Zbirka zadataka iz Osnova Elektrotehnike - Elektromagnetizam [3] 9788674666210 [PDF]

Zitiervorschau

Универзитет у Београду – Електротехнички факултет Градимир Божиловић Драган Олћан Антоније Ђорђевић

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ Трећи део

Електромагнетизам Треће издање

Академска мисао Београд 2016.

ii

Електромагнетизам

Градимир Божиловић, Драган Олћан, Антоније Ђорђевић ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Трећи део Електромагнетизам Треће издање Рецензенти др Владимир Петровић др Милан Илић Одлуком Наставно-научног већа Електротехничког факултета број 63/2 од 26. јануара 2010. године ова књига је одобрена као наставни материјал на Електротехничком факултету у Београду. Издавачи Академска мисао Електротехнички факултет Београд Дизајн корица Зорица Марковић, академски сликар Штампа Академска мисао, Београд Тираж 500 примерака ИСБН 978-86-7466-623-4

НАПОМЕНА: Фотокопирање или умножавање на било који начин или поновно објављивање ове књиге у целини или у деловима није дозвољено без претходне изричите сагласности и писменог одобрења издавача.

Предговор Збирка задатака из Основа електротехнике, Електромагнетизам, излази као трећи од четири дела збирке која је намењена предметима групе Основи електротехнике, који се предају по наставном плану прве године Основних академских студија електротехнике и рачунарства на Електротехничком факултету Универзитета у Београду. Ти предмети су Основи електротехнике 1 и 2, Практикум из Основа електротехнике 1 и 2, и Лабораторијске вежбе из Основа електротехнике. Овај помоћни уџбеник је проистекао из нарасле потребе за обједињеном збирком питања и задатака која са већ постојећим уџбеником „Основи електротехнике“ А. Ђорђевића (који је иницирао писање ове збирке) представља потребну и довољну литературу за предмете Основи електротехнике 1 и 2. Збирка у потпуности покрива градиво које се ради на вежбама, обезбеђује материјал за самостални рад студената, укључујући и проверу знања на задацима тежине испитних задатака и питања, а садржи и додатни материјал за проширивање знања. Као и уџбеник „Основи електротехнике“, збирка је подељена у четири дела. Први део покрива електростатичко поље, други део поља и кола сталних струја, трећи део збирке обухвата стална магнетска поља и променљива електромагнетска поља, а четврти део се бави колима временски променљивих струја. Задаци без звездице су уводни и основни, а заједно са тежим задацима, означеним једном звездицом, одговарају предметима Основи електротехнике 1 и 2. Задаци са две и три звездице представљају материјал за продубљивање знања, а део тих задатака је намењен и Практикумима из Основа електротехнике. Једноставнија питања и задаци покривају и тематске јединице које се обрађују на предмету Лабораторијске вежбе из Основа електротехнике. Аутори се захваљују рецензентима ове збирке, предавачима на предметима Основи електротехнике 1 и 2, професору др инж. Владимиру Петровићу и професору др инж. Милану Илићу, на корисним сугестијама. Београд, јануар 2010.

Аутори

iv

Електромагнетизам

Предговор другом издању У овом издању су исправљене уочене грешке. Аутори се захваљује доценту Слободану Савићу који је детаљно прочитао збирку и указао на неке од тих грешака. Београд, фебруар 2013.

Аутори

Предговор трећем издању У овом издању су исправљене уочене грешке. Београд, август 2016.

Аутори

Садржај 1. Стално магнетско поље у вакууму ...................................................................................... 1 2. Стално магнетско поље у присуству материјала ............................................................. 54 3. Променљиво електромагнетско поље ............................................................................... 94 4. Енергија магнетског поља и магнетске силе .................................................................. 165 5. Максвелове једначине ...................................................................................................... 188 6. Кретање наелектрисане честице у електричном и магнетском пољу .......................... 192 Литература ............................................................................................................................. 197

vi

Електромагнетизам

1. Стално магнетско поље у вакууму

1

1. Стално магнетско поље у вакууму 1. Два тачкаста наелектрисања, Q1 и Q2 , крећу се у вакууму у односу на посматрача константним брзинама v1 , односно v2 , ( | v1 |, | v 2 | 0 ). У близини контуре налази се пробно наелектрисање Qp ( Qp > 0 ). Квалитативно описати каква сила делује на пробно наелектрисање ако оно (а) мирује и (б) креће се брзином v.

Слика 5.1.

Слика 5.2.

РЕШЕЊЕ (а) На површи жице, посебно у околини генератора, постоји вишак наелектрисања (слика 5.2) од кога потиче електрично поље у проводнику, које одржава струју у контури. Међутим, електрично поље тог вишка (Е) постоји не само у проводнику, већ и у његовој околини. Стога на пробно наелектрисање делује електрична сила, Fe = QE . Осим тога, пробно наелектрисање ( Qp > 0 ) доводи до електростатичке индукције: у делу контуре ближе наелектрисању Qp јавља се вишак негативног, а у даљем делу вишак позитивног наелектрисања. Услед тога постоји и компонента електричне силе

4

Електромагнетизам

која привлачи пробно наелектрисање ка контури. Међутим, пробно наелектрисање је, по претпоставци, мало по количини, па је овај ефекат занемарљив. (б) У околини контуре постоји стално магнетско поље (слика 5.2), које потиче од струје у контури. Када се пробно наелектрисање креће, осим електричне силе, Fe = QE , на њега делује и магнетска сила, Fm = Qv ´ B . **Као нумерички пример, програмом AWAS анализирана је квадратна жичана контура странице a = 100 mm . Полупречник жице је r = 1 mm , а жица је од бакра, специфичне проводности s = 58 MS/m . Електромоторна сила идеалног напонског генератора је простопериодична, ефективне вредности E = 100 mV и учестаности f = 1 Hz . Одговарајућа ефективна вредност струје у контури је I = 45,55 A . У тачки која је на одстојању 10 mm од контуре (прецизније, од осе десне странице контуре), на месту на коме се налази пробно наелектрисање на слици 5.2, добијена је ефективна вредност електричног поља E » 0,13 V/m и ефективна вредност магнетске индукције B » 0,73 mT . У посматраном случају, променљиве струје стварају индуковано електрично поље, али је то поље знатно слабије од електричног поља вишка наелектрисања. У тачки која одговара пројекцији положаја Qp на десну страницу контуре добијена је ефективна вредност електричног поља у проводнику E » 0,25 V/m , што одговара интензитету E = J / s . Читаоцу се препоручује да нумерички добијени резултат за магнетску индукцију провери помоћу Био-Саваровог закона. (Резултат: 0,729 mT.)

6. Извести израз за вектор магнетске индукције у тачки Р који потиче од праволинијског проводника коначне дужине a (слика 6.1). Проводник представља део сложене жичане контуре која се налази у ваздуху, у којој постоји стална струја јачине I према референтном смеру на слици.

Слика 6.1.

1. Стално магнетско поље у вакууму

5

РЕШЕЊЕ Не губећи на општости, посматрани проводник се може поставити дуж x-осе Декартовог координатног система, а тачка P у којој се одређује магнетска индукција може лежати у равни Oxy, као на слици 6.2. Вектор магнетске индукције у тачки P( x0 , y0 ) може се одредити на основу БиоСаваровог закона, B=

m0 4p

ò

( I dl ) ´ r0

L

Слика 6.2.

,

r2

(6.1)

где је dl векторски елемент дужине проводника са струјом (оријентисан исто као референтни смер струје), r растојање између тачке Р и елемента dl , а r0 орт од dl до P. У посматраном случају, вектори dl и r0 леже у равни цртежа, па је векторски производ dl ´ r0 управан на раван цртежа и усмерен ка посматрачу (за y0 > 0 ), при чему је dl ´ r0 = dl sin a = dx sin a . Вектор магнетске индукције струјног елемента Idl је m Idl ´ r0 dB = 0 , нормалан је на раван цртежа, а референтни смер му је ка посматрачу 4p r 2 (за све елементе dl на које је посматрани проводник издељен). У односу на тај смер, m Idx sin a алгебарски интензитет вектора dB је dB = 0 , па је алгебарски интензитет 4p r2 m I резултантног вектора магнетске индукције B = Bz = 0 4p y sin a = 0 и r = r Bz =

m0 I 4p

a/ 2

ò ((x

a/ 2

ò

sin a

2 x = - a/ 2 r

dx . Са слике 1.2 је

(x0 - x )2 + y02 , где је са x означена координата струјног елемента, па је y0

dx . Исти интеграл као у овом изразу јавља се у 2 3/ 2 x y ) + x = - a/ 2 0 0 једначини (20.8) задатку 20 у првом делу ове збирке (Електростатика) и решен је на 1 x0 - x неколико начина. Резултат је dx = . На основу 2 2 3/ 2 2 (x0 - x ) + y0 y0 ( x0 - x )2 + y02 2

)

ò(

)

тога је æ ç a a x0 + x0 m0 I çç 2 2 Bz = 2 2 4py0 ç aö æ ç æç x0 + a ö÷ + y02 x + y02 ç ÷ 0 ç è 2 2 ø è ø è

ö ÷ ÷ ÷. ÷ ÷ ÷ ø

(6.2)

6

Електромагнетизам

Задатак се може једноставније решити полазећи од израза који важи за копланарне системе, B=

m 0 I dq , 4p ò r

(6.3)

L

где L означава посматрани праволинијски проводник, I је јачина струје проводника (у односу на референтни смер приказан на слици 6.3), а r је одстојање тачке Р од тачака проводника. Угао q се рачуна од произвољно одабране полуосе која полази од тачке Р и лежи у равни одређеној проводником и тачком Р (Оxy-раван). Референтни смер за угао q поклапа се са референтним смером струје гледано из тачке P. Вектор магнетске индукције (В) нормалан је на раван у којој леже контура и тачка P, а референтни смер магнетске индукције везан је правилом десне завојнице са референтним смером угла q. (Референтни смер магнетске индукције везан је правилом десне завојнице и са референтним смером струје проводника.) У изразу (6.3) В је алгебарски интензитет вектора магнетске индукције у односу на тај референтни смер. Слика 6.3 приказује случај y0 > 0 . Тада је r = B=

y0 , па се из (6.3) добија cos q

m0 I (sin q2 - sin q1 ) , 4py0

(6.4)

при чему је полуоса у односу на коју се рачуна угао q нормална на правац проводника. Читаоцу се оставља да покаже да се резултати исказани изразима (6.2) и (6.4) поклапају за y0 > 0 . Шта треба модификовати у тим резултатима за y0 < 0 ? Колики је вектор магнетске индукције a у тачкама на x-оси за x0 > ? 2

Слика 6.3.

7. Израчунати магнетску индукцију у центру усамљене квадратне жичане контуре странице a = 100 mm која се налази у вакууму. У контури постоји стална струја јачине I = 10 A . РЕШЕЊЕ Вектор магнетске индукције у тачки О (слика 7.1) нормалан је на раван коју одређују та тачка и проводник. Референтни смер вектора В је правилом десне завојнице везан са референтним смером струје, а алгебарски интензитет му је, на основу израза m I (6.4), B = 0 (sin q 2 - sin q1 ) , где је b нормално одстојање тачке О од проводника, а q1 4pb и q 2 су углови између те нормале и потега према крајњим тачкама влакна.

1. Стално магнетско поље у вакууму

7 I a/2

O a y

x

a B z

Слика 7.1.

Слика 7.2.

a p p и q2 = , а , q1 = 2 4 4 референтни смерови магнетске индукције се поклапају. Стога је алгебарски интензитет m I æ p æ p ö ö 2m I резултантне магнетске индукције B = 4 0 çç sin - sin ç - ÷ ÷÷ = 0 2 » 113 mT у aè 4 pa è 4 øø 4p 2 односу на референтни смер са слике 7.2. Вектор В је нормалан на раван контуре. Према слици 7.2, за сваку страницу квадрата је b =

8. Веома дугачак жичани проводник са сталном струјом јачине I = 50 A савијен је око своје средине као на слици 8.1. Израчунати вектор магнетске индукције у тачки М која се налази у истој равни као и проводник, на одстојању a = 80 mm од тачке савијања проводника. Средина је ваздух.

p 2

2p 3

Слика 8.1.

8

Електромагнетизам РЕШЕЊЕ

На основу слике 8.2, за хоризонтални сегмент задатог жичаног проводника у a израз (6.4) треба y0 заменити са d1 = , а 2 p p за углове уврстити q1 = и q 2 = , па је 3 2 алгебарски интензитет магнетске индукције m I тог сегмента B1 = 0 2 - 3 . За коси 4pa сегмент треба заменити y0 са d 2 = a , док p су углови q1 = и q 2 = 0 , па је 2 m I B2 = 0 . Алгебарски интензитет 4pa резултантне магнетске индукције је m0I 3 - 3 » 79 mT . B = B1 + B2 = 4pa

(

(

B M p 3 d1

)

p 2 d2 a p p 2

I

2

2p 3

Слика 8.2.

)

9. У правоугаоној жичаној контури, страница a = 100 mm и b = 50 mm , постоји стална струја јачине I = 20 A . Контура се налази у ваздуху. Израчунати вектор магнетске индукције у центру контуре.

РЕЗУЛТАТ На основу израза (6.4), а према ознакама на слици 9.1, интензитет вектора магнетске индукције је 2m I B = 0 a 2 + b 2 » 358 mT . pab Слика 9.1.

10. Жичана контура има облик једнакокраког правоуглог троугла, дужине катете a = 250 mm (слика 10.1). Контура се налази у вакууму, а у њој постоји стална струја јачине I = 100 mA . Израчунати вектор магнетске индукције у тачки А, која се налази у равни цртежа.

Слика 10.1.

1. Стално магнетско поље у вакууму

9

РЕЗУЛТАТ Вектор магнетске индукције је нормалан на раван цртежа. У односу на референтни смер од посматрача ка цртежу, алгебарски интензитет овог вектора је m Iæ 2 ö÷ B = 0 ç1 » 23,4 nT . 2pa çè 2 ÷ø

11. Израчунати вектор магнетске индукције у центру кружне контуре полупречника a = 100 mm у којој постоји стална струја јачине I = 50 A . Контура се налази у вакууму. РЕШЕЊЕ Жичана контура и тачка О у којој се одређује вектор магнетске индукције леже у истој равни (слика 11.1). Стога је за одређивање магнетске индукције погодно применити једначину (6.3), у којој L сада означава целу кружну контуру. За посматрану контуру је r = a за све тачке контуре.

Слика 11.1.

Да бисмо у интегралу (6.3) обухватили све елементе контуре, угао q треба да се креће у границама које покривају пун угао, на пример, q Î [0, 2p] . На основу тога се m добија B = 0 4p

2p

ò

q=0

I dq m 0 I 2 p m 0 I q = » 314 mT . = a 4p a 0 2a

12. Танак прстен полупречника а равномерно је наелектрисан укупним наелектрисањем Q. Прстен ротира у вакууму око своје осе константном угаоном брзином w, као на слици 12.1. Одредити (а) вектор јачине електричног поља и (б) вектор магнетске индукције у центру прстена (О).

a

w

O Q Слика 12.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Вектор јачине електричног поља је E = 0 . (б) Јачина струје прстена је I =

m Qw Qw , па је вектор магнетске индукције B = 0 . 2p 4pa

13. Усамљена кружна жичана контура, полупречника a = 100 mm , налази се у вакууму. Пречник жице је d = 1 mm . У контури постоји стална струја. Концентрација слободних носилаца (електрона) је N = 8,47 × 10 28 m -3 , а средња брзина њиховог

10

Електромагнетизам

усмереног кретања је | v |= 1 mm/s . Израчунати вектор јачине магнетске индукције у центру контуре. Елементарно наелектрисање је e » 1,602 ×10 -19 C . РЕЗУЛТАТ pd 2 » 10,66 A (супротно смеру кретања 4 електрона), па је интензитет вектора магнетске индукције B » 67 mT . Смер вектора В везан је правилом леве завојнице са смером кретања електрона. Јачина струје контуре је

I = Ne | v |

14. Намотај приказан на слици 14.1 састоји се од N = 10 идентичних кружних завојака, полупречника a = 100 mm , тесно приљубљених један уз други. Намотај се налази у вакууму. Јачина струје намотаја је I = 25 A . Одредити вектор магнетске индукције у центру намотаја.

Слика 14.1.

РЕШЕЊЕ Посматрано из центра, завојци се практично налазе на истом месту. Стога је магнетска индукција калема практично N пута већа од индукције једног завојка, па је m NI » 1,57 mT . Вектор магнетске индукције нормалан је на раван завојка, а B= 0 2a референтни смер је правилом десне завојнице везан са референтним смером струје, као на слици 11.1.

15. Жичана контура приказана на слици 15.1 састоји се од полукруга и две једнаке дужи постављене под правим углом. Полупречник полукруга је а. Контура се налази у равни цртежа, у вакууму, а у њој постоји стална струја I. Одредити израз за вектор магнетске индукције у центру полукруга (у тачки О). РЕЗУЛТАТ

O

a

I Слика 15.1.

Комбинујући поступке из задатака 6 и 11, добија се алгебарски интензитет m I æ 1 1ö магнетске индукције B = 0 ç + ÷ , при чему је В нормалан на раван цртежа на a è p 4ø слици 15.1, а референтни смер је ка посматрачу.

1. Стално магнетско поље у вакууму

11

*16. Жичани проводник, приказан на слици 16.1, састоји се од два дугачка праволинијска сегмента и дела кружнице полупречника a = 100 mm . Сви сегменти леже у равни цртежа. У контури постоји стална струја јачине I = 100 A . Средина је ваздух. Израчунати вектор магнетске индукције у тачки Р.

O

a

p p 6 6 I P Слика 16.1.

РЕШЕЊЕ Посматрајмо, најпре, десни праволинијски сегмент (слика 16.2). Нормално pö æ одстојање тачке Р од осе тог сегмента је PM = a ç1 - cos ÷ . За једнакокраки троугао 6ø è p 5p p PNO је 2q1 + = p , одакле је q1 = . Како је q 2 = , то је алгебарски интензитет 6 12 2 5p ö m0 I æ p магнетске индукције посматраног сегмента B1 = ç sin - sin ÷ » 25,4 mT у 12 ø 2 4p PM è односу на референтни смер од посматрача. Због симетрије, вектор магнетске индукције левог праволинијског сегмента је B 2 = B1 . Посматрајмо сада лучни део (слика 16.3). Троугао OPQ је једнакокраки, па је r = 2a cos q . Стога је m B3 = 0 4p

ò

L3

I dq m 0 I = 4p r

5p 12

ò

-

5p 12

æ 5p p ö 5p tg ç + ÷ 1 + sin m dq m0 I I 24 4 ø è 0 12 ln = ln » 202,7 mT . = 2a cos q 8pa 1 - sin 5p 8pa æ 5p p ö tg ç + ÷ 12 è 24 4 ø

p 6

Слика 16.2.

12

Електромагнетизам

Резултантни вектор магнетске индукције је B = B1 + B 2 + B 3 . Интензитет му је B » 253,5 mT . Вектор В је нормалан на раван цртежа, а смер му је од посматрача.

p p 6 6

Слика 16.3.

17. Центар кружне струјне контуре је у координатном почетку Декартовог система, а контура лежи у равни Oxy (слика 17.1). Јачина струје контуре је I = 1 A . Тачка М се налази на оси z, на висини z = 10 cm изнад равни контуре. Контура је у вакууму. Израчунати полупречник контуре, а, тако да интензитет магнетске индукције у тачки М буде максималан и израчунати тај максимални интензитет.

Слика 17.1.

РЕШЕЊЕ На оси z, вектор магнетске индукције има само z компоненту, која је дата изразом Bz =

m 0 Ia 2

2( a 2 + z 2 ) 3 / 2

.

(17.1)

Диференцирањем овог израза по а и изједначавањем са нулом, добија се a = z 2 , што представља тачку локалног максимума функције Bz (a ) . За задате бројне податке, у том случају је максимални интензитет магнетске индукције B z » 2,42 mT .

1. Стално магнетско поље у вакууму

13

**18. Два идентична танка калема, полупречника а, сваки са по N завојака, налазе се у вакууму у равнима z = ±b , нормалним на z осу (слика 18.1). Јачина струје калемова је I. Одредити растојање b центара калемова од координатног почетка тако да магнетска индукција у околини координатног почетка буде што хомогенија (Хелмхолцови калемови). РЕШЕЊЕ Слика 18.1. На основу израза (17.1), z компонента вектора магнетске индукције калемова на оси æ ö m NIa 2 ç 1 1 ÷ + z је B z ( z ) = 0 çç 2 ÷. 2 2 3/ 2 2 3/ 2 ÷ 2 ( ) ( ) a z b a z b + + + è ø

(

)

(

)

Сви непарни изводи овог израза за z = 0 су нула јер је функција парна. Други извод за z=0 је d 2 Bz ( z) dz 2

= 3m 0 NIa 2

4b 2 - a 2

(a

2

+b

)

2 7/ 2

.

Други

a . Тада је 2 функција B z (z ) максимално заравњена, односно поље је најхомогеније. На слици 18.2 су приказане линије вектора магнетске индукције у једном вертикалном пресеку калемова са слике a 18.1 за b = . 2 извод је нула ако је b =

Слика 18.2. N

I

a *19. Извести израз за вектор магнетске индукције на оси соленоида кружног попречног пресека полупречника a и дужине b (слика 19.1) са N завојака равномерно и густо намотаних у једном слоју, у којима постоји стална струја јачине I. Соленоид се налази у ваздуху.

O

r dz

b Слика 19.1.

z0 M B

z

14

Електромагнетизам

РЕШЕЊЕ Изделимо соленоид на кратке сегменте, дужине dz , као на слици 19.1. На N N посматраном сегменту има dN = dz = N ¢dz завојака, где је N ¢ = подужна густина b b завојака. У посматраној тачки M ( z0 ) на оси соленоида, сви завојци тог сегмента стварају магнетску индукцију практично као једна струјна контура са струјом јачине dI = I dN . На основу израза за магнетску индукцију на оси кружног завојка (17.1), вектор магнетске индукције има само z-компоненту, dBz =

(

m 0 NIa 2 dz

2b (z0 - z )2 + a 2

)

3/ 2

, где је са

z означена координата која одређује положај завојака, а z0 координата која одређује положај тачке М. Резултантна магнетска индукција има само z-компоненту. Узимајући да је координатни почетак у средишту соленоида, суперпозицијом индукција свих b/2

завојака добија се Bz =

ò

m0 NIa 2 dz

z = -b / 2 2b

((z

2 2 0 - z) + a

)

3/ 2

. Интеграл је исти као у задатку 6, па

је æ ç b b z0 + z0 m 0 NI ç 2 2 ç Bz = 2 2 2b ç b bö 2 æ ç a 2 + æç z0 + ö÷ + a z ç ÷ 0 ç 2ø 2ø è è è

На основу слике 19.1 је

z0 +

b 2

bö æ a 2 + ç z0 + ÷ 2ø è

2

ö ÷ ÷ ÷. ÷ ÷ ÷ ø

= cos a1 и

(19.1)

z0 -

b 2

bö æ a 2 + ç z0 - ÷ 2ø è

2

= cos a 2 , па се

m NI резултат може написати и у облику B = B z = 0 (cos a1 - cos a 2 ) . 2b Читаоцу се препоручује да задатак реши и интегралећи по углу a на слици 19.1.

20. Полупречник дугачког соленоида је a = 2 cm , дужина b = 20 cm , а број завојака је N = 200 . Средина је ваздух. У намотају постоји стална струја I = 10 A . Скицирати зависност интензитета магнетске индукције на оси соленоида од положаја тачке на тој оси. РЕЗУЛТАТ На основу израза (19.1) и слике 19.1, тражена зависност је приказана на слици 20.1, где је положај тачке означен са z.

1. Стално магнетско поље у вакууму

15

14 12 10 Bz [mT]

8 6 4 2 0 -200

-100

0

100

200

z [mm]

Слика 20.1.

21. Соленоид полупречника а и дужине b има N завојака. Соленоид се налази у ваздуху. Колика се релативна грешка чини ако се интензитет магнетске индукције у центру соленоида одређује по обрасцу за соленоид велике дужине, у односу на интензитет одређен по обрасцу за соленоид коначне дужине? Скицирати зависност те b грешке од количника . a РЕШЕЊЕ m NI Образац за соленоид велике дужине даје Bb = 0 , а за соленоид коначне дужине b m NI је Bk = 0 b на слици 21.1.

b 2

B - Bk = . Релативна грешка, D r = b 2 Bk 2 b a + 4

2

æbö ç ÷ +4 èaø - 1 , скицирана је b a

16

Електромагнетизам

10

0

-1

Dr

10

-2

10

-3

10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

b/a

Слика 21.1. z M

*22. Полазећи од Био-Саваровог закона, извести израз за вектор магнетске индукције на оси квадратне контуре странице а (слика 22.1) у којој постоји стална струја јачине I. Контура се налази у вакууму.

a

O y

РЕШЕЊЕ Магнетска индукција квадратне контуре може се одредити суперпозицијом магнетских индукција које потичу од страница квадрата. Посматрајмо једну страницу и тачку М. Као пример, на слици 22.2 уочена је страница 23 . Тачка М и страница дефинишу једну раван (у којој лежи осенчени троугао 2M 3 ), па се магнетска индукција која потиче од посматране странице може одредити на основу израза (6.4), у који треба уврстити y 0 = z 2 +

и sin q 2 = - sin q1 =

a 2 z2 +

a2 2

.

a

z

B23 z2 +

M

a2 2

z2 +

4

3 z a/2

O

a

a2 4

I Слика 22.1.

x

y a/2

a 1

x

I

2

Слика 22.2.

a2 4

1. Стално магнетско поље у вакууму

17

Вектор B 23 који потиче од ове странице нормалан је на раван троугла 2M 3 , а у односу на референтни смер са слике 22.2 алгебарски интензитет му је m 0 Ia B23 = . Пројекција вектора B 23 на осу z је p 4 z 2 + a 2 4 z 2 + 2a 2 B23 z = B23 cos a =

m 0 Ia 2

(

p 4z 2 + a 2

)

4 z 2 + 2a 2

.

Због симетрије, резултантна магнетска индукција целе контуре има само z компоненту, B z = 4 B23 z =

4m 0 Ia 2

(

p 4z 2 + a 2

)

4 z 2 + 2a 2

.

(22.1)

У посебном случају када је z = 0 , овај израз прелази у резултат задатка 7, B =

2m 0 I pa

2.

*23. Кружна струјна контура полупречника а и квадратна струјна контура странице b омеђују исте површине, а и јачине струја су им једнаке. На основу израза из задатака 17 и 22, показати да су на осама ових контура, на великим одстојањима од контура, алгебарски интензитети њихових магнетских индукција практично дати истим изразима. РЕШЕЊЕ На основу

израза

2

(17.1),

за

кружну

контуру

2

m0m m IS m Ipa , где је = 0 3 = » 0 3 2( a + z ) 2p | z | 2p | z | 2 p | z |3 омеђеног контуром, а m = IS магнетски моменат контуре. m 0 Ia

Bz =

2

2 3/ 2

За Bz =

квадратну 4m 0 Ib

контуру

2

»

m 0 Ib

је,

2

=

на

m 0 IS

=

m0m

је,

S = pa 2

за

| z |>> a ,

површина круга

основу

израза

, где је

S = b2

(22.1),

површина 2p | z | 2p | z | 2p | z | 4 z + 2b p 4z + b квадрата, а m = IS магнетски моменат квадратне контуре. Очигледно, изрази за магнетску индукцију на великим одстојањима имају исти облик,

(

Bz =

2

2

)

m0 m 2 p | z |3

2

.

2

3

3

3

(23.1)

Без доказа наводимо да тај резултат важи за магнетску индукцију на оси на којој лежи магнетски моменат (m) било какве струјне расподеле чије су димензије мале у односу на растојање са кога се та расподела посматра.

*24. Од жица исте дужине, l = 100 mm , направљен је један кружни завојак (слика 24.1), један квадратни завојак (слика 24.2) и два приљубљена кружна завојка (слика 24.3). У завојцима постоје сталне струје исте јачине I = 10 A . Завојци се налазе у

18

Електромагнетизам

ваздуху. Израчунати магнетску индукцију (а) у центру сваког завојка и (б) на великом одстојању r = 1 m од равни завојка, на оси која пролази кроз центар завојка.

Слика 24.1.

Слика 24.2.

Слика 24.3.

РЕШЕЊЕ (а) Интензитет магнетске индукције у центру кружног завојка са слике 24.1 је m pI B = 0 » 0,395 mT , у центру квадратног завојка са слике 24.2 је l 8m I 2 4m pI B= 0 » 0,453 mT , а у центру завојака са слике 24.3 је B = 0 » 1,58 mT . pl l (б) Магнетски моменат кружног завојка са слике 24.1 је m =

Il 2 » 7,96 mAm 2 , а 4p

m0m

» 1,59 nT . На одстојању r = 1 m од завојака, магнетска 2pr 3 индукција завојка сразмерна је његовом магнетском моменту. Магнетски моменат магнетска индукција је B »

Il 2 = 6,25 mAm 2 , па му је магнетска индукција 16 m m Il 2 B » 0 3 = 1,25 nT . Магнетски моменат завојака са слике 24.3 је m = » 3,98 mAm 2 , 8p 2pr m m па је магнетска индукција B » 0 3 » 0,80 nT . 2pr

квадратног завојка са слике 24.2 је m =

1. Стално магнетско поље у вакууму

*25. У правоугаоној контури, страница а и b, постоји стална струја јачине I. Контура се налази у вакууму. Одредити вектор магнетске индукције у произвољној тачки на правој која је нормална на раван контуре и пролази кроз центар контуре.

19

Слика 25.1.

РЕЗУЛТАТ Према ознакама на слици 25.1, вектор магнетске индукције у тачкама на z-оси је 2m 0 abI æ ö 1 1 B= + 2 ç ÷i . 2÷ z 2 2 2 çè 4 z 2 + a 2 4z + b ø p 4z + a + b

*26. Жичана контура са сталном струјом јачине I састоји се од полукружног дела (полупречника а) и праволинијског дела (дужине 2a ). Контура се налази у ваздуху и лежи у Oxy равни Декартовог координатног система, као на слици 26.1 Одредити вектор магнетске индукције у произвољној тачки Р на z-оси.

Слика 26.1.

Слика 26.2.

РЕШЕЊЕ Означимо са dB1 вектор магнетске индукције струјног елемента Idl који припада m Idl ´ r полукружном делу контуре (слика 26.2), dB1 = 0 1 2 0 . Тај вектор треба разложити 4pr на компоненте у Декартовом систему.

20

Електромагнетизам z dB1z

dB1

P

dB1h r r0

O

a P1 Слика 26.3.

dl1 Слика 26.4.

Разложимо га, најпре, на хоризонталну и вертикалну компоненту (слика 26.3), z m Idl dB1 = dB1h + dB1z i z , где је dB1h = dB1 cos a , dB1z = dB1 sin a , dB1 = 0 2 , cos a = и r 4pr a sin a = , а затим разложимо хоризонталну компоненту на Декартове компоненте, r p p dB1h = dB1x i x + dB1 y i y , где је dB1x = dB1h cos f и dB1 y = dB1h sin f , а - < f < . Како 2 2 је dl = adf , Декартове компоненте вектора B1 који потиче од полукруга ( l1 ) су p/2

m Iaz m Iaz B1x = ò dB1x = 0 3 ò cos f df = 0 3 , 4pr - p / 2 2pr l 1

p/2

m Iaz B1 y = ò dB1 y = 0 3 ò sin f df = 0 4pr - p / 2 l

и

1

p/2

m Ia 2 m 0 Ia 2 d B1z = ò dB1z = 0 f = . ò 4pr 3 - p / 2 4r 3 l1 На основу израза за магнетску индукцију праволинијског проводника коначне дужине, добија се да је вектор магнетске индукције праволинијског дела контуре ( l2 ) у m Ia тачки Р, B 2 = - 0 i x . 2pzr m Ia 2 æ a 1 ö Резултантни вектор магнетске индукције је B = B1 + B 2 = 0 3 ç - i x + i z ÷ , 2 ø 2r è pz где је r = z 2 + a 2 .

*27. Танка струјна контура има облик троугла чија су темена у тачкама O(0,0,0) , A(a,0,0) и B(0, a,0) , као на слици 27.1. У контури постоји стална струја јачине I. Средина је ваздух. Одредити вектор магнетске индукције у тачки M (0, a, a ) .

Слика 27.1.

1. Стално магнетско поље у вакууму

21

РЕЗУЛТАТ ö m I æ 2 æç 2 ö÷ 3 1ix i y + iz ÷ . Вектор магнетске индукције је B = 0 ç ç ÷ ÷ 4pa çè 2 è 3ø 6 ø

(

)

*28. У квадратној струјној контури приказаној на слици 28.1, странице a = 1 m , која се налази у вакууму, постоји стална струја I = 10 A . Израчунати вектор магнетске индукције у тачки M (0,0, a ) .

Слика 28.1.

РЕЗУЛТАТ Компоненте вектора магнетске индукције су Bx = B y = Bz = -

(

)

m0 I 3 2 - 3 » 418 nT и 24pa

m0 I 3 » -577 nT . 12pa

*29. Врло танак диск од стиропора ( e r » 1 ), полупречника а, равномерно је наелектрисан по горњој површи наелектрисањем површинске густине rs . Диск ротира у ваздуху сталном угаоном брзином w око осе која је нормална на базисе диска и пролази кроз његово средиште. (а) Одредити израз за магнетску индукцију на оси диска. (б) У далеким тачкама, изразити магнетску индукцију преко магнетског момента диска. РЕШЕЊЕ (а) Површинско наелектрисање које се обрће са диском образује површинску струју густине J s = rs w ´ R (слика 29.1). Изделимо диск на танке прстенове, полупречника R и ширине dR . Сваки такав прстен ствара магнетску индукцију као кружна контура струје dI = J s dR = rs wRdR .

Слика 29.1.

Према изразу (17.1), z-компонента вектора магнетске индукције прстена је dB z =

m 0 dIR 2

m 0rs wR 3dR . Суперпозицијом поља прстенова добија се = 2( R 2 + z 2 ) 3 / 2 2( R 2 + z 2 ) 3 / 2

ö m r w æ a2 + 2z 2 = 0 s ç - 2 | z | ÷ , па је вектор магнетске индукције на 2 2 3/ 2 ÷ 2 ç a2 + z2 R = 0 2( R + z ) è ø оси диска a

Bz =

ò

m 0rs wR 3dR

22

Електромагнетизам ö m r w æ a2 + 2z 2 B= 0 s ç - 2 | z |÷ . ÷ 2 ç a2 + z2 è ø

(29.1)

(б) Магнетски моменат једног прстена са слике 29.1 је dm = pR 2 dI = rs wpR 3dR . Магнетски моменат диска добија се сабирањем магнетских момената свих прстенова на a

које је диск издељен, m =

Qa 2 w rs wpa 4 m = , где је Q = rs pa 2 d m = , односно ò 4 4

R =0

укупно наелектрисање диска. Довођењем на заједнички именилац и рационализацијом бројиоца, израз (29.1) добија облик B =

B»

m 0m 2p z 3

m 0rs a 4 w 2æç a 2 + 2 z 2 + 2 | z | a 2 + z 2 ö÷ a 2 + z 2 è ø

. У далеким тачкама ( | z |>> a ) је

, што је исти резултат као у задатку 23.

*30. Лопта од стиропора ( e r » 1 ), полупречника а, наелектрисана је равномерно по површи наелектрисањем густине rs . Лопта се обрће у ваздуху око једне своје осе угаоном брзином w. (а) Одредити магнетску индукцију у центру лопте. (б) Изразити магнетску индукцију у далеким тачкама преко магнетског момента лопте. РЕШЕЊЕ (а) Изделимо површ лопте на танке прстенове, као на слици 30.1. Полупречник прстена је R = a sin q , а ширина dlp = adq . Густина површинске J s = rs wR , а јачина

струје лопте струје прстена

rs

је је

dI = J s adq = rs wa 2 sin q dq . Вектор магнетске индукције у центру лопте која потиче од овог m0 ars w sin 3 q dq iz , 2 2a 3 па је резултантни вектор магнетске индукције

прстена је dB = p

B=

m 0 R 2 dI

iz =

2

ò dB = 3 m 0ars w i z .

q= 0

Да ли би се добио исти резултат и да је лопта начињена од диелектрика релативне пермитивности e r > 1 ?

Слика 30.1.

1. Стално магнетско поље у вакууму

23

(б) Магнетски моменат прстена са слике 30.1 је dm = pR 2 dI = rs wpa 4sin 3q dq , па је магнетски

моменат

лопте

p

p

q=0

q= 0

4 ò dm = rs wpa

m=

3 ò sin q dq =

4rs wpa 4 , 3

односно,

у

4rs pa 4 w Qa 2 w = , где је Q = 4pa 4rs укупно наелектрисање 3 3 m m лопте. На основу израза (23.1), магнетска индукција на z-оси је B » 0 . 2p z 3

векторском облику, m =

**Читаоцу се оставља да одреди магнетску индукцију у произвољној тачки на z-оси суперпозицијом магнетских индукција прстенова на које је лопта издељена.

*31. Веома дугачак цилиндар од стиропора ( e r » 1 ), полупречника а, равномерно је наелектрисан по запремини наелектрисањем густине r. Цилиндар ротира око своје осе сталном угаоном брзином w. Пермеабилност је свуда m 0 . Одредити вектор магнетске индукције у произвољној тачки простора око средине дужине цилиндра, сматрајући да се расподела наелектрисања цилиндра при ротацији не мења. РЕШЕЊЕ На слици 31.1 представљен је попречни пресек цилиндра. Наелектрисања цилиндра се окрећу заједно са цилиндром и образују запреминску електричну струју. Вектор густине струје у тачки Р на одстојању R од осе цилиндра је J = rv , где је v периферијска брзина, v = wR . Стога је J = rwR . Струјнице су кружне. Посматрани цилиндар се може изделити на низ елементарних шупљих цилиндара полупречника R ( 0 < R < a ), танког зида дебљине dR . Магнетска индукција сваког таквог шупљег цилиндра иста је као магнетска индукција дугачког соленоида: ван цилиндра је индукција нула, док је у цилиндру вектор магнетске индукције аксијалан и исти у свим тачкама. Подужна густина површинске струје еквивалентног соленоида је dJ s = J dR , па је у елементарном цилиндру интензитет магнетске индукције која потиче од наелектрисања тог цилиндра dB = m 0 dJ s = m 0 JdR = m 0rwRdR .

Слика 31.1.

Резултантна магнетска индукција у задатом цилиндру добија се суперпозицијом магнетских индукција елементарних цилиндара. У тачки М која је на одстојању r од осе, a

интензитет вектора В је B(r ) =

ò m 0rwRdR = m 0rw

R=r

a2 - r 2 , r £ a . Ван цилиндра (за 2

r > a ) магнетска индукција је нула.

Читаоцу се препоручује да одреди вектор магнетске индукције у центру једног базиса задатог цилиндра.

24

Електромагнетизам

**32. Поновити претходни задатак ако је релативна пермитивност диелектрика од кога је цилиндар начињен e r > 1 иста у целом цилиндру. РЕШЕЊЕ За разлику од претходног задатка, сада се морају узети у обзир и везана наелектрисања. Онда се окрећу заједно са цилиндром и доприносе струји. Површинска везана наелектрисања образују површинску струју чије су линије циркуларне, а (e - 1) rwa 2 . чија је подужна густина Js = r 2e r Запреминска слободна и везана наелектрисања својим кретањем образују запреминску струју, чије су линије такође циркуларне. Густина запреминске r струје је J ( R) = wR (слика 32.1), где је R er одстојање од осе цилиндра.

Слика 32.1.

У унутрашњости задатог цилиндра (у тачки M на слици 32.1), магнетска индукција која потиче од површинских везаних наелектрисања је хомогена и паралелна је оси z, (e - 1) rwa 2 , r £ a , док је ван цилиндра та индукција нула. при чему је Bpz = m0 J s = m0 r 2e r Магнетска индукција која потиче од запреминских слободних и везаних наелектрисања је, на основу резултата претходног задатка, Bz (r ) = m 0rw

a2 - r 2 , r £ a . Резултантна 2e r

m rw æ r2 ö магнетска индукција у цилиндру је B(r ) = Bz (r ) + Bpz = 0 ç a 2 - ÷, r £ a , док је ван 2 çè e r ÷ø цилиндра нула.

33. Веома дугачка танка права бакарна1 трака налази се у вакууму, у равни цртежа на слици 33.1. Ширина траке је а, а дебљина d (d 0) .

1

Пермеабилност бакра је практично m 0 .

1. Стално магнетско поље у вакууму

a

25 y

a

y

Js dB

I

O

x

x

x

O

x0

x0

dx Слика 33.2.

Слика 33.1.

РЕШЕЊЕ Изделимо траку на дугачке узане траке, ширине dx (слика 33.2). Јачина струје узане I густина површинске струје задате траке. Магнетска траке је dI = J s dx , где је J s = a индукција сваке узане траке иста је као да потиче од веома дугачког танког dx праволинијског проводника (влакна) струје dI = I : линије вектора dB су кружнице, a референтни смер везан правилом десне завојнице са референтним смером струје, а m dI алгебарски интензитет му је dB = 0 , где је r =| x0 - x |= x0 - x одстојање тачке у којој 2pr се одређује магнетска индукција узане траке. Резултантни вектор магнетске индукције има исти правац и референтни смер као вектор dB , добија се суперпозицијом поља свих 0

узаних трака, а алгебарски интензитет му је B =

ò

x = -a

m I x +a m 0 I dx = 0 ln 0 . 2pa ( x0 - x ) 2pa x0

*34. У веома дугачком проводнику у облику веома танке равне траке, ширине а, постоји стална струја јачине I. Пермеабилност је свуда m 0 . Одредити вектор магнетске индукције у произвољној тачки простора.

26

Електромагнетизам РЕШЕЊЕ

На слици 34.1 приказан је попречни пресек траке и тачка P( x0 , y0 ) , x0 > 0 , у којој треба одредити магнетску индукцију. Изделимо посматрану траку на елементарне траке, ширине dl = dy . Вектор магнетске индукције једне елементарне траке ( dB ) исти је као да потиче од веома дугачког I праволинијског влакна са струјом dI = dl , a где је dl = dy . Интензитет тог вектора, у односу на референтни смер са слике 34.1, је m I dy dB = 0 , где је r = x02 + ( y - y0 )2 . 2par

y l Референтни a/2 смер за угао dldI P' y0

dB

dBy r P

O

z

x0

dBx x

I a/2 Слика 34.1.

Разложимо вектор dB на Декартове компоненте, dBx = dB sin q и dB y = dB cos q , x y - y0 . Интеграцију компоненти где је, на основу слике 34.1, cos q = 0 и sin q = r r x dq x погодно је урадити преко угла q, при чему је r = 0 и dy = 0 2 , па је cos q cos q m I Bx = 0 2pa

q2

q

m 0 I cos q1 m 0 I r2 m0 I 2 m I sin q d q = ln = ln dq = 0 (q 2 - q1 ) , где је и = B y ò cos q ò 2pa cos q 2 2pa r1 2pa 2pa q1 q1

æa ö r1 = x02 + ç + y0 ÷ è2 ø

2

2

æa ö и r2 = x02 + ç - y0 ÷ . За x0 > 0 , тражени вектор магнетске è2 ø

ö m Iæ r индукције је B = 0 çç i x ln 2 + (q 2 - q1 ) i y ÷÷ , при чему је референтни смер за угао q 2pa è r1 ø приказан на слици 34.1. Читаоцу се оставља да провери да ли добијени резултат важи и за x0 < 0 .

*35. Врло дугачка танка трака ширине 2a , чији је попречни пресек приказан на слици 35.1, налази се у вакууму. У траци постоји стална струја у смеру zосе. Расподела струје је неравномерна, и то тако да густина површинске струје зависи само од Декартове координате y као J s ( y ) = J s0 y / a , где је J s0 константа. Одредити израз за вектор магнетске индукције траке у тачки М чије су координате (a, a,0) .

Слика 35.1.

1. Стално магнетско поље у вакууму

27

РЕЗУЛТАТ Декартове компоненте резултантног вектора магнетске m J æ 1 p m J ö Bx = - 0 s 0 ç arctg + ln 5 + - 2 ÷ = - 0 s0 arctg2 + ln 5 - 2 и 2p è 3 4 2p ø

(

By =

(

индукције

)

су

)

m0 J s0 æ 1 pö m J ç arctg - ln 5 + ÷ = 0 s 0 arctg 2 - ln 5 . 2p è 3 4ø 2p

**36. У дугачком правом бакарном проводнику квадратног попречног пресека странице a = 1 mm постоји стална струја јачине I = 10 A . Проводник се налази у ваздуху. Израчунати вектор магнетске индукције у тачки на површи проводника која се налази на средини једне стране. Слика 36.1. РЕШЕЊЕ Попречни пресек проводника приказан је на слици 36.1. Изделимо проводник на танке траке, дебљине dx . На основу решења задатка 34, у тачки О, која је на средини десне стране проводника, магнетска индукција сваке траке има само y-компоненту, чији m I a dx a . Интензитет резултантне магнетске је интензитет dB = 0 2 , где је a = -arctg 2 x pa индукције је B=-

m0 I pa

2

0

a

ò arctg 2 x dx =

-a

m0 I pa

1ö m I æ p + ln 5 - arctg ÷ = 0 ç 3 ø pa è 4

37. Крута контура, приказана на слици 37.1, састоји се од једног праволинијског дела и једног дела у облику кружног лука, полупречника а. У контури постоји стална струја јачине I, а контура се налази у сталном хомогеном магнетском пољу индукције В. Одредити резултантну магнетску силу на лучни део проводника, занемарујући сопствено магнетско поље контуре.

1ö æ ln 5 + arctg ÷ » 3,46 mT . ç 2ø è 4

O B

p 3 I Слика 37.1.

a

28

Електромагнетизам

РЕШЕЊЕ Магнетска сила на елемент dl контуре је dFm = Idl ´ B . Резултантна сила на лучни део добија се сабирањем сила на све елементе, Fm = ò Idl ´ B = - IB ´ ò dl , где L означава лучни део L

L

контуре.

Како

је

ò dl =

L

M

ò dl = NM ,

то

је

p 3

N

Fm = IB ´ MN . Правац и референтни смер магнетске силе приказани су на слици 37.2, а алгебарски интензитет јој је Fm = IBa . Слика 37.2. M

Резултантна сила не зависи од облика контуре јер

ò dl

не зависи од облика

N

контуре, већ само од положаја крајњих тачака интеграције, M и N. Колика је резултантна магнетска сила на целу контуру са слике 37.1? А резултантни спрег?

38. Пречник проводника танког симетричног ваздушног двожичног вода је d = 10 mm , а растојање између оса проводника је D = 100 mm . Проводници су од бакра, а у њима постоји стална струја густине J = 2,5 A/mm 2 . Израчунати вектор подужне магнетске силе која делује на један проводник вода. РЕЗУЛТАТ Јачина струје вода је Fm¢ =

2

I » 196 A . Интензитет подужне магнетске силе је

m0 I » 0,08 N/m , а сила је одбојна. 2pD

1. Стално магнетско поље у вакууму

29

y 39. Три врло дугачка праволинијска проводника леже у истој равни у ваздуху, као на слици 39.1. У проводницима су успостављене сталне струје I1 , I 2 , односно I 3 према референтним смеровима на слици 39.1. (а) Одредити вектор подужне магнетске силе F3¢ на проводник са струјом I 3 . (б) При ком односу струја I1 / I 2 је F3¢ = 0 ?

I1

a

z

I3

I2

b x

O Слика 39.1.

РЕЗУЛТАТ m I æI I ö (а) Вектор подужне силе је F3¢ = 0 3 ç 1 - 2 ÷ i x . 2p è a b ø (б) Сила је нула ако је I1 / I 2 = a / b .

40. Паралелно проводницима веома дугачког ваздушног тракастог вода постављен је веома дугачак жичани проводник. Попречни пресек структуре је приказан на слици 40.1. У воду је успостављена стална струја јачине I, равномерно расподељена по ширини траке. Дебљина трака је занемарљива. У жичаном проводнику постоји стална струја јачине I1 . Одредити подужну магнетску силу на жичани проводник.

I

I1

I

a

a/2 a/2

a

Слика 40.1.

РЕШЕЊЕ На основу резултата задатка 34, вектор магнетске индукције која потиче од тракастих проводника усмерен је као на слици 40.2. Алгебарски интензитет тог вектора је m0 I B= ln 3 . Вектор подужне силе је pa F' = I1l 0 ´ B , где је l 0 орт осе жичаног проводника, чији се смер поклапа са референтним смером струје I1 . Алгебарски интензитет вектора подужне силе је m 0 II1 F'= ln 3 . pa

Слика 40.2.

30

Електромагнетизам

*41. Један проводник веома дугачког праволинијског ваздушног вода, чији је попречни пресек приказан на слици 41.1, је танка трака ширине 2a , савијена под правим углом око своје средине, а други проводник је жица. Оса жице има координате (x0 , y0 ) . У воду је успостављена стална струја јачине I, равномерно расподељена по ширини траке 2a . Одредити вектор подужне магнетске силе на жичани проводник вода ако је a (а) x0 = y0 = и (б) x0 = y0 = a . 2

Слика 41.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Када је x0 = y0 = је F' = m 0

a , вектор подужне магнетске силе на жичани проводник вода 2

I2 ix + i y . 8a

(

)

(б) За x0 = y0 = a је F' = m 0

I2 (p + 2 ln 2) i x + i y . 16pa

(

)

42. На слици 42.1. приказан је попречни пресек веома дугачког ваздушног вода у коме постоји стална струја јачине I. Један проводник вода је облика половине цилиндричне љуске, полупречника a знатно већег од дебљине љуске, а струја је по њему равномерно расподељена. Други проводник вода је танка жица постављена на оси цилиндра. Одредити вектор подужне магнетске силе на жичани проводник вода.

Слика 42.1.

РЕЗУЛТАТ Сила је одбојна, а вектор подужне силе је F ' =

m0 I 2 p2 a

iy . y

43. У врло дугачком бакарном проводнику облика четвртине кружне цилиндричне љуске (слика 43.1), полупречника a = 100 mm и дебљине d = 1 mm ( d h . ÷ 2 ÷ ÷ ø

(83.3)

Ако је h >> a , односно ако је цилиндар веома дугачак, у његовом средишту ( z = 0 ) је B » m 0 M и H » 0 . m h æ h ö Ако је h a је 2prEind (r , t ) = , где је F (t ) = B(t )pa 2 магнетски флукс кроз попречни dt a2 пресек соленоида. Одавде је Eind (r , t ) = m r m 0 N ' wI 2 sin wt . 2r Импеданса волтметра је велика, па можемо занемарити струју у прикључним проводницима волтметра у односу на струју кружног завојка. Стога је јачина струје кружног завојка иста дуж целог завојка. Густина струје у завојку је J = sE = s E Q + E ind , где је E Q електрично поље услед акумулираног наелектрисања.

(

)

Вектор Ј је циркуларан (струјнице су дуж осе жице) и константног интензитета дуж завојка, а такав је и вектор Eind . Одавде следи да је и вектор E Q циркуларан и константног интензитета дуж осе завојка. Усвојимо референтни смер вектора E Q као на слици 132.2. Електрично поље E Q је конзервативног карактера,

ò E Q × dl = 0 ,

па је

C

EQ 2pb = 0 и EQ = 0 . Стога је J = sEind , па је тражена јачина струје у завојку i1 (t ) = JS =

sm r m 0 N ' a 2 S wI 2 sin wt = I1 2 sin wt , где је I1 » 18,22 A . 2b

3. Променљиво електромагнетско поље

109

(б) Сматрајући да је волтметар малих димензија, а да су му прикључци близу један другоме, утицај индукованог електрично поље у волтметру може се занемарити. Стога Q

ò

волтметар практично мери разлику потенцијала између прикључака, v P - vQ = E Q × dl . P

Пошто је вектор E Q конзервативног карактера, можемо усвојити било коју путању интеграције.

Узмимо

M

v P - vQ =

òE

да

Q

је

та

путања

PMNQ .

Тада

је

Q

N

ò

ò

× dl + E Q × dl + E Q × dl . У жичаним сегментима PM и NQ је струја

P

M

N

занемарљива ( i2 » 0 , односно J » 0 ), па је у њима Е Q = -E ind . У сегменту MN је Q

M

ò

ò

E q = 0 . Стога је v P - vQ = - E ind × dl - E ind × dl . Вектор Eind је нормалан на сегменте P

AM и

NB , B

а

тачке

N

Р

и

v P - vQ » E ind × dl = 2pbEind (2b, t ) =

ò

A

Q

се

практично

поклапају.

Стога

је

1 dF » -0,1 2 sin wt V , па је показивање волтметра 2 dt

0,1 V . Задатак се може решити и на основу еквивалентне шеме са слике 132.3, на којој је eind1 емс индукована у завојку (полупречника b), 2pb R1 = отпорност завојка, eind2 емс sS индукована у кружној контури полупречника 2b , а R2 отпорност сваког прикључка волтметра. Емс самоиндукције кратко спојеног завојка је занемарена. Индуковане емс су dF eind1 = eind2 = . dt

A eind1 2

M eind1 2

R1 2

eind2 4 i2=0 R1 2

R2 P V Q R2

i

N A

eind2 4

Слика 132.3. Сматрамо да је струја у прикључцима волтметра занемарљива. Стога је струја e кратко спојеног завојка иста дуж целог завојка, i1 = ind1 . Разлика потенцијала тачака М R1 и N је vM - v N = и раније.

R1 e e 1 dF , што је исти резултат као i1 - ind1 = 0 , па је v P - vQ = - ind2 = 2 2 dt 2 2

110

Електромагнетизам

Да ли је показивање волтметра исто уколико су прикључни проводници волтметра облика као на слици 132.4? Читаоцу се препоручује да задатак реши и у случају када је кратко спојени завојак састављен од два дела различитих специфичних проводности: специфична проводност леве половине (између тачака М и N) је s1 = 10 MS/m , а десне половине је s 2 = 14 MS/m .

Слика 132.4.

*133. Дугачак соленоид намотан је на цилиндричном феромагнетском језгру кружног попречног пресека, полупречника а, од материјала релативне пермеабилности m r . Соленоид је намотан равномерно и густо, а подужна густина завојака је N ¢ . У 0, t < 0 ì ï t завојцима постоји струја i (t ) = í I 0 , 0 £ t £ T , где су I 0 и Т ( T > 0 ) константе. Око ï T î I0 , t > T соленоида је постављен танак проводни кружни прстен, полупречника b ( b > a ) и подужне отпорности R¢ . Прстен лежи у равни попречног пресека соленоида, а центар му се налази на оси соленоида, као на слици 133.1. За две тачке прстена, P1 и P2 , p прикључена су два једнака електростатичка волтметра, при чему је ÐP1OP2 = . 2 Одредити збир и разлику показивања ових волтметара у интервалу времена 0 < t < T .

Слика 133.1.

3. Променљиво електромагнетско поље РЕЗУЛТАТ Волтметри

мере

тренутне

111

вредности

одговарајућих разлика потенцијала. I 1 Показивање првог волтметра је v1 - v2 = m r m 0 N ' pa 2 0 , а показивање другог 4 T 3 2 I0 волтметра је v3 - v4 = - m r m 0 N ' pa , 0 < t < T . Збир показивања волтметара је 4 T (v1 - v2 ) + (v3 - v4 ) = - 1 m r m 0 N ' pa 2 I 0 , а разлика (v1 - v2 ) - (v3 - v4 ) = m r m 0 N ' pa 2 I 0 , T 2 T 0 0 , стваран смер магнетске индукције у језгру В приказан је на слици 173.1. Тај смер је супротан смеру нормале на завојке другог калема. Стога је међусобна индуктивност негативна, L12 = L21 = -k L1 L2 » -1,344 H , па су тачке постављене као у еквивалентној шеми на слици 173.4. На основу те шеме добија се еквивалентна индуктивност,

Слика 173.4.

Le = L1 + L2 - 2 L12 = L1 + L2 + 2k L1 L2 » 5,69 H . (б) За везу са слике 173.2, еквивалентна шема је приказана на слици 173.5. Еквивалентна индуктивност је Le =

(

)

2 L1L2 - L12 L1L2 1 - k 2 » 34 mH . = L1 + L2 - 2 L12 L1 + L2 + 2k L1L2

(в) На слици 173.6 приказана је еквивалентна шема калемова са слике 173.3. Еквивалентна индуктивност је Le = L1 -

(

)

2 L12 = 1 - k 2 L1 » 98 mH . L2

3. Променљиво електромагнетско поље

1

137

1

2 k L1

L1

L2

1

2 k L2

1

2

2

Слика 173.6.

Слика 173.5.

174. Дужина средње линије танког торусног феромагнетског језгра приказаног на слици 174.1 је l = 0,2 m , а површина попречног пресека је S = 4 cm 2 . Материјал се може сматрати линеарним, релативне пермеабилности m r = 1000 . На језгро су равномерно и густо намотана два идентична калема са N1 = N 2 = 500 завојака. Израчунати еквивалентну индуктивност између тачака 1 и 2 када је прекидач П (а) отворен и (б) затворен.

Слика 174.1. РЕЗУЛТАТ (а) Када

је

прекидач

отворен,

еквивалентна

индуктивност

је

2

m m (N + N2 ) S Le = r 0 1 » 2,5 H . l (б) Када је прекидач затворен, Le = 0 .

175. Сопствена индуктивност два идентична танка прстена је L. Прстенови се налазе у ваздуху. Колика је, приближно, међусобна индуктивност тих прстенова када се тесно приљубе један уз други? Прстенови су међусобно галвански изоловани.

138

Електромагнетизам РЕЗУЛТАТ Модул међусобне индуктивности је L12 » L .

176. Уз танак бакарни прстен тесно је приљубљен танак суперпроводан прстен. Прстенови су међусобно галвански изоловани. Сопствена индуктивност сваког прстена када су далеко један од другог је L. Колика је, приближно, еквивалентна индуктивност бакарног прстена? РЕЗУЛТАТ Еквивалентна индуктивност бакарног прстена је приближно нула. Ако у прстеновима најпре нема струје, па се у бакарном прстену успостави струја јачине I, колика се струја и ког смера индукује у суперпроводном прстену? Колики је при томе магнетски флукс кроз прстенове? Да ли се исти резултат добија и ако се бакарни прстен прислони уз плочу од суперпроводног материјала (при чему је прстен галвански изолован од плоче)?

177. На картонском цилиндричном телу густо су намотана два намотаја, завојак до завојка, као што је скицирано на слици 177.1. Индуктивност сваког намотаја је L = 100 mH , а коефицијент спреге је k = 0,9 Израчунати индуктивност (а) између крајева 1 и 2 када се крајеви 1' и 2' споје, (б) између крајева 1' и 2 када се крајеви 1 и 2' споје и (в) између крајева 1 и 1' када се истовремено споје крајеви 1 и 2, и крајеви 1' и 2'.

1

2

1'

2'

Слика 177.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Када се крајеви 1' и 2' споје, добија се бифиларни намотај, чија је индуктивност Le = 2 L(1 - k ) = 20 mH . (б) Када се споје Le = 2 L(1 + k ) = 380 mH .

крајеви

1

и

2',

еквивалентна

индуктивност

је

(в) Када се истовремено споје крајеви 1 и 2, и крајеви 1' и 2', добија се паралелна L(1 + k ) веза два спрегнута калема, а еквивалентна индуктивност је Le = = 95 mH . 2 Читаоцу се препоручује да израчуна еквивалентну индуктивност између крајева 1 и 1' када се истовремено споје крајеви 1 и 2', и крајеви 1' и 2.

3. Променљиво електромагнетско поље

139

178. На слици 178.1 приказан је попречни пресек два паралелна ваздушна двожична вода. Осе проводника су у теменима квадрата странице a = 200 mm . Полупречник свих жица је исти, b = 1 mm . Дужина водова је D = 1 km , а водови су спрегнути целом дужином. У првом воду (који чине проводници 1 и 1') постоји струја i1 (t ) = 2 cos wt mA , где је w = 2 × 10 4 s -1 . Други вод (који чине проводници 2 и 2') кратко је спојен на оба краја. Отпорност жица је занемарљиво мала. Израчунати (а) сопствене и међусобну подужне индуктивности водова и (б) јачину струје индуковане у другом воду.

Слика 178.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Сопствене међусобна је L'12 =

подужне

индуктивности

су

L'1 = L' 2 =

m0 a ln » 2,12 mH/m , p b

а

m0 ln 2 » 139 nH/m . 2p

(б) Јачина струје у другом воду је i2 = -

L12 i1 » -131 cos wt mA . L2

179. Око феромагнетског штапа постављена су два намотаја, као на слици 179.1. Индуктивности намотаја су L1 и L2 , а отпорности занемарљиве. Коефицијент спреге намотаја је k (k < 1) . Струја струјног генератора, прикљученог на примарни намотај, приказана је на слици 179.2. Секундарни намотај је кратко спојен, a за t < 0 , у том намотају нема струје. (а) Да ли у интервалу времена 0 < t < T постоји напон између прикључака примарног намотаја? Ако постоји, који му је смер? (б) Да ли у интервалу времена 0 < t < T постоји струја у секундарном намотају? Ако постоји, који јој је смер?

140

Електромагнетизам

Слика 179.2. Слика 179.1. РЕЗУЛТАТ (а) Према Фарадејевом закону електромагнетске индукције, у интервалу 0 < t < T је u11' > 0 . (б) У интервалу 0 < t < T постоји струја индукована у секундару, i2 < 0 , што је у складу са Ленцовим законом.

*180. За систем из задатка 179 нацртати еквивалентну шему и аналитички одредити напон u11' (t ) и струју i2 (t ) .

(

)

L1 1- k 2 I 0 T

u11'

I0

Слика 180.1.

- kI0

L1 L2

ig

0

T

t i2

Слика 180.2. РЕШЕЊЕ Еквивалентна шема је приказана на слици 180.1. Између напона и струја спрегнутих калемова постоје релације di di u11' (t ) = L1 1 + L12 2 , dt dt

(180.1)

3. Променљиво електромагнетско поље

141

di di u 22' (t ) = L21 1 + L2 2 . dt dt

(180.2)

Струја примара је i1 = ig , а напон секундара је u 22' (t ) = 0 . Из (180.2) је di2 L di = - 21 1 , dt L2 dt

(180.3)

æ што, заменом у (180.1) даје u11' (t ) = ç L1 ç è Le = L1 -

(

)

2 ö L12 ÷ di1 јер је L12 = L21 . Уочимо да је L2 ÷ø dt

2 L12 = L1 1 - k 2 еквивалентна индуктивност коју види струјни генератор. L2

0, t < 0 ì ïï Le I 0 Диференцирањем струје i1 (t ) добија се u11' (t ) = í , 0 < t < T , као што је ï T 0, t > T ïî приказано на слици 180.2. L Интеграцијом обе стране израза (180.3) добија се i2 (t ) = - 21 i1 (t ) + I 20 , где је I 20 L2 интеграциона константа. С обзиром на то да је за t < 0 , i1 (t ) = i2 (t ) = 0 , следи да је L I 20 = 0 , па је i2 (t ) = - 21 i1 (t ) , као на слици 180.2. L2 Ако би отпорност секундарног намотаја била R2 > 0 , да ли би струја i2 (t ) била константна за t > T ?

**181. Преносни

однос

савршеног N трансформатора са слике 181.1 је n = 1 . N2 Затварањем прекидача П, примарни намотај се у тренутку t = 0 прикључи на генератор константне електромоторне силе Е. Колики је напон између отворених крајева секундарног намотаја?

Слика 181.1.

РЕШЕЊЕ Означимо индуктивност примарног намотаја са L1 . Када се примар савршеног трансформатора прикључи на константан напон, при чему је секундар отворен, струја E примара ће бити i1 (t ) = t , t > 0 , јер је отпорност трансформатора R1 занемарљива. L1 Због тога ће постојати променљив флукс у језгру трансформатора, а између прикључака E секундара постојаће константан напон u 22' (t ) = . Међутим, примар не може n

142

Електромагнетизам

бесконачно дуго бити прикључен на константан напон јер би јачина струје у њему постала бесконачна. ***Код реалног трансформатора, отпорности намотаја нису занемарљиве. На слици 181.2 приказано је коло у коме отпорник моделује губитке у примарном намотају. Када се затвори прекидач П, после релативно кратког времена струја примара ће постати E константна, I1 = , флукс кроз језгро се више неће мењати, па ће напон секундара R1 пасти на нулу. Као илустрација, на слици 181.3 приказан је резултат симулације кола са слике 181.2 за L1 = 1 H , L2 = 0,25 H ( n = 2 ), k = 1 , R1 = 1 W и E = 10 V .

Слика 181.2. Читаоцу се препоручује да одреди напон између отворених крајева савршеног трансформатора уколико је примар прикључен на простопериодичан напон u1 (t ) = U m cos wt . 10 u11' u22'

8

u [V]

6 4 2 0

0

1

2

3 t [s]

Слика 181.3.

4

5

3. Променљиво електромагнетско поље

**182. Преносни однос савршеног трансформатора је N1 n= . Секундар трансформатора N2 је кратко спојен (слика 182.1), па је у примарном намотају успостављена стална струја. Колика је при томе јачина струје секундарног намотаја?

143

Слика 182.1.

РЕШЕЊЕ Отпорност секундарног намотаја је нула, па се кратко спојени секундар понаша као суперпроводна контура. Еквивалентна индуктивност гледано у примар је нула. Стога се E одмах по затварању прекидача П у примарном колу успоставља стална струја I = . R При томе се у секундару успостави стална струја I 2 = -nI1 јер је флукс кроз калемове нула. Да ли је одговор исти ако се најпре успостави стална струја у примару, па онда секундар кратко споји? Колика је струја секундара у оба наведена сценарија ако отпорност секундара није занемарљива?

**183. Преносни однос идеалног трансформатора у колу са слике 183.1 је n. На примар је прикључен идеалан напонски генератор електромоторне силе e(t ) = Em cos wt , а на секундар је прикључен отпорник отпорности R. Одредити струје примара и секундара, као и напон секундара.

Слика 183.1.

РЕШЕЊЕ Према референтним смеровима са слике 183.1, једначине идеалног трансформатора гласе u11' =n, u 22'

(183.1)

i1 1 =- . i2 n

(183.2)

144

Електромагнетизам

u E cos wt За коло са слике је 183.1 је u11' = e , па је напон секундара u 22' = 11' = m . Како n n u E cos wt је u 22' = - Ri2 , то је струја секундара i2 = - 22' = - m . Струја примара је R nR i E cos wt . i1 = - 2 = m 2 n n R За идеални трансформатор је

u11' u = -n 2 22' . Посебно, за посматрано коло је i1 i2

u11' u = -n 2 22' = n 2 R . Гледано у примар идеалног трансформатора са слике 183.1 i1 i2 еквивалентно се види отпорност Re = n 2 R .

*184. На танком торусу од феромагнетског материјала, средњег обима l = 30 cm и површине попречног пресека 2 cm 2 , равномерно и густо су намотана два намотаја. Примарни намотај има N1 = 600 завојака са периодичном струјом максималне вредности I m = 100 mA и периода T = 4 ms , приказаном на слици 184.1. Секундарни намотај има N 2 = 300 завојака, а крајеви су му отворени. Хистерезисна крива језгра може се, за дату струју у примарном намотају, приказати као на слици 184.2. Графички представити напон секундара у функцији времена. i Im 3T 4 0

T 4

T 2

T

Im Слика 184.1.

Слика 184.2.

РЕШЕЊЕ Сматраћемо да су оријентације оба намотаја везане правилом десне завојнице са референтним смером магнетског поља и магнетске индукције у језгру. Референтни смерови напона и струје сваког приступа су усклађени. Читаоцу се препоручује да скицира језгро, намотаје и те смерове. N1i (t ) . Та функција је истог облика као l NI A i (t ) (слика 184.3). Амплитуда магнетског поља је H m = 1 m = 200 . l m Јачина магнетског поља у језгру је H (i ) =

3. Променљиво електромагнетско поље

145

Графички, магнетска индукција се може одредити као на слици 184.4. Удвојене стрелице показују редослед потеза при конструкцији графика функције B(t ) . За сваки тренутак, t, са доњег левог дијаграма одреди се јачина магнетског поља, H (t ) . Затим се са циклуса хистерезиса одреди B(t ) . Најзад, у десни горњи дијаграм се унесе тачка чија је апсциса t, а ордината B(t ) . Индукована

електромоторна сила у dB секундару је eind2 (t ) = - N 2 S , а напон dt између прикључака секундара је dB u 2 = -eind2 (t ) = N 2 S . dt

Слика 184.3.

B [T]

B [T]

0,5

0,5

0,6 120

0

120 200 H [A/m]

0

1

2

3

4

t [ms]

2

3

4

t [ms]

0,5 0 0,3 0,6 1

200 H [A/m] u2 [V] 100

2 3

0,6

4

0

t [ms]

Слика 184.4.

1

146

Електромагнетизам **185. Средњи обим танког торусног језгра приказаног на слици 185.1 је

l = 100 mm , а површина попречног пресека је S = 100 mm 2 . На језгро је равномерно и густо намотано N = 100 завојака жице. Феромагнетски материјал од кога је начињено језгро је нелинеаран, али је хистерезис занемарљив. Карактеристика магнетисања материјала приказана је на слици 185.2. Јачина магнетског поља у торусу је 2pt kA простопериодична функција времена, H (t ) = H m cos , где је H m = 10 , а T m T = 20 ms . Скицирати магнетску индукцију у језгру, јачину струје намотаја и напон између прикључака намотаја у функцији времена за прва два периода.

Слика 185.1. 1.0 0.8 0.6 0.4 B [T]

0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -10000

-5000

0 H [A/m]

Слика 185.2.

5000

10000

3. Променљиво електромагнетско поље

147

РЕШЕЊЕ Магнетска индукција у функцији времена може се одредити графичким поступком, као у задатку 184. Резултат је приказан на слици 185.3. Због прегледности, на тој слици су све величине скалиране тако да максимална вредност буде 1. Максимална вредност магнетске индукције је Bmax = 1 T , а крива која приказује B(t ) затупљена је у односу на синусоиду. H (t )l . Максимална вредност N (амплитуда) струје је I m = 10 A , а графици функција H (t ) и i (t ) поклапају се на слици 185.3. Магнетско поље и струја су простопериодичне функције времена и у фази су. dB Тренутна вредност напона намотаја је u (t ) = NS , а максимална вредност је dt U max » 14,9 V . Напон има изражене шиљке. Тренутна вредност струје намотаја је

i (t ) =

1.0 H, i B u

H/Hmax, B/Bmax, i/Imax, u/Umax

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t/T

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Слика 185.3.

**186. У торусу описаном у претходном задатку, магнетска индукција је 2pt , где је Bm = 1 T , а T = 20 ms . простопериодична функција времена, B(t ) = Bm cos T Скицирати јачину магнетског поља у језгру, јачину струје намотаја и напон између прикључака намотаја у функцији времена. РЕЗУЛТАТ Тражене криве приказане су на слици 186.1. Напон је простопериодична функција времена (као и магнетска индукција). Амплитуда му је U m » 3,14 V , а предњачи магнетској индукцији за четвртину периода. Магнетско поље и струја нису простопериодичне функције времена. Њихови дијаграми су зашиљени у односу на kA синусоиду. Максимална вредност магнетског поља је H m = 10 , а максимална m вредност струје је I m = 10 A .

148

Електромагнетизам 1.0 H, i B u

H/Hmax, B/Bmax, i/Imax, u/Umax

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t/T

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Слика 186.1.

**187. Поновити задатак 185 ако карактеристика магнетисања материјала од кога је начињено језгро има изражен хистерезис, као на слици 187.1. 1.0 0.8 0.6 0.4 B [T]

0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -10000

-5000

0 H [A/m]

5000

10000

Слика 187.1. РЕЗУЛТАТ Струја намотаја у функцији времена има исти облик као магнетско поље и простопериодична је функција времена (слика 187.2). Магнетска индукција је затупљена, а напон има оштре импулсе. Максимална вредност напона је U max » 28 V . Крива која приказује магнетску индукцију делује као да је мало померена удесно (касни) у односу на криву која приказује магнетско поље.

3. Променљиво електромагнетско поље

149

1.0 H, i B u

H/Hmax, B/Bmax, i/Imax, u/Umax

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t/T

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Слика 187.2.

**188. Поновити задатак 186 ако је карактеристика магнетисања материјала од кога је начињено језгро приказана на слици 187.1. РЕЗУЛТАТ Напон је простопериодична функција времена, а у односу на магнетску индукцију касни за четвртину периода. Магнетско поље и струја нису простопериодични, већ имају неправилан и мало зашиљен облик. Максимална вредност напона је U max » 3,14 V . Из резултата задатака 185-188 следи да, у случају да је језгро нелинеарно, напон и струја калема не могу истовремено бити простопериодичне функције времена. Исти закључак важи и за магнетску индукцију и магнетско поље. 1.0 H, i B u

H/Hmax, B/Bmax, i/Imax, u/Umax

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 t/T

Слика 188.1.

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

150

Електромагнетизам

189. Квадратна контура странице a = 30 mm и отпорности R = 1,5 W налази се у хомогеном магнетском пољу индукције B = 1 T као на слици 189.1. У контури нема струје. Израчунати количину електрицитета протеклу кроз контуру када се она окрене око осе OO' , нормалне на p у смеру назначеном на слици. вектор В, за 2

p/3

Слика 189.1.

РЕШЕЊЕ Проток кроз контуру је q=-

DF , R

(189.1)

где је DF = F 2 - F1 прираштај флукса кроз контуру, а R отпорност кола. У општем случају, магнетски флукс Ф је збир сопственог флукса контуре и флукса магнетске индукције других извора (страног поља). У посматраном примеру, при ротацији контуре долази до појаве динамичке електромагнетске индукције. Пре почетка окретања и после довољно дугог времена у контури нема струје, па је у оба случаја сопствени магнетски флукс једнак нули. Стога је DF само прираштај страног флукса, проузрокован окретањем контуре. У почетном положају је F1 = Ba 2 cos положају је F 2 = Ba 2 cos

(

2p Ba 2 Ba 2 3 + 1 =, па је q = » 819 mC . 3 2 2R

190. Равна галвански затворена контура, отпорности R и индуктивности L, мирује у сталном хомогеном магнетском пољу индукције B, нормалне на раван контуре (слика 190.1). Површина ослоњена на контуру је S. Колико наелектрисање протекне кроз контуру када се магнетска индукција укине? РЕЗУЛТАТ Проток је q = -

BS . R

)

p Ba 2 3 = , а у крајњем 6 2

Слика 190.1.

3. Променљиво електромагнетско поље

191. Равна галвански затворена контура, отпорности R и индуктивности L, мирује у сталном хомогеном магнетском пољу индукције B, нормалне на раван контуре (слика 191.1). Површина ослоњена на контуру је S. Колико наелектрисање протекне кроз контуру када се она окрене око осе O - O' за 90°?

151

Слика 191.1.

РЕЗУЛТАТ Проток је q = -

BS . R a

192. Хомогено намагнетисан стални магнет има облик врло дугачког округлог цилиндра полупречника попречног пресека а. Магнетизација цилиндра је М. Вектор М је паралелан оси цилиндра. Око средине магнета је симетрично постављен кратко спојени жичани завојак, полупречника b ( b > a ) и отпорности R, као на слици 192.1. Колика количина електрицитета протекне кроз завојак када се магнет извуче из контуре и веома удаљи од ње? РЕЗУЛТАТ У односу на референтни смер приказан на слици 192.1, M проток је q = -pm 0 a 2 . R

0

M R b q

Слика 192.1.

*193. На слици 193.1 приказан је калем формиран од великог броја (N) завојка жице. Калем има облик торуса, а завојци су равномерно расподељени по попречном пресеку торуса. Између крајева намотаја везан је балистички галванометар, а укупна електрична отпорност овога кола је R. Одредити проток кроз балистички галванометар када се торусни намотај унесе у хомогено магнетско поље индукције B, као на слици 193.1. Пре уношења у магнетско поље, у колу није било струје.

152

Електромагнетизам

Слика 193.1.

Слика 193.2.

РЕШЕЊЕ DF . У R посматраном случају, пре уношења у поље и после довољно дугог времена у колу нема струје, па је у оба случаја сопствени магнетски флукс калема једнак нули. Стога је DF само прираштај страног флукса, проузрокован уношењем калема у магнетско поље. F Како је пре уношења калема у поље страни флукс једнак нули, то је q = - , где је Ф R страни магнетски флукс по уношењу калема у поље. Магнетски флукс кроз калем може се одредити сумирањем флуксева кроз све завојке. Суму је погодно апроксимирати интегралом, на следећи начин. Посматрајмо део намотаја облика торуса полупречника r, висине h и дебљине dr (слика 193.2). Број dr завојака у том делу је dN = N . Флукс кроз те завојке је dF = Bpr 2 dN cos p . b-a Укупни магнетски флукс (кроз све завојке) је Протекло наелектрисање кроз коло може се одредити из израза q = -

b

F=-

ò

r =a

q=+

Bpr 2 N

(

(

)

dr BpN 2 =b + ab + a 2 , b-a 3

)

BpN 2 b + ab + a 2 . 3R

па

је

тражени

проток

3. Променљиво електромагнетско поље

153

*194. На слици 194.1 приказан је калем у облику торуса, чији је попречни пресек једнакостранични троугао, странице а. Намотај је формиран од N завојака равномерно расподељених по попречном пресеку торуса. Између крајева намотаја везан је балистички галванометар. Укупна отпорност кола које чине намотај и галванометар је R. Намотај се налази у хомогеном сталном магнетском пољу индукције В. Одредити проток кроз галванометар по укидању тог магнетског поља. РЕЗУЛТАТ Проток кроз галванометар, у односу на референтни смер намотаја приказан на слици 194.1, је q=-

3pNa 2 B . 8R

Слика 194.1.

195. Суперпроводна контура има облик круга полупречника а. Индуктивност контуре је L. Када је контура ван магнетског поља, у њој нема струје. Колика је јачина струје у контури када се она унесе у стално хомогено магнетско поље индукције В тако да је вектор магнетске индукције нормалан на раван контуре? РЕЗУЛТАТ Bpa 2 у односу на референтни смер који је правилом десне L завојнице везан са смером вектора В. Јачина струје је I = -

196. На слици 196.1 приказани су ваздушни двожични вод и квадратна контура, при чему је a = 100 mm . Отпорност контуре је R = 2 W . Израчунати (а) међусобну индуктивност вода и контуре и (б) проток кроз контуру по успостављању сталне струје I = 10 A у воду. Пре успостављања струје у воду, у контури није било струје.

Слика 196.1.

154

Електромагнетизам

РЕШЕЊЕ У односу на оријентацију квадратне контуре као на слици 196.1, магнетски флукс m Ia који двожични вод ствара кроз ту контуру је F = 0 ln 6 , одакле је међусобна p L I m0a DF индуктивност L12 = ln 6 » 71,7 nH . Проток је q = = - 12 » -358 nC . p R R

197. У колу приказаном на слици 197.1 електромоторна сила генератора је константна, E1 = 10 V , отпорности су R1 = R2 = 5 W , индуктивности су L1 = L2 = 100 mH , а коефицијент спреге је k = 0,5 . Прекидач П је отворен, а у калемовима нема струје. Прекидач се затвори у тренутку t = 0 . Израчунати наелектрисање које протекне кроз секундарно коло по затварању прекидача.

Слика 197.1. РЕЗУЛТАТ Проток кроз секундарно коло може се одредити на основу једначине протока, DF 2 q=, где је DF 2 прираштај магнетског флукса кроз калем L2 , а R = R2 R2 отпорност секундарног кола. Пре затварања прекидача, у калемовима нема струје, па је магнетски флукс нула. По затварању прекидача П, у колу на слици 197.1 настаје прелазни режим, током кога постоје струје и у примарном, и у секундарном колу. У E стационарном стању које потом настаје, струја примарног кола је I1 = 1 (у односу на R1 референтни смер који се поклапа са референтним смером емс E1 ), а у секундарном колу нема

струје

( I 2 = 0 ).

Магнетски

флукс

кроз

калем

L2

је

тада

F 2 = L21 I1 + L2 I 2 = L21I1 = F 21 = DF 2 , где је L12 = L21 = k L1 L2 . Стога је тражени проток q = -

k L1 L2 E1 R1 R2

= -20 mC .

198. На танком торусном језгру, релативне пермеабилности m r = 500 , површине попречног пресека S = 2 cm 2 и средњег обима l = 15 cm , налази се намотај са N = 300 равномерно и густо намотаних завојака. Отпорност намотаја је R = 10 W , а крајеви намотаја су кратко спојени. Намотај је N k = 3 пута обухваћен жичаним проводником

3. Променљиво електромагнетско поље

155

отпорности Rk = 1 W , као на слици 198.1. Жичани проводник је прикључен на идеални струјни генератор сталне струје I g = 2 A . Прекидач П је отворен и у систему је успостављено стационарно стање. У тренутку t = 0 прекидач се затвара. Израчунати количину електрицитета протеклу кроз намотај на торусу по затварању прекидача П.

Слика 198.1. РЕШЕЊЕ На основу задатка 151, међусобна индуктивност намотаја на торусу и жичаног m m NN k S проводника је L21 = 0 r = L12 » 750 mH . У првом стационарном стању, када је l прекидач П отворен, у намотају на торусу нема струје, а струја жичаног проводника је I (o ) = I g . Магнетски флукс кроз намотај на торусу је F (o ) = L12 I ( o) » 1,5 mWb . Затварањем прекидача П, идеални струјни генератор се кратко спаја, а струја жичаног проводника се гаси. Услед тога се мења магнетски флукс кроз намотај на торусу, у њему се индукује електромоторна сила и кроз кратко спојени намотај протиче електрицитет. У стационарном стању које наступа после довољно дугог времена, нема струје ни у жичаном проводнику, ни у намотају на торусу. Стога је флукс кроз намотај на торусу F ( z) = 0 . q=-

Проток

кроз

намотај

на

торусу

по

затварању

прекидача

П

је

(o)

DF F = = 150 mC . R R

199. На танком торусу од феромагнетског материјала по целој дужини су равномерно и густо, један преко другога, намотана два намотаја (слика 199.1). Примарни намотај има N1 = 100 завојака, а секундарни N 2 = 400 завојака. Отпорност примарног намотаја је R1 = 12 W , а отпорност секундарног кола је R2 = 4 W . У примарном колу се налазе струјни генератор сталне струје I g = 1,8 A и отпорник отпорности R = 6 W . Површина попречног пресека језгра је S = 2 cm 2 , а дужина средње линије b = 20 cm . Према кривој магнетисања материјала језгра је направљена следећа таблица: В [Т] 0,6 0,75 0,86 1,03 1,16 Н [А/m] 200 300 400 600 900 Прекидач П је затворен и у систему је успостављено стационарно стање. Одредити количину електрицитета протеклу кроз балистички галванометар (BG) после отварања прекидача.

156

Електромагнетизам

Слика 199.1. РЕШЕЊЕ Према референтним смеровима са слике 199.1, када је прекидач П затворен, R I1 = I g = 0,6 A , H = N1 I1 / b = 300 A/m и B = 0,75 T . Када је прекидач отворен, R + R1 I1 ' = I g = 1,8 A ,

H ' = N1 I1 ' / b = 900 A/m

и

B'= 1,16 T .

Тражени

проток

је

q = - DF 2 / R2 = -( B'- B) N 2 S / R2 = -8,2 mC .

200. Дужина средње линије танког торусног феромагнетског језгра приказаног на слици 200.1 је l = 0,2 m , а површина попречног пресека је S = 4 cm 2 . Материјал се може сматрати линеарним, релативне пермеабилности m r = 1000 . На језгро су равномерно и густо намотана два намотаја са N1 = 1000 , односно N 2 = 200 завојака. Отпорности намотаја су занемарљиве. На прикључке другог намотаја везан је струјни генератор променљиве струје, чија је струја дата на слици 200.2, а на прикључке првог намотаја везан је отпорник отпорности R = 10 W . Израчунати количину електрицитета протеклу кроз отпорник у интервалу времена t Î (0,+¥) . У намотајима нема струје за t < 0 .

3. Променљиво електромагнетско поље

157

Слика 200.2.

Слика 200.1. РЕШЕЊЕ Еквивалентна шема система са слике 200.1 приказана је на слици 200.3, где је m m N 2S m m N 2S L1 = r 0 1 » 2,5 H , L2 = r 0 2 » 0,1 H и l l m r m 0 N1 N 2 S k = 1 , односно L12 = L21 = » 0,5 H . l Протекла количина електрицитета је q = -

Слика 200.3.

L12 Dig » -0,2 C , где је Dig = 4 A . R

201. За магнетско коло приказано на слици 201.1 је l = 500 mm , l0 = 200 mm и S = 5 cm 2 . Карактеристика магнетисања материјала од кога је начињено језгро може се B H апроксимирати изразом = arctg , где је Bm = 1,5 T и H 0 = 1000 A/m . Први Bm H0 намотај има N 1 = 1000 завојака и отпорност R1 = 10 W . Други намотај има N 2 = 500 завојака, а укупна отпорност намотаја и балистичког галванометра који је на њега прикључен је R2 = 100 W . Прекидач П је отворен, а у намотајима нема струје. Затим се прекидач П затвори. Од тог тренутка, па до успостављања стационарног стања, кроз балистички галванометар протекне количина електрицитета q = 4 mC , у односу на референтни смер приказан на слици. Израчунати електромоторну силу генератора, Е. Магнетско расипање занемарити.

158

Електромагнетизам

Слика 201.1. РЕЗУЛТАТ Тражена електромоторна сила је E » -11,6 V .

202. Два L1 = 1 mH и

намотаја, L2 = 4 mH

q 2

индуктивности и отпорности

L2 R2

R1 = 1 W и R2 = 2 W , налазе се у индуктивној спрези. Коефицијент спреге је k = 0,2 . Први калем је везан у коло са генератором сталне електромоторне силе E = 10 V и прекидачем П, а између крајева другог намотаја је везан балистички галванометар, као на слици 202.1. Отпорности генератора и галванометра су занемарљиве. Прекидач је отворен, а у галванометру нема струје. (а) Нацртати еквивалентну шему ових спрегнутих намотаја. (б) Израчунати проток кроз галванометар по затварању прекидача.

2 П

1 L1 R1

E 1 Слика 202.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Еквивалентна шема је приказана на слици 202.2. (б) Проток кроз галванометар је q = -

BG

Ek L1 L2 R1 R2

Слика 202.2.

= -2 mC .

3. Променљиво електромагнетско поље

159

203. Два калема, индуктивности L1 = 1 mH и L2 = 4 mH и отпорности R1 = 1 W и R2 = 2 W , налазе се у индуктивној спрези. Први калем је везан у разгранато коло са генератором сталне електромоторне силе E = 10 V , отпорником отпорности R = 8 W и прекидачем П, а између крајева другог калема везан је балистички галванометар, као на слици 203.1. Отпорности генератора и галванометра су занемарљиве. Прекидач је затворен, а у галванометру нема струје. По отварању прекидача, кроз балистички галванометар протекне количина електрицитета q = 1,8 mC према референтном смеру означеном на слици. (а) Обележити калемове тачкама. (б) Израчунати коефицијент индуктивне спреге калемова.

Слика 203.1. РЕЗУЛТАТ (а) На основу знака протока могу се поставити тачке као на слици 203.2. (б) На основу резултата претходног задатка, коефицијент спреге qR1 R2 = 0,18 . k= E L1 L2

је

Слика 203.2.

*204. На феромагнетском језгру облика торуса, приказаном на слици 204.1, за које је a = 2 cm , b = 4 cm и h = 1 cm , налази се намотај са N1 = 157 завојака жице, намотаних равномерно и густо по целом торусу. Карактеристика првобитног магнетисања материјала од кога је начињено језгро може се идеализовано представити као на слици 204.2. Намотај са балистичким галванометром обухвата торусно језгро као на слици 204.1, а број завојака му је N 2 = 12 . Укупна отпорност секундарног кола износи R2 = 2 W , док је отпорност примарног намотаја R1 = 10 W . Језгро је ненамагнетисано, прекидач П је отворен, а у галванометру нема струје. Затварањем прекидача у примарно коло се укључује идеалан напонски генератор сталне електромоторне силе E = 1 V . Израчунати проток кроз галванометар након затварања прекидача.

160

Електромагнетизам

BG N2

R2

b

a

N1

R1

П E

Слика 204.1.

Слика 204.2.

h

3. Променљиво електромагнетско поље

161

Слика 204.3. РЕШЕЊЕ Посматрајмо стационарно стање успостављено након затварања прекидача П. Због симетрије, линије магнетског поља су кружнице са центрима на оси OO¢ приказаној на слици 204.3. Како се ради о дебелом торусу (у овом примеру је b - a = a ), интензитет вектора Н се не може сматрати константним. Применом уопштеног Амперовог закона N I добија се да је интензитет овог вектора у торусу, на одстојању r од осе H (r ) = 1 , 2pr E a < r < b , где је I = = 100 mA јачина струје примарног намотаја. Минимална јачина R1 A магнетског поља у језгру је H min = H (b) = 62,5 , а максимална је m A H max = H (a ) = 125 . Како је H min < H < H max , то је део језгра у коме је H (r ) > H 0 у m засићењу. У том делу је B(r ) = Bm . Преостали део језгра је у линеарном режиму и ту је B H B(r ) = m a H (r ) , где је m a = m = 0,006 ( m a је почетна пермеабилност материјала). H0 m

Полупречник (с) који дефинише границу између дела језгра које је у засићењу и дела који је у линеарном режиму добија се из услова N I H (c) = H 0 , одакле је c = 1 » 2,5 cm . На 2pH 0 слици 204.4 приказана је магнетска индукција у зависности од одстојања од осе OO¢ . Слика 204.4. Магнетски

флукс

b

Fj =

ò B ( r ) dS = B

m

кроз

попречни

(c - a )h + m a N1 Ih

r =a

2p

b

dr

òr

r =c

пресек

језгра

је,

према

слици

204.3,

æ N I bö = Bm hçç (c - a ) + 1 ln ÷÷ » 100 mWb , па је 2 p H cø 0 è

флукс кроз намотај у колу галванометра F = N 2 F j » 1,2 mWb . По затварању q = -F / R2 » -603 mC .

прекидача

П,

кроз

секундарни

намотај

протекне

162

Електромагнетизам

**205. На ненамагнетисаном феромагнетском језгру магнетског кола приказаног на слици 205.1 налазе се намотаји са N1 = 200 , N 2 = 100 , N 3 = 10 и N 4 = 30 завојака. Димензије магнетског кола на слици дате су у милиметрима. Идеализована карактеристика првобитног магнетисања феромагнетског језгра приказана је на слици 205.2. У првом и другом намотају се истовремено успостављају струје. Позната је јачина струје првог намотаја, I1 = 0,1 A , и магнетски флукс кроз попречни пресек средње гране магнетског кола, F = 256 mWb , према нормали означеној на слици 205.1. Укупна отпорност кола са балистичким галванометром је R = 5 W . Израчунати наелектрисање протекло кроз галванометар током успостављања струја у намотајима.

Слика 205.1.

Слика 205.2. РЕЗУЛТАТ Према референтном смеру означеном на слици 205.1, проток кроз галванометар је q » -764 mC .

3. Променљиво електромагнетско поље

163

**206. Димензије магнетског кола са слике 206.1 су l1 = 20 cm , l2 = l2¢ + l2¢¢ = 10 cm , l0 = 1 mm , S1 = 1 cm 2 и S 2 = 2 cm 2 . Бројеви завојака намотаја су N1 = 1000 , N 2 = 100 и N 3 = 650 , а отпорности намотаја су R1 = 100 W , R2 = 10 W и R3 = 20 W , респективно. У колу трећег намотаја постоји идеалан напонски генератор сталне електромоторне силе E3 = 20 V . Карактеристика магнетисања материјала од кога је начињено језгро може се апроксимирати функцијом

B[T] =

1,5 H [A/m] 500 + H [A/m]

, H > 0 . Прекидачи

P1

и

P2

су

отворени, а у балистичком галванометру нема струје. Након истовременог затварања ових прекидача, установи се проток q = 700 mC кроз балистички галванометар у колу другог намотаја, у односу на референтни смер приказан на слици 206.1 Колика је електромоторна сила E1 у колу првог намотаја? Отпорност балистичког галванометра је занемарљива.

l¢2

l2¢¢

Слика 206.1. РЕШЕЊЕ Усвојимо референтне смерове за нормале на попречне пресеке грана језгра, n1 , n 2 и n 3 , као на слици 206.2, која приказује задато магнетско коло у другом стационарном стању. Означимо одговарајуће магнетске флуксеве грана са F1 , F 2 и F 3 , респективно. Референтни смерови магнетске индукције и магнетског поља поклапају се са одговарајућим нормалама. Пре затварања прекидача P1 и P 2 сви флуксеви су били једнаки нули. Стога је ö N 2 æç F1 + F 3 ö÷ N2 ÷ DF 1 æç N 2 è ø ç проток кроз галванометар q = = F + F ÷= . Закон R2 R2 çè 2 1 2 3 ÷ø 2 R2 N F конзервације магнетског флукса даје F 2 = F1 + F 3 , па је q = 2 2 . Одавде је 2 R2 F 2 = 140 mWb , а индукције у средњој грани и ваздушном процепу су

164

Електромагнетизам

F2 = 0,7 T . На основу задате карактеристике магнетисања добија се јачина S2 A магнетског поља у средњој грани, H 2 = 437,5 , док је у ваздушном процепу m B kA H 0 = 0 » 557 . m m0 B2 = B0 =

l¢2

l2¢¢

Слика 206.2. Из уопштеног Амперовог закона примењеног на десно окце магнетског кола следи N I - H 2 l 2 - H 0 l0 A » 246,2 , па је, на основу карактеристике магнетисања, H3 = 3 3 m l1 B3 » 0,495 T . Магнетска индукција у првој грани је B1 =

B2 S 2 - B3 S1 » 0,905 T , па је S1

A . m Из уопштеног Амперовог закона примењеног на десно окце добија се H l + H 2l2 + H 0l0 I1 = 1 1 = 0,753 A . Тражена емс је E1 = R1 I1 » 75,3 V . N1

H 1 » 760,5

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

165

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе 207. На танком торусу од картона, средњег обима l = 20 cm и квадратног попречног пресека странице a = 1 cm , налази се намотај од танке бакарне жице. Завојци намотаја мотани су равномерно и густо у једном слоју, дуж целог торуса. Индуктивност намотаја је L = 1 mH , а отпорност R = 5 W . За крајеве намотаја прикључен је генератор сталне електромоторне силе E = 1 V и занемарљиве унутрашње отпорности. Израчунати магнетску енергију овог система и запреминску густину магнетске енергије у торусу. РЕШЕЊЕ Јачина струје калема је 1 2 LI = 20 mJ . 2 W J wm = m = 1 . 2 a l m3

Wm =

I=

Запреминска

E = 200 mA , а магнетска енергија система је R густина

магнетске

енергије

у

торусу

је

208. Како се дефинише сопствена индуктивност контуре (а) преко флукса и (б) преко енергије? За оба случаја навести које су индуктивности обухваћене дефиницијом: спољашња или унутрашња. РЕШЕЊЕ (а) Преко флукса, индуктивност се дефинише као L =

F . Овом дефиницијом I

обухваћена је само спољашња индуктивност. (б) Дефиниција индуктивности преко енергије је L = спољашњу, и унутрашњу индуктивност.

2Wm I2

, а дефиниција покрива и

166

Електромагнетизам

209. Проводници танког ваздушног двожичног вода су од бакра, специфичне проводности s. Полупречници проводника су а, а одстојање између њих је d (d >> a ) . Колика је подужна капацитивност, подужна отпорност, спољашња подужна индуктивност и унутрашња подужна индуктивност вода? РЕЗУЛТАТ pe 0 2 , подужна отпорност је R' = , d spa 2 ln a m0 d спољашња подужна индуктивност је L'e = ln , а унутрашња подужна индуктивност p a m0 је L'i = . Уочити да је L'e C ' = e 0m 0 . 4p Подужна капацитивност вода је C' =

*210. Проводници коаксијалног вода су од бакра специфичне проводности MS s = 58 , а диелектрик је ваздух. Полупречник унутрашњег проводника је a = 3 mm , m унутрашњи полупречник спољашњег проводника је b = 8 mm , а спољашњи полупречник је c = 9 mm . У воду постоји стална струја јачине I = 50 A . Израчунати (а) подужну снагу Џулових губитака у воду, (б) подужну магнетску енергију и (в) подужну индуктивност вода. РЕШЕЊЕ (а) Подужна отпорност кабла је R¢ = R1¢ + R2¢ , где је R1¢ = унутрашњег

проводника,

проводника, па је

а

R¢ » 933

R2¢ =

(

1

sp c 2 - b 2

)

подужна

1 spa 2

подужна отпорност

отпорност

спољашњег

mW . Подужна снага Џулових губитака у каблу је m

W . m (б) Вектор магнетске индукције у каблу има само циркуларну компоненту, а m 0 Ir ì ,r H s = 1000 ). Магнетски флукс у језгру и m процепу је F = B1S1 = Bm S1 = B2 S 2 = B0 S 0 = 100 mWb . (б) Запреминске

густине

магнетског

поља 2

магнетске

енергије су

утрошене

при успостављању 1 J wm1 = Bm H s = 500 , 2 m3 2

1 1 æ S ö B2 kJ 1 1æ S ö J . B2 H 2 = çç 1 ÷÷ Bm H s » 222,2 и wm0 = B0 H 0 = çç 1 ÷÷ m » 176,8 3 2 2 è S2 ø 2 2 è S0 ø m 0 m3 m Енергија утрошена при успостављању магнетског поља је Wm = wm1v1 + wm2v2 + wm0v0 , где је v1 = S1l1 , v2 = S 2 (l 2¢ + l2¢¢ ) и v0 = S 0l0 , односно Wm » 32,6 mJ . wm2 =

*216. Језгро магнетског кола приказаног на слици 216.1 начињено је од феромагнетског материјала чија је идеализована крива првобитног магнетисања приказана на слици 216.2. Димензије језгра означене су на слици 216.1 и дате су у милиметрима, а дебљина кола је 10 mm. На средњем делу магнетског кола постављен је намотај са N = 300 завојака, у коме постоји стална струја јачине I = 0,4 A . Занемарујући магнетско расипање, израчунати (а) флуксеве у свим гранама магнетског кола и (б) запреминске густине енергије утрошене при успостављању магнетског поља.

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

173

Слика 216.1.

Слика 216.2. РЕШЕЊЕ (а) Магнетско коло је симетрично у односу на раван OO ¢ која пролази кроз његову средину, па се, на основу симетрије, може посматрати само једна половина магнетског кола (слика 216.3). При томе је l = 35 mm , l1 = 80 mm , S = 100 mm 2 и S1 = 50 mm 2 . Према закону конзервације магнетског флукса је BS = B1S1 , а према уопштеном Амперовом закону је Hl + H1l1 = NI .

Слика 216.3.

174

Електромагнетизам

Ако претпоставимо да се оба дела кола са слике 216.3 налазе у линеарном режиму, тада је Hl + H1l1 £ 110 A < NI = 120 A , одакле следи да део магнетског кола који има мању површину попречног пресека ( S1 ) мора бити у засићењу. Стога је B1 = Bm = 1 T и A A и H1 = 1294 . B = 0,5 T . Одговарајуће јачине магнетских поља су H = 500 m m Магнетски флукс у средњој грани магнетског кола са слике 216.1 је сада F = 2 BS = 100 mWb , а у бочним гранама је F1 = B1S1 = 50 mWb . Читаоцу се препоручује да задатак реши не узимајући симетрију у обзир. Због чега се у том случају добијају резултати који су мало другачији него када се симетрија узме у обзир? (б) Запреминске густине енергије утрошене при успостављању магнетског поља су 1 J 1 J wm = BH = 125 3 и wm1 = Bm H s = 500 3 . 2 2 m m

217. Дужина средње линије танког торусног феромагнетског језгра је l = 0,2 m , а површина попречног пресека је S = 4 cm 2 . На језгро је намотан калем са N = 1000 завојака. У завојцима постоји простопериодична струја амплитуде I m = 200 mA и учестаности f = 50 Hz . У језгру је изражен хистерезис, а циклус хистерезиса се може апроксимирати паралелограмом као на слици 217.1, при чему је амплитуда магнетске индукције сразмерна амплитуди магнетског поља, Bm = m h H m , где је m h = 10 -3 H/m . Израчунати средњу снагу губитака услед хистерезиса у овом језгру.

Слика 217.1.

РЕШЕЊЕ NI m . Запреминска густина губитака l 2 2m N 2 I m 2 услед хистерезиса је wh = 2 Bm H m = 2m h H m = h , па је средња снага губитака l2 Амплитуда магнетског поља у језгру је H m =

Ph = fwh Sl =

2m h fN 2 I m2 S = 2 fBm H m Sl = 8 W . l

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

175

218. На танко торусно језгро, средњег обима l и површине попречног пресека S, равномерно и густо је намотано N завојака. У завојцима постоји простопериодична струја амплитуде I m , учестаности f и почетне фазе p / 2 . Циклус хистерезиса материјала од кога је начињено језгро може се апроксимирати паралелограмом, приказаним на слици 218.1, где је Bm / H m = m n константа независна од амплитуде поља. Колика је средња снага губитака услед хистерезиса у језгру?

Слика 218.1.

РЕЗУЛТАТ 2 m fN 2 SI m Средња снага губитака услед хистерезиса је Ph = n . l

*219. Језгро калема направљено је од танких међусобно изолованих лимова. У калему са језгром постоји простопериодична струја i (t ) = I m cos 2pft , где је I m = 2 A . При учестаности f1 = 25 Hz , снага губитака у језгру је P1 = 4 W . При учестаности f 2 = 50 Hz и истој амплитуди струје као при учестаности

f1 , снага губитака је

P2 = 10 W . Израчунати снагу губитака услед хистерезиса и снагу губитака услед вихорних струја на тим учестаностима. РЕШЕЊЕ При константној амплитуди струје, снага губитака услед хистерезиса у језгру линеарно је пропорционална учестаности, Ph = k1 f , а снага Џулових губитака услед вихорних струја сразмерна је квадрату учестаности, Pv = k2 f 2 , где су k1 и k 2 константе за дато језгро. На основу услова задатка, P1 = k1 f1 + k 2 f12 = Ph1 + Pv1 и P2 = k1 f 2 + k 2 f 22 = Ph2 + Pv2 = 2 Ph1 + 4 Pv1 , одакле је, при учестаности f1 = 25 Hz , снага губитака услед хистерезиса Ph1 = 3 W , а снага губитака услед вихорних струја Pv1 = 1 W , док су те снаге при f 2 = 50 Hz Ph2 = 6 W и Pv2 = 4 W , респективно.

**220. Две контуре, отпорности R1 и R2 , са сталним струјама јачине I1 , односно I 2 , налазе се у ваздуху. Контуре се могу померати и деформисати, а струје у њима се при овоме одржавају константним. Одредити изразе за радове магнетских сила у следећим случајевима: (а) обе контуре се померају и деформишу и (б) прва контура је непомична, а друга је крута и помера се.

176

Електромагнетизам

РЕШЕЊЕ Да би се струје у контурама одржавале константним, у њих морају бити укључени генератори. Претпоставимо да су ти генератори идеални напонски. Када се контуре помере или деформишу, у општем случају се промени магнетски флукс кроз обе контуре, а у контурама се индукује електромоторне силе. При промени магнетског флукса кроз прву контуру за dF1 , генератор у првој контури изврши рад dAg1 = i1dF1 против емс индуковане у првој контури. Слично томе, генератор у другој контури изврши рад dAg 2 = i2dF 2 против емс индуковане у другој контури. Укупан рад оба генератора је dAg = dAg1 + dAg 2 = i1 dF1 + i2 dF 2 . Део тога рада иде на покривање рада магнетских сила ( dAm ), а други део на прираштај магнетске енергије система ( dWm ), односно dAg = dAm + dWm . Пошто је средина линеарна у посматраном случају, магнетска енергија система је 1 Wm = (i1F1 + i2F 2 ) . Магнетски флукс прве контуре је F1 = F11 + F12 = L1i1 + L12i2 , а 2 магнетски флукс друге контуре је F 2 = F 21 + F 22 = L21i1 + L2i2 , где су L1 и L2 сопствене индуктивности контура, а L12 = L21 њихова међусобна индуктивност. Стога 1 1 1 се магнетска енергија система може написати и у облику Wm = L1i12 + L12i1i2 + L2i22 . 2 2 2 Да би струје ( I1 , односно I 2 ) биле константне при померају или деформацији, емс сваког генератора се мора мењати тако да компензује емс индуковану у одговарајућој контури, а укупан рад генератора се може написати у облику dAg = I1 dF1 + I 2 dF 2 . Пошто

су струје константне, прираштај магнетске енергије је 1 1 1 æ ö Wm = d ç (I1F1 + I 2F 2 )÷ = (I1 dF1 + I 2 dF 2 ) = dA g . Рад генератора се дели на два 2 è2 ø 2 једнака дела, односно dAm = dWm =

1 (I1 dF1 + I 2 dF 2 ) . 2

(220.1)

Израз (220.1) важи у општем случаја, с тим што се у неким случајевима може даље трансформисати. (а) Најопштији је случај када се обе контуре померају и деформишу. Одговарајући рад магнетских сила дат је изразом (220.1), без могућности даљих трансформација. (б) Обе контуре су круте (не деформишу се), а њихове сопствене индуктивности су константне. Сталне су и струје контура, па су константни и сопствени флуксеви контура, F11 = L2 I1 и F 22 = L2 I 2 . Стога је dF1 = dF12 = I 2 dL12 и dF 2 = dF 21 = I1 dL21 , па је I1 dF1 = I1I 2 dL12 = I 2 I1 dL12 = I 2 dF 2 . Иако и у овом случају оба генератора врше рад, укупан рад оба генератора може се изразити само преко прираштаја флукса једне контуре, dWm = dAm = I1 dF1 = I 2 dF 2 = I 2 I1 dL12 .

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

177

**221. За контуру описану у задатку 46, методом виртуелних помераја израчунати резултантну магнетску силу.

Слика 221.1. РЕШЕЊЕ На слици 221.1 приказан је исти систем као на слици 46.1, само што је уведен цилиндрични координатни систем и растојање с између леве странице правоугаоне контуре и дугачког проводника замењено са r. m 0 I pb

r+a . Тај флукс не зависи од r 2p координате z јер је праволинијски проводник веома дугачак. Флукс не зависи ни од циркуларне цилиндричне координате f јер магнетска индукција праволинијског проводника има цилиндричну симетрију. Стога магнетски флукс зависи само од цилиндричне координате r. Радијална компонента магнетске силе је, на основу метода виртуелних помераја и резултата претходног задатка, m 0 I p Ib æ 1 dWm dF 1 ö Fr = =I =ç ÷ . Замењујући у овај израз r = c , добија се dr I = const dr 2p è r r + a ø Магнетски флукс кроз контуру је F =

ln

Fr = -12,5 mN . Магнетска сила је привлачна. Остале две компоненте резултантне магнетске силе, у цилиндричном систему, су Ff = Fz = 0 .

**222. Методом виртуелних помераја израчунати моменат страних магнетских сила на контуру из задатка 48 у положају у коме вектор В заклапа са равни контуре угао p q= . 6

178

Електромагнетизам РЕШЕЊЕ

На слици 222.1 оса PP' је нормална на раван цртежа. Вектор момента магнетских сила М лежи дуж те осе. Усвојимо референтни смер вектора М од посматрача. Уведимо угао a који дефинише положај контуре. Референтни смер тог угла везан је правилом десне завојнице са смером вектора М. Слика 222.1. Сматрајући да се при ротацији контуре не мења ни њена струја, ни вектор В, елементарни рад магнетских сила при повећању угла a за da је Am = M da = I dF . Одавде је M = I

dF . Магнетски флукс кроз посматрану контуру је F = - Bpa 2 cos a , па da

је M = Bpa 2 sin a . Магнетске силе теже да повећају угао a, односно да по правцу и смеру поклопе векторе В и n. У задатом положају је a = q =

p , па је M » 754 mNm . 6

**223. На слици 223.1 приказана је контура описана у задатку 46, заротирана за угао a око једне странице дужине b. Применом метода виртуелних помераја израчунати резултантни моменат магнетских сила у односу на осу PP' када је a = 90° .

Слика 223.1.

Слика 223.2.

РЕШЕЊЕ На основу слике 223.2, магнетски флукс кроз правоугаону контуру је m0 I pb r2 F= ln , где је r1 = c и r2 = c 2 + a 2 + 2ac cos a (на основу косинусне теореме). 2p r1

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

179

На основу метода виртуелних радова, сматрајући да су обе струје константне, добија се да је алгебарски интензитет момента магнетских сила (према референтном m 0 I p Ib p ac sin a dF . Замењујући a = смеру са слике 223.2) M = I =2 da 2p c 2 + a 2 + 2ac cos a m 0 I p Ib ac добија се M = » -2,337 mNm . 2p c2 + a2

(

)

**224. У два танка кружна прстена, постављена у ваздуху као на слици 224.1, полупречника a1 = a2 = 50 mm , постоје сталне струје I1 = I 2 = 20 A . Равни прстенова су на међусобном растојању d = 500 mm . Израчунати магнетску силу која делује на горњи прстен. РЕШЕЊЕ Међусобна

индуктивност

прстенова

је

L12 » -

m 0 pa12 a22 2z 3

( z > 0 ). Магнетска енергија система је 1 1 2 2 Слика 224.1. Wm = L1I1 + L12 I1I 2 + L2 I 2 , где су L1 и L2 сопствене 2 2 индуктивности прстенова. Када се мења растојање z, сопствене индуктивности се не мењају, већ се мења само њихова међусобна индуктивност. Стога је, при константним струјама прстенова, dWm dL = I1I 2 12 , па је dz dz Fz =

Fz =

dWm 3m 0 pa12 a22 = I1I 2 . Стављајући dz 2z 4

z = d , добија се

dWm 3m 0 pa12 a22 = I1I 2 » 237 nN . Сила је одбојна. dz 2d 4

**225. Два дугачка коаксијална соленоида, полупречника a1 = 30 mm , односно a2 = 40 mm , и дужина l1 = 150 mm , односно l2 = 200 mm , имају N1 = 300 , односно N 2 = 400 завојака у којима постоји струја истог интензитета I = 10 A . Први соленоид се налази на дужини x ( x < l1 , l2 ) у другом соленоиду, као на слици 225.1. Средина је ваздух. Израчунати вектор аксијалне магнетске силе којом један соленоид делује на други. Ивичне ефекте занемарити.

180

Електромагнетизам

Слика 225.1. РЕЗУЛТАТ Магнетска сила је F =

m 0 N1 N 2 pa12 i x » 14 i x mN , а тежи да увуче први соленоид у l1l2

други. Колика би била магнетска сила да је смер мотања у мањем соленоиду супротан од оног на слици 225.1?

**226. На једном крају веома дугачког двожичног вода, полупречника проводника а и растојања између проводника d >> a , прикључен је генератор сталног напона, а други крај вода је кратко спојен танким проводником, као на слици 226.1. Одредити магнетску силу на краткоспојник ако је јачина струје вода I. Средина је ваздух. 2a d

2a

I

I

Слика 226.1.

Слика 226.2.

РЕШЕЊЕ Вектор магнетске силе на краткоспојник може се одредити векторским сабирањем магнетских сила на елементарне делове краткоспојника. Елементарна магнетска сила на елемент краткоспојника дужине dl (слика 226.2) је dF = Idl ´ B , где је В вектор магнетске индукције на месту посматраног елемента. Како је вод веома дугачак, то се магнетска индукција проводника вода може одредити као половина магнетске индукције m0 I ö 1æm I ÷ . Сада је одговарајућег бесконачног двожичног вода, односно B = çç 0 + 2 è 2px 2p(d - x ) ÷ø

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

181

m I2 æ1 1 ö интензитет магнетске силе на елемент краткоспојника dF = 0 ç + ÷ dx , а 4p è x d - x ø вектор ове магнетске силе приказан је на слици 226.2. Посматрајући све елементе краткоспојника, закључује се да су сви вектори елементарних магнетских сила колинеарни, истог смера, па је интензитет резултантне m I2 магнетске силе на краткоспојник F = 0 4p

d -a

m I 2 d - a m0 I 2 d 1 ö æ1 » ln ç + ÷ dx = 0 ln x d -xø 2p a 2p a è a јер је d >> a . Вектор магнетске силе F приказан је на слици 226.2.

ò

Задатак се може решити и применом метода виртуелних радова. Замислимо да се, при константној струји вода, краткоспојник померио за dz у правцу и смеру z-осе (слика 226.2). Тиме се посматрани двожични вод продужио за dz , па се магнетска енергија 1 вода повећала за dWm = L' I 2 dz . Подужна спољашња индуктивност вода је 2 m dWm m 0 I 2 d d L' » 0 ln , па је Fz = » ln . a a p dz 2p Ако се узме у обзир и унутрашња подужна индуктивност, која за немагнетске m проводнике износи L' = 0 , онда је подужна индуктивност посматраног двожичног вода 4p m æ1 dö dWm m 0 I 2 æ 1 dö L' » 0 ç + ln ÷ , па је Fz = » ç + ln ÷ . p è4 aø dz 2p è 4 aø Овај резултат се разликује од претходног резултата, што се може објаснити упоређујући слике 226.1 и 226.3. Краткоспојник на слици 226.1 полази од цилиндричне површи једног проводника вода и иде до цилиндричне површи другог проводника вода. Краткоспојник на слици 226.3 има и „поклопце“ који се наслањају на кружне површи проводника вода. Првом краткоспојнику одговара израз за силу који не узима у обзир унутрашњу индуктивност, а другом краткоспојнику израз који узима у обзир ту индуктивност.

Слика 226.3.

**227. На слици 227.1 приказан је уздужни пресек дугачког коаксијалног вода. Пречник унутрашњег проводника вода је 2a , унутрашњи пречник спољашњег проводника је 2b , дебљина спољашњег проводника је d, а средина је свуда немагнетска. На једном крају вода прикључен је генератор сталног напона. Други крај вода је кратко спојен танким диском, приказаним на слици 227.2, који належе на проводнике вода. Одредити магнетску силу на краткоспојник ако је јачина струје вода I.

182

Електромагнетизам

I d 2b

I

I

2a Слика 227.2.

Слика 227.1. РЕЗУЛТАТ m I2 b Интензитет магнетске силе је F = 0 ln , правац је паралелан оси коаксијалног 4p a вода, а смер вектора F је удесно на слици 227.1.

**228. На слици 228.1 приказан је електромагнет са котвом. Површина попречног пресека магнетског кола је S = 1 cm 2 , а дужине средњих линија су l j = 20 cm , lk = 6 cm и l0 = 0,5 mm . На језгру је намотај са сталном струјом за који је NI = 1600 A . Језгро и котва су од истог феромагнетског материјала чија је идеализована крива првобитног магнетисања приказана на слици 228.2. Занемарујући магнетско расипање, израчунати силу привлачења котве.

Слика 228.1. B [T] B2=1,5 T B1=1,1 T

0 H1=0,8 kA/m Слика 228.2.

H2=5 kA/m

H

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

183

Слика 228.3. РЕШЕЊЕ Магнетска сила на котву је привлачна и, према координатном систему са слике 228.3, може се преставити у облику F = Fz i z . Интензитет силе може се одредити методом виртуелних помераја под претпоставком да генератор који одржава струју у намотају не врши рад, односно да је магнетски флукс кроз намотај F = const , Fz = -

dWm , dz

(228.1)

где је Wm енергија магнетског поља. Магнетска индукција и јачина магнетског поља исте су у целом феромагнетском језгру са слике 228.3, па је Wm = wm v + wm0v0 , где је

(

wm запреминска густина магнетске енергије у језгру, v = S l j + lk

)

запремина језгра,

B2 1 H 0 B0 = 0 запреминска густина магнетске енергије у процепима, а v0 = 2Sl0 2 2m 0 запремина процепа. wm0 =

При промени координате z за dz , прираштај магнетске енергије је dWm = vdwm + v0 dwm0 + wm 0 dv0

(228.2)

јер се при томе запремина језгра не мења. Прираштаји запреминских густина магнетске енергије су dwm = HdB = 0 и dwm0 = H 0dB0 = 0 , јер је, по претпоставци, F = BS = B0 S = const , па се магнетска индукција не мења при померању котве. Стога је B2 Sdz m0

(228.3)

јер је B = B0 , па је Fz = -

B2 S . Имајући у виду да је 2 S укупна површина оба m0

dWm = wm0dv0 =

ваздушна процепа, овај резултат можемо интерпретирати тако да p = представља притисак магнетских сила у ваздушним процепима.

B2 1 B0 H 0 = 0 2 2m 0

184

Електромагнетизам

Магнетска индукција у језгру (В) може се израчунати решавањем магнетског кола. B B По уопштеном Амперовом закону је H l j + lk + 2 H 0l0 = NI . Како је H 0 = 0 = , из m0 m0

(

)

(

)

2l0 B = NI . Заменом бројних m0 вредности у SI систему јединица једначина радне праве гласи ове једначине се добија једначина радне праве, H l j + lk +

0,26 H + 795,78 B = 1600 .

(228.4)

Радна тачка у језгру налази се у пресеку радне праве и криве магнетисања (слика 228.4). Радна тачка лежи на другом праволинијског сегменту идеализоване криве B - B1 (H - H1 ), H > H1 , магнетисања, који се може представити једначином B = B1 + 2 H 2 - H1 односно B = 1,024 + 9,524 × 10 -5 H .

(228.5)

Решавањем система линеарних једначина (228.4) и (228.5) добија се B » 1,25 T , па је интензитет привлачне магнетске силе на котву Fz » 123,6 N .

Слика 228.4. Читаоцу се оставља да образложи зашто се у посматраном случају не може применити формула Fz =

dWm . dz I = const

(228.6)

**229. На слици 229.1 приказан је стални магнет са котвом. Димензије магнетског кола исте су као у претходном задатку. Језгро и котва су од феромагнетског материјала чија је идеализована крива размагнетисања приказана на слици 229.2. Занемарујући магнетско расипање, израчунати силу привлачења котве.

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

185

lj

S l0

lk S Слика 229.1.

Слика 229.2. РЕШЕЊЕ Магнетска сила на котву је привлачна, а интензитет јој се може одредити на основу израза (228.1) јер код сталног магнета нема генератора, па је рад генератора нула. На исти начин као у претходном задатку, долази се до израза (228.2). Међутим, сада се при померању котве мења флукс кроз попречни пресек магнетског кола, па је

(

)

dWm = HS l j + lk dB + 2 H 0 Sz dB0 + S

B02 dz , m0

(229.1)

где је са z означена дужина средње линије у ваздушном процепу. Како је из закона конзервације магнетског флукса dB = dB0 (јер се расипање занемарује), а на основу

(

)

уопштеног Амперовог закона je H l j + lk + 2 H 0 z = 0 , то се (229.1) своди на (228.3). Једначина радне праве за стални магнет са слике 229.1 дата је изразом 0,26 H + 795,78 B = 0 . Радна права сече карактеристику размагнетисања феромагнетског материјала на хоризонталном сегменту, па је B = 1,25 T и Fz » 123,6 N .

**230. Показати да магнетске силе на n струјних контура са непроменљивим струјама, које се налазе у неферомагнетској средини, увек теже да контуре поставе тако да је енергија магнетског поља максимална.

186

Електромагнетизам

РЕШЕЊЕ Да би се струја у контурама одржавале константним, свака контура мора бити везана на генератор. Ако се контуре пусте да се мало помере под дејством магнетских сила, у општем случају, мења се магнетско поље у свим тачкама система. Стога се мења магнетски флукс кроз сваку контуру, у контурама се индукују електромоторне силе, па сваки прикључени генератор изврши рад dAgn = in dF n против индуковане емс. Укупан рад свих генератора приликом помераја је dAg =

N

N

n =1

n =1

å dAgn = å in dF n . Део тога рада иде

на покривање рада магнетских сила ( dAm ), а други део на прираштај магнетске енергије система ( dWm ), односно dAg = dAm + dWm . Пошто је систем, по претпоставци, линеаран, магнетска енергија је дата изразом 1 N 1 N 1 i F . Струје контура су константне, па је d W = ån n å I ndF n = 2 dAg . Рад m 2 n =1 2 n =1 генератора се дели на два једнака дела, односно dAm = dWm . Одавде следи да магнетске силе врше рад све док магнетска енергија система може да расте. Wm =

**231. Дато је n суперпроводних струјних контура, које нису прикључене на генераторе. Средина је неферомагнетска. Доказати да магнетске силе увек теже да контуре поставе тако да је енергија магнетског поља минимална. РЕШЕЊЕ Магнетски флукс кроз сваку суперпроводну контуру је константан. Ако се контуре пусте да се мало помере под дејством магнетских сила, у општем случају, мења се струја сваке суперпроводне контуре тако да флукс кроз контуру остане константан. Променом струја контура мења се и магнетско поље у свим тачкама система. С обзиром на то да у систему нема генератора, између рада магнетских сила ( dAm ) и прираштаја магнетске енергије система ( dWm ) постоји релација dAm = -dWm . Магнетске силе врше рад све док магнетска енергија система може да се смањује, што је и требало доказати. Ово резоновање важи и ако је средина феромагнетска, укључујући и системе са сталним магнетима. У општем случају, када постоји хистерезис, dWm треба интерпретирати као рад који се утроши на промену магнетског поља у систему.

**232. Круте жичане контуре C1 и C 2 налазе се у вакууму и у њима постоје сталне струје I1 , односно I 2 (слика 232.1). Доказати да за резултантне магнетске силе на контуре важи принцип акције и реакције.

4. Енергија магнетског поља и магнетске силе

187

РЕШЕЊЕ Претпоставимо да се, при сталним струјама у контурама, контура C1 померила паралелно x-оси за dx ( dx > 0 ), као на слици 232.1. Рад резултантне магнетске силе која делује на ту контуру је dAm = Fm1x dx = dWm . Магнетска енергија система је 1 1 Wm = L1 I12 + L12 I1 I 2 + L2 I 22 . Будући 2 2 да је средина хомогена, а контуре круте, при померају контуре не мењају се сопствене индуктивности контура, већ само њихова међусобна индуктивност, па је dWm = I1 I 2 dL12 .

dx

z

I2

dl2

C2 r12

dx x O

I1 C1

dl1 y

x Слика 232.1.

Замислимо сада да је контура C1 у свом првобитном положају, али да се контура C 2 померила у правцу и смеру осе x' за dx' ( dx' > 0 ).Рад резултантне магнетске силе ¢ = Fm2 x' dx ' = dWm¢ , где је dWm¢ = I1 I 2 dL12 ¢ . Ако је која делује на контуру C 2 је dAm dx = dx' , међусобни положај контура после првог виртуелног помераја исти је као после ¢ , па је Fm1x = Fm2 x' , односно другог виртуелног помераја. Стога је dL12 = dL12 Fm1x = - Fm2 x . На исти начин се може доказати да је Fm1y = - Fm2 y и Fm1z = - Fm2 z , па је Fm1 = -Fm2 , што је и требало доказати. Ако би у близини посматраних контура било тело од феромагнетског материјала, да ли би и тада било Fm1 = -Fm2 ? Образложити одговор.

**233. Крута жичана контура С налази се усамљена у вакууму и у њој постоји стална струја I. Доказати да су резултантна магнетска сила и резултантни спрег на контуру једнаки нули. РЕШЕЊЕ Претпоставимо да резултантна магнетска сила ( Fm ) није нула. Замислимо да се, при сталној струји, контура померила у правцу и смеру те силе за dl . Рад магнетске силе је dAm = Fm dl = dWm . Међутим, индуктивност контуре се при томе није променила, па је dWm = 0 . Одатле следи да је Fm = 0 , што је и требало доказати. На сличан начин се доказује и да је резултантни спрег магнетских сила нула.

188

Електромагнетизам

5. Максвелове једначине 234. Написати потпуни систем Максвелових једначина за брзопроменљиво поље у општем случају. РЕШЕЊЕ Четири основне Максвелове једначине су: dB

ò E × dl = - ò dt

C

× dS

(234.1)

S

(Фарадејев закон електромагнетске индукције), æ

ò H × dl = ò çè J +

C

S

dD ö ÷ × dS dt ø

(234.2)

(допуњен уопштени Амперов закон),

ò D × dS = ò r dv

S

(234.3)

v

(уопштени Гаусов закон) и

ò B × dS = 0

(234.4)

S

(закон конзервације магнетског флукса). Оријентације контуре С и површи S у једначинама (234.1) и (234.2) везане су правилом десне завојнице (слика 234.1). Затворена површ у једначинама (234.3) и (234.4) оријентисана је упоље (слика 234.2). Да би се добио потпуни систем једначина, основне једначине (234.1)-(234.4) допуњују се конститутивним релацијама, које се могу написати у сажетом облику D = D(E) ,

(234.5)

J = J (E) ,

(234.6)

B = B(H) .

(234.7)

5. Максвелове једначине

189

Слика 234.2.

Слика 234.1. Једначина континуитета, dr

ò J × dS = -ò dt dv ,

S

(234.8)

v

последица је Максвелових једначина јер се може извести из једначина (234.2) и (234.3), али се често придружује Максвеловим једначинама. Оријентација затворене површи у једначини (234.8) је као на слици 234.2.

235. Написати основне електромагнетско поље.

интегралне

једначине

за

споропроменљиво

РЕШЕЊЕ У споропроменљивом (квазистационарном) електромагнетском пољу, у већини dD практичних случајева, занемарује се члан . Стога једначине гласе dt d

ò E × dl = - dt ò B × dS ,

(235.1)

ò H × dl = ò J × dS ,

(235.2)

ò D × dS = ò r dv ,

(235.3)

ò B × dS = 0 .

(235.4)

C

C

S

S

S

v

S

За разлику од прве Максвелове једначине (234.1), која обухвата само статичку електромагнетску индукцију, једначина (235.1) обухвата сложену индукцију. Из једначине (235.2) следи

ò J × dS = 0 .

(235.6)

S

Ова једначина је тачна само за сталне струје, али се ипак успешно употребљава у решавању многих проблема електротехничке праксе. Егзактан облик једначине континуитета за променљиве струје је (234.8) и он се мора употребљавати, на пример, у анализи пуњења и пражњења кондензатора.

190

Електромагнетизам

236. Да ли постоји веза између уопштеног Амперовог закона и једначине континуитета за сталне струје? РЕШЕЊЕ Десна страна уопштеног Амперовог закона,

ò H × dl = ò J × dS ,

C

важи за било коју

S

површ S ослоњену на контуру C. Уочимо две површи, S1 и S 2 , ослоњене на ту контуру и обе оријентисане по правилу десне завојнице у односу на оријентацију контуре (слика 236.1). За те површи је ò J × dS = ò J × dS . S1

Површи

чине

S2

S1

и

S2

затворену

површ,

S 0 = S1 È S 2 . Нормала на површ S 0 означена је са n на слици 236.1. Оријентације површи поклапају, а оријентације површи супротне.

Стога

је

ò J × dS = 0 ,

S2

и

S0

се

S0

су

ò J × dS = ò J × dS - ò J × dS = 0 ,

S0

односно

S1 и

S1

S2

чиме смо добили једначину

S0

континуитета за сталне струје.

Слика 236.1.

237. Из потпуног система Максвелових једначина извести потпуни систем једначина за стационарно електромагнетско поље. РЕШЕЊЕ У стационарном пољу ниједна величина која описује поље не мења се у функцији d времена. Формално, = 0 . Максвелове једначине (234.1)-(234.4) своде се на dt

ò E × dl = 0

(237.1)

C

(закон циркулације електричног поља),

ò H × dl = ò J × dS

C

(237.2)

S

(уопштени Амперов закон),

ò D × dS = ò r dv

S

(237.3)

v

(уопштени Гаусов закон) и

ò B × dS = 0

S

(237.4)

5. Максвелове једначине

191

(закон конзервације магнетског флукса). Конститутивне релације су D = D(E) ,

(237.5)

J = J (E) ,

(237.6)

B = B(H) .

(237.7)

Из (237.2) следи једначина континуитета за стална поља,

ò J × dS = 0 .

(237.8)

S

За разлику од променљивих електромагнетских поља, где се све једначине морају симултано решавати, једначине које описују стационарна поља могу се груписати тако да се истовремено и поступно решавају мањи системи једначина. Као први корак, решава се систем који чине једначине (237.1), (237.8) и (237.6). (У теорији кола, ове једначине одговарају, редом, другом Кирхофовом закону, првом Кирхофовом закону и релацијама напона и струја елемената кола.) Када је позната расподела струја, онда се, независно један од другог, могу решавати проблем одређивања расподеле наелектрисања и проблем одређивања расподеле магнетског поља. Расподела наелектрисања се одређује из система једначина (237.1), (237.3) и (237.5), а расподела магнетског поља добија се решавањем система (237.2), (237.4) и (237.7).

238. Из потпуног система једначина за стационарно електромагнетско поље извести потпуни систем једначина за електростатичко поље. РЕШЕЊЕ У електростатици, по дефиницији, не постоје струје ( J = 0 ), нема намагнетисаних феромагнетских материјала, па нема ни магнетског поља ( B = 0 и H = 0 ). Стога од система једначина (237.1)-(237.8) остају само једначине (237.1), (237.3) и (237.5), које чине тражени систем.

192

Електромагнетизам

6. Кретање наелектрисане честице у електричном и магнетском пољу **239. На слици 239.1 приказан је попречни пресек кондензатора чија свака електрода има облик половине дугачког цилиндра. Полупречници електрода су a = 200 mm и b = 220 mm , а напон између електрода кондензатора је сталан, U ba = U = 10 kV . Кроз мали отвор О, који се налази на средини растојања између електрода кондензатора, улећу јони CH 3+ , масе m = 15 u (где је u » 1,66 × 10 -27 kg атомска јединца масе). Вектори почетних брзина јона тангентни су на средњу линију кондензатора и различитог су интензитета. Израчунати брзину оних јона који ће изаћи кроз мали отвор О' који се налази на другом крају кондензатора. Занемарити ивичне ефекте и интеракцију између јона.

Слика 239.1. РЕШЕЊЕ На јоне који се крећу кроз кондензатор делује електрична сила интензитета U Fe = QE = Q , где је r одстојање од осе система, а Q = e » 1,6 ×10 -19 C b r ln a наелектрисање јона. Електрична сила је усмерена ка оси. Кроз отвор O' изаћи ће само a+b они јони који се у кондензатору крећу по кружном луку полупречника r = R = . 2

6. Кретање наелектрисане честице у електричном и магнетском пољу

Електрична сила која делује на те јоне, интензитета Fe = Q

центрифугалном силом, Fc = vs =

U R ln

b a

193

, у равнотежи је са

mv 2 . Одавде је брзина јона који прођу кроз отвор O' , R

QU km » 821 . b s m ln a Овакав систем раздваја јоне по брзини. Шта се дешава са јонима чија је брзина већа од vs , а шта са јонима чија је брзина

мања од vs ? Колика се грешка чини у прорачуну брзине ако се, уместо израза за електрично U U поље у цилиндричном кондензатору E = , узме E » ? b b-a R ln a

**240. Електрон улеће брзином v 0 = v0 i x у простор између електрода плочастог кондензатора, у коме постоји хомогено стално електрично поље E = Ei y (слика 240.1), kV . У тренутку t0 = 0 електрон пролеће кроз координатни m почетак. Ширина простора у коме постоји електрично поље је d = 50 mm . На растојању l = 200 mm од тог простора налази се раван екран. Одредити место на коме ће електрон ударити на екран. где је v0 = 30 Mm/s и E = 10

Слика 240.1.

Слика 240.2.

РЕШЕЊЕ У простору између електрода кондензатора на електрон делује електрична сила Fe = Qe E , где је Qe = -e наелектрисање електрона. Под дејством те силе, електрон се креће по параболичној путањи. Параметарске једначине путање су x(t ) = v0t , eE 2 t , z = 0 (слика 240.2). Електрон излеће из електричног поља у тренутку y (t ) = 2 me

194

Електромагнетизам

t1 =

eE 2 d t1 » -2,45 mm . Електрон излеће » 1,67 ns у тачки M (d , y M ,0 ) , где је y M = 2me v0

из поља тангентно на параболу. Вектор брзине електрона је при томе v = v0 i x - v1i y , где је v1 =

eE v t1 » 2,9 Mm/s , па је a = arctg 1 » 5,59° . До ударања на екран у тачки me v0

N (d + l , y N ,0 ) ,

електрон

се

креће

праволинијски.

При

томе

је

y N = y M - l tg a » -22 mm . Читаоцу се оставља да покаже да је, ако угао a није велики, y N линеарно пропорционално са Е.

Mm у стално хомогено магнетско поље s индукције B = 1 mT , нормално на линије магнетског поља. Колики је полупречник круга по коме се честица креће, а колико је време за које опише цео круг? Маса електрона је **241. Електрон улеће брзином v = 10

m » 9,1 × 10-31 kg , а наелектрисање Q = -e » -1,6 × 10-19 C . РЕЗУЛТАТ Полупречник кружне путање је r = је T =

mv » 56,9 mm , а време за које опише цео круг |Q| B

2pm » 35,7 ns . |Q| B

**242. Наелектрисана честица масе m и наелектрисања Q креће се у сталном хомогеном магнетском пољу само под дејством магнетске силе. Вектор магнетске индукције (В) паралелан је z-оси Декартовог координатног система. У тренутку t = 0 честица пролази кроз координатни почетак, њена брзина је v, а вектор v заклапа са zp осом угао q ( 0 < q < ). Путања честице ће, после извесног времена, пресећи једну од 2 три координатне осе. Коју осу, после ког времена и на ком одстојању од координатног почетка? РЕЗУЛТАТ Честица се креће по хеликоидалној путањи која периодично пресеца z-осу, у 2pm временским интервалима T = . Међусобна растојања тачака пресека су |Q| B 2pmv cos q d= . |Q| B

6. Кретање наелектрисане честице у електричном и магнетском пољу

195

**243. Електрон улеће брзином v 0 = v0 i x у простор у коме постоји хомогено стално магнетско поље индукције B = - Bi z (слика 243.1), где је v0 = 30 Mm/s и B = 1 mT . У тренутку t0 = 0 електрон пролеће кроз координатни почетак. Ширина простора у коме постоји магнетско поље је d = 50 mm . На растојању l = 200 mm од тог простора налази се раван екран. Одредити место на коме ће електрон ударити на екран.

Слика 243.1. Слика 243.2. РЕШЕЊЕ У магнетском пољу на електрон делује магнетска сила Fm = Qe v ´ B , где је Qe = -e наелектрисање електрона. Под дејством те силе, електрон се креће по кружној путањи mv полупречника r = e 0 » 171 mm (слика 243.2), при чему је брзина електрона | Qe | B

константна. Центар те кружнице је у тачки O' (0,- r ) , а једначина кружнице је x 2 + ( y + r )2 = r 2 . Електрон излеће из магнетског поља у тачки M (d , y M ,0 ) , где је y M = r 2 - d 2 - r » -7,2 mm . Електрон излеће из поља тангентно на кружницу, при d чему је a = arcsin » 17° . До ударања на екран у тачки N (d + l , y N ,0 ) , електрон се r креће праволинијски. При томе је y N = y M - l tg a » -68 mm . Читаоцу се оставља да покаже да је, ако угао a није велики, y N линеарно пропорционално са В.

**244. У траци од хомогеног силицијума, приказаној на слици 244.1, димензија попречног пресека a = 1 mm и d = 20 mm , постоји стална струја I = 10 mA . Трака се

196

Електромагнетизам

налази у сталном хомогеном магнетском пољу индукције B = 100 mT . Идеални волтметар показује напон услед Холовог ефекта U12 = 20 mV . Одредити знак наелектрисања слободних носилаца и израчунати њихову концентрацију. Апсолутна вредност наелектрисања носилаца једнака је елементарном наелектрисању ( e » 1,602 ×10 -19 C ).

V

B

2

1 I

d

a Слика 244.1.

РЕЗУЛТАТ Носиоци су позитивни IB N= » 1,56 × 10 22 m -3 . U12ed

(шупљине),

а

њихова

концентрација

је

Литература

197

Литература [1] М. Ранојевић: „Основи електротехнике“, Грађевинска књига, Београд, 1964. [2] Б. Поповић: „Основи електротехнике 2“, Грађевинска књига, Београд, 1978. [3] Б. Поповић, А. Ђорђевић: „Основи електротехнике 3: Збирка питања и задатака са кратким теоријским уводима“, Грађевинска књига, Београд, 1979. [4] Ј. Сурутка: „Основи електротехнике: Електромагнетизам“, Научна књига, Београд, 1978. [5] Х. Божиловић, Г. Божиловић и Ж. Спасојевић: „Збирка задатака из Основа електротехнике: Електромагнетизам, Наизменичне струје“, Научна књига, Београд, 1983. [6] Г. Божиловић: „Задаци из Основа електротехнике“, Научна књига, Београд, 1982. [7] А. Ђорђевић, Г. Божиловић и Б. Нотарош: „Збирка решених испитних задатака из Основа електротехнике, II део“, Електротехнички факултет, Академска мисао, Београд, 1997. [8] А. Ђорђевић, „Основи електротехнике, 3. део, Електромагнетизам“, Академска мисао, Београд, 2007.