Filtration Sous Pression - Équations de Base - Gâteau Incompressible [PDF]

Zitiervorschau

2.2. Équations de base – Gâteau incompressible Dans le cas des gâteaux incompressibles, la résistance du gâteau est directement proportionnelle à la masse de solide sec déposée par unité de surface (𝑤) : (4.4)

𝑅 𝑐 = 𝛼 𝑚𝑤 où 𝛼𝑚 est la résistance spécifique massique du gâteau. La masse de solide sec du gâteau ( la relation suivante :

) est reliée à la surface filtrante ( ) selon (4.5)

La masse de solide sec du gâteau peut être reliée au volume de filtrat en faisant un bilan de masse. Tout d’abord, il faut définir la fraction solide massique ( ) dans chacune des phases. Pour le fluide particulaire à filtrer, la fraction solide massique est définie comme étant :

(4.6) La fraction solide massique du gâteau est pour sa part définie comme étant :

(4.7) Le bilan de masse du liquide peut être écrit en tenant compte de

et

:

C’est-à-dire : (4.8) où 𝜌𝑙 est la densité du liquide du fluide particulaire et 𝑉𝑓 est le volume de filtrat. Dans ce bilan de masse, tout le fluide particulaire a été filtré pour former un gâteau. Après réarrangement et en utilisant l’équation 4.8, l’équation 4.5 devient :

(4.9) 𝑐

où (4.10)

est la concentration solide du gâteau exprimée en termes de masse de solide du gâteau par unité de volume de filtrat correspondant. En substituant 𝑅𝑐 de l’équation 4.4 dans 4.2 et en utilisant l’équation 4.9, l’équation de base d’une filtration sur gâteau sous pression devient :

(4.11) Dans l’équation 4.11, le débit 𝑄 a été modifié en faisant apparaître un nouveau terme 𝑉 qui est le volume spécifique de filtrat, soit le volume de filtrat par unité de surface. Les unités de 𝑑𝑉/𝑑𝑡 correspondent à une vitesse (m/s) que l’on appelle également vélocité d’approche. 2.2.1. Filtration à pression constante Pour une filtration à pression constante, l’équation 4.11 peut s’intégrer comme suit :

(4.12) pour obtenir (4.13) Lorsque le volume spécifique n’est pas nul, cette équation peut être réarrangée pour obtenir une droite avec (𝑡⁄𝑉) en ordonnée et 𝑉 en abscisse : (4.14) où

et

En pratique, la pression varie au début de la filtration et l’équation 4.12 n’est valable que pour les cas où l’établissement de la pression est instantané. Pour les autres cas, les bornes inférieures d’intégration de cette équation doivent être remplacées par les valeurs de début de filtration à pression constante, soit 𝑡0 et 𝑉0. Le résultat de l’intégration devient donc :

(4.15) Dans le cas où la pression est appliquée progressivement, le débit initial doit être modéré pour éviter l’infiltration de particules au travers du médium filtrant propre.

Cette infiltration de particules contamine le filtrat. Un débit initial modéré permet également d’assurer une distribution uniforme du gâteau sur le filtre. 2.2.2. Filtration à débit constant Pour une filtration à débit constant et à pression variable, l’équation 4.11 devient :

(4.16) où (4.17) Ainsi, en isolant la pression dans l’équation 4.16, on obtient :

(4.18) où le premier terme représente la perte de charge au travers du gâteau et le deuxième terme représente la perte de charge au travers du filtre. L’équation 4.18 permet d’obtenir une droite avec 𝑃 en ordonnée et 𝑡 en abscisse. La pente de cette droite est égale à 𝛼𝑚𝜇𝑐𝑣2 et l’ordonnée à l’origine est égale à 𝑅𝑓𝑄/𝐴, où la variable 𝑣 est la vélocité d’approche :

(4.19)