Finance de Marché - (Pr. Firano Zakaria) - (2020-2021) - PDF [PDF]

Zitiervorschau

Gestion des portefeuilles

Finance de marché Finance appliquée

Professeur Firano Zakaria

2019-2020

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles

Plan

1

2

3

Introduction générale 6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

9

Initiation à la gestion obligataire

10

Prix et e¢ cience des marchés

C’est quoi la …nance ? La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

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Gestion des portefeuilles

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2 / 190

Gestion des portefeuilles Introduction générale

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Présentation

Présentation

Finance de marché Ce cours est une initiation à la …nance de marché. Il présente les éléments de base pour un …nancier qui s’intéresse à l’investissement dans les marchés des capitaux. Les techniques présentées dans ce cours vont permettre de consolider les connaissances des étudiants en matière de gestion des portefeuilles.

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Objectifs

Présentation

Finance de marché Ce cours vise à atteindre les objectifs suivants : Comprendre la …nance de marché et la située par rapport à la …nance et la gestion …nancière Maitriser la notion de rentabilité et les calculs sous-jacents

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Objectifs

Présentation

Finance de marché Développer les connaissances de base en matière de gestion de portefeuilles risqués Présenter la notion de portefeuille optimal et de courbe d’e¢ cience Initier le lecteur aux modèles …nanciers de base notamment le modèle de marché et le modèle CAPM Introduire quelques principes de l’économétrie …nancière.

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Méthodologie

Présentation

Finance de marché Le cours se présente sous forme de : Cours magistraux : présentent les notions et les explications nécessaires pour la compréhension et l’assimilation de l’ensemble des éléments du cours Travaux pratiques : mise en application des connaissances.

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Références (1)

Présentation Finance de marché Robert GOFFIN : "Principes de …nance moderne" - Economica - Gestion - 6e édition - 2012. Jonathan BERK et Peter DeMARZO : "Finance d’entreprise", Pearson Education 3e édition 2014 Bertrand JACQUILLAT, Bruno SOLNIK et Christophe PERIGNON : "Marchés …nanciers : Gestion de portefeuille et des risques" - Dunod - 5e édition – 2014 Jacques HAMON - Bourse et Gestion de portefeuille", Economica, 2e édition, 2005 ELTON et GRUBER Modern portfolio : theory and investment analysis, Wiley, 9e édition, 2014 Richard BREALEY, Stewart MYERS et Franklin ALLEN, "Principles of Corporate Finance", McGraw-Hill - 11è édition - 2013

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Gestion des portefeuilles Introduction générale Références (2)

Présentation

Finance de marché BROQUET, Robert COBBAUT, Roland GILLET et André VAN DEN BERG, : "Gestion de portefeuille" De Boeck - 4 e édition - 2004. "GESTION DE PORTEFEUILLE Actions, obligations, options" Claude Broquet et André van den Berg DE BOECK UNIVERSITÉ - ENTREPRISE - 1990 "MARCHÉS FINANCIERS Gestion de portefeuille et des risques" Bertrand Jacquillat et Bruno Solnik DUNOD - 1990 - 2e édition "RATIONALITÉ ET MARCHÉS FINANCIERS" Robert Kast ECONOMICA Collection Gestion - 1991 Série : Politique Générale, Finance et Marketing "TITRES et BOURSE" Tome 1 et Tome 2 Joseph Antoine, Claude Broquet, Marie-Claire Capiau-Huart DE BOECK UNIVERSITÉ - ENTREPRISE - 1988

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ?

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ?

Finance

Finance de marché La …nance est l’application des principes économiques à la prise de décision qui a¤ecte la monnaie ou « l’argent au sens large » dans des conditions de l’incertitude. La …nance fournit le cadre pour prendre des décisions quant à la façon d’obtenir les fonds et leur utilisation dans le temps. La …nance a pour base le champ disciplinaire des sciences économiques et, pour cette raison, la …nance est souvent désignée sous le nom d’économie …nancière.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ?

Finance

Finance de marché La …nance est : 1

2 3 4 5

analytique, utilise la statistique, la probabilité, et les mathématiques pour résoudre des problèmes complexes ; basée sur des principes économiques. emploie des informations comptables comme input à la prise de décision. global dans sa perspective. l’étude de la manière selon laquelle on réunit l’argent et on l’investi productivement.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ?

Finance

Finance de marché Les outils utilisés dans la prise de décision …nancière sont issus des disciplines hors les sciences économiques ; notamment : La comptabilité …nancière, Les mathématiques, La théorie des probabilités, La statistique, et parfois la psychologie.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ?

Finance

Finance de marché La …nance est composée de trois grandes disciplines : 1 2 3

marchés …nanciers et théorie de marché …nancier, management (gestion) …nancier, et gestion de portefeuille,

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Marché …nanciers et théorie des marchés …nanciers

Finance

Finance de marché La composante des marchés …nanciers et de la théorie du marché …nancier se concentre sur : l’étude du système …nancier, la structure des taux d’intérêt (la courbe des taux), et l’évaluation des actifs risqués.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Marché …nanciers et théorie des marchés …nanciers

Finance

Finance de marché Le système …nancier d’une économie se compose de trois éléments : marchés …nanciers ; intermédiaires …nanciers ; et régulateurs …nanciers.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Marché …nanciers et théorie des marchés …nanciers

Finance

Finance de marché Plusieurs matières importantes sont comprises dans cette discipline de la …nance à savoir : l’e¢ cience des marchés …nanciers, le rôle et le comportement des investisseurs, la meilleure manière de concevoir et réglementer les marchés …nanciers, la mesure du risque, et la théorie d’évaluation d’actifs.

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Management …nancier

Finance

Finance de marché Le management …nancier, appelé …nance d’entreprise, est le domaine de spécialité en …nance s’intéressant à la prise de décision …nancière dans une entreprise. La …nance d’entreprise répond à plusierus problèmatiques : Politique d’investissement Politique de …nancement Politique de dividende

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Management des Risques : Gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Une autre branche critique dans la …nance est la gestion des risques. Le processus de la gestion des risques implique de déterminer quels risques est à accepter, à neutraliser, et qui peut être transférer. Les quatre processus principaux dans la gestion des risques sont risque : Identi…cation Évaluation Réduction Transfert où migration

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Gestion des portefeuilles C’est quoi la …nance ? Management des Risques : Gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Le procédé classique de la gestion des risques du portefeuille s’intéresse aux actifs et négligent l’impact de cette gestion sur la valeur des entreprises. Aujourd’hui, une certaine forme de gestion des risques d’entreprise est suivie par de grandes sociétés, soit une gestion des risques appliquée à l’entreprise dans son ensemble. La gestion des risques d’entreprise permet au management d’aligner l’appétit et les stratégies de risque à travers l’entreprise, d’améliorer la qualité des décisions en réponse au risque, d’identi…er les risques et de gérer les risques au travers l’entité.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Considérons une quantité « V » investie pendant des années « n » à un taux d’intérêt simple de « R » par an. Alors la valeur …nale est de : VF = V.(1 + R)n

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Si le taux d’intérêt est payé par des fractions « m » durant l’année alors la valeur …nale est décrite par la relation suivante : VF = V. 1 +

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R m

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nm

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché On peut réécrire cette formule selon une forme continue en considérant que la fréquence in…nitésimale de « m » tant vers l’in…ni. A cet e¤et, on peut noter que : VF = lim V.(1 + m!∞

R nm ) = V. expRn m

Où exp(.) est la fonction exponentielle et exp(1) = 2.71828.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Si le taux annuel simple est 10% et la valeur actuelle est de 1000, les di¤érentes valeurs de m sont indiquées dans table ci-dessous. Annuellement (m = 1))1100 Trimestriel (m = 4))1103.8 Hebdomadaire (m = 52))1105.1 Quotidien (m = 365))1105.515 Sans interruption (m = ∞))1105.517

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Nous considérons maintenant la relation entre les taux d’intérêt simple, les taux périodiques, les taux annuels et les taux composés. Supposons un investissement de 1000 qui paye un taux d’intérêt périodique trimestriel de 2%. Ceci permet d’avoir un taux annuel de 8%. À la …n de l’année, on obtient : 1000(1 + 0.08/4)4 = 1082.40

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Alors le taux e¤ectif peut être déduit selon la relation suivante : 1000(1 + RE ) = 1082.40 Ceci nous donne RE = 8.24%. Le taux annuel e¤ectif est plus grand que le taux annuel simple en raison du paiement d’intérêt sur l’intérêt.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Le rapport général entre le taux annuel simple R avec des paiements m par an et le taux e¤ectif est :

(1 + RE) = (1 + R/m)m

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Supposer que nous souhaitons calculer une valeur pour un taux continu, Rc , en connaissant le taux annuel simple R. Le rapport entre de tels taux est donné par : e Rc = (1 + R/m)m

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité La valeur et le temps

Finance

Finance de marché Supposant qu’un investissement de 100 paye un taux d’intérêt périodique de 5% semestriellement. Calculer le taux e¤ectif annuel et le taux continu. D’après les calculs : RE est de 10,25% Rc est de 9,758

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Considérant Pt le prix des actifs qui ne payent pas de dividendes et Pt-1 le prix à l’instant précédente (jours, moins, trimestres, etc.). Le taux de rentabilité simple est décrit à travers la relation suivante : Rt =

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( Pt

P(t P(t

1)

)

= %∆Pt

1)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Considérant un investissement d’un mois en action IAM. Vous supposez acheter l’action en T-1 au prix 85 MAD et vous allez vendre l’action le mois prochain pour un prix de 90. On suppose que l’action ne paye pas de dividendes. Calculer le taux de rendement simple : R est de 5.88%.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché La rentabilité de deux périodes sur un investissement dans des actifs est dé…nie comme suite : R t (2) =

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( Pt

P(t P(t

2)

)

=

2)

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Pt P(t 2)

1

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Alors le rendement brut de deux mois simple devient 1 + Rt(2) = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) = 1 + R (t

1)

+ R t + R (t

1)

Rt

Ce qui est une somme (multiplicative) géométrique des deux rendements et pas du tout une somme simple des deux périodes.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Cependant si le taux R(t 1) est assez faible et le produit des taux est proche de 0, alors on peut écrire que : R t (2)

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R (t

1)

+ Rt

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Généralement, le rendement brut de k-périodes est dé…ni comme moyenne géométrique de k rendements d’une période : ( k 1)

1 + Rt(k) = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

k +1)

)=

∏ (1 + R (t

j)

)

( j =0)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Sur la base de l’exemple précédent, supposant que le prix de l’action IAM en t- 2 est de 80 MAD et aucun dividende n’est payé entre le t- 2 et t. Le rendement de deux mois serait de combien ? Rt(2) est de :12.5%

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance Finance de marché Généralement, les rentabilités sont calculées sur des fréquences annuelles pour faciliter des comparaisons avec d’autres placements. Le processus d’annualisation dépend de la période de possession de l’investissement et d’une prétention implicite au sujet de la distribution des dividendes. Pour commencer, si notre horizon d’investissement est d’un an, puis les rentabilités annuelles sont, tenant compte de celle mensuelle :

1 + R A = (1 + Rt(12) ) =

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Pt P(t

= (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

11)

)

12)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Alors : RA =

Pt P(t

1 = (1 + Rt )(1 + R(t

1)

) . . . . . . (1 + R (t

11)

)

1

12)

Après, considérant un investissement d’un mois dans des actifs avec la rentabilité Rt. Quelle est la rentabilité annualisée sur cet investissement ? Si nous supposons que nous recevons la même rentabilité R = Rt tous les mois pendant l’année alors : 1 + R A = 1 + Rt(12) = (1 + R)12

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Noter que la rentabilité annuelle est dé…nie comme : R A = (1 + R)12

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1

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance Finance de marché Si la rentabilité de l’action IAM est de 5.88% par mois. Si nous supposons que nous pouvons obtenir cette rentabilité pendant 12 mois alors calculer le taux annuel.

RA

= (1.0588)12 1 = 1.9850 1 = 0.9850 ) Absence opportunite´ arbitrage

Maintenant, considérer un investissement de deux mois avec la rentabilité Rt(2) . Si nous supposons que nous recevons la même rentabilité de deux mois pour les 6 périodes de deux mois suivantes, alors calculer le taux annuel : RA = (1 + R(2))6 Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Calcul de rentabilité

Finance

Finance de marché Si les actifs payent un dividende, Dt, entre le t- 1 et t, le calcul de la rentabilité est de la sorte : Rt =

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( Pt + Dt P(t

P(t

1)

)

=

( Pt

1)

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P(t P(t

1)

1)

)

+

Dt P(t 1)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché Si on note le developpement de Taylor-Young au voisinage de 0 : f 00 (0) x2 xn n + ..... + f (0) + xn ε( x ) 2! n! Alors si on applique cette formuler sur la fonction ln(1 + x ) : 0

f ( x ) = f (0) + f (0) x +

ln(1 + x ) = 0 + x

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x3 x2 + + ..... + ( 1)n 2 3

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1

xn n

+ ...

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance Finance de marché La rentabilité continue est dé…nit par : R = ln(1 + R) = ln(

Pt ) P(t 1)

Où ln (.) est la fonction logarithmique. Pour démontrer cette relation on peut utiliser la fonction exponentielle : Pt

ert = 1 + R = ln Pt = P(t

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1)

P(t e

1)

rt

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché Ainsi on peut écrire que : rt = ln

Pt P(t 1)

= ln [ Pt ]

ln [ P(t

1)

] = pt

p (t

1)

Par conséquent, la rentabilité continue peut être calculée simplement en prenant la première di¤érence des prix logarithmique.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché Les rentabilités continues sont similaires aux rentabilités simples tant que ces rentabilités sont relativement petites, et ceci est généralement correct pour les rentabilités journalières et mensuelles. Dans le contexte de modélisation, il est courant d’utiliser des rentabilités continues en raison de leur propriété additive et leur lissage dans le temps.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance Finance de marché Le calcul des rentabilités continues multi périodes est aussi facile que pour les rentabilités simples multi périodes. Pour illustrer, on considère que : Pt

rt(2) = ln (1 + R(2) ) = ln Pt = P(t

P(t 2)

= pt

p (t

2)

2)

ert(2)

De cette relation on peut déduire que : rt(2) = ln

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Pt P(t

1)

Pt P(t

1 2)

= ln

Pt P(t

+ ln 1)

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Pt P(t

1

= r t + r (t

1)

2)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché Par conséquent la rentabilité continue entre deux périodes est la somme des deux rentabilités continues. En généralisant ceci pour les k périodes, alors la rentabilité continue s’écrit sous la forme suivante : ( k 1)

r t(k) =

∑

r (t

j)

( j =0)

L’additivité des rentabilités continues est une propriété importante pour la modélisation …nancière.

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché Nous pouvons annualiser des rentabilités continues selon la même approche que cette des rentabilités discrètes. Pour commencer, si notre horizon d’investissement est d’un an, alors la rentabilité continue est la somme des rentabilités continues mensuelles, trimestrielles ou autres. 11

r A = rt(12) = rt + r(t

1)

+

+ r (t

11)

=

∑ r (t

j)

( j =0)

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Gestion des portefeuilles La notion de rentabilité Rentabilité en temps continue

Finance

Finance de marché La moyenne des rendements est décrite selon la relation suivante :

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rm

=

1 11 r (t 12 (∑ j =0)

rm

=

1 N

j)

N 1

∑ r (t

j)

( j =0)

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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51 / 190

Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante

Finance

Finance de marché On considère R la rentabilité continue d’un actif (i) au temps « t » . En acceptant les hypothèses suivantes : 1 2

3

Normalité des rentabilités : R N(µi , σ2 ) pour i = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T. Les variances et covariances constantes : cov (Ril, Rjt) = σij pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T. Aucune corrélation périodique des actifs avec le temps :cov (Ril,Rjs)=0 ,pour t = s et i, j = 1,. . . , N.

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante

Finance

Finance de marché L’hypothèse 1 indique que les actifs sont IID (indépendamment et identiquement distribués) impliquant que la moyenne et la variance sont constantes dans le temps. La seconde hypothèse indique que les covariances contemporaines entre les actifs sont constantes dans le temps. Ces hypothèses indiquent que toutes les rentabilités, à un moment donné, sont conjointement normalement distribuées.

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53 / 190

Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Représentation du modèle de rentabilités

Finance

Finance de marché Notons les actifs i = 1,. . . , N et les périodes de temps t = 1,. . . , T, le modèle de rentabilité constante prévue (CER) se présente sous la forme suivante :

εi

Ri = µi + εi i.i.d. N (0, σ2 ) cov(εi , ε j ) = σij

Où µi est une constante et nous assumons que ε est non corrélé dans le temps.

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Représentation du modèle de rentabilités

Finance

Finance de marché Le ε est une variable aléatoire centrée autour de 0. En utilisant les propriétés de base de l’espérance, de la variance et de la covariance nous pouvons dériver les propriétés suivantes :

E[ Ri ] V ( Ri )

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= E [ µi + εi ] = µi + E [ εi ] = µi , = V ( µi + εi ) = V ( εi )

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Représentation du modèle de rentabilités

Finance

Finance de marché En considérant que la variance d’une constante (µ) est zéro. cov( Ri, Rj) = cov(µi + εi , µ j + ε j ) = cov(εi, εj) = σij Étant donné que les covariances et les variances des rentabilités sont constantes dans le temps implique que les corrélations entre les rentabilités dans le temps sont également constantes.

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Interprétation du modèle CER

Finance

Finance de marché Le modèle de CER a une forme très simple dans la littérature statistique. Autrement dit, le modèle déclare que chaque rentabilité d’actif est égale à une constante (la rentabilité prévue) plus un ε normalement distribué. Le ε peut être interprété comme étant une représentation des nouvelles inattendues au sujet de la valeur des actifs. Pour véri…er cette idée on note que : εi = Ri

Firano Z. ()

µi = Ri

Gestion des portefeuilles

E [ Ri ]

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Interprétation du modèle CER

Finance

Finance de marché C’est la déviation de la rentabilité par rapport à sa valeur prévue. Si les nouvelles sont bonnes, alors la valeur réalisée du ε est positive et la rentabilité observée est au-dessus de son espérance µ. Si les nouvelles sont mauvaises, ε est négatif et la rentabilité observée est moins que celle prévue. L’hypothèse que E[εi ]=0 signi…e que les nouvelles, en moyenne, sont neutres ; ni bonnes ni mauvaises.

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Interprétation du modèle CER

Finance

Finance de marché Le modèle de CER à rentabilité continue est également sujet à la propriété additive. Si on prend des rentabilités journalières alors celle mensuelle en est la somme. 29

Rit =

∑

Rd(it

k)

( k =0)

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Interprétation du modèle CER

Finance

Finance de marché Si nous supposons que ces rentabilités suivent le CER, alors la rentabilité mensuelle est donc :

29

Rit =

∑

29

µi + ε(it

k)

= 30µi +

( k =0)

∑

ε(it

k)

( k =0) T

RiT = Tµi +

∑

ε(it

k)

( k =0)

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Interprétation du modèle CER

Finance

Finance de marché Par conséquent, la rentabilité prévue en un mois, µi, est le produit du temps avec les rentabilités journalières. Dans ce sens, le ε est l’accumulation des nouvelles entre les périodes :

V ( RiT ) COV ( RiT , R jT )

Firano Z. ()

= T V ( Ri ) = T COV ( Rij )

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Le modèle CER et la marche aléatoire

Finance Finance de marché Le modèle CER provoque le soi-disant modèle de marche aléatoire (RW) du logarithme des prix des actifs. Pour comprendre ceci, considérant que :

Pt ) P(t 1) ln( Pt ) ln( P(t

Rit

= ln(

Rit

=

1)

)

Si on considère que p = ln( P) alors on peut réécrire le CER sous cette forme : pit

Firano Z. ()

p(it

1)

= µi + εit

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Le modèle CER et la marche aléatoire

Finance

Finance de marché Dans le modèle du RW, µi représente le changement prévu de la notation des prix des actifs et ε représente le changement inattendu des prix. C’est-à-dire :

[ pit

p(it

1)

]

E [ pit E [ pit

p(it p(it

] = E ( µi ) = εit 1) ] 1)

De plus, dans le modèle du RW, les changements inattendus des prix des actifs, sont non corrélés (cov(εt , εt 1 ) = 0) de sorte que de futurs changements des prix des actifs ne puissent pas être prévus.

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Gestion des portefeuilles Le modèle de rentabilité espérée constante Le modèle CER et la marche aléatoire

Finance Finance de marché Le modèle du RW donne l’interprétation suivante pour l’évolution des prix des actifs.

pit E ( pit )

= =

p(i0) + µi + εit p(i0) + E (µi )

D’une manière générale on peut écrire que : E ( piT ) = p(i0) + T E (µi )

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Finance Finance de marché Nous pouvons investir sur le marché des capitaux dans deux actifs A et B. Si on note RA la rentabilité de l’action A et RB celle de l’action B. Ces rentabilités doivent être traitées en tant que variables aléatoires puisque on ne connait pas leurs évolutions futures. Nous supposons que les rentabilités RA et RB sont conjointement normalement distribuées, dont les propriétés statiques sont :

µA µB σ AB

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= E[ RA], σ2 = VAR( RA), = E[ RB], σ2 = VAR( RB), = Cov( RA, RB)

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Les actifs qui ont des rentabilités et des variances élevées (ou la volatilité) sont souvent vraisemblablement risqués et vice versa. La gestion des portefeuilles consiste à se poser le problème d’allocation de la richesse dans les actifs …nanciers.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Si nous avons une richesse monétaire et nous voulons choisir entre les deux actifs (A et B) lequel choisir pour l’investissement et dans quelle proportion. Ainsi, Le problème de l’investisseur est de décider de combien de richesse à mettre dans les actifs A et de combien à mettre dans les actifs B.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Considérons xA la proportion à investir dans l’actif A et xB dans l’actif B. Puisque toute la richesse est mise dans les deux placements elle en suit que xA + xB = 1 L’investisseur doit donc choisir les valeurs de xA et xB qui sont généralement nommés les poids du portefeuille.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles

Finance

Finance de marché Sur la base de cette conception, la rentabilité du portefeuille sera la combinaison des deux rentabilités pondérées par les poids : Rp = x A R A + x B R B

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Rentabilité et risque du portefeuille à deux actifs

Finance

Finance de marché La rentabilité d’un portefeuille est une variable aléatoire dont la distribution de probabilité dépend des distributions des actifs dans le portefeuille. Cependant, nous pouvons facilement déduire certaines des propriétés de cette distribution en employant les résultats suivants au sujet des combinaisons linéaires des variables aléatoires :

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µp

= E[ Rp] = x A E( R A ) + x B E( R B )

σ2

= var ( Rp) = X A σ A + XB σ B + 2X A XB σ AB

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Rentabilité et risque du portefeuille à deux actifs

Finance

Finance de marché Si les poids du portefeuille sont positifs alors une covariance positive tendra à augmenter le risque, Une covariance négative tendra à réduire le risque. Dans ce sens les rentabilités négativement corrélées peuvent être béné…ques dans la formation des portefeuilles.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché Dans cette section nous montrons comment des portefeuilles e¢ cients sont obtenus. D’abord nous faisons quelques hypothèses : 1 2

Les rentabilités sont normalement distribuées. Les investisseurs s’intéressent uniquement au risque et à la rentabilité.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché Pour illustrer ce propos, prenons l’exemple ci-dessous : Espérance A 0,175

Firano Z. ()

Espérance B 0,055

Variance A 0,067

Gestion des portefeuilles

Variance B 0,013

Covariance(A,B) -0,004875

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché La mise en place de tous les portefeuilles faisables dans le cas de deux actifs est simple, car tous les portefeuilles possibles qui peuvent être constitués en faisant uniquement varié les poids de portefeuille xA et xB tels que la somme, des poids, est égale à 1. Pour le choix de la combinaison du portefeuille qui sera le plus e¢ cace pour un investisseur il faut choisir de façon optimale entre la rentabilité espérée et le risque. Pour y arriver, nous proposons une présentation graphique du comportement du portefeuille entre les deux critères de choix en faisant varier les poids.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché XA

0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

XB

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

E(Rp)

0,055

0,067

0,079

0,091

0,103

0,115

0,127

0,139

0,151

0,163

0,175

V(Rp)

0,01300

0,01032

0,00944

0,01035

0,01306

0,01756

0,02386

0,03195

0,04184

0,05352

0,06700

Ecatype(Rp)

11%

10%

10%

10%

11%

13%

15%

18%

20%

23%

26%

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance Graphiquement, l’ensemble des portefeuilles peuvent être présentés sont sous la forme suivante :

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché Sur ce plan, le portefeuille qu’un investisseur rationnel peut choisir est le portefeuille qui procure moins de risque. En conséquence, ce portefeuille s’appelle le portefeuille à risque minimal. Ce portefeuille peut être obtenu à travers la résolution du programme d’optimisation suivant :

min σ2P = x2A σ2A + x B 2σ2B + 2x A x B σ AB

( x a ,xb )

s.t. x A + x B = 1

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuille e¢ cient à deux actifs risqués

Finance

Finance de marché Les possibilités d’investissement sont très sensibles à la corrélation entre les actifs A et B. La résolution du programme d’optimisation donne le résultat suivant pour deux actifs :

x( A,min) x(B,min)

Firano Z. ()

(σ2B σ AB ) (σ + σ2B 2σ AB ) = 1 x( A,min) =

2 A

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Dans la section précédente nous avons construit un portefeuille en l’absence d’un actif sans risque (exemple : obligation étatique). Dans ce paragraphe, nous considérons l’existence d’un actif sans risque dans l’univers d’investissement. Nous notons le taux « r f » la rentabilité de l’actif sans risque et est généralement de taux d’intérêt payé sur l’obligation selon sa maturité.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Si on considère un investissement dans un actif risqué « B » et un actif sans risque dont le taux de rendement est de « r f = 0.03 » . Le fait de considérer qu’il existe un actif sans risque alors, on accepte les propriétés suivantes :

E [r f ] = r f VAR(r f ) = 0 cov( R B , r f ) = 0

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Si on note xB le poids investit dans l’action B, donc xf = 1-XB. La rentabilité du portefeuille est :

Rp Rp

Firano Z. ()

= x B R B + (1 x B )r f = xB ( RB r f ) + r f

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance Finance de marché La di¤érence (R B r f ) est la rentabilité excessive par rapport à l’investissement sans risque, cette di¤érence récompense la prise de risque. Cette prime peut être exprimée par la relation suivante : Rp

r f = xB ( RB

rf )

Plus nous investissons dans les actifs B plus la prime de risque sur le portefeuille est forte. Et donc on peut écrire que : Rp RB

Firano Z. ()

rf = xB rf

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance Finance de marché Concernant le risque de ce portefeuille avec actif risqué et un actif sans risque, il s’écrit sous la forme suivante :

σ2p

= x2B σ2B

σ2p σ2B

= x2B ) x B =

σp σB

En remplaçant dans la forme de la rentabilité du portefeuille on trouve que : µp = r f +

Firano Z. ()

(µ p

rf ) σB

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σp

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Le rapport dans la relation précédente est nommé le ratio de « Sharpe » qui mesure la prime de risque par unité d’écartype.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Maintenant nous examinons les résultats précédents en permettant à un investisseur de former des portefeuilles d’actifs A, B et un actif sans risque. L’existence d’un actif risqué fait que le résultat sera une droite passant par le revenu minimum qu’est celui procuré par l’actif sans risque. La pente avec la courbe des portefeuilles e¢ cients forme le portefeuille le plus optimal. Cette pente est mesurée par le ratio de Sharpe. Nous prenons l’exemple d’application ci-dessous pour montrer ceci.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Si nous considérons les actifs A, B et l’actif sans risque de valeur de 0.03, veuillez construire les portefeuilles suivants : 1 2 3 4

A et l’actif sans risque B et l’actif sans risque A, B et l’actif sans risque. Représenter graphiquement l’ensemble des résultats.

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Finance de marché Les informations sur les actifs sont : Espérance Ecartype Corrélation

Firano Z. ()

A B 0,175 0,055 0,259 0,114 -0,165

Gestion des portefeuilles

rf 0,03 -

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance Finance de marché Nous pouvons déterminer les proportions de chaque actif dans le portefeuille pour trouver les valeurs « xA » et « xB » qui maximisent le ratio de Sharpe, c’est-à-dire maximiser la pente de la droit pour avoir le portefeuille le plus e¢ cace. : max ( xa,xb)

rf

µp σp

s.t.µ p = x A µ A + x B µ B σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + 2x A x B σ AB x A + xB = 1

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Gestion des portefeuilles Introduction à la gestion de portefeuilles Portefeuilles e¢ cient avec actif sans risque

Finance Finance de marché La solution de ce programme pour deux actifs s’écrit de la forme suivante :

xA xB

=

((µ A = 1 xA

((µ A r f )σ2B (µ B r f )σ AB ) r f )σ + (µ B r f )σ2A (µ A r f + µ B 2 B

r f )σ AB )

Les portefeuilles e¢ cients sont maintenant des combinaisons du portefeuille composé d’actifs risqués et un actif sans risque. Ce résultat séminal est connu comme le théorème de la diversi…cation du portefeuille.

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Considérons un portefeuille avec trois actifs risqués (A, B et C). Si on note Ri (i= A, B, C) la rentabilité de l’actif i et on accepte que ces rentabilités suivent une loi normale. Si on note xi la part investie dans chacun des actifs (c’est la proportion à déterminer). La somme des poids est par convention égale à 1 (xa + xb + xc = 1).

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Ainsi, la rentabilité du portefeuille s’écrit sous la forme : Rp = xa

R a + xb

Rb + xc

Rc

La rentabilité espérée du portefeuille est : E( Rp) = xa

Firano Z. ()

E( R a ) + xb

E( Rb ) + xc

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E( Rc )

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché De même, le risque du portefeuille peut s’écrire sous la forme suivante ; σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB Comme dans le cas de deux actifs, l’ensemble des portefeuilles e¢ cients est décrit dans un graphique qui met en relation l’espérance et le risque. En revanche, dans ce cas les portefeuilles e¢ cients ne peuvent être décrits simplement par la forme hyperbolique. En e¤et, la représentation à ce titre est compliquée et dépend de la covariance entre les actifs.

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Pour illustrer le cas de portefeuille à trois actifs et comment le programme de Markowitz est implémenté, nous considérons les éléments …ctifs suivants (à poids identiques) : Actif A B C

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Espérance 0,229 0,138 0,052

Variance 0,924 0,862 0,528

Gestion des portefeuilles

Paire A-B A-C B-C

Covariance 0,063 -0,582 -0,359

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Dans ce sens, Markowitz, considère que l’investisseur veut maximiser sa richesse (l’espérance) et minimiser le risque et dans cette perspective on cherche uniquement les portefeuilles e¢ caces sans rechercher tous les portefeuilles e¢ cients. Max E( Rp) = xa

E( R a ) + xb

E( Rb ) + xc

E( Rc )

σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB x A + x B + xC = 1

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Le portefeuille avec les poids (x A + x B + xC ) qui satisfait le problème ci-dessus de maximisation est, par dé…nition, un portefeuille e¢ cace. La frontière e¢ cace est donc la représentation de l’ensemble des portefeuilles e¢ caces produits en résolvant ce programme de maximisation pour di¤érents poids.

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Min σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB s.t. E( Rp) = xa

Firano Z. ()

E( R a ) + xb E( Rb ) + xc x A + x B + xC = 1

Gestion des portefeuilles

E( Rc )

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Pour trouver les portefeuilles e¢ caces des actifs risqués dans la pratique, le programme ci-dessus est résolu. Pour résoudre ce problème nous devons faire appel à la fonction lagrangienne :

Lagrangienne à deux contraintes L( xa, xb, xc, λ1, λ2) = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB λ1 ( E( Rp) x A E( Ra) x B E( Rb) xC E( Rc)) λ2 (1 x A x B xC )

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance Finance de marché Les conditions de premier ordre sont :

dL dxa dL dxb dL dxc dL dλ1 dL dλ2 Firano Z. ()

= 0 = 2x A σ2A + 2x B σ AB + 2xC σ AB + λ1 E( Ra) + λ2 = 0 = 2x B σ2B + 2x A σ AB + 2xC σCB + λ1 E( Rb) + λ2 = 0 = 2xc σ2c + 2x A σ AC + 2x B σCB + λ1 E( Rb) + λ2 = 0 = E( Rp)

xA

E( Ra)

= 0=1

xB

xC

xA

Gestion des portefeuilles

xB

E( Rb)

xC

E( Rc)

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Selon les conditions de premier ordre, nous avons 5 équations et 5 inconnus donc nous pouvons avoir une solution unique de ce système par approche de substitution. Nous allons voir après comment une résolution matricielle peut être aussi une solution simple.

Firano Z. ()

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Le portefeuille à risque minimal pour le cas de trois actifs est relatif à la combinaison des poids « m » qui procurent le risque le plus faible. On peut déterminer ce portefeuille via la résolution du programme suivant :

Min σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB s.t. x A + x B + xC = 1

Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché La forme lagrangienne est la suivante : L( xa, xb, xc, λ)

Firano Z. ()

= x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB λ (1 x A x B x C )

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Les conditions de premier ordre sont : dL dxa dL dxb dL dxc dL dλ2

Firano Z. ()

= 0 = 2x A σ2A + 2x B σ AB + 2xC σ AB + λ = 0 = 2x B σ2B + 2x A σ AB + 2xC σCB + λ = 0 = 2xc σ2c + 2x A σ AC + 2x B σCB + λ = 0=1

xA

xB

Gestion des portefeuilles

xC

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Pour illustrer le cas de portefeuille à trois actifs et comment le programme de Markowitz est implémenté, nous considérons les éléments …ctifs suivants (On considère pour simpli…er que les covariances sont nulles) : Actif A B C

Firano Z. ()

Espérance 0,229 0,138 0,052

Gestion des portefeuilles

Variance 0,01 0,02 0,03

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance

Finance de marché Le fait d’ajouter l’actif sans risque avec deux actifs risqués permet d’obtenir le portefeuille tangent qui maximise le ratio de Sharpe. Ce portefeuille est le portefeuille avec la pente la plus importance et qui procure la meilleure rentabilité à un niveau de risque donné.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Portefeuille e¢ cient avec Trois actifs risqués

Finance Finance de marché Pour trouver ce portefeuille, nous devons résoudre le programme suivant : max

xa,xb,xc

rf

µp σp

σ2p = x2A σ2A + x2B σ2B + xC2 σ2C + 2x A x B σ AB + 2x A xC σ AC + 2xC x B σCB E( Rp) = xa

E( R a ) + xb

E( Rb ) + xc

E( Rc )

Le portefeuille tangent peut être trouvé analytiquement en utilisant la fonction lagrangienne sous condition que la somme des proportions soit égale à 1.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché En essayant de construire de grands portefeuilles, les techniques simples de substitution ne sont plus faciles à utiliser. Ainsi, le calcul matriciel peut être une solution envisageable. De même, l’ensemble des outils informatiques utilisent les approches matricielles pour l’optimisation de portefeuilles.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Considérons pour simpli…er le cas de trois actifs (A,B et C) : 0

1 0 1 Ra xa R = @ RbA ; X = @ xbA Rc xc

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Dans la notation matricielle nous pouvons mettre en bloc des rentabilités multiples dans un vecteur simple que nous dénotons par R. Puisque chacun des éléments dans R est une variable aléatoire nous appelons R un vecteur aléatoire.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Nous pouvons également parler de la distribution de probabilité du vecteur aléatoire R. C’est simplement la distribution commune des éléments du R. généralement la distribution de R est compliquée mais si nous supposons que tous les rendements sont normalement distribués alors tous que nous devons suivre est l’espérance et la variance.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance Finance de marché Nous pouvons facilement récapituler ceci par l’écriture matricielle suivante : 0 1 E( Ra) E( R) = @ E( Rb)A E( Rc) Et la matrice de covariance est sous la forme suivante : 0 1 V ( Ra) σ AB σ AC V ( Rb) σ BC A Cov( R) = @ σ AB σ AC σ BC V ( Rc)

Cette matrice est d’une importance séminale en …nance. Elle est nommée la matrice « Variance-Covariance » .

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Ainsi, sur la base des éléments vus précédemment on peut déduire que la rentabilité espérée du portefeuille est : 0 1t 0 1 xa E( Ra) E( Rp) = X E( R) = @ xbA @ E( Rb)A E( Rc) xc

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché De même, la variance du portefeuille est donc :

σ2p = X t

Firano Z. ()

0

1t 0 10 1 xa V ( Ra) σ AB σ AC xa V ( Rb) σ BC A @ xbA V X = @ xbA @ σ AB xc σ AC σ BC V ( Rc) xc 0 1t xa 1 1 1 =1 s.t. X t I = @ xbA xc

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché min σ2p

xa,xb,xc

s.t.E( Rp) xt I

Firano Z. ()

= xt Vx = xt E( R) = 1

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché L’algèbre matriciel peut être employé pour formuler une solution analytique au problème de minimisation. Puisque les conditions de premier ordre se composent de cinq équations et cinq inconnus (pour l’exemple de trois actifs) alors, nous pouvons représenter ce résultat sous forme matricielle.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché 0

2σ2A B 2σ AB B B 2σ AC B @ E( Ra) 1

|

Firano Z. ()

2σ AB 2σ2B 2σ BC E( Rb) 1

2σ AC 2σ BC 2σ2C E( Rc) 1 J

{z

E( Ra) E( Rb) E( Rc) 0 0

10 1 0 1 1 0 xa C B C B 1C C B xbC B 0 C C B B C 1C B xc C = B 0 C C 0A @ λ1 A @ E( Rp)A 0 λ2 1 | {z } B | {z } } X

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Alors la solution pour le vecteur des poids et lambda est la suivante : X = J(

Firano Z. ()

1)

B

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance

Finance de marché Le portefeuille à risque minimal est celui qui procure une immunisation contre le risque. 0

2σ2A B2σ AB B @2σ AC 1

|

Firano Z. ()

2σ AB 2σ2B 2σ BC 1

2σ AC 2σ BC 2σ2C 1

J

{z

X = J(

10 1 0 1 0 xa 1 B xbC B0C 1C CB C = B C 1A @ xc A @0A λ1 1 0 | {z } B | {z } } X 1)

B

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance : Pour Rappel du calcul matriciel (L’inverse de la Matrice)

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Finance Finance de marché Pour illustrer ce propos, prenons l’exemple ci-dessous : Sur la base des données suivantes veuillez determiner selon l’approche matricielle le portefeuille à risque minimal Si la rentabilité exigée est de 10%, déterminer le portefeuille qui procure ce rendement avec le minimum de risque. Espérance A 0,175

Espérance B 0,055

Variance A 0,01

Variance B 0,02

Covariance(A,B) 1

Calculer la rentabilité éspérée et le risque de ce portefeuille par approche matricielle

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Optimisation des portefeuille Théorie des portefeuilles Si on considère que le portfeuille de titre est composé de plusieurs titres (n) à 1 poids d’investissement ( ) et de rentabilité (r ) et écartype identiques (σ), alors n les caractéristique du portfeuille sont : r + r + r... + r Rp = =r n s σ2 1 σp = + ρσ2 1 n n Si n augmente donc le risque à tendance à baisse pour atteindre un niveau bas. Risque Total =Risque diversi…able + Risque systèmique Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de Markowitz Présentation matricielle

Optimisation des portefeuille : exercice

Théorie des portefeuilles On considère un nombre d’action dont les caractéristiques identiques sont :

Rentabilité espérée Volatilité Corrélation

9% 30% 50%

1

Calculer la rentabilité du portfeuille pour 1 , 10, 20, 30 et 100 titres

2

Déterminer le risque de portefeuille pour 1 , 10, 20, 30 et 100 titres

3

détérminer le risque diversi…able et le risque systèmique

4

Présenter graphiquement la diversi…cation

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de marché

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

126 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Le modèle de marché ou le modèle indiciel de Sharpe, est un modèle purement économétrique employé pour expliquer le comportement des rentabilités d’actifs. C’est une généralisation du modèle rentabilité espéré (CER, chapitre 3). Ce modèle permet d’expliquer le comportement des actifs suivant un facteur systémique. Il n’est pas à confondre avec le modèle d’équilibre des actifs …nancier (MEDAF ou CAPM), qui explique les rentabilités à l’équilibre.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

127 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Le modèle de marché est de la forme générique suivante : Rit = αi + β(i,M) R Mt + εit ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

Où Rit est la rentabilité de l’actif i (I = 1,. . . , N) entre deux périodes, et R Mt est la rentabilité d’un portefeuille d’indice du marché entre deux périodes.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

128 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Le portefeuille d’indices de marché est généralement le portefeuille le plus diversi…é du marché et c’est généralement l’indice composite du marché (comme le MASI, S&P 500, etc.). Le Beta mesure par ailleurs la sensibilité de la rentabilité de l’actif à celle du marché. L’intuition derrière le modèle de marché est la suivante. L’indice du marché RMt capture les évolutions macroéconomiques et systémiques a¤ectant tous les actifs sur le marché. Les éléments spéci…ques sont captés via les résidus du modèle.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

129 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Le modèle de marché peut être augmenté pour capturer des facteurs multiples. Le modèle de marché prend donc la forme suivante : Rit = αi + β(iF) F1t + + β(iF) F2t + ... + εit ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

Où Fjt dénote les facteurs systémiques, βi, j est le changement des actifs suite à un mouvement des facteurs et εit est une composante aléatoire.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

130 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Dans la littérature sur les modèles multiples de facteurs, les facteurs sont habituellement des variables qui capturent les caractéristiques spéci…ques de l’économie ; par exemple l’indice du marché, évolution de PIB, in‡ation inattendue etc., et des caractéristiques spéci…ques ou propres à l’industrie.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

131 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché Les hypothèses statistiques étant à la base du modèle de marché et sont comme suit : 1

2 3 4 5 6

(Rit, RMt) sont conjointement normalement distribués pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T. E [εit ] = 0 pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T. Variance de εit = σ2 pour I = 1,. . . , N (homoscédasticité). COV(εit , R Mt ) = 0 pour I = 1,. . . , N et t = 1,. . . , T. Cov(εit , ε js ) = 0 pour tout t, s and i = j εit suit une loi normale.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance Finance de marché Les propriétés inconditionnelles des rentabilités dans le modèle de marché sont basées sur la distribution marginale des rentabilités : c’est-à-dire, la distribution de Rit sans tenir compte des informations sur RMt. Ces propriétés sont récapitulées dans la proposition suivante :

E( Rit ) var ( Rit) Cov( Rit, Rjt) β(i,M)

Firano Z. ()

= αi + β(i,M) E( R Mt ) =

β2(i,M) V ( R Mt ) + V (εit )

= V ( R Mt ) βi β j =

Cov( Rit , R Mt ) Var ( R Mt )

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance

Finance de marché La covariance est dépendante des liens entre les facteurs de sensibilité : 1

σij = 0 si βi = 0 ou β j = 0 ou les deux

2

σij

0 si βi et β j sont de même signe

3

σij

0 si βi et β j sont de signe opposé

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

134 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance : décomposition du risque

Finance de marché L’analyse du risque via la variance indique que chaque actif est composé de deux types de risque ; un risque spéci…que et un risque systémique. La décomposition de ce risque est faite suivant l’approche ANOVA qui consiste à mesurer la proportion de chaque risque via la relation suivante : 1=

Firano Z. ()

( β2i σ2M + σ2ε ) ( β2i σ2M ) (σ2ε ) (σ2i ) = = + 2 (σ2i ) (σ2i ) (σ2i ) (σi )

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance : décomposition du risque

Finance de marché Alors on peut écrire : R2 =

( β2i σ2M ) =1 (σ2i )

(σ2ε ) (σ2i )

Et le risque spéci…que est calculé comme suit : 1

Firano Z. ()

R2 =

(σ2ε ) (σ2i )

Gestion des portefeuilles

2019-2020

136 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Modèle

Finance : décomposition du risque

Finance de marché R2 mesure la proportion du risque systémique dans tout le risque. William Sharpe a calculé R2 pour des milliers d’actifs et a constaté que pour une action R2'0.30. C’est-à-dire, 30% de la variabilité de la rentabilité est dûe à la variabilité globale du marché et 70% de la variabilité est dû aux facteurs spéci…que non liés au marché.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

137 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance : décomposition du risque

Finance de marché Un des grands résultats de la …nance de marché est la diversi…cation, plus on diversi…e le portefeuille plus le risque diminue. Par ailleurs, le risque systémique ne peut être objet de diversi…cation ni de réduction. Le Beta du modèle de marché capture ce risque spéci…que ou la sensibilité à ce risque. Considérer un échantillon de la taille T des observations de Rit et RMt. Nous employons la notation rit et le rMt minuscules pour dénoter des valeurs observées.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

138 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance Finance de marché La méthode des moindres carrés consiste à trouver le meilleur ajustement qui lie les deux variables. Ceci peut être écrit sous la forme suivante : E( Rit ) = αi + β(i,M) E( R Mt ) L’erreur du modèle est estimé via : ε=R

E( Rit )

La ligne de régression des moindres carrés est celle qui réduit au minimum la somme d’erreur au carré (SSR) : SSR =

Firano Z. ()

∑ ε2 = ∑ ( R Gestion des portefeuilles

E( Rit ))2

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance Finance de marché La solution du problème donne : b α

b β

b βR M

=

Ri

=

∑( Ri Ri )( R M R M ) ∑ ( R M R M )2

Le coe¢ cient de détermination qui permet de con…rmer la force d’explication du modèle est décrit par la forme suivante : R2 =

Firano Z. ()

b β V (RM ) =1 V ( Ri ) Gestion des portefeuilles

V ( εi ) V ( Ri )

2019-2020

140 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance

Finance de marché En utilisant la régression pour le modèle de marché, E( Rit ) = E(αi ) + β(i,M) E( R Mt ) La première hypothèse à tester est de savoir si la valeur de α = 0 H0 : α = 0 contre H1 : α = 0. Si H0 est vrai alors la régression est de la forme Rt = βR Mt + εt

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

141 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance

Finance de marché A…n de tester nous utilisons souvent le t-statistique : t α =0 =

b α 0 SE(b α)

« SE » est l’écartype d’Alpha. Si la valeur absolue de tα=0 est beaucoup plus grande que 2 alors on rejette l’hypothèse nulle. Dans le cas inverse on accepte H0. On rejette H0 sur la base du t-statistique, ainsi en supposant qu’il suit une loi de student alors on rejette H0 lorsque : H0 α = 0 au niveau de 5% si jt(α=0) j

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

jt(T

2)

(0.025)j

2019-2020

142 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Estimation du modèle

Finance

Finance de marché Dans la régression du modèle le β mesure la contribution des actifs à la variabilité du portefeuille du marché. L’hypothèse de validation est la suivante : H0 β = 1 contre H1 β 6= 1. Cette hypothèse peut être testée via le t-statistique : t α =0 =

b β

1 b SE( β)

L’hypothèse nulle est rejetée au niveau de 5% par exemple si jtβ=1j (0.025)j.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

jtT

2019-2020

2

143 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Diversi…cation

Finance

Finance de marché

∑ xi (αi + β(i,M) r Mt + εit ) = ∑ xi αi + ∑ xi β(i,M) r Mt + ∑ xi εit r pt =

r pt = α p + β p r Mt + ε p

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

144 / 190

Gestion des portefeuilles Modèle de marché Diversi…cation

Finance

Finance de marché V (r pt ) = β2p V (r Mt ) + V (ε p )

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

146 / 190

Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de marché Le modèle d’équilibre des actifs …nanciers (CAPM) est un modèle d’équilibre pour les rentabilités espérées et se fonde sur un ensemble d’hypothèses fortes.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

2019-2020

147 / 190

Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de marché Hypothèses du CAPM Beaucoup d’investisseurs qui n’ont pas d’in‡uence sur les prix ; Tous les investissements ont le même horizon temporel Il n’y a aucun impôt ni coût de transactions Les investisseurs peuvent emprunter et prêter au même taux sans risque ; Les investisseurs s’inquiètent seulement de la rentabilité et du risque. Tous les investisseurs ont les mêmes informations et croyance sur la distribution des rentabilités ; Le portefeuille du marché se compose de tous les actifs sur le marché.

Firano Z. ()

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de marché Les implications de ces hypothèses sont : Tous les investisseurs emploient l’algorithme de Markowitz pour déterminer le même ensemble de portefeuilles e¢ cients. C’est-à-dire, les portefeuilles qui sont des combinaisons des actifs sans risque et actifs risqué (portefeuille maximise le ratio de Sharpe). Puisque chacun tient le même portefeuille et les actifs sans risque alors la demande globale des actifs est simplement le portefeuille tangent. Par conséquent, dans l’équilibre le portefeuille tangent est le portefeuille du marché.

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM)

Finance

Finance de marché Puisque le portefeuille du marché est e¢ cient et il y a des actifs sans risque alors la SML est valables pour tous les actifs sur le marché : E[ Ri ] = r f + β(i,M) ( E[ R Mt ]

rf)

Ri est la rentabilité, le RM est la rentabilité du marché et le βi,M = cov( Ri, RM)/var ( Rm).. Le SML indique qu’il y a un rapport linéaire entre la rentabilité prévue sur des actifs et le « bêta » de ces actifs avec le portefeuille du marché.

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Relation entre modèle de marché et le CAPM

Finance Finance de marché Le CAPM est lié au modèle du marché de la façon suivante. D’abord, considérer la régression du modèle du marché : Rit = αi + β(i,M) R Mt + εit ,

i = 1, ..., N; t = 1, ..., T

En déduisant l’actif sans risque des deux cotés : r f = αi + β(i,M) R Mt + εit

Rit

rf

En rajoutant et soustrayant par β(i,M) r f : Rit

rf

= αi + β(i,M) R Mt

Rit

rf

= αi

r f + β(i,M) r f + β(i,M) ( R Mt

Rit

rf

= αi

r f (1

avec Firano Z. ()

:

αi = αi

β(i,M) r f + εit

β(i,M) ) + β(i,M) ( R Mt r f (1

r f + β(i,M) r f r f ) + +εit r f ) + εit

β(i,M) )

Gestion des portefeuilles

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de marché Le rapport de SML permet un essai du CAPM en utilisant une version modi…ée de l’équation de régression du modèle du marché. Pour voir ceci, considérer l’équation de régression de la rentabilité excessive de modèle du marché :

Rit

Firano Z. ()

r f = αi + β(i,M) ( R Mt

Gestion des portefeuilles

r f ) + εit

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de marché Du modèle SML nous voyons que le CAPM impose la restriction suivante : αi = 0 Une stratégie simple d’essai du CAPM est la suivante : Estimer le modèle de rentabilité excessive Examiner si α = 0 dans chaque régression

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Gestion des portefeuilles Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Tester le CAPM

Finance

Finance de marché 0 ceci indique que les actifs rapportent plus de rentabilité Supposer que αi prévue par excès à ce que le CAPM prévoit. Le CAPM prévoit donc que cette action est sous-évaluée parce qu’il a prévu que retour d’excès est plus haut que ce que le CAPM prévoit. Pour tester le α il faut recourir au t-student de la même façon que le modèle de marché.

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Initiation à la gestion obligataire

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Initiation à la gestion obligataire Dé…nition

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Les obligations sont des titres de créances qui obéissent à la même logique que les emprunts obligataires. Il existe plusieurs typologie d’obligations, dont les plus connues sont :

Firano Z. ()

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2019-2020

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Gestion des portefeuilles Initiation à la gestion obligataire Dé…nition

Les obligations

Introduction Gestion obligataire Les obligations à taux …xes ou vanille : Ils sont des obligations classiques qui se distinguent par le versement d’un taux (intérêt …xe ou coupon) déterminé lors de l’émission du titre et une périodicité de versement généralement annuelle. Les obligations à taux ‡ottant : Ces obligations donnent lieu à des coupons variables. Et leur variation dépend du taux de référence à savoir celui du marché. A chaque échéance du coupon, la valeur de celui-ci sera calculée en fonction de ce taux de marché. Ceci permet d’annuler le risque de taux. Pour ce type d’obligations, l’émetteur et le souscripteur font le pari inverse sur une forte variation des taux d’intérêt. Si les taux montent, le gain sera en faveur du souscripteur et inversement dans le cas contraire.

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire Les obligations à zéro coupon : Ces obligations ne génèrent pas de coupons durant toute leur durée de vie contrairement aux obligations classiques. Dans le but d’être plus attractives, l’ensemble de ces coupons est versé à l’échéance et doit être impérativement supérieur à la valeur nominale de l’obligation. Les obligations convertibles en action existentes (OCAE) : Sont des obligations qui donnent droit et non l’obligation à son porteur de les convertir à des actions nouvelles de la société émettrice. Le prix auquel l’obligation est convertible est …xé au moment de l’émission et non au moment de conversion selon des modalités …xés à priori. Lorsque l’acheteur de ce type d’obligation accepte la conversion, l’entreprise émettrice des OCAE incite ses actionnaires à revendre leurs actions au porteur de ce type d’obligation.

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Les obligations Introduction Gestion obligataire Les obligations remboursables en action (ORA) : Sont des obligations ordinaires, qui se distinguent par un remboursement sous forme d’action et pas en espèce. L’opération d’échange se réalise à l’échéance …nale de l’emprunt et non pas à tout moment contrairement au OCA. Les obligations indexées sur l’in‡ation : Les obligations indexées sur l’in‡ation émis principalement par les gouvernements, se distinguent des obligations nominales, par le fait que les paiements qu’elles génèrent soient indexés sur un indice d’in‡ation (Ex : prix à la consommation). L’indexation peut porter uniquement sur le capital, ou sur les coupons, a…n de protéger le pouvoir d’achat de l’investisseur ( risque d’in‡ation) tout au long de la durée de vie de l’obligation, et lui assure un rendement réel, contrairement aux obligations non-indexées qui génèrent un rendement nominal.

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire La valeur actuelle d’une obligation est la somme des cash ‡ows actualisés, incluant les coupon et le principal. Le prix des obligations conventionelle à taux annuel est :

P=

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c c M + ..... + + 2 1 + r (1 + r ) (1 + r ) n n c M P=∑ + i (1 + r ) n i =1 ( 1 + r )

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire La duration d’un instrument est calculée en prenant la moyenne de maturités de ‡ux de liquidités, où chaque maturité est pesée selon le rapport entre la valeur actuelle du ‡ux de liquidités pour une maturité donnée et le prix (ou des cours en bourse) de l’instrument. A calculé de cette façon, la duration représente un indicateur de risque qui tient compte de la vie résiduelle de l’instrument et de la valeur des coupons ou des revenus générés.

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire Cette duration de Macauley, puisse être énoncé analytiquement comme suit : T

D=

∑t t =1

CFt (1+ t ) t a

P

a D :duration ; t :maturit de di¤rents ‡ux de liquidits de …nancement exprims en annes ; CF :‡ux de liquidits ; r :rendement e¤ectif la maturit demande par le march pour la maturit T ; P :prix ou cours en bourse de l’instrument concern ; T :maturit.

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire La duration est en e¤et, la dérivée des prix par rapport à un changement in…nitésimal du taux d’intérêt.

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Les obligations Introduction Gestion obligataire Le calcul de la duration est basé sur la moyenne pondérée des maturités et est donc exprimé, généralement, en années. En outre, plus la duration d’un instrument de taux …xe est plus grande plus la vie résiduelle de l’instrument concerné est longue et plus les coupons sont faibles. En e¤et, les obligations avec une plus grande duration sont ceux avec une plus longue vie résiduelle et un coupon modéré. Et dans le cas d’une obligation à coupon unique la durée est exactement la même que la vie résiduelle de l’obligation. Une autre caractéristique principale doit être considérée pour la duration d’un portefeuille. On pourrait facilement prouver que la duration d’un portefeuille n’est rien d’autre que la moyenne des duration des di¤érentes obligations qui composent ce portefeuille. Firano Z. ()

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire Pour améliorer la qualité de cette approximation, relative à la variation des prix des actifs suite à la variation des taux, on peut employer la convexité qui aide à apporter la modi…cation des prix prévus plus près de la réelle. Considérant le développement de Taylor de la fonction des prix, en lien avec les taux : ∞

P(r0 + ∆r ) = P(r0 ) + ∑ P( j) (r0 ) j =1

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(∆r ) j j!

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Les obligations Introduction Gestion obligataire Suivant l’approximation d’ordre 1 on obtient la duration et en utilisant celle du second ordre on aura la convexité :

(∆r )2 2 (∆r )2 0 00 P(r0 + ∆r ) = P(r0 ) P (r0 ) MD ∆r + P (r0 ) 2 ∆P P00 (r0 ) (∆r )2 a = MD ∆r + P (r0 ) P(r0) 2 0

P(r0 + ∆r ) = P(r0 ) + P (r0 )(∆r ) + P00 (r0 )

a

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire Dans ce sens, la variation des prix est égale : ∆P = P (r0 )

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MD ∆r + MC

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(∆r )2 2

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Les obligations

Introduction Gestion obligataire D’un point de vue théorique, si la duration indique la pente du rapport des prix/taux, la convexité indique par ailleurs, le changement a¤ectant cette pente. D’une façon générale, la courbe (relation prix et taux) est convexe pour et plus la convexité est forte, plus l’utilisation de la duration uniquement est sujet à biais. En e¤et, quand les taux du marché baissent, une convexité élevée produit une hausse forte du prix des obligations. Et vice versa.

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Gestion des portefeuilles Initiation à la gestion obligataire Obligations, taux spots et taux futurs

Les obligations : taux spot

Introduction Gestion obligataire L’obligation zéro coupon est celle qui ne verse pas de coupon et peut être exprimée de la forme suivante :

P(t, T ) = r (t, T ) = P(t, T )

1 n

1 (1 + r (t, T ))n

1 =) Taux Zéro coupon

continu :P(t, T ) = e r(t,T)(T t) 1 log r (t, T ) = ( ) log P(t, T ) n

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Les obligations : taux futurs Introduction Gestion obligataire Considérons un contrat à terme (contrat forward) qui promet au temps t de payer un montant dans le futur à l’instant T1 et de recevoir un paiement en retour à l’instant T2 (T2 > T1) . En fait, ce contrat n’est qu’un contrat forward exercé sur une obligation à coupon zéro qui échoit en T2 . Mais quel est le prix du forward ? Il existe une façon de dupliquer ce contrat au temps t en achetant une obligation à coupon zéro qui échoit en T2 et en vendant une quantité de x unités de l’obligation qui échoit en T1 . Cette procédure a comme coût initial : P(t, T2 )

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xP(t, T1 )

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Les obligations : taux futurs Introduction Gestion obligataire Au temps t et requiert un paiement y au temps T1 qui produira un montant de 1MAD au temps T2. Le prix de ce contrat à terme doit par dé…ition avoir une valeur nulle (Absence de possibilité d’arbitrage) à l’instant T1 . Par conséquent, x prend la valeur suivante : x=

P(t, T1 ) P(t, T2 )

A l’achat d’une obligation qui échoit en T2 au temps T1 . Le taux forward peut être obtenu de la manière suivante. Nous savons que le prix forward d’une obligation à coupon zéro qui échoit en T2 au temps T1 est donné par : P(t, T1 ) =e P(t, T2 ) Firano Z. ()

f 1(t1 t2)

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Les obligations : taux futurs

Introduction Gestion obligataire En prenant le logarithme de chaque membre de cette expression et après quelques manipulations, on obtient l’expression du taux forward : ln( P(t, T2 )) ln( P(t, T1 )) T2 T1 r2 t2 r1 t1 ou` f (1, 2) = t2 t1 ∂r (t) ´ eral ´ : f (t) = lim f (t, t + dt) = r (t) + G en t dt!0 ∂t f (1, 2) =

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Hypothèses

Introduction Gestion obligataire Trois théories ont été proposées pour expliquer la structure de condition des taux d’intérêt - c.-à-d., le rapport parmi des taux d’intérêt sur des obligations de di¤érentes maturités ré‡échies dans des modèles de courbe de rendement : la théorie d’espérances, la théorie segmentée des marchés, et la théorie de la meilleure qualité de liquidité.

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Hypothèses Introduction Gestion obligataire La théorie d’espérances de la courbe des taux énonce la proposition suivante : le taux d’intérêt sur une obligation à long terme égalera une moyenne des taux d’intérêt à court terme. La prétention principale derrière cette théorie est que les acheteurs des obligations ne préfèrent pas des obligations d’une maturité supérieure, alors ils ne garderons pas une obligation à maturité élevée que si le taux rémunère. Les obligations qui ont cette caractéristique serait les produits de remplacement parfaits. Ce que signi…e dans la pratique ceci est que si les obligations avec di¤érentes maturités sont les produits de remplacement parfaits, le rendement prévu sur ces obligations doit être égal :

in =

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i1 + i2 + ....in n

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1

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Hypothèses Introduction Gestion obligataire La théorie segmentée des marchés de la courbe des taux considère que des obligations de di¤érentes-maturités comme complètement séparées et segmentées. Le taux d’intérêt pour chaque obligation avec une maturité di¤érente est alors déterminé par l’o¤re et la demande en cette obligation. La prétention principale dans la théorie segmentée des marchés est que les obligations de di¤érentes maturités ne sont pas des produits de remplacement, ainsi le retour prévu d’une obligation d’une maturité n’a aucun e¤et sur la demande d’une autre obligation de maturité di¤érente. Cette théorie est à l’extrémité opposée à la théorie d’espérances, qui suppose que les obligations de di¤érentes maturités sont les produits de remplacement parfaits.

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Hypothèses

Introduction Gestion obligataire La théorie de l’habitat préféré déclare que le taux d’intérêt sur une obligation à long terme égalera une moyenne de taux d’intérêt à court terme plus une prime de liquidité. On assume que des obligations de di¤érentes maturités sont des produits de remplacement mais pas parfait. in = aP

l

i1 + i2 + ....in n

1

+ Pl a

: prime de liquidit

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés

Les axes du séminaire 1

Introduction générale

2

C’est quoi la …nance ?

3

La notion de rentabilité

4

Le modèle de rentabilité espérée constante

5

Introduction à la gestion de portefeuilles

6

Modèle de Markowitz

7

Modèle de marché

8

Le Modèle d’évaluation d’actifs …nanciers (MEDAF/CAPM) Firano Z. ()

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés E¢ cience des marchés

Les marchés …nanciers Finance de marché Le rapport entre la création de valeur et le prix exige une autre condition : l’e¢ cience des marchés …nanciers. Un marché e¢ cace est un marché dans lequel les prix re‡ètent à tout moment rapidement toutes les informations disponibles. Les termes "marché parfait" ou "marché d’équilibre" sont synonymes de "marché e¢ cace". Sur un marché e¢ cace, les prix indiquent immédiatement les conséquences des événements passés et de toutes espérances au sujet des événements futurs. Il est donc impossible de prévoir les variations futures du prix d’un instrument. Seulement la nouvelle information changera la valeur. C’est la caractéristique de la marche aléatoire.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés E¢ cience des marchés

Les marchés …nanciers

Finance de marché Le système …nancier doit toujours être en e¢ cience de sorte que les prix convergent vers leur niveau intrinsèque. Plus spéci…quement, Eugene Fama (1970) a développé trois dé…nitions d’e¢ cience : l’e¢ cience informationnelle se rapporte à l’habileté d’un marché à re‡éter entièrement et rapidement les nouvelles informations ; l’e¢ cience allocative implique que les marchés dirigent des ressources vers leur utilisation la plus productive ; l’e¢ cience opérationnelle concerne la possibilité de fonctionner avec le minimum de coût de transaction.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Capacité de prévoir les prix Finance de marché Sur un marché e¢ cace au sens faible, il est impossible de prévoir les rentabilités futures. Les prix existants indiquent déjà toute l’information qui peut être glanée d’étudier des prix et des volumes d’échange passés, des taux d’intérêt et des rentabilités. Des gains de rentabilités peuvent être obtenus seulement si les investisseurs ont le privilège de l’information. Selon la faible-forme d’e¢ cience, le prix des actifs est composé de trois composantes : 1 2 3

le dernier prix disponible (Pt 1 ) ; la rentabilité prévue ; un composant irrégulier dû à la nouvelle information. Ce composant d’erreur irrégulière est indépendant des événements passés et imprévisible à l’avenir.

Quand les prix suivent ce modèle, ils suivent une marche aléatoire.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Capacité de prévoir les prix

Finance de marché Il faut tester l’équation suivante : Pt = Pt 1 + µ + ε R = Pt Pt 1 = µ + ε

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Capacité de prévoir les prix

Finance de marché On peut utiliser également deux tests spéci…ques pour savoir si R est un bruit blanc ou il existe une autocorrélation : Test d’autocorrelation (Q statistique) : ρ=Q

stat = Corr ( Rt , Rt 1 )

Test BDS : Test d’autocorrélation non linéaire (H0 : est iid) Exposant de Hurst

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Capacité de prévoir les prix Finance de marché L’exposant de Hurst "H" est décrit par la forme suivante :est un outil permettant de mesurer la persistance d’une série …nancière en se référant au calcul de la statistique R/S « Range over standard déviation » . Cette dernière est dé…nie comme étant l’étendu des sommes partielles des écarts d’une série temporelle à sa moyenne divisé par son écartype. La formalisation standard du R/S est la suivante : k

Max R/S =

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∑ ( xi

i k T

xT ) q

Min ∑( xi

xT )

∑ ( x x )2 n

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Capacité de prévoir les prix Finance de marché La plupart des études (E. Peters, 1994) ont conclu que la statistique R/S peut s’écrire sous la forme suivante : R/S u nh ) log( R/S) = h log(n) + log( a)a Si H=0,5 : système indépendant ou une marche aléatoire ; Si 0,5 H 1 : une forte persistance ; Si H 0,5 : une anti-persistante. a Avec a Avec

n est le nombre d’observation et h l’exposant de Hurst n est le nombre d’observation et h l’exposant de Hurst

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Réponse aux évènements spéci…ques

Finance de marché Un marché e¢ cace semi-fort intègre toute l’information publique. L’e¢ cience Semi-forte est supérieure à l’e¢ cience faible parce qu’elle exige que des prix courants comprennent l’information historique et publique. Cette dernière, par exemple, est disponible dans : des états …nanciers ; analyse des entreprises expertise et avis des spécialistes.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Réponse aux évènements spéci…ques

Finance de marché Cette hypothèse peut être empiriquement évaluée en étudiant la réaction des prix du marché aux événements de l’entreprise (études d’événements). En fait, le prix d’une action réagit immédiatement à n’importe quel avis et nouvelle information. Sur un marché e¢ cace, aucun impact ne devrait être observable avant l’avis, ni pendant les jours suivant l’avis.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Information initiée et e¢ cience forte

Finance de marché Sur un marché …nancier fortement e¢ cace, les investisseurs avec l’information privilégiée ou d’initié ou avec un monopole sur certaine information ne peuvent pas in‡uencer des prix des valeurs mobilières. C’est "la forme forte" d’e¢ cience. Ceci est vrai seulement quand les régulateurs de marché …nancier ont la puissance d’interdire et punir l’utilisation d’information d’initié.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Formes d’e¢ cience

Les marchés …nanciers

Finance de marché Les marchés réels approchent la théorie d’un marché e¢ cace quand : les participants ont accès peu coûteux à toute l’information ; les coûts de transactions sont trés bas ; le marché est trés liquide ; et les investisseurs sont rationnels.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Quelques critiques

Les limites

Finance de marché La grande majorité des travaux sur l’e¢ cience ont concerné les formes faibles et semi-fortes de l’e¢ cience. Une technique employée couramment pour véri…er l’e¢ cience faible est d’examiner la corrélation des retours quotidiens (corrélation périodique). L’existence d’une corrélation - indépendamment de son signe - implique que les rentabilités d’un jour sont in‡uencées par celles d’hier. Ceci contredit l’e¢ cience, qui déclare que les prix suivent une marche aléatoire.

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Gestion des portefeuilles Prix et e¢ cience des marchés Quelques critiques

Les limites Finance de marché La théorie d’e¢ cience semi-forte peut être mesurée de deux manières : avec les études d’événement qui examinent la réaction du marché aux avis des entreprises, ou avec l’analyse de la performance de fonds communs de placement. L’analyse d’événement est basée sur l’évaluation de rentabilités anormales, selon l’hypothèse semi-forte d’e¢ cience, la rentabilité anormale devrait être observable seulement le jour où l’information devient publique. Comme cité précédemment, toute l’information précédente devrait avoir été déjà comprise dans des prix du marché. Le rendement durant la période constatée est ainsi in‡uencé seulement par la nouvelle information inattendue. La méthodologie d’étude d’événement de restructuration d’entreprises.

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