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CHAPITRE 2 TURBO-POMPES Problème no 1 Une pompe centrifuge tourne à 1000 tr/mn. Le rotor de la pompe a les caractéristiques suivantes : R1 = 70 mm

β1 = 35.5o

α1 =

π/2

R2 = 150 mm

β2 = 30o

α2 =

12 o

b = 20 mm

On demande : 1. 2. 3. 4. 5.

de déterminer le triangle des vitesses à l'entrée et à la sortie du rotor; le débit volume sortant de la pompe si le rendement volumétrique est ηv = 0.92; la hauteur de charge théorique; la hauteur de charge réelle si le rendement hydraulique est ηh = 0.8; la puissance à l'arbre si le rendement mécanique est ηm = 0.95.

Note : ηh = hauteur délivrée par pompe / hauteur délivrée par rotor ηv = débit sortant de la pompe / débit passant par le rotor

Problème no 2 Une pompe centrifuge tourne à 1800 rev/min. caractéristiques suivantes :

Le rotor de la pompe a les

R1 = 10 cm

β1 = 20o

b1 = 5 cm

R2 = 30 cm

β2 = 10o

b2 = 2 cm

On demande : 1) de déterminer le triangle des vitesses à l'entrée et à la sortie du rotor; 2) le débit volume sortant de la pompe; 3) la hauteur de charge théorique; 4) la différence de pression générée par la pompe; 5)la puissance à l'arbre.

Problème no 3 Une pompe radiale avec β1 = β2 , b1 = 2b2 = 25 mm, r1 = r2/3 = 50 mm et α1 = 90° fournit une hauteur de charge H = 30 m à un débit de 30 litres/s. Déterminer l'angle β1 = β2 et la vitesse de rotation de la pompe.

Problème no 4 Un ventilateur doit produire une pression de 100 mm d’eau. La vitesse de rotation du rotor est 3 600 r.p.m., et son épaisseur b = 100 mm. Si R2 = 1.1 R1, β 2 = β 1 et α1 = 90o, déterminez R1. Pour β 1 = 30o, calculez le débit, en m3/min., du ventilateur. Note :

γair = 11.5 N/m3; γeau = 9 806 N/m3

Problème no. 5 Soit une pompe axiale ayant les caractéristiques suivantes : Stator

α1 = 55°

β1 = 30°

Rotor

ω = 1200 r.p.m.

β2 = 60°

Si Di = 0.8 m et Do = 1 m , on demande : i.) ii.) iii.) iv.)

Le diagramme des vitesses pour le stator et le rotor; Calculer l’angle α2 à la sortie du rotor; Calculer le débit en m3/s; Déterminer la puissance de la pompe en kW.

Note : Le fluide pompé est de l’air, ρ = 1.205 kg/m3.

Problème no. 6

Une pompe à eau centrifuge tourne à 1150 r.p.m. , le rotor de la pompe a les caractéristiques suivantes : Rayon, R (mm) Épaisseur de la lame, b (mm) Angle de la lame, β (degré)

Entrée c 100 50 70

Sortie d 300 40 80

Si le débit de la pompe est Q = 0.1 m3/s, et si α 1 est différent de 90 o on demande : i) ii) iii)

la hauteur de charge H développée; la puissance P de la pompe; l’angle α 1 à l’entrée du rotor.

Note : ∆eau = 999 kg/m3

Problème no.7

Un tuyau en acier rivé (, = 0.0009 m) de 60 cm de diamètre et de 9000 m de long relie deux réservoirs contenant de l'eau dont les niveaux diffèrent par 45 m. Les pertes de charge sont négligeables à l'entrée et à la sortie. a) Quel est le débit volumique Q du réservoir supérieur au réservoir inférieur? b) Quelle puissance doit être transmise à l'écoulement par le biais d'une pompe pour permettre un débit volumique de 625 litres par seconde du réservoir supérieur au réservoir inférieur? c) Quelle puissance doit être transmise à l'écoulement par le biais d'une pompe pour permettre un débit volumique de 625 litres par seconde du réservoir inférieur au réservoir supérieur?

Problème no. 8

Dans le système montré ci-dessus on a

ε 1 = 0.26mm ε 2 = 0.26mm ε 3 = 0.26mm

D1 = 20 cm D2 = 15 cm D3 = 10 cm Les pertes de charge mineures sont données par:

Ke = 0.5 V12 / 2g

Sortie réservoir Contraction tuyau

1

et

2

Contraction tuyau

2

et

3

K1−2 = 0.0766 V22 / 2g

K1−3 = 0.1235 V32 / 2g

En supposant que la viscosité de l'eau est υ = 10−6 m 2 / s , calculer le débit s'écoulant dans le système. Note: Utiliser le diagramme de Moody Pour la première itération supposer V3 = 2 m / s

Problème no 9 Pour le système montré ci-dessous, calculer la perte de charge entre l'entrée et la sortie du système et le débit volumique dans chacun des deux tuyaux.

Note: Supposer au début des calculs que Q1 = 1.2 m3/s pour convergence plus rapide

Problème no 10 On remplit une cuve au moyen d'une pompe centrifuge qui débite 50 m3/h à travers la canalisation suivante: •

en amont de la pompe 20 m de conduite rectiligne de diamètre D = 100 mm, en acier inoxydable de rugosité ε = 0.02 mm, branchée directement en paroi sur le bac d'alimentation et comprenant un clapet de retenue de coefficient de perte de charge k1 = 0.5 ; en aval 35 m de conduite identique comprenant deux coudes de coefficient k2 = 0.25 . Le liquide sort en jet horizontal à 17 m au-dessus du niveau dans le bac d'alimentation, lui-même à 2 m au-dessus de l'axe de la pompe. Le NPSH requis étant de 0.4 bars, calculer le NPSH disponible et vérifier le bon fonctionnement de la pompe. Son rendement étant de 62%, déterminer la puissance du moteur d'entraînement. Caractéristique du liquide pompé: ρ = 950 kg/m3; υ = 1,2.10-6 m2/s; pv = 5500 Pa. Pression atmosphérique: 105 Pa.

Conduite en aval de la pompe: LB + LC + LD = 35 m, DB = DC = DD = 100 mm, εB = εC = εD = .02 mm Conduite en amont de la pompe: LA = 20 m, DA = 100 mm, εA = .02 mm

Problème no. 11

Une conduite en béton (∈ = 2 mm) de 1 m de diamètre transporte de l’eau. La conduite est partiellement remplie dans les conditions montrées sur la figure ci-haut. L’inclinaison de la conduite, par rapport au plan horizontal, est de 0.001 (voir figure ci-dessus). Calculez le débit volumique résultant en utilisant l’équation de DarcyWeisbach et en supposant que l’écoulement est complètement turbulent.

Problème no.12

La différence de niveau entre les deux réservoirs montrés ci-dessus est H = 6 m. La conduite BC a un diamètre de 600 mm et une longueur de 3000 m. Du point C on a 2 tuyaux, chacun ayant 300 mm de diamètre et 3000 m de long, installés en parallèle jusqu’au réservoir du bas. Si le coefficient de frottement f = 0.04 est le même pour tous les tuyaux, déterminez le débit du système.

Problème no. 13 Soit H la hauteur de charge disponible à l’entrée d’une conduite ayant un diamètre D et une longueur L, et dans laquelle circule un fluide avec une vitesse V. À cause des pertes de charge visqueuses hf, la hauteur de charge disponible à la sortie de la conduite est HP. Déterminez la relation entre hf et H pour avoir un maximum de transmission de la puissance à travers la conduite. Calculez la puissance maximale disponible au bout d’une conduite de 4.8 km de long et 200 mm de diamètre si la pression à l’entrée de la conduite est de 6900 kN/m2 et le coefficient de frottement f = 0.028. Note :

ρ eau = 1000 kg/m3

Problème no.14 De l’air est transporté dans 500 m d’une conduite rectangulaire de 30 cm x 20 cm avec un débit de 0.24 m3/s. En supposant que la conduite est lisse, calculez le perte de pression dans la conduite. Note :

pour l’air: ν = 1.5 x 10-5 m2/s et ρ air = 1.23 kg/m3.

Problème no. 15 L’eau est fournie par un réservoir A à deux réservoirs B et C comme montré à la figure ci-dessus. Les données : ZA = 60m, ZB = 30m; ZC = 15m; D1 = 300mm, L1 = 1500m; D2 = D3 = 300mm, L2 = L3 = 1500m; f1 = f2 =f3 = 0.01. Calculer les débits volumiques fournis à chaque réservoir B et C, en m3/s

Problème no 16 Dans le système montré ci-dessus, calculer le débit dans chacun des tuyaux c et d si la courbe caractéristique de la pompe est Hp = 58 – 370 Q2 où Hp est en mètre et Q en m3/s. La rugosité des tuyaux est ε = 0.046 mm et la viscosité cinématique de l’eau ν = 10 -6 m 2/s. Note : voir diagramme de Moody à la page 5

Problème no. 17 Un ventilateur délivre 3000 m3/h d’air dans le circuit montré ci-dessus. Chaque conduite, faite d’acier commercial (ε = 0.046 mm), a une section carrée. Calculer la puissance requise par le ventilateur, si ce dernier a un rendement de 75%. Négliger les pertes mineures. Note :

Pour l’air

ρ = 1.2 kg / m3 et µ = 1.8 x 10−5 kg / m.s.

Problème no. 18 Trois réservoirs sont reliés par trois conduites tel que montré dans la figure cidessus, pour simplifier le problème on suppose que le diamètre de chaque conduite est de 1 pied et le coefficient de friction est 0.02 pour tous les tuyaux. Déterminer le débit dans chaque conduite. N.B. : Supposez que l’écoulement sort du réservoir A et entre dans les réservoirs B et C.

Problème no. 19 Une pompe est utilisée pour remplir un réservoir tel que montré sur la figure cidessus. La hauteur de charge de la pompe est donnée par Hp = Ho [1- Q2/Q2max ] dans lequel Ho = 50 m , Qmax = 2 m3/s et Q est le débit du fluide passant dans la pompe. La conduite connectée à la pompe a une longueur L= 30 m , un diamètre D = 0.9 m et le coefficient de frottement est f = 0.018 . Les coefficients de perte de charges mineures sont K1 = 0.5 et K2 = 1. Si la section du réservoir est A = 100 m2, calculer le temps requis pour remplir le réservoir d’une hauteur h = 40 m.

Problème no 20 Une pompe centrifuge a un rotor d'un diamètre extérieur de 250 mm, α1 = π/2 et b = 6mm. Cette pompe possède les caractéristiques suivantes à 1450 tr/mn. Q en m3/h Hp en m

0

17

25

30

21,6

21,6

-

0,35

21, 5 0,4 7

21, 4 0,5 4

η

36, 5 21, 1 0,6 1

44

60

76

20, 7 0,6 7

19

16, 1 0,6 7

0,7 2

81, 5 14, 9 0,6 3

86, 5 13, 6 0,5 8

91

96

12, 2 0,5 3

10, 5 0,4 6

On demande : 1. Calculer le rendement hydraulique ηh au point de rendement η maximum. On précise qu'en ce point de fonctionnement le rendement volumétrique ηv = 0.9 et le rendement mécanique ηm = 0.95 (Note : η = ηh ηv ηm) 2. Au point de rendement maximum, calculer la vitesse absolue du fluide à la sortie du rotor ainsi que la vitesse relative. 3. Si la pompe puise de l'eau (γ = 9800 N/m3) dans le système montré ci-dessous : Où PA = 4 kPa ZB-ZA = 1m

PB = 101.32 kPa

[

hf A− E (m) = Q (m 3 / h) / 50

[

]

2

]

hf S − B (m) = 2 Q (m 3 / h) / 50

Pertes entre points A et E

2

Pertes entre points S et B

On demande de déterminer le débit volumétrique maximum fourni par cette installation ainsi que la hauteur de charge développée par la pompe. Pour résoudre ce problème, supposer que pour la pompe, au voisinage du point de fonctionnement, la relation : Hp (m) = 5.88 + 0.156 Q (m3/h) est approximativement valide. 4. Dans les conditions de la question précédente, calculer la puissance exercée sur l'arbre de la pompe. 5. Déterminer la hauteur d'aspiration ha = ZA - ZE nécessaire pour éviter la cavitation à l'entrée de la pompe. On précise que : − − − − −

la pression de vapeur saturante à l'entrée de la pompe est Pv = 4000 Pa NPSH de la pompe est 2.2 m Débit dans la pompe: Q = 71 m3/h Perte dans la conduite d'aspiration: Q ( m 3 / h) / 50 2 Diamètre de la conduite d'aspiration: D = 100 mm

[

]

Problème no 21 La pompe ayant un rotor de 2 m de diamètre produit un débit de 9.77 m3/s et une hauteur de charge de 13.72 m à 225 rpm au point de rendement maximum. Déterminez le diamètre et la vitesse de rotation d'une pompe de la même famille produisant 3 m3/s sous une charge de 100 m à son point de rendement maximum.

Problème no 22 Une pompe radiale ayant un diamètre de 6 cm, pompe de l'air, au point de rendement maximum, avec une vitesse de rotation de 1800 rev/min. La Figure 1 montre la performance de la pompe. Si la vitesse de rotation de la pompe est changée à 1600 rev/min. •

Déterminer le début volumique Q, la hauteur de charge H et la puissance P requise par la pompe.

On utilise une pompe géométriquement similaire, tournant avec la même rotation, mais ayant un diamètre de 5 cm. •

Déterminer le débit volumique Q, la hauteur de charge H, le rendement de la pompe η et la puissance P requise par la pompe.

Note: ρ air = 1.25 kg/m3

Problème no. 23 Dans le système montré dans la figure ci-dessous, déterminer le débit en utilisant les caractéristiques de la pompe données sur la page suivante. Déterminer la puissance de la pompe.

Note:

Pour les pertes mineures à l'entrée et à la sortie des réservoirs, prendre K = 0.5 et 1 respectivement. La conduite reliant les deux réservoirs est en acier laminé pour laquelle la rugosité absolue est , = 0.046 mm. La viscosité cinématique de l'eau est ν = 10-6 m2/S. Supposez un écoulement turbulent dans la conduite

Problème no. 24 Des tests effectués sur une pompe centrifuge ont donné les résultats suivants:

Q (m3/min) H (m)

0

4.5

9.0

14

18

22. 5

22.5

22.2

21. 6

19

14. 1

0

La pompe est branchée à 75 m de tuyaux ayant un diamètre de 300 mm et un coefficient de frottement f = 0.024 . L'eau pompée est déchargée dans l'atmosphère libre à une hauteur de 15 m au-dessus du niveau de la pompe. Calculer le débit de la pompe en m3/min.

Problème no. 25 La courbe de performance d'une pompe centrifuge requière que le NPSH soit de 21 pieds. De l'eau à 68° F est pompée d'un réservoir étant à la pression atmosphérique standard (14.696 lb/po2 absolue). La perte de charge du réservoir à l'entrée de la pompe est de 6 pieds. Si la pression de vapeur de l'eau est pv = 0.26 lb/po2 absolue, calculer la hauteur maximale de la pompe pour éviter la cavitation. Note: ρeau = 1.937 slugs / pi 3

Problème no 26 Le NPSH spécifié par un manufacturier de pompe est 3.5 m pour un débit de 0.06 m3/s. Déterminez la hauteur maximale Zm de la pompe au-dessus d’un réservoir d’eau avant d’avoir de la cavitation. La température de l’eau est 25 oC, la pression atmosphérique est 101 kPa absolue et les pertes de charge entre le réservoir et la pompe sont de 0.3 m. Si la pression atmosphérique locale était de 82 kPa absolue, quelle serait la valeur de Zm? Note :

eau à 25 oC :

Pv / γeau = 0.33 m (pression vapeur de l’eau) γeau = 9 806 N/m3

Problème no 27 Une pompe radiale ayant un diamètre moyen de 6 cm tourne avec une vitesse ω = 1 800 r.p.m. Au point de rendement maximal (η = 70%) le débit de l’air pompé est Q& = 0.018 m3/s et la hauteur de charge manométrique développée est H = 35 m. 1. Si la vitesse de rotation de la pompe est changée à ω = 1 600 r.p.m., déterminez le débit et la hauteur de charge résultant. Trouvez la puissance requise pour faire fonctionner la pompe. 2. On considère une nouvelle pompe, similaire géométriquement à la pompe précédente, opérant à la même vitesse de rotation (ω = 1 800 r.p.m.), mais ayant un diamètre moyen de 5 cm. Au point de rendement maximal, déterminez le débit, la hauteur de charge, le rendement de la pompe et la puissance requise pour faire fonctionner cette dernière.

Note : ρair = 1.225 kg/m Problème no28 La courbe caractéristique d’une pompe est donnée par Hp = 20 [ 1- (Q/100)2] dans lequel Hp est en mètre et Q en m3/s. La perte de charge dans un circuit hydraulique est donnée par hf = 5 + 0.002Q2 avec hf en mètre et Q en m3/s. Calculer le débit dans la pompe dans les cas suivants : a) une pompe reliée au circuit hydraulique; b) deux pompes identiques branchées en série; c) deux pompes identiques branchées en parallèle.

Problème no. 29 Une pompe A à eau ( ρ = 998 kg / m3 ) a un diamètre DA=6 cm et une vitesse de rotation ωA=180.6 rad/s. Au point de meilleur rendement, elle a les caractéristiques suivantes :

η * = 0.812

CQ* = 0.0112

CH* = 0.133

C *p = 0.00184

On veut construire une pompe géométriquement semblable B pour pomper un fluide ( ρ = 1226 kg / m3 ) qui doit fournir un débit QB = 0.0024 m3/s et une hauteur de charge HB = 4.5 m au point de meilleur rendement. Au point de meilleur rendement on demande : a) b) c) d) e)

la puissance requise par la pompe A; le diamètre de la pompe B; le rapport d’échelle entre les pompes A et B; la vitesse de rotation de la pompe B; la puissance requise par la pompe B.

Problème no30 Soit une pompe à eau dont la hauteur de charge est Hp = Ho – a Q2 dans lequel Ho = 23.9 m, a = 0.00642 m/( litre/minute )2 et Q est le débit en litre/minute. On demande : 1-

Calculer le débit maximum de la pompe en litre/minute;

2-

Déterminer si la pompe peut fournir un débit de 57 litre/minute avec un accroissement de pression de 40,000 N/m2 à travers la pompe.

Note : eau : ρ = 998 kg/m2

Problème no 31 Une machine éolienne à hélice a un diamètre de 26 m et produit une puissance de 41 kw pour une vitesse de vent de 36 km/h (ρ air = 1.23 kg/m3) 1. Donner le rendement maximum qu'une telle hélice peut produire. 2. Déterminer la force de poussée agissant sur la machine pour ce rendement maximum. 3. Déterminer le rendement actuel de la machine.

Problème no 32 Une turbine éolienne de 12 m de diamètre est placée dans un vent ayant une vitesse V1 = 20 mph. Si la vitesse à l'aval de l'éolienne est V2 = 6.56 m/s. Calculer: a) b) c)

le rendement de l'éolienne la puissance générée par l'éolienne la variation de pression à travers la turbine

Note: ρ air = 1.225 kg/m3 1 mille = 1609 m