Esercizi Di Fisica Elettromagnetismo e Ottica [PDF]

Zitiervorschau

Corrado Mencuccini

Vittorio Silvestrini

ESERCIZI DI FISICA ELETTROMAGNETISMO E OTTICA interamente svolti

CASA EDITRICE AMBROSIANA

Corrado Mencuccini

Vittorio Silvestrini

ESERCIZI DI FISICA ELETTROMAGNETISMO E.

OTTICA

interamente svolti

oa28388

ACHLL ED ZAK CHEL ED

CASA EDITRICE AMBROSIANA

Indice

Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico potenziale

1

Punti chiave

1

Esercizi assistiti e di consolidamento

4

Esercizi di riepilogo Suggerimenti

3

Sistemi di conduttori e campo elettrostatico Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizi di riepilogo

Suggerimenti

Elettrostatica in presenza di dielettrici Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizi di riepilogo

Suggerimenti

Corrente elettricastazionaria

10

13

13 15

18 19

21 21

23

26 28

Punti chiave

29 29

Esercizi assistiti e di consolidamento

31

Esercizi di riepilogo

36

Suggerimenti

39

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizi di riepilogo

Suggerimenti

Magnetismo nella materia

41 41

44 47 49

51

Punti chiave

51

Esercizi assistiti e di consolidamento

55 56 56

Esercizi di riepilogo Suggerimenti

| Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento

Esercizi di riepilogo

57

57

59 64 67

Suggerimenti

I Correnti alternate Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizi di riepilogo Suggerimenti

69 69 70 72 72

Onde elettromagnetiche e fenomeni classici di interazione 73

fra radiazione emateria Punti chiave

Esercizi assistiti e di consolidamento

Esercizi di riepilogo Suggerimenti

Ottica geometrica Punti chiave Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizi di riepilogo Suggerimenti

73 77 82 83

85 85 87

90 91

93

ISoluzionidegliesercizi 157

Formule utili in matematica

Elettrostatica nel vuoto Campo elettrico e potenziale Basato sul Capitolo 1 di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica - Elettromagnetismo e ottica

Gli esercizi di questo capitolo riguardano il tema dell'elettrostatica nel vuoto, i cui concetti fondamentali sono brevemente riassunti nei Punti chiave. La numerazione delle equazioni, indicata tra parentesi quadre, si ri-

Gli Eserciziassistiti, contrassegnati dall'icona prevedono una serie di aiuti disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina). A ciascun esercizio assistito corrispondono

ferisce al volume di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica

la cui risoluzione è simile a quella dell'esercizio

-

corrispondente.

Elettromagnetismo

e ottica.

uno o più Esercizi di consolidamento, contrassegnati da *, assistito

Punti chiave LEGGE DI COULOMB 1

[L.2]

4ne, (per cariche puntiformi) e..e***

COSTANTE DIELETTRICA DEL VUOTO

E, =8,854·10-12CIN m²

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA

In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche

ELETTRICA

elettriche è costante nel tempo *******.

QUANTIZZAZIONE DEĻLA CARICA

Ogni carica di un dato segno può essere considerata come il prodotto di un numero intero positivo o negativo per una costante che rappresenta il modulo della carica dell'elettrone e = 1,6· 10-19C

.esns..

CAMPO ELETTRICO

E=lim q0

[L5)

2

Elettrostatica nel vuoto.Campo elettricoepotenziale ISBN 978-88-08-18703-1

Punti chiave PRINCIPIO DISOVRAPPOSIZIONE

De#*******.

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA CARICA PUNTIFORME

FLUSSO DI UN VETTORE

E

In un punto P dello spazio il campo elettrico prodotto da più cariche puntiformi è pari alla somma vettoriale dei campi elettrici generati in P separatamente dalle singole cariche considerate

)

***..

[I.4]

o,(Ē)= E-âds - [,Ē-aš

[I.21)

**.*.e***.*.e*.*.*.ee.

TEOREMA DI GAUSS

9,Ē)=E, aš -

QEST

OT

(I.22]

•

e,(Ē,)odr

OINT SCHIUSA

....................e*****.

OPERATORE DIVERGENZA

In coordinate cartesiane

divõ=4 ax .... .

[1.30]

oy

Oz

e#4#peesesses*ee*..

TEOREMA DELLA DIVERGENZA

[ā-ds - fdivã dr

[I.31]

SCHIUSA ****

******

PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL

divĚ, %,y.z)

[1.36]

ISBN 978-88-08-18703-1

Punti chiave

Punti chiave OPERATORE NABLA V [1.32]

(peres. divĚ = ỹ-Ề) ................s*.... *************.

CAMPO ELETTROSTATICO CONSERVATIVO

I

campo

E,

da carica

puntiforme

è centrale e

conservativo; per il principio di sovrapposizione ogni campo E, è conservativo

*****w

POTENZIALE ELETTROSTATICO

[,i =v(A)-V(B)

[Volt)

E=

A .s******e******e******e*****.eo******************.

[I.38]

OV

ôy

e**e*s****.

********e*.*o

OPERATORE GRADIENTE DI UNA FUNZIONE

f(*, y, z)

grādf = Vf

E=-grādV=-y

[I.41]

POTENZIALE DA CARICA PUNTIFORME

V*» 2)

V(x,y,z)= 2+cost

[1.42]

4ne,

(cost = O per V(o) = 0) ...... ,.

ADDITIVITÀ DEI POTENZIALI

I potenzialeelettrostaticogenerato da più cariche è la somma dei potenziali generati da ciascuna di esse:

dr

Viz,y)=

[I44)

****s****

POTENZIALEDA DIPOLOELETTRICO p= gð

y(P)-:? r 4ne,

[I.54)

fi

Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale

4

ISBN 978-88-0

Punti chiave Momento della coppia di forze:

DIPOLO IN CAMPO ELETTRICO ESTERNO

M = pxĒ Energia del dipolo:

U =-p-Ē *****....

k

OPERATORE ROTORE

rotū:

Ox

ôy

[1L79)

ôz

-

ôu, ởy *****

......e....

TEOREMA DI STOKES

4o-dl - [,rotõ-dš

CAMPO ELETTROSTATICO IRROTAZIONALE

(1.83]

rotE, = 0

Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizio1.1

(Esercizio correlato: 1.1%)

Un segmento di lunghezza 2D, posto nel vuoto, è uni-

formementecaricocondensitàlineare dicarica . Nella disposizione indicata in gura, ricavare le componenti cartesiane del campo elettrico nei punti A(D,h), B(2D,h) e C(3D,0).

b)E,

hJ4D 2D

E,

Are,h y4D+h'

RISPOSTE

c) E, =

a) E, = 0

D

y2re,h D +* D

2D

[L.S1]

6ne,D

E, = 0

+

fi

fi

fi

fi

fi

Esercizi assistiti e di

ISBN 978-88-08-18703-1

consolidamento

Esercizio 1.1%

5

Esercizio 1.2

Un segmento di lunghezza d, posto nel vuoto, porta una carica positiva Quniformemente distribuita sulla

(Esercizio correlato: 1.2%)

Un sottile anello circolare di raggio Rè posto nel vuoto ed è uniformemente carico con densità lineare di ca-

sua lunghezza. Nella disposizione indicata in gura, ricavare l'espressione del modulo del campo elettrico

del campo elettrico in un punto P dell'asse della spira a

nel punto P(2d,a/2).

distanza z dal suo centro.

rica positiva ). Ricavare l'espressione del potenziale e

RISPOSTE

RISPOSTA

E(P) = 0,22

Q

V(z) =AR/28,Va +R'

P}

27e,d*

E,(2) =

AR

2e, (z' +Ryya

d/2

Q

2d

K

+ Esercizio 1.2* Su un supporto

RISPOSTA

liforme rigido costituito da un trat-

to rettilineo (1) molto lungo, raccordato a un estremno

E, = N(2ne, R); E, = 0

con un tratto (2) a forma di un quarto di circonferenza di centro A e raggio R, è distribuita

uniformemen-

te una carica elettrica positiva con densità lineare ),

come mostrato in gura. Il tutto è nel vuoto. Ricavare

(1)

l'espressione delle componenti cartesiane E, ed E, del

campo elettrico nel punto A (nel sistema di riferimento Oxy indicato in gura).

(2)

Esercizio

1.3 (Esercizicorrelati:1.3*e1.3*%)

Un lungo cilindro retto, a sezione circolare di raggio

RISPOSTA

R, è posto nel vuoto ed è

E(C) = (cAV/[Rn(bla)]

uniformemente

carico. La

differenza di potenziale tra i punti A(0,4,0) e B(0,6,0)

nel sistema cartesiano indicato in

gura, vale 4V.

Ricavare l'espressione del campo elettrico nel punto C(0,c,0).

C

B

ISBN 978-88-08-18703-

Elettrostatica nel vuoto. Camp0 elettrico e potenziale

Esercizio 1.3*

Esercizio 1.3%*

Un lungo cilindro retto, a sezione circolare di raggio R,

Nel vuoto, all'interno di un lungo cilindrico tubo rettilineo, di rag-

è posto nel vuoto ed è uniformemente carico con densi-

tà volumica di carica g. Ricavare l'espressione della dif-

ferenza dipotenziale [VA) - V(B)] tra il puntoA(2R,0) eil punto B(3R,R) nel sistema di riferimento cartesiano indicato in gura.

gio

interno

raggio

a

D

e

esterno b,

come indicato in gura, è distribuj-

y

ta della carica con

densità

volumica

uniforme p. Rica-

vare l'espressione

della differenza di

potenziale[V(0) -

o

- V(A)] tra un punto dell'asse del tubo e un punto posto a distanza D dall'asse stesso.

-.- -)

RISPOSTA

AV

RISPOSTA R° In(3/2)

(V(A) - V(B)] = g-

2€,

Esercizio1.4 All'interno di un lungo cilindro retto a base circolare, uniformemente carico con densità volumica di carica positiva g, è praticata, lungo tutta la sua lunghezza,

una cavità cilindrica con asse parallelo a quello del cilindro carico. La distanza tra gli assi è pari a D, La cavi-

2

Esercizio

1.5 (Eserciziocorrelato:1.59)

Uno strato spesso uniformemente

carico è costituito

da due super ci piane parallele, di grandi dimensioni rispetto alla distanza 2D tra loro, all'interno delle quali è uniformemente

distribuita carica elettrica po-

sitiva. All'esterno cè il vuoto. In un punto A esterno

tà cilindrica è vuota. Ricavare l'espressione del campo

allo strato il campo elettrico è pari a E(A). Ricavare l'e-

elettrico in un punto interno allacavità.

spressione del campo elettrico E(B) nel punto B interno dello strato a distanza D/2 dal pianon di mezzeria.

RISPOSTA RISPOSTA

E= pDI2e,

E(B) = pD/(2e,)

e=e,E(A)/D

D

fi

fi

fi

6

D

7

consolidamento

Esercizio

Nello spazio compreso tra due piani paralleli, posti a distanza 2D l'uno dall'altro, è distribuita in modo uniforme carica elettrica positiva con densità di volume p (strato spesso inde nito uniformemente carico). All'esterno cè il vuoto. Ricavarel'espressione

dellad.d.p. [V(A) - V(B)] = 4V tra il punto A(D/2,0) eil punto B(2D,0) nel sistema di riferimento cartesiano indicato in gura.

1.6 (Eserciziocorrelato:1.6)

Nel vuoto, all'nterno di un guscio sferico di centro O, raggio interno a e raggio esterno b, è distribuita cari-

ca elettrica positiva con densità volumica g uniforme. Ricavare I'espressione della differenza di potenziale [V(O) - V(P)] tra il centro O e il punto P, esterno al guscio, a distanza D dal centro.

RISPOSTA

4V=lD? 8 A

M

B

2D RISPOSTA

D

4V =

Esercizio

Esercizio 1.6* Una sfera di raggio a è uniformemente carica con densità volumicap. La sfera è racchiusa entro un sot-

tile guscio sferico concentrico, di raggio interno b, il cui potenziale è tenuto al valore zero. Il sistema è posto nel vuoto. Ricavare l'espressione del potenziale nel centro O della sfera interna. V=0 b

1.7 (Eserciziocorrelato:1.79)

Un sottile disco di raggio R, posto nel vuoto, è

uniformemente con le di

densità carica

carico

super ciapositiva

o.

Sull'asse del disco è po-

sto un dipolo elettrico di momento di dipolo p, orientato nel verso positivo dell'asse z, come

mostrato in gura. Ricavare l'espressione della forza che si esercita sul

dipolo in funzione della sua distanza z dal centro

del disco.

RISPOSTA

V(0)

fi

fi

Esercizi assistiti e di

Esercizio 1.5*

fi

fi

ISBN 978-88-08-18703-1

Qa' 6c.b(36-2a)

RISPOSTA

2e,Vz²+ R²'+R?

X

Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale

ISBN 978-88-08-187

Esercizio 1.7* Una carica elettrica positiva è uniformemente distribuita, con densità super ciale o, su una corona circolare di raggio interno a, raggio esterno be centro O, posta nel

P

vuoto. Ricavarel'espressionedella differenza di potenziale AV= (V(0) - VP)J tra il centro O della coronae il punto P dell'asse della corona a distanza h dal centro O. RISPOSTA

AV

Esercizi di riepilogo Esercizio 1.8

Esercizio 1.9

Due cariche puntiformi positive uguali sono separate da una distanza 2a. Sul piano ortogonale alla congiun-

Una caricanegativa -q di masa m è posta inizialmente

gente le due cariche e passante per il centro C della

nel punto P,sull'assedi una circonferenza di raggio a vincolata in posizione ssa; P si trova a distanza ay3

congiungentestessa, determinare il luogo dei punti in

dal centro C della circonferenza stessa. ILa circonferen-

cui il campo è massimo.

za è caricata uniformemente, con carica positiva totale

pari a Q. La carica -q viene lasciata libera di muoversi, RISPOSTA

Circonferenza di raggio

R

+9

partendo dallasituazione di quiete. Con che velocità v, passadal centro della circonferenza? (Valori numerici:

q= 1,5-10-*C;Q=6. 10-%C; a = 10 cm; m RISPOSTA

Piano ortogonale

Esercizio 1.10 In un volume sferico di raggio Re centro Oè distribuita con simmetria sferica una carica elettrica la cui densità

divolumneè p= Ar, dove A è una costante ed r èil modulo della distanza dal punto O e tutto è disposto nel

vuoto. Ricavare l'espressione della carica totale Q contenuta nella sfera e l'andamento del campo elettrico con la distanza r, internamente ed esternamente alla sfera. RISPOSTE

Q= TAR; Ef(r> R) = Q/4ne,r'

E,r2R

2R

w w

C

N

R

Il circuito mostrato in gura è in condizioni diregime.

Il circuito mostrato in gura è in regime stazionario. Assumendo note le grandezze indicate nel disegno e trascurabili le resistenze interne dei generatori, ricavare l'espressione della differenza di potenziale [V(A) – V(B)] ai capi del condensatore.

Assumendo note le grandezze

indicate nella

gura e

trascurabile la resistenza interna del generatore, rica-

varel'espressionedella d.d.p. (V - V) tra il puntoN

eil puntoP. RISPOSTA

(V,- V,)=f9

RISPOSTA

[V(A)-VB))= R(R +R,)-fR(R +R,) (RR, +R,R, +R,R,)

Esercizio

4.3 (Esercizio correlato:4.3) II circuito mostrato in gura è in condizioni di regime con l'interruttore T A

D

chiuso. A un certo istante l'interruttore viene aperto e, dopo unadeguato intervallo di tempo, si raggiunge una situazione di equilibrio nale.Ricava-

rel'espressione della variazione 4Q = QN - QP dela caricapresentesull'armatura superiore del condensatore, la cui capacità è C, nel passaggio tra lo

stato iniziale e lo stato nale. Assumere note le grandezze indicate in gura.

RISPOSTA

RC 2r)

AQ=-| Esercizio 4.3%

II circuito mostrato in gura è inizialmente in condizioni di regime con l'interruttore T aperto. A un certo istante T viene chiuso e, dopo un adeguato intervallo di tempo, si raggiunge la situazione di regime nale. Ricavare l'espresione della variazione di carica 4Q = QFIN QN sul condensatore, nel

D

passaggio dalla situazione iniziale a quella nale. Assumere note le grandezze

indicate in gurae trascurabile la resistenza interna del generatore. RISPOSTA

(RR,-RR,)

AQ= JR +R.+R+R_)(R,+ K)

R,

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

Esercizio

33

Esercizi assistiti e di consolidamento

ISBN 978-88-08-18703-1

4.4 (Eserciziocorrelato:4.49)

Esercizio 4.4* Il circuito mostrato in gura è in situazione

di equilibrio iniziale con

C

l'interruttore

T aperto. A un certo istante T viene chiuso e, dopo un adeguato

2C

intervallo di tempo, Nel circuito mostrato in

gura, in cui è trascurabile la

resistenza interna del generatore, a partire da una si-

tuazione di regime iniziale con l'interruttore T aperto, a un certo istante l'interruttore stesso viene chiuso. Re-

lativamente al passaggio dallo stato iniziale allo stato di

il circuito raggiunge lo stato di equilibrio Assumendo nale. note

le

grandezze

indicate in gura, ri-

fatto dal generatore; b) dell'energia U, dissipata sulla resistenza per effetto Joule.

l'espressione dell'energia U, dissipata per effetto Joule sulle resistenze presenti nel circuito nel passaggio tra lo stato iniziale e lo stato nale.

RISPOSTE

RISPOSTA

equilibrio

a) L, =

nale, ricavare l'espressione: a) del lavoro L,

fG bi )U,2(G,+C,) Esercizio

cavare

U,=fC20

4.5 (Esercizio correlato:4.59)

H

Il circuito mostrato in gura è in condizioni di equilibrio iniziale con l'interruttore T aperto. A un certo istante l'interruttore viene chiuso e, dopo un adeguato intervallo di tempo, si raggiunge la situazione di equilibrio nale. Ricavare l'espressione del lavoro fatto dai due generatori nel passaggio dallo stato iniziale allo stato nale, se le grandezze indicate in gura

assumonoiseguentivalori: f =ff= 2f, C,= C, C,=2C. RISPOSTA D

L-5PCI3: L,= 10fC

Esercizio 4.5* T

A

Il circuito mostrato in

2R.

D 2C

B

gura è inizialmente in condizioni di regime con

I'interruttore T chiuso. A un certo istante T viene aperto e, dopo un certo tempo, si raggiunge una situazione di equilibrio nale. Ricavare l'espressione della variazione di energia elettrostatica del condensatore di capacità C compreso tra i punti A eD, nel passaggio tra stato iniziale e stato nale. Assumere note le grandezze presenti in interne dei generatori. RISPOSTA

4U, = 16fCI81

gura e trascurabili le resistenze

fi

fi

fi

fi

fi

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Corrente elettrica stazionaria

Esercizio

4.6 (Esercizio correlato:4.6")

Esercizio 4.6*

R B

TÍ :

Ca

Il circuito mostrato in gura è in situazione di regime iniziale con l'interruttore T aperto. A un certo istante T viene chiuso e, dopo un adeguato intervallo di tempo, si raggiunge l'equilibrio nale. Ricavare l'espressione della carica 4Q che transita nel ramo contenente

l'interruttore

stato

nel passaggio tra lo stato iniziale e lo

nale. Assumere note le grandezze indicate in

gura (conf>f) dei generatori.

e trascurabili le resistenze interne

C

Il circuito mostrato in gura è inizialmente in condizioni di regime con I'interruttore T chiuso. A un certo istante T viene aperto e, dopo un tempo suf cientemente lungo, si raggiunge la situazione di regime nale. Ricavare l'espressione della variazione 4Q di carica sull'armatura

superiore del condensatore C nel pas-

saggio dallo stato iniziale allo stato

nale. Assumere

note le grandezze indicate in gura. RISsPosTA

RISPOSTA

A0= C,R-CR) +f[C,(R+R,)+C,R!

4Q =2fC

(R +r)

(R+ 2r)

(R, + R, + R,)

Esercizio 4.7 (Esercizio correlato:4.7) Il circuito mostrato in gura è in condizioni di regime con l'interruttore T chiuso. All'istante t= 0, T viene aperto. Ricavare l'andamento tempora-

R,

le, per t > 0, della d.d.p. V() ai capi del condensatore. Assumere note le

grandezzeindicate in gura(con f,-

2fef,=fe trascurabilileresistenze

interne dei generatori. RISPOSTA

vo-a) con T = R,C

fi

fi

fi

fi

fi

fi

34

B

fi

fi

fi

ISBN 978-88-08-18703-1

Esercizi assistiti e di

35

consolidamento

Esercizio 4.7*

W

A

II circuito mostrato in igura è inizialmente in condizioni di regime con

R

I'interruttore Tchiuso. Al'stante t= 0l'interruttore vieneaperto.Ricavare l'espressione, in funzione del tempo per t > 0, della d.d.p. V(0) ai capi del

condensatore. Assumere note le grandezze indicate in gura.

C

RISPOSTA

V,0)=sl1--NR+1)],-: ) con T= (R+ r)C

Esercizio

4.8 (Eserciziocorrelato:4.89) l circuito mostrato in gura è costituito da ungeneratore di f.e.m. continua dalle caratteristiche non note. Questo generatore, tramite l'interruttore T, può essere collegato a carichi esterni ai cui estremi viene misurata la d.d.p. AV. Vengono realizzate tre diverse situazioni: 1) il carico è costituito da una resistenza nota R, e la d.d.p.

AV

misurata è 4V,; 2) il carico è una resistenza R, e la d.d.p. è 4V,; 3) il carico è un condensatore, inizialmente scarico, di capacità C incognita; la d.d.p. ai suoi capi cresce nel tempo, a partire dall'istante t= 0 nel quale viene chiuso I'interruttore, e impiega

il tempo At a raggiungere capacità C.

3

del suo valore asintotico. Ricavare I'espressione della

RISPOSTA

C=

4t* rln(3/2)

rRR(4V -4V,) (RAV, -R,4 V)

Esercizio 4.8* Un condensatore a geometria non nota ha, interposto fra le armature, un dielettrico non perfettamente isolante. Il condensatore è inserito nel circuito

C

mostrato in gura, dove, con l'interruttore T chiuso, circola una corrente I, e la d.d,p. tra le armature vale 4V. A un certo istante (t = 0) viene aperto l'in-

terruttoreesi osservache la d.d.p. tra le armature 4V si riduce a

del valore

iniziale nel tempo 4. Assumendonoti I,, 4V, e A", ricavarel'espressionedella capacità del condensatore. RISPOSTA

C=

I,A* AV, In5

fi

fi

fi

fi

36

ISBN 978-88-08-18703-1

Corrente elettrica stazionaria

Esercizio

4.9 (Esercizio correlato:4,9") Il circuito mostrato in gura

T

è in

condizioni

di regime iniziale con l'interruttore T chiuSo.

w

R

R

Allistante

t= 0, T viene aperto. Ricavare l'espressione della corrente

R

Esercizio 4.9*

I() che passa, per t > 0, attraverso la resistenza R. Assumere trascurabile la resistenza interna del genera-

tore.

Il circuito mostrato in gura è inizialmente in condizioni di regime con l'interruttore T chiuso. All'istante t = 0

linterruttore

viene aperto. Ricavare l'espres-

sione, in funzione del tempo per t> 0, della corrente L.() passante attraverso la resistenza R,. RISPOSTA

RISPOSTA

IĻ(t) =. (RR,+R,R,+R,R,)e

2f

I(t) 3(2R +r)e

Con T =

c

(R,+ R,)

(2R+rc

con T =

Esercizi di riepilogo Esercizio 4.11

Esercizio 4.10

A

T

B

La d.d.p. tra i punti Ae Bdel circuito di guraè AV = V, - V, = 10 V.

La

gura

mostra

Calcolare il valore dif,, sapendo che r, = 1 2,

correnti stazionarie. Calcolare le

r,=22ef -12V.

correnti 1, eI, che

R

una parte di una rete

percorsa

R

da

C

D

circolano, rispettiRISPOSTA

f=6V

vamente, nei rami AB e CD, per i seguenti valori dei

componenti del circuito: h= 10 V,f = 20 V, R, = 100 2, R, = 200 2, I =2 A e nell'ipotesi che le resistenze interne dei generatorif

ef, siano trascurabili. RISPOSTE

I,= 1,43A

1,=0,57A

fi

fi

fi

Esercizi di riepilogo

N978-88-08-18703-1

37

Esercizio 4.12

Esercizio 4.13

Un circuito è costituito da N generatori identici, di

Nel circuito di

gura il condensatore C, = 2 uF ini-

fe.m.fe resistenza interna r, disposti in serie per for-

zialmente caricato alla tensione V,, = 200 V, viene

mare una maglia. Tutti i generatori sono collegati con

al tempo

verso concorde tranne uno. Quanto vale la d.d.p. ai

= 0 collegato, per effetto della chiusura

dell'interruttore,

alla serie della resistenza R = 10 kQ

capi di questo generatore, collegato invertito, se N= 10

e del condensatore di capacità C, = 4 uF, inizialmente

ef= 10V?

scarico. Calcolare il

K

valore della d.d.p. V, RISPOSTA

ai capi della capacità

AV= 18 V

C, al tempot=5 ms.

C

C

RISPOSTA

V,() =20,86V

Esercizio 4.14 Altempo t= 0 viene chiuso l'interruttore del circuito descritto nella gura. Nell'ipoR

c

tesi che si possa trascurare la resistenza interna del generatore e che il condensatore

sia inizialmente scarico, ricavare le espressioni delle correnti che circolano nelle

resistenze R,eR, rispettivamente, nonché la d.d.p. V(t) ai capi del condensatore C.

Esercizio 4.15 R

Nel circuito schematizzato in gura, in cui la f.e.m. fha resistenza interna trascurabile, il commutatore è inizialmente nella posizione A, cosi che si

A

|B C

raggiunge una situazione di regime. Al'stante t = 0, il commutatore vien

posto in posizione B. Ricavare per t> 0, l'espressione della funzione Q(t) che rappresenta la carica presente sul condensatore.

+

R, RISPOSTE

Q) =Q,e fCR, (R +R, + R,)'

R(R +R)c (R +R, +R)

Esercizio 4.16 Calcolare il valore della carica Q che, a regime, si trova sul condensatore di

capacitàC= 1 uF, se R=

r=22. RISPOSTA

Q= 1,25 uC

202eigeneratori sono identici con f= 1,5V ed

c B

38

ISBN 978-88-08-18703-1

Corrente elettrica stazionaria

Esercizio 4.17 Dato il circuito schematizzato in gura, nel quale si suppongono note le grandezze R,,

R,, R, ed fe si considerano trascurabili le resistenze interne dei generatori, ricavare l'espressione della carica Q che si trova, a regime, sul condensatore. D

RISPOSTA

R,R,-R)

Q=RR,

+R,R,+R,R,

Esercizio 4.18

Esercizio 4.19 C

Nel circuito mostrato in

interno a e raggio esterno b, il guscio sferico delimi-

gura, si parte da

una

situazione

un

certo

tato dalle armature è costituito da un materiale omo-

ini-

ziale di equilibrio con interruttore T aperto. A

In un condensatore sferico di capacità C, avente raggio

B

Tá

C

geneo e isotropo

debolmente

conduttore. Se si carica

il condensatore mediante un generatore esterno e poi lo si sconnette dal generatore stesso, si trova che la

istante

l'interruttore

viene chiuso e, dopo un opportuno intervallo di tempo, si raggiunge una nuova situazione di equilibrio. Ricavare I'espressione dell'energia erogata dai due generatori per passare dallo stato iniziale a quello nale,

assumendonote legrandezze ff, > f, C, eC

d.d.p. tra le armature si dimezza dopo un tempo 4. Assumendo

note le grandezze C, a, b e At*, ricavare

l'espressione della resistività g del materiale interposto tra le armature. RISPOSTA

RISPOSTE

GU-)+G) L fCU,-f)+CS) Esercizio 4.20 Un condensatore a facce piane e parallele è collegato stabilmente a un generatore di d.d.p. costante f= 100 V. Inizialmen-

te lo spazio tra le armature è riempito con una lastra di dielettrico omogeneoe isotropo di costante dielettrica relativa

e, = 4 ( g. [a]) e in questo stato la capacitàvale C =1 F. II dielettrico vienesuccessivamentespostato,medianteuna traslazione parallela alle armature del condensatore,

no a che lo spazio tra le armature non risulta completamente

vuoto ( g. [b]). Quale lavoro elettrico L viene compiuto dalgeneratore? RISPOSTA

fi

fi

fi

fi

fi

fi

Lo=-7,5. 10J

(a).

(b)+

fi

fi

fi

fi

Suggerimenti

ISBN 978-88-08-18703-1

39

Suggerimenti 1.1*

lizzata per ricavare lad.d.p. (V, - V)

Nel ricavare le d.d.p. (Vy -

V) e

(Vy-V) ai capi dei duecondensatori, tenere conto del fatto che, in situazione di regime, non circola corrente nei rami contenenti condensatori. Utilizzare anche la nozione di resistenza equivalente di un sistema di resistenze.

Usare il metodo delle correnti di ma-

all'nizio e alla ne.

glia (I, e 1,) tenendo conto che, per

*****

quanto riguarda la resistenza R,, la

4.7* All'apertura

dell'interruttore si ha un

circuito RC in fase di carica. Per il cal-

***.***.

colo di V, (t = 0) = V, applicare la II

4.15

legge di Kirchhoff e la legge di Ohm

La carica presente sul condensatore al tempo t = 0 si ricava osservan-

generalizzata.

.....

A regime, nei rami contenenti condensatori non circola corrente. Ci si

riduce a una semplice maglia ponendo la resistenza equivalente al posto delle due resistenze 2R in parallelo.

gli estremi di una resistenza facente

4.8* Un condensatore con isolante in perdita equivale a un condensatore ideale

avente in parallelo la resistenza di perdita R. Quando si apre

l'interruttore

si ha un circuito RC in fase di scarica.

4.3*

....

l'interruttore

correnterichiestaè(1, -I).

do che il condensatore è piazzato tra

4.2*

Quando

4.14

è chiuso, la

4.9*

parte di un partitore resistivo. Con il commutatore posto in posizione B, la f.e.m.fè esclusa dal circuito e la successiva scarica del condensatore avviene su una resistenza R equiva-

lente a un'appropriata

combinazione

di R, R, e Ry *******

es-

La situazione iniziale è di regime, non

sendosi stabilito un parallelo con un ramo a resistenza nulla. La corrente

zata per il ramo AB e la seconda legge

allora passa tutta per il ramo che con-

passa corrente nel ramo contenente il condensatore, e la seconda legge di Kirchhoff permette di calcolare la

tiene T e, non passando corrente at-

corrente iniziale attraverso R,. Poi

i due generatori.

traverso R,, si ha che V, = V

per (t > 0) si ha la scarica del conden-

serie di R, e R, è

cortocircuitata,

4.16 Applicare la legge di Ohm generaliz-

di Kirchhoff per la maglia contenente

satore attraverso il parallelo di R, e R,.

4.17

Analizzare il bilancio energetico tenendo conto del fatto che sono coin-

4.10

che include il condensatore non circola corrente. Cosi il circuito si riduce

volti tre tipi di contributi: lavoro L

legge di Ohm generalizzata.

.......

4.4*

Osservare che, a regime, nel ramo AB

del generatore, energia elettrostatica U, nei condensatori ed energia U, dis-

sipata per effetto Joule.

Utilizzare la II legge di Kirchhoff e la

a due maglie indipendenti di una rete.

Lad.d.p. (V,- V) ai capi delconden-

*******

satore si ottiene combinando il salto

4.11 Applicare la prima legge di Kirchhoff e la legge di Ohm generalizzata.

4.5* La serie dei

condensatori

costitui-

sce un partitore capacitivo, nel quale occorre calcolare i valori delle d.d.p.

(V,- V) neglistatiiniziale e nale. Da questa d.d.p. si ricavano le corri-

spondenti energie elettrostatiche nel condensatore di capacità C.

di potenziale ai capi del generatore

postotra A eDeil salto dipotenziale ai capi della resistenza R,. Per tale sal-

to occorre calcolare la corrente di maglia della maglia inferiore della rete.

4.12 Trattandosi di una maglia semplice, si ha una sola corrente nel circuito.

Applicare la II legge di Kirchhoff e la

legge di Ohm generalizzata.

4.13

....

********.**.

4.18 Analizzare

le

distribuzioni

di

cari-

ca nei vari punti del circuito sia nello stato iniziale, sia nello stato nale. Gli spostamenti di carica necessari a pas-

4.6*

Scrivere l'equazione del circuito e, per

sare dallo stato iniziale a quello

A regime

nel

la relazione tra le cariche Q,() e Q,()

implicano passaggidi carica all'interno

ramo AB. Applicare la II legge di

presenti sui due condensatori, impor-

dei generatori con conseguente erogazione di energia da parte di questi.

non passa corrente

Kirchhoff e la legge di Ohm genera-

re la conservazione della carica.

nale

40

Corrente elettrica stazionaria

4.19

fi

4.20 Il generatore di d.d.p.fè undisposį.

Si tratta di un processo di scarica di un condensatore su una resistenza, analogo a quello sviluppato nell'eser-

sferico. Per calcolare la resistività p occorre ricavare l'espressione della resistenza R del guscio sferico, con-

stamento di carica elettrica 4Q tra i

cizio 4.8*. II tempo di dimezzamento A è legato alla costante di tempo T= RC della scarica. Cosi, noto C,

siderandolo come una serie di gusci

suoi estremi per far passare dallostato iniziale a quello nale il conden-

si ricava la resistenza R del guscio

fi

ISBN 978-88-08-18703-1

sferici concentrici di spessore in nitesimo dr.

tivo che deve provvedere a uno spo-

satore, che cambia capacità, ma non

d.d.p. tra i suoi estremi A e B.

fi

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto Basato sul Capitolo 5 di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica -

Gli esercizi di questo capitolo riguardano il magnetismo nel vuoto, quando sono stazionarie le correnti elettriche che ge-

nerano il campo magnetico. Vengono considerate varie congurazioni geometriche dei circuiti sedi di correnti elettriche. I concetti fondamentali sono brevemente riassunti nei Punti chiave, in cui la numerazione delle equazioni, indicata

Elettromagnetismo

e ottica

GliEserciziassistiti,contrassegnatidall'icona prevedono una serie di aiuti disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina). A ciascun esercizio assistito corrispondono uno o più Esercizi di consolidamento, contrassegnati da *, la cui risoluzione è simile a quella

dell'esercizio

assistito

corrispondente.

tra parentesi quadre, si riferisce al volume di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica -

Elettromagnetismo e ottica.

Punti chiave FORZA DI LORENTZ

B

900

90°

- -1

(V.3]

dF = Idīx B

[V.1]

FORZA SU TRATTO ELEMENTARE DI CIRCUITO

......... ...*e******.e***********.******

MOMENTO MAGNETICO DI UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE

ñ= ISâ

[V.9)

ISBN 978-88-08-18703-1

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto

42

Punti chiave MOMENTO MECCANICOO SU SPIRA IN CAMPO B

M= mxB

[V.8]

dB= K,dl'x 4F

[V.17]

B .***.*e**.....

LEGGE FONDAMENTALE DELLA MAGNETOSTATICA

|4FP

4n

dB

[V.19] ........

LEGGE DI BIOT-SAVART PER FILO RETTILINEO

DI CORRENTE

FilorettilineolungoB,(r) = Fo

27Tr

(V.21)

SOLENOIDE "INFINITO"

|B, =Hnl n=

N

[V.25]

1

*****e*************.

SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL

ỹ-B, =0

K

II vettore induzione magnetica E, è solenoidale (linee

di Ě, chiuse)

[V.29) .********

RELAZIONE INTEGRALE

S

fi

, ñds=0

II lusso di B, attraverso una qualsiasi super ciechiusa è nullo

[V.30]

ISBN 978-88-08-18703-1

43

Punti chiave

Punti chiave CASOSTAZIONARIO; il rotore di B, in un punto è pari al prodotto di ,per ladensità di corrente in quelpunto (IV EQUAZIONEDI MAXWELL)

Caso stazionario

[V.31)

TEOREMA DI AMPÈRE

(caso stazionario)

E, dT =HKCONC)

(V.32]

ÑxĀ, = B,

[V.46]

ỹÄ, =0

[V.50]

ALG

La circuitazione di B, 1lungouna linea chiusa lorientata è pari alla corrente complessiva con cui la linea si

concatena, moltiplicata per POTENZIALE VETTORE A, NEL CASO STAZIONARIO

*.*.

'Ā, =-J

EQUAZIONE DEL POTENZIALE VETTORE A,

[V.52]

A, PER CIRCUITO FILIFORME

d

Ar

[V.54)

47

FORZE TRA FILI RETTILINEI PERCORSI DA CORRENTE

STAZIONARIA

dl, d,

2

d,

27r

T21

d

[V.61]

fi

fi

fi

fi

fl

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto

44

ISBN 978-88-08-18703-1

Punti chiave DEFINIZIONE AMPÈRE

OPERATIVE DELL'UNITÀ DI MISURA

Due

i

lunghi,

sottili,

rettilinei

e paralleli sono

attraversati dalla corrente di 1 ampère quando, posti alla distanza di 1 metro, si scambiano una forza di

Po 2-10 N

2 per metro di lo

Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizio

5.1 (Esercizio correlato:5.19

Il circuito mostrato in

Un circuito piano a for-

gura è

ma di ottagono regolare di lato a, posto nel vuoto, è

percorso

costituito

da

due archi di circonfe-

n/2

nl4

centro pari a n/2, rac-

cordati da due tratti rettilinei uguali che chiudono il circuito. Nel circuito, posto nel vuoto, circola una corrente stazionaria I. Ricavare l'espressione del

RISPOSTA

campo di induzione magnetica B nel punto centrale O. RISPOSTA

B(O) =

)

Esercizio 5.2 (Esercizio correlato:5.2) Un

lo conduttore molto lungo, percorso da una corrente stazionaria I, è sa-

gomato come mostrato in

gura ed è posto nel vuoto. I tratti di semiretta (1) e

(3) sono raccordati dal tratto (2), semicircolare di centro Oe raggio R. Ricavare l'espressione del campo di induzione magnetica B(0) nel punto O.

(1)

RISPOSTA

BIO)– 1+

-..-

renza uguali, di centro O, raggio Re angolo al

da una

corrente stazionaria I. Ricavare l'espressione del campo di induzione magnetica B(O) nel centro O del circuito.

Esercizio 5.1*

(2) R

(3)

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

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Esercizi assistiti e di

45

consolidamento

Esercizio 5.2* Un (3)

magnetica B nel punto O, centro dei due archi di circonferenza di raggi a eb

h

che, insieme ai due tratti radiali di raccordo, costituiscono il circuito. Assumere note le grandezze indicate in gura.

2

RISPOSTA

B(O)=Ho

(2n-a)

47

Esercizio

5.3 (Eserciziocorrelato:5.39)

Nel vuoto, un nastro conduttore rettilineo molto lungo, di trascuraspessore percorso

da

Esercizio 5.3* Nel vuoto, un nastro conduttore rettilineo

molto lungo, di spessore

bile e larghezza 2L, è

gura, è posto nel vuoto ed è percor-

so da una corrente stazionaria I. Ricavare l'espressione del vettore induzione

(4)

(1)

lo conduttore, sagomato come in

una

trascurabile

N

i

L

e

M

corrente stazionaria

larghezza

I uniformemente di-

è

stribuita sulla sua sezione. Nel piano del

alla linea di mezzeria

Corrente una stazionaria uniformemente distribuita sulla sua sezione. Nel

del nastro stesso a distanza 2L da questa,

piano del nastro è posta una spira rigida conduttrice quadrata di lato a, avente due lati paralleli all'asse del

percorso da corrente stazionaria i. Ricavarel'espressione della forza per unità di lunghezza che si esercita sul lo.

nastro, il più vicino dei quali è a distanza L dal bordo

destro del nastro, come mostrato in gura. II circuito quadratoè percorso da corrente stazionaria i. Ricavare l'espressione della forza che si esercita sulla spira.

RISPOSTA

RISPOSTA

dF

4,ila F=o(In3–In2) 4nL

nastro è posto un lo

rettilineo,

dl

parallelo

L

4nL

Esercizio

percorso

2L, da

5.4 (Eserciziocorrelato:5.49)

Un nastro conduttore molto lungo, di spessore trascurabile e larghezza 24, posto nel vuoto, è percorso da una corrente stazionaria I, uniformemente distribuita sulla sua sezione. Ricavare lespressione del campo di induzione magnetica B in un punto P situato sul piano ortogonale al nastro passante per il suo asse di mezzeria, a distanza h dal nastro stesso, come mostrato

in gura. RISPOSTA

B(P)= B, = ola 2na

ao = arctg(alh)

fi

fi

fi

fi

46

ISBN 978-88-08-18703-1

Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto

Esercizio 5.4* Un nastro rettilineo conduttore molto lungo, di larghezza 2a e piccolo spessore, posto nel vuoto ed è percorso da una corrente stazionaria I uniformemente distribuita sulla sua sezione. Sul piano ortogonale al nastro passante per il' suo asse di

mezzeria ea distanza a da questo, passa un lungo lo conduttore rettilineo parallelo gura. Il lo è percorso da una corrente stazionaria i. Ricavare I'espressione della forza per unità di lunghezza che si esercita sul lo.

al nastro, come mostrato in

RISPOSTA

dF

dl

Esercizio

8a

5.5 (Esercizio correlato:5.59)

Un lungo conduttore cilindrico di raggio a è percorso

Esercizio 5.5%*

In un tubo rettilineo

conduttore, di raggio interno a

da una corrente stazionaria I uniformemente distribu-

e raggio

ita sulla sua sezione. Coassiale a questo conduttore è

b, passa una corrente stazionaria I uniformemente distribuita sulla sezione del tubo. Il sistema è nel vuoto.

posto un sottile cilindro cavo di raggio interno b. Il tutto è nel vuoto. La corrente I che circola nel cilin-

dro interno, circola in verso opposto nel tubo esterno uniformemente distribuita sulla sua sezione. Ricavare l'espressione del campo di induzione magnetica B(r):

a) Br) per0 0,l'espressione

I'interruttore T è aperto. All'stante t=0l'interruttore vie-

T

T'

L

La

della corrente I(t) che circola nell'induttore. Assumere

ne chiuso. Ricavare l'espressione, per t > 0, della cor-

note le grandezze indicate in gura e trascurabili la resistenza interna del generatore e la resistenza dell'in-

rente I(t) passante per l'induttore. Assumeretrascura-

duttore.

R, = 2R, R, = 3R.

RISPOSTA

RISPOSTA

--) (-) Esercizio

T

7.7 (Eserciziocorrelato:7.79) M

bile la resistenza

I)

interna

del

generatore e sia: R, = R,

5L)

-

Esercizio 7.7%

L

00000 R

P

Il circuito mostrato in gura è inizialmente in condizioni di regime con l'interruttore T chiuso. All'istante t=0l'interruttore viene aperto.Ricavarel'espressione: a) della corrente I,(t) che, per t > 0, passa attraverso

l'induttore; b) dell'energia complessivamente dissipata per effetto Joule dopo I'apertura dell'interruttore nella maglia MNPQ. Assumere note le grandezze indicate in

gura e trascurabile la resistenza interna del

generatore.

b)U, =p

Assumere trascurabile la resistenza interna del generatore. I valori delle resistenze sono: R, = R, R, = 2R,

R, = 3R.

RISPOSTA

RISPOSTE

a)I,(t) =Je 3R

Il circuito mostrato in gura è inizialmente in condizioni di regime con I'interruttore T chiuso. All'istante t=0l'interruttore viene aperto. Ricavare, in funzione del tempo per t> 0, l'espressione della d.d.p. AV() = = (V, - V) ai capi del ramo AB indicato in gura.

(-)

av)-

(r-)

(A)

63

consolidamento

Il circuito mostrato in gura è in situazione di regime con il commutatore

(B)

in posizione (A). All'istante t= 0 il commutatore viene posto in posizione (B). Ricavare l'espressione della corrente I() che circola, per t > 0, nella maglia contenente condensatore e induttore. Assumere note le grandezze 2R

indicate in

gura e trascurabili la resistenza interna del generatore e la re-

sistenza dell'induttore. RISPOSTA

W =:

Esercizio

Esercizio

7.9 (Eserciziocorrelato:7.99)

ww (2) R

Un

(1)

circuito resistenza

7.9 #*

(2),

quadrato di lato L e

(1

com-

plessiva R, è posto

nel

vuoto.

Con

centro nel suo centro O e sullo stesso

piano, è posto un

L

piccolo circuito (1),

R

circolare di raggio

r 0).

RISPOSTA

RISPOSTA

HNak(1-e")cont = o2bR 2bR

fi

fi

Esercizio 7.12

fi

fi

65

Esercizi di riepilogo

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B(C)= kt

-o(1-e),

2R

fi

fl

fi

fi

fi

Una spira conduttrice quadrata, di lato l e resistenza complessiva R, e un

lo retti-

lineo molto lungo, percorso da corrente stazionaria I, giacciono, nel vuoto, su uno stesso piano, nella con gurazione mostrata in gura. Per effetto di un'opportuna forza esterna la spira viene allontanata dal o rettilineo con velocità costante õ perpendicolare alla direzione del lo stesso.Ricavare, in funzione della distanza x tra il lo rettilineo e il lato della spira più vicino al lo stesso,l'espressione della potenza

1

Lww

dissipata per effetto Joule sulla spira. RISPOSTA W;

1

KIvl

R 27x(x + 1)|

Esercizio 7.19

Esercizio 7.18

R

R

Ricavare l'espressione del coef ciente di

Nel circuito disegnato in gura, all'istan-

mutua induzione tra un solenoide toroi-

te t = 0 viene chiuso

dale a sezione

vare l'espressione, in

di

l'interruttore T. Rica-

qua-

dratadi lato le raggio

funzione del tempo,

R, pieno di

della corrente I() che

materiale omogeneo e

circola nell'induttanza L (nell'ipotesi che, nella situa-

isotropo di permeabilità magnetica relativa B, formato da N spire

zione di regime precedente la chiusura dell'interruttore T, si abbia I = I, = 0).

interno

lo chiuso su se stesso, e un circuito che, nella zona

del solenoide, si presenta come un lungo lo rettilineo passante per l'asse di rivoluzione del solenoide stesso.

RISPOSTA

I(t) =

-e")/r,

r:

L(R+ r) rR

RISPOSTA

Esercizio 7.20 Un sottile anello conduttore, inestensibile, circolare, di raggio a e resistenza elettrica R, è posto in una zona di spazio in

cui è presente un campo di induzione magnetica il cuimodulo ha l'andamento temporale B(t) = B,(1 - e), doveB,e T sono costanti. Nella zona dell'anello il campo B è uniforme con linee di forza perpendicolari al piano dell'anello

stesso. Trascurando l'induttanza dell'anello, a quale istante t* la tensione meccanica Ta cui è sottoposto il lo assu-

me il suo massimo valore? RISPOSTA

#= Tin2

fi

fi

fi

fi

fl

fi

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Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Esercizio 7.17

fi

fi

66

elettromotore

è la

sbarretta mobile AC, dove può pensarsi localizzata la f.e.m. indotta f. Ricavare la corrente i circolante nella spira e, come nell'esercizio 7.1, la forza esterna FEST), ****.***.

7.2* Procedere come nell'esercizio 7.2 no all'espressione della potenza istantanea w,(t). Poi calcolarne il valore medio su un periodo.

secondo cui: M,, = M,, = M. Per il cal-

non è trascurabile il contributo di au-

colo del campo B nel punto O, procedere in modo analogo all'esercizio 5.1.

*******

*************

7.9**

toinduzione. 7.16

Utilizzare la cosiddetta legge di Feli-

Applicare la legge di Faraday per calcolare la f.e.m. indotta nel circuito.

ci, in base alla quale la differenza tra

Scrivere l'equazione del circuito e cal-

il valore iniziale e il valore nale del

colare la corrente indotta circolante nella spira circolaree quindi il contributo di questa corrente al campo

usso di B concatenato con un circuito, diviso per la sua resistenza R, è

pari alla carica totale Q che lo attra-

magnetico al centro della spira.

versa nel passaggio tra stato iniziale e

*************

stato nale.

7.17 Calcolare la corrente che circola nel

......sss.s.

7.3*

7.10*

circuito e di qui la potenza Joule dis-

Procedere come negli esercizi 7.2 e 7.3.

Procedere come nell'esercizio 7.10.

sipata su R.

***

**

7.4*

*************

7.11

*****

.. e************************

.....s

Ricavare l'espressione del campo B

La fe.m. indotta nel circuito fa circo-

7.18 Esprimere il coef ciente di mutua in-

risultante dalla sovrapposizione dei

lare una corrente che genera, sul trat-

duzionecome rapporto tra l usso,

campi generati dai due li di corrente.

to CD, una forza magnetica frenante di cui occorre tener conto nello scri-

concatenato con il solenoide, del vettore B generato dal lo rettilineo percorso

vere l'equazione del moto del circuito.

da corrente I, e la corrente I stessa.

Si tratta di induzione elettromagnetica su un circuito a geometria

ssa in

campo B variabile nel tempo. Procedere come nell'esercizio 7.4.

******

7.12

7.5*

Applicare la legge di Felici, in base alla quale ciò che conta è la variazione

Come per l'esercizio 7.5, occorre ricavare la densità di potenza istantanea

netta di usso di B tra situazione iniziale e situazione nale.

dw/dr dissipata nel toro. Si tratta poi di integrare su tuttoil volume per avere la potenza W() istantanea dissipata complessivamente sul toro. Quindi si calcola il valore medio su un periodo.

*****

..........

*****t****.

*******

7.6*

7.13 Tramite la legge di Faraday calcolare

la corrente i(t) che scorre nel circuito e quindi la potenza dissipata per effet-

to Joule. L'integrale sul tempo della

In regime stazionario l'induttore si com-

quantità di calore richiesta.

porta come un lo con resistenza trascurabile; il suo effetto si fa sentire quando

***

.**********s***.*

******

7.7* Osservare che, a regime,

equivalente a un

I'induttore è

lo a resistenza tra-

scurabile. Per t> 0 si ha la "scarica" di L sul parallelo di R, e R

********

7.14 Applicare la terza equazione di Maxwell nello spazio vuoto interno al solenoide, scrivendola in forma integrale e tenendo conto della simmetria

cilindrica della con gurazione. ....

7.15

..........

Calcolare la fe.m. impulsiva indotta

7.9*

che si genera sul solenoide e, nello

Fare conveniente uso della proprietà

scrivere l'equazione del circuito costituito dal solenoide, tenere conto che

dei coef cienti di mutua induzione

7.19 Si ipotizzi una situazione di quasi-stazionarietàe si applichi, ad esempio, il metodo delle correnti di maglia alla rete a due maglie proposta

nell'eser-

cizio. Si confronti il risultato ottenu-

potenza, da t = 0 a t = t, fornisce la

la corrente varia nel tempo (t> 0).

fi

fi

7.1* La sede del campo

fi

fi

fi

fl

fi

fl

Suggerimenti

fi

fi

fi

fi

fi

fl

fi

67

Suggerimenti

ISBN 978-88-08-18703-1

to con quanto ricavabile da una più

semplice applicazione del teorema di Thevenin tra i nodi Ae B. ...........

7.20 Nell'anello, immerso in campo di induzione magnetica B, passa una cor-

rente indotta I(t). Ogni elemento di anello risente di una forza dF proporzionale alla corrente I(0) e al prodotto

vettoriale tra dle B. Questo genera una tensione meccanica T dipendente dal tempo. Per ricavare l'espressione della tensione, si può pensare di tagliare

l'anello in due punti diametralmente opposti Ce D, mantenendo I'equilibrio meccanico con l'applicazione in C eDdi due forze tangenziali parallele e concordi, ciascuna di modulo T.

Correnti alternate Basato sul Capitolo 8 di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica -

Gli esercizi di questo capitolo riguardano il comportamento di circuiti a costanti concentrate R, L, C quando la

forza elettromotrice applicata varia nel tempo con legge sinusoidale. I semplici circuiti presi in esame vengono

analizzati con il metodo simbolico (brevemente richiamato nell'esercizio introduttivo 8.1). I concetti fondamentali sono riassunti nei Punti chiave, in cui la numerazione delle equazioni, indicata tra parentesi quadre, si riferisce

Elettromagnetismo

e ottica

al volume di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica - Elettromagnetismo e ottica.

GliEserciziassistiti,contrassegnatidall'icona prevedono una serie di aiuti disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina). A ciascun esercizio assistito corrispondono uno o più Esercizi di consolidamento, contrassegnati da *, la cui risoluzione è simile a quella

dell'esercizio

assistito

corrispondente.

Punti chiave GRANDEZZE PERIODICHE

ft) = f(t + T)

VALORE EFFICACE

[VII.19] [VIII.23]

********

CORRENTI ALTERNATE IN CIRCUITO RLC SERIE

f) =F,senwt I()=1,sen(wt+ p) [VIIL.28]

1,= FJZ

wL

tgọ =POTENZA IN UN CIRCUITO IN CORRENTE ALTERNATA

1

wC

R

Potenza media

[VIL.29)

W =lafu cosp

[VIII.52]

(LEGGE DI GALILEO FERRARIS)

Punti chiave METOD0 SIMBOLICO

[VIIL39]

!=I,ee V, () =joLIO)

ve()=-IC)

[VIIL40)

|V,=RI() RISONANZA IN UN CIRCUITO RLC SERIE

wC

=0

w=1/WLC= , p=0

[VIIL47]

TRASFORMATORE STATICO

1

N

[VIIL54)

L -PN;S

N2

M=N,N,SJLL 1

Esercizi assistiti e di consolidamento Esercizio 8.1 Considerare un circuito RLC in corrente alternata e dedurre le formule fondamentali del suo funzionamento. Trat-

tare lo stesso circuito con il metodo simbolico.

Esercizio 8.2

(Esercizicorrelati: 8.2*e 8.2*)

Una stessa f.e.m. sinusoidale f(t) = F,cos(wt) è applicata a due circuiti in serie, in cui il componente resistivo e

(1)

quello capacitivo sono collegati nelle con gurazioni (1) e (2) mostrate in gura. Ricavare le espressioni delle diffe-

(2)

ww R

V() Əft)

R v)

renze di potenziale V) nelcaso(1) e V,(t) nelcaso(2). RISPOSTE

(1)

V)=Voc cos(wt +)

Vec = F/1+ (wRC)'

fi

fi

ISBN 978-88-08-18703-1

Correnti alternate

70

(2)

tgo = -wRC

V,() = V,cos(wt+ p)

Von = F;wRCIN1+(wRC)' :tgp = 1/aRC

fi

fi

fi

fi

fi

71

Esercizi assistiti e di consolidamento

ISSN 978-88-08-18703-1

Esercizio8.2 **

Esercizio 8.2* R

I generatore di

Il circuitomostrato in -

f.e.m.

gura è alimentato da una

sinusoidale

f), diampiezzaF,

c= v.0R

e

pulsazione

R

w, è

ampiezza F, e pulsazione Q. Ricavare l'espressione (ampiezza e fase) della

collegato a un cari-

co-utente resistivo

R

d.d.p. (V, - V). Assu-

attraverso un circuito RC (passa-basso). Ricavare l'espressione del

mere note le grandezze

F, a, Re Cetrascurabile

rapportotral'ampiezza V dellatensione V,(t) ai capi di R, e l'ampiezza F, della fe.m. del generatore (guadagno in tensione).

fe.m. ft) sinusoidaledi

l'impedenza interna del generatore. RISPOSTA

RISPOSTA

(V,-V,) = F,cos>l).

Esercizio 10.8 Un satellite arti ciale S assimilabile a un punto, orbitante alla quota L rispetto al ricevitore

sulla Terra, emette onde sinusoidali convogliate in modo isotropo all'interno di un cono che copre un angolo solido 4N. La potenza media della sorgente è pari a P. Ricavare l'espressione dell'ampiezza E, del campo elettrico sinusoidale rivelato dal ricevitore sulla

Terra. L

RISPOSTA

2ZP,

fi

fi

fi

fi

fi

80

10.9 (Esercizio correlato:10.9*)

Esercizio 10.9*#

(2)

(3)

a

Un'onda elettromagnetica piana sinusoidale, di in-

tensitàmedia I, è linearmente polarizzata con il vettore E diretto parallelamente all'asse x. L'onda si pro-

paga nel vuoto nella direzione positiva dell'asse x. Sul

piano (x y) sono poste tre spire conduttrici, una quadrata e due rettangolari, con un lato parallelo all'asse

y, comemnostrato in gura. La lunghezza d'onda della radiazione incidenteè pari a l = 2a,essendoa l'altezza comune delle tre spire, le cui lunghezze delle basi sono a, 2a e 34,

2L

(1)

(2)

rispettivamente.

Ricavare le espressioni del-

leempiezze F,, F, e F, delle fe.m. sinusoidali indotte

2L

Un'onda elettromagnetica piana sinusoidale, polarizzatalinearmente con il vettore campo elettrico diretto parallelamente all'asse y, si propaga nel vuoto nella direzione positiva dell'asse x. L'onda incide su due spire quadrate (1) e (2) adiacenti, la prima avente lati di lunghezza L e la seconda con lati di lunghezza 2L, disposte nel piano (x, y), come mostrato in gura. Ricavare le espressioni delle f.e.m. f, e fa indotte nelle spire (1) e (2), rispettivamente. La lunghezza d'onda della radiazione incidente è paria 2L. Assumere note l'ampiezza E, del campo elettrico, la pulsazione w e la

nelle tre spire.

lunghezza L.

RISPOSTE

RISPOSTE

Ę=}=2ay/2z1, F= 0

f,= (2E,L)sen(wt) fa=0

Esercizio10.10 Su un punto di osservazione sulla Terra si dispone di un telescopioavente il diametro dell'apertura circolare pari a d= 2 m. Osservando in condizioni atmosferiche ottimali la super cie della Luna, la cui distanza dalla Terra è D, = = 3,8· 10 km, si vuole conoscere la minima distanza Lmy tra due punti della super cie lunare che permette di distinguerli come separati all'osservazione al telescopio. La luce considerata ha lunghezza d'onda = 0,5 um. RISPOSTA

fi

LMN =114 m

fi

fi

fi

Esercizio

81

Esercizi assistiti e di consolidamento

ISBN 978-88-08-18703-1

ISBN 978-88-08-18703-1

Onde elettromagnetiche e interazione fra radiazione e materia

82

Esercizi di riepilogo Esercizio 10.11

Esercizio 10.12

Un'onda elettromagnetica polarizzata linearmente si

Un'onda

propaga in aria e incide sulla super cie piana di una lastra di vetro il cui indice di rifrazione vale n, = 1,55. La direzione di propagazione forma con la normale alla lastra di vetro un angolo di incidenza 0, = 30°, Cal-

(n, = 1) e arriva con incidenza normale su una sottile

RISPOSTA

RISPOSTA

0,034

92%

Esercizio 10.13

Esercizio 10.14

l'assorbimento

nel vetro e che l'onda

incidente abbia una ben precisa frequenza.

Due sorgenti puntiformi

P

A, e A, trasmettono in modo isotropo nel vuoto

In un dispositivo ala

Young per interferenza, disposto nel vuoto,

delle onde sferiche, monocromatiche di lunghezza

sullo su

cui

schermo piano sono pratica-

te le fenditure, incide

d'onda A = 20 cmn, pola-

rizzate linearmente con il vettore campo elettrico diretto perpendicolarmente al piano della gura. Le due

normalmente un'onda piana monocromatica di lunghezza d'onda ). Ladistanza tra le fenditure è d. In un punto P situato in direzione

onde sono coerenti con i trasmettitori A, e A, collegati in modo tale da poter variare con continuità la loro fase

8 rispetto all'asse del dispositivo si osserva un'intensità

relativa di emissione Ap. Le due sorgenti hanno lastessa

T'espressione dell'ampiezza E del campo elettrico in P

potenza media W = 10 watt, Se un ricevitore è disposto

quando entrambe le fenditure sono aperte?

a distanzad, = 100 cm da A, e d, = 90 cm da A,, quanto

deve valere Ao perché il ricevitore registri un massimo di intensità? Quanto vale tale intensità media? RISPOSTE

Ap = n(2n - 1)

I=3,55 10-4W/m²

fi

gia incidente che oltrepassa la lamina, nell'ipotesi che sia trascurabile

Ricevitore

fl

lamina di vetro di indice di rifrazione n, = 1,5,avente aria da entrambe le parti. Calcolare la frazione di ener-

colare il rapporto tra l'intensità I, del fascio ri esso e l'intensità I, del fascio rifratto.

A,

fi

elettromagnetica piana si propaga in aria

media I, quando una delle fenditure è tappata. Qual è

RISPOSTA

E=221,7, cor

ISBN 978-88-08-18703-1

83

Suggerimenti

Esercizio 10.15

Esercizio 10.16 Due raggi luminosi a eb monocromatici e

a

d

paralleli, di lunghez-

M3

za d'onda nel vuoto

b

, =5000A,hanno

Una lastra di materiale trasparente di indice di rifrazione n, = 1,6 è ricoperta

uniformemente da un sottile

strato di vernice trasparente di spessore de indice di rifrazione n, = 1,26. Un fascio di luce monocromati-

ca di lunghezza d'onda l, = 6000 Å (nel vuoto) incide

S

guardo S disposto

S

la stessa fase quando

passano per il trạ-

ortogonalmente ad essi e hanno una

differenzadifase = 47 radquandoattraversanola

normalmente sulla lastra provenendo dall'aria (n, = 1).

super cie S, dopo che il raggio a ha attraversato in incidenza normale una lastra di materiale trasparente di

Trovare l'espressione dei possibili spessori ddi vernice da applicare alla lastra per ridurre al minimo la luce

spessorel eindice di rifrazione n= 1,4,mentre il rag-

ri essa.

gio b ha proceduto indisturbato per il suo cammino. Fuori della lastra c'è aria (n = 1). Calcolare lo spessore del materiale attraversato dal raggio a.

RISPOSTA

RISPOSTA

d= (2m + 1) · 0,12 unm

l= 2,5 um

m=0, 1, 2, ...

Esercizio 10.17 Un fascio di luce monocromatica di lunghezza d'onda ) = 6000 Ả incide ortogonalmente su uno schermo piano su cui è praticata una sottile fenditura rettilinea di larghezza d= 0,1 mm e di lunghezza molto maggiore della larghezza. La luce diffratta dalla fenditura arriva su uno schermo piano di raccolta, parallelo al piano della fenditura e distante l=2m da questo. Quanto distano sullo schermo i primi due minimi, uno a destra e uno a sinistra del massimo centrale della gura di diffrazione che si forma? RISPOSTA

2,4 cm

Suggerimenti 10.1*

10.4*

Procedere come nell'esercizio 10.1.

Le due onde coerenti partono in fase

*******

10.2* Si tratta di doppia rifrazione (in entrata e in uscita).

e percorrono cammini geometrici diversi per arrivare al punto di ricezione P. Si realizza cosi un fenomeno di

interferenza. *********.

10.5* 10.3* Si tratta di onde coerenti che danno

fi

fl

fi

luogo a interferenza per differenza di fase intrinseca.

Osservare che la lunghezza d'onda è dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni della spira. Procedere

come nell'esercizio 10.5 in entrambi i

modi(f =-do(B)ef=GĒdi). dt

*******************************.

10.6* Per l'espressione della f.e.m. indotta sulle antenne riferirsi alla parte dell'esercizio 10.5 relativa al contributo dei lati verticali della spira.

10.7* Nel calcolo dell'ampiezza F,, si osservi che la lunghezza d'onda è molto mag-

84

Onde elettromagnetiche e interazione fra radiazione e materia

giore delle dimensioni lineari della

spira quadrata. ****

10.9* Procedere come nell'esercizio 10.9. ***************

10.11 Tenere conto che si tratta di radiazione polarizzata parallelamente al piano

di incidenza e che, in questo caso, per le ampiezze dei campi elettrici valgono le relazioni:

10.12 Osservare che l'onda incontra due su-

E,() E, U)

= = 0) èstatastudiatanell'e(0, = sercizio 10.1". Trascurare le ri essioni

terfaccia aria-vernice e l'onda ri essa

multiple nella lamina di vetro. 10.13

E,(U)

sen(®,+0,)cos(0, -,)

per la differenza di fase iniziale Ap e in

10.14

***..

Le due fenditure costituiscono sorgen-

fl

fl

fl

fl

fi

attraversamenti del

************

10.16 I due raggi percorrono diversi cammini ottici e questo produce uno sfa-

samento che dipende dallo spessore geometrico del materiale attraversa-

to oltre che dal suo indice di rifrazione. ***.*****

.*********

Tenere conto anche del fatto che le

ti di uguale intensità I, per cui quando

10.17

intensità sono

ai qua-

entrambe le fenditure sono aperte l'in-

La

drati di tali ampiezze e inversamente

tensità complessiva I, ha la forma: I,=

da potersi

proporzionali alle impedenze caratte-

= 21,(1 + cos4). Nota I, si ricava I'am-

situazione di diffrazione alla Fraun-

piezza del campo elettrico risultante in P.

hofer.

proporzionali

ristiche dei mezzi considerati.

fl

all'interfaccia vernice-vetro. Valutare gli sfasamenti che si realizzano nelle

materiale.

Si tratta di un fenomeno di interferenza in cui lo sfasamento si realizza in parte

........

si realizza un'interferenza distruttiva tra l'onda ri essa all'in-

ri essioni e negli

.............

alla potenza di una sorgente dalla conservazione dell'energia.

2 sen, cos6,

Eo,(U)

Si ha un minimo nella luce ri essa

quando

co. A regime, l'intensità media è legata

tg(0, + 0,)

10.15

per ci piane di discontinuità e che la situazione di incidenza normale

parte per la differenza di cammino otti-

tg(e,-6,)

ISBN 978-88-08-18703-1

distanza

l è abbastanza grande

considerare

realizzata la

Ottica geometrica

4

Basato sul Capitolo 1l di C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica Elettromagnetismo e ottica

Gli esercizi di questo capitolo riguardano aspetti, di notevole interesse pratico, relativi al comportamento della

chiave, in cui la numerazione delle equazioni, indicata tra

radiazione elettromagnetica di lunghezza d'onda compre-

V. Silvestrini, Fisica -

sa nell'intervallo

GliEserciziassistiti,contrassegnati dall'icona prevedono una serie di aiuti disponibili sul sito del libro (vedi seconda di copertina). A ciascun esercizio assistito corrispondono

visibile. L'Ottica geometrica, alla quale si

riferiscono gli esercizi del capitolo, è un metodo approssi-

mato che permette di studiare il comportamento della luce quando incontra diaframmi, fenditure, disomogeneità negli indici di rifrazione, super ci speculari, ecc. Gli aspetti essenziali dell'Ottica geometrica sono riassunti nei Punti

parentesi quadre, si riferisce al volume di C. Mencuccini e Elettromagnetismo e ottica.

uno o più Esercizi di consolidamento, contrassegnati da *, la cui risoluzione è simile a quella

dellesercizio

assistito

corrispondente.

Punti chiave CONVENZIONE DEI SEGNI PER UN SISTEMA OTTICO

R>0

R