBERMANN: Operations Research, S. 153-155, 146-150 i.V.m. 112-114. Zu einer direkten Bestimmung der Auswirkungen von Anderungen der Beschrankungskoeffizienten von Basisvariablen vgl. DiNKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 78-83.

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(steigt) dann der Zielfunktionswert GEN^P^ im Falle einer als Astgg > 0 zu lesenden Erhohung des Abgabensatzes / Senkung der Subventionshohe (einer in Astg^ < 0 resultierenden Senkung des Abgaben- / betragliche Erhohung des Subventionssatzes) tendenziell, wahrend er sich im umgekehrten Fall negativer Koeffizienten in den Zeilen der betroffenen bisherigen Basisvariablen eher verbessert (verschlechtert).^^^ Zu beriicksichtigen bleibt dabei aber, daB die bisherige Losung bei Riickkonversion in die Normalform unzulassig und/oder nichtoptimal werden kann, wenngleich sie es nicht muB.^^^ SQ Q^_ halt man insbesondere fiir den gerade erlauterten Fall eines negativen Koeffizienten in der Zeile einer betroffenen bisherigen Basisvariablen eine unzulassige Losung, da diese Zeile zur Konversion in Normalform mit einem negativen Wert zu multiplizieren ist - mit der Folge einer negativen rechten Seite im Simplextableau. Der fiir die Zunahme einer Abgabe oder das Sinken einer Subvention, d.h. fiir Astg^ > 0, beschriebene Zuwachs des Zielfunktionswertes GEN^P^ als maximale mogliche Summe der gewichteten Entnahmen ist damit ebenso wie sein Absinken im Falle von Astgg < 0 auszuschlieBen. Eine Abgabensatzsteigerung oder Subventionssatzsenkung (Astgs > 0) laBt also GEN°P^ tendenziell eher sinken, eine Abgabensatzverringerung oder Subventionssatzanhebung (Astg^ < 0) hingegen eher steigen. Dies ist auch insofem verstandlich, als - der Anstieg (das Sinken) von Beschrankungskoeffizienten auf der hnken Seite dazu fiihrt, daB bestehende Beschrankungen - d.h. hier die Liquiditatsrestriktionen - schneller (langsamer) greifen, diese also - relativ betrachtet - gleichsam verscharft (gelockert) werden, und - in keiner einzigen der korrigierten Kapitalwertgleichungen (5.18) die abzuzinsenden Zahlungen fiir Ast^g > 0 steigen oder fiir Ast^^ < 0 fallen,^^^ wahrend gleichzeitig alle Terme a^ys • cpe^'^^ konstant bleiben.^^s

^^^ Dies hangt u.a. von den Vorzeichen der Beschrankungskoeffizienten der urspriinglichen Schlupfvariablen im bisherigen Endtableau ab, die prinzipiell sowohl positiv als auch negativ sein konnen. ^^^ Nimmt ein Koeffizient einer betroffenen bisherigen Basisvariablen im Schnittpunkt ihrer Zeile und ihrer Spalte den Wert 0 an, ist die lineare Unabhangigkeit der Basisvariablenspalten zerstort, so daB die Wiederherstellung der Normalform nicht mehr ohne weiteres moglich ist. Dann sind aufwendigere Berechnungen mit dem Simplexverfahren erforderlich (vgl. HiLLlER/LlEBERMANN: Operations Research, S. 154 sowie DlNKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 78-83, 114-149). ^^^ Vgl. zur Bestimmung der Grenzen fiir eine stabile Losung trotz Variation eines Basisvariablenkoeffizienten DiNKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 79 f. sowie anhand eines Beispiels ebd., S. 81 f. und DANTZIG: Programmierung, S. 312-314. ^^'^ Der Vollstandigkeit halber sei erwahnt, daB diese Aussage auf die abzuzinsenden Zahlungen in den Kapitalwertgleichungen (5.1) der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte in gleicher Weise zutrifft. ^^^ Man konnte demzufolge im Falle einer Abgabenerhohung danach fragen, wo das zusatzlich erforderliche Geld denn herkommen solle, wenn nicht aus den bisher moglichen Entnahmen. Umgekehrt wird im Falle eines Anstiegs der Subventionen c.p. einfach mehr vorhanden sein, um ausgeschiittet zu werden. Besonders verdeutlichen lassen sich diese Wirkungen auf die Entnahmen, wenn es zu keinem Basiswechsel kommt. In diesem Fall bleibt namlich die Struktur der dualen Losung unverandert, so daB sich die (korrigierten) Kapitalwerte der realisierten sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte und der eingesetzten Prozesse nie verbessern, sondern tendenziell fallen. Scheiden hingegen Basisvariablen aus der Losung aus, kann der Zielfunktionswert fiir Astgg > 0 schon deshalb nicht steigen, well die eintretenden Nichtbasisvariablen trotz eines jetzt moglicherweise positiven (korrigierten) Kapitalwertes nicht mehr zur Zielerfiillung beitragen konnen als bei einem Einsatz im gleichen Umfang in der Ausgangssituation. Dort lieferten aber die bisherigen Ba-

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Die ggf. eintretende Nichtoptimalitat bei Riickkonversion in die Normalform schlieBlich beruht etwa darauf, daB gleichzeitig zum Ausgleich des Zielfunktionskoeffizienten in der Basisvariablenspalte zu 0 u.U. einer oder mehrere in den anderen Spalten negativ werden. In solchen Fallen wird man also mit der Bestimmung der optimalen Losung fortfahren mussen.396 Die Abhangigkeit der optimalen Losungsfunktion von der Anderung einer Abgabe oder Subvention ist ferner weder zwingend konkav noch konvex; je nach Art und AusmaB der Variation sind sogar Bereiche ohne endliche Losung vorstellbar.397 So kann insbesondere eine Abgabenerhohung oder Subventionssenkung infolge der geforderten Nichtnegativitat der Entnahmen durchaus zur Produktionseinstellung fiihren, wenn kein Ausgleich durch weitere fmanzielle Zuschiisse erfolgt.

5.2.2.2 Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, fiir Devestitionen und fiir Anderungen von Produktionsverfahren Sind mit (5.15) und der daraus resultierenden Anpassung der Nebenbedingung (5.16) die Modifikationen des Basisprogramms zur Bewertung von Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz, von Devestitionen und von Anderungen von Produktionsverfahren erlautert, so fiihrt ein Vergleich der Struktur der bisherigen Bewertungsprogramme zur Anpassung an Beschrankungen mit dem friiheren Basisprogramm aus Abschnitt 5.1.3 schnell auf die notwendigen Anderungen zur Erzeugung der neuen Bewertungsprogramme zur Anpassung an Abgaben und Subventionen: Umweltschutzrestriktionen stellen nach den bisherigen Ausfiihrungen lediglich besondere Spielarten der allgemeinen Formulierung nichtmonetarer Produktionsbegrenzungen des linearen Grundtyps a'^^ • M • 2ks ^ by^ dar.^^s Also wird sich bei Abstraktion von dieser speziellen Ausgestaltungsvariante nichts gegeniiber Abschnitt 5.2.1.1 im Hinblick auf die Formulierung der drei Bewertungsprogramme andem, so daB es auch hier - wie zuvor im Basisprogramm - nur noch darum gehen kann, Gleichung (5.15) passend zu beriicksichtigen. Damit sind es analog zu (5.16) bloB die bisherigen Liquiditatsnebenbedingungen, die an den Einsatz dieser direkt den Preis der Produktion beeinflussenden marktwirtschaftlichen umweltpolitischen Instrumente anzupassen sind. Das heUBt im Falle einer:

sisvariablen einen mindestens gleich hohen Beitrag. Entsprechend das Umgekehrte gilt fiir Ast^^ < 0, werden doch nur solche bisherigen Nichtbasisvariablen in die Losung eintreten, die einen mindestens genauso groBen Zielbeitrag wie die ausscheidenden Basisvariablen leisten. ^^^ Alternativ ist auch eine direkte Errechnung aus bisherigem Anfangs- und Endtableau i.V.m. der Anderung der Abgabe oder Subvention durchfiihrbar (vgl. dazu die in der vorherigen FuBnote angegebenen Quellen). ^^^ Zu den Folgen einer linearen Optimierang mit parametrischer Variation von Beschrankungskoeffizienten vgl. DiNKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 114-116 (inkl. eines Beispiels mit sich ergebenden nichtlinearen Kurvenabschnitten und einem unterbn^chenem Defmitionsbereich fiir die Parametervariation). Da femer eine Anderung einer Abgabe/Subvention stg^ auf einen Produktionsfaktor i.w.S. oder ein Kuppelprodukt 8 im Zustand s evtl. mehr als nur eine der Entscheidungsvariablen X^ und damit ggf. mehrere Basisvariable betrifft, konnen sich die genannten Effekte sogar noch verstarken (vgl. zu diesem Fall der linearen Optimierung mit einem Parameter bei mehreren Koeffizienten ebd., S. 117-134). Andern sich schlieBIich Abgaben und/oder Subventionen auf mehrere Objekte gleichzeitig, ist auch eine - teilweise oder vollige - Kompensation moglich (vgl. ebd., S. 139, zur linearen Optimierung mit mehreren Parametern ebd. S. 134-149). ^^^ Vgl. dazu auch noch einmal Fn. 328 auf S. 131 dieser Arbeit.

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- Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz: ^

(5.19)

^ "^+"

-Izjo-invj-l •]=\

I

13 ft ft

(Peo-steo)-9?'^-^^o+ENo+Pi

p=l e=l

^ " BI I < UZ0+Z10+ X ( P e O - s t e o ) - 9 e ' "^0

J

^ "^+"

-Izjs-invj-l j=l

ft

Oft

S (Pes-stes)-9E'^-^?+EN3

|3=1 e=l m+n

< UZ3 + Z1S+ I (P8s-stes)-(Pe e=l

-^^s

Vs e {1; 2; ...; S}

- Devestition: J q-1 m+n R R R (5.19a) - I z j o - i n V j - X I ( P e Q - s t e o ) ' ^ e ' ^ ' ^ O + E N 0 +PD,a " PD,e ^ UZQ+ZDO j=l

p=l 8=1

J

q-1 m+n

„

„

- X z j s - i n v j - l X (Pes-stes)'9e''^-^s + ENs < uz^ + z^s j=l p=i e=i VsG { 1 ; 2 ; . . . ; S } - Anderung eines Produktionsverfahrens: J

q-1 m+n

(5.19b) - S z j o - i n v j - I j=l

I(Peo-steo)-98^'^-^?) + ENo+Pi,a-Pi,e

(3=1 8=1 m+n

gJ

< UZ0+Z10+ I ( P e O - S t e o ) - 9 8 ' 8=1 J

J -^0

q-1 m+n

- S z j s ' i n v j - I I (Pes-stes)-9?'^-APs + ENs >=1 p=l 8=1 < UZ3 + Z13+ I

(Pes-stes)-(Pe

-^s

Vs G {1; 2; ...; S}

8=1

Aufgrund dieser doch relativ geringfugigen Modifikationen der Bewertungsprogramme beschranken sich auch die Anderungen der zugehorigen dualen Probleme auf die zweite Gruppe von Nebenbedingungen, d.h. den zu den ProzeBniveaus Xf der Verfahren P im Zustand s dualen. Fiir sie erhalt man in alien drei hier betrachteten Fallen einer Umweltschutzinvestition: m+n

(5.20)

_ o

Fg m+n

- 2 (pes-stJ- 0 wird also bei Beschrankung auf das Bewertungsprogramm den maximal zu zahlenden Preis pI°P^ einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz, p^^^ "Prfe ^^^^^ Devestition 408 inwieweit sich dieser Aspekt hinterfragen laBt, erlautert Fn. 389 auf S. 175 dieser Arbeit.

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Oder p°^^ - ^^l der Anderung eines Produktionsverfahrens eher verringem, Astgg < 0 hingegen erhohen.409 Gekoppelt mit den entsprechenden Folgen im Basisprogramm, die iiber die Mindestentnahmerestriktion ihrerseits mit umgekehrten Vorzeichen auf die Zielfunktion des Bewertungsprogramms wirken,'^^^ j^Bt sich eine GesamtschluBfolgerung - auBer fiir den jetzt nur bedingt relevanten Fall, daB im Basisprogramm ausschlieBlich Nichtbasisvariablen von einer Abgabenerhohung oder Subventionssenkung betroffen sind -^^i nicht mehr allgemeingiiltig ableiten. Diese Aussage ist insofem von Interesse, als sie erlaubt, die zu den Nichtbasisvariablen getroffene (mit im iibrigen gleicher, aus der Natur der Totalprobleme abzuleitender Begriindung) zu iibertragen: Die Einfiihrung einer Umweltabgabe kann - genauso wie die Forderung umweltfreundlicher und im Einzelfall sogar umweltschadlicher Substanzen - dazu fiihren, daB man unter ausschlieBlich okonomischen Gesichtspunkten je nach Situation mehr oder weniger in Umweltschutz zu investieren bereit ist. Alle diese MaBnahmen konnen mithin im Einzelfall durchaus andere als die zunachst vermuteten, ja sogar kontraproduktive Effekte erzeugen. Dabei sei nochmals herausgestrichen, daB anders als zuvor, als ausschlieBlich Nichtbasisvariablen betroffen waren, dies jetzt auch im Falle steigender Abgaben oder fallender Subventionen gilt.'^i^ _ D^J- Grenzpreis einer solchen Umweltschutzinvestition oder Devestition '^^ Auch diese Aussage wird wie die analoge in Unterabschnitt 5.2.2.1 dadurch bestatigt, als in keiner einzigen der (korrigierten) Kapitalwertbeziehungen (5.8) und (5.21) die abzuzinsenden Zahlungen fur Ast^g > 0 steigen oder fiir Astgg < 0 fallen, wahrend gleichzeitig alle Terme a^^ • (pg^'^ konstant bleiben. Die Abhangigkeit der optimalen Losungsfunktion von der Anderung einer Abgabe oder Subvention ist femer weder zwingend konkav noch konvex; insbes. fiir Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz sind aufgrund der hier modellierten Nichtnegativitatsbedingung fiir den maximal zahlbaren Preis je nach AusmaB doVariation wie schon im Basisprogramm Bereiche ohne endliche Losung vorstellbar. Im Falle steigender Abgaben und sinkender Subventionen miiBte dem Untemehmen also u.U. etwas gezahlt werden (mithin die Anderung wenigstens teilweise wieder zuriickgenommen werden), soil es die Investition doch noch durchfiihren. ^^^ Erhohungen von GEN°P^ erfordem hohere Entnahmen auch im Bewertungsprogramm, um es dem Basisprogramm wieder wenigstens gleichwertig werden zu lassen. Das mag gelingen, evtl. aber auch nicht. ^^^ Sind in der Optimallosung des Basisprogramms ausschlieBlich Nichtbasisvariablen von einer Abgabenerhohung oder Subventionssenkung betroffen, so wird die nunmehr - relativ gesehen - starker belastete Substanz dort als Einsatzfaktor nicht benotigt bzw. als Kuppelprodukt nicht ausgebracht. Wenn aber das betroffene ProzeBniveau gleichzeitig Basisvariable im Bewertungsprogramm ist, spielt diese Substanz in der dortigen Produktion gerade eine solche Rolle. Wird also ein schadlicher Stoff mit einer hoheren Abgabe belastet und gelten die aufgefiihrten Voraussetzungen, so ist das gleichbedeutend damit, daB das zu bewertende angeblich umweltfreundlichere Verfahren in Wirklichkeit das umweltschddigendere ist (oder daB alternativ ein umweltfreundlicher ProzeB durch die Devestition eliminiert wird)! Von einer Umweltschutzinvestition kann dann also zumindest im Vergleich zu den noch im Basisprogramm eingesetzten Verfahren keine Rede mehr sein (sehr wohl aber nach wie vor im Vergleich zu solchen Verfahren, die bei niedrigeren Abgabensatzen noch genutzt worden waren, auf dem aktuell hohen Ausgangsniveau hingegen nicht mehr). Da Gleiches gilt, wenn die Subventionierung umweltschadlicher Stoffe zuriickgefahren wird, vermag fiir den in dieser FuBnote untersuchten Fall lediglich eine Senkung der Subventionierung umweltfreundlicher Substanzen von Relevanz zu sein. Dann andert sich GEN°P' namlich nicht, wenn im Basisprogramm bloB Nichtbasisvariablen betroffen sind, so daB im Bewertungsprogramm der maximal zahlbare Preis insgesamt eher sinkt. So sinnvoU aber der Verzicht auf Subventionierungen zugunsten anderer umweltpolitischer Instrumente im Umweltschutz zumeist auch sein mag (vgl. dazu ausfiihrlich KLINGELHOFER: Subventionen sowie KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 116-122), stellt sich doch in diesem letzten verbleibenden Fall die Frage, inwieweit der Staat hier unter sonst gleichen Bedingungen - im umweltfordemden Sinne Umweltpolitik betreibt. "^^2 Insbesondere Abgabenerhohungen und Subventionssenkungen sind bei geltender Nichtnegativitatsbedingung fiir den maximal zahlbaren Preis einer Investition (wie hier etwa fiir Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz unterstellt) sogar geeignet, eine endliche zulassige Losung ganz zu unterbinden. Betrifft dieses Ergebnis aber erst das Bewertungspvogmmm, nicht schon das Basisprogramm, so laBt das nach Fn. 409 auf S. 184 bei genauerer Betrachtung evtl. den SchluB zu, daB dem Untemehmen etwas gezahlt wer-

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wird sich also in aller Regel mit \^ariation dieser umweltpolitischen Instrumente andem, und es ist im jeweiligen Einzelfall zu priifen, ob dies in der politisch intendierten Richtung erfolgt. Das gefundene Ergebnis wird u.a. auch dadurch verdeutlicht, daB eine Abgabenerhohung gem. (5.18) und (5.21) c.p. die korrigierten Kapitalwerte aller davon betroffenen Prozesse vermindert.413 Da die positiven korrigierten Kapitalwerte von Basis- und Bewertungsprogramm aber mit unterschiedlichen Vorzeichen in die Preisgleichungen (5.14*), (5.14a*) und (5.14b*) eingehen, ist keineswegs klar, welche Minderungen iiberwiegen - insbesondere, wenn man sich iiberlegt, daB die zu wahlenden Prozesse mit positiven korrigierten Kapitalwerten zwischen beiden Programmen durchaus differieren konnen. So mogen einerseits steigende Abgaben einen umweltfreundlicheren ProzeB gegeniiber einem schadlicheren vergleichsweise weniger belasten - mit der Folge, daB der Grenzpreis fiir die Investition in den sauberen ProzeB steigt. Da andererseits negative korrigierte Kapitalwerte nicht in die optimale Losung des Basisprogramms eingehen, konnen infolge weiterer Abgabenerhohung dort herausfallende Prozesse nicht mehr zur Erhohung des maximal fiir die Umweltschutzinvestition zahlbaren Preises beitragen, so daB jetzt die Produktion im Bewertungsprogramm vergleichsweise starker belastet wird.'^^^ Entsprechende Argumentationen lassen sich fiir Abgabensenkungen oder Subventionssteigerungen fiihren. Gleichwohl laBt sich unter bestin:imten Voraussetzungen noch eine etwas genauere Aussage fiir eine Investition in die Anderung bestehender Verfahren treffen: Solange im Zustand s - von den mit einer Abgabe (Subvention) belegten Objekten £ im zum Einsatz gelangenden ProzeB I nach der Produktionsanderung tatsachlich weniger (mehr) als im vorher auch gewdhlten ProzeB q + anfallt oder + als Produktionsfaktor i.w.S. eingeht, - diese Objekte £ durch (p^g - st^^,) nach Abzinsung und Korrektur um das diskontierte monetare Aquivalent der Restriktionsinanspruchnahmen - jeweils mit den GroBen des Bewertungsprogramms - negativ (positiv) bewertet werden,'^^^

den miifite (mithin die Anderung wenigstens teilweise riickgangig zu machen sei), soil es die Investition doch noch durchfiihren. Ist das Basisprogmnmi aufgrund mangelnder positiver Entnahmemoglichkeiten nicht losbar, so kann sich im Bewertungsprogramm ggf. wieder eine Losbarkeit ergeben, wenn dort fiir GEN°P^ doWert 0 gesetzt wird. Die Wahl des V/ertes 0 resultiert daraus, daB es fiir ausschlieBlich am Gewinnziel orientierte Unternehmen nicht sinnvoll ist, den Grenzpreis im Vergleich zu einer negativen Summe der gewichteten Entnahmen im Basisprogramm zu bestimmen. Sonst bezahlte man namlich u.U. einen Preis fiir die Durchfiihrung der Investition, dem in dieser Hohe kein Nutzenzuwachs aus der Produktion gegeniiber steht. ^^^ Diese Aussage gilt in jedem Fall so lange, wie es infolge der Abgabenerhohung zu keinem Basiswechsel kommt (c.p.!). Tritt ein solcher jedoch ein, ist zwar nicht auszuschlieBen, daB einzelne der (korrigierten) Kapitalwerte oder der anderen bewertungsrelevanten Terme aufgrund einer geanderten Belegung der Dualvariablen steigen; fiir die in die Preisgleichungen (5.14*), (5.14a*) und (5.14b*) eingehenden Summen trifft dies hingegen nach den in diesem und dem vorherigen Unterabschnitt angegebenen Begriindungen nicht zu. ^^"^ In einem solchen Fall kann sogar die paradoxe Situation eintreten, daB die Umweltschutzinvestition nicht nur okonomisch, sondern auch okologisch unvorteilhaft ist: Wird sie trotzdem getatigt, so mag es erforderlich sein, die durch sie ermoglichten Prozesse auch zu betreiben (um wenigstens einen Teil der anfallenden prozeBniveauunabhangigen Zahlungen wieder zu verdienen). Entfallt nun mit steigendem Abgabensatz ein ProzeB im Basisprogramm ersatzlos, wahrend im Bewertungsprogramm noch mit den neuen weiterzuproduzieren ist, kann der SchadstoffausstoB an die Umwelt investitionsbedingt steigen. "^^^ Sind die Koeffizienten ag^^ des Objektes e in den nichtmonetaren Produktionsrestriktionen nichtnegativ, laBt die Mengenverringerung des Objektes e infolge der abgabeninduzierten Anderung des bisherigen q-ten Pro-

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- der korrigierte Kapitalwert der „Restproduktion" (d.h. auBer e) mit dem ProzeB I gegeniiber dem mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms errechneten der „Restproduktion" mit q nicht sinkt, - es zu keinem Basiswechsel kommt und - die ggf. negativen abgezinsten prozeBniveauunabhangigen Zahlungen Zj^ verdient werden und wenn auBerdem - im Bewertungsprogramm gegeniiber dem Basisprogramm unveranderte Ausschiittungsgewichtungen mit gWg

= gw^

= gw^ in alien Zustanden SG {0; 1; ...; S} angenommen

werden und - die Voraussetzung der Ersetzbarkeit von 5 in alien relevanten Termen gegeben ist (dies trifft zu, wenn in denjenigen Zustanden, in denen GroBen abzuzinsen sind, sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm positive Entnahmen stattfmden), wird sich die mit der Politik verfolgte Zielsetzung, die Betriebe auch unter okonomischen Gesichtspunkten zu einem umweltfreundlichen Handeln zu bewegen, einzelwirtschaftlich erflillen: Laut (5.21) erhoht sich der korrigierte Kapitalwert K^?"^* ^^ des geanderten Prozesses I gegeniiber dem mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms errechneten korrigierten Kapitalwert K^*^^' ^^ ^^ = 5 • ^^^'^^ seiner vorherigen Fassung q, so daB der maximal zahlbare Preis fiir die Produktionsanderung nach (5.14b) c.p. steigt.^^^^ Ist (pgg - st^g) nach Abzinsung und Korrektur um die diskontierten wertmaBigen Kosten der Restriktionsinanspruchnahmen auf Basis der GroBen des Bewertungsprogramms hingegen noch positiv (negativ), kann die Abgabe (Subvention) das Gegenteil des politisch gewUnschten Ejfektes erreichen. SchUeBUch ist es unter sonst gleichen Bedingungen infolge der sich von cp^^'^ zu (pg^'^ andemden Mengen moglich, daB K^°^'^^^ gegenuber K^^q"^'^^''^^^ = 5 • Cs"^'^^ und damit nach (5.14b) auch der Grenzpreis der Produktionsanderung fallt. Fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz und Devestitionen ist eine solche (schon an viele Voraussetzungen gebundene) allgemeingiiltige Aussage jedoch nicht so leicht zu treffen: Hier kann dem hinzutretenden ProzeB I / dem wegfallenden ProzeB q kein Pendant im jeweils anderen Programm zugeordnet werden, so daB man es unter der Voraussetzung, daB I zesses zum umweltfreundlichen I c.p. auch die Kapitalwertkorrektur betraglich nicht wachsen, so daB der korrigierte Kapitalwert hierdurch zumindest nicht sinkt. Im Falle der Subventionierung von Objekten 8 werden diese wenigstens keinen Umweltschutzrestriktionen unterliegen (von einander widersprechenden Regelungen einmal abgesehen) und demnach zumindest die dortigen Koeffizienten ag^ < 0 sein. Andere (a^-^g) konnen freilich positiv sein, so daB die Mengenerhohung des Objektes e zu einem (betraglichen) Anstieg des Korrekturterms fiihren kann und damit einen gegenlaufigen Effekt auf die korrigierten Kapitalwerte verursacht. Dieser gleicht die im folgenden beschriebene Wirkung aber nicht aus, wtirde man doch sonst in I gar nicht erst mehr von den subventionierten Stoffen e erzeugen / einsetzen (also schon die erste Voraussetzung verletzen). ^^^ Vgl. zum Ersatz der positiven Produktterme 6 • ^^^'^^^ durch die mit den Abzinsungsfaktoren des BewerrM«^5programms errechneten positiven korrigierten Kapitalwerte Kj^ '

des im 5a5z\sprogramm in

den Zustanden s eingesetzten Prozesses q den Anhang dieser Arbeit. Weitere Erlauterungen finden sich am SchluB des Unterkapitels 3.4 zur Herleitung der auf S. 91 zu fmdenden Gleichung (3.55).

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nach seiner Installation tatsachlich in einem bestimmten Zustand s genutzt wird / q vor seiner Abschaffung tatsachlich in einem Zustand s zum Einsatz gelangte, in jedem Falle mit einer anderen Basis und entsprechenden Interdependenzen zu tun hat. Verdeutlicht werden sollen die gefundenen Ergebnisse anhand der folgenden, bewuBt einfach gehaltenen Beispiele:

Beispiel 5.1: Wechselnde Vorteilhaftigkeit einer Umweltschutzinvestition infolge der Erhebung einer mengenabhangigen Umweltabgabe Gegeben sei ein unvoUkommener Kapitalmarkt unter Sicherheit mit einer Habenverzinsung (Investitionsobjekt inv^a) von i^^ = 50% und ohne Kreditaufnahmemoglichkeiten. Dem Investor stehe bei vorhandenen Eigenmitteln in Hohe von UZQ = 50 [GE] (mit GE = Geldeinheiten) ein ProduktionsprozeB mit dem Vektor (^^'^^^ = (r^'^^^ xj^'^^^ X2^'^^y = (4; 8; 10)' der je Durchfiihrung der Basisaktivitat als relevant erachteten Einsatz- und Ausbringungsmengen zur Verfiigung, der maximal auf dem Niveau X '^ = 1 0 gefahren werden konne. Dabei moge der folgende Preisvektor angenommen sein: p = (pj.; p^i; Px2) = (^» 5' ^Y- ^^i einmaliger Durchfiihrung des Prozesses werden also mit Hilfe von 4 [ME] (mit ME = Mengeneinheiten) des Rohstoffes a 4 [GE/ME] insgesamt 8 [ME] des ersten Produktes zu 5 [GE/ME] und 10 [ME] des zweiten Produktes zu 3 [GE/ME] erzeugt, d.h., der ProzeB erwirtschaftet bei einmaliger Durchfiihrung einen Gesamtdeckungsbeitrag in Hohe von GDB(:^^^^ = 1) = (p - St)' • i^^'^^^ • l = - 4 - 4 + 5 - 8 + 3 - 1 0 = 54 [GE], sofem keine Abgaben erhoben oder Subventionen gewahrt werden (st = 0). Nimmt man weiterhin bloB eine Betrachtungsperiode von t = 0 bis t = 1 an aus, so erhalt man mit der unterstellten Zielsetzung der Endwertmaximiemng und stj = 0 fiir t G {0; 1} als Basisprogramm: max. GEN;

GEN := 1 • ENj

u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen: -ZHa,0 • inVHa " (Po - ^Y

' ^^''^'' ^o'^' + ENQ

= 1 • invHa - ( ^ • 4 + 5 • 8 + 3 • 10) • XQ^^^ + ENQ < 50 = UZQ

-ZHa,l • invHa - (Pi - sti)'" c^^'"^^' ^i"^^ + ENj = - l , 5 - i n v H a - ( - 4 - 4 + 5 - 8 + 3-10)-?ii^^^ + ENi < 0 = uzi ProzeBniveauobergrenzen:

Xn^Kh^^' < 10

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Nichtnegativitatsbedingungen: invHa, V^^l^^ENo,ENi > 0 Selbst ohne Kenntnis des Simplexalgorithmus'^^'^ laBt sich leicht nachvollziehen, daB das Basisprogramm als Optimallosung GEN^P^ = (50 + 54 • 10) • 1,5 + 54 • 10 = 1.425 [GE] liefert. Dazu ist in beiden Zeitpunkten die Produktion auf ihrem Maximalniveau X ''^ = 10 zu betreiben und der in t = 0 erzielte Gesamtdeckungsbeitrag ebenso wie das Eigenkapital durch Anlage zum Habenzins auf dem Kapitalmarkt nach t = 1 zu transferieren. Die Dualwerte der Liquiditatsnebenbedingungen lauten IQ^^ =1,5 (Anlage zum Habenzinssatz als Opportunitat) und Ij ^ = 1 (Geld in t = 1 kann sofort entnommen werden). Untersuchungen mogen nun festgestellt haben, daB es sich beim zweiten Produkt eigentlich um eine schadliche Substanz handele, weshalb hierauf in t = 0 und t = 1 Abgaben stx2t > 0 erhoben werden soUen.^^s Unter diesen Umstanden erwagt der Investor eine Verfahrensanderung. Sie modifiziere den Vektor der als relevant erachteten Einsatz- und Ausbringungsmengen der Basisaktivitatzu (^^'^ = (r^'^; x^^'^; X2^'V = (4; 9; 7)'; das maximale ProzeBniveau bleibe mit 1^'^ = ^ait,o _ iQ unverandert; fiir die Umstellung und Ingangsetzung seien heute ZJQ = -50 [GE] zu leisten. Mit diesen Informationen resultiert das nachstehende Bewertungsprogramm, das zunachst aber noch - analog zum Basisprogramm - fiir die Ausgangssituation ohne Abgabenerhebung (stx2i = stx22 = 0) angegeben sei: max. BEW;

BEW := pi ^ - Pi,e

u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen: -ZHa,0 • inVHa " (PO " Sto)' * ^^'^ ' h^ + E N Q + pi ^ - Pi,e =

l - i n v H a - ( - 4 - 4 + 5 - 9 + 3 - 7 ) - X o ^ + ENo + P i , a - P i , e

^

50 - 50 = UZQ + ZJQ

-ZHa,l • inVHa " (Pl " s t i ) ' • (^^'^ ' ^^i^ + E N j = - l , 5 - i n v H a - ( - 4 - 4 + 5 - 9 + 3 - 7 ) ' : ^ l ^ + ENi

< 0 = uzi

'^^^ Ein der angegebenen Losung entsprechendes Optimaltableau erhalt man nach vier Iterationen. ^^^ Eine solche Situation, in der ein vom Unternehmen lange als positiv angesehener Output nunmehr aus Griinden des Umweltschutzes als unerwiinscht eingestuft wird, liegt beispielsweise bei Fluorchlorkohlenwasserstoffen (FCKW) vor. Selbstverstandlich lieBe sich aber ein zu vergleichbaren Effekten fiihrendes Beispiel auch fiir die Regulation neutral oder negativ beurteilter Substanzen konstruieren. Auf Basis der gegebenen Daten ware das sogar relativ einfach moglich, indem in den folgenden Betrachtungen gleichsam ein „Grundabgabensatz" in Hohe von 3 [GE] beriicksichtigt wird. Tabelle 5.1 startete dann allerdings erst mit der 5. Zeile der linken Seite; die dariiberliegenden vier bildeten in diesem Falle die Effekte einer Subvention ab.

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Mindestentnahmerestriktion: -ENi < -GEN^P^ ProzeBniveauobergrenzen:

Nichtnegativitatsbedingungen: invHa, h^, ^ 1 ^ E N Q , E N I , pj 3, Pl,e ^

0

Es ist ieicht einzusehen, daB der Investor unter den bisherigen Bedingungen und ohne gesonderten ZuschuB (d.h. unter der zusatzlichen Voraussetzung pj ^ = 0) auf die Andemngsinvestition verzichtete, da er in beiden Zeitpunkten Deckungsbeitrag einbiiBte und zusatzlich sein Eigenkapital UZQ und dessen zinsbringende Anlage verlore. Damit ware das Bewertungsprogramm nicht losbar, weil keine Moglichkeit bestiinde, die Mindestentnahmerestriktion einzuhalten. Erst ein erlaubter ZuschuB pi ^ > 0 (etwa des Staates) kann hier Abhilfe leisten. Seine erforderUche Hohe laBt sich - ebenso wie schon die Losung des Basisprogramms - auch ohne Anwendung des Simplexalgorithmus angeben:'^^^ Aufgrund - der im Bewertungsprogramm gegeniiber dem Basisprogramm unveranderten Ausschiittungsgewichtungen mit gw^

= gw^

= gw^ in beiden Zeitpunkten t e {0; 1} und

- der erfiillten Voraussetzung der Ersetzbarkeit von 5 in alien relevanten Termen (in t = 1 fmden sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm positive Entnahmen statt) lassen sich die in Gleichung (5.14b) bzw. (5.14b*) eingehenden GroBen des Basisprogramms so gem. (3.54) und (3.55) mit der Dualvariablen 5 der Mindestentnahmerestriktion zusammenfassen, daB man die mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramms errechneten korrigierten Kapitalwerte K^°^^'^^^'^^^^ = 5 • ^j^lt,Bas ^^^ ^ Basisprogramm realisierten Produktionen erhalt. Mit 6 = 2/3 (im Basisprogramm werden die Entnahmen in t = 1 maximiert, im Bewertungsprogramm interessieren aber nur die Auswirkungen auf den Preis in t = 0), IQ

=1

(mehr Geld in t = 0 erlaubt einen in gleichem MaBe hoheren maximal zahlbaren Preis) und 1^ = 1/1,5 = 2/3 (mehr Geld in t = 1 ist nur zu erreichen, wenn in t = 0 Geld zum Habenzins angelegt wird und folglich nicht mehr fiir einen noch hoheren Grenzpreis zur Verfiigung steht) errechnet sich dann gem. der angepaBten Gleichung (5.14b*) ein negativer maximal zahlbarer Preis (d.h. ein mindestens zu fordemder ZuschuB) fiir die Durchfiihrung der Anderungsinvestition in Hohe von:420

"^^^ Nach fiinf dualen Simplexschritten erhalt man eine zulassige Basislosung, die zugleich die Optimallosung des Problems liefert und mit der im folgenden durch inhaltliche Uberlegungen hergeleiteten identisch ist. ^-^^ Die angegebene Formel bestatigt zugleich am Beispiel die im Zusammenhang mit (3.55) getroffene Aussage, daB die vom Investitionsprogramm unabhangigen und insofem in beiden Programmen gleichen Zahlungen uZg unter den gegebenen Ersetzbarkeitsvoraussetzungen fiir den hochstmoglichen Preis einer Investition keine Rolle mehr spielen. SchlieBlich werden sie nun in der Preisformel gleich bewertet.

190

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„opt

„opt_

^

- B e w , 0^1,0 T^korr,Bew ,0,1,0 T^korr,Bew ,

P i : a - P l , e - ^I0-P0,0 +^0 ' ^ J O

+'^l

"^Jl

/^^^^

^ 1^^^^

+^^0^0,0 -^-^O

j

y alt,o T^korr,Bas|Bew _ -. alt,o i^korr,Bas|Bew ^0 •^X,alt,0 ^1 •^?i,alt,l

= -50 + 10-50 + 10- — + 50- 1---1,5 -10-54-10- — = - 1 1 6 1,5 1^ 3 J 1,5 3 Um damit den gleichen Nutzen GEN^P* wie zuvor im Basisprogramm zu erreichen, ist auch hier die Produktion in beiden Zeitpunkten auf ihrem Maximalniveau ^ '^ = % '^ = 10 zu betreiben und der auf diese Weise in t = 0 erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag in Hohe von 500 [GE] zusammen mit dem zu erlangenden ZuschuB in Hohe von 116 2/3 [GE] zum Habenzins auf dem Kapitalmarkt anzulegen. Mit der Einfiihrung einer Abgabe stx2t > 0 auf Produkt 2 in beiden Zeitpunkten t, wobei der Einfachheit halber 81^2 = stx2i = stx22 > 0 angenommen werden soil, werden nun die Gesamtdeckungsbeitrage der Produktion sowohl mit dem urspriinglichen ProzeB alt als auch mit dem geanderten I fallen - mit I allerdings langsamer als mit alt, da weniger der belasteten Substanzen entstehen.421 Man erhalt dann in Abhangigkeit von stx2 die in der folgenden Tabelle angegebenen Optimallosungen GEN^P^ des Basis- und pjP^ - pjP^ des Bewertungsprogramms:

Tabelle 5.1: Optimallosungen von Basis- und Bewertungsprogramm in Abhangigkeit von der Hohe des Abgabensatzes Wie unschwer zu erkennen, wachst mit steigendem Abgabensatz si^2 zunachst der Anreiz, in das umweltfreundliche Verfahren zu investieren. Uberschreitet der Abgabensatz die Schwelle von 2 1/3 [GE], beginnt die Umweltschutzinvestition, sich zu lohnen. Bis zu einer Hohe von stx2 = "^^^ Zur Wahl einer Abgabe auf ein bisher als erwiinscht angesehenes Produkt vgl. Fn. 418 auf S. 188.

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191

5,4 [GE] wild dieser Effekt immer deutlicher. Fiir Abgabensatze stx2 > 5,4 [GE] jedoch ist eine Produktion mit \ > 0 im Basisprogramm in keinem der beiden Zeitpunkte t mehr voiteilhaft, well der dann noch erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag jeweils negativ bleibt. Da sich aber nach wie vor eine Anlage des in t = 0 vorhandenen Eigenkapitals UZQ = 50 [GE] zum Habenzins ipj^ = 50% lohnt, andem sich die maximal erzielbaren Entnahmen in t = 1 auch fiir weiter steigende Abgabensatze nicht mehr. Im Hinblick auf das Bewertungsprogramm hat das zur Folge, daB eine weitere Abgabenerhohung nur noch die Umweltschutzinvestition belastet, obwohl eine gleichbleibende Mindestentnahme von 75 [GE] in t = 1 zu gewahrleisten ist. Also erreicht der maximal zahlbare Preis fiir die Verfahrensanderung bei stx2 = 5,4 ein Maximum und sinkt dann wieder; fiir stx2 > 6 5/7 [GE] tritt sogar erneut Unvorteilhaftigkeit ein.'^22,423 Begriindet liegt dies darin, daB der durch die Produktion in beiden Zeitpunkten erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag dann nicht mehr ausreicht, um die in t = 0 fur die Umstellung und Ingangsetzung erforderlichen Zahlungen in Hohe von ZJQ = -50 [GE] zu verdienen. Ab stx2 > 7 1/7 [GE] schlieBlich lohnt sich auch keine Produktion mit dem geiinderten Verfahren mehr, so daB zwar nach wie vor ZJQ = -50 [GE] fiir die Anderung anfallen, dem aber nichts mehr entgegenzusetzen ist. In Umkehrung dieser exemplarischen Ausfiihrungen zum Fall wechselnder Vorteilhaftigkeit der Umweltschutzinvestition bei Abgabenerhohung laBt sich femer ebenso das Verhalten bei Abgabensenkung erlautem. Hierzu moge man die angegebene Tabelle nur in umgekehrter Reihenfolge lesen. Dann zeigt sich, daB sich eine Anderung der aufgrund hoher Abgaben erdrosselten Produktion zu einem umweltfreundlichen Verfahren ab einer Abgabensatzsenkung auf stx2 = 6 5/7 [GE] zunachst lohnt.'^24 ggj weiterer Belastungsverringemng wird jedoch mit Unterschreiten von stx2 = 5,4 [GE] auch der umw(jltschadliche ProzeB vergleichsweise wieder vorteilhafter, was schlieBlich mit Erreichen der Schwelle stx2 = 2,33 [GE] dazu fiihrt, daB eine Investition in das umweltfreundliche Verfahren nur noch beim Erlangen von Zuschiissen durchgefiihrt wird. •

"^^^ Bemerkt sei, daB die im Haupttext genannten Punkte zur einzelwirtschaftlichen Erfiillung der mit der Abgabenpolitik verfolgten Zielsetzung, die Betriebe auch unter okonomischen Gesichtspunkten zu einem umweltfreundlichen Handeln zu bewegen, fiir den Bereich 3 [GE] < stx2 - ^ ^^^ t^E] tatsachlich erfullt sind. Hier weist die Investition einen positiven maximal zahlbaren Preis auf, in den anderen nicht zwangslaufig: Fiir stj^2 - 3 [GE] gilt nicht p^2 ~ ^^x2 *^ 0' ^^^ ^^x2 ^ ^ ^^^ t^^^ ^^^^ ^10 - ~^^ t^^] "^^^^ ^^^^ verdient. ^^^ Zugleich zeigt sich der in Fn. 414 auf S. 185 angesprochene Effekt, denn fiir 6 5/7 [GE] < stx2 < 7 1/7 [GE] lohnt sich die Investition weder okonomisch noch okologisch: Um wenigstens einen Teil der Zahlungen Zjo = -50 [GE] fiir die Anderung zu verdienen, wird man in beiden Zeitpunkten auf Maximalniveau X.''° = 10 produzieren. Dann entstehen allerdings mit jeweils 10 • 7 = 70 [ME] deutlich groBere Mengen des umweltschadlichen Stoffs 2 als bei eingestellter Produktion im Basisprogramm mit 0 [ME]. ^'^'^ Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf die Tatsache, daB die Niveaus beider Prozesse - alt wie I beim hochsten Abgabensatz st^2 = 9 [GE] zunachst Nichtbasisvariablen sind. Da die Produktion mit I friiher in die Basis des Bewertungsprograrrums gelangt als diejenige mit alt in die Basis des Basisprogramms, wird der maximal zahlbare Preis fiir die Investition zunachst steigen. Die im Haupttext unter 1 zunachst fiir Nichtbasisvariablen getatigte und auf den ersten Blick intuitiv vielleicht nicht einleuchtend erscheinende Aussage, Umweltschutz konne an Wert gewinnen, wenn Belastungen umweltschadlicher Stoffe zuriickgefahren werden, fmdet in diesem Beispiel also ihre Bestiitigung.

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Beispiel 5.2: Anpassungen des vorherigen Beispiels zur Demonstration der Auswirkungen von Subventionssatzanderungen Auf Basis des vorherigen Beispiels lassen sich nicht nur die Auswirkungen von Abgabensatzanderungen, sondem ebenso von steigenden oder fallenden Subventionen darstellen. Dazu ist die Tabelle nur etwas anders zu lesen: Der Fall einer Subventionssatzsenkung ist demjenigen einer Abgabensatzerhohung vergleichbar. Die Ausgangssituation ist dann so zu verstehen, daB der urspriingliche Preis px2 = 3 des umweltschadlichen Stoffes 2 bereits eine bisher gezahlte Subvention beinhaltet.425 Seine Verminderung um stx2 laBt sich dann als Senkung der ursprtinglichen Subvention interpretieren. Analog ist im Falle einer Subventionssatzanhebung die Tabelle wie bei einer Abgabensatzminderung von unten nach oben zu lesen, wobei gewissermaBen die Abschlage stx2 von der Maximalsubvention verringert werden. Damit ist fiir das dann erste Intervall bis zum Beginn der Produktion mit dem unsauberen Verfahren alt im Basisprogramm zugleich die Aussage bewiesen, daB die (hier: begrenzte) Subventionierung der Entstehung umweltschadlicher Stoffe (und ein solcher ist der geforderte gemaB Voraussetzung) zu Umweltschutzinvestitionen beitragen kann, wird doch das geanderte Verfahren I friiher lohnend. Mochte man die letzte Aussage allerdings dahingehend ausdehnen, daB eine Subventionierung der Entstehung umweltschadlicher Stoffe selbst dann noch zur Investition in Umweltschutz beitragt, wenn bereits die alten Verfahren eine vorteilhafte Produktion erlauben, sind etwas weiterreichende Modifikationen erforderlich. Sie seien hier nur kurz angerissen: 1. Eine einfache Variante besteht darin, daB das Beispiel nicht als Anderungsinvestition, sondem als Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz modelliert wird. Ist nun der ProzeB alt ausgeschopft und erlaubt nur die Durchfiihrung der Investition I eine erhohte Produktion, so kann selbst die Subventionierung umweltschadlicher Substanzen I sogar in dem Fall noch lohnend werden lassen, daB der durch die Investition ermoglichte ProzeB nicht einmal auf seinem Maximalniveau X'^= 10 in beiden Zeitpunkten geniigend erwirtschaftet, um hohere Auszahlungen als ZJQ = -833 1/3 [GE] fiir die Ingangsetzung auszugleichen. 2. Man denke sich die Input-ZOutputvektoren der beiden Prozesse des vorangegangenen Beispiels dahingehend erganzt, daB neben den genannten Erzeugnissen jeweils noch ein drittes, extrem umweltschadliches Kuppelprodukt entstehe, das allerdings aufgrund bislang ausgebliebener ReguHerung mit dem Preis Px3 = 0 bewertet sei. Es moge im bisherigen ProzeB alt mit 1 [ME] deutlich weniger anfallen als im bisherigen neuen ProzeB I mit 5 [ME], so daB sich bei einer Gesamtbetrachtung die Umweltfreundlichkeit umkehre. Gegeniiber vorher sei femer die RoUe der im Basis- und im Bewertungsprogramm wahlbaren Prozesse vertauscht und der Preis des zu subventionierenden, ebenfalls (aber nicht ganz so) umweltschadlichen Stoffes 2 sei p^2 = ~3. Damit gelten nunmehr folgende Daten als neue Ausgangssituation: p,alt ^ (^,alt. ^^B,alt. ^^B,alt. ^^B,aly ^ (4. 9. 7. ^y

^

425 Auch dieser Fall ist keineswegs vollig untypisch. Man denke etwa an die Subventionierung des Tabakanbaus seitens der Europaischen Union.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

(^B,I ^ (j3,I. ^^B,I. ^^B,I. ^B,ly

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^ (4. g. jQ. j)^^

p = M;5;-3;0)' Der Rest bleibe wie zuvor in Beispiel 5.1; die Auszahlung fur die Ingangsetzung betrage weiterhin ZJQ = -50 [GE], Somit erhalt man die neue Tabelle:

Tabelle 5.2: Optimallosungee von Basis- und Bewertungsprogramm in Abhangigkeit von der Hohe des Subventionssatzes auf umweltschadliche Stoffe Man erkennt, daB sich die Investition zunachst nicht lohnt, sondem bei Einfiihmng einer Subventionserhohung sogar verschlechtert, weil mit dem ProzeB alt schon positive Gesamtdeckungsbeitrage erzielt werden konnen, wenn die Produktion mit I noch unvorteilhaft ist. Erst ab einer Subventionierung mit 0,6 [GE] beginnt der Einsatz von I den Nachteil gegeniiber alt abzubauen, bis der Entscheidende bei einem Subventionssatz von 5,67 [GE] indifferent wird. Noch hohere Subventionssatze auf den (nicht ganz so) umweltschadlichen Stoff 2 schlieBlich lassen die Umweltschutzinvestition auch okonomisch sinnvoll werden. Bei ihr entstehen im gewahlten Beispiel zwar groBere Mengen des Stoffes 2, doch die Einsparung der sehr viel iibleren Substanz 3 kompensiert diesen Effekt iiber.

Es laBt sich ohne Miihe nachvollziehen, daB die in den Beispielen geschilderten Effekte genauso in komplexeren Situationen auftreten konnen: Stehen dem Investor im Basis- wie im Bewertungsprogramm jeweils mehrere Prozesse zur Verfiigung, so ist es trotzdem mogHch, daB einer Oder mehrere Prozesse eher aus der Basis ausscheiden oder in sie hineintreten als andere. Der maximale Nutzen GEN^P^ des Basisprogramms muB dann etwa im Falle einer Abgabensatzsteigerung iiber einen kritischen Satz hinaus zwar nicht konstant bleiben (nicht einmal fiir bloB einen gewissen Umfang weiterer Erhohungen),'^26 (JQ^^ andert sich mit dem Ausscheiden eines okologisch unvorteilhafteren Prozesses aus der Basis des Basisprogramms die Geschwindigkeit der Abnahme von GEN^P^ Dem Absinken des von diesem ProzeB erzielten Deckungsbeitrages ist namlich durch das Herausfallen eine untere Grenze gesetzt (negative korrigierte Kapitalwerte gehen nicht in die optimale Losung des Basisprogramms ein). Gleicht deshalb die Verringerung von GEN^P^ bei weiteren Abgabensatzsteigerungen die gleichzeitige der Entnahmemoglichkeiten

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

im Bewertungsprogramm nicht aus, sinkt der maximal zahlbare Preises flir die Umweltschutzinvestition wenigstens solange, bis auch im Bewertungsprogramm ein Basiswechsel ansteht.

5.2.2.3

Auswirkungen von Abgaben und Subventionen auf das Bewertungsprogramm fiir Investitionen in additive Umweltschutzverfahren Letztlich vergleichbarer Natur wie im vorangegangenen Unterabschnitt sind die vorzunehmenden Anderungen am Bewertungsprogramm fiir additive UmweltschutzmaBnahmen, um den EinfluB von Abgaben und Subventionen abzubilden. Betroffen sind damit die Liquiditatsnebenbedingung der in Unterabschnitt 5.2.1.2 hergeleiteten Primalprobleme. Ahnlich wie es durchaus der Realitat entspricht, daB an die im Filter angesammelten Substanzen andere Anforderungen gestellt werden als an die Einsatz- und Ausbringungsmengen des eigentlichen Produktionsprozesses, sind Differenzierungen nach der Entstehung oder des Anfalls der belasteten/geforderten Substanz auch im Falle von Abgaben st > 0 und Subventionen st < 0 vorstellbar. Analog zu (5.19), (5.19a) und (5.19b) erhalt man auf diese Weise bei Indizierung der auf die im Filter angesammelten Stoffe erhobenen Abgaben und gewahrten Subventionen mit „Filt" fiir eine - Investition in einen nachgeschalteten Filter (EOP-MaBnahme): J

q - l m+n

n

(5.19c) - Z z j o - i n V j - X X ( p e o - s t e o ) ' 9 8 "^ " ^ o + E N o + P i j=l |3=1 e=l ',.-. -i.^

m+n -i-^V^/r.

ot

I(

\ mB,dir,I 'il _^ V /«BB,Filt

= uzo+Zio+ 2. iPeO-steoj-9e

•^0+2.(PvO

.Filt\ ^B,EOP,Filt,I n, I

-^^vO j'^v

'^0

£=1 V=l' J q-l m+n „ ^ - 1 Zjs • invj - I I (Pes - s t e s ) ' ^ e ^ • ^s^ + EN^ j=l (3=1 e=l ^,.^ ^ , ^ " v " / ^ of \ .„B,ciir,I i l ^ v LBB,Filt .Filt\ ^B,EOP,Filt,I -v I ^s • ^\|/s + S\|/,hl ,s - ^

V\|/G {l;2;...;^s}

Vhl Vs G {0; 1; ...; S}

Dualrestriktionen des Zertifikatezukaufs Zert^ jh2,s • Zert+ , , Zert,o ^Zert , v'Zert+ .^p> P\|/,h2,s • k - ^\|/s • ^\|/s + 4.\|/,h2,s - ^ V\|/G { 1 ; 2 ;

;^s}

Vh2 V S G {0;1;...;S}

Dualrestriktionen der Entnahmen ENg: Is > gws

V S G {0; 1;...;S}

Nichtnegativitatsbedingungen: 1, > 0

VSG

4T ^ 0

V\l/G { 1 ; 2 ; . • . ; ^ s }

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

tys

VyG { 1 ; 2 ; . . .;rs}

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

^ 0

{ 0 ; 1 ; . . .;S}

^j ^ 0

V J G { 1 ; 2 ; . . .;J}

CsP ^ 0

VpG {1;2;. ..;q}

Cv|/,hl,s ^ 0

V\}/G { 1 ; 2 ; . . • ; ^ s }

Vhl

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

^Zert+

V\|/G { 1 ; 2 ; . ..;H>J

Vh2

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

^

In die Zielfunktion des dualen Basisprogramms geht also u.a. der als Restriktion der Produktion bewertete Anfangsbestand an Zertifikaten ein, daneben die bewerteten Grenzen der Handelbarkeit. Auch wenn nach (5.25) der Zertifikateanfangsbestand ebenso in die Grenzen der Handelbarkeit einflieBt, so handelt es sich doch keineswegs um gleiche Terme in der Zielfunktion: Der Anfangsbestand als Restriktion der Produktion wird namlich formal als Games wie jede andere nichtmonetare Produktionsbeschrankung bewertet. Im Falle seiner Wirkung auf die Grenzen der Handelbarkeit spielt er hingegen bloB entsprechend den Diskretisierungsintervallen der mengenabhangigen Zertifikatspreisfunktion eine RoUe: Mit jedem Erreichen einer weiteren Intervallgrenze kann sich hier die Bewertung seines Resteinflusses andem.

210

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Uber die zugehorigen Komplementaritatsbeziehungen bei Vorliegen einer Optimallosung sowohl des Primal- als auch des Dualproblems lassen sich femer in Anlehnung an die Erlauterungen aus Abschnitt 5.1.3 die korrigierten Kapitalwerte fiir die im Zustand s wahlbaren Produktionsprozesse (3 sowie fiir die verauBer- und erwerbbaren Zertifikate des Typs \|/ im Preisintervall hi bzw. h2 errechnen:45o m+n

_ „ 1

(5.26) 4 ° > I Pes-cp^'P-f

5I^i^^.^p#/rfae,•cp?•^•^

f "Ps m+n ^ .

lo

\j/=l e=l

K^,|3s

„ „ :n:?.!" ^0

y=\ e=l

Korrektur

cr p.Z/j

, T^xi j-Zertkorr ._ ^Zert- h_ _ , Z e r t , o ^v^s ^ S\j/,hl,s i^-Zert-,\|/,hl,s •" P\|/,hl,s-^; ^^s '-T in ii Kzert-,v|/,hl,s

/c 0Q\ p.iS)

Korrekmr

. TT^^rt >'Zert+ i^korr _ „Zert+ ^s ,KZert,o ^ y s ^ Sn/,h2,s J^Zert+,\|/,h2,s •" -P\i/,h2,s r " + b^g •— 0

V J G { 1 ; 2 ; . . .;J}

X3P > 0

VpG {1;2;. . . ; q - i }

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

Zert~,hl,s

^ 0

Vve

{1;2;. • .;^s}

Vhl

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

Zert^^h2,s

^ 0

V\i/G {1;2; . . . ; ^ s }

Vh2

VSG

{ 0 ; 1 ; . ..;S}

EN3 > 0

VSG

{ 0 ; 1 ; . .;S}

PD,a ^ 0 PD,e ^ 0

Dualproblem: min. WRB; WRB := X V|f=l

s=0

Y=l

- GEN^P^5+ i inv^ -^j + 1 1 X p -^^ j=l S

s = 0 j3=l

^s

+I I

L Zert ' hi^s • C\j/,hl,s + X Zert ' h2 3 • Cy,h2,s

s=0 \j/=l hi

u.d.N.

-Xzj3-l3 + ^j > 0 s=0

h2

VJG{1;2;...;J}

J

216

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

m+n

p.

e=l

% m+n

^ F s n u - n

n/=l 8=1

-^

o

Y=l £=1

Vp6{l;2;...;q-1}

VsG

{0;1;...;S}

Zen1 , , Zert,o ^Zert . v-Zert- ^ p. ~Pv|/,hl,s • k + D^s • ^\|/s + S\|/,hl,s - ^

V\i/G {1;2;...;4'J

Vhl

Vs e {0; 1; ...; S}

Vh2

V s e {0;1;...;S}

Zert+ , , Zert,o ^Zert , i'Zert+ ^ ^ P\|/,h2,s • ^s - t>\j/s • ^\\fs + S\j/,h2,s ^ 'J

Vv|/€{1;2;...;^J Ij - gWj • 5

lo^i

> 0

] lo =

-lo>-l J

Vs6 {0;1;.. .;S}

Is ^ 0 ^Zert

^

TCys > ^j

^

Vse {0;1; ...;S}

p

0

V\|/e {1;2;. ..;^s}

V s e {0;1;. .;S}

Vye {1;2;.. ••,r,}

V s e {0;1;. .;S}

V j e { l ; 2 ; . . .;J}

0

V s s {0;1;. .;S}

V P s {1;2;. • ; q - i }

Cs^ ^ 0 ^-ZertS\|/,hl,s

^

0

Vv|/6 {1;2;. ..;^J

Vhl

Vs€ {0; 1;. ..;S}

v-ZeiHS\j/,h2,s

^ ^

0

V\|/e {1;2;. . . ; 4 ' 3 }

Vh2

V s e {0;1;. ..;S}

5 > 0

- Bewertungsprogramm fur die Anderung eines Produktionsverfahrens: Primalproblem: max. BEW; u.dN.

BEW := pj ^ - Pi,e

J q - l m+n R R B "^^ Zert-Izjo-invj-l I PeO-^e'^'^o" I I Px|/,hl,0 ' Zeit^,hl,0 j=l p=l 8=1 \|/=1 hi ^0

ry

m+n

+ I IP^!h2,oZeit;|;,h2,0+ENo+Pi,a-Pl,e^uzo4-Zio+ I P e O ' ^ ' \|/=1 h2 8=1

"^0

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

- 1 Zjs • invj - I j=l

I

Pes • (pe'^ ' ^s " I

(3=1 8=1

217

I P y M s • Zert^^hl,s

\|/=1 hi

+ 1 I P ^ ^ ! h 2 , s Z e 4 , h 2 , s + ENs < u z s + zi3+ I Pes-9e \|/=1 h2 e=l

-^s

V s e {1;2;...;S} q - l m+n

S Z ag^s -96 p=l £=1

„

o

m+n y - ^ o T T y r t f

-

+

< b^f'°-Zert^3^ q-lni+n

m+n

|3=1 8=1

8=1

VvG{l;2;...;^s}

Vs G {0; 1;...; S}

Vye { l ; 2 ; . . . ; r j

V s e {0;1;...;S}

S

-IgWs-ENs

< -GEN^P^

s=0

Zert-,hi,s^Zert-';j^l3

Vxi/e { 1 ; 2 ; . . . ; ^ 3 }

Vhl

VSG {0;1;...;S}

Zert;,h2,s^Zert;^h2,s

V ^ E {1; 2; ...; 4^3}

Vh2

Vs e {0; 1; ...; S}

invj < invj°

Vj e { 1 ; 2 ; . . . ; J }

X/

VpG { l ; 2 ; . . . ; q - l , I }

< ;^sP'°

Vs G {0; 1; ...; S}

invj > 0

VJG { 1 ; 2 ; . . . ; J }

X^^ > 0

V|3G {l;2;...;q-l,I}

Zert~^hl,s ^ 0

Vv|/G { l ; 2 ; . . . ; ^ s }

Vhl

Vs G {0; 1; ...; S}

Zert;J;^h2,s ^ 0

V\i/G { l ; 2 ; . . . ; ^ s }

^h2

Vs G {0; 1; ...; S}

ENs > 0

VsG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

Pl,a ^ 0 Pl,e ^ 0

]

-^8+ X ag^s •9e' -^s+bvil '° • Z Z e r t ^ ^ i s - X Z e r t ^ h 2 , s 8=1 Ul h2 y

Vs G {0; 1; ...; S}

218

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Dualproblem: S min. W R B ;

WRB :=

I

(uZs + Zis

s=0

1 JL V uZert,o rj^.P^

^Zert • v

u

-n-

7=1 Y=l

\l/=l

f^

-GEN^P^5+Iinv5'-^j+ j=l

I, s=o' v^^+.o

s=0 \i/=lVhl

u.d.N.

S - X z j , . l 3 + ^j s=0

>

0

^Zert+

h2

VJG{1;2;...;J}

Ts m+n m+n ^ ^s m+n ,. V ,-.B,p 1 , V V Zert _B,p _Zert , v v* 2^ P e s - 9 8 I s + 1 2 . ae^s -98 -^M/s + 2^ =.1 C2=.: l ag^s e=l \|/=1 e=l Y=l e=l Vpe {l;2;...;q-l,I}

J,

Vse

^

{0;1;...;S}

ZertZert- 1 , , Zert,o ^Zert , y-Zert- >. ^ V,hl,s • ^s + t)ys • TC^s + Sy,hl,s ^ ^ -P\|/,hl V \ j / e { 1 ; 2 ; . . . ;;^^

J

Vhl

V s e {0;1;...;S}

Vvi/e{l;2;...;^3}

Vh2

VsG

{0;1;...;S}

V\|;e { 1 ; 2 ; . . . ;; 4 ' j

Vse

{0;1;...;S}

V y e { 1 ; 2 ; . . . ;;rs}

V s e {0;| ; i ; - . . ; S }

Zert+ -, , Zert,o Zert , ;'Zert+ ^.^k P\|/,h2,s • As - t>V|/s • ^\|/s + S\|/,h2,s ^ ^

ls-gWs-5

>

0

VsG

{0;1;...;S}

VsG

{0;1;...;S}

lo>l lo=l -lo^-l Is >

0

^Zert

Tlys

0

V j e { l ; 2 ; ...;J} V|3G {l;2;...;q-l;I}

C\|/,h2,s 5

>

0

^

0

V S G {0;1;...;S}

V\|/G { 1 ; 2 ; . . . ^ 3 }

Vhl

V S G {0;1;...;S}

V\i/G { 1 ; 2 ; . . . 4^5}

Vh2

V S G {0;1;...;S}

219

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Durch Gleichsetzen der Zielfunktionswerte BEW^P^ = WRB°P^ von Primal- und Dualproblem nach dem Dualitatstheorem der linearen Optimierung lassen sich in Analogic zu den Gleichungen (5.3), (5.3a) und (5.3b) aus Unterabschnitt 5.2.1.1 die folgenden Beziehungen fiir den Grenzpreis der zu bewertenden Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz / Devestition / Anderung eines Produktionsverfahrens herleiten: - Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz: opt _

(5.29) p^

I

(uzs + zis)-ls+ X b^s'^'^-Zert^s T^y^T "^ X b^'^^Ts \|/=1

s=0

GEN^P^6+Iinv^-^j+

7=1

I

I^p-C^X^'^-C^s

Zert- , V rj^^+^o rZert+ 21 Z^rV',hl,s • W!hl,s + X Zert '^2,s • W!h2,s hi h2 s=0 V}/=1

+I

I

- Devestition:

(5.29a)

vZ-vZ-

(UZS + ZDS)-1S+ X bv^s'^'^-Zert^s -T^X^^ + S b^-^t-ys \|/=1

s=0

j=l

7=1

s=0 P=l

S "Vs

rZert+ 21 ^^^\i/',hl,s' W!hl,s + X Zert '^2,s • C\|/!h2, h2 y s=0 \\f=l Vhl

+ 1 1

- Anderungen eines Produktionsverfahrens: (5.29b) p??-p?P;=

I (uzs+zis)-ls+ X b^r'°-Zert^s -^11/^+ X b^-^7s \\f=l

s=0

7=1

- GEN°P^5+Sinv^-^j+ S j=l S

"Fs /"'

X ^^rt + I I iVhl s=0 \\f=l

s=0 _

q-1

P=l ^

' hi s • C\|/,hl,s + X 2^^rt ' i^2,s' W,h2,s h2

Bereits der Vergleich mit den koiTespondierenden Bestimmungsgleichungen (5.3), (5.3a) und (5.3b) aus Unterabschnitt 5.2.1.1 zeigt, daB der Einbezug von Zertifikatcn und Kompensationslosungen schr zu einer Verkomplizierung der Ausdriicke fiihrt. Zur Herleitung vergleichbarer Preisgleichungen zu den fruheren (5.12), (5.12a) und (5.12b) sowie (5.14), (5.14a) und (5.14b) und schlicBlich (5.14*), (5.14a*) und (5.14b*) des Unterabschnitts 5.2.1.1 wird man also einen ungleich hoheren Aufwand betreiben miissen, hat man doch u.a. schr viel mchr (und umfangrcichere) Dualitatsbeziehungen zu betrachten. Zwar werden davon nicht alle fiir die Interpretation der Auswirkungen von Zertifikatcn und Kompensationslosungen gcbraucht, doch seien zwecks Herleitung der benotigten Formeln die (5.4) und (5.5) ersetzenden Komplemcntaritatsbeziehun-

220

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

gen der Durchfiihrung invj der sonstigen Investitions- und Finanzierungsobjekte, der ProzeBniveaus Xj^ sowie der Zertifikatsgeschafte Zert^ j^^ ^ und Zert^ ^2,5 ^^^ den Fall einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz angegeben: S

(5.30) = (5.4)

invj

=0

Vje{l;2;...;J}

s-0 ^c m+n „

^

r„ m+n

(5.31) X^, E=l

\\f=l e=\

7=1 e=l

VpG {l;2;...;q;I}

(5.32)

Zert"^hi^s • (-Py^U ' h + b^"^'" ' T^\^T + CyTu) = 0 Vxj/G {l;2;...;^s}

/^ a a \ {:>.55)

VSG {0;1;...;S}

Vhl

Vs e {0; 1; ...; S}

^7^^+ / Zert+ , , Zert,o ^Zert , ;'Zert+ \ p. Z'ert^j^2,s •(^P\}/Ji2,s ^s " V ' ^ y s + S\|/,h2,sj " ^

V\|/e { 1 ; 2 ; . . . ; ^ J

Vh2 Vs e {0; 1; ...; S}

Sie gelten fur eine Devestition und die Anderung eines Produktionsverfahren in gleicher Weise, sofem man in (5.31) den Geltungsbereich des Laufindexes p der ProzeBniveaus fiir Devestitionen auf die Menge { l ; 2 ; . . . ; q - l } und fiir Anderungen von Produktionsverfahren auf {1; 2; ...; q - 1; 1} einschrankt. Ferner folgt unter der Bedingung der Existenz einer optimalen Losung BE^P^ = WRB^P^ = Pl°P^ > 0 fiir Investitionen in den produktionsintegrierten Umweltschutz wegen (5.34) = (5.6)

pi-(lo-l) = 0

emeut IQ = 1. Also erhalt man fiir den Abzinsungsfaktor p wiederum: (5.35)

Ps,o:=r = ls^l

Vse{0;l;...;S}

Diese Losung laBt sich auch fiir Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren analog herleiten, doch folgt dort IQ = 1 schon aus den Bedingungen des Dualproblems. Fiir sonstige Investitions- und Finanzierungsobjekte j , fiir einsetzbare Produktionsprozesse p (inkl. des auf die zu bewertende Investition/Verfahrensanderung I zuruckzufiihrenden neuen) sowie fiir verauBer- und erwerbbare Zertifikate (oder fur mogliche Kompensationen durch ande-

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

221

re und bei anderen) vom Typ \j/ im Preisintervall hi bzw. h2 erhalt man damit als (korrigierte) Kapitalwerte:454 (5.36)

S S Kinv,j:= I z j s - l s - I z j s - p s ^ O s=0 m+n

(5.37)

^ ^j

Vj G {1; 2; ...; J}

s=0

4 f s : = IPes-cPe^'P-l.£=1

^s ni+n ^ r m+n Y Y oZert ^^B,p ^Zert , y V o

^ 1^\|/=1 £=1

-^=1 £=1

^;v,|3s

m^'P 0

+

I 1^ korr Zert-,v,hl,s >0

+

X

Zert-^.-K^-"^ V,hl,s '^Zert-,\|/,hl,s ^^^rt\j/',h2,s •^Zert+,\i/,h2,s

*^Zert+,vi/,h2,s>0

als korrigierter Kapitalwert des Bewertungsprogramms ohne die Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz / des nach der Devestition verbleibenden Restes des Bewertungsprogramms (aber ohne den fiir die Devestition zu zahlenden oder zu erhal-

^^^ Als Indexbereich moglicher Prozesse (3 im zweiten Summenterm der zweiten Zeile von Gleichung (5.44*) kommen nur die q von der Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz bzw. q - 1 von der Devestition Oder Anderungsinvestition nicht betroffenen Aktivitaten des Basisprogramms in Frage; I gehort also nicht dazu.

224

5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

tenden Preis) / des von der Anderung nicht betroffenen (verbleibenden) Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen fiir die oder aus der Anderungsinvestition). Ein Vergleich der drei jeweils mit (5.44*) verbundenen Formeln (5.44), (5.44a) und (5.44b) zur Bestimmung des maximal zu zahlenden Preises pj^P^ einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz, p^^^ "Pife ^^^^^ Devestition oder pj*^ -Pi^^ der Anderung eines Produktionsverfahrens unter Beriicksichtigung des Vorliegens von Kompensationsmoglichkeiten oder eines Zertifikatehandels mit den zugehorigen (5.12), (5.12a) und (5.12b) aus Unterabschnitt 5.2.1.1 bei Umweltschutzrestriktionen zeigt, daB Kompensationslosungen und Zertifikate nicht nur iiber die durch sie gebildeten Beschrankungen der Produktion, sondem ebenso uber die gegebene Moglichkeit des Emissionsrechtehandels in die Grenzpreisfmdung eingehen. Eine genauere Aussage hierzu hat allerdings zu beriicksichtigen, daB die genannten Effekte auch schon auf das Basisprogramm EinfluB haben und insofem liber die Mindestentnahmerestriktion die Wirkung im Bewertungsprogramm wieder aufheben konnen. Zwecks griindlicherer Betrachtung dieser Zusammenhange soil deshalb analog zu (5.13) aus Unterabschnitt 5.2.1.1 fiir die Optimallosung GEN^P^ des Basisprogramms wegen Gleichheit diejenige (WRG^P^) des zugehorigen Dualproblems in (5.29), (5.29a) und (5.29b) eingesetzt werden, um zu Gleichungen zu gelangen, die den friiheren (5.14), (5.14a) und (5.14b) entsprechen. Beriicksichtigung fmden dabei die Beziehungen, mit deren Hilfe schon in (5.44), (5.44a) und (5.44b) die Dualvariablen Q ersetzt wurden. Auf diese Weise erhalt man bei Indizierung der aus dem Bewertungsprogramm stammenden GroBen mit „Bew" und der korrespondierenden Basisprogrammvariablen mit „Bas" fiir eine: - Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz: s (5.45)

Pi^ = Z z i s - P s o

+

Z

As •K;^is

+p

- Devestition: /c /1C \

opt

opt

S v

^Bew ,

Rest

(5.45a) pjj;^ -pcT^^ = 1 ZDS • Ps,o +P s=0

- Anderung eines Produktionsverfahrens: /c /icu\ (5.45b)

opt opt V ^Bew , V -^I'O irkorr,Bew , ^Rest Pi,a - P l , e = ^ Z i s - P s , o + L K '^X^ls +P s=0 K^%^'^^^>0

Mit - q"^^^ = q im Falle einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz sowie - q"^^^ = q - 1 im Falle von Devestitionen und Anderungen von Produktionsverfahren ist dabei fiir p

der folgende Term einzusetzen:

225

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

^Rest (5.46) ?"•="=

i s=0

V.

Bew

's,0

•

51;Bas

pBas

rl Y=l

Zert,o y .AB,Bew • Zert; \|/s

Bew _Bew 7S

•5-7Cv Y=l

Zert,Bew

Zert,o

•^\J;S

AB,Bas c Zert,Bas 8-It \|/S

Zert;\|/s

X|/=l

^2^Mew.^5.^P,I j=i

s s=0

rkorr,Bew

i^korr.Bew^

v 1

v

uZert,o r,

AB,Bas 5? _Zert,Bas

;^wO iBas T^Bas invj-lo -Kinvj

cj

v

"i 3.o iBas i^rkorr.Bas

j^konBas^O

^,3 a. -h

V 2-

7ot-t~'O.Bew T^korr,Bew ?? Z.en jjjg " ^ Z e r t - . x i / . h l . s " " "

V /"

v^rt-^'^'Bew Tv-koiTjBew ' ^ ^ % , h 2 , s '^Zert+.xi/.hZ.s

iv-korr,Bew . ^ ^Zert-,y,hl,s>^

4u

Y ^

T^korr.Bas ^n ^Zert-,v,hl,s>^

o ^'

v-korr,Bew /^ ^Zert+,V|/,h2,s^"

7oH^-,o,Bas iBas T^korr,Bas " ^ ^ ^ . h l . s "^0 •^Zert-,\i/,hl,s

Y J^

7^rt+.o,Bas iBas i^korr,Bas ^^\^,\i2,s '^0 •^Zert+,\|/,h2,s

^korr.Bas ^f^ '^Zert+,y,h2,s>^

Sie laBt sich etwa zusammen mit (5.65) fiir Investitionen in produktionsintegrierten Umweltschutz unter den Bedingungen eines Zertifikatesystems wie folgt interpretieren: pJ^P = Kapitalwert aller prozeBniveauunabhangigen Zahlungen der zu bewertenden Investition (mit Ausnahme ihres maximal zahlbaren Preises pj^^^ Y^^ + korrigierte Kapitalwerte der Nutzung der sich lohnenden neuen Prozesse auf ihren maximalen ProzeBniveaus X^'^ + Kapitalwertdifferenz infolge anderer Bewertung der investitionsprogrammunabhangigen Zahlungen + Kapitalwert der Andemngen der monetaren Aquivalente der sonstigen und der durch die ZenifikaiQanfangsbestdnde konstituierten Produktionsrestriktionen vom Basis- zum Bewertungsprogramm + Kapitalwertdifferenz der realisierten sonstigen, nicht direkt die Produktion betreffenden Investitions- und Finanzierungsobjekte + korrigierte Kapitalwertdifferenz der

gewahlten iibrigen

Prozesse

N{l;2;...;q} + korrigierte Kapitalwerte der Anderungen im tatsachlichen Zertifikate/ianJe/ vom Basis- zum Bewertungsprogramm Damit verdeutlichen die jeweils mit (5.46) oder (5.46*) verbundenen Gleichungen (5.45), (5.45a) und (5.45b) wieder die - bei kapitalwertgleichem Ausschiittungsplan - auf die Um-

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

227

strukturierung vom Basis- zum Biewertungsprogramm zuriickzufuhrenden Einfliisse auf die Grenzpreise pf^^ der zu bewertenden Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz, p^^ - p^^g der Devestition und p^^ - pj^^ der Anderung bestehender Verfahren. Man erkennt auf diese Weise mehrere unterschiedliche Ansatzpunkte der Wirkung einer bestehenden Kompensations-ZZertifikatelosung auf die maximale Zahlungsbereitschaft: 1. Einerseits kommt diesen umweltpolitischen Instrumenten eine Mengenwirkung zu, die derjenigen von Umweltschutzrestriktionen vergleichbar ist: Der Anfangsbestand an Emissionsrechten definiert eine zunachst einzuhaltende Emissionsobergrenze, die - wie eine Gegeniiberstellung der 2. mit der 1. Zeile von (5.46) oder (5.46*) zeigt - auf gleiche Weise wie eine Produktionsbeschrankung den maximal zahlbaren Preis beeinfluBt. Entsprechend flihrt eine Gegeniiberstellung der jeweils mit (5.46) oder (5.46*) verbundenen Gleichungen (5.45), (5.45a) und (5.45b) und der korrespondierenden (5.14), (5.14a) und (5.14b) oder (5.14*), (5.14a*) und (5.14b*) aus Unterabschnitt 5.2.1.1 auf eine Ubertragbarkeit der friiheren Ausfiihrungen: Sofern es im Falle einer nach der zu bewertenden MaBnahme unverandert fortgeltenden Emissionsbegren2:ung bei beiden Programmen durch die Variation des Emissionsrechteanfangsbestandes Zert^^' ^^ = Zert^g' ^^ nicht zu einem Basiswechsel der optimalen Losungen kommt, ist der Grenzpreis um die mit b^^ '^ •f^ii/s^' ^^ - 6 • 71^^ ' ^^ J bewertete Anderung zu korrigieren. Passendes Einsetzen fiir 7i^^' ^^ und 5 • K^f^' ^^ in die zweite Zeile von (5.46) bzw. (5.46*) schlieBlich liefert unter gleicher Voraussetzung die Auswirkungen auch solcher Beschrankungen auf die maximale Zahlungsbereitschaft, die Basis- und Bewertungsprogramm mit Zert^g' ^^ ^ Zert^j^g' ^^ in unterschiedlichem MaBe betreffen, weil etwa der Zertifikateanfangsbestand in bestimmten Zustanden s abhangig sein kann von den Emissionsminderungen der Vorperiode.'^^^ 2. Andererseits haben Zertifikate (und Kompensationslosungen) eine direkte monetare Wirkung auf den hochstens zahlbaren Preis: Die Moglichkeit des Emissionsrechtehandels kann sich durch die Durchfiihrung der Investition/Devestition gem. den letzten beiden Zeilen von (5.46*) von den um die Kosten der Emissionsreduktion korrigierten Kapitalwerten (5.27) und (5.28) des Basisprogramms zu (5.38) und (5.39) des Bewertungsprogramms andem, weil zusatzliche Emissionsrechte frei werden oder zur Gewahrleistung der gewunschten Produktion zu beschaffen sind. (Hinzu treten indirekte Wirkungen. Insbesondere beeinfluBt der Emissionsrechtehandel gem. (5.23*) zugleich die Produktionsrestriktionen durch Zertifikate und damit - iiber die zugehoren Dualvariablen - die korrigierten Kapitalwerte (5.26) und (5.37) der Produktionsprozesse.) Die Folgen einer Anderung der Zertifikatspreise in einem Mengenintervall lassen sich dabei analog zu den Ausfiihrungen zu Abgaben und Subventionen in Unterabschnitt 5.2.2.2 miit Hilfe einer Sensitivitatsanalyse untersuchen:463

^^^ Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135. ^^^2 Dazu waren ggf. noch Mengenkontinuitatsbeziehungen zwischen den aufeinanderfolgenden Zustanden zu modellieren. Fn. 340 auf S. 139 gilt analog. ^^^ Sind die Emissionsrechte schadstoffspezifisch und teilbar ausgestaltet und findet tatsachlich ein Handel statt, entspricht jeder zusatzlichen Emission ein zusatzlich zu entrichtender Preis (formal also eine Abgabe) und je-

228

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Danach wird im Bewertungsprogramm eine Erhohung des Erwerbs- oder eine Senkung des Verkaufspreises von Emissionsrechten wie eine Abgabensatzsteigerung oder Subventionssatzsenkung so lange keine Auswirkung auf die Optimallosung haben, wie die betroffenen Zertifikate ohnehin nicht gebraucht bzw. zur Aufrechterhaltung der Produktion nicht verkauft werden (die entsprechende [Teil-]Menge ware in diesem Falle Nichtbasisvariable). Weil gleiches auch im Basisprogramm gilt, solange die betroffenen Zertifikatemengen dort ebenfalls Nichtbasisvariable sind, laBt selbst die Kopplung der Losungen beider Programme liber die Mindestentnahmerestriktion die gefundene Losung optimal bleiben. 1st dort die betroffene Emissionsrechte(teil)menge jedoch Basisvariable, ware sie also unter den bisherigen Bedingungen gehandelt worden, besteht - wie bei steigenden Abgaben und fallenden Subventionen - die Moglichkeit eines sinkenden maximalen Entnahmewertes GEN^P^ im Basisprogramm und damit nach (5.44), (5.44a) und (5.44b) eines hoheren Grenzpreises fiir die zu bewertende Investition, Devestition oder Anderung eines Produktionsverfahrens. Fallt hingegen der Zukaufs- oder erhoht sich der VerauBerungspreis, kann sich selbst in dem Fall, daB die betroffene (Teil-)Menge in beiden Programmen Nichtbasisvariable ist (und erst recht, wenn sie im Basisprogramm Basisvariable ist), die Optimallosung andem. Dann sind (je nach Starke der Gegenlaufigkeit der Basisprogrammlosung) hohere, gleichbleibende oder niedrigere Grenzpreise vorstellbar. Analog zur Situation bei Abgaben und Subventionen kann es etwa zu niedrigeren Grenzpreisen kommen, wenn die Produktion im Basisprogramm durch die reduzierte Belastung oder der dortige Zertifikateverkauf durch seine Forderung starker profitiert als im Bewertungsprogramm, wahrend sich ein hoherer Grenzpreis einstellen mag, wenn die durch die Investition ermoglichten sauberen Prozesse schneller als die bisherigen alten lohnend werden oder die Moglichkeit zum Zertifikateverkauf den Einsatz (auch) der Umweltschutzinvestition voraussetzt. Sind schlieBlich von der Preisanderung schon im Bewertungsprogramm Basisvariable betroffen (die jeweilige Emissionsrechte[teil]menge wird vom Entscheidungssubjekt als tatsachlich zu handelnd eingestuft), ist schon analog zur vergleichbaren Situation bei Abgaben und Subventionen weder fiir steigende noch fallende Zertifikatspreise eine allgemeingiiltige Aussage mehr moglich.464 Vielmehr haben Untersuchungen hinsichtlich Zulassigkeit und Optimalitat der in die Normalform tiberfuhrten Losung stattzufmden, aus denen je nach Ausgangslage Riickschliisse auf den Grenzpreis der zu bewertenden Investition/Devestition gezogen werden konnen.^^s Prinzipiell stehen fiir ihn namlich infolge der Kopplung von Basisund Bewertungsprogramm iiber die Mindestentnahmerestriktion sowohl ein Anstieg als auch Konstanz oder Fallen als potentielle Reaktionen auf geanderte Preise der Emissionsrechte ofder Einsparung - ausgehend vom Anfangsbestand - ein zu erhaltender Betrag (d.h. formal eine Subvention). Im Falle nicht schadstoffspezifisch ausgestalteter Emissionsrechte hat man es hingegen formal mit einer auf ein (ggf. fiktives) Bezugsobjekt normierten Abgabe/Subvention zu tun. Wahrend bei Kompensationslosungen und Zertifikaten aber auBerdem die Mengenregulation zu betrachten ist, eriibrigte sich bei Abgaben und Subventionen eine gesonderte Diskussion des normierten Falls, da man bei Kenntnis des Umrechnungsfaktors sofort fiir jeden einzelnen Stoff den spezifischen Satz ermitteln kann. Vgl. zu diesen Korrespondenzen allgemein KLINGELHOFER: Entsorgung, S. 497 f. und 500 sowie fiir schadstoffspezifische teilbare Zertifikate und mengenabhangige Abgaben schon DINKELBACH: Emissionszertifikate, S. 53. ^^ Vgl. in diesem Zusammenhang aber Fn. 411 auf S. 184 dieser Arbeit. 465 Zur Bestimmung der Grenzen einer stabilen Losung trotz Variation eines Basisvariablenkoeffizienten und zur direkten Ableitung der Folgen fiir die Optimallosung vgl. DINKELBACH: Sensitivitatsanalysen, S. 78-83.

5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

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fen - und zwar unabhangig da von, in welche Richtung die auslosende Bewegung geht.^^ Intuitiv ist das insofem verstandlich, als - je nach Gegebenheit der Produktion - wachsende Zertifikatspreise die Kosten weiterer Reduktionen iiberkompensieren konnen, so daB sich der Verkauf wirklich lohnt, wahrend fallende Preise u.U. eine Ausdehnung vorteilhafter Produktion gegen Zukauf erlauben. Umgekehrt ist gleichwohl ebenso vorstellbar, daB eine Erhohung der Zertifikatspreise tatsachlich die Produktion behindert oder daB ihr Sinken den Erlos aus einem bisher geplanten Verkauf verringert. Kommen diese Effekte unter Beriicksichtigung der (infolge der Interdependenzen) zugleich eintretenden Anderungen der korrigierten Kapitalwerte (5.26) und (5.37) der Prozesse in beiden Programmen unterschiedlich zum Tragen, so kann sich der Grenzpreis der Investition andem. SchlieBlich wird die Einfiihrung oder Verscharfung einer Zertifikatelosung einerseits zwar oftmals dazu fiihren, daB eine Umweltschutzinvestition relativ zu anderen Investitionen gesehen vorteilhafter wird (und sei es bloB dadurch, daB durch freigesetzte Emissionsrechte mehr verdient wird). Andererseits konnen Investitionen in einer solchen Situation (absolut betrachtet) haufig weniger Uberschusse erwirtschaften. So mag - analog zur Situation bei Abgaben - einerseits ein umweltfreundlicher ProzeB gegeniiber einem schadlicheren mit steigenden Zertifikatspreisen vergleichsweise weniger belastet und insofem lohnender werden. Da andererseits negative korrigierte Kapitalwerte nicht in die optimale Losung des Basisprogramms eingehen, werden infolge weiter wachsender Zertifilcatspreise dort herausfallende Prozesse nicht mehr zur Erhohung des maximal fiir die Umweltschutzinvestition zahlbaren Preises beitragen.'^^^ 3. Erganzt werden die unter 1. und 2, beschriebenen Effekte durch einen weiteren monetaren EinfluB des Anfangsbestandes an Emissionsrechten und der staatlich gesetzten Emissionsobergrenze: GemaB (5.25) aus Unterabschnitt 5.2.3.1 steigert ein hoher Anfangsbestand die mogliche Zertifikateverkaufsmenge (und damit die Anzahl und/oder GroBe erwagenswerter Summanden in den Summentertnen der vorletzten Zeile von (5.46*)) und senkt die noch erwerbbare Menge (und folglich die Anzahl und/oder GroBe der in Frage kommenden Summanden in den Summentermen der letzten Zeile von (5.46*)); eine Verminderung der noch erwerbbaren Menge ist femer ebenso Folge einer seitens des Staates niedriger festgelegten Emissionsobergrenze. Bezogen auf (5.46*) heiBt das zugleich, daB - moglicherweise andere Bereiche der mengenabhangigen Zertifikatspreisfunktion (und damit andere Intervallobergrenzen) entscheidungsrelevant werden und/oder - sich der Verlauf der Zertifikatspreisfunktion vielleicht sogar insgesamt andert. Beides ist mit entsprechenden Auswirkungen auf den maximal zahlbaren Preis einer Investition in produktionsintegrierten Umweltschutz, einer Devestition oder einer Verfahrensanderung verbunden.

^^

Verdeutlicht wird dies dadurch, daB variierende Zertifikatspreise gem. (5.27) und (5.28) sowie (5.38) und (5.39) c.p. die korrigierten Kapitalwerte aller davon betroffenen Zertifikatsgeschafte andem. Da aber die positiven korrigierten Kapitalwerte von Basis- und Bewertungsprogramm in (5.46*) und damit in die Preisgleicliungen (5.45), (5.45a) und (5.45b) mit unterschiedlichen Vorzeichen eingehen, ist keineswegs klar, welche Anderungen iiberwiegen - insbesondere, wenn man bedenkt, daB sich die durchzufiihrenden Geschafte mit positiven korrigierten Kapitalwerten zwischen beiden Programmen durchaus unterscheiden konnen. '^^'^ Analog zur Situation bei Abgaben (vgl. Fn. 414 auf S. 185) sind wieder Bereiche denkbar, in denen teurere Zertifikate die Umweltschutzinvestition nicht nur okonomisch, sondern zugleich unter dem Gesichtspunkt der Schadstoffreduktion unvorteilhaft werden lassen.

230

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Erlautert sei insbesondere der zweite Effekt wieder anhand eines Beispiels:

Beispiel 5.4: Wechselnde Vorteilhaftigkeit einer Umweltschutzinvestition infolge sich andernder Zertifikatspreise Gegeben sei die Ausgangssituation aus Beispiel 5.1: Unter Sicherheit stehe dem Investor bei vorhandenen Eigenmitteln in Hohe von UZQ = 50 [GE] ein ProduktionsprozeB alt mit der Basisaktivitat (^^'^^^ = (r^'^^^; xj^'^^^; X2^'^^V = (4; 8; 10)' und den Preisen p = (p^; p^i; p^Y = (-4; 5; 3)' sowie die Anlage invfj^ zum Habenzins ij^^ = 50% zur Verfiigung. Er kann seine Produktion auf (^^'^ = (r^'^; Xi^'^; X2^'V = (4; 9; 7)' umstellen, hat dafiir aber zusatzlich ZJQ = -50 [GE] zu leisten. Die maximalen ProzeBniveaus seien mit X '^ = X '^ = 10 gegeben; der Betrachtungszeitraum laufe von t = 0 bis t = 1. Anders als im Beispiel 5.1 erfolge jetzt allerdings keine Regulierung mit Hilfe von Abgaben, sondem iiber Zertifikate. Dabei moge der Investor in beiden Zeitpunkten jeweils iiber einen Anfangsbestand in Hohe von Zert^ = Zert-'° = 5 Zertifikaten verfiigen, maximal konne er Zert'*"'^ = Zert"^^^ - Zert"^ =10 zukaufen. Jedes Zertifikat gestatte Emissionen in Hohe von b^^^'° = 10 [ME] des beschrankten Outputs 2;468 ihr Handel sei in beiden Zeitpunkten zum konstanten Preis p = p '*' = p ~ moglich. Bei nach wie vor unterstellter Zielsetzung der Endwertmaximierung erhalt man somit als Basisprogramm: max. GEN;

GEN := 1 • ENi

u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen:

= l - i n v H a - M ' 4 + 5-8 + 3- 10) • V^^ + p^"^ • (Zerto"^-Zerto") + ENQ < 5 0 = UZO

-ZHa,l • invHa - p f ' c^^''^'' ^i'^' + P^""' (Zerti-^ - Zertf) + ENi = -1,5 • invHa - 54 • ^i^^^ + p^"^ - (Zerti"^ - Zertf) + ENj < 0 = uzj Restriktionen der Produktion durch Zertifikate: „Zert ^B,alt -^ alt , KZert,o r-v^^ +\ ax20 * ^20 * ^0 +1> ' • (Zerto i^r^ - Zertg )

= 1 • 10 • \f

+10 • (Zerto" " Zertg"^) < 10 • 5 = b^^"^'^ • Zert^^

^^^ Es sei darauf hingewiesen, da6 eine Regulation urspriinglich positiv bewerteter Produkte keineswegs abwegig ist, wie die Beispiele der Fluorchlorkohlenwasserstoffe und des Asbests zeigen, die aufgrund ihrer Gefahr fiir die Umwelt mittlerweile bei vielen ihrer friiheren Hersteller als unerwiinscht gelten. Selbstverstandlich lieBen sich die im folgenden nachgewiesenen Effekte aber ebenso anhand eines Beispiels verdeutlichen, bei dem grundsatzlich negativ beurteilte Substanzen reguliert werden.

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

^Zert

^B,alt

'\ alt . i Zert,o

(rj^.-

7

= 1 • 10 • Xf +10 • (Zertf - Zerti+)

231

+^

< 10 • 5 = b^^'^''^ • Zert^^

ProzeBniveauobergrenzen:

Grenzen des Zertifikatehandels: Zerto", Zertf < 5 = Zert" ^'= Zert"^ Zerto"',Zerti"^ < 10 = Zert''° = Zert"'^^-Zert^ Nichtnegativitatsbedingungen: invHa, V ^ ^ l ^ ^ Zerto", Zertf, Zerto"^,Zerti"^,ENo,ENi > 0 Fiir p = 0 [GE] entspricht es weitgehend dem bekannten aus Beispiel 5.1 fiir stx2 = stx2i = stx22 = 0, da die zusatzlichen RestriMionen der Produktion durch Zertifikate und des Zertifikatehandels dann nicht limitierend wirken. Folglich ergibt sich auch die von fruher bekannte Losung; der Investor muB freilich netto Zerto"^ = Zert^"^ = 5 Zertifikate (kostenlos) hinzuerwerben,469 urn durch maximale Produktion mit X^^^'^ = 10 in beiden Zeitpunkten GEN^P^ = 1.425 [GE] zu realisieren. Die Dualwerte der Liquiditatsnebenbedingungen lauten IQ zum Habenzinssatz als Opportunitat) und Ij

=1,5 (Anlage

= 1 (Geld in t = 1 kann sofort entnommen wer-

den), wahrend diejenigen der Produktionsbeschrankungen durch Zertifikate aufgrund ausreichender kostenloser Zu- und Verkaufsmoglichkeiten noch bei jcQ^^^as _ ^^Zeit,Bas _ Q jjgggjj Analog liefert auch das Bewertungsprogramm die (mit Ausnahme des kostenlosen Zertifikatehandels) von fruher bekannte Losung, solange p max. BEW;

= 0 [GE] gilt:

BEW := pi ^ - Pi,e

u.d.N.: Liquiditatsrestriktionen: -ZHa,0 • invHa " Po' * ^^'^ ' h^ + P^"^' (Zerto"" - Zerto") + ENo + pj^^ " Pl,e = 1 • invHa - (-4 • 4 + 5 • 9 + 3 • 7) • :^^ + pZ^^ • (Zerto^ - Zerto") + ENo + Pl,a " Pl,e < 50 - 50 = uzo + zio

'^^^ Da die Zertifikatspreise fiir Kauf und Verkauf gem. Annahme gleich sind und von Transaktionskosten abstrahiert wurde, kann es mehrere, sich nur in der Handelsintensitat unterscheidende Losungen geben. So liefert der Simplexalgorithmus hier als Optimallosung nach der 7. Iteration den Kauf von 10 Zertifikaten im Zeitpunkt t = 0 bei gleichzeitigem Verkauf von 5. Relevant ist freilich nur der angegebene Nettoerwerb von 5.

232

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

-ZHa,r invHa - e r • ^^'^ • ^1^ + ENi = -1,5 • invHa - (-4 • 4 + 5 • 9 + 3 • 7) • Xi^ + p^"^ • (Zerti"^ - Zertf) + ENj < 0 = uzj Restiiktionen der Produktion durch Zertifikate: ax20 • 4o ' ^0 + b^^^'° • (Zerto- - ZertQ^) = I'l

-XQ + IO- (Zerto" " Zerto^)

^Zert ^B,I '^I , i Z e r t , o ax2i * X2J • Ai + b

< 10 • 5 = b ^ " ' ° • Zert^^

(^^^-

^+\ • (Zeiti -7 ^Zeitj )

= 1 • 7 a { +10 • (Zertf - Zerti"^) < 10 • 5 = b^^'^''' • Zert^^ Mindestentnahmerestriktion: -ENi < -GEN'^P^ ProzeBniveauobergrenzen:

\^.\x

< 10

Grenzen des Zertifikatehandels: Zerto", Zertf < 5 = Zert"'° = Zert^ Zerto'',Zeiti+ < 10 = Zerf''^ = Zert"'^^ - Zert^ Nichtnegativitatsbedingungen: inv^a' W' ^1^ Zerto", Zertf, Zerto"^, Zertf, ENo, ENj, pj a, Pi,e ^ 0 Da bei der Produktion im Bewertungsprogramm weniger als im Basisprogramm von der Substanz 2 entsteht, reicht hierjeweils der (kostenlose) Erwerb zweier Zertifikate. Trotzdem wird der Investor unter den bisherigen Bedingungen und ohne gesonderten ZuschuB (d.h. im Falle Pie = 0) genauso wie in Beispiel 5.1 auf die Anderungsinvestition verzichten, da er in beiden Zeitpunkten Deckungsbeitrag einbiiBte und zusatzlich sein Eigenkapital UZQ und dessen zinsbringende Anlage verlore - die Mindestentnahmerestriktion ware nicht einzuhalten. Damit kann auch hier erst ein erlaubter ZuschuB (etwa des Staates) in Hohe von p°P^ = 116 2/3 [GE] Abhilfe leisten. Setzt man als bekannt voraus, daB sich die (korrigierten) Kapitalwerte der tatsachlich durchgefiihrten Zertifikatsgeschafte sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm (als auch im Basisprogramm unter den Bedingungen des Bewertungsprogramms) zu 0 ergeben, da ihr Erwerb jeweils kostenlos ist und die daftir zur Verfugung stehende Menge nicht ausge-

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

233

schopft wird, so laBt sich die Hohe dieses Zuschusses weiterhin auf gleiche Weise wie in Beispiel 5.1 ohne Anwendung des Simplexalgorithmus angebeni^^o Die Voraussetzungen des Ersatzes der in Gleichung (5.45b) i.V.m. (5.46) bzw. (5.46*) eingehenden und mit 5 verbundenen GroBen des Basisprogramms durch die mit den Abzinsungsfaktoren des Bewertungsprogramins errechneten korrigierten Kapitalwerte K^^^^^' ^^^ ^^ = 5 • Ct'^^'^^MerimBasisprogrammrealisiertenProduktionenund K|^^;^f'^^^ = 5 • ^^Zert+,Bas der im Basisprogramm vorgenommenen Zertifikatezukaufe sind wie im friiheren Abgabenbeispiel erfullt. Da sich femer die Dualvariablen 5 = 2/3, IQ^^"^ = 1 und \^^ = 1/1,5 = 2/3 auf gleiche Weise und in bekannter Hohe ergeben, liefert Gleichung (5.45b) i.V.m. der angepaBten Variante (5.46*) den bereits von friiher bekannten maximal zahlbaren Preis (d.h. den mindestens zu fordemden ZuschuB) fiir die Durchfiihrung der Anderungsinvestition: ^opt

^opt

Pi,a

Pi,e= zio-Po,o +^0 '^x,id

^

-Bew . '^,1,0 T^korr,Bew . '^ 1,0 T^korr,Bew , ,,^

'%alt,o i^rkorr,BaslBew

1 y /i Zert,o ^

+

+ V -^x,n

/^Bew

e iBas

+uzo-[po,o - § - l o

-). alt,o T^korr,BaslBew

. AB,Bew

Zert,Bew _ ^ Zert,o ^ ^AB,Bas c

Zert,Bas \

t=0 _L

+

K

L +

V

v^^-,o,Bew T^korr,Bew

1

korr,Bew. /^

V 2.

T^korr,Bew. A^ ^Zert+,t > ^

Zertt'

-Kzert-,! -

7^w^+,o,Bew T^korr,Bew ^ertt '^Zert+.t ~

v

1

T^korr,BaslBew . /-.

v 2.

T^korr.BaslBew^pv '^Zert+,t >^

v ^ ^ - ^ o ^ a s T^korr,BaslBew

Zertt'

-Kz^rt-t

7^^+^o,BsiS T^rkorr,BaslBew ^ertt •^Zert+,t

= -50 + 10-1 50 + -—j + 50-[ 1---1,5 ]-10-[ 54 + —

o-f-oUo_|.o

+ 10-5

5-[(0 + 0 ) - ( 0 + 0)] + 10-[(0 + 0 ) - ( 0 + 0)]

= -116

2 3

^'^^ Nach sieben dualen Simplexschritten erhalt man eine zulassige Basislosung, die zugleich die Optimallosung des Problems liefert und mit der im folgenden durch inhaltliche Uberlegungen hergeleiteten identisch ist.

234

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

Dazu ist die Produktion wiederum in beiden Zeitpunkten auf ihrem Maximalniveau }}'^ = A,^^^'° = 10 zu betreiben und der auf diese Weise in t = 0 erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag in Hohe von 500 [GE] zusammen mit dem zu erlangenden ZuschuB in Hohe von naherungsweise 116,67 [GE] zum Habenzins auf dem Kapitalmarkt anzulegen, um einen der optimalen Basisprogrammlosung vergleichbaren Mindestnutzen GEN^P^ zu erzielen. Da weder die zur Verfugung stehenden Zertifikateverkaufs- noch die -zukaufsmoglichkeiten ausgeschopft werden, ergeben sich femer die Dualwerte der Zertifikatehandelsbeschrankungen zu 0 - und damit die zugehorigen korrigierten Kapitalwerte (inkl. der korrigierten Kapitalwertes des Zertifikatehandels im Basisprogramm zu den Bedingungen des Bewertungsprogramms). Mit der Erhohung des Zertifikatspreises p^"^ > 0 fiir das Entstehen des Produktes 2 werden nun die Gesamtdeckungsbeitrage der Produktion sowohl mit dem urspriinglichen ProzeB alt als auch mit dem geanderten I fallen - mit I allerdings langsamer als mit alt, da weniger der belasteten Substanzen entstehen. Anders als im friiheren Beispiel liegt dies jedoch nicht darin begriindet, daB die prozeBspezifischen Deckungsbeitrage sinken, sondem im (in der Auswirkung vergleichbaren) verringerten Bedarf an Zertifikaten. In Abhangigkeit vom Zertifikatspreis erhalt man schlieBlich die in der folgenden Tabelle angegebenen Optimallosungen GEN^P^ des Basisprogramms und p^^^ - pj^^^ des Bewertungsprogramms:

Tabelle 5.3: Optimallosungen von Basis- und Bewertungsprogramm in Abhangigkeit von der Hohe des Zertifikatspreises Wie unschwer zu erkennen, wachst - ahnlich wie zuvor schon beim Abgabenbeispiel - mit steigendem Zertifikatspreis p ^ ^ zunachst der Anreiz, in das umweltfreundliche Verfahren zu investieren. Uberschreitet p ^ ^ die Schwelle von 23 1/3 [GE], beginnt die Umweltschutzinvestition auch hier, sich zu lohnen. Bis zu einer Hohe von p ^ ^ = 54 [GE] wird dieser Effekt immer deutHcher, miissen doch weniger Zertifikate hinzugekauft werden. Ab dieser Schwelle reicht indes im Basisprogramm der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag zu keinem Zeitpunkt t mehr aus, eine

5 Die finanzwirtschaftUche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

235

Produktion mit Xf^^ > 0 vorteilhaft werden zu lassen. Anders als im Beispiel 5.1 bei weiterer Abgabensteigerung bleibt hier mit Uberschreiten des Wertes p ^ ^ = 54 [GE] und weiterer Erhohung der maximale Nutzen des Basisprogramms allerdings nicht konstant: Zur nach wie vor durchfiihrbaren Anlage der in t = 0' vorhandenen eigenen Mittel UZQ = 50 [GE] zum Habenzins iHa = 50^^ ti'itt J^tzt namlich noch die Moglichkeit des Zertifikateverkaufs in t = 0 und in t = l.'^'^i Damit ergeben sich etwafiir p ^ ^ = 80 [GE] in t = 1 tatsachlich die in der Tabelle angegebenen, die Summe der gewichteten Entnahmen GEN^P^ maximierenden Entnahmemogliclikeiten ENi in Hohe von: GEN^P' (pZert ^ gQ) ^ £^^ .^ ^^^ ^ Zerto"'^^' • p^^) • (1 + ina) + Zertf'^^' • p ^ " = (50+ 5-80)-(1+0,5)+ 5-80 = 1.075 [GE] Im Bewertungsprogramm hingegen bleibt eine Produktion mit dem geanderten Verfahren selbst bei Uberschreiten von p = 54 [GE] zunachst noch gewinnbringend. Sie erfordert jedoch den Erwerb zweier (teurer werdender) Zertifikate, so daB der maximal fiir die Verfahrensanderung zahlbare Preis sinkt, bis sich analog zum friiheren Beispiel 5.1 ab p

= 67 1/7 [GE] erst die

Investition insgesamt und schlieBlich - bei trotzdem noch getatigter Investition - ab p = 71 3/7 [GE] auch die Produktion nicht mehr lohnt.'^'^^ Djg ^Is Anfangsbestand vorhandenen Zertifikate werden dann verkauft - mit der Folge, daB die Anderung zwar nach wie vor ZJQ = -50 [GE] erfordert, aber uberhaupt keinen Nutzen mehr erbringt. Trotzdem bleiben sowohl in der Basisprogramm- als auch in der Bewertungsprogrammlosung die Dualvariablen der Zertifikatehandelsbeschrankungen 0, so daB sich auch die korrigierten Kapitalwerte der Zertifikatsgeschafte zu 0 ergeben. Dies soil exemplarisch wiederum fiir p ^ ^ = 80 [GE] an den gem. (5.27) und (5.38) errechneten korrigierten Kapitalwerten fiir t = 1 verdeuthcht werden (inkl. des korrigierten Kapitalwertes des Zertifikateverkaufs im Basisprogramm zu den Bedingungen des Bewertungsprogramms): i^korr,Bew ._ „Zert- iBew

^Zert-l

--^Pl

'h K?^^ ,

i Zert,o ^Zert,Bew

-Pi

-^1 Korrektur

on ^

in
0

SGEN"P' Kapitalwert eines

Kapitalwert der fixen

Korrigierter Kapitalwert der pro'

Zahlungen der zu bewertenden Investition

zeBniveauabhangigen Zahlungen

gleichwertigen

der zu bewertenden Investition in

Ausschuttungsplans

in eine EOP-MaBnahme

eine EOP-MaBnahme

vj/ ^ _L V uZert,o rj.AB •ps,0+ ^ D\j/s '^^^Mfs

r r ^Zert ^ V u ^ _L V K '^ii/s + ^ L)yls'^Yls+ ^ '^y2s' ^y2s

Mf=\

S

Yl=l

inv9.Ki„,,j+

dem Basisprogramm

72=1

korr XP-°-K^^" "s

I K^Ts>0

Zert;•\|/,hl,s"^Zert-,\|/,hl,s •K korr Kzert-,V|/,hl,s>0

+

X

Z e r t ^ j 2 , s ••^Zert+,\|/,h2,s

Kzert+,\j/Ji2,s>0

Korrigierter Kapitalwert des verbleibenden Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen der zu bewertenden Investition)

(5.45c) vT=

I^ls-P^0"'+ §—Q

S

\\,o

S x^korr.Bew

^Q

T^korr,Bew , „Rest - i v^?i,Is ^ To

+P

^>0

T-Bew 1 Is

V uBew ^Bew , v uBew ^Bew v uBas 5? _Be Bas L Dyls -^yls + 1 t>y2s •7ty2s " 2 . Dys - ^ ' ^ y s y2=l yl=l y=l

I

s=0

4"^^ Der Verdeutlichung halber wurde die Indexmenge {1; 2; ...; q - 1; 1} der Prozesse (3 fiir die Darstellung wieder zerlegt in {1} fiir den auf die zu bewertende Investition zuriickzufuhrenden neuen ProzeB im zweiten Summenterm der Gleichungen (5.44c) und (5.44d) sowie (5.45c) und (5.45d) einerseits und {1; 2; ...; q - 1} fiir die Aufsummierung der korrigierten Kapitalwerte aller sonstigen Produktionen im jeweils letzten Summenterm der drittletzten Zeile von (5.44c) und (5.44d) andererseits. Fn. 337 auf S. 136 gilt fiir die durch die Investition in additiven Umweltschutz wegfallenden und hinzutretenden prozeBniveauabhangigen Zahlungen und Beanspruchungen der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen sowie fiir die durch Emissionsrechte zustandekommenden Produktionsbeschrankungen und den dadurch geanderten Emissionsrechtehandel in gleicher Weise, so daB die Abgrenzung der jeweils letzten geschweiften Klammer nicht ganz so sauber ist wie diejenige der zweiten zu Gleichung (3.48) auf S. 88. Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

251

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

- Investition in einen vorgeschalteten Filter (BOP-MaBnahme): (5.44d) p r =

Izis-Ps,0 ,

+

s=0

S

,

4'°-Kil!l"

-,

5-GEN°P'

K^°f5>0

,

Kapitalwert eines

Kapitalwert der fixen

Korrigierter Kapitalwert der pro-

Zahlungen der zu be-

zeBniveauabhangigen Zahlungen

gleichwertigen

wertenden Invesitition

^^^ ^^ bewertenden Investition in

Ausschuttungsplans

in eine BOP-MaBnahme

^^^ BOP-MaBnahme

H^l

^em Basisprogramm

Yl=l

Tss

r4s

72=1

Tss

+ Z by3s-71^38+ X by4s-7ly4s+ X by5s-7r^s 73=1 74=1 75=1

K korr ^ r.

Ki„v,j>0 +

X

-,o jy-korr ^^rt\|/',h 1 ,s • ^ Zert- ,\|/,h 1 ,s

^Zert-,v|/,hl,s">0

I

Zert:;^,.K^°" V,h2,s • ^Zert+,\|/,h2,s

^Zert+,V|/^2,s >0

Korrigierter Kapitalwert des verbleibenden Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen der zu bewertenden Investition)

r^ zLSrl^ r.°P^ -

p.4:)a) pj

-

S

IV

v

n^ew ,

V

')i I'O i^korr,Bew ,

2.zisps,o + K^°'J'^^^>0 L ^s '^x,is 8=0 s

-Bew - Is

s=0

71=1

X

, +

4s

I Bew _Bew , t>7ls -^718 +

Rest

"^P

pBew 2s

pBew •'•3 s

1-^ 5s 5s

-Bas ^ s

v uBew ^Bew . v uBew ^Bew L ^yls -^728 + L D738 '^738 73=1 72=1

V uBew _Bew , v uBew ^Bew v u^^as 5; ^Baj 2 . 0^45 -71^45 + 2 . by5s -71^55 - 2 . b ^ -O-Ky^ 74=1 75=1 7=1

^Rest

mitp"^^'' in (5.45c) und (5.45d) nach (5.46c/d) oder (5.46c/d*):476

^'^^ Als Indexbereich moglicher Prozesse (3 kommen dabei im ersten Summenterm der vierten Zeile von (5.46c/d*) die verbleibenden q - 1 Verfahren in Frage, die nicht von der Erganzung des q-ten Verfahrens um einen Filter betroffen sind. Der zweite Summenterm dieser Zeile kann hingegen aus den urspriinglichen q Prozessen P des Basisprogramms mit den Indizes {1; 2; ...; q} diejenigen mit positivem korrigierten Kapitalwert auswahlen.

252

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

.,r,

(5.46c/d) p^^'^= X

/^Bew

5? iBas\ ,

AB,Bew ^Zert,Bew uZert,o ^ ^ .AB,Bew ^ \|/s

V

s=0

i}/=l

V

KZert,o v^ .AB,Bas 5? _Zeit,Bas

Bas s=0

S

V

+ 1

V 7At-f~'0'Bew ^-Zert-^ew

2. Z.^en hi,s

'Swhls

s=0 l^ \|/=1 hi

S

V

I B=l

V 7^rf+'0 -j_

V

1 P'O i^koiT,Bew

x

V

13,0 iBas T^korr,Bas

T^Korr.oew. r.

I ^ Z e r t - , v , h l , ,>0

+

2. •^Zert+,vi/,h2,s >0

,o,Bew Zert \|/,hl,s

V 2-

T^korr,Bew •^Zert-,\)/,hl,s '

^7^ .-,o,Bas iBas T^korr,Bas ^^"y,hl,s "^0 • ^Zert-,\|/,hl,s

^Zeit-,\|/,hl,s-^

^^^\|/,h2,s

• ^Zert+,\i;,h2,s ~ ^ •

2.

+,o,Bas iBas i^korr.Bas ^^^^\|/,h2,s '^0 ' ^Zert+,\i/,h2,:

^Zert+,Vj/,h2,s

Betrachtet man diese Beziehungen (5.44c) und (5.44d) sowie (5.45c) und (5.45d) i.V.m. (5.46c/d) Oder (5.46c/d*) fiir den Grenzpreis der Investition in eine additive UmweltschutzmaBnahme naher und vergleicht sie mit den korrespondierenden der Unterabschnitte 5.2.3.2 und

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

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5.2.1.2, so stellt man fest, daB man letztlich eine Verkniipfung der dortigen Resultate erreicht hat. Dies erlaubt eine relativ einfache Interpretation der neuen Ergebnisse mit Hilfe der alten: Zunachst erkennt man, daB sich die produktionsrelevanten Beschrankungen nach Art und Anzahl andern konnen, werden doch zumindest fiir die im Filter angesammelten Substanzen oftmals andere Bedingungen gelten als fiir diejenigen des ungereinigten Prozesses. Gibt 5 • Uy^^ weiterhin den Wert der marginalen Lockerung oder Verscharfung einer im Basisprogramm wirkenden Produktionsbeschrankung (inkl. solcher aus Umweltschutzgriinden) hinsichtlich der Grenzpreisbestimmung der zu bewertenden Investition an, so laBt sich zusammen mit der - soweit vorhanden - entsprechenden, durch Tiyig , ^725 ' ^73s '^Y4S C)der7ty5s bewerteten Restriktion im Bewertungsprogramm unter vergleichbaren Voraussetzungen genauso^'^'^ wie in Unterabschnitt 5.2.1.1 eine Aussage dariiber treffen, welchen EinfluB diese Lockerung oder Verscharfung insgesamt (also auch - aber nicht nur - bei unveranderter Geltung im Bewertungsprogranmi) auf den maximal zahlbaren Preis der Investition hat. Die Anreizwirkung fiir die Durchfiihrung der additiven UmweltschutzmaBnahme beruht dabei auf dem Unterschied von Xy*^"" zu Xy^°^ oder Xy^^°^'"^ sowie ggf. auch von rj^P^^z.ger ^^ Tji ^°^'"^, die es in gleicher Weise wie zuvor erlauben, Engpafieinheiten „hinzuzugewinnen" jetzt allerdings nicht nur solcher aus „normalen" Beschrankungen der Produktion, sondem auch aus Zertifikatsrestriktionen.^^s Letztere konnen zum Verkauf der Emissionsrechte oder zum Ausbau der Produktion genutzt werden. Gegenlaufig wirken zwar wiederum die durch den Filtereinbau hinzutretenden und verscharften Restriktionen, doch werden diese zumeist weniger begrenzend als die bisherigen wirken, so daB dieser Effekt erst mit Verzogerung eintritt. Femer laBt sich die dreifache, in Unterabschnitt 5.2.3.2 diskutierte Wirkung 1 bis 3 der Zertifikate/Kompensationsgeschafte auch im Falle additiver UmweltschutzmaBnahmen erkennen: (5.46c/d) und (5.46c/d*) zeigen in den ersten beiden Zeilen die Mengenwirkung von durch Emissionsrechte zustandekommenden Beschrankungen der Produktion analog zu jeder anderen Restriktion auf, und in den letzten beiden Zeilen von (5.46c/d*) kommt wie friiher in (5.46*) auf S. 226 der direkte monetare Effekt des Emissionsrechtehandels iiber die zugehorigen korrigierten Kapitalwerte zum Vorschein. (Er kann wieder in ahnlicher Weise wie derjenige einer Abgabe/Subvention untersucht werden; die weiterfiihrenden Anmerkungen des letzten Unterabschnitts zur gleichzeitigen Anderung von Kauf- und Verkaufspreisen der Zertifikate betreffen auch den hier untersuchten Fall.) Und schlieBUch verdeutlichen die beiden letzten Zeilen von (5.46c/d*) i.V.m. (5.25) aus Unterabschnitt 5.2.3.1 den monetaren EinfluB des Anfangsbestandes an Emissionsrechten und der staatlich gesetzten Emissionsobergrenze, aus denen sich der Umfang des moglichen Handels mit Zertifikaten oder des Kompensationsangebotes ergibt. Beziighch aller dieser drei Effekte daif daher auf die friiheren Ausfiihrungen verwiesen werden. Kurz erwahnt werden sollen aber noch die simultanen Variationen der „normalen" Beschrankungen der Produktion (inkl. derjenigen der im Filter angesammelten Stoffe) und der auf die Existenz eines Zertifikats- oder Kompensationsregimes zuriickzufiihrenden. SchlieBUch sollen "^^^ Die dortigen Feststellungen zum Vorliegen/Nichtvorliegen eines Basiswechsels gelten analog. "^"^^ Vgl. dazu die Ausfiihrungen am SchluB des Unterabschnitts 5.2.1.2.

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

additive UmweltschutzmaBnahmen zu diesem Zweck ihre Starke ausspielen konnen. Insbesondere diirfen geanderte Anforderungen an die im Filter angesammelten Substanzen nicht die Vorteile seiner Wirkung wieder aufzehren. Gelingt es also durch den Filter, EngpaBeinheiten zu gewinnen, so erlaubt das den Verkauf von Emissionsrechten oder den Nichterwerb sonst erforderlicher Mengen. „Verdiente" Emissionen haben also u.U. eine unmittelbare Zahlungswirkung. Dies erlaubt eine direkte Aussage iiber die mit einer Preis- und/oder Mengenvariation der Emissionsrechte einhergehende Anderung des Anreizes zur Investition in einen Filter, solange es nicht zu einem Basiswechsel kommt, und erleichtert die Beurteilung ihrer gesamten, absoluten Vorteilhaftigkeit. Auch die Ergebnisse dieses Abschnittes soUen zum SchluB dieses Unterabschnitts anhand eines kleinen Beispiels verdeutlich werden:

Beispiel 5.6: Zertifikate und die Investition in einen nachgeschalteten Filter In Abwandlung der Situation der beiden letzten Beispiele sei nunmehr wieder analog zu Beispiel 5.3 die Basisaktivitat des Produktionsprozesses alt mit (^^'^^^ = (r^^'^^*; r2^'^^^; x^'^\

X2^'^^V =

(4; 5; 8; 10)' gegeben. Ebenso werde die Produktion mitp = (pj.^; pj.2; Pxi; Px2)' = ( ^ ' 0; 5; 3)' bewertet.Dannsindmit(^S'^^^'^ = (ri^'^^'^; r2^'^^'^; x^^'^^'^ X2^'^^'V = (4; 6; 8; ly und ^B,EOP,Filt,I ^ (^^B,EOP,Filt,I. ^^B,EOP,Filt,Y ^ ( j . ^y ^^^-^

^BB,Filt ^ (pBB,Filt. pBB,Filt). ^

(5; 0)'unter sonst jeweils gleichen Bedingungen (d.h. speziell: keine wirksam einschrankenden Anforderungen an die im Filter angesammelten Substanzen) und bei Aufgabe der Nichtnegativitat fiir den Grenzpreis die Vorgehensweise sowie die Ergebnisse und Interpretationen sowohl von Beispiel 5.4 als auch von Beispiel 5.5 komplett uniibertragbar.^^^ Insbesondere zeigt die Umsetzung dieser beiden friiheren Beispiele auch die unmittelbare Zahlungswirkung „verdienter" Emissionen auf, solange es nicht zu einem Basiswechsel kommt: Analog zu Beispiel 5.4 steigt der Anreiz zur Investition in einen Filter um den heutigen Gegenwert der eingesparten Zertifikate: Eine Erhohung des Zertifikatspreises um Ap =10 [GE] laBt die Vorteilhaftigkeit einer solchen Investition um 50 [GE] anwachsen. Entsprechendes gilt fiir die dem Beispiel 5.5 vergleichbare Situation. Hier steigt die Vorteilhaftigkeit einer Investition in einen Filter um 33 1/3 [GE], d.h. wiederum um den heutigen Gegenwert der eingesparten Zertifikate, solange es nicht zu einem Basiswechsel kommt. Zur Errechnung des maximal zahlbaren Preises hat - neben den Zahlungen fiir die Umstellung und Ingangsetzung und den geanderten prozeBspezifischen Deckungsbeitragen - insbesondere auch die durch die Emissionseinsparung ermoglichte Mehrproduktion einzugehen. Insgesamt laBt sich damit feststellen: Sind die geforderten Voraussetzungen erfiillt, so erleichtert die durch Zertifikate erfolgende Bewertung der „verdienten Emissionen" in der Tat eine Aussage iiber die mit einer Preis- und/oder Mengenvariation der Emissionsrechte einhergehende Anderung der Vorteilhaftigkeitshohe und mit nur

^^^ Die Aufgabe der Nichtnegativitat fiir den Grenzpreis erfolgt wieder, um die Reaktion des Grenzpreises fur die Investition in einen Filter auch in den Bereichen einer andemfalls nicht zulassigen Losung nachzuvollziehen.

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

wenigen weiteren Zusatzinformationen liber die absolute okonomische Vorteilhaftigkeit (den Grenzpreis) des zu bewertenden Filters.

5.2.3.4 Auswirkungen von Kompensationslosungen und Zertifikaten auf das Bewertungsprogramm fiir den Aufbau von Recyclingstrukturen Letzdich nicht viel anders als bei der Vorgehensweise itn letzten Unterabschnitt ergibt sich auch das Bewertungsprogramm fiir den Aufbau von Recyclingstrukturen zur Anpassung an Kompensationslosungen und Zertifikate formal durch eine Verbindung des zugehorigen „einfachen" Primalproblems des Unterabschnitts 5.2.1.3 mit den auf diese umweltpolitischen Instrumente zuriickzufiihrenden Besonderheiten. Damit resultiertr'^^o max. BEW;

BEW := pi

J

u.d.N.

q-1 m+n

o a u-

ft

^0

- 1 Zjo • invj - I I peo • 98'^'"^J -A-^ I PvthlTo • Zert-, ,hl,0 j=l p=l e=l v=l hi ^0

+ 1 1 PvtiSo • Zert;^,h2,0 + ENo + Pi \|/=1 h2

P , V Y Y B,au6 ,Ik,komp -^^Ik ^ t. ^ ^£,co,72s • Y£,co 'A.s + Z^ Z^ ^ ^£,co,72s ' 9£,co "•^s - "^y^s 0)=1 k £=1 0>=1

V72G{l;2;...;r2s}

Vs G {0; 1; ...; S}

S

-IgWs-ENs

< -GEN^P^

s=0 Zert-,hl,s^Zert-;^l3

VX|/G { 1 ; 2 ; . . . ; ^ 3 }

Vhl

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

Zert;,h2,s^Zert;J,;^2,s

VVI/G { 1 ; 2 ; . . . ; ^ J

Vh2

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

invj < invj°

Vj G { 1 ; 2 ; . . . ; J }

\^

VpG { l ; 2 ; . . . ; q - l }

< X,^^""

lAfs^ < X^f

Vs G {0; 1; ...; S}

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

k

invj > 0

VJG {1;2;...;J}

X,^ > 0

VPG {l;2;...;q-l}

Vs G {0; 1; ...; S}

Xj^ ^ 0

Vk

VsG {0;1;...;S}

Zert;^,his > 0

V\}/G { 1 ; 2 ; . . . ; ^ J

^hl

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

Zert;J;h2,s > 0

V\|/G {1;2;...;4'J

^h2

Vs G {0; 1; ...; S}

ENs > 0

VSG { 0 ; 1 ; . . . ; S }

PT

>0

Das hierzu duale Problem erhalt man mdt:

sehen, die etwa als Einsatz- oder Zusammensetzungsbeschrankungen auch produktionsintem - und insofem fiir das in dieser Arbeit komponentenbezogen betrachtete Recycling - eine wesentliche Rolie spielen konnen.

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5 Die finanzwirtschafiliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

min. WRB; WRB :=

I

V V V ^ Y2=1

r> o Ti 1 B,aul3,Ik,komp ^

B,au6,Ik,obj • 9£ • ^Yls

T .rl^n

£ = 1 CO=1

Vk

VsG {0;1;...;S}

^hl

VSG {0;1;...;S}

Vh2

Vs e {0; 1; ...; S}

Zert- 1 , t Zert,o ^Zert , v-Zert- ^ p. -P\l/,hl,8 • ^s + ^\\fs ' ^\|/8 + S\|/,hl,s ^ ^

Vv|/G { l ; 2 ; . . . ; ^ s } Zert+ , , Zert,o ^Zert . s'Zert+ >. ^^ P\|/,h2,8 • ^8 - ^\\fs ' ^\|/s + S\|/,h2,8 - ^

V\|/G {1;2;...;4^J ls-gWs-5 ^ 0

V s e {0;1;...;S}

lo > 1 I3 > 0

Vse {0;1;...;S}

258

5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

:C

V\|/s {1;2;. •.;^s}

V s e {0;1;. .;S}

Ttyis

>

0

V y l e {1;2; •.;ris}

V s e {0;1;. .;S}

7ly2s

^

0

VY2e {1;2; ••;r2s}

V s s {0;1;. ..;S}

V j e { l ; 2 ; . . ;J}

^j ^ 0

C/^

3

Vp€ {1;2;. . ; q - i ; i }

v-ZertS\)/,hl,s

> 0

V\|/€ {1;2;. ..;>i'J

Vhl

V s e {0;1;. ..;S}

v'Zert+ S\l/,h2,s

> 0

V\|/s {1;2;. ..J^-J

Vh2

V s e {0;1;. ..;S}

V s s {0;1;. ..;S}

6 > 0 Schreitet man nun wieder entsprechend dem im Unterabschnitt 5.2.3.2 eingeschlagenen Weg voran, so gelangt man zu den nachstehenden, in Fortfiihrung der bisherigen Numerierung der Recyclingformeln mit dem Buchstaben „e" gekennzeichneten Beziehungen fiir die korrigierten Kapitalwerte der im Zustand s wahlbaren (Teil-)Prozesse p und Ik: (5.37e) 4 -

^

I

Pes-cp?'^'^'^-Is ^X,^s

i^\|/=l e=l r2s

71=1 8=1 m+n Q

RRV

Y2=1 8=1 co=l

Korrektur
0

Korrigierter Kapitalwert des verbleibenden Teils des Bewertungsprogramms (ohne die Zahlungen der zu bewertenden Investition)

^^^ Der Verdeutlichung halber wurde die Indexmenge {1; 2; ...; q - 1; 1} der Prozesse p fiir die Darstellung wieder zerlegt in {1} fiir den auf die zu bewertende Investition zuriickzufiihrenden neuen ProzeB im zweiten Summenterm der Gleichungen (5.44e) und (5.45e*) einerseits sowie {1; 2; ...; q - 1} fiir die Aufsummierung der korrigierten Kapitalwerte aller nicht vom Recycling betroffenen Produktionen im letzten Summenterm der dritten Zeile von (5.44e) und im ersten der drittletzten Zeile von (5.45e*) andererseits. Der zweite Summenterm der drittletzten Zeile von (5.45e*) kann hingegen aus den urspriinglichen q Prozessen p des Basisprogramms mit den Indizes {1; 2; ...; q} diejenigen mit positivem korrigierten Kapitalwert auswahlen. Fn. 337 auf S. 136 gilt fiir die durch die Investition in die Kreislauffiihrung wegfallenden und hinzutretenden prozeBniveauabhangigen Zahlungen und Beanspruchungen der nichtmonetaren (Umweltschutz- und sonstigen) Restriktionen sowie der durch Emissionsrechte zustandekommenden Produktionsbeschrankungen und den dadurch geanderten Emissionsrechtehandel in gleicher Weise, so daB die Abgrenzung der letzten geschweiften Klammer in (5.44e) nicht ganz so sauber ist wie diejenige der zweiten zu Gleichung (3.48) auf S. 88. Zur Diskussion der mehrfachen Verwendung des Begriffs „Kapitalwert" vgl. Fn. 336 auf S. 135.

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5 Die finanzwirtschaftliche Bewertung von Umweltschutzinvestitionen

s (5.45e) pj^ =

s

lzis'Ps,0 + s=0

S s=0

1

V

'^xis

K!^°"''^^''>0

+luZs-pso

'

pBew ^ Is I Bew ^Bew

pBas ^vIs uBas $? ^Bas . l 2vs

71=1

yl=l

X

-o-ls

S=0

uBew _Bew

Y2=1

Bew

T^Bas A 2s

~ uBas 5? ,h) eh

eh

Entsprechend erhalt man fiir (5.53) die angepaBten neuen Bedingungen: (5.55)

(Ps - M^, • X = I cpeh = M^e • I k ^ ^e'"' + ^ e ' " ' " = 9?'"'" h

V£

h

Sie sind um die Begrenzungen der zuvor festgelegten Teilmengenintervalle zu erganzen:'^^^ (5.56)

0