Ejemplo de Modelacion [PDF]

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CONTROL DE TEMPERATURA EN UN TANQUE CALENTADOR CON AGITACIÓN CONTINUA. FLUIDO CALIENTE ES UN LÍQUIDO.

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO. La Figura 1 muestra un esquema de un reactor químico en forma de vasija de premezclado, que consiste en un tanque calentador con agitación continua. Por la parte interior del tanque entra el fluido que viene de otro proceso y que se desea calentar a un valor determinado de temperatura, mediante otro fluido que pasa por la parte exterior del tanque (Chaqueta). El objetivo del control es subir la temperatura del fluido a un valor deseado, para lo cual se debe considerar que en el proceso no existe cambio de fase en ninguno de los fluidos, y que la transferencia de calor se da a través de la superficie que separa el tanque de la chaqueta. Por otra parte, se desprecia la transferencia de calor con el ambiente, y que las propiedades de los fluidos dentro del tanque y la chaqueta se mantienen uniformes.

Figura 1. Tanque calentador con agitación continua. Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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Ecuaciones que describen la dinámica del sistema no lineal. Basado en las consideraciones anteriores, el modelo matemático del sistema se expresa de la siguiente manera:

(1)

(2) Donde: A: Área de transferencia de calor. U: Coeficiente global de tranferencia de calor. Cp, Cpj: Calor específico a presión constante del fluido en el tanque y chaqueta respectivamente. r, r: Densidad del fluido en el tanque y chaqueta respectivamente. V, Vj: Volumen del tanque y la chaqueta respectivamente. F, Fj: Flujo volumetrico a través del tanque y la chaqueta respectivamente. Ti, T: Temperatura de entrada y salida del tanque respectivamente. Tji, Tj: Temperatura de entrada y salida de la chaqueta respectivamente. Los valores de estado estable para las variables de las ecuaciones (1) y (2), son:

,

, ,

, ,

,

Verificación de los valores de UA y Fjs. Las condiciones de estado estable se obtienen cuando ecuaciones (1) y (2) se tiene que:

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y

, entonces con las

(3)

Similarmente,

(4)

Modelo en Simulink del Sistema No Lineal. El diagrama de bloques en Simulink se muestra en la Figura 2, donde dFi, dTi, dTji y dFj son las entradas del sistema y las salidas son dT y dTj. Estas variables corresponden a las variables de desviaciones las cuales están dadas por:

,

,

,

Figura 2. Diagrama de bloque en Simulink del Modelo No Lineal. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 4 de 36

Formulación Del Modelo Lineal En Espacio De Estado Para la linealización de las ecuaciones (1) y (2), se utilizan las variables de desviación definidas en la sección 1.3, donde:

,

,

, Al linealizar las ecuaciones (1) y (2) en términos de las variables de desviación, se tiene: (5)

(6) Expresando las ecuaciones (3) y (4) en forma matricial

(7) Matrices que describen el proceso linealizado. A partir de la ecuación (7) se obtienen las matrices A, B, C y D que permiten representar el modelo en espacio de estado en la forma: (8) (9) Donde: (Variables de Estado)

(Variables de Entradas) (Variables de salidas) Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 5 de 36

,

Modelo en Simulink del Sistema Lineal en espacio de estado. El diagrama de bloque en simulink para el sistema lineal se muestra en la Figura 3, el cual contiene los valores de las matrices A, B, C y D. Las condiciones iniciales que se deben incorporar a este sistema son nulas, es decir: ,

Figura 3. Diagrama de bloque en Simulink del Modelo Lineal.

Figura 4. Bloque en Simulink para Simulación de los Modelos No Lineal y Lineal. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 6 de 36

El diagrama de bloque que permite simular el sistema lineal y no lineal se muestra en la Figura 4, donde se ha incorporado un escalón con un valor de 5% (0,05) de disminución del valor del flujo del fluido que se requiere calentar (F=Fi); mientras que el resto de las entradas tienen un escalón nulo. Las respuestas de los sistemas lineales y no lineales para los valores de entrada descritos en el párrafo anterior se muestran en la Figura 5, donde se observa que las curvas son muy similares, y el error máximo en el punto de estabilización es de 2,35% sobre la temperatura de salida del fluido que se desea calentar.

Figura 5. Respuesta de los sistemas Lineal y no Lineal. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 7 de 36

CONTROL DE TEMPERATURA EN UN TANQUE CALENTADOR CON AGITACIÓN CONTINUA. FLUIDO CALIENTE ES VAPOR SATURADO La Figura muestra un Tanque Calentador con Agitación Continua. El proceso consiste en calentar un fluido mediante vapor que para por un serpentín que esta dentro del tanque. El liquido a calentar (líquido de proceso) entra al tanque a razón de un caudal f(t) y una temperatura Ti(t) y se debe calentar hasta una temperatura T(t). En tanque tiene un agitador que mantiene el fluido dentro del tanque a una temperatura uniforme, T(t). El trabajo del agitador se puede considerar despreciable. El vapor utilizado para calentar el fluido entra al serpentín a razón de un caudal másico de w(t), y en estado de vapor saturado, y sale de éste como líquido saturado a la misma presión y temperatura que entro. Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. Considere que la variable de salida es la temperatura de líquido en el tanque, T(t), y las variables de entrada son el flujo másico de vapor, w(t), y el flujo del líquido que se va a calentar, f(t). d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de flujo de vapor y líquido de proceso.

T SP (t ), [° F ]

TIC 21

y (t ), [ %TO ]

TIT 21

⎡ ft 3 ⎤ f (t ), ⎢ ⎥ ⎣ min ⎦

uC (t ), [ %CO ]

Vapor

⎡ lb ⎤ w(t ), ⎢ ⎣ min ⎥⎦

V , ⎡⎣ ft 3 ⎤⎦

Alimentación

T (t ), [° F ]

Válvula

T

Ti (t ), [° F ]

Ts (t ), [° F ]

Bobina

⎡ ft 3 ⎤ f (t ), ⎢ ⎥ ⎣ min ⎦

Condensado

T (t ), [° F ]

BOMBA

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Producto

Los datos del sistema son: Líquido de Proceso: - Densidad, ρ = 68.0 lb/ft3. - Calor específico a presión constante, CP = 0.8 Btu/lb°F. - El volumen del tanque, V = 120 ft3. Datos serpentín: - Material: Acero inoxidable. - Diámetro nominal, D = 4 in. - Diámetro interno, Di = 4.026 in. - Diámetro externo, De = 4.5 in. - Longitud, L = 205 ft. - Densidad lineal, ρ = 10,79 lb/ft. l

- Calor específico, CP = 0.12 Btu/lb°F. - Capacidad calórica del metal de la bobina, CM = 265,7 Btu/°F. - Coeficiente global de transferencia de calor, U = 2,1 BTU/min ft2°F. - Presión del vapor saturado, P = 30 psia. - Calor latente (calor de vaporización) del vapor a 30 psi, λ = 966 Btu/lb. - Área de transferencia de calor, A = 241,5 ft2. Condiciones de diseño (condiciones de estado estacionario): - El flujo de alimentación del líquido de proceso, f = 15 ft3/min. - Temperatura de entrada del líquido de proceso, Ti = 100 °F. - Flujo másico de vapor, w = 42.2 lb / min . - Temperatura del vapor, Ts = 230 °F. - Temperatura del fluido de proceso en el tanque ( y salida), T = 100 °F. Modelo matemático de la válvula. La válvula de control fue seleccionada para 100% de sobre capacidad, y las variaciones por caída de presión a través de la válvula se consideran despreciables. La válvula es del tipo igual porcentaje con un parámetro de ajuste α = 50. El actuador tiene una constante de tiempo de 0.20 min. La ganancia se obtiene por: Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 9 de 36

KV =

w ( ln α ) ⎡( lb / min ) / %CO ⎤⎦ 100 ⎣

El modelo matemático de una válvula de control se puede representar por la función de transferencia siguiente: Gv ( s ) =

Kv t vS + 1

Donde: -

Ganancia de la válvula, KV = 1,652 (lb/min)/%CO (obtenido con ec. anterior).

-

Constante de tiempo de la válvula, tV = 0,20 min.

Modelo matemático del sensor-transmisor. El sensor-transmisor de temperatura ha sido calibrado en un rango de 100 a 200 °F, con una contante de tiempo de 0,75 min, y el modelo matemático se puede representar por la siguiente función de transferencia: H ( s) =

KT t TS + 1

Donde: -

Ganancia del transmisor, KT = 1 %CO/°F.

-

Constante de tiempo del sensor-transmisor, tT =0,75 min.

1. Modelo Matemático del Sistema. Para desarrollar el modelo matemático se debe aplicar la ecuación de energía al volumen de control del líquido de proceso y luego al volumen de control del vapor (serpentín), y se obtiene que: (1) (2) Donde:

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Al sustituir los valores numéricos dados, se obtiene que:

2. Linealización y diagrama de bloques. 2.1. Linealización considerando Ti(t), w(t) y f(t) como Variables de Entrada. Para linealizar las ecuaciones (1) y (2) se define las siguientes variables de desviación: -

Variables de entrada: ,

-

,

Variables de salida:

El lado derecho de las ecuaciones (1) y (2) se define en forma funcional mediante las variables g y h respectivamente: (3) (4) A partir de las ecuaciones (1) y (2) se observa que:

Linealizando (3) y (4)

(5) Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 11 de 36

(6) Donde, , Las derivadas parciales que aparecen en las ecuaciones (5) y (6) son:

Al sustituir las variables de desviación y las derivadas parciales en las ecuaciones (5) y (6), se tiene: (7) (8) Finalmente al sustituir (7) y (8) en (1) y (2) respectivamente, y expresando las derivadas en términos de las derivadas de las variables de desviación se obtienen las ecuaciones linealizadas en términos de las variables de desviación:

(9) (10) Donde:

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Para obtener el diagrama de bloque, se aplica transformada de Laplace a las ecuaciones (9) y (10), obteniéndose lo siguiente: (11) Reordenando, y definiendo algunas variables adicionales, se obtiene:

(12) Similarmente,

(13) Donde:

A partir de las ecuaciones (12) y (13), se construye el diagrama de bloque del sistema, quedando como el mostrado en la Figura 1.

Figura 1. Diagrama de bloque del sistema con tres entradas.

2.2. Linealización considerando w(t) y f(t) como Variables de Entrada. En este caso se procede de forma similar al punto anterior manteniendo la perturbación Ti constante, entonces las variables de desviación serán: -

Variables de entrada: ,

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-

Variables de salida:

La forma funcional de los términos del lado derecho de las ecuaciones (1) y (2), son: (14) (15) Linealizando (3) y (4)

(16)

(17) Donde, , Las derivadas parciales que aparecen en las ecuaciones (5) y (6) son:

,

,

,

,

Al sustituir las variables de desviación y las derivadas parciales en las ecuaciones (16) y (17) y luego en las ecuaciones (1) y (2) respectivamente, se tiene:

(18) (19) Aplicando transformada de Laplace, y reordenando se obtiene: Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 14 de 36

Γ(s) =

Ks KF Γ s (s) F(s) + τ1 s + 1 τ1 s + 1

Γ s (s) =

(20)

KW 1 W(s) + Γ(s) τ2s +1 τ2s +1

(21)

Donde:

Figura 2. Diagrama de bloque del sistema con dos entradas.

El diagrama de bloque correspondiente a las ecuaciones (20) y (21), es el mostrado en la Figura 2.

3. Modelo Lineal en variable de estado. Para definir el modelo en variable de estado se utilizará el sistema lineal de tres entradas y dos salidas, dado por las ecuaciones (9) y (10). Los vectores de entrada y salida son los siguientes: ⎡W (t )⎤ - Vector de entrada: u = ⎢⎢ F (t ) ⎥⎥ ⎢⎣Γi (t ) ⎥⎦

⎡Γ(t ) ⎤ - Vector de entrada: y = ⎢ ⎥ ⎣Γs (t )⎦

Las variables de estado son iguales a las variables de salida, entonces:

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⎡Γ(t ) ⎤ - Vector de variable de estado: x = ⎢ ⎥ ⎣Γs (t )⎦

El sistema en variable de estado se escribe en forma matricial, de la siguiente manera: x& = Ax + Bu y = Cx + Du

(22)

De las ecuaciones (9) y (10) se obtiene: ⎡ − (b + af ) b ⎤ ⎡0 a (Ti − T ) af ⎤ A=⎢ ⎥, B = ⎢ ⎥ d − d⎦ 0 0⎦ ⎣ ⎣c ⎡1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ C=⎢ , D=⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 0 ⎦

(22)

4. Modelos en Simulink. 4.1. Sistema No Lineal. El modelo no lineal esta dado por las ecuaciones (1) y (2) y su diagrama de bloques en Simulink (Subsistema) es el que se muestra en la Figura 3. En este se observa que w y f son las entradas, Ti se ha asumido constante. Por otra parte, T es la salida. Ts es una variables de estado que no requiere ser controlada por lo que no es necesario colocarla como salida.

Figura 3. Subsistema en Simulink del Modelo No Lineal. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 16 de 36

Para simular el subsistema de la Figura 3, se construye en Simulink un bloque que lo contenga como el mostrado en la Figura 4.

Figura 4. Bloque en Simulink para Simular el Modelo No Lineal. Las condiciones iniciales tomadas fueron: T(0) = Ti = 100 ºF

Ts(0) = 230 ºF.

Nota: Para la práctica a realizar, modifique el diagrama en simulink para se tengan como entrada f, w y Ti en término de las variables de estado W, F y Γi. Los valores de estado estacionario utilizados son: i

= 100 ºF = 15 ft3/min

W=42,2 lb/min (en forma de entrada escalón) Los resultados de la simulación se muestran en la Figura 5, donde se observa que el sistema se estabiliza en un tiempo de 47 s para T entorno al valor de T = 150 ºF y 43 s para Ts entorno al valor de T = 230 ºF

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Figura 5. Respuesta del Modelo No Lineal. En términos de las variables de desviación Γ(t) y Γs(t), las graficas de la Figura 5 se pueden representar como se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Respuesta del Modelo No Lineal en Términos de las Variables de Desviación. 4.2. Modelo en Simulink del Sistema Lineal. El bloque en simulink para simular el sistema lineal es el que se muestra en la Figura 7, donde en el mismo se introducen directamente los valores de las matrices A, B, C y D.

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Figura 7. Subsistema en Simulink del Modelo Lineal. Como se pudo notar en la sección 1, el modelo lineal se expreso en términos de las variables de desviación, por tanto, las condiciones iniciales serán:

Por otra parte, las entradas son: W = 0,

F = 0,

La salida gráfica de la respuesta es la mostrada en la Figura 8, donde se observa que ambas salidas se estabilizan en cero, como era de esperarse, en un tiempo de 45 s.

Figura 8. Respuesta del Modelo Lineal. También se puede observar que la grafica de la Figura 8 es muy similar a la de la Figura 6, con la diferencia de que el tiempo de estabilización de Γ(t) en el modelo lineal es ligeramente menor que el del modelo no lineal. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 19 de 36

Modelo matemático de un Motor Eléctrico. La Figura 1 muestra el modelo de un motor eléctrico de corriente directa (CD) que mueve una carga que ofrece un torque resistivo no lineal ( Tc = bθ& 2 ).Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación. Modelo Matemático de la Planta o Proceso. El modelo de plata propuesto es el del control de velocidad de un motor eléctrico1 cuyo modelo físico de muestra en la Figura 1.

-

L

R

+

e



T bθ&2

J Figura 1. Intercambiador de calor utilizado para calentar un fluido. El torque, T, del motor es proporcional a la corriente de armadura, I, es decir: T = kt I (1) Donde Kt es la constante de armadura. Por otra parte, la fuerza electromotriz, e, es proporcional a la velocidad de giro del mismo. dθ e = ke (2) dt Donde Ke es la constante del motor. Del circuito eléctrico de la Figura 1, se obtienen usando la Ley Kirchhoffs, que: dI dθ dI dθ (3) ⇒ L + ke + RI = V L + RI = V − e = V − k e dt dt dt dt Donde L es la inductancia eléctrica de armadura, R la resistencia de armadura y V el voltaje en los terminales. De la dinámica de la carga, usando la segunda Ley de Newton, se obtiene: 2

2

d 2θ ⎛ dθ ⎞ T − b⎜ J = ⎟ dt 2 ⎝ dt ⎠

1

⇒

J

d 2θ ⎛ dθ ⎞ + b⎜ ⎟ − kt I = 0 2 dt ⎝ dt ⎠

Modelo obtenido de la página web http://www.library.cmu.edu/ctms/ctms/examples/motor/motor.htm. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 20 de 36

(4)

Donde b es el coeficiente de amortiguamiento del sistema y J la inercia de la carga. Nótese, que se ha considerado que el torque resistivo es proporcional a la velocidad angular al cuadrado, lo cual establece la no-linealidad de ésta ecuación. La ecuación (3) y (4) representan el sistema de ecuación diferencial que modela el comportamiento del motor eléctrico. Los datos prácticos que se utilizaran, son los siguientes: Momento de Inercia, J = 0.01 kg.m2 Coeficiente de amortiguamiento de la carga, b = 0.01 Nms Constante del motor, ke = 0.01 V.s Constante de armadura, kt = 0.725 Nm/A Resistencia eléctrica, R = 1 ohm Inductancia eléctrica, L = 0.5 H Modelo No lineal en Simulink del Motor. Para construir el modelo en simulink del motor se escriben la ecuación de la siguiente manera: dI 1 ⎛ dθ ⎞ (5) = ⎜V − k e − RI ⎟ dt L ⎝ dt ⎠ 2 dθ& 1 = k t I − b θ& (6) dt J Luego el modelo en simulink de motor eléctrico es el mostrado en la Figura 2, donde se puede observar que la salida se expresa en rpm y la entrada en voltios.

[

()]

Figura 2. Modelo en Simulink del motor eléctrico.

Respuesta Escalón del Modelo. La respuesta escalón del modelo, para una entrada de 220 voltios es la que se muestra en la Figura 3, allí se puede observar que el estado estacionario se alcanza a los 1200 rpm en aproximadamente 2,92 s.

Figura 3. Respuesta del sistema para una entrada de 220 voltios. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 21 de 36

Servomotor de Corriente Continua La Figura 1 muestra el esquema de un servomotor de corriente directa (CD) controlado por armadura, maneja una carga formada por el momento de inercial JL y un momento resistivo lineal, que se puede representar por ( Tc = bθ& ). La relación de engranajes es n = θ θ m , y los datos son los que se muestran a continuación. L

R

e

θ

T

m

Jm

i

JL

θ

Tc = b θ&

n

Figura 1. Sistema servomotor de CD controlado por armadura

DATOS: Momento de Inercia asociado al eje motor, Jm = 0,1 kg.m2 Momento de Inercia asociado al eje de la carga, JL = 1 kg.m2 Coeficiente de resistivo o de amortiguamiento de la carga, b = 0.4588 Nms Constante del motor, ke = 0.315 V.s Constante de armadura, km = 0.8 Nm/A Resistencia eléctrica, R = 1 ohm Inductancia eléctrica, L = 0.5 H Relación de engranaje, n= 2. Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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Modelo Matemático. Las ecuaciones que rigen a este sistema son las siguientes:

T

m

= k m .i a

Este es el par que desarrolla un motor de cd controlado por la armadura, cuando la corriente del campo es constante, donde Km es la constante del par del motor y ia es la corriente en la armadura. Cuando la armadura gira, se induce en ella un voltaje proporcional al producto del flujo y la velocidad angular. Para un flujo constante, el voltaje inducido eb es directamente proporcional a la velocidad angular, así:

eb = k e .

dθ m dt

Donde eb es la fuerza contraelectromotriz, Ke es la constante de la fuerza contraelectromotriz del motor y θm es el desplazamiento de la flecha del motor. La velocidad del servomotor es controlado por armadura que es determinada por el voltaje de la armadura ea. Aplicando la ley de Kirchhoff se tiene:

e

= L. a

d ia dt

+ R.i a + eb

En este caso ea = ei. Luego el par transmitido al eje del motor se transforma en:

dθ T −T = J . dt 2

1

m

En la transmisión ocurre:

T T

2

= n , y también:

1

θ

m

θ

El par transmitido al segundo eje es:

2

dθ T −T = J . dt 1

c

L

Donde Tc = bθ& .

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m

2

m

2

=n

Servomotor de Corriente Continua – Torque de Carga Cuadráticos Resuelva el problema anterior considerando que el torque de la carga es cuadrático y responde al modelo:

Tc = bθ& 2 . Donde b = 4,3812x10-3 Nms2. Nótese que el planteamiento del problema es similar al anterior, pero el sistema de ecuación se debe linealizar. Se pide: e) Obtenga el modelo matemático. f) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. g) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. h) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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CONTROL DE POSICIÓN

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Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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Sistema de Control del Nivel de Líquido

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Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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Intercambiador de Calor de Tubo y Coraza.

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Resumen.

Datos para la simulación: Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 33 de 36

Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación.

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Suspensión de un Autobus.

Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 35 de 36

PÉNDULO INVERTIDO

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Se pide: a) Obtenga el modelo matemático. b) Dibuje el diagrama de bloque del sistema y representa cada uno de los elementos, y sus funciones de transferencia. c) Linealice el sistema y exprese el modelo en variable de estado. d) Construya los diagramas en simulink del sistema lineal y no lineal, y simule la respuesta para varias condiciones de operación. Prof. Ingº SATURNO SARMIENTO Pág. 37 de 36