E Book VLCR PDF [PDF]

Zitiervorschau

Chương 1 - Mạng tinh thể 1.0 Mở đầu 1.1 Các loại liên kết trong vật rắn 1.2 Mạng tinh thể 1.3 Bài tập Chương 2 - Dao động của mạng tinh thể 2.0 Mở đầu 2.1 Lí thuyết cổ điển về dao động của mạng tinh thể 2.2 Lí thuyết lượng tử về dao động của mạng tinh thể 2.3 Nhiệt dung riêng của vật rắn 2.4 Sự nở vì nhiệt của vật rắn 2.5 Bài tập Chương 3 - Lí thuyết vùng năng lượng của vật rắn 3.0 Mở đầu 3.1 Chuyển động của êlectrôn trong trường tuần hoàn của tinh thể 3.2 Mô hình êlectrôn liên kết yếu 3.3 Mô hình êlectrôn liên kết mạnh 3.4 Tính chất của êlectrôn trong lí thuyết vùng năng lượng 3.5 Kim loại, bán dẫn và điện môi 3.6 Bài tập Chương 4 - Khí êlectrôn trong kim loại 4.0 Mở đầu 4.1 Mặt Fermi 4.2 Sự dẫn điện của kim loại 4.3 Nhiệt dung của khí êlectrôn 4.4 Bài tập Chương 5 - Bán dẫn 5.0 Mở đầu 5.1 Sơ lược về tính chất 5.2 Bán dẫn tinh khiết 5.3 Bán dẫn pha tạp 5.4 Hiệu ứng Hôl trong bán dẫn 5.5 Lớp chuyển tiếp p-n 5.6 Bài tập

Chương 6 - Tính chất từ của vật rắn 6.0 Mở đầu 6.1 Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường. Mômen từ 6.2 Lí thuyết nghịch từ 6.3 Nghịch từ Lanđao 6.4 Lí thuyết thuận từ, định luật Quyri-Vâyxơ 6.5 Thuận từ spin Pauli 6.6 Sắt từ. Lí thuyết trường phân tử Vâyxơ 6.7 Tương tác trao đổi mẫu Haidenbec 6.8 Sóng spin 6.9 Cấu trúc đômen của các vật sắt từ. Sự từ hóa 6.10 Lí thuyết phản sắt từ. Mẫu hai phân mạng Chương 7 - Siêu dẫn 7.0 Mở đầu 7.1 Các tính chất của vật liệu siêu dẫn 7.2 Lí thuyết về hiện tượng siêu dẫn 7.3 Toán tử sinh hạt và hủy hạt trong lí thuyết siêu dẫn 7.4 Tương tác giữa êlectrôn và phônôn 7.5 Lí thuyết BCS 7.6 Siêu dẫn nhiệt độ cao

Chương 1 - Mạng tinh thể I. Mục đích Cung cấp những hiểu biết ban đầu về cấu trúc tinh thể của vật rắn và mạng tinh thể. II. Yêu cầu Người học cần nắm được các kiến thức về: 1. Các loại liên kết trong vật rắn 2. Mạng không gian và mạng tinh thể 3. 7 hệ tinh thể và 14 ô mạng Brave 4. Chỉ số Miller và cách xác định chỉ số Miller của mặt phẳng mạng và các đường thẳng mạng 5. Các tính chất đối xứng của mạng không gian và biết cách xác định các yếu tố đối xứng của 7 hệ tinh thể. 6. Mạng đảo và các tính chất của mạng đảo. III. Nôị dung Chương I gồm hai bài: Bài 1. Các loại liên kết trong vật rắn (4 tiết) Bài 2. Mạng tinh thể (6 tiết)

1. CÁC LOẠI LIÊN KẾT TRONG VẬT RẮN I. Mục đính Giúp cho người học hiểu được nguyên nhân hình thành vật răn, các loại liên kết trong vât rắn. Người học hiểu rõ hơn về đặc điểm của các liên kết trong vật rắn và vai trò, ảnh hưởng của chúng lên các tính chất đặc trưng của vật rắn. II. Yêu cầu Người học cần nắm được các kiến thức: 1. Liên kết cộng hóa trị 2. Liên kết ion 3. Liên kết kim loại. 4. Liên kết Van de Vanxơ 5. Liên kết hiđrô. Tương ứng với các liên kết đó sẽ hình thành các loại tinh thể khác nhau. Một số lưu ý: - Người học có thể tham khảo sách giáo khoa Hóa học dành cho lớp 11 hệ PTTH chuyên ban A. Giáo trình này trình bày sâu hơn về các liên kết. - Cần thấy được khi nào các nguyên tử liên kết theo liên kết ion, cộng hóa trị hay liên kết kim loại. - Các tính chất điện, quang… sẽ phụ thuộc vào các kiểu liên kết như thế nào? - Thấy được sự phân biệt giữa liên kết ion và liên kết cộng hóa trị đôi khi chỉ là tương đồi. III. Nội dung 1. Tinh thể ion (1 tiết) 2. Tinh thể cộng hóa trị (1tiết) 3. Tinh thể kim loại (1/3 tiết) 4. Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử (1/3 tiết) 5. Tinh thể có liên kết hiđrô (1/3 tiết)

Ở các vật rắn kết tinh, các nguyên tử hoặc phân tử xếp đặt một cách có trật tự, tuần hoàn trong không gian. Các vật rắn có tính chất khác nhau, chính là vì trong mỗi loại, sự phân bố của các êlêctrôn và hạt nhân của các nguyên tử có những đặc điểm riêng. Do đó để khảo sát tinh thể vật rắn, ta phải nghiên cứu một hệ gồm số rất lớn các nguyên tử và êlêctrôn. Chẳng hạn, với tinh thể chỉ gồm một loại

nguyên tử, thì với N nguyên tử, ta phải xét một hệ N hạt nhân và NZ êlêctrôn, trong đó Z là số thứ tự của êlêctrôn trong bảng tuần hoàn Menđêlêép. Việc xét hệ bao gồm N hạt nhân và NZ êlêctrôn là rất phức tạp và không cần thiết, vì rằng các êlêctrôn lấp đầy ở những lớp sâu (chẳng hạn các lớp K, L…), chúng liên kết chặt chẽ với các hạt nhân của nguyên tử và tạo thành các lõi nguyên tử. Trong tinh thể, sự phân bố của những êlêctrôn này không khác mấy so với ở các nguyên tử tự do. Chỉ những êlêctrôn hóa trị là những êlêctrôn ở lớp ngoài, mới bị phân bố khác nhiều so với ở các nguyên tử cô lập. Những êlêctrôn này thường là êlêctrôn s, p và d. Như vậy, ta có thể coi như mạng tinh thể được tạo thành từ các lõi nguyên tử mang điện dương, nằm ở các nút mạng và các êlêctrôn hóa trị, mà sự phân bố của chúng phụ thuộc liên kết trong tinh thể. Bài toán bây giờ được rút về xét một hệ gồm N lõi nguyên tử và n.N êlêctrôn hóa trị, trong đó n là hóa trị của nguyên tố tạo thành tinh thể. Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu nguyên nhân giữ cho các lõi nguyên tử và các êlêctrôn hóa trị nằm cân bằng trong tinh thể, đó là các liên kết trong tinh thể. Tính chất của một vật rắn phụ thuộc nhiều vào bản chất của liên kết. Có thể nói ngay rằng liên kết trong tinh thể hầu như hoàn toàn được bảo đảm bởi lực tương tác tĩnh điện giữa các êlêctrôn mang điện âm và các hạt nhân nguyên tử mang điện dương. Trong từng trường hợp, lực này được thể hiện dưới các dạng khác nhau, chẳng hạn lực tương tác trao đổi, lực Van đe Vanxơ, liên kết đồng hóa trị, liên kết ion, liên kết kim loại… Căn cứ vào các dạng liên kết, người ta phân loại vật rắn thành các loại: tinh thể ion, tinh thể đồng hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể có liên kết hiđrô. 1. Tinh thể ion (1 tiết) Tinh thể ion được tạo thành như thế nào? Bản chất liên kết giữa các nguyên tử trong tinh thể ion là gì? a) Tinh thể ion được tạo thành bởi các ion dương và âm nằm xen kẽ với nhau. Bản chất của liên kết ion là lực tương tác tĩnh điện giữa các ion mang điện trái dấu. Ví dụ về một số tinh thể ion? Tinh thể muối của các kim loại kiềm hoặc kiềm thổ với halogien là tinh thể ion, chẳng hạn tinh thể muối ăn (NaCl), liti florua (LiF), cêsi clorua (CsCl)… chúng được tạo thành từ các ion dương kim loại (Na+, Li+, Cs+…) và các ion âm halogien (Cl-, F-). Những ion này hình thành từ các nguyên tử trung hòa khi một êlêctrôn chuyển từ nguyên tử kim loại sang nguyên tử halogien. Thí dụ cấu tạo các lớp êlêctrôn của nguyên tử Liti là 1s22s của Flo là 1s22s22p6 còn cấu tạo của các ion tương ứng trong tinh thể là: Li+: 1s2, F-: 1s22s22p6. Có thể nhận xét thấy rằng các ion này có lớp vỏ êlêctrôn ngoài cùng đặc trưng cho các nguyên tử khí trơ, vì chứa đầy êlêctrôn (He: 1s2; Ar: 1s22s22p6). Giống như ở các nguyên tử khí trơ, sự phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu.

Tuy vậy trong tinh thể sự đối xứng này có bị biến dạng đôi chút ở chỗ các nguyên tử lân cận kề sát vào nhau. Dùng hình ảnh về các nguyên tử và các êlêctrôn hóa trị là cực đại ở xung quanh ion âm (thí dụ ion F-) và gần như bằng không ở xung quanh ion dương (h.1.1). Những lực nào cân bằng với các lực hút liên kết giữa các ion trái dấu trong tinh thể ion? b) Để cho các nguyên tử nằm cân bằng bên trong tinh thể, bên cạnh lực liên kết (có tác dụng hút các nguyên tử), phải có lực đẩy giữa chúng. Có nhiều nguyên nhân gây nên lực đẩy giữa các nguyên tử.

Hình 1.1 Các ion trong tinh thể có cấu tạo lớp vỏ êlêctrôn giống như ở các nguyên tử khí trơ, vì vậy lực đẩy giữa chúng giống như lực đẩy giữa các nguyên tử khí trơ. Với các nguyên tử này, có thể coi là sự phân bố điện tích của êlêctrôn bên trong nguyên tử bị giới hạn trong một quả cầu cứng. Do sự giới hạn về không gian, theo nguyên lí bất định Haizenbec (Heisenberg) động năng của êlêctrôn tăng lên(1). Sự tăng năng lượng khi quả cầu bị nén ứng với lực đẩy và có tác dụng chống lại sự nén. Chính sự giới hạn điện tích êlêctrôn trong quả cầu cứng là một thành phần của lực đẩy giữa các nguyên tử trong tinh thể. Đóng góp quan trọng hơn vào lực đẩy là do sự phủ nhau của các đám mây êlêctrôn của hai nguyên tử đặt gần nhau. Khoảng cách giữa các nguyên tử càng giảm, các đám mây êlêctrôn càng phủ nhau nhiều và năng lượng tĩnh điện của hệ biến đổi đi. ở những khoảng cách đủ nhỏ, năng lượng tương tác do sự phủ của các đám mây êlêctrôngây nên là năng lượng đẩy.

(1)

Giả sử êlêctrôn bị định xứ trong khu vực có kích thước Δx (trường hợp một chiều). Theo nguyên

lí bất định Haizenbec, sự không xác định về xung lượng là

Δ(mv) ≥

(Planck). Như vậy động năng của êlêctrôn có giá trị ít nhất bằng

h với h là hằng số Plăng Δx

h2 2 m ( Δx ) 2

. Chẳng hạn, nếu Δx ≈

10-8 cm (cỡ kích thước nguyên tử) thì động năng K ≈ 3eV. Kích thước Δx càng bé thì K càng lớn.

Đối với các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy, thì năng lượng tương tác luôn là năng lượng đẩy với mọi khoảng cách (trong khoảng từ 0,5 A0 đến 5 A0) mà chủ yếu là do tác dụng của nguyên lí Paoli (Pauly). Nói một cách đơn giản, theo nguyên lí này, hai êlêctrôn không thể cùng có tất cả các só lượng tử giống nhau. Như vậy hai êlêctrôn không thể ở cùng một trạng thái lượng tử. Khi các đám mây êlêctrôn của hai nguyên tử A và B phủ nhau, thì êlêctrôn của nguyên tử B có xu hướng chiếm một phần các trạng thái trong nguyên tử A đã bị các êlêctrôn của nguyên tử này chiếm , và ngược lại. Vì rằng nguyên lí Paoli không cho phép nhiều êlêctrôn chiếm cùng một trạng thái, nên hai đám mây êlêctrôn chỉ có thể phủ nhau nếu các êlêctrôn chuyển một phần lên các trạng thái lượng tử còn trống có mức năng lượng cao hơn. Kết quả là sự phủ nhau của các đám mây êlectrôn làm tăng năng lượng toàn phần của hệ, hay nói cách khác nó làm xuất hiện lực đẩy. Dựa vào các kết quả thực nghiệm, người ta thấy có thể mô tả thế năng đẩy giữa các nguyên tử khí trơ bằng biểu thức: U=

B R 12

(1-1)

trong đó B là một hằng số dương, còn R là khoảng cách giữa các hạt nhân nguyên tử. Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng biểu thức thực nghiệm khác cho lực đẩy dưới dạng hàm mũ: U = A. e

−

R ρ

(1-2)

trong đó A là một hằng số dương, còn ρ là một đại lượng đặc trưng cho kích thước của khu vực có tương tác. Các tính chất của tinh thể ion? c) Các tinh thể ion dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp và dẫn điện tốt ở nhiệt độ cao hơn. Các hạt tải điện trong trường hợp đó là các ion. Tinh thể ion hấp thụ mạnh các bức xạ trong dải hồng ngoại. Câu hỏi ôn tập: 1. Tinh thể ion được tạo thành như thế nào? Bản chất liên kết giữa các nguyên tử trong tinh thể ion là gì? 2. Ví dụ về một số tinh thể ion? 3. Những lực nào cân bằng với các lực hút liên kết giữa các ion trái dấu trong tinh thể ion? 4. Nguyên nhân của sự xuất hiện lực đầy khi các đám mây electron của hai nguyên tử phủ nhau? 5. Các tính chất của tinh thể ion?

2.

Tinh thể cộng hóa trị (1 tiết)

Tinh thể cộng hóa tri đựợc hình thành như thế nào? a) Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp êlêctrôn có spin đối song. Đó là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa các nguyên tử trung hoà. Các ví dụ về tinh thể cộng hóa trị? Tinh thể kim cương (gồm các nguyên tử cacbon), và các tinh thể Ge, Si có cấu trúc giống kim cương là thí dụ về tinh thể cộng hóa trị. Trong các tinh thể này, mỗi nguyên tử này nằm ở tâm một tứ diện được tạo thành từ bốn nguyên tử gần nó nhất (h.1.2). Giữa hai lõi nguyên tử cạnh nhau, có một mối liên kết cộng hóa trị kết

Hình 1.2 cộng hóa trị do hai êlêctrôn từ hai nguyên tử tạo thành. Khác nhau giữa liên kết cộng hóa tri và liên kết ion như thế nào? Hai êlêctrôn này có spin đối song. Chúng định xứ chủ yếu trong khoảng không gian giữa hai lõi nguyên tử. Vì vậy, liên kết cộng hóa trị có tính phương hướng rõ, khác với liên kết ion trong đó êlêctrôn hóa trị chủ yếu định xứ quanh các ion. Nguyên nhân xuất hiện lực hút giữa hai nguyên tử trong tinh thể cộng hóa trị? Theo nguyên lí Paoli như đã nói ở trên, các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy thì đẩy nhau. Nguyên tử C, Ge, Si còn thiếu 4 êlêctrôn mới tạo thành lớp vỏ đầy, nên nguyên tử của các nguyên tố này lại có thể hút nhau do sự phủ của các lớp vỏ êlêctrôn. Thí dụ đơn giản nhất về liên kết cộng hóa trị là liên kết giữa hai nguyên tử hiđrô trong phân tử H2. Tùy theo sự định hướng spin của hai êlêctrôn trong hai nguyên tử, mà lực liên kết giữa hai nguyên tử này có độ lớn khác nhau. Khi 2 đám mây electron của hai nguyên tử phủ nhau, khi nào thì là lực hút khi nào thì là lực đẩy?

Nếu hai êlêctrôn có spin đối song, hai nguyên tử liên kết rất mạnh, tạo thành phân tử hiđrô bền vững. Nếu hai êlêctrôn có spin đối song song theo nguyên lí Paoli, khi có sự phủ nhau của các đám mây êlêctrôn, giữa hai nguyên tử xuất hiện lực đẩy. Tương tác trao đổi là gì? Phần năng lượng tương tác giữa các êlêctrôn có giá trị phụ thuộc vào sự định hướng tương đối của spin như vừa xét gọi là năng lượng trao đổi. Lực tương tác ứng với nó là lực tương tác trao đổi. Các tính chất của liên kết cộng hóa trị? b) Các tinh thể cộng hóa trị có độ cứng cao và dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp. c) Nếu coi tinh thể cộng hóa trị và tinh thể ion là các trường hợp giới hạn, thì giữa chúng còn có hàng loạt tinh thể trong đó liên kết có tính chất trung gian. Bảng sau đây cho ta một số trường hợp điển hình. Từ đó, ta thấy NaCl có thể coi là tinh thể ion (mức độ ion 0,94), SiC và GaAs có tính cộng hóa trị rõ (mức độ ion 0,18 và 0,32). Các nguyên tử có vỏ êlêctrôn gần giống với vỏ đầy (như Na, Cl) có xu hướng tạo thành liên kết ion. Các nguyên tử nhóm III, IV và V của bảng tuần hoàn có xu hướng tạo thành liên kết cộng hoá trị (như In, C, Ge, Si, As). Tinh thể

Mức độ ion

Si

0,00

SiC

0,18

Ge

0,00

ZnO

0,62

ZnS

0,62

ZnSe

0,63

ZnTE

0,61

CdO

0,79

CdS

0,69

CdSe

0,70

CdTe

0,67

InP

0,44

InAs

0,35

InSb

0,32

Tinh thể GaAs GaSb CuCl CuBr AgCl AgBr AgI MgO MgS MgSe LiF NaCl RsF

Mức độ ion 0,32 0,26

0,75 0,74 0,86 0,85 0,77 0,84 0,79 0,79 0,92 0,94 0,96

Sự phân bố không gian của êlêctrôn hóa trị phụ thuộc mức độ ion của liên kết. Chẳng hạn, ở tinh thể InSb, mật độ êlêctrôn ở gần nguyên tử Sb lớn hơn ở gần nguyên tử In. Còn ở tinh thể ZnS, êlêctrôn hóa trị chủ yếu tập trung quanh nguyên tử S. Câu hỏi ôn tập 1. Tinh thể cộng hóa trị được tạo thành như thế nào? Bản chất liên kết giữa các nguyên tử trong tinh thể ion là gì? 2. Nêu một số vật liệu có liên kết cộng hóa trị? 3. Khác nhau giữa liên kết cộng hóa tri và liên kết ion như thế nào? 4. Ngyên nhân của lực liên kết giữa các nguyên tử trong tinh thể cộng hóa trị? Độ lớn của lực liên kết phụ thuộc vào điều gì? 5. Khi 2 đám mây electron của hai nguyên tử phủ nhau, khi nào xuất hiện lực hút khi nào thì là lực đẩy? 6. Tương tác trao đổi là gì? 7. Các tính chất của tinh thể cộng hóa trị? 8. So sánh liên kết cộng hóa trị và liên kết ion?

3. Tinh thể kim loại Nguyên nhân của lực liên kết trong tinh thể ? a) Trong tinh thể kim loại, êlêctrôn hóa trị không định xứ ở các nguyên tử mà phân bố trong tinh thể và là chung cho cả tinh thể (êlêctrôn bị “ tập thể hóa”). Những êlêctrôn này có thể chuyển động tự do trong tinh thể nên được gọi là êlêctrôntự do. Mật độ êlêctrôn tự do tương đối lớn, cùng bậc với mật độ nguyên tử (cỡ 10-22 cm-3), vì trung bình mỗi nguyên tử đóng góp một vài êlêctrôn tự do cho tinh thể. Chúng tạo thành đám mây (hay khí) êlêctrôn trong tinh thể. Chính sự tương tác giữa các đám mây êlêctrôn mang điện âm với các ion dương được sắp xếp đều đặn tạo nên lực liên kết các nguyên tử thành tinh thể. Lực này thắng lực đẩy tĩnh điện giữa các ion dương, nên tinh thể là bền vững. Các tính chất của tinh thể kim loại ? b) Các tinh thể kim loại dẫn điện tốt, dẫn nhiệt tốt và có độ dẻo cao. 4. Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử Tinh thể khí trơ là gì? Lực liên kết trong tinh thể khí trơ là lực gì? a) Tinh thể khí trơ được cấu tạo từ các nguyên tử khí trơ. Những nguyên tử này có lớp êlêctrôn ngoài cùng hoàn toàn đầy. ở nguyên tử tự do, phân bố êlêctrôncó dạng đối xứng cầu. Trong tinh thể, sự phân bố êlêctrôn không có thay

đổi lớn. Lực liên kết trong tinh thể khí trơ là lực Van đe Vanxơ. Đó là loại lực tương tác giữa các nguyên tử trung hòa và tác dụng ở khoảng cách lớn. Bản chất của lực Van đe Vanxơ ? Bản chất của lực Van đe Vanxơ chỉ có thể hiểu được một cách sơ lược sự xuất hiện của nó. Nếu vị trí trung bình của hạt nhân nguyên tử luôn trùng với tâm của đám mây êlêctrôn hình cầu bao quanh hạt nhân, thì không thể có tương tác giữa các nguyên tử trung hòa. Đó là vì ở bên ngoài nguyên tử, điện thế tĩnh điện gây bới các đám mây êlêctrôn hoàn toàn bù trừ điện thế gây bởi hạt nhân. Như vậy, không có sự liên kết giữa các nguyên tử khí trơ và không có được trạng thái rắn của khí trơ. Tuy nhiên, trong thực tế có tồn tại các tinh thể khí trơ. Sở dĩ như vậy là vì các êlêctrôn luôn chuyển động tương đối đối với hạt nhân, ngay cả khi chúng ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Kết quả là vị trí tức thời của tâm đám mây êlêctrôn có thể không trùng với hạt nhân nguyên tử. Khi đó mômen lưỡng cực của nguyên tử trở nên khác không. Mômen lưỡng cực tức thời này gây ra điện trường ở tâm nguyên tử gần nó, làm cho nguyên tử này bị phân cực, tức là trở nên có mômen lưỡng cực. Kết quả là xuất hiện lực tương tác giữa các mômen lưỡng cực của các nguyên tử. Lực này là lực hút và có giá trị nhỏ. Nó đóng vai trò lực liên kết các nguyên tử trong tinh thể khí trơ. Ví dụ về một số tinh thể có liên kết Van đe Vanxơ ? Lực Van đe Vanxơ cũng là lực liên kết chủ yếu trong các tinh thể phân tử, tức là các tinh thể mà ở các nút mạng có các phân tử trung hòa. Hiđrô, Clo, CO2 và nhiều chất hữu cơ, khi hóa rắn tạo thành tinh thể phân tử. Tính chất của tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử? b) Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử có nhiệt độ nóng chảy thấp và dễ bị nén. 5. Tinh thể có liên kết hiđrô Nguyên nhân hình thành liên kết hiđrô ? Nguyên tử hiđrô trung hòa có một êlêctrôn. Trong một số trường hợp, nguyên tử hiđrô có thể có liên kết bằng một lực hút đáng kể với hai nguyên tử khác, tạo thành liên kết hiđrô giữa chúng. Có thể hình dung sự hình thành phân tử nhờ liên kết hiđrô như sau: êlêctrôn của nguyên tử hiđrô liên kết với một nguyên tử, còn lại proton thì liên kết với nguyên tử thứ hai. Kết quả là nguyên tử hiđrô liên kết với hai nguyên tử, mặc dù êlêctrôn của nó chỉ có thể tham gia vào một liên kết cộng hóa trị. Vai trò của liên kết hiđrô ? Liên kết hiđrô là dạng tương tác quan trọng nhất giữa các phân tử H2O. Cùng với lực hút tĩnh điện giữa các mômen lưỡng cực, nó gây nên những tính chất kì lạ, đặc biệt của nước và nước đá. Liên kết hiđrô đóng vai trò quan trọng trong các hợp chất có chứa hiđrô cùng với các nguyên tố á kim như F, O, N, C, Cl và S. Nó gây

nên sự kết hợp các phân tử, sự pôlime hóa, nó tồn tại và đóng vai trò quan trọng trong các tinh thể hữu cơ, các chất anbumin và các cơ thể sống. Câu hỏi ôn tập 1. Nguyên nhân của lực liên kết trong tinh thể ? 2. Các tính chất của tinh thể kim loại ? 3. Tinh thể khí trơ là gì? Lực liên kết trong tinh thể khí trơ là lực gì? 4. Bản chất của lực Van đe Vanxơ ? 6. So sánh lực Van đe Vanxơ và lực liên kết trong tinh thể cộng hóa trị và tinh thể iôn? 7. Tính chất của tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử? 8. Nguyên nhân hình thành liên kết hiđrô ? 10. Vai trò của liên kết hiđrô ?

2. MẠNG TINH THỂ I. Mục đích Cung cấp các kiến thức về mạng tinh thể II. Yêu cầu Người học nắm được các kiến thức về: 7. Mạng không gian và mạng tinh thể 8. 7 hệ tinh thể và 14 ô mạng Brave 9. Chỉ số Miller và cách xác định chỉ số Miller của mặt phẳng mạng và các đường thẳng mạng 10. Các tính chất đối xứng của mạng không gian và biết cách xác định các yếu tố đối xứng của 7 hệ tinh thể. 11.

Mạng đảo và các tính chất của mạng đảo.

III. Nội dung 1. Mạng không gian (1 tiết) 2. Các chỉ số Miller (1 tiết) 3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian (1 tiết) 4. Các hệ tinh thể (1/2 tiết) 5. Cấu trúc tinh thể (1/2 tiết) 6. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản (1 tiết)

7. Mạng đảo (1 tiết) 1. Mạng không gian (1 tiết) Thế nào là mạng tinh thể? Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Thế nào là tinh thể lý tưởng? Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đều chứa những nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể lý tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử khác. Cấu trúc tinh thể được xây dựng như thế nào? Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử. Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc. Tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian. Thế nào là mạng không gian? Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a 1 , a 2 , a 3 gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có bán kính vectơ r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r ' :

r ' = r + n1 a1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

(1-3)

trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên tuỳ ý. Tập hợp các điểm có bán kính vectơ r ' (sau này gọi là điểm r ' ) xác định theo (1-3) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian. Các điểm đó gọi là nút của mạng không gian.

Ba vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 (có khi kí hiệu là a , b , c ) cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc. Ố sơ cấp là gì? Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.

Hình 1.3 Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhất. Hình 1.3 cho ta thấy một vài ví dụ về cách chọn mạng hai chiều. Thế nào là ô Vicnơ-Daixơ? Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy gọi là ô Vicnơ-Daixơ (Wignet-Seitz) Các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong những ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang cột với các nút mạng lân cận. Dễ dàng thấy rằng theo các cách xây dựng khác nhau, ô sơ cấp có thể tích không đổi trên hình 1.4 là ô Vicnơ-Daixơ trong mạng hai chiều.

Hình 1.4 Câu hỏi ôn tập 1.

Thế nào là mạng tinh thể?

2. Thế nào là tinh thể lý tưởng? 3. Cấu trúc tinh thể được xây dựng như thế nào? 4. Thế nào là mạng không gian?

5. Ố sơ cấp là gì? 6. Thế nào là ô Vicnơ-Daixơ? 2. Các chỉ số Milơ (Miller) (1 tiết) Đường thẳng mạng là đường thẳng như thế nào ? Mặt phẳng như thế nào được gọi là mặt phẳng mạng ? Trong mạng không gian, đường thẳng đi qua vô số các nút mạng được gọi là đường thẳng mạng. Có thể chứng minh được rằng nếu một đường thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đường thẳng mạng. Mặt phẳng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phẳng mạng. Mặt phẳng chứa ba nút mạng là mặt phẳng mạng. Để xác định đường thẳng mạng và mặt phẳng mạng, ta sử dụng hệ tọa độ xyz có các trục tọa độ dựa trên ba vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 . Gốc O của hệ tọa độ đặt ở một nút mạng. Chỉ số Miller là gì ? cách xác định chỉ số Miller của một mặt phẳng ? Một mặt phẳng mạng cắt các trục tại các nút có tọa độ ( n 1 , a 1 , 0, 0), (0, n 2 , a 2 , 0), (0, 0, n 3 a 3 ) (h.1.5) để kí hiệu mặt phẳng này, ta dựng các chỉ số Milơ được

xác định như sau:

Hình 1.5 Viết tọa độ của các giao điểm của mặt phẳng mạng với các trục tọa độ theo đơn vị a 1 , a 2 , a 3 tức là n 1 , n 3 , n 3 . Lấy nghịch đảo của chúng 1 1 1 , , n1 n 2 n 3

Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho h:k:l=

1 1 1 : : n1 n 2 n 3

Bộ ba số h, k, l được đặt trong dấu ngoặc (h k l) và được gọi là chỉ số Milơ của mặt phẳng mạng. Trên hình 1.5, ta có n 1 = 3, n 2 = 4, n 3 = 2, do đó: h:k:l=

1 1 1 4 3 6 : : = : : =4:3:6 3 4 2 12 12 12

Vậy chỉ số Milơ của mặt phẳng đó là (4 3 6). Một số lưu ý về chỉ số Miller của mặt phẳng. Các mặt phẳng mạngsong song nhau có cùng chỉ số Milơ. Và vậy chỉ số Milơ (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các mặt phẳng song song với nhau. Nếu mặt phẳng mạngsong song với một trục tọa độ, thì coi như nó cắt trục đó ở vô cực và chỉ số Milơ tương ứng với trục đó bằng 0. Nếu các mặt phẳng mạngcắt các trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm, thì chỉ số Milơ tương ứng có dấu âm, và được kí hiệu bằng dấu “ - ” bên trên chỉ số đó (thí dụ (h k l)).

(010)

(110)

(111) Hình 1.6 Hình 1.6 trình bày các chỉ số Milơ của một số mặt phẳng quan trọng nhất trong mạng lập phương.

Các mặt bên của ô lập phương có chỉ số (100); (010); (001); ( 1 00); (0 1 0); (00 1 ). Mặt chéo chính có chỉ số (111). Mặt chéo song song với trục z có chỉ số (110). Tập hợp các mặt phẳng mạngtương đương với nhau về tính chất đối xứng được kí hiệu bằng bộ chỉ số đặt trong dấu múc {h k l}. Chẳng hạn, các mặt bên của hình lập phương có kí hiệu là {1 0 0}, các mặt chéo chính là {1 1 1}… Trong mạng lục giác, để thuận tiện chỉ số Miller của mặt phẳng được xác định như thế nào? Trong mạng lục giác, ô mạng có hình dạng hình trụ đứng, đáy là hình lục giác đều. Riêng với mạng lục giác, để cho thuận tiện, người ta dựng 4 trục tọa độ x, y, u, z trong đó trục z vuông góc với mặt phẳng đáy, còn các trục x, y, u nằm trong mặt phẳng đáy và lập với nhau góc 120 0 . Gốc của các trục tọa độ đặt ở tâm O của đáy lục giác. Chỉ số Milơ của mặt phẳng mạng được xác định theo phương phép chung và được kí hiệu (h k l i). Có thể chứng minh rằng các chỉ số h, k và i không độc lập với nhau, mà liên hệ với nhau bằng biểu thức: i = - (h + k)

(1-4)

Chính và vậy, không nhất thiết phải dựng trục u và chỉ số i. Tuy nhiên, việc đưa thêm Chúng vào cho phép kí hiệu một cách tiện lợi các mặt phẳng tương đương nhau về tính chất đối xứng. Chẳng hạn, nếu dựng ba chỉ số (h k l) thì cac mặt bên của hình trụ lục giác có các chỉ số (100),( 1 10) (h.1.7), tức là có chứa số các chữ số 1 và 0 khác nhau, nên không thể được kí hiệu chung dưới dạng {h k l}. Nhưng nếu sử dụng thêm trục u thì cũng mặt phẳng đó có chứa các chỉ số (1 0 1 0) và ( 1 1 0 0), do đó Chúng được kí hiệu chung là các mặt phẳng {1 0 1 0}.

Hình 1.7 Chỉ số của một phương được xác định như thế nào? Phương song song với một vectơ nào đó được xác định bằng bộ ba số nguyên nhỏ nhất tỉ lệ với ba thành phần của vectơ đó trên các trục tọa độ, tính theo đơn vị a 1 , a 2 , a 3 . Các số này được đặt trong ngoặc vuông: [h k l]. Thí dụ một vectơ 1 1 : 3 = − 2 : 1 : 6. Do đó a 2 , 3a 3 , thì h : k : l = − 1 : 2 2 phương song song với vectơ này có chỉ số: [2 1 6].

có tọa độ trên các trục là − a 1 ,

Hình 1.8 Hình 1.8 cho ta chỉ số của một số phương trong mạng lập phương. Riêng với mạng lập phương, phương [h k l] vuông góc với mặt phẳng có cùng chỉ số (h k l). Tuy nhiên với các mạng khác thì nói chung không phải như vậy. Họ các phương tương đương nhau về tính chất đối xứng được kí hiệu bằng chỉ số trong dấu ngoặc nhọn: < h k l >. Chẳng hạn, các phương song song với các cạnh của hình lập phương có chỉ số < 100 >.

Câu hỏi ôn tập: 1. Đường thẳng mạng là đường thẳng như thế nào ? Mặt phẳng như thế nào được gọi là mặt phẳng mạng ? 2. Chỉ số Miller là gì ? cách xác định chỉ số Miller của một mặt phẳng ? 3. Một số lưu ý về chỉ số Miller của mặt phẳng? 4. Trong mạng lục giác, để thuận tiện chỉ số Miller của mặt phẳng được xác định như thế nào? 5. Chỉ số của một phương được xác định như thế nào? 6. Hãy xác định chỉ số Miller của một số mặt phẳng chính và chỉ số của các đường thẳng mạng của mạng lập phương?

3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian (1 tiết) Tính đối xứng của mạng không gian thể hiện như thế nào? Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói cách khác, mạng lại trùng với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi. Thế nào là đối xứng tịnh tiến? vectơ tịnh tiến? Mạng không gian có tính đối xứng tịnh tiến. Thật vậy, ta hãy thực hiện một phép biến đổi toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ tịnh tiến: R = n 1 a1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

(1-5)

Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của một nút mạng khác. Toàn bộ mạng không có gì thay đổi. Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến (1-5), trong đó Chú ý rằng n 1 , n 3 , n 3 là những số nguyên. Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì R là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là vectơ mạng. Thế nào là đối với phép quay?Những phép quay đối xứng có thể có của mạng không gian? Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục xác định. Để minh họa điều này, ta hãy xột mạng vuông hai chiều (h.1.10). Có thể coi nó như hình chiếu của mạng không gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía dưới của mặt phẳng hình vẽ, ta có những mạng vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay π 1 (hay vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phẳng, đi qua mạng một góc 2 4 một nút mạng(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X trên hình 1.9),

Hình 1.9 thì mạng lại trùng với chính nó. Trục quay như vậy gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4. Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng 2π mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay một góc ϕ = n bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn. Thế nào là đối xứng nghịch đảo? Mạng không gian có tính đối xứng nghịch đảo. Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành − r . Như vậy, mạng không gian có tâm đối xứng. Tất nhiên, mạng vuông trên hình 1.9 bất biến với phép nghịch đảo và có tâm đối xứng.

Mạng không gian có thể có tính đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng. Phép nghịch đảo chính là gồm một phép quay góc π và phản xạ qua mặt

phẳng vuông góc với trục quay và đi qua tâm đối xứng (h.1.10). Ở đây O là tâm đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục quay góc π . Các phép biến đổi đối xứng vừa nói ở trên, gồm các phép quay, phản xạ và nghịch đảo có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian. Tuy nhiên thực tế, mỗi mạng không gian chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó.

Hình 1.10 Câu hỏi ôn tập: 1. Tính đối xứng của mạng không gian thể hiện như thế nào? 2. Thế nào là đối xứng tịnh tiến? vectơ tịnh tiến? 3. Thế nào là đối với phép quay?Những phép quay đối xứng có thể có của mạng không gian? 4. Thế nào là đối xứng nghịch đảo? 4. Các hệ tinh thể Có bao nhiêu hệ tinh thể? Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, người ta chia Chúng ra thành 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp khác nhau, đó là các hệ: tam tà, đơn tà, thoi, tứ giác, tam giác, lục giác và lập phương. Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 và các góc α, β, γ giữa các vectơ đó, như được vẽ trên hình 1.11

Hình 1.11

Đặc điểm của 7 hệ tinh thể. a) Hệ tam tà: các vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 có độ dài khác nhau, các góc α, β, γ khác nhau. Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo. b) Hệ đơn tà: a 1 ≠ a 2 ≠ a 3 ; α = γ = 90 0 , β ≠ 90 0 . Hệ có một trục quay bậc hai (song song với a 2 ) và mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục này. c) Hệ thoi: a 1 ≠ a 2 ≠ a 3 ; α = β = γ = 90 0 . ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ nhật. Hệ có 3 trục quay bậc 2 vuông góc với nhauvà 3 mặt phẳng phản xạ vuông góc với các trục quay. d) Hệ tứ giác: a 1 = a 2 ≠ a 3 ; α = β = γ = 90 0 , ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông. Hai phương a 1 và a 2 tương đương nhau. Phương của a 3 phân biệt với hai phương trên có khi gọi là phương c . Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c , bốn trục bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ. đ) Hệ tam giác (hay hệ lăng trụ thoi): a 1 = a 2 = a 3 , α = β = γ < 120 0 , ≠ 90 0 . Hệ có một trục quay bậc 3, 3 trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 60 0 và 3 mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2. e) Hệ lục giác: ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hình thoi, có góc 60 0 . Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng thuộc hệ lục giác, người ta thường gộp thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 120 0 , để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy. Ô này có a 1 = a 2 ≠ a 3 ( a 3 gọi là c); α = β = 90 0 , γ = 120 0 .

Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc 30 0 , một mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục bậc 6 và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2 f) Hệ lập phương: a 1 = a 2 = a 3 , α = β = γ = 90 0 . Ô sơ cấp là hình lập phương. Hệ có ba trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trựng với các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng phản xạ chứa trục bậc 4 và song song với các mặt hình hộp và một số yếu tố đối xứng khác nữa.. Với một mạng không gian nhất định, có thể có nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa độ, cũng tức là lựa chọn ô sơ cấp. Bao giờ người ta cũng chọn ô sơ cấp sao cho nó có tính đối xứng cao nhất có thể có được. ô sơ cấp như vậy không nhất thiết chỉ chứa nút mạng ở các đỉnh của nó, mà có thể ở bên trong thể tích (ô tâm khối) hoặc

ở các mặt bên (ô tâm mặt), và như vậy không nhất thiết mỗi ô chỉ chứa một nút mạng.

Hình 1.12 Ta hãy lấy thí dụ về ô mạng lập phương tâm mặt (h.1.12). Ta có thể chọn ô sơ cấp có dạng lăng trụ thoi, với góc giữa các vectơ là 60 0 . Tuy nhiên với cách chọn này, ta làm mất các trục quay bậc 4 là đặc trưng cho tính đối xứng của mạng lập phương. Khi nói về hệ lục giác, ta đó thấy là để thể hiện rõ tính đối xứng của hệ, ta chọn ô sơ cấp dưới dạng hình trụ lục giác, bằng cách ghộp 3 hình trụ thoi lại.

Hình 1.13 Với cách lựa chọn ô sơ cấp như vậy, trong 7 hệ tinh thể có tất cả 14 loại ô. Chúngtạo thành 14 mạng Brave (Bravais). Các ô mạng được vẽ trên hình 1.13. 5. Cấu trúc tinh thể

Thế nào là gốc và cấu trúc tinh thể? Bây giờ ta chuyển từ mạng không gian là mô hình mô tả là mô hình toán học trừu tượng, sang cấu trúc tinh thể. Ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng. Chẳng hạn, có thể đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của Chúng nằm ở các nút mạng không gian. Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn), tại mỗi nút mạng là một phân tử H 2 . Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc. Do đó có thể viết một cách tượng trưng: mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể. Và lí do đó, cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà mạng không gian không có, đó là các trục xoắn ốc, và mặt phẳng trượt. Nếu kết hợp đồng thời phép quay thông thường với phép tịnh tiến song song với trục quay, thì ta được trục xoắc ốc. Trên hình 1.14 là trục xoắn ốc bậc 4, với 1 bước tịnh tiến là khoảng cách a giữa hai nút mạng (còn gọi là hằng số mạng a). 4 Mặt phẳng trượt xuất hiện từ sự kết hợp đồng thời phép phản xạ gương và ghộp song song với mặt phẳng phản xạ. Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến, bước tịnh tiến chỉ có thể là một nửa hằng số mạng (h.1.15).

Hình 1.14

Hình 1.15

Câu hỏi ôn tập 1. Hãy nêu 7 hệ tinh thể và chỉ ra các yếu tố đối xứng của nó? 2. Hằng số mạng là gì? 3. Có bao nhiêu ô mạng Bravai ?

6. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản (1 tiết) Mô hình cấu trúc xếp chặt là như thế nào ? Các tinh thể nào thường có cấu trúc xếp chặt ?

Mô hình đơn giản và cũng tương đối phù hợp với cấu trúc thực của tinh thể là cấu trúc xếp chặt các quả cầu. Trong trường hợp các nguyên tử tạo thành tinh thể có đối xứng cầu, chẳng hạn như các nguyên tử khí trơ có lớp êlêctrôn hóa trị đầy, ta có thể mong đợi rằng sự xếp đặt của các nguyên tử trong tinh thể được mô tả tốt bằng mô hình xếp chặt. Mô hình này cũng có thể áp dụng cho các tinh thể mà liên kết giữa các nguyên tử không có tính phương hướng rõ, thí dụ như liên kết kim loại. Thật vậy, các kim loại hóa trị một như đồng, bạc có cấu trúc tinh thể kiểu xếp chặt. Số phối vị là gì? Có nhiều cách xếp chặt các quả cầu, nhưng mỗi quả cầu luôn có 12 quả khác ở sát bên cạnh. Ta nói rằng trong cấu trúc này, số phối vị là 12. Cách xếp các quả cầu của cấu trúc (ABC) và (AB) hay (AC)? Ta lần lượt xếp cácquả cầu thành từng lớp. Lớp thứ nhất hiển nhiên có đối xứng lục giác (h.1.16). Mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác. Ở lớp thứ hai, các quả cầu được đặt vào những chỗ lõm ở giữa 3 quả cầu của lớp thứ nhất. Tuy nhiên, ở lớp này không thể xếp các quả cầu vào tất cả các chỗ lõm, mà chỉ lấp được một nửa số các chỗ đó. Ta gọi hai loại chỗ lõm đó bằng chữ B và C (h.1.17), cũng như hai cách xếp lớp này gọi là B và C.

Hình 1.16

Hình 1.17

Nếu ta xếp vào các vị trí B, thì các vị trí C bị trống. Đến lớp thứ ba, các quả cầu lại có thể được xếp vào các vị trí hoặc là A hoặc là C. Nếu là A, thì các lớp lặp lại theo trình tự ABABAB… Nếu ở lớp thứ 3, các quả cầu xếp ở vị trớ C, rồi ở lớp thứ 4, lại ở vị trớ A, thì ta có trình tự lặp lại là ABC ABC ABC… Cấu trúc (ABC) có đối xứng cao hơn (AB) hay (AC). Các cách xếp khác có đối xứng thấp hơn nữa. Ta hãy xét cấu trúc (ABC). Đó chính là cấu trúc lập phương tâm mặt (h.1.18). Đường chéo chính của hình lập phương chính là trục quay bậc 3. Tinh thể của các khí trơ Ne, Ar, v.v… và nhiều kim loại hóa trị 1 trong đó tất cả các kim loại hóa trị quý như Ag, Au, Pt … có cấu trúc lập phương tâm mặt.

Hình 1.18

Hình 1.19

Cấu trúc (AB) phức tạp hơn, mặc dù tưởng có vẻ đơn giản. Đó là cấu trúc lục giác xếp chặt có dạng hình lăng trụ đứng, đáy hình thoi có cạnh a 1 = a 2 = a , góc 120 0 , và chiều cao c = (8 3)1 2 a = 1,633. a (h.1.19).

c , nằm trên tâm 2 của tam giác đều tạo nên từ 3 nút mạng A. Chú ý rằng đây không phải là một ô mạng Brave, và ô sơ cấp chứa 2 nguyên tử (2 nút mạng).

Trong thể tích của ô còn có thêm nút mạng B ở chiều cao

Như vậy gốc gồm một nguyên tử ở đỉnh của ô, một nguyên tử ở bên trong ô. c Tinh thể có tỉ số = 1,623 nên thuộc loại cấu trúc lục giác xếp chặt gần lí tưởng. a c Kẽm có tỉ số = 1,86 , hơi lớn hơn trường hợp lí tưởng, nhưng cũng có thể coi như a có cấu trúc lục giác xếp chặt. Một số tinh thể có cấu trúc này là : He: c a = 1,633 Be : c a = 1,581 Ti : c a = 1,586 Cd: c a = 1,886 Co: c a = 1,822 Y: c a = 1,574

Hình 1.20

Hình 1.21

Nhiều kim loại ở những nhiệt độ xác định tương đối dễ dàng chuyển cấu trúc từ lập phương tâm mặt sang lục giác xếp chặt và ngược lại. Chú ý rằng ở hai dạng cấu trúc này số phối vị đều bằng nhau và là 12. Một số các dạng tinh thể thưòng gặp. b) Một số kim loại như Na, Li, K kết tinh theo cấu trúc lập phương tâm khối (h.1.20). Ngoài nguyên tử nằm ở đỉnh hình lập phương có tọa độ (0, 0, 0), còn có 1 1 1 (1) . Số phối vị trong trường hợp này một nguyên tử nằm ở tâm, có tọa độ , , 2 2 2 là 8. c) Cấu trúc của cêsi clorua được trình bày trên hình 1.21, thuộc dạng lập phương tâm khối. Có điều khác là nguyên tử ở tâm khác với nguyên tử ở đỉnh. Và vậy mạng không gian là mạng lập phương đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một phân tử CsCl. Gốc gồm một ion Cs + có tọa độ (0, 0, 0) và một ion Cl − có tọa độ 1 1 1 ( , , ). 2 2 2

Các tinh thể có cấu trúc dạng CsCl là: TlBr, NH4Cl, CuZn (đồng thau β ), LiHg, AlNi, BeCu v.v … Cũng có thể coi như mạng tinh thể CsCl được tạo thành từ hai mạng con lập phương, một mạng chỉ gồm các ion Cs + , một mạng chỉ gồm các ion Cl − . Hai mạng này đặt lệch nhau theo phương đường chéo chính của hình lập phương một khoảng bằng nửa đường chéo này.

Hình 1.22 d) Tinh thể NaCl có cấu trúc lập phương (h.1.22). Ở các đỉnh của hình lập phương và ở tâm các mặt của hình lập phương là những ion cùng loại. Còn ion loại kia thì nằm ở trung điểm các cạnh và ở tâm hình lập phương, xung quanh mỗi ion có 6 ion trái dấu gần nhất. Mạng Brave của NaCl là mạng lập phương tâm mặt, đặt lệch nhau theo phương đường chéo chính của ô lập phương một khoảng bằng 1 4 đường chéo. Cũng có thể coi đó là mạng lập phương tâm mặt, có gốc gồm hai nguyên tử ở vị trí (0, 0, 0) và ( 1 4 , 1 4 , 1 4 ) (h.1.23).

Hình 1.23 Đặc trưng quan trọng nhất của cấu trúc này là liên kết tứ diện. Mỗi nguyên tử nằm ở tâm một tứ diện mà ở các đỉnh là 4 nguyên tử khác. Ngoài cacbon, các tinh thể của Si, Ge, thiếc xám có cấu trúc kim cương. e) Dạng kết tinh lập phương của ZnS có cấu trúc giống như kim cương. Sự khác nhau giữa hai cấu trúc này là ở chỗ trong mạng lập phương ZnS, mỗi mạng con lập phương mặt chứa một nguyên tử kim loại (hoặc Zn, hoặc S). Hai mạng ion cũng đặt lệch nhau 1 4 độ dài đường chéo chính của hình lập phương, theo phương đường chéo (h.1.24).

Hình 1.24 Cấu trúc này cũng được đặc trưng bằng liên kết tứ diện. Mỗi nguyên tử nằm ở tâm một tứ diện mà ở 4 đỉnh có các nguyên tử khác loại với nó. Ô sơ cấp có chứa 4 phân tử ZnS. Khác với kim cương, ở tinh thể ZnS, gốc gồm 2 nguyên tử khác nhau (Zn và S). Và vậy mạng không có tính đối xứng nghịch đảo. Đa số các hợp chất bán dẫn A III B V và A II B VI kết tinh theo cấu trúc ZnS lập phương như: InSb, GaAs, HaTe, CdTe, SiC, ZnSe…

Hình 1.25 f) Dạng kết tinh lục giác của ZnS được trình bày trên hình 1.25. Dạng lục giác, cũng như dạng lập phương, có liên kết tứ diện. Mạng tinh thể gồm 2 mạng con xếp chặt, mỗi mạng chứa một loại nguyên tử. Hai mạng lệch nhau dọc theo trục c một 3 khoảng u.c. Trong trường hợp lí tưởng, u = . 8 Để ý rằng ở mạng lập phương và mạng lục giác đều có liên kết tứ diện, nhưng trong hai trường hợp, các tứ diện xếp đặt khác nhau, dẫn đến hai cấu trúc tinh thể khác nhau. Một số hợp chất A II B VI có cấu trúc lục giác giống ZnS, chẳng hạn CdS, CdSe, ZnO, ZnTe… Câu hỏi ôn tập: 1. Chứng minh rằng cấu trúc (ABC) là cấu trúc lập phương tâm mặt và số phối vị bằng 12? 2. Chứng minh rằng cấu trúc (AB) hay (AC) là cấu trúc lục giác xếp chặt và số phối vị bằng 12? 3. Chứng minh trong một ô sơ cấp của tinh thể cêsi clorua có một phân tử CsCl? 4. Tính số phân tử NaCl trong một ô sơ cấp của tinh thể muối ăn NaCl?

7. Mạng đảo (1 tiết) Thế nào là mạng đảo? r r r Mạng không gian được xây dựng từ 3 vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 . Ta định nghĩa r r r mạng đảo là mạng được xây dựng từ bao vec tơ b 1 , b 2 , b 3 và được xác định như

sau:

r r ⎧r [ a2 ∧ a3 ] ⎪b 1 = 2 π. [r r ] r a 1 ∧ a 2 .a 3 ⎪ r r ⎪r [ a 3 ∧ a1 ] ⎨b 2 = 2 π. r r r [a 1 ∧ a 2 ].a 3 ⎪ r r ⎪r [ a1 ∧ a 2 ] ⎪b 3 = 2 π. r r r [a 1 ∧ a 2 ].a 3 ⎩

(1-6)

r r r Các vectơ b 1 , b 2 , b 3 là các vectơ cơ sở của mạng đảo.

Vị trớ các nút của mạng đảo được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng: r r r r G = m1b1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 (1-7) với m1, m2, m3 là những số nguyên.

r a2

Một số tính chất của vectơ mạng đảo. r r r r r r r r b 1 vuông góc với a 2 và a 3 ; b 2 vuông góc với a 3 và a 1 ; b 3 vuông góc với a 1 và r r r [ a 2 ∧ a 3 ].a 1 r r Xét tích vô hướng a 1 .b 1 = 2 π. r r r [a 1 ∧ a 2 ].a 3 r r r r r r r r r Để ý rằng [a 1 ∧ a 2 ].a 3 = [a 2 ∧ a 3 ].a 1 = [a 3 ∧ a 1 ].a 2 nên r r a 1 .b 1 = 2 π (1-8) r r r r Ta có kết quả tương tự a 2 .b 2 = 2 π , a 3 .b 3 = 2 π r r r [ a 3 ∧ a 1 ].a 1 r r Ta xét tích vô hướng a 1 .b 2 = 2 π. r r r [a 1 ∧ a 2 ].a 3 r r r r r r r Và [a 3 ∧ a 1 ] ⊥ a 1 nên a 1 .b 2 = 0 . Tương tự, ta có a i .b j = 0 nếu i ≠ j. Do đó, kết

r r hợp với (1-8), ta có: a i .b j = 2 πδ ij (1-9) trong đó δ ij là ký hiệu croneccơ

(Kronecker):

⎧1 khi i = j δ ij = ⎨ ⎩0 khi i ≠ j Độ lớn của vectơ mạng đảocó thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài. r r r Hình hộp được dựng lên từ 3 vectơ cơ sở của mạng đảo b 1 , b 2 , b 3 tức là ô sơ cấp của mạng đảo, có thể tích:

[

r r r v' = b 1 . b 2 ∧ b 3

]

(1-10)

[

]

r r r Chú ý rằng b 2 ∧ b 3 là vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa b 2 và r r r b 3 , có môđun bằng diện tích hình bình hành dựng lên từ b 2 và b 3 . Do đó tích hỗn r hợp (1-10) cho ta diện tích hình bình hành với hình chiếu của b 1 lên phương vuông r r góc với mặt phẳng chứa b 2 và b 3 , tức là tích (1-10) bằng trị số thể tích v’ của hình

hộp. Tương tự, ta có thể tích ô sơ cấp mạng không gian ( tức mạng thuận ) là: r r r (1-11) v = [a 1 ∧ a 2 ].a 3 Từ (1-6), ta có:

[

]

2 r r r r r ⎛ 2π ⎞ r b 2 ∧ b 3 = ⎜ ⎟ [[a 3 ∧ a 2 ] ∧ [a 1 ∧ a 2 ]] ⎝ v ⎠

Theo đồng nhất thức:

[ar ∧ [br ∧ cr]] ≡ br.(ar.cr) − cr.(ar.br ) ta có:

[

]

2 r r r r r r r r ⎛ 2π ⎞ r r b 2 ∧ b 3 = ⎜ ⎟ {a 1 .([a 3 ∧ a 1 ]a 2 ) − a 2 .([a 3 ∧ a 1 ]a 1 )} ⎝ v ⎠

Số hạng thứ hai ở vế phải bằn không. Do đó

[

]

2 2 r r r r ⎛ 2π ⎞ r ⎛ 2π ⎞ r r b 2 ∧ b 3 = ⎜ ⎟ a 1 .[a 3 ∧ a 1 ].a 2 = ⎜ ⎟ .a 1 ⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠

(1-12)

Từ (1-10), (1-11) và (1-12), ta có: 3 ( 2π) v' =

v

(1-13)

nghĩa là thể tích ô sơ cấp mạng đảo tỉ lệ nghịch với thể tích ô sơ cấp mạng thuận. Vùng Briloanh và cách xác định? Cũng giống như với mạng thuận, trong mạng đảo, có thể xây dựng ô sơ cấp dạng đối xứng trung tâm (kiểu ô Vicnơ - Daixơ của mạng thuận như ở hình 1.4). Trong mạng đảo, ô này được gọi là vùng Briloanh (Brillouin) thứ nhất. Nó được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các vectơ mạng đảo nối nút đang cột với các nút lân cận. Các định lý về mạng đảo Định lý 1. Vectơ mạng đảo r r r r G = hb 1 + k b 2 + l b 3

vuông góc với mặt phẳng (h k l) của mạng thuận. Chứng minh:

Hình 1.26 Mặt phẳng (h k l) cắt các trục toạ độ ở các điểm có toạ độ lần lượt trên ba trục r là n1a1, n2a2, n3a3 (h.1.26) Vectơ G vuông góc với mặt phẳng (h k l), nếu ta chứng minh được là nó vuông góc với hai vectơ không song song với nhau và cùng nằm trên mặt phẳng. Ta chọn hai vectơ đó chẳng hạn, là: r r r r n 1a 1 − n 2 a 2 vµ n 3 a 3 − n 2 a 2 r Nhân vô hướng vectơ G (h,k,l) với hai vectơ này và áp dụng (1-9) ta được: r r r r r r r r G (n 1 a 1 − n 2 a 2 ) = h b 1 + k b 2 + l b 3 .(n 1 a 1 − n 2 a 2 ) =

(

)

= hn .2 π − kn 2 .2 π = 0

và từ cách xác định các chỉ số milơ của mặt phẳng (h k l), ta có: h:k:l =

1 1 1 : : n1 n 2 n 3

Tương tự:

(

)

r r r r r r r r G(n 3 a 3 − n 2 a 2 ) = hb 1 + kb 2 + lb 3 .(n 3 a 3 − n 2 a 2 ) = 0

Định lý đó được chứng minh. Định lý 2 Khoảng cách d(h k l) giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp nhau thuộc họ mặt phẳng r (h k l) bằng nghịch đảo của độ dài vectơ mạng đảo G( h, k, l) nhân với 2π. Chứng minh

Hình 1.27 Trên hình 127 biểu diễn một số mặt phẳng mạng song song nhau thuộc họ r G mặt phẳng (h k l). Từ định lý 1, ta có vectơ ( h, k, l) vuông góc với các mặt phẳng đó. r Từ gốc O, ta vẽ vectơ mạng R của một nút mạng nằm trên mặt P(h,k,l). Hình r chiếu của nó lên phương vectơ G chính là đoạn OH. Mọi vectơ mạng có điểm cuối r nằm trên mặt phẳng mạng P(h,k,l) đều có hình chiếu lên phương G là đoạn OH: r r G( h, k, l) R G = OH = R. r G( h, k, l)

r r G( h, k, l) là vectơ đơn vị theo phương G( h, k, l) cũng là vectơ phép ở đây r G( h, k, l) tuyến đơn vị của mặt phẳng (h k l). Ta có:

(

r r r r r r hb 1 + kb 2 + lb 3 R G = (n 1a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ). r G( h, k, l) = 2 π.

n1 h + n 2 k + n 3 l 2 π.n = r r G( h, k, l) G( h, k, l)

với n là một số nguyên.

)

2π Như vậy, mặt phẳng P(h,k,l) cách gốc O một số nguyên lần r . Thay G( h, k, l) 2π đổi số nguyên n đi một đơn vị, thì RG tăng lên r . Mặt phẳng Q(h,k,l) nằm kề G( h, k, l) 2 π( n + 1) sát với P(h,k,l) như trên hình 1.27 ứng với hình chiếu R G = r G( h, k, l)

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (h k l) liên tiếp nhau là: 2π d( h, k, l) = r G ( h, k , l )

(1-14)

Ví dụ xây dựng mạng đảo ứng với mạng không gian cho trước. Từ các tính chất của mạng đảo, ta có thể xây dựng mạng đảo ứng với mạng không gian cho trước bằng phương phép giải tích, dựa trên các công thức (1-6), hoặc bằng phương phép hình học. Để minh hoạ việc xây dựng mạng đảo, ta cột ví dụ mạng thuận là mạng lập phương tâm mặt (h.1.28a). Các mặt phẳng mạng thuận vuông góc với các trục toạ r a độ x,y và z cách nhau một khoảng d = . Do đó vectơ mạng đảo G ứng với các 2 2π 4π mặt phẳng này song song với các trục x,y,z và có độ dài G = = d a Các mặt phẳng (111) vuông góc với đường chéo chính và cách nhau

d=

a 3 . Do đó vectơ mạng đảo ứng với họ mặt phẳng chéo này cũng hướng theo 3

2π 2π 3 = . Và đường chéo cạnh của hình lập d a r 4π 4π có độ dài phương cạnh . 3 , nên vectơ mạng đảo G bằng nửa đường chéo a a r chính của hình lập phương trong mạng đảo. Vectơ G này ứng với nút mạng đảonằm ở tâm hình lập phương.

đường chéo chính và có độ dài G =

Vậy mạng đảo của mạng lập phương tâm mặt là mạng lập phương tâm khối (h.1.28) Khái niệm về mạng đảo được sử dụng rất thuận tiện để nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến các quả trình sóng trong vật rắn như lý thuyết về cung năng lượng, lý thuyết về dao động của mạng tinh thể, hiện tượng nhiễu xạ trong tinh thể v.v…

a) lập phương tâm mặt

b) Lập phương tâm khối Hình 1.28

Câu hỏi ôn tập 1. Thế nào là mạng đảo? 2. Các tính chất của véc tơ mạng đảo? 3. Vùng briloanh thứ nhất 4. Các định lý về mạng đảo? (định lý 1; định lý 2) 5. Xây dựng mạng đảo của mạng lập phương tâm tâm khối?

Bài tập chương 1 Bài 1.1 Thế năng thực giữa hai ion liền kề có thể biểu diễn bằng biểu thức: Hãy tính năng lượng liên kết U0 theo A, B và n. Với mỗi cặp ion Na+-Cl-, thế năng hút và thế năng đẩy giữa chúng là: và Hãy tính năng lượng liên kết U0. Bài 1.2 Chứng minh rằng, các mạng không gian chỉ có thể có các trục quay 2, 3, 4 và 6, không thể có các trục quay bậc 5 và cao hơn 6. Bài 1.3 Đồng có bán kính nguyên tử bằng 0.128 nm, có cấu trúc lập phương tâm mặt và khối lượng nguyên tử là 63.5g/mol. Tính khối lượng riêng của đồng. Bài 1.4 Titan có cấu trúc lục giác xếp chặt, khối lượng riêng là 4.51g/cm3 và khối lượng nguyên tử là 47.9g/mol. a) Hãy tính thể tích của một ô đơn vị b) Nếu tỉ số c/a là 1.58, hãy tính giá trị của a và c. Bài 1. 5 Hỏi mặt phẳng có chỉ số Miller (1, 2, 5) cắt trên các trục toạ độ những đoạn bằng bao nhiêu lần độ dài của vec tơ cơ sở tương ứng ? Bài.1.6 Tìm chỉ số Miller của các mặt phẳng mạng trong tinh thể lập phương Bài 1.7 Xác định các yếu tố đối xứng của các ô mạng Bravais (Hình 1.13 trang 22 sách VLCR). Bài 1.8 Chứng minh rằng, trong mạng lập phương, phương [h, k, l] luôn vuông góc với mặt phẳng (h,k,l). Với các mạng khác, điều đó có đúng không ? Bài 1.9 Ô sơ cấp của tinh thể Mg kim loại thuộc hệ lục giác, có các thông số mạng là a = 3,2 Å ; c= 5,2 Å. Hãy xác định số ô sơ cấp có trong 1 cm3 tinh thể.

Bài 1.10 Xác định số nguyên tử Fe trong ô sơ cấp có cấu trúc lập phương. Cho biết cạnh của hình lập phương a = 2,87 Å, khối lượng nguyên tử của Fe là A = 55,84 và khối lượng riêng ρFe = 7800 kg/m3. Bài 1.11 Xác định thể tích của ô sơ cấp qua bán kính của các nguyên tử coi như những hình cầu giống nhau được xếp chặt trong mạng lập phương tâm khối, lập phương tâm mặt và lục giác. Bài 1.12 Mạng lập phương tâm khối bao gồm các nguyên tử giống nhau có bán kính r. Chứng minh rằng phần thể tích ô sơ cấp bị các nguyên tử chiếm chỗ là

.

Bài 1.13 Khối lượng riêng của NaCl là ρ = 2,15.103 kg/m3. Khối lượng nguyên tử của Na và Cl lần lượt là 23 và 35,46. Hãy xác định hằng số mạng của tinh thể muối ăn NaCl. Bài 1.14 Vẽ ô sơ cấp và xác định số nguyên tử trong một ô sơ cấp và số phối vị trong mạng tinh thể lập phương tâm khối, trong mạng tinh thể lập phương tâm mặt và trong mạng tinh thể lục giác xếp chặt lý tưởng. Bài 1.15 Trong mô hình cấu trúc xếp chặt các quả cầu, mạng lập phương tâm mặt có cấu trúc (ABC). Hãy xác định: mặt xếp chặt, phương xếp chặt, bán kính xếp chặt (theo cạnh a của ô sơ cấp) và mật độ xếp chặt. Bài 1.16 Chứng minh rằng, mạng đảo của mạng lập phương tâm mặt là mạng lập phương tâm khối và ngược lại. Bài 1.17 Hãy xác định ô sơ cấp của mạng đảo, vùng Brillouin thứ nhất và thứ hai của mạng vuông hai chiều. Bài 1.18 Người ta ghi ảnh nhiễu xạ tia X của một tinh thể có cấu trúc lập phương đơn giản với hằng số mạng a = 2,56 Å. Hỏi có thể có số vạch nhiễu xạ bậc một nhiều nhất là bao nhiêu nếu độ dài bước sóng bức xạ tia X là λ = 1,789 Å.

Bài 1. 19 Dùng dòng electron được tăng tốc đến động năng 1 keV cho nhiễu xạ trên một tấm kim loại có cấu trúc lập phương với a = 1Å. Tìm góc phản xạ Bragg cho vạch cực đại đầu tiên. Bài 1.20 Tia Rửntgen có bước sóng λ= 1.537 Å phản xạ từ mặt (111) của tinh thể nhôm dưới một góc 1902’. Cho biết nhôm có cấu trúc lập phương tâm mặt, khối lượng riêng ρAl = 2699 kg/m3, khối lượng nguyên tử A= 26,98. Tính số Avogadro NA theo các kết quả thực nghiệm này.

CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ I. Mục đích Cung cấp các lý thuyết cổ điển và lượng tử về dao động mạng Ứng dụng các lý thuyết dao động mạng để tính nhiệt dung riêng và giải thích sự giãn nỏ vì nhiệt của chất rắn. II. Yêu cầu Người học cần lĩnh hội những kiến thức về: 1. Dao động của mạng một chiều đơn giản 2. Hệ thức tán sắc của dao động (sự phụ thuộc của tần số ω vào véc tơ sóng q) 3. Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử 4. Dao động của mạng ba chiều 5. Sự xuất hiện hai nhánh âm học; quang học và vùng cấm 6. Ý nghĩa và sự lượng tử hóa của véc tơ sóng q Một số lưu ý Để nắm bắt được tốt kiến thức chương này, người học cần hiểu rõ các kiến thức về dao động điều hòa; cơ lượng tử trong giải bài toán về dao động tử; các kiến thức về nhiệt động lực học và vật lý thống kê. Người học đã được trang bị các kiến thức toán học về Đại số tuyến tinh và giải tích III. Nội dung Chương 2 gồm 4 bài: Bài 1: Lý thuyết cổ điển về dao động mạng Bài 2: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng Bài 3: Nhiệt dung riêng của vật rắn Bài 4: Sự giãn nỏ vì nhiệt

1. LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ I. Mục đích Mô tả dao động của mạng tinh thể bằng lý thuyết cổ điển. Bước đầu cho thấy ý nghĩa của vùng Briloanh. II. Yêu cầu Người học cần nắm được: 1. Gải bài toán về dao động mạng một chiều đơn giản 2. Hệ thức tán sắc của dao động mạng (sự phụ thuộc của tần sô ω vào véc tơ sóng q) 3. Ý nghĩa và sự lượng tử hóa của véc tơ sóng q 4. Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử 5. Sự hình thành các nhánh quang học; âm học và vùng cấm 6. Dao động của mạng ba chiều. Lưu ý: Việc nghiên cứu dao động mạng ba chiều được tiếp cận từ việc giải các bài toán đơn giản hơn rất nhiều đó là dao động mạng một chiều đơn giản và dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử. III. Nội dung 1. Năng lượng dao động (1 tiết) 2. Dao động của mạng một chiều đơn giản (1 tiết) 3. Dao động cua mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử (1 tiết) 4. Dao động của mạng ba chiều (1 tiết)

1. Năng lượng dao động (1 tiết) Đặc điểm của các nguyên tử, phân tử trong tinh thể? Trong tinh thể, các nguyên tử, phân tử không nằm cố định ở các nút mạng hoặc ở các vị trí xác định, mà luôn thực hiện các dao động nhỏ quang các vị trí cân bằng. Ta hãy xét tinh thể gồm N ô sơ cấp, mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử khối lượng M. Năng lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mạng tinh thể là: E = K + U(2-1) Với

K=

1 N r2 M ∑ rn 2 n =1

(2-2)

r là động năng của các nguyên tử dao động, rn là độ lệch của nguyên tử khỏi r r r nút thứ n ứng với vectơ mạng R n , r&n là vận tốc của nguyên tử ở nút R n . Còn: r r r U = U ( l1 , l2 ,... lN ) (2-3) r r r U = U ( l1 , l2 ,... lN ) (2-3)

Hình 2.1 Nguyên nhân tạo nên thế năng tương tác trong tinh thể? là thế năng của hệ được tạo nên do tương tác (đẩy và hút) giữa các nguyên tử trong tinh thể. Thế năng U là hàm của toạ độ từng nguyên tử ở từng thời điểm. r Vectơ ln là vectơ vị trí của nguyên tử thứ n: (h.21) r r r ln = R n + rn (2-4) Do đó r r r r r r U = U (R 1 + r1 , R 2 + r2 ,..., R N + rN ) (2-5) r r rn là độ dịch chuyển nhỏ quanh vị trí cân bằng R n , nên ta có thể phân tích U r thành chuỗi Taylo (Taylor) theo rn .

Biểu thức thế năng của các nguyên tử, phân tử trong tinh thể? Trong hệ toạ độ Đêcac (Descartes), ta có: ⎛ ∂U U = U 0 + ∑ ∑ ⎜⎜ n =1 α =1 ⎝ ∂l nα N

3

⎞ 1 N N 3 3 ⎛⎜ ∂ 2 U ⎞⎟ ⎟⎟ rnα + ∑ ∑ ∑∑ rnα rmβ 2 n =1 m =1 α =1 β=1 ⎜⎝ ∂l nα ∂l mβ ⎟⎠ ⎠0

(2-6)

r rn có hình chiếu trên các trục là rnα ; α = 1,2,3 ứng với x,y,z. Trong (2-6), r r r U = U ( R 1 , R 2 ,...R N ) là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng (tức là nằm

ở các nút mạng, và mọi rn = 0) Chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng. Ta giới hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét ở phép gần đúng điều hoà.

Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu. Do ∂U đó các đạo hàm hạng nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng không: =0 ∂l n Nếu ta lấy gốc thế năng là giá trị U0, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó. Biểu thức (2-6) trở thành: ⎛ ∂U U = ∑ ∑ ⎜⎜ n =1 α =1 ⎝ ∂l nα N

3

⎞ 1 N N 3 3 ⎛⎜ ∂ 2 U ⎞⎟ ⎟⎟ rnα + ∑ ∑ ∑∑ rnα rmβ 2 n =1 m =1 α =1 β=1 ⎜⎝ ∂l nα ∂l mβ ⎟⎠ ⎠0

(2-7)

Thế năng, theo (2-7), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ dời, đó là các số hạng điều hoà. Biết hàm thế năng U, có thể xác định được lực tác dụng. Thành phần β của lực tác dụng lên nguyên tử thứ m là: Fmβ

N 3 ⎛ ∂ 2 U ⎞⎟ ∂U ⎜ = −∑ ∑ =− r ⎜ ⎟ nα ∂rmβ n =1 α =1 ⎝ ∂l nα ∂l mβ ⎠

(2-8)

r Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển rn của nguyên tử khác vào các hệ số

⎛ ∂2U ⎞ ⎟ . Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử có dạng ⎜ ⎜ ∂l ∂l ⎟ ⎝ nα mβ ⎠ 0 thứ n và thứ m. Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào r r khoảng cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào R n − R m .Ta có thể viết:

r r ⎛ ∂2U ⎞ ⎜ ⎟ = U αβ (R n − R m ) ⎜ ∂l ∂l ⎟ ⎝ nα mβ ⎠ 0

(2-9)

Biểu thức của định luật II Niutơn (Newton) cho nguyên tử thứ m theo (2-8) và (2-9) là các phương trình có dạng: N 3 r r M&r&mβ = Fmβ = −∑∑ U αβ (R n − R m ).rnα

(2-10)

n =1 α =1

Để biết được chuyển động của mọi nguyên tử, ta cần phải giải một hệ các phương trình vi phân liên hệ với nhau (dạng 2-10) có số phương trình rất lớn (3N phương trình!) Trước khi giải quyết bài toán tổng quát, ta xét vài trường hợp đơn giản.

Câu hỏi ôn tập 1. Đặc điểm của các nguyên tử, phân tử trong tinh thể? 2. Nguyên nhân tạo ra thế năng tương tác giữa các nguyên tử, phân tử trong tinh thể? 3. Biểu thức định luật II Newton cho nguyên tử thứ m trong tinh thể? 4. Tại sao không giải được trực tiếp bài toán dao động của mạng ba chiều? 2. Dao động của mạng một chiều đơn giản (1 tiết)

Hình 2-2 Trong trường hợp nào thì tinh thể ba chiều được xét như trường hợp một chiều? Trường hợp đơn giản nhất là trường hợp “mạng tinh thể một chiều” gồm các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng. Kết quả của bài toán này cũng áp dụng được cho tinh thể ba chiều nếu ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi sóng đàn hồi là thuần tuý dọc hoặc thuần tuý ngang. Điều đó xảy ra khi xét sự lan truyền của sóng đàn hồi theo phương có tính đối xứng cao như

, , …Trong sóng dọc, các nguyên tử dịch chuyển song song với phương truyền sóng, còn trong sóng ngang, cac nguyên tử dịch chuyển vuông góc với phương truyền sóng. Trong các trường hợp này, các nguyển tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động giống nhau (h.2-2). Vì thế, thay cho nghiên cứu chuyển động của mọi nguyên tử trong tinh thể ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên tử. Bài toán được qui về trường hợp mạng tinh thể một chiều. Các gần đúng nào nào đã được đưa vào để giải bài toán dao động? Để cho đơn giản giả thiết với dãy nguyên tử một chiều, ta chỉ xét sóng ngang, và coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử gần nó nhất. Các nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên ô mạng có kích thước là a. Ta viết lại phương trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số α,β, vì đã giả thiết chỉ xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử. Khi đó, theo (2-10), ta có: N

M&r&m = Fm = −∑ U (R n − R m )rn

(2-11)

n =1

Vì chỉ có tương tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử thứ m nhất, nên trong tổng ở vế phải chỉ còn lại các số hạng ứng với n = m, n = m - 1và n = m + 1. Ta lại giả thiết rằng lực tương tác là lực đàn hồi, tức là tỷ lệ với độ dời khỏi vị trí cần bằng. Ở đây, vị trí cân bằng ứng với rm = rm +1 = rm −1 = 0 . Do đó, phương trình chuyển động là M&r&m = −α( rm − rm +1 ) − α( rm − rm −1 )

hay: M&r&m = −α(2 rm − rm +1 − rm −1 )

(2-13)

Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng: rm = Ae i ( qR m −ωt )

(2-14)

Ta có thể chọn gốc O sao cho Rm = a.m (h.2.3) thì rm = Ae i ( qma −ωt )

Thay (2-15) vào (2-13), chú ý rằng: r&m = Ae iqma (− iω)e − iωt &r&m = Ae iqma (−iω) 2 e − iωt = −ω2 r

(2-15)

Sau khi giản ước hai vế, ta có:

Mω2 = −α(2 − e iqa − e − iqa )

(2-16)

Sử dụng công thức eiqa = cosqa + isinqa, ta thu được:

Mω2 = 2α(1 − cos qa )

(2-17)

Từ đó ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động: ω2 =

α 2α qa (1 − cos qa ) = 4 sin 2 M m 2

(2-18)

Biểu thức sự phụ thuộc của tần số dao động vào véc tơ sóng q?

ω=2

hay với ωmax = 2

α qa qa = ωmax sin sin m 2 2

(2-19)

α M

Hình 2-4 Biểu thức (2-19), cho ta sự phụ thuộc của tần số góc ω vào q và được gọi là r hệ thức tán sắc của dao động, q là độ lớn của vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Biểu diễn ω theo q như ở (2-19), ta được hình 2.4 Các tính chất của ω(q): Ta có một số nhận xét sau đây về sự phụ thuộc ω(q):

ω là hàm tuần hoàn của q đối với chu kì 2π. Thật vậy, nếu có q' = q +

2π thì a

r ' m = Ae i ( q 'ma −ωt ) = Ae i 2 πm e i ( qma −ωt ) = e i 2 πm rm = rm

vì e i 2 πm = 1

r r Như vậy vectơ sóng q vµ q' mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng r r tinh thể ứng với một giá trị ω của tần số dao động; nghĩa là q vµ q' tương đương nhau về tính chất vật lý. Do tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng trên trục q. Người ta thường chọn khoảng _

2π a

2π đối xứng quanh gốc O, tức là a

π π ≤ q ≤ , khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω. a a

Các tính chất của ω(q) trong vùng Briloanh thứ nhất: q có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài, nên nó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét, mạng thuận có chu kỳ a 2π . Mạng đảo của mạng một chiều cũng là mạng một thì mạng đảo có chu kỳ a chiều. π π ≤ q ≤ trong mạng đảo (ở đây là trường hợp một chiều) gọi là a a vùng Briloanh thứ nhất.

Khoảng giá trị _

Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kỳ là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức sóng (214), ta có:

Ae i( qRm −ωt ) = Ae i[q ( Rm +λ )−ωt ] hay e iqλ = 1 . Điều đó chỉ có được nếu: q=

2π λ

(2-20)

- Ở tâm vùng Briloanh thứ nhất, tức là với qa 1. Nếu tinh thể là hữu hạn, thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng hạn như tính đối xứng tịnh tiến không còn nữa. Ta phải xét ảnh hưởng của biên tinh thể. Trong trường hợp mạng một chiều đó chính là đầu và cuối của dãy nguyên tử. Tuy nhiên nếu mạng tinh thể đủ lớn, thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể cũng gần giống như khi là mạng vô hạn. Điều kiện biên tuần hòan là như thế nào ? Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể, ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Bo – Cacman (Born-Karman) như sau: dao động của nguyên tử ở cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như dao động của nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi như các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết về diều kiện biên tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì tới kết quả vật lý. Từ điều kiện biên tuần hoàn, ta thấy dao động của nguyên tử thứ m và m+N là như nhau: rm = rm+N Mà

rm + N = Ae i [q ( m + N )−ωt ] = Ae i ( qma −ωt ) .e iqNa = rm .e iqNa

Muốn vậy: eiqNa = 1 hay

qNa = 2nπ

hoặc

q=

2 πn 2 π = Na L

(2-24)

với n là số nguyên, dương hoặc âm; L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều, _

π π ≤ q ≤ , vì vậy các giá trị của n nằm trong khoảng: a a −

N N ≤n≤ 2 2

Hệ quả của điều kiện biên tuần hòan Các giá trị này của n cho ta N giá trị khác nhau của q. Như vậy điều kiện biên tuần hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của giá trị vectơ sóng q. Các giá trị này cách 2π . Trong phổ ω(q) chỉ có các giá trị của ω ứng với N giá trị đó của q. nhau Na Câu hỏi ôn tập: 1. Trong trường hợp nào thì dao động của mạng ba chiều có thể coi như dao động của mạng một chiều? 2. Các gần đúng nào đã được đưa ra để giải bài toán dao động của mạng tinh thể một chiều? Tại sao các giả thiết đó có thể chấp nhận được? 3. Hệ thức tán sắc và đồ thị mô tả ω(q)? 4. Các tính chất của ω và vận tốc nhóm của dao động tại tâm và biên vùng Briloanh? 5. Điều kiện biên tuần hòan và hệ quả của điều kiện biên tuần hòan dẫn đến điều gì?

3. Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử (1 tiết) Ta xét trường hợp phức tạp hơn là trường hợp của mạng một chiều có chứa hai loại nguyên tử khác nhau (hoặc là về khối lượng hoặc là về hằng số lực). Để cho xác định ta giả thiết hai loại nguyên tử có khối lượng khác nhau. Bài toán này cũng có thể ứng dụng cho mạng ba chiều, chứa hai loại nguyên tử khác nhau (thí dụ tinh thể NaCl), khi xét sự lan truyền sóng dao động theo các phương đối xứng (như phương ) nghĩa là khi phân biệt được sóng dọc và sóng ngang. Lưu ý gì khi xét dao động mạng một chiều chứa 2 loại nguyên từ? Để cho đơn giản, ta giả thiết các nguyên tử có khối lượng M1 và M2, đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a (h.2.5). Ta cũng giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và bỏ qua các tương tác xa hơn, và chỉ xét song ngang. Như vậy ô sơ cấp có kích thước 2a và mỗi ô chứa hai nguyên tử.

Hình 2-5 Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương trình như sau: ⎧M 1&r&1,m = −α(r1,m − r2,m −1 ) − α(r1,m − r2,m ) ⎨ ⎩M 2&r&2,m = −α(r2,m − r1,m ) − α(r2,m − r1,m +1 )

(2-25)

Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử là A1 và A2

⎧⎪r1.m = A 1 e i (2 qam−ωt ) ⎨ ⎪⎩r2.m = A 2 e i (2 qam−ωt )

(2-26)

Thay (2-26) vào (2-25), sau khi giản ước, ta có hệ phương trình:

⎧⎪− ω2 M 1 A 1 = −2αA 1 + αA 2 (1 + e − i 2 qa ) ⎨ 2 ⎪⎩− ω M 2 A 2 = −2αA 2 + αA 1 (1 + e −i 2 qa )

(2-27)

hoặc sau khi biến đổi, ta có: ⎧⎛ 2 2α ⎞ α ⎟⎟A 1 + 1 + e −i 2 qa A 2 = 0 ⎪⎜⎜ ω − M1 ⎠ M1 ⎪⎝ ⎨ ⎪ α 1 + e i 2 qa A + ⎛⎜ ω2 − 2α ⎞⎟A = 0 1 2 ⎜ ⎪M M 2 ⎟⎠ ⎝ ⎩ 2

(

(

)

)

(2-28)

Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q). Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải bằng không. Do đó:

⎛ 2 2α ⎞ ⎜⎜ ω − ⎟⎟ M ⎝ 1 ⎠ α 1 + e i 2 qa A 1 M2

(

)

(

)

α 1 + e −i 2 qa M1 =0 ⎛ 2 2α ⎞ ⎜⎜ ω − ⎟A 2 M 2 ⎟⎠ ⎝

(2-29)

Đây là phương trình trùng phương đối với ω:

M1 + M 2 2 2α 2 (1 − cos 2qa ) = 0 ω − 2α ω + M1 M 2 M1 M 2 4

(2-30)

Giải ra ta có hai nghiệm:

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ± α ω = α⎜⎜ + M M ⎝ 1 2 ⎠ 2 ±

2

⎛ 1 1 ⎞ 4 ⎜⎜ ⎟⎟ − + . sin 2 qa ⎝ M1 M 2 ⎠ M1 M 2

(2-31)

Ta xét nghiệm với dấu trừ ( ω − ): Khi q = 0, ω − = 0 Khi q nhỏ, sin 2 qa ≈ (qa ) = q 2 a 2 . Do đó 2

ω− =

α .aq M1 + M 2

(2-32)

Vậy ở gần tâm vùng Briloanh, ω tỷ lệ với q Khi q = ±

π , thì sin2qa = 1 và 2a

ω− =

2α M1

(2-33)

Ta xét tiếp nghiệm ω + Khi q = 0, ω+ = 2α Khi q = ±

π , ω+ = 2a

M1 + M 2 M1 M 2 2α M2

(2-34)

(2-35)

Giả thiết M1 > M2, thì sự phụ thuộc của ω theo q trong trường hợp mạng có hai loại nguyên tử được biểu diễn trên hình 2.6. Ta nhận thấy rằng ω phụ thuộc vào π q một cách tuần hoàn với chu kỳ . Vì vậy ta cũng chỉ xét với các giá trị của q nằm a trong cùng Briloanh thứ nhất: −

π π (Nhớ rằng hằng số mạng là 2a) ≤q≤ 2a 2a

Đồ thị ω(q ) gồm hai nhánh. Nhánh dưới ứng với ω − có dạng giống như ở trường hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử. Ở q = 0, ω = 0. Với các giá π trị q bé, ω tỉ lệ với q. Ở giá trị q = ± , ω = ωmax. Như vậy ở gần tâm vùng 2a Briloanh, vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số, và bằng chính vận tốc truyền âm. Vì vậy nhánh ứng với ω − còn được gọi là nhánh âm học.

Hình 2.6 Nhánh trên biểu diễn ω + . Ở nhánh này, ω ít thay đổi theo q. Ở q = 0, ta có

ω+ max = 2α.

M1 + M 2 . M 1 .M 2

Còn ở q = ±

π , ta có ω+ min = 2a

2α , nhánh này gọi là nhánh quang học. M2

Ta trở lại xét các nghiệm r1,m và r2,m ở (2-26) xét khi q = 0, thay giá trị ω + ở (234) vào (2-28), ta thu được

r A A1 M = − 2 . Mà 1 = 1,m , nên hai loại nguyên tử M 1 A 2 r2,m A2 M1

và M 2 dao động ngược pha nhau (vì r1,m và r2,m trái dấu nhau). Trong tinh thể ion, các nguyên tử M 1 và M 2 mang điện tích trái dấu nhau (h.2.7a). Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo nên cũng biến đổi tuần hoàn. Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc loại này. Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường E của ánh sáng tương tác mạnh với mômen lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng ω + . Chính vì lí do đó mà nhánh được gọi là nhánh quang học. Khi q = 0, thì với nhánh âm học ( ω − ), các nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau (h.2.7b) giống như các dao động âm học có bước sóng lớn.

Hình 2.7 Nguyên nhân của sự xuất hiện hai nhánh âm học và quang học là gì?

Sự xuất hiện hai nhánh: âm học và quang học trong phổ dao động của mạng tinh thể là kết quả của việc mạng tinh thể có gốc, tức là trong một ô sơ cấp có hai nguyên tử hoặc nhiều hơn. Để thấy rõ hơn điều này, bạn đọc hãy làm bài tập 2.1 ở cuối chương. Thế nào là vùng cấm? Dựa vào hình 2.6, có thể rút ra một nhận xét quan trọng. Trên phổ ω(q ) có một khoảng giá trị từ ω − =

2α đến ω2 = M1

2α không ứng với nghiệm nào của M2

phương trình sóng truyền trong mạng tinh thể. Nói khác đi, trong mạng tinh thể không có dao động ứng với tần số trong khoảng đó. Đó là đặc điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp. Trong trường hợp này, ở biên vùng Briloanh thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp thụ mạnh. Tóm tắt nội dung cần lưu ý Do trong một ô sơ cấp có hai loại nguyên tử dẫ đến hình thành hai nhánh âm học; quang học và một vùng cấm không có dao động nào ứng với tần số trong khoảng đó. Nghĩa là sóng ứng vói tần số trong khu vụ đó không la truyền được trong tinh thể. 4. Dao động của mạng ba chiều (1 tiết) Trở lại bài toán dao động của mạng ba chiều chứa một loại nguyên tử ta cần tìm nghiệm cho hệ phương trình dạng (2-10). Như đã thấy, nói chung tần số ω và biên độ A của dao động đều là hàm của vectơ sóng q . Trong trường hợp ba chiều, r m là vectơ có hình chiếu lên ba phương của không gia là rmβ ( β = 1, 2, 3 ứng với

x, y, z). Nghiệm của hệ phương trình (2-10) được tìm dưới dạng sóng là tổng hợp các sóng có ω khác nhau và A khác nhau:

rmβ =

r r i [qrRr 1 ( e q ∑ β )A(q )e NM qr

m −ω

( qr )t ]

(2-36)

r với e β (q ) là các hệ số thực. Tổng lấy theo các giá trị của q trong vùng Briloanh thứ nhất. Ta giả thiết mạng tinh thể đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử. Tinh thể có N 1 , N 2 , N 3 nguyên tử lần lượt theo các phương x, y, z. Ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba phương, thì các giá trị hình chiếu của q lên các phương cũng trở nên gián đoạn. tinh thể N = N 1 .N 2 .N 3 nguyên tử, thì

trong vùng Briloanh thứ nhất có N giá trị của vectơ sóng q . Như ta đã biết ở

8π 3 chương 1, thể tích vùng Briloanh (cũng là thể tích ô sơ cấp của mạng đảo) là v với v là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận. Nếu tinh thể có thể tích V, và chứa N ô

8π 3 V .N và sơ cấp thì thể tích một ô sơ cấp là v = . Do đó thể tích vùng Briloanh là V N 8π 3 của vùng Briloanh. Các V r vectơ q có gốc ở tâm vùng Briloanh và có ngọn ở một trong các ô này. Như vậy ứng với mỗi vectơ sóng là một ô nhỏ có thể tích là

trong một đơn vị thể tích của không gian đảo, có (2-36)

r V q giá trị của vectơ ở 8π 3

1 là hệ số chuẩn hóa, với M là khối lượng của một nguyên tử. Thay rmβ NM

theo (2-36) và (2-10), ta có: r r i [qrRr m −ω( qr ) t ] 2 r M ∑ ω ( q )e β ( q )A( q )e = r q

(

)

N 3 r r r r r rr = ∑∑ U αβ R n − R m .∑ e α (q )A(q )e i [qR n −ω( q ) t ] n =1 α =1

r q

sau khi rút gọn, ta thu được: N 3 r r r r 1qr ( Rr n −Rr m ) ⎤ r −iω( qr ) t ⎡ 2 r M ω ( q ) e ( q ) − U ( R − R ). e ( q =0 (2-37) ∑r ⎢ ∑∑ αβ n m α ).e β ⎥.A(q)e n =1 α =1 q ⎣ ⎦ r r r Đây là các phương trình để tìm A(q ) . Vì A(q )e − iqω(q )t khác không, nên hệ

phương trình được thoả mãn nếu: r

r

N

r

3

r

r

r r

r

∑r Mω2 (q)e β (q) = ∑ ∑ U αβ (R n − R m ).e α (q).e1q ( R −R q

n

m)

(2-38)

n =1 α =1

Phương trình này liên hệ nút mạng thứ m đang xét với tất cả các nút mạng r r khác thông qua khoảng cách R n − R m . Ta hãy đặt: r r r h = Rn − Rm (2-39) và

r r r 1 G αβ (q) = ∑ U αβ ( h)e iqh M h

(2-40)

3 r r r r − ω2 (q)e β (q) + ∑ G αβ (q )e α (q) = 0

(2-41)

thì sẽ có :

α =1

r (2-41) là phương trình tìm e αβ (q) với β = 1, 2, 3. Muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng không:

r r r r − ω2 ( q ) + G xx (q ) G yx (q ) G zx (q ) r r r r G xy ( q ) − ω2 (q ) + G yy (q ) G zy (q ) =0 r r r 2 r G xz (q ) G yz ( q ) − ω (q ) + G zz (q )

(2-42)

r Định thức này là phương trình bậc 3 đối với ω2 (q) nên nói chung có 3 nghiệm r r r r : ω12 (q) ; ω22 (q) ; ω32 (q) , ứng với các tần số ω = ωs ( q ) , s = 1,2,3 (chỉ lấy nghiệm ω dương).

r r Vậy có 3 nghiệm ω(q) . Chúng ứng với 3 nhánh trong phổ của ω(q) . Muốn xác r r r định được các ω(q) , ta phải biết các ma trận G αβ (q) tức là biết U αβ ( h ) . Khi biết r r được ωs ( q ) , thay các giá trị của nó vào (2-41), ta tìm được các hình chiếu e β(s ) (q ) r r r r r của vectơ e (s) (q) . Vì có 3 nghiệm ωs (q ) (s=1, 2, 3), nên cũng có 3 vectơ e (s) (q) . r r Ta hãy xét một số tính chất của e (s) (q) . Các hình chiếu của chúng là nghiệm r của phương trình (2-41) nên cũng là hàm riêng của ma trận G αβ (q) . Ma trận r G αβ (q) là ma trận tự liên hợp. Thật vậy theo (2-9), r r r r U αβ ( R n − R m ) = U βα ( R m − R n )

(2-43)

r r U αβ ( h ) = U βα ( h )

(2-44)

nên

r Từ (2-40) và (2-44) ta suy ra G αβ (q) là tự liên hợp Thật vậy:

G *βα =

r −iqhr r 1 U ( − h ). e = G ( q ) ∑ αβ αβ M hr

(2-45)

Ta biết hàm riêng của các ma trận tự liên hợp ứng với các trị riêng khác nhau r r thì trực giao nhau. Ở đây ωs ( q ) chính là các trị riêng. Do đó các nghiệm e (1) (q) , r r r r e ( 2 ) (q) , e (3) (q) của (2-41) trực giao nhau. Ta có thể chuẩn hoá các vectơ e (s) (q) sao cho bình phương của vectơ bằng đơn vị. Điều kiện trực giao là: r r ∑ e (αs) (q).e (αs1) (q) = δ ss1 α

(2-46)

Hình 2-8

r r Các vectơ e (s) (q) xác định sự phân cực của sóng. Mỗi vectơ đó cho biết ứng r r với giá trị vectơ sóng q , và ứng với tần số ωs ( q ) thì nguyên tử dao động theo r phương nào. Với các phương q tuỳ ý, nói chung sự phân cực là phức tạp. Tuy nhiên trong một số trường hợp, có thể phân biệt được trong dao động của tinh thể r r một vectơ phân cực (chẳng hạn e (1) (q) ) dọc theo vectơ sóng q và hai vectơ còn r r r lại ( e ( 2 ) (q) và e (3) (q) ) vuông góc với nhau và vuông góc với vectơ q (h.2.8). Điều r này xảy ra khi vectơ q hướng theo các phương đối xứng của tinh thể, hoặc ở giới hạn sóng dài (ứng với các giá trị q nhỏ), khi tinh thể có thể coi như môi trường đẳng hướng. Trong trường hợp này, có một sóng dọcvà hai sóng ngang. Nói chung r với phương q bất kỳ, không có sóng thuần dọc hoặc thuần tuý ngang. Các yếu tố ma trận G αβ (0) bằng không. Thật vậy, theo (2-40)

G αβ (0) =

r 1 U ( h ) ∑ αβ M hr

Từ (2-8) ta thấy, nếu mọi nguyên tử đều dịch đi một khoảng b như nhau theo cùng một phương, chẳng hạn phương α thì mọi rnα = b , và lực Fmβ là : n r r Fmβ = −∑ U αβ (R n − R m ).b

(2-47)

n =1

Nhưng như vậy, có nghĩa là toàn bộ tinh thể đều dịch đi một đoạn bằng b theo phương α, và do đó không có lực tác dụng lên nguyên tử thứ m. Vì vậy từ (2-47) ta có : N r r b ∑ U αβ (R n − R m ) = 0 n =1

hay

r r r U ( R − R ) = U ( h ∑ αβ n m ∑r αβ ) = 0 N

n =1

h

Từ đó G αβ = 0

(2-48)

r Như vậy, theo (2-41) và (2-48), ωs ( q ) tiến đến không thì q → 0. Đó là đặc r trưng của các sóng âm truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng. Vì vậy ωs ( q ) r ứng với 3 nhánh âm học trong phổ ω(q) .(h.2.9). Theo các phương đối xứng, ta có

một nhánh âm ứng với sóng dọc và hai nhánh âm ứng với sóng ngang. trong trường hợp chung, không phân biệt được nhánh nào ứng với sóng dọc, nhánh nào ứng với sóng ngang, nhưng vẫn có 3 nhánh âm học.

Hình 2.9 Trong trường hợp ba chiều có bao nhiêu trạng thái trong vùng Briloanh thứ nhât? r Trong vùng Briloanh thứ nhất có N giá trị của vectơ q . Vì có 3 phương phân r r cực ứng với e (s) (q) (với q.s = 1, 2, 3) nên có tất cả 3N trạng thái. Số trạng thái ứng với số bậc tự do của các nguyên tử trong tinh thể (N nguyên tử 3N bậc tự do). Vì có tất cả 3 phương phân cực, nên nghiệm (2-36) được viết dưới dạng có chứa chỉ số s : rmβ =

1 NM

r i [qr Rr m −ωs ( qr ) t ] (s) r e ( q ) A ( q )e ∑∑ β s 3

r q s =1

(2-49)

Nếu ô sơ cấp chứa p nguyên tử thì dao động của nguyên tử thứ j ở ô thứ m, theo phương β được viết dưới dạng: rjmβ =

1 NM j

r r i [qrRr m −ωs ( qr ) t ] ∑∑ e (q)A js (q)e 3p

r q s =1

(s) jβ

(2-50)

Mj là khối lượng của nguyên tử thứ j, N là số ô sơ cấp trong tinh thể còn s lấy giá trị từ 1 đến 3p. Lý luận tương tự như ở trên, thay cho (2-42), ta có phương trình. r ij ' r ω2 ( q )δ ij' δ αβ − G αβ (q) = 0

(2-51)

Biểu thức trong dấu định thức là công thức tổng quát cho các số hạng của định thức. Định thức này có 3p hàng, 3p cột (2-51) chính là phương trình bậc 3p đối với ω 2 . Nó có 3p nghiệm ω dương: r ω = ωs (q ) ; s = 1, 2, 3,…,3p

(2-52)

Kết quả tính toán của mạng dao động ba chiều như thế nào? r r Trong số các nghiệm này, có 3 nghiệm ứng với ω(q) → 0 khi q → 0 . Chúng ứng với các dao động âm học. Còn 3(p-1) tần số còn lại ứng với các dao động r quang học, có tần số không tiến tới không khi q → 0 . Phổ dao động của tinh thể gồm 3 nhánh âm học và 3(p-1) nhánh quang học. Toạ độ chuẩn Nghiệm của phương trình dao động có thể biểu diễn dưới dạng khác nếu ta đặt : r r r B s (q ) = A ¸ (q )e iωs ( q ) t

(2-53)

Khi đó (2-49) trở thành: rmβ =

1 NM

r r iqr Rr m ∑∑ e (q)B s (q)e

(2-54)

r&mβ =

1 NM

r iqr Rr m (s) r & e ( q ) B ( q )e ∑∑ β s

(2-55)

3

r q s =1

(s) β

và 3

r q s =1

Sử dụng nghiệm dưới dạng này, ta hãy tính năng lượng dao động mạng theo (2-1), (2-2) và (2-7). Trước hết tính động năng của các nguyên tử. Theo (2-2):

K=

3 3 3 r r r r 1 1 3 i( q + q1 )R n ( s ) r ( s1 ) r & r M ∑∑ (r&nβ )2 = e ( q ) e ( q ) B ( q ) B ( q ) e (2-56) ∑∑∑∑ ∑ β ∑ s s β 2 n β =1 2 N β =1 qr qr 1 s =1 s1 =1 n

Ta hãy tính tổng cuối cùng. Nó có dạng

rr r iqR n e , với R n là vectơ vị trí của nút ∑ j

mạng thứ n. Nếu ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba chiều của tinh thể, r thì trạng thái dao động của nguyên tử ở nút có vectơ vị trí R n cũng giống như trạng r r r r r r thái dao động của nguyên tử ở nút R n + N 1 a 1 , ở nút R n + N 2 a 2 và ở nút R n + N 3 a 3 . r Thay các giá trị này của R n vào biểu thức của dao động 92-54) ta thấy điều kiện biên tuần hoàn dẫn đến: r

r

r

r

r

r

e iqN1a1 = e iqN 2a 2 = e iqN3a3 = 1 Dựa vào các tính chất của vectơ mạng đảo, ta thấy các đẳng thức này được thoả mãn nếu:

2 πk 3 r r 2 πk 1 r 2 πk 2 r q= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3

(3-57)

với k1, k2, k3 là các số nguyên. Thay (2-57) và r r r r R n = n 1a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

(2-58)

vào, ta có: ⎛ k1

k2

k3

⎞

2 iπ ⎜⎜ n1 + n2 + n3 ⎟ rr 1 1 N2 N 3 ⎟⎠ iq R n ⎝ N1 e = e ∑ ∑ N n N n1 , n 2 , n 3

(2-59)

Trong đó ni lấy các giá trị 0, 1, 2, …, Ni-1 (i = 1,2,3) Nếu ki ≠ 0, sử dụng công thức cấp số nhân, ta có: N i −1 i 2 πk i n i Ni

∑e

n i =1

Vì e

i 2 πk i

=

1 − e i 2 πk i 1− e

i

2 πk i Ni

=0

(2-60)

r r r q = 1 . Do đó, vế phải của (2-59) chỉ khác không khi q = 0 hay = G , và

khi đó tổng (2-59) bằng 1. Vậy: r r r rr ⎧⎪1 khi q = 0, q = G 1 i qR n ∑ e = ⎨⎪ r r r N n ⎩0 khi q ≠ 0, q ≠ G

(2-61)

r r Trong công thức (2-56) ở tổng theo n, q + q 1 cũng là vectơ sóng, do đó theo r r r r r (2-61), tổng này chỉ khác không khi q 1 = − q hay q 1 = − q + G các vectơ sóng khác

nhau một vectơ mạng đảo là tương đương nhau. Do đó ta chỉ cần giới hạn ở r r trường hợp q 1 = − q . (2-56) trở thành: 3 3 1 3 r r r r K = ∑∑∑∑ B& s (q)B& s1 (− q)eβ(s ) (q)eβ(s1 ) (−q) r 2 β =1 q s=1 s1

(2-62)

r Vectơ r m biểu diễn độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng, nên nó là thực

và do đó: rm* β = rmβ

( rm* β là đại lượng liên hợp phức của rmβ ). Áp dụng vào (2-54), ta có : 3 rr r iqr Rr m (s) r * r − iq R m (s) r e ( q ). B ( q ) e = e ( q ). B ( q )e ∑∑ β ∑∑ β s s 3

r q s =1

r q s =1

(2-63)

r r r r Chú ý rằng e β(s ) (q ) là đại lượng thực, nên e β*( s ) (q ) = e β(s ) (q ) . q lấy các giá trị r r trong vùng Briloanh thứ nhất, tức là ứng với mỗi giá trị q thì có một giá trị − q trong

r r tổng. Vì vậy, ở vế phải của (2-63), có thể thay tất cả các vectơ q bằng − q . Muốn cho đẳng thức (2-63) được thỏa mãn, thì: r r eβ( s ) ( − q ) = eβ(s ) (q )

(2-64)

r r B *s (−q) = B s (q)

(2-65)

Để ý đến (2-46), ta thu được biểu thức cho động năng như sau: 3 1 r r K = ∑∑ B& s (q )B& *s (q ) r 2 q s=1

(2-66)

Theo (2-7), (2-9) và (2-53), thế năng các nguyên tử trong tinh thể là : 3 3 1 3 3 r r e(αs ) (q )eβ(s1 ) (q ) × ∑∑∑∑∑ ∑ 2 NM α =1 β=1 qr qr 1 s=1 s1 =1 rr r r r r r r i (qR n + q1R m ) × B s ( q )B s1 (q1 )∑∑ U αβ R n − R m e

U=

(

n

(2-67)

)

m

r r r Đặt h = R n − R m , ta viết tổng cuối cùng của (2-67) thành :

(

)

r r r r iqrhr rr r r r r i (qR n − q1R m ) iR m ( q + q1 ) U R − R e = U ( h ) e e ∑∑ αβ n m ∑r αβ ∑ n

m

h

(2-68)

m

Do đó:

U=

3 3 1 3 r r r 3 (s) r r (s) ( ) ( ) ( ) e − q B q B − q eα (q )G αβ (q ) ∑∑∑ ∑ ∑ β s s 1 2 β=1 qr s=1 s1 =1 α =1

(2-69)

r r Tổng cuối cùng, theo (2-41), bằng ωs2 (q )eβ(s ) (q ) . Do đó: 3 3 r r 2 r 3 (s ) r (s1 ) r 1 U = ∑∑ ∑ B s (q )B s1 (− q )ωs (q )∑ eβ (q )eβ (q ) 2 qr s=1 s1 =1 β=1

(2-70)

Sử dụng điều kiện trực giao (2-46), ta thu được biểu thức cho thế năng như sau: U=

3 1 r r r ωs2 (q )B s (q )B *s (q ) ∑∑ 2 qr s=1

(2-71)

Năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể, bao gồm động năng theo (2-66) và thế năng theo (2-71) là: E=K+U =

[

]

3 1 r r r r r B& s (q )B& *s (q ) + ωs2 (q )B s (q )B *s (q ) ∑∑ r 2 q s=1

(2-72)

Hay 3 r E = ∑∑ E s (q ) r q s =1

(2-73)

r 1 r 2 r r 2 E s (q ) = ⎡ B& s (q ) + ωs2 (q ) B s (q ) ⎤ ⎥⎦ 2 ⎢⎣

(2-74)

Năng lượng dao động của tinh thể không biểu thị qua độ lệch rmβ của từng r nguyên tử mà qua các đại lượng B s (q ) là các toạ độ chuẩn (1). Ta có thể coi như (2r 54) là biểu thức chuyển từ tọa độ thường rmβ sang tọa độ chuẩn B s (q ) . Mỗi tọa độ r chuẩn B s (q ) là một nghiệm của phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa. Thật vậy, lấy đạo hàm hạng hai của (2-52) theo thời gian ta được: && (qr ) = −ω2 (qr )B (qr ) B s s s

(2-75)

r Đó là phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa. B s (q ) mô tả dao r r động của một dao động tử có tần số ωs (q ) và năng lượng E s (q ) .

Như vậy, ta có thể quan niệm năng lượng dao động của tinh thể theo hai cách: như là tổng năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể, các nguyên tử này có tương tác với nhau, còn năng lượng thì phụ thuộc các tọa độ rmβ và đạo hàm của chúng r&mβ , hoặc như là tổng năng lượng của các dao động tử điều r hòa độc lập nhau, và năng lượng phụ thuộc vào các tọa độ chuẩn B s (q ) và đạo r hàm của chúng B& s (q ) . Tóm tắt một số nội dung cần lưu ý: Phổ dao động của tinh thể ba chiều gồm 3 nhánh âm học và 3(p-1) nhánh quang học, trong đó p só nguyên tử trong một ô sơ cấp. Trong vùng Briloanh có 3N trạng thái ứng với N giá trị của vectơ sóng q

2. LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ DAO ĐỘNG MẠNG I. Mục đích Bài học đưa ra một cách tiếp cận lượng tử về dao động mạng II. Yêu cầu Người học cần nắm được 1. Năng lựơng của hệ dao động tính theo quan điểm của cơ học lượng tử. 2. Thế nào là phônôn Lưu ý Trước khi học bài này người học cần xem lại các kiến thức về dao động tử điều hòa Mục 3 bài 1 “Lý thuyết cổ điển về dao động mạng” tìm hiều về cách chuẩn hóa năng lượng của dao động mạng ba chiều.

III. Nội dung 1. Lượng tử hóa dao động mạng (1 tiết) 2. Phônôn (1 tiết)

1. Lượng tử hóa dao động mạng (1 tiết) Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa là: m&x& = − kx

hoặc nếu ta đặt

(2-76)

k = ω2 , thì phương trình trở thành: m

&x& + ω2 x = 0

(2-77)

Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng của động năng và thế năng :

E =K+U =

mx 2 kx 2 + 2 2

(2-78)

Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của dao động tử:

p 2 mω2 2 H= + x 2m 2

(2-79)

Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và pˆ , khi đó toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa (lượng tử) là : pˆ 2 mω 2 2 ˆ H= xˆ + 2m 2

(2-80)

Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu thức cho năng lượng của dao động tử: 1⎞ ⎛ E n = hω ⎜ n + ⎟ 2⎠ ⎝

(2-81)

Tại sao có thể lựong tử hóa được dao động trong mạng tinh thể? Trong đó n = 0, 1, 2, 3… Lưu ý rằng theo cơ học lượng tử, giá trị nhỏ nhất của 1 năng lượng dao động tử là hω , ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng dao 2 động bậc không. Ở mục trên đã nói rằng có thể biểu diễn năng lượng dao động r của các nguyên tử trong tinh thể thông qua các tọa độ chuẩn B s (q ) . Tọa độ chuẩn r r B s (q ) mô tả dao động của dao động tử điều hòa với tần số ωs (q ) , và là nghiệm của

phương trình (2-75). So sánh (2-75) với (2-77), ta thấy có thể xét bài toán với tọa độ chuẩn theo quan niệm cơ học lượng tử như đã làm với tọa độ x. Ta thu được năng lượng của mỗi dao động tử điều hòa lượng tử là: r r⎛ 1⎞ E s (q ) = hωs (q )⎜ n qrs + ⎟ 2⎠ ⎝

(2-82)

với n qrs = 0,1,2,3,… Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa, được xác định bởi: r E = ∑∑ E s (q ) (2-83) r q

r s

Câu hỏi ôn tập: 1. Năng lượng của một dao động tử điều hòa được tính như thế nào? 2. Tại sao có thể lượng tử hóa được dao động của mạng tinh thể? 3. Biểu thức năng lượng của mỗi dao động từ điều hòa trong tinh thể?

2. Phônôn (1 tiết) Tại sao phải sử dụng phương pháp chuẩn hạt để nghiên cứu các tính chất của tính thể? Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy cần thiết phải áp dụng các phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Phương pháp chuẩn hạt là như thế nào? Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng thái của một khối khí lý tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác nhau. Các kích thích đó mô tả chuyển động tập thể của các nguyên tử chứ không phải là chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích của tinh thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và xung lượng xác định. Năng lượng của trạng thái kích thích của vật rắn là tổng năng lượng của các chuẩn hạt. r E = ∑ ε(p ).n pr (2-84) r p

r r với n pr là số chuẩn hạt có xung lượng p và năng lượng ε(p ) . Các tính chất của chuẩn hạt

Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài các vật thể. Sự tồn tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô. Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như khi có chuyển pha), thì chuẩn hạt tương ứng cũng mất đi. Ta hãy nêu một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể. Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi:

E = ∫ εf (ε, T )Z(ε )dε

(2-85)

trong đó f (ε, T ) là hàm phân bố, cho ta biết số lượng trung bình của các chuẩn 1 Z (ε ) là mật độ trạng thái. Đại V lượng Z (ε )dε xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ ε đến ε + dε.

hạt ở trạng thái có năng lương ε và nhiệt độ T,

Vận tốc của chuẩn hạt là:

r r v = gradpr ε(p )

(2-86)

- Mật độ dòng chuẩn hạt là : r r j = ∑ n pr grad pr ε(p )

(2-87)

xung lượng toàn phần của khí chuẩn hạt là : r P = ∑ n pr

(2-88)

r p

r p

Chuẩn hạt cũng mang theo năng lượng. Mật độ dòng năng lượng mà các chuẩn hạt chuyển tải được xác định bởi: r r r r (2-89) U = ∑ n pr ε(p )gradpε(p ) r p

Giả thiết rằng chuẩn hạt không tương tác với nhau chỉ là gần đúng. Ở các phép gần đúng bậc cao hơn, có thể có tương tác giữa các chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt không còn là khí lý tưởng nữa. Khi đó trạng thái của chuẩn hạt chỉ là chuẩn dừng. Nếu thời gian sống của chuẩn hạt là ℑ thì độ bất định về năng lượng của chuẩn hạt: ΔE ≥

h ℑ

(2-90)

Vì vậy ta chỉ có thể mô tả trạng thái kích thích của vật thể bằng các chuẩn hạt nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: r h εs (p ) ≥ ℑ

(2-91)

Trong trường hợp nào có thể coi các trạng thái của tinh thể như là tập hợp các chuẩn hạt ?

Để ý đến (2-82), (2-83), (2-84), ta thấy rằng trong phép gần đúng điều hòa, có thể coi trang thái kích thích yếu của tinh thể như là tập hợp các chuẩn hạt, mỗi chuẩn hạt có năng lượng. r (2-92) ε s = hωs (q ) và chuẩn xung lượng :

r r p = ihq

(2-93)

Chuẩn hạt được xác định bởi (2-92) và (2-93) gọi là phônôn. Theo (2-82) số phônôn có năng lượng (2-92) có thể là tùy ý.

Hình 2-10 Hàm phân bố mô tả trạng thái của khí phônôn? r Với q và s xác định, các mức năng lượng, theo (2-82) là cách đều nhau và r khoảng cách giữa chúng là hωs (q ) (h.2.10). Ở trạng thái cân bằng nhiệt số phônôn r trung bình có năng lượng hωs (q ) được xác định bởi biểu thức phân bố Plăng (Planck): 1

n qr s = e

r hωÐ ( q ) kBT

(2-94) −1

Từ đó, ta thấy rằng khí phônôn ở trạng thái cân bằng nhiệt được mô tả bằng hàm phân bố Bôdơ - Anhstanh (Bose – Einstein) với thế hóa học bằng không. Khi các phônôn tương tác với nhau, định luật bảo toàn năng lượng được thỏa mãn. Còn định luật bảo toàn xung lượng được thỏa mãn sai kém vectơ mạng đảo r G (theo (2-61)). Chẳng hạn có sự va chạm của hai phônôn có chuẩn xunglượng r r r hq1 và hq 2 để tạo thành một phônôn có chuẩn xung lượng hq (hoặc quá trình r ngược lại, một phônôn có chuẩn xung lượng hq tách thành hai phônôn có chuẩn r r xung lượng hq1 và hq 2 ), thì định luật bảo toàn năng lượng có dạng : r r r ωs1 (q1 ) + ωs2 (q 2 ) = ωs (q )

(2-95)

Với chuẩn xung lượng, ta có đẳng thức: r r r r hq 1 + h q 2 = h q + h G r Khi G = 0 , (2-96) trở thành: r r r hq 1 + hq 2 = hq

(2-96)

(2-97)

hay r r r q1 + q 2 = q

nghĩa là tổng xung lượng hay tổng vectơ sóng được bảo toàn. Quá trình va chạm trong đó đẳng thức (2-97) được thỏa mãn (xem hình 2.11a) gọi là quá trình bình thường (quá trình N). Tương tác, trong đó tổng của vectơ sóng thay đổi đi một r lượng G gọi là quá trình “bật ngược” hay quá trình U). Đó là vì, trong qua trình (2r r r 96). Vectơ q 1 + q 2 này hoàn toàn tương đương với trạng thái ứng với vectơ q sai r khác với nó một vectơ mạng đảo G (h.211b). r r Trên hình vẽ, ta thấy hai vectơ q 1 và q 2 hướng theo chiều của trục x nhưng r vectơ q lại hướng theo chiều âm.

Hình 2-11 Quy luật tán sắc của phônôn được xác định bởi sự phụ thuộc của tần số góc r ωs vào vectơ sóng q . Quy luật tán sắc của phônôn có thể được xác định bằng thực nghiệm nhờ quá trình tán xạ không đàn hồi của các hạt có kèm theo sự phát r xạ hoặc hấp thụ phônôn. Nếu hạt có năng lượng ban đầu ε k a năng lượng cuối r r r cùng ε k b với k a , k b là vectơ sóng của hạt lúc đầu và lúc cuối, thì theo định luật

( )

( )

bảo toàn năng lượng:

( ) ( )

r r r ε k b = ε k a ± hωs (q ) r với hωs (q ) là năng lượng của phônôn.

(2-98)

r r Xung lượng ban đầu của hạt là hk a , lúc cuối là hk b còn xung lượng của r phônôn là hq , thì: r r r r hk b = hk a ± hq ± hG (2-99)

Từ đó rút ra:

) [ ( ) ( )]

(

r r r r r (2-100) hωs k b − k a − G = ± ε k b − ε k a r Vì ωs là hàm tuần hoàn của q , với chu kỳ là vectơ mạng đảo, nên r r r ωs k − G = ωs k . Từ (2-100), ta có:

(

)

()

(

)

[ ( ) ( )]

r r r 1 r ωs k b − k a = ± ε k b − ε k a h

(2-101)

( ) ( )

r r Qua thực nghiệm ta đo được biến thiên năng lượng của hạt ε k b − ε k a và r r biến thiên xung lượng: h k b − k a . Từ đó có thể tìm được quy luật tán sắc của

(

)

phônôn.

Hình 2-12 Phương pháp này có hiệu quả nhất để xác định quy luật tán sắc của phônôn là nghiên cứu sự tán xạ không đàn hồi của các nơtrôn chậm. Với mục đích nghiên cứu này, các hạt khác hoặc là có năng lượng hoặc là xung lượng không cùng cỡ độ lớn với các đại lượng tương ứng của phônôn, nên không được sử dụng. Còn g.cm , nơtrôn thì có nưng lượng cỡ 10-3 – 10-1e và xung lượng khoảng 10-19 – 10-18 s g.cm 2π ,ở q= . Chính tức là so sánh được với xung lượng phônôn và cỡ hq − 10 −19 s a vì vậy mà bằng phương pháp tán xạ nơtrôn chậm, ta thu được các đường cong thực nghiệm chính xác nhất của quy luật tán sắc của phônôn…Trên hình 2.12 là các đường cong tán sắc của kim cương thu được bằng thực nghiệm (theo [2]). Chú ý là có các nhánh quang học và nhánh âm học, đó là đặc trưng cho các tinh thể có hai nguyên tử trong một ô sơ cấp.

LA là ký hiệu của dao động âm dọc, LO: quang dọc, TA: âm ngang, TO: quang ngang. Ở đây, ta xét theo các phương có tính đối xứng cao [111] và [100], nên các nhánh dao động ngang có phân cực khác nhau thì trùng nhau. Mỗi nhánh ngang TA và TO ứng với hai phương phân cực của sóng. Ô sơ cấp của tinh thể kim cương có chứa p = 2 nguyên tử cacbon, cho nên có ba nhánh âm: một nhánh âm dọc LA và hai nhánh âm ngang TA và 3(p-1) = 3 nhánh quang: một nhánh quang dọc LO và hai nhánh quang ngang TO. Các nội dung cần lưu ý: Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy cần thiết phải áp dụng các phương pháp gần đúng Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài các vật thể. Sự tồn tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô. Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như khi có chuyển pha), thì chuẩn hạt tương ứng cũng mất đi. Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi:

E = ∫ εf (ε, T )Z(ε )dε

(2-85)

Quy luật tán sắc của phônôn được xác định bởi sự phụ thuộc của tần số góc r ωs vào vectơ sóng q . Quy luật tán sắc của phônôn có thể được xác định bằng thực nghiệm nhờ quá trình tán xạ không đàn hồi của các hạt có kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phônôn. Đối với chuẩn hạt có thể áp dụng được các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng. Câu hỏi: 1. Phương pháp chuẩn hạt là như thế nào? Các tính chất của chẩn hạt? 2. Khí phonon tuân theo hàm phân bố nào? 3. Với điều kiện nào có thể coi dao động của mạng tinh thể là tập hợp các chuẩn hạt?

3. NHIỆT DUNG RIÊNG CỦA VẬT RẮN I. Mục đích Sử dụng các lý thuyết lượng tử về dao động mạng để tính toán nhiệt dung riêng của vật rắn. II. Yêu cầu Từ việc xem xét sự không phù hợp khi tính nhiệt dung của vật rắn bằng lý thuyết cổ điển dẫn đến phải tính toán lại trên cơ sở cơ học lượng tử, người học phải hiểu được ý nghĩa và giới hạn của hi mô hình tính nhiệt dung riêng do Anhstanh và Đơbai đề xướng. Để tính toán nhiệt dung riêng của vật rắn Anhstanh và Đơbai đã sử dụng lý thuyết chuẩn hóa dao động mạng trong mục 2 bài 2 người học cần phải học mục này trước. III. Nội dung Bài học sẽ được học trong 4 tiết bao gồm các nội dung: 1. Định luật Duylông- Pơti 2. Mô hình lý thyết của Anhstanh 3. Mô hình lý thuyết của Đơbai

1. Định luật Duylông- Pơti (1tiết) Theo lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của vật rắn, người ta quan niệm tinh thể là hệ gồm các nguyên tử, mỗi nguyên tử có ba bậc tự do. Trong mạng tinh thể, các nguyên tử nút mạng luôn dao động nhiệt. Tuy dao động các nguyên tử có ảnh hưởng lẫn nhau, nhưng ở nhiệt độ đủ cao, liên kết giữa các nguyên tử không còn ảnh hưởng nhiều lắm đến dao động của chúng và có thể coi như các nguyên tử dao động độc lập nhau. Theo nguyên lý phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do, mỗi bậc tự do của nguyên tử ứng với năng lượng trung bình của dao động, bao gồm động năng và thế năng, là: ε = kBT

(2-102)

với kB là hằng số Bônxơman (Boltzman), và T là nhiệt độ tuyệt đối. Vì vậy nội năng của tinh thể có N nguyên tử là: E = 3NkBT

(2-103)

Do đó, nhiệt dung của vật rắn (không cần phân biệt đẳng áp hay đẳng tích vì cả áp suất và thể tích của vật rắn không thay đổi đáng kể) là:

C=

dE = 3Nk B dT

(2-104)

Nếu xét với 1kmol vật rắn, trong đó có chứa số nguyên tử bằng số Avôgđrô NA, thì nhiệt dung của nó xác định nhiệt dung của vật rắn là: Theo lý thuyết cổ điển, nhiệt dung của vật rắn đựoc tính như thế nào? C = 3 N A k B = 3R

(2-105)

Với R là hằng số chất khí. Đó là nội dung của định luật Đuylông-Pơti (Dulong-petit) được tìm ra bằng thực nghiệm. Nó cho thấy ở nhiệt độ đủ cao, nhiệt dung riêng của vật rắn không phụ thuộc nhiệt độ và như nhau với mọi chất. Nhưng sai khác của lý thuyết cổ điển trong việc tính nhiệt dung của vật rắn so với kết quả thực nghiệm? Tuy nhiên, ở những nhiệt độ thấp những kết quả thực nghiệm không còn phù hợp với định luật này nữa. Khi nhiệt độ giảm, nhiệt dung riêng cũng giảm và khi T → 0 thì nhiệt dung riêng cũng tiến đến không theo định luật Necxt (Netst) Câu hỏi ôn tập: 1.Theo lý thuyết cổ điển nhiệt dung riêng của vật rắn được tính như thế nào? 2. Những sai khác của lý thuyết cổ điển là do đâu?

2. Mô hình ký thuyết của Anhstanh (1tiết) Để tính nhiệt dung của vật rắn Anhstanh đã đặt ra giả thiếy gì? Lí thuyết đầu tiên về nhiệt dung riêng của vật rắn dựa trên cơ sở cơ học lượng tử, cho phép giải thích có kết quả sự giảm của nhiệt dung riêng theo nhiệt độ được Anhxtanh nêu ra năm 1906. Anhxtanh giả thiết rằng trong vật rắn, các nguyên tử dao động với cùng một tần số gọi là tần số Anhxtanh ωE . Năng lượng trung bình ε của dao động tử tuyến tính có tần số ωE là nhω E , trong đó n là hàm phân bố Plăng (2-94), và ε bằng :

ε=

hωE

(2-106)

hω£

e kBT − 1 Năng lượng của tinh thể là tổng năng lượng của 3N dao động tử, do đó có giá trị :

E = 3N.nhωE =

3NhωE hω£

e kBT − 1 Từ đó, tính được nhiệt dung riêng theo Anhxtanh:

(2-107)

hω£

dE 2 C= = 3N A (hω E ) dT

e kBT ⎛ hω £ ⎞ 2 ⎜ kBT kBT e − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2

(2-108)

Những thành công của mô hình lý thuyết của Anhstanh? Từ (2-108), ta thấy nếu xét trường hợp giới hạn của nhiệt dung riêng ứng với những nhiệt độ cao, thì ta thu được C = 3NAkB tức là giá trị phù hợp với định luật thực nghiệm Đuylông-Pơti. Hạn chế của mô hình lý thuyết của Anhstanh là gì? Nguyên nhân vì sao? Ở những nhiệt độ thấp, biểu thức (2-108) cho thấy nhiệt dung giảm theo nhiệt −hωE kBT

độ. Tuy nhiên C ~ e , trong khi thực nghiệm cho thấy nhiệt dung giảm theo bậc 3 ba của nhiệt độ : C ~ T . Mô hình của Anhxtanh có hạn chế chính vì giả thiết cho rằng trong tinh thể chỉ có một tần số dao động duy nhất. Tuy nhiên điều quan trong nhất, mà Anhxtanh muốn chứng minh và đã chứng minh thành cùng qua lý thuyết của mình, là các dao động của dao động tử cơ học cũng phải được lượng tử hóa, giống như Plăng đã lượng tử hóa các dao động tử bức xạ. Bằng cách sử dụng mô hình trong đó vật rắn được coi như hệ các dao động tử, Anhxtanh đã giải thích được vì sao khi T → 0 nhiệt dung của vật rắn giảm đến không. Lý thuyết Anhxtanh mô tả khá tốt tính chất của các phônôn có tần số ứng với nhánh quang học, gọi là các phônôn quang, vì như đã thấy, ở nhánh quang, tần số r dao động phụ thuộc rất yếu vào vectơ sóng q và có thể coi gần đúng như không đổi. Vì vậy thuyết Anhxtanh vẫn được dùng để tính toán cho các phônôn quang. Sự sai khác của lý thuyết này so với thực nghiệm ở nhiệt độ thấp là tất nhiên, vì rằng ở khu vực nhiệt độ này các phônôn âm đóng vai trò chủ yếu, mà trong lý thuyết lại không kể đến chúng. Câu hỏi ôn tập 1. Những sai khác của mô hình lý thuyết của Anhstanh so với thực nghiệm ? 2. Tại sao mô hình này lại không phù hợp với thực nghiệm?

3. Mô hình lý thuyết của Đơbai (2tiết) Giả thiết xuất phát của Đơbai là gì? Lý thuyết phù hợp cả với thực nghiệm cho nhiệt dung ở nhiệt độ thấp là lý thuyết Đơbai (Debye). Theo Đơbai, ta chỉ xét các phônôn âm học, và qui luật tán sắc của chúng được thay bằng đường thẳng:

r ωs (q ) = u s .q

(2-108)

với us là vận tốc truyền sóng ứng với phân cực s. Các vận tốc us lại được thay bằng u là vận tốc truyền âm trung bình trong tinh thể. r Năng lượng trung bình của dao động có tần số ωs (q ) là: r r r hωs (q ) ε s (q ) = hω (qr ) (2-109) Ð

kBT

e

−1

Vì vậy năng lượng trung bình của các dao động trong tinh thể là: r hωs (q ) r E = ∑∑ ε s (q ) = ∑ hω ( qr ) r q

r q ,s

s

Ð

e

kBT

(2-110)

−1

Tinh thể có chứa N nguyên tử, thì trong vùng Briloanh thứ nhất có N giá trị r r r của vectơ q . Vì N rất lớn, nên ta có thể thay tổng theo q bằng tích phân theo q :

r

V

∑K → 8π ∫ K dq 3

(2-111)

r q

q

r V là số giá trị khác nhau của vectơ q trong một đơn vị thể tích của 3 8π không gian mạng đảo, hay còn gọi là mật độ trạng thái trong không gian đảo Z(q). Vì vậy (2-110) trở thành: trong đó

E=

3V (2π)3

qD

π

2π

huq

∫ ∫ ∫

q = 0 θ= 0 ϕ= 0

e

huq kBT

q 2 dq sin θdθdϕ

(2-112)

−1

r trong đó dq = q 2 dq sin θdθdϕ . Hệ số 3 có mặt ở đây vì ta tính đến cả ba nhánh

âm. Tích phân theo ϕ cho kết quả 2π, tích phân theo θ cho 2. Giới hạn của tích phân theo q là qD sẽ được nói đến sau. Ta viết lại (2-112) thành: E=

3V 2π 2

qD

∫ 0

huq 3 dq e

huq kBT

(2-113)

−1

hay tính theo ω, là: Biểu thức năng lượng của hệ tính theo giả thiết của Đơbai. 3V E= 3 3 2π u

ω0

∫ 0

h ω 3 dω e

hω kBT

(2-114)

−1

Để tính các biểu thức này một cách dễ dàng, Đơbai đã giả thiết thay vùng briloanh thứ nhất bằng một hình cầu có cung thể tích với nó ở trong không gian r đảo. Hình cầu này có bán kính qD. Ta đã biết ứng với mỗi giá trị của vectơ q là một

8π 3 ô nhỏ trongkhông gian đảo có thể tích . Số ô này bằng số các giá trị của vectơ V r q và cũng bằng số ô sơ cấp N trong tinh thể. Vì vậy, qD được xác định từ: 4 3 8π 3 πq D = N. 3 V q 3D = 6 π 2

và

N V

(2-115) (2-116)

r Ta cũng có thể chuyển một tổng theo q , s thành tích phân theo tần số ω, r giống như đã làm với vectơ q , như sau: K → ∫ Z (ω)dω ∑ r

(2-117)

ω

q ,s

Trong gần đúng của Đơ bai mật độ trạng thái được tính như thế nào? So sánh (2-117) với (2-114), ta thấy trong phép gần đúng của Đơbai sự phụ thuộc của mật độ trạng thái Z theo ω có dạng bậc hai: Z (ω) =

3V ω2 2 3 2π u

(2-118)

Số trạng thái trong khoảng tần số ω từ 0 đến giá trị giới hạn ωD phải bằng số bậc tự do của tinh thể, tức là 3N: 3V 2π 2 u 3

ωD

∫ ω dω = 3 N 2

0

Từ đó, ta có: ω3D = 6 π 2 u 3

N V

(2-119)

Trong phép gần đúng Đơbai, mật độ trạng thái ZD(ω) có dạng: ⎧ 9 Nω 2 ⎪ Z D (ω) = ⎨ ω3D ⎪0 ⎩

víi ω ≤ ω D víi ω > ωD

Đường biểu diễn ZD(ω) được vẽ trên hình 2.13.

(2-120)

Hình 2-13 Tóm lại, trong lý thuyết Đơbai, năng lượng dao động toàn phần của tinh thể là: 3Vh E= 2 3 2π u

ωD

∫ 0

ω 3 dω e

hω kBT

−1

Trong đó ta đặt x ≡

3Vk 4B T 4 = 2 3 3 2π u h

xD

x3 ∫ e x − 1 dx 0

(2-121)

hω D θ hω và x D ≡ ≡ kBT kBT T

(2-122)

Nhiệt độ Đơbai là gì? Công thức (2-122) cũng là công thức định nghĩa cho nhiệt độ Đơbai θ qua tần số ωD. Ta cũng có thể viết biểu thức cho θ như sau: hu ⎛ 6 π 2 N ⎞ ⎜ ⎟ θ= k B ⎜⎝ V ⎟⎠

1

3

(2-123)

và viết lại (2-122) thành:

⎛T⎞ B = 9 Nk B T ⎜ ⎟ ⎝θ⎠

3 xD

x3 ∫ e x − 1 dx 0

(2-124)

Trong đó N là số nguyên tử trong tinh thể. Muốn xác định nhiệt dung của tinh thể, ta chỉ cần lấy đạo hàm của E(2-121) theo nhiệt độ. ta sẽ có :

3Vh 2 C= 2 2 2π u k B T 2

ωD

∫ 0

ω4 e

hω

⎛ hω k B T ⎜e ⎝

dω

⎛T⎞ = 9 Nk B ⎜ ⎟ 2 ⎝θ⎠ ⎞ − 1⎟ ⎠

kBT

3 xD

∫ 0

x4ex

(e

x

)

−1

2

dx

(2-125)

T được trình bày trên hình 2.14. Từ θ đó cũng thấy được là với T >> θ, nhiệt dung riêng tiến tới giá trị cổ điển là 3NkB

Đồ thị của nhiệt dung vật rắn theo tỷ số

Hình 2.14

Ta hãy xét nhiệt dung riêng ở nhiệt độ rất thấp. Khi đó, theo (2-122), giới hạn trên của tích phân (2-125) có thể lấy bằng vô cực

Ta hãy tính tích phân: ∞

∞ ∞ ∞ 1 π4 x3 −ax 3 e dx = 6∑ 4 = ∫ e x − 1 dx = ∫ x ∑ 15 s =1 s =1 s 0 0

(2-126)

Công thức tính nhiệt dung C của vật rắn theo lýy thuyết của Đơbai Do đó biểu thức năng lượng có dạng:

3π 4 Nk B T 4 E= 5θ 3

khi T 0 được vẽ trên hình 3.17b; đó là hypebôlôit hai lớp. Trên hình 3.18 là một

phần của hệ các mặt đẳng năng hở trong tinh thể đồng. Khái niệm về mặt đẳng năng sẽ được tiếp tục nghiên cứu khi khảo sát tính chất của êlêctrôn dẫn trong kim loại, tính chất của các hạt mang điện trong bán dẫn (êlêctrôn và lỗ trống)… 5. Phương pháp khối lượng hiệu dụng

Hình 3.18 r r Trong biểu thức (3-155), hiệu E n ( k ) - E n ( k 0 ) là trị riêng của Hamiltônien hiệu dụng: H hd, n

h2 3 ⎛ 1 ⎞ ∂2 = − ∑⎜ ⎟ 2 α =1⎝ m ⎠ α, n ∂x 2α

(3-168)

Hàm riêng tương ứng với nó là hàm sóng của êlêctrôn tự do:

1 i ( kr − kr 0 ) rr ψ= e Ω

(3-169)

Thật vậy, đặt H hd và ψ từ (3-168) và (3-169) vào phương trình: H hd ψ = Eψ

(3-170)

r r r ∂ 2 i ( kr − kr 0 ) rr h2 3 ⎛ 1 ⎞ i( k − k 0 ) r − ∑⎜ ⎟ e = Ee 2 α =1⎝ m ⎠ α, n ∂x 2α

(3-171)

r r r ∂ 2 i ( kr − kr 0 ) rr 2 i( k − k 0 ) r e = − ( k − k ) e α 0α ∂x 2α

(3-172)

ta có:

Vì

Nên trong (3-171)

∂2 h2 3 ⎛ 1 ⎞ E= ( k α − k 0 α )2 ⎜ ⎟ ∑ 2 2 α =1⎝ m ⎠ α , n ∂x α r r = E n ( k ) − E n ( k 0 )2

theo (3-155) Nếu so sánh Hamintônien (3-2) với Hamintônien hiệu dụng (3-168), ta thấy rằng khi xác định năng lượng của êlêctrôn trong tinh thể, thì ở gần các điểm cực trị, ta có thể thay thể phương trình Srôđingơ cho hạt tự do với khối lượng được thay bằng khối lượng hiệu dụng. Khi có một trường ngoài, biến đổi chậm trong không gian, tác dụng lên tinh thể, thì êlêctrôn trong tinh thể chịu tác dụng của thế V ( r ) của trường tinh thể và thế năng U của lực ngoài. Trong trường hợp này, phương trình Srôđingơ có dạng: ih

trong đó H 0 = −

∂ψ = ( H 0 + U )ψ ∂t

(3-174)

h2 2 r ∇ + V( r ) là Hamintônien của êlêctrôn khi không có trường 2m

ngoài theo (3-2), với: r r r H 0 ψ kr ( r ) = E( k )ψ kr ( r )

(3-174)

Trong trường hợp này, ta bỏ qua chỉ số n biểu thị số thứ tự của vùng năng lượng, vì với trường lực ngoài đủ yếu và biến đổi chậm, không xảy ra sự chuyển trạng thái giữa các vùng năng lượng. r Phân tích hàm sóng ψ ở (3-173) theo các hàm riêng ψ kr ( r ) của toán tử H 0 ở (3-74), ta có:

r r r r (r) ψ( r , t ) = ∑ a ( k , t ) ψ k r

(3-175)

k

Thay vào (3-173), ta thu được:

ih

r r ∂ψ r ( r ) + Uψ =∑ a ( k , t ) H ψ 0 k r ∂t k

(3-176)

hay, kết hợp với (3-174), ta có:

ih

r r r ∂ψ =∑ a ( k , t ) E ( k )ψ kr ( r ) + Uψ r ∂t k

(3-177)

Vì năng lượng E ( k ) là hàm tuần hoàn của vectơ sóng k với chu kì G , nên ta có thể biểu diễn E ( k ) dưới dạng: rr r r e i kR E( k ) = ∑ E R r R

(3-178)

Thật vậy, theo (3-10) từ (3-178), ta có: r r r rr rr r r i( k +G )R ikR iGR re re E( k + G ) = ∑ E = E . e ∑ R R r r

R

R

=∑ E Rr e r

rr ikR

r = E( k )

(3-179)

R

nghĩa là chuỗi (3-178) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn (3-21) Trong (3-178), ta thấy vectơ sóng k bằng toán tử -i ∇ , thì: rr r r e ∇R E ( − i∇ ) = ∑ E R r

(3-180)

R

r Cho toán tử (3-180) tác dụng lên hàm sóng ψ kr ( r ) ở (3-174), ta thu được: rr r r r r e ∇R ψ r ( r ) E( − i∇)ψ kr ( r ) = ∑ E R k r

(3-181)

R

ở (3-28), ta đã chứng minh: rr r r r e ∇R ψ kr ( r ) = ψ kr ( r + R)

(3-182)

Sử dụng điều kiện Blôc (3-28), ta có: rr r ikR r r e ψ (r ) = e ψk (r ) rr ∇R

r k

kết hợp (3-181), (3-183) với (3-178) ta có: r r r r E( − i∇ )ψ kr ( r ) = E( k )ψ kr ( r )

(3-183)

(3-184)

Từ đó, có thể viết (3-177) thành: ih

∂ψ = H td ψ ∂t

Với H td là Hamintônien tương đương: r H td = E(− i∇) + U

(3-185)

(3-186)

Hamintônien H td xác định sự biến đổi của hàm sóng (3-175) theo thời gian. So sánh (3-173) với (3-186), ta thấy khi có trường ngoài tác dụng, thì Hamintônien H 0 của êlêctrôn trong trường hợp tinh thể được thay bằng E (-i ∇ ) (với E ( k ) là quy

luật tán sắc của êlêctrôn khi chưa có trường ngoài). Nếu quy luật tán sắc của êlêctrôn có dạng (3-155), thì theo (3-186), Hamintônien tương đương là:

h2 ∂2 H td = E( 0) ∑ . 2 +U α =1 2 m α ∂x α 3

(3-187)

Như vậy, khi có trường lực ngoài với thế U biến đổi chamạ và đủ nhỏ tác dụng lên tinh thể, thì ảnh hưởng của trường tinh thể lên êlêctrôn được kể đến bằng cách thay khối lượng m của êlêctrôn bằng khối lượng hiệu dụng m. Phương pháp nghiên cứu như vừa nói gọi là phương pháp khối lượng hiệu dụng. 5. KIM LOẠI, BÁN DẪN, VÀ ĐIỆN MÔI Như đã thấy ở Đ1, trong vùng Briloanh thứ nhất, có N vectơ sóng k khác nhau (với N là số ô sơ cấp trong tinh thể). Vì mỗi êlêctrôn có vectơ sóng k có thể có hai hình chiếu spin, nên trong mỗi vùng năng lượng có 2N trạng thái. Do đó theo nguyên lí Paoli, trong một vùng năng lượng có thể có đến 2N êlêctrôn. Êlêctrôn trong vùng năng lượng bị chiếm đầy (trên mỗi mức đều có 2 êlêctrôn có spin đối song) không tham gia vào quá trình dẫn điện trong tinh thể. Đó là vì trong vùng đầy, không còn trạng thái tự do. Khi có điện trường ngoài đặt vào tinh thể, muốn có sự dẫn điện, phải có sự chuyển động có hướng của êlêctrôn tức là vectơ sóng k của các êlêctrôn phải định hướng ưu tiên theo một phương. Vì mỗi mức năng lượng (ứng với một giá trị của k ) đều có 2 êlêctrôn, nên không còn mức năng lượng trống, nghĩa là êlêctrôn không thay đổi được giá trị của k và không thể tham gia vào quá trình dẫn điện. Vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn gọi là vùng hóa trị. Nếu vùng năng lượng có nhiều mức năng lượng còn trống, mà êlêctrôn trong vùng có thể chuyển lên được dưới tác dụng của điện trường ngoài, thì vùng đó được gọi là vùng dẫn.

Hình 3.19 Tính chất dẫn điện của tinh thể được quyết định bởi sự chiếm các vùng năng lượng và sự xếp đặt tương đối của các vùng. Ta xét tinh thể mà ở mỗi nút của nó có một ion của nguyên tố hóa trị một (chẳng hạn liti, natri, kali, cêsi…). Vì mỗi nguyên tử ở nút mạng đóng góp một

êlêctrôn vào vùng dẫn, nên vùng dẫn chỉ bị chiếm một nửa (h.3.19a). Tinh thể như vậy dẫn điện tốt. Đó là trường hợp của các kim loại. Nếu ở nút mạng có các nguyên tử hóa trị hai (như beri, manhê, canxi, strônti, bari) và mỗi nguyên tử đóng góp hai êlêctrôn vào vùng năng lượng, thì số êlêctrôn trong vùng là 2N. Trong trường hợp đó, vùng năng lượng bị chiếm đầy và lẽ ra, tinh thể không dẫn điện. Tuy nhiên, trong thực tế, các nguyên tố hóa trị hai đều là kim loại. Đó là vì trong các kim loại này, vùng năng lượng ứng với mức năng lượng nguyên tử cao hơn là một vùng trống, và vùng này phủ một phần lên dải năng lượng bị chiếm đầy, ứng với mức năng lượng nguyên tử thấp hơn (h.3.10). Như vậy, êlêctrôn ở vùng đầy có thể dễ dàng chuyển lên các mức năng lượng còn trống ở vùng trên và tham gia vào quá trình dẫn điện giống như trong các kim loại kiềm vừa nói ở trên (h.3.19b). Nếu vùng đầy và vùng trống bên trên nó không phủ nhau, thì có thể có hai trường hợp. Trong trường hợp bề rộng vùng cấm E ≤ k B T với k B là hằng số Bônxơman, T là nhiệt độ tuyệt đối, thì ở T ≠ 0 K chuyển động nhiệt có thể chuyển một số êlêctrôn từ vùng hóa trị lên vùng dẫn. Những êlêctrôn này, khi đã nằm trên vùng dẫn, có thể dễ dàng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn trong vùng và tham gia dẫn điện. Chúng được gọi là các êlêctrôn tự do hay êlêctrôn dẫn. Các trạng thái ở vùng hóa trị bị trống cũng tham gia dẫn điện. Trong trường hợp E g >> k B T, chuyển động nhiệt không thể tạo nên một lượng đáng kể các hạt mang điện, cho nên vật rắn không dẫn điện. Đó là trường hợp của các điện môi (h.3.20b). Trong một số tinh thể có thể xảy ra trường hợp là đáy của vùng dẫn nằm hơi thấp hơn đỉnh của vùng hóa trị, như trên hình 3.21. Khi đó, ở vùng dẫn có một số êlêctrôn tự do, ở vùng hóa trị có một số lỗ trống. Nếu số lượng các hạt tải này tương đối nhỏ, thì vật rắn là một bán kim. Khi với kim loại, ở bán kim có cả êlêctrôn tự do và lỗ trống với số lượng bằng nhau.

Hình 3.20

Vì vùng hóa trị và vùng dẫn phủ nhau rất ít nên số hạt tải điện tính cho một nguyên tử ở bán kim rất nhỏ so với trong kim loại. Chẳng hạn, ở bixmut (Bi), cứ 105 nguyên tử mới có một êlêctrôn dẫn. Trong kim loại, số êlêctrôn dẫn hầu như không phụ thuộc nhiệt độ, số êlêctrôn dẫn và lỗ trống tăng lên theo nhiệt độ.

Hình 3.21 Nếu vùng hóa trị và vùng dẫn không phủ nhau, nhưng đỉnh của vùng hóa trị tiếp xúc với đáy của vùng dẫn, thì ta có bán dẫn không có vùng cấm.

Bài tập chương 3 Bài 3.1 ⎡ h 2∇ 2 r⎤ r r + V (r )⎥ϕ (r ) = Eϕ (r ) , thế Chứng minh rằng, nếu trong phương trình ⎢− ⎣ 2m ⎦ r năng V (r ) triệt tiêu thì nghiệm của phương trình này dưới dạng hàm Bloch rr r r ϕ kr (r ) = e ikr U kr (r ) sẽ trở thành hàm sóng phẳng.

Bài 3.2 Tìm biểu thức năng lượng, từ đó suy ra khối lượng hiệu dụng của điện tử ở lân cận tâm vùng Briloanh (k ≈ 0) trong gần đúng điện tử tự do một chiều với gỉa thiết chỉ có hai số hạng sau là khác không: V (− πa ) ≠ 0, V ( πa ) ≠ 0

Bài 3.3 Năng lượng ở gần bờ vùng hoá trị được mô tả bằng hệ thức Ek=-10-33 k2(J). r

r

r

Có một điện tử dời khỏi trạng thái k = 10 7 k x (cm −1 ), (k x là véc tơ đơn vị theo phương r

x trong không gian k ), các trạng thái còn lại bị chiếm đầy. Hãy xác định: a. Điện tích và khối lượng hiệu dụng của lỗ trống b. Véc tơ sóng, xung lượng. vận tốc của lỗ trống c. Năng lượng của lỗ trống từ đỉnh vùng hoá trị d. Mật độ dòng lỗ trống

Chương IV. KHÍ ÊLECTRÔN TRONG KIM LOẠI I. Mục đích Đưa ra các cơ sở lí thuyết để giải thích các tính chất quan trọng của kim loại theo quan điểm của lí thuyết lượng tử. II. Yêu cầu Người học cần lĩnh hội những kiến thức về: 7. Phân bổ của electron trong kim loại. 8. Áp dụng lý thuyết để gải thích một số các tính chất của kim loại -

Định luật Ôm

-

Hiệu ứng Hall

-

Nhiệt dung riêng của khí electron

Một số lưu ý Trong chương này sự phân bố của khí electron tuân theo phân bố FecmiDirac. Lý thuyết về vấn đề này đã được trình bày trong giáo trình Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê. Mô hình khí electron đựơc dựa trên cơ sở thực nghiệm cho thấy các electron dẫn có tính chất giống như chất khí không tương tác (khí lí tưởng). Quãng đường tự do trung bình của các electron dẫn lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. III. Nội dung Chương 4 gồm 3 bài: Bài 1: Mặt Fecmi (Fermi) (2 tiết) Bài 2: Sự dẫn điện của kim loại (4 tiết) Bài 3: Nhiệt dung của khí êlectrôn (1 tiết) Kim loại dẫn điện tốt vì có chứa nhiều êlectrôn có thể chuyển động tự do trong thể tích kim loại. Những êlectrôn này tải dòng điện trong kim loại nên được gọi là êlectrôn dẫn. Đó chính là các êlectrôn hoá trị, liên kết rất yếu với các nguyên tử kim loại. Để giải thích nhiều tính chất quan trọng của kim loại, có thể sử dụng mô hình êlectrôn tự do. Theo mô hình gần đúng này, ta bỏ qua lực tương tác giữa các êlectrôn hoá trị với các lõi nguyên tử và coi như các êlectrôn có thể chuyển động tự do trong toàn bộ tinh thể. Năng lượng toàn phần của êlectrôn chỉ gồm động năng, còn bỏ qua thể năng. Trước khi có lí thuyết lượng tử, mô hình êlectrôn tự do đã được sử dụng để giải thích các tính chất của kim loại. Lí thuyết cổ điển thu được nhiều kết quả tốt,

tuy nhiên cũng bộc lộ nhiều thiếu sót nghiêm trọng. Thành tựu của nó là đã rút ra được định luật Ôm, rút ra hệ thức giữa độ dẫn điện và độ dẫn nhiệt. Tuy nhiên nó đã bất lực trong việc giải thích sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng và độ từ cảm của êlectrôn dẫn. Một trong những khó khăn của lí thuyết này còn là nó không giải thích được vì sao êlectrôn dẫn có quãng đường chuyển động tự do rất lớn. Bởi vì thực nghiệm cho thấy, các êlectrôn dẫn có thể chuyển động mà không va chạm với các êlectrôn dẫn khác hoặc với các lõi nguyên tử, không bị lệch khỏi quỹ đạo thẳng, trên những khoảng cách dài bằng nhiều lần hằng số mạng (có trường hợp đạt đến 108 – 109 hằng số mạng, tức là hàng centimet). Điều này làm nảy sinh ra câu hỏi: vì sao môi trường vật chất rắn kết tinh lại có tính chất giống như tính chất của chất khí tạo thành từ các hạt không tương tác. Lí thuyết lượng tử có thể giải thích một cách đầy đủ và đúng đắn các tính chất của kim loại. Trong các tinh thể kim loại, các ion được xếp đặt một cách đều đặn và tuần hoàn trong mạng tinh thể. Vì các sóng có thể lan truyền tự do trong các cấu trúc tuần hoàn, nên sóng êlectrôn có thể lan truyền tự do, không bị cản trở trong tinh thể. Mặt khác do kết quả của nguyên lí Paoli, êlectrôn dẫn rất ít tán xạ lên các êlectrôn dẫn khác. Như vậy, theo lí thuyết lượng tử, có thể coi các êlectrôn dẫn tạo một chất khí gồm các êlectrôn tuân theo nguyên lí Paoli, tự do và không tương tác. 1. MẶT FECMI (FERMI) 1. Hàm phân số Fecmi – Dirăc (Fecmi – Dirac) Sự phân bố êlectrôn tuân theo thống kê Fecmi – Dirăc. Hàm phân bố cân bằng của êlectrôn ứng với hình chiếu spin xác định là:

[ ( )]

r f Ek =

1

(4 - 1)

()

e

r E k −ζ k BT

+1

Đó chính là hàm phân bố Fecmi – Dirăc. Nó cho ta xác suất để trong trạng thái cân bằng nhiệt của khí êlectrôn lí tưởng, ở nhiệt độ T, trạng thái có năng lượng r E( k ) bị êlectrôn chiếm. Đại lượng ζ là hàm của nhiệt độ, trong từng bài toán cụ thể, ζ được xác định từ điều kiện tổng số êlectrôn của hệ có giá trị không đổi. Đại lượng ζ gọi là thế hoá học.

Hình 4.1

r Ở nhiệt độ T = 0K, hàm phân bố (4 – 1) nhận giá trị bằng 1 nếu E( k ) < ζ0 v à r giá trị 0 nếu E( k ) > ζ0. ζ0 là giá trị của ζ ở T = 0K. ζ0 = E F được gọi là năng lượng Fecmi. Vậy ở 0K, thế hoá học có giá trị bằng năng lượng Femi tại nhiệt độ đó. Đường biểu diễn của (4-1) ở T = 0K có dạng như trên hình 4.1a. Ta thấy hàm phân số giảm đột ngột từ giá trị 1 xuống 0 ở E = ζ0 = E F. Như vậy, EF chính là mức năng lượng cao nhất bị êlectrôn chiếm ở T = 0K. Khi T < 0K, hàm phân bố được biểu diễn trên hình 4.1b, c, d theo thứ tự nhiệt độ tăng. Trong các trường hợp này, thế hoá học ζ được xác định từ điều kiện tổng số hạt (êlectrôn) của hệ không thay đổi, tức là: ∞

n = ∫ f (E )Z(E )dE

(4-2)

0

với n là mật độ hạt (số hạt trong một đơn vị thể tích). Z(E) là mật độ trạng thái, Z(E) d(E) là số các trạng thái trong khoảng năng lượng từ E đến E + dE tính cho một đơn vị thể tích vật rắn. Từ (4-2), ta suy ra ở T = 0K, thì:

n=

ζ0

∫ Z(E )d(E)

(4-3)

0

r Từ (4-1), ta thấy rằng ở T > 0K, khi E( k ) = ζ0, thì h àm f(E) có giá trị bằng 1/2. Theo hình 4-1, ta thấy ở T = 0K, các mức năng lượng E ≤ ζ0 bị chiếm hoàn toàn (xác suất bị chiếm bằng 1) còn các mức với E > ζ0 bị bỏ trống hoàn toàn. Khi T > 0K, trạng thái ứng với năng lượng E = ζ0 bị chiếm với xác suất 1/2. Một số trạng thái ứng với E > ζ0 bị chiếm, còn một số trạng thái với E < ζ0 lại bị bỏ trống (xác suất trạng thái bị chiếm nhỏ hơn 1) 2. Mặt Fecmi a) Ta xét khi êlectrôn tự do. Phương trình Srôđingơ cho những êlectrôn này là:

r − h2 2 r r ∇ ψ k ( r ) = E kr ψ kr ( r ) 2m

Nghiệm của nó là hàm sóng phẳng (3-3). Nếu ta áp dụng điều kiện biên tuần r hoàn, thì vectơ sóng k của êlectrôn lấy các giá trị gián đoạn theo (3-47). Nếu hệ êlectrôn có tính đẳng hướng, thì năng lượng của êlectrôn được xác định theo (3-6)

Hình 4.2 Ở trạng thái cơ bản (tức là trạng thái có năng lượng thấp nhất) của hệ điều r

này xảy ra khi T = 0K, khi ta xét trong không gian k , êlectrôn chiếm các trạng thái nằm trong một hình cầu (hình 4.2). Năng lượng ứng với mặt cầu chính là năng lượng Fecmi. Mặt cầu đó gọi là mặt Fecmi. Vectơ sóng có điểm cuối trên mặt Fecmi thì có độ dài kF thoả mãn điều kiện: h2 2 EF = kF 2m

(4-4)

r Từ điều kiện (3- 47) cho các thành phần của vectơ k , ta thấy ứng với mỗi giá r ( ( 2π )3 2π )3 k trị kx, ky, kz là một yếu tố thể tích trong không gian có độ lớn = L1L 2 L3 V Nếu ta xét trong một đơn vị thể tích của tinh thể (V = 1), thì thể tích của yếu tố là (2π)3. Thể tích hình cầu Fecmi là 4π k 3F /3. Vì vậy số trạng thái được phép trong hình cầu Fecmi là:

2.

4πk 3F / 3

(2π)3

=

k 3F

3π 2

=n

(4-5)

với n là số êlectrôn tự do trong một đơn vị thể tích. Thừa số 2 trong công thức (4-5) là để tính đến hai giá trị khả dĩ của hình chiếu spin êlectrôn ứng với mỗi giá trị r của k . Từ đó, ta có:

(

k F = 2π2 n

)1/ 3

(4-6)

Nhận xét rằng bán kính hình cầu Fecmi kF chỉ phụ thuộc mật độ êlectrôn n mà không phụ thuộc khối lượng m của êlectrôn. Năng lượng Fecmi có biểu thức:

(

)

2/3 h2 3π 2 n 2m

EF =

(4-7)

Khi xét các tính chất của khí êlectrôn trong tinh thể, thì trong phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, ta phải thay khối lượng m của êlectrôn bằng khối lượng hiệu dụng. Nếu tinh thể là đẳng hướng, thì khối lượng hiệu dụng có giá trị m* như nhau theo mọi phương và trong các công thức trên đây, ta chỉ cần thay m* vào chỗ của m. Để có thể tính toán trong trường hợp tinh thể không đẳng hướng và mặt đẳng năng có dạng elipxôit, ta xuất phát từ (4-2). Theo (2-11), thì: Z(E )dE =

r d k (2π)3 E ∫(k )

2

(4-8)

trong đó tích phân ở vế phải được tính trong phần thể tích của không gian r k nằm giữa các mặt đẳng năng E và E + dE. Thừa số 2 để tính đến hai giá trị hình chiếu spin. Ở đây, ta xét trong một đơn vị thể tích tinh thể, nên V = 1. Với tinh thể đẳng hướng, mặt đẳng năng là mặt cầu được xác định theo (3-6).

E=

h2

2m

*

k2

(4-9)

r Phần không gian k nằm giữa mặt đẳng năng E và E + dE có thể tích: dVkr = 4πk 2dk

Vì vậy số trạng thái trong phần thể tích đó là: Z(E )dE =

2

(2π)

3

.dVkr =

2

(2π)

3

Hình 4.3 Từ (4-9), ta có:

4πk 2 dk

(4-10)

k2 =

2 m* E h2

2m* dE dk = 2h E Vì vậy: Z(E )dE =

1 2π 2

(. 2m* )3 / 2 E1/ 2dE h3

Ta thu được biểu thức của mật độ trạng thái: Z (E ) =

( )3 / 2 E1/ 2

21 / 2. m*

π 2 .h 3

(4-11)

Thay (4-11) vào (4-3), ta thu lại được biểu thức cho n và từ đó, thu được các biểu thức đã nêu ở trên (4-5, 4-6, 4-7). Trong trường hợp quy luật tán sắc có dạng bậc hai dị hướng, thì như đã nêu ở chương 3, biểu thức của năng lượng có dạng: E = E0 +

trong đó

1 m1*

+

1 m*2

+

1 m*3

h 2 k12 2 m1*

+

h 2 k 22 2m*2

+

h 2 k 32 2 m*3

(4-12)

là các thành phần chéo của tenxơ nghịch đảo khối

lượng hiệu dụng. Mặt đẳng năng là mặt elipxôit với phương trình: k12 a12

+

k 22 a 22

+

k 32 a 32

=1

(4-13)

Các bán trục của elipxôit có giá trị: 1/ 2 ( 2m*α ) (E − E0 )1 / 2 aα =

h

(4-14)

thể tích của elipxôit với các bán trục a α như trên là: Vkr =

(

)

1/ 2 4π 8π (E − E 0 )3 / 2 a1a 2 a 3 = 3 2 m1* 2m*2 2m*3 3 3h

Phần không gian = const. Có thể tích:

r k nằm giữa hai mặt elipxôit đẳng năng E = const và E + dE

dVkr =

(

)

1/ 2 4π (E − E 0 )1 / 2 dE 2m1* 2 m*2 2 m*3 3

(4-15)

Số trạng thái trong phần thể tích đó là: Z(E )dE =

2

dVkr 3

(2π)

=

(

21 / 2 m1*m*2 m*3

π2h3

)1 / 2 (E − E0 )1/ 2 dE

Vì vậy ta có mật độ trạng thái: Z(E ) =

(

21 / 2 m1*m*2 m*3

π2h3

)1 / 2 (E − E0 )1 / 2

(4-16)

So sánh (4 - 15) với (4 - 11), ta thấy trong trường hợp quy luật tán sắc có

(

dạng (4-12), đại lượng m1*m*2 m*3

(

ta gọi đại lượng m 1* m *2 m *3

)1/ 3 đóng vai trò của khối lượng hiệu dụng. Người

)1 / 2 là khối lượng hiệu dụng của mật độ trạng thái.

Tất nhiên, trong trường hợp quy luật tán sắc (4-12), mặt Fecmi cũng là mặt elipxôit. 2. SỰ DẪN ĐIỆN CỦA KIM LOẠI Theo thuyết êlectrôn, sở dĩ kim loại dẫn điện tốt là vì trong kim loại có nhiều êlectrôn có thể chuyển động tự do ở khoảng không gian giữa các ion dương. 1. Thuyết êlectrôn cổ điển Trong thuyết êlectrôn cổ điển (do Đruyđơ (Drude) năm `1900 và Lorenxơ (Lorenz) năm 1905 đề xuất) người ta giả thuyết là trong kim loại có khí êlectrôn tự do, tuân theo thống kê cổ điển. Khi không có trường ngoài, êlectrôn chuyển động nhiệt hỗn loạn. Khi có điện trường ngoài tác dụng, cùng với chuyển động nhiệt, còn có chuyển động có hướng, dẫn đến xuất hiện dòng điện. Khi êlectrôn va chạm vào các ion ở nút mạng, nó nhường cho ion động năng mà nó thu được dưới tác dụng của trường ngoài. Do đó kim loại bị nóng lên. Trên cơ sở quan niệm như vậy, lí thuyết cổ điển đã thành công trong việc giải thích định luật Ôm, định luật Jun Lenxơ, định luật Viđơman – Franx (Videman Franz) và tnsh được hằng số Hôl (Hall) Định luật Ôm Chuyển động có hướng của êlectrôn tạo nên dòng điện. Mật độ dòng điện được xác định bởi công thức: jx = ne v x

(4-17)

với n là mật độ êlectrôn, v x là giá trị trung bình của hình chiếu vận tốc theo phương trục x, e là điện tích của êlectrôn (e < 0). Theo định luật II Niutơn,

m

dv x = Fx = e ξ x dt

(4-18)

với m là khối lượng êlectrôn, Fx là hình chiếu của lực lên trục x. ξ x là hình chiếu của vectơ cường độ điện trường ξ lên trục x. Nếu ξ x không đổi theo thời gian, thì vận tốc của êlectrôn được xác định theo: vx = vx0 +

e ξx t m

(4-19)

với v x 0 là vận tốc ban đầu của êlectrôn theo phương x. Giá trị trung bình v x 0 của v x 0 sau nhiều lần va chạm của êlectrôn với các ion mạng là bằng 0. Vì rằng xác suất để v x 0 có giá trị dương và âm là như nhau. Nói khác đi, sau mỗi lần va chạm, êlectrôn mất hoàn toàn vận tốc chuyển động có hướng. Gọi τ là thời gian trung bình của chuyển động tự do của êlectrôn. Giá trị trung bình của vận tốc vx giữa hai va chạm được xác định bởi: e 1∞ eτ v x = ξ x ∫ tdt = ξx m τ0 2m

(4-20)

v x = μξ x

(4-21)

hay:

trong đó, μ là độ linh động của êlectrôn: μ=

eτ 2m

(4 -22)

Vì vậy: jx = neμ v x

(4-23)

jx = σ ξx

(4-24)

hoặc có thể viết:

với σ là điện dẫn suất (độ dẫn điện riêng) của kim loại: ne 2 τ σ= 2m

(4-25)

Theo thống kê cổ điển, vận tốc trung bình của chuyển độngnhiệt cảu các phân tử khi là: u=

8k BT πm

(4-26)

Với êlectrôn tự do, m = 9,1/10-31 kg, nên ở T = 300K, ta có u ≈ 105 m/s«ng

Ở những điều kiện thông thường, điện trường có cường độ không lớn lắm, nên v x < u, do đó thời gian τ được xác định chủ yếu bởi vận tốc chuyển động nhiệt u: τ=

1 u

(4-27)

trong đó 1 là quãng đường tự do trung bình của êlectrôn. Từ đó, ta có: −σ=

ne 2 1 2mu

(4-28)

Như vậy, điện dẫn suất σ không phụ thuộc cường độ điện trường. Biểu thức (4 -24) viết dưới dạng vectơ là: r r j = σξ (4 - 29) Đó chính là biểu thức của định luật Ôm. Điện dẫn xuất σ có thể xác định bằng thực nghiệm. Từ đó, ta tính được quãng đường tự do trung bình 1 của êlectrôn trong kim loại. Chẳng hạn, với bạc ở nhiệt độ phòng, σ = 6,7.107Ω-1m-1, n = 5,8.1028m-3, ta có 1 ~ 10-8m. Hằng số mạng của bạc vào khoảng a ~ 10-10m. Như vậy, ở nhiệt độ phòng, êlectrôn dẫn trong bạc va chạm với một phần trăm số nguyên tử bạc. Điều đó phù hợp với quan niệm về khí êlectrôn tự dotrong kim loại. Định luật Jun - Lenxơ Theo (4-19), cuối quãng đường tự do trung bình, êlectrôn có động năng:

mv 2x m ⎛ e ⎞ = ⎜ v x 0 + ξx τ ⎟ 2 2⎝ m ⎠

2

(4-30)

Khi va chạm với ion ở nút mạng, êlectrôn nhường cho ion phần năng lượng ∆W bằng hiệu của động năng (4-30) với động năng ban đầu của êlectrôn khi vừa 1 va chạm xong lần trước: mv 2x 0 . Do đó: 2 2

m⎛ e m 2 e2 τ2 2 ⎞ ΔW = ⎜ v x 0 + ξ x τ ⎟ − v x 0 = eξ x τv x 0 + ξx 2⎝ m 2 2m ⎠

(4-31)

Năng lượng trung bình mà các êlectrôn nhường cho các ion nằm trong một đơn vị thể tích là: ΔW = n Δ W =

ne 2 τ 2 ξx 2m

ở đây khi lấy trung bình, ta đã cho v x 0 = 0 như lí luận ở trên.

(4-32)

Từ đó, ta thấy trong một đơn vị thời gian, trong một đơn vị thể tích kim loại, các ion mạng tinh thể nhận được năng lượng: ΔW1 ne 2 τ 2 = ξx 2m τ

(4-33)

Khi trạng thái dùng đã đạt được, thì năng lượng này đúng bằng nhiệt lượng Q toả ra trong một đơn vị thể tích và trong một đơn vị thời gian, tức là bằng mật độ công suất nhiệt toả ra ở kim loại: ne 2 τ 2 Q= ξx 2m

(4-34)

Nếu điện trường không lớn lắm thì theo (4-25) và (4-26) ta có thể viết trong trường hợp điện trường có cường độ ξ: Q = σξ2

(4-35)

Đó là biểu thức của định luật Jun – Lenxơ. Hiệu ứng Hôl (Hall)

r Ta cho dòng điện chạy qua một bản vật dẫn với mật độ dòng điện j . Một từ r r trường có cảm ứng từ B đặt vuông góc với j (xem hình 4.4) và vuông góc với r r bản. Khi đó theo phương vuông góc với j và B , trên hai mặt bên của bản xuất hiện hiệu điện thế: U=RjBd

(4-36)

với d là bề rộng của bản, R là hằng số Hôl.

Trên hình 4.4 ta minh hoạ sự xuất hiện hiệu ứng Hôl trong trường hợp hạt tải r điện ở vật dẫn là êlectrôn. Vì êlectrôn mang điện âm (e < 0), nên vận tốc v e củael r r hướng ngược chiều j . Êlectrôn chuyển động với vận tốc v e trong từ trường có r cảm ứng từ B , nên nó chịu tác dụng của lực Lorenxơ. r r r F = e ve ∧ B (4-37)

[

]

r Trên hình vẽ, lực F tác dụng lên êlectrôn hướng xuống dưới. Vì vậy bờ dưới r của bản mang điện âm, còn bờ trên mang điện dương làm xuất hiện điện trường ξ

bên trong bản kim loại, hướng từ trên xuống dưới. Khi trạng thái cân bằng đạt được, lực Lorenxơ (4-37) hướng xuống dưới có giá trị bằng lực điện trường r e ξ hướng lên trên: eξ = e ve B

(4-38)

Từ đó, vì j = n e ve,nên: ξ=

1 jB ne

(4-39)

Hiệu điện thế U giữa bờ trên và bờ dưới là: U = ξd =

1 jB d ne

(4-40)

1 ne

(4-41)

Từ đó, ta có hằng số Hôl: R=

Các kết quả thực nghiệm và tính toán lí thuyết hằng số Hôl của một số kim loại được nêu ở bảng dưới đây:

Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng ở một số kim loại, giá trị thực nghiệm và giá trị lí thuyết của R có cùng bậc độ lớn và cùng dấu. Tuy nhiên ở Be, Zn, Cd, R lại có

giá trị dương mà theo (4-41) thì do trong kim loại, hạt tải điện là êlectrôn có điện tích âm, nên R phải có giá trị âm. Thiếu sót của thuyết êlectrôn cổ điển về tính dẫn điện của kim loại. Qua các trường hợp trên ta thấy dựa vào thuyết êlectrôn cổ điển, ta có thể giải thích được khá tốt định luật Ôm, định luật Jun – Lenxơ và hiệu ứng Hôl. Tuy nhiên, nếu xét kĩ, ta thấy có nhiều điều không phù hợp giữa lí thuyết và thực nghiệm. Trước hết, theo thuyết êlectrôn cổ điển thì trong quá trình chuyển động êlectrôn luôn va chạm với các ion dương nằm ở nút mạng. Tuy nhiên như đã thấy, ta tính toán được quãng đường tự do trung bình của êlectrôn lớn gấp hàng trăm lần hằng số mạng. Lí thuyết cổ điển không giải thích được vì sao êlectrôn lại ít va chạm với các nút mạng như vậy. Theo (4-28) và (4-26), thì điện dẫn suất σ tỉ lệ với

nl . Trong khi đó thì thực T

1 . Như vậy, muốn cho σ phụ T 1 thuộc nhiệt độ giống như theo thực nghiệm, thì phải giả thiết nl ~ . Tuy nhiên, T điều này là không có căn cứ.

nghiệm cho thấy ở khu vực nhiệt độ phòng, σ ~

Lí thuyết cổ điển cũng không giải thích được vì sao ở một số kim loại, hằng số Hôl R lại có giá trị dương. Những khó khăn trên đây của lí thuyết êlectrôn cổ điển cho thấy cần phải sử dụng những quan điểm lượng tử để nghiên cứu êlectrôn dẫn trong kim loại. 2. Lí thuyết lượng tử về êlectrôn dẫn trong kim loại Ta xét khí êlectrôn tự do theo quan điểm lượng tử. Như đã nói ở § 1, ở trạng thái cơ bản của hệ, êlectrôn lấp đầy các trạng thái bên trong mặt cầu Fecmi (H.4.5a) Khi không có trường ngoài tác dụng lên hệ, do sự phân bố đối xứng của r r êlectrôn trong không gian k , nên tổng vectơ sóng k của mọi êlectrôn trong hệ triệt tiêu: r r r r ∑ k = 0. Vì m v = hk , nên ta có ∑ v = 0 và trong tinh thể không có dòng điện. r Bây giờ giả sử có ngoại lực F tác dụng lên các êlectrôn. Sau khoảng thời gian r δt, êlectrôn lúc đầu ở trạng thái với vectơ sóng k , chuyển sang trạng thái ứng với r r vectơ sóng k + δ k , theo (3-126) ta có: r 1r δk = Fδt h

(4-42)

r Xung lượng của mỗi êlectrôn biến đổi một lượng hδk . Điều đó có nghĩa là r toàn bộ hình cầu Fecmi dịch đi một vectơ δk như hình 4.5b, xung lượng mỗi r êlectrôn biến đổi một lượng hδk . Nếu hệ N có êlectrôn thì xung lượng toàn phần r r của hệ là N hδk . Năng lượng của mỗi êlectrôn tăng lên δE = ( hδk )2/2m.

Hình 4.5 Giả sử trường ngoài tác dụng lên hệ là điện trường. Nếu ở thời điểm t = 0 điện trường bắt đầu tác dụng, do phương trình chuyển động của êlectrôn là: r r dk h = − eξ (4-43) dt nên ở thời điểm t, ta có: r r r ξ k (t ) − k (0) = −e t h

(4-44)

r r Phương trình này thu được bằng cách tích phân (4-43) với điều kiện k = k(0) r r ở t= 0 và k = k (t) ở thời điểm t. Kết quả là ở thời điểm t, hình cầu Fecmi có tâm r r ξ dịch khỏi gốc toạ độ ( k = 0) một vectơ − e t . Vì rằng bao giờ cũng có sự va chạm h (tán xạ) của êlectrôn với các tạp chất, với khuyết tật (chỗ không hoàn thiện) của mạng tinh thể, hoặc với phônôn, nên trong phương trình chuyển động phải thêm số r r hạng F' biểu thị lực cản do các va chạm đó gây nên. Lực F' đóng vai trò như lực ma sát trong cơ học vĩ mô. Phương trình chuyển động trở thành:

(

r r r r h r r hk = −eξ + F' = −eξ − k − k 0 τ

)

(4-45)

r r r k 0 là vectơ sóng k của êlectrôn trong trường hợp ξ = 0, tức là t rong trạng h r r thái cân bằng. Ý nghĩa của số hạng − k − k 0 là như sau: giả sử ta cho điện τ trường tác dụng, rồi cho điện trường thôi tác dụng. Sau một thời gian do tác dụng của những va chạm, êlectrôn lại trở về trạng thái như trước khi có điện trường tác dụng (trạng thái cân bằng). τ là thời gian đặc trưng cho quá trình đó, gọi là thời gian hồi phục. r Từ lúc đienẹ trường ngừng tác dụng, ξ = 0 và (4-45) trở thành:

(

)

(

r h r r hk = − k − k 0 τ

)

(4-46)

hay xét theo phương x và phân li biến số, ta có: dk x dt =− τ k x − k 0x

(4-47)

Tích phân phương trình này, ta thu được: ln (kx – k0x) = −

t +c τ

(4-48)

Điều kiện ban đầu t = 0, kx = kx(0). Ở thời điểm t thì kx = kx(t). Từ đó ta có nghiệm của (4-47): k x (t ) − k 0 x = [k x (0) − k 0 x ]e

−

t τ

(4-49) r r Ta có các biểu thức tương tự cho ky và kz. Do đó, ta thấy k (t) tiến tới k 0 khi t →∞ τ

Nghĩa là sau khoảng thời gian đủ dài, êlectrôn trở về trạng thái cân bằng. Nguyên nhân gây ra sự hồi phục về trạng thái cân bằng chính là do có va chạm (tán xạ) của êlectrôn lên các khuyết tật, tạp chất hoặc phôrôn. r r r r Nếu sự lệch khỏi giá trị cân bằng k 0 là không lớn, ta đặt δk = k - k 0 . Khi đó, h r h r r có thể coi số hạng − k − k 0 = − δk ở (4-45) như là biểu thức khai triển của lực τ τ r ma sát theo δk trong gần đúng bậc nhất.

(

)

r Khi trong kim loại có dòng điện không đổi, tức là khi có điện trường ξ tác r dụng, nhưng trạng thái dừng đã được thiết lập, thì trị trung bình của k triệt tiêu. Vế trái của (4-45) bằng không, và ta có: r τe r δk = − ξ h

(4-50)

Khi đó có sự cân bằng giữa lực điện và lực ma sát. r r r r Khi k thay đổi một lượng ở δk trở thành k + δk , thì phân bố êlectrôn mà trước r đó ứng với điểm k được đặc trưng bởi năng lượng E – δE, bây giờ có năng lượng E (xem hình 4.5c). Vì vậy: fξ (E) = f (E - δE) (4-51) trong đó fξ (E) là hàm phân bố êlectrôn theo năng lượng khi có điện trường tác dụng. Vì δE nhỏ, nên có thể phân tích (4-51) thành chuỗi: ⎞ ∂f ∂f ⎛⎜ ∂E ∂E ∂E δE = f (E ) − δk x + δk y + δk z ⎟ ⎟ ∂E ∂E ⎜⎝ ∂k x ∂k y ∂k z ⎠ r ∂f r = f (E ) − ∇ E.δk ∂E k

f ξ (E ) = f (E ) −

(4-52)

Theo (3-124) và (4-50), ta có: f ξ (E ) = f (E ) −

( )

rr ∂f τe vξ ∂E

(4-53)

r r r Ta hãy tính mật độ dòng điện j . Biểu thức của j là : j = n e v . Ở đây êlectrôn tuân theo phân bố fξ (E), vì thế nếu xét theo phương x thì ta có: jx = - e ∫vxfξ(E) dΦ (4-54) r r dΦ là số trạng thái trong không gian k có trong yếu tố thể tích d k . Nếu ta xét trong một đơn vị thể tích tinh thể, và để ý đến hai trạng thái spin thì: r d k 3

(4-55)

r r ⎛ ∂f ⎞ jx = - e ∫vxfξ(E) dΦ + e2∫τvx ( vξ ) ⎜ − ⎟ dΦ ⎝ ∂E ⎠

(4-56)

dΦ =

2

(2π)

Thay (4-55) vào (4-57), ta có:

Số hạng thứ nhất ở vế phải triệt tiêu vì tích vx f(E) là hàm lẻ. Ta biển đổi (4-56) thành:

jx =

e2

( )

r r ⎛ ∂f ⎞ dS v v τ ∫ ∫ x ξ ⎜⎝ − ∂E ⎟⎠ v dE 4 π 3h E S

(4-57)

với S là mặt đẳng năng, ds là yếu tố diện tích trên mặt đẳng năng. Theo (4-1), đạo hàm: ∂f (E ) e (E - ζ ) / k BT 1 − = 2 ∂E ⎛ E-ζ ⎞ k BT ⎜ k BT ⎟ + e 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(4-58)

có cực đại lớn ở E = ζ (h. 4-6)

Hình 4.6 ∂f ( E ) có giá trị càng lớn nếu f biến thiên đột ngột (nhiệt độ T thấp). ∂E Trong gần đúng bậc nhất có thể coi đó là hàm đenta Đirăc:

Đạo hàm

-

∂f ( E ) ≈ δ (E – ζ) ∂E

(4-59)

Khi đó: jx =

e2 3

∫

4π h S

F

( )

rr τv x vξ dS (4-60) v

tích phân lấy trên mặt Fecmi SF với E = ξ. Dưới dạng vectơ: rr r e2 τv x vξ j= 3 ∫ dS v 4π h S

( )

(4-61)

F

r Xét hình chiếu j trên trục x, viết chi tiết biểu thức dưới dấu tích phân, ta thu được:

jx =

e2

∫

4 π 3h S

F

(

)

τ v x v x ξ x + v y ξ y + v z ξz dS v

(4-62)

Tương tự với các trục y và z, ta có:

⎧ jx = σ xx ξ x + σ xy ξ y + σ xz ξz ⎪ ⎨ jy = σ yx ξx + σ yy ξ y + σ yz ξz ⎪ ⎩ jz = σ zx ξ x + σ zy ξ y + σ zz ξz

(4-63)

trong đó: σ αβ =

e2 3

τ v α v β dS v

∫

4π h S

F

(4-64)

là tenxơ điện dẫn suất, (tenxơ độ dẫn điện riêng) α, βlấy giá trị x, y, z. Như vậy, trong tinh thể, thành phần jx của mật độ dòng điện được gây nên bởi cả 3 thành phần ξx, ξy, ξz của vectơ cường độ điện trường. Nếu tinh thể có đối xứng lập phương, thì trong 9 thành phần của tenxơ điện dẫn xuất, chỉ có 3 thành phần chéo là khác không và bằng nhau:σxx = σyy = σzz = σ. Trong trường hợp đó, ta có: σ=

e2

∫

4 π 3h S

F

v 2x τ dS v

(4-65)

và từ (4-63), ta tìm lại được biểu thức của định luật Ôm (4-29). Từ (4-65), ta nhận thấy trong lí thuyết lượng tử, chỉ những êlectrôn dẫn có r vectơ sóng k nằm trên mặt Fecmi (hoặc rất gần mặt Fecmi) mới tham gia vào sự dẫn điện và có đóng góp vào điện dẫn suất. Điều này cũng dễ hiểu vì rằng chỉ những êlectrôn như vậy mới thay đổi được trạng thái dưới tác dụng điện trường, còn các êlectrôn ở sâu bên trong mặt Fecmi không thể thay đổi được trạng thái, vì mọi trạng thái xung quanh mỗi êlectrôn đó đều đã bị chiếm. r Nếu thời gian hồi phục τ chỉ phụ thuộc năng lượng, tức là phụ thuộc k2 hay k mà không phụ thuộc vào các góc (phương của vectơ trong không gian) thì tán xạ có tính đẳng hướng, trong (4-65), ta đưa được τ ra ngoài dấu tích phân, và τ = τ F đặc trưng cho sự tán xạ trên mặt Fecmi: σ=

e2τ F

∫

4π 3h S

F

v 2x dS v

Nếu θ là góc giữa vectơ v và trục x thì vx = vcosθ, và

(4-66)

∫

SF

v 2x dS = ∫ vcos2 θdS v S F

Nếu năng lượng phụ thuộc k2, tức là quy luật tán xạ là bậc hai, đẳng hướng, hk thì mặt Fecmi là mặt cầu và dS = k 2F sin θd θd φ, và vì v = * , nên m

∫

SF

π

2π

h h 4π 3 vx kF dS = * k 3F ∫ cos θ sin θdθ ∫ dϕ = * 3 v m m 0 0

(4-67)

Kết hợp với (4-5), ta tính được:

σ=

ne 2 τ F m*

(4-68)

Biểu thức này có dạng giống như (4-25) trong trường hợp lí thuyết cổ điển. Tuy nhiên có sự khác nhau ở chỗ trong lí thuyết cổ điển, τ được xác định bỏi vận 1 tốc của chuyển động nhiệt (τ = ) còn trong lí thuyết lượng tử, τF là thời gian đặc u trưng cho quá trình tán xạ ứng với giá trị năng lượng trên mức Fecmi. Ta có thể xác định được quãng đường tự do trung bình lF của êlectrôn ở mức Fecmi giữa hai lần va chạm: lF = vF τF

(4-69)

với vF là vận tốc của êlectrôn có năng lượng Fecmi. Từ (4-68), và (4-69) ta có:

σ=

ne 2l F

m* v F

(4-70)

Như vậy, với giá trị của σ được xác định bằng thực nghiệm, với mức Fecmi được xác định qua n theo (4-7)ta tính được lF. Đối với nhiều kim loại, lF ở 00C có giá trị vào cỡ hàng trăm Angstrom. Thuyết êlectrôn cổ điển đã không giải thích được vì sao quãng đường tự do trung bình lại lớn như vậy. Như đã thấy ở chương 3, nếu êlectrôn chuyển động trong một trường thế tuần hoàn lí tưởng, thì vectơ sóng của nó không thay đổi nếu không có trường ngoài tác dụng vào. Như vậy, do có bản chất sóng, nên êlectrôn có thể đi qua tinh thể lí tưởng mà không bị cảntrở. Nếu tính thể là tuần hoàn lí tưởng, thì quãng đường tự do trung bình lF phải lớn vô cùng. Tuy nhiên trong thực tế, không có tinh thể lí tưởng, vì rằng bao giờ cũng có sự sai lệch khỏi tính tuần hoàn lí tưởng, khiến cho êlectrôn bị tán xạ. Đó là nguyên nhân gây nên điện trở. Điều này có thể do những nguyên nhân: Dao động của mạng tinh thể

Sai hỏng của mạng tinh thể như nút mạng bị khuyết, nguyên tử xen kẽ hoặc lệch mạng Có những nguyên tử tạp chất Biên của tinh thể Các nguyên nhân nói trên có ảnh hưởng đến điện trở của kim loại một cách khác nhau và tuỳ thuộc vào các điều kiện: nhiệt độ, áp suất, loại tạp chất v.v… 1 của các kim loại phụ thuộc nhiều σ vào nhiệt độ. Sự phụ thuộc này có dạng phức tạp và tuỳ thuộc vào từng trường hợp (bản chất kim loại, tạp chất trong kim loại, điều kiện gia công tạo nên kim loại v.v…)

Thực nghiệm cho thấy điện trở suất ρ =

Trong các nguyên nhân gây nên điện trở của kim loại đã nêu trên, sự tán xạ của êlectrôn dẫn lên dao động của mạng tinh thể và lên tạp chất đóng via trò quan trọng và phổ biến hơn cả. Có thể mô tả điện trở suất ρ của kim loại dưới dạng tổng: ρ = ρt + ρm

(4-71)

trong đó ρm là phần điện trở suất gây nên bởi dao động mạng, còn ρt là phần điện trở suất gây nên bởi tán xạ êlectrôn lên các nguyên tử tạp chất. Nếu mật độ tạp chất không lớn lắm, thì ρt tỉ lệ với mật độ tạp chất và không phụ thuộc nhiệt độ. Ở các kim loại đơn giản (các kim loại kiềm…) phần ρm phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ; ở nhiệt độ cao, ρm ~ T; còn ở nhiệt độ thấp dưới nhiệt độ Đơbai (T EF trở nên bị chiếm, một số trạng thái có E < EF trở nên trống. Kết quả là có một số ít êlectrôn ứng với năng lượng ở xung quanh EF thu thêm năng lượng. Tuy nhiên, như đã thấy, nếu T không lớn lắm thì số êlectrôn thu thêm năng lượng là rất nhỏ so với tổng số êlectrôn của kim loại. Chỉ có những êlectrôn này tham gia vào nhiệt dung của khí êlectrôn, vì vậy phần nhiệt dung này rất nhỏ so với kết quả dự kiến nếu coi như toàn bộ số êlectrôn đều thu thêm năng lượng. Ta có thể tính toán nhiệt dung của khí êlectrôn ở khu vực nhiệt độ thấp, là nhiệt độ T thoả mãn điều kiện kBT 0K, dưới tác dụng của nhiệt, một số mối liên kết đồng hoá trị bị phá vỡ. Êlectrôn bức ra khỏi liên kết và trở thành êlectrôn tự do. Mối liên kết bị phá vỡ trở thành lỗ trống (hình 5.1b).

Toàn bộ tinh thể vẫn trung hoà về điện. Tuy nhiên, vì trong tinh thể xuất hiện các hạt mang điện tự do, nên khi có điện trường tác dụng trong tinh thể xuất hiện dòng điện. Nhiệt độ tăng thì số liên kết bị phá vỡ cũng tăng nhanh và mật độ hạt mang điện trong bán dẫn cũng tăng nhanh. Do đó điện trở suất của bán dẫn giảm nhanh khi nhiệt độ tăng. Silic có cấu trúc tinh thể của kim cương vùng Briloanh thứ nhất ứng với mạng tinh thể này có dạng như trên hình 5.2. Đó là một hình có 14 mặt: 6 mặt hình vuông r r r góc với 3 phương k x , k y , k z và 8 mặt hình lục giác đều. Trên hình, toạ độ của tâm các mặt (đánh dấu bằng chấm đen) được tính theo đơn vị

2π với a là chiều dài a

của cạnh của ô sơ cấp hình lập phương của mạng tinh thể.

Hình 5.2

Hình 5.3

Bằng cách kết hợp các phương pháp toán lí thuyết với cá kết quả đo đạc thực nghiệm về các tính chất của tinh thể, người ta xác định được sự phụ thuộc của r năng lượng vào vectơ sóng E ( k ). Theo các phương khác nhau, sự phụ thuộc E r r ( k ) cũng khác nhau. Trên hình 5.3 trình bày sự phụ thuộc E ( k ) theo hai phương [100] và [111] đối với vùng hoá trị và vùng dẫn. r Ta nhận thấy ở k = 0, vùng dẫn suy biến. Nhánh của vùng dẫn theo phương [100] có cực tiểu thấp hơn các cực tiểu khác của vùng. Vị trí của cực tiểu tuyệt đối đó xác định đáy của vùng dẫn trong tinh thể Si. Tổng cộng có 6 cực tiểu tương đương nhau trên các phương . Mặt đẳng năng quanh các cực tiểu tuyệt đối là các elipxôit tròn xoay có trục đối xứng trùng với các phương của tinh thể (hình 5.4). Sự phụ thuộc của năng lượng vào vectơ sóng k ở lân cận các cực tiểu đó được biểu diễn theo (3-155), và có dạng cụ thể:

r r h 2 (k1 − k10 )2 + h 2 (k 2 − k 20 )2 h 2 (k 3 − k 30 )2 E k = E k0 + + 2 m1* m*3

() ( )

(5-3)

Trong đó m1* là khối lượng hiệu dụng ngang và m*3 là khối lượng hiệu dụng dọc. Bằng thực nghiệm người ta đã xác định được với Si: m1* = 0,19 m; m*3 = 0,98 m, với m là khối lượng của êlectrôn tự do. Vùng hoá trị có cực đại (đỉnh) ở tâm vùng Briloanh. Ở k = 0, có hai vùng hoá trị suy biến (một giá trị năng lượng ứng với các trạng thái êlectrôn khác nhau. Khi đi khỏi k = 0, hai vùng tách ra. Theo (3-147), ta thấy độ cong của các vùng xác định giá trị của khối lượng hiệu dụng. Như vậy ở lân cận k = 0, ta có hai giá trị của khối lượng hiệu dụng trong vùng hoá trị. Vì vậy ta nói có hai loại lỗ trống: lỗ trống nhẹ (m* nhỏ) và lỗ trống nặng (m* lớn hơn). Những kết quả thực nghiệm cho ta khối lượng lỗ trống nặng là m *k nặng = 0,34 m và lỗ trống nhẹ là m*k , nhẹ= 0,04. Mặt đẳng năng ở lân cận k = 0 có dạng như trên hình 5.4b.

Hình 5.4 Ngoài ra, còn có một vùng hoá trị thứ ba, có đỉnh ở thấp hơn hai vùng trên. Đó là vì trong trường hợp của vùng này, sự suy biến đã bị khử dưới ảnh hưởng của tương tác giữa spin êlectrôn và từ trường do chuyển động của êlectrôn trên quỹ đạo gây nên, gọi là tương tác spin - quỹ đạo. Khoảng cách nhỏ nhất giữa đáy vùng dẫn và đỉnh dải hoá trị chính là bề rộng Eg của vùng cấm. Trong trường hợp Si, như thấy trên hình 5.3, bề rộng vùng cấm là Eg = 1,08eV. Ở đây, cực đại của vùng hoá trị ở k = 0 còn cực tiểu của vùng dẫn r ở k ≠ 0, vì thế ta nói silic có vùng cấm “nghiêng”. Từ đỉnh 5.3, ta có nhận xét là các vùng năng lượng có dạng phức tạp và khác nhau theo các phương. Tuy nhiên, ở lân cận các cực trị của vùng (đỉnh vùng hoá

trị, đáy vùng dẫn), có thể coi gần đúng các vùng có dạng parabol, tức là năng lượng phụ thuộc bậc hai vectơ sóng (phù hợp với các kết luận được rút ra ở chương 3). Trong thực tế, ở các điều kiện thông thường, khi mật độ êlectrôn và lỗ trống không quá lớn, thì chỉ có những trạng thái ở rất gần đáy vùng dẫn bị chiếm bởi êlectrôn và những trạng thái ở gần đỉnh vùng hoá trị bị chiếm bởi lỗ trống. Vì vậy trong các phép tính toán sau này, ta coi như cực trị của các vùng đều có dạng parabol. Trên đây ta đã khảo sát tinh thể bán dẫn silic. Đối với các bán dẫn khác, ta cũng có thể có những nhận xét tương tự. Tuy nhiên trong từng trường hợp do cấu trúc tinh thể của bán dẫn, do thành phần của bán dẫn, do tính chất của liên kết trong tinh thể, mà tính chất của bán dẫn khác nhau: có bán dẫn, cực trì của vùng dẫn và vùng hoá trị đều ở tâm vùng Briloanh và vùng cấm “thẳng” (như CdTe chẳng hạn), hoặc bề rộng vùng cấm Eg có giá trị khác nhau: như ở InSb thì Eg = 0,23 eV, ở Ge thì Eg = 0,66, hoặc như CdS có cấu trúc tinh thể lục giác thì cấu trúc các vùng năng lượng cũng có đặc điểm khác…Chính là dựa trên sự đa dạng về tính chất của các bán dẫn khác nhau, mà người ta đã tìm cách sử dụng từng vật liệu vào các mục đích cụ thể. 2. BÁN DẪN TINH KHIẾT Ta hãy khảo sát chi tiết tính chất điện của bán dẫn, trước hết là bán dẫn tinh khiết. Như đã thấy ở chương 3, cấu trúc năng lượng của bán dẫn tinh khiết gồm một vùng hoá trị bị chiếm đầy và một vùng dẫn bỏ trống ở T = 0K. Hai vùng này ngăn cách nhau bằng vùng cấm không lớn lắm. Ta kí hiệu mức năng lượng ứng với đáy của vùng dẫn là Ec, đỉnh của vùng hoá trị là Ev và bề rộng vùng cấm là Eg thì: Eg = Ec - Ev Khi T > 0K, do thu thêm năng lượng một số êlectrôn từ đỉnh vùng hoá trị có thể vượt qua vùng cấm và nhảy lên đáy vùng dẫn, trở thành êlectrôn tự do (êlectrôn dẫn), làm xuất hiện những lỗ trống ở vùng hoá trị. Nhiệt độ càng cao, số êlectrôn dẫn và lỗ trống càng lớn. Ta hãy tính toán mật độ êlectrôn và lỗ trống trong bán dẫn ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Để cho đơn giản ta giả thiết bán dẫn có mặt đẳng năng hình cầu và quy luật tán sắc bậc hai ở cả vùng dẫn và vùng hoá trị. Giả thiết này là phù hợp, vì rằng ở nhiệt độ thông thường, mật độ êlectrôn và lỗ trống không lớn, nên êlectrôn và lỗ trống chỉ chiếm các trạng thái ở gần đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hoá trị. Mật độ êlectrôn dẫn được tính giống như ở (4-2): ∞

n=

∫ f (E )Z (E − E )dE e

Ec

c

(5-4)

fe(E) là hàm phân bố Fecmi – Đirăc (4-1). Ở (5-4), năng lượng êlectrôn được tính so với đáy vùng dẫn Ec, do đó theo (4-11), ta có: Z(E − E c ) =

( )3 / 2 (E − Ec )1 / 2

21 / 2 m*

π2h3

(5-5)

Vì vậy: ∞

n = A e ∫ f e (E )Z(E − E c )1 / 2 dE

(5-6)

Ec

với Ae =

( )3 / 2

21 / 2 m*

(5-7)

π2h3

Mật độ lỗ trống p được xác định bằng cách tương tự, ta có: p=

∞

∫ f h (E )Z(− E + E v )dE

(5-8)

Ev

với Z (- E + Ev) chính là mật độ trạng thái ở vùng hoá trị. Hàm phân bố của lỗ trống fh(E) được xác định từ điều kiện: fe (E) + fh (E) = 1

(5-9)

và do đó: 1

f h (E ) = 1 − f e (E ) = e

ζ−E k BT

(5-10) +1

Để thuận tiện khi tính toán, ta lấy gốc tính năng lượng ở đáy vùng dẫn, tức là Ec=0, Ev = - Eg. Các biểu thức cho n và p trở thành: ∞

E1/2 dE

0

E−ζ k BT

n = Ae ∫ −Eg

p = Ah

∫

−∞

e

+1

(- E - E g )1 / 2 dE e

(5-11)

ζ−E k BT

(5-12)

+1

Ở nhiệt độ thông thường, với vùng dẫn E – ζ >> kBT, với vùng hoá trị ζ – E >> kBT, vì vậy hàm phân số Fecmi – Đirăc (4-1) có thể coi gần đúng bằng:

⎛ζ−E⎞ ⎟⎟ f e (E ) ≈ exp⎜⎜ ⎝ k BT ⎠

(5-13)

⎛E−ζ⎞ ⎟⎟ f h (E ) ≈ exp⎜⎜ ⎝ k BT ⎠

(5-14)

và

Ý nghĩa vật lí của điều này là ở chỗ, trong bán dẫn, mật độ êlectrôn ở vùng dẫn (và mật độ lỗ trống ở vùng hoá trị) thường rất nhỏ so với mật độ êlectrôn trong kim loại, nghĩa là xác suất trạng thái bị chiếm bởi êlectrôn là nhỏ: fe(E) kBT, thì số hạng thứ nhất ở vế phải có thể bỏ qua. Từ đó: ζ

Nd

v e e k BT ≈

(5-40)

(ζ − E d )

2e

k BT

+1

ζ

và ta thu được phương trình cho e k BT : 2

Ed Ed ζ ⎛ ζ ⎞ 1 k BT k BT N d k BT ⎜ k BT ⎟ e − e =0 ⎟ + 2e ⎜e 2v e ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

(5-41)

Nghiệm của phương trình trên là: e ζ / k BT =

1 − Ed e 4

/ k BT ⎡

8N d E d e ⎢− 1 + 1 + v e ⎣

/ k BT ⎤

⎥ ⎦

(5-42)

ở đây Ed = - E d vì mức đôno ở dưới đáy vùng dẫn. Khi T →0 thì: Ed

8N d k BT e >> 1 ve và (5-42) cho ta: ζ

− Ed

1 8 N d 2 k BT = e 4 ve

(5-43)

1 8N d 1 1 ≈ − Ed E d + k BT ln 4 ve 2 2

(5-44)

e k BT

Ta có thể tính được: ζ=−

Như vậy, khi T → 0, ở mức Fecmi ζ nằm ở giữa mức đôno và đáy vùng dẫn. Ý nghĩa của điều này là ở chỗ khi nhiệt độ rất thấp, êlectrôn dẫn được tạo thành do êlectrôn được giải phóng từ mức đôno chứ không phải từ vùng hoá trị. Khi nhiệt độ tăng lên đến mức mà:

Ed

8N d k BT e ve, thì từ (5-46), ta có ζ > 0, tức là mức Fecmi nằm bên trên đáy vùng dẫn, giống như ở các kim loại. Ta không tính gần đúng theo (5-13) được, mà phải tính theo (5-11). Như vậy, nếu mật độ tạp chất lớn (Nd lớn), thì khi nhiệt độ đủ cao, các nguyên tử tạp chất bị ion hoá hết và tạo thành êlectrôn dẫn với mật độ lớn. Trong trường hợp này, tính dẫn điện của bán dẫn giống như của kim loại. Đó là trường hợp bán dẫn suy biến. Phép tính cho thấy mức Fecmi giảm khi nhiệt độ tăng. Nếu Nd < < ve, thì theo (5-46), ζ < 0, nghĩa là mức Fecmi ở phía dưới đáy vùng dẫn. Khi nhiệt độ tăng ve cũng tăng. Mức Fecmi cũng dịch chuyển khi nhiệt độ thay đổi. Nếu ζ = - E d , thì mức Fecmi trùng với mức đôno. Từ (4-46), ta thấy điều này xảy ra ở nhiệt độ:

Td =

E k B ln

νe N0

Chẳng hạn, nếu bán dẫn có Eg= 0,01 eV; Nd ≈ 1016 cm −3 ; m e = 10 −27 g thì Td khoảng 10K. Nếu ta tiếp tục tăng nhiệt độ, thì một số êlêctrôn ở vùng hóa trị chuyển được lên vùng dẫn (xem số hạng thứ nhất ở vế phải của (5-39)). Nhiệ độ càng tăng, số êlêctrôn này càng nhiều, do đó vai trò của tính dẫn điện riêng càng trở nên quan trọng so với tính dẫn điện do tạp chất. Mặt khác, đến nhiệt độ đủ cao, mọi nguyên tử tạp chất đều bị ion hóa. Khi đó, dù nhiệt độ cótăng nữa, thì số êlêctrôn dẫn do tạp chất tạp nên cũng không tăng thêm. Vì vậy, nếu theo dõi sự thay đổi vị trí của

1 E d . Khi T 2 tăng, thì ζ tiến gần đến đáy vùng dẫn, sau đó đi xuống. Khi T = Td , ζ = − E d . Nhiệt

mức Fecmi ζ ở bán dẫn có tạp chất đôno, thì ta thấy khi T≈ 0K, ζ = −

độ tiếp tục tăng thì mức Fecmi tiếp tục đi xuống và tiến tới vị trí ở giữa vùng cấm ξ = −E g giống như trong bán dẫn riêng. Sự biến thiên vị trí của mức Fecmi theo 2

nhiệt độ ζ(T) được biểu diễn trên hình 5.7.

Hình 5.7 Ta cũng xét tương tự cho trường hợp bán dẫn chỉ pha tạp chất axepto (bán dẫn loại p). Khi đó N d = n d = 0 , và trong phương trình (5-370 không có số hạng thứ hai ở vế phải. Lặp lại lí luận như với bán dẫn loại n, ta thấy khi T→0 thì:

e

−

ξ k BT

Eg −Ea

1 8N a 2 k T = e 4 νh B

hay:

ξ=

Ea − Eg 2

− k B T ln

1 8N a E a − E g E a + E v ≈ = (5 − 49) 2 2 4 νh

(5-49)

Vậy ở nhiệt độ rất thấp, mức Fecmi ζ nằm giữa đỉnh vùng hóa trị và mức tạp chất axepto. Nhiệt độ tăng, thì mức Fecmi tiến gần tới đỉnh vùng hóa trị. Nhưng sau đó lại tiến về mức axepto. Ở nhiệt độ:

Ta =

E a −E v ν k B ln h Na

(5-50)

mức Fecmi ζ trùng với mức axepto: ζ = E a − E g khi nhiệt độ tăng đến mức mọi nguyên tử tạp chất đều bị ion hóa, thì p = Na và:

ζ = −E g + k B T ln

νe Na

Nhiệt độ tiếp tục tăng thì dần dần sự chuyển êlêctrôn từ vùng hóa trị lên vùng dẫn càng trở nên đáng kể. Do đó mức Fecmi chuyển dịch dần dần về giữa vùng cấm.

3. Ta hãy xác định điện dẫn suất của bán dẫn loại n ở nhiệt độ rất thấp. Khi đó, hạt tải điện tong bán dẫn là êlêctrôn dẫn (lỗ trống có mật độ rất nhỏ, nên bỏ qua). Mật độ êlêctrôn dẫn được xác định theo (5-15). Ta thay vào đó biểu thức xác định mức Fecmi của bán dẫn loại n theo (5-43), và biểu thức của ν e (5-38), thì thu được:

n = N d (2πk B Tm e / h 2 ) 3 4 e − E

d

/ 2 k BT

(5-51)

Điện dẫn suất của bán dẫn là:

σ = ne / μ e = eμ e

Ed

Ed

B

B

− 2πk B Tm e 3 4 − 2 k T 2k T Nd ( ) e = σ e on 2 h

(5-52)

Lấy logarit hai vế, ta có:

ln σ = ln σ on −

Ed 2k B T

Từ đấy, ta thấy rằng lnσ phụ thuộc tuyến tính vào

(5-53)

1 và tăng khi nhiệt độ tăng T

(đoạn I trên hình 5-8), từ độ dốc của đường biểu diễn lnσ(1/T) ta có thể xác định được Ed, tức năng lượng kích hoạt đôno.

Hình 5.8 Nếu ta tiếp tục tăng nhiệt độ sẽ đến lúc phần lớn các êlêctrôn ở các mức đôno chuyển lên vùng dẫn. Khi đó, mật độ êleectrôn n có độ lớn cỡ Nd và hầu như không phụ thuộc vào nhiệt độ. Ở khu vực này thì theo (5-28) điện dẫn suất σ phụ thuộc chủ yếu là do độ linh động μe phụ thuộc nhiệt độ. Nếu nồng độ tạp chất nhỏ, thì độ linh động của êlêctrôn là do sự tán xạ lên phônôn quyết định. Nhiệt độ tăng thì số phônôn cũng tăng, nên độ linh động càng nhỏ, dẫn đến σ giảm đi (xem đoạn II trên hình 5.8). Nếu nồng độ tạp chất lớn, thì tán xạ của các êlêctrôn lên tạp chất có ảnh hưởng quyết định đến độ linh động của hạt tải. Khi êlêctrôn tán xạ lên các tạp chất đã bị ion hóa, thì theo tính toán (1) thời gian trung bình τ giữa hai va chạm của hạt tải là:

τ = v 3l

(5-54)

trong đó và là vận tốc của hạt tải, còn l là quãng đường tự do trung bình. l tỉ lệ nghịch với nồng độ tạp chất và thực tế không phụ thuộc nhệt độ. Vì vậy sự phụ thuộc nhiệt độ của τ được xác định bởi sự phụ thuộc nhiệt độ của v. Nếu khí êlêctrôn có mật độ lớn (ta gọi là khí êlêctrôn suy biến), thì v = vF, với vF là vận tốc trên mặt Fecmi, và thời gian τ không phụ thuộc vào mật độ. Do đó μ và σ không phụ thuộc nhiệt độ. Nếu khí êlêctrôn không suy biến (có mật độ bé), thì vận tốc v chính là vận tốc chuyển động nhiệt, và theo (4-35), v = u - T1/2. Từ (5-54), ta có:

τ ∼ T3/2 Do đó, theo (4-31), độ linh động phụ thuộc nhiệt độ:

μ ∼ T3/2 Trong trường hợp này, lnσ tăng khi T tăng. Nếu nhiệt độ tiếp tục tăng, thì sự chuyển êlêctrôn từ vùng hóa trị lên vùng dẫn cũng tăng lên. Sự dẫn điện riêng đóng vai trò chủ yếu trong sự dẫn điện của bán dẫn (xem 5-18). Giai đoạn này ứng với phần III trên hình 5.8. Đoạn III có độ dốc lớn hơn đoạn I vì Eg >> E d . Chẳng hạn, ở Si thì Eg ∼ 1,1 eV, còn E d ∼ 0,05 eV với tạp chất đôno hóa trị 5, E a ∼ 0,08 eV với axepto hóa trị 3. 4. HIỆU ỨNG HÔL TRONG BÁN DẪN Ta đã nói đến hiệu ứng Hôl trong trường hợp kim loại (xem chương 4). Sự xuất hiện hiệu điện thế Hôl khi hạt mang điện là êlectrôn được minh hoạ ở hình 4.4. Trường hợp dẫn điện bằng lỗ trống được trình bày trên hình 5.9. Nếu so sánh hai trường hợp này thì từ hình vẽ, ta thấy êlectrôn và lỗ trống cùng chuyển dịch về một phía của mẫu dưới tác dụng của từ trường. Trong bán dẫn luôn tồn tại hai loại hạt mang điện. Êlectrôn và lỗ trống. Chúng ta hãy xác định hằng số Hôl cho bán dẫn.

Mật độ dòng êlectrôn là:

r r je = − ne v e r trong đó nếu có cả từ trường tác dụng B ≠ 0, thì theo (4-30) ta có: r r r r v e = −μ e ξ + v e ∧ B

(

)

(5-55)

(5-56)

Có dấu trừ ở vế phải vì êlectrôn mang điện tích âm. Nếu Bx = By = 0, Bz =B như trên hình 5.9 thì từ (5-56) ta suy ra: r r jex = − neμ e ξ x + v ey B r r jey = − neμ e ξ y − v ex B (5-57)

( (

) )

Tương tự, từ (5-56), ta có:

( ) v ey = −μ e (ξ y − v ex B)

v ex = −μ e ξ x + v ey B

(5-58a)

Thay biểu thức của vex và vey từ (5-58) vào (5-57) bỏ qua các số hạng chứa B2 vì giả thiết từ trường là yếu, ta nhận được:

( ) jey = − neμ e (ξ y + μ e ξx B)

jex = − neμ e ξx − μ e ξ y B

(5-58b)

Đối với lỗ trống, ta thu được các biểu thức bằng cách tương tự, chỉ cần lưu ý rằng lỗ trống mang điện tích dương. r r r Khi cả êlectrôn và lỗ trống đồng thời tham gia vào sự dẫn điện, thì j = je + jh , và thay cho (5-58b), ta có:

(

)

jx = (− neμ e + peμ h )ξ x + − neμ e2 + peμ 2h ξ y B

(

)

jy = (− neμ e + peμ h )ξ y + neμ e2 − peμ 2h ξx B

(5-59)

Trong hiệu ứng Hôl, jy = 0. Do đó từ phương trình thứ hai của (5-59) ta có: ξy =

neμ e2 + peμ 2h ξx B − neμ e + peμ h

(5-60)

Thay biểu thức ξy vào phương trình đầu của (5-59), bỏ qua số hạng có chứa B ta thu được: 2

ξx =

Từ đó ta có:

jx − neμ e + peμ h

(5-61)

ξy =

− neμ e2 + peμ 2h

(neμ e + peμ h )2

jx B

(5-62)

Theo (4-39), ta xác định được biểu thức của hằng số Hôl: R=

pμ 2h − nμ e2

e(nμ e + pμ h )2

(5-63)

Trong trường hợp dẫn điện êlectrôn (bán dẫn loại n) thì p = 0 và từ (5-63) ta suy ra: Re = -

1 0 pe

(5-65)

tức là hằng số Hôl ở đây có dấu dương. Trong trường hợp chugn, dấu của hằng số Hôl phụ thuộc vào dấu của tử số trong (5-63). Khi p μ 2h < n μ e2 thì hằng số Hôl là âm. Còn với p μ 2h > n μ e2 thì hằng số Hôl là dương. Trong một số kim loại như ta thấy ở chương 4, hằng số Hôl có dấu dương chính là vì ở những kim loại này (Be, Cd chẳng hạn) mật độ lỗ trống lớn hơn mật độ êlectrôn nhiều. Ở bán dẫn, mật độ êlectrôn n và lỗ trống p phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ (theo hàm mũ), vì vậy hằng số Hôl cũng phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ. Với một vật liệu bán dẫn cụ thể, có thể xảy ra là ở một khoảng nhiệt độ nào đó thì p μ 2h > n μ e2 và do đó R>0, còn ở khoảng nhiệt độ khác thì p μ 2h < n μ e2 và do đó R < 0. Ở nhiệt độ đủ cao, thì sự dẫn điện tạp chất là không đáng kể so với sự dẫn điện riêng. Khi đó n ≈ p, và từ (5-63), ta có: R=

μ 2h − μ e2

pe(μ e + μ h )2

(5-66)

Như vậy ở nhiệt độ cao, dấu của hằng số Hôl phụ thuộc vào sự chênh lệch về độ linh động của lỗ trống và êlectrôn. Trong quá trình tính toán trên đây, ta coi như cá hạt mang điện mỗi loại đều r r có cùng vận tốc chuyển động định hướng là vận tốc trung bình v e và v h , tức là không để ý đến sự phân bố thống kê của vận tốc. Tuỳ theo cơ chế tán xạ mà các hạt mang điện có những hàm phân bố vận tốc khác nhau. Nếu xét đến điều đó thì các công thức xác định hằng số Hôl (5-64) hoặc (5-65) có dạng:

R =r

1 en

(5-67)

Với các loại bán dẫn đồng hoá trị, khi các hạt mang điện tán xạ lên các dao động âm học của mạng tinh thể, thì hệ số tỉ lệ: r=

3π 8

Khi tán xạ lên các tạp chất bị ion hoá thì: r = 1,93 Còn tán xạ lên các tạp chất không bị ion hoá thì r = 1. 5. LỚP CHUYỂN TIẾP p – n 1. Trên một mẫu bán dẫn, bằng cách pha tạp thích hợp, ta có thể tạo nên hai khu vực có tính dẫn điện khác nhau: loại p và loại n, như trên hình 5-10. Ở mặt phân cách hai khu vực hình thành lớp chuyển tiếp p – n. Lớp này có đáy tính chỉnh lưu dòng điện: nó cho dòng điện đi qua theo một chiều dễ dàng hơn so với dòng điện theo chiều ngược lại.

Để dễ thấy các hiện tượng vật lí xảy ra ở khu vực gần lớp chuyển tiếp p – n, ta hãy giả thiết tạo ra lớp chuyển tiếp bằng cách cho một mẫu loại p tiếp xúc với một mẫu bán dẫn loại n. Ở mẫu loại p có pha tạp axepto với mật độ Na. Ở điều kiện nhiệt độ thông thường có thể coi như các nguyên tử axepto bị ion hoá hết, tạo nên lỗ trống với mật độ p0 = ni. Tuy nhiên pi > 1. Khi đó I = Is eeV/kBT. Dòng điện thuận tăng nhanh khi V tăng. Nếu điện áp ngoài được mắc theo chiều ngược, thì V< 0 và với V không lớn lắm, eeV/kBT kF) ở trên mặt Fecmi. Khi đó xuất hiện một lỗ trống ở dưới mặt Fecmi. Năng lượng cần thiết để kích thích một êlectrêlectrôn (kích thích đơn hạt) như vậy khi

h2 (k'2 −k 2 ) ≥ 0 , trong đó m* là khối lượng hiệu mặt Fecmi là mặt cầu bằng ΔE = * 2m dụng của êlectrôn. Điểm đặc trưng quan trọng nhất của vật ở trạng thái siêu dẫn là năng lượng kích thích một cặp êlectrôn có xung lượng và spin ngược chiều nhau để chuyển cặp êlectrôn này từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường luôn luôn lớn hơn một giới hạn 2Δ nào đó. Đại lượng 2Δ này là năng lượng cần thiết bé nhất để phá vỡ liên kết một cặp êlectrôn có xung lượng và spin ngược chiều và chuyển chúng từ trạng thái siêu dẫn về trạng thái thường. Độ lớn của 2Δ gọi là bề rộng của khe năng lượng trong lí thuyết siêu dẫn. Khi đó năng lượng để chuyển một êlectrôn từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường (năng lượng của một kích thích đơn hạt) không thể bé hơn Δ. Trong trạng thái siêu dẫn, các êlectrôn có xung lượng và spin ngược chiều nhau ghép lại thành từng cặp. Mỗi cặp đều có một năng lượng liên kết xác định. Cặp êlectrôn như vậy gọi là cặp Cupơ. Tách một êlectrôn từ một cặp Cupơ và chuyển nó từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường, ta có một kích thích đơn hạt thấp nhất đến mức cơ bản trong trạng thái siêu dẫn là Δ. Giữa hai mức này không có một mức năng lượng nào khác của êlectrôn. Trong ý nghĩa này, người ta nói rằng có một khe năng lượng Δ. Tách hai êlectrôn từ một cặp Cupơ và chuyển cả hai êlectrôn này từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường ta có kích thích một cặp hạt (hệ hai chuẩn hạt). Khoảng cách từ mức năng lượng kích thích cặp hạt thấp đến mức cơ bản là 2Δ. Đại lượng Δ phụ thuộc vaà nhiệt độ T như ở hình 7.6.

Hình 7.6 Ở nhiệt độ T, xác suất để một êlectrôn chuyển từ mức Fecmi lên mức kích đơn hạt gần nhất tỉ lệ với e- Δ/kT. Sự tồn tại khe năng lượng Δ được xác định bằng thực nghiệm khi nghiên cứu nhiệt dung của êlectrôn Ce. Ở nhiệt độ thấp, trong trạng thái thường Ce = γT (γ = const) và trong trạng siêu dẫn Ce có dạng: Ce = a γ Tc e – bΔ/kTkhi T

n e Qc Δ.m = Qc. Mật độ dòng jc = gọi là mật độ dòng tới hạn. Khi j > jc thì vật ở pF m

trạng thái thường, có điện trở khác không và khi j < jc thì vật ở trạng thái siêu dẫn. Nghiên cứu các tính chất vĩ mô của vật siêu dẫn dẫn đến xác định các đại lượng Tc, Hc, Ce và jc bằng thực nghiệm. 2. LÍ THUYẾT VỀ HIỆN TƯỢNG SIÊU DẪN 1. Phương trình Lơnđơn (London). Độ dài kết hợp Trong phần này ta xây dựng phương trình London và khảo sát hiệu ứng Mâyxen nhờ phương trình London. Ở trạng thái siêu dẫn, điện trở của vật siêu dẫn r bằng không nên gia tốc r của êlêctrôn được xác định bằng phương trình: r r r ∂A (7-8) mr = eE = - e. ∂t r r r ∂A trong đó E = − là cường độ điện trường, A là thế vectơ của trường điện ∂t từ, e là điện tích ( e< 0) và m là khối lượng của êlêctrôn. Gọi n là mật độ của r r êlêctrôn trong trạng thái siêu dẫn, v = r là vận tốc của êlêctrôn và j là mật độ dòng điện trong trạng thái siêu dẫn của các êlêctrôn ta có: r r r (7-9) j = nev = ne r , ( e < 0) hay r r r r dj dv ne 2 ∂A = ne = ne r = − dt dt m ∂t

(7-10)

Tích phân phương trình này, ta tìm được:

r ne 2 r r j=− (A − A 0 ) m

(7-11)

r trong đó A 0 không phụ thuộc vào thời gian nhưng có thể phụ thuộc vào tọa

độ. Để phù hợp với các kết quả thực nghiệm London chọn A0 = 0 đối với mọi vật siêu dẫn. Khi đó ta có:

r ne 2 r A j=− m

(7-11a)

r ne 2 r B, rot j = − m

(7-12)

hay

r r ở đây B = rot A là vectơ cảm ứng từ. Phương trình (7-12) gọi là phương trình Lơnđơn đối với vật ở trạng thái siêu dẫn (F. Lơndơn, H. Lơndơn 1953). Từ các phương trình Măcxoen đối với trường không đổi:

r r r rotB = μ 0 j, div B = 0

(7-13)

và phương trình London (7-12) ta tìm được;

r r r r r μ ne 2 r B rotrot B = grad div B − ∇ 2 B = −∇ 2 B = μ 0 rot j = − 0 m hay r ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞⎟ r 1 r ⎜ ∇ B= + + B= 2 B ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ λ ⎝ ⎠ 2

trong đó λ =

(7-14)

m μ 0 ne 2

Ta khảo sát một vật siêu dẫn có bề mặt trùng với mặt phẳng (x,y). Giả sử r vectơ B hướng theo trục x và không phụ thuộc vào y( Nx = B, By = 0, Bz = 0) ta có r ∂B divB = x = 0 ∂x

(7-15)

r Vectơ B không phụ thuộc vào y và Bx không phụ thuộc vào x nên Bxchỉ phụ thuộc vào z. Phương trình vi phân đối với Bx(z) có dạng: ∂ 2 Bx ∂z

2

=

1 λ2

(7-16)

Bx

Phương trình này có nghiệm; B x ( z ) = B x ( 0) e

−z

λ

(7-17)

từ đây ta thấy rằng cảm ứng từ Bx giảm theo định luật hàm mũ khi tăng khoảng z từ bề mặt của vật và chỉ xuyên sâu vào vật siêu dẫn một khoảng vào cỡ λ . Khi z > > λ thì Bx(z) ~ 10-30kg, n~1028m-3 thì λ ~ 5.108m. r r Nếu chọn thế A sao cho divA = 0 và chú ý rằng

r r r r r r ne 2 divA = 0 , rot rot j = graddiv j − ∇ 2 j = −∇ 2 j, div j = − m r r r r μ 0 ne 2 r ne 2 r B, rotB = μ 0 j, rot rot j = − j rot j = − m m r ta tìm được phương trình vi phân đối với j :

r 1 r ∇2 j = 2 j λ

(7-18)

Phương trình này chỉ rằng khi đặt vật siêu dẫn trong từ trường, thì xuất hiện r một dòn bề mặt (độ sâu lớp bề mặt là λ ) với mật độ j . Chính dòng bề mặt này tạo

r r ra một mômen từ M ngược chiều với từ trường ngoài làm cho cảm ứng từ B bên trong vật siêu dẫn bằng không. Bây giờ ta khảo sát phương trình London theo cơ học lượng tử. Gọi ψ là hàm r sóng của êlêctrôn. Mật độ dìng điện j của các êlêctrôn trong cơ học lượng tử có dạng: r e {ψ * pˆψ = ψ( pˆψ) *} j= 2m

(7-19)

trong đó pˆ = − ih∇ là toán tử xung lượng của hạt khi không có trường điện từ, r r khi hạt ở trong trường điện từ ta thay toán tử pˆ bằng ( pˆ − eA ) trong đó A là thế vectơ. Khi đó mật độ dòng điện trong trường điện từ có dạng;

[(

) ]}

r r r e j= ψ * pˆ − eA ψ + ψ pˆ − eA ψ * 2m

{ (

)

(7-20)

hay

r e2 r ihe {ψ * ∇ψ − ψ(∇ψ ) *} − Aψ * ψ j=− (7-21) 2m m r Khi A = 0 tì ψ = ψ 0 và ta nhận được mật độ dòng j ở tạng thái siêu dẫn bằng không:

{

}

r ihe * j=− ψ 0∇ψ 0 − ψ 0 (∇ψ 0 ) * = 0 2m

(7-22)

r Khi A ≠ 0 thì hàm ψ 0 chuyển thành hàm ψ . Nếu gần đứng đặt ψ ≈ ψ 0 thì ta

có: 2 r r ihe * {ψ 0∇ψ 0 − ψ 0 (∇ψ 0 )*}− e A ψ 0 j=− 2m m

r e2 r ne 2 r 2 A j = − A ψo = − m m Trong đó n= ψ 0

2

2

(7-23)

là mật độ êlêctroon. Đó là phương trình London được tìm

trong cơ học lượng tử. Ta giải thích điều kiện gần đúng này. Theo lí thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử, ta có: ψ = ψ0 +

∑E

n ≠0

U no ψn − E n o

(7-24)

trong đó Uno là yếu tố ma trận của thế nhiễu loạn U. Gần đúng ψ ≈ ψ o chỉ xảy ra khi E n − E o > > U no nghĩa là tồn tại một khe năng lượng Δ giữa mức năng lượng cơ bản Eo vớí mức kích thích đơn hạt Engần nhất có bề rộng lớn hơn nhiều

lần so với U no . Vậy do sự có mặt khe năng lượng Δ ở trạng thái siêu dẫn mà ta nhận được phương trình london.

rr ne 2 r r A' ( r ) Phương trình London phù hợp tốt với thực nghiệm nếu đặt j( r ) = − m r r r r r trong đó A ' (r ' ) trong đó A ' ( r ) là giá trị trung bình của A trong vùn không gian bé r gần điểm r theo hệ thức: r r A' ( r ) =

3 4πξo

∫ r

[Ar (rr ')(rr '− rr )](rr '− rr )e

r r r '− r

ξo

r r4 r '− r

r'

r dr '

(7-25)

hv F , vF là vận tốc của êlêctrôn ở mặt Fecmi và Δ là bề rộng của πΔ khe năng lượng đối với kích thích đơn hạt. Đại lượng ξo có thứ nguyên của độ dài trong đó ξo =

3 đứng trước dấu tích phân trong hệ thức của 4πξo r r r r r r A ' ( r ) được chọn sao cho khi r ' = r thì A ' = A . Nếu đặt Δ ~ 1 MeV,vF ~1010 m/s thì

gọi là độ dài kết hợp.Hệ số

ξo ~ 2000A o . Ta hãy chỉ rằng độ dài kết hợp ξ0 đặc trưng cho sự tương quan giữa các êlêctrôn trong trạng thái siêu dẫn. Thật vậy, trạng thái siêu dẫn được tổ hợp tuyến tính từ nhữnghàm sóng ứng với các mức năng lượng ở cách nhau một khoảng bậc Δ; ⎛ ∂E ⎞ p δE = ⎜⎜ ⎟⎟ δ p = F δ p = v F δ p ~ Δ m ⎝ ∂p ⎠ p

(7-26)

F

h cho ta sự tương quan giữa toạ độ và xung lượng 2 h hv của êlêctrôn trong trạng thái siêu dẫn. Đại lượng δx o ~ = F có độ lớn cùng 2δp 2 Δ

Hệ thức bất định δxδp ≥

hv F đặc trưng cho sự tương quan giữa các πΔ êlêctrôn trong trạng thái siêu dẫn. Các êlêctrôn ở trạng thái siêu dẫn có khoảng cách bé hơn hay bằng ξ0 có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Cũng vì lí do này và

cỡ với ξ0 . Vậy độ dài kết hợp ξ0 =

để phù hợp tốt với thực ngiệm mà trong phương trình London ta phải thay vectơ r r r r A ( r ) bằng giá trị trung bình A ' cảu nó tính trong vùng không gian gần điểm r bậc ξ0 . Độ dài kết hợp ξ0 và độ dài xuyên sâu của từ trường vào vật siêu dẫn λ là

những độ dài đặc trưng cho các vật siêu dẫn. Đối với vật siêu dẫn loại I ta có λ < ξ0 và đối với vật siêu dẫn loại II thì λ > ξ0

2. Sự lượng tử hoá từ thông Trong phần này ta hãy chỉ rằng từ thông đi qua vòng làm bằng vật liệu siêu dẫn đặt trong từ trường vuông góc với mặt phẳng đi qua vòng bị lượng tử hoá. Trước hết ta viết hàm sóng của êlêctrôn ở trạng thái siêu dẫn. r r Hàm sóng của cặp êlêctrôn tự do ở trạng thái thường có xung lương p1 = hk1 r r và p2 = hk 2 ở trong thể tích Ω khi không có nhiễu loạn có dạng: r r r r r r 1 ik1rr1 1 ik 2 rr2 1 i (k1rr1 + k 2 rr2 ) Φ (r1 , r2 ) = = e e e (7-27) Ω Ω Ω r r r r r r r r r r Khi p1 = − p = − hk, p 2 = p = hk và xung lượng toàn phần p = hk = p1 + p 2 = 0 , ta

có r r r 1 ikr rr Φ 0 ( r1 , r2 ) = Φ →( r ) = e Ω k

(7-28)

r r r trong đó r = r2 − r1 là bán kính vectơ xác định vị trí tương đối giữa hai êlêctrôn. r r r r r r r r r r r Trường hợp tổng quát khi p1 = − p + Q, p 2 = p + Q và p = p1 + p 2 = 2Q = hK

ta nhận được; r r r r r Φ ( r1 , r2 ) = e iϕ (R )Φ 0 ( r1 , r2 )

(7-29)

( )

r rr r 1 r r ở đây ϕ R = KR , R = ( r1 + r2 ) là bán kính vectơ xác định vị trí khối tâm và 2 r r r r P là vận tốc khối tâm của cặp êlêctrôn. Hàm sóng Φ ( r2 , r2 ) là hàm sóng của v= 2m một cặp êlêctrôn ở trạng thái siêu dẫn có liên kết với nhau. Trạng thái của cặp r r r r êlêctrôn có xung lượng − p + Q, p + Q có spin ngược chiều ở trạng thái siêu dẫn r r r r trong trường hợp tổng quát được mô tả bằng hàm sóng ψ (r1 , r2 ) = e iϕ (R )ψ 0 (r1 , r2 ) 2

2

sao cho n = ψ = ψ 0 là mật độ cặp êlêctrôn ở trạng thái siêu dẫn. Hàm sóng r r r s r r r r ψ 0 ( r1 , r2 ) ứng với trường hợp p = p1 + p 2 = 0 và phụ thuộc vào r = r2 − r1 . Hàm r r r ψ 0 ( r1 , r2 ) có thể khai triển theo hệ hàm sóng không nhiễu loạn Φ →( r ) k

r r ψ 0 ( r ) = ∑ a →Φ →( r ) k

k

k

(7-30)

Mật độ cặp êlêctrôn n ở trạng thái sỉêu dẫn phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi T = Tc thìn = 0. Mật độ dòng điện siêu dẫn của các cặp êlêctrôn có dạng; r r r p j = nqv = nq μ

(7-31)

trong đó n là mật độ cặp êlêctrôn, μ = 2m là khối lượng, q = 2e là điện tích và r r p v = là vận tốc khối tâm của cặp êlêctrôn siêu dẫn. Khi êlêctrôn ở trong trường μ r r r điện từ thì ta thay P bằng P − qA . Khi đó ta có: r nq r r nq r nq 2 r j= P − qA = P− A μ μ μ r r P ∂ Chú ý rằng ∇ϕ = r ϕ = K = ta được: h ∂R r 2r r nqh∇ϕ nq 2 A n q h∇ ϕ n q A j= − =− − , q = −q μ μ μ μ

(

)

(7-32)

(7-33)

Biểu thức này cũng có thể nhận được từ cơ học lượng tử. Mật độ dòng điện siêu dẫn trong từ trường có dạng: 2 r r ihq {ψ * ∇ψ − ψ∇ψ *} − q Aψ * ψ j=− 2μ μc

Đặt

r r r r iϕ (k ) ψ R, r = e ψ0 (r )

( )

vào

biểu

thức

của

(7-34) r j

và

chú

ý

r ∂ 2 2 ∇ψ = r ψ, n == ψ = ψ 0 ta nhận được biểu thức của j ở trên ∂R

Hình 7.8 Ta khảo sát một vòng làm bằng vật siêu dẫn hình trụ có đường kính và độ dày đủ lớn so với độ dài xuyên sâu λ cảu từ trường vào bề mặt vật siêu dẫn. từ r trường ngoài H đặt song song với trục hình trụ ( hình 7.8). Dòng siêu dẫn chỉ khác r không ở vùng gần bề mặt có độ sâu bậc λ . Tích phân mật độ dòng j theo đường r tròn L nằm ở bên trong vòng có j = 0 và coi n không thay đổi dọc theo đường L, ta tìm được: Hình 7.8

r r r nq2 r r nqh ∫ j d l = − μ ∫ ∇ ϕd l − μ ∫ A d l = 0 L L L

(7-35)

hay

Φ=

h ∇ϕ q

(7-36)

r r r r r r trong đó Φ = ∫ Ad l = ∫ rotAdS = ∫ BdS là từ thông đi qua mặt S tựa trên đường r cong L và Δϕ = ∫ ∇ϕd l là độ thay đổi toàn phần của pha ϕ trên đường cong L. Để

hàm sóng ψ đơn giá, ta phải có:

ψ = eiϕϕ0 = ei (ϕ = Δϕ )ψ0

(7-37)

Từ đây suy ra eiΔϕ = 1 hay Δϕ = ±2πN với N = 0, 1, 2, 3,… Biểu thức của từ thông Φ bây giờ được viết lại như sau: Φ = NΦ 0 (để Φ > 0 ta chọn Δϕ = −2πN )

trong đó Φ 0 =

(7-38)

2πh h = = 2,07.10−15 Wb q 2e

Công thức Φ = NΦ 0 gọi là công thức lượng tử hoá từ thông. Từ thông Φ không phải thay đổi liên tục mà thay đổi từng lượng bé Φ 0 . 3. Cặp Cupơ (Cooper) Ta khảo sát một cặp êlêctrôn ở gần mặt Fecmi. Toán tử Haminton cảu hệ hai êlêctrôn có dạng: 2 2 ˆ = − h ∇12 − h ∇ 22 + U , ⎛⎜ ∇i = ∂r ⎞⎟ H ⎜ ∂ri ⎟⎠ 2m 2m ⎝

(7-39)

trong đó U là toán tử tương tác hiệu dụng giữa hai êlêctrônthông qua dao động mạng tinh thể ( một êlêctrôn phát xạ phônôn và êlêctrôn khác hấp thụ phônôn này). Hàm sóng hệ hai êlêctrôn ở trong thể tích Ω khi không có nhiễu loạn U ( U = 0) bằng tích hai hàm sóng của hai êlêctrôn tự do: r r r r 1 i[k1rr1 + k 2 rr2 ] 1 i[Kr R + kr rr ] Φ ( r1 , r2 ) = e = e Ω Ω

(7-40)

r 1 r r r r r trong đó R = (r1 + r2 ) là toạ độ khối tâm, r = r2 − r1 là toạ độ tương đối của hai 2 r 1 r r r r r êlêctrôn, K = k1 + k 2 và k = k 2 − k1 2

(

)

Động năng của hai êlêctrôn bằng:

p12 p 22 h 2 k 12 h 2 k 22 h 2 K 2 h 2 k 2 + = + = + T= 2m 2m 2m 2m 4m m

(7-41)

r Khi K = 0 ta có: r r r r r r r r P1 = hk1 = −hk, p 2 = hk 2 = hk, p1 = − p 2 h2k 2 T = ε k = 2E k = m r h 2k 2 trong đó E k = là động năng của một êlêctrôn. Khi K = 0 thì động năng 2m r của cặp êlêctrôn sẽ bé hơn động năng của chúng khi K ≠ 0 . Mặt khác, khi nghiên cứu nguyên tử hêli ta thấy rằng cặp êlêctrôn của nguyên tử Hêli ở trạng thái cơ bản ( trạng thái ứng với mức năng lượng thấp nhất) có spin định hướng ngược chiều r r r và có P1 + P2 = 0 sẽ bé hơn năng lượng của chúng khi p1 + p2 ≠ 0 và spin của chúng r r cùng chiều. Hai êlêctrôn có p1 = − p 2 và có spin ngược chiều sẽ liên kết với nhau

và tạo thành cặp khi có sự tương tác hút hiệu dụng giữa các êlêctrôn thông qua trường phônôn ảo (một êlêctrôn phát xạ phônôn và êlêctrôn khác hấp thụ ngay phônôn này). Cặp êlêctrôn liên kết với nhau có xung lượng bằng nhau gọi là cặp Cupơ. Trong phần này ta nghiên cứu trạng thái liên kết của cặp Cupơ trong trường hợp đơn giản. r Khi K = 0 thì hàm sóng hệ hai êlêctrôn không nhiễu loạn có dạng: r r r 1 ik (rr2 − rr1 ) 1 ikr rr Φ →(r1 , r2 ) = e = e Ω Ω k

h2 2 ⎛ ∇ ⎜∇ = Hàm này là hàm riêng của toán tử động năng Tˆ = m ⎝ êlêctrôn có tương tác với nhau. Phương trình Srôđingơ của hệ hai vậy ở trạng thái dừng có dạng: ⎡ h 2∇2 r r r r ⎤ r r r r ˆ + U ( r1 , r2 )⎥ψ (r1 , r2 ) = Eψ ( r1 , r2 ) Hψ ( r1 , r2 ) = ⎢ − m ⎣⎢ ⎦⎥

(7 - 43) ∂⎞ r ⎟ của cặp ∂r ⎠

êlêctrôn như

(7 - 44)

ˆ tương ứng với hàm riêng ψ(rr1 , rr2 ) . Ta khai trong đó E là giá trị riêng của H r r r r triển hàm ψ(r1 , r2 ) theo hệ hàm riêng không nhiễu loạn Φ k ( r1 , r2 ) của toán tử Tˆ :

r r ψ (r1 , r2 ) =

∑

k'> k F

r r a →Φ → (r1 , r2 ) k'

k'

(7 - 45)

trong đó a → là hệ số khai triển kF là độ lớn vectơ sóng của êlêctrôn ở mặt k'

r r Fecmi. Đặt hàm ψ(r1 , r2 ) vào phương trình Srôđingơ và chú ý rằng:

r r h 2∇ 2 h 2 k '2 − Φ →( r ) = ε k ' Φ →( r ), ε k ' = k' k' m m

(7 - 46)

Ta tìm được:

∑

k'> k F

r r r a →[ε k ' − E + U ( r1 , r2 )]Φ →( r1 , r2 ) = 0 k'

k'

(7 – 47)

r r r r r 1 − ik (rr2 − rr1 ) Nhân phương trình này với Φ →( r1 , r2 ) = e rồi lấy tích phân theo r1 , r2 Ω k trong toàn miền thẻ tích Ω với sự chú ý: r r r r r ⎧Ω khi k' = k ± i (k ' − k )r r r r d r = Ωδ k ' , k = ⎨ (7 - 48) r r ∫e 0 khi k' ≠ k ⎩ Ω ∗

ta được: r r

r

r

(ε k − E )a kr + ∑ a kr ' < −k, k U k ' ,−k ' >= 0

(7 – 49)

k '> k F

ở đây rr

rr

rr

rr

r r r r r r e ik ' r e − ik ' r r r e − ikr e ikr U( r1 , r2 ) d r1d r2 < −k, k U k ' ,−k ' >= ∫ Ω Ω Ω Ω 2

1

2

1

(7 – 50)

Ta biết rằng các êlêctrôn ở gần mức Fecmi EF mới tham gia hiện tượng dẫn.

h 2 k 2F hấp thụ một phônôn có tần số lớn nhất ωD ( ωD là Một êlêctrôn ở mức EF = 2m tần số Đơbai) sẽ chuyển đến trạng thái với năng lượng E F + hωD . Với sự chú ý này ta xét trường hợp đơn giản của tương tác hút giữa các êlêctrôn sau:

r r r r ⎧- g/Ω < −k, k U k ' ,−k ' >= ⎨ ⎩0

khi E F < E k , E k ' < E F + hω khi E F ≥ E k , E k ' ≥ E F + hω

(7 – 51)

r r h2k 2 h 2 k 2m , E F + hωD ≡ E m = . Khi đó k và k phải 2m 2m thỏa mãn điều kiện k F < k1 , k ' < k m .

trong đó g = const > 0, E k =

Trong trường hợp đơn giản này ta có; a kr

ở đây c =

∑ a kr '

k F < k'< k m

Dễ dàng thấy rằng:

gΩ −1 C = r εk − E

(7 – 52)

∑a

k F ≡ Ψ * (x )A ˆ ϕ(x )dx < Ψ, A ∫

(7 – 69)

ˆ Ψ >= Ψ * (x )A ˆ Ψ (x )dx A =< Ψ, A ∫

(7 – 70)

ˆ ϕ > là xác định Chỉ có những trị riêng A, trị trung bình Ā, yếu tố ma trận < Ψ, A được và có ý nghĩa vật lí. Ta có thay đổi biến riêng, trị trung bình và các yếu tố ma trận không thay đổi là được. Khi nghiên cứu bài toán hệ các hạt đồng nhất thường dùng biến của hàm sóng là số hạt ở cùng một trạng thái đơn hạt và toán tử của các đại lượng vật lí được biểu diễn qua toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt. Ta hay nghiên cứu các trường hợp cụ thể sau đây. 1. Toán tử sinh và toán tử huỷ phônôn Phương trình Srôđingơ của dao động tử điều hoà một chiều có dạng: 2 ⎛ 2 ⎞ ˆ Ψn (x ) = ⎜ pˆ + mω x 2 ⎟Ψn (x ) = E n Ψn (x ), pˆ = −ih d H ⎜ 2m ⎟ 2 dx ⎝ ⎠

(7 – 71)

Giải phương trình này ta được: Ψn (x ) = A n

ξ2 e2H

n

n ξ2

(ξ) = (− 1)

e

d n ⎛ − ξ2 ⎞ ⎜e ⎟, ξ = ⎠ dξ n ⎝

1⎞ ⎛ E n = hω⎜ n + ⎟, n = 0,1,2,... 2⎠ ⎝

mω x h

(7 – 72)

Ta có thể nhận được trị riêng En này bằng cách thay đổi biến của hàm sóng ˆ . Đưa vào toán tử aˆ và aˆ + ( aˆ + là toán tử liên và thay đổi cách biểu diễn toán tử H hiệp ecmit với toán tử â) như sau: 1 ⎧ m ⎞ 2⎛ ipˆ ⎞ ⎛ ⎪aˆ = ⎜ ⎟ ⎜ ωxˆ + ⎟ ⎪ m⎠ ⎝ 2 hω ⎠ ⎝ ⎨ 1 ⎪ + ⎛ m ⎞ 2⎛ ipˆ ⎞ ⎪aˆ = ⎜ 2hω ⎟ ⎜ ωxˆ − m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

(7 – 73)

h aˆ + aˆ + aˆ − aˆ + , pˆ = mωh xˆ = mω i 2 2

(7 – 74)

Để thấy rằng

ˆ bây giờ có thể viết: Toán tử Haminton H

(

2 2 2 ˆ = pˆ + nω x = hω aˆaˆ + − aˆaˆ + H 2m 2 2

)

(7 – 75)

∧

Dùng hệ thức xpˆ − px = ih ta tìm được: aˆaˆ + − aˆ + aˆ = 1 hay aˆaˆ + = 1 + aˆ + aˆ

(7 – 76)

Khi đó ta có: ˆ = hω⎛⎜ aˆ + aˆ + 1 ⎞⎟ H 2⎠ ⎝

(7 – 77)

ˆ tương ứng với trị riêng En: Gọi Φ n làm hàm riêng chuẩn hoá của H ˆ Φ n = E n Φ n , < Φ n , Φ n >= 1 H

(7 – 78)

Hàm Φ n cũng là hàm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ nˆΦ n = nΦ n

(7 – 79)

trong đó n là trị riêng của toán tử nˆ tương ứng với hàm riêng Φ n . Ta có: n =< Φ n , nˆΦ n >=< Φ n , aˆ + aˆΦ n >=< aˆΦ n , aΦ n >= aˆΦ n

2

≥0

(7 – 80)

nghĩa là n là số không âm. Dùng hệ thức giao hoán aˆaˆ + − aˆ + aˆ = 1 ta tìm được:

(

)

nˆaˆ − aˆnˆ = aˆ + aˆaˆ − aˆaˆ + aˆ = aˆ + aˆaˆ − 1 + aˆ + aˆ aˆ = −aˆ

(

)

nˆaˆ + − aˆ + nˆ = aˆ + aˆaˆ + − aˆ + aˆ + aˆ = aˆ + 1 + aˆ + aˆ − aˆ + aˆ + aˆ = aˆ +

ˆ aˆ − aˆH ˆ = − hωaˆ , Haˆ + − aˆ + H ˆ = hωaˆ + H

(7 – 81) (7 – 82) (7 – 83)

Dễ dàng thấy rằng: nˆaˆΦ n = (aˆnˆ − aˆ )Φ n = (n − 1)aˆΦ n ,

(

)

nˆaˆ + Φ n = aˆ + nˆ + aˆ + Φ n = (n + 1)aˆ + Φ n ,

(

)

ˆ aˆΦ n = aˆH ˆ − hωaˆ Φ n = (E n − hω)aˆΦ n , H

(7 – 84)

ˆ aˆ + Φ n = aˆ + H ˆ + hωaˆ + Φ n = (E n + hω)aˆ + Φ n . H

(7 – 85)

(

)

Từ đây suy ra rằng nếu Φ n là hàm riêng của nˆ tương ứng với trị riêng n thì aˆΦ n và aˆ + Φ n cũng là những hàm riêng của nˆ tương ứng với các trị riêng (n – 1)

và (n + 1). Các số n nằm cạnh nhau khác nhau một đơn vị. Gọi n0 là riêng bé nhất của toán tử nˆ thì ta có: nˆΦ n 0 = n 0Φ n 0

(7 – 86)

nˆaˆΦ n 0 = (n 0 − 1)aˆΦ n 0

(7 – 87)

Khi đó

vì n0 là giá trị bé nhất của n thì không tồn tại trị riêng của nˆ bằng n0 – 1. Đẳng thức nˆaˆΦ n 0 = (n 0 − 1)aˆΦ n 0 chỉ xảy ra khi aˆΦ n 0 = 0 . Ta biết:

n 0 =< Φ n 0 , aˆ + aˆΦ n 0 >=< aˆΦ n 0 , aˆΦ n 0 >= 0

(7 – 88)

Vậy các giá trị có thể có của n là n = 0, 1, 2, 3,… ˆ Φ n = hω⎛⎜ nˆ + 1 ⎞⎟Φ n = hω⎛⎜ n + 1 ⎞⎟Φ n = E n Φ n H 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

(7 – 89)

1⎞ ⎛ trong đó E n = hω⎜ n + ⎟, n = 0,1,2,3... Chú ý rằng hàm aˆΦ n và Φ n − 1 đều là 2⎠ ⎝ hàm riêng của nˆ tương ứng với trị riêng n – 1 nên ta có: aˆΦ n = αΦ n −1

(7 – 90)

trong đó α là hệ số được xác định từ điều kiện chuẩn hoá. Ta biết: 2

n =< Φ n , aˆ + aˆΦ n >=< aˆΦ n , aˆΦ n >= α < Φ n −1 , Φ n −1 >= α

2

Vậy ta có α = n và aˆΦ n = nΦ n −1 hay aˆ n >= n n − 1 >

(7 – 91)

Trong đó ta kí hiệu Φ n ≡ n > . Tương tự, hàm aˆ + Φ n và Φ n + 1 đều là hàm riêng của nˆ tương ứng với trị riêng n + 1 nên ta có: aˆ + Φ n = β Φ n +1

(7 – 92)

Ta biết:

(

)

1 + n =< Φ n , 1 + aˆ + aˆ Φ n >=< Φ n , aˆaˆ + Φ n >= 2

=< aˆ + Φ n , aˆ + Φ n >= β < Φ n +1 , Φ n +1 >= β

2

Từ đây suy ra β = n + 1 và aˆ + Φ n = n + 1Φ n +1 hay aˆ + n >= n + 1 n + 1 >

(7 – 93)

Ta nhận được trị riêng En của dao động tử điều hoà này không phải giải ˆ biểu diễn phương trình Srôđingơ mà dùng hàm Φ n trong biến số n còn toán tử H

ˆ tương ứng với trị riêng En thì qua toán tử aˆ và aˆ +. Nếu Φ n là hàm riêng của H aˆ Φ n là hàm riêng của

ˆ tương ứng với trị riêng E n − hω và aˆ + Φ n là hàm riêng của H ˆ tương ứng H với trị riêng E n − hω . Ta nói rằng toán tử aˆ đã huỷ một hạt có năng lượng bằng hω và toán tử aˆ + đã sinh một hạt có năng lượng hω . Trong lí thuyết dao động mạng r r ωj(q ) phụ thuộc vào vectơ sóng q và nghành dao động j nên aˆ qrj , aˆ q+rj phụ thuộc vào

r q và j. Toán tử aˆ qrj , aˆ q+rj là toán tử huỷ và toán tử sinh một hạt phônôn có năng r r lượng hω j (q ) , có chuẩn xung lượng hq . Trạng thái Φ 0 (n 0 = 0) gọi là trạng thái chân không. Đối với trạng thái này ta có: aˆΦ 0 = 0 hay aˆ 0 >= 0

(7 – 94)

< Φ 0 , Φ 0 >= 1, aˆ + Φ 0 = Φ1 hay aˆ + 0 >= 1 >

(7 – 95)

Chú ý rằng aˆ + Φ n −1 = n Φ n ta có: Φn =

1 + aˆ Φ n −1 , Φ n −1 = n

Φ n−2 =

1 aˆ + Φ n − 2 , n −1

1 aˆ + Φ n − 3 ... n−2

n ( aˆ + ) 0 > ( aˆ + ) Φn = Φ 0 hay n >=

n!

(7 – 96)

n!

Hàm Φ n được xác định qua hàm Φ 0 . Phônôn là chuẩn hạt không có spin và thuộc loại hạt Bôzôn. Trong trường hợp tổng quát nếu gọi aˆ k là toán tử huỷ Bôzôn ở trạng thái k và aˆ1+ là toán tử sinh Bôzôn ở trạng thái l thì giữa aˆ k và aˆ1+ tồn tại những hệ thức giao hoán sau: ⎧1 ⎡aˆ , aˆ + ⎤ = δ = ⎪ k1 ⎨ ⎢⎣ k 1 ⎥⎦ ⎪⎩0

khi k = 1 khi k ≠ 1, [aˆ k , aˆ1 ] = ⎡aˆ + , aˆ + ⎤ = 0 ⎢⎣ k 1 ⎥⎦

(7

–

97)

[ ]

ˆ ,B ˆB ˆ. ˆ =A ˆ −B ˆA Trong đó kí hiệu A 2. Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt êlêctrôn Phương trình Srôđingơ của một êlêctrôn ở trường ngoài có dạng:

⎛ h 2∇2 r ⎞ ˆ HΨk (ξ) = ⎜ − + U (r )⎟Ψk (ξ) = E k Ψk (ξ) ⎜ 2m ⎟ ⎝ ⎠

(7 – 98)

Trong đó Ψk (ξ) là hàm sóng của một êlêctrôn ( hàm sóng đơn hạt) và Ek là năng lượng của một hạt êlêctrôn, là một tập hợp toạ độ và hình chiếu spin của êlêctrôn. Hàm sóng của N hạt êlêctrôn là hàm sóng phản đối xứng đối với giao hoán hai hạt bất kì cho nhau: Ψ(ξ1, ξ2,…, ξk,…, ξl,…, ξN) = - Ψ(ξ1,…, ξ2,…, ξl,…, ξk,…, ξN)

(7 – 99)

Hàm sóng của một hệ hai êlêctrôn không tương tác được biểu diễn dưới dạng định thức sau:

Ψ (ξ1 , ξ2 ) =

1 Ψk (ξ1 )Ψk (ξ2 ) 1 {Ψk (ξ1 )Ψk ' (ξ2 ) − Ψk (ξ2 )Ψk ' (ξ1 )} (7- 100) = 2 Ψk ' (ξ1 )Ψk ' (ξ2 ) 2

Hàm sóng Ψ(ξ1, ξ2) sẽ bằng không nếu hai hàm Ψk và Ψk’ như nhau (k = k’ hay ξ1 = ξ2). Đó là nguyên lí Paoli: Không thể có hơn một êlêctrôn ở cùng một trạng thái: Gọi nk là số êlêctrôn ở trạng thái đơn hạt Ψk(ξ) thì nk = 0, 1. Số nk gọi là số chất đầy. Khi giao hoán k cho k’ hoặc ξ1 cho ξ2 thì hàm sóng hệ hai êlêctrôn đổi dấu. Phương trình Srôđingơ của một hệ N hạt êlêctrôn không tương đương có dạng ˆ 0 Ψ (ξ1 ,..., ξ N ) = E 0 Ψ (ξ1 ,..., ξ N ), H

Trong đó

(7 – 101)

N

ˆ 0 = ∑H ˆ (ξi ), E 0 = ∑ E k n k và hàm Ψ là hàm phản đối xứng được H i =1

k

biểu diễn dưới dạng định thức bậc N. Ψk1 (ξ1 )Ψk1 (ξ2 )...Ψk1 (ξ N ) 1 Ψk 2 (ξ1 )Ψk 2 (ξ2 )...Ψk 2 (ξ N ) Ψ (ξ1 , ξ2 ,..., ξ n ) = N .............................................. Ψk N (ξ1 )Ψk N (ξ2 )...Ψk N (ξ N )

Khi hoán vị hai hàng hay hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu (hàm sóng phản đối xứng). Khi có hai hàng hay hai cột của định thức như nhau thì định thức bằng không (nguyên lí Paoli). Bây giờ ta xây dựng hàm sóng trong biến là số chất đầy nk và biểu diễn toán tử H qua toán tử sinh hạt C và toán tử huỷ hạt C sao cho nguyên lí Paoli không bị vi phạm và các kết quả vật lí như năng lượng E0 của hệ êlectrôn vẫn còn như cũ. Giả sử n1, n2, n3… là số hạt ở trong trạng thái đơn hạt Ψk1, Ψk2,Ψk3… Khi đó ta biểu diễn hàm sóng của các biến chất đầy nk như sau: Φ(1k, 0, 0,…o) ≡≡Ψk (ξ) Φ (1k ,1k ' ,0,0...0) ≡

1 Ψk (ξ1 )Ψk (ξ2 ) 2! Ψk ' (ξ1 )Ψk ' (ξ2 )

Ψk1 (ξ)...Ψk1 (ξ N ) 1 .............................. Φ 1k1 ,1k 2 ,...1k N ,0,0 ≡ N! .............................. Ψk N (ξ1 )...Ψk N (ξ)N

(

)

(7 – 102)

(7 – 103)

Hàm sóng hệ N hạt trong biến số chất đầy trong trường hợp tổng quát được viết dưới dạng Φ(n1, n2,…,nk,…nl,…, nN). Gọi Φ(0) là hàm trạng thái chân không. ˆ tác dụng lên hàm Các toán tử sinh êlectrôn Cˆ +k , toán tử huỷ êlectrôn C k

Φ(n1, n2,…,nk,…nl,…) Cˆ +k 'Φ (0) = Φ (1k ) = Ψk (ξ)

(7 – 104)

ˆ Φ (1 ) = Φ (0) C k k

(7 – 105)

1 {Ψk (ξ1 )Ψk ' (ξ2 ) − Ψk (ξ2 )Ψk ' (ξ1 )} (7 Cˆ +k 'Cˆ +k Φ (0) = Φ (1k ,1k ' ) = 2

–

1 {Ψk ' (ξ1 )Ψk (ξ2 ) − Ψk ' (ξ2 )Ψk (ξ1 )} = −C k+'C +k Φ (0) (7 Cˆ +k Cˆ +k 'Φ (0) = 2

–

106)

107)

ˆ tác dụng lên hàm Φ(n1, Để phù hợp với nguyên lí Paoli toán tử Cˆ +k và C 1

…,nk,…nl,…) được xác định như sau: Cˆ k+ Φ (n1 , n 2 ,..., n k ,..., n l ) = θ k (1 − n k )Φ (n1 , n 2 ,..., (1 − n k ),..., n l ...) (7

ˆ Φ (n , n ,..., n ,..., n ) = θ n Φ (n , n ,..., n ,...(1 − n ),...), (7 C l l 2 k l l 1 1 2 k l

–

–

108)

109)

Trong đó θ1 = (− 1)υ1 , θ k = (− 1)υ k với υ1 = n1 + n 2 ... + n l −1 , υ k = n1 + n 2 + ... + n k −1

(7 – 110)

(υ1 bằng tổng tất cả số chất đầy đứng trước n1). Chú ý rằng nk = 0,1 nên n…đặt 1 – nk = n’k ta có: ˆ Φ (n ,..., n ,...) = θ n Φ (n ,..., n ' ,...) C k 1 k k k l k

(7 – 111)

Cˆ +k Cˆ k Φ (n1 ,..., n k ,...) = θ k n k Cˆ +k Φ (n l ,..., n ' k ,...) Cˆ +k Cˆ k Φ (n1 ,..., n k ,...) = θ k n k θ k (1 − n ' k )Φ (n l ,..., (1 − n ' k ),... )

Vì 1 – n’1 = nk, θ 2k = 1 , n 2k = n k nên ta có: Cˆ +k Cˆ k Φ (n1 ,..., n k ,...) = n k Φ (n l ,..., n k ,...)

(7 – 112)

Từ đây ta thấy rằng toán tử nˆ k = Cˆ k+ Cˆ k là toán tử số hạt nk = 0,1 là trị riêng của toán tử nˆ k và Φ(n1,…,nk...) là hàm riêng của nˆ k . Từ việc xác định các toán tử Cˆ k+ , Cˆ l tác dụng lên hàm Φ(n1,…,nk...) trên dễ nghiệm thấy rằng giữa các toán tử

Cˆ k+ , Cˆl tồn tại các hệ thức phản giao hoán:

{Cˆ1, Cˆk+ }= δlk , {Cˆl ,Cˆk }= 0, {Cˆl+ , Cˆk }= 0

(7 – 113)

{ }

ˆ ,B ˆB ˆ ˆ =A ˆ +B ˆA Ở đây kí hiệu A Bây giờ ta biểu diễn toán tử Ĥ0 qua toán tử Cˆ k+ , Cˆ kl sao cho giá trị E0 của hệ vẫn như cũ. ˆ 0Φ (n1 , n 2 ,.., n k ,...)E 0Φ (n1 ,..., n k ,....) H

(7 – 114)

ˆ Φ ( n ,..., n ,...) = ∑ E k n k Φ (n1 ,..., n k ,...) = ∑ E k Cˆ +k C k 1 k

(7 – 115)

k

k

Từ đây ta có: ˆ 0 = ∑ E k Cˆ k+ Cˆ k H

(7 – 116)

k

Trong đó Ek là năng lượng của một hạt êlectrôn. Kết quả này cũng có thể ˆ tương nhận được bằng cách sau. Ta biết rằng Ψk(ξ) là hàm riêng của toán tử H ứng với trị riêng Ek. Khai triển hàm Ψ(ξ) theo hệ hàm riêng trực giao và chuẩn hoá ta có: Ψ (ξ) = ∑ C k Ψk (ξ)

(7 – 117)

k

Trong đó Ck là hệ số khai triển. Trị trung bình năng lượng của một êlectrôn ở trạng thái Ψ(ξ) bằng: ˆ (ξ)dξ = ∑ E C* C ˆ (ξ)Ψ E = ∫ Ψ * (ξ)H k k k

(7 – 118)

k

Nếu thay C k → Cˆ k , C*k → Cˆ +k thì ta có:

ˆ (ξ) = ∑ Cˆ Ψ (ξ) Ψ (ξ) → Ψ 1 1

(7 – 119)

ˆ + (ξ) = ∑ C ˆ + Ψ * (ξ) Ψ* (ξ) → Ψ k k

(7 – 120)

1

k

+ + ˆ0 = Ψ E→H ∫ ˆ (ξ)HˆΨk (ξ)dξ = ∑ < k' Hˆ k > Cˆ k Cˆ k

(7 – 121)

k' k

ˆ nghĩa là H ˆ Ψk =Ek Ψk thì nhận được: Khi Ψk(ξ) là hàm riêng của H ˆ k >= Ψk* (ξ)H ˆ Ψk (ξ)dξ = E k δ kk ' < k' H ∫

ˆ 0 = ∑ E k Cˆ k+ Cˆ k H

(7 – 122)

k

Nếu hệ các êlectrôn tương tác với nhau thì toán tử Haminton của hệ có dạng: Ĥ = Ĥ0 + ĤI

(7 – 123)

(

)

ˆ 1 = 1 ∑ W ξi , ξ j …. i ≠ j với W (ξ i , ξ j ) là thế tương tác cặp hạt i và j. Trong đó H 2 ij

Trị trung bình của thế năng tương tác cặp ứng với một hạt trong trạng thái Ψ(ξi),Ψ(ξj) bằng:

[

(

) ( ) ]

1 1 W = ∫ Ψ * (ξi ) ∫ Ψ * (ξ1 )W ξi , ξ j Ψ ξ j dξ j Ψ (ξi )dξi (7 2 2

–

124)

Đặt:

( )

( )

Ψ ξ j = ∑ C p Ψp ξ j , Ψ (ξi ) = ∑ Cq Ψ (ξi ) p

( )

q

( ) ( )

Ψ * ξ j = ∑ C1*Ψ1* ξ j , Ψ* ξ j = ∑ C*k Ψk* (ξi )

(7 – 125)

1 1 W = ∑ < kl W pq > .C*k C*lC p Cq 2 2 klpq

(7 – 126)

1

k

Ta tìm được:

Trong đó

( ) (

) ( )

< kl W pq >= ∫ Ψk* (ξi )Ψl* ξ j W ξi , ξ j Ψp ξ j Ψq (ξi )dξi dξ j .

Nếu thay

ˆ + , C* → C ˆ +,C → C ˆ ,C → C ˆ thì C*k → C k l l p p q q

( )

1 ˆ + (ξ )Ψ ˆ + ξ W(ξ , ξ ) Ψ ˆ (ξ )Ψ ˆ ( ξ )dξ dξ ˆI=1 Ψ W→H i j i j j i i j ∫ 2 2

=

1 < kl W pq > .Cˆ k+ Cl+ C p Cq ∑ 2 kl

(7 – 127)

pq

Toán tử Haminton của hệ êlectrôn tương tác bây giờ được viết dưới dạng: ˆ = ∑ E k Cˆ k+ Cˆ k + 1 ∑ < kl W pq > Cˆ k+ Cˆl+ Cˆ p Cˆq H 2 kl k

(7 – 128)

pq

Đây là biểu thức của toán tử Ĥ trong lí thuyết lượng tử hoá lần thứ hai (trong phép lượng tử lần đầu ta thay toạ độ bằng toán tử toạ độ, thay xung lượng bằng toán tử xung lượng, thay năng lượng bằng toán tử Haminton, giải phương trình Srôđingơ tìm năng lượng và hàm sóng. Trong phép lượng tử hóa lần thứ hai ta coi hàm sóng như trường cổ điển và thay hàm sóng bằng toán tử trường). 4. TƯƠNG TÁC GIỮA ÊLECTRÔN VÀ PHÔNÔN Tương tác giữa êlectrôn và phônôn cho ta một loạt hiệu ứng quan trọng. Tán xạ của êlectrôn lên phônôn dẫn đến chuyển êlectrôn từ trạng thái với vectơ sóng r r k' đến một trạng thái khác với vectơ sóng k' . Quá trình này là nguyên nhân xuất hiện điện trở trong tinh thể. Tương tác giữa êlectrôn dẫn với phônôn gây ra sự hấp

thụ (hay bức xạ) phônôn. Quá trình này là nguyên nhân cơ bản của sự tắt dần sóng ngắn trong kim loại. Tương tác giữa êlectrôn và phônôn dẫn đến sự hút nhau của cặp êlectrôn do hấp thu và bức xạ phônôn ảo. Kết quả này dẫn đến hiện tượng siêu dẫn. Thế năng tương tác của êlectrôn khi tinh thể không bị nhiễu loạn được xác định từ công thức: r r r r r r r U (r ) = ∑ U 0 (r − n ) , n = n1a1 + n 2a 2 + n 3a 3 r n

r Nếu hạt nhân ở nút n dịch chuyển một vectơ bé

r unr thì thế năng của êlectrôn

sẽ thay đổi và trở thành: r r r r r U ( r ) + ΔU (r ) = ∑ U 0 (r − n − u nr )

(7-130)

r n

Vì

r unr bé nên gần đúng ta có: r r r r r r r r U 0 ( r − n − u nr ) = U 0 ( r − n ) − u nr ∇U 0 ( r − n )

(7-131)

r r r r ΔU( r ) = ∑ −u nr ∇U 0 ( r − n )

(7-132)

r n

Vectơ dịch chuyển trong lí thuyết dao động mạng có dạng: 1/ 2

⎛ ⎞ r r ri qrnr r h * u nr = ∑ ⎜ r ⎟ e j (q )e {a qrj + a −qrj } r ⎜ 2 N Mω (q ) ⎟ qj 0 j ⎝ ⎠ r r r r ( e j (− q ) = e*j (q ) vì

(7-133)

r unr là thực)

trong đó j là chỉ số ngành dao động (j = 1,2,3), N0 là số ô cơ bản của tinh thể, r r r r M là khối lượng của ion, q là vectơ sóng dao động, ω j (q ) là tần số dao động, e j (q ) là vectơ xác định sự phân cực. Chuyển từ lí thuyết dao động cổ điển sang lí thuyết r r dao động lượng tử ta thay vectơ dịch chuyển u r bằng toán tử uˆ r . Khi đó n

n

n

a qrj → aˆ qrj là toán tử huỷ phônôn và a *qrj → aˆ q+rj là toán tử sinh phônôn: 1/ 2

⎛ ⎞ r h ⎟ uˆ nr = ∑ ⎜ r r ⎜ 2 N Mω (q ) ⎟ 0 j qj ⎝ ⎠

{

r r ri qrnr r e j (q )e aˆ qj + aˆ *− qrj

}

(7-134)

Ta đã biết toán tử Haminton của hệ êlectrôn không tương tác với nhau và các ion coi như không dao động có dạng: + ˆ0 = Ψ H ∫ ˆ (ξ)HˆΨˆ (ξ)dξ

h 2∇ 2 ˆ r ˆ (rr ) thay bằng ˆ trong đó H = − + U ( r ) . Khi U 2m

(7-135)

ˆ (rr ) + ΔU ˆ thì H ˆ →H ˆ + ΔU ˆ và H ˆ0→H ˆ0+V ˆ trong đó: U ˆ + (ξ)ΔU ˆ (ξ)dξ = Ψ ˆ + (ξ)⎛⎜ ∑ −urˆ r ∇U ⎞⎟ Ψ ˆ ˆ = Ψ ˆ (rr )Ψ V n 0 ⎟ (ξ)dξ ∫ ∫ ⎜ r ⎝n ⎠

(7-136)

ˆ là toán tử mô tả sự tương tác giữa êlectrôn và phônôn. Biểu diễn Toán tử V ˆ (ξ) qua Cˆ r urˆ r qua aˆ r và aˆ + r ta viết được: ˆ + (ξ) qua Cˆ + , Ψ các toán tử Ψ qj − qj k' k n ˆ = V

r − qj

Vj (q )Cˆ k+r + qr Cˆ kr (aˆ qrj + aˆ − qrj ), (V* (q ) = V (− q )) ∑ r r r

r

(7-137)

q,k, j

r r Hay thay q → −q trong tổng thứ hai ta có: ˆ = V

ˆ r aˆ qrj , Vj* (q )C ˆ +r r Cˆ r aˆ +r } { Vj (q )Cˆ +kr + qr C ∑ k k − q k qj r r r

r

(7-138)

q, k, j

Tương tác giữa êlectrôn và phônôn được biểu diễn bằng các đồ thị trên hình 7.9a và 7.9b.

Hình 7.9 Trong các đồ thị đó, huỷ hạt được biểu diễn bằng các vectơ đi đến đỉnh O và sinh hạt được biểu diễn bằng các vectơ từ đỉnh O đi ra. Chuyển êlectrôn từ trạng thái với vectơ sóng k sang trạng thái kđược khảo sát như huỷ một êlectrôn ở trạng thái với vectơ sóng k và sinh một êlectrôn ở trạng thái k. Từ những cấu trúc đồ thị đỉnh mô tả các quá trình tương tác của êlectrôn và phônôn nói trên ta có thể xây dựng đồ thị khác phức tạp hơn cũng mô tả các quá trình tương tác có thể có giữa êlectrôn và phônôn như trên hình 7.10a và 7.10b

Hình 7.10a

Hình 7.10b

Các quá trình này có sự tham gia của hai êlectrôn, một êlectrôn phát xạ r phônôn và êlectrôn khác hấp thụ phônôn. Trong điều kiện hω(q ) > E kr − E kr − qr các quá trình này dẫn đến có sự hút nhau giữa các êlectrôn. Tahãy chỉ ra điều đó. Để đơn giản ta khảo sát tương tác giữa êlectrôn và phônôn đối với một nhánh dao r động (bỏ qua sự phụ thuộc của ω(q ) vào j). Trước hết ta tính năng lượng tương tác hiệu dụng của một cặp êlectrôn thông qua trường phônôn ảo (một êlectrôn phát xạ phônôn và một êlectrôn khác hấp thụ phônôn). Thế năng tương tác giữa các ˆ được coi là nhiễu loạn bé. Trong gần đúng bậc hai của lí êlectrôn và phônôn V thuyết nhiễu loạn, năng lượng cặp êlectrôn được tính theo công thức

ˆ Φ0 > +∑ E = E0 + < Φ 0 V

ˆ Φ0 > < Φn V

n

E0 − E n

2

(7-139)

r Trong đó E0 = E + E kr ' là năng lượng của một cặp êlectrôn có xung lượng hk và

)

(

r hk' khi không có phônôn, Φ 0 = Φ 0 0qr ,1kr ,0 kr − qr ,1kr ' ,0 kr ' + qr , là hàm sóng của cặp êlectrôn

khi không nhiễu loạn (khi không có phônôn), En và Φn là năng lượng và hàm sóng của hệ (hai êlectrôn và một phônôn) ở trạng thái trung gian. Chú ý rằng aˆ qr Φ 0 = 0 và hàm aˆ q+r Φ 0 là hàm sóng có một phônôn trực giao với hàm sóng không có phônôn Φ0 ˆ Φ 0 >= 0 .Vậy năng lượng của cặp nghĩa là Φ 0 aˆ q+r Φ 0 >= 0 cho nên ta có < Φ 0 V

êlectrôn trong trường phônôn có dạng:

E = E0 + ∑ n

mỗi số hạng

ˆ Φ0 > < Φn V E0 − E n

ˆ Φ0 > < Φn V E0 − E n

2

(7-140)

2

là năng lượng tương tác, tương ứng với một đồ

thị hai đỉnh trên hình 7.10a hay hình 7.10b. Ta tính năng lượng tương tác hiệu dụng của một cặp êlectrôn tương ứng với đồ thị hình 7.10a và 7.10b sau đó cộng năng lượng tương tác tương ứng với hai đồ thị này lại ta tìm được năng lượng r tương tác của cặp êlectrôn khi q đã cho. Trên đồ thị hình 7.10a êlectrôn có xung r lượng hk có năng lượng E kr phát xạ phônôn trước, sau đó êlectrôn có xung lượng r hk' , có năng lượng E kr ' hấp thụ phônôn này. Quá trình trung gian xảy ra kể từ lúc êlectrôn đầu phát xạ phônôn và êlectrôn thứ hai hấp thụ phônôn. Trên đồ thị hai đỉnh hình 7.10a và hình 7.10b các quá trình trung gian xảy ra nằm trong vùng giới hạn bởi hai đường thẳng chấm chấm nằm ngang. Năng lượng và hàm sóng của hệ trong trạng thái trung gian trên đồ thị hình 7.10a sẽ là:

r E n ≡ E (qra ) = E kr −qr + E kr ' + hω(q )

(

Φ n ≡ Φ (qra ) 1qr ,0 kr ,1kr −qr ,1kr ' ,0 kr +qr

)

(7-141)

Năng lượng tương tác của một cặp êlectrôn tương ứng với đồ thị hình 7.10a bằng:

v (a ) =

2 ˆ Φ0 > < Φ q(ra ) V

(

E kr + E kr ' − E kr − qr

r 2 V(q ) r r = + E kr ' + hω(q ) E kr − E kr − qr − hω(q )

)

(7-142)

r Trên đồ thị hình 7.10b êlectrôn có xung lượng hk' phát xạ phônôn trước, sau r đó êlectrôn có xung lượng hk hấp thụ phônôn này. Năng lượng và hàm sóng của hệ trong trạng thái trung gian có dạng: r E n = E q(rb ) = E kr + E kr ' + qr + hω(− q )

(

Φ n ≡ Φ q(rb ) 1−qr ,0 kr ,1kr −qr ,1kr ' ,0 kr ' + qr

)

(7-143)

r r ˆ có thể viết dưới dạng (thay Chú ý rằng ω(q ) = ω(− q ) và biểu thức của V r r k → k' ):

ˆ = V

ˆ +r r C ˆ r (aˆ r + aˆ + r ) ( ) V q C ∑ −q k ' +q k q rr r

(7-144)

q, k '

ˆ Φ 0 = V (qr )Φ (rb ) và Ta có: V q

v (b ) =

2 < Φ q(rb ) V Φ 0 >

[

E kr + E kr ' − E kr + E kr + qr

r 2 V(q ) r = r + hω(q ) E kr ' − E kr + qr − hω(q )

]

(7-145)

Năng lượng tương tác hiệu dụng của một cặp êlectrôn thông qua trường r phônôn khi q đã cho được xác định bằng công thức: r v (q ) = v (a ) + v (b ) ⎫⎪ r 2 ⎧⎪ 1 1 = V (q ) ⎨ r + r r ⎬ r r r ⎪⎩ E k − E k − qr − hω(q ) E k − E k ' − qr − hω(q ) ⎪⎭

(7-146)

Ở trạng thái đầu và trạng thái cuối (biểu diễn trên đồ thị hình 7.10a và 7.10b) hai êlectrôn không tương tác vớinhau. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: E kr + E kr ' = E kr − qr + E kr ' + qr hay E kr ' − E kr ' + qr = −( E kr − E kr − qr )

Từ đây suy ra:

(7-147)

r v (q ) =

(E

r r 2 2hω(q ) V(q ) r k

− E kr − qr

) − (hω(qr )) 2

2

( )

r r ≡ 2 W q, k

(7-148)

r r Khi E kr − E kr − qr < hω(q ) thì v (q ) < 1 và khi đó hai êlectrôn hút nhau. Thế năng tương tác cặp êlectrôn thông qua trường phônôn tương ứng với một êlectrôn là r r W q, k .

( )

Toán tử tương tác giữa các êlectrôn thông qua trường phônôn trong biểu diễn r lượng tử hoá lần thứ hai ứng với mọi giá trị của q có dạng: r + ˆ r rC ˆ +r r C ˆ r Cˆ r ˆ ee = ∑ W qr, k C (7-149) H k ' + q k ' −q k k ' r r r q, k, k '

( )

r Các êlectrôn chỉ hút nhau khi E kr ± qr − E kr < hω(q ) còn trong các trường hợp còn

lại chúng đẩy nhau. Ngay trong vùng tương tác hút, các êlectrôn cũng chịu lực đẩy r Culông. Tuy nhiên, nếu v (q ) đủ lớn thì lực hút giữa các êlectrôn vẫn thắng lực đẩy. Đối với vật siêu dẫn, để đơn giản trong việc nghiên cứu ta coi rằng vùng hút nhau giữa các êlectrôn xảy ra khi − hωD < E kr , E kr ± qr < hωD

(7-150)

Trong đó ωD là tần số Đơbai, E kr là năng lượng của một êlectrôn tính từ mức Fecmi. 5. LÍ THUYẾT BCS (Bardeen J. Cooper L. N, Schrieffer J. R) Lí thuyết về cặp Cupơ cho phép ta mô tả trạng thái siêu dẫn. Theo các tác giả của lí thuyết BCS trong toán tử Haminton của hệ êlectrôn mô tả các hiện tượng siêu dẫn chỉ có các số hạng liên hệ với cặp êlectrôn có xung lượng và spin ngược chiều và có độ lớn xung lượng bằng nhau (cặp Cupơ). Hàm sóng ở trạng thái cơ bản Φ(0) của hệ êlectrôn siêu dẫn không phải tổ hợp tuyến tính từ tất cả các hàm sóng của hệ êlectrôn không tương tác Φ (n1, n2, …) mà tổ hợp tuyến tính từ các hàm sóng mà trong đó những êlectrôn của hệ chỉ ở dưới dạng cặp Cupơ. Dưới đây r ta sẽ quy ước trạng thái của êlectrôn được mô tả bằng vectơ sóng k có spin r hướng lên phía trên (↑ ) là K và trạng thái của êlectrôn có vectơ sóng − k và spin

hướng xuống phía dưới (↓ ) là – K. Ngoài ra ta luôn luôn giả thiết rằng Ex = E-K.

Toán tử Haminton của hệ êlectrôn siêu dẫn được chọn dưới dạng:

(

)

ˆ = ∑ E K Cˆ +K Cˆ K + Cˆ +− K Cˆ − K + H K

∑ W(K, K')Cˆ +K 'Cˆ +− K 'Cˆ − K Cˆ K

K, K'

(7-151)

trong đó EK là năng lượng của một êlectrôn tính từ mức Fecmi và trạng thái K’ tương ứng với k+q và spin hướng lên trên (K’). Đưa vào toán tử sinh cặp Cupơ và toán tử huỷ cặp Cupơ như sau:

Các toán tử bˆ +K và bˆ K tác dụng lên hàm sóng với biến là số cặp Cupơ Φ (….nK, n-K, …) với nK = n-K = 0,1 (nK, n-K gọi là số chất đầy). Chú ý rằng nKn-K = nK= nˆ+ ˆ ˆ + ˆ + Cˆ Cˆ = Cˆ + Cˆ Cˆ + Cˆ ta có: K, 2nK = 2n-K = nK + n-K và b b = C C K K

K

−K −K

K

K

K

−K −K

ˆ Φ (..., n , n ,...) = 2 bˆ +K bˆ K Φ (..., n K , n − K ,...) = 2Cˆ +K Cˆ K Cˆ +− K C K −K −K = 2n K n − K Φ (..., n K , n − K ,...) = 2 n K Φ (..., n K , n − K ,...) = = (n K + n − K )Φ (..., n K , n − K ,...) = ˆ +− K C ˆ − K )Φ (..., n K , n − K ,...) = (Cˆ +K Cˆ K + C

Toán tử Haminton của hệ êlectrôn siêu dẫn bây giờ có thể được viết dưới dạng: ˆ = ∑ 2 E K bˆ +K bˆ K + H K

∑ W(K, K')bˆ +K ' bˆ K

(7-153)

K, K'

Trong cơ học lượng tử, ta có thể biến đổi cả toán tử và hàm sóng miễn sao cho các trị riêng, trị trung bình, các yếu tố ma trận của các đại lượng vật lí không ˆ về một dạng mới thuận tiện thay đổi là được. Ta thực hiện phép biến đổi toán tử H hơn cho việc mô tả những đặc tính vật lí của hệ siêu dẫn. Đáng lẽ dùng các toán tử ˆ hay bˆ + , bˆ ta đưa vào các toán tử sinh và các toán tử huỷ Fecmi mới Cˆ +K , C K K K αˆ +K và αˆ K như sau:

Trong đó uK, vK là những thông số thực thoả mãn một số điều kiện xác định. Khi thay K bằng – K thì αˆ K chuyển thành αˆ − K và αˆ +K chuyển thành αˆ +− K . Điều này chỉ xảy ra khi: uK = u- K, vK = - v-K

(7-155)

Đòi hỏi để các toán tử αˆ K , αˆ +K là những toán tử huỷ và toán tử sinh chuẩn hạt Fecmi thì giữa các toán tử αˆ +K , αˆ K tồn tại các hệ thức phản giao hoán:

{αˆ K , αˆ +K' }= αˆ K αˆ +K' + αˆ +K'αˆ K = δKK' {αˆ K , αˆ K ' } = 0, {αˆ K , αˆ +K ' }= 0 Cˆ +K

(7-156)

Từ các hệ thức (7-156) và dùng các hệ thức phản giao hoán của các toán tử ˆ ta tìm được: và C K

u 2K + v 2K = 1

(7-157)

ˆ và Cˆ + qua αˆ và αˆ + Ta có thể thực hiện phép biến đổi ngược lại nghĩa là C K K K K

như sau: Cˆ K = u K αˆ K + v K αˆ +K , Cˆ − K = u K αˆ − K − v K αˆ +K Cˆ +K = u K αˆ +K + v K αˆ − K , Cˆ +− K = u K αˆ +− K − v K αˆ − K

(7-158)

Đặt các hệ thức (7-158) vào (7-151) ta viết được biểu thức của toán tử Haminton dưới dạng: ˆ =H ˆ0+H ˆ1+H ˆ2 +H ˆ3+H ˆ4 H

(7-159)

Trong đó: ˆ 0 = ∑ 2 E K v 2K + H K

∑ W(K, K')u K v K u K ' v K '

K, K '

(

)

⎧ ⎫ ˆ 1 = ∑ ⎨ E K u 2K − v 2K − 2 u K v K ∑ W(K, K')u K ' v K ' ⎬ N ˆK +N ˆ −K H ⎭ K ⎩ K' ˆ = H 2

∑ W(K, K')u

K

(

(

)(

ˆ +N ˆ ˆ ˆ vK u K'vK' N K −K N K ' + N −K '

)

)

K ,K '

(

)

ˆ 3 = ∑ αˆ +K αˆ +− K + αˆ − K αˆ K hˆ K H K

(

hˆ K = 2 E K u K v K + u 2K − v 2K

)∑ W(K, K')u K' v K' (1 − Nˆ K' − Nˆ − K' ) K'

ˆ K = αˆ +K αˆ K , N ˆ − K = αˆ +− K αˆ − K N

ˆ4= H

∑ W(K, K'){u 2K αˆ +K αˆ +− K − v 2K αˆ − K αˆ K }{u 2K ' αˆ − K 'αˆ K ' − v 2K 'αˆ +K 'αˆ +− K ' }

(7-160)

K, K'

Các toán tử αˆ +K và αˆ K là toán tử sinh và toán tử huỷ chuẩn hạt Fecmi, toán ˆ K là toán tử số chuẩn hạt Fecmi. Ở trạng thái cơ bản của hệ êlectrôn siêu dẫn tử N

không tồn tại một chuẩn hạt Fecmi nào cho nên hàm sóng Φ(0) mô tả trạng thái cơ bản của hệ êlectrôn siêu dẫn cũng là hàm sóng mô tả trạng thái chân không của hệ chuẩn hạt Fecmi. Gọi Φ(NK) là hàm riêng của toán tử NK tương ứng với trị riêng NK, ta có: ˆ K Φ (N K ) = N K Φ (N K ), N K = 0,1; N

(7-161)

Φ (N K ) = (αˆ +K ) Φ (0 ), αˆ K Φ (0 ) = 0

(7-162)

NK

Hệ hàm riêng Φ(NK) là trực giao và chuẩn hoá cho nên: =1

(7-163)

< Φ (N K ), αˆ +K αˆ +− K Φ (N K ) >= 0 , < Φ (N K ), αˆ − K αˆ K Φ (N K ) >= 0

(7-164)

ˆ 3 là không Những số hạng có chứa ( αˆ +K αˆ +− K + αˆ − K αˆ K ) trong biểu thứ của H

chéo hoá, ta có thể chọn thông số uK (hoặc vK) sao cho trị riêng của toán tử hˆ bằngkhông nghĩa là: K

(

2 E K u K v K + u 2K − v 2K

)∑ W(K, K')u K' v K' (1 − N K' − N − K' ) = 0

(7-165)

K'

ở đây NK’, N-K’ = 0,1. Phù hợp với điều kiện (7-165) ta có thể viết: ˆ 3 , Φ>= 0 = E0 + E 1 + E 2 E = 0 và

khi k < kF thì EK > 0. Biểu thức của E0 có thể được viết lại như sau: ⎧ ⎧ Δ20 ⎫ Δ20 ⎫ ⎪⎪ E K [ε K − E K ] − 2 ⎪⎪ ⎪⎪ E K [ε K − E K ] − 2 ⎪⎪ E0 = ∑ ⎨ + ⎬ ∑⎨ ⎬ εK εK k >k ⎪ ⎪ k k ⎪ ⎪ k >k ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎧E2 Δ2 ⎫ = −2 ∑ ⎨ K + 0 ⎬ 2ε K ⎭ k >k ⎩ ε K F

F

(7-205)

F

Gọi E0N là năng lượng của hệ êlectrôn nói ở trên khi chuyển sang trạng thái thường. Ta tính E0N và xác đọmk ∆E = E0N – E0. Ta có:

E 0 N = ∑ (E K + E − K ) = 2 K

∑ EK

(7-206)

kk F

Từ các hệ thức (7-205) và (7-207) ta tìm được:

(7-207)

ΔE = E 0 N − E 0 = −2

⎧⎪ E 2K Δ20 ⎫⎪ E − ∑ ⎨⎪ K ε − 2ε ⎬⎪ K K⎭ k>kF ⎩

(7-208)

Hay: ΔE = −2Ω

hω D

∫

0

⎧ ⎫ Δ20 E2 ⎪ ⎪ − ⎨E − ⎬Z(E )dE E 2 + Δ20 2 E 2 + Δ20 ⎪⎭ ⎪⎩

(7-209)

Ở gần mặt Fecmi, gần đúng coi Z (E) = ZF = const ta tính được: 2⎫ ⎧ ⎛ Δ0 ⎞ ⎪ ⎟⎟ ⎬ ⎨1 − 1 + ⎜⎜ ω h ⎝ ⎠ ⎪ D ⎪⎩ ⎭

2⎪

ΔE = − Z FΩ(hωD )

(7-210)

2

⎛ Δ ⎞ Khi ⎜⎜ 0 ⎟⎟ 0 2

Mật độ năng lượng của từ trường là

(7-211)

B2 . Năng lượng của từ trường cần thiết 2μ 0

để chuyển hệ từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường trong thể tích Ω bằng: B2 Ω Ω = ΔE ≈ Z F Δ20 2μ 0 2

(7-212)

μ0Z F Δ 0

(7- 213)

Từ đây suy ra: Bc =μ0 Hc ≈

Sự tồn tại khe năng lượng ∆0 dẫn đến tồn tại một từ trường tới hạn Hc. Vì ∆0 1 ~ωD ~ 1 2 cho nên ta có: M Hc M1/2 = const

(7-214)

Tiếp theo ta xác định hàm sóng của hệ êlectrôn siêu dẫn ở trạng thái cơ bản Φ(0) Trạng thái cơ bản Φ(0)là trạng thái chân không đối với chuẩn hạt Fecmi (EK = E- K=0). Điều đó có nghĩa rằng: αˆ K Φ (0) = 0

(7-215)

Gọi Φe (0) là trạng thái chân không đối với êlectrôn (trạng thái không có một êlectrôn nào). Chú ý rằng: ˆ Φ (0) = 0 , C ˆ Φ (0) = 0 và bˆ + = Cˆ + Cˆ + ta có: C K e −K e K K − K'

(

)( )

)

ˆ + u Cˆ + v C ˆ+ αˆ − K αˆ K Φ e (0) = u K Cˆ − K + v K C K K K K − K Φ e (0) = − v K u K + v K bˆ +K Φ e (0)

(

Hay −

(

)

αˆ − K αˆ K Φ e (0) = u K + v K + bˆ +K Φ e (0) vK

Hàm sóng Φ(0) là hàm sóng chân không cặp Cupơ (không có cặp Cupơ nào) và hàm sóng bˆ +K Φe(0) cũng là hàm sóng của một cặp Cupơ. Hàm sóng uKΦe(0)+vK bˆ +K Φe(0) là tổ hợp tuyến tính các hàm sóng Φe(0) và bˆ +K Φe(0) cũng là hàm sóng mô tả một trạng thái khả dĩ của cặp Cupơ. Hàm sóng

(

)

Φ (0) = ∏ u K + v K bˆ +K Φ e (0)

(7-216)

K

Mô tả trạng thái cơ bản của hệ êlectrôn siêu dẫn. Ta hãy chứng minh rằng αˆ K Φ(0)= 0. Thật vậy nếu sử dụng các hệ thức: αˆ K , αˆ K ' = 0, αˆ K αˆ K ' = − αˆ K ' khi K ≠ K’

(αˆ − K αˆ K )(αˆ − K ' αˆ K ' ) = (αˆ − K 'αˆ K )(αˆ − K αˆ K ) Thì ta có: ⎛ αˆ αˆ ⎞ αˆ K ' Φ (0 ) = −αˆ K ' ∏ ⎜⎜ −K K ⎟⎟Φ e (0 ) vK ⎠ K ⎝ ⎛ αˆ αˆ ⎞ ⎛ αˆ αˆ = −αˆ K ' ⎜⎜ −K ' K ' ⎟⎟ ∏ ⎜⎜ −K K ⎝ v K ' ⎠ K ≠ K '⎝ v K ⎛ αˆ αˆ ⎞ ⎛ αˆ αˆ = αˆ −K ' ⎜⎜ K ' K ' ⎟⎟ ∏ ⎜⎜ −K K ⎝ v K ' ⎠ K ≠ K '⎝ v K

⎞ ⎟⎟Φ e (0 ) ⎠

(7-217)

⎞ ⎟⎟Φ e (0) ⎠

Vì αˆ K , αˆ K ' = 0 cho nên αˆ K Φ(0) = 0. Đó là điều cần chứng minh. Hàm sóng Φ(0) trong công thức (7-216) cũng có thể viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàm sóng của các cặp Cupơ.

(

)

Φ(0 ) = ∏ u K + v K bˆ K+ Φ e (0 ) K

⎛ v ⎞ = ∏ u K ⎜⎜1 + K bˆ K+ ⎟⎟Φ e (0 ) K ⎝ uK ⎠ vK ˆ + v v ⎫ ⎧ b K + ∑ K L bˆ K+ bˆ L+ + ⎪ ⎪1 + ∑ K uK K ,L u K u L ⎪ ⎛ ⎞⎪ = ⎜ ∏ u K ⎟⎨ ⎬Φ e (0 ) vK vL vM ˆ + ˆ + ˆ + ⎝ K ⎠⎪ ⎪ b K b L b M + ... ⎪⎭ ⎪⎩K∑ ,L ,M u K u L u M ⎛ ⎞ = ⎜ ∏ u K ⎟{Ψ0 + Ψ1 + Ψ2 + Ψ3 + ...} ⎝ K ⎠

ở đây Ψ0 = Φ e (0), Ψ1 = ∑ K

Ψ2 =

v

vK ˆ + b K Φ e (0) uK

v

∑ u K . u L bˆ +K bˆ+LΦ e (0)...

K, L K

L

Biết được hàm sóng mô tả trạng thái cơ bản của hệ siêu dẫn ta có thể viết hàm sóng mô tả trạng thái kích thích của hệ siêu dẫn. Trạng thái của một chuẩn hạt hay trạng thái kích thích đơn hạt được mô tả bằng hàm sóng αˆ +K ' Φ(0) và trạng thái của một cặp chuẩn hạt hay trạng thái kích thích cặp hạt được xác định bằng hàm sóng αˆ +K ' αˆ +K Φ(0). Năng lượng bé nhất để chuyển từ trạng thái cơ bản Φ(0) về trạng thái kích thích cặp hạt αˆ +K Φ(0)là (εK)min = ∆K và về trạng thái kích thích cặp hạt αˆ +K αˆ +− K Φ(0) là(εK + ε- K)min = (2εK)min = 2∆K. Giữa mức cơ bản E0 và mức kích thích đầu tiên E0 + ∆K không tồn tại một mức năng lượng nào khác. Trong ý nghĩa này người ta nói rằng có một khe năng lượng ∆K. Trong lí thuyết siêu dẫn, đại lượng 2∆K gọi là bề rộng của khe năng lượng. Đó là năng lượng bé nhất cần thiết để tách hai êlectrôn của cặp Cupơ và chuyển chúng từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường. Sự tồn tại khe năng lượng cho phép chúng ta giải thích được nhiều tính chất siêu dẫn. 6. SIÊU DẪN NHIỆT ĐỘ CAO Từ khi khám phá ra hiện tượng siêu dẫn (năm 1911) mãi đến năm 1973 người ta mới tạo được chất siêu dẫn Nb3Ge có nhiệt độ tới hạn Tc = 23,3 K. Từ năm 1973 đến năm 1985 hầu như không có một công trình nào công bố tìm được chất siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn cao hơn 23,3 K. Cuối năm 1986 tại phòng thí nghiệm vật lí của hãng IBM ở Zurich (Thuỵ Sĩ) G. Bednorz và Muller đã tìm được chất siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn Tc = 35 K. Theo hướng nghiên cứu tìm các chất siêu dẫn nhiệt độ cao này trong những năm 1987 – 1988 và năm 1989 nhiều nhà vật lí đã tìm được nhiều chất siêu dẫn nhiệt độ cao. Hợp chất La1,8 Cr0,2 CuO4 có nhiệt độ tới

hạn Tc = 30 K, hợp chất ErBa2Cu3O7 có Tc = 95 K, hợp chất Yba2Cu3O7 có Tc = 97 K, chất siêu dẫn trên cơ sở Ta – Ca – Ba – Cu – O do P. Grant và cộng sự tìm ra có nhiệt độ tới hạn khác nhau tuỳ thuộc vào cấu trúc của vật liệu có các lớp oxit đồng khác nhau. Nhiệt độ tới hạn Tc tăng lên từ 80 K đến 105 K rồi đến 125 K khi lớp oxit đồng tăng từ 1 đến 2 rồi 3 theo thứ tự tương ứng. Theo Grant, nếu chế tạo được vật liệu siêu dẫn trên cơ sở Ta – Ca – Ba – CuO với cấu trúc 10 lớp oxit đồng thì nhiệt độ tới hạn của vật liệu này có thể đạt tới 200 K. Ý tưởng này chưa được thực nghiệm chứng minh. Có thể những vật liệu như vậy ở trạng thái không bền vững. Việc khám phá nhiệt độ tới hạn của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao phụ thuộc mạnh vào cấu trúc của chúng làm chúng ta cần xem xét những hạn chế của lí thuyết vi mô về siêu dẫn BCS và cần tiếp tục nghiên cứu phát triển thêm. Hiện nay ở rất nhiều phòng thí nghiệm vật lí trên thế giới đã chế tạo được nhiều chất siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn cao hơn nhiệt độ sôi của nitơ lỏng (77 K). Kết quả này hết sức quan trọng vì làm lạnh các vật liệu siêu dẫn bằng nitơ lỏng rẻ hơn bằng hêli lỏng hàng chục lần. Điều này dẫn đến khả năng ứng dụng rộng rãi chất siêu dẫn nhiệt độ cao vào đời sống thực tế.

Phu Luc Hằng số

Tốc độ ánh sáng trong chân không Điện tích nguyên tố Khối lượng êlêctrôn Khối lượng proton Tỉ số khối lượng proton trên khối lượng êlêctrôn Khối lượng nơtron Khối lượng muon Khối lượng êlêctrônc) Khối lượng proton Khối lượng nơtron Khối lượng nguyên tử hidroc) Khối lượng nguyên tử đơteric) Khối lượng nguyên tử hêli Thương số điện tích trên khối lượng của êlêctrôn Hằng số điện Hằng số từ thẩm Hằng số Planck Bước sóng Compton của êlêctrôn Hằng số khí lí tưởng Hằng số Avogadro Hằng số Boltzman Thể tích mol của khí lí tưởng ở STPd) Hằng số Faraday Hằng số Stefan - Boltzman Hằng số Rydberg Hằng số hấp dẫn Bán kính Bohr Momen từ của êlêctrôn Momen từ của proton Manheton Bohr Manheton hạt nhân

c e me mp

3,00 x 108m/s 1,60 x 10-19C 9,11 x 10-31kg 1,67 x 10-27kg

Giá trị tốt nhất (1986) Giá trịa) Giá trịb) 2,99792458 Chính xác 1,60217738 0,30 9,1093897 0,59 1,6726230 0,59

mp/me

1840

1836,152701

0,020

mn mμ me mp mn m1H m2H m4He

1,68 x 10-27kg 1,88 x 10-28kg 5,49 x 10-4u 1,0073u 1,0087u 1,0078u 2,0141u 4,0026u

1,6749286 1,8835326 5,48579902 1,007276470 1,008664704 1,007825035 2.0141019 4,0026032

0,59 0,61 0,023 0,012 0,014 0,011 0.053 0,067

e/me

1,76 x 1011C/kg

1,75881961

0,30

e0

R NA k

8,85 x 10-12F/m 1,26 x 10-6H/m 6,63 x 10-34Js 2,43 x 10-12m 8,31J/molK 6,02 x 1023mol-1 1,38 x 10-23J/K

8,85418781762 1,25663706143 6,6260754 2,42631058 8,314510 6,0221367 1,380657

Chính xác Chính xác 0,60 0,089 8,4 0,59 11

Vm

2,24 x 10-2m3/mol

2,241409

8,4

F

9,65 x 104C/mol 5,67 x 10-8W/m2.K4 1,10 x 107m-1 6,67 x 10-11m3/s2.kg 5,29 x 10-24m 9,28 x 10-24J/T 1,41 x 10-26J/T 9,27 x 10-24J/T 5,05 x 10-27J/T

9,6485309 5,67050 1,0973731534 6,67260 5,29177249 9,2847700 1,4106761 9,2740154 5,0507865

0,30 34 0,0012 100 0,045 0,34 0,34 0,34 0,34

Kí hiệu

μ0 h

λc

σ

R G

γB μe μp μB μN

Giá trị ước tính

a) Các giá trị ghi trong cột này phải cùng đơn vị và lũy thừa của 10 như giá trịo ước tính. b) Phần triệu. C)Khối lượng được ghi theo đơn vị khối lượng nguyên tử trong đó 1u = 1,6605402.10-27kg. d) STP (standard temperature anh pressure) có nghĩa là nhiềt độ và áp suất tiêu chuẩn: 00C và 1,0atm (0,1Mpa).

Hệ đơn vị quốc tế (SI)* 1. Những đơn vị cơ bản của SI Đại lượng

Tên

Ký hiệu

Định nghĩa

Độ dài

Met

M

“độ dài của quãng đường đi được trong chân không 1 trong giây”.1983 299.792.458

Khối lượng

Kilogam

Kg

“chuẩn gốc hình trụ bằng platin-iriđi nào đó được lấy làm đơn vị khối lượng từ đấy về sau”. 1889

Thời gian

Giây

s

“khoảng thời gian bằng 9.192631.770 chu kỳ của bức xạ tương ứng với dịch chuyển giữa hai mức siêu tinh tế của trạng thái cơ bản của nguyên tử xêdi 133”. (1967)

Dòng điện

Am-pe

A

“.dòng điện không đổi mà nếu được duy trì trong hai dây dẫn thẳng, song song, dài vô hạn, tiết diện không đáng kể, đặt cách nhau 1mét trong chân không, sẽ gây ra trong các dây dẫn này một lực bằng 2x10-7 niutơn trên một mét độ dài”. (1946)

Nhiệt độ nhiệt động lực học

Kenvin

K

“phần

1 của nhiệt độ nhiệt động lực học của điểm 273,16

ba của nước”,. (1967)

Lượng chất

Mol

Mol

“lượng của chất của một hệ chứa cùng một lượng phần tử cơ bản bằng số nguyên tử trong 0,012 kilogam cacbon 12”. (1971)

Cường độ sáng

Candela

Cd

“Cường độ phát sáng theo phương vuông góc của một 1 diện tích mét vuông của một vật đen ở nhiệt độ 600.000 đông đặc của platin dưới áp suất 101,325 niutơn trên một mét vuông”. (1967)

2. Một số đơn vị dẫn xuất SI

Diện tích

Mét vuông

m2

Thể tích

Mét khối

m3

Tần số

Héc

Hz

Khối lượng riêng

Kilogam trên mét khối

Kg/m3

Tốc độ, vận tốc

Mét trên giây

m/s

Vận tốc góc

Radian trên giây

rad/s

Gia tốc

Mét trên giây bình phương

m/s2

Gia tốc góc

Radian trên giây bình phương

rad/s2

Lực

Niutơn

N

kg.m/s2

áp suất

Patxcan

Pa

N/m2

Công, năng lượng, nhiệt lượng

Jun

J

N.m

Công suất

Oát

W

J/s

điện lượng

Culông

C

A.s

Hiệu điện thế, công suất điện động

Vôn

V

W/A

Cường độ điện trường

Vôn trên mét (hoặc niutơn trên culông)

V/m

N/C

điện trở

ôm

Ω

V/A

điện dung

Fara

F

A.s/V

Từ thông

Vêbe

Wb

V.s

độ từ cảm

Henry

H

V.s/A

độ cảm ứng từ

Tesla

T

Wb/m2

Entropy

Jun trên kenvin

J/K

Nhiệt dung riêng

Jun trên kilogam kenvin

J/(Kg.K)

độ dẫn nhiệt

Oát trên mét kenvin

W/(m.K)

Cường độ bức xạ

Oát trên stêradian

W/sr.

s-1

3. Các đơn vị phụ SI. Góc phẳng

Riadian

Rad

Góc đặc (khối)

Steradian

Sr

HỆ SỐ CHUYỂN ĐỔI Hệ số chuyển đổi có thể đọc trực tiếp từ những bảng này. Ví dụ 1 độ = 2,778 x 10-3 vòng, vậy 16,70 = 16,7 x 2,778 x 10-3 vòng. Các đại lượng SI được viết hoa hoàn toàn. Một phần lấy từ G.Shortley và D.Williams, Elements of Physics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971. GÓC PHẲNG 0

‘

“

RADIAN

Vòng

1 độ

=1

60

3600

1,745 x 10-2

2,778 x 10-3

1 phút

= 1,677 x 10-2

1

60

2,909 x 10-4

4,630 x 10-5

1 giây

= 2,778 x 10-4

1,677 x 10-2

1

4,848 x 10-6

7,716 x 10-7

1 RADIAN

= 57,30

3438

2,603 x 105

1

0,1592

1 vòng

= 360

2,16 x 104

1,296 x 106

6,283

1

GÓC KHỐI 1 hình cầu = 4π steradians = 12,57 steradians ĐỘ DÀI cm

MET

km

in

ft

mi

1 centimet

=1

10-2

10-5

0,3937

3,281 x 10-2

6,214 x 10-6

1 MET

=100

1

10-3

39,37

3,281

6,214 x 10-4

1 kilomet

=105

1000

1

3,937 x 104

3281

0,6214

1 inch

=2,540

2,540 x 10-2

2,540 x 10-5

1

8,333 x 10-2

1,578 x 10-5

1 fut

=30,48

0,3048

3,048 x 10-4

12

1

1,894 x 10-4

1 dặm

=1,609 x 105

1609

1,069

6,336 x 104

5280

1

1 angstrửm =10-10m 1 hải lí =1852m

1fermi = 10-15m

1fathom = 6ft

1năm ánh sáng = 9,460 x 1012km

1bán kính Bohr = 5,292 x 10-11m

1rod = 16,5ft 1mil = 10-3in

= 1,151dặm = 6076ft

1parsec = 3,084 x 1013km

1nm = 109 m

1yard = 3ft

DIỆN TÍCH MET2

cm2

ft2

in2

1 MET vuông

=1

104

10,76

1550

1 centimet vuông

=10-4

1

1,076 x 10-3

0,1550

1 fut vuông

=9,290 x 10-2

929,0

1

144

1 inch vuông

=6,452 x 10-4

6,452

6,944 x 10-3

1

1 dặm vuông = 2,788 x 107ft2

1arce = 43,560ft2

= 640acres 1barn = 10-28m2

1hecta = 104m2 = 2,471acres

KHỐI LƯỢNG

Các đại lượng ở bên phải hoặc ở bên dưới đường chấm chấm không phải là đơn vị khối lượng nhưng thường được dùng như thế. Ví dụ khi ta viết 1kg “=” 2,205lb nghĩa là 1 kilogam là một khối lượng nặng 2,205 pound tại nơi mà g có giá trị tiêu chuẩn là 9,80665 m/s2. g

kilôgam

slug

u

=1

0,001

6,852 x 10-5

6,022 x 3,527 x 1023 10-3

2,205 x 1,102 x 10-3 10-6

1 = 1000 KILOGAM

1

6,852 x 10-2

6,022 x 35,27 1026

2,205

1,102 x 10-3

1 slug

14,59

1

8,786 x 514,8 1027

32,17

1,609 x 10-2

1,661 x 10-27

1,138 1 x 10-28

2,835 x 102

1,943 x 10-3

1 gam

= 1,459 x 104

1 đơn vị khối 1,661 x 10-24

=

oz

5,857 x 10-26

lb

ton

3,622 x 1,830 x 10-27 10-30

lượng nguyên tử 1 aoxơ

= 28,35

1,718 x 1 1025

6,250 x 3,125 x 10-2 10-5

1 pao

= 453,6

0,4536

3,108 x 10-2

2,732 x 16 1026

1

0,0005

1 ton

= 9,072 x 105

907,2

62,16

5,463 x 3,2 x 104 1029

2000

1

1 tấn hệ met = 1000kg

KHỐI LƯỢNG RIÊNG Các đại lượng ở bên phải hoặc ở phía dưới đường chấm chấm là trọng lượng riêng, có thứ nguyên khác khối lượng riêng, xin xem chú thích về bảng khối lượng.

1 slug trên fut3

Slug/ft3

KILOGAM/MET3 g/cm3

lb/ft3

lb/in3

=1

515,4

0,5154

32,17

1,862 x 10-2

0,001

6,243 x 10- 3,613 x 2 10-5

1

62,43

3,613 x 10-2

1,602 x 10-2

1

5,787 x 10-4

27,68

1728

1

1 = 1,940 x 10- 1 KILOGAM 3 trên MET3 1 gam trên centimet3

= 1,940

1000

1 pao trên = 3,108 x 10- 16,02 2 fut3 1 pao trên = 53,71 inch3

2,768 x 10-4

THỜI GIAN Năm

ngày

giờ

phút

giây

1 năm

=1

365,25

8,766 x 103

5,259 x 105 3,156 x 107

1 ngày

= 2,738 x 10-3

1

24

1440

8,640 x 104

1 giờ

= 1,141 x 10-4

4,167 x 10- 1

60

3600

2

1 phút

= 1,901 x 10-6

6,944 x 10- 1,677 x 10-2 1 4

60

= 3,619 x 10-8

1 giây

1,157 x 10- 2,778 x 10-4 1,677 x 105

1

2

TỐC ĐỘ ft/s

km/h

mét/giây

mi/h

cm/s

1 fut trên giây

=1

1,097

0,3048

0,6818

30,48

1 kilomet trên giờ

= 0,9113

1

0,2778

0,6214

27,78

1 MET trên GIÂY

= 3,281

3,6

1

2,237

100

1 mile trên giờ

= 1,467

1,609

0,4470

1

44,70

1 centimet trên giây

= 3,281 x 10-2

3,6 x 10-2

0,01

2,237 x 10-

1

2

1 nut = 1hải lý/h = 1,688ft/s

1mi/min = 88.00ft/s = 60.00mi/h

LỰC Các đơn vị lực ở bên phải hoặc phía dưới đường chấm chấm hiện nay ít dùng. Để làm sáng tỏ : 1 gam lực (1gl) là trọng lực tác dụng lên một vật có khối lượng 1 gam tại địa điểm mà g có giá trị tiêu chuẩn là 9,80665 m/s2 dyn

NIUTƠN

lb

pdl

glực

kglực

=1

10-5

2,248 x 10-6

7,233 x 10-5

1,020 x 10-3

1,020 x 10-6

1 = 105 NIUTƠN

1

0,2248

7,233

102,0

0,1020

1 pao

4,448

1

32,17

453,6

0,4536

1 paodal = 1,383 x 104

0,1383

3,108 x 10-2

1

14,10

1,410 x 10-2

1 gram lực

= 980,7

9,807 x 10-3

2,205 x 10-3

7,093 x 10-2

1

0,001

1 kilogam lực

= 9,807 x 105

9,807

2,205

70,93

1000

1

1 dyne

= 4,448 x 105

ÁP SUẤT atm 1 =1 atmotphe

dyn/cm2

inch of water

cm Hg

PAXCAL

1b/in2

1b/ft2

406,8

76

1,013 x 105

14,70

2116

1 dyn = 9,869 x 1 trên -7 2 10 centimet

4,015 x 104

7,501 x 10-5

0,1

1,405 x 10-5

2,089 x 10-3

1 inch nước ở 4 0C

2,458 x 10-3

2491

1

3,613 x 10-2

249,1

3,613 x 10-2

5,202

1 centimet thủy ngân ở 00Ca)

1,316 x 10-2

1,333 x 104

5,353

0,1934

1333

0,1934

27,85

1 PAXCAL

9,869 x 10-6

10

4,015 x 10-3

1,450 x 10-4

1

1,450 x 10-4

1,089 x 10-2

1 pao trên inch2

6,805 x 10-2

6,895 x 104

27,68

1

6,895 x 103

1

144

1 pao trên fut2

4,725 x 10-4

478,8

0,1922

6,944 x 10-3

47,88

6,944 x 10-3

1

1,013 x 106

NĂNG LƯỢNG, CÔNG, NHIỆT Những đại lượng ở bên phải hoặc dưới đường chấm chấm không thực sự là đơn cị năng lượng nhưng đưa vào cho tiện. Chúng phát sinh từ công thức tương đương - khối lượng - năng lượng tương đối tính E = mc2 và biểu diễn năng lượng tỏa ra nếu một kg hoặc một đơn vị khối lượng nguyên tử hợp nhất (u) hoàn toàn chuyển thành năng lượng (hai cột bên phải). Btu 1 1 Brittish therma l unit (đ.vị

erg

ft.1b

1.05 777. 9 5x 10 10

hp.h JUN

cal

kW.h

3.92 105 9x 5 -4 10

252, 0

2,93 0x 10-4

eV

Me V

kg

u

6,58 6,58 1,17 7,07 5x 5x 4x 0x 21 15 10 10 10 1012 14

nhiệt của Anh) 1 erg

1 futpao

9.41 1 8x 10-

7.37 6x 10-8

3.72 10-7 5x 10-

2,38 9x 10-8

11

14

1.28 1.35 1 5x 6x -3 10 107

5.05 1.35 0,32 1x 6 38 -7 10

2,77 8x 10-14

6,24 6,24 1,11 670, 2x 2x 3x 2 11 5 10 10 10 24

3,77 6x 10-7

8,46 8,46 1,50 9,03 4x 4x 9x 7x 18 12 10 10 10 109 17

1 mã 254 lực-giờ 5

2.68 1.98 5x 0x 13 10 106

1

2.68 6,41 5x 3x 6 10 10-5

0,74 57

1,67 1,67 2,98 1,79 6x 6x 8x 9x 25 19 10 10 10 1016 11

1 JUN

9.48 107 1x 10-4

0.73 76

3.72 1 5x 10-7

0,23 89

2,77 8x 10-7

6,24 6,24 1,11 6,70 2x 2x 3x 2x 18 12 10 10 10 109 17

1 calo

3.96 4.18 3.08 9x 6x 8 -3 7 10 10

1.56 4.18 1 0x 6 -6 10

1,16 3x 10-6

2,61 2,61 4,66 2,80 3x 3x 0x 6x 19 13 10 10 10 1010 17

1 kiloatgiờ

341 3

3.60 2.65 0x 5x 13 10 106

1.34 3.60 8,60 1 0x 0x 6 10 10-5

1

2,24 2,24 4,00 2,41 7x 7x 7x 3x 25 19 10 10 10 1016 11

1 1.51 1.60 1.18 electro 9 x 2x 2x n-vôn 10 10 10-19 22

12

5.96 1.60 3,82 7x 2x 7x 10 10 10-20 26

5.96 1,60 3,82 7x 2x 7x 10 10 10-14

1 kiloga m

3.34 8,98 2,14 8x 7x 6x 10 16 10 10 1016

8.52 8.98 6.62 1x 7x 9x 13 23 10 10 1016

1

10-6

19

1 1.51 1.60 1.18 mêga 9 x 2x 2x -6 electro 10 10 10-13 n-vôn 16

20

4,45 0x 10-26

1,78 1,07 3x 4x 10 10-9 36

4,45 0x 10-20

10-6

1

13

1,78 1,07 3x 4x 10 10-3 30

2,49 7x 1010

5,61 5,61 0x 0x 35 10 1029

1

6,02 2x 1026

1 đơn vị khối lượng nguyê n tử hợp nhất

1,41 1.49 1.10 2x 1x 5x -3 10 10-10 10

5.55 1,49 3,54 9x 2x 6x 10 10 10-11

13

17

4,14 6x 10-17

9,32 932, 1,66 1 0x 0 1x 8 10 10-

10

27

MỘT SỐ SỐ LIỆU THIÊN VĂN

VÀI KHOẢNG CÁCH TỪ TRÁI ĐẤT Tới mặt trăng*

3,82 x 108m

Tới mặt trời*

1,50 x 1011m

Tới ngôi sao gần nhất (Proxima Centauri)

4,04 x 1016m

Tới tâm thiên hà của chúng ta

2,2 x 1020m

Tới thiên hà Andromet

2,1 x 1022m ~ 1026m

Tới biên của vũ trụ quan sát được *

Khoảng cách trung bình

MẶT TRỜI TRÁI ĐẤT VÀ MẶT TRĂNG Tính chất

Đơn vị

Mặt Trời

Trái Đất

Mặt Trăng

Khối lượng

kg

1,99 x 1030

5,98 x 1030

7,36 x 1022

Bán kính trung bình

m

6,96 x 108

6,37 x 106

1,74 x 106

Khối lượng riêng trung bình

kg/m3

1410

5520

3340

Gia tốc rơi tự do trên bề mặt

m/s2

274

9,81

1,67

Vận tốc thoát

km/s

618

11,2

2,38

37 ngày tại các cựcb)

23h56phút

27,3 ngày

Chu kỳ quaya)

26 ngày tại xích đạob) Năng suất bức xạc)

W

3,90 x 1026

a) Được đo đối với những ngôi sao ở xa b) Mặt trời, một khối khí không quay như một vật thể rắn c) Ngay ở ngoài khí quyển Trái Đất, coi như tia tới vuông góc, năng lượng Mặt Trời nhận được với tốc độ là 1340W/m2

VÀI TÍNH CHẤT CÁC HÀNH TINH

Sao Sao Sao Hải Diêm Thiên Vươn Vươn Vương g g

Sao Thủy

Sao Kim

Trái Đất

Sao Hỏa

Sao Mộc

Sao Thổ

Khoảng cách trung bình từ mặt trời, 106km

57,9

108

150

228

778

1430

2870

4500

5900

Chu kì vòng quay,nă m

0,24 1

0,61 5

1,00

1,88

11,9

29,5

84,0

165

248

Chu kì quay,a)ng ày

58,7

-243b

0,97 7

1,03

0,409

0,426

-0,451b

0,658

6,39

Tốc độ quỹ đạo, km/s

47,9

35,0

29,8

24,1

13,1

9,64

6,81

5,43

4,74

Độ nghiêng của trục so với quỹ đạo