Feynman Vorlesungen uber Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Definitive Edition, 5. Auflage 3486581074, 9783486581072 [PDF]

Zitiervorschau

Feynman Vorlesungen über Physik Band II: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Definitive Edition von Richard P. Feynman, Robert B. Leighton und Matthew Sands 5-, verbesserte Auflage Mit 483 Bildern und i8Tabellen

Oldenbourg Verlag München Wien

Autorisiene Übersetzung der englischen Originalau gabe n The Feynman Lectur on Phy i , The Definitive Edition, 2"" Edition (Volume m by Feynman, Ri hard P; LeighlOn, Roben B.; Sands, Manbew". erschienen bei Pearson Education Inc, publi hing Benjamin Cummings. Copyright © 2006 California Institute of Techoology Pearson Education In Autoren: Prof. Dr. Richard P. Feynman (1918-1988), California Institute ofTechnology. obelpreisträger 196~. Prof. Dr. Roben B. Leighton (1919-1997), CaJifomia Institute ofTechnoJog)~ U Prof Dr. Matthew Sands, Unjversity of CaJifomia Santa Cruz, S. Deut ehe ÜbersetzuIJg: Dr. Marli Mitter Wissen chattliehe Beratung der deutschen Übersetzung: Prof Dr. Heinrich Mitter, Lnstitut rur Theoreti che Physik,

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978-3-486-58107-2

·.

Uber Richard Feynman Richard P. Feynman wurde 1918 in Brooklyn geboren und erlangte 1942 an der Princetoll Unh ersiry, ew Jer ,USA einen Ph.D. Trotz einer Jugend hatte er während de zweiten Weltkri g ine ichtige Rolle im Manhanan-Projekt de Los AIQllloS Laboratory inne. n chließend lehrte er an der Corneff University, Ithaca, ew York 0\ ie am Ca/reell. dem California [nstitule ojTechnology in Pa adena, USA. 1965 erhielt er zusammen mit Shini hirö Tomanaga und Julian S hwinger den Physik- obelprei für -eine Arbeiten zur Quantenelektrodynamik. Fe nman bekam den ob lpreis für die elfolgreiche Lö ung der Probleme mit der Theorie der Quantenelektr d namik. Er entwickelte auch eine mathemati che Theorie, die die Phänomene d r Suprafluidität bei f1ü igem Helium erklärte. Außerdem lei tete er, zu ammen mit Murra Gell- anno grundlegende rbeiten im Bereich der chwachen ech elwirkungen wie dem Beta-Zerfall. In päteren Jahren pielt Feynman eine Schlü elrolle bei der Ent i klung der Quark-Theorie, indem er ein Partonen-Modell hochenergetischer Streuproze e vorlegte. Über die e Lei tungen hinau führte Feynman grundlegende neue Berechnung techniken und Dar teilung arten in die Physik ein, unter anderem die allgegenwärtigen Feynman-Diagramme, die - vielleicht mehr als irgendein anderer Formali mu in der jüngeren Wi enchaft ge chichte - die Art und Weise veränderte, in der elementare phy ikalische Proze e entworfen und berechnet werden. Feynman war ein auß rordentlich erfolgreicher Lehrer. Von all einen zahlreichen Au zeichnungen war er auf die "Oersted Medal Jor Teaching", die er 1972 gewann, be anders stolz. Die "Feynman Vorlesungen über Physik", zuerst 1963 eröffentlicht, wurden von einem Rezensenten im ,Scientific American" wie folgt beschrieben: "Schwierig, aber nahrhaft und voller Ge chmack. ach 25 Jahren sind sie der Leitfaden für Dozenten und ehr gute Phyik tudenten, ' Mit dem Ziel da phy ikali che Verständni von Laien zu erbe em, chrieb Feynman die beid n Bücher" Vom Wesen physikalischer Gesetze" und "QED. Die efrsame Theorie des Lichts und der Materie". Er war außerdem Autor ein r Reihe an pruch voller r Veröffentlichungen, die zu klassi chen Referenzen und Lehrbüchern für For cher und Studenten wurden. Richard Fe nman war ein ge chätzte Persönlichkeit de öffentlichen Leben. Seine Arbeit in der Unter uchung kommi ion zur Challenger-Katastrophe i t weithin bekannt, in be ondere eine berühmte Demon tration der Anfälligkeit der O-Ringe für Kälte - ein elegante Experiment, da nicht weiter al ein Glas Ei wa er erfordert. Weit weniger bekannt ind eine Verdien te im "Calijomia State Curriculum COlnmittee", wo er in den 1960em gegen die Mittelmäßigkeit der Lehrbücher pr te tiert . Die bloße ufzählung Richard Feynman unzähliger wi en chaftlicher und pädagogi her Lei rungen kann da e entlich dieses Manne nicht angemes en fa en. Wie jeder Le er Ib t einer ein r Fa h p zifi ch ten Veröffentlichungen - weiß, cheint Fe nman heitere und

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Über Richard Feymnan

viel eitige Per önlichkeit durch de en ganze Werk hindurch. eben einer Tätigkeit al Physiker war Feynman während eine Lebens als Panzer chrank.k.nacker Kün tIer, Tänzer und Bongo-Spieler zugange, verdiente Geld als Radio-Reparateur und betätigte j h ogar al Entchlü ler von Ma a-Hieroglyphen. Immer neugierig auf die eIL war er ein mu tergültiger Empiriker. Richard Feynman tarb arn 15. Februar 1988 in La Angele.

Vorwort zur Definitive Edition ehr al 40 Jahr ind vergangen, eit Richard Feynman die einführende Phy ik- arIe ung hielt, au der die drei Bände der, Feynmatl Vorlesungen über Physik" ent tanden ind. In die en 40 Jahren hat ich un er V r tändni von der Phy ik grundlegend gewandelt. aber die, Fe)'n11Jan Vorle Utl en über Phy ik" sind geblieben. Sie ind heute noch genau 0 bedeutend wie darnal . al ie zuer t veröffentlicht wurden - dank Feynmans einzigartigen Einsichten in die Phy ik und einer außergewöhnlichen Pädagogik. Die Fe nman- Vorlesungen wurden welt\veit meliert, on Anfängern wie on fonge hrittenen Phy ikem; ie wurden in minde ten ein Dutzend Sprachen über etzt, mit über anderthalb Millionen gedruckten Exemplaren aDein in engli eher Sprache. Vermutlich kein andere mehrbändige Phy ikbuch hatte 0 lange 0 großen Einftu .

Wie e zu dieser Neuauflage kam Die drei Original-Bände der "Feynman Vorlesungen über Physik" wurden in nur kurzer Zeit von Feynman und de en Mitautoren Robert B. Leighlon und Matthew Sand angefertigt - erarbeitet und entwickelt aus den Tonbandaufnahmen und Tafelbildern Feynrnan Vorle ung reihe der Jahre 1961 bi 1963.' Un errneidlich hatten sich hier Fehler einge cblicben. Feynman hatte über die Jahre hinweg lange Li ten beanstandeter Fehler er teHt - Fehler, die von Studierenden und Mitarbeitern de Caltech owie Lesern auf der ganzen Welt entdeckt worden aren. In den I960ern und 1970ern nahm sich Feynman trotz eines aufregenden Lebens die Zeit, elie meisten der bean tandeten Fehler des I. und ll. Bande zu überprüfen, und nahm entsprechende Korrekturen in den folgenden euauftagen vor. Allerdings erreichte Feynmarrs Pflichtgefühl niemal das Au maß einer Begei terung an der Entdeckung neuer Dinge, um sich auch mit den Errata de ill. Bande zu beschäftigen. 2 ach einem viel zu frühen Tod im Jahr 1988 wurden die Li ten der ungeprüften Errata in den Archiven des Caltech deponiert und lagenen dort verge en. 2002 informierte mich Ralph Leighton (der Sohn Robert Leighton und ein Land mann Feynman ) über die alten Errata und eine neue lange Liste, er teilt on Ralph Freund Michael Gottlieb. Leighton chlug vor dass das Caltech diese neue "Definitive Edition" der "Feynman Vorlesungen über Physik mit allen korrigierten Errata anfertigte und veröffentlichte. Feynman war mein Vorbild und ein enger per önlicher Freund. Al ich die Errata-Li ten ab. willigte ich chnell ein zu helfen. Glücklicherwei e wusste ich die ideale Person, die Errata zu überprüfen: Dr. Michael Hartl. I Für Be chreibungen der Ent tehung Feynman Vorle ungen und die er Bände siehe das ..Vorwon zur Gedenkau gabe", , Feynman onvort" und das "Vorwort" in die em und den anderen beiden Bänden. 21975 begann er mit der Überprtifung der Errata de W. Bande, wurde aber durch andere Dinge abgelenkt und beendele niemal die e Aufgabe; omit wurden keine Korrekturen vorgenommen.

Vill

Von\'orr -ur DefiniIi\'e EdilioJl

Hartl hatte vor kurzem am Caltech einen Ph.D. in Phy ik gemachI und den einzigen ..lifetime achievement awardfor exceflence in reaching" erhallen, der jemal einem Caltech- b 1enten von un eren Bachelor-Studenten verliehen wurde. Hartl verfügt üb r ein liefe er tändni der Phy ik. er gehört zu den orgfältigsten Phy ikem, die ich kenn n gelernt habe. und i twie Fe nman - ein herau ragender Pädagoge. CaItech, d. h. Tom Tombr 1I (lnh ber de Lehrtuhl für Ph ik. Mathematik und A lronomie) autorisiene mich. die neu .Definili\·e Editio,," der drei Originalbände zu betreuen. Wir kamen überein. da ichael Hartl in meinem Tarn n die Errata für die .Definitive Edition" überprüfen ollte. Ich würde wied rum ti hprobenartig Hartls Arbeit überprüfen und die SchIu ver ion fr igeben. Zu meinem ergnügen kam alle reibung 10 zum Ende. Feynman, da glaube ich fest, wäre zufrieden und tolz auf d Ergebni.

Die Errata Die Errata. die in die er Auflag korrigiert wurden, tammen au drei Quellen: ungefahr 80% kommen von Michael Gottlieb; der Re t i t zum größten Teil langen Li (en anonymer Le er entnommen, die Feynman in den I970em über den erlag erreichten - da .. brige enttammt kurzen Li ten, die Feynman oder wir von ver chiedenen Le m erhalten haUen.

Korrigiert wurden drei Arten on Errata: I. typographi che Fehler im Text: 2. rund I 0 typographi che und mathemati che Fehler in Gleichungen, Tabellen und bbildungen - chreibfehler falsche Zahlen CZ. B. eine ,,5", die eine,,4' ein ollte) sowie fehlende Indize, ummenzeichen. KJammem und Bezeichnungen in Gleichungen; 3. ungefahr SO fal che Quer erw i auf Kapitel, Tabellen und Abbildungen. Die e Sorte Fehler kann, auch enn ie für erfahren Phy iker nicht onderlich gra ierend ind, fru trierend und erwirrend für tudierende ein, die ja gerade die Le er chaft ind, die Feynman erreichen wollte. E i t bemerken wert. da die Errata lediglich zwei Flüchtigkei fehler in der Ph ik enthalten: In Band I, Seite 654, heißt e nun "Wenn wir da Gummiband au dehnen. teilen wir eine Temperatur teigt" und nicht mehr "fällt", ie in den orangegangenen uffe t, da lagen behauptet: und in Band II, Seite 91, heißt e nun ,.keine tati che Ladung verteilung im Inneren eine ge chlos enen geerdeten Leiters [kann] Felder außerhalb erzeugen' (das ort "geerdet' fehlte in früheren Auflagen). Auf die en zweiten Fehler wurde Fe nman on etlichen Le em hingewie en. und auch von Beulah Elizabeth Cox, einer tudentin d ,.Colle e 0/ William and Mary"', die ich auf Feynmans fehlerhafte Pa sage in einer Prüfung verla en harte. An Beulah Cox chrieb Feynman 1975, 3 "Thr Dozent hatte recht Ihnen keine Punkt zu geben, da Ihre Antwort fal ch war, wie er anband de Gauß chen Ge erze zeigte. ie ollten in der Wi en chaft der Logik. und sorgfältig dargelegten Argumenten glauben. und nicht utoritäten. er tehen. Ich habe einen F hIer gemacht, al 0 Auch sollten Sie da Buch genau lesen und i t das Buch fal eh. Wahr cheinlich habe ich an eine geerdete leitende Kugel g d ht der an die Tat ache, da die ich an ver chiedenen Orten im Inneren bewegenden Ladungen ni ht die Dinge draußen beeinflu en. Ich bin mir nicht icher wie, aber ich habe e verma eIL nd ie haben e auch errna seit, weil ie mir geglaubt haben." Feynman war ich die e und anderer Fehler peinlich bewu l. In einem Brief h I mit dem erlag 19T bezieht er ich .,auf Fehler in der Phy ik in den Bänden l[ und IIl, die mehr 3Michelle Feynman (Ed.): Peifecrl)' ReasoflabJe Del'iacions from rhe Bearefl Track, n,e ullers 01Richard P Fe)'n' man. Ba ic Book, ew York 2005, . 288f.

Vorn'or[ -L1r Definitive Edirion

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al nur lypographi her n ind'·. Ich kenne die anderen Fehler nicht. Sie zu finden. i teine ufgabe für die künftigen Leser l Zu di em Zweck har Michael Gottlieb eine Web ite angelegt (w Jeynmanlecture .info). auf der alle Errata, die in dieser Auflage korrigiert wurden. aufgeli tet ind. zu ammen mit allen neuen Errata, die künftig von Le ern gefunden werden.

Die Struktur die er Auflage Di e ..Definiri\'e Editio/l" beginnt mit einem Teil. der in der., eu zeit" entworfen wurde - lange na h der Er tauflage der ..Feynmon Vorlesungen iiber Physik": Die em orwort. einer kurzen Biographie F nman owie einem "Vorwort zur Gedenkau gabe'" das 1989 on Gerry eugebauer (der an d n orbereirungen der Originalbände beteiligt war) und Da id Good tein (dem rheber d Kur e bzw. d r TV-Produktion "The Mechonicol Uni verse' , einem einführenden Ph ikkur) verfa t wurd . Die daran an chließend n Seiten ind identi ch mü der OriginaJ- uflage. abge ehen von d r Kon'ektur der ElTata.

Erinnerungen an Feynman Vorlesungen Die drei Bände ind eine abge chlo ene pädagogi che Abhandlung. Sie ind auch eine hi tori che Erinnerung an Feynman orle ungen on 1961 bi 1963, ein Pflichtkur für alle rudi nanfanger im er ten und zweiten tudienjahr am Caltech. unabhängig vom Hauptfach, je ich fragen ich ielLeicht die Le er, wie Feynman Vorle ung n die tudierenden beeinflu t hab n. e nman elb t trifft in einem on: ort zu die en drei Bänden eine eher pe imiti che Ein chätzung. ,Ich glaube ni ht, dass ich mit den Studenten ehr gut zurecht gekommen bin", chreibt r. Good teill und eugebauer drücken in ihrem "Sonder-Vorwort" on 19 9 eine gemi chte Ein chätzung au ,während ands in einen Memoiren einen weit positiveren Eindruck äußert. u eugierde kontaktierte ich im Frühjahr 2005 eine qua i-zufallig au ge\ ählte Gruppe von 17 Studenten on ungefähr I SO) aus dem 1961-63er Kur - e waren einige dabei. die große Schwierigkeiten mit dem Kur gehabt hatten, und einige, die ihn mit Leichtigkeit be\ ältigten; und zwar owohl mit dem Hauptfach Biologie, Chemie, Ingenieurwi en chaften. Geologie, athematik und tronomie al auch dem Hauptfach Phy ik. uch wenn der Lauf d r Jahre ihre Erinnerung vielleicht ein wenig euphori ch verfärbt hat, 0 denken aber doch ungefähr O~ an Feynman Vorle ungen als an einen Höhepunl1: ihrer College-Zeit zurück ...E war al ginge man in die Kirche:' Die Vorle ungen waren .,eine grundlegende rfahrung", .,di Erfahmng meines Leben, wahr cheinlich da Wichtig re, da ich v m alt h milg nommen habe". ,Eigentlich war ich Biologie-Sllldent, aber al Höhepunkt meiner Ba hel r-Zeit tachen die Feynman-Vorlesungen hervor ... obwohl ich zugeben rou ,da i h die Hau aufgab n elten r htzeitig erledigen konnte und ich mir chwer getan habe, ie überhaupt zu han n:' .,lch gehörte zu den am wenigsten au ichtsreichen Studenten im Kur und i h hab ni ine orl ung ver äumt ... Ich erinnere mich und püre immer noch Fe nman Freude an der Entdeckung.. . eine Vorle ungen hatten eine emotionale ucht. die wahr cheinlich in den co dru kt n rl ungen verloren gegangen i t."

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Vorwort -ur D t!initil'e Edition

Danksagungen Die e ,,Definitil'e Edition" der "Feynman Vorlesungen iiber Physik" wären ni hl mögli h gewe en ohne den ur prünglichen An toß von Ralph Leighlon und ichael GOlLlieb wi die herausragenden prakli chen Arbeiten an den Errata durch 'chael Hanl. I h danke Gottlieb und den anonymen Le ern für die Errata-Li ten, auf denen die Korrekturen ba ieren, und i h danke Tom TombreIla. Rüehu Vogt, Gerry eugebauer, Jame Hanle. earl und Mi helle Fe nman sowie Adam Black für ihre Unterstützung, ihre klugen Hinwei e und Beiträge zu die m Unternehmen.

Kip S. Thome Inhaber der Feynman-Profe ur für Theoreti che Physik California Institute üf Technology

Die Feynman-Vorlesungen über Physik Vorwort zur Gedenkausgabe Zum Ende eine Lebens hin überstieg Richard Feynman Ruhm die Grenzen der wi enchaftlichen Gemeinde. Durch eine Großtaten al Mitglied der Kommi ion, die da nglück der Challenger-Raumfähre unter uchte, wurde er weithin bekannt; gleichermaßen machte ihn ein Be t eller über eine pikare ken Abenteuer zu einem Volk helden in beinahe der Größenordnung eine Albert Einstein. Aber chon 1961, noch bevor ihn der Gewinn des obelpreie der breiten Öffentlichkeit bekannt machte, war Feynrnan mehr als berühmt in der Wi enschaft gemeinde - er war legendär. Da er ein begnadeter Lehrer war half zweifel ohne, die Legende von Richard Feynman zu verbreiten und zu vergrößern. Er war ein wirklich großartiger Lehrer, vielleicht der größte einer Zeit. Der Hör aal ar für Feynman ein Theater und der Dozent der Schauspieler, eben 0 dafür da ein Drama und Feuerwerk zu abzuhalten, wie Zahlen und Fakten zu liefern. Die ew York Time chrieb. er pir che, mit den Armen fuchtelnd, um die Front des Klas enzimmers herum, "die unmögliche Kombination aus einem theoreti ehen Physiker und einem Jahrmarkt-Schreier der ganze Körper in Bewegung und alle möglichen Geräusche von ich gebend". Gleich ob er ich an Stud nten, Kollegen oder die Öffentlichkeit als Hörerschaft wandte für alle, die da Glück hatten Feynrnan beim Vortrag per önüch zu erleben, war die es Erlebnis außergewöhnlich und unverges lich - wie der Mann selbst auch. Er war der Mei ter des großen Drama und wusste geschickt die Aufmerk amkeit de Publikum injedem Hör aal zu fesseln. Vor vielen Jahren hielt er einen Kur in Quantenmechanik für Fonge chrittene eine große KJa e be tehend au einigen einge chriebenen graduierten Studenten und dem größten Teil der Physik-Beleg chaft de Caltech. Während einer der Vorle ungen begann Feynman zu erklären, wie bestimmte komplizierte Integrale im Diagramm darge teHt werden können: Die Zeit auf dieser Achse, der Raum auf jener Achse, eine wacklige Linie hier eine gerade Linie da etc. achdem er da beschrieben hatte, wa der Welt der Ph ik al Feynman-Diagramm bekannt i t, drehte er ich zur KJa e um, grin te breit und meinte: "Und die heißt DAS Diagramm. ' Feynman war am Ende der Geschichte angelangt und der Hör aal brach pontan in Applau au . och viele Jahre nachdem er die Vorle ungen, au denen die e Buchreihe hervorging gehalten hatte, war Feynman gelegentlich Ga tdozent für den Phy ikkurs für Studenten im er ten Jahr am Caltech. atürlich mus te sein Er cheinen geheim gehalten werden, damit im Hör aal genug Platz für die einge chriebenen Studenten blieb. Bei einer oiehen Vorle ung ar das Thema die gekrümmte Raumzeit und Feynman war wie immer brillant. Aber der un erge lich te Augenblick trug sich gleich am Anfang der Vorle ung zu. Die Supemo a on 1987 war gerade entdeckt worden und Feynman war darüber ehr aufgeregt. Er agte, "Tycho Brahe hatte eine upemo a und Kepler die einige. Dann gab e für die näch ten 400 Jabre keine. Aber jetzt

XII

Die Feynmon- Vorlesungen iiber Plzy ik

habe ich meine:' In der Klas e wurde e till und Feynman fuhr fon. ,.E gibt 10li terne in der Galaxie. Das war einmal eine gewaltige Zahl. Aber e sind nur 100 illiarden. Eil weniger als da Staat defizit! Wir haben olche Zahlen früher a tronomi ehe Zahl n genannt. Jetzl 11ten wir ie ökonomi che Zahlen nennen." Die Kla e brach in Gelächter au - F )'nm n h lte ein Publikum in Bann gezogen und fuhr mit der Vorle ung fort. Wenn man von den Showeinlagen ab ieht, war Fe)'nman pädagogi h Technik impe\. Eine Zu ammenfa ung einer Lehr-Philo ophie wurde unter einen Papieren in cl n Calte hArchiven gefunden, in einer oriz, die er ich während eine Bra ilien-Aufenthah 1952 hingekritzelt hatte: "Zuer t mu t du herau finden, warum du möchtest da die Student n die e lernen, und wa ie wi en ollen, dann wird ich mit gesundem Men chen er tand die 1ethode m hr d r weniger von elbst ergeben." Was zu Feynman al ,gesunder Men chenver tand" kam. aren oft brillante indungen, die perfekt da We entliehe seiner Argumentation fassten. Einmal ve uchte er während einer öffentlichen Vorlesung zu erklären, warum eine Idee nicht durch die Daten erifizien \ erden darf, au denen die Idee ent tanden i t. Sich scheinbar von dem Thema wegbewegend begann Feynman, über ummern childer zu reden. "Wi en Sie, heute bend pas iene mü twas ganz Erstaunljche . Ich fuhr hierher, auf dem Weg zur Vorle ung, und kam über den Parkplatz herein. Und Sie glauben rucht, wa passiert i l. Ich ah ein Auto mit dem ummem ehild ..ARW 357". Können Sie ich das vorstellen? Wie groß war wohl die Chance d ich unter all den Mjllionen ummem childem dje e Staat heute Abend au gerechnet die eine ah? nglaublich!" Ein Argument, das zu begreifen ich ogar viele Wi sen chaftler chw r tun, wurd durch Feynman bemerken werten "ge unden Men chenver tand" ab olut einleucht nd.

In seinen 35 Jahren am Caltech (von 1952 bis 1987) hatte Feynman 34 regi trierte Kur e gegeben. 25 hiervon waren Fortge chrinenen-Kurse, treng limitiert auf einge chrieb ne graduierte Studenten, e ei denn Untergraduierte baten um Erlaubni teilzunehmen (die taten ie häufig und fa t immer wurde die Erlaubm gewährt). Der Re t waren hauptsächlich Einführungskurse für Graduierte. ur einmal gab Feynman Kur e für Studenten im Grund tudium und da war der berühmte Anlas in den Studienjahren ]961162 und 1962/63 mit einer kurzen Reprise] 964, al er die Vorlesungen hielt, die die "Feynmon Vorlesungen über Phy ik" \ urden. Zur damaligen Zeit herr chte am Caltech der Kon en , da tudienanfänger im r ten und zweiten Studienjahr durch den zweijährigen Physik-Pflichtkur eher abge hr kt al angepomt würden. Al Au gleich sollte Feynman eine Vorle ung reihe entwerfen die den rudenten im Verlauf von zwei Jahren angeboten würde, er t den Studienanfängern im er ten Jahr und dann der eIben Klas e in deren zweitem Jahr. achdem Feynman zuge timmt haue, wurd sofort be chlo en, die Vorle ungen für eine Veröffentlichung umzu etzen. E tUte ich aber herau, da s die e Arbeit weit chwieriger war al irgendjemand angenommen hatte. Da Er teilen on zur Veröffentlichung geeigneter Bücher setzt eine enorme Menge Arbeit 0\: ohl eilen von Feynman Kollegen voraus al auch von Feynman elbst, der die endgültige Bearb itung jedes einzelnen Kapitel vornahm. Die prakti ehe m etzung de Kurse musste nun angegangen werden. Die e ufgabe war aufgrund der Tat ache, da s Feynman nur einen vagen Entwurf da on hatte, w er behandeln wollte außerordentlich komplizjert. Die bedeutete, da niemand wu te wa Feynman agen würde, bi dje er vor den Studenten im Hör aal stand und e agte. Die Caltech-Profe oren,

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III

Die Feynman- Vorlesungen über Phy 'ik

die ihm a i ti rten. mu ten ich dann teilen on Hau aufgaben zu erledigen.

0

gut ie konnten beeilen

0

banale Detail

ie da

Warum opferte Fe nman über zwei Jahre, um die Art und Wei e zu re olutionieren, \ ie der Ein tieg in die Ph ik gelehrt werden konnte? E lä st ich nur pekulieren. aber e gab wahr cheinlich drei we entliehe Gründe. Ein Grund dürfte ein, da er e liebte, Publikum zu haben, und e er"ffnete ihm ein größeres Kino al er e üblicherwei e in Fortge chrinenenKur en hane. Der zweit Grund war, da er ich wirklich für die Studenten intere ierte und überzeugt war, tudienanfanger zu unterrichten i eine wichtige ache. Der dritte und vielleicht wi htig t Grund war die bloße Herau forderung, die Phy ik 0 umzuformulieren. wie er ie r ta nd und wie ie jungen Studenten präsentiert werden konnte. Da war eine pezialität und die Richt chnur, mit der er bemaß. ob etwa \ irklich v r tanden wurde. 0 wurde Feynman einmal von einem Fakultät angehörigen am Caltech gebeten zu erklären, \ arum pin-I/Teilchen der Fermi-Dira -Statt tik gehorchten. Er Fa te eine Zuhörer chaft genau in Auge und entgegnete "ich werde eine Er t eme ter-Vorle ung dazu vorbereiten". Aber einige Tage päter kehrte er zu dem Punkt zurück und agte, "Wissen Sie, ich konnte e nicht tun. Ich konnte e nicht auf Er terne ter- fiveau reduzieren. Das bedeutet, da wir e nicht wirklich er tanden haben." Diese Spezialität, tiefgehende Ideen auf einfa he, er tändliche Beziehung n zurückzuführen, wird in den gesamt n ..Feynman Vorlesungen über Phy ik" eident, nirgendwo aber deutlicher al in seiner Behandlung der Quantenmechanik. Für Kenner j t klar, wa er getan hat. Er hat Anfang eme tem die Weg-Integral-Methode dargelegt, die von ihm elb t enrwi kelte Technik, die e ihm erlaubte. einige der tiefgreifendsten Probleme der Phy ik zu lö en. eine rbeilen. in denen er selb t da Wegintegral heranzog, führten - neben weiteren Errungenchaften - zum G \ inn de obelprei e 1965, den er mit Julian Schwinger und Shinichirö Tomanaga t ilte. Durch den Schleier der Erinnerung haben viele der Studenten und Fakultät angehörigen, die die orle ungen be ucht hatten gesagt, da die zwei Jahre Ph sik bei Fe nman die Erfahrung ihre Leben war. Aber dies ist nicht 0, wie es damal den Anschein hatte. Viele der Studenten fürchteten di Kla e und al ich der Kur hinzog, ging die Anwe enheit der einge chriebenen Studenten er chreckend zurück. Aber zur lben Zeit begannen mehr und mehr fortge chrittene Studenten und der Lehrkörper zu erscheinen. Der Raum bli b gut gefüllt und Fe nman hat ielJeicht nie bemerkt, da er einen Großteil einer zugedachten Zuhörer chaft einbüßte. Aber elb t au Feynman Sicht hatten seine pädagogi ehen Be trebungen ihr Ziel nicht erreicht. Er chrieb in d m 1963er Vorwort zu den Vorlesungen: "Ich glaube ni ht. da ich mit d n Studenten gul zurecht gekommen bin." Wenn man die Bücher heute liest, glaubt man manchmal Feynman dabei zu erwi chen wie er über eine Schultern blickt - nicht zu einer jungen Zuhörer chaft, ondern direkt zu seinen Kollegen - und sagt, ,Seht her, cham. \ ie raffiniert ich die rübergebracht habe. War da nicht clev r?" Aber selb t wenn er glaubte. er würd di Dinge für tudienanfänger im er ten oder zweiten Studienjahr er tändlich erklären. waren e nicht 0 ehr jene, die on d !TI wa er tat am mei ten profitierten. E waren eine Kollegen - Wi en haftl r, Physiker und Profe aren - die die größten utznießer eine außerge öhnlichen erke ein ollten, welche nichts weniger war al die Ph sik durch die fri che und dynami. che Per pekti des Richard Feynman zu ehen. Fe nman war mehr a1 nur ein großartiger Lehrer. Seine Gabe war, ein außergewöhnlicher Lehrer on Lehr m zu in. enn da Ziel der "Feynman Vorle ungell iiber Physik" \ ar. ein

XIV

Die Feynman- orle Lmgen über Phy ik

Zinuner voll Bachelor- rudenten auf die Lö ung von Prüfung aufgaben in Ph ik orzub r iten, kann er nicht a1 be onder erfolgreich ange ehen werden. Eben 0 wenig kann man ag n. da . wenn e die Ab icht der Bücher war, al einführende ni er ität 1 hrbü her zu di n n, r pra hen ein Ziel erreicht hätte. icht de to trotz wurden die Bücher in zehn \' r hjeden über erzt und ind in vier zwei prachigen Au gaben erhältlich. Fe nman elb t glaubte, da uprafluiden Helisein wichtig ter Beitrag für die Phy ik nicht die QED oder die Theorie d um oder Polaronen oder Partonen wären. Sein führender Beitrag eien die dr i roten Büch r der ,,Feynman Vorlesungen über Physik". Die e Überzeugung rechtfertigt völlig di e Gedenkausgabe der drei gefeierten Bücher. Da id L. Good tein Gerry eugebauer Caljfornia In titute of Technology

pri/ J

Feynmans Vorwort Di iod die orle ungen über Phy ik, die ich im letzten und vorletzten Jahr für Anfänger und Fortg chriuene am Calte h gehalten habe. Diese Vorle ungen ind natürlich nicht wortwörtlich wiedergegeben - ie iod mehr der weniger umfa end redigiert worden. Die Vorleungen bilden nur einen ~ il de oll tändigen ur e . Die ganze Gruppe on 180 tudenten ver ammelt i h zweimal wö hentlich in einem großen Hör aal, um diese Vorle ungen zu hören. Dann teilt ie i h auf in kleine Übung gruppen on 15-20 Studenten unter der Leitung eine A i ten! n. Zu ätzlich urde einmal in der Woche ein Praktikum abgehalten. ufgab , di ir un mit die en Vorle ungen ge teilt hatten be tand darin, da [ntere der ehr b gei t rt n und recht ge cheiten Studenten aufrechtzuerhalten, die on den höheren chulen an altech kamen. Sie hatten viel davon gehört, wie aufregend und inter ant die Ph ik i t - di Relati ität theorie Quantenmechanik und andere modeme Ideen. Am Ende un ere vorherg henden zweijährigen Kur e wären iele do b ehr entmutigt ge eeo, weil ihnen nur ehr \ eni gr Be, neu und modeme Id n geboten wurden. Man hatte ie chiefe Eb nen, lektr aku tik u . tudieren la n, und nach zwei Jahren ar da re ht langilig. Die ra e \ ar, ob wir inen Kur u durchführen könnten, der dem fortge chrineneren und b gei terten rudenten inen nthu ia mu erhielte. ie rl ungen ind nicht a1 ber icht geda ht, ondern ind ehr em t gemeint. Ich gedachte ie an die lnleUig nte t n d r KJas e zu richten und wollte wenn möglich. erreichen.

X I

Fe)'f1man

onl'Orf

da au h der intelligente te Student nicht alle Gebotene oll tändig rf n konm . Dazu machte ich Andeurungen über die Anwendungen der Ideen und Konzepte in \' hiedenen Richtungen außerhalb der Hauptangriffslinie. Au die em Grund habe i h rni haber au h ehr bemüht. alle Angaben 0 genau wie möglich zu machen. in jedem Fall aufzuz ig n. \ 0 die Gleichungen und Ideen in den Aufbau der Phy ik hineinpa ten und wie ich die Ding beim weiteren Dazulernen ändern würden. Ich dachte auch, da e für olch tudenten \', i htig i t, gezeigt zu bekommen, wa ie ich au dem vorher Ge agten herleiten könn n. wenn i kluegenug ind, und wa al etwa eue eingeführt wird. enn neu G d nk n au amen, \', Ut ich ent\ eder ver uchen, ie abzuleiten, wenn ie ableitbar war n. r klarzuma hen, d e eine neue Idee war. die ni ht auf chon gelernten Dingen ba ien , und di ni ht bev.ei bar war. ondern einfach hinzugefügt wurde. Zu Beginn die er orIe ungen nahm ich an, da die tudenten bei erla n d r hul Dinge wie geometri che Optik, einfache chemi che Begriffe u . kannten. I h ab au h ni ht ein da die arIe ungen au irgendeinem Grunde in einer be timmten R ihenfolg gehalt n werden mu ten und das ich etwas 0 lange nicht erwähnen durfte. bi e im Einzelnen b handelt wurde. Vielfach wurden Dinge ohne umfa ende Di ku ion rwähnt. Di e umfa enden Di ku ionen würden päter, nach eingehenderer Vorbereitung, kommen. B i pi le dafür ind die Induktivität und die Energieni eau , die anfang nur in einer recht qualitativen n erwähnt und er t päter au führlicher entwickelt wurden. Gleichzeitig mit dem aktiveren tudenten wollte ich auch denjenigen an prechen. d r da Extrafeuerwerk und die ebenanwendungen nur beunruhigend findet und \'on dem man ni hl erwarten kann da er den größten Teil de Vorle ung toffe überhaupt hegr ift. ür die n Studenten wollte ich zuminde t ein Kern tück de Stoffe haben. da er rf en konnre. Ib t erden. 1 h wenn er eine Vorle ung nicht völlig ver tand hoffte ich, er ürde nicht nervö erwanete gar nicht da er alle ver land, aber doch wenig ten , d er die Haupt a ben na hvollziehen konnte. atürlich braucht er eine gewi e Intelligenz, um zu unterscheiden. I h die zentralen Sätze und Grundgedanken und welche die weiterent ickelten hen roebni e und Anwendungen ind, die er er tin päteren Jahren ver tehen kann. Bei die en Vorle ungen trat eine ernsthafte Schwierigkeit auf: Bei der Art, \ ie der Kur u abgehalten wurde. gab e keinen Kontakt zwi chen Studenten und Dozenten, der angezeigt hätte wie gut die Vorle ungen aufgenommen wurden. Da i t in der Tat eine ehr m thaft Schwierigkeit und ich weiß nicht, wie gut die Vorle ungen wirklich ind. Da Ganz war im We entliehen ein Experiment. Und wenn ich e noch einmal machen ürd 0 nicht auf di gleiche Art. - Ich hoffe, ich mu e nicht noch mal machen! Denno h glaube ich, da i h die Dinge - oweil e die Phy ik anbelangt - im ersten Jahr ganz zufrieden reUend ent ie elt haben.

Im zweiten Jahr war ich nicht 0 zufrieden. Im er ten Teil der orle ung reihe, die ich mit Elektrizität und Magneti rou befa te, fiel mir keine wirklich überragende od rand r anige Methode ein, jedenfalI keine, die erheblich fes einder war al die gebräuchliche Dar teilung wei e. Daher glaube ich nicht, da ich in den Vorlesungen über Elektrizität und agneti mu viel erreicht habe. Ur prünglich hatte ich vorgehabt, am Ende de zweiten Jahre nach I ktrizirät und Magneti mu mit einigen Vorle ungen über die Eigen chaften der aterie D nzu ahr n, aber haupt ächlich wollte ich Dinge wie Grund ehwingungen Lö ungen der Diffu ion gleichung Schwingung y terne, Orthogonalfunktionen ... aufgreifen um di er t n ruf, n der o genannten ,,mathemati chen Methoden der Phy ik' zu entwickeln. Rüc blick nd denke i h

X Il

FeYIl1/lQ/lS VOnl'Orl

d i h auf die. e ur prüngli he Idee zurü kgreifen würde. wenn i he no heinmaltäte. Aber da ine \I i d rholung d r orle ungen nicht orge hen \>,rar, hielt man e für eine gute Idee zu \' ruch n. in Ein ührung in die Quantenmechanik zu g ben - ie finden ie in Band m. i t ganz klar. da. lUdent n. di Pb ik al Hauptfa h haben. mit der Quamenme hanik bi zum dritten Jahr wart n k"nn n. Anderer eit wurde der Eim and erhoben. da viele uneb nfa h bzw. Hintergrund zu ihrem Hauptintere e auf anderen r r Hör r Pb)' ik nur a1 Gebieten tudi r n. nd die übli he An. die Quantenmechanik zu behandeln, ma ht ie für die mei t n rudenten fast unzugänglich. eil ie dafür zu viel Zeit brauchen. In ihren tat ä hliehen m endung n jedo h - be nder d n kample eren, wie in der Elektrote hnik und in der pparat der Differentialgleichungen gar nicht unbedingt erforderlich. Chemi - i [ d r ganz o habe i h v ruht. di Grundlagen der Quantenmechanik auf eine ei e zu be chreiben. die ni ht die Kenntni der 1alhematik der partiellen Differentialgleichungen vorau etzt. Selb t für einen Phy ik r i t e . glaub i h, au mehreren Gründen, die ich au den arIe ungen er b n. in int ranter . ruch Quantenmechanik einmal auf die em umgekehnen ege darzu. l 11 n. I h glaub jedo h da da Experiment mit der Quantenmechanik nicht ganz erf Igr i h r - \' r allem. w il i h am chlu nicht genügend Zeit hatte. (lch hätte z. B. dr i od r i r orl une n m hr halten mü en. um Themen wi Energiebänder und die räumliche bhängigk it d r mpliluden gründlicher zu b handeln.) Auch hatte ich die e Thema 0 no h nie darge teilt. da d r fehl nde Kontakt mit den Stud nren bonder problemati. ch war. HeUle glaube ich. das uantenm chanik zu inem pät ren Zeitpunkt gelehrt werden ollte. ielleicht habe i h eine Tage die öglichkeit, e noch einmal zu tun. Dann werde i h e richtig machen. orle ung n über da Lö en on Aufgaben fehlen, weil e die Übung gruppen gab. Obwohl ich im er t n Jahr drei arie ungen über .. bung aufgaben und deren Lö en hielt .... ind ie hier nicht mit dabei. E oab auch eine orle ung über Trägheit lenkung die ich an die arIe un_ über rotierende tem an chließen mü te, die aber leider weggela en wurde. Die fünfte und die ech le orl ung ind in irkli hk it Matthewand zuzu chreiben. da ich eITei t war. E bleibt nalürli h die Fr g, ie gut diese E periment geglückt ist. eine eigene Meinung - die all rding von den mei t n Leuten, die mit den Studenten arbeiten. an. cheinend nicht get ilt \ ird - i t pe imi ti h. Ich glaube nicht das ich mit den Studenten ehr gut zurechtgekommen bin. enn ich mir an chaue, wie die Mehrzahl der Studenten die Prüfung aufgaben behandelt hat. glaube i h, da das S tem ein Fehlschlag ist. arürlich halren mir meine Freunde or, da in der zwei Dutzend Studenten überra chenderwei e in ämtlichen Vorle ung n fa t alle er landen hab n. hr gut mit dem Stoff umgehen konnten und ich üb r di iel n Fragen ifrig und iotere ien Gedanken machten. Ich glaube. d die e L ure jetzt ein r tkJa ige Fundament in Phy ik haben - und ie waren e ja chließlich, die ich an prechen \ Ilt. bel': "Die Kraft der L hre i t elten on großer irk arnkeil. außer unter jenen glücklich n m tänden, wo ie b inahe überflüs ig i t' (Gibbon). D h ollte ich keinen Stud nt n oll tändig auf der Stre ke la en, wie ich e vielleicht getan habe. leh glaub. \ äre eine Möglichkeit, den tudenten be er zu helfen. wenn wir un inten iv r damit b häftigen \ ürden, eine ufgabenreihe zu entwickeln, die einige Ideen der orle ungen deutli h machen würde. ufgaben bi ten eine gute Gelegenheit, den Stoff der arie ung n abzurund n und die Gedanken die vorgetragen wurden, reali ti eher, oll tändiger und einpräg amer zu ma h n. Ich glaube j da h, da

di

inzige Lö ung für die e Bildung problem die Erkenntni i t,

xvm

Feynman Vorwort

da der be te Lehrerfolg erzielt wird, wenn eine direkte. per önliehe Beziehung ziehen d m Studenten und einem guten Lehrer besteht - ein Zu tand bei dem der tudent die Id n di kuriert, über die Dinge nachdenkt und darüber pri hl. E i t unmöglich, ehr viel zu I m n. wenn man nur in einer Vorle ung itzt oder elb t wenn man dabei einfa h g t L1te ufgaben ir lö 1. Aber in unserer modernen Zeit haben wir 0 viele Studenten zu unterrichten, da ver uchen mü en einen Ersatz für da Ideal zu finden. Vielleicht können mein orle ungen etwa dazu beitragen. Vielleicht können an einer kleinen Au bildung tätte. wo e noch Lehrer und Studenten mit persönlichem Kontakt gibt, diese au d n orle ung n nr gun n und Ideen ziehen. Vielleicht haben ie Spaß daran ie durchzudenken oder einige d r G dank n wei terzuentwickeln. Richard P. Feynman

Juni 196

Vorwort Gute vierzig Jahre lang k nzentrieJte Richard P. Feynrnan eine Aufmerksamkeit auf die geheimni \'011 n oroäng in der phy ikali ehen Welt und bemühte einen Intellekt, die Ordnung in ihrem Chao zu ntd cken. un hat er z\ ei Jahre lang eine Fähigkeiten und eine Energie auf eine Ph ik orle ungen für tudienanfänger verwandt. Für ie hat er das We entliehe eine Wi en herau garbeitel und in an chaulicher Wei e ein Bild von der Welt der Ph ik ge ehaffen. ine orl ungen ind geprägt on der Brillanz und Klarheit eine Denken, der Originalität und italität mit der er an die Dinge herangeht. und der mitreißenden Begei terung einer pra h . E ar eine Freude, ie milzuerleben. Die orl ungen de er ten Jahre bilden die Grundlage von Band I die er Reihe. Im Ofliet-end n zeiten Band haben wir ver ucht, einen Teil der Vorle ungen de zweiten Jahre ied rzugeben: i urden im akademi ehen Jahr 1962-1963 für Studenten im zeiten Studienjahr gehalten. Die r tlichen Vorle ungen des zweiten Jahre ind in Band III zu ammengefa t. on den orle ung nd zweiten Jahre enthalten die er ten zwei Drittel eine nahezu 011ländige Behandlung der Ph ik der Elektrizität und de Magneti mus. Bei ihrer Dar tellung b icht erf Igt. Er ten \ ollten wir den Studenten einen oll tändigen wurde eine dopp It Einblick in eine der groß n Kapitel der Phy ik. ennitteln - von den er ten ta tenden efuchen Franklin über die große Synthe e Maxwell zur Lorentz ehen Elektronentheorie der Eigen chaft n der aterie und chließlich bi zu den noch ungelö ten Problemen der elektromagneti hen elb ten rgie. Zweiten wollten wir mit Hilfe der orange teilten ektoranaly i eine olide Einführung in die math mati ehen Grundlagen der Feldtheorie bringen. m die allgemeine erwendbarkeit der mathemati ehen Methoden hervorzuheben, wurden zuweilen erandte Themen au anderen Gebieten der Phy ik in Zu ammenhang mit den entsprechenden elektr dynami eh n Geoen tücken anal iert. Wir haben un stet bemüht, die Allgemeingültigkeit der athematik aufzU\ ei en. (.p~e gleichen Gleichungen haben die gleichen Lö ungen.") D \ urd dur h di Au wahl der Ubung aufgaben und Examen texte unterstrichen, die im erlauf de Kur e gegeben urden. Im n chlu an den Elektromagneti mu ent tanden 0 zwei Kapitel üb r Ela tizität und zwei über tr"mung lehre. im jeweil er ten Abschnitt die er beiden Kapitelpaare werden die grundl g nd n und prakti ehen pekte behandelt. Da jeweil zweite Kapitel bemüht ich um inen .. b rblick üb r d n ge amten komplex n Bereich der Phänom n , die zum Thema gehören. Die eier apilel können aber ohne Bedenken auch au gela en werden da ie keine \ eg al Y, rber itung aufBand 1II not endig ind. ngefahr da letZI iert I de zweiten Jahre war einer Einführung in die Quant nrnechanik orbehalt n. ie i t das Thema on Band ill. Die Aufzeichnung d r Fe nman- orle unoen will aber mehr al nur eine iedergabe de Ge agt n in. E ollen hier in möglich I klarer rm die Vor teilungen chriftli h herau -

xx ge reUt werden. auf denen die Original arie ungen aufgebaut ind. B i Inle n rle 'ungen waren dazu nur geringfügige Abänderungen de ursprüngli hen \ onlaut rforderli h. B i anderen mu te der toff neu bearbeitet und neu angeordnet erden. An man h n t lien r hien e un notwendig. neue Material hinzuzufügen um die Klarheit der u h die u g oli henheir der Dar teHung zu erbe em. Bei un rer rbeit i r un Pro~ r Fe nman f nwähr nd mit einer Hilfe und einem Rat zur eite ge tanden. Mehr al 1 000000 ge prochener Worte umer zeitlichem Dru k in ein n zu amm nhäng nden Text zu bringen. i t eine enorme Aufgabe, in be ond re, \I,'enn vi Je and re zitraub nd Verpflichtungen an tehen: zu die en gehörten die Einführung eine neuen Kur e . di orb r itung von Tutoren runden. ferner die Di ku ionen mit tudenten .. bungen und E am n fragen. die au gearbeitet werden mu ten, u w. Viele Hände - und Köpfe - \ aren an der Arb it. In einigen Fällen i t e un, wie wir hoffen, gelungen, ein getreue~ - od r nur wenig r [U hiene - Bild Fe nman wiederzugeben, An manchen Stellen haben wir aber un r Ideal b i eitern nicht erreicht. n ere Erfolge verdanken wir allen Beteiligten. 0 \vir ver agt haben. b dauern wir das ehr. Wie im Vorwort zu Band I au führlieh erklärt wird, waren die e orl unoen nur in p kt eine Programm, da on dem "Phy ic Cour e Re i ion Committee" R. B. Leighton. or itzender. H. V. eher und .. and) am Califomia In titUle of Teehnolog in die ge 0 leitet und beauf ichtigt wurde. Finanziert wurde e on der Ford Foundation. n der rb reitune de Texte für die en zweiten Band haben in der einen oder and ren Form mitgewirkt: T. K. Caughey. M. L. Clayton, J. B. Curcio. J. B. Hart! , T. W. H. Harve . M. H. ] rael. . J. Karza', R. W. Kavanagh. R. B. Leighton, 1. Mathew , M, S. PIe et F L. arren. haling,. H. Wilt und B. Zimmennann. Andere waren indirekt durch ihre itarbeit am Kur beteiligt: J. Blue, G, F. Chapline, .J. Clau er, R. Dolen, H. H. Hili und A. . Title. n re ufgabe urd in jeder Hin ieht on Profe or Gerry eugebauer unter tützt. de en Eifer und Hingabe w it über die Gebote der Pflicht hinau gingen. Die hier aufgezeichnete Ge chiehte der Phy ik gäbe e jedoch nicht ohne die außerord lichen Fähigkeiten und die Arbeit von Riehard P. Feynman, Manhew Sand

nl-

ärz L964

Inhalt verzeichnis 1 1.1 1.2 I. 1.4

1.5

1.6

I ktrorna netj mu 1 ElekLri h Kräfte........................................................... 1 Eleklri he und magneti che Felder . harakt ri ti eh erkmale von ektorfeldern............................... 6 . Die G . elz de Elektromauneti mu a ind Id r wirklich? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. 1-+ lehr mae-neti mu in Wi en chaft und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15

2.8

ektoranal) i Di Phy ik ver tehen . . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. .. . .. .. kalare- und kt rfelder - T und h bl itung n on ld rn - der Gradient . Der Operar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Op rari nen mit 'iJ .............................................•............ Di Differ nrialgleichung der ärrne trömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Z eite bl irungen der ektorfelder......................................... Lrrtümer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

3

Integral ätze der ektoranal sis

2 2.1

2.2 2. 2.4 2.5 2.6 _.7

17 17

1

_6 27 _9 31

34

3.

37 ektorielle Integrale: da Linienintegral on 'iJtjJ . . . . . . . . . •. . . . . . .. . . . . .•• . . . .. 37 Der Flu ine Vektorfelde 40 Der Flu au inern ürfel; Gauß eher Satz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 ärmel itung; die Diffu ion gleiehun u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 Die Zirkulation eine Vektorfelde 4 Die Zirkulation um ein Quadrat· Stake cher Satz 50 irbelfreie und quellenfreie Felder. . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. -3 Zu an1menfa ung .

4

Elektro tatik

57

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.

Elektro tatik .. '" . .... . ... . . .. . . .. . . . .. . ... . ... . . . .. . . . . . . ... . .. . . .. ... . .. .. Coulomb ehe Ge tz; Überlagerung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Elektri che Potential E=-'Vc/J Der Flu on E Gauß ehe Ge etz' die Di ergenz on E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Feld iner g ladenen Kugel '" Feldlini n: Äquipatentialflächen . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . ..

-7 -9 62

3.1

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

65 67

71 73 74

XXII

Inhaltsver:eichni

5

Anwendung des Gaußscben Gesetzes

5.1 5.2

5.10

Elektrostatik i t gleich Gauß che Ge erz plu . Gleichgewicht in einem elektrostatl ehen Feld Gleichgewicht in Anwe enheit von Leitern Stabilität von Atomen Das Feld einer geladenen Linie Eine geladene ebene Schicht; zwei ebene Schichten Eine geladene Kugel; eine geladene Kugel chale I t da Feld einer PunktJadung genau 1/,.2? Da Feld eine Leiter Das Feld in einem Hohlraum im Innern eine Leiter

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

Das elektrische Feld in Einzelfallen Gleichungen für da elektri ehe Potential Der elektri ehe Dipol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bemerkungen über Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das Dipolpotential al Gradient Die Dipolnäherung für eine beliebige Verteilung Da Feld geladener Leiter Die Methode der Abbildung Eine Punktladung in der ähe einer leitenden Ebene Eine Punktladung in der ähe einer leitenden Kugel Konden atoren; parallele Platten Durch ehlag bei hoher Spannung Das Feldemis ion mikroskop

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Das elektrische Feld in EinzeIralJen (Fortsetzung) Methoden zur Ennittlung des elektro tati ehen Felde Zweidimen ionale Felder; komplex.e Funktionen Pla ma chwingungen Kolloidale Teilchen in einem Elektrolyten Das elektro tati ehe Feld eine Gitters

I 17 117 119 1 4 127 131

8

Elektrostatische Energie

13S

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Die elektro tati che Energie von Ladungen. Eine homogen geladene Kugel Die Energie eines Kondensators. Kräfte auf geladene Leiter Die elektrostati ehe Energie eine Ionenkri tall Elektro tati ehe Energie in Kernen Energie im elektro tati ehen Feld , Die Energie einer Punktladung

135 137 141 144 149 153

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Elektrizität in der Atmosphäre

1S

Der Gradient de elektrischen Potential der Atmo phäre Elektri ehe Ströme in der Atmo phäre Ur prung der elektri ehen Ströme in der Atmosphäre _ Gewitter Der Mechani mu der Ladung trennung Der Blitz , "

155 157 160 161 1 6

5.3 5.4

5.5 5.6 5.7 5.8

5.9

. . . , . . . .. . . 93 9 9...

99 99 102

104 10 106 10 110 113 115

, . 170

XXIII

Inhalr 1'e17.eichnis

10 10.1 10._ 10. 1004 10.5

11 11.1 11._ 11. 11 A

11. 11.6 11.7 12 12.1 1_.2

Dielektrika Die Dielektrizität kan tante Der Polari ation vektor P Polari arion ladungen Die Gleichung n der Elektro tatik. in Anwe enheir on Dielektrika Felder und Kräft in nwe enheil von Dielektrika

175 175 177 179 1 3 1 5

or än e im Innern von Dielektrika 189 lekulare Dip Je 1 9 I ktr nenpolari ali n 190 Polar lekül : Ori nlierung polari alion 193 EI ktri he Ider in Hohlräumen eine Dielektrikum _ 196 Die Diel ktrizität k n tante on Flü igkeiten; die CI au iu -Mo otti-Formel .. 199 Fe t Dielektrika............................................................ 00 Ferro I ktrizität; BaTiO _ _. _ 20_

12.5 12.6 12.7

EIe tro tati ehe naJogien 209 Di elb n GI ichungen hab n die elb n Lö ungen _ 209 Di ärme trömung: eine Punktquelle in der ähe eines unendlichen, ebenen Rand , '" . . . .. . . .. . .. .. 10 Di aufg pannte Membran 215 Di Diffu i n neutronen; eine gleichmäßige kugelförmige Quelle in einem h m genen Medium 2 I8 irbelfr ie F1ü igkeit trömung' die Strömung um eine Kugel 221 Beleuchtung; die gleichmäßige Beleuchtung einer Ebene - .. _24 Die .grundl gende Einheit" der atur 226

13 13.1 13.2 13. 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8

agnetostatik Da magneti ehe Feld .. _ D r elektri ehe tr m; die Erhaltung der Ladung Die auf einen Strom au geübte magneti che Kraft Da Magnetf Id tationärer Ströme; da Ampere ehe Ge etz Da Magnetfeld eine geraden Drahte und einer pule; atomare Ströme Die Relativität magneti ch rund elektri eher Felder Die Tran formation von Strömen und Ladungen " Überlagerung' die Rechte-Hand-Regel

14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

Da Da Da Ein Ein Da Da Da

5 15.1 15.

Da ektorpotential uf eine trom chleife au geübte Kräfte' Energie eine Dipol echani ehe und elektri che Energie

12. 12.4

agnetf. Id in Einzelf"älJen ektorpotential Vektorpotential bekannter Ströme _ gerader Draht lange Solenoid eId einer kleinen Schleife' der magneti ehe Dipol ektorp tential eine Stromkrei e Ge tz von Biot und Savart

_ _

229 229 230 232 233 236 239 '" .. 245 -46

249 _49 25 254 256 '" . 259 26 '" . 263 265 _6 69

XXIV

15.3

fnha/tsl'er::eiclmi

15.5 15.6

Die Energie tationärer tröme Vergleich on Bund A Da Vektorpotemial in der Quantenmechanik a für die Statik timmt i t für die Dynamik Fa1 ch

16 16.1 16.2 16.3 16.4

Induzierte Ströme 289 otoren und Generatoren _ 9 Tran formatoren und Indukti itäten _94 Auf induzierte Ströme au geübte Kräfte , . _96 Elektrotechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 0_

17

Die Induktionsge etze Die Phy ik der Induktion . Au nahmen von der "Flu regel" . Be chleunigung on Teilchen durch ein induzierte elektri h Id; da Betatron ., 9 Ein Paradoxon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1_ Der Wech el tromgenerator I Gegeninduktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 Selb tinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. _1 Induk."ti ität und magneti che Energie .

1-.4

[7.1 17.2 17.3 17.4 17.5

17.6 17.7 17.8

18 18.1

18.2 18.3 18.4 18.5

18.6

27 _74 27 2 4

Die Maxwell-Gleichungen 29 Max eil Gleichungen...................................................... 29 Wa der neue Term bewirkt 332 Alle über die klas i che Phy ik 3 4 Ein Feld da ich au breitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35 Die Lichtge chwindigkeit 340 Lö ung der Maxwell ehen Gleichungen; die Potentiale und di Wellengleichung 41

19

Das Prinzip der kleinsten Wirkung

20 20.1 20._ 20.3 20.4

Lösungen der axwell ehen Gleichungen im leeren Raum 367 Wellen im leeren Raum; ebene Wellen 67 Wellen in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 or teilung ermögen in der aturwi en chaft 379 Kugelwellen 3 2

21

Lö ungen der

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6

345

axwell-Gleiehungen in Anwe enheit von tröm n

~~~~n

~

Licht und elektromagneti ehe Wellen on einer Punktquelle au gehende Kugelwellen Die allgemeine Lö ung der Maxwell-Gleichungen Da Feld eine chwingenden Dipol Da Potential einer bewegten Ladung; die allgemein Lö ung von Lienard und Wiechert Da Potential einer Ladung, die ich mit kon tanter Ge eh indig eil b \ gt; die Lorentz-Formel

9 91 394 95 40 I 4 6

22

\ eh elstrom chaltungen lmp danz n Generatoren tzwerk von idealen haltel m nten; die Kirchhoff ehen Ge etze ratz chaltungen , Energi in I ir rförmige 'elzwerk Filt r ndere chalrelemente

409

_3.1 2 .2 23.3 _3.4 2 .5

Hohlraumre onatoren irkJi he chalte1em nte Ein K nden ator b i hohen Frequenzen Ein Hohlraumr nator Eig n hwingung n ein Hohlraums H hJräum und R onanzkr i e

44 -+41 443 449 454 4-57

24

, ellenJeiter

459

24.1 24.2 24.3 24.4 24.6 24.7 24.8

o.i bertraguno I itung Da r hleckig H hlrohr Die Gr nzfrequ nz Die Ge h indigk it der geleiteten Wellen Der a h\l ei geleitet r Weil n Hahll iter-Klempn rei Eigen chwingungen on Hohlleitern Ein and re Betrachtung \ ei e geleiteter Wellen

459 46'"' 467 469 470 471 47 475

25

Elektrod namik in relativi ti eher Bezeichnungswei e

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6

. ierer kror n Da Skalarprodukt __ · Der ierdimen i nale Gradient Eleklrod namik in ierdimen ionaler Bezeichnung eise Da ier rpotenlial ein r bewegten Ladung Die In arianz der Gleichungen der Elektrodynamik

26

Lorentztransformation der F·elder

499

26.1 26.2 26.3 26.4

D· iererpotential einer b wegten Ladung Da eId einer Punktladung mit kon tanter Geschwindigk it Relati i ti ehe Tran formation der Felder Die Bew gung gleichungen in relativi ti eher Schreibwei e

499 501 506 514

27

Energie und Impuls des Feldes 521 L kale Erhaltung - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. _1 En rgi rhaltung und EJektromagneti mu ~ _3 En rgi dichte und En rgie trömung im elektromagneti chen Feld -_4 Die Mehrdeutigkeit der Feldenergie 5_ Bei pi Je für Energie trömung 5_9 5 Impul de eIde

22.1 _2.2 22.3 22,4 22. 22.6 22.7 22.

23

24.~

27. I 27.2

27.3 27.4 27.5 27.6

409 41419 4_~

-+_7 -+_9 -+ _ 43

"

-

481 _

4 1 48 489 492 493 495

XXVI

28

Elektromagnetische Ma e

28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6

Die Energie des Felde einer Punktladung . Der lmpul de Felde einer bewegten Ladung . Elektromagneti ehe a e . Die Kraft eine Elektron auf ich elb t ..................•................... Ver uehe einer Abänderung der axwell chen Th orie . Das Feld der Kernkräfte ., ..

29 29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8

Die Bewegung von Ladungen in elektri ehen und magne' eben F Idern

Bewegung in einern homogenen elektri ehen oder magneti ehen F Id 55 Analyenach Impul en .. . .. . .. .. .. . .. .. . . . . .. . .. . . .. .. . .. . . . .. . .. . .. .. . . . 60 562 Eine elektro tati ehe Lin e Eine magneti ehe Lin e 6 Da Elektronenmikro kop .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . . . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . 6-l Führung felder in Be chleunigern....... . .. .. . .. . .. 6 569 Fokussierung mit alternierendem Gradienten Bewegung in gekreuzten elektri ehen und magneti hen Feldern 573

30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9

57 ~ Die innere Geometrie von Kri taJlen 575 577 Chemi ehe Bindung in Kristallen Das Wachstum von Kri tallen 579 Kr:i tallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 Symmetrien in zwei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Symmetrien in drei Dirnen ionen ~ 4 Die mechanische Fe tigkeit von Metallen 6 Ver etzungen und Kri talJwachstum . Das Kristall:modelJ von Bragg- ye 590

31 31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8

Tensoren DerPolari ation ten or Transformation von Ten orkomponenten Das EnergieeUipsoid Andere Ten oren; der Trägheitsten or Das Vektorprodukt Der Spannung ten or Tensoren höherer Stufe Der Vierertensor des elektromagnetischen Impul e

617 617 619 621 625 62 629 634 635

32

Der Brechungsindex dichter

639

32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7

Polari ation von Materie Maxwell Gleichungen in einern Dielektrikum Wellen in einem Dielektrikum Der komplexe Brechung index Der Index einer Mi ehung Wellen in Metallen äberungen für niedrige und hohe Frequenzen' die Eindringtiefe und die Plasmafrequenz

5-9

Innere Geometrie von Krista len

aterialien

639 642 644 648 6 0 651 653

XXVII

33

ReDe .on an Oberflächen

659

33.1 3 .2 33.3 3.4 33.5 33.6

RefleX-ion und Brechung von Licht ellen in di hlen Materialien Die Randbedingungen Reflektierte und durchgela ene Wellen Reflexion an etallen 'B talrefl ion

659 660 664 670 676 677

34

Der

681

34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.

Diamagneti mus und Paramagneti mu agneti ehe omente und Drehimpul Die Präze ion atomarer Magnete Diamagneti mu Der Larmor ehe Satz Die kla i che Phy ik ergibt weder Diamagnetismu noch Paramagneti mu Der Drehimpul in der Quantenmechanik Die magneti che Energie von Atomen

681 683 686 687 689 691 692 696

35

Paramagnetismus und magnetische Resonanz

699

35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6

Quanti iene magneti ehe Zustände Der tern-Gerlaeh-Ver ueh " Die Rabi ehe olekular traW-Methode Der Paramagneti mus der Stoffe Kühlung durch adiabati ehe Entmagneti ierung Magneti ehe Kernresonanz

699 701 703 707 711 71-

agnetismu der 1aterie

36

Ferromagnetismus

717

36.1 36.2 36.3 36.4

717 724 726 729 732

36.6

Magneti ierung tröme Das Feld H Die Magneti ierung kurve Indukti itäten mit Ei enkern Elektromagneten Spontane Magneti ierung

37 37.1 37.2 37.3 37.4 37.5

Den Ferromagneti mu ver tehen Therrnod nanti ehe Eigen chaften Die Hy tere i kurve Ferromagnetisch Materialien ng wöhnliche magneti he Materialien

36.S

38 38.1 38.2 38.3 38.4 38.5

agnetische

734

aterialien ,

la tizität Da Hooke ehe Ge etz Homogene Deformationen Der Tor ion tab' Sch rung wellen Der gebogene Balken , Knicken

743 743 748 750 756 759

763

_

763 765 771 776 7 0

XXVIII

39 39.1 39.2 39.3 39.4 39.5

I nha/rs\'er:-eichni

Elasti che Materialien Der Verzerrung ten or Der Elastizität ten or Bewegungen in einem ela ti ehen Körp r Une1a ti che Verhalten ,., Berechnung der ela ti ehen Kon tamen

40

Die Strömung von trockenem Wa er

40.1 40.2 40.3 40.4 40.5

H eiro tatik Die Bewegung gleichungen Stationäre trömung - da Theorem von BernoutJi Zirkulation Wirbellinien

41

Die Strömung von nassem Wasser

41.1 41.2 41.3 41.4 41.5 41.6

Vl ko ität i ko e Strömung , Die Re nold ehe Zahl Die Strömung an einem hei fönnigen Zylinder orbei Der Grenzfall ver ehwindender Vi ko ität Couette ehe Strömung ,

42

Der gekrümmte Raum Gekrümmte Räume mit zwei Dimensionen

42.1 42.2 42.3 42.4 42.5 42.6 42.7 42.8 42.9

Index

783 ,.7 . 791

7979

80S " ,

,

. . . . . . . . . . .

, .. . . . . . .. Die Krümmung im dreidirnen ionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unser Raum j t gekrümmt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die Geometrie in Raum und Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die Gravitation und da Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gangge chwindigkeit von Uhren in einern Gra itati n feld Die Krümmung in Raum und Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bewegung in einer gekrümmten Weil Ein tein Gravitation theorie , . . .. . . .. . . . .. . .. . . ..

843 4 0 -2 53 4 5 60 61 63

867

1

Elektromagnetismus

Siehe auch: Band 1, Kapitel 12, Eigen chaften der Kraft

1.1

Elektri ehe Kräfte

Betrachten \ ir eine Kraft wie die Gravitation, die umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung i t, aber ungefähr ein Milliarde mal einer Milliarde mal einer Milliarde mal einer Milliarde tärker ist. Dazu kommt ein weiterer Unterschied: Es gibt zwei Arten on" aterie", die wir p iti und n gati nennen können. Gleiche Arten toßen einander ab, ungleiche Arten ziehen einander an - im Gegen atz zur Gravitation, wo e nur Anziehung gibt. Wa würde pa ieren? Ein ünd 1 po iti er Körper würde sich infolge der enormen ab toßenden Kräfte in alle Richtungen zer treuen. Ein Bündel negativer Körper ürde da Gleiche tun. Hingegen würde ich eine au gewogene Mi chung au positiven und negativen Körpern völlig ander erhalten. Die entgegenge etzt n Körper würden durch enorme Anziehung zu ammengehalten. Das effekti e Ergebni wäre dann ein nahezu ollkommenes Gleichgewicht zwi ehen die en fürchterlichen Kräften, die fe te, feine Mi chungen au po itiven und negativen Körpern bilden: z\ i chen zwei Bündeln dieser Mi chungen gäbe e dann prakti ch weder Anziehung noch AbtoBung. E gibt eine 01 h Kraft, nämllch die elektrische. Und die ge amte Materie i teine Michung au po itiven Protonen und negativen Elektronen, die einander mittel die er großen Kraft anziehen und ab toßen. Da Gleichgewicht i t jedoch so vollkommen da jemand, der neb n einem anderen teht die e Kraft überhaupt nicht spürt. Doch chon die klein te Unau geglichenheit würde wahrg nommen. Stünden wir eine Armlänge von jemandem enrfernr und hätte jeder auch nur ein Pro el1t mehr Elektronen al Protonen, 0 wäre die ab toßende Kraft unfa bar groß. Wie tark wäre sie? Stark genug, um da Empire Stare Building hochzuheben? ein! m den Mount E ere t hochzuheben? ein! Die Ab toßung wäre 0 stark, da ie ein Gewicht" hebt, da dem der gesamten Erde entspricht! Bei olch enormen Kräften die in die er engen Mi chung 0 ollkommen au gewogen sind, i te nicht chwer zu verstehen, da die Materie dadurch, das ie ihre po itiven und negati en Ladungen im fein ten Gleichgewicht zu halten trachtet, in hohem Maß tarr und fe t ein kann. Da Empire State Building bei piel wei e chwingr bei Wind nur 2,50 m hin und her" eil die elektri chen Kräfte jede Elektron und jede Proton mehr oder minder an einem Platz halten. Betrachten wir hingegen Materie in g nügend kleinen Bereichen 0 da wir nur" enige Atome ehen, 0 teilen wir fe t, da nicht jede kleine Stück immer die gleiche Anzahl on po iti en und negativen Ladungen hat und da s folglich tarke elektri che Kräfte re ultieren können. Selb t nn in zwei benachbarten Stücken gleich iele Ladungen enthalten ind, kön-

2

1 Elekrromaglleti mll

nen große elektri ehe Kräfte übrigbleiben, denn die Kräfte zwi ehen einzelnen Ladungen verändern ich umgekehrt zum Quadrat der Entfernung. Eine Kraft kann übrigbleiben. wenn ine negative Ladung de einen Stücke näher an den po itiven a] an den negativen Ladungen d anderen Stücke liegt. Die anziehenden Kräfte können dann lärker al die ab toB nden ein. und e kann zu einer Anziehung zwi ehen zwei kleinen ruck n ohne übe hü ige Ladungen kommen. Die Kraft, die Atome zusammenhält, und die chemi ehen Kräfte. die Molekül zuarnmenhalten, ind in Wirklichkeit elektri ehe Kräfte, die in Ber i hen irk n in denen da Gleichgewicht der Ladungen nicht vollkommen i t oder die Entf rnung n ehr klein ind. Sie wi en natürlich, das ein Atom au po iti en Protonen im Kern und Elektr nen in der Hülle be teht. ie könnten auch fragen: "Wenn die e elektri che Kraft 0 ungeheuer .tark i t. warum befinden ich dann Protonen und Elektronen nicht einfach aufeinand r. \ enn ie chon eine enge Mi chung bilden woUen, warum i t die e dann ni hl enger?" Die ntwort hat mit Quanteneffekten zu tun. Wenn wir un ere Elektronen auf ein Gebiet nahe bei den ProIon n einzu chränken ver uchen, 0 mü en ie nach der n chärfer lation einen Impul hab n. de sen Quadrat im Mittel umso größer i t, je mehr wir ver uchen, ie einzu chränken. E i t die e durch die Ge etze der Quantenmechanik bedingte Bewegung, die die elektri he nzi hung daran hindert die Ladungen noch näher aneinanderzurücken. Eine weitere Frage i t: "Wa hält den Kern zu ammen? In einem Kern gibl e mehrere Protonen, die alle po itiv ind. Warum toßen ie einander nicht ab? E zeigt ich, d in den Kernen neben den elektri ehen auch nichtelektri che Kräfte auftreten. die Kernkräfte genannt werden; ie sind tärker als die elektri ehen Kräfte und vermögen die Protonen trotz der e1ektri ehen Ab toBung zu ammenzuhahen. Die Kernkräfte haben aber nur eine kurze R ichweite - sie fallen ehr iel chneller ab al 1/,-2, Da hat eine wichtige Folaeer eh inung: Wenn ein Kern zu iele Protonen enthält, wird er zu groß und hält nicht zu ammen. Ein B i piel i t da Uran mit 92 Protonen. Die Kernkräfte wirken haupt äcblich z i hen einem Proton ( der eutron) und seinem näch ten achbarn, während die elektri eben Kräfte üb r größer Entfernungen wirken indem ie zwi chen jedem Proton und den anderen Protonen im Kern ine Abstoßung erur achen. Je mehr Protonen ich in einem Kern befinden um 0 tärker i t die elektri ehe Ab toBung, bi wie im Fall von Uran, da Glei hae icht 0 empfindlich ge\ orden ist, das der Kern aufgrund der ab toBenden elektri ehen Kraft au einanderzufli gen dr ht. Wenn ein oIcher Kern auch nur leicht "verletzt 'wird (wa minel eine einge ho enen langamen eutron ge ehehen kann), zerfällt er in zwei positi geladene Teile die durch elektrische Ab toBung au einanderfliegen. Die Energie, die dabei freige etzt \ ird. i t die der t ffibombe. Man nennt ie gewöhnlich die "Kern '-Energie, in Wirklichkeit i t ab r, elektri eh -, Energie die frei wird, wenn elektrische Kräfte die Anziehung kräfte de Kern überv inden. Schließlich können wir un noch fragen wa ein negati geladene Elektron zu arnm nhält (da es keine Kernkräfte hat). Wenn sich ein Elektron au nur einer rte einer ub tanz zusammen erzt, mü te jeder Teil die anderen Teile ab toBen. arum Biegt e al 0 nicht au d Elektron einfac h einander? Hat aber ein Elektron "Teile' ? Vielleicht sollten wir agen d ein Punkt i t und da elektri ehe Kräfte nur zwi ehen verschiedenen Punktladungen irk 11, 0 das das Elektron dann nicht auf ich elb t wirkt. ielleicht. ir können nur Fe t tell n d die Frage nach dem Zu ammenbalt de Elektron viele Schwierigkeiten he orgebracht hat, aJ man ver uchte, eine voll tändige Theorie de Elektromagneti rnu aufzu tellen. Die Frage i t nie beantwortet worden. Wir werden auf die e Thema in päteren Kapiteln zurü kkommen.

3

1.1 Elektri ehe Kräfte

Tabelle 1.1: Kleine und einige große griechische Buch taben Q'

ß y

r

0 6.. E

Alpha Beta Gamma Delta Ep ilon Zeta

Nü

y

~

~

0

7T

TI

p (T

Rho

12

1]

Eta

T

() (=)

v Y

A

Theta Jota Kappa Lambda

J.l

Mü

K

Xi Omikron Pi

4> X I/J qJ w .n

Sigma Tau Yp ilon Phi Chi

Psi

Omega

Wie wir ge ehen haben i t damit zu rechnen, da s eine Kombination au elektri chen Kräften und quantenmechani ehen Wirkungen die genaue Struktur der Materie und infolgede en auch ihre Eigen chaften be timmt. Manche Materie j t hart, andere weich. Die eine ist elektri ch ,.leitfähig' - weil ihre Elektronen ich frei bewegen, die andere ist ,i olierend ' - weil ihre Elektronen fe t an einzelne Atome gekettet sind. Wlf werden später unter uchen, wie einige die er Eigen chaften zu tande kommen; da i t jedoch ein ehr chwierige Thema und wir wollen de halb zunäch t nur lektri che Kräfte unter einfachen Bedingungen betrachten. Zu Anfang behandeln wir nur die Ge etze der Elektrizität - ein chließlich de agneti mu , der in Wirklichkeit ein Teilgebiet dieses Thema ist. Wir haben ge agt, da die elektri ehe Kraft wie die Gra italion kraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen Ladungen abnimmt. Diese Beziehung nennt man da Coul mb ehe Ge etz. Die e i t jedoch nicht ganz zutreffend, wenn die Ladungen ieh bewegen - die elektrischen Kräfte hängen auch auf komplizierte Wei e von den Bewegungen der Ladungen ab. Einen Teil der Kraft zwi ehen bewegten Ladungen nennen wir die magnetische Kraft. Sie ist im Grunde genommen ein Aspekt eine elektrischen Effekt. De wegen prechen wir von "Elektromagneti mu ' . E gibt ein wichtiges allgemeine Prinzip, da ermöglicht, die elektromagneti chen Kräfte in relativ einfacher Wei e zu behandeln. Experimentell stellen wir fest, das die Kraft, die auf eine be timmte Ladung wirkt - unabhängig davon, wie viele andere Ladungen vorhanden ind oder wie ie ich bewegen - nur von der Lage die er be timmten Ladung, ihrer Ge chwindigkeit und ihrer Ladungsmenge abhängt. Wir können die Kraft F auf eine Ladung q, die ich mit einer Ge chwindigkeit v bewegt, schreiben als F = q(E + v X B).

(1.1 )

Wir nennen E die elekrrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke an der Stelle, an der sich die Ladung befindet. Wichtig i t da s sich die von allen anderen Ladungen im Uni er um au geübten elektri ehen Kräfte allein durch diese beiden Vektoren zu ammenfassen la sen. Ihre Werte hängen vom Ort der Ladung ab und können ich mit der Zeit ändern. Wenn \ ir ferner die betrachtete Ladung durch eine andere er etzen, 0 wird die Kraft auf die neue Ladung immer proportional ihrer Ladung menge ein, vorausgesetzt, da s alle übrigen Ladungen in der

J Elektroma

4

Welt ihre Lagen und Bewegungen nicht ändern. (Im konkreten Fall übt naLürli h j de Ladung Kräfte auf alle anderen Ladungen in der a hbar chaft au und kann die e anderen Ladunoen veranla en ich zu bewegen' folglich können ich die Feld lärken man hmal verändern, wenn wir un ere betrachtete Ladung durch eine andere er etzen.) Au Band 1 wi en wir, wie wir die Bewegung eine Teilchen finden. w nn \\ ir di Kraft kennen, die auf die e einwirkt. Gleichung (l.l) lä t ich mit der B w gung glei hun o zu ammenfas en zu:

d .[ -d !

mv ?-.,

1/1 ]

(1-1 Je-) -

= F = q(E + I X B).

Wenn aloE und B gegeben ind, können wir die Bewegung angeb n. erfahren. wie die E' und B erzeugt werden.

( 1.2)

un mü en wir ab r

rz uEine der wichtig ten Prinzipien, da einen vereinfachenden Ge icht punkt fur di gung on Feldern abgibt, i t da folgende: Angenommen, eine nordnung von Ladungen. die ich in irgendeiner Wei e bewegen, möge ein Feld E I hervorrufen, eine andere nordnune> n Ladungen bewirke ein E 2 . Wenn beide Anordnungen gleichz.eitig an\ e end ind ( obei ie die gleichen Lagen und Bewegungen haben ollen wie einzeln) dann i t d erzeugte eid genau die Summe I.

Die en Sach erhalt nennt man da Überlagerungsprinzip der Felder. E gilt au h für magnetiche Felder. Die es Prinz.ip bedeutet, da wir alle Gesetze der Elektrod namik oll tändig obald wir da Ge etz kennen, nach dem elektri che und magneti che Felder on in r einzelnen, in willkürlicher Weise bewegten Ladung erzeugt werden. enn ir die auf Ladung A wirkende Kraft erfahren wollen, mü en wir nur die Feld tärken E und B bere hnen, die on jeder der Ladungen B, C, Du w. erzeugt werden, dann die E' und B aller Ladungen addieren, um 0 die Felder und darau dann die auf Ladung A einwirkenden Kräfte zu finden.· enn ich nun herau ge teIlt hätte da da von einer einzelnen Ladung erzeugte Feld einfa hit, 0 wäre da der be te Weg. die Ge etze der EI ktrodynamik zu be chreiben. Ein 01 he Ge LZ hab n wir bereit (in Kapitel 28, Band I) be chrieben; leider i t e ziemlich kompliziert. E hat ich gezeigt da die Form, in der die Ge etze der Elektrod namik am infa h t n ind, nicht diejenige i t, die man zunäch t erwarten würde. E i t nicht am einfa h t n, ine Formel für die Kraft aufzu lellen, die eine Ladung auf eine andere au übt. E i t z ar ahr, da da Coulomb ehe Kraftge etz für ruhende Ladungen einfach i t: enn die Ladungen i h aber bewegen, 0 ge talten ich die Relationen aufgrund on zeitlichen rzög ron n und Beehleunigung effekten um nur einige Faktoren zu nennen ehr iel hwieriger. In~ loed n beab icbtigen wir nicht, die Elektrodynamik au chlieBljch mit Hilfe on Ge etzen für Kräfte zwi chen Ladungen darzu teilen. E er cheint un be er, einen anderen. Gicht punkt zu wählen, mit dem ich die Ge etze der Elektrodynamik am leichte ten handh ben Ja n.

1.2 Elektrische und magneri ehe Felder

1.2

5

Elektri ehe und magnetische Felder

Zunäch t mü en wir un ere Vor teilungen von den elektri ehen und magneti ehen ektoren E und B rwa erweitern. Wir haben ie al die Kräfte definiert, die auf eine Ladung au geübt· erden. un mö hlen wir von elektri ehen und magnetischen Feldern an einem Punkt auch dann prechen, wenn ich dort keine Ladung befindet. Wir agen, da e Kräfte gibt, die auf eine Ladung" irken' und da folglich "etwa 'übrigbleibt, wenn die Ladung entfernt wird. Wenn eine Ladung im Punkt (x ,z) zur Zeit t die durch GI. (1.1) gegebene Kraft F pürt 0 ordnen wir dem Punkt im Raum (x, )', z) die Vektoren E und B zu. Wir können un or tellen, das E (x,)', :, t) und B (x,. , Z, t) die Kräfte ind die eine Ladung in (x, y, z) zur Zeit t püreo 'würde, \Velin durch da Anbringen die er Ladung alle anderen für die Felder verantwortlichen Ladungen in ihren Lagen und Be~ egungen nicht gestört werden. Die er or teilung folgend ordnen wir dann jedem Punkt (x, y, z) im Raum zwei ehoren E und B zu, die ich mit der Zeit ändern können. Somit werden die elektri chen und magnetich n Feld tärken al \ ektorielle Funktionen von (x, y, z) und t angesehen. Da ein ektor durch eine Komponent n fe tgelegt i t, teilt jede der Feldstärken E (x,)' -, t) und B (x, y,:, 1) drei mathemati che Funktionen on X,), z und t dar. Genau de halb, weil E oder B) an jedem Punkt im Raum festgelegt werden kann, pricht man hier on inem .Feld". Ein "Feld" i t jede physikali che Größe, die an er chiedenen Punkten im Raum er chiedene Werte annimmt. Die Temperatur bei piel wei ei t ein Feld in die em Fall in kalares Feld, da wir al T(x, y, z) chreiben, Die Temperatur könnte ich auch mit der Zeit ändern' wir würden dann agen, das Temperaturfeld i t zeitabhängig, und da al T(x, y, z, t) chreiben. Ein anderes Bei piel i t da "Geschwindigkeit feld' einer trömenden Flü igkeit. Hier chreiben wir v(x.)/, Z, t) für die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an jedem Punkt im Raum zur Zeit t. Dabei handelt e sich um ein Vektorfeld. Kehren wir zu den elektromagneti ehen Feldern zurück! Obwohl ie on Ladungen nach komplizierten Formeln erzeugt werden, haben ie folgende wichtige Eigen chaft: Die Beziehungen zwischen den Werten der Feldstärken an einem Punkt und den Werten an einem Punk'! in der Nähe ind ehr einfach. Mit nur einigen dieser Beziehungen in der Form on Differentialgleichungen können wir die Felder voll tändig be chreiben. Gerade al Differentialgleichungen la en ich die Ge etze der Elektrodynamik sehr einfach wiedergeben. E ind zahlreiche Erfindungen gemacht worden, mit deren Hilfe man ich da Verhalten der Felder be er or teilen können 011. Die richtig te i t in die ern Fall auch die ab trakte te: wir betrachten die Feld tärken einfach als mathematische Funktionen de Ürte und der Zeit.

..-

.--

.---

---- - -

.--

~

..-

..... Fig. 1.1: Ein Vektor~ Id kann dargestellt werden, indem ein Sy tem von Pfeilen gezeichnet wird, die durch ihre Länge und Richtun cr die Werte de Vektorfelde im Au gang punkt de Pfeils anzeigen.

6

Wir können da Bild eine Felde aber auch erhalten, indem ir an ielen Punkten im R um Vektoren einzeichnen on denen jeder die Stärke und Richtung de eide an dem beu ffenden Punkt be timmt. Eine olche Dar teIlung i t in Fig. 1.1 gez igt. ir könn n aber no heiter gehen und Linien einzeichnen, deren Tangenten in j dem Punkt die ektoren ind - die zusagen den Pfeilen folgen und die Richtung de Felde angeben. enn ir da tun, erlieren wir die Längen der Vektoren au den Augen; wir können aber die tärke de Felde rf 19 n. indem wir die Linien weit auseinander zeichnen, wenn d Feld h ach i t, und nahe b i inander, wenn e tark i 1. Wir übernehmen die Kon ention, na h der die Zahl der Linien pro Einheit der rechnvinklig :u den Linien stehenden Fläche proponi nal zur Feld tärke i t. Die i t natürlich nur eine äherung, und e i t dann erforderlich da zu, eil n n ue Linien enttehen damit ihre Zahl weiterhin der Stärke de Felde en pri ht. D Feld au Fig. 1.1 ird durch Feldlinien in Fig. 1.2 darge tellt.

/ Fig. 1.2: Ein Vektorfeld kann darge teilt \",erden. ind m

Linien gezeichnet werden, deren Tangente in jedem Punk' die Richtung de Vektorfelde i t, v obei die Dichte der Linien proportional zur tärke de ektorfeld i t.

1.3

Charakteristische Merkmale von Vek·orfeldem

E gibt zwei mathemati eh wichtige Eigen chaften eine Vektorfelde. die wir bei un erer feldtheoreti ehen Be chreibung der Ge etze der Elektrizität erwenden. Anoenommen, ir stellen un irgendeine ge chlos ene Fläche vor und fragen, ob ,etwas' au dem Innern ed ren geht· oder ander , ob das Feld die Eigen chaft hat ,au zufließen '? Bei einem Ge ch indigkeitsfeld können wir bei piel wei e fragen, ob die Ge chwindigkeit an der Oberflä he überall nach außen gerichtet i t, oder allgemeiner, ob mehr Flü igk it pro Zeiteinheit) hinau fließt als hereinkommt. Wir nennen die Ge amtmenge der Flü igkeit, die pro Zeiteinheit dur h di Fläche austritt den ,Ge chwindigkeit fluss" durch die Fläche. Der Ru durchein lement der Fläche i t aber gleich dem Produkt der Ge chwindigkeit komponente enkre ht zur Flä he und dem Flächeninhalt. Bei einer beliebigen ge chlo enen Fläche i t der Gesamtftuss nach außen - oder kurz Fluss - das Produkt der mittleren, nach außen gerichteten Ge ch indigkei komponente und dem Flächeninhalt der Fläche: Flus

= (mittlere

ormalkomponente)· (Flächeninhalt.

1.4

Im Fall eine elektri chen Felde können wir mathemati ch et a definier n, da einem Au flu gleichkommt; wir prechen auch hier von Flu ,obgleich e natürli h ni ht der Flu einer Sub tanz i t, denn da elektri ehe Feld ist nicht die Ge eh indigkeit on iroendet\ a .

1.3 Charakteri 'tische Merkmale, on Vektoifeldem

7

Vekt r

/

Komponente enkrecht zur Flä h Fig. 1.3: Der Flu eine ektorfelde durch eine Fläche wird al der mittlere Wert der ormalkomponeme de Vektor mal dem Flächeninhalt definiert.

E zeigt ich jedo h das die mathemati che Größe, die die m.ittlere ormalkomponente de Felde dar teilt, auch hier einen nützlichen Sinn hat. Wi.r pr chen dann on dem elektrischen Flu - der ebenfall durch GI. (1.4 definiert i t. S hbeßlich i t e auch inn oll. unter FIu nicht nur den durch eine voll tändig ge cWo sene Flä he zu er tehen, ondern einen durch jede begrenzt Fläche. ie zu or wird der Fluss durch ine olche Fläche al die m.ittlere ormal komponente eine ektar mal dem Flächeninhalt definiert. Die e Begriffe eran chauli ht Fig. 1.3.

a

(e

r

b)

--\

I I

I

, I

I I

I

I I

Fig. 1.4: a) Da Ge ehwindigkeit feld in einer Flü igkeit. Stellen wir un eine Röhre mit einem ein-

heitlichen Quer ehnitt vor, die wie in (b) in einer willkürlichen ge ehJo enen Kurve verläuft. ürde die Flü igkeit plätzli h überall außer in der Röhre einfrieren 0 würde die Flü igkeit in der Röhr \ ie in (e) zirkulieren.

J Elef...7roma

8

E gibt eine zweite Eigen chaft eine Vektorfelde. die ich eher auf eine Linie al auf eine Fläche bezieht. ehmen wir wiederum an, wir betrachten ein Ge hwindigk i feld. d d Strömen einer Flü igkeit be chreibt. Wir könnten dann die intere ante Frage t lien: Zirkuliert die Flü igkeit? Gemeint i t: Gibt e in ge amt eine Rotation be egung entlang einer hleife? Angenommen, wir frieren eine Flü igkeit augenblicklich überall außerhalb einer R"hr ein, welche innen einen einheitlichen Quer chnin hat und in ein r hleife erläuft, di \Vi in Fig. 104 ge chlos en i t. Die Flü igkeit außerhalb der Röhre e tarn. aber innerhalb der Röhre kann ie aufgrund ihre I:mpulse weiterfließen - d. h. wenn der Impul in der inen Ri hlung der Röhre tärker aI in der entgegenge etzten Richtung i t. ir de nieren eine G(·ße. di die Zirkulation genannt wird, al die re ultierende Ge h indigkeil der F1ü igk it in d r Röhr mal deren mfang. ir können auch hier den Begriff erweitern und die .Zirkulation . für lle Vektorfelder definieren t ( elbst wenn ich nicht bewegt. Für alle ekt rfeld r wird die Zirkulation entlang irgendeiner geschlossenen KU11Je al die miniere Tangentialkomp n nte de Vektor (in einem kon i tenten Sinn) mal dem Umfang der Schleife definiert Fig. 1.-). (1.5

Zirkulation = (miniere Tangentialkomponente) . Umfang)

Sie werden ehen, das die e Definition tatsächlich eine Zahl ergibt. die proportional i l der Zirkulationsge chwindigkeit in der plötzlich eingefrorenen Röhre, die oben be ehri b n wurde.

+ Richmng

i/ ...-----..::

I

Willkürliche', ::-'_,'ir un die e Problem der Reihenfolge vergegenwärtigen, ver tehen wir. da TV in Op rat r i t, aber da Produkt VT i t kein hungriger Operator mehr: er i tollkommen ge ättigt. E hand It i h tat ächlich um einen ph ikali chen Vektor, der einen Sinn hat. Er I llt dar, wie ra eh ich T im Raum änd rt. Die x-Komponente von VT be agt wie tark ich T in der x-Ri hlung änd rt. Wel he Richtung hat der Vektor VT? Ir i en, da da erhältni, in dem ich T in einer Richtung ändert, die Komponente von VT in di r Ri htung i t (ieh GI. 2.15). Es folgt daraus, da die Richtung on VT diejenige i t, in der di rektor die größte Komponente hat - mit anderen Worten, die Ri htung, in der ich T am tärk ten ändert. Der Gradient von T hat die Richtung de teil ten An tieg in T).

2.5

Operationen mit V

Können wir mit dem ekLoroperator V noch andere algebrai ehe Operationen durchführen? er lichen wir, ihn mit einem ktor zu kombinieren. Wir können zwei Vektoren miteinander kombinieren, indem wir ein kalarprodukt bilden. Bei piel wei e die e: (ein ektor)· V,

oder

V . (einem Vektor).

Da er te Produkt bedeutet noch nicht, da e ich noch immer um einen Operator handelt. Was er päter b deuten kann, hängt da on ab, worauf er angewendet wird. Da zweite Produkt i t in be timmte kalare Feld. (A . Bit immer ein Skalar.) er uchen wir da kai arp rod ukt on V mit einem Vektorfeld, da wir kennen, z. B. h. Wrr chreiben die Komponenten an:

(2.32) oder

V· h

8h

'= _x

OX

8h y

+-

8y

8h_

+ -~ .

OZ

Die e Summe i t bei einer Ko rdinatentran formation invariant. Würden wir ein andere lern durch Striche gekennzeichnet) wählen, erhielten wirt ohr

I

V .h

'=

8hy'

(2.33)

y-

oh.,

8x' + 8' + 8z"

(2.34)

t ir verstehen h aJ eine physikalisdre Größe die om Ort im Raum abhängt und nicht im engeren inn aJ eine mathemati h Funktion von drei Variablen. Wenn h nach x, y und z oder nach x' ,y' und ..J "differenziert" wird. mu der mathemati che Au druck fLir h zunäch t a1 eine Funktion der betreffenden ariablen au gedrü kt werden.

28

2 VeklOranlily i

das i t die gleiche Zahl. die wir auch au GI. (2.33) rhaJten hällen. b\\ hl ie and Da heißt,

~

uchaut.

= V· h

V' - Ir

ine be timmte ph) ikali h für jeden Punkt im Raum. V . hit daher ein kalare Feld. d Größe dar reHen mu . ie mü en ich klarmachen, da di K mbinati n \' n bl iLUngen in V . h etwas ehr pezieIJe i 1. E gibt iele andere Arten on Kombinati n n \\ i h / x, die weder Skalare Da h ektorkomponenten ind. Die kalare Größe V . (einem Vektor) i ( in der Ph Divergen:. Bei pie1 wei ei ( V· h

= div h =..Divergenz

ik äuBer l nüLzli h.

an nennlie di

(~. 6

on h".

Wie bei VT können wir auch V . h eine ph ikali ehe B d urung zu hr iben. Wir w rden das jedoch auf päter er chieben. Er t einmal woUen wir ehen, wa man mit dem ektorop rator V on kann. Wie wäre e mit einem Vektorprodukt? E i t zu erwarten. d

vx

h

1

= einem Vektor.

n h an teilen

(_. 7)

E handelt ich um einen Vektor, de en Komponenten wir n h den

"hnli hen Regeln für

ein Vektorprodukt ( iehe GJ. 2.2) an chreiben können:

( V x h)

= 'iJ hY ~ X

'iJ h )' x

Bh. = _Y 8x

Bh 8)'

__ .I:

In ähnlicher Wei e _. 9)

und (2.4

Die Verbindung V x h wird der Rotor on h" oenannr. Die Beoründun b d die phy ikali ehe Bedeutung der Kombination werden päter di kUli rt. Zu ammenfas end haben wir dreierl i Kombinationen mit V: VT

= grad T = ein Vektor,

V . h = div h = ein Skalar, V x h = rot h = ein Vektor.

m n und

2.6 Die Dijferentialglei

111/11

29

der Wärmesrrömung

Mit Hilfe die r Kombinationen können wir die räumlichen Änderungen der Felder auf bequeme ei e dar teIlen - in einer ei e, die in ofern allgemein i t, al sie nicht von einern be timmt TI Ahn y tem abhängt. 1 ein Bei pi I für die erw ndung un ere ektoriellen Differentialoperator V chreiben wir ein Y lern on klOrgleichungen an, die die eIben Ge elze de Elektromagneti mu enthalten di wir in Kapitell in Worten au gedrückt haben. ie werden die Maxwell-Gleichungen g n nnt.

ll-GI i hungen

Die

p V· E = -

I)

EO

v xE

2)

3) 4)

aB

=--

8r

(2.41 )

V·B =0 2

c VxB

j = -8E +Öl

Eo

wobei p (Rho), di "elektri he Ladung dichte", die Ladungsmenge pro Volumeneinheit i t und j, die "el ktri che Stromdichte' , da Verhältni, in dem die Ladung pro Sekunde durch eine lä h n inheit fließt. Diese ier Gleichungen enthalten die ge amte kla si che Theorie de lektromagneti hen F Id . Sie ehen, wa für eine elegante einfache Form \ ir mit un erer neu n Bezei hnune> ei e erhalten können!

2.6

Die Differentialgleichung der Wärmeströmung

Geben wir ein andere Bei piel ine physikali chen Gesetze in Vektor chreibwei e. E i t kein präzi e Ge etz, aber für iele Metalle und eine Anzahl anderer wärmeleitender Subtanzen trifft ehr genau zu. enn man eine Platte au einem Material nimmt und die eine eite auf eine Temperatur T:. erwärmt während man die andere Seite auf eine Temperatur Tl abkühlt, 0 fli ßt bekanntlich die Wärme durch da Material von T2 nach Tl [Fig. 2.7(a)]. Der Wärme tr mit proportional zur Fläche A der Platten eiten und zum Ternperaturunter chied. ußerdem i t er umgekehrt proportional zu d, der Dicke der Platte. (Für einen be timmten Temperaturunt r chied gilt, je dünner die Platte, de to größer der Wärme trom.) Sei J die Wärmeenergie, die pro Zeit inheit durch die Platte geht; wir chreiben dann

J

= K(T.)- -

A

T I )-.

Di Proportionalitä

(2.42

d

n lallt

K

Kappa h ißt die Wärmeleitfähigkeit.

a ge hieht in ein m komplizi rteren Fall? Bei piel wei e in einem unge öhnli h geformten BI ck ein Mat rial, in dem i h die ~ mperatur in be onderer Wei e verändert? ngenommen, wir betrachten ein ehr kl ine Stück de Block und teilen un eine Platte

30

2

u dur h in PI tle. (b) Ein unendli h klein PI He p Hel zu emer I lh nn n Flä h in ein m gr Ben

Fig. 2.7: (a)Wänn

(a)

(b)

BI

k.

wie die in Fig. 2.7 a) im Kleinen vor. Wir richten die Platten it n p Hel zu d n i Aä hen au , wie in Fig. 2.7(b), 0 da GI. (2.42) für die kleine Platt timm1. enn der Flächeninhalt der kJeinen Platte VA j t, b trägl der

änn

rr m pro

lh rrn n il inh il

ßA bJ=KßT-

s

wobei ßS die Dicke der Platte i 1. Wir haben aber früber AJ/ al d n B lfa v n h d fini rl. da die Richtung der ärme trömung hat. Die Wärme fließt on Tl + tJ.T na h TI und mll gen ud [enJcrecht zu den Iothermen, wie e Fig. 2.7(b) zeigt. And rer ei i t T / hältni , in dem ich T mit dem Ort ändert. Und da di .. nd rung de Ort nkr ht zu en I othermen ge chieht i t un er b1T I die maximal Änderung rale. i 1 daher d r B Lra von VT. Da aber die Richtung von VT entgegenge etzt zu der von hit könn n wir (2.4 aI ektorgleichung cbreiben:

h

= -K

T.

(2.M

(Das inu zeichen i tnotwendig, weil die Wärm temperarunnäßig .,bergab" fti BI. GI ichung (2.44) i t die Differentialgleichung der Wärm leitung in al rial i n. i h n , d ich um eine echte Vektorgleichung handelt. Beide Seiten ind eklor n, w nn ine Zahl i 1. Das i t die Verallgemeinerung auf beliebige Fälle der p zieUen Beziehung ( A2 bei r htwinkligen Platten. päter werden wir lernen, ie man alle nen on Bezi hung n d r I m ntaren Ph ik: - ie (2.42) - in der anspruch olleren onn der - e toeieH n B zei hnun w i chreibt. Die e Bezeichnung wei e i t nicht nur de halb nützli h, eil i di GI i hung n infacher erscheinen läs t. ie zeigt auch ehr deutlich den physikali !Jen GehalT er GI i hung n. ohne auf ein beliebig gewählte Koordinaten y tem Bezug zu n hIn n.

kt01felder

2.7

31

Z eite Ableitungen der Vektorfelder

Bi h rh tt n wir e nur mit r t n bl itun e n zu tun. arum betrachten wir ni ht au h it bl itungen. ir könn n mehrer Kombinationen bilden: V . (VT) V x (VT V(V·/z) V·(Vxh) V x (V x h)

(a)

b) ) (d (e)

können i h

rge i

(2.45)

m, da

da alle möglichen Kombinationen ind.

Belra hten wir zunäch t die zeit, (h). Sie hat die elb Form wie

x( da

x

T

=( x

)T = 0,

immer null i t. Daher ollle gelt n r t( rad T) = V x (VT) =

O.

ie di e GI i hung en teht. können den: [V

x (VT)];:

= "Vx(x) gibt wie w rden ich die Ionen darin erteilen? D können wir mit Hilfe der Ge etze der tati ti ehen Mechanik be timmen. n ere ufgabe i t dann, r/J 0 zu be timmen, da die au der tati t1 ehen Mechanik re ultierende Ladung dichte auch (7.28) erfüllt. Gemäß der tati ti chen Mechanik ( iehe Kapitel 40, Band I) ind Teil hen im thermi ehen Gleichgewicht in einem Kraftfeld 0 verteilt, da die Dichte 17 on Teilchen am Ort x gegeb TI i t durch (7.29) wobei U(x) die potentielle Energie, k die Boltzmann-Kon tante und T die ab

i

lut Temp ratur

t.

Wir nehmen an, da die Ionen eine Elektronenladung, ent eder eine p iti e od rein negati e. tran portieren. Im Ab tand x von der Oberfläche ein kolloidalen Teil hen hat ein po iti e Ion die potentielle Energie qef/J(x) 0 da

Die Dichte der po iti en Ionen n+ i t dann

Eben

0

i t die Dichte der negativen [onen

Die ge amte Ladung dichte i t

1-9

7.4 Kolloidale Teil hell in einem Elektrolyten

oder (7.30)

enn \ ir da mit 1. (7.2 Gleichung erfüllen mu.

kombinieren, tell n \ ir fe t. da

da Potential dJ die folgende

(7." l)

Die e Gleichung kann alloemein gelöst werden [man multipliziert b ide Seiten mit 2(ddJ/dx) und int griert na h x], um da Problem ab r 0 einfach i möglich zu halten. betra hlen wir hier nur den Grenzfall in dem die Potential klein ind oder die Temperatur T hoch i t. Der Fall, in dem ifJ kl in i 1. nt pricht einer v rdünnt n Lö ung. In die n Fällen i t der Exponent klein und wir können annähern

e±q,dJlkT

=1+

ql'cP.

- kT

Gleichung (7.31) ergibt dann 7."3)

Beachten ie, da

die mal da Vorzeichen auf der rechten eite po itiv i

1.

Die Lö ungen für

nügend hoch hinauf teigt i t die Leitfähigkeit 0 groß, da in horiz maler Ri hlung k ine P tentialänderungen mehr möglich ind. Die Luft wird für di Z it kala mit der ir un hef n, ~ ktiv ein Leiter. Da ge hieht in einer Höhe von annähernd 50 J(jlomelern. Die e H"h i t n h nicht die 0 genannte "Iono phäre " in der eine ehr groBe nzabl on Ion n dur h di nne photoelektri ch erzeugt werden. Trotzdem i 1 für un re Di ku i n n der arm phäri h n Elektrizität die Leitfähigkeit der Luft b i 50 Kilometern groß g nug, 0 da ir un in di r Höbe prakti ch eine perfekt lei! nde Fläch or teilen könn n. on der di tröme h rabRi -

159

9.2 Elektrische Tröme il1 der Atmosphäre

Ben. n ere or teilung \'on die er ituation i t in Fig. 9.4 darge teilt. Da Problem lautet: Je wird dort di po itive Ladung aufrechterhalten? Wie wird i zurückgepumpt? D nn wenn ie hinunter auf di Erde kommt, mu ie irgendwie zurückgepumpt werden. Das war lange Zeit eine der g(-ßten Rät el d r atmo phäri chen Elektrizität.

gr Be Leit ähigkeit

+

50000 m - - - - - - - - - - - - - - -= - - - -

trom:::: 10- 12

400000

1'----r--r--r-7-"-r--r--r~7 7 7 7 7 7 7

Meere höhe

Erdoberflä h

Fig. 9.4: T pi ehe elektri ehe Bedingungen bei klarem Himmel.

Jede kleine Informati n, die \ ir erhalten können, mü te ein Anhalt punkt ein oder zuminde t etwa darüber au agen. Intere ant i t da folgende Phänomen: Wenn wir den tram (der labiler al der Potentialgradi nt i t) bei pieI wei e über d m Meer oder unter orgfaltig gewählten Bedingungen m en und ehr orgfältig mitteln. 0 da wir nregelmäßigkeiten au gleichen, entdecken wir, da e immer n h eine tägli he Änderung gibt. Da Mittel au vielen Me ungen über d n Ozean n ändert ich mit der Zeit ungefähr 0, wie da in Fig. 9.darge teIlt i t. D r Strom ändert i h um ungefahr ± 15 Prozent und i t in London um 19 hr am tärksten. Seit am dab i i t, da e keine Rolle pielt wo man den Strom mi t - im Atlanti ehen Ozean im Pazifi ch n Ozean oder im Arkti ehen Ozean - er hat einen Maximal ert, wenn di Uhren in Londo/7 19 hr chlagen_ Auf der ganzen Welt erreicht der tram ein aximum um 19 hr ondoner Z it und ein Minimum um 4 hr Londoner Zeit. Mit anderen Worten er hängt 011 der ab oluten Zeit auf der Erde ab und nicht von der lokalen Zeit am Beobachtung ort. Einer i i t da ni ht rät elhaft; e tirnmt mit un erer Vor teHung überem. da e hoch oben ine ehr große Leitfähigkeit in eitlicher Richtung gibt, denn das verhindert. da ich die Potentialdin renz zwi ch n dem Boden und der höch ten Schicht lokal ändert. Jede Potentialdifferenz mü te eltweit ein und i te tat ächlich auch. Infoluede en wi en wir nun das die pannung an der .,ober ten" chichI mit der ab oluten Zeit auf der Erde um 15 Prozent fällt und teigt.

E (V Im) 120 110 100

Ti--_----:!-I_ _--'="'_ _----:-'::--_---:::1-:--

o

6

12

1

runden G T

24

Fig. 9.5: Die mittlere lägli he Änderung de atmo phäri ehen Potentialgradjenten an einem klaren Tag über den Ozeanen, bezogen auf Green ich-Zeit.

160

9.3

9 ElekTrhTäl in der Armo phäre

Ur prung der elektri ehen Ströme in der Atmosphäre

I äch te mü en wir über die Quelle der tarken negativen tröme prechen, die von der .,höch ten chichr' zur Erdoberfläche fließen mü en, um die e negati aufgelad n zu halten. Wo ind die dazu notwendigen Batterien? Die "Bau rie" i t in Fig. 9.6 darge teIlt. E ind Donner und Blitz. E reUt ich heraus, da der Blitz da Potential. üb r d \ ir ge pro h n h ben. nicht .,entlädt". wie Sie zunäch t annehmen könnten. Die Blitze bringen ne Cltil'e Ladungen zur Erde. Wenn e blitzt, erden bei neun on zehn Malen negati e Ladungen in großen Mengen zur Erde gebracht. E ind die Gewitter, die überall auf der elt die Erde mit in m trom n durch chnitilich I 00 Ampere laden; in den Schönwetterzonen wird i dann entladen.

Fig. 9.6: Der Me hani rou , der da elektri ehe Feld der Atmo phäre rzeugt. [PhOlO Will i m L.

id-

mayer.] E gibt auf der ganzen Erde ungefähr 40000 Gewitter pro Tag und \\ ir können ie un al Batterien or tellen. die die Elektrizität in die ober te hieht pumpen und di P t ntialdin renz aufrechterhalten. Dann i t die Geographie der Erde zu berüc i hügen ibt nachmittag Gewitter in Bra ilien, tropi che Gewitter in Afrika und 0 fort. al1 hat abge härzt. \ i iele Blitze auf der ganzen ~ elt zu jeder Zeit ein chlagen und ie ohl zu rn rt nil, timmen die e Schätzungen mehr oder weniger gut mit e ungen der Pot ntialdi fer nz üb r in: die ge amte Gewittertätigkeit auf der Erde hat ihr aximum um unge ähr 19 hr Londoner Zeit. Gewitters hätzungen ind jedoch ehr chwierig und i urd n r t gemachl. nG Itdem bekannt war, da dje e bhängigkeit vorliegen ollte. II da i [ ehr chwi rig, w il wir nicht genügend Beobachtungen über den Meeren und allen Teilen der lt hab n, um di eenau

9.4 Gewiller

161

Zahl der Gewiuer u erfahr n. ber diejenigen. di glaub n. da Je ..e richtig machen". erhalten al Ergebni. da e auf der ganzen elt ungefähr IOD-mal in d r ekunde blitzt und da da Ma imum der ti ität um 19 hr Greenwich-Zeit erreicht wird. m zu \' r tehen \ ie die Batt ri n funktionieren. betra hten \ ir ein Ge itter au führlieh. a pa ien im Innem ine G witLer ? Wir erden da 0 weit be chreiben. ie e bekannt i t. Be häftigen wir un mit die em wunden' llen Phänomen der \ irkli hen aturan teIle der ideali ien n Kugeln on perfekt n Leitern im Innem on anderen Kugeln, ein Pr blem da ir 0 chön lö en können -, 0 entdecken ir, da wir nicht ehr viel wi en. nd denn eh i t da wirkli h ufr gend. Jeder. drin einem Ge iner ge\ e en i t, hat ich entweder daran erfreut der er hat ich gefürchtet, zuminde t aber hat er eine gewi e Erregung ver pürt. ie kompie Und da. wo die atur ich un in F rm ein r Erregung mitteilt, teilen wir fe t, da und geheimni oll i t. wird ni ht möglich ein, ein Ge itter genau zu be hreiben, weil wir noch nicht ehr iel darüb r \ i n. ber wir oll n er uchen, in etwa zu be chreiben. W dabei pa iert.

9.4

Gewitter

In er ter Linie be reht in ge öhnli he Gewitter au einer Anzahl on, Zellen", die ziemlich nahe beieinander liegen aber nahezu unabhängig oneinander ind. Daher i team be ten, die Zellen einzeln zu anal ieren. nter einer ,.Zelle" er tehen wir einen Bereich nlit einer begrenzten horiz ntalen Flä he, in dralle fundam malen Proze e tattfinden. Ge öhnli h befinden sich mehrere Zellen neb neinand r und in jeder ge chieht ungefähr das Gleiche, aber vielleicht zu er chieden n Z iten. Fig. 9.7 zeigt in einer ideali ierten ei e, wie eine olche Zelle im frühen tadium de Gitter au ieht. E i t zu beobachten, da in einem ge i en Bereich der Luft und unter gewi en Bedingungen, die wir be chreiben werden, eine Auf ärtsbewegung der Luft tanfindet. der n Ge hwindigkeit in der ähe d r ob r ten chi ht immer mehr zunimmt. In dem Maß, in dem die \! arme. feu hte Luft von unten nach oben teigt, \ ird ie abgekühlt und konden iert. In d r bbildung b zei hnen die kJeinen Kreuz chnee und die Punkte Regen; weil ab r die Auf ärt tröme tark genug und die Tropfen klein genug ind, faHen in die em tadium wed r S hnee noch Regen. Da i t da Anfang tadium und noch ni ht das eigentli he Ge in r - in f rn. al auf dem Boden ni ht ge chi ht. nn die wanne Luft na h oben teigt, 0 trörnt zur gl ich n Zeit Luft on den eiten nach - ein wichtiger Punkt der iele Jahr lang rna hl" igt urde. omit i te nicht nur die Luft on unten die na hoben teigt, ondem auch ine enge Luft on den Seiten. Warum teigt die Luft in di r ei e? Wie i wi en, wird die Luft in der Höhe kälter. Der Boden \ ird n der onne erwärmt und die Rü k trahlung der Wärme zum Himmel erfolgr durch den a erdampf h h in d r tm phäre; daher ist die Luft in großen Höhen kalt - ehr kalt - ähr nd i \ eit r unten \ arm i t. ie könnt nagen: "Dann i t da ehr einfach. arme Luft i t leichter al kalt . infolg d ni t die Kombination mechani ch in tabil, und die arme Luft teigt nach ob n."· atürlich wenn di Temperatur in er chiedenen Höhen unter hiedlich i t, 0 i t di Luft thermodynamisch in labil. Würde man die Luft während eine unendli hen Zeitraum ich eJb t überla en, 0 ürd die ganze Luft die eIbe Temperatur erreichen. Aber ie i t nicht ich elb t üb rla n· e heint imm r die onne (am Tag). Es handelt ich al 0

162

9 Elektrhräl in der tnwsphäre

20000

15000

-16

0

_8

0

0°

---

10000

J70

5000 Oberfläche

+2

0

Fig. 9.7: Eine Gewilterz.elle in den frühen tadien der Entwicklung. [Berichl de .. Depanment f Commerce Weather Bureau. Juni 1949.]

in Wirklichkeit nicht um ein Problem de thermod nami ehen Gleichge.. i ht. ondem d meehani ehen Gleichgewich . Tragen wir - wie in Fig. 9.8 - die Lufttemperarur gegen di Höhe vom Boden auf. mer gewöhnlichen Um tänden würden ie entlang einer Kurv ein bnahme wie die mit (a) bezeichnete erhalten; mit zunehmender Höh fällt die Temp ratur. Wie kann die Atmo phäre tabil ein? Warum teigt nicht einfach di heiße Luft n unten in die kalte Luft auf? Die ntwort ist die: Wenn die Luft auf teigt, fällt ihr Druck: betrachten \ ir ein be timmte auf teigende Luftpaket, 0 teilen wir fest da e i h adiabali h u dehnt. (E gibt weder ärrnezufuhr noch Wärmeverlu t, denn in d n großen Dirnen ionen, die wir hi r betrachten, hat die Wärme wenig Zeit zu fließen.) Daher wird da Luftpaket abgekühlt, enn e auf teigt. Ein olcher adiabati her Vorgang ergäbe ein . erhäJtni der Temperatur zur Höhe wie Kurve (b) in Fig. 9.8. Jegliche Luft, die n unten auf teigt är kälter al die mgebung. in die ie eindringt. Somit gibt es keinen Grund dafür, d die heiße Luft von unten na h ob n teigt; wenn ie auf tiege, würde ie auf eine niedrigere Temperatur bgekühlt erden al di

Höhe

Fig. 9.8: Atmo phäri ehe Temperatur. (a) lati he unophäre; (b) adiabati ehe bkühlung der tr ken n Luft; e) adiabaü he Abkühlung d r feuchten Luft; d) u hle Luft, gemi chI mit wandernder Lu 1.

9.4 Gewitter

Luft, die bereit d rt i t: wieder nach umen zu g gibt e ein be timmte die e erhältni i tim darge teilt i t. Die Luft i

16

ie wär hwerer al di Luft d rt und würde nur dana h tra hten, langen. n einem h"nen klaren Tag mit ehr wenig Feuchtigkeit rhältni . in d m die ~ mp ratur in der Atmo phäre abnimmt. und Ilg m in TI kl iner al der" tabil te Gradient"', der dur h Kun'e b) t in einem tabilen mechani ehen Gleichgewicht.

Wenn wir un anderer eit ein Lunpaket or teilen da viel a serdampf enthält und in obere Luft chicht n gebra ht wird, 0 ieht die Kur e einer adiabati chen Abkühlung ander au . Wenn eich au dehnt und abkühlt. konden i rt der darin enthaltene Wa erdampf und da konden ierende a er gibt Wärme frei. De halb kühlt feuchte Luft nicht annähernd 0 tark ab ie tr kene Luft. Beginnt d her Luft. die feuchter al der Dur h chni« i 1. zu teigen. 0 folgt ihre Temperatur ein r Kurve wi ( ) in Fig. 9. . ie wird etwa abgekühlt, i t aber immer noch wärmer al die umli gende Luft auf gleicher Höhe. Liegt ein Berei h on warmer, feuchter Luft or und etwa be\ irkt da ie auf teigt 0 ird i immer leichter und wärmer al die Luft in der mgebung ein und imm r weiter auf t igen, bi ie beträ htliche Höhen erreicht. Das i t der e hant mu , der die Luft in iner Gewitterzell an teigen lä t. iele Jahre lan 17 wurde di Gewiuerzelle einfach auf die e ei e erkJärt. Aber dann zeigten Me ungen, da die Ti mperatur der Wolke in ver hiedenen Höhen ni ht annäh rnd 0 hoch war, wie e Kur e (c anz igt. Der Grund i t der folgende: wenn die feu hte ..Luftbla e" aufteigt, augt ie Luft au der mg bung an und wird durch die e abg kühlt. Die Kurve. die man erhält, wenn man die Ti mperatur gegen die Höhe aufträgt ieht eher wie Kurve (d) au . die der ur prungli hen Kurve (a) iel ähnli her al der Kur e (c) i 1. a hdem die be chriebene trämung in Gang gekommen i t erscheint der Quer chnitt wie in Fig. 9.9. E liegt dann ein aenannte, reife" Gewitter or. E gibt eine ehr chnelle Aufwärts trämung. die in die em tadium bi auf ungefähr 10.000 bis 15.000 Meter reicht manchmal ogar auch ehr vi I h"her. Die Gewitter türme mit ihrer Konden ation reichen weit über die allgemein olkenbank hinau und werden on einer Aufwärt strömung getrag n. die gewöhnlich eine Ge hwindigkeit on 100 Stundenkilometern erreicht. In dem Maß. in dem der Wa erdampf nach oben befördert ird und konden i rt, bildet er winzig kleine Tropfen die ehr chnell auf Temperaturen unter null abgekühlt werden. Sie mü ten gefrieren, ab r ie g frieren ni ht ofort - ie ind ,unterkühlt". Wa er und andere Flü igkeit n kühlen ein 17ute tüek unter ihren G frierpunkt ab, ehe ie kri talli ieren, ofern keine "K rne" rhand n ind, die den Kri talli ierungsproze einleiten. ur wenn ein kleiner K'"rper wie b i piel wei e ein winziger Kri tall on aCI orhanden i t, gefriert der Wa ertrop~ n zu ein m kl in n rü k Ei . Da Gleichgewicht tellt ich dann so ein da die Wa enropfen erdampfen un di i kri lall a h en. Somit findet an einem gewi en Punkt ein chnelle er ch\ inden de a r und eine chnelle Ei bildun tat!. Außerdem kann e direkte Zu ammen t"Be z i hen d n Wa ertropfen und dem Ei geben - Zu ammen töße, bei denen da unterkühlt a r an den Ei kri tallen hängenbleibt. wa eine ofortige Kri ta 11 i ierung bewirkt. Daher tritt an einem b timmten Punkt der Wolkenbildung eine chnelle Anhäufung on gr Ben i t ilch n in. Wenn die Eist i lehen h er genug ind, b oinnen ie, durch die auf teigende Luft hindurchzufallen - ie werden zu h r. um weiterhin on der Aufwärt trömung lYetragen zu werden. Beim Herunterfall n zi hen ie twa Luft mit sich und leiten ein Abwärt trömung ein. nd e i t überra chender ei lei ht zu ehen. da die einmal begonnene Abwärt trömung ich elb t aufre hterhält. un führt ich die Luft Ib t nach unten!

9 Eleklrhlät in der Al/1l0 phäre

164

Fuß

oc 10.000

',000

J7°C

c horizontaler Maß !ab Maß lab Strom\'ektor

o

In I

.

~ml

. Regen hnee - Ei kri talle

Fig. 9.9: Eine reife Gewitlerzelle. [Ben hl de .. Department of Commerce eaLher Bureau. Juni 19-19.1

Beachten ie, da Kurve (d) in Fig. 9.8, die die irkli he Temperaturverteilung in der Wolke darstellt, weniger teil al Kurve (c) i t, w lehe i h auf feuchte Luft b zieht. nn al 0 feuchte Luft fallt, inkt ihre Temperamr gemäß dem Abfall d r Kurve ( und liegt dann unler der Temperatur d r mgebung, afem ie weit genug herum r kommt - d zeigt Kurv Ce) in der bbildung. In die em Moment i t ie dichter a1 die m ebung und fällt" iI rhin ehr hnell. ie werden agen: ,,Da i tein unaufuörli he Be\ egung. Zunä h t m hen i plau ibel. das die Luft auf teigen mus und enn ie oben j tagen i genau 0 üb rzeugend, da die Luft fallen mu ." Aber e i t keine unaufuörli he Bew gung. ~ nn die ituarion in tabil i t und die warme Luft auf teigen mu , dann mu offen i htlich di warm Luft durch et a er etzr werden. E i t gleich fall richtig, da kalte Luft. die herunt rfaHt. je \ arme Luft energeti ch er etzen oHte' doch machen Sie ich klar. das da, a heru nt rk mmt, nicht die ur prüngli he Luft i t. Die früheren Argumente, na h denen in be timmr lk ohne etwa mitzuziehen auf tieg und dann ieder herabfieL enthi Iten et\ a Rät Ih fte. i brauchten den Regen, um die Abwärt trömung aufrechtzu rhalten - in Argum nr. d nie überzeugend i t. obald Sie i h klanna hen das ehr iel on der ur prüngli h n Luft mit der auf teigenden Luft vermi cht i t, zeigt Ihnen die therrn d nami he rgumentati n, da ein Ab tieg der kalten Luft die ich ur prünglich in großer Höh befand. mögli hit. i t da Bild de tätigen Gewitter zu erklären, da in Fig. 9.9 kizziert i t.

165

9.4 Gewitter

Wenn die Luft herunterk mmt. beginnt R g n au der unteren Gewitter hicht zu fallen. Außerdem neilt i h die erhähni mäßig kalte Luft, enn ie auf der Erdoberftä he ankommt. tritt, unmitt Ibar be or der Regen in etzt. ein kleiner kalter ind auf der un den kommend n turm ankündiot. Im turm elb t treten hnelle und unregelmäßige Lufttöße auf in der Ike herr ht eine en rme Turbulenz und 0 fort. Aber grund ätzlich haben wIr ewe uf ärt tr'"mung. daon eine b ärt tr'"mung - alle in allem ein ehr komplizierter Vorgang. Der ugenbli k, in d m cl ried r chlag ein etzt, i t der elb Augenbli k, in dem die Ab ärt trömung beoinnt und tat ächlich au h der ugenblick enn die elektri hen Phänomene auftreten. Be or \ ir jed ch den Blitz be chreiben könn n wir un ere Dar teIlung damit abschließen, da ir fe tstellen. wa mit einer Gewitterzelle nach ungefähr einer halben bi ganzen Stunde g chieht. Da Bild der Zell i tin Fig. 9.10 darge teilt. Die Aufwärt strömung hört auf. \ eil e nicht mehr genügend arme Luft gibt, die i aufrechterhält. Der ieder chlag hält eine eile an, die letzten kleinen Wa ertropf n fallen und die Dinge beruhigen ich - obwohl kleine Ei kri ralle noch oben in der Luft bleiben. Da die iode in großen Höhen in ver chiedenen Richtungen wehen nimmt der obere Teil der olke g wöhnli h die Form eine mbo an. Die Zelle erreicht da Ende ihre Leben .

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oe Pig. 9.10: Die letzte Phase einer Gewitterzelle. [Bericht de .S. Department of Commer e Weather Bureau. Juni, 1949.]

9 EleJ..:trizität in der Atmo phäre

166

9.5

Der Mechanismu der Ladung trennung

Wrr wollen nun den für un -wichtigsten A pekt di kutier n - die Ent icldung der lektri ehen Ladungen. Experimente ver cmeden ter Art - ogar Flüge mit dem Flugz ug durch Gewitter (piloten die das tun, ind tapfere Männer!) - zeigen un das die Ladung erteilung in einer Gewitterzelle etwa die in Fig. 9.11 darge teIlte i 1. Der obere Teil de Ge itter bat eine positi e Ladung und der untere eine negative - mit Au nahme eine klein n lokalen Brei h unten in der olke, der positiv geladen i t und allen ehr iel Kummer bereitet bat. iemand cbeint zu i en warum er dort i t, wie wichtig er i t - ob er ein ekundärer Effekt de positiven fallenden Regen i t oder ob er ein we entlicher Teil de Mechani mus i 1. Die Dinae wären ehr viel einfacher wenn er nicht vorhanden äre. Auf jeden Fall haben die überwi gend negative Ladung unten und die positive Ladung oben am oberen Teil das richtige Vorzei h n für die Batterie die notwendig i t um die Erde negativ geladen zu halten. Die po iti en Ladungen liegen 6 oder 7 Kilometer hoch wo die Temperatur ungefähr -20 oe beträgt, ährend die negativen Ladungen in 3 oder 4 Kilometer Höhe liegen, wo die Temperatur zwi eh. n null und -10 oe beträgt.

+ +

+

+ + ~----f---~--;---T--+.,.--:L-""":".f----------l0 °C

+ +

-

Bewegung richtung

1 - - - - + . - - - - - = - - - - = - - 4 - - - - - - - - - - 0 ·C +

+ +

+

+ +

Potentialgradient bei hönern eUer kleine po itive

Ladung zentrum in tarkem Regengebiet

Fig. 9.11: Die erteihmg der elektri ehen Ladungen in einer reifen Gewinerzelle. [Bericht d partment of Commeree Weather Bureau, Juni 1949.]

U.. Da-

Die Ladung im unteren Teil der Wolke i t groß genug um zwi hen d r 01 und d r Erde Potentialdifferenzen von 20 oder 30 oder ogar 100 Milli nen olt zu rz ug n - d ind ehr viel mehr al die 0,4 Millionen Volt zwi ehen dem ,,Himmel' und der Erd in einer klaren Atmosphäre. Di e hohen Spannungen führen zum Luftdurchbru h und erzeugen rie ig Bogenentladungen. enn der Durchbruch stattfindet werden di negati en Ladungen im unteren Teil de Gewitter durch Blitze zur Erde befördert.

9.5 Der Mechanismu der Ladungstrennung

167

ir werden nun den Blitz er au führlicher b chreiben. Zunäch t ind genügend Potentialdifferenzen orhand n, d e zum Luftdurchbruch kommt. E gibt Blitzschläge z iehen einem Teil einer alke und einem anderen Teil on ihr oder ziehen einer alke und einer anderen alke oder z i hen iner alke und der Erde. Bei jedem der unabhängigen Entladung töße - da ind die Blitz, die ie ehen - wird eine Ladung on ungefabr 20 oder 30 Coulomb zur Erde befördert. E erg'bt ich die Frage: Wi lange braucht die alke um die 20 oder 30 Coulomb zu regen ri r n, die durch den Blitz abgeführt wurden? Das kann man fe tstellen wenn man, weit on der Wolke entfernt, da elektri che Feld mi 1, das Dm Dipolmoment der olke rzeugt wird. Bei olchen M ungen bobachtet man im Moment de Blitz chlage eine plötzli he bnahme de Felde auf die ein exponentieller An tieg auf den ur prünglichen ert folgt Die Zeitkon tante i t in einzelnen Fällen et\ a unterschiedlich, lieot aber in der ähe on 5 eirunden. Ein Gitter braucht nur 5 ekunden, um eine Ladung nach dem Blitz wied r aufzubauen. Das rou nicht notwendigerwei e bedeuten, da immer nach genau 5 Sekunden ein neuer Blitz eintritt, denn offen ichtlieh i t die Geometrie erändert u w. Die Blitze rfolgen mehr oder weniger unregelmäßig, wichtig aber i 1, das nur ungefahr 5 Sekunden notwendig ind. um die ur prünglichen Bedingungen wied.erherzu tellen. Folglich fließt in der D namomaschine de Ge itter ein tram von annähernd 4 Ampere. Das bedeutet, da s jede odelI, da erklären oll wie ein Gewitter eine Elektrizität erzeugt über ehr iel ,Saft" erfügen mu - e mu in große. cbnell arbeitende Anlage ein. Ehe wir weitergehen wollen wir etwa betrachten, das mit großer Sicherheit öllig irrelevant, aber trotzdem intere ant i t, denn e zeigt den Effekt eines elektri ehen Felde auf Was ertropfen. Wir agen das e i lleicht irrelevant i t denn e bezieht ich auf ein E periment, da man mit einem as er trah1 im Labor durchführen kann um die ziemlich tarken Effekte de elektri ehen Felde auf as ertropfen zu zeigen. In einem Gewitter gibt e keinen Was er trahl; wir finden dort eine Wolke au konden ierendem Ei und Was ertropfen. Daher hat das Problem der in einern Gewitter tätigen Mechani men wahrscheinlich Dich mit dem zu tun, a man in dem einfachen E periment beobachten kann da wir be chreiben werden. Wenn wir einen klein n Zer täub r nehmen der mit einem Was erhahn erbunden ist und ihn wie in Fig. 9.l2 in teilern Winkel nach oben richten, 0 kommt das as er in einem feinen trahl herau der ich ehließlich in einen Sprühregen au feinen Tropfen auflö t. Legen wir nun ein el ktri cbe Feld an da den Strahl am Zer täuber chneidet (indem wir bei piel wei e einen geladenen Stab hinhalten), 0 ändert ich die Form de Strahl. Bei einem

Fig. 9.12: Ein Was r trahl mit einem elektri ehen Feld in der ähe de Zer täube .

16

ehwachen elektri ehen Feld teilen wir fe t, da d r trahl ich in eine kleinere nzahl v n großen Tropfen auflö r. Legen wir aber ein tärkere Feld an, 0 zerbricht der trahl in iele, iele kleine Tropfen - die kleiner al vorher ind. t Bei einem chwa hen elekLri ehen Feld be teht die Tendenz. da da Zerbrechen de Strahl in Tropfen verhinden wird. Bei einem tärkeren Feld dagegen be teht eine erhöhte Tendenz, den trahl in Tropfen aufzulö n. Die Erklärung die er Effekte i t wahr eheinlich die folgende: \\ enn \\ ir quer zu dem 35er trahl. der au dem Zer täuber kommt, ein chwache elektri h Feld anlegen. 0 wird eine Seite de Wa er leicht po itiv. die andere Seite leicht negativ gelad n. enn dann d r trahl auseinanderbricht. können die Tropfen auf der einen Seite po iti und di auf d rand ren Seite negativ geladen ein. ie werden einander anzieben und tärker al zuvor die Tend nz hab n. beieinander zu bleiben - der Strahl bricht nicht 0 leicht au einander. I t nder reit da Feld tärker, 0 wird die Ladung jede Tropfen größer und e be teht die Tend nz. d die Ladung selbst dazu beiträgt. da die Tropfen durch ihre eigene b toBung au einand rbr ch n. Jeder Tropfen zerbricht dann in viele kleinere, wobei jeder Ladung trägt, 0 d ie alle abge toßen werden und ich 0 hnell zer treuen. Je tärker wir al 0 da Feld ma hen. um 0 feiner wird der Strahl aufgeteilt. E kommt un hier nur darauf an, da s elektri ch Felder unter g wi n m tänden einen beträchtlichen Einflu auf die Tropfen haben können. Der genaue 1e hani mu . der die Vorgänge in einem Gewitter teuert, i t noch keine weg bekannt. und e b teht auch nicht norwendigerwei e ein Zu ammenhang mit dem, wa \ ir eben b hrieben haben. Wir haben da nur mü einbezogen, damit Sie sich klarma hen, ie kom pIe die Ding ind, die mit im Spiel ein können. In Wirklichkeit hat niemand eine Theorie. die i h auf olken anwenden lä t und auf die er Vor teHung beruht. Wir möchten z ei Theorien be chreiben, die erfunden urden, um die Trennung der Ladungen in einem Gewitter zu rechtfertigen. Alle diese Theorien gehen on der or teilung au . da e eine Ladung auf den ieder chlag teilchen und eine andere Ladung in der Luft geb n mu . Durch die Bewegung der ieder chlag teilchen - Wa er oder Ei - in der Luft, findet dann eine Trennung der elektri ehen Ladung tau. E i t nur die Frage, wi die uftadung der Tropfen beginnt? Eine der älteren Theorien wird die Theorie der .,Tropfenaufbrechung·' genannt. Jemand hat entdeckt. da ein Tropfen der in einem Luft trom in z ei Teile zerbri ht eine po itive Ladung auf dem Wa er und eine negative Ladung in der Luft hint rl" t. Di e Theorie der Tropfenaufbrechung hat mehrere achteile, on denen der chw rwiegend te d r i t, das da Voceichen fal eh i t. Außerdem tritt bei einer großen Zahl \'on Ge ittern der gemäßigten Zone. die Blitze hervorbringen der ieder eblag in großen Höhen in Form on Ei und nicht von \ a er auf. Zu dem. wa wir eben ge agt haben, i t zu bemerken: Könmen wir ein ehen. da di Ladung im oberen und unteren Teil de Tropfen ver chieden i t und könnten wir außerd m in n Grund dafür finden, da Tropfen in einem chnellen Luft trom in ungleiche tücke aufbre hen - ein große orne und ein kleine dahinter, wegen der Bewegung dur h die Luft oder" hnli he -. 0 hätten \ ir eine Theorie gefunden (die ich on allen bekannten Theori nunter heid n würde~). Dann würden die kleinen Tropfen wegen de Luftwider tand enig rchn II dur h die Luft fallen a1 die großen und wir erhielten eine Ladung trennung. je ie ehen, kann man alle Arten on Möglichkeiten er innen. Eine der genialeren Theorien die in ieler Hin ieht zufrieden teilender al die Th orie der TEine bequeme MögLichkeit. die Größe der Tropfen zu beoba hlen. be tehl darin. d groBe dünne Metallplane fallen läs t. Die größeren Tropfen machen mehr Länn.

man d n trahl auf eine

9.5 Der Mecha/lislllu

der Ladllllgsrrellnlll1

169

Tropfenaufbre hung i L, geht auf . T. R. iI on zurü k. ir w rden ie. eben 0 wie anhand von a rtr pfen dar I 11 n. bwohl da Ibe Phänomen auch bei Ei auftritt. wir un einen a ertrop~ n or. drin einem el ktri ehen Feld on ungefahr 100 olt pro Meter zur negaLi geladenen Erd hin fallt. Der Tr p~ n hat dann ein induzierte Dipolm menl - wobei der untere Teil de Tropfen p iti und der obere Teil negativ i t, wie e in Fig. 9.13 darge teilt i t. un gibt e in der uft die .. K me", die wir chon früher erwähnten - die i h lang am be egenden großen I nen. (Di hnelJen I nen pielen hier keine wichtige Rolle.) Stellen wir un or, da ein fall nder Tr pfen ich einem oroßen Ion nähen. enn da Ion poiti i t, ird e on dem po iLi en unLeren Teil d Tropfen ab!!e toßen und wegge choben. E wird al 0 nicht n den Tropfen gebunden. Wenn ich da Ion jedoch dem beren Teil de Tropfens näherte, k"nnte e ich an den n gati en ber n Teil binden. Da aber der Tropfen dur h die Luft fällt enl leht relativ zu ihm ein auf ärt teigender Luft trom. der die Ionen wegträgt, wenn ihre Bewegung dur h die Luft lang am genug i t. omit können ich die po itiven Ionen auch nicht an den oberen ~ il binden. ie ie ehen. trifft da nur für die ich langam bewegenden großen I nen u. Die po itiven I nen binden ich weder vorne no h hinten an den fallenden Tr pfen. . enn i h ander reit den groß n, lang amen negativen Ionen ein Tropfen nähert, 0 werden i anöez gen und eing fangen. Der Tropfen \ ird negativ geladen - wobei das orzeichen der Ladung durch di ur prüngliche Potentialdifferenz auf der ganzen Erde be timmt word n i t - und ir erhalten da richtige Vorzei hen. Die negative Ladung wird von den Tropfen in d n unteren Teil der alke gebracht und die po itiv öeladenen Ionen, die zurückgeblieben ind erden on d n er hiedenen Aufwärt trömung n in den oberen Teil der Wolke geweht. Die Theori i t ertrauenerweckend, zumind t ergibt ie das richtige orzeichen. Außerdem i t ie nicht on ftü igen Tropfen abhängig. Wenn wir die Polari ation in einem Dielektrikum unter u hen. erden ir fe t rellen. da ich Ei tücke genau 0 erhalten. Auch ie entwi kein in ihren äuß r n Teilen pa itive und negati e Ladungen. wenn ie ich in einem elektri ehen Feld befinden. fallender Tropfen E

Fig. 9.13: . T. R. Wil on Theorie der Ladung trennung in ein r ewitterw Ike.

Aber auch b i die er Theorie gibt einige Probleme. Zunä h t i t di Ge amtladung, die an einem Gewitter beteiligt i t, hr h h. a h kurzer Zeit \ äre der orrat an großen Ionen verbraucht. Oe halb mu t n il on und andere annehmen, da e zu ätzliche Quell n für die großen Ionen gibt. ob Id di Ladun.:;, trennuno- beginnt. werden ehr tarke elektri he Feld r au gebildet und in die en gr ß n Feldern kann e teilen geben, an denen die Luft ioni iert wird. Wenn einen tark ladenen Punkt oder in kleine Objekt wie inen Tropfen gibt. o kann er da eid g !lüg nd Lark kanz ntri r n, um ine ,.Bür tenentladung" hervorzurufen. Wenn ein au r ichend tarke el ktn he Feld orhand n i t - nehmen \ ir an. da e p itiv ei -, dann fallen I ktronen in da Feld und entwickeln zwi ehen den Zu ammen lößen eine

l70

9 Elektri ität in der Atmo phäre

große Geschwindigkeit. Ihre Ge chwindigkeit wird 0 ein, das ie beim Zu ammenprall mit einem anderen Atom die em Elektronen entreißen und po iti e Ladungen zUTÜckl en. Die e neuen Elektronen werden gleichfatl be chleunigt und stoßen mi eiteren Elektronen zu ammen. So tritt eine Art Kettenreaktion oder Lawine ein und endet eine ra che Anhäufung von Ionen statt. Die po itiven Ladungen bleiben in der ähe ihrer ursprünglichen Po ioonen' insgesamt wird daher die po itive Ladung an der Stelle auf einen Bereich um die e erteilt. Dann gibt es natürlich kein starke Feld mehr und der Vorgang i t zu Ende. All das i t charakteri ti eh für eine Bürstenentladung. Möglicherwei e wird das Feld in der olke tark genug, um eine kleine Bürstenentladung hervorzurufen. Wenn der Anfang einmal gemacbt i t önnen auch andere Mechanismen arbeiten und eine tarke looi ierung bewirken. Aber niemand eiB genau, wie da vor sich geht. In Wirklichkeit i t also der Ursprung de Blitze 'cht irklich verstanden. Wir wi sen, da s er au den Gewittern kommt. (Und wir ien natürlich, da der Donner von den Blitzen hervorgerufen wird - aus der Wärmeenergie, die durch die Entladung befreit wird.) Zumindest können wir den Ur prung der atmo phärischen Elektrizität teil ei e e tehen. Aufgrund der Luftströmungen, Ionen, Was ertropfen oder Ei teilchen in einem Gewitter werden positive und negative Ladungen getrennt. Die positiven Ladungen werden zum obefen Teil der Wolke befördert ( iehe Fig. 9.11) und clie negativen Ladungen landen dur h die Blitze auf dem Erdboden. Die positiven Ladungen verlas en die obere Wolken chicht treten in höhere bes er leitende Luftschichten ein und breiten sich über die ganze Erde au . In chönwetterzonen werden die positi en Ladungen dieser Schicht von den Ionen in der Luft lang am zur Erde geleitet - von Ionen. die ich au den ko rn.i chen Strahlen, dem eer und den men chlichen Aktivitäten bilden. Die Atmosphäre i t eine sehr emsige elektri che Maschine!

9.6

Der Blitz

Das erste Anzeichen für das, was in einem Blitz vor sich geht, erhielt man au Photographien, bei denen die Kamera in der Hand gehalten und mit offener Blende hin- und herbewegt wurde - wobei sie auf die Stelle gerichtet war, an der der Blitz erwartet wurde. Die er ten Aufnahmen, die man auf diese Weise erhielt, zeigten deutlich, da Blitze gewöhnlich lelfachentladungen entlang der eiben Strecke sind. Später wurde die ,,Boy' -Kamera entwickelt, die zwei Lin en hat, welche an den beiden Enden de Durchme er einer ich chnell drehenden Scheibe angebracht waren. Das Bild, das jede der Linsen aufnimmt bewegt ich quer über den Film - das Bild wird zeitlich gedehnt. Wenn sich zum Bei pie} der Blitz iedellbolt befinden sicb zwei Bilder nebeneinander. Durch einen Vergleich der Bilder der beiden Lin en i t e möglich, Einzelheiten über die zeitliche Abfolge der Blitze zu erfahren. Fig. 9.14 zeigt eine Aufnahme, die mit einer ,,Boy "-Kamera gemacht wurde. Beschreiben wir nun den Blitz. Auch hier ver lehen wir nicht genau or ich g ht. WlT werden qualitativ be cbreiben, wie er aussieht, aber die Erscheinung nicht im Einzelnen begründen. WlT werden nur den onnalfall beschreiben, in dem ich eine olke d ren unterer Teil negativ ist, über flachem Land befindet. Ihr Potential i t ehr iel tärker negati al das der Erde unterhalb, 0 das negative Elektronen zur Erde hin be chleunigt werden. p iert

9.6 Der Blitz

171

Fig. 9'.14: Aufnahme eine Blitze mit einer "Bo "_ Kamera. [Nach S honland, Malan und CoUen ,Proc. Roy. Soc. Londofl, Band ]52 (1935).]'

ist Folgendes: Das Ganze begioot mit einer 0 genanntent tufenwei en Vorentladung (stepped leader), die nicht 0 heU wie der Blitz i' t. Auf den Photographien ieht man zunäch t einen ]deinen heUen Punkt der on der Wolke au geht und ich ehr chneH nach unten bewegt - mit einem ecb tel der Licbtge h indigkeit! Er legt nur ungefähr 50 eter zurück und hält an. Er pausiert lIngefahr 50 Mikro ekund n lang und macht dann einen weiteren Schritt. Daraufhin pausiert er wieder und macht dann den nächsten Schritt u w. Er bewegt ich in einer Reibe von Schritten auf den Boden zu wobei er eine Strecke wie die in Fig. 9.15 zurücklegt. Die Vorent-

/t7

,:v.+ ,,+ /+/+/ +7 + ,+ /+/+ __ Erde

t Anm. d... bers.:

gen.

Fig. 9.15: Die Bildung der tufenwei en Vorentladlmg.

In der deul ehen Faehliterlllur ind die eng\. Fa hau drücke gebräuchlicher al ihre Überselzun-

172

ladung enthält negative Ladungen au der Wolke; die ge amte äule i t voll n gativer Ladung. Außerdem wird die Luft durch die ich chnell bewegenden Ladungen, die di or ntladung erzeugen. ioni iert, 0 das die Luft zu einem Leiter entlang d r zurn kgelegten tre ke wird. In dem Moment. in dem die orentladung den Boden berührt, haben wir inen leit nden ,.Draht", der bi na h oben zur olke reicht und voll negati er Ladung i l.. lun kann die negati e Ladung der Wolke endlich entweichen. Die im unteren Teil der oremladung b findli hen lektronen nehmen da al Er te wahr: ie trömen nach unten und hinterlas en po itiv Ladung die \ eitere negative Ladung au höheren Teilen der Vorentladung anzieht. worauf die e \ iederum nach unten trömt u w. So entweicht chließlich die ge amte negati e Ladung ein Teil der olke chnell und energi ch entlang der Säule. Daher erläufl der Blitz, den Sie sehen, vom Boden au aufwärts. wie e in Fig. 9.16 angezeigt i t. Tat ächlich wird die er eigentli he Blitz. der bei weitem der hell te i t. die Hauptentladung (return tr ke) genannt. Die e erz ugt da ehr helle Licht und die ärme. die eine chnelle Au dehnung der Luft verursacht und dadur h den Donner au lö r. Der Strom in einem Blitz beträgt maximal ungefähr 10000 Arnper und befördert ung fahr 20 Coulomb. Aber wir ind no h nicht am Ende. ach einer Zeil von ielleicht einigen Hundert tein einer Sekunde und nachdem die Hauptentladung ver eh wunden i t. folgt ein . . eitere orentladung. Die mal aber gibt e keine Pau en. an nennt sie eine "weitere chnelle or ntladun o " ("darr leader"), die den ganzen Weg von oben nach unten in einem zurück] gt. ie ral genau der alten Spur entlang. denn e gibt genügend R lladungen, 0 da die er eg der einfach te i t. U h die neue Vorentladung i t voll negativer Ladung. In dem Moment. in dem ie d nB den berührt - zack. - ent teht eine achentladung, die auf dem eiben W g direkt nach oben teigr. 0 ehen Sie den Blitz wieder und wieder und wieder chlagen. Manchmal blitzt e ein- oder zweimal, ogar 42-mal auf d r Iben trecke blitzen manchmal fünf- oder zehnmaJ - einmal hat man ehen - aber immer in chneller Aufeinanderfolge. Zuweilen wird alle noch komplizierter. Di Vorentladung kann zum Bei piel na h einer ihrer Pau en einen Zweig entwickeln, indem ie -lVei Schritte tut - beide zur Erde hin. aber in etwa ver chiedenen Richtungen, wie da in Fig. 9.15 gezeigt ird. dann g hieht, hängt davon ab. ob einer der Zweige den Boden eindeutig eher al der andere err icht. nn da der Fall i t, dann läuft die helle Hauptentladung (negati e Ladung. die in den B den trömt) rzweigung punkt errei ht und ihn den Zweig hinauf der den Boden berührt; obald ie den auf ihrem Weg zur Wolke über chreitet. cheint ein heller Blitz d n ander n Zweig himmterzulaufen. Warum? Weil negari e Ladung in den B den ein chlägt und d r Blitz dadurch hell wird. Die e Ladung etzt ich am ober ren Punkt de zw iten Zweige in Be\ gung und enlleert dann nacheinander immer längere Stücke de Zweige, 0 da d r helle Blitz hinbar den Zweig hinunterläuft während er zur gleichen Zeit zur alke hinauf t igt. nn j doch einer die er zu ätzlichen chrittmachenden Zweige den Boden fast glei hzeitig mit der u prüngrentladung lichen orentladung erreicht. kann e manchmal vorkomm n, da die chnelle de zweiten Blitze den zweiten Zweig wählt. Sie ehen dann den e ten Hauptblitz an in r teIle und den zeiten Blitz an einer anderen. E i t eine Variante der u gang ide . n ere Be chreibung i t außerdem für den Bereich ehr nahe am Bod n zu tark r infacht. enn die orentladung bi auf etwa hundert Meter an den Boden h rank mmt. gibt nzeichen dafür, das eine Entladung om Bod n auf teigl und ihr begegnet. ermutli h ud da Feld tark genug, da eine bür tenartige Entladung taufindet. enn e ein pitze Hinder-

9.6 Der Bhl"

173

,+ .

Fig. 9.16: Die Hauptemladung läuft den den di orentladung vorgezeichnet hat.

eg zurü k.

ni gibt, bei piel w i in G bäude mit einer pilZe auf dem Dach, und di orentladung in einer ähe herunterkommt. 0 ind die Felder 0 tark, das eine Entladung von dem pitzen Punkt au geht und bi zur r ntladung hinaufrei ht. Der Blitz hat die Tendenz. einen 01 hen Punkt zu treffen. Offenbar j t eit lan2em bekannt g we en, da hohe Gebäude om Blitz getroffen werden. E gibt ein Zitat on Artabani , dem Ratgeber de erxe, d r einem Herrn bezüglich eine geplanten ngriff auf die Grie hen einen Rat gibt - auf den Feldzügen de erxes, mit denen die er die ge amt bekannt Il unter di Herr haft der Per er bringen wollte. Artabani agte:" i h, ie mit einen Blitzen Gott immer die größeren Tiere er chlägt und nicht duldet. da ie anmaßend w rden, \ ährend ihn di klein ren nicht erzürnen. nd wie eine Blitze gleichermaßen imm r di grooßten Häu er und die hö h t n Bäume treffen.' nd dann erklärte er den Grund: " liebt er denn. a11 zu rni drigen, a ich Ib t erhöht." Glauben Sie - da i nun den Blitz. der in hohe Bäume in chlägt. ri htig erklären könnendas ie mehr ei heil be irzen, um Könige in ilitärang leg nheiten zu braten, al Artabani niger poeti eher Ratgeber. vor 2300 Jahr n? rhöhen ie ich nicht elb t. i wär n nur ein

l

UolI

....

10

Diele trika

10.1

Die Diele trizitä kon tante

Wir beginnen nun mit der Di ku ion iter r be onderer Eigen chaften der Materie unter dem Einftu d elektri ehen Felde. In einem früheren Kapitel haben wir da erhalten von Leitern betrachtet, in d n n ich die Ladungen unter der Einwirkung eine elektri chen Felde frei bewegen und 0 rteilen da kein Feld im lnnern eine Leiter übrigbleibt. Hier wollen wir nun Isolatoren unter u hen, Körper die die Elektrizität nicht leiten. Zunäch t möchte man glauben, da überhaupt kein ffekt auftrin. D h unter Verwendung eine einfachen Elektrokop und ein Konden ator mit parallelen Platten hat Faraday entdeckt, da s die nicht der Fall i t. Seine Exp rimente zeigt n, da die Kapazität eine oIch n Konden ator ::.unimmt, wenn man einen 1 olator zwi hen die Platten bringt. enn der I olator den Raum zwi chen den Platten voll tändig au füllt, 0 nimmt die Kapazität um einen Faktor K zu der nur von der Art de i olierenden ateria! abhängt. I olierende Materialien nennt man auch Dielektrika; der Faktor K i t dann ein Eigen chaft de Dielektrikum und heißt die Dielektrizitätshmstante. Die Dielektrizitä kon tante de akuum i t natürlich die Einheit. Un ere Aufgabe b teht nun darin zu erklären, warum ein elektri cher Effekt auftritt, wenn die I olatoren tat ächJich I olator n ind und die Elektrizität nicht leiten. Wir gehen on der experimentellen Tat ache au , da di Kapazität zunimmt, und ver uchen durch Überlegung herau zufinden, wa or i h gehen kann. Betrachten wir einen Plattenkonden ator der einige Ladungen auf den I it nd n Flächen nthält, wobei wir annehmen, da die negati e Ladung auf der oberen Platte und die po iti e Ladung auf drunter n Platte liegt. Der Ab tand zwi ehen ie wir früher bewie en haben, den Platten ei d und der Flächeninhalt jeder Platte ei A. beträgt die Kapazität

c = €cA

00.1 )

d'

und die Ladung und di

Q=CV.

pannung auf dem Konden ator ind erknüpft dur h (10.2)

Laut Experiment j t nun die Kapazität größ r, w nn wir ein tück i olierenden Material wie bei piel wei e Plexigl oder Gla z i hen die Platten bringen. Da bedeutet natürlich da die pannung bei gl i her Ladung niedriger i t. Aber der pannung unter chied i t d Integral der elektri ehen eId tärke zum Konden ator; wir mü en daraus al 0 chließen, da die elektri ehe eid tärke innerhalb de Konden ator \I rkleiner! wird, obwoW die Ladungen auf den Platten un erändert bleiben.

10 Dielektrika

176

Fig. 10.1: Ein Plattenkonden aLOr mit

einem Dielektrikum. Gezeigt iod die Linien der eldstärke E. Wie i t da möglich? E gibt ein auf Gauß zurückgehende Ge elZ. d be agt, da der Flu de elektri ehen Felde direkt mit der einge hlo enen L dung erknüpft i L Betra hten wir die Gauß ehe Fläche S, die durch die unterbrochenen Linien in Fig. 10.1 darge teilt i L Da die elektri ehe Feld tärke in Anwe enheit de Dielektrikum erkJeinert wird. chließen wir darau ,da die Ge amtladung innerhalb der Fläche kleiner i t. aJ wenn ie ohne Dielektrikum wäre. E i t nur eine S hlu folgerung möglich und die i t: e mu p iti e Ladungen auf der Oberflä he de Dielektrikum geben. Da die Feld tärke kleiner aber nicht null i t. mü en wir erwarten, da die e po itive Ladung kleiner al die negative Ladung auf dem Leiter i t. Das Phänomen kann daher erklärt werden. wenn wir er tehen. warum po itive Ladung auf der einen und negative Ladung auf der anderen Oberfläche induziert ird. wenn ein Dielektrikum in ein elektri ehe Feld gebracht wird.

d

I

Fig. 10.2: Wenn wir eine leitende Platte

zwi ehen die parallelen PI tten ein Konden arar etzen 0 reduzieren die induzienen Ladungen d Feld im Leiter auf null.

Wir erwarten. das da bei einem Leiter ge chieht. ehmen wir bei piel \ ei e an, wir hätten einen Konden ator. de en Platten einen Ab tand d auf ei en und wir etzten z ihn di Platten einen neutralen Leiter :mit der Dicke b wie in Fig. 10.2. D lektri he Feld induzi rt eine po iti e Ladung auf der oberen Fläche und eine negative Ladung auf der unter n Flä he. o da kein Feld innerhalb de Leiter exi tiert. Die Feld tärke im übrigen Raum i t di glei he wie zuvor ohne Leiter denn ie i t die Flächenladung di hte g teilt dur h . ab r d r b tand über den wir integrieren mü n. um die Spannung (die Potentialdifferenz zu erhalten, i t reduziert. Die Spannung beträgt (J"

V

=-

(d - b).

Die Gleichung, die

ir für die Kapazität erhalten, i t

ie GI. (10.1). wobei ab r d - b für d

.....

177

einge etzt \ ird:

c=

A d[l-(bld)]'

(10.3)

Die Kapazität nimmt um einen aktor zu, der von (bI d) abhängt: das i t der Teil de der on dem Leiter eingenomm n \ ird.

olumen,

Fig. 70.3: Modell eine Dielektrikum: kleine leitende Kugeln.

eingebettet in einen ideaJi ienen I olator. An die em Modell hen wir deutlich. wa mit einem Dielektrikum ge chieht - innerhalb de dielektri ehen Material befinden ich iele kleine Schichten leitenden aterial. Da Problem bei einem olchen odell liegt darin, da es eine pezifische Ach e hat, die on11ale zu den Schichten, während die mei ten Dielektrika keine olehe Ach e aufwei en. Die e hwierigkeit kann jedoch vermieden \ erden, \ enn wir annehmen, da alle I olatoren kleine leitende Kugeln enthalten, die durch I olation voneinander getrennt sind, wie da in Fig. 10.3 gezeigt ist. Die Dielektrizität kon tante elb t erklärt ich au dem Effekt der Ladungen. die auf jeder Kugel induziert erden. Die i t eine der er ten physikali ehen Modelle on Dielektrika, da verwendet wurde. um da von Farada beobachtete Phänomen zu erklären. In be ondere \ urde angenommen, da jede Atom eine Material ein perfekter Leiter i t, der aber on den anderen i oliert i 1. Die Dielektrizität konstante K mu te von dem Teil de Raum abhängen. den die leitenden Kugeln einnahmen. Doch da ist nicht da Modell, da heute erwendet wird.

10.2

Der Polari ation vektor P

Wenn wir die Anal b n weiter verfolgen, tellen wir fe t. da die or teilung von Bereichen mit perfekter L itfähigkeit und ab oluter I olierung nicht we entlieh i t. Jede der kleinen Kugeln verhält ich wie ein Dipol, dessen Moment dureh da äußere Feld induziert wird. We entlieh für da er tändni der Dielektrika i t nur, da in dem aterial iele kleine Dipole induziert werden, weil e winzige leitende Kugeln oder einen anderen Grund gibt. Warum oll ein Feld in einem Atom ein Dipolmoment induzieren, wenn da Atom keine leitende Kugel i t7 Die e Thema wird ehr viel au führJich r im nächsten Kapitel di kutiert, da ich mit der inneren Struktur d r Dielektrika be chäftigt. Führen wir hier ab r ein Bei piel an, da einen möglichen e hani mu veranschaulicht. Ein Atom hat eine po itive Ladung im Kern, der n n gativen Elektronen umgeben i t. In einem elektri chen Feld werden der Kern in der einen und die Elektron n in der anderen Ri htung angezooen. Die mlaufbahnen od r WelJenmu ter der Elektronen (oder jede ander in der Quantenmechanik verw ndete Bild) werden bi zu einem gewi n aß erz rrt, wie da Fig. 10.4 zeigt· der Schwerpunkt der negati en Ladung wird ver choben und fallt dann nicht mehr mit der po iti en Ladung de Kern zu ammen. ir haben derartig Ladung erteilungen bereit di kutiert. Wenn wir das au einigem Ab tand betra hten. 0 i teine olch neutrale Anordnung in er ter äherung einem klein n Dipol äquivalent.

10 Dielektrika

178

eneilung der Elektronen

E

Fig. 10.4: Die Verteilung der Elektronen eine Feld ver chiebl ich bezüglich de Kern .

tarn in einem elektri ehen

Bei einem nicht zu tarken Feld erscheint e emünftig, da der Betrag de induzierten Dipolmoment proportional der Feldstärke i 1. Da bedeutet., da ein ch a he Feld die Ladungen nur wenig verschiebt, während ein tarke Feld ie weiter er hiebt - aber immer proportional der Feld tärke - ofem die Ver chiebung nicht zu groß wird. Für den re tlichen Teil die e Kapitel ird vorau ge etzt, da da Dipolmoment genau proportional der Feld tärke i 1. ehmen wir nun an, da in jedem Atom Ladungen q vorhanden ind, die den b tand 0 da s qo da Dipolmoment pro tom dar tellt. ir verwenden 0 weil d bereits den Ab tand zwi ehen den Platten dar tellt.) ind Atome pro lum n inDipolmoment heit vorhanden, 0 i t da Dipolmoment pro Volumeneinheit gl ich qo. Die pro Volumeneinheit wird durch einen Vektor P darge teilt. E i t elb t er ländlich, da r die blande 0 Z\ i ehen Richmng der einzelnen Dipolmomente hat, da heißt die Richtung de den Ladungen: § voneinander haben,

P

=

q6.

10.4

Im Allgemeinen ändert ieh P von Punkt zu Punkt de Dielektrikum. n jedem Punkt d aterial i t P jedoch proportional der elektri ehen Feld tärk E. Die Proponionalität kontante, die davon abhängt, wie leicht ich die Elektronen er chieben, \ ird dur h die orte d r Atome bedingt, die ich in dem Material befinden. a in ent cheidender Wei e be timmt, ie ich die e Proportionalität k n tante verhält. inn rh Ib d r rbi ZU wel hem Au maß ie für ehr tarke eIder kon tant i t und \\ ehiedenen Materialien vor ich geht, werden wir zu einem päteren Zeitpunkt di kutieren. Im ugenblick nehmen wir nur einfach an, da e einen echani mu gibt, dur h den in Dip 1moment induziert ird, da proportional der elektri chen feldstär e i t.

JO.3 Polarisafiol1sladungen

10.3

179

Polari ation ladungen

Sehen ir nun, \ as die e M dell über die Theorie eine Konden ator mit einem Dielektrikum au agt. Wir betrachten zunäch t eine Schicht ine Materials in dem e ein gewi e Dipolmoment pro olumeneinheit gibt. Wird dort durch diese Dipolmoment im Minel eine Ladung dichte erzeugt? icher nicht, wenn P homogen ist. Wenn die po iu en und negativen Ladungen, die relativ zueinander er chob n werden, die eIbe mittlere Dichte haben. 0 führt die Tat ache, d ie er choben ind, in g amt zu keiner Ge amtladung innerhalb de olumen. äre aber P an einem Punkt größ r und an einem anderen Punkt kleiner, 0 würde das bedeuten, da mehr Ladung in einen Bereich gerückt wird al au ihm entfernt wurde. ir hätten dann eine olumenladung dichte zu erwarten. Für un eren Plattenkonden ator nehmen wir an, das P homogen i t· ir mü en daher nur darauf achten, wa auf den Oberflächen ge chieht. Die negati en Ladungen, die lektronen, ind effektiv durch eine der Flä hen ausgetreten und haben ich um einen Ab rand c5 ver choben; sie sind in da Innere der anderen Fläche gelangt und haben außerhalb von die r im Ab tand 8 eine po itive effektive Ladung hinterlas en. Wie da Fig. lO.5 zeigt, erhalten wir eine Flächenladung dichte, die man die Polarisatiol1sladung der Oberfläche nennt. +

+

+

+

+

I±

±

±

±

±

+

+

+

+

±

±

±I

~--------------------------------------

I

I I

I I

I I I

~

_

~

-

-=

~

-

P

-=

~

~

I I

J:

:_-1-

..J _ ,

U

Fig. 10.5: Ein Stück dielektrischen Material in einem homogenen Feld. Die po itiven Ladungen ind bezüglich der negati en Ladungen um (j ver choben.

Diese Ladung lä t ich wie folgt berechnen. Ist A der Flächeninhalt der Platte, 0 i t die Zahl der Elektronen die auf der Oberfläche auftreten, das Produkt au A und ,ihrer Anzahl pro Volumeneinheit. owie der Ver chiebung b die wir hier senkrecht zur Oberfläche annehmen. Die Ge amtladung erhält man, indem man mit der Elektronenladung qe multipliziert. Um die Flächendichte der Polari atjon ladung zu erhalten, die auf der Oberfläche induziert wird, dividieren wir durch A. Der Betrag der Flächenladung dichte ist (Tpol

=

qe b.

Da i t aber genau gleich dem Betrag P de Polari ation vektor P GI. (10.4): (Tpol

= P.

( LO.5)

Die Flächenladung dichte i t gleich der Polari ation innerhalb d Material. Die Flächenladung i t natürlich auf der einen Ob rfläche po iti und auf der anderen negati . un er Stück Material da Dielektrikum eine Plattenkonden ator ehmen wir nun an d i 1. Die Platten de Konden ator haben eb nfall eine Flächenladung die wir Ofrei nennen, denn ie kann i h überall auf dem Leiter "frei" bewegen. Da i t natürlich die Ladung mit der wir den Konden ator g laden haben. E mus betont werden, da lTpol nur aufgrund on exi tiert. Wenn (J;f~. dur h Entladung de Konden ator entfernt wird, so er chwindet 0:, v~ . po' aber nicht, indem LaduoO'en in den entladenden Draht entweichen, ondem indem oIehe in das Dielektrikum zurückkehren - durch da achla en der Polari ation im Innern de Material . IT

.

10 DielekIrika

10

Wir können nun da Gauß ehe Ge etz auf die Gauß ehe Ob rflä he in Fig. 10.1 an enden. Die elektri ehe Feld lärke E im Diel klrikum i t gleich der esamtell Flä henladung di hte geteilt durch Eo. Eiloffen iehtlich, da O"pol und O"frei entgegenge etzte orzeichen haben, o da

00.6 Beachten Sie. das die Feld tärke Eo zwi ehen der etallplatt und der Oberflä he de Dielektrikums größer al die Feld tärke E i t· je enr pricht allein O'frel' b r hier int re ier n wir un für das Feld im Innem de Dielektrikum, da da Feld de nahezu ge amten olum n i t wenn das Dielektrikum den Raum zwj chen den Platten fa I ganz au füllt. mer el"\\' ndung von GI. (10.5) können wir ehreiben

E

= Ofrei

-

p .

(i0.7)

Eo Die e Gleichung agt un nicht über da elektri ehe Feld, olange ir P nicht kennen. llier nehmen wir jedoch an, da P von E abhängt - da e proportional zu E i t. Die e Proportionalität chreibt man gewöhnlich al (10. ) Die Kon tante X (der griechi ehe Buch tabe .,chi' ) heißt die elekTrische Su -eplibilität de Dielektrikum . GI. (10.7) wird dann zu

E

= Ofrei Eo

1 (l

(10.9

+ X)'

worau \ ir den Faklor 1/(1 + X) rhalten, um den die Feld tärke r duzj

rt

ird.

Die Spannung zwi chen den Platten i I da Integral der elektri ehen Feldstärke. Da da F Id homogen i ti t die e Integral da Produkt au E und dem brand d der Platten. ir erhalten

v = Ed= Die Ge amtladung auf dem Konden ator i t O"fre,A; die durch (10._) definierte Kapazität wird damit zu

C

x) KEoA . = -'---= --

ir haben die beobachleten Tat achen erklärt. ird ein Plattenkond n aror elektrikum au gefüllI 0 erhöht ich eine Kapazität um den Faktor K

10.10

d

= 1 + X,

011

einem Di-

(10.11 )

I 1

der eine arerial ie n haft i t. n ere rklärung i r natürlich ni ht oll tändig, olange wir nichr erklärt hab n - wir werden da päter tun - wie die atomare Polari ation zu rande kommt. Betra hten ir nun einen tw komplizi 11 ren Fall - in dem die Polari ation P nicht überall die gleiche i t. ie ir früher rwähnt n. mü en ir b i nicht kon tanter Polarisation im Allgern inen erwarten, da wir in dem Volumen eine Ladung dichte vorfinden. weil e möglich i t, da auf der einen it eine kleinen Volumenelement mehr Ladung einrrirr al auf der anderen eir au tritl. \\ i k"nnen wir fe t teilen, wie ie] Ladung ein kleine olumenelement gewinnt oder erlieJ1? Berechnen wir zunä h l. wie viel Ladung i h durch eine gedachte Fläche hindur hbewegt. wenn da Material p lari iell \ ird. Di Ladung, di i h dur h eine Fläche hindurchbewegt, i t genau P mal dem Flächeninhalt wenn di P lari ation normal zur Flä he i 1. atürlich bewegt ich keine Ladung durch i hindurch, \ nn die Polari atian tangenTial zur Flä he i t.

Fig. 10.6: Die Ladung. di

i h durch ein Element einer gedachten Fläche in einem Dielektrikum bewegt. i t proportional der Komponente von P normal zur Fläche.

Mit der eIben Bewei führung, \ ie ir ie bereit ver end t haben, i t leicht er ichrlich. die Ladung. die ich dur h ein Element der Fläche hindurchbewegt, proportional der Komponente von P i t. die enkrecht zur Fläche teht. Vergleichen Sie Fig. 10.6 mir Fig. 10. - Wir stellen fe 1. da GI. 10.5) im allgemeinen Fall zu chreiben i tal da

(10.12

CTpol=P·n.

Wenn wir ein Element einer gedachten Fläche innerhalb de Dielektrikum betrachten, 0 erhalten wir au GI. (10.1_) die Ladung, die ich durch die e Fläche hindurchbewegt, aber e re ultiert keine Flächenladung, denn auf beiden S iren der Fläche erhält man entgegenge etzt gleiche Beiträge om Dielektrikum. Die Ver chiebunlYen d r Ladung n k"nnen jedoch zu einer Raumladung dichte führen. Die Ge amtladung, die durch die Polari ation au irgendeinem Volumen V austritt, i t da Integral der nach außen gerichteten ormalkomponente von P über der Oberfiäch S, die da olumen begrenzt (iehe ig. 10.7). Innen bl ibt gleich iel über chüs ige Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen übrig. ei Qpol die Ge amrladung im lnnern von V. Wir chreiben dann

I1Q

I

po

Wir können

~Qpol

= - ( P'11 da.

Js

Qpol

einer erteilung der Raumladung mit der Dichte Ppol zu chreiben. 0 da

= (Ppol dV.

Jv

(10.13)

(10.14)

182

10 Dielektrika

Fig. 10.7: Eine inhomogene Polari ation P kann zu einer Ge amiladung im Innem eine Dielektrikums fuhr n.

Wenn wir die beiden Gleichungen zu ammenfa en, erhalten wir 10.15) Das i t eine Art GauB ehe Theorem, da die Ladung dichte on polari ierten Dielektrika mit dem Polari ation vektor P verknüpft. Sie können ich da on überzeugen. d das mit d m Re ultat überein timmt, da wir für die Polari ation -FIächenladung oder da Diel ktrikum in einem Plattenk.onden ator erhalten haben. Wenn wir Gl. (J 0.15 auf die Gauß he Oberflä he au Fig. 10.1 anwenden, ergibt das Oberfläehenintegral PM und die Ladung im fnnern beträgt (Tpo1ßA. 0 da wir wiederum (Tpol = Perhalten. So wie wir da mit dem Gauß ehen Ge etz der Elektro tatik getan haben, können wir GI. (10.15) in eine differentielle Fonn bringen - unter Verwendung on Gauß' mathemati ehern Theorem:

L

P·nda

=

i

V ·PdV.

Wir erhalten Ppol

= -v

·P.

10.16)

Liegt eine inhomogene Polari ation or, 0 ergibt ihre Di ergenz die Ge amrJadung di ht . die in dem aterial auftritt. Wir betonen, da die eine vollkommen reale Ladung dichte i t; \ ir nennen ie nur de halb ,.Polari atlon ladung' , damit wir un an die m tände erinnern, unter denen ie aufgetreten i 1.

1 3

10.4

Die Gleichungen der Elektro tatik in Anwesenheit on Dielektrika

Kombinier n wir nun da Re ultat b n mit un erer Theorie der Elektro tatik. Die grundlegende Glei hung i t

v·

P p=_.

(l0.17)

Co

P tellt hier die Dicht aller elektri ehen Ladungen dar. Da e nicht leicht ist die Polari ation ladungen im uoe zu b halten. teilt man b quemerwei e P in zwei Teile. Wieder bezeichnen wir mÜ Ppol di Ladungen, die auf inhomogene Polari ati nen zurückgehen und mit Pfrei alle anderen. Gew"hnlich i t Pfrel die Ladung, die wir auf Leiter oder an bekannt.e Orte im Raum bringen. Gleichung (l0.17) \ ird dann zu

v . p = Pfrei + Ppol = Pfrei -

V .P

Eo oder

(10.18) atürlich bleibt die Glei hung für rot E unverändert:

v xE = O.

(10.19)

Mit P au GI. (10.8) erhalten wir die einfachere Gleichung V· [(I

+ X)E] = v· KE =

Pfrei .

Eo

(10.20)

Die e ind die Gleichungen der Elektro tatik in Anwe enheit von Dielektrika. Sie agen zwar nichts eue, aber ihre jetzig Form i t bequemer wenn Fäll zu berechnen ind, in denen Pfrei bekannt i t und die P lari ation P proportional zu E i t. Beachten ie, da wir die Dielektrizität "kon tante" K nicht au der Divergenz herau geie ielleieht nicht überall die gleiche i 1. Hat ie nommen haben. Der Grund dafür i t, da überall den elb n err 0 kann i a1 Faktor herau gezog n erden und die Gleichungen ind genau die der Elektro tatik mit der Ladung dichte Pfrei' geteilt durch K. In der Form, in die wir die Gleichungen gebracht haben las en ie ich auf den allgemeinen Fall anwenden, in dem ver chiedene Dielektrika an er hiedenen Orten im Feld vorhanden ein können. E gibt ein n Punkt, der hi tori eh on Bedeutung i t und hier erwähnt werden mu . In den frühen Zeiten der Elektrizität war der at mare Mechani mu der Polari ation unbekannt und die Exi tenz von Ppol wurd nicht wichtig genommen. Man betra htete die Ladung Pfrei aI die

10 DielekTrika

I 4

ge amte Ladung di hte. Um die Maxwell ehen Gleichungen in ein einfa he orm zu bringen, definierte man einen neuen Vektor D al eine Linearkombination au E und P: D

=

E + P.

Infolgede en erhielten die GIn. (10.1 ) und (10.19) eine V· D

=Pfrei'

vxE

= O.

heinbar ehr einfa he Form: ( 10.__

Kann man ie lö en? I ur. wenn eine dritte Gleichung für di RelaLion zwi h n D und E gegeben i t. enn GI. (10. ) gilt. 0 i t die Relation D = Eo(1 + )E

= KEOE.

(10.23)

Die e Gleichung chrieb man gewöhnlich al D

= EE,

(10.24)

wobei E eine neue Kon Lante i t, mit der die dielektri hen Eigen haft n d MateriaJ bechrieben werden. Sie wird die "Permeabilität" genannt. ( un ehen ie, warum EO in un eren Gleichungen vorkommt: e i (die ,,Permeabilität de leeren Raum ".) Offen ichtli h i 1 (10.25)

Heute betrachten wir die e Dinge unter einem ander n Ge i ht punkt: n ere GI i hungen im akuum ind einfacher und wenn wir in jedem Fall alle Ladungen anführen .. ollen. \ a auch immer ihr r prung ei. 0 ind die Gleichungen immer richlig. enn \ ir inige d r Ladungen abtrennen. der Bequemlichkeit halber oder weil wir di orgänge nicht im Einzelnen di kuti ren wollen. 0 können wir un ere Gleichungen nach Belieb n in jeder anderen bequemen om1 chreiben. Ein weiterer Punkt mu hervorgehoben werden. Eine Gleichung wie D = EE i t in [uch, eine Eigen chaft der Materie zu be chreiben. Aber die alerie i t äuß r Lkompliziert und eine olche Gleichung i t tat ächlich nicht richtig. Wenn bei piel ei E zu groß wird. i t D nicht mehr proportional zu E. Für einige ub tanzen ird di Proportionalität eh 0 bei relativ kJeinen Feld rn hinfallig. Auch kann die, Proportionalität kon tant .. davon bhäng n, wie hnell Eich mü der Zeit ändert. [nfolgede eo i t eine Gleichung die er rt ine rt \'on äherung. ie da Hooke che Ge etz. E kann ich um kein ti Fe und grundl g nd GI ichung handeln. Dagegen ind un ere fundamentalen Glei hungen für E. (l0.17 und (10.1 ), eine Dar teIlung un ere tief ten und umfa end ten er tändni e der Elektro tatik.

10.5 Felder und Kräfte in

10.5

/lI\'e

IIhei!

\'011

I -

Dielektrika

Feld r und Kräfte in Anwe enheit on Dielektrika

Bewei en wir nun ini e ziemlich allgemeine Theoreme der Elektro tatik für Fälle. in denen Dielektrika an\ e end ind. ir hab n ge ehen, da die Kapazität eine Plattenkonden ator um einen be timmten Faktor zunimmt, wenn der Raum zwi ehen den Platten von einem Dielektrikum au gefüllt wird. \ ir könn n zeigen, da da für inen Konden ator von beliebiger Form ri htig i l. orau ge etzt. da d r g amte Bereich in der mg bung der beiden Leiter mit ein m hom genen linear n Diel ktrikum au gefüllt i 1. Ohne da Dielektrikum lauten die zu lö enden Gleichungen V . E o = Pfrcl

un d

v x Eo = O.

[n An e enheit de Dielektrikum wird di er t die er Gleichungen abgeändert; in die em Fall erhalten wir die Gleichungen

v . (KE) = Pfrei

und

Eo

v xE = O.

Wenn wir nun KaI überall gleich betrachten, al V. (KE)

= Pfrel

und

v

0

chreib n wir die letzten beiden Gleichungen

x (KE) = O.

(lO.27)

omit gelten die elb n Gleichungen für KE und für E o; infolged en i t ihre Lö ung KE = E o' it anderen rten. da Feld i t überall um den Faktor 1/ K kleiner als dort. wo kein Dielektrikum orhanden i t. Da die pannung differenz ein Linienintegral der Feld tärke i t, verringert ich die pannung um den eIben Faktor. Da die Ladungen auf den Elektroden de Konden ator in beiden Fällen gleich gewählt wurden agt Gi. (10.2 da die Kapazität im Fall eine überall homog nen Dielektrikum um den Faktor K vergrößert wird. Fragen wir nun, elche Kraf' zwi ehen zwei geladenen Leitern in einem Dielektrikum wirkt. Wir betrachten ein flü ige Dielektrikum, da üb rall homogen i t. Früher haben wir ge ehen, da eine öglichkeiL die Kraft zu erhalten, darin besteht, da man die Energie na h dem enr prechenden b land differenziert. Hab n die Leiter entgegenge etzt glei he Ladungen, 0 i t die En rgi = Q 2 I2C, ob i C ihre Kapazität dar teilt. ach dem Prinzip der mponente durch Differentiation gegeben: zum Bei piel i t virtuellen Arb il i t jede

(10.2 )

Da da Dielektrikum die K pazität um einen Faktor gleichen Faktor reduziert.

K

rhöht, werden alle Kräfte um die en

Wir mü en aber eine betonen: as wir ge agt hab n, i t nur richtig nn da Dielektrikum eine Flü igkeil i 1. Jede Bewegung von Leitern, die von einem fe t n Dielektrikum

186

10 Dielektrika

umgeben ind. ändert die mechani ehen Spannung bedingungen de Dielektrikum und verändert eine elektri chen Eigen chaften, wobei gleichzeitig eine mechani he Energi änderuno im Dielektrikum hervorgerufen wird. Werden Leiter in eine lü igkeit gebr chi, 0 verändert da die Flü igkeit nicht. ie wird ver choben aber ihre elektri hen Charakt ri lik bleiben unverändert. Viele ältere Bücher über Elektrizität beginnen mit dem "grundlegend n" Ge erz. nach d m die Kraft zwi chen zwei Ladungen 10.29)

ein Standpunkt der in keiner Wei e zufrieden teilend i l. Zunä h I einmal i t da Ge erz im Allgemeinen nicht richtig; e gilt nur für eine Welt, die mit einer F1ü igkeit gefüllt i l. Zweiten hängt e von der Tat ache ab, da Keine Kon tanle i 1 a für die mei I n irkli hen Materialien nur näherung wei e richtig ist. E i t ehr viel be er. mit dem Coulomb ehen Geerz für Ladungen im Vakuum zu beginnen, da (für tationäre Ladungen immer richtig i t. Was ge chieht in einem fe ten Körper? Die i t ein ehr chwierige Probl m. d ni ht gleich gelö t werden konnte, weil e in einem gewi en inn unb timmt i l. enn ie Ladungen in das lnnere eine fe ren Dielektrikum bringen, 0 gibt e iel Art n on Drü ken und Spannungen. Sie können ich nicht mit vinueller Arbeit befas en, ohne au h die rne haniche Energie einzubeziehen, die notwendig i t, um den fe ten Körper zu komprimieren und e i t, allgemein ge ehen, eine chwierige Aufgabe, eine eindeutige mer cheidung zwi ehen den elektri ehen und den mecbani chen Kräften zu machen, die auf da pezifi. che alerial de fe ten Körper zurückgehen. Glücklicherweise braucht niemand je I,: irklich die nt ort auf die e Frage zu kennen. Man kann manchmal wi sen wollen, wie groB die me hani ehe pannung i t, die in einem fe ten Körper auftrin, und da kann ber hnel erden. Eil aber ehr iel komplizierter al da einfache Re ultat, da wir für lü igkeiten erhalten haben. Ein überra chend komplizierte Problem in der Theorie der Di le trika i t d folgende: warum zieht ein geladener Körper kleine Stücke eine Dielektrikum an. . enn ie an einem trockenen Tag Ihr Haar kämmen, i t der Kamm in der Lage, kleine Papierfetzen anzuzieh n. Wenn Sie zufällig darüber nachgedacht haben, 0 haben ie ahr cheinlich angenommen, d der Kamm eine Ladung und das Papier die entgegenge etzte Ladung trägt. D Papier i t aber am Anfang elektri ch neutral. E be itzt keinerlei Ladung und ird trotzdem angezogen. E timmt das da Papier manchmal bi an den Kamm herankommt und dann egfti gt, d e ofort zurückge toBen wird, obald e den Kamm berührt. Der Grund i t natürlich der fi 1gende: wenn da Papier den Kamm berührt, nimmt e einige negati e Ladungen auf und dann toBen ich die e gleichen Ladungen ab. Aber da beantwortet nicht die ur prüngliche Frage. \ arum kam das Papier zunäch t an den Kamm heran? Jn In Die Antwort hat mit der Polari ation zu tun die ein Dielektrikum rfährt, elekrri he Feld gebracht wird. E gibt Polari arion ladung n mit b iderlei orz ihn, di om Kamm angezogen und abge toBen werden. In ge amt ibr e jed h eine Anziehung. d nn da Feld näher am Kamm i t tärker al da weiter om Kamm entfernte - der Kamm i t m unendliche Blatt. Seine Ladung i t lokali iert. Innerhalb eine Planenkond n t r wird in neutrale Stück Papier von keiner Platte angezogen. Die Inhomogenität de F Ide i tein eentlieher Teil de Anziehung mechani mu .

=

10.5 Felder lind Kräfte in AlIl\'e enheit

VOll

Dielektrika

187

Fig. 10.8: Ein dielektri cher Körper in einem inhomogenen Feld pürt eine Kraft, die ihn in Bereiche mit größerer F ld tärke zieht.

Wie e Fig. 10. eran chaulicht wird ein Dielektrikum tets au einem Bereich mit ch\ aehern Feld in einen oIehen mit tärkerem Feld gezogen. an kann ogar be ei en, da clie Kraft bei kleinen Körpern pr porrional dem Gradienten de Quadrats der elektri ehen Feldtärke i t. Warum hängt ie om Quadrat der Feld tärke ab? Weil die induzierten Polari ation ladungen proportional der Feld tärke ind, und für vorg gebene Ladungen ind die Kräfte proportional der Feld tärke. Doch wird e, ie wir gerade angemerkt haben nur dann eine Geamtkraft geben, wenn ich da Quadrat der Feld tärke von Punkt zu Punk1: ändert. Daher i t die Kraft proportional dem Gradienten de Quadrate der Feldstärke. Die Proportionalität kontante enthält u. a. die Dielektrizität konstante de Körper und hängt außerdem von der Größe und der Form de Körper ab. E gibt ein en andte Prob I m, b i dem man die auf ein Dielektrikum wirkende Kraft ehr genau au rechnen kann. B trachten ir einen P1attenkonden ator in den ein Stück dielektriehe Material nur teilwei e einge etzt i t wie da Fig. tO.9 zeigt; e tritt dann eine Kraft auf, die das tück nach innen zieht. Eine genaue Unter uehung die er Kraft i t ehr kompliziert. Sie hängt mit den Inhomogenität n de Felde an den Rändern de Dielektrikum und der Platten zu ammen. Wenn ir jedo h die Einzelheiten außer Acht 1a en und nur das Prinzip der Energieerhaltung erwenden, 0 können ir die Kraft lei ht berechnen. ir erhalten ie au der Formel, die ir früher abgeleitet haben. Gleichung (10.28) i t äquivalent zu

au

V2

ae

F =--=+--. x 2

ax

ax

(l0.30)

Wir mü en lediglich fe t tellen wie ich die Kapazität mit der Lage de dielektri ehen Stück ändert.

Fig. 10.9: Die Kraft, die auf ein tück

eine dielektri ehen Material in einem Planenkonden ator wirkt, kann mit Hilfe de Prinzip der Energieerhaltung berechnet werden.

10 Di lekrrika

ei L die Ge amtlänge der Platten W ihre Breite. d die Dicke de Dielektrikum und der Raum zwi ehen den Platten und x der Ab tand. bi zu dem da Dielektrikum ingebra ht wird. erhälmi der ge amten freien Ladung auf den Planen ur p nnung Die Kapazität i t da zwi hen den Platten. Oben haben wir ge ehen, da für eine \ rgegebene pannung di Rächenladung dichte der freien ladung KEOV / d beträgt. omit i t die G amtladung auf den Platten K

V

E

V

- rW + _0_ Q = -d ' d

(L - r)W

"

worau wir die Kapazität erhalten:

C

EH' = _0_ d (KX + L -

r) ..

(10.31)

Unter erwendung von (10.30) erhalten wir

F.t

V:? EoW

= 2

d

(K - 1).

Die e Gleichung i t aber nicht be onder nützlich, e ei denn, ie u hen na h drunter die en m tänden wirkenden Kraft. Wir wollten lediglich zeigen da di Theori der Energi oft erwendet werden kann. um große Schwierigkeiten bei der Be timmung der auf Dielektrika wirkenden Kräfte zu vermeiden - wie i hi r aufgetreten wären. n ere Di ku ion der Theorie d r Dielektrika bezog ich nur auf elektri he Phänomene. wobei angenommen wurd . da da Dielektrikum eine Polari ation hat die proportional der elektri ehen Feld tärke i t. Die rache die er Proportionalität mu für die Ph ik von größerem Intere e ein. Haben wir die rache der Dielektrizität kon tant n auf atomarem i au er landen. 0 können wir elektri ehe Me ungen der Dielektrizität kon lant n Uni r diver n Um tänden verwenden, um au führliche Informationen über die at mare und mol kulare truktur zu erhalten. Die er A pekt wird teilwei e im näch ten Kapit I b handelt.

11

Vorgänge im Innern von Die ektrika

Siehe al/ch: Band 1, Kapit I I. D r r 'prung de Brechung index Band I, Kapit 140. Die Prinzipien der tati hen Me hanik

Molekulare Dipole

11.1

In die em Kapitel erden \ ir di kuti r n, warum aterialien dielektri eh sind. Wir haben im I tZ! n Kapitel ge agt. da wir die igen haften n elektl"i ehen Sy temen, die Dielektrika enthalten, er teh n könnten. ofern ir un einmal klargemaeht haben, da ein elektri ehe Feld in den At men ein Dipolmoment induziert, wenn e an ein Dielektrikum angelegt \ ird. Genauer ge agt, induziert da elektri ehe Feld E ein mittlere Dipolmoment P pro olumeneinheit, 0 i t die Dieleklrizität kon tante K gegeb n durch

K-

J

=

P

(11.1)

€oE

Wir haben bereit b pro hen, \ ie die e Gleichung angewendet wird; nun mü en wir un überlegen. durch welchen 1e hani mu di P la1'i ation ent teht, w nn ein elektri che Feld im Innern eine atenal vorhanden i 1. ir beginnen mit dem infach ten Bei pie! - d r Polari ation von Ga en. bel' elb t Ga e wei en chan chwi rigkeiten auf: E gibt zwei Arten. Die Moleküle on einig n Ga en \ ie bei piel ei e Sauer toff, der in jedem Molekül ein ymmetri ehe Paar on tarnen nthält haben k in ingeprägte Dipolmoment. Hingegen haben die Moleküle anderer Ga e wie bei. piel w i Wa erdampf (in dem die Wa er toff- und Sauer toffatome un ymmetri ch ang ordnet ind) In permanente elektIi ehe Dipolmom nt.

eh erpunkt d r - Ladung

eh\ erpunkt d r + Ladung a)

(b)

Fig. 11.1: (a) Ein Sauer tolTmolekül mit dem Drehmoment null. (b) Da nente Dip Imoment Po'

a errnolekül hat ein perma-

190

1 J Vorgälll?e im lJmem von Dielekcrika

Wie wir in Kapitel 6 und 7 hervorgehoben haben, itzt im a erdampfmol kül ein mirtl re po ilive Ladung auf den Was er toffatomen und eine negative Ladung uf den auer toffatomen. Da der S hwerpunkt der negativen Laduno und der ehw rpunkt der po iti en Ladune nicht zu ammenfallen. hat die ge amte Ladung verteilung d oleküt in Dip Imoment. Ein olehe olekül wird ein polares olekül genannt. 1m Sau r toff fallen auf~rund der _ mm trie de Molekül die chwerpunkte der po iti en und negativen Ladungen zu ammen: ~ Igli h handelt e i h um ein nicht-polares Molekül. E wird jedo h zu einem Dip 1, \\ nn e in in elektri ehe Feld gebra hr ird. Die Formen die er beiden olekülarten ind in Fig. 11. I kilzien.

11.2

Elektronenpolari ation

Wir werden zuer t d'e Polari arion von nicht-polar n 01 kül n di kuti ren. Wir k"nn n mit dem einfach ten Fall eine einatomigen Ga e (bei piel wei e Helium) beeinn n. nn ich ein Atom eine olehen Ga e in einem elektri ehen Feld b findet, dann z rrt d Feld di Elektronen in die eine Richrung und den Kern in die andere, wie da in Fig. 10,4 darg tellt i t. Obwohl die Atome hin ichtlieh der elektri eh n Kräfte, die un e perimentell zur rfügung tehen. ehr teif ind findet eine kleine Ge amt er ehiebung der Ladung ehwerpunkte tatt und e wird ein Dipolmoment induziert. Für chwache Felder ind der Betrag d r r hibung und al 0 auch da Dipolmoment proportional dem elektri eh n Feld. Die e hi bung der Elektronenverteilung. die die Art eine induzierten Dipolmoment rzeugt. heißt Elektronenpolarisation . Den Ein.flu eine elektri ehen Felde auf ein Atom hab n \ ir berei in Kapitel"" _. Bd. I di kutiert. als wir die Theorie de Brechung index behandelten. enn ie i h einen ugenbli k daran erinnern. werden ie fe t teHen, da wir j tzt genau da elb tun mü en wie damal . Aber hier haben wir e nur mit Feldern zu tun die ich ni ht mit der Zeit ändern. während der Bre hung index von zeirabhängigen Feldern abhing.

In Kapitel 31. Bd. I haben wir angenommen da bei einem tom, da in ein 0 ziUi rende elektri ehe F Id gebra ht wird, der Ladung chwerpunkt der Elektronen der folg nden Gleichung gehorchr:

11._)

Der erste Au druck i r die a e de Elektron mal ein r B hleunigun o und d r z ite i t eine rü ktreibende Kraft, während der Au druck auf der re hten eire di l dar rellt, di on dem äußeren elelctri ehen Feld au geübt wird... nd rt i h d el ktri he F Id mit d r Frequenz W, 0 hat GI. (11.2) die Lö ung

lL

die eine Re oDanz bei w = Wo aufwei t. I wir die e Lö ung rüh r f nd n, hab n v ir i interpretiert, da Wo die Frequenz dar tellt. bei der Li ht (im opti h n od r im ulrraviol tt n

11.2 Elektronenpolari atioll

191

Berei h, je na h der tom rt) ab orbien ird. Für un ere jetzigen Zwecke intere iert un aber nur der all on kon lamen Feldern. da hißt w = 0; fo101ich können wir den Au druck für die Be chleunigunO' in 11.2) außer chI la en und erhalten für die er hiebung

(11.4)

D

gibt un aJ Dipolmom TI! p eine einzelnen Atom

(11.5

[n

die er Theorie i t da Dipolmoment p tat ächlich proportional dem elektri ehen Feld.

an chreibt ge "hnlich

P = Q' E. (Auch hier de Atom Atom mit mit (11.6)

(11.6

er cheint Eo au hi tori ehen Gründen.) Die Kon tante Q' tellt die Polari ierbarkeit dar; ie hat die Dirnen ionen L 3 , Sie i t ein Maß dafür, wie leicht i t, in einem inem eJektri ehen Feld ein Moment zu induzieren, Bei einem ergleich on (11.-) agt un ere einfache Theorie, da

(11.7)

Sind N Atome im Einheit olumen orhanden 0 i t die Polari arion P - da Dipolmoment pro Volumeneinheit - gegeben durch

(11.8) Durch Zu ammenfa en on (11.1) und (11. ) erhalten wir

P K-l=-=

€oE

Q'

(11.9)

oder mit Hilfe on (11.7 .

411" e2 K-I = - - , mwö

(11.10

Au GI. (11.9) können wir chli Ben, d die Dielektrizität kon tante K erschiedener Gase von der Di hte de Ga und der r qu nz Wo einer opti ehen b orption abhängt.

JJ Vor fing im Innern

192

I'on

Dielektrika

n ere Formel i t natürlich nur eine ehr grobe I äherung. \ il wir in GI. (11.2) ein odell gewählt haben. d quantenmechani che Komplikationen unberü k i htigt lä t. Bei pi I \ eie haben wir angenommen. da ein Atom nur eine Re onanzfrequenz hat. \ ährend e in irklichkeit iele hat. rn die Polari ierbarkeit Q' der tome ordentli h zu bere hnen. mü n wir die voll tändjge Quantentheorie anwenden, die oben angeführt n kla ihn Ideen li fern un aber eine vernünftige b chätzung. ehen wir, ob wir die Größenordnung der Dielektrizität kon Ulmen von 100gen ub tanzen richtig be timmen können. Ver uchen wir e mit a er toff. ir hab n berei (Kapitel 3 , Bd. f) die En rgie abge chätzt. die notwendig i t, um da er I f tom zu ioni ieren: 1 me~ E::: - 2

( 11.11

tz-

m die Eigenfrequenz Wo abzu hätzen, können wir dje e En rgie gleich tz n mit flwo - der Energie eine atomaren 0 zillator ,de en Eigenfrequenz Wo i l. ir erhalten I me wo::::: - - 3 .

2

tz

enn wir nun die en Wert von Wo in GI. (11.7) erwenden, erhalten .. ir für die Elektronenpolari ierbarkeit

tr [ me- ]

3

(ll.L

a::::: 16JT -")

Die Größe (tz~ /me 2 ) i t der Bahnradiu für den Grundzu land ine Bohr hen tom (iehe Kapitel 3 . Bd. I) und i t gleich 0,52 Äng tröm. [n ein m Ga bei orm Idru k lind -temp ratur (l Atmo phäre, 0 Oe) befinden ich 2,69 x 10 19 I me/cm 3 ; folgli h ergibt GI. 11.9) K

D r

=I

(_,69 X tQ19) 16lT(0,52 x 10- )3

= 1,00020.

e wert der Dielektrizität kon tanten für· a er tOffo

Ke p

11.1

beträgt

= 1,00026.

ir ehen. da un ere Theon ung fahr richtig i t. ir können ni ht B re f\ arten, da die e ungen natürlich an normalem Wa er toffga g macht wurd n, da au zw iat migen .lolekülen und nicht au einz Inen Atomen b teht. ir dürfen ni ht Ü rra ht ein, wenn die Polari tion der rome in einem Molekül ni ht di glei he wie di d r getrennten I me i t. AJlerding i t der olekulareffekt in Wirklichk it nicht 0 gr ß. Ein g nau quamenm hani ehe Berechnung on a für Wa er toffatome ergibl in Re ultal, dunge Mr 12% höh r al (11.1_) i t (16lT' wird in 1 JT abgeänden) und fühn omit zu einer DielektriziLäI k n lall[ n. die I näh r an der beobachteten liegt. uf jeden all i t klar. d un er 1: 11 in Di lektrikum re ht gut i t.

193

Eine andere Prüfung un erer Th rie b t ht darin, da man GI. (11.12) an tarnen au prabien, die eine höhere nreoung fr qu nz haben. Bei pi I wei e braucht man 2.+,5 olt um d Elektron au ein m Heliumat m zu ntfemen. während 13, ~ olt notwendig ind. um "'a erb orption fregu nz Wo für Helium ungefahr loff zu ioni iren. ir rwarten daher. da di zweimal 0 gr ß wie die für a er toff i I und da. Cl' ein ierlel 0 groß i L E ollte ein KHelium ::::;

I ,0 OO~O.

Experimentell i t KHelium

= 1.00006

Sie ehen al o. da . un er gr ben ehätz\ erte in der richtigen Größenordnung liegen. omit haben wir die Dielektrizität kon tant v n nicht-polaren Gas n ver landen. aber nur qualitati . denn bi her haben wir noch kein k n- kte Theorie der Bewegun2 on atomaren Elektronen erwendet.

Polare

11.3

oleküle~

Orientierung polari ation

ä h te betrachten wir ein Molekül, da ein permanente Dipolmoment Po aufwei t wie d a erm lekül. In bwe enheit eine elekLri ehen Felde zeigen die einzelnen Dipole tati ti h in alle Ri htungen. 0 da da Ge amtmoment pro Einh il lumen null i t. Wird aber ein eleklri eh Feld angeleQt, 0 ge chieht zweierlei: Er ten wird aufgrund der Kräfte, die auf die Elektronen \ irken, ein zu ätzliehe Dipolmoment induzien: dabei erhalten wir genau die lbe rt von lektronenpolari a[ion, wie wir ie b i einem ni ht-polaren olekül fe tgestellt haben. In einer ehr g nau n nter u hung mü te die er Effekt natürli h berü kichtigt werden; wir W rd n ihn aber im ugenblick ernachlä igen. (Er kann immer am Ende wieder eingefügt \ erd n.) Zweiten hat da lektri ehe Feld die Tendenz, die einzelnen Diein Ge amtmoment pro Einh it lumen. ären alle Dipole pole au zurichten und e zeugt eine Ga e au gerichtet 0 gäbe eine ehr tarke Polari ation, aber da kommt nicht vor. Bei gewöhnlich n Temperaturen und elektri eh n Feldern verhindern die Zu ammen töße der ie i h tark au richten. E gibt ab reine gewi e Mol küle bei ihrer ärmeb w gung, da Ge amtau ri hlung und dah rau h ine g \! i e Po]m-i ation ( iehe Fig. 11.2). Die auftret nde Polari ation kann mit den ethoden der tati ti eh n Mechanik berechnet werden, die wir in Kapitel 40, Bd. I be chri ben ha n.

-

0

," ~ ~ ,t '.

~ /

f

~

"

J'

~ ~

--s...

r!

(a

I

Po

-e--

I

~ ,~

~ ~

;6

~

:I $

$ tE~ '- ~

"

~

(b)

f

;f

Fig. 11.2: (a) 1n einem Ga mit polar n Molekülen ind die einzelnen omenle tati ti hau gen hI t; da mittler 10m nt in einem kl inen olumen i t null. (b) In in m elektri chen Feld gibt e elne gewi e minlere u richtung der Moleküle.

194

11 Vor än e im Inllem \'on Dielektrika

E (1)

q

(2) Fig. 11.3: Die Energie eine Dipol Po in ein m Feld Ei t -Po' E.

Um die e Methoden zu verwenden, rnüs en wir die Energie eine Dipol in inem elektriehen Feld kennen. Betrachten wir einen Dipol miL dem oment Po in einem elektri hen Feld, wie da in Fig. 11.3 darge teilt i t. Die Energie der po itiven Ladung i t qdJ( I ) und di En rgie der negativen Ladung -qt/J(2). Die Energie de Dipol i t daher U

= qt/J(l) -

qdJ(_)

= qd· Vt/J

oder

(ll.l-l) wobei () der Winkel zwi chen Po und E i t. Wie zu erwarten war. i t die Energie niedriger. w nn die Dipole in Feldrichtung 3U gerichtet ind. Bere hnen wir nun nUt Hilfe der Methoden der tati ti hen hanik. in welchem aß ich die Dipole au richten. In Kapitel 40 Bd. I hab n wir fe tge Lellr, da im themli ehen Gleichgewicht die relative ZahJ der Moleküle mit der potentiellen Energie proportional i t zu

wobei U(x. y, ) die potentielle Energie al Funktion de Orte i t. F t man den u druck (11.14 für die potentielle Energie a1 Funktion d Winkels auf. 0 zeigt die Ib rgumentation das die Anzahl on Molekülen pro Einheit de Rallmwinkel für den ~ inkel eproportional zu e- U / kT i L Sei n(8) die Anzahl der Moleküle pro Einheit de Raum inkel an der L 11 8: dann

ir rhalten

11.16 Für normale Temperaturen und Felder i t der Exponent klein, dur h Entwi klung d rE p n ntialfunl1ion können wir daher annähern:

( 11.17) Wir können Ilo finden, indem wir (l1.17) üb ralle ink I int grier n: da Re ultat oHte genau die Ge amtzahl der Moleküle pro Einheits olumen in. Der ittelw rt von 8 über alle Winkel i t null; da Integral i t daher f10 mal d rn ganzen Raum\\ inkel471". \ ir erhalt n

n(O)

=-. 471"

11.1

11.3

Pola~

Moleküle; Oriemienl1l polarisation

ir hen au (11.17. da m hr oleküle in co fJ = I) als gegen (co B = -1) die Feldri htung au geri htet ind. In j dem kleinen olumen, da iele Moleküle enthält, gibt e omit ein Ge amtdipolmoment pr Einheit olumen - da heißt eine Polari ation P. m P zu berechnen. uchen wir di ektor umme aller olekülm mente in einem Einheit olurnen. Da wir wi en, das d Re ultat in der Richtung on E liegen wird sununieren wir einfach die Komponenten in die er Richtung die Komponenten rechtwinklig zu E haben die Summe null):

p

I

=

Pa CO fJi ·

EinhclI \olumen

Durch Integration über die inkelverteilung können wir die Summe berechnen. Der Raumwinkel an der Stelle Bit 2n in BdB, 0 das P=

i

lf

n(O)po co (J2n in fJde.

(11.19)

Indem wir n(fJ) au (11.17) ein etz n, erhalten

r- (1 + JI 1

p

= -- . 2

E Pa co kT

e) Po co

Ir

Od(c

(J),

da i t leicht zu integrieren und ergibt ?

pö E

P=--.

(11.20)

3kT

Die Polari ation i t proportional der F Id tärke E

0

das da dielektri che Verhalten nor-

mal i t. Auch hängt die Polari ati n er artung gemäß on der reziproken Temperatur ab, eil bei höheren Temp raturen wegen der Zu ammen töße weniger Au richtung möglich i 1. Die e

UT -Abhängigkeit nennt man da Curie che Ge etz. Da pennanente Moment Po tritt quadraci ch auf und z ar au f I endem Grund: In einern vorg gebenen elektri chen Feld hängt die au ri htende Kraft on Po ab und das mittlere Moment, da durch die Au richtung erzeugt wird i t wiederum proportional zu Po' Da mittlere induzierte Moment i t proportional zu

p6.

Wir mü en nun ruh TI fe tzu teilen, wie gut GI. (11.20) mit dem Exp rirnem übereintim mt. nter ueh n \ ir den Fall on Wa erdampf. Da ir Po nicht kennen, können wir P nicht direkt berechnen ber GI. (11.20) agt au d K - I ieh wie di reziproke Temperatur verhalten mu und da können wir überprüfen. Au (11.20 erhalten

Lf ")

P

K -

1=E

pö

= 3EokT'

(11.21)

o da K - 1 direkt pr portional zur Dicht und umgekehrt proportional zur ab oluten Temperatur i t. Die Dielektrizität kon tant wurd bei ver chiedenen Drücken und Temperaturen

J j Vor än e im fnnem mn Dielektrika

196

I

K-[

/

I

I /

I -

0.004f-

-(-

/

.,./

~

/

0.0031-

/ I

-

/

/ /

I /

/

0.0021-

-

/ I

/ /

/ /

0.001 -

/

/

/

-

/ /

/ I

o o

L..-

J...I

---L.

0.00 [ 0.002 l/T (K-I)

--.J

0,003

Fig. 11.4: Experimentelle Me werte der Dielektrizität kon tanten \'on \ as erdampf bei verschiedenen Temperaturen.

gerne en, die 0 gewählt wurden, das die Anzahl der ·oleküle in einem Einh it volum n immer die gleiche blieb. t [Beachten Sie: würden die Me ungen alle bei kon tantern Dru k durchgeführt. 0 ürde die Anzahl der Moleküle pro Einheit olurnen linear mit zunehmender Temperatur abnehmen und K - I wäre proportional zu r-} an telle von T- 1.] [n Fig. IIA haben wir die e perimemellen Beobachtungen für K - 1 al Funktion on l/T aufgetragen. Die dur h (11._1) vorherge agte Abhängigkeit wird sehr gut erfüllt. E gibt noch eine weitere charakteristi che Eigen chaft der Dielektrizität kon tanten von polaren olekülen - ihre Änderung mit der Frequenz de angelegten Felde. ufgrund de Trägheit momente der Moleküle dauert e eine be tirnmte Zeit. bi ich die chweren Moleküle in Feldrichtung gedreht haben. Wenn wir dah r Frequenzen im hohen ikro\i ellenberei h oder noch darüber anlegen, 0 beginnt der polare Beitrag zur Dielektrizität k n tanten abzunehmen. weil die Moleküle nicht folgen können. Im Gegen atz dazu bleibt die Elektronenpolari ierbarkeit bi hin zu den opti chen Frequenzen die eIbe eil die Trägheit der Elektr n n kleiner i t.

11.4

. Elektri ehe Felder in Hohlräum nen Dielektrikums

ir wenden un nun einem intere anten, aber kompliziert n Thema zu - d m Problem d r Dielektrizität kon tanten in dichten Materialien. Angenomrn n, wir nehmen ftü i e Helium oder ftü ige Argon oder irgendein andere nicht-polare ateria!. ir erwart n au h hier in Elektronenpolari ation. In einem dichten Material kann aber P groß in. d d Feld, da TSän er. leiger und Gächter. Hell'eliea Physiea Aeta 5, 200 (193_).

J ].4 Elektri ehe Felder ill Hohlräumen eine DielektrikulIl

197

auf ein einzelne wm wirkt. durch die Polari ation der Atome in einer mgebun2 be ioflu t wird. Die Frage j t nun. ,elch elektri che Feld auf da einzelne tom, irkt. Stellen wir un vor, da di Flü igkeit zwi chen die Platten eine Konden ator gebracht wird. erd n die Platten aufgeladen. verur a hen ie in der Flü igkeit ein elektri ehe Feld. Es gibt aber au h adungen in den inzelnen tomen und die ge amte Feld tärke E i t die Summe die er b iden Beiträge. Die e wirklich eleklri ehe Feld ändert i h in der Flü igkeit on Punkt zu Punkt ehr tark. E i t im lnnern der tome ehr tark - be ond r in unmittelbarer ähe de Kern - und zwi hen d n Atomen relati hwach. Die Potentialdifferenz gesamt n Felde. enn \ ir alle Änderunzwi ehen den Platten i t da Lini niotegral die gen inf 1ge der mikro kopi h n truktur vemachlä igen, k nunen wir zur or teilung einer mittleren elektri chen Feld tärk E, die g nau V/ d beträgt. (Da i t die Feld tärke. die ir im vorhergehenden Kapitel betracht t hab n.) Wir betrachten di e Feld aJ den itteh ert über einem Raumbereich, der iele tarne enthält. ie könnten jetzt glauben, dein "mittlere .. Atom in iner ,.mittleren Lage" die e mittlere Feld pürt. Aber 0 einfach i t da ni ht, was deutlich, ird, wenn wir die orgänge in einem Dielektrikum betrachten da L"' her on unter chiedlicher Form hat.ehmen wir beipiel wei e an. wir chnitten einen flach n Hohlraum in ein polari ierte Dielektrikum, wob i der H hlraum parallel zum Feld geri htet i t, wie da in Teil (a) on Fig. 11. - darge tellt i L Da wir wi en. da VxE = 0 i t, ollte da Linienintegral on E läng der Kur e:r, deren erlauf in eb) der Figur gezeigt i t, er ch, inden. Da F ld im Innern de Hohlraume mu einen Beitrag lei ten, der genau den de Felde außerhaJb kornpen iert. De halb i t die Feld tärke Eo. die wir tatsächlich im inelpunkt eine langen dünnen Hohlraume fe t tellen, gleich E. der mittleren el ktri hen Feld tärke in einem Dielektrikum.

(a)

( )

Fig. 11.5: Da Feld in einem Ra hen Hohlraum, der in ein Diel ktrikum ge chniuen wurde, hängt von der Form und

der Ri hLUng de Hohlraume ab. Betrachten wir nun einen and r n H hlraum de en Läng eiten enlaecht zu E verlaufen, n Fig. 11.5 eezeigt i t. In di em Fall i t die Feld tärke Eo im Hohlraum wie d in Ti jJ c nicht gleich E weil Polari ation ladungen auf der Oberfläche auftreten. enden wir da Gauß-

198

11

e im lnnem I'on Dielektrika

ehe Ge etz auf eine Oberfläche S an, die in (d) der Figur gezeichnet i I. 0 teilen wir fe l, d die elektri che Feld tärke Eo in dem Hohlraum durch

P Eo = E +Co gegeben i t, wobei E wiederum die eJektri ehe Feld tärke in dem Dielektrikum i L (Die Gaußche Fläche enthält die Oberftäehenpolari ation ladung O"pol = P.) ir haben in K pitel 10 rwähnt, da man €oE + Poft al D bezeichnet 0 da EoEo = Do gleich D in d m Dielektrikum

i t.

Anfang in der Ge hichte der Phy ik al man e für ehr wichtig hielt, d jede Größe direkt dureh ein Experiment definiert wurde, war man glückJi h zu entdeck n. da man E und D in einem Dielektrikum definieren konnte, ohn zwi ehen den {Omen umherkrie hen zu müs en. Die mittlere Feld tärke E i t numeri eh gl i h der Feld tärke E 0' die man in einem Hohlraum me en kann, der parallel zum Feld au ge chnitten i L nd die Feld tärke D i t me bar, indem man Eo in einem Hohlraum fe t tellt, der normal zum Feld au ge hnirten i r. Aber es mi t ie owie 0 niemand auf die e Wei e, daher war das nur eine die er philo oprusehen Spiele. Bei den mei ten Flü igkeiten, deren Struktur nicht zu kompliziert i t, i {ZU erwarten, d ein Atom im ittel on anderen Atomen umgeben i t die näherung wei e ein n ku e/förmi en Hohlraum bilden. Wir ollten daher fragen: "Wa für ein Feld herr cht in einem kugelförmig n Hohlraum?" ir können e fe t teHen, indem wir bemerken das wir genau eine Kugel au aterial einen kugelpolari iertem aterial entfernen, wenn wir in ein homogen polari ierle förmigen Hohlraum chneiden. (Wir mü en un vor teilen, da die P lari ation ..eingefroren' i t, be or wir den Hohlraum au schneiden.) Durch" berlagerung ind jed h die Felder im Innem de Dielektrikum, ehe die Kugel entfernt wurde di umme der Felder von allen Ladungen außerhalb de Kugelvolumen plu der Felder on d n Ladungen innerhalb der polari ierten Kugel. ennen wir al 0 E die Feld tärke in dem horn genen Dielektri um. 0 können wir chreiben

E

(11._ )

= EHohlraum + EKugel'

wobei E Hohlraurn das Feld in dem Hohlraum dar tellt und EKugel d Feld im [nnern ein r Kugel, die homogen polari iert i t ( iehe Fig. 11.6). Die von einer horn gen p lari ierten Kugel verur achten Felder ind in Fig. 11.7 darge teilt. Das elektri ehe Feld im lnnern der ug I i I homogen und die Feld tärke beträgt

EKuael e

p = --3 .

(l \.24)

Eo

Fig. 11. 6: D

=

Feld an ein m beliebigen Punkt in einem Dielektrikum ann al di umme d Felde in einem ugelförmig n Hohlraum plu dem on der her u ge hnittenen KUE!el verurachten Feld tra htet erden,

199

11.5 Die Dieleklri-ifäf k " TallTe von Flii sigkeiTell; die Clausills-Mo offi-Formel

I

Fig. J1.7: Da elektri he Feld einer horn gen polari ierten Kugel.

'p

Unter erwendung on 11.23) erhalt n \ ir

EHohlraum

P

=E

(11.25)

3Eo

Die Feld tärke in einem kuge1förmi o en Hohlraum i t um den Betra ö PI3Ev größer al die mitllere Feldstärke. (Der kugelförrnige Hohlraum liefert eine Feld tärke, die 1/3 de Unter chiede zwischen d n Feld tärken in flachen Hohlräumen parallel und rechtwinklig zum Feld beträgt.)

Die D'elektrizitätskonstante von Flü igkeiten· die Clau iu - 0 otti-Formel

11.5

In einer Iü igkeit rwarten ir, da die Feld tärk , die ein einzelne Atom polari iert, näher bei EHohlraum a1 bei E lieot. erwenden \ ir für da polari ierende Feld in GI. (I 1.6) das EHohlraum au 11.25 \ ird GI. (I I. ) zu

01.26) oder

a

(1l.27)

p =1 - ( a/3) EoE. Erinnern wir un aber da

K -

I genau PIE i t,

0

erhalten wir

Q'

K-

1 = I _ (Na/3)'

(11.28

11 Vorgänge im Jl1nern von DielekTrika

200

wa un die Dielektrizität kon tante einer Flü igkeit in Au drücken 'on 0'. der at mar n P lari ierbarkeit, liefert. Die e Fonnel nennt man die elausiu -MassaI/i-Gleichung. Wenn 0' ehr klein i 1. wie da für ein Ga der Fall i t (weil die Di hte klein i t), kann der Au druck 0'/3 im Vergleich zu 1 vernachlä igt werden und wir erhalten un er alte Re ultat, GI. (11.9), da K -

1 = 0'.

( 11.29)

Vergleichen wir GI. (11.2 ) mit einigen experimentellen Ergebni en. ir mü en zuer t Ga e betrachten, für die wir mit Hilfe der Me ung von K die Größe 0' au GI. (11._9) be timmen können. Zum Bei piel i t die Dielektrizität kon tante für hwefelkohlen toff biO e 1,0029, 0 das 0' gleich 0,0029 i 1. Die Dichte de G e kann dann I i hl e timml \ erden und die Dichte der Flü igkeit kann in Tabellen ammlungen nachge hlagen \ rden. Bei 20 oe i t die Dichte der Flü igkeit es., 381-mal größer al die Di hte de Ga bei 0 oe. Da in der Flü igkeit 381=mal größer al in dem G i t; nehmen \ ir daher nähebedeutet, das rung wei e an, da ich die grundlegende atomare Polari ierbarkeit on chwef lkohlen loff nicht ändert, wenn er aI Flü igkeit konden iert wird, 0 i t 0' in der Flü igkeil glei h 3 I mal 0,0029, da i t 1,11. Beachten Sie, da der Term 0'/3 fa t 0,4 rgibt, 0 da er keine weg vernachlä igbar ist. Mit die en Zahlen berechnen wir eine Dielektrizität kon lante von 2,76, was erhälmi mäßig gut mit dem beobachteten Wert on 2,64 überein timmt. In Tabelle 11.1 geben wir einige experimentelle Daten on er chiedenen at riahen an (die dem Handbook 01 Chemi try and Physics entnommen urden): daneb n l h n di Dielektrizität kon tanten, die nach der eben be chriebenen Method au (I 1._ ) b rechnet urden. Die Überein timmung zwi ehen den beobachteten und berechneten erten i t für rgon und Sauer toff ogar noch be er al für CS 2 - aber weniger gut für Tetrachlorkohlen tOff. He in allem zeigen die Re ultate. da GI. (11.28) verlä lieh i t. Un ere Ableitung von GI. (11.28) gilt nur für die Elektronenpolari ierbarkeit in Flü igkeiten. Für ein polare olekül wie H2 0 i t ie ungültig. Wenn wir die eIben Berechnung n für Wa er durchführen. erhalten wir für Na 13,2; da bed utet, das die Di le trizilät kon t nre für die Flü igkeit negaTiv i t, während der beobachtete Wert on K 0 i 1. Da Problem liegt in der richtigen Behandlung der permanenten Dipole und On ager hat den ri htigen eg gel,! ieen. ir haben keine Zeit, die e Problem hier zu di kutieren; wenn ie ab r intere ien daran ind. 0 finden Sie eine die bezügliche Di ku ion in dem Bu h on Kittel. Einfiihnm i1l die Festkörperphysik (R. Oldenbourg, München, 1969).

11.6

Fe te Dielektrika

ir betra bten nun die Fe tkörper. Die er te intere anle Tat a h bei F t örpern i t die. da e in ihnen eine permanente Polari arion geben kann - die gar in bwe enh it ein elektri chen Felde exi tiert. AI Bei piel bietet ich in aterial \ ie a h an. da lang 0leküle mit einem permanenten Dipolmoment enthält. Wenn i et . \Va h hmelzen und ein elektri che Feld an da ftü ige Wach legen, 0 da die Dipolmoment teilw i au g richtet werden, dann bleiben ie auch 0, wenn die Flü igkeit er tarrt. Da fe te atena] hat eine permanente Poiari ation, die bestehen bleibt wenn da F Id entfernt ird. Ein n 01 h TI Fe tkörper nennt man einen Elektreten.

.,

11.6 Fesre Dielekrrika Tabelle 11.1: Bere hnung d r Dielektrizität kon tanten von Flü igkeiten au der Di lektrizitä kon tan-

ten de G e

K

:2

14

t

1 32 325 10

(exp)

J,11

2,76

2,64

0,435

1,509

1,507

0,977

2,45 1,517

_.24 154

0,441

erhältnis = Dichle der Flü igk it I Dichte de Ga e

Ein Elektret hat permanente Polari alion ladungen auf einer Oberfläche. Er i t da elektriehe Analogon zu in m Magneten. Er i t allerding weniger nützlich, denn eine Oberflächen ziehen freie Ladungen au der Luft an, di di Polari ation ladungen chließlieh kompen ieren. Der Elektret wird ,entladen" und e gibt k ine fe tstellbaren äußeren Felder. E gibt auch eine permanente inner Polari ation P, die in b timmten kri tallinen Subtanzen ponIan auftritt. In 01 hen Kri tallen hat jede Einheit zelle de Gitter ein identi che permanente Dipolmom nt. ie e in Fig. 11.8 darg teHt i 1. Alle Dipole zeigen in die eIbe Richtung, auch wenn kein elektri ehe Feld anwe end i t. In Wirklichkeit haben iele komplizierte Kri talle eine olehe Polari ation; wir bemerken da normaierwei e nicht, weil die äußeren Felder, wie bei den EI ktr t 11, entladen ind.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 80 80 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 0 00 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 80 80

Fig. 11.8: Ein komplizierte Kri tallgilter kann eine permanente inner Polari alion P haben.

1J Vor än e im lnnem von Dielektrika

Werden aber die e inneren Dipolmomente eine Kri taH verändert. 0 treLen äußere Fe! r auf. weil die ver treuten Ladungen nicht genug Zeit hab n. ich zu ammeln und die Polarisation ladungen zu kompen i ren. Befindet ich da Di lektrikum in einem Kond n alOr. werden freie Ladungen auf den Elektroden induziert. enn zum Bei piel ein Di I km um rwärmt wird. ändern ich die Momente aufgrund der ärmeau dehnung. Die n Effekt nennt nn man die Pyroelektrbtät. Eben 0 können wir die Spannungen in einem Kri tall ändern wir ihn bei piel wei e biegen - und da oment ändert ich geringfügig. wobei ein kleiner elektri cher Effekt auftritt, den man die Pie~oe/ektri-itär nennt. Für Kri talle. die kein pennanente MomenL be itzen. kann man eine Th orie der Dielektrizität kon tanren auf teilen. die die ElektronenpoJari ierbarkeir der torne enthält. ie i t \, eitgehend die eIbe wie für F1ü igkeiten. Einige Kri taHe haben auch drehbare Dipole im Innem und die Rotation die er Dipole trägt ebenfall zu K bei. In Ionenkri tallen wie aCl gibt e auch eine Ionenpo/arisierbarkeit. Der Kri tall i tein chachbrett au po itiven und n gaLi en Ionen und in einem elektri chen Feld werden die po iti en Ionen in der einen Ri htung und die negati en in der anderen gezogen; e gibt eine relati e Ge arntb \, egung der po itiven und negati en Ladungen und omit eine Volumenpolari ation. ir könnten die Größenordnung d r Ionenpolari ierbarkeit mit Hilfe un erer Kenntni der teifheit on aJzkri tallen berechnen, aber wir waUen die e Thema hier nicht weiter verfolgen.

11.7

Ferroelektrizität; BaTi03

Wrr wollen nun eine pezielle KJa e von Kri tallen be chreiben, die beinahe zufällig ein pennaneme Moment be irzen. E handelt sich um eine ex.treme Grenz iruation: enn wir die oment oll tändig. Handelt e Temperatur nur wenig erhöhen, verlieren ie ihr pennanente ich and rer eil um fa t kubi che Kristalle, 0 da ihre om nte in ve chjedene Richtungen gedreht werden können 0 i t eine große Veränderung in dem Momem fe tutelIen obald ein vorhandene elektri che Feld veränd rt wird. He omenre kippen um und wir erhalt n oment di er rt be iLzen. erd n einen großen Effekt. Sub tanzen, die ein permanente ferroelekrrisch genannt, nach den ent prechenden ferrornagneri hen ffekten. die zuer t im Ei en entdeckt worden ind.

Wir möchten den echani mu der Ferroelektrizitär erkJären, ind m \ ir· in pezielle Beiögli hkeiten. wie die piel einer ferroelektri ehen Sub tanz be chreiben. E gibt mehrer Eigen chaft der Ferroelektrizität ent tehen kann; wir werden aber nur einen m t ri" n Fall n herau greifen - den von Bariumtitanat, BaTi0 3 . Die e ub tanz har einen Kri taUgitter. d Ba i zelle in Fig. 11.9 kizziert i t. E zeigt ich, da Bariumtitan t oberh lb einer g wi n Temperatur, nämlich 118 oe ein gewöhnliche Dielektrikum mit einer enorm gr Ben Di le trizitä kon tanten i t. nterhalb die er Temperatur erhält e jed h plÖlZlich in p nnanent Moment. m die Polari ation einer fe ten Sub tanz zu berechnen mü en ir zuer l ~ t ( 11 n, wa n dab i au h di \' n d r Polari ari n hervorgerufenen Felder einbeziehen, genau 0 wie wir da für den Fall einer Flü igk ir g tan haben. Aber ein Kri Lall i t keine homogene Flü igkeil' omit können \ ir rür da lokale Feld nicht dasjenige verwenden, da wir in einem kugelfönnigen Hohlraum erhalten würden. Berechner man das Feld für einen Kri Lall, 0 telll man fe 1. d d r Fakt r I/entfernt i t. Für

die lokalen Felder in jeder Einheit zelle ind. Wir mü

1l.7 Ferroelektri-ität; BaTi0 3

203

I

I

I I

@ Fig. 11.9: Die Einheit zelle on BaTi0 3 . Die Atome fül-

.Ti-4

@O-2

len in Wirklichkeit den größten Teil de Raume au; der Klarheit \! egen iod nur die Lagen ihrer Minelpunkte angezeigt.

einen einfachen kubi hen Kri lall i [ r g nau 1/ .) In unserer orläufigen Di ku ion werden wir de halb annehmen, da der Faktor für BaTi0 3 1/3 i t. an hrieben, hab n ie ich ielleicht gefragt. wa ge chehen würde, wenn Na größer al 3 ürde. E ieht 0 au ,al ob K negati würde. Aber da kann be timmt nicht richtig ein. ehen ir a ge chieht enn wir a in einem be tirrunten Kri tall allmählich an wach en la en. In dem Maß, in d m a zunimmt wird die Polari arion tärker, obei ie ein stärkeres lokale eid erur a ht. Aber ein tä.rkere lokale Feld vermehrt die Polari arion jede Atom und er tärkt dabei die lokalen Felder um 0 mehr. Wenn die Atome genügend "hergeben", geht der Proze weit r' e gibt eine Art Rückkoppelung, die die Polari ation ohne Grenze anwach en läs t - orau ge etzt, da die Polari ation jede Atom proportional dem Feld zunimmt. Die Bedingung für da ,Au chaukeln' wird aktuell, enn er = 3 i t. Die Polari ation wird natürli h nicht unendlich, weil die Proportionalität zwi ehen dem induzierten Moment und dem elektri h n Feld bei tark n Feldern zu ammenbricht, 0 da un ere Formeln nicht länger richtig ind. ir teilen fe t, da da Gitter mit einer tarken, elb t erzeugten, inneren Polari ation " inge ehlo sen' wird. Im Fall von BaTi0 3 gibt e zu ätzlieh zur Elektronenpolari arion auch eine ziemlich tarke lonenpolari arion, on der ang nomm n wird da ie auf die Titanionen zurückgeht die ich innerhalb de kubi chen Gin r etwa bewegen könn n. Da Giner lä t kein großen Bewegungen zu 0 da da Titan nur einen kurzen Weg zurücklegen kann; dann wird e blockiert und hält an. Aber n dem ugenblick an be itzt die Kri tallzelle ein p rmanente Dipolmoment.

In den mei ten Kri taUen ird die

ituation bei allen Temperaturen erreicht. Da lntere sante am Bariumtitanat i t, da die erhältni 0 prekär ind da da Gitter ich lockert wenn Na geringfügig erkl inert wird. Da bei teigender Temperatur abnimmt - aufgrund der Wärmeau dehnung - können wir a änd rn indem wir die TemperaTUr ändern. Unterhalb der kriti ehen Temp rarur i t da Gin r gerade bl kiert, 0 da e leicht i t - durch n endung eine äuß ren F lde -, di Polari ation zu er chi b n und ie in einer anderen Rjchtung zu blockieren.

204

e im Innem

11

\'011

Dielektrika

Ver uehen wir. die Vorgänge genauer zu analy ieren. Tennen \ ir Tc die kriti he Temperatur, bei der Na genau 3 beträgt. Wenn di Temperatur teigt. nimml weg n der u d hnung de Gitter etwa ab. Da die u dehnung klein i t, können ir agen. da in d r äh der krili ehen Temperatur (11.30)

wobei ß eine kleine Kon tanle i I, deren Größen rdnung die elb wie di de Koeffizient n der Wärmeau dehnung i t. ungefähr 10- 5 bi 10- 6 pro Grad C. enn wir nun di e Relation in GI. (11.28) ein etzen, erhalten wir K-I=

3 - ß(T - T) c. ß(T - Tc )/3

Da wir angenommen haben. da ß(T - Tc) klein gegen ein i hern durch K-

1=

9 . ß(T - Tc)/3

t

können

ir die e Form I annä-

(11. I)

Die e Relation i t natürlich nur für T > Tc richtig. ir ehen da K unmittelbar oberhalb der kriti ehen Temperatur enorm groß i t. Weil Na 0 nahe bei 3 liegt. gibt einen ungeheu r n Verstärkung effekt. und die Dielektrizilät kon tante kann leicht 50000 bi 100000 betragen. Sie hängt auch empfindlich von der Temperatur ab. Bei leigend n Temperaturen nimmt die Dielektrizitätskon tante mit der reziproken Temperatur ab, aber im Gegen atz zu d m Fall in dipolaren Ga e . für das ieh K- 1 wie die reziproke absolute Temperatur erhält, ändert ie i h für Ferroelektrika umgekehrt proportional zur Differenz z i hen der ab oluten Temperatur und der kriti ehen Temperatur (die e Ge etz nennt man da urie- ei -Ge erz). Wa pa iert wenn wir die Temperatur bi zur kriri hen Temperatur nk n. Sr 11 n ir un ein Gitter au Einheit zellen wie da in Fig. 11.9 or 0 ehen wir. man Ketten \on Ionen entlang enkreehter Linien wählen kann. Eine die er Linien b reht ab\ eh Ind au Sauer toff- und Titanionen. ndere Linien setzen ich au Barium- oder auer ( ffi nen zu ammen. aber der b land entlang die er Linien i t größer. m die e An rdnung zu reproduzieren, bauen ir ein einfache Modell, wie e in Fig. 11.10(a) gezeigt i t. \ obei \ ir un in R ih von Ionenketten or teilen. Entlang der 0 genannlen Hauptkette beträgt der b tand z i hen den Ionen a, das i t die Hälfte der Gitterkon tanten; der itliche brand Z\'i h n identi hen Ketten i t 2a. Daz i ehen gibt e weniger dichte Ketten die \ ir im ugenbli k erna hlä igen wollen. m die Analy e etwa zu erleichtern nehmen wir außerd m an. d alle Ionen d r Hauptkette identi h ind. (Da i t k ine chwerwiegende reinfa hung, weil all \ i htigen Effekte trotzdem auftreten. Da i r einer der Trick der theoreti h n Ph ik. an r t zue r ein andere Problem, das einfacher i t, wenn man die Berechnungen zum tenmal dur hführt - hat man den bl auf dann ver tanden, 0 kann man alle Komplikation neinbau n.) er uchen wir nun berau zufinden, wa in un erem jede toms ei p und wir wollen da Feld an einem der

deli ge chieht D Dipolmom nt tom in der K tt b r hn n. Wir

11.7 Ferroel krrhtöt; BaTiG)

205

2a

• a

-t I

•

f

t

t t

•

+ (h)

(a)

Fig. 11.10: Modelle eine Ferroelektrikums: (a) ent pricht einem Antiferr elektrikum und (b) einem nonnalen Ferroelektrikum.

mü en die umme der F lder aller anderen Atom finden. Berechnen wir wer t das Feld aller Dipole in einer der enkrechten Ketten; üb r die anderen Ketten prechen wir päter. Die Feld tärke im b tand r n einem Dipol in der Richtung einer Ach e ist gegeben durch 1 2p E--- 4n

?

An jedem orgegebenen Atom erzeuoen die Dipole die i h in gleichen Ab tänden oberhalb und unterhalb da on befind n. F ld r in der gleichen Richtung und \ ir rhalten omÜ für die ganze Kette (11.3 )

Hätte un er Modell die F rm eine treng kubi chen Kri tall - da heißt befänden ich die näeh ten identi ehen Linien nur im b tand a -, 0 würde ich die Zahl 0,383 auf 1/3 reduzieren, wie man lei ht zeigen kann. it anderen orten, befänden ich die näch ten Linien im Ab tand a 0 würd n ie nur 0,050 Einheit n zu un erer umrne bitragen. Doch di nächte Hauptkette di wir betrachten befind t ich im Ab tand 2a und ie Sie ich au Kapitel 7 erinnern, nimmt das von iner periodi chen truktur v rur achte Feld exponentiell mit dem Abtand ab. De halb tragen di e Linien iel weniger al -0050 bei und wir können alle anderen Ketten einfach emachlä i o n. un mü en wir herau finden ie gr ß die Polari ierbarkeit a ein mu ,damit der Aufchauklung proz abläuft. Da induziert Moment p jede Atom in der Kette ei proportional zur eId tärke, wi in GI. (11.6 . Da polari ierende F Id arn Ort de Atom erhalt n ir au E eue unter erwendung On GI. (ll. 2). Wir haben al 0 die beiden Gleichungen K

206

J] Vor än e im ]llnem von Dielektrika

und

0,383 P

EKelte

= --3a

-.

€o

E gibt zwei Lö ungen: E Kene und p ind beide null, oder

a3 0,383'

a=--

wobei EKelte und p beide endlich iod. Wenn daher Q' den ert von a3 /0. hat. wird eine pennanente Polari ation ein etzen, di von ihrem eigenen Feld verur a ht \ ird. Die e kriti he Gleichheit mu für Bariumtitanat genau bei der Temperatur Tc erreicht werden. Beachten Sie; wäre Q' größer al der kriti ehe Wert für ehwaehe Felder, 0 würde für tärkere Felder abnehmen und bei Gleichgewicht würde die eibe Gleichung gelten. die wir oeb n gefund n haben. Für BaTi0 3 beträgt der Ab tand a 2 x 10-8 cm; wir mü en aJ 0 erwarten. das Q' = I, X cm 3 . Die können wir mit den bekannten Polari ierbarkeiren der einzelnen rome vergleichen. Für Sauersroff i t Q' = 30,2 X 10-24 em3 . Wir ind auf dem richtigen eg~ Für Titan aber ist Q' = 2,4x 10- 24 cm3 ; d i [Ziemlich klein. Für un er odell olll n wir wahr cheinli h da Mittel nehmen. ir könnten auch eine Kette mit ab ech einden tomen b tra hl n, d Re ultat wäre aber in etwa da eibe.) Somit ist a im Mittel = 16,3 x /0-2.\ da i I aber nicht au reichend, um eine permanente Polari arion hervorzurufen.

10-24

Aber einen Augenblick! Bi her haben wir nur die Elektronenpolari ierbarkeiten zu ammengezählt. E gibt auch die Ionenpolari ation aufgrund der Bewegung de Titanion . lle, wa wir brauchen, i teine Ionenpolari ierbarkeit von 9,2 X 10-24 cm3 . Eine g nauere Berechnun o mit abwech elnden Atomen zeigt da in Wirklichkeit 11,9 x 10-24 erforderli h i 1. m die Eigenschaften von BaTiO) zu ver rehen, mü en wir annehmen, das eine olehe Ion npolariierbarkeit exi tien. Warum das Titanion in Bariumtitanar eine 0 große Ionenpolari ierbarkeir hat, i t unbekannt. Eben owenig i t klar. warum e bei niedriger Temperatur glei h rark entlang der Raumdiagonalen und der Flächendiagonalen polari iert wird. Wenn wir die irklich Größ der Kugeln in Fig. 11.9 untersuchen und un fragen, ob da Titan in der on den umlieg nden auer toffatomen gebildeten Schachtel etwa locker itzr - was wün hen rt wär , denn dann könnte e leicht er choben werden -, 0 tellen wir genau da Gegenteil fe 1. E itzt ehr fe t. Die Bariumatome itzen etwas lockerer, aber wenn ie di jenigen ein 011 D. die i h be egen. dann führt auch das nicht zum ZieL Sie ehen al 0 da da Thema ni ht irklich hund rtprozentig klar i t; e gibt immer noch Rät el die wir gerne er tehen \ ürden.

da Kehren wir zu un erern einfachen Modell von Fig. 11.] 0 a zuriick: Ir eh n, d von einer Kette erur achte Feld dahin tendiert, die achbarkene in der um ekehnen Richtung zu poiari ieren, was bedeutet, da e kein perrnan nte Ge amtmoment pro Einh i olumen gibt z ar keine äuß ren dektrigibt, obwohl das oment jeder Kette in ich blockiert i t: cben Effekte, aber e treten noch gewi e thenno-d narni ehe Effekte auf, die man beoba hren kann.) Solche Sy terne exi tieren und werden a1 antiferroel ktri h bez i hnet. In irkli hkeir haben wir daher ein Antiferroelektrikum erklärt. Bariumtitanat i t jed h wirkli h 0 v i

207 in Fig. 11.10 b) ange rdnel. Die au r loff-Titanketten ind all in der eIben Richtung polari iert, weil i hz i hen ihnen K llen von Zwi henatomen befinden. Obwohl di Atome in die en K nen nicht ehr p lari ierbar und au h ni ht ehr dicht ind. ind ie doch erw in anti paralleler Ri hlUng zu den auer t ff- Titanketten polari ien. Die kleinen Felder, die an der daneben befindlichen au r t ff- Ti tank tte erzeugt werden, eranla en ie ich parallel zur er ten au zurichten. 0 BaTi0 3 i t daher \ irklieh ferroel ktrt eh. und zwar aufgrund der dazwi chenliegenden t me. i möoen i h fragen:" ber \ ie teht e mit dem direkten Effekt zwi ehen den b iden O-Ti-K tlen?" ber erinnern ie ich, der direkte Effekt nimmt e ponentiell mit dem Ab tand ab: der Effekt einer Ken on starken Dipolen im Ab rand 2a kann kleiner ein al der Effekt einer Kette on eh wachen Dipolen im Ab tand a. Da be chließt un r re hl au führlieh nrer uehung un erer auaenblickliehen Kenntni e der Dielektrizilät k n tanten v n Ga en. Flü igkeiten und Fe tkörpern.

12

Elektrostatische Analogien

12.1

Die eIben Gleichungen haben dieselben Lösungen

Die Kenntni e. die man in ge amt eit Beginn de wi en chaftlichen Fort ehritt über die phy ikali ehe elt ge onnen hat, ind ungeheuerlich und e er eheint beinahe unmög!.ich da ein einzelner auch nur einen annehmbaren Bruchteil da on beherr cht. Aber e i t durehau möglich da ein Phy iker in v eite Wi en on der phy ikali ehen eh hat und nicht nur ein Speziali t auf einem engen Gebiet i t. Dafür gibt e dreierlei Gründe: Er ten gibt e allgemeine Prinzipien, die für all die ver chjedenen Arten von Phänomenen zutreffen o die Prinzipien der Erhaltung der Energie und de Drehimpul e . Hat man die e Prinzipien gründlich er tanden 0 beherr cht man mit einem Schlag eine Fülle von Phänomenen. Zweiten ist eine Tat a he. da iele komplizi rte Phänomene, wie bei piel wei e da erhalten von Fe tkörpern unter Druck, in WirkJichkeit grundlegend von el ktri chen und quantenmechani ehen Kräften abhängen; wenn man daher die fundamentalen Ge etze der Elektrizität und der Quantenmechanik ver teht gibt e zuminde teine gewi e Möglichkeit da man die in komplexen Fällen auftretenden Phänomen er teht. nd letzten gibt e eine höch t bemerken werte Koinzidenz: Die Gleichungenfür \ iele, sehr verschiedene physikalische Fälle haben genau die gleiche Fom7. atürlich könn n die Symbole erschieden ein - ein Buch tabe wird durch einen anderen er etzt -, aber die mathemati che Form der Gleichungen i t die eibe. Da will agen, da wir bei nter uehung eine Thema gleichzeitig ehr viel clirekte und genaue Wi en über die Lö ungen on Gleichungen auf anderen Gebieten erwerben. Wir haben nun da Thema der Elektro tatik abge chlo en und werden demnäch t mit der Unter uchung de Magneti mu und der Elektrodynamik beginnen. Zuvor wollen \ ir aber zeigen da wir beim Studium der EI ktro tatik gleichz itig eine große Anzahl anderer Themen tudiert haben. Wir werden fe t teilen, da die Gleichungen der Elektro tatik an mehreren anderen Stellen in der Ph ik auftauchen. Durch eine direkte Über etzung der Lö ungen (natürlich mü en die eiben mathemati chen Gleichungen die eIben Lö ungen haben) i te möglich Probleme in and ren Gebieten eben 0 leicht - oder eben 0 chwer - zu lö en wie in der Elektrostatik. Die Gleichungen der Elektro tatik ind, wie wir wis en,

V. (KE)

= Prrei,

(L.I)

Eo V xE = O.

(12.2)

(Wir betrachten die GI ichungen der Elektro tatik mit Dielektrika um 0 den allgemein ten Fall zu haben.) Die gl iehe Ph ik kann in einer anderen mathemati ehen Form au gedrü Jet werden: (12."')

E = -Vr/l,

V· (K Vr/l) = _Pfrei . EO

(12.4)

210

un geht e darum. das viele phy ikali che Pr bleme zu mathemati hen GI ichung n dereIben Form führen. E gibt ein Potential q;, de sen Gradient multipliziert mit iner kalaren Funktion K. eine Divergenz hat, die gleich einer anderen kaIaren Funktion (-Pfre/ ) i l. Alle, wa \ ir über die Elektro tatik wi en, kann unmittelbar auf dander Thema üb rtragen werd n und umgekehrt. (E timmt natürlich in beiden Richtungen - w nn da and re Thema be andere Eigen chaften hat, die bekannt ind. können wir di e K nntni bei dem entprechenden elektro tati chen Problem anwenden.) ir \ ollen eine Reihe von Bei pielen au anderen Bereichen betrachten. die zu Gleichungen in die er F rm führen.

12.2

Die Wänne t ömung; eine Punktquelle in der ähe eines unendlichen, ebenen Rand

Ein Bei piel haben wir bereit früher di kutiert Ab chnin 3.4 - die ärrne trömung. teIlen wir un einen Block eine Material vor, da nicht homogen ein mu , da aber an erchiedenen Stellen au ver chiedenen Sub tanzen be lehen kann und in dem ich außerdem die Temperatur von Punkt zu Punkt ändert. Aus die en Temperaturänderungen re ultiert eine Wärme trömung die durch den Vektor h darge teIlt werden kann. Die er ektor teIlt die Menge von änneenergie dar. die pro Zeiteinheit durch eine Einheit fläch enkre ht zur trömung fließt. Die Divergenz von h ent pricht der Wärmemenge, die pro Zeiteinheit und lum n inheit au einem Bereich aus trömt

v· }z = au

trömende Wärmemenge pro Zeit- und

olumeneinheit.

(Wir könnten die Glei hung natürlich auch al Integral chreiben - \ ie wir e in der Elektrotatik mit dem Gauß chen Ge erz getan haben - was b agen würde. da der Ru au einer Oberfläche gleich der Anderung rate der Wärmeenergi im Inn rn de Material i t. \ Ir erden un nicht die Mühe machen, die Gleichungen von der Differential- in die Integralform und umgekehrt zu über erzen, denn da geht genauso wie in der Elektro tati . Das Au maß, in dem die Wärme an ver chiedenen Punkten erzeugt der ab orbiert ird, hängt natürlich vom Problem ab. ehmen wir bei piel wei e an da eine ännequ 11 im lnnem de Material gibt ( ielleicht eine radi aktive Quelle oder einen ider tand, der on einem elektri chen Strom erwärmt wird). ei die Wänneenergie, die pro Einheit olumen und pro ekunde von die er Quelle erzeugt wird. E kann auch u tau h on thermi her Energie mit anderen inneren Energi n in dem olumen g b n. I t 11 di inn re Energie pr Einheitsvolumen. dann i tauch -du/dt eine "Quelle" on ärmeenergie. \i ir rhalten dann

V· h

du dt

=5--.

12.

ir werden jetzt nicht die voll tändige Gleichung di kuti ren. in der ich die

rhältni mit der Zeit ändern, denn wir teilen eine nalogie zur EI ktro tatik her. in d r ni ht on der Zeit abhängt. ir betrachten nur Probleme d teti en \ ännestrom , in d n n k n tant Quellen einen Gleichgewicht zu land herbeigeführt haben. ]n die n FäHen i t V· h

=5.

1-.6)

E i t natürli h 00 h ine and re Glei hung erforderlich, die be hreibt. wie die ärme an ver chiedenen teilen tröml. Ln ielen ub tanzen i t die Wärme trömung annähernd proportional dem Temperaturgradiemen: je größer die Temperaturdifferenz. de to tärker die ännetrömung. i wir ge ehen hab n. i t d rektor der änne trömung proportional dem Tempen tante K, di eine Eigen chaft de Material i t, heißt raturgradienten. Die Prop rti nalität die Wänl1eleitfähi keit. h

= -K VT.

12.7)

Ändern ich die Eigen chaften de aterial on Ort zu On. 0 i t K = K(x, y, .::) eine Funktion de Orte. [Gleichung (12.7) i t ni ht 0 grund I gend wie (J 2.5). die die Erhaltung der Wärmeenergie au drückt. da 12.7 v n einer pezieHen Eigen chaft der Sub tanz abhängt.] enn wir nun GI. (12.7 in G\. (12.6) ein elzen, erhalten wir V· (K VT)

= -s,

( 12.8)

wa genau die eibe Form \ ie (12.4) hat. Die Probleme des sTetigen Wärme troms Lind die Probleme der Elektro Tatik sind gleiclll'.'ertig. Der ärme tram ektor h ent pricht E und die Temperatur T entspricht f/>. ir haben bereit bemerkt, da eine thermi ehe Punktquelle ein Temperaturfeld erzeugt. da . ich wie 1/r ändert, und einen Wärme trom, der ich wie l/r änden. Die i t nicht weiter al eine .. ber etzung der Angaben au der Elektro tatik, die be agen da seine Punktladung ein Potential erzeugt, da ich wie IIr ändert und ein elektri che Feld. da ich wie 1/,.1 ändert. 1m Allgemeinen können wir tatis he Wärmeprobleme crenau 0 leicht wie elektro tati he Pr bleme lö en. Betrachten wir ein einfache Bei pie\. Wir b trachten einen Zylinder mit dem Radiu a und der Temp ratur Tl' die dur hein n Wärmegen rator im Zylinder aufre hterhalten wird. (Das könnte bei piel wei e ein Draht ein dur h den ein tram fließt oder ein Rohr. in de en Innerem ich Dampf konden i rt.) Der Zylinder i t on einer konzentri ehen Schicht eine i olierenden aterial umgeben. da die Leitfähigkeit K hat. Der Radiu der äuß ren Schicht ei bund T ei die dort herr chende Temperatur (Fig. 12.1 a). Wir wollen die Rate fe tstellen mit der der-Draht da Rohr oder a immer ich im Zentrum bfindet, Wärme erliert. ei die Wärmemenge, die in O'e amt auf in r Länge L de Rohre verloren geht - da i t, wa lT uchen.

ci

Fig. 12.1: (a) ärme trom bei Z linderg om trie. b) Da ent prechende elektri he Problem.

Wie können wir die Problem lö en. ir hab n die Differentialgleichungen' aber da die e die gleichen wie die der I ktro tatik ind, hab n wir da mathemati che Problem chon gelö 1.

12 Elektrostatische Analogien

212

Da analoge Problem i t da eine Leiter mit Radiu a auf dem Potential cP t . der on einem anderen Leiter mit Radiu b auf dem Potential rP') durch die konz nm ehe chieht eine dielektri ehen Material getrennt i t, wie das in Fig. 12.1 (b) eingezeichnet i 1. Da der änne trom 1z der elekm chen Feld tärke E ent pricht, entspricht die ge u hte Größe G dem Flu de elektri chen Felde au einer Einheit länge (mit ander n Worten, der elektri hen Ladung pro Einheit länge, geteih dur h Eo). Da elektrostati ehe Problem haben wir mit Hilfe d Gauß ehen Ge erze gelö t. Wir verwenden die eibe Methode für un er Problem der \\ ärm tr"mun e · ufgrund der Symmetrie wi en wir, das h nur vom Ab land zum itt lpunkl abhängt. Wir tecken daher da Rohr in einen Gauß ehen Zylinder mil der Läng L und d m Radiu r. ach dem Gauß hen Ge etz mu der Wärme trom h. multipliziert mir dem Flä heninhalt 2nrL gleich der ge amten Wännemenge ein, die im ]nnem erzeugt wird und die wir G genannt haben:

2nrLh

=G

oder

h

G = --. 27frL

(L.9)

Der Wänne trom i [proportional dem Temperaturgradienten:

h

= -KVT,

bzw. in die ern Fall i t der Betrag von h

dT dr

h= - K - .

Zu ammen mit (12.9) ergibt die

dT

dr

=

G 27fKLr

Dureh Integration on r

(1-.10)

= a nach r = b erhalten wir

G b T'} - T = - - - I n t 2lfKL a

(L.I1)

Wenn wir nach G auflö en finden wir

G

= 2lfKL(T(

- T,). In(b/a)

(1-.12)

Die e Re ultat ent pricht genau dem für die Ladung auf einem z linderförmig n Kond n ator:

Q = 2lf L( I:> einem Be\ egung zu land ist. ~

Somit i t die Ladung q auf einem Teilchen eine in ariante kalare Größe, die unabhängicr vom Bezug y tem i I. Da heißt, da in jedem Sy Lern di Ladungsdichte einer E1ektronenerteilung einfach proportional der Ilzahl der Elektronen pro Einheit olumen i 1. Wir mü en nur die Tatsache beachten da ich da olumen aufgrund der relati i ti ehen Kontraktion der Längen erändern kan1/. Wenden wir die lde n nun auf un eren bewegten Draht an. Betrachten wir ein Stück de Drahte mit der Läng Ln. in dem stationäre Ladungen di Ladung dichte Po haben 0 enthält da rück eine Ge amtladung Q = PoLoA o· Stellt man fe t, da i h die eIben Ladungen in einem anderen y tem mit der Ge chwindigkeil v bewegen, so findet man ie alle in einem Stück Material, da di kiir:ere Länge

aber dieselbe Quer chnittsfläch A o hat (da i h Dirnen ionen, die tran ver a1 zur Bewegung ind, nicht änd rn. iehe Fig. 1 .11. ennen wir die Di hte der Ladung n in dem Sy tem, in dem ie ich be\ egen, 0 i t die Ge amtladung Q gleich pLAo' i mu auch gl i h PoLoA o ein weil die Ladung in jedem

, ----Lo-----il

If-'

\'=0

f-----L'-----;

5

Flächeninhalt A

5'

\'

(a)

(b)

Fig. 13.11: Hat eine eneilung geladener, ruhender Teilchen die Ladung di hle p . haben die lben Ladungen die Di hte p = Po/..J I - ,,2 / c". wenn ie von einem y tem mit der relativen Ge chwindigkeit \' betrachtet werden. Stern die gleiche i t,

0

das pL

= PoLo, oder na

h (13.22

13._ ) Die Ladung dichre einer Verteilung on bewegten Ladung n änden i hin de elben \ ei e die relativi ti he Ma e eine Teil hen . enden wir nun die e allgemeine Ergebni auf die po itive Ladung di hte p~ un re Drahte an. Die e Ladungen befinden ich im Sy tern S in Ruhe. In S' jedoch. \ 0 der Draht ich mit der Ge chwindigkeit v b wegt, wird die po iti e Ladung dichte ZU

p' T

=

p.,.

..Jl-v-Ic?

Die negativen Ladungen sind in S' in Ruhe. Sie haben daher in die em y tem ihr .~uh dichte" Po' In GI. (13.23) i tpo p~, weil die Ladungen die Dichlep_ ha n. wenn d r Draht ich in Ruhe befindet, d. h. im y tern S, wo die Ge h indigkeit der negati en Ladungen vi t. Für die L irung elektronen gilt dann, das

=

1 .25)

oder

ir können nun

hen, warum e in S' elektri Sy tem die Ge amtladung dichte p' hat, wobei

he F

' P' = '-'- +p-' nter Verwendung von (l .24) und (13.26 erhalt n wir

Ider ihr - weil d r Draht in die m

13.6 Die Relativität ma neti eher rmd elekrri eher Felder

Da der tationär Draht neutral i t. i t P_ = -p

p'

= PT Y

0

243

da

,)/ 2 '1

(13.27)

')

I -, -Ic-

Un er bewegter Draht i t po itiv gelad n und erzeugt ein elektri che Feld E' an dem äuß ren Punkt an dem ich da ~ ilchen b findet. ir haben da elektro tati che Problem eine gleichmäßig geladenen Z linder b reil gelö t. Das elektri ch Feld im Ab tand r zur Ach e de Zylinder i t

E'

= !!= -~~====~ 2JrEor

(13.2 )

Die Kraft auf das negali geladene Teilchen i t zum Draht hin gerichtet. Wir haben al 0 zurninde t eine Kraft gefund n, die on beiden G ich punkten betrachtet die eibe Richtung hat; die elekrri che Kraft in hat di eibe Richtung wie die magneti ehe Kraft in S. I

Der Betrag der Kraft in S' i t F'

= _q_ p_+_A ---;:::,=)=1c2~~ 27rEo

r

'1/ I -

v2 1 c-

(13.29)

Vergleichen wir die e Re ultar für F' mit dem für F in GI. (13.21), 0 rellen wir fe r das die Beträge der Kräfte on b iden Ge ichr punkten aus fast identi ch sind. Tat ächlich i t

(13.30)

und 0 ind für die kleinen Ge chwindigkeiten die wir bi her betrachtet haben, clie beiden Kräfte gleich. Wir können behaupten, da ir zuminde t bei kleinen Ge chwindigkeiten er tehen da s Magneti mu und Elektrizität lediglich "zwei Wei en ind, dieselbe Sache zu betrachten". Aber e kommt no h b r. Berüc' ichtigen wir das die Kräfte ich auch tran formieren wenn wir von ein m y rem auf da andere übergehen, 0 stellen wir fe t da die beiden Weien, die Ereigni e zu b tra ht TI ungea htet der Ge chwindigkeit zu dem eIben ph. ikali ehen Ergebnis führen. Eine Möglichkeit, die einzu ehen, drückt ich in der Frage au : Welchen Tran er alimpul wird das Teilchen haben, enn die Kraft eine Zeitlang darauf gewirkt hat? Au Kapitel 16, Bd. I wi en wir, da d r Tran er alirnpul ein Teilchen im S- und S' - y tern der eIbe ein mu . Wir nennen die tran r ale 0 rdinat und wollen /1py und I!J.p;. miteinander ergleichen. Unter Verwendung der relati i ti ch korr kten Bewegung gleichung F = dpldr oHre un er Teilchen nach der Zeit /11 im S- y tem den Tran er alimpul b.Py haben der gegeben i r durch

/iPy

=F 6./.

13.31)

244 Im 5' -Sy tern i t der Tran ver alimpul dann LlP.:

= F' ~t'.

atürlich mü en wir Llp\ und b.p~. für die ent preehenden Zeitint rvalle I und t' vergleichen. In Kapitel I ,Bd. (haben wir ge ehen, da die Zeitintervall . die ich auf in bewegte Teilchen b ziehen. länger reheinen al jene im Ruhe t m d D i1 h n . Da un er Teilchen ich anfang in S' in Ruhe befindet, erwanen wir für kleine /, d .lJ =

/' -;:::=:;::::::==

VI -

~~/c?'

( 13.

und dann i t alle in Ordnung. Au (13.31) und (13.32) ergibt ich

wa genau = I i

1.

enn wir (13.30 und (13.33) zu ammenfa en.

ir haben die Bewegung eine Teilchen entlang eine Drahte unte u hr und ge ehen, das wirda eibe phy ikali ehe rgebni erhalten, nn ir inmal ein Koordin t n t m erwenden. das relativ zum Draht ruht und einmal eine, da relativ zum ~ il hen ruht. lm er t n

Fall war die Kraft rein ,,magneti eh". im zweit n rein" lektri eh". Di beiden Ge i ht punkt ind in Fig. 13.12 eran ehaulicht (zwar gibt e au hirn zweilen lern ein magn ti he Feld B', aber die e übt keine Kräfte auf da tationäre Teilchen au ).

Fig, 13.12: Im Bezug y tern S i t die Ladung dichte null und die lromdi hl j. E gibt nur ein feld. In 5' i t die Ladung dichte p' und die tromdichle j'. D tagn tCi Id B' i t ande und eie crri he Feld E' .

a!!ßet~lbt

ein

Hätt n wir noch ein andere Koordinaten lern gewählt, 0 hätten ir ein n u i_ hung au E- und B-F ldern gefunden. Elektri ehe und magneti ehe Kräte ind Teil eines ph ikali ehen Phänomen - der lektromagneti ehen eeh Iwirkung von 't iIeh n. Die ufteilung r il hängt üg hend on d m für die er Weeh I irkung in elektri ehe und magneti h die Be hr ibung gewählten Bezug tern ab. ber eine voll tändio el ktroma n ü h Behreibuog i t invariant; Elektrizität und Magneti mu ZU amm n ind mit drEin t in h n Relativität theori kon i tent.

B_

13.7 Die Tran iformarion \ 0/1 Tröme" und Ladu"gen

()a el,ektri h· und m neti h F Ider je na h B zU o t m ver hieden gemi eht auftreten, mü en \ ir or i htig ein, al \ a wir die Feld r E und Bauffa en. Denken wir zum Bei piel an "F ldlinien'" n und B. dürfen \ ir ihnen nicht zu iel Realität beimeen. Oie e Linien können r eh\ indn, nn' ir r uchen, ie au ei.nem anderen Koordjnaten rem zu be bachten. Bei piel wei e gibt e im /rem elektri ehe Feldlinien. die wir ,,im S- y tem nichT mit der Ge ch indigkeit I' an un orbeifliegen" hen. Im S- y tem gibt e überhaupt k ine elektri chen Feldlinien! D halb i t e innlo zu agen: Wenn i h einen Magneten be\ ege, nimmt r ein eid mit und infolgede en werden auch die B-Linien erchoben. E gibt angern in keine' öeli.chkeit. der or reHung von der .,G chwindigkeit einer bewegten F ldlirli' in n Sinn zu erl ih n. Die Felder ind nur ein Hilf mittel, um zu bechreiben, wa an inem Punkt im Raum or ich geht. E und B geben un über die Kräfte Au kunft, die auf ein bewegte ~ il hen \ ir 'en. Die Frage "Welche Kraft erfährt eine Ladung durch ein bewegles agn tfeld.·' hat keinen präzi en Sinn. Die Kraft i t durch die erte on E und B am Punkt der Ladung oegeben und die Fonnel 03.1) darf nicht verändert werden, wenn ich die Quelle on E der B bewe t e ind die Werte von E und B die ich durch die Bewegung änd rn . Bei un erer m th mati ch n B chr ibung g ht e nur um die Felder al Funktion on X, )'. :: und 1 in Be-ug al/f irgendein InertialsysTem. Wir pre hen päter von, einer . elle von elektri ehen und magneti ehen Feldern, die sieh durch den Raum b wegt" ie bei pie] \I ei e eine Lichtwelle. ber das ist al prächen wir on einer Welle die ich auf einer Saite au breitet. Wir meinen dann nicht, da ich in Teil der Saite in der Richmng der elle bewegt, ond rn dass die Verschiebung der Saite erst an einern Ort und dann an inem anderen auftritt. Ebenso gilt für eine elektromagneti ehe Welle da die Welle ich fortbewegt, aber der Betrag der Felder ändert ich. Sprechen daher wir - oder jemand anderer - in Zukunft von einem, 1 h bewegenden" F ld, 0 teilen Sie ich das einfach a] eine prakti che und kurze Form or ein Feld zu be chreiben das sich unter be timmten Bedingungen änd rt.

13.7

Die Tran formation von Strömen und Ladungen

Sie ar n i Hekhr über di ereinfachung er für da Teilchen und für die LeitUll o I ktronen im Wir könnten zurückgehen und die frühere Anal chwindlgkeilen durchfuhren, aber e i t einf eher dichte die K mp n nl n ine ieIer ektür ind (

taunt die wir oben gema ht haben al wir Draht die eibe Ge chwindigkeit v wählten. e noch inmal für zwei ver chieden Genur fe tzu t lien da Ladung und tromiehe Kapitel 17, Bd. 1).

I t Po die Di hte der Ladungen in ihrem Ruhe Dichte in einem

(n die em

tem 0 i t wie ir ge ehen haben. die Lern in dem die Ladungen die Ge chwindigk it v haben,

mit die Stromdi hte

(13.34)

246

13 Magneto tarik

Wrr

WB en das die Energie U und der Impul pein

eilche , da

ich mit d r Ge-

chwindigkeit v bewegt, gegeben ind durch

un p in n relati . ti hen iewobei mo eine Ruhema e ist. Wir wi en außerdem, d rervektor bilden. Da p und j genau 0 von der Ge chwindigkeit IV abhängen \ i U und p. könn n wir blieBen, das auch p und j die Komponenten eine r lati i ti hen lere kto ind. Die e Eigen chaft i t der cWü el zu einer allgemeine Anal e de Fe de , d on einem Draht erur acht wird, der ich mit iner beliebigen Ge h indigkeit be egt; i äre erforderlich wenn wir das Problem fLir eine Ge chwindigkeit Vo d 1i il h n Ö n oUten die von der Ge chwindigkeit der Leitung elektronen ver hieden i t. ollen wir p und j in ein Koordinatensystem tran formieren das ic mit ein r Ge hwindigkeit u in der x-Richtung beweg4 0 wi en wir das ich di e Größen wie t und (x y, z) tran formieren. odas (iehe Kapitell5 Bd.1)

x= l' :;;;

x- ut

.vi-li/c?' t - ux/c2

VI -

u2 /c?'

./ _

jx - up

/x - "" i -I/fe-.,'

pi

=

y' = y, 'Z!=z.

j;. = j>.. ~,

lz:;;; h,

P - ujx/t?

13.35

~l - u2fc?

tröme in einem y tem zu d n n in einem anderen in Beziehung etzen. lndem wir on den Ladung n lind tröm n in einem der heiden Seme au gehen, können wir da elektromagneti eh Problem in die em Stern mit Hilfe der axwell-Gleichungen lö en. Da Re ultat, das ir fiir die Bewe ungen der Teil hen erhalten, wird in jedem Sy tem das gleiche ein. lI' erden pä~ r zu d n relativi ci ehen Tran formation igen chaften der elektromagn ti ben Feld r zutii -ehren. 't die en Glei hungen können wir Ladungen und

13.8

Uber agerung· die Rechte-

d-Re I

rr wollen die e Kapitel mit zwei weiteren Punkten zum Thema Ben. Ersten ,un ere grundlegenden Gleichungen für d agnetfeld

agn to tank ab hli-

V·B:;;;O ind in B und j inear. Das bedeut t, da da Überlagerun prinzip u h für a n tfeld r zutrifft. D von zwei er chiedenen tationären trömen erzeugt Feld i t di umm d r F 1der, die inzeln von jedem allein wirkenden trom rzeugt rd n. D r zweite Punkt trifft die Rechte-Hand-Regeln, denen wir begegnet ind i pie} ei . R ht -Hand-Regel für da von einem trom. erz ugte Magnetfeld. ir haben au6erd met tUt, d die agneti ierung eine Ei enmagneten vorn Spin der Elektronen in d m I rial h r . tand n

J3.8 Überlagerung; die Rechte-Band-Regel

247

werden rou . Die Richtung d agn tfelde e'n Elektron, das ich um ich elb t dreht, i t durch die eibe R hte-Hand-Regel mit einer Drehaeh e erknüpft. Da B durch eine ,handb deutet d ent eder ein ektorprodukt oder ein orientierte' Reg I be timmt wi d Rotor auftritt - ennl mall e einen Axial ektor. ektoren deren Richmng im Raum nicht von einer Bezugnahme auf r ht der links abhängt, heißen polare Vektoren. erhiebunoGe ehwindig eit, Kraft und E ind bei piel i polare Vektoren.) Physiklliisch beobachtbare Größ n im Elektromagneti mu ind jedoch nicht rechts- oder li, -) orientiert. Die le tr magneti ehen e helwirkungen sind piegel ymmetri ch ( iehe Kapitel 52, Bd. 1). erden magn ti ch äfte zwi ehen zwei Strom ternen berechnet 0 i t das Ergebni in ariant b i ertau ehen on recht und lin . n ere Gleichungen führen unabhängig von der Rechte-Hand-Kon ention, zu dem Endergebni da parallele Ströme einander anziehen und tröme mit emgegenge etzter Richtung einander ab toßen. (Versuchen Sie die Kraft mit Hilfe on Linke-Hand-Regeln zu b rechnen.) Eine Anziehung oder Ab toßung i t ein polarer Vektor. Das kommt daher dirbei der Be chreibung einer vollständigen Wechselwirkung die R ehre-Rand-Regel z eimal verwenden - einmal um Bau dem Strom herzuleiten, und dann ieder um die Kraft zu finden, die die e B auf einen zweiten Strom au übt. Zweimalige Anwenden d r Rechte-Hand-Regel bedeutet aber da eibe wie zweimalige Anwenden der ,,Linke-Rand-Regel'. ü ten wir alle un ere Konventionen in ein linkshändige System übertragen 0 würden alle B-Felder umgekehrt, aber alle Kräfte - und was vielleicht noch wichtiger i t, die beobachtbaren Be chleunigungen der Körper - blieben unverändert.

Obwohl Phy iker kürzlich zu ihr m Er taunen entdeckt haben, da s nicht immer alle aturge etze invariant bei piegelungen ind wei eo di Ge etze de Elektromagneti mu die e grundlegende S mmetrie auf.

14

Das Magnetfeld in Einzelfällen

14.1

Da Vektorpotential

In die em Kapitel führen wir un r Di ku IOn on agnet~ Idem fort. die tationären Strömen zugeordnet ind - da Thema der Maon to tatik. Da agnetfeld i t mit den elektriehen trömen durch un r grundleg nd n Glei hungen verknüpft V·R

c2 V

X

B

= 0, = !....

(1-+.])

(14.2)

Eo

Wir waUen nun die e Gleichung n mathematisch auf eine allgemeine Wei e ]ö en, d. h .. ohne eine pezielle ymmetrie zu verlangen und ohne intuitive Raten. In der Elektro tatik haben wir ge ehen, das eine dir kte ,ethod gab. da F ld zu find n. enn die ürte all r elektri hen Ladungen bekannt waren: an b rechnet einfach da kalare Potential rp indem man ein Integral über die Ladungen bildet - wie in GI. (4.25). Sucht man dann das elektri ehe Feld, 0 erhält man e au den Ableitungen on 4;. Wir \ erden nun zeigen, da e eine ent prechende ethode zur Auffindung d agnetfelde B ibt, wenn wir die Stromdichte j aller be egten Ladungen kennen.

In der Elektro tatik haben wir ge ehen, da e mögli h ar (und z ar de halb. weil rot E immer null war), E al den Gradient n eine kalaren Felde l/J darzu tellen. un i I r tB nicht immer null, 0 da e im lIgemeinen nicht mögli hit B al inen Gradienten darzu tellen. Aber die Diver en 7 von Bit immer null. und da bedeutet, da wir B immer al Rotor eine anderen Vektorf Ide dar teilen könn n. Denn wie \ ir in b hnitt 2. ge ehen hab n. die Di ergenz eine Rotor i t imm r null. mit können wir immer B mit einem Feld, da \ ir A nennen wollen in Beziehung etzen durch

B

=V x

.

14. )

Oder durch Au chreib n d r

mpon nlen

:A: 8 y ), = 8y - a-' )

a_

A.\

ox· a, __ a =_.

,::: 8: -

(14.4)

X

: Schreiben wir B

8x

=V x A

V·B=V,(Vx

Das Feld A heißt da

0

ß)'

i t damit garantiert, da

)::: .

ektorpotential.

GI. (14.] erfüllt i t da nvang läufig

J4 Da \.1a l1etfeld in Ein~e/fiillen

250

Sie werden ich erinnern. da da kalare Potential dJ ni ht \'011 tändig dur h eine Definition be timmt war. Haben wir dJ für ein be timmte Problem gefunden, 0 önn n wir immer ein andere gleich gute Potential dl finden, wenn wir eine Kon tante addier n:

cP'

= cP c.

Das neue Potential ,p' liefert die eIben elektri chen Felder. da der Gradient VC null i t: dl und ,p teUen die eIbe Phy ik dar.

In ähnlicher Wei e können wir ver chiedene Vektorporentiale haben, die die elb n Maerhält. wir wied rum nicht Ph gnetfelder liefern. Weil man B durch Differentiation au ikali che geändert, wenn man eine Kon tante zu addiert. b r e gibt ogar no h m hr Spielraum für A. Wir können zu A jede Feld addieren, d d r Gradi nt ine wil1k:ürli hen kalaren Felde i t, ohne die Phy ik zu ändern. Das können ir auf folgende Wei e zeigen. ngenommen. wir haben ein A, das in irgendeiner wirkJichen ituation korrekt d agnetfeld B liefert: wir fragen un , umer welchen Bedingungen ein neue ektorpot nüal 'da eibe Feld B liefern würde. wenn man e in (14.3) ein erzt. A und A' mü en dann den eIben Rotor hab n:

B = V

X

A' = V x A.

Infolgede en i t

V X A' - V x A

= V X (A' -

A)

= O.

I t aber der Rotor eine Vektor null, 0 muss er der Gradient eine alaren Feld ein, beipiel wei e 1/1, 0 dass A' - A = Vrft. Wenn demnach A ein ektorpotential i t. d ein Problem löst, dann i t für jede rft

A'

=A

14.5)

VI/;

ein gleicherwei e zufrieden teIlende Vektorpotential, da zu dem elb n Feld B führt. Gewöhnlich i t e prakti cher, wenn man den "Spielraum" on dur h ine illkürli h ir e - oft - prakti b auferlegte andere Bedingung etwa erldeinert (in ähnli her ei e i gefunden haben das Potential cP 0 zu wählen, das e bei großen b länden nu II ird. ir können zum Bei piel A ein chränken, indem wir die Di ergenz \Ion illkürlich " ählen. Da i t immer möglich, ohne da B dadurch verändert wird und zwar de halb weil J und trotz gleichem Rotor und gleichem re ultierendem B nicht die gleiche Di rg nz haben mü en. Ta ächlich i t V· '= Tl . A + V-I/I und dur h eine angeme ene ahl von ifJ können wir V ·A' jeden ge ün hten ert geben. ie oUen wir V . A wählen? Die Wahl oll un die größtmöglich mathemati h B quemlicbkeit bieten und ie hängt von un erem jeweiligen Problem ab. Für die Ma neto rarik treff n wir die einfache Wahl

v. A = O. ( päter, wenn wir mit der Elektrodynamik b ginnen, ändern \ ir un re dige Definitionton i t dann vorläufig V x A = B und V . = O.

(14.6

ahl.)

tUn ere Definition be timmt A noch immer nicht eindeutig. Für eine eindeutige Be timmung mü ten wir au h etwas darüber agen, wie das Feld A ich an einem Rand oder in großen Ab länden erhält. an hmal i I zum Bei piel bequem, ein Feld zu wählen, da in großen Ab länden null wird.

/4.1 Das Veklorpolenliaf

251

Um un mit dem klOrp tential v rtraut zu ma h n unte uchen wir zuer r, wi e für ein homo en gn tf Id B o u i hL Leg n wir un ere -- hein die Ri hlung yon B o- 0 erhalten \! ie B:c =

B

)

B

ach

_~=

A: y

a~

=ax_~=O 8: x . 'Al 8 -'--(-B

= x

y -

o·

rprüfen t II n

ir f

Ax

= 0,

Wir könnten eben

0

14.7)

I,

da

eine mö Ii lt Lö ung dieser Gleichungen lautet

. = O.

gut nehm n y

'. = O.

= O.

och eine andere Lö ung i teine Linearkombinati n der beiden: A

:c

= _l}'B 2· o'

B A .I -- 1 2 x o'

A.

= O.

(14. )

Es i I klar, da

für j de b timmle Feld B da Vektorpotential A ni ht eindeutig i t; e gibt viele Möglichkeiten.

Die drilte Lö ung GI. (14.8 hat einige intere anl Eigen chaften. Da die x-Komponente proportional - und di y-Komponente proportional +x i t, mu A enkre hr zum b land ekror von der - h e ein, den ie r' nennen der trich bei r oll un daran erinnern, das nicht die Vekto er chiebung v mir prung i t). Außerdem i t der Betrag on A proportional zu ~~ + werden al

>2 und folglich zu r'. A

kann daher (für un er homog ne Feld) einfach ge chrieben

14.9) Da Vektorpotential A hat den Betrag Bor' / - und rotiert um die:- eh e, wie da in Fig. 14.1 gezeigt i t. I tb i piel ei e da B-Feld da axiale Feld im Innern einer Spule, 0 zirk.ruliert da Vekrorpotential in der elb n R:i htun ie der tram in der Spule. Man kann da ektorp lential ine homog nen Felde auch auf eine andere ei e erhalten. Die Zirkulation on A um ein g hlo TI Kur r kann mit Hilfe de Stake ehen Satze , Gi. 3.38 mit dem Flä h nint ral on V x erknüpft werden:

1i.

A .d

=

f

(V x A) . n da.

(14.10)

im lnnem v nr

Aber das Integral auf der rechten eil i t gJ ich d m Flu

on B dur h die von der Kurve

J

--+---_+_-~-_+_--_+- __

x

Fig. 14.1: Ein homogene agnelfeld B in d r --Ri hlUng ent pricht einem eklorpolentjaJ . d um di :;:- eh e rotiert: ein Betrag i tA :;:; Br'/ _ (r' i (d r b t nd von der:;:- chse).

gebildete Schleife,

$.A.dS=

0

da

I

14.11 )

B·nda.

im Innem von r

Somit i t die Zirkulation von um jede beliebige chi ife gleich d m Flu von B dur h die chleife. Wählen wir eine krei förmig chleife mit Radiu r in ein rEn . die nkrecht zu einem homogenen Feld B liegt, 0 beträgt der Flu

Wählen wir den Ur prung auf d r ymrnerrieach , abhängig annehmen können, dann i t die Zirkulation

das

Ir

tangential und nur von r'

V ir erhaJten, wie zuvor.

=

Sr' 2

In dem eben gegebenen Bei piel haben wir da ektorpot ntiaJ au d rn agnetf Id ber hnet; nonnalerwei e macht man e umgekehrt. B i kompliziert n Probl men i t gewöhnli h einfacher. da ektorpotential zu b rechnen und dann darau dagn ~ Id bzul it n. Ir w Iden nun z igen, wie man da durchführt.

14.2 Da

ektorpote11lial bekall"T r tröme

Da

kt rp t ntial b. kannter Ströme Ir mb limmt i I, gilt da Ib für . ir w 1\ n nun rer grundlegenden GI i hun e (14.2):

al Funktion de

was natürlich b d uret, da

Die e Glei hung i t für die

agn I

tatik da , wa di Gleichung

für die Elektro tatik war. n ere Olei hung (14. [2) für da kt rpotential j I der für if> aufoe teilten agar noch tärker ähnlich \ enn wir Vx(V ) unI r erw ndung der ekt ridentität GI. (_. - ) um chreiben:

v x (V x ) =V( V·

) - V2 A.

Da wir be chla en hab n. da

=

V·

(l-t14)

= 0 und nun ehen ie, warum), wird au GI. (l4.1-)

j

.,. €oe

Die e Vekrorgt i hun

lellt in

irklichkeit drei Glei hunoen dar: (14.16)

Jede die r GI ichun en i t mathemati ch idenrisch mit

(l-U7

Alle wa ir über die Berechnung on POl ntialen b i b kanntem p gelernt haben, kann verwendet werden, um jed K mp n nt von zu b r hn n, wenn j bekannt i t! In Kapitel 4 hab n \ ir in allgern in Lö ung für die elektro tati ch Gleichung 14. L7 gefunden: c1J(1)

= _1411"

f

p(2 d rJ2

2

254

14 Da

a netjeld in Ein-elfällen

Darau ersehen wir ofort eine allgemeine Lö ung für A.r

14.1

und ent preehend für A) und A~. (Figur 14.2 wird ie an un ere .. bereinkünfte für erinnern.) Wir können die drei Lö ung n in Vektorfonn zu ammenfa en (1)

= _1_., 4

c-

f

j(2) dV~ _

TL

und d\/~

(14.19)

rL

enn Sie oBen, können ie durch direkte Differentiation der Komponenten ieher teilen. das die e Integral für A wirklich V . A = 0 erfüllt, ofem V . j = O. erfahrung gemäß für tationäre Ströme der Fall ein mu .)

Fig. 14.2: 0 ektorpotemial am Punkt 1 i t durch ein Integral über die tromelemente j dV an allen Punkten 2 gegeben.

Wir verfügen Dun über eine allgemeine ethode zur Bere hnung d r agn [felder von tationären Strömen. Das Prinzip i t: die x-Komponente de ekrorpoten!ial. da von iner tromdichte j verursa ht wird. i t identi ch mit dem elektri ehen Potential dJ. da on einer Ladung dichte p gleich ix/Cl erzeugt würde - da Gleiche gilt rur die y- und --Komp n nten. (Die Prinzip trifft nur für Komponenten in fe ten Richtungen zu. Die ..Radial ompon nre" on hängt zum Bei pie! nicht in der gleichen Wei e mit der. Radialkomponente" on j zu ammen. Au der vektoriellen Stromdichte j können wir dann unter erw ndung on GI. (14.19 berechnen - d. h., wir finden jede Komponente on , indem wir drei g da hte lektr tati he Probleme für die Ladung erteiJungenPI = ix/c2, P2 = i/c- undp3 == j/c-lö n. irerhalten dann B. indem wir ver ehiedene Ableitungen on bilden. um zu V x zu gelangen. E i t etwa chwieriger al in der Elektro tatik, aber die Idee i t die Jbe. Y. ran hauli h n wir nun die Theorie. indem wir in einigen peziellen Fällen na h dem ektorp t nlial auflö n.

14.3

Ein gerader Draht

Al un er te Bei piel wollen wir wied r da F ld in grad nD ht bere hn n - in Problem, d \\ir im letzten Kapitel mit Hilfe von GI. (14.2) und einigen ymm trieef\ äoun en gelö t haben. Ir nehmen ein n langen geraden Draht mit dem Radiu a, der ein n tationär n Strom I führt. Im Gegen atz zur Ladung ein Leiter im elektro tati eh n Fall i tein t tionär r Strom in einem Draht glei hrnäßig über d n Quer chnilt d Drahte neilt. ähl n wir un r

14.3 Ein gerader Draht

Fig. 14.3: Ein lang r z Iinderförmiger Draht entlang der z-Ach e mit einer homogenen lromdichte j.

Koordinaten wie in Fio. 14.3, Betrag i t

0

hat der eklor j der Stromdi hte nur eine z-Komponente. Sein

. I J-= -.,

(14.20)

na-

im Innern de Drahte und null au erhalb. Da jx und j)' beide null ind erhalten wir ofort Ax

= 0,

Um A z zu erhalten, könn n \! ir un ere Lö ung erw nden die ir für das elektro tati che Potential qJ eine Drahte mit einer homogenen Ladung dichte p = jjc 2 gefunden haben. Für Punkte außerhalb eine un ndlich langen g Jadenen Zylinder i t da ~ elektro tati ehe Pouential

A

I

qJ= - - Inr, 2rr

wobei r = ~ Xl + rund A di Ladung pro Längeneinheit rra 2p dar tellt. Daher mu A;: für Punkte auß rh Ib ein langen Drahte . in dem ein homogener Strom fließt folgende Form haben

Az = Da lfa 2 jz == I, können wir da auch in der Form chreiben

A == z

I I ? In r. 2iTEoC

(14.21)

14 Da \.1a nerfeld in Eill:elfällen

256

Wir können nun Bau (14.4) herleiten. erhalten

J

()

= ---, -Inr = 2 c ay

B\.

=

I

a ax

,-ln r

2rr C

I

I

Br

I

=

ur zwei der ech

bleitung n ind ni ht null.

Ir

y

- - - ? ---",

27fEoC r' -

J

x

- - ? ---",

27f c- r'-

I~.-

)

ir erhaJren da eIbe Re uhat wie zuvor: B rotiert um den Draht und ein Betrag i t

I 21 B= - - , J ' 4JT C r

14.4

Ein langes Solenoid

Al

äch te betra hten wir wieder die unendlich lang pule, dur h d ren Oberflä he ein Krei trom läuft. der pro Längeneinheit nl beträgt. ( ir teilen un vor. da d r Draht" indungen pro Längeneinheit bilder und dabei einen tfom I führt; wir em hlä ig n d.ie leichte eigung der Windung.) So wie wir eine ..F1ächenladung dichte" er definiert haben. definier n wir hier eine .,Flähen tromdichre" J. die gleich dem Strom pro Längeneinheit auf der Spulenob rflä he i t natürlich ni ht andere al der ittelwert von j mal der Di k de dünn n Drahte i t, der die indung bildet). Der Betrag von J i t hier nl. Der Oberfläch n tram ieh Fig. 14.4 hat di Komponenten:

Jr

= -J

in dJ.

un mü en wir A für eine 01 he tromveneilung berechn n.

,.

Fig. 14.4: Ein lange oJenoid mit einer Flä herr tromdi hte J.

14.4 Ein lange

olenoid

Zunä h t wollen ir .f für Punkte außerhalb der pule berechn n. Da Re uhat i t da ie für da I ktr LLi he POL ntial uß rhalb ine Z linder mit einer Flä henladung (J"

=

(J"o

lbe

in $,

wobei 0-0 = J / 2. in I h Ladung \' rteilung haben \ ir bi her no h nicht berechnet, aber wir haben et\' as .. hnli h g lan. Di e Ladung vert ilung i t äqui al nL zu der on zwei \'Ollen geladen n Z lind m, von denen d r eine po iLi . der andere n gati geladen i t, wobei ihre Ach en geringfüeig in der y-Richtung ver chob n ind. Da Potential eine 01 hen Zylinderpaar i t pr p rti nal zur bl iLung de Potential ein einzelnen homogen geladenen Z linder nach.'. ir könnten di Pr p rtionalität kon tante berechnen. aber darum kiimmem wir un im ugenblick nicht. Da P Lential eine i t dann BIn r' B}

e

ladenen Z linder. i. Lpr p rti nal zu [n r'o da Potential de Paare

)' r'-

$OC - - =~.

Folglich wi en wir, da )'

Ax

= -K r 12'

(14.2 )

wobei Keine Kon lante i t. Die eIben Überlegungen ergeben A).

x

= K ---;'). r-

Obwohl wir früher ge agl hab n, da e außerhalb der pule kein Magnerfeld gibt. teilen \ ir nun Fe t, da ein -Feld eibt, da um die -- h e zirkuliert, wie in Fia. 14.4. E fragt ich: i tein R tor null? Offen ichtli h ind B), und B., null und 8, = -B (.K lX) ' • 8x r' -

a (-K -=-:;-" ) = KI(17i - U -

- -

8y

r'-

omir i t d agn tfeld auß rh Ib lne Ve torpotential nicht er chwindet.

r-

,A

I

+1

,.'-

-l)

- -'-

,.14

= O.

hr langen olenoid tat ächlich nulL obwohl da

I

ir können un er R ultat dur h inen ergl ich mit tw ander m Bekannten üb rprüfen: Die Zirkulation de ktorpot mial um die pule mu gleich d m Flu von B im Inneren der Windung (GI. 14.11 in. Die Zirkulation i tA·21rr'unddaA = Kir' i t ie2nK.Bea hten Sie da ie unabhängig on ,J i t. Da mu au hain \ enn e kein B auß rhalb gibt, denn der Au i t gleich dem B tr g nB im lnnern der pul malna 2. Da elb gilt für alle Krei e mit Radiu ,J > a. Im letzL n Kapil 1 haben wir f tg teilt, da da F ld im lnnern nllEue2 i t; mit könn n wir di Kon Lante K be timmen: 21rK

nl = na 2 -'),

c

25

14 Da

a neifeld in EiJl::.eljällen

oder

Da Vektorpotential außerhalb hat dann den Betrag

(l-t27)

und i t immer enkrecht zum

ektor

r.

Wir haben eine pulenförmige Drahtwindung betracht t. aber \ ir önnten die lb n F 1der erzeugen, wenn wir einen langen Zylinder mit einer elektro tau hen Oberftä hen1adung rotieren ließen. enn ir eine dünne zylinderförmige h.i ht mit d m Radiu a und der Rächenladung er rotieren la en, 0 ent teht ein Oberftä hen trom J = O""\', wobei v = aw die Ge chwindigkeit der Flächenladung i 1. Im Innem de Zylinder gibt e dann ein lagnetfeld B = eraw/E,jc-.

Wir können nun eine intere ante Frage tellen. Angenommen. wir bring n ein kurze tück Draht W enkrecht zur Achse de Zylinder an. da on der ch e bi zur Ob rftäch r i ht und an dem Zylinder befe tigt i t, 0 das e mit ihm rotiert, wie in Fig. 14.5. Die er Draht b gt ich in einem agnetfeld, 0 das die v x B-Kräfte bewirken, da die Enden de Drahte ufgeladen werden ie laden ich auf, bi da von den Ladungen erzeugte -Feld die \' x B-Kraft au gleicht). Hat der Zylinder eine po itive Ladung, 0 ei t da Drahtende an der h in negative Ladung auf. Durch Me en der Ladung arn Drahtende k"nnten " ir die Rotation gechwindigkeit de tern me en. Wir hätten ein ,Winkelge h indigkeit -Me in trum nr !

w

, ...

,,

Fig. 14.5: Ein rotierend r g ladener Zylinder !Zeugt in einem fnnem ein agnet~ Id. Ein kurz r radialer Draht, der mit dem Zylind r roti rt, w i t L dung n auf, die an in n Enden induziert werden.

259

Aber iellei ht fragen i i h:,. as ge chieht, enn ihmich elb t in da Bezug ytem de rotierenden Z linder t ]Je? E gibt dann einfach einen geladenen Zylinder. der i h in Ruhe befindet. und i h weiß, da die elektro tati hen GI i hungen agen, d e keine elektri chen eid r im Innern gibt und mit auch eine Kraft, die die Ladungen zum Mittelpunkt treibt. E mu I twa [al hein." b re i t nicht fal h. E gibt keine ,.Relativität der Rotation". in roli r nd y tem i t kein In nial tem und die Ge etze der Phy ik ind ander. ir mü en un rgewi em. d \ ir die Gleichungen der Elektro tatik nur in lnertial y ternen erw nden. wär h"n, \ enn ir di ab lut Rotation der Erd mit olch einem geladenen Z linder me en könnten ab r leider i t d r Effekt i Lzu klein, um elb t mit den fein ten In trurnenten die wir heute zur erfügung hab n, g me en zu [den.

Da Feld einer kleinen Schleife' der magneti che Dipol

14.5

erwenden ir die ethod de ektorpotential um da Magnetfeld einer kleinen StrornscWeife zu finden. ie ge "hnli h vollen wir mit klein" au drücken da wir un nur für die Felder in großen b tänden im ergleich mit den Abme ungen der Schleife intere ieren. E wird ich herau telLen. da jede kleine chI ife ein, magneti eher Dipol" i t. Da heißt, ie erzeugt ein Ma nerfeld da ergleichbar mit dem elektri ehen Feld eine elektri ehen Dipol i 1. p

R y

x

f----

a

----I

Fig.. 14.6: Eine rechteckige Draht chleife, durch die ein tr m I fließt. Je groß i t das . agn tfeld an der teile P? R» a oder b.)

Wir betrachten zuer t ine r hte kig hl ife und wählen un ere Koordinaten wie in Fig. 14.6. fließ n k ine tröm in d r -Ri htung, da A_ null i t. E gibt Ströme in der x-Richtung auf den b id n it n mit der Länge a. In j dem Arm i t die tromdjcht (und der trom h mog n. Damit i t die Lö ung für Ax idemi h mit dem elektro tati ehen Potential von zwei geladenen täb n i h ig. 14.7). Da die Stäbe entgegenge etzte Ladungen haben i t ihr elektri eh P tential in groß n b länden genau da Dip Ipotential Ab ehnirt 6. - . Im Punkt P in ig. 14.6 i t d Pot nlial (14.28)

r

_60

/4 Da

I

I

x

I

I

a

I

!

Ja nerfeld in Ein-eljäl/en

I

b,' (

«

j

t I

I

I

!,!!!

Fig. 14.7: Die Verteilung von j{ in der trom chleife von Fig. 14.6.

}:r--

wobei p da Dipolmoment der Ladungsverteilung i t. Da Dipolmoment irin die em FaJl die Ge amtladung auf einem Stab mal dem Ab tand ziehen beiden täben: p

14. 9

= Aab.

Da Dipolmoment zeigt in die negative y-Richtung, 0 da der Ko inu d Rund p glei h - .vlR i t (wobei y die Koordinate on P i t). omit j t

inkel z\ i ehen

1 Mb r 4rrEo R'1 R'

c/J=--_:""

Wir erhalten A.t" indem wir einfach iI. durch 11 c'1 er etzen: Ar .

lab

v

(14. 0)

=---,....:...,· 4rr eR

jr der eiben Überlegung i r Al .

lab

x

= ---,-. 4rr c- R3

(14. I

ekrorpot oti ] im Wiederum i r A y proportional zu x und Ax proportional zu - y 0 d da Krei um die --Äch e zirkuliert, wobei e den eIben mlauf ion wie / in der chi i~ hat. ieh

Eg. I-L .

/

x

Fig. 14.8: Da ekt rpotemial ein r kJein n troms hl ife am r prung (in der X)'-Ebene); ein magn ti he Dipolf Id.

14.5 Das Feld eiTler kleinen

Di tärke on i t pr p nional zu lab. dem Pr dukt de trom und de Flä heninhalts Pr dukt heißl da magnet; he Dipolmoment (oder oft einfach da ,.magder chleife. Di neti che Mam nt" d r hleiD. ir teilen e dur h J1 dar: j1

= lab.

14.32)

Da Vektorpotemial in r kleinen benen chleif \'on beliebiger G talt (Krei, Dreieck u \ .) i t ebenfall durch die Gin. (14. und (14.31) gegeb n. vorau ge elZt. ir er elzen lab durch j1

= I·

Flä h ninhalt der chleife).

Der Bewei hierfür ei rhn n üb rla

(14.33)

n.

Wir können un ere Glei hung in ekt rform chreiben, wenn wir die Ri hlung de ektor orma]e zur Ebene der chleife definier n und der R chte-Hand-Regel einen positj en mlauf inn zuordnen (Fig. 14. . Dann können wir chreib n

J.1 al die

14.34) Wir mü en noch B berechnen. zu ammen mit (14.4

(wobei

nter erwendung on (14.33) und (14.34) erhalten wir

ir mit ... j1/47f c 2 meinen), B) = :_ (-

BI =

~~ ) = .. , ~'-,

:x ( ;3)-:'(_... ~~ )

(14.36)

Die Kamp nenten de B-Felde erhalt n ich genau wie di de E-Felde eine Dipol. der in Richtung der::- ch e zeigt. (iehe In. (6.14) und (6.15)' eben 0 Fig. 6.5.) Darum nennen ort "Dipol' i t· twas in'eführend, wenn e wir die chleife einen magneti chen Dip I. Da auf ein Magnetfeld ange andt \I ird, denn e gibt keine magneti ehen "Pole", die elektri ehen Ladungen ent prechen. Da magneti he ,Dipol~ Id" wird ni ht on zwei .Ladung n" erzeugt, ondern' on einer elementaren tr m hl jf . E ist jedoch er Launli h d \ ir mit öllig anderen Ge etzen V· E = pi EO und V x B = j/Eoc2, b ginnen und hli ßli h zu der o-Ieichen Art on Feld komm n. Warum i t da o? eil die Dipolfeld r nur auftret n nn wir eit weg on allen Ladungen und Strömen ind. Für den größten Teil de hier inter ier oden Raume gilt daher, da die Gleichungen für E und

s

262

14 Da

B identi eh ind: beide haben die Divergenz nuH und den Rotor null. i haben a1 0 die eIben Lö uogen. Aber die Quellen, deren Anordnung wir durch die Dipolmom nte zu arnm nIas en, ind phy ikali h ehr verschieden - in einem Fall handelt e ich um inen Kr i trom' im anderen Fall um ein Ladung paar, wob i ich ein Partner oberhalb und der an ere unterhalb der Ebene der S hIeife für das ent prechende Feld befindet.

Da Vektorpotential eine

14.6

tromkrei e

Wir intere ieren un oft für Magnetfelder, die von Stromkrei n a Drähten erz ugt rden, bei denen der Durchme er de Drahte ehr klein im erg! i h zu en bme ungen d ganzen Sy tern i r. In oIehen Fällen können wir die Gleichungen für das agn ~ Idereinfachen. Für einen dünnen Draht können wir un er Volumenelemen in der Fonn

dV =Sd chreiben wobei S die Quer chnin fläche de Drahte und ds das Längenelement entlang d Drahte i 1. Da der ektor ds die eIbe Richtung wie j hat, Fig. 14.9 z igt e und da wir annehmen können das j über jeden vorgegebenen Que chnitt· on tant i t , können ir ine Vektorgleichung in foLgender Fonn an etzen: jdV

= jSds.

(14.37)

jS i t aber nichts andere al der Strom I in einem Draht und de halb da Vektorpotential (14.19) zu A(I)

=.

1 ? 41l'EoC"

f

ird un er lnt gral für

Ids 2

(14.

)

r 12

( iehe Fig. 14.10). ir nehmen an da I im ge amten Str mk:rei glei hit. Gibt e mehr re Zweige mit erschiedenen Strömen, 0 mü en wir natürlich für jeden Z eig d ntspr h nd I verwenden.)

Fig.14.9: In einem dünnen Draht i t j dV dasseJbe wie 1 ds.

rtagn l~ Id eil} Draht ';:mn man durch Integration ü r d n tromkrei rha1t n.

Fig. 14.10: D

Auch hier können wir wieder die Felder au (14.38 berechn ., 'odem wir nr integrieren oder die ent prechenden elektro tati ehen Problem lö en.

d r direk"l

14.7 Das Ge er

14.7

Bio! und

011

al'art

Da G

on Bio und Saart h n d man d elektri ehe Feld einer bekannten LaGI. 4.16 dire t erhalten kann:

Erfahrung gemäß i t m hr b i die In., aral au zuwert n - in Wrrldichkei ind e drei Integrale eine für jede omponenl - aJ d ent prech nde für das Potential zu berechnen und eine Gradienten ZlJ bilden. tegral d d Magnetfeld mit den trömen erknüpft. lf haben E gibt ein ähnliche berei einlntegraJfür .Gl. 14.19 rhalten' inIntegralfürB önnen irerhalten,ennwir aufbeiden Seiten den Rot r bilden: B(l) =V x

(1) = V

x[

1 2

41l'EoC

f

j(2?dV2 ]

(14.39)

,

'12

Jetzt mü en wir vo ichti in: D r Rotor-Op rator bedeutet da man die Ableitungen on A(l) bildet und das heißt, d er nur auf die Koordinaten (xl' \' z\) wirkt. Wrr können den VxOperator unter das Integralzeichen ziehen wenn wir daran d nken, d er nur auf die ariablen mit dem unteren [nde I irkt und die e kommen natürlich nur in (14.40)

vor. Für die x-Komponente on B erhalten ir BAZ B = _

BA)'

__

B\

x

=

41l'

I

8:\ 2 C

f [j. .!- (_1)- j.~a (~)] J[. )I- '2 . 1- 2] ~ 8)\

1 2 =- 41CEoC

J:

T I2

,

1\2

j

X '12

ri2

=

X

- ly,

712

r l2

dV2

dV2 '

el 2

12 '

Die Re ultate für di ander n Kompon nten ind en pr chend.

B(l)

=

(14.41)

gati e d r x-Kompon nte on

Die Größe in Klamm rn i t d

j

I

1 2

41l'EoC

f

je ) x e 12 dV2 •

ri2

0

d (14.42)

14 Da Wa netfe.ld in Ein-:-elfälle n

264

Das Integral liefen B direkt in Termen der bekannten tröm. Die erforderli h G omerri i t die eIbe wie die in Fig. 14.2. Kommen die Ströme nur in Schaltkrei en au dünne Drähten or, 0 önn n

ds das Längenelement de Drahte i

1.

ir.

Mit Verwendung der ymbol 4.4

(Das Min zeichen tritt auf weil wir die Reihenfolge de e 'torproduk umgekehrt hab n.) Die e Gleichung für B heißt nach ihren Entdeckern das Gesetz von BiOl [md a 'art. E gibt un eine Formel, mit der wir direkt da Magnetfeld erhalten das von tr m 'h~ nden Drähten erzeugt ird. Sie könnten fragen: Welchen Voneil hat da ektorpotential. wenn wir B dir k1 mit einem ektorintegral berechnen können? Schließlich nthält au h drei Integrale.' egen de Vektorprodukts ind die Integrale für B gewöhnlich komplizjener, wie an GI. 14.41) deutlich wird. Da außerdem die Integrale für A die eIben wie in der Elektro tatik ind. ennen wir ie ielJeicht chon. Und cbließlich werden wir eben, das da ektorpotential in b ierigeren tbeoreti ehen Gebieten eine wichtige Rolle pielt in der Relati itä theorie, b i an pro h vollen Formulierungen der Ge etze der Mechanik, wie dem Prinzip der klei ten irkung d wir päter di kutieren werden und in der Quantenmechanik).

5

Da Ve orpotential

15.1

Auf ine trom chleife au geübte Kräfte" nergl eine Dipol

Im origen Kapitel hab n \ ir d agn ro ld unter ucht, d on einer kleinen rechteckigen StromschJeife erzeugt ird. lf hab n gefunden das e ein Dipolfeld i t, de en Dipolmoment durch J1.

= JA

(15.1)

gegeben i t, wobei I der trom und A d r Aächeninhalt der Schleife i t. Die Richtung de Momente i t nonnal zur Eb ne der chleife 0 da wir auch ehTeiben können Jl

= fAn,

wobei n der Einheits

ktor [lonnal zur F äche Ai L

Eine Strom chleife - drein magneti ch r Dipol - erzeugt nicht nur Maonetfelder, ondem ie pürt auch Kräfte \ enn i in da Magnetfeld on anderen trömen gebracht ird. Wir unter cheiden zu t die Kräfte die in einem homogenen Magnetfeld auf eine re htec .oe Schleife wirken. Die -Ach e liege parall I zur Richtung de Felde und die Ebene der eWeife verlaufe durch die '-Ach e, obei ie mit der xy-Ebene den Winkel (} bilde wie da in Fig. 15.1 darge teIlt i t. Das magneti ehe oment der chleife - da normal zu ihrer Ebene i t - bildet dann mit dem Magnetf ld d n Wink 1().

Fig. 15.1: Eine re hteckig hleife die den Strom 1 fuhrt, liegt in einem homogenen Feld B (in d r z-Riehrung). D Drehmoment das u der hleife wirkt i t T = Jl x B, wobei das magneti eh Moment f.J lab i 1.

=

266

eklOrporentia/

Da die Ströme auf den gegenüberliegenden SeiLen in entg ceng tzter Ri hlUng fti ß n. ind auch die Kräfte entgegenge etzt gleich, 0 d keine Ge amlkraft uf die hleife irkt (wenn d Feld homogen i t). Wegen der Kräfte, die auf die b iden - in der Figur mit 1 und 2 markierten - Seiten wirken, gibt e jedoch ein Drehmoment. d di Tendenz hat. die chleife um die y- eh e zu drehen. Der Betrag die er Kräfte F, und F2 i t

Thr Kraftarm i

t

a in 8, folglich i t d T

Drehmoment

= IabB

in8

oder. da lab da magneti ehe Moment der T

= J1B

Schlei~

i I,

in 8.

Da Drehmoment kann in Vektor chreibwei e ge chrieben werd n: T

= J1 x

B.

Obwohl wir nur an einem ehr peziellen FaH gezeigt hab n. d d Drehmom nr dur h cW iGI. (15.2) gegeben i t, gilt da Re ultat, wie wir n h ehen \ rden. für eine kl in fe on beüebiger Ge talt. ie werden ich erinnern, da ir die eIbe on Relation für da auf einen elektri ehen Dipol au geübte Drehm ment gefund n hab n:

r=pxE. Fragen wir nun na h der mechani ehen Energie un erer tram hleife. Da e ein Dr hmoment gibt, hängt die Energie offen ichtlieh von der Ori ntierung ab. a h d m Prinzip d r da virtuellen Arbeit i I da Drehmoment die .. nderung rate der En r i mit d m inkel, WLf chreiben können

dU

= -rd8.

etzen wir T

U

=-J1B

= -J1B co

in 8 und integrieren,

0

erhalt n

ir für di En rgie

8 + eine Kon tante.

om nt in Feldri htun au(Das orzeichen i t negativ, weil da Drehmoment er ucht. d zuri hten; die Energie i t am niedrig ten, wenn 11 und B paraJl lind.)

Au Gründen di \ ir päler di kuti r n erden. i t di e Energie /licht die Ge amlenero-ie einer tram chleife. (In be nder h ben wir die nergi nicht b rüeksiehtigt, die notwendig i t. um den tram in d r hlei~ aufr htzu rhallen.) ir n nnen di e Energie daher Umech ' um un daran zu rinn m. d j nur in ~ il der ganzen Energie i t. Da wir owie 0 einen Teil der Energie wegl n.k··nn n iraußerdemdi Im grati n kon tante in GI. (l5."I) gleich null etzen. Wir hreib n di GI i hung dah r in der Fonn:

Um

h

= -J1. B.

(15.4)

Auch hier ent pri ht ie un er m Ergebni für einen el ktri eh n Dipol:

U

= -p·E.

(1- .5)

Die elektro tali he Energie in GI. (15.5 i t nun die irkliche Energie, während Urnech in 15.4) da nicht i t. an kaJ1n ie j d h na h dem Prinzip der irtuellen Arbeit zur Berechnung von Kräften ver nd n, enn man annimmt, da der trom in der Schleife - oder zuminde t jl. - kon tant gehalten ird. Für un ere rechte kige chleife könn n wir zeigen, da s Umech au h der mechani chen Arbeit eo prichl die gel i tet wird. enn di S hl i~ in das FeLd gebracht wird. Die Ge amtkraft auf die chleife i t nur in einem homogenen Feld null· in einem inhomoo-enen Feld gibt e Geamtkräfte, die auf eine trom chi ife .. irken. Al wir die S hl ife in einen Bereich mit einern Feld brachten, mü en ir an Orten· orbeigekommen in, an denen das Feld nicht homogen war und wo daher Arb it gelei tet urde.· m die Re hnungen zu ereinfachen, teilen wir un vor, da die pule in d F Id ebracht wird während ihr Moment in Feldrichtung zei!Yt. (Sobald die Schleife an Ort und t He i L, kann i durch Drehen in ihr endgültige Lage gebracht werden.) Stellen wir un vor, wir wollen di chi if in der x-Richtung bewegen - in den Bereich eine tärkeren Felde hinein - und die Schleif ei wie in Fig. 15.2 au gerichtet. Wir beginnen an einer Stelle 0 d Feld null i t und integrieren die Kraft mal dem Ab tand, während wir die Schleife in da Feld bringen.

B

Fig. 15.2: Eine Schleife wird entlang der xRichtun o durch da Feld B tran portiert, das Donnal zu x i t.

Berechnen ir zuer l die Arbeit einz In, die auf jeder eite gel i tet ird und bilden dann die umme an tan die Kräfte zu addier n und danach zu inte rieren). Die Kräfte auf den Seiten

J - Da Vektorporential

268

3 und 4 wirken normal zur Bewegung richtung. d k in rbeil oeg n i e I i I t wird. Die Kraft auf Seite 2 i t IbB(x) in der x-Richtung. m die it zu rhall n. di gegen di magneti ehen Kräfte gelei tet wird, mü en wir i n irgend in m x. w da' F ld null i t. bei piel wei e von x = -00 na h X·}t einer augenblickJi h n Lage im gri r n:

W:~

=-

I, F dx = -rb fX' B(x) dx.

L

2

-00

-00

Ent prechend i t die Arbeit. die gegen die Kräfte auf eile I g lei t t wird

m jede der InregraJe zu berechnen, mü en wir wi n. wie B(x) "on x abhängt. ber beachten Sie. da die Seite 1 der eile 2 genau folgt, 0 da das Integral den größten Teil der an der Seite 2 gelei teten Arbeit enthält. Tat ächlich i t die umm v n (l .6) und (I -.7) g nau

VV

= -lb

f:',

~'

1 . )

B(x)dx.

ind wir aber in einem Berei h, wo B auf den Seiten 1 und _ nah zu gl das Integral in der Form chreiben.

hit.

wobei B da Feld im itrelpunkt der chleife i t. Die ge amt m hineinge leckt haben i t

h

Um

h

hani

0

könn n

WLf

nergl. die wir

= W = -iabB = -IlB.

1-.9

Die e Re ultat timmt mit der Energie üb rein die

ir für GI. I A)

nützt h

n.

Wir hätten natürlich da eibe Re u]tat erhalten, wenn wir e t di auf die hlei e au g übten Kräfte addien und dann integriert hätten, um die Arbeit zu find n. ei BI d Feld an d r Seite I und B2 da Feld an der eite 2; die Ge amtkraft in der x-Richtun i t dann

enn die chJeife ,Juein" i t, da heißt, wenn hreiben

aB

aB

-ax tu = BI + -a. Bx

BI

und B2 ni ht zu ,'er hi d n ind. könn n wir

=

269

15.2 Mechal1i he und eiekrri eh Ellergie

Die Kraft i t daher Fx

aB

= Jab- . rb il. di von äußeren Kräft n an der

Die ge amte -

1 .10)

ax

I

x

Frdx

hl ife belei tet \ ird, i t

= -lab JaB -. dx = -labB, x

-w

was wiederum gleich -jJ.B i t. ur hen \ ir jetzt, arum die Kraft auf eine kleine Strom ehleiagn tfelde i t, wie wir da au fe proportional zur bleitung d Fil l

= -6,

rn h

=

(- jJ . B)

(r.ll

erwarten. n er Re ultat i t dann da folgend: b\ ohI Urne h = -J1' B ni ht alle Energie eine S tem enthält - e hand Ir i h um ine unechle Energie - kann man die e trotzdem er enden. um mit dem Prinzip der virtuellen rbeil die Kräfte auf tationäre Strom ehleifen zu finden.

5.2

Mechani ehe und elektri ehe Energie

Wir . ollen nun z igen. arum die Energie Urne h' die wir im orhergehenden Ab ehnitt di kuriert haben nicht die ri htige zu tationär n trömen gehörige Energie i t - das ie nicht der ge amten En rgie in dreh Rechnung trägt. ir haben tatsächlich betont, da ie wie die Energie dazu verw ndet \l rden kann, um mü d m Prinzip der irtuellen Arbeit Kräfte zu berechnen, vorau ge err, da der trom in der SchI ife (und alle anderen Ströme) ich nicht ändern. ehen wir warum da alle timmt. Stellen wir un or, d di chlei~ in Fig. 15.2 i h in der +x-Richrung bewegt, und legen wir die z- eh e in die Richtung n B. Die Leitung elektronen in Seite 2 püren eine Kraft entlang de Drahte in dry-Richtung. ber aufgrund ihrer Strömung - ie ein elektri eher trom -liegt eine Komp nente ihrer Be egung in der eIben Richtung wie die Kraft. An jedem Elektron ird d her pr Zeiteinheit di Arbeit F"v\, gelei t t, ob i \ \' die Ge eh indigkei komponente de EI ktr n in Richtung de Drahte i L ir n nnen die Arbeit, die an den Elektronen gelei tet \! ird. di elek/ri ehe beil. Bewegt ich nun die Schleife in einem homogenen Feld, 0 zeigt i h, da di amt elektri he Arbeit null i t weil in einigen Teilen der Schleife po ili e Arb it und in and ren Teilen ein gleicher Betrag an negativ r Arbeit gelei tet ird. Da i t ab r ni ht drall. enn der tromkrei i h in ein m inhomogenen Feld bewegt - dann gibt eine g amt Arb it, die an d n lektronen gelei tet wird. Im Allgemeinen hat die e Arb it die 1} nd nz, di trömung der Elektronen zu erändern; wenn ab r der mu n rgi on in r Batterie oder ein r anderen Quelle. trom kon tant gehalten ird. die den trom tationär hält, aufgenomm n d r abg g b n erden. Die Energie haben ir nicht b rüc i htigl 1 ir mech in GI. 15.9 b re hneten weil un ere Rechnung n nur die mechani ehen Kräfte auf den Draht eiob zen.

1- Da VektorpoTential

Sie önnten denk n: ber die Kraft auf die lektr nen hängt d h davon ab. wi chnell der Draht bewegt wird: vielleicht kann die e elektri eh Energie yema hUi igt werden. " enn der Draht genügend lang am bewegt wird. E timmt, da die pro ZeiteinheiT abg gben elektri che Energie proportional der Ge chwindigkeit de Draht i t. aber di e am/e abg gebene Energie i tauch proponional der Zeit, die der Vorgang dau Tl. omü i t die ge amte el km h Energie proponional der Ge chwindigkeit mal der Zeit. weinfach die zum kgel gt tr k i l. ird eine vorgegebene fe te Strecke in einem Feld zurückg le l O wird imm r d r Ib Betrag an elektri cher Arbeit gelei tel. Betrachten wir nun einen Ab chnitt de Drahte mit der Länge in. drein n tr m 1 fUhrt und i h in einer normal zu ieh elb t und zu einem Magn tfeld B liegend n Ri htung mit der Ge chwindigkeit vDra11l bewegt. Aufgrund de tr m haben die Elektronen eine Driftgeeh\ indigkeit V Dnft entlang de Drahte . Die Komponente der magneti hen Kraft. die auf jede Elektron in der Richtung der Drift wirkt, i t qevDrahlB. Daher i t die Rate. mit der el ktri he Arbeit gelei tet wird, FV Drifl = (qevOrahIB)vDnft. iod Leitung elektronen pro Läng neinh it de Drahte orhanden. 0 beträgt die Ge arntrate mit der elektri che Ibeil gelei tet wird.

Aber

qevDrift

= I. dem

trom im Draht,

0

da

Da der Strom kon tant gehalten wird, v rur achen die auf die Leitung elektronen wirk nd n Kräfte keine Be chleunigung; die elektri che nergi . . ird ni ht auf die ElektIOnen üb mag n. ondern auf die Quelle. die den Strom kon tant hält.

IBVDroht außerd m Beachten wir aber. das di auf d n Draht wirkend Kraft IBit. 0 d die Rate der am Draht gelei teten mechanischen Arbeit i t, d mech/ dT = 1B\'Dr.1hI' ir hließe~ darau , d die am Draht gelei tele mechani che Arbeit genau gleich d r I ktri h n Arb It i t. die an der tromquelle gelei tet wird, 0 das die Energie d r hleife eine Kon tal1l i t. Die i t kein Zufall. ondem eine Folge eine Ge erze, d arntkraft auf jede Ladung im Draht i t

wir b reit kennen. Di G-

F = q( E + v x B).

Die Rate mit der Arbeit gelei tet wird, i t v.F

=q[ V • E + V . (v x B)].

1 . L..)

iod keine eIe tri ehen Felder vorhanden, 0 bleibt nur d r z.., it Term. d r imm r null i r. Später erden ir ehen, da veränderliche agnet~ Ider eIe tri h F Ider erz u n. da un ere .. erlegung nur für bewegt Drähte in tationäIen agnetfeldem gilt. ie kommt e dann da un da Prinzip der virtuellen ibr. eil wir noch immer nicht die ge amte Energie der elt berü k i htigt haben. ir ha n di Energie der Ströme nicht mitgezählt, die da agnetfeld er:ell en. \'on d m wir au c>ehen.

15.2 Mechanische und elektrische Eller ie

2

-

l~

(a)

Fig. 15.3: Da Auffinden der Energie einer kl inen cWeife in einem Magnel~ Id.

b)

teilen wir un ein oll tändige Stern wie da in Fig. 15.3(a) vor in dem wir un ere Schleife mit dem tr m I( in da I agnetfeld B I bring n, da on dem trom 12 in einer indung erzeugt ird. 0 r trom 1, in der chleife ird dann benfall ein Magnetfeld B., an der Windung erz ugen. B w gt i. h die chlei Fe. 0 wird ich da Feld B? ändern. ie-wir im näch t n Kapitel eh n \ rden, bringt ein eränderliche Magnerfeld in E-Feld hervor und die e E- ld wird rbeil an d n Ladung n in d r Windung lei ten. Die e Energie mu gleichfall in un er Bil nz der G amtenergie aufoen mrnen werden.

Wir könnten bi zum nä h ( n Kapir I art n um die n neuen EnergiebeiLrag zu be timmen, aber ir können ihn au h h njetzt erhalten. wenn wir da R lati itätsprinzip in der folgenden ei e erwenden. Be gen \l ir die hl ife auf die tationär Windung zu, 0 wi en wir da ihre leklri ehe En rgie ntg g ng erzt glei h der gelei t ten mechani ehen Arbeit i t. Daher i t Umech + Ue1 (

hleif)

= O.

Betra hten wir nun den rang on in m and r n tandpunkt au bei dem ich die Schleif in Ruhe b find I und di indung auf ie zube egt wird. Die indung rückt dann in da on d r hleife erz ugr ld. Di Ib n .. b rlegung n führen zu Umech + Ue] (Windung)

= O.

Die mechani che Energie irin beiden Fällen die eibe weil heiden tromkre i en herrührt.

on d r Kraft z\ i hen den

15 Da Vektorpotential

Die umme der beiden Gleichungen ergibt

_Umech + Uel (chleife)

Uel (Windung) = O.

Die Ge amtenergie de ganzen Sy tem i t natürlich die umme der b id n ele tri hen En rgien plu der me hani ehen Energie, die nur einmal zu zählen i t. ir erhalten daher

Ugesamt = Uet ( chleife) + Uel (Windung) + Umech = -

mech'

15.1 )

u hen Die ge amte Energie der Welt i t in Wirklichkeit der negatil'e Wen von mech bei piel wei e die wirkliche Energie eine magneti chen Dipol, 0 mü en wir hreib n

lf

Uoesamt = + J1 . B. e ur wenn wir die Bedingung teilen, da alle Ströme kon tant bleiben. i l mögli h. nur in n Teil der Energie, mech (da immer der negative ert der wirklichen En rgie i t). zu verwenden, um die mechani hen Kräfte zu be timmen. In einem allgern ineren S) t m mü en wir darauf achten, das Wif alle Energien b rücksichtigen. Wir haben in der Elektro tatik einen analogen Fall gehabt. ir haben gezeigt. da di Energie eine Konden ator gleich Q2 12C i t. Bere hnen wir mit Hil e de Prinzip d r virtUellen Arbeit die Kraft zwi chen den Platten de Konden ator. 0 i [die En rgieänderung gl i h Q2 12 mal der .. nderung in I/e. Dann i t 15.14 Berechn n wir nun die Arbeit die bei der Bewegung on z ei Leitern lei t t " ird. b i wir aber jetzt eine andere Bedingung telJen: Die pannung z'\ i h n ihn n werd kon tant gehalten. ir können dann mit dem Prinzip der inuellen Arb it di ri htig n ntwort n für die Kraft erhalten. wenn wir einen Kun tgriff an enden. Da Q = CV. i t die irkli he Energi ~CV:!. Definieren wir aber eine kün tliche nergie gleich -~C 2, 0 können '\ ir mit Hil~ de Prinzip der virtuellen Arbeit di Kräfte be timmen, indem wir di .. nderung der kün tli h n di Energie gleich der mechanj chen Arbeit etzen, orau ge elZl \\ ir be Leh n darauf, d pannung V kon lant gehalten werde. Dann i I

wa das Gleiche wie GI. (15.14 i t. Wir erhalten da ri htige R ultat, b ohl wir di ~b it vema hl"' igen, die von dem elektri ehen Sy tern gelei tet wird, um di pannung k n tant zu halten. iederurn i t die e elektri che En rgie doppelt 0 groß i die me hani h Energi und hat cl umgekehne Vorzeichen. enn wir al 0 kün tlieh rechnen und dab i die Tat a haußer bt 1 n. d . die Qu 11 de Pot nlial Arb it lei ten mu . um die pannungen k n tant zu rh 1I n, rh h n ir di richtige nt ort. D i t vollkommen analog zu dem Fall in d r agn 1 L tik.

2 3

J5.3 Die EI/ergi staTiol/ärer tröme

Di En rgi

15.3

tationärer Ströme

ir können nun un er ge aml = m h' dazu erwenden, die wirkli he Energie tationärer Ir"m in M enet~ Idem zu be timmen. Beginnen \ ir mit der wirkli hen Energie einer kleinen trams hleife. \ ir nenn n ge nll infach und chreiben

U

= Ji' B.

(15.16)

Obwohl wir di energie ür in ben r hle kig 111 ife bere hnet haben. gilt d Ergebni auch für in kleine ebene chleife on b liebiger Ge talt.

eIbe

B

Fig. 15.4: Die nergie einer großen Schleife in einem a nelfeld kann al die Summ der Energien von klein ren hleifen betra htet werden.

Wir können die nergl ine tromkr i e on beliebiger Ge talt finden. \ enn \ ir un vor teilen, da er ich au klein TI Strom ch1eifen zu ammen etzt. E ei ein Draht in der Ge talt der chleife r in Fig. 15.4 orgelegt. Wir füllen die e Kurve mit der Fläche S au , auf der wir eine große Anzahl kleiner hleifen einzeichnen, von denen jede al eben betrachtet werden kann. La en ir dann d n tr rn/um jede der kleinen chleifen zirkulieren, 0 i t da Ge amtergebni da elb \ ie der Strom entlang r, da die tröme entlang aller Linien im lnnem on r einander komp n iren. Phy ikali hit da Sy lern der kleinen Ströme nicht vom ur pfÜnglieh n tr mkr i zu um r eh iden. Au h die Energie mu die eibe ein und ie i t daher gleich der umme d r' nergien der kleinen chleifen.

I t der Flä heninhall J'eder kl inen ehleif a, Kamp nent normaJ zu a i t. i Ge amtenergie i I

Wenn wir den Gr nzfall infinit und

U =I

f

Bn da

wobei n der Einh it Setzen

ir B

f

=I

kl r zu

=Vx .

f( V x

) . II da

i

t

ihre Energie l~aBIJ . wobei B/I die

imal r chleifen etrachten, \ ird die umm zu einem Integral

B·

Il

da i

da.

(15.17

l.

k"nn n in ein Linienint gral um andeln

1

0

0

= I ~ A . ds,

ir mit Hilfe de Stake chen atze das Fläehenintegral

(15.1 )

274

J

wobei ds da Linienelement entlang beliebiger Ge talt erhalten:

r

eklOrpotenrial

i t. Wir haben aI a die Energie für In n tromkrei von

A·ds.

U =1

15.19

Scromk.rei

In die em Au druck bezieht ichA natürlich auf da de

ektorpot nlial der tröme (mit trame J im Draht), die da Feld B am Draht erzeugen.

u nahme

ir können un nun vor teilen, d eine Verteilung tationärer tröme au Fäden be lebt, tromftu e laufen. Für jede Paar die r tromkr i e i t di die paralI I zu den Linien de Energie durch (15.19) gegeben, wobei das Integral üb reinen tr rokr i gebildet und da Vektorporemial de anderen Stromkrei e v rwendet wird. Für die Ge amt n rgie b nötigen wir die Summe aJler die er Paare. Würden wir, an laU die P are zu erfolg n, die voll tändige umme über aJle Faden bilden, 0 würden wir die Energie doppelt zählen (wir haben einen ähnlichen Fall in der Elektro tatik gehabt); die Ge amtenergi kann daher g hrieb n rden aJ U

=!

f

j·AdV.

Die e Fonnel enr pricht dem Re ultat da wir für die elektro laü he Energie rhalten haben:

u=~

I

pdJdV.

(1-.21)

enn wir 0 wollen, können wir A al eine Art potentielle Energie für rröm in d r agnelOtatik: betrachten. Leider i t die e Vor t llung nicht allzu nützlich denn i gilt nur für tati ehe Felder. In irklichkeit gibt weder GI. (15.20) n eh 01. 15.21) die richtig En rgie. \venn die Felder ich mit der Zeit ändern.

15.4

ergleich von Bund A

In die em b ehnitt wollen wir folgende ragen di kuti ren: [ 1 d t rpot nlial nur id kalar P t ntial ne Kon truktion. die nützlich i t, um Rechnungen durchzuführen - ie in der Elektro tatik i t - oder j t da Vektorp tenLial ein, irkli h . F Id. I t ni ht d agnetfeld d "wirkliche" Feld, weil e für die Kraft auf ein beI; egte ~ il h n erantwortJi h i t? Zunä h t mü en wir agen, da der u druc ,ein wirkli he F Id' nicht hr inn oll i t. ahr cheinlich haben Sie ohnehin nicht da Gefühl d a g n e t f Id ehr ,,\ irklich"' i t d nn di ganz .dee eine Felde i t etwa ziemlich b trakte. i könn n ni ht ihr Hand au tre ken und d agnetfeld püren. F rner i t der ert der ma neti hen Feld tM e ni ht ehr gut definiert~ durch die Wahl eine geeign ten be egten K rdin t n )' t m kann man bei piel wie ein Magnetfeld an einem v rgeg b nen Punkt e hwinden I n. wir hi r unter einem "wirklichen" Feld ver leh n i t d

olgend: Ein irkJi h Feld i tein mathemati ehe Funktion, die wir verwenden um die 0 teilung der mwirkung

zu erm iden. Ein eladene ird von anderen Ladungen be influ 1, die ich in ein m g \ i n b Land v 11 P b find n. ine öoli hkeit die eeh elwirl'Ung zu be hreiben, be l ht arin zu ag n, da di and r n Ladungen in der mgebung on P eine ge i e ,.Bedingung'· h ff n - ie immer ie auch au eh n mag. Kenn n wir die e Bedingung, di ir mit Hilfe d r lektri h n und magneti hen F Ider b hreiben. 0 können wir derhalten de Teil h n v 11 Cndig b timmen - ohne iter B zug darauf zu nehmen. wie die Bedingune n nr rand n ind. Mit anderen rl n \ enn die and r TI Ladunoen in irgendeiner ei e verändert wurden, während die B dingungen in P die dur h da el km ehe und magneti ehe Feld in P beehrieben erden die Ib n bl ib n. dann i I auch die Be\ eoung der Ladung die eibe. Ein "wirklich " eid i t dann in lern von Zahl TI die wir 0 fe tlegen, da d ,was Qn e;nem Punkt ge chieht, nur von d n Z hlen an die em Punkt abhängt. ir brauchen nieh eiter darüb r zu wi n, \\1 ander 0 or ich geht. In die ern inn werden \ ir di kutieren ob das VektorpOl ntial in "wirkli he" Id i (. ie wund m i h ieU ichl über die Tat a he, da da Vektorpotential nicht eindeutig i 1das e abgeOOnd 11 rd n kann ind m man d n Gradienten eine beliebigen Skalar addierl. ohne das dadurch di auf die 'Ti il h n wirk nden Kräfte eränd 11 werden. Da hat aber nich mit der Frage der Realität in un erem inn zu tun. Zum Bei piel wird da Magnetfeld in einem gewi en inn dur h eine r 1 ti i Li he Tran formation modifiziert (eben 0 E und A). Aber wir kümmern un ni ht darum. a g chiehl. wenn da Feld auf die e ei e erändert w rden kann. Da pielt in irkJichkeit keine Roll: hat nicht mit der Frage zu tun, ob d ektorpotential tat ächlich ein "wirkliche . Feld zum Be hreiben magneti eher Effekte i t oder ob e einfach ein nützliche math mari ehe erkz ug i t. Wir können no h einige Bemerkung n über di ützlichkeit d ektorpotential A machen. Wir haben ge ehen, da e formal zur B re hnung der Magnetfelder bekannter Ströme verwendet w rden kann. \ ie cl> zur Bere hnung elektrischer Felder. In der Elektro tatik war 4J durch da kalare [ntegral

(15.22) gegeben. Aus die em f/l erhalten wir dur h drei Differential perationen die drei Komponenten von E. Die e erfahr n j t g \' öhnli h I i ht r zu handhab n, al wenn man die drei Integrale in der Vekt rf. rm I au \ rl l:

(15.23)

Er ten

ind e dr i lnt gral : und z\ eiten i tjed

In Bezug auf die agneto tatik iod die für A i tb reiL em ekt ril1t gral:

Integral im Allgemeinen etwas

ort il

hwierio-er.

ehr iel weniger deutlich. Das Integral

(15.24)

J ~ Da \'ekrorpotemial

276

\ a natürlich drei Integrale ind. ußerdem mü en ir. wenn wir d n Rotor von bilden. um B zu erhahen, e hAbleilUngen au wenen und zu Paaren zu ammenf n. lan kann al 0 nicht ofort erkennen. ob die e Verfahren in den m i ten Pr bl men wirkli hein a h r i t aJ die direkte Bere hnung von B au (1 .-

Die erwendung de

ektorpotential i t für einfache Pr bl me oft hwi rig r, und z\ ar ngenommen. wir intere ieren un für da ilagn lf ld B nur in einem Punkt und da Problem hat eine chöne ymmetrie - agen wir. \J, ir u hen d Feld an ein m Punkt auf der A h e eine Krei trome. ufgrund d r 'mmelri könn n wir B I i ht rhalten, enn wir da Integral in GI. (15.25 ausrechnen. ü ten wir j d h zuer t finden. 0 hätten ir Bau den Ableitungen von A zu ber chnen und infolged n mü ten wir A an aUen Punkten in der J achbar chajt de betreffenden Punkte kennen. Der überwi nd Teil die er Punkte liegt aber nicht auf der Symmetrieach e, 0 da das Integral für komplizi rt ird. Bei dem Problem de Krei trome mü ten wir zum Bei piel elJipti h Integrale r hnen. timmr. d ich in iBei solchen Problemen i tA offen ichtlieh nicht ehr nützli h. len komplizierten Probl men leichter mit A arbeiten r' L aber e \>,räf h\', i rig, mit die er ie ein weit rektorfeld tudieren teehni ehen Erleichterung rechtfertigen zu wollen, cl mü en. au folgendem Grund.

ir habenA eingeführt, weil e wirklich ine ichtig ph nicht nur mit den Energien der Ströme verknüpft. kJa i ehen Mechanik F = q(E

ikaJi

hreiben wir die auf ein Teilchen wirk

v x B),

o da bei vorgegebenen Kräften die Bewegung oll tändig be timmt i t. In jed m Ber i h. in dem B = 0, elb t wenn nicht null i t wie b i piel wei e auß rhalb ein r pul . gibt e k in n pürbaren Effekt on . Oe halb hat man lange geglaubt, da kein ..wir 'li he .. F Id i t. E teilt ichjed h herau. das e typi eh quant nm chani he Phänom n ibt, di z igen, da A tat ächli hein "wirkliche ' Feld in d m von un definierten inn i t. Im olgend n b hnit! werden wir Ihnen zeigen, wi da funktioniert.

15.5

Da Vektorpotenfal in de Quantenm h

Dl

B im Übergang von der kla i hen zur Quantenmechanik kommt zu tark n kz me hi bungen bei den verwendeten B riffen. ir haben bereit einige in B nd I di ~'Utiert. Be onde d r Kraftb griff verbla t nach und na h. ährend d r Begri ff d r En r(:,i und d Impul ein überragende Bedeutung gewinnen. i rinn rn i h, da man t lt n d rB wegung von Teilchen von ahr cheinlichkeit amplitud n pri ht, die i h in R um und Z it ändern. In die en Amplituden ind eJl nlängen mit lmpul en und r u nz. n mit En r i n verknüpft. lnfolgede en ind die lmpul e und nergi n di di Pha n d r \V 11 nfunkti n n

_7

15.5 Da \1. ktorpolentia! in der Quall/enmechanik

be timmen, die \ ichtigen ('Ben in der Quant nm h nik. Ane t tt mit Kräften befas en wir un damit. ie W h lwirkun c n di Wellenlänge der ellen erändem. Di Idee der Kraft wird z eitraneig - '" enn i üb rh upt noch auftau hr. pricht Illan b i pie I wei e von Kernkräften. an Iy ien und bef t Illan . ich ge\ ähnlich mit den n rgien der e h eh irkung ziehen zw i lukl n n und ni ht mit der Kraft die zwi chen ihnen wirkt. iemand würde je die Energie differ nzier n, um h rall zufind n. wi die Kraft au ieht. In die em Ab hnitt wollen wir b hr ib n. wie di ktor- und kalar n Pot ntial in die Quantenm hanik eingehen. Tat ä hlich liegt an der zentralen Rolle. die Impul und Energie in der Quantenmechanik und r/J d n dir kt ten g dar teilen, um elektromagneti h E~ kte in die pielen, da Quanrenth arie einzuführ n. x

Detektor Quelle

'"

---- d ~~~-~~-======:::7---io-l [}?:-~-:-~--.......... :::...-......_-------" ~---

~

nd ~---

Fig. 15.5:

L ---+/\.~

in Interfercnzexperimenl mit Elektronen ( iehe auch Kapit 137, Bd. I).

Wied rh I n wir kurz, \ ie die Quantenmechanik funktioniert. Wir betrachten ieder da in Kapitel 37, Bd. I be hri b ne G danken priment, in dem Elektronen an zwei Spalten gebeugt werden. Die nordnung i tin ig. 15.5 darge teilt. Elektronen, die alle nahezu die eIbe Energie haben. erla n di Qu He und fliegen auf eine Wand mü zwei chmalen Spalten zu. Hinter der . and b find t i h in uffang ehinn mit ein m be eglichen Det ktor. Der Detektor mi r die R t . di \ ir I n nn n, mit der die EI ktronen in einem klein n Brei h de chirme im b land x v n der mmeLrieach ankommen. Oie Rate i t proportional der Wahr cheinlichkeit, da ein inzelne Elektron da die Quell verlä r diesen Bereich de Schirme err ichen ird. Die Wahr cheinlichkeit hat die kompliziert au ehende Verteilung, ir auf die Interferenz on zwei Amplituden. eine für jeden die in der Fiour g z igt i t und di Spalt zurückführen.Oi lnterf r nz der beide~ rnplitud n hängt on ihr r Pha endifferenzab. Da heißt, ind die mplituden te'. und C_ ei4>2 0 be tinunt die Phasendifferenz n und richtigen Glei hungen de EI klromagn ti. mu beg nnen hab n. ind wir gleich darauf zur nter uchung einiger un oll tändiger ~ ilgebiel üb [0 gang n - weil da infa her war. E i t ehr vort ilhaft. mit der leicht r n Th orie der 'tali hen Ider zu b ginnen und er t päter zu der komplizierteren Theori üb rzugeh n. die dynami. he eider einb zi ht. ie mü en \ eniger n uen Stoff auf einmal I rnen und haben Zeit. lhr int 11 ktuelJen u keIn in En artung: einer ....lrrößeren Aufgabe zu trainier n. '-'

E be teht bei die. em blauf aber di G fahr, da ir un no h or Ende der Ge chichte die un oll tändigen ahrheit n. die wir unter eg gelernt haben. einprägen und al die ganze Wahrheit b lra hten. - 0 d d nn da . wahr i t, und da. a nur manchmal \ ahr i t. durch inander geraten. Daher g b n ir in Tab lIe 15.1 eine Zu ammenfa ung der" ichtigen Fonneln. denen wir b geo-net ind, \ ob i wir die aJlgemein gültigen on denen trennen, die in der Statik richrig. ab r in d r D namik f I h ind. Die e Zu ammenfa ung zeigt außerdem in Au chnitten un eren eg an. da wir b i der Behandlung d r Dynamik die Dinge au führlich entwickeln werd n. di ir hi r nur hn Bew i anführ n können. i llei hl i t nützli h. w nn ir einig Bemerkungen zu der Tabelle machen. Zuer t i t fe tzu teilen, da di Gleichungen arn nfan di richfigen Gleichungen ind - \ ir haben Sie dabei nicht irreoefÜhrl. Die elektromagneli eh Kraft (oft auch die Lorent--Kraft genannt) F = q(E + v x B) i t richti. ur da oulomb he Ge etz i t fal eh, e darf nur in der Statik erwendet werden. Die i r ax eil-Gleichungen für E und Bind ebenfali richtig. Die Gleichungen die wir für die tatik angewandt haben. ind natürli h fal ch, weil ir alle Terme mit Zeitableitun en g la n hab n. Das Gauß ehe Ge etz V . E = pi bl ibt ri htig, aber rot E i t im Allgemeinen nicht null. E kann daher nicht immer mit d m Gradienten eine kalar - dem elektro tati ehen Potential - gleichg,e etzt werd n. ir erden h n, da e immer noch ein kalare Potential gibt aber die e i teine z itabhängige Größe. di für ine oll tändig Be chreibung de elektri ehen Felde zu ammen mit dem ekt rp tential erw ndet werden mu . Die Gleichunoen denen die e neue kalare P lemial geh rchL ind zwang läufig benfall n u. Wir mü n un auch on der Ide trenn n da E in Leitern null i t. Wenn die Felder ich ändern, hab n die Ladungen in Leitern im llgemeinen nicht die Zeit ich erneut 0 anzuordnen, da da F ld null \ ird. ie werden in Bewegung ge etzt aber ie erreichen nie einen Glei hg i ht zu land. Di inzige allgemeine Au age i t: elektri ehe Felder in Leitern h I~ ld rn i t in Leil r daher I/ie eine .. quipotentialfläche. Darau erzeugen tröm. In folgt auch, da der Begriff d r Kapazität nicht mehr präzi definiert i t. Da e keine magn ti chen LadunO'en gibt, i I die Di ergenz von B immer null. B kann daher immer mit V x gl i hetzt werden. CE änd rt ich dah r ni ht alles.) B ird ab r nicht nur onStrömenerzeugt:VxBitpr P rti nalderStromdi hteplu einemneuenTem18EIBt.Da bedeutet das mit den trömen durch eine neue Gleichung erknüpft i t. Außerdem i te mit f/J verknüpft. ülZen wir un ere reiheit und wählen wir V . A. 0, i e für un bequem i t; die Gleichungen für od r' 16.7. 0 wird au h die e abg t Ben; e zirkulieren induzierte Ströme im b toBung. Material der Platte und i verur a hen eben fall ein Ein intere anter Effi k.t ähnli h n r prung tritt in einem Ble h au dem atenal auf. Ein .. V llk mmen r Leit r" tzt dem tram keinerlei id r tand entgegen. erden daher trÖme in ihm erz ue,t, flieB n ie ewig \ eiter. [n Wirkli hkeit würde die kleinste E . Keinen b liebig er ß n Strom erzeug n - wa d facto bedeutet, da überhaupt keine E K e i tieren könn n. Jeder er ueh, ein n magn ti ehen Flu durch ein olche Blech treten zu I en, würd tr"m erz ugen. di entgegenge tzre B-Felder her orrufen. hon bei infinit imalen E K pa iert. 0 da in irklichk it kein Flu eindrinwobei da gen kann.

Fig. 16.8: Ein Elektromagnet in der

ä-

he einer vollkommen leitenden Platte. ehmen ir ein Blech au einem llk mmen n Leit r. da wir in die ähe eine Elektromagneten bringen; halt n wir dann den Strom im Magneten ein 0 treten in dem Blech Ström - die genannt n irb I tr"m - auf und folglich dringt kein magnetischer Flu ein. Die F Idlinien erlauD n ie in Fig. 16.. Da' eIbe ge chieht natürlich, wenn \ ir einen Stabmagneten in die ähe eine p rfekten Liter bringen. D die Wirbel trörn entgegeng ri htete ein StabFelder erzeugen ird d r ao-net vom· eiter abge toB n. So ist e möglich d magnet in d r Luft üb r in m hü eIförmig n Blech au vollkommen leitendem atena! eh ebt wie da Fi . 16.9 z i t. Durch die b toßung der induzi rten irbel tröme in dem

Fig. 16.9: Ein rabmagn t. d r infülge der Ab tüBung dur h

Wirbel tröme über einer upraleil nden ehale ehw bt.

16 Indtriene Ströme

29

perfekten Leiter wird der agnet in der Luft gehalten. E gibt in nn len -r. mper LUr n k ine perfekten Leiter. aber einige aterialien werd n v llkommen I it nd, W nn die ~ mperarur n hinreichend niedrig ind. Bei piel wei e i t Zinn unter 3. K \'ollk mrn n I itend. an nennt e einen upraleiter. enn der Leiter in Fig. 16. nicht ganz ollkommen i t, [Zt er d r u br itung d r irb 1tröme einen gewi en Widerstand entgegen. Die tröme haben ann di Tend nz, na hzula en, und der Magnet inkt lang am nach unten. m die \ irbel tröme in in m un\" llkomrn nen Leiter aufre htzuerhalten, i teine E K erforderlich und damit die e ~ K i tiert. mu der Ru tändig we h eIn. Der Flu de Magnetfelde dringt na hund n h in d n Leit rein.

m einem normalen Leiter gibt e nicht nur ab toBend Kr'"fl in 01 e der \ irbel rr"me, inen ondem e können auch eitwärt wirkende Kräfte auftreten. Be egen wir bei piel \\ i irb 1 tröm ein agneten eitwärt entlang einer leitenden Oberftä he, 0 erzeugen di tBremskraft, eil die induzierten Srröme ich einer .. nd rung der Lag de Flu e .. id zen, Die e Kräfte ind proportional der Ge chwindigkeit und ähneln I k ität kräften in ein r zähen Flü igkeit.

Fig. 16.10: D

Batterie

Sr m en de Pend I leigt die Kräfte d r

Wirbel tröme.

Die e Effekte werden in der Anordnung von Fig. 16.10 hr deutl'eh i hthar, Ein quadrati he Kupferble h, da an einem Ende eine t b aufgehängt i 1, bildet ein Pend I. 0 Kupfer hwingt zwi ehen den Polen eine Elektromagn ten hin und h r. Wird d r agn [ einge chaltet. 0 hält das Pendel in einer Bewegung plölzlj h an. Gelangl die etallplatt zwi ehen die Pol huhe de Magneten, 0 ird in der Platte ein tram induziert, der i h d r .. nderung de Flu e durch die Platte wider etzt. äre d Ble h in ollkommener Liter. o ären die tröme 0 tark, da ie d'e Platte i der hinau drü k n würd n - i wlird ZUIÜ kseh\'lingen. Im Fall einer Kupferplatte gibt e in d] er inen g i n id r tand. 0 d die tröme die Platte zunäch 1 fa t oll tändiQo zum nhalt n rin n '" nn i in da

299 Feld einzudringen b ginnt. lang am zur Ruhe.

enn dann die tr"me na hl

en, konunt die Plane im Magnetfeld

Fig. 16.11: Die Wirbel tröme im Kupferpendel.

Da erhalten der irbel tröme in dem Kupferpendel i tin Fig. 16.11 darge rellt. Stärke und Geometrie der Ströme hängen ehr von der Fonn der Platte ab. Er etzen wir bei piel wei e die Kupferplatt durch ine andere, die mehr re enge Schlitze wie in Fig. 16.12 aufwei L, 0 werden die Effekte d irb 1 tr m dra Li eh reduziert. Da Pendel eh ingt dann nur mit einer kleinen retardierenden Kraft dur h da agnetfeld. Der Grund liegt darin, da . in jedem der Kupferab hnine niger Flu auftritt, der die Ströme aufrecht erhält, 0 da die idertand effekte in jeder einzelnen tr m chI ife größer ind.

Fig. 16.12: Wirbel tromeffekte werden drasti eh reduziert wenn man Schlitze in die Platte chneidet.

16 fndu:ierre Tröme

00

Die tröme ind chwächer und die Brem ung i t weniger tark. D r vi ko ität ähnliche Charakter der Kraft wird d utlicher, wenn ein Kupferbl II zwi hen di Pol d Magn t n in Fig. ]6.10 gebracht und dann 10 gela en wird. E faHl ni h{: e nkt i h nur lang am na h unlen. Die irbel tröme etzen der Bewegung einen tarken ider I nd ntg gen - genau \Vi die Zähigkeit im Honig. e uchen wir. einen Leiter. tall ihn an einem i . agn ten \ orbeizuziehen. in einem agnetfeld rotieren zu la en. 0 wird aufgrund der elb n Effi'{ in ,ide teh nde Dr hm m nt auftreten. Drehen wir dagegen einen agneten in d r ähe in r I itend n Platte oder eine Ringe um eine Enden, 0 wird der Ring mitgezogen; di tröm im Ring erz ug n ein Drehgneten zu dr hen. moment. d die Tendenz hat, d n Ring mit dem

6

5 (a)

6

(d)

6

6 (b)

5

(c)

Fig. 16.13: Erzeu ung ein rotierend n Magn {feI .

Ein Feld wi da eine r tier nden Magn t n erhäh man mit Hilfe in r n ißt. Spulen, wie ie in Fig. 16.13 darge teilt i t. ir b lra ht n einen ru inen Ring au Ei en in Form eine utoreif n und wi k ln h pul TI d ufo La nun ein n tram wie in Teil (a durch die indun en (I) und P) fli ß n. 0 trin in agn tfeld in d r Ri hrung auf, die in der Figur angez igt i t. L n "\ ir dann an hli ßend in n Strom dur h die indungen (2) und C) fließen, rhält d . !fagn {feld ine n ue Ri htun~, die in Teil (b) der Figur gezeigt i t. Wenn wir di en organ fortset7..en, ereibt i h ein Folg yon Feldern, wie ie in d r re tlichen Figur darg teilt i t. pi h i h d r roang allmähli h ab. 0 erhalten wir ein ,r tierende .• Magnetfeld. Die n l\ ndio . folg d r rr"m k"nnen wir lei ht erhalten. wenn wir die pulen an eine Dreh troml itun . n hli Ben. di '"' nuu di e rrornfolge erzeugt. Ein Dr h tram (Dreipha n trom \ ird in einem n r t r na h d m Prinzip von Fig. 16.1 erzeugt, nur da drei miteinand r ~ t v rbund n \\ in ung n mrntri eh auf iner h e angebracht w rden, da h ißI ,da zwi hen einer indun!J und d r nä h ten in inke] von 120 liegt. W rden dann di pul n aJ Ganz g dreht. hat di E Kein aximum in der inen, dann in der nä h { n ~ indußpa u _, und da Ganz in r g . lmäßiger bfolge. D r Dreh tr m hat viel pr kti eh rt ile. in r v n ihn n b t ht dann, man ein r tier nde agn tfeld her teilen kann. Da Or hm m nt, d ur h in r d tierende Feld auf einen Leiter au geübt wird, i t leicht zu ran hauli h n. ind m man in n

301

Fig. 16.14: Da r rier nde Feld von Fig. 16.13 kann 0 verwendel w rden, d ein Drehmoment auf einen leitenden Ring au übt.

MetaUring auf in i li rende Platt genau über den 1} ru teilt, ie das in Fig. 16.14 gezeigr i t. Das rotierende F ld bewirkt, da der Rin o ich um eine ertikale Ach e dreht. Die hier darge tellten grundlegenden Elem nt ind die eiben, ie ie in einem groß n kommerziellen Dreipha nm t r erwirkJi ht \ erden. luminiumplalte

(b)

Fig. 16.15: Ein einfa he Bei pie! eine Induktion motor mit abge chirrntem Pol.

Fig. 16.15 zeigt ein ndere orm ine Induktion mot r . Die darge t lIte Anordnung eignet ich nicht für einen pra ti chenator mit hohem Wirkungsgrad, aber ie veran chaulicht da Prinzip. D r Elektromagnet M be t ht au inem Bündel lamellierter Ei enbleche. auf d eine Spule ge ickelt i t; er \ ird mit ech el trom au in m Generator be chickt. Der 1agnet erzeugt inen eränd r1i h n Flu on B durch die luminium cheibe. Liegen nur die beiden Kamp nenten r wi i in Teil (a) der Figur darge teIlt ind, 0 haben wir no h keinen Motor. E treten irb I tröme in der eheib auf, aber ie ind ymmetri hund e o-ibt kein Drehmoment. (E kommt zu einer ge i en Er ärmung der Scheibe die on den induzierten nn ir nun nur die ein Hälft de Magnetpol mit einer AlumiStrömen erur acht \ ird. niumplatte wie in Teil (b) der Figur b de k n, 0 beginnt die cheibe ich zu drehen und wir erhalten einen otor. Der organg hängt on zwei irbel trom ffekten ab. Er ten wider etzen ich die Wirbel tr"m in d r luminiumplatte der" nderung de Flu e durch ie 0 d da agnetfeld ob rhalb der Platt immer hint r dmFeld oberhalb der in n nicht bedeckten Polhälfte zurüc bl ibl. ni er 0 genannte "Pol chatt neffekt erzeugt in Feld da ich im ,Schattenb r ich" ehr ähnli h ie da im.. icht chatt nb reich" ändert nl1r da e um einen kon tanten Betrag erzög rt i 1. D r ganze Effekt i t wi der, den ein nur halb 0 breiter Magnet erzeugen ürde, der tändig au d m icht hattenbereich in den S hattenberei h gebracht wird. Di eränd rliehen elder ech 1 irk n dann mit den Wirbel trömen in der Scheibe und üben auf die e in Drehmoment au .

/6 lndll:i rte lröme

16.4

Eie trotechnik

Al Faraday zum er ten al eine bemerk n w rt Entde 'ung \" [" ~ ntli ht . na h drein we helnder agnetftu eine EMK erzeugt, wurd r ragt (\;\ ie je er eefr gt ird. drein neue arurphänomen entdeckt) "Wozu i t da' gut." IJe. r her u g fun n han . war die eh ame Tat ache, da ein winziger Strom ent rand, w nn er in n Draht in d r äb in Magneten bewegte. Wozu konnte da mögli herwei e ..nütz n". ntv. rt \\ar: ..\ Ihn . utzen hat ein neugeborene Kind?" Doch denken Sie an die ungeheuerli hen prakLi ch n nw ndungen, zu d n n in Entdckung gefiihrr hat. ir haben hier nicht einfa h pielzeuge hri n, ondem Bei pi 1 d.ie in den mei ten Fällen da Prinzip irgendeiner prakti ehen hin dar t 11 n. B i piel ei meri t der rotierende Ring in einem Drehfeld ein lnduktionm t r. E oib( natürli h ini o chiede ziehen die em und ein m prakti ehen Indukti TI moror. D r Ring erfährt ein hr kleine Drehmoment: Sie können ihn mit der Hand anhalten. Für in n gut n 10tor mü TI die Dinge fe ter ineinandergefügt werden: e darf nicht 0 \ i I tagn (feld in di Luft.. [hleuden" erden. Al Er te konzentriert man d F Id mit Hilfe \" n Ei n. ir haben ni ht agneueld z hnt u endmaJ tärk r zu madi kutiert. wie Ei en da tut, aber Ei en vennag da chen. al die Kupfer pulen allein könnten. Zweiten m ht man di Z \'i h nräum z i hen Ei en in den r tier nden Ring ein. Alle den Ei en rü k n klein: dazu baut man ogar t wird 0 angeordnet, d.as man die tärk ten Kräft und d n höch ten ) ir ung grad rzi Itda bedeutet die mwandlung von elektri cher in me hani he Lei rung - bi man den ..Ring" nicht mehr mir der Hand fe thalten kann. ufgabe der Technik die Zwi eh nräume zu chlie n und die Anla auf di prakei e zum Arbeiten zu bringen. Das erfordert ein eing hend rudium v n Kon trUktion problemen, obwohl e keine neuen Grundprinzipien gibt, u d nen di äft rhalt n werden. E i t aber ein langer Weg von den Grundprinzipi n bi zur prakti hen und ök n miehen Kon Lruktion. Doeh nur aufgrund der ehr orgfaIti n t hni h n n trukti n ar möglich, et\v 0 ngeheuerliche wie den B ulder- Laudamm mit allem Dazugehörig n zu bauen.

as i t der Boulder- oder Hoover- taudamm . in ri ig r Au wird von in r Betorun uer aufgehalten. Aber von w für einer Mauerl i hat die Fonn ein rollkommen n Kurv . d.i ehr genau berechnet i t, 0 da di kJein trnögli he enge B L n in n anz n Ru zurü khält. Sie wird nach unten dicker und erhält 0 di und höne Fonn, di n iin tl m gefällt und die die Ingenieure ehätzen weil ie wi n, das die rdi ung dlU" h di Zunahm d Drucke mit der a ertiefe notwendig gemacht ird. her wir 'omm 0 von der EI ktrirität ab. Da er de Flu e wird in einer gewaltigen Röhr abgel itet. 0 alt in i [ hon ine höne te hni ehe Lei rung. Die Röhre I itet d r a u f in ,;\: rrad' - in ri ig Turbine - und bringt Räder zum Drehen. ueh ein techni h K n t tü k, b r \ arum Hen ich die Räder drehen? Sie ind an ein extr m kompliziene Ge ild an hlo n. d au iner verwickelten upfer- und Ei enkon truktion be teht. i nth··Jt z i T il . \' nd n n d r eine ich dreht und der andere ruht. Da Ganze i tein komplizi rter u au au weni n 1aterialien, haupt ä hlich Ei eo und Kupfer, aber auch et Papier und h Ha k zur I 01 ci n. Ein rotierende on trum. Ein Generator. Irgend 0 kommen au die r Ei n- und tahlm einige pezielle tücke Kupfer herau. 0 r Damm, di Tur in, Ei n. d upf r. Jl d i t

16.4 Elektrotechnik

303

da, damit an einigen Kupfer täben etwa Be nder auftritt - die EMK. Die Kupfer täbe laufen dann etwa weiter und ind einige ale um ein andere Ei en tück in einem Tran fOffilator gewunden; damit i t ihre rb it getan. Um da eIbe Ei en tück i I ein andere Kupferkab 1 gewunden. da keinerlei direkte Verbindung mit den Leitungen om Generator hat. E wird aber on ihnen beeinflu t. da ie in einer äh verlaufen. und übernimmt ihre EMK. Der Tran fonnator wandelt die Energie on der verbältni mäßig niedrigen pannung, die für einen hohen irkung grad der Generatorkontruktion erforderlich i t, in die Hoch pannung um die man für eine wirkung volle Übertragung elektri eher Energie üb r lange Leitungen braucht. Und alle mu norm \: irkung oll ein - es darf nicht ver chwendet werden und ni hts verloren gehen. arum? Die nergie für eine Millionen tadt fließt hindurch. enn ein kleiner Teil verloren lYinge, ein der z\ ei Prozent - denken Sie an die Energie, die zuruckgelas en würde! Bliebe ein Prozent der Lei tung im Tran fOffilator zurück, 0 müsste die e Ener!!ie auf irgendeine Wei e wieder herau oenommen werden. Träte ie a1 Wärme auf, 0 würde ie da Ganze ehnen zum ehmelzen bringen. E gibt natürlich einige kl ine Verlu te, aber e 0aenüoen .. t:> chon einige Pumpen. die etwa 01 durch einen Radiator laufen la en, um zu erhindem das sich der Tran formator erwärmt. Au dem Boulderdamm kommen einige Dutzend Kupferleirungen - lange lange lange Kupferleitungen von vielleicht der Di ke Ihres Arms, die über hunderte von Kilometern in alle llichtungen laufen. Dünne Kupferleitungen führen die Lei tung eine rie igen F1u e. Dann werden die Leitungen aufgeteilt in mehr Leitungen ... die zu anderen Tran formatoren fuhren ... manchmal zu großen Generatoren, die den Strom in anderer Form neu erzeugen ... manchmal zu Motoren, die für groß Indu trien arbeiten ... zu wieder anderen Tran forrnatoren ... dann weitere Auf- und erteilen ... bi der Flu schließlich über die ganze Stadt erteilt i twobei er Motoren dreht, ärme und Licht erzeugt und allerlei technisches Spielzeug antreibt. Da i t da Wunder de warmen Lichte au kalt m Was er, da mehr al 900 Kilometer entfernt i t - und all da ge chieht mit einer peziellen Anordnung on Kupfer- und Ei en tücken. Große Motoren, um tahl zu walzen oder winzige Motoren für den Bohrer de Zahnarzte. Tau ende on kleinen Rädern drehen ich infolge der Umdrehung de großen Rad am Boulderdamm. Halten i da große Rad an und alle Räder bleiben tehen; da Licht geht au. ie sind wirklich miteinander verbunden. Aber da gibt e no h mehr. Die eiben Phänomene, die dem Flu die ungeheuere Lei rung entnehmen und übrall im Land eneilen, bi einige Tropfen de Flu se den Bohrer de Zahnarzte antreiben, die e elben Phänomene pielen beim Bau von extrem feinen In trumenten eine Rolle ... In trumente zur Ermittlung on unglaublich kleinen Mengen Strom ... zur Übertragung der Stimme der u ik und on Bildern ... für Rechenmaschinen ... für autornati ehe Maschinen on fanla ti her Präzi ion.

All das i t mögli h dank orgfaltig kon truierter Anordnungen au Kupfer und Ei en wirkung voll erzeugte agn tfelder ... Blöcke au Ei en mit einem Durchme er von zwei Metern die ich mit einem pieion I mm drehen ... Kupfermengen, die orgfaltig berechnet wurden, um einen maximalen irkung grad zu erzielen ... elt ame Formen, die alle einem Zweck dienen, wie die Kurve de Damm . Wenn irgendein päterer Ar häologe den Boulderdamm entdeckt, 0 wird er vennutlich die Schönheit einer Linien bewundern. Aber die For eher großer ZUkünftiger Zivüi arionen

304

16 Indu-ierte Ströme

werden au h die Generatoren und Tran formatoren betrachten und agen: ..B a ht n i. d jede Stück Ei en eine wunder chöne Zweckform hat. teilen i i h da D nken or. d h in jedem Stück Kupfer verwirklicht!" Da i t die Lei tung der Technik und der rgfältigen K n trukti n un rer Elekrrote hnik. Mit dem Generator wurde etw ge 'chaffen. d nirgend 0 on t in d r amr i riert. ir n lektromaE timmt, da e Induktion kräfte au h an ander n Orten gibt. Ge" i gneli che Induktion effekte an einigen Orten rund um die nn und di tem. iellei bt agn tfeld der rde dur h einen 1 hani mu (obwohl das ni ht ieher i t) wird auch da aufrechterhalten. der analog zu dem in einem elektri ehen Gen rator funktioni n und mir Hilfe on umlaufenden Strömen im Innem der Erde in Gang gehalt n \ ird. her nirg nd" 0 urden Stücke zu ammenge etzt, von denen einige ich bewegen können. und", urd auf die e ei e elektri che Kraft erzeugt. wie da in einem Generator - mit inem h h n '\ irkung grad und großer Regelmäßigkeit - ge chieht. Sie denken vielleicht, da die Kon truktion elektri her General r n kein int r ante Thema mehr i t, da e ogar ein au ichl loses Thema j t, eil h n a11 erfunden wurden. ahezu perfekte Generatoren und Motoren können au d m Regal genommen erden. ueh wenn da 0 wäre. könmen wir die großartige Lei mng b wundem: in Pr blem. da fa { bi zur ollkomrnenhej{ gelö t wurde. Ab re gibt noch iele ungelö t Problem. ogar Generatoren und Tran formatoren teilen erneut Probleme. E i t wahr heinli h. da man bald da ganze Gebiet der ti fen Temperaturen und der Supraleiter auf da Pr bl m d r rt ilung on elektri eher Lei tung anwenden wird. Mit einern öllig neuen akt r in d m Problem rd n neue optimale Kon truktionen ge chaffen werden mü en. Zukünftige I km h tzw rke chauen ielleicht den heutigen nur wenig ähnlich. Sie hen. da e eine unendliche Anzahl von nwendungen und Problem n gibt, di man beim Studium der Induktion ge etze aufgreifen könnte. Die KOß truktion dreI km chen pparate zu erlernen, i t eine Leben aufgabe für ich. Wir können nicht hr weit in die er Ri hmng (fehen. aber ir ollten un der Tat ach bewu t ein da wir un re Theorie, aJ ir d Induktion ge etz entdeckten, plötzlich mit einer enormen prakti h n Ent icklung in Beziehung ge etzt haben. ir mü en da Thema j d h den [ng nieuren und a hl uten für ang wandte For chung überla en, deren Aufgabe e i t, die Einzelheiten pezielJer nw ndung n au zuarbeiten. Die Phy ik liefert nur die Grundlage - di Grundprin ipi n, di ang \ andt werden; da Wozu pielt dabei keine Rolle. (Wir haben di Grundlag n h ni ht abge hlo en. denn wir mü en noch die Eigen chaften on Ei en und Kupf, r au führli h b tra hren. Di Phy ik hat einige über ie au zu agen. wie wir etwa päter h n werden.) Die moderne Elektrotechnik begann mü Faraday Entd kun o n. Da unnütz Bab hat ich zu einem underkind entwickelt und da Ge i ht der Erde in mer v rtind rt, .. ie e ich ein tolzer ater niemal hätte vor teilen können.

17

Die Induktion gesetze

17.1

Die Phy ik der Induktion

Im origen Kapitel haben wir vi I Phänomene be chrieben. di zeigten. da die Effekte der Induktion recht k mpliziert und intere ant ind. Jetzt woll n wir die Grundprinzipien di kutieren, auf denen die e Effekte beruhen. Wir hab n bereit die E K in einem tromkrei al die Ge amtkraft definiert. die üb r di ganze Länge der chleife auf die Ladungen irkt. Genauer ge agt handeIl e ich um die Tang ntialkomponente der Kraft pro Einheitsladung. integriert entlang de Drahte einmal um den aomkrei herum. Somit i t die e Größe gleich der ge amten rbeit, die an einer einzelnen Ladung gelei tet wird, die den tromkrei einmal durchläuft. Außerdem haben ir di ,.Flu r gel" angeg b n, nach der die EMK gleich der Rat i t, mit der ich der Magnetflu durch einen I hen tro mkre i ändert. ehen wir. ob wir ver tehen können, warum da 0 ein oll. Betrachten wir zunäch t den Fall in dem ich d r Flu ändert. weil ein Stromlcrei in einem tationären Feld bewegt wird. In Fig. 17.1 i t eineinfa he Draht chleife darge teIlt, deren Abme ungen geändert \ erden können. Die chI ife b t ht au z i Teilen. einem fe ten -förmigen Teil (a) und einem beweglichen Querbalk n b). der an den rm n de entlanggleiten kann. Der tromkrei ist immer ge chlo en, aber in Iächeninhalt i t veränderlich. Angenommen, man bringt die Schleife in ein homogene Magnetfeld, wob i die Eben de U enkrecht zum Feld liegt. Wird der Querbalken be egt, 0 mu laut R 0 I in der S hleife ine EMK exi tieren. die proportional der Änderung rate de Flu e durch die chI ife i 1. Die e E K erzeugt einen Strom in der Schleife. Wir elzen orau , da e genül:!end Wider tand im Draht gibt, 0 da dietröme chwach ind. Wir können dann da on die em trom hervorgerufene Magnetfeld ernacWäigen. (a) . b) \'

111

L.-----L _+-_-..1 Feldlinien von B

Der lu

Fig.17.1: Eine Flu änderung, die durch die Abänderung de Flächeninhalt de lfomkrei e hervorgerufen wird, induziert. ine EMK in der chleife.

durch die chleif i t wLB; di

.,Flu regel' ergibt dah r für di E K - di WLr

mit e bezeichnen &

= wB -dL = II'Bv, dt

wobei v die Tran lationsge chwindigkeit d

Qu rbalk n i t.

306

J

Wir ollten nun in der Lage sein, die e Re ultat on den magneü hen vxB- Kräft n her zu ver lehen, die auf die Ladungen in dem bewegten Querbalken wirk n. Die Ladungen püren eine Kraft. die tangential zum Draht gerichtet und pro Einheit ladung glei h \'8 i L. ie i t üb r die Länge H· de Querbalken konstant und überall on t null, 0 da da Int gral

beträgt· das i t da eIbe Re ultat, da wir mit Hilfe der Änderung rate de Ru erhalten haben. Die eben vorgeführte Überlegung kann auf jeden Fall erallg meinen werden. b i d m ein fe te agnerfeld gibt und dje Drähte bewegt werden. an kann im lIaemein n be ei en das für jeden Stromkrei, de en Teile ich in einem fe ten agn tfeld be egen. die E K tr mkrei e keine Rolle gleich der zeitlichen bleitung de Flu e i t, wobei die Ge talt d pielt. Wa ge cmeht aber anderer eit , wenn die Schleife tationär i t und d Magnerfeld eränden wird? Die Antwort auf die e Frage können wir nicht mit der eiben rlegung herleiten. E war Faraday - experimentell gemachte - Entdeckung, d die ,,Flu regel" unabhängig davon richtig i t, warum ich der FIus ändert. Die Kraft auf lektri he Ladungen i t in oller Allgemeinheit durch F = q(E + v x B) gegeben; e gibt keine neuen p ziellen "Kräfte aufgrund veränderlicher Magnetfelder". Alle Kräfte, die auf ruhende Ladungen in einem tationären Draht wirken, ind auf den E-Term zurückzuführen. Die arada h n Beoba htungen führten zur Entdeckung eine neuen Ge etze da die elektri ehen und magneti eh n Felder verknüpft: in einem Bereich in dem sich da Magnetfeld mit d r Zeit ändert, w rden elekrriche Felder erzeugt. Ein olehe elektri che Feld etzt dann die Elektronen entlang de Drahte in Bewegung - und j t daher für die EMK in einem tationären Lromkrei erantwortli h, di auftritt, wenn ein veränderlicher magneti cher Flu e i tiert. Da allgemeine Ge etz für da elektri che Feld, das einem eränderli hen geordnet i t, lautet

Bn

VxE=--

agn tfeld zu-

17.1

BI'

ir nennen e das Faraday che Ge etz. E wurde on Farada entdeckt aber w 11 hat e al Er ter in differentieller Form al eine einer Gleichungen aufge hri ben. S h n ir na h wie die e Glei hung zu der "Au regel' für tromkrei e führt. Mit Hilfe de

take' ehen

1. E . ds =

~

atze kann die e Ge etz in Int gralform ge

BB (VXE).nda=-L 'llda, Js s BI

hrieb n \ rden:

17. )

wobei, wie gewöhnlich, r irgendeine ge chla ene Kurv dar teIlt und S di on ihr eingechlo ene Fläche i t. Denken Sie daran, da reine fe te mathemOli ehe urve im R um und

17.2 Ausnahmen

~'Oll

der .. Flu ,., e/"

Seine fe te Flä hit. Dann kann di Zeitabi itun erhalten

$.

E .d

= - :, d

i

B·

= - - (Flu

d,

11

30

or das Integral gezogen

erden und \ ir

da

dur h ).

(17.3)

enden wir di e Relation auf ein Kurve r an die entlang eine Je tell Leiterkrei e erläuft, o toßen wir erneut auf die ..Flu reg [': Da Integrallink i t die E Kund d recht i t die negati e Änderung rate de v m tr mkrei inge ehlo enen lu e. Folglich i t GI. (17.1). wenn ie auf einen fe ten tromkrei ange andt ird, äquivalent zur ,Plu regel". Die, Flu reg 1" - nach der di E K in einem tramkrei glei h der Änderung rate de Magnetflu e dur h den trornkrei i t - gilt daher unabhäno-ig davon, ob ich der Au ändert, weil ich da Feld änd rt oder weil ich der trornkrei be egt (oder eil beide der Fall i t). Die beiden äglichkeiten - "der tramkr i be egt ich" oder ,da Feld eränden i h" werden in der Au age der Regel ni ht unter chieden. Wir hingegen haben, um die e Regel zu erklären, in den beiden äll n z ei öllig er ehiedene Ge etze herangezogen -\' x B für .,der Stromkrei bewegt ieb" und V xE =- BI8t für ,da Feld verändert ich". irgendwo on t in d r Ph ik gibt e ein 0 einfache und genaue allgemeine Prinzip. da zu einem allgemeinen er tändni eine naly e rn.it Hilfe on :wei ,erschiedenen Phänomenen erfordert. Ge ähnlich teilt man bei einer 0 chönen Verallgemeinerung fe t. da sie auf einem einzigen tiefen Grundprinzip beruht. In die em Fall cheint jedoch keine 01che grundlegende Implikation orzuliegen. ir haben die "Regel 0 zu er tehen da ie die Effekte von zwei getrennt n Phänomenen zu ammenfa sr. Wir mü en die "Au regel" auf die folgende Wei e ver tehen: Im Allgemeinen i t die Kraft pro Einheitsladung F /q = E + v x B. B , egt man Drähte, 0 tritt aufgrund de zweiten Term eine Kraft auf. ußerdem e i {j nein E-Feld, wenn e irgendwo ein veränderliche Magnetfeld gibt. E handelt i h um unabhängig ff kt , ab r di EMK um die Drahtschleife i t immer gleich der Änderung rate de agnetflu e, der durch ie hindurchtritt.

17.2

Au nahmen on der, Flu regel"

Wir werden j tzt einig B i pi le anführ n, di zum Teil auf Faraday zurückgehen und die deutlich machen, d man klar zwi chen den b id n Effekten unter cheiden mu , die für die induzierten E K erant ortlich ind. n ere Bei piele teilen Situationen dar, auf die die ,Flu reg 1" ni ht ange andt erd n kann - ntweder weil e überhaupt keinen Draht gibt oder weil die induziert n uöm inen Weg zurücklegen, der innerhalb eine größeren Leiter olumen erläuft. Beginnen ir mit einer wichtigen e t t llung: Der'"D il der EMK, der om E-Feld herrührt, hängt nicht vom orhanden ein ein phy ikali h n Drahte ab (wie da b i dem v x B-Teil der Fall i t). D E-Feld kann im frei n Raum exi ti ren und ein Linienintegral entlang irgendeiner fe ren Kur e im Raum i t die .. nd rung rate de Flu e von B durch die e Kurve. (Beachten

30

J

Sie. da da ganz ander al bei inem E-Feld i t, d \'on t ri hen Ladun cn rz ugt wird. denn in dem Fall i t da Linienintegral von E entlang einer ge hl en n hleife immer null.

Fig. 17.2: W nn i h die Platte dr ht. tritt irre E IK auf. die auf v x B be-

ruht. aber e gibt kein nderung de einge hJo n n Flu e.

Be chreiben wir nun eine Situation, in der ich der Flu durch ein n tr mkrei ni ht ändert und in der trotzdem eine EMK auftritt. Fig. 17._ zeigt eine leitende Platte, die in m enheit eine Magnetfelde um eine fe te Ach e gedreht werden kann. Einer der Kontak't \ ird an der eh e angebracht und ein anderer chleift am äußeren Rand der Plane. D r rr mkrei wird über ein Galvanometer ge chlo en. Wenn ich die Platte dr ht, bleibt d r,. tromkrei ", er randen al der Ort im Raum. an dem die tröme auftr ten, immer d lbe. b r der 'f, il de .,Srromkrei e ", der ich in der Platte befindet. verläuft in einem at rial, da i h b \ egt. Obgleich der Flu durch den "Stromkrei 'kon tant i t, exi riert trotzdem eine E K. \ ie man am Au chJagen de Galvanometer fe t tellen kann. Offen ichtlieh handelt i h hier um einen Fall. in dem die v x B-Kraft in der bew gren Platte eine E K erzeugt, die ni ht mit iner Änderung de Flu e gleichge etzt werden kann. Betrachten wir nun a1 entgegenge etzte Bei pie] eine etwa unge\ öhnli h ituarion, in der ich der FJu durch einen" tromkrei" wieder im inn de Ort , n dem der trom auftritt) ändert. aber wo e keine E K gibt. tell n wir un vor, da i h z\ ei etallplatt n mit leicht gebogenen Rändern - wie in der Dar teilung der Fig. 17.3 - in inem homobenen

Fig. 17.3: erden di Platten in einem horn gen n agBe rändeann nelfeld hin- und herbewegt, K erz ugt rung de Flu e intrelen, ohne d

Galvanometer

wird.

"09 Magn tfeld b finden, da mit einem der n hlü

enkr ht zu ihren Oberflä h n lieot. Jede Platte i t \lo,lie in der Figur ine Galvanometer v rbund n.

Die Platten hab n an einem Punkt P Kontakt, 0 da ein ge chI ener StromJaei vorliegt. erden dann die Platt n um in n klein n ink I be gt, 0 rückt der Komaktpunkt nach P'. Stellen ir un dann or, d i h d r., tr mkr i . auf den Platten entlang der gepunl-..1:eten Linien in der igur hlieBt. 0 ändert i h der magneti che Flu dur h die n Stromkrei beträchtlich, wenn man di Platten hin- und herbe\ egt. Die e Hin und Her kann aber in kleinen Bewegungen au geführt werden, 0 da 11 x B ehr klein i t und prakti ch keine E K e i riert. In die em FaJltriffr die ..Flu reg I" nicht zu. i mu auf trornkrei e angewandt werden. in denen da Material d tr mkr i da 01 i h bl ibr. Ändert ich da aterial de rromkrei e, 0 mü en wir ieder auf di grundl genden Ge tze zurückkommen. Die richri eil phy ikali ehen Ergebni rhalten \ ir je eil mit Hilfe der b iden Grundge etze F

= q(

+

11

x B),

aB

v xE = -7ft.

17.3

Be chleunigung on Teilchen durch ein induzierte elektri che Feld; das Betatron

Wir haben ge aot. da die elektromotori ehe Kraft, die on einem eränderlichen agn tfeld erzeugt wird, ogar in b e enheit on Litern exi tieren kann: da heißt, da e magnetiehe Induktion ohne Drähte g ben kann. Wir können un aber trotzdem ine elektromorori ehe Kraft entlang einer willkürli hen mathemati hen Kurve im Raum or teilen. Sie i t al die Tangentialkomponente von E d finiert die um die Kur e herum integriert wird. ach dem Faraday ehen Ge etz i t die e Linienintegral gleich der Änderung rate de magneti ehen Flu e durch die ge chlo eneKur e,GI. 17.3. Al Bei pi I für di nun die Bewegung ein

u irkung eine olch n induzierten elektri ehen Felde wollen wir lektron in einem eränderli hen Magnetfeld betrachten. ir rel-

•

•

q~ ~._---

•

•

•

•

• •

•

B

\'

•

• qE

•

•

• •

on

•

von oben ge ehen

der eile ge hen

Fig. 17.4: Be hleunigung ein

~leklron

in einem axial

mmelri ehen

.

eränderliehen

Feldlinien von B

agnelfeld.

310

len un ein Magnetfeld vor. da überall in einer Ebene vertikal zu die r gen htet i t, wie d Fig. 17.4 veran chaulicht. Da Magnetfeld wird von in m lektromagn ten rz ugt, aber wir kümmern un ni ht um die Einzelheiten. Bei un erern Bei pi I [ellen ""ir un \"or. d tär d aagnetfeld in Bezug auf irgendeine Ach e mrnem hit, d h ißt, da di gnetfelde nur vom Ab tand von der Ach e abhängl. Das agnetf Id änden i h auß [d m mit der Zeit. Stellen wir UD nun ein Elektron vor, da in die em Feld ine krei fönnige Bahn um di Feldach e mit kon tantern Radiu be ehreibt. ( päter werden wir ehen. wie die e Be egung erreicht werden kann.) ufgrund de veränderlichen agn tfeld trirt in elektri he Feld E auf, da tangential zur Umlaufbahn de Elektron i [ und da Eie tron entlang de Krei e antreibt. Die S mmetrie bewirkt, da die e elektri che Feld überall am Krei 01 ich tar i t. Das Linjenintegral yon E entlang der mJaufbahn i t gleich der .. nd rung rate de magneti ehen Ru e durch den Krei . Hat die UmJaufbahn de EI ktron den Radiu r. 0 i t d Linienintegral von E gleich dem Betrag der Feldstärke mal dem mfang d Krei e 2 r. D r Magnetflu mu im AJlgemeinen durch Integration be timmt erden.. nn n wir für un ere Zwecke die mittlere Stärke de Magnetfelde im Innern de Krei e B,m. 1m. [" \ und .: geführt. Haben wir er t gelernt, die e Gleichung n zu lö en. 0 ·"nn n wir Bund E au V x nn der el ktrom gn Li hen G 12 und - V$ - a /8t erhalten. ir haben eine weitere erhalten. die genau äquivalent zu den axwell-GI i hune,en i t und in \ ielen ituation n ehr iel einfacher zu handhaben i I. In Wirklichkeit haben wir chan eine Glei hung gelö l, die GI. (I ._6 hr ähnJi hit. " ir in Kapitel -+7, Bd. I den hall unt r u hLen, erhielt n \\ ir ein I i hung in d r F rm

und wir ahen. da ie die u breitung on 11 n in d r x-Richtung mit d r G h indio c be hrieb. Gleichung (I .26) i t di ent pr h nd \ Ilengl i hung für rei Dimen i n n. Somit i t in Bereichen, in denen e keine Ladungen und rr"m mehr eibt, di Lö 'un die r GJei hungen nicht. da if> und null ind. (Ob ohl d t I ä hli h in m" li h L" un_ i t. E exi tieren Lö ungen, in denen e ein y t m on r/J und gibt. wobei i h di Gr" ß n mit der Zeit änd rn, ich aber imm r mit der G h indigk iL au br iren. Di F lder \\ - n i h dur h den fr i n Raum, wie in un erem Bei pi 1 m B ginn di pil I . Mil.1 w 11 n uem Term in GI. I (. Tab. I .1) w r n \ ir in der L ~ . di eldgl ihungen in Termen v n und if> in einer Form zu hrei n. di infa hit und unmiu Jbar e i htli h ma hl, da eJektromagn Li h 11 n e i tieren. u "i I n pr -ti· h n EI' 'ägung n i t e immer n h bequ m, die ur prüngli h n GI i hung n in Tenn n v n E und B zu verwenden. ber ie li gen auf der anderen iL d B re ' cl n wir r it rklomm n haben. ir ind nun b reit, auf di and re Jank überzuw h In. Die inee w rd n and au hauen - wir ind für neue und h rrliche u i hl n gerü t L

19

Das Prinzip der kleinsten Wirkung

in

,peziaEvorl ung - Ca t wortgetreu t

Al ich im G mna ium ar, ri f mi h mein Phy iklehrer - er hieß Bader - eine Tage nach der Ph i tunde zu ich und agt :" ie chauen gelangweilt drein; ich \ ill Ihnen etwa rntere aote erzählen." Dann erzählte er mir twa, da ich ab olut fa zinierend fand und da mlch eitdem f zinien. Immer wenn da Thema auftaucht, arbeite ich daran. Auch al ich mit der Vorb reitung die r rl ul1g bgann, \ ar ich auf einmal ieder dab i, die Frage zu analy ieren. n tatt mich um meine rl II.lng zu kümrn rn, war ich mit einem neuen Problem be chäftigt. Da Thema, um d dabei geht, i t da Prinzip der klein ten irl...'llng. Herr Bader agte mir oig ncl :,. I Hen ie ich ein Teilchen or (zum Bei pie] in einem Gravmtation feld) d irg nd I läuft und ich fr i an ein n anderen Ort bewegt - Sie werfen e , es tli gt nach ob n und kommt i d rh runter.

t pälere Kapitel bauen ni

hl

auf dem toff die r peziahorle ung auf - i i

l

zur, Unterhaltung" gedacht.

346

m von einem ur ptiinglichen an eLnen endgültigen On zu - mrn n, rau ht e timrnte Zeit. nd nun ver uchen ie ine andere B wegung. t 11 n i ich vor. da von mer na b don zu gelangen, 0 läuft:

o

lfl

be, um

e aber in genau der eIben Zeit dort ank mmt." Dann fügt

r hinzu: ..Ber hn n ie nergi pri ht. finden ie. da die

zu jedem Zeitpunkt auf dem Weg die kin ti eh Energie, zieh n da\ on die pot miell ab und integri ren da über die Zeit, die dem ganzen Weg nt erhaltene Zahl größer al die für die wirkli he B w gung i t.

Mit anderen Worten, die ewt n ehen Ge etze k"nnte man t tt in der Form F = ma au h in der Form f en: Die millI re kineti ehe nergie minu d r mittleren tenli lien Energi i t für den eg eine Objekte v n einem Punkt zum and rn kl in al m"gli h.

La en ie mich etwa mehr ran chauli h n. \ adamit g mint i 1. ehm n wir den Fall de Gra itation felde ; legt da Teil h nd n g x (1) zurü .k (b h('nk n \ir un im ugenbli k au eine Dirn TI ion; die Trajekt rie v rtäuft auf und ab, aber ni ht itwärt). wobei x ine Höhe über dem Boden i t, 0 belrägt die kin ti h n r i ~m(dx/d/)~ und di p t nÜelle Energie i t zu jedem Zeitpunkt mgx. I h bild d nn zu j d m ieitpun rt ntl n d g die kineti he minu der potentiell n Energi und in! gri re da n h der Z it, \' m An ang bi zum Endzeirpunkt. ehmen wir nun an da ir ur nfang z it I, uf einer b timmt n Höhe begannen und am Ende, zur Zeit ''2' an ein mander n n oden, i he Bil uf it .n.

o

Integral i l dann

fI."[12

m (dX)~ dt -rn x dt.

]

19 Das Prin;.ip der klein len , irklll1g

., 7

Oie wirklich B \ egung rläuft in einer be timmten Kur e - tragen wir x gegen die Z it auf, o i t e eine Parab I - und gibt un ein n b timmten Wert de Integral . Wir könnten un aber auch eine ander Be\ egung vor, tellert, die ehr hoch h.inauf teigt und dann in eigenartiger Wei e auf und ab verläuft:

Wir können die kineti che minu der potentiellen Energie berechnen und für einen olchen Weg integrieren - oder au h für jed n beliebig n anderen Weg. Das Wunder be teht darin da der echte Weg derjenige i l, für den das Integral am klein ten i 1. Probieren wir e au, Betrachten wir zuer t den Fall eines freien Teil hen , da k,einerlei ieh in einer orgeg benen Zeit on einem Punkt zu potentielle Ener ie b itzt. Bew t einem anderen, i t laut Regel da Integral einer kineti ehen Energie am kleinsten, folgE b mu e ich mit gleichförmiger G h indigkei[ b \ egen, (Wir wi eo, da da die richtige Antwort i t - B egung mit glei hf"mliger Ge hwindigkeit.) arum i t da o? Weil bei einer anderen B wegung de Teilchen di Ge chwindigkeit manchmal größer und manchmal kleiner al da Mit[ I äre. Di mittler Ge chwindigke't i t in allen FäHen die eIbe, weil e in einer vorgeg,eb nen Zeit n .,hier'· n h ,dort' ö langen mu , Sagen wir al Bei pi 1 i mü en in einer vorgegebenen Zeit mit dem Auto on daheim chule fahren. Da könn n ie auf ver chi dene Wei e tun: ie können am Anfang irr innig be chleunigen und gegen End abbrem en, oder ie können mit gleichförmiger Ge ch\ indigk I gr.

=

Wenn ie nichts on d r Diff r mialr hnung wü ten, könnten Sie in der elben Weise vorgeben, um da Minimum einer g WÖhlllichen Funktion fCx) zu finden. Si könnten di ku tieren, wa ge chieht wenn nlan fex) betrachtet und einen kleinen Betrag h zu x addiert und dann {:o]gern, da . die Korrektur zu fex) in er t r OrdnuD ö in h am Minimum null ein mu . Sie würden x + h für x ein etzen und bi zur r [ n Ordnung in h entwickeln ... genau 0 wie wir e mit 1] machen rden. Die Idee i t dann da

wobei ich die potentielle

\ ir X(1)

= x(r) + 'lU) in die Formel für die Wirkung ein

etzen:

n prie V(x) nenne. Die Ableitung dxl d1 i t elb t er ländlich die

Ableitung von .tU) plu d r Ableitung von 17(1), erhalte:

0

da

h für die Wir ung dieen . LI druc'

- + -d'l)2 - Vt! + 17) ]dl. [ "[m-2 (d~ dt dt

5 =.

I

Da mu

ich nun au führli her chreiben. Für d n quadri rt n

u dru k rhalt

h

d~-d17- + (d'l)2 ,2 ( -d~)2. dr dl de dl ber \ arten ie. Höhere Ordnungen al die er te inter ier n mi h ni hl. d halb t ke i h und höhere Potenzen enthalten, in eine kleine ha htel mit der ufalle Au drücke. die hrift ,.zweite und höhere Ordnungen . Vom leLZten u dru k rhalte i h nur Beiträge zweiter Ordnung. e gibt aber noch mehr von anderen Anteilen. Folgli hit der Beitrag. den wir on der kineti chen Energie erhalten

r

m dx:2 _ dl

d!, d7]

m-dt dl

(zweite und höhere Ordnungen).

'l

Potential V für,! + 7]. Ich betr hte al kl in. 0 d ich (x) al Ta lorreihe chreiben kann. Da ergibt näherung wei e C:!)' in d r näch (n äh rung gemäß den gewöhnlichen Eigen haften der bleiwngen) i t die Korrelctur 7] mal der nderung rate von V mit x und 0 fort: 'V ir brau hen nun d

Vl!

Tf)

T

= V(~

?

1]V' (f) +

~

V"W

Ich habe V' für die bleitung on V na h x ge etzt, um wenig r hr ib n zu mü en. Der Term in und die folgenden fall n in die Katecorie ..zweit und höher Ordnungen" und \ ir brauchen un nicht um ie zu kümmern. Wir etz n all zu amm n und erhalt n

r1

5=

f 2[m I

- (d!)2 dt

I

VW + m -d,! -d'l de de

7]

I

enn wir da genau betrachten, 0 ehen wir, d hier angeordnet habe. der Wirkung _ ent prech n, fe hnet härte. Da , worauf ich mi h konzentrieren zwi hen 5 und d m~, da wir für den richtigen zeichnen wir mit 85; er heißt die ariation n S. Ordnungen" wegl e, erhalte i h für 8

85 =

I I

l 1 [ I

d,! d7] ,] m - - - 1]V W dr. dt dt

(z~ 'eit

und höh re Ordnung n)] dr.

die heid n r ten u drü !ce. wi i h die i h entl ng d ri hti n 'V eg ~ beill. i t di nd rung in - d r nte hi d gerhalt n würd n. Die n nt hi d b enn i h die u drii ke ,,Zweit und hooh r

....

-".)

Da Probl mit nun f Igend : Hi I' i lein Int gral. J h weiß no h nicht as ,! i t aber ich weiß, d d 1m gr I null in mu ,was al/eh immer 1] in mag. Gut. Sie werden denken. das da nllr 0 pieren k nn. d d r Fakt I' ver eh indet. mit dem 1] multiplizi n i t. ber a i t zu dem er ten Term mil d1]/dl zu agen. I 0 gut, wenn chließlich 77 etwas Beli big ein kann, dann i I U h in bleitung lWJ Beliebige und daher hließen Sie, d der Koeffizient on d1]/di eb nf 11 null in mu . Da i t nicht ganz richtig. Eil nicht ganz richtig \ eil ein Zu. amm nhang z\\'i hen '1 und einer bl itung be tehr: die e Größen ind nicht öllig unabhängig voneinander. weil 1](1) ohl b j, I al au h'2 nun ein mu s. Die eth de zur L" ung aller Pr bleme in der ari tion re hnuilg baut immer auf dem eIben allgemeinen Prinzip auf. ie ver hieben da, a i h ändern oll (wie ir e getan haben. indem ir 1] hinzufügten)' ie hauen i h di u. drü ke er tel' Ordnung an; dann ordnen Sie die Au drück 0 an, da' i in 1m oral in d I' oml ir endetwa mal der er chiebung (1])"' erhalten, ab r ohne da ander bleitungen vorkomm 11 (a! 0 kein d7]/ dt). Man mu 0 umformen, da immer ..irgendetwas" mall]· rk mmt. i werden gleich ehen, wie wichtig da i t. (E gibt Formeln, di Um nagen, ie ie da in einigen Fällen tun können, ohne eigentlich zu rechnen, ab r. i iod ni In aHg m in g nug und daher ni hl der Mühe wert; 3m be ten rechnet man 0 ie \ ir hi L) Wie kann ich d n u dru k d'l/dt 0 umformen, da der Faktor.,., auftritt? Ich kann das l llt i h h rau. da der ganze Tri k bei der aerreichen indem ich partiell int gri r . riation rechnung darin b leht. da man die ariation von Sauf chreibt und dann 0 partiell integriert, da keine bl itung n n 7] mehr' orkommen. Da i 1 bei allen Problemen mit Ableitungen immer die elb ühle. ie erinnern ich an da Hg m in Prinzip der partiell n Integration. Soll eine Funktion f mal d1]/ dl nach' integriert werden, 0 hrei n ie zuer t die bleitung on '11 an: d

d/ 17f)

df

= T/d( + f

dT/ dt .

Das gewün cht Tntegral i t da üb r den letzten

J

d1] f-dt dt

= ll! -

Li

druck, daher i t

f l]-dr. df dr

Die Funktion J in un rer orm 1für oS ist m mal d,!/dt, infolgede en erhalt ich für oS die folglende Formel: tiS

dx I/~ - fr~ = m-=17(1) ~

/I

/I

d( dx) '1(t)dt -

~

111-=

dl

I'~ V'(j)1](t)dt. /I

Der er te _IJ dru k mu n den b id n renzen ,) und t2 au gewertet werden. Dann mu ich da Integral der re tli h n 11 fl11 d r partiellen Integration berechnen. Der letzt Au druck bleibt ohne Änderung übrig. Jetzt tritt etwa ein, da imnl:er pa ieren mu - d r integrierte Teil v r chwind 1. (SoHte er nicht er hwinden 0 formulier n Sie da Prinzip neu indem Sie Bedincrungen hinzufügen,

3 4

die ieher rellen. da er er chwinde[~) ir hab n ber ir ge agr d 1] n id n End n d ege nuH ein mu . weil dann die Wirkung laut Prinzip am klein ren i r, w nn die veränderte Kurve an den gewählten Punkten beginnt und nd t. Die BedinO'ung i I 1 ,da '1(T I ) = 0 und 7](tJ = O. Der integri rte u druck i 1 dah r null. Wir ammeln di and ren u drü kund erhalten: 8S

=

- [d') -m -~ -

L I,

I,

dt

]

V ' (:!) 1]([)dl.

Die ariatian in 5 i t nun 0 ge hrieben, wie ir da arh n n - e gibt ein Gr"B mern, nennen wir ie F, multipliziert mit 7](t) und inte riert von r t na h t:2' ir teilen Fe t, da

f

F(t)T/(t)dt

ein Integral von ire> ndeinem Zeug m

11]([)

immer null i

10

am-

l:

= O.

n inern Icb habe eine Funktion von t; ich multipliziere ie mit Tl(r); und i h int gner i Ende zum anderen. nd wa au h immer 1] i t, ich erhalre null. D bed utet, da die Funk.'tion F(t) erschwindet. Da i tunmittelbar einzu ehen, rr lzdem viII i h Ihn n eine rt \' n B \ ei

zeigen. ehmen ie an, ich hätte rur 1](t) etwa gewähh da überall e chwind t. uB r in d r on t. E bl ibt null, bi zu di m r k mrnt. unmittelbaren ähe eine be timmten Wert dort chnellt e einen Augenblick lang zu einer pitze auf. w rau e o~ rt wi d r u null abfallt:

i t di einzig 1 n . an Integrieren wir die e 7], multipliziert mit irgendeiner Funkti n F, der ie el andere al null erhalten, die, an der 1](1) hinall hn Iit und dah r rhalten i den en von F an die er tell multiplizi rt mit dem Integral über di pitz. D Int gral über die pitze a11 in i t ni ht null, ber wenn mit F multiplizi rt \ ird, mu d in; di Funktion F mu daher an der teile ver chwind 11, 0 ir di pitz h II n. b r di pitze kann ich hin etzen wo ich will, folglich mu F üb raH null in.

355

Offen ihrlieh gilt al ; I tun er Integral ür b li bige Tl null, 0 mu auch der Koeffizient von 1] null in. Da ir ung 'i nt er 1, ird für d n W g am klein ten ein, der die e komplizierte Differenrial.gleichung rfüllt

'(x] = O. In WirkJi hkeir i t ie ni hr 0 komplizi fit; i haben i chon früher ge eh n. E handelt ich einfach um F = ma. Der r te u druck i t die a e mal Be chleurligung und der z\ eite i t die Ableitung der potentiellen nergie, die die aft i l. Folglich haben wir zuminde 't für ein k n klein ten irkung di richtige ntwort gibt; elz erfüllt. derjenige j t der \ ton

tem gezeigt da da Prinzip der der Weg mit der klein ten Wirkung

Eine Berner ung: i h hab ni hl be ie en, da e ich um ein Minimum handelt - ielleicht i tein a imum. E mu tat ächli h nicht wirkJi h in Minimum ein. Die Sache i t onkommen analog zu d m,. \ ir b züglich de "Prinzip der kürze ten Zeit in der Optik fe tgestellt haben. 1I h da pra hen wir ZlIer t on d r "kürze ten ' Zeit. Dann teHte ich jedoch herau ,das e Fälle gab, in denen e nicht die kür~este Zeit war. Da Grundprinzip \ ar, da die A:l1derun der Zeit für jede Variation erster Ordnung entlang d opti ehen ege null i t· genau 0 i t hier. In irkli hkeir oll n wir mit "am klein ten" agen das die Änderung er ter Ordnung im Wert von 5 null i t, wenn man den Weg verändert. E handelt ich nicht notwendigerwei e um ein ,. inimum". AJ äch te einige zu den rallgemeinerunaen. Die Sache kann [ aHem in drei Dirnen ionen durchgeführt \! erden. fl telle \I n nur x hätt ich dann x y und z als Funktionen von r; die irkung ist kompli1.i rter. Flir eine Beweoung in drei Dirnen ionen mü . en Sie die ge amte kineti ehe Energie ven\! nden -(11112) mal der ganzen Ge chwindigkeit zum Quadrat. Da heißt

Außerdem i t die p tentielle Energie eine Funktion von x, y und z. Und wie reht e mit dem Weg. Der eg i t ine an m in Kur im Raum, dj ich nicht 0 leicht zeichnen läs t, aber die Idee i t die elb. nd wa Tl anb langt. un gut, 1] kann drei Komponenten hab n. Sie könnten die Weg in x der in y der in - - od r in an n dr i Dirnen ionen gleichzeitig abändern. 1] wäre daher ein ekt r. In irkli hkeit komplizi rt da die achlage nicht allzu ehr. Da nur die Variation e~ leI' Ordnung null ein mll" , k"nnen wir die B r chnung mit Hilfe von drei aufeinanderfolgenden r ehiebungen durchführ n. Wir könn n 77 nur in der x-Richtung er chieben ffizi nt null in mu. ir erhalten eine Glei hung. Dann er chieund agen da d r ben wir e in der y- Ri hlUng und rhalt n eine andere GI i nung. Dann in der 7-Richtung und wieder eine andeL GI i hun . Od r Ib tver tändlich in jeder anderen Ordnung. Jeclenfall erhaJten ie drei GI i hung n. nd da ewton h G etz bedeutet natürlich in Wirklichkeit drei leichungen in d n dr i Dirn n i n n - in· für j de Kompon me. I b glaube zwar, das ie nun prakti ch ein h o. da di ach gehen mu , ab re ei Ihnen überlas en eigen tändjg zu zeigen, da ie auch in dr i Dirn n ion n funktioni rt. ebenb i bemerkt, könnten Sie

356 auch jede andere gewün hte Koordinaten y t m elwend n. P lar- oder and r rdin ten, und könnten die e\ ton hen Ge etze in di em tem bl en. indem ie na h ehen. \! a p ieTt. wenn die er chiebung '7 im Radiu. der im ink I et "au tritt. In irklichkeit kann die ethode für eine b liebige nzahl 'on Teilchen \ rall u meinert werden. agen wir. ie haben zwei Teil hen. zwi h n den n in Kra t "irkl. 0 da eine gegen eitige potentielle Energie gibt; ie addieren dann einfa h die .' n ti he Energie b id r Teilchen und nehmen die potentielle Energie der geg n eitigen W h eh, ir ·un". nd wa verändern ie. ie verändern die Wege der beiden TeiIch n. Dann gibt e h GI i hungen für zwei Teilchen, die ich in drei Dirnen ionen bewegen. ie können die Lage v n Teil hen 1 in der X-, in der y- und in der --Richtung erändern und da Gleich mit Teil h n _ tun: e ibt daher e h Gleichungen. Und genau 0 mu da ein. Dr i GI i hungen be timm n di Behleunigung von Teilchen I in Term n der darauf irkend n Kra t und dr i di Be hleunigung on Teil hen 2 au der ent prechenden Kraft. ie folgen d m eIben hema und rh It n d e\\ton he Ge etz in drei Dirnen ionen für ein b liebige nzahl \' TI Ti il hen. ewton eh Ge etz erhalten. Da i t ni ht ganz ri hrig. eil ton ewton Ge etz ni ht-kon ervative Kräfte wie bei piel w i die R ibung umfa l. agte. da ma gleich jedem Fit. Aber da Prinzip d r klein ten Wirkung gilt nur für kon ervative y terne - in denen alle Kräfte au einer Pot nlialfunkti n her hnet w rden k··nnen. ie i eD jed h, da e auf mikro kopi ehern iveau - dem fund m ntal t niveau der Phy ik - keine ni ht-kou ervati en Kräfte gibt. i ht-kon ervarive Kräfte wie R ibung Ir l n nur auf. n t zu viele weil wir die mikro kopi ehen Komplikationen außer ht I eu - man mü l Teilchen analy ieren. ber die fundamentalen Ge elle könn n in d r Form ein Prinzip d r klein ten irkung ge ehrieben werden. Ich habe ge agt. da

wir da

La en ie mich noch weirer veraJlgemeinem. Frag n ir. w p i n, \ on i h da ehen relarivi ti h bewegt. Wir haben nicht di richtig relativi ti h Be\\eounr: olei erhalten: F = ma i t nur im nicht-relativi ti ehen Fall ri htig. Die rng i t: Gibt in n chende Prinzip der klein ten Wirkung für den r lali i ti hen Fall. E gi t in. Di F im Fall der Relati ität theorie j t die folgende: 5

.,

= -moc

f ".J -

1-

.,?

\I /cdr

- q

I,

II, -

[t;b(x, y, -, r) - ,•.

"t ilhung prrrn 1

(x. y. -.l)]dr.

(,

e mo mal c- mal dem Integral iner Ge hwindigkeil funktion I n teHe d r einfa h n potenli Il n En r ie hab n wir dann ein Integral über da kalare Pot n6al f/J und üb r v mal d m e't rpot ntial atürli b berü ichtigen wir dann nur elektromagneti he Kräfte. Il el -tri h n und m en ri h n Felder können durch t;b und A au g drückt w rd n. Di irkune fun 'non li ~ rt un di voll tändige Theorie der relati i "ti eh n Bew gung ein einzelnen Teil hen in in m el ktromagneti h n Feld. Der er te Teil de

irkung integral i t die Ruhem

Y

,,2/ c2 .

rten v u h n, überall rt. elb t tändli h mü en le, o i h v ge hrieben habe. dx/ eil für v ein etzen und n pre h n ftif je and ren· mpnemen. ußerdem erzen ie für den pt;nkt ntlang d ege zur Zeit t x{r) y(t), -(I). \ i h nur einfach x, y. z ge ehrieben habe. Genaugenomm n könn n i di irkung ~ rm I für ein relativi ti he Teil hen er t erhalten nachd m ie di v' [zt ha n. 1 h über! n

19 Da Prinzip der kleinstell Wirkll/1

Fähig ten unt, r Ilhnen d rzul n. d di irkun formel lat ä hli h die ri htigen Gleichungen für die relati i ti h B w ung rgibt. Darf ich or hlaoen. da Sie da zue t ohagnetfelde ? Si mü en dann die ne dAdurchführen. da h ißt in bw nheit eine Komponenten cl r B \ gung gl i hung dp/dr = -qVl/J erhalten, wobei, ie erinnern ich, p = movl.Jl _1,'2/ c l i t. E i t elu viel hwierioer auch den Fall mit einw chließen in dem e elO ektorpotential gibt. Die ariati n n erden hr viel k mpliziert r. Aber am Ende kommt herau , das der Kraftau druck gleih q(E + v x B') i I, i d 0 ein mu . 00 h damit ollen ie ich arnii ieren. Ich möchte hervorheben, da im allgemeinen Fall, bei piel wei e in der relativi ti ehen Fonnel, der irkung integrand nicht mehr au d r Differenz der kineti hen und der potentieUen Energie be teht. Da gilt nur in der niehl-relati i ti ehen äherung. Zum Bei piel i t der Au dru k moc 2 ..J I - \,21 c~ ni ht da , w \ ir di kin ti he Energie genannt haben. Die Frage, was die 'irkung in j dem einzelnen Fall i t mu dur h Au probieren gelö t werden. E handelt ich um genau da glei he Problem wie b i drAuf tellung der Be\ egung alei hungen. Sie mü en einfach mit den Olei hungen di i kennen, herumba teIn und er uehen, ie in die Form de Prinzip der klein ten ' irkun o zu brinoen. Eine weilere Bemerkun a zur Terminolocrie.. Die Funktion, ctie über die Zeit inregriert \ ird um die Wirkung u rg b n, heißt die Lagrangefunktion L; ie hängt nur von den Ge eh\ indigkeiten und! Ollen der Teilchen ab. Daher kann man da Prinzip der klein ten irkung aueh chreib n aI

wobei mit x j und Vj alle On - und G h indigkeit komponenten gemeint ind.Wenn ie al 0 jemanden von der Lagranoefunktion pm hen hören, dann wi en Sie, da das die Funktion i t, die zur Bere hnun o on S er endet wird. Für die relativi ti eh Be\ egung in einem elektromagneti hen F id i I

Außerdem mu ich hinzufü en. da on ehr genauen und pedanti chen Leuten ni hr die ,Wirkung' genannt \ ird. ie nennen "Harnilton ehe er te Prinzipalfunktion . un lehne ich e ab eine Vorle ung üb r "da Prinzip der kl in ten Hamilton ehen er ten Prinzipalfunktion" zu balten. Daher nen.n i h ,di irkung' . Auß rdem nenn n e mehr und mehr Leute die Wirkung. ehen i, früh r nannt man twa anderes, da ni ht ganz 0 nützlich war die Wirkung, aber ich haLte e für rnünfti r, zu d r neu ren D finhion überzugehen. Auch Sie werden nun di neu Funkti n di irkung n nn n und bald werden alle die en einfachen amen erwenden. Ich wiU nun einige zu die em Thema agen, a ich in ähnlicher Form hon in der Di ku ion de Prinzip der kürze ten Z it daroel gt habe. in Oe tz, da au drückt da ein b tirnmte Integral on einem Punkt zu ein !TI ander n in Minimum i t - wa eine Au age über

3S den ganzen eg darstellt - unter heidet i h in char t ri ti h r ~ 'ei \' n in m 01 h TI, das be agt. ährend man i h vorwärt bewegt, exi ti n ine Kr ,di eine B hJeunigung hervorruft. 0 zweite Ge etz belehn UD dafÜb r, \\ ie man en W g tü k für tück findet. während da and re eine globale u age über den ganzen g d tellt.·· r d n Zu ammenhang zwi hen die en beiden u agen haben ir im Fall de Li ht ge pr h n. un mö hte ich erklären, arum e Differentialge etze gibt, enn ein Prinzip der klein ten Wirkung von die er Art e i tiert. Der Grund i t der folgende: Betrachten wir en e e ·tiven \\ eg in Raum und Zeit. ie zuvor betra hten wir nur eine Dirn n ion. 0 d wir d n Graphen von x al Funktion von t auftragen können. Entlang de richtigen Wege i t in inimum. tell n wir un vor. v ir haben den richtigen Weg und er verläuft durch inen timmten Rumzeitpunkt a und durch einen anderen nahegelegenen Punkt b:

I t nun das ge amte Integral von t] nach t'J, ein lmmum. i t zwang läufig au .h d Integral entlang de kleinen b chnin ab ein inimum. E i t unmögli h. d - d r Tell n a nach b etwa größer i 1. on t könnten ie mit genau die em tü k d g herum pielen und das ganze Integral etwa kleiner machen. Daherrnu au hjederAb hnittd ege ein lllJmUm ein. nd da klein der Ab hnitt i t. Infolgede en kann da Prinzip, nach dem d r ganz

359

in den eg teIlten, da di Ph t n n ni ht mehr alt Wege au probieren konnten. tellten i i h ni ht üb r d n ri htig n eg im Klaren aren. und wir erhielten da wir fe t, d Phänomen der Beugung. I t da in d r echanik genau timmt. da da Teil hen nicht einfach nur "dem ri htigen eg • f Igl. ond rn da e alle ander n mögrchen Bahnen unter u ht? nd erhalten wir ein nal g n zur B ugung \\ enn \ jr Hinderni e auf tellen, 0 da e nicht na h chauen kann? Das under b i all dem j t, d . e nau da pa iert. Da i t das, wa un die Ge etze der Quantenme hanik agen. D halb i t die u age un er Prinzip der klein ten irkung un oll tändig. i t ni ht . da ein ~ il h nd m eg der klein ten irkung folgt; e riecht ielrnehr alle ege in der achbarschafl und wählt dann denjeniaen mit der klein ten irkung: eine Meth de enl prichl clab i der die da Licht verwendet um die kürze te Zeit zu wählen. ie erinnern ich, da di .ei e. in d r da Li ht di kürze te Zeit wählt die folgende i I: ürde e einen eg ein chlag n. ür d n ine and r Zeit brau ht. 0 käme e mit einer anderen Ph e an. nd r eits i t die Ge amtamplitude an einem be timmten Punkt die Summe der g n ent pre hen. auf denen da Licht ankomAmplitudenbeiträge, die aJlen r hied n n men kann. Alle die ege. die zu ehr er chiedenen Pha en führen, tragen in ge amt nichts bei. Können Sie aber eine ganze R ih n gen finden, für die die Pha en nahezu glei h ind 0 addieren ich die kl in nB iträg und i erhalten eine ernünftige ge amte Ankunftsamptitudeo Der eg der zähh. \ ird der mit ielen Tachbarwegen, die alle die gleiche Phase ergeben.

In der Quantenm chanik i t d genau O. Di oll tändige Quantenmechanik (für den nichtrelati i ti ehen Fall und unter machlä igun o d Elektron pin ) funktioniert wie folgt: Die Wahr cheinlichk it, da in Teil hen am Punkt 1 zur Zeit t l 10 läuft und am Punkt 2 zur Zeit t2 ankommt i t da Quadrat einer ahr cheinlichkeit amplitude. Die ge amte Amplitude kann ge chrieben werden al die Summe der mplituden für jeden möglichen Weg - für jede Ankunf möglichkeit. Für j d mögli he X(T) - für j de mögliche arge telite Bahn - mü en \ ir eine Amplitude b rechnen. Dann zählen ir die mplituden alle zu ammen. Welche Amplitude i t jedem . eg zuge rdnet. E i t un er irkung integral, da un agt, wie die Amplitude gau eh n mu . Die mplitude i t proportional einer Kon tanten mal für einen einzelnen eiSlll , wobei 5 die Wirkun für di en We i t. Da heißt: tellen wir die Pha e der Amplitude durch eine kompie e Zahl dar 0 i t der Pha enwinkel 51ft. Die Wirkung 5 hat die Dirnen ion Energie mal Zeit und die Plan k ehe K n tante hat die eibe DiOlen ion. E i t die e Kon tante die be timmt, ann die Quant nme hanik ichtig i t. Und das funktioniert 0: ei für alle ege ehr groß im ergleich zu ft. Ein Weg trägt mit einer be timmten Amplitude b i. Für einen W g in der ähe i t die Pha e ganz ander , weil gar in kleine Änderung in Seine öllig ander Phase bedeutet bei einem ehr gr ßen il tl 0 kl in i t. Dah r foeben b na hbarte Weg normalerwei e Beiträge, die und z ar ich bei der Additi n mpen i r n - außer in einem Bereich, und da i t der, in dem z\ ei benachbarte eg in er Ic r äh rung die eibe Pha liefern (genauer ge agt, bi auf Korrekturen der Größ nordnung tr die elb irkung). ur die e Wege ind wichtig. De halb kann man im Grenzfall in dem di Planck h Kon tanle f7 vernachlä igt wird die korrekten quantenmedie e chani ehen Ge etze zu ammenfa en, ind m man einfach agt: erge en ie alle , Wahr cheinlichkei amplitud n betrifft. Da Teilch n folgt einem be anderen eg, nämlich dem für den i h in r t r äh run nicht ändert.. Da i t die Relation z i hen dem Prinzip der klein ten irkung und d r Quant nmechanik. Die Tal a he da die Quantenmechanik in die er Wei formuliert erden kann, wurde 1942 on inem Schüler de eiben Herrn Prof.

360 Bader entdeckt. von dem ich am nfang die er arie ung g proch n habe. [Di Quant nmehaillk wurde ur prüngli h mit Hilfe einer Differenrialglei hun o ur die mplilUd f nnuli rt ( hrödinger) und au h in Form einer atri rechnung (H i nb rg).] lun möchte i h über andere Minimalprinzipien in der Phy i - pre h n. E eibt viele. di ehr intere ant ind. Ich werde nicht ver uchen, ie jetzt alle ufzuzählen, nd m nur n h ine be chreiben. enn wir päter einem ph ikali h n Phänom n begegnen. dein bübche Mimmalprinzip aufwei t, werde ich darauf hinw i en. J tzt \\ ill i h z ig n. d wir di Elektro taük auch ohne Vorgabe einer Differemialglei hung für d Feld b hr ib n können. indem wir ford m, da ein gewi e Integral ein a imum er in 1inimum annimmt. nter u hen wir zuer t den Fall, in dem die Ladung di hte überall bekannt i ( un wo d Problem darin be t ht, d Potential f/J an jedem Punkt im Raum zu finden. i . nn n die Lö ung:

\,-f/J

= -P/Ev·

ber eine andere wobei

öglichkeit, da eibe au zu agen. i t die: Bere hn n ie d

Lntegral

E handelt i h um ein olumenintegral, da üb r den ganzen Raum zu für die ri htige Potemialveneilung cp(x, y, ~) ein inimum an.

tre k ni t. E nimmt

Wir können zeigen, da die beiden Au agen bezüglich d r lektr ählen wir zunä h t eine beliebige Funktion cp. ir m" ht n z ieen. da Ordnung von U· er chwindet wenn wir ür f/J d korrekte Potential Abwei hung fein etzen. Daher chreiben wir

lati äqui 1 nt ind. die" nd run o ter f/J plu ein r kleinen -

tb=tb+f. dJ i t da ,wa wir uchen, aber wir ändern e ab, um hefau zufinden. \vie au eh n mu ~ damü die ariation von U· in er ter Ordnung ve hv. indel. Für d n er ten ~ il von benötigen wir D

Der einLige

u druck er

t

r Ordnung, der ich ändert, i t

2Vt!.-Vj. Im zweiten Term von U· i t der [ntegrand

pm

=~

pf,

de en variabler Teil p Integral

i t. Behalten

ir nur di "riahl n Teil bei.

0

nötig n wir d

J 9 Das Prill:ip der kl ;11 'ren Wi rklillg

61

Einer hen allg m in n R e I r Ig nd mü rungen nl b fr i n. hen wir na h, a di

n wir nun d erfli 'te Ding \Ion allen bleibl itungen ind. Da kalarprodukt i t

f)~ 8f Bf ~ - + -~_ .... _ 8x Bx -" y 8- B-'

und d mü en ir n h x. y und.: inte rieren. Der Trick i t der folgende: um o/Iox 10 zuwerden. integrI r n wir p i 11 n h x. 0 führt di bleitung auf r/J über. Da i t die eIbe allgemein [d e. di wir v rw nd [ hab n, um die bleituneen na h (10 ZU\ erden. Wir verwenden die ld ntität

f

at-.1dx x _

=f ~x - JfB-~dX. .r

Der integriert Tenn er hwind t, da f im n ndli h n null ge etzt werden mu . (Da entpricht einem ull [zen on'7 b i (I und (2' n er Prinzip mu al 0 genauer formuliert werden: U· i l für da wirkli he r/J kl in r al für j de andere ifJCx, y . .::). da im nendlichen die eIben ert annimmt. Dann tun ir d lb mit y und -. Dah r i tun er Integral tlU·

U"

=

!C-

2ifJ - p)JdV.

Damit die e ariation für jede beliebige und infolgede en i t

f

null i t, mu

d r Koeffizient von

f

er chwinden

Wir erhalten, ied run r alte Gleichun . Folglich i t un ere ."Minimalidee" korrekt. er lIg m in m enn wir etwa ander r hnen. Gehen wir zuhn di K mp nenten zu bilden. Dazu betrachten wir wer t die rück und integri ren parti 11 folgende Identität:

Wir können un er [d

v·(fVp)= VI· V~+f

2cfJ·

Indem ich di link il au differenzier , kann i h zeigen, da i genau gleich der rechten eile j t. Mit Hilfe die r 'Glei hung k"nnen ir nun partiell integrieren. In un erem Integral I1U· er etzen ir - Vl/J· Vf dur h V· (fVifJ) - fV 2cfJ und integrieren da üb r da olumen. Da Volumenintegral der Differenz kann durch in Ob rflächenintegral r elzt werden:

f

V· UVp)d

=

f

jVfJ.' llda.

Da wir über den ganz n Raum integrieren, li gt die Oberfläch , üb r die wir integrieren, im Unendlichen. I r ch\ ind t dort und Ir rhalt TI da elb Re ultat i zuvor.

362

J

E t jetzt sehen wir, wie man ein Problem lö t, wenn m n nichT w iB, w i h di Ladungen befinden. [ellen wir un Leiter vor, auf den n Ladungen in einer be limmten i e v rt ilt ind. Wir können un er inimalprinzip au h dann anw nden. wenn die P t miale aller Leiter vorgegeben ind. Da Imegral in U' führen wir nur im Raumber i hau rh Ib 11 r Leiter au . Da wir dJ auf einem Leiter nicht ändern können, i t dann f auf aB n n pr h nden Oberflä ben nuU und da Flä henimegral

f fV~· j

nda

t immer noch null. D

verbleibende 01 umeni nt egral

mu nur im Raum zwi ehen den Leitern au geführt werden. Poi on ehe Gleichung \j21!.

= -pi

atürli h erhalten ",ir wied r di

.

Wir haben daher gezeigt da un er ur prüngliche Integral • au bein inimum auf' ei t, wenn ir e über dem Raumbereich außerhalb on Leitern au \ erten, di all au f ten Potentialen liegen (das beißt auf olchen, da jede ProbefunktioD dJ(x, y, -) glei h dem geuebenen Potential der Leiter ein mu ,wenn (x, )', :) ein Punkt auf der Oberflä he eine Liter i 1. Ein intere anter Fall liegt vor, wenn nur auf den Leitern Ladungen vorhanden ind. Dann i t

n er inimalprinzip agt, das ich bei Leit rn, die auf be timmt g ben Potentiale g Jaden werden. d Potential zwi ehen ihnen 0 ein teilt d d ullegral ein inimum aufwei t. Was i t die eIntegral? Der Tenn Vc/J i t die lektri he Fe! tärke, a1 0 i t d Integral di elektro ati ehe Energie. Da irkliche Feld i t da, el he um r all denen. di i h au em Gradienten eine Potential ableiten, die klein te Ge amtener ie h l. Ich möchte mit Hilfe die e Re ultat ein pezieUe Problem durchrechnen, um Ihn n zu zeigen d die e Dinge wirklich ehr prakti h ind. Ich betra bte zwei Leiter in Form eine Zylinder onden ator . Der innere Leiter wird auf das Pot ntiaI V gebra ht, der äußere auf da Potential null. Der Radiu de inneren Leiter ei a und der de äußeren b. ir können eine beliebige Potential erteilung ziehen den beiden annehmen. erwenden ir d richtige c/J und berechnen /2 (V~)2dV, 0 mü en 1f die Energie de

f

"6

k"nnen \ ir mit HilC un re Prinzip auch eber hn n. \ enn ~ tgelegt i t. Jede Potengröß r al der korrekte en

rglei h zum Fehler von l/J i. t. lehmen ie an, i h kenne die apazität eine Z linderkonden ator nicht. Dann kann ich sie mit Hilfe di e Prinzip b re hnen. I h pr bi re einfach 0 lange n ätze für die Potentialfunktion dJ au ,bi j h d klein te erhalte. I h ähle z. B. ein Potential da einer kOil tanten Feldstärk ent pri ht. ie \ i n natürli h, da die Feld tärke hier in irklichkeit nicht kontant i [. i ändert ich wie I Ir.) Kon tante F ld tärke b deutet ein Potential, das ich linear mit dem b tand ändert. Die dingungen an den Leitern ind rfülIt, wenn

r- a) ( b-a

f/J=V 1 - - . Die e Funktion i t gleich für r = a, null für r = bund dazwi ehen hat ie eine kon tante Steigung, die gleich - I(b-a) i 1. m da Integral U· zu finden multipliziert man da Quadrat die e Gradienten mit I_und int griert üb r da ganze Volumen. Führen wir die e Rechnung für einen Z linder der äng ein dur h. Da olumenelernenr arn Radiu r i t 27frdr. Ich integriere und erhalte bei mein m er ten er u h die apazität

~CV2(er ter 2

er uch) = Eo

2

lb a

2

227frdr.

(b - a)

Da Integral i teinfach; e ergibt

(b a)

7TV 2 -+- . b-a omit hab ich ein re ultat i t:

C

27TEo

=

onnel für die Kapazität, di nicht die 11Chtig

wohl aber ein

äherun oo

-

b+a 2(b - a)

Sie weicht natürlich on dem g nauen Re ultat C = 27TEo/ln(b/a) ab aber 0 chlecht i t ie nicht. Vergleichen ir ie mit dem ri htigen Re ultat für ver chiedene Werte on b/G. Ich habe die Re ultate in die er Tabelle zu amrnenge teilt: b

ri hlig

a

2lT 2

\0 JOO 1,5 I, I

\,4423 0,7 \ 0,434 0217 2,4662 \0,492070

1,500 0,833 0,612 0,51 2,50 10,500000

364

I herhalte ogar eine einigennaßen gute äh rung, W nn bla ...lei h _ \\ ird - \ b i linearem erlauf eine re ht große Abänderung d POl ntial bed ur l.. atürli h i r da R uha!. ird iel hl ht r, \\ nn man inen dünn n Draht wie erwartel. erw zu groß, Die achJag im Innem eine dicken Zylind r b trachtet. Die F Id tärk ändert i h d n hr tark. und e i I ni ht gut. ie durch eine Kon tante zu er erzen, Mil bla = 100 lieg n wir um einen Fakt r zw i fal eh. Für kJeine b/a i I die ituati n viel be er. D emgeg n tzl E trem li gt \' r. wenn die Leiter ni ht w it au einand rind, zum Bei pi 1 bl Cl = I, I - dann i t die kon lant Feld tärk eine gute äh rung und wir erhalten d n ri hlig n W n \on C mit einer Genaui k il von einem Prorrull . un möchte ich Ihnen agen, wi man 0 eine R hnung verbe m kann. arürli h w; e1l ie die richtige Antwort für die Zylinder. ab r die ethod fun 'ti ni rt au h für andere rrü kte Formen, für die Sie das riehlige R ult lvieIl i hl ni hl wi eo.) I nä hIn hrin er u hen wir eine b re äherung an da unbekannte \\ irkJi h dJ. Zum B i pie] könnt n wir eine Kon tanle plu einer Exponentialfunktion nehm TI el. her wi 11 man wi n, wann ine 'äherung be er i t, olange m n da ri hüge dJ ni hl kennt. ntwon: i her hnen C: d niedrig le C kommt der Wahrheit am näch len. Pr bi r n wir di Idee au. hmen wir an, das das Potential nicht linear, ndem bei pi I v. i qua rali h 'i n , abhängt da die el ktri he Feld tärke nicht kon lant. ondem lin ar in r i l. Die all mein te qu drati he Fonn. für die dJ ::: 0 an der telle,::: bund c/J ::: an d r t lIe , ::: a i l. 1 ut t

'-Cl r-a a(-)-(I+a)(-) , b-a b-a ']

a

wob i eine Kon tante i t. Die e Formal i I etwa kompliziert r. ie enthält owohl in n quadrali ehen a1 auch linearen Term. Eil ehr lei ht, die F ld tär e uzure hn n. ie beträgt

dr/J

aV

dr

b-a

E::: - - ::: - - - + 2{ 1 + 0')

(, - a) ?

(b-a)~

11 i h ftir un mü en wir d quadrieren und über da olum n integri r n, rh It! ~ a 0' in etzen? I h habe für r/J eine Parab I gen mrnen, aber \\ el h Parabel. I h ma he e R ultat i t Bere hnen wir die Kapazität mit ein m beJiebi el1 a.

~

2Jr

_ _ a_

[~(er:! + 20' +

- b-a a

6

3

iehr rwa komplizi n au ,aber h rau,

Da

I)

~a2 ~]. 6

komml b i d r Im gr li nd

19 Da Prill:;p der kl ;11 ( " Wirk/l/lf(

I h habe mil di .. r F nnel für ver hied ne 'verte von bl a bere hnet. Die e Zahlen nenne ich C quadrati h). Jn d r f I C miteinander \I r.~,Ji h n. h)

b

a

1.++-+ 0.7 0,-l75

.t

lO 1

O. 4 I, l.!

2,4 62 10.492070

2,4667 10,492065

I ( zum Bei piel da erhältni der Radi n zu I, 0 erhalt i h 1,444. was eine ehr gute äherung an d e akte R ult I 1.44_ i 1. oar für größ re bl a bleibt die äh rung rech! gut - ie i t ehr viel be r al die te äherung. ie i leib t dann recht gut - der Fehler beträgt nur 10 Pr z m - w nn biet 1 zu I i I. ird ab r 100 zu 1 - nun gut. dann geraten die Dinge auß r K nlr 11 . Ihrhalt für CO. 46 an I Be on 0,217. Dagegen i t das Re ultat für ein Verhältni der Radi n von l, au gezeichnet; und für ein bio olei h 1,1 erhalten wir 10,492065 an lall 10,49_070. Da. w da Ergebn! gut ein olll i te ehr, ehr gut. Ich habe die e Bei piete angeführt. um den theor ti. ehen ert de Prinzi.p der klein ten Wirkung und n inirnalprinzipien im lIg mein n zu zeigen und um außerdem ihren prakti ehen utz n aufzuzeig n - ni ht nur, um damit di Kapazität in einem Fall zu berechnen. bei dem wir die ntwort reil k nnen. Für j d andere Fonn können Sie eine angenähene Feldstärke mit inigen unb kannlen Parametern i b i piel \ ei e Q' erraten und die e dann 0 anpa en, das ie ein inimum rhalt n. ie erhalten au gezeichnete numeri che Re ultate für Probleme, die and r ni ht zu b ältio- n ind.

ach der orl ung iBZugefügte Bem rkung Ich möchte etwa. anfügen. für da in der Vorle ung keine Zeit mehr blieb. (Offenbar bereitle ich immer mehr or, al ich dann ortragen kann.) Wie ich früher chon bemerkte, bin ich bei der Arbei! an die r rl un auf in Pr bl mg toßen. Ich will Ihnen agen. um welche Problem e ich handelt. I h hab ~ tg tUt, da n d n inimalprinz.ipien, di ich erwähnen konnte, die m i ten auf di ein od rand r i dem Prinzip d r klein ten Irkung der echanik und der Elektr d namik ent tanlmen. b r e aibt auch ine Kla e. auf die d ni ht zutrifft. Daz.u foloende B i pi I: rd n tröme durch in tück eine arerial g chi kt. erteilen ie i h im Innem de tücke 0, da die Rate. für da da Ohm ehe Ge tz ilt, rojt derärme rz ugt ird klein wi m"'glieh i t. Außerdem können \ ir agen ( ofem i otherrne erhältni e h IT hen), da di Rat, mit d r Eneroie erzeugt wird, ein Minimum

i

t.

ach der kJa i ehen Ph i b limmt di e Prinzip oar die Ge h indigkei eneilung der Elektronen in ein m tr mführ nd n tall. Di G h indigk it verteilung der Elektronen j t ni ht g nau di GI i h \ i ht rt ilune> [Kapitel 40 Bd. T; GI. 40.6)], weil die eitwärt drift n. Die n u rteilun k nn au d m Prinzip gefunden rden, da e ich dabei umjen rteilung ür einen e> g b n n U· m hand It, für die die pro S kunde durch töße emtehend Elllr pie kJ in \ i m" li hit. Di irklich Be ehreibung de Verhältni e

366 Ib Prinzip der Elektronen ollte jedoch quantenm hani ch rfolgen. Di rag i t: gilt d der klein ten Entropieeneugung au h dann. w nn di iruation quantenm hani h b hrieben wird? lch habe e noch nicht h rau gefunden.

Die Frage i t natürlich von akad mi ehern Inter e. Der lei h n Prinzipien ind Fa zini r nd. und e lohnt ich immer, wenn man h rau zufind n v u ht. wi all em in i ind. I h will e aber au h au prakti ehen Gründen i en. Zu ammen mit inig n Kali gen hab i h eine Arbeit publizi n, in der wir mit Hilf< d r Quanlenm hanik näh rung 'wei d n I ktrihen 't ider tand bere hnet haben, den in Elektr n pün d i h dur h einen I nenkri lall wie aCl bewegt. [Feynrnan. Hellwarth ldding und Platzm nn, . bilit)' of 1 w EI tran in aPolar Cry iaJ4', Phys. Rev. 127, 1004 (1962).] Gäbe e aber in .inimalprinzip, k"nnt n wir damit ehr viel genauere Re ulrate erzi Jen, g nz wi im F ]J der pazilät ine Konden ata . wo wir mit Hilfe de Minimalprinzip die Kapazit"t ehr g nau be timm n k nnt n, obwohl un das eleletri he Feld nur in grob n Zügen ekannt war.

g n der Maxwellsehen Gleich ngen im leeren Ra m

20

o

Siehe auch: Band I.

apil 147: Band I Kapil 1_ :

20..

lei hung trahlung

Wellen im 1 ., ren Raum- ebene Wellen

In Kapitel I ind wir zu d m Punkl gelanot, 0 ir die voll tändigen Maxwell-Gleichungen or un halt n. He, wa man über die kla i che Theorie der elektri ehen und magnetichen Felder i en mu ,i I in d n i r Gleichung n enthalten:

1. IIJ.

P

V· B

v xE = -aBal

TI.

V·E=-

..,

=0

j

aE at

(20.1)

cVxB=-+-

Co

Kombinieren wir all di e GI iehungen, 0 toßen wir auf ein bemerken werte, neue Phänomen: Felder, die von b we ten Ladunaen rzeugt werden können die Quellen erla en und ich elb rändig im Raum au breit n, Wir haben einen be anderen Fall betrachtet, in dem eine unendliche Strom hi hl plötzli hing halt t wurde. achdem der Strom eine Zeit f eingechaltet war, e i tierten homogene elektri ehe und magneti ehe Felder, die ich bi zum Abtand Cl 011 der Quelle erstr ekten. ehmen wir an, die tram chieht liege in der z-Ebene wobei ich die Flächenladung dichte J in der po iti en -Richtung bewegt. Da eJektri ehe Feld hat dann nur eine y-Kompon nte und daagnetfeld nur eine z-Komponeme. Die Komponenten der Feld tärke betrag n J

Ey =cB: = - -

(20.2)

für po iri e x- erte klein r al Cl. Für größ re x er eh inden die Feld tärken. E gibt natürlich ähnliche Felder, die ich bi zum gleichen Ab tand on der Strom chicht in der negati eo x-Richtung er trec en. ln Fig. 20.1 z igen wir eine graphi che Dar teilung de Betrag

[lei

=clBl Fig. 20.1: Die elektri eh und magneti ehe Feld tärke al Funktion on x zur Zeit r nach dem Ein chalten der Strom-

- -c7

«

x

chicht.

36

der Feld tärken al Funktion von x zum Zeitpunkl I . • 1it f n hr it nd r Zeit ..Wellenfronr' in Cl mit der kon tanten Ge hv. indigk il ( in d r X-Rl htung.

,s,,'

et

h die

h It n In n tr md r tärk Betrachten \vir nun die folgende Reihe von reigni ein eine Zeirlang ein. dann erhöhen wir die tram lärk pl"'lzli h uf Dr ifa h und hallen ie auf die em ert kon tant Wie ehen die Felder dann au . D könn n "ir auf folg nde ei e ehen: Zuer t teilen wir un einen lr m der tär ein vor. der i { = 0 eing haltet wird und dann immer kon (am bleibt. Di Feld lärk n für po itiv x ind dann dur h den Graphen in Teil (a) von Fig. 20.2 gegeben. I äch te ragen \\ ir un ,\\, p i rt. wenn wir inen tationären tram on zwei Einheiten zur Zeit TI in hai n.

]----1_ E~f

cr

x

(a_)_---L.-

•

(b) c(r -

x

(I)

Eif_-----;--..,----.JL ( ) c(r -

(I)

Cl

X

Fig. 20.2: Da e1ektri h Feld einer [fO~ hi hl. (a) ine tTomeinheil. eingc halt I bei r = 0: (b) Zwei Ifomeinheilen. einge hallet bei r = 1): (e) "b rl gerung \'on (a) und (b).

Die Felder ind in die em Fall dopp It 0 tark ie ZU\ or, ber i 'cn i h nur bi zu einem bland c(t - (I) in d r x-Richtung. wie in 11 il (b der iour d g teHt. nn wir die e beiden Lö ungen nach dem Überlagerung prinzip addi ren. find n wir. d di umm d rb iden QueUen für die Zeit von null bi t l ein tr mv n iner Einheit und ur Z il n gr"ß r al Tl ein tfüm von drei Einheiten i 1. Zur Zeit t änd m i h di eider aI unktion n on x. wie in Teil ) von Fig. 20.2 ge eigl. Betrachten wir nun ein komplizi rt re Problem. in Zeülan haltet. dann wird i auf drei Stromeinheiten erhöht, dann ab ruft ein 01 h r tram herv r? Die Lö ung k""nn n wir ur di dje Lö ung n on drei getrennt n Problem n ddieren. Zu [ U inen lUfenförmigen Einheit tr m. (Die e Pr bl m haben v. ir " erden und

hJießli h ermitt In

20.1 Wellen;m I er,

11

Raum; ebene I ellen

369

J 3 2

I (a)

-E) 3 2

I

1

OL.---(.,........L-, - '2)

c(, - '])

(

-'~" __ "".Y

Fig. 20.3: Ändert ich die Strom tärke der Quelle wie in Ca), 0 i l zur Zeit t, dargetell! durch den Pfeil, das elektri ehe Feld al Funktion von x wi in (h).

im Raum i tein hüb he, Dia~,ramm der tromänd rung mit der Zeit - nur rückwärts gezeichnet Mit fort chreitender Zeit ntf rot ich die ganze Figur mit der Ge ch indigkeit c, und zwar bewegt ich in Richtung der p iti en x- h eine kleine Feldzone die eine voll ländige. detailLierte Aufzeichnung aller Stromänderungen enthält. Stünden wir kilometerweit entfernt, 0 könnten wir anband der .. nderung d eleklri ehen oder magneti ehen Felde gen au agen. \ ie ich der Strom an der Quelle geändert haI. Sie werden auch fe t tellen, da sich die Felder weiterhin durch den Raum bewegen, lange nachdem jede ktivit.ät an d r Quelle aufg hÖlt hat und aJIe Ladungen und Ströme ver chwunden ind. ir haben ein rteilun.g der elektri ehen lind magneti ehen Felder die unabhänrrirr 00 von Ladungen od r trömen i tiert. Da i t der neue Effekt, der ich au dem voll tändigen System der a ell-Gleichung n ergibt. enn wir wollen, könn n wir eine oll tändige mathemati che Dar teHung der eben dur hgeführten Anal e rreben, indem wir ehreiben, da da elektri ehe Feld prop nionaI d m trom an der Quelle i t, aber nicht demjenigen zur gleichen Zeit, andem dem zumfriiheren Zeitpunkt t - xlc. Wir ehr iben daher l

(20.3) Ob Sie e glauben oder nicht, wir haben die eibe Gleichung chon einmal in Bd. I unter einem anderen Ge icht punkt abg leitet al ir un mit der Theorie de Bre hung index bechäftigten. DanlaI mu t n wir herau finden wel he Felder von einer dünnen Lage 0 zilliefender Dipole in einer Schicht eine dielektri hen aterial erzeugt werden, wobei die Dipole durch das elektri h F Jd in r inlau~ nden elektr magneti ehen WeHe in Bewegung ge etzt werden. Da Problem be land darin di r ultier nden Felder d r ur prünglichen Welle und. der durch die 0 zillierenden Dipole a~ ge trahlt n Wellen zu berechnen. Wie konnt n wir di TI bewegten Ladungen erz ugt n Felder berechnen al wir noch nicht über die axwell-Glei hung n rfügt n? Wir benützt n damal al Au crangspunkt (ohne jede Ableitung eine Formel für da trahlung feld, da on einer be chleunigten Punktladung

3 0

in großen b länden erzeugt wird. enn i einen Bli k ur K pit I 1. Bd. I wem n," rd n ie ehen. d di dortige Gl. C' 1.1 ) g TI u di eibe wi GI. (_0. ) i l. ie \\ ir n aufge hrieben haben. Obwohl un ere frühere bleitun nur in gr Ben _b Länden \' n d r Quell richtig war. teIlen wir nun fe t, da da Ibe R ultat au h in unmin Ibar r ähe der Quelle gilt. nte u hen wir nun in aIJgem ioer F nn da erhalt n der I ktri hen und m on Li hen Felder im leeren Raum, \ eil entf rnt von cl n Quell n. d. h. . n d TI tr--men und Laduneen. ehr nahe an den Qu llen - 0 nahe, da die Quell w"hr nd d r 0 u r d r u br irung keine Zeit batte. ich tar' zu ändern - ind die Feld r weirg h nd di lben, die \\ ir im e nannt n lehro tati chen oder rnagneto tati ehen Fall org fun en ha n. Gehen wir je h zu b länden über, die 0 groB ind, da die Dauer eine Roll pielt. dann unt h id [ i h di d r Felder in radikaler ei e von d n Lö ung n, di ir im raLi h n 11 e und n hab n. Di Felder nehmen gewi ermaßen eine eigene E i t nz an. \\' nn i i h W LL \ n all n Quellen erhalt n d r eid r in inem Berei h. in dem entfernt haben. nter lichen wir daher jetzt cl eweder tröme noch Ladungen gibt. rellen ie ich vor, wir fragen: el he Art von Feldern Tann in Berei hen geben, in denen p und j heide null ind? In Kapitel I h ben wir g hen, d die Phy ik d r 1a \ 11Gleichungen auch dur h Differentialgleichungen für d k lare- und d kt rpot ndal au gedrü kt werden kann: 0.4) 20.~

\ enn p und j null ind, nehmen di e Gleichung nein einfa h re

nn an

1 8-tiJ

-r/J - -:;- - , = 0,

(_0.6

c- r

I 82

- -:;--- = O.

0.7

c- 8r

kalare P L ntia tiJ und j de Kompon nle de tia! die eibe mathemati ehe Glei hung. i l/J irgendein der \ i r Gr" Ben (/J, u hen dann die allgemeinen Lö ungen der folgend n GI i hun :

Im leeren Raum erfüllen daher da

2'/1 _ 'f/

~ &1/1 ?

0

.,-.

c- 81-

Die e Gleichung heißt die ellengl iehung in drei Dirn n ionen. \ il di li h on x, y und::: abhängen ann und wi di bhän i rüc i htigen mü en. Da wird deutlich, w nn wir di au chreiben:

n l/J g w"hn-

i

rdin t n be-

L pla -

rat

(_0.9

371

lm le ren Raum erfüllen auch die Jektri ehen und magneti ehen Feldstärken E und B die ellengleichung. Da B = V x . k"nn n \ ir bei piel wie eine Differenrialglei hung für B erhalten ind m \ ir d n R t r n GI. 20.7 bilden. Da der Laplaee-Operator ein kalarer Operator i t kann di Reih nf Ig drOp rationen de Lapla e-Operaror und de Rotor vertau eht werden:

vx( Eben

0

2

)

=

2(

V

X

)

=

2 B.

kann die R ih nr loe der Operation n rot und BIBt uffioek hrt werden: I/PB

)= --:;- -.,-. B,Unter Verwendung die er R ultate rhalten wir die folgende Differentialglei hung für B:

(20.1 0) Jede Komponente der magneti ehen Feld tärke B erfüllt aJ 0 die Wellengleichung in drei Dirnen ionen. Unter Berücksichtigung on E -Vr/J - BAIBr folgt in entsprechender eise da auch die elektri he F ld tärke E im leeren Raum die Wellengleichung in drei Dirnen ionen erfüllt:

=

(20.11)

Alle un ere lektromagn Li ehen Feld tärken erfüllen die eIbe Wellengleichung, GI. (20.8). Wir können mit echt fragen: a i 1 die allgemein te Lö ung die er Gleichung? An tatt jedoch die e h\ i rig rage ofort anzug hen wollen wir zuer t erfahren, wa über olche Lö ungen allgern in ge aot erden kann die nicht von y und z abhängen. Betrachten Sie immer zuer t einen einfacheren Fall, 0 da ie ehen können was ge chehen wird und gehen Sie dann zu den komplizi rteren Fällen über.) ehm TI wir an, da die Beträge der Feld tärken nur von x abhängen - da e keine Änderungen der Feld tärken mit y und z gibt. amTlich eil n und mü en Re ultate erwarten, die ähnlich \ ie die im betrachten wir i d r eb n vorigen b hnin ind. ir rden tat ä hli h di eiben Antworten erhalten. ie erden fragen: , arum da alle n hinmal?" E i t wichtig, da wir no h einmal on om anfangen, denn er ten haben \ ir nicht gez igt da die von un gefundenen Wellen die allgemein ten Lö ungen in Form eb n r II n \l aren und zeiten haben wir die Feld rärken nur für eine ganz be timmte Art on tromquell g funden. Wir mö hten jetzt die Frage tellen, was die allgemein le Form einer eindimen ionalen Welle im leeren Raum i t. Das können wir nicht fe t teilen, indem ir unt r uchen wa ich für die e oder jene Quelle ereignet, ondern wir mü en allgemeiner arg hen. ußerdem werd n ir die mal mit Differentialgleichungen talt mit Integr lformen rb iren. Ob ohl \ ir die elb n R ultate erhalten werden i t das eine nützliche Übung, um zu zei en, da e keine RoUe pi lt, in wel her Wei e man vorgeht. Sie ollen wi en, wie man di Pr bleme in j d r m"gli hen Form behandelt, denn wenn ie or einer chweren Aufgabe tehen, erden ie oft fe t teIlen das nur eine der er chiedenen öglichkeiten durchführbar i 1.

372 ~ ir 'önm n direkt die Lö ung der Wellengleichung für eine be limml el -tr magn [1 he Größe betrachten. Aber wir wollen ganz von nfang n mit den I I xw 11 h n GJei hungen im leeren Raum beginnen, damit ie ehen können, \! ie eng i mü d n el ktrom gn ri~ h n ~el­ len verknüpft ind. Al 0 beginnen wir mil d n Gleichungen in (~O.I . w i wir die adung n und Ströme glei h null etzen. Sie laulen dann

1.

ll. 1II.

V·E=O

BB

V xE:::-V· B

=0

Bt

0,] _)

., BE cV x B = &

uhreiben die er te Gleichung in Komponemen u: V.E

BE BE~ BE = --{ + --' + _:

Bx

By

B::

::: O.

ir nebm n an, da e keine Abhängigkeit von y und:: b"ibL. drü ke "er hwinden. Die e Glei hung agl un dann, da

0

d

die I lZI n b iden

BE.{ ::: 0

Bx

.

lhre Lö ung i t, da Ex, die Komponente der elektri h n F ld tärk in d vom Ort abhängt. Werfen ie einen Blick auf I in (20.1_) und n hm nd E{ Abhängigkeit von B von y und:: gibt, 0 können i ~ t teilen, d Zeit abhängt. Ein olche F Id könme das tationäre Feld \'on I den n in groBem b rand ein. n 0 einem unwe mli hen r üonär n Feld imere iert. Wir konzentrieren un im ugenbli k nur au d nami h \' Für dynami ehe Fe]der i t E t ::: O. •

u-

20.] )

r x-Ri htung, ni ht i an, d e keine au h ni hl \' n d r K nd n at rpI n n ind wir jetzt nicht ränderli h F Ider.

Lr kommen dann zu dem wichtig n rgebni, d ur die u br ilUng ebener \ I. 11 n 10 beliebig r R.i htung da elektri ehe Feld nomzal ~lIr 11 breilun riehtllfl ein mu' ,E anTI narürlj h imm r noch auf komplizierte Wei e n der x- K rdjn te a hängen. Da uan ver ale E-Feld kann immer in z ei K mponenten umert iJr \\' rd n - g n Wlf in die y- und in die :-Komponente. Be chäftigen \ 'r un daher zue t mit d m aJl. in dem hmen wir zu tein le tri h d elektri che F ld nur eine tran ver ale K mp nente haI. Feld. d imm r in Rj htung d r y- eh e zeigt und d n --Kom n nt null i t. önn n \ ir die e Problem lö n, 0 beh rr hen wir natürlich au h d n all, in md I ktri h F ld immer in Richtung d r;:- eh e zeigt. Die allgemeine Lö un ann imm r a1 die rlag nlß", die er beiden Felder au gedrückt werden. ie einfa h un ere GI ichungen nun werden! Dj inzige om n fit d r l ktri h n Feld tärke, die ni ht ver hwindet , i t E) . auch all bl ilungen - auBer d n n n h x - in null. Die übrigen Maxwell-GI ichungen' ind dann ehr in h.

20.1 Wellen im leeren Ral/m; b

Wellen

11

7

neer u h n ir aJ ä h t die zweite der ax ll-Gleichungen [ll in GI. (-0. L ]. Durch u hreib n d r K mp nenl n von rot E erhalten Ir

aE.

E,

ay

0-

(V xE) = - - - _. = 0, r

-a- - -E:x -- 0,

( V X E ), -- oE\

.

oE,

E

oE,

8x

oy

8x

(VxE) = _ . _ - \ = _ .

:

Die x-Komponem von V x E ver hwindel. weil die bleiwngen na h y und:: null ind. Auch die y-Komponenle ver h\ indel; der er te u druck i t null, weil die Ableitung nach - null i t, und der zweite u dru k i t null. eil E: null i t. Die einzige Komponente on rot E, die nicht ver chwindet, i t die --Komp n nie. die gleich BE,.!8x i I. Setzen wir die drei Komponenten on V xE gl ich den ent pre h nden Komponenten von - aBIar. 0 können \ ir darau da Folgende chließen:

asx 8r aB: 8r

::=

0

(20.15)

' ::=

E) 8x'

(20.16)

Da die zeitlichen bl ilUng nd r x- und dry-Komponente de Magnetfelde er hwinden, ind die e beiden Komp nenten nur einfach kon tante Felder und ent prechen den früher gefundenen magnelo tati hen Lö ungen. E kann ein. d jemand einige permanente Magneten dort Liegengelas en hat 0 die ellen ich ausbreiten. Wir vernachlä igen die e kon tanten Felder und etzen Bx und B" gl ei h null. eben bei ei bemerkt, d \ ir au hau einem anderen Grund zu dem Schlu hänen kommen können, da die x-Komponente on B ver eh inden rnu . Da die Divergenz von B null i t (nach der dritten Maxwell-Gleichung), können wir mit der eIben Überlegung, die oben für da eIe tri ehe Feld erwendet wurd folg rn da die longitudinale Komponente de agnerfelde nicht on x abhäng n kann. Da wir oIehe homog nen Felder in un eren Wellenlö ungen vemachlä igen. härten wir Bx gleich null ge etzt. Bei ebenen elektromagneti ehen ellen rnu 0 ohl das B-Feld al auch da E-Feld normal zur Au breitung richtung ein. Gleichung (20.16 liefen un die zu ätzliehe Idee: Hat da elektri ehe F Id nur eine y_ Komponente, 0 hat d ao-n lf ld nur eine z-Komponente. Daher ind E und B normal zueinander. Genau d i t für die p zi 11 Ile d r Fall die wir berei betrachtet haben. ir ind nun bereit, di letzte cl r ax\ eH ehen Gleichungen [IV on GI. (20.12)] im leeren Raum zu erwend n. enn ir di Komponenten au chreiben, erhalten wir

,8B.

2 c(VxB) x

y

c2 ( V x B).\. = c2 (V x B)

:

,8B,. B-

oE

=c-~-c-· =_x,

_ Bx

_

= c-,8B,. -' Bx

ot

c2 B;: __ oEy

ox

ot '

"laB. aE. = --. By lJr

c

_.t

(20.17)

20 Lösungen der

Q..\ ..'eil

ehell Gleichutl ell im leeren Rallm

on den eeh AbleilUngen der B-Komponent n i t nur der Term Bj x ni ht null. Die drei Gleichungen reduzieren i h daher einfach auf 288: 8E~ -c - = - . 8x 8t n ere Arbeit führt zu dem Ergebni , d

nur je\' il eine der Komponent n der lektrihen und magneri hen Feld tärken ni ht v r h\" ind t und da die e Kompon nI n i Gln. (20.]6) und (20.1 ) erfüllen mü en. Die b iden 1 i hun cn k"nn n LU einer zu arnmengefas t werden, wenn wir die r t na h x und die zwc.::il n' h I diff r nzier n: die linken Seiten der beiden Gleichungen ind dann gJci h (bi au d n Fakt r r). \ 1 \\ ir hen. erfüHt E) die GJei hung

_0.19) u breitung d Der eIben Differentialgleichung ind wir ber it b gegn t, al \\ ir di unter uchlen. E handelt ich um die WeJIenglei hung für eindim n ional 'i 'ell n.

hall

Beachten ie, d wir bei un erer bleitung noch elwa mehr g fund n hab n, al in GI. (20.11) enthalten i t. Maxwell Gleichung n hab nun zu älzli h venninelt. d all Komponenten der Feld tärken für elektromagn tj eh 'i eIl n normal Lur Richtung der 'i eH nau breitung ind. iederholen wir noch einmal da • \Va wir üb r die L" un en d r W 11 ngl i hung in ein r Dirnen ion wi en. Erfüllt eine Größe t/J die eindirnen ional Wellengl i hunt;-

dann i tein mögrche Lö ung ine Funktion t/!(X, I) in d r Form I/I(x, t)

= J(x -

er),

d h ißt ein Funktion d r ein::.igen Variabl n (x - cI). Di Fu "li n J(. - cf) teUt in" tarre . Mu ter in x dar, da ich mit d r G hwindig eil c in der po iti n x-Ri h n° b regt ( iehe Fig. 20.4). ei t zum Bei pi 1 di Funkli n J an der telk in l a imum auf. an d r ihr Argum nt v hwindet, li t da imum v n c/J fLir t i x = . Zu in m pä[ ren Zeilpun1.1., b i piel wei e t = 10, hat 1/1 dann ein a imum = 1 c. 1it n hr it nd r Z it bewegt ich da aximum mit der Ge eh", indig 'eit in d r iti\" n t-Ri htung.

=

f

Cl

-,,

(x - cf) I

\ (b)

-\-c

h\\ indi x

liven x-

Ih ine . n tanl " rrn" 't C In Ri h[ung cl r 1-

20./ Wellen im le ~

fl

Raltm; eben W lf

37

11

Der Bequemli hk it halb ragt man man hmal b r. deine Lö ung der eindimen ionalen Wellenglei hun in unkti n v n (I -. le) i t. D läuft jedo h auf d Ibe hinau, eil jede unkti n \ n (r - xl ) auch ein unkti n v n (x - r) i t: F(t - xlc)

\' - cl J =F [ -'-c= J(x -

cr).

Zeig n ir, da . J(x - r) tal ä hli h in L" ung der ellengleichung i t. Da e i h um eine Funktion von nur einer ariabl n hand It - der ariablen (x - cr) -. bezeichnen wir die Ableitung von J nach einer ariabl n mil f' und die z\ eite bleirung von J mit f". Differenzier n ir GI. ~O._I) nach x. rhalten ir

al/J

8x =

,

J (x -

cl),

da die Ableitung on (x- r) na h x ein i

82~ = f"{x _

l.

Die z eite AbI itung von l/J nach x i toffen ichtlich

t).

(20.22)

är

Bereclrnen wir di

bleitung n von I/J na h t.

äliJ = J' (x 8i

CI){ -

erhalten wir

),

2

8 t/J = +C-'J" (x - er ). -" ätWir ehen da

I/J die

(_0,23)

Ilengl i hung in ein r Dimen ion tar ächli h erfüllt.

ie agen ich ielleicht: , hon gut, i h hab die ellengleichung aber woher oll ich wi en, da i h al .. ung fex - I) zu nehm n habe? Mir gefallt die e rück chlieBende e(hode nicht. Gibt e denn k in n direkten e> um die Lö ung zu finden? ' Allerding ,ein guter direkter Weg i t der, die Lö ung zu k nn n, E i t möglich, eine cheinbar direkte mathematiehe Erörterung "au zuk h n'. r allem eil wir wi en, ie die Lö uno- au ehen oll, aber mit einer 0 einfa hen GI ichung wie die r braucht man keine Trick, Sie werden bald ow it ein, das ie bei nbli k on GI. ( O. 0) auch ofort l/J = fex - cr) al Lö ung ein ehen. CE i t genau 0, wie wenn ie j tzr da Integral on .~dx ehen: Sie wi en im Iben ugenbli k, da die Lö ung x3/ i 1.) [n

irklichkeit

ogar n h et a ander

ehen.

i ht nur jede Funktion von

(x - cl) i tein L" ung. ondem auch jed Funktion on (x + er). Da die ellengleichung nur c? enthält, änd rt i h ni ht ,\ nn man da Vorzeichen on umkehrt. Tat ä hlich i t die

allgemein te Lö un der indim n i nal n 11 ngleichung die umrne von zwei Funktionen, die eine on (x - er) und di and r on (x + cl):

t/J

=fex - Cl) + g(x

I).

illkürlichen

(20.24)

376

Der er te Au dru ' teilt eine Ile dar. die ich in p iLi\'er x-Richtung we2t und der zw ite eine beliebige elle in negati\er x-Richrung. Die allgemeine L" ung i t die b rJagerung \'on zwei olchen \ lien, die beid zur glei hen Zeit exi ri r n.

Da folgende müante Probl m ~ i Ihnen überla en., hmcn ie eine Funkri n l}J in der Form I!J

= co

k.x co kct.

Die e Gleichung hat \\eder di Form einer Funkri n \ n (x - Cl) n h \ n (x er). TroLZd m können ie dur h direktes in erzen in GI. (20.20 zeig n, da die e unktion eine L" ung der \\'ellengleichung i r. Wie können wir dann. ag n. das die allgern in L" ung di Fonn \'on Gl. (20.24) hat?

Wenden wir un ere Schlu folgerungen bezüglich der L" ung d r'A lIene l i hung auf die y-Komponente der elektri h n Feld tärke E, an. 0 t llen wir n r. da i h E, in j der b 1i bigen \\ei e mitx ändern kann. Di wirklich xi tierenden Feld r k""nnenjed h immer al die umme \'on zwei Mu t rn b trachtet werden. Ein "\ elle f1iegr mit d r G hwindigk it c in der einen Richtung durch den Raum; ein andere elle bew gt i h mit gl ieher G h indigo keit in ntgegenge ewer Richrung. Die e ellen em prechen d n el ktr magneri hen lIen. di wir bereit k nnen - dem Licht, den Radiowellen, der infraroten und der ultra i I t1 n trahlung. den Röntgen trahlen u w. Die u lrahlung d Li h ha n wir bereit in Bd. I au führIich di kuriert. Da alle Gelernte auf jed lektr magn ri h Welle zutrifft. mü en \ ir hier da erhalten die er Weil n ni ht eingehend di kurieren.

v ir ollt n vieH i ht no h einige zur Polari ari n d r lekrr magn ti h n \\ llen bem r· ken. In un erer Lö ung hallen wir den p zi 11 n Fall betrn hl l. in d m da el ktri h F ld nur in y-Komponem hat. E i t klar, da u h eine andere Lö un für 11 n in d r po itiven oder negativen x-Richtung gibt. deren elektri h Feld nur eine -. mp n nt hat. Da die. axwell hen Gleichungen linear ind. i t die all em ine L"" ung für eindim n i nal W Uen, die i hin d r x-Ri htung au breiten, in umm \on \' II n \' n E~ und 01 h n \' n E:.. Di allgemeine Lö ung i t in den folgend n GI i hung n zu amm nger r: E E~

= (O,E,.E) = fex -

Cl)

( = F(x -

Cl)

+

+ Cl) G(x + Cl) (x

B = (0, B). B) cH.•

=

cB}

= -F(x -

x-cr)- < (x

Cf)

cl) + G(x + Cl).

EIe tromagn ti ch Weil n die er rt h ben einen E· ekt r, d r ni ht 'on tant i t. nd rn in agnet~ ld i t nj dem Punlt . nkr hl zum willkür1i her Wei in der v:·Ebene umläuft. Da elektri hen Feld und zur . u breitung richtung.

3 7 Gibt e nur 11 n, die in ein r Ri hlun lau~ n. b i piel wei e in der po itiven :r-Ri hmng. o rmittell un eine in a h Regel die relative rientierung der elehri hen und magnetiehen Feld r. Die Reg 1 be agl. d da kt rpr dukt E x B - da offen i htlich ein ektor enkre ht zu E und au h zu B i l - in di Ri htung zeigt. in der di Welle läuft. ird E im Recht chrau n inn in B üb rührt, 0 z.eigt die chraubenach e in Richtung der u breitung ge h indiokeit er \elle. ( p"t r erd n \ ir eh n. da der ektor E xB eine pezielle ph ikali he Bedeutung hat: e han lt i h um den ektor. der die Energi trömung in einem elektromagneli ehen eid be hreibl.)

20.2

Wellen in dr i Dirnen ion n

Befa en wir un nun mit dem Thema der dreidimen ionalen lien. Wir haben bereit ge ehen, das der ektOr E di 11 ngl i hung erfüllt. Zu dem. eIben hlu kommt man auch leicht wenn man direkt von den ax\ eil-GI i hungen au geht. Beginnen wir mit der Gleichung B VxE = - 81

und bilden auf beiden eilen den Rotor:

v x (V x

E)

= - Br (V x

B).

Sie erinnern i h da man d n R tor eine Rotor eine beliebigen Vektors al die Summe zweier Terme chreib n kann, on den n drin di Di ergenz, der andere den LaplaceOperator enthält. Vx(VxE)= V(V·

)-

2E.

Im leeren Raum i I aber die Di erg nz von E null, 0 da nur der u druck für den LaplaceOperator übrigbleibt. ußerdem i t die zeitliche bleitung von 2V x B nach der ierten der Maxwell-Gleichungen im leeren Raum GI. 20.1_ die z eite Ableitung on E na h t:

Gleichung (20._6)

ird dann zu

und das i t die eil n 1 i hung in dr i Dirn n ionen. Schreiben wir die e Gleichung in all ihrer Herrlichkeit au , 0 har i natürli h di Form (20.27)

378

\ ie ollen wir die allgemeine Lö ung in Form \' n \ ellen lind n? Die ntw n lautet: Alle Lö ungen der dreidimen ionalen ellengleichung k··nnen al die rlageron e d r 'on un bereir gefundenen eindirnen ionalen Lö ungen darge t Ilt .... erd n. Wir erhi h n di Gleichung für Wellen, die ich in der x-Richtung au br it n. unter d r nnahm, da d F ld ni ht von y und ~ abhängt. Offen ichtlieh gibt e and r Lö une n, in n n di Fel r von x und;: unabhängig ind und ellen dar tell n. die. i h in der. y-Ri htun u breit n. D nn \ 'eder gibt e Lö ungen, die nicht von x und y abhäng n und in d r :-Ri htun e lau nd Wellen dar teilen. Oder allgemein: da wir un ere Gleichungen in -torf rm e hri b n ha n. kann die ellenglei hung in drei Dirnen ionen Lö ung n in F rm ebener W 11 n haben, di i h in beliebiger Ri htung au breiten. nd noch einmal: da die GI i hun" n linear ind. -önn n I; ir beliebig viele ebene Wellen gleichzeitig hab n, die i h in ben \ i len \'e hi den n Ri hlungen au breiten. omit i t die alJgem in t Lö ung d r \ eil ngl i hUfH! in dr i Dirn n ionen eine Überlagerung von ebenen Wellen jegJi her Art. di i h in all n mögli hen Ri htung n au breiten. 3

Ver u hen Sie ich vorzu teilen, ie in die em le -tri h n und magneti ehen Felder in die em Hör aal au hauen. E I einmal gibt e ein l3lionär lagnetfeld: talionär M gne~ Id der Erde. e tammt von trömen im [nnem der Erde - da i t al d Dann gibt e einige unregelmäßige, fa t lati eh lektri he F ld r. die vi 11 i ht n elektriehen Ladungen heniihren, wel he durch R ibung herv rgeru en w rd n, wenn i h L ute in ihren Stühlen bewegen und mit ihren lackenärrneln an den luhll hnen heuern. uß rd m gibt e andere agnetfelder die von Wech eI trömen in den Dräht n d tromn tze erzeugt werden - Felder. die ich mit einer Frequenz von -0 H rz ) n hrün mit d m Generat r im Elektrizitä erk ändern. Intere anler ind aber die elektri h n und maon (i h n F Id r. die ieh mit viel höheren Frequenzen ändern. enn ich bei pi 1 wei d Li ht vom F n t r zum Boden und von and zu Wand au breitet. gibt e kleine hwankung n cl r elektri h n und magneti hen Feld tärken, die ich mit einer Ge eh indig it von 000 Kilometern pr kunde au breiten. Dann gibt e no h die infrar ten eil n. die i h \ n Ihr n heißen timen zur kallen Tafel au breiten. nd nicht zu verg en da ultraviolette Li ht, di Röntg n t.rahl n und die Radiowellen. die ich durch die en aal bew n. Quer durch den aal fliegen lektromagneti che eIl n, i die 1u ik ioer JazzbaIld übertragen. E gibt ellen. die durch eine Folge n Impul n moduli n w rd n, \ 1 h Bild rn von Ereigni eo in and ren Teilen der Welt em preeh n rau h Bild rn, di zeig n, w in Phantasie-Hund erlebt, "der einem in einem ganz n Leben n h ni hl unt ro k mmen i r-. m die Realität die er Wellen zu bewei en, mu man led'eli h in n el ktr ni h n pparat ein halten, der die e Wellen in Bilder und Töne umwand 1[, Führen wir die e Analy noch weiter au finden wir winzige elektromagneti ehe Weil n, die rie ig um in die en Raum zu gelangen. E gibt ehr kleine h.... an ung n d deren 1axima a.30 m u einand rliegen; i \ urd n \' m um ie enu p iert hat, über viel illi nen n 'I m tmzur r ü nnitt lt.Di enthalt n in ummari her Form di Information TI, di r üb r di PI n t n au samrn Il hat (Informationen, die er au elektromagn ti ehen lien rh n hai, di i h \ m Plan l n zum Raum ruff au breiteten). e

E gibt ex.trem kleine chwankungen der el klri h n und m n li· h n Ider. bei d n TI ich um " ellen handelt, die Milliarden v n Li hljahr n nr~ rot ent t ncl n ind - in Gal -

79 ien an den ntfemt t TI Pun t TI d n;\, r um. m zu b \\I i n, d die er Sa hverhalt richtig i t, hat man .,den aum mit Dr"ht nano fülle. indem man ntennen baut die 0 groß wie die er a I \ ar n. an hat Radi \ 11 n di r rt au Raumb reichen empfangen, die jenei der Reichweite d r gr"ßt n pti h nT< I k p li gen. u h die e opti hen Tele küpe ind eigentlich nur amml r \' n I ktr 01 on ti h n VI II n. \ a wir Sterne nennen, ind nur Folgerungen, I run TI u d r inzi e n ph , ikali h n R alität, die \ ir bi her on ihnen erhalten konnten - und di wir mitt 1 iner rgnntieen nt ruhune d runendlich ielfälrig n Sch ingungen der eIe tri hen und m eneti h n Felder zi hen. die un auf der Erde erreich n. E kommt natü.r1i h n h m hr dazu: Die F lder, die dur h meilem eit ntfemt Blitze erzeugt \ erden, di F Id r lad n r 11 il h n der ko mi ehen trahlung, di durch den Raum flitzen, und d rgl ihn 01 hr. i k mpliziert d h da elektri ehe Feld in dem Raum i t der Sie umgibt! nd tr Lzd m erfüllt e imm r di dreidirnen ionale eUenglei hung.

20.3

teIlung ermögen' n der

aturwi enschaft

Ich habe Ihnen ge agt da ie i h die e elektri ehen und magneti ehen Felder an chaulieb Of tellen ollen. ie tun i da? Wi en Sie \ ie? Wie telle ich mir da elektri ehe und magneti ehe F Id r? a he i hin irldichkeit? Wa ind die Vorau etzungen für ein an ehauliche or tellung v rmögen in der atur i en chaft? Handelt e ich um etwas andere al wenn man ich den Raum oll nun ichtbaren Engeln or teUt? ein, e handelt ich nicht um das eIbe. wie wenn man ich un ichtbare Eng 1 or teUt. Das elektromagneti ehe Feld zu ver [ehen erlangt einen ehr iel höheren Grad an Vor teilung vermögen al un ichtbare Engel zu er rehen. arum? 01 un ihrbare Engel er tändlich zu machen genügt e , ihre Eigen chaften enva abzuändern - i h ma he ie andeutung wei eichtbar und dann kann ich die orm ihrer Flügel, ihr r Körper und ihrer Heiligen heine erkennen. I t e mir er t gelungen, mir einen ichlbar n Eng I vorzu reUen. 0 fallt mir auch die notwendige Ab tral.'tion nicht mehr chwer di darin b t hr, da ich von fa [ un iehtbaren zu völlig un ichtbaren Engeln übergehe. ie agen al 0 "H rr Prof or bitte geben Sie mir eine annähernde Be chreibung der elektromagneti ehen eil n, auch nn ie et a ungenau i t, damit auch ich die e 0 gut ehen kann, wie ich fasr un iehtbare Eng 1 ehe. Ich werde dann da Bild bi zum notwendigen Grad on Ab traktion m difizieren:" Tut mir leid, ab r da kann ich ni ht für ie tun. Ich weiß nicht wie. Ich habe kein Bild die e elektromagneLi hen F lde , da irugermaß n genau äre. Da eIektromagneti ehe Feld i t mir eil langem nraut- or 25 Jahren ar i h in der eIben Lage wie Sie heute, und heute habe ich 25 Jahre mehr Denkerfahrung im Umgang mit die en chwingenden W llen. enn ich nun an ange, die 11 breitung de agnetfelde über den Raum zu be chreiben, on den Eund B-Feldern pr ehe und dab i glücklich die Arm chwenke, dann glauben Sie wohl, das ich die e E- und B-F Id r h. leh w rde Ihnen agen was ich ehe. Ich ehe 0 etwa wie chwirnm nd eh in ende, und utliche Linien - hier und da erkenne ieh die Buch taben E und B auf ihnen und auf inig n Lini n ieUei ht au h Pfeile - ein Pfeil hier und dort, aber er ver chwindel, enn ich zu g nau hin he. Wenn i h on den Feldern pre he, die dur h den Raum zi ehen erur a he ich eine für hterliche Verwirrung ziehen den on mir benützten symbolen zur Be ehr ibung der Objekte und d n Objekten elb t. Ich kann tatsächlich kein Bild zu rande bringen, d den irklichen W lien au h nur annähernd ent pricht. Fällt e TImen

3 0

20 Lösungen der MCL'01'ellscJlen Gleiclllt/l en im leeren Raum

daher hwer. i hein olehe Bild zu machen nicht außergewöhnlich.

elen

ie unbe argt. Ihr

h\\ ierigkeit i r

Un ere aturwi en haft teilt erhebliche nforderungen an da or teilung vermögen. Da erforderliche aß an Vor teHung kraft geht weit über da früh r r Zeiten hinau. oderne Ideen ind ehr viel chwerer vor teilbar. Ilerding stehen un \ iele Hilf mittel zur erfügung. Wir verwenden mathemati che Glei hungen und Regeln und teilen viele' graphi h dar. V enn ich jetzt über da elektromagneti he Feld im Raum pre he. \ ird mir klar. da i h eine Art .. berlagerung alt r Diagramme ehe, die ich je vor ugen hatte. r h ehe keine kleinen Bünd I von Feldlinien umherlaufen. weil e mich beunruhigt. da di Bündel ver chwinden könnten. wenn meine Ge chwindigkeit eine andere wäre. Ich ehe übrigen nicht einmal immer die elektrischen und magneti ehen Feld tärken, denn manchmal denke i h, ich hätte mir da v krorielle und da kalare Potential vor teilen mü sen, denn vielleicht ind d die ph ikali ch bedeutung volleren chwingenden Objekte. ielteicht ehen Sie die letzte R uung in einem m themati ehen randpunkt. ber \ a i tein mathemati cher Standpunkt? Mathemati ch ge ehen gibt an jedem Punkt im Raum einen elektri hen und einen magneti chen Feldvektor; da b d Ulet. da jedem Punkt h Zahlen zugeordnet ind. Können Sie ich vor t lien. wie jedem Punkt im Raum ech Zahlen zugeordnet ind? Da i t zu viel de Guten! Können ie ich aueh nur eine Zahl vorstellen rue jedem Punkt zugeordnet i t? Ich nicht! Jch kann mir 0 etwa \ 'ie di Temperatur an jedem Punkt im Raum vor tellen. Da er cheint ver tändlich. E gibt Hitze und Kälte. die ich von Ort zu On ändern. Aber die Idee einer Zahl an jedem Ort i t mir wirklich unve tändlich. ieJleicht olllen wir de halb fragen: Können ir da elektri che Feld durch etwa dar teilen, da eher 0 etwa wie die Temperatur i t, bei piel wei eine erzerrung in einer portion Gelee? ehmen Sie an. da wir un zunäeh t or teilen. die Welt ei mit dünn m Gelee angefüllt und die Felder teilten irgendeine Verzerrung dar - zum Bei piel in 0 hnung oder Verdrillung de Gelee. Dann könnten wir da Feld ichtbar m hen. v\enn wir ..g h n" haben. wie e au chaut. könnten wir vom Gelee ab trahieren. Genau d har man viel Jahre zu tun er ucht. axwelL Ampere, Faraday und andere bemühten ich, den EI ktr magn ti mu auf die e Wei e zu ver tehen. (Zuweilen haben ie da ab trakte Gel .. " ther" genannt.) Es zeigte ich aber. das man der Entwicklung damit ein Hinderni in den g teilt ,da man ich d elekrromagneti che Feld 0 orzu teIlen er u ht. \ ir ind I ider auf b traktionen mangewie en. auf In trumente. mit denen wir da Feld au me en. und auf malhemati h bole. mit denen wir e be chreiben, u w. Trotzdem ind die F Ider in g wi em inn wirklich. denn haben wir genug mit den malhemati eh n Glei hung n h rumge pielt - mit oder ohne Bilder oder Zeichnungen oder den Ver ueh ich die ngel genheit an hauli h vorzu teilen. o können \ ir inuner noch erreichen da die In trument die ignale vom Raum hiff Mariner 11 ennineln und un über Galaxien in einer Entfernung von ~illiard n von Kilomet m unterri hten. Da ganze Problem de an chaulichen Vor teilung vermög n in d r farurwi n haft wird von Leuten au anderen gei tigen Di ziplinen oft mi \ tand n. i ver uchen. un r or teilung vermögen auf folgende Wei zu prüfen. ie agen ...Hi rehen i n hen in einer be timmten iruation. a wird nach Ihrer or teHung al ä h 1 pa. i r n?" ~ nn wir antworten... i h kann emir ni hl vor lellen", dann z ei~ In 'ie moOglich an un r r or teilung kraft. Sie über ehen die Tat ache. das alle. w wir un in der Wi en haft v (tellen dürfen, mit allem anderen konsislenr sein muss, wa \\'ir wi sen: da i h b iden

3 I

en in der NOlllrll'i seil 'haft

elektri ehen F IcI m und ellen on denen ir pre hen, nicht um exaltierte Ideen handelt. die wir un na h B li b 11 LUre htmachen können. ndem um Ideen. die mit allen un bekannten Ge eLZ n der Phy ik kon i. t nt ein mü. en. i t unmöglich. da ir un ern thaft Dinge or tell n, di offen ichtli h im \\ ider pruch zu bekannten 'aturge etzen tehen. n ere ich etwa an chauli h vor teilen Fonn on cr teilung i t daher eine h ikle ache. lan mu können da nie zuvor!!e hen od r g h"rt \. orden i t. Glei hz itig recken un ere Gedanken ozu agen in einer Zwang jacke, denn i \. erden on den Bedingungen einge chränkt. die auf un erer Kenntni der mur und ihr r irklichkeil beruhen. E i t 'trem h\ ierig, etwas eue hervorzubringen. da mit allem b reit Erkanntem kon i tent i 1. Da ich gerade bei dem Thema bin, will ich die rage an chneiden, ob e möglich i

t,

ich

Schönheit orzu tellen, die \ ir ni ht ehen können. Eine intere ante Frage. Sehen wir einen Regenbogen, dann finden ir ihn wunder hön. Jed ragt, .,Oh, ein Regenbogen". ( ie ehen, wie ehr ich i en haftler bin. 1 h habe ng t zu agen, da etw wirklich chön i l. olange ich da nicht auf experimentelle ei e definieren kann.) Aber wi würden wir einen ir illd blind, \ enn ir den Refte ion Regenbogen b ehr iben, wenn \ ir blind wär n. koeffizienten on atriumchlorid im Infrarotbereich me en, oder '."enn wir von der Frequenz der Wellen prechen. die au in r für un un i htbaren Galaxie kommen - wir zei hnen ein Diagramm, wir teilen da graphi eh dar. Für den Regenbogen bei piel wei. e äre eine 01 he Kurve dierrahlung inten. ität gegen die Wellenlänge, die man mit einem pektralphotometer in jeder Himmel richtung mi l. Ge\vöhnlich ergeben die e Mes ungen ein ziemlich flache Kur e. Plötzlich aber entdeckt jemand, da s unter be timmten Wetterbedingungen und unter be timmten inkeln im Himmel da lnten ität pektrum al Funktion der Wellenlänge ein eltame Verhalten zeigt; e hat inen Bu k I. V rändert man den Winkel de In rrument auch nur geringfügig. 0 wandert da a imum de Buckel von einer Wellenlänge zur anderen. Eine Tage er eheinl dann in der ph ikali ehen Zeit chrift d r Blinden ein ehr techni eher Artikel mit dem Titel ..Die trahlung inten ität al Funktion de Winkel unter be timmten Wetterbedingungen' . In die em rtikeltaucht vielleicht ein Graph wie der in Fig. 20. ~ auf. Der Autor bemerkt dazu, da e unter größeren Winkeln mehr Strahl uno- bei gr Ben Wellenlängen gibt, während unter kleineren inkeln d trahlung maximum bei d 11 kürzeren WeUenläng n liegt. (Von un erem landpunkl au ürden wir agen, da Licht i t bei 40° orwiegend grün und bei 42° orwi g nd rol.

Fig. 20.5: Die lnren ilät eleklromagneli cher

ellen al Funktion der Wellenlänge für drei Winkel (geme en aus einer der Sonne entgegenge erzten Richtung), beobachtet unt r betimmt n meteorologischen Bedingung n. inden ir nun den Graph n in Fig. _0.5 chön. r enthält weit mehr Einzelheiten, al wir wahrnehmen wenn wir in n Regenbogen an ehauen. eil un ere ugen di genauen Detail der Fonn de Spektrum nicht ehen kOonnen. Für da Auge i t aber der Regenbogen wunderchÖn. Hab n wir genügend or teilung ermögen, um in den pektralkurven die eibe Sch"nheil zu h n, die wir wahrnehmen, \ enn wir einen Regenb gen direkt an ehauen? Ich weiß e nicht.

20 Lösungen der Maxwell chen Gleichungen im leeren Raum

382

Aber teilen Sie ich vor, wir betrachten eine graphi che Darstellung de Reflexion koeffizienten eine atrium hloridkri tall al Funktion der \ ellen länge im lnfrarotberei hund de Winkel . E \ äre eine Dar teilung von d m, wa mein ugen ähen, wenn ie im lnfraroten etwas wahrnehmen könnten - vielleicht ein glühende. glänzende ,.Grün··. gemi ht mir Reflexen von der Oberfläche in "metalli chem Rot"'. D \ äfe zauberh t. ber i h weiß ni ht. ob ich je beim Betrachten einer graphi ehen Dar teilung de Reflexion koeffizient n von aC I. ie er mit Hilfe eine In truments gerne en wird, agen kann, er ei genau 0 hön. Anderer eit können wir elb t dann wenn wir einzeln gern en Re ultate nicht a1 chön empfinden, behaupten da Gleichungen die allgemeine phy ikali he Ge erze bechreiben, eine gewi e Schönheit aufwei en. Zum Bei piel i t chön, da in der ellengleichung (20.9) die x, y, :: und t 0 glei hmäßig auftreten. nd die hüb he mmetrie im Auftreten on x, y, z und t tellt un erern Intellekt eine noch größere hönheit hin i htli h der der Raum ine ierdimen ional mier Dirnen ionen in Au icht, die öglichkeit, d metrie aufwei t, die öglichkeit, die e zu analy ieren und die pezielle Relati ität theorie zu entwickeln. E gibt al 0 eine Menge intellektueller Schönheit, die den Glei hungen zukommt.

20.4

Kugelwellen

Wir haben ge ehen, da e Lö ungen der Wellengleichung..gibl, die ebenen ellen ent preehen, und das man jede elektromagneti che Welle al eine erlagerung on ielen ebenen Wellen be chreiben kann. In einigen be anderen Fällen i (e ab r bequem r, wenn man da Wellenfeld in einer anderen mathemati ehen Form be ehreibt. Ir \ ollen jetzt cli Theorie der Kugelwellen cli kutieren - Wellen die kugelförrnigen Wellenfläch n enl prechen die i h on einem Mittelpunkt ausbreiten. Wenn Sie einen Stein in a er werfen, breiten i h die törunlIen. gen auf der Oberfläche in Fonn krei förmiger Wellen au - das ind z eidimen ionale ie ich in drei Dirnen ion n au breitet. Eine kugelförmige WeUe i t etwa Ähnliche, nur da Ehe wir mit der Be chreibung der Kugelwellen beginnen i t e a Mathematik not\ endig. ehmen Sie eine Funktion an, die nur vom Radialab Land r on einem be timmlen r prung abhängl - mit anderen Worten, eine Funktion, die kugel mmetri eh i r. ennen v ir die Funktion l{!(r). wobei r

..2

den Radialab land am r prung bez ichnet. m herau zu finden, elche Funktionen l{!(r) die ellengleichung erfüllen, brauch n ir einen u druc für d n Lapl e-Operal r on 1ft. ir In uno r r Bezeichuchen a1 0 die umme der zw it n bl itung n n 1/1 na h .. Y lind nung wei e teile lj/(r) die Ableitung von 1/1 nach rund 1/1"(r) di l ile bleiwn n ifI n h v

rdar. Zunächst berechnen wir die Ableitungen nach x. Die er te

bleilUn

20.4 Ku elwellen

Die z eite

bl itun

dx

=

n r1J na h x i t

bleitungen on r na h x können wir berechn n au

Die partiellen

ar

3 3

ß1: = ~(I _(\.1) = _1_

..brEo

I

p(2, t -

1

'12 c)

dV?

r t2

(_I .

-

Die Anrwol1 cheinl zu ein - und beinahe jed r glaubt da zulläch t - da über eine olche "Punkr'-Ladung einfach die Ge amtladung q i t, 0 da I q , die nur von x und t abhängt. eränd rn \ ir t oeringfüaig um ~r und hallen x k n tant, dann beträgt die Änderung in tP dJ

ar/J

= at

_ ~.1 )

t.

Ein ich be egender B aba hter (eilt hingeg n fe t. da

Unter erwendung v n GI. ( -.1 können \ ir r' und ßT' in Termen von !:lt au drücken. = 0, und chreiben daher denken daran, das wir x kan tant halten, 0 da

Ir

r

(' = --::==

!u'=-~t:

o

'VI-VDaber i t cl> ( cI>=-x'

= (a~ t

0

\'

) ßcI>t ( ~+-

af

0

f

)

_ a~) r--:. (. \I

x

., "1-)'l

Indem wir die e Re ultat mit G1.

(~5.1

v r lei hen, t 11 n

ir D t, da

(25.14)

Eine ähnli h

echnung ergibt

(25.15)

490

25 Elektrodynamik in relath'i ri eher Be-eichmm

un können ir ehen, da der Gradient etwa merkwürctig i t. Di F rmeln für x und t in Au drücken von x' und [' [die wir durch Lö ung on GI. 2~.l) erhalt n h n] ind:

['

t

vx'

= _____:==

o

x' + vt'

x=

~I_

.

v2

Auf die e Wei e muss ich ein Vierervektor tran fannieren. (25.15) ind zwei orzeichen fal eh!

ber in den Gin. (_~.I-+) und

Die Lö ung be teht darin, da wir an teHe de inkorrekten (0/ r, V) den vierdimm iona/en GradientenoperalOf, den \ ir V~ nennen. definieren mü en dur h

v = (~8r' - v) = (~8t' - ~8x' -~By' -~) az . ~

MJt die er Definition entfallen die Vorzeichen chwierigkeilen. denen \ ir oben begegnet ind und '1/~ verhälr ich genau 0 wie ein Vierervektor. Die e .nu erzei hen ind re ht unbequem, aber ei te nun einmal.) Zu agen, da "Vp.' ich wie ein ierervekror v rhälr'. ~ d~u­ tet natürlich einfach da der Vierergradient eine kalar ein lererveklor i t. I t if; ukh h ein kalares invariante Feld (loremzinvariant), 0 i t "VplP ein ierer- ektorfeld.

Al

gut, wir haben Dun Vektoren, Gradienten und Skalarprodu te' folgli h mü en ir un al äcbste nach einer In arianten um chauen, die analog zur Di ergenz der dreidimen ionalen Vektoranaly i i t. E i t klar das da Analogon darin be teht, das ir den u dru k Jß p bilden wobei p ein lerer- Vektorfeld i t, de en Komponenten Raumzeitfunk1:ionen ind. Wir definieren die Divergenz de ierervektor bp = (b r, b) al das kaJarprodukt von V JI und bp : 0

b

Vb p Jl

a

= 8t bt +

=~b-(-~)b-(-~)b-(-~)b. ot ox x oy) oz ~

I

2 .17)

V· b,

wobei V . b die gewöhnliche Dreierdivergenz de Dreiervektors bit. Bea hten Sie, d man auf die orzeichen aufpas en mu . Einige der Minu zeichen beruhen auf der Definition de Skalarprodukte GI. ( 5.7); die übrigen ind notwendig weil die aurnkomponenren von J..I die Form -ol8x u w. haben, wie in GI. (25.16). Die in Form on GI. 2 .17 definierte Divergenz i t eine Invariante; ie ergibt da gleiche Re ultat in allen Koordinaten ternen, die i b um eine Lorentztran formation unter cheiden. nler uchen wir ein phy ikali ehe Bei piel, in dem die ler rdivergenz auftritt. ir ännen ie verwenden, um das Problem der Be timmung der Feld tärke um einen bewegten Draht zu lö en. Wlf haben ber it (Ab chnitt 13.7) ge ehen da die elektris h L dung d.i hte p und die tromdichte j einen Vierervektor j (p, j) bilden. Führt ein ungeladener Draht den trom Jx 0 hat der Draht in einem Sy tem,JIda ich mit der Ge eh indigkeit v (enrlan on x) an ihm orbei be egt, die folgende [au der Lorentztran fonnation GI. {_ .1 erhaltene] Ladung und Stromdichte

=

., _ ]x -

Jx

r--:;' -VI -vl

25.3 Der \'ierdimell iOllale Gradi

491

nl

Genau d haben wir in apit 1 I funden. ir können dann die e Quellen in den Max ell- lei hun TI in in m lJewe re" \' rem rwend n. um die F Id tärke zu finden. Auch d G LL d r Ladung erh hun e . b hnilt 1 .2 nimmt in der ierervektor-Bezeichnung ei e in einf h F rm an. Betra ht n wir die i rerdivergenz on jJ1: (25.1 )

V· j.

J1JJ1 = -r

D Ge etz der Ladung erhaltung b aot. da der Flu de Strom pro olumeneinheit na h außen glei h der ne ativ n Zu a h rate der adung di hte ein mu s. it anderen orten

Serzen wir das in GI.

in,

(_5.1

0

rhält das Ge

tz

der Ladung erhaltung die einfa he Form (25.19)

Da V j ein invariant r kalar i t i L er in allen y ternen null enn er in einem Stern null i t. Wi/erhalten d folg ode Re ultat: wenn Ladung in einem Koordinaten ystern erhalten i t, so i t ie in allen Koordinaten t men erhalten die ich mit gleichförmiger Ge chwindigkeit bewegen. AI Letzte Bei pie! ollen ir da Skalarprodukt de Gradientenoperator \! JJ. mit ich elb t betrachten. In drei Dirnen ion n Liefen ein oiche Produkt den LapLace-Operaror 2

V

= V·

V

=

a2 2

Br

+

a2

-2

0)'

+

-2'

B-

Und werhalten wir in ier Dirnen ionen? Da i t einfach. Wir enden un ere Regeln rur da Skalarprodukt und den Gradienten an und erhalten

Die er Operator, der da d'Alembert-Operator und

nalogon zum dr idimen ionaLen Laplace-Operator i t, heißt der ird darge t Ht dur h

2

0 2 O=VV=-2- V ' J.I. /.I öl 2

Definition gemäß i t er ein invarianter kalarer Operat r' wirkt er auf ein ierer- ektorfeld o erzeugt er ein neue ierer- ektorfeld. (Manche definieren den d' Alembert-Operator mit

492

dem umgekehrten orzeichen von GI. (25.20); ie mü en dah r dar ur a ht n, wenn die bezügliche Literatur tudieren.)

ie die

Für den größten Teil der in Tabelle 25.1 aufgeführten dreidim n i nalen Gr"'ßen hab n wir nun die vierdirnen ionalen .. quivalenle gefunden. (E fehlen noch die .. qui alente de ektorpotential und der Operation de Rotor: wir werden ie er t im nä h ten K pitel auffinden.) ielleicht können Sie all die wichtigen Definitionen und Re uhate b er in Evid nz halt n, wenn wir ie in einer Li te aufführen; wir hab n i de halb in Tab lle _-._ zu arnmenge teilt.

Tabelle 25.2: Die \ ichtigen Größen der Vektoranaly i in drei und "ier Dirnen ionen Drei Dirnen ionen Vektor OJl

Skalarprodukt A· B

= Aß.. +A,B, +Aß:

= (a"

a.r'

D"

a.)

= (a/. a)

ab -ab -ab -ab =ab -a·b pp =ab I1 .xx \ :: Ir

ektoroperalor

v = CiJl8x, 81By. iJ/iJ~)

'VJl

= (818[. -ßI8x. -a/{ly, -818-) = (al [, - V)

Gradient "'lJJ =

(8l/t Bl/t 81/1)

\l

ßx' iJy' 8:

M

-

(i!.._i!..- -~. . . --) 01' 8x' a: =(8[ . -v'"' )

Divergenz

BA Bx

BA 8y

BA 8:

G,

V·A=_x+-Y+~

y

Laplace- und d' AJembert-Operalor

&

or

25.4

I'

ff1

"'l.a

Er ~ ff1' , - -, = -, - \7- = 0o. - -, 8)- ar

=- - -

'i1 'i1

V·V=-

-.5.=~ • 1

Jl

(2

Elektrodynami in vierdimen ionaler Beze~chnung we' e

ir ind dem d' lembert-Operator hon einmal in b hnitt 1 .6 beo gnet, hn ihn namentlich zu erwähnen. Die Differentialgleichungen, die \ ir dort für die Pot mial gefun·· n haben, können in der neuen Bezeichnung wei e ge chrieben erd n al :

O-lß = P,

=

J

Eo Die ieT Größen auf der rechten Seite der beiden Gleichungen in (2 - ._1 durch En, da eine universelle Kon tante i t, die in all n K ordinaten y ofero in allen y ternen di gleiche Einheitsladung rwendet \\ ird. ich die ier Größen p/EO' l/En, I/Eo• jjEo ebenfall wie ein ier rv

.

-

iod , J(. j" I:., g teilt lern n di "gI i hit. Igli h tran fonruer n kror. \ ir können ihn

493

al j/ chreib n. D r d' I mbert- p rator änd rt i h nicht- w nn da Koordinaten y rem i h allch di Größ n r/J, \' A" ~ wie in ierervektor transformieren verändert wird. d müssen - wa b deutet. da i die Kamp n nten ein ier rektor ind. Kurz au gedrückt,

i t ein Vierer ekr r. Bei den 0 enannten kalaren und ektorpotenlialen handelt e . ich in irklichkeit um r chi den pekte de eIben phy ikali chen Geg n tande. ie gehören zu ammen. nd w rd n ie zu ammen belra htet. 0 wird di r Iati i ti ehe In arianz der eh eident. ir nennen Ap d lererpore11lial.

In der Bez i hnung

ei e mit

i rer eklaren werden die GIn. (25.21) einfach

o 2A p_- ill . Eo

Die Phy ik die er GI i hung i 1 g nau di Ib wie die der axwell-Gleiehungen. Aber e bedeutet eine ge i e Genugtuung wenn man sie in ein r eleganten Form chreiben kann. Die hüb ehe Form i t außerdem inn oll; i lä t unminelbar di [n arianz der Elektrod namik bei der Lorentztran formation erkenn n. Erinnern Sie ich, da die GIn. (25.21) nur dann au den Ma well-Gleichungen folgten. wenn wir die Eichbedinoung auferlegten

Br/J 81

-+V·A=O

(25.23)

'

die ganz einfach be agl. da yAll = 0 i l; die Eichbedingung bedeutet. da die Divergenz de Vierervektor All null i t. Die e Bedingung heißt die Lorenr:bedingl/ng. Sie i t ehr prakti ch weil e ich um eine invariante B dingung handelt und di ax eil-Gleichungen daher in allen Sy ternen die Form on GI. ( -._2) beibehalt n.

Da Viererpot ntial einer bewegten Ladung

25.5

Obwohl di Tran f rmation e etze, mit d nen man f/J und A in inem bewegten Sy tem durch f/J und A in in m ruhend n t m au drücken kann, bereit implizit in dem enthalten ind. w wir ge agt hab n, oll n ir i an hreib n. Da AJl = (f/J, A) ein ierervektor i l, mü en di Gleichungen genau i di GIn. (2 .1) au ehen. nur da t durch f/J und x durch A er erzt i t. Daher i l

1>' - c/J - \~,\

- "./1 - \.'2' (25.24)

A'

_A".:....=-="=1>

x-~'

= ...

Hierbei wird angenommen d ich da ge tri hene K rdinaten y tem mit der Ge h\ indigkeit v in der p iti en x-RichLUn b gt nn man e om unge trichenen Koordinaten lern au betrachtet.

25 Elekrrodynamik in relati\'isri eher Be~eichnlln

494 y S

y'

S' \'

p

x'

Fig. 25.2: D 1 rn 'bewegl i h in Bezug auf S mit der Ge chwindigkeit \' (in d r x-Richwn,,,). Eine im rprung von S' ruhend Ladung befind t i h in bei. = \'C. Die Potentiale in P können emwed r im in n oder im anderen Sy Lern berechnel werden.

Wir waUen an einem Bei piet betrachten, wie nützlich der Begriff de I rerpot milli i t. Welche ind die ektor- und kaI aren Potentiale einer Ladung q, die ich mit d r G h.. indigkeil v entlang der x- ch e bewegt? Da Problem j t einfach, wenn ich d Koordinaten lern mit der Ladung bewegt, denn in einem olchen Sy tem teht die Ladung lill. hmen ir an das ich die Ladung im r prung de S' - y tern befindet. ie in Fig. 2 -.2 gezeigt. Da kaI are Potential in dem bewegten y tem i t dann gegeben durch _5. 5)

cl/ = - q 4JrEor' .

r

wobei der im bewegten y tem gerne ene eklOrpotentiaJ A' i t natürlich null.

b tand z

j

chen q und dem Fetdpunkt i

un i te einfach, die im tationären Sy tem gerne enen P tential r/J und umgekehrten Relationen zu GIn. (25.24) ind

t.

Da

zu finden. Die

t/J' vA' t/J=~, A.r

"VI-vA' + wb'

-

( 5. 6)

...--:;.t==

r-")'

v I - v-

nteI erwendung von eh'. das durch GI. (25.25) gegeben i t, und

;.~.;lt,.-.;.~:>;,:.;,.>;.;z;.">"(~'-;~'.

,

•• '

~..," ... ~

~... ~:l;

........>.;....

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, r ••

...

Figur 5c: Durchme er 0.76 mm.

~;-'.

C'>;'~~;>:~~:~~'-,:,;;';'

.:4.17)

Auf jeden Fall haben \ ir ein induzierte aromare Moment gefunden, da dem Magnerfeld B proportional und entgegengericht t i t. Die i t der Diamagneti mus der aterie. E i t dieer magneti he Effekt, der für die klein Kraft auf ein Stü k i mut in einem inhomogenen Magnetfeld erantwortlich i t. ( ie könnten die Kraft au r chnen, indem Sie die Energie der induziertenomente im feld berechnen und ich an ehen, wie ich die Energie ändert, ährend die aterie in oder au dem Bereich hoher Feld tärke be\ egt wird.) ie groß i t der mittlere quadrati che Radiu (r>a,,? Die n bleibt noch da Problem: k.la i ehe echanik hat darauf keine Antwort. Wir mü en zurück und no h einmal mit der Quantenmechanik beginnen. Bei einem Atom können wir nicht wirklich sagen wo ein Elektron i t, ondem \ ir kennen nur die ahr heinlichkeit, da e an einer Stelle ein" ird. enn wir (,:l)av 0 interpretieren, d e d n Mittelwert de Ab tand quadrate om Mittelpunkt der Wahr cheinlichk it eneilung bedeutet, dann ist da durch die Quantenmechanik gegebene diamagneti che oment genau da eIbe wie die Formel (34.17). Die e Glei hung i t natürlich das oment für nur ein Elektron. Da ge amte Moment wird durch die Summe über alle Elektronen im Atom gegeben. Da überra chende dabei i t, da da klas i ehe Argument und die Quantenmechanik die eIbe Antwort geben, obwohl, wie wir ehen werden, da klas i ehe Argument, au dem ich GI. (34.17) ergibt, in der kla i ehen Mechanik nicht wirklich tichhaltig il. Der eibe diamagneti eh Eff kt tritt ogar dann auf wenn ein Atom chon ein permanente Moment hat. Dann \ ird da tem imagnetfeld präze ieren. Da da ganze Atom präze iert, nimmt e ein zu ätzliehe kleine inkelge chwindigkeit auf, und die e lang ame Drehbewegung ergibt einen eh" aehen tram, der eine Korrektur de magneti chen Moment dar teilt. Die i t nur der auf eine ander Art darge teilte diamagneti ehe Effekt. Wir brauchen un darum nicht wirklich zu kümm rn. enn ir üb r Paramagneti mu prechen. Fall der diamagnetiehe Effekl zuer 1 bere hnet rden i I, \! ie wir e hier gemacht haben brauchen wir un nichl e durch die Präze ion inen zu ätzliehen ehw 0 bezei hn ti t. Die Linie chneid t die H-Ach e (B 2 = 0) in H 2 = J/Eoc2(, und die teigung i t -/2/11' nd re [röm r hieben die Linie horizontal. Au Fig.36.12 ehen wir, da e zu einem gegeben n trom mehrere er chi den Lö ungen gibt, je nachdem, wie die ituati n nt land n i t. Hab n ie einfach den agneren gebaut und den Strom bi zur Stärke I aufgedreht, 0 wird da Feld B 2 (da auch BI i t) den Wert haben, der dur h Punk'! a gegeben i l. Haben Si den trom auf einen ehr hoh n ert gebracht und sind dann zu I zurückgekommen, o wird da eid dur h Punkt b gegeb n ein. Li Ben ie j doch er t einen tarken ne gari en Str m durch den Magneten fließ n und haben ihn dann auf I an wach en la n, 0 i t da Feld da im Punkt c. Da Feld im Z i henraum hängt da on ab, wa ie orher getan haben. I t der trom im agne! n null, 0 i t die Relation zwi ehen B2 und H2 in GI. 36.27) durch die in der FirrUI mit I = 0 markierte Lini darge teilt. E gibt immer noch er chied ne mögliche L·· unoen. Haben i cl Ei en zunäch t ge ättigt, 0 kann e im Magneten in beträ btliehe r manent Id g b n, da Punkt d anz igt. Sie können die Spule wegnehmen und Sie

73~

36 Ferroma netismus

Fig. 36.12: Be timmung de Felde

in einem Elektromagneten.

haben einen permanenten Magneten. ie können ehen, da man rur einen gut n permanenten agneren ein Material mit iner breiten Hy tere i chleife braucht. pezielle Legi rungen, wie Jnico V. haben ehr breite chleifen.

36.6

Spontane

agneti ierung

ir kommen nun zu d r Frage: warum erzeugt ein kJ in agn tfeld in ~ rromagneriehen Materialien eine 0 große gneti ierung. Die agneti ierung \'on ~ rromagn ti h n Materialien ie Ei en und Tickel beruht auf dem magneti chenomenr der Elektr n n inder inneren chale de tom. Jede ELektron hat ein magnet] h m nl p. d . leich ql2m mal einem g-Faktor mal einem Drehmoment J i 1. Für in einzeln lehron ohne Ge amtbahnbewegung i t =_. und die Komponente on J in einer beliebig n Ri hrung - et\ a in der :;-Richrung - i t _hf_; omir i t die Kompan nt on J1 in Ri hlUng der -. h

'"'6.2

In einem Ei natom gibt e in

irkli hkeit zwei Elektr neo, die zum tragen; um die Di ku ion einfacher zu halten, pre h n wir d halb ü r i kel. d i ferromagneti eh i t, aber nur in EIe tran in der inn r n haie hat. ( i t infa h. di legungen auf Ei en zu üb rrragen.) e enheiL eine äußeren lektri hen E geht nun darum, da die atomaren Felde B die Tendenz haben, i h in Richtung de F ld einzu tell n. a r dur h ärrn be, egung herumge toßen erden, genau 0 wie wir e für die pararna (} ti h n at riaJien be hrieben haben. lm letzten Kapitel hab n wir fe tge telll, da da Glei hge 'i ht zwi hen

36.6

pOl/tal1e

Magneti ierullg

735

einem Magnetfeld, da ruht, die at maren Magneten au zurichten, und den ärmebewegungen, die ver LI hen. ie dur heinanderzubringen, zu dem Resultat führt da s ich da nuttoment pro olumeneinheit chließlich herau stellt al lere magneti h (36.29) tom wirkende Feld und kT i t die Boltzmann-Energie.ln der Mit Ba minen ir da auf da Theorie de Paramagneti mu en; endeten wir für Ba einfach B, obei wir für jede Atom den Teil de eIde emachlä igten, der on den Aromen in der Tähe beigetragen wird. Im ferromagneti ehen Fall tritt eine Komplikation auf. Wir dürfen das mittlere Feld im Ei en nicht für Ba verwenden, da auf ein inzelne tom wirkt. tattde en müs en wir hier da eibe wie im Fall der Di I ktrika tun - \I ir mü en da lokale Feld finden da auf ein einzelne Atom irkt. Für eine genau Bere hnung mü en wir am On de betreffenden Atom die Felder addieren, di on allen anderen tomen im Kri tallgitter beigetrag n werden. Aber wie bei den Dielektrika machen ir auch hier die äherung, da s da Feld an dem Atom das eIbe ie das in einem kleinen kugelförmigen Hohlraum in dem aterial i t - wobei wir annehmen. da die Momente der tome in der a hbar haft durch die Anwesenheit de Hohlraum nicht verändert werden. Wenn ir den in Kapitel I 1 gemachten möglich i t zu chreiben

IM B Hoh1r:lum -- B +Eo - --

berlegungen folgen, könnten wir glauben das e

(falsch!).

Aber da i t nicht richtig. ir könfl 11 j do h die Re ultate von Kapitel 11 verwenden, wenn wir einen orgfaltigen rglei h zwi hen den Gleichungen au Kapitel 11 und denen für den erromagneti mu in di m Kapitel an teilen. teilen wir die ent prechenden Gleichungen einander gegenüber. ür Bereiche, in denen keine Leitun~ tr"me oder Ladungen auftreten, haben wir:

EI ktro tatik

tati

her FeIT magneti mu V· B =0

Vx E = 0

V

X(B - ~2) = 0

Die e beiden Glei hung y terne können al analog betrachtet rein marlzenw!i ehen Ent pre hungen her teilen

M

E -+ B - -.,. c-

Da i t d

E

eIbe. Je w nn -+

H.

P

E

ir di

P -+ Mlc'l.

(36.30)

erden, wenn wir die folgenden

B. nal gie au

t 1I n

(36.31)

36

ir anderen

orten,

hreiben wir die Gleichungen de Ferromagneli mu in der Form

V.( H ~~) = O. V x H =

O.

o sehen ie wie die Glei bungen der Elektro talik au . Die e rein algebrai he EOl prechung hat in der ergang nheit zu einiger erwirrung geführt. Man war geneigt 2U denken. d H "da magnetj he Feld" i l. ber wie wir ge eben haben. ind Bund E die phy ikali eh fundamentalen Felder und Hit ein abgeleiteter B oriff. Folgli h ind zwar die Gleichun en analog, aber die Physik i t n1 ht. b r da mu un nicht davon abhalten. da Prinzip zu verw nden, n Lö ungen haben.

h dem die eiben Glei hunoen die eiben

ir können un er frühere Re ultat für da elektri ehe Feld im Innern von H hlräumen verehiedener Form in Dielektrika verwenden - ie ind in Fig. 6.1 zu amm ng Fa [ -. um da Feld H im lnnem von ent prechenden Hohlräumen zu finden. enn wir H kennen könn n ir B be timmen. Zum Bei piel i t (unrer erwendung der in b hnin 36.1 zu amm ngefa ten Re uhate) da Feld H in einem nadelförmigen Hohlraum parallel zu M da eibe wi d H in dem ateria]:

H Hohlraum

= H Mau:riaJ'

Da aber M im Hohlraum null i l. erhalten wir

BH

M

hIarum

= B .1arena! - €oe-

6.

Andere eit gilt für einen cheibenförmigen Hohlraum enkre ht zu I 1

p

E Hohlraum = E Diele w

ich übe

elZt

in

H Hohlraum = H Oder in

trikum

latena!

M + ---"

€o

u drücken von B

( 6. 4 chJießli herhalten \. ir für ein n kugelförmigen Hohlr um, ind m \\ ir dj 36.3) he teIlen,

M

H Hohlraum = H ~lalen I + --,

€oe-

naJ gi zu GI.

36.6 Sp011lGIle MG

737

oder ?

BHohlraum

=

BMalcnal -

~

c2 '

Die e Re ultat unter cheidet i h b trächtli h

(36.35) n dem, da wir für E erhalten haben.

E i t natürlich möglich. die Re ultate auf phy ikali chere Wei e durch direkte Am endung der a well-Glei huneen zu erhalten. Zum Bei piel folgt GI. (36.34) direkt au V· B = O. ( ie verwenden ine Gauß ehe Ob rfläche, die halb im Material und halb außen liegt.) Auf ähnliche i k"nnen ie GI. 36.33) rhalten, enn Sie ein Linienintegral entlang einer Kurve verwenden, die im Innem de Holraum nach oben v rläuft und durch da Material zurückkommt. Phy ikali ch ge hen wird da Feld im Hohlraum aufgrund der Oberflächen tröme reduziert, die durch V x M g geben ind. Wir überla en e Ihnen darzulegen, das man GI. (36.35) auch erhält, indem man die Effekte der Oberflächen tröme auf dem Rand de kugelförmigen Hohlraum betrachtet. Bei uffinden der Gleichgewi ht magneti ierung au GI. (36.29) teHt ich herau, das e bequemer i t, mit H zu arbeiten; \ ir chreiben daher

B

B = H+"A-,.

(36.36)

c-

a

t

In der äherung de kugelförmig n Hohlraum hätten wir A = aber wie Sie ehen werden, ziehen ir päter ein n anderen Wert or und behalten daher A al adju tierbaren ParaIIleter bei. Außerdem nehmen wir all Felder in der eIben Richtung an, 0 da s wir un nicht um die Vektorrichruneen kümmern mü en. Würd n wir nun GI. (36.36) in GI. (36.29) ein etzen o hätten wir eine Gleichung die die agneti ierung M mit dem magneti ierenden Feld H in Beziehung erzt:

M

=

Jl

tann (

H + ,\MI kT

E handelt i h jed ch um eine Gleichung. die nicht explizit gelö t werden kann; folglich werden wir da auf graphi ehem eg tun. Stellen wir da Pr blem in einer allgemeinen Form dar und chreib n dazu GI. (36.29) al

M

- - = tanhx

(36.37)

M a[l

ält

Jl

wobei M der ättigung, ert der Magneti ierung, nämlich i t und x den Faktor JlBa/kT dar teilt. Di bhängigkeit on M / M äit von x i t durch Kurve a in Fig. 36.13 gezeigt. lf können auch x al Funkti n \fon M chreiben - mit Hilf von GI. (36.36) für Ba -;

x

= JlB a = JlH + (JlIU; ält)~. kT

kT

Eo -kT MSäll

(36.3 )

73

36 Ferroma

MIM

äu

Lö ung

1.0 --------------------

x

Fig. 36.13: Graphi

er Gin. ("6. 7 und

(36.3 ). Für jeden gegebenen ert von Hit die eine geradlinige Beziehung zwi hen MIM ält und x. Der chnittpunkt mit der x- ch e liegt in x = J.iH IkT und die teigung i t c?kTIJ1'1.M att" Für jede pezielle H erhalten wir eine Linie wie die mit b bezeichnete in Fig. 36.13. D r chnÜtpunkt der Kurven a und b gibt un di Lö ung für MI 411' ir haben da Problem gelö t. ehen wir, wie die Lö ungen unter ver chiedenen m tänd n au h n. ir b ginn n mit H = O. E gibt zwei rnögli he Situationen, die durch die inien b, und b"]. in Fig. 6.14 ang z igr ind. nhand von GI. 36.3 ) teUen ie fe t, da die teigung d r Linie prop rtional der ab oluten Temperatur T i 1. omit hänen wir bei hohen Temperaturen eine Linie wie b,. Di Lö ung i t MIM ält = O. I t das Magneti ierung f, ld H null. 0 i t au h die ~1agneti ierung null. Bei niedrigen Temperamren erhielten wir eine Linie wi b2 und e gibt ~H'ei Lö ungen für MIM an - eine mit MIM an = 0 und eine mit MIM äll nahe ein. E leHr i h h r u , da nur die obere Lö ung tabil i t - wie ie ehen können, wenn Sie kleine b" eichungen von di n Lö ungen betrachten. MIM an

hochT

niedrig T

o.

0.5

1.0

1.

x

Fig. 36.14.

uffinden d r

a neli ienm a ur H

= O.

i hinr iärm b wegungen klein genug, 0 werden die atomaren agnel n dur h die Kopplung z\ i h n ihn n gez\\'Ungen, i h parallel zueinander au zuri hten - wir haben in penn n ut m gneti iene aterial analog zu den Ferrodielektrika, die wir in Kapitel 11 di kUli rt ha n.

In Überein timmung mit die en Id en mu ich dann ein magn li che atena1 chend niedrigen Temperaturen spontan elb t magneti ier n. Kurz ge gt. ind di

Beginnen wir bei hoher Temperatur und erringern i d M. peratur, die 0 genannte Curie-Temperatur Tc' an der d ~ rr ma

36.6 Spo/llane Magneri ienmg

739

ein etz!. Die e Temperatur ent prichl der Lini b) in Fig. 36.14, die tangential zur Kurve a i I und infolged en di teigun I hat. Die urie-Temperatur i I gegeben durch (36.39) in Au drü ken von Tc einfacher chreiben:

enn wir woll n, könn n \ ir GI. (36.

pH kT

X=-

r.T (MM

311

)

(36.40) •

un wollen ir hen, \ a bei kleinen magneti ierenden Feldern H pa ien. Wa or sich geht, können wir anhand on Fig. 36.14 eh n, enn wir un ere gerade Linie etwa nach recht er chieben. Im Fall on niedrigen Temperaturen er chiebI ich der Schnittpunkt etwa enrlang de fallend n Teil der Kurve a und M ändert i h verhältni mäßig wenig. Im Fall on hohen Temperaturen rut ChI ab r der hnittpunkt den steilen Teil der Kurve a hinauf und M ändert ich erhältni mäßig hnell. Wir können die en Teil der Kurve a durch eine gerade Linie mit der teigung ein annähern und hreiben

un können

ir die Gleichung für MIM alt lö en: (36.41)

Wir haben ein Ge etz. da gneti mu hatten wir

M Mall

In

twa d

01

für den Paramagneti mu ähnlich i t. Für den Pararna-

J.LB

= kT

(36.42)

Ein nter chied i t d r, da di agneti ierung nun dur h H au gedrückt i t, wa einige Effekte der We h elv irkung der atomaren Magn ten ein chließt ab r der Hauptunter chjed i I die Tat a he da die agneti ierun a umg k hrt pr p rtional zur Differel1~ z i chen T und T i t und nicht allein zur ab oluten Temperatur T. V rnachlä igen wir die Wech elwirkung~n zwi hen achbaratomen, 0 ent pri ht da der abl A 0, a laut GI. (36.39) Tc = 0 ent pricht Di R ullat ind dann die eiben die wir in Kapitel 35 gefunden haben.

=

ir könn n un re theoreti he Dar t llung anhand der e perimentellen Daten für lickel überprüfen. E i t perimentell beobachtet word n, da da ferromagn ti che erhalten on ickel er hwindet, w nn eine Temperatur 631 K über teigt. Wir können da mit Tc erglei0 i t ehen, d au GI. 36.39 b rechnet \ urde. Erinnern wir un da M ätt = J1

~O

6 Ferromar:lJeli 1111/

Au der Di hle und dem Atomge\\ i ht \ on ,

J

:::

rj

kel erhah n \~ Ir

_1

9, I x 10- m .

\ ir nehmen J1 au GI. ('6.2 ) und elZen ,\ :::

*; dann i

I

T.. ::: 0.14 K. Da i I eine Dd.-repanz \'on einem Faktor von ungefähr 2600! Cn er Theorie de Ferr magneti mu ver agt voll komm n. ir können ver u hen. die Theorie zu ..reparieren", \\ ie vi. da laI. indem, ir annehmen. da ,au einem unbekannten Grund ni ht ein Drill l, sondern (26001 x - der ungefähr 9 i t. E zeigt i h. da man ähnliche Werte für andere ferrom gn li ehe. t lerialien \Vi Ei"en erhält. m zu ver lehen. wa da agen will. geh n wir zurü k zu GI. (36.36). Wir' hen. da ein e"roße J\ bedeulet. da B. da auf da 10m wirkende lokale Feld. nbar \ i l. viel -!!rößer a i 1. aJ wir e r\\ arten \\ ürden. chreiben \\ ir H ::: B - M/ r. erhah n ,\ ir laI ä hli h _ ,(,\- I)M Ba -BT ,.

c

*-

Gemäß un erer U pfÜnglichen Idee - mü ,\ ::: redu=:ierr die lokal tagneti ierung 1 a effektive Feld Ba um den Betrag -iM/EOC2. ~Ib t wenn un er. lodell ein I..ue Iförmigen Hohlraum ni ht ehr gut wäre, würden wir immer no h eine geH 1\ e Redu ,tion D\ a.rt n. Zur Erklärung de ferromagneti hen Phänomen mü. n wir un lalld n v r lellen. da die Magneti ierung de Felde da lokale Feld um einen groß n Faktor - \ i intau end d r mehr - ver,?rößen. E heint keinen vernünftigen Weg zu g b n. auf d m man 0 un~eheuere auf ein Atom ,ürkende Felder erzeugen kann - nicht inmaJ Feld r miL dem n 'hligen Vorzei hen! E i t klar, da un ere ..magneti ehe" Theorie de· F rr magneti mu ein tr uri~ Fia k i 1. Wir mü en darau hließen. da der Ferromagneti mu et~ a mit einer llicluma lIeli hell We h elwirkung z~ i hen den rotierenden EI ktr nen in a hb rat men zu tun h l. Die e We h eh\ irkung mu bei allen benachbarten pin die tarke ~ ndenl h f\ rrufen. i h in einer Ri htung au zuri hten. Wir werden päter eh n, da . da mil der Quantt:nm hanik und dem PauJi h n u hließung prinzip zu ammenhängl. hau n \\ ir zum hJu , wa bei niedrigen Temperaturen p iert - bei T < T . Wir ha en ge ehen. d dann ein p ntalle Magneti ierung intriU - ogar bei H = -. die dur 'h den hniupunkt der urven a und b2 von Fig. 6.14 g g nil. Lö en \\ ir ~I für \ ('\ hi d ne Temperaturen - indem \\ ir die teigung der Linie b., lind m erhall n ,\ ir ie the feli he Kun e. die in Fi_. 6.1 g zeigt i 1. Die Kurve m~ . für alle err m cnetl h n tat riuli n gJ i h ein. bei d nen da magnet! eh ment auf ein inz Ine I 'tr n zuru lzufiJhr nil. Die Kun en für and re aterialien . in nur geringfügig and r .

äh rt i h T dem ab oluten ullpun l, \trebt M na h \1 ~n' W nn ie ~ mperamr zunimmt. nimmt die 1agn ti i run ab und fällt b i der urie-Tempemtur uf null ab. 01 Punkle in fig. 6.1 ind die e perim meilen Beobachtungen für i k 1. ie pa n i 'h der theor ti. hen UIve einigermaßen gut an. Obwohl wir den grund leg n n. 1 'ham mu ni ·bt '> rteh n. heinen die aJJgemein n Züge der Theorie richti o zu ein.

36.6

{Jolllane Afar:nui,\Ierlm~

]·H

AJ/M "n LOI----i:.......,,~~

Theone /

0.-

o

o TIT

Fig.36.15: pontane 1agneli ierung al Funktion der ickel.

Temp ratur für

chließlich gibt n'h eine weitere. törend Oi krepanz bei un erem er uch. den Ferromagneti olu LU ver. lehen. Wir haben festöe t llt, da's ich da Material oberhalb einer betimmten Temperatur ,.. i ine par magneti he Substanl verhalten ollie. der n 1a!.!:neti ierung proporti nal zu H ( d r B) i t und das e unterhalb iner be timmten Temperatur pontan r da i t ni 'ht da.. wa ,ir gefunden haben, a1 wir die Magnemagnetisiert w rd n s llt. ti ierung. kurve für Ei en g me . en haben. E. \\ urde er I perman nt magneti iert. nQchd 111 wir e .magn ti. ien" hallen. ach den eben di kUliert n Ideen würde e 'ich Ib t magneti ieren. a. timmt da ni ht? Etellt i h herau .. da. ein genügend kleiner KriSTall au Ei en oder i kellat ä hlich" Hk mrnen magneti ien i. I! 00 h in großen Ei en tücken gibt e viele kleine Regionen oder ..Bezirk ". die in ver hi cl nen Richlun c n magneti iert ind, 0 da in großem aß tab die milIler agn ti ierung null zu eincheint. In jed m kleinen Bereich hai das Ei n jed h in eing hl .. ene Magn ti ierung. bei der 1'.1 fa t gleich 1'.1 alt i 1. AI Kon equenz die r BeLirk . lruktur ind die globalen Eig n chaften \ n großen tücken eine aterial ehr ver hi den von den mikro. kopi. ch n igen chaften, di wir in irklichkeit b handelt haben. Tm näch ten Kapit I \.. erd n wir un mit dem Thema de prakti ehen erhalten n ma i, n magneti hen laterialien be chäftig n.

37

Magneti ehe Materialient

37.1

Den Ferromagneti mu ver tehen

In die em Kapitel werden wir da erhalten und di Eigenheiten von ferromagn ti ehen und and ren unge\ öhnlichen magneti ehen Materialien di kurier n. Ehe wir aber mit der Unter uehung der magn [j ch n Materialien b ginnen, wollen wir kurz einige iederholen, \ a ir im letzten Kapitel über die allgemeine Theori der Magneten gelernt haben. Zuer t tellen wir un im lnnem de aterial atomare tröme or, die für den Magneti erantwonli h ind, und n. hli ßend be chreiben wir ie durch eine Volumen tromdichte imag = VxM. ir bet nen. da die e nicht die 'wirklichen tröme dar tellen oll. Wenn die agneti ierung horn gen i t. kompen ier n i h die l('me in Wirklichkeit nicht ganz; das heißt. der Kr i tr m in Elektr n in einem tom und derjenige eine Elektron in einem anderen tom überlappen ich ni hr ü da di umme genau null i t. Selb t in einern einzelnen Atom i t die erteiluno de M gneti mu nicht glatt. Zum Bei piel i t die Magneti ierung in einem Ei enatom auf einer mehr oder weniger kugelförmigen Schale erteilt, nicht zu nahe am Kern und ni ht zu \ it W g dav n. Daher i t der Magneti mu in der Materie in den Einzelheiten eh a ehr K mplizierte : er i t ehr unregelmäßig. Aber wir ind nun gezwungen. die e Kümple ität der Detail zu ign rieren und au gemittelte Phänomene im großen !faß lab zu di kutieren. Dann i t e richtig. das im inneren Bereich der mittlere Strom durch eine endliche Flä he. die groß im ergl i h zu einem tom i t. er eh windet, wenn M = O. as wir al 0 mit der agneti ierung pro olumeneinheit, mit jmag u . auf der Ebene, die \ ir jetzt betrachten, minen, i tein ittel über Bereiche, die groß im Vergleich zu dem Raum ind. den ein einzeln tom innimmt. mu

Im letzt n Kapit I haben wir außerdem entdeckt da ein ferromagneti ch Material die folgend int r am Eig n haft h t: Oberhalb einer be timmten Temperatur i te ni ht tark magneri ch, ähr nd e unterhalb die er ~ mp ratur magneti ch wird. Di eTat ache läs t ich leicht demün trieren. in tück ick Idraht ird bei Raumtemperatur von inem agneten angez g n. enn \ ir j doch mit einer Ga flamme über eine Curie-Temperatur hinau erwärmen, wird ni htmagn Li h und wird nicht zum Magn l n hingezogen - elb t wenn man e ehr nahe an den agneren bringt. La en ir e neben dem Magneten liegen. \ ährend e abkühlt, 0 wird e in dem oment, wo ein ~ mperatur unter die kriti he Temperatur fallt, plätzli h \ i d r v n d magneten angezogen! Die allO'emeine The rie de erromagneti mu ,di wir v rwenden. nimmt an, da der pin de Elektr n für die agneti ierung verantwortlich i t. Da Elektron hat pin 112 und ein magn Li che m nt v n inem B hr ehen Magneten: f.l f.lB = q/ll2m. Der pin de Elektron kann nt eder "nach b n" der "nach unten' gerichtet ein. Da die LadunO' de Elektron negativ i t, hat bei pin ,na hob n . ein negatives Moment und bei pin "nach unten" ein po-

=

. 636-667; Ki rtel. eh..

37 Ma tleri che Marerialiell

Itll'e Momem. In un eren Konvention n i t da Moment /1 de Elektron entgegeng etzt zu einem pin. Wrr haben fe tge teHt, da die Orientierung n rgie eine magneti hen Dipol in einem vorgegebenen. angelegten Feld B gleich -/1 . Bit. ab r die Energie der rotierenden Elektronen hängt au h von der Au ri htung der j achbar pin b. Zeigt im Ei en da Moment eine Atom in der 'ähe ..na hoben", be teht die ehr t rke Tendenz. d da M m nt de Atom daneben ebenfall ,.na h oben" zeigt. Darum ind Ei en, KobaJt un 'i 'eI 0 lark magneti eh - a1l ihre Momente möchten ich parallel teilen. Die er te Frag . di wir di 'kutier n müs en. i t wamm?

°

Bald nach der Enrwi klung der Quantenmechanik teIlte man e t. da e eine hr tark Scheinkraft gibt - keine magneti ehe Kraft oder irgendeine andere rt von e hter Kraft. ondem nur eine ehe inkraft - die ver u ht, die Spin von nahe beieinanderliegenden El ktronen e eneinander au zuri hlen. Die Kräfte hängen eng mit den hemi ehen aJenzkräften zu arrunen. E gibt ein Prinzip in der Quantenme hanik - da 0 genannte II schließung prin:ip - na h dem zwei Elektronen ni hl genau den elben Zu land einnehm n können, da ie ni ht genau den eIben Bedingungen bezügli h de Orte und der Spinri htung genügen können.+ Befinden ie i h bei piel wei e an dem elben Punkt, 0 be leht die einzi b ögli hkeil darin. da ihr Spin entgegenge elZt ind. Gibt al 0 einen Raumbereich Z\l, ihn t men. in d m i h di Elektronen gern an ammeln (wie da bei der chemi hen Bindung d r Fall i I) und \ ir \ lien ein andere Elektron auf eine etzen. d bereits da i t, 0 i [ d nur mögli h. wenn wir den Spin de zweiten ntg genge etzt zum pin d erlen ein teilen. Parall le pin ind g g n da Ge etz. außer die Elektronen halten b tand voneinander. Die h t d n Effekt, cl in Paar von Elektronen mir parallelen pin. die ich nahe beieinander b finden. hr'i I m hr Energie haben al ein Paar von Elektronen mir entgegenge elzten pin; der G amt ~ kt 'ieht 0 au , aJ ob eine Kraft ve uchte, den pin umzukehren. Zuweilen \ ird die pinumkehrende Kraft die Austauschkraft genannt, aber da macht die ach nur m teriö r - d i [kein ehr guter Tenninu . E i t nur d u hließung prinzip, da be\ irkl, d di Elektronen di 't ndenz haben. ihre pin emgegenge etzt einzu [ellen. T .. hli hit d die Er 'Iärung fur da Fehlen de agneli mu in [; t allen ub tanzen! Die pio der freien EI ktr nen im äuß r n Berei h der torne zeigen eine ungeheuere Tendenz. i h durch Ein teilung in nrg gen e tzten Ri hlUngen au zuglei hen. Da Problem i t zu erkJären, warum \-vir bei J 1ateriali n \ ie n genau da Gegenteil von dem finden. wa wir erwarten ürden. Wir haben den angenommenen Au richtung effekt durch Hinzufüg n ine ge ignelen Tenn in der Energieglei hung wiedergegeben: Führen die Elektromagn len in d r mgebung zu iner mittleren Magneti ierung M, 0 haben wir fe 19 t 111. d cl Moment ein Elektron die tarke Tendenz zeigt, die eibe Ri hrung wi di milll r ~la~meti ierung der t m in der achbars haft anzun hmen. Daher können wir für die beid n m"gli h n pinri hLUngen hreiben t

Energie für piß "nach oben" = +/1 ( H +

i~). ( 7.1)

Energie fLir pin "n iehe Kapitel

hunten'

= -J1 ( H

~) .

·n.

"'Wir hreiben die e Gleichungen mit H = B- M/EOr? an tell \on B. um mit dem letZI n apit I uber inzu tim· men. i hreiben \;ellei htlieber U = pB o ± p(B .t'M/ (..2). \\Obel '=, - I. D I 1 d lbe.

=

37.1 Den Fenvma

I klar war da.. die Quantenmechanik eine ungeheuere pinau richtende Kraft liefern konnte - enn au h mit f} nbar fal h m orzeichen - wurde ermutet. da der Ferromagneti mu die er eIben Kraft nt tammen könnte und da aufgrund der Komplizienheit de Ei en und der groß n Zahl der b tr ffen n Elektronen da Vorzeichen der Wech elwirkung energie umgekehn her u kommen könne. eit der Zeit. al man 0 dachte - um 1927, al man anfing. di Qu ntenmechanik zu ver tehen - ind auf der Suche nach einer theoreti ehen Vorher age für 1\ ver hiedene hätzungen und halb-quantitative Re hnungen gemacht worden. Auch die neue ten Berechnung n der Energi zwi ehen den beiden Elektronen pin in Ei en helwirkung direkt zwi ehen den beiden Elektro- bei denen angenommen wird. das die \ nen in achbaralOm n nolgt - rg b n immer noch da fal ehe Vor::.eiclzell. Augenblicklich mu man imrn r no h ann hm n, die Kompliziertheit der ituation ei irgendwie verantwonlieh und man hofft. d r näch te, der die Rechnung für eine kompliziertere Situation durchfühn. werde die ri htig Lö une erhalten! Man glaubt, da der nach oben gerichtete pin eine der Elektronen in der inneren Schale. die die agneti ierung her OITuft. dazu fühn, da diim äußeren Bereich herumfliegenden Leitung elektr nen die entgegenge etzte Spinrichtung haben. Man kann erwanen. das das pas ien. weil die Leitung elektronen in den eiben Bereich wie die, magneti chen" EI klronen gelangen. Da sie ich umherbe~ egen. können ie die ihnen anhaftende Vorliebe dafür, auf dem Kopf zu t hen, auf da nä h te tom übertragen: da heißt, ein. magneti ehe .. Elektron ver ucht, die L iwng el ktron n zu zwingen, ihm entgegenge etzt geri htet z.u ein. und da Leitung lektron ri htet dann da n"ch te "rnagneti ehe" Elektron sich entgegen. Die doppelte Weeh el irkun i t äquival nt zu einer Wechselwirkung, die ver ucht, die beiden "magnetiehen" Elektronen glei h au zuri hr n. Mit anderen Wonen. die T ndenz zu parallelen Spin i t da Re ultat ein Bind glied, da oe\ i ermaßen dazu neigt. ich entgegenge etzt zu beiden einzu lellen. Di er hani mu erfordert nicht. da. die Leitung elektronen oll tändig ,auf dem Kopf' tehen. ie könnt n einfach eine kleine Vorliebe für Spin nach unten haben. gerade genug. um di "rnagneti hen" EI ktronen ander herum zu richten. Die i t der Me hani mu , den nun diejenigen die 01 he Ding au gerechnet haben. für den Ferromagneti mu erantwortlich ma h n. b r ir mü en betonen, da bi auf den heutigen Tag niemand den Betrag on "- einfa h 0 u r hnen kann, da er nur da on au geht, da da Material im p riodi ehen y tem die ummer _6 hat. Kurz ge agt. wir r tehen da Ganze ni ht gründlich. ahren \ ir nun mit der Theorie fort und kommen dann päter hierher zurück, um einen geufbau enthalten i t. Zeigt da magneti ehe Moment eine be timmt n I ktr n na h ..ob n", 0 kommt die Energi owoh1 au dem äußeren F Id al auch au der 1i ndenz d r pin. parallel zu ein. Da die Energie ni driger i t. wenn die pin parallel ind, b tra ht t man den Effekt zuweilen al von einem "effektiven inneren eid" herv rgerufen. ber erinnern ie ich. er b ruht nieht auf einer echten magneti ehen Kraft; e handelt i h um eine ech el wirkung. die k mplizieI1er i t. J d nfall en enden ir die GIn. (37.1) al di Form In für di En rgien der beiden pinzu länd eine "magneti hen" Elektron . B j ein r Temperatur T i t die relati e Wahr cheinlichkeit die er beid n Zu Lände proportional e-Energle/kT, cl wir a1 e±.l" chreiben können, wobei x = J1(H + IlM/Eoc2 )/kT. Berechnen ir dann d n mitlleren . ert de magneti ehen Moment. 0 finden \ ir für ihn (wie im letzten Kapitel

i en F hier zu di kuLieren. drin un erem

M=

J1 tanhx.

( 7.2)

746

37

un möchten wir die innere Energie de Material b re hnen. ir bem r 'en. da eine Elektron genau proportional dem magneti ehen oment i t. 0 d di de minJeren Moments und die der mittleren Energie auf da lbe hin u I u en an teile von J1 in Gi. (37.2) -j1B hreiben werden, W -J.l H / 2) i t. Energie i t dann

die nergle Bere hnung nur da wir Die mittlere

Da i t aber nicht oanz richtig. Der Au dru k AMI 2 teilt \i e h lwirkung n aller möglichen Paare von Atomen dar und wir mü en darauf hten, da \ ir jede Paar nur einmal zählen. enn wir die Energie eine Elektron im Feld aller anderen betra ht n und dann die Energie eine zweiten Elektron im Feld aller anderen, 0 zählen wir ein n Teil der r ten Energie ein z eire aJ.) Folglich mü en wir den Ausdruck der ge en eitigen chselwirkwl durch z ei dividieren, und un ere Fonnel für die Energie lautet dann

(U)av

= - Jl( H

+

2~ )tanhX.

7.3)

Im letzten Kapitel haben wir eine intere ante Tatsache emde kt - da

d ateria! unterhalb einer be timmten Temperatur eine Lö ung für die Gleichungen findet, für die da magneti che oment nicht null i t, auch wenn kein äußere agneti ierung feld an e end i t. 1 wir in GI. (3 .2) H = 0 etzten, fanden wir

-M - = tanb (Tc - -M) MSan

T M an

7.4)

J

wobei MSätt = J1 und Te = J1AM änlkevc? Lö n ir die e Glei bung Irr phi h od r auf andere Wei e 0 teilen \ ir fe t, da da VerhäJtni MIMs'alt aJ Funktion on T ITe ein Kurv wie die mit .,Quantentheorie'· bezeichnete in Fig. 37.1 i 1. Die mit ,,K balt, i kel" marki rte ge trichehe Kurve zeigt die experimenteUen Re ultate für Kri taHe die er Elemente. The rie und E periment timrnen einigermaßen gut überein. Di Figur zeigt außerdem d Re ultat d r kJas i ehen Theorie. in der die Rechnung unter der Annahme dur hg fühn " ird, das die atomaren agneten alle möglichen Richtungen im Raum haben können. i '''onen eh n, d die e Annahme eine Vorber age liefert, die nicht einmal bi in die ähe d r perim ntellen Fakten ommt. u b die Quantentheorie weicht owohl bei hohen al au h niedrig n Temper tuf n v n dem beoba bteten erhalten ab. Der Grund für die e b i hung n li gt darin, d , ir in der Theorie eine etw na Wäs ige äherung gemacht haben: \Vir haben angenomm n. da die Energie ein Atoms von der mittleren Magneti ierung ioer h t m bhängt. 1it anderen Worten für jeden pin, der in der a hb haft eine g n n to .,n h ben" gen htet i t~ gibt e einen Energiebeitrag, drauf dem quanlenme hani h n u ri htung e fekt beruht. ber ie viele pin ind "nach oben" geri htet. Im Min I ,\ird d r Pr z n atz dur h die agneti ierung Mangegeben - aber nur im ittel. in ceben t m k nn an einem gewi en Punkt alle eine achbarn ,,nach oben' gen htet nd n. in En rgi wird

37. / Den Ferro!1l{/ 0 _____ I.

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\\

Quant ~\ theorie

ibt ein Drehmom m T('::) am Ende I des kJ inen Stabab chnin und ein

7 -+ andere Drehmomem T(:: + -) am End 2. Wenn entwicklung yen enden und hreiben

~

kl in genug i t, 'öon n wir

10

Ta Im-

Da Ge amtdrehrnoment ~ T. da auf da kl ine tü k de

i toffen i htli h die Differenz zwi ren wir GI. (3 ._6). 0 erhalt n wir

tab zwi hen - und - \\'irkt, hen r(:::) und T(:: + ~-). d r ~T = (ßT/ß-) ~-. Differ nzi -

.- )

Der Effekt die e Ge amtdr hmoment be teht darin. da WinkeIbe chleunigung erfähn. Die Ma e der cheibe i L

die kleine

heibe d

tab' eine

wobei p die Dichte de Material i t. In Kapit I 19, Bd. I hab n \ ir h rau oefund n. d da Trägheit mOID nt eine krei förmigen Zy1inde 12 i t: nennen wir d Träghei moment un ere Srü ke D.J. oi 1

mr

M

= -7r pa", ~-

__ 9)

ach dem ewton hen Ge erz i t da Drehmoment gl i h d m Trägh inkelbe hleunigung oder

Kombinieren wir da alle .

0

moment mal d r

erhalten wir

oder

( . 1 ie erkennen d al die eindimen ionate eil ngleichung. 'ir h ben und n. da ion wellen mtang de tabe mit der folgenden Ge chwindiek il u br it n:

C

hcrung

=

i h Tor-

(3 - -)

77S t ifigk it - de t langsamer die ellen: und je steifer der eil n daran ntlang. Die Ge h\ indigkeit hängt nicht vom n Schenmgswellen . Im Allgemeinen ind Tor i n w lien ind ein p zi He Bei piel Scherung wellen diej nig n in denen die 0 formati nen k in Veränderung de Volumens irat ri I herv rruf n. Bei Tor ion wellen liegt eine pezielle erteilung gendeine Teil d der cherung pannung n v r - i ind krei fömug erteilt. Aber wie auch immer die Scherung pannungen ang rdnet ind, die ellen breiten i h mit der eIben Ge chwindigkeit au - mir der. die in GI. ( .3_) g geb nil. Die Sei mologen haben zum Bei piel fe tge teUt. da ich 01 he ch rung w 11 n im Innem der Erde au br iten. Wir können in d r I ti hen elt im Innem eine ~ ten Material noch auf einen anderen T p von ellen treffen. Wenn wir auf et a drü ken, 0 können wir .,Iongitudinale'· Wellen au lö en, die au h ,.Kompre ion wellen" genannt werden. Sie ind wie die S hallwellen in der Luft od r im a er - di er chiebungen erfolgen in der eiben Richtung wie die Wellenau breiLUng. ( uf den Ob rflä hen ine ela ti chen Körper kann e noch weitere T pen on Wellen geben - die 0 genannt n ,.Ra leigh-Wellen" oder "Love-Wellen" (Oberflächenwellen). Ln die en ind die De~ rmationen weder rein longitudinal noch rein tran ver al. Wir \ erden keine it haben, um un damit zu be chäftig n. Da ir beim Thema der W llen ind: elche i t die Ge chwindigkeit von reinen Kompre ion ellen in inern großen Fe tkörper ie der rde? Wir agen, groß", weil die Schallgechwindigkeit in einem dicken K"rp r eine andere als bei piel wei e die entlang eine dünnen Stab i t. ir inern .,di k n" Körper meinen wir einen, in dem die tran ver alen Abme ungen ehr viel gr"ßer al di Wellenläng de chall ind. Üben ir dann einen Druck auf einen Gegen tand au . 0 kann er ich nicht eitwärt au dehnen - er kann nur in einer Dirnen ion zu ammengedru kt w rden. Glücklicherwei e haben wir bereit den peziellen Fall der Kompre ion eine einge pannten ela ti h n aterial behandelt. Außerdem haben wir in Kapitel 47, Bd. I die G hwindigkeit on halh ellen in einem Ga berechnet. Mit den eiben Überlegungen können \ ir eh n da di hallg chwindigkeit in einem Fe tkörper gleich ~Y' I P i t, wob i für d n in e pannt n Fall Y' d r,.1 ngitudinale odul' i t - oder der Druck geteilt durch die relati e .. nderung der Länge. Da i t genau da Verhältnis on MI I zu F I A. da wir in GI. (3 .20) erhalten hab n. F 19lich j t die Ge chwindigkeit der longitudinalen Wellen geg b n dur h

., Ck,ng

Y'

= p = (I

] - er

+ er)(1

- 2

y (38. 3)

Solange er z i chen null und 1/2 li gt, i t der Scherung modul J1 kleiner al der Young ehe Modul Y. und auch Y' i t größ r al Y, 0 das

J1 < Y < Y'. Die b deutet da longitudinal ellen hneller laufen al cherung ellen. Eine der genau ten thoden. di eta ti eh n on tanten ein r ub tanz zu me en, be teht darin, da man di Dichte daterial und di Ge hwindigkeit n der beiden Wellenrypen mi t. Au die er Information kann man 0 ohl Y al au h er erhalten. Übrigen i t e die gerne ene

7 6

Differenz zwi hen den Ankunftszeiren der beiden au inern Erdbeben ramm nden W llentypen, nach der ein ei mologe - ogar au ignalen on nur einer tari n - die Entfernung de Beben ab härz n kann.

38.4

Der gebogene Balken

Betra h[ n wir nun eine andere prakti che ache - die Bie ung eine I be od reine Balken. v el he ind die Kräfte, wenn wir einen tab mit b liebig m Qu r hnitt biegen. \\ ir werden bei d r Behandlung di e Problem on einem tab mit inem krei förmigen Quer hnin au gehen, aber un r Re ultat wird für jede Form geh n. mj d h Zeit zu par n. macben \ ir einige bkürzungen, 0 da die Theorie, zu der, ir gelang n. nur approximativ i t. n ere Re ultate werden nur dann ri htig ein, enn der Radiu der Biegung viel gr"ß r al die Dicke de Balken i t.

Fig.3 ,11: Ein ge

gener BaI' n.

teUen ie i h vor. ie fa en die beiden Enden eine geraden rabe und i gen ihn zu em r Kurve wie die in Fig, 3 .11. Wa geht im Innern de tabe \' r i h'J uno wird er bgen. 0 bedeutet d ,d das Material auf der inneren eite der Kurv zu mm ng drü kt und das Material auf der äußeren eite gedehnt ird. E ibr in Oberflä h . di mehr od r \ eniger parallel zur hede tabe liegt und weder ged hnt n h zu arnm n edrü kt i l. Die e nennt man die neutrale Oberflä h, ie erwarten, da di e Oberflä he in r äh d r. itle" de Que hnins liegt. E kann gezeigt werd n (aber wir werden hier ni ht tun. a di neutrale Oberflä he bei g ringer Biegung on einfachen BaI n dur h d n., h\ erpunkt" de Que hnin g hr. 0 gilt nur für ,.reine" Bieoung nn i h d r Balk n ni ht zur glei hen Zeit dehnt oder zu ammendrü kt.

1 /

)'

=R

3 .4 Der gebogene Balken

777 6

(b)

(a)

neutrale

Oberfläche

1 neutrale berfläche

/

Fig. 38.12: (a) Kleines Segment eine gebogenen Balken . (b) Quer hnin de Balken.

Folglich j t auch die Kraft pr Flächeneinheit - die Spannung - in einem kleinen Streifen auf der Höhe von y prop rti nal dem b tand on der neutralen Oberfläche: (38.34) Betrachten wir nun die Kräfte, die eine olehe Deformation her orrufen. Die Kräfte, die auf da klein egment in Fig. 3 .12 irken ind in der Figur darge tellt. Stellen wir un irgendeinen tran er aJen chnin r, 0 wirken die Kräfte oberhalb der neutralen Oberfläche in der einen Ri htung und unterhalb in der anderen Richtung. Sie treten in Paaren aufund erzeugen da , Biegemoment" m- damit bezeichnen wir das Drehmoment um die neutrale Linie. Das Ge amtmoment können wir ber ehnen, indern wir die Kraft mal dem Ab Land on der neutralen Oberfläche für eine der Seitenfläch n de Krei au chnitt von Fig. 38.12 integrieren:

f

m= Que

Imin

. 4) i t dF

Laut GI.

(38.35)

ydF.

= ~/ R d

,

0

da

YI .,

m=-. R

.v-d.

Da Integral on)'2 dA i t da. a

ir da ,Trägheit moment' de geometri ehen Quer ehnitt h e durch emen , eh erpunkt" nennen können· t wir bezeichnen e

um eine horizontal

mit I:

YI

m=R 1

(3 .36)

= fy2dA. ich in

(3 .37) lrklichkeit um da Trägh it mam nt einer cheibe mit der Ma e ein pro Flä hen-

77

Fig.3 .13: Ein ,.r·-Balken.

Glei hung (3 . 6) gibt un dann di Relation zwi hen dem Biegemomem In und d r Krümmung UR de Balken. Die " r ifigkeit"' de Balken i t proporti n I zu Y und d m Trägheit moment I. it anderen Worten, wollen ie mit einer gegeben n len~ von. agen wir, Aluminium ein not ifen Balken wie möglich erhalten. mü n ie "i I wi möglich von dem atenal 0 weit al mögli h on der neutralen Flä he anbringen. um in groß Träghei moment zu erzielen. ie können da jedoch nicht bi in E tr m I igern. denn dann krümmt i h d Objekt nicht o. wie wir angen mmen haben - e wird kni n oder i h verdrillen und \ ieder hwä her werden. ber nun er lehen ie. warum Balken für Baulen in d r Form eine I oder eine H gemacht ind - vgl. Fig. 3 .13. / } - - - - - - L -----~ I"J - - - - - X - - - - - - l

w

Fig, ]8.J4: Ein einge panmer Bai' n mit einem Ge"" i ht an einem Ende.

Al Bei piel für die ef' endung un erer Balken-Glei hung ( . 6) bere hnen ,\ ir nun di Beugung eine eioge pannt n Balken ,auf de n Fr ie Ende eine konz ntriert Kraft W wirkt. wie e in Fig. 3.1 kizziel1 i t. (Mit "einge pannC' meinen wir inf h. d d r B lken unter lÜrzr wird. d 0 ohl ein Ort al auch eine reigung nein m nd fe t ind - er teckt in einer .1auer au Zement.) VI< I he Form hat d rB Iken? enn n wir di blenkun im b tand x vom fe ten Ende ::; wir uchen z(x). ir rd TI e nur für kJein bl akun en berechnen. ußerdem werden wir annehmen, das d r B Iken lang im \'erglei h zu ein m Quer hrutt i 1. ie ie au Ihren Mathematik rl ungen wi n, i 1 die Krümmung l/R ein r bebebigen Kurve ;:(x) gegeben durch

d 2:./d:2

1 R

[1

(d;:ld-x)2]312'

Da wir nur an kleinen tei ungen im re iert 'ind - da i t g w"hnli h bei t d r Fall- verna hl-- igen wir (d::/dx)2 im ergleich zu I und n hm n 1

R

=

d-d~'

m

ußerdem rnü n wir da Biegemomenl kennen. i lein dem Drehmoment um die neutrale h jede Quer hnitt j I.

unkLi n m hl--

hni

h n Bauten

3 .4 Der gebo elle Balken

779

wicht d Balken und n hm n nur die na h Uni n \ irkende Kraft W am Ende de Balken ie k""nnen da Balk ng 'Ni hl lb t in lZ n, wenn Sie ollen.) Das Biegemoment im Ab land x i t d nn

mit.

mc =

(L - x),

denn d i t da om Ge i ht \ um den Punkt x au geübte Drehmoment - da Drehmoment, das der Balken an der teile x au halten mu "Wir erhalten

(L - x)

YI

= -R

d-1-

:=:

d.\.2

oder 2

-d " =-W dX2

YI

(L-x).

Die e Glei hung können

(38.40 \i

ir ohne Tricks inregrieren; wir erhalten

(38.41) wobei wir un ere nnahm n er enden. da ~(O) = 0 und da d- / dx bei x i t. D i t die Form de Balken . Die er chiebung de Ende i t

= 0 ebenfali

null

(3 .42) di.e \ler chiebung de Balk nend

nimmt wie die dritte Potenz der Länge zu.

Bei der bleitung un rer angenäherten Th orie de Balken haben wir angenommen, das ich der Que hnit! de Balken nicht ändert wenn der Balken gebogen wird. I t die Dicke de Balken klein im ergleich zum Krümmung radiu , so ändert ich der Querschnin ehr

A

b)

Fig. 38.15: (a) Ein gebogener Radiergummi; (b) Quer hnin.

o

o wenig und un er Re ultat i t in Ordnung. Im llgemeinen kann di r Effi kl jed h ni hl \'erna hl"' 'igt \verden. \\o\'on ie ich' Ib t leicht überzeugen \""'nn n. \\ nn i inen w ihn Radi rgummi z\\ i hen Ihren Fingern biegen. War der Qu r' hnin ur prüngli h r hte k.i e • lellen ie nun fe I. da eri h auf d r unteren eil u buh. \\ nn er gebog n \\ ird ( iehe Fig. 3 .1 ~). Da pa ien. weil ich da. aterial eilli hau dehnt. \\ nn e au der unI r n it zu ammeng drü kl \\ ird - \\ i e durch da P i nsche erhälrni hrie n wird. Gummi i t lei ht zu bieg n r dehnen. aber r i I in ofern in r Flü igk il ähnli h. aJ e h\\ r i t. ein Volumen zu änd m - da \\ ird ehr h"n deutli h. wenn i d n Radi rgummi bi g n. Für ein inkompre ible . Ialerial \\ äfe da Poi . on ch erhälrni e nau 1/2 - für Gummi lie~!l 'ehr nahe bei die em 'v\'en.

38.5

Knicken

envenden wir nun un re The rie de Balken. um di Th rie d .. Kni k n ., \' n Balk n oder äulen oder täben zu ver tehen. Betrachten wir di in Fig. 3 .16 ··zzien ituati n. in der ein nonnalerwei e gerader tab, n zwei enrgeoenge erzten Kräft n. die auf die (bend n drü ken. in einer gebogenen Form gehalten wird. ir mö hlen die F nn de labe und cl n Betrag der Kräfte n den Enden berechnen.

~ ~x

.1

L-----~

Fig.3 ./6: Ein ge "ni kler Bai en.

Die b\ 'ei hun" de tabe von der geraden Linie dur h di nd 11 i y(x). \\" bei x d r b land \'on einem Ende i t. Da Biegemoment m am Punkt P in der igur i ( gleich der Kraft F multipliziert mit dem Kraftarm. der der enkre ht btand r i t. A }

ffi(x) ::: Fy.

ü Hilfe der Bal en-Glei hung (

.36) find n wir

YI

R = Fy.

.++)

Für kJ ine bwei hun en könn n wir I/R::: -d 2 y/d).2 Krümmun na b um n erfolgt). ir rhalten

d"2 v

F

d,~ == - Y/ y.

tz n (mit.

_ .·r

und da il die DifferentiaJgI ichung einer inu \ eil . Für kleine b\\ i hungen i I al 0 di un'e eine 01 hen gebogen n Balken eine inu kurve. Die .,\ ' 11 nlänlJ .. .\ d r inu w 11

•

38.5 Knicken

781

i t z eimal der b. Land L zwi hen den Enden. I t di Biegung klein. Doppelte der Länge de umeeb genen tabe. omit i t die Kur e y

=K

i t das gerade da

inlfx/L.

Bilden wir di zweit

in Vergleich mil GI. (

F

0

bleitung, .

.4~)

rhalten wir

gibt un die Kraft

., YI

= Ir -L-

(38.46)

Für kleine Biegung nil die Kraft unabhängig

\'011

der Verschiebung info/ge der Biegullg y'

Phy ikali h hab TI \ ir dann d n folgenden Sachverhalt: I t die Kraft kJeiner a1 da in gibl e gar keine Biegung. I t i aber geringfügig größer al die e Gl. (38.46) gegeb n F. Kraft, 0 biegt ich da aterial um einen großen Betrag - da heißt, für Kräfte ob rhalb der kriti ehen Kraft Y1/L2 ( fr auch die .,Euler-Kraft ' genannt) "knickt" der Balken. Über teigt die Bela tung in der z eil n Etaoe eine Gebäude die Euler-Kraft für die tragenden Säulen, o bricht da Gebäude zu. ammen. Eine ebenfall äußer t wichtige RoHe pielt die Knickung krafr bei Raketen. in r eil mu die Rakete in der Lage ein, ihr eigene Gewi ht auf der Ab chu rampe zu halten und die Spannungen während der Be chleunigung auszuhalten; anderer eits i t e wichtig, da da Gewicht der Kon ttuktion so klein wie möglich i t, 0 da der Raum für die utzla t und di Treib. toffkapazität 0 gr ß wie möglich ind.

rr

R

e

Fig. 38.17: Die Koordinaten Sund für die Kurve eine gebogenen Balken.

In

irkli hkeit bricht in Balk n nicht notwendig rwei e völlig zu ammen. wenn die Kraft die Euler-Kr Fr üb r t igt. erden di Ver chiebungen groß, 0 i t die Kraft größer al die, die wir gefunden hab n, und z ar aufoTUnd der Au drücke in GI. (3 .3 ) für l/R, die wir vemachlä igt hab n. m die Kräfte für eine große Biegung de Balken zu finden mü en wir zu d r g nau n GI ichung, GI. (3 .44), zurü kkehren, die wir früher hatt n, be or wir die angenähert R lati n zwi chen Rund y erwendeten. GI. (3 .44) hat eine ziemli heinfache

7 2

geometri ehe Eigen haft.' ie i t etwas chwierig h rau zufind n. aber ehr imere am. ntaU die Kurve durch x und y zu be chreiben, können wir z i neue ariabJe verwend n: ,d n Ab tand entlang der Kurv , und e. die Steigung d r Tang me an die Kur". ieh Fi c ' .17. Die Krümmung i t die Änderung rate d Winkel mit dem b tand:

I R

de

= dS

Daher können wir die e akte Gleichung (3 .44) in der folgenden F rm chr iben: d(}

dS

F

=- Yl y.

Bilden ,,\ ir die AbleilUng die er Gleichung na h 5 und er etzen dyl d dur h in ().

0

erhalt n

Wlf

3 A7 [I 1 () klein

0 erhalten wir wieder GI. (

.45). E i t alle in Ordnung.]

Ob Sie ich nun darüber freu n oder nicht, aber GI. (3 .47) i t genau die elbe Glei hung die Sie für Pendel chwingungen mit großer mplitude erhalten - ob i natürlich FIY I dur h eine andere Kon tante er tzt i 1. E i t lange her, da wir in Kapitel 9. Bd. I gel mt haben. wie man di Lö ung einer olchen Gleichung mit Hilfe einer num Ti h n Rechnung findet. T Die Lö ungen. die ie erhalten. ind fa zinierende Kurven - die al "EI lika"-Ku en bekannt ind, Fig." .1 zeigt drei Kurven für ver chiedene erte on F IY I.

n Fig. 38.18: Ku en eine gebogenen tabe.

tDie lbe Glei hung tritt übrigen in anderen phy ikaJi ehen ituation n ur - zum Bei Plet Ixim M ni ku an der Oberflä he ein r Flü igkeil. die zwi hen parallelen Ebenen enthallen i I - die lbe g m tri h L" ung kann yerwendel werden. tOie L" ungen können durch gewi e Funktionen. die 0 genannten.J 'obi hen e1hpLi hen Funk-tionen", au gedrü kt werd n. die jemand anderer bereits augereehnet hat

39

Ela

Siehe allch:

h. Killel EinführLIng in die Fe tkörperphy ik, Oldenbourg Wi en chaft verlag, ün hen

39.1

Der V rzeITung tensor

t·

ehe Materialien

Im letzten Kapitel prachen wir über di VerzeITungen spezieller ela ti eher Objekte. In die em Kapit 1 woll n wir betrachten, \ a im Innem eine ela ti ehen aterial allgemein pa ieren kann. ir möchten in der Lage in, die pannung - und Deformation bedingungen im lnnem eine. gr ß n Klumpen Gelatine zu be chreiben. der auf irgendeine komplizierte ei e erdreht und zu ammengepre t \ ird. Dazu mü en wir die lokale Defonnation an jedem Punkt in einem ela ti h n "rper be chreiben könn n; wir können da elTeichen. indem wir jedem Punkt de atenal ein tem on ech Zahlen zuordnen - die die Komponenten eine ymmetri h n Ten r bilden. Früher (Kapitel 31) haben wir von dem Spannung ten or ge proehen; jetzt brau hen ir den erzelTung ten or. vorher

nachher

Fig.39.J:EineFio kede Mate-

rial b findet ich in einem nichtdefonnierten Block arn Punkt P und bewegt ich bei Deformation de Block na h P'. t lien ie ich or, da

"ir on einem anfang nicht-deformierten Material au gehen und dann im erlauf der Deformation die Be\ gung einer kleinen" hmutz' -flocke erfolgen, die in dem aterial enthalt n i t. ine Flo ke die i harn Punkt P in r = (x,), z) befand, bewegt ich zu einem neu n Punkt P' an die t lle r = (x', y', l), ie da Fig. 39.1 zeigt. Wir nennen u die kt r r hiebun n on P na h Pi. Dann i t II

/

= r - r.

( 9.1)

Die Ver hi bung l/. hängt natürlich da n ab, on eichern Punkt P wir au gehen und folglich i tu eine ektoriell Funkti TI on.r - oder, wenn Sie \ ollen on (x, )', z).

39 Ela Ti ehe Marerialien

784 vorher

1f4..- - - - - - - ! - -

I

f--_..,.;.x:.....-_- der Lini zwiachbaratomen wirkt. eine -;.enrrale Kraft ist, womit gemeint i t, d ehen den heiden (omen wirkt. Genau 0 (ellen wir un di Kräfte in ioni chen Kri taJlen or. da e i b in er ter Linie um Coulombkräfte handelt. (Di Kräft der km'atem n Bilndung n ind gewöhnlich komplizierter, da ie einen eitwärt geri hteten chub auf ein nah tom au üben können; die Komplikation Ja en wir au .) Im .. brig n betra ht n wir nur di Kräft zwi ehen jedem tom und einem nächsten und iibemäch tell achbam. it and r n nen, wir machen eine. räherung, bei der alle Kräfte überd n übernäch ten a hbarn hinau \' rna hlä igt werden. Die Kräfte. die wir betrachten, ind für die xy-Eb ne in Fi e . 9.10 a) g zeigt. Die ent pre henden Kräfte in der y-;.- und d r :x-Ebene mü en e nfall berü 'i htigt werden.

/

@--~-

(b)

Fig. 39.10: (a) Die im ratomaren Kräfte, die hi r betra hlet dur h Fed m miteinander verbund n ind.

erden: (b) ein

odei!. in d m die

t

rn

39.5 Berechnu1Ig der eta tischen Konstanten

799

Da wir nur an cl n d ti hen K ffizienten intere iert ind. die für kleine Defonnationen zu tändig ind. und in~ Igede' en nur die Energiebeiträge uch n, die quadrati eh on den Deformati nen a hängen. können wir un vor teilen, da die Kraft zwi ehen jedem Atompaar linear on den er hiebung n abhängt. Dann k"nnen wir UD vor lellen. da jede Atompaar dur h ine lineare Feder. wi in Fig. 39.1 aCb . zu ammengeha]ten wird. Alle Federn zwi hen einem atriumatom und einem ChI ratom ollten die eIbe Federkon tante, agen \ ir k l' haben. Die Federn zwi hen zwei atriumatom n und zwi ch n zwei Chlorat men könnten ver chiedene Kon lanten haben. aber um un er Di ku ion zu vereinfachen, betrachten wir ie al gleich; wir nenn n i k2 . ( päter könnten wir ie dann wieder al unters hiedlich betra hten. na hdem \-vir ge ehen hab n. wie di Rechnungen ablaufen.) Wir nehmen nun an, das der Kri lall dur h eine homogene Deformation erzerrl wird, die der erzerrung ten or er} be ·chreibt. Im Alloemeinen wird er Komponenten bezüglich x. y und - haben; da h hi r werden \! ir nur eine Deformation mit den drei Komponenten eu ' en und er. betrachten, 0 da ie leicht zu veran chaulichen i t. Wählen ir ein Atom al un e'ren '[ prung, 0 i. 1 die r chiebung jede anderen Atom durch Gleichungen \ ie GI. (39.9) gegeben: Ll x

= e.r.tx + e.n-Y'

LI)

= eX)

+ e.,...Y·

ennen \ ir da' tom im Punkt x =y = a ,.da Atom I,. und numerieren eine achbarn in der .xy-Ebene wie in Fig. 39.11. Bezeichn n wir dann die Gitterkon tante mit a, 0 erhalten wir die in Tabelle 9.1 aufgeführten x- und y- V r hiebungen U x und lI,._ lun können \ ir die in den Fedem ge pei herte Energie berechnen, die k/2 mal dem Quadrat der erlängerung jeder Feder i t. Zum Bei pi I i t die Energie in der horizontalen Feder

,,

,

3

t----a--~

, \

I I

Fig. 39.11: Die er chiebung n der nä h ten und übernäch ten lachbarn on Atom I übertrieben).

00 Tabelle 39.1 Lage

Atom

x,y

ur

I

0.0

0

2

a,O a,Q

ena (eu + en)a ena (-eet + en)a

O,a -a,a -a,O -a,-a

4

-

6 7

-euQ

eX\)a -e.n a

-(eu

O. -Q a, -a

9

Z\\'I

hen Atom I und

(e xx

-

e"..la

k

11

.r Cl

(e

J

e )a e"a

k1 k,

kI

e )a

k~

-era -Ce J - e a -e, a e, )a (eH

kI

(-e,

k,

kI k,

tom 2

39.43) Beachten ie, da die y- er chiebung von tom 2 die Länge der Feder zwi hen tom I und 2 in er ter Ordnung ni ht verändert. m jedo h die D formation energi in einer diagonalen Feder. \ ie in der zu tom 3 führenden. zu erhalten, mü en ir die on den horiz malen und vertikalen e h.iebung~n verur achte Längenänderung bere hnen. Für kleine er hiebungen von dem ursprünglichen Würfel weg können ir die .. nd ruog im b land von tom a1 die Summe der Komponenten von Ux und LI)" in der diagonalen Richtun o hrei n. und da i t -

1

(liI

u,).

2 Mit Hilfe der \ erte von

lI x

und

LI.>

au der Tabelle erhalten wir die En rele

.-W

Für die Ge amten rgie aller Federn in der xy-Eb oe benötigen wir di umrne \' n a h( u drü ken wie (39. ) und (39.44). ennen wir di e Energi o. malt n \\ Ir

9.-+~

39.5 Berechnung der eta ti ehen KonsTQl1lell

m di Ge amtener ie aller mit tom I der in GI. 9.4-) au gedrü kten Energi Komp nenten der D formation orli g n, näch ten achbarn außerhalb d r -"y-Eben

01

erbunden n Federn zu erhaJten, mü en wir zu ein n B trag hinzufügen. Ob\ ohl nur x- und ygibt e noch eine ge i e Energie, die den überzugeordnet ist. Die e zu ätzliehe Energie i t (39.46)

Die ela ti ehen Kon tanten ind durch GI. (39.13) mit der Energiedichte werknüpft. Die on un berechnete Energie ent pri ht einem Atom; genaugenommen handelt e ich um da Doppelte der Energie pro tom. da jedem d r beiden tome die Hälfte der Energie einer Feder zugeordnet werden mu ,die ie erbind t. Da e 1/ a3 Atome pro Volumeneinheit gibt. ind w und Vo verknüpft durch w=_O.

2a m die ela Li hen K n tanten ijk/ zu finden, rnü en wir nur die Quadrate in GI. (39.45) emwi kein - unter Zu atz d r u drü ke in GI. (39.46) - und die Koeffizienten von eijek/ mit den ent pr eh nden Koeffiz.ienten in GI. (39.13) vergleichen. Fassen wir bei piel ei e die Au drü ke in eL und in e;y zu ammen 0 erhalten wir den Faktor

o da

Cau

=

Bei den re tlichen u drücken tritt eine leichte K mplikation auf. Da wir da Produkt au zwei u drücken ie e.r..re" ni ht on ene.1X unterscheiden können i t d r Koeffizient olcher u drücke in un er r Energieglei hung gleich der Summe der beiden Au drücke in GI. (39.13 . Der K effizient on e.rxe,,)' in GI. 9.45 i t 2k2 folglich haben wir

2k"

(C.lX,")" +Cneu ) = - - . ....

Aufgrund der

a

mmetri in uo r m Kri ta11 i t aber C.I:.t"yY

Ein analoger' rgang liefert

C.IJ,,"",, ".'

k.,

= CI'n'l: .... ~ -= a

Ull

= Cyyxx '

0

da

02

39 Ela tische Materialien

chJieBli h werden ie fe t teilen. da jed r u druck. d r x oder J nur einmal emhält, null i t - wie wir zuvor au ymmetrieerwägungen gefolg rt hab n. Fas en \\ ir un re Re"ullate zu ammen. 0 i (

39.47)

E i t un gelungen, di ela ti hen Kon tanren zu den atomaren Eigen h ften in Beziehung zu etzen. die in den Kon ranten k( und k? auftreten. In un erem peziellen Fall i r (nn = Cxn... · E teilt ich h rau - w vielleicht au d m Rechnung ablauf e i htli h urd -. 'da die -e u drü ke für einen kubi chen Kri taJ] immer 171 i h ind, gal wi vi le Kraftau drü ke berüc' i hrigt werden, nur unter der Vorall er-un , d die Kräfte entlang d r je\\' il ein tompaar verbindenden Linie wirken - da heißt, olange ich die Kräfte z\ i hen romen wie Federn verhalten und keine eitlichen Komponenten aufwei en, \ ie ie ie im Fall ine einge pannten Balken erhalten würden (od r bei kovalenten Bindungen. Die e hlu folgerungen können wir anhand der experimentellen 1 werte der ela tiehen Kon tanten überprüfen. In Tabelle 39.2 geben wir die beoba htet n V rte der drei ela tihen Koeffizienten für mehrere kubi ehe Kri talle an.i- ie werden fe t lIen. da im Jlgemeinen Cx;n, und C-nn nicht gleich ·ind. Der Grund dafür i t. d in etall n wie atrium und Kalium dü~-inreratomaren Kräfte nicht entlang der di tome erbindenden Lini \\ irken. wi Wlf e in un erem Modell angenommen haben. Auch ein Diamant geh rdH d n Ge tz n ni hl, Tabelle 39.2: Ela tizität moduln v n kubi ehen Kri lallen in 1Ol~ D} n . Cc;c.u

'a K Fe Diamant Al

liF aCI KCI aBr Kl gCI

CJen..

m~

"

.Il

0.0-5

0,042

0,049

0.046 2,37 10,76 1,0

0,037 1,41 1,25 0,62

1,19

0, 4

0.0_6 1.16 .76 0.2 0,5

0,4 6 0,40

0,127 0,062

0.33 0,27

0,1

O.

0.1 0.042

0.60

0, 6

0.062

0,1_ 0,062

• Au eh. KilteI, Einfiihnmg in die Feslkörperphy i' chafu verlag. Mlln hen

Oldenbourg Wi en

"ln der uteratur werdt:n ie oft einer anderen Bezeichnung~y, eise begegnen. Zum Bel pI li h Cn:n

= CII • C

.

= CI~ und CIV.Il =C.g.

I

hreibt

man ey" ··hn-

39.5 Berechllullg der ela ri ehell KOllSranten

803

da die Kräfte im Diamanten km'alem ind und Richtung eigen chaften haben - die Bindungen mö hten lieber den Tetraederwinkel miteinander bilden. Die lonenkri talle wie Lithiumfluorid, Ko h alz u w. hab n nah zu 11 die phy ikali ehen Eigen chaften. die wir in un erem Modell angenomm n haben. und die Tab lIe zeigt. da die Kon tanten C.Ln'\" und C.\'y.n fa t gleich iod. E i t ni h1 klar. \ arum ilber hlorid die Bedingung Cxx)'\, = C.I)'X)' nicht erfuHt.

I -

40

D· e Strömung von trockenem Wasser

40.1 o

Hydro tatik

Thema d r Flü igkeil Lrömung, be onder der on Wa er. fa zinjertjeden. Wir können un alle daran erinnern. da \ ir al Kinder in der Bade anne oder in chmutzpfützen mÜ die em merkwürdigen toff ge pielt haben. I wir dann älter wurden, haben ir Flü e, Wa erfälle und trudel beoba htet und aren on die er Sub tanz fasziniert, die im ergleich zu Fe tkörpern fa t lebendig zu ein chien. Da Verhalten der Flü igkeiten i t in vieler Hinicht uner artet und intere am - e teilt da Thema die e und de näch ten Kapitel dar. Die Bemühungen eine Kinde, da ein kleine Rinn al auf der Straße aufzuhalten ver ueht. und eine ef\ underun o darüber, auf I h merkwürdige Weise das Was er ich einen Weg bahnt, find n ihr nal gon in un er n jahr langen .er uchen, die Strömung on Flü igkeiten zu er t h n. ir haben - im übertragenen Sinn - er ucht, da Wa er einzudämmen, indem wir die Ge elze und Glei hungen auf teIlt n, die die Strömung be chreiben. Die e Veruche ollen im v rlieg nd n Kapitel darge teHt erden. 1m folgenden Kapitel werden wir den a er den Damm durchbrachen hat und allen einzigartigen eg be chreib n auf dem da un eren Bemühungen um ein er tändni entwichen i t. Wir nehmen an, da Ihnen die elementaren Eigen chaften de Was r bereit bekannt ind. Eine Flü igk it unter cheidet i h on einem Fe tkörper haupt ächlich darin da eine Flü igkeit eine cherung pannung nicht aufrechterhalten kann, und ei e für noch 0 kurze Zeit n... bt man eine herung auf eine Flü igkeit au, 0 b wegt ie ich unter ihrem EinRu . Dickere Flü igkeiten \ ie Honig b wegen ich weniger lei ht al Flü igkeiten wie Luft oder a er. 0 aß d r Leichtigk it, mit der eine FIü igkeit na hgibt, i t ihre i ko ität. In die em Kapil I erden wir nur ituationen b trachten, in denen u v irkungen der i koität ernachlä igt \ erden können. Die Effekte der Vi ko ität werden im folgenden Kapitel behandelt.

Fig. 40.1: In einer tati ehen Flü igkeit i t die Kraft pro Flä heneinheit dur h irgendeine Oberftä he normal zur Ob rflä he, und ie i { für alle Orientierungen der Ob rfIäche glei h.

806

40 Die Strömung von Trockenem Wa er

ir beginnen mit einer Betrachtung der Hydrostatik, der Theorie der F1ü igkeiten im Ruhezu tand. Befinden ich F1ü igkeiten in Ruhe, 0 wirken keine Scherung kräfte (ni ht einmal für vi ko e Flü igkeiten). Da Ge etz der Hydro tatik lautet infolgede en, da die pannungen immer normal zu jeder Oberfläche im Innern der Aü igkeit ind. Die onnalkraft pro Rächeneinheit heißt der Druck. Au der Tat ache, da e in einer tationären Flü igkeit keine Scherung gibt, folgt. da die Druckspannung in allen Richtungen die gleiche i t (Fig. ~O.l). Zu Ihrer nterhaltung ollten Sie bewei en, das der Druck in einer Flü igkeit in jeder Richtung gleich i t, wenn e in keiner Ebene eine Scherung gibt. Der Druck in einer Flü igkeit kann ich von Punkt zu Punkt ändern. Bei piel "vei e ändert er ich in einer tationären Flü igkeit an der Erdoberfläche wegen de Gewi h der Flü i!~keit mit der Höbe. Betrachtet man die Dichte p der Flü igkeit al kon tant und nenn! man den Druck in einem willkürlichen null- iveau Po (Fig. 40.2) 0 i t der Dm k in einer Höhe h oberhalb die e Punkte p Po - pgh, wobei g die Gra itation kraft pro eneinheit i t. Die Kombination

=

p+pgh i t infolgede en für die tationäre Flü sigkeit eine Kon tante. Die e Relation i t Ihnen errraut, aber wir werden nun ein allgemeine Re ultat ableiten, von dem ie einen pezialfall dar teUt.

Fig. 40.2: Der Dru k in einer

tau

hen Flü igkeit.

ehmen \ ir einen kleinen Würfel von Wa er: Welche ge amte Dru kkraft " irkt dann darauf? Da der Dru k an jedem Punkt in allen Richtungen glei hit kann eine Ge amtkraft pro olumeneinheit nur vorliegen, weil ich der Druck von einem Punkt zum nä h ten ändert. Stellen wir uns or. der Druck ändere ich in der x-Richtung - und wir wählen die K rdinat nrichrungen parallel zu den Würfelkanten. Der Druck auf die eitenftädle im Punkt x liefert die Kraft p ß)' (ng. 40.3) und der Druck auf die Seitenflä he im Punkt x ß..x liefert die Kraft - [p (8p/8x) ] ß)' - 0 d die re ultierende Kraft - (8p/8x) y - beträgt. 7

Betrachten wir die übrigen Paare der Seitenflächen de ürfel 0 i t lei ht e i hdich, das die Druckkraft pro Volumeneinheit - V p i t. Wirken zu ätzlich noch andere Kräfte - beipieI wei e die Schwerkraft -, 0 rou der Druck ie au gleichen. damit d Glei hgewicht erreicht wird.

40.2 Die Bewegul1gsg/eichuflgel1

807

op

P + "futlx

p

x

.lx

.1v x+ir

Fig. 40.3: Die ge amte Druckkraft auf inen \\ ürfel beträgt - V P pro

olumeneinheil.

ehmen ir eine ituation. in der eine olche zu ätzliche Kraft durch eine potentielle Energie be c1lfieben werd n kann, wie da für die chwerkraft zutrifft· e telle ep die potentielle Energie pro a eneinheit dar. Zum Bei piel i I ep für die Schwerkraft einfach g::..) Die Kraft pro a neinbeit i tal Funktion de Potential durch -V t/J gegeben; teilt p die Dichte der Flü igkeit dar 0 i t die Kraft pr olumeneinheit -pVep. Für den Gleichgewichrszu tand mu die e Kraft pro olumeneinheit. di zur Druckkraft pro Volumeneinheit addiert \ ird. null ergeben:

-Vp-pV(jJ =

Q.

(40.1)

Gleichung (40.l i t die Glei hung der Hydro latik. Im Allgemeinen hat sie keine Lö ul1g. Ändert ich die Dichte im Raum auf willkürliche Wei e 0 haben die Kräfte keine Möglichkeit. au geglichen zu ein, und die Flü igkeit kann ich nicht in tati chem Gleichgewicht befinden. E treten Kon ektion tröme auf. Wir können da der Gleichung entnehmen, da der Ausdruck für den Druck ein reiner Gradient i t während der andere Ausdruck da nicht i t, wenn p ariabel i t. ur b i kon tantem p tellt der Au druck für da Potential einen reinen Gradienten dar; und die Gleichung hat dann die Lö ung

p + pep = k n tant Eine andere ögli hkeit für h dro tati ehe Gleichgewicht be teht darin, da p nur von p abhängt. ber ir \ ollen da Th ma d rH dro tatik verla en, denn e i t nicht annähernd 0 imere ant wie die ituarion, in der Flü igkeit n in Bewegung ind.

40.2

Die Bewegungsgleichungen

Zuer tollen ir di Be egungen von FIü igkeiten rein abstrakt und theoreti eh di kutieren und dann peziell B i piete betrachten. Um die Bewegung einer Flü igkeit zu be chreiben. mü en ir ihre Eigen chaften zu jedem Punkt angeben. Zum Bei piet be egt ich d Wa er (nenn n ir die Flü jakeit "Wa er") an er chiedenen Punkten mit er chiedenen Geschwindigkeiten. m dah r den Charakt r d r Strömung zu pezifizieren, mü en wir die drei Komponenten der Ge ch\ indigkeit an jedem Punkt und zu jeder Zeit angeben. Können wir die Gleichungen finden di die Ge hwindigkeit be timmen, 0 wi en wir. wie ich die Flü igkeit zu jedem Zeitpunkt b egt. Die Ge chwindigkeit i t jedoch nicht die einzige Eigen chaft der lü igk it, die ich on Punkt zu Punkt ändert. So b n haben wir di kutiert, wie der Druck \I n Punkt zu Punkt ariiert. nd e gibt noch andere Variablen.

o

40 Die Strömung

\'01/

trockenem

~

a er

E kann ich au h die DichTe von Punkt zu Punkt ändern. Außerdem kann die Flü igkeit ein Leiter ein und einen elektri chen Slrom führen, de en Dichte j ich in Betrag und Ri hrung von Punkt zu Punkt ändert. E kann eine TemperaTur g ben, die i h von Punkt zu Punkt ändert. oder ein Magnetfeld u w. Somit hängt die Zahl der Felder, die zur Be chreibung der vol! tändigen iruation notwendig ind. von dem Sch ierigkeit grad de Probl m ab. E treten intere ante Phänomene auf. wenn Ströme und der Magneti mu bei der Be chreibung de Flü igkeir verhalten die au chlaggebende Rolle pielen; man nennt die e Gebiet Magnetoh.vdrodynamik. und zur Zeit wird ihr ehr viel Aufmerk arnkeit ge chenkt. Doch werden wir niger komdie e komplizierteren iruationen nicht betrachten. denn e gibt b r i auf einer plexen Ebene intere ante Probleme und chon die e eher elementare Eb ne wird h ierig genug ein. ir betrachten die ituation. in der e kein Magnetfeld und keine Leitfahigkeit gibt und künunern un nicht um die Temperatur. weil wir annehmen da die Di hte und der Dru k di Temperatur an jedem Punkt in eindeutiger Wei e be timmen. ußerdem reduzieren wir die Komplexität un erer Arbeit dadurch. da wir die Dichte aJ Kon tante betn hten - wir teilen un or. das die Flü igkeit im We entliehen inkompre ibel i t. ir können da au h 0 au drücken. da wir die Druckänderungen al 0 klein annehm n, da die dadur h hervorgerufenen Änderungen in der Dichte ernachJä igbar ind. äfe da nicht der Fall, 0 würd n wir auf zu ätzliche Phänomene zu den hier unter lichten toßen - bei pi I ei e die u breitung von SchaH- oder Stoßwellen. Wir haben die Au breirung de Schall und von tößen bereit in etwa di kutiert und trennen daher un ere Betrachtung der H drod namik \'on die en anderen Phänomenen ab, indem wir die äherung machen. da die Dichte p kon tant i 1. E i t lei ht fe tzu teilen. wann ein kon tante p eine gute äherung dar teilt. ir können agen, da \ ir un nicht um die Änderungen der Dichte kümmern mü en, wenn die tr··mung ge eh indigkeiten viel kleiner al die Ge chwindigkeit einer Schall elle in der Flü igkeit ind. Di Tat ache. da e un nicht gelingt. da as er ganz zu er tehen. hat nicht mit der äh rung kon tanter Dichte zu tun. Die Komplikationen, die einem Ver tändni de a er im ege tehen. werden im näch ten Kapitel di kutiert.

In der allgemeinen Theorie der Flü igkeiten mu man mit ein r Gleichung de Flü igkeit :ustands beginnen, die den Druck mit der Dichte verknüpft. In un erer äherung i t di Zu tand gleichung einfach p = kon t. Die i t dann die er te Relation für un ere Variablen. Die näch te Relation drüc t di Erhaltung der Materie au - trömt aterie von einem Punkt weg, 0 mu ich die zurü kbleib nde enge verringern. 1 I di F!ü igkeit ge chwindigkeit v, 0 i t die a.s e die in einer Zeiteinheit durch eine Flä heneinheit der Oberfläche trömt, die Komponente von pv normal zur Ob rfläche. Eine ähnliche Relation haben wir in der Elektrizität gefunden. ußerdem \Vi en wir au der Elektrizität. das die Divergenz einer olchen Größe die Rate li fert. mit der die Di ht pro Zeiteinheit abnimmt. In gleicher ei e drückt die Gleichung

ßp V· (pv) =-8t die Erhaltung der

e in einer Flü igkeit au ; e hand It

h um di

hydrodynami

h

40.2 Die Bewegung gleichungen

809

äh rung für ine inkompre ible Flü igkeit i t P kon tant, und die Kontinuität gleichung lautet einfach

Konrilllli/ät gleichull . (n un erer

v· v = O.

(40.3)

Die Iü igkeit ge eh\ indigkeit v hat - eben 0 ie da Magnetfeld B - die Di ergenz null. (Di h dr d nami h n Glei hungen ind oft weitgehend analog zu den elektrodynami chen Gleichungen: au die em Grund hab n wir di lektrod nami ehen Gleichungen zuer t di kutiert. anche ind der entgegenge etzten nicht: ie meinen. man ollte die Hydrod namik wer t lernen, damit man di Elektrizität danach leichter er teht. Aber in Wirklichkeit i t die Elektrod namik ehr ielleichter al die H drod namik.) n ere nä h te Glei hung liefert un das wton che Ge etz, da au sagt, wie ich die Ge h indigkeit infolge der Kräfte ändert. Die a e eine olumenelement der Flü igkeit mal ihrer B hleunigung mu gl i h der auf da Element wirkenden Kraft ein. Betrachten wir ein Element mit dem olum n in und bezeichnen wir dann die Kraft pro olumeneinheit mit f, 0 rhall n wir

p x (Be ehl unigung)

= f.

Wir chreib n die Kraftdi hte al die Summe Oll drei Au drücken. Die Druckkraft pro Volumeneinheit, -v p. haben \ ir b reil betrachtet. Dann gibt e die "äußeren" Kräfte die au der Entfernung irken - '.: ie die h\ rkraft oder di Elektrizität. Handelt e ich dabei um kon ervati e Kräfte mit einem Potential pro a eneinheit cf>, 0 ergeben ie eine Kraftdichte -pV dJ. (Sind die äußeren Kräfte nicht kon rvativ 0 mü en wir für die äußere Kraft pro Volumeneinheit fäuß chreiben.) Fern r gibt e eine andere "innere" Kraft pro Volumeneinheit, die auf der Tat ache beruht, da e in einer sIrömellden Flü igkeit auch eine cherungs pannung geben o oleichunG kann . Man nennt ie die i ko iläl kraft und chreibt ie al f·V Ik'' n ere Beweoun 0 b 0 lautet dann ~

px (B chleunigung)

= -VP-pVcf>+ lvi k'

(40.4)

In die em Kapit I \ 11 n wir annehmen. da die FIü igkeit ,dünn" in dem Silln i t da die i ko ilär unwichtiG i t, und omir la n wir lvi k weg. Durch Wegla en de i ko itätsterm machen \! ir eine äherung. die eher eine ideale Materie al \ irkJiche Wa er be chreibt. lohn on eum nn \ ar i h hr ohl bewu 1. welch großer UnI r chied darin be teht, ob man die i k itlil term mitnimmt oder ni ht, und er ah auch da im Lauf der Enr icklung der Hydrod namik bi ung fahr 1900 da Hauptint re fa lau chließlich darin be tand, mathemaTische Probleme in die er äherung wunder chön zu lö en wobei die e äherung nahezu nicht mit irklichen Flü iok iten zu tun hatte. Er nannte den Theoretiker, der olche Analy en ma hte. ein n anno d r, Ir ken Wa er" unter ucht. Bei die en Analyen fehlt eine \ e entliehe Eigen haft d r lü igkeit. eil wir b i un eren Berechnungen in die em Kapitel die e Eigen haft egla n, hab n \ ir al .. ber chrift ,Die Strömung on trockenem as er" ge ähh. Die Oi ku iOIl deo wirklichen Wa er chieben wir bis zum näch ten Kapitel auf. L n wir di I" we finden \ ir in GI. (40.4 alle, wa wir brauchen nur fehlt ein Au druck für di Be hl unigung. ie meinen ielleicht, da die Fom1el für die Be chleunigung ein FIü igkeil teiIch n hr infa h in mü t, denn e er cheint offen ichtlich. das

810

40 Die StrömLing

\'011

trockenem

~

as er

av

die Be chleunigung genau I 8t ein mu ,wenn v die Ge ch indigkeit eine Flü igkei teilchen an einem Punkt der Flü igkeit i I. Das ist nicht der Fall, und zwar au einem ubtilen Grund. Die Ableirung ßvlat i t die Rate, mit der ich die Ge chwindigkeit v(x, y, -, r) an einem festen Punkt im Raum änden.

Fig. 40.4: Be cWeunigun o eine

Flü igkeitsteilchen.

Wa wir wi en mü en, i t, wie chneU ich die Ge chwindigkeit für einen bestimmren Teil der Flü igkeit ändert. Stellen wir uns vor, wir markieren einen der ertropfen mit etwas Farbe, 0 das \ ir ihn verfolgen können. In einem kleinen Zeitintervall f).t ird die er Tropfen an eine andere Stelle rücken. Bewegt ich der Tropfen entlang eine ege wie dem in Fig.40. kizzierten, 0 rü kt er vielleicht in der Zeit b.t on PI nach P2 • De facta legt er in der x- Richtung einen eg vpr zurück, in der y-Richtung einen Weg V/11 und in der z-Richtung einen Weg V/li. Ist v(x, y, z, I) die Ge chwindigkeit de Flü igkeitsteilchen. d i h zur Zeit 1 am Punkt (x, y, .::) befindet, 0 ehen wir, da die Ge chwindigkeit de selben Teilchen dann zur Zeit I + t::.r durch v(x b.x, y + b.y, z + b.z, l + Öl) gegeben i t, wobei

ach der Definition der paniellen Ableitungen -

Die Be cWeunigung

lJv Vx -

OX

iehe GI. (2.7) - gilt in e ter Ordnung

vl6.r i t

av

lJv ov + v)'.::l, + v_!l + -. vi . . u,:: ot

Behandeln wir V al einen Vektor, 0 können wir das ymboli eh ehreiben al

(v· V)v

av ot

+-.

40.5)

i h die GeBeachten Sie das e eine Be chleunigung geben kann, obwohl I t = 0, 0 da rb hleuch indigkeit an einem vorgegebenen Punkt nicht ändert. Zum Bei piel ird \ nigt das ntit konstanter G chwindigkeit im Krei trömt obwohl i h di G h indigkeit an

40.2 Die Bewegu/lg gleichllngell

11

einem gegebenen Punkt ni ht änd 11. Der Grund j [natürlich der, da die Ge chwincligkeit eine be timmt n Teil de a er, d r i 11 anfang an einern be timmten Punkt auf dem Krei befand, einen Augenbli k päler eine andere Richtung hat· es liegt eine Zentripetalbe chleunigung vor. Der re tliehe ~ il un r r Theorie i t rein mathemati ch - e handelt ich um da Auffinden der Lö ungen der B wegung gl i hung, die wir durch Ein etzen der Be chleunigung (40.5) in GI. (40.4 erhalten. ie lauten

8v BI

(v·

V)v

Vp

=-- -

(40.6)

Vt/>.

P

wobei die i ko ilät w ggela n wurde. Die Identität au der ekt ranal i um chreib n: (v· V)v = (V x v) x v

Definieren \ ir nun ein /Ieue

+ i V(v·

Gleichung können wir mit Hilfe der folgenden

v).

ekcorjeld.o. da der Rotor von v i t,

.0 = V x v,

(40.7)

o kann die ektoridentität ge chrieben werden a1 (v· V ,.

=n x

v+

i Vv 2

und un ere Be egung glei hung (40.6) lautet dann

Bv 1 ') - + 11 x v + - V, BI

2

= - -Vp P

V r/J.

(40.8)

ie können ich erge\ i em, da die GIn. 40.6) und (40.8) äquivalent ind indem Sie nachprüfen, das die Komponenten auf beiden eit n der Gleichung die eIben ind und dabei (40.7) verwenden. Das eklorf Id Sl: heißt der Wirbelv klor. I t der Wirbel ektor überall null, 0 bezeichnen ir die trömung al lI'irbelfrei. In b hnin 3.5 haben wir bereit etwa definiert, das wir die Zirkulation in ektorfelde nannten. Die Zirkulation um eine ge cWo ene cWei~ in einer Flü igk ir i t da Linienint gral der Flü igkeit ge chwindigkeir um die Schleife zu einem gegebenen Z itpunkt: (Zirkulation)

=

v·d.

Di Zirkulation i t dann für in infinir imal chi ife pro Flä heneinheit - laut Stake chem Theorem - gleich V xv. omit i t der irbel ektor 11 di Zirkulation um eine Flä heneinheit ( nkrecht zur Ri htung on Sl:). Darau folgt außerd m, da ein kleine tück hmutz -nicht

812

40 Die SlrömLing \'on lrockellem

a er

ein infinite imaler Punkt - da an irgendeine teile in die Flü igkeit ge tzt wird, i h mit der inkelge eh indig eit .on dreht Ver uehen Sie, ob Sie da be ei en können. ie können ferner elb t nachprüfen. da für einen Eimer Wa er auf einer Dreh eheibe n doppelt 0 groß i t wie die lokale Winkelge h'i indigkeit de Wa er. Sind wir nur an dem Ge hwindigkeit feld intere iert, 0 können \ ir den Druck au un ren Gleichungen eliminieren. Bilden wir den Rotor der beiden Seit n n GI. (40. und denken daran. da p eine Kon tante und das der Rotor eines Gradienten null i I, 0 erhalten wir mit Hilfe von GI. (40.3)

an

fit + v x (il x

v)

= O.

HO.9)

Die e Gleichung gibt un zu ammen mit den Gleichungen

n = Vx

HO. 10)

v

und

v· v = 0

(40.11

eine vollständige Be chreibung de Ge ehwindigkeit felde Y. athemati eh ge hen heißt da , da wir den Rotor de Ge chwindigkeit vektor kennen, obald n zu irgendeinem Zeitpunkt bekannt i 1. und d wir außerdem wi en, da eine Di ergenz null i t. 0 da ir b i oroegebener phy ikali cher imation über alle otwendige verfügen, um v überall zu be timmen. (E i l das eIbe wie beim agneti mu mit V· B = 0 und V x B = j/ r.) omit be timmt ein gegebene n das v genau o. wie ein gegeb ne j da B be timmt. Kennen wir dann v, 0 gibt un GI. (40.9) die Änderung rate von fl, womit wir da neue.n für den folgenden oment ermineln können. Mit Hilfe on GI. (40.10) finden wir iederurn das n u v u \. ie ehen. \' ie die e Glei hungen den ge amten Mechani mu für die Bere hnung der trömung enthalten. Bea hten ie jedoch. da die er Vorgang nur da Ge chwindigkeit f ld lief, rt: jegli he Information bezüglich de Druck i t verloren gegangen. ir wei en auf eine pezielle Kon quenz un erer Gleichung hin. I t zu jedem Z irpunkt und überall n = 0, 0 ver hwindet auch an/at, 0 da n zur Zeit t ~ imm rn h üb rall null i r. Wir haben eine Lö ung der Gleichung erhalten; die Strömung i t tändi o wirb Ifrei. lrd eine Strömung mit Rotation null in Bewegung g etzt, bleibt ihr Rotation immer null. Die zu lö enden Gleichungen ind dann

v· v = 0,

Vx v

= O.

E handelt i h um die eIben Gleichungen wie für die elektro tati hen er magneto lati hen Felder im freien Raum. ir werden päter darauf zurückkommen und dann inige p zi 11 Probleme unter u hen.

40.3 Slationäre SlrÖmUI1 - da Theorem

\'0/1

Bernoulli

813

Stationäre trämung - da Theorem von Bernoulli

40.3

Kehr n \ ir nun zu der Bewegung glei hung, GI. (40.8), zurü k, aber be chränken wir un auf ituaüonen, in denen di trömung \' tationär" i t. Mit einer tationären Strömung meinen wir. da ich die G h\ indigk it an irgendeinem Punkt in der Flüs igkeit nie ändert. Die Flü igkeit an einem Punkt wird immer durch neue Flü igkeit er etzt. die ich in genau de eIben ei bew gl. Da FIü igkeit bild chaut immer gleich au - v i tein tati che ektorfeld. uf die glei he ei e, wie wir in der Magn to tatik "Feldlinien" gezeichnet haben können ir nun Linien zeichnen, di imm r Tangenten an die Strömung ge chwindigkeit dar teilen, wie Fig. 40.5 z igt. Die e Linien heißen Stromlinien. In einer tationären Strömung handelt e ich dabei offen ichtlich um di wirklichen Wege der Flü igkeit teilchen, (Bei einer nicht- tati när n u"mung ändert ich da Stromlinienmu ter mit der Zeit, und da Lr mlinienmu ler teilt zu keinem Zeitpunkt den Weg ine Flü igkeitsteilchen dar,) ~---------

Fig. 40.5: Stromlinien bei tationärer Flü igkeit lTömung.

Eine tationäre lrömung bedeutet nicht, da nicht pa iert- die Atome in der Flü igkeit bewegen ich und ändern ihre Ge chwindigkeiten. Sie bedeutet nur, da 8v/8t = O. Bilden wir dann da kalarpr dukt on v mit der Be\ egung gleichung, 0 fällt der Au druck v . (!1 x v) weg und e bleibt un (40.12) Di e Gleichuno agt au ,d ich die Größe in der Klammer bei einer kleinen Verschiebung in Richtung der Flü igkeir ge chll'indigkeil ni ht ändert. In einer tationären Strömung erlaufen aUe r ehiebungen entlang der tromlinien und omit agt un GI. (40.12), das wir für alle Punkle entlang einer lromlinie ehr iben können

!!. + ~ \ 2 + cP = kon p

2

lam ( tr mlinie,

(40.1 )

Das i 1 da Theorem VOll Bemoulli, Im Allgemeinen kann die Kon tante für ver chiedene tr mlinien er hi d n in; ir i n lediglich. da die linke Seite von GI. (40.13) enllang einer vorgegebenen tromlinie überall gl ich i t. eb nbei bemerkt könn n wir fe t teilen da un die Be\ egun o gleichung (40. ) für eine tati näre \ irbelfreie Bewegung, für die !1 = 0, die Relation liefert

14

40 Die Slrönwn

I'On Trockenem Wa er

o da p

I 2

-

P

1

V"

rb

= kon

(~o_l·n

taß( (überall.

Da i t die eIbe Glei hung wie (40.13), flur da denselben WerT haI.

jeT;:} die Kon tante iiberall in d r Flii

keil

Da Theorem von Bemoulli i t in der Tat nicht weiter al eine F nnulierung der En rgieerhaltung. Ein Erhaltung atz wie die er vennittelt un ehr i llnf nnalion über die rrömung. ohne das wir detaillierte Gleichungen lö en mü en. Da Th orem \ n Bemoulli i t 0 wi htig und 0 einfach, da .. ir Ihnen zeigen möchten. wie e i h auf ein andere ei e ableiten lä t al mü den fonnalen Rechnungen. die wir oeben erwendet haben. teilen wir un in Bündel von benachbarten rromlinien vor. die eine tromröhre wie in Fig. 40.6 bilden. Da di Wänd der Röhre au Stromlinien be rehen, trömt keine Flü igkeit au der Wand h r u. r nnen wir den Flächeninhalt an einem Ende der Stromröhre A \' die Flü igk i ge hwindigkeit dort vI' die Dichte der Flü igkeit PI und die potentielle Energie cP j . Am anderen End der Roohr haben wir die en prechenden Größen ." v." p., und l/J,. un hat nach ein m kurzen Zeitintervall ~[ die Flü igk.eir in A I eine trecke v~ 6.T- und die in A 2 eine treck 1'2 ~[ zurückg lelYt [Fig. 40.6(b)]. Die Erhaltung der Meerfordert. da bei AI glei h vi I e ein rrömt. wie bei A 2 au trömt. Die Ma en an den beiden Enden mü en die glei hen ein:

Somit haben wir die Glei hung

(40.15 Die e Gleichung agt un ,da ich die Ge chwindigkeit umgekehn proportional zum Flä h ninhalt der tromröhre verhält, wenn p kon [am i t. \'

.-3----

Fig. 40.6: Flü igkei bewegung in einer tromröhre.

40.3 Stationäre trömung - da Theorem von Bernoulli

815

Berechnen \ ir nun di vom Flü igkeit druck geleistete Arbeit. Die Arbeit die an der bei Al einrr t nden Flü igkeit gelei tet wird, i t PIAI VI 6.t und die Arbeit an der bei A2 au tretenden Flü igkeit i t P2 2\'_ t. Die oe amte Arbeit an der Flü igkeit zwi ehen A I und A2 i t infolgede en

wa gleich der Energiezunahme einer Ma e t!..M der Flüs igkeit em mu nach A2 bewegt. it and ren Worten

die ich von AI

wobei EI die Energie pro Ma eneinheit der Flü sigkeit bei Al und E 2 die Energie pro Maseneinheit bei A1 i t. Die nergie pro Ma eneinheit der Flüssigkeit kann ge chrieben werden al

E=

!v2 + ep + U,

wobei ~v1 die kineri ehe Energie pro Ma eneinheit, f/J die potentielle Energie pro Mas eneinheit und U ein zu ätzlieher Au druck i t der die innere Energie pro Mas eneinh it der Flü igkeit dar teUt. Die e innere Energie kann beispielsweise der thermi chen Energie in einer kompfes iblen Flü igkeit oder der chenli ehen Energie entsprechen. Alle diese Größen können ich on Punkt zu Punkt ändern. Mit Hilfe die er Formel für die Energien in (40.16) wird

Aber wir hab n ge ehen da

AM

= pAv 6.t, und

omit erhalten wir (40.17)

wobei e ich um da Bemoulli ehe Re ultat mit einem zu ätzlichen Term für die innere Energie handelt. I t die Flü igkeit inkompre ibel, 0 i t der Au druck für die innere Energie aufbeiden Seiten der gleiche und wir hen erneut, da s GI. (40.14) für jede Stromlinie gilt. Wir betrachten nun einige einfache Bei piele bei denen uns das Bernoulli-Integral eine Be chreibung d r Strömung liefert. tellen wir un Wa ser or, da au einem Loch tröml, weiches ich nahe am Boden eine Behälter befindet, wie e in Fig. 40.7 darge teIlt i 1. Wir wäWen eine Situation, in der die Strömung geschwindigkeit vaus am Loch ehr viel größer al die trömung ge ch indigkeit nahe der Ober eile des Behälters i t; nlit anderen onen, ir tellen uns vor, da der Durchme er de Behälters so groß i t, da wir da Ab inken de Flü igkeir niveau emachläs igen können. (Wenn wir wollten, könnten wir eine genauere Berechnung durchführen.) An der Ober eile de Behälters i t der Druck der atmo phäri che Druck Po und derjenige an den eiten de trahl i t gleichfall Po' un chreiben wir un ere Bernoulli-Gleichung für ine Stromlinie wie die in der Figur an. An der Ober eile de Behälter

16

40 Die trömung I'on rrockenem \ asser

Po _I I

Wa er

-+ \

\"

-

-

\\

-

-

-

-

\

-

-

\ \

-

-Iromlinie ~ '-" \ . '-

....

Fig. 40.7: trömung au einem B häh r.

etzen wir v gleich null und nehmen auch an. da das Gra itation potential f/J null i t. i t die Ge chwindigkeit l'alß und ifJ ::: -gh. 0 da

mL h

Po ::: Po + ~PI'~us - P h.

oder V

aus :::

2gh.

(40.1

Die e Ge chwindigkeit i {genau die, die wir für einen Gegen tand erhahen ürden, der au einer Höhe h herabfallt. Das i t nicht allzu überra chend, denn am Au gang ge\ innt das Wa er kineti che Energie auf Ko ten der potentiellen Energie de a er an der Obers ite. Kommen ie jedoch nicht auf den Gedanken, ie könnten die Rate b rechnen, mit der die Flü igkeit au dem Behälter trömt. indem ie die e Ge hwindigkeit mit dem Flä heninhalt de Lo h multiplizieren. Die Flü igkeit ge chwindigkeiten ind, w on der trabl dur h da L h au tritt. nicht alle paraBel zueinander, ondem ie hab n na h innen. zum ittelpunkt de trahl hin gerichtete Komponenten - der Strahl konvergi rt. Hat der trahl eine kurze trecke zurückgelegt. 0 hört die Kontraktion auf und die Ge hwindigkeiten w rden parallel. Die ge amt nn ir Strömung i t onUt die Ge chwindigkeit mal dem Flächeninhalt an diesem Punkt. eine Au flu öffnung haben, die nicht andere al ein runde Loch mit in r harfen Kante i t, 0 zieht i h der Strahl tat ä hlich bi auf 62 Prozent de F1ä heninhalt de Lo h zu ammen. Der reduzierte effektive Flächeninhalt de Au ftu e ändeI1 ich mit d n v r hi denen Formen der Au flu röhren. und die e perimentell gerne en n Kontrakt] n n t h n un al Tabellen der Ausflu skoeffizienten zur Verfügung. Dringt die u flu röhre nach rückwärt ein, wie in Fig, 40. , 0 kann man uf hr höne ei e be ei en. das der Au flu koeffizient genau 50 Prozent i l. ir geben nur einen Hin ei. ie der B wei zu führen i t. Wir hab n die Energieerhaltung erw nd (, um di G chwilldigkeit, GI. (40. L ), zu erhalten, aber e i t auch die Impul rhalrung zu b tra hten. Da e eine na h außen gerichtete Impul trömung im u Ru trahl gibt, rou ein Kraft üb r

- das Theorem

40.3 Stationäre

VO/1

Bemoulli

817

Fig. 40.8: Mit einer nach rückwäns eindringenden u Ru röhre zieht ich der Strom bi auf den halben Flächeninhalt der Öffnung zu ammen.

~

- - -\'1

--: ---

/~---=---=--~

=-----

Fig. 40.9: Der Druck i t am klein ten, wo die Ge chwindigkeit am größten i t.

en Effekt lei ht veran chaulichen. indem wir den Druck an ver hieden großen Quer hnitten mit Hilfe on kleinen vertikalen Wa er äulen me en. die mit der trornröhre dur h genügend kleine Lö her verbunden ind. 0 da die Strömung nicht beeinLrä htigl wird. D r Dru k wird dann anhand der Wa erhöhe in die en vertikalen Säulen gerne en. E teilt i h h rau . da der Druck an der erengung kleiner al auf einer der beiden Seiten i l. enn der Flächeninhalt jen eil der erengung einen vorherigen Wert wiedererlangt. 0 teigl der Dru k erneut an. ach der Bemoulli-Formel mü te der Druck tromabwärt der erengung d relbe wie tromaufwärt ein, aber in" irkJi hkeit i t er merkli h kleiner. n ere orher age i t de halb fal h. weil wir die vi ko en Reibung kräfte vernachlä igl hab n. die einen Druckabfall entlang der Röhre verur achen. Trotz die Dru kabfall i t der Dru k in der rengung en hieden niedriger (aufgrund d r erhöhten Ge chwindigkeit) al auf der inen od rand ren ite - wie e Bemoulli vorherg agt hat. Die Ge chwindigkeit 11 2 mu unb dingt größ r aJ \', ein. um die eibe Was ermenge dur h die engere Röhre zu bring n. omit wird da \\ a er beim .. ergang von der weiteren in die engere Röhre be chleunigt. Die Kraft, die die e B hJeunigung be irl't, beruht auf dem DruckabfaJJ. Wir können un ere Re ultal anhand einer anderen infachen Demon tration überprüfen. Stellen wir un eine u flu röhre an einem Behälter vor, au der ein Wa er trahl nach oben ge chleudert wird, wie in Fig. 40.10. Wäre die Au flu ge ch indigkeit g nau _gll. 0 mü te da au fließende er die eibe Höhe wie die Wa eroberfläche im Tan err i hen. Exp rimentell zeigt ich. d e etwa weniger hoch pritzt. n ere orher age i t im Groß n und Ganzen richtig. aber auch hier fuhrt die i ko e Reibung, die nicht in die Formel der Energieerhaltung einbezogen wurde. zu einem Energieverlu t.

Fig. 40.10: Bewei ,da

\' nicht glei h";2 h i

l.

Hab n ie han einmal zwei Blatt Papier aneinandergehalt n und dann \' ruht. ie au einander zu bl n? er u hen Sie e ~ i kommen wi der -usammen. D r Grund i t natürlich der d die Luft beim Durchgang durch den verengten Raum ine größ r G h\ indi keit al außerhalb davon hat. Der Druck zwi hen den Blällem i t niedri r a1 d r atm phäri he Dru k. a1 0 bleiben ie beieinander, an tan au einander zuflau m.

40.4 ZirkulQcion

40.4

819

Zirkulation

Zu Beginn de letzten b chnitt ahen wir, das die Strömung in einer inkompres iblen Flü igkeiL ohne Zirkulation die beiden folgenden Gleichungen erfüllt:

v·

v = 0,

v x v = O.

(40.19)

E handelt i h um die eiben Gleichungen wie die der Elektrostatik oder Magneto tatik im leeren Raum. Die Divergenz d el ktri ehen Felde i t null wenn keine Ladungen vorhanden ind und der Rotor de elektro tati ehen Felde i t immer null. Der Rotor de Magnetfelde i t null. wenn keine tröme auftreten, und die Divergenz des Magnetfelde i t immer null. lnfolgede en haben die GIn. 40.19) die eIben Lö ungen wie die Gleichungen für E in der Elektro tatik und die für B in der Magneto tatik. In Wirklichkeit haben wir da Problem einer F1ü igkei trömung an einer Kugel vorbei bereits in Ab chnitt 12.5 al elektro tati ehen Analogiefall gelö t. Da elektro tati ehe Analogon i t ein gleichförmige elektri ehe Feld plu einem Dipolfeld. Da Dipolfeld i t 0 angeordnet, da die Strömungsge chwind.igkeit normal zur Kugelob rfläche null i t. Da eIbe Problem lä t ich auf ähnliche Wei e für die Strömung an einem Zylinder vorb i lö en, indem man einen geeigneten linearen Dipol und ein gleichförmige trömung feld verwendet. Diese Lö ung gilt für eine Situation, in der die Strömung gechwindigkeit in großen Ab tänden konstant i t - owohl wa den Betrag al auch d.ie Richtung betrifft. Eine Skizze die er Lö ung finden Sie in Fig. 40.11(a).

-------------

....- -

(a)

(b)

(c)

Fig.40.11: a) Ideale Flü igkei trömung an einem Zylinder orbei. (b) Zirkulation um einen Zylinder herum. (e) Die Überlagerung on a) und (b).

E gibt ein andere Lö ungfür die Strömung an einern Zylinder orbei, wenn die Bedingungen 0 ind, da ich die lü igkeit in großen Ab länden im Krei um den Zylinder bewegt. Die trömung i t dann, wie in Fig. 40.11 (b), überall krei förrnig. Eine olche Strömung hat eine Zirkulation um den Zylinder obwohl V x v in der FLüssigkeir immer noch null ist. je kann e eine Zirkulation ohne einen Rotor geben? E liegt eine Zirkulation um den Zylinder vor weil d Linienintegral von v um jede Schleife, die den Zylinder umgibt nicht null i t. Glei hzeitig er chwindet da Linlenintegral on v um jeden ge chlos enen eg, der den Zylinder nicht umgibt. Wtr trafen auf den eiben Sachverhalt al wir da Magnetfeld um einen Draht berechneten. Der Rotor on B war außerhalb de Drahte null obwohl das Linienintegral on B um einen Weg, der den Draht umläuft, nicht er chwindet. Das Ge chwindigkeitsfeld in einer wirbel freien Zirkulation um einen Zylinder ist genau da eIbe wie da Magnetfeld um

820

40 Die

VOll

trockenem

a ser

einen Draht. Für einen krei förmigen Weg. d en ittelpunkl mit dem de Zylind r zu ammenfällt. i t d Linienintegral d r Ge chwindigkeit

f

v· d s

= _7m',

In einer wirbel freien Strömung mu tanten Wert C, 0 ergibt ich. da

da Integral unabhängig von rem.

ennen wir den kon-

C

-+0,20)

1'= -

27fT'

obei v die Tangentialge

hwindigkeit und r der Ab tand von der

eh e i t.

E gibt eine nette eran ehaulichung einer Flü igkeit. die um in La h zirkuliert. ie nehmen einen durch i hügen zylinderförmigen Behälter, auf d en Boden ich in der Mitte ein Abflu loch befindet. Sie füllen ihn mit Was er, verur achen durch mrühren mit einem tab eine Zirkulation und ziehen den Stöp e] im Abftu loch herau. ie erhalt n den hüb chen Effekt, der in Fig. 40.12 darge teilt i t. (Etwa Ähnliche haben ie iele ale in d r Bade anne beobachtet.) Ob oW Sie am Anfang ein gewi e weinführen hört e auf rund der i ko ität bald auf und die Strömung wird wirbel frei - obwohl ie immer noch eine ae\;vi e Zirkulation um da Loch auf ei t.

'-\ - , ' /

\_/-, ,

'--

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"

"-

-

,.J.

- ........

-

---',

- ~---/ -~..l.!.-

--

,I

Fig. 40.12: Zirkulierende Was er, da au einem Behälter fließt. Anhand der Theorie können ir die Ge talt der inner n Ob rftä he de \ a r ber herteilchen na h innen rückt, gewinnt e an Ge chwindiakeit. Gemäß nen. ährend ein GI. (40. 0) nimmt die Tangentialge chwindigk it wie Ifr zu; d beruht ganz einfa h auf der Erhaltung d Drehimpul . wie b i der chJüt chuhläuferin di.e ihr nne um i h dilingt. Auch di Radialge chwindigkeit nimmt wie 1/ r zu. ma hlä ig n \: ir di angentiaJb \: egung 0 bewegt i h da a er radial na h innen auf in Loch zu; au V, 0 19t. da die Radialge hwindigkeit proportional llr i t. omit nimmt au h di G amtg hwindigkeit wie Ur zu und das as er dringt entlang archimedi eher piralen na h inn n. Di Luft-

=

40.5 Wirbellil1iel1

21

eroberfläch l hl zur Gänze unler atmo phäri chem Druck. - die igen haft haben mu . da tml':! =

kon

0

da

ie - laut GI. (40.1 ~)

L.

vi tab r prop rtional 1/1', folglich i t di Form der Oberfläche (- - - ) =

k -=J.

r

Ein intere ant r Punkt - der nicht allgemein gilt, sondem nur für die inkompre ible, wirbel freie [römung - i t, da die umme iner Lö ung und einer zweiten Lö ung eben fall eine Lö ung i t. Da i t richtig, weil di GI ichungen in (40.19) linear ind. Die oll rändigen Gleichunoen d r H 'dr d 'namik, GIn. 40.9) (40.10) und (40.11), ind nichtlinear. wa einen irbelfreie Strömung um den Zylinder können wir jegroßen nter hied bedeutet. Für di doch die [römung von Fig. 40.11(a und die on Fig. 40.11(b) überlagem und erhalten da neue [römung mu ter, da in Fig. 40.11 (e gezeigt i t. Diese Strömung i t von peziellem Intere e. Die trömung ge hwindigkeit i t auf der oberen Seite de Z linder größer al auf der unteren. lnfolgede en i t der Druck auf der oberen Seite niedriger als auf der unteren. Liegt daher eine Kombination ein r Zirkulation um einen Zylinder und eine in ge amt horizontale Strömung or. 0 \ irkt auf den Z linder eine in ge amte vertikale Kraft. die d.ie Hebekraft heißt. atürlich wirkt nach un rer The rie de ,trockenen' Wa er keine Ge amtkraft auf einen Körper, nn k in Zirkulation auftritt.

Wirbellinien

40.5

Wir haben bereit di allgemein n Glei hungen für die Strömung in einer inkompre iblen Flü sigkeit ange eh rieben wenn kein irbelvekror orliegt. Die e ind I.

n. 111.

v· v = O. .0

=Vx

v,

an

81 + v x cD. x v) = O.

Der phy ikali che Gehalt die er Gleichungen wurde von Helmholtz mit Hilfe on drei Theoremen in orten au g drückt. teilen ie ich al Er te vor wir zeichnen in der FIü igkeil Wirbellinien an telle on tromlinien. nter Wirb llinien er tehen wir Feldlinien in der Richtung on n, di in jedem Berei h eine Di hte proportional dem Betrag on fl haben. Laut 11 i t die Di ergenz von n 0. irnmer null erinnern ie i h, da - Ab chnitt 3.7 - die Divergenz eine R tor immer null i t . Folglich ind Wirbellinienwie di Linien on B - ie fangen nie an, hör n ni auf und haben die Tend nz. ge hlo ene Schleifen darzu teilen. Die örtli he Formulierung on III fand H Imh Itz mit der folgenden Au age: Die irbellinien bewegen sich mit der Flii igkeif. Da b deutet: enn ie die Flü igkeit teilchen entlang on irbellinien markieren - indem Si ie bei piel wei mit Tinte farb n -, 0 zeigen die e immer die neue Lage d r irb Ilinie an, wenn die Flüssigkeit ich bewegt und die e Teilchen mitführt.

22

40 Die Srrömun von trockenem Wa er

Wie auch immer ich die Atome der F1ü igkeit bewegen, die ihnen. Da i t eine Art und Wei e. die Ge etze zu be chreiben.

irbellinien be\ gen i h mjt

ie verwei t un auch au eine Methode zur Lö ung aller Pr bleme. [ t da anfangliche trömung mu ter gegeben - agen wir v überaJl -, 0 können Sie .0 berechn n. K nnen ie v, o können ie auch agen. wo i h die \ irbellinien etwa päter b finden - ie bew een i h mit der Ge chwindigkeit v. Kennen Sie da neue .0, 0 können ie mit Hilf von I und 11 da uffinden \' n B bei vorgegeneue v finden. (E handelt ich um da eIbe Problem wie da benen Strömen.) Kennen wir da Strömung mu ter zu einem Z itpunkl. 0 können \ ir e im Prinzip für alle folgenden Zeitpunkte berechnen. ir haben die allgemeine Lö ung für eine nicht-vi ko e trömung erhalten. I I

I I / / I I I / / / I / I /

Rächeninhalt A',./ ..- ..,.

/

Flächeninhalt A

Ca)

(b)

/

/

/ / I / / / / /

I I

I

/ /

/

,

,.

Fig. 40.13: (a) Eine Gruppe von Wirbellinien zum Zeitpunkt ,: (h) die eIben Linien zu ein m päteren Zeitpunkt ,'.

ir möchten zeigen. wie die Au age on Helmholtz - und folglich III - zuminde t teil\! ie er tanden werden kann. E handelt ich in Wirklichkeit einf eh um den Erhalrung atz d Drehimpul e in Am\'endung auf eine Flü igkeit. Stellen ir un inen kl inen Flü igk it zylinder or, de en ch en wie in Fig. 40. I3(a) parallel zu den irb llinien ind. Zu inem päteren Zeirpunkt befindet ich die e se/be rück Flü igkeil an irgendein randeren t II . Im Allgemeinen wird einen Z linder mit einem anderen Durchrne er an anderer teUe einnehmen. E kann auch eine andere Au richrung, wie b i piel wei e die in Fig. 40.13(b) haben. Hat i h jed h der Durchme er geänden, 0 hat auch die Län zugen rnm n. damit d olumen konstant bleibt da wir von einer inkompre iblen F1ü igk ir au g h n). Da ferner die irbellinien mit dem Material v rbunden ind, nimmt ihre Di hte b i abnehmend r Qu rhnitt fläche zu. 0 Produkt des Wirbel ektor .0 und de Flä heninhal de Z linde bleibt kon tant. 0 d laut H lmholtz

tlJO.21 Bea hten ie nun. d bei i ko ität null alle Kräfte au di Oberftäch d Z lind rvolumen (0 ie auf jegliches Volumen enkr cht zur Oberfläche ind. Die Dm kkräfte können bewirken, d d olumen on einer teUe an eine ander rüc ( oder da e eine Fonn

40.5 Wirbe/linien

823

ändert: do hohne IGngel1liale Kräfte kann ich d r Betrag de Drehimpulse des Materials im lnnem nicht änd m. Der Dr himpul der Flü igkeit in dem kleinen Z linder i t ihr Trägheit moment I mal cl r ink Ige h\ indi~keit der Flü igkeit, die proportional der Vortizität nil. Für einen Zylinder i t da Trägheit moment proportional 1111-. Al 0 können wir aus der Erhaltung de Dr himpul e hließ n da

ber die i t di elb. al 0 M 1 = M 2' und die Flächeninhalte ind proportional R2 , folglich erhalten ir em ut genau Gl. (40.21). Die Helmholtz che Au age - die äqui alent zu lD i t - i t lediglich ine Kon equenz der Tat ache, da ich in bwe enheit von i ko ität der Drehimpul eine Eiern nt der Flü igkeit rucht ändern kann.

,f'\

, l \...~tJ~

-

Fig. 40.14: Dar teilung eine bewegenden Wirbelring .

ich

E gibt eine hüb che Demon tration eine

ich be egenden Wirbel ,die mit der einfachen Anordnung on Fig. 40.14 orgefühn werden kann. E handelt ich um eine "Trommel' deren Durchm er und Länge je 2/ m betragen und die au einer dicken Gummischicht be teht die über da offene Ende iner z linderförmigen Schachtel" ge pannt i t. Die Trommel liegt auf der Seite und ihr "Bod n", der rna i i t, wei t ein Loch mit einem Durchme er on 8 cm auf. er elzen ie der Gummimembran mit der Hand einen charfen Schlag, 0 wird ein Wirbel ring au dem Lo h ge chleudert. Obwohl der Wirbel un ichtbar i t können Sie agen, da e ihn gibt, eil er ine Kerze in einer Entfernung von 3 - 6 Metern au bla en kann. Aufgrund der erzögerun~ de ffekt können Sie agen, da ich "irgendetwa " mit einer endlichen Ge ch indigkeil be\ egt. ie können da Ge cllehen jedoch besser ehen, wenn Sie anfang etwas Rauch in die chachtel bla en. Sie ehen dann den Wirbel al wunder chönen runden ,Rau hrin o ", Der Rauchring i t in toru "rmige Bündel on Wirbellinien wie ie in Fig. 40.15(a) darge tellt ind. Da n = V x v, tellen die Wirbellinien auch eine Zirkulation on v wie in Teil rwärt be\ egung de Ring können wir in der folgenden Wei e er(b) der Figur dar. Die tehen: Die Zirkulation ge ch\ indigkeit um den unteren Teil de Ring er treckt ich bi zum oberen Teil de Ring, wo ie ine orwärt bewegung auf\ ei t. Da ich die Linien on n mit der Flü igkeit be\ egen, dringen ie auch mit der Ge chwindigkeit v nach om. ( atürli hit die Zirkulation on v um d n b ren Teil de Ring für die Vorwärt bewegung der . irbeLlini n am unteren Teil erant\ ortlieh. un mü en ir eine em te ch\ i rigkeü erwähnen. Wir haben bereits bemerkt da laut Gl. 4O.9).n immer null i t enn e zu Anfang null war. Die e Re ultat i t ein große anko der Theori d ,tro kenen 'Wa er, denn e bedeutet da n immer null i t, wenn e einmal null ar i t unmögli h, unter irgend welchen m tänden einen Wirbel vektor zu er:,eugen. Hingegen können ir in un erer Dar t lIung mit der Trommel einen Wirbelring erzeugen, indem ir mit anfanglich ruhender Luft beginnen. ( atürlich war überall in der chachtel v = 0,

40 Die

STrÖmUI1

\'011

Trockenem Wasser

(a)

Be\\egung richrung

ob rer T il I'

(b) \

irbellinien

....- - - - - - i... Be,\oegung ri htung

unterer Teil ~'

Fig. .10.15: Ein ich bewegend r Wirbelring (ein Rauchring). (a) Wirbellinien. (b) Ein Quer hnitl de Ring.

n

= O. bevor wir ihr ein n S hlag ver emen.) Außerdem wi en wir all . da wir in einem Semit einem Ruder einen Wirb Ivektor erzeugen können. Offen i hIli h mü en wir zu einer Theorie de .,nas en" Wa ers übergehen, um da Verhalten einer Flü igkeit voll ländig zu ver lehen. pekt der Theorie de trockenen Wa er i I die nnahme, di \ ir Ein anderer unrichtiger bezüglich der trömung an der Grenzfläche zwi h n dem Wa er und einem Fe tkörp r machen. AI "ir bei pie1 wei e die trömung an einem Zylinder vorb i - \ i in Fig. 40.11 - di kutierten, ließen wir zu, da die Flü igkeit an d r Oberfläche de Fe tkörper entlangglitt. In un erer Theorie konnte die Ge h\vindigkeit an einer Fe tkörperob rftäche je nach u gang ituation jeden \ ert annehm n. und wir haben keinerlei "Reibung" z\ i ehen der Flü igkeit und dem Fe tkörp reinbezogen. E i t jedoch eine experim ntell Tat ach , da die Ge hwindigkeit einer wirklichen Flü igkeit an der Oberflä he eine fe t n Gegen tande immer null wird.Infolgede en i tun ere Lö ung für den Zylinder, mit od r ohne Zirkulation, f I h - und nä h te Kapir I de gleichen un er Re uLtat bezüglich der Erzeugung ein Wirb I ktor. 0 wird Ihnen die richtigen Theorien vermüteln.

41

Die Strömung von nassem Wasser

41.1

Vi ko ität

Im vorhergeh nden Kapitel haben wir da erhalten von Wa er di kuriert, ohne da Phänomen der i ko ität zu beachten. Jetzt wollen wir die Phänomene der Flü igkeit trömung einschfießIi h der i k ität effekte di kutieren. Wir \ ollen da wirkliche VerhalTen on Flü igkeiten betrachten. Wir werden da Verhalten der Flü sigkeiten in einigen unter chiedlichen Situation n qualitativ be chreiben. damit Sie da Thema gewi ermaßen intuitiverfa en. Obwohl ie auf komplizierte GI ichungen toßen und on komplizie11en Dingen hören werden. ie all da lern n mü en. E handelt ich hier eher um liegt e nicht in un erer b i ht, da ein ,.kulturell .. Kapitel. da Ihnen eine or teilung von der Beschaffenheit der Welt vermitteln oll. ur eine ollten ie v ruhen fe tzuhalten, und da i t die einfache Definition der Vi ko ität, der wir im nä h ten Moment begegnen. Alle andere dient nur zu Ihrer nterhalrung. Im letzten Kapitel haben halten ind in der Gleichuno

-al' + (I . V)v

&

= -Vp -p

ir fe tge teilt, da

V I

da be\ egte hren um den Faktor I - v2 / c- verlangsamt werden. Die er relati i ti che Effekt wirkt in der Ri htung. da die hr A eine kür-;.el·e Zeit anzeigt a1 die Uhr B. Sie ehen, da eine Art piel rliegt. Bleiben wir mit d r hr A tehen, so erhalten wir 100 Sekunden. t igen \! ir lang 3m auf eine geringe Höhe und kommen lang am zurück, 0 können wir etwa mehr al 100 ekunden erhalten. Steigen \ ir en a höher, 0 können wir ielleicht etwa mehr ge innen. teigen, ir aber zu h eh, 0 mü en wir un chn II bewegen, um hinzugelangen und können die hr 0 tark verlang amen, da wir zum Schlu weniger a1 100 Sekunden able en. Welcher Fahrplan für di Höh gegen die Zeit - wie hoch wir hinauf mü en und mit welcher Ge chwindig eit, die orgfaltig aufeinander abge tirnmt ein mü en, um un zur Uhr B zum kzubring n, ,. enn ie 100 ekunden anzeigt - gibt un die größtmögliche Zeitanzeige auf der hr A? Ant\ on: Berechnen Si . W1 hnell ie einen Ball in die Luft werfen mü en 0 das er genau nach 100 kund n auf di Erd fallt. Die Bewegung de Ball - chneller An tieg. Abbrem ung nhalten und Herunterf Jl n - j t genau die richtige Bewegung, für die die Zeitanzeige auf einer am Ball be~ tigten rmbanduhr mögli h t groß wird. Betrachten ir nun ein etwa and re Spiel. Wir haben zwei Punkte A und B auf der Erdoberflä h in inem b tand voneinander. ir piel n da eIbe Spiel wie früher. um herau ,ir in Gerade nennen ollen. ir fragen, wie wir un on A nach B bewegen zufinden, ollen 0 d die Zeit auf un erer be' eglen hr am läng ten i t - wobei wir annehmen da wir bei uf in g bene ignal hin tm1en und bei B bei einem ander n Signal eintreffen, da na h in r f ten Uhr um 100 ekunden päter erfolg n oll. un werden· ie agen, .,Wir haben d h früh r h rau gefunden, da man ich mit abg haltetem Motor läng einer Geraden mit einer G h indigkeit bewegen mu ,die 0 gewählt i t, da man bei B genau 100

-12 Der eJ..riimmle Raum

ekunden p··rer innifft. Bewegen wir un nicht entlang ein r Graden. 0 brau h n \~ ir ine höhere Ge hwincligk it und un ere Uhr wird erlang amt." ber in n ugenbli k~ Da war. bevor wir die Gravitation in Belfacht gezogen haben. I t e . ni ht be er, i h in wenig na h oben zu b we o n und dann wieder herunterzukommen? in n Ti iI d r Zeit ind wir dann höher hneJler laufen? Da i t wirkJi h be f. Lö n ie d maoben und UD er Uhr wird etwa themati ehe Problem. di Bahnkurve der Bew gung anzup sen. da die vcr tri hene Z it auf der bewegten hr 0 lang wie möglich i r, 0 finden ie. d die Bahn ein Parabel i t die eibe Kurve. die in Gegen tand be chreibt. der ich auf einer freien \\'urfbahn im Gravitation [. Id b wegt, wie in Fig...L.19. Daher kann d Bew gung ge tz in einem Gra\itation feld au h 0 formuliert werden: Ein Ge enstand bewegT ich \'011 einem PunJa :um cllldem immer so, dass eine mir efiihrre hr eine län ere Zeit an-ei T al für jed andere mö~'iche TrajeklOrie - natürli h mit den gleichen nfang .. und Endbedingungen. Die von in r b wegten hr gerne ene Zeit \\ird oft ihre ..Eig nzeit" genannt. Beim fr ien Fall ma hr di Trajekton di Eigenzeit eine G gen tande maximal.

Fig. 42.19: In in m homogenen Gravitalion feld i I die Traj klorie mit maximal r Ei-

genzeit b i feter ve tri hen r Zeit eine Parabel.

Sehen wir na h,wied alle funktioni n.Y irbeginnenrnitGI.(·L.~). iebe agl.da überschii i e Gangge hwindigkeit der bewegten hr i t

W08., H .

die

(42.["')

c

ußerdem mü en \\ ir un daran erinnern, da e eine K rr ktur mit um ekehrt m infolge der Ge hwindigkeit gibt. Für die en Effekt n wir, da

rzei hen

Obwohl d Prinzip ftir jede G hwindigkeit gilt, betra hten \\ir in B i pie!. bei d m die Ge hwindig 'eiten t t bedeutend klein r al c ind. Dann können wir di Glei hung i folgl hr iben

und die

bnahm in cl r Gangge h\ indigkeit un r r

hr bet(-gt

,

~,...

-wo -,. 2cF

eo wir die w

w = --:;c-

·L.14 id nB iträg in (-t2.13) und (42.14) zu ammen,

)

,,... H-2 .

rh Ir n "' Ir (..L .I ~

42.9 Ein tein Gral'jwlioll Iheorie

86

o eine Frequenz er chiebung un erer bewegten Uhr bedeutet Folgendes: Me en wir auf einer fe ten hr eine Zeil dt, 0 zeigt die bewegte hr die Zeit

gH

[ (

d/ I +

\,-

c"! -

,

_ 2

)]

Der ge amte Z itüber hu di Zeit. nämlich

c12 as

ein

J(

gH -

(42.16)

'

auf d r ganz n Trajektorie i t da Integral de Zu atzterm über

\."!) dt 2"

(42.17)

11.

axlmum ein

D rTerm gH i t ni ht andere al da Gra italion potential tjJ. Multiplizieren wir da Ganze mit dem kon tamen Faktor -m 2. wob i m die asse de Objekte i t. Die Kon tante ändert die Bedingung für da a imum nicht. aber da Minu zeichen macht au dem Maximum ein inimum. GI. (·L.16 be a t dann, das ich da Objekt 0 bewegt, da

' ) f (T-mr/J mv·

dt=

Jntffium.

(42.18)

ber nun ist der Integrand nicht andere al die Differenz der kinetischen und der potentiellen Energi. hlag n ie in Kapitel 19 on Bd. Ir nach, 0 werden Sie ehen, da s ir bei der Di ku ion de Prinzip der klein ten Wirkung gezeigt haben, das die ewton ehen Ge etze für einen Geg n tand in in m beliebigen Potential genau in der Form von GI. (42.] 8) ge chrieben werden können.

42.9

Ein tein Gravitation theorie

Die Ein tein he F m1 der Be" egung gleichungen, da heißt, da die Eigenzeit in der gekrümmten Raum-Zeit- eh ein Maximum i t lief rt für kleine Ge chwindigkeiten die eiben Re ultat ie di ton ehen Ge etze. Bei einer Rei e um rue Erde zeigte Gordon Cooper Uhr eine pätere Zeit an a] da für jede andere Bahn der Fall gewe en \ äre, die Sie ich für einen atellit n orge [ Ilt haben könnten.:l: Da Gra itation ge etz kann daher in die er bemerken werten Wei e dur h Vor lellungen über die Geometrie der Raum-Zeit au gedrückt w rden. Teilchen wählen immer die läng te Eigenzeit - da i t in Raum und Zeit eine Größe, die analog zum klein ten Ab tand" i t. 0 i l da Bewegung ge etz in einem Gra itation feld. Der große Vort il die er Formulierung be teht darin, da d G etz ni ht on irgendwe1chen Koordinaten oder einer anderen Be chreibung \ ei e d r iruati n abhängt. enaugen Olmen handelt e ich nur um ein loknles Maximum. Wir härten agen ollen, da die Eigenzeit größer i t al für j deli allderell eg in der 'achbar chaft. Zum Bei piel braucht die Eigenzeit auf einer elliptischen Bahn um die rde nicht größer zu sein al ur eine '\ urfbahn eine Gegen lande, der in große Höhe ge eh eo wird und wieder herunterfallt.

-/2 Der r;:ekriiflllnEe Raum

Fa en wir nun d tion angegeben:

bi her Erarbeitete zu ammen. Wir haben zw i G etze für di Gravita-

(1) Wie i h die Geom tri der Raum-Zeit bei

nwe nheit \on 1aterie ändert - nämli h. da die dur h den Exze radiu au gedrückte Krümmung proportional d r 1a· e innerhalb einer Kugel i t. GI. ( _.").

(~)

Wie ich Gegen tände unter d m Einftu von reinen Gravitation kräften wegen - nämli h. da ich Gegen tände 0 bewegen, das' ihre Eig nz it l'\ i hen dem nfang - und Endpunkt maximal i 1.

Die e beid n Ge etze ent prechen ähnlichen Paaren von G tz n. di un hon früher begegnet ind. Ur prüngli h be hlieben wir die Bewegung in einem Grm itati n feld mit Hilfe de . 'ev.1on ehen Gravitation ge tze mit dem reliproken b land quadrat und in n B wegung gl i hungen. An die e telle treten nun die Ge etz (I) und (~). 'n r neue G etzpaar ent pricht auch dem, wa wir in der Elektrod namik gefunden haben. u h da h ([en \,ir in Ge etz - da y tem der Maxwell-Gleichungen -, da die von den L dungen hervorgerufenen Felder be timm!. E agt au . wie ich der Charakter de "Raume" in~ IQe d r n\\oe enheit geladener M tene ändert. und da i t da eibe. wa d G elZ (I) für die Gravitation lei tel. Zu ätzlich harten wir ein G etz. da be agt ,wie ich Teil hen in den geg benen Feldern bewegen: d(mv)/dt = q(E v x B). Für die Gravitation lei tel d d Ge tz (:2). Die Ge etze (1) und (2 bilden eine präzi Formulierung der Ein lein hen Gravilati TI theorie, obwohl ie die e mei tin mathemati eh komplizi rter F nn ng den. E oll hier aber noch eine zu älZLiche B merkung gemacht werden. ie i h die Zeit kaJa in einem Gravitation feld von Punkt zu Punkt ändert, 0 änd m i h u h di Läng nmaß tübe. aß täbe ändern ihre Länge, wenn ie ich umherb wegen. Da Raum und Zeil 0 eng verqui kt ind, i te ni ht mögli h. da etwa mit der Zeit pa ien, da i h ni ht in irgend in r Wei e auch im Raum äußern würde. Betracht n je das einfach te Bei piel: i be\\ eeen ich an der von Ihrem tandpunkt au "Zeit" i t, i t \. nun erem tandpun tau Raum. Erde vorbei. 0\\ nh it \' n 1 ten Daher mu e au h Änderungen im Raum geben. a dur h di verzerrt wird, i t die ganze Raum-Zeit. und das i l k mplizierter al eine bloß nd rung d r Zeit kaI. ber die in GI. "'2.3) gegeben Reg 1g nügt für die \011 tändig B timmung all r Ge erze der Gravüation. ofern vorau ge rzt ird. cl di Regel ur di R umkrümmun e ni ht nur vom tandpunkt eine peziellen Bobachter au gilr. ond rn für jed n. j mand. d r ich bezüglich einer M b wegt, ieht ein n anderen a eninhaJt w g n r kineti hen En rgie. die die. e in Bezug auf ihn hat, und r mu die· ~ e. die di er Energie entpri ht, mit einbezjehen. Die Theorie mu 0 formuli n werd n. cl jed r. unabhängig da\on, wie er i h bewegt fe t teilt, d der Exze radiu einer Kugel glei h GI c2 mal der g ami ten (oder be er G/3 co+ mal d m ge amten Energi inhalt) in einer ug li L D Ge erz - Ge ctz (1 - in jedem bewegten y tern gelt n 11, i t in d r er Ben Ge rze d r Gravitation. d di Einsteinsche Fe/dgleichung heißt. D andere große G tz i l