Évaluation Des Actifsles Options (Binomiale Black and Scholes) [PDF]

Zitiervorschau

Evaluation des actifs (2): les options (modèle binomial , Black and Scholes) Encadré : Mme SOLHI Sanae

Presenté par : - ELBARAKA Mohammed Jihad - FAHMI Hiba - ANOUAR Safaa - EL FATHY Meryem

LE PLAN : Introduction I) Evaluation des options selon le Modèle binomial :

1- Généralités sur le modèle binomial 2- Modèle binomial : a- Modèle binomiale à une période b- Modèle binomiale à n périodes II) Evaluation des options selon le Modèle de Black and Scholes :

1- Généralités sur le modèle Black and Scholes 2- Modèle Black and Scholes III) Cas pratique :

Exercice 10 Conclusion

Introduction :

Le modèle binomial

Définition du modèle binomial : Le modèle binomial est un modèle discret d’évaluation d’options . Ce dernier est appelé modèle discret car il calcul la valeur d’une option en décomposant la maturité ou l’échéance (T) de l’option, exprimée en année, en plusieurs (n) périodes égales.

Hypothèses du modèle binomial : ●

L’absence de l’opportunité d’arbitrage .

●

Les titres sont négociables, liquides et indéfiniment fractionnables.

●

Il n'y a pas de restriction sur les ventes à découvert .

●

Le temps est discret .

●

Le modèle binomial prend en considération les dividendes .

●

Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu à l'avance et constant.

●

Il n’y a pas d’impôts ou de taxes, et pas de coûts de transactions , etc.

Fonctionnement du modèle binomial :

le modèle binomial utilise le principe de programmation dynamique qui se réalise en deux grandes étapes :

construction de l’arbre binomial

calcul de la valeur de l’option

Construction de l’arbre :

L’arbre binomial est un processus d’évaluation des options proposé par les créateurs du modèle. Cette dernière consiste à représenter les différentes trajectoires de l’actif sous-jacent afin de déterminer le prix de l’option. l’arbre peut être à une seule période ou à plusieurs périodes selon le cas.

Arbre à une période : Cet arbre est construit sur l’hypothèse que le prix de sous jacent (S) ne peut qu’augmenter d'un montant « u » si la situation est favorable avec une probabilité « p », ou diminuer d’un montant « d » si la situation est défavorable avec une probabilité de

« 1-p ».

S : prix actuel de l’actif sous-jacent

p

ST(U)

S0

T : La maturité ou l'échéance en année P : La probabilité de hausse

q : La probabilité de baisse q= 1-p t=0

ST(D)

u : coefficient d’augmentation

t=T

d : coefficient de baisse

Arbre à n périodes : St(UU)

St(U)

So

….

St(DU) = St(UD)

St(D)

t=1

….

….

St(DD) t=0

….

t=2

….

Calcul de la valeur de l’option : Calcul de la valeur de l’option à l’échéance T : Calcul de la valeur de l’option à chaque nœud final :

-

-

La valeur d’une option d’achat (call) est : C = Max (S (t ; u/d) - K ; 0)

La valeur d’une option de vente (put) est : P = Max (K – S (t ; u/d) ; 0)

Calcul de la valeur de l’option :

Avec : ❏

Calcul de la valeur de l’option aux périodes antérieurs : La valeur de l’option type européenne :

Si c’est un CALL :

C= ((p x Cu) + (1-p) x Cd )exp(-r∆t)

❏ ❏ ❏

❏ ❏ ❏

Si c’est un PUT :

P= ((p x Pu) + (1-p) x Pd )exp(-r∆t)

La valeur de l’option type américaine :

Si c’est un CALL :

C=Max(S - k ; (P x Cu +( 1-P )xCd )exp-r∆t)

Si c’est un PUT :

P=Max(K - S ; (P x Pu +( 1-P )xPd )exp-r∆t)

P : Probabilité risque neutre de hausse du sous-jacent . ( 1-P ) ou q : Probabilité risque neutre de baisse du sous-jacent . u : Coefficient de hausse d : coefficient de baisse . r : taux d'intérêt sans risque . Δt : durée de la période . K : le prix de l’exercice

Il s’agit de noter que : ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏

P sans dividende =expo (r. ∆t) - d) / (u - d) ou p avec dividende = expo (b. ∆t) - d) / (u - d) q = 1- P u = expo (σ. √∆t) d = 1/u q’ : le taux de dividende annuel en % b : coût de portage avec b= (r-q’) n: Nombre de période en année Δt =T/n

Cas pratique : exercice 10 Un investisseur financier détient un portefeuille de titres lui donnant le droit d'acheter des actions d’IBM à un prix d'achat fixé d'avance. Il a compris qu'il s'agit d'options call mais n'est pas très sûr de leur valeur. Le nombre titres qu’il possède de 100,000. Chaque titre lui donne le droit d'acheter une action IBM à un prix de 20.50 USD dans 2 ans. L'évolution du cours, qui est égal aujourd'hui à 30 USD par action, est fort incertaine. Elle peut être représentée par un modèle binomial: au cours d'une année, le cours peut augmenter de 50% (avec une probabilité de 0.5) ou diminuer de 33% (avec une probabilité de 0.5). Ces paramètres d'évolution sont la traduction binomiale d'une volatilité de l'action de 41%.Le taux d'intérêt sans risque est de 4% . Il n'y a pas d'impôts.

T.A.F : 1. En appliquant le modèle binomial d'évaluation d'option, déterminez la valeur des options aujourd’hui. 2. Quelle est la rentabilité attendue du call aujourd'hui? 3. Quelle serait la valeur selon la formule de Black et Scholes?

Correction : 1) la valeur des options aujourd’hui selon le modèle binomial : Nous avons les données suivantes :

So

Prix actuel de l’actif

30

K

Le prix de l’exercice ou strike

20.5

T

L’échéance

2

σ

la volatilité

41%

r

Le taux d’intérêt sans risque

P

La probabilité de hausse

0.5

q

La probabilité de baisse

0.5

n

Le nombre de période

2

u

Le coefficient de hausse : u= expo (σ. √∆t)

d

Le coefficient de baisse :

Δt

La durée de période

4%

1.5

d= (1/u)

0.67

Δt= (T / n)

1

Construction de l’arbre : ❏

Calcul de la valeur de l’actif sous-jacent aux différentes périodes :

0,5 0,5

?

0,5

?

30,15

?

20,1

0,5

0,5

13,467

? t=0

t= 1

S1(U) = 30 × 1,50 = 45

?

45

?

30

67,5

t=2

S1(D) = 30 × 0, 67 = 20,1

Construction de l’arbre : Calcul des valeurs de l’option à la dernière période: (avec K= 20,50)

❏

67,5 47

45 ?

30

30,15 9,65

20,1 ?

?

13,467 0

Cu(u) = MAX (S-K ; 0)

MAX (67,5 – 20,5 ; 0) ; Cu(u)= 47

Cu(d) ou Cd(u) = MAX (S-K ; 0)

MAX (30,15 – 20,5 ; 0) ; Cu(d) ou Cd(u)= 9,65

Cd(d)= MAX (S-K ; 0)

MAX (13,5 – 20,5 ; 0) ; Cd(d)= 0

Calcul des valeurs des options des périodes antérieurs :

❏

67,5 45

47

30

27,21

30,15

?

20,1

9,65

4,64

13,467 0

Pour la valeur de l’option Cu :

Pour la valeur de l’option Cd :

Cu= ((p x Cuu) + (1-p) x Cud )exp(-r∆t)

Cd= ((p x Cdu) + (1-p) x Cdd )exp(-r∆t)

Cu= (0,5x47 + 0,5 x 9,65)exp(-0,04 x 1)

Cd= (0,5x 9,65 + (0,5 x 0) )exp(-0,04 x 1)

Cu = 27,21

Cd = 4,64

L’arbre binomial final du Call : 67,5 Pour la valeur de l’option C à t0:

45 47

30

27,21

30,15

C= ((p x Cu) + (1-p) x Cd )exp(-r∆t)

C= (0,5x 27,21 + (0,5 x 4,64) )exp(-0,04 x 1) C= 15,30

15,30

20,1

9,65

4,64

13,467 0

t=0

t=1

t=2

2) La rentabilité attendue du Call aujourd’hui :

On a la valeur du Call = 15,30 Le prix d’exercice : 20,5 Le nombre des actions 100.000 Donc : la rentabilité attendue= -(100000 x 20,5) +(15,30x100000) la rentabilité attendue= -2500000+1.530.000 la rentabilité attendue= -520000

LE MODÈLE DE BLACK AND SCHOLES

Définition du modèle Black and Scholes : Le modèle de Black-Scholes d'évaluation d'option est un modèle utilisé en finance afin d'estimer la valeur théorique d'une option financière de type européenne. c’est un modèle en temps continu qui est sans doute le plus connu et le plus utilisé.

Hypothèses du modèle de Black et Scholes : • •

Le modèle Black and Scholes ne prend pas en considération de dividende Il n'y a pas de coûts de transactions.

•

Le temps est continu.

•

Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage.

•

Il est possible d'effectuer des ventes à découvert.

•

Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu à l'avance et constant.

•

Tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles.

Les relations de calcule de la valeur d’option selon le modèle Black and scholes

vente: S = la valeur actuelle de l’action sous-jacent K = Prix d’exercice fixé par option A noter que si X est négatif : N(-X) = 1 – N(X)

ACHAT :

r = Taux d’intérêt sans risque T= Maturité de l’option σ = Volatilité de prix de l’action sous-jacent N (x)=on le trouve dans la table de la loi normale

Où

Correction de l’exercice 10 : la suite 3) la valeur selon la formule de Black et Scholes :

K

Le prix d ‘exercice

20.5

S

Prix actuel de l’actif

30

r

Le taux d’intérêt sans risque

4%

σ

La volatilité

41%

T

L’échéance

2 ans

- Etape 1 : Calculons d1 et d2

d1 = (ln(30/20,5)+(0,04+((0,41)²/2)) x 2) (0,41√2) d1= (0,381+0,2481) 0.58 d1= 1,0845

d2 = 1,0845 – 0,41√2 d2= 0,5046

Etape 2 : Trouvons N(d1) et N(d2) Dans la table de la loi normale On trouve:

N(d1) = N(1,0845) = 0,861 N(1,0845) se trouve entre 0,8599 et 0,8621 (moyenne des deux valeurs : 0,861 )

N(d2) = N(0,5046) = 0,693 N(0,5046) se trouve entre 0,6915 et 0,6950 (moyenne des deux valeurs : 0,693 )

- Etape 3 : Calculons la valeur du Call :

Call = (30 * 0,861) – ((20,5*e-0,04*2)* 0,693) Call = 12,72

Conclusion :

Merci pour votre attention