Esercizi di fisica. Guida ragionata alla soluzione 8879595563, 9788879595568 [PDF]

Zitiervorschau

Prefazione

Ese rciz i di FI S ICA - G uid a ragion a ta a lla s oluz io n e john R. Gordon Ralph V. McGrcw Ray mo nd A. e rway j ohn W. j ewett, Jr. opyrig ht © 2010, EdiSES .r.l. -

9

8

20 15

7

6

20 14

5

4

3

2

Lo copo di q ue to e erciziario è quel lo di fornire agl i studenti, in iem ed una conveni e nte e intetica revis ione dei con cetti fo nd amental i e delle applicazioni, la o luz ione rag io nata d i una serie d i problemi. Gra nde e n fa i viene posta nella chiarificazione di tipi ci punti d iffi colto i favorendo la pratica d i metodi a lternativi per la soluz io ne d e i prob le mi. La maggior pa rte dei capitoli contiene le eguenti ezion i:

apoli

1

2013

•

Note Un o mma rio d ei concetti importanti, delle n uove grandezze fi iche appena introdotte e delle regole che governano il loro comportamento.

•

Equazio ni e con cetti Una ra egna del capitolo, che ottolinea importanti concetti e d e crive importanti equ azioni e formali mi.

•

S u gge rim e nti, esp e di e n t i e strategi e Suggerimenti e tra tegie pe r risolvere tipic i problemi che lo tudente incontrerà pes o duran te lo studio. Jn alcuni ca i, i uggerimenti rig u ardano gli e pedien ti matematici che ono nece ari per l'a na li i dei proble mi.

•

Elen co di controllo Un elenco di argomenti e d i tecniche che lo stude nte dovreb be a per padroneggiare .

•

Doma nd e con cettua li cettua li .

•

Prob le mi Si forn i cono le oluzioni per una erie di problemi rappre enta ti vi celti a llo copo di illu trare i concetti più importanti di eia cun capitolo.

•

Appe ndici ln a ppendice ono pre enti un e lenco di alcune co tanti fi iche ed alcun i fattori d i conver ione.

Le cifre sulla destra indicn110 il 1111111ero e /'n11110 del/'11/ti111a ristampa effettuata

A norma di legge, le pagine di questo volume non possono essere fotocopiate o ciclostilate o co111111u111e riprodotte con alcun mez.zo meccanico. La Casa Editrice sarebbe particolarmente spiacente di dover promuovere, a sua tutela. azioni legali verso coloro che arbitrariamente 11011 si adeguano a tale norma. L'Editore

Si s uggeri cono le ri po te una serie di domande con-

o i tutti s periamo inceramente che que to e erciz ia rio vi ia utile nel rafforzare la o tra abi lità ne l ri olvere i problemi, ottenend o con ciò un buon ri u ltato negli esam i. l

John R. Gord o n Dept. of Phy ic Ja me Madi o n Univer ity H arri onburg, VA 22807

Foloco111posizio11e: Ed iSES S.r.l. - ap li rotoi11cisio11e: Prin tSp rint - apoli Stamp11lo p1

Defi ni re lo spos ta mento e la velocità media d i una parti cella in m o to. Defin ire la ve locità i tantanea e ca pire come que ta g randezza diffe risca d a lla ve loci tà media.

!>

Defin ire l'accelerazio ne media e l' accele razio ne istanta nea.

!>

o truire un g ra fico dell a pos iz io ne in fun z io ne del tempo (pre nd ere una fun zione de l tipo x = 5 + 3t - 2t 2) per un a partice ll a in mo to lungo un a li nea retta. Da que to g ra fico, dov resti essere ca pace d i d eterminare am bedue i va lori medi e istanta nei della velocità ca lcolando la pende nza della tangente a l g ra fi co.

!>

De cri vere co a ig nifi ca che un co rpo è in ca duta libera (un mo to sotto l'az io ne d e lla g ravità, dove s i trascura l'a ttrito con l'a ri a). Ravv isa re eh le eq uazio ni della cine ma ti ca i a ppl ica no diretta me nte a un oggetto in cad uta libera e che l'accelerazio ne è d ata d a n!I = -g (d ove g = 9.80 ml 2 ) .

!>

Applica re le equ azio ni della cine ma ti ca in ogni circo ta nza in cu i il moto avve nga con accelerazio ne co tante.

(b)

(e)

La pa rticella si m uove verso destra perché la velocità è positiva, e il .mod ul ~ de lla vel.ocit~ dim inu isce perché l'accelerazio ne è nel ve r o opposto a lla velocità. Un au tomobile si m uove verso st ra llentando in vista d i un se maforo rosso. La parti cell a i mu ove vcr o destra perché la velocità è positiva, e il mod ulo del1a ve loci tà rima ne costante perché l'accelerazio ne è zero. U n'a uto mobil e viaggia ver so est lungo un'a utostra da a ve locità co tante.

(d)

(e)

La pa rti cell a si muove verso sini stra (nella direzio ne - x) pe rché la velocità è nega ti va,~ il mod ul o d ell a ve loci tà decre cc perché l'accele razione è nel ve r o opposto alla ve locità. Un'a uto mobile si muove ve rso ovest, ra llenta ndo in v i ta d i un semaforo rosso. La particella si muove ver o sinistra (ne ll a direzio ne -x) pe rché la velocità è negati va,~ il modulo d e ll a velocità a umenta pe rché l' accelerazio ne è nell o stesso verso della velocità . Un'a utom obile viaggia verso ove t pa rtendo dopo una sosta a u n sem aforo rosso.

25

(f)

La parti cella si muove verso ini. t ra ( nella direzione -x) perché la velocità è negativa, e i l mod ul o della velocità è costa nte perché l'acceleraz ione ovest lungo u n' auto traci a a ve lo ità co ·ta nte.

(g)

La p articell a è i tantaneam ente ferm a e nel

ucce

i vo i tan te i mu overà vc r o destra.

Q ue ta situazione pu ò e istere o ltan to p er un i tante, poiché appena la p arti cella in izia a muove r i la ve locità non arà pi ù zero. Que. ta è la ituaz ione di un'a utomobi le appena pr im a che e a i ni zi a mu over i vc r o e t tando ferm a a un em aforo ro o.

(h)

PROBLEMI

zero. U n'a utomobi le v iaggia ver o

I. Lo spostamento nel tempo di u na certa pa rti ce ll a che i muove lungo l'a cx mo ·trato in Figura 2.1. Trovare la velo1tà medi a negli i nterva ll i d i tempo (a) da O a 2 s, (b) da O a 4 s, (l) da 2 sa 4 , (d) da 4 a 7 , (e) da O a

X (m)

10 8 6 4

2 La pa rti ce ll a è i ta ntanea m cnte ferm a

nel succe si vo i tante si mu ove rà vc r o sin istra.

Que ta situazione pu ò e istere o ltanto per un i tante, poi ché appena la par ticel la iniz ia a mu oversi la ve locità non sa rà pi ù zero. Q uesta è la ituazion e di un ' autom obile appena prima che e a ini z i a muover i ve r o ove t stando ferma a un semaforo ras o.

o o o o

ver o i l ba

Dal gra fi co po f11. ativc:

\

(b)

X

10 m - 0

I

2s - 0

r

I

_

x

l\ = - = t

o o o o (d) 3. Du e auto, che perco rrono un 'a u tostrad a nello stesso ver so, si mu ovono in co rsie pa rall ele. A un certo istante la velocità dell'auto A è uper iore a qu ell a dell'a uto B. Qu c to fatto ind ica che l'accel razion dell 'a uto A maggio re d i quell a di B? piega re.

4

5

o

-4

o

=5.0m /

l'

'

_

l'

'

4 -O

=-= t

o

5.0 m - 10 m _ I - -2. 5 m s 4s - 2

= - x = -5. O m t

Is

5. O m

7s - 4s

O.O m - O. O m 8 s- 0

o

= - 3.3 n1 / s

o

=Om I s

o

bassa (pe r e . 40 km / h), la su a acce leraz ione arà m aggiore di qu ella di

o o o o

26

3

Figura 2.1

x = 10 m a t - 2

Ri sposta o. Se l'a utom obile A sta v iaggiand o a un a ve lo i tà alta ma costa n te, per es. 120 km / h, la su a accelerazione sa rà pressoché nul la. e l'a u tom obi le B i ta immette nd o in autotrada e la sua veloci tà A.

2

-6

fi = __.:. = 5. O m - O= L. 2 m

(e)

o1

x - 5.0 m a t = 4

la te -

sa dell a second a pall a, co ì d opo esse re cad ute da una ug uale al tezza le due p alle raggi un ge ranno il uolo con la tes a velocità.

iamo ricava re le posizion i con d ue i fre signi-

O a I=O e

fi =-=

Le veloci tà ono le tcs e. Dopo che la pri ma pall a ha raggiun to i l suo ap ice, ca de o e pa a lo tudente con una velocità ugu ale in modu lo a v, . Que la veloci tà

x

I (s)

o~-.--...-..,.--...-..,..._-r--.---r

-2

(.t)

2. Uno tudcntc alla omm ità d i un ed ificio di al tezza li lancia in alto una pa ll a con una ve locità ini ziale v, e poi un a cconda pa lla cr o i l ba o con la te sa veloci tà inizia le. o me si confrontano le ve locità fin al i delle pa lle qu and o ragg iungono il suolo? Ri sposta

Soluzion e

27

Capitolo 2

Lap1tolo l 2.

li g rafi co pos iz io ne- te mpo pe r un a pa rticella che

i

3.

mu ove lungo l'a ex è mostra to in Fig ura 2.2. (a) Trova re la ve locità medi a ne ll ' in te rva llo di te mpo d a t = 1.5 a t = 4.0 s. (b) De te rmin are la v locità i ta ntanea a I = 2.0 s, mi ura ndo la

12 10 8 6

pe nd e nza d e ll a re lla ta ngente m o tra ta ne l grafi co. (c) Pe r q u a le va lo re di t la ve locità è zero?

Con la p o iz io ne d a ta d a x = 2.00 + 3.001-1 2, potete usa re le regole d i de ri vazio ne per pre s io ni della velocità e dell'accelerazione in funz ion d el te m po:

= 1.5 s, x - x 1 = 8.0 m

Per t2

=

4.0 , x - x 2

=

t (s)

dt

e

2t

dv a=-=-2

dt

1 23 45 6

Puoi, ora, ca lcolare x, ve a p r t = 3.00

Fig ura 2.2

t::.x

2.0 m -8.0 m vl-+2 = - = =-2 . 4 m t 4 .0 s- 1. 5 s

Scegliete du e p un ti lungo la re tta ta ngente a lla cur va in t X;

dx

=- = 3.00 -

( )

X

= 2.00 + 3.00(3.00) - (3.00)2 = 2.00 m

(b)

v

= 3 .00

( )

n

= - 2.00 m /

o o o

2.0 m

_

= O.O s,

V

0

Pe r t 1

(t,

ve locità, (c) la s u a accele raz io ne .

oluzione rive re le

O

Da l g rafi co:

Q uindi,

(b)

u1

4 2

So luz ione (a)

Una pa rticella i muove lungo l'as ex econdo l'equazione x = 2.00 + 3.00t - t 2, dove x è presso in m etri e t in econdi . Al te m po t = 3.00 , trova re (a) la po iz ione d e lla p articel la, (b) la

13.0 m) e (t 1

3.5 , x 1

I

o

s

= 2.0

- 2(3.00)

= -3.00 m I s

2

. U ate qu indi i due punti:

= O.O m ) Un oggetto che i mu ove con u n'accele razion u n iforme ha un a velocità d i 12.0 cm / nell a n none d e ll' a ex positi vo qua ndo la u a coo rdina ta x è 3.00 cm . Se la u a coordina ta x 2.00 s o è- 5.00 cm, qua l è la ua acce le razio ne?

La ve locità is ta nta nea è ug u a le a ll a pe nd e nza d ell a re tta ta ngente, per cui

r

v = xf -

X; =

t f - t;

O.O m - 13.0 m = - 3.7 m I s 3 .5 s - O.O s

luzione

Il egno negativo ind ica ch e il verso d i v è lungo la di re7 io ne negativa dix. (c)

La velocità sa rà ze ro qu ando la pe nd e n za d e ll a re tta ta nge nte è zero. ul g ra fico d ove x ha il u o va lo re minimo . Quindi,

v =O

pe r

=

o

Sia t = O l' i ta nte in cui x, = 3.00 cm e vx, = 12.0 cm / . Ino lt re, pe r t = 2.00 , x = -5.00 cm. 1 U a te l'equaz io ne d e lla ci ne ma tica X/= x, + vx, t + ~ at2 e ri solvete ri pe tto ad n.

iò avv ie ne nel p unto

t (S)

·-r

..,.J I •

n: t

~r. : .:::?,,(m) o 2

-6 -4 -2

2 4 6

8

(l'acceleraz io ne è ve r o in i tra )

o

4.0s

a=

2[-5.00 cm - 3.00 cm - (12.0 c m I s)(2.00 s)] (2.00 s) 2

a = - 16.0 cm /s2

28

29

o

Capitolo 2

Capitolo 2

5."" Un ae reo atte rra ad una e locità di 100 m / e, pe r fermar i, può accelera re a l ma imo di -5.00 m / 2. (a) Dall' i ta nte in cui es o tocca il uolo, qu a l è l' interva llo di tempo minimo nece ario pe r fe rmar i? (b) Pu ò que to aereo atterrare u una pi ccola iso la tropicale, che pos iede un aero porto con una pi ta lun ga 0.800 km ?

So luzione Si assu ma che l'accelerazione rimanga co ta nte durante il periodo di 1.40 di accele razione negati va. V·

Soluzione

1

L'accelerazione nega tiva dell 'aereo quando a lle rra è chi a mata decelerazione; tutta ia, i fis ici te ndono ad u are il te rmine accele raz ione in a mb du i ca i. (a)

vI - v;

a

=

O- 100 m I - 5.00 m / s

o

2 = 20.0 s

Trovate la di tanza richie ta per la fermata e confrontala con la lunghezza dell a pi ta . Prende ndo x, uguale a zero, i ottiene

o sia

6.x =x - x · =

v/-v;2

f

2a

'

= 0 - (100m / s)2=1000 m 2(- 5.00 m / s 2)

La di tanza pe r fe rmar i è magg io re d e lla lung hezza d e ll a pi ta; quindi l'a r o no n può atterrare. O

h

632 -mi(l609 .mx 1 h ) = 282 m I h 1 ffi I 3600 S

Pre nd ndo v = v, + at con v1 = O, 1

a= v1 -v; t

Una tudente a lancia un ma zzo di chiavi ad un a a mica, a ffacciata ad una fine tra, itua ta ad un'altezza di 4.00 m. Le chia i vengo no afferrate dopo 1.50 . D termin a re la velocità d 1 ma zzo di chiavi (a) a l mome nto del la ncio (b) a ll' i tante prima di e ser afferrato dal l' am ica.

7.

Soluzione Assimiliamo il mazzo di chiavi ad una pa rtic Ila in caduta libe ra con accele razione co tante. Pre nde ndo y1 - O (la po iz ione della la nciatrice) e dato che y = 4.00 m pe r I = 1.50 , i trova (con n = -9. Om I 2 ) (a)

I

(b)

2 2 4.00 m --! (-9.80 m /s )(1.50 s) 1.50

La ve locità pe r ogni i ta nte t > O data d a v =v, + nt. Qu ind i, pe r t 1

v = 10.0 m /

- (9.80 m I

2 )(1.50

o

= lO.O m /s

) = - 4.6 m I

= 1.50

,

o

li egn o meno ign ifica ch e il ma zzo di chiav i i muov verso il basso appena prima che ia pre o.

30

o

= 0 - 282 m /s =-202 m /s2 1.40 s

o

V ·=

6. Fino a tempi rece nti, il primato mondiale di velocità u te rra è la to l ' l 'nu l d. I Colo nne ll o John P. Sta pp, USAF. Il 19 marzo 1954, egli h a cor o con una litta o n propul.,1on ' , razzi che si muoveva g iù per una p ista a 632 m i / h. Egli e la litta veni va no a rr 19.6

O serva ndo il d iagram ma di corpo libero pe r il blocco 111 1 e considerando un asse x dircllo ver so d estra, è po sibile appl icare la legge di

O ra, app li ca la legge di

= (2.00 kg)ny

cwlon nel la direzione oriuontale:

cwton a eia cun asse. App li cata all 'asse x,

-T + Fr = (8.00 kg)nx

- mg scn 20° = mn;i.

da

ax=-gsen20°=-(9.80 m/ s2 ) cn20°=-3.35 m/ s2

s

T =O,

Se

r

(c)

Da ll'Equazione 2.9,

.\

:2:

e

- 78.4

ax

~ -9.80 rn I

(2)

o

2

, si applicano entrambe I

quaL.ion i (I) e (2). Sosti tuendo il valore p'r T

da ll a ('I) nell a (2), 2

0 =(5.00 m /s) +2(-3.35 Risolvendo, si ha

m/s 2 )(x1 -x;)

(x1 -x;)=3.73 m

-(2.00 kg)ay - 19.6

o

66

cl caso in cui ax = ay: ( .rl.T.: sem pre vero e la corda

+ Fx = (8.00 kg)ax

Fx = ( .00 kg + 2.00kg)aJ. +19.6 ine tensibil ):

67

Capitolo 4

a"=

Fx

10.0 kg

Capitolo 4

- 1.96m /s 2

)

(a)

(3)

Prima che l'asce nso re si mu o a:

a =O Da ll a ri pos ta (b), s i trova che se F\ s; -7 .4 di venta F, = ( .00 kg)nx:

nx

= Fx/8.00 kg

(Fx5-78.4

- lOON -SO.O

- 12.S m / s2 -6.96 m / s2 - 1.96 m / s 2 3.04 m /s 2 8.04 m /s 2 13.04 m / s 2

o so.o. 100 l SO

Tota re che la pcndcn/a va ria a Fx - 78.4 I

J.l5

)

(4)

n (!n /s 2)

5

r~~ .lOO

- vr-V; -_ 1.20 m / s-0 = 1.so m I s 2 at 0.800 s D u rante l'acce lera z ione verso l'a lto, s ull a scala si legge S = 111g + 111n, po iché i p iedi de ll ' uo m o premono contro il pavimento a causa dell'acce lerazione d e ll'ascensore verso l'alto, com e pu re a causa d e l s uo peso. Quanto d e tto ris ulta vero anche da ll'applicazione d ell'eq ua z ione d e lla forza, con S uguale a ll a for7a norma le:

~o

-150 -100

o

S = mg = (72.0 kg) (9.80 m / s2) = 706

Osscrvat che abbiamo tradotto una rappresentaz io ne fig urata in una rappr scntaz ion c fig urata semplifica ta per po i passare ad una rapprc c ntazione m a te m atica. Ade o procediamo ad una rappresentaz ione in forma tab ulare prima e g rafica po i delle eq uazio ni (3) e (4):

ax

= 5- mg = O

, a llo ra T = O e l'equaz ion e (2)

(b)

Fx

L.Fy

L.Fy = S - mg = ma

150

S = m(a + g) = (72.0 kg) (l.50 m / s2 + 9.80 m / s2) = 8 14

-10 -QS

ijjifff!f ifl

o

(c)

Mentre viaggia a veloc ità costante, ri su lta n

o

O; qu indi la forza reg istrata da lla scala di I t-

tu ra sa rà la stessa d e lla domanda (a):

o

S =mg= 706 7. Un uomo d i 72.0 kg i tro va in un a sce nso re s u un dinamometro a m o lla. Partendo da fermo, l' asce n o re aie, raggiunge ndo la s ua massima velocità d i 1.20 m / s in 0.800 e continua nd o a ques ta velocità costa nte pe r i u cce iv i S.00 s. L'a cen ore, poi, procede con una acceleraz ione uniforme pe r 1.50 s, lun go la dire1: ione negativa del l'a e y, d o podiché i ferm a. osa regis trerà il dinamometro (a) prima che l'asccn ore i metta in m oto? (b) Durante i primi O. 00 s? (c) Mentre l'ascenso re procede a veloci tà costa nte? (d) D ura nte il tempo in cui dcccl ra?

(d)

Mcnlrc ral lenta:

cosicché

a= vr -v; = 0-1.20 m / =-0.800 rn/ s2 t

1.50

L.F = S - mg = ma S = rn(a + g) = (72.0 kg)(-0.800 m / s2 + 9.80 m / 2) = 648

So luz io ne S ia S il peso regis tra to da lla sca la d i le ttura. Pe r c iasc u n caso tracciare un d iag ram m a di co rpo lib roc he m ostri le fo rze agenti s u ll ' uo m o e po i appli ca la econda legge d i cw ton .

68

69

O

Capitolo 4 8. Per fa re un modello di nave s pa;1 ia l , un motore a ra zzo g ioca ttolo vie ne fi ssa to s tabilmente a un g ra nde di sco, che pu ò scivolare con attri to trascurabile s u una s upe rfi cie o riaonta le, sce lta come piano xy. Il disco da 4.00 kg ha u na ve locità di 3.00i m / s a un certo is tante. O tlo econdi d o po, la s ua velocità d ovrà essere ( .OOi + 10.0j) m / . Assume nd o che il motore a razzo e e rc iti una forza costante o ri zzonta le, trovare (a) le componenti d e ll a forza e (b) il s u o modu lo.

Solu zione

r

(a )

Soluz io ne

T

o

in

l nn a nz itu tto calco lia mo l'acce leraz ione d c l d isco: a =t1v = (8.00i + lO.Oj)m /s-3.00i m / t.t 8.00 e lla second a legge di

ewton

IF I= ~(2.50

2 ) + (5.00

2

+ 1.25 j m I s 2) = 2.50i

25

jm / 2 (b)

L F = 111a, l' unica forza o ri zzontale è la

F = ( 4.00 kg)(0.625i m I Quind i,

= 0. 62Si m /s2+ 1.

on 1·d e ra te, p n·m a, come s·1s tema Pat la ·sedia · otatc che il sistema è soste nuto d a du e fun i, e T = 250 r in ciascuna fune. Appli a nd o L F = 111n,

pinta F d c l razzo:

+ 5.00j

2

) = 5.59

m=

o

Ri solvendo ris petto ad n s i ottie ne

a= (500 - 480) 49.0 kg

Su Pat, a pplich ia mo [ F = 111n:

n

do ve

m=

11

= ma + 320

dove

9.80 m /s

2

- T

= 32.7 kg (0.408 m /

2)

+ 320

71

= 49.0 kg

= 0.408 m

I

2

o

+ T - 320 N = ma 320 N 9.80 m /s

F ig ura 4.6

70

480N

o

(c)

9. Un ragazzo ingegno o di no me Pat vuo le raggiungere una me la s u di un a lbero enza arra mpi carvis i. e duto s u d i un e di le co llega to ad una fun e c he passa u u na puleggia senza attrito (F ig ura 4.6), Pat ti ra l'es tremità pendente della fune con una forza ta le che l' indicaz ione dcl din a mo nic tro è 250 . li pe o vero di Pa t è 320 e il sedi le pe a 160 . (a) Di cgnare i d iagra mmi d i corpo libero pe r Pat e per il ed ile consid e ra ti come siste mi sepa rati, cd un a ltro d iagra mma per Pat cd il sedile considerati come un un ico sis te ma. (b) Mos tra re che l'accelerazione dc l sis te ma è d iretta verso /'nito e trova re il mod u lo. (c) Trova re la forza che Pat e e rcita s u l sed iI .

= ma

2T - (160 + 320)

- 250

2

= 32.7 kg

= 83.3 N

o

Capitolo 4 10.

Capitolo 4

Una m assa M è tenuta in eq uilibrio da un a forza F appli -

ca ta a un si tem a d i pul egge, com e è mostrato i n Figura 4. 7.

Ts T4

Le p ulegge i con ·id erano di massa trascurabi le e senza attrito. Trovare (a) la ten ione in ciascuna ezione d ella fune, T , 1

T2, T 3, T4 e T 5 e (b) i l mod ul o di F. (S11ggeri111e11to: Di egna un diag ramma di corpo li bero per ogn i pu leggia). Solu zi on e

T racciate un d iagram ma d i corpo libero e appli-

ca te la second a legge d i lungo l'as ex).

Mg

t Tq 1J

Ti

o

i m1 g

T4

F

I

Ts Ricordate che le fo rze no rmal i sono se mpre perpendicolari al la superficie di conta tto e sp ingon o se m pre verso l'alto un corpo, tracciate n 1 cd n 2 così come è mostrato. otate che 111 2 deve essere in contatto con il carrel lo e quindi sub isce una forza norm ale da parte del carrello.

A ssumete che le pu legge sian o pri ve d'a ttri to. La ten ione è costante attraverso una fune continua e leggera (di m a sa t rascu rabi le).

T,=T2 =T3

Qu indi,

Ricord ando che le funi tira n o sempre i corpi nella loro stessa direzione, traccia la forza di tensione T. L' inlensità d i T sarà uniforme se

Fig ura 4.7

Per la puleggia in basso 'LF = O= T2 + T3 -T5

M

Fig ura 4.8

Tracciate due d iagrammi d i corpo libero distinti per i blocch i 111 1 e111 2 .

Ts

T5 =Mg

F--..i

Soluzion e

ew ton. (Tu tle le forze sono dirette

'LF = O = T5 - M g :

Per M,

11. Quale for/a orizzontale d eve e sere applicata al carrello della Figura 4.8 affi nché i blocchi rimangano ferm i relativamente aI carrel lo? Si assuma che tutte le superfi ci, ru ote e pu legge ~ iano prive di attri to. (S11ggeri111e11to: Si noti che la forza esercita ta da l la fune accelera 111 1 eche111 2 è in contatto col carrel lo).

rT'

~~

'ii assume h , la fune ha massa trascurabile. Infi ne, tracciate la forza g ravi tazionale su ciascun b locco, In qua le è se mpre d i ret ta ve rso il basso.

osicché 2T2

= T 51 e Usa

Per la pu legg ia in alto

L: r =

Per

111 , 2

Per

111 1,

111n e i diagra m mi di corpo libero già tracciati. o

o

Risolvendo, si ha So ti tuendo T, abb iamo

Per i tre b locch i,

Q ui ndi

F = (M + m1 + m2 { ' ;

g)

1

72

73

o

Capitolo 4 12. Un furgone acce lera lu ngo una d i sa (Fig u ra 4.9) impiega ndo, con partenza da ferm o, 6.00 per raggiunge re la velocità d i 30.0 m / . D urante l'accclera .cione, un g ioca ttolo (111 - 0. 100 kg) è appe o tramite una cordicella al soffi tto del fu rgone. L'a celcra.cionc è tale che la co rd ice lla mantiene una d irezione perpend icolare al offitto. D etermin are (a) l'angolo Oc (b) la ten ione dell a co rd icell a.

Capitolo 5 Altre applicaz i oni de lle leggi di Newton

Fig u ra 4.9 So lu zione

L'accelerazione si ottiene da v

v, + nt:

1

30.0 m I = O+ a(6.00 s)

a = 5.00 m l

2

Il g ioca ttolo si muove con la stessa ac eleraz ionc dc l furgone, 5.00 2 m / , para llela all a d i ccsa. Prendi amo l' a~~e x orientato lu ngo la dire.cione dcl moto del fu rgone, icché

nx= 5.00 m /

2

e

Le so le far.ce agen ti ul giocatto lo sono la tensione dell a fune nella dire.ciane y come è mostrato nel d iagra mma di corpo li bero.

e i l suo peso, co

ì

mg = (0.100 kg)(9.80 m/s 2 ) = 0.980 (0.980 cn

(a)

) sen fJ = (0.100 kg)(5.00 m / 2)

e=0.500

e

0.980 Usando I:.Fy = may :

(b)

+ T - (0.980

T = (0.980

) co

e=30.7°

o

e=o

) CO 30.7° = 0.843

INTROD UZIONE

o cl p rcced nte cap itolo abbiam o introdotto le leggi del m oto di cwton .e le abb i a m~ app licate ai casi relativ i ai moti lineari. In questo capitolo a?p li cher~ m o le leggi d~I m~to d 1 cw ton al moto circolare. Di cuteremo pu re l'attrito rad ntc e il moto d1 un oggetto atti averso u n m c.ao v iscoso.

74

75

.Capitole 5

NOTE

5.1

do e

Fo rze di attrito

Inoltre, se una forza esterna è app li cata a un oggetto fermo su una s uperficie scabra, con una componente parallela a ll a superficie, si creerà in verso opposto un a fa r.La d'a ttrito caratteristi ca della copp ia di superfi ci a contatto. el caso in cui non c'è moto relativo fra l'oggetto e la sup ' rficie, si dice che la forza è di attri to statico. Se esiste invece un moto relativo, si dice che la forL.a è di attrito dinamico .

Seconda legge di Newton app lica ta ad una particella in m oto circolare uniforme

7

r

r è un ersore che punta radia lm ente verso l'e tern o.

Figura 5.2

Fig ura 5.3

Mo to circolare non uniforme e un a pa rticella i muo e lungo una tra iettoria circolare in modo ta le che il modulo d ella sua veloci tà varia n el tempo, la particella ha pure un a componente tan ge nziale dell 'accelera.1..ione a , il cui modu lo è dv I di. In que to caso, l'accelerazione tota1 le, a, è il vettore somma d i a, e a,.

Si deve notare che in genera le, per ogni coppia d i superfici, J.L.i è gene ra lmente min ore d iµ,"' [noi tre i coeffi cienti d' attrito sono pressoché ind ipend enti dal l'a rea di conta tto fra le superfici.

Se una parti cell a s i muove lungo una circonfcrcnLa di ragg io r con il modulo della ve locità costa nte, essa subisce un 'accele raz ione centripeta v 2 / r diretta ve rso il centro di rotazione. (Rico rd a che in questo ca so, l' acce leraz ione centripeta deri va da ll a variaL.ione di direzione div). La seconda legge di ewton applica ta al molo d ice che l'accelerazione centripeta ba origin' da qua lche forza centripeta esterna agente verso il cen tro cli rotaz ione.

r

in Fi gura 5.3.

5.3

J.L.i 11

111 v2

=

La forza g ra itazionale esercitata d a una dis tribuzione di massa a simmetr ia sfer ica è la s tessa di quell a dov uta all a stessa massa tutta concentrata nel suo centro. La forza grav itazionale d i a ttrazione u una massa 111 vicino alla superfi cie terrestre è mostra ta

G li esperimenti mostrano che il va lore massimo della fo rza d'attri to statico(/" m,,J e la (orza d'attri to d inamico (j) sono proporzionali alla forza normale tra le due s u perfici. Ossia, e

111 a,

La costante di gravitazione univer ale, C, non deve essere confusa con l' acce lerazione d i gravità, g. La forza gravita zionale è sempre una forLa a ttra tti a e, come e mostrato in Fig ura 5.2, la fo rza agente s u 111 1 ug uale e opposta al la fo rza agente su 111 2 do uta a 111 1 (terLa legge di cwton).

Quando un oggetto è in moto o su una sup rficie o attraverso un meLzo vbcoso ome l' aria o l'acqua, l'oggetto interagisce con la superficie o con il mezzo attraverso il qua le s i muove. La resi tenLa ris ultante s i chi ama forza d'a ttrito.

5.2

L F (lungo r ) =

Cio

Fig ura 5.4

a - a , + a1 V

5.4 Figura 5.1

Moto in prese nza di forze ritarda nti dip endenti d a ll a veloc ità Un co rpo che si muo ve in un gas o in un liquid o s ubisce un a fo rza ri ta rdante (opposta al suo moto) he può avere una dipendenLa dalla veloci tà complicata. Un corpo in caduta raggiunge una sua velocità lim ite ( elocità mass ima) qu ando la forza di gravità ve rso il basso risulta equilibrata dalla forLa ritardante ver o l'a lto. Ossia, quando L F O, e v = co~ tante.

77

Capitolo 5 5.5

Capitolo

~

Le forze fondame n ta li d e lla na tura

EQUAZIONI E CONCETT I La forza grav i tazi onal e è la mutua forza di attrazione fra due oggetti nell'U ni verso; essa la più debole d ell e forze fondamentali.

La forza d'attrito stati o fra du e superfici in

(5. I )

con tatto ma non in molo relativo, non può La forza el ettro m agn etica coin volge due tipi di particelle: quelle con cari a posit iva e quelle con cari ca negati va. Es ·a è la forza che tiene unili g li ato mi e le molecole per fo rm are la materia. Le più impo rtan ti proprietà de l le cari che egue: •

lettriche possono essere caratteri zzate co me

Le due pecie d i ca rich che es istono in natu ra ono i nd ica le come positive e nega ti ve. ari che d i egno ug uale i re pingono, cariche d i segno oppo to i attraggono.

• I va lori che I ca riche po sono a umere o no discreti; in altre pa role, si dice che la ca rica quantizza ta. Ogni parlic Il a con ca r ica elementare, i olata, h a una ca ri ca d i valore assoluto e. Per e empi o, g li elettroni h anno una ca rica -e e i protoni hanno una carica +e. (I neutron i non hann o ca ri ca). Poiché e è l' uni tà fondamentale di car ica, la ca ri ca totale di un ogge tto è Ne, dov un num ero i ntero. Per oggetti ma cro copici, N è e tremam nte gra nde la quantiZLaz ione del la carica non ri sul ta app reuabi le. •

La carica elettrica i con erva empre.

iò v uol d i re che in qu al unqu e tipo di proce so

quale un urto, una reazi one chimi ca o un decad imento nucleare, la ca ri ca to tale di un i tem a i o lato r im ane co tant . La forza forte il nucleo.

una fo rza a co rti ss i m a azion la qua le ti ene insieme i nu cleon i p r formare

La forza debo l e è mol l o più i nt nsa della fo rza grav i taziona le e m olto più debole del la forza fo r te. Ora sappiamo che la forza elettrom agnetica e la forza debo le ono am bed ue manifestaz ioni d i un a o la forza chiam ata forza elettrod ebol e.

e i appros~ im a al la forza peso, l'a

v = vr (1- e-1 I

r)

dove

vr

elerazionc si approssima a

ze ro e l'oggetto raggi unge una veloci tà lim ite v1. L' Equa.lione5.4 forni e il modulo della

C

(5.4)

= !!!E. b

m

T =-

h

veloc ità in funzione d I tempo, quando l' oggetto parte da lla quiete p er I = O.

78

v2

= mac =m-

79

Cap:to!o 5 A d eleva te ve locità, la resistenza è d ovula

Capitolo 5

R = ~ DpAv 2

m aggiorm ente ag li urti con l'a ri a p iu ttosto

(5.5)

C iò equi va le a y = (cost)l' N / 111

=o_..!!.._ v. (~ lii

sicché

v

=

mg (1 - e-bt/111 )

dove

T

=

111 / b

Assumendo v =O per I

O, vediamo che cosl

g,

che all a v iscosi tà cd è prop orz ion ale a v2 in vece che a v. La legge di g ra v ilazione di

cw ton afferma

F =G m1m2

che ogni parti cella nell'Uni ver o a ttrae ogni

,2

g

(5.6)

b

v, (1 -

I! t

r)

(5.4)

allra pa rti cell a co n una forza che è direttam ente propo rzionale al prodotto dell e m as e e in ve rsa mente propor zionale al quadrato della distanza tra es e.

ELENCO DI CONTROLLO

La legge di Coulomb esprim e l' intensità dell a forza elettro tatica fra due partice lle ca ri che dista nti r. Ca ri che oppo te si attraggono reci-

F

e

=k

qiq2

e ,2

(5.7)

[>

proca men te, ca ri che dello stesso segn o si respin gono.

La ol a 5.4 tratta il m o to d i un corpo attraverso un gas o un liquid o. Vi arà utile conoscere la segu ente ·oluz ione dell' Eq u azione 5.3 (q u ando la forza ritard ante è R = -bv ):

b

-=g--v dt m

!>

Di scutere la natu ra d ell e forL.e fondamentali (gra vi taL.ionale, eleltrom agnetica, debole, e forte) e ca ratteri u are le proprietà e l' in tensità relati va d i queste foue.

!>

App l i are la second a legge di

!>

Rend ersi conto che il m oto di un oggetto attraver o u n l iquido o un gas può coinvolgere forze ritard anti che hanno una dipend enL.a da l la veloci tà compl icata.

wton al m oto circola re uniforme e non un i forme.

(5.3)

Per risol vere quesl 'equa zione, ci aiuta un a ca mbi o d i var iabi li. Se a sum ia mo seg ue che dy = - (b / 111)dv. on qu este sos ti tuz ioni, l' Eq uazione 5.3 d i venta

-(m)dy =y b dt

ewton (la legge dell'inverso dcl quadrato

della distanza) e rend ersi conto che essa e una forza attrattiva fra due parti celle separate da un a distanza r.

SUGGERIMENTI, ESPEDIENTI E STRATEGIE

dv

Di sculere la legge d i gravitaL.ione universale d i

dy =-!!_ dt y m

o

Integra ndo q ues t'espressione (adesso le va riabili sono eparate), otteniam o

o

b m

ln y=- - t + cost.

y = 8 - (b / m)v,

D OMANDE CONCETTUALI

l.

Su pponiamo che stiate gu id ando un mac hi na su un 'a utostrada ad alta veloci tà. Perché

dovreste ev itare di schiacciare i freni se volete fe r marvi col percorso più breve? dovete lasci are che le ru ote contin u ino a g irare mentre freni ? Ri sposta

I freni potrebbero bl occa re le ruote e la macch i na scivolerebbe ancora pit1 lontano po i-

ché il coe fficiente di attrito dinam ico è m inore dcl coefficiente d i attrito statico. Se le ruote conlin u ano a gi rare, la ma cch ina sa rà dece lera ta dalla forza d' attrito statico.

o o o o

80

io , perché

81

Capitolo 5 2.

Capitolo 5

Ì:: tato suggerito di co ll ocare nel lo , pa.lio cilindri rotanti di circa J6 km di lunghez7a e

di diametro e di usa rli com e colon ie. Lo copo della rotazione coloro che v i abitano. Sp iegare come ciò po sa avvenire. Ri sposta da ll

km

quello d i , imularc la g ravi tà per

La forza centripeta sug li abi tan ti è fo rnita dalla forza normale eser i tata su di essi

pareti dcl cilindro. Se la frequenza di ro tazione

aggiu tata in mod o ta le che la fou:a nor-

m ale sia ug uale al loro peso ul la Terra, g li abitan ti non sa ranno in g rad o d i distinguere tra qu esta g ravità arli (icia le la norma i g ravità.

PROBLEMI

U n bloc o di 3.00 kg parte da fermo dall a som m i tà di un piano

I.

incl i nato di 30.0° e scorre pe r una distanza di 2.00 m giù per i l pian o 111

1.50 s. T rova re (a) l'acce lerazione dcl bloc o, (b) il oeffi iente di

tlttr ito dinam ico fra il blocco cd i l piano, (e) la (orza d i attrito agente su l b lo co e (d ) la veloci tà d el blocco d opo che esso è sc ivola to di 2.00 m.

o o o o

So luz i one 3. Un paracad uti ta, in caduta libera, ra ggiunge la velocità limite. Dopo eh il paracadute è stato aperto, qual i param etri ca mbiano per diminuire tale velocità limite? Risposta D all ' Equ azione 5.5 e dalla legge d i moto dcl paracadu tista:

(a)

a= 2(x1 -v,t)=2(2.00 m -0)= 1. 7 Bm / t2 (1.50 s) 2

o~ i cch é,

dove O è i l coeffi ciente di re i tc nza del paraca dutista e A Raggiunta la velocità limite,

e

l'a rea d el cor po dcl paraca duti ta.

ve rso d ' l i' acce lera zione) e applicate la seconda legge.

L.Fx = mg sen 8 - f = ma:

v1 =fong I DpA

f (b)

OpA

LpA

I

2

f=m(g en8 -a) ( en 30.0° )- 1. 78 m

Applica nd o la legge di

I

~I/

=11 -

m 8 cos e

=o:

I

2

] = 9.37

O

ewton per la diret.ione y (perpendi colare al piano inclinato), 11

= mg

CO

8

2

---v 2

= (3.00 kg)[9.80 rn

X

Po iché dove v 11 la ve loci tà verti ca le e v~ la v lo il, ori//On talc. Que ta porlan7a i adatta m gl io al " paraplano", un aereo ultraleggero ostiluilo da un' •li a, un edi olino e un paracadu te .

(d)

o o o o

o

cegl iete l'asse x paral lelo al p iano incl inalo, col verso positivo ri vo lto verso il basso (nel

(e)

1 paraca dute moderni aggiungo no ancora un terzo termine, la portanza, per modifi ca re l'equ azione:

m -Y = mg - - - v 2 dt 2 y

2

A desso, ri spondete prim a al la d o m and a (c).

Quando il paraca dute i apre, i l coe ffi ciente di resistenza O e l'a rea effettiva A aunien tano entramb i, ridu cend o così la veloc ità dcl paracadutista.

dv

Per un'acce lera .t.ione costante,

ewton, deriv iamo l'equaz ione che gove rn a i l

dv DpA m -Y = mg- - - v 2 dt 2 y

ay = dvy / dt = O

Usate la schema ti zzazione d i punlo m ate ria le i n moto a celera to uni forme.

Vf

=V

1

f = µn , +al ,

µ=

per cw

f

mg CO

9 37 · = 0.368 0 (3.00 kg)(9.80 m I s2 )co 30.0°

e=

v= 0+(1. 78 m /

2

)(1.50 )= 2.67 m /

o

Capitole 5

C:ipitolo 5

Due b locchi collega ti da una fune d i m assa tra cu rabile sono trascinati da una forza o rizzonta le F (F ig u ra 5.5). Su ppon ia mo che F = 68.0 l , 111 1 = 12.0 kg, 111 2 = 1 .O kg e i I coefficicn te d' a ttri lo dinamico fra ciascun b locco e la u perfic ie s ia 0. 100. (a) D isegnare un di ag ra mm a di co rpo li bero per ciascun b locco. (b) De te rminare la tensione Te il modulo d e ll'accele raz io ne dcl s is te ma. 2.

F

Figura 5.5

3. Una n1assa d i 3.00 kg legata a u na co rda priva di massa ruota lungo una circonfcren/a su un tavolo oriuontale privo di attrito. Il raggio del la circonferenza è 0.800 m e la co rda può soppo rtare una massa di 25.0 kg p rima di speuarsi. Qual è l'intervallo di velocità che la massa può a'v cre prima che la corda s i s pezzi ? Soluz ione

La cord a s i s pezzerà se la tensione T supera la forza

T max= mg= (25.0 kg)(9.80 rn /s2) = 245 N Soluz io ne (a) (b)

o

I d iagra mmi di corpo libero per 111 1 e111 2 so no:

Qua ndo la massa d i 3.00 kg ruota lungo una circonferen za orizzonta le, la tensione forn isce l'accelerazione cent ripeta

a= v2 I r

Usa te i diagrammi di corpo li bero per appli ca re la seconda legge di

cwton . Dal la

Per 111 1

ossia

L: F

T = mv

111a,

(1) V

ossia

!1

Sostituendo Tm.n.

= µ1111 = (0. 100)(12.0 kg)(9.80m I s 2)= 11. 8

Ir

2 _ rT _

Qu indi,

Ino ltre,

2

245

, s i trova

- -;; -

(0.800 m)T < (0.800 m) T (3.00 kg) - (3.00 kg) max

v 2 ~65.3 m2 / s 2

e

o

0 em is fer ica liscia di raggio R = 30.0 cm. La velocità d e ll a pa rticel la nel punto 8 è 1.50 m /s. (a) Q ua l è la s ua e ne rgia cinetica in 8? (b) Qua nta energ ia mecca nica s i trasforma a causa d ell'attrito q ua ndo la pa rti cella va d a A a 8? (c) È possibile determinare il coefficien te d'a tt ri to da ques ti ris ultati in ma n iera semplice? Spiega re . S o luzione

xr= 5 .00 m

Pre nd iamo U = O in 8 .

Figura 7.7 e

Poiché v; = O in A, pertanto, (b)

WF =

J

(2x + 4)dx

· m = x 2 + 4x]

5.00 m 1.00 m

· m = 40.0 ]

o

La va riaz io ne d i e ne rg ia p o tenz ia le è ug ua le al lavoro fatto d a lla fo rza co n e rva ti va ca mb ia to di seg no. !:i.U

(c)

S.00 m 1.oo m

= - WF = -40.0 J

(a)

(b)

=1 mv8 2 = t(0.200 kg)(l.50 m / s) 2 = 0.225 J

In A,

E; = KA + UA =O+ mgR = (0.200 kg)(9.80 m / s2)(0.300 m) = 0.588 J

ln 8,

E1 = KB + UB= 0.225 J E,,,ecc, i - !:i.Eint

Ris is te mando,

L'ene rg ia d issipata è: 2

Kf = (i )(5.00 kg)(3.00 m / s ) - (-40.0 J) = 62.5 ]

o

m = 200 g

e

(c)

= Emecc, f !:i.Eint = - !:i. Emecc = Ei - Ef

= 0.588 J - 0.225 J = 0.363 JO

Sebbe ne s ia nota la qu a n tità dissipata di e ne rgia, s ia la fo rza normale s ia la forza d'attrito va ri ano con la pos iz ione men tre la parti cella scivola all' interno della cavità semisferica. Qu indi , non c'è un mod o semplice per d e term inare il coefficiente di attrito.

122

o

La d imi n u z io ne di e nerg ia mecca nica è u guale a ll' in cremen to in e nergi a interna.

u. 1

qui ndi

v 8 = 1. 50 m I K8

o

Quando agisco no so lo fo rze conservative, la conservazione d e ll 'energia dà: K, + U, = Kr+

Poièhé

123

O

Capitolo 7 10. U n blocco d i IO.O kg è lasciato li bero in un punto A d i una pi sta, mostrata in Fig ura 7.8. L1 pista è priva di attrito, fatta eccezione per il tratto 8 , lungo 6.00 m. Il blocco scende lungo In g uid a, colpi. cc un a m olla d i costante elasti ca k = 2250 / m, determinand one una co mpress ione d i 0.300 m, ri petto alla lun gh u ad i equilibri o, prima del momentaneo arresto. Determinare il coe fficiente d 'a ttri to din am ico nel tratto BC tra pi ta e blocco.

6.00 m B

Fig ura 7.8 So luzion e Scegliamo il pun to ini ziale qu ando il blocco si trova in /\ e il punto fin ale quando la molla è totalm ente co m pre~~a.

(K + U 8 + U111 ) A - .fcttlx = (K + U + U111 )! 8

11. U n blocco di 20.0 kg connesso ad un altro blocco di 30.0 kg da una orda di massa trascur,1bile che passa atto rno ad una pu leggia p ri va di attrito. 11 blocco di 30.0 kg è col legato ad una

mol la, di massa tra curabile, dico tante elastica 250 I m, co me m ostra to in Figura 7.9. La molla non è in tensione quando i l si tema si trova nelle condi zioni ind i ate in figura, e il piano in clinalo è liscio. Il blocco d i 20.0 kg è ti rato in giù, lungo il piano inclinato, di 20.0 cm (sicché il blocco d i 10.0 kg 40.0 cm al d i sop ra del pavim ento) ed è lasc iato l ibero da fermo. Trovare la velocità d i uascun bloc o quando q uello di 30.0 kg si trova a 20.0 cm dal pavimento (cioè q uando la molla non è in tensione). Sol uzion e Indichi am o on x l'a llunga mento d'Il a mo lla dalla pos izione di equilibrio (x 0.200 m), eh corrispond e a uno sposta mento ve rso l'a l to d ella ma a d i 30.0 kg. . um ia mo pure li O nella posizione p iù bassa della massa di 20.0 kg quando il ...,istcm a v iene ri lasciato dal la quiete. Infine, ind ichi am o con v il mod ulo del la vel ocità d i entrambi i blocchi nel mom ento in cui la molla attrave rsa la ua configurazione di eq uilibri o. Poiché tulle k forze sono conse rva ti ve, la conscrvaLione dell'energia dà

Fig ura 7.9

tlK + 6.U,,, + 6.U8 = O 2

Ri..,ol vend o ri spetto a ciascuna va ri abile,

(10.0 kg)(9.80 m / 5 )(3.00 m) - /(6.00 m) = ! (2250 N / m)(0.300 m)2 294 J - /(6.00 m)

= 101 J

f

co icché

6.K = ~ (m1 + m2 )v -O= ~(so.o kg)v = (25.0 kg)v 2

= 193 J/ 6.00 m = 32.1

Consid eriam o, o ra, le fo rze vcrtirn li q uand o il blocco si trova tra 8 e C. Dall a relazione A pp lica ndo

L: r = O, I(

+n - mg= O

e

J;1 = µ " 11:

n

o

U n altro modo di affronta re il problema è d i affe rm are che l'energia po tenziale iniziale 111gli va a finire in parte diss ipata a ca usa de ll' attrito e in parte nell a comp ressione dell a m olla:

mg/i =/Clx+~ kx

2

ftlx = µ mgd = mglt -

o sia

Sostituendo m = 10.0 kg, h = 3.00 m, k = 2250 o lleniamo

I m, x =

~ kx 2

0.300 m, d =Clx =6.00 m

~U 8 = ( m2 en (J - m1 )gx = ((20.0 kg)sen40.0° - 30.0kg ](9 .80 m I s2 )(0.200 m) = - 33.6 N · m '->osti tu end o nel I' cqua;;ionc dcl l'energia, 2

(25.0 k g)v -5.00 N · m -33.6 Estraendo v si ottiene

·m = O

v = 1.24 m / 5

h kx 2 µ = - - - - = 0.328 d 2mgd

124

2

~U,,, = O -~kx 2 =- ~ (250 N / m )(0.200 m)2 = - 5. 00 N · m

= (10.0 kg)(9 .80 m I 52) = 98.0 N

= 0.328

2

125

o

Capitolo 7 12. . Un blocco d i m a sa 0.500 kg v iene premuto contro una molla ori zzontale, di massa trascura btl~, provoca ndone una compressione tu, come v iene mo trato nell a Fi gura 7.10. La costante elast1cadel la molla èd i 450 / 1n li bi I · l 'b · • . , . . o co, asciato 1 ero, i mu ove l un go un piano orizzontale, p rr vo d attrito fin o al p unto 8, al fondo di una g uida circolare vertica le sca bra di raggio R

Capitolo 8

T

=

I I

1.00 m e continu a a mu over i in u lungo la g ui da. La veloci tà del blocco n I punto B v =

I I

Quantità di moto e urti

Vr

8

12.0 m /s. li b locco è o ttoposto ad una forza lungo i l pe rco rso cirmedia d' attri to di 7.00 co lare de ll a guida. Determinare (a) la compressione i ni ziale della m olla, (b) la veloci tà del blocco all a ommità dell a g uid a ci rcolare, posizione T. (c) 11 b locco riuscirà a raggiungere la sommità dell a pista o cadrà prim a? So luz ione

L' nergia i conse r va dura nte il lancio d c l blocco. Al lora,

o

àx

m )(tu)

2

=f (0.500 kg)(12.0 m /

)2

= 0.400 m

o

t

Per trova re la veloci tà del blo co all a somm ità della g uid a consi deriam o il sistema blocco-Terra.

(K + Ug)B - fc1àx

=(K + U8 )r :

So tituendo abbiamo

(c)

I

! (450

Q uindi,

(b)

Fi g ura 7.10

(mgh8 + ! mv8 2 ) - f( nR) =(mghy +!mv/) mghy =

O+ f (0.500 kg)(12.0 m

(0.500 kg)(9.80 m / 2)(2.00 m) = 9.80 J

I )2 - (7.00 2

cioè

0.250vr

Qui ndi,

Vy= 4 .1Q

11 blocco cade se a,< g

N)(n)(l.OO m ) = 9.80 J+ f (0.500 kg)v/

INTRODUZIONE

= 4. 21 m/

o

2

_ (4.lO m / ) 2 0 c--.-=16.B m / 2 R l.00 m _Vy

Qu indi'. n, >g. È necessaria un a certa forza no rma le ve rso il basso oltre il peso del b locco pe r d eterminare la forza cen tri peta, perciò il b locco rim ane sulla pista. O

no d ei pri ncipa li obietti vi di questo ca pitolo è renderti capace d i analinarc gli urti e tutti g li eventi nei qual i g li oggetti subiscono grand i accelera/ ioni in ~cgu i to all'applica.1..ionc d i for/c e~ tremame nte intense per brevi intervalli di tempo. Inizialmente introd urremo i l concetto di q uantità di moto, una lo uz ione che si usa per descri vere ogg tti in moto. La quantità d i moto si defini sce co me il prodotto del la massa per il vettore ve locità. Il conce tto di quantità di m o to cond uce a una seco nd a legge d i con scrva.1..ionc, ossia la con..,e rva.1..ione del la quantità d i m oto. Questa legge è particolarmente uti le per tra ttare probl emi che coinvol gono urti fra ogge tti e per ana liuarc la propulsione dci razzi . Introdu rremo pure i l conce tto di centro d i massa d i un si tema d i pa r ticel le e vedremo che i l moto di un sistema di particel le si può rappresentare per mezzo dcl moto di un a particella posta nel centro d i massa .

126

127

....

Capitolo 8

NOTE

8.1

Capitolo 8 .5

Moto di un sis tem a di particelle JI centro d i massa di un s istem a d i parti cel le i muove com e una particella immagin a ri a d i m assa M (ugu a le a ll a m assa totale d e l sistema) sotto l'azione della forza esterna ris u ltante s ul sistema .

Impulso e quantità di moto Se du e par tice lle d i mas a 111 1 cd 111 2 form ano un s is tema is o la to, allora la q uantità di moto tota le del s is te ma ri mane costa nte. La d e rivata temporale d ella quantità di m oto di una particella è ug ua le a ll a forza ri s ulta nte agente s u lla particella. L'impulso di una forza ugua le a lla va riaz ione dell a qu a ntità d i moto d e lla parti ce lla s u lla qu ale la forza agisce. e ll a ap prossimazion e d ' impulso i ass ume che una d Jl e fo rze agenti s u lla parti ce lla ia di breviss ima dura ta e di g ra nd e in te ns ità ris petto a tu tte le altre forze.

8.6

Propuls ion e di un razzo

li fun z ion a mento di un razzo dipe nde da ll a legge d i conservaz io ne d e lla quantità di moto a ppli cata a u n s is tema di particel le (i l razzo p iù il pro pel len te espulso). La s pin ta ul razzo

è la fo rz a esercitata s u di es o dai gas espu lsi .

8.2

Urti In qualsiasi tipo di urto la quantità d i moto tota le di u n is tcma isola to appena p rima dell' ur to è ug u a le a lla qua n tità di mo to tota le u b ito dopo l' u rto. l n un urto a n e lastico la q ua ntità d i moto totale di un s istema isolato s i conserva; tuttav ia, l'ene rg ia c inetica to tale non i con e rva. ln un urto totalmente a nelas tico i d ue oggetti ch e si urta no rim a ngono, dopo l'urto, a ttaccati ins ie me. ln u n urto e lasti co s i conserva no s ia la q ua nti tà di m oto che l'ene rg ia cinetica del s iste ma isolato .

8.3

U rti in due dimen sioni La legge d i conservazione de lla q uantità di moto non va le o ltanto neg li u rti un id imens iona li. Se due masse s ono o ttopos le ad un urto bidim e nsionale (rade nte) e non vi o no forze esterne age n ti, la quan tità di moto to ta le per ciascuna direzio ne x, y e z i conserva.

8.4

Il centro di m assa La pos iz ione del centro di massa d i un s is te ma s i può de crivere com e la pos iz io ne media d e lla massa del s is tema. Se g costa nte per una dis t ri bu z ione di massa, a llora il cen tro d i g ravità (baricentro) co in ciderà con il centro di massa .

128

EQ UAZIONI E CONCETTI p

L O, p => 11111.

ell'equa zionc relati v isti ca dell' en ergia ci n etica di una partice ll a di m assa /11 che i muove con velocità 11, il termin e 111c2 si chi am a en ergi a a riposo.

L' en ergia to tal e C di un a pa rti ce ll a e la omma dell'energ ia cineti ca e dell' ene rg ia a riposo.

mc2 2 2 K = g - mc = (y - 1)mc

(9.7)

U na un i tà di energia con veni en te p r esp rimere I energie di elcttron i cd aI tre pa rti ccll c ...,ubatom iche è l'elettronvolt (cV).

vc rc o tituendo il (attore -y. Qu est'cspre ·ione m ostra che ma sa ed energ ia so no con ce tti equivalenti; cioè, la massa è una form a di energia.

Q uando è nota la quanti tà d i mo to o l'energi a di una par ticella (p iutto to ch e la ve loci tà), è uti le avere un 'e p r ione che metl in relaz io ne l'energ ia to tal relati i ti ca.

l - -

c2

ELENCO DI CONTROLLO

2

E= }'1nc

=K + mc2 = K + ER

(9. )

C>

En u nciare i d ue postulati d i Einstein d ell a teo ria della re lati v i tà ri stretta .

[>

Render i conto dell 'esperimento di Michel onsig nifica to d cl suo sito.

E=g mc2

ori

, dci suoi obi tti v i, ri sultati e dcl

c rea re di comprend ere l' idea d i simultanei tà e il fatto che la si mu l taneità non e un concetto as oluto. In alt re parole, due eventi he ono imul tan i in un si tema d i rife r im ento non sono simultanei quando sono osser vati da un econd o sisten1a di ri fe rim ento che si muove

(9. )

ri spetto al pri mo.

2

[>

Esercitarsi u sa nd o le equazioni della d ilatazione d cl tempo, d el la qu ant ità d i moto relati v istica e della co ntra zione delle lu nghezze.

C>

Form u lare l'espressione relativisti a co rretta d ella qu anti tà di mo to, d cli ' nerg ia cin etic, e dell 'energia tota le d i u na particel la . Fare dei calcoli u sa ndo q ue te eq ua,!:ion i.

(9. 10)

e la quan tità di mo to

150

I .60 x I O 19 J

L/2

[>

L 'e pre ione dell 'energ ia tota le . i può cri -

l eV -

151

Capitolo 9

DOMAND E CONCETTUALI

Capitoio 9

PROBLEMI

1. Spiega re perché, quando si definisce la lunghezza, è ncce sa rio specificare che la posizione degli estremi dcl regolo è sta ta d etermi nata simultanea mente.

· d.i n·fcnmen · to del laboratori o' un osser vatore trova che la . second a legge Idi 1 el sistema · wton è ,va l ida. Dim ostrare che essa è va lida · Nc anc h e per un o sse .rvatore che 1 muove co n ve ocità uniforme ri spetto al sistema del laboratori o.

Ri sp osta

Suppon ete che un treno v i passi d ava nti. U n mod o per misurare la sua lunghezza

questo: alle o re 9:00:00 contra segnate sulle rotaie la posi zione dell a testa del treno, m entre un vostro ass istente fa lo stesso con la posiz ione della coda. Quind i m isurate con un metro a na tro la distan za tra i due contrassegni. Voi cd il vostro ass istente dovete apporre i con trassegni simultaneamente (nello tesso istema di r i ferimento), altrimenti il moto del treno rend e la sua lung hezza differente dalla di sta nza tra i contrassegn i.

Soluz i one

I l primo osse rvatore vede un certo oggetto accelerare sotto l'azione di un a for.za

ap pli cata. hiamate la velocità ista n ta.nea dell'oggett?_u, . '.I ,econd o osser vatore ha un a velocità costante v r el ati vamente al p ri mo e m isura una veloc1ta pe1 I oggetto

o o o o L'acce lerazione è 2. Dare un argomento fi sico per mostrare che è impossibile accelerare un oggetto di massa m alla velocità della luce, anche con una forza costante agente su d i esso.

du~ dt

= dux _O dt

L'acce lerazione è la stessa d i que lla misurata d al primo osse rva to re. In que to caso non reflfativi· hé an che i l econdo o se rva tore a ermO a stico, e si m isurano pure la stessa m assa e f orza; cosicc che

L F = 111a.

Ri sposta Quando un oggetto si ap prossima all a velocità della luce, la sua energ ia tende ad infin i to. Qu i ndi, sa rebbe n ecessaria una quantità infinita di lavoro per accelera re l' ogge tto fin o alla veloc ità d ella lu ce sotto l' azione di una forza continu a oppure bisognerebbe usa re un a fo rza infin i tamente intensa .

o o o o

· atomico · si· muo ve a 1 000 km / h per 1.00 h misurata d a un orologio 2 Un oro logio . d ,.identico . · quanti· nanosecon d.1 11 ··tar de rà l'oro logio in movi mento alla fine e 11 mtcrva 1fisso su ll a Te rra. D 1 lo di un'ora?

3. Fate un elenco d i co me va rierebbero alcune nostre abitud ini giornal iere se la velocità del la luce fo se so ltan to 50 m I s. Ri sposta

. , d1"ff"1c1·1e d.1 altn,. Pcrla empli cerag ione che la S l . · Ques to problema è legge rmente p1u o u z1on e . . r . ff . t• · na vos tra calcolatri ce probabi l mente non vi offre un n um ero d i ci fre deci ma '. u .1 c1 e~ i per u risposta accurata. Tuttav ia, poss iam o superare la di fficol tà u sa nd o l'a pp ro s1maz1one.

Per una m agnifica e fantasti ca esp lora zione su questo tem a consulta il l ibro di George

{1-~~ =1-;c

2

Ga mow " Mr. Tompki ns" . ella nostra v ita, tutti gli effetti relati vistici diventerebbero ovvi. Avverrebbero sia la di lata zione dcl tempo che la contrazione delle l unghezze. Gu idand o di premura ve rso casa, premereste il peda le del l'acceleratore non tanto per aumentare la veloci tà quanto p iuttosto per rendere g li isolati p ili corti. l i grande effe tto Doppler su ll e frequen ze delle onde farebbe

2

Quad rando ambedue i mem bri vedi am o che, quando vie è piccolo, i due term in i ono eq ui valenti .

sì che le l uci rosse arcbbero v iste come verdi e le avvici naste e renderebbe dcl tutto inutili zzab i l i il ciac on e la radio della macchina. li trasporto ad alta ve locità sarebbe cos tos issimo, poich é richiederebbe l' acqu isto d i quanti tà immense di ca rburante. E sarebbe anche per icoloso poi ché una

3

Calco lando v I e,

v - (1 000xl0 m I -;; -

3. 00 x 108 m

h)(

Is

macchina ve loce potrebbe abbattere un palazzo. Quando, affamati, tornaste a casa per i l pran zo, avrcsl dimenticato la cen a. Vi sarebbero ci nque g iorni di ritardo nel vedere i n d iretta TV le Ol i mpiadi in svolg imento in A ustral ia (per un osser vatore neg l i USA, N.d.T. ). La luce dc l So le im p i gh r bb nova ntacinqu e ann i per raggi ungere la Terra. on potremmo ved r e la V ia La ttea; la palla di f uo o d el Big Bang ci circon derebbe alla di stan za di Rigcl o Dcneb.

o o o o 152

153

1 h )=9.26x10- 7 3600 s

Capitolo 9

Capitolo 9 Da ll' Equ azione 9.4,

2 2 2 Q u adra ndo a mbo i mcm b n,· v2 At = LP (l- v [j,

Riaggi us tando i term ini, la nostra appross im az ione dà

Litp

G2

(1-_e_)

=( v1 --;? )Lit =

2c 2

t Ri ol endo ris pe tto a lla velocità,

v2 tlt - tlt = - 2 M P 2c

( 3.00 x 108)(300

Co ì

V=

Così il ri ta rdo d e ll 'o rologio in moto è

tlf - tltp = 1.54 x10- 9 s= 1.54 n s

o

3. Un'astron ave d i lung hezza p ropria 300 m impiega 0.750 µ, per s uperare u n osse rvatore terrestre. Determi na re la velocità dell' as tro nave mi urata da ll 'o c rvatore terre tre.

Soluzion e O ccorre p rim a s tab ili re e la navice ll a i m uove con ve locità rela ti v i tica: clas ica me nte v = (300 m )/ (0.750 µ,s) = 4.00 x 10 8 m /s, ch e ris ul ta p iù gran d e d e lla velocità della luce (imposs ibile!). È ch iaro che la correzio ne re la ti v is tica deve e sere usa ta per trovare la co rretta velocità dc ll 'a tronave, che poss iamo s up po rre esse re mo lto vicina a lla ve locità de lla luce . Po siamo usare l'equ az ione per la con tra z ione d e lle lu ng hezze pe r tro va re la ve lo cità d e ll e navic Ila in te rmi n i de ll a lu nghezza propr ia e d e l te m po. li tempo d i 0.750 µ,s è il tem po propri o m is urato da ll'osse rvatore te rre tre, poiché è l' interva llo d i tempo tra d ue eventi che egli v ede acca d ere n e llo s te o punto dell o pa z io. 1 d u e eventi on o il pa ssaggio d e lla testa e d e lla cod a de.Il a na v icell a o ltre il uo cro nometro.

154

-

(3.00 x10 8

2

7 ( 9.26X 10- ) Lit - tltp = 2 (3600 s)

Sostituen do,

I c2 )

m)/(O. 750 x10-6 s)

)2 +(300 m )2 / (o.750 x10-6 s)

= 2. 40x 108 m I s O 2

L'aslronavc v ia ggia a lla velocità di O.Se. Inol tre possiamo verifica re che l'cq.uazio ne genera le per la velocità si riduce a lla cla s ica relazione v = L,, / M quand o il tempo è relativa mente gra nd e.

Due getti d i mate ria le si a llontanano d a l centro di u na rad.ioga4. lass ia, in vers i oppos ti. ia scun getto s i muove a velocità 0.750c ri s petto a ll a ga lass ia. Dete rmina re la velocità d i u n getto ris pe tto all'altro.

Ux

''

Solu zio ne

V

Cons id e ra te la ga lassia come il sis tema fe rm o . Defi nite, a rbitraria- . mente, il ge tto che si muove ve rso l'a lto come l'oggetto e 1·1ge tto ve rso 1I ba o come il sistem a d i rifer imen to in " m o to" .

ux Q uind i,

= 0.750 e

u~ = 1 -

V=

u.- v : xv/

c2

-0.750

C

0.750c -(-0.750c) =1-(0.750c)(-0.750c)/ c2

155

=

l.SOc 2 1 +0.750

=O.%Oc

o

Capitolo 9

Capitolo 9

5. Una parti ce lla ins tabile ferma si dis integra in due fra mme nti d i m assa d iversa . La ma a a ri poso del framme nto più leggero è 2.50 x JQ- 28 kg e que ll a d c l frammen to p iù pesa nte 27 1.67 x 10- kg . Se il frammento p iù leggero dopo la d i integrazio ne ha una veloc ità di 0.893c, gu a i è la velocità d e l framm e nto p iù pe ante? S oluzione

Usia mo la co nservazione d e lla qua ntità di mo to per un s i te m a isolato.

Indi ca te la parti ce lla p iù pesa nte con il p e di ce ' 2' e la partice ll a p iù leggera con il pedice '1'. La qu a n ti tà di moto re la ti vis tica s i co n e rva . Do po la fi s io ne la qua ntità d i m o to to ta le d eve essere zero, come lo era prim a, p 2 + p 1 = O:

Y2m2v2

Ri is te m and o i te rm ini,

+(

2.50 X10-

6. U n protone i muove con la velocità di 0.950c. alcol are la sua (a) e nergia a riposo, (b) energ ia totale e (c) e ne rg ia cinetica . S ol uz ion e

Pe r

V =

0.950c,

r = 3. 2 0

(a)

ER = mc 2 = (l.67x10- 27 kg)(2.998x10 8 m I s) 2 = 1.50 x10- 10 J = 938 Me V

o

(b)

E= ymc2 = yER = (3.20)(938 MeV)= 3 .00 GeV

o

(c)

K = E-ER = 3.00 G eV -938 MeV = 2.07 GeV

o

7. Dim ostra re che la re lazio ne fra nerg ia e q u antità di moto d ata da E 2 essere d eriva ta d al le e press ioni E= ymc 2 e p = y111u.

28

kg ) ,/ · 2 (0.893c) =O l - 0.893

So luz ione

1.67 X10-27 k g ] V2 = -4. 96 X10- 28 kg ( ~1- v22 / c2 e

E= ymc 2

= p 2c 2 + (111c 2 )2

p uò

p= ymu

Q u adra ndo a mbe du e le equa zioni,

Quadra nd o a mbed uc i me mbri, (2.79 x 10- 54 kg 2 e

V2

J( v: )' = (2.46 x 10-

55

kg 2

J(1-:', J 2

Moltip lica nd o la econda equ az ione pe r c2, e sottraE!nd o lada llaprima, E2 -p 2c2 = ( ymc2)2 - ( ymu )2 e 2

= - 0.285c

11 segn o negativo sig nifica solta nto che le due particelle s i d evono muove re in ve rso opposto. Allo ra, la velocità è

o

Mettendo in evid en za iI term ine (111c 2),

e

o

Q uind i,

156

157

Capitolo 9

Capitolo 9

U.n pione f~rmo (111 1T = 27~ 111,.) decade in u n muone (111 µ = 207 m,, ) e un an tine u trino (111 ;; z O). ~a reazio ne è scritta 1T- ~ J.C + v. Trovare l'energia cinetica d e l m uo ne e l'ene rg ia d e ll'antin e utrino in e lettronvolt. (Suggeri111en to: Si con erva la q uantità di mo to relati v istica).

9. La pote nza e messa da l Sole è 3.77 x 1026 W. Quanta massa del Sole è convertita in energia ogni secondo?

S olu zio~w

Soluzione

8.

Us.iamo s ia la conservazio ne d e ll'energ ia sia la conservazione della qua ntità d i moto per u n s istema isolato.

Da ER = mc 2, si ricava

m = ER = 3. 77x1026 J = 4.19x109 k c2 (3.00x10 8 m / s) 2 g

Da lla co nse rvazione d e ll'ene rg ia si ha

o

Dall a conservazione della quantità di moto s i h a Sostitue ndo la seconda eq uazione nel la prima,

10.

I raggi cosmi ci di p iù a lta energia sono protoni che hanno e nergie cinetich e dell'ordine di

10 13

Sempli ficando, l'eq u az io ne di venta

m7C

MeV. (a) Q ua n to tempo imp iegherà un protone con questa ene rg ia ad attrav r are la nostra ga lassia Via Lattea, dcl d iametro di -105 anni-luce, misurato ne l sistema di riferimento del protone? (b) Da l punto di v ista d e l protone, per quanti ch ilometri attrav rsa la galas ia?

= mµ ( y+ y v/c)

Sostitu endo i va lori del le masse

So luzione Per p ri ma cosa ca lcol iamo la velocità de l protone ne l s istema di riferimento della Via Lattea.

do ve

ume ri ca me nte,

Riso lvendo risp tto a vie con la form ul a q uadra ti ca,

2(

-27 kg )(3.00x10s m I s )2(

_27_0_rn-=-e = l .30 = 1 + v /e 207me {i= (v/c)2

Per un pro to ne,

mc = 1.67 x 10 ·

270 2 - 207 2 -; = 2702 + 2072 = 0.260

O ra,

K = (y - 1)(938 MeV)

V

1013 M e V = ( y - 1)(938 Me V) Pertanto,

r= r

vl -

e

1 2

V

I c2

= 1.0355

KP = (0.0355)(207 x 0.511 Me V)= 3.76 MeV Kv = (270 X 0.511 MeV) - (207x0.511MeV+3.76 MeV) = 28.4 Me V

y = 1.07x1010 =1/

) = 938 Me V _119eV kg·m 2 / s 2

~1- v2 I c2

1-v2 I c2 = 8.80 x 10-21

o o

V=

C~8.80 X l0- 2l

Q u c ta velocità è mo lto prossima a que lla d e lla luce. te m po d i attra versamento è t::.t

158

e

l.60 x 10

=xlv= lQS ann i luce/ e= 10s anni

159

e l s istema di riferimento della galassia il

Capitolo 9 (a)

Capitolo 9

Que to te mpo ri ulta di latato ris pe tto al tempo proprio mis u ra to ne l riferime nto del pro tone: 6. t = y 6.t' M' = M / y = 105 a nni / J. 07 x 10 10 = 9.38 x lQ-6 anni

296

M' - p oche centina ia di seco ndi

(b)

U na parti cella con carica e lettrica q s i muove con ve locità 11 lu ngo una linea retta in un ca mpo e le ttrico uni for me E. La forza e lettri ca che s i esercita s ulla carica è qE. Se il moto e il campo e lettrico sono en tra m b i ne ll a direzione x, (a) mo trare che l' accele razione della ca rica q ne lla d ireLione x è data d a

12.

o

a= du

= qE

dt

m

(

c2

Il protone ved e la ga la s ia ven irg li in contro co n un a ve locità q uasi ug uale a e, in 296 s: 6.L' = (3.00 x 108 )(296 s ) = 8 .88 x 107 km - JOB km

O

G li osser vato ri s ul protone e s u ll a ga las ia concordano s ul val ore v d e lla loro velocità relativa e s ul va lore di y.

11. Un s upertre no (lun g hezza propria = lOO m ) v iaggia a una ve locità d i 0.950c e attraversa una ga lle ri a (lung hezza propria = 50.0 m ). Un osse rva to re lungo le ro ta ie ved e m a i il tre no co mpletame nte a ll' inte rno d e lla ga lleria? Se è così, di q ua nto?

Soluzio ne o me a ppre nd e rete success ivamente, la forza agente s u una carica in un campo e lettr ico è data d a F = qE. Inol tre, per qualunque velo~i tà, la qua n tità di moto della partice lla data da

(a)

So luz io ne

Us ia m o la for m a re lativi ti ca de lla seconda legge d i

F = qE = dp dt

Ques ta lungh ezza è più corta d e lla g a lle ria di l8.8 m, co icché il tre no è com p le tamente d e n tro la ga lle ria. O

:t(mu(l-u2/c2r112)

qE=

m(1 -~J-1/ 2 du +lmu(i~J-3/2(2u)du 2 2 2 2 c

l - v2 /c2 = (100m) \ 1 - (0.950c)2 = 31.2 m

Se mpl ifica ndo s i trova che

ewton.

qE=

I

L'o serva tore vede la ga lle ria con la s ua lung hezza propria, 50.0 m, m a vede il treno con una lung hezza contra tta data d a \

J

(b) Discu tere il s igni ficato d e lla dipe nd e n za dell ' accelerazione dalla velocità. (c) Se la pa rticella pa rte da fe rm a ne l punto x = O al tempo t =O, co me proced ereste per trovare la velocità d e lla particella e la s u a posiz io ne a l te mpo t?

Po iché

L = L1,

3/2

2

1_ u

c

dt

qE m = du(i-~J-3/2 dt

c2

e

a= du dt

c

dt

= qE(1 m -~J3/2

c2

o

(b)

Q u and o u 4 e, s i ha ch e 11 ~O . Q u indi, la particell a non raggi ungerà m ai la velocità d e lla Iuce.

(c)

Consid e rand o l'equa z ione d e ll'accelerazione, isola ndo i termin i con la ve locità e integrando, s i ottie n

o

160 161

Capitolo ..O

Capitolo 10

cl apitolo 4 abbiamo stab ilito che una cond iz ione necessa ri a per l'eq uili brio che la forza ri sullanlc su un corpo si a zero. Se il co rpo è assimilato ad una particel la puntiforme, questa

è la sola condi7ione che de ve essere soddisfatta per l'equ ilibrio. ssia, se la forn risu l tan te élgentc sul la particella è ze ro, la parli ccl la rimane ferma (se in i.zialmente è ferma) o si muove con veloci là costante (se ini zial menle è in moto). La t rattazione dci corp i rea l i (estesi ) è più comp lessa poi hé essi non possono essere assimila li a particel le. Affinché un corpo esteso sia in equilibrio stalico, la forza risultante deve essere /Cro e i l corpo non deve avere alcuna lcndcnza a ruotare. Questa seconda cond izione di equi libri o richiede che il mom ento r isultante dell e forze ri spetto a q ual sias i p unto (p olo, N.d.T.) ia zero . Pe r sta bi l i re se un oggetto è i n equilibrio, dobbiamo con oscere la sua dimensione e form a, le forze agenti ulle sue diverse parti e i punli di applicazione delle varie for/e.

Moto rotazionale

N OTE 10.1 Velocità an g olare e acce l er az i o n e an golare Il m oto puramente rotazi onal e si riferi~ce al m oto d i un corpo ri gido attorno ad un asse fisso. c l caso di rotazion e attorno ad un asse fisso, ogn i parlicella dcl corpo rigido ha la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare. Un radiante (rad ) è l'a ngolo sotteso d a un arco di circonferenLa la cui lungheua è uguale al raggio. Lo posiz ione angolare (O), la velocità angolare (w) e l'accelerazione angolare (a) sono gl i

INTRODUZIONE

analoghi ri spetti vamente del la posizione lineOno co m pone nti z della

del suo m om ento an go l are . Q u esta espres-

far.la. In q uesto caso, abbiam o soltanto tre equ aL ion i, due del le quali corrispond ono alla

sione è l'ana loga per le rota/ioni delln secon-

prima condi zione di eq uilibr io, m en tre la ter za esp rim e la se ond a condi Lione. Jn que-

dL dt

't,

L'tz = O

dn legge di cwton, F - dp / dt, cd è l' equa.1..ione fo nda men ta le p r l ra ltare particelle in ro taLione into rn o ad un pun to fi so.

sto caso, il ve ttore mo mento m ecca ni co diretto lungo l'ass z. I problemi di que to capitolo ri entra no in q uesta catego ria .

168

169

(I 0.25)

Capitolo 10 fl mom ento angolare di un sistem a di parli~e ll e dato dalla omma ve tto ri ale dci ingo1t m omenti angolari ca lcolali ri petto ad uno

Cavitolo 10

L \.,t

( 10.26)

SUGGERIMENTI, ES PEDIENTI E STRATEGIE

di

stes ·o pun to di un sistem a di r iferi m ento i neu .ialc. J ingoli mo menti angolari po ono

Bisogn a saper com e ca lcola re i l momento d'incrLia di un sistema di parli cl-

va ri are nel tem po, la q ual cosa p uò fa r va ri a-

ic rispetto ad un asse speci fico. La tecnica è sempl ice e consiste n 'li' appl ica-

re il m omento angolare to tale. Tu ttav ia il m omento angolare to tale del i tem a va ri erà

re I = L: 111/7, do ve 111 1 è la m assa dcll'i-esima par'licella cd r, è la distanza da ll'ac;se di rotazione de ll a parti cel la.

I

z

z'

sol tanto se un momento me ani co ri su l tante estern o agisce sul istema. I n fa tti, il momento m ecca ni co ri sultante agente su un istema

C.,c è no to il m omen to d'inc r/ia rispcllo ad un asse passan te per i l centro di

di p arti celle è u gual e alla derivata temporale del momento angol are totale.

qua lsiasi asse paral lelo usando il teorema degli ass i para ll eli:

massa /Uvl' si pu ò calcol are facil mente il momento d'i ncr/ia rispetto ad un

Fi g u ra 10.1 Il m odulo del m om ento ango lare di un corlw

po rig ido che r uota nel pian o x-y a ttorno ad un asse fisso (l'a se z) è ug u ale al prod o tto

dove d è la di stanza tra i du e ass i. Per es mpio, i l momento d' inerzia di un cilin dro pi no risp llo all'asse p assa nte p r i l uo entro di massa (l'asse z in Figu ra 10.l) è dato da I _=~ MR 2 . Quind i, il momento d'iner zia rispetto

lw, dove I è il m omento d ' inerLia r ispetto al-

l'a

se di rotaz ione e w è la velocità angolare.

all'asse z' posto a distanza d La l egge di. co nservazione d el momento ango l are afferm a che se il m om ento mecca nico estern o risu I tan le agente su I sistem a è L Cro,

/_, = I. + l: \ .,t =

dL

o

( 10.27)

di

il momen to ango lare to tale è cos tante.

cos tante

LI/

( 10.2 )

guenti suggcrim nti p r anali aare tali problemi: Ricon os ere tu lle le fo rLe e tern e agenti sul corpo eco tr uirc un accurato diagramma di corpo I ibero.

e il momento meccan ico ri sul tante agente su un corpo in ro tazione attorno ad un asse fisso l 1w1

= 1~1 =

•

costa nte

Scomporre le forLe este rn e nelle loro componenti ca rtesiane e appli are la prima ondizionc d i equ il ibrio

mo mento angolare per trovare la velocità ango lar fina l in Cun7i on della v locità angolar iniLial >.

•

L F\ =oe L rl/ o.

cegl icrc un'o rig ine oppor tuna per ca lcola re il momento mc ca ni co r isul ta nte su l cor po. La sce lta dell'orig ine è arbi traria. (L'eq ua/ione dcl m omento mecca nico dà informazion i che non sono contenu te nell a

•

Se un mom 'nlo m ccani co ri u l tante r agi ce su un c.01 po· 11gic.lo, la poten za fornita aJ co rp o in ogru ista nte proporLion ale alla veloci tà< ngola1 •.

./>

170

MR 2

Q uesto capito lo contiene una di cussione sull 'a ppl icazione delle I ggi di ewton ad un a o particolare, va le a dire i corp i ri gid i in eq uilibrio sta ti co. È impor tante com prend er g uire i

•

Lero e il mom ento d ' inerzia va ri a d a / a / . ' /' allora s1 può u are la con, ervazione del

R da l l'as e z è

rw

L: F

O).

Ri ol verc i l siste ma d i eq u a7ion i ottenuto dalle due condizioni d i equ i librio .

(10.29)

171

Capitelo 10

Capitolo 10 Si raccomanda il cg uente procedimento quando si ana li /L.a un corpo in equ ilibri o sotlo l'azionl' di più forze est rne:

•

Di egna re uno chi zzo del corpo .

•

T racciare un diag ramm a di corpo libero e ind ica re tutte le forze esterne agenti sul corpo . Tentare di indi vidu are il ver o giu to di ciascuna forza. Se si scegli e un verso sbagl ialo ciò cond urrà, nell a olu zione, ad un cgno negativo per una fou:a; ciò vuol d ire semplicem ente che il ve r o della forza è oppo to a quell o a sunto.

C =A xB

t

Avanzamento

Regol a della mano destra

Figura 10.2

-C- B

•

•

•

comporre tutte le fou:e nelle loro componenti arte ·ianc, cegliendo un opportuno sistema di coord inate. Applicare la prima condi L.ione di equilibri o, che bilan ia le forL.e. Ricordar i di scrivere le va rie componenti del le forze con il loro gi usto segno. Scegl iere un asse con veniente p r calcolare il m om en to m ecca ni co risultante agente ul corpo. La scelta dell' orig ine per l'eq uaL.ione dcl m omento mec anice è arbitraria; qu ind i, scegli ere un'origin e che sem plifichi i ca lcoli il più po ibile. Diventare espe rti in ciò è question di pratica. La prima e la seconda condizione d i equi librio co ndu cono ad un si tema di eq uazion i lineari con pi i:1 incognite. iò che re ta ri so lvere il sistema di eq uazioni rispetto alle incognit in fun zio ne del le g randeue note.

ln questo capitolo si u ·a per la prima o lta il prodotto etto ri ale. (Ricorda rsi che il m omento angolare L d i un a particella si defini ce come L = r x p, m en tre il momento di una forza è defin ito da lla rclaL.ione r - r x F). Ri vediamo, brevem ente, l' operazione di prodotto vettorial e ed alcune ·ue proprietà.

dove il mod ulo d i

X

B,.

e è dato da

e

A·B

ABcosO).

~ 1 noli che i 1 prodotto elloriale di qua !sia i vetto re con e stesso

AB c.,cn O

L.ero. O

ortogonali, come è mostrato in Figura L0.3.

Y1 x i = j X j = k X k = O

=-J

X

j

X

k = -k

X

= -i

X

i

X

=

90°

k k

j

Per esempio, se

lz k

Figura 10.3

=j

A = 3.0 i + 5.0j

A X 8 = (3.0i + 5.0j)

172

= O poi-

Molto spesso, i cttori si 'Sprimera nno in forma di versori ed c~nvenie~le u ar la tab Il a d i moltipli a/ ione per i versori. Si nol i che i, j e k rapp r sentano un 1stema d 1 ttori mutuam nte

e

B - 4.0j,

allora poss iamo ca l olarc il p rodo tto ve ttoriale:

' B om ' in Figura 10.2.

ia, A x A

ché O= 0°, e scn(O) = O.

k X

e e O l'angolo fra

A

A

La dircL.ione di perpendicolnre al p iano formato da A e B, e il verso det rmin.a to ~a lla re.go~ la della m ano de tra. Bi ogna eserci tarsi con questa regola cegli ndo va rie e pp1e d 1 vetto ri . S1 noti he B x A è opposto ad A x B. Ossi a, A x B = - B x A . iò segu dalla r gola d l~ a ma no~ tra. '\ion confond re il prodotto ve ttoria le di due ttori, eh una grandeua v llo.n al '. c~n il pr dotto sca lare, che è una g rand L.za sca lare. (Ri ordar i he il prodotto alare 1 dcf1 n1 c come

Se A e B ono due vettori qua lsiasi, il loro prodotto vettori ale, scritto come A x B, è un ve ttore C. ioè,

e

X

X

(4.Qj ) - 3.0i X 4.0j + 5.0j X 4.0j - 12.0k

173

Capitolo !O

Capitolo 10

R ndc r i conto che il teorem a dell'energia cinetica si può applicare ad un corpo rigido in

ELENCO DI CONTROLLO

rotM ionc. Ossia, il lavoro netto svolto su un co rpo ri gido ro tante attorno ad un asse fi sso è ugu ale all a va ri az ione dell a su a energ ia cineti ca rota z ionale.

C>

D efinire il prodotto vettoriale (modulo, direzione e verso) di due ge neri ci vettori, A e B, d

C>

Descri ve re le due ondiz ioni di equilibrio necessarie per un corpo ri gido.

i>

enunciarne le proprietà. A ppli ca re il principi o dell a con ervaz ion

del momento angolare ad un corpo che ruo t.1

atto rn o ad un a se fi s, o ed il cui momen to d' iner.!'.:ia var ia a ca usa di una va ri a1.:ionc dell,1 di tribu z ionc di ma sa.

C>

Descri vere il moto dcl centro di m assa di un corpo ri gid o sottoposto sia a una ro taziom· attorn o ad un a, se fi sso sia ad una trasla/ ione nello spa zio. o tare che nel mo to di puro rotolam nto l'en rgia cineti ca to ta le si pu ò esprim re come la somma dell'e nerg ia cinetic,1 ro taL.ionale ri spetto al centro di massa e dell 'energia traslaz ionalc dcl centro d i m assa.

C>

Per un sistem a costituito da un corpo ri g ido in rotazione, lo spostamento angolare, la ve l cità e l'acce leraz ione sono co rrelati quantitativamente alla di tan za percorsa, alla e l oci l~1 tangenz iale cd alla a

elc ra z ione tangenziale. La g randezza lineare, per un oggetto o per un

punto i n un tale sistem a, si ca lcola m oltipli ca ndo la g rand eu.a angolare per la dista n za rad iai dall 'a e di ro tazione.

D OMANDE CONCETTUALI Qual è il m odul o de lla velocità angolare w d ell a lance tta dci seco ndi in un o rologio? Q ual ti ve rso di w qu ando gu ard ate un orolog io appeso ve rti ca lm en te? Qua l l'ac eleraz ion angolare

1.

cr dell a lance tta dci secondi?

Ris posta

Applichi amo il m odello di corpo ri g ido in moto con velocità angolar co tante.

I.a !»cond a l ane tta dell 'orologio compie una ri olu z ione ogni minuto, LOSicché

C>

e un corpo ruota attorno ad un a se fi sso, og ni parti ella dcl corpo ha la stessa velocità angolare e la tcs a acce lerazione angolare. Per que ta ra gione, il mo lo ro tatori o si può descri vere sempl icemente usa nd o qu ste grandezze. Le relazioni che de cri ono i l molo angolare sono ana log he all ' insieme delle co rrispond enti relazion i relative al m o to linear e.

w -

alcolarc il m omento d' inerLia I d i un sistema di particelle o di un corpo ri g ido relati vam ente ad uno specifico asse. olare che il va lo re di I dipende (a) dal la distribu zione di

60 s

0.105rad /s

li m olo è in verso ora ri o, co icché la d irezione orientata dcl vetto r velocità angolare

C>

2rr rad

quell a entrante nella pa gina. La lance tta ru o ta i n modo

uni form e, cosicché w

costan te ed cr

1.:ero.

o o o o

m assa e (b) dall'asse attorno al qu ale la ro taz ione avv iene. li teorema degl i assi para lleli usa per ca lcolare I ri spetto ad un asse parall elo a qu ell o ch e passa per il cen tro di m assa.

C>

cr ea re d' impadroni rsi dcl conce tto di mom ento mecca ni co a socialo ad una forLa, no tand o che il m omento d i una fo rza è ugua le all a forza per il braccio. Ino ltre, notare che il va lore d cl m omento mecca ni o dipend e dall 'origine ri spetto alla quale e o è ca lcolal o.

2.

Se un oggetto è in rota/ione, deve necessa ri amen te agi re su di esso una co ppia?

Ri sposta U n ogge tto ruota on clocità angol are costante qu ando su di css~ agisce una coppi a r isultante u gu ale a zero. om c esempio, on id era la Terra; es a ru o ta a velocità an gol are cos tante un a volta al giorno, m a non c'è alcun mom ento m ecca ni co che agisca su d i essa.

o o o o

174

175

Capitolo 10 3. Una sca la ap poggia ta contro una parete. Provereste a a li re in s icurezza la ca la se i i d ice e hc il pav imen to senza a ttrito m a la pa re te è cabra, o se la parete è senza a ltrito e il pavime nto cab ro? Ris pos ta 11 di cgno mos tra le forLe agenti ulla ca la e la parete e il p av ime nto esercitano e ntra mbi una fo rLa d 'a ttrito. e il pa imento fos e pe rfe ttame nte li eia, e o no n potrebbe e e rcita re una forza d 'a ltrito verso d es tra per controbi la ncia re la forza norma le d e lla parele. Q ui nd i, una sca la s u un p avi m ento li eia no n può rima ne re in eq u ilibrio . D'a ltra pa rte, una pare te liscia pu ò a nco ra esercita re u na forza no rma le pe r te ne re la ca la in equi li brio oppone ndos i a l m oto o riZLOntale. Il mome nto mecca ni o d i que ta fo rza, essend o in ver o a ntiora rio, evita la rotazio ne a ttorno a l p ied e della sca la. Q uindi do v re te scegli e re un pavime nto sca b ro.

Capitole 10

PROBLEMI

1. Un m oto re e lettrico, che mantie ne in rotazio ne una m o la a ll a velocità di 100 g iri / m in, vie ne "pe nlo. uppo nendo che la d ecele raz io ne d i 2.00 rad / 2 ia coslan le, determina re: (a) il tempo im p iega to da lla mola a fe rmarsi e (b) l'a ngolo, in rad ia nti, pe rcorso prima di a rresta rs i.

So luz ion e Appli chia m o il mode ll o di co rpo rigido in m oto con a ce lc raz ionc angolare co tan te. Si ha che a = - 2.00 rad I 2

w = 100 g i.ri ( 2n rad x1min) = 10.47 rad I '

60.0 s

t-

o o o o Perché un e qui librista u lla fune porta una lunga asta pe r a iu tar i a tare in equilibrio me nlre ca mm ina u ll a fune?

g iri

_ w1 - w; _ 0 - (10.S rad /s) _ 2 - 524 . s a - 2.00 rad I s

(a)

(b)

min

w/- {J)? =2a(e1 - e;)

8 f

e = w/ 1

- w;2 = O- (10.S rad I )2 = 27.4 rad 2a 2(- 2.00 rad / 2 )

o O

4.

Po ich continu a ad ag ire un 'accele raLion cos tante d uran te il tempo t,

Ris pos ta

e! - e;= wt = ( 10.5 +~ rad I s )5.24

La lu nga a ta a ume nta il momento d ' inerzia d e ll 'equilibri ta e quind i diminuisce la ua accele raLionc a ngolare, pe r q ua lunque dalo momento mecca nico. iò g li con e nte un maggio r te mpo di rea z ione, qu indi in so ta nza a iuta i s u o i rifle si.

o

) = 27.4 r ad

U n disco, di 8.00 mdi raggio, ruota inlorno al s uo asse, fa e ndo 1200 g iri / minuto. a lcola r (a) la velocità a ngolar d c l d isco, (b) la velo ità linea re d i un punto e h.e si tr a a 3.00 cm da ll 'asse, (e) l'accc lera z ion radia le di un pu nlo hc i trova s u l bordo d e l di s o e (d) lo pa z io percorso, in 2.00 , d a ta le punto. 2.

o o o o

o luz ion e

176

(a)

w = 27if =(27rrad /giri)(

1200giri / min) / I . = 125.7 rad = 126 rad 60 s/ min

(b)

v = wR = (125.7 rad I )(0.0300 m ) = 3 .77 m I s

(e)

ne= w2 R = (125.7 ra d I s)2 (0.0800 m ) = 1.26 x 103 m I

(d )

s =Re = Rw t = ( .00 x 10- 2 m )(125.7 rad I s)(2.00 ) = 20.1 m

177

2

o o o o

Capitelo 10

Capitolo 10

3. Q ue to problema d e cri ve un m etod o peri mentale per determ ina re il m om ento d ' inerL.ia di un

ulla ruota in Figura 25.0

cm.

co p aga nte per un atellite. La Fi gura J0.4 mostra un 111

il momento ri sultante

10.5, ri spetto all' asse passante pe r O, e a= 10.0 cm e b

oggetto d all a forma irrego lare co me quella di un ca ri cilindro di mas a

Trovar

4.

ospe o a una cord a che è avvo l-

L, -r = L, Fd:

Soluzione

ta attorno a un rocchetto di ra gg io r, che forma una

-cri~ = (12.0 N)(0.100 m )

parte di un sistema g irevole che so tiene l'oggetto. Quando i l cili ndro è ri lasciato d a fermo, scende di una qu o ta /1, acqu istand o una velocità v. D i mostrare che

r ri., =-3.55

il momento d ' inerz ia I d el sistema (incluso l'a pparato g irevo le) è

3 55 C ·oè I I

Fig ura 10.4

-(10.0

)(0.250 m)

-(9.00

)(0.250 m )

9.00 ()

·m

Fig ura 10.5 ()

· m verso l' interno de l p iano del la pagina.

•

'.Jotate che l'a ngolo d i 30° non compare nella olu zione.

otate pu re he le forze di 10.0

9.00

'\I producono cntran1be un m omento meccanico n gati o, nel ver o ora r io.

Soluz ione

~ l 'a ttrito è

tra c_urabile, allora si conse rva l'energ ia d c l istem a contrappcso-equ ipaggiam nto-

pi atlaforma. Ogni punto d ella corda i muove con ve locità v to. Jn accord o all a conservazione d ell 'energ ia si ha:

= wr, e

end o r il raggio dcl rocchet

5.

na ba rra uniforme di massa

dc i blocchi d i massa

111

e 1

111

2

1111>

e lunghcLL.a ( supporta

in due posizioni, come in Figura

10.6. La barrar sla in quilibrio sul filo d i d ue col Lelli. Per qual va lore di x la barra sarà in eq ui li brio in P in modo che la forza no rm ale in O sia L.C ro? So luz ion e

HL o l ve ndo, si ottiene

O+ O+ mgh + O+ O= f mv

mgh =f mv 2 +l -l v

2

+f tcv 2

+ O+O

App li chiamo i l modell o di corpo rigido in eq ui li-

b rio. facciamo riferi mento al d iagram m a di corpo libero

2

Figura 10.6 conside-

r iamo i vari momenti ripetto al p u nto P.

2 ,2

r.rp = -11

0 [~ + d] + m1g[f + d] + mbgd -1112gx =O

v2

2mgh - mv 2 = 1 2r

L' ob iettivo

tro vare

x affin ché 11 0 = O. Imponiamo 11 0

Oe risol-

v iam o ri spcllo a x. e per finire

()

()

così

178

179

Capitolo 10

Capitolo 10 6. Un'insegna un iforme che pesa F~ e ha la rg hezza 2L è a ppe a a un a barra orizzonta le leggera, impe rn iata a l muro e o ten uta da un cavo (Fig ura 10.7). Dete rminare (a) la ten ione d c l cavo e (b) le componenti d e ll a forza d i reaz io ne e e rcita ta da lla parete ulla barra, in fu n.lione d i Fg, d, L e 8.

7. Due b locchi (Figura 10.8) sono co llega ti da una fune, di ma a trascurabile, che pa sa s u una ca rrucola di 0.250 m di raggio e mo me nto d ' inerzia 1. li blo cco po. to s ul p ia no incl ina lo s i muo e in u con un'accclcra/ ione co tante di 2.00 m h,2. Si d ete rm inino (a) le te ns io ni T 1 e T2 ne i d ue tratti della fu ne e (b) il mo me nto d ' incu.ia d e lla

So lu zione

ca rr uco la.

D isegnate il di agra mm a di co rpo li bero come mostrato. La te nsio ne ne l cavo è dire tta lungo il cavo e for ma un a ngo lo O ri pe tto a ll'ori zzo nta i . a lco la re i mo men ti delle forze ri p tto a ll 'estre mo si ni. tro dcll'asta

Rx

tRy

f""'-

2L-

Figura 10.8

Fig u ra 10.7 So luz ion e

T

r

(a )

2 F = mg= (15.0 kg)(9.80 rn / s ) = 147

li b locco di massa 15.0 kg pesa

8

O La s upe rficie dcl p iano inclinato piano inclinato ve rso l'a lto,

d+L '--- -d+2L---- E .

1

•

La dim e n io ne dell' orbita e le ttronica perm e · a è d e termina ta d a una condiz ione impota ul momento angolare o rbital e deg li e le ttro n i. Le orbite perme e o no quelle pe r I quali il momen to a ngola re orbita le d g li e le ttron i intorno a l n ucleo un multiplo intero di fi = h/ 2rr. 11/Vr = 11fi

dove

/1

=

1, 2, 3, .. .

Lo s ta to s taz ionario p iù basso di un e le ttrone è chi a ma to stato fond a me ntal e. La minima e nergia richiesta per io nizza re un atomo (rimuovere un e le ttrone da ll o s ta to fonda men ta] o ttraendo lo a ll'azio ne d c l p rotone) i chi a m a e ne rg ia di ioni zzaLione. Secondo il pri ncipio d i corris ponden za, la mecca ni ca quanti tica è in accordo con la mecca ni ca clas ica quando i numeri qu a ntici ono mo lto g ra ndi.

192

La fo rza g ravitaz ionale F 12 s i può espri m ere in fo rma vetto ria le. Il versore i- 12 è diretto da 111 a 111 ed F è la forza agente s u 111 2 dovu ta I 2' 21 il 111 1. Pe r la terza legge di ewton, F 12 = - F21 .

(11.3)

2

La co tante di propo rz ion a lità nella terza legge d i K~p l cro è indipe nd e nte d al la massa del pianeta. JI va lore dato va le p e r le orbite ,1ttorno a l Sol . Per le o rb ite attorno a lla Terra,

T2

4n-) a3 =Ksa 3 =( -

(1l .4)

GM5

Kr = 4rr2 I GM.1•

1 Mm E=-mv 2 -G--

L'energ ia to tale E di un s i. tema a due corpi posti ad una dis tanza r è la o mma dell'ene rg ia cinetica d e lla massa o rbita nte 111 e d ell'energ ia potenz ia le del s is tema, ave nd o ass unto che la massa M s ia ferma in un s istema di ri ferimento ine rzia le .

2

193

r

(Jl .5)

Capitolo 11 Qua ndo un corpo di ma a /11 si mu ove lungo un' orbita cir coJare attorno a un corpo di m a a M m aggiore

Capitolo 11

E=-GMm

(1 1.11

2a

• Ass umend o che la mas a M sia ferm a

emeti ca. Si noti che l'energia tota le è negativa, l,1 qual cosa indica che il sistem a elcttrone-

I

l' en ergia total e dc l sistema è la somma della Il/

protone è legato.

V

e d ell'en rg ia potenzia le

del istcm a. Quando ·i ca lcolano am bed ue i contributi, i tro va che l' en ergia total e E è

Un'espres ione per il ra ggio delle orbite permesse i può ottener e da lla combinaL.ione

nega ti va ed è data dall'Equazione 11.6. T ale

r,,

dell'eq u azione pe r la q u an tizzazio ne del mom ento angolare orbita le dell 'elettrone con

risultato deriva dal fa tto che l'energ ia cinetica (posi ti va) è ug uale all a m età dell'energia potenziai (nega ti va) in va lore a soluto.

(11.7)

ma velocità co n cui un co rpo d eve es ere lan-

Si noti

1 RH( -12 - -12 ) -= À.

e

d'ond a dell a radia zion e emessa dipendo no da i numeri quantici ini ziali finali .

À

22

dove

colare p r mezzo di un ' quazionc empirica. L a rie di va lori d Il lunghenc d'onda che neri ulta si chiama., •ri 'd i Balm 'r.

( 11 .11 )

dove n = l, 2, 3, . ..

ta le d iver o. La frequenza e la lungh zza

~ = RH( _l_ _ _l_)

ge no che appaiono nella regione d I v isibil e hanno lunghezze d 'onda che si po ono ca l-

= 1, 2, 3, . . .

11

l'e lettrone compi e una transizione da un o ..,tato ini ziale a uno stato finale di raggio orbi-

qua lsia i oggetto lanciato da qualsia i p ianeta, o titu endo MT con M, ed R r co n R.

ione dell'idro-

( 11.10)

2

E,, =- 13.606 eV 2

troniche (co ì co me si assume nella teoria d i Bohr) condu c con egu entcmcnte alla quan-

La rad iazione è em essa da un atomo qu ando

che vfug.i non dipend e dalla ma a d el co rpo lanciato. Que ta qua zione i può applica r e a

Le rig he dello spettro di emi

mekec

tiuaz ione dell 'energia dell 'elettrone.

ciato dalla Terra, ma a MT e raggio RT, per · fu ggire al suo ca mpo gravi tazionale (cio , ).

112.,.,2

l'equazione dell'energia cinetica .

La velocità di fuga i defin isce co me la mini -

=

=

dove n

I a qua nti zzaz ione dei ra ggi delle orbite elet-

ra ggiungere con velo ità zero r

( I 1.9)

E=- -e2r

idrogeno è data da U,. = -k,. c2 / r; l'cn rgia cineti ca è K = k" c 2 / 2r. L' en ergia totale, [, la ..,om m a dell'energia potenziale e dell'energia

• Dove M >> 111, e

en erg ia cinetica di

k c2

L'energia po tenzial e elettri ca d !l'atomo di

RH

(11. )

n2 /1

= 3, 4, 5, .. .

=1.0973732 x10

7

m ·1

( 11. 12)

n,

11

1

f =!:__ À

ELENCO DI CONTROLLO

>

Enunciare le tre legg i di Keplero dcl moto planetario e rendersi conto che le leggi . ono di natura em pi rica, ossia esse so no basate su dati astronomici. Descrivere la natura della legge di gravi tazione uni ver aie di dedurre la terza legge d i Keplero

(T 2 oc

r 3)

da lla legge di

ew ton e il metodo per

cwton per le orbi te circolari.

Rendersi co nto che la seconda legge di Keplero è una conseguenza dell a conservazione dcl momento ango lare e della natura centra le della forza gravi ta Liona le.

194

195

Capitolo 11 C>

Capitolo 11

Descri vere l'energ ia totale di un pianeta o di un sa tellite che s i muove lungo un'orb ita circolare attorno ad un co rpo di m assa maggio re. o tare che l'energ ia tota le è n egativa, com

ercare d i compre ndere il s ig nifi ca to d e ll a velocità di fuga e di ottenerne l'espressione usa ndo il principio di conservazione dell'energia.

e

(d - x)=

C>

Descrivere il modello di Bo hr dell'atomo d i idrogeno. Mettere in re laz ion e le ass unz io ni di base e le rig he spettra li os ervate.

In e ne rale, p o s ia mo ignorare l'a ttrazione g ra vitazionale d el pianeta lon~ano. ·quand o ci t r~via.­ mog nelle vicinanze d e ll 'altro; in tal caso i ri s ultati saranno ancora con etti. Q uindi, la differenza di energ ia, app ro imativamente, tra il punto x e la s uperficie d el la Terra, è

C>

alcola re la freque nza e la lung hezza d 'onda d e ll a radiazione e messa quando l'elettron d e ll' idrogeno compie una transizione tra li velli e ne rgetici con numeri qu a ntici di versi.

d{M;

~M L + ~MT

~ET-+x

DOMANDE CONCETTUALI

Similmente, partendo d alla Luna:

1. Spiega re come m a i è necessario più ca rbura nte ad una na vice lla per v iagg ia re dalla Terra a lla Luna che non per il viaggio di ritorno. Stimarne la diffe renza.

Co ns idera ndo il ra pporto del le energie,

La m assa e il raggio d e ll a Terra e d e lla Luna 6

22

ono MT

=

5.98 x

106

J024

{H;(d-x)= x

V~

-H

m ET-H ~ EL -H

=

-GML d-x

-GML RL

~( My _ My )/(~-ML );230 x

RT

d-x

RL

o o o o Perché non v ie ne pos to in orbita un atel li te per le co~uni c~zion i a ttorno'a•145mo p~ra llel o? on sarebbe ciò più utile p e r g li Stati Eu ro pei che non uno 1n orb ita a ttorno a li Equato re.

Rispos ta Un sa te llite in orb ita a tto rno a l 45mo para lle lo sa rebbe mo lto più utile, ma c~ò non è po ibile. Il centro d ell' orbita a te llitare deve e se re il centro d ella Terra, poiché questo è il centro di forza per la forza g ravitaz iona le.

o o o o

196

-GMT -GMT X RT

C iò corrisponde anche al min imo rapporto per il com bustibile nel cas.o in ~ui .l'a tronave fo .e s pinta con un mezzo dive rso dalla propul ione a razzo. Se si usa sero t razzi, s~ ~avreb be applica re l'Equazion e 8.18, e il rappor to d e l combu tibile to ta le arebbe molto maggiore.

2.

e

~EL

=

kg,

RT = 6.37 x 10 m, ML = 7.36 x 10 kg, RL = 1.75 x m, ri p e tti vamen te. La loro d is tanza relati8 va è d = 3.84 x 10 m. Per il viaggio dalla Terra alla Luna un moto re d eve sp ingere l'as tronave fi no a un punto inte rmedio in cui il ca mpo g ravitazionale tota le è ug ua le a zero. Indichi amo con x la di tanza d i ques to punto dall a Te rra. Affinché il ca mpo totale s ia nullo, la Terra e la Lun a devono produrre cam pi u g uali:

Iso la ndo x,

d~ML 7 ~ =3.83 xl0 m ~ ML+ MT

appross1 mat1v~mente

m

Risposta

= 3.46x 108 m

197

Capitolo 11

Capitolo 11

Calcola re m od ulo, direz ione e ver o d c l ca mpo g rav itazio nale nel punto P pos to u\ la perpe ndi cola re pas a nte p r i\ punto di mezzo della con g iungente due pa rticelle di u g u a le m as a po te a lla

2.

3. Si dice che H e nry Ca vendi h in un uo e pe rimento del J798 abbia " pe a to la Terni' Fo rn ire una s piegazio ne di que ta affe rm azio ne.

La Terra crea un ca mpo g ra v itazio n a l

R isposta

g =

CMr

~.

al la

ua

u perfi cie seco ndo la re la ziork

1 fattori g ed RT o no noti, co icché ave nd o Cavendi h mis ura to G, egli ha potuto ctll

T

f (I

d istanza 2a, com e in Figu ra 11 .1. So luzio n e

Dobbiamo o mm a re i campi vetto ria li creali dalle due

ma e. In forma d i equaz io ne s i ha g

co la re la massa d e ll a Terra.

M

:M

g =

o o o o

1

g

=

g 1 + g 2 dov

M 2

che p u n ta a s ini tra e ve r o l'a lto con un an golo

e

r +n

2

=

PROBLEMI

Figu ra 11.l

CM che punta a 1111 tra e vcr o il ba o con un a ngo2 2 r +a lo ()

Pertanto,

11 ca mpo g rav itazio na le u lla s upe rficie della Luna è circa un se to di q u e ll o s ulla s uperfi c ie te rr tre. Se il raggio d e lla Luna è circa un quarto d i quello d e lla Terra, trovare il rappo rto fr.1

1

g=

CM CM . CM . CM ( ") 2 e n8 - 1 cos 8(- i) + sen8(J) + 2 cos 8(- 1) + 2 2 2 r2 + a2 r2 + a r +a r +a

la d e n ità m ed ia d e ll a Luna e la d en ità me dia della Terra.

Soluzion e

L' e pre

2CM g= 2 2

li ca mpo g ravitaziona le ulla upe rficie de ll a Te rra o della Luna è dato da g = CM

R2

r +a

o

. . - 2CMr . Vr r+a2 (-1)+01= ( 2 +a2)312 • r

ione per la d e n i tà

C 4 npR3

M = :!.3. npR 3

icch é

e

g=

3

R2

3. Dopo ch e il no t ro Sole av rà e a urito il uo combu stibil nucl~are, ~ po ibi le he il uo d e..,ti no ia que ll o d i colla are in un a 11a11n bia11cn, la quale av rà a ppro 1ma.hva m ~te la te a m ~ssa Lhe h a o ra, m a un raggio u g u a le a l raggio ter re tre. Calcola re (a) la d e n 1t~ medi a~ Il~ n a na bian-

4

=C

3

npR

Si noti che que ta eq uaz io ne i app lica ia a lla Lu na che a lla Terra, perciò d iv ide ndo fra lo ro le due equaz io ni

ca, (b) l' accele razione di g rav ità ull a u a up rficie . ~c) l'ener~ia pote nz ia i gr~v1 ~a~1 onale a oLiata con un oggetto di L.00 kg po to ulla u a uperf1 c1e. ( o n 1de rare U8 = Oa li 1nfin1to). So luz io ne

_ Ms (a)

So tituendo,

l. = ei.....(1-) 6

PT 4

e

E!... =i =3. PT

6

198

3

o

p- V -

=

Ms

(1)nR1

3

l.99 x 1030 k g = l .84 x l09 kg / m 3 3 6 (1 )n(6.37 x 10 m )

(li ris ulta to è d ll'ordin di 1 mi lione di volte la d e ns ità d e l cem e nto a rm a to! )

199

o

Capitolo 11 (b)

Pe r un corpo d i ma sa = GM 5 = (6. 67 x 10-

g

/11

11

Rr2

ulla ua uperfici ,

111g

Capitolo 11

= GM m I R} . Q uindi,

Po siamo cri ve re r in term ini del pe riodo, T, o n ide rand o il tempo e la lunghez;;a ~i un iclo com pleto . La d 1· tan La percorsa ·111 un ' or b"ta 1 è la lunghezza d ell a circonferenza dell'orb1la ste ll ar comu ne, 2rrr vT. Pe rtan to

5

2 2 I kg )(1. 99 x 1030 kg) = _ x 6 m I s2 3 27 10 (6. 37 x 106 m ) 2 ·m

= 4v r =(4v J(vT)= 2v 2

(Qu c ta accelerazione è d ell 'o rdine d i l m il ione di vo lte quella de lla Terra) 2

2

M

3 · m I kg )(1. 99 x 1030 kg)(l kg) (6.37 X 106 m) = - 2.08 X lQ 1

(e)

.

J

e

C

21r

3

T

nG

3 2(220 x 103 m / s) (14 .4 d )(86400s I d )= _ x 1032 kg 1 26 M= 6.67 x 10-11 N · m 2 I kg 2 )

o

(Una co ì elevata energia pote nziale fo rni cc un gra nd e guadagno in energia cineti ca anche con picco le va riazioni di quo ta. Ad e empio, la ciancio cad ere il co rpo di 1.00 kg d-1: la ca usa della accele razione cenlrip la ag n-

Qu indi,

4n2 (4.22 x 108 m) 3 1 g iorno Mc.,= CT2 = (6 .67xl0- 11 N·m 2 / kg 2 )(1.77 d ) 2 86 400 s

e

Mc= 1.90 x 1027 kg

4 n2r3

(

i ottiene F = mac per ciascuna ste ll a: 8

o

icché

200

l

~ )2(kg · m2

201

Capitolo 11

Capitolo 11

6. Un " atell ite treeto p" è un sa te llite che o rbita a ppe na a l di o pra d ella uperficie di un oggetto s fe ri co, a s u m e ndo che non ci ia a ttrito con l'a ria. Dimos trare eh la s u a ve locità o rb ita le v e la s ua ve locità di fuga d a l pi a ne ta o no corre la te d a l!' es press io ne v =,2v fuga

·

s.

U n a to m o di idroge no è ne l s uo prim o tato eccitato (n = 2). Usand o la teoria d i Bo hr d e ll'ato mo, calcolare (a) il ragg io d e ll 'orbi ta, (b ) la qua n tità d i m o to d e ll 'e le ttron e, (e) il m o me nto an golare d e ll' elettron e, (d) l' e ne rg ia cin e tica, (e) l'e ne rg ia poten z iale e (f) l'en e rgia to ta le. Suggerimento: Rico rd a che n0

Soluz ione Ind ica te con M la ma a d e l pia ne ta e con R il s u o raggio . Per il atell ite "treetop " (cioè un a te llite ch e s fiora la upe rficie te rre tre, .d.T.), L.F = 111a d iventa oppure

v = ~G:

Soluzio n e (a)

Quindi,

Vfu ga

GMm - R- = O

oppure

(a) Qu a le va lore di 11 1 è a ocia to con la riga pe ttrale a 94.96 nm ne lla e ri e di Ly rna n d ell ' idrogeno? (b) Po tre bbe es e re qu esta ri ga a ociata con la se rie di P asche n o Ba lm e r?

A

n/ n/

2(6.63 X10-

1 - ---..,9::-- = ( 1. 097 X 10- 9 m · I )( 1 - - \ 94. 96 X10- m 11;

(a)

Ri ol vend o ris pe tto a n;,

n;= 5

(b)

Da lla Fi g u ra 11 .3, le linee s pe ttra li d e ll e se rie d i Ba lm e r e Pa he n ha nn o tutte lun g hezza d'onda maggio re, po ich é una min o re mis io ne di e ne rg ia è richies ta pe r porta re l'a to mo ai liv lii 2 e 3. O

J

(d)

1

I 1 1

l

Balmcr

S.:nc d1

Lyman

J-s

2

m2v2

K =- mv =- - = 2m

(9.95 x 10- 25 kg ·m / s)

p2 2m

=

) 2( 9.11 x10- 31 k g

2 =5.44 x10-

19

J

J)(1.60 lx eV_ ) = 3 .40eV 10 19 J

u = -kee2 = (- 8.99 X109 N . m 2 ; c 2)(1.60 X10- 19 c )2 = - 1.09 X10·18 J= -6.80 e V ·

r

(0.212 x 10- 9

m)

E= K + U = 3 .40 eV -6.80 eV = -3 .40 e V o ppu re E= (-13.6 eV) / n2 = (- 13.6 e V)/ 22 = -3 .40 eV

o

o o o

--0~

-3 40 1

9. Il po itro ne è l' a ntiparticella d e ll'ele ttron e . Esso ha la s tes a ma a e una ca rica e lettri ca po it iva d e llo s tesso va lo re di q uella d ell'elettrone. Il pos itronio è u n a to m o sim ile al l'a to m o d i idroge no costitui to d a un po itro ne e d a u n e le ttrone ch e ruo ta no l'u no a tto rno a ll 'al tro. U a nd o il m od e llo di Bo hr, trova re le dis tanze permesse fra le d ue par ticel le e le e ne rg ie perme se d e l i te ma .

Figura 11.3 202

o

--0.544 2

II II - 15 12 S.:ricdI P"-'Cht:

S.:ne di

= 2 .ll x lO-

0.212 x 10- 9 m

r

2

(f)

o

o

mv= mvr = 2.11 x 10-34 J- s = 9. 95x10- 25 k g. m I s

(e)

So titue ndo i va lo ri d a ti,

34

(b)

2n

K = (5.44 x 10- 19

n1= 1, e n; = 2, 3, 4, ...

J- S)

mvr = nft =

J

e pe r la e rie di Ly ma n,

34

(e)

RH = 1. 097 x 107 m - 1

d ove

o

Po s ia mo o tte nere p iù facilm ente (e) p ri ma d i (b).

o

.:!_ = R H( - 1 _ _1

= n 2a0

r2 = 4(0 .0529 nrn) = 0.212 run

{2GM

= -f2v

La nos tra eq u azio ne è

= 0.0529 nm

mcl2

r,,

Da lla Eq u az io ne 11 .9

vruga = v ~

7.

So luzi on e

fi2 k

A pplichi a m o il mo d e llo d i Bo hr d e ll 'a to mo d i idrogeno.

A ppli ca ndo la conser va z io ne d e ll'ene rg ia a un oggetto la n cia to con la velocità d i fuga s i o ttien e . 2 z1 111Vfuga -

=

203

Capitolo L

Capitolo 11 Soluzione Poiché il po i tronio un si t ma idrogenoide ci a pettiamo che i raggi cd i li velli energetici permc. i iano all ' in ci rca gli ste i d ell 'atomo di idroge no: r = a0n 2 = ( 5.29x10- 11 m )n 2

E11 =(-13.6 eV) / n 2

e

10. el corso introdutti vo di laborator io di fisica, la bilancia di avendish, per l a mi ura de ll a costa nte grav itaziona le G, t ostituita da due fere puntiformi di 1.50 kg e 15.0 g d i massa ri spettivamente, i cui cent ri distano 4.50 cm. alco larc la forLa grav itaL.ionale tra le sfere, co nsiderandole come masse pu nti formi loca lizza te al centro del la sfera.

Soluzione

Possiamo usa re la quanti zzazione d el mom ento angolare dcl posi troni o p r trovare i raggi ed i li velli energetici. Indi ch iam o con r la d i tanza tra l' elettrone ed il po itrone. I due i muovono udi un cerchio di raggio r / 2 attorno al centro di ma a on v loci tà oppo te. 11 m omento angolare totale è quanti zzato econdo larelazione L 11 =~ mvr+ ~ mvr = nh dov n = l , 2,3, ...

k e2 mv 2 Per ciascun a particella, "[F = 111a, d i venta _e_= - r2 rI 2 nf1

Po siam o el imi nare v = per trovare mr

kee

2

m2r 2 2;. 2

o ì le distan z di separazione sono

2n n r== 2a0 n 2 = ( 1.06 x 10-10 m ) n 2 rnkee2

F = 7.41 X10- 10

o

2r

m2

I

( 4. 50

k g 2 )(1.50 kg)(0.0150 kg)

x10- 2 m)

2

o

=741 p

, , . _ d _ _,J

che sia l'energ ia che la quantità di m oto si con crva no). A ppl ichi am o l a conse r vaz ione dell'energia e

dell a quantità di moto (a)

L'energia può es ere calcolata da

= kee2

.

11. Due ipoteti ci pianeti di masse 111 1 ed 111 2 e raggi r 1 cd r 2, rispetti amcnte, so no fermi quando 'ìono eparati da una d i tanza infinita. ca usa della loro attrazione gravitaLiona le, i anno l' uno verso l'al tro u una rotla di co lli ione. (a) Quando la di tanza fra i lo ro c ntri d, trovar la

Soluzione

mv2

--

11

1

I raggi orb ital i ono r / 2 = a0 n 2, g li te si dell'elettro ne del l' atomo d i idrogeno.

Poi ché

r

(6.67 X 10-

veloci tà d i ciascu n pianeta e la lor o v loci tà relati va. (b) Trovare l'energi a cinetica di iascun pianeta ap pena prim a 24 dell a collisione se 111 1 = 2.00 x 1024 k g, 111 2 = .00 x 10 kg, r 3.00 x 1Q6 mcd r2 = 5.00 x 106 m. (S11ggcrimc11to: Si noti

= 2mn 2f1

r

G F -- m1m2 2

A d ista nza infinita ri u l ta U

= O e a riposo

K

= O.

Poi hé l'energia i con er a, abbiamo (1)

o

I

La quantit, di moto ini ziale è zero e si conserva. Quindi:

l i raggio dell'orbita elettroni ca è lo te o nei nostri m odelli dell'id rogeno e d el po itronio, m a le d i tanz d i ep arazione perm e per i l po itronio ono il doppio di quelle dell'idrogeno e i alti tra i li velli energetici sono d imezza ti. Una spiegaz ione di que to ri ul tato ri iede nel fatto che il protone ha una m a a molto pili gra nd e dell'elettrone, quindi il protone r ta quasi fermo e pri vo di nergia cinetica. A l contrari o, i co tituenti del po itronio hanno la ste sa ma sa e qu indi entrambi hanno un'en rgia cineti ca eh li para l' uno da ll 'a l tro e che ridu ce l' inten ità del la loro en rg ia total ri p ll ,11 caso d ll' idrog no.

204

(2)

e

Metti in sieme la (1) e la (2) per trovare

2G

o

La velocità relati a è

205

Capitolo 11 (b)

So titui am o i va lo ri numcn c1 nell'eq uaz ione trovata per v e v nell a parte (a) per ri e.i 1 2 va rc v 1 - 1.03 x 104 m / e v = 2.58x1Q3 m / s. 2

Capitolo 12

Q uindi,

e

o

12. Due tc ll c di massa M cd 111, poste ad una di stanza d, ru o tano i n orbite circo lari a ttorno al loro centro d i ma a (Figura 1J .4). Mo tra re che ogni tella ha un periodo da to d a y2

=

,,,,,~------

lii

Moto oscillatorio

.... ,

''

,,,,

'

\

2

4n d3 G(M + 111)

I I I

(Suggeri111ento: Appl ica re la seconda legge d i

ew ton ad og ni tel· la e notare com e la condiz ione del ce ntro d i 1na a imponga Mr2 = 111r 1, dove r 1 + r 2 = d ). So luzi on e

,,."

/

Fig ura 11.4 Per la stella di ma a Me raggio orbi tale r

, 2

[F = ma dà

Per la tella di m a sa 111, [F

= ma

dà

Semp li fica ndo le fraz ioni, otten iam o il sistema d i eq uazioni:

GmT Somm ando, t roviamo

2

=4n 2d 2r 2

GMT 2

INTRODUZIONE

=4n2d 2r 1

2

Qua nd o la fou.a eh ag i ce u un orpo è proporz ionale al suo spo tamcnto dalla posizione di equi li brio ne ri sulta un parti colare tipo di moto. Se la forza agi ce emprc verso la po izio-

G(M + 111)T = 4n 2d 2 (r 1 + r 2 ) = 4n 2d 3 y2 =

2 3

4n d G(M + m)

o

I~

un i ter~a. binari o d i stel le v isibili T, d, r 1 ed r 2 i possono qualche volta m isurare, cosicch ri su lta po rb rl c ca lcolare la m assa d i eia cun componc nt .

nc di eq u il ibri o, ne risulta un mo to avanti e i nd i tro attorno a q uesta posiz ione. Un tale moto

un

esemp io d i ciò che i chiam a mo to periodi co o oscillatorio. Alcun i m o ti period ici sono molto fa mili ari, come ad esempio le o cill azioni di una massa col lega ta a una mo ll a, il m o to d i un pend olo e le v ibrazioni di uno trumento mu icale a corda. ran pa r te d i que to ca pito lo ri guarderà i l moto armoni co sem p l ice. In qu

to tipo di

m o to, il corpo o ci Il a indefin itamente fra due punti dello paL:io senza perdita d i en rgia meccani ca. c i istemi m eccan ici rea l i sono cmp re pre enti forze di s ipati ve (attri to).

206

207

Capitolo 12

Capitolo 1'"

È necessa ri o definire alcuni termini relativi al moto armoni co:

NOTE

•

12.1 Moto di un a particella collegata a una molla Mol ti sistemi fis ici es ibì cono un moto oscillatorio, come per esempio una massa fi sa ta al i.i estremità d i una mo ll a, un pend olo, gli atomi in un solido, strumenti mus ica li a corda e ci r cuiti elettrici collega ti a una sorgente d i corrente al terna ta. Un corpo si muove d i moto arm oni co se mplice se la fo rza e terna ri u ltante agente ud i esso è un a forza di ri chiamo linea re; l'acce lerazione è proporziona le allo spo tamen to dcl corpo da lla s ua po iL.ionc d r eq uilibrio cd è in verso oppo to. l i moto armonico semplice d i un sistema me canice corri sponde a ll e o cill az ioni di un corpo fra due posizion i per un tempo infinito, enza a lcun,1 perd ita d i energia mecca ni ca.

12.2 Rappresentazione matematica di un moto armonico se mplice li va ~ o re de ll a costa n te di fa dip nde dal la po i7ione e dalla velocità iniziale del corp . La Frgura 12.1 mo tra il grafico della po izione, de ll a velocità e dell'acceleraz ione in fu n zionc del tempo, assum endo le cond iz ioni in iziali I = O, x, = A e v, =- O. ln questo caso, i h.1 che = O. Osserva che la veloci tà sfasa la di 90° ris petto alla pos iz ione, ovvero v è zero qua ndo !xl ha il suo va lor massimo, mentre lvi ha il suo n'"lassimo quando x zero. lnoltr , l'acce lerazione s fasa ta di 180° rispetto all a pos iz ione, ovvero quando x è un massimo po itivo, n un massimo negativo. In altre parole n è proporzionale a x, ma ha ve rso oppos to.

L'ampieZL.a, A, e la mass im a distanza di cui si sposta il corpo d all a ua po izione d i eq ui librio . Ln assenz.a d'a ttrito, un oggetto conti nuerà a muovers i di moto armoni co semplice. Durante ogni ciclo, esso raggiungerà una di stanL.a mas ima uguale a ll 'ampieaa u eia cun lato della posiL.ione di equilibrio.

•

rt periodo, T, è il tempo necessa rio a l corpo per compi ere un cicl o co mpl eto del moto.

•

La frequen/a,f, è il num ero di cicli o vibrazioni per secondo. -e::- a max

Il sistema blo co-mo lla mostrato in Figura 12.2 un lipico s istema con moto arm oni co empl ice. li blocco si m uove s u di una supe rfi cie o rizzonta le liscia e il punto \ = O ne individ ua la pos izione di equi librio, ovvero la posizione in cui il blocco permane se lasciato indisturbato. ln que ta posizione non agi cc alcuna forza s ul blocco. Q uando il co rpo è postato ad un a distanza x da ll a po ·i/ ione d i equ ilibrio, la moll a esibisce una fo rza di richia mo li nea re descritta dall a legge di Hooke, f =- kx, dove k la costa nte di forza della mol la ed ha un ità 51 di I m. fl 'ìcgno meno ind ica che la forza punta ver o s ini tra q ua ndo lo spostamento x positi vo, mentre pun ta ve r o destra quando x è negati vo. In altre parole, la d irezione della forza F punta sempre ve r o la posiz ione di eq ui1ib rio.

X

~

;

Figura 12.1.

I

/'I O'

'--"

I

V

Grafico (a) d e ll a po izio ne, (b) del la ve locità e (c) d e ll 'accele razio ne in fun z io ne d e l tempo p er un corpo in moto a rm onico m pli

A w ·--

T / 2/

O - Aw --

~

A cos(2nft)

l '

t '\\

3T 2

I

I -A

3T 2

I

O ' :~~T~l~~__::.-lLl/- t

(b)

I

i '

A

c rea re d i om prcndere le relazion i di fa e lra la po izione, la veloci tà e l'acccl razione n m oto arm oni o emplice, notando che l'ace I razione è proporzionale allo po tamenlo, m a ha ve rso opposto.

C>

D e cri vcr , cerca ndo d i ca pi re, le condizioni dcl moto armonico se mpl ice per il l ma m a a-m olla (dove la fr quenza dipende da k d 111) per il pendolo empi ice (dove la fre-

U and o que ti ri ultati, e x(f) d all'Eq uazione 12.3, si ha:

dx(t) v(t) = - - = -Aw en(wt +) dt

( 12.6)

dv(t ) a(t) = - - = - Aw 2 cos(wt + ) dt

(12.8)

q uenza d ipende da Le g).

214

215

Capttclo :2

Capitolo 12

PROBLEMI

DOMANDE CONCETTUALI 1. Se la po izio ne d i una pa rti cell a va ri a com e x =- A co wt, qu a l è la co ta nte di fa e n !l'Equa z ione 12.3? In quale po iz io ne i trova la pa rticella a I = O?

1. La pos iz io ne di u n punto mate ri a le va ri a com e x = (4 .00 m ) cos(3.00nl + Jr) .co n x in m e I in s. De te rmi na re (a) freq u nza e pe ri od o d c l moto, (b) l'ampieu.a, (e) la cos ta nte d1 fa se dcl moto e (d) la p osiz io ne del punto p e r I = 0.250 s.

Risposta L'Equaz io ne 12.3 e prime x = A co (wt + O) 111 cui la parti e lla raggiunge ta le a celera/ io ne, (d) la dis ta n za tota le a ttrave rsata fra t - O e I = 1.00 e;.

3.

o o

217

Capitolo 12

Capitolo 1? So.l uz io n e

3. \ C.

(a)

Per f = O, x = O e v è po it iva (vcr o dc tra). La fun z io ne e no è zero mentre il co eno è p ..,, ti vo pe r O= O. Q uesta s iluazio n corri s ponde a x = A sen wf e v = v, cos wf.

lt1

Un oggetto d i 7.00 kg è appc o a li' e tremità in fe riore di una molla ve rti aie lega la a una traL'oggetto è pos to in o cilla z ione verticale con un p riodo di 2.60 s. Trovare la costante c las ti-

del la m o lla .

So luzione Poiché

f

= 1.50 Hz,

f nol trc, A = 2.00 cm,

(b)

per cui

iò è eq ui va lente a cri vcre

L'oggetto i muove con m o lo armonico semplice co me fosse fissato ad una mo lla

w = 2rcf = 3rc

o rizzonta le s u di un piano li cio.

x = (2.00 c m ) e n(3rct)

l ' Eq uazione l 2.4 per il periodo dà

2rc -= T = 2.60

Riso lvendo ri petto alla frequcn.la angolare

w=

(J)

x = Aco (wt+. = 40.0 cm / s

o

n=~:=-(160cm /

amax

=160 cm / s 2

o

dt

la particella pe rcorr rà 8.00 cm in q ue to tempo.

3 Qu ind i, in (1.00 )=( : ) la partice ll a p

rcorrerà ~ (8.00cm) = 1 2.0cm

218

2

)en(4.001)

o

219

Capitolo 12

Capitolo 1'.ì. (b)

1 ( t = lsenx ) 4 10.0 cm

/Il

Quando x = 6.00 cm, t - 0. 161 se s i trova che

o o

1

v = ( 40.0 cm I s)cos(( 4.00 s· )(0. 161 s)] =32. 0 cm I s

a= - (160 cm I s 2) en(( 4.00 s·1)(0.161 s)] = - 96.0 cm I s2 (c)

Usando

1 -1(

t = -sen 4

X

)

10.0 cm

q u ando x = O, I = O, me ntre qu a nd o x = 8.00 cm , t - 0.232 s. Qu indi 6t

0.232 s

o

Un'au to m obile ha una m assa di I 000 kg e v iene diretta v erso un muro d i m atton i in un tc~ t per la s icureaa. li para urli si comporla come una moll a d i costa n te c lastica 5.00 x 106 I m e si osserva una compre sio ne m a si m a d i 3.16 cm quando la macchin a si a rresta. Qua l e ra la vcloci t,1 ini z iale d e ll'a uto mob ile?

e ll a po iz ion e interm d ia l' acce lera z ione ca mbi a ver o, c.;icché la p arti cell a ra lle nta fino a fe rmar i i tanta neamente a ll' est remo oppo to. Da q u e ta an a li si pos ia m o ti mare / 2 in qualche po iz ione nell a econ d a m tà d e l che v = v max pe rcor o (po ich é qu e ta la regione dove la velocità ca m-

r

b ia pi C1 rapidame nte): 1.50 < ±x < 3.00

So luz io n e Se mpli fichia m o a ume ndo che l'a uto non comp ie lavoro s u l muro o ull 'a ria circo s tante. ln a ltre pa ro le, ipoti zz iamo che il m u ro sia un corpo ri g ido perfetto e tr ascuria m o l'ene r gia irradiata com e s u o no. Poich é dura nte l' urto non si perde e ne rg ia co nt ro la parete, l' e nergi.1 iniz ia le (cinetica) è u g ua le a ll' ene rg ia fina le (poten . dale e lastica): oppure

(3 16 10- 2 ) - 2 23 I . x m - . m s

V

o

-Vmax

o

o

a max

x = Acoswt

notate che il segno m no in dica la direz io ne

dx/ dt = v = -Aw e nwt

Poiché A w è co tante, v

= -vma' 2

I

u

o ppu r

Q uindi, nella no tra equa zione pe r la po iz io ne,

A.f3

o

I

1 e nwt = ±2

quando

l2 mv2 -- l2 kx2

- V'k - ,/ s.oo 1000 X 106 Im mx - V kg

Ocm

Pe r il moto armoni co e mplice,

So titue ndo A

v-

3cm

a - amax Un po ibilc m od o d i ana li zza re qu e to proble m a con i te nel cons id e ra re l'equ azione pe r il moto armoni co . e mpi ice, ca lcolare la d e riva ta prim a ris pe tto a l te mpo per tro are la velocità v(t) eri o lverc que ta equ az ione ris p tto a x quando v = vma)2.

5.

-3 cm

X

(3.00 cm).f3

x=±-2-= ±

= 3.00 cm,

Ri o lvcndo,

x = ± 2.60 cm

Po iamo o tte nere la tes a ri po ta da

v=±w~A 2 -x 2

2

o

6. Una pa rticell a segue un m oto a rmo nico se mpli ce co n un'a mpi ezza di 3.00 c m. In qua le po iz io ne la ua velocità è metà d e lla s ua velocità mas ima?

La po iz ionc calcola ta è ne ll a econd a metà d e l pe rco rso com e previs~o ed ~olto vi in_a a U_a po iz ione e tre ma. Questo ign ifi ca ch e la velocità d Ila part.ic~ l la. ca mbia poco fino a l ragg1ung1m e nto d e l punto e tr m o, dove s ubi cc la ma ima forza d1 richiamo d e lla molla che propor-

Soluzione e ll a rappr ntaz i ne g ra fi ca e tabu la r ripo rtala la velocità del la parti cella lungo il s u o p rcorso. Com si può vcd •re, la parlicel la si fe rma isla ntanca m nte nell a posi/ ione e trem a m nlrc

Enunciare e comprend ere il i gn ifica to fisico dell'equazi on e di con t i nui tà (por ta ta co tante) e dell' eq uazion e di Bernoulli p r il flus o di un fluid o (che m ette in relazione la ve loci tà d i fl usso, la pressione e l' altezza d el tubo).

268

269

Capitolo 15

Capitolo 15

3.

U n p e ce re ta u l fo ndo d e l vaso, m entre questo vie ne p e ato . Se il p e cc co mincia a n uota re, il peso cambie rà?

PROBLEMI 1.

Risp osta In og ni ca o, la bilancia astie ne il conte nitore, l' acqua e il pe ce. Il peso, quindi, rimane lo tes o . Tuttavia la lettu ra s u lla sca la p u ò va r iare se il centro di m assa accele ra nella direz io ne vertica le, com e quando il pesce a lta fuor i da ll' acq u a . .I n q uesto caso, la bi la ncia, ch e m is ura u n a fo rz a, m ostre rà u na fo rza aggiu ntiva ca usata da lla legge di ew to n, F = 111a .

Calco lare la m as a d i u na s fera d i ferro che ha un d iametro di 3.00 cm.

Soluz io n e '1"'''"'''?l·ISl!W6119ii•m1111m1m~,,

La defin iz ione di d en i tà p = /11 I V è spes o scritta come V=

ln que to caso

4 3

rcr 3

111

= pV.

sicché

o

Qu ind i,

D D D D Un a d onn a d i 50.0 kg sta in equilib rio su u n tacco di una coppia di tacchi a spil lo. Se il tacco è circola re e h a un raggio di 0.500 cm, qua l è la pressione ch e esercita su l pavimento? 2.

4. JI rifornime nto d 'acqua per una città è s pesso assicura to da serbatoi cos truì ti ad un a certa a 1tezza. L'acqu a corre dai se rba to i attra verso d e i tu b i fin o a lle case do ve s i apro no i rubinetti. Perché l'acqu a e ce p iù velocem ente a l primo pi a no d i uno s ta bi le ch e no n ad un piano p iù a lto?

Ris pos ta L'acqua fornita allo s tabile sco rre attra verso un tubo collega to a l se rba toi o . Vicino a l s uol o, la p ressione dell 'acqua è maggio re perché la p ress ione aumenta con l'a um e nta re d e lla profondità ri petto a lla s uperfi cie d e ll 'acq ua. G li a pparta menti al l' ul tim o piano non sono così lo nta ni d a lla s uperficie dell 'acqua, quin d i l'acq ua non sco rre così rapida men te co m e a i p ia ni piC1 bassi.

O D O D

5. Un bara tto lo chi u o d i coca co la d ie te tica gall eggia in una va ca d 'acqu a, me ntre uno di coca co la norma le d e lla te sa m a rca va a fondo . Co me s i pu ò s pi egare il di verso compo rta me nto?

Ris pos ta La coca cola no rma le co ntie ne z ucchero. La s u a d e ns ità è m aggio re di quella d e ll a coca di e tetica. L'a ria a bassa d e nsità nella la ttina ha un e ffe tto magg iore d e ll' invo lu cro di al lumini o, sicché la lattin a d ie te tica ga lleggia.

So luz ione

L'a rca dell a base circolare del tacco è 2

n r 2 = n (0.500 cm)2

La forza che imprime è uguale a l s uo peso,

=7.85 x10 - 5

rn 2

mg= (50.0 kg)(9.80 m I s 2) = 490

F 490 p=- = = 6. 24 MPa A 7.85 xl0-5 m 2

Qu indi,

o

La mol la di un mis urato re d i pressione re lativa mo tra ta in Figu ra 15.1 ha una costa nte elastica d i 1 000 / me il pistone ha un d iametro di 2.00 cm. De termina re la p rofon dità in acqua pe r cui la mo lla ris u lta com-

3.

p ressa d i 0.500 cm. Soluz ione

F molla

h = pgA =

(1000

(iooo

kx = pghA

o

= Fnuido

kx

270

1m ) ( 10 000 cm 2

I m 2 )(0.00500 m)

kg/ m 3 )(9.80

2

_. 2

m /s )(0.0100 m ) n -1.

271

Figu ra 15.1 O

62 m

Capitolo 15

Capitolo 15

4. alco larc l'a rca di contatto tra una ventosa co mpleta me nte svu o tata d'aria e il soffitto nece a ri a a o te nere il pe o di uno s tude nte di 80.0 kg.

Ora, poiché le velocità coinvolte sono nu lle, pos iamo ri ord inare i termini per ottenere l'Equaz ione 15.3:

Solu z ione " Il ri u cchio" no n è un nu ovo tipo di forza. La vento a è te nuta in equ ili brio da ll e forze cui ia mo comune m e nte oggetti. li so ffitto spinge in basso la ventosa con una ce rta forza no rma le. Lo s tude nte ti ra in ba so con un a forza d i inte ns ità

1 a lm = O + (984 kg / m 3)(9.80 m / s2)(y2-y1)

Y2 - Y1

F8 = mg = (80.0 kg)(9.80 m /s 2 ) = 784

,.

=

1.013 x 105 N 9643

I

Im

m

2

3

=10·5 m

o

Un barometro ad acq u a in una sca la d i una costruzione di tre p iani è una bella esposiz ione. 11vino rosso rende il li vello dcl fl u id o più facile da vedere.

11 v uoto fra la vento a e il offitto n on esercita a lcuna fo rza su e ntra mbi. L'a ri a al di sotto della vento a la s pinge verso l'a lto con una forza (Patm)(A). Se la ventosa so tie ne ap pe na lo stud e nte, la forza no rma le d e l soffitto è qua i nu lla e

L.Fy = O + PatmA - mg = O 6. U na pallina da p ing-pong ha un di ametro di 3.80 cm e una densità media di 0.0840 g / cm1 . Quale fo rza necessa ri a per tenerla completamen te immersa in acqua?

mg 784 N A= - - = =7.74x10- 3 m 2 Patm 1.013X10 5 N / m 2

S oluz ione 5. Blaisc Pasca l fece u na cop ia d e l barometro di To rr icelli u tilizza nd o d c l v ino rosso d i Bordea ux come liquid o . La d e n ità d e l v ino è di 9 4 kg / m 3 (Figura 15.2). De termina re l' a ltcua 11 d e lla colo nna d i v ino, a lla pre io ne atmo ferica no rma le. (Si u si per 8 il va lore 9 .8 m I s 2). Sopra la colonna ci sarà un buon v uoto come i verifica ne l caso d e ll'uso di m ercurio com e liquido? So lu z io n e

All'eq ui lib ri o, B è la forza di ga lleggiamento, op pure La fou:a applicata

Fapp

+ mg-8 =O

Fapp =

8- mg quando

8 =V Pwg

c li' equazione di Be rno ulli,

Prendia mo il punto l u ll a s u pe rfi cie dcl v ino ne lla vaschetta, d ove P, = Patm' e il punto 2 ulla s upe rficie d c l v ino a ll a sommità d e lla ca n na. Qui appro imiarno P2 = O, ebben un po' d i alcoo l e d i acq ua s iano eva po ra ti. 11 v uoto non co ì b u o no com con il me rcurio. A m no che no n si sia proceduti con caute la, un po' di os igeno di cio lto o di a nidrid e ca rbo n ica po trebbe p rod urre q u a lche bolla.

272

Fig ura 15.2

Fapp

o

= 0.258

273

Capitolo 15

Capitolo 15

7. Un cubo di legno di 20.0 cm d i la to con una d e ns ità d i 650 kg / m 3 ga ll eggia ne ll'acqua. (a ) Qua l la dis tanza tra la faccia s upe riore d e l cu bo e la s uperficie d e ll'acqua? (b) Q u a le quantità in pe o di piombo deve e sere mes a ul cu bo affinché la s u a facc ia upe riorc s ia a live ll o de ll'acq ua? So luz io n e (a)

Sia h la di tan za d a lla o mmi tà d c l cubo a l li vell o dell'acqu a.

Second o il principio di A rch ime d e,

Imm aginale che il pa llone raggiunga l'eq u ilibri o a questa a ltezza. Il pc ·o d c l s u o ca rico

Mg= (400 kg)(9. O m/ 2) = 3920

li peso d e ll 'elio conten u to è

mg= PHeVg

L fy = O

+PariaVg- Mg-p, icVg =O

d iventa

Risolvend o,

Ma

B = Peso d e l blocco = mg= p 1l'gno V1l'gnog = (0.650 g I cm 3)(20.0 cm ) 3 g

e

V

=

M = 400 kg = 1. 43 x l0 3 m 3 Paria - P11e (0.460 - 0.18) kg / m 3

o

Uguag liando queste due eq uazio ni,

,.

(0.650 g I cm 3)(20.0 crn)3g = (1.00 g I cm3)(20.0 c m)2(20.0 cm - h cm ) g

h = 20.0(1.00 cm - 0.650 cm)= 7.00 cm

20.0 - h = 20.0(0.650) (b)

B = mg + Mg

do ve

M = ma

o

a d e l pi om bo

3

d c l la s fera. Sol uz io n e

(l.00 g / cm 3)(20.0 cm)3g = (0.650 g / cm 3)(20.0 cm)3g + Mg

M = (20.0 cm ) (1.00 g I c m 3 - 0.650 g I cm 3 ) = (20.0 cm) 3(0. 350 g I cm 3 ) = 2.80 kg

9. Un a , fe ra di pia tica ga lleggia in acqua con il 50.0% del uo volume immerso. Quc ·ta stesa fera ga ll eggia in o lio con il 40.0% dcl suo volume immc r o. Determinare le dens ità dell'olio e

o

Le forze agcn Li s u Ila s fe ra sono i I s u o pc o

Fg = mg = Pp1a.,tica ~alla g

e la s pinta d c l liquido

B = PnuidoVirnmcr~og

Q ua nd o ga ll eggia in acq u a,

U y= O: Ppia'JliCil = 0.500p acqua = 500 kg

8. D l rmina re la q u a ntità di e lio (in me tri cu bi) necessa ria a sollevare un pa llone fino a un'a ltezza di 8 000 m, con un carico di 400 kg . {p11 ,, - 0. 180 kg / m 3). Si cons ideri che il volume del pa ll o ne rim a nga co ta n te e che la d e ns ità d e ll' aria d imin uisca con l'altezza z ccondo la relaz ione: P aria - p0 e z/ BOOO . (z = a ltezza in m tri, p0 = d e ns i là a li ve ll o d e l ma re = ] .25 kg/ m3). Soluzio n e

Pe r z = 000 m, la d en ità dell' a ri a è Paria = p 0 e- z/ BCXXJ = (1.25 kg / m 3

)e-1 =(1.25 kg / m 3 )(0.368) = 0.460 kg/ m 3

274

I

m

3

o

Q ua ndo ga lleggia in o li o, Ppia'>lica = 0.400pol io . = 500 kg I m 3 = 1250 k I m 3 Polio 0.400 g Q u esto tipo di olio d ov rebbe affo ndare ne ll'acq ua .

o

Capitolo 15

Capitolo 15

li vero pe o di un oggetto si pu ò mi urarc nel v uoto d ove non ci son o pinte d i Archimed . U n corpo di vo lu m e V v iene pe ato nell'aria su un a bi lancia u an elo pe i di den ità p. e la dcnità dell'a ri a è pana e la bi lan cia i nd ica un pe o F', dimostra re che i l peso vero F, è dato da g ,~

10. Un largo conten itore di raccolta ri emp ito fino a un 'a l tezza '1 0 . 11 conlcnitore ha un bu co ad allena li d al fond o (Fig. 15.3). Trovare un'c pres ione che de criva a qual di tanza d al contenito re arr iva i l flu sso d'acq u a.

11.

Ilo

Sol uz ione

Figura 15.3 Prend ete il punto l sulla superficie superiore dcl li quido. Po iché il reci pien te

Sol uz ion e

La condi zione di eq ui librio è qu Il a p r cui i l

largo, i l l i vell o del flu ido se ndc mollo lentamente

m omento meccan ico r i ul ta nte agente sulla bilancia è nullo.

per cui v 1 == O. Prendete il punto 2 sulla sup r ficic d ell a co rrente d'acqua che abba nd ona i l buco. In ambed ue i p u nti la pressi one

Poiché la bilanci a ha bracci d i lu nghezza ugu ale, la forza totale su eia cun piatto

la tessa . App l icando~):= Ori sp tto al perno,

una atmosf ra perché l'acqua pu ò spi nge re né più né meno

otten iamo la seguente equaz ione:

intensa m ente d i qua nto l'a r ia p inga su di essa, com e d escritto dalla terza legge di ewton:

Fg -B = F'g - B'

B't

dove Be B' sono le spinte d i A rchimede ul corpo e ui pe i ca mpione, ri pcttivam cntc. La spinta cui è oggetto un corpo di vol ume V in aria B = Vparrag . o ì i può cri vere p r il corpo cd i pc i camp ione che,

V2

= j 2g (ho -

h)

Po ich i l volu me dc i p

B' = V'Pnring

e

B = VPnrìng i campione non

!!

dato espl ici tamente, dobbiamo con id rar l'cquazio-

ne dell a dcn i tà

,

O ra, ciascuna goccia d ' acqua si muove come un proiettile. La ua veloc ità v2, che adesso ind ichi am o come la sua velocità iniziale, ha componente ve rtica le nu ll a. li suo tempo d i cadula è dato da •I/ = V yO I + la 2 I/ , 2..

m'

m'g

Fg

p

pg

pg

V =- =-= -

on questa so ti tu L.ione, la spinta di Archi mede sui p si

-li=

o-t gt

2

cosicché

t=

B' = (Fg / P g )Pnri11g

2/r

o

Perta nlo,

\ g

Co mmenti:

e, dal m odello d i una particella a veloci là cos lan tc, il suo spostamento orizzontale è

Si può rispondere ora al popolar enigma: osa p a di più, un chilo di piume o un chil o d i mattoni? Come nel problema di sopra, le piu me sono soggette ad una più inten sa spinta di Archi mede, così se sull a bi lancia "pesano" quanto i mallon i, allo-

o

276

ra h anno una massa maggiore e pertanto un "pc o vero" maggiore.

277

Capitolo 15 12.

In r iferi mento alla Figura 15.4, m o trare che i l momento mec-

Capitolo 16

can ico tota le esercitato da ll 'acq ua dietro la di ga ri pelto ad un a e pa ante per O ~ pgwf-11. Oim o tra re che l'effettiva retta d 'azione da O . de ll a forza totale e ercitata dal I' a qua è ad una di stanza

!H

So luz ion e

Temperatura e teoria cinetica dei gas

Il m omento mecca nico i ca lcola con l'equ azione

f f

-r = d-r = rdF Dalla Fig ura 15.4 abb iamo

Figura 15.4

o '

e questa fo rza fosse appli cata a un ' al t to,

aa Y~rr ta le che il mom ento meccan ico rim ane e in varia-

o

INTRODUZIONE U na d escri zion q uantitati va dei fen omen i term ici ri hi cdc una definizione accurata dci con ce tti di temperatu ra, calo re ed ene rgia in terna. J principi della termodinamica ci forni~ ono le relazioni tra calore, lavoro ed en rgia interna di un sistema . La compo izionc e la st ru ttura di un corpo sono fattori importan ti quando i trattano i fenomeni te rmici . Per e empio, i liquidi e i solidi i dila ta no olo leggermente quando . o no ri cal da ti, mentre i ga , quando sono r i cal ciati, i e pandono appreuab ilmente. S il ga non è libero di espa n der i, la su a pressione aumenta q uand o v ien riscaldato . erte so tanze possono fon dere, bollire, bru ciare o esp lodere. Quc to ca pito lo si chiud e con lo tudi o dei ga perfetti .

ffron teremo que to studio u due

li ve ll i. li primo esam inerà i gas perfetti u cala macro copica. In quc to ca o tratteremo le relaz ioni fra grand zzc qua li la pressione, il volume e la temperatura. el ccondo l i vel lo, esami neremo i ga

278

u sca la mi cro copica, u and o un m odello che rappre cnta i costituenti di un gas com e

279

'

Capitolo :6

Capitolo lS

piccole pa rticelle. Q uest' ultimo app roccio, d e tto teoria cinetica d ei gas, ci a iu te rà a capi re co a accad e a li ve llo a tomico e come determinare proprietà macro cop iche q ua li la pre ione e la temperatura.

to a vo lume costante, (4) la va ria z ione d i volume di un gas mantenu to a pressione co tante, (5) la va ri azione di resistenza c lc llrica di un condu ttore e (6) la varia/ ione di colore di un oggcllo ca ld iS imo. Per una data sotarva, si può stabilire una '>ca la di temperatura basata s u una di queste g rand ezze fi siche.

c l model lo del la teoria cine ti ca, le m o l co le d i gas si muovono in m odo ca ua lc, urta nd o con le pareti dcl lo ro conte nitore e fra d i loro. For e la più importante con egu enza d i que ta teoria è che e sa mos tra la relazione tra l'ene rgia ci neti ca d e l moto molecolare l'e ne rgia interna dcl si terna. Ino ltre, la teori a cinetica ci forn i ce una base fi ica pe r mezzo dell a q ua le è pos ibile com prend re il concet to di temperatura.

li termometro a gas e un di po itivo sta nd ard per defin ire la tempera tura. e l termometro a gas a volu me co~tante, un gas a bassa densità v iene pos to in un a boccetta e il suo volume viene mantenuto costa nte men tre esso è risca ldato o raffreddato. Si misura la pressione facendo a ri arc la tempera tura del gas. Sp ri mcn ta lmcnte, si trova che la temperatu ra proporz io na le a ll a p res io ne assoluta.

NOTE

16.1 Temperatura e principio zero della termodinamica

La sca la termodinamica di tempe ratura è basa la su una sca la in cu i s i prende come temperatura di ri fe rimento la te mpe ratura del punto triplo dell'acqua cioè la temperatu ra e la pr ssionc al la qua le l'acqua liquida, il s uo vapore ed il g hia cio (l'acqua solida) coes istono in equ ili brio. L'unità Sl di temperatura, per ques ta sca la, è il k e lv in, definito come la fra/ ione I / 273. 16 dell a temperatura dcl punto triplo dell 'acqua.

La fis ica dei fe no me ni te rmi ci è lo tu dio d el compo rta m ento d i solidi, li quidi e ga , m ed ia nte l' utili zzo d ci concetti d i ca lore e temp ra tura. I m od i di affrontare ques to setto re dell a cienza generalme nte u ati ono d ue . Il primo è u n approccio macroscopico, chi amato termodinamica, ne l quale si de. cri vono le proprietà termiche della materia con id c ra ta ne l u o in ic m c. 11 secondo un criterio mi croscop ico, chia m a to meccanica s tatis tica, nel qu a le le proprietà d e ll a m a ter ia sono de crittc u ca la a tom ica. A mb d ue g li a pprocci richie d ono la compre n io ne di alcuni conce tti di ba e, come q ue lli di tempera tura e ca lore. Com e ved remo, tutti i feno me ni termici o no manifes laL.ion i delle leggi dell a mecca nica co l come le abbia m o impara te. Per e e m p io, l'ene rg ia inte rna è in realtà una conseguenza dcl moto ca u a le di un g rande n umero di partice ll e che compo ngo no il sis te m a. li concetto di temperatura d i un s i tema p uò e e re comp re o in re lazione a un a mi ura, come la le ttura d i un termome tro. La tcmp ra lura, un a grandezza sca la re, è un a prop rietà che i pu ò d e fin ire so ltanto qu a nd o il s is te m a è in eq uilibrio term ico con un a ltro i te ma. L'eq uili b rio termi co impli ca che due (o p iù ) is tcrni iano a lla s tes a te mpera tura. Il principio zero d e lla termodinamica afferma che e due s is te mi o no in eq uilibrio te rmico con un te rzo is tema, es i o no in eq uilibri o termi co fra lo ro. Il terzo s is tema può e sere un te rmometro ca librato la cu i lettura d e l rmina e i is tem i o no in equilibrio term ico o ppure no. ono e r utili aa li. E i to no vari tipi di termom etri che p

16.3 La teoria cinetica dei gas Un model lo microscop ico di gas perfetto è ba sa to s ulle seguenti ass un /. ioni: Il nume ro di mol ecole è grande e la dis tanza media tra esse è g rande rispe tto a lle loro dimensioni. Quindi, le rnol cole occupa no un volum tra curabi le rispetto a l volume dcl conte-

nilo r . Le molecole obbedi scono alle leggi d e l moto di Newton, ma individua lmente i muovono in mod o casua le. Per m odo ca u a lc inte ndiamo che le mol co le si muovono in tutte le direz ioni con la sl 'SSa probabili tà e con va ri e velocità. Questa distribuzione d i velocità no n varia ne l tempo, nonosta nte g li u rti fra le molecole. Le molecole sono sottopos te a urti elastici fra di loro. Così, le molecole si consid e rano prive di s trullura e neg li urli s i con crva sia la quan tità di moto sia l'energia cine ti ca. Le forze agenti fra le molecole sono trascura bili e ccetto durante un urto. Le for;rc fra le molecole ag i ~cono u brevi di tan ze, sicché il olo tempo durante il qua le le molecole interagiscono fra loro è q u e llo durante l' urto.

16.2 I termometri e Le sca le di temperatura li gas è in equilibrio termico con le pare ti d e l recipiente. G li urti delle molecole con le f termometri o no di po iti v i u ati p r d finire e misurare la temperatura di un i te m a. Tutti i termome tri funL. io nano s ulla ba ed Ila variazione di una qualche proprietà fi ica con la te mpera tu ra. A lcun d e lle proprie tà fi s iche util izza l sono (1) la va ri azion di volume di un li quid o, (2) la va riazio ne di lu nghezza di un o lido, (3) la variaz ione di p ressione di unga mantenu-

280

pareti sono perfettamente c lasti ci. Il gas in considerazione è un gas puro . Qu indi, tutte le molecole sono identiche.

281

Capitolo 16

Capitole lt'>

Il numero di m o li in un ca mpio ne di una qualunque sosta nza è u gua le a l rap po rto della m assa d c l ca mpione cd il pc o mo lecola re di quella pa rticolare osta nza.

EQUAZIONI E CONCETTI

La press ione una for.ca per un ilà d i arca cd ha le uni là di / m 2 . L' unità di m i ura ne l i tema SI è il pasca l (Pa).

1 Pa

=1 I m 2

Una atmo fera di prc io ne è la pre s io nc atmo ferica al liv Ilo

Assimi lare i conce tti di eq uilibrio ter mico e contatto term ico fra d ue corp i cd enun ciare il p r incip io /ero della term od inamica.

d ell 'acqua, il rame e l'acqu a raggiungono l'equilibri o, ed il uccess ivo tra ferimento netto di ener-

I>

D iscutere alcune proprietà fisiche d elle sostan ze che va ri ano con la tem peratu ra e i l mod o con cu i q ues te p roprietà si usa no per costru i re i termometri .

o o o o

I>

Descri vere il fun z iona m en to d i un te rm ome tro aga a vo lu me cos tante e com e esso è usa to per de fi n ire la sca la di tem perature d i u n gas perfetto.

g ia o tto form a di ca lore fra i du e arà zero.

2. e un p allone ri empito di el io è posto in un co ngelatore, il u o volume aumenterà, d i minuirà o rim arrà inva riato? Risposta

I>

on vcrti rc fra loro va ri e scale d i tempera tu ra, special men te d a grad i grad i Fa h renhei t a Kelvin e da g rad i Fa h ren hei t a grad i elsius.

elsi us a Kelv in, da

L 'eli o è lontano d all a l iqu cfa zion . Quindi, lo i può con id er ar come un ga perfet-

to, d escritto d all'equ az ione di tato PV = nRT. In que to ca o, la p rc anche i l vo lume d ev e diminuire di un

I>

Fo rni re u na descri zione qu alita ti va d ell 'ori gine d ella d i latazione termi ca d ci so li d i e d ei

ione re ta al l'i ncirca co tan-

te, e end o pari ad 1 atm . Po iché la temper atura pu ò diminuire di un 10% (d a 293 K a 263 K),

10%. Quc to proce o chiamato " raffreddamento i aba-

ri co" o "contrazione i abari ca" .

li qu id i; de fi n i re il coefficie n te di di lata,i:ione lineare e i l coefficien te d i d il ata/ione cu b ica per

o o o o

u n sol ido isotropo, e i m parare come tra ttare questi coefficien ti nelle circosta nLe in cui veri fica no di latazioni e cont raL: ioni.

3.

I>

omprendere ed enunciare le assun/ioni fatte per sv il uppa re il m odell o m olecolare dci gas per fetti .

U na frizione a base di alcool viene usa ta talvol ta per aiutare ad abbassa re la temperatura di

un paziente febbri citante. P rch é ciò aiuta? Risposta

I>

Rendersi conto che la tempera tura d i un gas perfetto è propor.dona le all'energia cineti ca m ed ia molccolar .

nu ncia rc i l teorema di eq ui parti z ione de ll 'energi a, no tand o che a cia-

scu n gra d o d i li bertà di u na mo lecola corrisponde una egu ale quan tità d i energia pari a ~ k 6 T.

Qu ando l'a lcool eva pora, I molecole più v loci abband onano il liquido. C iò abbassa

la velocità qu adrati ca m edia d elle re ta nti m olecole. Poiché la veloci tà quadrati ca med ia è dim inu ita, la temperatura d ell 'a lcool i abba

a. Qu

to proccs o aiuta a a ttrarre en rg ia dal la pelle

d el p aziente, col ri ·ultato di un abba am ento d ell a temp ra tura. L'alcoo l g ioca lo te o ru olo d el sudo r

nel r affreddam ento per tra pi razionc, m a l'alcool evapora m olto più ra pidamente d I

ud ore.

o o o o

284

Capitolo 16

Capitolo 16

PROBLEMI

2. L'azoto li q ui do h a ilpuntod i ebo lli z io nca-195.81 ° ,a ll a pre ionea tmo fcrica.E pri m re q uesta t m pera tura in (a) g ra di Fa hre nh it, (b) ke lvi n.

1. Un te rmome tro a ga , a vo lume co ta nte, viene ta ra to a ll a te mpe ratura d e l g hi accio ecco (- 0.0° ) e a q u e lla del p unto di ebolli z io ne d e ll'a lcool e ti lico (78.0° ). Le pre s io ni sono 0.900 atm e 1.635 a tm, ri petti vament . Determinare (a) il va lo re, in g radi c l iu , d e llo ze ro a oluto forni to dal la ta ratura; le pre ion i che i mi urano (b) a l p un to d i fu io ne e (c) a l punto di ebolliz ione d e ll' acqua.

Solu z ione

Soluz ione Poiché abbia m o un a nda me nto linea re, la pre io ne è corre la ta a lla te mpera tura d a P = A + BT, dove A e 8 o no delle co tanti.

Commento

Pe r lrova re A e B, utili zziamo i dati:

(a)

Dal l'Equa z ione 16.2

TF= : Tc +32.0 °F =: (- 195.1) +32.0=-320 °F

0

(b)

Appli cand o l' qu azio ne 16.1

273.15 K - 195.81 K = 77.3 K

0

U n modo con ve nie nte p r ricordare le Equazio ni 16.1 e 16.2 di fu io ne e d i eboll iz io ne dell 'acqua, ne ll e ri pettive for m e:

0.900 a tm = A + (-80.0 °C)B

T, us1onc . = 32.0 °F = O 0

di ri cordare i punti

= 273 .15 K

1.635 a tm = A + (78.0 ° )B Tcbollizionc = 212oF =- 100 oc

Risolve ndo que tosi te ma, t roviamo

A = 1.272 atm

e

B = 4 .652 x 10- 3 atm / °C

Qu ind i,

p = 1.272 a tm + (4.652

X

Per convertire da Fa hre nhe it a e lsiu , o ttraet 32 (il p un to d i fu ione) e poi aggiu ta le la ca la pe r l' inte r a llo dell 'acqua li qu ida.

10- 3 a tm /°C)T cala = (100 - 0) o = _s _o_ (212 - 32) °F 9 °F

(a)

10- 3 atm /°C)T

A llo zero a o lu to,

p = o = 1.272 atm + (4.652

che ci fa o tt ne re

T =-274 °C

o

Un ke lv in orri po nde a ll a sle a vari azione di t mpera tura di un gra d o e ls ius, olo che la ca la kelv in a su me il uo punto zero a llo zero assoluto, invece che ne l p unlo d i fu sio ne d e ll'acqua . Q uindi, pe r con v rlire da ke lvin a c l iu , sottracl

(b)

A l pu nto d i fu io ne d e ll' acqua,

P = 1.272 a tm + O= 1.27 a tm

o

273. lS K.

(c)

Al pu nto di eboll iz io ne,

p = 1.272 a lrn + (4.652 X lQ- 3 a tm /°C)(l 00°C) = 1.74 a trn

X

o 3. L'ele m e nto attivo di un certo la e r è co tituito d a una ba rretta di vetro lu nga 30.0 cm con un d ia m tro di J .50 cm . S la te mperatu ra d e ll a ba rre tta au m enta d i 65.0°C, t rova re l'a ume nto 0 (a) in lungh ezza, (b) in di a m e tro e (c) in volum . (U a re a 9.00 x l o-6 (C ) - 1).

286

287

Capitolo 16

Capitolo 16

So luzione Un cili nd ro cavo di allum in io spes o 20 .0 cm ha una capaci tà interna d i 2.000 La 20.0°C. Esso è completa me nte p ieno di tremen tina e v ie ne lentamente risca ld ato fin o a 80.0°C. (a) Quanta trem entina fu oriesce? (b) Se il cili n d ro è poi raffreddato a 20.0°C, quanto a l di otto d e l bord o d e.I cilindro s i trova la s uperfi cie di tremen ti na? 4.

oc-1)(0.300 m )(65.0 °C)= l.76x 10-4 m

(a)

.1L = aLi.1T =(9.00 x 10- 6

(b)

Il diame tro è una dimensio ne lineare, qu indi si app li ca la s tessa equazio ne:

.1D = aDi.1T = (9.00 x lO-{j (e)

o

oc-1)(0.0150 m )(65.0 °C)=8.78x 10- 6 m

o

So luz ione (a)

Il volume inizia le è

V=nr 2 L=: (0.0150 m )2(0.300 m) = 5. 30 x 10-s m 3

Quando la te mpe ratu ra è fa tta a ume ntare da 20.0 °C a 80.0 °C, sia il volume d e l cili ndro che qu e ll o d e lla tre me ntina ere cono d i V= f3 V T. La fuor iuscita (f)

U ando il coe fficien te di espa ns ione cu b i ca, ~,

o Calcolo collegato

Il preced ente calcolo tra cu ra i termini 6.L2 e 6.L3. Ca lcola e a tta me nte la variazio ne d i volume e confronta la ri s posta con la preced ente soluz ione appros imata. Il volu me a ume nterà di un fa ttore

o

Vf = 0.0994 L (b)

Do po il ri sca ld a mento il vo lum e totale d e lla tre me nti na è

2

~ = ( 1 + .1~J (1 + .1LJ - 1 V, D, L, La frazio ne pe rsa è

2 .1V = (l + 8.78x10-6 mJ (l + 1.76 x 10-4 mJ - _ _3 Vi 0.015 m 0.300 m 1 - 1.76 X10

99.4 cm3 = 4. 71x10- 2 2108 cm 3

Questa è anche la fra z ion e d e l cilindro che arà vu ota dopo .il raffredd a me nto: Quin di,

.1. V .1V = - V. V. 1

2 h= (4.71 x 10- )(20.o cm)=0.943 cm

I

3 .1V = (1.76x10- )(5.30x10- s m 3 ) =93 .l x 10- 9 m 3 =93 .lmm3

O

La ris pos ta è virtu a lm nte ide ntica; l'appro imazione ~ == 3a è una bu on a ap pross im azion e.

288

289

o

Capitolo 16

Capitolo 16

5. Un aud itori o m is u ra LO.O m x 20.0 m x 30.0 m. O termina re il nume ro d i m o lecol d'a ria nece a rie a ri empire la a la, a ll a temperatu ra di 20.0°C pre ione di 101 kPa (1 a tm ).

Stimiamo che l'a ria ecca ia co tituita d a 20% di 0 2 e da 80% di 2 , con una picco la q ua nlità d i argon. a lcolia m o eh il pe o mol o la re medio d e ll' aria ba ato u 0 2 e 2 ia, a rro to nd a to per ecce o, pe r tener con to d e ll'a rgon, di circa 29.0 g / m o l; pos, ia m o quindi calcolare il numero di m oli d' aria che o no pre e nti.

Soluz ione L'a ria è lon tana d a lla conden az ione, qu ind i po fetto: PV = 11RT

ia m o u a re il mod e llo di ga per-

111a

ma

n = M 0 = O. 0(28.0 g / mol ) + 0.20(32.0 g / mol)

PV 11

=-

RT

=n

(i.01 X10 =

A=

5

I m 2)lc10.o m)(20.0 m)(30.0 m)) 5 = 2.49 x 10 (8.315 JI m o l · K)(293 K)

(2.49 x 10 5 mol )( 6.022 x 10

23

3

mol 11

m o lecole/ m o l) = 1.50 x 10 29 mo lecole

O

=

(300 kg)(10 g

I kg)

(29. 0 g / mol

)

=1. 03 x 104 mol

Applica nd o l'eq u a z ione d i s ta to dei gas per fe tti e riso lvend o la ri pe tto a ll a te mpe ra tu ra,

T = PV / 11R: T=

(i.Ol x 10

5

2

/ m )(400 m

3

)

(1.03 x 104 m o l)(8.315 J / mol ·K)

= 470 K

o

6. La m a a to ta le di un pa ll o ne aero tatico e d e l s uo ca ri co (e elude ndo l'a ria a ll' inte rn o) di 200 kg. li volume d e l pa llo ne è d i 400 m 3 . L' a ria e te rna h a una te mpera tu ra di 10.0°C e la pre ione di 1atm = 1.013 x 105 Pa. O termin a re a qu a le te mpe ratura d eve e e re ri ca lcia ta l'a ri a ne l pa llo ne, affinché e o pos a decol la re. La d n ità d e ll'aria a 10.0°C è 1.25 kg / m 3. 11 m a nometro u un c rbatoio reg is tra la pressio ne re la ti va, che è la diffe re nza fra la pre io ne a ll' inte rno e a ll'c terno. Qua ndo il e rba lo io è rie mpito con o igeno (0 2), conti ne 12.0 kg di gas a ll a p re io ne r lativa d i 40.0 a tm . De te rminar la m a sa d e ll'os ig no che è ta lo pre levato da l e rbatoio quando l' ind ica z io ne d e l mano me tro è di 25.0 a tm . A ume re che la te mperatu ra d cl e rbatoio rima nga co ta nte.

7.

So luz ione L' aria po tata (s ) d a l pa llo ne ha un vo lume di 400 m3 a 10.0° e una massa di m ~ = p V = (1. 25 kg

I

m 3 )( 400 m 3 ) = 500 kg

Solu z ione Il pe o dell' aria p o ·ta ta è

Fgs =

msg = (500 kg)(9.80 m /

2

)

L'equazione di s tato d i ga pe rfe lti tabi li cc che PV- nRT

= 4900 A Le mp ratura e volu me co ta nte,

p

co ta nte

o

11

li pe o d e l p a llo ne (p) e d e l carico è

li peso d e ll'a ri a po ta ta (la forza di A rchimed ) d eve esse re ug u a le a l pc o d c l pa ll one (n) a ll' inte rno d e l pallone, r 8a"

d e ll ' aria 26 0 2 Tuttavia, 11 è proporzio na le ad 111, quind i m2 = ( p ) m1 = ( · a tm ) (12.0 kg) = 7.61 kg P1 41.0 a tm

Q ui nd i,

La m assa rimo a è

290

m = 12.0 kg - 7.61 kg = 4.39 kg

2Q1

o

Capitolo 16

Capitolo 16

8. (a) Quanti ato mi di gas e lio rie mpio no un pallone d e l dia metro di 30.0 cm a 20.0°C e 1.00 a tm? (b) Qual è l'ene rg ia cine ti ca med ia d egli a to mi di e lio? (c) Qua l è la velocità rq m d egl i atom i di e li o?

9. Un cili ndro contiene una miscela d i elio e argon in eq uilibrio alla temperatura d i 150° (a) Qua l è l' ene rg ia cinetica media per ciascun tipo di molecola? (b) Qua l è la velocità rqm di ciacun t ipo di molecola?

Sol uz ion e

Soluzio ne (a)

Il vo lu me è

3

V =; nr =

(a)

~ n (0.150 m )3 =1.41 x 10- 2 m 3

Ambedue le s pecie d i molecole hanno la stessa e nerg ia cinetica m edia 1

E e nd o PV = nRT

_ PV _ (1.013x10 11 - -

/m2)(1.41 x 10- 2 m 3 )

- - - : - -- - - , - - - " ' - " " - - , - - - - - - - ' -

RT 11

5

2

mv 2 =

3

3

k T = (1.38 x102 8 2

(b)

= 0.58 m o l

La v locilà qu a dra tica media può es e re calcolala a partire dall 'energia ci ne tica:

N = n N A = (0.5 8 mol)(6.02x10 23 molecole / mol)

2K

Vrqm

= vV 2 = ,,~

(b)

L' ne rg ia cine ti ca è

o

1 2 3 K = 2 mv = 2 k6 T

K = ~ (1.38 X10- 23 J/ K )(293 K) = 6.07X 10- 21 J

J/ K)(273 +150) K

K = 8.76X10- 21 J

(8.315 N · m / mol · K)(293 K)

N = 3.54x10 23 a to m i di elio

23

m

Ques ti due gas sono nobili e quindi mon oatomi ci. La mass a di ciascuna mo lecola, in chi logrammi, è: (4.00 g / mol)(10- 3 kg / g) _27 m 11. = = 6.64x l 0 kg e 6.02 x 1023 atomi I mol

o

(39.9 g / mol)(10- 3 kg / g) (c)

Un ato nio di H e ha m a sa

m= M = A

mA =

4.0026 g / m o l 6.02x10- 23 mo lecole/ mol

r

atomi I mol

_

= 6.63 X 10 26

J)

21 2(8.76 x l0. 3 v,,1111 1 le = \ _27 = 1.62X10 m / s ' 6.64 x lO kg

Quindi l'ene rg ia cinetica è

v,q111 =W= 1.35 km / s

o e

292

kg

Sos ti tuendo questi va lori,

m = 6.65 X ] 0- 24 g = 6.65X10- 27 kg

e

6.02x10

23

v rqm,

Ar

=~ I

2(8.76x10- 21

J)

V 6.63 X 10-26 kg

= 514 m /

293

o o

Capitolo 16

Capitolo 16 10.

Da lla d is trib u z io ne d ell e ve locità di M axw e ll-Boltz mann, mostra re che la velocità più

proba bi le d e lle mo lecole d i un gas è data d a ll'Equ azion e

vPI'

=~

2

ksT. m

o ta r che la ve locità più

probabi le corris p onde a l punto in cu i la pende nza d e lla curva d i d istri buzio ne d e lle ve locità dN u I dv è zero.

11. U n fl u ido h a u n a densità p . (a) Mos trare che la variazione fraziona le del la dens ità per la va riaz io ne di te mpe ratura llT è data da llp / p = -(3 llT. Q u a l è il s ign ificato del egno negativo? (b) L'acq ua d o lce ha u na d e ns ità mas im a di 1.000 O g / c m3 a 4.0° . A 10.0°C, la s u a dens ità è 0.9997 g / cm 3. Q ua l è f3 per l'acqu a in questo in te rval lo d i tempe ratu ra?

Soluzione Partiamo con le d ue eq uazio ni :

Soluzione

m

p =-

Da ll a fun z io ne d i d is tri bu z ione d e lle velocità d i M axwell,

v

(a)

__}!_ = /3 T

e

V

m dp=- 2 dV

D iffe ren z ia ndo la prima eq ua zione,

V

per d te rm ina re la velocità più probabile, possia mo d e te rminare il m ass im o ne l gra fi co d i Nu ri pe tto a v e ca lco lan do la d e ri va ta dN) dv e p one nd o la ug uale a zero:

d

v_

- - - 4 rr dv

N

3/ 2( -2m v ) 2 (-mv2 / 2k8 T) N ( m ) 3/ 2 2ve (-m v2 / 2k8 r) = 0 v e + 4rr ( 2rr k T ) 2 k6T 2rr k8 T 8

v1,P ( -

=

V

PP

m(2 vmp )) 2 k8 T

Sos titue nd o a m bedue le nos tre equazioni in iz ia li, troviamo

p =-p /3llT

li egn o negativo ig nifica che f3 nu z io ne di de n ità e vicever a. (b )

App lich ia m o l'eq uaz io ne

+2=O (1.0000 g

/ 2kBT ~

p =-

m

Qu esta equaz io ne ha ol uz ion i v = Oe v ~oo, m a q u este corris po ndo no a lle velocità di probabilità m in im a, quind i d iv id ia mo pe r v e p e r la fun z io ne espone nz ia le.

/3 = -

o

294

:

=

-cc):

po iti vo, ogni aumento d i temperatu ra ca u a una d imi -

O

/:J.p p/:J.T

nel caso s pecifico dell' acqua :

I c m 3 -0.9997 g I cm 3 )

/3 =- (10000 g I c m 3 )(4.00 ° c -10.o

m

~

Pe r va riazion i m o lto p iccole di V e p, possiamo scri vere

0

c)

f3 = 5.00 X 10-S °C- l

Ri o lvendo, tro v ia mo che

295

o

Capitolo 16 12. U n ci lind ro verticale d i sezione A è limitato s u periormente da un pi s tone di massa 111, che può scorre re senza attrito (Fig ura 16.1). (a) Se ci so no /1 m o li d i gas perfetto ne l cilindro a tempera tura T, d e te rmina re l'altezza h a cui il p isto ne sa rà in equili brio sotto l'azione del proprio peso. (b) Qua l è il va lo re d i li se 11 = 0.200 moli, T = 400 K, A = 0.008 00 m 2 e /11 = 20.0 kg?

Capitolo 17 Energia nelle trasformazioni termodinamiche: il primo principio della termodinamica

Soluzione (a)

As umia mo che l'a ria sop ra il pis tone s ia a lla pressione a tmosferica P0 e che il pi stone stia in eq uilibr io.

Figura 16.1 Po i

l,Fy=may dallaquale s i otticne - PoA-mg+ PA = O

dove P è la pressione esercitata d a l gas. otando che V = Ah e che n, T,

PV = 11RT

111,

g, A e P 0 sono dati,

P= nRT Ah

d iven ta

nRT -P0 A-mg+-- A =O Ah

e

nRT h= - - - PoA+mg (b)

h=

(0.200 mol)(S.315

(i.ol3 x 10

5

I

m

2

()

J I mol · K)(400 K)

INTRODUZIONE

)(o.oosoo m 2 )+ (20.o kg)(9.80 m / s 2) ()

296

In q uesto ca pitolo s i approfondiranno il concetto di calore, il primo principio della te rm odinamica, le trasforma z io ni con le q ual i l'energia s i trasferisce e a lcune importanti appl icazioni. Il p rimo princip io d e lla term odi namica è una ver ione ridotta dell'equazione di conservazione d e ll'e nergia, Equazio ne 6.11 . Il p ri mo principio non pone restri zioni sui possibili tipi d i convers ione tra fo rm e d i e ne rg ia. Ino ltre, es o mo tra una sorta di equivalenza tra calore e lavoro. Secondo il p rimo p rinci pio, l'energia interna di un i tema può es ere aumentata ia per trasferimento di ca lore a l sistema sia svolgendo lavoro su l sistema. Una differenza importante tra calore e lavo ro non ris u lta ev id e nte dal primo principio; possibile che un sis tema ceda completamente in ca lo re l'ene rg ia tras fe ritagl i m ed iante lavoro, ma impossibile che un sistema, soggetto ad un processo ciclico, conve rta tota lmente il calore a orbito in lavoro. Questa differenza è descritta da l eco ndo principio della te rmod inamica, n el apitolo 18.

297

Capitolo 1'/

Capitolo 17

NOTE

Se un ga

compresso,

v1 > V,, il lavo ro svolto

v1 < V

1

cd il lavoro volto s ul gas

po.s'. t1vo. e ~I gas s i e .pa ndc,

ul gas è nega ti vo .cd il gas s~ol ge la oro po~1ti o ul p1. to ~c. S~ il ga esp and e a press io n e costa nte, trasfo rm a/ ione d e tta 1. o b a ra, a llora il lavo ro co m p iuto s ul ga

17.1 Ca lore ed energia inte rna

W

= - P(Vr-

V; ).

Il lavo ro svolto s u un i te m a dipe nde d a ll a t ras forma z io ne a cui è s ottoposto il s is l m a

Se due i te mi con te mpe ra tura d ive r a i trova no in contatto, fra loro avverrà un tras fe ri m e nto d i e n ergia fino a quando no n raggiun gera nno la s tes a tempera tura (cioè, fino a quando

d a ll o tato ini? ia le a ll o

tato fina le. ln a ltre parole, il lavoro svo lto d ipcnd

no n a ranno in e qui li bri o te rmi co fra loro). Il t r mine ca lo re s i riferì cc a l trasfer ime nto di e nerg ia

fin a le e inte rm edi dcl

ercare d i compr nderc i pri nci pi base d i funz ion amento di una m acchina term ica e d i definirne e di cutern e il rendimento.

[>

Enun ciare il second o princi pi o de ll a term od inamica e d iscutere la differenza fra le lrasform aLio ni reversibili e irrever, ibi li. Di scutere l' importanza del pri mo e dc l secondo pri ncipio del la termod inamica nel l'applicazione al la l rasforma7 ionc di va ri e forme di energia e all 'i nquinamento tcrmi o.

Se un sistema pas a da uno sta lo di equi l ibrio a un altro, attraverso una tra form a.lionc

dQr rlS = - T

reversibil e, qu asi-stati ca, e una q uan tità di

[>

( 18.6)

ca lore dQr v iene a o rbita (o ceduta) all a tem-

[>

pera tu ra assol uta T, la variazi on e di entrop i a

è defi nita d al rapporto dQr

Descri ve re le tra. form azioni che avvengono i n una m acchina termi ca ideale attraverso il ci clo di Ca rnot. alcolare il rendimen to d ella macchina d i Ca rn ot e no tare che il rendimen to di una m acchina te rmi ca rea le è se mpr' minore dc l rendimen to d i quel la d i

arnot.

/ T. [>

alcolare la va ri azione d i ntropia per le t ra sform azion i reversibi li (co me quelle che coinvolgono i gas perfetti ).

[>

(1 .7)

T ulti i sistemi tend ono al d i ord ine, e l'entropia di un sistema è legata a W, i l numero dei possi bi l i mi restali dcl sistema.

alco lare la va ria zione d i en tropia p r 1 tras form azion i irreve rsibili, ravv isa ndo che la variazione di entropia pe r un a tra fo rm a/ ion irr ver ibilc ugu ale a quell a d i una trasfo rmazione rever sibile tra g li stessi tati d i eq uilibrio.

322

Capitolo 18

Capitolo 16

Ri sposta (a) Il ga in e pan ione compie lav oro. Se si tratta di un ga idea le, i l fatto che la tem -

DOMANDE CONCETTUALI

1.

peratura ia costan te impl ica che l'ener gia intern a ia co tant , e deve qu indi a orbi re tanto ca lore quanto lavoro sta facendo. M an mano che a orbe calo re la sua entropi a aumenta. L' qu azio-

Q u ali sono alcu ni fatto ri che l i mita no il rend imento de i motori delle automobi li?

ne 18.10 mo tra ch e la va ri azione di entropi a è S = 11 R ln(V/ V,) (b )

R isposta

11 pi ù fondamen tale limi te al rend imento di un m otore d i autom obile è il ciclo di

arnot; il rend i mento non può mai supera re quel lo d i que. to m odello id ea le. fl rendimento qui ndi cond izionato dall a mas ima tempera tura ch e il motore pu ò raggi unger e d all e pressioni d i asp i razione e di scarico. T u ttav ia, i l ciclo d i arno t as. um che i ga di sca ri co po sa n o e ere

cl ca o del l'e p an ione adiaba tica reversibile non c'è va riazione di entropi a. Possiam o

affermare ciò perché l'as o rbi m ento di ca lore è zero o perché la temperatu ra diminuì ce per co mpensare l'a umento di volume. In un a esp an ione ad iabati ca irrever ibil e l'entropi a aumenta. L' Equa zione 18.10 mo tra l a va ri az ione di ntropia in una e pan ione l ibera.

o o o o

r ilascia ti in un tem po i n fi ni ta m en te lu ngo. Se v u oi che il tuo m o tore fu nL.ioni pi ù rapida m ente che " mai" , dev i accettare ul teriori perdite. A l tri limiti al rendi mento so no imposti dagli attri ti, da ll a m assa

da ll 'accelerazione dci com ponenti dcl motore, e d ai tempi d i com b ustion

4.

Il di po iti vo in Fig ura 18.3, d etto conve rtito re ter-

moelettri co, u a un a eri e di cel le emiconduttrici p er trasform are energ ia intern a in ener gia lettrica. ell a fotografi a, a inistra, le due e tremità dcl dispo iti vo ono al la

o o o o 2.

Una tu rbi na a va po re è uno dc i pri nci pa li com ponenti di una c ntrale elet tri ca. Perché

vantaggio o aumentare la tem peratura del apo rc qu an to p iù possibi le? Rispo ta

11p iù o ttimic;tico l im i te de l ren dimento i n una macchi na a va por è i l rendim ento idea-

le ( arn o t). Q uesto pu ò e er e ca lcolato da ll 'a l ta e ba ·sa tempera tu ra d el vapore, qu ando esso i espande:

T e - Tf r1 e =----'---= J-e

Te

ste sa tempera tura e non v iene prod o tta energia elettrica. T uttav ia, quando un'estremità a una temp ratura m aggio r dell'a l tra, co me nel la fotog rafi a d i destra, v iene prodo tta energ ia elettrica, poiché il di po iti vo e tra ener gia fa funzion ar un picco lo m o tore d al termo tato ca ldo

Figura 18.3

elettri co. (a) Per ché una differen za di temp r atura produce energia elettrica in qu esta dimo trazione? (b) In che en o que to curio o e perimento dimo tra il econd o principio del la termodinamica?

r ..

Il mo tore av rà un ren dim ento magg iore qua nd o la bassa tempera tura diven ta estremam ente bassa, e l'al ta tem peratu ra est rem amente al ta . T uttav ia, poiché le cen trali elettr iche sono ti pica-

R i sposta (a)

mente poste sulla su perficie terrestre, v i

un limite all ' espansione dcl vapo re e all'abbassa mento

scun e trem o. Qu ando le giun zioni ono a tempera ture d i er e, i in taura una piccol a differ n-

del la temperatu ra i nferiore. Il solo m odo d i aumentare ulteriormente il rend imento, all ora, è di

za di poten L.iale l ungo il circuito, co i cché il d i po iti vo pu ò es. er u ato per misurare la t mpe-

aumenta re la temperatu ra dcl vapore ca ldo, qu anto pi ù possibile.

ra tura oppure (nel no tro ca o) per alimentare un pi ccolo m o tore.

o o o o

I l conve rtito re a em ico ndutto re fun z iona esse nzial mente in m odo analogo a una

term ocoppia, la qu ale è co tituita da una coppia di fi l i di m etalli di ver i, con una g iunzione a cia-

(b)

Il econd o principio afferma che è impo ibi le per una macchin a cicli ca e trarre ca lo re d a

un termo tato e t ra formar lo integralmente in lavoro. Ciò de cri ve e a tlam ente la prima itu a3. D iscutere la va ri azi one d i entropia di un gas che i esp ande (a) a te m peratura costa nte e (b) ad iabatica mente.

zionc, d ove amb du gl i e tremi i trovano a contatto con un olo termo tato la term oco ppia non comp ie lavoro. Per tra formare calor in lavoro, il di po iti vo deve tra ferire ca lo re d al term o tato ca ldo a quello fredd o, com e nel la e ond a i tua.Lione.

o o o o

324

325

Capitolo 18

Capitolo 18 3.

PROBLEMI

Unga pe rfe tto compie un ci lo di Ca rnot. L'esp a n sione i ote rma avvien e a 250°

comprcs ·ione i oterma avvie n e a 50.0° . Se il ga a

e la

orbe 1 200 J di e nerg ia d a l te rm osta to ca ldo

nc ll'e pa ns io ne isote rma, t rova re (a) l' e nerg ia ceduta a l se rbatoio freddo in eia cun c iclo e (b) il

1. Un a particolare m acch ina h a in u ci ta una pote n za di 5.00 kW e un re ndime nto del 25.0%. e la macc hina ced e 000 J d i e ne rgia pe r eia c un ciclo, t rovare (a) l'en e rg ia a o rbila in ciascun cicl o e (b) il tempo pe r compi re ciascun ciclo.

lavoro n e tto fa tto dal ga in ciasc un ciclo. So lu z ione (a)

Soluz ione (a)

Abbiamo che

IQ, I= 8000

Si h a

e=

w.,,.

J Q{ 1-1 Qr I= 1 _ 1.9.cl = o250

IQc I

(b)

IQc I=

Il la oro pe r ciclo è

W,nnc =I Qc

Da

cun a d i queste r g ion i

li teorema di Ca us un teorema m ollo effi ciente, che mette in relazione qualsiasi distribu .lione di ca ri ca on il ampo elettri co r i ul tanl in ogni punto in vici nanza de ll a ca ri ca. In quc to ca pi-

. I

J E· dA = [ JdA = C (a rca dell a reg io ne)

tolo si dovrebbe imparare come si app lica il teorem a di Ga uss a quei a ·i in u i la d i tribLI7ione di carica ha un grado di imm etri a uffi cientcm nte alto.

•

La ca rica totale racchiu a dalla superficie ga us iana superficie gau ssiana.

•

•

U na vo lta ca lcolato il pri mo e il ccond o m mbro dcl teorema di Ca us, si può calco lare il

La superficie ga u ss iana si dovrebbe scegliere in modo da avere la stessa simmetria della di tribuz ione di carica.

•

La dimensione dell a uperfi cie dcv e sere tale da includere il punto d ove si deve calcolare il ca mpo elettrico .

•

Da lla immetri a della di tribu zion di ca ri ca i dovrebbe e ere capa i d i dc rivere co rrettamente la d ire.e.ione o rientata del vettore ca mpo elettrico, E, r lati va m nt all a d i re.e.io-

la por.e.ion e di arica all 'interno della

campo ele ttrico ulla upcrfi cie ga u . iana, assum ndo che la distribu z ione di ca ri ca ia un dato d I problema. Al co ntrario, se il campo elettri co è nolo, allora si pu ò calcolare la d istri buz ione d i cariche che produce quel ca mpo .

ELENCO DI CONTROLLO

ne di un elemento vetto ri ale di u pcr fici , dA, u eia cuna reg ione d ella uperfi cie ga usiana.

•

I> Dalla immetri a dell a di tribu zio n di ca ri a i dovrebbe e · ere capaci d i identifi ca re un a o più porzion i dell a superficie chiu a (e in alcuni ca i d ell'intera uperfici ) su cui il m odu lo di E r im ane co tante.

•

Sc rivere E · t!A ne ll a form a C dA co. che ·u eia cuna regione:

e, e di v id ere la

I>

I>

C(dA)(cos ()) arà u guale a E dA quand o E I I dA. U n esempio d i ciò m o trato nella fig ura a lato, ulla porzione curva dell a upcrfi cie ci lindrica gau siana. l::.(dA)(co · 8) = - [ dA quando E verso opposto.

Supc dicic gau siana

U are la legge di

oulomb per determinare la fol'/ a elellros tati ca ri ultanle agen te u una

cari ca puntiforme dovuta a una distribu zion no ta di un numero finito d i cariche puntiformi .

uperficie in regioni distinte in modo

C(dA)(co · (:)) ia ug uale a Oqu and o E ..l dA o quando E = O. Un e empio del primo ca o si può vede re nell a parte superiore della figura acca nto; i l e ondo ca o sa rà tipi amentc ero per l'a rca all ' interno di un conduttore.

Descri vere le p ropri età fondamental i de ll a ca ri ca elettrica e la natura dell e for7c elettrostatich e tra corpi ca ri chi .

al o lare il campo elettri co E (modu lo, di rezione e ver o) in un punto specifi calo in v icinanza di un gru ppo di cariche puntiformi .

-+

dA

I>

alco lare il campo elettrico dov uto a una di trib uLione o ntinua di ca ri ca . La ca rica può e ere d i tribuita uniformem ente o non uniform emente lun go un a linea, su una superficie o in un vo lum .

I>

alcolare il flu flu

I>

dA ono dir lli in

o dcl ca mpo el ettri co altraver o un a superficie; i n parti o la rc, trovare i l

o elettri co tolal attraverso una uperficie chiusa.

crea re d i com prend re eh una sup rfi cie ga u iana d ev e ere una uperfi ci m atem ati ca chiusa; la uperfi cie può er ·u o all ' inl rn o di un conduttor , un i olante on Ilo spazio. Ri cordare pure che il flu

o el llri co Lo la) altra

r o una up rficic hiu a gau ssiana

uguale all a carica to tale ra cchiu a da lla up rfi i di v i o per la o. tante

I>

342

E . 0

U sa re il teorem a di au ss pe r ca lco lar e il ca mpo lettri co nei punti in pros imità di una d i tribu zio ne di ca rica che mo tri una immc tria sferica, cilindri ca o piana.

Capitolo 19

Capitolo 19 3.

DOMANDE CONCETTUALI

Se la ca ri ca totale all'i nterno di una super ficie chi u sa è nota ma non è speci fi cata la distri-

buzione di carica, si può u are il teorema di Gauss per determinare il cam po elettrico? Spiegare.

1. Un pa llon ci no ca ri co negativa m ente per strofinio aderisce a un muro. il m u ro è ca ri co posi tivamente? Perché il pall oncino all a fi n si stacca?

iò si gn ifica forse che

Risposta o. Se vogli amo utili zza re la legge di Gauss per calcolar il cam p o elettrico, dovremmo essere in grad o di portare il ca mpo elettri co, E, fuori da l segno di i ntegra le. Ciò può essere fatto, in alcuni

Risposta

casi - quando i l cam po è co tante, per e empio.

o. Il pa lloncino indu ce la p olarizzazi one delle m olecole della parete, d i modo che in pro simità del pall onci no tesso si ha uno strato d i ca ri che posi tive. L 'a ttraz ione fra que te cariche e le cariche negative sul pa lloncin o è più for te del la repulsione fra le ca r iche negati ve u l pa ll on cino e le cariche negative nelle moleco le pola ri zza te (poiché que te ono più lonta ne da l pa llon ci no), d i modo che c' una forza risu ltante attratti va ve r o la par te. r processi d i ion izzazione nel l'aria ch e ci rconda i l pa lloncino forn i cono g li ion i a cui gli elettroni in ecce so ul pal loncino possono t rasferir i, ridu cendo la ca ri ca sul pal loncino e qui ndi facend o ì che la forza attra tti va di venti i nsuf-

on1unquc, poiché non conosciamo la distribu-

z ione delle cariche, non possiamo supporre il campo costante ca mpo elettrico.

e quindi non possiamo calcolare il

Per illustra re questo p u nto, i consideri una sfera che contenga una carica di 100 pC. Le cariche po ono essere loca lizza te v ici no al centro o p ossono e ser e tutte raggruppate nel punto più a nord all' interno della sfera. Jn entrambi i casi, il flusso elettri co risultante sa rebbe lo stesso, ma il ca mpo elettrico sarebbe totalm ente diverso.

fici ente a reggere il peso d el pal lon cino.

o o o o o o o o

2.

Sa rebbe di fferente la v ita se l'e l ttro ne fos e ca ri co positi vamente e il protone ca ri co negati-

va mente? La scel ta dei

egni h a una qualch e influ enza

u ll e in terazioni fisiche o chimi che?

Sp iega re. Risposta

4. Un a nota dimostrazione è basata sulla cari ca di un palloncino, che è un iso lante, strofinandol o su ll a testa, e accostan d o i l pallonci no al soffitto o a una parete, ch e sono pure isolanti. L'attraz'. one elettrica fra il pa llonci no carico e la parete neutra farà aderi re il palloncino alla parete. Immagin iamo, ora, d i avere du e lastre infin i tamente este e di materia le isolante: una è carica

o, la v i ta non sa rebbe d iver a. Il cara ttere e l'effetto delle for ze elettri che è defin i to da (1) il fatto che v i sono soltanto du e ti pi di ca ri ca elettrica: positiva e nega ti va, e (2) il fatto che ca ri che di segno opposto si attraggono, m entre ca ri che del lo stes o s gnos i r espingono. La sce l ta del segno

è de l tutto arbi tr aria. om e e ercizio collega to, potreste consid er are che cosa accadr ebbe in un mondo dove esi te sero tre ti pi di carica elett ri ca o i n un mondo dove ca ri che di egno op po tos i re pingessero e cariche di ugu ale segno si attraessero.

o o o o

mentre l'a l tra è neutra. Se esse vengono messe a contatto, si genererà fra esse una forza attrattiva, così come è avvenuto per i l palloncino e la parete? Risp osta In q uesto caso non ci sa rà una forza attrattiva. V i sono due fattori da considerare nel caso del la forza attrattiva fra un pa lloncino e una parete, oppure fra qualsiasi coppia di oggetti neutri e carichi. LI pri mo fattore che le molecole della parete si o ri enteranno con i loro estremi negativi verso il pallon cin o e i loro estrem i positiv i che puntano lontano da l palloncino. Il secondo fattore da considera re è che il pa lloncino è di dimensioni fin ite e di forma curva, per cui le molecole della pare te sono in un ca mpo elettri co non uniforme. Qu indi, gli "estrem i negativi" delle moleco le del la pa rete ri se nti ra nno di un a forza elettrostatica attrattiva maggiore, in modu lo, della forza repulsiva esercitala da i più lon tani "estremi positi vi" delle molecole. La r isultante è una forza attrattiva.

344

345

Capitolo 19

Capitolo 19 Ora, i con id e rin o le lastre infin ite portate a contatto. La po larizzazione delle m olecole ne lla lastra neu tra a ve rrà ancora, com e ne lla pa re te. Ma il ca mpo e le ttrico gene ra to d a lla la tra ca ri ca uni forme e qui nd i è ind ipend e nte da lla dis ta nza da lla la tra . A ll o ra, a mbed u e le car iche ia po itive ch e nega tive ne lla la tra neutra sa ra nno soggette a llo tcs o ca mpo e le ttri co e a ll a te sa in tensità della fo r'7a e le ttrica. La forz a att ra tti va s ull e ca ri ch negati e i e li de rà con la forza rep uls iva ullc ca ri che positi ve e la fo rza ri. ultante sa rà null a.

PROBLEMI

1. li p re mio obel in fis ica Richard Fey nm an una volta affermò che due persone, pos te a un a di s tanL.a pari a lla lung hezza de ll e braccia e aventi un nume ro di e lettroni ma ggiore de ll ' 1% dcl num e ro di protoni, s i re p in gerebbero con una fo rz a p a ri al la fo r.1.a peso de ll a Terra. Verifica re con u n ca lcolo dell'o rdine di g rand eua la va lidità di quc ta asse rz ione.

o o o o So luz io ne

s.

Una persona è po ta a ll'inte rno di una g ra nd e fcra ca a m e ta lli ca i o lata da te rra. e una grande q u an tità d i ca rica viene d po ita ta s u lla fc ra, la per ona i fa rà m a le e tocca l'inte rn o d e ll a fcra? Spi ega re iò che accad rebb se la per ona av se u na ca rica di cgno op pos to a quel-

Si s up po nga che ogni persona abbia una mas a di 70 kg . In termini di ca ri he e le me ntari, eia cuna composta di un nume ro u g u a le di protoni c d e le ttroni e di un nu m ero q u as i ug u a le di ne utro ni . La mas a deg li c l ttroni è tra scura bile, cosicché troviamo il numero di proton i e ne utroni in ciascu na perso na:

lo della ca rica d cpo ilata ull a s fera. (70 kg)(

1 U-27 1.66 X10 kg

l

= 4 X l028

U

Ri sposta La fc ra m e tal lica è un b u on con duttore, quind i qu a lunque ccces o d i arica dell a sf ra s i lo a li L.zc rà ulla s ua upc rficic e te rna. Da l teo rem a d i a u s , sa ppi a m o che il ca m po a ll' inte rno della sfera a rà zero. D i con cgue n L.a, quando la p rsona tocca l' interno de ll a fera, no n ci s arà a lcuno sca mbio di carica fra la perso na e la sfera, e la per o na no n s i fa rà dcl m a le. he co a accad e, a llora, e la per o na ha una ca ri ca ini z ia le? Indipendente m e nte da l segno della ca rica inizia le de ll a per o n a, le ca rich e s ul la upe rficic conduttri ce s i ridi tribuiranno per m an tenere una carica n tta pari a L.ero a ll' inte rno d el conduttore m e tallico. Q uindi, e la perso na ha 5.00 µCd i ca rica s ull a s u a pe lle, csa llamen te -5.00 µ i di porranno inte rna me nte a lla s upe rfi cie de lla sfera, co s icché il campo e le ttrico all ' in te rn o dc l me ta llo sa rà zero. Q u a nd o la pe rso na tocca la fcra me ta llica, ri ceve rà un a sco a dov u ta a ll a ca rica d is tribuita u lla u a pe lle.

o o o o

Di ques ti, circa la m età, 2 x 1028, so no pro toni, e 1' 1% di ques ti, oss ia 2 x 102°, co titu i cono una ca ri ca di (2 X 1026)(1.60 X I 0-19 ) = 3 X I 07 . Q uindi la fo rL.a d i Fey nma n è

dove abbia m o usa to una lung hezza d e lle braccia di m eao me tro.

ln accord o a l m odell o di una partice ll a in un ca mpo g rav itaz io na le, se la Terra fosse in un ca mpo g ra vita.lio na le uni form e d i g ra nde;;za 9.80 m /s2, pese rebbe

Fg

= /11g ={6 x 1024

kg)(10 m I

2

) -

26

lO

Q uindi, le forze ono d e llo le so o rdine di g randea a.

346

347

o

Capitolo 19

Capitolo 19

2. Tre cariche puntiform i sono poste ai verti ci di un tri angolo equi latero, com'è mo trato in Fig ura 19.1. alcola re la fo rza e lettrica ris ultante s ulla carica d i 7.00 µ.. .

Solu zione La carica d i 7.00 µC risente u na forza repu ls iva F1 , dovuta a ll a ca rica d i 2.00 µ , ed una forza attrattiva F2 , do v uta a ll a ca rica di -4.00 µC, dove F2 = 2 F1 . Se s i tracciano i vetto ri rap p resenta nti F1 ed F2 e il vettore ris u ltante F (si g ua rdi la figura in basso a des tra), si trova che il vettore ri s ulta n te ha a ll 'i ncirca lo stesso modulo di F2 ed è dire tto s ulla d estra a ll' inc irca 30.0 °C sotto l'orizzonta le.

Si p uò anche scrivere la forza tota le come: 0 436 tan - 1( · 0.755 F = 0.872

a 30.0°

)

otto l'asse +x

a 30.0°C otto l'asse +x.

o

+~'------~

2.00 1iC

Il ri u ltato tro va to è in accordo con la stima iniziale. Un approccio equivalente a questo problema sarebbe sta to quello di d e terminare il cam po elett rico totale dov uto a lle carich inferiori ed appl icare F = qE pe r d eterm inare la forza agente su lla carica uperiore dovuta a questo campo e lettrico.

-4.00 1iC

Figu ra 19.l

3. Una bacchetta di lunghezza 14.0 cm, uniformemente ca rica, è p iega ta a forma d i sem icerchio come in Fig u ra 19.2. Se la bacche tta pos iede u na ca rica totale di - 7.50 µ..C, trovare modulo e direzio ne d e l ca mpo elettrico ne l centro del e mice rchio O.

Si può determinare la forza e lettrica netta addi ziona ndo le due forze agen ti s ulla carica di 7.00 µC. Queste forze indiv id ua li posson o essere calcolate ap pli cando la legge di ou lomb a ciascuna coppia di cariche.

Soluzione

Sia 1 la cari ca p er un ità di lun ghezza.

= Àds = Àrd8

Allora,

dq

e

dE = kedq

Figu ra 19.2

La forza agente s ull a ca rica di 7.00 µ , dovuta a lla ca r ica di 2.00 µC, è r2

. m I c )(7.00X10-6 e)( 2.00X10- e) (8.99 X10 q q2 r = -'-----------=-"---------'-'-------'F1 = ke __L_ (co 60°i + sen 60° j) r2 (0.500 m)2 9

2

2

6

Nella forma di compone n ti, Ey =O (per imme tri a) Integrando,

F1 = (0.252 i + 0.436 j)

dEx = dEco ()

EX = f dEX = f keÀrcos 8 dn_keÀ J 1r / 2 COS () d () -_ 2keÀ 2 O - --

r

All o tesso modo, la forza agen te s u lla carica di 7.00 ~LC, dovuta al la ca ri ca d i -4.00 µ , è Qtotalc

e)

9 2 2 6 6 (8.99X10 . m Ic )(7.00X10)(-4.00X10qlq3 F2 - ke - - r - - -'-----------'-"---------'-'------....;... ( cos 60°i - se n60°j) 2 r2 (0.500 m) A

-

F2 = (0.503 i - 0.872 j)

Quindi,

Ex

= XQ,

e 2

r=P / n 2

= 2n ~eQ = _2_n-'-(8_.9_9_x_10__ _· m __/_c_~)(_-7_._50_x_10_-6_c_!_) .V (0.140 m)2 9

.

I

Quindi la fo rza tota le agente s ul la ca ri ca di 7.00 µC, esp ressa in term ini delle co m pone nti,

o

348

r

- rr I 2

dove V= 0.140 m ,

E =(-2.16x10 7

F1 + F2 =(0.755 i -0.436 j)

r

349

)i

o

Capitolo 19 4.

Una sba rretta d i l unghezza fi nita

m e. Di

Capitolo 19

ari ca nega li amente con una den ilà lineare unifor-

gna le linee d i ca mpo elettri co in u n piano conl nente la barretta.

6.

Una pira ci rco lare di 40.0 cm di diametro iene ru o tata in un ca mpo elettrico uniforme finché i trova la po izione in cui il flu o elettrico m a , imo. ln que ta posizione, il flu o el ttrico risulta 5.20 x 105 · m 2 / . Qual è il m odulo del ca mpo elettrico?

So l uzion e Soluzion e

alcoli amo il flu s o

Area 8

----"-Area A

Q u indi, il ra ppo rto d i q u e te aree è tre, cioè l'a rca d el fi lo B è tre volte que ll a d c l fil o A. Da l rappo rto dell e a ree, pos ia m o calcola r che il raggio d c l filo B , 3 volte il raggio d e l fi lo A.

2. U a ndo la teori a a to mi ca de ll a m a te ria, p i ga re pe rch ">Ccrebbe con la tem pe ra tura.

,

R IZ8

d a to d a __ A_ -

d

/4

h

-

e

lr--..I

DOMANDE CONCETTUALI

a lcola re la po te n za di ssipa ta d a un re i to re. a lcola re la re is ten za equ iva lente di un g rup po di r is tori co ll ega ti in para lle lo, in se rie o in un collega me nto e rie-pa ra lle lo.

o o o o

3. Da to che le ca riche flui cono m o lto le nta me nte a tt ra ve r o un m e ta ll o, com e ma i no n o no nece a rie d iver e ore pe rché i accend a la luce d o p o aver p re muto l' in te rrutto re? I in goli e le ttro ni i muovono con una ve locità mo lto bas a a tl rave r o il condutto re, Rispos ta ma, a ppe na vie ne a pp lica ta la te n io ne, g li e le ttro ni lu ngo tutto il cond utto re co m inci ano a mu o\c rs i. In rea ltà, la corre nte no n flu i c " i ta nta nea m e nte", ma è li mitata d a lla veloci tà d e ll a luce.

o o o o C>

A p p li ca re le leggi d i Kirchhoff pe r ri o lvcre un circu ito a p iù m aglie, cio trova re le corre nli le diffe re nze di po te nz ia le tra due punti qua l iasi.

C>

alcolar la corre nte d i ca rica (o ca ri ca) /(t) e la ca rica accumul a la (o re idu a) q(I) dura n te la fos di carica (o ca rica) di un conden a to re in un circuito RC.

390

391

Capitolo 4.

n

Capitolo 21

Spiega re perché un ucce ll o può rimane re u un cavo d e ll 'a lta te n io ne e n za ubire danni.

PROBLEMI

Ris pos ta 1.

Suppo nia m o che la corre nte in un condutto r d ecresca con la legg

La re i te n za d e l brev tratto di fil o compre o tra le zampe d e ll ' ucce ll o co ì piccola che la differenza d i po te nz ia le V = I R tra le za mpe tesse è tra curabi le. Pe rché s i rima nga fu lm ina ti occorre una diffe re nza di poten z ia le. Tra le za mpe dell ' uccello c' una diffe re n za d i p o te nz iale tra cu rab il e. Si potrebbe a nche dire ch e u na piccola corre nte pa sa a ttrave r o le za mpe d e ll ' uccello, in accordo con la legge d i re i to ri in p a ra ll e lo. Tuttavia, po iché la resi te nza d ell e za mpe d e ll'u ccello è mo lto m aggio re d i quell a del fil o, la qua ntità di corre nte che flui ce a ttrave rso l' u cce ll o no n è ufficie nte a danneggiar lo .

I (t) = I oe t / r

co n /0 la corrente a ll' i ta nte t = O e T una co. ta nte di te mpo. o nsideriamo un punto P di os erva/ ionc fis od ntro il condutto re. (a) Quan ta cari ca pas a in P tra l' is ta nte t = O et - T? (b) Qu anta ca rica passa tra l' i. ta nte I = O e !'i tante I = IO.OT? Quanta ca rica passa tra t = O e I = ? So luz ione

o o o o

dQ di

5. Rife re nd o i a ll a Figu ra 21.1 s i dc criva ch e co a accad e a ll a la mpad ina dopo la chiu ura d e ll ' interruttore. Si upponga che il conde n a to re a bbia g ra nde capacità e s ia ini z ia lme nte carico e che la lu ce i accend a quando è coll egata d iretta m e n te a i ca pi d e lla ba tte ri a.

Dalla J = - - abbia mo

dQ = I di

Da q ue ta, ricaviamo un integra le gene ra le

Q =IdQ =ILdi

In tutti e tre i ca i, defi ni a m o un te mpo fin a le, T

I ntcrru ttore

Batteri a

Integra nd o da l te mpo t - Oa l te mpo t

rT(- /0 r )e_, Q =Jo

= T,

r(- ~di )

Figura 21.1

Ris pos ta

Ponendo

La lampad ina s i accenderà pe r un i ta nte fin ché il conde nsa tore i s ta car ica ndo e c'è un a corre nte ne l circuito. on ap pen a il cond e n atore i a rà ca ri ca to, la corre nte ne l circui to i ridurrà a zero e la la mpadin a i s pegnerà.

(a)

Q = O pe r I = O,

Se T

r,

o

o o o o

392

(b)

Se T

(e)

eT

Q=

= 1O r,

J0

r(l -e

10

)=0.99995 /0r

o o

=

393

Capitolo 21

Capitolo

2. Attrave r o un fil o di tung te no de lla lung hezza di 1.50 m e di ezio nc 0.600 mm 2 v ie ne mante nuta un a d .d. p . di 0.900 V . Q u a l la co rre nte ne l fil o?

(d )

La d e n ità di ma a d à il nume ro di e le ttroni libe ri; a s umi a m o che ogni a to m o dia un lettrone libero: 11

Soluz ion e Da lla d e fini z io ne d i re i te nza

l=-

V

R

, d ove

R=pL

= (2.70 X103 kg / m 3)( 1 mof )(103 g x 6.02 X1023 fre e - ) = 6.02 x 1028 c -/ m 3 1 mo] 26.98 g kg

Ora

J

= nq vd

dà

A 7

(6.35 x 106 A / m 2) vd - ,-----=--:--'---.,....,..-----'--------.,..) = - 6.59 x 10-4 m I s nq - (6.02 x 1028 e - / m 3)(- 1.60 x 10- 19 / e _ J _

2

VA (0.900V)(6.00 x 10- m ) 1= - - = = 6.43 A pL (s.6 x 10- 8 Q · m )(l .50 m)

Qu indi,

n

o

o

11 egn o indi ca che g li e le ttron i d e ri va no n e lla direzio ne o ppo ta a l ca mpo cd a lf a corrente.

\

I

3. Un ca mpo e l ttri co uniforme d i 0.200 V I m è a ppli ca to lungo tutta la lun g hezza di un fil o d i a lluminio con un d ia m e tro di 0. 100 mm . La te mpe rat ura dc l filo è 50.0° . Si as uma u n e l ttronc li be ro pe r a to mo. (a ) Sa pe ndo che per l'a ll uminio la r i ti v ità è 2, 2 x 1Q-8 n · m ed il coefficie nte te rmico è 3,9 X 10 J °C- 1, d e te rmina re la re i ti v ità. (b ) Qu a l è la d e n ità di corre nte ne l fil o? (c) Qu a l è la corr nte to ta le ne l fi lo? (d ) Qu a l è la ve locità di d e ri va d egli e le ttron i d i condu .l io n ? (e) Qu a le d iffe re nza di po te nz ia le e i te fra g li e t re mi d e l fil o lu ngo 2.00 m pe r pro durre il ca mpo e le ttrico a ppli ca to?

Solu z ione La re i ti vità s i o tlie ne d a lla

o

(a)

(e)

4. Se la velocità di d e ri va d egli e le ttro ni libe ri in un fi lo di ra me il ca mpo e le ttr ico ne l conduttor e.

= a E= E = ( 0.200 V/ m ) (1 r2 · A / V)=6.35 x 106 A / rn2 p 3.15 X10- Q · m

J

(c)

1 I J = - =-2 A nr

7.84 x JQ- .J m /s, calco la re

Soluzione 11 no tro mod e llo truttura le d e ll a condu z io ne e le ttr ica d c cri vc un e le ttro ne di condu z io ne com e u na parti cella in un campo e le ttrico e come una p a rti ce lla o tlo po ta a d accelerazio ne costa nte, dura nte il te mpo tra le u c colli io ni con g li a tomi . Tuttav ia, includendo g li effetti d e lle colli io ni e mediando ul ca mmino a z igzag d cgl i e le ttro ni, il mod e llo d e cri ve g li l'le ttro ni com e un i te ma di parti ceI le in equilibrio, con una be n d e finita velocità di d e ri va. la d en ità d egli e le ttro n i ne l rame 8.48 x 1028 e-/ m3. La d e n ità di corre nte ne l fil o è J = nq vd= (8.48 x 10

(b)

o

V = ED= (0.200 V / m )(2.00 m ) = 0.400 V

28

e - / m 3)(1 .60 x 10- 19 C /e- )(7.84 x 10-4 rn /s) = 1.06 x 107 A / m 2

Ap pplica ndo l'Equa z io ne I = :

A a lla co rre nte nel l'Equ azio ne 21.4,

E p

J = aE = -

o

394

E = pJ =(1.7 x 10- Q · m)(1 .06 x 107 A / m 2)= 0.l 1 V/ m

395

o

Capitolo 21

Capitolo ?.1

5. Si uppo nga che pe r un i ta nte un alim nta tore produca una te n io ne d i 240 . Di q u a le percentuale a ume nta la po te nza di una la mpa dina da 220 e 100 W, ne lI' i pote. i ch e per l'a umento di tens ione la s ua re i tenza non vari? 11 =

Soluz ione T rovia m o la re is tenza:

.21_ = lOO W V1

(a)

Y=

(b)

La resi. tenza a 20.0 °

I

= 66.7 Q

1.80 A

R = 120 V = 78 .4 .Q

A ll a lempera tura d i fun z ionamento,

1.53 A

Trascu rn nd o la di la tazio ne te rm ica, ab b ia mo

0.833 A

O ra la corre nle è p iù inte nsa,

12 = ~ = 140 V = 0.972 A R 144 .Q

e la potent:a è maggiore:

Y2 = 12 V2 = (0.972 A)(140V) = 136 W

L' a ume nto percentua le è

Ro = ~ = 120 V

è

= 0.833 A

120 V

R = ~ = 120 V = 144 Q /1

o

V/ = (120V)(l.53A) = 184W

136 W - 100 W =0.361 =36. 1% 100 w

oc T = T, + (R I R0 ) - 1= 20 _0 0 C+ (78.4 0. / 66.7 0.) - 1 = 461 O a 0.4 X10 3 oc - I

o

6. Un tos tapa ne ha un e lemento risca ldatore costituito da un filo di re i te nza a l ni chel-crom o. Quando il tos tapa ne co llega to a 220 V (e il fil o s i trova a una te mpe ra tu ra di 20.0° ), la corre nte in iz ia le è 1.3640 A. La corre nte ini z ia a diminuir quando l'e le m e nto res i tivo in iz ia a ca ldari. Q ua nd o il to tapa ne ha raggi unto la te mpe ra tura di funz iona m e nto fina le, la corre nte ce a a 1. 144 . (a) T rova re la poten za fornita da l tos tapa ne quando h a raggiunto la u a te mpe ra tura di fun z io namento . (b) Qual è la temperatura fin a le di fun z ionamento?

Soluzio n e Il re i tore è un s i tema non i o la to in uno tato taz ionario che a o rbe e ne rg ia d a lla rete e le ttrica e re titui ce e nergia so tto forma di radia z ion e e le ttro m agnetica e di ca lore a ll' a ri a c irco. tante. Molti tosla pan viluppano una pote nza di I 000 W (generalmente indica ta in fond o a lto ta pa ne), qu indi c i possia m o a pettare che que toto ta pane sv il uppi una pote nza s imi le. La te mpera tura del l' e lemento scaldante dov rebbe e e re uffici e nte m e nte a lta da tosta re il pa ne, m a ufficie ntemente bassa d a non fo ndere l'e le me nto co tituito da ll a lega d i niche l-cro mo (la te mpe ratura d i fusi on del nichel è 1455 °C, mentre il cromo fonde a 1907 °C). La pol •nn1 può essere calcola ta direttamcnle mo ltipli ca ndo la corren te e la tens ione. La te mpcralL11 a pL1b •ss ' r calco lata da ll'eq uaz io ne linea re d e ll a condu ci b ilità pe r il ni che l-cromo, con a 0.4 . I 0 1 (. 1•

o

Sebbene que to to tapane embri sviluppare m olta meno potenza d egli a ltri, la temperatura ..,ufficien ten1ente a lta per to tare un pezzo di pane in un tempo ragionevole. Infatti, la tempe ratu ra di funt:ionamenlo d i un tipico tostapa ne d a 1000 W sa rebbe so lo leggermen te pit1 a lta per hé la legge d i irraggiamento di Stefa n ci d ice che la tem pera tura dovrebbe e ere di circa 700 ° . In e ntra mbi i casi, la temperatura di fun z io na me nlo è ben a l di otto d e l punto di fus io ne d e ll'e lemento scaldante.

7. Una ba tteria ha una f.e.m . di 15.0 V. La d.d.p. a i s uoi capi d ivenla di 11.6 V e e a fo rni ce 20.0 W di pote nza ad un resisto re di carico e terno R. (a) Q ua l il va lore di I~? (b)Qua l è la resistenza interna de11a batteria?

r------ ---,

115.0 V

1

(b)

=

I

,

11.6 R

So luzio n e Mettendo insieme l'esp res ione per la polt•n;;a co n la ddini Lione di resistenza,

(a) Y

r

R =~= (ll. 6 V) = 6.73 O. O y 20.0 w 2

e

Vl

é - IR + lr

Po iché

V l =R

dà

V = lR

é - JR r =-1

quind i

r = (é I

V) R V

r = (15.0 V - 11 .6 V)(6.73Q) = 1. O. 97 11 .6 V

o

Capitolo 21

Capitolo 21 8.

9.

Si consid er i il circuito mo tra l o i n Figura 21.2.

Determin are la corrente i n ciascuno d c i rami d cl circuito mo-

10 Q 25 V

d .d .p. tra i p u nti a e b.

5.0 Q So luz i on e

Soluzi on e

3.0 Q

strato in Figu ra 21.3.

Trovare (a) la corrente nel re istore da 20.0 n e (b) la

a

Se ru o ti am o il diagramma dato sul suo

Per pri ma cosa, definiamo arbi trari am ente i versi ini ziali

delle co rrenti e i n om i, o m' è mostralo nell a econda fig ura a dc tra.

b

8.0 Q +

lato, trov iam o che es o è lo stesso d ella fi gura (a). Le resistenze d a 20.0 Q e 5.00 Q ono in eri c, p r cu i la

La legge d elle co rrenti, all ora, di ce che

5.0 Q

5.0 Q

prima ridu zione è com e qu Il a m o trata in (b). Inoltre,

into rno alla magl ia di in istra + J1(8.00 O ) - J2(5. 00 Q ) - J2( 1.00 Q ) - 4. 00 V = O

Figura 21.2

va lente:

1 2 94 ( I / 10.0 O ) + (1 / 5.00 O ) + (1 / 25.0 O) = · n

b

iò è m ostra to i n fi gura (c), che infine si ridu ce al cir-

25

10 Q

5.0 Q

20Q 5.0 Q

a

Su ccessiva mente, perco rri am o i nd ietro i di agramm i,

=

V / R e V = JR. La r istenza d a 12.94 O è collega ta ai 25.0 , per cui la corrente attraverso la batteria in ogn i diagra mma

(2)

e in ve rso ora ri o i ntorno all a magli a d i d e tra, 4.0o

v + 12(1.00 n + 5.oo o) + J3 (3.00 n

+ i.oo n ) - 12.0

V

=

R

25.0 V

faci lmente.

12.940

nostre tre equa zion i a:

(8.00 Q )l - (6.00 Q )J - 4.00 I 2 b

I OQ

25 Q

5.0 Q

=O

}

1

IOQ

- .00

a

la resi tcnza qui va lenle d i 2.94 O p er d are una cad uta di tensione di:

è la te a di quel la ai ca pi d ell e re i tcnzc da I O.O O e d a 5 .00 O, vn,, . v a/I=

o

5.68

Poiché la corrente attraverso la resistenza d a 20 O

O. 46 A

=0

l'

/1=

Q ui ndi,

I _ (8.00 Q )(0.846 A) - 4.00 26.00 Q

o

verso il basso nell a re isten L.a d a 8 O

12.94 Q I OQ

(e)

13 = 0. 46

= 0.462 A

5.68 V - - - = 0.227 A 25.0 0

25 (d)

o 398

verso i l basso nel ramo cen tra le

ver o l'a l to nel ramo di d

+ 0.462 A = 1.31 A

pure la corrente attrave rso il ramo ab d a 25 O,

(a)

_ .O y + (4.0 Q)/ i+ (10.0 Q)J 2 = O

5.6 V

Da lla figura (b), ved iam o che qu esta ad ula di tensione

Qu i nd i,

}

+ (4.00 Q ) J1 + l 0.0((8.00Q) / 1 - 4.00V) = O 6 .00

(17.3 0)/1 - 14.7

(b)

2.94 Q

(b)

4 {' = (8.00 Q ) l 1 - .00 V 2 6. 00 Q

Risolvend o l' equazione i n al to rispetto a J2 e so tituend o poi J2 nell'eq u azione so tto di essa,

In fi g ura (c), questa corrente di 1.93 A scorre attravc r o

V = JR = (1.93 A) (2.94 O)

(3)

osì, so t itui amo (/ 1 + /2) al posto d i /1 e r id u iam o le

(a)

25 V

= 1.93A

v= o

va ntaggio che le ri poste, d opo la p ri ma, vengono fu o ri mol to più

4.00 V + (6.00 Q )/ 2 + (4.00Q)(l1 + 12) - 12. 0 V = O o

I=-

Fig u ra 21.3

Risol vendo per so stitu .1..ione piuttosto che con i d eterminanti, i ha il

cu ito m o trato in (d).

applica nd o J

J3= J, + 12

Per la legge sulle d i ffcrenL.e di potenL.iale, girand o i n verso orario

in parallelo, po siam o ca lcolare la loro rcsistenL.a equi-

cq

(1)

20 Q

poiché le re istc nzc d a I O.O O, 5.00 O, e 25.0 O sono ora

R =

1.0 Q

399

t ra

o o

Capitolo

n

Capitolo ?.1

10. Si consideri un circuito RC in se rie (Fig ura 21.4) pe r il quale R = 1.00 Mfl, C = 5.00 µ.F e B = 30.0 V. Trovar (a) la costa nte di te mpo d c l circuito, (b) la massima ca rica s u l conde nsa tore dopo la ch iu ura d e ll'interruttore e (c) la co rre n te ne l re i tore R 10.0 s dopo la ch ius ura d e ll ' inte rruttore.

Per trova re la tc n io ne ne l punto n, p rima troviamo la corr nl , usa ndo la legge s ulle ten ioni :

R

e

T~

10.0

Inte rruttore

y~

v-

(i.oo n ) 12

- ( 4.0o

11-

b

+

12 = 2.00A

4 .0 Q

10 V

(a) (b)

r

= RC = (1.00 X10

6

n )( 5.00 X10-

6

F) = 5.00 n . F = 5.00 s

o

Dopo un te mpo abba tanza lungo, il conde nsatore i è "ca rica to a trenta o lt", separando una ca rica

Q =e

o

v = (5.oo x 10-6 )(30.0 v) = 150 µC

Ana logamcn lc,

10.0 V - (8.00n) 13 - (2.00n) 13 = O

/3

-

l

Vo

(a)

13 = 1.00 A e l p unto b

2.0 Q

J12

Vn - Vo = (4.00 n ) Z2 = 8.00 V

Fi g ura 21.4

Soluz ion e

.OQ

l.OQ

n) 12 = o

v b - V0 = (2.00 n ) I 3 = 2.00

v

Qu indi, la Le ns io ne a i ca pi d e l conde nsatore è

\

d ove

(c)

l = E e- ti r= ( R

E R

Io=-

Va - Vb = 8.00 V - 2.00 V = 6.00 V (b)

30.0V ) e- 10.0s/5.00 s 1.00 x 106 n

o

I = 4.06 x 10- 6 A = 4.06 µA

upponiamo d i tacca re la batteria la cia nci o un circuito a pc rlo. Avre mo la Fig u ra (b), con un ci rcuilo che pu ò essere ridotto ai circuiti eq ui valenti (c) e (d ).

Riso lvendo,

10.0 V

o luzione

1

IO

(>.0 Q

vet/ RC I

V=

v. = I

(e)

v e- 1/ (3.60 n )(t.oo µI")

I.O11F

I

e- t I 3.60 µ;, = 0.100

(- t I 3.60 µs) = ln (0.100) = - 2.30 Figura 21.5

9.0 Q

qC= Q Ce-t/RC

e +

(b)

Da (d) vedia mo che il cond e nsato re ca ri ca attraver o un a res is te nza equ iva len te d i 3.60 n . In accord o con l'eq uazio ne q = Q e t/RC ca lcol ia mo che

11. li c ircuito in Fig u ra 21.5 è s tato collega to a l gene ra tore g ià d a " mo lto" te mpo. (a) Qua l è la te nsio ne a i ca pi d c l cond c nsa lorc? (b) Se la batteria v ie ne scoll egata, q ua nto tempo ci v uole affinch é il conden ·atorc si scarichi fin o a J / 10 d e ll a s ua te n io ne iniz iale?

O

r = RC = 5.00 s

e

__t_= 2.30 3.60 µ

CJ 1

- 1

1

= 3.60 n

9+6

(d) t = (2.30)(3.60 µ ) = 8.29 µ (a)

Dopo un te mpo s uffi cie nte me n te lungo il ra mo conlenenlc il conde nsato re tra porterà una corrente trascurabil e. li flus o d el la corrente . arà come q u e llo moslralo nell a Fig ura (a).

o

Capitolo 21 12.

Un a m acchina elettrica è progettata per funzionare co n un banco d i batterie da 12.0 V

con un'ener g ia tota le immagazzinata di 2.00 x 107

J. (a) Se il

Capitolo 22

motore elettrico assorbe 8.00 kW,

qua l è la co rrente nel motore? (b) Se il motore elettrico as orbe 8.00 kW quando la macchina si m uove a velocità uni forme d i 20.0 m I , quanto pe rcorrerà la macch ina pri ma d i "restare a ecco"?

Forze e campi magnetici Soluz ion e (a)

Poiché 9J> = L1 VI

(b)

La m acchi na co rre per un tempo

I =:E_= 8.00x103 W =667 A V 12.0 V 7

f = U = ( 2.00x10 J P 8.00xJ.0 3 W

o

](1 J

W ·s ) = 2 .50 x l03 s

\

quindi perco rre u na d ista nza di

L\x=v t =(20.0 m / )(2.50x l 03 s)=50.0k.m

o

,.

INTRODUZIONE

Mo lti torici de ll a scienza ritengono che la bus o la, che utilizza un ago magnetico, fos e U'iata i n ina fin dal XIIl secolo a.C., e che la sua invenzione sia dovuta agli Arabi o agl i Indiani. Il fenomeno del magnetismo era noto ai G reci fin dall'800 a. . Essi avevano scoperto che determinate pietre, dette ora magnetiti (Fe30 4), attraevano pezzi di ferro.

el 1269 Pierre de Maricourt

disegnò una mappa del le direzion i a unte da un ago quando ven iva posto i n vari punti su lla upcrficie d i un magnete naturale sferico. Egl i scoprì che queste d i rezioni formavano del le l inee ~hc circonda vano l a fer a passando attraver o due punti diametra l mente opposti tra loro, che egli chia mò po li d el magnete. E p erim enti uccessiv i mostrarono che ogni magnete, ind i pendentemen te da lla su a forma, ha due poli, detti p olo nord e poi.o sud, che eserci ta no delle forze l'uno ull' altro, in modo analogo a quanto accade per le cariche elettriche, val e a d i re pol i omonimi r •spingono, mentre po li eteronomi si attraggono. Q uesto cap itolo tratta l' or igine del campo magnetico, va le a d i re le cariche i n moto o le corr nti elettriche. Mostr eremo come usare la legge di Biot e Savart per calcolare il campo magnetico genera to in un p unto d a un elemento di corrente. U ando que to formali mo e i l pri ncipio d i t«>\

402

rappo izionc, potremo ca lcol are allora i l campo magnetico tota le dovuto ad una corrente in

403

Capitolo ')'}

Cap!tclo 22 un circuito . Su cce s iva m c nte, mos tre re mo com e d e te rminare la forza fra due condutto ri perco rs i d a corrente, un calcolo eh conduce a ll a de fini z io ne d e ll 'a mpe re. Introdurre mo p ure il teorem a d i A mp re, che arà m o llo utile per ca lcola re il ca mpo m ag ne tico di con fig ura z io ni a lta m e nte im m e lrichc pcrcor ·e d a corre nti stazio na ri e. Appl iche re mo il teorema d i Ampè re per de term ina re il ca mpo m agne ti co di un lungo fil o p e rcorso d a corre nl , di un so le noid e e d i un toroide.

22.2 La legge di Biot-Savart La legge di Biot-Savart a ffe rm a che un fil o condu ce una corre nte s taz io na ri a /, il campo magne ti co dB in un punto P a ocia to a un s uo e le m e nto ds ha le segu enti proprie tà: • Il vetto re dB pe rpe nd icola re ia a ds (che è orie nta to n e ll a direzio ne d e lla o rrc ntc) s ia a l ver o re r (diretto d a ll'ele m e nto di co rre nte ver o il punto P). • Il mo dulo di dB è in ve rsa me nte propo r.lio na le a r2, d over la dis ta nza d a ll ' ' le me nlo a l punto P. • Il m odulo di rf B è propo rz io na le a ll a corre nte e a lla lung hcz7a d e ll'ele me nto, d • 11 m odulo di dB propo rL:iona le a scn 8, d ove 8 l'a ng o lo tra i vetto ri ds c d r.

NOTE

22.1 Il ca mpo magn e ti co

\

Pa rticelle con carica q, che i mu ovono co n veloc ità v in un ca mpo m agne ti co B, sono soggette ad una fo rza m ag ne ti ca f w Le pro prie tà d e lla fo rza magne tica o no: • La forza m ag ne ti ca p ro por7 io na le a ll a ca ri ca q e a ll a velocità v d e ll a p a rti ce lla. • Il modulo e la direzione orie nta la d e ll a fo rza m agnetica dip nde n o da l ve tto re ve locità d e ll a pa rticella e d a modulo, direzio ne e verso d c l ca m po m agnetico. • Qua nd o una pa rti cella ca rica s i muove in un a d irezio ne para ll e la a l ve tto re ca mpo magne tico, la fo rza m ag ne ti ca FHagente ull a carica zero . • La forza m ag ne ti ca agisce in una direz io ne pe r pendi cola re s ia a v che a B, cioè f H è pe rpe ndicola re a l pi a no fo rm a to d a v e B. • La fo rza mag ne tica agente u una ca rica positi va è in ve rso opposto a ll a fo rza u una ca ri ca nega ti va che s i muove ne llo s tesso verso. • Se il vetto re ve locità fo rma un a ngolo () co n il ca mpo magne ti co, il m odulo d e ll a forza mag ne tica è propo rz io na le a sen e. Vi sono a lcune diffe re nze impo rta nti tra la forza e lettrica

que lla m ag ne ti ca:

22.3

Forza ma gne tica fra due co ndutto ri paralleli

Condutto ri paral le li che conducono co rre nti ne lla tessa direzion e e verso s i attraggono, me ntre co ndutto ri pa ra lle li che condu cono corre nti in verso opposto s i respingono. La forza tra due fili para lle li, ognuno d e i qu a li conduce corre nte, s i usa pe r d e finire l'a mpere come segue: Si d ice che due fili lung h i e pa ra lle li o no pe rcor ·i da una co rre nte d i 1 A, se, posti ne l vuo to a di ta nza d i 1 m, i attraggono con una fo rza pe r unità di lung hezza pa ri a 2 x 10 7 / m .

22.4 Teorem a di Ampère La direz ione o rie nta ta d I campo magneti co d ovuta a una corre nte in un condutto re è d a ta da ll a regola d e lla ma no d estra :

• La fo rza e lettrica è sempre ne ll a d irez io ne d e l ca mpo e le tt rico, me ntre la forza m ag ne ti ca è pe rpe ndi cola re a l campo mag ne ti co . • La forza e le ttrica ag isce s u un a pa rti ce lla ca ri ca ind ipe nd e nte me nte d a ll a velocità d e lla pa rti cella, me ntre la fo rza m agne tica agisce s u una pa rticella ca ri ca o llan lo q ua ndo e sa è in m o lo . • La for.la e le ttrica compie un lavoro spos tand o una pa rticella ca rica, me ntre la for7a m agnetica associa ta con un campo ma g ne tico s la ti co non co mpi e lavo ro qu a ndo posta u na pa rti cella.

404

S il filo è te nuto ne lla m a no d estra con il pollic ne ll a direzione d e lla cor re nte, le dita avvo lgeranno il fil o n e ll a dir z io n di B. LI teor ma di A mp re è valid o solta nto per o rre nli tazio n arie cd è uti le so lta nto in qu e i ca'->i in cui la config urazione d Il corr nti ha un a lto grado di simme tria.

,, f\C:

Capitolo 22

Capitolo ??

EQUAZIO NI E CO NCETTI li ca mpo magn ti co (o l'induzione m agne tica) in un certo punto d e llo pazio i defin isce in fu nzio n d e ll a fo rza m agn e tica che i e e rcita u u na cari ca e lettrica positiva in mo to in q u e l punto. L' unità Sl d c l ca rnpo m ag netico è il le la (T) o wcbc r u metro quadra to (Wb / m2 ).

FB = q v x B

1T=1

(22.1)

·S

C· m

e un fil o re ttilin eo pcrcor, o d a corren te po to in un ca mpo m ag n ti co e te rno, e so s arà soggetto a d una fo rza m ag ne tica . La forza magnetica age nte u u n fil o di fo rma a rbi traria s i trova inlegra ndo s ulla lu ng hezza dcl fil o. Tn que te eq uazio ni la d irezio ne d i t e

FB = /.Q X B

(22.3)

(22.4)

ds è q ue lla della co rre nte.

FB = Jq Jv Bs e nO

La fo rza magneti ca avrà la m a s im a in tc n ità qu a nd o la carica s i muo e lungo u na direzione pe rpe nd icola re a l ca m po m agnetico. [n g ne ra lc, il vettore velocità p uò es e re d iretto in un a certa direzio ne d ive rsa da 90.0° re la tiva mc nt a l ca mpo m agne ti o. [n que to ca o, la fo rza mag ne tica age nle ull a ca ri ca in m o to sa rà minore dcl uo va lo re m a imo.

(22.2)

li m od ulo della fo rza m ag n ti ca agente s u di u n condutto re pe rco r o d a corre nte in un ca m po magne ti co dipende d a ll 'a ngo lo tra la d irezio ne dcl condutto re e la direzio ne d c l ca mpo.

F8 = 8 /Q c n O

La fo rza m ag n ti ca a rà m a s im a quando il co ndutto re è d ire tto perpe nd ico la rme nte a l

rB , ma' = BI Q

ca mpo m agne ti o.

L'Eq u azio ne 22.2 s i p uò ri e re in una form a che e rve per d e finire il m od ulo d e l ca m po m agn tico.

(22.5) -r - /A x B

Q ua nd o una . p ira chiu a pcrco r, a d a corren te è posta in un ca mpo magne tico e te rno, è soggetta ad un m o m e nto m ecca n ico ris ultan te. e ll'EquaLio nc 22.5, il vetto re a rea A è di re tto pe rpe ndicolarmente a ll'a rea d e lla pira con un v r. o d a to dal la regola d e lla ma no des tra. l i m odulo di A numeri ca m e nte ug ua le a ll'a rea dell a pi ra.

Per d e term in a re il ve r o del la fo rza magne tica, appli ca la rego la d e lla mano de t ra: Il m odulo d e l m o me nto m ecca n ico dip nd erà da ll'a ngolo tra la direzio ne d 1 ca mpo m ag netico e la d irezio ne d e lla no rm a i a l pia no

Tenete la ma no d e tra con le dita prim a punta te ne ll a dir Lione d i v e po i ruo tale ne lla direLionc d i B, co ì com e mo trato ne lla fi g u ra. La forza m agne ti ca age nte s u u na ca rica p unlifo rme po iti va punta ne ll a d irezio ne d e l po llice. e la ca ri ca è nega ti va, a llo ra il ve rso della forza è op posto.

r = /AB e nél

della s p ira .

I 406

407

Capitolo 2?.

Capitolo ?.2 fl m odu lo del momento mecca ni co arà m as-

T max

simo quando i l campo magneti co è p arallelo al piano d ell a pira.

(22.6)

= lAB

Ba una distanza r da un lungo condutto re

B al centro di un arco di può anche

e primerc i n term ini di

(22. 7)

-r - µ x B

11 mom ento meccani co agen te u una spi ra si

raggio /~

che sot-

tend e un an gol o al centro O (in radi anti).

µ , il

momento di dipolo m agnetico del la pira.

µ = /A

d ove

B\ lungo l'asse di un a sp ira circo lare di rnggio R e a di stanza x dal pian o d ella sp i ra.

il m om ento magnetico del la spira ru o ta i n una d i r zi one h lo por ti ad all inear i con il ca mpo m agnetico.

dB = µ o 1dsx

co in un punto del lo spazio d ovuto a un elenwnto di conduttore ds che tra porta una corren te I e che i t rova a una d i tanza r da l

4n

r

r2

B = µof 4n R

e

B -

µolR2

(22.8)

L a d irez ione d i rota z ione d ella pira è tale che

La l egge di Biot-Savart d à i l ca mpo magneti -

(22. 1O)

B = Poi 2n r

re tti lineo, percorso da una co rrente/ .

(22.9)

X -

2

(

X

2 + R 2)1/ 2

(22. 12)

Sostitu endo x

=

O si o ttiene il ca m po

m agneti co lungo l'as

e del la spi ra.

pu nto.

f_ = µ o 11f2 V

11 mod ulo d el la forza m agn et ica per unità di µ.o =4n x 10- 7 T · m / A

La perm ea bi lità m agnetica del v uo to è u na costante.

B = IJ-o '

Il campo m agneti co total e si trova i ntegran -

4n

do l'espressione del la legge d i Biot-Sava rt sull'intera lu nghezza dc l condutto re.

f

lungh ezza tra d u e cond u ttori paral lel i infinita mente l unghi d i pende d alla di stan za n tra i condultori e da l la intensità dcl i due correnti .

ds x r

~

Tutte le co rrent i

Se le correnti para llele / 1 e /2 so no nel lo tesso verso, la forza agente fra i conduttori arà ,1ttra tti va . onduttor i parallel i che conducono corr nli di verso o ppo to i re pingo no. In og ni ca~o, i m odu l i delle forze agenti fra i due condullori sara nno u gu ali.

11 ca mpo m agneti co genera to da alcu ne impor tanti confi g ura zioni geometrich e di condulto r i percorsi d a cor rente si pu ò ca lcolare u and o la legge d i Biot-Sava rt:

408

(22. 11 )

409

2n n

(22. 13)

Capitolo 27.

Capitolo 22 Il teo rema di A mpère rappr enta una rel azion

(22.J 4)

fra l' integra le d ella com ponente l an-

SUGGERIMENTI, ESPEDIENTI E STRATEGIE Pe r rico rdare i imboli dei v ttori che puntano v ia da vo i e verso d i voi, pen ale a una freccia tridimen ionale sco cata d a u n

gen ziale de l ca mpo magnetico attorn o a un qua lunque percorso chiuso e la corrente lotalc conca l cnata con il percor o chi uso. I ri sul -

arciere qua nd o punta prima allontanandosi da voi (moslrata .... ul la si n i lra) e poi erso d i voi (m ostrala su l la dcsl ra). L a punta

tati per d u e e empi d i con figu ra zioni di corrente sono:

-;u lla frc eia

®~

rappre 'Cnlata da un punto; le aletle sono rapp rc-

. .,c n tate da u n a " " . B all' interno di un toroi de con

avvol-

B =1!.Q_}_

gimenti e a di stanza r dal ccnlro dc l toroide.

(22. 15) L' Eq uaLionc 22. 1, F13

2Jr r

B, serve co me defi niz ione dc l ve tto-

re campo m ag netico B. l i vc r o del la forza m agnetica F è deter-

(22. 16)

B v icino al cen tro d i un so lenoid e con spi re per un ità di l unghezza.

= qv x

m in ato da lla regola d ella m ano dc tra per i l prodotto veltori alc, così com e i ll u trato nel la fi gu ra a fi anco. (Si a • urn a che la carica q ·ia po iti va).

11

La regola della mano de lra e i l prod otto vettoriale si usano pu re La d i rezione o rientala di un ca mpo m agneti-

per d etermin are di reL ione e ve rso dcl mo men l o meccani o e

co genera to d a un a co rrente i n un lungo filo è determ i nata da ll a rego la dell a m ano destra

d i re7 ione e vc r o della rol azio ne ri ultante per una sp ira percor. ., a da corren te immer a in un ca mpo magnetico. Quando le qu al-

app li ca ta a B:

tro dita de lla vo tra m ano destra cir ondano la pira nel verso de lla corrente, il polli e punterà nell a direzione del vc ltore area

Si lcnga i l cond utto r nell a m ano dest ra

z

A. Appl icando que ta regola all a situ azione m o trata nell a fi gu-

con il po ll ice che punta nell a d irez ione

ra a lato, il ve ttore A è d i retto verso l' c tern o dcl piano della

del la corrente con v nziona lc. Le dita

..,pira rettangolare rivol ta vc r o di voi, co ì come

al lora si avvolgera nn o altorno al fi lo nella direzione d el! li nc d i forza del

m o Ira to.

Il mo mento m ecca ni co risu l tante pa ral lelo al la d i rc7 ione d i A x B ed è d iretto l ungo l' asse y positivo, com e è most ra to in fi gura. iò è consistcn lc con la regola genera le che determina la di re-

ca mpo m agnetico. I l ca mpo m agnetico

è tangen te alle l ince d i forza circolari i n

/ ion e i l ve rso del prodotto ve ttoria le di due vetlori . Se si considera la spira incern ieral a lungo il lato coi ncidente co n l'as e y, al lora la rota zione avverrà i n modo tal che l' angolo 8tra A e B dim i-

ogni punto del la regione atto rn o al co ndu llorc.

0

La d i rezione d cl ca mpo magnetico al cen t ro di una pi ra ci rco lare pc rcor. a da corre nte è

B

per pendicolare al piano del la pira nel v r o

.

1

dato d alla regola della mano deslra appli ca ta a B.

Per la corrente moc;trata B è diretto fuori dal foglio

nuisca. La spira ru o ta finch il suo ve ttore arca A risulli para llelo al ve tto re ca mpo m agne ti o B. Ciò è m ostral o in fi g u ra com e una relazione antiora ri a quando è i la dal l' al to.

t importan te ri cordare che la l egge di Biot-Savart, B (u cenle da lla

da ta da ll'Eq u azione 22.9, dB

= }!]___

Id x

4n:

t

0pagi: a) A (entrante nella r 8 pagina) _::::.--ds p·® a

'>'

r

,.2

Al l' interno d i un solcno id , il ca mpo magne-

r

/

tico è parallelo all' a.se del solenoide e p unta

e un' equ az ione vettoriale. li ver ore

nel ve r o determin alo appli ca ndo la regola della m ano destra per B a una dell e pire.

cond u tlo rc ds al punto P dove i deve calcolar il campo m agnetico, cd r è la distan za da ds al punto P. Per un arb itra r io elemento d i corrente mostrato nell a fi g ura a destra, la dire/ ione di B

dir llo da ll' elem ento d i

nel p u nto P, o ì come è d elcrm inata d al la regol a dell a m ano dc t ra, è verso l ' es tern o del piano;

410

411

Capitolo 22

Capitolo 22

il campo magnetico ne l p un to P' generato d a ll a corre nte ne ll'e le me nto d è in vece verso l'interno del piano. Per trovare in ogni pu nto il ca mpo m agne ti co tota le dovuto a l conduttore, do vete som ma re i cont ributi di tulti g li c le me nti di corre n te dcl o nduttore. iò vuo l d ire ch e il campo magneti co tota le B è espresso da un integral e e Leso a ll' intera lung heua d c l conduttore:

4n

I

ds x i-

r2

DOMANDE CONCETTUALI 1. Du particelle ca ri che e ngono imme se in un ca mpo mag ne tico perpe ndicolare ri petto al la lo ro velocità. e le ca ri che vengono d efl e e in vers i o ppo ti, co a i può dire di loro?

Risposta Sapp ia m o che il ca mpo m agnetico è co ta nte e i vettori ve locità o no g li te s i, ma una forza oppo ta a ll'a ltra. Da F8 = q(v x B ), po ia m o conclude re che la o la ca u sa eh può rendere le forze di egno oppo to è il cgno d e lle ca ri che che d eve es e re oppo to.

o o o o 2. È po ibile o rie nta re un a pira percor a da corrente in un campo magnetico uni fo rme in m odo che non te nd a a ruo tare? Spiega re.

ELENCO DI CONTROLLO

[>

'

Usa re l'eq uaL:ionc che d e fini sce il ca mpo m agn ti co B per d e term ina re il modulo e la direz ione o ri enta ta d e ll a fo rza m ag ne ti rn che s i eserci ta su una carica e le ttrica che s i mu ove in una regione dove esis te un ca mpo m agnetico. Si dov rebbe cap ire con chiareaa l' impo rtan te differe nza tra la fou:a agente s u una carica e lettri a da pa rte di un ca m po e lettri co la forza agen te c;u una car ica e l 'ttrica in moto da pa rte d i un ca mpo m agnetico.

[>

alcola re m odul o, d ireLione e verso della fo r.la m agne tica agente su un cond uttore pe rcoro da co rre nte pos to in un ca m po m agne tico esterno.

[>

De term ina re il m od ulo, la direz ione e il ver o d c l mo me nto mecca nico age nte s u una s pira pe rco rsa da co rre nte immersa in u n campo magne tico e te rno. Si dovrebbe co mprend e re come determ in a re la dire/.io ne o ri entata dcl vettore a rea corrisponde nte a un d a to avvolg ime nto di co rre nte, e come incorpora re il m o m e nto mag ne ti co d '!l 'avvolg ime nto ne l ca l olo d c l mo m e nto meccanico d e ll a spira.

[>

[>

Usa re la legge d i Bio t-Sava rt per ca lco la re il campo m agne ti co in un pun to s pecifi co in prosimità d i un c l m e nto di corre nte, e per integraz ione trovare il ca mpo magneti co tota le p rod o tto d a un certo numero di impo rta nti config urazioni geometriche. L' u so dell a legge di Bio L-Sava rt d eve includere una chi ara compre ns ione d e lla direzione e verso dc l contributo a l ca mpo m agnetico relativo a ll a d irezio ne dell'ele m e nto di o rre nte che lo produce e a lla direzio ne d e l vettore che indi vid ua il punto ne l q ua le s i de ve ca lcolare il ca mpo. Usa re il teore m a d i A mp re per ca lcolare il ca mpo magnetico generato d a una onfig uraz ione d i o rre nlc s taLiona ri a che ha un s ufficiente a llo g rado di qimme tri a, com e quel lo di un lungo condu tto re rettilineo, un lungo o lenoidc e un avvo lg ime nto toroid a le.

Sì. Se il ca mpo mag ne tico pe rpendicolare a l pi a no de ll a Risposta -.pira, le forze ui la ti o ppo ti aranno ugua li d oppo te, m a no n p ro durra nno momento m eccani co.

o o o o 3.

Spiega re p e rché due fili pa ra lle li p rcor i d a corre nte in ver i o pposti s i re pingono.

Rispos ta La fi gura a d est ra a iuterà a compre ndere qu e to fe nomeno. 11 campo mag ne ti co dov uto a l fil o 2 n Il a po iz io ne d e l fil o 1 diretto fu o ri d e l foglio. Quindi, la forza ma g ne ti ca ul fil o l , data da 11L 1 x B 2, deve e e re dircttaa ini trapo ich é L 1 x B2 è dire ttoa ini tra. Al lo te so modo, puo i dim o trar che la fo rza m ag ne tica ul fi lo 2 dov uta al ca mpo d I fi lo 1 è d iretta ver o d e tra . Filol

o o o o 4. Un tubo di ra me cavo è pe rcor o d a corrente. Perché B = O a ll ' inte rno d e l tubo? B è di ver o da ze ro a l di fuo ri d el tubo? Risposta Appli chi a mo il teore m a d e ll a circuitazio ne d i Amp re al perco r o chiu o contra egnato con 1 in fi g ura. Po ich non c' corre nte concatena ta con que to circuito a ca u a d Il a imm etria d Ila co nfig ura z ione, vedia m o che il ca mp m agn tico a ll' int rno del tubo deve e se re zero. D 'a ltra pa rte, la corrente ne tta concate nata co n il circu ito contra segnato con 2 /,o ia la corre nte tras portata da l conduttore. Q uindi, il ca mpo al i' e terno d el tubo d ive r o d a zero.

o o o o 412

Filo2

413

Capitolo 22

Capitolo 2?

PROBLEMI

d sso, u iamo i m ode lli di partice ll a in un ca mpo m agn tico co lare uni fo rme.

1. Determinare la direzio ne ini z ia le d e ll a d e fl e io ne di una particella ca ri ca q u a nd o e ntra in un ca mpo mag n etico, come è mo Lra lo in Fig ura 22.1.

(al +

B in

--------, : >.

X

X

)(

I

I X

>

X

X

:

X X X

X

:

I

: X X .
la/ ioni rad io FM vanno d a 88.0 a 10 .OM Hz, quel I AM da 535 a 1605 kH7. L a frequenza d i 6.30 Ml l z cade ne ll ' interv allo di frequen ze del sistema radiotelefoni co dell a m ari na, quindi sentiresti il capita no di una nave in vece di m u sica.

B è di retto lungo la direz ion e z negativa quando E è nella direL.ione y nega ti va; q uindi, S = E x B / Po si propagh erà nella di rezione di (- j ) x (- k ) =+ i .

(e)

B = Bma' CO (kx 2

k = 7r = À

3. na comun ità pianifi ca di co ·tru i re un disposi ti vo di u ti lità generale per conve rtire la radia;;ione . olarc in nc rgia elettri a. La p otenza ri chiesta è di 1.00 M W ( l011 W ) e il sistem a da instal lare ha un'effi cienza d cl 30.0% (cioè i l 30.0% de ll 'energia solare incid ente sulla super fi cie w nvcrti ta in en ' rgia elettrica). Quale d eve essere l'arca d i una su perfi cie perfellam cnte assorbl'ntc d a utili zza re in tale install a1. ione, se si assume un flu sso costante d 'energia solare d i

Cù t )

2

7r = 0.1 26 m - 1 50.0 m

I 000 W I m 2?

w = 27r f = (27r rad)(6.00 x 106 H z) = 3.77 x 107 rad / Sol u z ion e 7

Qu in di, B = (73.3 nT) cos ((0.1 26 rad / m )x - (3.77x 10 rad / s) t]

A I 30% di effi cien.t:a, la poten za .J> = 0.300 S A:

o A=

p 0.300 5

450

6

=

l .OO x l0 \f'j__ =3330 m 2 =075

0.300 (1000 W / m 2 )

-

451

·

a ri.

o

,....,apitolo '.ì.4

Capitolo ?.4 li filamen to d i u na la m padina h a una resi te n za R = 150 n c d è pe rcors o d a una co rrente d i 1.00 A. li fila m e nto lungo 8.00 cm e ha un raggio d i 0.900 mm . (a) a lco la re il vettore d i Poyn ting s u lla s upe rficie d c l fil a me nto. (b) Trova re i va lori m ass imi del ca m po elettrico e d e l ca m po magnetico s ulla s u perficie d e llo s tesso.

5.

Soluz io n e

Soluzion e Pe r un assorbime nto tota le,

4.

In ques to p roble m a, il vettore d i Poy nting no n rap pre ·e n ta la lu ce irraggia ta o l'e ne rg ia t ras messa per convez io ne da l fil a me n to. P iutto to, esso ra p p re e nta il fl us o d i e ne rg ia nei ca m p i ta tici e le tt rico e mag netico creati ne llo pa z io vuo to circo ta nte da lla co rrente ne l filamen to. Il vettore d i Poynting des crive no n o lo l' e ne rg ia tras fer ita da lla rad ia z io ne e lettromagnetica ma anche l' e ne rg ia tras fe rita per effetto j o ule.

Una s tazione radio trasm e tte 25.0 W / m 2 di p o te nza pe r unità di a rca. Una s upe rficie piana d i a rca A è pe rpe ndicola re a lla direzione di pro p aga7 io ne d e ll'ond a. alco la re la pressione di r,1d iilz ione d e ll 'onda ne ll ' ipo tesi che la s upe rfi cie s ia un assorbito re pe rfetto.

p =~ =

e

o

25.0 W / m2 = 8.33 x l0-8 N / m2 3.00 x 108 m / s

6. Un laser a l neon-elio (A = 632.8 nm ) d a 15.0 mW e me tte un fascio di sezio ne circo la re il cui d i.1mctro è 2.00 mm . (a) Trovare il ca mpo e le ttrico m assimo d c l fascio. (b) Qual è l' e ne rg ia tota le w ntenula in 1.00 mdi fa scio? (c) a lco la re la qua ntità di molo trasportata d a l.00 mdi fas cio.

La rapid ità con c ui la re iste n za con verte l' energia e le t tromagne t ica in ca lore è Sol uzio n e

2

p = ! 2 R = (1.00 A) (150 Q) = 150 W e l' a rea della s uper ficie è (a)

4

A = 2n r L = 2n(0.900 x 10- 3 m)(0.0800 m) = 4.52 x 10- m

2

l ' intens ità d e lla lu ce è u g u a le a l va lore med io d c l ve tto re di Poynting: .

I = ~ = Emax2 n r2

l i vettor d i Poy n ting è d ire tto rad ia lme nte verso l' in terno:

S =y = A

= 3.32 x 10 5 W / m 2 t 5o w 2 4.52 x 10-4 m

Q uindi, il ca mpo e le ttrico m assimo è

o (b)

(b)

B =µ0 - 1

2n r

= ( 4n x 1O- 7 T · m ; A )

) ( l .OOA 2n 0.900 x 10- 3 m

=222 . x 10-4 -r

o

Emax

2µ 0c

= \

.P(2µoc) 2 7r r

=1· 90 x 103 I

o

Essendo la poten za 15.0 mW, s ig nifica ch e 15.0 mJ a ttrave rsa no una sezio ne tras ve rs ale dcl fascio in un secondo. Ques ta e ne rg ia è uniformemente dis tribuita in un fa scio di lung hezza 3.00 x 108 m, poi ch é ta nto dis ta il fronte estre mo d e ll'ene rg ia che p assa in un secondo. Q uindi, l'energ ia per la lung heua d i un metro è

E = ~ = JR = 150 V = 18 O V / m D.x

L

o

O.O 00 m

3

ota: Po s iamo a nche calcola re il ve ttore di Poyn tin g da

5 = CB = 3.32 x 10 5 W / m 2

µo

15.0 x io- J I s ) (1.00 m) = s .oo x 10- 11 ( 3.00 X108 m/ S

o (d

p

l.àms

o

La qua ntità di m oto tras po rta ta d él un fa scio di 1.00 m di lung hezza è lél qua ntità di m o to che ri ceve rebbe una s upe rfi cie asso rbente ne l caso di asso rbimen to tota le:

=u =

452

J

e

s. oo x 10- ll J = l .67x l0- 19 kg· m / s 3. 00 x 108 m I s

o

~--------------------c~p:tcb l:{t

,...a:f-:tcio /.4t

7.

Quali lunghezze d 'onda delle onde e lettromagnetiche nel vuoto hanno frequenze di (a) 5.00 x 10 19 Hz e (b) 4.00 x 109 H z?

Soluzion e De fi niamo l'angolo iniz iale, a l qua le tutta la luce è tras messa, 8 = O. Ruotando il d isco un a ltro angolo la lu ce trasm essa s i ridurrà, al lora, per un fattore d ' intens ità I = /0 cos2 e.

,1

Soluz ione

I Per 1 = -0-

cos8 = - -

e

e=54.7°

o

(b)

1 Per I = - 0-

cose = - - -

1 \ 5.00

e

e=63.4°

o

(e)

Per 1 = - -

lo

1 cos 8 = - -

e=71.6°

o

(a)

(a)

(b)

À. = E_ =

f

À. =E.=

f

8

3.00 x 10 m I s = 6.00 m 5.00X 10 19 ç l p

o

8

o

3.00 x 10 m I s = 750 cm 4.00X 109 S- l

L'onda e lettromagnetica nel caso (a) sare bbe chiamata raggio X se fosse e messa da un e lettrone in terno ad un a tomo che perde energia, o d a un elettrone in un tubo a vuoto. Sa rebbe chi amata raggio y se fosse irraggiata da un nucleo atom ico.

\

)(}

,, _ . .!. i___R!gi X ~

l

1011

L'onda elettromagnetica nel caso (b), d i lung hezza d 'onda pari a que lla di un dito, è chiama ta o nda radio o microonda.

'3.00

5. oo '

10.0 '

\ 10.0

Lunghena d'onda

I ,\ I nm

Ultraviole tto - - -

)

1

3.00'

J()lll

IO'

IO" 10 I

+t: vi~ibil c ; f

lO. l .u m

Luce lnfrarO'>"

M1cr+ondt•

J

l'V, l'M

f 00 "2

25.2 L ' onda s ottopo s ta a r iflessione Si h a rifless ione s p eculare quand o la s upe rficie riflettente è ben levigata; la riflessione da u na s u perfi cie scabra è d etta riflession e diffu sa. e l caso di una riflessione da una s u perfic ie lev igata, l'angolo d i incid e nza è u g ua le al l'a ngolo di riflessione; g li a ngoli sono misurali t ra la normale a lla s upe rficie e i ris pe tti vi ragg i. Il cammino di un raggio di luce è reversibile, un' impo rta nte proprietà de ll'ottica geom etrica.

EQUAZIONI E CONCETTI orm a le Raggio inciden te

Riflessione

25.3 L' onda sotto pos ta a rifrazione La rifrazione si rifer isce al cam bia men to di direzione di un raggio di lu ce che investe obliquamente l' interfaccia tra due meai t rasparenti. Quando un raggio v iagg ia d a u n mezzo a ll'al tro, la velocità d e ll 'o nda camb ia, ma non cam bia l a fre que n za. L'angolo di ri fra .done (tra il raggio rifratto e lél norma le) dipende e.fa lle proprie tà dci due m ezzi e d a ll'él ngolo d i incidenza, come espresso dalla legge di Snc ll, Eq u élzionc 25.3. I rnggi incidente, riflesso e rifra tto (tras messo) g iacciono nello stesso piano.

Ri frazione

Fig u ra 25.2 Ri fle ssio ne e ri fra z io ne d i raggi di luce ad una in te rfaccia. Le direz ioni dei raggi -.ono perpe nd icola ri a i fro n ti d 'ond a.

25.4 Dis p e r s ione e pris m i Per un dato m ateriale, l' indice di rifraz ione è una funz io ne della lung hezza d 'onda d e ll a luce ch e attraversa il materiale (la lung hezza d'onda dipe nd e a s ua volta da lla veloci tà). Q uesto effetto s i chiama d ispersion e. In particolare, quando la lu ce passa att rave rso un prisma, un d a to raggio è rifratto da due s upe rfi ci e d e m erge devia to d a ll a sua originaria direzione di un élngolo d i deviazione, 8. A rn usa dell a dis p ersione, 8è d iverso per differenti lu nghcz7e d'ondél. 25.5 Il princi pio di Huygen s Ogni punto d i un dato fronte d'ondél s i può considerare come unél sorge n te p un tiforme d i onde:?