Electricitate 03 [PDF]

Zitiervorschau

CAPITOLUL 2

ELECTROCINETICA

Tema 1

CURENTUL ELECTRIC Scurt istoric Primele experimente importante, în domeniul curentului electric au fost efectuate de Galvani (1737-1798) şi Volta (1745-1837). Galvani a descoperit accidental că trecerea curentului electric prin piciorul unei broaşte produce contracţii musculare, iar Volta a construit în 1800 prima baterie electrică. Prin curent electric se înţelege deplasarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică, liberi într-un conductor (mediu), sub acţiunea unui câmp electric. Trebuie subliniat faptul că mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină electrică, liberi, din conductor nu este o simplă mişcare rectilinie uniformă, ci reprezintă un fenomen complex, deoarece purtătorii de sarcină din conductor se găsesc într-o continuă mişcare haotică de agitaţie termică, suferind multiple accelerări, frânări şi devieri datorită ciocnirilor dintre ei cât şi datorită ciocnirilor cu ionii reţelei cristaline ce formează conductorul. Din aceste motive, putem vorbi numai de viteză medie a mişcării ordonate a purtătorilor de sarcină în conductor, sub acţiunea câmpului electric, care se numeşte viteză drift sau de antrenare. Această viteză are o valoare foarte mică: pentru un curent de 10A printr-un conductor de cupru cu secţiunea de 10mm2 are valoarea vd=0,06mm/s. Totuşi, un curent electric se transmite cu o viteză foarte mare datorită faptului că printr-un conductor se propagă câmpul electric pe toată lungimea conductorului şi acesta antrenează electronii sau ionii pe care îi întâlneşte în cale. Din acest motiv conductorii se mai numesc şi ghiduri de câmp electric. Pentru a realiza un curent electric este necesar să se creeze un câmp electric într-un A B spaţiu în care să se găsească purtători de sarcină liberi (electroni, ioni). 33

Realizarea câmpului electric se face cu ajutorul unei diferenţe de potenţial ∆V=VA-VB. Purtătorii de sarcină se vor mişca până ce se va ajunge la echilibrul celor două potenţiale, după care curentul electric încetează. Efectele curentului electric • efectul termic • efectul magnetic • efectul chimic Intensitatea curentului electric I, este o mărime fizică scalară care măsoară sarcina electrică ce străbate secţiunea transversală a unui conductor în unitatea de timp: Q I= ∆t SI=A E Indiferent de tipul purtătorilor de sarcină mobili, sensul convenţional al curentului electric este dat de sensul intensităţii câmpului electric, adică I sensul scăderii potenţialului. Măsurarea intensităţii curentului electric se face cu ajutorul ampermetrului care se conectează în serie cu circuitul prin care este curentul electric. Ampermetrul este aparat electric care măsoară intensitatea curentului prin efectele sale. Asfel, există: • ampermetre magnetoelectrice • ampermetre feromagnetice • ampermetre termice • ampermetre cu semiconductoare A Simbolul de reprezentare al ampermetrului este: A Pentru menţinerea curentului electric, trebuie ca tensiunea electrică pe porţiunea AB să fie menţinută constantă. Acest lucru se va putea realiza dacă purtătorii de sarcină sunt readuşi la cele două capete ale conductorului, printr-un alt traseu. Pentru aceasta este necesar să se cheltuiască energie ca să se învingă lucrul mecanic al forţelor elctrice. Rezultă că, pentru a întreţine un curent electric constant, printr-un conductor, este nevoie de o sursă electrică de energie, cu A

I

+

34

B

denumirea de generator electric, care este conectat prin conductori de legătură la capetele conductorului AB, astfel se realizează un circuit electric. Generatorul electric este un dispozitiv care transformă o formă de energie: chimică, mecanică, optică, termică etc. în energie electrică. Astfel, ele se numesc: pile, dinamuri, alternatoare, celule fotoelectrice... Simbolul de reprezentare al unui generator electric + + + este redat în figura alăturată. G Sursele de curent electric asigură o diferenţă de potenţial ∆V constantă, adică un câmp electric sub acţiunea căruia electronii de pe întregul circuit sunt antrenaţi într-o mişcare ordonată cu viteză constantă. Schema unui circuit electric trebuie să cuprindă: un generator, conductoare de legătură şi consumatorii electrici. Generatorul electric este caracterizat de R tensiunea electromotoare E necesară pentru a produce I E r lucrul mecanic în deplasarea sarcinilor electrice pe întregul circuit, atât în interiorul lui cât şi pe porţiunea exterioară a acestuia. Se poate scrie relaţia energetică pe un astfel de circuit: W=Wext+Wint Dacă raportăm energiile la unitatea de sarcină electrică se obţine: E=U+u unde “E” este tensiunea electromotoare a sursei, “U” este tensiunea la bornele consumatorului iar “u” este căderea de tensiune din interiorul generatorului. Măsurarea tensiunilor se face cu ajutorul voltmetrului V care trebuie conectat în paralel cu elementul de E B circuit (generator, consumator, conductori de legătură, V rezistor, etc.) Din cele relatate mai sus rezultă că din întreaga energie cheltuită W=E.q numai o parte este utilă Wext=U.q deci randamentul unei surse electrice este: U η= E

35

Cu cât căderea de tensiune în interiorul sursei este mai mare, cu atât randamentul acesteia este mai mic. Pentru aceasta se proiectează generatoare care să aibă pierderi cât mai mici în interiorul lor. Tema 2

LEGEA LUI OHM A. Legea lui Ohm pe o porţiune de circuit Considerând un circuit electric format din mai mulţi consumatori şi un generator electric, se poate aprecia uşor că între punctele A şi B potenţialul electric scade, deoarece curentul electric circulă de la A către B. Măsurând tensiunea U la bornele unui consumator şi intensitatea I a curentului electric prin el se constată că rapoartele: U1 U 2 U = = ...... = ct sau =R I1 I2 I

I

+ - E

A

U

R

B

Căderea de tensiune U pe o porţiune de circuit este proporţională cu intensitatea I a curentului electric prin acea porţiune a circuitului. U=R.I Constanta de proporţionalitate dintre căderea de tensiune şi intensitatea curentului electric se numeşte rezistenţă electrică şi se notează cu R. Unitatea de măsură pentru rezistenţa electrică se deduce din expresia: U R= I U SI V R SI = = =Ω I SI A Rezistenţa electrică R caracterizează orice consumator electric şi depinde de elementele constructive ale acestuia: ρ.! R= S unde ρ caracterizează materialul din care este confecţionat consumatorul şi se numeşte rezistivitate electrică. Rezistivitatea electrică depinde de temperatura conductorului: 36

ρ=ρo(1+αt) unde ρo este rezistivitatea la 0oC, iar α este coeficientul termic al rezistivităţii. Rezistenţa electrică depinde şi ea de temperatură: R=R0(1+αt) Tabel cu carcteristici electrice ale unor substanţe Substanţa ρ0 (Ω.m) ρ(Ω.m) (200) α(grd-1) Nichelină 3.10-7 4,2.10-7 0,0001 -8 -8 Aur 1,92.10 2,24.10 0,0083 -8 -8 Cupru 1,48.10 1,68.10 0,0068 -8 -8 Fier 8,59.10 9,71.10 0,0065 -8 -8 Argint 1,42.10 1,59.10 0,0061 -8 -8 Wolfram 5,02.10 5,47.10 0,0045 -8 -8 Platină 9,83.10 10,6.10 0,0039 -8 -8 Aluminiu 2,44.10 2,65.10 0,0043 -8 -8 Mercur 94,1.10 95,8.10 0,0009 B. Legea lui Ohm pe întregul circuit Pentru un circuit electric simplu, format dintr-un generator cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r, care alimentează un I consumator electric R, se poate scrie: +E R E=U+u r Aplicând legea lui Ohm pe fiecare porţiune de circuit: U=R.I şi u=r.I şi după înlocuiri se obţine: E=I(R+r) sau: E I= R+r Intensitatea curentului electric, printr-un circuit electric închis, este direct proporţională cu tensiunea electromotoare E a sursei şi invers proporţională cu rezistenţa electrică totală a circuitului. Tensiunea la bornele sursei, în circuit închis, este: U=E-r.I Pentru un circuit deschis (întrerupt) curentul electric este nul, deci: 37

U=E Pentru scurtcircuit rezistenţa exterioară devine nulă, iar curentul este: Isc=E/r Curentul de scurtcircuit este curentul maxim pe care îl poate furniza un generator electric. Caracteristici pentru dipoli electrici Dipolii sunt elemente de circuit electric care se conectează în serie sau paralel prin două borne sau doi dipoli: instrumente de măsură, bateria electrică, acumulatorul electric, motorul electric, becul electric, reostatul, întrerupătorul etc. • Dipoli pasivi: sunt consumatori sau receptori de energie electrică • Dipoli activi: sunt elemente de circuit care prezintă la borne tensiune Fiecare dipol are o caracteristică de curent, I=f(U) şi o caracteristică inversă de curent U=f(I). I Pentru un circuit electric simplu alcătuit dintr-un generator şi un consumator rezistiv, caracteristica de curent I=f(U), conform legii lui Ohm pe o porţiune de 1 tgα = R U circuit, este o dreaptă care trece prin originea sistemului de axe I, U care are panta egală cu 1/R. Caracteristica inversă de curent, U=f(I) pentru un U circuit închis, dată de legea lui Ohm, este: E U = − rI + E α Se vede că graficul U=f(I) este o dreaptă cu panta negativă: tgα=−r I I sc iar pentru scurtcircuit: U=0, I=Isc. Pentru un circuit întreg, punctul de funcţionare F, trebuie să aparţină ambelor grafice, deci I coordonatele lui se vor obţine la intersecţia Isc celor două grafice. F

E

U

38

Reostatul şi potenţiometrul Intensitatea curentului electric dintr-un circuit electric simplu poate fi modificată prin variaţia rezistenţei electrice a circuitului. După cum s-a văzut, rezistenţa unui conductor, este proporţională cu lungimea conductorului !, cuprins în circuit. Reostatul permite, prin manevrarea unui contactor, să se modifice valoarea rezistenţei electrice odată cu modificarea lungimii coductorului. a) reostatul cu cursor Contactul alunecător se poate deplasa pe o tijă metalică, de rezistenţă neglijabilă, asigurând contactul cu una din spirele bobinate pe suportul izolator. Cu cât numărul de spire incluse în circuit este mai mare cu atât rezistenţa inclusă în circuit este mai mare. b) reostatul cu manetă Un grup de rezistori sunt conectaţi în serie iar o manetă, prin poziţia ei, va introduce în circuit un număr mai mare sau mai mic de rezistenţe. Valoarea rezistenţei, realizată astfel, este variabilă în trepte. c) potenţiometrul Potenţiometrul are posibilitatea de a furniza la ieşire o tensiune U’ reglabilă între 0 şi E. După cum se vede din figura alăturată, I tensiunea U’ este proporţională cu valoarea + rezistenţei R’: U’=I.R’ R E Dar curentul I este constant cu valoarea: _ R' U’ E I= R+r deci tensiunea U’ are valoarea: E U' = R ' R+r Cum valoarea rezistenţei R’ este reglabilă între 0 şi R, rezultă că tensiunea U’ este reglabilă între 0 şi U. 39

Probleme 1) Ce lungime are un conductor din cupru, cu diametrul d=0,4cm şi rezistivitatea electrică ρ=1,7.10-8Ω.m , în care un curent cu intensitatea I=1A produce o cădere de tensiune U=1V. R: !=739m 2) O sârmă de cupru are rezistenţa R=10Ω şi masa m=0,4kg. Cunoscând rezistivitatea cuprului ρ=1,7.10-8Ω.m şi densitatea acestuia d=8600kg/m3, să se calculeze lungimea !, aria secţiunii S şi diametrul D al sârmei. R: D≈0,3mm

!=165m

S=0,28mm2

3) La ce temperatură rezistenţa electrică a unui conductor de nichel (α=5.10-3grd-1) creşte cu 20% faţă de rezistenţa electrică la 00? R: t=400C 4) Un conductor cu rezistenţa R=5Ω este parcurs în timpul t=50s de sarcina electrică q=200C. Să se calculeze tensiunea U la capetele conductorului. R: U=20V 5) Ce secţiune are un conductor de aluminiu (ρ=2,8.10-8Ωm), a cărui lungime este !=400m dacă, la aplicarea tensiunii U=2V, este parcurs de un curent cu intensitatea I=0,25A? R: S=1,4mm2 6) Un receptor cu rezistenţa electrică R=50Ω trebuie alimentat de la o reţea cu tensiunea U=220V, situată la distanţa L=45m de receptor. Valoarea maximă admisă pentru căderea de tensiune este de 3% . Care este diametrul minim al conductorului utilizat, dacă el este din cupru? R: d=1,12mm

40

7) Un fir din aluminiu are la temperatura t1=20oC o rezistenţă R1=1Ω. Să se determine valoarea rezistenţei R2 la temperatura t2=80oC, cunoscând coeficientul de temperatură al rezistenţei α=0,0036grad-1. R: R2=1,2Ω 8) O sursă cu t.e.m. E=100V şi rezistenţa internă r=0,05Ω, furnizează un curent electric cu intensitatea I=100A. Să se calculeze tensiunea U la bornele sursei. R: U=95V 9) Intensitatea curentului de scurtcircuit pentru o sursă cu t.e.m. E=24V este Isc=80A. Care trebuie să fie rezistenţa R a circuitului exterior pentru a se obţine prin acesta un curent de intensitate I=1A? R: R=23,7Ω 10) Un acumulator cu t.e.m. E=12V are intensitatea de scurtcircuit Isc=40A. Ce rezistenţă are un consumator care, legat la bornele acumula-torului, face ca tensiunea la borne să fie U=11V? R: R=3,3Ω 11) Dacă la bornele unei surse se conectează un rezistor R1=1Ω, intensitatea curentului prin rezistor este I1=1A, iar dacă se conectează alt rezistor cu rezistenţa R2=2,5Ω, intensitatea curentului prin el este I2=0,5A. Să se calculeze rezistenţa interioară r şi t.e.m. E a sursei. R: E=1,5V r=0,5Ω 12) Un circuit format dintr-o sursă cu rezistenţă internă r=3Ω şi t.e.m. E=12V, alimentează un rezistor R. Reprezentaţi grafic în funcţie de R: a) curentul electric din circuit; b) tensiunea la bornele rezistorului R; c) produsul U.I pentru valori ale lui R (0...5Ω); d) arătaţi că puterea disipată pe R este maximă când R=r. 13) Să se calculeze tensiunea U la bornele unei surse, dacă t.e.m. a sursei este E=1,5V şi rezistenţa internă r=0,4Ω iar rezistenţa circuitului R=1,6Ω. 41

R: U=1,2V 14) Dacă într-un circuit cu rezistenţa totală R se înseriază un rezistor cu R1=1Ω, intensitatea curentului scade de la I=2A la valoarea I1=1A. Dacă se înlocuieşte rezistorul R1 cu altul R2 intensitatea curentului devine I2=0,5A. Să se calculeze rezistenţele R , R2 şi t.e.m. E din circuit. R: R=1Ω R2=3Ω E=2V 15) Rezistenţa electrică a circuitului exterior unei surse cu t.e.m. E=1,5V este R=2Ω. Tensiunea la bornele sursei este U=1V. Să se calculeze rezistenţa interioară r a sursei. R: r=1Ω 16) O sursă are tensiunea la borne U1=4V când i se conectează rezistorul R1=4Ω şi tensiunea U2=4,5V când se leagă R2=6Ω. Să se calculeze rezistenţa interioară r şi t.e.m. E a sursei utilizate. R: E=6V r=2Ω

42

Tema 3

LEGILE LUI KIRCHHOFF În tehnica modernă se utilizează circuite electrice mult mai complicate, cu multe ramificaţii, numite reţele electrice, ce au următoarele elemente: -nodurile reprezintă puncte din reţea în care se întâlnesc cel puţin trei curenţi electrici; -ramurile de reţea sunt porţiuni din reţeaua electrică cuprinse între două noduri succesive; -ochiurile de reţea sunt contururi poligonale închise, formate dintr-o succesiune de rezistori şi surse. Prima lege a lui Kirchhoff este o expresie a conservării I sarcinii electrice într-un nod al unei reţele electrice. I I Este evident că sarcina electrică totală ce pătrunde I într-un nod de reţea trebuie să fie egală cu sarcina electrică ce părăseşte acel nod: Q1+Q2=Q3+Q4 Mişcarea sarcinilor electrice efectuându-se în acelaşi timp, se poate scrie: I1+I2=I3+I4 sau I1+I2-I3-I4=0 Suma algebrică a intensităţilor curenţilor electrici care se întâlnesc într-un nod de reţea este egală cu zero. 4

1

3

2

∑I

k

=0

A doua lege a lui Kirchhoff se referă la ochiuri de reţea şi afirmă că: suma algebrică a tensiunilor electromotoare ΣEk dintr-un ochi de reţea, este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune pe rezistorii din acel ochi de reţea ΣRk.Ik .

∑E = ∑R k

I

k k

43

Pentru scrierea ecuaţiei se alege un sens de referinţă şi se consideră pozitive tensiunile care au acelaşi sens cu cel de referinţă, la fel şi pentru intensităţile curenţilor: E1+E2-E3-E4=R1I1-R2I2-R3I3-R4I3+R5I4

E1 I 1

E2

R1

R5

R2

I4 E4

I2 R4

I3

R3

E3

PROBLEME 1) Să se calculeze intensităţile curenţilor electrici din fiecare ramură a circuitului alăturat, dacă se cunosc: E1=E2=1V, r1=r2=1Ω şi R1=R2=R3=10Ω. R: I1=1/31A; I2=1/31A; I3=2/31A 2) În schema alăturată se cunosc: E1=1V, E2=2V, E3=3V, r1=1Ω, r2=0,5Ω, r3=1/3Ω, R1=1Ω R3=1/3Ω. Să se calculeze intensităţile curenţilor electrici prin ramurile circuitului dat. R: I1=5/8A; I2=1/2A; I3=9/8A 3) Cele două surse sunt identice iar R1=2Ω şi R2=4Ω Cunoscând tensiunile la bornele celor două surse U1=10V şi U2=6V, să se calculeze t.e.m. şi rezistenţele interioare ale celor două surse. R: E=14V; r=4Ω

R1

R2

R3

E1 E2

E1

E3 E2

R1

R3

E1

4) Pentru reţeaua din figura alăturată se cunosc: E=47V, r=1 Ω, R1=4Ω, R2=3Ω, R3=2Ω, I=15A, I1=6A, I2=2A, I3=7A. Să se calculeze tensiunile UAB, U4 şi U5. R: UAB=32V; U4=18V; U5=8V 5) În circuitul din figura alăturată se cunosc: R1=R3=2Ω R2=4Ω, E1=4V, E2=3V, E3=2V. Să se determine intensităţile

E2

R2

R1

R5

R1 A

B

R2 R4

R3

I

E

r

R1

E1

R2

E2

R3

E3

44

curenţilor din ramurile circuitului. R: I1=1,3A; I2=0,4A; I3=1,7A 6) Pentru circuitul din figura alăturată se cunosc: E=47V, r=1Ω, R2=4Ω, R3=3Ω, R5=2Ω, R4=R6=1Ω. Să se calculeze intensităţile curenţilor din fiecare ramură a circuitului. R: I=15A; I2=6A; I3=2A; I4=7A; I5=9A; I6=8A

R6

R2 R3 R5

R4

E

r

A 7) Să se calculeze intensităţile curenţilor din laturile E2 E1 circuitului prezentat în figura alăturată, cunoscând: R3 E1=55V, E2=10V, E3=30V, E4=15V, r1=0,3Ω, r2=0,4Ω, R1 R2 E4 r3=0,1Ω, r4=0,2Ω, R1=9,5Ω, R2=19,6Ω, R3=4,9Ω. Să se E3 calculeze şi tensiunea UAB. B R: I1=1,28A; I2=1,85A; I3=0,57A; UAB=27,1V

8) Să se calculeze sarcina electrică cu care se încarcă condensatorul de capacitate C=2µF, cunoscând: R1=20Ω; R2=30Ω; R3=10Ω; R4=40Ω; E=10V şi r=0. R: Q=4.10-6C 9) Se consideră montajul din figura alăturată în care se cunosc: R1; R2; C1; C2 şi E. Găsiţi expresiile sarcinilor electrice pe armăturile celor doi condensatori dacă: a) întrerupătorul K este deschis; b) întrerupătorul K este închis. C1C 2 R: a) Qa = E C1 + C 2 R 2C2 R 1C1 E Q2 = E b) Q1 = R1 + R 2 R1 + R 2

R1

R2

R3

C R4

E

C1

C2 K

R1

E

R2

45

A

10) Să se determine t.e.m. E3 pentru care curentul din rezistorul R3 are intensitate nulă. Care este E 1 valoarea tensiunii UAB în acest caz? Se cunosc: E1=9V, E2=6V, r1=0,25Ω, r2=0,1Ω, R2=0,1Ω şi r1 R3=2Ω. R: E3=0,667V; UAB=0,667V 11) În circuitul alăturat se cunosc: E1=3V; E2=6V; r2=1Ω. Să se determine valoarea lui R încât sursa E1 să nu debiteze curent. R: R=1Ω

E2 r2

E3 r3

R2

R3 B

E1

E2

r1

r2

R

46

GRUPAREA REZISTOARELOR Orice porţiune a unui circuit electric comunică cu restul circuitului printr-un număr oarecare de borne. Cea mai simplă situaţie este cazul în care porţiunea de circuit este un dipol. Dacă dipolul este pasiv (nu conţine generatoare), fiind format numai din rezistoare, atunci el poate fi înlocuit cu un singur rezistor, numit rezistor echivalent, astfel încât restul circuitului să nu “simtă” înlocuirea. Un rezistor este echivalent unei grupări de rezistoare dacă, la aplicarea aceleiaşi tensiuni la bornele rezistorului echivalent ca şi la bornele grupării, circulă un curent electric cu aceeaşi intensitate. A. Gruparea serie Două sau mai multe rezistoare sunt conectate în serie dacă aparţin aceleiaşi ramuri dintr-o reţea electrică. Rezistoarele grupate în serie sunt parcurse de acelaşi curent electric. U Considerând un grup de trei rezistori conectaţi în seie, la bornele fiecărui rezistur se va regăsi câte o R1 R2 R3 tensiune U1; U2 şi U3 încât se poate scrie: I E U=U1+U2+U3 Pe baza legii lui Ohm pe fiecare rezistor rezultă: I U=I.R1+I.R2+I.R3 Rs sau U=I(R1+R2+R3) Aplicăm aceeaşi lege la circuitul echivalent: U U=I.Rs Rezultă următorea relaţie: Rs=R1+R2+R3 În cazul general, când sunt conectate n rezistoare în serie n

Rs = ∑ Rk k =1

Rezistenţa echivalentă Rs este întotdeauna mai mare decât oricare dintre rezistenţele Rk.

47

B. Gruparea paralel Două sau mai multe rezistoare sunt grupate în paralel I1 dacă sunt conectate între aceleaşi două noduri. Rezistoarele grupate în paralel au aceeaşi tensiune la I3 borne. Conform legii I a lui Kirchhoff I I=I1+I2+I3 U U U I I= + + Sau R1 R 2 R 3

 1 1 1   I = U + + R R R 2 3   1 U I= Pentru circuitul echivalent Rp

Şi

R1 R2 R3

E

Rp

1 1 1 1 = + + R p R1 R 2 R 3 Sau în cazul în care sunt conectaţi în paralel n rezistori n 1 1 =∑ R p k =1 R k Rezistenţa echivalentă Rp este întotdeauna mai mică decât oricare din rezistanţele Rk. Pentru cazul în care sunt conectate doar două rezistoare în paralel este comod de calculat rezistenţa echivalentă folosind relaţia: R 1R 2 Rp = R1 + R 2 De unde rezultă:

48

C. Transformarea stea-triunghi Dacă o porţiune de circuit comunică cu restul circuitului prin trei borne, structurile cele mai simple sunt: gruparea în triunghi şi gruparea stea. R1

A R3

B

R2 C

B

A

R'3

R'2

R'1 C

Se poate demonstra că cele două grupări sunt echivalente dacă şi numai dacă ele sunt echivalente în raport cu oricare două dintre borne, a treia fiind neconectată (“în aer”). Pentru gruparea triunghi, în raport cu bornele A şi B, rezistanţa echivalentă este: R 1 R 23 R ∆AB = în care R 23 = R 2 + R 3 R 1 + R 23 R R + R 1R 3 R ∆AB = 1 2 deci: R1 + R 2 + R 3 La gruparea stea, în raport cu bornele A şi B (cu borna C neconectată) rezistenţa echivalentă este: R ΥAB = R '2 + R '3 Impunând condiţia de echivalenţă a celor două circuite: R ∆AB = R ΥAB R R + R1R 3 R '2 + R '3 = 1 2 rezultă: R1 + R 2 + R 3 Relaţiile corespunzătoare celorlalte perechi de puncte: B şi C apoi C şi A. R R + R2R3 R 1' + R '3 = 2 1 R1 + R 2 + R 3 R R + R 3R1 R '2 + R 1' = 3 2 R1 + R 2 + R 3 Rezolvăm sistemul de ecuaţii în raport cu rezistenţele R 1' , R '2 şi R '3

49

R 1' =

R 2R 3 R1 + R 2 + R 3

R '2 =

R 1R 3 R1 + R 2 + R 3

R '3 =

R1R 2 R1 + R 2 + R 3

PROBLEME 1) Calculaţi rezistenţa echivalentă pantru circuitul alăturat, cunoscând: R1=3Ω; R2=8Ω şi R3=6Ω R: 10Ω

R3

R1

2) În circuitul alăturat se cunosc: R1=2Ω; R2=1Ω; R3=3Ω şi R4=6Ω. Să se calculeze rezistenţa echivalentă a circuitului. R: 5Ω

R2

R4

R3

3) Rezistenţele din circuitul alăturat au valorile: R1=18Ω; R2=9Ω; R3=3Ω şi R4=6Ω. Calculaţi rezistenţa echivalentă a circuitului: a) cu întrerupătorul K deschis; b) b) cu întrerupătorul K închis R: a) 8,75Ω b) 8Ω

R1

R2 K

R3

R4

R1

4) Cunoscând valorile rezistenţelor R1=4Ω; R2=1Ω; R3=2Ω; R4=3Ω şi R5=3Ω, din circuitul alăturat, să se calculeze rezistenţa echivalentă. R: 6Ω 5) În circuitul alăturat se cunosc: R1=1Ω; R2=2Ω; R3=3Ω şi R4=3Ω. Să se calculeze rezistenţa echivalentă a acestui circuit. R: 2Ω

R2

R1

R2

R3

R4

R5 R1

R2

R3

R4

50

6) Valorile rezistenţelor din circuitul alăturat sunt: R1=4Ω; R2=2Ω; R3=1Ω şi R4=2Ω. Calculaţi rezistenţa echivalentă a acestui circuit. R: 2Ω

R1

7) Calculaţi rezistanţa echivalentă a circuitu-lui R1 alăturat, cunoscând: R1=3Ω; R2=6Ω; R3=3Ω şi R4=6Ω. R: 4Ω 8) În circuitul din figura alăturată toate rezistenţele sunt egale: R=8Ω. Calculaţi rezistenţa echivalentă a circuitului. R. 8Ω 9) Un circuit electric conţine următoarele rezistenţe: R1=R2=R3=R4=R5=25Ω. Calculaţi rezistenţa echivalentă a acestui circuit. R: 5Ω

R1

R2

R2

R3

R4

R2

R3

R4

R1

R2 R5

R4

R3

R3

R4

R5

B

10) Calculaţi rezistenţa echivalentă dintre punctele A-B ale circuitului alăturat, ştiind că toate rezistenţele au aceeaşi valoare: R=12Ω. R: 10Ω A

11) Să se calculeze rezistenţa echivalentă a circuitului următor, ştiind că rezistenţele sunt identice cu valoarea R.

51

1

2

N

3

R:

Rech=R

52

GRUPAREA GENERATOARELOR A. Gruparea serie Pentru agrupa în serie mai multe generatoare se leagă borna negativă a unui generator cu borna pozitivă a E1 E3 E2 următorului generator ş.a.m.d. r1 r2 r3 Să considerăm trei generatoare cu t.e.m. E1; I E2 şi E3 şi cu rezitenţele interne r1, r2 şi r3, conectate ăn serie şi care alimenteză un consumator rezistiv R. R Prin aplicarea legii a II-a a lui Kirchhoff pe circuitul dat, se obţine: E1+E2+E3=IR+Ir1+Ir2+Ir3 E1 + E 2 + E 3 I= de unde: R + ( r1 + r2 + r3 ) Prin comparaţie cu legea lui Ohm pe un circuit închis: E I= R+r se constată că prin legarea în serie a generatoarelor: • tensiunea electromotoare este egală cu suma t.e.m. a generatoarelor: E=E1+E2+E3 • rezistenţa internă este egală cu suma rezistenţelor generatoarelor: r=r1+r2+r3 B. Gruparea paralel Pentru gruparea paralel ageneratoarelor, se leagă la un loc bornele pozitive şi de asemenea se leagă împreună bornele negative. Considerăm trei generatoare identice cu t.e.m. E şi rezistenţa interioară r, grupate în paralel şi care alimentează un consumator cu rezistenţa R. Aplicând legile lui Kirchhoff pe circuit se obţin: I=I1+I2+I3 E=I1r+IR Dar I1=I2=I3 deci I=3I1 E Rezultă: I= r R+ 3

I1

E r E r

I2 I3

E r

I

R

53

Se constată că t.e.m. este E dar rezistenţa internă devine r/3.

54

ENERGIA ŞI PUTEREA ELECTRICĂ Câmpul electric creat de generator determină trecerea prin circuit a unui curent electric. Energia curentului electric măsoară lucrul mecanic necesar pentru a transporta o sarcină electrică q printr-o secţiune din circuit într-un interval de timp ∆t, deci se poate scrie: W=U.q sau W=U.I.∆t Dacă, consumatorul este caracterizat numai prin rezistenţă, energia este: W=R.I2.∆t Sau după înlocuirea intensităţii curentului, din legea lui Ohm, se obţine: R .E 2 Wext = ∆t (R + r)2 În mod asemănător, se poate scrie energia pe circuitul interior: rE 2 Wint = ∆t (R + r)2 Energia consumată pe întregul circuit se obţine prin însumare şi este: E2 Wgen = ∆t (R + r) Randamentul arată ce fracţiune din energia dată de generator este utilă. Pe baza celor trei energii disipate pe un circuit electric se poate calcula randamentul circuitului electric simplu: W R η = ext = Wgen R + r Această relaţie arată că randamentul este are o valoare subunitară care depinde de valoarea rezistenţelor din circuit (internă şi externă). Puterea curentului electric se poate exprima ţinând cont de formula de W P= definiţie a puterii: ∆t Ţinând cont de expresiile celor trei energii se obţine:

55

E2 Pgen = R+r RE 2 Pext = (R + r)2 rE 2 Pint = (R + r)2 Puterea pe care o furnizează generatorul către circuitul exterior este influenţată de valoarea rezistenţei exterioare R. RE 2 P= (R + r)2 de unde se obţine următoarea ecuaţie cu variabila R PR2+(2Pr-E2)R+Pr2=0 Această ecuaţie admite următoarele soluţii pentru rezistenţa R: E 2 − 2 Pr ± E E 2 − 4 Pr R 1, 2 = 2P Pentru ca valorile să aibă sens fizic trebuie ca: E2-4Pr≥0 Deci E2≥4Pr E2 P≤ de unde 4r E2 Pmax = deci puterea maximă este 4r Din compararea cu expresia puterii disipată pe circuitul exterior, RE 2 P= (R + r)2 se obţine: R2-2Rr+r2=0 sau (R-r)2=0 R=r de unde

56

Aceasta reprezintă condiţia pentru transferul optim de putere într-un circuit electric. Pu Pentru un circuit electric cu valori date pentru t.e.m. E şi r rezistenţa internă a generatorului se poate reprezenta graficul puterii utile în funcţie de valorile rezistenţei externe, de unde se vede că R acesta prezintă un maxim pentru valoarea R=r. r

PROBLEME 1) O sursă cu t.e.m. E=10V şi rezistenţă interioară r=1Ω, disipă pe un rezistor cu rezistenţa R o putere P=9W. Să se calculeze tensiunea U la bornele sursei şi să se interpreteze rezultatele obţinute. R: U1=9V U2=1V 2) Se consideră circuitul din figura alăturată în care: R E E=120V, r=1Ω, R1=19Ω, R2=20Ω. Să se calculeze: R R a) valorile posibile ale rezistenţei Rx pentru ca puterea r disipată de acesta să fie P=80W; b) pentru ce valoare a lui Rx, puterea dezvoltată de sursă este mai mare? R: RX1=5Ω RX2=20Ω 1

2

3) Care este puterea maximă pe care o poate da o sursă unui rezistor legat la bornele ei, dacă sursa are t.e.m. E şi rezistenţa internă r ? Care este rezistenţa rezistorului ce ia această putere maximă? R: Pmax=E2/4r 4) O sursă disipă în circuitul exterior aceeaşi putere P=80W, când la borne este legat fie un rezistor R1=5Ω sau altul R2=20Ω. Să se determine: a) rezistenţa internă r şi t.e.m. E a sursei; b) randamentul sursei pentru cele două rezistenţe R1 şi respectiv R2. R: r=10Ω E=60V η1=33,3% η2=66,6% 57

x

5) Două surse identice au t.e.m. E=10V şi rezistenţa internă r=0,5Ω. Cum trebuie ele conectate la bornele unui rezistor R=9Ω pentru ca să dea acestuia o putere maximă şi care este valoarea acestei puteri? R: serie P=36W 6) Două surse cu rezistenţele interioare r1=0,3Ω şi r2=1,2Ω transferă aceeaşi putere maximă circuitului exterior, fie că sunt legate în paralel, fie în serie. Să se determine t.e.m. E2 cunoscând că E1=4V. R: E 2 = E1

r1 = 2V r2

58

MĂSURĂRI ELECTRICE Aparatul magnetoelectric Unul dintre cele mai des utilizate aparate pentru măsurări electrice (curenţi, tensiuni, puteri etc. este aparatul magnetoelectric. Acesta este alcătuit dintr-un magnet permanent, în formă de potcoavă sau de U, între polii căruia se află o bobină ce se poate roti în jurul unui ax. Solidar cu bobina se găseşte acul indicator. Dacă prin bobină circulă un curent electric are loc o interacţiune cu câmpul magnetic, bobina este rotită cu un unghi proporţional cu intensitatea curentului electric. Astfel, acest aparat este un traductor de curent electric. Pentru ca bobina să fie uşoară trebuie ca sârma utilizată să fie foarte subţire. Această condiţie face ca bobina să prezinte o rezistenţă electrică r cu valori de la câţiva ohmi până la sute sau chiar mii de ohmi, rezistenţă ce de multe ori nu poate fi neglijată. Deoarece intensitatea curentului depinde direct proporţional de tensiunea aplicată bobinei, instrumentul poate fi etalonat în multipli ai amperului sau voltului. Dacă aparatul este conectat în serie, poate măsura curenţi, iar dacă este conectat în paralel cu elementul de circuit, poate măsura tensiuni. Scala valorilor mărimilor măsurate de instrument poate fi mărită prin conectarea unor rezistenţe conectate în serie (adiţionale) în cazul voltmetrului, sau a unor rezistenţe conectate în paralel (şunturi) în cazul ampermetrului. Şuntul ampermetrelor Pentru a măsura un curent electric I de n ori mai mare decât curentul maxim acceptat de un ampermetru se conectează în I Ia r paralel cu ampermetrul un rezistor care să preia o Rs Is parte din curentul total. Ţinând cont că I=nIa , şi aplicând legile lui Kirchhoff, rezultă Is=(n-1)I/n , de unde : r Rs = n −1 59

Cunoscând rezistenţa internă r a ampermetrului şi factorul de multiplicare n, se poate calcula valoarea şuntului necesar. Rezistenţa adiţională a voltmetrelor Dacă, cu un voltmetru ce poate măsura tensiuni maxime până la Uv , se Ra r doreşte să se măsoare tensiuni mai mari U=nUv , Uv este necesar să se conecteze în serie cu voltmetrul un rezistor încât acesta să preia restul căderii de U tensiune (U-Uv). Aplicând legea lui Kirchhoff pe circuit se obţine: U=I(Ra+r) de unde valoarea rezistenţei adiţionale este: Rs=(n-1)r În practică, cu acelaşi voltmetru se pot face măsurători multiple prin 1 conectarea adecvată a unor rezistenţe adiţionale cu 2 ajutorul unui comutator rotativ, realizându-se astfel V 3 4 multivoltmetrul, foarte utilizat de către electronişti sau electricieni, datorită faptului că un singur aparat este U capabil să măsoare o multitudine de tensiuni electrice.

60

MĂSURĂRI ELECTRICE • Aparate de măsură Introducerea unui aparat de măsură într-un circuit electric perturbă funcţionarea circuitului. Ca urmare, indicaţia aparatului de măsură va fi diferită de valoarea mărimii respective în absenţa aparatului. Problema care se pune în cazul măsurătorilor este ca această diferenţă să fie cât mai mică. În absenţa aparatului de măsură intensitatea R I 0 curentului prin circuit este: E r E I0 = R+r Prin introducerea ampermetrului, care se A conectează în serie şi care se caracterizează prin Ra R rezistenţa proprie Ra, intensitatea măsurată va fi: I E r E I= R + r + Ra Comparând cele două relaţii se observă că I este apropiat de I0 numai dacă Ra