Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten 9783835095229, 3835095226 [PDF]

Zitiervorschau

Andreas Ott Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten

GABLER EDITION WISSENSCHAFT

Andreas Ott

Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Klaus Hellwig

Deutscher Universitats-Verlag

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnetdiese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ijber abrufbar.

Dissertation Universitat Ulm, 2006

I.Auflage Januar2007 Alle Rechte vorbehalten © Deutscher Universitats-Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Brigitte Siegel /Stefanie Brich Der Deutsche Universitats-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.duv.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschijtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen Im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Gedrucktauf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed In Germany ISBN 978-3-8350-0687-4

Geleitwort

Die Bewertung von Derivaten bei unvollstandigem Kapitalmarkt gehort zu den zentralen Problemstellungen der Finanzwirtschaft. Anders als bei vollstandigem Kapitalmarkt konnen Derivate bei unvollstandigem Kapitalmarkt nicht praferenzunabhangig bewertet werden. In der Literatur wird daher vielfach vorgeschlagen, den Preis eines derivativen Finanzkontraktes so festzulegen, dass NutzenindifFerenz mit und ohne Derivat besteht. Bei der Ermittlung dieses als Indifferenz- oder Reservationspreis bezeichneten Preises besteht jedoch das Problem, dass eine geeignete Nutzenfunktion oft nicht formuhert werden kann. Daher sind Reservationspreise in der Praxis nur von geringer Bedeutung. Herr Ott verwendet einen alternativen Ansatz. Statt von einer gegebenen Nutzenfunktion geht er davon aus, dass der Entscheidungstrager Praferenzen beziiglich der Entwicklung seines Anfangsvermogens hat. Der Preis des Deri vats wird unter dieser Voraussetzung so bestimmt, dass das entsprechend der gewiinschten Vermogensentwicklung ermittelte Anfangsvermogen bei Beriicksichtigung des Derivates konstant bleibt. Herr Ott untersucht sowohl einperiodige als auch mehrperiodige Planungsprobleme, wobei er auch entscheidungsunabhangige Zahlungen beriicksichtigt, wie etwa ein gegebenes Einkommen. Fiir diese Falle leitet er eine Fiille interessanter Ergebnisse ab. AbschlieBend zeigt er die Praktikabilitat des Ansatzes am Beispiel der Managemententlohnung mit Stock Options. Klaus Hellwig

Vorwort

Zunachst mochte ich mich herzlich bedanken fiir die Unterstiitzung, die ich wahrend der Erstellung der vorliegenden Dissertation erfahren habe. Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr. Klaus Hellwig fiir die Anregung zu dieser Arbeit, seine kritische Begleitung und Forderung, die mir immer hinreichend Freiraume bei der Gestaltung meiner Forschungstatigkeit lieB. Herrn Professor Dr. Ulrich Rieder und Herrn Professor Dr. Paul Wentges danke ich fiir ihr Interesse und die freundliche Ubernahme der weiteren Gutachten. Die KoUeginnen und Kollegen sowie Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter der Abteilung Betriebswirtschaft haben durch ein sehr gutes, kollegiales Betriebsklima zum Gelingen meiner Arbeit beigetragen. Frau Dr. Miriam Selinka und Herrn Dipl.-Math. oec. Michael Rosch mochte ich fiir die fruchtbaren Diskussionen und die personliche Unterstiitzung an dieser Stelle besonders danken. SchlieBlich gilt mein besonderer Dank auch meinen Eltern und meiner Ehefrau, die mich stets begleitet und verstandnisvoll unterstiitzt haben.

Andreas Ott

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

1

2 Traditionelle Derivatbewertung

7

2.1 Das Finanzmarktmodell

8

2.2 Arbitrage

11

2.3 Bewertung von Zahlungsanspriichen

13

2.4

17

Martingale und aquivalente MartingalmaBe

3 Bewertung auf unvoUstandigen Markten

21

3.1 Superhedging

23

3.2

26

Risikominimierende Hedgingstrategien

3.3 Bewertung mittels Entropie

28

3.4

Nutzenbasierte Bewertung

30

3.4.1

Der diskontierte Erwartungsnutzen

30

3.4.2

Marginale nutzenbasierte Bewertung

33

3.4.3

Indifferenzpreise/Reservationspreise

37

3.4.4

Kritik am Nutzenansatz

41

3.5

Zusammenfassung

4 Wachstumsmaximierung

43 45

4.1 Wachstumsoptimale Portfolios

45

4.2 Das Numeraire-Portfolio

49

X

INHALTSVERZEICHNIS

5 Wachstumsorientierte Portfolioplanung

53

5.1

Modellvoraussetzungen

53

5.2

Wertorientierte Portfolioplanung

55

5.3 Wachstumsorientierte Portfolioplanung

59

5.4

Unterschiede von ex ante und ex post Bewertung

64

5.5

Zur Existenz

67

5.6

Zusammenhang zur Nutzenmaximierung

70

5.7 Wachstumsmaximale Strategien

72

5.8

Myopische Planung

76

5.9

Bestimmung wachstumsorientierter Losungen

77

6 Wachstumsorientierte Bewertung

79

6.1 Definition und grundlegende Eigenschaften

79

6.2

84

Eindeutige Bewertung

6.3 Preisschranken

100

6.4

106

Okonomische Interpretation

7 Wachstumsorientierte Reservationspreise

111

7.1 Definition und Existenz

112

7.2

120

Zusammenhang mit dem Arbitrageprinzip

7.3 Das Einperiodenproblem

122

7.4

Myopische Planung

138

7.5

Exogene zustandsabhangige Zahlungen

151

7.6 Anwendungsbeispiel

156

8 Zusammenfassung

165

Anhang

171

Literaturverzeichnis

175

Kapitel 1 Einleitung Derivative Finanzinstrumente stellen Finanzkontrakte dar, deren Wert sich von anderen Variablen wie Wahrungen, Aktien oder Rohstoffen ableitet. Derivate konnen zum einen zur Absicherung von Preisanderungsrisiken der zugrundeliegenden Instrumente genutzt werden und zum anderen zur gezielten Ubernahme von Risiken gegen Zahlung einer Pramie eingesetzt werden. Sie stellen maBgeschneiderte Instrumente zum Risikotransfer zwischen Unternehmen, Investoren und Finanzintermediaren dar. Seit der Einfiihrung des organisierten Handels mit Optionen 1973 an der Chicago Board Option Exchange erlebt der Markt fiir Derivate eine eindrucksvolle Entwicklung. Der Nominalwert borsengehandelter Derivate stieg im Zeitraum von 1986 bis 2005 von 615 MilUarden auf 58 Billionen US-Dollar.^ Aber nicht nur das Volumen der gehandelten Kontrakte steigt rasant, sondern auch die Art der zugrundeliegenden Variablen wird immer vielfaltiger. Gerade im Bereich der individuell konzipierten Derivate im so genannten ,,over the counter" Handel auBerhalb der Borsen besteht ein nahezu unbegrenzter Spielraum in der Gestaltung derivativer Finanzkontrakte. Inzwischen konnen auch auf Kredite, Energie oder das Wetter derivative Finanzkontrakte abgeschlossen werden. Der Nominalwert der 2005 ausstehenden Kontrakte im OTC-Markt betrug etwa 285 Billionen US-Dollar. Die zentrale Frage beim Handel mit Derivaten besteht darin, welcher Preis fiir den Risikotransfer festgelegt werden soil. Als das dominierende Konzept zur Bewertung von Derivaten hat sich spatestens seit der bahnbrechenden Preisformel fiir europaische Optionen 1973 von Black und Scholes das Arbitrageprinzip durchgesetzt. Ausgehend von der Annahme, dass funktionierende Finanzmarkte keine risikolosen Gewinne - so genannte Arbitragemoglichkeiten - zulassen, kann innerhalb von Finanzmarkt^ Daten der Bank fiir Internationalen Zahlungsausgleich. Vgl. http://www.bis.org/statistics/derstats.htm.

KAPITEL 1. EINLEITUNG modellen der Preis von Derivaten bestimmt werden. Gelingt es, ein Derivat durch geschickte Strukturierung eines Portfolios nachzubilden, muss der Preis des Deri vats gemaB dem Arbitrageprinzip den Kosten entsprechen, die mit der Erstellung des Portfolios verbunden sind. Denn sonst ware es moglich, durch Verkauf der teureren von beiden Alternativen und Kauf der giinstigeren einen Gewinn zu erzielen, ohne dadurch das Risiko eines Verlustes in der Zukunft einzugehen. Dies kann auf einem funktionierenden Finanzmarkt jedoch nicht moglich sein. Eine grundlegende Annahme bei dieser Modellierung ist die Friktionslosigkeit des Finanzmarktes. Es wird angenommen, dass mit der Durchfiihrung der Transaktionen keine Kosten verbunden sind und diese in unbegrenztem AusmaB zu den gegebenen Konditionen durchgefiihrt werden konnen, ohne dass der Handel Einschrankungen unterliegt. Weiterhin haben alle Marktteilnehmer die gleichen Erwartungen beziiglich der moglichen Wertentwicklung der am Markt gehandelten Instrumente. Der Finanzmarkt wird als vollkommen bezeichnet. Sind zusatzlich alle denkbaren Zahlungsanspriiche mit den gehandelten Wertpapieren duplizierbar, spricht man von einem vollkommenen und vollstandigen Finanzmarkt. Auf einem solchen Markt konnen alle Derivate eindeutig bewertet werden, und zwar unabhangig von den Praferenzen der einzelnen Investoren. Es ergibt sich ein eindeutiges Preisfunktional. Eine Moglichkeit dieses zu charakterisieren, stellt der Martingalansatz von Harrison/Kreps (1979) dar. In der vorliegenden Arbeit wird fiir die Darstellung des Finanzmarktes ein endlicher Zustandsbaumansatz verwendet. Statt der wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellierung des Martingalansatzes wird, um die okonomischen Prinzipien besser zu verdeutlichen, das Bewertungsfunktional mit Hilfe von Zustandspreisen definiert, die bei einem vollstandigen Finanzmarkt jeder moglichen Zahlung im jeweiligen Umweltzustand einen eindeutigen Wert zuweisen. Reale Finanzmarkte erfiillen die Annahmen der idealisierten Finanzmarktmodelle jedoch nicht. In der Realitat ist die Durchfiihrung der Transaktionen mit Kosten verbunden und die am Handel beteiligten Marktteilnehmer sehen sich mit unterschiedlichen Restriktionen konfrontiert. Ebenso lassen sich die Risiken nicht immer in einem Modellrahmen so abbilden, dass sie vollstandig abgesichert werden konnen. Daher wurden neue Konzepte entwickelt, mit denen sich auch Preise fiir nicht duplizierbare Zahlungsanspriiche bestimmen lassen. Mit Hilfe des Arbitrageprinzips kann bei unvollstandigen Finanzmarkten kein eindeutiger Preis mehr festgelegt werden. Es ist jedoch moglich, Schranken fiir den Preis eines Derivats anzugeben. Lage der Preis auBerhalb dieser Schranken, wiirden sich Arbitragemoglichkeiten bieten. Leider sind diese Preisgrenzen in der Regel sehr grob und fiir die

KAPITEL 1. EINLEITUNG konkrete Preisgestaltung ungeeignet. Aus diesem Grund wurden zusatzliche Kriterien fiir die Bewertung von Derivaten vorgeschlagen. Eine Moglichkeit, einen Preis fiir ein Derivat festzulegen, stellen so genannte unvollstandige Absicherungsstrategien dar. Dabei wird das Risiko nicht mehr vollkommen abgesichert, sondern es wird eine Strategie gesucht, mit der sich das Risiko minimieren lasst. Der Betrag, der fiir diese Absicherungsstrategie aufgewendet werden muss, kann dann als Anhaltspunkt fiir die Bewertung des Zahlungsanspruches verstanden werden. Jedoch bleibt immer ein gewisses Restrisiko vorhanden, dessen Bewertung nicht geklart ist. Es liegt daher nahe, den Preis fiir ein Derivat in einer individuellen Analyse der personlichen Entscheidungssituation des Investors zu bestimmen und dabei seine Praferenzen direkt zu beriicksichtigen. Den klassischen Ansatz zur Modellierung von Praferenzen im Rahmen der Portfolioselektion stellt das Erwartungsnutzenprinzip dar. Dieses auf Bernoulli (1738) zuriickgehende Konzept basiert auf der Idee, die Bewertung von unsicheren Zahlungen mit einer Nutzenfunktion vorzunehmen. Der Anleger stellt dann sein Portfolio so zusammen, dass sein Nutzen maximiert wird. Ausgehend von diesem Konzept sind verschiedene Ansatze zur Bewertung von Derivaten vorgeschlagen worden. Die nutzenbasierte Bewertung von Deri vat e erfolgt mit Hilfe der durch die Nutzenfunktion abgebildeten Praferenzen des Investors. Der Preis stellt keinen Marktpreis mehr dar, sondern er ergibt sich als individueller Wert des Derivats fiir den jeweiligen Investor in Abhangigkeit von den Praferenzen, den Moglichkeiten und den personlichen Erwartungen iiber die kiinftige Wertentwicklung. Mit Hilfe dieses Ansatzes ist es ebenfalls moglich, iiber das Konzept der Indifferenzpreise Absicherungsstrategien fiir die Zahlungsanspruche zu entwickeln. Der Ansatz der Nutzenmaximierung zur Losung des individuellen Konsum- und Investitionsproblems lasst sich zwar axiomatisch begriinden, jedoch bietet er Anlass zur Kritik. Gerade die Tatsache, dass fiir die Bewertung eine konkrete Nutzenfunktion bestimmt werden muss, mit der jede mogliche Zahlung bewertet werden kann, erschwert die Anwendbarkeit des Konzeptes fiir die Bewertung von Derivaten. Die Relevanz fiir die praktische Durchfiihrung der Bewertung wird daher haufig in Frage gestellt. Einen alternativen Ansatz der Portfolioselektion stellt das Konzept der Wachstumsmaximierung dar. Statt die Praferenzen eines Investors iiber eine

Nutzenfunktion

abzubilden, wird das Portfolio bestimmt, das langfristig den hochsten Portfoliowert garantiert. Dieses einfache Kriterium lasst sich leicht operationalisieren, ohne dass eine Nutzenfunktion bestimmt werden miisste. Auch aus diesem Ansatz ergibt sich ein Preisfunktional, das fiir die Bewertung von Zahlungsanspriichen verwendet werden kann. Jedoch ist die Zielsetzung, ein moglichst hohes Endvermogen zu realisieren, nicht fiir

KAPITEL 1. EINLEITUNG jeden Anleger geeignet. Zum einen schranken die Voraussetzungen an die Problemstellung die Anwendbarkeit ein. Zum Beispiel ist es nicht moglich, zu spateren Zeitpunkten eintreffende Zahlungen, wie beispielsweise Arbeitseinkommen, zu beriicksichtigen. Zum anderen entspricht auch die Zielsetzung, die der Wachstumsmaximierung zugrunde liegt, nicht den Praferenzen jedes Anlegers. Denn bei der Wachstumsmaximierung wird das Vermogen bis zum Planungshorizont immer vollstandig reinvestiert. Es sind daher keine zwischenzeitlichen Konsumentnahmen mogUch. Jedoch mochten viele Anleger auch in der Zwischenzeit iiber einen Teil ihres Vermogens zu Konsumzwecken verfiigen. Als Erweiterung der Wachstumsmaximierung kann die wachstumsorientierte Portfolioplanung nach Hellwig (1987) gesehen werden. Dieser Ansatz ermoghcht es einem Investor, eine Portfolio- und Konsumpolitik so zu bestimmen, dass der Vermogenswert der gewiinschten Wachstumsentwicklung folgt und der Konsumplan intertemporal effizient ist. Die Praferenzen des Investors werden statt iiber eine Nutzenfunktion iiber die Wahl von Wachstumsraten abgebildet. Die Bestimmung der Wachstumsraten ist fiir einen Anleger intuitiv leichter als die Angabe einer konkreten Nutzenfunktion, mit der jede Zahlung eindeutig bewertet werden kann. Somit lasst sich die wachstumsorientierte Portfolioplanung wesentlich einfacher realisieren als das Konzept der Nutzenmaximierung und bietet eine vielfaltigere Anwendung als eine reine Maximierung der Wachstumsraten. Das Konzept der Wachstumsmaximierung ergibt sich als Spezialfall der wachstumsorientierten Portfolioplanung fiir eine geeignete Wahl der Wachstumsraten. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, das Konzept der wachstumsorientierten Planung im Hinblick auf die Bewertung von Derivaten zu untersuchen. Eine erste Betrachtung des Konzeptes der wachstumsorientierten Portfolioplanung unter dem Gesichtspunkt der Derivatbewertung lieferten Korn/Schal (1999) im Rahmen eines stark idealisierten Modells, in dem das Bewertungsfunktional der wachstumsorientierten Portfolioplanung mit dem der Wachstumsmaximierung iibereinstimmt. In dieser Arbeit wird die wachstumsorientierte Bewertung auf allgemeineren, unvollstandigen und unvollkommenen Markten untersucht. Es werden sowohl Leerverkaufsbeschrankungen als auch Transaktionskosten und entscheidungsunabhangige Zahlungen bei der Bestimmung von wachstumsorientierten Preisen fiir nicht duplizierbare Zahlungsanspriiche beriicksichtigt. AuBerdem wird es moglich, mit dem Konzept der wachstumsorientierten Reservationspreise Absicherungsstrategien fiir einen wachstumsorientierten Anleger anzugeben.

KAPITEL 1. EINLEITUNG Aufbau der A r b e i t

Zu Beginn werden im zweiten Kapitel die Modellierung des Finanzmarktes in einem endlichen zeitdiskreten Ansatz sowie die traditionelle Bewertung von Derivaten mit Hilfe des Arbitrageprinzips auf perfekten Markten vorgestellt. Grundlage dieser Arbeit ist die Bewertung von Zahlungsanspriichen mit Zustandspreisen, die an dieser Stelle fur einen perfekten Finanzmarkt eingefiihrt wird. Der Zusammenhang mit dem in der Literatur weit verbreiteten Ansatz der Bewertung mit MartingalmaBen wird am Ende des Kapitels erlautert. AnschlieBend gibt das dritte Kapitel eine Einfiihrung in die Bewertung auf unvollstandigen Markten. Es werden die Bestimmung von Preisgrenzen mit der Methode des Superhedgings, der Ansatz des risikominimierenden Hedgings und die Auswahl des Preisfunktionals mit minimaler Entropie als wichtigste Beispiele der Preisbestimmung anhand einfacher Kriterien skizziert. Des Weiteren wird auf die direkte Einbeziehung von Praferenzen des einzelnen Anlegers im Rahmen der Nutzenmaximierung eingegangen. Aus diesem Entscheidungskriterium zur Portfolioselektion lassen sich zwei verschiedene Ansatze zur Bewertung von Derivaten auf unvollstandigen Markten ableiten: Die nutzenbasierten Grenzpreise sind als Preise fiir verschwindend geringe Positionen von Derivaten interpretierbar, wahrend das Konzept der Indifferenz- oder auch Reservationspreise die Bestimmung eines Preises fiir eine explizit vorgegebene Anzahl von Zahlungsanspriichen ermoglicht. Den Abschluss des Kapitels bildet eine kritische Betrachtung der vorgestellt en Konzepte. Das Konzept der wachstumsmaximalen Portfolioplanung ist Gegenstand des vierten Kapitels. Im Rahmen der dieser Arbeit zugrundeliegenden Modellierung werden die Wachstumsmaximierung und die grundlegenden Eigenschaften des wachstumsoptimalen Portfolios beschrieben. Ebenso wird dargelegt, wie letzteres als Numeraire-Portfolio fiir die Bewertung herangezogen werden kann. Das fiinfte Kapitel widmet sich schliefilich der wachstumsorientierten Portfolioplanung. Anfangs erfolgt der Ubergang zu einem allgemeinen individuellen Entscheidungsmodell, in dem die Alternativen verschiedensten Restriktionen unterliegen konnen. Statt arbitragefreier Portfolios werden effiziente Konsumvektoren betrachtet, um der Unvollkommenheit des Modells Rechnung zu tragen. Nach einer Einfiihrung in die wachstumsorientierte Portfolioplanung werden verschiedene Eigenschaften, wie die Unterscheidung zwischen ex post und ex ante Bewertung des Konsums und die myopische Bestimmung der wachstumsorientierten Losung beleuchtet. Ebenso wird das Konzept mit den Ansatzen der Nutzenmaximierung und der Wachstumsmaximierung in Zusammenhang gestellt:

KAPITEL 1. EINLEITUNG Die Wachstumsmaximierung ergibt sich als Spezialfall, wahrend die Nutzenmaximierung nicht mit der wachstumsorientierten Portfolioplanung vereinbar ist. Im sechsten Kapitel wird die Bewertung von Derivaten mit dem endogenen wachstumsorientierten Zustandspreisvektor vorgeschlagen. Zunachst stellt sich die Frage der Eindeutigkeit des Zustandspreisvektors und damit nach Bedingungen, die eindeutige Zustandspreise sicherstellen. AnschlieBend wird aufgezeigt, wie aus dem Optimierungsproblem zur Bestimmung wachstumsorientierter Losungen Preisschranken fiir die Zahlungsanspriiche berechnet werden konnen. Im letzten Abschnitt wird die wachstumsorientierte Bewertung okonomisch reflektiert. Es wird sich dabei herausstellen, dass das Derivat zum wachstumsorientierten Preis weder nachgefragt noch angeboten wird, genau wie dies bei der nutzenbasierten Bewertung der Fall ist. Die Frage nach einem geeigneten Hedgeportfolio kann an dieser Stelle noch nicht vollstandig beantwortet werden. Im siebten Kapitel wird daher untersucht, zu welchem Preis ein wachstumsorientierter Anleger tatsachlich eine vorgegebene Anzahl des Derivats in sein Portfolio aufnimmt. Dazu wird das aus der Nutzenmaximierung bekannte Konzept der Reservationspreise auf die wachstumsorientierte Portfolioplanung iibertragen. Unter einem wachstumsorientierten Reservationspreis versteht man dabei den Preis, zu dem der Anleger das Derivat in einer vorgegebenen Menge in das Portfolio aufnimmt und fiir den der Kapitalwert gleich Null ist. Den Ausgangspunkt stellt der Nachweis der Existenz des Reservationspreises fiir jeden Zahlungsanspruch dar. Im Rahmen einer einperiodigen Analyse werden erste Eigenschaften des wachstumsorientierten Reservationspreises hergleitet. Es stellt sich heraus, dass dieser eindeutig gegeben ist und eine in der Anzahl der gehaltenen Zahlungsanspriiche monotone Funktion darstellt. AuBerdem wird die myopische Bestimmbarkeit des wachstumsorientierten Reservationspreises nachgewiesen. Damit iibertragt sich die Eindeutigkeit aus dem Einperiodenproblem auf die mehrperiodige Problemstellung unter bestimmten Voraussetzungen. Zum Abschluss des Kapitels wird die Einbeziehung von entscheidungsunabhangigen Zahlungen, wie etwa Arbeitseinkommen, in das Modell der wachstumsorientierten Reservationspreise thematisiert. Am Beispiel von Optionen, die Unternehmen ihren Fiihrungskraften gewahren, wird das Konzept mit und ohne entscheidungsunabhangige Zahlungen illustriert. AbschlieBend werden die wesentlichen Ergebnisse dieser Arbeit noch einmal kurz zusammengefasst.

Kapitel 2 Traditionelle Derivatbewertung Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Bewertung von (Finanz-)Derivaten. Unter einem Deri vat oder einem derivativen Wertpapier versteht man einen Finanzkontrakt, dessen Zahlungen von anderen Variablen abhangen. In Hull (2005) lautet die wohl allgemeinste Definition: ,,A derivative can be defined as a financial instrument whose value depends on (or derives from) the values of other, more basic underlying variables."^ Diese sehr allgemeine Definition lasst bereits erahnen, dass bei der Entwicklung von Derivaten sowohl bei der Wahl der zugrundeliegenden Variablen als auch bei der Art der Abhangigkeit ein nahezu unbegrenzter Gestaltungsspielraum besteht. Gerade im nicht borsenorganisierten Handel zwischen Banken und Investoren sowie Unternehmen, dem so genannten ,,over the counter" oder kurz OTC-Markt, werden derivative Finanzkontrakte zu maBgeschneiderten Instrument en des Risikotransfers. Im Rahmen dieser Arbeit werden Derivate lediglich als abstrakte Zahlungsanspriiche betrachtet, die mit Unsicherheit behaftet sind. Ziel ist es, ein allgemeines Modell zu entwickeln, um diese unsicheren Zahlungsanspriiche zu bewerten. Die Art der zugrundeliegenden Wertpapiere und die Art der Abhangigkeit spielen daher eine eher untergeordnete Rolle. Deshalb wird auf konkrete Ausgestaltungsmoglichkeiten spezieller derivativer Finanzkontrakte nicht naher eingegangen.^ Die Derivate werden im Rahmen eines mehrperiodigen Finanzmarktmodells mit einem endlichen Zustandsraum dargestellt - eine Modellierung der Unsicherheit, die auf Debreu (1959) und Arrow (1953) zuriickzufiihren ist. Vgl. Hull (2005), S. 1. Ein Uberblick liber die Vielfalt derivativer Finanzkontrakte ist in Hull (2005) zu finden.

8

KAPITEL 2. TRADITIONELLE DERIVATBEWERTUNG

Die Darstellung dieses Ansatzes im folgenden Kapitel basiert im Wesentlichen auf Magill/Quinzii (1996). Den Abschluss des Kapitels bildet eine kurze Beschreibung des auf Harrison/Kreps (1979) zuriickgehenden Martingalansatzes, der in der Literatur weit verbreitet ist.

2.1

Das Finanzmarktmodell

In dieser Arbeit wird der Finanzmarkt als zustands- und zeitdiskret modelliert. Die Investoren konnen bis zum Planungshorizont T die Wertpapiere ausschlieBlich zu festen Zeitpunkten t = 0 , 1 , . . . , T handeln. Die Unsicherheit der zukiinftigen Wertentwicklung wird mit Hilfe eines endlichen Zustandsraumes dargestellt, wobei s G S* = { 0 , . . . , N} die Menge der moglichen Umweltzustande bezeichnet bzw. die Knoten des Zustandsbaumes und St die Menge der Ereignisse, die zum Zeitpunkt t eintreten konnen. Mit N[s) sei die Menge der Nachfolger des Knotens s und mit D{s) sei die Menge der direkten Nachfolger des Knotens s bezeichnet. Der unmittelbare Vorganger des Knotens s werde als s~ gekennzeichnet. Fiir jedes k E ST existiere ein eindeutiger Pfad vom Knoten s = 0 zum Knoten k.^ In diesem Finanzmarktmodell wird die Unsicherheit dadurch charakterisiert, dass jeder Investor zwar zu jedem Zeitpunkt die Menge der moglichen Entwicklungen kennt, aber nicht weiB, welcher Zustand eintreten wird. Da es sich um ein Marktmodell handelt, wird angenommen, dass alle Investoren iiber dieselben Informationen verfiigen und daher dariiber einig sind, dass die Umwelt mit dem Zustandsraum S vollstandig beschrieben wird und jeder Zustand mit einer positiven Wahrscheinlichkeit eintreten kann.^ Ein Finanzkontrakt ist in diesem Kontext die Verpflichtung, in bestimmten Umweltzustanden eine bestimmte Zahlung zu leisten oder das Recht, eine entsprechende Zahlung zu erhalten. In diesem Kapitel werden m Wertpapiere betrachtet, die in jedem Zustand gehandelt werden konnen und Dividenden- bzw. Zinszahlungen generieren. Die Zahlung bei Wahl der j - t e n Anlage (j = 1 , . . . ,m) besteht also zum einen aus den Dividenden dgj im Zustand s = 1 , . . . , A^, zum anderen im Falle des Erwerbes oder der Veraufierung aus dem ex-Dividenden-Preis Wsj. Auch die Zahlungsstrome der Wertpapiere werden von alien Investoren als identisch angesehen.^ ^ Insbesondere wird kein rekombinierender Zustandsbaum betrachtet, wie es im vielleicht wichtigsten zeit- und zustandsdiskreten Modell, dem Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein (1979) der Fall ist. Diese Annahme stellt jedoch keine Einschrankung dar, da sich auch ein rekombinierender Zustandsbaum durch Unterscheidung der Knoten als nicht rekombinierender Zustandsbaum darstellen lasst. ^ Diese Annahme wird auch als unbedingte homogene Erwartung bezeichnet. Vgl. Kruschwitz (2002), S. 136. ^ Diese Annahme wird oft als bedingte homogene Erwartung bezeichnet. Vgl. Kruschwitz (2002), S. 136.

2.1. DAS FINANZMARKTMODELL Fiir die Modelliemng des Finanzmarktes werden ausschlieBlich die mit den Finanzkontrakten verbundenen Zahlungen erfasst. Nichtfinanzielle Rechte, die bei Beteiligungstiteln wie z.B. Aktien durch die Einflussnahme auf die Geschaftspolitik eines Unternehmens gegeben sind, werden vernachlassigt. Beispiel 2.1 Als Beispiel sollen zwei am Markt handelbare Wertpapieren betrachtet werden, deren Wertentwicklung sich mit folgendem Zustandsbaum beschreiben lasst.

t= 0

t= l

t=2

5 = {0,1, 2,3,4,5,6, 7}, So = {0}, 5i = {l,2}, ^2 = {3,4, 5,6,7}, N{0) = {1,2,3,4, 5,6, 7}, D{0) = {1, 2}, iV(l) = D{1) = {3,4}, 7V(2) = D(2) = {5,6,7}. Wertpapier 1 (festverzinslich): Wsi = l ( s - 0 , . . . , 7 ) , dsi = 0.01

(s-l,...,7).

Wertpapier 2 (Aktie): {W02, Wi2, W22, W32, ^ 4 2 , ^^52, 1^62, ^^72) = (15, 18, 16, 22, 17, 16.5, 15, 12), {di2, d22, C?32, 0?42, 0^52, ^ 2 , C?72) = ( 1 , 0, 3, 1, 1, 0, 0 ) .

Fine weitere idealisierende Annahme besteht darin, dass der Finanzmarkt friktionslos ist. Dies bedeutet, dass keine Transaktionskosten oder Steuerzahlungen beim Wertpapierhandel entstehen, die Wertpapiere in beliebiger Menge gekauft und (leer-)verkauft werden konnen und zusatzlich beliebig teilbar sind. AuBerdem werden die Wertpapierpreise nicht

KAPITEL 2. TRADITIONELLE DERIVATBEWERTUNG

10

von den Transaktionen der Marktteilnehmer beeinflusst (d.h. die Marktteilnehmer agieren als Preisnehmer) und die Anzahl der am Markt gehandelten Wertpapiere andert sich nicht. Ein solcher ,,perfekter" Finanzmarkt wird als vollkommen bezeichnet.^ Bei dieser Modellierung sind die Auswirkungen des Wertpapierhandels allein durch die Wertpapierpreise und die Dividendenzahlungen beschrieben. Die Zahlungen der Wertpapiere konnen in einer Payoff-Matrix zusammengefasst werden. Es ergibt sich die folgende (N+l) x {N - \ST\ + l)m Matrix^ A:

/ Wsl + dsl

...

Wsm + dsi

Wkl+dkl

•••

Wkm+dk,

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

\

0

0

A= 0

0

0

0

...

0

-w^r-i

0

...

0

0

0

wn + dii

\

WNl+dNl

-^N-m 0

0

Wlm + di

WNm + rfi\

wobei s e D(0), k G D{s) nndl = N- \D(N-)\ (o.B.d.A. D(N-) = {/ + 1 , . . . , iV}) ist.^ Bei dieser Darstellung wird klar, dass der zusatzliche Handel in den Folgeperioden und die Friktionslosigkeit des Marktes es ermoglichen, die m Wertpapiere als (A^ — |5T| + l)m unterschiedliche Wertpapiere mit einperiodigen Zahlungen zu interpretieren. Da Dividendenzahlung und Verkaufserlose auf einen Zeitpunkt fallen, wird die Unterscheidung zwischen den beiden Zahlungsarten iiberfliissig. Es kann ohne Einschrankung der AUgemeinheit angenommen werden, dass keine Dividendenzahlungen anfalien. 6 Vgl. z.B. Franke/Hax (1999), S. 334. ^ Fiir eine endliche Menge M bezeichne \M\ die Anzahl ihrer Elemente. ^ o.B.d.A. = ohne Beschrankung der AUgemeinheit.

2.2.

ARBITRAGE

11

In diesem Zusammenhang sei x

G RC^-I^TI+I)/?! ^g^. ^u dieser Auszahlungsmatrix

gehorende Portfoliovektor, der im Folgenden auch als Portfoliostrategie, Portfoliopolitik oder kurz als Portfolio bezeichnet wird. Der Zahlungsiiberschuss i/s des Portfolios x, den der Investor im Zustand s e S erhalt {i/s > 0) oder in das Portfolio einzahlen muss {ys < 0), ergibt sich als s-te Komponente von y = Ax. Insbesondere ist mit iN~\ST\+l)m yQ=

^

aoiXi = {WQI, . . . , W^mYixQ, . . . ,

Xm-l)

der Bet rag gegeben, der als Anfangskapital notig ist, um die Portfoliostrategie x zu erzeugen. Man spricht daher auch von den Kosten des Portfolios x. Fiir die spateren Ausfiihrungen ist es manchmal zweckmaBig, die Payoff-Matrix A in den Vektor der Preise ^0 e R(N-\ST\+i)m 2ujn Zeitpunkt 0 (mit Woi = 0 fiir alle i = m + 1,... ,{N-\ST\

+ l)m)

und in eine Matrix Ai, die die Zahlungen der Folgeperioden enthalt, zu zerlegen:

2.2

Arbitrage

Das zentrale Konzept zur Bewertung von Derivaten ist das Arbitrageprinzip. Die Idee, den Preis eines Wertpapiers unabhangig von den Praferenzen zu bewerten, erreichte mit der Arbeit von Black/Scholes (1973)^ den endgiiltigen Durchbruch. Die Grundidee des Arbitrageprinzips besteht darin, dass auf einem funktionierenden Finanzmarkt keine Moglichkeit gegeben sein sollte, einen risikolosen Gewinn zu realisieren. Es sollte nicht moglich sein, ein Portfolio zusammenzustellen, das in mindestens einem Zustand eine positive Zahlung generiert, ohne in einem anderen Zustand eine Auszahlung zur Folge zu haben. Existiert ein solches Portfolio, spricht man von der Existenz einer Arbitragemoglichkeit. ^° Black und Scholes gelang es mit Arbitrageiiberlegungen, eine geschlossene Formel fiir die Bewertung einer europaischen Kaufoption unter stark idealisierten Annahmen herzuleiten. °In der Literatur werden haufig verschiedene Arten von Arbitrage unterschieden, z.B. spricht man von einer ,,free lunch" Strategie, wenn die Strategic eine positive Auszahlung im Anfangszustand, aber keine negativen Zahlungen in den folgenden Zustanden erwirtschaftet oder von einer ,,free lottery" im Falle einer positiven Zahlung in einem Zustand, ohne dass im Anfangszustand eine Auszahlung erfolgt. Vgl. Ingersoll (1987), S. 52. Diese Falle sind in obiger Definition enthalten und eine Unterscheidung ist in diesem Modellrahmen nicht erforderlich.

12

KAPITEL 2. TRADITIONELLE DERIVATBEWERTUNG

Denn auf einem Finanzmarkt, der eine solche risikolose Gewinnmoglichkeit bietet, konnte sich kein okonomisches Gleichgewicht bilden, da jeder rationale Investor diese Moglichkeit eines risikolosen Gewinns nutzen wiirde. Die Nachfrage nach den in diesem Portfolio enthaltenen Wertpapieren wiirde damit so stark ansteigen, dass sich die Preise solange anpassen wiirden, bis keine Arbitragemoglichkeit mehr bestiinde.^^ Formal lasst sich die Arbitragefreiheit eines Finanzmarktes im betrachteten Modellrahmen wie folgt darstellen: Definition 2.1 Ein Finanzmarkt

heiBt arbitragefrei, falls es keine Arbitragemoglickeiten

keine Portfoliostrategie

gibt, d.h. falls

x existiert, fiir die Ax > 0 mit Ax ^ Q gilt.

Ein wesentliches Ergebnis der Arbitragetheorie ist die Aquivalenz der Arbitragefreiheit eines Finanzmarktes und die Existenz eines konsistenten Preissystems. Der folgende Satz wird daher auch als Fundamentaltheorem des Asset Pricing bezeichnet.^^ Satz 2.2 Ein Finanzmarkt

ist genau dann arbitragefrei,

wenn es einen Vektor n G E^+^ von

positiven Preisen gibt^^, fiir den die No-Arbitrage-Bedingung

gilt:

n'A = 0.

Der Preisvektor TT wird auch als Zustandspreisvektor bezeichnet. Aus Satz 2.2 ergibt sich ein wichtiger Zusammenhang zwischen den Zustands- und den Wertpapierpreisen. Denn die No-Arbitrage-Bedingung ergibt

7r'A = 0

=^

(7ro,7ri,...,7riv) I

^

°

\ =-TTQWO + {TTI, ... ,7VN)AI

= 0

TVQWQ = ( 7 r i , . . . , 7 r i v ) A i .

Somit ergibt sich fiir den Preis des j-ten

Wertpapiers {j G { 1 , . . . , m}) im Anfangszustand

Woj = — V " TVsWsj ^0 smO) ^^Fiir eine formale Herleitung der Notwendigkeit der Arbitragefreiheit auf einem Finanzmarkt mit rationalen Investoren vergleiche Magill/Quinzii (1996), S. 73. ^^Vgl. z.B. Dybvig/Ross (1989), S. 60. Ein Beweis dieses Theorems oder der aquivalenten Formulierung in Bezug auf die Existenz eines Martingalmafies lasst sich in alien Standardbiichern zu diskreten Finanzmarkten finden. Beispielsweise in Magill/Quinzii (1996) (S. 73) mit Hilfe des Trennungssatzes fiir konvexe Mengen. ^^Mit E " + sei die Menge aller positiven Vektoren im W^ bezeichnet, d.h. Wl^ = {x E MJ^ mit xi > 0 fiir alle i = 1 , . . . , n } , wohingegen W^. die Vektoren mit a;^ > 0 (i = 1 , . . . , n) umfasst. x' bezeichne den transponierten Vektor zu x.

2.3. BEWERTUNG VON ZAHLUNGSANSPRUCHEN

13

und in den Folgezustanden k G S\ST gilt analog:

T^k

— seD{k)

Rekursives Einsetzen liefert somit fiir alle t = 1,... ,T (fiir einen normierten Preisvektor mit TTo = 1) seSt

Normiert man die Zustandspreise so, dass TTQ = 1 ist, dann gibt TTS (S G S) den Wert einer Einheit im Zustand s an. Der Preis eines Wertpapiers im Anfangszustand entspricht somit der Summe der mit Zustandspreisen bewerteten zukiinftigen Wertpapierpreise jeder einzelnen Periode. Er ist also als Barwert der zukiinftigen Zahlungen interpretierbar. Daher wird auch haufig statt vom Zustandspreisvektor vom present-value Preisvektor gesprochen. Aufierdem sind die Zustandspreise als Preise der sogennanten Arrow-DebreuWertpapiere oder primitiven Wertpapiere interpretierbar. Als solche werden Wertpapiere bezeichnet, die in genau einem Zustand eine Zahlung in Hohe einer Geldeinheit liefern.^^

2.3

Bewertung von Zahlungsanspriichen

Ein Zahlungsanspruch (Contingent Claim) ist im betrachteten Modellrahmen ein Vektor d = (di,...,dNy G H^, dessen 5-te Komponente die Zahlung im Zustand s (s = 1,..., A'') bezeichnet. Derivate sind Zahlungsanspriiche, deren Payoff von einem oder mehreren der m Wertpapiere abhangt. Sie werden im Folgenden ebenfalls als abstrakte Zahlungsanspriiche modelliert. Eine besondere Stellung nehmen Zahlungsanspriiche ein, die nur im Endzeitpunkt Zahlungen generieren, d.h. fur die dg = 0 fiir alle s ^ ST gilt. Sie werden als europaische Optionen bezeichnet.^^ Beispiel 2.2 Die wichtigsten Vertreter von Derivaten stellen die Optionen dar. Eine europaische Kaufoption (Call) beinhaltet fiir den Besitzer das Recht, das zugrundeliegende Wertpapier (Underlying) zu einem vorher festgelegten Preis (dem Basispreis) zu einem festgelegten Zeitpunkt (Falligkeit) zu kaufen.

^^In Bezug auf Vektoren handelt es sich also um die Einheitsvektoren. ^^Vgl. z.B. Trautmann (2006) fiir eine Einfiihrung in diese Thematik.

14

KAPITEL 2. TRADITIONELLE DERIVATBEWERTUNG

Da ein Investor die Option nur dann ausiibt, wenn der Wert des Underlyings den Basispreis iibersteigt, lasst sich der Payoff eines europaischen Calls h G R^ auf die erste Aktie mit Basispreis K mit Falligkeit T wie folgt angeben hs

=

0

{S^ST)

hs = maix{wsi — K,0}

{s G ST)-

Ein Zahlungsanspruch d wird als erreichbar (,,attainable"), replizierbar oder redundant bezeichnet, wenn es moglich ist, diesen Zahlungsstrom durch die bereits am Markt vorhandenen Alternativen zu erzeugen, d.h. wenn es eine replizierende Strategie d = A\x. Fiir einen solchen Zahlungsanspruch lasst sich nun mit Hilfe des Arbitrageprinzips ein eindeutiger Preis festlegen. Der Preis eines redundanten Zahlungsanspruches p(ci) muss auf einem arbitragefreien Markt mit dem Wert des replizierenden Portfolios zum Zeitpunkt Null w'^x iibereinstimmen. Denn ansonsten ergaben sich Arbitragegelegenheiten: Ware der Preis zu niedrig, so lieBe sich durch den Erwerb des Zahlungsanspruches d und gleichzeitigen Verkauf des Portfolios x ein risikoloser Gewinn realisieren:

Aus p(d) < n,',x folgt ( -"f

\-Ax=(

-''^"^^

" ° " ] > 0 und ^ 0.

Analoges gilt fiir einen zu hohen Preis. Der Preis eines erreichbaren Zahlungsanspruches muss somit auf einem arbitragefreien Markt mit den Kosten des replizierenden Portfolios iibereinstimmen. Das Portfolio x erfordert lediglich im Zeitpunkt ^ = 0 eine Einzahlung und repliziert in den nachfolgenden Zustanden die Zahlungen des Zahlungsanspruches, ohne dass zu einem spateren Zeitpunkt Mittel nachgeschossen oder entnommen werden konnen. Es wird daher als selbstfinanzierend bezeichnet. Die Differenz aus den Mitteln, die im Zustand s G S\ST in die zur Verfiigung stehenden Alternativen i G Is angelegt werden und der aus Riickfliissen der in s' gewahlten Alternativen i G /«-, entspricht der Zahlung ds des Zahlungsanspruches im Zustand s'}^ y ^ Giis^i + ^

disXi =ds

{S

=1,...,N).

^Is C { l , . . . , ( i V - \ST\ -I- l ) m } bezeichnet die Menge der im Zustand s e S\ST realisierbaren Alternativen. Fiir s,ke S\ST gilt IsfMk=^ und Ese5\5T ^s = {1, • • •, (A^ - \ST\ + l ) m } .

2.3. BEWERTUNG VON ZAHLUNGSANSPRUCHEN

15

Da die Vereinbarung, den Zahlungsanspruch d zu liefern, genau durch das Portfolio x gedeckt wird, spricht man in diesem Fall auch von einem voUstandigen oder perfekten Hedge. 1st man im Wesentlichen an der Bestimmung eines Preises fiir den Zahlungsanspruch interessiert, stellt die Existenz eines Preissystems eine enorme Vereinfachung dar, denn es gilt die folgende Preisformel: S a t z 2.3 1st d G R ^ ein erreiciibarer Zaiiiungsansprucii, so gilt auf einem arhitragefreien Markt fiir alle Zustandspreisvektoren

mit TTQ = 1

P(^)

=

^'^sds-

Beweis Nach Satz 2.2 gilt auf einem arbitragefreien Markt TTQWO = (TTI, . . . ,7r^)^i = 0. Daraus ergibt sich N p(d) = W'QX = TYQW'QX = (7ri,...,7r^)Aix = (TTI, . . . , 7r„)d = ^TT^C^^.

Die BewertungsformeP'' bietet die Moglichkeit, den Preis eines redundanten Zahlungsanspruches direkt iiber die Zustandspreise statt iiber den etwas umstandlichen Ansatz der Duplikation zu bestimmen. Fiir den arbitragefreien Preis p{d) gilt

P(^)

=

^'^sds

Allerdings ist der Preisvektor im Allgemeinen nicht eindeutig. Dies hat zur Folge, dass auch die Preise fiir nicht erreichbare Zahlungsanspriiche nicht eindeutig sind. Man nennt einen Finanzmarkt vollstandig, wenn jeder Zahlungsanspruch d erreichbar ist. Beim diskreten Zustandsbaumansatz lasst sich die Vollstandigkeit des Finanzmarktes noch auf eine weitere Weise charakterisieren. Der Markt ist genau dann vollstandig, wenn in jedem Zustand die Anzahl der direkten Nachfolger gleich der Anzahl der gehandelten ''Beim Martingalansatz ist dies die sog. risikoneutrale Bewertungsformel. Vgl. S. 19.

16

KAPITEL 2. TRADITIONELLE DERIVATBEWERTUNG

(linear unabhangigen) Wertpapiere ist. Andert sich die Anzahl der Wertpapiere nicht, lasst sich dies wie folgt ausdriicken: Der Finanzmarkt ist genau dann vollstandig, wenn m{s) = |i)(5)| fiir alle s G

S\ST,

wobei m{s) die Anzahl der im Zustand s verfiigbaren linear unabhangigen Wertpapiere bezeichnet. Die Existenz eines replizierenden Portfolios hangt von der Losbarkeit des linearen Gleichungssystems y = Aix ah. Daher ist der Finanzmarkt genau dann vollstandig, wenn

rgiA,) = N. Vollstandige Markte sind bei der Bewertung von Derivaten besonders vorteilhaft, da sie eine eindeutige Bewertung jedes Zahlungsanspruches garantieren. Fiir die Zustandspreise gilt folgender Satz:^^ Satz 2.4 Ein arbitragefreier Finanzmarkt von Zustandspreisen

ist genau dann vollstandig, wenn ein eindeutiger

Vektor

TT existiert (mit TTQ = 1).

In einem vollkommenen und vollstandigen Finanzmarktmodell ist der arbitragefreie Preis p{d) somit eindeutig und es kann jeder Zahlungsanspruch allein mit der NoArbitrage-Bedingung eindeutig bewertet werden. Es stellt ein Marktmodell dar, in dem die Bewertung allein auf der Modellierung des Gesamtmarktes und den damit verbundenen Annahmen an die Marktteilnehmer basiert. Die individuellen Risiko- oder Zeitpraferenzen der einzelnen Investoren sowie die subjektive Einschatzung der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustande sind nicht relevant. Man spricht von einer praferenzunabhangigen Bewertung im Rahmen eines Marktmodells.

^Vgl. Magill/Quinzii (1996), S. 237.

2.4. MARTINGALE UND AQUIVALENTE MARTINGALMASSE

2.4

17

Martingale und aquivalente Martingalmafie

In der Literatur wird die Bewertung von Zahlungsanspriichen haufig mit Hilfe von MartingalmaBen, der so genannten risikoneutralen Bewertung, durchgefiihrt.^^ Im folgenden Abschnitt wird dieser wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz in den Grundziigen vorgestellt und die Aquivalenz mit dem bereits beschriebenen Ansatz der Bewertung mittels Zustandspreisen auf endlichen Finanzmarkten aufgezeigt. Fiir die Modellierung des Finanzmarktes wird zunachst der folgende Wahrscheinlichkeitsraum {Q, T, P) benotigt, wobei Q = S'T die Menge der moglichen Umweltentwicklungen im Planungshorizont T ist, die mit der positiven Wahrscheinlichkeit P(s) — ips (^ G Q) auftreten. Die zunachst als Zustande bezeichneten Elemente von ST lassen sich wegen der Eindeutigkeit der Vorgangerknoten im anfangs beschriebenen Zustandsbaummodell auch als Pfade interpretieren. Die Entwicklung im Zeitverlauf wird nun nicht mehr iiber Vorgangerknoten modelhert, sondern der Informationsfluss wird mit Hilfe der Filtration F = {J?=i}^o ^^s den cr-Algebren T^ C T\^

• • - (Z TT dargestellt, wobei ^o = {0, ^ } und

TT — T = f (^) die Potenzmenge von Q sei. Die Wertpapiere werden an Stelle von Vektoren als stochastische Prozesse modelliert und im Vektor W — ( W i , . . . , T y ^ ) zusammengefasst, wobei der Wert Wi(i) des z-ten Wertpapiers eine ^f-messbare Zufallsvariable darstellt, deren Wert zum Zeitpunkt i durch Wi(t^ s) = Wsi mit s E St gegeben ist. Um die Darstellung der Wertpapierpreise als diskontierter Erwartungswert zu ermoglichen, muss noch der Diskontfaktor festgelegt werden. Ublicherweise wird dafiir ein sicherer Bond verwendet, es kann aber prinzipiell jeder strikt positive Preisprozess dafiir verwendet werden, wobei die Bewertung unabhangig von der Wahl des als Numeraire bezeichneten Wertpapiers ist.^° Mit der Wahl von Wi als Numeraire bezeichne Wt = ( 1 , ^ ® , . . . , ^ ^ ^ ) den diskontierten Preisprozess. Anstelle eines Zustandspreisvektors wird ein Wahrscheinlichkeitsmafi gesucht, unter dem der diskontierte Wertpapierprozess ein Martingal darstellt.^^

^Dieser weitverbreitete Ansatz geht auf Harrison/Kreps (1979) und Harrison/Pliska (1981) zuriick. Vgl. auch Bingham/Kiesel (2004), Pliska (2001) oder Musiela/Rutkowski (1997). oVgl. Bingham/Kiesel (2004), S. 101. ^ Martingale modellieren faire Gliickspiele, bei denen die zu erwartenden Zahlungen dem Einsatz entsprechen. Fiir eine mathematische Definition vergleiche z.B. Bingham/Kiesel (2004), S. 78.

18

KAPITEL 2. TRADITIQNELLE DERIVATBEWERTUNG

Definition 2.5 Ein zu P aquivalentes WahrscheinlichkeitsmaB

Q heiBt aquivalentes Martingalmajf^,

wenn

der diskontierte Preisprozess W ein Q-Martingal beziiglich der Filtration F ist. Die Menge der aquivalenten

MartingalmaBe

wird mit V

bezeichnet.

Fiir den zugrundeliegenden endlichen diskreten Finanzmarkt vereinfachen sich die Bedingungen, die an ein aquivalentes MartingalmaB gekniipft sind, wie folgt: • Q(s) > 0 fiir jeden Zustand s e ST und YlseSr ^ ( ^ ) ~ -'- ^^wie • E^{Wt+i\Tt)

= Wt^iirt

= 0,...,T-

l.^^

Die zweite Bedingung ist gleichbedeutend mit^^ q{s\k)

=

, bzw.

seD[k)

y

q(s\k)

Wsi = Wki

seD{k)

fiir jedes Wertpapier i und jeden Zustand k e

S\ST-

Verglichen mit den Bedingungen TT'A = 0 an einen Zustandspreisvektor TT > 0 oder

seD{k)

fiir jedes Wertpapier i und jeden Zustand k G S\ST,

unterscheiden sich die Bedingungen

an ein aquivalentes MartingalmaB nur in der Normierung der kiinstlichen Wahrscheinlichkeiten mit dem Numeraire. Es besteht somit ein eindeutiger Zusammenhang von Zustandspreisvektor und MartingalmaB: Aus dem MartingalmaB Q ergibt sich der Zustandspreisvektor n rekursiv aus TTS = q{s\k)^7rs-

fiir s ^ SQ mit TTQ = 1. 1st ein

Zustandspreisvektor n gegeben, so ergibt sich das korrespondierende MartingalmaB Q als ^^^TT.^fiirsGS'r.^^ ^*

* woo

-'

Mit einer geeigneten wahrscheinlichkeitstheoretischen Definition von Arbitrage^^ ergeben sich die beiden Fundamentaltheoreme des Asset Pricing in Bezug auf MartingalmaBe analog zu den Satzen 2.2 und 2.4:^^ ^^ Zwei auf derselben cj-Algebra T definierte MaBe Q und P werden als aquivalent bezeichnet, wenn P ( M ) = 0 ^^=> Q(M) = 0 fiir jede Menge M £ T, d.h. falls sie dieselben Nullmengen besitzen. ^ ^ E Q bezeichne den Erwartungswertoperator bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmafies Q. '^'^q[s\k) bezeichne die durch qg eindeutig festgelegte bedingte Wahrscheinlichkeit fiir das Eintreten des Zustands s unter der Bedingung, dass k eingetreten ist. q{s\k) lasst sich rekursiv durch q{s\k) = qs/qk mit qk = Ss€D(fc) Qs bestimmen. ^^ Fiir den Zusammenhang von Martingalmal3en und Zustandspreisen vergleiche z.B. Zimmermann (1998), S. 34. 26Vgl. Z.B. Musiela/Rutkowski (1997), S. 72. 27Vgl. z.B. Bingham/Kiesel (2004), S. 112 bzw. 116.

2.4. MARTINGALE UND AQUIVALENTE MARTINGALMASSE

19

Satz 2.2' Ein Finanzmarkt Q

ist genau dann arbitragefrei, wenn ein zu P aquivalentes

MartingalmaB

existiert.

Satz 2.4' Ein arhitragefreier

Finanzmarkt

aquivalentes MartingalmaB

ist genau dann voUstandig, wenn ein eindeutiges zu P

Q existiert, d.h. \V\ = 1.

Anstelle der Bewertung mit Zustandspreisen tritt beim Martingalansatz die risikoneutrale Bewertungsformel.^^ Ein Zahlungsanspruch d, der nur Zahlungen in T liefert, lasst sich als eine Zufallsvariable Y auf Q darstellen. Ist d erreichbar, dann lasst sich der Preis p{d) fiir jedes Q G 7^ wie folgt angeben:

p(d)=«;„„E,(y^) = g 5 A ^ Der Preis des Zahlungsanspruches lasst sich somit als diskontierter Erwartungswert darstellen. Daher wird diese Preisformel auch als risikoneutrale Bewertungsformel und die Martingalwahrscheinlichkeiten werden als risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Wichtig ist dabei hervorzuheben, dass es sich um eine praferenzfreie Bewertung handelt, die ausschlieBlich auf Arbitrageiiberlegungen basiert und nicht etwa voraussetzt, dass die Investoren risikoneutral sind. Setzt man zusatzlich voraus, dass ein risikoloses Wertpapier am Markt vorhanden ist, das in jeder Periode um r > 0 steigt und zum Zeitpunkt t = 0 genau eine Geldeinheit kostet, dann vereinfacht sich die Bewertungsformel mit der Wahl des risikolosen Wertpapiers als Numeraire wie folgt:

a+'-r' .f/'d+'-r' Insbesondere folgt fiir r = 0

seSr

seSr

da die Zustandspreise mit den Martingalwahrscheinlichkeiten iibereinstimmen. Um die Unterscheidung von aquivalenten MartingalmaBen und Zustandspreisvektoren, diskontierten und undiskontierten Preisprozessen zu umgehen, wird im nachsten Kapitel die Existenz eines risikolosen Wertpapiers mit Zins r = 0 angenommen. ^^Vgl. Bingham/Kiesel (2004), S. 115. Dieses Bewertungsprinizip geht auf Cox/Ross (1976) zuriick.

Kapitel 3 Bewertung auf unvollstandigen Markten Im vorangegangenen Kapitel wurde die Bewertung von Zahlungsanspriichen auf vollkommenen und vollstandigen Finanzmarkten vorgestellt. Es stellte sich heraus, dass sich jeder Zahlungsanspruch mit Hilfe der am Markt vorhandenen Wertpapiere erzeugen lasst und mit dem Arbitrageprinzip ein eindeutiger praferenzunabhangiger Preis ermittelt werden kann. Reale Finanzmarkte erfiillen im Allgemeinen die idealisierenden Annahmen eines vollkommenen und vollstandigen Kapitalmarktes nicht. ,,In reality, however, the perfect replication is an unattainable ideal, partly due to market frictions and partly due to genuine sources of unhedgeable risk presenting themselves

Auf realen Finanzmarkten sind die Investoren in vielerlei Hinsicht in ihrem Handlungsspielraum eingeschrankt. Die Restriktionen konnen dabei individuell gegeben sein oder aber aus der Beschaffenheit des Finanzmarktes resultieren. Zum einen existieren in der Regel individuelle Transaktionskosten, die den Marktteilnehmern beim Handel mit Wertpapieren enstehen, sowie Beschrankungen fiir den Erwerb und den (Leer-)Verkauf von Wertpapieren. Zum Beispiel ist es Privatanlegern in der Regel nicht moglich, Aktien leerzuverkaufen. Auch institutionelle Anleger wie Kapitalanlagegesellschaften unterliegen unterschiedlichen Restriktionen. Insbesondere existieren in der Regel Grenzen fiir die Aufnahme von Krediten.^ Vgl. Cerny/Hodges (2000), S. 175. Die Bewertung von Optionen mit Transaktionskosten ist z.B. in Leland (1985) und Bensaid et al. (1992) zu finden. Leerverkaufsbeschrankungen betrachten Jouini/Kallal (1995a), Obergrenzen werden von Naik/Uppal (1994) berucksichtigt.

22

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVOLLSTANDIGEN MARKTEN

Zum anderen wird an den Markten in der Regel nur eine gewisse Anzahl an Aktien gehandelt, deren Preis von Angebot und Nachfrage bestimmt wird. Sollen groBe Aktienpakete verauBert oder erworben werden, kann dies oft nur mit einem Preisab- bzw. aufschlag realisiert werden. Es ist also nicht moglich, jede Transaktion in einem beliebigen Umfang zu einem festen Preis durchzufiihren.^ Neben der Vollkommenheit ist auch die Vollstandigkeit des Finanzmarktes eine schwerwiegende Voraussetzung. Bei der dieser Arbeit zugrundeliegenden diskreten Modellierung bedeutet die Forderung eines vollstandigen Marktes, dass die Anzahl der Wertpapiere der Anzahl der moglichen Umweltzustande entsprechen muss. Zwar existiert eine Vielzahl verfiigbarer Wertpapiere, allerdings ist eine unbegrenzte Anzahl von moglichen Umweltentwicklungen denkbar. ,,Complete financial markets, while a useful abstraction, are not an everyday occurence, however. Securities number a few thousand, while the relevant set of states is no doubt much larger."^ Auch bei der idealisierenden Annahme, dass der Wertpapierhandel jederzeit und in unendlicher Geschwindigkeit abgewickelt werden kann und daher die Wertpapierpreisprozesse als kontinuierliche stochastische Prozesse modelliert werden konnen, ist eine eindeutige Bewertung nicht immer moglich. Black/Scholes (1973) gelang es zwar, eine geschlossene Formel fiir europaische Optionen auf perfekten Markten herzuleiten, jedoch wird die Annahme, dass sich Wertpapierpreise als geometrische Brown'sche Bewegung darstellen, inzwischen abgelehnt.^ Weicht man von der Modellierung von Black/Scholes (1973) ab, indem man statt der angenommen konstanten Volatilitat eine stochastische Volatilitat zulasst Oder fiir die Kursentwicklung Spriinge erlaubt, fiihrt dies in der Regel zu einem unvollstandigen Finanzmarkt.^ Es ist daher notwendig, Kriterien zu entwickeln, die eine Preisbestimmung auch auf Markten sicherstellen, auf denen eine perfekte Replikation nicht moglich ist. In der Literatur werden dabei vor allem die Angabe von Preisober- bzw. untergrenzen, eine Einbeziehung der Praferenzen durch die klassische Nutzentheorie oder aber die Verwendung von unvollstandigen Hedges genannt.^

^ Die Beriicksichtigung von Marktilliquiditat bei der Bewertung von europaischen Optionen ist z.B. in Amaro de Matos/Antao (2003) zu finden. 4 Vgl. Hakansson (1989), S. 139. ^ Vgl. Bates (2003). ^ Vgl. Fouque et al. (2000) fiir die Modellierung bei stochastischer Volatilitat. Eine vielbeachtete Modellierung von Sprungprozessen stellen Levy-Prozesse dar. Vgl. Cont/Tankov (2004). ^ Vgl. Zariphopoulou (1999).

3.1. SUPERHEDGING

23

Statt der Modellierung des gesamten Marktes und einer Bestimmung des Preises aus einem Marktmodell wird die individuelle Entscheidungssituation eines einzelnen Investors betrachtet, um so den Preis zu bestimmen, zu dem der Investor das Derivats erwerben wiirde. Insbesondere kann nun auf die unrealistische Voraussetzung der homogenen Erwartung verzichtet werden. Anstelle der identischen Erwartung aller Anleger tritt die Markteinschatzung des einzelnen Investors. Im Folgenden werden der Superreplikationsansatz, die Verwendung eines unvollstandigen Hedges sowie die Auswahl des MartingalmaBes mit minimaler Entropie zur Bewertung von Optionen skizziert. Den Abschluss bildet die Darstellung der beiden wichtigsten Ansatze der nutzenbasierten Bewertung. Die Darstellung erfolgt im Rahmen der in Kapitel 2 gewahlten Modellierung eines friktionslosen Finanzmarktes. Die Modellierung der Kursentwicklung basiert nun auf der individuellen Einschatzung des einzelnen Anlegers.

3.1

Superhedging

Auf unvollkommenen oder unvollstandigen Finanzmarkten lasst sich aus reinen Arbitrageiiberlegungen kein eindeutiger Preis fiir ein nicht replizierbares Deri vat angeben. Jedoch kann der in Kapitel 2 beschriebene Ansatz dazu genutzt werden, die Menge der arbitragefreien Preise einzuschranken. Es ist moglich ein Preisintervall zu bestimmen, sofern sich Portfolios konstruieren lassen, die entweder in jedem Zustand mindestens gleich hohe Riickfliisse bzw. Riickfliisse in hochstens gleicher Hohe liefern.^ Um dies auf einem friktionslosen Markt zu formalisieren, wird zunachst der Begriff der Dominanz eingefiihrt.^ Definition 3.1 Ein Portfolio x dominiert ein Portfolio x, falls Aix > AiX und Aix ^

Aix.

Ein rationaler Entscheider wiirde das Portfolio x immer dem dominierten Portfolio x vorziehen, da es in jedem Zustand eine mindestens gleich hohe Zahlung zur Folge hat. Daher muss auch der Preis WQX fiir das dominierende Portfolio den Preis WQX des dominierten Portfolio iibersteigen. Denn sonst entstiinde durch das Portfolio x — x eine Arbitragegelegenheit, da Ai{x - x) > 0 und wo{x — x) < 0. Das dominierende Portfolio muss daher einen hoheren Preis aufweisen, damit sich keine Arbitragegelegenheiten bieten. Dieser Ansatz wurde von Bensaid et al. (1992) und Jouini/Kallal (1995a/b) im diskreten Modell mit Transaktionskosten bzw. Leerverkaufsbeschrankungen und von El Karoui/Quenez (1995) auf stetigen Finanzmarkten (Diffusionsmodell) untersucht. Fiir eine einfiihrende Darstellung in einem einfachen endlich diskreten Modell vergleiche z.B. Musiela/Rutkowski (1997), S. 87 ff. Vgl. Ingersoll (1987), S. 52.

24

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVOLLSTANDIGEN MARKTEN

Fiir den Preis eines Derivats d ist somit durch den Preis des giinstigsten d dominierenden Portfolios eine obere Schranke gegeben. Im betrachteten Modellrahmen lasst sich die Bestimmung der oberen Schranke durch folgende Optimierungsaufgabe beschreiben: YT=i ^oiXi -> min

iLP)i

Aix > d

Fiir das zu (LP) duale Programm (DP) folgt

d'n -^ max

{DP){

A[7r = W'Q TT > 0

Die Existenz eines Superhedging-Preises lasst sich mit Hilfe des Dualitatssatzes der linearen Optimierung zeigen:^^

Bei Arbitragefreiheit des Finanzmarktes ist die Bedingung AITT = W'Q fiir ein TT > 0 erfiillt und somit der zulassige Bereich des dualen Problems nicht leer. Der zulassige Bereich des primalen Programms ist ebenfalls nicht leer, sobald eine dominierende Strategic existiert. Dies gilt, falls eine Strategic am Markt verfiigbar ist, die in jedem Zustand strikt positive Riickfliisse liefert, denn dann lasst sich durch die Anlage eines beliebig hohen Betrags in jedem Zustand ein Riickfluss in beliebiger Hohe realisieren.^^ Definition 3.2 Der Zielfunktionswert

p^^^{d)

des

Optimierungsprohlems YHLI

(LP)

wird als Preisobergrenze

o^oiXi -^

min

Aix > d

oder Superhedging-Preis

des Zahlungsstromes

Analog bezeichne p^^^{d) := —p^^'^{-d) die Preisuntergrenze

d

bezeichnet.

des Zahlungsstromes

d.

^^Der Dualitatssatz der linearen Optimierung besagt, dass wenn (LP) und (DP) zulassige Losungen besitzen, auch fiir beide Programme eine optimale Losung existiert und die optimalen Zielfunktionswerte iibereinstimmen. Vgl. Satz 1.4.3 in Neumann/Morlock (2002). ^^ Durch die Existenz einer risikolosen Anlagemoglichkeit ist dies also gesichert.

3.1. SUPERHEDGING

25

Haufig werden die Preisschranken auch als Verkaufer- oder Kauferpreise bezeichnet^^, da fiir den Verkaufer eines Zahlungsanspruches durch die Hinzunahme des giinstigsten dominierenden Portfolios die beste Moglichkeit gegeben ist, die resultierenden Verpflichtungen vollstandig abzusichern und fiir den Kaufer mit dem Preis des teuersten dominierten Portfolios die beste Moglichkeit besteht, den Erwerb des Zahlungsanspruches d zu finanzieren, ohne in der Zukunft negative Zahlungen zu riskieren. Mit Hilfe des dualen Optimierungsproblems konnen die Preisgrenzen auch direkt iiber die Zustandspreise berechnet werden. Wegen des schwachen Dualitatssatzes^^ gilt: m

p'^^^id)

= minlY^aoiXi

\ Aix > d, x e R(N-\ST\+i)my

=

m a x { ( 7 r i , . . . , TTJVJC? | A'-^TT = W'Q, TT >

=

S U P K T T I , . . . , 7TN)d I A[7T = WQ, 71 > 0 } .

0}

Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht vor allem darin, dass Friktionen des Marktes sehr leicht mit einbezogen werden konnen. Dazu werden in die Optimierungsaufgabe einfach die zusatzlichen Restriktionen mit aufgenommen. Im Fall von Leerverkaufsbeschrankungen gilt X > 0.^^ Allerdings liefern die Superhedging-Strategien haufig nur sehr groBe Intervalle, so dass sie fiir die Bewertung nicht unbedingt geeignet sind.^^ Das auf Cochrane/Saa-Requejo (2000) zuriickgehendes Konzept der ,,good-deal bounds" versucht die Preisgrenzen zu verfeinern, indem weitere besonders vorteilhafte Strategien, die keine Arbitragegelegenheiten darstellen, ausgeschlossen werden. Da die Festsetzung dieser Vorteilhaftigkeit aber eher willkiirlich erscheint, wird auf eine Ausfiihrung im Rahmen dieser Arbeit verzichtet.^^

12 Vgl. Musiela/Rutkowski (1997), S. 87 ff. i^Vgl. Satz 1.4.1 in Neumann/Morlock (2002). i^Vgl. z.B. Musiela/Rutkowski (1997), S. 96 ff. i^Ein Beispiel im Zusammenhang mit der wachstumsorientierten Bewertung ist auf S. 96 gegeben. i^Fiir eine einfiihrende Darstellung vergleiche z.B. das Lehrbuch von Cochrane (2005). Verallgemeinerte Konzepte wie von Cerny/Hodges (2000) verdeutlichen, dass sich ,,good-deal bounds" auch iiber Nutzenfunktionen darstellen lassen. Fiir die nutzenbasierte Bewertung vergleiche Abschnitt 3.4.

26

3.2

K A P I T E L 3. BEWERTUNG AUF U N V O L L S T A N D I G E N

MARKTEN

Risikominimierende Hedgingstrategien

Im vorangegangen Abschnitt konnten mit Hilfe der Arbitrageiiberlegungen Preisschranken fiir nicht redundante Zahlungsanspriiche hergeleitet werden. Diese konnen jedoch sehr weit auseinanderliegen, so dass das Bewertungsproblem nicht zufriedenstellend gelost werden kann. Grundidee beim Superhedging ist es, ein Hedgeportfolio zu bestimmen, das das nicht redundante Wertpapier dominiert und so das Risiko einer negativen Zahlung vollstandig ausschlieBt. Alternativ zu dieser relativ teuren Methode der vollstandigen Absicherung konnte der Investor auch einen gewissen Hedgingfehler akzeptieren und zur Absicherung eines Zahlungsanspruches ein Portfolio auswahlen, das das Risiko lediglich begrenzt. Die bekannteste Form ist die von Follmer/Sondermann (1986) vorgeschlagene Auswahl eines Portfolios nach dem quadratischen Kriterium.^^ Ausgehend von einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch das Mal3 P gegeben ist, wird diejenige Portfoliostrategie ausgewahlt, die den geringsten erwarteten quadratischen Hedgefehler zwischen einem nicht replizierbaren europaischen Zahlungsanspruch, der nur Zahlungen im Planungshorizont T zur Folge hat^^ und dem Hedgeportfolio aufweist. Grundsatzlich unterscheidet man bei dieser Methode zwei unterschiedliche Verfahren:

die Minimierung der quadratischen Abweichung des Zahlungsanspruches und eines selbstfinanzierenden Portfolios im Planungshorizont T, das so genannte varianzoptimale oder globale risikominimierende Hedging und

die Minimierung der quadratischen Abweichung des Zahlungsanspruches und eines (nicht unbedingt selbstfinanzierenden) replizierenden Portfolios in Zeitpunkt t = 1 , . . . , T, das so genannte lokale riskominimierende Hedging.

Bei dem globalen risiko- oder varianzminimierenden Hedging wird im Rahmen des in dieser Arbeit verwendeten endlichen Finanzmarktmodells^^ eine selbstfinanzierende Strategic x und ein Anlagevermogen K SO bestimmt, dass folgendes Optimierungsproblem gelost wird: ^Eine ausfiihrliche Darstellung des Ansatzes liefern Schweizer (2001) und Follmer/Schied (2002) (in diskreter Zeit), an deren Ausfiihrungen sich dieser Abschnitt im Wesentlichen orientiert. Auf alternative Ansatze der Risikominimierung unter Verwendung alternativer RisikomaBe, z.B. die Minimierung des Shortfall-Risikos von Follmer/Leukert (2000) oder das Quantile Hedging von Follmer/Leukert (1999) oder die allgemeine Formulierung von Xu (2006) soil hier nicht naher eingegangen werden. ^ Also einen Vektor d G R " mit d^ = 0. ^Vgl. auchCerny (2004).

3.2. RISIKOMINIMIERENDE HEDGINGSTRATEGIEN

T^sesA^s - EzG/^_ ^siXif L^i^I - ^si^i

27

-> min

— ~ 2-^i£lg CLsi^i

\S G Otj, t = 1, . . . , i — i

Es ist somit eine Strategie gesucht, die die geringste erwartete quadratische Abweichung mit dem Zahlungsanspruch d im Planungshorizont bei einem anfanglichen Kapital von K aufweist, ohne dass zusatzliche Zahlungen in der Zwischenzeit erfolgen. Beim lokalen risikominimierenden Hedging ist das Portfolio x gesucht, das den Zahlungsanspruch d bei Falligkeit exakt repliziert, d.h. fiir jedes s ^ ST gilt Clg ^= y ^

CisiXi,

und aufierdem zu jedem Zeitpunkt t = 0 , . . . , T — 1 die kleinste quadratische Abweichung von realisierten Zahlungen aus dem Portfolio und der zur Wiederanlage notwendigen Mittel aufweist:

XI ^(^l'^")( X] ^siXi + Xo^siXiY {s e St). sGD(s-)

ie/^-

iels

Dabei gilt, dass der Erwartungswert der am Ende der Periode anfallenden Zahlungen in jedem Zustand s e S\{So, ST} gleich Null ist: X

p{s\s~){^

asiXi + ^GsiXi)

=0.

Man bezeichnet die Strategie x daher auch als ,,mean self-financing". Mit beiden Auspragungen der Risikominimierung gelingt es, Hedgingstrategien auf unvollstandigen Markten zu entwickeln. Je nach Zielsetzung kann entweder eine vollstandige Replikation der Zahlungen durch Inkaufnahme eines unsicheren, aber zumindest im Erwartungswert selbstfinanzierenden Zahlungsstromes erreicht werden oder eine Strategie resultieren, die bei anfanglichen Kosten das Auszahlungsrisiko im Planungshorizont begrenzt, und zwar ohne mogliche Zahlungsverpflichtungen in der Zwischenzeit. Zu beiden Verfahren lassen sich Preisfunktionale ableiten, das so genannte varianzoptimale und das minimale MartingalmaB, mit Hilfe derer die Kosten des Zahlungsanspruches als Erwartungswert der zukiinftigen Zahlungen darstellbar sind. AUerdings handelt es sich

28

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVOLLSTANDIGEN MARKTEN

unter Umstanden um signierte MartingalmaBe (bzw. signierte Zustandspreisvektoren)^^, so dass positiven Zahlungsanspriichen negative Preise zugeordnet werden, die nicht mit der Arbitragetheorie vereinbar sind.^^ Daher sind diese Verfahren nicht immer zur Bewertung von Zahlungsanspriichen geeignet.^^ AuBerdem ist die Verwendung eines quadratischen RisikomaBes aus entscheidungstheoretischer Sicht nur fiir einen Investor geeignet, der seine Entscheidungen anhand der quadratischen Nutzenfunktion fallt. Letztere wird allerdings haufig nicht als plausible Modellierung von Praferenzen angesehen. Besonders kritisch ist die Eigenschaft, positive Abweichungen vom Erwartungswert genauso wie negative Abweichungen zu bewerten.^^ Insgesamt stellen die entwickelten Ansatze eine praktikable Moglichkeit der Absicherung von Risiken dar, zur reinen Bewertung sind diese allerdings weniger geeignet. Zusatzlich zu den Bedenken, die aus der Wahl eines konkreten RisikomaBes resultieren, stellt sich generell die Frage, inwieweit der Preis einer unvollstandigen Absicherungsstrategie als Kandidat fiir den Preis des Zahlungsstromes geeignet ist. SchlieBlich bleibt immer ein gewisses Restrisiko, das nicht abgesichert wird und dessen Bewertung nicht geklart ist.

3.3

Bewertung mittels Entropie

Eine Alternative zur Bewertung mit Hilfe einer Hedgingstrategie besteht in der direkten Auswahl eines geeigneten Zustandspreisvektors aus der Menge der arbitragefreien Zustandspreisvektoren bzw. eines MartingalmaBes aus der Menge der aquivalenten MartingalmaBe. Eine Auswahlregel stellt die Methode der Entropieminimierung dar. Dieser Ansatz geht auf Stutzer (1996) und Fritelh (2000) zuriick.^^ Ausgehend von einer bekannten, durch das WahrscheinlichkeitsmaB P gegebenen Verteilung^^, wird das MartingalmaB Q so aus ^^Im Wesentlichen bedeutet dies, dass sowohl die ,,Wahrscheinlichkeiten" als auch die Zustandspreise negative Werte annehmen konnen. Fiir eine mathematisch exakte Definition vergleiche z.B. Schweizer (1995). ^^Fiir ein einfaches Beispiel vergleiche Frittelli (2000). ^^ Diese Problematik betont bereits Schweizer (1995). Einen mogHchen Ausweg schlagt Mercuric (2001) mit Einbindung in den Kontext der Reservationspreise vor. Vgl. auch Abschnitt 3.4.3. ^^ Einschrankungen sind bereits in Schweizer (1992) zu finden. Vgl. auch Knobloch (2005), S. 232. ^^ Stutzer und Fritelli schlugen das vor allem aus den Naturwissenschaften bekannte Verfahren fiir die Auswahl des MartingalmaBes vor. Fiir einen Uberblick weiterer Anwendungsgebiete vergleiche zum Beispiel Kapur (1989). Die folgende Darstellung des Entropieansatzes orientiert sich an Fritelh (2000) und Branger (2002). ^^ Hier kann es sich um ein subjektives oder aus historischen Daten gewonnenes WahrscheinlichkeitsmaB handeln. Dieses wird oft als a priori MaB bezeichnet. Vgl. Branger (2002), S. 122.

3.3. BEWERTUNG MITTELS ENTROPIE

29

der Menge der aquivalenten MartingalmaBe V ausgewahlt, dass es dem vorgegebenen WahrscheinlichkeitsmaB P am ahnlichsten ist. Ein solches MaB fiir die Ahnlichkeit von WahrscheinlichkeitsmaBen stellt die Entropie dar.

Definition 3.3 Die Cross-Entropie

oder relative Entropie von Q beziiglich P ist deRniert durch

^ ( ^ | p ^ ^ f Ese^ Q{s) log §|f|, \

oo,

falls ^seQ

gilt F{s) = 0 => Q{s) = 0

falls 3s en

mit P(s) = 0 und Q(s) ^ 0.

Als MartingalmaB soil nun dasjenige ausgewahlt werden, welches die relative Entropie zum bekannten WahrscheinlichkeitsmaB P minimiert. Im Kontext des in dieser Arbeit zugrunde gelegten endlichen Finanzmarktes lautet die Optimierungsaufgabe wie folgt:

Das so erhaltene (eindeutige) MartingalmaB Q wird als ,,minimal entropy martingale measure" bezeichnet. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es die geringste Abweichung von P aufweist. Okonomisch ist die Auswahl nach dem Entropiekriterium allerdings nicht unbedingt zwingend. Die Auswahl lasst sich aber zumindest mit Hilfe der exponentiellen Nutzenfunktion motivieren. Das minimale EntropiemaB stimmt mit dem aus dem Portfolioplanungsproblem bei exponentieller Nutzenfunktion bestimmten MartingalmaB iiberein.^^ Allerdings ist gerade dieser Ansatz nicht frei von Kritik. Weiterhin hangt die Bewertungsfunktion von der Wahl des Numeraires ab, was der wiinschenswerten Eigenschaft der Unabhangigkeit von der Wahl des Diskontierungsfaktors bei vollstandigen Finanzmarkten widerspricht.^^ Insgesamt stellen die Bewertungen mit Hilfe der Entropie und der Risikominimierung einfache Kriterien zur Bestimmung eines Preises fiir nicht redundante Zahlungsanspriiche bei unvollstandigen Markten dar. Die einzige zusatzlich benotigte Information ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der am Markt gehandelten Wertpapiere. Okonomisch lassen sie sich nur anhand spezieller Nutzenfunktionen begriinden.

^Vgl. S. 36. ^Fiir ein einfaches Beispiel vergleiche Branger (2002), S. 180.

30

3.4

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVQLLSTANDIGEN MARKTEN

Nutzenbasierte Bewertung

Das Arbitrageprinzip ermoglicht eine praferenzunabhangige Bewertung. Auf einem vollstandigen und vollkommenen Finanzmarkt existiert ein eindeutiger Preis fiir jeden Zahlungsanspruch unabhangig von den Praferenzen und den Moglichkeiten der Investoren. Weicht man von dieser idealisierenden Modellierung ab, ist die Eindeutigkeit der Bewertung jedoch nicht mehr gegeben. Die Einbeziehung der Zeit- und Risikopraferenzen eines individuellen Investors in die Preisbestimmung erscheint naheliegend und wurde bereits von Rubinstein (1976) vorgeschlagen. In diesem Abschnitt wird die Bewertung durch Einbeziehung der Praferenzen der Entscheidungstrager vorgestellt. Nach einer Einfiihrung in die klassische Portfoliotheorie auf Basis des diskontierten Erwartungsnutzens wird auf die beiden wichtigsten Bewertungsformen eingegangen.

3.4.1

Der diskontierte Erwartungsnutzen

In der vorliegenden Arbeit diente das aus den verschiedenen Anlagen zusammengestellte Portfolio lediglich dazu, eine Absicherungsstrategie fiir einen unsicheren Zahlungsstrom zu entwerfen, um diesen bewerten zu konnen. Im Allgemeinen wird ein Investor sein Portfolio aber weniger zur Absicherung von Termingeschaften als zur Vermogensanlage nutzen, d.h. um heute verfiigbare Mittel in zukiinftige Zahlungen zu transformieren. Diese Fragestellung ist Gegenstand der Portfoliotheorie, die auf Markowitz (1952) zuriickgeht. Zusatzlich zu der von Markowitz (1952) behandelten Fragestellung, wie die verfiigbaren Mittel angelegt werden sollen, muss der Investor klaren, welcher Teil des Vermogens iiberhaupt investiert werden soil und welcher konsumiert werden kann. Im betrachteten Modellrahmen steht der Investor vor der Entscheidung, welchen Teil seines Vermogens er in welchem Zustand (und zu welcher Zeit) konsumiert und wieviel er weiter am Kapitalmarkt investiert und dariiber hinaus, welche Anlagen er dafiir auswahlen soil. Einen allgemeinen und weit verbreiteten Zugang zur Bestimmung einer Losung des intertemporalen Konsum- und Investitionsproblems stellt die Maximierung des diskontierten Erwartungsnutzens (,,discounted expected utility") dar.^^ Wie beim Ansatz des risikominimierenden Hedges und der Entropieminimierung werden fiir die Bildung des Erwartungswertes die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustande benotigt. Es wird daher angenommen, dass der Investor fiir das Eintreten jedes Zustands s e S eine ^ Grundlegende Arbeiten stammen unter anderem von Samuelson (1969) und Fama (1970).

3.4. NUTZENBASIERTE BEWERTUNG Wahrscheinlichkeit Ps > 0 schatzt, so dass ^g^StP^

31 = 1 fiir ^ = 0 , . . . , T gilt. Es liegt

somit eine Entscheidungssituation unter Risiko vor. Beim Ansatz der Nutzenmaximierung wird unterstellt, dass der Entscheider jedem moglichen Konsumplan einen bestimmten Wert (den Nutzen) zuordnen kann und seine Auswahl so trifFt, dass er seinen Nutzen maximiert. Beim Ansatz des diskontierten Erwartungsnutzens geht man davon aus, dass der Nutzen eines stochastischen Konsumplanes ( C o , . . . , CT) iiber eine Nutzenfunktion der Form

i7(Co,...,CT) = ^ 7 ' £ ( M ( C , ) )

abgebildet werden kann, wobei ?i : R i-^ E eine monoton wachsende einperiodige Nutzenfunktion und 0 < 7 < 1 ein Diskontierungsfaktor ist. Eine solche Modellierung der Nutzenfunktion U setzt voraus, dass die Zeitpraferenzen des Investors iiber eine additivseparierbare Nutzenfunktion und die Risikopraferenzen iiber den Erwartungswert des Konsumnutzens dargestellt werden konnen. Diese Voraussetzung erlaubt die Verbindung des auf Bernoulli (1738)^^ zuriickgehenden Konzeptes des Erwartungsnutzens mit der in diesem Kontext auf Samuelson (1937) zuriickzufiihrenden Diskontierung. In der Entscheidungstheorie lasst sich dieses Vorgehen axiomatisch begriinden, d.h. es lassen sich Axiome angeben, die die Existenz einer Nutzenfunktion fiir einen Entscheider garantieren, der sich gemai^ diesen Rationalitatspostulaten verhalt.^^ Neben der Maximierung seines Nutzens muss der Entscheider seine begrenzten Moglichkeiten beriicksichtigen, die durch die Anfangsaustattung und die zur Auswahl stehenden Alternativen gegeben sind. Es wird angenommen, dass der Investor iiber ein Anfangsvermogen 60 > 0 verfiigt und aus den wie in Kapitel 2 in einer Payoff-Matrix A

G

]^(A^+i)x(iv-|5r|+i)m

zusammengefassten

indem er eine Portfoliostrategie x G ^i^~\ST\+i)m

Anlagemoglichkeiten

wahlen

kann,

bestimmt. Fiir den Konsumvektor

c= ( c o , . . . , CAT)' ergibt sich daher c = Ax + ft, wobei b = (60, 0 , . . . , 0)'.

^^ Bernoulli schlug zur Losung des sogennten St. Petersburger Spieles die Verwendung der Logarithmusfunktion zur Bewertung der unsicheren Zahlungen vor. Vgl. auch Spremann (2003), S. 357 ff. ^^Das erste Axiomsystem, das die von Samuelson vorgeschlagene Darstellung des Gesamtnutzens als Summe der diskontierten Nutzens rechtfertigt, geht auf Koopmans (1960) zuriick. Das erste Axiomsystem zur Begriindung des Erwartungsnutzenprinzips lieferten von Neumann/Morgenstern (1944). Fiir eine einfiihrende Darstellung vergleiche Bamberg/Coenenberg (2000) oder Eisenfiihr/Weber (1999).

32

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVOLLSTANDIGEN MARKTEN

Somit erhalt man folgendes Optimierungsproblem T

^l^^Psu{cs) t=0

-^max

s^St

c = Ax + h

Die Nutzenfunktion u spiegelt die Risikoneigung des Investors wieder. Dabei geht die in Portfoliomodellen generell^^ angenommene Risikoaversion mit einer konkaven Nutzenfunktion einher. Es werden daher in der Regel streng monoton wachsende, konkave Nutzenfunktionen betrachtet. Diese Modellierung stiitzt sich auf die beiden Annahmen, dass Investoren risikoavers und ungesattigt sind, d.h. einer hoheren Zahlung immer einen groBeren Nutzen zuweisen als einer niedrigeren.^^ Vor allem in Hinblick auf die Bewertung von Derivaten sind besonders die exponentielle Nutzenfunktion u{x) — ^e~^^ (a > 0, x G R) und die quadratische Nutzenfunktion u{x) = X — ^x'^ (a > 0, x G R) von Bedeutung. Eine weitere haufig verwendete Nutzenfunktion ist die bereits von Bernoulli (1738) vorgeschlagene logarithmische Nutzenfunktion u(x) = log(x) {x > 0). Diese Funktion zeichnet sich durch besonders vorteilhafte Eigenschaften aus. Zum einen weist die logarithmische Nutzenfunktion in Bezug auf die Risikoaversion einige als wiinschenswert erachtete Eigenschaften auf.^^ Ein Entscheider, der die logarithmische Nutzenfunktion maximiert, investiert mit zunehmendem Wohlstand mehr in risikobehaftete Anlagen. Dabei bleibt der Anteil der risikobehafteten Anlagen relativ zum Gesamtvermogen konstant.^^ Weitere interessante strukturelle Eigenschaften ergeben sich fiir den wichtigen Spezialfall der Maximierung des erwarteten Nutzens des Endvermogens.^^ Dieses Kriterium ist fiir Anleger geeignet, die das vorhandene Anfangskapital vollstandig bis zum Planungshorizont investieren wollen und bereit sind, auf zwischenzeitliche Konsumentnahmen zu verzichten.

^^Vgl. z.B. Bamberg/Coenenberg (2000), S. 97. ^^Eine Diskussion der unterschiedlichen Eigenschaften der Risikonutzenfunktionen ist z.B. in Kruschwitz (2002), S. 100 fF zu finden. ^^Vgl. z.B. Elton/Gmber (1995), S. 218 ff. ^'^ Diese Aussagen beruhen auf dem Konzept des Arrow-Pratt-MaBes der Risikoaversion nach Arrow (1965) und Pratt (1964). =^^Vgl. Elton/Gruber (1974), S. 86 ff und Mossin (1968) fiir die folgende Darstellung.

3.4. NUTZENBASIERTE BEWERTUNG

33

Unter Verwendung der Logarithmusfunktion ist die Zusammensetzung des optimalen Portfolios unabhangig vom gegebenen Anfangskapital bo. Der Anteil jedes Wertpapiers am gesamten Portfolio ist konstant. AuBerdem lasst sich die optimale Losung des mehrperiodigen Portfolioproblems myopisch bestimmen. Die optimale Losung des mehrperiodigen Portfolioproblems kann durch sukzessives Losen von einperiodigen Portfolioproblemen ermittelt werden. Der Investor verhalt sich in jeder Periode so, als sei die aktuelle Periode seine letzte und maximiert den logarithmischen Nutzen seines Vermogens am Ende dieser Periode. Fiir die Entscheidung sind daher nur das Vermogen zu Beginn der Periode und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen am Ende der Periode relevant. Dies fiihrt zu einer deutlich vereinfachten Auswahl des optimalen Portfolios, da in jedem Zeitpunkt die erforderlichen Daten nur fiir die unmittelbar folgende Periode geschatzt werden miissen.

3.4.2

Marginale nutzenbasierte Bewertung

Im Folgenden wird die marginale nutzenbasierte Bewertung vorgestellt. Grundlage dieses Konzeptes ist das Portfolioproblem eines Investors, der den erwarteten Endnutzen seines Vermogens im Planungshorizont maximieren mochte und auf jeglichen Konsum in den vorangehenden Perioden verzichtet. Die Bewertung des Vermogens in den Endzustanden s ^ ST erfolge mit einer zweimal stetig-differenzierbaren Nutzenfunktion u : E++ ^ Diese sei zudem konkav und nicht fallend mit u'{x)

R.

> 0 fiir alle x G II++ und

lima;_^oo u'{x) = 0. Um zu garantieren, dass in jedem Endzustand der Konsum positiv ist, wird zusatzlich gefordert, dass \iinxiou'{x)

= cx).^^ Das Optimierungsproblem lautet

somit 2_] Psu(cs) —> max

iH){ [ Cs = 0

seSr

c = Ax + b (S^ST),

X G E(^-I^^I+I)^

Die optimale Losung sei mit (c*,x*) bezeichnet. Die Funktion V(6o) •= Z^se5rP5^(Cs) gibt den maximalen Nutzen bei gegebenem Anfangskapital bo an und wird als Wertfunktion bezeichnet. Um den Preis fiir einen europaischen Zahlungsanspruch zu bestimmen, schlagt Davis (1997) vor, zunachst den Zahlungsanspruch in das Entscheidungsproblem mit einzubeziehen. Kann die Anzahl S des Zahlungsanspruches d = ( max SEST

c = Ax+{

"^^ \+b

mit optimaler Losung (c**,x**) und Wertfunktion W{bo,do,S)

:=

^^^S^ST^^^^'^^S*)-

Fiir (5 = 0 stimmen beide Optimierungsprobleme iiberein und es gilt offensichtlich >V(6o,cfo,0) = V(6o), sowie (c*,x*) = (c**,x**). Definition 3.6 Als Reservationsder Preis df{d)

oder IndifFerenzpreis des Kaufers fiir einen Zahlungsanspruch

d wird

bezeichnet, fiir den gilt: W{bo,df{d),6)

Der Reservations- oder Indifferenzpreis

= V{bo).

des Verkaufers ist durch dj{d) = df{—d)

gegehen.

•^^In der Literatur wird diese Bewertung daher auch als ,,private valuation" bezeichnet. Vgl. Tepla (2000). ^^ Die Einschrankung auf die Maximierung des terminalen Nutzens geschieht nur, um den Zusammenhang mit dem Konzept der marginalen nutzenbasierten Bewertung zu verdeutlichen. Die Verwendung eines allgemeineren Portfohokonzeptes mit Entnahmen in jedem Zustand ist durchaus moglich, vergleiche fiir eine entsprechende ModelHerung Gamba/PelHzari (2002). ^^ Auch wenn sich dieses Optimierungsproblem leicht von {H{5)) auf S. 34 unterscheidet, wird auf eine neue Bezeichnung verzichtet. SchheBhch wird lediglich ein Gesamtpreis anstelle eines Stiickpreises fiir das Derivat betrachtet.

3.4. NUTZENBASIERTE BEWERTUNG

39

Der Reservationspreis stellt somit den Preis dar, den der Kaufer des Zahlungsstromes bereit ist zu zahlen, bzw. den der Verkaufer anzunehmen bereit ist. Neben der Frage der Bewertung stellt sich beim Handel von Derivaten immer auch die Frage nach der Wahl einer geeigneten Hedgingstrategie. Im Kontext der Indifferenzpreise ergibt sich die Hedgingstrategie indirekt aus den beiden Portfoliooptimierungsproblemen. Der Anleger wahlt, wenn er den Kontrakt d in der Anzahl S eingeht, eine andere Portfoliostrategie X** als die Strategie x* bei Verzicht auf den Kauf des Derivats. Die Hinzunahme des Zahlungsanspruches d fiihrt daher zu einer Umstrukturierung y = x** — x*, die dazu fiihrt, dass er seinen Nutzen konstant halten und das Risiko des Zahlungsanspruches entsprechend absichern kann. Das Portfolio y stellt daher das Hedgingportfolio des nutzenmaximierenden Anlegers dar und der Preis dieses Portfolios stimmt mit dem Preis des Derivats iiberein. Reservationspreise konnen haufig nur numerisch ermittelt werden. Vor allem bei kontinuierlicher Modellierung konzentriert man sich daher auf die Verwendung der exponentiellen Nutzenfunktion, fiir die geschlossene Losungen moglich sind.^^ Es lassen sich aber trotzdem einige strukturelle Eigenschaften der Reservationspreise nachweisen. Fiir jedes Bewertungsfunktional auf einem unvollstandigen Markt ist die Beziehung zu den Arbitragebedingungen wichtig. Die Bewertung sollte immer konsistent mit den Arbitragebedingungen sein und insbesondere sollte fiir jeden replizierbaren Zahlungsanspruch der eindeutige arbitragefreie Preis resultieren. Bei einer geeigneten Nutzenfunktion ist dies der Fall.^^ Satz 3.7 Fiir den Indifferenzpreis

df{d)

i) Ist der Zahlungsanspruch

gilt entweder i) oder ii):

nicht replizierbar, so liegen die Reservationspreise

Verkaufer und den Kaufer im Intervall der arbitragefreien p™(^d) < dj{d) ii) Ist der Zahlungsanspruch

und df{d)

replizierbar, so stimmen

Verkaufer und den Kaufer mit dem arbitragefreien p'^'''(Sd) =

fiir den

Preise, d.h.

< p^^^(5d). die Reservationspreise

fiir den

Preis iiberein, d.h.

df{d)=p'^^''{5d).

^Vergleiche Musiela/Zariphopoulou (2004) fiir eine Darstellung der Indifferenzpreise bei exponentieller Nutzenfunktion in diskreter Zeit und Becherer (2001a) fiir einen Uberblick im zeitstetigen Modell. Andersen/Damgaard (1999) liefern eine numerische Untersuchung der Reservationspreise fiir verschiedene Nutzenfunktionen in diskreter Zeit. ^Vgl. Gamba/Pellizari (2002), Prop. 5.2 und 5.4.

40

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVQLLSTANDIGEN MARKTEN

Neben diesen Gemeinsamkeiten zur arbitragefreien Bewertung besteht allerdings auch ein wesentlicher Unterschied zwischen den Indifferenzpreisen und den arbitragefreien Preisen fiir unsichere Zahlungsanspriiche: Indifferenzpreise stellen ein nichtlineares Preisfunktional dar. Insbesondere gilt in der Regel df{kdi) + kdfidi)

[k > 0) und fiir di, ^2 G R^ # ( ^ i + ^2) 7^ df{di) + df (^2)-

Weist die Nutzenfunktion die in dieser Darstellung vorausgesetzten Eigenschaften der strengen Monotonie und der Konkavitat auf, so iibertragen sich diese Eigenschaften auf die Reservationspreise:^° Satz 3.8 Furdi,d2eR^

gilt

i) df{di) < df[d2) Mis di < d2 und ii) df{\di + (1 - \)d2) > Xdf{d2) + (1 - \)df[d2) fiir alle X G [0,1]. Um die Abhangigkeit des Preises von der Anzahl S zu analysieren, wird auch der Reservationspreis pro Einheit definiert:

Es ergibt sich in Abhangigkeit der Anzahl 6:^^ Satz 3.9 Fiir 6j>0

gilt

i) df{d) > df{d), falls 6>5 und

Hi) d^(d, 6) < d^(d, 5), falls S>S. Der Preis, den ein nutzenmaximierender Anleger fiir S Einheiten des Zahlungsanspruchs d zu zahlen bereit ist, steigt daher konkav mit der Menge 6. Fiir den Preis pro Einheit bedeutet dies, dass dieser fallend in der Anzahl 6 ist. Umso groBer die Position des Derivats ist, umso weniger ist der Investor also bereit pro Einheit zu zahlen. Der Kaufer OVgl. Henderson/Hobson (2005), S. 6 ff. ^Teil i) und ii) folgen direkt aus Satz 3.8. Fiir einen Beweis von Teil iii) vergleiche Munk (1999).

3.4. NUTZENBASIERTE BEWERTUNG

41

ist nicht bereit, fiir die Ubernahme zusatzlicher Risiken den gleichen Preis pro Einheit zu zahlen, sondern er fordert einen Preisabschlag. Ebenso wird der Verkaufer einen Aufschlag fiir die Ubernahme des erhohten Risikos fordern. Becherer (2001a) motiviert diesen Zusammenhang am Beispiel eines Versicherers, der sich bereits grol^en Risiken in einem Bereich ausgesetzt sieht und daher fiir eine weitere Ubernahme gleichartiger Risiken hohere Pramien fordert.^^ Diese Argumentation iibertragt sich auf eine Bank oder einen Anleger, die auf einem unvollstandigen Markt einen derivativen Finanzkontrakt eingehen. Einen weiterer Vorteil der Reservationspreise stellt die Einbeziehung von Marktunvollkommenheiten dar. Bestehen Restriktionen, wie z.B. Leerverkaufsbeschrankungen oder Transaktionskosten, so lassen sich diese durch eine geeignete Anpassung des zulassigen Bereiches in der Optimierungsaufgabe beriicksichtigen.^^ Im Gegensatz zu Unearen Preisfunktionalen auf Basis eines Zustandspreisvektors (bzw. Martingalmai3es), bei denen der Preis eines Zahlungsstromes unabhangig von der Groi3e der Position ermittelt wurde, stellt der Reservationspreisansatz ein nichtlineares Bewertungskonzept dar. Die Anzahl der der Transaktion zugrundeliegenden Claims wird explizit beriicksichtigt. Im Zusammenhang mit der marginalen Bewertung wird haufig darauf verwiesen, dass diese fiir die Bewertung fiir geringe Positionen geeignet ist, wahrend die Reservationspreise fiir Zahlungsstrome relevant sind, die durch ihr groBes Volumen eine deutliche Beeinfiussung der Losung zur Folge haben.^^

3.4.4

Kritik am Nutzenansatz

Der Ansatz des diskontierten Erwartungsnutzens weist gegeniiber einfachen Entscheidungskriterien den Vorteil auf, dass er sich fundiert theoretisch begrunden lasst. AuBerdem erlaubt die allgemeine Formulierung die Einbeziehung unterschiedlichster Zeit- und Risikopraferenzen durch die konkrete Festlegung des Diskontierungsfaktors und der Risikonutzenfunktion. So lassen sich viele einfache Kriterien zur Portfolioselektion oder der Risikominimierung auf diesen Ansatz zuriickfiihren. Allerdings wurde am Ansatz der Nutzenmaximierung in der Vergangenheit auch deutliche Kritik geiibt. Zum einen betrifft dies die einzelnen Axiome des so genannten rationalen Verhaltens, zum anderen bezieht sich dies auch auf die grundsatzliche Modellierung. 52Vgl. Becherer (2001a), S. 24. ^^ Vgl. Andersen/Damgaard (1999) fiir die Modellierung von Transaktionskosten und fiir die Beriicksichtigung von Leerverkaufsbeschrankungen Detemple/Sundaresan (1999). ^^Vgl. Munk(1999).

42

KAPITEL 3. BEWERTUNG AUF UNVOLLSTANDIGEN MARKTEN

Die deskriptive Kritik zielt auf die Giiltigkeit der Axiome. Als erster formulierte Allais (1953) Beispiele, in denen die meisten realen Entscheider sich nicht rational im Sinne der von Neumann/Morgenstern (1944) formulierten Axiome verhalten. In der Folge warden zahlreiche Phanomene beobachtet, die den Axiomen der Erwartungsnutzentheorie widersprechen.^^ Auch das Konzept des diskontierten Nutzens weist wie das Konzept des Erwartungsnutzens Anomalien auf.^^ Die grundsatzliche Modellierung des Nutzens iiber eine Funktion, die jede Alternative unabhangig von den tatsachlich gegebenen Moglichkeiten des Entscheiders bewertet, wird von Sen (1997) in Frage gestellt. Sen (1997) geht davon aus, dass durchaus eine Abhangigkeit der Praferenzen von den eigenen Moglichkeiten vorliegt

(,,menu

dependence"). Ein weiteres Problem ist die Aggregation von Praferenzen bei Gruppenentscheidungen. Unter sehr plausiblen Bedingungen lasst sich das auf Arrow (1951) zuriickgehende Unmoglichkeitstheorem formulieren, das die Existenz eines Aggregationsmechanismus fiir die individuellen Praferenzen ausschliefit. Bei den Teilnehmern am Handel mit derivativen Finanzprodukten handelt es sich aber haufig um institutionelle Anleger, die gerade eine Vielzahl von Individuen reprasentieren. Cont/Tankov (2004) fragen daher rhetorisch: ,,What is the 'utility function' of an investment bank or an exotic derivative trading desk?"5^ Generell stellt auch die Ausgestaltung des Nutzenansatzes ein nicht unwesentliches Problem dar: Wie soil die Nutzenfunktion gewahlt werden? Da sich eine Vielzahl von Moglichkeiten ergibt, wird haufig ein hoher Grad an Willkiir bei der Verwendung dieses Ansatzes bemangelt.^^ Besonders bei der Bewertung von Optionen scheint die Verwendung von Nutzenfunktionen problematisch, denn ,,it is quite unusual for the trader to explicitly write down her utility function for derivative pricing" .^^

^An dieser Stelle seien noch die Arbeiten von Ellsberg (1961) (Ellsberg-Paradoxon) und Kahnemann/ Tversky (1979) genannt, die als Alternative zur Nutzentheorie die ,,prospect theory" vorschlagen. Vergleiche Eisenfiihr/Weber (1999) S. 257 ff und die darin enthaltenen Referenzen fiir eine Darstellung der unterschiedlichen beobachtbaren Phanomene. ^Vgl. Loewenstein/Prelec (1992). '^Cont/Tankov (2004), S. 330. ^ Vgl. Baviera et al (1998). ^Vgl. Xu (2006), S. 53.

3.5. ZUSAMMENFASSUNG

43

Zusammenfassend bemerkte bereits Roy (1952): ,,In calling in a utility function to our aid, an appearance of generality is achieved at the cost of a loss of practical significance, and applicability in our results. A man who seeks for advice about his actions will not be grateful for the suggestion that he maximize expected utility" ^°.

3.5

Zusammenfassung

In der Literatur existiert eine Vielzahl von Vorschlagen fiir die Bestimmung des Preises fiir einen unsicheren Zahlungsstrom, der sich nicht vollstandig replizieren lasst. In diesem Kapitel wurden einige Ansatze kurz vorgestellt und motiviert. Es stellte sich dabei heraus, dass die einfachen Entscheidungskriterien entweder nur zu grofien Schranken fiihren oder - fiir sich betrachtet - nicht plausibel okonomisch begriindbar sind. Zur okonomischen Begriindung wird haufig auf das Konzept der Nutzenmaximierung verwiesen oder direkt eine nutzenbasierte Bewertung vorgeschlagen. Dieser Ansatz ermoglicht durch die direkte Einbeziehung von Praferenzen die Festlegung eines eindeutigen Preises, der bei einer geeigneten Nutzenfunktion auch konsistent mit den Arbitragebedingungen ist. AuBerdem lassen sich Marktfriktionen im Rahmen des Konzeptes der Reservationspreise problemlos mit einbeziehen. AUerdings ist auch das Konzept der Nutzenmaximierung nicht frei von Kritik und insbesondere im Hinblick auf die Bewertung von Derivaten wird an der Anwendbarkeit des Ansatzes gezweifelt, Es stellt sich die Frage, ob nicht mit einem alternativen Portfoliomodell eine geeignetere Modellierung des Konsum- und Investitionsproblems gefunden werden kann, die sich fiir eine okonomisch begriindbare Bewertung von unsicheren Zahlungsstromen verwenden lasst. Dabei sollte die Bewertung konsistent mit den Arbitragebedingungen sein und die Formulierung der Praferenzen sollte sich fiir den Investor deutlich einfacher als die Bestimmung einer Nutzenfunktion gestalten.

^Vgl. Roy (1952), S. 443.

Kapitel 4 Wachstumsmaximierung Einen alternativen Ansatz zur Nutzenmaximierung und der Portfolioselektion nach Markowitz stellt das Konzept der Wachstumsmaximierung dar. Dieses unabhangig von Kelly (1956), Lantane (1959) und Breimann (1960/61) vorgeschlagene Konzept fiir die Bestimmung einer optimalen Strategic zur Vermogensanlage bzw. beim wiederholten Gliicksspiel basiert auf der Maximierung des geometrischen Mittels.^ Sind die Renditen der Vermogensanlagen in jeder Periode identisch verteilt und unabhangig von den vorangehenden Perioden, dann garantiert die Wahl eines Portfolios P mit dem groBten geometrischen Mittel, langfristig fast sicher den hochsten Vermogenswert. Gesucht ist daher ein Portfolio P , dessen Rendite R, das groBte geometrische Mittel GM{R)

aufweist,

wobei das geometrische Mittel einer diskreten Zufallsvariablen i? : 0 H-> E unter dem WahrscheinlichkeitsmaB P definiert ist als GM(R)

4.1

:= e^(i«s(^)) = ^ i ? ( a ; ) P - .

Wachstumsoptimale Portfolios

In Zusammenhang mit der bisherigen Modellierung des Finanzmarktes lasst sich das Konzept der Wachstumsmaximierung mit Hilfe der Verallgemeinerung von Hakansson/Liu (1970) auf allgemeinere diskrete stochastische Prozesse iibertragen. Wie bei der in Abschnitt 3.4 dargestellten Nutzenmaximierung verfiigt der Investor iiber ein AnfangsIm Folgenden wird das Konzept der wachstumsoptimalen Portfolioplanung mit seinen wesentlichen Charakteristika skizziert. Fiir eine ausfiihrliche Darstellung vergleiche z.B. die Ubersichtsartikel Hakansson/Ziemba (1995) und Christensen (2005). Eine Lehrbuchdarstellung ist in Luenberger (1998) zu finden.

46

KAPITEL 4. WACHSTUMSMAXIMIERUNG

kapital 60 > 0, das vollstandig in die gehandelten Wertpapiere investiert werden soil. Konsumentnahmen sind bis zum Planungshorizont T ausgeschlossen. AuBerdem schatzt der Investor die Wahrscheinlichkeiten ps fiir das Eintreten der Zustande 5 = 1 , . . . , A^. Um das Konzept der Wachstumsmaximierung zu formalisieren, wird zunachst die Rendite der selbstfinanzierenden^ Portfoliostrategie x im Zustand s = 1 , . . . , A^ definiert l + R^s):-

^^^V"'^^*

wobei nur Portfoliostrategien zulassig sind, fiir die R^{s) > - 1 fiir alle s = 1 , . . . , A^ gilt. Fiir den Wert des Portfolios x im Zustand s G St (t = 1 , . . . ,T) ergibt sich bei einem Anfangskapital von 60

rGT(0,s)

wobei T(0, s) die Menge der Knoten auf dem Pfad von 0 nach s (0 aus- und s eingeschlossen) bezeichnet. Das Vermogen ist daher zu jedem zum Zeitpunkt t positiv und wachst dabei um den Faktor G^{s) := | Xlrerros) ^^§(1 + ^^(j))

(^ ^ ^t)-

Ein Investor, der an einem moglichst hohen Endvermogen interessiert ist, sollte eine Portfoliostrategie wahlen, die diesen Erwartungswert maximiert. Denn mit Hilfe des starken Gesetzes der GroBen Zahlen konnte bereits Breimann (1960) zeigen, dass das Portfolio f, das den Erwartungswert der Wachstumsrate maximiert, langfristig fast sicher zu einem hoheren Wert des Vermogens fiihrt als jedes andere Portfolio. Es wird daher von dem wachstumsoptimalen Portfolio (,,growth optimal portfolio") gesprochen. Definition 4.1 Ein zulassiges Portfolio x G ^^^-\^T\+i)m EseSrPsGUs)

> EseSrPsGUs)

^^j.^ ^jg w a c h s t u m s o p t i m a l bezeichnet,

wenn

fur alle zulassigen x G R ( A ^ - I ^ H + I ) - gilt.

Eine weitere positive Eigenschaft des wachstumsoptimalen Portfolios stellt die Tatsache dar, dass die Wahrscheinlichkeit, das eingesetzte Kapital vollstandig zu verlieren. Null ist. AuBerdem wird asymptotisch die erwartete Zeit bis zum Erreichen eines bestimmten Kapitals minimiert.^ Als selbstfinanzierend bezeichnet man in diesem Fall eine Portfoliostrategie, die nur Auszahlungen im Planungshorizont zur Folge hat, d.h. ^ aisXi + ^ aisXi = 0 (s\{5o, ST})iei^ieis Vgl. z.B. Hakansson/Ziemba (1995) fiir eine zusammenfassende Darstellung der Eigenschaften.

4.1. WACHSTUMSOPTIMALE PORTFOLIOS

47

Aufierdem lasst sich das wachstumsoptimale Portfolio myopisch, d.h. durch sequentielles Maximieren des erwarteten Wachstumsfaktors fiir jede Periode bestimmen. Zerlegt man das T-periodige Portfolioproblem in einperiodige Portfolioprobleme, so lasst sich das wachstumsoptimale Portfolio x aus den Portfoliovektoren x^ der Einperiodenprobleme fiir jedes s G S\ST

durch Maximierung von

TeD(s)

bestimmen. Aquivalent dazu ist die Maximierung des geometrischen Mittels in jeder Periode, das als ,,Kelly-Kriterium" das Konzept der Wachstumsmaximierung bei unabhangig identisch verteilten Zufallsvariablen begriindet hat:

TT (1 + i?^'(r))^- = e^-€D(.)P-Oog(i+^"'(^))), TeD{s)

womit der Zusammenhang mit dem eingangs erwahnten Spezialfall der unabhangig identisch verteilten Renditen hergestellt ist. Die myopische Planung hat einen groBen Vorteil fiir die Anwendung in der Praxis: Der Investor muss lediglich jeweils die Parameter fiir die kommende Periode schatzen, um langfristig optimal zu handeln. Er kann zu jedem Zeitpunkt so planen, als ware die folgende Periode die letzte mit Planungshorizont T = 1. Auch zur Nutzenmaximierung gibt es Ankniipfungspunkte, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 4.2 Ein zulassiges Portfolio x ist genau dann wachstumsoptimal, Endnutzen

des Vermogens eines Investors mit logarithmischer

d.h. wenn x folgendes Optimierungsproblems ^

lost:

Ps log(cs) -^ max

S^ST

c = Ax + b

mitb=

(6o,0,...,0).

wenn es den Nutzenfunktion

erwarteten maximiert,

48

KAPITEL 4. WACHSTUMSMAXIMIERUNG

Beweis Mit der Definition von R^{s) folgt Cs = nTGT(o,s)(^+^^('^))^o fiir s e ST- Die Maximierung von

seSr

SEST

reT{0,s)

= EP»(E SEST

ist aquivalent zur Maximierung von ^g^s

log(l + i?^(r)))6o

rGT(0,s)

PsG^i^) und die Losungen sind zulassig.^ D

Allerdings wird dieser Zusammenhang zur Nutzenmaximierung eher als zufallig empfunden. Die Vereinbarkeit der Waciistums- mit der Nutzenmaximierung reduziert sich namlich auf die Verwendung der logarithmischen Nutzenfunktion. Im Allgemeinen ist die Wachstumsmaximierung inkompatibel mit der Nutzenmaximierung. Investoren mit Risikopraferenzen, die sich nictit durch die logarithmische Nutzenfunktion darstellen lassen, wiirden eine andere Strategic wahlen und daher auch nicht unbedingt die wachstumsoptimale Strategic als optimal beziiglich ihres personlichen Nutzens ansehen. Diese Unvereinbarkeit hat zu einer lebhaften Diskussion und scharfer Kritik am Prinzip der Wachstumsmaximierung gefiihrt. Vor allem der Gedanke, die Vorteilhaftigkeit von Alternativen an der Wahrscheinlichkeit ihrer Dominanz festzulegen und die Unterscheidung zwischen langfristigen und kurzfristigen Entscheidungen von Lantane (1959), wurde von Samuelson (1979) abgelehnt, da diese den Axiomen des rationalen Verhaltens widersprechen.^ Allerdings stellt sich die Frage, ob die Axiome des rationalen Verhaltens wirklich als rational angesehen werden konnen und fiir reale Investoren tatsachlich von Bedeutung sind.^ Die Vorziige der Wachstumsmaximierung liegen in der einfachen Anwendbarkeit - schliefilich muss keine Nutzenfunktion bestimmt werden - und darin, dass die Eigenschaften intuitiv als wiinschenswert eingeschatzt werden konnen. Investoren sind bei der Vermogensanlage in erster Linie vor allem an der Hohe des Endvermogens und der Wahrscheinlichkeit interessiert, mit der dieses erreicht werden kann. Vor diesem Hintergrund erscheint die Wachstumsmaximierung als wiinschenswertes Kriterium, da sie auf lange Sicht mit Wahrscheinlichkeit Eins den hochsten Portfoliowert ermoglicht.

4 Vgl. Becherer (2001b). ^ Auf eine detaillierte Schilderung soil im Rahmen dieser Arbeit verzichtet werden. Thorp (1971) unterstreicht die unterschiedliche Zielsetzung, die beiden Konzepten zugrundeliegt. Einen sehr guten Uberblick iiber die Diskussion liefert Christensen (2005). 6 Vgl. S. 41.

4.2. DAS NUMERAIRE-PORTFOLIO

4.2

49

Das Numeraire-Portfolio

In Bezug auf die Bewertung von Derivaten weist das wachstumsoptimale Portfolio eine interessante Eigenschaft auf. Verwendet man das wachstumsoptimale Portfolio als Numeraire, so werden die Wertpapiere auf einem friktionslosen Markt zu Martingalen unter dem vorgegebenen WahrscheinlichkeitsmaB P. Long (1990) bezeichnet das wachstumsoptimale Portfolio daher auch als Numeraire-Portfolio und schlagt die Bewertung von Zahlungsstromen mit Hilfe des Numeraires und des WahrscheinlichkeitsmaBes P vor.^

Definition 4.3 Ein selbstfinanzierendes Portfolio x mit positivem Wert Xlie/ _ ^si^i > 0 fiir alle s G S\So wird als Numeraire-Portfolio bezeichnet, wenn die diskontierten Wertpapierpreisprozesse unter Verwendung des Portfoliowertprozesses von x Martingale sind, d.h wenn gilt p[s\k)— s€D{k)

^ielk

= = ^'''^'

2-^ieIk ^^^^^

fiir jedes Wertpapier i und jeden Zustand k e S\ST.

Im hier verwendeten endlich diskreten Finanzmarkt konnte Long (1990) zeigen, dass ein solches Numeraire-Portfolio existiert und durch das wachstumsoptimale Portfolio gegeben ist, sofern keine Arbitrage vorliegt.^ Zusammengefasst ergibt sich folgender Satz:

Satz 4.4 Ein Numeraire-Portfolio (bzw. wachstumsoptimales Portfolio) x existiert genau dann, wenn der Finanzmarkt arbitragefrei ist. AuBerdem sind die Renditen R^{s) fiir alle s G ST\SO eindeutig gegeben.

Satz 4.4 ermoglicht nun die Definition eines Bewertungsfunktionals:

Einen kurzen Uberblick iiber das Konzept des Numeraire-Portfolios bietet Artzner (1997). Diese Arbitragebedingung wurde von Hakansson (1971) erstmals als ,,No easy money"-Bedingung eingefiihrt.

50

KAPITEL 4. WACHSTUMSMAXIMIERUNG

Definition 4.5 Sei ein beliebiger Zahlungsstrom

d G E ^ gegeben. 1st x ein Numeraire-Portfolio,

dann

bezeichne N

''"'^'-S"n,.„.,.,a. «'(.)! den wachstumsoptimalen

Preis von d und n G R ^ | ^ mit TTQ = 1 und .

bezeichne den wachstumsoptimalen

^

Ps

Zustandspreisvektor.

Die wachstumsoptimale Bewertung ist somit konsistent mit der arbitragefreien Bewertung aus Kapitel 2. Der Preisvektor wird so festgelegt, dass der Zustandspreis der mit der jeweiligen Rendite des wachstumsoptimalen Portfolios diskontierten Eintrittswahrscheinlichkeit entspricht. In der Martingalmodellierung tritt anstelle des MaBwechsels von P nach Q die Wahl eines neuen Numeraires, des Numeraire- bzw. des wachstumsoptimalen Portfolios. Des weiteren stimmt der so bestimmte Preis eines Derivats mit dem Grenzpreis von Davis^ fiir einen Investor mit logarithmischer Nutzenfunktion iiberein. Wie der nutzenorientierte Grenzpreis fiihrt auch der so festgelegte Preis dazu, dass ein nicht redundantes Derivat nicht nachgefragt wird. Der wachstumsoptimale Preis lasst sich daher ebenso als Preis fiir eine marginale Einheit des Derivats interpretieren. Aurell et al. (2000) zeigen, dass die Wachstumsrate des Portfolios mit dem Derivat nicht groBer ist als ohne Hinzunahme des Derivats und sehen darin eine okonomische Rechtfertigung fiir den Preis des Derivats, da der Anleger sich mit dem Derivat nicht verschlechtert. Die Tatsache, dass das Derivat nicht nachgefragt wird, wird als eine Interpretationsmoghchkeit des wachstumsoptimalen Preises als Gleichgewichtspreis aufgefasst in einer Okonomie wachstumsmaximierender Anleger. Ebenso lasst sich der Preis gleichgewichtstheoretisch mit Hilfe eines reprasentativen Investors und logarithmischer Nutzenfunktion motivieren.^^ Es erscheint jedoch fraglich, ob eine so spezielle Zielsetzung einem Gleichgewichtsmodell gerecht wird. Eine Variation der wachstumsoptimalen Bewertung stellt der so genannte BenchmarkAnsatz von Platen (2002)^^ dar, der auch eine Verbindung zur aktuariellen Bewertung bei Versicherungskontrakten enthalt. 9 Vgl. Abschnitt 3.4.2. ^°Vgl. Bajeux-Besnainou/Portait (1997). 11 Vgl. auch Platen (2006) und fur eine Darstellung in diskreter Zeit Biihlmann/Platen (2003).

4.2. DAS NUMERAIRE-PORTFOLIO

51

Bei Marktunvollkommenheiten wie z.B. bei Leerverkaufsbeschrankungen oder bei allgemeineren Verteilungen^^ kann die Existenz eines Portfolios nicht immer garantiert werden, das die in der Definition des Numeraire-Portfolios geforderten Eigenschaften erfiillt. Becherer (2001b) erweitert daher die Definition des Numeraire-Portfolios auf Supermartingale und zeigt, dass sich die Wertpapiere mit Hilfe des wachstumsoptimalen Portfolios als Supermartingale darstellen lassen. In diesem Zusammenhang kann auch die von Hellwig (1993) vorgeschlagene Verwendung der Portfoliorenditen als stochastische Diskontierungsfaktoren zur Anwendung der Kapitalwertmethode bei der Bewertung von risikobehafteten Anlagemoglichkeiten gesehen werden. Dort konnte gezeigt werden, dass die durch Maximierung der Logarithmusfunktion bestimmten Portfoliorenditen eine mit der Kapitalwertmethode konsistente Bewertung ermoglichen. Eine weitere Verallgemeinerung des Numeraire-Portfolios stellt der Ansatz von Gerard et al. (2000) dar. Gerard et al. (2000) halten an der Martingaleigenschaft fest und verzichten dafiir auf die Forderung, dass die Strategien selbstfinanzierend sein miissen. Dies fiihrt allerdings dazu, dass zu jedem moglichen aquivalenten Martingalmafi auch ein NumerairePortfolio existiert und daher jede beliebige Bewertung eines Zahlungsanspruches innerhalb der Arbitrageschranken moglich ist. Das Problem der Preisfindung fiir ein Deri vat kann also nicht gelost werden. Insgesamt stellt das Prinzip der Wachstumsmaximierung ein einfaches operationelles und durch die intuitiv ansprechenden Eigenschaften gut begriindbares Entscheidungskriterium zur Bestimmung der Anlagepolitik dar, sofern der Investor lediglich liber ein Anfangskapital verfiigt, das bis zum Planungshorizont angelegt werden soil. In diesem Zusammenhang kann es als Individualmodell fiir die Bewertung eines marginalen Anteils eines Derivats interpretiert werden. Oft werden allerdings noch exogene Zahlungen wie ein unsicheres Arbeitseinkommen oder der Wunsch des Investors auftreten, vorzeitig einen Teil des Vermogens zu Konsumzwecken zu verbrauchen. Dies ist aber im Rahmen der Wachstumsmaximierung im Allgemeinen nicht darstellbar.^^ Das Konzept der Wachstumsmaximierung basiert auf stark ideaHsierten Annahmen, komplexere Konsum- und Investitionsentscheidungen konnen mit diesem Modell also nicht abgebildet werden. Im Folgenden soil daher ein Modell zur Portfolioplanung vorgestellt werden, das sowohl ein gewisses Vermogenswachstum garantiert als auch Konsumentnahmen ermoglicht und Unvollkommenheiten mit einbeziehen kann: die wachstumsorientierte Portfolioplanung. Die Wachstumsmaximierung ergibt dabei durch eine spezielle Wahl der Wachstumsraten und kann daher als Spezialfall der wachstumsorientierten Portfolioplanung angesehen werden. ^Fiir ein einfaches Beispiel vergleiche Becherer (2001b), Beispiel 6. ^Vgl. Hakansson/Ziemba (1995).

Kapitel 5 Wachstumsorientierte Portfolioplanung In diesem Kapitel wird die von Klaus Hellwig^ vorgeschlagene wachstumsorientierte Portfolioplanung vorgestellt. Es handelt sich dabei wie bei der Wachstumsmaximierung um einen Ansatz zur Losung des intertemporalen Investitions- und Konsumproblems ohne Verwendung einer Nutzenfunktion. Im Gegensatz zur Wachstumsmaximierung konnen wachstumsorientierte Portfoliopolitiken unter deutlich allgemeineren Bedingungen bestimmt werden. AuBerdem ermoglicht die wachstumsorientierte Portfolioplanung einem Investor wesentlich vielfaltigere Zielsetzungen. Insbesondere ist es moglich, neben dem gewiinschten Vermogenswachstum intertemporale Konsumentnahmen zu tatigen. In diesem Kapitel wird zunachst der Modellrahmen fiir die wachstumsorientierte Portfolioplanung entworfen und der Zusammenhang mit der bisherigen Modellierung verdeutlicht. AnschlieBend wird die wachstumsorientierte Portfolioplanung mit ihren grundlegenden Eigenschaften vorgestellt.

5.1

Modellvorausset zungen

Es wird ein zeitdiskreter Ansatz mit endlichem Zustandsraum und endlichem Zeithorizont T zugrunde gelegt, wie er in vorangegangenen Kapiteln verwendet wurde.^ 1 Vgl. Hellwig (2002a), Hellwig (2001) oder Hellwig (1987). ^ Flir eine Diskussion der Werterhaltung, einem Spezialfall der wachstumsorientierten Portfolioplanung, im zeitstetigen Rahmen vergleiche Korn (2000), Korn (1998) und Korn (1997).

54

KAPITEL 5. WACHSTUMSORIENTIERTE PORTFOLIOPLANUNG

Der Investor verfiige neben dem Anfangskapital 60 > 0 in den Folgezustanden iiber entscheidungsunabhangige Zahlungen in Hohe von bg > 0 fiir alle s = 1,...,N.

Diese

exogen gegebenen Zahlungen werden im Vektor b = ( 6 0 , . . . , ^AT)' zusammengefasst. Es ist daher moglich, von der Investitionsentscheidung unabhangige Zahlungen, wie z.B. ein Arbeitseinkommen oder Zahlungen aus einer Rentenversicherung in die Investitionsentscheidung mit einzubeziehen. In den Zeitpunkten t = 0 , . . . , T — 1 bieten sich dem Entscheider insgesamt m Investitionsund Finanzierungsmoglichkeiten, denen keine bestimmte Struktur unterstellt wird. Es kann sich also um einperiodige Alternativen wie in Kapitel 2 auf einem perfekten Markt handeln oder aber um allgemeine mehrperiodige Zahlungsstrome. Insbesondere erlaubt es diese Modellierung auch, Transaktionskosten mit einzubeziehen. Denn bei proportionalen Transaktionskosten kann die Moglichkeit des Beibehaltens einer einperiodigen Anlage im Portfolio als zusatzliche mehrperiodige Alternative aufgefasst werden.^ Das Aktivitatsniveau fiir die Durchfiihrung der Alternative i sei wie zuvor mit Xi bezeichnet. Die Durchfiihrung jeder einzelnen Alternative sei nun jedoch durch eine nicht notwendigerweise endliche obere Schranke ki nach oben beschrankt.^ Aufierdem seien Leerverkaufe ausgeschlossen. Es wird lediglich angenommen, dass alle Alternativen beliebig teilbar sind. Insgesamt fiihren diese Annahmen zur folgenden Definition zulassiger Portfolioentscheidungen: Definition 5.1 Die Menge der zulassigen

Portfoliostrategien

X :={xeK^ Eine Portfoliostrategie

heiBt zulassig,

\0 max

!

c 0 anzulegen. Der Kapitalwert der sicheren Anlage im Zustand s ergibt sich zu

-1+ E 7(i+'-)Dieser muss nun wegen der unbeschrankten Anlagemoglichkeit kleiner oder gleich Null sem. -1+ ^

—(1 + r) < 0

reD{s) ""'

66

KAPITEL 5. WACHSTUMSORIENTIERTE PORTFOLIOPLANUNG

Daraus folgt fiir alle Wachstumsraten Og < rs (s = 1,.. -1+

^

— ( ! + «»)

.,N):
TS [s ^

S\ST)

folgt: Cs = {vs - as)Vs-

< 0.

Nachschiisse lassen sich also nur vermeiden, wenn die geforderten Wachstumsraten immer kleiner als die realisierten Renditen sind. Allerdings sind die Renditen r^ = ^^(Tr) endogen gegeben und daher nicht a priori bekannt. Die Wahl geeigneter Wachstumsraten ist folglich nicht unbedingt moglich. Durch die Definition neuer Wachstumsraten a* kann die Vermeidung von Nachschiissen erreicht werden: Of* = min{as,Vs) {s =

l,..,,N).

Allerdings kann in diesem Fall die gewiinschte Wertentwicklung nicht mehr garantiert werden. Es ist jedoch iiber eine Modifikation der Funktion g moglich, auch im Fall der ex post Bewertung negative Konsumentnahmen auszuschliefien.^^ Der zweite strukturelle Unterschied von ex ante und ex post Bewertung besteht in der Einbindung der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wahlt man die ex ante Bewertung, so kommt man bei der Bestimmung der Losung ohne die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustande aus. Dies kann als groBer Vorteil der ex ante Bewertung gesehen werden, da die Wahrscheinlichkeiten haufig nur sehr schwer geschatzt werden konnen. Allerdings konnen die Eintrittswahrscheinlichkeiten die Losung auch nicht verandern, sofern sie bekannt sind. Die zusatzliche Information kann beim ex ante Ansatz daher nicht genutzt werden. Der in der vorliegenden Arbeit vorgestellte ex post Ansatz setzt die Kenntnis der Eintrittswahrscheinlichkeiten voraus. Liegen Informationen iiber die Wahrscheinlichkeitsverteilung vor, so konnen diese bei der ex post Bewertung auch beriicksichtigt werden.

2iVgl. Selinka (2005).

5.5. ZUREXISTENZ

67

Es ist jedoch moglich, durch eine geeignete Interpretation der Wahrscheinlichkeiten den ex post Ansatz auch ohne Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu realisieren.^^ Eine allgemeine Empfehlung fiir die Wahl des Bewertungsansatzes lasst sich daher nicht ableiten. Letztlich kommt es auf die individuelle Entscheidungssitnation und die Praferenzen des Investors an, welche Bewertung fiir die Auswahl eines wachstumsorientierten Portfolios am geeignetsten ist.

5.5

Zur Existenz

Zunachst wurde die wachstumsorientierte Wertpapierplanung eingefiihrt und motiviert, ohne jedoch die Frage nach der Existenz einer wachstumsorientierten Losung zu beantworten. Sowohl fiir den ex ante als auch fiir den ex post Fall konnte Klaus Hellwig^^ die Existenz von wachstumsorientierten Portfolios durch Zuriickfiihrung auf ein Fixpunktproblem nachweisen. Im ex post Fall gilt dabei folgender Satz. Satz 5.7 Sei in jedem Knoten s ^ ST die Anlage unbeschrankter Mittel fiir eine Periode zum risikolosen Zins r > 0 moglich. Dann existiert ein wachstumsorientierter Konsumplan bzgl. beliebiger Wachstumsraten a^ > — 1 (5 = 1,..., A^).

Um beliebig hohe Wachstumsraten erzielen zu konnen, muss allerdings eventuell ein negativer Konsum in Kauf genommen werden. Anstelle einer risikolosen Anlagemoglichkeit reicht auch eine einperiodige Anlagemoglichkeit mit Rendite groBer -1 fiir die Existenz einer Losung aus.^^ Zur besseren Lesbarkeit wird in dieser Arbeit die risikolose Anlagemoglichkeit verwendet. Im ex ante Fall kann negativer Konsum ausgeschlossen werden und ebenfalls die Existenz einer wachstumsorientierten Losung unter bestimmten Bedingungen nachgewiesen werden :^^ ^Vgl. ^Vgl. *Vgl. ^Vgl.

Hellwig (2006). z.B. Hellwig(2004). Hellwig (2006). Hellwig (2001).

68

KAPITEL 5. WACHSTUMSORIENTIERTE PORTFOLIOPLANUNG

Satz 5.8 Seien folgende Bedingungen erfiillt. (Al) In jedem Knoten s ^ ST sei die Anlage unheschrankter Mittel zum risikolosen Zins r > 0 moglich. (A2) Zwischen beliebigen aufeinander folgenden Knoten k und k~ konnen unheschrankt Mittel zum Zins rk > r aufgenommen werden. Dann existiert ein wachstumsorientierter Konsumplan bzgl. beliebiger Wachstumsraten -l 0} < 10100, ci < 1.01a;, x > 0}.

Mochte der Anleger nun den Wert seines Portfolios erhalten (d.h. ein Wachstum von Qfi =

0 erzielen), dann ergeben sich die Konsumvektoren c^ =

(845,9295) und

c2 = (100,10100). Nun gilt aber c^ e C2 und c^ G Ci, das schwache Axiom der offenbarten Praferenzen ist somit verletzt. Es kann keine konkave und monoton wachsende

Nutzenfunktion

[/(co,Ci) geben, fiir die c^ Losung von max{t/(co, Ci) | (co,Ci) G Ci} und c^ Losung von max{t/(co,Ci) | (co,Ci) G C2} ist. Diese Inkompatibilitat gilt allerdings nicht fiir alle Wachstumsvorgaben. Im Falle der Wachstumsmaximierung (Q;^ = r^ fiir 5 = 1 , . . . , A^) kann man zeigen, dass es eine Nutzenfunktion gibt, die eine wachstumsmaximale Losung liefert. Darauf wird im nachsten Abschnitt naher eingegangen. 2Vgl. z.B. Bamberg/Coenenberg (2000), S. 76 ff. =^Vgl. Mas-Colell (1995), S. 29. '^In Anlehnung an Hellwig (2001).

72

KAPITEL 5. WACHSTUMSQRIENTIERTE PORTFOLIOPLANUNG

Eine weitere Verbindungsmoglichkeit besteht, falls mehrere Portfolios die Wachstumsanforderungen erfiillen. Dann kann prinzipiell aus diesen das beziiglich einer bestimmten Nutzenfunktion nutzenmaximale Portfolio ausgewahlt werden.^^

5.7

Wachstumsmaximale Strategien

Die Maximierung der Wachstumsrate eines Portfolios stellt ein operationales Kriterium der mehrperiodigen Portfolioselektion mit vielen wiinschenswerten Eigenschaften dar, wie in Kapitel 4 dargelegt wurde. Allerdings sind die Annahmen eher restriktiv. Hellwig (2002c) gelang es, die Verbindung von Wachstumsmaximalitat und logarithmischer Nutzenfunktion auch in dem allgemeinen hier verwendeten Modell herzustellen. Die Betrachtung wachstumsmaximaler Strategien erfordert keine Unterscheidung von ex post und ex ante Bewertung, da aus der Forderung maximaler Wachstumsraten ein Konsumverzicht in alien Zeitpunkten vor dem Planungshorizont T resultiert.^^ Im Hinblick auf die nachfolgende Analyse wird die Wachstumsmaximalitat des Konsumvektors zunachst formal definiert. Definition 5.10 Ein Konsumvektor c E C heiBt wachstumsmaximal, falls a^ = Vg fiir alle s = 1,... ,N gilt Ausgehend von dieser erweiterten Definition der Wachstumsmaximierung im beschriebenen Modellrahmen gilt: Satz 5.11 Angenommen zu jedem Zeitpunkt konnen unbeschrankt Mittel zum risikolosen Zins r > 0 angelegt werden. • Sei c eine optimale Losung von

i

V ] Ps log Cs -^ max ceC,

c > 0.

Dann ist c eine wachstumsmaximale Losung. • Ist c ein wachstumsmaximaler Konsumplan mit Cs > 0 fiir alle s G ST, dann ist c eine optimale Losung von (P). ^Vgl. Hellwig e t a l . (2000). ^Vgl. S. 63.

73

5.7. WACHSTUMSMAXIMALE STRATEGIEN Beweis

Sei c eine optimale Losung von (P) und n = n{c) = {TTQ, ... ^TTN) der implizit gegebene Preisvektor. Das Optimierungsproblem (P) lasst sich in folgendes konvexe Programm in Standardform f - ^ P s l o g c ^ -^min S£ST

c-Ax-b 0

( z - l,...,m)

TTo =

ki>

1, TTs >

Xi>0,

0

(s = l , . . . , i V )

Vi>Q

(i = 1 , . . . ,m)

Es gilt:48 S a t z 5.14 Der Portfolio{x,7t,v)

und Zustandspreisvektor

(x, TT) ist genau dann wertorientiert,

wenn

eine Losung von {P) ist mit TT > 0 und r]{x,7r^v) = 0.

Fiir die Ermittlung einer Losung von (P) bietet sich wegen des Auftretens von linearen wie nichtlinearen Funktionen besonders der Dekompositionsalgorithmus von Benders (1962) an.^^ Fiir eine Implementierung und vergleichende Ubersicht iiber die verschiedenen Berechnungsverfahren von wachstumsorientierten Losungen und deren Unterschiede sei auf Benteler (2003) verwiesen. Im Rahmen dieser Arbeit wurden die Losungen des oben beschriebenen Optimierungsproblems fiir die in den folgenden Kapiteln betrachteten Beispiele mit Hilfe der Optimierungssoftware Lingo von LINDO Systems^° ermittelt.

^^Vgl. S. 76. 48Vgl. Hellwig (2002a). 49 Vgl. Hellwig (2002a). ^°Fiir nahere Informationen zu dem Optimierungspaket sei auf http://www.lindo.com verwiesen.

Kapitel 6 Wachstumsorientierte Bewertung Im vorangegangenen Kapitel wurde das Modell der wachstumsorientierten Portfolioplanung vorgestellt. Dabei wahlt der Entscheider ein Portfolio, das seinen Wachstumspraferenzen entspricht. Gegeniiber der Nutzenmaximierung hat dies den Vorteil, dass es dem Entscheider im Allgemeinen einfacher gelingt, Wachstumsvorgaben fiir den Portfoliowert zu formulieren als eine Nutzenfunktion anzugeben, mit der jede beliebige Zahlung bewertet werden kann. Bei der wachstumsorientierten Portfolioplanung werden der wachstumsorientierte Konsumund Portfoliovektor und der zugehorige Zustandspreisvektor simultan bestimmt, d.h. der Zustandspreisvektor ergibt sich direkt aus der Losung des individuellen Portfoliound Konsumproblems des Anlegers. Da die Losung den Wachstumsvorgaben entspricht, spiegelt der Zustandspreisvektor die Zeit- und Risikopraferenzen des Investors wider. Es liegt daher nahe, diese Zustandspreise fiir die Bewertung von nicht replizierbaren Zahlungsstromen heranzuziehen. Korn/Schal (1999) schlagen daher die Bewertung und das Hedging mit Hilfe der wachstumsorientierten Portfolioplanung bei ex post Bewertung auf friktionslosen Markten vor. Dieser Ansatz wird in diesem Kapitel in einem allgemeineren Kontext naher untersucht. Es handelt sich bei dabei um einen normativen Ansatz fiir die Bestimmung eines individuellen Preises fiir ein Derivat auf unvollkommenen und unvollstandigen Markten.

6.1

Definition und grundlegende Eigenschaften

In Kapitel 5 konnte die Existenz einer wachstumsorientierten Losung (x,Tt) gezeigt werden. Die Frage der Eindeutigkeit der Losung, insbesondere die Eindeutigkeit des Zustandspreisvektors, wurde zunachst nicht betrachtet. Es ist also zunachst davon

80

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

auszugehen, dass zu einer Wachstumsvorgabe a

=

( a i , . . . , a i v ) unter Umstanden

mehrere Zustandspreisvektoren existieren konnen. Es wird daher zunachst die Menge der Zustandspreisvektoren zu gegebenem a wie folgt definiert: Definition 6.1 Sei a = (o^i,..., QAT) die vom Investor geforderte Wachstumsstruktur post

bei ex ante bzw. ex

Bewertung.

Dann sei n^orlo^) '•= {TT G R ^ ^ ^ I TTO = 1, (:r,7r) ist wachstumsorientierte

die Menge der wachstumsorientierten struktur

a bei ex ante bzw. ex post

Zustandspreisvektoren

Losung bzgl. a}

zu gegebener

Wachstums-

Bewertung.

Ist der endogene Zustandspreisvektor n eindeutig, d.h. |ny;or(Q;)| = 1, so lasst er sich direkt zur Bewertung eines Contingent Claims verwenden. Der sich so ergebende Preis fiir das Deri vat wird als wachstumsorientiert bezeichnet. Existieren mehrere wachstumsorientierte Zustandspreisvektoren, dann wird von einem Preiskandidaten beziiglich einer wachstumsorientierten Losung {x, TT) fiir den Zahlungsanspruch d gesprochen, der sich fiir einen Anleger ergibt, der die Losung (x, vf) wahlt.

Definition 6.2 Sei durch d = ( d i , . . . , d^v)' € R ^ der Zahlungsstrom Erzeugt der Zustandspreisvektor

eines beliebigen Derivats

7t = (1,7fi,..., Tfjv)' € Ilyjor{ds

(5 = 1 , . . . , A^)

h^Xi>^ wild als Preisobergrenze bezeichnet,

(z = 1 , . . . ,m)

oder Superhedging-Preis

des Zahlungsstromes

sofern eine zulassige Losung existiert. Ansonsten

bezeichnepV^^^-Jd) := -p7^x%i~^)

die Preisuntergrenze

d bzgL (x,7f)

sei pVl^^Jd) = 00. Analog

des Zahlungsstromes

d bzgl. (x,7f).

Bestehen keine Obergrenzen, dann sind die Preisgrenzen unabhangig von der Losung {x, ft) und es kann auf den Index (x,7f) verzichtet

werden.

Die Preisobergrenze stellt dabei der Preis dar, den der Verkaufer des Zahlungsanspruches d verlangen muss, um sich vollstandig abzusichern, wohingegen der Kaufer bei der Untergrenze vollstandig abgesichert ist. Lage der Preis fiir das Derivat aufierhalb des Intervalls, ware ein risikoloser Gewinn moglich. Um die Arbitragefreiheit des wachstumsorientierten Preises zu zeigen, ist es daher notwendig nachzuweisen, dass der wachstumsorientierte Preis in diesem Intervall liegt. Es gilt folgender Satz: Satz 6.4 Sei d G R ^ ein beliebiger Zahlungsanspruch. struktur

Die vom Investor gewiinschte

Wachstums-

sei mit a gegeben.

i) Fiir jede wachstumsorientierte

Losung (:r,7f), gilt

a) Bestehen keine Obergrenzen fiir die Alternativen,

gilt fiir jedes TT G U^orio:)-

N

s=l

Hi) Bestehen keine Obergrenzen fiir die Alternativen eindeutigen

und ist d fiir den Investor zu einem

Preis replizierbar^, dann gilt fiir jedes ir G I[wor{(^)' N

Insbesondere

entspricht

und voUkommenen Zahlungsanspruch

der wachstumsorientierte

Finanzmarkt

dem eindeutigen

Preis bei einem arbitragefreien

vollstandigen

Preis fiir jeden

d G R ^ , d.h. p^{d) — p{d).

Dies bedeutet, dass ein :E G X und ein x ^ X existieren, so dass Yl^i J2^i ^siXi = ds = — J2^i o>siXi fiir alle s = 1 , . . . , A^.

f^oi^i = — Y^iLi ^oi^i und

6.1. DEFINITION UND GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN

83

Beweis Das zu folgendem Optimierungsproblem l^i^i

^^M I

(^oiXi — > m m

Y:t^as^x,>ds

(5 = 1,..., TV)

ki — Xi > Xi > 0

(^ = 1 , . . . , m )

duale Programm lautet:

EN

(D)

,

^

(z = l , . . . , m ) (5 = 1,...,iV) (z = 1,... ,m)

TT, > 0 Vi>0

Betrachtet man den wachstumsorientierten Zustandspreisvektor TT und den Vektor der Kapitalwerte v, so erfiillen diese die Nebenbedingungen des dualen Programms. Fiir die Zielfunktion gilt

i—l

5=1

s—1

da^ falls ki = Xi gilt, folgt Vi > 0 und Vi = 0 folgt, falls ki > Xi gilt. Die zweite Summe verschwindet somit. Mit dem schwachen Dualitatssatz^ der linearen Optimierung gilt fiir jede zulassige Losung x von (P) N

N

^T^sds
Ki{7r). Vgl. S. 57. ^ Vgl. Satz 1.4.1 in Neumann/Modock (2002).

84

KAPITEL 6. WACHSTUMSQRIENTIERTE BEWERTUNG

Obere und untere Preisgrenze stimmen daher iiberein. Der in diesem Fall durch die eindeutige wachstumsorientierte Losung gegebene eindeutige wachstumsorientierte Preis muss daher auch mit dem Preis aus Arbitrageiiberlegungen iibereinstimmen. Da bei einem vollkommenen und vollstandigen Finanzmarkt jeder Zahlungsanspruch erreichbar ist, gilt die Ubereinstimmung von wachstumsorientierter Bewertung mit der arbitragefreien Bewertung in diesem Fall fiir jeden Zahlungsanspruch, d.h. p^{d) = p(d).

Bei unvollstandigen Markten ist eine eindeutige Bewertung mit Hilfe der No-ArbitrageBedingung nicht moglich. Daher wurde die nutzenbasierte Bewertung vorgeschlagen. Ebenso lasst sich die wachstumsorientierte Portfolioplanung zur Bewertung von Derivaten einsetzen. Es konnte gezeigt werden, dass die wachstumsorientierte Bewertung die grundlegenden Eigenschaften eines Preissystems erfiillt, das mit den Arbitragebedingungen vereinbar ist. Bei der wachstumsorientierten Bewertung stellt sich die Frage, ob und unter welchen Bedingungen die Vorgabe der Wachstumsraten einen eindeutigen Zustandspreisvektor sicherstellt und ob Preisschranken angegeben werden konnen, sofern Ersteres nicht gegeben ist. Diese Fragestellung wird im Folgenden naher analysiert.

6.2

Eindeutige Bewertung

Eindeutige wachstumsorientierte Zustandspreise ergeben sich in jedem Fall auf einem vollkommenen und vollstandigen Markt, wie im vorangegangen Abschnitt bereits dargelegt wurde. In diesem Abschnitt soil nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen dies auch bei unvollstandigen und unvollkommenen Markten moglich ist. Der einfachste Fall ergibt sich bei ex post Bewertung, falls die Voraussetzungen fiir eine myopische Planung gegeben sind.^ Dann existiert ein eindeutiger Zustandspreisvektor, der unabhangig von den Wachstumsraten ist, da er durch die wachstumsmaximale Losung bestimmt wird. Dieses Ergebnis wird in folgendem Satz noch einmal festgehalten.

Vgl. S. 76.

6.2. EINDEUTIGE BEWERTUNG

85

Satz 6.5 Unter den folgenden Voraussetzungen ist der wachstumsorientierte Zustandspreisvektor eindeutig:

1. Fiir die Konsumhewertung wird der ex post Ansatz verwendet. 2. Der Investor verfiigt nur iiber ein Anfangskapital und iiber keine zukiinftigen entscheidungsunabhangigen Zahlungen (bg = 0, s = 1,... ,N). 3. Die Investitions- und Finanzierungsmoglichkeiten generieren nur Zahlungen in der direkt folgenden Periode. 4. Die Alternativen konnen in beliebigem Umfang durchgefiihrt werden (ki = oo, i = I,... ,mj.

Daruberhinaus ist der Zustandspreisvektor unter diesen Voraussetzungen unabhangig von der investorspezihschen Wachstumsstruktur. Beweis Unter den oben genannten Voraussetzungen ist eine myopische Planung moglich, d.h. die Losung lasst sich durch sukzessives Losen einperiodiger Teilprobleme bestimmen. Da diese bei ex post Bewertung auf einperiodige wachstumsmaximale Strategien zuriickgefiihrt werden konnen und wachstumsmaximale Losungen eindeutig sind, sind die Losungen der Einperiodenprobleme eindeutig bestimmt. AuBerdem sind die Zustandspreise der einperiodigen Probleme unabhangig von den Wachstumsraten. Insgesamt ist die Losung des urspriinglichen intertemporalen Problems somit eindeutig und der eindeutige Zustandspreisvektor ist unabhangig von den Wachstumsraten. D

Satz 6.5 basiert auf den Voraussetzungen der myopischen Planung. Setzt man zusatzlich voraus, dass sowohl bei alien Investitions- als auch bei alien Finanzierungsmoglichkeiten beliebige Leerverkaufe moglich sind, ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der wachstumsorientierten Bewertung und der wachstumsoptimalen Bewertung mit Hilfe des Numeraire-Port folios. ^ Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Korn/Schal (1999) festgestellt.

86

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

Satz 6.6 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.5 gilt, falls zusatzlich beliebige Leerverkaufe aller Investitions- und Finanzierungsmoglichkeiten zulassig sind, fiir jede Wachstumsvorgabe a = {ai,..., ttiv) und jeden Zahlungsanspruch d G R^;

d.h. der wachstumsorientierte Preis stimmt mit dem wachstumsoptimalen Preis iiberein.

Beweis Nach Satz 5.13 stimmen wachstumsorientierter und wachstumsoptimaler Zustandspreisvektor unter den gegebenen Voraussetzungen iiberein. Daher gilt: N

p'^id) = y7tsds

N

= Vpf

^

—,

rds = YPST^

rl

7^—^T-T^=P'""''\d).

Ein weiterer Zusammenhang zu bekannten Bewertungsmethoden bei unvollstandigen Markten^ ergibt sich nun direkt aus Satz 6.6. Da die wachstumsorientierte Bewertung mit der wachstumsoptimalen Bewertung (ibereinstimmt, gilt dies selbstverstandlich auch fiir den marginalen nutzenbasierten Grenzpreis fiir einen Investor, der die Nutzenfunktion u{c) = log(c) besitzt. Dies ist allerdings wie bei der wachstumsoptimalen Bewertung der einzige Ankniipfungspunkt zur nutzenbasierten Bewertung, da das Konzept der wachstumsorientierten Portfolioplanung im Allgemeinen inkompatibel mit der Nutzenmaximierung ist.^ Die Einschrankungen von Satz 6.5 an die Anlagealternativen sind recht restriktiv. Zum einen existiert eine Vielzahl von mehrperiodigen Alternativen, wie langfristige Kredite oder mittelfristige Sparvertrage. Zum anderen werden auch sehr fungible Anlagen wie Aktien und Anleihen, die praktisch jederzeit gehandelt werden konnen, unter Berucksichtigung von Transaktionskosten zu mehrperiodigen Alternativen. Solange der Investor lediglich Investitionsalternativen in Betracht ziehen kann, d.h. Alternativen, die durch eine Anfangsauszahlung charakterisiert werden, der ausschlieBlich Einzahlungen folgen, kann die Eindeutigkeit ebenfalls garantiert werden, auch wenn es sich nicht mehr um ein myopisch planbares Problem handelt. Vgl. Kapitel 3. Vgl. Abschnitt 5.6.

87

6.2. EINDEUTIGE BEWERTUNG Es gilt folgender Satz: Satz 6.7 Unter folgenden preisvektor

Voraussetzungen

existiert

genau ein wachstumsorientierter

n zu gegebenen Wachstumsraten

1. Der Investor Zahlungen

verfiigt

Zustands-

(Q;I, . . . , a^), d.h. \Ilwor{oi)\ = 1-

nur iiber ein festes

Anfangskapital

und keine

exogenen

(bo > 0, bs = 0, 5 = 1 , . . . , N).

2. Fiir die Alternativen

bestehen keine oberen Schranken (ki = oo, z = 1 , . . . , m j .

3. In jedem Zustand besteht die Moglichkeit, fiir eine Periode Mittel in beliebiger Hohe zu einem risikolosen Zins r > 0 anzulegen. 4. Es bestehen

nur Investitionsalternativen

(Anfangsauszahlung,

danach nur

Ein-

zahlungen). 5. Es wird die ex post Bewertung

zugrunde

gelegt.

Beweis Die Existenz einer wachstumsorientierten Losung folgt aus der Existenz einer risikolosen Anlage, vergleiche Satz 5.7. Alternativ konnte auch eine einperiodige Anlagemoglichkeit mit strikt positiven RiickMssen vorausgesetzt werden.^° Unter den obigen Voraussetzungen lasst sich das Programm (P) folgendermaBen darstelleni^i

- ^ 0 - YlT=i ^oiXi —> m i n

{P){

- TJiLi O'siXi + {vs - as)usbQ < 0

(s ^ 5*0, ST)

- T.T=i ^siXi + (1 + rs)uJsb^ < 0

(s G ST)

PF,(r)-l

(s = l , . . . , i V ) (z = 1 , . . . ,m)

Xi>{)

wobei PVi{r):=as^i+

loVgl. S. 67. i^Vgl. Hellwig (2002a).

^

akjp{k\si)

W

(1 + r , )

'

88

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

den Barwert der z-ten Alternative bezeichnet. Si bezeichnet den Zeitpunkt, in dem die Alternative gewahlt werden kann. Da PVi{r)

(streng) konvex ist fiir r^ > —1

(s = 1,...,A^), handelt es sich um ein

konvexes Optimierungsproblem. Die Menge aller optimalen Losungen eines konvexen Programms ist wieder konvex^^, d.h. seien (x, f) und (f, r) optimale Losungen von (P) mit f ^ f, dann ist fiir jedes A G (0,1) auch A(^, f) + (1 - A) (x, f) = (Ax + (1 - A)x, Af + (1 - A)r) optimale Losung von ( P ) . Da mindestens eine Alternative gewahlt wird, gilt fiir ein i E { 1 , . . . , m} ^ Xxi + (1 - X)xi > 0

Xi > 0.

(VA G (0,1))

da Xi > 0,z = 1 , . . . , m . Falls {x*, TT*) wachstumsorientiert ist und x* > 0 fiir ein z G { 1 , . . . , m } , gilt PVi{r*) — 0. :^Py,(f)=0

und

Pyi(Af+(1-A)f) = 0

VAG(0,1).

Weiterhin ist PVi{r) streng konvex, somit gilt fiir alle A G (0,1)

0-PVi(Af+(l-A)f)


0 anzulegen. 4. Es wird die ex post Bewertung

zugrunde

5. Fiir samtliche wachstumsorientierte Ts >

gelegt.

Losungen gilt fiir ein t G { 1 , . . . , T — 1}:

as

{s€S\{So,St,ST})

Bemerkung Die Bedingung 5. lasst sich wie folgt okonomisch interpretieren: Zunachst zieht man auf beiden Seiten l + ag ab und erweitert dann mit Wg-bQ. Dann lasst sich die Gleichung wie folgt umformen

( ^{rs-a,)w,-bo

>

\

i{T -t)

L / y __\) _^ y ^ ^ ~ M (1 + a,)ii;,-6o

{s e St)

Dies ist nach Definition des Portfoliowertes Vs und des Konsums Cs in s aquivalent zu

c, = ( r , - a , ) V ; -

>

'

*^^

t{T-t)+T

*)

Vs

+l

(s € St).

7 Es darf somit in den Zustanden der Periode t nicht mehr als 1 — ^.y_^x^y^-^ des Portfoliowertes Vs nachgeschossen werden.

90

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

Fiir t = 1 bedeutet es, dass nicht mehr als 1 - ^ ^ nachgeschossen werden darf. Im Grenzfall T —> oo darf daher nicht mehr als die Halfte des Vermogens nachgeschossen werden. Bei t = T/2

(fiir T o.B.d.A. gerade) nimmt der Ausdruck ^(^J^_^^_^J._^-^^

Maximum an, und es gilt daher fiir alle t = 1 , . . . , T - 1: *(^-*) ^^/^ t(r -1) + T + 1 r2/4 + T + 1

-l(T^oo).

Im Grenzfall muss der Konsum also in jedem Zeitpunkt nichtnegativ sein, wenn die Eindeutigkeit des Zustandspreisvektors garantiert werden soil. Im Folgenden wird nun der Beweis zu Satz 6.8 gefiihrt: Beweis Die Existenz einer wachstumsorientierten Losung folgt aus der Existenz einer risikolosen Anlage, vergleiche Satz 5.7. Alternativ konnte auch eine einperiodige Anlagemoglichkeit mit strikt positiven Riickfiiissen vorausgesetzt werden.^^ Zur Eindeutigkeit: Annahme: Es existieren zwei wachstumsorientierte Losungen (:r,7f) und {x,7t), die die Voraussetzung erfiillen. Dann gilt fiir n und TT: n'g{7t) = 'K'g{n) = 1 und 'R'g{'K) < 1 sowie 7['g{7t) < 1 fiir beliebiges

Denn nach Hellwig (2002a) (S. 135) gilt fiir jeden wertorientierten Preisvektor n mit zugehorigem Vektor v: Z{TT, V, TT, v) = 7r'g{7t){7r'b + v'k) — n'b — v'k < 0. Daraus folgt, da keine Obergrenzen oder exogenen Zahlungen vorliegen, z{7t, 0, TT, 0) = 7r'c/(7r)6o - 6o < 0 o nach Vor.

seSt

TeD{s)

t-i

-|£-,£/"">V^'*--'-Vft^w>' k=t seSk

TeD{s)

V ^

y n y

( T - ^ - A : + l)7r,(A)7r^-7f^.2 2{T-t-k) TTriX) ^
0, bs = 0, s = 1 , . . . , N).

2. Fiir die Alternativen

bestehen keine oberen Schranken (ki = oo, z = 1 , . . . , m j .

Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Wahl der ex post Bewertung kann also hochstens eine wachstumsorientierte Losung mit nichtnegativen Konsumentnahmen existieren. Fiir einen Anleger, der Nachschiisse in jedem Fall ausschlieBen mochte, gibt es daher hochstens einen wachstumsorientierten Zustandspreisvektor im Rahmen der beschriebenen ex post Bewertung. Die Bewertung ist somit eindeutig. '^Man beachte den Zusammenhang j ^ ^ = -^— fiir alle s — 1,... ,N. Vgl. S. 61. ^Vgl. Selinka (2005) und Hellwig (2006).

96

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

Beispiel 6.1 Es soil eine Kaufoption auf eine Aktie bewertet werden. Die Kursentwicklung der Aktie bis zum Ausiibungszeitpunkt sei durch folgenden zweiperiodigen rekombinierenden Binomialbaum mit identischen relativen Zuwachsen in jeder Periode gegeben, d.h. die Aktie steigt in jedem Zeitpunkt entweder um einen multiplikativen Faktor it = 1,3 (,,up") mit Wahrscheinlichkeit p = 0,4 oder fallt um d = 0,9 (,,down") mit Wahrscheinlichkeit (1 — p). Formal bedeutet dies fiir den Aktienkurs Wt zum Zeitpunkt t {t = 1,2, die Nachfolgezustande seien mit Ui bzw. LO2 bezeichnet): f uWt-i, Wt{uj) = < I dWt-i,

fallsa; = a;i falls u = U2.

Daneben existiere noch ein Bond, der das investierte Kapital in jeder Periode mit einem Zins von r = 0,05 verzinst. Anders als im klassischen von Cox/Ross/Rubinstein (1979) betrachteten Fall sollen nun eine Reihe von Marktunvollkommenheiten beriicksichtigt werden, die in der Praxis in der Regel vorliegen. Zum einen ist die Annahme von beliebigen Leerverkaufen der sicheren Anlage nicht realistisch. In der Regel unterscheiden sich der Kredit- und der Anlagezins. In diesem Beispiel soil ein Kreditzins von / = 0, 06 angenommen werden. Desweiteren existieren in der Regel Transaktionskosten fiir den Handel von Wertpapieren. Ein standiges Anpassen des Hedgingportfolios, was gerade in Zusammenhang mit stetiger Modellierung von Finanzmarkten notwendig ist, kann zu sehr hohen Kosten fiihren.^^ Daher sollen in diesem Beispiel proportionale Transaktionskosten von 1 Prozent fiir Kaufe und 3 Prozent fiir Leerverkaufe der Aktie veranschlagt werden.^° Unter proportionalen Transaktionskosten kann im Binomialmodell zwar noch jede Zahlung repliziert werden, jedoch sind die Kosten teilweise hoher als fiir eine dominierende Strategie.^^ Die Modellierung der Aktienkurse lasst sich auch im Rahmen des wachstumsorientierten Modells darstellen. Lediglich die Rekombination des Binomialbaumes kann nicht abge^^In einem kontinuierlichen Modell wiirde kontinuierliches Hedging bei Vorhandensein von Transaktionskosten sogar unendlich hohe Kosten verursachen. Leland (1985) schlagt daher vor, nur zu endlich vielen vorher festgelegten Zeitpunkten zu hedgen. ^°Es wird vereinfachend angenommen, dass diese nur beim Kauf/Leerverkauf fallig werden und nicht beim Verkauf/Glattstellen der Position. ^^ Ein Beispiel fiir den Einfluss von Transaktionskosten im Binomialmodell ist in Merton (1990) (Kapitel 14.2) zu finden. Boyle/Vorst (1992) zeigen (vgl. auch Palmer (2001)), dass sich europaische Kaufund Verkaufsoptionen replizieren lassen und entwickeln daraus Preisgrenzen. Bensaid et al. (1992) konnen allerdings nachweisen, dass mit Hilfe des Superhedging-Ansatzes engere Preisschranken fiir die Optionen bestimmt werden konnen, dies ware im vorliegenden Fall bei Transaktionskosten von 10 Prozent fiir einen Kauf und 18 Prozent fiir einen Leerverkauf der Fall (27,7 statt 27,95 fur die Obergrenze). Einen allgemeinen Zugang zur risikoneutralen Bewertung bei Transaktionskosten liefern Jouini/Kallal (1995b).

6.2. EINDEUTIGE BEWERTUNG

97

bildet werden: die Zustande 4 und 5, in denen die Aktie einmal gefallen und einmal gestiegen ist und daher denselben Aktienkurs aufweist {udWo = duWo), miissen unterschieden werden. Abbildung 6.1 illustriert die Entwicklung des Aktienprozesses und den Zustandsbaum: UUWQ

Abbildung 6.1: Zustandsbaum und die entsprechende Entwicklung der Aktie

Die Transaktionskosten fiihren dazu, dass ein Halten/Leerverkauf der Aktie iiber mehr als eine Periode als mehrperiodige Anlagemoglichkeit interpretiert werden kann. Es ergibt sich die folgende Payoff-Matrix A = (A+|A~), wobei vor allem aus Griinden der Darstellung die Anlage- und Finanzierungsalternativen in der Matrix A'^ und die Finanzierungsalternativen in der Matrix A~ zusammengefasst werden. Die Transaktionskosten sind mit den jeweiligen Faktoren 1,01 bei Kauf und 0,97 bei Leerverkauf der Aktie beriicksichtigt.

( A+:

'^

1+ r 1+ r 0 0 0

I 0

0 0 -1,011^0 -l,01W^o - 1 -l,01uWo 0 uWo dWo 0 0 0 0 1+ r UUWQ UUWQ 0 1+ r duWo duWo 0 0 0 udWo 0 0 ddWo 0

0 0 0 0 - 1 -l,01dWo 0 0 0 0 1+ r udWo 1+r ddWo

98

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

1

1 -(1+/) -(1 + /) 0 0 0

A-

V

0, QTVTo 0,97VFo -UWQ

-dW^

0 0 0 0

0

0 0 —UUWQ

-duW^ -udWo -ddWo

0 1 0

-(1 + /) -(1 + /) 0 0

0 0, 97uWo

0 -UUWQ

-duWo

0 0

0 0 1 0 0

0 0 0,97dWo

- ( 1 + /)

-udWo

- ( 1 + /)

-ddWo

0 0

Es soil der Preis fiir einen europaischen Call mit Strike 100 bestimmt werden, mit Zahlungsstrom d, d^ = 69, d^ = d^ = 17, di = d2 = d^ = 0. Als Preisobergrenze ergibt sich i)^^^(d) = minjao^z: \ AiX > d, x>0}:^

18,095

und als Preisuntergrenze p^^^{d) — 13,046. Dies kann zwar als erster Anhaltspunkt fiir die Preisfindung interpretiert werden, da die Obergrenze jedoch fast 40 Prozent iiber der Untergrenze liegt, kann man das Bewertungsproblem damit wohl kaum als gelost ansehen. Bei den Preisschranken handelt es sich auch um den jeweiligen Betrag, der fiir eine exakt replizierende Strategie aufgewendet werden miisste. Diese lassen sich direkt aus einem linearen Gleichungssystem bestimmen oder nach der in Melnikov/Petrachenko (2005) vorgeschlagenen Bewertungsmethode. Fiir y = (0; 27,61; 47, 22; 0; 68,61; 0; 0; 57,48; 0; 0; 94,34; 0; 36,08; 0)' gilt Aiy = d und a'^y = 18, 095. Die Existenz von exakt replizierenden Strategien hat auch Auswirkung auf die risikominimierenden Strategien. SchlieBlich lasst sich durch die Wahl der replizierenden Strategie das Risiko auf Null senken. Wiirde man das benotigte Kapital des risikominimierenden Hedges als Preis fiir die Option wahlen, ergabe sich fiir den Kaufer des Derivats ein Preis von 13,046 und ein Preis von 18,095 fiir den Verkaufer der Option. Die Risikominimierung liefert daher keine Verbesserung der Schranken, die sich aus reinen Arbitrageiiberlegungen ergeben. Trotz der eher geringen Transaktionskosten lasst sich der Preis daher nicht geeignet einschranken. Im Folgenden soil daher die wachstumsorientierte Bewertung der Option bei ex post Bewertung des Konsums untersucht werden. Wie sich zeigen wird, ermoglicht die wachstumsorientierte Bewertung eine eindeutige Losung zu gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wachstumsvorgabe a, sofern diese in einem gewissen Rahmen liegen.

6.2. EINDEUTIGE BEWERTUNG

99

Um die Frage der Eindeutigkeit der wachstumsorientierten Losung zu klaren, miissen zunachst die Einschrankungen fiir die Grenzrenditen untersucht werden. Durch die vom Investor festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit p = 0,4 fiir einen Kursanstieg lassen sich die Grenzrenditen mit Hilfe der Zustandspreise einschranken. Es ergibt sich fiir rf"" := max{^ | n'A < 0}=0 und fiir rf"" := max{^ | n'A < 0} gilt f^^ = —0.10. Da intertemporale Konsumentnahmen nur in t = 1 getatigt werden konnen, ist die wachstumsorientierte Losung nach Satz 6.8 eindeutig, sofern

l +r.>(i±^

(s = l,2).

Fiir die Wachstumsraten ai < 3 und a2 < 2,6 ist die Losung garantiert eindeutig bestimmt. Wiinscht der Investor ein Vermogenswachstum von QI = 0,06 in Zustand 1 und von in 0^2 = 0 in Zustand 2 ist die wachstumsorientierte Losung nach Satz 6.8 eindeutig gegeben. Bei gegebenem Anfangskapital von bo = 10000 und keinen weiteren Zahlungen (bg = 0 fiir 5 = 1 , . . . , 6) ergibt der eindeutige Zustandspreisvektor^^ 7f ^ (1; 0,3699114; 0, 5824696; 0,1359266; 0,2163700; 0, 2161043; 0,3386286). Fiir die Bewertung eines Zahlungsanspruches d ergibt sich daher N

und fiir die oben beschriebene Kaufoption 6

p"(c^) = ^ 7 f , 4 ^ 16,73. s=l

Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung, im Binomialmodell durch die Wahrscheinlichkeit p gegeben, geschatzt werden kann und der Investor in der Lage ist, seine Wachstumspraferenz anzugeben, ermoglicht die wachstumsorientierte Bewertung die Festlegung eines eindeutigen Preises fiir ein Deri vat.

^Die Losung wurde iiber das Optimierungsproblem (P) mit Hilfe der Optimierungssoftware Lingo bestimmt. Vgl. S. 77.

100

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

In diesem Abschnitt konnten Bedingungen formuliert werden, die die Eindeutigkeit der wachstumsorientierten Zustandspreisvektoren im Rahmen der ex post Bewertung garantieren. Unter der Voraussetzung, dass der Investor die Wahrscheinlichkeitsverteilung der verfiigbaren Alternativen kennt und dariiber hinaus seine Wachstumspraferenzen angeben kann, ist eine eindeutige Bewertung jedes Zahlungsanspruches d moglich.

6.3

P reisschranken

Im vorangegangen Abschnitt konnten Bedingungen angegeben werden, unter denen der wachstumsorientierte Zustandspreisvektor eindeutig bestimmt ist. Unter diesen Voraussetzungen ist die Bewertung beliebiger Zahlungsanspriiche mit Hilfe des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors eindeutig gegeben. Falls es mehrere Zustandspreisvektoren gibt, die eine wachstumsorientierte Losung ermoglichen, existieren fiir einen Zahlungsanspruch mehrere Preiskandidaten. In diesem Abschnitt wird analysiert, inwiefern sich daraus Preisschranken fiir den Zahlungsanspruch ableiten lassen. Prinzipiell steht man vor der Aufgabe, den groBten und den kleinsten Kandidaten fiir einen wachstumsorientierten Preis zu identifizieren. Dazu konnte man den mit den Zustandspreisen bewerteten Payoff eines Derivats iiber alle wachstumsorientierten Zustandspreisvektoren maximieren bzw. minimieren. Definition 6.12 Sei Pmax(^) ^^^ Preis, den ein Anleger mit Wachstumspraferenz a maximal bereit ist, fiir einen Payoff d zu hezahlen, d.h. p^ax(^) ^^^ ^^^ optimale Zielfunktionswert des folgenden Optimierungsproblems (Pmax) • ^{d) := Tr'd —)• m a x V-^ ma:

TV G U^orioi)

Ebenso bezeichne Pmin(^) ^^^ Preis, den ein Anleger mit Wachstumspraferenz a mindestens fiir einen Payoff d verlangt, d.h. PmmW ^^^ ^^^ optimale Zielfunktionswert des folgenden Optimierungsproblems (Pmin)(pa \ i PmM V-'inin/ 1

•.= 1T'd-^mW ^ TT

/

\

6.3. PREISSCHRANKEN

101

Die Definition 6.12 enthalt zwar bereits eine Berechnungsvorschrift, jedoch sind die wachstumsorientierten Zustandspreisvektoren nur endogen gegeben und lassen sich durch Losen der in Abschnitt 5.9 angegeben Optimierungsaufgabe simultan mit dem Portfoliovektor x bestimmen. Die Menge der Zustandspreisvektoren I{wor[(y) ist also nur abstrakt gegeben. Wie diese Menge konkret charakterisiert werden kann, so dass eine Berechnung der Preisschranken ermoglicht wird, ist somit nicht sofort ersichtlich. Den Schliissel fiir die Bestimmung der wachstumsorientierten Preisschranken bildet das Optimierungsproblem (P):

( r]{x, TT, v) = go{7r){7r'b + v'k) -bo-

YT=i ^oiXi —> min

- E " 1 asiXi + ^.(7r)(7r'6 + v'k) < bs

{P){

{s =

l,...,N)

- EfLo ^si^s + Vi>0

(z = 1 , . . . , m)

7ro = l , TT, > 0

(5 = 1 , . . . , A ^ )

ki>

Xi>

0, Vi >0

(z = 1 , . . . , m )

Es gilt dabei, dass eine Losung genau dann wertorientiert ist, wenn sie auch eine Losung von (P) darstellt und der Zielfunktionswert verschwindet.^^ Des Weiteren kann mit Hilfe des Dualitatssatzes fiir lineare Programme die Giiltigkeit des folgenden Lemmas gezeigt werden:^^ L e m m a 6.13 Ist {x, TT, v) zulassig fiir (P), so gilt rj{x, TT, V) > 0.

Dies bedeutet, dass jeder zulassige Punkt, fiir den der Zielfunktionswert verschwindet, eine optimale Losung des Programms (P) darstellt. Zulassige Punkte mit kleinerem zugehorigem Zielfunktionswert sind gemaB Lemma 6.13 nicht moglich. Daher lasst sich Satz 5.14 wie folgt umformulieren: Satz 5.14' Der Portfolio-

und Zustandspreisvektor

(x,7f) ist genau dann wertorientiert,

(x, 7f, v) zulassig fiir (P) ist mit n > 0 und r]{x, t , v) = 0.

23Vgl. Satz 5.14. 24 Vgl. Selinka (2005) Lemma 3.12, S. 81.

wenn

102

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

Es reicht fiir die Bestimmung eines wachstumsorientierten Portfolio- und Konsumplans mit zugehorigem Preisvektor also aus, einen zulassigen Punkt des Programms zu finden, fiir den der Zielfunktionswert verschwindet. Die Minimierung der Zielfunktion ist damit nicht mehr erforderlich. Statt des nichtlinearen Optimierungsproblems kann zur Bestimmung der wertorientierten Losung auch das folgende nichtlineare (Un-)Gleichungssystem (G) gelost werden:

( 5'o(7r)(7r'6 + v'k) -bo-

Yl^^Li aoiXi = 0

- ET=i ^siXi + ^.(7r)(7r'6 + v'k) < bs (^)S

-Etoasi7is

+ Vi>0

{s =

l,...,N)

(2 = 1 , . . . , m )

TTo = 1, TT, > 0

{S =

ki> Xi > 0, Vi > 0

1,...,N)

{i = 1,... ,171)

Diese Darstellung ermoglicht es nun, die abstrakten Optimierungsprobleme (i^^ax) ^^^ (^min) ^u spezifizieren, mit denen sich fiir einen Zahlungsstrom d G R ^ wertorientierte Ober- und Untergrenzen bestimmen lassen. Denn durch (G) wird gerade die abstrakte Menge der moglichen Zustandspreise Y[wor{(^) beschrieben. Der maximale Preis p^^^{d),

den ein wertorientierter Anleger fiir den Zahlungsanspruch d

zu zahlen bereit ist, lasst sich daher anhand folgender Optimierungsaufgabe bestimmen. Pmax(^) = (TTI, . . . , 7TN)d

go{n){'K'b + v'k) -bo(-Pmax) {

~ ^ ^ 1 ^''^'

> maX

J2T=i ^oi^i = ^

"^ 9s{7^){7r'b + v'k)

- E f L o ^^zTTs + ^^z > 0

7ro = l , TT, > 0 ki> Xi>0,

Vi>0

< b^

{s = 1, . . . , N) (Z = 1, . . . , m )

{s = {i = 1,...

l,...,N) ,m)

6.3. PREISSCHRANKEN

103

Analog fiir den minimalen Preis p^in(c^)' PminW

= (TTI, . . . , 7TN)d

Po(vr)(7r'6 + v'k) -bo(^min) {

~ ^^=^

^''^'

> Hlin

YlZi c^oiXi = 0

+ 9s{7^){'^'b + v'k)

< 6,

- E ^ o ^siT^s + ^z > 0 TTo = 1 , TT^ > 0 ki > Xi > 0, Vi > 0

{s = 1, . . . , N)

(z = 1,..., m) {S =

1,...,N)

(z = 1 , . . . , m )

Die Arbitragefreiheit der wachstumsorientierten Preisschranken ergibt sich aus der Arbitragefreiheit der wachstumsorientierten Preiskandidaten.^^ Es gilt daher: p'"'" 0

(5=1,...,A^) (z = 1,... ,m)

Dies ist aquivalent zu

r 9oW-i-E::i«oi£ Efeia«|+5.Wl Uim

ET=i «oi^i = 0

(^s^X^ + 9s{7^){n'b + v'k)

- EfLo ^siT^s -\-Vi>0 TTo^l, TT, > 0 ki> Xi > 0, Vi>0 a^< as a^ > —0,5 fiir s = 1,2. Lost man die oben angegebenen Optimierungsprobleme, ergibt sich fiir die Grenzen p^^^n ~ ^^^ ^^^ und pmax ~ 16,81. Interessanterweise unterscheiden sich die Preisgrenzen lediglich um 1 Prozent, obwohl die Wachstumsvorgaben doch sehr unterschiedlich sind, namlich zwischen Verdopplung und Halbierung des eingesetzten Kapitals. Eine starke Abhangigkeit von den Praferenzen, die bei der nutzenbasierten Bewertung haufig kritisiert wird,^^ kann daher nicht festgestellt werden. Variiert man hingegen die Wahrscheinlichkeit p zwischen 0,4 und 0,5, so ergibt sich als maximaler Preis 17,4 und als minimaler wachstumsorientierter Preis 16,64 bei den vorgegeben Wachstumsraten a i = 0,06 und 0^2 = 0. Bei Variation beider EinflussgroBen erhalt man 17,65 und 16,48.

6.4

Okonomische Interpretation

In diesem Kapitel wurde die Bewertung von unsicheren Zahlungsstromen mit Hilfe des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors vorgeschlagen. Liegt ein eindeutiger Zustandspreisvektor vor, ergibt sich dabei ein hneares Preisfunktional, das die Bewertung jedes beliebigen Zahlungsstromes ermoghcht. Existieren mehrere Preisvektoren, so lasst sich ein Intervall moglicher Preise angeben. Die Bewertung mit Hilfe des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors fiihrt dabei stets zu einer Bewertung, die konsistent mit den Arbitragebedingungen ist. Neben der Einbeziehung von entscheidungsunabhangigen Zahlungen ist es bei der wachstumsorientierten Bewertung moglich, sowohl mehrperiodige Alternativen - und damit auch proportionale Transaktionskosten - als auch Leerverkaufsbeschrankungen und Hochstgrenzen fiir die Durchfiihrung der Alternativen zu beriicksichtigen. Um den wachstumsorientierten Preis naher zu analysieren, soil fiir den Rest dieses Kapitels die Eindeutigkeit des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors und der wachstumsorientierten Losung angenommen werden. Die Bewertung mit Hilfe des endogenen Zustandspreisvektors impliziert, dass sich durch das Auftreten des neuen Zahlungsstromes der Zustandspreisvektor und damit ^Vgl. S. 96. ^Vgl. Cont/Tankov (2004), S. 330.

6.4. QKQNOMISCHE INTERPRETATION

107

die wachstumsorientierte Losung und insbesondere die Wachstumspraferenzen

nicht

verandern. Der Zahlungsstrom wird also auf Basis der bisherigen Auswahl des Portfolios bestimmt. Fiihrt man den nicht redundanten Zahlungsstrom d in das Portfolioproblem mit ein und legt den wachstumsorientierten Preis p"'{d) als Preis fest, so ergibt sich das Gleichungssystem {G'): f 9o{n){n'b + v'k) -bo -YlZ:i^oiXi+p''{d)xm+i

= 0

- YT=i ^siXi + Xm+ids + ^5 W(7r'6 + v'k) < bs

iG'){

- E ^ o (^siT^s -\-Vi>0

-pHd) +

Wegen der Festlegung p^{d)

Xi>Q,

(z = 1 , . . . , m)

Elodsns>0

TTo = 1 , TT^ > 0 ki>

(s = 1 , . . . , iV)

Vi>0

(S=1,...,N) (z = 1 , . . . , m )

ist die Bedingung an den Kapitalwert des Derivats

automatisch mit Gleichheit erfiillt. Die urspriingliche wachstumsorientierte Losung (x,7f) lost daher auch das Gleichungssystem (C) mit Xm+i = 0. Das Derivat als zusatzliche Alternative wird daher vom wachstumsorientierten Anleger nicht nachgefragt. Wie bei der wachstumsoptimalen Portfolioplanung oder der nutzenbasierten Bewertung lasst sich der wachstumsorientierte Preis nicht nur als investorspezifischer Individualpreis interpretieren, sondern auch als Gleichgewichtspreis in einer Okonomie verstehen, in der ein reprasentativer Investor existiert mit der Wachstumspraferenz a, da die Nachfrage von Null einer Marktraumung gleichkommt.^^ Unter den Voraussetzungen der myopischen Planung ist es sogar unerheblich, welche Wachstumspraferenzen dieser reprasentative Investor hat, da die Bewertung mit Hilfe des wachstumsmaximalen Zustandspreisvektors erfolgen wurde.^° Die wachstumsorientierte Bewertung kann daher unter Annahme eines friktionslosen Finanzmarktes als Begriindung fiir die wachstumsoptimale Bewertung mit dem Numeraire-Portfolio dienen.^^ Ob sich der wachstumsorientierte Preis auch als Grenzpreis fur eine marginale Einheit des Zahlungsanspruches interpretieren lasst, wird im nachsten Kapitel naher untersucht. Neben der Frage nach dem ,,richtigen" Preis fiir ein Derivat stellt sich bei unvollstandigen Finanzmarkten fiir die Handelspartner die Frage nach einer geeigneten Hedgingstrategie. 29Vgl. S. 36. ^° Wachstumsmaximaler und wachstumsorientierter Zustandspreisvektor stimmen in diesem Fall iiberein. Vgl. S. 77. ^^Vgl. Abschnitt 4.2.

108

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

Wie soeben erlautert fragt ein wachstumsorientierter Anleger das Derivat nicht nach, d.h. ein sich aus der Veranderung der Losung ergebendes Hedgingportfolio wie beim Ansatz der Reservationspreise existiert nicht.^^ In ihrer Diskussion der wertorientierten Portfolioplanung schlagen Korn/Schal (1999) die Bewertung von europaischen Zahlungsanspriichen^^ mit dem eindeutigen wachstumsmaximalen Zustandspreisvektor vor. Im Rahmen des im Zusammenhang mit dem wachstumsoptimalen Portfolio verwendeten Modells eines friktionslosen Finanzmarktes konstruieren sie ein wachstumsorientiertes Hedgeportfolio mit Anfangskapital p'^{d) = pwopt^^^^ so dass der Wert des Hedgeportfolios y dem Wert des Zahlungsstromes d im Zustand s € S\ST

entspricht:

TeiV(s)n5T

Insbesondere bedeutet diese Forderung, dass der Wert des Portfolios im Zeitpunkt t = 0 durch Vo = 6o = v^i^d) gegeben ist. Da die Struktur des wachstumsorientierten Portfolios durch die wachstumsmaximale Losung gegeben ist, bedeutet diese Festlegung, dass die Wachstumsraten und damit die Konsumentnahmen so vorgegeben werden, dass fiir jeden Zustand s G *S'\{S'o, 5 T }

iei^-

TeN{s)nST ^

gilt. Es ergibt sich somit eine Portfoliostrategie y, die wachstumsorientiert beziiglich der ermittelten Wachstumsraten a ist und die dem Zahlungsanspruch in jedem Zustand s wertmaBig entspricht. Allerdings handelt es sich in der Regel nicht um eine selbstfinanzierende Strategic. Die Konsumentnahmen konnen daher als Kosten aufgefasst werden, die fiir den unvollstandigen Hedge notwendig sind. Um in den Endzustanden s ^ ST die Verpfiichtungen aus dem Derivat zu decken, muss dabei noch

aufgewendet werden. Insgesamt beschreibt der Vektor K, mit K,S = Cg fiir alle s G S\ST den Zahlungsstrom, der zusatzlich vom Verkaufer des Derivats akzeptiert wird, um den Claim abzusichern. Es handelt sich daher, wie bei dem lokalen risikominimierenden Hedging^^, um eine unvollstandige nicht selbstfinanzierende Absicherungsstrategie. Allerdings gilt: 32Vgl. Abschnitt 3.4.3. ^^Fiir d£R^ gilt daher 4 = 0 fiir alle s ^ 5 r . 34Vgl. S. 26.

6.4. OKONOMISCHE INTERPRETATION

109

Satz 6.15 Zu jedem Zeitpunkt

t = 1 , . . . , T — 1 gilt fiir alle s e St

reD{s)

^

Beweis

€L>(s)

*

TGD(s)

xE/^

* iG/^

TGAr(s)nST

i/GA^(T)n5T

"^

^

Dies ist nach Definition von /^ aber gerade gleich Null.

Somit ist der mit dem wachstumsorientierten Zustandspreisvektor bewertete Kostenvektor in jedem Zeitpunkt gleich Null. Es handelt sich also um eine Strategie, die als im Mittel selbstfinanzierend beziiglich des wachstumsorientierten MaBes bezeichnet werden kann.^^ Mit Hilfe der Eigenschaft, dass der wachstumsorientierte und der wachstumsoptimale Zustandspreisvektor iibereinstimmen, ergibt sich sofort, dass der wachstumsorientierte Hedge im Mittel selbstfinanzierend beziiglich des MaBes P ist, wenn man mit dem Numeraire-Portfolio diskontiert. Man konnte die wachstumsorientierte Portfolioplanung also zur Bestimmung einer Hedgingstrategie verwenden, die auf der wachstumsoptimalen Portfolioplanung aufbaut. Wie in Kapitel 4 bestimmt man den wachstumsoptimalen Preis mit Hilfe des NumerairePortfolios, sofern die Voraussetzungen erfiillt sind, und verwendet zur Absicherung das wachstumsorientierte Portfolio. Wenn Friktionen vorliegen, wie Transaktionskosten oder Leerverkaufsbeschrankungen, dann ist eine Bestimmung der wachstumsorientierten Losung mit Hilfe der Wachstumsmaximierung jedoch nicht mehr moglich. Zwar lieBen sich vielleicht ebenso ein Anfangskapital und Wachstumsbedingungen angeben, so dass sich die obige Definition ^In Martingalschreibweise ergibt sich fiir den (diskontierten) Kostenprozess Kt, E(^*{Kt-\-i\Tt) = Kt fiir t = 0 , . . . , T — 1, wobei Q* das von TT induzierte Martingalmafi ist. Vgl. S. 17.

no

KAPITEL 6. WACHSTUMSORIENTIERTE BEWERTUNG

einer Hedgingstrategie erweitern lieBe, es stellt sich jedoch die Frage, warum ein Investor den unsicheren Zahlungsstrom d gegen einen anderen austauschen sollte. Vor allem ist die wachstumsorientierte Portfolioplanung ein Konzept zur Vermogensanlage und die Wachstumsraten stellen eine Modellierung der Praferenzen des Investors dar. Sie sollten daher nicht beliebig an eine Hedgingstrategie angepasst werden. Nimmt man die Wachstumsraten als vom Investor vorgegeben an, wiirde zum Preis p^(d) der Zahlungsstrom ^c ebensowenig in das Portfolio des wachstumsorientierten Anlegers aufgenommen werden wie das Derivat d. Letztlich sind sowohl private als auch institutionelle Investoren nicht primar an einer Hedgingstrategie fiir einen bestimmten Zahlungsanspruch, sondern vielmehr an einem Portfolio zur Steuerung ihres gesamten Vermogens interessiert. Dieser Tatsache wird bei der Bestimmung der nutzenbasierten Indifferenzpreise Rechnung getragen, indem zunachst die optimale Allokation bestimmt wird und dann der Preis und implizit auch das Hedgingportfolio fiir den Fall, dass das Derivat Teil einer neuen optimalen Losung wird. Im nachsten Kapitel wird daher die wachstumsorientierte Bewertung im Hinblick auf die Frage untersucht, unter welchen Umstanden ein Derivat in das Portfolio des Anlegers mit aufgenommen wird und wie das wachstumsorientierte Portfolio angepasst wird. Es lasst sich auf diese Weise sowohl ein Preis als auch eine Hedgingstrategie angeben, die den Kauf bzw. den Verkauf eines Derivats fiir einen wachstumsorientierten Investor begriinden kann. Aufierdem wird sich zeigen, dass sich der wachstumsorientierte Preis auch als Grenzpreis fiir eine marginale Einheit des Derivats verstehen lasst.

Kapitel 7 Wachstumsorientierte Reser vat ionspr else Im vorangegangenen Kapitel wurde die Bewertung zustandsabhangiger Zahlungsstrome mit Hilfe des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors vorgeschlagen. Bei diesem Zustandspreisvektor handelt es sich wie beim nutzenorientierten Zustandspreisvektor aus Abschnitt 3.4 um einen aus einem Portfolioproblem gewonnenen Zustandspreisvektor. Um diesen endogenen Preisvektor verwenden zu konnen, muss man allerdings annehmen, dass sich die wachstumsorientierte Losung, insbesondere der Zustandspreisvektor des Portfolioproblems, nicht durch Hinzunahme der zusatzlichen Alternative in das Entscheidungsproblem verandert. Sonst ware die Konsistenz der Bewertung nicht sichergestellt. Dies ist bei der wachstumsorientierten Bewertung zwar gegeben, jedoch mit der Folge, dass sich auch die Portfoliostrategie nicht andert. Der Zahlungsanspruch wird wie bei der marginalen nutzenbasierten Bewertung nicht nachgefragt. Welcher Preis fiir das Deri vat festgelegt werden miisste, damit ein wachstumsorientierter Anleger die zusatzliche Alternative tatsachlich mit in sein Portfolio aufnimmt, ist noch nicht geklart. In diesem Kapitel wird ein Ansatz vorgestellt, mit dem der neue unsichere Zahlungsstrom direkt in das Entscheidungsproblem mit einbezogen und bewertet werden kann. Es wird der subjektive Preis fiir den Zahlungsstrom bestimmt, der zur Aufnahme einer bestimmten vorgegebenen Menge in das wachstumsorientierte Portfolio fiihrt. Es wird sich dabei zeigen, dass der im vorangegangenen Kapitel vorgestellte wachstumsorientierte Preis als Grenzpreis fiir eine marginale Einheit verstanden werden kann. Dies stellt eine Analogic zu der Beziehung zwischen der marginalen nutzenbasierten Bewertung und dem Konzept der nutzenbasierten Reservationspreise dar.^ ^ Vgl. Abschnitt 3.4.

112

7.1

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Definition und Existenz

Eine Moglichkeit, das Derivat in die Preisbestimmung direkt mit einzubeziehen, stellt das Konzept des Reservationspreises dar. Als Reservationspreis fiir den Kaufer oder Verkaufer eines Derivats wird derjenige Preis bezeichnet, zu dem der Kaufer oder Verkaufer indifferent beziiglich der folgenden Situationen ist: 1. Optimale Allokation der zur Verfiigung stehenden Mittel bei Beriicksichtigung der bisherigen Alternativen ohne das Derivat. 2. Kauf/Verkauf einer vorgegebenen Menge des Derivats, bei gleichzeitiger Umstrukturierung des Portfolios zu einem neuen nutzenmaximalen Portfolio. Bei dem so gewonnenen Preis handelt es sich somit um einen Indifferenzpreis. Formal wird der Preis do, zu dem ein nutzenmaximierender Anleger mit Nutzenfunktion U eine feste Menge S des Contingent Claims d = (di,...

^d^) erwirbt, als Reservationspreis fiir

den Kaufer bezeichnet, fiir den gilt:^ max{?7(c) \ c = Ax + b} = max{[/(c) | c = Ax + b + S{-do,

d)'}.

Der Zahlungsstrom kann also entweder in das Portfolio aufgenommen und bis zum Planungshorizont T gehalten werden oder der Anleger verzichtet vollstandig darauf. Eine VerauBerung des Zahlungsanspruches ist nicht moglich. Wegen der zahlreichen Kritikpunkte an der Theorie der Erwartungsnutzenmaximierung wurde in den vorangegangen Kapiteln die wachstumsorientierte Portfolioplanung zur Bewertung von Zahlungsstromen vorgeschlagen. Im Folgenden soil der Ansatz der Reservationspreise mit der wachstumsorientierten Bewertung verkniipft werden. Bei der wachstumsorientierten Portfolioplanung wird jedoch bewusst auf die Verwendung einer Nutzenfunktion verzichtet. Daher kann die oben eingefiihrte Definition eines Reservationspreises nicht ohne weiteres iibernommen werden. Es gibt weder einen maximalen Nutzen noch eine Zielfunktion, die maximiert wird. Daher ist eine Redefinition des Reservationspreises notwendig. In der Mikrookonomie versteht man unter einem Reservationspreis den Preis, den ein Konsument maximal fiir eine bestimmte Menge eines Gutes zu zahlen bereit ist. Urspriinglich stammt der Begriff aus dem Auktionswesen. Der Reservationspreis bezeichnet den Preis, den der Besitzer des zu versteigernden Gutes als personlichen Mindestpreis Fiir eine ausfiihrliche Definition vergleiche Abschnitt 3.4.3.

7.1. DEFINITION UND EXISTENZ

113

festlegen und bis zu dem er das Gut selbst zuriickkaufen kann, sofern das hochste Gebot diesen Preis nicht iibersteigt. Der Reservationspreis stellt daher eine Grenze dar, bei der der Konsument indifferent zwischen dem Kauf der Menge des Gutes oder dem Verzicht auf den Kauf ist.^ Fiir den Kaufer eines Derivats wird der Preis pro Einheit des Derivats als wachstumsorientierter Reservationspreis (pro Einheit) bezeichnet, zu dem der wachstumsorientierte Anleger

1. die vorgegebene Menge des Derivats in das wachstumsorientierte Portfolio aufnimmt und 2. fiir den der Kapitalwert des Derivats gleich Null ist. Es handelt sich daher um einen subjektiven Preis, zu dem der wachstumsorientierte Anleger bereit ist, das Derivat tatsachlich in der angebotenen Menge zu erwerben. AuBerdem wahlt der wachstumsorientierte Anleger eine Alternative mit einem Kapitalwert von Null, d.h. dass er die Alternative nach dem Kapitalwertkriterium weder als vorteilhaft noch als unvorteilhaft beziiglich der von ihm geforderten Verzinsung beurteilt. Dabei wird der Zahlungsanspruch wie bei der nutzenbasierten Bewertung als nicht handelbar modelliert. Das Konzept der wachstumsorientierten Reservationspreise stellt daher ein normatives Modell zur Bestimmung eines subjektiven Wertes von Zahlungsanspriichen dar. Fiir die konkrete Modellierung der wachstumsorientierten Reservationspreise wird fiir die Konsumbewertung die ex post Bewertung unter Einbeziehung der vom Investor vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet. AuBerdem wird angenommen, dass weder Obergrenzen fur die zur Auswahl stehenden Alternativen noch entscheidungsunabhangige Zahlungen existieren.^ Die formale Definition des wachstumsorientierten Reservationspreises lautet dann wie folgt:

3 Vgl. Varian (2002), S. 109. ^ Fiir die Beriicksichtigung von exogenen Zahlungen vergleiche Abschnitt 7.5.

114

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Definition 7.1 Der Preis p^{d, 6) = d^, zu dem em wachstumsorientierter renz a eine vorgegebene Menge 6 > 0 des Contingent

Anleger mit Claims d = {di,...,

WachstumsprafedN)

erwirbt,

wild als wachstumsorientierter Reservationspreis des Kaufers (pro Einheit S) bzgl. a bezeichnet,

d.h. zu do existiert eine Losung {x, n) von

- TZi

{R){

asiXi - 5ds + ^.(7r)6o < 0 (5 = 1 , . . . , A^) - S s ^ O ^siT^s > 0

(Z = 1, . . . , m )

-do + YJ^^I dsT^s = 0 TTo = l,7r, > 0

(5 = 1 , . . . , A ^ )

Xi >0

(z = 1 , . . . ,m)

Analog kann man den Reservationspreis fiir den Verkaufer definieren, indem man —d als Zahlungsstrom in die Definition einsetzt. Im Folgenden wird als wachstumsorientierter Reservationspreis immer der wachstumsorientierte Reservationspreis des Kaufers pro Einheit bezeichnet, sofern nicht explizit etwas anderes genannt wird. Die Bedingung an den Kapitalwert des Zahlungsanspruches d stimmt in der Struktur mit der Definition des wachstumsorientierten Preises p^(d) iiberein. Auch der wachstumsorientierte Reservationspreis p^{d,S)

ergibt sich als Summe der mit Zustandspreisen be-

werteten Zahlungen, die aus dem Derivat d resultieren. Allerdings wird fiir die Bewertung nicht der Preisvektor n aus dem urspriinglichen Portfolioproblem verwendet, sondern der Preisvektor endogen aus dem neuen Portfolioproblem mit der zusatzlichen Alternative d bestimmt. Es handelt sich daher um eine Endogenisierung der Preisbestimmung. Statt den Zahlungsanspruch direkt mit dem Preisvektor der urspriinglichen Losung zu bewerten, ohne die sich durch die zusatzliche Alternative ergebenden Moglichkeiten zu beriicksichtigen, wird der Preis so ermittelt, dass der Zahlungsanspruch in der geforderten Anzahl Bestandteil des wachstumsorientierten Portfolios wird. Da keine Obergrenzen fiir die Alternativen existieren und keine exogenen Zahlungen auftreten, garantiert obige Definition, dass der Gegenwartswert der Konsumentnahmen VQ auch nach Hinzunahme des Derivats gleich 60 ist. Der Wert des Vermogens VQ andert sich durch die Hinzunahme des Derivats zum Preis p^{d,S)

nicht. Der wachstumsorientierte

Investor bewertet in beiden Situationen die resultierenden Konsumentnahmen gleich.

7.1. DEFINITION UND EXISTENZ

115

Die erste Frage, die sich zunachst im Zusammenhang mit der Definition der wachstumsorientierten Reservationspreise stellt, ist, ob und unter welchen Bedingungen ein wachstumsorientierter Reservationspreis existiert. Unter der Voraussetzung, dass eine unbeschrankt durchfiihrbare Anlagemoglichkeit existiert, konnte die Existenz einer wachstumsorientierten Losung bei ex post Bewertung gezeigt werden. Die Definition eines Reservationspreises erfordert jedoch mehr als die bloBe Existenz einer Losung. Gesucht ist eine wachstumsorientierte Losung, bei der eine bestimmte Menge des Derivats erworben wird. Es ware aui^erdem wiinschenswert, wenn zu jeder Menge S ein Preis do existierte, so dass das Gleichungssystem (R) eine Losung besaBe. Im Folgenden wird dabei mit einem mikrookonomischen Argument, das auch fiir die Herleitung der Existenzaussage fiir wachstumsorientierte Konsumpolitiken von Hellwig verwendet wurde^, die Existenz eines Reservationspreises fiir jede Menge S und jedes Derivat d gezeigt. In der Definition ist das Derivat als zusatzliche Alternative Teil des Entscheidungsfeldes. Wird der Preis so festgelegt, dass (R) erfiillt ist, so gibt es eine wachstumsorientierte Losung des um das Derivat erweiterten Portfolioproblems. Andererseits kann man das Derivat, da es in einer festen Menge erworben wird, auch als exogene Zahlung auffassen. Allerdings muss dann, damit die Gleichungen aus (R) alle erfiillt sind, gefordert werden, dass der Kapitalwert des Derivats 7r'{—do,d) gleich Null ist. Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

-bo + Sdo - YT=i ^oi^i ^ 0 - E " 1 (^siX^ + 9s{7i){bo -f S7r'(-(io, d)) 0

(z = l , . . . , m )

-do + EfLl dsTTs = 0 7ro = l,7r, > 0 Xi>0

{s =

l,...,N)

(i = l , . . . , m )

Ersetzt man nun do durch E f L i ^s^s und fiihrt man ein von n abhangiges Anfangskapital bo = bo{7r) = bo — Sdo = bo-6 E f L i ^s^^s ein und fasst den Zahlungsstrom des Derivats als exogene Zahlungen auf, d.h. bg = Sds, so lasst sich {R) mit Hilfe von b als {R') darstellen:

Vgl. S. 67.

116

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

• ET=1 ^s^X^ + 9s[^)[^'h) 0 existiert^, so dass sowohl die Wachstumsbedingung ( C 2 ' ) V, = (l + a,)V,- (s = l , . . . , i V ) als auch die Effizienzbedingung ( C I ) 7f erzeugt {c,x), d.h. (c,x) lost das Optimierungsproblem (-P(7f)) n c —> max

(^w)

c< Ax-\- 6(7r) 0 0 sichergestellt. 7 Vgl. S. 60. ^ Die folgenden Ausfiihrung orientieren sich am bereits auf S. 68 ff skizzierten Existenzbeweis fiir wachstumsorientierte Losungen bei ex post Bewertung. Vgl. Hellwig (1998) oder Hellwig (2004).

7.1.

DEFINITION UND EXISTENZ

117

verstanden, wobei C(7r) = {c = Ax -\- b{7r) \ 0 < Xi < ki, z = 1 , . . . , m} die Menge der unter n moglichen Konsumvektoren ist. Demgegeniiber steht der nachgefragte Konsum c^{n) bei vorgegebenem Preisvektor n. Der nachgefragte Konsum entspricht gerade dem durch die Funktion g vorgegebenen Konsum c^(7r) = g{7T)7r'b.

Aus beweistechnischen Griinden wird nun die Menge der Zustandspreise 11 wie folgt eingeschrankt: n = {TT = (1, ^ 1 , . . . , n^) I r^ < P ( ^ k " ) ^ < r"s}, wobei — 1 < r^ < r^ < oo so gewahlt sind, dass TT > 0 und die Menge 11 nichtleer ist. 11 ist somit eine nichtleere, kompakte und konvexe Menge. Stimmen nachgefragter und angebotener Konsum iiberein, liegt offensichtlich eine wachstumsorientierte Losung vor. Falls nicht, muss der Preisvektor entsprechend angepasst werden. Dazu wird die Uberschussnachfrage 2; : 111—>• R ^ , z{7i:) = c^(7r) —c^(7r) eingefiihrt. Da die Losung der obigen Optimierungsaufgabe nicht unbedingt eindeutig ist, handelt es sich hierbei um eine mengenwertige Abbildung, auch Korrespondenz genannt. Fiir den Preisanderungsmechanismus wird die Korrespondenz p : R ^ \-^ U mit p{z) = {n eU

\ Tt'z = maxJTr'^;}}

definiert, sie ordnet jedem Uberschussnachfragevektor die Menge moglicher korrigierter Preisvektoren zu. Zunachst wird gezeigt, dass die Komposition (j) := po z :Il \-^ U einen Fixpunkt besitzt.

L e m m a 7.2 Die Korrespondenz

(j) besitzt einen Fixpunkt,

d.h. es existiert ein TT eU mit TT € (/"(TT).

Beweis Zunachst wird die Korrespondenz z{n) = c^(7r) — c^{n) betrachtet. Die Angebotsfunktion c^(7r) lasst sich wie folgt darstellen: c^(7r)

=

{ce C(7r) I TT'C = maxjyr'c | c G

=

{ce

mit h{n) := max{7r'c | c G C(7r)}.

C(7r) I n'c = h{7r)}

C{7T)}}

118

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Die Menge C(7r) = {c = Ax + 6(7r), 0 < x < k} stellt ebenfalls eine Korrespondenz von IT nach E ^ dar. Als Addition einer konstanten Korrespondenz (H i-^ {Ax, 0 < x < k}) und einer stetigen Funktion 6(7r) ist die Korrespondenz C(7r) nichtleer, stetig und kompakt. AuBerdem stellt TT'C eine stetige Funktion dar. Nach dem Maximumtheorem von Berge^ folgt somit, dass c^(7r) eine nichtleere, kompakte und oberhalb semistetige Korrespondenz ist. Da die Losungsmenge eines linearen Optimierungsproblems aufierdem immer konvex ist, folgt auch die Konvexwertigkeit der Korrespondenz. Der nachgefragte Konsum c^{7v) = g{7r)7v'b ist als Produkt von zwei stetigen Funktionen ebenfalls stetig. Daher ist die Uberschussnachfrage z :Il \-^ E ^ als Differenz von c^ und c^ ebenfalls eine nichtleere, konvexwertige und oberhalb semistetige Korrespondenz.^° Da die Funktion p : E ^ i—)- H offensichtlich ebenfalls diese Eigenschaften

aufweist,

stellt auch die Komposition (j) eine nichtleere, konvexwertige und oberhalb semistetige Korrespondenz dar. Mit dem Fixpunktsatz von Kakutani^^ folgt somit die Existenz eines Fixpunktes.

Die Existenz eines Fixpunktes von / garantiert noch nicht die Existenz einer wachstumsorientierten Losung. Zusatzlich muss die Uberschussnachfrage gleich Null sein. Folgendes Lemma gibt hierfiir zwei Bedingungen an. L e m m a 7.3 Angenommen

die folgende Bedingungen

gelten:

(Bl) Zs{n) > 0 fur alle TT G n mit r,(7r) = r"^ (s - 1 , . . . , A^) (B2) ZS{7T) > 0 fiir alle n eU mit rs'{7r) = r^, fiir mindestens

ein s' e D{s), s' e St,

t = o,...,r-i. Dann gilt fiir jeden Fixpunkt

TT E IT von (j): Z{7T) = 0.

9 Theoreme du maximum (Berge (1966), S. 123): Sei A C R " , B C E"", / : A ^^ B eine nichtleere, stetige Korrespondenz und / eine auf B stetige reellwertige Funktion, dann ist h{a) = max{/(6) | h e 0(a)} eine stetige reellwertige Funktion und $ ( a ) : = { H b€(f){a)J{b) ist eine oberhalb semistetige Korrespondenz von A nach B. i^Vgl. Yang (1999), S. 26. iiVgl. S. 70.

= h{a)}

7.1. DEFINITION UND EXISTENZ

119

Der Beweis mit Hilfe des Gesetzes von Walras und den Komplementaritatsbedingungen fiir lineare Optimierungsprobleme ist in Hellwig (1998) zu finden. Die Bedingungen (Bl) und (B2) sind noch recht abstrakt. Folgendes Lemma zeigt, unter welchen okonomischen Bedingungen garantiert werden kann, dass sie erfiillt sind. L e m m a 7.4 Besteht in jedem Zustand s ^ ST die Moglichkeit,

unbeschrankt

zum risikolosen Zinssatz r > 0 anzulegen, sind die Bedingungen

Kapital fiir eine Periode (Bl)

und {B2)

erfiillt.

Beweis Zunachst wird gezeigt, dass die Bedingung {Bl) erfiillt ist. Definiere max (TT)

:— max{cs | c E C{7r)}

den maximalen zulassigen Konsum im Zustand 5 = 1 , . . . , A^ unter der Verwendung des Preisvektors TT G 11. Da C(7r) kompakt ist, folgt cf^^{'iT) < cx). Fiir s^

ST gilt:

z,{n)

=

cn^)-cf{n)

Da Vo > 0 ist, gilt fiir r^ —)- oo, dass (r^ — as)ws-Vo —)• oo. Nun gilt fiir die eingeschrankte Menge der Preisvektoren fiir jedes r" e E: n C n = {TT = ( l , 7 r i , . . . ,7rAr) I 7r,r^ < p(s|5-)7r,-,0 < TT,} und die Menge fl ist kompakt. Es gilt daher maxcr^'lTr) < maxcr^(7r) < oo. TTGH

Trefi

Somit wird Zs{n) > 0 fiir r^ = rs(7r) hinreichend groB. Analog gilt fiir s e ST' ZS{7Y) = (1 + r^)Ws-Vo - cf{n) > 0 fiir r^ hinreichend groB. Fiir (B2) argumentiert man analog zu Hellwig (2004). D

120

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Aus den Lemmata folgt nun direkt der Existenzsatz fiir wachstumsorientierte Reservationspreise:

Satz 7.5 Sei in jedem Knoten s ^ ST die Anlage unbeschrankter Mittel fiir eine Periode zum risikolosen Zins r > 0 moglich. Dann existiert zu jeder Menge S ein Preis do, der eine wachstumsorientierte Losung bzgl. beliebiger Wachstumsraten as > —I {s = 1,...,N) erzeugt. Es existiert somit zu jeder Menge der zugehorige wachstumsorientierte Reservationspreis p^{d, 6) = do.

Statt der Existenz einer sicheren Anlagemoglichkeit reicht eine Anlagemoglichkeit mit strikt positiven Riickfliissen in jedem Zustand aus.^^

7.2

Zusammenhang mit dem Arbitrageprinzip

Neben der Frage nach der Existenz ist fiir die Definition eines Preises fiir einen Zahlungsanspruch auf unvollstandigen Markten vor allem die Vereinbarkeit mit dem Arbitrageprinzip wichtig.^^ Zwar handelt es sich bei der wachstumsorientierten Bewertung um einen normativen Ansatz zur Bestimmung eines subjektiven Preises und nicht um ein Marktmodell, jedoch stehen dem Anleger die am Markt verfiigbaren Alternativen zur Verfiigung. Die Bewertung eines neuen Zahlungsanspruches sollte daher konsistent mit der bisherigen Bewertung sein und nicht zu einer risikolosen Gewinnmoglichkeit fiihren. Der wachstumsorientierte Reservationspreis wird so gewahlt, dass das Derivat Teil einer wachstumsorientierten Losung wird und der Kapitalwert Null ist. Das Derivat wird also mit einem wachstumsorientierten Zustandspreisvektor bewertet und daher liegen wachstumsorientierte Reservationspreise wie die wachstumsorientierten Preise innerhalb der Arbitrageschranken fiir den Zahlungsanspruch d.

^Dies gilt in Analogic zum Existenzbeweis bei ex post Bewertung. Vgl. S. 67. ^Vgl. S. 23.

7.2. ZUSAMMENHANG MIT DEM ARBITRAGEPRINZIP

121

Satz 7.6 i) Fiir den wachstumsorientierten

der wachstumsorientierte n) 1st der Zahlungsanspruch

Reservationspreis

Reservationspreis

p^{d,S)

gilt

liegt innerhalb der

d G R ^ zu einem eindeutigen

Arbitrageschranken.

Preis replizierbar^^,

dann

gilt p'^'''{d)=p''{d,6)=p'^^''{d) und der wachstumsorientierte

Reservationspreis

entspricht dem eindeutigen

arbitra-

gefreien Preis. Eine weitere wichtige Frage bei der Bewertung von Derivaten neben der Preisbestimmung ist die Konzeption eines Hedgingportfolios. Sowohl der Kaufer als auch der Verkaufer des Derivats werden ihr urspriingliches Portfolio umstrukturieren, wenn sie ein Engagement im Derivat eingehen, um die zukiinftigen Zahlungen aus dem Zahlungsanspruch bis zur Falligkeit abzusichern. Unter dem wachstumsorientierten Hedgingportfolio wird dabei das Portfolio x verstanden, das zum wachstumsorientierten Portfoliovektor x hinzugenommen werden muss, um die neue Losung x des Portfolioproblems mit Derivat zu erhalten: x — x — x. Wie bei der Nutzenmaximierung ergibt sich mit Hilfe des Reservationspreisansatzes das Hedgingportfolio direkt aus der Bestimmung des Reservationspreises. Ist das Derivat redundant, so stimmt das wachstumsorientierte Hedgingportfolio fiir jede Anzahl 6 mit dem -6d erzeugenden Portfolio x {-Sd = SAix) fiir den Kaufer^^ iiberein. Denn fiir die Losung (x, TT, V, do) mit do = p^(d, S) = p{d) gilt:

=0

- E " 1 c^s^Xi + EZi

^siXi + Y:t,as^Xi

- 6ds +gs{rc){bo) < 0 (5 = 1 , . . . , iV)

{R)
0 Xi>0

{s =

l,...,N)

(z = 1 , . . . ,m)

*Dies bedeutet, dass ein x G X und ein ^ e X existieren, so dass XlHi ^oi^i = —YllLi^oiXi E i l i (^siXi = dg = — YllLi O'siXi fiir alle s = 1,. ..,N. ^ Fiir den Verkaufer ergibt sich das d erzeugende Portfolio.

und

122

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Betrachtet man das Portfolio x — x, so stellt {x — x^n^v) somit die wachstumsorientierte Losung des urspriinglichen Portfolioproblems ohne das Derivat dar. Es handelt sich um die Losung des zugehorigen Gleichungssystems (G)}^ Somit ist auch das wachstumsorientierte Hedgingportfolio konsistent mit der praferenzfreien Bewertung mittels der Arbitragebedingungen. Es hat sich somit gezeigt, dass die Definition der wachstumsorientierten Reservationspreise zu einer mit den Arbitragebedingungen konsistenten Bewertung fiihrt und dass wachstumsorientierte Reservationspreise unter sehr schwachen Voraussetzungen existieren. Im Folgenden werden nun weitere Eigenschaften der wachstumsorientierten Reservationspreise untersucht. Insbesondere soil die wichtige Frage der Eindeutigkeit des wachstumsorientierten Reservationspreises geklart werden.

7.3

Das Einperiodenproblem

In diesem Abschnitt wird der wachstumsorientierte Reservationspreis im Rahmen eines einperiodigen Portfolioproblems analysiert. Fiir den gesamten Abschnitt sei der Planungshorizont des Anlegers T = 1. Hauptziel dieses Abschnittes ist es, die Eindeutigkeit des Reservationspreises zu beweisen. Fiir die Modellierung der wachstumsorientierten Reservationspreise wurde die ex post Bewertung bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung vorgeschlagen. AuBerdem wurde zusatzlich vorausgesetzt, dass keine entscheidungsunabhangigen Zahlungen (65 = s = 1,...,N)

und keine Obergrenzen fiir die Alternativen {ki = 00, i =

0,

l,...,m)

vorliegen. Unter diesen Voraussetzungen vereinfacht sich das Ungleichungssystem (G) zur Bestimmung einer wachstumsorientierten Losung zu^'' ~^o - S ^ i cioiXi = 0

Xi>0

^Vgl. S. 102. ^Vgl. S. 102.

{i = I,...

,m)

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

123

Da bei der ex post Bewertung im Einperiodenfall die Entscheidung iiber die zeitliche Verteilung des Konsums entfallt, kann die Losung wie bei der Wachstumsmaximierung durch das folgende konkave Optimierungsproblem bestimmt werden:^^ E^iP^logCs ^ m a x {P){ Xi>0

(z = 1,... ,m)

Die entsprechenden Zustandspreise TT^ {S G S) ergeben sich aus den Dualvariablen.^^ Ersetzt man die Variable Cs (s G 5), so ergibt sich das aquivalente Optimierungsproblem

inf E ^ i Ps log ( THLI ^siXi) -^ max

{P')l y

-bo-Et,aoiX, Xi>Q

=0 (i = 1,... ,m)

Sei mit ao = (-floi, • • •, —CLomY der (negative) Vektor der ersten Zeile der PayofF-Matrix A, und mit F : X h^ E die Funktion F ( x i , . . . ,Xm) = Yjf=iPs^o^ {^ILi o^si^i) bezeichnet, so wird aus {P') F{xi,... {P") {

,Xm) -^ max a',x = bo Xi>0

(z = 1,... ,m)

Dieses Optimierungsproblem entspricht dem Entscheidungsproblem eines Konsumenten mit Nutzenfunktion F, Anfangskapital 6o und m Giitern zu Preisen -QQI in der Mikrookonomie. ^° Fiir die folgende Analyse und samtliche Aussagen iiber die Eigenschaften der Reservationspreise werden zwei Voraussetzungen gefordert. Zum einen wird angenommen, dass keine Arbitragegelegenheiten vorliegen, damit das Optimierungsproblem {P") iiberhaupt losbar ist.^^ Die Menge der arbitragefreien Preisvektoren ao sei mit A C W^ bezeichnet.

^^ Vgl. S. 76. Wegen der Monotonie der Zielfunktion kann Cg = Xlili ^siXi angenommen werden. i^Vgl. S. 75. 20Vgl. z.B. Mas-Colell et al. (1995), S. 50 ff. 21 Vgl. z.B. Theorem 9.3 in Magill/Quinzii (1996), S. 73.

124 Zum

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE anderen

gelte

fiir

die

Zahlungsstrome

der

Wertpapiere,

dass

kein

X G X und kein x ^ X existiert mit x ^ x und Ax = Ax. Denn damit ist die zu einem Konsumvektor fiihrende Portfoliostrategie eindeutig und die Zielfunktion F ist streng konkav.^^ Es handelt sich also um ein Konsumentscheidungsproblem mit streng konkaver Nutzenfunktion.^^ Der Nachweis der Eindeutigkeit des einperiodigen Reservationspreises wird nun mit Hilfe der mikrookonomischen Nachfragetheorie gefiihrt. Dazu ist es notig, einige allgemeine Resultate aus der mikrookonomischen Nachfragetheorie auf das Portfoliomodell zu iibertragen. Zunachst wird die walrasianische Nachfrage definiert. Definition 7.7 Die Korrespondenz

x : Ax

E++ i-^ X

mit

x{ao,bo) = {x e X \ F{x) > F{x),\/x wird als walrasianische Nachfragekorrespondenz preisen aQ e A und Anfangskapital

bo > 0

GX

mit

a'^x = a'gX = bo}

des Portfolioprohlems

bei

Wertpapier-

bezeichnet.

Die Nachfragekorrespondenz x : A x E++ M- X ist im betrachteten Fall sogar eine Funktion. Denn das Optimierungsproblem {P") stellt ein konkaves Optimierungsproblem mit streng konkaver Zielfunktion dar, dessen Losung eindeutig ist.^^ Die Nachfragefunktion x : Ax

R++ H^ X weist einige wichtige Eigenschaften auf, die fiir

die Analyse der Reservationspreise von Bedeutung sind. Zum einen ist der Portfoliovektor invariant beziiglich einer multiplikativen Anderung der Preise, wenn das Anfangskapital im gleichen Verhaltnis verandert wird. SchlieBlich bedeutet dies ledigHch eine Multiplikation der Gleichung a'oX = bo mit einem konstanten Faktor. Zum anderen weist die logarithmische Nutzenfunktion die Separationseigenschaft auf, d.h. sie gehort zu den Nutzenfunktionen, bei denen die Struktur der Losung unabhangig vom Anfangskapital ist. Gleich fiber welches Anfangsvermogen der Entscheider verfiigt, der Anteil jeder Alternative am Portfolio wird immer konstant sein. Wird das Anfangskapital mit einem positiven Faktor multipliziert, ergibt sich der optimale Portfoliovektor ebenfalls ^Vgl. Pye (1967), S. 112 fur einen Beweis der strengen Konkavitat. ^Beide Voraussetzungen stellen keine Einschrankung der Anwendbarkeit der wachstumsorientierten Reservationspreise dar. Die Forderung nach Arbitragefreiheit ist allgemein akzeptiert. Die zweite Voraussetzung kann durch geeignete Anpassung der Alternativen realisiert werden. ^Vgl. z.B. Collatz/Wetterling (1971), Kapitel 6.6 Satz 7, S. 85.

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

125

durch Multiplikation mit diesem Faktor.^^ Mathematisch bedeutet dies fiir die Nachfrage die Homogenitat vom Grad 1. Zusammengefasst ergibt sich:^^ Lemma 7.8 i) Die walrasianische Nachfragefunktion x : A x Wi^^ i-> X ist homogen von Grad 0, d.h. fiirjedes a > 0 gilt: x{aao, abo) = x(ao, bo) fiir alle (ao, bo) e Ax R++. a) Die walrasianische Nachfragefunktion x : A x R++ h-> X ist homogen vom Grad 1 beziiglich bo, d.h. fiir jedes a > 0 gilt: x{ao,abo) = ax(ao,bo) fiir alle {ao,bo) e Ax R++. Hi) Die walrasianische Nachfragefunktion x : A x E+^_ h-)- X erfiillt das Gesetz vom Walras^^, d.h. fiir jedes ao £ A und 6o > 0 gilt aox(ao, bo) =^ boDa sich das Entscheidungsproblem iiber eine monotone Nutzenfunktion losen lasst, ist auch das Axiom der bekundeten Praferenzen erfiillt: Lemma 7.9 Die walrasianische Nachfragefunktion x{ao, bo) erfiillt das schwache Axiom der bekundeten Praferenzen, d.h. fiir alle {ao,bo),{ao,bo) € ^ x E++, fiir die a'ox{ao,bo) < bo und x{ao, bo) 7^ x{ao, bo) gilt, folgt aox(ao, bo) > bo. Beweis Es gelte a'Qx(ao,bo) < bo und x{ao,bo) ^ x{ao,bo). Da F eine monotone Funktion in a'^x ist (5 = 1 , . . . , TV), gilt fiir B{a, b) := {x e X \ a'x < b} {a e A, b> 0): max{F{x) \ a^x = bo} = max{F(j;) | x G B{ao, bo)} Aus x{do,bo) ^ x{ao,bo), folgt wegen der Eindeutigkeit der Losung F(x{doM) F{x{ao,bo)). Dies ist aber ein Widerspruch zu (*) und damit folgt die Behauptung.

^^Einen Nachweis der ,,separation property" liefert Hakansson (1969). Vergleiche ebenfalls die Ausfiihrungen zur logarithmischen Nutzenfunktion auf S. 32. ^^ Tell iii) folgt direkt aus dem Optimierungsproblem. ^^Das Gesetz von Walras fordert eigentlich nur fiir strikt positive Preisvektoren diese Eigenschaft, da beim Portfolioproblem aber auch Kreditaufnahmen moglich sind, miissen im betrachteten Fall auch negative Preise zugelassen werden.

126

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Die zusammengetragenen Eigenschaften der Nachfragefunktion ermoglichen nun eine Aussage iiber die Auswirkung einer Preisanderung einer Alternative auf die Nachfrage nach dieser Alternative. Dabei bezeichne Xi{aoi) = Xi{aoi,...,

aoz, • • •, ciomi ^o)

die Nachfrage nach Alternative i E { l , . . . , m } bei Preis aoj fiir die Alternative z, bei vorgegebenen Preisen aoj (j 7^ 0 ^^^ ^i^ anderen Alternativen und Anfangskapital b^.

Satz 7.10 Fiir jede Alternative

i G { l , . . . , m } gilt bei fest vorgegebenem

Anfangskapital

bo und

Preisen a^j {j 7^ i) fiir alle ao?, aoi G R mit aoi > a^i und ao, ao G A, wobei aoj = aoj (j ¥" 0 • Xi(aoi) < Xi{aoi),

falls

Xi(aoi) > 0

Xi{aQi) = 0,

fails

Xi(doi) = 0.

und

Beweis Die Nachfragefunktion x : A x E++ i-)- X ist homogen vom Grad 0 und erfiillt das Gesetz von Walras. Daher folgt aus dem Axiom der bekundeten Praferenz, dass fiir die Preis-Anfangskapital-Tupel (tto^^o) und (ao^^o) = (ao5^Qx(ao,6o))^^ (ao - ao)'(^(ao, bo) - x{ao, bo)) < 0 und die Ungleichung gilt strikt fiir x{do,bo) ^

x{ao,bo).

Unterscheiden sich die Preisvektoren nur in der z-ten Komponente (aoi < cioi)^ so gilt {aoi - aoi)'{xi{ao, bo) - Xi{ao, bo)) < 0, d.h. aus der Preisanderung aoi - aoi < 0 resultiert bei gleichzeitiger Anpassung des Anfangskapitals auf ^0 eine Anderung der Nachfrage, fiir die gilt: Xi{ao,bo) - Xi{ao,bo) > 0. Um den Effekt der reinen Preisanderung zu ermitteln, muss nun noch die aus einer Riickanpassung des Anfangskapitals von bo nach bo resultierende Nachfrageanderung bestimmt werden. Fiir bo gilt:

^Proposition 2.F.1 aus Mas-Colell et al. (1995), S. 30 ff.

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

127

bo = a'Qx{aQ, 60) = ^2 «oj^j(ao, ^0) + a{)iXi{ao, 60) < aoa;(ao, 60) = 60 und bo < bo, falls Xi{aio) = x^(ao, 60) > 0. Nach Lemma 7.8ii) folgt

Xi{aoi) = Xi{ao, —bo) = —Xi{ao,bo) bo bo

Somit ergibt sich fiir die Nachfrageanderung Xi{aoi) - Xi{ao, bo) = (-

l)xi{ao,

bo) > 0

und > 0 falls Xi{ao, bo) > 0 (denn daraus folgt Xi{do, bo) > 0 und 60 < bo). Fiir die reine Preisanderung von aoi nach doi ergibt sich somit fiir alle aoi > doi zusammengefasst: Xi{doi) - Xi{aoi)

= >

Xi{doi) - Xi[do, bo) + Xi{do, bo) - Xi[aoi) ^ ^ -' "^ ^ ^ > bzw. >o ^^ 0 bzw. > 0.

Damit ergibt sich

und

Xi{aoi) < Xi{doi),

falls

Xi{aoi) > 0

Xi{aoi) = 0,

falls

Xi(doi) = 0.

Die Nachfrage nach einer Alternative sinkt daher mit steigendem Preis. Mit diesen Erkenntnissen iiber den Zusammenhang von Preisanderung und Nachfrageanderung im vorliegenden Portfolioproblem lasst sich nun die Eindeutigkeit des Reservationspreises im Einperiodenmodell herleiten. AuBerdem lasst sich auch eine Aussage iiber den Zusammenhang von Preis und vorgegebener Menge treffen.

128

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Satz 7.11 Der Zahlungsanspruch

d sei nicht replizierbar, d.h. es existiert kein x G R"^ mit d — A^xT^

Dann ist der Reservationspreis lasst sich der Reservationspreis p'^id, 6):R^

xR+^

wobei d^^"^ = mm{do

p^{d,5)

fiir jede Anzahl S eindeutig gegeben.

AuBerdem

p^{d^ 6) als streng monoton fallende Funktion in 6 angehen:

b ™ ( ^ ) , c/rT

mit

p^(c/, S) > p^'id, 6)

€ R | S{do) = 0} den kleinsten

fiir alle

Preis bezeichnet,

6 > 6, fiir den die

Nachfrage 6 nach. dem Derivat verscliwindet. AuBerdem gelte p^^^{d) < d^^^.

Beweis Da der Zahlungsanspruch eine zusatzliche Alternative darstellt und die Voraussetzung der Eindeutigkeit des Konsumvekors durch die Einschrankung auf nicht replizierbare Zahlungsanspriiche erfiillt ist, gilt nach Satz 7.10 fiir die Nachfrage 6 nach dem Derivat fiir alle arbitragefreien Preise do,c?o ^ {p^^^{d),p^^^{d))

und

mit do > o^o-

(5(4) < (5(4),

falls

(5(4) > 0 ( dl^'^''' gelte.

Beweis Der Verkauf eines Zahlungsanspruches d entspricht dem Kauf eines Zahlungsanspruches —d. Somit lasst sich das Angebot ^^((io) als Nachfrage 5{—dQ) nach dem Zahlungsanspruch —d modellieren. Die Angebotsfunktion 5'"{do) ist somit streng monoton steigend auf dem Intervall [dQ^'^,p^^'^{d)]

und fiir die Grenzen des Intervalls gilt:

Mit Hilfe der Nachfrage- und Angebotsfunktion lassen sich nun die GroBen C/Q ^" und C/Q^^^, die die Preisgrenzen fiir Kaufer und Verkaufer darstellen, bestimmen: Satz 7.13 Die untere Grenze fiir den Verkaufer und die obere Grenze fiir den Kaufer des Zahlungsanspruches d sind durch den wachstumsorientierten

Preis p^{d) gegeben,

d.h.

Beweis Fiir den wachstumsorientierten Preis p^{d) gilt^° 5(p°(d)) = 5''(p«(d)) = 0. Somit folgt aus den Definitionen von dg

^^^

°Die Nachfrage des mit den wachstumsorientierten p"(d) ist Null. Vgl. S. 107.

d^^^:

Zustandspreisen bewerteten

Zahlungsanspruches

130

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Angenommen d^^"" < p'^{d). Dann existiert ein Preis do mit d^^"" < do < p'^{d) und sowohl der Verkaufer als auch der Kaufer gehen kein Engagement im Derivat ein, d.h. 6{do) = S''{do) = 0. Das Portfolioproblem des Verkaufers ~^o - Zll^i ^oi^i - ^""do = 0 -Etl^siX^

(G(rfo)) {

+ S'ds + ^^bo = 0

- E ^ O ^siTTs > 0

(s-l,...,iV)

(Z = 1, . . . , m)

-^0 < EfLl -dsTTs no = l,7Ts>0

{s =

Xi>0

l,...,N)

(i = 1 , . . . ,m)

besitzt somit eine Losung (x,7r,^^) mit 6^ = 0. Die Losung {X,7T) lost daher auch das Ungleichungssystem: ~^o - S i l l (^oiXi = 0 - E i l i o^siXi + ^&o = 0 (s = l , . -,N)

(G'(do)) {

- Y^s=0 ^siT^s > 0

(i-1,.

• 5^)

-do < E f L l -^^TTs TTo = l , 7 r 5 > 0 Xi>0

(s = l , . .,iV) (z = l , .

• 5^)

Das Gleichungssystem (G'(do)) beinhaltet aber das Gleichungssystem (G) des Einperiodenproblems -^0 - YALI O'OiXi = 0

-Etl 0 Xi>0

(S = l , . . . , i V ) {i = 1,... ,m)

und dies ist eindeutig losbar, mit Losung {x,7t) = {x,n). Die zusatzliche Gleichung -^0 < SfLi ~c?5^s des Gleichungssystems {G'{do)) kann somit nur erfiillt werden, wenn do > J2f^i ds^s- Dies widerspricht der Annahme d^^^ < p^{d). Es gilt daher c/S"^^ = p"(d) und somit do'""'" = -p'^i-d) = p"(d).

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

131

Es konnte somit gezeigt werden, dass die obere Preisgrenze fiir den Kaufer und die untere Preisgrenze fiir den Verkaufer direkt bestimmt werden konnen und mit dem wachstumsorientierten Preis iibereinstimmen. Damit sind die Intervalle, in denen sich die wachstumsorientierten Reservationspreise befinden, durch den wachstumsorientierten Preis p^{d) und den Superhedging-Preis bestimmt. Die wachstumsorientierten Reservationspreise stellen daher streng monotone Funktionen in der Anzahl S dar, deren Funktionswerte innerhalb dieser Preisgrenzen liegen. Der Preis, den der Kaufer pro Einheit eines Derivats zu zahlen bereit ist, nimmt also mit der GroBe der Position ab. Im Gegenzug fordert der Verkaufer einen hoheren Preis fiir das hohere Risiko. In der Abbildung 7.1 wird der monotone Verlauf der wachstumsorientierten Reservationspreise schematisch dargestellt. Es handelt sich bei den wachstumsorientierten Reservationspreisen wie bei den Indifferenzpreisen daher um ein nichtUneares Bewertungsfunktional.

^max(^)

Abbildung 7.1: Schematische Darstellung der Reservationspreise des Kaufers p'^id.S) und des Verkaufers p'^{d^5) in Abhangigkeit der Menge 5 Ein wichtige Folge von Satz 7.13 besteht darin, dass Verkaufer und Kaufer - sofern sie liber identische Ausstattungen verfiigen und die gleichen Erwartungen beziiglich der zukiinftigen Entwicklung der Alternativen haben - keine Einigung erzielen konnen. Denn der potentielle Verkaufer eines Derivats wiirde einen Preis fordern, der iiber dem wachstumsorientierten Preis p'^[d,6) liegt, und der Kaufer wiirde lediglich einen Preis bieten, der unter p'^id^S) liegt, da beide Preisfunktionen streng monoton verlaufen. Es kann daher keinen Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragekurve geben. Derivatehandel zwischen zwei wachstumsorientierten Anlegern lasst sich also nur iiber unterschiedliche Erwartungen an die zukiinftigen Riickfliisse beziiglich der Wahrscheinlichkeit oder der Zahlungen in den einzelnen Umweltzustanden oder unterschiedliche Moglichkeiten hinsichtlich der Alternativen erklaren.

132

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Bei der wachstumsorientierten Bewertung mittels des wachstumsorientierten Zustandspreisvektors konnte unter den Voraussetzungen, dass keine Obergrenzen und keine exogenen Zahlungen vorliegen, gezeigt werden, dass die Bewertung unabhangig vom Anfangskapital ist. Der wachstumsorientierte Reservationspreis eines Zahlungsanspruches hangt von der Anzahl ab, in der der Zahlungsanspruch erworben bzw. veraufiert wird. Es stellt sich die Frage, inwieweit eine Anderung des Anfangskapitals sich dabei auf den wachstumsorientierten Reservationspreis des Zahlungsanspruches auswirkt. Satz 7.14 Der wachstumsorientierte

Reservationspreis

zwar gilt fiir die wachstumsorientierten

steigt mit steigendem Anfangskapital

Reservationspreise

bei Anfangskapital

bo, und

bo > 0 und

bo>0

p%d,5;bo)=p%d,^l5M). OQ

d.h. die Anderung des Anfangskapitals S auf

von bo auf bo wirkt wie eine Anpassung der Anzahl

6^. bo

Beweis Folgende Gleichungssysteme sind aquivalent: (

-h

- YA=\ ^oiXi ^Sdo = 0

{R)< 7ro = l,7r, > 0

{s =

Xi>0

l,...,N)

(z = l , . . . , m )

und

{R'){ TTo = l , 7 r 5 > Xi>0

0

(z = 1 , . . . ,m)

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

133

Das Gleichungssystem {R') entspricht dem Gleichungssystem fiir wachstumsorientierte Reservationspreise bei Anzahl S^. Lediglich der Portfoliovektor ist angepasst. Da die Losungen iibereinstimmen, entspricht die Anderung des Anfangsvermogens von bo auf bo einer Anderung der Anzahl S urn ^ . Es gilt p"(c/, 6, bo) = p"(ci, f-S, bo).

Die Anpassung des Anfangskapitals verhalt sich also direkt proportional zu einer Anderung der Anzahl 6. Ein Anleger mit doppeltem Anfangskapital ist bereit, fiir die doppelte Menge eines Derivats von einem Zahlungsanspruch den gleichen Preis pro Einheit zu zahlen, fiir den ein anderer nur die einfache Menge abnehmen wiirde. Greift man das Beispiel aus Becherer (2001a) auf^\ so wiirde ein Versicherer, der wachstumsorientiert plant und doppelt so groB ist, auch das doppelte Volumen an Risiken iibernehmen, zu einem Preis fiir den ein kleinerer Versicherer nur das einfache Volumen akzeptieren wiirde. Bei den wachstumsorientierten Reservationspreisen entscheidet also nicht die absolute Hohe eines Zahlungsanspruches, sondern die Relation zum vorhandenen Kapital des Investors iiber den individuellen Wert des Zahlungsstromes. Dies scheint deutlich plausibler als die Modellierung einer vom Anfangskapital unabhangigen Bewertung, wie im Fall der nutzenbasierten Reservationspreise bei exponentieller Nutzenfunktion.^^ In diesem Fall wiirde der Investor zwar den Preis bei einer Veranderung der Menge anpassen und damit nur bei einer Anpassung der absoluten Hohe des riskanten Zahlungsanspruches, nicht jedoch bei einer Veranderung des eigenen Vermogens. Mit Satz 7.14 iibertragt sich die Monotonieeigenschaft des Reservationspreises auch auf eine Anderung des Anfangskapitals. Ein hoheres Anfangskapital wirkt wie eine Senkung der Menge und daher steigt der Reservationspreis mit dem Anfangskapital. Ein hoheres Anfangskapital senkt also die Risikopramie des Kaufers. AuBerdem verdeutlicht Satz 7.14, dass der wachstumsorientierte Reservationspreis vom Verhaltnis der Menge zum Anfangskapital gepragt ist. Mit zunehmendem Anteil, den der Anleger in das Deri vat investiert, sinkt der Preis, den er pro Einheit zu zahlen bereit ist. Der mit dem verstarkten Engagement verbundene Einfluss des Zahlungsanspruches auf das Gesamtvermogen wirkt sich also negativ auf die Zahlungsbereitschaft aus.

3iVgl. S. 41. ^^ Vgl. Becherer (2001a) fiir eine Modellierung von Reservationspreisen bei exponentieller Nutzenfunktion. Fiir die Unabhangigkeit vom Anfangsvermogen vergleiche S. 22.

134

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Es stellt sich weiterhin die Frage, wie sich der Reservationspreis mit der Menge verandert, ob zum Beispiel eine stetige Anpassung an die Menge erfolgt^^ oder ob auch Spriinge zu beobachten sind. Dass letzteres nicht der Fall ist, zeigt der folgende Satz. Satz 7.15 Die Funktion p'^id, S):R^

xR+^

(p™(fi),p"(fi)] ist stetig in 5.

Beweis In der Mikrookonomie lasst sich die Stetigkeit der Nachfragefunktion bei stetiger Nutzenfunktion nachweisen.^'^ Im Folgenden wird der Beweis mit Hilfe des Existenzsatzes fiir wachstumsorientierte Reservationspreise gefiihrt. Annahme: S : (p"'^"(o?),^"(o?)] K> E + ist nicht stetig. Wegen der Monotonie folgt die Existenz des rechts- wie linksseitigen Grenzwertes. Sie konnen aber bei einer Unstetigkeitstelle do nicht mit dem Funktionswert iibereinstimmen. Sei o.b.d.A. lim^^^j^ 6{do) ^ 6{do). Wegen der Monotonie von S : {p'^^'^{d),p'^{d)] \-^ R+ existiert der Grenzwert Hm^^^^-^ S{do) eigentlich und es gilt lim^^,j^ S{do) > ^( S > S{do). Da S{do) > S fiir alle do € (p"^^^(d),Jo) und S > S{do) fiir alle do G [4, (p"(^)), existiert kein do G {p'^'''(d),p'^(d)] mit 6{do) = S. Dies stellt einen Widerspruch zum Existenzsatz 7.5 dar. Somit ist die Funktion rechtsseitig stetig. Linksseitige Stetigkeit folgt analog. Somit ist die Funktion S : {p'^'''{d),p'^{d)] M- E+ stetig und somit auch die Umkehrfunktion p^'id^S) : E ^ X E+ K^ (p^i"(d),p«(ci)].

Die stetige Abhangigkeit des wachstumsorientierten Reservationspreises von der Menge, in der der Zahlungsstrom erworben wird, lasst nun eine Interpretation des wachstumsorientierten Preises aus Kapitel 6 zu: Ist die Menge S, in der das Derivat erworben wird, sehr klein, so wird der Preis ebenfalls sehr dicht am maximal moglichen Preis, dem wachstumsorientierten Preis p^{d), sein. Denn es gilt: limp"(rf,(5)=p"(d,0)=p"((i).

^Wie dies in Abbildung 7.1 bereits suggeriert wird. Vgl. S. 131. ^Vgl. Mas-Colell et al. (1995), S. 93 ff.

7.3. DAS EINPERIODENPROBLEM

135

Der wachstumsorientierte Preis p'^{d) kann somit wie Davis' fairer Preis als Grenzpreis fiir eine marginale Einheit des Derivats verstanden werden. Da nach Satz 7.14 nicht die absolute Anzahl allein ausschlaggebend ist, sondern vielmehr das Verhaltnis zum Anfangskapital fiir die Hohe des Reservationspreises, kann der wachstumsorientierte Preis als Naherung des wachstumsorientierten Reservationspreises verstanden werden. Falls der wertmaBige Anteil des Derivats am Portfolio also nur relativ klein ist, wird der wachstumsorientierte Reservationspreis dem wachstumsorientierten Preis ungefahr entsprechen. Analog ergibt sich fiir wertmaBig im Verhaltnis zum Portfolio groBe Anteile, dass der wachstumsorientierte Reservationspreis nahe dem Superhedging-Preis p^^^{d) ist, denn fiir die Anzahl 6 -^ oo gilt: limp«(d,5)=p™(d). J—>-oo

Bei der Ubernahme von sehr hohen Risiken ist der Investor also nur noch bereit, einen Preis zu zahlen, der nahe an der Obergrenze fur arbitragefreie Preise ist. Zur Illustration der Ergebnisse dieses Abschnittes wird nun ein einfaches Beispiel betrachtet. Es zeichnet sich dadurch aus, dass der Reservationspreis sich explizit iiber einen funktionalen Zusammenhang in Abhangigkeit von der Anzahl 6 darstellen lasst.^^

Beispiel 7.1 Ein Investor mit einem Kapital von 100 Geldeinheiten plant fiir eine Periode (T = 1) und kann zwischen einer sicheren Geldanlage zum Zins r = 0 und einer risikobehafteten Anlage (z.B. einer Aktie) wahlen. Fiir die Entwicklung der Aktie schatzt der Investor mit Wahrscheinlichkeit pi = 0, 6 einen Anstieg um 20 Prozent, mit Wahrscheinlichkeit P2 = 0,2 einen unveranderten Kurs und mit Wahrscheinlichkeit ps = 0,2 einen Riickgang um 20 Prozent. Es soil ein Derivat bewertet werden, das fur den Fall, dass die Aktie steigt, eine Geldeinheit liefert. Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

^^Die Moglichkeit, den wachstumsorientierten Reservationspreis als Funktion der Anzahl explizit zu bestimmen, ist im Allgemeinen jedoch nicht gegeben. Auch bei Verwendung einer Nutzenfunktion ist dies in der Kegel nicht mogUch. Vgl. S, 37.

136

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

- 1 0 0 - x i -X2-do6 -Xi-l,2x2

+ S+

-x^-X2 -xi

{R){

+

- 0,8x2+

= 0 ^^=0

f^=0 f^=0

- l + 7 r i + 7 r 2 + 7r3 < 0

(1)

- 1 + 1, 27ri + 7r2 + 0, STTS < 0

(2)

do = TTi 1^ TT, > 0 (s = 1, 2, 3), Xi > 0 (z - 1, 2) Fiir die Losung des Gleichungssystems (G) kommen hinsichtlich der Wahl der Alternativen lediglich drei Moglichkeiten in Betracht:

1. Wahl beider Alternativen {xi > 0, a;2 > 0), die Gleichungen (1) und (2) sind mit Gleichheit erfiillt. 2. Wahl der Aktie {xi = 0, X2 > 0), die Gleichung (2) ist mit Gleichheit erfiillt. 3. Wahl der risikolosen Anlage {xi > 0, ^2 = 0), die Gleichung (1) ist mit Gleichheit erfiillt.

In alien drei Fallen lasst sich die Losung des Gleichungssystems direkt bestimmen, die Losungsfunktion f{S) ergibt f

(^ + 200 - VS^ - 240(5 + 40000

Xl > 0,X2 > 0

4^ f{S)

5(5 + 600 -- 5\/(52 - 485 + 14400 :ri > 0,a;2 == 0 126 (5 + 100 -- VS^ - 40(5 + 10000

Xi == 0, X2 > 0.

2(5

Da der Reservationspreis eine stetige monoton fallende Funktion in der Anzahl 6 darstellt, ist auch die Zuordnung der drei Funktionen zu den jeweiligen Intervallen fiir 6 eindeutig. Es ergibt sich fiir den Reservationspreis die folgende Funktion: f 5(5 + 600 - 5\/52 _ 48(^ + 14400

p^{d,6)

12(5 (5 + 200 -VS^- 240(5 + 40000

4(5 (5 + 100 -Vs^2(5

406 + 10000

0 0

{R){

(s = 1 , . . . , A^) (z = 1 , . . . , m)

TTo = l,7rs > 0

(5 = 1,...,A^)

Xi> 0

(z = 1 , . . . ,m)

Es ist somit zu zeigen, dass jede Losung von (R) durch Losen der Ungleichungssysteme {Rs) bestimmt werden kann und umgekehrt. Zunachst wird dazu der Zusammenhang zweier aufeinander folgender Gleichungssysteme analysiert: Addiert man die erste Gleichung des einperiodigen Portfolioproblems (RT), T G D{S) -Urbo -\- Sdl -22

^riXi = 0

jeweils zu der entsprechenden zweiten Ungleichung des Ungleichungssystems (Rs) - ^ ttriXi - Sd'^ + gr{7:')uJsbo < 0, ieis

so ergibt sich die Ungleichung: - Y2 ^"^^^^ ~ $ Z ^''^^' "^ ^^0 ~ ^^^ '^ 9T{7^^)^sbo - ujrbo < 0 m

5.

a) Eine Anderung des Anfangskapitals von bo auf bo wirkt wie eine Anpassung der Anzahl von 6 auf 6^. Es gilt fiir den wachstumsorientierten Reservationspreis bo

^

Beweis Nach Satz 7.16 lasst sich der Reservationspreis myopisch bestimmen. Dies lasst sich zur Ubertragung der in Abschnitt 7.3 hergeleiteten Monotonieeigenschaften per Induktion nutzen:

7.4. MYOPISCHE PLANUNG

143

Induktionshypothese: Fiir alle t = 0 , . . . , T — 1 ist der myopisch bestimmte Reservationspreis p^{d, S) {s G St) eine streng monoton fallende Funktion in 6 e [0, oo). Induktionsanfang: t = T — 1 Fiir t — T — 1 liegt ein einperiodiges Portfolioproblem vor. Die Aussage folgt daher mit Satz 7.11. Induktionsschritt: t + 1 -> t Sei (5 < J {6,5 > 0), dann gilt nach Induktionshypothese p^{d,S)

> p^(d,S)

fiir alle

r G St+i- Aus der Konstruktion der myopischen Preise folgt daher fiir die Zahlungen im Vorgangerzustand s e St d'^ = p^(d, 6) + dr > Pr{d, S) + dr =: 4 (r G D{s)). Das so reduzierte Derivat d^ wird aber bei gleichbleibendem Preis d^ weniger stark nachgefragt als der urspriingliche Zahlungsstrom d^, der d^ dominiert.'^^ Um in der urspriinglichen Menge 5 nachgefragt zu werden, muss der Preis fallen: dQ S > 0, dann gilt fiir die zugehorigen 6p''{d,6)

Reservationspreises

Anfangkapitals.

beschrankt.

Reservationspreise:

>6p''{d,S),

d.h. der Betrag, der in das Derivat d investiert wird, steigt mit der Menge 6 an. Beweis Zunachst wird eine Erhohung des Anfangskapitals auf 6o(l + e) (e > 0) bei gleichzeitiger Anpassung der Menge auf 6{l + e) betrachtet. Wegen der Separationseigenschaft (Vgl. Kor. 6.14) andert sich dabei der Preis d^ nicht. Nun konnen statt der Erhohung der Menge auch der Preis und die Auszahlungen um (1 + e) erhoht werden. Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem: - ^ o ( l + e) - YZ^

{R){

aoiXi + Sdo(l + e) = 0

- ET=i ^siXi - 6ds{l + e) + 9s{7r)bo{l + e) < 0

(s = 1,.

,N)

-J2f=0O^si7Ts > 0

(« = 1,.

, m)

(5 = 1 , .

,N) , m)

-c/o(l + e) + 5 : f L , d , ( l + e)7r, = 0 TTo = l,7r5 > 0 Xi>0

(« = 1, •

Werden nun die Einzahlungen auf (i^ gesenkt, wirkt sich dies analog zu einer Preiserhohung durch eine verminderte Nachfrage j ^ {ip > 0) aus. Eine Erhohung auf den urspriinglichen Wert 6 fiihrt daher zu einer Verminderung des Reservationspreises auf ^{j^/ (C > 0).

146

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

- ^ o ( l + e) - E I l i aoiXi + Sdo{l + 77) = 0 - EZi dsiXi - 6ds + ^.(7r)6o(l + e) < 0

(s = 1 , . . . , A^)

-E.^o«-^^^>0

(2 = l , . . . , m )

{R){

-rfo(l + r?) + E L ^ . 7 r , = 0 7ro = l,7r, > 0

(s = l,...,A^)

Xi>^

(z = 1,... ,m)

Eine Erhohung des Anfangskapitals auf 60 (1 + e) hatte also eine Erhohung des Reservationspreises auf ^oiit^ zur Folge, wobei 77 := (1±£) 1+C

1 0 in alien Zustanden

einperiodige

eine strikt positive

und Zustandspreisvektor

s = 1,...

AnlagealRiickMsse

Zahlungen

(c, 7f) eindeutig gegeben,

der sofern

^N.

Beweis Jede wachstumsorientierte Losung erfiillt, sofern keine Obergrenzen fiir die Alternativen existieren, folgendes Gleichungssystem:

- E " 1 dsiXi + p.(7r)7r'6 < 6,

(^^^

-Ef=o«-^^>0 7ro-l,7r3>0

(s = 1 , . . . , iV)

(z-l,...,m) (5-1,...,A^)

Xi>0,

(z = l , . . . , m )

Setzt man nun fiir eine Losung (:r,7f) von (G), 60 = n'b,do = bo - bo, so stellt do einen wachstumsorientierten Reservationspreis des Derivats mit Einzahlungen dg = bg (s = 1,...,N)

zur Menge 6 = 1 dar, d.h. es erfiillt das folgende Gleichungssystem: -^0 - E i l i f^oiXi + 6do = 0 -ET=i(^siXi-ds

+ gs{7T)bo0

(Z:

148

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIQNSPREISE

Angenommen, es existiert noch eine zweite Losung {x, fc) von (G) mit o.B.d.A. it'b < Tt'b, dann lasst sich dies wieder als Reservationspreisproblem formulieren mit bo = rr'b, do = bo - bo und ds = bg (s = 1 , . . . , A^). Dabei gilt bo - do = bo - do = bo

oder aquivalent ^0 -

^0 =

0 und daher 60 = bo. Daher ist auch der ,,Reservationspreis" do = do eindeutig gegeben. Somit gilt auch TT = TT und die zugehorigen Konsumvektoren c und c stimmen iiberein.

Wachstumsorientierte Reservationspreise zeichnen sich dadurch aus, dass der wachstumsorientierte Anleger das Derivat in der vorgegebenen Menge in sein Portfolio aufnimmt und dass der Kapitalwert gleich Null ist. Auf den Wert des Vermogens VQ wirkt sich die Hinzunahme des zusatzlichen Zahlungsanspruches neutral aus. Der Wert des Vermogens entspricht weiterhin dem Anfangskapital: Vo = bo. Kann der Anleger das Derivat zu einem giinstigeren Preis erwerben, stellt er sich in jedem Fall besser und sollte die Transaktion in jedem Fall durchfiihren. Das Vermogen als Wert der zukiinftigen Konsumentnahmen sollte durch diese Verbesserung der Konditionen steigen, da sich die Vorteilhaftigkeit des Derivats und damit die des Portfolios erhoht. Ein Preis, der iiber dem Reservationspreis liegt, sollte den Wert des Vermogens entsprechend vermindern. Der folgende Satz belegt die vermutete Auswirkung auf den Wert des Vermogens und liefert Schranken fiir die Entwicklung des Vermogens in Abhangigkeit des Reservationspreises

p^{d,S).

149

7.4. MYOPISCHE PLANUNG Satz 7.21 Es gelten die Voraussetzungen Einem wachstumsorientierten

von Satz 7.17. Anleger mit Wachstumspraferenz

einem Preis do angeboten. Akzeptiert

er das Angebot,

a werde ein Derivat d zu

so folgt:

i) Gilt do > p^{d, 5), dann sinkt der Wert seines Vermogens auf Vo = bo- 6{do - p^{d, 6, Vo)) 0

{s =

l,...,N)

(z = 1 , . . . , m )

TTo = l,7r, > 0

{s =

Xi > 0

l,...,N)

(z = 1 , . . . ,m)

do = E f L i ^sds lasst sich daher als wachstumsorientierter Reservationspreis beziiglich des Anfangskapitals bo :— bo + S(do — do) interpretieren. Zunachst gelte do > p^{d,S).

Angenommen, es gilt N

Vo = bo + 5{-do + Yl ^^^^)) > ^0' s=l

dies ist gleichbedeutend m i t do < doMit Satz 7.19 folgt d a n n p^{d,6,bo)-p''{d,S) P''{d,6)

bo + Sjdo - do) -bo bo ^

{do - p^{d, 6))
0

wobei TT der wachstumsorientierte

{s =

l,...,N)

{i = 1,...

,m)

des Problems ohne Derivat sei.

Sofern die wachstumsorientierte Losung des Portfolioproblems eindeutig ist und somit auch Vo, kann man den wachstumsorientierten Reservationspreis iiber das folgende Gleichungssystem bestimmen: ~^0 - E s ^ l ^sT^s - S i l l ^Oi^i + (io = 0

- E I l i ^si^i - Sds + 9sM{bo + E ^ i ^sT^s) 0 do =

(s =

l,...,N)

{i =

l,...,m)

{s =

l,...,N)

T.f^i{bs^Sds)7rs TTo = l , 7 r , > 0 Xi>0

(z = 1 , . . . ,m)

mit Jo = Sdo + E f L i ^sT^s ^^ Diese Bedingung ist konsistent mit der Definition des wachstumsorientierten Reservationspreises ohne exogene Zahlungen, da in diesem Fall ebenfalls das durch das Anfangskapital gegebene Vermogen konstant bleibt. Vgl. S. 114.

7.5. EXOGENE ZUSTANDSABHANGIGE ZAHLUNGEN

153

Denn ersetzt man CIQ mit dem rechten Ausdruck, so erhalt man

- Efei a^iXi - Sd, + gs{iT){bo + EfLi ''«*») < ^» (s = l,....,iV) (i = l,.. .,m)

~ Z)s=o '*«»"•» ^ 0

{R'){

Sdo + S s = l ^s*» = Jls^li^s

nQ = l,n,>

+ Sds)TTs

(s = l,....,iV) (i = l,.. . ,m).

0

Xi>0

(/?') ist offensichtlich aquivalent zum Gleichungssystem {R) aus der Definition des wachstumsorientierten Reservationspreises bei exogenen Zahlungen. Dies bedeutet, dass der wachstumsorientierte Reservationspreis bei exogenen Zahlungen iiber ein Gleichungssystem bestimmt werden kann, das dem Gleichungssystem fiir einen wachstumsorientierten Reservationspreis des Derivats d = 5d + {bi,...,

6iv)' entspricht,

das bei Anfangskapital bo + J2f=i ^s^^s in der Anzahl 1 gekauft wird. Somit kann der wachstumsorientierte Reservationspreis bei exogenen Zahlungen nach Satz 7.17 myopisch und damit eindeutig bestimmt werden und der Preis lautet

0

Wachstumsorientierte Reservationspreise bei exogenen zustandsabhangigen Zahlungen, also auch bei zusatzlichen Risiken, lassen sich somit problemlos modellieren, sofern die wachstumsorientierte Losung eindeutig ist. Mit Satz 7.20 folgt die Eindeutigkeit der wachstumsorientierten Losung bei exogenen Zahlungen. Es gilt daher fiir den Reservationspreis: Satz 7.23 Existieren lediglich einperiodige Anlagealternativen, und gilt bs > 0, dann ist der Reservationpreis alien Zustanden

s = 1,...

die unbeschrankt

eindeutig bestimmt,

durchfiihrbar

sind

sofern Sds -\-bs > 0 in

,N.

Wachstumsorientierte Reservationspreise sind auch bei exogenen Zahlungen in zwei weiteren Spezialfallen eindeutig gegeben. Zum einen lasst sich der wachstumsorientierte Reservationspreis eindeutig bestimmen, wenn der Zahlungsanspruch d zu einem eindeutigen Preis replizierbar ist. In diesem Fall entspricht der bewertete Zahlungsstrom fiir jeden wachstumsorientierten Zustandspreisvektor TT G Ilwor{oi) und somit auch fiir

154

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

den wachstumsorientierten Zustandspreisvektor n des Portfolioproblems mit exogenen Zahlungen dem eindeutigen arbitragefreien Preis:^'^

Zum anderen ergibt sich die Eindeutigkeit der Bewertung, sofern unbeschrankt Geld zum Zins r > 0 angelegt und aufgenommen werden kann, unter der Bedingung, dass das Einkommen risikolos ist, d.h. wenn in jedem Zeitpunkt t = 1 , . . . , T eine sichere Zahlung bt anfallt: bs = bt{se

St).

In diesem Fall lasst sich der Wert des Vermogens des wachstumsorientierten Anlegers direkt bestimmen: TV

T

Vo = Y,7rsbs = s=o

,

bo-h^Yl {l+rY t=i seSt

da wegen der unbeschrankten Geldanlage und Aufnahmemoglichkeit

reD{s)

'

fiir alle s ^ ST gilt. Die Bewertung des Vermogens ist daher eindeutig gegeben. Fiir den damit ebenfalls eindeutigen wachstumsorientierten Reservationspreis gilt dp ~ YJS=1

p^{d,6,b).

^ST^S

und do lost mit einem geeigneten Portfolio- und Zustandspreisvektor (x, n)

- E " 1 (^siXi - 5ds + ^.(7r)(6o + E f = i ^s^s) 0 Xi>{)

*VgLSatz6.4.

(5 = 1 , . . . , iV)

(s =

l,...,Ar)

(z = 1 , . . . , m )

7.5. EXOGENE ZUSTANDSABHANGIGE ZAHLUNGEN

155

Sei do = (Jo - J2f=i ^sT^s)!^ und f, so dass fiir 5 = 1 , . . . , A^ gilt^^ m

m

i=l

1=1

und da der Barwert der zusatzlichen Zahlungen im Anfangszustand aufgewendet werden muss gilt m

m

N

Das so bestimmte Tupel {dQ,x,p) lost dann das Gleichungssystem

I + EfLi ^sT^s) - E i l i «oi^i + ^ 4 = 0 - E " 1 «-^^ - ^^3 + ^«(^)(^o + E f = i ^ s ^ . ) < 0 (5 = 1 , . . . , A^) (z-1,

W TTo = l , 7 r s >

0

Xi > 0

(s =

l,...,iV)

(2 = 1 , . . . , m )

und do stellt somit einen wachstumsorientierten Reservationspreis zum Anfangskapital 7f'6 dar: do — p"(o?, ^, 7f'6). Der wachstumsorientierte Reservationspreis bei deterministischen exogenen Zahlungen entspricht daher dem wachstumsorientierten Reservationspreis mit dem Barwert der exogenen Zahlungen als Anfangskapital:

Fiir die Bestimmung des wachstumsorientierten Reservationspreises kann also statt der Beriicksichtigung eines deterministischen Einkommens auch direkt das diskontierte Einkommen als Anfangskapital verwendet werden und die Losung ist in diesem Fall myopisch bestimmbar. Insbesondere ist auch die wachstumsorientierte Losung jedes Portfolioproblems mit deterministischen exogenen Zahlungen myopisch bestimmbar, sofern beliebig Geld zum einheitlichen Zins r > 0 aufgenommen und angelegt werden kann. ^ Dies ist wegen der unbeschrankten Anlage- und Aufnahmemoglichkeit zum sicheren Zins r > 0 moglich, da die zusatzlichen deterministischen Zahlungen sich durch diese Alternativen erzeugen lassen.

156

7.6

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Anwendungsbeispiel

Ein haufig genanntes Beispiel fiir die Bewertung von Derivaten mit IndifFerenzpreisen stellen Optionen dar, die Fiihrungskraften von Unternehmen auf die Aktie des eigenen Unternehmen gewahrt werden: ,,executive stock options". Ihr Anteil an der Vergiitung ist in vielen Unternehmen inzwischen hoch.^^ Typischerweise konnen Fiihrungskrafte diese Optionen nicht verauBern. AuBerdem ist es ihnen nicht mogHch, die Optionen vollstandig am Markt abzusichern, da sie die zugrundeUegende Aktie ihres Arbeitgebers nicht beUebig handeln konnen. Insbesondere Leerverkaufe der eigenen Aktien sind in der Regel nicht moghch. Mit Hilfe der Arbitragetheorie kann daher kein objektiver Wert bestimmt werden, den die Optionen fiir die jeweiUge Fiihrungskraft haben. Zur Bewertung solcher Optionen aus Sicht der Fiihrungskraft wurde daher die Bewertung mit Hilfe des Nutzenansatzes vorgeschlagen.^^ In diesem Rahmen lieB sich zeigen, dass die Einschrankung des Handels der Aktie des eigenen Unternehmens dazu fiihren kann, dass der subjektive Wert der Option unter den Wert bei vollstandiger Replikation sinkt. Dies ist durchaus plausibel, da der Optionshalter durch die Einschrankung der Hedgingmoglichkeiten zusatzUchen Risiken ausgesetzt ist. Die Anwendung der wachstumsorientierten Bewertung soil im Rahmen des Binomialmodells von Cox/Ross/Rubinstein (1979) beschrieben werden, wie es auch von Detemple/Sundaresan (1999) im Rahmen der nutzenbasierten Bewertung mit Reservationspreisen verwendet wird. Neben der Moglichkeit der risikolosen Geldanlage hat die Fiihrungskraft die Moglichkeit, die Aktie des Unternehmens zu erwerben. Ledighch Leerverkaufe seien ausgeschlossen. Weitere Alternativen werden nicht betrachtet.^^ Es sind somit in jedem Zustand zwei Alternativen verfiigbar, bei jeweils zwei Nachfolgezustanden. Da jedoch die Aktie nicht leerverkauft werden kann, ist die Option fiir die Fiihrungskraft nicht replizierbar. Ein eindeutiger Preis kann daher nicht unabhangig von den Praferenzen bestimmt werden. Bevor die Bewertung mit Hilfe des Reservationspreisansatzes vorgestellt wird, ist zunachst zu klaren, wie die Gewahrung der Optionsrechte modelliert werden soil. Es wird angenommen, dass die Optionen zum Zeitpunkt t = 0 bereits bestehen oder unmittelbar gewahrt werden sollen. ^^ Vgl. Murphy (1999) fiir eine ausfiihrliche Darstellung der Aspekte der Vergiitung von Fiihrungskraften. ^'^Eine erste Analyse ist in Lambert et al. (1991) zu finden. Weitere Arbeiten im diskreten Rahmen stammen von Kulatilaka/Marcus (1994), Detemple/Sundaresan (1999) und Cai/Vijh (2005). Eine Analyse fiir europaische Kaufoptionen in zeitstetigem Rahmen liefert Henderson (2005). ^^ Die Einbeziehung weiterer Anlagealternativen wie z.B. eines Marktportfolios, das nicht perfekt korreliert mit der Aktie ist, aber leerverkauft werden kann, wie in Cai/Vijh (2005) oder Henderson (2005b), ware problemlos moglich. Wegen des illustrativen Charakters dieser Darstellung wird darauf aber verzichtet.

7.6. ANWENDUNGSBEISPIEL

157

Wenn das Unternehmen zur Zeit noch keine Optionen gewahrt und es einen ,,Tausch"^^ von bisheriger Vergiitung in Optionen plant, dann ist das Bewertungsproblem mit dem Reservationspreisansatz voUstandig beschrieben. Es geht in diesem Fall schlieBlich darum, den Zahlungsanspruch so zu bewerten, dass die Fiihrungskraft bereit ist, auf einen sicheren Betrag zu verzichten, wenn im Gegenzug die Optionen eingeraumt werden. Dies ist in Bezug auf Zahlungsstrome vollig analog zum Kauf einer Option. Denn, wenn als umzuwandelnder Betrag der Reservationspreis der Option multipliziert mit der entsprechenden Anzahl gewahlt wird, verandert sich der Wert des Portfolios nicht. Etwas anders ist die Situation, falls die Gewahrung von S Optionsrechten bereits einen festen Bestandteil der Gesamtvergiitung darstellt und nun geklart werden soil, welchen subjektiven Wert die Optionen fiir die Fiihrungskraft aufweisen. In diesem Fall ist beim Nutzenansatz der sichere Betrag als Wert der Option so angesetzt, dass die Fiihrungskraft indifferent beziiglich der sicheren Zahlung und dem Optionsrecht ist. Im Zusammenhang mit der wachstumsorientierten Bewertung stellt sich in diesem Fall die Frage nach einem Preis fiir das Deri vat, der so gewahlt ist, dass das Vermogen Vo niit der sicheren Zahlung 6do statt des Optionsrechtes und das Vermogen VQ mit dem Optionsrecht d iibereinstimmen. Es wird also der Reservationspreis gesucht, der sich bei einem Anfangskapital von bo + Sdo fiir den Zahlungsstrom d aus der Option ergeben wiirde. Diese Abhangigkeit des Anfangskapitals vom Reservationspreis scheint die Berechnung deutlich zu erschweren. Das Problem lasst sich jedoch wesentlich einfacher iiber die Interpretationsmoglichkeit der Zahlungen aus dem Optionsgeschaft als exogene Zahlungen modellieren. Fasst man die exogenen Zahlungen mit den Zahlungen aus dem Derivat in bs = bs -\- Sds zusammen, so ergibt sich fiir den Wert des Vermogens VQ eines wachstumsorientierten Anlegers N

Vo = Vo{n) = bo + ^7ts{bs

+ Sds),

wobei n den wachstumsorientierten Zustandspreisvektor bezeichnet. Der Wert des Vermogens VQ mit der sicheren Zahlung anstelle der Optionen ist durch N

Vo = VO{TV) = bo + Sdo^Yl

^'^'

s=l

gegeben, wobei do den unbekannten Reservationspreis do zum Anfangskapital bo + Sdo und TT den zugehorigen Zustandspreisvektor darstellt. 3 Vgl. Murphy (1999).

158

KAPITEL 7. WACHSTUMSORIENTIERTE RESERVATIONSPREISE

Falls keine exogenen Zahlungen vorliegen (6^ = 0, s = 1 , . . . , A^), ist die Bestimmung des subjektiven Wertes besonders einfach. Wegen der Bedingung VQ = VQ ist die Bewertung durch den Zustandspreisvektor n gegeben, da die Vermogensanderung der Anderung des Anfangskapitals entspricht. Es gilt: N do = /

^Tfgdg.

Der Reservationspreis entspricht daher dem wachstumsorientierten Preis p^{d).

Der

Zahlungsstrom d ist schon im Entscheidungsproblem enthalten. Die Bewertung der unsicheren, nicht marktfahigen Zahlung wird daher im Rahmen der wachstumsorientierten Portfolioplanung mit dem endogenen Zustandspreisvektor bereits vorgenommen. Bestehen exogene Zahlungen, wie zum Beispiel ein Arbeitseinkommen, kann die Veranderung des Anfangskapitals sich auch auf die Bewertung der exogenen Zahlungen auswirken. Daher muss die Losung bei (unbekanntem) Anfangskapital bo + 6do explizit bestimmt werden. Dies kann durch Losen des folgenden Gleichungssystems geschehen, da das Vermogen VQ init der sicheren Zahlung anstelle der Optionen und VQ iibereinstimmen muss:

-{bo - 6do) - jy^i

doiXi = 0

- E I l i ^(i+rs(A)) nach Vor.

^^W

T

EEa-» EpM^)(\/2(r-t+2)MA) \D{s)\7rs{X) (5)k.(A)

seSi

- TTr > 7r^(A) TTr (A)

7r^(A)

2)7r,(A)7r-,-7f^\2

2(r+l-t)

2(T 1) 2(^ + + 1) TT^-Tf^

^^""^ ""'^ 7r,(A)

>

7r^(A) /

'^^^JAr+^'^l'^^'-""^^-^W r+l(7r^-7fOV,(A).\

2T

7r2(A)

'SS:\5/''^^^/^J^^^^'"~*' ( T - t + 2)7r,(A)7r^-7f^.2 2(T + l - t ) 7r^(A) ^

V

174

ANHANG

E(a-»(A)-(i+«.)^)^(,)

- reD{s) ?/M^H^-^)W^(?Tra)('^»-»)-V^^^#^

'§5:%S/^^'^'w^(^-+2")i(A)^'^-*^' ( T - t + 2)7r,(A)7rr-7f-,.2 2(T + l - t ) 7r^(A) ^

-£((^^-'^)-'^^-'^)^.(A) T

S5;\S/'^'^V^(---'^")-(^)'""*' ( T - t + 2)7r,(A)7rr-7f^.2 2(T + l - t ) 7r^(A) ^

Der letzte Ausdruck entspricht dem rechten Teil der Induktionshypothese fiir T + 1 statt T. Somit ist die Behauptung bewiesen.

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